◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

수 리 영 역

‘나’형

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수 리 영 역

‘나’형

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2007학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시           수 리 영 역

성명			수험번호						3

‘나’형

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1

8

1. [eqn: 2 ^{`a} `=3,~2 ^{`b} `=45`]일 때, [eqn: 2` ^{2a-b} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 5`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: {1} over {4} `]	⑤ [eqn: {1} over {5`}]

2. [eqn: log` _{2} ``(log _{`2} `3)`+log` _{2} (log _{`3} `4)`]의 값은? [2점]

① [eqn: 0`]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: log` _{3} `4`]	④ [eqn: log` _{2} `3`]	⑤ [eqn: 2`]

3. 등식 [eqn: pmatrix{``2``&`1``#``3``&2``} `X```=` pmatrix{````````3&``1``#`-2&``4``} `]를 만족시키는 행렬 [eqn: X``]의 모든 성분의 합은? [2점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 0`]	③ [eqn: -1`]	④ [eqn: -2`]	⑤ [eqn: -3`]

4. [eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( sqrt {n ^{2} + {n} over {2}} -n`` RIGHT ) `]의 값은? [3점]

① [eqn: 1over8]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: ROOT2 over 4]	④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: root2 over 2`]

5. 이차정사각행렬 [eqn: A`]의 [eqn: (i,~j)`]성분 [eqn: a_ij`]를

[eqn: a _{ij} = LEFT [ {3i-j} over {2} ` RIGHT ] `] ([eqn: i=1,~2,~`j=1,~2`])

로 정의할 때, 행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은? (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ] `]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [3점]

2

8

① [eqn: 5`]	② [eqn: 6`]	③ [eqn: 7`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 9`]

6. 이차정사각행렬 [eqn: A`]와 단위행렬 [eqn: E``]에 대하여 [eqn: A ^{2} +E```=`A``]가

성립할 때, [eqn: A-E``]의 역행렬은? [3점]

① [eqn: -A]	② [eqn: E-A]	③ [eqn: A-E]

④ [eqn: A]	⑤ [eqn: A+E]

7. 공차가 [eqn: d``(d != 0)]인 등차수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ``]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { `T _{n} ` RIGHT } ``]을

[eqn: T _{n} =a _{1} -`a _{2} +`a _{3} -`a _{4} ``+`…``+`(-1) ^{n-1} a _{n} `] ([eqn: n=1,~2,~3,~cdots`])

으로 정의할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: T _{4} =2d``] ㄴ. [eqn: T_5 = a_3`] ㄷ. 수열 [eqn: LEFT { T _{2n} RIGHT } `]은 등차수열이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

8. 수열 [eqn: LEFT { `a_n ` RIGHT }``]에 대하여 [eqn: S _{n} =sum_k=1^n a_k`]라 하자.

[eqn: lim _{n -> INF } {} {S _{n}} over {n ^{2}} `= {1} over {2} ``]일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {sum _{k=1} ^{n} (2+a _{k} )} over {sum _{k=1} ^{n} (2k+a _{k} )} ``]의 값은? [3점]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 1``]	③ [eqn: 1over 2``]	④ [eqn: 1over3``]	⑤ [eqn: 1over4``]

9. [eqn: a_1`=2`], [eqn: a_n+1`=10`a_n +81`] ([eqn: n=1,~2,~3,~cdots`])로 정의된 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } `]이 있다. 이때 [eqn: a _{10} ``]의 각 자리의 수의 합은? [3점]

① [eqn: 68`]	② [eqn: 70`]	③ [eqn: 72`]	④ [eqn: 74`]	⑤ [eqn: 76`]

3

8

10. 좌표평면에서 두 점 [eqn: (2,```0),~(0,```4)``]를 지나는 직선 위의 점 [eqn: rm P it (a,~b)``]가 등식 [eqn: 4 ` ^{a} `-2 ` ^{b``} =6``]을 만족할 때, [eqn: 4 ` ^{a} `+2 ` ^{b``} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 8`]	② [eqn: 9`]	③ [eqn: 10`]	④ [eqn: 11`]	⑤ [eqn: 12`]

11. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 상용로그 [eqn: log ``2^n`]의 지표를 [eqn: a_n`]이라 할 때, 수열 [eqn: "{"`b _{n} "}"``]을

