2007학년도 경찰대학 제1차시험(수리영역)

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※ 총 6쪽 25문항입니다. 빠진 쪽이 있는지 확인하여 주십시오.

1. [eqn: 2007 ^{x} =100`,~0.2007 ^{y} =100] 일 때, [eqn: {1} over {x} - {1} over {y}] 의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]      ② [eqn: 1]      ③ [eqn: {3} over {2}]      ④ [eqn: 2]      ⑤ [eqn: {5} over {2}]

2. [eqn: x= {sqrt {3} +1} over {sqrt {3} -1}] 일 때, [eqn: {x ^{3} -5x ^{2} +6x-3} over {x ^{2} -4x+2}] 의 값은?

① [eqn: 1]             ② [eqn: sqrt {3}]             ③ [eqn: -1+ sqrt {3}]

④ [eqn: 1`+ sqrt {3} `]        ⑤   [eqn: 2+ sqrt {3}]

3. 이차정사각행렬 [eqn: A``]에 대하여 [eqn: A`+`E```]의 역행렬이 [eqn: A`-`3E```]일    때, [eqn: A```]의 역행렬은?(단, [eqn: E``]는 단위행렬이다.)

① [eqn: A``-``3E`]                ② [eqn: {1} over {2} `(A``-``3E`)```]

③ [eqn: {1} over {2} `(A``-``2E`)`]            ④ [eqn: {1} over {4} (A``-``3E`)`]

⑤ [eqn: {1} over {4} (A``-``2E`)`]

4. 세 점 [eqn: rm O(0`,````0)`,```` rm A(1`,````1)`,```` rm B(1`,````9)] 가 꼭지점인 삼각형         OAB의 넓이를 직선 [eqn: y=k]가 이등분할 때, 상수 [eqn: k] 의 값은?

① [eqn: {5} over {2}]      ② [eqn: {8} over {3}]      ③  [eqn: 3]      ④ [eqn: {10} over {3}]      ⑤ [eqn: {7} over {2}]

5. [eqn: A`=` pmatrix{~~2~~~~1#-1~````-2}], [eqn: B`=` pmatrix{0~~`-1#1~~~~0} ``]일 때, [eqn: A ^{2n} +B ^{39} `=` pmatrix{````81~~&1#-1~~&81} ``]     을 만족시키는 정수 [eqn: n]의 값은?

① 2       ② 3       ③ 4       ④ 5       ⑤ 6

6. [eqn: 0< theta < pi ``]일 때, [eqn: sin``3 theta ``=``cos`5 theta ``]를 만족하는 [eqn: theta ``]의 개수는?

① 5       ② 6       ③ 7       ④ 8       ⑤ 9

7. 지수방정식 [eqn: (9 ^{x} +9 ^{-x} )-(3 ^{x} +3 ^{-x} )-10=0``]의 두 근을 [eqn: alpha ,```` beta ``]    라 할 때, [eqn: 3 ^{alpha } +3 ^{beta } ``]의 값은?

① 1       ② 3       ③ 4       ④ 6       ⑤ 10

8. 자연수 [eqn: n```]에 대하여 [eqn: {n(n+1)} over {2} ```]을 3으로 나눈 나머지를 [eqn: a _{n} ```]    이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{2007} ``a _{n} ```]의 값은?

① 661     ② 663     ③ 665     ④ 667     ⑤ 669

[eqn: z]	P([eqn: 0 <= rm Z <= it z])
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5	0.1915 0.3413 0.4332 0.4772 0.4938

9. 여론 조사에서 찬성과 반대 의    견이 거의 비슷한 어떤 안건을    투표로 결정하려고 한다. 전체    유권자 10000명 중 최소 [eqn: a``]%가    찬성해야 통과되는 것으로 정    했을 때, 이 안건이 통과될 확    률이 0.0228 이하이기 위한 [eqn: a``]    의 값을 오른쪽 표준정규분포표

를 이용하여 구한 것은?

① 51      ② 52      ③ 53      ④ 54      ⑤ 55

10. 자연수 [eqn: n``]에 대하여 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =( {1} over {4} ) ^{n-1} ``]을 [eqn: C _{n} ``]이라 하자.    원 [eqn: C _{n+1} ``] 의 한 접선에서 원 [eqn: C _{n} ``]의 현에 해당되는 선분의     길이를 [eqn: d _{n} ``]이라고 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `d _{n} ``]의 값은?

