수2	2022년 시행 기출 4점	미분

[2203교-고3-10]

⑤ [eqn: {3} over {2}]

[출제의도] 함수의 증가와 감소를 이해하여 실수의 최솟값을 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: f(x)][eqn: =x ^{2} +2x+k][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} +k-1]

이므로 함수 [eqn: f(x)`]는 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: f(x){ge}k-1`]이다.

함수 [eqn: g(f(x))`]에서 [eqn: f(x)=t`]라 하면 [eqn: t{ge}k-1`]이므로 함수 [eqn: g(t)`]는 구간 [eqn: LEFT [ k-1,``` INF RIGHT ) `]에서 정의된 함수이다.

한편 [eqn: g(x)=2x ^{3} -9x ^{2} +12x-2`]에서

[eqn: g` prime (x)][eqn: =6x ^{2} -18x+12][eqn: =6 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )]

이므로 [eqn: g` prime (x)=0`]에서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=2`]이다.

함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 극대, [eqn: x=2`]에서 극소이다.

[eqn: g(t)=2`]에서

[eqn: 2t ^{3} -9t ^{2} +12t-2=2], [eqn: LEFT ( 2t-1 RIGHT ) LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2} =0]

즉, 함수 [eqn: y=g(t)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=2`]는 그림과 같다.

따라서 [eqn: {1} over {2} LEQ k-1 LEQ 2], 즉 [eqn: {3} over {2} {le}k{le3`]이므로 조건을 만족시키는 실수 [eqn: k`]의 최솟값은 [eqn: {3} over {2} `]이다.

두 함수

[eqn: f(x)=x ^{2} +2x+k],  [eqn: g(x)=2x ^{3} -9x ^{2} +12x-2]

에 대하여 함수 [eqn: LEFT ( `g{circ}f` RIGHT ) (x)`]의 최솟값이 [eqn: 2`]가 되도록 하는 실수 [eqn: k`]의 최솟값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: {9} over {8}]	③ [eqn: {5} over {4}]	④ [eqn: {11} over {8}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

[2203교-고3-14]

② ㄱ, ㄴ

[출제의도] 함수의 그래프를 활용하여 방정식의 실근의 개수를 추론한다.

ㄱ. [eqn: k=0`]일 때, [eqn: f(x)+g(x)][eqn: =x ^{3} +2x ^{2} +4]
[eqn: h _{1} (x)=x ^{3} +2x ^{2} +4`]라 하면
[eqn: h _{1} prime (x)][eqn: =3x ^{2} +4x][eqn: =x LEFT ( 3x+4 RIGHT )][eqn: =0]
에서 함수 [eqn: h _{1} ( x ) `]는 [eqn: x=it- {4} over {3} `]에서 극대, [eqn: x=0`]에서 극소이다.
[eqn: h _{1} ( 0 ) =4>0`]이므로 방정식 [eqn: h _{1} (x)=0`]은 오직 하나의 실근을 갖는다. (참)

ㄴ. [eqn: f(x)-g(x)=0`]에서
[eqn: x ^{3} -kx+6- LEFT ( 2x ^{2} -2 RIGHT ) =0], [eqn: x ^{3} -2x ^{2} +8=kx]
[eqn: h _{2} (x)=x ^{3} -2x ^{2} +8`]이라 하면 곡선 [eqn: y=h _{2} ( x ) `]에 직선 [eqn: y=kx`]가 접할 때만 방정식 [eqn: h _{2} ( x ) =kx`]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2`]이다. 접점의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,```a ^{3} -2a ^{2} +8 RIGHT ) `]이라 하면 [eqn: h _{2} prime ( x ) =3x ^{2} -4x`]에서 접선의 방정식은
[eqn: y- LEFT ( a ^{3} -2a ^{2} +8 RIGHT ) = LEFT ( 3a ^{2} -4a RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )]
이 접선이 원점을 지나므로
[eqn: 0- LEFT ( a ^{3} -2a ^{2} +8 RIGHT ) = LEFT ( 3a ^{2} -4a RIGHT ) LEFT ( 0-a RIGHT )],
[eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +a+2 RIGHT ) =0], [eqn: a=2]
따라서 구하는 [eqn: k`]의 값은 [eqn: h _{2} prime (2)=4`]뿐이다. (참)

