공통수학1	I. 다항식 (1) 다항식의 덧셈과 뺄셈 ①
날짜:	학번: 이름:

□ 배운 내용 확인하기

(1) 다음 식을 계산하시오.

1) [eqn: (x ^{2} +4)+(2x ^{2} +5x-1)]

2) [eqn: (7x ^{2} +x-3)-(2x ^{2} -3x)]

3) [eqn: 2a(a-3b)]

4) [eqn: (2ab+ab ^{2} )DIV{1over3}ab]

(2) 다음 식을 전개하시오.

1) [eqn: (a+2b)(3c-4d)]

2) [eqn: (a+4) ^{2}]

3) [eqn: (2x+3)(2x-3)]

4) [eqn: (x+1)(x-3)]

(3) 다음 식을 인수분해 하시오.

1) [eqn: 2a ^{2} b+4ab ^{2}]

2) [eqn: 4a ^{2} -4ab+b ^{2}]

3) [eqn: 9x ^{2} -16y ^{2}]

4) [eqn: 3x ^{2} -11x-20]

잠깐! 중학교 수학 수업시간에 공부했던 곱셈공식과 인수분해 공식을 정리해 봅시다.

□ 생각 열기

두 다항식 [eqn: 4x` ^{2} -3x+x ^{2} -5], [eqn: -2x+1-x ^{2} +4x ^{2}]의 합을 계산하려고 한다. 두 다항식을 어떤 기준으로 정리하면 계산할 때 편리할지 이야기해 보자.

․

․

□ 함께 해보기

[예제1] 다항식 [eqn: xy ^{2} -2y+3x+x ^{2}]을

[eqn: x]에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 정리하면

[eqn: y]에 대하여 차수가 낮은 항부터 높은 항의 순서로 정리하면

[예제2] 두 다항식 [eqn: A=x ^{2} -3xy+5y ^{2}],

[eqn: B=2x ^{2} +xy-y ^{2}]에 대하여 다음을 계산하시오.

(1) [eqn: A+B]

(2) [eqn: A-B]

□ 문제해결 학습

[문제1] 다음 설명에 알맞은 말을 써서 문장을
완성하시오.

(1) 다항식 [eqn: 2x ^{2} +3x+1+x ^{3}]을
[eqn: x]에 대하여 차수가 낮은 항부터 높은 항의 순서로 정리하면

[eqn: y]에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로
정리하면

(2) 다항식 [eqn: xy+5x+2y ^{3} -x ^{2} y-2y+1]을
[eqn: x]에 대하여 차수가 낮은 항부터 높은 항의 순서로 정리하면

[eqn: y]에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로

정리하면

[문제2] 두 다항식 [eqn: A=-2x ^{2} +xy-3y ^{2}],

[eqn: B=x ^{3} -4xy+y ^{2}]에 대하여 다음을 계산하시오.

(1) [eqn: A+B]

(2) [eqn: B+A]

(3) [eqn: A-B]

[문제3] 두 다항식 [eqn: A=x ^{3} +3x ^{2} -2x+1],

[eqn: B=2x ^{3} +5x]에 대하여 다음을 계산하시오.

(1) [eqn: A+B]

(2) [eqn: B-A]

[문제4] 두 다항식 [eqn: A=2x ^{3} +x ^{2} +4],

[eqn: B=-3x+4x ^{2} -x ^{3}]에 대하여 다음을 계산하시오.

(1) [eqn: A+2B]

(2) [eqn: 3A-4B]

공통수학1	I. 다항식 (1) 다항식의 덧셈과 뺄셈 ②
날짜:	학번: 이름:

□ 함께 해보기

[예제1] 세 다항식 [eqn: A=x ^{3} -2x ^{2} +3], [eqn: B=2x ^{3} -x+4], [eqn: C=-4x ^{3} +3x ^{2} -x-2]에 대하여 [eqn: (A+B)+C]와 [eqn: A+(B+C)]를 각각 계산하고, 그 결과를 비교하시오.

[예제2] 두 다항식 [eqn: A,`B]가
[eqn: A=x ^{3} +x ^{2} +1], [eqn: B=3x ^{3} -x ^{2} +2x+4]일 때,

[eqn: (2A+3B)+(A-4B)]를 계산해 보자.

[정리하기] 세 다항식 [eqn: A,`B,`C]에서 수의 덧셈에서와 같이 성립하는 성질에 대해 스스로 정리하고
그 내용을 설명해 보자.

□ 문제해결 학습

[문제1] 세 다항식 [eqn: A=2x ^{3} -6x+1], [eqn: B=x ^{3} +2x ^{2} +3x], [eqn: C=-x ^{3} -3x+2]에 대하여 다음을 구하시오.

(1) [eqn: (A+B)+(C-2A)]

(2) [eqn: (2B+A)-(B+2C)]

[문제2] 두 다항식 [eqn: A=3x ^{2} -6xy+3y ^{2}],

[eqn: B=xy+2y ^{2}]에 대하여 다음 등식을 만족시키는

다항식 [eqn: X]를 구하시오.

(1) [eqn: A-X=B]

(2) [eqn: 2(X-A)=3B-X]

[문제3] 두 다항식 [eqn: A,`B]에 대하여 다음이 성립할 때,

[eqn: A+B]를 계산하시오.

[eqn: 2A+B=3x ^{3} -x ^{2} +4]

[eqn: A-2B=-x ^{3} +2x ^{2} +5x+2]

[의사소통] 세 다항식 [eqn: A=x ^{2} -2x+4],

[eqn: B=3x ^{3} -2x ^{2} -4x+1], [eqn: C=x ^{2} +2x-4]에

대하여 [eqn: A+B+C]를 다음과 같은 방법으로

계산하고, 그 과정을 설명해 보자.

[발전] 다항식 [eqn: A,`B,`C,`D,`E,`F]에 대하여 다음 표의 가로, 세로, 대각선에 있는 세 다항식의 합은 모두 같다. [eqn: B-C]를 계산하시오.

[eqn: A]	[eqn: C]	[eqn: E]
[eqn: B]	[eqn: x ^{2} +x]	[eqn: F]
[eqn: 2x ^{2}]	[eqn: D]	[eqn: x ^{3} +3x ^{2} +x]

공통수학1	I. 다항식 (2) 다항식의 곱셈과 나눗셈 ①
날짜:	학번: 이름:

□ 생각 열기

(탐구1) 아래의 그림은 가로의 길이가 [eqn: a+b], 세로의 길이가 [eqn: x+y+z]인 직사각형을 [eqn: 6]개의 직사각형으로 분할한 것이다. 주어진 직사각형의 넓이를 이용하여 [eqn: (a+b)(x+y+z)]를 계산하고 그 결과를 설명해 보자.

(탐구2) 아래의 그림은 한 변의 길이가 [eqn: a+b+c]인 정사각형을 [eqn: 9]개의 직사각형으로 분할한 것이다. 주어진 직사각형의 넓이를 이용하여 [eqn: (a+b+c) ^{2}]를 계산하고 그 결과를 설명해 보자.

□ 함께 해보기

[예제1] 두 다항식 [eqn: A=x+2], [eqn: B=x ^{2} +2x-3]에 대하여 [eqn: AB]를 계산하시오.

[예제2] 다음 다항식을 전개하시오.

(1) [eqn: (a+b) ^{3}]

(2) [eqn: (a+b)(a ^{2} -ab+b ^{2} )]

[정리하기1] 다음 물음에 답하시오.

(1) 다음 다항식을 전개하시오.

1) [eqn: (a-b) ^{3}]

2) [eqn: (a-b)(a ^{2} +ab+b ^{2} )]

(2) 앞의 활동을 통해서 얻을 수 있는 곱셈공식을 정리해보자.

[정리하기2] 세 다항식 [eqn: A,`B,`C]에서 수의 곱셈에서와 같이 성립하는 성질에 대해 스스로 정리하고
그 내용을 적절한 예를 들어 설명해 보자.

□ 문제해결 학습

[문제1] 다음 다항식을 전개하시오.

(1) [eqn: (x-3)(2x ^{2} +3x-1)]

(2) [eqn: (x ^{2} +3xy-2y ^{2} )(2x+3y)]

(3) [eqn: (x+y+2z) ^{2}]

(4) [eqn: (3x+2) ^{3}]

(5) [eqn: (2x+1)(4x ^{2} -2x+1)]

(6) [eqn: (x-3y)(x ^{2} +3xy+9y ^{2} )]

(7) [eqn: (2x-1)(2x ^{2} -x+3)]

(8) [eqn: (2x-1)(x+1)(2x+1)]

(9) [eqn: (a+2)(a ^{2} -2a-1)]

(10) [eqn: (a-b+2c) ^{2}]

(11) [eqn: (3x-y) ^{3}]

(12) [eqn: (2x+3y)(4x ^{2} -6xy+9y ^{2} )]

[문제2] 다음 물음에 답하시오.

(1) 세 다항식 [eqn: A=x ^{2} -1], [eqn: B=x ^{2} +x], [eqn: C=x+3]에 대하여 [eqn: A(B+C)+C(-A+B)]를 계산하시오.

(2) 세 다항식 [eqn: A=2x ^{2} +2x-1], [eqn: B=x ^{2} +3], [eqn: C=x ^{2} +x-2]에 대하여 [eqn: A(B+C)-2AB]를 계산하시오.

공통수학1	I. 다항식 (2) 다항식의 곱셈과 나눗셈 ②
날짜:	학번: 이름:

□ 함께 해보기

잠깐! 지난 시간에 공부했던 곱셈공식을 함께 떠올린 후에 시작합시다.

[예제] 다음 식의 값을 구하시오.

(1) [eqn: a+b=3,`ab=1]일 때, [eqn: a ^{3} +b ^{3}]의 값

(2) [eqn: x-y=3,`xy=1]일 때, [eqn: x ^{3} -y ^{3}]의 값

□ 문제해결 학습

[문제1] 다음 식의 값을 구하시오.

(1) [eqn: x+y+z=5,``xy+yz+zx=6]일 때, [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2}]의 값

(2) [eqn: x-y=2,``xy=5]일 때, [eqn: x ^{3} -y ^{3}]의 값

(3) [eqn: x+y-z=8,``x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =40]일 때, [eqn: xy-yz-zx]의 값

(4) [eqn: x+ {1} over {x} =-3]일 때, [eqn: x ^{3} +{1overx ^{3} }]의 값

(5) [eqn: x=1-{sqrt2},`y=1+{sqrt2}]일 때, [eqn: x ^{3} -y ^{3}]의 값

[문제2] 곱셈 공식을 이용하여 다음을 계산하고, 자신의 계산 방법을 설명하세요.

(1) [eqn: 99 ^{3}]

(2) [eqn: 101 ^{3}]

(3) [eqn: 101times9901]

(4) [eqn: (2+{sqrt3}) ^{3} +(2-{sqrt3}) ^{3}]

[문제3] 다음 그림과 같이 모든 모서리의 길이의 합은 [eqn: 36rmcm]이고, 겉넓이는 [eqn: 52rmcm ^{2}]인 직육면체가 있다. 이때 선분 [eqn: rmAG]의 길이를 구하시오.

[발전1] 그림과 같이 가로와 세로의 길이가 각각 [eqn: 3x ^{2} -x+5,`x ^{2} +2]인 직사각형 모양의 땅이 있다. 이 땅을 세 정사각형 [eqn: rmA,`B,`C]와 직사각형 [eqn: rmD]로 나눈 후 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]에는 자동차 야영장, [eqn: rmC]에는 물놀이장, [eqn: rmD]에는 놀이 시설을 만들려고 한다. 이때 [eqn: rmD]의 넓이를 구해 보자. (단, [eqn: x>-1]이고, 경계선의 넓이는 생각하지 않는다.)

[발전2] [eqn: (x+y+z)( {1} over {x} + {1} over {y} + {1} over {z} )=4], [eqn: {x ^{2} +y ^{2} +z ^{2}} over {xy+yz+zx} =3]일 때, [eqn: {(x+y+z) ^{3}} over {xyz}]의 값을 구하시오. [eqn: (xyz!=0)]

공통수학1	I. 다항식 (2) 다항식의 곱셈과 나눗셈 ③
날짜:	학번: 이름:

□ 함께 해보기

[예제1] 다음 나눗셈을 계산해 보자.

자연수의 나눗셈	다항식의 나눗셈
[eqn: 172DIV6]	[eqn: (2x ^{3} +3x ^{2} +4)÷(x+1)]

[예제2] 다항식의 나눗셈 [eqn: (x ^{3} -x+2)DIV(x+1)]을 계산해 보자.

[예제3] 다항식 [eqn: A]를 [eqn: 2x+1]로 나누었을 때의 몫은 [eqn: x ^{2} -x+2]이고 나머지는 [eqn: 5]이다. 다항식 [eqn: A]를 구하시오.

[정리하기] 다항식의 나눗셈의 원리

□ 문제해결 학습

[문제1] 다음 나눗셈에서 [eqn: □]안에 알맞은 것을 써넣고, 몫과 나머지를 구하시오.

(1)

(2)

[문제2] 다음 나눗셈의 몫과 나머지를 각각 구하시오.

(1) [eqn: (6x ^{2} -5x+3)DIV(3x+2)]

(2) [eqn: (x ^{3} +x ^{2} +3x-5)DIV(x ^{2} +2)]

[문제3] 다항식 [eqn: A]를 다항식 [eqn: B]로 나누었을 때의 몫 [eqn: Q]와 나머지 [eqn: R]을 각각 구하고, [eqn: A=BQ+R]꼴로 나타내시오.

(1) [eqn: A=x ^{3} +2x ^{2} -x+1,``B=x-2]

(2) [eqn: A=2x ^{3} +x-3,``B=x ^{2} -x+1]

[문제4] 다항식 [eqn: A]를 [eqn: x ^{2} -2x]로 나누었을 때의 몫은 [eqn: x+1]이고 나머지는 [eqn: 2x-3]이다. 다항식 [eqn: A]를 구하시오.

[발전] 다항식 [eqn: A=x ^{3} +3x ^{2} +2x+k]가 다항식 [eqn: x ^{2} +2]로 나누어떨어질 때, 다항식 [eqn: A]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 몫 [eqn: Q]와 나머지 [eqn: R]을 각각 구하시오. (단, [eqn: k]는 상수)

[의사소통] 다음 두 학생의 대화에서 잘못 생각한 학생을 찾고, 잘못 생각한 이유를 말해 보자. 그리고 잘못 생각한 것을 옳게 수정해 보자.

