수능대비	단원별 기출문제	수학2

01

함수의 극한

함수의 극한(2,3점)

두 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: lim _{x -> -1} {} {x ^{2} +4x+a} over {x+1}][eqn: =b]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. [3점][7월 교육청]

[eqn: 5]

[출제의도] 함수의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{x -> -1} {} {x ^{2} +4x+a} over {x+1}][eqn: =b]에서

(분모)[eqn: `` -> ``][eqn: 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: `` -> ``][eqn: 0]

[eqn: lim _{x -> -1} {} LEFT ( x ^{2} +4x+a RIGHT )][eqn: =0]이므로 [eqn: 1-4+a][eqn: =0],

[eqn: a=3]

[eqn: lim _{x -> -1} {} {x ^{2} +4x+3} over {x+1}][eqn: = lim _{x -> -1} {} {LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )} over {x+1}]
[eqn: = lim _{x -> -1} {} LEFT ( x+3 RIGHT )][eqn: = it 2][eqn: =b]

따라서 [eqn: a+b][eqn: =5]

삼차함수 [eqn: f left(x right)]가

②

[출제의도] 함수의 극한값을 이용하여 함숫값을 구할 수 있는가?

[eqn: lim from {x`->`0}`` f(x) over x =1]에서 [eqn: x``->``0]이면 (분모)[eqn: ``->``0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ``->``0]이어야 한다.

따라서 [eqn: f(0)=0]

같은 방법으로 [eqn: lim _{x` rarrow `1}`` {} {f(x)} over {x-1} =1]에서

[eqn: f(1)=0]

따라서 삼차함수 [eqn: f(x)]를

[eqn: f(x) = x(x-1)(ax+b)] ([eqn: a,~b`]는 상수)

로 놓을 수 있다.

[eqn: lim _{x` rarrow `0} {}`` {f(x)} over {x} = lim _{x` rarrow `0}`` {} (x-1)(ax+b)=it-b]

이므로

[eqn: b=it-1]

[eqn: lim _{x` rarrow `1} ``{} {f(x)} over {x-1} = lim _{x` rarrow `1} ``{} x(ax+b)=a+b]

이므로

[eqn: a+b=1]

따라서 [eqn: a=2]이므로

[eqn: f(x)= x(x-1)(2x-1)]

따라서 [eqn: f(2)= 2times1times3=6]

[eqn: lim _{x` rarrow` 0} {}`` {f(x)} over {x} =1]에서 [eqn: x``->``0]이면 (분모)[eqn: ``->``0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ``->``0]이어야 한다.

따라서 [eqn: f(0)=0]

이때

[eqn: lim _{x` rarrow` 0} {}`` {f(x)} over {x} =f `prime (0)=1]

같은 방법으로 [eqn: lim _{x` rarrow `1}`` {} {f(x)} over {x-1} =1]에서 [eqn: f(1)=0], [eqn: f `prime (1)=1]

함수 [eqn: f(x)]는 삼차함수이고 [eqn: f` prime (0)=f` prime (1)=1]이므로

[eqn: f` prime (x)=ax(x-1)+1], 즉 [eqn: f` prime (x)=ax ^{2} -ax+1]

이라 놓으면

[eqn: f(x) = a over 3 x^3 - a over 2 x^2 + x + C] ([eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: f(0)=0]에서 [eqn: C=0]

[eqn: f(1) =0]에서 [eqn: a over 3 - a over 2 +1=0]

[eqn: a=6]이므로 [eqn: f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x]

∴ [eqn: f(2) = 6]

[eqn: lim _{x` ->` 0} {{f`left(x right)} over {x}``it= `lim _{x` -> `1} {{f` left(x right)} over {x-1}} }``it=1`]

을 만족시킬 때, [eqn: f`left(2 right)]의 값은? [3점][9월 평가원]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

①

[출제의도] 함수의 그래프에서 좌극한의 값과 우극한의 값을 구할 수 있는가?

[eqn: lim _{x rarrow 0-} {f(x)} =-2]

[eqn: lim _{ x-> 2+} { f(x) }=0]

따라서

[eqn: lim _{ x->0-} {f(x) } + lim _{ x->2+ } { f(x) }][eqn: = -2+0][eqn: =-2]

[eqn: lim _{x -> 0-} {} f LEFT ( x RIGHT ) + lim _{x -> 2+} {} f LEFT ( x RIGHT )]의 값은? [3점][21년 6월 평가원]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

닫힌구간 [eqn: LEFT [ `-2,~2` RIGHT ]]에서 정의된 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

③

[출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x -> -1-} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2], [eqn: lim _{x -> 1+} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it -1]

따라서 [eqn: lim _{x -> -1-} {} f LEFT ( x RIGHT ) + lim _{x -> 1+} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =1]

[eqn: lim _{x -> -1-} {} f LEFT ( x RIGHT ) + lim _{x -> 1+} {} f LEFT ( x RIGHT )]의 값은? [3점][7월 교육청]

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

②

[출제의도] 함수의 그래프에서 좌극한과 우극한을 구한다.

[eqn: lim _{x` -> `-2+} {} f(x)+lim _{x` -> `2-} {} f(x)][eqn: =2+3][eqn: =5]

[eqn: lim _{x -> -2+} {} f LEFT ( x RIGHT ) + lim _{x -> 2-} {} f LEFT ( x RIGHT )]의 값은? [3점][21년 3월 교육청]

① [eqn: 6]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

④

[출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x -> 1-} {} f(x)+ lim _{x -> 2+} {} f(x)][eqn: =3+1][eqn: =4]

[eqn: lim _{x -> 1-} {} f LEFT ( x RIGHT ) + lim _{x -> 2+} {} f LEFT ( x RIGHT )]의 값은? [3점][21년 4월 교육청]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수의 극한(4점)

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가

②

[출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: h(x)=2f(x)-3g(x)]라 하면 [eqn: f(x)= {3g(x)+h(x)} over {2}]

[eqn: lim _{x-> INF } {} g(x)= INF ,~ lim _{x-> INF } {} h(x)=1]이므로 [eqn: lim _{x-> INF } {} {h(x)} over {g(x)} =0]

[eqn: lim _{x -> INF } {} {4f(x)+g(x)} over {3f(x)-g(x)}][eqn: = lim _{x-> INF } {} {4 LEFT { {3g(x)+h(x)} over {2} RIGHT } +g(x)} over {3 LEFT { {3g(x)+h(x)} over {2} RIGHT } -g(x)}]
[eqn: = lim _{x-> INF } {} {14g(x)+4h(x)} over {7g(x)+3h(x)}]
[eqn: = lim _{x-> INF } {} {14+4 TIMES {h(x)} over {g(x)}} over {7+3 TIMES {h(x)} over {g(x)}}]
[eqn: =2]

[eqn: lim _{x -> INF } {} LEFT { 2f LEFT ( x RIGHT ) -3g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }][eqn: =1], [eqn: lim _{x -> INF } {} g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = INF]

를 만족시킬 때, [eqn: lim _{x -> INF } {} {4f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )} over {3f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )}]의 값은? [4점][21년 4월 교육청]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

곡선 [eqn: y][eqn: =x ^{2} -4] 위의 점 [eqn: rmP LEFT ( itt,````t ^{2} -4 RIGHT )]에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2}][eqn: =4]에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이를 [eqn: S`(t)], 삼각형 [eqn: rm PBA]의 넓이를 [eqn: T`(t)]라 할 때,

②

[출제의도] 함수의 극한을 이용하여 문제를 해결한다.

두 선분 [eqn: \AB], [eqn: \OP`]의 교점을 [eqn: \M`]이라 하면 직선 [eqn: \OP`]는 선분 [eqn: \AB`]를 수직이등분하므로 직각삼각형 [eqn: \OAP`]와 직각삼각형 [eqn: \OMA`]는 서로 닮음이다.

삼각형 [eqn: \OAP`]와 삼각형 [eqn: \OMA`]의 닮음비는 [eqn: bar{\OP} : bar{\OA}]이므로 넓이의 비는 [eqn: {bar{\OP} }^2 : {bar{\OA} }^2]이다.

삼각형 [eqn: \OAP`]의 넓이는 [eqn: {S`(t) + T`(t)} over 2],

삼각형 [eqn: \OMA`]의 넓이는 [eqn: {S`(t)} over 2]이므로

[eqn: {bar{\OP} }^2 : {bar{\OA} }^2][eqn: ={S`(t) + T`(t)} over 2 :{S`(t)} over 2]

[eqn: {bar{\OA} }^2 times it{S`(t) + T`(t)} over 2][eqn: ={bar{\OP} }^2 times it{S`(t)} over 2],

[eqn: {T`(t)} over {S`(t)}][eqn: = {{bar{\OP} }^2 - {bar{\OA} }^2} over {bar{\OA} }^2}]

[eqn: bar{\OA}][eqn: =2], [eqn: bar{\OP}][eqn: =root{it t^2 + LEFT ( t^2 -4 RIGHT ) ^2 }]이므로

[eqn: {T`(t)} over {S`(t)}][eqn: = {t^2 + LEFT ( t^2 -4 RIGHT )^2 -2^2} over 2^2][eqn: = 1 over 4 left(t+2 right) left(t-2 right) left(t^2 -3 right)]

따라서

[eqn: lim _{t` rarrow `2+} {{it T`(t)} over {(t-2)S`(t)}}][eqn: + lim _{t` rarrow ` INF } {{T`(t)} over {LEFT ( t ^{4} -2 RIGHT ) S`(t)}}]

[eqn: = lim _{t` rarrow `2+} {{(t+2) LEFT ( t ^{2} -3 RIGHT )} over{4}}][eqn: + lim _{t` rarrow ` INF } {{ LEFT ( t+2 RIGHT ) LEFT ( t-2 RIGHT ) LEFT ( t ^{2} -3 RIGHT )} over {4(t ^{4} -2)}}]

[eqn: =1+ {1} over {4}][eqn: = {5} over {4}]

[eqn: lim _{t` rarrow `2+} {{T`(t)} over {(t-2) S`(t)}} `][eqn: + lim _{t` rarrow ` INF } {{T`(t)} over {(t ^{4} -2)S`(t)}} `]

의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: t>2]이다.) [4점][10월 교육청]

① [eqn: 1]	② [eqn: {5} over {4}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {7} over {4}]	⑤ [eqn: 2]

함수의 연속(2,3점)

함수 [eqn: y=f ( x)]의 그래프가 그림과 같다.

②

[출제의도] 함수의 연속에 대한 성질을 이해한다.

함수 [eqn: LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) f(x)`]가 [eqn: x=1`]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x`->`1-} {LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) f(x)}][eqn: = lim _{x` rarrow `1+} {LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) f(x)}]

그래프에서 [eqn: lim _{x`->`1-} {f(x)}][eqn: =1], [eqn: lim _{x`->`1+} {f(x)}][eqn: =3`]이므로

[eqn: lim _{x`->`1-} {LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) f(x)}][eqn: =(1+a+b) TIMES 1][eqn: =1+a+b],

[eqn: lim _{x` rarrow `1+} {LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) f(x)}][eqn: =(1+a+b) TIMES 3][eqn: =3(1+a+b)]

에서 [eqn: 1+a+b][eqn: =3(1+a+b)]

따라서 [eqn: a+b][eqn: =it-1]

함수 [eqn: left(x ^{2} +ax+b right) f(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속일 때, [eqn: a+b`]의 값은?

(단, [eqn: a], [eqn: b`]는 실수이다.) [3점][10월 교육청]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수

④

[출제의도] 함수의 연속의 성질을 이용하여 주어진 함수가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수의 값을 구할 수 있는가?

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]를 제외한 실수 전체의 집합에서 연속이므로 함수 [eqn: left{ f(x) right}^2]이 [eqn: x=a]에서 연속이면 함수 [eqn: left{ f(x) right}^2]은 실수 전체의 집합에서 연속이다.

함수 [eqn: left{ f(x) right}^2]이 [eqn: x=a]에서 연속이려면

[eqn: lim _{ x->a+ } { left{ f(x) right}^2 }= lim _{ x->a- } { left{ f(x) right}^2 }= left{ f(a) right}^2]

이어야 한다.

이때,

[eqn: lim _{x rarrow a+} {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2}} = lim _{x rarrow a+} { (2x-a)^2 = a^2]

[eqn: lim _{ x-> a-} { left{ f(x) right}^2 } = lim _{ x-> a-} { (-2x+6)^2 }= (-2a+6)^2]

[eqn: left{ f(a) right}^2 = (2a-a)^2 =a^2]

이므로

[eqn: a^2 = (-2a+6)^2]에서

[eqn: 3(a-2)(a-6)=0]

[eqn: a=2] 또는 [eqn: a=6]

따라서 모든 상수 [eqn: a]의 값의 합은

[eqn: 2+6=8]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{eqalign{~-2x+6# }&eqalign{~~~ LEFT ( x<a RIGHT )# }#~2x-a&~~~ LEFT ( x GEQ a RIGHT )}}]

에 대하여 함수 [eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}]이 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 상수 [eqn: a]의 값의 합은? [3점][21년 6월 평가원]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 6`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 10`]

함수

⑤

[출제의도] 함수의 연속에 대한 성질을 이해한다.

함수 [eqn: f(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로
[eqn: x=3`]에서도 연속이다.

즉, [eqn: lim _{x `-> `3-} {f(x)}][eqn: = lim _{x `->` 3+} {f(x)}][eqn: =f(3)]

[eqn: lim _{x `->` 3-} {{x ^{2} +ax+b} over {x-3}}]의 값이 존재하고, [eqn: x` -> `3-`]일 때

(분모)[eqn: -> `0`]이므로 (분자)[eqn: -> `0`]이다.

즉, [eqn: lim _{x `->` 3-} {(x ^{2} +ax+b)}][eqn: =0`]이므로

[eqn: 9+3a+b][eqn: =0], [eqn: b][eqn: =it -3a-9`]

[eqn: lim _{x `-> `3-} {{x ^{2} +ax-3a-9} over {x-3}}][eqn: = lim _{x` -> `3-} {{(x-3)(x+3 +a)} over {x-3}}]
[eqn: = lim _{x` -> `3-} {(x+3+a)}]
[eqn: =6+a]

한편, [eqn: lim _{x `->` 3+} {f(x)}][eqn: =f(3)][eqn: =7]

그러므로 [eqn: 6+a][eqn: =7]

따라서 [eqn: a][eqn: =1], [eqn: b][eqn: =it -12`]이므로 [eqn: a-b][eqn: =13]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{{x ^{2} +ax+b} over {x-3}&~~~ LEFT ( x<3 RIGHT )#{2x+1} over {x-2}&~~~ LEFT ( x GEQ 3 RIGHT )}}]

이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: a-b]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.) [3점][21년 3월 교육청]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

함수

①

[출제의도] 함수의 연속을 활용하여 문제해결하기

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=2]에서 연속이므로

[eqn: f(2)][eqn: = lim _{x-> 2+} {} f(x)][eqn: = lim _{x-> 2-} {} f(x)]

[eqn: f(2)][eqn: = lim _{x-> 2+} {} f(x)][eqn: =b-4]이므로

[eqn: lim _{x-> 2-} {} f(x)][eqn: = lim _{x-> 2-} {} {x ^{2} +3x+a} over {x-2}][eqn: =b-4]

[eqn: lim _{x-> 2-} {} (x-2)=0]이므로 [eqn: lim _{x-> 2-} {} (x ^{2} +3x+a)=0]

[eqn: a+10=0]에서 [eqn: a=-10]

[eqn: lim _{x-> 2-} {} {x ^{2} +3x-10} over {x-2}][eqn: = lim _{x-> 2-} {} {(x-2)(x+5)} over {x-2}][eqn: =7]이므로

[eqn: b-4=7 ,~ b=11]

따라서 [eqn: a+b=-10+11=1]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{eqalign{{x ^{2} +3x+a} over {x-2}# }&eqalign{~~~ LEFT ( x<2 RIGHT )# }#-x ^{2} +b&~~~ LEFT ( x GEQ 2 RIGHT )}}]

가 [eqn: x][eqn: =2]에서 연속일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.) [3점][21년 4월 교육청]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수

④

[출제의도] 함수가 실수 전체의 집합에서 연속일 조건을 이용할 수 있는가?

