[eqn: root {3} of {16} TIMES 2 ^{- {1} over {3}}] 의 값은? [2점]

2024년 7월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시      수학 영역

④

[eqn: root {3} of {16} TIMES 2 ^{- {1} over {3}} =2 ^{{4} over {3} - {1} over {3}} =2]

① [eqn: {1} over {4}]    ② [eqn: {1} over {2}]    ③ [eqn: 1]    ④ [eqn: 2]    ⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f(x)=2x ^{2} +5x-2]에 대하여

[eqn: lim _{x` -> 1} {` {f(x)-f(1)} over {x-1}}]의 값은? [2점]

④

[eqn: f`'(x)=4x+5] 에 대하여 [eqn: f`'(1)=4+5=9]

① [eqn: 6]    ② [eqn: 7]   ③ [eqn: 8]   ④ [eqn: 9]    ⑤ [eqn: 10]

[eqn: {pi } over {2} < theta < pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: tan theta =-2]일 때,

[eqn: sin( pi + theta )]의 값은? [3점]

①

① [eqn: - {2 sqrt {5}} over {5}]     ② [eqn: - {sqrt {10}} over {5}]     ③ [eqn: - {sqrt {5}} over {5}]

④ [eqn: {sqrt {5}} over {5}]        ⑤ [eqn: {2 sqrt {5}} over {5}]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim _{x` -> 0-} {`f(x)} + lim _{x -> 1+} {`f(x)}]의 값은? [3점]

[eqn: sin theta =` {2} over {sqrt {5}} `,`cos theta =- {1} over {sqrt {5}}] 이므로

[eqn: sin LEFT ( pi + theta RIGHT ) =- {2 sqrt {5}} over {5}]

⑤

[eqn: lim _{x` -> 0-} {`f(x)} + lim _{x -> 1+} {`f(x)}]=[eqn: 2+3=5]

① □    ② □    ③ 3    ④ 4    ⑤ 5

삼차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)-f(1)=x ^{3} +4x ^{2} -5x]를 만족시킬때

[eqn: int _{1} ^{2} {`f`'(x)`dx}]의 값을 구하시오. [3점]

③

[eqn: int _{1} ^{2} {`f` prime (x)`dx} =f(2)-f(1)=8+16-10=14]

① [eqn: 10]    ② [eqn: 12]    ③ [eqn: 14]    ④ [eqn: 16]    ⑤ [eqn: 18]

모든항이 얄수인  등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: {a _{3} +a _{4}} over {a _{1} +a _{2}} =4``,] [eqn: a _{2} a _{4} =1]일 때, [eqn: a _{6} +a _{7}]의 값은?                                        [3점]

⑤

[eqn: {a _{3} (1+r)} over {a _{1} (1+r)} =r ^{2} =4] 이므로 [eqn: r=2]

[eqn: a _{2} `a _{4} =a ^{2} r ^{4} =a ^{2} TIMES 16=1] 에서 [eqn: a= {1} over {4}]

[eqn: a _{6} +a _{7} =a _{6} (1+r)=8 LEFT ( 1+2 RIGHT ) =24]

① [eqn: 16]   ② [eqn: 18]   ③ [eqn: 20]   ④ [eqn: 22]   ⑤ [eqn: 24]

함수[eqn: f(x)=x ^{3} -3x+2a]의 극솟값이 [eqn: a+3]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)[3점]

②

[eqn: f`'(x)=3(x+1)(x-1)]

[eqn: x=-1] 에서 극대 [eqn: x=1] 에서 극소이므로

[eqn: f(1)=-2+2a] , [eqn: a+3=-2+2a`]에서 [eqn: a=5]

[eqn: f(-1)=-1+3+10=12]

① [eqn: 11]    ② [eqn: 12]    ③ [eqn: 13]    ④ [eqn: 14]    ⑤ [eqn: 15]

삼차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여  [eqn: xf`'(x)=6x ^{3} -x+f(0)+1`]을 만족시킬 때,

[eqn: f`(-1)]의 값은? [3점]

①

항등식 이므로 [eqn: x=0] 대입하면

[eqn: 0=f(0)+1`,``] 즉, [eqn: f(0)=-1] 이다.

[eqn: x`f`'(x)=6x ^{3} -x] 이므로 [eqn: f`'(x)=6x ^{2} -1``]

[eqn: f(x)=2x ^{3} -x-1] , 따라서 [eqn: f(-1)=-2]

① [eqn: -2]     ② [eqn: -1]     ③ [eqn: 0]    ④ [eqn: 1]     ⑤ [eqn: 2]

좌표평면 위의 서로 다른 세 점 [eqn: A(0`,`-log _{2} `9)`,`B(2a`,`log` _{2} `7`)`,`C(-log _{`2} 9`,`a)] 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심의 좌표가 [eqn: (b`,`log _{`8} `7)]일 때, [eqn: 2 ^{a+3b}] 의 값은? [4점]

③

[eqn: b= {2a-log _{`2} `9} over {3}] 에서 [eqn: 3b=2a-log _{`2} 9]

[eqn: log` _{8} 7= {a+log _{2} 7-log _{`2} 9} over {3}] 에서 [eqn: 0=a-log _{`2} 9] 이므로

[eqn: a=log _{2} 9] , [eqn: 3b=2log _{`2} 9-log _{2} =log _{`2} 9] 이다.

