용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용

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수학 Ⅱ (고2)	내신대비 모의고사	범위 : 미분-적분
		시험시간 : 50분
총 21문항 : 객관식 16, 주관식 5
		이름 :

Du kannst, denn Du sollst !	| |	용문아 수학교실

[객관식]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`' (3) =-1]이고, [eqn: lim _{ x->3 } { }{9 f(x) - x^2 f(3)} over x-3 = 3]일 때, [eqn: f(3)]의 값은?

②

[eqn: lim _{ x->3 } { }{9 f(x) - x^2 f(3)} over x-3][eqn: =lim _{ x->3 } { }{9 f(x) -9f(3)+9f(3) - x^2 f(3)} over x-3]
[eqn: = lim _{ x->3 } { } left{ 9 cdot {f(x)-f(3)} over x-3 - {(x^2 - 9 ) f(3)} over x-3 right}]
[eqn: =9 f`' (3) - 6 f(3) = 3]

[eqn: f` '(3)=-1]이므로 [eqn: f(3)=-2]

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: f(x) = a x^3 + bx^2]이 다음 두 조건을 만족할 때, 상수 [eqn: a+b]의 값은?

①

(가)에서 [eqn: lim_ { h -> 0 } { f( 2+ 3h ) - f(2) } over h][eqn: = 3 lim_h->0{{f(2+3h)-f(2)}over3h][eqn: = 3 f prime(2)]

[eqn: therefore] [eqn: f prime(2)=3]

(나)에서 [eqn: lim_ { h-> 0} { f( 1 ) - f( 1 - h) } over h =f prime(1)]

[eqn: therefore] [eqn: f prime(1) = - 3over2]

[eqn: f prime(x)=3ax^2 +2bx]이므로

[eqn: f prime(2)=][eqn: 12a+4 b =3]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: f prime(1)=][eqn: 3a+2b= - 3 over2]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: a=1], [eqn: b= - 9 over4]

[eqn: therefore] [eqn: a+b= - 5 over4]

(가) [eqn: lim_ { h -> 0 } { f( 2+ 3h ) - f(2) } over h = 9]

(나) [eqn: lim_ { h-> 0} { f( 1 ) - f( 1 - h) } over h = - 3 over2]

① [eqn: - 5over4]	② [eqn: -1]	③ [eqn: - 3over4]

④ [eqn: - 1over2]	⑤ [eqn: - 1over4]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(0) = 1], [eqn: f ` prime (0) = 2]이고, [eqn: g(x) = sum_ {n = 1} ^ 10 ( 2x + 1) ^ n left { f(x) right } ^ 10]일 때, [eqn: g ` prime (0)]의 값은?

③

[eqn: g(x)][eqn: = sum_ {n = 1} ^ 10 ( 2x + 1) ^ n left { f(x) right } ^ 10]
[eqn: =left{(2x+1)+(2x+1)^2 +`cdots`+(2x+1)^10 right}left{f(x) right}^10]

[eqn: g prime(x)][eqn: =left{2+4(2x+1)+`cdots`+20(2x+1)^9 right}left{f(x) right}^10]
[eqn: + 10left{(2x+1)+(2x+1)^2 +`cdots`+(2x+1)^10 right}left{f(x) right}^9 f prime(x)]

이므로

[eqn: g prime(0)][eqn: =(2+4+`cdots`+20)times1+10times10times2]
[eqn: =110+200]
[eqn: =310]

① [eqn: 300]	② [eqn: 305]	③ [eqn: 310]

④ [eqn: 315]	⑤ [eqn: 320]

다항식 [eqn: x^10 + ax^5 + b]를 [eqn: (x + 1)^2]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 5x-5]이다. 이때 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a - b]의 값은?

