수1	2022년 시행 기출 4점	수열

[2209교-고2-15]

⑤ [eqn: 220]

[출제의도] 등차수열 이해하기

[eqn: S _{`k+10} =S _{`k} + LEFT ( a _{k+1} +a _{k+2} +` CDOTS `+a _{k+10} RIGHT ) `]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 공차가 [eqn: 2`]이므로

[eqn: 640`][eqn: =S _{`k} + LEFT { (a _{k} +2)+ LEFT ( a _{k} +4 RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( a _{k} +20 RIGHT ) RIGHT } `][eqn: =S _{`k} + LEFT { 10 TIMES 31+ {10 TIMES LEFT ( 2+20 RIGHT )} over {2} RIGHT } `]

[eqn: S _{`k} =640- LEFT ( 310+110 RIGHT ) `]

따라서 [eqn: S _{`k} =220`]

[다른 풀이]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항을 [eqn: a`]라 하면

[eqn: a _{k} =a+ LEFT ( k-1 RIGHT ) TIMES 2=31`]

[eqn: S _{`k+10} = {LEFT ( k+10 RIGHT ) LEFT { 2a+ LEFT ( k+9 RIGHT ) TIMES 2 RIGHT }} over {2} =640`]

위 두 식을 연립하면 [eqn: k ^{2} -32k+220=0`]

[eqn: LEFT ( k-10 RIGHT ) LEFT ( k-22 RIGHT ) ` it =0`], [eqn: k=10`] 또는 [eqn: k=22`]

[eqn: k=10`]일 때, [eqn: a=13`]

[eqn: k=22`]일 때, [eqn: a= it -11`]

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: k=10`], [eqn: a=13`]

따라서 [eqn: S _{`k} =S _{`10} = {10 LEFT ( 2 TIMES 13+9 TIMES 2 RIGHT )} over {2} ` it =220`]

첫째항이 양수이고 공차가 [eqn: 2`]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의
첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S _{n} `]이라 하자.
[eqn: a _{k} =31`], [eqn: S _{`k+10} =640`]을 만족시키는 자연수 [eqn: k`]에 대하여
[eqn: S _{`k} `]의 값은?

① [eqn: 200]	② [eqn: 205]	③ [eqn: 210]	④ [eqn: 215]	⑤ [eqn: 220]

[2209교-고2-17]

④ [eqn: 33]

[출제의도] 여러 가지 수열의 합을 활용하여 추론하기

두 점 [eqn: rm P it rm _{it n} `], [eqn: rm Q _{it `n} `]의 좌표는 각각 [eqn: LEFT ( n,```3a ^{n} RIGHT )], [eqn: LEFT ( n,```3a ^{n-1} RIGHT ) `]

선분 [eqn: rm P _{it n} rm Q it _{n} `]의 길이 [eqn: l _{n} `]은
[eqn: l _{n}][eqn: =3 LEFT ( a-1 RIGHT ) TIMES a ^{n-1} `]이므로

[eqn: L`][eqn: = sum _{k=1} ^{20} l _{`k} =3 LEFT ( a-1 RIGHT ) sum _{k=1} ^{20} a ^{k-1} `]
[eqn: =3 LEFT ( a-1 RIGHT ) TIMES {a ^{20} -1} over {a-1} `][eqn: =3 TIMES LEFT ( ` {BOX{````a ^{20} -1````}} ` RIGHT ) `]이다.

사다리꼴 [eqn: rm P _{it n} rm Q _{it `n} rm Q _{` it n+2} rm P _{it n+2} `]의 넓이 [eqn: S _{`n} `]은

[eqn: S _{`n} =3 LEFT ( a-1 RIGHT ) TIMES LEFT ( a ^{n-1} +a ^{n+1} RIGHT ) `]이므로

[eqn: S`][eqn: = sum _{k=1} ^{5} S _{`4k-3} `][eqn: =S _{`1} +S _{`5} +S _{`9} +S _{`13} +S _{`17} `]
[eqn: =3 LEFT ( a-1 RIGHT ) LEFT ( 1+a ^{2} +a ^{4} +` CDOTS `+`a ^{18} RIGHT ) `]
[eqn: =3 LEFT ( a-1 RIGHT ) TIMES {LEFT ( a ^{2} RIGHT ) ^{10} -1} over {a ^{2} -1} `][eqn: = {3} over {LEFT ( ` {BOX{````a+1````}} ` RIGHT )} TIMES LEFT ( ` {BOX{````a ^{20} -1````}} ` RIGHT ) `]이다.

따라서

			[eqn: {3} over {LEFT ( ` {BOX{````a+1````}} ` RIGHT )} TIMES LEFT ( ` {BOX{````a ^{20} -1````}} ` RIGHT )]
[eqn: {S} over {L}]	[eqn: =]
			[eqn: 3 TIMES LEFT ( ` {BOX{````a ^{20} -1````}} ` RIGHT )]

	[eqn: =]		[eqn: 1`]		[eqn: =]		[eqn: {2} over {5} `]
			[eqn: LEFT ( ` {BOX{````a+1````}} ` RIGHT ) `]

이므로 [eqn: a= {BOX{```` {3} over {2} ````}} `]이다.

따라서 [eqn: {f LEFT ( sqrt {2} RIGHT )} over {g LEFT ( 20p RIGHT )} ` it = {1023} over {31} =33`]

실수 [eqn: a`][eqn: LEFT ( a>1 RIGHT ) `]과 자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: x=n`]이 두 함수
[eqn: y=3 a ^{x} `], [eqn: y=3 a ^{x-1} `]
의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rm P it rm _{it n} `], [eqn: rm Q _{it `n} `]이라 하자. 선분 [eqn: rm P _{it n} rm Q _{it `n} `]의 길이를 [eqn: l _{n} `], 사다리꼴 [eqn: rm P _{it n} rm Q _{` it n} rm Q _{it `n+2} rm `P _{it n+2} `]의 넓이를 [eqn: S _{`n} `]이라 하자.
두 실수 [eqn: L``], [eqn: S``]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{20} `l _{k} =L`], [eqn: sum _{k=1} ^{5} S _{`4k-3} =S``]일 때,
다음은 [eqn: {S} over {L} = {2} over {5} `]를 만족시키는 [eqn: a`]의 값을 구하는 과정이다.