공통수학1	I. 다항식 (2) 다항식의 곱셈과 나눗셈 ④
날짜:	학번: 이름:

□ 함께 해보기

[예제1] 다음 물음에 답해보자.

(1) 다항식 [eqn: 2x ^{3} -3x ^{2} -7x+4]를 일차식 [eqn: x-3]으로 나눈 몫과 나머지를 구해 보자.

(2) 각 항의 계수를 이용하여 위의 나눗셈을 나타내는 방법을 생각해 보자.

[예제2] 다항식의 나눗셈 [eqn: (x ^{3} -3x ^{2} +1)÷(x-1)]을 계산해 보자.

[예제3] 다음 물음에 답해보자.

(1) 다항식 [eqn: (2x ^{3} -x ^{2} +4x+1)÷(2x-1)]의 몫과 나머지를 구해 보자.

(2) 각 항의 계수를 이용하여 위의 나눗셈을 나타내는 방법을 생각해 보자.

□ 문제해결 학습

[문제] 다음 나눗셈의 몫과 나머지를 각각 구하시오.

(1) [eqn: (2x ^{3} +5x ^{2} -x-3)DIV(x-1)]

(2) [eqn: (x ^{4} -x ^{2} +2x-3)DIV(x+2)]

(3) [eqn: (6x ^{3} -x ^{2} +4x)DIV(2x+1)]

(4) [eqn: (3x ^{3} -4x ^{2} +7x-1)DIV(3x-1)]

(5) [eqn: (x ^{3} -x-1)DIV(x ^{2} +x+1)]

(6) [eqn: (x ^{3} +2x ^{2} -x+4)DIV(x+2)]

(7) [eqn: (4x ^{3} -x+1)DIV(2x-3)]

[발전1] 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: A]이고 높이가 [eqn: 2x+1]인 원기둥 모양의 기름 탱크의 부피가 [eqn: (2x ^{3} +13x ^{2} +24x+9)pi]일 때, 다항식 [eqn: A]를 구하시오. (단, [eqn: x>0]이고, 탱크의 두께는 무시한다.)

[발전2] 그림과 같이 가로의 길이가 [eqn: 2n+1], 세로의 길이가 [eqn: 2n+3], 높이가 [eqn: 2n-1]인 직육면체 모양의 수조에 물이 가득 차 있다. 수조의 물을 밑면의 넓이가 [eqn: 2], 높이가 [eqn: n+1]인 직육면체 모양의 용기 여러 개에 가득 채워서 나누어 담으려고 한다. 물을 가득 채울 수 있는 용기는 최대 몇 개인지 구하시오. (단, [eqn: n]은 자연수이고, 수조의 용기의 두께는 생각하지 않는다.)

공통수학1	I. 다항식 (3) 항등식과 나머지 정리 ①
날짜:	학번: 이름:

□ 생각 열기1

[탐구1] 두 등식 (가), (나)를 참이 되게 하는 실수 [eqn: x]의 값을 각각 구해 보고, 두 등식의 차이점을 말해 보자.

[탐구2] 등식 [eqn: ax ^{2} +bx+c=a'x ^{2} +b'x+c']이 모든 [eqn: x]에 대해 성립할 조건을 설명해 보자.

[정리하기] 일반적으로 성립하는 항등식의 성질

□ 함께 해보기1

[예제] 등식 [eqn: a(x-1) ^{2} +b(x-1)+c=2x ^{2} -5x+3]이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 하는 세 상수 [eqn: a,`b,`c]의 값을 각각 구하시오.

□ 문제해결 학습1

[문제1] 다음 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 하는 세 상수 [eqn: a,`b,`c]의 값을 각각 구하시오.

(1) [eqn: 4x ^{2} +ax=(2x+1)(bx-1)+c]

(2) [eqn: 3x ^{2} -x+a=b(x+2)(x-1)+c(x+2)]

(3) [eqn: ax ^{2} +x+1=(x-1) ^{2} +b(x-1)+c]

(4) [eqn: a(x-1)(x-3)+b(x-1)+x=x ^{2} +c]

[문제2] 등식 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} -x+b=x(x ^{2} -1)+1]이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 하는 상수 [eqn: a,`b]의 값을 구하시오.

□ 생각 열기2

(탐구1) 다항식 [eqn: P(x)=x ^{3} +2x ^{2} +3x+4]에 대하여 일차식 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: P(x)DIV(x-1)]을 직접 계산함으로써 구해 보자.
그리고 [eqn: P(1)]의 값을 구하고 위에서 구한 나머지와 비교해 보자.

(탐구2) 다항식 [eqn: P(x)]를 일차식 [eqn: x-alpha]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R]이라 할 때, 모든 [eqn: x]에 대해 성립하는 등식을 써 보자. 그리고 이때 [eqn: R]을 [eqn: alpha]에 대한 식으로 나타내 보자.
(도움말: 항등식의 성질)

□ 함께 해보기2

[예제1] 다항식 [eqn: P(x)=x ^{2} +2x+3]을 일차식 [eqn: x-2]로 나누었을 때의 나머지를 구해 보자.

[예제2] 다음 물음에 답해보자.

(1) 다항식 [eqn: P(x)]를 일차식 [eqn: ax+b]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R]이라 할 때, [eqn: R]을 구하는 방법을 설명해 보자.

(2) 다항식 [eqn: P(x)=6x ^{3} +x ^{2} +1]을 다음 일차식으로 나누었을 때의 나머지를 각각 구해 보자.

1) [eqn: 2x+1]	2) [eqn: 3x-1]

□ 문제해결 학습2

[문제1] 다항식 [eqn: P(x)=18x ^{3} -6x+1]을 다음 일차식으로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

(1) [eqn: 3x-1]	(2) [eqn: 2x+1]

[문제2] 다음을 구하시오.

(1) 다항식 [eqn: x ^{3} -3x+7]을 일차식 [eqn: x-2]로 나누었을 때의 나머지

(2) 다항식 [eqn: 8x ^{3} -4x+2]를 일차식 [eqn: 2x+3]으로 나누었을 때의 나머지

[문제3] 다항식 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} +bx+4]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 3]이고, [eqn: x+1]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 0]일 때, 두 상수 [eqn: a,`b]의 값을 구하시오.

[문제4] 다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x ^{2} +2]로 나누었을 때의 몫은 [eqn: x-2]이고, 나머지는 [eqn: ax+b]이다. [eqn: P(0)=0,``P(2)=0]일 때, [eqn: P(1)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,`b]는 상수)

공통수학1	I. 다항식 (3) 항등식과 나머지 정리 ②
날짜:	학번: 이름:

□ 함께 해보기

[예제1] 다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x+1]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 2]이고, [eqn: x-2]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 5]이다. 다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: (x+1)(x-2)]로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

[예제2] 다항식 [eqn: P(x)=x ^{3} -3x ^{2} +2ax-4]가 [eqn: x+1]로 나누어떨어지도록 하는 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

□ 문제해결 학습

[문제1] 다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x-3]으로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 2]이고, [eqn: x+2]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: -3]이다. 다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: (x-3)(x+2)]로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

[문제2] 다항식 [eqn: P(x)=4x ^{3} +ax ^{2} -8x-4]가 다음 일차식으로 나누어떨어지도록 하는 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

(1) [eqn: x-2]	(2) [eqn: 2x+1]

[문제3] 다항식 [eqn: P(x)=x ^{3} +x ^{2} -ax+b]가 두 일차식 [eqn: x+1]과 [eqn: x+2]로 모두 나누어떨어지도록 하는 두 상수 [eqn: a,`b]의 값을 구하시오.

[문제4] 다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x ^{2} -x-2]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 3x+4]이고, [eqn: x ^{2} +2x-24]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: x]이다. 다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x ^{2} +4x-12]로 나누었을 때의 나머지를 구하시오.

[추론] 다음 물음에 답하시오.

(1) 다항식 [eqn: x ^{10}]을 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 몫과 나머지를 이용하여 [eqn: 366 ^{10}]을 [eqn: 365]로 나누었을 때의 나머지를 구해 보자.

(2) (1)의 방법을 이용하여 다음을 구하고, 자신의 계산 과정을 설명해 보자..

1) [eqn: 364 ^{11}]을 [eqn: 365]로 나누었을 때의 나머지

2) [eqn: 234 ^{100}]을 [eqn: 233]으로 나누었을 때의 나머지

[발전1] 등식 [eqn: x ^{6} -x ^{3} +1# =a _{6} (x-2) ^{6} +a _{5} (x-2) ^{5} + CDOTS +a _{1} (x-2)+a _{0}]이 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: a _{0} +a _{2} +a _{4} +a _{6}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a _{0} ,`a _{1} ,`cdots,`a _{5} ,`a _{6}]은 모두 상수)

[발전2] [eqn: x ^{3}]의 계수가 [eqn: 1]인 삼차다항식 [eqn: P(x)]에 대하여 [eqn: P(-1)=P(1)=P(2)=2024]일 때, [eqn: P(-2)]의 값을 구해보자.

[발전3] 삼차식 [eqn: P(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: P(1)=2]

(나) [eqn: P(x-1)=P(x)+x ^{2} -2]

[eqn: P(x)]를 [eqn: x ^{2} -5x+6]으로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R(x)]라 할 때, [eqn: R(-1)]의 값을 구하시오.

공통수학1	I. 다항식 (4) 인수분해 ①
날짜:	학번: 이름:

□ 생각열기

(탐구1) 다음 도형을 이용하여 인수분해 공식
[eqn: a ^{3} -b ^{3} = {BOX{````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````}}]이 성립함을
설명해 보자.

(탐구2) 다음 도형을 이용하여 인수분해 공식
[eqn: a ^{3} +b ^{3} = {BOX{````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````}}]이 성립함을
설명해 보자.

(탐구3) 다음 도형을 이용하여 인수분해 공식

[eqn: {BOX{````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````}} =(a+b) ^{3}]이 성립함을

설명해 보자.

[정리하기] 인수분해 공식

□ 함께 해보기

[예제] 다음 다항식을 인수분해 하시오.

(1) [eqn: x ^{3} +6x ^{2} +12x+8]

(2) [eqn: 8x ^{3} +y ^{3}]

(3) [eqn: (x+2y)(x+2y+3)-10]

(4) [eqn: x ^{4} -10x ^{2} +9]

□ 문제해결 학습

[문제1] 다음 다항식을 인수분해 하시오.

(1) [eqn: 4x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} +4xy-2yz-4zx]

(2) [eqn: a ^{3} -9a ^{2} b+27ab ^{2} -27b ^{3}]

(3) [eqn: x ^{3} +27y ^{3}]

(4) [eqn: 125a ^{3} -8b ^{3}]

(5) [eqn: (x ^{2} -3x) ^{2} +6(x ^{2} -3x)+8]

(6) [eqn: x ^{4} +x ^{2} -20]

(7) [eqn: x ^{6} -1]

(8) [eqn: 64a ^{3} -48a ^{2} +12a-1]

(9) [eqn: x ^{4} -x ^{2} -12]

(10) [eqn: (x-3y+4)(x-3y-2)-16]

(11) [eqn: x ^{4} +5x ^{2} +9]

(12) [eqn: x ^{4} -13x ^{2} +4]

[문제2] 인수분해 공식을 이용하여 다음을 계산하고, 자신의 계산 과정을 설명하시오.

(1) [eqn: 101 ^{3} -3`times101 ^{2} +3` TIMES 101`-1]

(2) [eqn: 197 ^{3} +9`times197 ^{2} +27`times197+27]

(3) [eqn: {2024 ^{3} -8} over {2024`times2026+4}]

공통수학1	I. 다항식 (4) 인수분해 ②
날짜:	학번: 이름:

□ 함께 해보기

[예제1] 다음 다항식을 인수분해 하시오.

(1) [eqn: x ^{3} -5x ^{2} +7x-3]

(2) [eqn: x ^{3} -3x-2]

□ 문제해결 학습

[문제1] 다음 다항식을 인수분해 하시오.

(1) [eqn: x ^{3`} +4x ^{2} +x-6]

(2) [eqn: x ^{4} `-5x ^{3} `+5x ^{2} `+5x-6]

(3) [eqn: x ^{3} +x ^{2} -4x-4]

(4) [eqn: x ^{4} -x ^{3} +2x ^{2} +x-3]

[문제2] 다항식 [eqn: x ^{3} -ax-15]를 인수분해하면 [eqn: (x-3)(x ^{2} +bx+5)]이다. 상수 [eqn: a,`b]의 값을 구하시오.

[문제3] 다항식 [eqn: x ^{4} -15x ^{2} +ax+b]는 [eqn: x-2]로 나누어떨어지고, [eqn: x+2]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: -40]이다. 상수 [eqn: a,`b]의 값을 구하고, 이 다항식을 인수분해 하시오.

[문제4] 인수분해를 이용하여 다음을 계산하고, 자신의 계산 과정을 설명하시오.

[eqn: {2024 ^{3} -7`times2024-6} over {2022`times`2024-3}]

[발전1] 직육면체 모양의 네 가지 블록 [eqn: rmA,`B,`C,`D]의 밑면의 가로, 세로의 길이와 높이는 다음 표와 같다.

[eqn: rmA] 블록 [eqn: 1]개, [eqn: rmB] 블록 [eqn: 5]개, [eqn: rmC] 블록 [eqn: 8]개, [eqn: rmD] 블록 [eqn: 4]개를 모두 빈틈없이 붙여 밑면이 정사각형인 큰 직육면체를 만들었다. 큰 직육면체의 모든 모서리의 길이가 [eqn: x]에 대한 일차식일 때, 이 직육면체의 높이를 구하시오. (단, 일차식에서 [eqn: x]의 계수는 모두 [eqn: 1]이다.)

[발전2] 다항식 [eqn: (x-2)(x+1)(x+4)(x+7)+k]가 [eqn: x]에 대한 이차식의 제곱으로 인수분해 될 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[발전3] 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이 아닌 다항식 [eqn: P(x)=2x ^{3} +3x ^{2} -4x+1]을 다음 단계에 따라 인수분해 해 보자.

(1) [eqn: P(1)]과 [eqn: P(-1)]의 값을 각각 구해보자.

(2) 다항식 [eqn: P(x)]가 계수가 정수인 두 다항식의 곱으로 인수분해 된다고 가정할 때, 적절한 등식을 써보자.

(3) [eqn: P(alpha)=0]을 만족하는 가능한 [eqn: alpha]의 값을 구해 보자.