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=it-1]에서 연속이면 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: lim _{ x`->`-1- } ``{ }f(x)= lim _{ x`->`-1+ }`` { }f(x) =f(-1)]

이 성립해야 한다. 이때,

[eqn: lim _{ x`->`-1- }`` { }f(x)= lim _{ x`->`-1- }`` { }(2x+a)=it-2+a]

[eqn: lim _{ x`->`-1+ }`` { }f(x) = lim _{ x`->`-1+ }`` { }(x^2 -5x-a ) = 6-a]

[eqn: f(-1)=it -2+a]

이므로

[eqn: -2+a=6-a]

따라서 [eqn: a=4]

[eqn: f `LEFT ( x RIGHT )``it = {cases{~2x+a{`^`^`^`}~~& LEFT ( ` x LEQ `it-1 `RIGHT ){`^`^`^`}# &# ~x^{`2}`it-5x-a{`_`_`_`~~}&LEFT (` x >`it -1`RIGHT ){`_`_`_`}}}]

이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점][9월 평가원]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]

④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

함수의 연속(4점)

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: lim _{x -> INF } {} {f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2} -3x-5}][eqn: =2]을 만족시키고, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는

①

[출제의도] 연속함수의 성질을 활용하여 문제해결하기

[eqn: lim _{x -> INF } {} {f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2} -3x-5}][eqn: =2]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x ^{2} +ax+b]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `g LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: x][eqn: =3]에서 연속이다.

[eqn: lim _{x -> 3} {} f LEFT ( x RIGHT ) `g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 3 RIGHT ) `g LEFT ( 3 RIGHT )]

[eqn: lim _{x -> 3} {} {2x ^{2} +ax+b} over {x-3}][eqn: =18+3a+b]에서

(분모)[eqn: `` -> ``][eqn: 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: `` -> ``][eqn: 0]

[eqn: lim _{x -> 3} {} LEFT ( 2x ^{2} +ax+b RIGHT )][eqn: =0]이므로 [eqn: 18+3a+b][eqn: =0]

[eqn: lim _{x -> 3} {} {2x ^{2} +ax+b} over {x-3}][eqn: =0]

[eqn: b][eqn: =-3a-18]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( 2x+a+6 RIGHT )]

[eqn: lim _{x -> 3} {} {2x ^{2} +ax+b} over {x-3}][eqn: = lim _{x -> 3} {} {LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( 2x+a+6 RIGHT )} over {x-3}]
[eqn: = lim _{x -> 3} {} LEFT ( 2x+a+6 RIGHT )][eqn: =0]

이므로 [eqn: a= it -12], [eqn: b=18]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x ^{2} -12x+18]

따라서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =8]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{{1} over {x-3}&~~~ LEFT ( x != 3 RIGHT )#eqalign{# 1}&eqalign{# ~~~ LEFT ( x=3 RIGHT )}}}]

이다. 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? [4점][7월 교육청]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

실수 [eqn: m]에 대하여 직선 [eqn: y][eqn: =mx]와 함수

[eqn: 8]

[출제의도] 함수의 연속성을 이용하여 문제를 해결한다.

직선 [eqn: y][eqn: =mx`]는 실수 [eqn: m`]의 값에 관계없이 항상 원점을 지나므로 직선 [eqn: y][eqn: =mx`]와 함수

[eqn: f(x)][eqn: = {cases{`x+4 _{`}&(x<1) _{`}#`3x+2 ^{`}~~&(x GEQ 1) ^{`}}}]의 그래프는 다음과 같다.

그러므로 함수 [eqn: g(m)`]은

[eqn: g(m)][eqn: = {cases{`1_{`}~~&(m<1~또는~m>3) _{`}# `0^{`}& ( 1 LEQ m LEQ 3 )^{`}]

즉, 함수 [eqn: g(m)`]은 [eqn: m][eqn: =1`]과 [eqn: m][eqn: =3`]에서 불연속이다.

그런데 함수 [eqn: g(x)h(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: x][eqn: =1], [eqn: x`][eqn: =3`]에서도 연속이 되어야 한다.

(ⅰ) [eqn: x=1`]일 때
[eqn: lim _{x` ->` 1-} {g(x)h(x)}][eqn: =1 TIMES h ( 1 )][eqn: =h(1)],
[eqn: lim _{x `->` 1+} {g(x)h(x)}][eqn: =0 TIMES h(1)][eqn: =0]
함수 [eqn: g(x)h(x)`]는 [eqn: x][eqn: =1`]에서 연속이므로
[eqn: lim _{x`->`1} {`g ( x )h ( x )}`]의 값이 존재한다.
즉, [eqn: lim _{x` ->` 1-} {g(x)h(x)}][eqn: =lim _{x `->` 1+} {g(x)h(x)}`]에서 [eqn: h(1)][eqn: =0]

(ⅱ) [eqn: x][eqn: =3`]일 때
[eqn: lim _{x` -> `3-} {g(x)h(x)}][eqn: =0 TIMES h ( 3 )][eqn: =0],
[eqn: lim _{x` -> `3+} {g(x)h(x)}][eqn: =1 TIMES h ( 3 )}][eqn: =h ( 3 )]
함수 [eqn: g(x)h(x)`]는 [eqn: x][eqn: =3`]에서 연속이므로
[eqn: lim _{x`->`3} {`g ( x )h ( x )}`]의 값이 존재한다.
즉, [eqn: lim _{x` -> `3-} {g(x)h(x)}][eqn: =lim _{x` -> `3+} {g(x)h(x)}`]에서 [eqn: h(3)][eqn: =0]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: h(1)][eqn: =h(3)][eqn: =0`]이므로 최고차항의
계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: h(x)`]는 [eqn: h(x)][eqn: =(x-1)(x-3)]

따라서 [eqn: h(5)][eqn: =4 times 2][eqn: =8`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x+3+ LEFT | `x-1` RIGHT |]

의 그래프의 교점의 개수를 [eqn: g LEFT ( m RIGHT )]이라 하자. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `h LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: h LEFT ( 5 RIGHT )]의 값을 구하시오. [4점][21년 3월 교육청]

수능대비	단원별 기출문제	수학2

02

미분

미분계수와 도함수(2,3점)

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -3x]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: 4]까지 변할 때의 평균변화율과 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( k,~f LEFT ( k RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 서로 같을 때, 양수 [eqn: k]의 값은? [3점][21년 4월 교육청]

⑤

[출제의도] 미분계수 이해하기

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: 4]까지

변할 때의 평균변화율은

[eqn: {f(4)-f(1)} over {4-1}][eqn: = {(64-12)-(1-3)} over {3}][eqn: =18]

곡선 [eqn: y=f(x)]위의 점 [eqn: (k,~ f(k))]에서의

접선의 기울기는 [eqn: f prime (k)=3k ^{2} -3]이므로

[eqn: 3k ^{2} -3=18 ,~ k ^{2} =7]

[eqn: k>0]이므로 [eqn: k= sqrt {7}]

① [eqn: sqrt {3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: sqrt {5}]	④ [eqn: sqrt {6}]	⑤ [eqn: sqrt {7}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{`3} -6x ^{`2} +5x`]에서 [eqn: x`]의 값이 [eqn: 0]에서 [eqn: 4]까지 변할 때의 평균변화율과 [eqn: f` prime LEFT ( a RIGHT )]의 값이 같게 되도록 하는 [eqn: 0<a<4]인 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 곱은 [eqn: q over p]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.

[eqn: 11]

[출제의도] 평균변화율과 미분계수를  구할 수 있는가?

함수 [eqn: f(x)= x^3 - 6x^2 + 5x`]에서 [eqn: x`]의 값이 [eqn: 0]에서 [eqn: 4]까지 변할 때의 평균변화율은

[eqn: {f(4)-f(0)} over 4-0 = 64-96+20 over 4 =it -3]

또한, [eqn: f`'(x)= 3x^2 - 12x + 5] 이므로

[eqn: 3a^2 - 12a + 5 =it -3], [eqn: 3a^2 - 12a + 8=0]	[eqn: CDOTS CDOTSit]㉠

㉠을 만족시키는 모든 실수 [eqn: a`]는 [eqn: 0<a<4]를 만족시키므로 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 곱은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: 8 over 3]이다.

따라서 [eqn: p = 3], [eqn: q= 8]이므로

[eqn: p+q = 11]

(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [3점][9월 평가원]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} +ax]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: 3]까지 변할 때의 평균변화율이 [eqn: f`' LEFT ( a RIGHT )]의 값과 같게 되도록 하는 양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: 3a ^{2}]의 값을 구하시오. [3점][7월 교육청]

[eqn: 13]

[출제의도] 미분계수 이해하기

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3x ^{2} +a]

[eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: 3]까지 변할 때의 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 평균변화율이 [eqn: f`' LEFT ( a RIGHT )]의 값과 같으므로

[eqn: {f LEFT ( 3 RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {3-1}][eqn: =f`' LEFT ( a RIGHT )]

[eqn: {3 ^{3} +3a- LEFT ( 1 ^{3} +a RIGHT )} over {2}][eqn: =3a ^{2} +a]

따라서 [eqn: 3a ^{2}][eqn: =13]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} +ax]에 대하여 [eqn: f ' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =4]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [3점][21년 4월 교육청]

[eqn: 2]

[출제의도] 도함수 이해하기

[eqn: f(x)=x ^{2} +ax]에서 [eqn: f prime (x)=2x+a]

[eqn: f prime (1)=2+a=4]에서 [eqn: a=2]

함수 [eqn: f`left(x right)``it= 2x^{`3} `it+4x+5`]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) `]의 값은? [2점][9월 평가원]

⑤

[출제의도] 다항함수의 미분계수를 구할 수 있는가?

[eqn: f(x) = 2x^3 + 4x +5]에서

[eqn: f`'(x) =6x^2 +4]

이므로

[eqn: f`'(1) =6+4= 10]

① [eqn: 6`]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 8`]

④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 10`]

함수 [eqn: f(x)=2x ^{2} +ax+3]에 대하여 [eqn: x=2]에서의 미분계수가  [eqn: 18]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오. [3점][10월 교육청]

[eqn: 10]

[출제의도] 미분계수를 이해하고 미정계수를 구한다.

[eqn: f`'(x)][eqn: =4x+a]이므로 [eqn: f`'(2)][eqn: = 8+a][eqn: =18`]에서 [eqn: a=10]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3x ^{2} +6x-4]이고 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =5]일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점][7월 교육청]

[eqn: 17]

[출제의도] 부정적분 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {} LEFT ( 3x ^{2} +6x-4 RIGHT ) `dx]
[eqn: =x ^{3} +3x ^{2} -4x+C]
(단, [eqn: C]는 적분상수이다.)

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1+3-4+C][eqn: =5], [eqn: C][eqn: =5]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} +3x ^{2} -4x+5]

따라서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =8+12-8+5][eqn: =17]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} -ax]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점][7월 교육청]

②

[출제의도] 미분계수 계산하기

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x-a]

[eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2-a][eqn: =0]

따라서 [eqn: a=2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

③

[출제의도] 곱의 미분법을 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가?

[eqn: g(x)= left(x^2 +3 right) f(x)]에서

[eqn: g`'(x) = 2x f(x) + left(x^2 +3 right) f`'(x)]

따라서

[eqn: g`'(1)][eqn: = 2 f(x)+4f`'(1)]
[eqn: = 2 times 2 + 4 times1]
[eqn: =8]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x ^{2} +3 RIGHT ) `f LEFT ( x RIGHT )]

라 하자. [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2], [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1]일 때, [eqn: g' LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? [3점][21년 6월 평가원]

① [eqn: 6`]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 8`]	④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 10`]

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x ^{2} +5x+3], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} +2]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `g LEFT ( x RIGHT )]의 [eqn: x=0]에서의 미분계수를 구하시오. [3점][21년 3월 교육청]

[eqn: 10]

[출제의도] 곱의 미분법을 활용하여 미분계수를 구한다.

곱의 미분법에 의해 함수 [eqn: f(x)g(x)`]의 도함수는
[eqn: left{ f(x)g(x) right} prime][eqn: =f` prime (x)g(x)+f(x)g` prime (x)]

[eqn: f`prime(x)][eqn: =4x+5], [eqn: g`'(x)][eqn: =3x^2`]이므로

[eqn: f `prime (0) g(0) + f(0)g` prime (0)][eqn: =5 times 2 +3 times 0][eqn: =10]

두 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: 24]

[출제의도] 곱의 미분법을 활용하여 문제 해결하기

[eqn: lim _{x -> 2} {} {f LEFT ( x RIGHT ) -4} over {x ^{2} -4}][eqn: =2]에서

(분모)[eqn: `` -> ``][eqn: 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: `` -> ``][eqn: 0]

[eqn: lim _{x -> 2} {} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -4 RIGHT }][eqn: =0]이므로 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =4]

[eqn: lim _{x -> 2} {} {f LEFT ( x RIGHT ) -4} over {x ^{2} -4}][eqn: = lim _{x -> 2} {} LEFT { {1} over {x+2} TIMES {f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2} RIGHT }]
[eqn: = {1} over {4} f`' LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =2]

[eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =8]

[eqn: lim _{x -> 2} {} {g LEFT ( x RIGHT ) +1} over {x-2}][eqn: =8]에서

(분모)[eqn: `` -> ``][eqn: 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: `` -> ``][eqn: 0]

[eqn: lim _{x -> 2} {} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) +1 RIGHT }][eqn: =0]이므로 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: = it -1]

[eqn: lim _{x -> 2} {} {g LEFT ( x RIGHT ) +1} over {x-2}][eqn: = lim _{x -> 2} {} {g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2}][eqn: =g' LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =8]

[eqn: h' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f` prime LEFT ( x RIGHT ) `g LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( x RIGHT ) `g' LEFT ( x RIGHT )]

따라서 [eqn: h' LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =f`' LEFT ( 2 RIGHT ) `g LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) `g' LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =24]

[eqn: lim _{x -> 2} {} {f LEFT ( x RIGHT ) -4} over {x ^{2} -4}][eqn: =2], [eqn: lim _{x -> 2} {} {g LEFT ( x RIGHT ) +1} over {x-2}][eqn: =8]

을 만족시킨다. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) `g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: h' LEFT ( 2 RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점][7월 교육청]

두 함수 [eqn: f(x)= left|x+3 right|], [eqn: g(x)=2x+a`]에 대하여 함수

③

[출제의도] 미분가능성을 이해하여 함숫값을 구한다.

