□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

수리영역 (가)형

1

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅰ２지수와 로그

□출제 의도: 지수의 계산을 할 수 있다.

□평가 요소: 계산능력

□풀이:

[eqn: 3^{2 over 3} times 9^{3 over 2} div 27^{8 over 9}]

[eqn: = 3^{2 over 3} times 3^3 divide 3^{8 over 3}]

[eqn: =3^{2 over 3 + 3 - {8 over 3}}]

[eqn: =3]

□ ③

2

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅱ２행렬

□출제 의도: 역행렬을 구할 수 있다.

□평가 요소: 계산능력

□풀이:

[eqn: A= pmatrix {1~~2# 2`~~5`}]에서

[eqn: A^-1 = 1 OVER {{1 times 5} - {2 times 2}} pmatrix {5~~-2 # -2`~~1`} = pmatrix{5~~-2`#-2~~1`}]

[eqn: AX=B~LRARROW~X=A^-1 B= pmatrix {5~~-2`#-2~~1`} pmatrix{2~~-3`#1~~-2`}]

[eqn: =pmatrix{8~~-11`#-3~~4`}]

따라서, 행렬 [eqn: X]의 모든 성분의 합은

[eqn: 8+(-11)+(-3)+4][eqn: =-2]

□ ①

3

□출제 단원: 수학 Ⅱ - Ⅰ２방정식과 부등식

□출제 의도: 연립분수방정식을 풀 수 있다.

□평가 요소: 이해능력

□풀이:

[eqn: x+2 over {x^2 -4x+3} = {x+2} over {(x-1)(x-3)} □0]

[eqn: LRARROW~ (x+2)(x-1)(x-3)□0,~(x-1)(x-3) neq 0]

[eqn: therefore~-2□x`＠1,~x`Ｂ3~~cdots cdots ``㉠]

[eqn: 9 over x-8 □-1~ LRARROW ~9 over {x-8} +1 □0]

[eqn: LRARROW ~x+1 over x-8 □0]

[eqn: LRARROW~(x+1)(x-8)□0,~x-8 neq 0]

[eqn: therefore~-1□x＠8~~~~~~~~cdots cdots``㉡]

㉠, ㉡의 범위를 그림으로 나타내면

따라서, 만족하는 정수 [eqn: x=-1,~0,~4,~5,~6,~7]의 [eqn: 6]개다.

□ ⑤

4

□출제 단원: 수학 Ⅱ - Ⅲ２다항함수의 미분법

□출제 의도: 속도, 위치의 변화량에 대하여 이해한다.

□평가 요소: 이해능력

□풀이:

□가□지점에서 □나□지점까지의 거리를 [eqn: s]라 하면

ㄱ. [eqn: A]의 평균속도는 [eqn: s OVER 40-0]

[eqn: C]의 평균속도는 [eqn: s OVER 40-0]

[eqn: therefore] 참

ㄴ. [eqn: B]의 그래프에서 접선의 기울기가 [eqn: 0]인 순간은 한 번, [eqn: C]의 그래프에서 접선의 기울기가 [eqn: 0]인 순간은 세 번 있다.

[eqn: therefore] 참

ㄷ. [eqn: A,~B,~C] 속도의 그래프와 [eqn: t]축으로 둘러싸인 영역의 넓이는 [eqn: int from 0 to t `left|`v` right|`dt= int from 0 to t v`dt]이므로 위치의변화량을 나타낸다.

그런데, [eqn: A,~B,~C] 모두 □가□지점에서 출발하여 □나□지점에 도착했으므로 위치의 변화량은 모두 같다.

[eqn: therefore] 참

□ ⑤

5

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅰ２지수와 로그

□출제 의도: 지수와 로그의 계산을 할 수 있다.

□평가 요소: 계산능력

□풀이:

ㄱ. [eqn: 2^{log_2``1+log_2``2+log_2``3+cdots+log_2``10}]

[eqn: = 2^{log_2``(1 cdot 2 cdot 3 ``cdots``10) } = 2^ {log_2``10!`} = {(10! )}^{log_2``2}]

[eqn: =(10! )^1 ={10! }]

따라서, 옳다.

ㄴ. [eqn: log_2 {(2^1 times 2^2 times 2^3 times cdots times 2^10 )^2}]

[eqn: = log_2``2^{2(1+2+3+`cdots`+10 )}]

[eqn: = log_2``2^{110}=110]

따라서, 옳지 않다.

ㄷ. [eqn: (log_2`2^1 )``(log_2`2^2 )``(log_2`2^3 )``cdots``(log_2`2^10 )]

[eqn: =1 cdot 2 cdot 3``cdots``10=10!]

따라서, 옳지 않다.

□ ①

6

□출제 단원: 수학 Ⅱ - Ⅶ２벡터

□출제 의도: 평면의 방정식을 세울 수 있다.

□평가 요소: 내적 문제해결능력

□풀이:

평면 [eqn: alpha]와 직선 [eqn: l] : [eqn: x-1= y-2 over -2 ={z-3 over 3}]이 수직이므로

평면 [eqn: alpha]의 법선벡터 [eqn: vec h~ =(1,~-2,~3)]이고

점 [eqn: rm A(1,~2,~3)]을 지나므로

[eqn: alpha]의 방정식은

[eqn: 1(x-1)+(-2)(y-2)+3(z-3)=0]

[eqn: therefore~x-2y+3z-6=0]

직선 [eqn: m] 위의 임의의 점은

[eqn: m~:~x-2=y= {z-6 over 5}=t]라 하면

[eqn: (t+2,~t,~5t+6)]

직선 [eqn: m] 위의 점 [eqn: rm B]가 평면 [eqn: alpha] 위에 있으므로

[eqn: (t+2)-2t+3(5t+6)-6=0, 14t+14=0]

[eqn: therefore~t=-1]

따라서, [eqn: rm B(1,~-1,~1)]

[eqn: therefore rm bar {AB``}=root {(1-1)^2 +(-1-2)^2 +(1-3)^2}]

[eqn: =root 13]

□ ④

7

□출제 단원: 수학 Ⅱ - Ⅶ２벡터

□출제 의도: 벡터를 이용하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있다.

