나형

종로학원·종로학평

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종로학원·종로학평

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― ―

◐ 정 답---------------

1. ④	2. ①	3. ②	4. ①	5. ③

6. ③	7. ⑤	8. ④	9. ②	10. ③

11. ①	12. ⑤	13. ⑤	14. ②	15. ①

16. ④	17. ⑤	18. 128	19. 17	20. 40

21. 58	22. 13	23. 72	24. 10	25. 20

26. ④	27. ③	28. ⑤	29. ②	30. 25

1.[eqn: log _3 ` 27 cdot 8^{ { 1} over {3 } }]

[eqn: = log _3 ` 3^3 cdot (2^3 ) ^{ { 1} over {3 } }]

[eqn: = 3 cdot 2 = 6]

답 ④

2. [eqn: A+B = PMATRIX { { -1}& { 0}``# { 0}& { 1}`` } + PMATRIX { { 2}& { 1}``# { 3}& { 3}`` } = PMATRIX { { 1}& { 1}``# { 3}& { 4}`` }]

[eqn: THEREFORE ~ (A+B)^-1][eqn: = {1 } over { 4-3} PMATRIX { { 4}& { -1}``# { -3}& { 1}`` }]

[eqn: = PMATRIX { { 4}& { -1}``# { -3}& { 1}`` }]

따라서, 모든 성분의 합은

[eqn: 4+(-1)+(-3)+1 =1]

답 ①

3. [eqn: lim from { n -> INF } Left ( {1 } over {3 } right)^n =0,``` lim from { n -> INF } Left ( {1 } over {2 } right)^n =0]이므로

준식[eqn: = lim from { n -> inf } {3+0} over {2+0}= `{3} over {2}]

답 ②

4. [eqn: f`(x`)]는 밑Ｂ1이므로 증가함수이다. 따라서 [eqn: x`=3]일 때 최대값 [eqn: 4^3`=64]를 갖는다. [eqn: M`=64]

[eqn: g`(x`)]는 0＠밑＠1이므로 감소함수이다.

따라서 [eqn: x`=3]일 때 최소값 [eqn: Left ( {1 } over {2 } right)^3 = {1} over {8}]을 갖는다. [eqn: m`={1} over {8}] [eqn: ∴`Mm`=64 TIMES {1} over {8}=8]

답 ①

5. [eqn: A SUBSET `B]이므로 [eqn: A BIGCAP` B`=A]

[eqn: \P(A vert B)= { \P(A BIGCAP B)_`} over { \P(B)^`}= {\P(A)_`} over {\P(B)^`} = {{1} over {4} } over {{2} over {3} }= {3} over {8}]

답 ③

6. [eqn: a`,`0,``b`]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 등차중항 공식에 의해 [eqn: 2 TIMES 0= a`+b]

[eqn: ∴a`+b`=0,``b``=-a]………㉠

[eqn: 2b`], [eqn: a`], [eqn: -7] 이 순서대로 등비수열을 이루므로 등비중항공식에 의해 [eqn: a^2`=2b TIMES (-7)]

[eqn: ∴a^2 = -14b] …………………㉡

㉠을 ㉡에 대입하면,

[eqn: a^2`=-14 TIMES (-a`)], [eqn: a^2`=14a]

[eqn: ∴a = 0, ``14]

[eqn: a`=0]이면 [eqn: 0,```0,```-7]이 등비수열을 이루지 않으므로 모순이다.

따라서,[eqn: a`=14]

답 ③

7. [eqn: (x`-a`)^5 = SUM from { { r}=0} to 5`` `_5 \C_r ``x^r``(-a`)^5-r `]이므로

[eqn: x`]의 계수는 [eqn: r`=1]에서 [eqn: `_5 \C_1`(-a`)^4 =5a^4] …… ㉠

상수항은 [eqn: r`=0]에서 [eqn: `_5 \C_0`(-a`)^5`= -a^5]…… ㉡

[eqn: 5a^4`+(-a^5` )=0], [eqn: a^4 (5-a )=0],

[eqn: ∴`a`=5]([eqn: BECAUSE `a`]는 양수)