[eqn: d _{n}][eqn: C _{n}]

[eqn: C _{n+1}]

① [eqn: 2]      ② [eqn: 2 sqrt {2}]    ③ [eqn: 2 sqrt {3}]    ④ [eqn: 4]      ⑤ [eqn: 2 sqrt {6}]

11. 3자리의 수인 289 의 각 자리수 2, 8, 9 는 2 < 8 < 9 를    만족한다. 이와 같이 2자리 이상의 자연수 중에서 항상 뒤의    자리수가 바로 앞의 자리수보다 더 큰 수를 오름수라고 하    자. 예를 들어 3579 는 오름수이지만 3559 나 3576 은 둘다    오름수가 아니다. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 2자리 오름수의 개수는 36 이다. ㄴ. 4자리 오름수의 개수와 5자리 오름수의 개수는 같다. ㄷ. 3자리 오름수를 크기순으로 작은 수부터 차례로 나열 할 때, 50번째 수는 345 이다.

① ㄱ               ② ㄴ               ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ           ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12. 다음과 같이 귀납적으로 정의된 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT }]에 대하여        [eqn: lim _{n-> INF } {``n ^{2} `a _{n} ``}]의 값은?

[eqn: cases{`a _{1} `=` {1} over {3}&#`a _{n+1} `=` {a _{n}} over {3n`a _{n} `+`1}&} ``]

① [eqn: {1} over {6}]     ② [eqn: {1} over {3}]     ③ [eqn: {1} over {2}]     ④ [eqn: {2} over {3}]     ⑤ [eqn: {5} over {6}]

13.  [eqn: 0 <= x <= 1``]인 임의의 실수 [eqn: x``]에 대하여

[eqn: 2f``(x)+3f``( sqrt {1-x ^{2} `} ``)=x``]일 때, [eqn: f``( {1} over {3} )``]의 값은?

① [eqn: {-2-6 sqrt {2}} over {15} `]    ② [eqn: {-2-3 sqrt {2}} over {15} `]    ③ [eqn: {-2+3 sqrt {2}} over {15} `]

④  [eqn: {2-3 sqrt {2}} over {15} `]     ⑤ [eqn: {-2+6 sqrt {2}} over {15} `]

14. 사람이 약물을 복용한 후 약물의 혈중 농도는 감소하기     시작한다. 어느 약물의 혈중 농도가 매 10시간마다 [eqn: {1} over {2} ``]의 비    율로 감소한다고 하자. 이 약물의 혈중 농도가 지금의 40%    로 줄어드는데 걸리는 시간은?

(단, [eqn: log```2``=``0.3``]으로 계산한다.)

① 13시간 20분     ② 13시간 40분     ③ 14시간

④ 14시간 20분     ⑤ 14시간 40분

15. 두 점 A, B를 지름의 양 끝점으로 하는 원 위에             [eqn: ANGLE rm CAB=45°,~ ANGLE rm DAB=60°] 인 두 점 [eqn: rm C``,`````D] 가 있다.

[eqn: {( TRIANGLE rm CBD``의````넓이) it} over {( TRIANGLE rm CAD``의````넓이) it} ``]의 값은?

(단, [eqn: rm C,````D``] 는  지름 [eqn: rm AB``]에 대하여 서로 맞은편에 있다.)

A

B

C

D

45°

60°

① [eqn: sqrt {2}]     ② [eqn: sqrt {3}]     ③ [eqn: 2]      ④ [eqn: 2 sqrt {2}]    ⑤ [eqn: 2 sqrt {3}]

16. 양의 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: `x-[``x``]`,````[``x``]`,`````x``]가 이 순서대로      등비수열을 이룰 때, [eqn: x-[``x``]``]의 값은?

(단, [eqn: [``x``]``]는 [eqn: x``]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① [eqn: {-1+ sqrt {2}} over {2}]      ② [eqn: {-1+ sqrt {3}} over {2}]      ③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {-1+ sqrt {5}} over {2}]      ⑤ [eqn: {-1+ sqrt {6}} over {2}]

17. 세 양수 [eqn: a,```b,```c```]에 대하여

[eqn: a`+`b`+`c`=` {8} over {3} `], [eqn: ` {1} over {a+b} `+ {1} over {b+c} `+ {1} over {c+a} = {7} over {4} ``]일 때,

[eqn: {a+ {1} over {3}} over {b+c} `+ {b+ {1} over {3}} over {c+a} `+ {c+ {1} over {3}} over {a+b} ``]의 값은?

