• 수리 영역 •

2007년도 3월 고2 전국연합학력평가 정답 및 해설

정 답

1	②	2	⑤	3	③	4	④	5	④	6	③	7	④	8	③
9	①	10	①	11	⑤	12	②	13	③	14	⑤	15	①	16	①
17	②	18	③	19	④	20	⑤	21	②	22	16	23	17	24	48
25	129	26	350	27	50	28	52	29	97	30	60

해 설

1. [출제의도] 이중근호를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sqrt {9+2 sqrt {4 CDOT 5}} + sqrt {9-2 sqrt {4 CDOT 5}}]

[eqn: = sqrt{(sqrt5 +2 )^2 } + sqrt{(sqrt5 -2 )^2 }]

[eqn: = (sqrt5 +2 ) + (sqrt5 -2 )]

[eqn: =2sqrt5]

2. [출제의도] 복소수의 성질을 알고 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {bar{z}} over {2} + {1} over {z}][eqn: = 1-i over 2 + {1} over {1+i}]

[eqn: = 1-i over 2 + {1- i} over {(1+i)(1-i)}]

[eqn: = 1-i over 2 + 1-i over 2]

[eqn: = 1- i]

3. [출제의도] 집합의 연산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (A^C ``cup B ) ^ C = A CAP B^C = A-B = LEFT { 1, 3RIGHT }]이므로

[eqn: (A^C CUP B )^C CUP B = LEFT { 1, `3, `4,`5,`6, `7 RIGHT }]

따라서 구하는 모든 원소의 합은 [eqn: 26]이다.

4. [출제의도] 다항식의 인수분해와 약수․배수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x^4 -1 = (x-1)(x+1)(x^2 + 1 )]

[eqn: x^3 -3x-2 = (x+1)(x^2 - x- 2 )]

[eqn: = (x+1)^2 (x- 2 )]

[eqn: therefore~ L = (x-1) (x-2) (x + 1)^2 (x^2 +1 )]

따라서 [eqn: L]의 인수가 아닌 것은 ④이다.

5. [출제의도] 연립부등식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x + 6 `> `0]    [eqn: therefore] [eqn: x>-6]  [eqn: cdots]㉠

[eqn: x^2 + 2x - 35 ` <= 0], [eqn: (x + 7 ) ( x-5 ) ` <= 0]

[eqn: therefore] [eqn: -7 <= x <= 5]         [eqn: CDOTS]㉡

㉠, ㉡으로부터 연립부등식의 해는 [eqn: -6 < x <= 5]이다.

따라서 구하는 정수의 개수는 [eqn: -5,``-4, ``CDOTS ,``4,``5] 의 [eqn: 11](개)이다.

6. [출제의도] 명제의 참ㆍ거짓과 대우를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 조건에서

ㄱ. [eqn: SIM q``` RARROW ``` SIM p] 이므로 [eqn: p```` RARROW ```q]    [eqn: therefore~] 참

ㄴ. [eqn: r```` RARROW ``` SIM q] 이므로 [eqn: q````` RARROW ``` SIM r]

여기서 [eqn: q~`` rarrow ``~ r] 는 반드시 참이라 할 수 없다. [eqn: therefore~] 거짓

ㄷ. [eqn: r`~` RARROW ``~ SIMq] 이고 [eqn: SIMq~`` RARROW `~ SIM p] 이므로 [eqn: r~`` RARROW ``~SIMp]  [eqn: therefore~] 참

따라서 참인 명제는 ㄱ, ㄷ이다.

7. [출제의도] 삼각함수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: tan 198Deg = tan (180 Deg + 18Deg )] [eqn: = tan 18 Deg]

[eqn: = {sin18 DEG } over {cos18 DEG }]

[eqn: cos18 DEG = sqrt {1-sin ^{2} 18 DEG `} = sqrt {1-a ^{2} ``}][eqn: ( because ~ cos 18 Deg >0 )]

[eqn: therefore~] [eqn: tan ^{} 198 ^{CIRC } = {a} over {sqrt {1-a ^{2}}}]

8. [출제의도] 이차방정식의 실근 조건을 이해하고 존재영역을 나타낼 수 있는가를 묻는 문제이다.

