수능대비	단원별 기출문제	수학2

01

수열의 극한

수열의 극한(2,3점)

[eqn: lim _{n -> INF } {} {1} over {sqrt {n ^{2} +n+1} -n}]의 값은? [2점][21년 6월 평가원]

②

[출제의도] 수열의 극한값을 구할 수 있는가?

[eqn: lim _{ n->inf} { 1 over{ sqrt{n^2 +n+1} -n} }][eqn: = lim _{ n->inf} { { sqrt{n^2 +n+1} +n } overn+1 }]
[eqn: =lim _{ n->inf} { { sqrt{ 1+ 1 overn + 1 overn^2 } +1} over{ 1+ 1 overn}}]
[eqn: = 1+1 over1 =2]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {10n ^{3} -1} over {LEFT ( n+2 RIGHT ) LEFT ( 2n ^{2} +3 RIGHT )}]의 값은? [2점][21년 3월 교육청]

⑤

[출제의도] 수열의 극한값을 계산한다.

[eqn: lim _{n` rarrow INF } {{10n ^{3} -1} over {LEFT ( n+2 RIGHT ) LEFT ( 2n ^{2} +3 RIGHT )}][eqn: = lim _{n` rarrow INF } {{10- {1} over {n ^{3}}} over {LEFT ( 1+ {2} over {n} RIGHT ) LEFT ( 2+ {3} over {n ^{2}} RIGHT )} =5}} `]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

[eqn: lim _{n `-> `INF } {{2 TIMES 3 ^{`n+1} +5} over {3 ^{`n}`it +2 ^{`n+1}} }`]의 값은? [2점][9월 평가원]

③

[출제의도] 등비수열의 극한을 이용하여 극한값을 구할 수 있는가?

[eqn: lim _{n `rarrow `inf} ``{} {2 TIMES 3 ^{`n+1} +5} over {3 ^{`n} +2 ^{`n+1}}][eqn: = lim _{n` rarrow ` INF } ``{} {6+5 TIMES LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n}} over {1+2 TIMES LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n}}]
[eqn: = {6+5 TIMES 0} over {1+2 TIMES 0}]
[eqn: =6]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {2 ^{n} +3 ^{n+1}} over {3 ^{n} +1}]의 값은? [2점][21년 4월 교육청]

⑤

[출제의도] 수열의 극한 계산하기

[eqn: lim _{n -> INF } {} {2 ^{n} +3 ^{n+1}} over {3 ^{n} +1}][eqn: = lim _{n -> INF } {} {LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n} +3} over {1+ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n}}][eqn: = {0+3} over {1+0}][eqn: =3]

① [eqn: {5} over {3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {7} over {3}]	④ [eqn: {8} over {3}]	⑤ [eqn: 3]

자연수 [eqn: r]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {} {3 ^{n} +r ^{n+1}} over {3 ^{n} +7 TIMES r ^{n}}][eqn: =1]이 성립하도록 하는 모든 [eqn: r]의 값의 합은? [3점][7월 교육청]

④

[출제의도] 수열의 극한 이해하기

(ⅰ) [eqn: 1 LEQ r<3]일 때
[eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( {r} over {3} RIGHT ) ^{n}][eqn: =0]이고
[eqn: lim _{n -> INF } {} {3 ^{n} +r ^{n+1}} over {3 ^{n} +7 TIMES r ^{n}}][eqn: = lim _{n -> INF } {} {1 TIMES r TIMES LEFT ( {r} over {3} RIGHT ) ^{n}} over {1+7 TIMES LEFT ( {r} over {3} RIGHT ) ^{n}}][eqn: =1]
이므로 [eqn: r]는 [eqn: 1,~2]

(ⅱ) [eqn: r=3]일 때
[eqn: lim _{n -> INF } {} {3 ^{n} +3 ^{n+1}} over {3 ^{n} +7 TIMES 3 ^{n}}][eqn: = lim _{n -> INF } {} {4 TIMES 3 ^{n}} over {8 TIMES 3 ^{n}}][eqn: = {1} over {2}]이므로
주어진 식은 성립하지 않는다.

(ⅲ) [eqn: r>3]일 때
[eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( {3} over {r} RIGHT ) ^{n}][eqn: =0]
[eqn: lim _{n -> INF } {} {3 ^{n} +r ^{n+1}} over {3 ^{n} +7 TIMES r ^{n}}][eqn: = lim _{n -> INF } {} {LEFT ( {3} over {r} RIGHT ) ^{n} +r} over {LEFT ( {3} over {r} RIGHT ) ^{n} +7}][eqn: = {r} over {7}][eqn: =1]
이므로 [eqn: r]는 [eqn: 7]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여

주어진 식이 성립하도록 하는 자연수 [eqn: r]는

[eqn: 1,~2,~7]

따라서 모든 [eqn: r]의 값의 합은 [eqn: 1+2+7][eqn: =10]

① [eqn: 7`]	② [eqn: 8`]	③ [eqn: 9`]	④ [eqn: 10`]	⑤ [eqn: 11`]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 일반항이
[eqn: a _{n}][eqn: = LEFT ( {x ^{2} -4x} over {5} RIGHT ) ^{n}]
일 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 개수는? [3점][21년 3월 교육청]

①

[출제의도] 등비수열의 수렴 조건을 이해한다.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 수렴하려면

[eqn: -1< {x ^{2} -4x} over {5} LEQ 1]에서
[eqn: {cases{`x ^{2} -4x+5>0_`#`x ^{2} -4x-5 LEQ 0}}]

[eqn: x ^{2} -4x+5>0]에서 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +1>0]이므로 모든 정수 [eqn: x`]에 대하여 부등식이 성립한다.

[eqn: x ^{2} -4x-5 LEQ 0]에서

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT ) LEQ 0], [eqn: -1 LEQ x LEQ 5]

따라서 모든 정수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 7`]이다.

① [eqn: 7`]	② [eqn: 8`]	③ [eqn: 9`]	④ [eqn: 10`]	⑤ [eqn: 11`]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여	[eqn: a _{n+1}][eqn: =a _{1} `a _{n}]

④

[출제의도] 등비수열이 포함된 수열의 극한값을 구한다.

[eqn: a_n+1 =a_1 a_n `]이므로 수열 [eqn: left{a_n right}`]은 첫째항이 [eqn: a_1], 공비가 [eqn: a_1 `]인 등비수열이다.

그러므로 [eqn: a_n ={a_1} ^{```n}`]([eqn: a_1 >0])

(ⅰ) [eqn: 0<a_1 <1`]인 경우
[eqn: lim_{n->inf}{`a_n}=0`]이므로
[eqn: lim_{n->inf}{{3a_n+3 -5}over{2a_n +1}][eqn: =it-5][eqn: !=12]

(ⅱ) [eqn: a_1 =1`]인 경우
[eqn: lim_{n->inf}{`a_n}=1`]이므로
[eqn: lim_{n->inf}{{3a_n+3 -5}over{2a_n +1}][eqn: =it- 2over3][eqn: !=12]

(ⅲ) [eqn: a_1 >1`]인 경우
[eqn: lim_{n->inf}{1over a_n}=0`]이므로
[eqn: lim_{n->inf}{{3a_n+3 -5}over{2a_n +1}][eqn: =lim_{n->inf}{{{3a_1`^3 - 5over{a_n}}over{2+ 1overa_n }}][eqn: = 3over2 a_1 `^3]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여
[eqn: 3over2 a_1 `^3 =12], [eqn: a_1 `^3 = 8]

따라서 [eqn: a_1 =2`]

을 만족시킨다. [eqn: lim _{n -> INF } {} {3a _{n+3} -5} over {2a _{n} +1}][eqn: =12]일 때, [eqn: a _{1}]의 값은? [3점][21년 3월 교육청]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

②

[출제의도] 수열의 극한의 대소 관계를 이해한다.

[eqn: 2n ^{2} -3<a _{n} <2n ^{2} +4`]에서
[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 2k ^{2} -3 RIGHT )][eqn: <S_n < sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 2k ^{2} +4 RIGHT )]
이때

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 2k ^{2} -3 RIGHT )][eqn: =2 TIMES {n(n+1)(2n+1)} over {6} -3n]
[eqn: ={n left(2n^2 +3n -8 right) } over {3 }]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 2k ^{2} +4 RIGHT )][eqn: =2 TIMES {n(n+1)(2n+1)} over {6} +4n]
[eqn: ={n left(2n^2 +3n +13 right) } over {3 }]

[eqn: {n left(2n^2 +3n -8 right) } over {3 n^3 }][eqn: < S_n overn^3][eqn: <{n left(2n^2 +3n +13 right) } over {3n^3 }]

[eqn: lim_{n`->`inf}{{n left(2n^2 +3n -8 right) } over {3 n^3 }}][eqn: =lim_{n`->`inf}{{n left(2n^2 +3n +13 right) } over {3 n^3 }}= 2over3`]

이므로

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {} {S _{n}} over {n ^{3}} = {2} over {3} `]

[eqn: 2n ^{2} -3<a _{n} <2n ^{2} +4]

를 만족시킨다. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {S _{n}} over {n ^{3}}]의 값은? [3점][21년 3월 교육청]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: {5} over {6}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {7} over {6}]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

③

[출제의도] 수열의 극한에 대한 성질을 이해한다.

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {LEFT ( k-1 RIGHT ) !} = {3} over {LEFT ( n+2 RIGHT ) !} `]이므로

[eqn: n=1`]일 때, [eqn: {a _{1}} over {0!} = {3} over {3!} `]에서 [eqn: a _{1} = {1} over {2}]

[eqn: n ge2`]일 때,

[eqn: {a _{n}} over {LEFT ( n-1 RIGHT ) !}][eqn: =sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {LEFT ( k-1 RIGHT ) !}-sum _{k=1} ^{n-1} {a _{k}} over {LEFT ( k-1 RIGHT ) !}]
[eqn: = {3} over {LEFT ( n+2 RIGHT ) !} - {3} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) !} `]

[eqn: a _{n} `][eqn: = {3 LEFT ( n-1 RIGHT ) !} over {LEFT ( n+2 RIGHT ) !} - {3 LEFT ( n-1 RIGHT ) !} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) !} `]
[eqn: = {3} over {LEFT ( n+2 RIGHT ) LEFT ( n+1 RIGHT ) n} - {3} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) n} `]
[eqn: = {-3n-3} over {LEFT ( n+2 RIGHT ) LEFT ( n+1 RIGHT ) n}]
[eqn: = {-3} over {n LEFT ( n+2 RIGHT )}]

[eqn: lim _{n` -> INF } {LEFT ( a _{1} +n ^{2} a _{n} RIGHT )} `][eqn: = lim _{n` -> INF } {LEFT ( {1} over {2} - {3n} over {n+2} RIGHT )}]
[eqn: = {1} over {2} -3= it - {5} over {2} `]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {LEFT ( n-1 RIGHT ) !}][eqn: = {3} over {LEFT ( n+2 RIGHT ) !}]

을 만족시킨다. [eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( a _{1} +n ^{2} `a _{n} RIGHT )]의 값은? [3점][21년 3월 교육청]

① [eqn: - {7} over {2}]	② [eqn: -3]	③ [eqn: - {5} over {2}]	④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: - {3} over {2}]

수열의 극한(4점)

자연수 [eqn: n]에 대하여 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x LEFT ( x-n RIGHT ) LEFT ( x-3n ^{2} RIGHT )]이 극대가 되는 [eqn: x]를 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( a _{n} RIGHT )]의 근 중에서 [eqn: a _{n}]이 아닌 근을 [eqn: b _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n} `b _{n}} over {n ^{3}}][eqn: = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점][21년 3월 교육청]

[eqn: 5]

[출제의도] 수열의 극한의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: f(x)][eqn: =x left(x-n right)left(x-3n^2 right)]
[eqn: =x^3 -left(3n^2 +n right) x^2 +3n^3 x]

[eqn: f`'(x)=3x^2 -2(3n^2 +n)x+3n^3]

[eqn: f`'(x)=0`]에서

[eqn: x= {3n^2 +n-sqrt{9n^4 -3n^3 +n^2 }} over {3 }]

또는 [eqn: x= {3n^2 +n+sqrt{9n^4 -3n^3 +n^2 }} over {3 }]

함수 [eqn: f(x)`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수이므로

[eqn: x= {3n^2 +n-sqrt{9n^4 -3n^3 +n^2 }} over {3 }]에서 극댓값을 갖는다.

