다항식

[동아]

다항식의 덧셈과 빨셈

④

[eqn: (3a^2 -6ab +2b^2 ) + (2a^2 -3ab -4b^2 )]

[eqn: = 5a^2 -9ab -2b^2]

다음 다항식을 [eqn: a]에 대하여 내림차순으로 정리한 것은?

[eqn: (3a^2 -6ab +2b^2 ) + ( 2a^2 - 3ab -4b^2 )]

① [eqn: -2b^2 -3ab +5a^2]	② [eqn: 5a^2 +3ab -2b^2]

③ [eqn: -2b^2 -9ab +5a^2]	④ [eqn: 5a^2 -9ab -2b^2]

⑤ [eqn: 5a^2 +9ab -2b^2]

③

[eqn: (2x^4 +3x^3 -4x +3) -(x^3 +2x -4)]

[eqn: =2x^4 +2x^3 -6x +7][eqn: = 7 - 6x +2x^3 +2x^4]

다음 다항식을 [eqn: x]에 대하여 오름차순으로 정리한 것은?

[eqn: (2x^4 +3x^3 -4x+3)-(x^3 +2x -4)]

① [eqn: 2x ^{4} +2x ^{3} -6x+7]	② [eqn: 2x^4 +2x^3 +6x -7]

③ [eqn: 7-6x+2x^3 +2x^4]	④ [eqn: 7-6x -2x^3 +2x^4]

⑤ [eqn: 7+6x -2x^3 +2x^4]

[eqn: -9x^2 + 2xy]

[eqn: C- LEFT { 2A-(B-2C) RIGHT }]

[eqn: =C-2A+B-2C][eqn: =-2A+B-C]

[eqn: =-2(x ^{2} -3xy+2y ^{2} )+(-3x ^{2} +xy+y ^{2})}]

[eqn: -(4x ^{2} +5xy-3y ^{2} )]

[eqn: =-2x ^{2} +6xy-4y ^{2} -3x ^{2} +xy+y ^{2} -4x ^{2}][eqn: -5xy+3y ^{2}]

[eqn: =-9x ^{2} +2xy]

세 다항식

[eqn: A=x ^{2} -3xy+2y ^{2}],

[eqn: B=-3x ^{2} +xy+y ^{2}],
[eqn: C=4x^2 +5xy-3y^2]

에 대하여 [eqn: C-left{2A-(B-2C)right}]를 계산하시오.

[eqn: {-2x ^{3} +3x ^{2} -7x-10}]

[eqn: 2 LEFT ( X+A RIGHT ) =-2A-B]에서 [eqn: X=-2A- {1} over {2} B]이므로

[eqn: X][eqn: =][eqn: -2 LEFT ( x ^{3} -2x ^{2} +5x+3 RIGHT )][eqn: - {1} over {2} LEFT ( 2x ^{2} -6x+8 RIGHT )]
[eqn: =][eqn: LEFT ( -2x ^{3} +4x ^{2} -10x-6 RIGHT )][eqn: + LEFT ( -x ^{2} +3x-4 RIGHT )]
[eqn: =][eqn: -2x ^{3} +3x ^{2} -7x-10]

두 다항식 [eqn: A=x ^{3} -2x ^{2} +5x+3], [eqn: B=2x ^{2} -6x+8]에 대하여 [eqn: 2 LEFT ( X+A RIGHT ) =-2A-B]를 만족시키는 다항식 [eqn: X]를 구하시오.

[eqn: -13x-1]

다항식 [eqn: x ^{3} -6x+1]에 잘못 더한 어떤 식을 [eqn: X]라고 하면

[eqn: x ^{3} -6x+1+X=2x ^{3} +x+3]이므로

[eqn: X=x ^{3} +7x+2]

따라서 바르게 계산한 답은

[eqn: x^3 -6x +1 -(x^3 +7x +2)][eqn: =-13x-1]

다항식 [eqn: x ^{3} -6x+1]에서 어떤 식을 빼야 할 것을 잘못하여 더했더니 그 결과가 [eqn: 2x ^{3} +x+3]이 되었다. 바르게 계산한 답을 구하시오.

④

[eqn: B astA][eqn: =2 B +A]
[eqn: = 2 LEFT ( -x ^2 +2x -3 RIGHT )`+ LEFT ( x^2 -x+1 RIGHT )]
[eqn: =-x ^{2} +3x-5]

[eqn: therefore] [eqn: A star LEFT ( B ast A RIGHT )][eqn: = LEFT ( x^2 -x+1 RIGHT ) star LEFT ( -x ^2 +3x -5 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( x^2 -x +1 RIGHT )`-2 LEFT ( -x^2 +3x -5 RIGHT )]
[eqn: = 3 x^2 -7x +11]

두 다항식 [eqn: A = x ^2 -x+1], [eqn: B= `-x^2 +2x -3]에 대하여 [eqn: A ast B = 2A +B], [eqn: A STAR B= A-2B]라고 할 때,

[eqn: A star LEFT ( B astA RIGHT )]를 계산하면?

① [eqn: x^2 -2x +3]	② [eqn: x^2 +5x +1]

③ [eqn: 3x^2 -2 x+3]	④ [eqn: 3x^2 -7x +11]

⑤ [eqn: 3x^2 -11 x +9]

[eqn: 3x ^{2} -2xy]

[eqn: 2A+B=4x ^{2} -2xy+y ^{2}]    [eqn: `][eqn: `]…… ㉠

[eqn: 3A-2B=-x ^{2} +4xy+5y ^{2} `]  …… ㉡

㉠[eqn: TIMES 2+]㉡에서 [eqn: 7A=7x ^{2} +7y ^{2} `]

즉, [eqn: A=x ^{2} +y ^{2} `]

[eqn: A]를 ㉠에 대입하면

[eqn: B=2x ^{2} -2xy-y ^{2} `]

[eqn: THEREFORE ```A+B=x ^{2} +y ^{2} +2x ^{2} -2xy-y ^{2} =3x ^{2} -2xy]

두 다항식 [eqn: A], [eqn: B]가 다음을 만족시킬 때, [eqn: A+B]를 계산하시오.

[eqn: 2A+B=4x ^{2} -2xy+y ^{2}]

[eqn: 3A-2B=-x ^{2} +4xy+5y ^{2} `]

[eqn: -x ^{2} +4x-1]

㈎, ㈏의 식을 각각 ㉠, ㉡이라고 하자.

㉠[eqn: +]㉡을 하면 [eqn: 4A=4x ^{2} -8]이므로

[eqn: A=x ^{2} -2]                                  [eqn: CDOTS]➊

㉡에서 [eqn: B=(3x ^{2} -4x-3)-A]이므로

위의 식에 [eqn: A=x ^{2} -2]를 대입하면

[eqn: B][eqn: =(3x ^{2} -4x-3)-(x ^{2} -2)]
[eqn: =2x ^{2} -4x-1]                             [eqn: CDOTS]➋

[eqn: THEREFORE ~A-B=(x ^{2} -2)-(2x ^{2} -4x-1)]
[eqn: `][eqn: =-x ^{2} +4x-1]                     [eqn: CDOTS]➌

채점 기준	배점
➊ 다항식 [eqn: A] 구하기	2점
➋ 다항식 [eqn: B] 구하기	2점
➌ [eqn: A-B] 계산하기	1점

두 다항식 [eqn: A], [eqn: B]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: A-B] 를 구하는 풀이과정과 답을 구하시오.

(가) [eqn: 3A-B=x ^{2} +4x-5]

(나) [eqn: A+B=3x ^{2} -4x-3]

[eqn: -2x^2 +2x]

다항식 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C], [eqn: D], [eqn: E], [eqn: F]에 대하여 다음 표의 가로, 세로, 대각선에 있는 세 다항식의 합은 모두 같다.

[eqn: B-C]를 계산하시오.

[eqn: A]	[eqn: C]	[eqn: E]
[eqn: B]	[eqn: x^{2}+x]	[eqn: F]
[eqn: 2 x^{2}]	[eqn: D]	[eqn: x^{3}+3 x^{2}+x]

②

[eqn: -2x ^{2}]

[eqn: x ^{3} +x ^{2}]

[eqn: x ^{3} +1]

[eqn: 2x+1]

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: Q` LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: x ^{2} +1]

[eqn: x ^{3} -3x ^{2}]

[eqn: C]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: D]

각 변의 [eqn: 3`]개의 식의 합은 [eqn: x ^{3} -x ^{2} +2x ^{} +1`]이므로

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) +x ^{3} +x ^{2} +x ^{2} +1=x ^{3} -x ^{2} +2x+1`]과

[eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) +x ^{3} -3x ^{2} +x ^{2} +1=x ^{3} -x ^{2} +2x+1`]에서

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) = it -3x ^{2} +2x`], [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +2x`]이다.

따라서 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) +Q` LEFT ( x RIGHT ) = it -2x ^{2} +4x`]이다.

그림과 같이 [eqn: 8`]개의 다항식을 사각형 모양으로 배열하고 각 변에 배열된 [eqn: 3`]개의 다항식의 합을 각각 [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C`], [eqn: D`]라 하자. 다항식 [eqn: A`], [eqn: B`], [eqn: C`], [eqn: D`]가 [eqn: x`]의 값에 관계없이 모두 같을 때, 두 다항식의 합 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) +Q` LEFT ( x RIGHT ) `]는?

[eqn: -2x ^{2}]

[eqn: x ^{3} +x ^{2}]

[eqn: x ^{3} +1]

[eqn: 2x+1]

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: Q` LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: x ^{2} +1]

[eqn: x ^{3} -3x ^{2}]

[eqn: C]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: D]

① [eqn: -3x ^{2}+2x]     ② [eqn: -2x ^{2} +4x]    ③ [eqn: -x ^{2} +4x+1]

④ [eqn: 2x ^{2}+4x]       ⑤ [eqn: 3x ^{2} +2x]

다항식의 곱셈과 나눗셈

[eqn: 3]

[eqn: (x+a ) sup 3 + x(x-4 )][eqn: = left( x sup 3 + 3a x sup 2 + 3 a sup 2 x + a sup 3 right ) + left ( x sup 2 - 4 x right )]	[eqn: = x sup 3 + left ( 3a + 1 right ) x sup 2 + left ( 3 a sup 2 - 4 right ) x + a sup 3]

에서 [eqn: x sup 2]의 계수는 [eqn: 3a +1]

[eqn: 3a+1 = 10]에서 [eqn: a = 3]

다항식 [eqn: left(x+a right)^3 + x left(x-4 right)]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수가

[eqn: 10]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

③

[eqn: LEFT ( 3x-1 RIGHT )^3 LEFT ( x-2 RIGHT )^2]

[eqn: = LEFT { LEFT ( 3x RIGHT ) ^{3} -3 TIMES LEFT ( 3x RIGHT ) ^{2} TIMES 1+3 TIMES 3x TIMES 1 ^{2} -1 RIGHT } LEFT ( x ^{2} -4x+4 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( 27x^3 -27 x^2 +9x -1 RIGHT ) LEFT ( x^2 -4x+4 RIGHT )]

이 식의 전개식에서 [eqn: x^3]항은

[eqn: 27x ^{3} TIMES 4+ LEFT ( -27x ^{2} RIGHT ) TIMES LEFT ( -4x RIGHT ) `+9x TIMES x ^{2}]

[eqn: = 108x^3 +108 x^3 +9x^3 =225x^3]

따라서 [eqn: x^3]의 계수는 [eqn: 225]이다.

다항식 [eqn: LEFT ( 3x-1 RIGHT )^3 LEFT ( x-2 RIGHT )^2]의 전개식에서 [eqn: x^3]의 계수는?

① [eqn: 210]	② [eqn: 216]	③ [eqn: 225]

④ [eqn: 230]	⑤ [eqn: 234]

[eqn: a= -2], [eqn: b= -2]

다항식 [eqn: LEFT (x^{2}+a x+b RIGHT ) LEFT (x^{2}+2 x+a RIGHT )]를 전개한 식에서 [eqn: x^{3}]과 [eqn: x]의 계수가 모두 [eqn: 0]이 되도록 하는 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 각각 구하시오.

[eqn: 10]

[eqn: (1+x+2x ^{2} +`` CDOTS``+100x ^{100} ) ^{2}]

[eqn: =(1+x+2x ^{2} +`` CDOTS``+100x ^{100} )]

[eqn: (1+x+2x ^{2} +`` CDOTS``+100x ^{100} )]

이 식의 전개식에서 [eqn: x ^{3}]항은
[eqn: 1 TIMES 3x ^{3} `+x TIMES 2x ^{2} `+2x ^{2} ` TIMES x+3x ^{3} ` TIMES 1=10x ^{3}]

따라서 [eqn: x ^{3}]의 계수는 [eqn: 10]이다.

다항식 [eqn: left( 1 + x+ 2x^2 +`cdots`+100x^100`)^2`]의 전개식에서 [eqn: x^3`]의 계수를 구하시오.

①

[eqn: LEFT ( x-y RIGHT ) ^{3} =x ^{3} -3x ^{2} y+3xy ^{2} -y ^{3} `]이므로

[eqn: x ^{3} -y ^{3} = LEFT ( x-y RIGHT ) ^{3} +3xy LEFT ( x-y RIGHT ) `]이다.

[eqn: x-y=3`], [eqn: x ^{3} -y ^{3} =18`]을 대입하면

[eqn: 18=27+9xy`]이므로 [eqn: xy= it -1`]이다.

따라서 [eqn: x ^{2} +y ^{2} = LEFT ( x-y RIGHT ) ^{2} +2xy=3 ^{2} -2=7`]이다.

[eqn: x-y=3], [eqn: x^3 -y^3 =18]일 때, [eqn: x^2 + y^2]의 값은?

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

[eqn: 1975]

[eqn: (x+y) ^{2}= x ^{2} +y ^{2} +2xy]에서 [eqn: 5 ^{2} =21+2xy], [eqn: xy=2]

[eqn: x ^{3} +y ^{3} =(x+y) ^{3} -3xy(x+y)=5 ^{3} -3times2times5=95]

[eqn: THEREFORE ```x ^{5} +y ^{5} =(x ^{2} +y ^{2} )(x ^{3} +y ^{3} )-x ^{2} y ^{2} (x+y)]

[eqn: `][eqn: =21 TIMES 95-2 ^{2} TIMES 5=1975]

[eqn: x+y=5], [eqn: x^2 + y ^2 =21]일 때, [eqn: x^5 + y ^5]의 값을 구하시오.

(1) [eqn: { 14 }]	(2) [eqn: { +- 2 sqrt { 3} }]

(1) [eqn: x^2 + 1overx^2 = LEFT ( x+ 1overx RIGHT )^2 -2 = 4^2 -2 =14]

(2) [eqn: LEFT ( x- 1overx RIGHT )^2 = LEFT ( x + 1overx RIGHT )^2 -4 = 4^2 -4=12]
[eqn: therefore] [eqn: x- {1} over {x} = +- sqrt {12} = +- 2 sqrt {3}]

[eqn: x + 1overx =4]일 때, 다음 식의 값을 구하시오.
(1) [eqn: x^2 + 1over x^2]

(2) [eqn: x- 1overx]

[eqn: 7]

[eqn: x^2 -3x +1 = 0`]에서 [eqn: x ne 0`]이므로

양변을 [eqn: x`]로 나누면

[eqn: x-3+ {1} over {x} =0]	[eqn: THEREFORE```` x+ 1 overx = 3]

[eqn: THEREFORE````x^2 + 1 over x^2 = LEFT ( x+ 1 over x RIGHT )^2 -2 = 3^2 -2 = 7]

[eqn: x^2 - 3x +1 = 0`]일 때, [eqn: x^2 + 1 over x^2`]의 값을 구하시오.

④

[eqn: LEFT ( a+b+c RIGHT )^2 = a^2 +b^2 +c ^2 +2 LEFT ( ab+bc+ca RIGHT )]에서

[eqn: 4^2 = 8 + 2 LEFT ( ab+bc+ca RIGHT )]

[eqn: therefore] [eqn: ab+bc+ca = 4]

[eqn: LEFT ( ab+bc+ca RIGHT )^2]

[eqn: = a^2 b^2 +b ^2 c^2 +c^2 a^2 +2 LEFT ( ab^2 c + ab c^2 +a^2 bc RIGHT )]

[eqn: = a^2 b^2 +b^2 c^2 + c^2 a^2 + 2abc LEFT ( a+b+c RIGHT )]

에서

[eqn: 4 ^{2} =a ^{2} b ^{2} +b ^{2} c ^{2} +c ^{2} a ^{2} +2 TIMES LEFT ( -3 RIGHT ) TIMES 4]

[eqn: therefore] [eqn: a^2 b^2 +b^2 c^2 +c^2 a^2 =40]

[eqn: a+b+c=4], [eqn: a^2 +b^2 +c^2 =8], [eqn: abc =-3]일 때,
[eqn: a^2 b^2 + b^2 c^2 +c^2 a^2]의 값은?