⑤

[eqn: x^10 + ax^5 + b][eqn: =(x+1)^2 Q(x)+5x-5]

양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: 1-a+b= -10]

양변을 미분하면

[eqn: 10x^9 +5ax^4 =2(x+1)Q(x) +(x+1)^2 Q prime(x)+5]

양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: -10+5a=5]

따라서 [eqn: a=3], [eqn: b=-8]이므로

[eqn: a-b=11]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 구간 [eqn: ( 0` ,`d )]에서 함수 [eqn: f(x)]가 불연속인 점은 [eqn: m]개, 미분가능하지 않은 점은 [eqn: n]개다. 이때 [eqn: m + n]의 값은?

④

[eqn: f(x)]가 불연속인 점 [eqn: x=b], [eqn: x=c]의 [eqn: 2]개

[eqn: f(x)]가 미분가능하지 않은 점 [eqn: x=a], [eqn: x=b], [eqn: x=c]의 [eqn: 3]개

[eqn: therefore] [eqn: m+n=5]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 곡선 [eqn: y = f(x)] 위의 점 [eqn: (1`,` f(1) )]에서의 접선의 기울기는?

①

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고, (가)에 의해 우함수이므로

[eqn: f(x)=x^4 +ax^2 +b]라 하자.

[eqn: f(2)=2]이므로

[eqn: 16+4a+b=2]

[eqn: f prime(x)][eqn: =4x^3 +2ax]이고, 점 [eqn: (2`,`2)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 28]이므로

[eqn: 32+4a=28]

[eqn: therefore] [eqn: a=-1], [eqn: b=-10]

[eqn: f(x)][eqn: =x^4 -x^2 -10]이고

[eqn: f prime(x)=4x^3 -2x]이므로

[eqn: f prime(1)=2]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x)]이다.

(나) 곡선 [eqn: y = f(x)] 위의 점 [eqn: (2`,`2)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 28]이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 도함수 [eqn: y = f ` prime (x)]의 그래프가 다음 그림과 같고 [eqn: lim_ {x -> 2} f(x) over {x - 2} = -8]일 때, [eqn: f(x)]의 최솟값은?

③

[eqn: lim_ {x -> 2} f(x) over {x - 2} = -8]이므로 [eqn: f (2)=0], [eqn: f prime(2)=-8]

[eqn: y=f prime(x)]의 그래프에 의해

[eqn: f prime(x)=ax^2 (x-3)]

[eqn: f prime(2)][eqn: =-4a][eqn: =-8]

[eqn: therefore] [eqn: a=2]

[eqn: f prime(x)][eqn: =2x^3 -6x^2]이고

[eqn: f(x)][eqn: = 1over2 x^4 -2x^3][eqn: +C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(2)][eqn: =8][eqn: -16+C][eqn: =0]

[eqn: therefore] [eqn: C=8]

[eqn: f(x)][eqn: = 1over2 x^4 -2x^3 +8]

[eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: x=3]일 때이므로

[eqn: f(3)][eqn: = 81over2 - 54 +8][eqn: = - 11over2]

① [eqn: - 7 over2]	② [eqn: - 9 over2]

③ [eqn: - 11over2]	④ [eqn: - 13 over2]

⑤ [eqn: - 15 over2]

함수 [eqn: f(x) = x^2 + 1], [eqn: g(x) = 2x - 1]에 대하여 [eqn: int h (x) dx = f(x) g(x)]를 만족시키는 함수 [eqn: h(x)]가 있다. [eqn: h prime(2)]의 값은?

②

[eqn: h(x)][eqn: =f prime(x)g(x)+f (x)g prime(x)]
[eqn: =2x(2x-1)+(x^2 +1)times2]
[eqn: =6x^2 -2x+2]

[eqn: h prime(x)][eqn: =12x-2]

[eqn: therefore] [eqn: h prime(2)=22]

① [eqn: 20]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 28]

연속함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f ` prime (x)]가

④

[eqn: f ` prime (x) = cases { 1 ~~~ ( x < -1 ) # 2x ~~ ( -1 < x < 1) # -1 ~ (x >1)]를 적분하면

[eqn: f (x)][eqn: =cases{x+C_1 &&(x< -1)#x^ 2 +C_2 &&(-1 le x<1)#-x+C_3&&(x ge1)] (단, [eqn: C_1], [eqn: C_2], [eqn: C_3]는 적분상수)