즉 [eqn: a_{`n}= {3n^2 +n-sqrt{9n^4 -3n^3 +n^2 }} over {3 }]

[eqn: lim_{n`->`inf}{{a_{`n}}overn}][eqn: =lim_{n`->`inf}{ {3n^2 +n-sqrt{9n^4 -3n^3 +n^2 }} over {3n }]
[eqn: =lim_{n`->`inf}{ {3n +1-sqrt{9n^2 -3n +1 }} over {3 }]
[eqn: =lim_{n`->`inf}{ {left(3n +1right)^2 - left(9n^2 -3n +1right)} over {3left(3n +1 +sqrt{9n^2 -3n +1 } right)}]
[eqn: =lim_{n`->`inf}{ {3n }over{3n +1 +sqrt{9n^2 -3n +1 }}}]
[eqn: =lim_{n`->`inf}{ {3 }over{3 + 1overn +sqrt{9 - 3 overn + 1overn^2 }}}]
[eqn: = 1over2]

방정식 [eqn: f(x)-f left(a_{`n} right)=0]은 [eqn: x=a_{`n}`]을 중근으로 가지고, [eqn: a_{`n}`]이 아닌 근이 [eqn: b_{`n}`]이므로

[eqn: f(x)-f(a_{n})=(x-a_{n})^{2}(x-b_{n})`]

[eqn: x=0`]을 대입하면 [eqn: f(0)=0`]이므로 [eqn: f(a_{n})=a_{n} ^{```2} b_{n}]에서

[eqn: a_{`n}^{```2}b_{`n}`][eqn: ={a_{`n} ^{```3} -left(3n^2 +n right) {a_{`n}^{```2} +3n^3 a_{`n}]

양변을 [eqn: n^3 {a_{`n}}`]으로 나누면

[eqn: {a_{`n}b_{`n}}over{n^3 }][eqn: ={{a_{`n} ^{```2} -left(3n^2 +n right) {a_{`n} +3n^3 }}over{n^3 }]

이때

[eqn: lim_{n`->`inf}{{a_{`n}b_{`n}}over{n^3 }}][eqn: =lim_{n`->`inf}{{{a_{`n} ^{```2} -left(3n^2 +n right) {a_{`n} +3n^3 }}over{n^3 }}]
[eqn: =lim_{n`->`inf}{left{1overn times left( {a_{`n}}overn right)^2 }- {3n^2 +n }overn^2 times a_n overn +3 right}]
[eqn: = 0-3 times 1over2 +3][eqn: = 3over2]

[eqn: p=2], [eqn: q=3`]이므로

[eqn: p+q=5]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{n -> INF } {} {ax ^{2n} +bx ^{2n-1} +x} over {x ^{2n} +2}] ([eqn: a,~b]는 양의 상수)

[eqn: 13]

[출제의도] 수열의 극한을 이용하여 추론하기

[eqn: LEFT | `x` RIGHT | >1]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {1} over {x ^{2n}}][eqn: =0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{n -> INF } {} {a+ {b} over {x} + {1} over {x ^{2n-1}}} over {1+ {2} over {x ^{2n}}}][eqn: =a+ {b} over {x}]

[eqn: x=1]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = {a+b+1} over {3}]

[eqn: x= it -1]일 때, [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: = {a-b-1} over {3}]

[eqn: LEFT | `x` RIGHT | <1]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} x ^{2n}][eqn: =0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{n -> INF } {} {ax ^{2n} +bx ^{2n-1} +x} over {x ^{2n} +2}][eqn: = {0+0+x} over {0+2}][eqn: = {x} over {2}]

따라서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{eqalign{a+ {b} over {x}# # {a+b+1} over {3}# }&eqalign{~~~ LEFT ( LEFT | `x` RIGHT | >1 RIGHT )# # # ~~~ LEFT ( x=1 RIGHT )# }#eqalign{{a-b-1} over {3}# # {x} over {2}# }&eqalign{~~~ LEFT ( x=-1 RIGHT )# # # ~~~ LEFT ( LEFT | `x` RIGHT | <1 RIGHT )# }}}]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( x-1 RIGHT ) +m]이라 하면

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( x-1 RIGHT ) +m]의 실근의 개수는

두 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점의 개수와 같다.

[eqn: x< it -1]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 감소하고 [eqn: x>1]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 감소하므로

[eqn: LEFT | `x` RIGHT | >1]에서 두 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점의 개수의 최댓값은 [eqn: 2]이고,

[eqn: LEFT | `x` RIGHT | <1]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: {1} over {2}]인 일차함수이므로 두 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점의 개수의 최댓값은 [eqn: 1]이다.

그러므로 [eqn: c _{k}][eqn: =5]인 자연수 [eqn: k]가 존재하려면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =g LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: =g LEFT ( -1 RIGHT )]이어야 하고, 두 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 그림과 같아야 한다.

즉, 직선 [eqn: y][eqn: =2 LEFT ( x-1 RIGHT ) +k]는

두 점 [eqn: LEFT ( 1,~ {a+b+1} over {3} RIGHT )], [eqn: LEFT ( -1,~ {a-b-1} over {3} RIGHT )]을 지나므로

[eqn: {a+b+1} over {3}][eqn: =k], [eqn: {a-b-1} over {3}][eqn: =k-4]에서

[eqn: b=5]

[eqn: k][eqn: = {a} over {3} +2]가 자연수이므로 [eqn: a]는 [eqn: 3]의 배수이다.	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: lim _{x -> -1-} {} f LEFT ( x RIGHT ) <f LEFT ( -1 RIGHT ) < lim _{x -> -1+} {} f LEFT ( x RIGHT )]이어야 하므로

[eqn: a-5< {a} over {3} -2< it - {1} over {2}]에서 [eqn: a< {9} over {2}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

[eqn: a>0]이므로 [eqn: {1} over {2} < {a} over {3} +2<a+5]가 성립하며

[eqn: lim _{x -> 1-} {} f LEFT ( x RIGHT ) <f LEFT ( 1 RIGHT ) < lim _{x -> 1+} {} f LEFT ( x RIGHT )]를 만족시킨다.

㉠, ㉡에 의해 [eqn: 0<a< {9} over {2}]이므로 [eqn: a=3], [eqn: k=3]

(ⅰ) [eqn: m=1]일 때
[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: = it -3], [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1]이므로 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: -1<x<1], [eqn: x>1]에서 각각 [eqn: 1]개씩 교점을 갖는다.
그러므로 [eqn: c _{1}][eqn: =2]

(ⅱ) [eqn: m=2]일 때
[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: = it -2], [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2]이므로 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: x][eqn: =0], [eqn: x>1]에서 각각 [eqn: 1]개씩 교점을 갖는다.
그러므로 [eqn: c _{2}][eqn: =2]

(ⅲ) [eqn: m=3]일 때
[eqn: m][eqn: =k][eqn: =3]이므로 [eqn: c _{3}][eqn: =5]

(ⅳ) [eqn: 4 LEQ m LEQ 7]일 때
[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) > lim _{x -> -1+} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it - {1} over {2}],
[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) < lim _{x -> 1+} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =8]이므로
[eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: x< it -1], [eqn: x>1]에서 각각 [eqn: 1]개씩 교점을 갖는다.
그러므로 [eqn: c _{m}][eqn: =2]

(ⅴ) [eqn: m GEQ 8]일 때
[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) > lim _{x -> -1+} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it - {1} over {2}],
[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: GEQ lim _{x -> 1+} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =8]이므로
[eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: x< it -1]에서 [eqn: 1]개의 교점을 갖는다.
그러므로 [eqn: c _{m}][eqn: =1]

(ⅰ)~(ⅴ)에 의해

[eqn: k+ sum _{m=1} ^{INF } LEFT ( c _{m} -1 RIGHT )][eqn: =3+1+1+4+1 TIMES 4][eqn: =13]

라 하자. 자연수 [eqn: m]에 대하여 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( x-1 RIGHT ) +m]의 실근의 개수를 [eqn: c _{m}]이라 할 때, [eqn: c _{k}][eqn: =5]인 자연수 [eqn: k]가 존재한다. [eqn: k+ sum _{m=1} ^{INF } LEFT ( c _{m} -1 RIGHT )]의 값을 구하시오. [4점][21년 4월 교육청]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: ANGLE rm A][eqn: =90°], [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =2], [eqn: {bar{rm CA}}][eqn: =n]인 삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: ANGLE rm A]의 이등분선이 선분 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. 선분 [eqn: rmCD]의 길이를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( n-a _{n} RIGHT )]의 값은? [4점][21년 3월 교육청]

③

[출제의도] 삼각형의 성질을 이용하여 수열의 극한에 대한 문제를 해결한다.

직각삼각형 [eqn: rmABC`]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{BC}} ^{2} = rm {bar{AB}} ^{2} + rm {bar{CA}} ^{2}][eqn: =4+n^2]

[eqn: rm {bar{BC}} = sqrt {itn ^{2} +4}]

선분 [eqn: rmAD`]가 [eqn: rm ANGLE A`]의 이등분선이므로

[eqn: rm {bar{BD}} : rm {bar{CD}} =2:itn]

즉 [eqn: a_{`n}={bar{rm CD it}} = {n} over {n+2} TIMES {bar{rm BC it}}][eqn: = {n sqrt {n ^{2} +4}} over {n+2}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } { LEFT ( n- a_{`n} RIGHT )}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( n- {n sqrt {n ^{2} +4}} over {n+2} RIGHT )]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } { {n LEFT ( n+2- sqrt {n ^{2} +4} RIGHT )} over {n+2} }]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT { {n} over {n+2} TIMES {LEFT ( n+2 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( n ^{2} +4 RIGHT )} over {n+2+ sqrt {n ^{2} +4}} RIGHT }]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( {n} over {n+2} TIMES {4n} over {n+2+ sqrt {n ^{2} +4}} RIGHT )]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } { LEFT ( {1} over {1+ 2overn }times {4} over {1+ 2overn + sqrt {1 + 4overn^2}} RIGHT )]
[eqn: =2]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 4]

자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y][eqn: =x ^{2}] 위의 점 [eqn: rm P it _{itn} LEFT ( it2n,~4n ^{2} RIGHT )]에서의 접선과 수직이고 점 [eqn: rm Q it _{itn} LEFT ( 0,~it2n ^{2} RIGHT )]을 지나는 직선을 [eqn: l _{n}]이라 하자. 점 [eqn: rmP _{itn}]을 지나고 점 [eqn: rmQ _{itn}]에서 직선 [eqn: l _{n}]에 접하는 원을 [eqn: C _{n}]이라 할 때, 원점을 지나고 원 [eqn: C _{n}]의 넓이를 이등분하는 직선의 기울기를 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {n}]의 값을 구하시오. [4점][21년 3월 교육청]

[eqn: 12]

[출제의도] 접선의 성질을 이용하여 수열의 극한에 대한 문제를 해결한다.

점 [eqn: rm`Q _{itn`}]을 지나고 직선 [eqn: l _{n} `]에 수직인 직선을 [eqn: m_n `]이라 하면 원 [eqn: C_n `]의 중심은 직선 [eqn: m_n] 위에 존재한다. 직선 [eqn: m_n`]은 곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 점 [eqn: rmP_{it n}`]에서의 접선과 평행하고 [eqn: y'=2x`]이므로 직선 [eqn: m_n `]의 기울기는 [eqn: 4n`]이다. 직선 [eqn: m_n`]이 점 [eqn: rmQ_{it n}`]을 지나므로 직선 [eqn: m_n`]의 방정식은

[eqn: y= it 4nx+2n ^{2}]

선분 [eqn: rm P _{it n rm} Q_{itn }]의 수직이등분선을 [eqn: k_n`]이라 하면 원 [eqn: C _{n} `]의 중심은 직선 [eqn: k_n] 위에 존재한다.
직선 [eqn: rm P _{it n rm} Q _{it n rm} `]의 기울기는 [eqn: n`], 선분 [eqn: rm P _{it n rm} Q_{itn }]의 중점의 좌표는 [eqn: LEFT ( n,``3n ^{2} RIGHT )`]이므로 직선 [eqn: k_n]의 방정식은

[eqn: y= it - {1} over {n} LEFT ( x-n RIGHT ) +3n ^{2} `]

[eqn: y= it - {1} over {n} x +3n ^{2} +1`]

원 [eqn: C _{n} `]의 중심은 두 직선 [eqn: m _{n}], [eqn: k _{n} `]의 교점이므로 원 [eqn: C_n `]의 중심의 좌표를 [eqn: LEFT ( x _{n} ,``y _{n} RIGHT ) `]이라 하면

[eqn: 4nx _{n} +2n ^{2} = it - {1} over {n} x _{n} +3n ^{2} +1`]에서

[eqn: LEFT ( 4n+ {1} over {n} RIGHT ) x _{n} =n ^{2} +1]

[eqn: x _{n} = {n ^{3} +n} over {4n ^{2} +1}]

[eqn: y _{n} = 4n times {n ^{3} +n } over {4n ^{2} +1} +2n ^{2} `= {12n ^{4} +6n ^{2}} over {4n^2 +1}]

원점을 지나고 원 [eqn: C _{n} `]의 넓이를 이등분하는 직선은 이 원의 중심을 지나야 하므로
[eqn: a _{n} = {y _{n}} over {x _{n}} = {12n ^{4} +6n ^{2}} over {n ^{3} +n} `][eqn: = {12n^3 +6n}over{n^2 +1}]

따라서
[eqn: lim _{n` -> INF } {{a _{n}} over {n} =} lim _{n` -> INF } {{12n^2 +6} over {n ^{2} +1}} =12`]

급수(2,3점)

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n} -4n} over {n} =1`]일 때, [eqn: lim _{n `rarrow `INF } {{5n+ a _{n}} over {3n-1} `]의 값은? [3점][10월 교육청]

③

[출제의도] 수렴하는 급수의 성질을 이해하여 극한값을 구한다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n} -4n} over {n}][eqn: =1`]이므로 [eqn: lim _{n` rarrow ` INF } { {a _{n} -4n} over {n}}][eqn: = lim _{n` rarrow ` INF } {left( {a _{n}} over {n} -4right)}][eqn: =0]

[eqn: lim _{n`->`inf} {{a _{n}} over {n}}][eqn: =lim _{n`->`inf} { left{ left( {a _{n}} over {n}} -4 right) +4 right}][eqn: = lim _{n` rarrow ` INF } {left( {a _{n}} over {n} -4right)+ lim _{n`->`inf} {4}}][eqn: =0+4][eqn: =4]

[eqn: lim _{n`->`inf} {{5n+a _{n}} over {3n-1}}][eqn: = lim _{n`->`inf} {{5+ {a _{n}} over {n}} over {3- {1} over {n}}}][eqn: = {5+4} over {3-0}][eqn: =3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {n} -2 RIGHT )][eqn: =5]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {2n ^{2} +3n`a _{n}} over {n ^{2} +4}]의 값은? [3점][21년 4월 교육청]

④

[출제의도] 급수의 성질 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {n} -2 RIGHT )]가 수렴하므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {n}][eqn: =2]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {} {2n ^{2} +3n`a _{n}} over {n ^{2} +4}][eqn: = lim _{n -> INF } {} {2+3 TIMES {a _{n}} over {n}} over {1+ {4} over {n ^{2}}}][eqn: = {2+3 TIMES 2} over {1+0}][eqn: =8]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

등비급수 도형의 활용(2,3점)

그림과 같이 [eqn: rm {bar{AB _{`1}}}``IT =1], [eqn: rm {bar{B _{`1`} C _{`1`}}} ``it=2]인 직사각형 [eqn: rmAB _{`1`} C _{`1`} D _{`1}]이 있다. [eqn: rm ANGLE AD _{`1`} C _{`1}]을 삼등분하는 두 직선이 선분 [eqn: rmB _{`1`} C _{`1}]과 만나는 점 중 점 [eqn: rmB _{`1}]에 가까운 점을 [eqn: rmE _{`1}], 점 [eqn: rmC _{`1}]에 가까운 점을 [eqn: rm F _{1}]이라 하자.

