2020학년도 1학기 중간고사(병점고1) 2020년 6월 11일 / 범위 : ~여러가지 방정식	출제교사	부장	교장

세 다항식 [eqn: A=3x ^{3``} -2x ^{2} +5], [eqn: B=x ^{3} -2x ^{2} +2x+1] [eqn: C=2x ^{3} -x ^{2} -4]에 대하여 [eqn: (A+C)-(-A+B+4C)]를 간단히 하면?  [4.1]
① [eqn: 7x^3 +6x^2 -2x+12]	② [eqn: 7x^3 -6x^2 +2x+12]

③

③ [eqn: -x^3 +2x^2 -2x+21]	④ [eqn: -x^3 -2x^2 +2x+21]

⑤ [eqn: 2x^3 +4x^2 -3x+8]

이차함수 [eqn: y=x^2 +ax+b^2]과 직선 [eqn: y=x]가 접할 때, 두 자연수 [eqn: a,``b]의 합 [eqn: a+b]의 최솟값은?  [4.2]
① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

②

다항식 [eqn: (x^2 -x+1)^3]의 전개식에서 [eqn: x^5]의 계수를 [eqn: alpha], [eqn: x^3]의 계수를 [eqn: beta]라 할 때, [eqn: alpha + beta]의 값은? [4.4]
① [eqn: -10]	② [eqn: -9]	③ [eqn: -7]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

①

[eqn: x+y=3], [eqn: xy=-3]일 때, [eqn: x^3 -y^3]의 값은? (단, [eqn: x<y]) [4.4]
① [eqn: -21root21]	② [eqn: -21root15]	③ [eqn: -12root21]
④ [eqn: -12root15]	⑤ [eqn: -9root21]

③

두 실수 [eqn: a,``b]의 차이가 [eqn: 4]일 때, 두 수의 곱 [eqn: ab]의 최솟값은? [4.4]
① [eqn: -6]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -2]
④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 2]

②

실수 [eqn: a,``b]에 대하여 등식 [eqn: (2x+3y+1)+(4x+ay+1)i=b+7i]를 만족시키는 실수 [eqn: x,``y]가 무수히 많이 존재할 때, [eqn: b]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.) [4.4]
① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

④

다음에서 다항식 [eqn: x^5 -x^4 -6x^3 +6x^2 +x-1]의 인수가 될 수 있는 모든 다항식의 개수는?  [4.6]

[eqn: x+1], [eqn: x-1], [eqn: x^2 +1], [eqn: x^2 -2x+1], [eqn: x^2 -2x-1]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

실수 [eqn: a,``b,``c]에 대하여 한 근이 [eqn: 1-root2 i]인 삼차방정식 [eqn: x^3 +ax^2 +bx+c=0]과 이차방정식 [eqn: x^2 +ax+2=0]이 오직 한 개의 공통인 해를 가질 때, [eqn: abc]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.) [4.6]
① [eqn: -45]	② [eqn: -9]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 45]

⑤

[eqn: x^2 +x+1=0]일 때, [eqn: x^4 +x^3 -3x+10- { 2} over { x}+ { 1} over {x^2 }- { 2} over {x^3 }]의 값은?  [4.6]
① [eqn: -3]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

⑤

사차방정식 [eqn: (x^2 +x-1)(x^2 +x+3)-5=0]의 서로 다른 두 허근을 [eqn: alpha,`` beta]라 할 때, [eqn: alphabar alpha + alpha bar beta + betabar alpha + betabar beta]의 값은? (단, [eqn: barz]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.) [4.8]
① [eqn: 1]	② [eqn: -1+root15 i]	③ [eqn: 1+root15 i]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 2root15 i]

①

이차함수 [eqn: f(x)=ax^2 -2bx+c]에 대하여 삼각형 [eqn: ABC]의 세변의 길이가 각각 [eqn: a,``b,``c]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?  [4.8]

