나 형	수리 영역

	수리 영역	나 형

나    형

제 2 교시

1

성명

수험 번호

8

2009학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 문제지

수리 영역

[eqn: left(`sqrt {2 ^` sqrt {6 ``}`}`right)^4]의 값은? [2점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]	④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

[eqn: lim from {n`->`inf}][eqn: {2n^2 -7n} over {n ^2 +5}]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

이차정사각행렬 [eqn: A]와 두 행렬 [eqn: B`=`pmatrix{3~1`#2~1`}], [eqn: E`=`pmatrix{1~0`#0~1`}]에 대하여 [eqn: BA=B+E`]일 때, 행렬 [eqn: A]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

두 곡선 [eqn: y = 3^x+m], [eqn: y = 3^-x]이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각

[eqn: \A ,```\B]라고 하자. [eqn: rm bar AB =8]일 때, [eqn: m`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

행렬 [eqn: A`=` pmatrix{1&0`#1&1`}]에 대하여 연립방정식 [eqn: A^n `pmatrix {x``#y``} = pmatrix{3``#8``}]의 해가

[eqn: x= alpha ,```y= beta `]일 때, [eqn: alpha `+` beta` =2]가 되게 하는 자연수 [eqn: n`]의 값은?

[3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

로그방정식 [eqn: left(log_3 {x}_` over {`3`} right)^2 `-`20`log_9 `x`+`26=0`]의 두 근을

[eqn: alpha `,``` beta ``]라 할 때, [eqn: alphabeta]의 값은? [3점]

① [eqn: 3^8]	② [eqn: 3^9]	③ [eqn: 3^10]	④ [eqn: 3^11]	⑤ [eqn: 3^12]

두 행렬 [eqn: A= pmatrix{1&0``#0&2``}], [eqn: B=pmatrix{1&a``#b&1``}]에 대하여 이차정사각행렬

[eqn: C`]가 [eqn: AB`=CA]를 만족시킨다. [eqn: ab=4]일 때, 행렬 [eqn: C`]의 모든 성분의 합의 최솟값은? (단, [eqn: a,```b]는 양수이다.) [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: \P_n` (n,~2 ^n `)]에서 [eqn: x`]축,

[eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: \Q_n , ```\R_n]이라 하자. 원점 [eqn: \O]와 점 [eqn: \A(0,```1)]에 대하여 사각형 [eqn: \AOQ_n \P_n]의 넓이를 [eqn: S_n`], 삼각형

[eqn: \AP_n` \R_n]의 넓이를 [eqn: T_n`]이라 할 때, [eqn: lim _{n``-> `` INF } {{T _n_`} over {S_n}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3`}_` over {4}]	③ [eqn: {1`}_` over {2}]	④ [eqn: {1`}_` over {4`}]	⑤ [eqn: 0]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: x`]에 관한 이차방정식

[eqn: (4n ^2 -1)`x ^2 -4nx+1=0]의 두 근이 [eqn: alpha _n , ``` beta _n] ([eqn: alpha _n`` ＞ beta _n `])일 때,

[eqn: sum from n=1 to inf LEFT ( alpha _n - beta _n RIGHT ) `]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=2log_2 ``x] 위의 한 점 [eqn: \A]를 지나고

[eqn: x`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y= 2^x-3]과 만나는 점을[eqn: \B]라 하자. 점 [eqn: \B]를 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2log_2 ``x]와 만나는 점을 [eqn: \D]라 하자. 점 [eqn: \D]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y= 2^x-3]과 만나는 점을 [eqn: \C]라 하자.

[eqn: rm bar AB =2], [eqn: rm bar BD =2]일 때, 사각형 [eqn: \ABCD]의 넓이는? [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 1+root2]	③ [eqn: {5_`} over2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 2+root2]

양수 [eqn: x`]에 대하여 상용로그 [eqn: logx`]의 지표가 [eqn: n`]일 때,

[eqn: f`(x)=(-1) ^n `]이라 하자. <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f`(100)=1] ㄴ. [eqn: f`(x) =-1]이면 [eqn: f`(100x) =-1]이다. ㄷ. [eqn: f`(x _1 )=1], [eqn: f`(x _2 )=1]이면 [eqn: f`(x _1 x _2 `)=1]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