③

[출제의도] 한없이 반복되는 도형에서 등비급수를 활용하여 넓이의 합에 대한 극한값을 구할 수 있는가?

직각삼각형 [eqn: rmC _{1} D _{1} F _{1}]에서 [eqn: ANGLE rm C _{1} D _{1} F _{1} = {pi } over {6}], [eqn: BAR{RMC _{1} D _{1} `}=1]이므로

[eqn: {bar{rm C _{1} F _{1}}} = {bar{rm C _{1} D _{1}}} TIMES `tan {pi } over {6} =1 TIMES {sqrt {3}} over {3} = {sqrt {3}} over {3}]

직각삼각형 [eqn: rm C _{1} D _{1} E _{1}]에서 [eqn: ANGLE rm C _{1} D _{1} E _{1} = {pi } over {3}]이므로

[eqn: {bar{rm C _{1} E _{1}}} = {bar{rm C _{1} D _{1}}} TIMES `tan {pi } over {3} =1 TIMES sqrt {3} = sqrt {3}]

이때,

[eqn: {bar{rm E _{1} F _{1}}} = {bar{rm C _{1} E _{1}}} - {bar{rm C _{1} F _{1}}} = sqrt {3} - {sqrt {3}} over {3} = {2 sqrt {3}} over {3}]

직각삼각형 [eqn: RME _{1} F _{1} H _{1}]에서 [eqn: ANGLE rm H _{1} E _{1} F _{1} = {pi } over {6}]이므로

[eqn: {bar{rm F _{1} H _{1}}} = {bar{rm E _{1} F _{1}}} TIMES `tan {pi } over {6} = {2 sqrt {3}} over {3} TIMES {sqrt {3}} over {3} = {2} over {3}]

[eqn: S _{1} `][eqn: = TRIANGLE rm E _{1} F _{1} G _{1} + TRIANGLE rm E _{1} F _{1} D _{1} -2 TIMES TRIANGLE rm E _{1} F _{1} H _{1}]
[eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm E _{1} F _{1}}} TIMES {bar{rm F _{1} G _{1}}} + {1} over {2} TIMES {bar{rm E _{1} F _{1}}} TIMES {bar{rm C _{1} D _{1}}} -2 TIMES LEFT ( {1} over {2} TIMES {bar{rm E _{1} F _{1}}} TIMES {bar{rm F _{1} H _{1}}} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} TIMES {2 sqrt {3}} over {3} TIMES {2 sqrt {3}} over {3} + {1} over {2} TIMES {2 sqrt {3}} over {3} TIMES 1 -2 TIMES LEFT ( {1} over {2} TIMES {2 sqrt {3}} over {3} TIMES {2} over {3} RIGHT )]
[eqn: = {6- sqrt {3}} over {9}]

한편, [eqn: {bar{rm AB _{2}}} `:` {bar{rm B _{2} C _{2}}} =1`:`2]이므로

[eqn: {bar{rm AB _{2}}} =itk,~rm {bar{rm B _{2} C _{2}}} =it2k~(k>0)]이라 하자.

점 [eqn: rmC _{2}]에서 선분 [eqn: RMB _{1} C _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMI _{1}]이라 하면

[eqn: {bar{rm E _{1} I _{1}}} = {bar{rm C _{2} I _{1}}} =1- it k], [eqn: {bar{rm I _{1} C _{1}}} =2-2 it k]

이므로

[eqn: (1-k)+(2-2k)= sqrt {3}]

[eqn: k= {3- sqrt {3}} over {3}]

그림 [eqn: R _{1}]에 색칠되어 있는 도형과 그림 [eqn: R _{2}]에 새로 색칠되어 있는 도형의 닮음비가 [eqn: 1:` {3- sqrt {3}} over {3}]이므로 넓이의 비는 [eqn: 1:` {4-2 sqrt {3}} over {3}]이다.

따라서 구하는 극한값은 첫째항이 [eqn: {6- sqrt {3}} over {9}]이고, 공비가 [eqn: {4-2 sqrt {3}} over {3}]인

등비급수의 합이므로

[eqn: lim _{n` rarrow ` INF } `{} S _{n} = {{6- sqrt {3}} over {9}} over {1- {4-2 sqrt {3}} over {3}} = {sqrt {3}} over {3}]

[eqn: rm {bar{E _{`1`} F _{1}}}``it = {rm{bar{F _{1`} G _{`1}}} }], [eqn: rm ANGLE E _{`1`} F _{1`} G _{`1} = {pi} over {2}]이고 선분 [eqn: rm A D_1]과 선분 [eqn: rm F_{1`} G_{`1}]이 만나도록 점 [eqn: rm G _{`1}]을 잡아 삼각형 [eqn: rmE _{`1`} F _{`1`} G _{`1}]을 그린다.

선분 [eqn: rm E _{`1`} D _{`1}]과 선분 [eqn: rmF _{1`} G _{`1}]이 만나는 점을 [eqn: rmH _{`1}]이라 할 때, 두 삼각형 [eqn: rm G _{`1`} E_{`1`} H _{`1}], [eqn: rm H _{`1`} F _{1`} D _{`1}]로 만들어진  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{``1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{``1}]에 선분 [eqn: rm AB _{`1}] 위의 점 [eqn: rmB _{`2}], 선분 [eqn: rmE _{`1`} G _{`1}] 위의 점 [eqn: rmC _{`2}],

선분 [eqn: rmAD _{`1}] 위의 점 [eqn: rmD _{`2}]와 점 [eqn: rmA]를 꼭짓점으로 하고

[eqn: rm {bar{AB _{`2}}}` :`it{rm {bar{B _{`2`} C} _{`2}}} ``it=`1`:`2]인 직사각형 [eqn: rmAB _{`2`} C _{`2`} D _{`2`}]를 그린다. 직사각형 [eqn: rmAB _{`2`} C _{`2`} D _{`2`}]에 그림 [eqn: R _{``1}]을 얻은 것과 같은 방법으로  모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{``2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{``n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{`n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n `rarrow ` INF }` {} S _{`n}]의 값은? [3점][9월 평가원]

① [eqn: { 2root3} over { 9}]	② [eqn: { 5root3} over { 18}]	③ [eqn: { root3} over { 3}]

④ [eqn: { 7root3} over { 18}]	⑤ [eqn: { 4root3} over { 9}]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형 [eqn: rmOA _{1} B _{1} C _{1}]의 대각선 [eqn: rm OB _{1}]을 [eqn: 3``:``1]로 내분하는 점을 [eqn: rmD _{1}]이라 하고, 네 선분 [eqn: rmA _{1} B _{1}], [eqn: rmB _{1} C _{1}], [eqn: rmC _{1} D _{1}], [eqn: rmD _{1} A _{1}]로 둘러싸인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

③

[출제의도] 등비급수를 활용하여 추론하기

[eqn: {bar{rm OB _{1}}}][eqn: =4 sqrt {2}]이므로 [eqn: {bar{rm D _{1} B _{1}}}][eqn: = sqrt {2}]

점 [eqn: rmD _{1}]에서 직선 [eqn: rmA _{1} B _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmI _{1}]이라 하면 [eqn: {bar{rm D _{1} I _{1}}}][eqn: =1]

두 삼각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} D _{1}], [eqn: rmB _{1} C _{1} D _{1}]의 넓이는 모두 [eqn: 2]이므로 [eqn: S _{1}][eqn: =4]

네 선분 [eqn: rmA _{itn} rmB _{itn}], [eqn: rm B _{it n rm} C _{it n rm}], [eqn: rm C _{it n rm} rm D _{it n rm}], [eqn: rm D _{it n rm} rm A _{it n rm}]으로 둘러싸인  모양의 도형의 넓이를 [eqn: T _{n}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{n}]에서 중심이 [eqn: rmO]이고

두 직선 [eqn: rmA _{itn} rmB _{itn}], [eqn: rm C _{it n rm} rm D _{it n rm}]에 동시에 접하는 원과 직선 [eqn: rm A _{it n rm} rm D _{it n rm}]이 접하는 점을 [eqn: rmH _{itn}]이라 하고, 점 [eqn: rmD _{itn}]에서 두 직선 [eqn: rmA _{itn} rmB _{itn}], [eqn: rmOA _{itn}]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmI _{itn}], [eqn: rmJ _{itn}]이라 하자.

[eqn: {bar{rm A _{itn} rmI _{itn}}}][eqn: = {bar{rm D _{it n rm} rm J _{it n rm} it}}][eqn: = {3} over {4} {bar{rm OA _{itn}}}], [eqn: {bar{rm D _{it n rm} rm I _{it n rm} it}}][eqn: = {1} over {4} {bar{rm OA _{itn}}}]이므로

[eqn: {bar{rm A _{itn} rmD _{itn}}}][eqn: = {sqrt {10}} over {4} {bar{rm OA _{itn}}}]

삼각형 [eqn: rmOA _{itn} rmD _{itn}]에서

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm A _{it n rm} rm D _{it n rm} it}} TIMES {bar{rm OH _{itn}}}][eqn: =][eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm OA _{it n rm} it}} TIMES {bar{rm D _{itn} J _{it n rm} it}}]

[eqn: {1} over {2} TIMES {sqrt {10}} over {4} {bar{rm OA _{itn}}} TIMES {bar{rm OH _{itn}}}][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm OA _{itn}}} TIMES {3} over {4} {bar{rm OA _{itn}}}]

[eqn: {bar{rm OH _{itn}}}][eqn: = {3 sqrt {10}} over {10} {bar{rm OA _{itn}}}]

[eqn: {bar{rm OA _{itn+1}}}][eqn: = {sqrt {2}} over {2} {bar{rm OB _{itn+1}}}]
[eqn: = {sqrt {2}} over {2} {bar{rm OH _{itn}}}][eqn: = {3 sqrt {5}} over {10} {bar{rm OA _{itn}}}]

두 정사각형 [eqn: rm OA _{it n rm} rm B _{it n rm} rm C _{it n rm}]과 [eqn: rmOA _{itn+1} rmB _{itn+1} rmC _{itn+1}]의 닮음비는

[eqn: {bar{rm OA _{itn} `}} ``:`` {bar{rm OA _{it n+1 rm} it}}][eqn: =1``:`` {3 sqrt {5}} over {10}]

[eqn: T _{n} ``:``T _{n+1}][eqn: =1``:`` {9} over {20}]

[eqn: T _{n+1}][eqn: = {9} over {20} T _{n}]

그러므로 수열 [eqn: LEFT { T _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: T _{1}][eqn: =S _{1}][eqn: =4]이고

공비가 [eqn: {9} over {20}]인 등비수열이다.

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n}][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } T _{n}][eqn: = {4} over {1- {9} over {20}}][eqn: = {80} over {11}]

그림 [eqn: R _{1}]에서 중심이 [eqn: rmO]이고 두 직선 [eqn: rmA _{1} D _{1}], [eqn: rmC _{1} D _{1}]에 동시에 접하는 원과 선분 [eqn: rmOB _{1}]이 만나는 점을 [eqn: rmB _{2}]라 하자. 선분 [eqn: rmOB _{2}]를 대각선으로 하는 정사각형 [eqn: rmOA _{2} B _{2} C _{2}]를 그리고 정사각형 [eqn: rmOA _{2} B _{2} C _{2}]에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로  모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n}]의 값은? [3점][7월 교육청]

① [eqn: {70} over {11}]	② [eqn: {75} over {11}]	③ [eqn: {80} over {11}]	④ [eqn: {80} over {9}]	⑤ [eqn: {85} over {9}]

등비급수 도형의 활용(4점)

그림과 같이 길이가 [eqn: 2`]인 선분 [eqn: {rm A_{1} B}`]를 지름으로 하는 반원 [eqn: O_{`1}`]이 있다. 호 [eqn: rm B A _{1}] 위에 점 [eqn: {rm C_{1}}`]을 [eqn: angle {rm BA_{1}C_{1}}= pi over 6 `]가 되도록 잡고, 선분 [eqn: {rm A_{2}B}`]를 지름으로 하는 반원 [eqn: O_{`2}`]가 선분 [eqn: {rm A_{1}C_{1}}`]과 접하도록 선분 [eqn: {rm A_{1} B}] 위에 점 [eqn: {rm A_{2}}`]를 잡는다. 반원 [eqn: O_{`2}`]와 선분 [eqn: {rm A_{1}C_{1}}`]의 접점을 [eqn: rm D_1 `]이라 할 때, 두 선분 [eqn: {rm A_{1}A_{2}}], [eqn: {rm A_{1}D_{1}} `]과 호 [eqn: {rm D_1 A_2 `]로 둘러싸인 부분과 선분 [eqn: RM C_1 D_1 `]과 두 호 [eqn: RM BC_1], [eqn: RMB D_1 `]로 둘러싸인 부분인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`1} `]이라 하자.
그림 [eqn: R _{`1} `]에서 호 [eqn: rm BA_2] 위에 점 [eqn: {rm C_{2}}`]를 [eqn: angle {rm BA_2 C_2}= pi over 6`]가 되도록 잡고, 선분 [eqn: {rm A_{3}B}`]를 지름으로 하는 반원 [eqn: O_{`3}`]이 선분 [eqn: {rm A_{2}C_{2}}`]와 접하도록 선분 [eqn: {rm A_{2}B}] 위에 점 [eqn: {rm A_{3}}`]을 잡는다. 반원 [eqn: O_{`3}`]과 선분 [eqn: {rm A_{2}C_{2}} `]의 접점을 [eqn: rm D_2 `]라 할 때, 두 선분 [eqn: {rm A_{2}A_{3}}], [eqn: {rm A_{2}D_{2}}`]와 호 [eqn: {rm D_2 A_3 `]으로 둘러싸인 부분과 선분 [eqn: RM C_2 D_2`]와 두 호 [eqn: RM BC_2], [eqn: RM BD_2`]로 둘러싸인 부분인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{`2}`]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R_{`n}`]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{`n}`]이라 할 때, [eqn: lim_{n`->` infty}{S_{`n}}`]의 값은? [3점][10월 교육청]

②

[출제의도] 도형 사이의 관계를 추론하여 등비급수의 합을 구한다.

