수리 영역

출제 경향

매년 치러지는 9월 평가원 모의고사는 6월 평가원 모의고사와 더불어 그 해 치러지는 수능을 가장 정확하고 직접적으로 반영하는 아주 중요한 모의고사이다. 특히 이번 치러지는 9월 평가원 모의고사의 난이도와 경향은 올해부터 시작되는 수능 등급제와 관련하여 이목을 집중시켰다.

전반적인 출제 경향 및 문제 유형은 최근에 치러진 수능과 커다란 차이점을 발견하기 힘들다. 계산력, 추론 능력, 수학 외적․내적 문제 해결력을 요하는 문제가 여전히 비슷한 비율로 출제되고 있으며 실생활과 관련된 문항은 최근의 경향대로 거의 출제되지 않았다. 새로운 기호의 사용과, <보기>형, 괄호형 문항 등은 지금까지의 평가원 모의고사와 수능 시험의 형식을 그래도 지키고 있고 비슷한 비율로 나오고 있음을 확인할 수 있다.

이번 9월 평가원 모의고사의 눈에 띄는 특징은 전반적으로 난이도가 낮아졌고 평준화되었다는 점이다. 표준점수제에서 등급제로의 변화와 관련해서 수리 나형 난이도가 예년에 비해 다소 높아지고 수리 가형이 조금 쉬워진 올해 6월 평가원 모의고사의 경향이 다소 완화되었다. 가형 나형 간의 난이도가 비슷하게 평이해졌다고 볼 수 있다.

작년 수능과 비교하면 ‘나’형의 경우 비슷하나 재학생들의 떨어진 학력을 감안하면 1등급 컷은 조금 떨어질 것으로 보인다. ‘가’형은 6월과 비교해서도 다소 쉬웠고 작년 수능과 비교하면 더욱 더 쉬워졌다.

몇 몇의 아주 어려운 문제를 제외하면 다른 문제들은 다소 쉬운 평이한 문제들로 구성된 6월 평가원 모의고사에 비해 이번에 시행된 9월 평가원 모의고사는 아주 어려운 문제도 없었지만 대신 적당히 어려운 중간 수준의 난이도의 문제가 많아 졌다. 하지만 전반적으로 쉬워진 시험이었다. 상위권 학생에겐 매우 수월한 느낌이 드는 시험이었지만 중위권 학생들에게는 6월과 비교해서 쉽지 않게 느껴질 시험이었다.

한편 이번 9월에 치러진 평가원 모의고사 수리 영역 문제는 예년까지 치러진 9월 평가원 모의고사와 비교해도 약간 다른 느낌을 준다. 매 해 치러지는 9월 평가원 모의고사와 11월 수능 문제는 난이도와 관계없이 새로운 유형의 창조적인 고질의 문제를 몇 개씩 선보여 왔으나 이번 치러진 모의고사에는 그런 문항이 아쉽게도 별로 눈에 띄지 않았다.

학습 대책

수험생들 입장에서 출제 경향과 난이도도 중요하겠지만 더 중요한 것은 자신의 공부이다.

빠르고 정확한 계산, 기본적인 개념에 대한 철저한 이해, 새로운 수학 기호를 받아들이고 이를 모순이 없게 적용하는 능력, 기본 개념에 바탕을 둔 귀납적인 추론 능력 등은 수학 시험을 보는 데 있어서 난이도와 관계 없이 요구되는 필수적인 사항이다.

교과서와 더불어 자신이 정해서 공부해왔던 텍스트를 완전히 마스터 하는 자세가 어느 해보다 필요해진 것으로 보인다. 앞으로 남은 70여 일은 짧지도 길지도 않은 시기이다. 전 영역에 걸쳐서 기본 개념을 교과서와 기본 텍스트 통해 다시 한 번 점검하고 기출 문제와 관련시켜서 철저히 학습해야 한다. 난해한 문제가 나오지 않는 점도 주목해야 할 점이다. 문제가 어렵게 나오지 않는다는 점을 감안하면 기출 문제에 대한 적응도를 높이는 노력과 더불어 평소에 자신이 약했던 단원을 기본 개념을 중심으로 다시 점검하고 확인하는 자세가 필요하다고 하겠다.

수학은 몇 일 공부를 쉬게 되면 감이 바로 떨어져서 시험 당일 큰 낭패를 보는 수가 있다. 수능 당일까지 쉼 없이 공부해야 해야 뜻하지 않은 점수 하락을 막을 수 있다는 것도 주의해야 할 사항이다.