□평가 요소: 내적 문제해결능력

□풀이:

오른쪽 그림과 같이 [eqn: RM E]를  원점 [eqn: RM O]로 하는 좌표공간에서

세 점 [eqn: RM P,~Q,~R]의 좌표는

[eqn: RM P(0,~2,~3)]

[eqn: RM Q(3,~1,~3)]

[eqn: RM R (3,~2,~0)]

[eqn: THEREFORE~ rm vec PQ =(3,~-1,~0),~ RM VEC PR =(3,~0,~-3)]

이 때, 두 벡터 [eqn: RM VEC PQ]와 [eqn: rm VEC PR]가 이루는 각의 크기를 [eqn: alpha]라 하면

[eqn: cos alpha = {rm VEC PQ cdot RM vec PR} over {rm |vec PQ `| | VEC PR `|} = {9 OVER {ROOT 10 ROOT 18}} = {{3 ROOT 5} OVER 10}]

[eqn: therefore~sin`alpha=root {1- left({3 root 5 } over 10 right)^2} = root 55 over 10 ~~left(because~0＠alpha＠ pi over 2 right)]

[eqn: therefore~rm triangle PQR = 1 OVER 2 |VEC PQ`|`|`VEC PR`|``sin`alpha]

[eqn: = 1 over 2 root 10 root 18 times {root 55 over 10}]

[eqn: ={3 root 11} over 2]

[eqn: rm triangle PQR]의 평면 [eqn: rm CGHD] 위로의 정사영이 [eqn: RM TRIANGLE DCG]이므로

[eqn: cos``theta = {rm triangle DCG} OVER {rm triangle PQR} = {{1 OVER 2} times 3 times 3} over {{3 root 11} over 2} = {3root 11} over 11]

□ ⑤

8

□출제 단원: 수학 Ⅱ- Ⅲ, Ⅳ２미분법, 적분법

□출제 의도: 미분계수, 평균변화율, 정적분의 의미를 이해한다.

□평가 요소: 이해 능력

□풀이:

ㄱ. [eqn: F'(x)=f(x)>0]이므로 구간 [eqn: [a,~b]]에서 [eqn: y=F(x)]는 증가한다.

[eqn: therefore~]참

ㄴ. 직선 [eqn: RM PQ]의 기울기는

[eqn: f(b)-f(a) over b-a = {F'(b)-F'(a)} over b-a]

[eqn: therefore~]거짓

ㄷ. [eqn: INT from a to b left{f(x)-f(b) right }dx]

[eqn: =](오른쪽 그림의

어두운 부분의 넓이)

[eqn: {(b-a) {left{f(a)-f(b)} right}} over 2]

[eqn: =(rm triangle PRQ]의 넓이)

[eqn: THEREFORE~]참

□ ③

9

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅶ２확률과 통계

□출제 의도: 경우의 수를 구할 수 있다.

□평가 요소: 이해능력

□풀이:

키가 작은 사람부터 큰 사람 순으로 [eqn: a,~b,~c,~d]라 하자.

① ② ③ ④

(ⅰ) [eqn: a]가 [eqn: 3]번 자리에 오는 경우 [eqn: RARROW ~3!](가지)

(ⅱ) [eqn: b]가 [eqn: 3]번 자리에 오는 경우 [eqn: RARROW ~a]는 [eqn: 1]번 자리에 와야 하므로 [eqn: 2!](가지)

따라서, 구하는 확률은 [eqn: {3!+2!} over 4! = 8 over 24 = 1 over 3]

□ ①

10

□출제 단원: 수학 Ⅱ - Ⅳ２다항함수의 적분법

□출제 의도: 역함수의 대응 관계, 구분구적법에 의한 정적분의 정의를 이해한다.

□평가 요소: 내적 문제해결능력

□풀이:

위의 그림에서

[eqn: f`(x_k ) = k over n~ LRARROW ~g right( k over n right) = x_k]

[eqn: f(x_k-1 )= k-1 over n~ LRARROW ~g left(k-1 over n right) =x_k-1]

이므로 [eqn: x_k - x_k-1 = DELTA x]로 놓고 주어진 식의 값을 구하면

[eqn: lim_n~rarrow~inf sum from k=1 to n left{g left( k over n right)-g right(k-1 over n right ) right} {k over n}]

[eqn: =lim_n~rarrow~inf sum from k=1 to n (x_k -x_k-1 ) cdot f(x_k )]

[eqn: = lim_n~rarrow~inf sum from k=1 to n f(x_k ) `DELTA x]

[eqn: =int from 0 to 1 f(x)dx]

□ ③

11

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅲ２수열

□출제 의도: 수열과 관련된 가우스 함수의 계산을 할 수 있다.