따라서 [eqn: 2 ^{a+3b} =2 ^{`log _{2} 81} =81]

① [eqn: 63]   ② [eqn: 72]   ③ [eqn: 81]   ④ [eqn: 90]   ⑤ [eqn: 99]

양수 [eqn: a]에 대하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t`(t GEQ 0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]가 [eqn: v(t)=3t(a-t)]이다. 시각 [eqn: t=0]에서 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 16]이고 시각 [eqn: t=2a]에서 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 0]이다. 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=5]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는? [4점]

②

점 [eqn: rmP]의 위치를 [eqn: rmP][eqn: (t)]라 하면

[eqn: P(t)=-t ^{3} + {3} over {2} at ^{2} +C] 이다. ([eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: P(0)=16``] 이므로 [eqn: C=16]

[eqn: P(2a)=0] 이므로 [eqn: -8a ^{3} +6a ^{3} +16=0] 에서 [eqn: a=2 CDOTS ㉠]

즉, 움직인 거리를 [eqn: s]라 하면

[eqn: s= int _{0} ^{5} {` LEFT | v(t) RIGHT | dt= int _{0} ^{5} {LEFT | -3t ^{2} +6t RIGHT | `dt}}]

[eqn: = int _{0} ^{2} {`-3t ^{2} +6t} `dt+ int _{2} ^{5} {`3t ^{2} -6t} dt]

[eqn: = LEFT [ -t ^{3} +3t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{2} +][eqn: + LEFT [ t ^{3} -3t ^{2} RIGHT ] _{2} ^{5}] [eqn: =58]

① [eqn: 54]   ② [eqn: 58]   ③ [eqn: 62]   ④ [eqn: 66]   ⑤ [eqn: 70]

공차[eqn: `d(0<d<1)]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a _{5}] 는 자연수 이다.

(나) 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지          의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: S _{8} = {68} over {3}]이다.

[eqn: a _{16}]의 값은? [4점]

⑤

조건 (가) [eqn: a _{5} =a+4d=N``` CDOTS ㉠] ([eqn: N]은 자연수)

조건 (나) [eqn: S _{8} =4(2a+7d)=8a+28d] 이므로

[eqn: 8a+28d= {68} over {3} CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠]이 자연수 이므로 [eqn: ㉠ TIMES 8] 도 자연수 이다

즉, [eqn: 8a+32d=8N CDOTS ㉢]

[eqn: ㉡,㉢] 에서 [eqn: 8a+32d= {68} over {3} +4d=22+ {2} over {3} +4d=8N]  이므로

[eqn: 22+ {3} over {2} +4d=]자연수[eqn: CDOTS ㉣]

문제에서 [eqn: 0<d<1] 이므로 [eqn: 0<4d<4] 이고

[eqn: ㉣]에서 [eqn: 4d= {1} over {3} `,` {4} over {3} `,` {7} over {3} `,` {10} over {3}] 이렇게 4개가 될수 있다.

[eqn: (ⅰ)`4d= {1} over {3}] 일 때,

[eqn: 8a+32d=23`,``] [eqn: a+4d=a _{5} = {23} over {8}]

[eqn: a _{5}]가 자연수가 아니므로 조건 불만족

[eqn: (ⅱ)`4d= {4} over {3}] 일 때,

[eqn: 8a+32d=24`,``] [eqn: a+4d=a _{5} =3]

[eqn: a _{5}]가 자연수 이므로 조건 만족

[eqn: d= {1} over {3}] 이므로 [eqn: a _{16} =a _{5} +11d=3+ {11} over {3} = {20} over {3} CDOTS ㉤]

[eqn: (ⅲ)`4d= {7} over {3}] 일 때,

[eqn: 8a+32d=25`,``] [eqn: a+4d=a _{5} = {25} over {8}]

[eqn: a _{5}]가 자연수가 아니므로 조건 불만족

[eqn: (ⅳ)`4d= {10} over {3}] 일 때,

[eqn: 8a+32d=26`,``] [eqn: a+4d=a _{5} = {13} over {4}]

[eqn: a _{5}]가 자연수가 아니므로 조건 불만족

따라서 [eqn: ㉤] 에서 [eqn: a _{16} = {20} over {3}]

① [eqn: {19} over {3}]  ② [eqn: {77} over {12}]   ③ [eqn: {13} over {2}]   ④ [eqn: {79} over {12}]  ⑤ [eqn: {20} over {3}]

두 상수 [eqn: a`,`b] 에 대하여 실수 전체의 집합에서미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 0 LEQ x<4] 일 때,

[eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx] 이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x+4)=f(x)+16]이다.

[eqn: int _{4} ^{7} {`f(x)`dx}]값은? [4점]

④

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체에서 미분가능하므로 연속도 된다.

조건 (가) 구간 [eqn: [0`,`4`)``f(x)]는 원점 지나는 삼차함수

이므로 [eqn: f(0)=0] 이다.

조건 (나) 구간 [eqn: [4`,`5)] [eqn: f(x)]는 조건 (가)의 함수를

[eqn: x]축으로 4만큼 [eqn: y]축으로 [eqn: 16]만큼 평행이동 시키 함수이다.

연속 조건에서 [eqn: f(4-)=f(4+)=f(4)]

[eqn: f(4-)=64+16a+4b] , [eqn: f(4+)=f(0+)+16] 이므로

[eqn: 16a+4d=-48] 에서 [eqn: 4a+b=-12 CDOTS ㉠]

미분 가능 조건에서 [eqn: f`'(4-)=f`'(4+)]

[eqn: f`'(4-)=48+8a+b] , [eqn: f`'(4+)=f`'(0+)=b] 이므로

[eqn: 48+8a=0] , [eqn: a=-6``,`b=12 CDOTS ㉡]

즉, [eqn: f(x)=x ^{3} -6x ^{2} +12x```(0 LEQ x<4)]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 아래와 같다.

[eqn: int _{4} ^{7} {f(x)`dx=A+B}]   ([eqn: B=3 TIMES 16=48] , [eqn: A= int _{0} ^{3} {`f(x)dx}])

[eqn: A= int _{0} ^{3} {`x ^{3} -6x ^{2} +12x`dx= LEFT [ {1} over {4} x ^{4} -2x ^{3} +6x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{3} = {81} over {4}}]

따라서 [eqn: int _{4} ^{7} {f(x)`dx= {81} over {4} +48= {273} over {4}}]

① [eqn: {255} over {4}]  ② [eqn: {261} over {4}]  ③ [eqn: {267} over {4}]  ④ [eqn: {273} over {4}]  ⑤ [eqn: {279} over {4}]

