□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

수리영역 (나)형

1

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅰ２지수와 로그

□출제 의도: 지수의 계산을 할 수 있다.

□평가 요소: 계산능력

□풀이:

[eqn: 3^{2 over 3} times 9^{3 over 2} div 27^{8 over 9}]

[eqn: = 3^{2 over 3} times 3^3 divide 3^{8 over 3}]

[eqn: =3^{2 over 3 + 3 - {8 over 3}}]

[eqn: =3]

□ ③

2

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅱ２행렬

□출제 의도: 역행렬을 구할 수 있다.

□평가 요소: 계산능력

□풀이:

[eqn: A= pmatrix {1~~2# 2`~~5`}]에서

[eqn: A^-1 = 1 OVER {{1 times 5} - {2 times 2}} pmatrix {5~~-2 # -2`~~1`} = pmatrix{5~~-2`#-2~~1`}]

[eqn: AX=B~LRARROW~X=A^-1 B= pmatrix {5~~-2`#-2~~1`} pmatrix{2~~-3`#1~~-2`}]

[eqn: =pmatrix{8~~-11`#-3~~4`}]

따라서, 행렬 [eqn: X]의 모든 성분의 합은

[eqn: 8+(-11)+(-3)+4][eqn: =-2]

□ ①

3

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅲ２수열

□출제 의도: 등차수열의 일반항을 구할 수 있다.

□평가 요소: 계산능력

□풀이:

첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_1 + a_2 = 10]   [eqn: therefore~2a+d=10]  [eqn: cdots]㉠

[eqn: a_3 + a_4 + a_5 =45]   [eqn: therefore~3a+9d=45]

[eqn: a+3d=15]  [eqn: cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=3,~d=4]

[eqn: therefore~a_10 = 3+9 times 4 = 39]

□ ⑤

4

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅳ２수열의 극한

□출제 의도: 무리식의 극한을 구할 수 있다.

□평가 요소: 계산능력

□풀이:

[eqn: lim from { n ``->`` inf } (root {n^2 + 6n + 4 }- n )]

[eqn: = lim from { n`` ->`` inf } {n^2 + 6n + 4 - n^2} over {root {n^2 +6n+4}+n}]

[eqn: = lim from { n`` ->`` inf } {6+ {4 over n}} over {root {1+{6 over n}+{4 over n^2}}+1} = 6 over 2 = 3]

□ ⑤

5

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅰ２지수와 로그

□출제 의도: 지수와 로그의 계산을 할 수 있다.

□평가 요소: 계산능력

□풀이:

ㄱ. [eqn: 2^{log_2``1+log_2``2+log_2``3+cdots+log_2``10}]

[eqn: = 2^{log_2``(1 cdot 2 cdot 3 ``cdots``10) } = 2^ {log_2``10!`} = {(10! )}^{log_2``2}]

[eqn: =(10! )^1 ={10! }]

따라서, 옳다.

ㄴ. [eqn: log_2 {(2^1 times 2^2 times 2^3 times cdots times 2^10 )^2}]

[eqn: = log_2``2^{2(1+2+3+`cdots`+10 )}]

[eqn: = log_2``2^{110}=110]

따라서, 옳지 않다.

ㄷ. [eqn: (log_2`2^1 )``(log_2`2^2 )``(log_2`2^3 )``cdots``(log_2`2^10 )]

[eqn: =1 cdot 2 cdot 3``cdots``10=10!]

따라서, 옳지 않다.

□ ①

6

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅱ２행렬

□출제 의도: 행렬의 성질에 대하여 참, 거짓을 판별할 수 있다.

□평가 요소: 이해능력

□풀이:

ㄱ. [eqn: (A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2]

[eqn: neq A^2 + 2AB + B^2]

[eqn: (BECAUSE AB neq BA)]   (거짓)

ㄴ. [eqn: A^2 + A - 2E=O]

[eqn: A(A+E)=2E]

[eqn: A LEFT { 1 over 2 (A + E) RIGHT } =E]

[eqn: therefore~ A^-1 = 1 over 2 (A+E)]        (참)

ㄷ. [eqn: A neq O,~A^2 = A]이면 [eqn: A=E]

(반례) [eqn: A= pmatrix{0~~0`#0~~1`}]이면 [eqn: A^2 = pmatrix{0~~0`#0~~1`}]

[eqn: A^2 = A]이지만 [eqn: A neq E]이다. (거짓)

□ ②

7

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅳ２수열의 극한

□출제 의도: 수열의 합으로부터 일반항을 구하여 극한값을 구할 수 있다.