∙수 리 ‘가’ 형∙

정 답

1. ①	2. ③	3. ⑤	4. ④	5. ①

6. ④	7. ⑤	8. ②	9. ③	10. ③

11. ②	12. ①	13. ⑤	14. ⑤	15. ③

16. ②	17. ①	18. 17	19. 14	20. 32

21. 128	22. 24	23. 11	24. 15	25. 20

[미분과 적분]

26. ④	27. ②	28. ④	29. ③	30. 25

[확률과 통계]

26. ④	27. ③	28. ④	29. ②	30. 23

[이산수학]

26. ④	27. ⑤	28. ④	29. ②	30. 247

출제 문항 분석

문항	난이도	출제 단원	유의점
1	하	지수와 로그	간단한 로그 계산
2	하	함수의 극한	극한에서 미정계수의 결정
3	하	행렬	역행렬 계산
4	중	방정식과 부등식	무리방정식
5	중	적분	절대값이 있는 적분의 계산
6	중	벡터	두 평면이 이루는 각
7	중	함수의 극한	함수의 연속성
8	중	공간도형과 공간좌표	간단한 공간좌표 계산
9	상	이차곡선	쌍곡선 진위 판정
10	상	통계	표본평균과 확률
11	상	수열	수학적귀납법
12	중	순열과 조합	최단경로와 경우의 수
13	중	수열의 극한	무한등비급수와 도형
14	중	지수함수와 로그함수	지수․로그함수의 그래프
15	중	행렬	행렬의 정의와 연산
16	상	수열	수열과 점화식
17	중	통계	정규분포를 이용한 확률
18	하	미분	미분계수
19	중	적분	넓이와 적분
20	하	이차곡선	타원의 정의
21	중	지수함수와 로그함수	지수방정식의 풀이
22	중	미분	미분계수
23	상	벡터	구의 방정식과 직선의 방정식
24	상	공간도형과 공간좌표	정사영의 넓이
25	중	수열	∑와 수열의 합
26	하	삼각함수	삼각함수의 덧셈정리
27	중	적분	곡선의 길이
28	상	미분	속도와 미분
29	중	함수의 극한	초월함수의 극한에 대한 진위판정
30	중	적분	회전체의 부피
26	하	확률의 계산	확률의 덧셈정리
27	중	확률분포	연속확률분포
28	중	자료의 정리	평균, 분산, 표준편차
29	상	확률분포	표준정규분포, 표본평균의 분포
30	중	자료의 정리	평균, 표준편차, 표본평균의 분포
26	하	최적화	작업순서도
27	중	그래프	평면그래프, 완전그래프, 해밀턴 회로
28	중	경우의 수	조건에 따른 분류
29	상	그래프	생성수형도
30	중	점화 관계	계차수열

해 설

1. [eqn: a`＞`0], [eqn: a`!=`1]일 때,

[eqn: log_a ``1 over a `=`log_a ``a^-1 `=`-1]이므로

[eqn: log_{1 over 2}``2+log_7 ``1 over 7 `=`-1-1`=`-2]

2. [eqn: x`→`1]때 (분모)→0이고 수렴하므로 (분자)→0

[eqn: THEREFORE ~a+b`=`0]    [eqn: THEREFORE ~b`=`-a]	…… ㉠

[eqn: 2root2 `= lim from { x `->`1 } ` {a(x-1)}_` over{root {x+1} - root 2 }^` ×{root {x+1} + root 2}_` over {root {x+1} + root 2}^`]

[eqn: = lim from { x `->`1 } ` {a`(x-1)(root {x+1}+root2 ) }_`over{(x-1)}]

[eqn: = lim from { x` ->`1 } `a `(root {x+1} + root 2 )]

[eqn: =`2root2 a]

[eqn: THEREFORE ~a`=`1]

㉠에서 [eqn: b`=`-1]

[eqn: THEREFORE ~ab`=`-1]

3.[eqn: {PMATRIX { {2 }& {1`` }# {5 }& {3`` }} }^-1 `=`PMATRIX {{~~3 }& {-1`` }# {-5 }& {~~2`` }}]이므로

[eqn: X`=`{PMATRIX { {2 }& {1`` }# {5 }& {3`` }}}^-1 ` PMATRIX { {2 }& {1`` }# {0 }& {1`` }}`]

[eqn: =`PMATRIX { {~~3 }& {-1`` }# {-5 }& {~~2`` }}PMATRIX { {2 }& {1`` }# {0 }& {1`` }}`]

[eqn: =`PMATRIX { {~~6 }& {~~2`` }# {-10 }& {-3`` }}]

따라서, 행렬 [eqn: X`]의 모든 성분의 합은 [eqn: -5]이다.

4. [eqn: SQRT {x^2 +5x} =t] [eqn: (t `≧` 0)]로 놓으면

[eqn: t^{2} + 5t-6=0],[eqn: (t-1)(t+6)=0]

[eqn: THEREFORE ~t`=`1```]

[eqn: THEREFORE ~root {x^2 + 5x} `=1],  [eqn: x^2 + 5x -1 = 0]

따라서, 두 실근을 [eqn: alpha,``` beta`]라 하면 [eqn: alpha+beta =-5]

5.