그림과 같이 [eqn: rm ` {bar{BC}} = {36 sqrt {7}} over {7} `,`] [eqn: sin(rm ANGLE BAC)= {2 sqrt {7}} over {7}] , [eqn: rmANGLE ACB= {pi } over {3}] 인 삼각형 [eqn: rm`ABC]가 있다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 중심을 [eqn: rm`O], 직선[eqn: rm `AO]가 변 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. 삼격형 [eqn: rmADC]의 외접원의 중심을 [eqn: rmO`']라 할 때, [eqn: rm ` {bar{A`O`'}} =5 sqrt {3}] 이다. [eqn: rm ` {bar{OO`'}} ^{`2}] 값은?                                          [4점]

①

[eqn: rm {bar{BC}} = {36} over {sqrt {7}} `,``sinA= {2} over {sqrt {7}}] (유리화 하기 전으로)

[eqn: {BOX{``1st``}}] 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름 [eqn: rm`R= {bar{AO`}}] 에서

사인법칙 [eqn: {rm` {bar{BC}}} over {sin`A} =2R] 에서 [eqn: {{36} over {sqrt {7}}} over {{2} over {sqrt {7}}} =18=2R]          즉, [eqn: rm`R`= {bar{AO}} =9 CDOTS ㉠]

[eqn: {BOX{``2nd``}}] [eqn: rm ANGLE ACB= ANGLE ACD= {pi } over {3}] 이므로 원주각과 중심각

사이의 관계 [eqn: rm ANGLE AO prime D= {2 pi } over {3} CDOTS ㉡] [eqn: rm`TRIANGLE AO'D]는 이등        변 삼각형이므로 [eqn: rm ANGLE O prime AD= { pi } over {6} CDOTS ㉢]

[eqn: {BOX{``3rd``}}] [eqn: rmTRIANGLE AO'O`]에서 [eqn: rm ` {bar{O'O}} =][eqn: x]라 하면

	코싸인법칙에서 [eqn: cos` {pi } over {6} = {sqrt {3}} over {2} = {81+75-x ^{2}} over {2`·9·5 sqrt {3}}] 이므로 [eqn: 156-x ^{2} =135] , [eqn: x ^{2} =21]

① [eqn: 21] ② [eqn: {91} over {4}]  ③ [eqn: {49} over {2}]   ④ [eqn: {105} over {4}]   ⑤ [eqn: 28]

양수 [eqn: a`]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{`-2(x+1) ^{2} +4# }&eqalign{`(x LEQ 0)# }#`a(x-5)&``(x>0)}}]  이다..

함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수      [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: f(k)=g(k)]를 만족시키는 서로      다른 실수 [eqn: k]의 값이 [eqn: -2`,`0`,`2]일 때, [eqn: g(2a)]의       값은? [4점]

④

[eqn: y=g(x)] 그래프는 아래와 같다.

[eqn: g(x)=x(x+2)(x-k)+2=x ^{3} -(k-2)x ^{2} -2kx+2]

[eqn: g`'(x)=3x ^{2} -2(k-2)x-2k]

[eqn: g(2)=-3a] 에서

[eqn: -3a=8-4k+8-4k+2] , [eqn: 3a-8k=-18 CDOTS ㉠]

[eqn: g`'(2)=a] 에서

[eqn: a=12-4k+8-2k] , [eqn: a+6k=20 CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠`,`㉡]을 연립하면 [eqn: a=2`,`k=3` CDOTS ㉢]

따라서 [eqn: g(2a)=g(4)=4 TIMES 6 TIMES 1+2=26]

① [eqn: 14]   ② [eqn: 18]   ③ [eqn: 22]   ④ [eqn: 26]   ⑤ [eqn: 30]

첫째항이 자연수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = {cases{eqalign{` {1} over {2} `a _{n}# }&eqalign{````( {1} over {2} a _{n} `이`자연수)# }#``(a _{n} -1) ^{2}&````( {1} over {2} a _{n} 이`자연수가`아닌`경우)}}]

를 만족시킬 때, [eqn: a _{7} =1]가 되도록 하는

모든 [eqn: a _{1}]의 값의 곱은? [4점]

②

[eqn: a _{1}]이 자연수 이고

[eqn: a _{n+1} = {cases{eqalign{` {1} over {2} `a _{n}# }&eqalign{``````( {1} over {2} a _{n} 이`자연수인`경우)`` CDOTS Ⅰ형# }#``(a _{n} -1) ^{2}&``````( {1} over {2} a _{n} 이`자연수``아닌경우)` CDOTS Ⅱ형}}]

모든 항들은 자연수가 나온다는 것을 알 수 있다.

[eqn: a _{7} =1]에서 역방향으로 수열의 귀납적 정의에 의해 나열하여 추적해 보면

따라서 모든 [eqn: a]값의 합은

[eqn: 64+10+24+16+6+4+1=125]

① [eqn: 120]   ② [eqn: 125]   ③ [eqn: 130]  ④ [eqn: 135]   ⑤ [eqn: 140]

방정식 [eqn: log _{`5} `(x+9)=log` _{5} `4+log _{`5} (x-6)]를 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.[3점]

[eqn: 11]

진수 조건에서

[eqn: x+9>0] 와 [eqn: x-6>0] 이므로 [eqn: x>6 CDOTS ㉠]

[eqn: x+9=4(x-6)``,```3x=33] 이므로 [eqn: THEREFORE x=11]

함수 [eqn: f(x)=(x-3)(x ^{2} +x-2)]에 대하여

[eqn: f` prime (5)]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 50]

[eqn: f` prime (x)=(x ^{2} +x-2)+(x-3)(2x+1)]

[eqn: f` prime (5)=(25+3)+22=50]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `] 에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{15} `(3a _{k} +2)=45``,`````2 sum _{k=1} ^{9} `a _{k} =42+ sum _{k=1} ^{14} `a _{k} `]

일 때, [eqn: a _{15}] 의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 37]

[eqn: sum _{k=1} ^{15} `(3a _{k} +2)=45`] 에서 [eqn: sum _{k=1} ^{15} `a _{k} =15 CDOTS ㉠`]

[eqn: `2 sum _{k=1} ^{9} `a _{k} =42+ sum _{k=1} ^{14} `a _{k} `] 에서 [eqn: 10=42+ sum _{k=1} ^{14} a _{k}] 이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{14} `a _{k} `=-32 CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠`,`㉡]에서 [eqn: a _{15} =㉠-㉡=5-(-32)=37]

양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: 0 LEQ x LEQ 3]에서 정의된 두 함수 [eqn: f(x)=a`sin pi x`,`] [eqn: g(x)=a`cos pi x`] 가 있다.