□평가 요소: 이해능력

□풀이:

[eqn: S_n =2n + {1 over 2^n}]에서

[eqn: a_n =S_n - S_n-1 = left(2n+ 1 over 2^n right)- left{ 2(n-1)+ 1 over 2^n-1 right}]

[eqn: = 2+ left( 1 over 2 -1 right) 1 over 2^n-1]

[eqn: = 2- 1 over 2^n]

[eqn: lim_{n ``rarrow ``inf} a_n =lim_{n``rarrow``inf} left( 2- 1 over 2^n right)=2]

□ □

8

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅱ２행렬

□출제 의도: 행렬의 곱셈을 이해하고 있다.

□평가 요소: 외적 문제해결능력

□풀이:

[eqn: AB= it pmatrix {a_11~~ a_12# a_21~~ a_22} pmatrix {b_11~~ b_12# b_21~~ b_22}]

[eqn: = pmatrix {a_11 b_11 + a_12 b_21~~ a_11 b_12 + a_12 b_22# a_21 b_11 +a_22 b_21~~ a_21 b_12 +a_22 b_22} = pmatrix {a~~b~# c~~d~}]

[eqn: therefore``a=a_11 b_11 +a_12 b_21 ``Larrow``]가, 나의 상반기 제조원가

[eqn: b=a_11 b_12 + a_12 b_22``Larrow``]가, 나의 하반기 제조원가

[eqn: c=a_21 b_11 + a_22 b_21``Larrow``]가, 나의 상반기 판매가격

[eqn: d=a_21 b_12 + a_22 b_22``Larrow``]가, 나의 하반기 판매가격

ㄱ. [eqn: a+b]는 가, 나의 지난해 [eqn: 1]년 동안에 판매된 제품의 제조원가 (거짓)

ㄴ. [eqn: c+d]는 가, 나의 지난해 [eqn: 1]년 동안에 판매된 제품의 판매가격 (참)

ㄷ. [eqn: d-b]는 가, 나의 지난해 하반기에 판매된 제품의 판매 이익금의 총액 (참)

□ □

9

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅶ２확률과 통계

□출제 의도: 경우의 수를 구할 수 있다.

□평가 요소: 이해능력

□풀이:

키가 작은 사람부터 큰 사람 순으로 [eqn: a,~b,~c,~d]라 하자.

① ② ③ ④

(ⅰ) [eqn: a]가 [eqn: 3]번 자리에 오는 경우 [eqn: RARROW ~3!](가지)

(ⅱ) [eqn: b]가 [eqn: 3]번 자리에 오는 경우 [eqn: RARROW ~a]는 [eqn: 1]번 자리에 와야 하므로 [eqn: 2!](가지)

따라서, 구하는 확률은 [eqn: {3!+2!} over 4! = 8 over 24 = 1 over 3]

□ ①

10

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅴ２지수함수와 로그함수

□출제 의도: 지수함수에 대하여 지수의 계산을 할 수 있다.

□평가 요소: 추론능력

□풀이:

[eqn: f`(x)= 4^x over {4^x +2}]에 대하여

ㄱ. [eqn: f`left(1 over 2 right) = 4^{1 over 2} over {4^{1 over 2} +2} = 2 over 2+2 = 1 over 2] (참)

ㄴ. [eqn: f`(x)+f`(1-x)= 4^x over {4^x +2} + 4^{1-x} over {4^{1-x}+2}]

[eqn: = 4^x over {4^x +2}+ 4 over {4 +2 cdot 4^x}]

[eqn: = {4^x +2} over {4^x +2} =1] (참)

ㄷ. [eqn: sum_k=1 ^100 f`left(k over 101 right)= f``left(1 over {101} right)+ f`` left( 2 over 101 right) + cdots + f` left( 100 over 101 right)]

[eqn: = left{ f``left(1 over 101 right) + f``left(100 over 101 right) right} + left{ f``left( 2 over 101 right) + f``left( 99 over 101 right) right}]

[eqn: + cdots cdots + left{ f`` left(50 over 101 right) + f``left( 51 over 101 right) right}]

[eqn: =1+1+ cdots +1 ( because ``]ㄴ에 의해[eqn: )]

[eqn: =50] (참)

□ □

11

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅲ２수열

□출제 의도: 수열과 관련된 가우스 함수의 계산을 할 수 있다.