[eqn: INT _{ 0}^{ 2} LEFT | x^2 (x-1) RIGHT | dx]

[eqn: =` -INT _{ 0}^{ 1} x^2 (x-1) dx + INT _{1} ^{2} x^2 (x-1) dx]

[eqn: =` LEFT [ - {1_`}over{4} x^4 + {1_`} over 3 x^3 RIGHT ] _0 ^1 + left [{1_`} over 4 x^4 - {1_`} over 3 x^2 right] _1 ^2]

[eqn: =` left( -{1_`} over 4 + {1_`} over 3 right) + left { {1_`} over 4 (2^4 - 1^4 `) - {1_`} over 3 (2^3 -1^3 `) right}]

[eqn: =` {3_`} over 2]

6. 평면 [eqn: 2x-y`=`0]의 법선벡터를

[eqn: vec h_1 `=` (2,``-1,``0)]

평면 [eqn: x-3y+kz+2`=`0]의 법선벡터를

[eqn: vec h_2 `=` (1,``-3,``k)]라 하면

[eqn: cos 60̊ `=` {vec h_1 `∙ vec h_2} `=` {2+3_`}over {root {5} root {10+k^2}}^`]

[eqn: =` {root 5}over{root {k^2 +10}}^`][eqn: =` {1_`} over2]

[eqn: THEREFORE ~k`=`root 10 `( BECAUSE ~k`>`0)]

7.

[eqn: f`(x)`=]	□ ∣ ∣ □ ∣ ∣ □	[eqn: x~~~(x`>`0)] [eqn: a~~~(x`=`0)] [eqn: {1_`} over 3 x ~~(x`<`0)]

ㄱ. [eqn: f`(-3) `=` -1]   [eqn: THEREFORE] 거짓

ㄴ. [eqn: x`>`0,~f`(x)`=`x]   [eqn: THEREFORE] 참

ㄷ. [eqn: lim from { x `->`0 } `f`(x)`=`0,~f`(0)`=`a`]이므로

[eqn: a`=`0]일 때 [eqn: lim from { x `->` 0 }` f`(x)`=`0]   [eqn: THEREFORE] 참

따라서, 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

8.[eqn: rm A, ```B, ```C`]의 내접구의 중심을 각각 [eqn: rm P,``` Q,``` R]라 하면

[eqn: rm P`(3,``` 1,``` 3),~ Q`(3,``` 3,``` 1),~ R`(1, ```3, ```1)]

무게중심을 [eqn: \G]라 하면

[eqn: \G` left ( {3+3+1_`} over 3 ,~{1+3+3_`} over 3 ,~{3+1+1_`} over 3 right)]

[eqn: THEREFORE ~\G` left( {7_`} over 3 , ~ {7_`} over 3 , ~{5_`} over 3 right)]

[eqn: THEREFORE ~p`+q`+r ``=`{19_`} over 3]

9. ㄱ. 점근선의 방정식은 [eqn: y`=`+- x]    [eqn: THEREFORE] 참

ㄴ. [eqn: x^2 - y^2` =`1]을 미분하면

[eqn: 2x- 2yy`' `=` 0]에서

[eqn: y`' `=` {x} over y `=` {x} over {root {x^2 -1}}^` `≠` +-1]  [eqn: THEREFORE] 거짓

ㄷ. [eqn: x^2 -y^2 `=` 1]	…… ㉠

[eqn: y^2 `=` 4px]	…… ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: x^2 - 4px -1 `=` 0]

[eqn: x`=` 2p +- root {4p^2 + 1}]

[eqn: p`>`0]일 때, [eqn: x`=`2p+ root {4p^2 +1}]이므로 ㉡에서 [eqn: y`]의

값은 두 개 존재한다.

[eqn: p`<`0]일 때, [eqn: x`=`2p- root {4p^2 +1}]이므로 ㉡에서 [eqn: y`]의

값은 두 개 존재한다.    [eqn: THEREFORE] 참

따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

10. [eqn: \E(bar X^` )`=`m], [eqn: sigma `(bar X^` )`=`3 over { SQRT { n`} }^`]이므로

확률변수 [eqn: bar X^`]는 정규분포 [eqn: \N LEFT ( m,`` LEFT ( 3 over { SQRT { n} }^` RIGHT ) ^2` RIGHT )]을 따른다.

[eqn: \P(m-0.5`≦`bar X^` `≦`m+0.5)]

[eqn: =` \P(|bar X^` -m`|`≦`0.5)]

[eqn: =` \P LEFT ( |`Z``|`≦` {SQRT { n}}_` over 6 RIGHT )] [eqn: LEFT ( BECAUSE ~ {|bar X^` -m`|}_` over {3 over { SQRT { n} }^`}`≦`0.5 over{3 over { SQRT { n} }^`} RIGHT )]

[eqn: \P LEFT ( |`Z``|`≦` {SQRT { n}}_` over 6 RIGHT ) `=`0.8664]

[eqn: \P LEFT ( 0`≦`Z`≦` {SQRT { n}}_` over 6 RIGHT ) `=`0.4332]

[eqn: {SQRT { n}}_` over 6 `=`1.5],   [eqn: SQRT { n}`=`9]

[eqn: THEREFORE ~ n`=`81]

11. (1) [eqn: n`=`2]일 때, [eqn: A_2 `=` \{ 1,``2 \}]의 원소가 2개인 부분집합은 자신뿐이므로 [eqn: a_2 =1= 2+1 over 3]이다.