두 점 [eqn: rm P it rm _{it n} `], [eqn: rm Q _{it `n} `]의 좌표는 각각 [eqn: LEFT ( n,```3a ^{n} RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( n,```3a ^{n-1} RIGHT ) `]

선분 [eqn: rm P _{it n} rm Q _{it `n} `]의 길이 [eqn: l _{n} `]은
[eqn: l _{n} `][eqn: =3 LEFT ( a-1 RIGHT ) TIMES a ^{n-1} `]이므로
[eqn: L= sum _{k=1} ^{20} `l _{k} =3 TIMES LEFT ( ` {BOX{````(가)````}} ` RIGHT ) `]이다.

사다리꼴 [eqn: rm P _{it n} rm Q _{it `n} rm Q _{` it n+2} rm `P _{it n+2} `]의 넓이 [eqn: S _{`n} `]은
[eqn: S _{`n} =3 LEFT ( a-1 RIGHT ) TIMES LEFT ( a ^{n-1} +a ^{n+1} RIGHT ) `]이므로

[eqn: S``][eqn: = sum _{k=1} ^{5} S _{`4k-3}]
[eqn: =S _{`1} +S _{`5} +S _{`9} +S _{`13} +S _{`17} `]
[eqn: = {3} over {LEFT ( ` {BOX{````(나)````}} ` RIGHT )} TIMES LEFT ( ` {BOX{````(가)````}} ` RIGHT ) `]이다.

따라서

				[eqn: 3]	[eqn: TIMES LEFT ( ` {BOX{````(가)````}} ` RIGHT )]				[eqn: 1]
[eqn: {S} over {L}]	[eqn: =]			[eqn: LEFT ( ` {BOX{````(나)````}} ` RIGHT )]			[eqn: =]				[eqn: =]	[eqn: {2} over {5}]
			[eqn: 3 TIMES LEFT ( ` {BOX{````(가)````}} ` RIGHT )]						[eqn: LEFT ( ` {BOX{````(나)````}} ` RIGHT )]

이므로 [eqn: a= {BOX{````(다)````}} `]이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) `], [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) `]라 하고,
(다)에 알맞은 수를 [eqn: p`]라 할 때, [eqn: {f LEFT ( sqrt {2} RIGHT )} over {g LEFT ( 20p RIGHT )} `]의 값은?

① [eqn: 24]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 30]	④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 36]

[2209교-고2-21]

③ [eqn: 54]

[출제의도] 등차수열의 성질을 활용하여 문제 해결하기

[eqn: a _{n} =a+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d`], [eqn: b _{n} =a+ LEFT ( n-1 RIGHT ) LEFT ( -2d RIGHT ) `]

조건 (가)에서 [eqn: LEFT | a RIGHT | = LEFT | a-12d RIGHT |]

[eqn: a=a-12d`] 또는 [eqn: a= it -a+12d`]

[eqn: d`!=0`]이므로 [eqn: a= it -a+12d`], [eqn: a= it 6d`]
[eqn: a _{n} =6d+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d= LEFT ( n+5 RIGHT ) d`]
[eqn: b_n = 6d -2 LEFT ( n-1 RIGHT )d= LEFT ( -2n+8 RIGHT )d`]
[eqn: a`]는 양수이므로 [eqn: d>0`]

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a _{n} >0`]

[eqn: 1 LEQ n LEQ 3`]일 때, [eqn: b _{n} > 0`],
[eqn: n GEQ 4`]일 때, [eqn: b _{n} LEQ 0`]이므로
수열 [eqn: LEFT { c _{n} RIGHT } `]을 [eqn: c _{n} = LEFT | a _{n} RIGHT | - LEFT | b _{n} RIGHT | `]이라 하면

[eqn: c _{n} = {cases{eqalign{# }&#&}}]	[eqn: LEFT ( n+5 RIGHT ) d- LEFT ( -2n+8 RIGHT ) d]	[eqn: LEFT ( `1 LEQ n LEQ 3 RIGHT )]
	[eqn: LEFT ( n+5 RIGHT ) d- LEFT ( 2n-8 RIGHT ) d]	[eqn: LEFT ( `n GEQ 4` RIGHT ) `]

[eqn: c _{n} = {cases{eqalign{# }&#&}}]	[eqn: 3 LEFT ( n-1 RIGHT ) d]	[eqn: LEFT ( `1 LEQ n LEQ 3` RIGHT )]
	[eqn: LEFT ( 13-n RIGHT ) d]	[eqn: LEFT ( `n GEQ 4` RIGHT ) `]

[eqn: 1 LEQ n LEQ 13`]일 때 [eqn: c _{n} GEQ 0`]이고 [eqn: c _{13} =0`],  [eqn: n GEQ 14`]일 때 [eqn: c _{n} <0`]이므로
[eqn: S_n`][eqn: = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( LEFT | a _{k} ` RIGHT | - LEFT | b _{k} ` RIGHT | RIGHT ) = sum _{k=1} ^{n} c _{k} `]의 값이 최대가 되는 [eqn: n=12`] 또는 [eqn: n=13`]

[eqn: S _{12} =S _{13}][eqn: = sum _{n=1} ^{13} c _{n}]
[eqn: = sum _{n=1} ^{3} 3 LEFT ( n-1 RIGHT ) d`+ sum _{n=4} ^{13} LEFT ( 13-n RIGHT ) d`]
[eqn: =9d+45d]
[eqn: =54d=108`], [eqn: d=2`]

수열 [eqn: LEFT { c _{n} RIGHT } `]은

[eqn: c _{n} = {cases{eqalign{# }&#&}}]	[eqn: 6 LEFT ( n-1 RIGHT )]	[eqn: LEFT ( `1 LEQ n LEQ 3` RIGHT )]
	[eqn: 2 LEFT ( 13-n RIGHT )]	[eqn: LEFT ( `n GEQ 4` RIGHT ) `]

[eqn: c _{1} =0`], [eqn: c _{2} =6`], [eqn: c _{3} =12`]

[eqn: c _{4} = it -c _{22} `], [eqn: c _{5} = it -c _{21} `], [eqn: c _{6} = it -c _{20} `], [eqn: cdots`], [eqn: c _{12} = it -c _{14} `], [eqn: c _{13} =0`],