ㄷ. [eqn: LEFT | x ^{3} -kx+6 RIGHT | =2x ^{2} -2`]에서 [eqn: 2x ^{2} -2 GEQ 0`]이므로 [eqn: x`]의 값의 범위는 [eqn: x{le}-1] 또는 [eqn: x GEQ 1`]이고, 주어진 방정식은
[eqn: x ^{3} -kx+6= it - LEFT ( 2x ^{2} -2 RIGHT )] 또는 [eqn: x ^{3} -kx+6=2x ^{2} -2],
즉 [eqn: x ^{3} +2x ^{2} +4=kx] 또는 [eqn: x ^{3} -2x ^{2} +8=kx]
[eqn: h _{1} LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +2x ^{2} +4], [eqn: h _{2} LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -2x ^{2} +8`]이라 하면 주어진 방정식의 실근의 개수는 [eqn: x{le}-1] 또는 [eqn: x GEQ 1`]일 때 직선 [eqn: y=kx`]와 두 곡선 [eqn: y=h _{1} ( x )], [eqn: y=h _{2} (x)`]의 교점의 개수와 같다.
ㄴ에서 [eqn: k=4`]일 때 직선 [eqn: y=kx`]와 곡선 [eqn: y=h _{2} (x)`]가 접하므로 [eqn: k LEQ 4`]일 때 [eqn: x{le}-1] 또는 [eqn: x{ge}1`]에서 직선 [eqn: y=kx`]와 두 곡선 [eqn: y=h _{1} ( x )], [eqn: y=h _{2} (x)`]의 교점의 개수의 최댓값은 [eqn: 3`]이다.

[eqn: k>4`]일 때, [eqn: x LEQ -1`]에서 직선 [eqn: y=kx`]와 두 곡선 [eqn: y=h _{1} (x)], [eqn: y=h _{2} (x)`]의 서로 다른 교점의 개수는 [eqn: 2`]이다. 원점에서 곡선 [eqn: y=h _{1} (x)`]에 그은 접선의 방정식은 [eqn: y=7x`]이고 접점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,```7 RIGHT ) `]이므로 [eqn: k>4`]일 때, [eqn: x{ge}1`]에서 직선 [eqn: y=kx`]와 두 곡선 [eqn: y=h _{1} (x)], [eqn: y=h _{2} (x)`]의 서로 다른 교점의 개수는 [eqn: 2`]이다. 즉, [eqn: k>4`]일 때, [eqn: x{le}-1] 또는 [eqn: x{ge}1`]에서 직선 [eqn: y=kx`]와 두 곡선 [eqn: y=h _{1} (x)], [eqn: y=h _{2} (x)`]의 서로 다른 교점의 개수는 [eqn: 4`]이다.
따라서 방정식 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT | =g(x)`]의 서로 다른 실근의 개수의 최댓값은 [eqn: 4`]이다. (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

두 함수

[eqn: f(x)=x ^{3} -kx+6],  [eqn: g(x)=2x ^{2} -2]

에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: k=0`]일 때, 방정식 [eqn: f(x)+g(x)=0`]은 오직 하나의 실근을 갖는다. ㄴ. 방정식 [eqn: f(x)-g(x)=0`]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2`]가 되도록 하는 실수 [eqn: k`]의 값은 [eqn: 4`]뿐이다. ㄷ. 방정식 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT | =g(x)`]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 5`]가 되도록 하는 실수 [eqn: k`]가 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[2204교-고3-14]

④ ㄱ, ㄷ

[출제의도] 도함수를 이용하여 추론하기

함수 [eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: rm O]

[eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 함수 [eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의

그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동한 것이므로

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=k+3]에서만 불연속이다.

ㄱ. [eqn: k=it-3]일 때
[eqn: lim _{x` rarrow `0-} g LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x` rarrow `0-} LEFT | f LEFT ( x+3 RIGHT ) RIGHT |=0],
[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) = LEFT | f LEFT ( 0+3 RIGHT ) RIGHT | =0]에서 [eqn: lim _{x` rarrow `0-} {g LEFT ( x RIGHT )} =g LEFT ( 0 RIGHT )] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x` rarrow `0-} {f LEFT ( x RIGHT )} =1], [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =it-1]에서 [eqn: lim _{x` rarrow `0-} {f LEFT ( x RIGHT )} !=f LEFT ( 0 RIGHT )]
[eqn: k!= it -3]일 때 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 연속이므로
[eqn: lim _{x` rarrow `0-} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} !=f LEFT ( 0 RIGHT ) +g LEFT ( 0 RIGHT )]
[eqn: k=it-3]일 때 [eqn: lim _{x` rarrow `0-} {g LEFT ( x RIGHT )} =g LEFT ( 0 RIGHT )]이므로
[eqn: lim _{x` rarrow `0-} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} !=f LEFT ( 0 RIGHT ) +g LEFT ( 0 RIGHT )]
그러므로 모든 정수 [eqn: k]에 대하여
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 불연속이다. (거짓)