① [eqn: 34]           ② [eqn: 36]	③ [eqn: 38]

④ [eqn: 40]           ⑤ [eqn: 42]

(1) [eqn: 12]	(2) [eqn: -18]	(3) [eqn: - 10 root2]

다음을 구하시오.

(1) [eqn: x+y-z=8], [eqn: x^{2}+y^{2}+z^{2}=40]일 때,
[eqn: x y-y z-z x]의 값

(2) [eqn: x+{1} over {x}=-3]일 때, [eqn: x ^{3} + {1} over {x ^{3}}]의 값

(3) [eqn: x=1-sqrt{2},~ y=1+sqrt{2}]일 때, [eqn: x^{3}-y^{3}]의 값

[eqn: -24]

[eqn: x+y+z=5]에서

[eqn: x+y=5-z], [eqn: y+z=5-x], [eqn: z+x=5-y]이므로

[eqn: (x+y)(y+z)(z+x)]

[eqn: =(5-z)(5-x)(5-y)]

[eqn: =125-25(x+y+z)+5(xy+yz+zx)-xyz]

[eqn: =125-25 TIMES 5+5 TIMES (-4)-4][eqn: =-24]

[eqn: x+y+z=5], [eqn: xy+yz+zx=-4], [eqn: xyz=4]일 때,

[eqn: (x+y)(y+z)(z+x)]의 값을 구하시오.

⑤

[eqn: a+b=X`]라 하면

[eqn: LEFT ( a+b-1 RIGHT ) LEFT { LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} +a+b+1 RIGHT }][eqn: = LEFT ( X-1 RIGHT ) LEFT ( X ^{2} +X+1 RIGHT )]	[eqn: =X ^{3} -1=8]

[eqn: X ^{3} =9]이므로 [eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) ^{3} =9]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여

[eqn: LEFT ( a+b-1 RIGHT ) LEFT { LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} +a+b+1 RIGHT } =8]
일 때, [eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) ^{3}]의 값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

⑤

[eqn: (5+3)(5^2 + 3^2 )(5^4 + 3^4 )``]
[eqn: = 1over2 (5-3)(5+3)(5^2 + 3^2 )(5^4 + 3^4 )``]
[eqn: = 1over2 (5^2 -3^2 )(5^2 + 3^2 )(5^4 + 3^4 )``]
[eqn: = 1over2 (5^4 -3^4 )(5^4 + 3^4 )`= 1over2 ( 5^8 - 3^8 )``]

[eqn: (5+3)(5^2 + 3^2 )(5^4 + 3^4 )]을 간단히 하면?
① [eqn: 5^7 +3^7``]	② [eqn: 2(5^8 + 3^8`)`]	③ [eqn: {5^8 + 3^8}over2``]
④ [eqn: 2(5^8 - 3^8 )``]	⑤ [eqn: {5^8 - 3^8}over2``]

(1) [eqn: 970299]	(2) [eqn: 1000001]

곱셈 공식을 이용하여 다음을 계산하시오.

(1) [eqn: 99^{3}]

(2) [eqn: 101 TIMES 9901]

③

[eqn: a=2023`]이라 하면
[eqn: {2022 TIMES LEFT ( 2023 ^{`2} +2024 RIGHT )} over {2024 TIMES 2023+1} = {LEFT ( a-1 RIGHT ) TIMES LEFT ( a ^{2} +a+1 RIGHT )} over {LEFT ( a+1 RIGHT ) TIMES a+1} `]
[eqn: = {LEFT ( a-1 RIGHT ) TIMES LEFT ( a ^{2} +a+1 RIGHT )} over {a ^{2} +a+1} =a-1`]

[eqn: =2023-1=2022`]

[eqn: { 2022 times left(2023^2 + 2024 right)} over{2024 times2023+1}]의 값은?

① [eqn: 2018]	② [eqn: 2020]	③ [eqn: 2022]

④ [eqn: 2024]	⑤ [eqn: 2026]

②

[eqn: k=2019`]라 하면

[eqn: 2016 TIMES 2019 TIMES 2022`][eqn: = LEFT ( k-3 RIGHT ) k LEFT ( k+3 RIGHT ) `][eqn: =k ^{3} -9k`]

[eqn: =2019 ^{3} -9times2019`]

따라서 [eqn: a=2019`]이다.

[eqn: 2016times 2019times 2022 = 2019^3 - 9a]가 성립할 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 2018]	② [eqn: 2019]	③ [eqn: 2020]
④ [eqn: 2021]	⑤ [eqn: 2022]

몫 [eqn: x^2 +4x+6], 나머지 [eqn: 12]

다항식 [eqn: A=x^{3}+3 x^{2}+2 x+k]가 다항식 [eqn: x^{2}+2]로 나누어떨어질 때, 다항식 [eqn: A]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 몫 [eqn: Q]와 나머지 [eqn: R]을 각각 구하시오. (단, [eqn: k]는 상수이다.)

[eqn: f(x)=x ^{2} -x+1]

[eqn: x ^{3} +x ^{2} +x+3=f(x)(x+2)+2x+1]이므로

[eqn: f(x)(x+2)=x ^{3} +x ^{2} -x+2]

	[eqn: `] [eqn: `][eqn: x ^{2} -x+1]
[eqn: x+2]	) [eqn: {x ^{3} +x ^{2} -x+2``````````}}]
	[eqn: ``][eqn: `][eqn: `][eqn: x ^{3} +2x ^{2}]
	[eqn: `][eqn: ``````````-x ^{2} -x``````````]
	[eqn: -x ^{2} -2x]
	[eqn: x+2]
	[eqn: x+2]
	[eqn: 0]

[eqn: THEREFORE ```f(x)=x ^{2} -x+1]

[eqn: x ^{3} + x^2 +x +3]을 이차식 [eqn: f(x)]로 나누면 몫은 [eqn: x+2]이고 나머지는 [eqn: 2x+1]이다. 이때 [eqn: f(x)]를 구하시오.

[eqn: 1]

다음은 조립제법을 이용하여 다항식

[eqn: P(x)=3 x^{3}+a x^{2}+b x-1]을 일차식 [eqn: 3 x+2]로 나누었을 때의 몫 [eqn: Q(x)]와 나머지를 구하는 과정이다.

[eqn: P(1)+Q(-1)]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]는 상수이다.)

[eqn: c]	[eqn: 3]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: -1]
		[eqn: d]	[eqn: e]	[eqn: 4]
	[eqn: 3]	[eqn: 3]	[eqn: -6]	[eqn: 3]

④

조립제법을 이용하면

[eqn: 1 over 3]	[eqn: 3]	[eqn: -7]	[eqn: 5]	[eqn: 1]
		[eqn: 1]	[eqn: -2]	[eqn: 1]
	[eqn: 3]	[eqn: -6]	[eqn: 3]	[eqn: 2]

위의 조립제법에 의하여

[eqn: 3x ^{3} -7x ^{2} +5x+1= LEFT ( x- {1} over {3} RIGHT ) (3x ^{2} -6x+3)+2]

[eqn: =(3x-1)(x ^{2} -2x+1)+2]

이다.

[eqn: {BOX{````(가)````}} `=3x ^{2} -6x+3]

[eqn: {BOX{````(나)````}} `=x ^{2} -2x+1`]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -6x+3]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2x+1]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +g LEFT ( 2 RIGHT ) =4`]이다.

다음은 다항식 [eqn: 3x ^{3} -7x ^{2} +5x+1]을 [eqn: 3x-1]로 나눈

몫과 나머지를 구하기 위하여 조립제법을 이용하는

과정이다.

조립제법을 이용하면

[eqn: {1}over{3}]	[eqn: 3]	[eqn: -7]	[eqn: 5]	[eqn: 1]
		[eqn: BOX~~~]	[eqn: BOX~~~]	[eqn: 1]
	[eqn: 3]	[eqn: BOX~~~]	[eqn: BOX~~~]	[eqn: 2]

이므로

[eqn: 3x ^{3} -7x ^{2} +5x+1= LEFT ( x- {1} over {3} RIGHT ) LEFT ( BOX{~~(가)~~} RIGHT ) +2]

[eqn: =LEFT(3x-1 RIGHT) LEFT( BOX{~~(나)~~} RIGHT)+2]

따라서, 몫은 [eqn: {BOX{~~(나)~~}} `]이고, 나머지는 [eqn: 2]이다.

위의 (가), (나)에 들어갈 식을 각각 [eqn: f LEFT( x right)], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +g LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 23]

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) `][eqn: =ax ^{3} +bx ^{2} +cx+11`][eqn: = LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x-2 RIGHT ) +5`]

다항식 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x-4`]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: P` LEFT ( 4 RIGHT ) `]이다.

따라서 [eqn: P` LEFT ( 4 RIGHT ) =1 TIMES 18+5=23`]이다.

다음은 삼차다항식 [eqn: P ` left(x right) = ax^3 +bx^2 +cx+11]을 [eqn: x-3]으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 조립제법을 이용하여 구하는 과정의 일부를 나타낸 것이다.

[eqn: P ` left(x right)]를 [eqn: x-4]로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.)

[eqn: 1020201]

다항식 [eqn: P(x)=x^{3}+5 x^{2}+9 x+6]을

[eqn: P(x)=a(x+1)^{3}+b(x+1)^{2}+c(x+1)+d]

꼴로 나타내고, 이를 이용하여 [eqn: P(99)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]는 상수이다.)

③

원경 [eqn: A`]의 구경을 [eqn: D _{1} `], 집광력을 [eqn: F _{1} `], 망원경 [eqn: B`]의 구경을 [eqn: D _{2} `], 집광력을 [eqn: F _{2} `]라 하자.

[eqn: D _{1} =40`], [eqn: D _{2} =x`]이므로 [eqn: F _{1} =kD _{1}^{2} =1600k`]이고

[eqn: F _{2} =kD _{2}^{`2} =kx ^{2} `]이다.

망원경 [eqn: A`]의 집광력 [eqn: F _{1} `]은 망원경 [eqn: B`]의 집광력 [eqn: F _{2} `]의

[eqn: 2`]배이므로 [eqn: F _{1} =2F _{2} `]이다.

[eqn: 1600k=2kx ^{2} `]이므로 [eqn: x ^{2} =800`]이다.

따라서 [eqn: x>0`]이므로 [eqn: x=20 sqrt {2} `]이다.

망원경에서 대물렌즈 지름의 길이를 구경이라 하고 천체로부터 오는 빛을 모으는 능력을 집광력이라 한다. 구경이 [eqn: D]([eqn: rmmm])인 망원경의 집광력 [eqn: F]는 다음과 같은 관계식이 성립한다.

[eqn: F=kD^2] (단, [eqn: k]는 양의 상수이다.)

구경이 [eqn: 40]인 망원경 [eqn: A]의 집광력은 구경이 [eqn: x]인 망원경 [eqn: B]의 집광력의 [eqn: 2]배일 때, [eqn: x]의 값은?

① [eqn: 10root2]	② [eqn: 15root2]	③ [eqn: 20root2]

④ [eqn: 25root2]	⑤ [eqn: 30root2]

①

절대 온도가 [eqn: T`]인 이상 기체가 담긴 두 강철 용기 [eqn: A`], [eqn: B`]에 대하여 각 강철 용기에 담긴 이상 기체의 몰수를 각각 [eqn: n _{A} `], [eqn: n _{B} `]라 하고, 압력을 각각 [eqn: P _{A} `], [eqn: P _{B} `]라 하자.

[eqn: n _{A} = {1} over {4} n _{B} `], [eqn: P _{A} = {3} over {2} P _{B} `]이므로
[eqn: V _{A} =R` LEFT ( {n _{A} T} over {P _{A}} RIGHT ) `=R` LEFT ( {{1} over {4} n _{B} T} over {{3} over {2} P _{B}} RIGHT ) `= {1} over {6} R` LEFT ( {n _{B} T} over {P _{B}} RIGHT ) `= {1} over {6} V _{B} `]

따라서 [eqn: {V _{A}} over {V _{B}}`= {1} over {6} `]이다.

분자 사이에 인력이나 반발력이 작용하지 않고 분자의 크기를 무시할 수 있는 가상의 기체를 이상 기체라 한다. 강철 용기에 들어 있는 이상 기체의 부피를 [eqn: V]([eqn: rmL]), 몰수를 [eqn: n]([eqn: rmmol]), 절대 온도를 [eqn: T]([eqn: rmK]), 압력을 [eqn: P]([eqn: rmatm])이라 할 때, 다음과 같은 관계식이 성립한다.

[eqn: V = R `left({nT}overP right)] (단, [eqn: R]는 기체 상수이다.)

강철 용기 [eqn: A]와 강철 용기 [eqn: B]에 부피가 각각 [eqn: V_A], [eqn: V_B]인 이상 기체가 들어 있다. 강철 용기 [eqn: A]에 담긴 이상 기체의 몰수는 강철 용기 [eqn: B]에 담긴 이상 기체의 몰수의 [eqn: 1 over4]배이고, 강철 용기 [eqn: A]에 담긴 이상 기체의 압력은 강철 용기 [eqn: B]에 담긴 이상 기체의 압력의 [eqn: 3 over2]배이다. 강철 용기 [eqn: A]와 강철 용기 [eqn: B]에 담긴 이상 기체의 절대 온도가 같을 때, [eqn: {V_A} over{V_B}]의 값은?

① [eqn: 1 over6]	② [eqn: 1 over3]	③ [eqn: 1 over2]

④ [eqn: 2 over3]	⑤ [eqn: 5 over6]

②

실린더의 개수가 [eqn: M`]인 두 자동차 [eqn: A`], [eqn: B`]의 보어를 각각 [eqn: R _{`A} `], [eqn: R _{`B} `]라 하고, 스트로크를 각각 [eqn: H _{`A} `], [eqn: H _{`B}`]라 하자.

[eqn: R _{`A} = {2} over {3} R _{`B}`], [eqn: H _{`A} = {9} over {8} H _{`B}`]이므로

[eqn: W _{`A} = pi LEFT ( {R _{`A}} over {2} RIGHT ) ^{2} {H _{`A} M} over {1000} = pi LEFT ( {{2} over {3} R _{`B}} over {2} RIGHT ) ^{2} {{9} over {8} H _{`B} M} over {1000} = {1} over {2} W _{`B} `]

따라서 [eqn: {W _{`A}} over {W _{`B}} = {1} over {2} `]이다.

자동차의 엔진 속에는 원기둥 모양의 실린더가 있다. 실린더의 지름과 높이를 각각 보어와 스트로크라 하고, 실린더가 흡입할 수 있는 최대 기체의 양을 배기량이라 한다. 보어가 [eqn: R` LEFT ( {rmmm} RIGHT )], 스트로크가 [eqn: H` LEFT ( {rmmm} RIGHT )], 실린더의 개수가 [eqn: M](개)인 자동차의 총 배기량을 [eqn: W` LEFT ( {rmcc} RIGHT )]라 할 때, 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: W=pi LEFT({R}over{2} RIGHT)^2 {HM}over{1000}]

두 자동차 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: A]의 보어는 [eqn: B]의 보어의 [eqn: {2}over{3}]배이고, [eqn: A]의 스트로크는 [eqn: B]의 스트로크의 [eqn: {9}over{8}]배이다. 실린더의 개수가 같은 두 자동차 [eqn: A], [eqn: B]의 총 배기량을

각각 [eqn: W_A], [eqn: W_B]라 할 때, [eqn: {W_A}over{W_B}]의 값은?

(단, 한 자동차의 실린더들은 모두 같다.)

① [eqn: {1}over{4}]	② [eqn: {1}over{2}]	③ [eqn: {3}over{4}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5}over{4}]

④

물체 [eqn: A]와 물체 [eqn: B]의 질량을 각각 [eqn: m sub A ,~ m sub B]라 하고,

물체 [eqn: A]와 물체 [eqn: B]의 속력을 각각 [eqn: v sub A ,~ v sub B]라 하자.

물체 [eqn: A]의 질량이 물체 [eqn: B]의 질량의 [eqn: 3]배이므로 [eqn: m sub A = 3 m sub B] 이다.

물체 [eqn: A]의 속력이 물체 [eqn: B]의 속력의 [eqn: 1 over 2]배이므로

[eqn: v sub A = 1 over 2 v sub B]이다.

물체 [eqn: A]와 물체 [eqn: B]의 구심력의 크기가 같으므로

[eqn: { m sub A left ( v sub A right ) sup 2 } over r sub A = { m sub B left ( v sub B right ) sup 2 } over r sub B]이다.

[eqn: { 3 m sub B left ( 1 over 2 v sub B right ) sup 2 } over r sub A = { m sub B left ( v sub B right ) sup 2 } over r sub B]이므로 [eqn: { 3 times 1 over 4 } over r sub A = 1 over r sub B]이다.

따라서 [eqn: r sub A over r sub B = 3 over 4]이다.

물체가 등속 원운동을 하기 위해 원의 중심방향으로 작용하는 일정한 크기의 힘을 구심력이라 한다. 질량이 [eqn: m]인 물체가 반지름의 길이가 [eqn: r]인 원의 궤도를 따라 [eqn: v]의 속력으로 등속 원운동을 할 때 작용하는 구심력의 크기 [eqn: F]는 다음과 같다.