[eqn: c _{23} =it-20`],

[eqn: n GEQ 24`]에서 [eqn: c _{n} <0`]이므로

[eqn: S _{22}][eqn: = LEFT ( c _{1} +c _{2} +c _{3} RIGHT ) + LEFT ( c _{4} +c _{5} +c _{6} +` CDOTS `+c _{22} RIGHT ) ` it]
[eqn: it = LEFT ( 0+6+12 RIGHT ) +0=18`]

[eqn: S _{23} =S _{22} +c _{23} =18+ LEFT ( -20 RIGHT ) ` it = it -2`]

[eqn: n GEQ 23`]일 때 [eqn: S _{n} <0`]

따라서 [eqn: S _{n} GEQ 0`]을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 최댓값 [eqn: m=22`]이고 [eqn: a _{22} = LEFT ( 22+5 RIGHT ) TIMES 2=54`]

양수 [eqn: a`]와 [eqn: 0`]이 아닌 실수 [eqn: d`]에 대하여 첫째항이 모두 [eqn: a`]이고,
공차가 각각 [eqn: d`], [eqn: -2d`]인 두 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]과 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) [eqn: LEFT | a _{1} ` RIGHT | = LEFT | b _{7} ` RIGHT | `] (나) [eqn: S _{`n} =][eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( LEFT | a _{k} ` RIGHT | - LEFT | b _{k} ` RIGHT | RIGHT ) `]라 할 때, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: S _{`n} LEQ 108`]이고, [eqn: S _{`p} =108`]인 자연수 [eqn: p`]가 존재한다.

[eqn: S _{`n} GEQ 0`]을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 최댓값을 [eqn: m`]이라 할 때,
[eqn: a _{m} `]의 값은?

① [eqn: 46`]	② [eqn: 50`]	③ [eqn: 54]	④ [eqn: 58`]	⑤ [eqn: 62`]

[2203교-고3-13]

① [eqn: {31} over {5}]

[출제의도] 등차수열의 합을 이용하여 수열의 첫째항을 구하는 문제를 해결한다.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 공차를 [eqn: d`]라 하자. [eqn: d{ge0`]이면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항이 양수이므로 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a _{n} >0`]이 되어 조건을 만족시키지 않는다. 따라서 [eqn: d<0`]이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: S _{3} =S _{6} `]인 경우
[eqn: {3 LEFT ( 2a _{1} +2d RIGHT )} over {2}][eqn: = {6 LEFT ( 2a _{1} +5d RIGHT )} over {2} `]에서
[eqn: a _{1} = it -4d`]이므로
[eqn: S _{3}][eqn: =S _{6}][eqn: =it-9d][eqn: >0],
[eqn: S _{11}][eqn: = {11 LEFT ( 2a _{1} +10d RIGHT )} over {2}][eqn: =11d][eqn: <0]
즉, [eqn: S _{3} = it -S _{11} -3`]에서
[eqn: -9d][eqn: =it-11d-3], [eqn: d= it - {3} over {2}]
[eqn: a _{1}][eqn: =it-4d][eqn: =6]

(ⅱ) [eqn: S _{3} =it-S _{6} `]인 경우
[eqn: {3 LEFT ( 2a _{1} +2d RIGHT )} over {2}][eqn: = it - {6 LEFT ( 2a _{1} +5d RIGHT )} over {2} `]에서
[eqn: a _{1} = it -2d`]이므로
[eqn: S _{3}][eqn: =it-S _{6}][eqn: =it-3d][eqn: >0]
[eqn: S _{11}][eqn: = {11 LEFT ( 2a _{1} +10d RIGHT )} over {2}][eqn: =33d][eqn: <0]
즉, [eqn: S _{3} = it -S _{11} -3`]에서
[eqn: -3d=it-33d-3], [eqn: d= it - {1} over {10}]
[eqn: a _{1}][eqn: =it-2d][eqn: = {1} over {5}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족시키는 모든 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항의 합은 [eqn: 6+ {1} over {5}][eqn: = {31} over {5} `]이다.

첫째항이 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항부터 제[eqn: `n`]항까지의 합을 [eqn: S _{n} `]이라 하자.

[eqn: LEFT | S _{3} RIGHT | = LEFT | S _{6} RIGHT | = LEFT | S _{11} RIGHT | -3]

을 만족시키는 모든 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항의 합은?

① [eqn: {31} over {5}]	② [eqn: {33} over {5}]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: {37} over {5}]	⑤ [eqn: {39} over {5}]

[2203교-고3-20]

[eqn: 70`]

[출제의도] 귀납적으로 정의된 수열을 해석하여 수열의 첫째항을 추론한다.

[eqn: a _{n+1} = {cases{`-2a _{n}&&LEFT ( a _{n} <`0 RIGHT )#`a _{n} -2&&LEFT ( a _{n} GEQ 0 RIGHT )}}] [eqn: cdotscdots] ㉠

이고 [eqn: 1<a _{1} <2`]에서 [eqn: a _{1} {ge}0`]이므로

[eqn: a _{2}][eqn: =a _{1} -2][eqn: <0]

[eqn: a _{3}][eqn: =it-2a _{2}][eqn: = it -2 LEFT ( a _{1} -2 RIGHT )][eqn: >0]

[eqn: a _{4}][eqn: =a _{3} -2][eqn: = it -2 LEFT ( a _{1} -2 RIGHT ) -2][eqn: = it -2 LEFT ( a _{1} -1 RIGHT )][eqn: <0]

[eqn: a _{5}][eqn: =it-2a _{4}][eqn: =4 LEFT ( a _{1} -1 RIGHT )][eqn: >0]

[eqn: a _{6}][eqn: =a _{5} -2][eqn: =4 LEFT ( a _{1} -1 RIGHT ) -2][eqn: =4a _{1} -6]

이때 ㉠에서 [eqn: a _{6} <0`]이면 [eqn: a _{7}][eqn: = it -2a _{6} `][eqn: >0]이므로

[eqn: a _{7} =it-1 LEQ 0`]에서 [eqn: a _{6} {ge}0`]이다.