(4) [eqn: P(x)]의 인수를 찾아 [eqn: P(x)]를 인수분해 해 보자.

(5) 위의 방법으로 아래의 다항식을 각각 인수분해 해 보자.

1) [eqn: P(x)= 3x^2 -7x^2 +11x-3]

2) [eqn: Q(x)=2x ^{3} -x ^{2} -4x+3]

공통수학1	II. 복소수와 이차방정식 (1) 복소수의 뜻과 연산 ①
날짜:	학번: 이름:

□ 배운 내용 확인하기

(1) 다음 수의 제곱근을 구하시오.

1) [eqn: 0]	2) [eqn: 2]

3) [eqn: 9]

(2) 다음을 계산하시오.

1) [eqn: {sqrt3}+2{sqrt3}]	2)  [eqn: {sqrt5}-(2-3{sqrt5})]

3) [eqn: (1+{sqrt7})(4-{sqrt7})]	4) [eqn: {sqrt {2} +1} over {sqrt {2} -1}]

(3) 다음 이차방정식을 푸시오.

1) [eqn: x ^{2} -4x-5=0]	2) [eqn: x ^{2} -6x+9=0]

3) [eqn: 3x ^{2} -2x-1=0]	4) [eqn: x ^{2} +x-1=0]

□ 생각열기

다음과 같은 두 방정식이 있다.

[eqn: x ^{2} -2=0]

[eqn: x ^{2} +1=0]

1) 실수의 범위에서 첫 번째 방정식의 해를 구할 수
있는지 말해보자.

2) 실수의 범위에서 두 번째 방정식의 해를 구할 수
있는지 말해보자.

[정리하기1] 복소수의 뜻

(확인1) 다음 복소수의 실수부분과 허수부분을 각각 구하시오.

(1) [eqn: 2+4i]	(2) [eqn: 8]

(3) [eqn: -i]	(4) [eqn: 5- sqrt {3} i]

[정리하기2] 두 복소수가 서로 같을 조건

(확인2) 다음 등식을 만족시키는 실수 [eqn: x,`y]의 값을 구하시오.

(1) [eqn: x+yi=1-5i]	(2) [eqn: 2x-yi=4+{sqrt6}i]

[정리하기3] 켤레복소수

(확인3) 다음 복소수의 켤레복소수를 구하시오.

(1) [eqn: 3+i]	(2) [eqn: 4]

(3) [eqn: 5i]

[정리하기4] 복소수의 덧셈과 뺄셈

(도입) (1) [eqn: (1+2{sqrt2})+(3+{4sqrt2})]를 계산해 보자.

(2) [eqn: (1+2i)+(3+4i)]를 어떻게 계산하면 될지
생각해 보자.

(확인4) [eqn: (5+4i)-(1+2i)]를 계산하시오.

□ 문제해결 학습

[문제1] 다음 복소수의 실수부분과 허수부분을 각각 구하시오.

	복소수	실수부분	허수부분
(1)	[eqn: 2+ sqrt {3} i]
(2)	[eqn: 3-i]
(3)	[eqn: -2i]
(4)	[eqn: 2sqrt5]

[문제2] 다음 복소수의 켤레 복소수를 구하시오.

(1) [eqn: 2+i]	(2) [eqn: -i]

(3) [eqn: -3]	(4) [eqn: 4-{sqrt2}i]

[문제3] 다음 등식이 성립하도록 두 실수 [eqn: x,`y]의
값을 구하시오.

(1) [eqn: (x+3)+(y-2)i=5-i]

(2) [eqn: (x-2y)+(x+y+9)i=0]

(3) [eqn: (x+y+1)-(x+2y)i=5i]

[문제4] 다음을 계산하시오.

(1) [eqn: (3+2i)+(5-i)]	(2) [eqn: -4i+(5-2i)]

(3) [eqn: (2+i)-(7-6i)]	(4) [eqn: (6+2i)-3i]

[의사소통] 복소수 [eqn: z]가 [eqn: {barz}=z]일 때, [eqn: z]는 어떤 특징이 있는지 설명하시오. (단, [eqn: {barz}]는 [eqn: z]의 켤레복소수)

공통수학1	II. 복소수와 이차방정식 (1) 복소수의 뜻과 연산 ②
날짜:	학번: 이름:

[정리하기1] 복소수의 곱셈

(확인1) [eqn: (2-i)(4+3i)]를 계산하여 [eqn: a+bi] 꼴로 나타내시오. (단, [eqn: a,`b]는 실수)

[정리하기2] 복소수의 나눗셈

(도입) (1) [eqn: {3} over {sqrt {5} - sqrt {2}}]를 계산해 보자.

(2) [eqn: {7} over {sqrt {5} - sqrt {2} i}]를 어떻게 계산하면 될지 생각해 보자.

(확인2) [eqn: {2+i} over {1-i}]를 계산하여 [eqn: a+bi] 꼴로 나타내시오. (단, [eqn: a,`b]는 실수)

[정리하기3] 음수의 제곱근

(확인3) 다음 □에 알맞은 것을 쓰시오.

(1) [eqn: sqrt {-5} =` {BOX{``````````````}} `i]

(2) [eqn: -4]의 제곱근은 [eqn: {BOX{`````````````````}}]와 [eqn: {BOX{``````````````}}]이다.

□ 함께 해보기

[예제] 다음을 계산하시오.

(1) [eqn: sqrt {-3} + sqrt {-12}]	(2) [eqn: {sqrt {-2}} over {sqrt {-18}}]

□ 문제해결 학습

[문제1] 다음 수의 제곱근을 허수단위 [eqn: i]를 사용하여 나타내시오.

(1) [eqn: -18]	(2) [eqn: - {1} over {9}]

[문제2] 다음을 계산하여 [eqn: a+bi]꼴로 나타내시오. (단, [eqn: a,`b]는 실수)

(1) [eqn: (1+2i)(3+i)]	(2) [eqn: (2-i) ^{2}]

(3) [eqn: 3i(2-5i)]	(4) [eqn: (1+{sqrt2}i)(1-{sqrt2}i)]

(5) [eqn: {1} over {3-i}]	(6) [eqn: {1-i} over {2i}]

(7) [eqn: {3-i} over {1-i}]	(8) [eqn: {1-{sqrt2}i} over {1+{sqrt2}i}]

(9) [eqn: (4+i)(7-i)-(10+3i)]

(10) [eqn: 2 sqrt {-3} - sqrt {-27}]	(11) [eqn: sqrt {-4} sqrt {-20}]

(12) [eqn: sqrt {-2} sqrt {-8} + {sqrt {-27}} over {sqrt {-3}} - {sqrt {18}} over {sqrt {-6}}]

[문제3] 복소수 [eqn: z=1+x(i-1)]에 대하여 [eqn: z ^{2}]이 음의 실수일 때, [eqn: z ^{4}]의 값을 구하시오.

[추론] 허수단위 [eqn: i]의 거듭제곱의 규칙을 이용하여 물음에 답해 보자.

(1) 다음 표를 완성하시오.

(2) [eqn: i+i ^{2} +i ^{3} + CDOTS +i ^{2025}]의 값을 구하시오.

(3) [eqn: {1} over {i} + {1} over {i ^{2}} + {1} over {i ^{3}} + CDOTS + {1} over {i ^{100}}]의 값을 구하시오.

[연결] 교류 회로에서 임피던스는 복소수 [eqn: a+bi] ([eqn: a,`b]는 실수) 꼴로 나타낸다. 그림과 같이 임피던스의 값이 각각 [eqn: Z _{1} ,`Z _{2}]인 저항을 병렬로 연결한 교류 회로에서 임피던스 [eqn: Z]는 [eqn: {1} over {Z} = {1} over {Z _{1}} + {1} over {Z _{2}}]로 주어진다. [eqn: Z _{1} =1-i,`Z _{2} =2+i]일 때, 이 회로의 임피던스 [eqn: Z]를 구하시오.

공통수학1	II. 복소수와 이차방정식 (2) 이차방정식의 판별식
날짜:	학번: 이름:

□ 생각열기

다음 두 이차방정식 (가)와 (나)를 풀고 그 중 실수의 범위에서 근을 갖는 이차방정식을 말해 보자.

(가) [eqn: x ^{2} +3x-1=0]	(나) [eqn: x ^{2} -x+2=0]

□ 함께 해보기

[예제] 다음 이차방정식을 풀고, 그 근이 실근인지 허근인지 말하시오.

(1) [eqn: x ^{2} -3x+5=0]	(2) [eqn: 4x ^{2} +x-2=0]

(확인) 다음 이차방정식을 풀고, 그 근이 실근인지 허근인지 말하시오.

(1) [eqn: x ^{2} -15x+36=0]	(2) [eqn: 5x ^{2} -3x+2=0]

[정리하기] 이차방정식의 판별식

(확인) 이차방정식 [eqn: x ^{2} -6x+k+2=0]이 다음과 같은 근을 가질 때, 실수 [eqn: k]의 값 또는 그 범위를 구하시오.

1) 서로 다른 두 실근	2) 중근

3) 서로 다른 두 허근

□ 문제해결 학습

[문제1] 다음 이차방정식의 근을 판별하시오.

(1) [eqn: x ^{2} +3x-2=0]	(2) [eqn: x ^{2} -10x+25=0]

(3) [eqn: x ^{2} +5x+8=0]	(4) [eqn: x ^{2} -3{sqrt2}x+5=0]

[문제2] [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +(2k+1)x+(k ^{2} -3)=0]이 다음과 같은 근을 가질 때, 실수 [eqn: k]의 값 또는 범위를 구하시오.

(1) 서로 다른 두 실근	(2) 중근

(3) 서로 다른 두 허근

[문제3] [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +(2k+6)x+k ^{2} -ak+9=0]이 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 중근을 가질 때, 실수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[발전] 어느 공원에 다음 세 조건을 모두 만족시키는 다목적 운동장을 만들려고 한다. 물음에 답해 보자.

(가) 운동장의 모양은 직사각형이다.

(나) 운동장의 둘레의 길이는 [eqn: 120rmm]이다.

(다) 운동장의 넓이는 [eqn: 1000rmm ^{2}]이다.

(1) 위 조건을 모두 만족시키는 운동장은 만들 수 없다. 그 이유를 설명하시오.

(2) 운동장을 만들 수 있도록 위 조건을 수정해 보시오. 그리고 이때 만들어지는 운동장의 모양을 설명하시오.

공통수학1	II. 복소수와 이차방정식 (3) 이차방정식의 근과 계수와의 관계 ①
날짜:	학번: 이름:

□ 생각열기

주어진 이차방정식의 근을 구하여 표를 완성해보자.

이차방정식	두 근	두 근의 합	두 근의 곱
[eqn: x ^{2} -5x+6=0]
[eqn: x ^{2} -2x-3=0]
[eqn: 2x ^{2} -4x+1=0]
[eqn: 6x ^{2} +3x+2=0]

1	두 근의 합과 [eqn: { (일차항의~계수)} over { (이차항의~ 계수)}]의 값을 비교해 보자.

2	두 근의 곱과 [eqn: { (상수항)} over { (이차항의~ 계수)}]의 값을 비교해 보자.

[정리하기] 이차방정식의 근과 계수와의 관계

(확인) 다음 이차방정식의 두 근의 합과 곱을 각각 구하시오.

(1) [eqn: x ^{2} -5x+3=0]	(2) [eqn: -2x ^{2} +x-3=0]

□ 함께 해보기

[예제] 이차방정식 [eqn: 2x ^{2} -3x+4=0]의 두 근을 [eqn: alpha,`beta]라고 할 때, 다음 식의 값을 구하시오.

(1) [eqn: alpha ^{2} +beta ^{2}]	(2) [eqn: {1} over {alpha} + {1} over {beta}]

□ 문제해결 학습

[문제1] 이차방정식 [eqn: x ^{2} -6x+2=0]의 두 근을 [eqn: alpha,`beta]라고 할 때, 다음 식의 값을 구하시오.

(1) [eqn: (alpha+2)(beta+2)]

(2) [eqn: {1} over {alpha ^{2}} + {1} over {beta ^{2}}]

(3) [eqn: ( {1} over {alpha} - {1} over {beta} ) ^{2}]

[문제2] 이차방정식 [eqn: 3x ^{2} -2x+6=0]의 두 근을 [eqn: alpha,`beta]라고 할 때, 다음 식의 값을 구하시오.

(1) [eqn: alpha ^{2} beta+alphabeta ^{2}]

(2) [eqn: alpha ^{3} +beta ^{3}]

[문제3] 이차방정식 [eqn: x ^{2} +4x+9=0]의 두 근을 [eqn: alpha,`beta]라 할 때, [eqn: {1} over {alpha ^{2} +5 alpha +8} + {1} over {beta ^{2} +5beta+8}]의 값을 구하시오.

[발전1] 다음의 대화는 어떤 이차방정식 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0]을 푼 후 나눈 대화이다. 주어진 이차방정식 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0]의 근을 구하고, 구한 방법을 설명하시오.  (단, [eqn: a,`b,`c]는 실수)

[발전2] 다항식 [eqn: P(x)=x ^{2} -5x-7]에 대하여 [eqn: P(a)=0,`P(b)=0]일 때, [eqn: P(ab)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,`b]는 서로 다른 실수)

[발전3] 이차방정식 [eqn: x ^{2} +(11-k)x+k=0]의 두 근의 차가 [eqn: 4]일 때, 실수 [eqn: k]의 값을 모두 구하시오.

공통수학1	II. 복소수와 이차방정식 (3) 이차방정식의 근과 계수와의 관계 ②
날짜:	학번: 이름:

□ 함께 해보기

[정리하기] 두 수를 근으로 하는 이차방정식

[예제] 다음 두 수를 근으로 하고 [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하시오.

(1) [eqn: 3,`4]

(2) [eqn: 5i,`-5i]

□ 문제해결 학습

[문제1] 다음 두 수를 근으로 하고 [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하시오.

(1) [eqn: -2,`3]

(2) [eqn: 1+{sqrt5},`1-{sqrt5}]

(3) [eqn: -1+{sqrt3},`-1-{sqrt3}]

(4) [eqn: 4+i,`4-i]

[문제2] 이차방정식 [eqn: 4x ^{2} -x-1=0]의 두 근을 [eqn: alpha,`beta]라고 할 때, [eqn: alpha+beta,`alphabeta]를 두 근으로 하고 [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식을 구하시오.

