수학이 도대체 무슨 쓸모가 있느냐고 묻는 당신에게

- 삶을 위한 수학교육, 두 번째 이야기 -

윤상혁

서울 한성여중 ysh2084@hanmail.net

찰나의 인생, 영겁의 시간 속에 아이들과 나는 촌각을 다투며 이 세상에 잠깐 나타난 동시대인이다. 내가 아이들의 스승이라면 그것은 단지 아이들이 아직 날개를 달기 전이기 때문이다. 아이들이 나비가 되어 훨훨 날아올랐을 때, 그들이 세상이 무엇인지 알게 되었을 때, 그들의 기억 속에 나의 모습이 부끄럽지 않기를 바란다.

시와 음악이 우리의 삶에 어떤 쓸모가 있을까?

시와 음악이 우리의 삶에 어떤 쓸모가 있을까? 문학과 예술을 배우는 것이 우리의 삶에 어떤 유익을 가져다줄까? 아주 오래전부터, 그러니까 인류가 역사 속에 등장하면서부터 시와 음악은 존재해 왔다. 그러니 시와 음악의 쓸모를 따지는 일이야말로 아무런 쓸모가 없을지 모른다.

환자의 용태에 관한 문제.

１１１１１１１１１１ㆍ

２２２２２２２２２ㆍ１

３３３３３３３３ㆍ２２

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９９ㆍ８８８８８８８８

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진단 0 : 1

26.10.1931

이상 책임의사 이 상

- 이상, <오감도 시제4호>

<오감도(烏瞰圖)>는 연작 15편으로 된 시이다. 1934년 7월 25일부터 8월 8일까지 조선중앙일보에서 연재하였다. 본래 30회를 예정해 연재했으나 항의 투서가 빗발치면서 결국 15회를 끝으로 연재를 중단하였다.

이상 책임의사 이상. 마지막까지 언어유희를 즐기고 있는 시인 이상이 생각하기에 환자의 용태는 점점 악화되고 있다. 1234567890, 123456789, 12345678.9, 1234567.89, … , 1.23456789, 0.123456789. 책임의사 이상의 진단은 다음과 같다.

[eqn: 0`:1]

[eqn: {0} over {1} =0]

환자는 곧 죽음(0)에 이를 것이다. 환자는 누구인가? 이상 자신인가? 아니면 1910년 한일병합조약으로 멸망한 대한제국의 민중들인가?

- 존 케이지, <4분 33초>

〈4분 33초〉는 세 개의 악장으로 되어 있고, 각 악장의 악보에는 음표나 쉼표 없이 TACET(조용히)라는 악상만이 쓰여 있다. 악보에는 음악의 길이에 대한 지시가 따로 없다. 1952년 8월 29일 뉴욕 주 우드스탁에서 데이비드 튜더가 처음 연주했을 때에는 시간을 무작위로 결정하여 1악장을 33초, 2악장을 2분 40초, 3악장을 1분 20초씩 연주하였다.

1952년 8월 29일 뉴욕 주 우드스탁에서 열린 연주회에서 데이비드 튜더는 피아노 앞에 앉아서 피아노 덮개를 열었다. 몇 분 뒤 그는 덮개를 다시 닫았다. 피아니스트는 그저 덮개를 열었다가 다시 닫고 자리에서 일어날 뿐이었다. 존 케이지의 작품 <4분 33초>가 초연된 순간이었다. 이 연주는 당시의 청중들과 평론가들로부터 혹평을 받았지만, 지금은 음악의 정의에 대한 도전으로 받아들여지고 있다.

