◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

수 리 영 역

‘가’형

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수 리 영 역

‘가’형

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2007학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시           수 리 영 역

성명			수험번호						3

‘가’형

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1

8

1. [eqn: 2 ^{`a} `=3,~2 ^{`b} `=45`]일 때, [eqn: 2` ^{2a-b} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 5`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: {1} over {4} `]	⑤ [eqn: {1} over {5`}]

2. [eqn: log` _{2} ``(log _{`2} `3)`+log` _{2} (log _{`3} `4)`]의 값은? [2점]

① [eqn: 0`]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: log` _{3} `4`]	④ [eqn: log` _{2} `3`]	⑤ [eqn: 2`]

3. 등식 [eqn: pmatrix{``2``&`1``#``3``&2``} `X```=` pmatrix{````````3&``1``#`-2&``4``} `]를 만족시키는 행렬 [eqn: X``]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 0`]	③ [eqn: -1`]	④ [eqn: -2`]	⑤ [eqn: -3`]

4. [eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( sqrt {n ^{2} + {n} over {2}} -n`` RIGHT ) `]의 값은? [3점]

① [eqn: 1over8]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: ROOT2 over 4]	④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: root2 over 2`]

5. 두 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (`a _{n} -1),`` sum _{n=1} ^{INF } (`b _{n} +1)``]이 모두 수렴할 때,

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

2

8

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: lim _{n -> INF }`` {a _{n} ``} =1``] ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} ``]은 발산한다. ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (`a _{n} +b _{n} )``]은 수렴한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

6. 이차정사각행렬 [eqn: A`]와 단위행렬 [eqn: E``]에 대하여 [eqn: A ^{2} +E```=`A``]가

성립할 때, [eqn: A-E``]의 역행렬은? [3점]

① [eqn: -A]	② [eqn: E-A]	③ [eqn: A-E]

④ [eqn: A]	⑤ [eqn: A+E]

7. 공차가 [eqn: d``(d != 0)]인 등차수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ``]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { `T _{n} ` RIGHT } ``]을

[eqn: T _{n} =a _{1} -`a _{2} +`a _{3} -`a _{4} ``+`…``+`(-1) ^{n-1} a _{n} `] ([eqn: n=1,~2,~3,~cdots`])

으로 정의할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: T _{4} =2d``] ㄴ. [eqn: T_5 = a_3`] ㄷ. 수열 [eqn: LEFT { T _{2n} RIGHT } `]은 등차수열이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

8. [eqn: rm BANANA`]의 [eqn: 6`]개의 문자 [eqn: rm B,``A,``N,``A,``N,``A`]를 일렬로 나열할 때, 두 개의 [eqn: rm N`]이 서로 이웃할 확률은? [3점]

① [eqn: 1over8]	② [eqn: 1over6]	③ [eqn: 1over5`]	④ [eqn: 1over4]	⑤ [eqn: 1over3`]

9. [eqn: 1``]부터 [eqn: 10``]까지 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 10``]장의 카드 중에서 임의로 한 장을 뽑을 때, [eqn: n``]의 배수가 적힌 카드를 뽑는 사건을 [eqn: A _{n} `]이라 하자. 이때 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A _{3} `]과 [eqn: A _{4} `]는 서로 배반사건이다. ㄴ. [eqn: {rm P}(`A _{4} `|``A _{2} ``)`=` {1} over {5}] ㄷ. [eqn: A _{2} `]와 [eqn: A _{5} `]는 서로 독립이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

3

8

10. 그림은 함수 [eqn: f`(`x)=2`^x -1``]의 그래프와 직선 [eqn: y=x`]이다.

곡선 [eqn: y=f`(`x)``] 위에 임의로 두 점을 잡아 그 두 점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: a`,~b``(0<a<b)`]라 할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: 0`<`a`<`1`]이면 [eqn: f`(`a)`<`a`]이다. ㄴ. [eqn: b-a``<2` ^{b} -2` ^{a} `] ㄷ. [eqn: b(2`^a -1)`<`a(2`^b -1)``]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

11. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 상용로그 [eqn: log ``2^n`]의 지표를 [eqn: a_n`]이라 할 때, 수열 [eqn: "{"`b _{n} "}"``]을

[eqn: b _{n} =]	[eqn: cases{&#&}]	[eqn: 1``````````(a _{n+1} >a _{n} )] [eqn: 0``````````(a _{n+1} =`a _{n} )]	([eqn: n=1,~2,~3,~cdots`])