[eqn: F = m {v^2 }overr]

물체 [eqn: A]와 물체 [eqn: B]는 반지름의 길이가 각각 [eqn: r_A], [eqn: r_B]인 원의 궤도를 따라 등속 원운동을 한다.

물체 [eqn: A]의 질량은 물체 [eqn: B]의 질량의 [eqn: 3]배이고, 물체 [eqn: A]의 속력은 물체 [eqn: B]의 속력의 [eqn: 1over2]배이다. 물체 [eqn: A]와 물체 [eqn: B]의 구심력의 크기가 같을 때, [eqn: r_A overr_B]의 값은?

① [eqn: 3over8]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 5over8]

④ [eqn: 3over4]	⑤ [eqn: 7over8]

④

[eqn: rm {bar{CH}}][eqn: =1`], [eqn: {bar{rm BH}}][eqn: = x`]이고

삼각형 [eqn: rmABC`]의 넓이가 [eqn: {4} over {3} `]이므로 [eqn: rm {bar{AB}}][eqn: = {8} over {3} `]

직각삼각형 [eqn: rm AHC`]와 직각삼각형 [eqn: rm CHB`]는 닮음이므로

[eqn: {bar{rm AH it}}][eqn: : {bar{rm CH it}} = {bar{rm CH it}}][eqn: : {bar{rm BH it}} `]이다.

[eqn: LEFT ( {8} over {3} -x RIGHT )][eqn: :1=1][eqn: :x`]이므로 [eqn: 3x ^{2} -8x+3=0]

[eqn: 0<x<1`]이므로 [eqn: x= {4- sqrt {7}} over {3} `]이다.

한편, 다항식 [eqn: 3`t ^{3} -5t ^{2} +4t+7`]을 [eqn: 3t ^{2} -8t+3`]으로

나누었을 때의 몫은 [eqn: t+1`], 나머지는 [eqn: 9t+4`]이므로

[eqn: 3`t ^{3} -5t ^{2} +4t+7= LEFT ( 3t ^{2} -8t+3 RIGHT ) LEFT ( t+1 RIGHT ) +9t+4`]

따라서

[eqn: 3`x ^{3} -5x ^{2} +4x+7][eqn: = LEFT ( 3x ^{2} -8x+3 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) +9x+4]
[eqn: =9x+4`][eqn: =9 TIMES {4- sqrt {7}} over {3} +4] [eqn: =16-3 sqrt {7}]

그림과 같이 선분 [eqn: rmAB]를 빗변으로 하는 직각삼각형

[eqn: rmABC]가 있다. 점 [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때, [eqn: rm barCH =1]이고 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는 [eqn: 4 over3]이다.

[eqn: rm barBH = itx]라 할 때, [eqn: 3x^3 -5x^2 +4x+7]의 값은?

(단, [eqn: x<1])

① [eqn: 13-3root7]	② [eqn: 14-3root7]	③ [eqn: 15-3root7]

④ [eqn: 16-3root7]	⑤ [eqn: 17-3root7]

①

정오각형의 한 내각의 크기는 [eqn: { 180 DEG times 3 } over 5 = 108 DEG]이다.

[eqn: rm triangle ABE]는 이등변삼각형이고 [eqn: rm angle BAE = 108 DEG]이므로

[eqn: rm angle ABE = 36 DEG]이다.

[eqn: rm triangle BAC]는 이등변삼각형이고 [eqn: rm angle ABC = 108 DEG]이므로

[eqn: rm angle BAC = 36 DEG]이다.

[eqn: rm angle BAP = angle ABP = 36 DEG]이므로 [eqn: rm angle APB = 108 DEG]이고

이고, [eqn: rm angle EAP = 72 DEG]이다.

[eqn: rm triangle APE]는 이등변삼각형이므로 [eqn: rm bar PE = 1]이다.

[eqn: rm bar BE : bar PE = bar PE : bar BP] ⇔ [eqn: x:1 = 1 : (x-1)]

[eqn: x(x-1) = 1], [eqn: x sup 2 - x -1 = 0]이다.

[eqn: x>0]이므로 [eqn: rm angle APE = 72 DEG]로 [eqn: x= { 1+ root 5 } over 2]이다.

[eqn: x sup 2 = x+1]

[eqn: x sup 3 = (x+1) x = 2x + 1]

[eqn: x sup 4 = (2x+1) x = 3x+2]

[eqn: x sup 5 = (3x+2) x = 5x + 3]

[eqn: x sup 6 = (5x+3) x = 8x + 5]

[eqn: 1- x + x sup 2 - x sup 3 + x sup 4 - x sup5 +x sup6 - x sup7 + x sup8][eqn: = 1 + left (-x+ x sup 2 right ) + x sup 2 left ( -x + x sup 2 right ) + x sup 4 left ( - x + x sup 2 right ) + x sup 6 left ( -x + x sup 2 right )]

[eqn: = 1 + 1 + x sup 2 + x sup 4 + x sup 6]

[eqn: = 2 + (x+1) + 3x+2) + (8x+5)][eqn: = 12x+ 10][eqn: = 12 times { 1 + root 5 } over 2 + 10][eqn: = 16 + 6 root 5]

이므로 [eqn: p= 16 ,~ q = 6]이다.

따라서 [eqn: p+q = 22]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정오각형 [eqn: rm ABCDE]가 있다. 두 대각선 [eqn: rm AC]와 [eqn: rm BE]가 만나는 점을 [eqn: rm P]라 하면 [eqn: rm bar BE : bar PE = bar PE : bar BP]가 성립한다.

[eqn: 1]

[eqn: x]

[eqn: rm P]

[eqn: rm A]

[eqn: rm E]

[eqn: rm D]

[eqn: rm C]

[eqn: rm B]

대각선 [eqn: rm BE]의 길이를 [eqn: x]라 할 때,

[eqn: 1- x + x sup 2 - x sup 3 + x sup 4 - x sup5 +x sup6 - x sup7 + x sup8 = p+q root 5]

이다. [eqn: p+ q]의 값은? (단, [eqn: p+q]는 유리수이다.)

① [eqn: 22]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 26]

[eqn: 270]

두 정육면체의 부피의 합이 [eqn: 243]이므로

[eqn: a ^{3} +b ^{3} =243]                               [eqn: CDOTS]➊

[eqn: (a+b) ^{3} =a ^{3} +b ^{3} +3ab(a+b)]이므로

[eqn: 9 ^{3} =243+3ab TIMES 9]에서 [eqn: ab=18]

따라서 두 정육면체의 겉넓이의 합은

[eqn: 6(a ^{2} +b ^{2} )=6 LEFT { (a+b) ^{2} -2ab RIGHT }]

[eqn: =6(9 ^{2} -2 TIMES 18)]

[eqn: =6 TIMES 45=270]                     [eqn: CDOTS]➋

채점 기준	배점
➊ 두 정육면체의 부피의 합을 [eqn: a], [eqn: b]에 대한 식으로 나타내기	2점
➋ 곱셈 공식을 이용하여 두 정육면체의 겉넓이의 합 구하기	3점

한 모서리의 길이가 각각 [eqn: a], [eqn: b]인 두 정육면체가 있다. [eqn: a+b=9]이고 두 정육면체의 부피의 합이 [eqn: 243]일 때, 두 정육면체의 겉넓이의 합을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오.

①

두 정육면체의 한 모서리의 길이를 각각 [eqn: a], [eqn: b`]라 하자.

한 정육면체의 모서리가 [eqn: 12`]개이고, 두 정육면체의 모든 모서리 길이의 합이 [eqn: 60`]이므로

[eqn: 12 LEFT ( a+b RIGHT )=60], 즉 [eqn: a+b=5]

한 정육면체의 면이 [eqn: 6`]개이고, 두 정육면체의 겉넓이의 합이 [eqn: 126`]이므로

[eqn: 6 LEFT ( a^2 +b^2 RIGHT )=126], 즉 [eqn: a^2 + b^2 =21]

[eqn: (a+b) ^{2} =a ^{2} +b ^{2} +2ab`]에서

[eqn: 25=21+2ab], [eqn: ab=2]

따라서 두 정육면체의 부피의 합은

[eqn: a^3 +b^3][eqn: =(a+b)^3 -3ab(a+b)][eqn: =5^3 - 3 times 2times 5] [eqn: =125-30]

[eqn: =95]

두 정육면체의 모든 모서리 길이의 합은 [eqn: 60]이고, 겉넓이의 합은 [eqn: 126]이다. 이 두 정육면체의 부피의 합은?

① [eqn: 95]	② [eqn: 100]	③ [eqn: 105]

④ [eqn: 110]	⑤ [eqn: 115]

[eqn: 108]

[eqn: {bar{rm AC it}} =a], [eqn: {bar{rm BC it}} =b]라 하면

삼각형 [eqn: rm ABC]가 직각삼각형이므로

[eqn: a ^{2} +b ^{2} = LEFT ( 2 sqrt {6} RIGHT ) ^{2} =24]이고

삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이가 [eqn: 3]이므로 [eqn: ab=6]이다.

[eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} =36]이므로 [eqn: a+b=6]이다.

[eqn: a ^{3} +b ^{3}][eqn: = LEFT ( a+b RIGHT ) ^{3} -3ab LEFT ( a+b RIGHT )][eqn: =6 ^{3} -3 TIMES 6 TIMES 6=108]

따라서 [eqn: {bar{rm AC it}} ^{`3} + {bar{rm BC it}} ^{`3} =108]

그림과 같이 [eqn: anglermC=90°]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]가 있다.

[eqn: bar{rmAB}=2 sqrt {6}]이고 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 3]일 때,

[eqn: {bar{rm AC}} ^{3} + {bar{rm BC}}^{3}]의 값을 구하시오.

②

[eqn: rm ANGLE HPI=90°]이므로 [eqn: rm {bar{HI}} = {bar{OP}}]에서 [eqn: rm {bar{HI}} =4]이다.

[eqn: rm {bar{PH}} =itx], [eqn: rm {bar{P"I"}} = it y]라 하면 삼각형 [eqn: rm P"I"H]에서

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =16]   [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

삼각형 [eqn: rm P"I"H]의 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r]이라 하면

[eqn: pi r ^{2} = {pi} over {4}]에서 [eqn: r= {1} over {2}]

삼각형 [eqn: rm P"I"H]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} xy= {1} over {2} TIMES {1} over {2} TIMES (x+y+4)]

[eqn: xy= {1} over {2} (x+y+4)]에서 [eqn: x+y=2(xy-2)]    [eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 4(xy-2) ^{2} -2xy=16], [eqn: xy(2xy-9)=0]

[eqn: xy!=0]이므로 [eqn: xy= {9} over {2}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

㉡, ㉢에서 [eqn: x+y=5]

[eqn: rm {bar{PH}} ^{3} + {bar{P"I"}} ^{3}][eqn: =x ^{3} +y ^{3}]
[eqn: =(x+y) ^{3} -3xy(x+y)]

[eqn: =5 ^{3} -3 TIMES {9} over {2} TIMES 5][eqn: = {115} over {2}]

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO], 반지름의 길이가 [eqn: 4]이고 중심각의 크기가 [eqn: 90°]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. 호 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP]에서 두 선분 [eqn: rmOA], [eqn: rmOB]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmH], [eqn: rmI]라 하자. 삼각형 [eqn: rm P I H]에 내접하는 원의 넓이가 [eqn: {pi} over {4}]일 때, [eqn: rm {bar{PH}} ^{3} + {bar{P I }} ^{3}]의 값은? (단, 점 [eqn: rmP]는 점 [eqn: rmA]도 아니고 점 [eqn: rmB]도 아니다.)

① [eqn: 56]	② [eqn: {115} over {2}]	③ [eqn: 59]

④ [eqn: {121} over {2}]	⑤ [eqn: 62]

④

[eqn: rm bar AB ,~ bar BC ,~ bar BF]의 길이를 각각 [eqn: a,~b,~ c]라 하자.

직육면체의 겉넓이가 [eqn: 148]이므로 [eqn: 2(ab + bc + ca ) = 148]이다. [eqn: ab + bc + ca = 74]  [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

모든 모서리의 길이의 합이 [eqn: 60]이므로 [eqn: 4(a+b+c) = 60]이다. [eqn: a+b+c = 15]   [eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

곱셈공식 [eqn: a sup2 + b sup 2 + c sup2 = (a+b+c) sup2 - 2 (ab + bc + ca )]에

㉠, ㉡을 대입하면 [eqn: a sup2 + b sup2 + c sup2 = 77]이다.

따라서

[eqn: rm { bar { BG }} sup 2 +{ bar { GD }} sup 2 + { bar { DB }} sup 2][eqn: = left ( b sup2 + c sup2 right ) + left ( a sup 2 + c sup2 right ) + left ( a sup2 + b sup 2 right )]

[eqn: = 2 left ( a sup2 + b sup2 + c sup2 right )][eqn: = 154]이다.

그림과 같이 겉넓이가 [eqn: 148]이고, 모든 모서리의 길이의 합이 [eqn: 60]인 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]가 있다.

[eqn: { bar{rmBG}}^2 + {bar{rmGD}}^2 +{bar{rmDB}}^2]의 값은?

① [eqn: 136]	② [eqn: 142]	③ [eqn: 148]

④ [eqn: 154]	⑤ [eqn: 160]

[eqn: 15]

그림과 같은 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합이 [eqn: 20]이고 삼각형 [eqn: rm{AFC}it]의 세 변의 길이의 제곱의 합이 [eqn: 20]일 때, 이 직육면체의 겉넓이를 구하시오.

[eqn: 148]

[eqn: overline{{rm{AB}} it }=x], [eqn: overline{{rm{AD}} it }=y], [eqn: overline{{rm{AE}} it }=z]라 하면

[eqn: l_{1}=3 x+3 y+3 z+ overline{{rm{AC}} it }+ overline{{rm{CF}} it }+ overline{{rm{FA}} it }]

[eqn: l_{2}=x+y+z+ overline{{rm{AC}} it }+ overline{{rm{CF}} it }+ overline{{rm{FA}} it }]

이므로 [eqn: l_{1}-l_{2}=2 x+2 y+2 z=28]에서 [eqn: x+y+z=14]

[eqn: S_{1}=x y+y z+z x+{1} over {2} x y+{1} over {2} y z+{1} over {2} z x][eqn: +] (삼각형 [eqn: {rm{AFC}} it]의 넓이)

[eqn: S_{2}={1} over {2} x y+{1} over {2} y z+{1} over {2} z x+(]삼각형 [eqn: {rm{AFC}} it]의 넓이[eqn: )]

이므로 [eqn: S_{1}-S_{2}=x y+y z+z x=61]

[eqn: {bar{ rm AC it }}^{2} + {bar{ rm CF it }}^{2} + {bar{ rm FA it }}^{2}][eqn: = LEFT ( x ^{2} +y ^{2} RIGHT ) + LEFT ( y ^{2} +z ^{2} RIGHT ) + LEFT ( z ^{2} +x ^{2} RIGHT )]

[eqn: =2 left(x^{2}+y^{2}+z^{2} right)][eqn: =2 left{ (x+y+z)^{2}-2(x y+y z+z x) right.]
[eqn: =2 times left(14^{2}-2 times 61 right)=148]

그림과 같이 직육면체 [eqn: {rm{ABCD}} it -{rm{EFGH}} it]에서 단면 [eqn: {rm{AFC}} it]가 생기도록 사면체 [eqn: {rm{F}} it -{rm{ABC}} it]를 잘라내었다. 입체도형 [eqn: {rm{ACD}} it -{rm{EFGH}} it]의 모든 모서리의 길이의 합을 [eqn: l_{1}], 겉넓이를 [eqn: S_{1}]이라 하고, 사면체 [eqn: {rm{F}} it -{rm{ABC}} it]의 모든 모서리의 길이의 합을 [eqn: l_{2}], 겉넓이를 [eqn: S_{2}]라 하자. [eqn: l_{1}-l_{2}=28],

[eqn: S_{1}-S_{2}=61]일 때, [eqn: {bar{ rm AC it }}^{2} + {bar{ rm CF it }}^{2} + {bar{ rm FA it }}^{2}]의 값을 구하시오.

