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2006학년도 경찰대학 제1차 시험 (수리영역) 응시지구 (        )       수험번호 (               )       성  명 (               )

※ 총 6쪽 25문항입니다. 빠진 쪽이 있는지 확인하여 주십시오.

1. [eqn: sqrt {{1} over {sqrt {5} + sqrt {2}}} LEFT ( sqrt {{1} over {sqrt {5} + sqrt {2}}} -1 RIGHT ) + LEFT ( sqrt {{1} over {sqrt {5} + sqrt {2}}} -1 RIGHT ) LEFT ( sqrt {{1} over {sqrt {5} + sqrt {2}}} +1 RIGHT )]

[eqn: + sqrt {{1} over {sqrt {5} + sqrt {2}}} LEFT ( sqrt {{1} over {sqrt {5} + sqrt {2}}} +1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: SQRT { 5}+ SQRT { 2} -1]    ② [eqn: SQRT { 5}- SQRT { 2} -1]    ③ [eqn: SQRT { 5}+ SQRT { 2} +1]

④ [eqn: SQRT { 5}- SQRT { 2} +1]    ⑤ [eqn: 2]

[eqn: *]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: c]
[eqn: a]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: a]
[eqn: b]	[eqn: b]	[eqn: b]	[eqn: b]
[eqn: c]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: c]

2. 집합 [eqn: S= \{a,b,c \}]에 대하여 연산 [eqn: *]가

오른쪽 표와 같이 정의되어 있다.

예를 들어, [eqn: a*b=b]이다.

이때, 연산 [eqn: *]에 대한 항등원은?

① [eqn: a]    ② [eqn: b]    ③ [eqn: c]    ④ [eqn: b,c]    ⑤ [eqn: 없다]

3. 다음 <보 기>의 다항식 중에서 [eqn: x^5 -x^4 +x^3 -x^2 +x-1]의

약수의 개수는?

	<보 기>
[eqn: x+1,~~~x^2 +x+1,~~~x^3 -2x^2 +2x -1,~~~x^4 +x^2 +1]

① [eqn: 0]    ② [eqn: 1]    ③ [eqn: 2]    ④ [eqn: 3]    ⑤ [eqn: 4]

4. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 행렬 [eqn: A= PMATRIX { { x+k }& {x-1 }`# {1 }& {x }` }]의 역행렬이 존재할 때, 이를 만족시키는 정수 [eqn: k]의 개수는?

① [eqn: 1]    ② [eqn: 2]    ③ [eqn: 3]    ④ [eqn: 4]    ⑤ [eqn: 5]

5. 삼각형 [eqn: T_n]의 넓이가 [eqn: a_n =-n^2 +24n+20]일 때,

[eqn: a_1 ,``` a_2 , ```cdots ,``` a_m] 중에서 최대값과 최소값의 합은?

(단, [eqn: n=1,2, cdots , m]이고 [eqn: a_m `a_m+1 ``＜0])

① [eqn: 149]    ② [eqn: 159]    ③ [eqn: 164]    ④ [eqn: 184]    ⑤ [eqn: 207]

6. 양수 [eqn: x,y]가 [eqn: x^2 +y^2 =6xy]를 만족시킬 때, [eqn: left| x-y over x+y right|]의 값은?

① [eqn: SQRT { 2}]    ② [eqn: 1]    ③ [eqn: 1 over SQRT { 2}]    ④ [eqn: 1 over {2 SQRT { 2} }]    ⑤ [eqn: 1 over {3 SQRT { 2} }]

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7. 다음 극한값을 구한 것은?

[eqn: lim from { n -> inf } {1^2 -2^2 +3^2 -4^2 + cdots + (2n-1)^2 -(2n)^2} over {1-n^2 }]

① [eqn: 0]    ② [eqn: 1]    ③ [eqn: 2]    ④ [eqn: 4]    ⑤ [eqn: 6]

8. 무한급수 [eqn: S= 1+ 1 over 4 + 1 over 9 + 1 over 16 + cdots + 1 over n^2 + cdots]이 수렴할 때,

[eqn: 1+ 1 over 9 + 1 over 25 + 1 over 49 + cdots + 1 over (2n-1)^2 + cdots]과 같은 것은?

① [eqn: 1 over 2 S]   ② [eqn: 3 over 4 S]   ③ [eqn: S - 1 over 4]   ④ [eqn: S- 1 over 3]   ⑤ [eqn: S- 1 over 2]

9. 오른쪽 그림을 이용하여 [eqn: cos` 2 theta]의 값을 [eqn: cos theta]를 써서 나타낼 때,

[eqn: theta]

[eqn: 2 theta]

다음 중 옳은 것은?

