◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

수 리 영 역

‘나’형

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수 리 영 역

‘나’형

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2005학년도 9월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시

수 리 영 역

성명			수험번호						2

‘나’형

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시 ‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1. [eqn: sqrt {2} `` TIMES ` ^{} root {3} of {4} ``÷ ` ^{} root {6} of {4} `]를 계산하면? [2점]

① [eqn: ` root {3} of {2 ^{5}} `]

② [eqn: ` ^{} root {3} of {2 ^{7}} `]

③ [eqn: ` ^{} root {6} of {2 ^{5}} `]

④ [eqn: ` ^{} root {6} of {2 ^{7}} `]

⑤ [eqn: ` ^{} root {8} of {2 ^{9}} `]

2. 두 이차정사각행렬 [eqn: A= pmatrix{`-1&``-4`#`-2&~~`3`} `], [eqn: B= pmatrix{``0&~~~4``#``2&`~``-4``} `]에 대하여

행렬 [eqn: (A+B``) ^{2} `]은? [2점]

① [eqn: pmatrix{~`1&~~``0``#~`0&~~``1``} `]

② [eqn: pmatrix{-1&~~``0``#~~0&~``-1``} `]

③ [eqn: pmatrix{-2&~~``0``#~~0&~``-2``} `]

④ [eqn: pmatrix{~~1&~``-4``#~-2&~~``3``} `]

⑤ [eqn: pmatrix{~`0&~~``4``#~`2&~``-2``} `]

1

8

3. 세 행렬 [eqn: A= pmatrix{``0&``log2``#``log2&``0``}], [eqn: B= pmatrix{1&```log5``#``log5&``1``}], [eqn: C= pmatrix{``1``#``1``}] 에 대하여 행렬 [eqn: (A+B)C``]는? [3점]

① [eqn: pmatrix{``1``#``0``}]

② [eqn: pmatrix{``1``#``2``}]

③ [eqn: pmatrix{``0``#``2``}]

④ [eqn: pmatrix{``2``#``2``}]

⑤ [eqn: pmatrix{``1``#``3``}]

4. 등식 [eqn: pmatrix{``1&`~`3``#``1&`~`x``} pmatrix{``2&``~1``#``y&`~`1``} = pmatrix{``1&``4```#``1&``z``} `]가 성립할 때, [eqn: z`]의 값은? [3점]

① [eqn: 4`]

② [eqn: 5`]

③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]

⑤ [eqn: 8]

5. 이차방정식 [eqn: x ^{2} -4x+2=0`]의 두 근을 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]라 할 때,

[eqn: 2` ^{alpha } ``․``2` ^{beta } +`log` _{2} `` alpha ``+``log` _{2} `` beta `]의 값은? [3점]

① [eqn: 17`]

② [eqn: 18`]

③ [eqn: 19`]

④ [eqn: 20`]

⑤ [eqn: 21`]

6. 상용로그 [eqn: log``x`]의 가수를 [eqn: f(`x`)`]라고 정의할 때,

[eqn: f(20)+f(300)+f(5000)`]의 값은? [3점]

① [eqn: log``20`]

② [eqn: log``30`]

③ [eqn: log``40`]

④ [eqn: log``50`]

⑤ [eqn: log``60`]

2

8

7. 이차정사각행렬 [eqn: pmatrix{``x+2&```1-y``#``1+y&```x-2``}]의 역행렬이 존재하지 않도록 하는 두 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]에 대하여 좌표평면에서 점[eqn: (`x,~y`)`]가 그리는 도형은? [3점]

①		②
③		④
⑤

8. 두 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B`]가 [eqn: AB``=`-BA`]를 만족할 때,

항상 성립하는 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? [3점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: (AB)^2 = A ^{2}B ^{2} `] ㄴ. [eqn: (A+B) ^{2} =A ^{2} +B ^{2} `] ㄷ. [eqn: (A-B) ^{2} =(A+B) ^{2} `]

