수1	2022년 시행 기출 4점	삼각함수

[2206교-고2-15]

① [eqn: {5} over {2}]

[출제의도] 삼각함수의 정의를 이용하여 식의 값 구하는 문제 해결하기

동경 [eqn: rmOP`]가 나타내는 각의 크기가 [eqn: theta`]이고 [eqn: {bar{rmOP}} = it r`]
이므로 [eqn: sin`theta = a over r `]이고 [eqn: cos`theta = 5 over r `]이다.

[eqn: sin`theta + 2`cos`theta =1`]에서 [eqn: {a} over {r} + {10} over {r} =1`]이므로

[eqn: r=a+10`]이다. [eqn: cdotscdots`]㉠

[eqn: sin ^{2} `theta+cos ^{2} `theta=1`]에서 [eqn: LEFT ( {a} over {r} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {5} over {r} RIGHT ) ^{2} =1`]이므로

[eqn: a ^{2} +25=r ^{2} `]이다. [eqn: cdotscdots`]㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: a= it - 15 over 4`]이고 [eqn: r= 25 over 4 `]이다.

따라서 [eqn: a+r= 5 over 2 `]

좌표평면 위의 원점 [eqn: rm O`]에서 [eqn: x`]축의 양의 방향으로 시초선을 잡을 때, 원점 [eqn: rm O`]와 점 [eqn: rm P it LEFT ( 5`,``a` RIGHT ) `]를 지나는 동경 [eqn: rm OP`]가 나타내는 각의 크기를 [eqn: theta`], 선분 [eqn: rmOP]의 길이를 [eqn: r`]라 하자. [eqn: sin` theta+2`cos` theta=1`]일 때, [eqn: a+r`]의 값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: 3`]	③ [eqn: {7} over {2}`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: {9} over {2}`]

[2206교-고2-15]

③ [eqn: {4} over {3}]

[출제의도] 코사인법칙을 이용하여 선분의 길이 구하는 문제 해결하기

[eqn: rm angle COA=it theta`]라 하면 삼각형 [eqn: rm COA`]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos` theta = {2 ^{2} +2 ^{2} - 1^{2}} over {2 TIMES 2 TIMES 2} = 7 over 8`]이다.

삼각형 [eqn: rm BOD`]에서 [eqn: rm angle BOD = it pi over 2 - theta `]이고

삼각형 [eqn: rm BOD`]의 넓이가 [eqn: {7} over {6} `]이므로

[eqn: rm bar{OD } = it x `]라 놓으면
[eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES x TIMES rmsin LEFT ( it {pi } over {2} - theta RIGHT ) = {7} over {6} `]이다.

한편, [eqn: sin LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) =cos` theta = {7} over {8} `]이므로

[eqn: 7 over 8 x = 7 over 6 `], 즉 [eqn: x = 4 over 3 `]이다. 따라서 [eqn: rm barOD = 4 over 3 `]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2`]이고 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {2} `]인 부채꼴 [eqn: rmOAB`]가 있다. 호 [eqn: rmAB] 위에 점 [eqn: rmC`]를 [eqn: rmbar{AC}=1`]이 되도록 잡는다. 선분 [eqn: rmOC] 위의 점 [eqn: rmO`]가 아닌 점 [eqn: rmD`]에 대하여
삼각형 [eqn: rm BOD`]의 넓이가 [eqn: {7} over {6} `]일 때, 선분 [eqn: rmOD`]의 길이는?

[eqn: rmB]

[eqn: rm C]

[eqn: rm A]

[eqn: rm D]

[eqn: rm O]

[eqn: rm 2]

[eqn: rm 1]

① [eqn: {5} over {4}]	② [eqn: {31} over {24}]	③ [eqn: {4} over {3}]	④ [eqn: {11} over {8}]	⑤ [eqn: {17} over {12}]

[2206교-고2-18]

④ [eqn: 18]

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 이용하여 자연수의 최댓값 구하는 문제 해결하기

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: {pi} over {2n}]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: - {pi } over {2n}]

함수 [eqn: y=3`sin`2nx`]의 주기는 [eqn: 2pi over 2n = pi over n `]이다.

원점을 지나고 기울기가 양수인 직선이

[eqn: - pi over 2n < x< pi over 2n `]에서 함수 [eqn: y=3`sin`2nx`]의 그래프와 만나는 원점이 아닌 두 점 [eqn: rm A`]와 [eqn: rm B`]는 원점에 대하여 대칭이다. 따라서 실수 [eqn: t`][eqn: LEFT ( - {pi } over {2n} <t< {pi } over {2n} `,``t != 0 RIGHT ) `]에 대하여 점 [eqn: rm A`]의 좌표를 [eqn: LEFT ( t`,``3`sin`2nt RIGHT ) `]라 하면 점 [eqn: rm B`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( -t`,``-3`sin`2nt RIGHT ) `]이다.

삼각형 [eqn: rm AOC`]의 넓이와 삼각형 [eqn: rmBOC`]의 넓이가 같으므로 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이는

[eqn: 2 TIMES {1} over {2} TIMES {pi } over {2n} TIMES 3 LEFT | sin`2nt RIGHT | = {pi } over {12} `]

이고 [eqn: LEFT | sin`2nt RIGHT | = {n} over {18} `]이다.

[eqn: 0< LEFT | sin`2nt RIGHT | LEQ 1`]이므로 [eqn: 0< {n} over {18} {le}1`]이다.
따라서 [eqn: n`]의 최댓값은 [eqn: 18`]이다.

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: - {pi } over {2n} <x< {pi } over {2n} `]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3`sin`2nx`]가 있다. 원점 [eqn: rm O`]를 지나고 기울기가 양수인 직선과 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 서로 다른 세 점 [eqn: rm O`], [eqn: rmA`], [eqn: rm B`]에서 만날 때, 점 [eqn: rmrmC itLEFT ( {pi } over {2n} `,``0 RIGHT ) `]에 대하여 넓이가 [eqn: {pi } over {12} `]인 삼각형 [eqn: rm ABC`]가 존재하도록 하는 [eqn: n`]의 최댓값은?

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

[2206교-고2-19]

① [eqn: 8 sqrt {3}]

[출제의도] 삼각함수를 이용하여 도형의 넓이 추론하기

점 [eqn: rm C`]가 호 [eqn: rmAB`]의 삼등분점 중 점 [eqn: rm A`]에 가까운 점이므로

[eqn: rm ANGLE BOC=` {BOX{`````{2} over {3} theta `````}}]
이다. 또한, 삼각형 [eqn: rm BOC]에서

[eqn: rm ANGLE OBC= ANGLE OCB= {1} over {2} LEFT ( pi - {BOX{```` {2} over {3} theta ```}} `` RIGHT ) `]

이다. 한편, 삼각형 [eqn: rm BOD`]에서

[eqn: ANGLE rm BDO= pi - theta - LEFT ( {pi } over {2} - {theta } over {3} RIGHT ) = {pi } over {2} - {2 theta } over {3}]

이다. 따라서 삼각형 [eqn: rmBOD`]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {{bar{rm OD it}}} over {sin LEFT ( {pi } over {2} - {theta } over {3} RIGHT )} = {{bar{rm OB it}}} over {sin LEFT ( {pi } over {2} - {2 theta } over {3} RIGHT )}`],

[eqn: {bar{rm OD it}} = {cos {theta } over {3}} over {`` {BOX{````cos` {2} over {3} theta ````}} ``} `]이다.

한편, 부채꼴 [eqn: rm OAC`]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 1 ^{2} TIMES {theta } over {3} = {theta } over {6} `]이다. [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )`]는 삼각형 [eqn: rm COD`]의 넓이에서

부채꼴 [eqn: rm OAC`]의 넓이를 뺀 값이므로

[eqn: S` LEFT ( theta RIGHT ) = {1} over {2} TIMES 1 TIMES {cos {theta } over {3}} over {`` {BOX{````cos` {2} over {3} theta ````}} ``} TIMES `sin` {theta } over {3} `-` {BOX{```` {theta } over {6} ````}} `]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) = {2} over {3} theta `], [eqn: g LEFT ( theta RIGHT ) =cos` {2} over {3} theta `], [eqn: h LEFT ( theta RIGHT ) = {theta } over {6} `]이므로 [eqn: f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) = {pi } over {3} `], [eqn: g LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) = {sqrt {3}} over {2} `], [eqn: h LEFT ( {pi } over {8} RIGHT ) = {pi } over {48} `]이다.

그러므로 [eqn: {f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) TIMES g LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )} over {h LEFT ( {pi } over {8} RIGHT )} =8 sqrt {3} `]

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO`], 반지름의 길이가 [eqn: 1`]이고 중심각의 크기가 [eqn: theta`]인 부채꼴 [eqn: rmOAB`]가 있다. 호 [eqn: rmAB`]의 삼등분점 중
점 [eqn: rmA`]에 가까운 점을 [eqn: rmC`]라 하고, 직선 [eqn: rmOA`]와 직선 [eqn: rm BC`]가 만나는 점을 [eqn: rmD`]라 하자. 다음은 두 선분 [eqn: rm AD`], [eqn: rm CD`]와 호 [eqn: rm AC`]로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT ) `]를 구하는 과정이다. (단, [eqn: 0< theta < {3} over {4} pi`])

[eqn: rmB]

[eqn: rm C]

[eqn: rm A]

[eqn: rm D]

[eqn: rm O]

[eqn: theta]

점 [eqn: rmC`]가 호 [eqn: rmAB`]의 삼등분점 중 점 [eqn: rmA`]에 가까운 점이므로

[eqn: rm ANGLE BOC= {BOX{````(가)````}} `]
이다. 또한, 삼각형 [eqn: rm BOC`]에서
[eqn: rm ANGLE OBC= ANGLE OCB= {1} over {2} LEFT ( pi - {BOX{```` LEFT ( 가 RIGHT ) ````}} `RIGHT )`]

이다. 한편, 삼각형 [eqn: rm BOD`]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rm OD it}} = {cos` {theta } over {3}} over {``` ^{{}^{`}} {BOX{```` LEFT ( 나 RIGHT ) ````}} ``` ^{{}^{`}}}]

이다. [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT ) `]는 삼각형 [eqn: rm COD`]의 넓이에서 부채꼴 [eqn: rmOAC`]의 넓이를 뺀 값이므로

[eqn: S` LEFT ( theta RIGHT ) =` {1} over {2} TIMES {cos` {theta } over {3}} over {``` ^{{}^{`}} {BOX{```` LEFT ( 나 RIGHT ) ````}} ``` ^{{}^{`}}} TIMES sin {theta } over {3} `-` {BOX{```` LEFT ( 다 RIGHT ) ````}}]

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) `], [eqn: g LEFT ( theta RIGHT ) `], [eqn: h LEFT ( theta RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: {f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) TIMES g LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )} over {h LEFT ( {pi } over {8} RIGHT )} `]의 값은?