자연수 [eqn: n]과 [eqn: 0`≦`p`＜`r``≦`n+1], [eqn: 0`≦`q`＜`s``≦`n]을 만족시키는

네 정수 [eqn: p,```q,``` r,``` s`]에 대하여 좌표평면에서 네 점 [eqn: \A(p,``` q`)],

[eqn: \B(r,``` q`)], [eqn: \C(r,``` s`)], [eqn: \D(p,```s`)]를 꼭짓점으로 하고 넓이가 [eqn: k^2 `]인 정사각형의 개수를 [eqn: a_k `]라고 하자. 다음은 [eqn: SUM from { { k}=1 ^`} to n_` a_k `]의 값을 구하는 과정이다. (단, [eqn: k]는 [eqn: n``]이하의 자연수이다.)

그림과 같이 넓이가 [eqn: k^2]인 정사각형

[eqn: \ABCD]를 만들 때, 두 점 [eqn: \A,``\B]의

[eqn: y`]좌표가 주어지면 [eqn: x`]좌표의 차가 [eqn: r-p=k]인 변 [eqn: \AB]를 택하는 경우의

수는  이다. 또 두 점

(가)

[eqn: \A,``\D]의 [eqn: x`]좌표가 주어지면 [eqn: y`]좌표의 차가 [eqn: s-q=k]인

변 [eqn: \AD]를 택하는 경우의 수는  이다. 따라서

(나)

[eqn: a_k = (n+1)(n+2) - (2n+3)k + k^2]

이다. 그러므로

[eqn: sum from {k=1 ^`} to {n_`} a_k &= sum from {k=1 ^`} to {n_`} left { (n+1)(n+2) - (2n+3)k + k^2 ` right }]

[eqn: =]

(다)

(가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은 것은? [3점]

(가)              (나)                (다)

① [eqn: n-k+1]	[eqn: n-k+2]     [eqn: {n(n+1)(n+2)_`} over 6]

② [eqn: n-k+2]	[eqn: n-k+1]     [eqn: {n(n+1)(n+2)_`} over 6]

③ [eqn: n-k+1]	[eqn: n-k+2]     [eqn: {n(n+1)(n+2)_`} over {3}]

④ [eqn: n-k+2]	[eqn: n-k+1]     [eqn: {n(n+1)(n+2)_`} over3]

⑤ [eqn: n-k+1]	[eqn: n-k+2]     [eqn: {n(n+1)(n+2)_`} over2]

실외 공기 중의 이산화탄소 농도가 [eqn: 0.03%]일 때, 실내 공간 에서 공기 중의 초기 이산화탄소 농도 [eqn: c`(0)(%)]를 측정한 후,

[eqn: t``]시간 뒤의 실내 공간의 이산화탄소 농도 [eqn: c`(t`)(%)]와 환기량

[eqn: Q`( \m^3]/시)의 관계는 다음과 같다.

[eqn: Q=`k` TIMES { V_`} over { t}log { c`(0) -0.03_`} over { c`(t`) - 0.03}]

(단, [eqn: k`]는 양의 상수이고, [eqn: V ( \m^3 )]는 실내 공간의 부피이다.)

실외 공기 중의 이산화탄소 농도가 [eqn: 0.03%]이고 환기량이 일정할 때, 초기 이산화탄소 농도가 [eqn: 0.83 %]인 빈 교실에서 환기를 시작한 후 [eqn: 1]시간 뒤의 이산화탄소 농도를 측정하였더니 [eqn: 0.43%] 이었다. 환기를 시작한 후 [eqn: t`]시간 뒤에 이산화탄소 농도가 [eqn: 0.08%]가 되었다. [eqn: t`]의 값은? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

그림과 같이 길이가 [eqn: 8]인 선분 [eqn: \AB]가 있다.

선분 [eqn: \AB]의 삼등분점 [eqn: \A_1 ,`` \B_1]을 중심으로 하고 선분 [eqn: \A_1 \B_1]을 반지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 [eqn: \P_1 ,``\Q_1] 이라고 하자.

선분 [eqn: \A_1 \B_1]의 삼등분점 [eqn: \A_2 ,``\B_2]를 중심으로 하고 선분 [eqn: \A_2 \B_2]를 반지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 [eqn: \P_2 ,``\Q_2]

라고 하자.

