가형

종로학원·종로학평

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종로학원·종로학평

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― ―

◐ 정 답---------------

1. ④	2. ①	3. ②	4. ②	5. ①

6. ③	7. ③	8. ④	9. ④	10. ③

11. ①	12. ⑤	13. ⑤	14. ②	15. ①

16. ④	17. ⑤	18. 50	19. 16	20. 15

21. 18	22. 13	23. 216	24. 43	25. 20

<미분과 적분>

26. ④	27. ②	28. ③	29. ⑤	30. 83

<확률과 통계>

26. ④	27. ②	28. ③	29. ⑤	30. 30

<이산수학>

26. ④	27. ③	28. ②	29. ⑤	30. 40

1.[eqn: log _3 ` 27 cdot 8^{ { 1} over {3 } }]

[eqn: = log _3 ` 3^3 cdot (2^3 ) ^{ { 1} over {3 } }]

[eqn: = 3 cdot 2 = 6]

답 ④

2. [eqn: A+B = PMATRIX { { -1}& { 0}``# { 0}& { 1}`` } + PMATRIX { { 2}& { 1}``# { 3}& { 3}`` } = PMATRIX { { 1}& { 1}``# { 3}& { 4}`` }]

[eqn: THEREFORE ~ (A+B)^-1][eqn: = {1 } over { 4-3} PMATRIX { { 4}& { -1}``# { -3}& { 1}`` }]

[eqn: = PMATRIX { { 4}& { -1}``# { -3}& { 1}`` }]

따라서, 모든 성분의 합은

[eqn: 4+(-1)+(-3)+1 =1]

답 ①

3. 준식[eqn: = lim from { x ->1 } { (x`-1) (x`+1) ( SQRT { x+3`}+2 )} over {x`-1}]

[eqn: =2 CDOT 4 =8]

답 ②

4. [eqn: x `(x-4) (x-5) `□ `0]……㉠

[eqn: { x-3 } over {x^2 -3x+2 } ` □ ` 0] ………㉡

㉠에서 [eqn: 0 ` □ ` x `` □ ` 4], [eqn: x `` □ ` 5]

㉡에서 [eqn: x ``＠ ` 1], [eqn: 2 `＠ ` x `` □ ` 3]

㉠∩㉡에서 해집합은 [eqn: LEFT { 0, ~ 3RIGHT }]

답 ④

5.

[eqn: bar \HP^` = 4]이므로 [eqn: \P`' LEFT ( {15 } over { 4} , ~ 0 RIGHT )]

또한, [eqn: bar {\FP`'} = BAR {\P`' \Q`'}]이므로 [eqn: \Q `' LEFT ( { 29} over { 4} , ~ 0 RIGHT )]

답 ①

6. 한 모서리의 길이를 [eqn: a`]라 하고 H,[eqn: rmF]에서[eqn: rmbar {AG``}]에 그은 수선의 발을 M이라 하면 오른쪽 그림에서

[eqn: rm TRIANGLE AGH`][eqn: = {1} over {2} bar { \GH``}CDOT bar { \AH``}]

[eqn: = {1} over {2} rmbar {AG``} CDOT bar {HM``}]

이고[eqn: {bar\AH``} = SQRT { 2a``} ,`` {bar\BH``}=ita],[eqn: {bar\AG``} = SQRT { 3a``}]이므로

[eqn: rm bar {HM``} = { SQRT { 6``} } over {3}ita`=rm bar {FM``}]

또, [eqn: {bar\FH``} = SQRT { 2a``}]에서

[eqn: cos `theta][eqn: =rm {bar {HM}^2 + bar {FM}^2 - bar {FH}^2} over {2 CDOT bar {HM``} CDOT bar {FM``}}]

[eqn: = {{6} over {9}a^2 + {6} over {9}a^2 - 2a^2 } over {2CDOT { SQRT { 6``} } over {3}a CDOT { SQRT { 6``} } over {3}a }^` = {-{6} over {9}a^2 } over {{12} over {9} a^2} = - {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE~ cos^2 theta = {1} over {4}]

답 ③

7. [eqn: f`(x) = cases{ 1-x & (x`` ＠ ` 0) # x^2 -1 &( 0 ` □ ` x ``＠ ` 1) # { 2} over {3 } (x^3 -1) & (x `` □ ` 1 )}]

ㄱ. [eqn: lim from { h` ->` -0 } ` { f`(1+h) -f`(1)} over { h}]

