나 형	수리 영역

	수리 영역	나 형

8

제 2 교시

성명

1

수험 번호

2008학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 문제지

수리 영역

나    형

[eqn: { {1`} over {2} }] [eqn: log_~`` ``2`+log _7 ``{1_`} over {7}]의 값은? [2점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: lim _{ {n`->inf}``} {{6n^2 + n + 1}_` over {n^2 + 1} ^` }]의 값은? [2점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

이차정사각행렬 [eqn: X`]에 대하여

[eqn: left(matrix{ 2&1 #5 &3 } `right)``X`= left(matrix{ 2&1 # 0& 1}` right)]

일 때, [eqn: X`]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -5]

다음 식을 간단히 한 것은? [3점]

[eqn: left (2^x+y +2^x-y `right )^2` - left (2^x+y` -2^x-y `right )^2`]

① [eqn: 2 ^2x]	② [eqn: 2 ^2x+2]	③ [eqn: 2^2x+2y]

④ [eqn: 2^-2y]	⑤ [eqn: 2^-2y+2]

서로 독립인 두 사건 [eqn: A], [eqn: B`]에 대하여

[eqn: \P(A ) = {1_`} over {3`}],  [eqn: \P(A ∪` B` )`= {4_`} over {5`}]

일 때, [eqn: \P(B^c )]의 값은? (단, [eqn: B^c]은 [eqn: B`]의 여사건이다.) [3점]

① [eqn: {1_`} over {10`}]	② [eqn: {1_`} over {5`}]	③ [eqn: {3_`} over {10`}]	④ [eqn: {2_`} over {5`}]	⑤ [eqn: {1_`} over {2`}]

행렬로 나타낸 [eqn: x,```y`]에 관한 연립일차방정식

[eqn: PMATRIX { k-6```& -2 # 2``` &k-1 ` }` PMATRIX { x``& # y `` } = PMATRIX { ~````3`& # -6 ` }]

의 해가 무수히 많을 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤[eqn: 5]

여학생 [eqn: 2]명이 먼저, 남학생 [eqn: 3]명이 나중에 한 명씩 차례로

놀이공원에 입장하려고 한다. 이 학생 [eqn: 5]명이 놀이공원에 입장하는 방법의 수는? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

다음은 [eqn: 1]이 아닌 세 양수 [eqn: a,```b,```c``]에 대하여 세 함수

[eqn: y =log_a```` x,```~y=log_b```` x,```~y=c^x`]

의 그래프를 나타낸 것이다. 세 양수 [eqn: a,```b,```c``]의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? [3점]

① [eqn: a`＞b`＞c``]	② [eqn: a`＞c`＞b`]	③ [eqn: b`＞a`＞c``]

④ [eqn: b`＞c`＞a``]	⑤ [eqn: c`＞b`＞a``]

수열 [eqn: left {`a_n ``right }]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합 [eqn: S_n]이

[eqn: S_n = 2^n + 3^n]일 때, [eqn: lim _{n `->` INF `} {a_n_` over S_n^` }]의 값은? [3점]

① [eqn: {1_`} over {6`}]	② [eqn: {1_`} over {3`}]	③ [eqn: {1_`} over {2`}]	④ [eqn: {2_`} over {3`}]	⑤ [eqn: {5_`} over {6`}]

어느 공장에서 생산되는 건전지의 수명은 평균 [eqn: m`]시간,

[eqn: z]	[eqn: \P`(0`≦`Z ``≦` z)]
[eqn: 1.0] [eqn: 1.5] [eqn: 2.0] [eqn: 2.5]	[eqn: 0.3413] [eqn: 0.4332] [eqn: 0.4772] [eqn: 0.4938]

표준편차 [eqn: 3]시간인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산된 건전지 중 크기가 [eqn: n `]인 표본을 임의추출하여 건전지의 수명에 대한 표본평균을 라 하자.

[eqn: \P`( m`-0.5 ` ≦`][eqn: ≦ m`+0.5)=]0.8664

를 만족시키는 표본의 크기 [eqn: n `]의 값을 위의 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]

① [eqn: 49]	② [eqn: 64]	③ [eqn: 81]	④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 121]

[eqn: n` ≧`2]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 집합 [eqn: A_n`]을

[eqn: A_n` = left {1,``2,``cdots ,```n` right }]이라 하자. 집합 [eqn: A_n`]의 부분집합 중 원소가

[eqn: 2]개인 각 부분집합에서 작은 원소를 뽑아 그 원소들의 평균을

[eqn: a_n`]이라 하자. 다음은 [eqn: a_n = {n+1_`} over {3`}]임을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(1) [eqn: n=2]일 때, [eqn: A_2` = left {1,``2` right }]의 원소가 [eqn: 2]개인

부분집합은 자신뿐이므로 [eqn: a_2 = 1=` {2+1_`} over {3`}]이다.