좋은 삶을 살기 위해서는 연습이 필요하다

그림은 말이라고 했다. 그림책은 글 대신 그림으로 말을 한다. 아이들은 그림책의 그림을 보고 읽는 것이다. 여기에 예술을 들이대는 것은 무식한 짓이다. 결과적으로 예술이 될 수는 있을지라도 예술을 지향해서 그리는 것은 아니다. 그런 의미에서 피카소는 아주 위험한 발언을 했다. “모든 아이는 예술가다”라고. 예술가들이 아이들의 그림을 보고 탄복을 하거나 흉내는 낼지언정 아이들이 그림을 그리면서 예술을 인식한 것은 절대 아니다. 미술교육에 관한한 예술운운은 허황되기 그지없다. 괜히 예술인척 하는 그릇된 의식 때문에 누구나 배울 수 있는 그림이 특별한 무엇인양 불편해 지기만 했다.

창의성을 키운답시고, 또는 예술성을 죽일까봐 섣불리 개입하는 것을 두려워하는 것은 아주 잘못됐다. 언어는 ‘학습’하는 것이다. 얼굴을 그리고 꽃을 그리듯이 내가 사용할 어휘를 늘리는 것이 중요하다. 충분히 사용할 어휘 수가 갖춰져야만 비로소 자유롭게 말할 수 있다. 알고 있는 단어가 빈약하면 늘 똑같은 말을 할 수밖에 없다. 다들 잘 알지 않는가? 글자를 많이 알지 못하는 아이의 일기는 늘 ‘아침에 일어나서 밥을 먹고 학교에 갔다 와서 숙제하고 놀았다’는 비슷한 일상의 반복일 수밖에 없음을.

- 심수환, <누구나 글을 쓰듯이 누구나 그림을 그릴 수 있다>, 《오늘의 교육》 2013년 5·6월호

누구나 그림을 그릴 수 있듯이, 누구나 시를 쓸 수 있다. 그러나 그냥 쓰기만 하면 다 시가 되는 것은 아니다. 좋은 시와 나쁜 시를 나누는 기준에 대하여 논란이 있을 수는 있지만 분명한 것은 좋은 시가 존재한다는 사실이다.

좋은 시를 쓰기 위해서는 연습이 필요하다. 그리고 그 연습이 꼭 즐거운 것만은 아니다. 영화 〈위플래쉬〉에서 손에서 핏물이 뚝뚝 떨어질 정도로 드럼 연습을 하는 제자에게 “세상에서 가장 쓸 데 없는 말이 ‘그만하면 잘했어’야” 하고 말하는 플레쳐 교수의 모습이 분명 제정신은 아니지만 겉멋만 잔뜩 들어간 문장에 “천재 시인의 탄생” 운운하는 것 역시 무책임한 방임이다.

악보를 쓰는 것은 시를 쓰는 것보다 훨씬 어렵게 느껴진다. 악보를 읽는 것 역시 마찬가지이다. 물론 존 케이지의 작품 <4분 33초>처럼 예외도 있긴 하지만 말이다. 악보를 볼 줄 몰라도 음악을 연주할 수는 있다. 하지만 모두가 그 음악을 즐겨 듣는 것은 아니다.

누구나 그림을 그릴 수 있고, 시를 쓸 수 있고, 음악을 연주할 수 있다. 그러나 분명한 것은 좋은 그림, 좋은 시, 좋은 음악을 위해서는 연습이 필요하다는 사실이다. 이것은 능력을 말하는 것이 아니라 태도를 말하는 것이다. 이것은 본질적으로 삶을 대하는 태도와 동일하다. 그리고 이러한 태도는 수학에도 마찬가지로 적용된다.

수학이란 무엇인가

이제 시와 음악에 물었던 것과 동일한 질문을 수학에 적용시켜 보자. 수학이 도대체 우리의 삶에 어떤 쓸모가 있느냐고. 그 전에 먼저 물어볼 것이 있다. 아래 그림을 보라. 왼쪽 여섯 개의 상자들과 오른쪽 여섯 개의 상자들은 어떻게 구별되는가?