[문제3] 이차방정식 [eqn: 3x ^{} -x+6=0]의 두 근을 [eqn: alpha,`beta]라 할 때, [eqn: {1} over {alpha } ,`` {1} over {beta}]을 두 근으로 하고 [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 6]인 이차방정식을 구하시오.

[추론] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 이차식 [eqn: ax ^{2} +bx+c]는 아래와 같이 복소수의 범위에서 항상 두 일차식의 곱으로 인수분해 할 수 있다. 다음 이차식을 복소수의 범위에서 인수분해 해 보자.

(1) [eqn: x ^{2} -6x+10]

(2) [eqn: 3x ^{2} -2x+1]

[탐구] 허근을 갖는 이차방정식 톺아보기

(1) 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]의 한 근이 [eqn: 2+3i]일 때, 두 실수 [eqn: a,`b]의 값을 다양한 방법으로 구해 보자.

1) 이차방정식에 근을 대입하기

2) 이차방정식의 근을 [eqn: (완전제곱식)=(실수)]꼴로 변형하기

3) 이차방정식의 근과 계수의 관계 이용하기

(2) 이차방정식 [eqn: x ^{2} +mx+n=0]의 한 근이 [eqn: {sqrt2}+i]일 때, 위의 결과를 이용하여 나머지 한 근을 구하고, 실수 [eqn: m,`n]의 값을 두 가지 이상의 방법으로 구해 보자.

(3) 계수가 실수인 이차방정식 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0]의 한 근이 [eqn: p+qi]([eqn: p,`q]는 실수)일 때, 복소수 [eqn: p+qi]의 켤레복소수 [eqn: p-qi]도 이차방정식 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0]의 근이 됨을 설명해 보자.

공통수학1	III. 이차방정식과 이차함수 (1) 이차방정식과 이차함수의 관계 ①
날짜:	학번: 이름:

□ 배운 내용 확인하기

(1) 다음 이차방정식의 근을 판별하시오.

1) [eqn: x ^{2} +4x+2=0]	2) [eqn: x ^{2} -12x+36=0]

3) [eqn: x ^{2} -12x+36=0]

(2) 다음 이차함수의 그래프를 그리고, 꼭짓점의 좌표를 구하시오.

1) [eqn: y=-x ^{2} -4x]

2) [eqn: y=2x ^{2} +4x+1]

□ 생각열기

오른쪽 그림은 세 이차함수

[eqn: y=x ^{2} -1,`y=x ^{2} ,`y=x ^{2} +1]의 그래프이다.

1) 세 이차함수의 그래프와     [eqn: x]축의 교점의 [eqn: x]좌표를
각각 구해 보자.

2) 세 이차방정식 [eqn: x ^{2} -1=0], [eqn: x ^{2} =0], [eqn: x ^{2} +1=0]의
실근을 각각 구해 보자.

[정리하기] 이차함수의 그래프와 [eqn: x]축의 위치 관계

[eqn: bold{ax^2 +bx+c=0}]의 판별식	[eqn: bold{D>0}]	[eqn: bold{D=0}]	[eqn: bold{D<0}]
[eqn: bold{ax^2 +bx+c=0}]의 근
[eqn: bold{y=ax^2 +bx+c}]의 그래프와 [eqn: bold{x}]축의 위치 관계
[eqn: bold{a>0}]일 때 [eqn: bold{y=ax^2 +bx+c}]의 그래프
[eqn: bold{a<0}]일 때 [eqn: bold{y=ax^2 +bx+c}]의 그래프

□ 함께 해보기

[예제1] 이차함수 [eqn: y=3x ^{2} -5x+2]의 그래프와 [eqn: x]축의 위치 관계를 판단하시오.

[예제2] 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2x+k]의 그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하시오.

□ 문제해결 학습

[문제1] 다음 이차함수의 그래프와 [eqn: x]축의 위치 관계를 판단하시오.

(1) [eqn: y=4x ^{2} -4x+1]	(2) [eqn: y=-x ^{2} -2x+5]

(3) [eqn: y=x ^{2} +3x+6]	(4) [eqn: y=2x ^{2} -3x+3]

[문제2] 이차함수 [eqn: y=2x ^{2} -x-k]의 그래프와 [eqn: x]축의 위치 관계가 다음과 같을 때, 실수 [eqn: k]의 값 또는 그 범위를 구하시오.

(1) 서로 다른 두 점에서 만난다.

(2) 한 점에서 만난다. (접한다.)

(3) 만나지 않는다.

[문제3] 이차함수 [eqn: y=f(x)=x ^{2} +ax+b]의 그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 조건을 아래에서 있는 대로 고르고, 자신의 답을 설명하시오.

ㄱ. [eqn: a ^{2} -4b>0]

ㄴ. [eqn: b<0]

ㄷ. [eqn: f(1)>0]

[문제4] 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]가 다음을 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.

(가) [eqn: f(-3)=f(1)]

(나) 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: x]축에 접한다.

공통수학1	III. 이차방정식과 이차함수 (1) 이차방정식과 이차함수의 관계 ②
날짜:	학번: 이름:

□ 생각열기

오른쪽 그림은 이차함수 [eqn: y=x ^{2}]의 그래프와 직선 [eqn: y=-x+2]이다.

1) 이차함수 [eqn: y=x ^{2}]의 그래프와 직선 [eqn: y=-x+2]의 교점의 [eqn: x]좌표를 모두 말해 보자.

2) 이차방정식 [eqn: x ^{2} =-x+2]의 근을 구하고, 1)의 결과와 비교해 보자.

일반화:

이차함수의 그래프와 직선을 나타내는 두 식을 각각

[eqn: y=ax^2 +bx+c]	…… ㉠

[eqn: y=mx+n]	…… ㉡

이라고 할 때, 이차함수의 그래프와 직선의 교점의 [eqn: x]좌표는 ㉠, ㉡에서 [eqn: y]를 없애서 얻은 이차방정식

…… ㉢

의 실근과 같다.

이차함수 ㉠의 그래프와 직선 ㉡의 교점의 개수는 이차방정식 ㉢의 실근의 개수와 같으므로 이차방정식 ㉢의 판별식 [eqn: D]의 값에 따라 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계는 다음과 같이 정해진다.

(i)

(ii)

(iii)

□ 함께 해보기

[예제1] 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -3x]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+k]가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하시오.

[예제2] 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -3x]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+k]가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하시오.

□ 문제해결 학습

[문제1] 다음 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 판단하시오.

(1) [eqn: y=x ^{2} -2x], [eqn: y=-x+3]

(2) [eqn: y=-x ^{2} ,`y=-3x-4]

(3) [eqn: y=x ^{2} +4], [eqn: y=4x]

(4) [eqn: y=-4x ^{2} +x-3,``y=-3x+1]

[문제2] 이차함수 [eqn: y=-x ^{2} +ax-7]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x-3]이 한 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: a]의 값을 모두 구하시오.

[문제3] 점 [eqn: (0,`2)]를 지나고 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -4x+6]의 그래프에 접하는 직선의 방정식을 모두 구하시오.

[의사소통] 그림과 같이 이차함수 [eqn: y=x ^{2} +4x+a]의 그래프가 [eqn: x]축과 두 점 [eqn: rmA,`B]에서 만날 때, 원점이 두 점 [eqn: rmA,`B] 사이에 있도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하려고 한다. 두 학생의 방법으로 각각 구하고, 두 방법을 비교하여 설명해 보자.

[발전1] 어느 놀이공원에서 롤러코스터 한 대를 새로 설치하려고 한다. 그림과 같이 롤러코스터의 일부분이 두 점 [eqn: (0,`0)]과 [eqn: (5,`0)]을 지나는 이차함수 [eqn: y=- {1} over {5} x ^{2} +ax+b]의 그래프와 직선 [eqn: y=mx]가 원점에서 접하는 형태가 되도록 설계한다고 할 때, 실수 [eqn: a,`b,`m]의 값을 구하시오.

[발전2] 자연수 [eqn: n]에 대하여 이차함수 [eqn: y=x ^{2} +3x+k]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+n-2]가 만나는 점의 개수를 [eqn: f(n)]이라고 하자. [eqn: f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=5]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

공통수학1	III. 이차방정식과 이차함수 (2) 이차함수의 최대, 최소 ①
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□ 생각열기

다음 그림은 두 이차함수 [eqn: f(x)=(x-3)^2 -2,] [eqn: g(x)=-(x-3)^2 +7]의 그래프를 나타낸 것이다. [eqn: x]의 값의 범위가 다음과 같을 때, 점 [eqn: (x, ``f(x))] 또는 [eqn: (x,``g(x))]를 곡선 위에 표시하고, □ 안에 알맞은 수를 써넣어 보자.

⑴ [eqn: 0≤x≤2]일 때

[eqn: f(x)]의 값은 [eqn: x=][eqn: box { `~~~~~}]일 때 가장 크고,

[eqn: x=][eqn: box { `~~~~~}]일 때 가장 작다.

(2) [eqn: 0≤x≤5]일 때

[eqn: f(x)]의 값은 [eqn: x=][eqn: box { `~~~~~}]일 때 가장 크고,

[eqn: x=][eqn: box { `~~~~~}]일 때 가장 작다.

[정리하기] 제한된 범위에서 정의된 이차함수의
최대, 최소

(1) 꼭짓점의 [eqn: x]좌표 [eqn: p]가 [eqn: x]의 값의 범위에 속하는, 즉 [eqn: alpha le p le beta]인 경우의 최대, 최소?

(3) [eqn: 4≤x≤6]일 때

[eqn: g(x)]의 값은 [eqn: x=][eqn: box { `~~~~~}]일 때 가장 크고,

[eqn: x=][eqn: box { `~~~~~}]일 때 가장 작다.

(4) [eqn: 1≤x≤6]일 때

[eqn: g(x)]의 값은 [eqn: x=][eqn: box { `~~~~~}]일 때 가장 크고,

[eqn: x=][eqn: box { `~~~~~}]일 때 가장 작다.

(2) 꼭짓점의 [eqn: x]좌표 [eqn: p]가 [eqn: x]의 값의 범위에 속하지 않는, 즉 [eqn: p<alpha] 또는 [eqn: p>beta]인 경우의 최대, 최소?

□ 함께 해보기

[예제] 주어진 [eqn: x]의 값의 범위에서 다음 이차함수의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

(1) [eqn: y=x ^{2} -4x+2`(1`leq`x`leq`4)]

(2) [eqn: y=-x ^{2} -2x`(0`leq`x`leq2)]

□ 문제해결 학습

[문제1] 주어진 [eqn: x]의 값의 범위에서 다음 이차함수의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

(1) [eqn: y=2x ^{2} +4x+2`(0`leq`x`leq`3)]

(2) [eqn: y=-x ^{2} +2x+4`(-1`leq`x`leq4)]

(3) [eqn: y={1over3}x ^{2} +4x`(0`leq`x`leq6)]

(4) [eqn: y=-2x ^{2} -6x+3`(-1`leq`x`leq`2)]

[문제2] [eqn: 1`leq`x`leq`4]에서 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -6x+k]의 최솟값은 [eqn: -3]이다. 주어진 [eqn: x]의 값의 범위에서
이 이차함수의 최댓값을 구하시오. (단, [eqn: k]는 실수)

[문제3] [eqn: 1leq`x`leq4]에서 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -4x+k]의 최댓값과 최솟값의 합이 [eqn: 10]일 때, 실수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[문제만들기] 제한된 범위 [eqn: a`leq`x`leq`b]에서 [eqn: a,`b]의 값을 정한 후 다음 함수의 최댓값과 최솟값을 구하고, 그 과정을 설명해 보자.

(1) [eqn: y=x ^{2} -2x+5] ([eqn: a`leq`x`leq`b])

(2) [eqn: y=-2x ^{2} -4x] ([eqn: a`leq`x`leq`b])

공통수학1	III. 이차방정식과 이차함수 (2) 이차함수의 최대, 최소 ②
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□ 함께 해보기

[예제] 가로의 길이가 [eqn: x`rmm]이고 둘레의 길이가 [eqn: 40rmm]인 직사각형 모양의 꽃밭의 넓이가 최대가 되도록 하는 [eqn: x]의 값을 구하시오.

□ 문제해결 학습

[문제1] 실수 [eqn: a]에 대하여 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2ax-a]의 최솟값을 [eqn: f(a)]라고 하자. [eqn: -{1over2}`leq`a`leq1]에서 함수 [eqn: f(a)]의 최댓값을 구하시오.

[문제2] 양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: 0`leqx`leqa]에서 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -6x+a+5]의 최솟값이 [eqn: 1]이 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합을 구하시오.

[문제3] 지면에서 똑바로 위로 쏘아 올린 물체가 [eqn: x]초 후에 도달하는 지면으로부터의 높이를 [eqn: y`rmm]라고 하면 [eqn: y=-5x ^{2} +60x]인 관계가 성립한다고 한다. 물체를 쏘아 올린 후 [eqn: 2]초 이상 [eqn: 8]초 이하에서 이 물체의 높이의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

[문제4] 그림과 같이 직각삼각형 [eqn: rmABC]의 빗변 [eqn: rmAC] 위의 한 점 [eqn: rmD]에서 두 변 [eqn: rmAB,`BC]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmE,`F]라고 할 때, 직사각형 [eqn: rmEBFD]의 넓이의 최댓값을 구하시오.

[발전1] 연간 구독료가 [eqn: 10]만 원인 어떤 수학 잡지의 구독자의 수가 [eqn: 1]만 명이라고 한다. 연간 구독료를 [eqn: 1]만 원 낮출 때마다 구독자가 [eqn: 2]천 명씩 증가하며, 구독료를 [eqn: 7]만 원 이상 [eqn: 9]만 원 이하가 되도록 조정하려고 한다. 이때 [eqn: 1]년 매출이 최대가 되게 하려면 연간 구독료를 얼마로 정해야 하는지 구해 보자. 또, 이때의 매출액은 얼마인지 구해 보자.

[발전2] 그림과 같이 전체 길이가 [eqn: 60rmm]인 검정 테이프를 겹치지 않고 남김없이 사용하여 강당 바닥에 합동인 두 직사각형 모양으로 된 동아리 부스를 만들려고 한다. 만들 수 있는 동아리 부스의 넓이의 최댓값을 구하시오. (단, 검정 테이프의 너비는 생각하지 않는다.)

