* 라플라스변환에 대한 기본적인 일반식

공 식	명명법, 설명
[eqn: F(s) = □ LEFT { f(t)RIGHT } = INT _{ 0}^{ INF } e^{-s t} f(t)dt~] [eqn: f(t) =□^-1 LEFT { F(s) RIGHT } ~]	변환의 정의, 역변환
[eqn: □ LEFT { af(t) +bg(t) RIGHT } =a□ LEFT { f(t)RIGHT } +b □LEFT { g(t) RIGHT } ~]	선형
[eqn: □(f ~' )=s□(f~)-f(0)] [eqn: □(f ~'' )=s^2 □(f~)-sf(0)-f~'(0)~] [eqn: □(f ^(n) )=s^n □(f~)-s^{n-1} f(0)-…-f^(n-1) (0)~] [eqn: □ LEFT { INT _{ 0}^{t } f( tau ) d tau RIGHT }= { 1} over { s} □(f~)~]	함수의 미분 함수의 적분
[eqn: □(e^at f (t) )=F(s-a)] [eqn: □^-1 LEFT { F(s-a) RIGHT } =e^at f(t)]	s-변위 (제1변위정리)
[eqn: □ LEFT { f (t-a)u(t-a )RIGHT }=e^-as F(s)] [eqn: □^-1 LEFT {e^-as F(s) RIGHT } = f(t-a)u(t-a)]	변위 (제2변위정리)
[eqn: □ LEFT { t f (t) RIGHT }=- F~'(s)] [eqn: □ LEFT { { f(t)} over { t} RIGHT } = INT _{ s}^{ INF } F(□)d□]	변환의 미분 변환의 적분
[eqn: (f*g)(t) = INT _{ 0}^{ t} f( tau )g(t- tau )d tau~ #= INT _{ 0}^{t }f(t- tau)g( tau)d tau ~] [eqn: □ (f*g)=□(f)□(g)~]	합성 (convolution)
[eqn: □ (f)= { 1} over {1-e^-ps } INT _{ 0}^{p }e^-st f(t)dt~]	주기 p를 가지는 주기함수 f

* Laplace변환표

F(s)=□{f(t)}	f(t)
♠ [eqn: {1 } over {s}~]	1
♠ [eqn: {1 } over {s^2}~]	t
♠ [eqn: {1 } over {s^n}~](n=1,2,…)	[eqn: {t^n-1 }over{(n-1)!}~]
♠ [eqn: { 1} over { SQRT { s} } ~]	[eqn: {1 } over { SQRT { pi t} }~]
♠ [eqn: {1 } over {s^3/2 }~]	[eqn: 2 SQRT { { t} over { pi }}~]
♠ [eqn: {1 } over {s^a}~](a>0)	[eqn: {t^a-1} over { GAMMA(a)}~~~:~~ GAMMA (n+1)=n!]
♠ [eqn: {1 } over {s-a}~]	[eqn: e^at~]
♠ [eqn: {1 } over {(s-a)^2}~]	[eqn: te^at~]
♠ [eqn: {1 } over {(s-a)^n}~](n=1,2,…)	[eqn: { 1} over {(n-1)! } t^n-1 e^at~]
♠ [eqn: {1 } over {(s-a)^k}~](k>0)	[eqn: { 1} over { GAMMA (k) } t^k-1 e^at~]
♠ [eqn: { 1} over {(s-a)(s-b) } ~]	[eqn: { 1} over { (a-b)}( e^at -e^bt ) ~]
♠ [eqn: { s} over {(s-a)(s-b) } ~]	[eqn: { 1} over { (a-b)}( ae^at -be^bt ) ~]
♠ [eqn: { 1} over { s^2 +w^2}]	[eqn: { 1} over {w } sin wt~]
♠ [eqn: { s} over { s^2 +w^2}]	[eqn: cos wt~]
♠ [eqn: { 1} over { s^2 -a^2}]	[eqn: { 1} over {a } sinh at~]
♠ [eqn: { s} over { s^2 -a^2}]	[eqn: cosh at~]
♠ [eqn: { 1} over { (s-a)^2 +w^2}]	[eqn: { 1} over {w} e^at sin wt~]
♠ [eqn: { s-a} over { (s-a)^2 +w^2}]	[eqn: e^at cosh wt~]
♠ [eqn: { 1} over { s(s^2 +w^2 )}]	[eqn: { 1} over { w^2}(1- cos wt)~]
♠ [eqn: { 1} over { s^2 (s^2 +w^2 )}]	[eqn: { 1} over {w^3} (wt- sin wt)~]
♠ [eqn: { 1} over { (s^2 +w^2 )^2}]	[eqn: { 1} over {2w^3} (sin wt -wt cos wt)~]