(2) [eqn: n=k``(k`≧`2)]일 때 성립한다고 가정하면

[eqn: a_k = {k+1_`} over {3`}]이다.

[eqn: A_k+1` = left {1,``2,`` cdots,```k ,``k+1 right }]의 부분집합 중 원소가 [eqn: 2]개인 모든 부분집합은, [eqn: A_k]의 부분집합 중 원소가 [eqn: 2]개인 모든 부분집합에 [eqn: k`]개의 집합

[eqn: left {1,```k+1 right }], [eqn: left {2,```k+1 right }], [eqn: cdots`], [eqn: left {k,```k+1 right }]

을 추가한 것이다. [eqn: A_k]의 부분집합 중 원소가 [eqn: 2]개인 부분집합의 개수는             이므로

(가)

(나)

[eqn: a_k+1 = {~~~~~~~```~~~ + (1+2+ cdots +k`) _`} over { `_k+1 `\C_2 `}]

[eqn: = {k+2_`} over {3`}= {(k+1)+1_`} over {3`}]

이다.

그러므로 (1), (2)에 의하여 [eqn: n` ≧`2]인 모든 자연수 [eqn: n`]에

대하여 [eqn: a_n = {n+1_`} over {3`}]이다.

위 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [4점]

(가)                   (나)

①    [eqn: `_k`\C_2]	[eqn: `_k` \C_2 ⋅{k_`} over {3`}]

②    [eqn: `_k`\C_2]	[eqn: `_k` \C_2 ⋅{k+1 _`} over {3`}]

③ [eqn: `_k+1` \C_2]	[eqn: `_k+1` \C_2 `⋅ {k_`} over {3`}]

④ [eqn: `_k+1` \C_2]	[eqn: `_k+1` \C_2 ` ⋅ {k+1 _`} over {3`}]

⑤ [eqn: `_k+2` \C_2]	[eqn: `_k` \C_2 ⋅{k_`} over {3`}]

그림과 같은 모양의 도로망이 있다. 지점[eqn: rm A]에서 지점[eqn: rm B]까지

도로를 따라 최단 거리로 가는 경우의 수는? (단, 가로 방향 도로와 세로 방향 도로는 각각 서로 평행하다.) [4점]

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정사각형을 [eqn: A_1 `], 그 넓이를

[eqn: S_1`]이라 하자. 정사각형 [eqn: A_1 `]에 대각선을 그어 만들어진 [eqn: 4 `]개의 삼각형의 무게중심을 연결한 정사각형을 [eqn: A_2 `], 그 넓이를 [eqn: S_2`]라 하자. 같은 방법으로 정사각형 [eqn: A_2`]에 대각선을 그어 만들어진 [eqn: 4`]개의 삼각형의 무게중심을 연결한 정사각형을 [eqn: A_3`], 그 넓이를

[eqn: S_3`]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: (n`-1)] 번째 얻은

정사각형을 [eqn: A_n`], 그 넓이를 [eqn: S_n`]이라 할 때, [eqn: SUM from { { n}=1`} to inf S_n`]의 값은?

[4점]

① [eqn: {64_`} over {7`}]	② [eqn: {21_`} over {2`}]	③ [eqn: {72_`} over {7`}]	④ [eqn: {27_`} over {2`}]	⑤ [eqn: {81_`} over {7`}]

[eqn: 0`＜`a``＜`1`]인 실수 [eqn: a`]에 대하여 함수 [eqn: f`(x )]가

[eqn: f`(x)=]	ꀊ ︳ ꀈ ︳ ꀖ	[eqn: {a `^x}] [eqn: -x+1] [eqn: log _a ```x]	[eqn: (`x`＜`0`)] [eqn: (`0` ≦ `x`＜1`)] [eqn: (`x` ≧` 1`)]

일 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: left{ f`(-3`) right} ^5 = f`(-15 )`] ㄴ. 함수 [eqn: y`=f`(x )`]의 그래프와 직선 [eqn: y`=a`]는 한 점에서 만난다. ㄷ. 함수 [eqn: y`=f`(x )`]의 그래프는 직선 [eqn: y`=x`]에 대하여 대칭이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

모든 성분이 양수인 행렬 [eqn: A`=PMATRIX { a & b ``# c & d ``}]에 대하여

행렬 [eqn: L (A )]를 다음과 같이 정의한다.