[발전3] 그림과 같이 곡선 [eqn: y=-x ^{2} +12x] 위의 두 점 [eqn: rmA,`B]와 [eqn: x]축 위의 두 점 [eqn: rmC,`D]를 꼭짓점으로 하는 직사각형 [eqn: rmACDB]의 둘레의 길이의 최댓값을 구하시오. (단, 두 점 [eqn: rmA,`B]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.)

공통수학1	IV. 여러 가지 방정식과 부등식 (1) 삼차방정식과 사차방정식 ①
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□ 배운 내용 확인하기

(1) 다음 다항식을 인수분해하시오.

1) [eqn: x ^{3} -8]

2) [eqn: x ^{3} -7x ^{2} +7x+15]

(2) 다음 일차부등식을 푸시오.

1) [eqn: 2x+3>1]	2) [eqn: -3x-5>7]

(3) 다음 연립방정식을 푸시오.

1) [eqn: {cases{y=x+1&#2x-y=3&}}]

2) [eqn: {cases{2x+y=1&#5x+2y=3&}}]

□ 생각열기

그림과 같이 가로의 길이가 [eqn: 10rmcm], 세로의 길이가 [eqn: 8rmcm]인 직사각형 모양의 친환경 재생 종이가 있다. 이 종이의 네 귀퉁이에서 한 변의 길이가 [eqn: x`rmcm]인 정사각형을 잘라 내고, 점선 부분을 접어 부피가 [eqn: 48rmcm ^{3}]인 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들려고 한다.

(탐구1) 상자의 밑면의 가로의 길이, 세로의 길이와 높이를 각각 [eqn: x]에 대한 식으로 나타내 보자.

(탐구2) 상자의 부피를 [eqn: x]에 대한 방정식으로 나타내 보자.

□ 함께 해보기

[예제] 다음 방정식을 푸시오.

(1) [eqn: x ^{3} -8=0]

(2) [eqn: x ^{4} -5x ^{2} +4=0]

(3) [eqn: x ^{3} -2x ^{2} -x+2=0]

(4) [eqn: x ^{4} +3x ^{3} +6x ^{2} +12x+8=0]

□ 문제해결 학습

다음 방정식을 푸시오.

(1) [eqn: x ^{3} +1=0]

(2) [eqn: x ^{3} +2x ^{2} -3x=0]

(3) [eqn: x ^{4} -1=0]

(4) [eqn: x ^{4} -x ^{2} -12=0]

(5) [eqn: x ^{3} -2x ^{2} -7x+2=0]

(6) [eqn: x ^{4} -2x ^{3} -13x ^{2} +14x+24=0]

(7) [eqn: (x ^{2} -x) ^{2} -3(x ^{2} -x)+2=0]

(8) [eqn: x ^{3} +x ^{2} -2=0]

공통수학1	IV. 여러 가지 방정식과 부등식 (1) 삼차방정식과 사차방정식 ②
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□ 함께 해보기

[예제1] 삼차방정식 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} -5x+6=0]의 한 근이 [eqn: 1]일 때, 실수 [eqn: a]의 값과 나머지 두 근을 구하시오.

[예제2] 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이와 높이가 같은 원기둥 모양의 그릇에 [eqn: 108pi`rmcm ^{3}]의 물을 부었더니 그릇의 위에서부터 [eqn: 3rmcm]를 남기고 물이 채워졌다. 이 그릇의 높이를 구하시오. (단, 그릇의 두께는 생각하지 않는다.)

□ 문제해결 학습

[문제1] 사차방정식 [eqn: x ^{4} +ax ^{3} +bx ^{2} -3x+2=0]의 한 근이 [eqn: i]일 때, 두 실수 [eqn: a,`b]의 값과 나머지 세 근을 구하시오. (도움말: 두 복소수가 서로 같을 조건을 생각하자.)

[문제2] [eqn: rmESG] 열풍으로 불필요한 포장재를 줄이기 위해 전자 기기 포장이 날로 간편해지고 있다.
어느 업체는 밑면의 가로의 길이가 [eqn: 20rmcm], 세로의 길이가 [eqn: 15rmcm]이고 높이가 [eqn: 15rmcm]인 직육면체 모양의 전자 기기 포장 상자의 모든 모서리의 길이를 각각 같은 길이만큼 줄여서 처음 포장 상자의 부피의 [eqn: {1over3}]배인 상자를 만들려고 한다. 몇 [eqn: rmcm]를 줄여야 하는지 구해 보자.

[추론] 다음 물음에 답해 보자.

(1) 삼차방정식 [eqn: x ^{3} =1]의 한 허근을 [eqn: omega]라고 할 때,

[eqn: omega ^{3} =1,`omega ^{2} +omega+1=0]임을 설명해 보자.

(2) (1)을 이용하여 다음 식의 값을 구해 보자.

1) [eqn: omega ^{2} +omega ^{4}]

2) [eqn: 1+ omega + omega ^{2} + CDOTS + omega ^{2024}]

[연결] 조선시대 수학책 『구일집』 속의 방정식 해결하기

조선 시대의 수학 활동은 ‘산사(算士)’라는 중인 계급에 의해 주도되었다. 중인 출신 수학자 홍정하 (洪正夏), 1684~?)는 문제-답-풀이 형식의 『구일집(九一集)』 이라는 수학책을 만들었다. 이 책의 제9권 잡록에는 홍정하가 1713년에 조선에서 온 중국 사력 하국주와 대담하는 장면이 묘사되어 있다. 하국주가 몇 문제를 제시한 후, 다음과 같은 대화가 이어진다.

중국 대사 아제도가 말하기를 “사력은 산법에 관해서는 천하 제일인 네 명 안에 드는 실력가로 산학에 대한 조예의 깊이가 끝이 없어서, 당신들과는 비교도 안 된다. 사력은 이미 많은 문제를 내었지만, 당신들은 아직 한 문제도 내지 않고 있다. 문제를 내 보아서 사력의 실력을 보는 것이 어떠한가?”

홍정하가 묻기를 “지금 연마되지 않은 옥 한 덩어리가 구 모양으로 되어 있다. 그 안에서 정육면체 모양의 옥을 제외한 나머지 외각 부분의 무게는 [eqn: 265]근 [eqn: 15]냥 [eqn: 5]전이다. 다만 외각 부분의 두께는 [eqn: 4]치 [eqn: 5]푼이라고 한다. 정육면체 모양의 옥의 한 모서리와 옥 덩어리의 지름은 각각 얼마인가?”

사력이 말하기를 “이 해법은 매우 어려워서 바로 풀 수 없다. 내일 내가 풀겠다.” 그러나 그 후 결국 아무런 풀이도 보여주지 않았다.

(1) 앞의 대화에서 외각 부분의 부피를 구해 보자. (당시 옥의 무게 [eqn: 1]냥은 한 변의 길이가 [eqn: 1]치인 정육면체 부피의 [eqn: 3]배로 계산했다.)

(2) 앞의 대화에서 정육면체의 한 모서리의 길이를 [eqn: x]라고 할 때, 외각 부분의 부피를 [eqn: x]에 대한 방정식으로 나타내 보자. (당시 원주율은 [eqn: 3], 구의 부피는 [eqn: {9`times(지름) ^{3}} over {16}]으로 계산했다.)

[발전1] 삼차방정식 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} +bx+6=0]의 세 근을 [eqn: 2,`alpha,`beta]라고 하자. [eqn: alpha ^{2} +beta ^{2} =6]일 때, 두 상수 [eqn: a,`b]의 값을 각각 구하시오.

[발전2] 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차다항식 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, 삼차방정식 [eqn: f(x)=0]의 근을 구하시오.

(가) [eqn: f(2)=0]

(나) [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-2) ^{2}]으로 나눈 몫과 나머지를 각각 [eqn: g(x),``h(x)]라 하면
[eqn: g(x)+h(x)=-x+3]

공통수학1	IV. 여러 가지 방정식과 부등식 (2) 연립이차방정식 ①
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□ 생각열기

생수병을 업사이클링하여 대각선의 길이가 [eqn: 50rmcm]인 직사각형 모양의 친환경 식탁 매트를 만드는 체험을 하려고 한다. 이 식탁 매트의 가로의 길이를 [eqn: x`rmcm], 세로의 길이를 [eqn: y`rmcm]라고 하자.

(탐구1) 식탁 매트의 가로의 길이가 세로의 길이보다 [eqn: 10rmcm] 더 길 때, [eqn: y]를 [eqn: x]에 대한 방정식으로 나타내 보자.

(탐구2) 식탁 매트의 가로, 세로, 대각선의 길이 사이의 관계를 [eqn: x,`y]에 대한 방정식으로 나타내 보자.

□ 함께 해보기

[예제] 연립이차방정식 [eqn: {cases{x-y=2&#x ^{2} -2y ^{2} =7&}}]을 푸시오.

□ 문제해결 학습

[문제1] 다음 연립방정식을 푸시오.

(1) [eqn: {cases{2x-y=3&#2x ^{2} -y ^{2} =7&}}]

(2) [eqn: {cases{y-x=1&#x ^{2} -xy+y ^{2} =3&}}]

(3)  [eqn: {cases{x-2y=3&#x ^{2} +2y ^{2} =57&}}]

[문제2] 연립방정식 [eqn: {cases{x-y=k&#x ^{2} +xy+y ^{2} =4&}}]가 오직
한 쌍의 해를 가질 때, 실수 [eqn: k]의 값을 모두 구하시오.

[문제3] 연립이차방정식 [eqn: {cases{x+y=a&#x ^{2} +3xy-4y ^{2} =b&}}]의 한 근이 [eqn: {cases{x=4&#y=-2&}}]일 때, 상수 [eqn: a,`b]의 값과 나머지 한 근을 구하시오.

[의사소통] 연립방정식 [eqn: {cases{x+y=3&#xy=-5&}}]의 해를 구하려고 한다. 희수와 승태의 방법으로 각각 해를 구하고, 풀이 방법을 친구들과 이야기해 보자.

[발전1] 그림과 같이 대각선의 길이가 [eqn: 13rmm]인 직사각형 모양의 양식장이 있다. 이 양식장의 가로, 세로의 길이를 각각 [eqn: 2rmm]씩 확장한 양식장의 넓이는 처음 양식장의 넓이보다 [eqn: 38rmm ^{2}]만큼 넓다고 한다. 처음 양식장의 넓이를 구하시오.

[발전2] 모니터의 크기는 일반적으로 화면의 대각선의 길이로 나타낸다. 그림과 같이 크기가 [eqn: 80rmcm]인 모니터에 대하여 직사각형 모양의 화면의 가로와 세로의 길이의 비가 다음과 같을 때, 화면의 넓이를 구해 보자.

(1) [eqn: 4:3]	(2) [eqn: 16:9]

공통수학1	IV. 여러 가지 방정식과 부등식 (2) 연립이차방정식 ②
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□ 함께 해보기

[예제] 연립이차방정식 [eqn: {cases{x ^{2} -y ^{2} =0&#3x ^{2} -xy=8&}}]을 푸시오.

□ 문제해결 학습

[문제1] 다음 연립방정식을 푸시오.

(1) [eqn: {cases{x ^{2} -y ^{2} =0&#3x ^{2} -2xy+y ^{2} =24&}}]

(2) [eqn: {cases{2x ^{2} -xy-y ^{2} =0&#x ^{2} +xy+y ^{2} =3&}}]

(3) [eqn: {cases{x ^{2} -3xy+2y ^{2} =0&#x ^{2} +y ^{2} =5&}}]

[문제2] 연립방정식 [eqn: {cases{4x ^{2} +4xy-3y ^{2} =0&#2x ^{2} +2xy-y ^{2} =2&}}]의 해를 [eqn: x=a,`y=b]라고 할 때, [eqn: a+b]의 최댓값과 최솟값을 각각 구하시오.

[문제3] 두 연립이차방정식 [eqn: {cases{x+y=1&#x ^{2} +y ^{2} =a&}}], [eqn: {cases{ax+by=5&#xy=-12&}}]가 공통인 해를 가지도록 하는 실수 [eqn: a,`b]에 대하여 [eqn: a+b+x+2y]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a>b])

[문제4] 그림과 같이 원 모양의 울타리에 직사각형 모양의 화단이 내접하고 있다. 울타리의 둘레의 길이가 [eqn: 10pi`rmm]이고 화단의 둘레의 길이가 [eqn: 28rmm]일 때, 화단의 가로와 세로의 길이를 각각 구하시오.
(단, 화단의 가로의 길이는 세로의 길이보다 길고, 울타리의 두께는 생각하지 않는다.)

[발전1] 그림과 같이 삼각형 [eqn: rmABC]에서 변 [eqn: rmBC] 위의 점 [eqn: rmD]에 대하여 [eqn: {rmbarAD}=6,`{rmbarBD}=8]이고, [eqn: rmangleBAD=angleBCA]이다. [eqn: {rmbarAC}={rmbarCD}-1]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 둘레의 길이를 구하시오.

[발전2] 그림과 같이 가운데가 원기둥 모양으로 비어 있는 물통은 물을 운반하기 편리하게 만들어진 것으로 다음 조건을 만족시킨다. 밑면인 원의 중심 [eqn: rmO]를 지나는 직선이 두 원과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,`B]라 할 때, [eqn: rm {bar{OA}} it =x`rmcm], [eqn: {rmbarAB}=y`rmcm]라 하자. [eqn: x:y=1:3]일 때, [eqn: x,`y]의 값을 구해 보자.

(가) 물통의 높이는 [eqn: 40`rmcm]이다.

(나) 물통에 담을 수 있는 물의 부피는
[eqn: 15000pi`rmcm ^{3}]이다.

공통수학1	IV. 여러 가지 방정식과 부등식 (3) 연립일차부등식 ①
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□ 생각열기

도로교통공단에서는 도로에 따라 적절한 최고 속력 또는 최저 속력을 정하고 이를 교통안전 표지판으로 나타내어 운전자에게 알리고 있다. 은 시속 [eqn: rm 30`km] 이하로, 은 시속 [eqn: rm 50`km] 이상으로 차를 운행하라는 의미이다. 교통안전 표지판에 과 이 함께 적혀 있는 도로에서 달리는 자동차의 속력을 시속 [eqn: x`rm km]라고 할 때, 교통 법규에 맞는 속력의 범위를 부등식으로 나타내 보자.

서울특별시 도시계획국, 『알기 쉬운 도시계획 용어집』

[정리하기] 연립부등식의 뜻

□ 함께 해보기

[예제] 다음 연립부등식을 푸시오.