□평가 요소: 내적 문제해결능력

□풀이:

ㄱ. [eqn: left[ n over k right] =1]에서

[eqn: 1□ n over k ＠ 2]

[eqn: k□n＠2k]

[eqn: therefore~ n over 2 ＠ k □n]

따라서, [eqn: k]의 개수가 항의 개수이므로

항의 개수는 [eqn: n- {n over 2} = n over 2 = left[ n+1 over 2 right]]

따라서, 참이다.

ㄴ. [eqn: left[ 100 over k right]=3]에서

[eqn: 3□ 100 over k ＠ 4]

[eqn: 3k□100＠4k]

[eqn: therefore~25＠k□33.33 cdots]

즉, [eqn: 33-25=8](개)이다. 따라서, 참이다.

ㄷ. [eqn: left[ n over 3 right]=5]에서

[eqn: 5□ n over 3 ＠6]

[eqn: 15□n ＠18]

즉, [eqn: 18-15=3](개)이다.

따라서, 거짓이다.

□ ④

12

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅲ２수열

□출제 의도: 수학적귀납법을 이해하고 있다.

□평가 요소: 추론능력

□풀이:

[eqn: SUM from { {i}=1} to 2n+1 1 over {n+i} = 1 over {n+1} + 1 over {n+2} + cdots + 1 over {3n+1} Ｂ 1]

(1) [eqn: n=1]일 때, [eqn: a_1 = 1 over 2 + 1 over 3 + 1 over 4 = 13 over 12 Ｂ 1]

(2) [eqn: n=k]일 때, [eqn: a_k Ｂ 1]이라 가정하면

[eqn: a_k = 1 over {k+1} + 1 over {k+2} + cdots + 1 over {3k+1} Ｂ 1]

[eqn: n=k+1]일 때,

[eqn: a_k+1]

[eqn: = 1 over {k+2} + 1 over {k+3} + cdots + 1 over {3k+4}]

[eqn: = a_k + LEFT({1 over {3k+2} + 1 over {3k+3} + 1 over {3k+4}}right )-~ 1 over k+1]

한편, [eqn: (3k+2)``(3k+4)~＠~(3k+3)^2]

[eqn: 1 over {3k+2} + 1 over {3k+4} = 6k+6 over {(3k+2)`(3k+4)}]

[eqn: Ｂ 6k+6 over {(3k+3)^2} = 2 over {3k+3}]

[eqn: therefore ~ 1 over {3k+2} + 1 over {3k+4} Ｂ~ 2 over {3k+3}]

[eqn: a_k 〉 1]이므로

[eqn: a_k+1 Ｂ a_k + LEFT ( 1 over {3k+3} + 2 over {3k+3} RIGHT ) - 1 over {k+1} Ｂ 1]

그러므로 (1), (2)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n Ｂ 1]이다.

□ ②

13

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅶ２확률과 통계

□출제 의도: 신뢰도, 신뢰구간의 길이, 표본의 크기간의 관계를 이해하고 있다.

□평가 요소: 추론능력

□풀이:

(가):  [eqn: {rm N} LEFT ( m, { sigma ^2} over {n} RIGHT )]

(나): 표본의 크기를 고정하고 신뢰도를 높이면 신뢰구간의 길이는 길어진다.

따라서, [eqn: d-c]는 [eqn: b-a]보다 크다.

(다): 신뢰도가 [eqn: alpha]일 때의 신뢰구간을

[eqn: bar X -k□ { sigma } over { SQRT {n } } □m□bar X +k□{ sigma } over { SQRT {n } }]

라 할 때, 표본의 크기가 [eqn: 2n]이면

[eqn: bar X -k□ { sigma } over { SQRT {2n } } □m□bar X +k□{ sigma } over { SQRT {2n } }]

[eqn: □ b-a=2k□ { sigma } over { SQRT { n} } , f-e=2k□ { sigma } over { SQRT { 2n} }]

따라서, [eqn: f-e]는 [eqn: b-a]의 [eqn: { 1} over { SQRT { 2} }]배이다.