으로 정의한다. [eqn: sum _{k=1} ^{200} b _{k} `]의 값은? (단, [eqn: log``2``=`0.3010`]이다.) [4점]

① [eqn: 68``]	② [eqn: 66``]	③ [eqn: 64``]	④ [eqn: 62``]	⑤ [eqn: 60``]

12. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]이

[eqn: a _{1} =1,~``a _{2} =2``,~``a _{n+2} =`2a _{n+1} +a _{n} `] ([eqn: n=1,~2,~3,~cdots`])

으로 정의될 때, 다음은 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: a _{4n} ``]은 [eqn: 12``]의 배수임을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(i) [eqn: n=1`]일 때, [eqn: a _{4} =``]      이므로 성립한다.

(ii) [eqn: n=k``]일 때, [eqn: a _{4k} ``]가 [eqn: 12``]의 배수라고 가정하면

[eqn: a _{4(k+1)} =``2a _{4k+3} ```+``a _{4k+2} ``]

[eqn: =``````````````````````````a _{4k+2} ```+`2`a _{4k+1} ```]

[eqn: =``````````````````````````a _{4k+1} ```+```````````````````````````a _{4k} ```]

따라서 [eqn: a _{4(k+1)} ``]은 [eqn: 12``]의 배수이다.

그러므로 (i), (ii)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: a _{4n} ``]은 [eqn: 12``]의 배수이다.

(다)

(라)

(나)

(가)

위의 과정에서 (가), (나), (다), (라)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a,```b,```c,```d``]라 할 때, [eqn: a``+`b``+`c``+`d``]의 값은? [3점]

① [eqn: 31`]	② [eqn: 32`]	③ [eqn: 33`]	④ [eqn: 34``]	⑤ [eqn: 35``]

< 표준정규분포표 >

[eqn: z``]	[eqn: rmP it(0 <= Z <= z`)`]
[eqn: 0.5] [eqn: 1.0] [eqn: 1.5] [eqn: 2.0]	[eqn: 0.1915`] [eqn: 0.3413] [eqn: 0.4332`] [eqn: 0.4772]

13. [eqn: sum _{k=351} ^{369} ` _{400} rm C it rm _{it k} LEFT ( {9} over {10} RIGHT ) ^{k} LEFT ( {1} over {10} RIGHT ) ^{400-k} `]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점]

① [eqn: 0.1587]

② [eqn: 0.3085]

③ [eqn: 0.6826]

④ [eqn: 0.8664]

⑤ [eqn: 0.9544]

4

8

14. [eqn: a,~b,~c``]가 서로 다른 세 실수일 때,

이차함수 [eqn: f(x)=ax ^{2} +2bx+c`]에 대한 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: a,~b,~c``]가 이 순서로 등차수열을 이루면 [eqn: f(1) =4b]이다. ㄴ. [eqn: a,~b,~c``]가 이 순서로 등차수열을 이루면 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 [eqn: x`]축과 서로 다른 두 점에서 만난다. ㄷ. [eqn: a,~b,~c``]가 이 순서로 등비수열을 이루면 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 [eqn: x`]축과 만나지 않는다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. [eqn: rm A`,~B`,~C`,~D``] [eqn: 4``]가지 색의 일부 또는 전부를 사용하여 그림과 같은 프로펠러의 중앙 부분과 [eqn: 4``]개의 날개 부분을 모두 칠하려고 한다. 인접한 중앙 부분과 날개 부분은 서로 다른 색으로 칠하기로 할 때, 칠할 수 있는 방법의 수는? (단, [eqn: 4``]개의 날개는 모두 합동이고, 회전하여 같은 경우에는 한 가지 방법으로 한다.) [4점]

① [eqn: 60]	② [eqn: 72]	③ [eqn: 84]	④ [eqn: 96]	⑤ [eqn: 108]

16. 그림과 같이 각 단의 부피가 일정한 비율로 감소하는 [eqn: 8``]단 케이크를 만들었다. 이 케이크의 제 [eqn: 2`]단의 부피를 [eqn: p``], 제 [eqn: 4`]단의 부피를 [eqn: q``]라 할 때, 제 [eqn: 8`]단의 부피를 [eqn: p``]와 [eqn: q``]로 나타낸 것은? [4점]

① [eqn: {`q ^{3}} over {p ^{2}} ``]	② [eqn: {`q ^{2}} over {p ^{2}} ``]	③ [eqn: {`p ^{3}} over {`q ^{2}} ``]