(1) [eqn: {cases{2x>6&#3x-1` LEQ 11&}}]

(2) [eqn: {cases{2x-1` GEQ `x+1&#3-2x>-x-4&}}]

(3) [eqn: {cases{3x-2`leq`x-6&#x+2`geq`5-2x&}}]

(4) [eqn: {cases{{x} over {2} `geq` {x} over {3} +1&#{x} over {6} + {1} over {2} `geq {x} over {4}&}}]

□ 문제해결 학습

[문제1] 다음 연립부등식을 푸시오.

(1) [eqn: {cases{4x+1>x-5&#2-x`geq2x-1&}}]

(2) [eqn: {cases{4-x`leq5x-2&#3x-5`geq-x+7&}}]

(3) [eqn: {cases{x+4>2x+3&#2x- {1} over {2} geq {x} over {3} +2&}}]

(4) [eqn: {cases{x-2`leq`3x-4&#2(x+1)`leq`x+3&}}]

(5) [eqn: {cases{x+5geq2x-1&#3x+1>x+7&}}]

(6) [eqn: {cases{4x+1` GEQ 3(x+1)&#x+3`leq`2x-1&}}]

(7) [eqn: {cases{x-4<4x+2&#3x+7< -2x-3&}}]

(8) [eqn: {cases{{x+1} over {4} ` LEQ ` {x+2} over {5}&#5(x-1)` LEQ `3x+1&}}]

[문제2] 연립부등식 [eqn: {cases{1-2x`leq`-x-1&#5-4x`geqa-x&}}]의 해가 [eqn: x=b]일 때, 두 상수 [eqn: a,`b]의 값을 각각 구하시오.

[문제3] 다음 물음에 답하시오.

(1) 연립부등식 [eqn: {cases{x`geq2&#x<k&}}]에 대하여 다음을 구해 보자.

1) 연립부등식의 해가 존재하도록 하는 실수
[eqn: k]의 값의 범위

2) 연립부등식의 해가 존재하지 않도록 하는
실수 [eqn: k]의 값의 범위

(2) 연립부등식 [eqn: {cases{2x+a>3x+2&#x-1<2x-3&}}]의 해가 없을 때, 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하시오.

공통수학1	IV. 여러 가지 방정식과 부등식 (3) 연립일차부등식 ②
날짜:	학번: 이름:

□ 함께 해보기

[예제] 연립부등식 [eqn: 4x-1<6x+3<3x+9]를 푸시오.

□ 문제해결 학습

[문제1] 다음 연립부등식을 푸시오.

(1) [eqn: 3x-2<6-x`leq2x+3]

(2) [eqn: x-1`leq`2x+3`leq`4x+3]

(3) [eqn: 2x-5<3x-1`leqx+5]

(4) [eqn: x-5`leq` {-3x+5} over {2} leq {x+2} over {3}]

[문제2] 연립부등식 [eqn: x-2<2x-3<a]를 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합이 [eqn: 5]가 되도록 하는 자연수 [eqn: a]의 최댓값을 구하시오.

[의사소통] 다음 연립부등식 [eqn: 2x-3`leqx+4`leq3x+2]의 풀이에서 잘못된 부분을 찾아 그 이유를 설명하고 바르게 풀어 보자.

[문제3] 연립부등식 [eqn: x+5<3x+a<2x+3]의 해가 존재하도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하시오.

[연결] 어느 꽃집에서 장미는 한 송이에 [eqn: 2000]원, 카네이션은 한 송이에 [eqn: 1500]원에 판매하고 있다. 다음을 읽고 장미와 카네이션을 섞어서 [eqn: 24]송이 살 때, 장미를 몇 송이 살 수 있는지 모두 구하시오.

[발전] 어느 진로 캠프에 참가한 학생들을 각 체험 부스에 나누어 배정하려고 한다. 한 체험 부스에 [eqn: 4]명씩 배정하면 [eqn: 10]명이 남고, [eqn: 6]명씩 배정하면 모든 체험 부스에 학생들이 배정되고 한 체험 부스에만 [eqn: 5]명 이하가 배정된다고 한다. 가능한 체험 부스의 개수를 모두 구해 보자.

수학	II. 방정식과 부등식 (4) 절댓값이 있는 일차부등식
날짜:	학번: 이름:

□ 생각열기

[eqn: |`x`|=3]이면 수직선 위에서 [eqn: x]를 나타내는 점과 원점 사이의 거리가 [eqn: 3]이므로 [eqn: x= +-3]이다. [eqn: |`x`|<3]을 만족
시키는 [eqn: x]의 값의 범위를 수직선 위에 나타내 보자.

잠깐! 절댓값의 뜻과 성질을 상기해 봅시다.

□ 함께 해보기

[예제] 다음 부등식을 푸시오.

(1) [eqn: |x-2|`leq`3]

(2) [eqn: |x-1|+|x-3|`leq6]

□ 문제해결 학습

[문제1] 다음 연립부등식을 푸시오.

(1) [eqn: |2x+1|<4]

(2) [eqn: |x-3|`geq7]

(3) [eqn: |2x-3|<5]

(4) [eqn: |5-3x|>1]

(5) [eqn: |x+2|+|x-1|`geq5]

(6) [eqn: |3x-2|-|x-4|<2]

[문제2] 걷는 속도가 초속 [eqn: 1.5rmm]인 규리가 [eqn: t]초 동안 걸은 거리를 [eqn: f(t)`rmm]라고 하자. [eqn: |f(t)-120|`geq15]인 [eqn: t]의 값의 범위를 구하시오.

[문제3] 부등식 [eqn: |x-2|<a+3]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 17]이 되도록 하는 자연수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[문제4] 부등식 [eqn: |a-x|`leq7]의 해가 [eqn: -4 LEQ x LEQ b]일 때, 실수 [eqn: a,`b]의 값을 구하시오.

[연결] 일반적으로 식품 뒷면에는 보관 및 취급 시 주의 사항이 적혀 있다. 식품의약품안전처의 온도에 대한 규정에는 실온, 상온, 미온을 아래의 표와 같이 구분하고 있다. 상온의 온도의 범위를 [eqn: |x-a|`leqb]로 나타낼 때, 양수 [eqn: a,`b]의 값을 구해 보자.

공통수학1	IV. 여러 가지 방정식과 부등식 (5) 이차부등식 ①
날짜:	학번: 이름:

□ 생각열기

그림은 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -4x-5]의 그래프이다. 물음에 답해 보자.

(탐구1) 그래프가 [eqn: x]축보다 위쪽에 있는 부분의 [eqn: x]의 값의 범위를 구하시오.

(탐구2) 그래프가 [eqn: x]축보다 아래쪽에 있는 부분의 [eqn: x]의 값의 범위를 구하시오.

[정리하기] 이차부등식과 이차함수의 관계

[eqn: bold{ax^2 +bx+c=0}]의 판별식	[eqn: bold{D>0}]	[eqn: bold{D=0}]	[eqn: bold{D<0}]
[eqn: bold{ax^2 +bx+c=0}]의 근
[eqn: bold{y=ax^2 +bx+c}]의 그래프
[eqn: bold{ax^2 +bx+c>0}]의 해
[eqn: bold{ax^2 +bx+c ge0 }]의 해
[eqn: bold{ax^2 +bx+c<0}]의 해
[eqn: bold{ax^2 +bx+c le 0}]의 해

□ 함께 해보기

[예제1] 이차함수의 그래프를 이용하여 다음 이차부등식을 푸시오.

(1) [eqn: x ^{2} -x-2`geq0]	(2) [eqn: x ^{2} -x-2<0]

(3) [eqn: x ^{2} -2x+1`geq0]	(4) [eqn: x ^{2} -2x+1>0]

(5) [eqn: x ^{2} -x+1`geq0]	(6) [eqn: x ^{2} -x+1<0]

[예제2] 부등식 [eqn: x ^{2} -kx+k+3>0]이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하시오.

□ 문제해결 학습

[문제1] 이차함수의 그래프를 이용하여 다음 이차부등식을 푸시오.

(1) [eqn: x ^{2} -2x-8`leq0]	(2) [eqn: -2x ^{2} +x+6<0]

(3) [eqn: 4x ^{2} +12x+9>0]	(4) [eqn: -x ^{2} +6x-9`geq0]

(5) [eqn: -x ^{2} +8x-17>0]	(6) [eqn: 2x ^{2} +5x+4`geq0]

(7) [eqn: x ^{2} -4x+3`leq0]	(8) [eqn: 9x ^{2} -24x+16>0]

[문제2] 이차부등식 [eqn: x ^{2} +ax+b`geq0]의 해가 [eqn: x`leq-1]또는 [eqn: x`geq3]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,`b]는 상수)

[문제3] 부등식 [eqn: 4x ^{2} +4kx-2k+3`geq0]이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하고, 그 과정을 설명하시오.

[의사소통] 부등식 [eqn: kx ^{2} +2kx+3>0]이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하고, 그 과정을 설명하시오.

공통수학1	IV. 여러 가지 방정식과 부등식 (5) 이차부등식 ②
날짜:	학번: 이름:

□ 함께 해보기

[예제] 다음 연립부등식을 푸시오.

(1) [eqn: {cases{2x-3`geqx-1&#x ^{2} -5x+4`leq0&}}]

(2) [eqn: {cases{x ^{2} -3x-10`leq0&#2x ^{2} -5x-3>0&}}]

□ 문제해결 학습

[문제1] 다음 연립부등식을 푸시오.

(1) [eqn: {cases{2x-1>0&#x ^{2} +x-2`geq0&}}]

(2) [eqn: {cases{3x-2`leq`2x-1&#x ^{2} -4<0&}}]

(3) [eqn: {cases{x ^{2} -2x-3`<0&#x ^{2} -6x+5leq0&}}]

(4) [eqn: 2<x ^{2} -x<6]

[문제2] 주행 중인 자동차에서 브레이크가 작동한 순간부터 완전히 멈출 때까지 자동차가 움직인 거리를 제동 거리라고 한다. 자동차가 시속 [eqn: x`rmkm]로 주행 중일 때, 제동 거리를 [eqn: y`rmm]라고 하면 다음이 성립한다.

[eqn: y={1over200}x ^{2} +{1over5}x] (단, [eqn: x>0])

제동 거리가 [eqn: 70rmm]이하가 되도록 하는 자동차의 최대 속력을 구하시오.

[문제3] 연립부등식 [eqn: {cases{|x-1|`leq2&#x ^{2} -(a+4)x+4a<0&}}]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하시오.

[연결1] 두 이차함수 [eqn: y=f(x),``y=g(x)]의 그래프가 다음 그림과 같고, 두 그래프의
한 교점의 좌표가 [eqn: ( {5} over {2} ,`- {1} over {2} )]일 때,
다음 부등식의 해를 구하고, 공학 도구를 이용하여 결과를 비교해 보자.

(1) [eqn: g(x)`geq`f(x)]	(2) [eqn: 0<f(x)`<`g(x)]

[연결2] 어느 캠핑 배낭을 생산하는 회사에서 배낭 [eqn: x]만 개를 생산하는 데 드는 생산 비용 [eqn: C(x)]는 [eqn: C(x)=165+30x]이고, [eqn: x]만 개를 판매할 때의 판매 수익 [eqn: R(x)]는 [eqn: R(x)=5x(40-x)]라 한다. 판매 수익이 생산 비용보다 많게 되는 [eqn: x]의 값의 범위를 [방법❶]과 [방법❷]로 구하고, 구한 범위를 공학 도구를 이용하여 확인해 보자. 그리고 자신의 풀이 과정을 설명해 보자.
(단, 생산 비용과 판매 수익의 단위는 백만 원)

[방법❶] 함수 [eqn: y=C(x)]의 그래프와 [eqn: y=R(x)]의 그래프를 이용하여 [eqn: x]의 값의 범위 구하기

[방법❷] 함수 [eqn: y=C(x)-R(x)]의 그래프를 이용하여 [eqn: x]의 값의 범위 구하기

공통수학1	V. 경우의 수 (1) 경우의 수
날짜:	학번: 이름:

□ 생각열기

(탐구1) 서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 [eqn: 5]의 배수가 되는 경우의 수를 구해 보자.

(탐구2) 어느 샌드위치 가게에서는 손님이 직접 빵과 소스를 선택하여 샌드위치를 만든다고 한다. 빵은 귀리, 밀, 현미의 [eqn: 3]가지, 소스는 달콤한 맛, 매콤한 맛의 [eqn: 2]가지일 때, 빵과 소스를 각각 하나씩 선택하여 샌드위치를 만드는 경우의 수를 구해 보자.

[정리하기] 합의 법칙, 곱의 법칙

□ 함께 해보기

[예제1] [eqn: x,`y]가 자연수일 때, [eqn: 3`leq`2x+y`leq5]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (x,`y)]의 개수를 구하시오.

[예제2] [eqn: 72]의 약수의 개수를 구하시오.

□ 문제해결 학습

[문제1] [eqn: x,`y]가 자연수일 때, [eqn: xy`leq3]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (x,`y)]의 개수를 구하시오.

[문제2] 서로 다른 [eqn: 3]개의 주사위를 동시에 던져서 나오는 눈의 수를 각각 [eqn: x,`y,`z]라 할 때, [eqn: x+y=2z]를 만족시키는 경우의 수를 구하시오.

[문제3] 세 자리의 자연수 중에서 백의 자리의 숫자는 [eqn: 4]의 배수, 십의 자리의 숫자는 [eqn: 6]의 약수, 일의 자리의 숫자는 홀수인 것의 개수를 구하시오.

[문제4] 다음 수의 약수의 개수를 구하시오.

(1) [eqn: 48]	(2) [eqn: 120]

[문제5] 다음 식을 전개하였을 때, 모든 항의 개수와 [eqn: x]를 포함하는 항의 개수를 각각 구하시오.

(1) [eqn: (x+y)(a+b+c+d)]

(2) [eqn: (a+b)(p+q)(x+y)]

[문제6] 그림은 어느 공원의 정문, 분수, 후문, 정원을 연결하는 산책로를 나타낸 것이다. 정문에서 정원, 분수를 모두 거쳐 후문으로 가는 경우의 수를 구하시오. (단, 한 번 지나간 지점은 다시 지나가지 않는다.)

[문제만들기] 수필 [eqn: 2]권, 시집 [eqn: 3]권, 소설 [eqn: 4]권 중에서 이달의 추천 도서를 선정하려고 한다. 추천 도서를 선정하는 방법에 따른 경우의 수를 구하는 문제를 다음 상황에 맞게 만들어 보고, 만든 문제를 각각 해결해 보자. (단, 책은 모두 서로 다르다.)