□평가 요소: 내적 문제해결능력

□풀이:

ㄱ. [eqn: left[ n over k right] =1]에서

[eqn: 1□ n over k ＠ 2]

[eqn: k□n＠2k]

[eqn: therefore~ n over 2 ＠ k □n]

따라서, [eqn: k]의 개수가 항의 개수이므로

항의 개수는 [eqn: n- {n over 2} = n over 2 = left[ n+1 over 2 right]]

따라서, 참이다.

ㄴ. [eqn: left[ 100 over k right]=3]에서

[eqn: 3□ 100 over k ＠ 4]

[eqn: 3k□100＠4k]

[eqn: therefore~25＠k□33.33 cdots]

즉, [eqn: 33-25=8](개)이다. 따라서, 참이다.

ㄷ. [eqn: left[ n over 3 right]=5]에서

[eqn: 5□ n over 3 ＠6]

[eqn: 15□n ＠18]

즉, [eqn: 18-15=3](개)이다.

따라서, 거짓이다.

□ ④

12

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅲ２수열

□출제 의도: 수학적귀납법을 이해하고 있다.

□평가 요소: 추론능력

□풀이:

[eqn: SUM from { {i}=1} to 2n+1 1 over {n+i} = 1 over {n+1} + 1 over {n+2} + cdots + 1 over {3n+1} Ｂ 1]

(1) [eqn: n=1]일 때, [eqn: a_1 = 1 over 2 + 1 over 3 + 1 over 4 = 13 over 12 Ｂ 1]

(2) [eqn: n=k]일 때, [eqn: a_k Ｂ 1]이라 가정하면

[eqn: a_k = 1 over {k+1} + 1 over {k+2} + cdots + 1 over {3k+1} Ｂ 1]

[eqn: n=k+1]일 때,

[eqn: a_k+1]

[eqn: = 1 over {k+2} + 1 over {k+3} + cdots + 1 over {3k+4}]

[eqn: = a_k + LEFT({1 over {3k+2} + 1 over {3k+3} + 1 over {3k+4}}right )-~ 1 over k+1]

한편, [eqn: (3k+2)``(3k+4)~＠~(3k+3)^2]

[eqn: 1 over {3k+2} + 1 over {3k+4} = 6k+6 over {(3k+2)`(3k+4)}]

[eqn: Ｂ 6k+6 over {(3k+3)^2} = 2 over {3k+3}]

[eqn: therefore ~ 1 over {3k+2} + 1 over {3k+4} Ｂ~ 2 over {3k+3}]

[eqn: a_k 〉 1]이므로

[eqn: a_k+1 Ｂ a_k + LEFT ( 1 over {3k+3} + 2 over {3k+3} RIGHT ) - 1 over {k+1} Ｂ 1]

그러므로 (1), (2)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n Ｂ 1]이다.

□ ②

13

□출제 단원: 수학 Ⅱ - Ⅲ. 다항함수의 미분법

□출제 의도: 극대, 극소의 판정과 방정식의 실근의 의미를 이해한다.

□평가 요소: 이해능력

□풀이:

[eqn: f(x)=2x^3 -3(a+1)x^2 +6ax-4a+2]에서

[eqn: f``'(x)=6x^2 -6(a+1)x+6a]

[eqn: =``6(x-a)(x-1)] ← (가)

[eqn: aＢ1]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서

극대값 을 가진다.

(나)

그런데 [eqn: f(1)=-a+1＠0]이고,

[eqn: f(b)=0]이므로

오른쪽 그림과 같이 [eqn: a``＠``b]

(다)

□ ④

14

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅵ２순열과 조합

□출제 의도: 경우의 수를 구할 수 있다.

□평가 요소: 이해능력

□풀이:

[eqn: a]를 기준으로 □ 안에 [eqn: b]가 들어갈 수를 생각해 보자.

(i) 첫째 자리에 [eqn: b]가 오는 경우

[eqn: b~a``□``a``□``a``□``a``□``a``□``a``□``a``□``a]

마지막 자리에는 [eqn: a]가 와야 하므로

[eqn: ` _7 {rm C} _3 =][eqn: {7 cdot 6 cdot 5} over {3 cdot 2 cdot 1} = 35](가지)

(ii) 첫째 자리에 [eqn: b]가 오지 않는 경우

[eqn: a``□``a``□``a``□``a``□``a``□``a``□``a``□``a``□]

[eqn: `_8 {rm C} _4 = {8 cdot 7 cdot 6 cdot 5} over {4 cdot 3 cdot 2 cdot 1}=70](가지)

(i), (ii)에서 [eqn: 35+70=105](가지)

□ ②

15

□출제 단원: 수학 Ⅱ - Ⅶ. 벡터

□출제 의도: 벡터의 의미를 이해하고 활용할 수 있다.

□평가 요소: 내적 문제해결능력

□풀이:

벡터 [eqn: 1 over 2 RM (vec PA + vec PB )]는 두 점 [eqn: RM A(3,~1,~1)], [eqn: RM B(1,~-3,~-1)]의 중점을 나타내는 위치벡터이므로

[eqn: 1 OVER 2 RM (VEC PA + VEC PB`)= 1 OVER 2 ((3,~1,~1)+(1,~-3,~-1))]

[eqn: =(2,~-1,~0)]

[eqn: 1 OVER 2 RM |VEC PA + VEC PB`|]의 최소값은 선분 [eqn: rm AB]의 중점에서 평면까지의 거리 [eqn: d]이므로

[eqn: RM |VEC PA + VEC PB`|]의 최소값 [eqn: m]은

[eqn: m=2d={2`|`2+1+0`|} over root 1+1+1 = 6 OVER root 3 =2 root 3]

□ ③

16

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅶ２확률과 통계

□출제 의도: 이항분포를 정규분포를 이용하여 풀 수 있다.