[eqn: f(x)g(x)][eqn: = cases{` -(x+3)(2x+a) ~&(x < -3)#`(x+3)(2x+a)~`^`^`^`&(x ge -3)`^`^`^`]

함수 [eqn: f(x) g(x)`]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 [eqn: x=it-3`]에서 미분가능하다. 즉,

[eqn: lim_{x`->`-3-}{{f(x)g(x)- f(-3)g(-3)}over{x+3}}][eqn: =lim_{x`->`-3+}{{f(x)g(x)- f(-3)g(-3)}over {x+3}}],

[eqn: lim_{x`->`-3-}{left(-2x-a right)}][eqn: = lim_{x`->`-3+}{left(2x+a right)]

따라서 [eqn: 6-a][eqn: = it-6+a]에서 [eqn: a=6]

[eqn: f(x)g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

[3점][10월 교육청]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

미분계수와 도함수(4점)

두 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

③

[출제의도] 미분계수의 정의를 이용하여 문제를 해결한다.

조건 (가)에서 [eqn: x `rarrow`1]일 때, (분모)[eqn: rarrow`0`]이므로
(분자)[eqn: rarrow`0`]이다. 즉, [eqn: f(1)][eqn: =g(1)] [eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: lim _{x` rarrow `1} {{f ( x ) -g ( x )} over {x-1}}][eqn: = lim _{x` rarrow `1} { {LEFT { f ( x ) -f(1) RIGHT } - LEFT { g ( x ) -g(1) RIGHT }} over {x-1}}][eqn: =5`]

즉, [eqn: f`'(1)-g`'(1)][eqn: = 5] [eqn: cdotscdots] ㉡

조건 (나)에서

[eqn: lim _{x` rarrow `1} {} {f ( x ) +g ( x ) -2f(1)} over {x-1}]

[eqn: = lim _{x` rarrow `1} {} {LEFT { f ( x ) -f(1) RIGHT } + LEFT { g ( x ) -g(1) RIGHT }} over {x-1}][eqn: =7]

즉, [eqn: f` prime (1)+g` prime (1)][eqn: =7] [eqn: cdotscdots] ㉢

[eqn: lim _{x` rarrow `1} {} {f ( x ) -a} over { x-1 }][eqn: =b times g(1)]에서 [eqn: x `rarrow`1]일 때,

(분모)[eqn: rarrow`0`]이므로 (분자)[eqn: rarrow`0`]이다.

즉, [eqn: a][eqn: =f(1)]이고 [eqn: lim _{x` rarrow `1} { {f ( x ) - f(1)} over { x-1 } }][eqn: =f`'(1)]

㉠에서 [eqn: f(1)][eqn: =g(1)`]이므로 [eqn: f`prime(1)][eqn: =b times f(1)][eqn: =ab]

㉡, ㉢을 연립해서 풀면 [eqn: f`prime(1)][eqn: =6]

따라서 [eqn: ab][eqn: =6]

(가) [eqn: lim _{x -> 1} {} {f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}][eqn: =5]

(나) [eqn: lim _{x -> 1} {} {f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) -2f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}][eqn: =7]

두 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: lim _{x -> 1} {} {f LEFT ( x RIGHT ) -a} over {x-1}][eqn: =b TIMES g LEFT ( 1 RIGHT )]일 때, [eqn: a,~b]의 값은? [4점][21년 3월 교육청]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: 3]보다 작은 실수 [eqn: a`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)= LEFT | (x-a)f(x) RIGHT |]가 [eqn: x=3]에서만 미분가능하지 않다. 함수 [eqn: g(x)]의 극댓값이 [eqn: 32]일 때, [eqn: f(4)]의 값은? [4점][10월 교육청]

①

[출제의도] 함수의 그래프를 이해하여 함숫값을 구한다.

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x][eqn: =a`]에서 미분가능하고 [eqn: g(a)=0`]이므로

[eqn: lim _{ x `->`a-} { {g(x) }over x-a} = lim _{ x `->`a+} { {g(x) }over x-a}],

[eqn: lim _{x` rarrow `a-} {{LEFT | (x-a)f(x) RIGHT |} over {x-a}}][eqn: = lim _{x` rarrow `a+} {{LEFT | (x-a)f(x) RIGHT |} over {x-a}}],

[eqn: lim _{x` rarrow `a-} {{-(x-a) LEFT | f(x) RIGHT |} over {x-a}}][eqn: = lim _{x` rarrow `a+} {{(x-a) LEFT | f(x) RIGHT |} over {x-a}}]

그러므로 [eqn: - LEFT | f(a) RIGHT |][eqn: = LEFT | f(a) RIGHT |]에서 [eqn: f(a) =0]

[eqn: f(x)][eqn: = LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-k RIGHT )]([eqn: k]는 상수)라 하면

함수 [eqn: g(x)][eqn: =left|left(x-a right)^2 left(x-k right) right|]가 [eqn: x=3`]에서만 미분가능하지 않으므로 [eqn: k=3`]이다.

그러므로 [eqn: g(x)][eqn: = left | left(x-a right) ^{2} left(x-3 right) right|]

[eqn: h(x)][eqn: =(x-a) ^{2`} (x-3)`]이라 하면

[eqn: a<3`]이고 함수 [eqn: g(x)]의 극댓값이 [eqn: 32`]이므로 함수 [eqn: h(x)]의 극솟값은 [eqn: -32`]이다.

[eqn: h`'(x)][eqn: =`2left(x-a right)left(x-3 right)+left(x-a right) ^{2`}][eqn: = left(x-a right) left(3x-6-a right)][eqn: =0]

함수 [eqn: h(x)`]는 [eqn: x][eqn: = {6+a} over3`]에서 극솟값 [eqn: -32`]를 갖는다.

[eqn: h left ({6+a}over3 right)][eqn: = LEFT ( {6+a} over {3} -a RIGHT ) ^{2`} LEFT ( {6+a} over {3} -3 RIGHT )][eqn: =it -4left( 1- a over3 right)^3][eqn: =it-32]

[eqn: LEFT ( 1- {a} over {3} RIGHT ) ^{3}][eqn: =8]이므로 [eqn: 1- a over3 =2`]에서 [eqn: a=it-3]

따라서 [eqn: f(x)][eqn: =LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]에서 [eqn: f(4)][eqn: =7]

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15`]

두 양수 [eqn: p,~q]가 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -3x ^{2} -9x-12]에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: p+q]의 값은? [4점][21년 6월 평가원]

③

[출제의도] 절댓값을 포함한 함수의 미분가능성을 판단할 수 있는가?

[eqn: f`'(x)][eqn: = 3x^2 -6x-9]
[eqn: = 3(x+1)(x-3)]

[eqn: f`'(x)=0]에서

[eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=3]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]	[eqn: cdots]
[eqn: {f` prime (x)}]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: {f(x)}]	↗	극대	↘	극소	↗

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극댓값 [eqn: f(-1)=-7]을 갖고, [eqn: x=3]에서 극솟값 [eqn: f(3)=-39]를 갖는다.

조건 (가)에서

[eqn: x g(x)= left| x f(x-p) +qx right|]

이므로

[eqn: g(x)= cases{ left| f(x-p)+q right|&~~(x>0) #- left| f(x-p)+q right| & ~~(x<0)}]

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=0]에서 연속이므로

[eqn: LEFT | f(-p)+q RIGHT | `=`- LEFT | f(-p)+q RIGHT |]

즉, [eqn: left| f(-p) +q right|=0]이어야 한다.

한편, 함수 [eqn: y= left| f(x-p)+q right|]의 그래프는 함수 [eqn: y= f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: p]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: q]만큼 평행이동시킨 후, [eqn: y<0]인 부분에 그려진 부분을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동시킨 것이다. 이때, [eqn: p,~q]가 모두 양수이고 조건 (나)에서 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: a]의 개수가 [eqn: 1]이므로 [eqn: p=1,] [eqn: q=7]이어야 한다. 따라서 [eqn: p+q= 1+7=8]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x`g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT | `x`f LEFT ( x-p RIGHT ) +qx` RIGHT |]이다.

(나) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 1]이다.

① [eqn: 6`]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 8`]	④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 10`]

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {2 sqrt {3}} over {3} x LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )]에 대하여 [eqn: x GEQ -3]에서 정의된 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: 64]

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {2 sqrt {3}} over {3} x LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 sqrt {3} LEFT ( x- sqrt {3} RIGHT ) LEFT ( x+ sqrt {3} RIGHT )]이므로

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: - sqrt {3}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: sqrt {3}]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: {f` prime (x)}]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: {f(x)}]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 12] (극대)	[eqn: SEARROW]	[eqn: -12] (극소)	[eqn: NEARROW]

함수 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: 6k-3 LEQ x<6k+3]일 때

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {k+1} `f LEFT ( x-6k RIGHT )]

[eqn: k+1]이 [eqn: 12]의 양의 약수가 될 때

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값이 자연수이므로

[eqn: k][eqn: =1,~2,~3,~5,~11]일 때

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값은

각각 [eqn: 6,~4,~3,~2,~1]이다.

[eqn: a _{1}][eqn: =2 TIMES 11+1][eqn: =23]

[eqn: a _{2}][eqn: =2 TIMES 5+1][eqn: =11]

[eqn: a _{3}][eqn: =2 TIMES 3+1][eqn: =7]

[eqn: a _{4}][eqn: =2 TIMES 2+1][eqn: =5]

[eqn: a _{5}][eqn: =2 TIMES 2][eqn: =4]

[eqn: a _{6}][eqn: =2 TIMES 1+1][eqn: =3]

[eqn: 7 LEQ n LEQ 11]일 때, [eqn: a _{n}][eqn: =2 TIMES 1][eqn: =2]

[eqn: a _{12}][eqn: =1]

따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{12} a _{n}][eqn: =23+11+7+5+4+3+2 TIMES 5+1][eqn: =64]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{f LEFT ( x RIGHT )&~~~ LEFT ( -3 LEQ x LEQ 3 RIGHT )#eqalign{# {1} over {k+1} `f LEFT ( x-6k RIGHT )}&eqalign{# ~~~ LEFT ( 6k-3 LEQ x<6k+3 RIGHT )}}}]

(단, [eqn: k]는 모든 자연수)

이다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y][eqn: =n]과 함수 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{12} a _{n}]의 값을 구하시오. [4점][7월 교육청]

그래프와 극대, 극소(2,3점)

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -3x+12]가 [eqn: x=a]에서 극소일 때, [eqn: a+f LEFT ( a RIGHT )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.) [3점][21년 6월 평가원]

[eqn: 11]

[출제의도] 다항함수의 극솟값을 구할 수 있는가?

[eqn: f`'(x)= 3x^2 -3 = 3(x+1)(x-1)]

[eqn: f`'(x)=0]에서

[eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=1]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]
[eqn: {f` prime (x)}]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: {f(x)}]	↗	극대	↘	극소	↗

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 극소이다.

따라서 [eqn: a=1]

[eqn: f(a)= f(1)= 1^3 -3 times 1 +12=10]

이므로

[eqn: a+ f(a)= 1+f(1)= 1+10=11]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: 8]

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=3]에서 극솟값 [eqn: 2]를 가지므로

[eqn: f(3)=2,~ f prime (3)=0]

[eqn: g(x)=(x ^{2} -2x)f(x)]에서

[eqn: g prime (x)=(2x-2)f(x)+(x ^{2} -2x)f prime (x)]이므로

[eqn: g prime (3)][eqn: =4f(3)+3 f prime (3)][eqn: =8]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x ^{2} -2x RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )]

라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=3]에서 극솟값 [eqn: 2]를 가질 때, [eqn: g' LEFT ( 3 RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점][21년 4월 교육청]

함수 [eqn: f`left(x right)``it= 2x^{`3} `it+3x^{`2}`it -12x+ 1 `]의 극댓값과 극솟값을 각각 [eqn: M], [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: M``it+m`]의 값은? [3점][9월 평가원]

③

[출제의도] 다항함수의 극값을 구할 수 있는가?

[eqn: f(x) = 2x^3 + 3x^2 -12x +1]에서

[eqn: f`'(x)][eqn: =6x^2 + 6x -12]
[eqn: = 6( x+2)(x-1)]

이므로 [eqn: f`'(x)=0]이 되는 [eqn: x]의 값은

[eqn: x=it-2] 또는 [eqn: x=1]이다.

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=it-2]에서 극댓값

[eqn: M=f(-2)=it-16+12+24+1=21]

을 갖고, [eqn: x=1]에서 극솟값

[eqn: m=f(1)= 2+3-12+1=it-6]

을 갖는다.

따라서 [eqn: M+m = 15]

① [eqn: 13`]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15`]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17`]

그래프와 극대, 극소(4점)

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {2 sqrt {3}} over {3} x LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )]에 대하여 [eqn: x GEQ -3]에서 정의된 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: 64]

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {2 sqrt {3}} over {3} x LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 sqrt {3} LEFT ( x- sqrt {3} RIGHT ) LEFT ( x+ sqrt {3} RIGHT )]이므로

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: - sqrt {3}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: sqrt {3}]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: {f` prime (x)}]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: {f(x)}]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 12] (극대)	[eqn: SEARROW]	[eqn: -12] (극소)	[eqn: NEARROW]

함수 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: 6k-3 LEQ x<6k+3]일 때

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {k+1} `f LEFT ( x-6k RIGHT )]

[eqn: k+1]이 [eqn: 12]의 양의 약수가 될 때

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값이 자연수이므로

[eqn: k][eqn: =1,~2,~3,~5,~11]일 때

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값은

각각 [eqn: 6,~4,~3,~2,~1]이다.

[eqn: a _{1}][eqn: =2 TIMES 11+1][eqn: =23]

[eqn: a _{2}][eqn: =2 TIMES 5+1][eqn: =11]

[eqn: a _{3}][eqn: =2 TIMES 3+1][eqn: =7]

[eqn: a _{4}][eqn: =2 TIMES 2+1][eqn: =5]

[eqn: a _{5}][eqn: =2 TIMES 2][eqn: =4]

[eqn: a _{6}][eqn: =2 TIMES 1+1][eqn: =3]

[eqn: 7 LEQ n LEQ 11]일 때, [eqn: a _{n}][eqn: =2 TIMES 1][eqn: =2]

[eqn: a _{12}][eqn: =1]

따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{12} a _{n}][eqn: =23+11+7+5+4+3+2 TIMES 5+1][eqn: =64]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{f LEFT ( x RIGHT )&~~~ LEFT ( -3 LEQ x LEQ 3 RIGHT )#eqalign{# {1} over {k+1} `f LEFT ( x-6k RIGHT )}&eqalign{# ~~~ LEFT ( 6k-3 LEQ x<6k+3 RIGHT )}}}]

(단, [eqn: k]는 모든 자연수)

이다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y][eqn: =n]과 함수 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{12} a _{n}]의 값을 구하시오. [4점][7월 교육청]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f left(x right)]에 대하여 함수

[eqn: 108]

[출제의도] 함수의 연속성과 미분가능성 및 삼차함수의 그래프를 이해하고 활용하여 함숫값을 구할 수 있는가?