[eqn: 126]

정사각뿔 [eqn: rmO-ABCD]의 부피는

[eqn: {1} over {3} TIMES a ^{2} TIMES sqrt {a ^{2} - LEFT ( {sqrt {2}} over {2} a RIGHT ) ^{2}} = {sqrt {2}} over {6} a ^{3}]

정사각뿔 [eqn: rmO-EFGH]의 부피는

[eqn: {1} over {3} TIMES b ^{2} TIMES sqrt {b ^{2} - LEFT ( {sqrt {2}} over {2} b RIGHT ) ^{2}} = {sqrt {2}} over {6} b` ^{3}]

두 정사각뿔 [eqn: rmO-ABCD], [eqn: rmO-EFGH]의 부피의 합이 [eqn: 2 sqrt {2}]이므로

[eqn: {sqrt {2}} over {6} LEFT ( a ^{3} +b ^{3} RIGHT ) =2 sqrt {2}], [eqn: a ^{3} +b ^{3} =12]

점 [eqn: rmF]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmI]라 하면 삼각형 [eqn: rmBFI]는
[eqn: ANGLE rm FBI=60°]인 직각삼각형이므로

[eqn: bar{rmFI}= {sqrt {3}} over {2} bar{rmFB}=it {sqrt {3}} over {2} LEFT ( a-b RIGHT )],

[eqn: bar{rmBI}= {1} over {2} bar{rmFB}= {1} over {2} it LEFT ( a-b RIGHT )]에서

[eqn: bar{rmAI}=ita- {1} over {2} LEFT ( a-b RIGHT ) = {1} over {2} LEFT ( a+b RIGHT )]

삼각형 [eqn: rmFAI]는 직각삼각형이므로 [eqn: {bar{rm AF}} ^{2}][eqn: = {bar{rm FI}} ^{2} + {bar{rm AI}} ^{2}]
[eqn: = LEFT { {sqrt {3}} over {2} LEFT ( a-b RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT { {1} over {2} LEFT ( a+b RIGHT ) RIGHT } ^{2}]
[eqn: = {3} over {4} LEFT ( a ^{2} -2ab+b ^{2} RIGHT ) + {1} over {4} LEFT ( a ^{2} +2ab+b ^{2} RIGHT )]
[eqn: =a ^{2} -ab+b ^{2} =4]

[eqn: a ^{3} +b ^{3} = LEFT ( a+b RIGHT ) LEFT ( a ^{2} -ab+b ^{2} RIGHT ) = LEFT ( a+b RIGHT ) TIMES 4=12]이므로

[eqn: a+b=3]

[eqn: a ^{2} -ab+b ^{2} = LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} -3ab=3 ^{2} -3ab=4]이므로

[eqn: ab= {5} over {3}]

[eqn: LEFT ( a-b RIGHT ) ^{2} = LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} -4ab=3 ^{2} -4 TIMES {5} over {3} = {7} over {3}]이므로

[eqn: a-b= {sqrt {21}} over {3}]

사각형 [eqn: rmABFE]의 넓이는 정삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이에서 정삼각형 [eqn: rmOEF]의 넓이를 뺀 것과 같으므로

[eqn: S][eqn: = {sqrt {3}} over {4} a ^{2} - {sqrt {3}} over {4} b ^{2}] [eqn: = {sqrt {3}} over {4} LEFT ( a ^{2} -b ^{2} RIGHT )]

[eqn: = {sqrt {3}} over {4} LEFT ( a+b RIGHT ) LEFT ( a-b RIGHT )] [eqn: = {sqrt {3}} over {4} TIMES 3 TIMES {sqrt {21}} over {4} = {3} over {4} sqrt {7}]

따라서 [eqn: 32 TIMES S ^{2} =32 TIMES {63} over {16} =126]

그림과 같이 모든 모서리의 길이가 [eqn: a]인 정사각뿔

[eqn: rmO-ABCD]가 있다. 네 선분 [eqn: rmOA], [eqn: rmOB], [eqn: rmOC], [eqn: rmOD] 위의 네 점 [eqn: rmE], [eqn: rmF], [eqn: rmG], [eqn: rmH]를 [eqn: rm barOE = barOF = barOG = barOH = itb]가 되도록 잡는다. 두 정사각뿔 [eqn: rmO-ABCD], [eqn: rmO-EFGH]의 부피의 합이 [eqn: 2root2]이고 선분 [eqn: rmAF]의 길이가 [eqn: 2]일 때, 사각형 [eqn: rmABFE]의 넓이를 [eqn: S]라 하자. [eqn: 32times S` ^{2}]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 [eqn: a>b>0]인 상수이다.)

②

직육면체의 가로의 길이를 [eqn: a], 세로의 길이를 [eqn: b], 높이를 [eqn: c`]라 하면 입체도형의 겉넓이가 [eqn: 236`]이므로

[eqn: 2(ab+bc+ca)=236`]

입체도형의 모든 모서리의 길이의 합이 [eqn: 82`]이므로

[eqn: 4(a+b+c)+6=82`]

[eqn: a+b+c=19`]

직육면체의 대각선의 길이를 [eqn: l`]이라 하면

[eqn: l`][eqn: = sqrt{a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} `][eqn: = sqrt{(a+b+c) ^{2} -2(ab+bc+ca)`]
[eqn: =sqrt{19 ^{2} -236`][eqn: = sqrt {125}][eqn: =5 sqrt5]

[그림 1]과 같이 모든 모서리의 길이가 [eqn: 1]보다 큰 직육면체가 있다. 이 직육면체와 크기와 모양이 같은 나무토막의 한 모퉁이에서 한 모서리의 길이가 [eqn: 1]인 정육면체 모양의 나무토막을 잘라내어 버리고 [그림 2]와 같은 입체도형을 만들었다. [그림 2]의 입체도형의 겉넓이는 [eqn: 236]이고, 모든 모서리의 길이의 합은 [eqn: 82]일 때,

[그림 1]에서 직육면체의 대각선의 길이는?

[그림 1]               [그림 2]

① [eqn: 2root30]	② [eqn: 5root5]	③ [eqn: root130]

④ [eqn: 3root15]	⑤ [eqn: 2root35]

[eqn: 16]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rmbarAQ`=`itx`,~rmbarQB`=`ity``]라 하자.

[eqn: S_1`=` { pi} over { 2} LEFT ( ` { x`+`y} over { 2} ` RIGHT )^2`-` { pi} over { 2} LEFT ( ` { x} over { 2} ` RIGHT )^2`-` { pi} over { 2} LEFT ( ` { y} over { 2} ` RIGHT )^2`=` { pi} over { 4}`xy``]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: TRIANGLE rm AQP``□`` TRIANGLE PQB``]이므로 [eqn: rmbarAQ``:``barPQ`=`barPQ``:``barBQ``]

이다. 따라서

[eqn: rmbarPQ`^2`=`barAQ` TIMES`barBQ`=`itxy``]

이다. 그러므로 [eqn: S_2`=` { pi} over { 2}` LEFT ( ` { rmbarPQ} over { 2} ` RIGHT )^2`=`it { pi} over { 8}`xy``]이다.

[eqn: S_1`-`S_2`=` { pi} over {8 }`xy`=`2`pi``]에서 [eqn: xy`=`16``]

이고 [eqn: rmbarAQ`-`barQB`=`8` sqrt { 3}``]에서 [eqn: x`-`y`=`8 sqrt { 3}``]

이므로

[eqn: LEFT ( ` rm {bar{AB}} ` RIGHT ) ^{2} ` & =( {bar{AQ}} + {bar{QB}} ) ^{2}# & =` it LEFT ( `x`+`y` RIGHT ) ^{2} `# & =` LEFT ( `x`-`y` RIGHT ) ^{2} `+`4`xy`# & =`192`+`64`=`256``]

이다. 따라서 [eqn: rm {bar{AB}} ``=`16``]이다.

선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원이 있다. 그림과 같이 호 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라 하고, 선분 [eqn: rmAQ]와 선분 [eqn: rmQB]를 지름으로 하는 반원을 각각 그린다. 호 [eqn: rmAB], 호 [eqn: rmAQ] 및 호 [eqn: rmQB]로 둘러싸인  모양 도형의 넓이를 [eqn: S_1], 선분 [eqn: rmPQ]를 지름으로 하는 반원의 넓이를 [eqn: S_2]라 하자. [eqn: rmbarAQ -barQB =8root3]이고 [eqn: S_1 -S_2 = 2pi]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이를 구하시오.

항등식

ㄴ, ㄷ, ㄹ

ㄱ. 좌변과 우변이 다르다.

ㄴ. 주어진 식의 좌변을 전개하면

[eqn: `][eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +x-1][eqn: =x ^{2} -2x+1+x-1]
[eqn: =x ^{2} -x]

[eqn: `]이므로 [eqn: x]의 값에 관계없이 좌변과 우변이 같다.

ㄷ. 주어진 식의 좌변을 전개하면

[eqn: `][eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) =x ^{2} -x-6]

[eqn: `]이므로 [eqn: x]의 값에 관계없이 좌변과 우변이 같다.

ㄹ. 주어진 식의 우변을 전개하면

[eqn: `][eqn: 3 LEFT ( x-1 RIGHT ) +5=3x+2]

[eqn: `]이므로 [eqn: x]의 값에 관계없이 좌변과 우변이 같다.

ㅁ. 주어진 식의 우변을 전개하면

[eqn: `][eqn: x LEFT ( x-8 RIGHT ) +10=x ^{2} -8x+10]

[eqn: `]이므로 좌변과 우변이 다르다.

따라서 항등식은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.

다음 식 중 항등식인 것을 모두 고르시오.

ㄱ. [eqn: 2x+3=x-1]

ㄴ. [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +x-1=x ^{2} -x]

ㄷ. [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) =x ^{2} -x-6]

ㄹ. [eqn: 3x+2=3 LEFT ( x-1 RIGHT ) +5]

ㅁ. [eqn: x ^{2} -8x+9=x LEFT ( x-8 RIGHT ) +10]

①

주어진 등식의 양변에 [eqn: x= alpha]를 대입하면

[eqn: alpha ^{3} +1=0`````````` THEREFORE ``` alpha ^{3} =-1]

양변에 [eqn: x= beta]를 대입하면

[eqn: beta ^{3} +1=0``````````` THEREFORE `` beta ^{3} =-1]

양변에 [eqn: x= gamma]를 대입하면

[eqn: gamma ^{3} +1=0```````````` THEREFORE `` gamma ^{3} =-1]

[eqn: THEREFORE `` alpha ^{3} + beta ^{3} + gamma ^{3} =-3]

등식 [eqn: x ^{3} +1= LEFT ( x- alpha RIGHT ) LEFT ( x- beta RIGHT ) LEFT ( x- gamma RIGHT )]가 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: alpha ^{3} + beta ^{3} + gamma ^{3}]의 값은? (단, [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]는 상수이다.)

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

(1) [eqn: {a=4], [eqn: b=8] (2) [eqn: a=1], [eqn: b=-1}]

(1) 양변에 [eqn: x+y +2]를 곱하여 정리하면

[eqn: 4x+ay+b=kx+ky+2k]

양변의 계수를 비교하면

[eqn: 4=k], [eqn: a=k], [eqn: b=2k]

[eqn: THEREFORE ``a=4], [eqn: b=8]

(2) 양변에 [eqn: x(x+2)]를 곱하여 정리하면

[eqn: 2= (a+b) x +2a]

양변의 계수를 비교하면

[eqn: a+b = 0], [eqn: 2a=2]

[eqn: THEREFORE ``a=1], [eqn: b=-1}]

다음 등식이 [eqn: x], [eqn: y]의 값에 관계없이 항상 성립하도록 하는 세 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 각각 구하시오. (단, 분모는 [eqn: 0]이 아니다.)
(1) [eqn: { 4x +ay +b } over {x+y+2 } = k] (단, [eqn: k]는 [eqn: 0]이 아닌 상수)
(2) [eqn: 2 over {x(x+2) } = a over x + b over x+2]

[eqn: {-1}]

[eqn: 1]이 이차방정식의 근이므로 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: k+p+(k+1)q =0]

[eqn: (1+q)k+(p+q)=0]

이 식이 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 성립하므로

[eqn: 1+q=0], [eqn: p+q=0]

[eqn: p=1], [eqn: q=-1]

[eqn: THEREFORE ```pq=-1]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: kx ^2 +px + (k+1) q =0]은 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 [eqn: 1]을 근으로 갖는다. 이때 [eqn: p`q]의 값을 구하시오.

③

[eqn: k(x-2y-3)-l(4x-2y+1)=2x-y+m]을 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 정리하면

[eqn: (k-4l)x+(-2k+2l)y-3k-l=2x-y+m]

이 식이 [eqn: x], [eqn: y]에 대한 항등식이므로

[eqn: k-4l=2], [eqn: -2k+2l=-1], [eqn: -3k-l=m] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

㉠을 연립하여 풀면 [eqn: k=0], [eqn: l= - 1 over 2], [eqn: m= 1 over 2]

[eqn: THEREFORE ~k+l+m=0]

임의의 두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여

[eqn: k(x-2y-3)-l(4x-2y+1)=2x-y+m]

이 성립할 때, 세 상수 [eqn: k], [eqn: l], [eqn: m]의 합 [eqn: k+l+m]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: y=x-1]을 [eqn: ax^2 +y^2 +bx -y +c=0]에 대입하면

[eqn: ax^2 +(x-1)^2 +bx -(x-1)+c=0]

따라서 [eqn: (a+1)x^2 +(b-3)x +(c+2)=0]

위의 식은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: a+1=0], [eqn: b-3=0], [eqn: c+2=0]

에서 [eqn: a=-1], [eqn: b=3], [eqn: c=-2]

[eqn: THEREFORE ``a+2b+c=-1+6-2=3]

[eqn: x-y=1]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 등식

[eqn: ax^2 +y^2 +bx -y +c=0]

이 항상 성립하도록 하는 세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 정할 때, [eqn: a+2b+c]의 값을 구하시오.

[eqn: a=5], [eqn: b=-6]

주어진 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: 0= 1+a+b]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: x=-2]를 대입하면 [eqn: 0 = 16 -2a + b] [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=5], [eqn: b=-6]

어떤 다항식 [eqn: P(x)]에 대하여 등식

[eqn: (x-1)(x+2) P(x)= x ^4 +ax +b]

가 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 하는 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 각각 구하시오.

[eqn: 0]

[eqn: x ^{5} -ax ^{2} +b= LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) +x]가 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 [eqn: x=-1], [eqn: x=2]를 대입해도 항상 성립한다.

주어진 등식의 양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: -1-a+b=-1]

[eqn: THEREFORE ``a=b]       [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

양변에 [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: 32-4a+b=2]

[eqn: THEREFORE ``4a-b=30]   [eqn: CDOTS CDOTS] ㉡                     [eqn: CDOTS]➊

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=10], [eqn: b=10]

[eqn: THEREFORE ``x ^{5} -10x ^{2} +10= LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) +x]       [eqn: CDOTS]➋

양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 1-10+10= LEFT ( 1+1 RIGHT ) LEFT ( 1-2 RIGHT ) f LEFT ( 1 RIGHT ) +1]

[eqn: -2f LEFT ( 1 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ``f LEFT ( 1 RIGHT ) =0]                                  [eqn: CDOTS]➌

채점 기준	배점
➊ [eqn: x=-1], [eqn: x=2]를 대입하여 [eqn: a], [eqn: b]에 대한 연립방정식 세우기	2점
➋ [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하여 주어진 식에 대입하기	3점
➌ [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값 구하기	1점

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여

[eqn: x ^{5} -ax ^{2} +b= LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) +x]

가 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

①

주어진 항등식의 양변에 [eqn: x=-2]를 대입하면

[eqn: -8-4-6-2=0-2 a]

[eqn: THEREFORE ``a=10]

[eqn: x^{3}-x^{2}+3 x-2=(x+2) P(x)+10 x]에서

[eqn: (x+2) P(x)=x^{3}-x^{2}-7 x-2]

[eqn: Q(x)=x^{3}-x^{2}-7 x-2]라 하면 [eqn: Q(-2)=0]이므로

[eqn: Q(x)]는 [eqn: x+2]를 인수로 갖는다.

이때 조립제법을 이용하여 [eqn: Q(x)]를 인수분해하면

[eqn: Q(x)=x^{3}-x^{2}-7 x-2]

[eqn: ~ =(x+2) left(x^{2}-3 x-1 right)]

[eqn: (x+2) P(x)=(x+2) left(x^{2}-3 x-1 right)]

이 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이고 [eqn: P(x)]가 다항식이므로

[eqn: P(x)=x^{2}-3 x-1]

따라서 [eqn: P(-2)=4+6-1=9]

다항식 [eqn: P ` left( x right)]와 상수 [eqn: a]에 대하여 등식

[eqn: x^3 - x^2 +3x-2 = left(x+2 right) P ` left(x right) +ax]

가 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: P ` left(-2 right)]의 값은?

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

③

등식 [eqn: x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) P(x)+ax+b]

의 양변에 [eqn: x=it-1`]을 대입하면

[eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES 0 TIMES 1=0 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) TIMES P(-1)+a TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) +b]

[eqn: 0=it-a+b]    [eqn: cdotscdots] ㉠

등식 [eqn: x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) P(x)+ax+b]의 양변에 [eqn: x=1`]을 대입하면

[eqn: 1 TIMES 2 TIMES 3=2 TIMES 0 TIMES P(1)+a TIMES 1+b]

[eqn: 6= a+b]      [eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=3], [eqn: b=3]

따라서 주어진 등식은

[eqn: x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) P(x)+3x+3]

[eqn: a-b=0`]이므로 위 등식의 양변에 [eqn: x=0`]을 대입하면

[eqn: 0 TIMES 1 TIMES 2=1 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES P(0)+3 TIMES 0+3]

[eqn: P(0)][eqn: =3]

따라서 [eqn: P(a-b)][eqn: =P(0)][eqn: =3]

다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식

[eqn: x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) P LEFT ( x RIGHT ) +ax+b]

를 만족시킬 때, [eqn: P LEFT ( a-b RIGHT )]의 값은?