[eqn: f(x)]는 원점을 지나므로 [eqn: C_2 =0]

[eqn: f(x)]는 연속함수이므로

[eqn: lim_x->-1-{f(x) = f(-1)]

[eqn: -1+C_1 = 1]	[eqn: therefore] [eqn: C_1 =2]

[eqn: lim_x->1+{f(x)=f(1)]

[eqn: -1+C_3 =1]	[eqn: therefore] [eqn: C_2 =2]

따라서

[eqn: f(x)=cases{x+2&&(x< -1)#x^2 &&(-1 le x<1)#-x+2&&(x ge1)]

이고 [eqn: 5f(x) = 1]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4]이다.

[eqn: f ` prime (x) = cases { 1 ~~~ ( x < -1 ) # 2x ~~ ( -1 < x < 1) # -1 ~ (x >1)]

이다. 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 원점을 지날 때, 방정식 [eqn: 5f(x) = 1]의 서로 다른 실근의 개수를 구하면?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 곡선 [eqn: y = x^4 - x^3], [eqn: y = - x^4 + x]로 둘러싸인 도형의 넓이는?

⑤

[eqn: x^4 -x^3 =-x^4 +x]

[eqn: 2x^4 -x^3 -x=0]

[eqn: x(x-1)(2x^ 2 +x+1)=0]이므로

두 곡선의 교점은 [eqn: x=0], [eqn: x=1]

따라서 둘러싸인 도형의 넓이는

[eqn: int _{0} ^{1} {(-2x ^{4} +x ^{3} +x)dx}][eqn: = left[ - 2 over 5 x^5 + 1over4 x^4 + 1over2 x^2 right]_0^1 = 7 over20]

① [eqn: 3 over 20]	② [eqn: 1 over 5]	③ [eqn: 1 over 4]

④ [eqn: 3 over 10]	⑤ [eqn: 7 over 20]

함수 [eqn: y = x^3 + 2]의 그래프와 직선 [eqn: y = kx]로 둘러싸인 도형의 개수를 [eqn: G(k)]라 할 때, [eqn: sum_ { k= 1} ^ 7 G(k)]의 값은?

②

둘러싸인 도형의 개수는 직선이 곡선과 접할 때 [eqn: 1]개, 직선이 곡선을 뚫고 지나갈 때 [eqn: 2]개다.

접선을 기준으로 개수가 바뀌므로 접선의 방정식을 구하자.

접점을 [eqn: (t,~t^3 +2)]라 하면 접선의 기울기는 [eqn: 3t^2]이므로

접선의 방정식은 [eqn: y=3t^2 (x-t)+t^3 +2]

[eqn: (0,~0)]을 지나므로 [eqn: -2t^3 =-2], [eqn: t=1]

따라서 접선의 기울기가 [eqn: 3]일 때 직선이 곡선과 접한다.

[eqn: therefore] [eqn: sum_ { k= 1} ^ 7 G(k)][eqn: =0+0+1+2+2+2+2=9]

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

함수 [eqn: f(x) = x^3 + x - 8]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, 두 곡선 [eqn: y = f(x)], [eqn: y = g(x)]와 [eqn: y = -x - 8]으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

②

두 곡선 [eqn: y = f(x)], [eqn: y = g(x)]와 [eqn: y = -x - 8]으로 둘러싸인 도형의 넓이는

[eqn: y=x]와 [eqn: y=f(x)] 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이의 [eqn: 2]배와

[eqn: y=-x-8]과 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 합하면 된다.