[eqn: i(x)= |f(x)|]로 놓으면 함수 [eqn: f(x)]는 다항함수이므로 모든 [eqn: x`]의 값에 대하여 [eqn: lim _{ h`-> `0+}`` { }{i(x+h)-i(x)} over {h}], [eqn: lim _{ h`->`0- }`` { i(x+h)-i(x)} over h]의 값이 항상 존재한다.

따라서,

[eqn: lim _{ h`->`0+} ``{ |f(x+h)|-|f(x-h)|} over h]

[eqn: = lim _{ h`->`0+ } ``{ |f(x+h)|-|f(x)|-|f(x-h)|+|f(x)|} over h]

[eqn: = lim _{ h`-> `0+} ``{ }{i(x+h)-i(x)} over {h} + lim _{ h`->`0+ }`` { i(x-h)-i(x)} over -h]

(ⅰ) 함수, [eqn: f(x)]의 극값이 존재하지 않고 [eqn: f(alpha)=0], [eqn: f`'( alpha) !=0]인 경우

[eqn: g(x)][eqn: = f(x-3) times lim _{ h`->`0+}`` { |f(x+h)|-|f(x-h)|} over h]
[eqn: = f(x-3)]
[eqn: TIMES left{ lim _{ h`->` 0+}`` { }{i(x+h)-i(x)} over {h} + lim _{ h`->`0+ }`` { i(x-h)-i(x)} over -h right]
[eqn: = cases{ `` f(x-3) times left{ -2f`'(x) right} ~` &(x< alpha)# ``0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~`^`^`^`&(x=alpha)`^`^`^`#``f(x-3) times left{ 2 f`'(x) right}~~~`^`^`^`&(x> alpha)`^`^`^`}]

이때 조건 (가)를 만족시키기 위해서는

[eqn: lim _{ x`->`alpha- }`` { }g(x)= lim _{ x`->`alpha+ }`` { }g(x)= g( alpha)]

이어야 하므로

[eqn: f( alpha-3) times left{ - 2 f`'( alpha) right} = f( alpha-3) times left{ 2 f`'( alpha ) right}{=0]

그런데 [eqn: f`'( alpha) !=0], [eqn: f( alpha-3 )!=0] 이므로 모순이다.

(ⅱ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하지 않고 [eqn: f(alpha)=0], [eqn: f`'( alpha)=0]인 경우

[eqn: g(x)][eqn: = f(x-3) times lim _{ h`->`0+}`` { |f(x+h)|-|f(x-h)|} over h]
[eqn: = f(x-3)]
[eqn: TIMES left{ lim _{ h`-> `0+}`` { }{i(x+h)-i(x)} over {h} + lim _{ h`->`0+ } ``{ i(x-h)-i(x)} over -h right]
[eqn: = cases{`` f(x-3) times left{ -2f`'(x) right} ~ &(x< alpha)#`` 0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~`^`^`^`&(x=alpha)`^`^`^`#``f(x-3) times left{ 2 f`'(x) right}~~`^`^`^`&(x> alpha)`^`^`^`}]

이때 조건 (가)를 만족시키기 위해서는

[eqn: lim _{ x`->`alpha- } ``{ }g(x)= lim _{ x`->`alpha+ }`` { }g(x)= g( alpha)]

이어야 하고 [eqn: f``'(alpha)=0]이므로

[eqn: f( alpha-3) times left{ - 2 f`'( alpha) right}][eqn: = f( alpha-3) times left{ 2 f`'( alpha ) right}{=0]

이 성립한다.

그런데, 방정식 [eqn: g(x)=0]을 만족시키는 실근은 [eqn: x= alpha] 또는

[eqn: x= alpha+3]으로 [eqn: 2]개 뿐이므로 조건 (나)를 만족시키지 못한다.

(ⅲ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하고 [eqn: f( alpha) !=0], [eqn: f( beta) !=0], [eqn: f`'( alpha) =f`'( beta)=0]인 경우
(ⅰ)의 경우와 같이 [eqn: f(k)=0]을 만족시키는 [eqn: x=k`]에서 함수 [eqn: g(x)]는 연속이 아니므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다.

(ⅳ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하고 [eqn: f(k)=0], [eqn: f( alpha) !=0], [eqn: f( beta) =0], [eqn: f`'( alpha) =f`'( beta)=0] ([eqn: k<alpha< beta]) 인 경우

(ⅰ)의 경우와 같이 [eqn: f(k)=0]을 만족시키는 [eqn: x=k`]에서 함수 [eqn: g(x)]는 연속이 아니므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다.

(ⅴ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하고 [eqn: f(k)=0], [eqn: f(l)=0], [eqn: f(m)=0], [eqn: f`'( alpha) =f`'( beta)=0] ([eqn: k<alpha<l< beta< m]) 인 경우
(ⅰ)의 경우와 같이 [eqn: f(k)=0]을 만족시키는 [eqn: x=k`]에서 함수 [eqn: g(x)]는 연속이 아니므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다.

(ⅵ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하고 [eqn: f(k)=0], [eqn: f( alpha)=0], [eqn: f( beta) !=0], [eqn: f`'( alpha) =f`'( beta)=0] ([eqn: alpha< beta <k]) 인 경우

[eqn: g(x)][eqn: = f(x-3) times lim _{ h`->`0+}`` { |f(x+h)|-|f(x-h)|} over h]
[eqn: = f(x-3)]
[eqn: TIMES left{ lim _{ h`-> `0+} ``{ }{i(x+h)-i(x)} over {h} + lim _{ h`->`0+ }`` { i(x-h)-i(x)} over -h right]
[eqn: = cases{ `` f(x-3) times left{ -2f`'(x) right} ~ &(x< k)#`` 0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~`^`^`^`&(x=k)`^`^`^`#``f(x-3) times left{ 2 f`'(x) right}~~`^`^`^`&(x>k)`^`^`^`}]

이때 조건 (가)를 만족시키기 위해서는

[eqn: lim _{ x`->`k- }`` { }g(x)= lim _{ x`->`k+ }`` { }g(x)= g( k)]

이어야 하므로

[eqn: f( k-3) times left{ - 2 f`'( k) right} = f(k-3) times left{ 2 f`'( k ) right}{=0]

그런데 [eqn: f`'(k ) !=0] 이므로 [eqn: f(k-3)=0]이고

[eqn: k-3 = alpha]	[eqn: CDOTS CDOTSit]㉠

즉, [eqn: k = alpha+3]이면 조건 (가)를 만족시킨다.

또한, 방정식 [eqn: g(x)=0]의 서로 다른 실근은

[eqn: x<k]일 때 [eqn: x= alpha] 또는 [eqn: x= beta]

[eqn: x=k]일 때 [eqn: x=k]

[eqn: x> k]일 때 [eqn: x= k+3]

이고 조건 (나)에서 서로 다른 네 실근의 합이 [eqn: 4]이므로

[eqn: alpha+ beta +k +k+3 = 7]
[eqn: alpha+ beta + 2k = 4]	[eqn: CDOTS CDOTSit]㉡
또한,
[eqn: f(x)= (x- alpha)^2 (x- k )]
이고 [eqn: f`'(x)= (x-alpha) (3x - 2k- alpha )]이므로 [eqn: f`'(x)=0]에서
[eqn: beta = alpha+2k over 3]
㉡에 대입하여 정리하면
[eqn: alpha+2k = 3]
㉠, ㉡에서 [eqn: alpha =it -1], [eqn: k = 2]이므로
[eqn: f(x)= (x+1)^2 (x-2)]
따라서
[eqn: f(5) = (5+1)^2 (5-2) = 36 times 3 = 108]

[eqn: g`left(x right)``it= f`left (x-3 right) ``it times lim_{h`-> `0+} { left|f` left(x+h right)right| - left|f` left(x-h right)right|} over h]

가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f left(5 right)]의 값을 구하시오. [4점][9월 평가원]

(가) 함수 [eqn: g left(x right)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(나) 방정식 [eqn: g left(x right)``it=0]은 서로 다른 네 실근 [eqn: alpha_{`1}], [eqn: alpha_{`2}], [eqn: alpha_{`3}], [eqn: alpha_{`4}]를 갖고 [eqn: alpha_{`1}`it +alpha_{`2} `it+alpha_{`3}`it +alpha_{`4}``it =7]이다.

양수 [eqn: a`]에 대하여 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와  실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 108]

[출제의도] 함수의 극값을 이용하여 문제를 해결한다.

조건 (가)에서 [eqn: x!=0], [eqn: x!=2`]일 때,

[eqn: g(x)={x left(x-2 right) } over {LEFT | x left(x-2 right) RIGHT |}LEFT ( LEFT | f(x) RIGHT | -a RIGHT ) `]

[eqn: x<0] 또는 [eqn: x>2`]일 때, [eqn: x LEFT ( x-2 RIGHT ) >0`]이고

[eqn: 0<x<2`]일 때, [eqn: x LEFT ( x-2 RIGHT ) <0`]이므로

[eqn: g(x)][eqn: = cases{` LEFT | f(x) RIGHT | -a` ~&(x<0~또는~x>2)#` a-LEFT | f(x) RIGHT |`~`^`^`^`&(0<x<2)`^`^`^`]

조건 (나)에 의해 함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=0`], [eqn: x=2`]에서 미분가능하므로 [eqn: x=0`], [eqn: x=2`]에서 연속이다.

즉, [eqn: lim _{ x`->`0-} {g(x) }][eqn: = lim _{ x`->`0+} {g(x) }]에서 [eqn: LEFT | f(0) RIGHT | -a][eqn: =a- LEFT | f(0) RIGHT |]

그러므로 [eqn: LEFT | f(0) RIGHT | =a`]에서 [eqn: g(0)][eqn: = lim _{ x`->`0+} {g(x) }][eqn: =0]

같은 방법으로 [eqn: LEFT | f(2) RIGHT | =a`]에서 [eqn: g(2)][eqn: =0]

그러므로 [eqn: g(x)][eqn: = cases{` LEFT | f(x) RIGHT | -a` ~&(x<0~또는~x>2)#` a-LEFT | f(x) RIGHT |`~`^`^`^`&(0LEx LE 2)`^`^`^`]

함수 [eqn: g(x)`]가 [eqn: x=0`]에서 미분가능하므로

[eqn: lim _{x` rarrow `0-} {{g(x)-g(0)} over {x}}][eqn: = lim _{x`->`0+} {{g(x)-g(0)} over {x}}]

즉, [eqn: lim _{x` rarrow `0-} {{LEFT | f(x) RIGHT | -a} over {x}}][eqn: = lim _{x`->`0+} {{a- LEFT | f(x) RIGHT |} over {x}}]	[eqn: cdotscdotsit]㉠

(ⅰ) [eqn: f(0)=a`]인 경우
[eqn: f(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 연속이고 [eqn: f(0)>0`]이므로[eqn: lim _{ x`->`0} {`f(x) }>0`]이다. 그러므로
[eqn: lim _{x` rarrow `0-} {{LEFT | f(x) RIGHT | -a} over {x}}][eqn: = lim _{x`->`0-} {{f(x)-f(0)} over {x}}][eqn: =f`prime(0)],
[eqn: lim _{x`->`0+} {{a- LEFT | f(x) RIGHT |} over {x}}][eqn: = lim _{x`->`0+} {{f(0)-f(x)} over {x}}][eqn: =it-f`prime(0)]
㉠에서 [eqn: f`'(0)= it - f`'(0)], [eqn: f`prime(0)=0`]

(ⅱ) [eqn: f(0)=it-a`]인 경우
[eqn: f(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 연속이고 [eqn: f(0)<0`]이므로[eqn: lim _{ x`->`0} {`f(x) }<0`]이다. 그러므로
[eqn: lim _{x` rarrow `0-} {{LEFT | f(x) RIGHT | -a} over {x}}][eqn: = lim _{x`->`0-} {{-f(x)+f(0)} over {x}}][eqn: =it-f`prime(0)],
[eqn: lim _{x`->`0+} {{a- LEFT | f(x) RIGHT |} over {x}}][eqn: = lim _{x`->`0+} {{-f(0)+f(x)} over {x}}][eqn: =f`prime(0)]
㉠에서 [eqn: -f`'(0)= f`'(0)], [eqn: f`prime(0)=0`]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: f`prime(0)=0`]이다.

함수 [eqn: g(x)`]가 [eqn: x=2`]에서도 미분가능하므로 같은 방법으로

[eqn: f`prime(2)=0`]이다.

그러므로 삼차함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=0`]과 [eqn: x=2`]에서 극값을 갖고

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이므로 [eqn: x=0`]에서 극댓값 [eqn: f(0)][eqn: =a], [eqn: x=2`]에서 극솟값 [eqn: f(2)][eqn: =it-a`]를 갖는다.

[eqn: f(x)][eqn: =x ^{3} +px ^{2} +qx+a`]([eqn: p], [eqn: q`]는 상수)라 하면

[eqn: f`prime(x)][eqn: =3x ^{2} +2px+q`]이고 [eqn: f`'(0)=f`prime(2)=0]이므로

[eqn: p=it-3], [eqn: q][eqn: =0]이다. 즉, [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} +a`]

[eqn: f(2)][eqn: =2 ^{3} -3times2 ^{2} +a][eqn: =it-a`]이므로 [eqn: a=2`]

따라서 [eqn: f(x)][eqn: =x ^{3} -3x ^{2} +2`]이므로

[eqn: g(3a)][eqn: =g(6)][eqn: = LEFT | f(6) RIGHT | -2][eqn: = LEFT | 6 ^{3} -3times6 ^{2} +2 RIGHT | -2][eqn: =108`]

[참고]

[1] [eqn: f(0)=f(2)=a`] 또는 [eqn: f(0)=f(2)=it-a`]인 경우
삼차함수 [eqn: f(x)`]는 극댓값과 극솟값이 서로 같을 수 없으므로 모순이다.

[2] [eqn: f(0)=it-a], [eqn: f(2)=a`]인 경우
삼차함수 [eqn: f(x)`]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이므로 모순이다.

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: LEFT | x left(x-2 right) RIGHT | g(x)=x left(x-2 right) LEFT ( LEFT | f(x) RIGHT | -a RIGHT ) `]
이다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x][eqn: =0]과 [eqn: x][eqn: =2]에서 미분가능하다.