이차방정식 [eqn: x^2 +ax+b=0]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha,`beta]라 하면

주어진 조건에 의하여

[eqn: D=a ^{2} -4b>0,`` ``alpha + beta >0,```` alpha beta >0]	[eqn: cdotscdots]㉠

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta = -a `>0``,`````alphabeta = b>0]	[eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡에 의하여

[eqn: a < 0, ````b>0,```` b< 1 over 4 a^2]

따라서 구하는 영역은 ③과 같다.

9. [출제의도] 원과 직선의 위치관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x ^{2} +y ^{2} +6x-4y+9=0]

⇔ [eqn: (x+3) ^{2} +(y-2) ^{2} =4]

이것은 중심이 [eqn: (-3,```2)], 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원이다.

이 원에 직선 [eqn: y=mx]가 접하므로 원의 중심 [eqn: (-3,``2)]와

직선 [eqn: mx-y=0]사이의 거리는 반지름의 길이인 [eqn: 2]와 같다.

즉, [eqn: {□`-3m-2□} over {sqrt {m ^{2} +1}} =2]

[eqn: □-3m-2`□=2 sqrt {m ^{2} +1}]    [eqn: cdots]㉠

㉠의 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 5m ^{2} +12m=0]

∴ [eqn: `m=0,```````- {12} over {5}]

따라서 구하는  모든 [eqn: m]의 값의 합은 [eqn: - {12} over {5}]이다.

10. [출제의도] 좌표평면에서 대칭이동의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

두 점 [eqn: rm{A`'`,``B`'}]은 점 [eqn: rm P]에 대한 두 점 [eqn: rm A,```B]의 대칭점이므로 직선 [eqn: Rm A`'`B`']은 직선 [eqn: rmA`B]의 점대칭도형이다.

[eqn: TRIANGLE rm APB== TRIANGLE A`'PB`']에서 [eqn: ANGLE rm ABP= ANGLE A'B'P](엇각)이므로

[eqn: dyad{rm AB``` it} ``//`` dyad{rmA` prime B` prime ```}]

따라서 직선 [eqn: Rm A`'`B`'] 의 기울기는 직선 [eqn: rmA`B]의 기울기인 [eqn: 1over2]과 같다.

또한, 직선 [eqn: Rm A`'`B`'] 은 [eqn: RM A`'(3,``1)]을 지나므로 직선 [eqn: Rm A`'`B`']의 방정식은

[eqn: y`-1`=`1over2`(x-3)]

[eqn: therefore ~y = 1 over 2 x - 1over 2]

따라서 [eqn: `a`=`1over2`,```b`=`-`1over2]이다.

∴ [eqn: `ab=`-`1over4]

11. [출제의도] 삼각함수의 그래프를 이해하고 삼각방정식의 실근의 개수를 파악할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: ~ sinx = -sinx+a] ⇔ [eqn: ~ 2sin x = a]

따라서 [eqn: N(a)]는 [eqn: 0<= x <= 2pi]에서 [eqn: y = 2sin x]와 [eqn: y = a]의 그래프가

만나는 점의 개수와 같다.

ㄱ. [eqn: a=0] 이면  [eqn: 2sin x = 0 ~] 이므로

[eqn: x = 0, ````pi, ````2pi]

∴ [eqn: N(0) = 3]  ∴ 참

ㄴ. [eqn: -2 <= 2sin x <=2]이므로

[eqn: |a |>2]이면 [eqn: y = 2sin x]와 [eqn: y = a]의 그래프는 만나지 않는다.

∴[eqn: N(a) = 0]  ∴ 참

ㄷ. 위 그림에서와 같이

[eqn: N(a) = 2]이면 [eqn: -2<a<0] 또는 [eqn: 0<a<2]

∴ [eqn: N(-a) = 2]  ∴ 참

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

12. [출제의도] 좌표평면에서 평행이동을 이용하여 직선의 방정식을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm B(2,``1)]이 점 [eqn: rm B'(7,``4)]로 옮겨지므로 직사각형 [eqn: rm O prime A prime B prime C prime]은 직사각형 [eqn: rm OABC]를 [eqn: x`]축의 방향으로 5, [eqn: y]축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.