□ ③

14

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅵ２순열과 조합

□출제 의도: 경우의 수를 구할 수 있다.

□평가 요소: 이해능력

□풀이:

[eqn: a]를 기준으로 □ 안에 [eqn: b]가 들어갈 수를 생각해 보자.

(i) 첫째 자리에 [eqn: b]가 오는 경우

[eqn: b~a``□``a``□``a``□``a``□``a``□``a``□``a``□``a]

마지막 자리에는 [eqn: a]가 와야 하므로

[eqn: ` _7 {rm C} _3 =][eqn: {7 cdot 6 cdot 5} over {3 cdot 2 cdot 1} = 35](가지)

(ii) 첫째 자리에 [eqn: b]가 오지 않는 경우

[eqn: a``□``a``□``a``□``a``□``a``□``a``□``a``□``a``□]

[eqn: `_8 {rm C} _4 = {8 cdot 7 cdot 6 cdot 5} over {4 cdot 3 cdot 2 cdot 1}=70](가지)

(i), (ii)에서 [eqn: 35+70=105](가지)

□ ②

15

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅰ２지수와 로그

□출제 의도: 주어진 식에 조건을 대입하여 결과를 찾을 수 있다.

□평가 요소: 외적 문제해결능력

□풀이:

[eqn: P=10log{alphaW}over{I_0}-20logr-11]에서

[eqn: 10 TIMESlog{{1}over{100}TIMES100}over{10^{-12}}-20log r-11]□[eqn: 59]

[eqn: 10TIMESlog left ( 10^{ -2 } TIMES 10^{ 2 } TIMES 10^{ 12 } right ) -20logr] □[eqn: 70]

[eqn: 120-20logr]□[eqn: 70]

[eqn: logr]□[eqn: { 5 } over { 2 }]

[eqn: THEREFORE][eqn: r]□[eqn: 10^{ { 5 } over { 2 } } left ( rm { m } right )]

□ ⑤

16

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅶ２확률과 통계

□출제 의도: 이항분포를 정규분포를 이용하여 풀 수 있다.

□평가 요소: 내적 문제해결능력

□풀이:

[eqn: rm C]회사 제품을 선택할 확률은 [eqn: 25 OVER 100 = 1 OVER 4]이므로

[eqn: RM B LEFT(192,~ 1 OVER 4 RIGHT)]을 따른다. 이 때, [eqn: 192]는 충분히 큰 수이므로 정규분포로 근사시키면

[eqn: m=192 times 1 over 4 =48], [eqn: sigma ^2 =192 times 1 over 4 times 3 over 4 =36]

즉, [eqn: rm N(48,~6^2 )]이 된다.

[eqn: THEREFORE~ {RM P}(X□42)= {RM P} LEFT ( Z□ 42-48 OVER 6 RIGHT )]

[eqn: = {RM P} (Z□-1)]

[eqn: =0.5+ {RM P}(0□Z□1)]

[eqn: =0.5+0.3413=0.8413]

□ ⑤

17

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅰ２지수와 로그

□출제 의도: 복리법의 개념을 이해하고 있다.

□평가 요소: 외적 문제해결능력

□풀이:

[eqn: n]년 후의 총 인구를 [eqn: S_n], [eqn: 65]세 이상의 인구를 [eqn: T_n]이라 하면

[eqn: S_n =1000 times (1+0.003)^n] (만 명)

[eqn: T_n = 50 times (1+0.04)^n] (만 명)

초고령화 사회로 진입하는 시기는

[eqn: T_n over S_n = {50 times 1.04^n} over {1000 times 1.003^n} □0.2]에서

[eqn: 1.04^n over 1.003^n □4]

부등식의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: n(log `1.04- log `1.003 )□2log`2]

[eqn: (0.0170-0.0013)n□2 times 0.3010]

[eqn: therefore~n□ 0.6020 over 0.0157 □38.34]

따라서, ② [eqn: 2038]~[eqn: 2040]년에 초고령화 사회가 예측된다.

