용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용

용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용문아수학방용

수학 Ⅱ (고2)	내신대비 모의고사	범위 : 미분-적분
		시험시간 : 50분
총 20문항 : 객관식 14, 주관식 6
		이름 :

Du kannst, denn Du sollst !	| |	용문아 수학교실

[객관식]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -6x ^{2} -15x+3]가 감소하는 구간은?

③

[eqn: f(x)=x ^{3} -6x ^{2} -15x+3]에서

[eqn: f` prime (x)=3x ^{2} -12x-15=3(x+1)(x-5)]

이때 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) le 0]인 구간에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 감소하므로

[eqn: 3(x+1)(x-5) LEQ 0]

[eqn: THEREFORE ~-1 LEQ x LEQ 5]

① [eqn: ( ` inf `,` -1 ]]	② [eqn: [-1`,`3]]	③ [eqn: [-1`,`5]]

④ [eqn: [1`,`2]]	⑤ [eqn: [1`,`3]]

정적분 [eqn: int _{-1} ^{1} {} {x ^{3} -26} over {x-3} dx+ int _{1} ^{-1} {} {1} over {x-3} dx]의 값은?

①

[eqn: int _{-1} ^{1} {} {x ^{3} -26} over {x-3} dx+ int _{1} ^{-1} {} {1} over {x-3} dx]

[eqn: = int _{-1} ^{1} {} {x ^{3} -26} over {x-3} dx- int _{-1} ^{1} {} {1} over {x-3} dx]

[eqn: = int _{-1} ^{1} {} {x ^{3} -27} over {x-3} dx]

[eqn: = int _{-1} ^{1} {} {(x-3)(x ^{2} +3x+9)} over {x-3} dx]

[eqn: = int _{-1} ^{1} {} (x ^{2} +3x+9)dx]

[eqn: = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} + 3over2 x ^{2} +9x RIGHT ] _{-1}^{1}]

[eqn: = 56 over 3]

① [eqn: {56} over {3}]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 62 over 3]

④ [eqn: 64 over 3]	⑤ [eqn: 22]

다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int _{-1} ^{x} {} f(t)dt=3x ^{3} +ax ^{2} +2a]를 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은?

④

[eqn: int _{-1} ^{x} {} f(t)dt=3x ^{3} +ax ^{2} +2a]

주어진 등식의 양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: 0=-3+a+2a],  [eqn: a=1]

주어진 등식의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)=9x ^{2} +2x]

[eqn: THEREFORE ````f LEFT ( 1 RIGHT ) =11]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

[eqn: lim _{h rarrow 3} {} LEFT { {1} over {h ^{3} -27} int _{3} ^{h} {} (x ^{3} -5x+3)dx RIGHT }]의 값은?

②

[eqn: lim _{h rarrow 3} {} LEFT { {1} over {h ^{3} -27} int _{3} ^{h} {} (x ^{3} -5x+3)dx RIGHT }]

[eqn: = lim _{x rarrow 3} {} LEFT { {1} over {x ^{3} -27} int _{3} ^{x} {} f(t)dt RIGHT }]        ⇦  [eqn: f(t)=t ^{3} -5t+3]

[eqn: = lim _{x rarrow 3} {{F LEFT ( x RIGHT ) -F LEFT ( 3 RIGHT )} over {x-3} CDOT {1} over {x ^{2} +3x+9}}]   ⇦  [eqn: F`'(t)=f(t)]

[eqn: = {1} over {27} F` prime (3)= {1} over {27} f(3)= {1} over {27} TIMES 15= 5over9]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 5over9]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 31over3]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=`x ^{3} +ax ^{2} +3x-7]는 극값을 갖고, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=`x ^{3} +ax ^{2} -2ax+5]은 극값을 갖지 않도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는?

③

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=`x ^{3} +ax ^{2} +3x-7]에서 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) `=`3x ^{2} +2ax+3]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 극값을 가지려면 도함수 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]의 부호가 바뀌는 부분이 있어야 한다.