[eqn: = lim from { h` ->` -0 } ` {(1+h)^2 -0 } over {h } =2]

[eqn: lim from { h` ->`+0 } ` { {2 } over { 3} ` ((1+h)^3 -1) -0} over { h} = 2]

∴ [eqn: f`' (1)]은 존재하고 미분가능하다. (참)

ㄴ. [eqn: lim from { h` ->` -0} ` { LEFT | f`(h)` RIGHT | - LEFT | f`(0) RIGHT | } _` over {h }]

[eqn: = lim from { h` ->` -0 } ` { LEFT | 1-h` RIGHT | - 1 } _` over {h } = -1]

[eqn: lim from { h` ->` +0 } ` { LEFT | f`(h) RIGHT | - LEFT | f`(0) RIGHT | } _` over {h }]

[eqn: = lim from { h` ->` +0 } ` { LEFT | h^2 - 1 RIGHT |- LEFT | (-1) RIGHT | } _` over {h } =0]

∴ [eqn: LEFT | f`(x) RIGHT |]는 [eqn: x=0]에서 미분 불가능하다. (거짓)

ㄷ. [eqn: lim from { h` ->` -0 } ` { h^k `f` (h) } _` over {h }][eqn: = lim from { h` ->` -0} ` { h^k `(1-h)} over {h }]

[eqn: = lim from { h` ->` -0 } ` h ^k-1 `(1-h)]

[eqn: lim from { h` ->` +0 } ` {h^k ` f`(h) } over {h } = lim from { h` ->` +0 } ` { h^k-1 `(h^2 -1)}]

[eqn: lim from { h` ->` -0 } ` h ^k-1 `(1-h) =lim from { h` ->` +0 } ` { h^k-1 `(h^2 -1)} =0]

에서 [eqn: k `` □ `2]이므로 ㄷ은 참이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

답 ③

8. 그림과 같이 각각의 넓이를

[eqn: S_1 , ~ S_2 , ~ S_3 , ~ S_4]라고 하자.

조건에서 [eqn: S_1 = S_2 + S_3 + S_4]이다.

ㄱ. [eqn: S_1 `Ｂ ` S_2 + S_3]이므로, 다시 원점을 지나지 않는다.

ㄴ. [eqn: INT _0^c v`(t`) `dt = S_1 -S_2 -S_3]

[eqn: INT _c^d v`(t`) `dt = S_4 = S_1 -S_2 -S_3]

[eqn: THEREFORE ~ INT _0^c v`(t`) `dt = INT _c^d v`(t`) ` dt]

ㄷ. [eqn: INT _0^b v`(t`) `dt = S_1 -S_2]

[eqn: INT _b^d `LEFT | v`(t`) RIGHT | `dt = S_3 +S_4]

조건에서 [eqn: S_1 = S_2 + S_3 + S_4], [eqn: S_1 -S_2 = S_3 + S_4]

[eqn: THEREFORE ~ INT _0^b v`(t`) `dt = INT _b^d ` LEFT | v`(t`) RIGHT | `dt]

답 ④

9. ⅰ) [eqn: 0 ` ＠ ` r ``＠ ` 1 ~ ∀ ~ f`(r ) =0]

ⅱ) [eqn: r =1 ~ ∀ ~ f`(r ) =1]

ⅲ) [eqn: 1 `＠ ` r `` ＠ ` 2 ~ ∀ ~ f`(r ) =2]

ⅳ) [eqn: r = 2 ~ ∀ ~ f`(r ) =3]

ⅳ) [eqn: r ``Ｂ `2 ~ ∀ ~ f`(r ) =4]

[eqn: f``(r`)=cases { 0~~(0`＠`r`＠`1)## 1~~(r=`1)## 2~~(1`＠`r`＠`2)## 3~~(`r`=`2)## 4~~(r`>`2) }]

그래프에서

ㄱ. [eqn: f`(2)=3]

ㄴ. [eqn: lim from {r -> 1+0 } `f`(r`)=2 `!= f`(1)=1]

ㄷ. 그래프에서, 구간 (0, 4)에서 불연속점은 2개([eqn: r`=1,``2]일 때)

답 ④

10. 신뢰도 95%이므로 신뢰구간은

[eqn: bar X_` - k cdot { sigma } over { sqrt n_`}^` `□ ` m ` `□ ` bar X_` + k cdot { sigma } over {sqrt n_` }^`]에서

[eqn: bar X_` = 245], [eqn: n=100], [eqn: sigma = 20], [eqn: k = 1.96]을 대입하면

신뢰구간은

[eqn: 245 - 1.96 cdot { 20} over {10 } ` □ ` m `` □ ` 245 + 1.96 cdot { 20} over {10 }]

이 된다.