[eqn: a _{7}][eqn: =a _{6} -2][eqn: = LEFT ( 4a _{1} -6 RIGHT ) -2][eqn: =4a _{1} -8][eqn: =it-1]

[eqn: a _{1} = {7} over {4}]

따라서

[eqn: 40{times}a _{1}][eqn: =40times {7} over {4}][eqn: =70]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 [eqn: 1<a _{1} <2`]이고, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{n+1} =]	[eqn: {cases{`#`#`#`}}]	[eqn: -2a _{n}]	([eqn: a _{n} <`0])
		[eqn: a _{n} -2]	([eqn: a _{n} {ge}0])

을 만족시킨다. [eqn: a _{7} =it-1`]일 때, [eqn: 40{times}a _{1} `]의 값을 구하시오.

[2204교-고3-12]

③ [eqn: 5]

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 추론하기

조건 (가)에 의하여

[eqn: sum _{n=1} ^{8} a _{n}][eqn: = LEFT ( a _{1} +a _{5} RIGHT ) + LEFT ( a _{2} +a _{6} RIGHT ) + LEFT ( a _{3} +a _{7} RIGHT ) + LEFT ( a _{4} +a _{8} RIGHT )]
[eqn: =15 TIMES 4=60]

[eqn: sum _{n=1} ^{4} a _{n} =6]이므로 [eqn: sum _{n=5} ^{8} a _{n} =54]

조건 (나)에 의하여

[eqn: a _{6} =a _{5} +5],

[eqn: a _{7} =a _{6} +6=a _{5} +11],

[eqn: a _{8} =a _{7} +7=a _{5} +18]

따라서 [eqn: sum _{n=5} ^{8} a _{n} =4a _{5} +34=54]에서 [eqn: a _{5} =5]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 1 LEQ n LEQ 4]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n} +a _{n+4} =15]이다.

(나) [eqn: n GEQ 5]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+1} -a _{n} = n]이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{4} a _{n} =6]일 때, [eqn: a _{5}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

[2204교-고3-21]

[eqn: 170`]

[출제의도] 등차수열을 이용하여 추론하기

[eqn: a _{2m} =it-a _{m}]에서 [eqn: a _{m} +md=it-a _{m}]

[eqn: 2a _{m} =it-md]이므로

[eqn: m]과 [eqn: d] 중에서 적어도 하나는 짝수이다.

[eqn: m]이 짝수, 즉 [eqn: m=2p]([eqn: p]는 자연수)라 하면

[eqn: a _{2m} +a _{m}][eqn: =a _{4p} +a _{2p}]
[eqn: = LEFT { a _{1} + LEFT ( 4p-1 RIGHT ) d RIGHT } + LEFT { a _{1} + LEFT ( 2p-1 RIGHT ) d RIGHT }]
[eqn: =2 LEFT { a _{1} + LEFT ( 3p-1 RIGHT ) d RIGHT }]
[eqn: =2a _{3p}=0]

이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

그러므로 [eqn: m]은 홀수이고 [eqn: d]는 짝수이다.

[eqn: m=2l-1]([eqn: l]은 자연수)라 하면

[eqn: a _{4l-2} =it-a _{2l-1}]에서

[eqn: a _{3l-1}][eqn: =a _{4l-2} - LEFT ( l-1 RIGHT ) d]
[eqn: = it -a _{2l-1} - LEFT ( l-1 RIGHT ) d]
[eqn: = it -a _{3l-2}]

이고 [eqn: d>0]이므로

[eqn: 1 LEQ n LEQ 3l-2]일 때 [eqn: a _{n} <0],

[eqn: n GEQ 3l-1]일 때 [eqn: a _{n} >0]이다.

[eqn: sum _{k=m} ^{2m} LEFT | a _{k} RIGHT |][eqn: = sum _{k=2l-1} ^{4l-2} LEFT | a _{k} RIGHT |]

[eqn: = it -a _{2l-1} -a _{2l} -a _{2l+1} -` it CDOTS ` it -a _{3l-2}]

[eqn: +a _{3l-1} +a _{3l} +a _{3l+1} +` it CDOTS ` it +a _{4l-2}]

[eqn: = it -a _{2l-1} - LEFT ( a _{2l-1} +d RIGHT ) - LEFT ( a _{2l-1} +2d RIGHT ) - it CDOTS it - LEFT { a _{2l-1} + LEFT ( l-1 RIGHT ) d RIGHT }]

[eqn: + LEFT ( a _{2l-1} +ld RIGHT ) + LEFT { a _{2l-1} + LEFT ( l+1 RIGHT ) d RIGHT } + it CDOTS it + LEFT { a _{2l-1} + LEFT ( 2l-1 RIGHT ) d RIGHT }]

[eqn: = it - LEFT { 1+2+3+ it CDOTS it + LEFT ( l-1 RIGHT ) RIGHT } d]

[eqn: + LEFT { l+ LEFT ( l+1 RIGHT ) + LEFT ( l+2 RIGHT ) + it CDOTS it + LEFT ( 2l-1 RIGHT ) RIGHT } d]

[eqn: = it - {l LEFT ( l-1 RIGHT )} over {2} d+ {l LEFT { l+ LEFT ( 2l-1 RIGHT ) RIGHT }} over {2} d]

[eqn: =l ^{2} d=128]

[eqn: l]은 자연수이고 [eqn: d]는 짝수이므로 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( `l,``d RIGHT )]는

[eqn: LEFT ( `1,``128 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `2,``32 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `4,``8 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `8,``2 RIGHT )]이다.

따라서 모든 [eqn: d]의 값의 합은 [eqn: 2+8+32+128=170]

공차가 자연수 [eqn: d]이고 모든 항이 정수인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]이 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 [eqn: d]의 값의 합을 구하시오.

(가) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} !=0]이다.

(나) [eqn: a_2m =it-a_m]이고 [eqn: sum _{k=m} ^{2m} LEFT | a _{k} RIGHT | =128]인 자연수 [eqn: m]이

존재한다.

[2206평-고3-12]

③ [eqn: {23} over {2}]

[출제의도] 등차수열의 일반항을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가?

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차가 양수이고 조건 (가)에서

[eqn: a _{5} TIMES a _{7} <0]

이므로

[eqn: a _{5} <0], [eqn: a _{7} >0]

즉, [eqn: n LEQ 5]일 때 [eqn: a _{n} <0]이고, [eqn: n GEQ 7]일 때 [eqn: a _{n} >0]이다.