- M. M. 봉가드, <봉가드 문제 53>

www.foundalis.com/res/bps/bpidx.htm. 봉가드 문제(BP:Bongard Problems)는 러시아의 과학자 봉가드가 그의 책 《패턴 인식》에서 제시했던 일반적인 패턴의 문제들이다. 봉가드는 이 책에서 총 100개의 문제를 제시했는데 각각의 문제는 열두 개의 상자 모양의 그림으로 이루어져있다.

왼쪽 여섯 개의 그림과 오른쪽 여섯 개의 그림은 모두 두 개의 다각형 - 외부의 큰 다각형과 내부의 작은 다각형 – 으로 이루어져 있다는 점에서 동일한 규칙을 갖는다. 그러나 외부의 다각형의 모양이나 내부의 다각형의 모양에서는 어떤 규칙도 발견할 수가 없다. 그렇다면 왼쪽 여섯 개의 그림과 오른쪽 여섯 개의 그림의 차이는 무엇인가? 내부에 있는 다각형의 꼭짓점의 개수와 외부에 있는 다각형의 꼭짓점의 개수 사이의 대소 관계가 이 둘을 구별하는 기준이다.

열두 개의 상자 모양의 그림을 구별하는 것이 수학과 어떤 관계가 있느냐고 물을 지도 모르겠다. 그렇다면 나는 이렇게 반문하고 싶다. 당신이 생각하는 수학은 어떤 수학이냐고. 도대체 수학이란 무엇인가?

우리는 패턴의 우주 속에 살고 있다. 매일 밤마다 별들은 원호를 그리며 하늘 한 쪽에서 떴다가 저편으로 진다. 어지럽게 떨어져 내리는 무수한 눈송이들 중에서 정확히 똑같은 모양을 한 것은 단 하나도 없다. 그러나 눈송이는 모두 6겹 대칭이다. (……) 인간 정신과 문화는 이런 숱한 패턴들을 인식하고, 분류하고, 이용하는 정형화된 사고 체계를 발전시켜 왔다. 우리는 그것을 수학이라는 이름으로 부른다.

- 이언 스튜어트, 《자연의 수학적 본성》

시와 음악과 마찬가지로 수학 역시 인류가 역사 속에 등장하면서부터 존재해 왔다. 아니, 인간의 탄생과 함께 수학은 시작된다. 인간은 태어나면서부터 본능적으로 패턴을 인식한다. 같다-다르다, 길다-짧다, 많다-적다, 직선과 곡선, 다각형과 원, 각기둥과 원기둥. 이 세상에 ‘가구’라는 사물은 없지만 우리는 가구와 가구가 아닌 것을 구별할 수 있다. 구슬과 막대기는 완전히 다르지만 우리는 똑같이 1개, 2개, 3개 …… 라고 ‘수’를 센다.

우리가 시와 노래에서는 찾으려 하지 않는 ‘쓸모’라는 단어를 굳이 수학에서 찾으려는 이유는 무엇일까? 우리가 문학과 예술에서는 찾고자 애쓰는 삶과의 연결 고리를 굳이 수학에서 찾지 않는 이유는 무엇일까?

우리는 시와 음악을 배우는 것과 동일한 이유로 수학을 배운다. 중세 대학의 학부 과목이었던 자유 7교과 혹은 자유 교양liberal arts은 문법, 수사학, 논리학, 산술, 기하학, 천문학, 음악을 가리킨다. 《호르투스 델리키아룸Hortus deliciarum》를 보면 자유 7교과를 표현한 일곱 명의 여신이 등장한다. 이 중에는 컴퍼스를 들고 있는 기하학의 여신과, 눈금이 표시된 줄자를 들고 있는 산술의 여신이 있다. ‘즐거움의 정원’을 이루는 두 개의 축이 바로 기하학Geometry과 산술Arithmetic인 것이다.

몽생오딜Mont Sainte-Odile 수도원의 수녀원장이었던 란츠베르크의 헤라트Herrad of Landsberg가 쓴 지금의 백과사전이다. ‘Hortus deliciarum’은 라틴어로 이를 번역하면 ‘즐거움의 정원(Garden of Delights)’이라는 뜻이다.