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

③

[eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: 3 x sup 2 + ax + 4 = bx (x-1) + c(x-1) (x-2)]에

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: a+7 =0]이므로 [eqn: a= -7]

[eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: 4= 2c]이므로 [eqn: c=2]이다.

[eqn: x=2]를 대입하면 [eqn: 2a+ 16 =2b ,~ -14 + 16 = 2b]이므로

[eqn: b=1]이다.

따라서 [eqn: a+b+c = -7 + 1 + 2 = -4]

[eqn: x]의 값에 관계없이 등식

[eqn: 3x ^{2} +ax+4=bx LEFT ( x-1 RIGHT ) +c LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )]

가 항상 성립할 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.)

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

[eqn: 352]

등식

[eqn: x ^{6} -x ^{3} +1=a _{6} (x-2) ^{6} +a _{5} (x-2) ^{5} +] [eqn: CDOTS]

[eqn: +a _{1} (x-2)+a _{0}]

이 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: a_{0}+a_{2}+a_{4}+a_{6}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a_{0}], [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: a_{4}], [eqn: a_{5}], [eqn: a_{6}]은 상수이다.)

나머지 정리

[eqn: a = - 5 over2], [eqn: b = 1 over2]

다항식 [eqn: x^{3}+a x^{2}+b x+4]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 3]이고, [eqn: x+1]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 0]일 때,

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 각각 구하시오.

⑤

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +ax+b`]라 하면 나머지정리에 의하여

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1+a+b=6]     …… ㉠

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =9+3a+b=6]    …… ㉡

㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: a=-4`], [eqn: b=9]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4x+9]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x-4`]로 나누었을 때의 나머지는

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =16-16+9=9]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지와 [eqn: x-3]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 6]으로 같다. 이차다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-4]로 나눈 나머지는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

①

다항식 [eqn: f(x)]를 일차식 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 몫을

[eqn: Q (x)], 나머지를 [eqn: R]이라 하면

[eqn: f(x) = (x-1) Q (x) + R]

나머지정리에 의하여 [eqn: 4 times left { f(1) -2 right } = 16]이므로

[eqn: f(1) = 6 = R]

다항식 [eqn: f left(x right)]에 대하여 다항식 [eqn: left(x+3 right) left{ f left( x right) -2 right}]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지가 [eqn: 16]일 때, 다항식 [eqn: f left(x right)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

①

다항식 [eqn: f(x+3)]을 [eqn: (x+2)(x-1)]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)]라 하면 [eqn: f(x+3)=(x+2)(x-1)Q(x)+3x+8] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

나머지정리에 의하여 [eqn: f(x ^{2} )]을 [eqn: x+2]로 나눈 나머지는 [eqn: f(4)]이므로 ㉠에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: f(4)=11]

다항식 [eqn: f LEFT ( x+3 RIGHT )]을 [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]로 나눈 나머지가 [eqn: 3x+8]일 때, 다항식 [eqn: f LEFT ( x ^{2} RIGHT )]을 [eqn: x+2]로 나눈 나머지는?

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

⑤

다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x ^{2} +2x-3]으로 나눈 몫을 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]라 하면

[eqn: P LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x ^{2} +2x-3 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +2x+5]
[eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +2x+5]

따라서 다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는 나머지정리에 의하여 [eqn: P LEFT ( 1 RIGHT ) =2+5=7]

다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x ^{2} +2x-3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 2x+5]일 때, [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

③

다항식 [eqn: f LEFT ( x+1 RIGHT )]을 [eqn: x]로 나눈 몫을 [eqn: Q` _{1} LEFT ( x RIGHT )]라 하면

[eqn: f LEFT ( x+1 RIGHT ) =xQ` _{1} LEFT ( x RIGHT ) +6]

위 식의 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =6]

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x ^{2} -x]로 나눈 몫을 [eqn: Q` _{2} LEFT ( x RIGHT )]라 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x ^{2} -x RIGHT ) Q` _{2} LEFT ( x RIGHT ) +ax+a]

[eqn: =x LEFT ( x-1 RIGHT ) Q` _{2} LEFT ( x RIGHT ) +ax+a]

위 식의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2a]

[eqn: 2a=6]이므로 [eqn: a=3]

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x ^{2} -x]로 나눈 나머지가 [eqn: ax+a]이고, 다항식 [eqn: f LEFT ( x+1 RIGHT )]을 [eqn: x]로 나눈 나머지는 [eqn: 6]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

③

[eqn: x ^{5} +ax ^{2} +(a+1)x+2=(x-1)Q`(x)+6]   …… ㉠
㉠에 [eqn: x=1`]을 대입하면
[eqn: 1+a+ LEFT ( a+1 RIGHT ) +2=6`]이므로 [eqn: a=1`]

[eqn: x ^{5} +x ^{2} +2x+2= LEFT ( x-1 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) +6`]              …… ㉡
㉡에 [eqn: x=2`]를 대입하면
[eqn: 32+4+4+2=Q` LEFT ( 2 RIGHT ) +6`]이므로 [eqn: Q` LEFT ( 2 RIGHT ) =36`]
따라서 [eqn: a+Q` LEFT ( 2 RIGHT ) =37`]이다.

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: x^5 +ax^2 +left(a+1 right) x +2]를 [eqn: x-1]로

나누었을 때의 몫은 [eqn: Q ` left(x right)]이고 나머지는 [eqn: 6]이다.

[eqn: a + Q ` left(2 right)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

① [eqn: 33]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 37]

④ [eqn: 39]	⑤ [eqn: 41]

①

다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( 2x-a RIGHT ) `]로 나눈 몫이 [eqn: x+1`]이고 나머지가 [eqn: 6`]이므로

[eqn: f(x)=(x-3)(2x-a)(x+1)+6]    …… ㉠

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1`]로 나눈 나머지가 [eqn: 6`]이므로 나머지정리에 의하여 [eqn: f(1)=6`]이다.

㉠에 [eqn: x=1`]을 대입하면

[eqn: f(1)][eqn: =(1-3)(2-a) TIMES 2+6] [eqn: =it-4 LEFT ( 2-a RIGHT ) +6]

[eqn: =it-8+4a+6][eqn: =4a-2]

따라서 [eqn: 4a-2=6], [eqn: a=2]

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-3)(2x-a)]로 나눈 몫은 [eqn: x+1]이고 나머지는 [eqn: 6]이다. 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지가 [eqn: 6]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

②

두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대해 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +ax+b`]라 하자.
조건 (가)에서 나머지정리에 의하여 [eqn: P` LEFT ( 1 RIGHT ) =1`]이므로
[eqn: a+b= it 0]       …… ㉠
조건 (나)에서 나머지정리에 의하여
[eqn: 2P` LEFT ( 2 RIGHT ) =2`], [eqn: P` LEFT ( 2 RIGHT ) =1`]이므로
[eqn: 2a+b= it -3`]    …… ㉡
㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: a= it -3`], [eqn: b=3`]
따라서 [eqn: P` LEFT ( 4 RIGHT ) =4 ^{2} -3 TIMES 4+3=7`]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차다항식 [eqn: P` left( x right)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: P` left(4right)]의 값은?

(가) [eqn: P` left(x right)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지는

[eqn: 1]이다.

(나) [eqn: xP ` left(x right)]를 [eqn: x-2]로 나누었을 때의 나머지는

[eqn: 2]이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

⑤

(가), (나)에 의하여,

[eqn: 4x LEFT ( x+1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +2x+b`]이다.

(ⅰ) 양변에 [eqn: x=0`]을 대입하면 [eqn: b=0`]

(ⅱ) 양변에 [eqn: x=it-1`]을 대입하면 [eqn: a=3]

따라서 [eqn: 4x LEFT ( x+1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +3x ^{2} +2x][eqn: =x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )]

항등식의 성질에 의하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {4} x+ {1} over {2} `]이다.

조건 (가)에 의하여 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {4} x ^{3} + {1} over {2} x ^{2} `]이다.

따라서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x-4`]로 나눈 나머지는 [eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) =24`]이다

두 다항식 [eqn: f LEFT( x right)], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-4]로 나눈 나머지는?

(가) [eqn: g LEFT( x right)=x^2 f left(x right)]

(나) [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) + LEFT ( 3x ^{2} +4x RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +2x+b]

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

[eqn: 1]

두 다항식 [eqn: P(x)], [eqn: Q(x)]에 대하여 다항식 [eqn: P(x)-Q(x)]를 [eqn: x+2]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 3]이고, 다항식

[eqn: LEFT {P(x) RIGHT }^{3}- LEFT {Q(x) RIGHT }^{3}]을 [eqn: x+2]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 36]이다. 다항식 [eqn: P(x) Q(x)]를 [eqn: x+2]로 나누었을 때의

나머지를 구하시오.

[eqn: 2]

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x ^{2} -1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)],

나머지를 [eqn: R(x)=ax+b] ([eqn: a], [eqn: b]는 상수)라고 하면

[eqn: f(x) = (x^2 -1)Q(x) +R(x)]
[eqn: `][eqn: =(x+1)(x -1)Q(x)+ax+b]             [eqn: CDOTS]➊

이때 [eqn: f(1)=3], [eqn: f(-1)=5]이므로

[eqn: a+b=3], [eqn: -a+b=5]

위의 두 식을 연립하여 풀면 [eqn: a=-1], [eqn: b=4]     [eqn: `][eqn: CDOTS]➋

따라서 [eqn: R(x)=-x+4]이므로 [eqn: R(2)=-2+4=2]   [eqn: CDOTS]➌

채점 기준	배점
➊ 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x ^{2} -1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R(x)=ax+b]라고 하여 [eqn: f(x)]를 식으 로 나타내기	2점
➋ 나머지정리를 이용하여 [eqn: a], [eqn: b]의 값 각각 구하기	2점
➌ [eqn: R(2)]의 값 구하기	1점

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 3]이고, [eqn: x+1]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 5]이다. 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x ^{2} -1]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R(x)]라고 할 때,

[eqn: R(2)]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오.

[eqn: 2x+6]

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x^{2}-x-2]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 3 x+4]이고, [eqn: x^{2}+2 x-24]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: x]이다. 다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x^{2}+4 x-12]로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

[eqn: 11]

[eqn: P(x-1)=P(x)+x ^{2} -5]의 양변에

[eqn: x=3]을 대입하면 [eqn: P(2)=P(3)+4]

[eqn: x=4]를 대입하면 [eqn: P(3)=P(4)+11]

이때 [eqn: P(2)=4]이므로 [eqn: P(3)=0], [eqn: P(4)=-11]

[eqn: P(x)]를 [eqn: x ^{2} -7x+12]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R(x)=ax+b] ([eqn: a], [eqn: b]는 상수)라고 하면

[eqn: P(x)=(x ^{2} -7x+12)Q(x)+ax+b]

[eqn: `][eqn: =(x-3)(x-4)Q(x)+ax+b]

[eqn: P(3)=0]이므로 [eqn: 3a+b=0]    [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: P(4)=-11]이므로 [eqn: 4a+b=-11] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=-11], [eqn: b=33]

따라서 [eqn: R(x)=-11x+33]이므로 [eqn: R(2)=11]

삼차식 [eqn: P( it x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: P(2)=4]

(나) [eqn: P(x-1)=P(x)+x ^{2} -5]

[eqn: P(x)]를 [eqn: x ^{2} -7x+12]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R(x)]라고 할 때, [eqn: R(2)]의 값을 구하시오.

[eqn: 4x-1]

[eqn: x^{3}]의 계수가 [eqn: 1]인 삼차식 [eqn: P(x)]에 대하여

[eqn: P(2)=P(1)=P(-1)=3]

일 때, [eqn: P(x)]를 [eqn: x^{2}-x-6]으로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

[eqn: 3x-3]

다항식 [eqn: x^3 -1]을 [eqn: (x-1) ^2]으로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: ax+b] ([eqn: a], [eqn: b]는 상수)라고 하면

[eqn: x ^3 -1 = (x-1) ^2 Q(x) +ax+b]

이 식은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 0=a+b], [eqn: b=-a]

[eqn: x ^3 -1 =(x-1) ^2 Q(x) +a(x-1)]

[eqn: (x-1)(x ^2 +x+1)= (x-1) ^2 Q(x) +a(x-1)]

[eqn: x ^2 +x+1 =(x-1) Q(x) +a]

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: 3=a]

따라서 구하는 나머지는 [eqn: 3(x-1)][eqn: =3x-3]이다.

다항식 [eqn: x^3 -1]을 [eqn: (x-1) ^2]으로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

⑤

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 조건 (나)에 의하여

[eqn: f(x) = (x-2) sup 2 (x+a) + 2 (x-2)] ([eqn: a]는 상수)이다.

조건 (가)에 의하여 [eqn: f(0) = 4a -4 = 0]이므로 [eqn: a= 1]이다.

[eqn: f(x) = (x-2) sup 2 ( x+1 ) + 2 (x-2)]

[eqn: = (x-2) left { (x-2) (x+1) +2 right }][eqn: = (x-2) left ( x sup2 - x right )]

[eqn: = (x-1) left { x (x-2) right }]이므로

[eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 몫은 [eqn: Q(x) = x(x-2)]이다.

따라서 [eqn: Q(5) = 15]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차다항식 [eqn: f left( x right)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f left(0right) = 0]

(나) [eqn: f left(x right)]를 [eqn: left( x - 2 right)^2]으로 나눈 나머지가

[eqn: 2 left(x-2 right)]이다.

[eqn: f left(x right)]를 [eqn: x-1]로 나눈 몫을 [eqn: Q left( x right)]라 할 때, [eqn: Q left(5 right)]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

[eqn: -11]

다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: x^2 +x+1`]로 나누었을 때의

몫이 [eqn: Q(x),] 나머지가 [eqn: x-12`]이므로

[eqn: f(x) = (x^2 + x+1) Q(x) + x- 12]   [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠    [eqn: CDOTS]➊

[eqn: Q(x)`]를 [eqn: x-1`]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q`'(x)`]라고 하면 나머지가 [eqn: 1`]이므로

[eqn: Q(x) = (x-1)Q' (x) +1]           [eqn: cdotscdots] ㉡    [eqn: CDOTS]➋  ㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: f(x)][eqn: = (x^2 +x+1) left{ (x-1) Q`'(x) +1 right} +x -12]
[eqn: `][eqn: = (x^3 -1) Q`'(x) +x^2 +2x-11]

따라서 [eqn: R(x) = x^2 + 2x-11`]이므로             [eqn: CDOTS]➌

[eqn: R(0) = - 11]                                 [eqn: CDOTS]➍

채점 기준	배점
➊ [eqn: f(x)`]를 [eqn: x^ 2 +x+1`]로 나누었을 때 몫을 [eqn: Q(x),] 나머지를 [eqn: x-12`]로 나타내기	2점
➋ [eqn: Q(x)`]를 [eqn: x-1`]로 나누었을 때의 식으로 나타내기	1점
➌ [eqn: f(x)`]를 [eqn: x^3 -1`]로 나누었을 때의 나머지 [eqn: R(x)`] 구하기	2점
➍ [eqn: R(0)`]의 값 구하기	1점

다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: x^ 2 +x+1`]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: Q(x)], 나머지가 [eqn: x-12`]이고, [eqn: Q(x)`]를 [eqn: x-1`]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 1`]이다. [eqn: f(x)`]를 [eqn: x^3 -1`]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R(x)]라고 할 때, [eqn: R(0)`]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오.

[eqn: 91]

다항식 [eqn: LEFT (x-2 RIGHT )P LEFT (x RIGHT )-x ^{2}]을 [eqn: P LEFT (x RIGHT )-x]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: P LEFT (x RIGHT )-3x]이므로 나머지 [eqn: P LEFT (x RIGHT )-3x]의 차수는

[eqn: P LEFT (x RIGHT )-x]의 차수보다 낮아야 한다.

다항식 [eqn: P LEFT (x RIGHT )]의 차수가 [eqn: rm 1]이 아니면 [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) -x]의 차수와 [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) -3x]의 차수는 같아지므로 [eqn: P(x)]의 차수는 [eqn: rm 1]이다.

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =ax+b ~ LEFT ( a != 0,``a,``b RIGHT .]는 실수[eqn: )]라 하자.