두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]가 만나는 서로 다      른 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이가 [eqn: 2]      일 때, [eqn: a ^{2}]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 2]

[eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]는 주기와 최댓값 최솟값이 같은 함수 이다.

주기[eqn: =2] , 최댓값[eqn: =a] 최솟값[eqn: =-a]

[eqn: a`sin pi x=a`cos pi x] 에서 [eqn: x= {1} over {4} CDOTS ㉠]이고

그때의 [eqn: y]의 값은 [eqn: a`sin {pi } over {4} = {sqrt {2}} over {2} a]

삼각형의 세 꼭짓점을 [eqn: rmA`,`B,`C] 라 하고

점 [eqn: rmB]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmD]라 하면

[eqn: rm {bar{AC}} =2] 이고 [eqn: rm {bar{BD}} = sqrt {2}][eqn: a] 이므로

삼각형의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES sqrt {2} a= sqrt {2} a] 이다.

[eqn: sqrt {2} a=2] 이므로 [eqn: a= sqrt {2} ` CDOTS ㉠]

따라서 [eqn: a ^{2} =2]

두 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -12x`,`][eqn: g(x)=a(x-2)+2`][eqn: (a != 0)]에 대하여 함수 [eqn: h(x)]는

[eqn: h(x)= {cases{eqalign{`f(x)# }&eqalign{``(f(x) GEQ g(x))# }#`g(x)&```(f(x)<g(x))}}]  이다..

함수 [eqn: y=h(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]가

서로 다른 네점에서 만나도록 하는

실수 [eqn: k]가 존재한다.

함수 [eqn: h(x)]가 다음 조건을 만족시키도록 하는        모든 실수 [eqn: a]의 범위는 [eqn: m<a<M]이다.

[eqn: 10 TIMES (M-m)]의 값은? [4점]

35

[eqn: f(x)] 그래프는 원점대칭 극값이 있는 삼차함수로 명확하다.

[eqn: g(x)]는 기울기가 [eqn: a]이고 점[eqn: (2`,`2)]를 정점으로 하는 일차함수

[eqn: h(x)= {cases{eqalign{`f(x)# }&eqalign{``(f(x) GEQ g(x))# }#`g(x)&```(f(x)<g(x))}}]

방정식 [eqn: h(x)=k] 가 네 실근을 가지려면

[eqn: a<0 CDOTS ㉠] 여야 한다

그때의 그래프의 계형은 다음과 같다.

이때 [eqn: f(-2)>g(-2)] 여야 하므로

[eqn: f(-2)=16`,`g(-2)=-4a+2]

즉, [eqn: 16>-4a+2] 에서 [eqn: a>- {7} over {2} CDOTS ㉡] 이다

따라서 [eqn: a]의 범위는 [eqn: - {7} over {2} <a<0 CDOTS ㉢]

[eqn: ㉢] 에서 [eqn: m=- {7} over {2} `,`M=0] 이므로

[eqn: 10 LEFT ( M-m RIGHT ) =10 LEFT ( 0+ {7} over {2} RIGHT ) =35]

<참고> 삼차함수 계형을 좀 간단화 하여 그려서 확인해보면

[eqn: (ⅰ)`a=0] 일 때

[eqn: m LEQ -10]인 상수 [eqn: m]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{` LEFT | 5log` _{2} (4-x)+m RIGHT |# }&eqalign{`(x LEQ 0)# }#`````5log` _{2} ^{x} +m&``(x>0)}}]  이다.

실수 [eqn: t`(t>0)]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식          [eqn: f(x)=t]의 모든 실근의 합을 [eqn: g(t)]라 하자. 함수     [eqn: g(t)]가 다음 조건을 만족시킬대, [eqn: f(m)]의 값을      구하시오. [4점]

[eqn: h(x)=k] 는 [eqn: k] 값이 변함에  따라 교점의 개수가

[eqn: 4]개가 나오지 않는다.

[eqn: (ⅱ)`a>0] 일 때,

[eqn: h(x)=k] 는 [eqn: k] 값이 변함에 따라 교점의 개수가

[eqn: 4]개가 나오지 않는다.

8

[eqn: g(x)=5log _{2} x] 라하면 [eqn: m LEQ -10]

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{` LEFT | g(4-x)+m RIGHT |# }&eqalign{`(x LEQ 0)` CDOTS `①# }#`````g(x)+m&``(x>0) CDOTS ②}}]

①은 [eqn: g(x)]를 [eqn: y]축 대칭하고 [eqn: x]축으로 [eqn: -4]만큼 평행이동하고

[eqn: y]축으로 [eqn: m]만큼 평행이동 후 뒤집은 함수

②는 [eqn: g(x)]를 [eqn: y]축으로 [eqn: m]만큼 평행이동 한 함수 이다.

또한 [eqn: ①]과 [eqn: ②]는 서로 [eqn: x=2] 선대칭 관계에 있다.

[eqn: f(0)= LEFT | 10+m RIGHT | =-m-10 CDOTS ㉠] 이다.

[eqn: {BOX{``1st``}}] [eqn: f(x)] 그래프의 일반적 계형은

문제에서 준 범위가 [eqn: m LEQ -10] 이므로

[eqn: (ⅱ)] 와 [eqn: (ⅲ)]만 해당된다.

[eqn: (ⅱ)`m=-10] 일 때,

모든 영수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: f(x)=t] 의 실근의 합은 [eqn: x=2]

선대칭 관계에 의하여 [eqn: 4]로 일정하므로 [eqn: g(t)=4] 이다.

문제의 조건에서 양수 [eqn: a]의 최솟값 [eqn: 2]라는 조건을 만족하지

않는다.