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9. 오른쪽 그림은 각 면에 [eqn: 1`]부터 [eqn: 6`]까지의 숫자가 하나씩 쓰인 정육면체의 전개도이다. 이 정육면체의 한 꼭지점에서 만나는 세 면에 쓰인 수의 합이 될 수 없는 것은? [3점]

① 7

② 9

③ 10

④ 12

⑤ 13

10. 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1`]이 네 직선 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`], [eqn: y=x`], [eqn: y=-x`]와 만나는 점 중 하나를 [eqn: rm P`(it a,~`b)`], 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4`]가 직선 [eqn: y=x`]와 만나는 점 중 하나를 [eqn: rm Q`(it c,~`d`)`]라 하자.  두 점 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q`]의 [eqn: x,``y`]좌표를 성분으로 하는 행렬 [eqn: A= pmatrix{`a&```~b``#`c&```~d``} `]에 대하여 행렬 [eqn: A`]의 역행렬이 존재하도록 하는 점 [eqn: rm P`]는 모두 몇 개인가? [4점]

① [eqn: 4]개

② [eqn: 5]개

③ [eqn: 6]개

④ [eqn: 7]개

⑤ [eqn: 8]개

11. 집합 [eqn: LEFT. LEFT . A= LEFT { `` pmatrix{``1&```0``#``0&```2 ^{k} ``} `` bigg | RIGHT . RIGHT . `k`는~양의~정수 RIGHT }]에 대하여 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은? [3점]

3

8

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: P ``IN `A], [eqn: Q`` IN `A]이면 [eqn: PQ`` IN ` A]이다. ㄴ. [eqn: P`` IN `A]이면 [eqn: P ^{n}` IN `A]이다. (단, [eqn: n]은 양의 정수) ㄷ. [eqn: P`` IN `A]이면 [eqn: P ^{-1} IN `A`]이다. (단, [eqn: P ^{-1} `]은 [eqn: P`]의 역행렬)

① ㄱ

② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12. 선의 간격이 [eqn: 1]인 모눈종이의 선을 따라 가로, 세로의 길이가 각각 [eqn: a`], [eqn: b`]인 직사각형을 그린다. 이 직사각형의 한 대각선에 의하여 잘려지는 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형의 개수를 [eqn: f`(a,````b)`]라 하자. 예를 들어 그림에서 [eqn: f`(6,~3)=6`]이다.

이 때, [eqn: f``(16,~14)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 27`]

② [eqn: 28`]

③ [eqn: 29`]

④ [eqn: 30`]

⑤ [eqn: 31]

13. 다음은 상용로그 [eqn: log``A`]의 가수가 [eqn: 0`]이 아닐 때, [eqn: log``10A`]의 지표와 [eqn: log`` {10} over {A}]의 지표의 합은 [eqn: A`]의 값에 관계없이 항상 일정함을 증명한 것이다.

(증명)

[eqn: log``A`]의 지표를 [eqn: n`], 가수를 [eqn: alpha `(0`＜` alpha `＜`1)`]라 하면,

[eqn: log``A=n+ alpha `]이다.

[eqn: log``10A=log``10+log``A=1+n+ alpha `]

에서 [eqn: log``10A`]의 지표는 이다.

(가)

또, [eqn: log`` {10} over {A} =log``10-log``A=1-n-` alpha `]

에서 [eqn: log`` {10} over {A} `]의 지표는 이다.

(나)

따라서 [eqn: log``10A`]와 [eqn: log`` {10} over {A}]의 지표의 합은 항상 이다.

(다)

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가)            (나)               (다)

①  [eqn: n`]	[eqn: -n`]	[eqn: 0`]

②  [eqn: n`]	[eqn: 1-n`]	[eqn: 1`]

③  [eqn: 1-n`]	[eqn: 1+n`]	[eqn: 2`]

④  [eqn: 1+n`]	[eqn: -n`]	[eqn: 1`]

⑤  [eqn: 1+n`]	[eqn: 1-n`]	[eqn: 2`]

4

8

14. 다음은 [eqn: ` ^{} root {3} of {2} `+` ^{} root {3} of {4}`]가 무리수임을 증명하는 과정이다.