[eqn: P LEFT (x RIGHT )-3x= LEFT (a-3 RIGHT )x+b]는 상수이므로 [eqn: a=3]

[eqn: P LEFT (x RIGHT )=3x+b]에 대하여

[eqn: LEFT (x-2 RIGHT )P LEFT (x RIGHT )-x ^{2}][eqn: = LEFT { P LEFT (x RIGHT )-x it RIGHT } Q LEFT (x RIGHT )+P LEFT (x RIGHT )-3x]

위 식을 정리하면

[eqn: LEFT { P LEFT (x RIGHT )-x it RIGHT } Q LEFT (x RIGHT )][eqn: = LEFT (x-2 RIGHT )P LEFT (x RIGHT )-x ^{2} - LEFT { P LEFT (x RIGHT )-3x it RIGHT }]
[eqn: = LEFT { P LEFT ( x RIGHT ) -x it RIGHT } LEFT ( x-3 RIGHT )]

이므로 [eqn: Q LEFT (x RIGHT )=x-3]

[eqn: P LEFT (x RIGHT )]를 [eqn: x-3]으로 나눈 나머지는 [eqn: rm 10]이므로 나머지정리에 의하여

[eqn: P LEFT (3 RIGHT )=9+b=10], [eqn: b=1]

[eqn: P LEFT (x RIGHT )=3x+1]

따라서 [eqn: P LEFT (30 RIGHT )=91]

다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) P LEFT ( x RIGHT ) -x ^{2}]을 [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) -x]로 나누었을 때의 몫은 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )], 나머지는 [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) -3x]이다.

[eqn: P LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]로 나눈 나머지가 [eqn: 10]일 때, [eqn: P LEFT ( 30 RIGHT )]의 값을 구하시오. (단, 다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) -x]는 [eqn: 0]이 아니다.)

몫: [eqn: LEFT. {1} over {3} LEFT { xQ(x)+R RIGHT }], 나머지: [eqn: {2} over {3} R]

[eqn: f(x)=left(x- {2} over {3}right )Q(x)+R]이므로            [eqn: CDOTS]➊

[eqn: xf(x)][eqn: =x LEFT ( x- {2} over {3} RIGHT ) Q(x)+xR]

[eqn: =(3x-2)`` TIMES `` {1} over {3} xQ(x)+(3x-2)`` TIMES `` {1} over {3} R+ {2} over {3} R]

[eqn: =(3x-2)`` TIMES ` {1} over {3} LEFT { xQ(x)+R RIGHT } + {2} over {3} R]            [eqn: CDOTS]➋

따라서 [eqn: xf(x)]를 [eqn: 3x-2]로 나누었을 때의

몫은 [eqn: LEFT. {1} over {3} LEFT { xQ(x)+R RIGHT }], 나머지는 [eqn: {2} over {3} R]이다.      [eqn: CDOTS]➌

채점 기준	배점
➊ [eqn: f(x)]를 몫 [eqn: Q(x)]와 나머지 [eqn: R]을 이용하여 식으로 나타내기	1점
➋ ➊에서 얻은 식을 이용하여 [eqn: xf(x)] 구하기	2점
➌ [eqn: xf(x)]를 [eqn: 3x-2]로 나누었을 때의 몫과 나머지 구하기	2점

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x- {2} over {3}]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)],

나머지를 [eqn: R]이라고 할 때, [eqn: xf(x)]를 [eqn: 3x-2]로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오.

[eqn: 2]

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x^{2}+2]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: x-1]이다. 다항식 [eqn: x LEFT {P(x) RIGHT }^{2}]을 [eqn: x^{2}+2]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: R(x)]일 때, [eqn: R(2)]의 값을 구하시오.

①

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x ^{2} +1`]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `]라 하면 나머지가 [eqn: x+1`]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) +x+1`]로 나타낼 수 있고,

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} `][eqn: = LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) ^{2} LEFT { Q` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} +2 LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) + LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: LEFT . = LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) LEFT [ LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) LEFT { Q` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} +2 LEFT ( x+1 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT . RIGHT . +1]+2x`]이다.

따라서 [eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} `]을 [eqn: x ^{2} +1`]로 나눈 나머지는

[eqn: R` LEFT ( x RIGHT ) =2x`]이고 [eqn: R` LEFT ( 3 RIGHT ) =6`]이다.

다항식 [eqn: f LEFT( x right)]를 [eqn: x^2 +1]로 나눈 나머지가 [eqn: x+1]이다.

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}]을 [eqn: x ^{2} +1]로 나눈 나머지가 [eqn: R LEFT ( x RIGHT )]일 때, [eqn: R LEFT ( 3 RIGHT )]

의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: 74]

조건 (가)에서 다항식 [eqn: f(x)`]를 다항식 [eqn: g(x)`]로 나눈 나

머지가 [eqn: g(x)-2x ^{2} `]이고 나머지 [eqn: g(x)-2x ^{2} `]의 차수는 다항식 [eqn: g(x)`]의 차수보다 작아야 하므로 다항식 [eqn: g(x)`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 2`]인 이차식이다. 즉,

[eqn: g(x)][eqn: =2x ^{2} +ax+b]([eqn: a], [eqn: b`]는 상수)

조건 (가)를 식으로 나타내면

[eqn: f(x)][eqn: =g(x) LEFT { g(x)-2x ^{2} RIGHT } +g(x)-2x ^{2}]

[eqn: = LEFT { g(x)+1 RIGHT } LEFT { g(x)-2x ^{2} RIGHT }]

[eqn: = LEFT ( 2x ^{2} +ax+b+1 RIGHT ) LEFT ( ax+b RIGHT )]

[eqn: f(x)`]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이므로  [eqn: a= {1} over {2}]

따라서 [eqn: f(x)][eqn: = LEFT ( 2x ^{2} + {1} over {2} x+b+1 RIGHT ) LEFT ( {1} over {2} x+b RIGHT )]

조건 (나)에서 나머지 정리에 의하여 [eqn: f(1)=it- {9} over {4} `]이므로 [eqn: f(1)][eqn: = LEFT ( 2+ {1} over {2} +b+1 RIGHT ) LEFT ( {1} over {2} +b RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( b+ {7} over {2} RIGHT ) LEFT ( b+ {1} over {2} RIGHT )][eqn: =b ^{2} +4b+ {7} over {4}] [eqn: =it- {9} over {4}]

[eqn: b ^{2} +4b+4=0], [eqn: LEFT ( b+2 RIGHT ) ^{2} =0]   [eqn: THEREFORE ``b= it -2]

따라서 [eqn: f(x)][eqn: = LEFT ( 2x ^{2} + {1} over {2} x-1 RIGHT ) LEFT ( {1} over {2} x-2 RIGHT ) `]이고

[eqn: f(6)][eqn: = LEFT ( 72+3-1 RIGHT ) times LEFT ( 3-2 RIGHT )][eqn: =74]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 다항식 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 다항식 [eqn: f(x)]를 다항식 [eqn: g(x)]로 나눈

몫과 나머지는 모두 [eqn: g(x) -2x^2]이다.

(나) 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는

[eqn: - 9 over4]이다.

[eqn: f(6)]의 값을 구하시오.

[eqn: 106]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +2`]는 [eqn: x+2`]로 나누어떨어지므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +2= LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x+k RIGHT )`]([eqn: k`]는 상수)        …… ㉠

라 할 수 있다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -2`]는 [eqn: x-2`]로 나누어떨어지므로 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =2`]이다.

㉠의 식에 [eqn: x=2`]를 대입하면

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +2=4 LEFT ( 2+k RIGHT ) `]이므로 [eqn: k=it-1`]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) -2`]이므로

[eqn: f LEFT ( 10 RIGHT ) =106`]이다.

이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차다항식 [eqn: f` LEFT ( x RIGHT )]에 대하여

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) +2]는 [eqn: x+2]로 나누어떨어지고, [eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) -2]는 [eqn: x-2]로 나누어떨어질 때, [eqn: f` LEFT ( 10 RIGHT )]의 값을 구하시오.

②

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지가 [eqn: 4]이므로 나머지정리에 의하여 [eqn: f(1)=4]이다.

[eqn: f(1) = 1+a+b+6 = 4]이므로 [eqn: a+b= -3]   …… ㉠

[eqn: f(x+2)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)]라 하면

[eqn: f(x+2)]는 [eqn: x-1]로 나누어 떨어지므로 인수정리에

의하여 [eqn: f(x+2) =(x-1) Q(x)]이다.

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: f(3) = 0]이므로 [eqn: 9a + 3 b = - 33]이다.

[eqn: 3a+b = -11]    …… ㉡

㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: a=-4 ,~ b=1]이다.

따라서 [eqn: b-a = 5]

다항식 [eqn: f left( x right) = x^3 + ax^2 +bx +6]을 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 4]이다. [eqn: f left(x +2 right)]가 [eqn: x-1]로 나누어떨어질 때, [eqn: b-a]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: 3]

다항식 [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) +b` LEFT ( x-1 RIGHT ) `]을 [eqn: x ^{2} +4x+5`]로

나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)`]라 하면

[eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) +b` LEFT ( x-1 RIGHT ) `][eqn: = LEFT ( x ^{2} +4x+5 RIGHT ) Q(x)]

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT { LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) +b RIGHT }][eqn: = LEFT ( x ^{2} +4x+5 RIGHT ) Q(x)]

[eqn: x ^{2} +4x+5`]는 [eqn: x-1`]을 인수로 갖지 않고, 좌변은 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차식이므로

[eqn: Q(x)][eqn: =x-1],

[eqn: x ^{2} +4x+5][eqn: = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) +b`][eqn: =x ^{2} + LEFT ( 2+a RIGHT ) x+2a+b`]

양변의 계수를 비교하면

[eqn: 4][eqn: =2+a], [eqn: 5=2a+b]

[eqn: a][eqn: =2], [eqn: b][eqn: =1`]

따라서 [eqn: a+b][eqn: =3`]

다항식 [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) +b LEFT ( x-1 RIGHT )]이 [eqn: x ^{2} +4x+5]로

나누어떨어질 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

④

[eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: x ^{3} +x ^{2} +ax+b`]가 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}`]으로
나누어떨어지므로 조립제법을 이용하면

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: a]	[eqn: b]
		[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: a+2]
[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: a+2]	[eqn: a+b+2]
		[eqn: 1]	[eqn: 3]
	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: a+5]

[eqn: a+b+2=0`], [eqn: a+5=0`]이므로 [eqn: a=it-5`], [eqn: b=3`]이다.

따라서 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) =x+3`]이므로

[eqn: Q` LEFT ( ab RIGHT ) =Q` LEFT ( -15 RIGHT ) = it -15+3= it -12`]이다.

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: x^3 +x^2 +ax+b]가 [eqn: left(x-1 right)^2]으로 나누어떨어질 때의 몫을 [eqn: Q left(x right)]라 하자. 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: Q left(a b right)]의 값은?

① [eqn: -15]	② [eqn: -14]	③ [eqn: -13]

④ [eqn: -12]	⑤ [eqn: -11]

②

세 실수 [eqn: a ,```` b ,```` c]에 대하여

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +ax+b], [eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) =x+c]라 하자.

[eqn: P LEFT ( x+1 RIGHT ) -Q LEFT ( x+1 RIGHT )]

[eqn: = LEFT { LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} +a LEFT ( x+1 RIGHT ) +b RIGHT } - LEFT { LEFT ( x+1 RIGHT ) +c RIGHT }]

[eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT { LEFT ( x+1 RIGHT ) +a-1 RIGHT } + LEFT ( b-c RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) + LEFT ( b-c RIGHT )]

조건 (가)에 의하여 [eqn: b=c]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) -Q LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} + LEFT ( a-1 RIGHT ) x]

조건 (나)에 의하여 [eqn: a=1]	[eqn: cdots cdots] ㉠

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) +Q LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +2x+2b]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) +Q LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지가 [eqn: 12]이므로

[eqn: 2b=4], [eqn: b=c=2]	[eqn: cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +x+2], [eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) =x+2]

따라서 [eqn: P LEFT ( 2 RIGHT ) =8]

이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]와 일차항의 계수가 [eqn: 1]인 일차다항식 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 다항식 [eqn: P LEFT ( x+1 RIGHT ) -Q LEFT ( x+1 RIGHT )]은 [eqn: x+1]로

나누어 떨어진다.

(나) 방정식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) -Q LEFT ( x RIGHT ) =0]은 중근을 갖는다.

다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) +Q LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지가 [eqn: 12]일 때, [eqn: P LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

①

조건 (가)에서 인수정리에 의하여

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) - f LEFT ( 1 RIGHT )= 0], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) = f LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )- f LEFT ( -2 RIGHT ) = 0], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = f LEFT ( -2 RIGHT )]

이므로 [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT )= f LEFT ( 1 RIGHT )= f LEFT ( 4 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( -2 RIGHT )= f LEFT ( 1 RIGHT ) = f LEFT ( 4 RIGHT ) = k] ([eqn: k]는 상수)

라 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT )+ k]

조건 (나)에서 나머지정리에 의하여

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) = 4 times 1 times LEFT ( -2 RIGHT )+ k = it - 8 + k =it -3], [eqn: k= 5]

따라서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) = 2 times LEFT ( -1 RIGHT )times LEFT ( -4 RIGHT )+ 5 = 13]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차다항식 [eqn: f left(x right)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f left(0 right)]의 값은?

(가) 다항식 [eqn: f left(x+3 right) - f left(x right)]는

[eqn: left(x-1 right) left(x+2 right)]로 나누어떨어진다.

(나) 다항식 [eqn: f left(x right)]를 [eqn: x-2]로 나누었을 때의 나머지는

[eqn: -3]이다.

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

[eqn: 24]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 두 다항식 [eqn: P(x)], [eqn: Q(x)]가

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: P(x)-Q(x)=k] (단, [eqn: k]는 상수[eqn: )]

(나) [eqn: P(x) Q(x)][eqn: =(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-8]

[eqn: P(1)>Q(1)]일 때, [eqn: P(2)+Q(0)]의 값을 구하시오.

[eqn: 24]

(가)에서 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) = it -2P` LEFT ( x RIGHT ) `]이므로

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) = it -2 LEFT { P` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} `]이다.

(나)에 의하여

[eqn: -2 LEFT { P` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} `]을 [eqn: x ^{2} -3x+2`]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: A` LEFT ( x RIGHT )]라 하면

[eqn: -2 LEFT { P` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} =left(x ^{2} -3x+2{right)A LEFT ( x RIGHT ) `]이고

[eqn: LEFT { P` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} =left(x-1{right){left(x-2{right) LEFT { - {1} over {2} A LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } `]이다.

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) `]는 이차다항식이고

[eqn: LEFT { P` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} `]이 [eqn: x-1`]과 [eqn: x-2`]를 인수로 가지므로

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT )]도 [eqn: x-1`]과 [eqn: x-2`]를 인수로 가진다.

그러므로 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) `],

[eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) = it -2a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) `]([eqn: a!=0`]인 실수)라 하자.

[eqn: P` LEFT ( 0 RIGHT ) =2a= it -4`]에서 [eqn: a= it -2`]이므로

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) = it -2left(x-1{right){left(x-2{right)`], [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) =4left(x-1{right)left(x-2{right)`]

이다.

따라서 [eqn: Q` LEFT ( 4 RIGHT ) =4 TIMES 3 TIMES 2=24`]

두 이차다항식 [eqn: P(x)], [eqn: Q(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 2P(x) +Q(x) =0]이다.

(나) [eqn: P(x)Q(x)]는 [eqn: x^2 -3x+2]로 나누어떨어진다.

[eqn: P(0)=-4]일 때, [eqn: Q(4)]의 값을 구하시오.

③

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]를 [eqn: x+1`], [eqn: x^2 -3`]으로 나눈 몫을 각각 [eqn: Q _{1} LEFT ( x RIGHT )`], [eqn: Q _{2} LEFT ( x RIGHT )`], 나눈 나머지를 [eqn: R]이라 하자.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) Q _{1} left (x right)+R``]에서 [eqn: f left (x right )-R= LEFT ( x+1 RIGHT ) Q _{1} LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -3 RIGHT ) Q` _{2} LEFT ( x RIGHT ) +R``]에서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -R= LEFT ( x ^{2} -3 RIGHT ) Q _{2} LEFT ( x RIGHT )]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )-R = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -3 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT )]    …… ㉠

[eqn: f LEFT ( x+1 RIGHT ) -5`]를 [eqn: x^2 +x`]로 나눈 몫을 [eqn: Q_3 LEFT ( x RIGHT )`]라 하면 [eqn: f LEFT ( x+1 RIGHT ) -5= LEFT ( x ^{2} +x RIGHT ) Q_3 LEFT ( x RIGHT )]        …… ㉡

㉡에서 [eqn: x=-1`], [eqn: x= 0`]을 대입하면

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =5`], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =5`]

㉠에서 [eqn: x=0`], [eqn: x=1`]을 대입하면

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-3a+R=5`], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =-4-4a+R=5`]

[eqn: R= -7`], [eqn: a=-4`]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -3 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) -7`]이고

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =-7`]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )]의 값은?

(가) [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x+1]로 나눈 나머지와 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: x ^{2} -3]으로 나눈 나머지는 서로 같다.

(나) [eqn: f LEFT ( x+1 RIGHT ) -5]는 [eqn: x ^{2} +x]로 나누어떨어진다.

① [eqn: -9]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -7]

④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -5]

④

(가)에 의하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x+2`], [eqn: x ^{2} +4`]로 나누었을 때의 몫을 각각 [eqn: Q _{`1} LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: Q _{`2} LEFT ( x RIGHT ) `]라고 하면 나머지가 [eqn: 3p ^{2} `]으로 같으므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) Q _{`1} LEFT ( x RIGHT ) +3p ^{2} `]

[eqn: = LEFT ( x ^{2} +4 RIGHT ) Q _{`2} LEFT ( x RIGHT ) +3p ^{2} `]이다.