선분 [eqn: \A_2 \B_2]의 삼등분점 [eqn: \A_3 ,``\B_3]을 중심으로 하고 선분 [eqn: \A_3 \B_3]을 반지름으로 하는 두 원이 서로 만나는 두 점을 각각 [eqn: \P_3 ,``\Q_3] 이라고 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 두 호 [eqn: \P_n \A_n \Q_n }`],

[eqn: \P_n \B_n \Q_n]의 길이의 합을 [eqn: l_n]이라 할 때, [eqn: sum from n=1 to inf l_n]의 값은? [3점]

① [eqn: {10_` } over 3 pi]	② [eqn: 4pi]	③ [eqn: {14_` } over 3 pi]

④ [eqn: {16_` } over 3 pi]	⑤ [eqn: 6pi]

그림과 같이 나무에 [eqn: 55]개의 전구가 맨 위 첫 번째 줄에는

[eqn: 1]개, 두 번째 줄에는 [eqn: 2]개, 세 번째 줄에는 [eqn: 3]개, …, 열 번째 줄에는

[eqn: 10]개가 설치되어 있다.

전원을 넣으면 이 전구들은

다음 규칙에 따라 작동한다.

(가) [eqn: n`]이 [eqn: 10] 이하의 자연수일 때, [eqn: n`]번째 줄에 있는 전구는 [eqn: n`]초가 되는 순간 처음 켜진다.

(나) 모든 전구는 처음 켜진 후 [eqn: 1]초 간격으로 꺼짐과 켜짐을 반복한다.

전원을 넣고 [eqn: n`]초가 되는 순간 켜지는 모든 전구의 개수를

[eqn: a_n]이라고 하자. 예를 들어 [eqn: a_1 =1,```a_2 =2,```a_4 = 6,```a_11 =25] 이다. [eqn: sum from {n=1} to {14_`} a _n]의 값은? [3점]

① [eqn: 215]	② [eqn: 220]	③ [eqn: 225]	④ [eqn: 230]	⑤ [eqn: 235]

공차가 [eqn: d_1 , ``` d_2]인 두 등차수열 [eqn: left { a_n ` right } , `` left {b_n` right} `]의 첫째항부터

제 [eqn: n`]항까지의 합을 각각 [eqn: S_n , `` T_n]이라 하자.

[eqn: S_n T_n = n^2 (n^2 -1 )]

일 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a_n =n]이면 [eqn: b_n = 4n-4]이다. ㄴ. [eqn: d_1 `` d_2 =4] ㄷ. [eqn: a_1 ne 0]이면 [eqn: a_n =n]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: y= log_2` |`5x`|]의 그래프와 함수 [eqn: y = log_2 `(x+2)]의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: \A, ```\B]라고 하자.

[eqn: m`＞2]인 자연수 [eqn: m`]에 대하여 함수 [eqn: y= log_2 `|`5x`|]의 그래프와 함수 [eqn: y=log_2` (x+m)]의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: \C (p,```q`),```\D (r,```s`)]라고 하자. <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, 점[eqn: \A]의 [eqn: x`]좌표는 점[eqn: \B]의 [eqn: x`]좌표보다 작고 [eqn: p＜r`]이다.) [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: p`＜ - { 1_`} over 3 ,``` r``＞ {1_`} over 2] ㄴ. 직선 [eqn: \AB]의 기울기와 직선 [eqn: \CD]의 기울기는 같다. ㄷ. 점 [eqn: \B]의 [eqn: y`]좌표와 점 [eqn: \C]의 [eqn: y`]좌표가 같을 때, 삼각형 [eqn: \CAB]의 넓이와 삼각형 [eqn: \CBD]의 넓이는 같다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단 답 형

공비가 [eqn: {1_`} over 5]인 등비수열 [eqn: left{ a_n `right}]에 대하여 [eqn: sum from n=1 to inf a_n = 15]일 때, 첫째항 [eqn: a_1]의 값을 구하시오. [3점]

자연수 [eqn: n`]과 [eqn: 8] 이하의 자연수 [eqn: a`]에 대하여

[eqn: {pmatrix { a``````3`#`0`````a``}}^n]의 [eqn: (1,```1)] 성분과 [eqn: (1,```2)] 성분이 같을 때, 가능한 모든

[eqn: a`]의 곱을 구하시오. [3점]

함수 [eqn: f`(x) =2^-x]에 대하여

[eqn: f`(2a)][eqn: f`(b) =4,``` f`(a-b)=2]