이차방정식 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) `=`0]이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로

방정식 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) `=`3x ^{2} +2ax+3`=`0]의 판별식을 [eqn: rmD _{1}]이라 하면

[eqn: {rmD _{1}} over {4} `=`ita ^{2} -9>0]

[eqn: LEFT ( a+3 RIGHT ) LEFT ( a-3 RIGHT ) >0]

[eqn: therefore~~a<{-3}] 또는 [eqn: a>3]	[eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=`x ^{3} +ax ^{2} -2ax+5]에서 [eqn: g`' LEFT ( x RIGHT ) `=`3x ^{2} +2ax-2a]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 극값을 갖지 않으려면 방정식 [eqn: g`' LEFT ( x RIGHT ) `=`0]이 중근 또는 허근을 가져야 하므로

방정식 [eqn: g`' LEFT ( x RIGHT ) `=`3x ^{2} +2ax-2a`=`0]의 판별식을 [eqn: rmD _{2}]라 하면

[eqn: {rmD _{2}} over {4} `=`ita ^{2} +6a{le0]

[eqn: a LEFT ( a+6 RIGHT ) le0]

[eqn: therefore~~-6le{a}le0]	[eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡의 공통 범위는 [eqn: -6le{a}<{-3]

따라서 정수 [eqn: a]는 [eqn: -6], [eqn: -5], [eqn: -4]이므로 개수는 [eqn: 3]개이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

아래 그림과 같이 두 삼차함수 [eqn: f(x),~g(x)]의 도함수

⑤

[eqn: h(x)=f(x)-g(x)]에서 [eqn: h'(x)=f'(x)-g'(x)]

[eqn: h'(x)=0]에서 [eqn: x=a] 또는 [eqn: x=b]

함수 [eqn: h(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: a]	[eqn: cdots]	[eqn: b]	[eqn: cdots]
[eqn: h` prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: h(x)]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

ㄱ. 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=a]에서 극댓값을 갖는다. (참)

ㄴ. [eqn: h(b)=0]일 때, 함수 [eqn: y=h(x)]의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

즉 방정식 [eqn: h(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2`]이다. (참)

ㄷ. 함수 [eqn: h(x)]는 닫힌구간 [eqn: [ alpha ,```` beta ]]에서 연속이고 열린구간 [eqn: ( alpha ,```` beta )]에서 미분 가능하므로 평균값 정리에 의하여 [eqn: {h( beta )-h( alpha )} over {beta - alpha } =h prime (gamma)]를 만족시키는 [eqn: gamma]가 열린구간 [eqn: ( alpha ,``` beta )]에서 존재한다.

열린구간 [eqn: (0,~b)]에 있는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: h'(x)<5]이므로

[eqn: {h( beta )-h( alpha )} over {beta - alpha } =h prime (gamma)<5]   □ [eqn: h'(0)=f'(0)-g'(0)=7-2=5]

[eqn: THEREFORE ~~][eqn: h( beta )-h( alpha )<5( beta - alpha )] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

[eqn: y=f'(x)], [eqn: y=g'(x)]의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: a,~b(0<a<b)]이다, 함수 [eqn: h(x)]를 [eqn: h(x)=f(x)-g(x)]라 할 때, [보기]에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(단, [eqn: f prime (0)=7,~g prime (0)=2])[4점][2016년 07월 교육청]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: 7]

[eqn: 2]

[eqn: y=f`'(x)]

[eqn: y=g'(x)]

		| 보기 |
	ㄱ. 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=a]에서 극댓값을 갖는다. ㄴ. [eqn: h(b)=0]이면 방정식 [eqn: h(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2`]이다. ㄷ. [eqn: 0< alpha < beta <b]인 두 실수 [eqn: alpha ,~ beta]에 대하여 [eqn: h( beta )-h( alpha )<5( beta - alpha )]이다.
용문아수학방

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

방정식 [eqn: LEFT | `2x ^{3} -6x ^{2} -18x+1` RIGHT | =k]가 서로 다른 네 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는?