사차항의 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]에서는 [eqn: Q _{`1} LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x ^{2} +4`]를 인수로 갖고 [eqn: Q _{`2} LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x+2`]를 인수로 가져야 하므로

[eqn: Q _{`1} LEFT ( x RIGHT ) `]와 [eqn: Q _{`2} LEFT ( x RIGHT ) `]의 공통인수를 [eqn: x+a`]라 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +4 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) +3p ^{2} `]이다.

(나)에 의하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( -1 RIGHT )`]이므로 [eqn: a= it -2`]이고

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} -16+3p ^{2} `]이다.

(다)에 의하여 [eqn: f LEFT ( sqrt {p} RIGHT ) =0`]이므로

[eqn: p ^{2} +3p ^{2} -16=0`], [eqn: p ^{2} =4]이다.

따라서 [eqn: p`]는 양수이므로 [eqn: p=2`]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차다항식 [eqn: f` LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, 양수 [eqn: p]의 값은?

(가) [eqn: f` LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x+2], [eqn: x ^{2} +4]로 나눈 나머지는

모두 [eqn: 3p ^{2}]이다.

(나) [eqn: f`left(1`right)=f`left(`-1`right)]

(다) [eqn: x- sqrt {`p}]는 [eqn: f` LEFT ( x RIGHT )]의 인수이다.

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

(1) [eqn: 1]	(2) [eqn: 364]

(1)

(2)

다음은 민준이가 [eqn: 366^{10}]을 [eqn: 365]로 나누었을 때의 나머지를 구하는 과정의 일부이다. 물음에 답해 보자.

다항식 [eqn: x^{10}]을 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)],

나머지를 [eqn: R]이라고 하면

[eqn: x^{10}=(x-1) Q(x)+R]

나머지정리에 의하여

[eqn: VDOTS]

(1) 민준이의 풀이를 완성해 보자.

(2) 민준이의 방법을 이용하여 [eqn: 364^{11}]을 [eqn: 365]로 나누었을 때의 나머지를 구해 보자.

②

다항식 [eqn: (4x+2) sup 10]을 [eqn: x]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R]이라고 하면

[eqn: (4x+2) sup 10 = x Q(x) +R]이고, [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: R = box {~1024~}]이다.

[eqn: (4x+2) sup 10 = x Q(x) + box {~1024~}]에 [eqn: x=505]를 대입하면

[eqn: 2022 sup10 = 505 times Q(505) + box {~1024~}]

[eqn: = 505 times Q(505) + 505 times 2 + 14]

[eqn: =505 times left { Q(505) + box {~2~} ``right } + box {~14~}]이다.

[eqn: 2022 sup 10]을 [eqn: 505]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: box {~14~}]이다.

따라서 [eqn: a+b+c][eqn: =1024 + 2+ 14 = 1040]

다음은 [eqn: 2022^10]을 [eqn: 505]로 나누었을 때의 나머지를 구하는 과정이다.

다항식 [eqn: left( 4 x +2 right)^10]을 [eqn: x]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q left( x right)],

나머지를 [eqn: R]라고 하면

[eqn: left(4 x+ 2 right)^10 = x Q left(x right) +R]이다.

이때, [eqn: R = box{~~(가)~~}`]이다.

등식 [eqn: left(4x+ 2 right)^10 = x Q left(x right)+ box{~~(가)~~}`]에

[eqn: x=505]를 대입하면

[eqn: 2022^10 = 505 times Q left(505 right)+ box{~~(가)~~}]

[eqn: =505timesleft{Q left(505 right) +box{~~(나)~~}right}+box{~~(다)~~}`]이다.

따라서 [eqn: 2022^10]을 [eqn: 505]로 나누었을 때의 나머지는

[eqn: box{~~(다)~~}`]이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 할 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: 1038]	② [eqn: 1040]	③ [eqn: 1042]

④ [eqn: 1044]	⑤ [eqn: 1046]

[eqn: 28]

[eqn: x ^{3} +1`]을 [eqn: x-3`]으로 나누었을 때 몫과 나머지를 각각 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: R`]라 하면

[eqn: x ^{3} +1= LEFT ( x-3 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +R`]이다.

[eqn: x=3`]을 대입하면 [eqn: R=27+1=28`]이다.

[eqn: x=2020]를 대입하면

[eqn: 2020 ^{3} +1`=2017Q(2020)+28`]이다.

[eqn: LEFT ( 2020+1 RIGHT ) LEFT ( 2020 ^{2} -2020+1 RIGHT ) =2020 ^{3} +1`]이므로

[eqn: LEFT ( 2020+1 RIGHT ) LEFT ( 2020 ^{2} -2020+1 RIGHT )]를 [eqn: 2017`]로 나누었을 때

나머지는 [eqn: 28`]이다.

[eqn: LEFT ( 2020+1 RIGHT) LEFT( 2020^2 - 2020 +1 RIGHT)]을 [eqn: 2017]로 나눈 나머지를 구하시오.

인수분해

①

주어진 [eqn: 4]장의 종이의 넓이의 합은

[eqn: a^2 +ab +ab +b^2 = a^2 +2ab + b^2]   …… ㉠

[eqn: 4]장의 종이를 이용하면 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: a+b]인 정사각형을 만들 수 있고, 이때 정사각형의 넓이는 [eqn: (a+b)^2]  …… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a^2 +2ab +b^2 = (a+b)^2]

다음 그림과 같은 [eqn: 4]장의 직사각형 모양의 종이를 이용하여 유도할 수 있는 인수분해 공식은?

① [eqn: a^2 + 2 a b + b^2 = ( a+ b)^2]
② [eqn: a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3 = ( a+ b)^3]
③ [eqn: a^3 + b^3 = ( a+b)( a^2 - a b + b^2 )]
④ [eqn: a^3 - b^3 = ( a-b)( a^2 + a b + b^2 )]
⑤ [eqn: x^2 + ( a+b) x + a b = ( x+a)(x+b)]

[eqn: 7]

[eqn: (2x+y) ^{3} +(x-2y) ^{3}]

[eqn: = LEFT { (2x+y)+(x-2y) RIGHT } "{"(2x+y) ^{2} -(2x+y)(x-2y)]

[eqn: +(x-2y) ^{2} RIGHT }]

[eqn: =(3x-y)"{"4x ^{2} +4xy+y ^{2} -(2x ^{2} -3xy-2y ^{2} )]

[eqn: +x ^{2} -4xy+4y ^{2} RIGHT }]

[eqn: =(3x-y)(3x ^{2} +3xy+7y ^{2} )]

즉, [eqn: A=3x ^{2} +3xy+7y ^{2}]이므로

[eqn: x=1], [eqn: y=-1]을 대입하면 [eqn: 3-3+7=7]

[eqn: (2x+y)^3 +(x-2y) ^3]이 [eqn: x], [eqn: y]에 대한 다항식 [eqn: A]에 대하여 [eqn: (3x-y)A] 꼴로 인수분해 될 때, 다항식 [eqn: A]에 [eqn: x=1], [eqn: y=-1]을 대입한 값을 구하시오.

[eqn: {x+1}`]

다항식 [eqn: B`]가 [eqn: x+3`]을 인수로 가지므로

[eqn: 9-12+b=0`]   [eqn: therefore````b=3`]                    [eqn: CDOTS]➊

다항식 [eqn: A`]가 [eqn: x-2`]를 인수로 가지므로

[eqn: 4+2a-2=0`]   [eqn: therefore````a=-1`]                  [eqn: CDOTS]➋

이때

[eqn: A=x ^{2} -x-2=(x+1)(x-2)],

[eqn: B=x^2 +4x+3 =(x+1)(x+3)`]

이므로 두 다항식의 최대공약수는 [eqn: x+1`]이다.   [eqn: CDOTS]➌

채점 기준	배점
➊ [eqn: b]의 값 구하기	2점
➋ [eqn: a]의 값 구하기	2점
➌ [eqn: A], [eqn: B]의 최대공약수 바르게 구하기	3점

수빈이와 우진이가 다항식 [eqn: A=x^2 +ax-2`]와

[eqn: B=x^2 +4x+b`]의 최대공약수를 구하는데 수빈이는 [eqn: a`]의 값을 잘못보아 [eqn: x+3`]으로 구하였고, 우진이는 [eqn: b`]의 값을 잘못 보아 [eqn: x-2`]로 구하였다. 두 다항식 [eqn: A], [eqn: B]의 최대공약수를 바르게 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오.

[eqn: (x-1)(x^2 +3x+4)]

다항식 [eqn: x^{3}+a x^{2}+x-4]가 [eqn: x-1]을 인수로 가질 때,

이 다항식을 인수분해 하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

③

[eqn: x ^{3} +1-f(x)=(x+1)(x+a) ^{2}]	…… ㉠

에서 다항식 [eqn: x ^{3} +1-f(x)]가 일차식 [eqn: x+1]로 나누어떨어지므로 인수정리에 의하여

[eqn: (-1) ^{3} +1-f(-1)=0], [eqn: f(-1)=0]

[eqn: f(x)=k(x+1)] ([eqn: k]는 [eqn: 0]이 아닌 상수)이다.

[eqn: x ^{3} +1-f(x)][eqn: =x ^{3} +1-k(x+1)][eqn: =(x+1)(x ^{2} -x+1-k)]

㉠에서 [eqn: x ^{2} -x+1-k=(x+a) ^{2}]

[eqn: a=- {1} over {2} ,```k= {3} over {4}]

[eqn: f(x)= {3} over {4} (x+1)]

따라서 [eqn: f(7)=6]

일차식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 다항식 [eqn: x ^{3} +1-f LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) ^{2}]으로 인수분해될 때, [eqn: f LEFT ( 7 RIGHT )]의 값은?

(단, [eqn: a]는 상수이다.)

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: 48]

두 정수 [eqn: a], [eqn: b]와 [eqn: 30] 이하의 자연수 [eqn: n]에 대하여 다항식

[eqn: x^{3}-(1-3 a b) x-n]이 [eqn: (x+1)(x-a)(x-3 b)]로 인수분해 되도록 하는 모든 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오.

⑤

[eqn: x ^{2} +1=t]라 하면

[eqn: LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) ^{2} +3 LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) +2][eqn: =t ^{2} +3t+2]

[eqn: =(t+1)(t+2)]

[eqn: = LEFT ( x ^{2} +2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +3 RIGHT )]

따라서 [eqn: a+b=2+3=5]

다항식 [eqn: LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) ^{2} +3 LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) +2]가 [eqn: LEFT ( x ^{2} +a RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +b RIGHT )]로

인수분해될 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

②

[eqn: x ^{2} -x=X`]라 하면

[eqn: left(x ^{2} -x{right)left(x ^{2} -x+3{right)+k{left(x ^{2} -x{right)+8`]

[eqn: = LEFT ( x ^{2} -x+a RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x+b RIGHT )]에서

[eqn: X{left(X+3{right)+kX+8`={left(X+a{right){left(X+b{right)`]

[eqn: X ^{2} + LEFT ( k+3 RIGHT ) X+8=X ^{2} + LEFT ( a+b RIGHT ) X+ab`]

이다. 양변의 계수를 비교하면

[eqn: k+3=a+b`], [eqn: ab=8`]이다.

[eqn: a`], [eqn: b`]([eqn: a<b`])가 자연수이므로

[eqn: a=1`], [eqn: b=8`] 또는 [eqn: a=2`], [eqn: b=4`]이다.

[eqn: k=a+b-3`]이므로 [eqn: k=6`] 또는 [eqn: k=3`]이다.

따라서 모든 상수 [eqn: k`]의 값의 합은 [eqn: 9`]이다.

두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]([eqn: a<b])와 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식

[eqn: LEFT ( x ^{2} -x RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x+3 RIGHT ) +k LEFT ( x ^{2} -x RIGHT ) +8]	[eqn: = LEFT ( x ^{2} -x+a RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x+b RIGHT )]

를 만족시키는 모든 상수 [eqn: k]의 값의 합은?

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[eqn: 3x+2]

다음 그림에서 선으로 연결되어 있는 다항식에 대하여 위의 두 다항식의 곱은 그 아래의 다항식과 같다. 모든 항의 계수가 자연수인 두 일차식 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: A+B]를 계산하시오.

②

[eqn: x^4 -x^2 -12=LEFT(x-2RIGHT)LEFT(x+2RIGHT)LEFT(x^2 +3RIGHT)`]

[eqn: a`]가 양수이므로 [eqn: a=2`], [eqn: b=3`]

따라서 [eqn: a+b=2+3=5`]

다항식 [eqn: x ^{4} -x ^{2} -12]가 [eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +b RIGHT )]로 인수분해될 때, 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

(가) [eqn: 9x^2]	(나) [eqn: x ^ 2 -2]	(다) [eqn: 3x]

다음은 다항식 [eqn: x ^{4} -13x ^{2} +4]를 인수분해 하는 과정이다. (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 구하시오.

[eqn: x ^{4} -13x ^{2} +4][eqn: =(x ^{4} -4x ^{2} +4)-][eqn: {BOX{(가)}}]
[eqn: =][eqn: (][eqn: {BOX{(나)}}][eqn: )^2][eqn: -(3x)^2]
[eqn: =(x ^{2} +3x-2)(x ^{2}][eqn: -][eqn: {BOX{(다)}}][eqn: -2)]

(1) [eqn: (n^2 -2n +2)(n^2 +2n+2)] (2) [eqn: 5]

(1) [eqn: n^4 + 4 &= n^4 + 4n ^2 +4-4n^2]

[eqn: =(n^2 +2) ^2 - (2n) ^2]

[eqn: = (n^2 -2n+2)(n^2 +2n+2)]

(2) [eqn: n^4 +4=(n^2 -2n +2)(n^2 +2n+2)]이므로 두 수의   곱이 소수가 되려면 두 수 중 적어도 하나는 [eqn: 1]이어야   한다.

한편, [eqn: n]이 자연수일 때 [eqn: n^2 +2n +2 > n^2 -2n+2]

이므로 [eqn: n^2 -2n +2=1]이어야 한다.

즉, [eqn: n^2 - 2n +1=0]에서 [eqn: n=1]

따라서 구하는 소수는 [eqn: 1 ^{4} +4=5]뿐이다.

다음 물음에 답하시오.
(1) [eqn: n^4 + 4]를 인수분해 하시오.
(2) [eqn: n]이 자연수일 때, [eqn: n^4 + 4] 꼴로 표현되는 소수를 모두 구하시오.

⑤

[eqn: left ( x-1 right ) left ( x-4 right ) left ( x-5 right ) left ( x-8 right ) +a]

[eqn: = left ( x-1 right ) left ( x-8 right ) left ( x-4 right ) left ( x-5 right ) +a]

[eqn: = left ( x^2 -9x+8 right ) left ( x^2 -9x+20 right ) +a]

[eqn: x^2 -9x=X]라 하면

[eqn: (X+8)(X+20)+a = X^2 +28X +160+a]

이고 이 식이 완전제곱식이 되려면

[eqn: 160+a =196], [eqn: a=36]

[eqn: X^2 +28X +196][eqn: =(X+14) ^{2}][eqn: = (x^2 -9x+14)^2]
[eqn: = LEFT { (x-2)(x-7) RIGHT }^2][eqn: =(x-2)^2 (x-7)^2]

따라서 [eqn: a+b+c= 36+(-2)+(-7)=27]

[eqn: x]에 대한 다항식

[eqn: left(x-1 right) left(x-4 right) left(x-5 right) left(x-8 right) +a]가 [eqn: left(x+b right)^2 left(x+c right)^2]

으로 인수분해될 때, 세 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여

[eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: 19]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 23]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 27]

[eqn: 81]

다항식 [eqn: (x-2)(x+1)(x+4)(x+7)+k]가 [eqn: x]에 대한 이차식의 제곱으로 인수분해 될 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[eqn: 4]

[eqn: x^2 +2xy-3y^2 +ax+4y+4]

[eqn: =x^2 +(2y+a)x-(3y^2 -4y-4)]

[eqn: =x^2 +(2y+a)x- (y-2)(3y+2)]             [eqn: CDOTS]➊

주어진 식이 [eqn: x], [eqn: y]에 대한 두 일차식의 곱으로 인수분해 되려면 [eqn: -(y-2)+(3y+2) =2y+a]

[eqn: therefore````a=4]                                   [eqn: CDOTS]➋

채점 기준	배점
➊ 주어진 식을 [eqn: x]에 대한 이차식으로 정리하기	2점
➋ [eqn: a]의 값 구하기	4점

[eqn: x^2 +2xy-3y^2 +ax+4y+4`]가 [eqn: x], [eqn: y]에 대한 두 일차식의 곱으로 인수분해 될 때, 정수 [eqn: a`]의 값을 구하시오.

[eqn: 2]

주어진 이차식을 [eqn: x]에 대한 내림차순으로 정리하면

[eqn: x sup 2 + left ( ky +1 right ) x - 3 y sup2 + 11y - 6][eqn: = x sup 2 + left (ky +1) x - (3y-2)( y-3)]이다.