- Herrad of Landsberg, 《Hortus deliciarum》

산술 : 수학의 정수精髓를 다루는 방식

이안 스튜어트는 《자연의 수학적 본성Nature′s numbers》에서 수를 “수학의 정수로서, 모든 것 속에 스며들어 영향력을 발휘하며, 그것을 통해 숱한 분야의 수학이 벼려지고 연마되는 원료”라고 표현한 바 있다. 영화 《박사가 사랑한 수식》을 보다보면 다음과 같은 대목이 나온다.

“우주의 끝에서 끝까지 계속되는 수 π와 결코 정체를 드러내지 않는 허수 [eqn: i]. 성가신 것은 바로 [eqn: e]입니다. [eqn: e]는 영국의 수학자 존 네이피어로 말미암아 ‘네이피어 수Napier′s number’라고 불리게 됩니다. 네이피어 수는 수학에서 무엇보다 중요한 수 중의 하나입니다. 이것은 π와 같습니다. 어디까지나 어디까지나 한없이 계속되는 무리수입니다. 무한한 우주로부터 π가 [eqn: e]의 품으로 내려앉습니다. 그리고 부끄럼쟁이 [eqn: i]와 악수를 합니다. 그들은 몸을 가까이 하고 가만히 있습니다. [eqn: e]도 [eqn: i]도 π도 결코 연관성이 없어요. 하지만 한 사람의 인간이 단 한 가지, 더하기를 하면 세상은 바뀝니다. 모순되는 것들이 통일이 되어 0. 요컨대 무無로 끌어안게 됩니다.”

- 고이즈미 타카시, 〈박사가 사랑한 수식〉

이 작품은 오가와 요코의 동명의 소설을 영화화한 것이다.

박사가 사랑한 수식 [eqn: e ^{i pi } +1=0]. ‘오일러의 공식’이라 불리는 이 유명한 수식에는 단지 다섯 개의 숫자가 나오지만, 이 단순한 수식 속에 장대한 수학의 역사가 담겨 있다는 것을 아는 사람은 그리 많지 않다. 고대 그리스의 3대 작도 난제 ― 임의각의 삼등분의 작도, 원과 같은 넓이를 갖는 정사각형의 작도, 두 배의 부피를 갖는 정육면체의 작도 ― 의 해결에 결정적인 역할을 하게 되는 이 위대한 발견의 순간을 재현하는 일이 분명 쉽지는 않다. 하지만 어렵다는 이유만으로 배움의 가치가 줄어드는 것은 아니다.

산술은 수학의 역사에 있어서 가장 연원이 깊은 분야로, 수의 개념이나 수에 대하여 간단한 계산을 하는 방법, 그 성질이나 계산의 법칙 등의 이론적인 방법을 다루는 학문이다. 산술arithmetic은 ‘계산하다’라는 뜻인 그리스어 arithmeein 또는 ‘수’를 뜻하는 arithmos에서 유래하였다. 산술은 2개 이상의 수를 결합하는 모든 법칙을 다룬다. 우리가 흔히 사칙연산이라 부르는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 비롯하여 분수, 비와 비율, 확률, 대수학과 수론이 이에 해당한다.

‘[eqn: a,```b,```c]가 0이 아닌 정수이고, [eqn: n]이 2 보다 큰 자연수일 때, [eqn: a ^{n} +b ^{n} =c ^{n}]을 만족하는 자연수 [eqn: a,```b,```c]가 존재하지 않는다.’