[eqn: b _{n} =]	[eqn: cases{&#&}]	[eqn: 1``````````(a _{n+1} >a _{n} )] [eqn: 0``````````(a _{n+1} =`a _{n} )]	([eqn: n=1,~2,~3,~cdots`])

으로 정의한다. [eqn: sum _{k=1} ^{200} b _{k} `]의 값은? (단, [eqn: log``2``=`0.3010`]이다.) [4점]

① [eqn: 68``]	② [eqn: 66``]	③ [eqn: 64``]	④ [eqn: 62``]	⑤ [eqn: 60``]

12. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]이

[eqn: a _{1} =1,~``a _{2} =2``,~``a _{n+2} =`2a _{n+1} +a _{n} `] ([eqn: n=1,~2,~3,~cdots`])

으로 정의될 때, 다음은 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: a _{4n} ``]은 [eqn: 12``]의 배수임을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(i) [eqn: n=1`]일 때, [eqn: a _{4} =``]      이므로 성립한다.

(ii) [eqn: n=k``]일 때, [eqn: a _{4k} ``]가 [eqn: 12``]의 배수라고 가정하면

[eqn: a _{4(k+1)} =``2a _{4k+3} ```+``a _{4k+2} ``]

[eqn: =``````````````````````````a _{4k+2} ```+`2`a _{4k+1} ```]

[eqn: =``````````````````````````a _{4k+1} ```+```````````````````````````a _{4k} ```]

따라서 [eqn: a _{4(k+1)} ``]은 [eqn: 12``]의 배수이다.

그러므로 (i), (ii)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: a _{4n} ``]은 [eqn: 12``]의 배수이다.

(다)

(라)

(나)

(가)

위의 과정에서 (가), (나), (다), (라)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a,```b,```c,```d``]라 할 때, [eqn: a``+`b``+`c``+`d``]의 값은? [3점]

① [eqn: 31`]	② [eqn: 32`]	③ [eqn: 33`]	④ [eqn: 34``]	⑤ [eqn: 35``]

13. 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여 상용로그 [eqn: log ``x``]의 가수를 [eqn: f(x)``]라 하자.

[eqn: 50``]의 모든 양의 약수의 집합을 [eqn: "{"a_1 ,~a_2 ,~a_3 ,~cdots~,~a_n ``"}"`]이라 할 때, [eqn: sum_k=1^n f`(a_k )``]의 값은? [4점]

4

8

① [eqn: log` 5``]	② [eqn: 2` log` 5``]	③ [eqn: 3` log` 5``]

④ [eqn: 5` log` 5``]	⑤ [eqn: 6` log` 5``]

14. [eqn: a,~b,~c``]가 서로 다른 세 실수일 때,

이차함수 [eqn: f(x)=ax ^{2} +2bx+c`]에 대한 <보기>의 설명 중 옳은

것을 모두 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: a,~b,~c``]가 이 순서로 등차수열을 이루면 [eqn: f(1) =4b]이다. ㄴ. [eqn: a,~b,~c``]가 이 순서로 등차수열을 이루면 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 [eqn: x`]축과 서로 다른 두 점에서 만난다. ㄷ. [eqn: a,~b,~c``]가 이 순서로 등비수열을 이루면 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 [eqn: x`]축과 만나지 않는다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. [eqn: 0<x<16``]일 때, 수열 [eqn: LEFT { LEFT ( sqrt {2} `sin {pi } over {8} x RIGHT ) ^{n} RIGHT } ``]이 수렴하도록 하는

자연수 [eqn: x``]의 개수는? [4점]

① [eqn: \5``]	② [eqn: 7``]	③ [eqn: 9``]	④ [eqn: 11``]	⑤ [eqn: 13``]

16. 그림과 같이 각 단의 부피가 일정한 비율로 감소하는 [eqn: 8``]단 케이크를 만들었다. 이 케이크의 제 [eqn: 2`]단의 부피를 [eqn: p``], 제 [eqn: 4`]단의 부피를 [eqn: q``]라 할 때, 제 [eqn: 8`]단의 부피를 [eqn: p``]와 [eqn: q``]로 나타낸 것은? [4점]