[eqn: y=x]와 [eqn: y=f(x)]의 교점을 구하면

[eqn: x^3 +x-8 =x], [eqn: x^3 =8]	[eqn: therefore] [eqn: x=2]

[eqn: y=x]와 [eqn: y=f(x)] 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이의 [eqn: 2]배는

[eqn: 2int_0^2{left{x-(x^3 +x-8)right}dx][eqn: =2 int _{0} ^{2} {(-x ^{3} +8)dx}][eqn: =24]

[eqn: y=-x-8]과 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: 8times 8 times 1over2 = 32]

[eqn: therefore] [eqn: 24+32=56]

① [eqn: 54]	② [eqn: 56]	③ [eqn: 58]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 62]

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: P], [eqn: Q]가 출발한 지 [eqn: t]초 후의 속도를 각각 [eqn: V_P (t)], [eqn: V_Q (t)]라 할 때, [eqn: V_P (t) = 2t], [eqn: V_Q (t) = -3]이다. 점 [eqn: P]는 원점, 점 [eqn: Q]는 좌표가 [eqn: 28]인 점에서 출발하고, 출발한 지 [eqn: a]초 후에 두 점 [eqn: P], [eqn: Q]가 만난다. 이 때, 시각 [eqn: t = 0]에서 시각 [eqn: t = a]까지 두 점 [eqn: P], [eqn: Q]가 움직인 거리를 각각 [eqn: m], [eqn: n]이라 하면 [eqn: left |` m-n` right |]의 값은?

④

[eqn: x_P (t) = t^2], [eqn: x_Q (t) = -3t+28]

두 점이 만나는 시간을 구하면

[eqn: t^2 =-3t+28], [eqn: t^2 +3t-28=0]

[eqn: (t-4)(t+7)=0]	[eqn: therefore] [eqn: t=4] ([eqn: because] [eqn: t>0])

[eqn: 4]초까지 움직인 거리를 각각 구하면

[eqn: m][eqn: =int_0^4{2tdt = left[pile{it#it}t^2 right]_0^4 =16]

[eqn: n][eqn: =int_0^4 {3dt = left[pile{it#it}3t right]_0^4 =12]

[eqn: therefore] [eqn: left|m-n right|=4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: P]의 시각 [eqn: t]([eqn: 0 le t le d])에서의 속도 [eqn: v(t)]의 그래프가 다음과 같다.

④

오른쪽 그림과 같이 각각의 넓이를 [eqn: S_{ 1},~S _{ 2},~S _{ 3},~S _{ 4}]라 하면

[eqn: int _{0} ^{a} { LEFT | v LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | }dt][eqn: = int _{a} ^{d} {LEFT | v LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} dt]

이므로

[eqn: S_{ 1}=S _{ 2}+S _{ 3}+S _{ 4}]	[eqn: cdots cdots]㉠

ㄱ. [eqn: S_{ 1}>S _{ 2}+S _{ 3}]이므로 점 [eqn: rm P]는 출발하고 나서 다시 원점을 지나지 않는다. (거짓)

ㄴ. [eqn: int _{0} ^{c} {v LEFT ( t RIGHT ) }dt=S_{ 1}-S _{ 2}-S _{ 3},]
[eqn: int _{c} ^{d} {v LEFT ( t RIGHT )} dt=S _{ 4} =S _{1} -S _{2} -S _{3} `` LEFT ( BECAUSE``㉠ RIGHT )]
[eqn: THEREFORE` int _{0} ^{c} {v LEFT ( t RIGHT ) }dt= int _{c} ^{d} {v LEFT ( t RIGHT )} dt] (참)

ㄷ. [eqn: int _{0} ^{b} {v LEFT ( t RIGHT )} dt=S _{1} -S _{2} ,~ int _{b} ^{d} { LEFT | v LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | } dt=S _{3} +S _{4}]
그런데 ㉠에서 [eqn: S_{ 1}-S _{ 2}=S _{ 3}+S _{ 4}]이므로
[eqn: int _{0} ^{b} {v LEFT ( t RIGHT )} dt= int _{b} ^{d} { LEFT | v LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | } dt] (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: int_ 0 ^ a left | ` v(t) ` right | dt = int_ a ^ d left| ` v(t) ` right | dt]일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 모두 고른 것은? (단, [eqn: 0<a<b<c<d])

		| 보기 |
	ㄱ. 점 [eqn: rm P]는 출발하고 나서 원점을 다시 지난다. ㄴ. [eqn: int _{0} ^{c} {v LEFT ( t RIGHT ) dt= int _{c} ^{d} {v LEFT ( t RIGHT )} dt}] ㄷ. [eqn: int _{0} ^{b} {v LEFT ( t RIGHT ) dt= int _{b} ^{d} { LEFT | v LEFT ( t RIGHT )RIGHT |} dt}]
용문아수학방