반원 [eqn: O_{`n}`]의 중심을 [eqn: {rm O_{it n}}], 반지름을 [eqn: r_{n}`]이라 하자.

삼각형 [eqn: rm O _{it n+1} rmA _{it n} rm D _{it n} `]은 [eqn: angle rm O_{it n+1}rm A_{it n} rm D_{it n}][eqn: = pi over 6 `]인 직각삼각형이므로

[eqn: sin `LEFT ( rm angleO _{it n+1} rm A _{it n} rm D _{it n} RIGHT )][eqn: = {1} over {2}]

[eqn: {{bar{ rm D _{it n} rm O _{it n+1}}}} over {{bar{rm A _{it n} rm O _{it n+1} }}}][eqn: = 1 over 2], [eqn: {it r _{n+1}} over {it 2r _{n} -r _{n+1}}][eqn: = 1 over 2]

[eqn: r_{n+1}][eqn: = 2 over 3 r_{n}]	[eqn: CDOTS CDOTS it]㉠

[eqn: r _{1}][eqn: =1`]이므로 [eqn: r _{2}][eqn: = {2} over {3}]

[eqn: ANGLE rm A _{1} O _{1} rm C _{1}][eqn: = {2pi} over {3}], [eqn: {bar{rm A _{1} O _{1}}}][eqn: rm = {bar{C _{1} O _{1}}}][eqn: =1`]이므로

삼각형 [eqn: rm A _{1} O _{1} C _{1} `]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm A _{1} O _{1}}} TIMES {bar{rm C _{1} O _{1}}} TIMES sin` {2pi} over {3}][eqn: = {1} over {2} TIMES 1 TIMES 1 TIMES {sqrt {3}} over {2}][eqn: = {sqrt {3}} over {4}]

[eqn: ANGLE rm BO _{1} rm C _{1}][eqn: = {pi} over {3}], [eqn: {bar{rm C _{1} O _{1}}}][eqn: rm = {bar{BO _{1}}}][eqn: =1`]이므로

부채꼴 [eqn: rmO _{1} BC _{1} `]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 1 ^{2} TIMES {pi } over {3}][eqn: = {pi} over {6}]

반원 [eqn: O _{`2} `]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( r _{2} RIGHT ) ^{2} times pi][eqn: = {1} over {2} times LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} timespi][eqn: = {2pi} over {9}]

[eqn: S _{1}][eqn: =](삼각형 [eqn: rm A _{1} O _{1} C _{1}]의 넓이)[eqn: +](부채꼴 [eqn: rm O _{1} BC _{1}]의 넓이)
[eqn: -](반원 [eqn: O_2]의 넓이)
[eqn: =sqrt{3} over 4 + pi over 6 - 2pi over 9]
[eqn: =sqrt{3} over 4 - pi over 18]	[eqn: CDOTS CDOTS it]㉡

㉠, ㉡에서 수열 [eqn: left{ S_{`n} right}`]은 첫째항이 [eqn: {sqrt {3}} over {4} - {pi} over {18}]이고 공비가

[eqn: LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2}][eqn: = {4} over {9} `]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합이다.

따라서 [eqn: lim _{ n`->` inf} {S_{`n}}][eqn: ={root{3} over 4 - pi over 18 } over {1- 4 over 9}][eqn: = {9 sqrt{3}-2pi} over {20}]

① [eqn: {4 sqrt3 - pi} over 10]	② [eqn: {9 sqrt3 - 2pi} over 20]	③ [eqn: {8 sqrt3 - pi} over 20]

④ [eqn: {5 sqrt3 - pi} over 10]	⑤ [eqn: {9 sqrt3 - pi} over 20]

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO _{1}], 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: {5pi} over {12}]인 부채꼴 [eqn: rmO _{1} A _{1} O _{2}]가 있다. 호 [eqn: rmA _{1} O _{2}] 위에 점 [eqn: rm B _{1}]을 [eqn: ANGLE rm A _{1} O _{1} B _{1}][eqn: = {pi} over {4}]가 되도록 잡고, 부채꼴 [eqn: rmO _{1} A _{1} B _{1}]에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

③

[출제의도] 한없이 반복되는 도형에서 넓이의 합을 등비급수를 활용하여 극한값을 구할 수 있는가?

[eqn: S_1 = 1 over2 times 1^2 times pi over4 = pi over8]

[eqn: rm angle O_1 A_2 O_2 = pi over4]이므로 삼각형 [eqn: rmO_1 A_2 O_2]에 서 사인법칙에 의하여

[eqn: rm {rm {bar{O _{2} A _{2}}}} over {sin {pi } over {6}} = {{bar{rm O _{1} O _{2}}}} over {sin {pi } over {4}} ,] [eqn: rm{rm bar{O_2 A_2 }} over{ 1 over2 } = 1 over{ sqrt2 over2 }]

[eqn: rm bar{O_2 A_2 }= 1 oversqrt2]

따라서 닮음비는 [eqn: 1``:`` 1 oversqrt2]이므로 넓이의 비는 [eqn: 1``:`` 1 over2]이다.

즉, 구하는 극한값은 첫째항이 [eqn: pi over8]이고, 공비가 [eqn: 1 over2]인 등비급수의 합이므로

[eqn: lim _{ n->inf} { S_n } = { pi over8} over{1- 1 over2 }= pi over4]

그림 [eqn: R _{1}]에서 점 [eqn: rmO _{2}]를 지나고 선분 [eqn: rmO _{1} A _{1}]에 평행한 직선이 직선 [eqn: rmO _{1} B _{1}]과 만나는 점을 [eqn: rmA _{2}]라 하자. 중심이 [eqn: rmO _{2}]이고 중심각의 크기가 [eqn: {5pi} over {12}]인 부채꼴 [eqn: rmO _{2} A _{2} O _{3}]을 부채꼴 [eqn: rmO _{1} A _{1} B _{1}]과 겹치지 않도록 그린다. 호 [eqn: rmA _{2} O _{3}] 위에 점 [eqn: rmB _{2}]를 [eqn: ANGLE rm A _{2} O _{2} B _{2}][eqn: = {pi} over {4}]가 되도록 잡고, 부채꼴 [eqn: rmO _{2} A _{2} B _{2}]에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n}]의 값은? [3점][21년 6월 평가원]

		[eqn: CDOTS]
[eqn: R _{1}]	[eqn: R _{2}]	[eqn: CDOTS]

① [eqn: {3pi} over {16}]	② [eqn: {7pi} over {32}]	③ [eqn: {pi} over {4}]	④ [eqn: {9pi} over {32}]	⑤ [eqn: {5pi} over {16}]

그림과 같이 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rmA _{1} B _{1}]을 지름으로 하는 원 [eqn: O _{1}]이 있다. 원 [eqn: O _{1}]의 외부에 [eqn: ANGLE rm B _{1} A _{1} C _{1}][eqn: = {pi} over {2}], [eqn: {bar{rm A _{1} B _{1}}} ``:`` {bar{rm A _{1} C _{1}}}][eqn: =4``:``3]이 되도록 점 [eqn: rmC _{1}]을 잡고 두 선분 [eqn: rmA _{1} C _{1} ,~B _{1} C _{1}]을 그린다. 원 [eqn: O _{1}]과 선분 [eqn: rmB _{1} C _{1}]의 교점 중 [eqn: rmB _{1}]이 아닌 점을 [eqn: rmD _{1}]이라 하고, 점 [eqn: rmD _{1}]을 포함하지 않는 호 [eqn: rmA _{1} B _{1}]과 두 선분 [eqn: rmA _{1} D _{1} ,~B _{1} D _{1}]로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

③

[출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기

원 [eqn: O _{1}]의 반지름의 길이가 [eqn: 2]이므로 반원의 넓이는 [eqn: 2pi]

직각삼각형 [eqn: rmC _{1} A _{1} B _{1}]에서 [eqn: {bar{rm A _{1} C _{1} it}}][eqn: =3], [eqn: {bar{rm A _{1} B _{1}}}][eqn: =4]이므로

[eqn: {bar{rm B _{1} C _{1}}}][eqn: = sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}}][eqn: =5]

선분 [eqn: rmA _{1} B _{1}]은 원 [eqn: O _{1}]의 지름이므로 [eqn: ANGLE rm A _{1} D _{1} B _{1}][eqn: = {pi} over {2}]

삼각형 [eqn: rmC _{1} A _{1} B _{1}]에서

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm A _{1} B _{1}}} TIMES {bar{rm A _{1} C _{1}}}][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm B _{1} C _{1}}} TIMES {bar{rm A _{1} D _{1}}}]이므로

[eqn: {bar{rm A _{1} D _{1}}}][eqn: = {12} over {5}]

직각삼각형 [eqn: rmB _{1} D _{1} A _{1}]에서 [eqn: {bar{rm B _{1} D _{1}}}][eqn: = sqrt {4 ^{2} - LEFT ( {12} over {5} RIGHT ) ^{2}}][eqn: = {16} over {5}]

삼각형 [eqn: rmB _{1} D _{1} A _{1}]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES {12} over {5} TIMES {16} over {5}][eqn: = {96} over {25}]

그러므로 [eqn: S _{1}][eqn: =2pi+ {96} over {25}]이다.

다음은 그림 [eqn: R _{n+1}]의 일부이다.

두 원 [eqn: O _{n}]과 [eqn: O _{n+1}]의 중심을 각각 [eqn: rmO _{itn}]과 [eqn: rmO _{itn+1}]이라 하고

반지름의 길이를 각각 [eqn: r _{n}]과 [eqn: r _{n+1}]이라 하자.

직선 [eqn: rm A _{itn+1} rm B _{itn+1}]이 선분 [eqn: rmB _{itn} rmC _{itn}]과 만나는 점을 [eqn: rmE _{it n+1}]이라 하고,

원 [eqn: O _{n+1}]과 직선 [eqn: rmB _{itn} rmC _{itn}]이 접하는 점을 [eqn: rmF _{itn+1}]이라 하자.

[eqn: {bar{rm A _{it n+1 rm} rm C _{itn} it}}][eqn: =a _{n}]이라 하면 [eqn: {bar{rm F _{itn+1} rmC _{itn}}}][eqn: =a _{n}]이고

삼각형 [eqn: rmA _{itn} rmB _{itn} rmC _{itn}]과 삼각형 [eqn: rm A _{it n rm +1} rm E _{it n+1 rm} rm C _{it n rm}]은 서로 닮음이므로

[eqn: {bar{rm A _{itn+1} rmC _{itn}}} ``:`` {bar{rm E _{itn+1} rmC _{itn}}}][eqn: =3``:``5]에서 [eqn: {bar{rm E _{itn+1} rmC _{itn}}}][eqn: = {5} over {3} a _{n}]이고

[eqn: {bar{rm E _{itn+1} rmF _{itn+1}}}][eqn: = {bar{rm E _{itn+1} rmC _{itn}}} - {bar{rm F _{itn+1} rmC _{itn}}}][eqn: = {2} over {3} a _{n}]이다.

삼각형 [eqn: rmA _{itn+1} rmE _{itn+1} rmC _{itn}]과 삼각형 [eqn: rm F _{it n+1 rm} rm E _{it n+1 rm} rm O _{it n+1 rm}]은 서로 닮음이므로

[eqn: {bar{rm O _{it n+1 rm} rm F _{it n+1 rm} it}} ``:`` {bar{rm E _{it n+1 rm} rm F _{it n+1` rm} it}}][eqn: =3``:``4]에서 [eqn: a _{n}][eqn: =2r _{n+1}]이다.