[eqn: L (A ) = pmatrix { log_2 ```a & ```log_2``` b ` # log_2``` c &```log_2 ```d `` }``]

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: A=PMATRIX { 1& 1 `# 1 & 1 ` }]일 때, [eqn: L (8A ) = 3A`]이다. ㄴ. [eqn: L(A`) = E`]를 만족시키는 행렬 [eqn: A`]는 역행렬을 갖는다. (단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) ㄷ. [eqn: L(A^2` ) = 2L(A)]를 만족시키는 행렬 [eqn: A`]가 존재한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

거리가 [eqn: 3]인 두 점 [eqn: \O,``\O']이 있다. 점 [eqn: \O`]를 중심으로

반지름의 길이가 각각 [eqn: 1,``2,`` cdots ,``n`]인 [eqn: n`]개의 원과 점 [eqn: \O']을 중심으로 반지름의 길이가 각각 [eqn: 1,``2,`` cdots ,``n`]인 [eqn: n`]개의 원이

있다. 이 [eqn: 2n`]개 원의 모든 교점의 개수를 [eqn: a_n`]이라 하자.

예를 들어, 그림에서와 같이 [eqn: a _3 =14], [eqn: a _4 =26]이다.

[eqn: a_ 20]의 값은? [4점]

① [eqn: 214]	② [eqn: 218]	③ [eqn: 222]	④ [eqn: 226]	⑤ [eqn: 230]

어느 회사에서는 두 종류의 막대 모양 과자 [eqn: \A],[eqn: \B]를 생산하고

있다. 과자 [eqn: \A]의 길이의 분포는 평균 [eqn: m`], 표준편차 [eqn: σ_1]인 정규분포이고, 과자 [eqn: \B]의 길이의 분포는 평균 [eqn: m+25], 표준편차

[eqn: σ_2]인 정규분포이다.  과자 [eqn: \A]의 길이가 [eqn: m +10] 이상일 확률과

과자 [eqn: \B]의 길이가 [eqn: m +10] 이하일 확률이 같을 때, [eqn: {σ_2_`} over {σ_1`}]의

값은? [4점]

① [eqn: {3_`} over {2`}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5_`} over {2`}]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7_`} over {2`}]

단 답 형

[eqn: sum _{ k`=`1`} ^{10}_` ( k`+2) ( k`-2)]의 값을 구하시오. [3점]

첫째항이 [eqn: 12], 공비가 [eqn: {1_`} over {3`}]인 등비수열 [eqn: left{a_n` right}]에 대하여 [eqn: sum from n=1 to inf a_n]의 값을 구하시오. [3점]

부등식

[eqn: log_3 {(x -3)} + log_3 `` (x +1) ``＜``` 1+ log_3```` 4]

의 해가 [eqn: a`＜ x`＜b `]일 때, [eqn: ab`]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: x``]에 관한 방정식 [eqn: a^2x -a^x `=2`(a ＞ 0,``` a ``!= 1)]의 해가 [eqn: {1_`} OVER {7`}]이 되도록 하는 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점]

다항식 [eqn: (x +a )^6]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수가 [eqn: x^ 5]의 계수의 [eqn: 50]배일 때, 양의 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점]

이차방정식 [eqn: x^2 -k x + 125 =0]의 두 근 [eqn: alpha `,``beta```(alpha `＜` beta ` )]에

대하여 [eqn: alpha,```beta `-alpha,```beta``]가 이 순서로 등비수열을 이룰 때, 양수 [eqn: k`]의 값을 구하시오. [4점]

어느 스포츠 용품 가게에서는 별(★) 모양이 그려져 있는

야구공 한 개를 포함하여 모두 [eqn: 20]개의 야구공을 한 상자에

넣어 상자 단위로 판매한다. 한 상자에서 [eqn: 5]개의 야구공을 임의추출하여 별(★) 모양이 그려져 있는 야구공이 있으면

축구공 한 개를 경품으로 준다. 어느 고객이 이 가게에서 야구공

[eqn: 3]상자를 구입하여 경품 당첨 여부를 모두 확인할 때, 축구공

[eqn: 2]개를 경품으로 받을 확률은 [eqn: {q_`} over {p`}]이다. [eqn: p`+q`]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p,``q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

음성 신호를 크게 하는 장치를 증폭기라고 한다.