③

[eqn: f(x)=2x ^{3} -6x ^{2} -18x+1]라 하면

[eqn: f` prime (x)=6x ^{2} -12x-18=6(x+1)(x-3)]이므로

[eqn: f `prime (x)=0]에서 [eqn: x=`-1] 또는 [eqn: x=3]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]	[eqn: cdots]
[eqn: f prime (x)]	+	[eqn: 0]	-	[eqn: 0]	+
[eqn: f(x)]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 11]	[eqn: SEARROW]	[eqn: -53]	[eqn: NEARROW]

[eqn: y=f(x)], [eqn: y=left|f(x) right|]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

[eqn: y``]

[eqn: x``]

[eqn: -1]

[eqn: 11]

[eqn: 3]

[eqn: -53]

[eqn: x``]

[eqn: y``]

[eqn: -1]

[eqn: 11]

[eqn: 3]

[eqn: 53]

[eqn: y=k]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y= left|f(x) right|]

따라서 [eqn: y=left|f(x) right|]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]가 서로 다른 네 점에서 만나야 하므로

[eqn: THEREFORE ~11<k<53]

따라서 정수 [eqn: k]는 [eqn: 41]개

① [eqn: 37]	② [eqn: 39]	③ [eqn: 41]

④ [eqn: 43]	⑤ [eqn: 45]

[eqn: x ge -1] 일 때, 부등식 [eqn: 2x ^{3} -9x ^{2} +a GEQ 0]이 성립하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최솟값은?

⑤

[eqn: f(x)=2x ^{3} -9x ^{2} +a]라 하면

[eqn: f` prime (x)=6x ^{2} -18x=6x(x-3)]

[eqn: f`'(x)=0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=3]

[eqn: x]	[eqn: -1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 3]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`'(x)]		+	[eqn: 0]	-	[eqn: 0]	+
[eqn: f(x)]	[eqn: a-11]	[eqn: NEARROW]	[eqn: a]	[eqn: SEARROW]	[eqn: a-27]	[eqn: NEARROW]

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: a-27]이므로 [eqn: x GEQ -1]에서 [eqn: f(x) GEQ 0]이 항상 성립하려면

[eqn: a-27 GEQ 0],  [eqn: THEREFORE ~a GEQ 27]

즉 실수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 27]이다.

① [eqn: 19]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 23]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 27]

다음 그림과 같이 곡선 [eqn: y=2x ^{2} -4x+a]와 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이를 각각 [eqn: A], [eqn: B]라고 할 때, [eqn: A `:` B = 1 `:` 2]이다. 이때 상수 [eqn: a]의 값은?

①

[eqn: y=2x ^{2} -4x+a=2 LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +a-2]에서 주어진 그래프는 [eqn: x= 1]에서 대칭이고 넓이 [eqn: B]는 [eqn: x= 1]에 의해 이등분된다.

이때 [eqn: A]부분과 [eqn: B]부분의 넓이의 비가 [eqn: 1``:``2`]에서 [eqn: 1over2 B = A]이므로 [eqn: A]는 [eqn: y=2x ^{2} -4x+a]와 [eqn: x]축 및 [eqn: x= 1]로 둘러싸인 도형의 넓이와 같다.

즉, [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT ( 2x ^{2} -4x+a RIGHT ) dx} =0]이다.

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT ( 2x ^{2} -4x+a RIGHT ) dx}]

[eqn: = LEFT [ `` {2} over {3} x ^{3} -2x ^{2} +ax`` RIGHT ] _{0}^{1}]

[eqn: =- {4} over {3} +a]

따라서 [eqn: - {4} over {3} +a =0]이므로 [eqn: a= 4over3]

① [eqn: 4over3]	② [eqn: 7 over 3]	③ [eqn: 8 over 3]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 10 over 3]

곡선 [eqn: y=x ^{3} -3x ^{2}]과 직선 [eqn: y=x-3]로 둘러싸인 도형의 넓이는?

⑤

곡선 [eqn: y=x ^{3} -3x ^{2}]과 직선 [eqn: y=x-3]의 교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: x ^{3} -3x ^{2} =x-3]에서

[eqn: x ^{3} -3x ^{2} -x+3=0], [eqn: (x+1)(x-1)(x-3)=0]

[eqn: THEREFORE ````x=`-1] 또는 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=3]

따라서 구하는 넓이는

[eqn: int _{-1} ^{1} {} (x ^{3} -3x ^{2} -x+3)dx+ int _{1} ^{3} {} (-x ^{3} +3x ^{2} +x-3)dx]

[eqn: =2 LEFT [ -x ^{3} +3x RIGHT ] _{0}^{1} + LEFT [ - {1} over {4} x ^{4} +x ^{3} + {1} over {2} x ^{2} -3x RIGHT ] _{1}^{3}]

[eqn: =8]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 그 도함수 [eqn: f ` prime (x)]가 다음 두 조건 (가), (나)를 모두 만족시킨다. 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값을 [eqn: p], 극솟값을 [eqn: q]라 할 때, [eqn: p-q]의 값은?