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)= LEFT | x RIGHT | ``]와 양수 [eqn: t``]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [-4t`,``t ^{2} ]``]에서 함수 [eqn: f(x)``]의 최댓값을 [eqn: g(t)`]라 할 때, [eqn: int _{3} ^{5} {g(t)dt``}]의 값은?

①

[eqn: x=-4t,~x=t ^{2}] 에서의 [eqn: f(x)]의 값은

[eqn: f(-4t) = vert-4 t vert= 4t```(t>0)]

[eqn: f(t^2 ) = vert t^2 vert = t^2]

따라서 닫힌구간 [eqn: [-4t ,~ t^2 ]]에서 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 4t]또는 [eqn: t^2]이다.

[eqn: rm(i)``itt^2 ge4t ,~]즉 [eqn: t ge 4]일 때

[eqn: g(t) = t^2]

[eqn: rm (ii) ``it t^2 <4t ,~]즉 [eqn: 0 <t<4]일 때

[eqn: g(t) = 4t]

[step2] 구간을 나누어 정적분을 계산한다.

[eqn: rm (i),~ (ii)]에 의하여

[eqn: int _{ 3} ^{5 } {g(t) dt= } int _{ 3} ^{4 } {g(t)dt + int _{ 4} ^{5 } {g(t)dt } }]

[eqn: = int _{ 3} ^{4 } {4tdt + int _{ 4} ^{5 } {t^2 dt } }]

[eqn: =left[2t^2 pile{ # } right]_3^4 + left[ 1over3 t^3 right]_4^5]

[eqn: = (32- 18)+ LEFT ( 125 over3 - 64 over3 RIGHT )]

[eqn: = 14 + 61 over3]

[eqn: = 103 over3]

① [eqn: 103over3]	② [eqn: 104over3]	③ [eqn: 35]

④ [eqn: 106over3]	⑤ [eqn: 107over3]

다음 그림과 같이 이차함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프 위에 두 점 [eqn: A(1`,` f(1) )], [eqn: B(3 `,` f(3) )]이 있다. 이 곡선에 접하고 직선 [eqn: AB]와 평행한 직선이 두 직선 [eqn: x = 1], [eqn: x = 3]과 만나는 점을 각각 [eqn: C], [eqn: D]라고 하자. 평행사변형 [eqn: ACDB]의 넓이가 [eqn: 8]일 때, 곡선 [eqn: y = f(x)]와 직선 [eqn: AB]로 둘러싸인 도형의 넓이는 [eqn: q over p]이다. 이때, [eqn: p+q]의 값은?

②

평행사변형의 넓이가 [eqn: 8]이므로 [eqn: AC=4]

직선 [eqn: AB]를 [eqn: g(x)]라 하면

[eqn: f(x)-g(x) =a (x-1)(x-3)]이고

[eqn: f(x)]는 [eqn: g(x)-4]와 접하므로

[eqn: f(x)-g(x)+4=0]은 중근을 갖는다.

[eqn: a(x-1)(x-3)+4][eqn: =ax^2 -4ax+3a+4]

[eqn: D/4 = 4a^2 -3a^2 -4a=a^2 -4a=0]

[eqn: therefore] [eqn: a=4] ([eqn: because] [eqn: a ne0])

따라서 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]로 둘러싸인 넓이는

[eqn: 4 over6 left|3-1 right|^3 = 16 over3]이므로

[eqn: p+q=19]

(단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

① [eqn: 17]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 25]

[주관식]

함수 [eqn: f(x) = -2x^3 + ax^2 + bx + 1]이 [eqn: -3 le x le 6]에서 증가하고, [eqn: x le -3], [eqn: x ge 6]에서 감소할 때, 상수 [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

[eqn: 117]

함수 [eqn: f(x) = -2x^3 + ax^2 + bx + 1]이 [eqn: -3 le x le 6]에서 증가하고, [eqn: x le -3], [eqn: x ge 6]에서 감소하므로 [eqn: x=-3]에서 극소, [eqn: x=6]에서 극대를 가진다.