따라서 두 점 [eqn: rm `A(2,``0),~C(0,``1)]은 각각 [eqn: rm `A'(7,``3),~C'(5,``4)]로 옮겨지므로 직선 [eqn: rm A'C']의 방정식은

[eqn: y-3= {4-3} over {5-7} (x-7)]

∴ [eqn: y=- {1} over {2} x+ {13} over {2}]

∴ [eqn: x+2y-13=0]

[다른풀이]

직선 [eqn: rm A'C']은 직선 [eqn: rm AC]를 평행이동한 것이므로

직선 [eqn: rm A'C']의 기울기는 직선 [eqn: rm AC]의 기울기인 [eqn: - {1} over {2}]이다.

한편, [eqn: rm bar{AB} = rm bar{A'B'}= 1]에서 점 [eqn: rm A prime]의 좌표는 [eqn: `(7,`3`)]이므로

이것을 [eqn: y=- {1} over {2} x+b]에 대입하여 정리하면 [eqn: b`=`` {13} over {2}]

따라서 구하는 직선 [eqn: rm A'C']의 방정식은

[eqn: y=- {1} over {2} x+ {13} over {2}]

∴ [eqn: x+2y-13=0]

13. [출제의도] 삼각함수의 관계식을 이해하고 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

세 선분 [eqn: rm OQ, ``AP, ``BQ]의 길이를 [eqn: theta]로 나타내면

[eqn: rm bar{OQ} = cos theta ,`` rm bar{AP} =tan theta ,````` rm bar{BQ} = sin theta]

[eqn: rm bar{OQ} =2`` rm bar{AP} CDOT ` rm bar{BQ}]에서

[eqn: cos theta =2`tan theta CDOT sin theta]  [eqn: LRARROW```][eqn: cos ^{2} theta =2sin ^{2} theta]  [eqn: LRARROW]  [eqn: cot^2 theta = 2]

가 성립한다.
[eqn: therefore] [eqn: cosec theta CDOT sec theta CDOT cot theta][eqn: = {1} over {sin theta } CDOT {1} over {cos theta } CDOT {cos theta } over {sin theta }]

[eqn: = {1} over {sin ^{2} theta }]

[eqn: =cosec ^{2} theta]

[eqn: =1+cot ^{2} theta]

[eqn: =1+2=3]

14. [출제의도] 삼각함수의 성질을 이용하여 최대ㆍ최소를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: y=-4`cos ^{2} x+4`sin`x+3 _{} ~]

[eqn: =-4(1-sin ^{2} x)+4sinx+3]

[eqn: =4sin ^{2} x+4sinx-1]

[eqn: sinx=t`][eqn: (-1 <= t <= 1)]라 하면

[eqn: f(t)=4t ^{2} +4t-1=4 LEFT ( t+ {1} over {2} RIGHT ) ^{2} -2]

[eqn: -1 <= t <= 1`]인 범위에서

[eqn: M=f(1)= 7],   [eqn: m = f LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) =-2]이므로

[eqn: M+m=7+(-2)=5]

15. [출제의도] 다항함수의 성질을 이해하고 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: k( 1<=k<=4)]에 대하여

[eqn: Q(k)=k`P(k)-(k+1)= k`cdot` {k+1} over {k} -(k+1)=]  [eqn: cdots](가)

[eqn: 0]

[eqn: Q(0) = -1]이므로 ㉡에서

[eqn: Q(0)=a(-1)cdot(-2)cdot(-3)cdot(-4)][eqn: =-1]

∴ [eqn: 24a = -1]

∴ [eqn: a =]  …(나)

[eqn: - {1} over {24}]

따라서 [eqn: P(-1) = - Q(-1)]

[eqn: =-a cdot(-2)cdot(-3)cdot(-4)cdot(-5)]

[eqn: = {1} over {24}cdot(-2)cdot(-3)cdot(-4)cdot(-5)=]   …(다)

[eqn: 5]

16. [출제의도] 좌표평면에서 두 도형의 교점이 존재할 조건을 찾아 영역으로 나타낼 수 있는가를 묻는 문제이다.