답 ⑤

8. [eqn: log_a `c```` :``log_b`c`=2``:``1]에서

[eqn: log_a `c`` =`2`log_b `c]

[eqn: log_a `c`` =`2 {`log_a `c} over {`log_a `b}]

[eqn: `log_a `b`=2]([eqn: THEREFORE `log_a ``c` != `0])

또, [eqn: `log_b `a = {1} over {`log_a `b } = {1} over {2}]

따라서, [eqn: `log_a `b` +`log_b `a``= 2 + {1} over {2}= {5} over {2}]

답 ④

9. 세차시간을 확률변수 [eqn: X`]라 두면

[eqn: X`` SIM N``(30,``2^2`)]을 따른다.

[eqn: \P``(X``□ `33`)= \P` Left ( Z ``□ {33-30 } over {2 } right)]

[eqn: = \P``(Z `□`1.5)]

[eqn: = 0.5- \P``(0 `□`Z``□`1.5)]

[eqn: =` 0.5`-`0.4332`=`0.0668]

답 ②

10. 신뢰도 95%이므로 신뢰구간은

[eqn: bar X_` - k cdot { sigma } over { sqrt n_`}^` `□ ` m ` `□ ` bar X_` + k cdot { sigma } over {sqrt n_` }^`]에서

[eqn: bar X_` = 245], [eqn: n=100], [eqn: sigma = 20]

[eqn: k = 1.96]을 대입하면 된다.

신뢰구간은

[eqn: 245 - 1.96 cdot { 20} over {10 } ` □ ` m `` □ ` 245 + 1.96 cdot { 20} over {10 }]

이 된다.

∴ 만족하는 정수는 7개이다.

답 ③

11. [eqn: 21 = 10+990 TIMES a^-5s]

[eqn: THEREFORE ~ 11 = 990 TIMES a^-5s], [eqn: a^5s = {990 } over {11 } = 90]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: 5s ` log ` a][eqn: = log ` 90]

[eqn: =1+2 `log ` 3]

[eqn: THEREFORE ~ s = {1+2 ` log ` 3} over { 5 ` log ` a }]

답 ①

12.

ㄱ. [eqn: B^-1]가 존재하면

[eqn: B^-1 CDOT B^2 = B^-1 CDOT B`]에서 [eqn: B`=E`](참)

ㄴ. [eqn: (E`-A`)^5`= E^5 -5A +10`A^2 - 10A^3 +5A^4 -A^5]

[eqn: = E`-5A`+10E`-10A+5E`-A]

[eqn: = 16 (E-A`)=2^4 (E-A`)](참)

ㄷ. [eqn: (E-ABA`)^2 =E`-2ABA`+ABAABA]

[eqn: = E`-2ABA`+ABBA`( BECAUSE A^2 =E`)]

[eqn: = E`-2ABA`+ABA`( BECAUSE B^2 =B`)]

[eqn: = E`-ABA](참)

답 ⑤

13. 주어진 조건에서

[eqn: A`(n) = LEFT { x ` LEFT | 0 ` ＠ ` x `` □ ` 2^n `RIGHT }]

[eqn: B`(n) = LEFT { x ` LEFT | 0 ` ＠ ` x `` □ ` 4^n `RIGHT }]이다.

ㄱ. [eqn: A(1) = LEFT { x ` LEFT | 0 ` ＠ ` x `` □ ` 2 RIGHT }] (거짓)

ㄴ. [eqn: A(4)][eqn: = LEFT { x ` LEFT | 0 ` ＠ ` x `` □ ` 2^4 RIGHT }]

[eqn: = LEFT { x ` LEFT | 0 ` ＠ ` x `` □ ` 4^2 RIGHT } = B`(2)] (참)

ㄷ. [eqn: A(n) `⊂ ` B(n)]이면

[eqn: 2^n `` □ ` 4^n = 2^2n]  [eqn: THEREFORE ~ n ``□ ` 0]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: B`(-n)][eqn: = LEFT { x ` LEFT | 0 `＠ ` x ``□ ` 4^-n ` RIGHT }]