□ ②

18

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅱ２행렬

□출제 의도: 행렬의 곱셈을 할 수 있다.

□평가 요소: 계산능력

□풀이:

[eqn: x^2 - 4x -1=0]의 두 근이 [eqn: alpha,~ beta]이므로

[eqn: alpha + beta = 4,~ alpha beta =-1]

[eqn: therefore~pmatrix{ alpha ~~ beta `#0~~ alpha `} ~pmatrix{ beta ~~ alpha `#0~~ beta `} =pmatrix{ alpha beta ~~ alpha^2 + beta ^2 `#0~~~~` alpha beta~~ `}]

[eqn: =pmatrix{ alpha beta ~~ ( alpha + beta )^2 - 2 alpha beta `#0~~~~~~~~~ alpha beta~~~~ `}]

[eqn: = pmatrix{ -1 ~~ 18 `#~0~~~ -1`}]

따라서, 모든 성분의 합은

[eqn: (-1)+18+0+(-1)=16]

□ [eqn: 16]

19

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅰ２지수와 로그

□출제 의도: 로그부등식을 풀 수 있다.

□평가 요소: 계산능력

□풀이:

[eqn: cases {log_3 |`x-3`|`＠4~~~~~~~~~````cdots~①# log_2 x+ log_2 (x-2)□3~~cdots~②}]

①에서 [eqn: x neq 3]이고

[eqn: |x-3|`＠3^4 ,`-81＠x-3＠81,]

[eqn: -78＠x＠84`(x neq3)]…㉠

②에서

[eqn: log_2 x(x-2)□3]

[eqn: x(x-2)□2^3]

[eqn: x^2 -2x-8□0]

[eqn: (x-4)(x+2)□0]

[eqn: therefore~x□-2] 또는 [eqn: x□4] [eqn: cdots~㉡]

진수는 양수이므로

[eqn: xＢ0]이고 [eqn: x-2Ｂ0]

[eqn: therefore~xＢ2] [eqn: ~~~~~~~~~~~~~cdots~㉢]

㉠, ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면

[eqn: therefore~4□x＠84]

따라서, 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 84-4=80]

□ [eqn: 80]

20

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅶ２확률과 통계

□출제 의도: 평균과 분산을 구할 수 있다.

□평가 요소: 이해능력

□풀이:

[eqn: {rm E}(X) = 0 times 2 over 10 + 1 times 3 over 10 + 2 times 3 over 10 + 3 times 2 over 10 = 3 over 2]

[eqn: {rm E}(X^2 ) = 0 times 2 over 10 + 1 times 3 over 10 + 4 times 3 over 10 + 9 times 2 over 10]

[eqn: = 33 over 10]

[eqn: therefore~ {rm V}(X)= {rm E}(X^2 ) - LEFT { {rm E} (X ) RIGHT } ^2 = 33 over 10 - LEFT ( 3 over 2 RIGHT )^2]

[eqn: = 21 over 20]

[eqn: therefore~ {rm V}(Y)= {rm V}(10X + 5) = 10^2 {rm V}(X)]

[eqn: = 100 times 21 over 20 = 105]

□ [eqn: 105]

21

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅲ２수열

□출제 의도: 등비수열의 항을 알고 로그의 성질을 이용할 수 있다.

□평가 요소: 이해능력

□풀이:

등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a]라 하면

[eqn: a_2 =ar=1]에서 [eqn: a= 1 over r]

[eqn: therefore~ omega =a_1 `a_2 `a_3 `cdots` a_10]

[eqn: =a cdot ar cdot ar^2 cdot `cdots` cdot ar^9]

[eqn: =a^10 r^{1+2+`cdots`+9}]

[eqn: =a^10 r^{{9 cdot 10} over 2}]

[eqn: =a^10 r^45]

[eqn: = left(1 over r right)^10 r^45]

[eqn: =r^35]

[eqn: therefore~log_r` omega=log_r `r^35 =35]

□ [eqn: 35]

22

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅱ２행렬

□출제 의도: 주어진 조건에서 규칙을 찾을 수 있다.