“임의의 세제곱수는 다른 두 세제곱수의 합으로 표현될 수 없다. 임의의 네제곱수 역시 다른 두 네제곱수의 합으로 표현될 수 없다. 일반적으로 3이상의 지수를 가진 정수는 이와 동일한 지수를 가진 다른 두 수의 합으로 표현될 수 없다. 나는 이것을 경이로운 방법으로 증명하였으나, 책의 여백이 충분하지 않아 옮기지는 않는다.” 1621년 출간된 《아리스메티카Arithmetica》의 여백에 페르마가 위와 같이 주석을 달았을 때, 그는 자신의 이 메모가 얼마나 많은 사람들을 울리고 웃기게 될지 예측하지 못했을 것이다. 그러나 그로부터 358년이 지난 1995년 엔드류 와일즈에 의해 이 유명한 드라마가 해피엔딩으로 마무리될 때까지, ‘페르마의 정리Fermat′s theorem’는 가장 유명한 수학적 가설 중의 하나였다.

‘오일러의 공식’과 ‘페르마의 정리’의 의미가 무엇인지 아는 것은 쉽지 않다. 하지만 우리는 이 수식들 속에 존재하는 패턴들을 인식하고, 분류하고, 이용하는 과정을 통하여 정형화된 사고 체계를 만들어간다.

“이것은 마치 어둠 속에 빛나는 한줄기 아름다운 유성. 밤하늘에 빛나는 별 하나의 아름다움. 들에 핀 한 송이 꽃의 아름다움. 그런 것들을 설명하기 어려운 것처럼 이 수식의 아름다움을 설명하는 것도 어려운 일이죠. 나 또한 모르는 것 천지. 하지만 박사님은 느끼는 것이 중요하다고 가르쳐 주셨습니다. 여러분도 직감을 갈고 닦아서 풍부한 감성을 키워 주세요. 이 아름다움은 반드시 느낄 수 있습니다.”

- 앞의 영화

기하학 : 서양문명의 요소Elements

EBS 〈다큐 프라임〉 ‘문명과 수학’ 2부 〈원론〉을 보면, 다음과 같은 대목이 나온다. “이 세상은 무엇으로 이루어져 있을까? 그리스 사람들은 이것으로 논쟁했습니다. 물이다. 불이다. 논쟁은 논쟁을 낳았습니다. 말뿐인 논쟁을 하던 그들은 자기들만의 이야기 방식을 만들어냅니다. 바로 증명입니다.”

중요한 수학적 과정 중의 하나인 추론과 정당화(증명)는 특정한 시기(기원전 600년~200년경)에 특정한 지역(그리스)에서 특정한 사람들(탈레스에서 시작하여 아르키메데스에 이르는)에 의해 태어나고 자라났다. 우리가 절대적 진리라고 생각해왔던 수학조차도 사실은 어떤 지역의 언어와 문화와 역사의 산물이라는 것이다. 고대 그리스인들은 그들의 필요에 따라 기하학Geometry을 만들어냈다.

기하학은 공간에 있는 도형이나 대상들의 치수, 모양, 상대적 위치 등을 연구하는 수학의 한 분야로 세계의 여러 고대 문명에서 농경과 건축을 위해 기하학을 사용하였다. Geometry는 ‘땅을 측정하다’라는 뜻인 그리스어 geometrein(geo: 땅, metrein: 측량하다)에서 유래하였다. 기하학은 고대 그리스의 수학자들에 의해 크게 발전하는데, 그중 가장 큰 성과는 경험적으로만 사용되던 기하학의 법칙들을 엄정한 논리를 통해 증명한 것이다.

직접민주주의의 꽃이 활짝 피어나는 가운데 그리스인들은 증명을 바탕으로 논쟁을 벌였다. 증명이란 가정으로부터 결론이 참임을 이끌어 내는 것을 말한다. 그런데 가정이 참인지는 어떻게 알 수 있을까? 다시 가정이 참임을 보이기 위해서는 거꾸로 거슬러 올라가야 하는데, 결국에는 더 이상 증명할 수 없는 명백해 보이는 가정에 도달하게 된다. 이와 같이 의심할 여지없이 모두가 합의할 수 있는 절대적인 가정을 수학에서는 공리公理, axiom 라고 한다. 유클리드의 〈원론〉에는 다음과 같이 다섯 가지의 공리가 나온다.