① [eqn: 8 sqrt {3}]   ② [eqn: {17 sqrt {3}} over {2}]   ③ [eqn: 9 sqrt {3}]   ④ [eqn: {19 sqrt {3}} over {2}]   ⑤ [eqn: 10 sqrt {3}]

[2206교-고2-21]

② [eqn: 27]

[출제의도] 지수함수와 삼각함수의 그래프를 이용하여
식의 값 구하는 문제 해결하기

[eqn: 0 LEQ x < k`]에서 [eqn: - {1} over {2} LEQ f LEFT ( x RIGHT ) LEQ {1} over {2} `]이고,

함수 [eqn: y= {1} over {2} sin` pi x`]의 주기는 [eqn: 2`]이다.

[eqn: f LEFT ( k RIGHT ) = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{k-k} -1=0`]이므로

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( k`,``0 RIGHT ) `]을 지난다.

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +a=0`]의 실근은 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y=it-a`]의 교점의 [eqn: x`]좌표와 같다.

[eqn: 0 LEQ x LEQ 12`]에서 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +a=0`]의 실근의 최댓값이 [eqn: 12`]이므로 모든 실근의 합이 [eqn: 46`]이기 위하여 실근의 개수는 [eqn: 4`]이상이어야 한다.

[eqn: LEFT ( rmi RIGHT )] [eqn: a= {1} over {2} `]인 경우

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: 10]

[eqn: {3} over {2}]

[eqn: {7} over {2}]

[eqn: {11} over {2}]

[eqn: {15} over {2}]

[eqn: {19} over {2}]

[eqn: y=it- {1} over {2}]

[eqn: 12]

[eqn: k=10`]일 때 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +a=0`]의 모든 실근의 합이 최대이다. [eqn: 0 LEQ x < 10`]에서 모든 실근의 합은

[eqn: {3} over {2} + {7} over {2} + {11} over {2} + {15} over {2} + {19} over {2} = {55} over {2} =27.5`]이고

[eqn: f LEFT ( 12 RIGHT ) = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{12-10} -1= {4} over {9} -1= it - {5} over {9} < it - {1} over {2} `]이므로

[eqn: 10 LEQ x LEQ 12`]에서 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +a=0`]은 오직 하나의 실근을 갖고 그 값은 [eqn: 12`]보다 작다.

따라서 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +a=0`]의 모든 실근의 합은 [eqn: 39.5`]보다 작으므로 조건을 만족시키지 않는다.

[eqn: LEFT ( rm ii RIGHT )] [eqn: 0<a< 1 over 2`]인 경우

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: k]

[eqn: 12]

[eqn: y= it -a]

[eqn: 2]

[eqn: k le x LEQ 12`]에서 방정식 [eqn: LEFT ( 2 over 3 RIGHT ) ^{x-k} -1 +a=0`]의 실근의 개수는 최대 [eqn: 1`]이고 그 값은 [eqn: 12`]이하이다.

[eqn: 0 LEQ x LEQ 12`]에서 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +a=0`]의 모든 실근의 합이 [eqn: 46`]이기 위하여
[eqn: 0 LEQ x < k`]에서 방정식 [eqn: {1} over {2} `sin` pi x+a=0`]의 모든 실근의 합이 [eqn: 34`]이상이어야 한다.

[eqn: 0 LEQ x<2`]에서 함수 [eqn: y= {1} over {2} `sin` pi x`]의 그래프와 직선 [eqn: y=it-a`]가 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: alpha _{1} `], [eqn: alpha _{2} `]라 할 때, [eqn: {alpha _{1} + alpha _{2}} over {2} = {3} over {2} `], 즉 [eqn: alpha _{1} +alpha _{2} =3`]이다.

또한, 함수 [eqn: y={1} over {2} `sin` pi x`]의 주기가 [eqn: 2`]이므로

[eqn: 2 LEQ x < 4`]에서 방정식 [eqn: 1 over 2 `sin`pix +a=0`]의
모든 실근의 합은 [eqn: 7`],

[eqn: 4 LEQ x < 6`]에서 방정식 [eqn: {1} over {2} `sin` pi x+a=0`]의
모든 실근의 합은 [eqn: 11`],

[eqn: 6 LEQ x < 8`]에서 방정식 [eqn: {1} over {2} `sin` pi x+a=0`]의
모든 실근의 합은 [eqn: 15`],

[eqn: 8 LEQ x < 10`]에서 방정식 [eqn: 1 over 2 `sin`pix +a=0`]의
모든 실근의 합은 [eqn: 19`],

[eqn: 10 LEQ x < 11`]에서 방정식 [eqn: {1} over {2} `sin` pi x+a=0`]은 실근을 갖지 않는다.

따라서 다음 세 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다.

① [eqn: k{le}7`]일 때

[eqn: 0 LEQ x < k`]에서 방정식 [eqn: 1 over 2 `sin`pix +a=0`]의
모든 실근의 합이 [eqn: 34`]미만이므로 조건을 만족시키지 않는다.

② [eqn: k=8] 또는 [eqn: k=9`]일 때

[eqn: 0 LEQ x < k`]에서 방정식 [eqn: 1 over 2` sin`pix +a=0`]의
모든 실근의 합은 [eqn: 3+7+11+15=36`]이므로

[eqn: k le x LEQ 12`]에서 실근이 [eqn: 10`]이면 조건을 만족시킨다.

[eqn: k=8`]이면 [eqn: f LEFT ( 10 RIGHT ) +a= LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{10-8} -1+a=0`]에서
[eqn: a= {5} over {9} `]이므로 [eqn: 0<a< {1} over {2} `]에 모순이다.

[eqn: k=9`]이면 [eqn: f LEFT ( 10 RIGHT ) +a= LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{10-9} -1+a=0`]에서

[eqn: a= {1} over {3} `]이므로 [eqn: 0<a< {1} over {2} `]을 만족시킨다.

③ [eqn: k=10] 또는 [eqn: k=11`]일 때

[eqn: 0 LEQ x < k`]에서 모든 실근의 합은
[eqn: 3+7+11+15+19=55>46`]이므로 조건을

만족시키지 않는다.

[eqn: LEFT ( rmi RIGHT )], [eqn: LEFT ( rm ii RIGHT )]에 의하여 [eqn: a= {1} over {3} `], [eqn: k=9`]이다.

따라서 [eqn: {k} over {a} =27`]

자연수 [eqn: k`][eqn: LEFT ( 1<k<12 RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: 0 LEQ x LEQ 12`]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]를

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=` {cases{`` {1} over {2} `sin` pi x&````` LEFT ( 0 LEQ x<k RIGHT )#&#`` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{x-k} -1&````` LEFT ( k LEQ x LEQ 12 RIGHT )}}]

라 하자. 실수 [eqn: a`][eqn: LEFT ( 0<a LEQ {1} over {2} RIGHT ) `]에 대하여 방정식

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )+a=0`]

의 모든 실근의 합이 [eqn: 46`]일 때, [eqn: {k} over {a} `]의 값은?

① [eqn: 24]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 30]	④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 36]

[2206교-고2-28]

[eqn: p+q=11]

[출제의도] 사인법칙과 코사인법칙을 이용하여
선분의 길이 구하는 문제 해결하기

삼각형 [eqn: rm ABD`]에서 [eqn: ANGLE rm ADB= theta `]라 하자.

삼각형 [eqn: rm ABD`]에서 사인법칙에 의하여 [eqn: {{bar{rm AB it}}} over {sin` theta } =2 it r _{1} `]

이고, 삼각형 [eqn: rm ADC`]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {{bar{rm AC it}}} over {sin LEFT ( pi - theta RIGHT )} = {{bar{rm AC it}}} over {sin` theta } =2 it r _{2} `]

이다. [eqn: {r _{2}} over {r _{1}} = {{bar{rm AC it}}} over {{bar{rm AB it}}} = {sqrt {13}} over {3}]이므로

[eqn: t>0`]인 실수 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: {bar{rm AB it}} =3 it t`], [eqn: {bar{rm AC it}} = sqrt {13} it t`]라 하면 삼각형 [eqn: rmABC`]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: 13t ^{2} =9t ^{2} +36-2 TIMES 3t TIMES 6 TIMES rm cos` {pi } over {3} `],

[eqn: 2t ^{2} +9t-18=0`]이므로 [eqn: t= {3} over {2}] 또는 [eqn: t=it-6`]이다.

따라서 [eqn: t= {3} over {2} `]이고 [eqn: {bar{rm AB}} = it 3t= {9} over {2} `]이므로

[eqn: p=2`], [eqn: q=9`]이다. 그러므로 [eqn: p+q=11]

[eqn: ANGLE rm ABC= {pi } over {3} `], [eqn: rm {bar{BC}} =6`]인 삼각형 [eqn: rm ABC`]가 있다. 선분 [eqn: rm BC] 위에 점 [eqn: rm B`]와 점 [eqn: rm C`]가 아닌 점 [eqn: rm D`]를 잡고, 삼각형 [eqn: rm ABD`]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: r _{1} `], 삼각형 [eqn: rm ACD`]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: r _{2} `]라 하자. [eqn: {r _{2}} over {r _{1}} = {sqrt13} over {3} `]일 때, 선분 [eqn: rm AB`]의 길이는 [eqn: {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: rmB]

[eqn: rm D]

[eqn: rm A]

[eqn: rm C]

[eqn: {pi} over {3}]

[eqn: rm 6]

[2206교-고2-30]

[eqn: 59`]

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 이용하여 삼각함수 추론하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sin`x`]이고 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =a`cos`x+b`]이다.

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]는

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``g LEFT ( x RIGHT ) _{`}&````` LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) LEQ g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )#``f LEFT ( x RIGHT ) ^{`}&````` LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) >g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )}} `]이다.

조건 (나)에서 [eqn: 0<c< {pi} over {2} `]인 어떤 실수 [eqn: c`]에 대하여 [eqn: h LEFT ( c RIGHT ) =h LEFT ( c+pi RIGHT ) = {1} over {2} `]이므로

[eqn: f LEFT ( c RIGHT ) = {1} over {2}] 또는 [eqn: g LEFT ( c RIGHT ) = {1} over {2} `]이고

[eqn: f LEFT ( c+pi RIGHT ) = {1} over {2}] 또는 [eqn: g LEFT ( c+pi RIGHT ) = {1} over {2} `]이다.

한편, [eqn: 0<c< {pi} over {2} `]이면

[eqn: f LEFT ( c+ pi RIGHT ) =sin LEFT ( c+ pi RIGHT ) =it-sin`c<0`]이므로

[eqn: f LEFT ( c+pi RIGHT ) != {1} over {2} `]이다.

따라서 [eqn: g LEFT ( c+pi RIGHT ) = {1} over {2} `]이다. [eqn: cdotscdots`]㉠

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 직선 [eqn: x=pi`]에 대하여

대칭이므로 [eqn: g LEFT ( pi-c RIGHT ) = {1} over {2} `]이다. [eqn: cdotscdots`]㉡

[eqn: 0 LEQ x LEQ 2pi`]에서 방정식 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} `]의 실근의 개수는 최대 [eqn: 2`]이므로 ㉠, ㉡에 의하여 [eqn: g LEFT ( c RIGHT ) != {1} over {2} `]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( c RIGHT ) = {1} over {2} `]이고 [eqn: sin`c= {1} over {2} `]에서 [eqn: c= {pi} over {6} `]이다.