[eqn: g(3a)]의 값을 구하시오. [4점][10월 교육청]

최대, 최소(4점)

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,~3 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -6x ^{2} +9x+a]의 최댓값이 [eqn: 12]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [4점][21년 4월 교육청]

④

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: f(x)=x ^{3} -6x ^{2} +9x+a]에서

[eqn: f prime (x)][eqn: =3x ^{2} -12x+9]
[eqn: =3(x-1)(x-3)]

[eqn: f prime (x)=0]에서 [eqn: x=1]또는 [eqn: x=3]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: {x}]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 3]
[eqn: {f` prime (x)}]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]
[eqn: {f(x)}]	[eqn: a]	[eqn: NEARROW]	[eqn: a+4]	[eqn: SEARROW]	[eqn: a]

닫힌구간 [eqn: [0,~ 3]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은

[eqn: f(1)=a+4]이므로 [eqn: a+4=12]에서 [eqn: a=8]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

방정식 부등식과 미분(2,3점)

곡선 [eqn: y][eqn: =x ^{3} -3x ^{2} -9x]와 직선 [eqn: y][eqn: =k]가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 정수 [eqn: k]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M-m]의 값은? [3점][21년 3월 교육청]

④

[출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 방정식에 대한 문제를 해결한다.

[eqn: f ( x )][eqn: =x ^{3} -3x ^{2} -9x`]라 하면

[eqn: f`prime ( x )][eqn: =3x ^{2} -6x-9][eqn: =3 ( x+1 ) ( x-3 )]

[eqn: f` prime ( x )][eqn: =0`]에서 [eqn: x= it -1] 또는 [eqn: x=3`]

함수 [eqn: f ( x ) `]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 3]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`prime ( x )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f( x )]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 5]	[eqn: SEARROW]	[eqn: -27]	[eqn: NEARROW]

이고, 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

직선 [eqn: y][eqn: =k`]는 [eqn: x`]축에 평행하므로 함수 [eqn: y][eqn: =f(x)`]의 그래프와 서로 다른 세 점에서 만나기 위한 [eqn: k`]의 값의 범위는 [eqn: -27<k<5`]

그러므로 정수 [eqn: k`]의 최댓값 [eqn: M`][eqn: =4], 최솟값 [eqn: m][eqn: = it -26`]

따라서 [eqn: M-m][eqn: =4- ( -26 )][eqn: =30`]

① [eqn: 27`]	② [eqn: 28`]	③ [eqn: 29`]	④ [eqn: 30`]	⑤ [eqn: 31`]

방정식 부등식과 미분(4점)

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 61]

[출제의도] 방정식의 실근의 개수를 이용하여 조건을 만족시키는 삼차함수의 그래프를 찾고, 함숫값을 구할 수 있는가?

조건 (가)에서 방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha,] [eqn: beta]라 하면

[eqn: f(x)= k(x-alpha)^2 (x- beta )]

로 놓을 수 있다.

조건 (나)에서

[eqn: x- f(x)= alpha] 또는 [eqn: x- f(x)= beta]

를 만족시키는 서로 다른 [eqn: x]의 값의 개수가 [eqn: 3]이어야 한다.

즉 [eqn: f(x)= x- alpha] 또는 [eqn: f(x)= x- beta]에서 곡선 [eqn: y= f(x)]와 두 직선 [eqn: y=x-alpha,] [eqn: y= x- beta]가 만나는 서로 다른 점의 개수가 [eqn: 3]이어야 한다.

한편, 곡선 [eqn: y= f(x)] 위의 점 [eqn: (1,~4)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 1]이므로 접선의 방정식은 [eqn: y= x+3]

그런데 [eqn: f(0)>0,] [eqn: f`'(0)>1]이므로 곡선 [eqn: y= f(x)]와 직선 [eqn: y= x+3]는 그림과 같다.

[eqn: f(x)-(x+3)= k(x+3)(x-1)^2]이므로

[eqn: f(x)= k(x+3)(x-1)^2 + x+3]

[eqn: f`'(x)= k(x-1)^2 + k(x+3) times 2 (x-1) +1]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이때, [eqn: f`'(-3)=0]이므로

㉠에 [eqn: x=-3]을 대입하면

[eqn: 0= k times 16 +1]에서 [eqn: k= - 1 over16]

따라서

[eqn: f(x)= - 1 over16 (x+3)(x-1)^2 + x+3]이므로

[eqn: f(0)= - 1 over16 times 3 times 1 +3 = 45 over16]

즉 [eqn: p=16,] [eqn: q=45]이므로

[eqn: p+q= 16+45=61]

(가) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

(나) 방정식 [eqn: f LEFT ( x-f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )][eqn: =0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 3]이다.

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =4], [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1], [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: >1]일 때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점][21년 6월 평가원]

함수 [eqn: f `LEFT ( x RIGHT ) ``it= {1} over {2} x ^{`3} - {9} over {2} x ^{`2} +10x`]에 대하여 [eqn: x`]에 대한 방정식

[eqn: 21]

[출제의도] 도함수를 활용하여 방정식의 실근의 개수를 구할 수 있는가?

함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x) = f(x)+|f(x)+x|-6x]

라 하면

[eqn: g(x) = cases{ -7x ~~&(f(x) < it-x ) #&# 2f(x)-5x ~&(f(x) ge it-x)]

이고, 주어진 방정식은

[eqn: g(x) = k`]와 같다.

[eqn: f(x) =it-x]에서

[eqn: 1over 2 x^3 - 9 over2 x^2 +10 x=it-x],

[eqn: x over 2 LEFT ( x^2 -9x +22 RIGHT )][eqn: =0]

이때 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: x^2 -9x+22=left(x- 9 over 2 right)^2 + 7 over 4 >0]

이므로 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=it-x`]는 오직 원점 [eqn: (0,~0)]에서만 만난다.

따라서 함수 [eqn: h(x)]를

[eqn: h(x)][eqn: = 2f(x)-5x]
[eqn: = x^3 -9x^2 +15 x]

라 하면

[eqn: g(x)= {cases{-7x~~&(x<0)#&#h(x)~&(x GEQ 0)}}]

이다.

[eqn: h`'(x)][eqn: = 3x^2 -18x +15]
[eqn: = 3(x-1)(x-5)]

이므로 [eqn: h`'(x)=0]에서

[eqn: x=1] 또는 [eqn: x=5]

따라서 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=1]에서 극댓값

[eqn: h(1) = 1-9+15= 7]

을 갖고, [eqn: x=5]에서 극솟값

[eqn: h(5) = 125- 225+75 =it -25]

를 갖는다.

따라서 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4]가 되기 위해서는 곡선 [eqn: y=g(x)]와 직선 [eqn: y=k`]의 교점의 개수가 [eqn: 4]이어야 하므로 실수 [eqn: k`]의 값의 범위는

[eqn: 0< k < 7]

이다.

따라서 모든 정수 [eqn: k`]의 값의 합은

[eqn: 1+2+3+itcdotsit+6][eqn: = 6 over 2 (1+6) = 21]

[eqn: f `LEFT ( x RIGHT )``it+ LEFT |` f` LEFT ( x RIGHT ) ``it+x` RIGHT | `it=6x+k]

의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4]가 되도록 하는 모든 정수 [eqn: k`]의 값의 합을 구하시오. [4점][9월 평가원]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

①

[출제의도] 미분의 성질을 활용하여 문제를 해결한다.

조건 (가)에서 [eqn: f(0)][eqn: =0`]이고 [eqn: g(0)][eqn: =0`]이므로

[eqn: g(x)][eqn: =f(x)+left| f`prime(x)right|]에서 [eqn: f`prime(0)][eqn: =0`]

[eqn: f(x)`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수이므로

[eqn: f(x)][eqn: =x left(x^2 +ax+b right)`]([eqn: a], [eqn: b`]는 상수)로 놓으면

[eqn: f` prime(x)][eqn: = left(x^2 +ax+b right) + x(2x+a)`]에서 [eqn: f`prime(0)][eqn: =b][eqn: =0]

그러므로 [eqn: f(x)][eqn: =x^2 (x+a)], [eqn: f` prime(x)][eqn: =x(3x+2a)`]

[eqn: f`prime(x)][eqn: =0`]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x= it- {2} over {3}a `]

조건 (나)에서 [eqn: -a >0`]이므로 [eqn: - 2 over3 a>0`]
함수 [eqn: f(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: - 2 over3 a]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`prime ( x )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f( x )]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 0]	[eqn: SEARROW]	[eqn: 4 over 27 a^3]	[eqn: NEARROW]

이고, 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

조건 (다)에서 [eqn: left| f` LEFT ( - {2} over {3} a RIGHT )right|][eqn: = 4 `]이므로

[eqn: f` LEFT ( -{2} over {3}a RIGHT )][eqn: =it{4} over {27} a ^{3}][eqn: =it-4`]이고 [eqn: a ^{3}][eqn: = it - 27`]에서 [eqn: a][eqn: =it -3`]

그러므로 [eqn: f(x)][eqn: =x ^{2} (x-3)`]이고

[eqn: g(x)][eqn: =x ^{2} (x-3)+ LEFT | 3x(x-2) RIGHT | `]

따라서 [eqn: g(3)][eqn: = 9]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) + LEFT | `f`' LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT |]

라 할 때, 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]

(나) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]은 양의 실근을 갖는다.

(다) 방정식 [eqn: LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT |][eqn: =4]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 3]이다.

[eqn: g LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은? [4점][21년 3월 교육청]

① [eqn: 9`]	② [eqn: 10`]	③ [eqn: 11`]	④ [eqn: 12`]	⑤ [eqn: 13`]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]와 역함수가 존재하는 삼차함수 [eqn: g(x)= x^3 + ax^2 +bx+c`]가 다음 조건을 만족시킨다.

①

[출제의도] 미분의 성질을 이용하여 명제의 참, 거짓을 추론한다.

ㄱ. 함수 [eqn: g(x)`]의 역함수가 존재하고 최고차항의 계수가 양수이므로 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: g`'(x)][eqn: =3x^2 +2ax +b][eqn: ge0`]이 성립해야 한다.
그러므로 방정식 [eqn: 3x^2 +2ax+b =0`]의 판별식을
[eqn: D`]라 하면 [eqn: D over4][eqn: =a^2 -3b][eqn: le0], [eqn: a^2 le 3b] (참)

ㄴ. [eqn: 2f(x)][eqn: = g(x)-g(-x)`]에서

[eqn: f(x)][eqn: = {g(x)-g(-x)}over2][eqn: = {left(x^3 +ax^2 +bx+c right) - left(-x^3 +ax^2 -bx+c right)}over2]
[eqn: = x^3 +bx]

[eqn: f`'(x)][eqn: = 3x^2 +b`]이므로 [eqn: f`'(x)][eqn: =0`]에서 [eqn: 3x^2 +b][eqn: =0`]
이차방정식 [eqn: 3x^2 +b][eqn: =0`]의 판별식을 [eqn: D``']이라 하면
[eqn: D``'][eqn: = 0^2 - 4 times 3 times b][eqn: = it -12b]
ㄱ에 의해 [eqn: b][eqn: ge {a^2 }over3][eqn: ge0`]이므로 [eqn: D``'][eqn: = it -12b][eqn: le 0]
그러므로 이차방정식 [eqn: f`'(x)][eqn: =0`]은 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다. (거짓)

ㄷ. 방정식 [eqn: f`'(x)][eqn: =0`]이 실근을 가지므로 [eqn: 3x^2 +b][eqn: =0`]의 실근이 존재한다. 즉, [eqn: b le 0`]
또한, ㄱ에 의해 [eqn: b ge0`]이므로 [eqn: b=0`]이고 ㄱ에 의해 [eqn: a=0`]이다. [eqn: g`'(x)][eqn: =3x^2 `]이므로 [eqn: g`'(1)][eqn: =3] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: 2f( x ) =g ( x) -g(-x)]이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]는 상수이다.) [4점][10월 교육청]

❙보기❙

ㄱ. [eqn: a^2 le 3b`]

ㄴ. 방정식 [eqn: f`' ( x ) =0]은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄷ. 방정식 [eqn: f`' ( x ) =0]이 실근을 가지면 [eqn: g`' ( 1) =1]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

속도 가속도(4점)

시각 [eqn: t=0]일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t][eqn: LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )]에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가

⑤

[출제의도] 정적분을 활용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: v LEFT ( t RIGHT )][eqn: =3t ^{2} -6t][eqn: =3t LEFT ( t-2 RIGHT )]
[eqn: t<2]일 때 [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) <0]
[eqn: t][eqn: =2]일 때 [eqn: v LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =0]
[eqn: t>2]일 때 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )][eqn: >0]
[eqn: t][eqn: =2]에서 점 [eqn: rmP]의 움직이는 방향이 바뀐다. (참)

ㄴ. 시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rmP]의 위치를 [eqn: x LEFT ( t RIGHT )]라 하면
[eqn: x LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =0+ int _{0} ^{2} {} LEFT ( 3t ^{2} -6t RIGHT ) `dt][eqn: = LEFT [ `t ^{3} -3t ^{2} ` pile{it#it} RIGHT ] _{0}^{2}][eqn: = it -4] (참)

ㄷ. 시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rmP]의 가속도를 [eqn: a LEFT ( t RIGHT )]라 하면
[eqn: a LEFT ( t RIGHT )][eqn: =6t-6]
[eqn: 6t-6][eqn: =12], [eqn: t][eqn: =3]
[eqn: t][eqn: =0]에서 [eqn: t][eqn: =3]까지 움직인 거리를 [eqn: s]라 하면

[eqn: s][eqn: = int _{0} ^{3} {} LEFT | `3t ^{2} -6t` RIGHT | `dt]
[eqn: = it - int _{0} ^{2} {} LEFT ( 3t ^{2} -6t RIGHT ) `dt+ int _{2} ^{3} {} LEFT ( 3t ^{2} -6t RIGHT ) `dt]
[eqn: =4+ LEFT [ `t ^{3} -3t ^{2} ` pile{it#it} RIGHT ] _{2}^{3}][eqn: =8] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: v LEFT ( t RIGHT )][eqn: =3t ^{2} -6t]

일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점][7월 교육청]

		| 보기 |
	ㄱ. 시각 [eqn: t][eqn: =2]에서 점 [eqn: rmP]가 움직이는 방향이 바뀐다. ㄴ. 점 [eqn: rmP]가 출발한 후 움직이는 방향이 바뀔 때 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: -4]이다. ㄷ. 점 [eqn: rmP]가 시각 [eqn: t][eqn: =0]일 때부터 가속도가 [eqn: 12]가 될 때까지 움직인 거리는 [eqn: 8]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ	④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수능대비	단원별 기출문제	수학2

03

적분

부정적분(2,3점)

함수 [eqn: f left(x right)]에 대하여 [eqn: f`prime left(x right) = 8x^{`3} -12x^{`2} +7]이고 [eqn: f left(0 right)=3]일 때, [eqn: f left(1 right)]의 값을 구하시오. [3점][9월 평가원]

[eqn: 8]

[출제의도] 함수의 부정적분을 구할 수 있는가?

[eqn: f(x)][eqn: = int f`'(x)dx]
[eqn: = int (8x^3 -12 x^2 + 7 )dx]
[eqn: = 2x^4 - 4x^3 +7x +C] ([eqn: C`]는 적분상수)

이때 [eqn: f(0)=3]이므로

[eqn: C=3]

따라서

[eqn: f(x)= 2x^4 - 4x^3 +7x +3]

이므로

[eqn: f(1) = 2-4+7+3= 8]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가	[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3x ^{2} -2x], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1]

⑤

[출제의도] 부정적분을 이용하여 함숫값을 구할 수 있는가?