이때 조건 (나)에서

[eqn: sum _{k=1} ^{6} LEFT | `a _{k+6} ` RIGHT |][eqn: =6+ sum _{k=1} ^{6} LEFT | `a _{2k} ` RIGHT |]

이므로

[eqn: LEFT | a _{7} RIGHT | + LEFT | a _{8} RIGHT | + LEFT | a _{9} RIGHT | + LEFT | a _{10} RIGHT | + LEFT | a _{11} RIGHT | + LEFT | a _{12} RIGHT |]

[eqn: =6+ LEFT | a _{2} RIGHT | + LEFT | a _{4} RIGHT | + LEFT | a _{6} RIGHT | + LEFT | a _{8} RIGHT | + LEFT | a _{10} RIGHT | + LEFT | a _{12} RIGHT |]

[eqn: a _{7} +a _{9} +a _{11}][eqn: =6-a _{2} -a _{4} + LEFT | `a _{6} ` RIGHT |]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차가 [eqn: 3]이므로

[eqn: LEFT ( a _{1} +18 RIGHT ) + LEFT ( a _{1} +24 RIGHT ) + LEFT ( a _{1} +30 RIGHT )][eqn: =6- LEFT ( a _{1} +3 RIGHT ) - LEFT ( a _{1} +9 RIGHT ) + LEFT | `a _{1} +15` RIGHT |]

[eqn: LEFT | `a _{1} +15` RIGHT |][eqn: =5a _{1} +78]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

㉠에서 [eqn: a _{1} +15 GEQ 0]이면

[eqn: a _{1} +15][eqn: =5a _{1} +78]

[eqn: 4a _{1}][eqn: = it -63]

[eqn: a _{1}][eqn: = it - {63} over {4}][eqn: < it -15]

이므로 조건을 만족시키지 않는다.

즉, [eqn: a _{1} +15<0]이므로 ㉠에서

[eqn: -a _{1} -15][eqn: =5a _{1} +78]

[eqn: 6a _{1}][eqn: = it -93]

[eqn: a _{1}][eqn: =- {31} over {2}]

따라서

[eqn: a _{10}][eqn: =a _{1} +9 TIMES 3]
[eqn: =- {31} over {2} +27]
[eqn: = {23} over {2}]

공차가 [eqn: 3]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a _{10}]의 값은?

(가) [eqn: a _{5} TIMES a _{7} <0]

(나) [eqn: sum _{k=1} ^{6} LEFT | `a _{k+6} ` RIGHT |][eqn: =6+ sum _{k=1} ^{6} LEFT | `a _{2k} ` RIGHT |]

① [eqn: {21} over {2}]	② [eqn: 11]	③ [eqn: {23} over {2}]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: {25} over {2}]

[2206평-고3-13]

① [eqn: 48`]

[출제의도] 등비수열의 일반항을 구하고 이를 이용하여 간단한 지수방정식을 풀 수 있는가?

점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 64]이고 점 [eqn: rmQ _{1}]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x _{1}]이다.

이때 두 점 [eqn: rmA]와 [eqn: rmP _{1}]의 [eqn: y]좌표가 같으므로

[eqn: 2 ^{64}][eqn: =16 ^{x _{1}}]에서

[eqn: 2 ^{64}][eqn: =2 ^{4x _{1}}]

[eqn: 4x _{1}][eqn: =64]에서

[eqn: x _{1}][eqn: =16]

같은 방법으로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 점 [eqn: rmP _{itn}], [eqn: rmQ _{itn}]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x _{n}]으로 서로 같고, 두 점 [eqn: rmQ _{itn}], [eqn: rmP _{itn+1}]의 [eqn: y]좌표는 같으므로

[eqn: 2 ^{x _{n}}][eqn: =16 ^{x _{n+1}}]

즉,

[eqn: 2 ^{x _{n}}][eqn: =2 ^{4x _{n+1}}]

이므로

[eqn: x _{n+1}][eqn: = {1} over {4} x _{n}]

따라서 수열 [eqn: LEFT { x _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 16], 공비가 [eqn: {1} over {4}]인 등비수열이므로

[eqn: x _{n}][eqn: =16 TIMES LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n-1}][eqn: =2 ^{4} TIMES 2 ^{-2n+2}][eqn: =2 ^{6-2n}]

한편,

[eqn: x _{n}][eqn: < {1} over {k}]을 만족시키는 [eqn: n]의 최솟값이 [eqn: 6]이므로

[eqn: x _{5} GEQ {1} over {k}]이고 [eqn: x _{6} < {1} over {k}]

이어야 한다.

[eqn: x _{5} GEQ {1} over {k}]에서 [eqn: 2 ^{-4} GEQ {1} over {k}],

즉 [eqn: {1} over {16} GEQ {1} over {k}]에서 [eqn: k GEQ 16]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: x _{6} < {1} over {k}]에서 [eqn: 2 ^{-6} < {1} over {k}],

즉 [eqn: {1} over {64} < {1} over {k}]에서 [eqn: k<64]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 16 LEQ k<64]이므로 자연수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 64-16][eqn: =48]이다.

두 곡선 [eqn: y][eqn: =16 ^{x}], [eqn: y][eqn: = it 2 ^{x}]과 한 점 [eqn: rm A LEFT ( 64,~2 ^{64} RIGHT )]이 있다. 점 [eqn: rmA]를 지나며 [eqn: x]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y][eqn: =16 ^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rmP _{1}]이라 하고, 점 [eqn: rmP _{1}]을 지나며 [eqn: y]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y][eqn: =2 ^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rmQ _{1}]이라 하자.

점 [eqn: rmQ _{1}]을 지나며 [eqn: x]축과 평행한 직선이 [eqn: y][eqn: = it 16 ^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rmP _{2}]라 하고, 점 [eqn: rmP _{2}]를 지나며 [eqn: y]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y][eqn: =2 ^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rmQ _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 두 점을 각각 [eqn: rmP _{itn} ,~][eqn: rmQ _{itn}]이라 하고 점 [eqn: rmQ _{itn}]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x _{n}]이라 할 때, [eqn: x _{n} < {1} over {k}]을 만족시키는 [eqn: n]의 최솟값이 [eqn: 6]이 되도록 하는 자연수 [eqn: k]의 개수는?

① [eqn: 48`]	② [eqn: 51`]	③ [eqn: 54`]	④ [eqn: 57`]	⑤ [eqn: 60`]

[2206평-고3-15]

② [eqn: 14`]

[출제의도] 귀납적으로 주어진 수열의 정의를 이해하여 조건을 만족시키는 상수의 값을 구할 수 있는가?