[eqn: ⊂` A(-n) = LEFT { x ` LEFT | 0 `□ ` x ``□ ` 2^-n ` RIGHT }] (참)

답 ⑤

14. 5개의 공을 상자 A, B, C에 넣는 전체 방법의 수는

[eqn: 3^5 = 243]

합이 13 이상이 되는 경우는

{(1, 2, 3, 4, 5)}, {(1), (2, 3, 4, 5)}, {(2), (1, 3, 4, 5)}

[eqn: THEREFORE ~ 243- (3 + 3 TIMES 2 + 3 TIMES 2 )][eqn: = 228]

답 ②

15. [eqn: a`=k`]일 때, [eqn: b`=3k`+1], [eqn: 3k`+2], …[eqn: ,``3n`]이므로 [eqn: b`]의 경우의 수는 [eqn: 3n`-3k`=``3(n-k`)] ……(가)

[eqn: THEREFORE]구하는 경우의 수는 [eqn: SUM from { {k}=1} to n-1 3 (n`-k`)]

[eqn: =3n`(n`-1) - 3 CDOT {n`(n`-1)} over {2}]

[eqn: ={3} over {2} n `(n`-1)] ………(나)

[eqn: THEREFORE lim from { n -> inf } \P_n`= it lim from { n -> inf } {{3} over {2}n (n`-1) } over {{3n`(3n`-1)} over {2!} } ``=`` {1} over {3}]  …(다)

답 ①

16.

[eqn: y= k ` sqrt x_`]가 [eqn: (4n^2 , ~ n^2 )]을 지나면

[eqn: n^2 = k cdot sqrt {4n^2}^`]에서

[eqn: k = {1 } over {2 } n]

[eqn: y = k ` sqrt x_`]가 [eqn: (n^2 , ~ 4n^2 )]을 지나면

[eqn: 4n^2 = k cdot sqrt {n^2 }^`]에서

[eqn: THEREFORE ~ y= k ` sqrt x_`]가 주어진 정사각형과 만날려면

[eqn: {1 } over { 2} n ``□ ` k ``□ ` 4n `]이어야 한다.

ㄱ. [eqn: n = 5]일 때 [eqn: {5 } over {2 } ` □ ` k ``□ ` 20]이므로

[eqn: a_5 = 20-2 =18]

ㄴ. [eqn: n`]이 홀수일 때

[eqn: a_n = 4n - LEFT ( {1 } over { 2} (n+1)-1 RIGHT ) = { 7} over {2 } n + { 1} over {2 }]

[eqn: a_n+2 = 4 (n+2) - LEFT ( { 1} over { 2} (n+3) -1 RIGHT )]

[eqn: = { 7} over {2 } n + { 15} over { 2}]

[eqn: n`]이 짝수일 때

[eqn: a_n = 4n - LEFT ( {1 } over { 2} n RIGHT ) +1 = { 7} over {2 } n + 1]

[eqn: a_n+2 = 4 (n+2) - LEFT ( { 1} over { 2} (n+2) RIGHT ) +1]

[eqn: = { 7} over {2 } n + 8]

[eqn: THEREFORE ~ a_n+2 - a_n = 7]

ㄷ. [eqn: SUM from { k`=`1}^` to 10_` ` a_k]

[eqn: = SUM from { k`=`1}^` to 5_` ` a_2k-1 + SUM from { k`=`1}^` to 5_` a_2k]

[eqn: = SUM from { k`=`1}^` to n_` ` LEFT ( {7 } over {2 } (2k-1) + {1} over { 2} RIGHT )]

[eqn: + SUM from { k`=`1}^` to n_` ` LEFT ( {7 } over {2 } (2k) + 1 RIGHT )]

[eqn: =200]

답 ④

17. 처음 정사각형 넓이를 [eqn: a_1]이라고 하면

[eqn: a_1 = {2 } over { 9}]

[eqn: bar \AB^` ``: ``bar \CD^` = 1 ``: `` {sqrt 2_` } over {3 }]이므로

넓이의 비는 [eqn: LEFT ( {sqrt 2_` } over {3 } RIGHT ) ^2]이다.