(2) [eqn: n=k(k`≧`2)]일 때 성립한다고 가정하면

[eqn: a_k`=`k+1 over 3]이다.

[eqn: A_k+1 = \{1,``2,`` CDOTS ,``k,``k+1 \}]의 부분집합 중 원소가 2개인 모든 부분집합은, [eqn: A_k]의 부분집합 중 원소가 2개인 모든 부분집합에 [eqn: k`]개의 집합

[eqn: \{1,``k+1 \}], [eqn: \{2,``k+1 \}], [eqn: CDOTS], [eqn: \{ k,``k+1 \}]

을 추가한 것이다. [eqn: A_k `=` LEFT { 1,``2,`` CDOTS ,``k`RIGHT }]의 부분

집합 중 원소가 [eqn: 2]개인 부분집합의 개수는  [eqn: `_k \C_2]  이므로 [eqn: `_k \C_2]개의 각 부분집합에서 그 원소들의 총합은 [eqn: `_k \C_2 BULLET a_k = `_k \C_2 BULLET k+1 over 3]이다.

[eqn: THEREFORE ~a_k+1 `=`{~`_k \C_2 k+1 over {3_`} ~~+(1+2+ CDOTS +k)}_` over {`_k+1 \C_2}]

[eqn: =`{(k+1)+1}_` over 3]

12. 지점 [eqn: \A]에서 출발하여 각 지점까지 최단거리로 가는 경우의 수를 구하면 아래 그림과 같다.

따라서, 구하는 경우의 수는 14(가지)이다.

13. 오른쪽 그림과 같이 대각선의 교점을 [eqn: \O], 무게중심을 [eqn: \G_1], [eqn: \G_2]라고 하면

[eqn: rm P,``G_1 ,``O,``G_2 ,``Q`]는 일직선 위에 있고, [eqn: bar \PQ `=`3]이다.

[eqn: bar {\G_1 \G_2}`=`2 over 3 bar \PQ `=`2]

[eqn: \A_1]과 [eqn: \A_2]의 대각선의 길이의 비가 [eqn: 3 SQRT { 2} ``:``2]이므로 넓이의 비는 [eqn: (3 SQRT { 2})^2 ``:``2^2]이다.

첫째항 [eqn: S_1 `=`9]이고, 공비 [eqn: r`=`2 over 9]이므로

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf_` S_n `=`9 over {1- 2 over 9}`=`81 over 7]

14. ㄱ. [eqn: LEFT { f`(-3)RIGHT } ^5 `= (a^-3 )^5 `= a^-15 `= f`(-15)] ∴ 참

ㄴ. 함수 [eqn: f`(x)]는 일대일 대응이므로 [eqn: y`=`f`(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y`=`a`]는 한 점에서 만난다.   ∴ 참

ㄷ. [eqn: y`=`a^x (x`＜`0)], [eqn: y`=`log_a ``x(x`≧`1)]는 직선 [eqn: y`=`x`]에 대하여 대칭이고 [eqn: y`=`-x+1(0`≦`x`＜`1)]도 직선 [eqn: y`=`x`]에 대하여 대칭이다.  ∴ 참

따라서, ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

15. ㄱ. [eqn: A`=`PMATRIX { {1 }& {1 ``}&# {1 }& {1`` }}]일 때, [eqn: 8A`=`PMATRIX { {8 }& {8 ``}&# {8 }& {8`` }}]

[eqn: L(8A)`= PMATRIX { {log_2 ``8 }& {log_2 ``8 ``}&# {log_2 ``8 }& {log_2 ``8`` }}]

[eqn: `= PMATRIX { {3 }& {3 ``}&# {3 }& {3`` }}`=`3A]   ∴ 참

ㄴ. [eqn: L(A)`=`E`]에서

[eqn: L(A)`=`PMATRIX { {1 }& {0 ``}&# {0 }& {1`` }}`=`PMATRIX { {log_2 `2 }& {log_2 `1 ``}&# {log_2 `1 }& {log_2 `2`` }}]

[eqn: ∴~ A`=`PMATRIX { {2 }& {1 ``}&# {1 }& {2`` }}]

따라서, [eqn: A`]는 역행렬을 갖는다.   ∴ 참

ㄷ. [eqn: A`=`PMATRIX { {a }& {b ``}&# {c }& {d`` }}]일 때,

[eqn: A^2 `=`PMATRIX { {a^2 +bc }& {ab+bd ``}&# {ac+cd }& {bc+d^{2}`` }}]