[eqn: f(x)][eqn: = int _{ } ^{ } { left(3x^2 -2 right) dx }]
[eqn: = x^3 -x^2 +C] ([eqn: C``]는 적분상수)

[eqn: f(1)= 1^3 -1^2 +C=1]에서

[eqn: C=1]

따라서 [eqn: f(x)= x^ 3 -x^2 +1]이므로

[eqn: f(2)= 2^3 -2^2 +1 =5]

을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은? [2점][21년 6월 평가원]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: F LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: 9]

[출제의도] 부정적분의 성질을 활용하여 문제를 해결한다.

[eqn: F`(x)`]는 함수 [eqn: f(x)`]의 한 부정적분이므로

[eqn: F`(x)][eqn: = {cases{`-x ^{2} +C _{`1 } _{`}&(x<0) _{`}#`k left(x ^{2} - {1} over {3} x ^{3} right) ^{`}+C _{`2}~~&(x GEQ 0)^{`}}}]

(단, [eqn: C _{`1}], [eqn: C _{`2} `]는 적분상수)

그런데 [eqn: F`(x)`]가 [eqn: x][eqn: =0`]에서 미분가능하므로 [eqn: C _{`1}][eqn: =C _{`2}]

즉, [eqn: F`(x)][eqn: = {cases{`-x ^{2} +C _{`1 } _{`}&(x<0) _{`}#`k left(x ^{2} - {1} over {3} x ^{3} right) ^{`}+C _{`1}~~&(x GEQ 0)^{`}}}]

그러므로 [eqn: F`(2)-F`(-3)][eqn: =21`]에서

[eqn: LEFT ( {4} over {3} `k`+C _{`1} RIGHT ) -(-9+C _{`1} )`][eqn: =21]

따라서 [eqn: k][eqn: =9`]

[다른 풀이]

[eqn: F`(x)`]는 함수 [eqn: f(x)`]의 한 부정적분이므로

[eqn: F`(2)-F`(-3)][eqn: = LEFT [pile{`#`} F`(x) RIGHT ] _{-3}^{2}][eqn: = int _{-3} ^{2} {f(x)} dx]

[eqn: int _{-3} ^{2} {} f(x)dx][eqn: = int _{-3} ^{0} {} f(x)dx+ int _{0} ^{2} {} f(x)dx][eqn: = int _{-3} ^{0} ({-2x} )dx+ int _{0} ^{2} {k left(2x-x ^{2} right )} dx][eqn: = LEFT [pile{`#`} -x ^{2} RIGHT ] _{-3}^{0} +k LEFT [pile{`#`} x ^{2} - {1} over {3} x^3RIGHT ] _{0}^{2}]
[eqn: =9+ {4} over {3} k][eqn: =21]

따라서 [eqn: k][eqn: =9`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{-2x&~~~ LEFT ( x<0 RIGHT )#k LEFT ( 2x-x ^{2} RIGHT )&~~~ LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}]

이다. [eqn: F LEFT ( 2 RIGHT ) -F LEFT ( -3 RIGHT )][eqn: =22]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오. [3점][21년 3월 교육청]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x+4]이고 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) +f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은? [3점][21년 4월 교육청]

③

[출제의도] 부정적분 이해하기

[eqn: f prime (x)=2x+4]에서

[eqn: f(x)][eqn: = int _{} ^{} {(2x+4)dx]
[eqn: =x ^{2} +4x+C }] [eqn: ( C]는 적분상수)

[eqn: f(-1)+f(1)][eqn: =0]에서

[eqn: (-3+C)+(5+C)][eqn: =2C+2][eqn: =0]

[eqn: C=-1]이므로 [eqn: f(x)=x ^{2} +4x-1]

따라서 [eqn: f(2)=11]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

정적분(2,3점)

[eqn: int _{0} ^{3} {LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} }dx`]의 값은? [2점][10월 교육청]

④

[출제의도] 정적분의 값을 계산한다.

[eqn: int _{0} ^{3} {LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} dx`}][eqn: = int _{0} ^{3} {LEFT ( x ^{2} +2x+1 RIGHT) dx`}]
[eqn: = LEFT [ pile{`#`} {1} over {3} x ^{3} +x ^{2} +x RIGHT ] _{0}^{3}][eqn: =21]

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 24]

[eqn: int _{0} ^{1} {} LEFT ( 2x+3 RIGHT ) `dx]의 값은? [2점][7월 교육청]

④

[출제의도] 정적분 계산하기

[eqn: int _{0} ^{1} {} LEFT ( 2x+3 RIGHT ) `dx][eqn: = LEFT [ `x ^{2} +3x pile{it#it} ` RIGHT ] _{0}^{1}][eqn: =1+3][eqn: =4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: int _{-2} ^{2} {} LEFT ( x ^{3} +3x ^{2} RIGHT ) `dx]의 값은? [3점][21년 3월 교육청]

①

[출제의도] 정적분의 값을 계산한다.

[eqn: int_{2} ^{-2} left( x^3 +3x^2 right) dx][eqn: = left[ pile{`#`}1over4 x^4 + x^3 right] _2 ^-2]
[eqn: = ( 4 -8 ) - (4+8)]
[eqn: = it -16]

① [eqn: -16]	② [eqn: -8]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

정적분(4점)

실수 [eqn: a]와 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -12x ^{2} +45+3]에 대하여 함수

[eqn: 8]

[출제의도] 정적분으로 나타내어진 함수가 극값을 하나만 갖도록 하는 상수 [eqn: a]의 값을 구할 수 있는가?

[eqn: f(x)=x^3 -12x^2 +45x+3]에서

[eqn: f`'(x)][eqn: =3x^2 -24x +45]
[eqn: = 3(x-3)(x-5)]

[eqn: g(x)][eqn: =int _{ a} ^{ x} { left{ f(x)- f(t) right} times left{ f(t) right}^4 dt }]
[eqn: = f(x) int _{ a} ^{ x} { left{f(t) right}^4 dt} - int _{ a} ^{x } { left{ f(t) right}^5 dt }]

[eqn: g`'(x)][eqn: = f`'(x) int _{ a} ^{x } { left {f(t) right}^4 dt } + left{ f(x) right}^5 - left{ f(x) right}^5]
[eqn: = f`'(x) int _{ a} ^{ x} { left{ f(t) right}^4 }dt]

[eqn: g`'(x)=0]에서

[eqn: f`'(x)=0] 또는 [eqn: x=a]

(ⅰ) [eqn: a!=3,] [eqn: a!=5]일 때,
[eqn: g`'(x)=0]에서
[eqn: x=3] 또는 [eqn: x=5] 또는 [eqn: x=a]
함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=3 ,] [eqn: x=5 ,] [eqn: x=a]에서 모두 극값을 갖는다.

(ⅱ) [eqn: a=3]일 때
[eqn: g`'(x)=0]에서 [eqn: x=3] 또는 [eqn: x=5]
함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]	[eqn: cdots]	[eqn: 5]	[eqn: cdots]
[eqn: {f` prime (x)}]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: {f(x)}]	↘		↘	극소	↗

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=5]에서만 극값을 갖는다.

(ⅲ) [eqn: a=5]일 때
[eqn: g`'(x)=0]에서
[eqn: x=3] 또는 [eqn: x=5]
함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]	[eqn: cdots]	[eqn: 5]	[eqn: cdots]
[eqn: {f` prime (x)}]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: {f(x)}]	↘	극소	↗		↗

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=3]에서만 극값을 갖는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서

함수 [eqn: g(x)]가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 [eqn: a]의 값은 [eqn: 3] 또는 [eqn: 5]이다.

따라서 모든 [eqn: a]의 값의 합은

[eqn: 3+5=8]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{a} ^{x} {} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } TIMES LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4} `dt]

가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합을 구하시오. [4점][21년 6월 평가원]

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,~1 RIGHT ]]에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

②

[출제의도] 정적분의 성질을 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는가?

함수 [eqn: y= -f(x+1)+1]의 그래프는 함수 [eqn: y= f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동시킨 후, [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동시킨 것이다.

[eqn: f(0)=0,] [eqn: f(1)=1,] [eqn: int _{ 0} ^{1 } { f(x)dx}= 1 over6]

이므로

조건 (가)에서

[eqn: int _{ -1} ^{0 } { g(x) dx}][eqn: = int _{ -1} ^{0 } { left{ -f(x+1) +1 right} dx}]
[eqn: = 1- 1 over6]
[eqn: = 5 over6]

[eqn: int _{ 0} ^{ 1} { g(x) dx} = int _{ 0} ^{1 } { f(x) dx }= 1 over6]

[eqn: int _{ -1} ^{1 } { g(x) dx}][eqn: = int _{ -1} ^{0 } { g(x) dx } + int _{ 0} ^{ 1} { g(x) dx }]
[eqn: = 5 over6 + 1 over6]
[eqn: =1]

조건 (나)에서

[eqn: g(x+2)=g(x)]

이므로

[eqn: int _{ -3} ^{ 2} { g(x)dx}][eqn: = int _{ -3} ^{-1 } { g(x) dx } + int _{ -1} ^{1 } { g(x)dx } + int _{ 1} ^{ 2} { g(x) dx}]
[eqn: = 2 int _{ -1} ^{1 } { g(x)dx } + int _{ -1} ^{0 } { g(x) dx}]
[eqn: = 2 times 1 + 5 over6]
[eqn: = {17} over {6}]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1], [eqn: int _{0} ^{1} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: = {1} over {6}]

을 만족시킨다. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: int _{-3} ^{2} {} g LEFT ( x RIGHT ) `dx]의 값은? [4점][21년 6월 평가원]

(가) [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{eqalign{~-f LEFT ( x+1 RIGHT ) +1# }&eqalign{~~~ LEFT ( -1<x<0 RIGHT )# }#~f LEFT ( x RIGHT )&~~~ LEFT ( 0 LEQ x LEQ 1 RIGHT )}}]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g LEFT ( x+2 RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )]이다.

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: {17} over {6}]	③ [eqn: {19} over {6}]	④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: {23} over {6}]

양수 [eqn: a]와 일차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

[eqn: 16]

[출제의도] 정적분으로 정의된 함수가 포함된 문제를 해결한다.

[eqn: g ` prime(x)][eqn: =left(x^2 -4 right) left{ left| f(x) right| -a right} `]에서 [eqn: x][eqn: =it -2], [eqn: x][eqn: =2`]가 방정식 [eqn: g ` prime(x)][eqn: =0`]의 근이지만 조건 (가)에서 함수 [eqn: g(x)`]가 극값을 갖지 않아야 하므로 [eqn: x][eqn: =it -2]와 [eqn: x][eqn: =2`]의 좌우에서 [eqn: g`prime(x)`]의 부호가 변하지 않아야 하고,

[eqn: lim _ {x ` rarrow ` inf } left{ left | f(x) right| -a right][eqn: =lim _ {x ` rarrow ` -inf } left{ left | f(x) right| -a right][eqn: =inf`]이므로 [eqn: g`prime(x)], [eqn: x^2 -4], [eqn: left| f(x) right| -a`]의 부호를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -2]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]
[eqn: g`prime(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: x^2 -4]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: left| f(x) right| -a]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]

함수 [eqn: left| f(x) right| -a`]는 연속함수이므로 사잇값의 정리에 의해 [eqn: left| f(-2) right| -a][eqn: =0`], [eqn: left| f(2) right|-a][eqn: =0]

두 실수 [eqn: m], [eqn: n`]에 대하여 일차함수 [eqn: f(x)][eqn: =mx+n`]이라 하면 [eqn: m!=0`]이고, [eqn: left| 2m+n right|][eqn: = left| -2m+n right|][eqn: =a`]가 성립한다.

(ⅰ) [eqn: 2m+n][eqn: = it -2m+n`]인 경우
[eqn: m=0`]이 되어 모순이다.

(ⅱ) [eqn: 2m+n][eqn: = it-( -2m+n)`]인 경우
[eqn: n=0`]이고 [eqn: left|m right| = a over2 `]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: left| f(x) right|][eqn: = left| mx right|][eqn: = a over 2 left|x right|]

[eqn: g(2)][eqn: =int _0 ^2 left( t^2 -4 right) left{ left| f(t) right| -a right}dt]
[eqn: = int _0 ^2 left( t^2 -4 right) left( a over2 left |t right| -a right) dt]

닫힌구간 [eqn: left[ 0,``2 right]]에서 [eqn: left | t right|][eqn: =t`]이므로

[eqn: g(2)][eqn: = a over2 int_0 ^2 left( t^2 -4 right) (t-2) dt]
[eqn: = a over2 int _0 ^2 (t^3 -2t^2 -4t+8) dt][eqn: = a over 2 left[ pile{`#`}1over4 t^4 - 2 over3 t^3 -2t^2 +8t right] _0 ^2]
[eqn: = a over 2 times left( 4 - 16 over3 -8+16 right)][eqn: = 10 over3 a]

조건 (나)에서 [eqn: g(2)][eqn: =5`]이므로 [eqn: 10 over3 a][eqn: =5], [eqn: a][eqn: = 3 over2]

[eqn: g(0)][eqn: = int_ 0^0 left( t^2 -4 right) left( 3 over4 left |t right| - 3over2 right) dt][eqn: =0`]이고

닫힌구간 [eqn: left[ -4, ``0 right]`]에서 [eqn: left| t right|][eqn: = it - t`]이므로

[eqn: g(-4)][eqn: = int_ 0^-4left( t^2 -4 right) left( 3 over4 left |t right| - 3over2 right) dt]
[eqn: = 3over4 int_0 ^-4 left( t^2 -4 right) left(-t -2 right) dt][eqn: = 3over4 int_0 ^-4 left(-t^3 -2t^2 +4t+8 right) dt][eqn: = it -16]

따라서 [eqn: g(0)-g(-4)][eqn: =0-(-16)][eqn: =16]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{x} {} LEFT ( t ^{2} -4 RIGHT ) LEFT { LEFT | `f LEFT ( t RIGHT ) ` RIGHT | -a RIGHT } `dt]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 극값을 갖지 않는다.

(나) [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =5]

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: -g LEFT ( -4 RIGHT )]의 값을 구하시오. [4점][21년 3월 교육청]

다항함수 [eqn: f LEFT(x right)]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

④

[출제의도] 정적분과 미분과의 관계를 이용하여 함숫값을 구할 수 있는가?