∴ 만족하는 정수는 7개이다.

답 ③

11. [eqn: 21 = 10+990 TIMES a^-5s]

[eqn: THEREFORE ~ 11 = 990 TIMES a^-5s], [eqn: a^5s = {990 } over {11 } = 90]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: 5s ` log ` a][eqn: = log ` 90]

[eqn: =1+2 `log ` 3]

[eqn: THEREFORE ~ s = {1+2 ` log ` 3} over { 5 ` log ` a }]

답 ①

12.

ㄱ. [eqn: B^-1]가 존재하면

[eqn: B^-1 CDOT B^2 = B^-1 CDOT B`]에서 [eqn: B`=E`](참)

ㄴ.[eqn: (E`-A`)^5][eqn: = E^5 -5A +10`A^2 - 10A^3 +5A^4 -A^5]

[eqn: = E`-5A`+10E`-10A+5E`-A]

[eqn: = 16 (E-A`)=2^4 (E-A`)](참)

ㄷ. [eqn: (E-ABA`)^2][eqn: =E`-2ABA`+ABAABA]

[eqn: = E`-2ABA`+ABBA`( BECAUSE A^2 =E`)]

[eqn: = E`-2ABA`+ABA`( BECAUSE B^2 =B`)]

[eqn: = E`-ABA](참)

답 ⑤

13. 주어진 조건에서

[eqn: A`(n) = LEFT { x ` LEFT | 0 ` ＠ ` x `` □ ` 2^n `RIGHT }]

[eqn: B`(n) = LEFT { x ` LEFT | 0 ` ＠ ` x `` □ ` 4^n `RIGHT }]이다.

ㄱ. [eqn: A(1) = LEFT { x ` LEFT | 0 ` ＠ ` x `` □ ` 2 RIGHT }] (거짓)

ㄴ. [eqn: A(4)][eqn: = LEFT { x ` LEFT | 0 ` ＠ ` x `` □ ` 2^4 RIGHT }]

[eqn: = LEFT { x ` LEFT | 0 ` ＠ ` x `` □ ` 4^2 RIGHT } = B`(2)] (참)

ㄷ. [eqn: A(n) `⊂ ` B(n)]이면

[eqn: 2^n `` □ ` 4^n = 2^2n]  [eqn: THEREFORE ~ n ``□ ` 0]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: B`(-n)][eqn: = LEFT { x ` LEFT | 0 `＠ ` x ``□ ` 4^-n ` RIGHT }]

[eqn: ⊂` A(-n) = LEFT { x ` LEFT | 0 `□ ` x ``□ ` 2^-n ` RIGHT }] (참)

답 ⑤

14. 5개의 공을 상자 A, B, C에 넣는 전체 방법의 수는

[eqn: 3^5 = 243]

합이 13 이상이 되는 경우는

{(1, 2, 3, 4, 5)}, {(1), (2, 3, 4, 5)}, {(2), (1, 3, 4, 5)}

[eqn: THEREFORE ~ 243- (3 + 3 TIMES 2 + 3 TIMES 2 )][eqn: = 228]

답 ②

15. [eqn: a`=k`]일 때, [eqn: b`=3k`+1], [eqn: 3k`+2], …[eqn: ,``3n`]이므로 [eqn: b`]의 경우의 수는 [eqn: 3n`-3k`=``3(n-k`)] ……(가)

[eqn: THEREFORE] 구하는 경우의 수는

[eqn: SUM from { {k}=1} to n-1 3 (n`-k`)][eqn: =3n`(n`-1) - 3 CDOT {n`(n`-1)} over {2}]

[eqn: ={3} over {2} n `(n`-1)] ………(나)

[eqn: THEREFORE lim from { n -> inf } \P_n`= it lim from { n -> inf } {{3} over {2}n (n`-1) } over {{3n`(3n`-1)} over {2!} } ``=`` {1} over {3}]  …(다)

답 ①

16.

[eqn: y= k ` sqrt x_`]가 [eqn: (4n^2 , ~ n^2 )]을 지나면

[eqn: n^2 = k cdot sqrt {4n^2}^`]에서 [eqn: k = {1 } over {2 } n]

[eqn: y = k ` sqrt x_`]가 [eqn: (n^2 , ~ 4n^2 )]을 지나면

[eqn: 4n^2 = k cdot sqrt {n^2 }^`]에서

[eqn: THEREFORE ~ y= k ` sqrt x_`]가 주어진 정사각형과 만날려면

[eqn: {1 } over { 2} n ``□ ` k ``□ ` 4n `]이어야 한다.