④

[eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+c`]라 하면

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} +2ax +b`]

이때 조건 (가)에 의하여 [eqn: f` prime (1)=0]

[eqn: 3+2a+b=0]

또 조건 (나)에 의하여 [eqn: f`'(x)]는 [eqn: x=2]에 대칭 이므로 [eqn: x=1]에서 극값을 가지므로 [eqn: x=3]에서도 극값을 갖기 때문에 [eqn: f` prime (3)=0]

[eqn: 27+6a+b=0]

[eqn: THEREFORE ~a=-6,~b=9]

[eqn: f(x)=x ^{3} -6x ^{2} +9x+c`]

[eqn: p=f(1)=4+c],  [eqn: q=f(3)=c]

[eqn: therefore~ p-q=4]

(가) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 극값을 갖는다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에서 [eqn: f` prime (2-x)=f` prime (2+x)]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

역함수를 갖는 연속함수 [eqn: f(x)]가 다음 두 조건 (가), (나)를 모두 만족시킨다. [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라고 할 때, [eqn: int _{2} ^{5} {} g(x)dx]의 값은?

④

[eqn: int _{ a} ^{b } { f(x)}dx + int _{ f(a)} ^{f(b) } {f`^-1 (x) dx} = bf(b) - af(a)`]을 이용하면

[eqn: int _{1} ^{3} {f(x)} dx+ int _{2} ^{5} {g(x)dx} =3 TIMES 5-1 TIMES 2]

[eqn: int _{1} ^{3} {} f(x)dx=5]이므로

[eqn: 5+ int _{2} ^{5} {g(x)dx} =13]

[eqn: int _{2} ^{5} {g(x)dx} =8]

(가) [eqn: f(1)=2], [eqn: f(3)=5]	(나) [eqn: int _{1} ^{3} {} f(x)dx=5]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

반지름의 길이가 [eqn: 4]인 구에 내접하는 원기둥이 있다. 이 원기둥의 부피가 최대일 때, 원기둥의 높이는?

①

원기둥의 밑면의 반지름의 길이는 [eqn: r], 높이를 [eqn: h]라고 하면 [eqn: 0<h<8]

[eqn: LEFT ( 2r RIGHT ) ^{2} +h ^{2} =8 ^{2}]

[eqn: THEREFORE ~~r ^{2} = {64-h ^{2}} over {4}]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

원기둥의 부피를 [eqn: V(h)]라고 하면

[eqn: V LEFT ( h RIGHT ) = pi r ^{2} h]

㉠을 대입하면

[eqn: V LEFT ( h RIGHT ) = pi CDOT {64-h ^{2}} over {4} CDOT h= {pi } over {4} LEFT ( -h ^{3} +64h RIGHT )]

[eqn: V`` prime (h)= {pi } over {4} LEFT ( -3h ^{2} +64 RIGHT )]

[eqn: =- {3} over {4} pi LEFT ( h ^{2} - {64} over {3} RIGHT )]

[eqn: =- {3} over {4} pi LEFT ( h+ {8} over {sqrt {3}} RIGHT ) LEFT ( h- {8} over {sqrt {3}} RIGHT )]

[eqn: V``( h)=0]에서 [eqn: h=- {8} over {sqrt {3}}] 또는 [eqn: h= {8} over {sqrt {3}}]

[eqn: 0<h<16]에서 [eqn: V( h)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: h]	[eqn: (0)]	[eqn: cdots]	[eqn: {8} over {sqrt {3}}]	[eqn: cdots]	[eqn: LEFT ( 8 RIGHT )]
[eqn: V`'( h)]		+	[eqn: 0]	-
[eqn: V( h)]		[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

따라서 [eqn: rm V it LEFT ( h RIGHT )]는 [eqn: h= {8} over {sqrt {3}}]일 때, 극대이면서 최대이므로 구하는 높이는 [eqn: h= {8} over {sqrt {3}}= { 8root3} over {3 }]

[eqn: 4]

① [eqn: { 8 root 3 } over 3]	② [eqn: { 10 root 3 } over 3]