□평가 요소: 내적 문제해결능력

□풀이:

[eqn: rm C]회사 제품을 선택할 확률은 [eqn: 25 OVER 100 = 1 OVER 4]이므로

[eqn: RM B LEFT(192,~ 1 OVER 4 RIGHT)]을 따른다. 이 때, [eqn: 192]는 충분히 큰 수이므로 정규분포로 근사시키면

[eqn: m=192 times 1 over 4 =48], [eqn: sigma ^2 =192 times 1 over 4 times 3 over 4 =36]

즉, [eqn: rm N(48,~6^2 )]이 된다.

[eqn: THEREFORE~ {RM P}(X□42)= {RM P} LEFT ( Z□ 42-48 OVER 6 RIGHT )]

[eqn: = {RM P} (Z□-1)]

[eqn: =0.5+ {RM P}(0□Z□1)]

[eqn: =0.5+0.3413=0.8413]

□ ⑤

17

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅰ２지수와 로그

□출제 의도: 복리법의 개념을 이해하고 있다.

□평가 요소: 외적 문제해결능력

□풀이:

[eqn: n]년 후의 총 인구를 [eqn: S_n], [eqn: 65]세 이상의 인구를 [eqn: T_n]이라 하면

[eqn: S_n =1000 times (1+0.003)^n] (만 명)

[eqn: T_n = 50 times (1+0.04)^n] (만 명)

초고령화 사회로 진입하는 시기는

[eqn: T_n over S_n = {50 times 1.04^n} over {1000 times 1.003^n} □0.2]에서

[eqn: 1.04^n over 1.003^n □4]

부등식의 양변에 상용로그를 취하면

[eqn: n(log `1.04- log `1.003 )□2log`2]

[eqn: (0.0170-0.0013)n□2 times 0.3010]

[eqn: therefore~n□ 0.6020 over 0.0157 □38.34]

따라서, ② [eqn: 2038]~[eqn: 2040]년에 초고령화 사회가 예측된다.

□ ②

18

□출제 단원: 수학 Ⅱ - Ⅱ２함수의 극한과 연속성

□출제 의도: 극한의 부정형 계산을 할 수 있다.

□평가 요소: 계산능력

□풀이:

[eqn: lim _{x`` rarrow`` 2} {root{x^2 +a`}-b} over {x-2}= 2 over 5]

[eqn: x`` rarrow 2]일 때 (분모)→[eqn: 0]이므로 [eqn: 2 over 5]에 수렴하려면 (분자)→[eqn: 0]이어야 한다. 즉,

[eqn: {root 4+a}-b=0 ~~~ therefore~ b = {root4+a}]

[eqn: therefore ~ lim_{x rarrow 2} {{root {x^2 + a}} - {root 4+a}} over {x-2}]

[eqn: =][eqn: lim_{x`` rarrow`` 2}][eqn: {x^2 -4} over {left(x-2right) left( {root {x^2 +a} } + {root {4 +a} } right) }]

[eqn: = lim_{x``rarrow``2}][eqn: {x +2} over {root {x^2 +a} + root {4+a}}]

[eqn: = 4 over {2 root {4+a}} = 2 over root {4+a} = 2 over 5]

[eqn: therefore~ root {4+a} = 5]

[eqn: 4+a=25]

[eqn: therefore~a=21,~b=5~~~therefore~a+b=26]

□ [eqn: 26]

19

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅰ２지수와 로그

□출제 의도: 로그부등식을 풀 수 있다.

□평가 요소: 계산능력

□풀이:

[eqn: cases {log_3 |`x-3`|`＠4~~~~~~~~~````cdots~①# log_2 x+ log_2 (x-2)□3~~cdots~②}]

①에서 [eqn: x neq 3]이고

[eqn: |x-3|`＠3^4 ,`-81＠x-3＠81,]

[eqn: -78＠x＠84`(x neq3)]…㉠

②에서

[eqn: log_2 x(x-2)□3]

[eqn: x(x-2)□2^3]

[eqn: x^2 -2x-8□0]

[eqn: (x-4)(x+2)□0]

[eqn: therefore~x□-2] 또는 [eqn: x□4] [eqn: cdots~㉡]

진수는 양수이므로

[eqn: xＢ0]이고 [eqn: x-2Ｂ0]

[eqn: therefore~xＢ2] [eqn: ~~~~~~~~~~~~~cdots~㉢]

㉠, ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면

[eqn: therefore~4□x＠84]

따라서, 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 84-4=80]

□ [eqn: 80]

20

□출제 단원: 수학 Ⅱ - Ⅰ２방정식과 부등식

□출제 의도: 치환에 의한 무리방정식을 풀 수 있다.

□평가 요소: 이해능력

□풀이:

[eqn: x^{ 2 } +7x+10+ sqrt { x^{ 2 } +7x+12 } =0]에서

[eqn: x^{ 2 } +7x+10=t]로 놓으면

[eqn: t+ sqrt { t+2 } =0]

[eqn: sqrt { t+2 } =-t]

[eqn: t+2=t^{ 2 }]

[eqn: t^{ 2 } -t-2=0]

[eqn: left ( t-2 right ) left ( t+1 right ) =0]   [eqn: THEREFORE] [eqn: t=2] 또는 [eqn: t=-1]

그런데 [eqn: t=2]는 무연근이므로

[eqn: t=-1]

[eqn: x^{ 2 } +7x+10=-1]에서

[eqn: x^{ 2 } +7x+11=0]

따라서 [eqn: D=49-44>0]이므로 방정식 [eqn: x^{ 2 } +7x+11=0]은 두 실근을 가지고 두 실근의 곱은 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: 11]이다.