(증명)

[eqn: ` ^{} root {3} of {2} `+` ^{} root {3} of {4} =m]([eqn: `m`]은 유리수 )라 가정하면

[eqn: m``=` {q} over {p} ``(``p,````q`]는 서로소인 자연수)로 놓을 수 있다.

[eqn: m ^{3} =(` ^{} root {3} of {2} `+` ^{} root {3} of {4} ``) ^{3} `=6`](  ) …… ㉠

(가)

[eqn: m= {q} over {p} `]를 ㉠에 대입하여 정리하면

[eqn: q ^{3} ``=`] ․ [eqn: p ^{2} `(`p`+`q`)`] …… ㉡

(나)

이므로  [eqn: q ^{3} `]은  의 배수가 된다.

(나)

따라서 [eqn: q=] [eqn: k] ([eqn: k] 는 자연수) …… ㉢

(나)

로 놓을 수 있으므로 ㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면

[eqn: p ^{2} (6k+p)=36k ^{3}]

그런데 [eqn: p`,````q`]가 모두 짝수가 되므로 [eqn: p`,````q`]가 서로소라는

가정에 모순이다.

그러므로 [eqn: ` ^{} root {3} of {2} `+` ^{} root {3} of {4}`]는 무리수이다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [4점]

(가)           (나)

① [eqn: m-1`]	[eqn: 3]

② [eqn: m-1`]	[eqn: 6]

③ [eqn: m+1`]	[eqn: 2]

④ [eqn: m+1`]	[eqn: 3]

⑤ [eqn: m+1`]	[eqn: 6]

15. 행렬 [eqn: A= pmatrix{``cos theta &``` -sin theta`` #``sin theta &~~`cos theta`` } `]의 역행렬이 [eqn: A ^{-1} = {1} over {5} pmatrix{``````4&``3``#-3``&``4``}] 일 때, [eqn: tan theta]의 값은? [4점]

① [eqn: - {4} over {3}]

② [eqn: - {3} over {4}]

③  [eqn: {1} over {3}]

④  [eqn: {2} over {3}]

⑤  [eqn: {3} over {4}]

16. 두 행렬 [eqn: A= pmatrix{``5&~``3``#``8&~``3``} ,```X= pmatrix{``x``#``y``}]에 대하여 [eqn: AX=kX] 를 만족하는 두 양수 [eqn: x,````y`]가 존재하도록 하는 상수 [eqn: k]의 값은? [4점]

① -2

② -1

③  3

④  6

⑤  9

5

8

17. 행렬 [eqn: A= pmatrix{``t-a&```-1#`1&```2t-a`}]일 때, 임의의 실수 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: A`]의 역행렬이 존재하도록 하는 정수 [eqn: a`]의 개수는? [4점]

① [eqn: 4]

② [eqn: 5]

③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]

⑤ [eqn: 8]

18. 다음 표는 어떤 전자 회사의 ‘갑’, ‘을’ 두 공장에서 만들어진 제품 [eqn: rm A]와 [eqn: rm B]의 작년도 생산량이다.

제품 공장	[eqn: rm A]	[eqn: rm B]
갑	20	30
을	25	15

올해 ‘갑’ 공장에서는 작년에 비하여 두 제품 모두 생산량을 [eqn: 40%] 증가시킬 계획이고, ‘을’ 공장에서는 제품 [eqn: rm A], [eqn: rm B]의 생산량을 각각 [eqn: 30%], [eqn: 20%] 증가시킬 계획이다.