③ [eqn: 4 root 3]	④ [eqn: { 14 root 3 } over 3]

⑤ [eqn: {16 root 3 } over 3]

함수 [eqn: f(x)= {cases{-1&~~(x<1)#-x+2&~~(x GEQ 1)}}] 에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x)= int _-1 ^x {(t`-1) f`(t`)`dt}]
라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

③

(ⅰ) [eqn: x<1]일 때,

[eqn: g(x)`= int _{-1} ^{x} {(t-1)f(t)dt}] [eqn: = int _{-1} ^{x} {(t-1)(-1)dt}]

[eqn: = LEFT [ - {t ^{2}} over {2} +t RIGHT ] _{-1} ^{x}][eqn: =- {x ^{2}} over {2} +x+ {3} over {2}]

(ⅱ) [eqn: x ge 1]일 때,

[eqn: g(x)`= int _{-1} ^{x} {(t-1)f(t)dt}]

[eqn: = int _{-1} ^{1} {(t-1)(-1)dt} + int _{1} ^{x} {(t-1)(-t+2)dt}]

[eqn: = LEFT [ - {t ^{2}} over {2} +t RIGHT ] _{-1} ^{1} + LEFT [ - {t ^{3}} over {3} + {3} over {2} t ^{2} -2t RIGHT ] _{1} ^{x}]

[eqn: =- {x ^{3}} over {3} + {3} over {2} x ^{2} -2x+ {17} over {6}]

ㄱ. 열린구간 [eqn: (1,``2)]에서

[eqn: g'(x)=-x ^{2} +3x-2=-(x-1)(x-2)]에서

[eqn: g'(x)>0]이므로 [eqn: g(x)]는 증가한다. (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 1+} {{g(x)-g(1)} over {x-1}} =0], [eqn: lim _{x -> 1-} {{g(x)-g(1)} over {x-1}} =0]

이므로 [eqn: x=1]에서 미분가능하다. (참)

ㄷ. [eqn: x<1]일 때, [eqn: g'(x)=-x+1]

[eqn: x>1]일 때, [eqn: g'(x)=-(x-1)(x-2)]

이므로 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 아래 그림과 같다.

따라서 방정식 [eqn: g(x)=k]이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 [eqn: k]가

존재하지 않는다. (거짓)

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: {3} over {2}]

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: {17} over {6}]

[eqn: y=k]

[eqn: x]

[4점][2008년 9월 가10]

		| 보기 |
	ㄱ. [eqn: g(x)]는 열린구간 [eqn: (1`,`2)]에서 증가한다. ㄴ. [eqn: g(x)]는 [eqn: x = 1]에서 미분가능하다. ㄷ. 방정식 [eqn: g(x)=k`]가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: k`]가 존재한다.
용문아수학방

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[주관식]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -2x+2]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [0`,`2]]에서 평균값 정리를 만족시키는 실수 [eqn: c]의 값을 구하시오.

[eqn: {2sqrt {3}}over3]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 다항함수이고 닫힌구간 [eqn: [0`,`2]]에서 연속이고 열린구간 [eqn: LEFT ( 0,~2 RIGHT )]에서 미분가능하므로
평균값 정리에 의하여
[eqn: {f LEFT ( 2 RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT )} over {2-0} =f prime LEFT ( c RIGHT )]
인 [eqn: c]가 구간 [eqn: LEFT ( 0,~2 RIGHT )]에서 적어도 하나 존재한다.

[eqn: {f LEFT ( 2 RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT )} over {2-0} = {4} over {2} =2]이고

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =`3x ^{2} -2]이므로
[eqn: f prime LEFT ( c RIGHT ) =`3c ^{2} -2]에서 [eqn: 3c ^{2} -2=2]
따라서 [eqn: c= {2sqrt {3}}over3 ~( BECAUSE ~0<c<2)]

좌표가 [eqn: 2]인 점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: P]의 시각 [eqn: t]에서 속도가 [eqn: v(t)=6t-6t ^{2}]일 때, 다음을 각각 구하시오.