21

□출제 단원: 수학 Ⅱ - Ⅵ２벡터

□출제 의도: 구의 방정식과 직선의 방정식을 이해하여 도형의 넓이를 구할 수 있다.

□평가 요소: 내적 문제해결능력

□풀이:

[eqn: x over 2 = y = -z = t]로 놓으면

[eqn: ~~x=2t,~y=t,~z=-t]

이것을 구의 방정식 [eqn: x^2 + {(y-1)}^2 + (z-1)^2 = 8]

에 대입하면

[eqn: 4t^2 +(t-1)^2 +(-t-1)^2 =8]

[eqn: 6t^2 +2 =8]

[eqn: t^2 =1~~~therefore~t=plusminus 1]

따라서 직선 [eqn: x over 2 = y = -z]가 만나는 두 점 [eqn: {RM A,~B}]의 좌표는 각각 [eqn: RM{A(2,~1,~-1)}]

[eqn: rm B(-2,~-1,~1)}]

[eqn: RM{bar AB} = root {16+4+4} = 2 root 6]

삼각형[eqn: rm{CAB}]의 높이를 [eqn: h]라 하면

[eqn: h= root {8-6} = root 2]

[eqn: S = {1 over 2} times root 2 times 2 root 6 = 2 root 3]

[eqn: therefore~ S^2 = 12]

22

□출제 단원: 수학 Ⅱ - Ⅴ２이차곡선과 공간도형

□출제 의도: 타원의 방정식의 정의를 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

□평가 요소: 내적 문제해결능력

□풀이:

타원의 방정식 [eqn: x^2 over 36 + y^2 over 20 = 1]에서

[eqn: a^2 - b^2 = 36-20=16]

이므로 두 초점 [eqn: rm{F,~F'}]의 좌표는 각각

[eqn: { {RM F}(4,~0),~{RM F'}(-4,~0)}]

[eqn: rm {bar PF} =][eqn: t]로 놓으면 타원의 정의에 의하여

[eqn: rm{bar PF'}=12][eqn: -t]이므로 [eqn: triangle rm{PFF'}]에서 제이코사인법칙을 이용하면

[eqn: (12-t)^2 = t^2 +8^2 - 2 cdot 8 cdot t cdot rm{cos} {pi over 3}]

[eqn: t^2 -24t+144 = t^2 +64-8t]

[eqn: 16t=80],[eqn: t=5]

또, [eqn: triangle rm{PFA}]에서 [eqn: angle rm{PFA} = {2 over 3} pi]이므로

[eqn: rm {bar{PA}}^2 = 2^2 + 5^2 - 2 cdot 2 cdot 5 cdot rm{cos} {2 over 3} pi]

[eqn: = 4+25+10=39]

23

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅳ. 수열의 극한

□출제 의도: 주어진 기호들을 이해하고 계산할 수 있다.

□평가 요소: 추론능력

□풀이:

[eqn: 1= {sum_{n=1}^inf}][eqn: left(1 over z right)^n = {{1 over z} over {1 - {1 over z}}} = 1 over {z-1}]

[eqn: LEFT ( because~zＢ1이므로~ LEFT | 1 over z RIGHT | ＠1 RIGHT )]

즉, [eqn: z-1=1]에서 [eqn: z=2]

에서

[eqn: 2 = 16^y ~~~therefore~y= 1 over 4]

또,                            에서

[eqn: 1 over 4 = {sum_{n=1}^inf} left ( 1 over x right )^n = { {1 over x} over {1- {1 over x}}} = 1 over {x-1}]

[eqn: LEFT ( because~xＢ1이므로~ LEFT | 1 over x RIGHT | ＠1 RIGHT )]

즉, [eqn: x-1=4]에서 [eqn: x=5]

[eqn: therefore ~ xz over y = {5 cdot 2} over {1 over 4 } = 40]

□ [eqn: 40]

24

□출제 단원: 수학 Ⅱ - Ⅲ. 다항함수의 미분법

□출제 의도: □삼차방정식의 그래프의 개형을 미분법을 이용하여 그릴 수 있다.

□그래프에서 방정식의 근의 의미와 근과 계수의 관계를 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

□평가 요소: 내적 문제해결능력

□풀이:

방정식 [eqn: 1 over 3 x^3 -x=k]에서

[eqn: f(x)= 1 over 3 x^3 - x]로 놓으면

[eqn: f``'(x)=x^2 -1 = (x+1)(x-1)]

[eqn: x=-1]에서 극대값 [eqn: f(-1)=- 1 over 3 +1 = 2 over 3]

[eqn: x=1]에서 극소값 [eqn: f(1)= 1 over 3 - 1 = - {2 over 3}]

를 가진다. 따라서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다.

따라서 방정식 [eqn: 1 over 3 x^3 -x = k]가 서로 다른 세 실근을 가지려면 [eqn: - { 2 over 3}<k< 2 over 3]이어야 한다.

곡선 [eqn: y=f(x)]는 원점에 대하여 대칭이므로

[eqn: 0□t 〈 2 over 3]에서 세 실근을 [eqn: alpha < beta < gamma]라 하면 [eqn: alpha < beta <0 ,~ gamma>0]이다.