[eqn: xf(x) = 2x^3 + ax^2 + 3a + int from 1 to x f(t)``dt]	[eqn: CDOTS CDOTSit]㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f(1) = 2+ a+ 3a + 0]

이므로

[eqn: f(1)= 2+4a]	[eqn: CDOTS CDOTSit]㉡

㉠의 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: 0=3a + int from 1 to 0 f(t)``dt]

즉,

[eqn: 0=3a - int from 0 to 1 f(t)``dt]

이므로

[eqn: int_0^1 f(t)dt =3a]	[eqn: CDOTS CDOTSit]㉢

[eqn: f(1)= int_0^1 f(t)dt]이므로 ㉡, ㉢에서

[eqn: 2+4a=3a]

즉, [eqn: a=it-2], [eqn: f(1)=it-6]

㉠의 양변을 미분하면

[eqn: f(x)+xf `prime (x)=6x ^{2} +2ax+f(x)]

이므로

[eqn: f` prime (x)=6x+2a=6x-4]

따라서

[eqn: f(x)][eqn: = int f`'(x)dx]
[eqn: = 3x^2 -4x+C] ([eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: f(1)=][eqn: 3-4+C=it-6]에서

[eqn: C=it -5]

따라서

[eqn: f(3) = 27-12-5=10]

이므로

[eqn: a+f(3) = it-2 + 10 =8]

[eqn: xf` left(x right)``it=2x ^{`3}``it +ax ^{`2} +3a + int _{1} ^{x} f` left(t right)`dt]

를 만족시킨다. [eqn: f left(1 right)``it= int _0^1 f left(t right)` dt`]일 때, [eqn: a+f left(3right)]의 값은?

(단, [eqn: a`]는 상수이다.) [4점][9월 평가원]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6`]	③ [eqn: 7`]

④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 9`]

실수 [eqn: a]에 대하여 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: 251]

[출제의도] 정적분을 이용하여 추론하기

[eqn: f(x)=3x+a]이므로

[eqn: g(x)][eqn: = int _{2} ^{x} {} (t+a)(3t+a)dt]
[eqn: = int _{2} ^{x} {(3t ^{2} +4at+a ^{2} )dt }]
[eqn: = LEFT [ pile{it#it} t ^{3} +2at ^{2} +a ^{2} t RIGHT ] _{2}^{x}]
[eqn: =x ^{3} +2ax ^{2} +a ^{2} x-(2a ^{2} +8a+8)]

[eqn: g(2)=0]이므로

[eqn: g(x)=(x-2) LEFT { x ^{2} +2(a+1)x+(a+2) ^{2} RIGHT }]

[eqn: h(x)=(x-2)(3x+a) LEFT { x ^{2} +2(a+1)x+(a+2) ^{2} RIGHT }]

조건 (가)에 의해 곡선 [eqn: y=h(x)]위의

어떤 점에서의 접선이 [eqn: x]축이므로

[eqn: h(k)=h prime (k)=0]을 만족시키는 실수 [eqn: k]가 존재한다.

그러므로 다항식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2}]을 인수로 갖는다.

(ⅰ) [eqn: k=2]인 경우
다항식 [eqn: h(x)]가 [eqn: (x-2) ^{2}]을 인수로 가지므로
다항식 [eqn: 3x+a]가 [eqn: 3(x-2)]이거나
다항식 [eqn: x ^{2} +2(a+1)x+(a+2) ^{2}]이 [eqn: x-2]를
인수로 가진다.

([eqn: a]) [eqn: 3x+a=3(x-2)]인 경우
[eqn: a=-6]이므로

[eqn: h(x)][eqn: =(x-2)(3x-6)(x ^{2} -10x+16)]
[eqn: =3(x-2) ^{3} (x-8)]

곡선 [eqn: y= LEFT | h(x) RIGHT |]는 그림과 같으므로

함수 [eqn: h(x)]는 조건 (나)를 만족시킨다.

이 경우 [eqn: h(-1)=729]이다.

([eqn: b]) 다항식 [eqn: x ^{2} +2(a+1)x+(a+2) ^{2}]이
[eqn: x-2]를 인수로 갖는 경우
[eqn: 4+4(a+1)+(a+2) ^{2}]
[eqn: =a ^{2} +8a+12]
[eqn: =(a+2)(a+6)=0]
에서 [eqn: a=-2] 또는 [eqn: a=-6]
[eqn: a=-6]이면 ([eqn: a])와 같다.
[eqn: a=-2]이면

[eqn: h(x)][eqn: =(x-2)(3x-2)(x ^{2} -2x)]
[eqn: =x(3x-2)(x-2) ^{2}]

곡선 [eqn: y= LEFT | h(x) RIGHT |]는 그림과 같으므로

함수 [eqn: h(x)]는 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: k=- {a} over {3} (a != -6)]인 경우
다항식 [eqn: h(x)]가 [eqn: LEFT ( x+ {a} over {3} RIGHT ) ^{2}]을 인수로 가지므로
다항식 [eqn: x ^{2} +2(a+1)x+(a+2) ^{2}]이 [eqn: x+ {a} over {3}]를
인수로 가진다.
[eqn: {1} over {9} a ^{2} - {2} over {3} a(a+1)+(a+2) ^{2}]
[eqn: = {4} over {9} a ^{2} + {10} over {3} a+4]
[eqn: = {2} over {9} (2a+3)(a+6)][eqn: =0]
에서 [eqn: a=- {3} over {2}]이므로

[eqn: h(x)][eqn: =(x-2) LEFT ( 3x- {3} over {2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x+ {1} over {4} RIGHT )]
[eqn: =3 LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) ^{3} (x-2)]

곡선 [eqn: y= LEFT | h(x) RIGHT |]는 그림과 같으므로

함수 [eqn: h(x)]는 조건 (나)를 만족시킨다.

이 경우 [eqn: h(-1)= {243} over {8}]

(ⅲ) [eqn: x ^{2} +2(a+1)x+(a+2) ^{2} =(x-k) ^{2}]인 경우
[eqn: x ^{2} +2(a+1)x+(a+2) ^{2} =x ^{2} -2kx+k ^{2}]
[eqn: a+1=-k ,~ (a+2) ^{2} =k ^{2}]
[eqn: (a+1) ^{2} =(-a-1) ^{2}]에서 [eqn: a=- {3} over {2}]
[eqn: a=- {3} over {2}]이면 (ⅱ)와 같다.

따라서 [eqn: h(-1)]의 최솟값은 [eqn: {243} over {8}]이므로

[eqn: p=8 ,~ q=243]에서 [eqn: p+q=251]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3x+a], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{2} ^{x} {} LEFT ( t+a RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt]

라 하자. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: h LEFT ( -1 RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점][21년 4월 교육청]

(가) 곡선 [eqn: y][eqn: =h LEFT ( x RIGHT )] 위의 어떤 점에서의 접선이 [eqn: x]축이다.

(나) 곡선 [eqn: y][eqn: = LEFT | h LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]가 [eqn: x]축과 평행한 직선과 만나는
서로 다른 점의 개수의 최댓값은 [eqn: 4]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 방정식 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]의 서로 다른 세 실근 [eqn: alpha ,~0,~ beta][eqn: LEFT ( alpha <0< beta RIGHT )]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 다음 조건을 만족시킨다.

②

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기

방정식 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]의 서로 다른 세 실근 [eqn: alpha ,~0,~ beta][eqn: LEFT ( alpha <0< beta RIGHT )]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: {rm][eqn: beta][eqn: = it - alpha]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =4x LEFT ( x- alpha RIGHT ) LEFT ( x+ alpha RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{4} -2 alpha ^{2} x ^{2} +C] (단, [eqn: C]는 적분상수이다.)

[eqn: f LEFT ( -x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]이므로 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이고, 조건 (가)에 의하여

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =9], [eqn: C][eqn: =9]

조건 (나)에 의하여 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: = alpha ^{4} -2 alpha ^{4} +9][eqn: = it -16]

[eqn: alpha][eqn: = it - sqrt {5}]

함수 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =4x LEFT ( x- sqrt {5} RIGHT ) LEFT ( x+ sqrt {5} RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT | `f`' LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT | -f`' LEFT ( x RIGHT )]이므로

함수

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{0&~~~ LEFT ( f`' LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0 RIGHT )#eqalign{# -2f`' LEFT ( x RIGHT )}&eqalign{# ~~~ LEFT ( f`' LEFT ( x RIGHT ) <0 RIGHT )}}}]

이고, 함수 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: int _{0} ^{10} {} g LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: =-2 int _{0} ^{sqrt {5}} {} f`' LEFT ( x RIGHT ) `dx]
[eqn: = it -2 LEFT [ `f LEFT ( x RIGHT ) pile{it#it} RIGHT ] _{0}^{sqrt {5}}][eqn: = it -2 LEFT { f LEFT ( sqrt {5} RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = it -2 TIMES LEFT ( -16-9 RIGHT )][eqn: =50]

(가) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =9]는 서로 다른 세 실근을 갖는다.

(나) [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: = it -16]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT | `f`' LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT | -f`' LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{10} {} g LEFT ( x RIGHT ) `dx]의 값은? [4점][7월 교육청]

① [eqn: 48]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 52]	④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 56]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f`prime LEFT ( 0 RIGHT )``it =f`primeLEFT ( 2 RIGHT ) ``it=0]인
삼차함수 [eqn: f` LEFT ( x RIGHT )]와 양수 [eqn: p`]에 대하여 함수 [eqn: g` LEFT ( x RIGHT )]를

⑤

[출제의도] 다항함수의 미분과 정적분을 활용하여 주어진 명제의 참과 거짓을 판정할 수 있는가?

삼차함수 [eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f `prime (0)=f` prime (2)=0]이므로

[eqn: f `prime (x)=3x(x-2)][eqn: =3x^2 -6x]

이다.

따라서

[eqn: f(x)][eqn: = int f`'(x)dx]
[eqn: = x^3 - 3x^2 + C] ([eqn: C`]는 적분상수)

따라서

[eqn: f(x)-f(0) = x^3 - 3x^2]

이고

[eqn: f(x+p)-f(p)][eqn: = (x+p)^3 -3(x+p)^2 + C - (p^3 -3p^2 +C`)]
[eqn: = x^3 + (3p-3)x^2 + (3p^2 -6p)x]

이므로

[eqn: g(x) = cases{``x^3 - 3x^2 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&(x le 0 ) #`` x^3 + (3p-3)x^2 + (3p^2 -6p)x `^`^`^`&(x>0)`^`^`^`}]

이다.

ㄱ. [eqn: p=1]이면
[eqn: g(x) = cases{``x^3 - 3x^2 ~~&(x le 0 ) #`` x^3 -3x `^`^`^`&(x>0)`^`^`^`}]
이므로
[eqn: g`'(x) = cases{``3x^2 -6x~~&(x<0) #``3x^2 -3 `^`^`^`&(x>0)`^`^`^`}]
따라서 [eqn: g`'(1)= 3-3=0] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x` rarrow` 0-}`` {} g(x)= lim _{x` rarrow `0+} ``{} g(x)=g(0)=0]이므로 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.
이때
[eqn: lim _{x` rarrow `0-}`` {} g` prime (x)][eqn: = lim _{x` rarrow `0-}`` {} (3x ^{2} -6x)=0]

[eqn: lim _{x` rarrow` 0+}`` {} g `prime (x)][eqn: = lim _{x` rarrow` 0+}`` {} LEFT { 3x ^{2} +2(3p-3)x+(3p ^{2} -6p) RIGHT }]
[eqn: = 3p^2 -6p]

이므로 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면
[eqn: 3p^2 -6p =0]
이어야 한다.
따라서 양수 [eqn: p`]의 값은 [eqn: p=2]뿐이므로 양수 [eqn: p`]의 개수는 [eqn: 1]이다. (참)

ㄷ. [eqn: int from -1 to 0 g(x) ``dx][eqn: = int from -1 to 0 (x^3 - 3x^2 ) ``dx]
[eqn: = left[ 1 over 4 x^4 - x^3 right]_-1^0][eqn: =0- left( 1 over 4 + 1 right)][eqn: = it- 5 over 4]

이고,

[eqn: int from 0 to 1 g(x)``dx][eqn: = int from 0 to 1 left{ x^3 + (3p-3)x^2 + (3p^2 -6p)x right}``dx]
[eqn: = left[ 1 over 4 x^4 + (p-1)x^3 + {3p^2 -6p} over 2 x^2 right]_0^1]
[eqn: = 1 over 4 + (p-1) + {3p^2 -6p} over 2]
[eqn: = 3 over 2 p^2 - 2p - 3 over 4]

이므로

[eqn: int from -1 to 1 g(x)``dx][eqn: = int from -1 to 0 g(x)``dx + int from 0 to 1 g(x)``dx]
[eqn: = left( - 5 over 4 right) + 3 over 2 p^2 - 2p - 3 over 4]
[eqn: = 3 over 2 p^2 - 2p - 2]
[eqn: = 1 over 2 (3p+2)(p-2)]

따라서 [eqn: p ge 2]일 때 [eqn: int from -1 to 1 g(x)``dx ge 0]이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

삼차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고

[eqn: f`'(0) = f`'(2)=0]

이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극대이고 [eqn: x=2]에서 극소이다.

이때, 곡선 [eqn: y=f(x)-f(0)]은 곡선 [eqn: y=f(x)]를 [eqn: y`]축의 방향으로

[eqn: -f(0)]만큼 평행이동한 것이고, 곡선 [eqn: y=f(x+p)-f(p)]는 곡선 [eqn: y=f(x)]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -p`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -f(p)]만큼 평행이동한 것이다.

따라서 두 곡선 [eqn: y=f(x)-f(0)], [eqn: y=f(x+p)-f(p)]는 모두 원점을 지나고 함수 [eqn: g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

ㄱ. [eqn: p=1]일 때, 곡선 [eqn: y=f(x+1)-f(1)]는 곡선 [eqn: y=f(x)]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -f(1)]만큼 평행이동한 것이다.
따라서 [eqn: g`'(1)=0]이다. (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x` rarrow` 0-} {} ``g(x)= lim _{x` rarrow` 0+}`` {} g(x)=g(0)=0]이므로 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.
이때
[eqn: lim _{x` rarrow `0-}`` {} g prime (x)][eqn: = lim _{x `rarrow` 0-}`` {} (3x ^{2} -6x)=0]
이므로 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면
[eqn: lim _{x` rarrow` 0+} ``{} g` prime (x)=0]
이어야 한다.
그런데 [eqn: f`'(x)=0]인 양수 [eqn: x`]의 값은 [eqn: 2]뿐이므로 양수 [eqn: p`]의 값은 [eqn: 2]뿐이다.
따라서 양수 [eqn: p`]의 개수는 [eqn: 1]이다. (참)

ㄷ. [eqn: p ge 2]일 때 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: p=2]일 때,
함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로
[eqn: int_-1^1 g(x) dx=0]
[eqn: p >2]일 때, 모든 실수 [eqn: x~]에 대하여
[eqn: f(x+p)-f(p) ge f(x+2) -f(2)]
이므로
[eqn: int_-1^1 g(x) dx ge 0]
따라서 [eqn: p ge 2]일 때 [eqn: int_-1^1 g(x) dx ge 0] (참)

[eqn: g `LEFT ( x RIGHT )``it = {cases{~f`left(x right)`it-f` left(0 right){`^`^`^`}~~& LEFT ( ` x LEQ0 `RIGHT ){`^`^`^`}# &# ~f `LEFT ( x+p RIGHT )`it -f` LEFT ( p RIGHT ){`_`_`_`~~}&LEFT (` x >0`RIGHT ){`_`_`_`}}}]

이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점][9월 평가원]

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ㄱ. [eqn: p=1]일 때, [eqn: g` prime LEFT ( 1 RIGHT )``it =0]이다.