공리1. 모든 점에서 다른 점으로 직선을 그을 수 있다.

공리2. 유한한 직선이 있으면, 그것을 얼마든지 길게 늘일 수 있다.

공리3. 임의의 점에서 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다.

공리4. 직각은 모두 서로 같다.

공리5. 평행선은 영원히 만나지 않는다.

어찌 보면 너무나도 당연한 이야기인데, 이처럼 누구나 당연하다고 받아들일 수 있는 사실로부터 논증을 시작하고 있다는 데에서 바로 그리스인들의, 그리고 유클리드의 위대함이 드러난다. 유클리드의 〈원론〉이 수학의 역사에서 아직까지도 중요한 위치를 차지하고 있는 까닭은 그것이 당시 그리스의 수학(기하학)적 지식을 집대성했을 뿐만 아니라, 그 방식이 후대의 수학, 더 나아가서는 문명의 발전 과정 속에도 깊은 영향을 끼쳤기 때문이다.

"그로부터 2000년이 지났지만, 〈원론〉은 아직까지 우리의 삶에 영향을 끼치고 있습니다. 복잡해 보이지만 이 사회도 우리가 합의한 공리 위에서 출발했습니다. 미국의 독립선언문도 원론의 구성방식을 따릅니다. 모든 사람은 평등하게 태어났다는 공리에서 출발해 영국으로부터 독립해야 한다는 결론을 이끌어내고 있죠. 뉴턴의 프린키피아, 스피노자의 윤리학, 애덤 스미스의 국부론 등 많은 책들이 원론의 형식을 따르고 있습니다.”

- EBS 〈다큐 프라임〉, ‘문명과 수학’ 2부 <원론>

수학은 그 자체로 아름답고 흥미롭다. “수학이 왜 좋으세요?” 수학을 좋아하는 사람에게 물어보라. 별다른 대답을 기대하기 어렵다. 이는 피카소의 그림이 왜 아름다운지 묻는 것과 비슷하다. 아름다움에 어떤 이유가 없듯이, 수학을 좋아하는 데에도 특별한 이유는 없다.

하지만 수학은 그 자체의 아름다움을 넘어선다. 이집트의 수학, 메소포타미아의 수학, 중국의 수학은 역사의 뒤안길로 사라졌지만 그리스의 수학이 지금까지 남아 있는 데에는 이유가 있다. 그리스는 당시 직접민주주의 사회였다. 토론과 논쟁이 그 무엇보다 중요했다. 기하학은 이와 같은 사회상의 반영인 것이다.

그리스 이래로 기하학의 정신은 서양 문명에 깊은 영향을 끼쳐왔다. 그런 의미에서 유클리드의 〈원론Elements〉이 수학을 넘어 서양 문명의 요소Elements로 자리 잡았다고 말해도 과언이 아니다. 서구 민주주의의 영향을 받은 우리나라의 헌법 제1조만 봐도 ‘1항. 대한민국은 민주공화국이다’, ‘2항. 대한민국의 주권은 국민에게 있고, 모든 권력은 국민으로부터 나온다’라는 누구도 부인할 수 없는 공리로부터 시작된다는 사실을 알 수 있다. 모든 법이 단순한 나열이 아닌 계열성을 갖고 있고 상위법이 있다는 것이 그 예이다. 그러니 민주주의 사회에서 수학을 배운다는 것은 단순히 계산을 익히는 것 이상이다.

수학 : 배우는 모든 것

인류 문명과 수학은 서로에게 영향을 끼치며 발전해왔다고 말해도 과언이 아니다. 이것은 지금도 마찬가지이다. 우리가 매일매일 숨 쉬는 공기를 느끼지 못하듯이, 깨닫지 못할 뿐이다. 이미 수학은 우리의 일상 속에서, 삶의 방식이나 사고 과정 속에서 지대한 영향을 끼치고 있다. 그런 점에서 수학은 정말로 ‘배우는 모든 것mathemata’이라고 할 수 있다.