삼차방정식의 근과 계수의 관계에서 [eqn: alpha + beta + gamma = 0]이므로

[eqn: | alpha`` | + | beta`` | + | gamma`` | = - alpha - beta + gamma = 2 gamma]

한편 [eqn: 0□t〈 2 over 3]에서 [eqn: gamma□ root 3]이므로

최소값 [eqn: m= 2 root 3]

[eqn: therefore~ m^2 =12]

25

□출제 단원: 수학 Ⅰ - Ⅳ２수열의 극한

□출제 의도: 무한등비급수의 계산을 할 수 있다.

□평가 요소: 내적 문제해결능력

□풀이:

[eqn: A_1]의 넓이는 [eqn: 1- LEFT ( 1 over 2 RIGHT ) ^2 = 3 OVER 4]

도형 [eqn: A_1]과 도형 [eqn: {A}_n] 위에 붙인 도형의 조각들은 모두 닮은꼴이고, [eqn: n]번째 조각과 [eqn: (n+1)]번째 조각의 닮음비는 [eqn: 4~:~1]이다.

즉, 넓이의 비는 [eqn: 16~:~1]이다.

또, 조각의 개수는 [eqn: 2]배씩 늘어나므로

[eqn: S_n = 3 over 4 + 3 over 4 times 1 over 16 times 2 + 3 over 4 times right(1 over 16 right)^2 times 4 + cdots]

[eqn: = 3 over 4 + 3 over 4 times 1 over 8 + 3 over 4 times right(1 over 8 right)^2 + cdots]

[eqn: therefore~lim_n~rarrow~inf S_n =sum from n=1 to inf 3 over 4 cdot right(1 over 8 right)^n-1 = {3 over 4} over {1- 1 over 8} = 6 over {8-1}]

[eqn: = 6 over 7]

[eqn: therefore~p+q=7+6=13]

□ [eqn: 13]

≪ 미분과 적분 ≫

26

□출제 단원: 미분과 적분 - Ⅰ２삼각함수

□출제 의도: 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있다..

□평가 요소: 계산능력

□풀이:

[eqn: sin`alpha = 1 over 3]이므로

[eqn: cos``alpha=root {1- left(1 over 3 right)^2} = {2 root 2} over 3 ~left(because~0＠alpha＠ pi over 2 right)]

[eqn: therefore~cos``left(pi over 3 + alpha right) = cos ` pi over 3 cdot `cos alpha - sin`pi over 3 cdot sin`alpha]

[eqn: = 1 over 2 cdot {2root 2} over 3 - root 3 over 2 cdot 1 over 3]

[eqn: ={2root 2 - root 3} over 6]

□ ①

27

□출제 단원: 미분과 적분 - Ⅱ２함수의 극한

□출제 의도: 삼각함수와 지수함수의 극한을 구할    수 있다.

□평가 요소: 이해능력

□풀이:

[eqn: lim_x~rarrow~0 {e^2x -1} over {tan`x} = lim_x~rarrow~0 {e^2x -1} over 2x cdot x over {tan`x} cdot 2]

[eqn: =2]

□ ④

28

□출제 단원: 미분과 적분 - Ⅲ２미분법

□출제 의도: 우함수, 기함수의 관계를 이해하고     추론할 수 있다..

□평가 요소: 추론능력

□풀이:

[eqn: f(-x)=-f(x)]에서

ㄱ. 양변을 미분하면[eqn: f``'(-x) cdot(-1)=-f``'(x)]이므로

[eqn: f``'(-x)=f``'(x)]  [eqn: therefore] 참

ㄴ. (반례) [eqn: f(x)=x^3 -x]라 하면 [eqn: f(x)]는 이계도함수를 가지고 [eqn: f(-x)=-f(x)]이지만

[eqn: lim_{x~rarrow~0} f``'(x) = lim_{x rarrow 0} ``(3x^2 -1) = -1]

[eqn: therefore~]거짓

ㄷ. [eqn: f``'(-x)=f``'(x)]이므로 도함수 [eqn: f``'(x)]는 우함수이다. 즉, [eqn: x=a~(a neq 0)]에서 극대값을 가지면 [eqn: x=-a]에서 극대값을 갖는다.

[eqn: therefore~]거짓

□ ①

29

□출제 단원: 미분과 적분 - Ⅳ２적분법

□출제 의도: 회전체의 부피의 관계를 이용하여 순    간변화율을 구할 수 있다.

□평가 요소: 외적 문제해결능력

□풀이:

처음 물의 양을 [eqn: m pi]라 하면

[eqn: m pi = pi int_0^u 1 over 3 ydy + pi int_0^v ydy - pi int_0^v 1 over 3 ydy]

[eqn: = pi int_0^u 1 over 3 ydy + pi int_0^v 2 over 3 ydy]

[eqn: = pi ``left[ 1 over 6 y^2 right]_0^u + pi`` left[ 1 over 3 y^2 right]_0^v]

[eqn: = pi over 6 u^2 + pi over 3 v^2]

[eqn: therefore~ 1 over 6 u^2 + 1 over 3 v^2 = m] [eqn: cdots cdots] ㉠

㉠의 양변을 [eqn: u]에 대하여 미분하면

[eqn: 1 over 3 u + 2 over 3 v cdot dv over du = 0,~ dv over du = - 1 over 2 cdot u over v]

따라서 [eqn: v]가 [eqn: u]의 [eqn: 1 over 2]이 되는 순간의 [eqn: dv over du]의 값은

[eqn: dv over du = - 1 over 2 cdot {u over {{1 over 2}u}} = -1 ~left(because~ v= 1 over 2 u right)]

□ ②

30

□출제 단원: 미분과 적분 - Ⅳ２적분법

□출제 의도: 접선의 방정식을 구하여 영역의 넓이    를 구할 수 있다.