① [eqn: 2`]     ② [eqn: {9} over {4} `]     ③ [eqn: {5} over {2} `]     ④ [eqn: {11} over {4} `]     ⑤ [eqn: 3`]

18.  연립부등식

[eqn: cases{1```<```[`log _{``4`} `x`] ^{2} `+`[`log` _{`4} `y`] ^{2`} ``<4&#`x`+`y`<`20&}]

을 만족하는 순서쌍 [eqn: (`x`,````y`)``]중에서 [eqn: x`,````y``]가 모두 정수인 순    서쌍의 개수는?

(단, [eqn: [``x``]``]는 [eqn: x``]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

① 66      ② 78      ③ 84      ④ 87      ⑤ 91

19. 정칠각형의 꼭지점 중에서 임의로 세 점을 선택할 때, 이     세 점을 꼭지점으로 하는 삼각형이 둔각 삼각형이 될 확률은?

① [eqn: {2} over {5} `]      ② [eqn: {3} over {7} `]      ③ [eqn: {4} over {7} `]      ④ [eqn: {3} over {5} `]      ⑤ [eqn: {5} over {7} `]

20. 집합 X={[eqn: rm 1`,````2`,````3`,````4`,````5 rm ``]}에서 정의된 함수 [eqn: f```:`X``` -> ``X````] 중    [eqn: f(1)``=``2`], [eqn: f(f(1))``=``3`], [eqn: f(f(2))``=``1`] 을 만족하는 모든 함수     를 [eqn: f _{1} `], [eqn: f _{2} `], [eqn: CDOTS `], [eqn: f _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{n} f _{k} `(3)`f _{k} `(4)`f _{k} `(5)```]의 값은?

① 75     ② 100     ③ 175     ④ 225     ⑤ 250

21. [eqn: sum _{k=1} ^{18} k``2 ^{k} =2 ^{p} +2 ^{q} +2 ^{r} ```] 일 때, [eqn: p+q``+`r```]의 값은?

(단, [eqn: p``], [eqn: q`], [eqn: r```]은 서로 다른 자연수이다.)

① 35      ② 37      ③ 39      ④ 41      ⑤ 43

22. 서로 다른 세 자연수 [eqn: x`], [eqn: y`], [eqn: z`]가 [eqn: {1} over {x} ``+`` {1} over {y} ``+`` {1} over {z} ``>``1```]을

만족할 때, [eqn: {1} over {x} ``+`` {1} over {y} ``+`` {1} over {z} ```]의 최소값은?

① [eqn: {6} over {5} `]      ② [eqn: {7} over {6} `]      ③ [eqn: {13} over {12} `]      ④ [eqn: {31} over {30} `]      ⑤ [eqn: {37} over {36} `]

23. 분수함수 [eqn: f(x)= {ax+b} over {cx+d} ``]가 다음 세 조건을 만족할 때,         [eqn: f(5)``]의 값은?

(단, [eqn: a`,````b`,````c`,````d``] 는 [eqn: 0``]이 아닌 실수이고, [eqn: ad-bc != 0``]이다.)

(가) [eqn: f(1)=1]

(나) [eqn: f(7)=7]

(다) [eqn: x != - {d} over {c}]인 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f(f(x))=x]

① 13      ② 14      ③ 15      ④ 16      ⑤ 17

24. 무승부가 없고, 두 사람이 승패를 겨루는 게임이 있다. 게    임에서 지는 사람은 그 다음 게임에 참가하지 않기로 하고,    A, B, C 세 사람이 이 게임을 15회 실시한 후, 결과를 다음    과 같은 게임성적표에 작성하려고 한다.

선수 회	1	2	⋯	15	승 : ○ 패 : × 불참 : △
A			⋯
B			⋯
C			⋯

아래의 세 조건을 만족하는 서로 다른 게임성적표의 개수는?

(가) 첫 게임은 B와 C가 실시하여 B가 이겼다.

(나) 마지막 게임에서는 A가 졌다.

(다) A는 11승, B는 1승을 하였다.

① 4       ② 5       ③ 6       ④ 8       ⑤ 10

25.  한 변의 길이가 1 인 정사각형 모양의 종이 ABCD 에서

점 A 가 변 CD 위에 오도록 한번 접는다. 이 때, 점 A 와    점 B 가 옮겨진 점을 각각 점 E 와 점 F, 접히는 선을 선분    GH 라고 한다. 사다리꼴 EHGF 의 넓이의 최소값은?

⇨

A

B

C

D

A

B

C

D

E

F

G

H

① [eqn: {1} over {4}]      ② [eqn: {3} over {8}]      ③ [eqn: {1} over {2}]      ④ [eqn: {5} over {8}]      ⑤ [eqn: {3} over {4}]