④ [eqn: {``p^{3}} over {q} ``]	⑤ [eqn: {``p ^{2}} over {q} ``]

17. 철수는 집에서 [eqn: 5`]km 떨어진 학교에 갈 때, 처음 [eqn: x`]km 는 매시 [eqn: 4`]km의 속력으로 걸어서 가고, 나머지 [eqn: y`]km 는 매시 [eqn: 8`]km 의 속력으로 뛰어서 간다. 그리고 학교에서 집으로 올 때는 처음 [eqn: y`]km 는 매시 [eqn: 4`]km 의 속력으로 걸어서 오고, 나머지 [eqn: x`]km 는 매시 [eqn: 8`]km 의 속력으로 뛰어서 온다. 철수가 학교에서 집으로 올 때 걸리는 시간은 집에서 학교로 갈 때 걸리는 시간보다 [eqn: 15`]분이 더 걸린다고 한다. 이를 만족하는 [eqn: x,``y``]에 대하여 등식

[eqn: pmatrix{`1```&p`#`1``&q`} ` pmatrix{`x`#`y`} `= pmatrix{```````5#`-2`}]

가 성립할 때, [eqn: p-q``]의 값은? (단, [eqn: p,~q``]는 상수이다.) [4점]

5

8

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

단답형(18 ~ 25)

18. 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {5` ^{n+2} -4` ^{n+2}} over {6` ^{n}}]의 합을 구하시오. [3점]

19. 이차정사각행렬 [eqn: A``]에 대하여

[eqn: A+A ^{-1} =``pmatrix{-1&```2``#~~6&```1``} ``]

일 때, [eqn: A ^{2} +(A ^{2} ``)` ^{-1} ``]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

20. [eqn: x`＞`0``]일 때, 자연수 [eqn: n``]에 대하여 함수 [eqn: f _{n} (`x)``]가 다음 조건을 만족한다.

6

8

(가) [eqn: f _{1} (`x)=log ` _{2} `x``]

(나) [eqn: f _{n+1} (`x)=f _{n} (`x ` ^{2} )+f _{n} (`x)`]

[eqn: f`_2007 `(`8)`=`a``]라 할 때, [eqn: log` _{27} ``a``]의 값을 구하시오. [3점]

21. 동주는 [eqn: 5`]개의 서로 다른 알사탕과 [eqn: 5`]개의 똑같은 박하사탕을 가지고 있다. 이 중에서 [eqn: 5`]개를 택하여 진서에게 주는 방법의 수를 구하시오. [3점]

22. [eqn: n`]개의 항으로 이루어진 등차수열 [eqn: a _{1} ,~a _{2} ,~a _{3} ,~ CDOTS ~,~a _{n} `]이 다음 조건을 만족한다.

(가) 처음 [eqn: 4`]개 항의 합은 [eqn: 26`]이다.

(나) 마지막 [eqn: 4`]개 항의 합은 [eqn: 134`]이다.

(다) [eqn: a _{1} +`a _{2} +`a _{3} +`` CDOTS `+`a _{n} =260]

이때 [eqn: n`]의 값을 구하시오. [4점]

23. 다음 순서도에서 인쇄되는 [eqn: S``]의 값을 구하시오. [4점]

24. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 [eqn: f(`x),~g(`x)``]가 다음 조건을 만족한다.

7

8

(가) [eqn: f(`x)``]의 값은 정수이다.

(나) [eqn: 0<=`g(`x)`<1`]

(다) [eqn: 2 ^{`f(`x)-g(`x)} =x``]

이때 [eqn: f(4)+f(1000)``]의 값을 구하시오. [4점]

25. [eqn: 2500``rmL`]의 물을 저장할 수 있는 물탱크에 현재 [eqn: 1200`` rm L`]의 물이 담겨 있다. 이 물탱크에 있는 물의 양의 [eqn: 12`%`]를 사용한 다음 [eqn: x ``rmL`]의 물을 넣는 시행을 한다. 이와 같은 시행을 [eqn: n`]번 반복한 후 물탱크에 남아 있는 물의 양을 [eqn: a_n``rmL`]라 하자. 부등식 [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} <= 2000`]이 성립하도록 하는 [eqn: x`]의 최대값을 구하시오. [4점]

5지선다형(26 ~ 29)

26. [eqn: 0`,``1`,``2`,``3`,```` CDOTS `,``9`]의 정수가 각각 하나씩 적혀 있는 [eqn: 10``]장의 카드 중 임의로 꺼낸 한 장의 카드에 적힌 수를 [eqn: a``]라 하고, 남은 [eqn: 9``]장의 카드 중 임의로 꺼낸 한 장의 카드에 적힌 수를 [eqn: b``]라 하자.