ㄱ. [eqn: n = 5]일 때 [eqn: {5 } over {2 } ` □ ` k ``□ ` 20]이므로

[eqn: a_5 = 20-2 =18]

ㄴ. [eqn: n`]이 홀수일 때

[eqn: a_n = 4n - LEFT ( {1 } over { 2} (n+1)-1 RIGHT ) = { 7} over {2 } n + { 1} over {2 }]

[eqn: a_n+2 = 4 (n+2) - LEFT ( { 1} over { 2} (n+3) -1 RIGHT )]

[eqn: = { 7} over {2 } n + { 15} over { 2}]

[eqn: n`]이 짝수일 때

[eqn: a_n = 4n - LEFT ( {1 } over { 2} n RIGHT ) +1 = { 7} over {2 } n + 1]

[eqn: a_n+2 = 4 (n+2) - LEFT ( { 1} over { 2} (n+2) RIGHT ) +1]

[eqn: = { 7} over {2 } n + 8]

[eqn: THEREFORE ~ a_n+2 - a_n = 7]

ㄷ. [eqn: SUM from { k`=`1}^` to 10_` ` a_k]

[eqn: = SUM from { k`=`1}^` to 5_` ` a_2k-1 + SUM from { k`=`1}^` to 5_` a_2k]

[eqn: = SUM from { k`=`1}^` to n_` ` LEFT ( {7 } over {2 } (2k-1) + {1} over { 2} RIGHT )]

[eqn: + SUM from { k`=`1}^` to n_` ` LEFT ( {7 } over {2 } (2k) + 1 RIGHT )]

[eqn: =200]

답 ④

17. 처음 정사각형 넓이를 [eqn: a_1]이라고 하면

[eqn: a_1 = {2 } over { 9}]

[eqn: bar \AB^` ``: ``bar \CD^` = 1 ``: `` {sqrt 2_` } over {3 }]이므로

넓이의 비는 [eqn: LEFT ( {sqrt 2_` } over {3 } RIGHT ) ^2]이다.

[eqn: THEREFORE ~ a_2 = 2 cdot LEFT ( {2 } over {9 } RIGHT ) cdot LEFT ( {2} over {9 } RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ~ a_n][eqn: = 2^n-1 cdot LEFT ( {2 } over {9 } RIGHT ) cdot LEFT ( {2 } over {9 } RIGHT ) ^n-1]

[eqn: = {2 } over {9 } cdot LEFT ( { 4} over { 9} RIGHT ) ^n-1]

[eqn: THEREFORE ~ lim from { n `->` INF } S_n = lim from { n `->` INF } SUM from { k=1} to n {2 } over {9 } cdot LEFT ( {4 } over {9 } RIGHT ) ^k-1 = { {2 } over {9 } } over {1- {4 } over {9 } } = { 2} over { 5}]

답 ⑤

18. [eqn: f` prime (x`) = 4x^3 - 12x^2 + 12x`=4]

[eqn: THEREFORE x^3 - 3 x^2 + 3x`-1 =0]

[eqn: THEREFORE (x`-1)^3 =0]

[eqn: THEREFORE x=1=a`]

[eqn: b``=f`(a`)=7]

[eqn: THEREFORE a^2 +b^2 =50]

답 50

19. 양변에 [eqn: x=1] 대입하면

[eqn: 1-2a+a =0]

[eqn: THEREFORE ~ a=1]

양변을 미분하면

[eqn: f`(x) = 3x^2 -4x +1]

[eqn: THEREFORE ~ f`(3) =16]

답 16

20. [eqn: LEFT | vec \OP^` + vec \OF^` ` RIGHT | = 1]에서, [eqn: BAR \FP^`]의 중점을 [eqn: \Q `]라고 하면

[eqn: LEFT | {vec \OP^` + vec \OF^` } over {2 } RIGHT | = LEFT | vec \OQ^` `RIGHT | = {1 } over { 2}]

한편, [eqn: vec { \F`' \P}^` `]//[eqn: vec \OQ^`]이므로

[eqn: LEFT | vec { \F`' \P}^` ` RIGHT | = bar { \PF`'}^` = 1]이다.