점 [eqn: rmO _{itn+1}]에서 선분 [eqn: rmA _{itn} rmO _{itn}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmG _{itn+1}]이라 하면

[eqn: {bar{rm O _{it n+1 rm} rm G _{it n+1 rm} it}}][eqn: = {bar{rm A _{it n rm} rm C _{it n rm} it}} - {bar{rm A _{it n+1 rm} rm C _{it n rm} it}}][eqn: = {3} over {2} r _{n} -2r _{n+1}]

[eqn: {bar{rm O _{it n rm} rm G _{it n+1 rm} it}}][eqn: =r _{n} -r _{n+1}], [eqn: {bar{rm O _{it n rm} rm O _{it n+1 rm} it}}][eqn: =r _{n} +r _{n+1}]이므로

직각삼각형 [eqn: rmO _{itn} rmG _{itn+1} rmO _{itn+1}]에서

[eqn: LEFT ( r _{n} +r _{n+1} RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT ( r _{n} -r _{n+1} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {3} over {2} r _{n} -2r _{n+1} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: 16r _{n+1} ` ^{2} -40r _{n+1} `r _{n} +9r _{n} ` ^{2}][eqn: =0]

[eqn: LEFT ( 4r _{n+1} -r _{n} RIGHT ) LEFT ( 4r _{n+1} -9r _{n} RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: r _{n} >r _{n+1}]이므로 [eqn: r _{n+1}][eqn: = {1} over {4} r _{n}]

원 [eqn: O _{n}]과 원 [eqn: O _{n+1}]의 닮음비가 [eqn: 4``:``1]이면 넓이의 비는 [eqn: 16``:``1]이다.

따라서 [eqn: S _{n}]은 첫째항이 [eqn: 2pi+ {96} over {25}]이고 공비가 [eqn: {1} over {16}]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n}][eqn: = it {2pi+ {96} over {25}} over {1- {1} over {16}}][eqn: = {32} over {15} pi+ {512} over {125}]

그림 [eqn: R _{1}]에서 호 [eqn: rmA _{1} D _{1}]과 두 선분 [eqn: rmA _{1} C _{1} ,~C _{1} D _{1}]에 동시에 접하는 원 [eqn: O _{2}]를 그리고 선분 [eqn: rmA _{1} C _{1}]과 원 [eqn: O _{2}]의 교점을 [eqn: rmA _{2}], 점 [eqn: rmA _{2}]를 지나고 직선 [eqn: rmA _{1} B _{1}]과 평행한 직선이 원 [eqn: O _{2}]와 만나는 점 중 [eqn: rmA _{2}]가 아닌 점을 [eqn: rmB _{2}]라 하자. 그림 [eqn: R _{1}]에서 얻은 것과 같은 방법으로 두 점 [eqn: rmC _{2} ,~D _{2}]를 잡고, 점 [eqn: rmD _{2}]를 포함하지 않는 호 [eqn: rmA _{2} B _{2}]와 두 선분 [eqn: rmA _{2} D _{2} ,~B _{2} D _{2}]로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n}]의 값은? [4점][21년 4월 교육청]

① [eqn: {32} over {15} pi+ {256} over {125}]	② [eqn: {9} over {4} pi+ {54} over {25}]	③ [eqn: {32} over {15} pi+ {512} over {125}]	④ [eqn: {9} over {4} pi+ {108} over {25}]	⑤ [eqn: {8} over {3} pi+ {128} over {25}]

수능대비	단원별 기출문제	수학2

02

미분

지수로그함수의 극한과 미분(2,3점)

좌표평면에서 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: x][eqn: =t]가 두 곡선 [eqn: y][eqn: =e ^{2x+k}], [eqn: y][eqn: =e ^{-3x+k}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmP,~Q]라 할 때, [eqn: {bar{rm PQ}}][eqn: =t]를 만족시키는 실수 [eqn: k]의 값을 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]에 대하여 [eqn: lim _{t -> 0+} {} e ^{f LEFT ( t RIGHT )}]의 값은? [3점][21년 4월 교육청]

②

[출제의도] 지수함수의 극한 이해하기

[eqn: x][eqn: =t]일 때 두 점 [eqn: rmP,~Q]의 [eqn: y]좌표는 각각 [eqn: e ^{2t+k} ,~e ^{-3t+k}]이고

[eqn: {bar{rm PQ}}][eqn: =t]를 만족시키는 [eqn: k]의 값이 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]이므로

[eqn: e ^{2t+f LEFT ( t RIGHT )} -e ^{-3t+f LEFT ( t RIGHT )}][eqn: =t]

[eqn: e ^{f LEFT ( t RIGHT )} LEFT ( e ^{2t} -e ^{-3t} RIGHT )][eqn: =t]

[eqn: e ^{f LEFT ( t RIGHT )}][eqn: = {t} over {e ^{2t} -e ^{-3t}}]

[eqn: lim _{t -> 0+} {} e ^{f LEFT ( t RIGHT )}][eqn: = lim _{t -> 0+} {} {t} over {e ^{2t} -e ^{-3t}}]
[eqn: = lim _{t -> 0+} {} {1} over {2 TIMES {e ^{2t} -1} over {2t} +3 TIMES {e ^{-3t} -1} over {-3t}}]
[eqn: = {1} over {2 TIMES 1+3 TIMES 1}][eqn: = {1} over {5}]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {4}]	④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =log` _{3} `6x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( 9 RIGHT )]의 값은? [3점][21년 4월 교육청]

①

[출제의도] 로그함수의 미분 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =log` _{3} `6x][eqn: =log` _{3} `6+log` _{3} `x]
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( log` _{3} `6+log` _{3} `x RIGHT ) '][eqn: = {1} over {x`ln`3}]

따라서 [eqn: f`' LEFT ( 9 RIGHT )][eqn: = {1} over {9`ln`3}]

① [eqn: {1} over {9`ln`3}]	② [eqn: {1} over {6`ln`3}]	③ [eqn: {2} over {9`ln`3}]	④ [eqn: {5} over {18`ln`3}]	⑤ [eqn: {1} over {3`ln`3}]

삼각함수의 덧셈정리(2,3점)

[eqn: 0< theta LEQ {pi} over {2}]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: sin` theta][eqn: = {sqrt {5}} over {5}]일 때, [eqn: sec` theta]의 값은? [2점][7월 교육청]

①

[출제의도] 삼각함수 계산하기

[eqn: 0< theta < {pi} over {2}]에서 [eqn: sin` theta][eqn: = {sqrt {5}} over {5}]이므로

[eqn: cos` theta][eqn: = sqrt {1-sin ^{2} ` theta }][eqn: = {2 sqrt {5}} over {5}]

따라서 [eqn: sec` theta][eqn: = {1} over {cos` theta }][eqn: = {sqrt {5}} over {2}]

① [eqn: {sqrt {5}} over {2}]	② [eqn: {3 sqrt {5}} over {4}]	③ [eqn: sqrt {5}]	④ [eqn: {5 sqrt {5}} over {5}]	⑤ [eqn: {3 sqrt {5}} over {2}]

[eqn: 2`cos `alpha =3`sin` alpha `]이고 [eqn: tan` LEFT ( alpha + beta RIGHT )``it =1`]일 때, [eqn: tan`beta`]의 값은?

②

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 탄젠트의 값을 구할 수 있는가?

[eqn: 2`cos` alpha =3`sin` alpha `]에서

[eqn: {sin` alpha } over {cos `alpha } = {2} over {3}]이므로

[eqn: tan` alpha = {2} over {3}]

[eqn: tan( alpha + beta )][eqn: = {tan `alpha +tan `beta } over {1-tan `alpha `tan `beta }]
[eqn: = {{2} over {3} +tan` beta } over {1- {2} over {3} `tan` beta }]
[eqn: = {2+3`tan `beta } over {3-2`tan `beta }]

이고, [eqn: tan( alpha + beta )=1]이므로

[eqn: {2+3`tan` beta } over {3-2`tan `beta } =1]

따라서

[eqn: tan` beta = {1} over {5}]

[3점][9월 평가원]

① [eqn: 1over6 `]	② [eqn: 1over5`]	③ [eqn: 1over4 `]

④ [eqn: 1over3 `]	⑤ [eqn: 1OVER2 `]

삼각함수의 덧셈정리(4점)

그림과 같이 [eqn: ANGLE rm BAC][eqn: = {2} over {3} pi]이고 [eqn: {bar{rm AB}} > {bar{rm AC}}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. [eqn: {bar{rm BD}}][eqn: = {bar{rm CD}}]인 선분 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmD]에 대하여 [eqn: ANGLE rm CBD][eqn: = alpha], [eqn: ANGLE rm ACD][eqn: = beta]라 하자. [eqn: cos ^{2} ` alpha][eqn: = {7+ sqrt {21}} over {14}]일 때, [eqn: 54 sqrt {3} TIMES tan` beta]의 값을 구하시오. [4점][21년 4월 교육청]

[eqn: 18]

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 추론하기

삼각형 [eqn: rmBCD]는 이등변삼각형이므로

[eqn: ANGLE rm CBD][eqn: = ANGLE rm DCB][eqn: = alpha]이고 [eqn: ANGLE rm CDA][eqn: =2 alpha]

삼각형 [eqn: rm ADC]에서 [eqn: beta][eqn: = {pi} over {3} -2 alpha]

[eqn: cos`2 alpha][eqn: =cos` alpha `cos` alpha -sin` alpha `sin` alpha]
[eqn: =cos ^{2} ` alpha -sin ^{2} ` alpha]
[eqn: =2cos ^{2} ` alpha -1][eqn: = {sqrt {21}} over {7}]

[eqn: sin ^{2} `2 alpha][eqn: =1-cos ^{2} `2 alpha][eqn: = {28} over {49}]이고

[eqn: 0<2 alpha <pi]이므로 [eqn: sin`2 alpha][eqn: = {2 sqrt {7}} over {7}]

[eqn: tan`2 alpha][eqn: = {sin`2 alpha } over {cos`2 alpha }][eqn: = {2 sqrt {3}} over {3}]

[eqn: tan` beta][eqn: =tan` LEFT ( {pi} over {3} -2 alpha RIGHT )]
[eqn: = {tan` {pi} over {3} -tan`2 alpha } over {1+tan` {pi} over {3} TIMES tan`2 alpha }]
[eqn: = {sqrt {3} - {2 sqrt {3}} over {3}} over {1+ sqrt {3} TIMES {2 sqrt {3}} over {3}}][eqn: = {sqrt {3}} over {9}]

따라서 [eqn: 54 sqrt {3} TIMES tan` beta][eqn: =18]

삼각함수의 극한과 미분(2,3점)

그림과 같이 곡선 [eqn: y][eqn: =x`sin`x] 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( t,~t`sin`t RIGHT )] ([eqn: 0<t<pi])를 중심으로 하고 [eqn: y]축에 접하는 원이 선분 [eqn: rmOP]와 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{t -> 0+} {} {f LEFT ( t RIGHT )} over {t ^{3}}]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [3점][21년 4월 교육청]

③

[출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rmP]와 점 [eqn: rmQ]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각

[eqn: rmP',~Q']이라 하면 [eqn: {bar{rm OP'}}][eqn: =t], [eqn: {bar{rm OQ'}}][eqn: =f LEFT ( t RIGHT )]

[eqn: {bar{rm OP}}][eqn: = sqrt {t ^{2} +t ^{2} `sin ^{2} `t}][eqn: =t sqrt {1+sin ^{2} `t}]

[eqn: {bar{rm OQ}}][eqn: = {bar{rm OP}} - {bar{rm PQ}}][eqn: =t LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} -1 RIGHT )]

삼각형 [eqn: rmOPP']과 삼각형 [eqn: rmOQQ']은 서로 닮음이므로

[eqn: {bar{rm OP'}} ``:`` {bar{rm OQ'}}][eqn: = {bar{rm OP}} ``:`` {bar{rm OQ}}]

[eqn: t``:``f LEFT ( t RIGHT )][eqn: =t sqrt {1+sin ^{2} `t} ``:``t LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} -1 RIGHT )]에서

[eqn: f LEFT ( t RIGHT )][eqn: = {t LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} -1 RIGHT )} over {sqrt {1+sin ^{2} `t}}]

[eqn: lim _{t -> 0+} {} {f LEFT ( t RIGHT )} over {t ^{3}}]

[eqn: = lim _{t -> 0+} {} {sqrt {1+sin ^{2} `t} -1} over {t ^{2} sqrt {1+sin ^{2} `t}}]

[eqn: = lim _{t -> 0+} {} {LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} -1 RIGHT ) LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} +1 RIGHT )} over {t ^{2} sqrt {1+sin ^{2} `t} LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} +1 RIGHT )}]
[eqn: = lim _{t -> 0+} {} {sin ^{2} `t} over {t ^{2} sqrt {1+sin ^{2} `t} LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} +1 RIGHT )}]

[eqn: = lim _{t -> 0+} {} LEFT ( {sin`t} over {t} RIGHT ) ^{2} TIMES {1} over {sqrt {1+sin ^{2} `t} LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} +1 RIGHT )}]

[eqn: =1 ^{2} TIMES {1} over {sqrt {1} TIMES LEFT ( sqrt {1} +1 RIGHT )}][eqn: = {1} over {2}]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

삼각함수의 극한과 미분(4점)

그림과 같이 [eqn: rm barAB =1], [eqn: rm {bar{BC}} =2`]인 삼각형 [eqn: rmABC`]에 대하여 선분 [eqn: rmAC`]의 중점을 [eqn: rmM`]이라 하고, 점 [eqn: rmM`]을 지나고 선분 [eqn: rmAB`]에 평행한 직선이 선분 [eqn: rm BC`]와 만나는 점을 [eqn: rmD`]라 하자. [eqn: ANGLE rm BAC`]의 이등분선이 두 직선 [eqn: rm BC], [eqn: rmDM`]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm E], [eqn: rmF`]라 하자. [eqn: ANGLE rmCBA=theta`]일 때, 삼각형 [eqn: rm ABE`]의 넓이를 [eqn: f ( theta )], 삼각형 [eqn: rmDFC`]의 넓이를 [eqn: g ( theta ) `]라 하자. [eqn: lim _{ theta ` -> `0+} {{ g( theta )} over {theta ^{`2} TIMES it f( theta )}} `]의 값은? (단, [eqn: 0 < theta < pi]) [4점][10월 교육청]

③

[출제의도] 삼각형의 성질을 이용하여 삼각함수의 극한에 대한 문제를 해결한다.