[eqn: f prime(x)=-6x^2 +2ax+b]에서

[eqn: -6x^2 +2ax+b=0]을 만족시키는 두 근이 [eqn: x=-3], [eqn: x=6]이므로

근과 계수의 관계에 의해

[eqn: a over3 =3], [eqn: - b over6 = -18]	[eqn: therefore] [eqn: a=9], [eqn: b=108]

[eqn: therefore] [eqn: a+b=117]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +(a+6)x-8``]의 그래프를 [eqn: x``]축에 대하여 대칭이동하고 다시 [eqn: y``]축의 방향으로 [eqn: b``]만큼 평행이동하였더니 함수 [eqn: y=g(x)``]의 그래프가 되었다. 함수 [eqn: f(x)-g(x)``]가 극값을 갖도록 하는 자연수 [eqn: a``]의 최솟값을 구하시오.

[eqn: 7]

[eqn: F(x)=f(x)-g(x)]라 하면 [eqn: g(x)=-f(x)+b]이므로

[eqn: F(x)=2f(x)-b]

[eqn: F'(x)=2f'(x)= 2(3x^2 +2ax +a+6)]

삼차함수 [eqn: F(x)]가 극값을 가지려면 이차방정식 [eqn: F'(x)=0]이 서로 다른

두 실근을 가져야 한다.

이차방정식 [eqn: 3x^2 +2ax+a+6=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D over4 = a^2 -3(a+6)>0]

[eqn: a^2 -3a-18>0,~(a+3)(a-6)>0]

[eqn: a< -3] 또는 [eqn: a>6]

따라서 자연수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 7]이다.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]와 함수 [eqn: g(x) = int_ x ^ {x + 2} left { f(t) + 2 right } dt]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 4]

[eqn: g prime(x)=f(x+2)-f(x) =0]이므로

[eqn: f(x+2)=f(x)]

따라서 [eqn: f(x)]는 주기가 [eqn: 2]인 주기함수이므로 [eqn: f(-1)=f(1)]

(가)에서 [eqn: f(x)]는 기함수이므로 [eqn: f(-1)=-f(1)]

[eqn: therefore] [eqn: f(3)=f(1)=f(-1)=0]

[eqn: g(x) = int_ x ^ {x + 2} left { f(t) + 2 right } dt]

[eqn: g left(1over2 right)][eqn: =int_{1over2}^{5over2}{left{f(t)+2 right}dt]
[eqn: = int_-1^1{left{f(t)+2 right}dt] ([eqn: because] [eqn: f(x)]는 주기가 [eqn: 2]인 주기함수)
[eqn: =int_-1^1{2dt] ([eqn: because] [eqn: f(x)]는 기함수)
[eqn: =4]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f( -x ) = -f (x)]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g ` prime (x) = 0]

[eqn: f ` prime (0) != 0]일 때, [eqn: f(3) + g left ( 1 over 2 right )]의 값을 구하시오.

오른쪽 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 각각 [eqn: 9` rm cm], [eqn: 3` rm cm]이고 높이가 [eqn: 12` rm cm]인 원뿔대 모양의 그릇이 있다. 이 그릇에 수면의 높이가 매초 [eqn: {1} over {2} ` rm cm]씩 증가하도록 물을 부을 때, 수면의 높이가 그릇의 높이의 [eqn: {1} over {2}]이 되는 순간의 부피의 변화율을 구하시오. (단, 그릇의 두께는 무시한다.)