(1) 합의 법칙을 이용하여 구하는 상황

(2) 곱의 법칙을 이용하여 구하는 상황

[발전] 브리유 점자
[eqn: 6]점 점자는 오른쪽 그림과 같이 [eqn: 6]개의 점으로 이루어져 있다. 이 점자는 볼록 튀어나온 점의 위치에 따라 구분된다. [eqn: 6]점 점자 [eqn: 2]개로 나타낼 수 있는 문자의 개수를 구해 보자. (단, 튀어나온 점이 하나도 없는 경우는 문자를 나타내지 않는다.)

공통수학1	V. 경우의 수 (2) 순열
날짜:	학번: 이름:

□ 생각열기

학급 교외 체험 활동으로 놀이공원에 간 서진이는 친구들과 [eqn: 4]가지의 놀이기구 [eqn: rmA,`B,`C,`D] 중에서 서로 다른 [eqn: 2]가지의 놀이기구를 택하여 타려고 한다.

(1) 서진이가 첫 번째로 타는 놀이기구를 정하는
경우의 수를 구해 보자.

(2) 서진이가 서로 다른 [eqn: 2]가지의 놀이기구를 차례로 타는 경우의 수를 구해 보자.

[정리하기1] 순열의 뜻

[정리하기2] 계승과 순열의 수

□ 함께 해보기

[예제1] 다음 값을 구하시오.

(1) [eqn: {}_{4} rm P _{2}]	(2) [eqn: {}_{10} rm P _{3}]	(3) [eqn: {}_{7} rm P _{4}]

[예제2] 다음 값을 구하시오.

(1) [eqn: 3!`times0!]	(2) [eqn: {}_{5} rmP _{2} `times3!]

[예제3] 할머니, 아버지, 어머니, 동생이 있는 민준이네 가족 [eqn: 5]명이 일렬로 앉아서 가족사진을 찍으려고 한다. 다음을 구하시오.

(1) 동생과 민준이가 이웃하게 앉는 경우의 수

(2) 아버지와 어머니가 양 끝에 앉는 경우의 수

□ 문제해결 학습

[문제1] 다음의 값을 구하시오.

(1) [eqn: {}_{7} rm P _{2}]	(2) [eqn: {}_{5} rm P _{5}]

[문제2] 준혁이네 학급 학생들은 다음 달에 진로 체험 캠프에 참가한다. 준혁이는 방송인, 교사, 경찰관, 작가, 간호사, 농업 경영인의 [eqn: 6]개의 체험 분야 중에서 [eqn: 3]개를 선택하여 차례대로 체험하려고 한다. 준혁이가 체험할 수 있는 경우의 수를 구하고, 구하는 방법을 설명하시오.

[문제3] 다음 등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오.

(1) [eqn: {}_{n} rmP _{2} =42]

(2) [eqn: {}_{n} rm P _{3} =it3n(n-1)]

[문제4] 다섯 개의 숫자 [eqn: 1,`2,`3,`4,`5]를 한 번씩 사용하여 다섯 자리의 자연수를 만들 때, 홀수의 개수를 구하시오.

[문제5] 서로 다른 소설책 [eqn: 4]권과 서로 다른 시집 [eqn: 2]권을 책꽂이에 일렬로 꽂으려고 한다. 다음을 구하시오.

(1) 시집을 양 끝에 꽂는 경우의 수

(2) 소설책 [eqn: 4]권이 모두 이웃하고 시집 [eqn: 2]권이 모두 이웃하도록 꽂는 경우의 수

[문제6] 그림과 같이 [eqn: 5]개의 좌석이 있다. [eqn: rmA,`B,`C,`D,`E] 다섯 명이 영화 관람을 위하여 좌석에 앉을 때, [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 이웃하게 앉는 경우의 수를 구하시오. (단, 통로를 사이에 두고 앉는 경우에는 이웃하지 않는 것으로 생각한다.)

[발전1] [eqn: 6]개의 문자 [eqn: a,`b,`c,`d,`e,`f]를 일렬로 배열할 때, [eqn: a]와 [eqn: b] 또는 [eqn: b]와 [eqn: c]가 이웃하는 경우의 수를 구하시오.

[발전2] 그림과 같이 남학생 [eqn: 2]명과 여학생 [eqn: 2]명이 함께 놀이공원에 가서 한 줄에 [eqn: 2]개씩 의자가 있고, 모두 [eqn: 3]줄로 된 놀이 기구를 타려고 한다. 남학생 [eqn: 1]명과 여학생 [eqn: 1]명이 짝을 지어 [eqn: 2]명씩 같은 줄에 앉을 때, [eqn: 4]명이 모두 놀이 기구의 의자에 앉는 경우의 수를 구하시오. (단, 다른 탑승자는 없다고 한다.)

공통수학1	V. 경우의 수 (3) 조합 ①
날짜:	학번: 이름:

□ 생각열기

희수네 반에서 [eqn: 4]명의 학생이 학생 대표를 뽑는
선거에 후보로 등록하였다. 학생 대표 [eqn: 2]명을 뽑는
경우를 모두 나열해 보고, 그 경우의 수를 구해 보자.

[정리하기1] 조합의 수

[정리하기2] 조합의 수에 대한 성질

[eqn: 0`leq`r`leq`n]일 때, [eqn: {}_{n} rm C _{itr} = _{itn} {rm rm C} _{itn-r}]가 성립한다.

□ 함께 해보기

[예제1] 다음 값을 구하시오.

(1) [eqn: {}_{6} rm C _{3}]	(2) [eqn: {}_{7} rm C _{2}]	(3) [eqn: {}_{8} rm C _{0}]

[예제2] 다음을 구하시오.

(1) [eqn: 10]명이 있는 합창단에서 임원 [eqn: 2]명을 선출하는 경우의 수

(2) 서로 다른 책 [eqn: 8]권 중에서 [eqn: 3]권을 선택하는 경우의 수

[예제3] [eqn: 1]부터 [eqn: 10]까지의 숫자가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 10]개의 공이 들어 있는 주머니에서 [eqn: 4]개의 공을 동시에 꺼낼 때, [eqn: 1,`2]가 적힌 공 [eqn: 2]개를 포함하여 꺼내는 경우의 수를 구하시오.

□ 문제해결 학습

[문제1] 서현이는 학교 축제 프로그램을 구성하려고 한다. 밴드 경연 대회에 참가 신청서를 제출한 [eqn: 11]개의 팀 중에서 공연할 [eqn: 3]개 팀을 뽑는 경우의 수를 구하시오.

[문제2] 등식 [eqn: {}_{n+1} rm C it rm _{2} + _{itn} rm C it rm _{2} =100]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오.

[문제3] [eqn: 1` LEQ `r`<`n]일 때, [eqn: {}_{n} rm C _{it r rm} = _{it n-1 rm} rm C _{it r-1 rm} + _{it n-1 rm} rm C _{it r rm}]이 성립함을 보이시오.

[문제4] [eqn: 1]부터 [eqn: 8]까지의 숫자가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 8]개의 공이 들어 있는 주머니에서 [eqn: 4]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 다음을 구하시오.

(1) [eqn: 7]이 적힌 공을 포함하여 꺼내는 경우의 수

(2) 소수가 적힌 공 [eqn: 2]개와 소수가 아닌 수가 적힌 공 [eqn: 2]개를 꺼내는 경우의 수

[문제5] 그림과 같이 서로 평행한 [eqn: 4]개의 직선과 서로 평행한 [eqn: 5]개의 직선이 만나고 있다. 이 직선들로 만들 수 있는 평행사변형의 개수를 구하시오.

[문제6] 그림과 같이 반원 위에 [eqn: 7]개의 점이 있을 때, 두 점을 이어서 만들 수 있는 서로 다른 직선의 개수를 구하시오.

[발전1] 도서관 도우미 학생 [eqn: 6]명을 [eqn: 2]개의 조로 나누어 책장을 정리하려고 한다. 물음에 답해 보자.

(1) [eqn: 2]명, [eqn: 4]명으로 나누는 경우의 수를 구해 보자.

(2) [eqn: 3]명, [eqn: 3]명으로 나누는 경우의 수를 구해 보자.

(3) (1), (2)의 경우의 차이를 설명해 보자.

[발전2] [eqn: 1]층에서 [eqn: 8]층까지 올라가는 승강기에 [eqn: 1]층에서 [eqn: 6]명이 탔다. [eqn: 1]층에서는 내리지 않는다고 할 때, [eqn: 2]명씩 [eqn: 3]개의 층에서 [eqn: 6]명이 모두 내리는 경우의 수를 구하시오. (단, 승강기는 모든 층에서 멈추고, 승강기에 새로 타는 사람은 없다.)

공통수학1	V. 경우의 수 (3) 조합 ②
날짜:	학번: 이름:

순열과 조합을 이용한 실생활 속의 선택과 결정

[탐구1] 계획표 작성하기

지민이네 가족은 아래의 규칙 (가)~(다)에 따라 앞으로 [eqn: 1]년 동안 한 달에 한 번씩 가족이 함께 할 수 있는 여가 생활을 계획하려고 한다. 세울 수 있는 계획의 경우의 수를 구해 보자.

(가) 영화 관람 [eqn: 6]회

(나) 스포츠 경기 관람 [eqn: 5]회

(다) 전시회 관람 또는 놀이공원 방문 중에서 [eqn: 1]회

[탐구2] 4가지 색으로 지도 색칠하기

그림과 같이 ㈎, ㈏, ㈐, ㈑, ㈒의 [eqn: 5]개의 영역으로 나누어 놓은 지도를 서로 다른 [eqn: 5]가지 색을 이용하여 칠하려고 한다. [eqn: 5]개의 영역에 같은 색을 중복하여 이용해도 좋으나 인접한 영역은 서로 다른 색으로 칠한다.
다음은 그 경우의 수를 구하는 방법에 대한
현진이와 대호의 대화이다.

현진:  ㈎ → ㈏ → ㈐ → ㈑ → ㈒의 순서대로 칠하면 ㈎에 칠할 수 있는 색은 [eqn: 5]가지, ㈏에 칠할 수 있는 색은 [eqn: 4]가지, ㈐에 칠할 수 있는 색도 [eqn: 4]가지야. 그리고 ㈑에 칠할 수 있는 색은 [eqn: 3]가지인 것 같은데 ㈒에 칠할 수 있는 색은 몇 가지인지 모르겠어.

대호:  아니야. ㈑에 칠할 수 있는 색의 수는 ㈎와 ㈐에 칠해진 색이 같은지 다른지에 따라 달라지지. 그리고 ㈎, ㈏, ㈐, ㈑에 같은 색이 칠해진 영역이 몇 개인지에 따라 ㈒에 칠할 수 있는 색의 수가 달라져.

현진: 그럼 경우의 수를 구하기가 너무 복잡한데….

(1) 위의 대화를 보고 다음에 답해 보자.
① ㈎ ~ ㈒ 중에서 어느 영역에 먼저 색을
칠하는 것이 좋을지 말해 보자.

② 지도에 색을 칠하는 경우의 수를 구해 보자.

(2) 빨강, 파랑, 노랑, 초록, 검정의 [eqn: 5]가지 색연필을 이용하여 다음 그림을 칠하려고 한다. 같은 색을 중복하여 이용해도 좋으나 인접한 영역은 서로 다른 색으로 칠할 때, 색을 칠하는 경우의 수를 구하고 그 과정을 설명해 보자.

①

②

[탐구3] 조합을 이용한 유닛을 만드는 경우의 수 구하기

여러 명의 구성원으로 이루어진 아이돌 그룹은 구성원 중 일부가 하위 그룹인 유닛을 만들어 독자적으로 활동하기도 한다. 이때 다양한 조건을 만족시키는 유닛을 만드는 경우의 수를 조합을 이용하여 구해 보자.

(1) [eqn: rmA,`B,`C,`D]를 포함한 [eqn: 9]명으로 이루어진 아이돌 그룹에서 [eqn: 5]명으로 이루어진 유닛을 만드는 경우의 수를 구하시오.

(2) [eqn: rmA,`B,`C,`D]를 포함한 [eqn: 9]명으로 이루어진 아이돌 그룹에서 [eqn: 5]명으로 이루어진 유닛이 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 유닛을 만드는 경우의 수를 구하시오.

(가) [eqn: rmA,`B] 중 반드시 한 명은 포함하지만
두 명 모두 포함하지는 않는다.

(나) [eqn: rmC,`D] 모두 포함하거나 두 명 모두 포함하지
않는다.

(3) 모둠별로 아이돌 그룹의 구성원 수와 조건을 (2)와 같이 정하고, 가능한 유닛을 만드는 경우의 수를 구하고 그 과정을 설명해 보자.

1) 아이돌 그룹의 구성원 수: (    )명

2) 아이돌 그룹이 갖추어야 할 조건

3) 조건을 만족시키는 유닛을 만드는 경우의 수 구하고 설명하기

공통수학1	VI. 행렬 (1) 행렬의 뜻
날짜:	학번: 이름:

□ 생각열기

한반도의 기온 상승으로 인해 폭염, 폭우 등 극한 기상 현상이 발생하고 있다. 다음은 서울과 대전의 평균 기온을 나타낸 표이다. 물음에 답해 보자.

(1) 아래는 위의 표에서 숫자만 뽑아 괄호로 묶어
나타낸 것이다. □ 안에 알맞은 수를 써 넣으시오.

[eqn: {pmatrix{12.1&~ {BOX{```````````````}}#{BOX{```````````````}}&``13.7}}]

(2) (1)의 괄호로 묶어서 나타낸 것에서 [eqn: 13.7]은 어떤 의미를 갖는지 이야기해 보자.

[정리하기1] 행렬의 뜻과 표현

[정리하기2] 두 행렬이 서로 같을 조건

□ 함께 해보기

[예제1] 다음 행렬은 각각 몇 행 몇 열의 행렬인지 말하시오.

(1) [eqn: {pmatrix{1&3}}]	(2) [eqn: {pmatrix{a#b}}]

(3) [eqn: {pmatrix{1&0#0&1}}]	(4) [eqn: {pmatrix{1&3#2&5#3&7}}]

[예제2] [eqn: 2`times3] 행렬 [eqn: A]의 [eqn: (i,`j)] 성분 [eqn: a _{ij}]가 [eqn: a _{ij} =i+j]일 때, 행렬 [eqn: A]를 구하시오.