[eqn: a _{1} =0]이므로

[eqn: a _{2}][eqn: =a _{1`} + {1} over {k+1}][eqn: = {1} over {k+1}]

[eqn: a _{2} >0]이므로

[eqn: a _{3}][eqn: =a _{2} - {1} over {k}][eqn: = {1} over {k+1} - {1} over {k}]

[eqn: a _{3} <0]이므로

[eqn: a _{4}][eqn: =a _{3} + {1} over {k+1}][eqn: = {2} over {k+1} - {1} over {k}][eqn: = {k-1} over {k LEFT ( k+1 RIGHT )}]

이때 [eqn: k][eqn: =1]이면 [eqn: a _{4}][eqn: =0]이므로 [eqn: n][eqn: =][eqn: 3m-2]([eqn: m]은 자연수)일 때 [eqn: a _{n}][eqn: =0]이다. 즉, [eqn: a _{22}][eqn: =0]이므로 [eqn: k][eqn: =1]은 조건을 만족시킨다.

한편 [eqn: k>1]이면 [eqn: a _{4} >0]이므로

[eqn: a _{5}][eqn: =a _{4} - {1} over {k}][eqn: = {2} over {k+1} - {2} over {k}]

[eqn: a _{5} <0]이므로

[eqn: a _{6}][eqn: =a _{5} + {1} over {k+1}][eqn: = {3} over {k+1} - {2} over {k}][eqn: = {k-2} over {k LEFT ( k+1 RIGHT )}]

이때 [eqn: k][eqn: =2]이면 [eqn: a _{6}][eqn: =0]이므로 [eqn: n][eqn: =5m-4]([eqn: m]은 자연수)일 때 [eqn: a _{n}][eqn: =0]이다. 즉, [eqn: a _{22}][eqn: != 0]이므로 [eqn: k][eqn: =2]는 조건을 만족시키지 않는다.

한편 [eqn: k>2]이면 [eqn: a _{6} >0]이므로

[eqn: a _{7}][eqn: =a _{6} - {1} over {k}][eqn: = {3} over {k+1} - {3} over {k}]

[eqn: a _{7} <0]이므로

[eqn: a _{8}][eqn: = {4} over {k+1} - {3} over {k}][eqn: = {k-3} over {k LEFT ( k+1 RIGHT )}]

마찬가지 방법으로 계속하면

[eqn: k][eqn: =3]이면 [eqn: a _{8}][eqn: =0]이고 이때 [eqn: a _{22}][eqn: =0]이다.

[eqn: k][eqn: =4]이면 [eqn: a _{10}][eqn: = it 0]이고 이때 [eqn: a _{22}][eqn: != 0]이다.

[eqn: 5 LEQ k LEQ 9]이면 [eqn: a _{22}][eqn: != 0]이다.

[eqn: k][eqn: =10]이면 [eqn: a _{22}][eqn: =0]이다.

[eqn: k GEQ 11]이면 [eqn: a _{22}][eqn: != 0]이다.

따라서 조건을 만족시키는 모든 [eqn: k]의 값은

[eqn: 1,~3,~10]

이므로 구하는 모든 [eqn: k`]의 값의 합은

[eqn: 1+3+10=14`]

자연수 [eqn: k]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 있다.
[eqn: a _{22}][eqn: =0]이 되도록 하는 모든 [eqn: k]의 값의 합은?

[eqn: a _{1}][eqn: =0]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1}][eqn: = {cases{~a _{n} + {1} over {k+1}&~~~ LEFT ( a _{n} LEQ 0 RIGHT )#eqalign{# ~a _{n} - {1} over {k}}&eqalign{# ~~~ LEFT ( a _{n} >0 RIGHT )}}}]

이다.

① [eqn: 12`]	② [eqn: 14`]	③ [eqn: 16`]	④ [eqn: 18`]	⑤ [eqn: 20`]

[2207교-고3-12]

① 109

[출제의도] 수열의 합을 활용하여 추론하기

[eqn: n GEQ 2`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a _{n}][eqn: =S _{n} -S _{n-1} `]
[eqn: = sum _{k=1} ^{n} {3S _{k}} over {k+2} - sum _{k=1} ^{n-1} {3S _{k}} over {k+2}][eqn: = {3S _{n}} over {n+2} `]

이므로 [eqn: 3S _{n} = LEFT ( n+2 RIGHT ) TIMES a _{n} `] [eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT ) `]이다.

[eqn: S _{1} =a _{1} `]에서 [eqn: 3S _{1} =3a _{1} `]이므로

[eqn: 3S _{n} = LEFT ( n+2 RIGHT ) TIMES a _{n} `] [eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT ) `]

이다.

[eqn: 3a _{n}][eqn: =3 LEFT ( S _{n} -S _{n-1} RIGHT ) `]
[eqn: = LEFT ( n+2 RIGHT ) TIMES a _{n} - LEFT ( ` {BOX{````n+1````}} ` RIGHT ) TIMES a _{n-1} `] [eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT ) `]

[eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) TIMES a _{n} = LEFT ( n+1 RIGHT ) TIMES a _{n-1} `]이고 [eqn: a _{1} != 0`]이므로

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a _{n} != 0`]

[eqn: {a _{n}} over {a _{n-1}} = {BOX{```` {n+1} over {n-1} ````}} `] [eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT ) `]

따라서

[eqn: a _{10}][eqn: =a _{1} TIMES {a _{2}} over {a _{1}} TIMES {a _{3}} over {a _{2}} TIMES {a _{4}} over {a _{3}} TIMES ` CDOTS ` TIMES {a _{9}} over {a _{8}} TIMES {a _{10}} over {a _{9}} `][eqn: =2 TIMES {3} over {1} TIMES {4} over {2} TIMES {5} over {3} TIMES ` CDOTS ` TIMES {10} over {8} TIMES {11} over {9} `][eqn: = {BOX{````110````}} `]

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =n+1`], [eqn: g LEFT ( n RIGHT ) = {n+1} over {n-1} `], [eqn: p=110`]

따라서 [eqn: {f LEFT ( p RIGHT )} over {g LEFT ( p RIGHT )} = {111} over {{111} over {109}} =109`]

첫째항이 [eqn: 2`]인 수열 [eqn: left{a _{n} right}`]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을
[eqn: S _{n} `]이라 하자. 다음은 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: sum _{k=1} ^{n} {3S _{k}} over {k+2} =S _{n} `]
이 성립할 때, [eqn: a _{10} `]의 값을 구하는 과정이다.