ㄷ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하기
위해서는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서
연속이어야 한다.
[eqn: lim _{x` rarrow ` 0-} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` rarrow ` 0-} {g LEFT ( x RIGHT )],
[eqn: lim _{x` rarrow ` 0+} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )} =it- lim _{x` rarrow ` 0+} {g LEFT ( x RIGHT )],
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) g LEFT ( 0 RIGHT ) =it-g LEFT ( 0 RIGHT )]
에서 [eqn: lim _{x` rarrow `0-} {g LEFT ( x RIGHT )} = it - lim _{x` rarrow `0+} {g LEFT ( x RIGHT )} =it-g LEFT ( 0 RIGHT )]
모든 정수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: lim _{x` rarrow `0-} g LEFT ( x RIGHT )=g LEFT ( 0 RIGHT )]이므로
[eqn: lim _{x` rarrow ` 0} {g LEFT ( x RIGHT )} =g LEFT ( 0 RIGHT ) =0]
그러므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=0]에서 연속이
되도록 하는 정수 [eqn: k]의 값은 [eqn: -4], [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 1]

(ⅰ) [eqn: k=it-4] 또는 [eqn: k=1]일 때
[eqn: lim _{x` rarrow `0-} {{f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT ) g LEFT ( 0 RIGHT )} over {x-0}} = lim _{x` rarrow `0-} {{LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( -x RIGHT )} over {x}}]
[eqn: = it -1]
[eqn: lim _{x` rarrow `0+} {{f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT ) g LEFT ( 0 RIGHT )} over {x-0}}= lim _{x` rarrow `0+} {{LEFT ( x-1 RIGHT ) x} over {x}}]
[eqn: = it -1]
이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서
미분가능하다.

(ⅱ) [eqn: k=it-2]일 때
[eqn: lim _{x` rarrow ` 0-} {{f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT ) g LEFT ( 0 RIGHT )} over {x-0}} =0]
[eqn: lim _{x` rarrow ` 0+} {{f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT ) g LEFT ( 0 RIGHT )} over {x-0}} =0]
이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서
미분가능하다.

(ⅲ) [eqn: k=it-1]일 때
[eqn: lim _{x` rarrow `0-} {{f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT ) g LEFT ( 0 RIGHT )} over {x-0}} = lim _{x` rarrow `0-} {{LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( -x RIGHT )} over {x}}]
[eqn: = it -1]
[eqn: lim _{x` rarrow ` 0+} {{f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT ) g LEFT ( 0 RIGHT )} over {x-0}} =0]
이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서
미분가능하지 않다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 모든 정수 [eqn: k]의 값의
합은 [eqn: -4+ LEFT ( -2 RIGHT ) +1= it -5]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

정수 [eqn: k]와 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{`x+1 _{{}_{`}}&````` _{{}_{`}} LEFT ( x<0 RIGHT )#`x-1 _{{}_{`}}^{{}^{`}}&````` _{{}_{`}}^{{}^{`}} LEFT ( 0 LEQ x<1 RIGHT )#`0 _{{}_{`}}^{{}^{`}}&````` _{{}_{`}}^{{}^{`}} LEFT ( 1 LEQ x LEQ 3 RIGHT )#`-x+4 ^{{}^{`}}&````` ^{{}^{`}} LEFT ( x>3 RIGHT )}}]

에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT | f LEFT ( x-k RIGHT ) RIGHT |]라 할 때,
<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

		보 기
ㄱ. [eqn: k=it-3]일 때, [eqn: lim _{x` rarrow `0-} {g LEFT ( x RIGHT )} =g LEFT ( 0 RIGHT )]이다. ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=0]에서 연속이 되도록 하는 정수 [eqn: k]가 존재한다. ㄷ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하도록 하는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: -5]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: \O]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: x]

[eqn: y]

[2204교-고3-20]

[eqn: 240`]

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) =it-f LEFT ( x RIGHT )]이므로

곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: x]축이 만나는 점의 개수는

[eqn: 1] 또는 [eqn: 3]이다.