[eqn: 18 pi ` LEFT ( rmcm ^{3} /s RIGHT )]

원뿔대 모양의 그릇에 담긴 물의 수면의 높이가 매초 [eqn: {1} over {2} rm`cm]씩 증가하도록 물을 부었으므로 수면의 높이를 [eqn: h]라 하면

[eqn: h= {1} over {2} t~( rm cm)]

수면의 높이가 그릇의 높이 [eqn: 12 rm `cm]의 [eqn: {1} over {2}]이 되는 순간의 시각은

[eqn: {1} over {2} t= {1} over {2} TIMES 12]   [eqn: THEREFORE `t=12]

한편, 오른쪽 그림과 같이 원뿔대를 만들면

[eqn: bar{rmAB}][eqn: =9 rm `cm], [eqn: bar{rm EF it}][eqn: =3 rm `cm], [eqn: bar{rm AE it}][eqn: =12`rmcm],

[eqn: bar{rm CE it}][eqn: = {1} over {2} t rm `cm]

[eqn: bar{rm EG it}][eqn: =a rm `cm]라 하면

[eqn: rm TRIANGLE AGB]∽[eqn: RMTRIANGLE EGF]이므로

[eqn: rm bar{AB} : rm bar{EF} = rm bar{AG} : rm bar{EG}], [eqn: 9:3= LEFT ( 12+a RIGHT ) :a]

[eqn: 3 LEFT ( 12+a RIGHT ) =9a], [eqn: 6a=36]   [eqn: THEREFORE][eqn: a=6` LEFT ( rmcm RIGHT )]

또한, [eqn: bar{rm CD it}][eqn: =b rm `cm]라 하면 [eqn: rm TRIANGLE CGD]∽[eqn: rm TRIANGLE EGF]이므로

[eqn: rm bar{CD} : rm bar{EF} = rm bar{CG} : rm bar{EG}], [eqn: b:3= LEFT ( {1} over {2} t+6 RIGHT ) :6]

[eqn: 3 LEFT ( {1} over {2} t+6 RIGHT ) =6b]   [eqn: THEREFORE][eqn: b= {1} over {4} t+3` LEFT ( rm cm RIGHT )]

용기에 담긴 물의 부피를 [eqn: V]라 하면

[eqn: V= {1} over {3} pi LEFT ( {1} over {4} t+3 RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {2} t+6 RIGHT ) - {1} over {3} pi TIMES 3 ^{2} TIMES 6]

[eqn: = {pi } over {3} LEFT ( {1} over {4} t+3 RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {2} t+6 RIGHT ) -18 pi]

[eqn: {dV} over {dt} = {pi } over {3} LEFT { {1} over {2} LEFT ( {1} over {4} t+3 RIGHT ) LEFT ( {1} over {2} t+6 RIGHT ) + {1} over {2} LEFT ( {1} over {4} t+3 RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

따라서 [eqn: t=12]일 때 부피의 변화율은

[eqn: {pi } over {3} LEFT { {1} over {2} TIMES 6 TIMES 12+ {1} over {2} TIMES 6 ^{2} RIGHT } = {pi } over {3} TIMES 54=18 pi ` LEFT ( rmcm ^{3} /s RIGHT )]

삼차함수 [eqn: y = f(x)]의 도함수 [eqn: y = f ` prime (x)]의 그래프가 다음 그림과 같고, 함수 [eqn: f(x)]는 극댓값 [eqn: 32], 극솟값 [eqn: 0]을 가진다. 이 때, 곡선 [eqn: y = f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

[eqn: 108]

[eqn: f prime(x)=-ax(x-4)]이고 [eqn: x=0]에서 극소, [eqn: x=4]에서 극대를 갖는다.

[eqn: f(x) = - a over3 x^3 +2ax^2 +C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(0)=0]이므로 [eqn: C=0]

[eqn: f(4)][eqn: = - a over3 times 64 + 32a =32], [eqn: a=3]

따라서 [eqn: f(x) = -x^3 +6x^2]이므로 곡선 [eqn: y = f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는

[eqn: S = {left|-1 right|}over12 left|6-0 right|^4 = 108]