행렬 [eqn: P], [eqn: Q] 를

[eqn: P= pmatrix{`20~30`#`25~15`}], [eqn: Q= pmatrix{`1.4~1.3`#`1.4~1.2`}]

라고 할 때, 다음 중 행렬 [eqn: PQ`]의 [eqn: (`2,```2`)] 성분이 나타내는 것은? [4점]

① ‘갑’ 공장에서 올해 계획한 제품 [eqn: rm B`]의 생산량

② ‘갑’ 공장에서 올해 계획한 제품 [eqn: rm A`]와 [eqn: rm B`]의 생산량의 합

③ ‘을’ 공장에서 올해 계획한 제품 [eqn: rm B`]의 생산량

④ ‘을’ 공장에서 올해 계획한 제품 [eqn: rm A`]와 [eqn: rm B`]의 생산량의 합

⑤ ‘갑’, ‘을’ 공장에서 올해 계획한 제품 [eqn: rm B`]의 생산량의 합

19. 열이 드나들지 못하도록 절연재료로 가두어진 상태에서 기체가 팽창 또는 압축되는 것을 단열과정이라 한다. 산소 기체의 단열과정에서 부피 [eqn: V`]와 압력 [eqn: P`]사이에 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: P``․`V ^{`1.5} `=C`] (단, [eqn: C`]는 상수)

이 단열과정에서 산소 기체의 부피가 처음의 [eqn: 4]배가 되면 압력은 처음의 몇 배가 되겠는가? [3점]

① [eqn: {1} over {8} `]

② [eqn: {1} over {6} `]

③ [eqn: {1} over {4} `]

④ [eqn: {1} over {3} `]

⑤ [eqn: {1} over {2} `]

20. 천체의 거리를 표현하는 방법의 하나로 별의 겉보기등급과 절대등급과의 차이인 ‘거리지수’라는 것이 있다. 어떤 별의 겉보기등급을 [eqn: m`]등급, 절대등급을 [eqn: M``]등급, 지구로부터의 거리를 [eqn: r`](단위 [eqn: rm pc])라 하면,

(거리지수)[eqn: =m-M=a+5`log _{10} `r``](단, [eqn: a`]는 상수)

인 관계가 성립한다고 한다. 거문고자리의 직녀성은 겉보기등급이 [eqn: 0.0`]등급, 절대등급이 [eqn: 0.5`]등급이고, 지구로부터의 거리는 [eqn: 10 ^{0.9} `(rm pc)]이다.

이 때, 겉보기등급은 [eqn: 2`]등급이고 절대등급이 [eqn: -4.5`]등급인 별의 지구로부터의 거리는? [4점]

① [eqn: 10 ^{1.5} `(rm pc)]

② [eqn: 10 ^{1.8} `(rm pc)]

③ [eqn: 10 ^{2.3} `(rm pc)]

④ [eqn: 10^2.6`(rm pc)]

⑤ [eqn: 10 ^{2.8} `( rm pc)]

21. 행렬을 이용하여 한글의 각 음절을 다음 순서에 따라 암호화하려고 한다.

6

8

Ⅰ. 음절의 자음과 모음을 표기 순서에 따라 아래 표를 이용하여 수로 대응시킨다.

Ⅱ. 음절에 대응하는 수가 차례로 [eqn: a`,`b`,`c`,`d`] 이면

행렬 [eqn: A`=` pmatrix{`a`&``b```#`c`&``d```}]를 만든다.

이 때, 대응되는 숫자가 2개인 경우는 [eqn: c`=`d`=`0`], 3개인 경우는 [eqn: d`=`0`]으로 한다.

Ⅲ. 위에서 만든 행렬 [eqn: A`]에 어떤 이차정사각행렬 [eqn: X``]를곱한 [eqn: AX``]의 성분으로 최종 암호화한다.

자음	ㄱ	ㄴ	ㄷ	ㄹ	ㅁ	ㅂ	ㅅ	ㅇ	ㅈ	ㅊ	ㅋ	ㅌ	ㅍ	ㅎ	ㄲ	ㄸ	ㅃ	ㅆ	ㅉ
숫자	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19

모음	ㅏ	ㅑ	ㅓ	ㅕ	ㅗ	ㅛ	ㅜ	ㅠ	ㅡ	ㅣ	ㅐ	ㅒ	ㅔ	ㅖ	ㅘ	ㅙ	ㅚ	ㅝ	ㅞ	ㅟ	ㅢ
숫자	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21