□평가 요소: 추론능력

□풀이:

한 변의 길이가 [eqn: 2n-1]인 정사각형에 배열되는 자연수의 개수는 [eqn: 4 times (2n-1)]이다.

각 꼭지점에 배열되는 수는 왼쪽 위에서부터 시계방향으로 [eqn: 2n-1,~4n-2,~6n-3,~8n-4]이므로

[eqn: { A} _n = pmatrix{2n-1~~4n-2`#6n-3~~8n-4`}]

즉, 행렬 [eqn: { A}_n]의 모든 성분의 합은 [eqn: (2n-1)+(4n-2)+(6n-3)+(8n-4)]

[eqn: =20n-10]

따라서, [eqn: n=15]일 때, [eqn: 20 times 15 - 10 = 290]

□ [eqn: 290]

23

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅳ. 수열의 극한

□출제 의도: 주어진 기호들을 이해하고 계산할 수 있다.

□평가 요소: 추론능력

□풀이:

[eqn: 1= {sum_{n=1}^inf}][eqn: left(1 over z right)^n = {{1 over z} over {1 - {1 over z}}} = 1 over {z-1}]

[eqn: LEFT ( because~zＢ1이므로~ LEFT | 1 over z RIGHT | ＠1 RIGHT )]

즉, [eqn: z-1=1]에서 [eqn: z=2]

에서

[eqn: 2 = 16^y ~~~therefore~y= 1 over 4]

또,                            에서

[eqn: 1 over 4 = {sum_{n=1}^inf} left ( 1 over x right )^n = { {1 over x} over {1- {1 over x}}} = 1 over {x-1}]

[eqn: LEFT ( because~xＢ1이므로~ LEFT | 1 over x RIGHT | ＠1 RIGHT )]

즉, [eqn: x-1=4]에서 [eqn: x=5]

[eqn: therefore ~ xz over y = {5 cdot 2} over {1 over 4 } = 40]

□ [eqn: 40]

24

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅶ２확률과 통계

□출제 의도: 독립사건에 대한 성질을 알고 있다.

□평가 요소: 이해능력

□풀이:

재직연수가 [eqn: 10]년 미만일 사건을 [eqn: A,] 조직 개편안에 찬성할 사건을 [eqn: B]라 하면

[eqn: {rm P} (A) = 120 over 360 = 1 over 3 ,] [eqn: {rm P} (B) = 150 over 360 = 5 over 12]

[eqn: therefore~{rm P}(A) cdot {rm P}(B) = 1 over 3 times 5 over 12 = 5 over 36]

이 때, 두 사건 [eqn: A,~B]는 서로 독립이므로

[eqn: {rm P} (A cap B) = {rm P} (A) cdot {rm P} (B)]

[eqn: a over 360 = 5 over 36]   [eqn: therefore~a=50]

□ [eqn: 50]

25

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅳ２수열의 극한

□출제 의도: 무한등비급수의 계산을 할 수 있다.

□평가 요소: 내적 문제해결능력

□풀이:

[eqn: A_1]의 넓이는 [eqn: 1- LEFT ( 1 over 2 RIGHT ) ^2 = 3 OVER 4]

도형 [eqn: A_1]과 도형 [eqn: {A}_n] 위에 붙인 도형의 조각들은 모두 닮은꼴이고, [eqn: n]번째 조각과 [eqn: (n+1)]번째 조각의 닮음비는 [eqn: 4~:~1]이다.

즉, 넓이의 비는 [eqn: 16~:~1]이다.

또, 조각의 개수는 [eqn: 2]배씩 늘어나므로

[eqn: S_n = 3 over 4 + 3 over 4 times 1 over 16 times 2 + 3 over 4 times right(1 over 16 right)^2 times 4 + cdots]

[eqn: = 3 over 4 + 3 over 4 times 1 over 8 + 3 over 4 times right(1 over 8 right)^2 + cdots]

[eqn: therefore~lim_n~rarrow~inf S_n =sum from n=1 to inf 3 over 4 cdot right(1 over 8 right)^n-1 = {3 over 4} over {1- 1 over 8} = 6 over {8-1}]

[eqn: = 6 over 7]

[eqn: therefore~p+q=7+6=13]

□ [eqn: 13]

26

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅳ２수열의 극한

□출제 의도: 무한등비급수의 수렴□발산을 이해하고 있다.