무리함수 [eqn: y=root{x-p}``+q]의 그래프는 점 [eqn: (p,```q)]에서 시작하여 오른쪽 위로 증가하는 곡선이다. (그림참조)

곡선 [eqn: y=root{x-p}``+q] 가 반드시 반직선 [eqn: A]와 만나기 위해서는 점 [eqn: (p,```q)]가 직선 [eqn: `x`=`1]의 왼쪽에 놓여야 한다.

[eqn: therefore~][eqn: p<=1]           [eqn: cdots]㉠

또한, 곡선 [eqn: y=root{x-p}``+q]가 반직선 [eqn: A]와 한 점에서 만나는 경우 중 가장 아래쪽에 놓일 때는 곡선 [eqn: y= sqrt {x-p} ``+q]가 점 [eqn: (1,``1)]을 지날 때이다.

점 [eqn: (1,``1)]을 지나는 경우는

[eqn: `1` = sqrt {1-p} `+q]에서 [eqn: q=`1`-root{1-p}`]

[eqn: therefore~] [eqn: q>=`1`-root{1-p}`]   [eqn: cdots]㉡

㉠, ㉡에 의하여 구하는 영역을 좌표평면 위에 나타내면 ①과 같다.

17. [출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 조건을 만족하는 함수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

집합 [eqn: A]의 영역은 아래 그림의 색칠한 부분과 같고, 집합 [eqn: B]는  포물선 [eqn: y =`ax^2`-1] 의 위쪽 영역이다. 여기서 [eqn: A`subsetB] 의 조건을 만족하면서 [eqn: a] 의 값이 최대일 때는  포물선 [eqn: y=ax ^{2} -1]이 [eqn: (1,``1)], [eqn: (-1,``1)]을 지날 때이다. 따라서 [eqn: 1=a-1]에서 [eqn: a=2] 이다.

18. [출제의도] 좌표평면에서 원과 접선의 관계를 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

직선 [eqn: l]이 점 [eqn: rmT(3,-4)]에서 원 [eqn: rm O]와 접하므로 직선 [eqn: rmOT]와 직선 [eqn: l] 은 수직이다. 직선 [eqn: rmOT]의 기울기는 [eqn: - 4 over 3]이므로 직선 [eqn: l]의 기울기는 [eqn: 3 over 4]이다.

한편, 원 [eqn: rm O_1]의 중심의 좌표는 [eqn: (a,``b)]이므로 [eqn: {b} over {a}]의 값은 직선 [eqn: rmOO _{1}]의 기울기와 같고, 직선 [eqn: rmOO _{1}]과 직선 [eqn: l] 은 서로 평행하다.

[eqn: therefore] [eqn: ` {b} over {a} ``=] (직선 [eqn: rm OO _{1}]의 기울기)[eqn: =](직선 [eqn: l]의 기울기)[eqn: `=` {3} over {4} ~]

[참고]

직선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y-(-4)`= {3} over {4} (x-3)]    [eqn: THEREFORE ~y= {3} over {4} x- {25} over {4} ~]

19. [출제의도] 산술평균과 기하평균의 관계를 이용하여 최대ㆍ최소를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림과 같이 점 [eqn: rm A]와 점 [eqn: rm B]는 직선

[eqn: {x} over {a} + {y} over {b} =1]의 [eqn: x]절편, [eqn: y]절편이므로

[eqn: rm A( it a,``0),`` rm B( it 0,```b)] 이다.

따라서 [eqn: TRIANGLE rm OAB]의 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S= {1} over {2} ab]    …㉠

또, 직선 [eqn: {x} over {a} + {y} over {b} =1] 가 [eqn: rm P(2,``1)]을 지나므로

[eqn: {2} over {a} + {1} over {b} =1]   …㉡

[eqn: {2} over {a} >0,``` {1} over {b} >0]이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

[eqn: 1= {2} over {a} + {1} over {b} >= 2 sqrt {{2} over {a} ․ {1} over {b}} =2 sqrt {{2} over {ab}}]

[eqn: 1 >=2 sqrt {{2} over {ab}}]의 양변을 제곱하면  [eqn: 1 >= {8} over {ab}]

∴ [eqn: {ab} >= 8]

∴ [eqn: S= {1} over {2} ab >= 4]

따라서 [eqn: TRIANGLE rm OAB] 의 넓이 [eqn: S]의 최소값은 [eqn: 4]이다.