㉠에 의하여 [eqn: g LEFT ( {7} over {6} pi RIGHT ) = {1} over {2} `]이다. [eqn: cdotscdots`]㉢

[eqn: rm LEFT ( i RIGHT )] [eqn: a>0`]인 경우

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: y= {1} over {2}]

[eqn: {4} over {3} pi]

[eqn: - {sqrt {3}} over {2}]

[eqn: pi]

[eqn: {7} over {6} pi]

[eqn: g LEFT ( {7} over {6} pi RIGHT )]

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]의 최솟값이 [eqn: - {sqrt {3}} over {2} `]이 되기 위하여 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( {4} over {3} pi `,``- {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) `]을 지나야 한다.

[eqn: g LEFT ( {4} over {3} pi RIGHT ) =it- {sqrt {3}} over {2} `]이고 [eqn: a>0`]일 때 [eqn: g LEFT ( 4 over 3 pi RIGHT ) > g LEFT ( 7 over 6 pi RIGHT )`]

이므로 [eqn: g LEFT ( {7} over {6} pi RIGHT ) < it - {sqrt {3}} over {2} `]이다. 이는 ㉢과 모순이다.

[eqn: rm LEFT ( ii RIGHT )] [eqn: a=0`]인 경우 ([eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =b`])

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: y= {1} over {2}]

[eqn: {4} over {3} pi]

[eqn: - {sqrt {3}} over {2}]

[eqn: {7} over {6} pi]

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]의 최솟값이 [eqn: - {sqrt {3}} over {2} `]이 되기 위하여 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( {4} over {3} pi `,``- {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) `]을 지나야

하므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = it - {sqrt {3}} over {2}`]이다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 상수함수이므로 [eqn: g LEFT ( {7} over {6} pi RIGHT ) = it - {sqrt {3}} over {2} `]이다. 이는 ㉢과 모순이다.

[eqn: rm LEFT ( iii RIGHT )] [eqn: a<0`]인 경우

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: y= {1} over {2}]

[eqn: {5} over {3} pi]

[eqn: - {sqrt {3}} over {2}]

[eqn: {pi} over {6}]

[eqn: {7} over {6} pi]

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]의 최솟값이 [eqn: - {sqrt {3}} over {2}`]이 되기 위하여 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( {5} over {3} pi `,``- {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) `]을 지나야

한다. 즉 [eqn: g LEFT ( {5} over {3} pi RIGHT ) =it- {sqrt {3}} over {2} `]이다. [eqn: cdotscdots`]㉣

㉢, ㉣에 의하여 연립방정식

[eqn: {cases{``a`cos LEFT ( {7 pi } over {6} RIGHT ) +b= {1} over {2}&#``a`cos LEFT ( {5 pi } over {3} RIGHT ) +b= it - {sqrt {3}} over {2}&}} `]

을 풀면 [eqn: a=it-1`], [eqn: b= {1-sqrt3} over {2}]이다.

따라서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = it -cos`x`+ {1- sqrt {3}} over {2} `]이다.

[eqn: rm LEFT ( i RIGHT )], [eqn: rm LEFT ( ii RIGHT )], [eqn: rm LEFT ( iii RIGHT )]에 의하여

방정식 [eqn: h(x)=k`][eqn: LEFT ( k> {1} over {2} RIGHT ) `]가 서로 다른 세 실근을

가지는 경우는 그림과 같이 직선 [eqn: y=k`]가

점 [eqn: LEFT ( pi`,``g LEFT ( pi RIGHT ) RIGHT )`]를 지날 때이다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: y= {1} over {2}]

[eqn: pi]

[eqn: y=k]

[eqn: g( pi )=it-cos` pi + {1- sqrt {3}} over {2} = {3- sqrt {3}} over {2} `],

즉 [eqn: k= {3- sqrt {3}} over {2} `]이다. 따라서

[eqn: k over b = {{3-sqrt3} over 2} over {{1-sqrt3} over 2 } = {2sqrt3} over -2 = it - sqrt3 `]

이므로 [eqn: a+20 LEFT ( {k} over {b} RIGHT ) ^{2} =it-1+20 TIMES 3=59`]

두 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]와 두 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sin`x`], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =a it `cos`x+b`]

에 대하여 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2pi`]에서 정의된 함수

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | +f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )} over {2} `]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )`]의 최솟값은 [eqn: - sqrt {3} over 2`]이다.

(나) [eqn: 0<c< {pi } over {2} `]인 어떤 실수 [eqn: c`]에 대하여
[eqn: h LEFT ( c RIGHT ) =h LEFT ( c+ pi RIGHT ) = {1} over {2} `]이다.

상수 [eqn: k`][eqn: LEFT ( k> 1 over 2 RIGHT ) `]에 대하여 방정식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =k`]가 서로 다른
세 실근을 가질 때, [eqn: a+20LEFT ( {k} over {b} RIGHT ) ^{2}`]의 값을 구하시오.

[2209교-고2-14]

⑤ [eqn: {4 sqrt {6}} over {3}]

[출제의도] 사인법칙과 코사인법칙을 활용하여 문제 해결하기

삼각형 [eqn: rm APB`]의 외접원의 반지름의 길이 [eqn: R``]는 부채꼴 [eqn: rm OAB`]의 반지름의 길이와 같으므로 [eqn: R=6`]
[eqn: ANGLE rm BPA= it theta ` LEFT ( theta > {pi } over {2} RIGHT ) `]라 할 때,
삼각형 [eqn: rm APB`]에서 사인법칙에 의하여
[eqn: sin` theta = {8 sqrt {2}} over {2 TIMES 6} ` it = {2 sqrt {2}} over {3} `]

[eqn: cos^2 theta = 1- LEFT ( {2 sqrt {2}} over {3} RIGHT ) ^{2}= it {1} over {9}`]

[eqn: theta > {pi } over {2} `]일 때, [eqn: cos` theta <0`]이므로 [eqn: cos` theta = it - {1} over {3} `]

[eqn: rm {bar{BP}} = it k`]라 하면, [eqn: rm {bar{AP}} : {bar{BP}} =3:1`]이므로 [eqn: rm {bar{AP}} =3 it k`]

삼각형 [eqn: rm APB`]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: LEFT ( 3k RIGHT ) ^{2} +k ^{2} -2 TIMES 3k TIMES k TIMES LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) ` it = LEFT ( 8 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} `]

[eqn: 9k ^{2} +k ^{2} +2k ^{2} =128``], [eqn: k ^{2} = {32} over {3} `]

따라서 선분 [eqn: rm BP`]의 길이는 [eqn: {4 sqrt {6}} over {3} `]

그림과 같이 중심이 [eqn: rm O`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 6`]인 부채꼴 [eqn: rm OAB`]가 있다. [eqn: rm {bar{AB}} =8 sqrt {2} `]이고 부채꼴 [eqn: rm OAB`]의 호 [eqn: rm AB] 위의 한 점 [eqn: rm P`]에 대하여 [eqn: ANGLE rm BPA>90 DEG], [eqn: {bar{rm AP}} : {bar{BP}} =3:1`]일 때, 선분 [eqn: rm BP`]의 길이는?

[eqn: rm O]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P]

① [eqn: {2 sqrt {6}} over {3}]	② [eqn: {5 sqrt {6}} over {6}]	③ [eqn: sqrt {6}]

④ [eqn: {7 sqrt {6}} over {6}]	⑤ [eqn: {4 sqrt {6}} over {3}]

[2209교-고2-16]

① [eqn: {sqrt {3}} over {3}]

[출제의도] 삼각함수의 그래프 이해하기

방정식 [eqn: sin {pi x} over {4} ` it = {sqrt {2}} over {2} `][eqn: LEFT ( -4 LEQ x LEQ 4` RIGHT ) `]에서

[eqn: {pi x} over {4} = {pi } over {4} `] 또는 [eqn: {pi x} over {4} = {3} over {4} pi `], [eqn: x=1`] 또는 [eqn: x=3`]

점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,``` sqrt {2} RIGHT ) `]
점 [eqn: rm B`]의 좌표는 [eqn: rm LEFT ( 3,``` sqrt {2} RIGHT ) `]

점 [eqn: rm B`]와 점 [eqn: rm C`]는 원점에 대하여 서로 대칭이므로
점 [eqn: rm C`]의 좌표는 [eqn: rm LEFT ( -3,```- sqrt {2} RIGHT ) `]

점 [eqn: rm C`]에서 직선 [eqn: y= sqrt {2} `]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMH`]라 하면 점 [eqn: rm H`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( -3,``` sqrt {2} RIGHT ) `]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]

[eqn: rm C]

[eqn: y= sqrt {2}]

[eqn: theta]

[eqn: rm H]

[eqn: ANGLE rm CAH= pi - theta `], [eqn: sin theta =sin LEFT ( pi - theta RIGHT )`], [eqn: {bar{rm CH}} =2 sqrt {2} `],[eqn: {bar{rm AC}} = sqrt {LEFT ( -3-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( - sqrt {2} - sqrt {2} RIGHT ) ^{2}} =2 sqrt {6} `]

이므로 직각삼각형 [eqn: rm ACH`]에서

[eqn: sin LEFT ( pi - theta RIGHT ) ` it = {rm {bar{CH}}} over {rm {bar{AC}}} ` it = {2 sqrt {2}} over {2 sqrt {6}} ` it = {sqrt {3}} over {3} `]

따라서 [eqn: sin theta = {sqrt {3}} over {3} `]

집합 [eqn: LEFT { `x`` LEFT □ ``-4 LEQ x LEQ 4` RIGHT } ` RIGHT .]에서 정의된 함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2`sin {pi x} over {4} `]
가 있다. 그림과 같이 함수 [eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프가
직선 [eqn: y= sqrt {2} `]와 만나는 서로 다른 두 점을 [eqn: rm A`], [eqn: rmB`]라 하고,
두 점 [eqn: rm B`], [eqn: rm O`]를 지나는 직선이 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 만나는 점 중 [eqn: rm B`]와 [eqn: rm O`]가 아닌 점을 [eqn: rmC`]라 하자.
[eqn: ANGLE rm BAC= theta `]라 할 때, [eqn: sin` theta `]의 값은? (단, 점 [eqn: rm B`]의 [eqn: x`]좌표는
점 [eqn: rm A`]의 [eqn: x`]좌표보다 크고, [eqn: rm O`]는 원점이다.)