(1) [eqn: 3]  (2) [eqn: - 9over2]  (3) [eqn: {11} over {2}]

(1) 시각 [eqn: t=0]에서 위치가 [eqn: x=2]이므로 구하는 위치는
[eqn: x=2+ int _{0} ^{1} {LEFT ( 6t-6t ^{2} RIGHT )} dt=2+ LEFT [ 3t ^{2} -2t ^{3} RIGHT ] _{0}^{1} =3]

(2) [eqn: int _{1over2} ^{2} {LEFT ( 6t-6t ^{2} RIGHT )} dt= LEFT [ 3t ^{2} -2t ^{3} RIGHT ] _{1over2}^{2} =- 9over2]

(3) [eqn: int _{{1} over {2}} ^{2} {LEFT | pile{`#`} 6t-6t ^{2} RIGHT |} dt= int _{{1} over {2}} ^{1} {LEFT ( 6t-6t ^{2} RIGHT )} dt+ int _{1} ^{2} {LEFT ( -6t+6t ^{2} RIGHT )} dt]
[eqn: = LEFT [ 3t ^{2} -2t ^{3} RIGHT ] _{{1} over {2}}^{1} + LEFT [ -3t ^{2} +2t ^{3} RIGHT ] _{1}^{2} = {11} over {2}]

(1) 시각 [eqn: t=1]에서 점 [eqn: P]의 위치

(2) 시각 [eqn: t= 1over2]에서 [eqn: t=2]까지 점 [eqn: P]의 위치의 변화량

(3) 시각 [eqn: t= 1over2]에서 [eqn: t=2]까지 점 [eqn: P]가 움직인 거리

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: P], [eqn: Q]의 시각 [eqn: t]에서 위치를 각각 [eqn: x _{P} =t ^{3} -t ^{2}], [eqn: x _{Q} =t ^{2} -2t]이다. 이때, 두 점 [eqn: P], [eqn: Q]가 서로 반대 방향으로 움직이는 [eqn: t]의 값의 범위를 구하시오.

[eqn: 2over3 <t<1]

두 점 [eqn: P], [eqn: Q]의 속도를 각각 [eqn: v _{ P}], [eqn: v _{ Q}]라 하면

[eqn: v _{P} =3t ^{2} -2t], [eqn: v _{Q} =2t-2]

두 점 [eqn: P], [eqn: Q]가 서로 반대 방향으로 움직이면 [eqn: v _{ P} ` v _{Q} <0`]이므로

[eqn: (3t ^{2} -2t)(2t-2)<0], [eqn: 2t(3t-2)(t-1)<0]

[eqn: THEREFORE ~2over3 <t<1]

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: xf(x)=3x ^{3} +2x ^{2} int _{0} ^{1} {} f` prime (t)dt+ int _{1} ^{x} {} f(t)dt]를 만족시킬 때, [eqn: f(x)]를 구하시오.

[eqn: f(x)= 9over2 x ^{2} -6x + 3over2]

[eqn: x`f LEFT ( x RIGHT ) `=`3x ^{3} `+2`x ^{2} int _{0} ^{1} {f` prime LEFT ( t RIGHT )} dt`+`` int _{1} ^{x} {f` LEFT ( t RIGHT )} dt``]	[eqn: CDOTS CDOTS `㉠``]

㉠의 양변에 [eqn: x`=`1``]을 대입하면

[eqn: `f LEFT ( 1 RIGHT ) `=3`+2 int _{0} ^{1} {f` prime LEFT ( t RIGHT )} dt`+`` int _{1} ^{1} {f` LEFT ( t RIGHT )} dt``]

[eqn: =`3+2 LEFT [ f LEFT ( t RIGHT ) pile{#} RIGHT ] _{0}^{1} `+`0`=`3`+2 LEFT { f LEFT ( 1 RIGHT ) `-`f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT } ``]

[eqn: THEREFORE ~f LEFT ( 1 RIGHT ) =2f LEFT ( 0 RIGHT ) -3]	[eqn: CDOTS CDOTS `㉡ ``]

㉠의 양변을 [eqn: x``]에 대하여 미분하면

[eqn: `f LEFT ( x RIGHT ) `+`xf prime LEFT ( x RIGHT ) `=`9x ^{2} +4x int _{0} ^{1} {f` prime LEFT ( t RIGHT )} dt`+``f LEFT ( x RIGHT ) ``]

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) `=`9x+4 int _{0} ^{1} {f` prime LEFT ( t RIGHT )} dt``]