[eqn: L(A^2 )`= PMATRIX { {log_2 (a^2 +bc`) }& {log_2 (ab +bd`) ``}&# {log_2 (ac +cd`) }& {log_2 (bc +d^{2}`)`` }}]

[eqn: 2L(A )`=`2`PMATRIX { {log_2 a }& {log_2 b ``}&# {log_2 c }& {log_2 d`` }}]

[eqn: =`PMATRIX { {log_2 a^2 }& {log_2 b^2 ``}&# {log_2 c^2 }& {log_2 d^{2}`` }}]

[eqn: a,``b,``c,``d`]는 양수이므로

[eqn: log_2 (a^2 +bc)`!=`log_2 `a^2]

따라서, [eqn: L(A^2 )=2L(A)]를 만족시키는 행렬 [eqn: A`]는 없다.  ∴ 거짓

따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

16. 거리가 [eqn: 3]인 두 점 [eqn: \O,``\O']를 중심으로 반지름이 [eqn: 1,``2,``3,`` CDOTS ,``n`]인 원을 각각 그렸을 때, 생기는 모든 교점의 개수를 [eqn: a_n`]이라 하자.

[eqn: n`≧`3]일 때, 추가로 두 점 [eqn: \O,``\O']를 중심으로 반지름이 [eqn: n+1]인 원을 그려보자.

반지름의 길이가 [eqn: n+1]인 원을 오른쪽에 그리고 왼쪽에 있는 원들과 만나는 점을 조사해보면 반지름이 [eqn: n-2]인 원과 접하고, 반지름이 [eqn: n-1]인 원, [eqn: n`]인 원과는 두 점에서 만난다.

따라서, [eqn: 5]개의 점이 새로 생긴다.	…… ㉠

왼쪽에 반지름의 길이가 [eqn: n+1]인 원을 그리면 오른쪽원들과 교점이 5개 생긴다.	…… ㉡

반지름의 길이가 [eqn: n+1]인 원들끼리는 두 점에서 만난다.	…… ㉢

따라서, ㉠, ㉡, ㉢에서 12개의 점이 새로 생긴다.

[eqn: THEREFORE ~ a_n+1 `=`a_n +12]

[eqn: a_20 `=`a_3 +12×(18-1)=218]

17. 막대모양 과자 [eqn: \A,`` \B]의 길이를 [eqn: X,`` Y`]라 하면

[eqn: X`]의 분포는 정규분포 [eqn: \N(m,`` sigma_1 ^{2}`)]

[eqn: Y`]의 분포는 정규분포 [eqn: \N(m+25,`` sigma_2 ^{2}`)]

[eqn: \P(X`≧`m+10)`=` \P LEFT ( Z`≧`{m+10-m}over sigma _1 RIGHT )]

[eqn: =` \P LEFT(Z`≧`10 over sigma _1 RIGHT)]

[eqn: \P(Y`≦`m+10)`=` \P LEFT ( Z`≦`{m+10-(m+25)}over sigma _2 RIGHT )]

[eqn: =` \P LEFT(Z`≦`- 15 over sigma _2 RIGHT)]

[eqn: \P(X`≧`m+10)`=` \P LEFT ( Y`≦`m+10 )]이므로

[eqn: 10 over sigma _1 `=`15 over sigma _2]

[eqn: THEREFORE ~ { sigma _2} over { sigma _1} `=`15 over 10 `=`3 over 2]

18. [eqn: lim from { h` ->`0 } `{f`(2+h)-f`(2)}_` over h ` =` f``'(2)]

[eqn: f``'(x) `=` 3x^2 +5]

[eqn: THEREFORE ~f``'(2)`=`17]

19. [eqn: f`(x)`=`6x^2 +1], [eqn: f`(x)]의 부정적분 중 하나를

[eqn: F`(x)]라 하면

[eqn: lim from { h` ->` 0 }` {S`(h)}_` over h `=` lim from { h `->` 0 } ` { INT _{ 1-h}^{1+h } f`(x)dx } over h]

[eqn: =` lim from { h`->` 0 } `{F(1+h) -F(1-h)}_` over h]

[eqn: =2F`'(1) `=` 2f`(1)`=`14]

20. [eqn: {x^2 }over 3^2 + {y^2 }over 1^2 `=`1]의 두 초점을[eqn: \F`'(-k,~0),~\F`(k,~0)][eqn: (k`＞`0)]라 하면

[eqn: k^2 `=` 3^2 -1^2]

[eqn: THEREFORE ~k`=`2 root 2]

[eqn: d`=`4root 2]    [eqn: THEREFORE ~d`^2 `=`32]

21. [eqn: a^x `=`t`]라 하면 주어진 방정식은

[eqn: t^{2}-t-2`=`0], [eqn: (t+1)(t-2)`=`0]

[eqn: THEREFORE ~t`=`2````( BECAUSE ~t`＞0)]

[eqn: a^{1 over 7}=`2]

[eqn: THEREFORE ~a`=`2^7 =`128]