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: rm C]

[eqn: y= sqrt {2}]

[eqn: theta]

[eqn: 4]

[eqn: -4]

① [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: {7 sqrt {3}} over {18}]	③ [eqn: {4 sqrt {3}} over {9}]	④ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: {5 sqrt {3}} over {9}]

[2209교-고2-18]

② [eqn: 2 pi]

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 활용하여 문제 해결하기

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 직선 [eqn: y=k _{0} `][eqn: LEFT ( k _{0} >0 RIGHT ) `]과 만나는 서로 다른 점의 개수는

[eqn: y= LEFT | sin`2x+ {2} over {3} RIGHT |]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: pi]

[eqn: - pi]

[eqn: {5} over {3}]

[eqn: {1} over {3} `]

[eqn: y=k _{0}]

[eqn: {2} over {3} `]

[eqn: 0<k _{0} < {1} over {3} `]일 때 [eqn: 8`], [eqn: k _{0} = {1} over {3} `]일 때 [eqn: 6`],

[eqn: {1} over {3} <k _{0} < {2} over {3} `]일 때 [eqn: 4`], [eqn: k _{0} = {2} over {3} `]일 때 [eqn: 5`],

[eqn: {2} over {3} <k _{0} < {5} over {3} `]일 때 [eqn: 4`], [eqn: k _{0} = {5} over {3} `]일 때 [eqn: 2`],

[eqn: k _{0} > {5} over {3} `]일 때 [eqn: 0`]

[eqn: 3k>k`]이므로 [eqn: LEFT | m-n RIGHT | =3`]을 만족시키는

[eqn: m`]과 [eqn: n`]은 [eqn: m=2`], [eqn: n=5`] [eqn: CDOTS `]㉠

또는 [eqn: m=5`], [eqn: n=8`]
[eqn: m=2`]이면 [eqn: 3k= { 5} over { 3}`], [eqn: k= { 5} over { 9} `]
[eqn: {1} over {3} < { 5} over {9 } < {2} over {3} `]에서 [eqn: n=4`]이므로

㉠을 만족시키지 않는다.

[eqn: m=5`]이면 [eqn: 3k= {2} over {3} `], [eqn: k= {2} over {9} `]
[eqn: 0< {2} over {9} < {1} over {3} `]에서 [eqn: n=8`]이다.

[eqn: -pi leqx leqpi`]일 때, 방정식 [eqn: LEFT | sin2x+ {2} over {3} RIGHT | = {2} over {9} `]의
모든 실근을 크기순으로 나열한 것을
[eqn: alpha _{1} `], [eqn: alpha _{2} `], [eqn: alpha _{3} `], [eqn: ` CDOTS `], [eqn: alpha _{8} `]이라 하자.

[eqn: alpha _{1} + alpha _{4} = alpha _{2} + alpha _{3} =2 TIMES LEFT ( - {pi } over {4} RIGHT ) ` it = it - {pi } over {2}]

[eqn: alpha _{5} + alpha _{8} = alpha _{6} + alpha _{7} =2 TIMES {3} over {4} pi = {3} over {2} pi]

따라서

[eqn: alpha _{1} + alpha _{2} +` CDOTS `+ alpha _{8} =2 TIMES LEFT ( - {pi } over {2} RIGHT ) +2 TIMES {3} over {2} pi =2 pi]

(참고)

[eqn: alpha _{1}]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: pi]

[eqn: - pi]

[eqn: y= LEFT | sin`2x+ {2} over {3} RIGHT |]

[eqn: - {pi } over {4}]

[eqn: {3} over {4} pi]

[eqn: alpha _{3}]

[eqn: alpha _{2}]

[eqn: alpha _{4}]

[eqn: alpha _{5}]

[eqn: alpha _{7}]

[eqn: alpha _{6}]

[eqn: alpha _{8}]

[eqn: x]

[eqn: {2} over {9}]

집합 [eqn: LEFT { `x`` LEFT □ ``- pi LEQ x LEQ pi ` RIGHT } ` RIGHT .]에서 정의된 함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | sin2x+ {2} over {3} RIGHT | `]
가 있다. 양수 [eqn: k`]에 대하여 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 두 직선 [eqn: y=3k`], [eqn: y=k`]와 만나는 서로 다른 점의 개수를 각각 [eqn: m`], [eqn: n`]이라 할 때, [eqn: LEFT | m-n RIGHT | =3`]을 만족시킨다. [eqn: - pi LEQ x LEQ pi `]일 때,
[eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k`]의 모든 실근의 합은?

① [eqn: {3} over {2} pi]	② [eqn: 2 pi]	③ [eqn: {5} over {2} pi]	④ [eqn: 3pi]	⑤ [eqn: {7} over {2} pi]

[2209교-고2-20]

② [eqn: {8} over {3}]

[출제의도] 사인법칙을 활용하여 문제 해결하기

삼각형 [eqn: rm ABC`]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R`]라 하면 [eqn: sin LEFT ( ANGLE rm BAC RIGHT ) =`sinA= {it a} over {2 it R} `],
[eqn: sin B= it {8} over {2R} `], [eqn: sin C= it {4} over {2R} `]

[eqn: a LEFT ( sinB+sinC` RIGHT )][eqn: =a LEFT ( {8} over {2R} + {4} over {2R} RIGHT ) = {6a} over {R} `=6 sqrt {3}][eqn: {a} over {R} = sqrt {3} `], [eqn: sin A= {it a} over {2 it R} ` it = {sqrt {3}} over {2}]

[eqn: ANGLE rm BAC` rm >90 DEG `]이므로 [eqn: ANGLE rm BAC= {2} over {3} pi `]

선분 [eqn: rm AP`]가 [eqn: ANGLE rm BAC`]를 이등분하므로

[eqn: ANGLE rm PAB= ANGLE PAC= {pi } over {3} `], [eqn: {bar{rm BP it}} : {bar{rm PC}} =4:8=1:2`]

삼각형 [eqn: rm ABP`]의 넓이는 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이의 [eqn: {1} over {3} `]배

[eqn: {1} over {2} TIMES 4 TIMES {bar{rm AP it}} TIMES it sin {pi } over {3} = {1} over {3} TIMES LEFT ( {1} over {2} TIMES 4 TIMES 8 TIMES it sin {2} over {3} pi RIGHT ) `]

따라서 선분 [eqn: rm AP`]의 길이는 [eqn: {8} over {3} `]

그림과 같이 양수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: rm {bar{AB}} =4`], [eqn: rm {bar{BC}} = it a`], [eqn: {bar{rm CA it}} =8`]인
삼각형 [eqn: rm ABC`]가 있다. [eqn: ANGLE rm BAC`]의 이등분선이 선분 [eqn: rm BC`]와 만나는 점을 [eqn: rm P`]라 하자. [eqn: a` LEFT ( sinB+sinC`` RIGHT ) =6 sqrt {3} `]일 때, 선분 [eqn: rm AP`]의 길이는? (단, [eqn: ANGLE rm BAC>90 DEG])

[eqn: 4]

[eqn: rm C]

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

[eqn: a]

[eqn: rm P]

[eqn: 8]

① [eqn: {7} over {3}]	② [eqn: {8} over {3}]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: {10} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {3}]

[2209교-고2-30]

[eqn: 53]

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 활용하여 추론하기

[eqn: y`][eqn: =2sin LEFT ( n pi x+ {pi } over {2} RIGHT ) + LEFT | k`sin ^{2} LEFT ( n pi x RIGHT ) - LEFT ( k-1 RIGHT ) RIGHT | `]
[eqn: =2cos` LEFT ( n pi x RIGHT ) + LEFT | k LEFT { 1-cos ^{2} LEFT ( n pi x RIGHT ) RIGHT } - LEFT ( k-1 RIGHT ) RIGHT | `]
[eqn: =2cos` LEFT ( n pi x RIGHT ) + LEFT | 1-k`cos ^{2} LEFT ( n pi x RIGHT ) RIGHT | `]

[eqn: 0 leq x leq 2`]에서 [eqn: t=cos` LEFT ( n pi x RIGHT ) `]라 할 때,
함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =2t+ LEFT | 1-kt ^{2} RIGHT |][eqn: LEFT ( -1 LEQ t LEQ 1 RIGHT )]이라 하자.

[eqn: 1-kt^2 = 0`], [eqn: t= it - {1} over {sqrt {k}} `] 또는 [eqn: t= { 1} over { rootk}`]

[eqn: f LEFT ( t RIGHT )]

[eqn: = {cases{eqalign{# }&#eqalign{# }&}}]	[eqn: ``-kt ^{2} +2t+1]	[eqn: LEFT ( - {1} over {sqrt {k}} LEQ t LEQ {1} over {sqrt {k}} RIGHT )]
	[eqn: ``kt ^{2} +2t-1]	[eqn: LEFT ( pile{it#it} RIGHT . -1 LEQ t< it - {1} over {sqrt {k}}] 또는 [eqn: {1} over {sqrt {k}} <t LEQ 1 LEFT . pile{it#it} RIGHT )]

[eqn: = {cases{eqalign{# # }&#eqalign{# # # }&}}]	[eqn: ``-k LEFT ( t- {1} over {k} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 1+ {1} over {k} RIGHT )]	[eqn: LEFT ( - {1} over {sqrt {k}} LEQ t LEQ {1} over {sqrt {k}} RIGHT )]
	[eqn: ``k LEFT ( t+ {1} over {k} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 1+ {1} over {k} RIGHT )]	[eqn: LEFT ( pile{it#it} RIGHT . -1 LEQ t< it - {1} over {sqrt {k}}] 또는 [eqn: {1} over {sqrt {k}} <t LEQ 1 LEFT . pile{it#it} RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) ` it =k-3`], [eqn: f LEFT ( - {1} over {sqrt {k}} RIGHT ) ` it = it - {2} over {sqrt {k}} `],

[eqn: f LEFT ( {1} over {sqrt {k}} RIGHT ) ` it = {2} over {sqrt {k}} `], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) ` it =k+1`]

[eqn: k leq4`]이므로 [eqn: 1 LEQ {2} over {sqrt {k}} `]

함수 [eqn: y=f LEFT ( t RIGHT )`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: t]

[eqn: rmO]

[eqn: y=f(t)]

[eqn: -1~]

[eqn: y]

[eqn: - {``1} over {sqrt {k}}]

[eqn: 1]

[eqn: 1+ {1} over {k}]

[eqn: k+1]

[eqn: {1} over {k}]

[eqn: {`1} over {sqrt {k}}]

[eqn: {```2} over {sqrt {k}}]

[eqn: k-3]

[eqn: - {```2} over {sqrt {k}}]

[eqn: 1]

조건 (가)에 의하여 [eqn: a _{2} `]는

[eqn: f LEFT ( t _{0} RIGHT ) ` it = it - {k} over {4} `]인 실수 [eqn: t _{0} `][eqn: LEFT ( -1 LEQ t _{0} LEQ 1 RIGHT ) `]에 대하여
곡선 [eqn: t=cos`2 pi x`]와 직선 [eqn: t= t_0`]이 만나는 서로 다른 점의 개수와 같다.

[eqn: {12} over {5} <k LEQ 4`]에서 [eqn: - {2} over {sqrt {k}} LEQ it - {k} over {4} <k-3`]

(Ⅰ) [eqn: - {2} over {sqrt {k}} < it - {k} over {4} `]인 경우
[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) ` it = it - {k} over {4} `]인 실수 [eqn: t`]를
[eqn: t_1 `], [eqn: t_2 `][eqn: LEFT ( -1<t _{1} <t _{2} <0 RIGHT ) `]이라 하면

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: t=t _{2}]

[eqn: t=t _{1}]

[eqn: t=cos2pix]

[eqn: 2]

[eqn: t]

[eqn: 0 leq x leq 2`]에서
주기가 [eqn: 1`]인 곡선 [eqn: t=cos`2 pi x]와
두 직선 [eqn: t=t_1`], [eqn: t=t_2`]가 만나는
서로 다른 점의 개수 [eqn: a_2 = LEFT ( 2+2 RIGHT ) times2 = 8 `]
[eqn: 0<a _{2} <6`]을 만족시키지 않는다.