① [eqn: {`q ^{3}} over {p ^{2}} ``]	② [eqn: {`q ^{2}} over {p ^{2}} ``]	③ [eqn: {`p ^{3}} over {`q ^{2}} ``]

④ [eqn: {``p^{3}} over {q} ``]	⑤ [eqn: {``p ^{2}} over {q} ``]

17. 철수는 집에서 [eqn: 5`]km 떨어진 학교에 갈 때, 처음 [eqn: x`]km 는 매시 [eqn: 4`]km의 속력으로 걸어서 가고, 나머지 [eqn: y`]km 는 매시 [eqn: 8`]km 의 속력으로 뛰어서 간다. 그리고 학교에서 집으로 올 때는 처음 [eqn: y`]km 는 매시 [eqn: 4`]km 의 속력으로 걸어서 오고, 나머지 [eqn: x`]km 는 매시 [eqn: 8`]km 의 속력으로 뛰어서 온다. 철수가 학교에서 집으로 올 때 걸리는 시간은 집에서 학교로 갈 때 걸리는 시간보다 [eqn: 15`]분이 더 걸린다고 한다. 이를 만족하는 [eqn: x,``y``]에 대하여 등식

[eqn: pmatrix{`1```&p`#`1``&q`} ` pmatrix{`x`#`y`} `= pmatrix{```````5#`-2`}]

가 성립할 때, [eqn: p-q``]의 값은? (단, [eqn: p,~q``]는 상수이다.) [4점]

5

8

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

단답형(18 ~ 25)

18. 등비수열 [eqn: "{"a _{n} "}"`]에 대하여

[eqn: a _{7} =12``],	[eqn: {a _{6} `a _{10}} over {a _{5}} =36`]

이 성립할 때, [eqn: a _{15} `]의 값을 구하시오. [3점]

19. 이차정사각행렬 [eqn: A``]에 대하여

[eqn: A+A ^{-1} =``pmatrix{-1&```2``#~~6&```1``} ``]

일 때, [eqn: A ^{2} +(A ^{2} ``)` ^{-1} ``]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

20. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix{``1```-1``#``1``````````1``} ,`````E= pmatrix{``1``&``0``#``0``&``1``}``]에 대하여

[eqn: A ^{n} =k`E``] ([eqn: k``]는 실수)

를 만족시키는 [eqn: 1000``]이하의 자연수 [eqn: n``]의 개수를 구하시오. [3점]

21. 그림과 같이 두 직선 [eqn: y=`x`], [eqn: y=a`(`x-1)`] ([eqn: a>1])의 교점에서 오른쪽 방향으로 [eqn: y]축에 평행한 [eqn: 14`]개의 선분을 같은 간격으로 그었다.

이들 중 가장 짧은 선분의 길이는 [eqn: 3`]이고, 가장 긴 선분의 길이는 [eqn: 42`]일 때, [eqn: 14`]개의 선분의 길이의 합을 구하시오. (단, 각 선분의 양 끝점은 두 직선 위에 있다.) [3점]

6

8

22. [eqn: n`]개의 항으로 이루어진 등차수열 [eqn: a _{1} ,~a _{2} ,~a _{3} ,~ CDOTS ~,~a _{n} `]이 다음 조건을 만족한다.

(가) 처음 [eqn: 4`]개 항의 합은 [eqn: 26`]이다.

(나) 마지막 [eqn: 4`]개 항의 합은 [eqn: 134`]이다.

(다) [eqn: a _{1} +`a _{2} +`a _{3} +`` CDOTS `+`a _{n} =260]

이때 [eqn: n`]의 값을 구하시오. [4점]

23. 다음 순서도에서 인쇄되는 [eqn: S``]의 값을 구하시오. [4점]

24. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 [eqn: f(`x),~g(`x)``]가 다음 조건을 만족한다.

7

8

(가) [eqn: f(`x)``]의 값은 정수이다.