[예제3] 다음 등식을 만족시키는 두 상수 [eqn: a,`b]의 값을 구하시오.

[eqn: {pmatrix{2~~~&~2a#b+1&~-5}} = {pmatrix{2~&~-6#2b&~-5}}]

□ 문제해결 학습

[문제1] 행렬 [eqn: A= {pmatrix{2&~-2&~3#1&~-1&~-1}}]에 대하여 물음에 답하시오.

(1) 행렬 [eqn: A]의 행과 열의 개수를 각각 구하시오.

(2) 행렬 [eqn: A]의 [eqn: (1,`3)] 성분과 [eqn: (2,`2)] 성분을 각각 구하시오.

[문제2] [eqn: 2times2] 행렬 [eqn: A]의 [eqn: (i,`j)] 성분 [eqn: a _{ij}]가 다음과 같을 때, 행렬 [eqn: A]를 구하시오.

(1) [eqn: a _{ij} =ij]	(2) [eqn: a _{ij} =i-3j+2]

[문제3] 다음 등식을 만족시키는 두 상수 [eqn: a,`b]의 값을 각각 구하시오.

[eqn: {pmatrix{a+2b&~3#7&-8}} = {pmatrix{10&3#7&~2a-3b}}]

[문제4] 다음 상황에서 요리에 필요한 재료의 양을 행렬로 나타내시오.

수빈이는 친구들을 집으로 초대하여 김치찌개와 수육을 요리해서 대접하려고 한다. 요리에 필요한 재료 중 돼지고기, 양파,
간장의 양은 각각 다음과 같다.

• 김치찌개 재료: 돼지고기 [eqn: 150rmg], 양파 [eqn: 1]개, 간장 [eqn: 100rmmL]

• 수육 재료: 돼지고기 [eqn: 500rmg], 양파 [eqn: 2]개, 간장 [eqn: 200rmmL]

[정보처리] 다음은 어느 지역의 가뭄에 관한 기사의 일부를 발췌하여 정리한 것이다. 지역별 강수량에 관한 자료를 [eqn: 3`times2]행렬로 나타내시오.

지난해부터 이어진 최악의 가뭄이 올해도 이어지고 있습니다. 기상청에 따르면 세 지역 [eqn: rmP,`Q,`R]의 지난해 강수량은 각각 [eqn: 854.5 rm mm,`]
[eqn: 963.8rmmm,`891.3rmmm]를 기록했습니다.
이들 지역의 평면 강수량은 각각 [eqn: 1390.1rmmm],
[eqn: rm1326.9mm,`1345.6mm]였습니다.

[발전] 그림과 같이 [eqn: 3]개의 밸브가 달린 수조에서 [eqn: 3times3] 행렬 [eqn: A]의 [eqn: (i,`j)] 성분 [eqn: a _{ij}]가 다음과 같이 정의될 때, 행렬 [eqn: A]를 구해 보자. (단, [eqn: i=j]인 경우에는 하나의 밸브 [eqn: i]만 연 것으로 생각한다.)

[eqn: a _{ij} = {cases{1&eqalign{``(밸브``i와``j만``열었을``때,``# ``````물이``흘러``나오는``경우)# }#0&eqalign{```(밸브``i와``j만``열었을``때,``# ``````물이``흘러``나오지``않는``경우)}}}]

공통수학1	VI. 행렬 (2) 행렬의 덧셈, 뺄셈과 실수배
날짜:	학번: 이름:

□ 생각열기

다음은 [eqn: 1]월과 [eqn: 2]월의 (가)와 (나) 두 도시의 대기 오염 물질 배출량을 나타낸 표이다.

(1) [eqn: 2]개월 동안의 두 도시의 대기 오염 물질의
총배출량을 행렬로 나타내 보자.

(2) [eqn: 2]월의 각 오염 물질의 배출량과 [eqn: 1]월의 그것과의 차이를 행렬로 나타내 보자.

[정리하기1] 행렬의 덧셈과 뺄셈

[정리하기2] 행렬의 실수배

□ 함께 해보기

[예제1] 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{3&~1#-1&~2}}], [eqn: B= {pmatrix{4&~-2#1&~0}}]에 대하여 [eqn: A+B,``A-B]를 각각 구하시오.

[예제2] 등식 [eqn: X+ {pmatrix{1&~2#3&~4}} = {pmatrix{3&~~2#1&~-1}}]을 만족시키는 행렬 [eqn: X]를 구하시오.

[예제3] 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{3&~-1&~2}}], [eqn: B= {pmatrix{1&~0#-2&~1}}]에 대하여 [eqn: 2A]와 [eqn: (-1)B]를 각각 구하시오.

□ 문제해결 학습

[문제1] 다음 두 행렬 [eqn: A,`B]에 대하여 [eqn: A+B,```A-B]를 각각 구하시오.

(1) [eqn: A= {pmatrix{4&~1}} ,``B= {pmatrix{5&~2}}]

(2) [eqn: A= {pmatrix{3&~0&~4#-1&~2&~3}} ,``B= {pmatrix{6&~0&~1#2&~-5&~0}}]

[문제2] 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{1&~7#-2&~4}} ,`O= {pmatrix{0&~0#0&~0}}]에 대하여 다음을 구하고, 알 수 있는 사실을 말하시오.

(1) [eqn: A+O]	(2) [eqn: A-A]

[문제3] 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{1&~-3#2&~1}}], [eqn: B= {pmatrix{5&~0#-2&~3}}]에 대하여 다음을 구하시오.

(1) [eqn: A+B]	(2) [eqn: 3A-2B]

[문제4] 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{1&~-3&~2#7&~-1&~4}} ,``B= {pmatrix{1&~0&~-1#0&~4&~2}}]에 대하여 [eqn: X+A=5B]를 만족시키는 행렬 [eqn: X]를 구하시오.

[정보처리] 어느 음식점에 [eqn: rmP,`Q] 두 단체가 주문을 했다. 완성된 음식을 [eqn: rmP,`Q] 두 단체에 각각 배달하려는데 [eqn: rmP]단체의 주문 내역을 분실하였다. 다음과 같이 [eqn: rmQ] 단체의 주문 내역서와 완성된 음식 목록이 있을 때, 행렬의 덧셈과 뺄셈을 이용하여 [eqn: rmP]단체의 주문 내역을 행렬로 나타내 보자.

[발전] [표1], [표2]는 두 지역 [eqn: rmP,`Q]에서 작년에 생산한 사과와 배의 개당 생산 비용과 이익금을 각각 나타낸 것이다. 올해는 생산량이 감소하여 두 지역 모두 두 과일의 개당 생산 비용이 각각 [eqn: 10%]씩 증가하였지만 판매 가격은 작년과 같게 하려고 한다. 작년 판매 가격과 올해 생산 비용을 각각 행렬로 나타내시오. 그리고 이를 이용하여 두 지역 [eqn: rmP,`Q]의 올해 이익금을 행렬로 나타내시오. (단, 판매 가격은 생산 비용과 이익금을 합한 것으로 한다.)

공통수학1	VI. 행렬 (3) 행렬의 곱셈 ①
날짜:	학번: 이름:

□ 생각열기

서현이와 민준이는 자가용 대신 자전거와 버스를
이용할 때, 탄소 발자국을 얼마나 줄일 수 있는지 궁금하였다. [eqn: 1]주일 동안 자전거와 버스를 이용하여 이동한 거리는 [표1], 자가용을 이용하지 않고 자전거와 버스를 이용하는 경우 [eqn: 1rmkm]당 줄일 수 있는 탄소 발자국은
[표2]와 같다고 한다. [표3]을 완성해 보자.

[정리하기] 행렬의 곱셈

□ 함께 해보기

[예제1] 다음 행렬의 곱셈을 하시오.

(1) [eqn: {pmatrix{1&2}} {pmatrix{2#3}}]	(2) [eqn: {pmatrix{0&~-2#1&~2}} {pmatrix{1&~-1#2&~3}}]

[예제2] 행렬 [eqn: A= {pmatrix{1&~1#2&~-1}}]에 대하여 [eqn: A ^{2} ,``A ^{3} ,``A ^{4}]를 각각 구하시오.

□ 문제해결 학습

[문제1] 다음 행렬의 곱셈을 하시오.

(1) [eqn: {pmatrix{2&~-3}} {pmatrix{1#2}}]	(2) [eqn: {pmatrix{2&~3}} {pmatrix{-3&~1#6&~2}}]

(3) [eqn: {pmatrix{1#4}} {pmatrix{2&~0}}]	(4) [eqn: {pmatrix{1&~2#3&~4}} {pmatrix{1#1}}]

(5) [eqn: {pmatrix{3&~2#1&~1}} {pmatrix{4&~1#-1&~5}}]

[문제2] 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{x&~1#3&~y}} ,`O= {pmatrix{6&~2#-3&~-1}}]에 대하여 [eqn: AB=O]가 성립하도록 하는 두 상수 [eqn: x,`y]의 값을 각각 구하시오. (단, [eqn: O]는 영행렬)

[문제3] 세 행렬 [eqn: A= {pmatrix{1&~4#2&~-3}} ,`I= {pmatrix{1&~0#0&~1}}], [eqn: O= {pmatrix{0&~0#0&~0}}]에 대하여 다음을 구하고,
알 수 있는 사실을 말하시오.

(1) [eqn: IA]	(2) [eqn: OA]

[문제4] 두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{1&~4#2&~-3}} ,`B= {pmatrix{0&~1#1&~0}}]에 대하여 다음을 구하고, 알 수 있는 사실을 말하시오.

(1) [eqn: AB]	(2) [eqn: BA]

[문제5] 행렬 [eqn: A= {pmatrix{2&~0#0&~-1}}]에 대하여 [eqn: A ^{5}]을 구하시오.

[연결] 카페에서 [eqn: rmP] 음료 [eqn: 1]잔을 만드는 데 설탕 [eqn: 10rmg], 우유 [eqn: 250rmmL]가 필요하고, [eqn: rmQ] 음료 [eqn: 1]잔을 만드는 데 설탕 [eqn: 20rmg], 우유 [eqn: 200rmmL]가 필요하다고 한다. 아래 표를 채우고, [eqn: rmP] 음료 [eqn: 50]잔과 [eqn: rmQ] 음료 [eqn: 40]잔을 만드는 데 필요한 설탕과 우유의 양을 행렬의 곱셈을 이용하여 구하시오.

[정보처리] 다음 [표 1]은 자동차 공장 [eqn: rmP,`Q]에서 하루에 생산하는 소형차와 중형차의 대수이고, [표 2]는 소형차와 중형차를 한 대 생산하는 데 필요한 부품 [eqn: rmA,`B]의 개수이다. 자동차 공장 [eqn: rmP,`Q]에서 하루에 필요한 부품 [eqn: rmA,`B]의 개수를 행렬을 이용하여 구하시오.

공통수학1	VI. 행렬 (3) 행렬의 곱셈 ②
날짜:	학번: 이름:

다양한 상황에서 주인공으로 활약하는 행렬

[탐구1] 생태계의 균형

생태계가 균형을 유지하는 과정을 살펴보기 위해 간단한 예를 들어 생각해 보자.

어느 섬에 토끼와 여우가 살고 있다. 여우는 토끼를 먹이로 하며 살며, 매년 [eqn: 50%]가 죽는다. 토끼는 번식을 통해 매년 [eqn: 30%]가 늘어나고, 여우는 번식을 통해 토끼 개체 수의 [eqn: 30%]만큼 늘어난다. 또한, 여우는 매년 여우 개체 수의 [eqn: 50%]만큼의 토끼를 잡아먹는다.

위의 상황을 정리하면 다음 그림과 같다.

예를 들어 어느 해 여우 [eqn: 100]마리, 토끼 [eqn: 200]마리가 있다고 할 때, 다음 해 여우와 토끼의 개체 수를 행렬의 곱셈을 이용하여 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {pmatrix{다음``해``여우의``개체``수#다음``해``토끼의``개체``수}}][eqn: = {pmatrix{0.5&~0.3#-0.5&~1.3}} {pmatrix{100#200}} = {pmatrix{110#210}}]

따라서 행렬 [eqn: {pmatrix{0.5&~0.3#-0.5&~1.3}}]을 계속 곱하면 여우와 토끼의 개체 수 변화를 알 수 있고, 이를 계산하면 다음 표와 같다. (단, 동물의 개체 수를 예측하는 경우이므로 계산 결과에서 정수 부분만을 생각한다.)

여우와 토끼의 개체 수의 변화

행렬을 이용하여 다음 물음에 답해 보자.

(1) 주어진 조건에서 [eqn: 2]년 후의 여우의 개체 수는 어떻게 변하겠는지 구하고, 그 과정을 설명해 보자.

(2) 위의 표에서 알 수 있는 사실을 말해 보자.

(3) 여우가 [eqn: 90]마리, 토끼가 [eqn: 180]마리 있다고 하자. 여우가 매년 여우 개체 수의 [eqn: 40%]만큼의 토끼를 잡아먹으며, 토끼는 번식을 통해 매년 [eqn: 25%]가 늘어난다. 여우는 번식을 통해 토끼 개체 수의 [eqn: 31.25%]만큼 늘어난다. 필요하다면 공학 도구를 이용하여 아래의 표를 채우면서 [eqn: n]년 후의 개체 수는 어떻게 되겠는지 설명해 보자.
(단, 다른 조건은 동일하다.)

기간	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 5]	[eqn: 10]
여우(마리)
토끼(마리)
기간	[eqn: 15]	[eqn: 20]	[eqn: 30]	[eqn: cdots]
여우(마리)
토끼(마리)

※ 1년 후, 3년 후 개체 수를 구하는 계산 과정은 꼭 쓸 것.

[탐구2] 행렬을 이용한 의사결정

(1) 다음 표는 어느 프로 농구 경기에서 활약한 두 선수 [eqn: rmA,`B]의 기록이다. 아래와 같은 방법으로 경기 실적을 평가한다고 하자. 행렬을 이용하여 어느 선수의 점수가 더 높은지 구해 보자.

(2) 정국이와 다연이가 꽃집에서 구입하려는 장미와 백합의 수는 [표1]과 같고, 두 꽃집 [eqn: rmA,`B]에서 판매하는 장미와 백합의 한 송이당 가격은 [표2]와 같다. 행렬을 이용하여 정국이와 다연이는 각각 장미와 백합을 어떤 꽃집에서 구입하는 것이 유리한지 설명해 보자.