[eqn: BAR { \PF`'}^` + BAR { \PF}^` = 4]이므로, [eqn: BAR \PF^` = k = 3]

[eqn: THEREFORE ~ 5k = 15]

답 15

21.[eqn: rm {vec AB}] //[eqn: {vec h} = (0,`` SQRT { 3`} ,``-1)]에서

[eqn: rm {vec AB} = it(0,`` SQRT { 3`}t ,``-t`)]라 하면

[eqn: rm {vec OB} = rm {vec OA} + rm {vec AB} = it(3, 6+ SQRT { 3`}t ,``-t`)]이고, [eqn: rmB`]는 평면 위의 점이므로 [eqn: SQRT { 3``} (6+ SQRT { 3``}t` )-(-t`)=0]에서 [eqn: t``= - {3 SQRT { 3``} } over {2}]  [eqn: THEREFORE rm {vec OB} = Left ( 3,`` {3} over {2},`` { 3`SQRT { 3``} } over {2 } right)]

[eqn: rm {vec OA} ``CDOT {vec OB} `=` 9`+9 `=18]

답 18

22. [eqn: a_n = d`(n-1)]

[eqn: a_n+1 ` b_n = SUM from { k`=`1}^` to n_` a_k `]에서

[eqn: dx cdot b_n = {d`(n-1) } over {2 } cdot n]

[eqn: THEREFORE ~ b_n = {n-1 } over {2 }]

[eqn: THEREFORE ~ b_27 = 13]

답 13

23. 사면체 [eqn: \PQRS`]의 부피는

[eqn: V][eqn: = {1 } over {3 } TIMES TRIANGLE \PRS` TIMES bar \PQ^`]

[eqn: = {1 } over {3 } TIMES LEFT ( {1 } over {2 } TIMES y` TIMES x ` RIGHT ) TIMES z]

한편, [eqn: bar \QR^` = bar \QS^`]이므로, [eqn: x^2 + z^2 = y^2 + z^2]  [eqn: THEREFORE ~ x=y]

[eqn: THEREFORE ~ V][eqn: = {1 } over {6 } x^2 z]

[eqn: = {1 } over {12 } x^2 (54-3x)] ([eqn: BECAUSE ~ x+ 2y + 2 z = 54])

[eqn: = {1 } over {4 } x^2 (18-x)]

[eqn: V`' = { 3} over {4 } x `(12-x) =0]에서

[eqn: x=12]일 때, 극대이자 최대가 된다.

따라서, 부피의 최대값은 [eqn: {1 } over {4 } TIMES 12^2 TIMES 6 = 216]

답 216

24. A를 원점,[eqn: rm {bar AB``}]가 [eqn: x``]축, [eqn: alpha`]를 [eqn: xy`]평면,[eqn: rm {bar AD``}]를 [eqn: z`]축으로 하는 좌표축을 도입하면[eqn: rm A`(0,``0,``0)], [eqn: rm B`(3,``0,``0)], [eqn: rm C`Left ( { 3} over {2 },``{3} over {2} SQRT { 3``} ,``0 right)], [eqn: rm D`(0,``0,``4)]

[eqn: THEREFORE rm LEFT | vec AB``+ vec DC `RIGHT |^2][eqn: ={ DMATRIX { (3,``0,``0) + Left ( {{3} over {2} CDOT {3} over {2} SQRT { 3``}, -4 } right) }}^2]

[eqn: = LEFT | Left ( {-{9} over {2},``{ 3SQRT { 3``} } over {2},``-4 } right) RIGHT | ^2]

[eqn: = {81} over {4} + {27} over {4}+16`=`27`+`16`=`43]

답 43

25. [eqn: y = k cdot 3^x]

[eqn: P cdot Q `]의 [eqn: x `]좌표를 각각 [eqn: alpha `], [eqn: 2beta `]라 놓으면

[eqn: 3^-alpha = k cdot 3^ alpha] … ㉠

[eqn: -4 cdot 3^{2 alpha } + 8 = k cdot 3^{2 alpha }] … ㉡

㉠에서 [eqn: k = 3^{-2 alpha }]

㉡에 대입하면

[eqn: -4 cdot 3^{2 alpha } + 8 = 3^{-2 alpha } cdot 3^{2 alpha } =1]

[eqn: THEREFORE ~ 3^{2 alpha } = {7 } over { 4}]

[eqn: THEREFORE ~ k = {4 } over {7 }]

[eqn: THEREFORE ~ 35k =20]