22. [eqn: f`(0)`=` 1, ~g`(0)`=`4`]이므로

[eqn: lim from { x` ->`0 } `{f`(x)g`(x)-4}_` over x = lim from { x` ->`0 } `{f`(x) g`(x)-f`(0)g`(0)}_` over x}]

[eqn: h(x)`=` f`(x)`g`(x)]로 놓으면

(주어진 식)[eqn: =` lim from { x` ->` 0 } ` {h`(x)- h`(0)}_` over x `=`h`'(0)]

[eqn: =`f`'(0) g``(0) +f`(0)`g`'(0)]

[eqn: =`-24+g`'(0)`=`0]

[eqn: THEREFORE ~g`'(0)`=`24]

23. 원[eqn: \C] 위의 점 [eqn: \P`]를 [eqn: (x_1,~ y_1, ~0)]이라 하면

[eqn: x_1`^2 + y_1 `^2 `=`1]

직선 [eqn: rm AP]의 방정식을 구해보면

[eqn: {x} over x_1 `=` {y} over y_1 `=` {z-3}_` over -3]이고, 직선 위의 점은

[eqn: \Q`(x_1 t, ~y_1 t,~ -3t+3)]으로 나타낼 수 있다.

이 직선과 구의 교점을 구하면

[eqn: (x_1 t)^2 + (y_1 t)^2 + (-3t +1)^2]

[eqn: =` (x_1`^2 + y_1`^2 +9) t`^2 -6t+1][eqn: =`1]

정리하면 [eqn: 10t^2 - 6t `=`0]

[eqn: THEREFORE ~t`=`0] 또는 [eqn: t`=`{3_`} over 5]

[eqn: t`=`0]이면 조건에 맞지 않고

[eqn: t`=`{3_`} over 5]이면 [eqn: \Q` left({3_`} over 5 x_1 , {3_`} over 5 y_1 , {6_`} over 5 right)]

[eqn: THEREFORE ~\Q`]의 자취는 [eqn: x^2 +y^2 `=` left({3_`} over 5 right )^2 , ~ z`=`{6_`} over 5]

[eqn: THEREFORE ~]자취의 길이는 [eqn: 2`pi `×{3_`} over 5 `=` {6_`} over 5 pi]

[eqn: a+b `=` 11]

[다른 풀이]

점 [eqn: \A]와 원 [eqn: \C] 위의 점 [eqn: \P]를 이은 선분의 자취는 그림 ①과 같이 원뿔이 된다. 따라서 구하는 점은 원뿔과 구의 교점의 집합이다.

[eqn: z`]축을 포함하는 평면으로 그림 ②와 같이 잘라보면 [eqn: \Q`]는 [eqn: \H`]로부터 거리가 일정하고

[eqn: rm bar {Q`Q`'} `BOT` bar {AH`}]이므로 자취는

원이 된다.

[eqn: rm bar {AP}`=`root 10]이므로

[eqn: rm bar {AQ}`=`2×it cos`rm ( ANGLE QAB)]

[eqn: =`2×it cos`rm( ANGLE PAD)`]          [eqn: `=` {6_`} over {root {10}}^`]

[eqn: rm THEREFORE ~bar {QH} `=`bar {AQ} ․rm sin( ANGLE PAD)]

[eqn: =` {6_`} over {root 10}^` ․{1_`} over {root 10}^` `=` {3_`} over 5]

따라서, 반지름 [eqn: {3_`} over 5]인 원이므로 자취의 길이는

[eqn: {6_`} over 5 pi]이다.

[eqn: THEREFORE ~a+b `=`11]

24. 반구에 나타나는 단면인 원의 반지름은

[eqn: root {36-(2root{3})^2} `=` root {36-12}]

[eqn: =` root 24 `=` 2root 6]

오른쪽 그림에서 어두운 부분의 넓이는

[eqn: {1_`} over {2}․(2root {6})^2 `×{3_`} over 2 pi + {1_`} over 2 (2root {6})^2]

[eqn: =`12` left( {3_`} over 2 pi + 1 right)`=` 12+18`pi]

단면의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영의 넓이는

[eqn: (12+18`pi) `cos` 45̊ `=` root 2 `(6+9`pi)]

[eqn: THEREFORE ~a+b`=`15]

25. [eqn: S_9 `= SUM from { {k }=1} to 9_` D_k]

[eqn: = SUM from { {k }=1} to 9_` ``20 log V_k]

[eqn: = SUM from { {k }=1} to 9 ``20 log k+1 over k]

[eqn: = 20 left { log {2} over {1} + log {3} over {2}+ ``⋯ `+ log {10} over {9} right }]

[eqn: =20 log left ({2} over {1} × {3} over {2}× {4} over {3} ×`…` ×{10} over {9} right)]

[eqn: =20]

[미분과 적분]