일 때, [eqn: 2^3a +2^3b]의 값은 [eqn: {q_`} over p]이다. [eqn: p`+q`]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [3점]

두 수열 [eqn: LEFT {a_n ` RIGHT } `], [eqn: ` LEFT { `b _n` RIGHT }]이 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a_n`` =`5n`+1]

[eqn: b_1 =1,~b_ n+1`-b_n` =n+1`]

을 만족시킨다. [eqn: 10] 이하인 두 자연수 [eqn: k`, ```l`]에 대하여 [eqn: a_k]와

[eqn: b_l`]의 곱이 홀수가 되는 순서쌍[eqn: (k,```l``)]의 개수를 구하시오. [4점]

두 자리의 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: log_9 `n - [log_9 ` n`]]이 최대가 되는 [eqn: n`]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: [x`]]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점]

다음 순서도에서 인쇄되는 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: log x]의 지표가 [eqn: 4]이고 [eqn: log y]의 지표가 [eqn: 1]일 때,

[eqn: left(log {x_`} over y right)`left(log {y_`} over x right)]의 값 중에서 정수의 개수를 구하시오. [4점]

그림과 같은 모양의 종이에 서로 다른 [eqn: 3]가지 색을 사용하여 색칠하려고 한다. 이웃한 사다리꼴에는 서로 다른 색을 칠하고, 맨 위의 사다리꼴과 맨 아래의 사다리꼴에 서로 다른 색을 칠한다.

[eqn: 5]개의 사다리꼴에 색을 칠하는 방법의 수를 구하시오. [4점]

5 지 선 다 형

부등식 [eqn: |`a-log_2 `` x` `|`≦1]을 만족시키는 [eqn: x`]의 최댓값과 최솟값의 차가 [eqn: 18]일 때, [eqn: 2^a `]의 값은? [3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

부등식 [eqn: 1＜m^n-5 `＜n^m-8]을 만족시키는 자연수 [eqn: m,```n`]에 대하여

[eqn: A = m ^{ {1`}_` over m-8}] ‧ [eqn: n^{ {1`}_` over n-5}}]

[eqn: B = m^{-{ {1`}_` over m-8}}] ‧ [eqn: n ^{ {1``}_` over n-5}}]

[eqn: C = m^{ {1`}_` over m-8}] ‧ [eqn: n^ {- {1`}_` over n-5}]

이라고 할 때, [eqn: A,~B,~C`]의 대소 관계로 옳은 것은? [4점]

① [eqn: A`＞B`＞C`]	② [eqn: A `＞C`＞B`]	③ [eqn: B`＞A`＞C`]

④ [eqn: B`＞C`＞A`]	⑤ [eqn: C`＞A`＞B`]

자연수 [eqn: n``]의 모든 양의 약수를 [eqn: a_1 , ``` a_2 ,``` cdots , ``` a_k]라 할 때,

[eqn: x_n = (-1)^a_1 + (-1)^a_2 + cdots + (-1) ^a_k]

이라 하자. <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: x_8 = 2] ㄴ. [eqn: n=3^m `]이면 [eqn: x_n = -m+1 `]이다. ㄷ. [eqn: n= 10^m `]이면 [eqn: x_n = m^2 -1 `]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

자연수 [eqn: n`]에 대하여 집합 [eqn: left{k∣1≦k`≦2n,```k]는 자연수[eqn: right}]의

세 원소 [eqn: a,```b,```c``]([eqn: a`＜`b``＜`c`])가 등차수열을 이루는 집합

[eqn: left{a,```b,```c`right}]의 개수를 [eqn: T_n]이라 하자. [eqn: lim_n→∞ {T_n}_` over n^2]의 값은? [4점]

① [eqn: {1_`}over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3_`} over2]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5_` }over2]

단 답 형

[eqn: {4`}_` over {4}]박자는 4분음을 한 박으로 하여 한 마디가 네 박으로 구성된다. 예를 들어 [eqn: {4`}_` over {4}]박자 한 마디는 [eqn: 4]분 음표(♩) 또는

[eqn: 8]분 음표(♪)만을 사용하여 ♩♩♩♩ 또는 ♪♩♪♩♩와 같이 구성할 수 있다. [eqn: 4]분 음표 또는 [eqn: 8]분 음표만 사용하여 [eqn: {4`}_` over {4}]박자의 한 마디를 구성하는 경우의 수를 구하시오.

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

[4점]