(Ⅱ) [eqn: - {2} over {sqrt {k}} ` it = it - {k} over {4} `]인 경우
[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) ` it = it - {k} over {4} `]인 실수 [eqn: t`]를
[eqn: t _{3} = it - {1} over {sqrt {k}} `][eqn: LEFT ( -1<t _3 <0RIGHT )`]이라 하면

[eqn: t]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: t=t _{3}]

[eqn: t=cos2pix]

[eqn: 2]

[eqn: 0 leq x leq 2`]에서
주기가 [eqn: 1`]인 곡선 [eqn: t=cos`2 pi x`]와
직선 [eqn: t=t_3`]이 만나는 서로 다른 점의 개수
[eqn: a _{2} =2 times 2=4`][eqn: ` CDOTS `]㉠

(Ⅰ), (Ⅱ)에 의하여
[eqn: 0<a_2 <6`]을 만족시키는 [eqn: k`]의 값은
[eqn: - {2} over {sqrt {k}} = it - {k} over {4} `], [eqn: k=4`]

따라서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: 0 leq x leq 2`]에서 [eqn: t=cos` LEFT ( n pi x RIGHT ) `][eqn: LEFT ( -1 leq t leq1 RIGHT )`]일 때,

[eqn: f LEFT ( t RIGHT )`]

[eqn: = {cases{eqalign{# }&#eqalign{# }&}}]	[eqn: -4 LEFT ( t- {1} over {4} RIGHT ) ^{2} + {5} over {4}]	[eqn: LEFT ( - {1} over {2} LEQ t LEQ {1} over {2} RIGHT )]
	[eqn: 4 LEFT ( t+ {1} over {4} RIGHT ) ^{2} - {5} over {4}]	[eqn: LEFT ( -1 LEQ t< it - {1} over {2} ,`` {1} over {2} <t LEQ 1 RIGHT )]

함수 [eqn: y=f LEFT ( t RIGHT ) `]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: t]

[eqn: rmO]

[eqn: y=f(t)]

[eqn: -1~]

[eqn: y]

[eqn: - {1} over {2}]

[eqn: 1]

[eqn: {5} over {4}]

[eqn: 5]

[eqn: {1} over {4}]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

(ⅰ) [eqn: n=1`]인 경우
조건 (나)에 의하여 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) ` it =5`]인 실수 [eqn: t`]는 [eqn: 1`]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: t=1]

[eqn: t=cos pi x]

[eqn: 2]

[eqn: t]

[eqn: 0 leq x leq 2`]에서
주기가 [eqn: 2`]인 곡선 [eqn: t=cos` pi x`]와
직선 [eqn: t=1`]이 만나는 서로 다른 점의 개수
[eqn: a _{1} =2`]

(ⅱ) [eqn: n=2`]인 경우
㉠에 의하여 [eqn: a_2 =4`]

(ⅲ) [eqn: n=3`]인 경우
조건 (나)에 의하여 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = { 5} over {3 } `]인 실수 [eqn: t`]를
[eqn: t _{4} `][eqn: LEFT ( 0<t _{4} <1 RIGHT ) `]이라 하면

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: t=t _{4}]

[eqn: t=cos3 pi x]

[eqn: 2]

[eqn: t]

[eqn: 0 leq x leq 2`]에서
주기가 [eqn: { 2} over { 3} `]인 곡선 [eqn: t=cos`3 pi x]와
직선 [eqn: t=t _{4} `]가 만나는 서로 다른 점의 개수 [eqn: a_3 = 2 times 3 =6`]

(ⅳ) [eqn: n=4`]인 경우
조건 (가)에 의하여 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) ` it = it - {1} over {2} `]인 실수 [eqn: t`]를
[eqn: t _{5} `], [eqn: t _{6} `][eqn: LEFT ( -1<t _{5} <t _{6} <0 RIGHT ) `]이라 하면

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: t=t _{6}]

[eqn: t=cos4 pi x]

[eqn: 2]

[eqn: t=t _{5}]

[eqn: t]

[eqn: 0 leq x leq 2`]에서
주기가 [eqn: { 1} over { 2}`]인 곡선 [eqn: t=cos`4 pi x]와
두 직선 [eqn: t=t _{5} `], [eqn: t=t _{6} `]이 만나는
서로 다른 점의 개수 [eqn: a _{4} = LEFT ( 2 TIMES 4 RIGHT ) TIMES 2=16]

(ⅴ) [eqn: n=5`]인 경우
조건 (나)에 의하여
[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = 1 `]인 실수 [eqn: t `]는 [eqn: -1`], [eqn: 0`], [eqn: {1} over {2}]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: t= {1} over {2}]

[eqn: t=cos5 pi x]

[eqn: 2]

[eqn: t= it -1]

[eqn: t]

[eqn: 0 leq x leq 2`]에서
주기가 [eqn: { 2} over { 5} `]인 곡선 [eqn: t=cos`5 pi x]와
세 직선 [eqn: t= it -1`], [eqn: t=0`], [eqn: t= {1} over {2} `]이 만나는
서로 다른 점의 개수 [eqn: a _{5} =5+ LEFT ( 2 TIMES 5 RIGHT ) TIMES 2=25`]

(ⅰ) ~ (ⅴ)에 의하여
[eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{n} =2+4+6+16+25=53`]

[eqn: {12} over {5} <k LEQ 4`]인 상수 [eqn: k`]와 자연수 [eqn: n`]에 대하여
수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) [eqn: n`]이 짝수이면 [eqn: a _{n} `]은 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2`]에서 직선 [eqn: y= it - {k} over {2n} `]와 곡선 [eqn: y=2sin LEFT ( n pi x+ {pi } over {2} RIGHT ) + LEFT | k`sin ^{2} LEFT ( n pi x RIGHT ) - LEFT ( k-1 RIGHT ) RIGHT | `]이 만나는 서로 다른 점의 개수와 같다. (나) [eqn: n`]이 홀수이면 [eqn: a _{n} `]은 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2`]에서 직선 [eqn: y= {k+1} over {n} `]과 곡선 [eqn: y=2sin LEFT ( n pi x+ {pi } over {2} RIGHT ) + LEFT | k`sin ^{2} LEFT ( n pi x RIGHT ) - LEFT ( k-1 RIGHT ) RIGHT | `]이 만나는 서로 다른 점의 개수와 같다.

[eqn: 0<a _{2} <6`]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{n} `]의 값을 구하시오.

[2203교-고3-15]

④ [eqn: {5 sqrt {3}} over {7}]

[출제의도] 코사인법칙과 사인법칙을 이용하여 각의 사인값을 추론한다.

삼각형 [eqn: rmABD`]와 삼각형 [eqn: rm BCD`]에서 코사인법칙을 이용하여 선분 [eqn: rm CD`]의 길이를 구하자.

삼각형 [eqn: rmABD`]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rmBD}} ^{2}][eqn: =3 ^{2} +2 ^{2} -2 TIMES 3 TIMES 2 TIMES rm cos` {pi } over {3}][eqn: =7]

이므로 [eqn: rm {bar{BD}} = sqrt {7}]이다.

[eqn: rm angle BAD + angle BCD = pi`]이므로 삼각형 [eqn: rmBCD`]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: 2 ^{2} +{bar{rmCD}} ^{2} -2times2times{bar{rmCD}}times{cos` {2pi} over {3}][eqn: =7]

이므로 [eqn: {bar{rm CD}} =box{~1~}`]이다.

삼각형 [eqn: rm EAB`]와 삼각형 [eqn: rm ECD`]에서 [eqn: rm ANGLE AEB`]는 공통이고 [eqn: rm ANGLE EAB][eqn: = rm ANGLE ECD`]이므로 삼각형 [eqn: rm EAB`]와 삼각형 [eqn: rm ECD`]는 닮음이다. 따라서 [eqn: {{bar{rm EA}}} over {{bar{rm EC}}}][eqn: = {{bar{rm EB}}} over {{bar{rm ED}}}][eqn: = {{bar{rm AB}}} over {{bar{rm CD}}} `]이다. 즉,

[eqn: {3+ {bar{rm ED}}} over {{bar{rm EC}}} = {2+ {bar{rm EC}}} over {{bar{rm ED}}} = {2} over {1}]

에서 [eqn: {bar{rm ED}} = {BOX{~ {7} over {3} ~}} `]이다.

[eqn: rmangleDCE][eqn: =pi-rmangleBCD][eqn: =rmangleBAD][eqn: = {pi} over {3}]

이므로 삼각형 [eqn: rm ECD`]에서 사인법칙을 이용하면

[eqn: {{7} over {3}} over {sin` {pi } over {3}} = {1} over {sin` theta } `]

에서 [eqn: sin`theta][eqn: = {BOX{~ {3 sqrt {3}} over {14} ~}} `]이다.

[eqn: p=1], [eqn: q= {7} over {3}], [eqn: r= {3 sqrt {3}} over {14} `]이므로

[eqn: LEFT ( p+q RIGHT ) times{r][eqn: = LEFT ( 1+ {7} over {3} RIGHT ) times {3 sqrt {3}} over {14}][eqn: = {5 sqrt {3}} over {7}]

그림과 같이 원에 내접하는 사각형 [eqn: rmABCD`]에 대하여

[eqn: rm {bar{AB}} = {bar{BC}} =2],  [eqn: rm {bar{AD}} =3],  [eqn: rm ANGLE BAD= {pi } over {3} `]

이다. 두 직선 [eqn: rmAD], [eqn: rm BC`]의 교점을 [eqn: rm E`]라 하자.

다음은 [eqn: rm angleAEB= theta `]일 때, [eqn: sin`theta`]의 값을 구하는 과정이다.

삼각형 [eqn: rmABD`]와 삼각형 [eqn: rm BCD`]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: rm {bar{CD}} = {BOX{~ ^{`} (가) ^{`} ~}} `]

이다. 삼각형 [eqn: rm EAB`]와 삼각형 [eqn: rm ECD`]에서

[eqn: rm ANGLE AEB`]는 공통, [eqn: rm ANGLE EAB][eqn: = rm ANGLE ECD`]

이므로 삼각형 [eqn: rm EAB`]와 삼각형 [eqn: rm ECD`]는 닮음이다.

이를 이용하면

[eqn: rm {bar{ED}} = {BOX{~ ^{`} (나) ^{`} ~}} `]

이다. 삼각형 [eqn: rm ECD`]에서 사인법칙을 이용하면

[eqn: sin`theta][eqn: = {BOX{~ ^{`} (다) ^{`} ~}} `]

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r`]라 할 때, [eqn: LEFT ( p+q RIGHT ) times{r`]의 값은?

① [eqn: {sqrt {3}} over {2}]	② [eqn: {4 sqrt {3}} over {7}]	③ [eqn: {9 sqrt {3}} over {14}]

④ [eqn: {5 sqrt {3}} over {7}]	⑤ [eqn: {11 sqrt {3}} over {14}]

[2204교-고3-11]

③ [eqn: 7pi]

[출제의도] 삼각함수의 뜻과 그래프 이해하기

함수 [eqn: y=sin`kx]의 주기는 [eqn: {2 pi } over {k}]

[eqn: 0 LEQ x<2pi]일 때, 방정식 [eqn: sin`kx= {1} over {3}]의

서로 다른 실근의 개수는

[eqn: 0 LEQ x<2pi]에서 곡선 [eqn: y=sin`kx]와 직선 [eqn: y= {1} over {3}]이

만나는 점의 개수와 같다.