(ⅰ) 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: x]축이 만나는 점의 개수가
[eqn: 1]인 경우
모든 양수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =2]이므로
함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

(ⅱ) 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: x]축이 만나는 점의 개수가
[eqn: 3]인 경우
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT )]([eqn: a>0])이라 하자.
두 점 [eqn: LEFT ( `t,``0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `0,``-2t RIGHT )]를 지나는
직선의 기울기는 [eqn: t]의 값에 관계없이 [eqn: 2]이므로
[eqn: f`' LEFT ( a RIGHT )]의 값에 따라 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t=k]에서
불연속이 되는 [eqn: k]의 개수가 달라진다.

(a) [eqn: f` prime LEFT ( a RIGHT ) LEQ 2]일 때
모든 양수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =2]이므로
함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 양의 실수 전체의 집합에서
연속이다.

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y]

[eqn: a]

(b) [eqn: f` prime LEFT ( a RIGHT ) >2]일 때
곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 기울기가 [eqn: 2]인 두 접선의
[eqn: x]절편을 각각 [eqn: beta], [eqn: -beta]([eqn: beta>a])라 하면
[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = {cases{2 _{{}_{`}}&````` _{{}_{`}} LEFT ( 0<t<a~또는~t> beta RIGHT )#4 _{{}_{`}}^{{}^{`}}&````` _{{}_{`}}^{{}^{`}} LEFT ( t=a~또는`~t= beta RIGHT )#6 ^{{}^{`}}&````` ^{{}^{`}} LEFT ( a<t< beta RIGHT )}}]
함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=a], [eqn: t=beta]에서 불연속이므로
[eqn: a=alpha], [eqn: beta=8]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: alpha]

[eqn: 8]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t=8]에서 불연속이므로
두 직선 [eqn: y=2x+16]과 [eqn: y= 2x-16]은
곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]에 접한다.
직선 [eqn: y= it 2x-16]이 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]에 접하는
점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: p]([eqn: 0<p<alpha])라 하면
[eqn: p ^{3} -alpha ^{2} p=2p-16] [eqn: CDOTS `㉠]
[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -alpha ^{2}]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( p RIGHT ) =3p ^{2} -alpha ^{2} =2]
에서 [eqn: alpha ^{2} =3p ^{2} -2] [eqn: CDOTS `㉡]
[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에 의하여
[eqn: p ^{3} - LEFT ( 3p ^{2} -2 RIGHT ) p=2p-16], [eqn: -2p ^{3} =it-16]
에서 [eqn: p=2], [eqn: alpha ^{2} =10]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -10x]

따라서 [eqn: alpha ^{2} TIMES f LEFT ( 4 RIGHT ) =10 TIMES LEFT ( 4 ^{3} -10 TIMES 4 RIGHT ) =240]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT )][eqn: = it -f LEFT ( x RIGHT )]를 만족시킨다.
양수 [eqn: t]에 대하여 좌표평면 위의 네 점 [eqn: LEFT ( `t,``0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `0,``2t RIGHT )],
[eqn: LEFT (`-t,``0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `0,``-2t RIGHT )]를 꼭짓점으로 하는 마름모가
곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 만나는 점의 개수를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=alpha], [eqn: t=8]에서 불연속이다. [eqn: alpha ^{2} timesf LEFT ( 4 RIGHT )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: alpha]는 [eqn: 0<alpha<8]인 상수이다.)

[2206평-고3-09]

⑤ [eqn: 5`]

[출제의도] 도함수를 활용하여 함수의 최솟값을 구하고 이를 부등식에 활용할 수 있는가?

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )]라 하면

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -x ^{2} -x+6-a]

이때 [eqn: x GEQ 0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]이 성립하려면 [eqn: x GEQ 0]에서 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값이 [eqn: 0] 이상이어야 한다.

[eqn: h`prime(x)][eqn: =3x^2 -2x-1]
[eqn: =(3x+1)(x-1)]

이므로

[eqn: h' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]

에서

[eqn: x][eqn: = it - {1} over {3}] 또는 [eqn: x][eqn: =1]

[eqn: x GEQ 0]에서 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: 0]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 1]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: h' LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: h LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: 6-a]	[eqn: SEARROW]	[eqn: 5-a]	[eqn: NEARROW]

즉, [eqn: x ge 0]에서 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값이 [eqn: 5-a]이므로 주어진 조건을 만족시키려면 [eqn: 5-a GEQ 0]이어야 한다.