[eqn: (ⅲ)`m<`-10] 일 때,

[eqn: t GEQ t _{1}] 인 범위에서  [eqn: f(x)=t] 실근의 합은 [eqn: x=2]

선대칭 관계에 의하여 [eqn: 4]로 일정하므로 [eqn: g(t)=4] 이다.

[eqn: t<t _{1}] 이면 [eqn: f(x)=t] 실근의 합은 [eqn: 4]보다 작은 값이 나온다.

따라서 [eqn: t _{1} =a] 이고 [eqn: a]의 최솟값이 [eqn: 2] 이므로 [eqn: t _{1} =2 CDOTS ㉡]

즉, [eqn: f(0)=2`=-m-10`] 이므로 [eqn: m=-12 CDOTS ㉢]

[eqn: {BOX{``2nd``}} `] [eqn: f(m)=f(-12)= LEFT | 5log _{`2} 16`-12 RIGHT |]

[eqn: = LEFT | 20-12 RIGHT | =8]

[eqn: t GEQ a] 인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g(t)=g(a)]가 되도록 하는 양수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 2]이다.

두 자연수 [eqn: a`,`b`(a<b<8)]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: h(x)= {cases{eqalign{` LEFT | x+3 RIGHT | -1`# # ``x-10# }&eqalign{``(x<a)# # ```(a LEQ x<b)# }#LEFT | x-9 RIGHT | -1``&``(x GEQ b)}}] 이다..

함수 [eqn: f(x)]와 양수 [eqn: k]는  다음 조건을 만족         시킨다.

(가) 함수 [eqn: f(x)`f(x+k)]는 모든 실수 전체       의 집합에서 연속이다.

(나) [eqn: f(k)<0]

[eqn: f(a) TIMES f(b) TIMES f(k)]□의 값을 구하시오. ([4점]

96

[eqn: f(x)] 그래프는 아래와 같고

[eqn: x=a`,`x=b]에서 불면속이다. ([eqn: a`,`b]는 자연수)

[eqn: y=f(x+k)]의 그래프는 [eqn: y=f(x)]를 [eqn: x]축으로 [eqn: -k]만큼

평행이동한 함수이므로 계형은 같다.

[eqn: y=f(x)f(x+k)]가 실수 전체에서 연속이려면

<[eqn: rmex]> [eqn: f(x)=g(x)h(x)]가 연속일 때

두 함수가 연속인 곳은 무조건 연속 생각하지 말자

[eqn: (ⅰ)`]한놈이 불면속인 곳에서 다른놈의 함숫값이 [eqn: 0]일 때

[eqn: (ⅱ)]둘다 불연속 인 경우에도 연속이 될 수 있다.

[eqn: g(a+)=4``,`h(a+)=-4] 이고 [eqn: g(a-)=-2`,```h(a-)=8]    이면 [eqn: f(a+)=-16=f(a-)] 이므로 [eqn: x=a]에서 연속이다.

즉, [eqn: (ⅰ)]상황에서 [eqn: f(x)]가 불연속인 곳 [eqn: x=a`,`x=b]에서

[eqn: y=f(x+k)]가 함숫값 [eqn: 0]을 가지면 된다

따라서 두함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=f(x+k)]가 아래처럼

그려지면 연속이다.

[eqn: a-k=-4`,``8-k=a`] 이므로 [eqn: a=2`,`k=6] 이다..

[eqn: b-k=-2`,``10-k=b`] 이므로 [eqn: b=4`,`k=6]

즉, [eqn: a=2`,`b=4`,`k=6` CDOTS ㉠]

[eqn: but] 이때는 [eqn: f(k)=f(6)]이 [eqn: f(6)>0] 이므로

조건 (나)를  불만족 한다.

[eqn: (ⅱ)] [eqn: y=f(x)f(x+k)]를 [eqn: g(x)=f(x)f(x+k)]라 하고

[eqn: x=a]에서 두 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=f(x+k)]가

불연속 이라 하면

[eqn: f(a+) != f(a-) CDOTS ①] [eqn: f LEFT { (k+a)+ RIGHT } != f LEFT { (k+a)- RIGHT } ` CDOTS `②]

[eqn: y=f(x)]는 [eqn: x=a`,`x=b]에서 불면속이므로

[eqn: f(a+) != f(a-) CDOTS ③]  [eqn: f(b+) != f(b-) CDOTS ④] 인데

[eqn: ②`,`④]에서 [eqn: a+k=b] 이다

즉, [eqn: g(x)=f(x)f(x+k)] 에서

[eqn: g(a+)=f(a+)f LEFT { (k+a)+ RIGHT } =f(a+)`f(b+)] 이고

[eqn: g(a-)=f(a-)f LEFT { (k+a)- RIGHT } =f(a-)`f(b-)] 이다.

[eqn: g(a+)=g(a-)] 일 때 [eqn: x=a]에서 연속이다

식으로 좌극한과 우극한이 같아지는 상황을

풀어도 되나. [eqn: a,`b]가 자연수 이므로

구분	[eqn: a=1]	[eqn: a=2]	[eqn: a=3]	[eqn: a=4]	[eqn: a=5]
좌극	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]
우극	[eqn: -9]	[eqn: -8]	[eqn: -7]	[eqn: -6]	[eqn: -5]

구분	[eqn: b=7]	[eqn: b=6]	[eqn: b=5]	[eqn: b=4]	[eqn: b=3]
좌극	[eqn: -3]	[eqn: -4]	[eqn: -5]	[eqn: -6]	[eqn: -7]
우극	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]

[eqn: f(a-)f(b-)=f(a+)`f(b+)] 인 상황은

[eqn: f(1-)f(7-)=-9=f(1+)f(7+)] 인 경우와

[eqn: f(2-)f(6-)=-16=f(2+)f(6+)] 인 경우가 있다.

즉, [eqn: (a`,`b)=(1`,`7)```,``(2`,6)`] 이다.

[eqn: (1`,`7)`] 일 때 [eqn: a+k=b] 이므로 [eqn: k=6] 이어야 한다.