[eqn: x,~y]에 대한 두 일차식의 곱으로 인수분해되려면

[eqn: (3y-2 ) - (y-3) = ky+1]이다.

[eqn: y]의 계수를 비교하면 [eqn: k=2]이다.

[eqn: x], [eqn: y]에 대한 이차식 [eqn: x^2 +kxy - 3y^2 +x +11y -6]이 [eqn: x],

[eqn: y]에 대한 두 일차식의 곱으로 인수분해 되도록 하는

자연수 [eqn: k]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오.

①
[eqn: x ^{3} -xy ^{2} -y ^{2} z+x ^{2} z=x LEFT ( x ^{2} -y ^{2} RIGHT ) +z LEFT ( x ^{2} -y ^{2} RIGHT )]

[eqn: `][eqn: = LEFT ( x ^{2} -y ^{2} RIGHT ) LEFT ( x+z RIGHT )]

[eqn: `][eqn: =][eqn: LEFT ( x+y RIGHT ) LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( x+z RIGHT )]

[eqn: x ^{3} -xy ^{2} -y ^{2} z+x ^{2} z]를 인수분해 하면?
① [eqn: (x+y)(x-y) (z+x)]
② [eqn: (x+y) (x-y) (z-x)]
③ [eqn: (x+y) (y-z) (z+x)]
④ [eqn: (x-y)(y+z)(z+x)]
⑤ [eqn: (x-y) (y-z) (z+x)]

[eqn: -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)]

[eqn: a]에 대하여 내림차순으로 정리하면

[eqn: a ^{3} (b-c)+b ^{3} (c-a)+c ^{3} (a-b)]

[eqn: =(b-c)a ^{3} -(b ^{3} -c ^{3} )a+b ^{3} c-bc ^{3}]

[eqn: =(b-c) LEFT { a ^{3} -(b ^{2} +bc+c ^{2} )a RIGHT } +bc(b-c)(b+c)]

[eqn: =(b-c) LEFT { a ^{3} -(b ^{2} +bc+c ^{2} )a+bc(b+c) RIGHT }]

[eqn: =(b-c) LEFT { (c-a)b ^{2} +c(c-a)b-a(c ^{2} -a ^{2} ) RIGHT }]

[eqn: =(b-c)(c-a)(b ^{2} +bc-ac-a ^{2} )]

[eqn: =(b-c)(c-a) LEFT { (b-a)(b+a)+c(b-a) RIGHT }]

[eqn: =(b-c)(c-a)(b-a)(b+a+c)]

[eqn: =-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)]

다음 식을 인수분해 하시오.

[eqn: a^3 ( b-c) +b^3 (c-a) +c ^3 (a-b)]

②

[eqn: LEFT { P` LEFT ( x RIGHT ) +2 RIGHT } ^{2} = LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-2a RIGHT ) +4=x ^{2} -3ax+2a ^{2} +4`]이다

[eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -3ax+2a ^{2} +4=0`]이 중근을 가지므로 판별식 [eqn: D= LEFT ( 3a RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( 2a ^{2} +4 RIGHT ) =0`]이다.

[eqn: LEFT ( 3a RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( 2a ^{2} +4 RIGHT )=9a ^{2} -8a ^{2} -16=a ^{2} -16=0`]

이므로 [eqn: a=4] 또는 [eqn: a=it-4`]이다.

(ⅰ) [eqn: a=4`]인 경우

[eqn: LEFT { P` LEFT ( x RIGHT ) +2 RIGHT } ^{2}=x ^{2} -12x+36=left(x-6right) ^{2}]

이므로 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) +2=x-6`] 또는 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) +2= it -x+6`]

에서 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) =x-8`] 또는 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT )= it -x+4`]이다.

(ⅱ) [eqn: a=it-4`]인 경우

[eqn: LEFT { P` LEFT ( x RIGHT ) +2 RIGHT } ^{2}=x ^{2} +12x+36= LEFT ( x+6 RIGHT ) ^{2} `]

이므로 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) +2=x+6`] 또는 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) +2= it -x-6`]

에서 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) =x+4`] 또는 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) = it -x-8`]이다.

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 조건을 만족시키는 일차다항식 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x-8`], [eqn: -x+4`], [eqn: x+4`], [eqn: -x-8`]이고 모든 [eqn: P` LEFT ( 1 RIGHT )`]의 값은 [eqn: -7`], [eqn: 3`], [eqn: 5`], [eqn: -9`]이다.

따라서 모든 [eqn: P` LEFT ( 1 RIGHT ) `]의 값의 합은

[eqn: LEFT ( -7 RIGHT ) +3+5+ LEFT ( -9 RIGHT ) = it -8`]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다항식 [eqn: P left(x right)]가

[eqn: left{ P left( x right)+2 right}^2 = left(x-a right) left(x-2a right)+4]

를 만족시킬 때, 모든 [eqn: P left(1 right)]의 값의 합은? (단, [eqn: a]는 실수이다.)

① [eqn: -9]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -7]

③ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -5]

[eqn: 54]

[eqn: LEFT { Q(x+1) RIGHT } ^{2} + LEFT { Q(x) RIGHT } ^{2} =x(x-1)P(x)]   [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

㉠에서 [eqn: x=0], [eqn: x=1]을 대입하여 정리하면

[eqn: LEFT { Q(1) RIGHT } ^{2} + LEFT { Q(0) RIGHT } ^{2} =0], [eqn: LEFT { Q(2) RIGHT } ^{2} + LEFT { Q(1) RIGHT } ^{2} =0]

[eqn: Q(0)=Q(1)=Q(2)=0]

다항식 [eqn: Q(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차다항식이므로 [eqn: Q(x)=x(x-1)(x-2)]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: LEFT { (x+1)x(x-1) RIGHT } ^{2} + LEFT { x(x-1)(x-2) RIGHT } ^{2}][eqn: =x(x-1)P(x)]

[eqn: P(x)][eqn: =x(x-1) LEFT { (x+1) ^{2} +(x-2) ^{2} RIGHT }]

[eqn: =x(x-1)(2x ^{2} -2x+5)]

[eqn: =x(x-1) LEFT { 2(x-2)(x+1)+9 RIGHT }]

[eqn: =2x(x-1)(x-2)(x+1)+9x(x-1)]

[eqn: =2(x+1)Q(x)+9x(x-1)]

[eqn: R(x)=9x(x-1)]

따라서 [eqn: R(3)=9 TIMES 3 TIMES 2=54]

다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차다항식

[eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: LEFT { Q LEFT ( x+1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT { Q LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} = LEFT ( x ^{2} -x RIGHT ) P LEFT ( x RIGHT )]

를 만족시킨다. [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]로 나눈 나머지를 [eqn: R LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, [eqn: R LEFT ( 3 RIGHT )]의 값을 구하시오. (단, 다항식 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]의 계수는 실수이다.)

④

[eqn: x ^{2} y+xy ^{2} +x+y`][eqn: =xy LEFT ( x+y RIGHT ) + LEFT ( x+y RIGHT ) `]

[eqn: = LEFT ( x+y RIGHT ) LEFT ( xy+1 RIGHT ) `]이다.

[eqn: x+y=2 sqrt {3} `], [eqn: xy=1`]이므로

[eqn: x ^{2} y+xy ^{2} +x+y=2 sqrt {3} TIMES 2=4 sqrt {3} `]이다.

[eqn: x=root3 +root2], [eqn: y=root3 -root2]일 때,

[eqn: x^2 y +xy^2 +x+y]의 값은?

① [eqn: root3]	② [eqn: 2root3]	③ [eqn: 3root3]

④ [eqn: 4root3]	⑤ [eqn: 5root3]

[eqn: 996]

인수분해를 이용하여 [eqn: {998 ^{3} -8} over {998 TIMES 1000+4}]을 계산하시오.

[eqn: 176]

[eqn: x=10`]이라 하면

[eqn: 10 TIMES 13 TIMES 14 TIMES 17+36][eqn: =x LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x+4 RIGHT ) LEFT ( x+7 RIGHT ) +36]

[eqn: =(x^2 +7x )(x^2 +7x+12)+36`]

[eqn: =(x^2 +7x )^2 +12(x^2 +7x)+36`][eqn: =(x^2 +7x+6 )^2`]

[eqn: = LEFT ( 100+70+6 RIGHT ) ^{2}][eqn: =176 ^{2}]

따라서 [eqn: sqrt {10 TIMES 13 TIMES 14 TIMES 17+36}][eqn: =176]

[eqn: root {10times 13times 14times 17 +36}]의 값을 구하시오.

[eqn: 64]

인수분해를 이용하여

[eqn: sqrt{13^{3}+3^{3}+3 TIMES 16 TIMES 39}]를 계산하시오.

③

[eqn: 14 = X]라 하면

[eqn: left ( 14 sup 2 + 2 times 14 right ) sup 2 - 18 times left ( 14 sup 2 + 2 times 14 right ) + 45][eqn: = left ( X sup 2 + 2X right ) sup2 - 18 left ( X sup 2 + 2X right ) + 45]

[eqn: = left ( X sup 2 + 2X - 3 right ) left ( X sup 2 + 2X - 15 right )]

[eqn: = (X-1)(X+3)(X-3)(X+5)]

[eqn: X= 14]를 대입하면

[eqn: (14-1) times ( 14+3) times (14-3 ) times (14 +5) = 13 times 17 times 11 times 19]

[eqn: a+b+c+d = 60]

[eqn: 2] 이상의 네 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에 대하여

[eqn: left(14^2 + 2 times 14^2 right) - 18 times left(14^2 + 2 times 14 right) + 45 = a times b times c times d]

일 때, [eqn: a+b+c+d]의 값은?

① [eqn: 56]	② [eqn: 58]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 62]	⑤ [eqn: 64]

①

[eqn: LEFT ( 182 sqrt {182} +13 sqrt {13} RIGHT ) TIMES LEFT ( 182 sqrt {182} -13 sqrt {13} RIGHT ) `]

[eqn: =182 ^{3} -13 ^{3}]

[eqn: = LEFT ( 13 TIMES 14 RIGHT ) ^{3} - LEFT ( 13 TIMES 1 RIGHT ) ^{3}]

[eqn: =13 ^{3} TIMES LEFT ( 14 ^{3} -1 ^{3} RIGHT )]

[eqn: =13 ^{3} TIMES LEFT ( 14-1 RIGHT ) TIMES LEFT ( 14 ^{2} +14 TIMES 1+1 ^{2} RIGHT )]

[eqn: =13 ^{4} TIMES 211]

따라서 [eqn: m=211]

등식

[eqn: LEFT ( 182 sqrt {182} +13 sqrt {13} RIGHT ) TIMES LEFT ( 182 sqrt {182} -13 sqrt {13} RIGHT )][eqn: =13 ^{4} TIMES m]

을 만족하는 자연수 [eqn: m]의 값은?

① [eqn: 211]	② [eqn: 217]	③ [eqn: 223]

④ [eqn: 229]	⑤ [eqn: 235]

[eqn: 2021]

[eqn: 2024=a], [eqn: 3=b]로 놓고 인수분해를 이용하여 몫을 구하면

[eqn: {2024 ^{3} -27} over {2024 TIMES 2027+9} = {a ^{3} -b ^{3}} over {a(a+b)+b ^{2}}]

[eqn: = {(a-b)(a ^{2} +ab+b ^{2} )} over {a ^{2} +ab+b ^{2}}]

[eqn: =a-b]

[eqn: =2024-3=2021]

[eqn: 2024 ^{3} -27]을 [eqn: 2024times2027+9]로 나누었을 때의 몫을 구하시오.

④

[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: -3]	[eqn: -2]
		[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 2]
	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 0]

[eqn: x ^{3} -3x-2]를 오른쪽과 같이 조립제법을 이용하여 인수분해 하면

[eqn: LEFT ( x ^{3} -3x-2 RIGHT ) pi][eqn: = LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x+1 RIGHT ) pi]

[eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-2 RIGHT ) pi]

따라서 주어진 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는 [eqn: x+1], 높이는 [eqn: x-2]이므로 겉넓이는

[eqn: 2 pi LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) +2 pi LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} =2 pi LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( 2x-1 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ``a+b=1+2=3]

부피가 [eqn: LEFT ( x ^{3} -3x-2 RIGHT ) pi], 겉넓이가 [eqn: 2 pi LEFT ( x+a RIGHT ) LEFT ( bx-1 RIGHT )]인 원기둥의 높이와 밑면의 반지름의 길이는 각각 일차항의 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: x]에 대한 일차식이다. 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

④

한 변의 길이가 [eqn: a+6`]인 정사각형 모양의 색종이의 넓이는 [eqn: left(a+6{right) ^{2} `]이다.

한 변의 길이가 [eqn: a`]인 정사각형 모양의 색종이를 오려낸 후 남아 있는  모양의 색종이의 넓이는

[eqn: {left(a+6{right) ^{2} -a ^{2} `][eqn: = LEFT ( a+6+a RIGHT ) LEFT ( a+6-a RIGHT )][eqn: =6 LEFT ( 2a+6 RIGHT )][eqn: =12 LEFT ( a+3 RIGHT )]

이다.

따라서 [eqn: k=12`]이다.

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: a+6]인 정사각형 모양의 색종이에서 한 변의 길이가 [eqn: a]인 정사각형 모양의 색종이를 오려내었다. 오려낸 후 남아 있는  모양의 색종이의 넓이가 [eqn: k(a+3)]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

②

나무 블록의 부피는

[eqn: x ^{2} (x+3)-1 ^{3} TIMES 2=x ^{3} +3x ^{2} -2]

조립제법을 이용하여 인수분해하면

[eqn: -1]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 0]	[eqn: -2]
		[eqn: -1]	[eqn: -2]	[eqn: 2]
	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: -2]		[eqn: 0]

[eqn: x ^{3} +3x ^{2} -2=(x+1)(x ^{2} +2x-2)]

[eqn: a=1,```b=2,```c=-2]

따라서 [eqn: a TIMES b TIMES c=-4]

그림과 같이 세 모서리의 길이가 각각 [eqn: x], [eqn: x], [eqn: x+3]인

직육면체 모양에 한 모서리의 길이가 [eqn: 1]인 정육면체 모

양의 구멍이 두 개 있는 나무 블록이 있다. 세 정수 [eqn: a],

[eqn: b], [eqn: c]에 대하여 이 나무 블록의 부피를

[eqn: LEFT ( x+a RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +bx+c RIGHT )]로 나타낼 때, [eqn: a TIMES b TIMES c]의 값은?

(단, [eqn: x>1])

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

정삼각형

[eqn: a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} =3abc], 즉 [eqn: a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} -3abc=0]에서

[eqn: a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} -3abc]

[eqn: =(a+b+c)(a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ca)]

[eqn: = {1} over {2} (a+b+c)(2a ^{2} +2b ^{2} +2c ^{2} -2ab-2bc-2ca)]

[eqn: = {1} over {2} (a+b+c) LEFT { (a-b) ^{2} +(b-c) ^{2} +(c-a) ^{2} RIGHT } =0]

[eqn: a+b+c!=0]이므로 [eqn: a=b=c]

따라서 정삼각형이다.

세 변의 길이가 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]인 삼각형에서
[eqn: a^3 +b^3 +c^3 =3abc]

인 관계가 성립할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인지 말하시오.

[eqn: a=b] 또는 [eqn: b=c] 또는 [eqn: c=a]인 이등변삼각형

[eqn: <a,``b,``c>+<b,``c,``a>+<c,``a,``b>]

[eqn: =(a-b)c ^{2} +(b-c)a ^{2} +(c-a)b ^{2}]               [eqn: CDOTS]➊

위의 식을 [eqn: c]에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 정리하면

[eqn: (a-b)c ^{2} -(a ^{2} -b ^{2} )c+a ^{2} b-ab ^{2}]

[eqn: =(a-b)c ^{2} -(a-b)(a+b)c+ab(a-b)]

위의 식을 인수분해 하면

[eqn: (a-b) LEFT { c ^{2} -(a+b)c+ab RIGHT }]

[eqn: =(a-b)(c-a)(c-b)]                        [eqn: CDOTS]➋

즉, [eqn: (a-b)(c-a)(c-b)=0]에서

[eqn: a=b] 또는 [eqn: b=c] 또는 [eqn: c=a]

따라서 이 삼각형은 [eqn: a=b] 또는 [eqn: b=c] 또는

[eqn: c=a]인 이등변삼각형이다.                    [eqn: CDOTS]➌

채점 기준	배점
➊ [eqn: <a,``b,``c>+<b,``c,``a>][eqn: +<c,``a,``b>] 를 다항식으로 나타내기	2점
➋ ➊에서 구한 다항식을 인수분해 하기	3점
➌ 어떤 삼각형인지 구하기	2점

세 실수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]에 대하여 [eqn: <x,``y,``z> =(x-y)z ^{2}]이라고 하자. 삼각형의 세 변의 길이 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여

[eqn: <a,``b,``c>+<b,``c,``a>+<c,``a,``b>][eqn: =0]

인 관계가 성립할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인지 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오.