26. [eqn: sin x + sin y`=`1]에서

[eqn: sin^2 x + sin^2 y + 2sin x` sin y `=`1]	…… ㉠

[eqn: cosx +cosy`=`{1_`} over 2]에서

[eqn: cos^2 x+cos^2 y +2cos x cos y`=`{1_`} over 4]	…… ㉡

㉠＋㉡에서

[eqn: 2+2(sinx`` siny + cosx`` cosy)`=`{5_`} over 4]

[eqn: 2+2cos(x-y) `=` {5_`} over 4]

[eqn: THEREFORE ~cos(x-y) `=` {1_`} over 2 left({5_`} over 4 -2 right) `=` -{3_`} over 8]

27. [eqn: INT _{ 0}^{ 1} root {1+{f``' (x)}^2 } `dx]는 [eqn: y`=`f`(x)`]의 [eqn: 0`≦`x`≦`1`]

부분에서 곡선의 길이이므로 최소인 경우는 원점 [eqn: \O]와 점[eqn: (1,~ root {3} )]을 직선으로 연결할 때이다.

[eqn: THEREFORE ~root {1^2 + {root {3`}} ^2}^` `=`2]

28. [eqn: rm ANGLE AOP `=` theta `]라 하면 [eqn: rm arch {AP}^` `=` 10 theta]

A의 속력이 2이므로 [eqn: d over dt (10 theta )`=`10 ~{d theta} over dt `=`2]

[eqn: THEREFORE ~ {d theta} over dt `=` {1_`} over 5]

P의 좌표는 [eqn: (10 sin theta , ~10cos theta`)]이므로

[eqn: y`=`10cos theta]

[eqn: dy over dt `=` d over dt (10 cos theta`)]

[eqn: =`10․(-sin theta` ) ․{d theta} over dt]

[eqn: =`-2sin theta `=` -1]

29. [eqn: a`= lim from { t `->`0 } ` {sin t} over 2t `=` lim from { t `->`0 } ` {sin t} over t ×{1_`} over 2 `=` {1_`} over 2]

[eqn: b`=` lim from { t`->` 0 } `{e^2t -1}over{t}`=` lim from { t`->` 0 } `{e^2t -1}over{2t} ×2`=`2]

ㄱ. [eqn: f`(1)` =` a`=`{1 _`} over 2]    [eqn: THEREFORE ~]참

ㄴ. [eqn: f`(f`(1)) `=` f`left({1_`} over {2} right) `=`b`=`2]    [eqn: THEREFORE ~]참

ㄷ. [eqn: x`<`1]이면 [eqn: f`(x)`=`2]이므로

[eqn: f`(f`(x))`=` f`(2) `=` {1_`} OVER 2]

[eqn: x`≧`1]이면 [eqn: f`(x)`=` {1_`} OVER 2]이므로

[eqn: f`(f`(x))`=` f`` left ({1_`} over 2 right) `=` 2]

[eqn: THEREFORE ~ lim from { x`->`1-0 } `f`(f`(x)) `≠` lim from { x`->`1+0 } f`(f`(x))]  [eqn: THEREFORE ~]거짓

따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

30. [eqn: y`=`5 root {ln`x}`]에서 [eqn: ln`x `≧ ` 0]이어야 하므로 [eqn: x `≧ `1]

[eqn: THEREFORE ~V`=` INT _{ 1}^{e } (pi` y^2 ) dx]

[eqn: =` 25pi INT _{ 1}^{ e} ln`x dx]

[eqn: =` 25 pi `[x` ln `x-x]_1^e]

[eqn: =`25`pi × left{ (e-e) - (0-1) right} `=` 25`pi]

[eqn: THEREFORE ~V over pi `=` 25]

[확률과 통계]

26. 구하는 확률은

[eqn: rm {`_2 C`_2}over{`_9 C_2} + {`_3 C_2}over{`_9 C_2} + {`_4 C_2}over{`_9 C_2} `=` {1+3+6_`}over{36}`=` {5_`} over 18]

27.[eqn: \P left({5_`} over 4 `≦` x`≦`4 right) = \P(0`≦`x`≦`4) - \P left(0`≦`x`≦`{5_`} over 4 right)]

[eqn: =`g`(4) -g` left( {5_`} over 4 right)]

[eqn: =` 1- {1_`} over 2 `=` {1_`} over 2]

28. [eqn: x_n `=` x_1 + (n-1) d`]라 하면

ㄱ. [eqn: x_1 + x_3 + x_5 + x_7 + x_9 `=`5(x_1 +4d`)]

[eqn: x_2 + x_4 + x_6 + x_8 + x_10`=`5(x_1 + 5d`)]

따라서, 둘의 평균은 다르다.    [eqn: THEREFORE ~]거짓

ㄴ. [eqn: x_6 + x_7 + x_8 + x_9 + x_10 `=` 5(x_1 + 7 d`)]

[eqn: x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 `=` 5(x_1 + 2 d`)]

[eqn: THEREFORE ~{x_6 + x_7 + x_8 + x_9 + x_10 }over 5]