[eqn: (2`,`6)] 일 때 [eqn: a+k=b] 이므로 [eqn: k=4] 이어야 한다.

[eqn: a=1`,`b=7`,`k=6 CDOTS ㉡] 일 때,

[eqn: x=-5]에서 불연속 이므로 조건을 만족하지 않는다.

[eqn: a=2`,`b=6`,`k=4 CDOTS ㉢]일 때,

모든 실수에서 연속이므로 주어진 조건을 만족한다.

즉,. [eqn: a=2`,`b=6`,`k=4] 이므로

[eqn: f(2)=-8`,``f(6)=2`,`f(k)=f(4)=-6] 이다.

그러므로 [eqn: f(2) TIMES f(6) TIMES f(4)=96]

2024년 7월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시      수학 영역 (확통)

다항식 [eqn: (2x+1) ^{5}] 의 전개식에서 [eqn: x ^{2}] 의 계수는?

[2점]

<확통>

③

계수찾기 일반항 [eqn: {} _{5} C _{r} `(2) ^{r} `x ^{r}] 에서 [eqn: r=2] 일 때

[eqn: {} _{5} C _{2} `(2) ^{2} =10 TIMES 4=40]

① [eqn: 30]   ② [eqn: 35]   ③ [eqn: 40]   ④ [eqn: 45]   ⑤ [eqn: 50]

두 사건 □, □ 는 서로 독립이고

[eqn: P(A SMALLINTER B)= {1} over {2}]  , [eqn: P(A ^{c} SMALLINTER B)= {1} over {4}]  일 때,

[eqn: P(A)] 의 값은? (단, [eqn: A ^{`c}] 은 [eqn: A]의 여사건이다.)                                             [3점]

④

[eqn: rmA`,`B]가 독립이므로 [eqn: rm P(A SMALLINTER B)=P(A)`P(B)]

[eqn: rm P(A SMALLINTER B)=P(A)`P(B)= {1} over {2}]이고

[eqn: rm P(A ^{c} SMALLINTER B)P(B-A)= {1} over {4}] 이므로 [eqn: rmP(B)= {3} over {4}] 이다.

[eqn: rm P(A)=][eqn: x]라 하면 [eqn: x TIMES {3} over {4} = {1} over {2}] 에서 [eqn: x= {2} over {3}]

① [eqn: {13} over {24}]   ② [eqn: {7} over {12}]   ③ [eqn: {5} over {8}]   ④ [eqn: {2} over {3}]  ⑤ [eqn: {17} over {24}]

[eqn: 0<a<b]인 두 상수 [eqn: a,`b]에 대하여 이산확률변수

[eqn: X``]의 확률변수를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: a]	[eqn: b]	계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: {1} over {3}]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: 1]

[eqn: rm E it (X)= {5} over {18} ``]일 때, [eqn: ab]의 값은?

⑤

(확률의 총합)[eqn: =1]이므로

[eqn: a+b=1` CDOTS ㉠``(a<b)]

[eqn: E(X)=][eqn: a ^{2} +b ^{2} = {5} over {18} CDOTS ㉡]

[eqn: {4} over {9} = {5} over {18} +2ab] 에서 [eqn: 2ab= {3} over {18}] 이므로 [eqn: ab= {1} over {12}]

[3점]

① [eqn: {1} over {24}]   ② [eqn: {1} over {21}]   ③ [eqn: {1} over {18}]   ④ [eqn: {1} over {15}]   ⑤ [eqn: {1} over {12}]

공이 3개 이상 들어있는 바구니와 숫자 [eqn: 1`,`2`,`3`,`4`,`5,`6`,`7]이 하나씩 적힌 [eqn: 7]개의 비어있는 상자가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한번 던져 나온 눈의 수가

[eqn: n(n=1`,`2,`3,`4,`5,`6)]일 때,

숫자 [eqn: n]이 적힌 상자에 공이 들어 있지 않으면

바구니에 있는 공 [eqn: 1]개를 숫자 [eqn: n]이 적힌 상자에 넣고

숫자 [eqn: n]이 적힌 상자에 공이 들어 있으면

바구니에 있는 공 [eqn: 1]개를 숫자 [eqn: 7]이 적힌 상자에 넣는다.

이 시행을 [eqn: 3]번 반복한 후 숭자 [eqn: 7]이 적힌 상자에    들어 있는 공의 개수가 [eqn: 1]이상일 확률은? [3점]

④

여사건[eqn: rmIdea] : [eqn: 1-rmP LEFT ( 3회`시행시`□상자에`공이`0개 RIGHT )]

[eqn: rmX=][eqn: □]상자에 공이 [eqn: 0]개 들어있는 사건

[eqn: =]주사위를 [eqn: 3]번 던졌을 때 모두 다른 숫자눈 등장

[eqn: n(rmX)= _{6} P _{3}] , [eqn: n( rm S)=rm _{6} PI _{3}] 이므로

[eqn: P(rmX)=][eqn: {6 TIMES 5 TIMES 4} over {6 ^{3}} = {5} over {9}]

따라서 [eqn: p=1- {5} over {9} = {4} over {9}]

① [eqn: {5} over {18}]    ② [eqn: {1} over {3}]    ③ [eqn: {7} over {18}]   ④ [eqn: {4} over {9}]    ⑤ [eqn: {1} over {2}]

□개의 동전 중 임의로 한 개의 동전을 택하여 한 번 뒤집는다.

세 문자 [eqn: rmP`,`Q,`R]중에서 중복을 허락하여 [eqn: 8]개를 택해 일렬로 나열하려고 한다. 다음 조건이 성립하도록 나열하는 경우의 수는? [3점]

②

조건을 만족하는 순서쌍 [eqn: (p`,`q,`r)]은

[eqn: (1`,`2,`5)``,`(1`,3`,4)] 이렇게 두가지 이다.