	[eqn: n GEQ 2`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a _{n}][eqn: =S _{n} -S _{n-1} `] [eqn: = sum _{k=1} ^{n} {3S _{k}} over {k+2} - sum _{k=1} ^{n-1} {3S _{k}} over {k+2} `][eqn: = {3S _{n}} over {n+2} `] 이므로 [eqn: 3S _{n} =left(n+2right)timesa _{n}`] [eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT ) `]이다. [eqn: S _{1} =a _{1} `]에서 [eqn: 3S _{1} =3a _{1} `]이므로 [eqn: 3S _{n} `][eqn: = LEFT ( n+2 RIGHT ) TIMES a _{n} `] [eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT ) `]이다. [eqn: 3a _{n}][eqn: =3 LEFT ( S _{n} -S _{n-1} RIGHT ) `] [eqn: = LEFT ( n+2 RIGHT ) TIMES a _{n} - LEFT ( ` {BOX{````(가)````}} `RIGHT ) TIMES a _{n-1} `] [eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT ) `] [eqn: {a _{n}} over {a _{n-1}} = {BOX{````(나)````}} `] [eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT ) `] 따라서 [eqn: a _{10} `][eqn: =a _{1} TIMES {a _{2}} over {a _{1}} TIMES {a _{3}} over {a _{2}} TIMES {a _{4}} over {a _{3}} TIMES ` CDOTS ` TIMES {a _{9}} over {a _{8}} TIMES {a _{10}} over {a _{9}} `] [eqn: = {BOX{````(다)````}}`]

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) `], [eqn: g LEFT ( n RIGHT ) `]이라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: p`]라 할 때, [eqn: {f LEFT ( p RIGHT )} over {g LEFT ( p RIGHT )} `]의 값은?

	①	[eqn: `109]	②	[eqn: 112`]	③	[eqn: 115`]	④	[eqn: 118`]	⑤	[eqn: 121`]

[2207교-고3-21]

180

[출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 활용하여 문제 해결하기

조건 (가)에 의하여

[eqn: a _{2n-1} +a _{2n}][eqn: = sum _{k=1} ^{2n} a _{k} - sum _{k=1} ^{2 LEFT ( n-1 RIGHT )} a _{k} `]
[eqn: =17n-17 LEFT ( n-1 RIGHT ) =17`] [eqn: LEFT ( n GEQ2 RIGHT ) `]

조건 (나)에 의하여

[eqn: LEFT | a _{2n} -a _{2n-1} RIGHT | =2 LEFT ( 2n-1 RIGHT ) -1=4n-3`] [eqn: LEFT ( n GEQ 1 RIGHT ) `]

(ⅰ) [eqn: n=2`]인 경우
[eqn: LEFT | a _{4} -a _{3} RIGHT | =5`]이고 [eqn: a _{3} +a _{4} =17`]
[eqn: LEFT ( a _{3} ,```a _{4} RIGHT ) = LEFT ( 6,```11 RIGHT ) `] 또는 [eqn: LEFT ( a _{3} ,```a _{4} RIGHT ) = LEFT ( 11,```6 RIGHT ) `]
조건 (나)에 의하여
[eqn: LEFT | a _{3} -a _{2} RIGHT | = LEFT | a _{3} -9 RIGHT | =3`]이므로
[eqn: a _{3} =6`], [eqn: a _{4} =11`]

(ⅱ) [eqn: n=3`]인 경우
[eqn: LEFT | a _{6} -a _{5} RIGHT | =9`]이고 [eqn: a _{5} +a _{6} =17`]
[eqn: LEFT ( a _{5} ,```a _{6} RIGHT ) = LEFT ( 4,```13 RIGHT ) `] 또는 [eqn: LEFT ( a _{5} ,```a _{6} RIGHT ) = LEFT ( 13,```4 RIGHT ) `]
조건 (나)에 의하여
[eqn: LEFT | a _{5} -a _{4} RIGHT | = LEFT | a _{5} -11 RIGHT | =7`]이므로
[eqn: a _{5} =4`], [eqn: a _{6} =13`]

(ⅰ), (ⅱ)와 같은 방법을 반복하면

[eqn: a _{8} =15`], [eqn: a _{10} =17`],  [eqn: CDOTS] , [eqn: a _{20} =27`]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{2n} `]의 값은 첫째항이 [eqn: 9`]이고 공차가 [eqn: 2`]인 등차수열의 첫째항부터 제[eqn: 10`]항까지의 합과 같다.

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{2n}][eqn: = {10 TIMES LEFT ( 18+9 TIMES 2 RIGHT )} over {2} =180`]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) [eqn: sum _{k=1} ^{2n} a _{k} =17n`] (나) [eqn: LEFT | a _{n+1} -a _{n} RIGHT | =2n-1`]

[eqn: a _{2} =9`]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{2n} `]의 값을 구하시오.

[2207사관-고3-11]

⑤ [eqn: 119 over6 `]

[eqn: bar{P_n Q_n ``}= - 1 over 20 n^2 + 59 over 60 n ``], [eqn: bar{Q_n R_n ``} = 1 over 20 n^2 + 1 over 60 n ``]

두 선분의 길이가 같아지는 [eqn: n= 29 over3 ``]

[eqn: sum _{ n=1} ^{ 10}a_n `][eqn: = sum _{ n=1} ^{9 } { 1 over20 n^2 + 1 over 60 n}+ left( -5 + 59 over6 right)``]

[eqn: =10+ 59 over 6 = 119 over6 ``]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: x=n`]이 직선 [eqn: y=x`]와 만나는 점을 [eqn: P_n`], 곡선 [eqn: y= 1 over20 x left( x+ 1 over3 right) `]과 만나는 점을 [eqn: Q_n`], [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: R_n `]이라 하자. 두 선분 [eqn: P_n Q_n `,```Q_n R_n ``]의 길이 중 작은 값을 [eqn: a_n `]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{ 10}a_n `]의 값은?