답 20

26. (분자)[eqn: =2^x -1]에서

[eqn: lim from { x `->`a } ` (2^x -1)= 2^a -1=0] [eqn: THEREFORE ~ a=0]

[eqn: THEREFORE ~ lim from { x` ->`0 } ` {2^x -1 } over {3 ` sin ` x }][eqn: = lim from { x` ->`0 } ` {1 } over {3 } { x} over { sin ` x } cdot {2^x -1 } over {x }]

[eqn: = {1 } over {3 } TIMES 1 TIMES ln ` 2]  [eqn: THEREFORE ~ b = { 1} over { 3}]

[eqn: THEREFORE ~ a+b = {1 } over {3 }]

답 ④

27. [eqn: f`(a`)= INT _{1 }^{ a} { SQRT { ln x``} } over {x}`dx]

[eqn: SQRT { ln x``} = t``라 ```하면``` { ln x``}=t^2]

[eqn: x`=1 -> t`=0]

[eqn: x`=a -> t`= SQRT { ln a``}]

[eqn: {1} over {x} dx``=2t`` dt]

[eqn: f`(a`)= INT _{ { 0``} }^{SQRT {ln a }} 2t^2``dt``= LEFT [ {2} over {3} t^3 RIGHT ]_0^ {SQRT {ln a }}]

[eqn: = {2} over {3} (ln`a)^{3 over 2}]

[eqn: THEREFORE f`(a^4`)= {2} over {3} (ln a^4`)^{3 over 2} = {2} over {3} CDOT 4^{3 over 2} (ln a`)^{3 over 2} = 8 f`(a`)]

답 ②

28. [eqn: \P_1]과 [eqn: x`]축과 이루는 각을 [eqn: theta `]라 하면

[eqn: \P_1 (cos ` theta , ~ sin ` theta ` )]으로 들 수 있고

접선은 [eqn: x` cos `theta + y ` sin ` theta =1]이 된다.

[eqn: \Q_1 ` LEFT ( {1 } over { cos ` theta } , ~ 0 RIGHT )]이고

삼각형 [eqn: \P_1 \OQ_1]의 넓이는 [eqn: { 1} over { 2} `tan ` theta `]가 된다.

넓이가 [eqn: {1 } over {4 }]이므로

[eqn: tan` theta = { 1} over { 2}]이다.

[eqn: THEREFORE ~ TRIANGLE \OP_2 \Q = { 1} over {2 } cdot tan ` LEFT ( theta + {pi } over {4 } RIGHT )]

[eqn: = {1 } over { 2} cdot {tan ` theta + tan ` { pi} over {4 } } over { 1- tan ` theta cdot tan ` { pi} over {4 }} = {3 } over { 2}]

답 ③

29. [eqn: y = g`(x`)]가 [eqn: f`(x`)]의 점 [eqn: (a, ~ f`(a))]에서의 접선이므로

[eqn: g`(x`) = f`' (a) `(x-a)+ f`(a)]

또, [eqn: g`(x`)]가 점 [eqn: B `(b,~ f`(b))]에서 [eqn: f`(x`)]에 접하므로

[eqn: f`'(a`) = g`' (b) = f`'(b)]

[eqn: h`(x`) = f`(x`) -g`(x`)]에서 [eqn: h' (x`) = f`'(x`) - g`'(x`)]

ㄱ. [eqn: h' (b) = f`' (b) - g`' (b) =0]

ㄴ. [eqn: h`(a) = h`(b) =0]이고 [eqn: h`(x)]가 미분가능하므로 로올의 정리에 의하여, [eqn: h`'(c) =0]인 [eqn: c]가 개구간 [eqn: (a, ~ b)]에 적어도 하나 존재한다.

[eqn: THEREFORE ~ h`' (a) = h`' (b ) = h`' (c ) =0]이므로

[eqn: h`' (x) =0]은 적어도 3개의 실근을 갖는다.

ㄷ. [eqn: h`□ (x) = f``□ (x)]이고, [eqn: h`□ (a) = f ``□ (a) =0]이다.

또한, 점 [eqn: (a, ~ f`(a))]는 [eqn: y = f`(x)]의 변곡점이므로

[eqn: f``□ (x)]는 [eqn: x=a]의 좌우에서 부호가 반대이다.

따라서, [eqn: h`□ (x)]도 같으므로 [eqn: (a,~ h`(a))]는 [eqn: h`(x)]의 변곡점이다.