[eqn: (ⅰ)`] 순서쌍 [eqn: (1`,`2,`5)]일 때

[eqn: rmP,`Q,`Q`,`R,`R,`R,`R,`R`]의 배열 [eqn: {8`!} over {1`!`2!`5!} =168 CDOTS ㉠]

[eqn: (ⅱ)`] 순서쌍 [eqn: (1`,`3,`4)]일 때

[eqn: rm P,`Q,`Q`,`Q,`R,`R,`R,`R`]의 배열 [eqn: {8`!} over {1`!`3!`4!} =280 CDOTS ㉡]

따라서 [eqn: ㉠+㉡=168+280=448]

① [eqn: 440]   ② [eqn: 448]   ③ [eqn: 456]   ④ [eqn: 464]   ⑤ [eqn: 472]

주머니에 [eqn: 1]부터 [eqn: 9]까지의 자연수가  하나씩 적혀

있는 [eqn: 9]개의  공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의      로 공을 한 개씩 [eqn: 4]번 꺼내어 공에 적혀있는 수를      꺼낸 순서대로 [eqn: a,`b,`c,`d]라 하자. [eqn: a TIMES b+c+d]가

홀수 일 때, 두 수 [eqn: a`,`b]가 모두 홀수일 확률은?

[4점 ]

②

[eqn: a TIMES b+c+d=]홀수에서 [eqn: ab=t]라 하면

사건 [eqn: rmX=] [eqn: t+c+d=]홀수 인 사건

사건 [eqn: rmY=][eqn: a`,`b]가 모두 홀수 인 사건 이라 하면

구하는 확률은 [eqn: P`(`Y``□`X`)`]이다.

[eqn: (a`,`b,`c,`d)] 에서

(ⅰ) [eqn: (`홀,`홀,`홀,`홀)]일 때, [eqn: {5} over {9} TIMES {4} over {8} TIMES {3} over {7} TIMES {2} over {6} = {5} over {126}]

(ⅱ) [eqn: (`홀,`홀,`짝,`짝)] 일 때 [eqn: {5} over {9} TIMES {4} over {8} TIMES {4} over {7} TIMES {3} over {6} = {10} over {126}]

(ⅲ) [eqn: (짝,`짝,`짝,`홀)], [eqn: (짝,`짝,`홀,`짝)] 일때

[eqn: {4} over {9} TIMES {3} over {8} TIMES {2} over {7} TIMES {5} over {6} = {5} over {126}] [eqn: (짝,`짝,`짝,`홀)]

[eqn: {4} over {9} TIMES {3} over {8} TIMES {5} over {7} TIMES {2} over {6} = {5} over {126}] [eqn: (짝,`짝,`홀,`짝)]

(ⅳ) [eqn: (`홀,`짝,`홀,`짝)] , [eqn: (`홀,`짝,`짝,`홀)]

[eqn: {5} over {9} TIMES {4} over {8} TIMES {4} over {7} TIMES {3} over {6} = {10} over {126}] [eqn: (`홀,`짝,`홀,`짝)]

[eqn: {5} over {9} TIMES {4} over {8} TIMES {3} over {7} TIMES {4} over {6} = {10} over {126}] [eqn: (`홀,`짝,`짝,`홀)]

(ⅴ) [eqn: (`짝,`홀,`홀,`짝)] , [eqn: (짝,`홀,`짝,`홀)]

[eqn: {4} over {9} TIMES {5} over {8} TIMES {4} over {7} TIMES {3} over {6} = {10} over {126}][eqn: (`짝,`홀,`홀,`짝)]

[eqn: {4} over {9} TIMES {5} over {8} TIMES {3} over {7} TIMES {4} over {6} = {10} over {126}][eqn: (짝,`홀,`짝,`홀)]

따라서

[eqn: P`(`Y``□`X`)`= {{5+10} over {126}} over {{5+10+5+5+10+10+10+10} over {126}} = {15} over {65} = {3} over {13}]

① [eqn: {5} over {26}]  ② [eqn: {3} over {13}]  ③ [eqn: {7} over {26}]  ④ [eqn: {4} over {13}]  ⑤ [eqn: {9} over {26}]

두 양수 [eqn: m`,`` sigma]에 대하여 확률변수 □ 는 정규분포 [eqn: rmN(m`,`1 ^{2} )] , 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포       [eqn: rm N(m ^{2} +2m+16`,`` sigma ^{2} )] 을 따르고. 두 확률변수    [eqn: X`,`Y] 는 [eqn: rmP(][eqn: X LEQ 0)=rmP(][eqn: Y LEQ 0)]을 만족시킨다.

[eqn: sigma]의 값이 최소가  되도록 하는 [eqn: m]의 값을 [eqn: m _{1}]이      라 하자. [eqn: m=m _{1}]일 때, 두 확률변수 [eqn: X,`Y]에 대      하여  [eqn: rmP(][eqn: X GEQ 1)= rm P(][eqn: Y LEQ k)]를 만족시키는 상수      [eqn: k]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 70]

[eqn: X]는 [eqn: N`(m`,`1 ^{2} )], [eqn: Y]는 [eqn: N(m ^{2} +2m+16`,`` sigma ^{2} )]

[eqn: rm P(][eqn: X LEQ 0)= rm P(][eqn: Y LEQ 0)] 에서 표준화 하면

[eqn: P(X LEQ 0)=][eqn: P LEFT ( Z LEQ {0-m} over {1} RIGHT ) =P(Z LEQ -m)] 이고

[eqn: P(Y LEQ 0)=][eqn: P(Z LEQ -m ^{2} -2m-16)] 이다.

[eqn: m= {m ^{2} +2m+16} over {sigma }] 에서 [eqn: sigma =m+2+ {16} over {m} ` CDOTS ㉠] [eqn: ( BECAUSE `m>0)]

[eqn: ㉠]에서 [eqn: m>0] 이므로 산술기하

[eqn: sigma =2+m+ {16} over {m} GEQ 2+ sqrt {m`· {16} over {m}}]

[eqn: GEQ 2+8]   (단,[eqn: m=4] 일 때 등호성립)

[eqn: sigma]의 최솟값은 [eqn: 10] 이고 그때의 [eqn: m=m _{1} =4` CDOTS ㉡] 이다.