따라서 [eqn: a LEQ 5]이므로 구하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 5]이다.

두 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -x+6], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} +a]

가 있다. [eqn: x GEQ 0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ g LEFT ( x RIGHT )]

가 성립할 때, 실수 [eqn: a]의 최댓값은?

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

[2207교-고3-13]

③ 4

[출제의도] 함수의 극대와 극소를 활용하여 문제 해결하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 극값을 가지므로

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x= alpha `]에서 극댓값을 갖고
[eqn: x= beta `]에서 극솟값을 갖는다고 하자.

(ⅰ) [eqn: alpha < beta LEQ it -2`]인 경우
[eqn: x GEQ it -2`]에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 증가한다.
[eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) <g LEFT ( -2 RIGHT ) <g LEFT ( 2 RIGHT ) `]
[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) != f LEFT ( -2 RIGHT ) `]이므로 모순

(ⅱ) [eqn: alpha < it -2< beta `]인 경우
방정식 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( -2 RIGHT ) `]의 실근이 열린구간 [eqn: LEFT ( - INF ,``` alpha RIGHT ) `]에서 존재하므로 모순

(ⅲ) [eqn: alpha = it -2`]인 경우
방정식 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( -2 RIGHT ) `]의 실근이 [eqn: 2`]뿐이므로
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=2`]에서 극솟값을 갖는다.
[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3 LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) `]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -12x+ {1} over {2} `]
[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) != f LEFT ( -2 RIGHT ) `]이므로 모순

(ⅳ) [eqn: -2< alpha < beta `]인 경우
함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의 개형은
다음과 같다.

[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( -2 RIGHT ) `]이므로 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +8=f LEFT ( -2 RIGHT ) `]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +bx+ {1} over {2} `][eqn: `( pile][eqn: a`], [eqn: b`]는 상수[eqn: pile{)`}][eqn: pile]라 하자.

[eqn: 8+4a+2b+ {1} over {2} +8= it -8+4a-2b+ {1} over {2} `]

[eqn: b= it -6`], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} -6x+ {1} over {2} `]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2ax-6`]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x=2`]에서 극솟값을 가지므로

[eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =12+4a-6=0`], [eqn: a= it - {3} over {2} `]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} - {3} over {2} x ^{2} -6x+ {1} over {2} `]이므로

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -3x-6=3 LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) `]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x= it -1`]에서 극댓값을 갖는다.

따라서 극댓값은 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =4`]

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) = {1} over {2} `]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{###}}]	[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]	[eqn: LEFT ( x< it -2 RIGHT ) `]
	[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +8`]	[eqn: LEFT ( x GEQ it -2 RIGHT ) `]

라 하자. 방정식 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( -2 RIGHT ) `]의 실근이 [eqn: 2`]뿐일 때,
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 극댓값은?

	①	[eqn: 3]	②	[eqn: {7} over {2}]	③	[eqn: 4`]	④	[eqn: {9} over {2}]	⑤	[eqn: 5]

[2207교-고3-22]

121

[출제의도] 접선의 방정식과 그래프의
개형을 활용하여 문제 해결하기

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0`]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{3} +bx ^{2} +cx`][eqn: `( pile][eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]는 상수[eqn: pile{)`}]라 하면
[eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =c`], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =cx`]

곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( 0,```0 RIGHT ) `]에서의
접선의 기울기 [eqn: c`]에 대하여

(ⅰ) [eqn: c=0`]이면 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: c> 0`]이면 [eqn: h LEFT ( 12 RIGHT ) >0`]이므로
조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(ⅲ) [eqn: c<0`], [eqn: a>0`]이면 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]와
[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 다음과 같으므로
조건 (가)를 만족시키지 않는다.

(ⅳ) [eqn: c<0`], [eqn: a<0`]이면
두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]와 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가
다음과 같은 경우에는 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

그러므로 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]와 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의
그래프가 다음과 같은 경우에만
조건 (가), (나)를 만족시킨다.