① [eqn: 115 over6 `]	② [eqn: 58 over3 `]	③ [eqn: 39 over 2 `]	④ [eqn: 59 over3 `]	⑤ [eqn: 119 over6 `]

[2207사관-고3-21]

[eqn: 35`]

(나)-(가)를 하면 [eqn: (l+m-13)d= 3over2 ``]

[eqn: l+m-13= 3 over 2d ``]이므로 [eqn: 2d= -3`,````-1`,````1`,````3``]이고

[eqn: l+m=10`,```` 12`,```` 14`,````16``]

여기서 [eqn: a_l +a_m =1``]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (l`,```m)`]의 개수가 [eqn: 6`]이 되려면

[eqn: l+m=14`]이고 [eqn: a_6 +a_8 =1 `]이므로 [eqn: d = 3 over2 ``]

[eqn: sum _{n=1 } ^{14 } a_n = {(a_1 + a_14 ) }over2 cdot14 =7(a_6 + a_9 )= 7 left( 1+ 3 over2 right)= 35 over2 ``]

따라서 [eqn: 2S= 35`]

등차수열 [eqn: left{ a_n right} `]이 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) [eqn: a_6 +a_7 = - 1 over2 ``] (나) [eqn: a_l +a_m =1``]이 되도록 하는 두 자연수 [eqn: l`,```m``(l<m`)`]의 모든 순서쌍 [eqn: (l`,```m)`]의 개수는 [eqn: 6`]이다.

등차수열 [eqn: left{ a_n right} `]의 첫째항부터 제[eqn: 14`]항까지의 합을 [eqn: S``]라 할 때, [eqn: 2S``]의 값을 구하시오.

[2207경찰-고3-11]

② [eqn: 114`]

[eqn: b_n = root{ 3n-2}``]라 하면 [eqn: a_n = { b_n+1 b_n + (b_{n+1})^2 + (b_n )^2 } over { b_n+1 + b_n }`]

분모 분자에 [eqn: (b_n+1 - b_n )``]을 곱하면

[eqn: a_n = { ( b_n+1 )^3 - (b_n )^3 } over3 `]

[eqn: sum _{ n=1} ^{16 } `a_n ``= 1 over 3 times left(7^3 -1 right) =114`]

수열 [eqn: left{ a_n right}``]의 일반항이

[eqn: a_n = { root{ 9n^2 -3n-2} +6n-1} over { root{3n+1} +root{3n-2}}`]

일 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{16 } `a_n ``]의 값은?

① [eqn: 110`]	② [eqn: 114`]	③ [eqn: 118`]	④ [eqn: 122`]	⑤ [eqn: 126`]

[2207경찰-고3-16]

① [eqn: 100`]

[eqn: a_n = 2n-1 ``]

[eqn: sum _{n=1 } ^{10 } `2n-1 =100`]

좌표평면에 네 점 [eqn: A``(0,```0)`,```B`(1,```0),```C`(1,```1),```D`(0,```1)``]이 있다. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 집합 [eqn: X_n ``]은 다음 조건을 만족시키는 모든 점 [eqn: (a,```b)`]를 원소로 하는 집합이다.

(가) 점 [eqn: (a,```b)`]는 정사각형 [eqn: ABCD`]의 내부에 있다.

(나) 정사각형 [eqn: ABCD`]의 변 위를 움직이는 점 [eqn: P`]와 점 [eqn: (a,```b)`]사이의 거리의 최솟값은 [eqn: 1 over2^n `]이다.

(다) [eqn: a= 1 over 2^k `]이고 [eqn: b= 1 over 2^m `]인 자연수 [eqn: k,```m`]이 존재한다.

집합 [eqn: X_n`]의 원소의 개수를 [eqn: a_n ``]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{10 } a_n ``]의 값은?

① [eqn: 100`]	② [eqn: 120`]	③ [eqn: 140`]	④ [eqn: 160`]	⑤ [eqn: 180`]

[2209평-고3-15]

③ [eqn: 12`]

(가)에 따르면 [eqn: a_4 =r `]

[eqn: a_4 =r `]을 기점으로 [eqn: a_5 = r+3`], [eqn: a_6 = r+6 `], [eqn: a_7 = -3 - 1 over2 r `], [eqn: a_8 =`- r over 2 `]이므로 [eqn: r= - 1 over2`]

거꾸로 항을 유추하면 [eqn: a_3 =r-3`]

ⅰ) [eqn: a_2 = r-6 `]이면 [eqn: a_1 = 12-2r`=13 >0`] 조건에 안 맞음

ⅱ) [eqn: a_2 = 6-2r `]이면 [eqn: a_1 = 3-2r ``]또는 [eqn: 4r-12``]이지만

[eqn: a_1 = 3-2r ``]이면 모순이므로 [eqn: a_1 = 4r-12`]이므로 [eqn: a_1 = -14``]

[eqn: vert` a_m ` vert >=5 `]인 항은 [eqn: m``]이 [eqn: 4`]이하일 때는 두 개이고 나머지는 4개마다 1개씩 존재하므로 [eqn: p=26``]

따라서 [eqn: p+a_1 = 26-14=12``]

수열 [eqn: left{a_n right}`]이 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) 모든 자연수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: a_4k =` r^k ``]이다. (단, [eqn: r`]는 [eqn: a< vert `r` vert < 1`]인 상수이다.) (나) [eqn: a_1 <0`]이고, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_n+1 = cases {` a_n +3 ~~&( vert` a_n ` vert <5) # ` - 1 over2 a_n ~~~&( vert` a_n ` vert >=5) }``] 이다.

[eqn: vert` a_m ` vert >=5 `]을 만족시키는 [eqn: 100`]이하의 자연수 [eqn: m`]의 개수를 [eqn: p`]라 할 때, [eqn: p+a_1 `]의 값은?

① [eqn: 8``]	② [eqn: 10`]	③ [eqn: 12`]	④ [eqn: 14`]	⑤ [eqn: 16`]

빠른 정답

⑤ [eqn: 220]

④ [eqn: 33]

③ [eqn: 54]

① [eqn: {31} over {5}]

[eqn: 70`]

③ [eqn: 5]

[eqn: 170`]

③ [eqn: {23} over {2}]

① [eqn: 48`]

② [eqn: 14`]

① 109

180

⑤ [eqn: 119 over6 `]

[eqn: 35`]

② [eqn: 114`]

① [eqn: 100`]

③ [eqn: 12`]