예를 들어 ‘사건’의 각 음절에 해당하는 행렬은 각각 [eqn: pmatrix{``7&```1``#``0&```0``}], [eqn: pmatrix{``1&```3``#``2&```0``}]이고, 행렬 [eqn: X`=` pmatrix{`2`&``0`#`0`&`2`}]를 곱하여 암호화 하면,

[eqn: pmatrix{``7`&```1``#``0&```0``} pmatrix{``2&```0``#``0&```2``} = pmatrix{`14&```2``#``0&```0``}]  ⇒ 햐,

[eqn: pmatrix{``1&```3``#``2&```0``} pmatrix{``2&```0``#``0&``2``} = pmatrix{``2&```6``#``4&```0``}]   ⇒ 뇰

이므로 ‘사건’은 ‘햐뇰’로 암호화된다

행렬 [eqn: X= pmatrix{``````2&```0``#-1&```1``}]을 곱하여 암호화할 때, ‘인컬’로 암호화되는 글자는? [4점]

① 성분

② 직선

③ 원뿔

④ 진법

⑤ 실근

단답형(22～30)

22. [eqn: 2 ^{x} `=`5`]일 때, [eqn: 4 ^{x} `+`8 ^{x} `]의 값을 구하시오. [2점]

23. 행렬 [eqn: A= pmatrix{``a&```b``#``c&```d``}]의 역행렬이 [eqn: A ^{-1} = pmatrix{``````1&````1`#-1&````2``}]일 때, 두 직선

[eqn: ax+by=3,~cx+dy=5`]의 교점의 좌표를 [eqn: (`p,```q`)`]라 하자.

이 때, [eqn: p`+`q`]의 값을 구하시오. [3점]

24. [eqn: log {1} over {2} `+`log {2} over {3} `+`log {3} over {4} `+`…`+`log {n} over {n`+`1} `=`-2``]일 때,

자연수 [eqn: n`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 행렬 [eqn: A= pmatrix{``1&```2``#``0&```1``}]에 대하여 행렬 [eqn: A ^{100} `]의 모든 성분의 합을 구하시오. [3점]

7

8

26. 그림과 같이 성냥개비 [eqn: 6`]개를 이용하여 정삼각형 모양을 만들었다. 그리고 성냥개비 [eqn: 3n`]개를 추가하여 각 변에 놓인 성냥개비의 수가 [eqn: n`+`2] 개가 되도록 정삼각형을 다시 만들었더니, 그 넓이가 처음 정삼각형 넓이의 36배가 되었다.

이 때, [eqn: n]의 값을 구하시오. [3점]

27. [eqn: 1]이 아닌 두 양수 [eqn: a`,```b`]에 대하여

[eqn: log` _{a} ``b`=`c`]

를 오른쪽 그림과 같이 나타내기로 한다.

아래 그림의 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z`]의 값에 대하여

[eqn: `x`+`y`+`z`]의 값을 구하시오. [4점]

28. [eqn: log`1.5`=`0.1761`], [eqn: log`2.4`=`0.3802`]일 때,

[eqn: log`A`=2.5563`]을 만족시키는 [eqn: A`]의 값을 구하시오. [4점]

29. 두 양의 정수[eqn: m,```n]에 대하여 [eqn: a=3 ^{m} ,```b=3 ^{n} `]이라 할 때, 등식 [eqn: log` _{3} ` {b} over {a} = {log` _{3} `b} over {log` _{3} `a}`]가 성립한다. 이 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. [4점]

30. 주영이는 이웃과 인접한 땅에 울타리를 설치하는 데 울타리로 둘러싸인 땅은 넓이가 300[eqn: \m^2]인 직사각형 모양이 되게 하려고 한다. 울타리의 설치 비용은 1[eqn: rm m]당 1만 원이고, 이웃과 인접한 한 쪽 울타리의 설치 비용은 이웃과 절반씩 나누어 내기로 한다. 이 때, 울타리를 설치하는 데 주영이가 지불해야 할 최소 비용은  만 원이다.  안에 알맞은 값을 구하시오. [4점]

이웃과 인접한 울타리

8

8

※ 확인 사항

○ 문제지와 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.