삼각형 [eqn: rmABC`]에서 코사인법칙에 의하여
[eqn: rm {bar{AC}} ^{2}][eqn: rm =1 ^{2} +2 ^{2} -2 TIMES 1 TIMES 2 TIMES cos` theta][eqn: =5-4cos` theta `]이므로
[eqn: rm {bar{AC}}][eqn: = {sqrt {5-4`cos` theta }}]

직선 [eqn: rmAE`]가 [eqn: rm ANGLE B AC`]의 이등분선이므로

[eqn: rm {bar{BE}}` :` {bar{CE}}][eqn: = rm {bar{AB}} `:` {bar{AC}}][eqn: =1`: sqrt {5-4`cos` theta }]에서
[eqn: rm {bar{BE}}][eqn: rm = {1} over {1+ sqrt {5-4`cos` theta }} times bar{ rm BC}][eqn: rm = {2} over {1+ sqrt {5-4`cos` theta }}]

그러므로

[eqn: f( theta )][eqn: = {1} over {2} TIMES rm {bar{AB}} TIMES rm {bar{BE}} TIMES sin` left( ANGLE CBA right)][eqn: = {1} over {2} TIMES 1 TIMES {2} over {1+ sqrt {5-4cos` theta }} TIMES sin` theta]
[eqn: = {sin` theta } over {1+ sqrt {5-4`cos` theta }} `]

두 직선 [eqn: rmAB], [eqn: rmDM`]이 서로 평행하므로

[eqn: rm ANGLE CDM][eqn: = theta], [eqn: rm ANGLE BAE][eqn: rm = ANGLE DFE]

이다. 이때 [eqn: rm ANGLE BAE][eqn: rm = ANGLE FAC`]이므로 삼각형 [eqn: rmAMF`]는
이등변삼각형이다. 점 [eqn: rmM`]은 선분 [eqn: rmAC`]의 중점이므로

[eqn: rm {bar{FM}}][eqn: rm = {1} over {2} TIMES {bar{AC}}][eqn: = {sqrt {5-4cos` theta }} over {2} `]이고

[eqn: {bar{rm BD it}}][eqn: = rm {bar{CD}}][eqn: =1], [eqn: {bar{rm DM}}][eqn: = {1} over {2}]

그러므로 [eqn: rm {bar{DF}}][eqn: = rm {bar{FM}} - rm {bar{DM}}][eqn: = {sqrt {5-4`cos` theta } -1} over {2} `]

[eqn: rm ANGLE FDC][eqn: =rm pi- ANGLE CDM][eqn: =pi- theta `]이므로

[eqn: g( theta )][eqn: = {1} over {2} TIMES rm {bar{CD}} TIMES rm {bar{DF}} TIMES sin` left(ANGLE FDC right)][eqn: = {1} over {2} TIMES 1 TIMES {sqrt {5-4`cos` theta } -1} over {2} TIMES sin` LEFT ( pi - theta RIGHT )]
[eqn: = {sqrt {5-4`cos` theta } -1} over {4} times sin`theta]

따라서

[eqn: lim _{theta ` rarrow `0+} {{it g( theta )} over {theta ^{2} TIMES f( theta )}}][eqn: = lim _{theta ` rarrow `0+} {{{sin` theta } over {4} LEFT ( sqrt {5-4`cos` theta } -1 RIGHT )} over {theta ^{2} TIMES {sin`theta} over {1+ sqrt {5-4`cos` theta }}}}]
[eqn: = lim _{theta ` rarrow `0+} {{LEFT ( sqrt {5-4`cos` theta } -1 RIGHT ) LEFT ( sqrt {5-4`cos` theta } +1 RIGHT )} over {4 theta ^{2}}}]
[eqn: = lim _{theta ` rarrow `0+} {{LEFT ( 5-4`cos` theta RIGHT ) -1} over {4 theta ^{2}}}]
[eqn: = lim _{theta ` rarrow `0+} {{1-cos` theta } over {theta ^{2}}}]
[eqn: = lim _{ theta ` rarrow ` 0+} {{LEFT ( 1-cos `theta RIGHT ) LEFT ( 1+cos `theta RIGHT )} over {theta ^{2} LEFT ( 1+cos `theta RIGHT )}}]
[eqn: = {1} over {2} TIMES lim _{theta ` rarrow `0+} {{sin ^{2} ` theta } over {theta ^{2}}}]
[eqn: = {1} over {2}]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 원에 내접하고, [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: = {bar{rm AC it}}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. [eqn: ANGLE rm BAC][eqn: = theta]라 하고, 점 [eqn: rmB]를 지나고 직선 [eqn: rmAB]에 수직인 직선이 원과 만나는 점 중 [eqn: rmB]가 아닌 점을 [eqn: rmD], 직선 [eqn: rmBD]와 직선 [eqn: rmAC]가 만나는 점을 [eqn: rmE]라 하자. 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )], 삼각형 [eqn: rmCDE]의 넓이를 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0+} {} {g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2} TIMES f LEFT ( theta RIGHT )}]의 값은? [eqn: LEFT ( pile{it#it}]단, [eqn: 0< theta < {pi} over {2}][eqn: LEFT. pile{it#it} RIGHT )] [4점][7월 교육청]

②

[출제의도] 삼각함수의 극한 이해하기

[eqn: ANGLE rm ABD][eqn: = {pi} over {2}]이므로 선분 [eqn: rmAD]는 원의 지름이다.

[eqn: ANGLE rm ECD][eqn: = {pi} over {2}], [eqn: ANGLE rm DAB][eqn: = ANGLE rm CAD][eqn: = {theta } over {2}]

[eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =10`cos` {theta } over {2}], [eqn: {bar{rm CD}}][eqn: = {bar{rm BD}}][eqn: =10`sin` {theta } over {2}]

[eqn: ANGLE rm AEB][eqn: = {pi} over {2} - theta]이므로 [eqn: ANGLE rm CDE][eqn: = theta]

[eqn: {bar{rm CE}}][eqn: =10`sin` {theta } over {2} `tan` theta]

[eqn: f LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( 10`cos` {theta } over {2} RIGHT ) ^{2} TIMES sin` theta]

[eqn: g LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES 10`sin` { theta } over {2} TIMES 10`sin` { theta } over {2} `tan` theta]

[eqn: lim _{theta -> 0+} {} {g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2} TIMES f LEFT ( theta RIGHT )}][eqn: = lim _{theta -> 0+} {} {50`sin ^{2} ` {theta } over {2} `tan` theta } over {theta ^{2} TIMES 50`cos ^{2} ` { theta } over {2} `sin` theta }]
[eqn: = lim _{theta -> 0+} {} LEFT { {1} over {cos ^{2} ` {theta } over {2}} TIMES {sin ^{2} ` {theta } over {2} `tan` theta } over {theta ^{2} TIMES sin` theta } RIGHT }]
[eqn: = lim _{ theta -> 0+} {} LEFT { 1 TIMES {1} over {4} TIMES {sin ^{2} ` {theta } over {2}} over {LEFT ( { theta } over {2} RIGHT ) ^{2}} TIMES {tan` theta } over { theta } TIMES { theta } over {sin` theta } RIGHT }][eqn: = {1} over {4}]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]	④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: rmAB] 위에 점 [eqn: rmP]가 있다. 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmO]라 할 때, 점 [eqn: rmB]를 지나고 선분 [eqn: rmAB]에 수직인 직선이 직선 [eqn: rmOP]와 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하고, [eqn: ANGLE rm OQB]의 이등분선이 직선 [eqn: rmAP]와 만나는 점을 [eqn: rmR]라 하자. [eqn: ANGLE rm OAP][eqn: = theta]일 때, 삼각형 [eqn: rmOAP]의 넓이를 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )], 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이를 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )]라 하자. [eqn: lim _{theta -> 0+} {} {g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{4} TIMES f LEFT ( theta RIGHT )}]의 값은? [eqn: LEFT ( pile{it#it}]단, [eqn: 0< theta < {pi} over {4}][eqn: pile{it#it} RIGHT )] [4점][21년 6월 평가원]

①

[출제의도] 도형에서 여러 가지 조건을 이용하여 삼각함수의 극한값을 구할 수 있는가?

[eqn: f(theta)= 1 over2 times 1 times 1 times sin(pi - 2 theta )= sin2theta over2]

또한, [eqn: rm angleAPO = angleQPR = theta]이므로

점 [eqn: rmP]에서 두 선분 [eqn: rmAB ,] [eqn: rmBQ]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmS,] [eqn: rmT]라 하면

[eqn: rm angleQPT = 2 theta]

즉, 점 [eqn: rmR]는 삼각형 [eqn: rmPTQ]의 내심이다.

이때,

[eqn: rm barOS = cos 2 theta ,] [eqn: rm barPS = sin 2 theta ,][eqn: rm barBQ = tan 2 theta]

이므로

[eqn: rm barPT = 1 - cos 2 theta]

[eqn: rm barQT = tan 2 theta - sin 2 theta = tan 2 theta (1- cos 2 theta )]

이고

[eqn: rm barPQ = 1 over cos2theta -1 = {1- cos2theta} overcos2theta]

따라서 삼각형 [eqn: rmPTQ]의 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

[eqn: 1 over2 times (1- cos2theta ) times tan 2 theta (1- cos 2 theta)]

[eqn: = 1 over2 times r times left{ {1- cos2 theta } overcos2theta +1- cos2 theta + tan 2 theta (1- cos 2 theta ) right}]

에서

[eqn: r= { (1- cos 2theta) sin2theta} over{1+ sin2theta+cos 2 theta}]

이다.

그러므로

[eqn: g(theta)][eqn: = 1 over2 times { 1- cos2 theta} overcos2theta times { (1-cos2theta) sin2theta} over{1+ sin2theta+ cos 2 theta}]
[eqn: = 1 over2 times { (1-cos2theta)^2 sin2theta } over{ cos 2 theta(1+ sin 2 theta+ cos 2 theta )}]
[eqn: = 1 over2 times { sin^4 2 theta times sin 2 theta} over { cos 2 theta(1+ sin2 theta+ cos 2theta ) (1+ cos2 theta)^2 }]

따라서

[eqn: lim _{ theta->0} { {g( theta)} over{ theta^4 times f (theta )} }]

[eqn: = lim _{ theta->0 +} { left{ left( sin2theta over2theta right)^4 times 16 times 1 over{ cos 2 theta (1+ sin2 theta + cos 2 theta )( 1+ cos 2theta)^2 }} right}}]

[eqn: = 1 ^4 times 16 times 1 over8 =2]

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

여러 가지 미분법(2,3점)

매개변수 [eqn: t`]로 나타내어진 곡선

④

[출제의도] 매개변수로 나타내어진 곡선에서 미분계수를 구할 수 있는가?

[eqn: x=e ^{`t} -4`e ^{-t} ,~y=t+1] 에서

[eqn: {dx} over {dt} =e ^{`t} +4`e ^{-t}],

[eqn: {dy} over {dt} =1]

이므로

[eqn: {dy} over {dx} = {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}} = {1} over {e ^{`t} +4e ^{-t}}]

따라서 [eqn: t=ln`2]일 때, [eqn: {dy} over {dx}]의 값은

[eqn: {1} over {e ^{`ln`2} +4`e ^{-ln`2}} = {1} over {2+4 TIMES {1} over {2}} = {1} over {4}]

[eqn: x=e ^{`t} -4`e ^{`-t}],  [eqn: y=t+1`]

에서 [eqn: t= ln`2]일 때, [eqn: dy over dx]의 값은? [3점][9월 평가원]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 1over 2`]	③ [eqn: 1over 3`]

④ [eqn: 1over 4`]	⑤ [eqn: 1over 5`]

매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 곡선

②

[출제의도] 매개변수로 나타낸 함수의 도함수를 구할 수 있는가?

[eqn: dx overdt = e^t - sint ,] [eqn: dy overdt = cost]이므로

[eqn: dy over dx = { dy overdt} over{ dy overdt} = cost over{e^t - sint}]

따라서 [eqn: t=0]일 때 [eqn: dy overdx]의 값은

[eqn: 1 over1-0 =1]

[eqn: x][eqn: =e ^{t} +cos`t], [eqn: y][eqn: =sin`t]

에서 [eqn: t=0]일 때, [eqn: {dy} over {dx}]의 값은? [3점][21년 6월 평가원]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

여러 가지 미분법(4점)

[eqn: t>2e]인 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =t` LEFT ( lnx RIGHT ) ^{2} -x ^{2}]이 [eqn: x=k]에서 극대일 때, 실수 [eqn: k]의 값을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하면 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 미분가능한 함수이다. [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: =e ^{2}]인 실수 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: alpha TIMES LEFT { g' LEFT ( alpha RIGHT ) RIGHT } ^{2}][eqn: = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점][21년 6월 평가원]

[eqn: 17]

[출제의도] 여러 가지 함수의 미분법을 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가?