조건 (가)에 의하여

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) =ax LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2} `] [eqn: CDOTS] ㉠

조건 (나)에 의하여

[eqn: -f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) = it -ax ^{2} LEFT ( x-12 RIGHT ) `] [eqn: CDOTS] ㉡

두 식 ㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: 2g LEFT ( x RIGHT ) =2a LEFT ( 6-k RIGHT ) x ^{2} +ak ^{2} x`]
[eqn: 6-k=0`], [eqn: k=6`]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =18ax`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ax LEFT ( x-6 RIGHT ) ^{2} -18ax`]
[eqn: =ax LEFT ( x ^{2} -12x+18 RIGHT ) `]

방정식 [eqn: x ^{2} -12x+18=0`]의 두 근을

[eqn: alpha`], [eqn: beta`][eqn: LEFT ( alpha < beta RIGHT ) `]라 하면

[eqn: alpha =6-3 sqrt {2} `], [eqn: beta =6+3 sqrt {2} `]

함수 [eqn: h(x)`]는 다음과 같다.

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{###}}]	[eqn: ax LEFT ( x-6 RIGHT ) ^{2}]	[eqn: ( pile][eqn: x<0] 또는 [eqn: alpha LEQ x< beta][eqn: pile{)}]
	[eqn: -ax ^{2} LEFT ( x-12 RIGHT )]	[eqn: ( pile][eqn: 0 LEQ x< alpha] 또는 [eqn: x GEQ beta][eqn: pile{)}]

[eqn: alpha <3< beta `]이므로

[eqn: h LEFT ( 3 RIGHT ) = a TIMES 3 TIMES LEFT ( 3-6 RIGHT ) ^{2} =27a= it - {9} over {2} `]

[eqn: a= it - {1} over {6} `], [eqn: c= it -3`]

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{####}}]	[eqn: - {1} over {6} x LEFT ( x-6 RIGHT ) ^{2}]	[eqn: ( pile][eqn: x<0] 또는 [eqn: alpha LEQ x< beta][eqn: pile{)}]
	[eqn: {1} over {6} x ^{2} LEFT ( x-12 RIGHT )]	[eqn: ( pile][eqn: 0 LEQ x< alpha] 또는 [eqn: x GEQ beta][eqn: pile{)}]

[eqn: alpha =6-3 sqrt {2} `], [eqn: beta =6+3 sqrt {2} `]이므로

[eqn: alpha <6< beta <11`]

[eqn: h LEFT ( 6 RIGHT ) =0`], [eqn: h LEFT ( 11 RIGHT ) = {1} over {6} TIMES 11 ^{2} TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) = it - {121} over {6}]

따라서

[eqn: k TIMES LEFT { h LEFT ( 6 RIGHT ) -h LEFT ( 11 RIGHT ) RIGHT } `][eqn: =6 TIMES LEFT { 0- LEFT ( - {121} over {6} RIGHT ) RIGHT }][eqn: =121]

[참고]

함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의
점 [eqn: LEFT ( 0,```0 RIGHT ) `]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]라 할 때, 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]를
[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | +g LEFT ( x RIGHT ) `]
라 하자. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) 곡선 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( k,```0 RIGHT ) `][eqn: LEFT ( k != 0 RIGHT ) `]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y=0`]이다. (나) 방정식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 실근 중에서 가장 큰 값은 [eqn: 12`]이다.

[eqn: h LEFT ( 3 RIGHT )= it - {9} over {2} `]일 때, [eqn: k TIMES LEFT { h LEFT ( 6 RIGHT ) -h LEFT ( 11 RIGHT ) RIGHT } `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: k`]는 상수이다.)

[2207사관-고3-10]

② [eqn: 10 over3 ``]

사차부등식 [eqn: xf`'(x)>0`]을 만족시키는 해집합이 [eqn: 1<x<3`]이려면

[eqn: f`'(x)=4ax(x-1)(x-3)``]이고 [eqn: a<0`]이어야 함

[eqn: f`'(4)=48a=-24`]이므로 [eqn: a=- 1 over2 `]

적분하면 [eqn: f(x)= - 1over2 x^4 + 8 over3 x^3 -3x^2 +2`]

따라서 [eqn: f(2)= 10 over3 `]

사차함수 [eqn: f`(x)`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f`(2)`]의 값은?

	(가) [eqn: f`(0)=2`]이고 [eqn: f``'(4)= -24`]이다. (나) 부등식 [eqn: xf`'(x)>0 `]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x`]의 값의 범위는 [eqn: 1<x<3`]이다.