[eqn: 1 LEQ l LEQ k]인 자연수 [eqn: l]에 대하여

[eqn: {2 LEFT ( l-1 RIGHT )} over {k} pi LEQ x< {2l} over {k} pi]에서 곡선 [eqn: y=sin`kx]와

직선 [eqn: y= {1} over {3}]이 만나는 점의 개수는 [eqn: 2]이고

[eqn: 0 LEQ x<2pi]에서 곡선 [eqn: y=sin`kx]와 직선 [eqn: y= {1} over {3}]이

만나는 점의 개수가 [eqn: 8]이므로

[eqn: 2k=8]에서 [eqn: k=4]

[eqn: 0 LEQ x<2pi]일 때, 방정식 [eqn: sin`4x= {1} over {3}]의 서로 다른

실근을 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을

[eqn: alpha _{1}], [eqn: alpha _{2}], [eqn: alpha _{3}], [eqn: CDOTS] , [eqn: alpha _{8}]이라 하자.

함수 [eqn: y=sin`4x]의 주기는 [eqn: {pi} over {2}]이므로

[eqn: alpha _{2} = {pi} over {4} -alpha _{1}], [eqn: alpha _{3} = {pi } over {2} + alpha _{1}], [eqn: alpha _{4} = {3} over {4} pi - alpha _{1}],

[eqn: alpha _{5} = pi + alpha _{1}], [eqn: alpha _{6} = {5} over {4} pi - alpha _{1}], [eqn: alpha _{7} = {3} over {2} pi + alpha _{1}],

[eqn: alpha _{8} = {7} over {4} pi - alpha _{1}]

따라서 구하는 모든 해의 합은 [eqn: 7 pi]

<참고>

[eqn: y= {1} over {3}]

[eqn: y]

[eqn: y=sin`4x]

[eqn: x]

[eqn: alpha _{5}]

[eqn: alpha _{7}]

[eqn: rmO]

[eqn: alpha _{1}]

[eqn: alpha _{3}]

[eqn: alpha _{6}]

[eqn: alpha _{8}]

[eqn: alpha _{2}]

[eqn: alpha _{4}]

[eqn: 2pi]

[eqn: pi]

[eqn: {pi} over {2}]

[eqn: {3} over {2} pi]

자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 0 LEQ x<2 pi]일 때, [eqn: x]에 대한 방정식
[eqn: sin`kx= {1} over {3}]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 8]이다.
[eqn: 0 leqx <2pi]일 때, [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: sin`kx= {1} over {3}]의 모든 해의 합은?

① [eqn: 5pi]	② [eqn: 6pi]	③ [eqn: 7pi]	④ [eqn: 8pi]	⑤ [eqn: 9pi]

[2204교-고3-15]

⑤ [eqn: {45} over {2}]

[출제의도] 삼각함수를 이용하여 추론하기

[eqn: {bar{rm AB}} = {bar{rm AD}} =itk]라 할 때

두 삼각형 [eqn: rmABC], [eqn: rmACD]에서 각각 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos LEFT ( ANGLE rm ACB RIGHT )][eqn: = {10 ^{2} + {bar{rm BC}} ^{2} - it k ^{2}} over {2 TIMES 10 TIMES {bar{rm BC}}}]
[eqn: = {1} over {20} LEFT ( {bar{rm BC}} + {{BOX{````100- it k ^{2} ```` _{`}^{`}}}} over {{bar{rm BC}}} RIGHT )],

[eqn: cos LEFT (ANGLE rm DCA RIGHT )][eqn: = {10 ^{2} + {bar{rm CD}} ^{2} -itk ^{2}} over {2 TIMES 10 TIMES {bar{rm CD}}}]
[eqn: = {1} over {20} LEFT ( {bar{rm CD}} + {{BOX{````100- it k ^{2} ```` _{`}^{`}}}} over {{bar{rm CD}}} RIGHT )]

이다.

이때 두 호 [eqn: rm AB], [eqn: rm AD]에 대한 원주각의 크기가

같으므로 [eqn: cos LEFT ( ANGLE rm ACB RIGHT ) =cos LEFT ( ANGLE rm DCA RIGHT )]이다.

[eqn: {1} over {20} LEFT ( {bar{rm BC}} + {100- it k ^{2} } over {{bar{rm BC}}} RIGHT ) = {1} over {20} LEFT ( {bar{rm CD }} + {100- it k ^{2} } over {{bar{rm CD}}} RIGHT )]

[eqn: {bar{rm BC}} - {bar{rm CD}}][eqn: = LEFT ( 100-k ^{2} RIGHT ) TIMES LEFT ( {1} over {{bar{rm CD}}} - {1} over {{bar{rm BC}}} RIGHT )]

[eqn: {bar{rm BC it}} - {bar{rm CD}} = LEFT ( 100- it k ^{2} RIGHT ) TIMES {{bar{rm BC it}} - {bar{rm CD it}}} over {{bar{rm BC it}} TIMES {bar{rm CD it}}}]

[eqn: {bar{rm AC}} =10<2 it R]이므로 [eqn: {bar{rm BC}} != {bar{rm CD}}]

그러므로 [eqn: {bar{rm BC}} TIMES {bar{rm CD}} =100- it k ^{2}]

사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는

두 삼각형 [eqn: rmABD], [eqn: rmBCD]의 넓이의 합과 같으므로

[eqn: {1} over {2} k ^{2} sin LEFT ( ANGLE rm BAD RIGHT ) + {1} over {2} TIMES {bar{rm BC}} TIMES {bar{rm CD}} TIMES sin LEFT ( pi - ANGLE rm BAD RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { k ^{2} + LEFT ( 100-k ^{2} RIGHT ) RIGHT } sin LEFT ( ANGLE rm BAD RIGHT )]

[eqn: =50`sin LEFT ( ANGLE rm BAD RIGHT ) =40]

에서 [eqn: sin LEFT ( ANGLE rm BAD RIGHT ) = {BOX{```` {4} over {5} ```` _{`}^{`}}}]이다.

삼각형 [eqn: rmABD]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {{bar{rmBD}}} over {sin LEFT ( ANGLE rm BAD RIGHT )} =2itR]에서 [eqn: {bar{rm BD}} = {8} over {5} it R]이므로

[eqn: {bar{rm BD}} `it: it R= {BOX{```` {8} over {5} ```` _{`}^{`}}} `:1]

따라서 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =100-k ^{2}], [eqn: p= {4} over {5}], [eqn: q= {8} over {5}]이므로

[eqn: {f LEFT ( 10p RIGHT )} over {q} = LEFT ( 100-8 ^{2} RIGHT ) times {5} over {8} = {45} over {2}]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: R`]([eqn: 5<R<5 sqrt {5}])인 원에
내접하는 사각형 [eqn: rmABCD]가 다음 조건을 만족시킨다.

◦ [eqn: {bar{rm AB}} = {bar{rm AD}}]이고 [eqn: {bar{rm AC}} =10]이다.

◦ 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는 [eqn: 40]이다.

[eqn: \B]

[eqn: \D]

[eqn: \A]

[eqn: \C]

다음은 선분 [eqn: rmBD]의 길이와 [eqn: R]의 비를 구하는 과정이다.

[eqn: {bar{rm AB}} = {bar{rm AD}} =itk]라 할 때

두 삼각형 [eqn: rmABC], [eqn: rm ACD]에서 각각 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos LEFT ( ANGLE rm ACB RIGHT ) = {1} over {20} LEFT ( {bar{rm BC it}} + {{BOX{```````(가)``````` _{`}^{`}}}} over {{bar{rm BC it}}} RIGHT )],

[eqn: cos LEFT ( ANGLE rm DCA RIGHT ) = {1} over {20} LEFT ( {bar{rm CD it}} + {{BOX{```````(가)``````` _{`}^{`}}}} over {{bar{rm CD it}}} RIGHT )]

이다.

이때 두 호 [eqn: rmAB], [eqn: rmAD]에 대한 원주각의 크기가 같으므로

[eqn: cos LEFT ( ANGLE rm ACB RIGHT ) =cos LEFT ( ANGLE rm DCA RIGHT )]이다.

사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는

두 삼각형 [eqn: rmABD], [eqn: rmBCD]의 넓이의 합과 같으므로

[eqn: {1} over {2} k ^{2} sin LEFT ( ANGLE rm BAD RIGHT ) + {1} over {2} TIMES {bar{rm BC}} TIMES {bar{rm CD}} TIMES `sin LEFT ( it pi - ANGLE rm BAD RIGHT ) =40]

에서 [eqn: sin LEFT ( ANGLE rm BAD RIGHT ) = {{BOX{```````(나)``````` _{`}^{`}}}}]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rmABD]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rm BD it}} `it :R= {BOX{```````(다)``````` _{`}^{`}}} `:1]이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )]라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q]라 할 때, [eqn: {f LEFT ( 10p RIGHT )} over {q}]의 값은?

① [eqn: {25} over {2}]	② [eqn: 15]	③ [eqn: {35} over {2}]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: {45} over {2}]

[2206평-고3-10]

③ [eqn: {4 sqrt {10}} over {5}]

[출제의도] 코사인법칙을 이용하여 변의 길이를 구할 수 있는가?

[eqn: ANGLE rm BAC][eqn: = theta], [eqn: {bar{rm AC}}][eqn: =a]라 하면 삼각형 [eqn: rm triangleABC]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rm BC}} ^{2}][eqn: = {bar{rm AB}} ^{2} + {bar{rm AC}} ^{2} -2 TIMES {bar{rm AB}} TIMES {bar{rm AC}} TIMES cos` theta]

즉,

[eqn: 2 ^{2} =3 ^{2} +a ^{2} -2 TIMES 3 TIMES a TIMES {7} over {8}]

[eqn: a ^{2} - {21} over {4} a+5][eqn: =0]

[eqn: 4a ^{2} -21a+20][eqn: =0]

[eqn: LEFT ( 4a-5 RIGHT ) LEFT ( a-4 RIGHT )][eqn: =0]

따라서 조건에서 [eqn: a>3]이므로 [eqn: a][eqn: =4]

같은 방법으로 삼각형 [eqn: rmABM]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rm MB}} ^{2}][eqn: = {bar{rm AB}} ^{2} + {bar{rm AM}} ^{2} -2 TIMES {bar{rm AB}} TIMES {bar{rm AM}} TIMES cos` theta]

[eqn: =3 ^{2} +2 ^{2} -2 TIMES 3 TIMES 2 TIMES {7} over {8}]

[eqn: = {5} over {2}]

이므로

[eqn: {bar{rm MB}}][eqn: = sqrt {{5} over {2}}][eqn: = {sqrt {10}} over {2}]

이때 두 삼각형 [eqn: rmABM], [eqn: rmDCM]은 서로 닮은 도형이므로

[eqn: {bar{rm MA}} TIMES {bar{rm MC}}][eqn: = {bar{rm MB}} TIMES {bar{rm MD}}]

에서

[eqn: 2 times 2][eqn: = {sqrt {10}} over {2} TIMES {bar{rm MD}}]

따라서

[eqn: {bar{rm MD}}][eqn: = {8} over {sqrt {10}}][eqn: = {4sqrt10} over {5}]

그림과 같이 [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =3], [eqn: {bar{rm BC}}][eqn: = it 2], [eqn: {bar{rm AC}}][eqn: >3]이고 [eqn: cos` LEFT ( ANGLE rm BAC RIGHT )][eqn: = {7} over {8}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmAC]의 중점을 [eqn: rmM], 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원이 직선 [eqn: rmBM]과 만나는 점 중 [eqn: rmB]가 아닌 점을 [eqn: rmD]라 할 때, 선분 [eqn: rmMD]의 길이는?