□평가 요소: 이해능력

□풀이:

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하자.

ㄱ. [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_n]이 수렴하면 [eqn: -1``＠``r``＠``1]이다.

이 때, 수열 [eqn: LEFT { a_2n RIGHT }]의 공비는 [eqn: r^2]이므로 [eqn: 0``□``r^2``＠``1]

따라서, [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_2n]도 수렴한다. (참)

ㄴ. [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_n]이 발산하면 [eqn: |r```| ``□``1]이다.

이 때, 수열 [eqn: LEFT { a_2n RIGHT }]의 공비 [eqn: r^2]은 [eqn: r^2``□``1]이므로

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_2n]도 발산한다. (참)

ㄷ. [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_n]이 수렴하면 [eqn: lim from { n ``->`` inf } a_n = 0]이다.

이 때, [eqn: lim from { n ``->`` inf } LEFT ( a_n + 1 over 2 RIGHT ) = 1 over 2 neq 0]이므로

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf LEFT ( a_n + 1 over 2 RIGHT )]은 발산한다. (거짓)

□ ③

27

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅰ２지수와 로그

□출제 의도: 상용로그의 지표의 성질을 알고 있다.

□평가 요소: 이해능력

□풀이:

상용로그의 지표가 [eqn: 2]인 수를 [eqn: A]라 하면

[eqn: 2 ``□`` log``A ``＠`` 3,~100``□``A``＠``1000]

[eqn: therefore~a=999]

또, 상용로그의 지표가 [eqn: -2]인 수를 [eqn: B]라 하면

[eqn: -2 ``□`` log``B ``＠`` -1,~ 1 over 100``□``B``＠``1 over 10]

[eqn: therefore~ b = 1 over 100]

[eqn: therefore~ ab = 999 times 1 over 100 = 9.99]

□ ④

28

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅳ２수열의 극한

□출제 의도: 수열의 극한을 구할 수 있다.

□평가 요소: 계산능력

□풀이:

두 점 [eqn: {rm P} (n,~3n^2 ),~ {rm Q} (n+1,~3(n+1)^2 )]의 사이의 거리 [eqn: a_n]은

[eqn: a_n = root {(n+1-n)^2 + LEFT { 3(n+1)^2 - 3n^2 RIGHT }^2 }]

[eqn: = root {(6n+3)^2 + 1}]

[eqn: = root {36n^2 + 36n + 10 }]

[eqn: therefore ~ lim from { n -> inf } a_n over n = lim from { n -> inf } root {36n^2 + 36n + 10} over {n}]

[eqn: = lim from { n -> inf } root {36 + 36 over n + 10 over {n^2 } } = 6]

□ ④

29

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅶ２확률과 통계

□출제 의도: 경우의 수를 구하여 확률을 계산할 수 있다.

□평가 요소: 이해능력

□풀이:

한 주사위의 눈의 수가 다른 주사위의 눈의 수의 배수인 경우는

(i) 두 눈이 같은 경우

[eqn: (1,~1),~(2,~2),~(3,~3),~(4,~4),~(5,~5),]

[eqn: (6,~6) ~rarrow ~6](가지)

(ii) 두 눈이 다른 경우

[eqn: (1,~2),~(1,~3),~(1,~4),~(1,~5),~(1,~6)]

[eqn: (2,~4),~(2,~6),~(3,~6)~ rarrow ~8](가지)

[eqn: therefore~ 8 times 2 = 16](가지)

(i), (ii)에서 [eqn: 6+16=22](가지)이므로 구하는 확률은

[eqn: 22 over {6 times 6} = 11 over 18]

□ ③

30

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅵ２순열과 조합

□출제 의도: 같은 것이 있는 순열의 수를 구할 수 있다.

□평가 요소: 이해능력

□풀이:

(i) 첫째 자리에 [eqn: 5]가 오는 경우

[eqn: 5! over 2! = 60](가지)

(ii) 첫째 자리에 [eqn: 4]가 오는 경우

[eqn: 5! over 2!2! = 30](가지)

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: 300000]보다 큰 자연수의 개수는

[eqn: 60+30=90](개)

□ [eqn: 90]