□평가 요소: 내적 문제해결능력

□풀이:

[eqn: y=3 root {x-9}]에서 [eqn: y'= 3 over {2 root {x-9}}]

[eqn: x=18]일 때 [eqn: y'= 3 over {2 root {18-9}} = 1 over 2]이므로

점 [eqn: (18,~9)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y= 1 over 2 (x-18)+9 = 1 over 2 x]

따라서 구하는 영역의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S = 1 over 2 times 18 times 9 - { int_9}^18 3 root {x-9} dx]

[eqn: = 81-3 left[ 2 over 3 (x-9) root {x-9} right]_9^18]

[eqn: =81-54=27]

□ [eqn: 27]

≪ 확률과 통계 ≫

26

□출제 단원: 확률과 통계-Ⅰ２자료의 정리와 요약

□출제 의도: 줄기와 잎 그림을 이해하고 평균, 중앙값, 최빈값을 구할 수 있다.

□평가 요소: 이해능력

□풀이:

평균

[eqn: m= {15+19+23+27+28+32+36+36+41+45} over 10]

[eqn: =30.2]

중앙값 [eqn: n= {28+32} over 2 =30]

최빈값 [eqn: f=36]

[eqn: therefore~n＠m＠f]

□ ④

27

□출제 단원: 확률과 통계-Ⅲ２확률변수와 확률분포

□출제 의도: 확률질량함수의 뜻을 알고 조건부확률의 값을 구할 수 있다.

□평가 요소: 내적 문제해결능력

□풀이:

[eqn: SUM from { {x }=0} to 7 {rm P} (X=x) =1]이므로

[eqn: 3c + 3 times 2c + 2 times 5 c^2 = 1,~ 10c^2 + 9c - 1=0]

[eqn: (c+1)(10c-1)=0]   [eqn: therefore~c= 1 over 10 ~(because~cＢ0)]

[eqn: therefore~{rm P}(X=x) = cases { 1 over 10 ~~ (x=0,~1,~2) # 2 over 10 ~~ (x=3,~4,~5) # 1 over 20 ~~ (x=6,~7)}]

[eqn: {rm P}(B) = {rm P}(X□3) = 3 times 2 over 10 + 2 times 1 over 20 = 7 over 10]

[eqn: {rm P}(A smallinter B) = {rm P}(X□6) = 2 times 1 over 20 = 1 over 10]

[eqn: therefore~{rm P}(A | B) ={ {rm P}(A smallinter B)} over {{rm P}(B)} = 1 over 7]

□ ③

28

□출제 단원: 확률과 통계-Ⅱ２확률

□출제 의도: 복원추출의 경우 확률을 구할 수 있다.

□평가 요소: 내적 문제해결능력

□풀이:

주머니에서 빨간 공을 꺼낼 확률은 [eqn: 5 over 20 = 1 over 4]

주머니에서 노란 공을 꺼낼 확률은 [eqn: 4 over 20 = 1 over 5]

주머니에서 파란 공을 꺼낼 확률은 [eqn: 2 over 20 = 1 over 10]

매 시행은 서로 독립이므로 [eqn: 3]번의 시행에서 순서에 관계없이 빨간 공, 노란 공, 파란 공을 각각 하나씩 꺼낼 확률은

[eqn: 3! times 1 over 4 times 1 over 5 times 1 over 10 = 3 over 100]

□ ②

29

□출제 단원: 확률과 통계-Ⅳ２통계적 추정

□출제 의도: 표본비율의 분포를 이해하고 확률을 구할 수 있다.

□평가 요소: 외적 문제해결능력

□풀이:

임의추출한 [eqn: 100]명 중에서 실제 참석자의 비율을 [eqn: hat{p}]라고 하면 구하는 확률은 [eqn: {rm P} LEFT ( 0.43□ hat p □ 0.56 RIGHT )]이다.

이 때, 모비율은 [eqn: p=0.5]이고 [eqn: np=100 TIMES 0.5=50]□[eqn: 5], [eqn: nq=100 TIMES 0.5=50]□[eqn: 5]이므로

[eqn: { Z } = { hat {p} -p } over { sqrt { { pq } over { n } } } = { hat {p} -0.5 } over { sqrt { { 0.5 TIMES 0.5 } over { 100 } } } = { hat { p} -0.5 } over { 0.05 }]

는 표준정규분포 [eqn: { rm N}left(0,`1 right)]에 가까워진다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm { P } (0.43]□[eqn: hat {p}]□[eqn: 0.56][eqn: )]

[eqn: =][eqn: rm { P }][eqn: left ( { 0.43-0.5 } over { 0.05 }□][eqn: Z``][eqn: □{0.56-0.5} over { 0.05 } right )]

[eqn: = rm { P }][eqn: (-1.4]□[eqn: Z]□[eqn: 1.2)]

[eqn: = rm { P }][eqn: (0]□[eqn: Z ``]□[eqn: 1.4)][eqn: + rm { P }][eqn: (0]□[eqn: Z ``]□[eqn: 1.2)]

[eqn: =0.4192+0.3849]

[eqn: =0.8041]

□ ①

30

□출제 단원: 확률과 통계-Ⅳ２통계적 추정

□출제 의도: 모집단의 확률분포로부터 표본평균의 분포를 구할 수 있다.