(나) [eqn: 0<=`g(`x)`<1`]

(다) [eqn: 2 ^{`f(`x)-g(`x)} =x``]

이때 [eqn: f(4)+f(1000)``]의 값을 구하시오. [4점]

25. [eqn: 2500``rmL`]의 물을 저장할 수 있는 물탱크에 현재 [eqn: 1200`` rm L`]의 물이 담겨 있다. 이 물탱크에 있는 물의 양의 [eqn: 12`%`]를 사용한 다음 [eqn: x ``rmL`]의 물을 넣는 시행을 한다. 이와 같은 시행을 [eqn: n`]번 반복한 후 물탱크에 남아 있는 물의 양을 [eqn: a_n``rmL`]라 하자. 부등식 [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} <= 2000`]이 성립하도록 하는 [eqn: x`]의 최대값을 구하시오. [4점]

5지선다형(26 ~ 29)

26. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {2cdot 3^n - 3 cdot 4^n } over {2^2n + 3^n } ``]의 값은? [3점]

① [eqn: -3 ``]	② [eqn: -2 ``]	③ [eqn: -1``]	④ [eqn: 1 ``]	⑤ [eqn: 2``]

27. 집합 [eqn: X= LEFT { `` pmatrix{``1``&``x``#``0``&``1``} ``` bigg | ``x`는~실수`` RIGHT } ``]에 대하여 [eqn: A`∈`X`], [eqn: B`∈`X``]일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: AB``` in ``X``] ㄴ. [eqn: A ^{2} -B ^{`2} =(A+B``)(A-B``)``] ㄷ. [eqn: (A+B``) ^{2} =`4AB``]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

28. [eqn: x`,~y``]에 대한 연립방정식 [eqn: pmatrix{``a``&``3-b``#``1``&``a``} pmatrix{``x``#``y``} `= pmatrix{``x``#``y``}``]가 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`] 이외의 해를 갖도록 하는 실수 [eqn: a`,~b``]에 대하여, 좌표평면에서 점 [eqn: rm P(` it a`,~b)``]를 중심으로 하고 [eqn: x``]축과 [eqn: y``]축에 동시에 접하는 원의 개수는? [3점]

8

8

① [eqn: 2`]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4`]	④ [eqn: 5`]	⑤ [eqn: 6]

29. 길이가 [eqn: 1`]인 선분 [eqn: \AB`]가 있다.  그림과 같이 선분 [eqn: \AB`]를 [eqn: 3`]등분한 다음, 가운데 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 그리고, 가운데 선분을 지워 만든 도형을 [eqn: T_1``]이라 하자.

[eqn: T_1``]의 선분 중 원래의 선분 [eqn: \AB`]에서 남아 있는 두 선분을 각각 [eqn: 3`]등분한 다음, 가운데 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 그리고, 가운데 선분을 지워 만든 도형을 [eqn: T_2``]라 하자.

[eqn: T_2``]의 선분 중 원래의 선분 [eqn: \AB`]에서 남아 있는 네 선분을 각각 [eqn: 3`]등분한 다음, 가운데 선분을 한 변으로 하는 정사각형을 그리고, 가운데 선분을 지워 만든 도형을 [eqn: T_3``]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속 반복하여 [eqn: n`]번째 만든 도형을 [eqn: T_n``]이라 하고, [eqn: T_n``]에 있는 모든 선분의 길이의 총합을 [eqn: a_n`]이라 하자.

이때 [eqn: a_20`]의 값은? [4점]

① [eqn: 3` LEFT { 1- LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{20} RIGHT } `]	② [eqn: 3` LEFT { 1- LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{21} RIGHT } `]	③ [eqn: 3` LEFT { 1- LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{19} RIGHT } `]	④ [eqn: 3` LEFT { 1- LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{20} RIGHT } `]	⑤ [eqn: 3` LEFT { 1- LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{21} RIGHT } `]

단답형(30)

30. 그림과 같이 크기가 같은 정사각형 [eqn: 1`]개, [eqn: 4`]개, [eqn: 9`]개, [eqn: cdots`]로 만들어진 도형 [eqn: A_1`,~A_2`,~A_3 `,``CDOTS``]이 이어져 있다. 각 정사각형에 자연수를 규칙적으로 적어 나갈 때, [eqn: A_1`,~A_3`,~A_5 `,``CDOTS``]에는 정중앙(어두운 부분)에 적힌 수가 있다. 예를 들면, [eqn: A_3``]의 정중앙에 적힌 수는 [eqn: 10``]이고, [eqn: A_5``]의 정중앙에 적힌 수는 [eqn: 43``]이다.

이때 [eqn: A_9``]의 정중앙에 적힌 수를 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.