전압 이득이 [eqn: V`]인 증폭기의 데시벨 전압 이득 [eqn: D``]는

[eqn: D`=20log V``]

라고 한다. 전압 이득이 [eqn: V_ k``` (k`=1,``2,`` CDOTS ,```9)]인 증폭기의 데시벨 전압 이득 [eqn: D_ k ```(k`=1,```2,``` CDOTS ,```9 )]는

[eqn: D_k`=20log V_k`][eqn: (k`=1,```2,``` CDOTS ,```9 )]

이다. 증폭기의 전압 이득 [eqn: V_k`]가

[eqn: V_k `= { k+1 }_` over { k } (k`=1,``2,`` CDOTS ,```9)]

인 [eqn: 9]개의 증폭기를 연결하여 얻은 전체 데시벨 전압 이득 [eqn: S_9]가

[eqn: S_ 9 = sum from { k=1 }^` to { 9_` } { D_ k }]

라 할 때, [eqn: S_9]의 값을 구하시오. [4점]

5 지 선 다 형

행렬 [eqn: A`=PMATRIX {0&2`#3&0`}]에 대하여 [eqn: A ^11 =PMATRIX{a&b``#c&d``}]일 때, [eqn: c `]의 값은?

[3점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 2^5 cdot3^5]	③ [eqn: 2^5 cdot3^6]

④ [eqn: 2^6 cdot3^5]	⑤ [eqn: 2^6 cdot3^6]

흰 공 [eqn: 2]개, 노란 공 [eqn: 2]개, 파란 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 주머니가

있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 공의 색깔이 모두 다를 확률은? (단, 모든 공의 크기와 모양은 같다.)

[3점]

① [eqn: {2_`} over {5`}]	② [eqn: {1_`} over {2`}]	③ [eqn: {3_`} over {5`}]	④ [eqn: {7_`} over {10`}]	⑤ [eqn: {4_`} over {5`}]

연속확률변수 [eqn: X`]가 갖는 값의 범위는 [eqn: 0`≦`X``≦`2`]이고 확률밀도함수의 그래프는 다음과 같다.

두 양수 [eqn: a,```b`]에 대하여

[eqn: p_1`= \P(0`≦`X ``≦` a),``` p_2` = \P (a`＜ X` ≦` b),``` p_3` = \P (b`＜X` ≦ `2)]

이다. 세 확률 [eqn: p_1 ,```p_2 ,```p_3]이 이 순서로 등차수열을 이루고 [eqn: a + b = {4_`} over {3`}]일 때, [eqn: b`]의 값은? (단, [eqn: a`＜b`]이다.) [4점]

① [eqn: {11_`} over {12`}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {13_` } over {12`}]	④ [eqn: {7_`} over {6`}]	⑤ [eqn: {5_`} over {4`}]

여학생 [eqn: 100]명과 남학생 [eqn: 200]명을 대상으로 영화 [eqn: \A]와

영화 [eqn: \B]의 관람 여부를 조사하였다. 그 결과 모든 학생은 적어도 한 편의 영화를 관람하였고, 영화 [eqn: \A]를 관람한 학생 [eqn: 150]명 중 여학생이 [eqn: 45]명이었으며, 영화 [eqn: \B]를 관람한 학생 [eqn: 180]명 중 여학생이 [eqn: 72]명이었다. 두 영화 [eqn: \A,``\B]를 모두 관람한 학생들 중에서 한 명을 임의로 뽑을 때, 이 학생이 여학생일 확률은?

[4점]

① [eqn: {31_`} over {60`}]	② [eqn: {8_`} over {15`}]	③ [eqn: {11_`} over {20`}]	④ [eqn: {17_`} over {30`}]	⑤ [eqn: {7_`} over {12`}]

단 답 형

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

두 양수 [eqn: x,```y`]에 대하여

[eqn: log`x = 6+alpha ````` left ( 0 `＜alpha``＜ {1_`} over {4} right )]

[eqn: log`y `= 1+beta `` ``left ( {1_`} over {2} ＜` beta`` ＜ 1 ` right )]

이다. [eqn: {x^2_`} over {y``}]의 정수 부분이 [eqn: n`]자리의 수일 때, [eqn: n`]의 값을 구하시오. [4점]