(단, [eqn: 0^o``＜` theta ``＜`45^o])

① [eqn: cos^2 theta]       ② [eqn: 1-cos^2 theta]     ③ [eqn: 1+cos^2 theta]

④ [eqn: 1-2cos^2 theta]   ⑤ [eqn: 2cos^2 theta -1]

10. [eqn: n]이 정수일 때, [eqn: left( 1 over 81 right)^{1 over n }]이 나타낼 수 있는 모든 자연수의

합은?

① [eqn: 63]    ② [eqn: 73]    ③ [eqn: 83]    ④ [eqn: 93]    ⑤ [eqn: 103]

11. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: y=x]의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

[eqn: scale 80 O]

[eqn: scale 80 x]

[eqn: scale 80 1]

[eqn: scale 80 1]

[eqn: scale 80 y=f(x)]

[eqn: scale 80 y=x]

[eqn: scale 80 y]

[eqn: 0``＜a``＜b``＜1]일 때,

다음 <보 기> 중에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

(단, [eqn: f circ g]는 함수 [eqn: f`]와 함수 [eqn: g]의 합성함수이고 [eqn: f^-1]는 함수 [eqn: f`]의 역함수이다.)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f(a)``＜(f circ f`)(a)] ㄴ. [eqn: (f circ f`)(a)``＜(f circ f`)(b)] ㄷ. [eqn: f^-1 (a) ``＜f^-1 (b)]

① [eqn: ㄱ]    ② [eqn: ㄴ]    ③ [eqn: ㄷ]    ④ [eqn: ㄱ,~ㄴ]    ⑤ [eqn: ㄴ,~ㄷ]

12. 실수 [eqn: x,y]가 [eqn: 1]보다 클 때, [eqn: {log_x `2 + log_y `2} over {log_xy `2}]의 최소값은?

① [eqn: 1]    ② [eqn: 2]    ③ [eqn: 3]    ④ [eqn: 4]    ⑤ [eqn: 5]

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13. 함수 [eqn: y=f(x)]의 정의역 [eqn: D]는 [eqn: D= left{`` n over 2 ~ |~n=0,1,2, cdots `` right}]이고,

[eqn: D``]에 속하고 [eqn: 1 over 2]보다 큰 모든 [eqn: x``]에 대하여

[eqn: f(x)-f(x-1)=2x-1]

을 만족한다. [eqn: f(0)=-1,~f` left( 1 over 2 right) =0]일 때,

[eqn: SUM from { { n}=0} to 10 left{f`left( n+ 1 over 2 right) -`f(n) right}]의 값은?

① [eqn: 50]    ② [eqn: 54]    ③ [eqn: 58]    ④ [eqn: 62]    ⑤ [eqn: 66]

14. 집합 [eqn: C= \{ (x,y)~|~x+2y``≦``30,~3x+2y``≦``50,~x``≧``0,~y``≧``0`\}]와 집합 [eqn: M_k = \{(x,y)~|~x+y=k \}] (단, [eqn: k=0,1,2,3, cdots])에 대하여 [eqn: C`cap`M_k `` != ` EMPTYSET]인 [eqn: k] 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값의 합은?

① [eqn: 10]    ② [eqn: 15]    ③ [eqn: 50 over 3]    ④ [eqn: 20]    ⑤ [eqn: 25]

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15. 양수 [eqn: x,y,z]가 [eqn: x+y+z=1]을 만족시킬 때, [eqn: 1 over x + 4 over y + 9 over z]의 최소값은?

① [eqn: 36]    ② [eqn: 38]    ③ [eqn: 40]    ④ [eqn: 42]    ⑤ [eqn: 44]

16. 좌표평면 위의 원점 [eqn: O]에서 반직선 [eqn: vec OP]와 반직선 [eqn: vec OQ]가 이루는 각은 [eqn: ANGLE POQ =60^o]이다. 두 반직선 사이에서 두 반직선에 접하고 넓이가 [eqn: 100 pi]인 원의 중심을 [eqn: M]이라 하고, 반직선 [eqn: vec OM]의 방향을 [eqn: x]축의 양의 방향으로 하자.

원 [eqn: M]이 반직선 [eqn: vec OP]와 접하는 점의 [eqn: y]좌표를 [eqn: p], 원 [eqn: M]이 반직선 [eqn: vec OQ]와 접하는 점의 [eqn: y]좌표를 [eqn: q]라 할 때, [eqn: pq]의 값은?