□평가 요소: 내적 문제해결능력

□풀이:

모집단에서 복원추출한 크기 [eqn: 2]인 표본을 [eqn: (a,~b)]라 하면

[eqn: {bar X}=1.5]인 경우의 표본은 [eqn: (1,~2),~(2,~1)]의 [eqn: 2] 가지이므로 [eqn: a=2]

[eqn: {bar X}=2]인 경우의 표본은 [eqn: {(1,~3)},~{(2,~2)},~{(3,~1)}]의 [eqn: 3]가지이므로 [eqn: b=3]

[eqn: therefore~c=0.5 times 0.3 times 2=0.3,]

[eqn: d=0.5 times 0.2 times 2+0.3 times 0.3=0.29]

[eqn: therefore~100(b+c)=100(3+0.3)=330]

□ [eqn: 330]

≪ 이산수학 ≫

26

□출제 단원: 이산수학 - Ⅱ２그래프

□출제 의도: 완전그래프의 뜻을 이해하고 조합의    수를 구할 수 있다

□평가 요소: 이해능력

□풀이:

완전그래프는 서로 다른 두 꼭지점 사이에 항상 변이 있는 그래프이므로 정십각형 모양의 그래프를 완전그래프로 만들기 위해 필요한 변의 개수는

[eqn: `_10 rm{C}_2 - 10=45-10=35]

□ ②

27

□출제 단원: 이산수학 - Ⅱ２그래프

□출제 의도: 생성수형도의 뜻을 이해하고 경우의    수를 구할 수 있다

□평가 요소: 이해능력

□풀이:

주어진 그래프에서 생성수형도를 만들기 위해서는 회로를 찾아 더 이상 회로가 없을 때까지 변을 제거하여야 하며 그 그래프는 연결된 그래프이어야 한다.

주어진 그래프에서 한 개의 변을 제거하면 회로가 존재하며, 세 개 이상의 변을 제거하면 연결된 그래프가 아니므로 각각의 경우에 생성수형도를 만들 수 없다.

두 개의 변을 제거하면 경우에 따라 생성수형도를 만들 수 있는 데 그 경우의 수는 ([eqn: 7]개의 변 중 두 개의 변을 제거하는 경우의 수)[eqn: -](두 변을 제거해도 수형도가 되지 않는 경우의 수)이다. 즉, 두 변을 제거해도 수형도가 되지 않는 경우는 변 [eqn: xy], [eqn: xu],

[eqn: uv] 중 두 변을 제거하는 경우의 수와 변 [eqn: yz], [eqn: zw], [eqn: vw] 중 두 변을 제거하는 경우의 수의 합이므로

[eqn: 2 times_3{rm C}_2 {=6}]

따라서, 생성수형도의 개수는

[eqn: `` _7 RM{C}_2][eqn: -6=21-6=15]

□ ③

28

□출제 단원: 이산수학 - Ⅰ２선택과 배열

□출제 의도: 집합에서 서로소의 뜻을 이해하고 경                우의 수를 구할 수 있다

□평가 요소: 추론 능력

□풀이:

전체집합

[eqn: U= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5,~6 RIGHT }]이라 할 때, 서로소인 두 집합 [eqn: A,~B]의 순서쌍의 개수는 오른쪽 그림에서

[eqn: A,~B,~(A smallunion B)^C]의 세 영역에 각 원소가 들어가는 경우의 수이므로

[eqn: 3^6 = 729]

□ ①

29

□출제 단원: 이산수학 - Ⅳ２의사결정과 최적화

□출제 의도: 최적화와 알고리즘을 이해하고 최소    시간을 구할 수 있다

□평가 요소: 외적 문제해결능력

□풀이:

가능한 작업의 순서를 생각해 보면

위의 그래프에서 [eqn: rm A]에서 시작하여 [eqn: RM E]나 [eqn: RM F]로 끝나는 경로를 찾으면

·[eqn: RM A~ rarrow~ E]([eqn: 260](분) 소요)

·[eqn: RM A~rarrow~B~rarrow~D~rarrow~F]

([eqn: 210+20+100+150=480](분) 소요)

·[eqn: RM A~rarrow~B~rarrow~C~rarrow~F]

([eqn: 210+20+60+150=440](분) 소요)

이 중 시작에서 마지막 작업까지의 경로 중에서 작업 시간이 가장 긴 경로가 작업을 마치기 위한 최소 작업 시간이므로 구하는 것은 [eqn: 480]분이다.

□ ④

30

□출제 단원: 이산수학 - Ⅲ２알고리즘

□출제 의도: 점화식을 파악하여 일반항을 구한 후                수열의 합을 구할 수 있다

□평가 요소: 내적 문제 해결 능력

□풀이:

자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: n=5^k]일 때

[eqn: f``(5n)=f``(n)+3,~f``(5)=4]이므로

[eqn: f{(5□5^k})=f``({5^k})+3]

즉, [eqn: f``(5^k )=f``(5 cdot 5^{k-1})=f``(5^{k-1})+3]

여기서

[eqn: f{(5^k-1})=f{(5□5^k-2})=f{(5^k-2})+3]

[eqn: f{(5^k-2})=f{(5□5^k-3})=f{(5^k-3})+3]

[eqn: cdots]

[eqn: f{(5^2})=f`(5□5)=f`(5)+3]

이므로

[eqn: f{(5^k})=f(5)+(k-1)□3]

[eqn: =3k+1]

[eqn: therefore sum_{k=1}^10 f{(5^k})= sum_{k=1}^10 {(3k+1)=3 times }1 over 2 times 10 times 11+10]

[eqn: =175]

□ [eqn: 175]