[eqn: = {x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 }over 5 + 5d]    [eqn: THEREFORE ~]참

ㄷ.[eqn: x_2 `=` x_1 + d, ~ x_4 `=` x_3 + d ,]

[eqn: x_6 `=` x_5 + d, ~x_8 `=` x_7 + d, ~x_10 `=`x_9 +d`]

이므로 [eqn: \V(X+d`)` =` \V(X`)`]에서 두 자료의 분산은 같다.    [eqn: THEREFORE ~]참

따라서, 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

29. [eqn: bar X^`]의 분포는 평균 196.8, 표준편차 [eqn: {10} over {root {4}}^` `=`5]

[eqn: \P(X`≧`L) `=` 0.8770 `=` 0.5+0.3770]

[eqn: =` \P(Z`≧`-1.16)]이므로

[eqn: {L-196.8}over 5 `=` -1.16]

[eqn: THEREFORE ~ L`=`196.8-5.8`=`191]

30. 8, 9, 11, 12, 15의 평균은 [eqn: {55_`} over 5 `=`11]

분산은 [eqn: {3^2 + 2^2 + 0^2 +1^2 + 4^2 }_` over 5 `=` 6]

[eqn: THEREFORE ~m`=`11 , ~left({a} over {root {24}}^` right)^2 `=`6, ~ sigma`=`12]

[eqn: THEREFORE ~m+sigma `=` 23]

[이산수학]

26. 작업 순서를 그림으로 나타내면

A→B→F에 필요한 최소 시간은 8일

에 필요한 최소 시간은 8일 이므로

G까지 완료하는 데는 최소 10일이 걸린다.

27. ㄱ. 다음과 같이 바꿀 수 있으므로 평면그래프이     다.  [eqn: THEREFORE ~]참

ㄴ. 오른쪽 그림과 같이

해밀턴회로가 존재한다.

[eqn: THEREFORE ~]참

ㄷ. 꼭지점이 6개인 완전그래

프의 변의 개수는

[eqn: `_6 C_2 `=`15]

그림의 그래프의 변의 개수는

12개이므로 ⓐ－ⓕ, ⓑ－ⓓ, ⓒ－ⓔ의 3개의 변을   추가하면 완전그래프가 된다.    [eqn: THEREFORE ~]참

따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

28. 가능한 경우는 아래 표와 같다.

10점 개수	9점 개수	8점 개수	가지수
6	0	0	1가지
5	0, 1	1, 0	2가지
4	0, 1, 2	2, 1, 0	3가지
3	0, 1, 2, 3	3, 2, 1, 0	4가지
2	0, 1, 2, 3, 4	4, 3, 2, 1, 0	5가지
1	1, 2, 3, 4, 5	4, 3, 2, 1, 0	5가지
0	3, 4, 5, 6	3, 2, 1, 0	4가지

따라서, 구하는 경우는 24가지이다.

29.

꼭지점이 11개, 변이 13개이므로 3개의 변을 없애야 한다.

(ⅰ) [eqn: x,```y`]의 변이 모두 삭제될 때, 7각형을 이루는 ①～⑦까지 아무 변이나 삭제되면 되므로 7(가지)

(ⅱ) [eqn: x`]만 삭제될 때, ①～⑤까지 중 한, ⑥, ⑦ 중 하나의 변이 삭제되면 되므로

[eqn: 5 × 2 `=`10](가지)

(ⅲ) [eqn: y`]만 삭제될 때, ①～③ 중 하나, ④～⑦ 중 하나의 변이 삭제되면 되므로

[eqn: 3 × 4 `=`12](가지)

(ⅳ) [eqn: x,```y`]가 모두 삭제되지 않을 때, ①～③ 중 하나, ④, ⑤ 중 하나, ⑥, ⑦ 중 하나의 변이 삭제되면 되므로

[eqn: 3 × 2 ×2 `=` 12](가지)

따라서, (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에서 구하는 방법은

[eqn: 7+10+12+12`=`41](가지)이다.

30. [eqn: a_n+2 - a_n+1 `=` 2(a_n+1 - a_n `)]에서

계차수열 [eqn: b_n `=` a_n+1 -a_n]은 첫째항 2, 공비 2인 등비수열이다.

[eqn: THEREFORE ~ b_n `=` 2^n]

[eqn: THEREFORE ~][eqn: a_n `=` a_1 + SUM from { {k` }=1}^` to n-1_` b_k `=][eqn: 1 + SUM from { {k` }=1}^` to n-1_` 2^k]

[eqn: =`1+{2 ․(2^n-1 -1) }_` over {2-1} ` =`2^n -1]

[eqn: THEREFORE~ SUM from { {n }=1} to {7_`} a_n`= SUM from { {n }=1} to {7_`} (2^n -1) `=][eqn: {2(2^7 -1) }_` over {2-1} -7]

[eqn: =`2^8 -9`=`256-9`=`247]