답 ⑤

30. 시각 [eqn: t`]일 때, 선분[eqn: {bar \OP`}]와 [eqn: x`]축의 양의 방향이 이루는 각을 [eqn: theta`]라 하면 [eqn: left (0 `＠`theta``＠`{pi} over {2} right)]

[eqn: {d theta } over {dt} = {1} over {40}]이고, 점[eqn: \P]의 좌표는 [eqn: (cos theta`,``sin theta`)]이다. 이 때, 어두운 부분의 넓이 [eqn: S`]는

[eqn: S`= {pi} over {2}+ theta + sintheta `cos theta = {pi} over {2}+theta + {1} over {2} sin `2theta]

점 [eqn: \P]가 [eqn: Left ( { SQRT { 3``} } over {2 } ,``{1} over {2} right)]을 지날 때 [eqn: theta`= {pi} over {6}], [eqn: cos theta`= { SQRT { 3``} } over {2}], [eqn: sin theta`= {1} over {2}]이므로

[eqn: {d S} over {dt} =(1+cos 2theta `) `{d theta`` } over {dt``}]

[eqn: =Left ( 1+{1 } over {2 } right) CDOT {1} over {40}= {3} over {80} = {b``} over {a``}]

[eqn: THEREFORE a``+b`=`83]

답 83

확률과 통계

26.[eqn: \P (A ∩ B)= 2 \P (A∩B^C `)]

[eqn: \P (A) TIMES \P (B) = 2 \P (A) TIMES \P (B^C `)] (∵ [eqn: A `], [eqn: B`]는 독립)

[eqn: \P (B)= 2 \P (B^C `)] (∵ [eqn: \P (A) != 0])

[eqn: \P (B)= 2(1- \P (B) )]

[eqn: 3 \P (B)= 2], [eqn: \P (B) = { 2} over { 3}]…㉠

또 [eqn: \P (A^C ∩ B ) = { 1} over {12 }], [eqn: \P (A^C `) TIMES \P ( B ) = { 1} over {12 }]

㉠에서 [eqn: \P (A^C `) TIMES { 2} over { 3} = { 1} over { 12}]

[eqn: \P (A^C` ) = { 1} over { 8}]

[eqn: THEREFORE ~ `P (A) =1- \P (A^C `) =1- {1 } over {8 } = {7 } over {8 }]

답 ④

27. ㄱ. 19가 2개, 56이 1개인 경우도, 위의 히스토그램을 만족하므로 범위는 37인 경우도 있다.

∴ 거짓

ㄴ. 크기순으로 할 때, 중앙값은 9번째 수이므로,

첫 번째 히스토그램에서 30보다 크고 40보다 작다.

두 번째 히스토그램에서 25보다 크고 35보다 작다.

따라서 30보다 크고 35보다 작다. (참)

ㄷ. 구간 (45, 50)에 1개가 있으면, 두 번째 히스토그램에서 구간 (50, 55)에는 수가 없다.

그리고 구간 (55, 65)에 1개가 있으므로, 첫 번째 히스토그램에서 (50, 60) 사이에 2개 있다는 것에 모순된다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ 뿐이다.

답 ②

28. 100권 중 A회사 제품의 개수를 [eqn: X`]라 두면

[eqn: X SIM \B ` LEFT ( 100, ~ {1 } over {10 } RIGHT )]을 따른다.

[eqn: n`]이 충분히 크므로 [eqn: m= 100 TIMES {1 } over {10 } =10],

[eqn: sigma ^2 = 100 TIMES { 1} over {10 } TIMES {9 } over {10 } = 9= 3^2]

에서 [eqn: X SIM \N ` (10, ~ 3^2 )]에 근사된다.

[eqn: \P (X`` □` 13) = \P ` LEFT ( Z `` □ ` { 13-10} over {3 } RIGHT ) = \P ` (Z `` □ ` 1 )]

[eqn: = 0.5- \P `(0 ` □` Z `` □ ` 1 ) =0.5 - 0.3413 = 0.1587]

답 ③

29. ㄱ. [eqn: bar X_A^`` SIM \N ` LEFT ( m, ~ {2^2 } over {7 } RIGHT )], [eqn: bar X_B^`` SIM \N ` LEFT ( m, ~ {2^2 } over {10 } RIGHT )]

이므로 [eqn: \V` ( bar X_A^`` ) ``Ｂ` \V` ( bar X_B^`` )] ∴ 참

ㄴ. [eqn: BAR X_A^``], [eqn: BAR X_B^``]의 분포는 그림과 같다.