[eqn: rm P(][eqn: X GEQ 1)= rm P(][eqn: Y LEQ k)] 에서

[eqn: P(X GEQ 1)=P(Z GEQ -3)] 이고

[eqn: P(Y LEQ k)=P LEFT ( Z LEQ {k-40} over {10} RIGHT )] 이다.

즉, [eqn: {k-40} over {10} =3] 이므로 [eqn: k=70]

두 집합 [eqn: X= LEFT { 1`,`2,`3,`4 RIGHT } `,] [eqn: Y= LEFT { 1,`2,`,3,`4,`5,`6 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f`:`X`` -> `X]의 개수를 구하시오. [4점]

[eqn: 198]

조건 (나) [eqn: f(1)`+`f(2)=]짝수에서 순서쌍 [eqn: (f(1),`f(2))]는

[eqn: (짝,`짝)`]또는 [eqn: (홀`,`홀)] 이고 [eqn: f(1)=f(2)`]또는 [eqn: f(1) != f(2)]

상황이 있다.

조건 (가) 중복조합 아이디어 문제임을 알 수 있다.

[eqn: {BOX{``1st``}}] [eqn: (짝,`짝)`] 이고 [eqn: f(1)=f(2)`]일 때,

(ⅰ) [eqn: f(1)=f(2)=2] 일 때,

[eqn: 2 LEQ 2 LEQ 2+f(3) LEQ 2+f(4)]에서

[eqn: 0 LEQ f(3) LEQ f(4)]

[eqn: 1 LEQ f(3) LEQ f(4)]이므로 [eqn: rm _{6} H _{2} = _{7} C _{2}]

(ⅱ) [eqn: f(1)=f(2)=4] 일 때,

[eqn: 4 LEQ 4 LEQ 4+f(3) LEQ 4+f(4)]

[eqn: 1 LEQ f(3) LEQ f(4)] 이므로 [eqn: rm _{6} H _{2} = _{7} C _{2}]

(ⅲ) [eqn: f(1)=f(2)=6] 일 때,

[eqn: 4 LEQ 4 LEQ 4+f(3) LEQ 4+f(4)]

[eqn: 1 LEQ f(3) LEQ f(4)] 이므로 [eqn: rm _{6} H _{2} = _{7} C _{2}]

따라서 이 상황은 [eqn: 3 TIMES _{7} C _{2} =63 CDOTS ㉠]

[eqn: {BOX{``2nd``}}] [eqn: (짝,`짝)`] 이고 [eqn: f(1) != f(2)`]일 때,

(ⅰ) [eqn: f(1)=2`,`f(2)=4] 일 때,

[eqn: 2 LEQ 4 LEQ 2+f(3) LEQ 2+f(4)]

[eqn: 2 LEQ f(3) LEQ f(4)] 이므로 [eqn: rm _{5} H _{2} = _{6} C _{2}]

(ⅱ) [eqn: f(1)=2`,`f(2)=6] 일 때,

[eqn: 2 LEQ 6 LEQ 2+f(3) LEQ 2+f(4)]

[eqn: 4 LEQ f(3) LEQ f(4)] 이므로 [eqn: rm _{3} H _{2} = _{4} C _{2}]

(ⅲ) [eqn: f(1)=4`,`f(2)=6]

[eqn: 4 LEQ 6 LEQ 4+f(3) LEQ 4+f(4)]

[eqn: 2 LEQ f(3) LEQ f(4)] 이므로 [eqn: rm _{5} H _{2} = _{6} C _{2}]

따라서 이 상황은 [eqn: 2 TIMES _{6} C _{2} + _{4} C _{2} =36 CDOTS ㉡]

[eqn: {BOX{``3rd``}}] [eqn: (홀,`홀)`] 이고 [eqn: f(1)=f(2)`]일 때,

(ⅰ) [eqn: f(1)=f(2)=1] 일 때,

[eqn: 1 LEQ 1 LEQ 1+f(3) LEQ 1+f(4)]

[eqn: 0 LEQ f(3) LEQ f(4)]

[eqn: 1 LEQ f(3) LEQ f(4)]이므로 [eqn: rm _{6} H _{2} = _{7} C _{2}]

(ⅱ) [eqn: f(1)=f(2)=3] 일때와 (ⅲ) [eqn: f(1)=f(2)=5] 일때도

경우의 수는 각각 [eqn: rm _{6} H _{2} = _{7} C _{2}]로 같다.

따라서 이 상황은  [eqn: 3 TIMES _{7} C _{2} =63 CDOTS ㉢]

[eqn: {BOX{``4th``}} `] [eqn: (홀,`홀)`] 이고 [eqn: f(1) != f(2)`]일 때,

(ⅰ) [eqn: f(1)=1`,`f(2)=3] 일 때,

[eqn: 1 LEQ 3 LEQ 1+f(3) LEQ 1+f(4)]

[eqn: 2 LEQ f(3) LEQ f(4)] 이므로 [eqn: rm _{5} H _{2} = _{6} C _{2}]

(ⅱ) [eqn: f(1)=1`,`f(2)=5] 일 때

[eqn: 1 LEQ 5 LEQ 1+f(3) LEQ 1+f(4)]

[eqn: 4 LEQ f(3) LEQ f(4)] 이므로 [eqn: rm _{3} H _{2} = _{4} C _{2}]

(ⅲ) [eqn: f(1)=3`,`f(2)=5] 일 때

[eqn: 3 LEQ 5 LEQ 3+f(3) LEQ 3+f(4)]

[eqn: 2 LEQ f(3) LEQ f(4)] 이므로 [eqn: rm _{5} H _{2} = _{6} C _{2}]

따라서 이 상황은 [eqn: 2 TIMES _{6} C _{2} + _{4} C _{2} =36 CDOTS ㉣]

따라서 [eqn: ㉠+㉡+㉢+㉣=2(㉠+㉡)=2 TIMES 99=198]

(가) [eqn: f(1)` LEQ f(2)` LEQ f(1)+f(3) LEQ f(1)+f(4)]

(나) [eqn: f(1)+f(2)]는 짝수이다.

7월 해설