[eqn: f`'(x)= {2t lnx} overx -2x = {2t lnx -2x^2 } overx]

이고 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=k]에서 극대이므로

[eqn: 2t lnk- 2k^2 =0]

[eqn: t lnk = k^2]

이때 실수 [eqn: k]의 값을 [eqn: g(t)]라 했으므로

[eqn: t lng(t) = left{ g(t) right}^2]	[eqn: cdotscdots] ㉠

그런데 [eqn: g( alpha)= e^2]이므로

㉠에 [eqn: t= alpha]를 대입하면

[eqn: alpha ln g( alpha)= left{ g ( alpha)right}^2]

[eqn: 2 alpha =e^4 ,] [eqn: alpha= e^4 over2]

또한, ㉠의 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: lng(t)+t TIMES {g` prime (t)} over {g(t)} =2g(t) TIMES g` prime (t)]

이 식에 [eqn: t=alpha]를 대입하면

[eqn: lng LEFT ( alpha RIGHT ) +alpha`times` {g`prime LEFT ( alpha RIGHT )} over {g LEFT ( alpha RIGHT )} =2g LEFT ( alpha RIGHT ) times`g`prime LEFT ( alpha RIGHT )]

[eqn: 2+ e^4 over2 times { g`'( alpha)} overg(alpha) = 2e^2 times g`'( alpha)]

[eqn: 3 over2 e^2 times g`'(alpha)=2]

[eqn: g`'( alpha)= 4 over3e^2]

[eqn: alpha times left{g`'(alpha) right}^2 = e^4 over2 times 16 over9e^4 = 8 over9]

따라서 [eqn: p=9,] [eqn: q=8]이므로

[eqn: p+q =17]

[eqn: t> {1} over {2} `ln`2]인 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y][eqn: =ln LEFT ( 1+e ^{2x} -e ^{-2t} RIGHT )]과 직선 [eqn: y][eqn: =x+t]가 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, [eqn: f`' LEFT ( ln`2 RIGHT )][eqn: = {q} over {p} sqrt {2}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점][21년 6월 평가원]

[eqn: 11]

[출제의도] 여러 가지 함수의 미분법을 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가?

곡선 [eqn: y= ln (1+ e^2x -e^-2t )]과 직선 [eqn: y= x+t]가 만나는 두 점을

[eqn: rmP( alpha,~ alpha+itt ) ,] [eqn: rmQ ( beta,~beta + itt )] [eqn: ( alpha<beta )]

로 놓으면

[eqn: f(t)][eqn: = sqrt{(beta-alpha)^2 + (beta - alpha)^2 }]
[eqn: = sqrt2 ( beta - alpha)]

이때, [eqn: alpha,~beta]는 방정식

[eqn: ln(1+e^2x - e^-2t )= x+t]

의 서로 다른 두 실근이므로

[eqn: 1+e ^{2x} -e ^{-2t} =e ^{x+t}]

[eqn: e^2x - e^t times e^x +1 - e^-2t =0]

[eqn: e^x = k] [eqn: (k>0)]로 놓으면

[eqn: k^2 - e^t k +1 - e^-2t =0]

따라서,

[eqn: k= {e^t +- sqrt{ e^2t +4e^-2t -4} } over2]

이므로

[eqn: e^alpha = {e^t - sqrt{ e^2t + 4e^-2t -4} } over2]

[eqn: e ^{beta } = {e ^{t} + sqrt {e ^{2t} +4e ^{-2t} -4}} over {2}]

즉

[eqn: alpha= ln { e^t - sqrt{e^2t +4e^-2t -4} } over2]

[eqn: beta =ln {e ^{t} + sqrt {e ^{2t} +4e ^{-2t} -4}} over {2}]

이므로

[eqn: beta - alpha][eqn: = ln { e^t + sqrt{e^2t +4e^-2t -4 } } over{e^t - sqrt{e^2t +4e^-2t -4}]
[eqn: = ln {left (e^t + sqrt{e^2t +4e^-2t -4} right )^2 } over { 4 left (1-e^-2t right)]
[eqn: = 2 ln left(e^t + sqrt{e^2t +4e^-2t -4 } right) - ln4 - ln left(1-e^-2t right)]

따라서

[eqn: g(t)= 2 ln left(e^t + sqrt{e^2t +4e^-2t -4 } right) - ln4 - ln left (1- e^-2t right)]

라 하면

[eqn: g`'(t) = 2 times { e^t + { 2e^2t - 8e^-2t} over{2 sqrt{e^2t +4e^-2t -4 } } } over { e^t + sqrt{e^2t +4e^-2t -4 } } - {2e^-2t} over1-e^-2t]

이므로

[eqn: g`'(ln2)= 2 times { 2+ 8-2 over2 } over2+1} - 2 over3 = 8 over3]

즉, [eqn: f(t)= sqrt2 g(t)]에서

[eqn: f`'( ln2 )= sqrt2 g``'( ln2 )= 8 over3 sqrt2]

이므로 [eqn: p=3,] [eqn: q=8]

따라서 [eqn: p+q =11]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -x]와 실수 전체의 집합에서 미분가능한 역함수가 존재하는 삼차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ax ^{3} +x ^{2} +bx+1]이 있다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 역함수 [eqn: g ^{-1} LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: 15]

[출제의도] 역함수의 미분법을 활용하여 문제해결하기

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 연속함수이다.

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: =0]에서 연속이므로

[eqn: h LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = lim _{x -> 0-} {} h LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{x -> 0+} {} h LEFT ( x RIGHT )]에서

[eqn: h LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]이고 [eqn: f LEFT ( g ^{-1} LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: g ^{-1} LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = alpha]라 하면 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: =0], [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: f LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: =0]에서

[eqn: alpha][eqn: = it -1] 또는 [eqn: alpha][eqn: =0] 또는 [eqn: alpha][eqn: =1]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: =1]에서 연속이므로

[eqn: h LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = lim _{x -> 1-} {} h LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{x -> 1+} {} h LEFT ( x RIGHT )]에서

[eqn: h LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]이고 [eqn: f LEFT ( g ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1]이므로 [eqn: g ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]이므로

[eqn: f LEFT ( g ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =0]은 성립한다.

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: =0]에서 미분가능하므로

[eqn: lim _{x -> 0-} {} {h LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( 0 RIGHT )} over {x-0}][eqn: =][eqn: lim _{x -> 0+} {} {h LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( 0 RIGHT )} over {x-0}]에서

[eqn: lim _{x -> 0-} {} {f LEFT ( g ^{-1} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} over {x}][eqn: =][eqn: lim _{x -> 0+} {} {{1} over {pi} `sin`pi`x} over {x}][eqn: =1]

[eqn: f`' LEFT ( g ^{-1} LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT ) LEFT ( g ^{-1} RIGHT ) ' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1]

[eqn: g ^{-1} LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = alpha]이고 [eqn: LEFT ( g ^{-1} RIGHT ) ' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = it {1} over {g' LEFT ( alpha RIGHT )}]이므로

[eqn: f` prime LEFT ( alpha RIGHT ) TIMES {1} over {g prime LEFT ( alpha RIGHT )}][eqn: =1]

[eqn: f`' LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: =g' LEFT ( alpha RIGHT )]

[eqn: 3 alpha ^{2} -1][eqn: =3a alpha ^{2} +2 alpha +b]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하므로

[eqn: lim _{x -> 1-} {} {h LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}][eqn: =][eqn: lim _{x -> 1+} {} {h LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}]에서

[eqn: lim _{x -> 1-} {} {{1} over {pi} `sin`pi`x} over {x-1}][eqn: =][eqn: lim _{x -> 1+} {} {f LEFT ( g ^{-1} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} over {x-1}]

[eqn: lim _{x -> 1-} {} {{1} over {pi} `sin`pi`x} over {x-1}]에서 [eqn: x-1][eqn: =t]라 하면

[eqn: lim _{x -> 1-} {} {{1} over {pi} `sin`pi`x} over {x-1}][eqn: = lim _{t -> 0-} {} {-sin`pi`t} over {pi`t}][eqn: = it -1]

[eqn: lim _{x -> 1+} {} {f LEFT ( g ^{-1} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} over {x-1}][eqn: = it -1]에서

[eqn: f`' LEFT ( g ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) LEFT ( g ^{-1} RIGHT ) ' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = it -1]

[eqn: g ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]이고 [eqn: LEFT ( g ^{-1} RIGHT ) ' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = {1} over {g prime LEFT ( 0 RIGHT )}]이므로

[eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) TIMES {1} over {g' LEFT ( 0 RIGHT )}][eqn: = it -1]

[eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = it -1]이므로

[eqn: g' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =b][eqn: =1]

삼차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 역함수 [eqn: g ^{-1} LEFT ( x RIGHT )]를 가지고

[eqn: g' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1][eqn: >0]이므로 증가함수이다.

[eqn: g LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: =0], [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1]이므로 [eqn: alpha <0]

㉠에 의하여 [eqn: alpha][eqn: = it -1]

㉡에 의하여 [eqn: a][eqn: =1]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} +x ^{2} +x+1]

따라서 [eqn: g LEFT ( a+b RIGHT )][eqn: =g LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =15]

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{LEFT ( f CIRC g ^{-1} RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )&~~~ LEFT ( x<0~또는~x>1 RIGHT )#eqalign{# {1} over {pi} `sin`pi`x}&eqalign{# ~~~ LEFT ( 0 LEQ x LEQ 1 RIGHT )}}}]

이라 하자. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: g LEFT ( a+b RIGHT )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.) [4점][7월 교육청]

서로 다른 두 양수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 함수 [eqn: f(x)`]를
[eqn: f(x)= it - {ax ^{3} +bx} over {x ^{2} +1}]

[eqn: 10]

[출제의도] 합성함수의 미분법과 역함수의 미분법을 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: f(x)][eqn: = it - {ax ^{3} +bx} over {x ^{2} +1} `]에서

[eqn: f` prime (x)][eqn: = it - {LEFT ( 3ax ^{2} +b RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) - LEFT ( ax ^{3} +bx RIGHT ) LEFT ( 2x RIGHT )} over {LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) ^{2}} `]이므로

[eqn: f` prime (x)][eqn: = it - {ax ^{4} + LEFT ( 3a-b RIGHT ) x ^{2} +b} over {LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) ^{2}}]	[eqn: cdotscdotsit]㉠

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: x ^{2} +1!=0`]이므로 함수 [eqn: f` prime (x)`]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f` prime (x) != 0`]이고 [eqn: f` prime (0)][eqn: = it -b<0`]
이므로 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f` prime (x)<0`]이다.

[eqn: h(x)][eqn: =g(f(x))][eqn: =f(f(x))-x`]이므로

[eqn: h(0)][eqn: =f(f(0))-0][eqn: =f(0)][eqn: =0`]이다.

조건 (가)에서 [eqn: g(2)=f(2)-f ^{`-1} (2)][eqn: =h(0)][eqn: =0`]이므로
[eqn: f(2)=f ^{`-1} (2)=t`]([eqn: t`]는 상수)라 하면 [eqn: f(t)=2`]이다.

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(-x)= it -f(x)`]이므로
[eqn: f(-2)][eqn: = it -f(2)][eqn: = it -t`]이다.

즉 두 점 [eqn: LEFT ( t,``2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -2,``-t RIGHT ) `]는 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프 위에 있다.

[eqn: t != it -2`]일 때, 두 점 [eqn: LEFT ( t,``2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -2,``-t RIGHT ) `]를 지나는 직선의 기울기는 [eqn: {2-left(-t right)} over {t- left(-2 right)}=1`]이므로 평균값 정리에 의하여
[eqn: f`'(c)=1`]인 상수 [eqn: c`]가 존재한다. 그러나 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: f` prime (x)<0`]이므로 모순이다. 즉 [eqn: t= it -2]

[eqn: f`(2)= it -2`]에서 [eqn: - {8a+2b} over {5} = it -2]

그러므로 [eqn: 4a+b= it 5]	[eqn: cdotscdotsit]㉡

[eqn: f ^{`-1} (2)= it -2`]이므로 역함수의 미분법에 의하여
[eqn: g` prime LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =f` prime (2)- LEFT ( f ^{`-1} RIGHT ) prime (2)][eqn: =f` prime (2)- {1} over {f` prime (-2)}`]

㉠에서 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f` prime (-x)=f` prime (x)`]이므로

[eqn: f` prime (-2)=f` prime (2)`]이다.

즉 [eqn: g` prime LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =f` prime (2)- {1} over {f` prime (2)}`]

[eqn: h(x)=f(f(x))-x`]에서 [eqn: h` prime (x)=f` prime (f(x))f` prime (x)-1`]이므로

[eqn: h` prime ( 2 ) `][eqn: =f` prime (f(2))f` prime (2)-1`][eqn: =f` prime (-2)f` prime (2)-1`][eqn: = LEFT { f` prime (2) RIGHT } ^{2} -1]

조건 (나)에서 [eqn: g` prime (2)= it -5 h` prime (2)`]이므로

[eqn: f` prime (2)- {1} over {f` prime (2)} = it -5 LEFT { f` prime (2) RIGHT } ^{2} +5]

[eqn: 5 LEFT { f` prime (2) RIGHT } ^{3} + LEFT { f` prime (2) RIGHT } ^{2} -5f` prime (2)-1][eqn: =0]

[eqn: LEFT { 5f` prime (2)+1 RIGHT } LEFT { f` prime (2)+1 RIGHT } LEFT { f` prime (2)-1 RIGHT }][eqn: =0]

[eqn: f` prime (x)<0`]이므로 [eqn: f` prime (2)= it - {1} over {5}] 또는 [eqn: f` prime (2)= it -1`]이다.