① [eqn: {3 sqrt {10}} over {5}]	② [eqn: {7 sqrt {10}} over {10}]	③ [eqn: {4 sqrt {10}} over {5}]

④ [eqn: {9 sqrt {10}} over {10}]	⑤ [eqn: root10]

[2207교-고3-10]

③ [eqn: {3} over {2}]

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 활용하여 문제 해결하기

세 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`]의 [eqn: x`]좌표를 각각
[eqn: x _{1} `][eqn: LEFT ( 0<x _{1} <1 RIGHT )], [eqn: x _{2} `], [eqn: x _{3} `]이라 하면

삼각함수 [eqn: y=sin {pi } over {2} x`]의 주기가 [eqn: 4`]이므로

[eqn: x _{2} =2-x _{1} `], [eqn: x _{3} =x _{1} +4`]

[eqn: x _{1} +x _{2} +x _{3}][eqn: =x _{1} + LEFT ( 2-x _{1} RIGHT ) + LEFT ( x _{1} +4 RIGHT ) `]
[eqn: =x _{1} +6][eqn: = {25} over {4} `]

[eqn: x _{1} = {1} over {4} `], [eqn: x _{2} =2-x _{1} = {7} over {4} `]

따라서 [eqn: {bar{rm AB}} = it x _{2} -x _{1} = {3} over {2} `]

곡선 [eqn: y=sin {pi} over {2} x`][eqn: LEFT ( 0 LEQx LEQ5 RIGHT ) `]가 직선 [eqn: y=k`][eqn: LEFT ( 0< k<1 RIGHT ) `]과 만나는 서로 다른 세 점을 [eqn: y`]축에서 가까운 순서대로
[eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rmC`]라 하자. 세 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rmC`]의 [eqn: x`]좌표의 합이 [eqn: {25} over {4} `]일 때, 선분 [eqn: rmAB`]의 길이는?

	①	[eqn: {5} over {4}]	②	[eqn: {11} over {8}]	③	[eqn: {3} over {2}]	④	[eqn: {13} over {8}]	⑤	[eqn: {7} over {4}]

[eqn: rmO]

[eqn: rmA]

[eqn: y=k]

[eqn: y=sin {pi} over {2} x]

[eqn: y]

[eqn: rmC]

[eqn: rmB]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: 5]

[eqn: -1]

[2207교-고3-14]

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출제의도] 코사인법칙을 활용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: ANGLE rm BCA= {pi} over {2} `]이므로
[eqn: cos LEFT ( ANGLE rm CBA RIGHT ) = {{bar{BC}}} over {{bar{AB}}} = {3} over {7} `]
[eqn: sin LEFT ( ANGLE rm CBA RIGHT ) = sqrt {1- LEFT ( {3} over {7} RIGHT ) ^{2}} = {2 sqrt {10}} over {7} `] (참)

ㄴ. [eqn: ANGLE rmCBA=theta`][eqn: LEFT ( 0< theta < {pi} over {2} RIGHT ) `]라 하면
[eqn: ANGLE rm ADC= pi - theta `]
[eqn: {bar{rm AC}} = {bar{AB}} TIMES rm sin theta =14 TIMES {2 sqrt {10}} over {7} =4 sqrt {10} `]
[eqn: {bar{rm AD}} = it k`][eqn: LEFT ( k>0 RIGHT ) `]이라 하면
삼각형 [eqn: rm ACD`]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: LEFT ( 4 sqrt {10} RIGHT ) ^{2}][eqn: =k ^{2} +7 ^{2} -2 TIMES k TIMES 7 TIMES rm cos LEFT ( pi - theta RIGHT ) `]
[eqn: =k ^{2} +49+14k`cos theta `]
[eqn: =k ^{2} +6k+49`]

[eqn: k ^{2} +6k-111=0`]이므로
[eqn: {bar{rmAD}} = it -3+ sqrt {9+111} = it -3+2 sqrt {30} `] (참)

ㄷ. 삼각형 [eqn: rm ACD`]의 넓이가 최대일 때 사각형
[eqn: rm ABCD`]의 넓이가 최대이므로 점 [eqn: rm D`]는 선분
[eqn: rm AC`]의 수직이등분선이 호 [eqn: rm AC`]와 만나는 점이다.
그러므로 [eqn: rm {bar{AD}} = {bar{CD}} `]
[eqn: rm {bar{AD}} = it x`][eqn: LEFT ( x>0 RIGHT ) `]이라 하면
삼각형 [eqn: rm ACD`]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: LEFT ( 4 sqrt {10} RIGHT ) ^{2}][eqn: = x ^{`2} +x ^{2} -2 TIMES x TIMES x TIMES rm cos LEFT ( pi - theta RIGHT )`]
[eqn: =2x ^{2} +2x ^{2} TIMES {3} over {7} = {20} over {7} x ^{2}`]

[eqn: x ^{2} =56`]이므로 [eqn: {bar{rm AD}} =2 sqrt {14} `]
사각형 [eqn: rm ABCD`]의 넓이의 최댓값은
[eqn: rm {1} over {2} TIMES {bar{AD}} TIMES {bar{CD}} TIMES rm sin LEFT ( pi - theta RIGHT ) `][eqn: + {1} over {2} TIMES {bar{rm AC}} TIMES {bar{rm BC}} `]
[eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( 2 sqrt {14} RIGHT ) ^{2} TIMES {2 sqrt {10}} over {7} `][eqn: + {1} over {2} TIMES 4 sqrt {10} TIMES 6][eqn: =8 sqrt {10} +12 sqrt {10} =20 sqrt {10} `] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

길이가 [eqn: 14`]인 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: rm AB`]
위에 점 [eqn: rm C`]를 [eqn: rm {bar{BC}} =6`]이 되도록 잡는다. 점 [eqn: rm D`]가 호 [eqn: rm AC] 위의 점일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 점 [eqn: rm D`]는 점 [eqn: rm A`]와 점 [eqn: rm C`]가 아닌 점이다.)

			<보 기>
	ㄱ.	[eqn: sin LEFT ( ANGLE rm CBA RIGHT ) = {2 sqrt {10}} over {7} `]
	ㄴ.	[eqn: {bar{rm CD}} =7`]일 때, [eqn: rm {bar{AD}} = it -3+2 sqrt {30} ``]
	ㄷ.	사각형 [eqn: rm ABCD`]의 넓이의 최댓값은 [eqn: 20 sqrt {10} `]이다.

	①	ㄱ	②	ㄱ, ㄴ	③	ㄱ, ㄷ
	④	ㄴ, ㄷ	⑤	ㄱ, ㄴ, ㄷ

[2207사관-고3-13]

④ [eqn: 144`]

(가)[eqn: =r `], (나)[eqn: =r-2 `], (다)[eqn: = {r^2 -4} over { (r-2)^2 } +4 ``]

그림과 같이 중심이 [eqn: o_1 `]이고 반지름의 길이가 [eqn: r`(r>3)`]인 원 [eqn: C_1 `]과 중심이 [eqn: O_2 `]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1``]인 원 [eqn: C_2 `]에 대하여 [eqn: bar{ O_1 O_2 ``} =2``]이다. 원 [eqn: C_1 `]위를 움직이는 점 [eqn: A`]에 대하여 직선 [eqn: AO_2 `]가 원 [eqn: C_1 `]과 만나는 점 중 [eqn: A`]가 아닌 점을 [eqn: B`]라 하자. 원 [eqn: C_2 `]위를 움직이는 점 [eqn: C`]에 대하여 직선 [eqn: AC``]가 원 [eqn: C_1 `]과 만나는 점 중 [eqn: A`]가 아닌 점을 [eqn: D``]라 하자. 다음은 [eqn: bar{BD``} `]가 최대가 되도록 네 점 [eqn: A,```B,```C,```D``]를 정할 때, [eqn: bar{ O_1 C``}`^2 ``]을 [eqn: r`]에 관한 식으로 나타내는 과정이다.

삼각형 [eqn: ADB``]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: bar{ BD``} over {sin A} = (가) `]

이므로 [eqn: bar{BD``}``]가 최대이려면 직선 [eqn: AD``]가 원 [eqn: C_2 `]와 점 [eqn: C``]에서 접해야 한다.

이때 직각삼각형 [eqn: ACO_2 `]에서 [eqn: sin A `=` 1 over{ bar{ AO_2 ``}} `]이므로

[eqn: bar{ BD``}`=` 1 over {bar{AO_2``}} times (가)`]

이다.

그러므로 직선 [eqn: AD``]가 원 [eqn: C_2 ``]와 점 [eqn: C``]에서 접하고 [eqn: bar{AO_2 ``}`]가 최소일 때, [eqn: bar{ BD``}``]는 최대이다.

[eqn: bar{AO_2 ``}`]의 최솟값은 [eqn: (나)`]이므로

[eqn: bar{ BD``}``]가 최대일 때, [eqn: bar{ O_1 C``}`^2 `=` (다)`]

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(r), ```g(r),```h(r)``]라 할 때, [eqn: f(4)timesg(5)timesh(6)``]의 값은?

① [eqn: 216`]	② [eqn: 192`]	③ [eqn: 168`]	④ [eqn: 144`]	⑤ [eqn: 120`]

[2207사관-고3-15]

⑤ [eqn: 19`]

주기가 [eqn: pi`]가 되려면 [eqn: b=4 ``] 또는 [eqn: b=2 ``]여야만 함.

ⅰ) [eqn: b=2 `]이면 [eqn: f(x)= ` vert` 2a cos 2x `vert``]이므로 [eqn: y= 2a-1`]과 교점이 4개가 생기려면 [eqn: 2a-1>0`]이면 된다. 따라서 만족하는 자연수 [eqn: a`]의 개수는 [eqn: 10`]개

ⅱ) [eqn: b=4 ``]이면 [eqn: f(x)= ` vert`` 2a cos 2x - 2(a-2)``vert``]이므로 [eqn: y=2a-1`]과 교점이 4개 생기려면 [eqn: a!=2 `]이면 된다. 이를 만족하는 자연수 [eqn: a`]의 개수는 [eqn: 9`]개

따라서 모든 순서쌍의 개수는 [eqn: 19`]개

함수

[eqn: f(x)= ` left vert 2a cos b over2 x -(a-2)(b-2) `` right vert ``]

가 다음 조건을 만족시키도록 하는 [eqn: 10`]이하의 자연수 [eqn: a,```b`]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b)``]의 개수는?