	<보 기>
ㄱ. 길이가 [eqn: b]인 변의 대각인 [eqn: angleB]가 둔각이면 [eqn: f(1)<0]이다. ㄴ. 방정식 [eqn: f(x)=0]이 중근을 갖고 [eqn: a=c]이면 삼각형 [eqn: ABC]는 정삼각형이다. ㄷ. 삼각형 [eqn: ABC]가 [eqn: b]가 빗변인 직각삼각형이면 방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

⑤

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

서로 다른 두 실근 [eqn: alpha,`` beta]([eqn: alpha< beta])를 가지는 이차방정식 [eqn: x^2 -ax+3=0]에 대하여 [eqn: f(x)=x^2 -ax+3]이라 할 때, [eqn: { f( beta+2) } over { beta- alpha+2 }+ { f( alpha-2) } over { alpha- beta-2 }]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [4.8]
① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

③

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형을 변형시켜 변의 길이는 변하지 않고 넓이가 [eqn: 3]인 마름모로 만들었다. 이때, 마름모의 짧은 대각선의 길이는? [5.1]

③

⇒

① [eqn: { root7 -1} over {2 }]	② [eqn: { root7} over { 2}]	③ [eqn: root7 -1]
④ [eqn: { root7 +1} over { 2}]	⑤ [eqn: root7 +1]

(가) 허근 [eqn: z]를 갖는다.

(나) [eqn: z+ { 1} over { z}]은 실수이다.

삼차다항식 [eqn: f(x)]를 세 일차식 [eqn: x-1], [eqn: x-2], [eqn: x-3]으로 나누었을 때의 나머지가 모두 [eqn: 3]이고 [eqn: x-4]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 15]일 때, [eqn: 2x-10]으로 나누었을 때의 나머지는? [5.1]
① [eqn: 27]	② [eqn: 39]	③ [eqn: 48]
④ [eqn: 51]	⑤ [eqn: 75]

④

양수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: 0<=x<=t]에서 이차함수 [eqn: f(x)=x^2 -6x+2t+1]의 최솟값이 [eqn: t-3]이 되도록 하는 모든 [eqn: t]의 값의 합은? [5.1]
① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

①

[eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: x^3 +2kx^2 +(k^2 +2k-1)x+k^2 =0]이 다음 조건을 만족시킨다.

이때, [eqn: z+ { 1} over { z}]의 값은? (단, [eqn: k]는 실수이다.) [5.3]
① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

②

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: (3x-a^2 +3a)(3x-5a)=0]의 두 실근 [eqn: alpha,`` beta]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: beta- alpha]는 자연수이다.

(나) [eqn: alpha LEQ x LEQ beta]를 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 4]이다.

이때, 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은? [5.3]
① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 17]
④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 21]

④

서술형1. 이차함수 [eqn: y=x^2 +2x+a]의 그래프가 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 직선 [eqn: y=bkx-k^2 +ck]와 한 점에서 만난다고 할 때, 세 상수 [eqn: a,``b,``c]에 대하여 [eqn: a^2 +b^2 +c^2]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 논술하시오. ( 단, [eqn: b>0] )  [6.0]

서술형1. [eqn: 9]

서술형2. [eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다. 이때, [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1)(x+2)^2]으로 나눈 나머지가 [eqn: R(x)]일 때, [eqn: R(-1)]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 논술하시오. [7.0]

서술형2. [eqn: 5]

(가) [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는 [eqn: 31]이다.

(나) [eqn: f(x)]를 [eqn: (x+2)^2]으로 나눈 나머지는 [eqn: x+3]이다.

서술형3. 이차방정식 [eqn: x^2 -x+1=0]의 한 근을 [eqn: w]라 할 때, [eqn: (w+ { 1} over { w})+(w^2 + { 1} over { w^2})+(w^3 + { 1} over { w^3})+ ``CDOTS``+(w^20 + { 1} over { w^20})]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 논술하시오. [7.0]

서술형3. [eqn: 0]

2020년 고1 1학기 중간 병점고1