이때 [eqn: int _{0} ^{1} {f prime } LEFT ( t RIGHT ) `dt`=`k```] ([eqn: k``]는 상수)라 하면

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) `=`9x+4k``]

[eqn: int _{0} ^{1} {} LEFT ( 9t+4k RIGHT ) `dt`=` LEFT [ 9over2 t ^{2} +4kt pile{#} RIGHT ] _{0}^{1} = 9over2 + 4k]

즉 [eqn: 9over2 +4k=k]이므로 [eqn: k= - 3over2]

[eqn: THEREFORE ~~f prime LEFT ( x RIGHT ) `=`9x-6]

[eqn: `f LEFT ( x RIGHT ) ``=``` int _{} ^{} {} LEFT ( 9x-6 RIGHT ) dx = 9over2 x ^{2} -6x+ C] ([eqn: C``]는 적분상수)

㉡에서 [eqn: 9over2 -6 +C= 2C-3]  [eqn: THEREFORE ~C= 3over2]

따라서 [eqn: f(x)= 9over2 x ^{2} -6x + 3over2]

함수 [eqn: y = x^2 + 3] 위를 움직이는 점 [eqn: P]와 원 [eqn: (x-5) ^{2} +(y-2) ^{2} =5] 위를 움직이는 점 [eqn: Q]가 있다. 두 점 [eqn: P], [eqn: Q] 사이의 거리의 최솟값을 구하시오. (단, 최솟값을 구하는 과정에서 함수의 증가와 감소를 표로 나타내시오.)

[eqn: sqrt {5}]
점 [eqn: P]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라고 하면 [eqn: P(t,~t ^{2} +3)]
원의 중심 [eqn: (5,``2)]와 점 [eqn: P] 사이의 거리의 제곱을 [eqn: f(t)]라 하면
[eqn: f(t)][eqn: =(t-5) ^{2} +(t ^{2} +1) ^{2}][eqn: =t ^{4} +3t ^{2} -10t+26]
[eqn: f`'(t)][eqn: =4t ^{3} +6t-10][eqn: =2(t-1)(2t ^{2} +2t+5)]
[eqn: f` prime (t)=0]에서 [eqn: t=1]
함수 [eqn: f(t)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f` prime (t)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(t)]	[eqn: SEARROW]	[eqn: 20]	[eqn: NEARROW]

따라서 원의 중심과 점 [eqn: P] 사이의 거리의 최솟값은 [eqn: sqrt20 =2 sqrt5]이므로 두 점 [eqn: P,~Q] 사이의 거리의 최솟값은
[eqn: 2 sqrt5 - sqrt5 = sqrt5]이다.

삼차함수 [eqn: f`(x)=x ^{3} -3x-1]이 있다. 실수 [eqn: t```(t GEQ -1)]에 대하여 [eqn: -1 LEQ x LEQ t`]에서 [eqn: left | ` f(x) ` right |]의 최댓값을 [eqn: g(t)]라고 하자.
[eqn: int _{-1} ^{1} {} `g(t)`dt`=` {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q``]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p], [eqn: q``]는 서로소인 자연수이다.) [4점][2010학년도 수능]

[eqn: 17]

[eqn: f`(x)=x^3 -3x-1]에서

[eqn: f`'(x)=3x^2 -3]

[eqn: f`'(x)=0]에서 [eqn: x=±1]

[eqn: f`(-1)=1], [eqn: f`(1)=-3]이므로 [eqn: y=|f`(x)|]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: THEREFORE ```g(t`)= {cases{1~~~~~``(-1 LEQ t LEQ 0)#-f`(t`)~(0 LEQ t LEQ 1)}}]

[eqn: THEREFORE ``` int _{-1} ^{1} {} g(t`)dt= int _{-1} ^{0} {} 1dt+ int _{0} ^{1} {} -f`(t`)dt]

[eqn: = [ t` ] {}_{-1}^{0} + int _{0} ^{1} {} (-t` ^{3} +3t+1)dt RIGHT . RIGHT .]

[eqn: =-(-1)+left[- 1 over 4 t`^4 + 3 over 2 t^2 + t right]_0^1]

[eqn: =1+left(- 1 over 4 + 3 over 2 +1 right)= 13 over 4]

[eqn: THEREFORE ```p+q=4+13=17]