① [eqn: -75]    ② [eqn: -25]    ③ [eqn: 25]    ④ [eqn: 50]      ⑤ [eqn: 75]

17. 수열 [eqn: \{ a_n \}]과 [eqn: \{b_n \}]은 [eqn: n``≧``2]일 때, [eqn: a_n = 2a_n-1 +b_n-1]과 [eqn: b_n = -3a_n-1 -b_n-1]을 만족하고 [eqn: a_1 =b_1 =1]이다.

[eqn: a_100 + b_100]의 값은?

① [eqn: -2]    ② [eqn: -1]    ③ [eqn: 0]    ④ [eqn: 1]    ⑤ [eqn: 2]

18. 두 곡선 [eqn: y=log_2 ``x ,~y=log_3 ``x]와 직선 [eqn: x=32]로 둘러싸인 영역에 포함되는 [eqn: x,y]좌표가 모두 정수인 점의 개수는?

(단, 경계 위의 점은 제외한다.)

① [eqn: 29]    ② [eqn: 31]    ③ [eqn: 33]    ④ [eqn: 35]    ⑤ [eqn: 37]

19. [eqn: K]씨는 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: K]씨의 걸음으로 [eqn: 400]보인 정사각형 모양의 분수 광장을 [eqn: A]쪽으로 들어가 [eqn: B]쪽으로 나오는 길로 매일 출근을 한다.

분수대를 비켜 광장을 통과하는 [eqn: A,B] 사이의 최단거리는 [eqn: K]씨의 걸음으로 약 몇 보인가?

[eqn: A]

[eqn: B]

(단, 분수대는 원 모양이고 그 중심은 광장의 두 대각선의 교점과 일치하며 반지름의 길이는 [eqn: K]씨의 걸음으로 약 [eqn: 141]보[[eqn: =100 SQRT { 2}]보]이다.)

① 약 [eqn: 431 left[=200 SQRT { 2} left( 1+ pi over 6 right) right]``]보

② 약 [eqn: 564 left[=100 SQRT { 2} left( 2 SQRT { 3} + pi over 6 right) right]]보

③ 약 [eqn: 638 left[=200 SQRT { 2} left( SQRT { 3} + pi over 6 right) right]]보

④ 약 [eqn: 644 left[=200 +100 SQRT { 2} pi right]]보

⑤ 약 [eqn: 727 left[=100 SQRT { 2} (2+pi ) right]]보

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20. 각 자리의 숫자가 [eqn: 1,``2,``3] 만으로 이루어지고 [eqn: 3]의 배수인 [eqn: 4]자리 자연수의 개수는?

① [eqn: 23]    ② [eqn: 25]    ③ [eqn: 27]    ④ [eqn: 29]    ⑤ [eqn: 31]

21. 윷놀이는 네 개의 윷짝으로, 뒤집어지는 윷짝의 개수가 [eqn: 1,2,3,4,0]일 때, 각각 순서대로 도, 개, 걸, 윷, 모라고 부르며 하는 놀이이다.

그런데 철수는 윷놀이에서 가장 나오기 어려운 것부터 적으면 모, 윷, 도, 걸, 개의 순서라고 주장한다. 각 짝이 뒤집어질 확률 [eqn: p]의 값은 네 짝 모두 같다고 가정하고 또 각 짝의 결과는 서로 독립적이라고 할 때, 철수의 주장이 참이 되는 [eqn: p]값의 범위는?

(단, 가능한 한 좁은 범위로 답하되 철수가 주장하는 순서에 맞는 [eqn: p]값은 모두 범위에 포함되어야 하며, [eqn: 4^{1 over 3} =1.58], [eqn: 4^{- 1 over 3} =0.63], [eqn: left( 1+ 4^{- 1 over 3} right)^-1 =0.61]로 계산한다.)

① [eqn: p``＜0.5]         ② [eqn: 0.5``＜p``＜0.6]    ③ [eqn: 0.5``＜p``＜0.61]

④ [eqn: 0.5``＜p``＜0.63]   ⑤ [eqn: p``＞0.63]

22. [eqn: a_n = left[ n^2 over 104 right]]일 때, [eqn: a_1 , a_2 , a_3 , cdots , a_103] 중에서 서로 다른 값의 개수는? (단, [eqn: [x`]]는 [eqn: x]를 넘지 않은 최대정수이다.)