이때 백의 자리의 수, 십의 자리의 수, 일의 자리의 수가 각각 [eqn: 5`,~a`,~b``]인 세 자리 자연수가 [eqn: 6``]의 배수가 될 확률은? [3점]

① [eqn: {7} over {45}]	② [eqn: 1 over 5]	③ [eqn: {4} over {15}]	④ [eqn: 14 over45]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

27. 두 연속확률변수 [eqn: X`,~Y``]가 갖는 값의 범위는 각각 [eqn: 0 <= X`` <= 4``], [eqn: 0 <= Y``` <= 4``]이고, [eqn: X``]의 확률밀도함수 [eqn: f(`x)``]와 [eqn: Y``]의 확률밀도함수 [eqn: g(`x)``]는 다음과 같다.

[eqn: f(`x)`=`a`x(`x-`4`)``] ([eqn: 0 <= x`` <= 4`])
[eqn: g(x)=]	[eqn: cases{&#&}]	[eqn: b] [eqn: f(x-2)+b]	([eqn: 0 <= x`` <= 2``]) ([eqn: 2 <= x`` <= 4``])

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: a`,~b``]는 상수이다.) [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: rm P it (`2` <= X``` <= 4`)`=` {1} over {2} `] ㄴ. [eqn: b`=` {1} over {8} `] ㄷ. [eqn: rm P it (`1` <= Y``` <= 4`)`=` {5} over {8} `]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

<상용로그표>

[eqn: x`]	[eqn: log``x`]
[eqn: 1.26] [eqn: 1.32] [eqn: 1.38] [eqn: 2.00]	[eqn: 0.10] [eqn: 0.12] [eqn: 0.14] [eqn: 0.30]

28. 인구가 매년 일정한 비율로 증가하는 어느 도시가 있다. [eqn: 2006``]년 말 현재 이 도시의 인구는 [eqn: 15``]년 전인 [eqn: 1991``]년 말 인구의 [eqn: 2`]배라고 한다. [eqn: 1997``]년 말 이 도시의 인구는 [eqn: 1991``]년 말 인구보다 몇 [eqn: %] 증가하였는지 오른쪽 상용로그표를 이용하여 구한 것은? [3점]

① [eqn: 26`%]	② [eqn: 29`%]	③ [eqn: 32`%]	④ [eqn: 35`%]	⑤ [eqn: 38`%]

8

8

29. 길이가 [eqn: 1`]인 선분 [eqn: \AB`]가 있다.

그림과 같이 선분 [eqn: \AB`]를 [eqn: 3`]등분한 다음, 가운데 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 그리고, 가운데 선분을 지워 만든 도형을 [eqn: T_1``]이라 하자.

[eqn: T_1``]의 선분 중 원래의 선분 [eqn: \AB`]에서 남아 있는 두 선분을 각각 [eqn: 3`]등분한 다음, 가운데 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 그리고, 가운데 선분을 지워 만든 도형을 [eqn: T_2``]라 하자.

[eqn: T_2``]의 선분 중 원래의 선분 [eqn: \AB`]에서 남아 있는 네 선분을 각각 [eqn: 3`]등분한 다음, 가운데 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 그리고, 가운데 선분을 지워 만든 도형을 [eqn: T_3``]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속 반복하여 [eqn: n`]번째 만든 도형을 [eqn: T_n``]이라 하고, [eqn: T_n``]에 있는 모든 선분의 길이의 총합을 [eqn: a_n`]이라 하자.

이때 [eqn: lim_n->inf ``a_n``]의 값은? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 10 over 3`]	③ [eqn: 11over3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {13} over {3}]

단답형(30)

30. 좌우 대칭인  모양과  모양의 철사가 각각 두 개씩 있다. 그림과 같이 각 철사의 가운데를 서로 연결한 후, 여섯 군데의 고리에 서로 다른 [eqn: 6`]개의 인형 [eqn: rm A,``B,``C,``D,``E,``F`]를 매달아 회전모빌을 만들려고 한다. 이때 만들 수 있는 서로 다른 회전모빌의 개수를 구하시오. (단, 그림의 ● 부분은 회전 가능하고,   모양의 두 철사는 합동이다.) [4점]

※ 확인 사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.