[eqn: THEREFORE ~ a_2 = 2 cdot LEFT ( {2 } over {9 } RIGHT ) cdot LEFT ( {2} over {9 } RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ~ a_n][eqn: = 2^n-1 cdot LEFT ( {2 } over {9 } RIGHT ) cdot LEFT ( {2 } over {9 } RIGHT ) ^n-1]

[eqn: = {2 } over {9 } cdot LEFT ( { 4} over { 9} RIGHT ) ^n-1]

[eqn: THEREFORE ~ lim from { n `->` INF } S_n = lim from { n `->` INF } SUM from { k=1} to n {2 } over {9 } cdot LEFT ( {4 } over {9 } RIGHT ) ^k-1 = { {2 } over {9 } } over {1- {4 } over {9 } } = { 2} over { 5}]

답 ⑤

18. 첫째항을 [eqn: a`], 공비를 [eqn: r``]라 하면

[eqn: a_3``= ar^2``=2] ………㉠

[eqn: a_6``= ar^5``=16]………㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: r^3`=8] [eqn: ∴r`=2] [eqn: ∴a`={1} over {2}]

[eqn: ∴a_9`= ar^8`= {1} over {2} CDOT 2^8`=128]

답 128

19. [eqn: log_2`x`(log_2`x`-4`) =0]

[eqn: log_2`x` =0]  [eqn: ∴x`=1]

[eqn: log_2`x` =4]  [eqn: ∴x`=16]

[eqn: ∴alpha `+ beta`=17]

답 17

20. [eqn: -1 ＠ r``= {2x`-1 } over {4} □1]

[eqn: -4` ＠ `2x`-1 `□` 4]

[eqn: -3` ＠ `2x`` □ `5]

[eqn: - {3} over {2} `＠ `x``□ {5} over {2}]

[eqn: x`=-1,``0,``1,``2]   [eqn: ∴k``=4]

[eqn: ∴10k``=40]

답 40

21. [eqn: A^2 `+A`+E``=0]………㉠

[eqn: (A`+`A^-1`) PMATRIX { {p``` }# {q } ```} = PMATRIX { {~~3``` }# {-7 } ```}]…………㉡

㉡의 양변에 [eqn: A``]를 곱하면

[eqn: (A^2 + E `) PMATRIX { {p``` }# {q } ```} = A`PMATRIX { {~~3``` }# {-7 } ```}]

㉠에 의해

[eqn: -A PMATRIX { {p``` }# {q } ```} = A`PMATRIX { {~~3``` }# {-7 } ```}]

[eqn: THEREFORE A PMATRIX { {p``` }# {q } ```} = A`PMATRIX { {-3``` }# {~~7 } ```}]

[eqn: THEREFORE p=-3], [eqn: q``=7] [eqn: THEREFORE p^2`+q^2`=9+49=58]

답 58

22. [eqn: a_n = d`(n-1)]

[eqn: a_n+1 ` b_n = SUM from { k`=`1}^` to n_` a_k `]에서

[eqn: dx cdot b_n = {d`(n-1) } over {2 } cdot n]

[eqn: THEREFORE ~ b_n = {n-1 } over {2 }]

[eqn: THEREFORE ~ b_27 = 13]

답 13

23. 어른 2명이 앉는 방법 : [eqn: 2 TIMES 3TIMES 2`! =12]가지

어린이 3명이 앉는 방법 : [eqn: 3!`=6]가지

[eqn: THEREFORE 12 TIMES 6= 72]가지

답 72

24. [eqn: \P``(0 `□``X`□`a`)= {1} over {2}ab`=1]

[eqn: THEREFORE ab`=2]………㉠

( i ) [eqn: 0``＠a``□``4]일 때

[eqn: \P``left (0 `□``X`□`{a} over {2}` right )= {1} over {2} CDOT {a} over {2} CDOT Left ( {b } over {2 } CDOT {a} over {2} right) ={b} over {2}]

㉠에 의해 [eqn: {a} over {8}= {b} over {2}]  [eqn: THEREFORE a`=4b]

㉠에서 [eqn: 4b^2 =2] [eqn: THEREFORE b`= {1} over { SQRT { 2``} }^`] [eqn: THEREFORE a`= 2 SQRT { 2``}]

[eqn: THEREFORE a^2 + 4b^2 =8+2=10]

(ii) [eqn: a`Ｂ`4]일 때는 부적합하다.