① [eqn: 70]    ② [eqn: 72]    ③ [eqn: 74]    ④ [eqn: 76]    ⑤ [eqn: 78]

[eqn: z]	[eqn: scale 80 P(0``≦``Z``≦``z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.43]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.48]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.49]

23. 어느 범죄 연구기관의 조사 결과에 의하면 어떤 종류의 범죄는 출소 후 재범 확률이 [eqn: 0.8]에 이른다고 한다. 현재 수감 중인 그 종류의 범죄자 [eqn: 400]명 중에서 출소 후에 같은 범죄를 범하는 자의 수가 [eqn: 300]명 이상일 확률의

근사값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

① [eqn: 0.16]    ② [eqn: 0.84]    ③ [eqn: 0.93]    ④ [eqn: 0.98]    ⑤ [eqn: 0.99]

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24. 어떤 범죄 사건에서 [eqn: 3]명의 용의자가 포착되었다. 이들이 각각 진범일 확률은 [eqn: scale 90 1 over 3]로 모두 같고, 이들 중에 진범이 있는 것은 의심의 여지가 없다고 가정하자.

수사반장은 다음과 같은 수사 계획을 세웠다. “우선 [eqn: 3]명 중에 한 명을 임의로 뽑아 집중 수사를 한다. 다른 두 명은 과학 수사 팀에 의뢰하여 결백한지, 즉 용의선 상에서 제외할 수 있는지를 조사한다.”

그런데 수사반장은 다음과 같은 고민이 생겼다. “계획대로 수사가 시작된 지 얼마 지나지 않았을 때 만약 과학 수사 팀에 의뢰한 두 명 중에 한 명이 결백함이 밝혀진다면 처음 집중 수사 대상이었던 사람을 계속 수사할 것인지 아니면 과학 수사 팀에서 결백함이 밝혀지지 않은 다른 한 사람으로 수사 초점을 바꿀 것인지”가 문제가 된 것이다.

지금까지의 경험으로 볼 때, 과학 수사 결과 결백함이 밝혀진 자가 후일 범인임이 밝혀진 예는 전혀 없었으므로 과학 수사 결과 결백함이 밝혀지면 전혀 의심의 여지가 없는 것으로 가정하고, 또 처음 수사 대상자에 대한 수사 비용과 시간을 무시하기로 할 때, 즉 확률적으로만 판단할 때, 이 경우 수사반장의 합리적인 판단은 어느 것인가?

① 바꾸는 것이 확률적으로 유리하다.

② 바꾸지 않는 것이 확률적으로 유리하다.

③ 바꾸거나 바꾸지 않거나 진범을 알아낼 확률은 같다.

④ 주어진 정보와 가정만으로는 아무것도 알 수 없다.

⑤ 과학 수사 결과 결백함이 밝혀지지 않은 남은 한 사람이 진범이다.

25. 정확히 [eqn: 10]년 전([eqn: 120]개월 전) [eqn: A]씨는 집을 사면서 집값의 일부를 빌려, [eqn: 20]년 간 매달 월이율 [eqn: r] (연이율 [eqn: 1200r``%])의 월 복리로 계산하여 돈을 빌린 지 한 달 후부터 매달 일정 금액 [eqn: P]만큼씩 [eqn: 240]회로 나누어 원금과 이자를 갚되 중도에 일시 상환할 경우에는 일시 상환 금액의 [eqn: 2%]를 수수료로 추가 지불하기로 하였다. 그런데 [eqn: A]씨는 오늘 오전 [eqn: 120]회째 상환금 [eqn: P]를 납부한 직후 [eqn: B]씨에게 집을 팔면서 다음 달 상환금부터는 [eqn: B]씨가 지불하기로 하고 상환 통장을 [eqn: B]씨에게 넘겨주었다. 한편, [eqn: B]씨는 집을 산 그날 오후 마음이 변하여, 남은 [eqn: 10]년 간의 상환액을 일시 상환하고자 한다. [eqn: B]씨가 오늘 수수료와 함께 납부해야할 금액을 [eqn: P``]와 [eqn: r``]를 이용하여 나타낸 것은?

① [eqn: 1.02P(1+r)[(1+r)^120 -1]]

② [eqn: 1.02P(1+r)[1-(1+r)^-120 ]]

③ [eqn: 1.02P over r [(1+r)^120 -1] ``]

④ [eqn: 1.02P over r [1-(1+r)^-120 ]]

⑤ [eqn: 1.02P over 1+r [(1+r)^120 -1] ``]

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