20. [출제의도] 합성함수의 성질을 이용하여 함수값을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림과 같이 대응관계를 이용하여 합성함수의 값을 구하면

[eqn: f ^{`3} (1)=f`(f(f(1)))=`f(f(2))`=``f`(3)=1]

같은 방법으로 [eqn: ``f^3 (2)`=2`,``f^3`(3)=3] 이다.

∴ [eqn: f^3`(x)=x]

[eqn: f ^{100} `(x)=(f ^{`3 CDOT 33} ` CIRC ``f)(x)=f`(x)], [eqn: f ^{200} `(x)=(f ^{`3 CDOT 66} ` CIRC ``f ^{2} )(x)=f ^{2} `(x)]

[eqn: THEREFORE ``f ^100`(1)`=f(1)=2`]

[eqn: f ^{200} `(3)`=f ^{2} `(3)`=f(f(3))=f(1)=2]

[eqn: THEREFORE `f^100`(1)`-f^200`(3)`=2-2=0]

21. [출제의도] 부등식의 영역을 이용하여 실생활의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: RMA]형 승용차와 [eqn: RM B]형 승용차를 각각 [eqn: x]대, [eqn: y]대 구입한다고 하면

승용차 구입 금액의 한도액은 3억 6천만 원이므로

[eqn: 1200x+2000y <= 36000]

또, 승용차를 최대로 26대까지 구입할 수 있으므로

[eqn: x+y <= 26]

따라서 [eqn: x,```y]는 연립부등식 [eqn: cases{x >= 0,``y >= 0&#3x+5y <= 90&#x+y <= 26&}]을 만족해야 한다.

이 부등식의 영역을 좌표평면 위에 나타내면 다음 그림과 같다.

이 영역에서  [eqn: 10x+15y] 의 값이 최대가 되는 [eqn: (x,``y)] 를 구하면 된다.

[eqn: 10x+15y=k] 라 하면

[eqn: y=- {2} over {3} x+ {k} over {15}] 가 두 직선의 교점 [eqn: (20,``6)]을 지날 때 [eqn: 10x+15y]는 최대가 되고 최대값은 [eqn: 10` TIMES 20+15 TIMES 6=290]이 된다.

즉, 하루 최대 수익은 [eqn: 290]만 원이다.(최대 수익은 [eqn: rm A]형, [eqn: rm B]형 승용차를 각각 [eqn: 20]대, [eqn: 6]대 구입할 때이다.)

22. [출제의도] 실수가 서로 같을 조건을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 등식을 전개하여 정리하면

[eqn: 2a+2 sqrt { 3}-3b+ sqrt { 3}b=2+8 sqrt { 3}]

[eqn: (2a-3b)+(b+2) sqrt { 3}=2+8 sqrt { 3}]

[eqn: a, b]는 유리수이므로

[eqn: 2a-3b=2,```b+2=8]

∴[eqn: a+b=10+6=16]

23. [출제의도] 나머지 정리를 이용하여 나머지를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: P(x)-7]이 [eqn: x-1]로 나누어 떨어지므로

[eqn: P(1)-7=0,````` THEREFORE P(1)=7]      …㉠

[eqn: P(x)+3]이 [eqn: x+1]로 나누어 떨어지므로

[eqn: P(-1)+3=0,````` THEREFORE P(-1)=-3]  …㉡

[eqn: P(x)]를 [eqn: x ^{2} -1]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x),```]나머지를 [eqn: R(x)=ax+b]라 하면

[eqn: P(x)=(x ^{2} -1)Q(x)+ax+b]    …㉢

㉠, ㉡，㉢에 의하여

[eqn: P(1)=a+b=7,```P(-1)=-a+b=-3]

이를 연립하여 풀면

[eqn: a=5,```b=2]