① [eqn: 3`]	② [eqn: 10 over3 `]	③ [eqn: 11 over3 `]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 13 over 3 `]

[2207사관-고3-14]

② ㄱ, ㄴ

[eqn: g(x)= 2f(1)-f(x)`]를 정리하면 [eqn: {g(x)+f(x)} over2 =f(1)`]

[eqn: f(x)`]와 [eqn: g(x)`]가 [eqn: y=f(1)`]에 대하여 대칭임을 의미한다.

ㄱ. 연속인 함수의 일부를 대칭시켰고 경계점에서 연속이므로 연속이다. (참)

ㄴ. [eqn: f(x)= x^2 +ax+b `]라 하면

[eqn: g(-1)=f(-1)=3`]이고

[eqn: lim _{ h -> 0+} { { g(-1+h) -3 +g(-1-h) -3} over h }``]

[eqn: = lim _{ x->-1+ } { g`'(x)} `- lim _{ x->-1 -} { g`'(x) }`=0`]이므로 [eqn: a=0`]

[eqn: g(1)=f(1)=1`]이므로 [eqn: f(x)= x^2 -x+1 `]

ㄷ. ㄴ과 마찬가지로 [eqn: g(b)=3``]이고 [eqn: lim _{ x->b+} {g`'(x)} `- lim _{ x->b- } { g`'(x) } =4 `]

[eqn: t!=1 `]에서 [eqn: lim _{ x->t+} {g`'(x)} `- lim _{ x->t- } { g`'(x) } =0 `]이므로

[eqn: lim _{ x->b+} {g`'(x)} `- lim _{ x->b- } { g`'(x) } =4 `]일 가능성이 있는 [eqn: b``]는 [eqn: 1`]뿐이다.

그러면 [eqn: g(1)==f(1)=3``]이고 [eqn: -f`'(1)-f`'(1)=4`]이므로 [eqn: f`'(1)=-2`]

[eqn: f(x)=x^2 +mx+n``]이라 하면 [eqn: m+n=2`], [eqn: 2+m=-2`]이므로

[eqn: m=-4`,```` n=6``]이고

[eqn: g(4)=6-f(4)=6-6=0`] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를

[eqn: g(x)= cases{ ``f(x) ~~~~&(x<1)#``2f(1)-f(x) ~~&(x>=1)}``]

이라 하자. 함수 [eqn: g(x)`]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

		보 기
ㄱ. 함수 [eqn: g(x)`]는 실수 전체의 집합에서 연속이다. ㄴ. [eqn: lim _{ h -> 0+} { { g(-1+h)+g(-1-h) -6} over h }=a``]([eqn: a``]는 상수)이고 [eqn: g(1)=1`]이면 [eqn: g(a)=1``]이다. ㄷ. [eqn: lim _{ h -> 0+} { { g(b+h)+g(b-h) -6} over h }=4``]([eqn: b`]는 상수)이면 [eqn: g(4)=1 `]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[2207경찰-고3-07]

④ [eqn: 4`]

주어진 조건을 해석하면 [eqn: y=9x+9`]가 [eqn: f(x)`]의 접선이 되어야 함.

[eqn: f`'(x)=3(x+1)(x-1)`]이므로 기울기가 [eqn: 9`]인 점은 [eqn: x=-2`] 또는 [eqn: x=2`]이다.

그런데 주어진 집합의 형태로 부등식의 해집합이 나오려면 [eqn: x=-2`]이어야 함.

따라서 [eqn: f`'(-2)=9`]이고 [eqn: f(-2)=-9`]이어야 하므로

[eqn: f(x)= (x+1)^2 (x-2)-9`]

[eqn: f(x)`=9x+9`]를 연립하면 [eqn: a=4`]

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=1`]과 [eqn: x=-1`]에서 극값을 갖는다. [eqn: left{ `x``vert ` `f(x)<=9x+9 ` right}`= left( - inf `,````a right]``]를 만족시키는 양수 [eqn: a`]의 최솟값은?

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

[2207경찰-고3-12]

④ [eqn: 2 root17 `]

점 [eqn: A`(18,```-1)`]을 지나고 원과 곡선이 만나는 점을 [eqn: B`(t,```t^2 -1)``]이라 하자. 원의 반지름이 최소가 될 때는 선분 [eqn: AB``]가 지름이고 원과 곡선이 [eqn: B``]에서 접할 때이다.