따라서

[eqn: \P`( BAR X_A^`` ``Ｂ `m+2 ) `Ｂ ` \P`( BAR X_B^`` ``Ｂ `m+2 )]

그러므로

[eqn: \P`( BAR X_A^`` ``□ `m+2 ) `＠ ` \P`( BAR X_B^`` ``□ `m+2 )]  ∴ 참

ㄷ. [eqn: Z SIM \N`(0, ~ 1^2 )]에서

[eqn: \P `( LEFT | Z ` RIGHT | `□` K `)=0.95]라 두면

[eqn: b-a = 2K ` {2 } over {sqrt 7_` }^`], [eqn: d-a = 2 K ` { 2} over { sqrt 10_` }^`]

[eqn: THEREFORE ~ d-c ` `＠ ` b-a]  ∴ 참

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

답 ⑤

30. 제품의 불량율을 [eqn: p`]라 두면

[eqn: m= 50p], [eqn: {48 } over {25 } = 50p `(1-p`)]

[eqn: 24 = 625p- 625p^2]

[eqn: 625p^2 -625p + 2420 =0], [eqn: (25p-1) (25p-24)=0]

[eqn: THEREFORE ~ p = {1} over {25 } , ~ { 24} over {25 }]

그런데 [eqn: p= {24 } over {25 }]인 경우 [eqn: m `` Ｂ ` 5]이므로, [eqn: p = {1} over {25 }]이다.

[eqn: THEREFORE ~ m= 50 TIMES { 1} over { 25} = 2]이다.

따라서 한 상자에는 평균 2개의 불량품이 들어 있다. 그러므로 한 상자의 평균 애프터서비스 비용은 [eqn: 2a `]이다.

[eqn: 2a = 60000]에서 [eqn: a = 30000]

[eqn: THEREFORE ~ { a} over {100 } =30]

답 30

이산수학

26. 9의 5 분할을 모두 나열하면 다음과 같다.

[eqn: 9][eqn: = 5+1+1+1+1]

[eqn: =4+2+1+1+1]

[eqn: =3+3+1+1+1]

[eqn: =3+2+2+1+1]

[eqn: =2+2+2+2+1]

따라서, 구하는 방법의 수 [eqn: p`(9,~5) =5]이다.

답 ④

27. 각 숫자에 대하여 약수 또는 배수관계에 있는 수를 나열하면

1 ; 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

2 ; 1, 4, 6, 8

3 ; 1, 6

4 ; 1, 2, 8

5 ; 1

6 ; 1, 2, 3

7 ; 1

8 ; 1, 2, 4

따라서, 차수가 3인 꼭지점은 4, 6, 8의 3개이다.

답 ③

28. A에서 H로 가는 경로와 필요한 작업일수를 나열하면 다음과 같다.

A → B → D → F → H : 22일

A → B → E → F → H : 18일

A → B → E → G → H : 19일

A → C → E → F → H : 16일

A → C → E → G → H : 17일

따라서, 작업을 모두 마치는데 필요한 최소의 작업일수는 22일이다.

답 ②

29. [eqn: \A^2]의 대각선에 있는 수는 그래프 각 꼭지점에 있는 차수와 같다. 꼭지점을 순서대로 [eqn: a,~ b,~ c,~ d,~ e`]라 하면 각 꼭지점의 차수는 4, 4, 4, 3, 3이므로 그래프를 그리면 다음과 같다.

ㄱ. 차수가 3인 꼭지점은 [eqn: d`], [eqn: e`]로 2개 있다.  ∴ 참

ㄴ. [eqn: a`]-[eqn: c`]-[eqn: e`]-[eqn: b`]-[eqn: d`]-[eqn: a] 등의 해밀턴 회로를 갖는다.  ∴ 참

ㄷ. [eqn: \A^2]의 모든 성분이 2 이상이므로 경로도 2개 이상이다.  ∴ 참

답 ⑤

30. [eqn: a`]가 대응된 꼭지점의 바로 위쪽에 있는 꼭지점을 [eqn: b`]라 하면 (단, [eqn: a `` != ` 1])

[eqn: b = cases { {a } over {2 } & (a `가~ 짝수) # {a-1 } over {2 } & (a `가~ 홀수) }]

가 성립한다.

33 ∀ 16 ∀ 8 ∀ 4 ∀ 2 ∀ +1

79 ∀ 39 ∀ 19 ∀ 9 ∀ 4 ∀ 2 ∀ 1

따라서, [eqn: 10k = 10 TIMES M ` (33, ~ 79) = 40]이다.

답 40