[eqn: THEREFORE R(x)=5x+2]

∴[eqn: R(3)=17]

24. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x^2 +(a-4)x - 4 = 0]의 두 근을 [eqn: t,````t+4]라 하면

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: t+(t+4)=4-a], [eqn: t LEFT ( t + 4) = -4], [eqn: (t+2) ^{2} =0]

따라서 [eqn: t = -2]이므로  [eqn: a=4]

[eqn: x ^{2} +(a+4)x+4=0]의 두 근을 [eqn: alpha , ```beta]라 하면

[eqn: alpha + beta =-(a+4)=-8,``` alpha beta =4]이므로

[eqn: d^2 = (alpha - beta )^2 = (alpha + beta)^2 - 4alpha beta = 48]

25. [출제의도] 합성함수와 역함수를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(x) = 5x + 20]에서 [eqn: f(x)]의 역함수는

[eqn: f^-1 (x) = 1over 5 x-4]

[eqn: g(x) = cases{ 2x ~~&(x< 25 ) #x+25&(x>=25)]에서 [eqn: g(x)]의 역함수는

[eqn: g^-1 (x) = cases{ 1over 2 x&(x<50) # x-25 ~~&(x>= 50 )]

[eqn: therefore~] [eqn: f(g^-1 (40) ) + f^-1 (g(40))]

[eqn: =f LEFT ( {1} over {2} CDOT 40 RIGHT ) +f ^{-1} (40+25)]

[eqn: = f(20 ) + f^-1 (65)][eqn: =120 + 9 = 129]

26. [출제의도] 자료를 통하여 표준편차와 분산을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: RMA]조와 [eqn: RM B`]조 점수의 평균은 서로 같으므로 평균을 [eqn: m]이라 하면

([eqn: RMA]조 점수의 분산) [eqn: = {(a-m) ^{2} +(20-m) ^{2} +(30-m) ^{2} +(50-m) ^{2}} over {4}]

[eqn: =(5 sqrt {10} ) ^{2} =250]

([eqn: RM B`]조 점수의 분산) [eqn: = {(a-m) ^{2} +(10-m) ^{2} +(40-m) ^{2} +(50-m) ^{2}} over {4}]

[eqn: = {(a-m) ^{2} +(20-m) ^{2} +(30-m) ^{2} +(50-m) ^{2} +400} over {4}]

[eqn: = {(a-m) ^{2} +(20-m) ^{2} +(30-m) ^{2} +(50-m) ^{2}} over {4} +100]

[eqn: =250+100=350]

[eqn: therefore~][eqn: S ^{2} =350]

[참고] 주어진 자료는 [eqn: a=60,``m=40]일 때이다.

27. [출제의도] 삼각형에 코사인법칙과 사인법칙을 적용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: bar{ rmBC}]의 길이를 [eqn: a]라 하면

코사인법칙에 의하여

[eqn: cos A= it {5 ^{2} +6 ^{2} -a ^{2}} over {2 CDOT 5 CDOT 6} = {3} over {5}]이므로  [eqn: a^ 2 = 25]

[eqn: therefore~ a= 5]	[eqn: cdots]㉠

[eqn: sin A = sqrt {1-cos^2 A} = 4 over 5]    [eqn: CDOTS]㉡

사인법칙에 의하여  [eqn: {a} over {`sinA it} =2R]이므로

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: R= {a} over {2sina} = {5} over {2 CDOT {4} over {5}} = {25} over {8}]

[eqn: therefore~ 16 R = 50]

28. [출제의도] 이차함수를 이용하여 실생활의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

액자의 폭(가로)과 아래위(세로)의 길이를 각각 [eqn: x], [eqn: y] 라 하면

주어진 조건에 의하여 [eqn: 2(x+y)=224`]

[eqn: `` `THEREFORE~x+y=112]

사진의 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S`` & =`(x-8)(y-16)``]

[eqn: & =(x-8)(112-x-16)]

[eqn: & =(x-8)(96-x)]

[eqn: & =`-x ^{2} `+104x`-768]

[eqn: & =`-(x-52) ^{2} `+1936]

즉, 사진의 넓이는 [eqn: x=52, ```~ y = 60]일 때 최대가 된다.