ㄴ. [eqn: g `LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 양수 [eqn: p`]의 개수는 [eqn: 1]이다.

ㄷ. [eqn: p GEQ 2]일 때, [eqn: int _{-1} ^{1} {g` LEFT ( x RIGHT ) {`}dx} GEQ 0]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

최고차항의 계수가 [eqn: 4]이고 [eqn: f(0)=f `'(0)=0]을 만족시키는 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

⑤

[출제의도] 정적분으로 정의된 함수가 포함된 문제를 해결한다.

최고차항의 계수가 [eqn: 4`]이고 [eqn: f(0)=0`]이므로 [eqn: f(x)][eqn: = 4x^3 + ax^2 +bx]([eqn: a], [eqn: b`]는 상수)라 하면 [eqn: f`'(x)][eqn: = 12x^2 + 2ax +b`]에서 [eqn: f`'(0)=0`]이므로 [eqn: b=0]

즉, [eqn: f(x)=4x ^{3} +ax ^{2}`]에서 [eqn: int _{0} ^{x} {f(t)dt}][eqn: =x ^{4} + a over 3 x ^{3} `]이므로

[eqn: g(x)= {cases{`x ^{4} + a over 3 x ^{3} +5&(x<c)#`leftvert x ^{4} + a over 3 x ^{3} - {13} over {3} right vert &(x GEQ c)}}]

곡선 [eqn: y][eqn: =x ^{4} + a over 3 x ^{3} `- 13 over 3`]은 곡선 [eqn: y=][eqn: x ^{4} + a over 3 x ^{3} +5 `]를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: - 28 over 3`]만큼 평행이동한 것이다.

다음은 [eqn: a`]의 값에 따른 곡선 [eqn: y=x ^{4} + a over 3 x ^{3} +5 `]와

곡선 [eqn: y= left|x ^{4} + a over 3 x ^{3} `- 13 over 3 right|`]의 개형 중 [eqn: c`]의 개수가 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2`]인 경우이다.

함수 [eqn: g(x)]가 연속이 되도록 하는 실수 [eqn: c`]의 개수가 [eqn: 1`]이기 위해서는 함수 [eqn: y=x ^{4} + {a} over {3} x ^{3} +5] (→ ㉠)의 극솟값과

함수 [eqn: y=it- left(x ^{4} + a over 3 x ^{3} - 13 over 3 right)] (→ ㉡)의 극댓값이 서로 같아야 한다.

㉠, ㉡의 함수의 도함수는 각각 [eqn: f(x)], [eqn: -f(x)`]이고

[eqn: f(x)][eqn: =x ^{2} LEFT ( 4x+a RIGHT )][eqn: =0`]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x= it - a over 4`]([eqn: a!=0])

㉠, ㉡의 함수는 각각 [eqn: x= it - a over 4`]에서 극값을 갖고 [eqn: c= it - a over 4`]이다.

[eqn: LEFT (- a over4 right) ^4 + a over 3 left( - a over 4 right)^3 +5][eqn: =it- left{LEFT ( - {a} over {4} RIGHT ) ^{4} + a over 3 LEFT ( - {a} over {4} RIGHT ) ^{3} - 13 over3 right}]

이를 정리하여 풀면 [eqn: cases {`a=4#`c=it-1}] 또는 [eqn: cases {`a=it-4#`c=1}]

그러므로 [eqn: a= 4]일 때, [eqn: g(1)= LEFT | 1+ {4} over {3} - {13} over {3} RIGHT |][eqn: =2],

[eqn: a= it- 4]일 때, [eqn: g(1)= LEFT | 1- {4} over {3} - {13} over {3} RIGHT |][eqn: =`14 over3]

따라서 [eqn: g(1)]의 최댓값은 [eqn: {14} over {3}]

[eqn: g(x)= {cases{`{int _{0} ^{x} {f(t)}dt}+5&(x<c)#LEFT ∣ {int _{0} ^{x} {f(t)}dt} - {13} over {3} RIGHT ∣~&(x GEQ c)}}]

라 하자. 함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 [eqn: c`]의 개수가 [eqn: 1]일 때, [eqn: g(1)]의 최댓값은? [4점][10월 교육청]

① [eqn: 2]	② [eqn: {8} over {3}]	③ [eqn: {10} over {3}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {14} over {3}]

정적분의 활용-넓이(2,3점)

곡선 [eqn: y][eqn: =3x ^{2} -x]과 직선 [eqn: y][eqn: =5x]로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점][21년 6월 평가원]

④

[출제의도] 정적분을 이용하여 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구할 수 있는가?

곡선 [eqn: y= 3x^2 -x]와 직선 [eqn: y=5x]의 교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: 3x^2 -x = 5x]

[eqn: 3x^2 -6x=0]

[eqn: 3x(x-2)=0]

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

구간 [eqn: left[0,~2 right]]에서 직선 [eqn: y= 5x]가 곡선 [eqn: y= 3x^2 -x]보다 위쪽에 있거나 만나므로 구하는 넓이는

[eqn: S][eqn: =int _{ 0} ^{ 2} { left{ 5x- left(3x^2 -x right) right} dx }]
[eqn: =int _{ 0} ^{2 } { left(6x-3x^2 right)dx}]
[eqn: = left[ pile{ `# `} 3x^2 -x^3 right]_0^2]
[eqn: = 3 (4-0) - (8-0)]
[eqn: =4]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

정적분의 활용-넓이(4점)

최고차항의 계수가 [eqn: -3]인 삼차함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프 위의 점 [eqn: LEFT ( 2,~f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]가 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 원점에서 만난다. 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]로 둘러싸인 도형의 넓이는? [4점][21년 3월 교육청]

③

[출제의도] 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구한다.

구하고자 하는 도형의 넓이를 [eqn: S`]라 하면

[eqn: S`][eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT | f(x)-g(x) RIGHT | dx}]
[eqn: = int _{0} ^{2} left{g(x)-f(x) right} dx}]

[eqn: g(x)-f(x)`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 3`]이고

삼차방정식 [eqn: g(x)-f(x)][eqn: =0`]은 한 실근 [eqn: 0`]과 중근 [eqn: 2`]를 가지므로 [eqn: g(x)-f(x)][eqn: =3x(x-2)^2]

따라서 [eqn: S`][eqn: = int _{0} ^{2} {3x(x-2) ^{2} dx}]
[eqn: =int_0 ^2 {( 3x^3 -12x^2 +12x ) dx]
[eqn: = LEFT [ pile{`#`} {3} over {4} x ^{4} -4x ^{3} +6x ^{2} RIGHT ] _{0}^{2}]
[eqn: =12-32+24][eqn: =4`]

① [eqn: {7} over {2}]	② [eqn: {15} over {4}]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: {17} over {4}]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

두 양수 [eqn: a,~b] ([eqn: a<b])에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를

②

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기

함수 [eqn: f(x) =(x-a)(x-b)]에 대하여

곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: int _{a} ^{b} {} LEFT | f(x) RIGHT | dx][eqn: =- int _{a} ^{b} {f(x)dx}]
[eqn: =- LEFT ( int _{0} ^{b} {f(x)dx- int _{0} ^{a} {f(x)dx}} RIGHT )]
[eqn: =- LEFT ( - {8} over {3} - {11} over {6} RIGHT )]
[eqn: = {9} over {2}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-b RIGHT )]라 하자.

[eqn: int _{0} ^{a} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: = {11} over {6}], [eqn: int _{0} ^{b} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: = it - {8} over {3}]

일 때, 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [4점][21년 4월 교육청]

① [eqn: 4]	② [eqn: {9} over {2}]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: {11} over {2}]	⑤ [eqn: 6]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f ( 0 ) =0]이고, 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(1-x)= it -f(1+x)]를 만족시킨다. 두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y= it -6x ^{2}]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S``]라 할 때, [eqn: 4S``]의 값을 구하시오. [4점][10월 교육청]

[eqn: 2]

[출제의도] 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구한다.

[eqn: f(1-x)= it -f(1+x)`]에 [eqn: x=0`], [eqn: x=1`]을 각각 대입하면

[eqn: f(1)=it-f(1)`]에서 [eqn: f(1)=0],

[eqn: f(0)= it -f(2)`]에서 [eqn: f(2)=0`]

삼차함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: f(0)=f(1)=f(2)=0`]이고 최고차항의 계수가

[eqn: 1`]이므로 [eqn: f(x)=x(x-1)(x-2)]

방정식 [eqn: f(x)=it-6x^2`]에서 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} +2x=0`]이므로

[eqn: x left(x+1 right) left(x+2 right)=0], [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=it-1] 또는 [eqn: x=it-2]

[eqn: -2 LEQ x LEQ it -1`]에서 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} +2x GEQ 0`]이고

[eqn: -1 LEQ x LEQ it 0`]에서 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} +2x LEQ 0`]이므로

[eqn: S][eqn: = int _{-2} ^{0} {LEFT | x ^{3} +3x ^{2} +2x RIGHT | LEFT . dx RIGHT .}]
[eqn: = int _{-2} ^{-1} {LEFT ( x ^{3} +3x ^{2} +2x RIGHT ) } dx + int _{-1} ^{0} { left{ - LEFT( x ^{3} +3x ^{2} +2x RIGHT ) right} dx]
[eqn: = LEFT [ {1} over {4} x ^{4} +x ^{3} +x ^{2} RIGHT ] _{-2}^{-1} + LEFT [ - {1} over {4} x ^{4} -x ^{3} -x ^{2} RIGHT ] _{-1}^{0}][eqn: = {1} over {2}]

따라서 [eqn: 4S][eqn: =2]

정적분의 활용-속도와 거리(2,3점)

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t] ([eqn: t ge 0])에서의 속도 [eqn: v(t)]가 [eqn: v(t)][eqn: =12-4t`]일 때, 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=4]까지 점 [eqn: rm P]가 움직인 거리를 구하시오. [3점][10월 교육청]

[eqn: 20]

[출제의도] 정적분을 활용하여 점이 움직인 거리를 구한다.

[eqn: 0 LEQ t LEQ 3`]일 때 [eqn: v(t) GEQ 0`], [eqn: 3 LEQ t LEQ 4`]일 때 [eqn: v(t) LEQ 0`]이므로 시각 [eqn: t=0`]에서 [eqn: t=4`]까지 점 [eqn: rmP`]가 움직인 거리는

[eqn: int _{0} ^{4} {LEFT | v(t) RIGHT |} dt][eqn: = int _{0} ^{3} {LEFT | v(t) RIGHT | dt}][eqn: + int _{3} ^{4} {LEFT | v(t) RIGHT | dt}]
[eqn: = int _{0} ^{3} {(12-4t)dt}][eqn: + int _{3} ^{4} {LEFT ( 4t-12 RIGHT ) dt}][eqn: =18+2][eqn: =20]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t] ([eqn: t GEQ 0])에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가

[eqn: 6]

[출제의도] 수직선 위를 움직이는 점의 속도를 이용하여 점의 위치의 변화량을 구할 수 있는가?

시각 [eqn: t]에서 점 [eqn: rmP]의 위치를 [eqn: x(t)]라 하면 시각 [eqn: t=0]에서 점 [eqn: rmP]의 위치가 [eqn: 0]이므로

[eqn: v(t)=3t^2 - 4t+k]에서

[eqn: x(t)=t^3 -2t^2 +kt]

이때 [eqn: x(1)=-3]에서

[eqn: -1+k=-3,] [eqn: k=-2]

따라서 [eqn: x(t)=t^3 -2t^2 -2t]이고,

[eqn: x(3)=27-18-6=3]이다.

그러므로 시각 [eqn: t=1]에서 [eqn: t=3]까지 점 [eqn: rmP]의 위치의 변화량은

[eqn: x(3)-x(1)=3-(-3)=6]

[eqn: v LEFT ( t RIGHT )][eqn: =3t ^{2} -4t+k]

이다. 시각 [eqn: t=0]에서 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 0]이고, 시각 [eqn: t=1]에서 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: -3]이다. 시각 [eqn: t=1]에서 [eqn: t=3]까지 점 [eqn: rmP]의 위치의 변화량을 구하시오. (단, [eqn: k]는 상수이다.) [3점][21년 6월 평가원]

정적분의 활용-속도와 거리(4점)

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t] ([eqn: t>0])에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가

③

[출제의도] 도함수를 활용하여 수직선 위를 움직이는 점이 움직인 거리를 구할 수 있는가?

점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t] ([eqn: t>0])에서의 가속도를 [eqn: a(t)]라 하면

[eqn: v(t) =it -4t^3 +12t^2]

이므로

[eqn: a(t)=v`prime (t)=it-12t ^{2} +24t`]

시각 [eqn: t=k`]에서 점 [eqn: rmP]의 가속도가 [eqn: 12]이므로

[eqn: -12k^2 +24 k = 12]

[eqn: k^2 -2k +1 =0]

[eqn: (k-1)^2 =0]

[eqn: k=1]

한편, [eqn: v(t) = it-4t^3 +12t^2 = it-4 t^2 (t-3)]이므로 [eqn: 3 le t le 4]일 때

[eqn: v(t)le 0]이다.

따라서 [eqn: t=3]에서 [eqn: t=4]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는

[eqn: int_3 ^4 left| v(t) right| dt][eqn: =][eqn: int_3 ^4 left| -4t^3 +12t^2 right| dt]
[eqn: = int_3 ^4 left( 4t^3 -12t^2 right) dt]
[eqn: = left[ t^4 - 4t^3 pile{ it#it } right] _3^4]
[eqn: = 0-(-27)][eqn: =27]

[eqn: v` LEFT ( t RIGHT ) ``it=it-4t ^{`3} +12t ^{`2}`]

이다. 시각 [eqn: t=k`]에서 점 [eqn: rmP]의 가속도가 [eqn: 12]일 때, 시각 [eqn: t=3k`]에서 [eqn: t=4k`]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는? (단, [eqn: k`]는 상수이다.) [4점][9월 평가원]

① [eqn: 23]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 29]	⑤ [eqn: 31]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t] ([eqn: t GEQ 0])에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )][eqn: =4t-10] 이다. 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t][eqn: =1]에서의 위치와 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t][eqn: =k]([eqn: k>1])에서의 위치가 서로 같을 때, 상수 [eqn: k]의 값은? [4점][21년 4월 교육청]

③

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rm { P }]의 시각 [eqn: t=1]에서의 위치와

점 [eqn: rm { P }]의 시각 [eqn: t=k] [eqn: (k>1)]에서의 위치가 서로 같으므로

시각 [eqn: t=1]에서 [eqn: t=k]까지 점 [eqn: rm { P }]의 위치의 변화량은

[eqn: 0]이다.

[eqn: int _{1} ^{k} {v(t)dt][eqn: = int _{1} ^{k} {} (4t-10)dt]
[eqn: = LEFT [ pile{it#it} 2t ^{2} -10t RIGHT ] _{1}^{k}]
[eqn: =(2k ^{2} -10k)-(2-10)]
[eqn: =2k ^{2} -10k+8]
[eqn: =2(k-1)(k-4)][eqn: =0]

따라서 [eqn: k=4]

① [eqn: 3]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: 5]