수학mathematics의 어원 mathemata는 배움 또는 지식을 의미하는 mathesis에서 파생한 것이다. ‘다방면에 박학다식한 사람’을 뜻하는 영어 단어 polymath를 봐도 수학의 원래 의미가 수나 연산에 국한된 것이 아니라 일반적인 학문이나 지식, 좀 더 구체적으로는 구체적인 사물이 아닌 추상화된 기호를 이용하여 배우거나 생각함으로써 알게 되는 지식과 관계가 있음을 알 수 있다.

영화 〈박사가 사랑한 수식〉을 보면 교통사고로 머리를 크게 다쳐 뇌의 일부분에 장애가 생긴 박사의 기억력은 고작 80분에 불과하다. 그의 기억은 사고를 당한 1975년에 멈춰 있다. 30년 전에 자신이 발견한 정리는 기억해도, 엊저녁에 뭘 먹었는지는 기억하지 못하는 것이다. 그런데 하필이면 왜 80분일까?

인간의 삶은 길어야 80년이다. 그에 반해 인간 지혜의 고갱이인 수학은 시간과 공간을 초월하여 지금의 우리에게 다가온다. 우리는 선배들의 지혜를 익히고 거기에 우리의 깨달음을 조금 더 쌓아 올린다.

박사가 기억을 보존하기 위해 자신의 몸에 접착식 메모지를 붙이고 칠판에 기록을 남기는 것처럼 수학교사는 자신이 전수받은 것들을 온전히 계승하기 위해 최선의 노력을 다해야 한다. 물론 박사에게 80분의 시간이 남아 있듯이, 우리에게는 80년의 시간이 남아 있다. 우리의 삶은 유한하지만 포기를 모르는 인간의 도전 의식은 수학의 영토를 조금씩 넓혀 왔다. 그리고 그것이 바로 수학만이 갖고 있는 독특한 매력이다.

“수학은 인간 사고의 독특한 측면의 반영이다. 그래서 수학의 역사는 다른 모든 역사와 본질에서 다르다. 시간이 흐름에 따라 인간의 노력이 깃든 거의 모든 분야에는 변화가 있기 마련인데, 그 변화는 수정 그리고/또는 확대로 나타난다. (……) 위대한 지성인의 한 사람인 아리스토텔레스는 떨어지는 물체에 대해서 매우 잘못된 견해를 갖고 있었다. 그것을 1590년대에 갈릴레오가 바로잡았다. 가장 위대한 고대 내과의사였던 갈렌은 (……) 해부학과 생리학에서 매우 잘못된 생각을 하였다. 갈렌의 생각은 1543년 베살리우스와 1628년 하비가 바로잡았다. 심지어 가장 위대한 과학자였던 뉴턴조차 빛의 성질, 렌즈의 색지움收色性에 대해서 그릇된 시각을 가졌고 (……) 대표적 업적인 운동 법칙과 만유인력 이론은 1916년 아인슈타인이 수정하였다.

이제 우리는 무엇이 수학을 멋지게 만드는지 알 수 있다. 수학에는 심대한 정정은 없고 확장만 있을 뿐이다. 옛 그리스인은 연역법을 만들었는데 그것은 그들이 활동하던 시대에도 옳았고, 지금까지 줄곧 옳았다. 유클리드는 불완전했고 그의 업적은 엄청나게 확장되었지만 그릇됨은 없었다. 그가 다룬 모든 정리들은 지금도 여전히 타당하다. (……) 인류와 관련된 것 가운데 어느 것도 수학만큼 훌륭한 것은 없다. 수학에서, 오직 그것에서만, 우리는 인간 지성의 꼭대기에 도달하게 된다.”

- 아이작 아시모프,《수학의 역사》서문

칼 B. 보이머, 유타 C. 메르츠바프(2000). 《수학의 역사》. 경문사.