직선 [eqn: AB``]의 방정식은 [eqn: y= - 1 over 2t (x-t)+t^2 -1 ``]

점 [eqn: A`(18,```-1)`]를 대입하면 [eqn: 2t^3 +t -18=0`]

[eqn: t=2`]이므로 [eqn: B`(2,```3)]

좌표평면에서 점 [eqn: (18,```-1)`]을 지나는 원 [eqn: C``]가 곡선 [eqn: y=x^2 -1 ``]과 만나도록 하는 원 [eqn: C``]의 반지름의 길이의 최솟값은?

① [eqn: root17 over 2`]	② [eqn: root17 `]	③ [eqn: {3 root17 } over2 `]

④ [eqn: 2 root17 `]	⑤ [eqn: { 5root17 } over2 ``]

[2207경찰-고3-13]

② [eqn: - 35 over 16 `]

좌표평면 위의 점 [eqn: (a,```b)`]에서 곡선 [eqn: y= x^2 ``]에 그은 두 접선이 서로 수직이고 [eqn: a^2 +b^2 <= 37 over16 ``]일 때, [eqn: a+b`]의 최댓값을 [eqn: p``], 최솟값을 [eqn: q``]라 하자. [eqn: pq``]의 값은?

① [eqn: - 33 over 16 `]	② [eqn: - 35 over 16 `]	③ [eqn: - 37 over 16 `]	④ [eqn: - 39 over 16 `]	⑤ [eqn: - 41 over 16 `]

[2207경찰-고3-23]

[eqn: 7`]

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를

[eqn: g(x)=cases{ `-x^2 +2x+2 ~~~&(x<1)#~~~~~f(x)&(x>=1)}``]

이라 하자. 함수 [eqn: g(x)`]가 [eqn: x=1`]에서 연속이고 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 모든 함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 [eqn: f(3)``]의 최솟값을 구하시오.

[2209평-고3-22]

[eqn: 58`]

[eqn: x<t `]일 때, [eqn: g(x)=-f(x)+2f(t)`]를 변형하면 [eqn: {f(x)+g(x)} over2 = f(t)`]

[eqn: f(x)``]와 [eqn: g(x)``]가 [eqn: y= f(t)`]에 대하여 대칭을 의미함.

[eqn: g(x)=0`]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: h(t)`]라 하므로

ⅰ) [eqn: f(x)``]의 극소값이 [eqn: 0`]인 경우

[eqn: h(t)`]가 불연속이 되는 점이 [eqn: 2`]개가 넘는다

ⅱ) [eqn: f(x)`]의 대칭점의 함수값이 [eqn: 0`]이 경우

[eqn: h(t)`]가 불연속이 되는 점이 2개가 넘는다

ⅲ) [eqn: f(x)``]의 극소값이 [eqn: 4`]인 경우

[eqn: h(t)`]가 불연속이 되는 점이 [eqn: 2`]개 존재하고 그 점은 [eqn: f(x)=4``]인 점들이 된다.

극댓값과 극솟값의 차가 [eqn: 4`]이므로

[eqn: f`'(x)=3(x-3)(x-k)`]라 하면

[eqn: {vert`3`vert} over6 (k-3)^3 =4 `]이므로 [eqn: k=5`]이고

[eqn: f(x)= (x-3)^3 (x-6)+8`]이 된다

따라서 [eqn: f(8)= 58`]

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이고 [eqn: x=3`]에서 극댓값 [eqn: 8``]을 갖는 삼차함수 [eqn: f(x)`]가 있다. 실수 [eqn: t`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를

[eqn: g(x)= cases{ ``f(x) ~~~~& (x>=t) # ``-f(x)+2f(t)~& (x<t)}``]

라 할 때, 방정식 [eqn: g(x)=0`]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: h(t)`]라 하자. 함수 [eqn: h(t)`]가 [eqn: t=a`]에서 불연속인 [eqn: a`]의 값이 두 개일 때, [eqn: f(8)`]의 값을 구하시오.

빠른 정답

⑤ [eqn: {3} over {2}]

② ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ

[eqn: 240`]

⑤ [eqn: 5`]

③ 4

121

② [eqn: 10 over3 ``]

② ㄱ, ㄴ

④ [eqn: 4`]

④ [eqn: 2 root17 `]

② [eqn: - 35 over 16 `]

[eqn: 7`]

[eqn: 58`]