답 10

25.[eqn: y = k cdot 3^x]

[eqn: P cdot Q `]의 [eqn: x `]좌표를 각각 [eqn: alpha `], [eqn: 2beta `]라 놓으면

[eqn: 3^-alpha = k cdot 3^ alpha] … ㉠

[eqn: -4 cdot 3^{2 alpha } + 8 = k cdot 3^{2 alpha }] … ㉡

㉠에서 [eqn: k = 3^{-2 alpha }]

㉡에 대입하면

[eqn: -4 cdot 3^{2 alpha } + 8 = 3^{-2 alpha } cdot 3^{2 alpha } =1]

[eqn: THEREFORE ~ 3^{2 alpha } = {7 } over { 4}]

[eqn: THEREFORE ~ k = {4 } over {7 }]

[eqn: THEREFORE ~ 35k =20]

답 20

26. [eqn: a_n+1`- alpha ``= 2 (a_n - alpha`)]  [eqn: THEREFORE alpha `=`-2]

[eqn: a_n+1`+ 2 ``= 2 (a_n + 2)]

[eqn: THEREFORE a_n +2 = (a_1 +2) 2^n-1 = 4 CDOT 2^n-1 = 2^n+1]

[eqn: THEREFORE a_10 = 2^11 -2 = 2048 -2 =2046]

답 ④

27. [eqn: 10^a`=3 CDOT Q ``+ 2]([eqn: Q`]는 정수, [eqn: 0`＠`a``＠1])

[eqn: 0`＠a``= log (3Q`+2)＠1]

[eqn: 1＠3Q``+2＠10]

[eqn: THEREFORE Q``=0,``1,``2]

[eqn: THEREFORE a``= log 2, ``log 5, ``log 8]

[eqn: THEREFORE][eqn: a`]의 합[eqn: = log2+ log5+log8``=1+3log2]

답 ③

28. [eqn: X``:] 앞면이 나오는 개수

ㄱ. [eqn: \P`(A`)= \P`(X`=0)+ \P`(X`=1)]

[eqn: = `_3 \C_0 Left ( {1 } over { 2} right)^3 + `_3 \C_1 Left ( {1 } over { 2} right)^3]

[eqn: = {4} over {8} = {1} over {2}]…………참

ㄴ. [eqn: A BIGCAP B``]: 앞면이 0개

[eqn: \P`(A BIGCAP B`)= \P(X`=0) = `_3 \C_0 Left ( { 1} over {2 } right)^3 {1} over {8}]…………참

ㄷ. [eqn: \P`(B`)= \P`(X`=0)+ \P`(X`=3)=]

[eqn: 2TIMES `_3 \C_0 Left ( {1 } over { 2} right)^3 = {2} over {8} = {1} over {4}]

[eqn: \P`(A BIGCAP B`)= {1} over {8}], [eqn: \P`(A`) CDOT \P`(B`) = {1} over {2} CDOT {1} over {4} = {1} over {8}]

[eqn: THEREFORE A`,``B``]는 독립…………참

답 ⑤

29. 증가와 감소버튼을 3번씩 누를 때 채널 50에 다시 오므로

[eqn: `_6 \C_3 Left ( {1 } over {2 } right) ^6 = {20} over {2^6} = {5} over {16}]

답 ②

30. [eqn: A^2 = PMATRIX { { 1}& {1 ``}# {0 }& {p`` } } PMATRIX { { 1}& {1 ``}# {0 }& {p`` } } = PMATRIX { { 1}& {1+p ``}# {0 }& {p^2`` } }], [eqn: 5A`= PMATRIX { { 5}& {5 ``}# {0 }& {5p`` } }]

[eqn: D`(A^2`) =p^2], [eqn: D`(5A) =25p]

[eqn: THEREFORE p^2 =25p]  [eqn: THEREFORE p =0,``25]  [eqn: THEREFORE p `]의 합 25

답 25