F(s)=□{f(t)}	f(t)
♠ [eqn: { s} over { (s^2 +w^2 )^2}]	[eqn: { 1} over {2w} sin wt~]
♠ [eqn: { s^2} over { (s^2 +w^2 )^2}]	[eqn: { 1} over {2w} (sin wt +wt cos wt)~]
♠ [eqn: { s} over { (s^2 +a^2 )(s^2 +b^2 )}] [eqn: (a^2 != b^2 )~]	[eqn: { 1} over { b^2 -a^2}(cos at- cos bt)~]
♠ [eqn: { 1} over {s^4 +4k^4 }]	[eqn: { 1} over {4k^3} ( sin kt ~cosh kt -cos kt ~sinh kt)]
♠ [eqn: { s} over {s^4 +4k^4 }]	[eqn: { 1} over {2k^2} sin kt ~sinh kt]
♠ [eqn: { 1} over {s^4 -4k^4 }]	[eqn: { 1} over {2k^3} ( sinh kt -sin kt)]
♠ [eqn: { s} over {s^4 -4k^4 }]	[eqn: { 1} over {2k^2} ( cosh kt -cos kt)]
♠ [eqn: SQRT { s-a} - SQRT { s-b} ~]	[eqn: { 1} over {2 SQRT { pi t^3} } (e^bt -e^at )]
♠ [eqn: {1 } over { SQRT { s+a} SQRT { s+b} }]	[eqn: e^{-{(a+b)} over {2}t} I_o LEFT ( { a-b} over {2 } t RIGHT )]
♠ [eqn: {1 } over { SQRT { s^2 +a^2} }]	[eqn: J_0 (at)~] : Bessel 함수
♠ [eqn: {s} over { SQRT { (s-a)}}^3 }]	[eqn: { 1} over { SQRT { pi t} } e^at (1+2at )]
♠ [eqn: {1} over { (s^2 -a^2 )^k }] (k>0)	[eqn: { SQRT { pi } } over { GAMMA (k) } LEFT ( { t} over { 2a} RIGHT )^k-1/2 I_k-1/2 (at )]
♠ [eqn: {e^-as} over {s}]	[eqn: u(t-a)~]
♠ [eqn: e^-as~]	[eqn: delta (t-a)~]
♠ [eqn: { 1} over { s} e^-k/s~]	[eqn: J_0 (2 SQRT { kt})]
♠ [eqn: { 1} over { SQRT { s}} e^-k/s~]	[eqn: { 1} over { SQRT { pi t} } cos 2 SQRT { kt} ~]
♠ [eqn: { 1} over { SQRT { s}}^3 e^k/s~]	[eqn: { 1} over { SQRT { pi k} } sinh 2 SQRT { kt} ~]
♠ [eqn: e^{-k SQRT { s}}~] (k>0)	[eqn: { k} over {2 SQRT { pi t^3} }e^{-k^2 /4t} ~]
♠ [eqn: { 1} over { s} ln s~]	[eqn: -ln t - gamma ~~~~( gamma APPROX 0.5772)]
♠ [eqn: ln { s-a} over {s-b }]	[eqn: { 1} over { t} (e^bt -e^at )]
♠ [eqn: ln { s^2 +w^2} over {s^2 }]	[eqn: { 2} over { t} (1-cos wt )]
♠ [eqn: ln { s^2 -a^2} over {s^2 }]	[eqn: { 2} over { t} (1-cosh at )]