따라서 구하는 액자의 짧은 변의 길이는 [eqn: 52]이다.

[다른풀이]

액자의 폭(가로)과 아래위(세로)의 길이를 각각 [eqn: x], [eqn: y] 라 하면

사진의 넓이는 [eqn: S`=`(x-8)`(y-16)`]이다.

한편, [eqn: 2`(x+y)`=`224`]이므로 [eqn: x+y`=`112`]이고

[eqn: (x-8)+(y-16)=x+y-24=88`]

[eqn: x-8>0,````y-16>0]이므로

산술평균과 기하평균 관계에 의하여

[eqn: {(x-8)+(y-16)} over 2 ``>=``root{(x-8)(y-16)}]

∴ [eqn: S`=`(x-8)`(y-16)`][eqn: `<=``44^2 =1936`]

따라서, [eqn: x-8`=y-16`=44] 일 때 [eqn: S] 의 값이 최대이다.

[eqn: THEREFORE `x`=52,``````y=60]

29. [출제의도] 약수ㆍ배수를 구하고 집합의 연산을 통하여 원소를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

집합 [eqn: X] 의 각 원소 [eqn: x]에 대하여 집합 [eqn: Y] 의 원소를 차례로 구해보면 다음과 같다.

[eqn: x=1``:`1 ^{2} +1+1=3]

[eqn: x=2``:``2 ^{2} +2+1=7]

[eqn: x=3``:`3^2 +3+1=13]

[eqn: x=4``:`4^2 +4+1=21]

[eqn: x=5``:`5^2 +5+1=31]

[eqn: x=6``:`6^2 +6+1=43]

[eqn: x=7``:`7^2 +7+1=57]

[eqn: x=8``:`8^2 +8+1=73]

[eqn: x=9``:`9 ^{2} +9+1=91]

[eqn: x=10``:10 ^{2} +10+1=111]

[eqn: vdots]

∴ [eqn: Y= LEFT { 3,``7,``13,``21,``31,``43,``57,``73,``91,``111,`` CDOTS `,``10101` RIGHT }]

집합 [eqn: Y]의 원소 중 [eqn: 3]의 배수인 것을 구해보면

[eqn: Z= LEFT { 3,``21,``57,``111,``…`,``10101` RIGHT }]

∴[eqn: X ∩Z = LEFT { 3,``21,``57` RIGHT }]

∴[eqn: n(`X-Z`)][eqn: = `n(`X ) -`n(X∩ Z`)]

[eqn: =100-3=97]

[다른풀이]

[eqn: f(x)=x^2 + x+ 1 = (x+2)(x-1) +3]으로 놓으면

[eqn: (x+2)(x-1)]이 3의 배수일 때, [eqn: f(x)]는 3의 배수이다.

즉, [eqn: x+2]가 3의 배수일 때, [eqn: f(x)]는 3의 배수이다.

[eqn: x+2]가 3의 배수인 경우는 [eqn: x=1,``4,``7,``10,``…]이고 이때 [eqn: f(x)]의 값은

[eqn: 3,``21,``57,``111,``…] 임을 알 수 있다.

30. [출제의도] 실생활의 문제를 수식과 방정식을 통하여 문제를 해결 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

첫 번째 안의 찬성표 수를 [eqn: a], 두 번째 안의 찬성표 수를 [eqn: b]라 하면 첫 번째 안의 반대표 수와 두 번째 안의 반대표 수는 각각 [eqn: 400-a]와 [eqn: 400-b`]이다.

따라서 (가)에서

[eqn: b-(400-b)=2 LEFT { (400-a)-a RIGHT }]

∴ [eqn: 2a+b=600]         …㉠

또, (나)에서

[eqn: b= {12} over {11} (400-a)]

∴ [eqn: 12a+11b=4800]	…㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=180], [eqn: b = 240]

[eqn: b-a=240-180=60]

따라서 두 번째 안에 대한 찬성자는 첫 번째 안에 대한 찬성자보다 [eqn: 60] 명 더 많다.