가) 함수 [eqn: f(x)`]는 주기가 [eqn: pi`]인 주기함수이다.

나) [eqn: 0<=x<=2pi ``]에서 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프와

직선 [eqn: y=2a-1 ``]의 교점의 개수는 [eqn: 4``]이다.

① [eqn: 11`]	② [eqn: 13`]	③ [eqn: 15`]	④ [eqn: 17`]	⑤ [eqn: 19`]

[2207경찰-고3-06]

③ [eqn: 24`]

[eqn: a-b=2k-1`]꼴

ⅰ) [eqn: a= +-3 `]일 때, [eqn: b`]의 개수는 [eqn: 3`]개

ⅱ) [eqn: a= +-2 `]일 때, [eqn: b`]의 개수는 [eqn: 4`]개

ⅲ) [eqn: a= +- 1 `]일 때, [eqn: b`]의 개수는 [eqn: 3`]개

ⅳ) [eqn: a=0`]일 때, [eqn: b`]의 개수는 [eqn: 4`]개

따라서 [eqn: 4+ 2 times(3+4+3)=24`]

두 정수 [eqn: a`,````b`]에 대하여

[eqn: a^2 +b^2 <=13 `,````cos { (a-b)pi} over2 =0``]

을 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: (a`,````b`)]의 개수는?

① [eqn: 16`]	② [eqn: 20`]	③ [eqn: 24`]	④ [eqn: 28`]	⑤ [eqn: 32`]

[2207경찰-고3-17]

① [eqn: 12`]

[eqn: f(x)``]의 주기는 [eqn: 2 overa ``]이고 [eqn: 2b-1<=f(x)=2^k ` <=2b+1`]

ⅰ) [eqn: b=1`]이면 [eqn: f(x)=1 ```or ```2 ``]

[eqn: 5 overa <=1 < 6 overa`]이어야 하므로 [eqn: a=5`]

ⅱ) [eqn: b!=1`]이면 [eqn: f(x)= 2b`]이므로 [eqn: sin (a pix)=0``]

[eqn: 7 overa <=1`< 8 overa `]이어야 하므로 [eqn: a=7`]

따라서 모든 [eqn: a`] 값의 합은 [eqn: 12`]

두 자연수 [eqn: a,```b`]에 대하여 함수

[eqn: f(x)= sin (a pi x )+2b ~(0<=x<=1)`]

이 있다. 집합 [eqn: left{ ``x`` vert `` log `_2 `f(x)`]는 정수[eqn: `right}``]의 원소의 개수가 [eqn: 8`]이 되도록 하는 서로 다른 모든 [eqn: a``]의 값의 합은?

① [eqn: 12`]	② [eqn: 15`]	③ [eqn: 18`]	④ [eqn: 21`]	⑤ [eqn: 24`]

[2207경찰-고3-20]

② [eqn: {4root5} over5 `]

접선의 기울기가 [eqn: 8`]인 점 [eqn: A`]는 [eqn: (2,```4)`]

점 [eqn: X``]를 지나며 직선 [eqn: OA`]와 평행한 직선 [eqn: l``]에 내린 수선의 발을 [eqn: H``]라 하면 [eqn: bar{BX``} sin theta `= bar {BH``}``]

[eqn: bar{BH``}`]가 최대가 되려면 직선 [eqn: l``]이 원에 접해야 함.

[eqn: bar{BH``}`]의 최댓값은 [eqn: 2 overroot5 +r= 6 over root5 `]이므로 [eqn: r= { 4root5}over 5]

곡선 [eqn: y=x^3 -x^2 ``]위의 제[eqn: 1`]사분면에 있는 점 [eqn: A``]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 8`]이다. 점 [eqn: (0,```2)`]를 중심으로 하는 원 [eqn: S`]가 있다. 두 점 [eqn: B`(0,```4)`]와 원 [eqn: S`]위의 점 [eqn: X`]에 대하여 두 직선 [eqn: OA`]와 [eqn: BX`]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta``]라 할 때, [eqn: bar{BX``} sin theta ``]의 최댓값이 [eqn: {6root5} over5`]가 되도록 하는 원 [eqn: S`]의 반지름의 길이는?

① [eqn: {3root5} over4 `]	② [eqn: {4root5} over5 `]	③ [eqn: {17root5} over20 `]

④ [eqn: {9root5} over10 `]	⑤ [eqn: {19root5} over20 `]

[2207경찰-고3-24]

[eqn: 14`]

[eqn: cos x = t`]로 치환하면 준식은

[eqn: at^3 -(a-4)t -4 <=0`]

인수분해하면 [eqn: (t-1)( at^2 +at+4)<=0`]

[eqn: t-1<=0`]이므로 [eqn: at^2 +at+4>=0`]

ⅰ) [eqn: a>0`]이면 [eqn: 4- a over4 >=0`]이므로 [eqn: 0<a<=16`]

ⅱ) [eqn: a=0`]이면 성립

ⅲ) [eqn: a<0`]이면 [eqn: f(1)= 2a+4>=0`]이므로 [eqn: -2<=a<0`]

따라서 [eqn: -2<=a<=16`]이고 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 14`]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식

[eqn: left( a sin^2 x - 4 right) cos x +4 >=0`]

을 만족시키는 실수 [eqn: a``]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

[2207경찰-고3-25]

[eqn: 34`]

[eqn: alpha = 6 times2root3 + 2 times left( 1 over2 cdot 4 cdot 2 over3 pi - 1 over2 cdot 2root3 cdot 1 right)`]

[eqn: = 8 over3 pi + 10 root3 ``]

[eqn: beta= root3 over6 cdot 2^3 = 4 over3 root3 ``]

[eqn: alpha - beta = { 8 pi + 26root3 } over3 ``]이므로 [eqn: p+q=8+26=34`]

세 집합 [eqn: A,```B,```C`]는

[eqn: A= left{ ``(2+2cos theta ,``` 2+ 2 sin theta ) ``vert `` - pi over 3 <= theta <= pi over 3 right}``]

[eqn: B= left{ ``(-2+2cos theta , ```2+ 2 sin theta ) ``vert `` 2pi over 3 <= theta <= 4pi over 3 right}``]

[eqn: C= left{ ``(a,```b ) ``vert `` -3<=a<=3 `,````b= 2+- root3 right}``]

이다. 좌표평면에서 집합 [eqn: A `CUP `B `CUP` C``]의 모든 원소가 나타내는 도형을 [eqn: X``]라 하고, 도형 [eqn: X``]와 곡선 [eqn: y= - root3 x^2 +2 ``]가 만나는 점의 [eqn: y`]좌표를 [eqn: c`]라 하자. 집합 [eqn: X``]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: a`], 곡선 [eqn: y= - root3 x^2 +2 ``]와 직선 [eqn: y=c`]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: beta`]라 하자. [eqn: alpha-beta = { p pi +q root3 } over 3 ``]일 때, [eqn: p+q``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,```q`]는 정수이다.)

[2209평-고3-09]

③ [eqn: 4`]

[eqn: f(x)`]가 [eqn: x=6`] 대칭이므로 [eqn: alpha_1 =2 `,```alpha_2 =10``]이고 [eqn: k= 1 over2 `]

[eqn: g(x)= k = 1 over 2 `]을 정리하면 [eqn: cos pi over6 x = - 1 over2 `]

이를 만족하는 [eqn: beta_1 = 4 `], [eqn: beta_2 = 8`]

따라서 [eqn: vert `beta_1 - beta_2 ` vert `=4]

닫힌구간 [eqn: [0,```12]`]에서 정의된 두 함수

[eqn: f(x)= cos pix over6 ,``` g(x)= -3 cos pix over6 -1 `]

이 있다. 곡선 [eqn: y=f`(x)`]와 직선 [eqn: y=k`]가 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: alpha_1 ,```alpha_2 `]라 할 때, [eqn: vert `alpha_1 - alpha_2 ` vert `=8``]이다. 곡선 [eqn: y=g(x)`]와 직선 [eqn: y=k`]가 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: beta_1 ,```beta_2 `]라 할 때, [eqn: vert `beta_1 - beta_2 ` vert `]의 값은? (단, [eqn: k`]는 [eqn: -1<k<1`]인 상수이다.)

① [eqn: 3`]	② [eqn: 7 over2 `]	③ [eqn: 4`]	④ [eqn: 9 over2 `]	⑤ [eqn: 5`]

[2209평-고3-13]

⑤ [eqn: 20root2 `]

[eqn: TRIANGLE CED``]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: bar{CD``}^2 = 16+18-24root2 cdot 1 over root2 =10`]

[eqn: bar{CD``}= root10 `]

반지름을 [eqn: r`]이라 하고 [eqn: TRIANGLE OED``]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: (r-4)^2 +18-r^2 = 6root2 (r-4)cdot left( - 1 over root2 right)``]

정리하면 [eqn: r=5`]

중심 [eqn: O`]에 대한 점 [eqn: C`]의 대칭점을 [eqn: C``' `]라하고 할선정리를 활용하면

[eqn: bar{CE``} cdot bar{ EC``' } = bar{AE``} cdot bar{ ED``}`]

[eqn: bar{AE``} cdot 3root2 = 4 times 6``]

[eqn: bar{AE``}= 4root2 `]

마지막으로 [eqn: TRIANGLE AEC``]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: bar{AC``} `^2 = 32+16-32root2 cdot left( - 1 over root2 right) ``]

[eqn: bar{AC``} = 4root5 `]

따라서 [eqn: bar{AC``} times bar{CD``}``= 4root5 times root10 = 20root2 `]

그림과 같이 선분 [eqn: AB``]를 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: AB``]위에 두 점 [eqn: C`,```D`]가 있다. 선분 [eqn: AB``]의 중점 [eqn: O``]에 대하여 두 선분 [eqn: AD`,```CO``]가 점 [eqn: E``]에서 만나고,

[eqn: bar{CE``}=4,```bar{ED``}= 3root2 ,``` angleCEA= 3 over4 pi ``]

이다. [eqn: bar{AC``} times bar{CD``}``]의 값은?

① [eqn: 6root10 `]	② [eqn: 10root5 `]	③ [eqn: 16root2 `]

④ [eqn: 12root5 `]	⑤ [eqn: 20root2 `]

빠른 정답

① [eqn: {5} over {2}]

③ [eqn: {4} over {3}]

④ [eqn: 18]

① [eqn: 8 sqrt {3}]

② [eqn: 27]

[eqn: p+q=11]

[eqn: 59`]

⑤ [eqn: {4 sqrt {6}} over {3}]

① [eqn: {sqrt {3}} over {3}]

② [eqn: 2 pi]

② [eqn: {8} over {3}]

[eqn: 53]

④ [eqn: {5 sqrt {3}} over {7}]

③ [eqn: 7pi]

⑤ [eqn: {45} over {2}]

③ [eqn: {4 sqrt {10}} over {5}]

③ [eqn: {3} over {2}]

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

④ [eqn: 144`]

⑤ [eqn: 19`]

③ [eqn: 24`]

① [eqn: 12`]

② [eqn: {4root5} over5 `]

[eqn: 14`]

[eqn: 34`]

③ [eqn: 4`]

⑤ [eqn: 20root2 `]