㉠에서 [eqn: f` prime (2)][eqn: = it - {16a+4(3a-b)+b} over {(4+1) ^{2}}][eqn: =it- {28a-3b} over {25}]

(ⅰ) [eqn: f` prime (2)= it - {1} over {5} `]일 때, [eqn: - {28a-3b} over {25}][eqn: = it - {1} over {5}]이므로
[eqn: 28a-3b][eqn: = it 5]	[eqn: cdotscdotsit]㉢
㉡, ㉢을 연립하면 [eqn: a= it {1} over {2}], [eqn: b=3`]이다.

(ⅱ) [eqn: f` prime (2)= it -1`]일 때, [eqn: - {28a-3b} over {25}][eqn: = it -1]이므로
[eqn: 28a-3b][eqn: =25]	[eqn: cdotscdotsit]㉣
㉡, ㉣을 연립하면 [eqn: a=1], [eqn: b= it 1`]이므로 모순이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: 4(b-a)][eqn: =4 TIMES LEFT ( 3- {1} over {2} RIGHT )][eqn: =10]

라 하자. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`' ( x ) !=0`]이고, 두 함수

[eqn: g(x)=f(x)-f ^{`-1} (x)], [eqn: h(x)=(g circ f)(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: g(2)=h(0)]

(나) [eqn: g` prime (2)= it -5 h` prime (2)`]

[eqn: 4(b-a)`]의 값을 구하시오. [4점][10월 교육청]

도함수의 활용(2,3점)

곡선 [eqn: y][eqn: =x`e ^{-2x}]의 변곡점을 [eqn: rmA]라 하자. 곡선 [eqn: y][eqn: =x`e ^{-2x}] 위의 점 [eqn: rmA]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmB]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [3점][7월 교육청]

①

[출제의도] 접선의 방정식 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x`e ^{-2x}]이라 하면

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( 1-2x RIGHT ) e ^{-2x}]

[eqn: f`'' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( 4x-4 RIGHT ) e ^{-2x}][eqn: =0]에서 [eqn: x][eqn: =1]

[eqn: x<1]에서 [eqn: f`'' LEFT ( x RIGHT )][eqn: <0]이고,

[eqn: x>1]에서 [eqn: f`'' LEFT ( x RIGHT )][eqn: >0]이다.

[eqn: x][eqn: =1]의 좌우에서 [eqn: f`'' LEFT ( x RIGHT )]의 부호가 바뀌므로

변곡점 [eqn: rmA]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,~e ^{-2} RIGHT )]

[eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = it -e ^{-2}]이므로

함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프 위의 점 [eqn: rmA]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-e ^{-2}][eqn: = it -e ^{-2} LEFT ( x-1 RIGHT )]

[eqn: y][eqn: = it -e ^{-2} LEFT ( x-2 RIGHT )]

그러므로 점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]

따라서 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES e ^{-2}][eqn: =e ^{-2}]

① [eqn: e ^{-2}]	② [eqn: 3e ^{-2}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: e ^{2}]	⑤ [eqn: 3e ^{2}]

원점에서 곡선 [eqn: y][eqn: =e ^{LEFT | `x` RIGHT |}]에 그은 두 접선이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: tan` theta]의 값은? [3점][21년 6월 평가원]

④

[출제의도] 두 접선이 이루는 예가의 크기 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: tan` theta]의 값을 구할 수 있는가?

곡선 [eqn: y= e^|x|]는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이다.

[eqn: x geq0]일 때 [eqn: y=e^x]이고 접점을 [eqn: left(t,~e^t right)]이라 하면 [eqn: y`'= e^x]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-e^t = e^t (x-t)]

이 접선이 원점을 지나므로

[eqn: -e^t = e^t (-t) ,] [eqn: t=1]

따라서 접선의 기울기는 [eqn: e]이고 이 접선과 [eqn: y]축에 대하여 대칭인 접선의 기울기는 [eqn: -e]이다.

[eqn: tan theta][eqn: = {-e-e} over{ 1+ (-e) timese }]
[eqn: = -2e over{1-e^2 }]
[eqn: = 2e over{e^2 -1 }]

① [eqn: {e} over {e ^{2} +1}]	② [eqn: {e} over {e ^{2} -1}]	③ [eqn: {2e} over {e ^{2} +1}]	④ [eqn: {2e} over {e ^{2} -1}]	⑤ [eqn: 1]

두 함수

④

[출제의도] 방정식의 서로 다른 양의 실근의 개수가 [eqn: 3]일 조건을 구할 수 있는가?

[eqn: e^x = k sinx]에서 [eqn: 1 overk = sinx overe^x]	[eqn: cdotscdots]㉠이므로

[eqn: h(x)= sinx overe^x]라 하면

[eqn: h`'(x)= {e^x cosx - e^x sinx } overe^2x = { cosx - sinx } overe^x]

따라서 [eqn: x>0]에서 [eqn: h`'(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값은

[eqn: x= pi over4 ,~ 5 over4 pi ,~ 9 over4 pi ,~ cdots]

이므로 함수 [eqn: y= h(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: (0)]	[eqn: cdots]	[eqn: pi over4]	[eqn: cdots]	[eqn: 5 over4 pi]	[eqn: cdots]
[eqn: h`'(x)]	[eqn: 1]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: h(x)]	[eqn: 0]	↗	[eqn: 1 over{sqrt2 e^{ pi over4 }}]	↘	[eqn: - 1 over{sqrt2 e^{ 5 over4 pi}]	↗

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: {9pi } over {4}]	[eqn: cdots]	[eqn: {13} over {4} pi]	[eqn: cdots]
[eqn: h`'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: h(x)]	↗	[eqn: {1} over {sqrt {2} e ^{{9pi } over {4}}}]	↘	[eqn: - {1} over {sqrt {2} e ^{{13} over {4} pi }}]	↗

이때 ㉠의 서로 다른 양의 실근의 개수가 [eqn: 3]이기 위해서는 그림과 같이 직선 [eqn: y= 1 overk]이 [eqn: x= 9 over4 pi]에서 곡선 [eqn: y= sinx overe^x]와 접해야 하므로

[eqn: 1 overk = 1 over{sqrt2 e^{ 9 over4 pi}]

따라서

[eqn: k= sqrt2 e^{ 9 over4 pi}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =e ^{x}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =k`sin`x]

에 대하여 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 서로 다른 양의 실근의 개수가 [eqn: 3]일 때, 양수 [eqn: k]의 값은? [3점][21년 6월 평가원]

① [eqn: sqrt {2} e ^{{3pi} over {2}}]	② [eqn: sqrt {2} e ^{{7pi} over {4}}]	③ [eqn: sqrt {2} e ^{2pi}]	④ [eqn: sqrt {2} e ^{{9pi} over {4}}]	⑤ [eqn: sqrt {2} e ^{{5pi} over {2}}]

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP`]의 시각 [eqn: t] ([eqn: t > 2])에서의 위치 [eqn: LEFT ( x,````y RIGHT )]가

④

[출제의도] 미분법을 이용하여 평면 위를 움직이는 점의 속력을 구한다.

[eqn: {dx} over {dt}][eqn: =ln`t+1], [eqn: {dy} over {dt}][eqn: = {4ln`t-4} over {LEFT ( ln`t RIGHT ) ^{2}} `]이므로

시각 [eqn: t`]에서의 점 [eqn: rmP`]의 속력은

[eqn: sqrt {LEFT ( {dx} over {dt} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {dy} over {dt} RIGHT ) ^{2}}][eqn: = sqrt {LEFT ( ln`t+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT { {4ln`t-4} over {LEFT ( ln`t RIGHT ) ^{2}} RIGHT } ^{2}}]

따라서 시각 [eqn: t][eqn: =e ^{2} `]에서 점 [eqn: rmP`]의 속력은

[eqn: sqrt {LEFT ( ln`e ^{2} +1 RIGHT ) ^{2} + LEFT { {4ln`e ^{2} -4} over {LEFT ( ln`e ^{2} RIGHT ) ^{2}} RIGHT } ^{2}}][eqn: = sqrt {3 ^{2} +1 ^{2}}][eqn: = sqrt {10}]

[eqn: x=t`ln`t], [eqn: y= {4t} over {ln`t}]

이다. 시각 [eqn: t=e ^{2} `]에서 점 [eqn: rmP`]의 속력은? [3점][10월 교육청]

① [eqn: sqrt { 7}]	② [eqn: 2sqrt { 2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: sqrt {10}]	⑤ [eqn: sqrt11]

도함수의 활용(4점)

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `` it = LEFT { `f LEFT ( x RIGHT ) +2 RIGHT } `e ^{`f LEFT ( x RIGHT )}]이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 24]

[출제의도] 함수의 극대, 극소 및 함수의 그래프의 개형을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 함수를 구할 수 있는가?

[eqn: g(x)= LEFT { f(x)+2 RIGHT } e ^{``f(x)}]이므로

[eqn: g`'(x)=f`'(x) LEFT { f(x)+3 RIGHT } e ^{``f(x)}]

[eqn: g`'(x)=0]에서

[eqn: f`'(x)=0] 또는 [eqn: f(x)+3=0]

[eqn: f(x)]가 이차함수이므로

조건 (가), (나)에 의해

[eqn: f`'(a)=0], [eqn: f(a)=6]

[eqn: f(b)+3=0,~f(b+6)+3=0]

이어야 한다.

이차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수를 [eqn: p`]라 하면

[eqn: f(b)+3=0,~f(b+6)+3=0]이므로

[eqn: f(x)+3=p(x-b)(x-b-6)]

즉, [eqn: f(x)=p(x-b)(x-b-6)-3]	[eqn: CDOTS CDOTSit]㉠

이때, [eqn: f`'(a)=0]이므로

[eqn: {b+(b+6)} over {2} =a]

[eqn: b=a-3]	[eqn: CDOTS CDOTSit]㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: f(x)=p(x-a+3)(x-a-3)-3]

이므로

[eqn: f(a)=it-9p-3=6]에서

[eqn: p=it-1]

방정식 [eqn: f(x)=0]에서

[eqn: -(x-a+3)(x-a-3)-3=0]

[eqn: (x-a) ^{2} -6=0]

[eqn: x=a+- sqrt {6}]

따라서

[eqn: LEFT ( alpha - beta RIGHT ) ^{2} = LEFT { LEFT ( a+ sqrt {6} RIGHT ) - LEFT ( a- sqrt {6} RIGHT ) RIGHT } ^{2} =24]

방정식 [eqn: f left(x right)`it=0]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta`]라 할 때, [eqn: ( alpha -beta)^{`2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 실수이다.) [4점][9월 평가원]

(가) [eqn: f` LEFT ( a RIGHT ) `it=6]인 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: g left(x right)]는 [eqn: x=a`]에서 최댓값을 갖는다.

(나) [eqn: g left(x right)]는 [eqn: x=b], [eqn: x=b+6]에서 최솟값을 갖는다.

수능대비	단원별 기출문제	미적분

03

적분

여러 가지 적분법(2,3점)

[eqn: int _{2} ^{4} {{6} over {x ^{2}}} dx`]의 값은? [2점][10월 교육청]

①

[출제의도] 정적분의 값을 계산한다.

[eqn: int _{2} ^{4} {{6} over {x ^{2}} dx}][eqn: = LEFT [ it - {6} over {x} RIGHT ] _{2}^{4}][eqn: = it - 3 over2 - left( -3 right)][eqn: = 3 over2]

① [eqn: 3 over 2]	② [eqn: 7 over 4]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 9 over4]	⑤ [eqn: 5 over 2]

[eqn: int _{0} ^{{pi} over {4}} {} 2`cos`2x`sin` ^{2} `2x`dx]의 값은? [3점][7월 교육청]

⑤

[출제의도] 치환적분 이해하기

[eqn: sin`2x][eqn: =t]라 하면

[eqn: 2`cos`2x][eqn: = {dt} over {dx}]

[eqn: x][eqn: =0]일 때 [eqn: t][eqn: =0], [eqn: x][eqn: = {pi} over {4}]일 때 [eqn: t][eqn: =1]이다.

따라서

[eqn: int _{0} ^{{pi} over {4}} {} 2`cos`2x`sin ^{2} `2x`dx][eqn: = int _{0} ^{1} {} t ^{2} `dt][eqn: = LEFT [ ` {1} over {3} t ^{3} ` RIGHT ] _{0}^{1}][eqn: = {1} over {3}]

① [eqn: {1} over {9}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {2} over {9}]	④ [eqn: {5} over {18}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

미분가능한 함수 [eqn: f ( x ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

⑤

[출제의도] 치환적분법과 부분적분법을 이용하여 문제를 해결한다.

조건 (가)에 의해 함수 [eqn: f(x)`]는 감소한다.

그러므로 조건 (나)에 의해

[eqn: f(-1)][eqn: =1], [eqn: f(3)][eqn: =it-2] 즉 [eqn: f ^{`-1} (1)][eqn: = it -1], [eqn: f ^{`-1} (-2)][eqn: =3]

[eqn: int _{-2} ^{1} {f ^{`-1} (x)}} dx`]에서 [eqn: f ^{`-1} (x)][eqn: =t`]로 놓으면

[eqn: x][eqn: =it-2`]일 때 [eqn: t][eqn: =3], [eqn: x][eqn: =1`]일 때 [eqn: t][eqn: = it -1`]이고,

[eqn: x][eqn: =f(t)`]에서 [eqn: {dx} over {dt}][eqn: =f`' ( t ) `]이므로

[eqn: int _{-2} ^{1} {{f ^{`-1} (x)}} dx][eqn: = int _{3} ^{-1} {tf`'(t)} dt]
[eqn: = LEFT [ pile{`#`}tf(t) RIGHT ] _{3}^{-1} - int _{3} ^{-1} {f (t)} dt]
[eqn: =it-f(-1)-3f(3)+ int _{-1} ^{3} {f(t)} dt]
[eqn: =it-1+6+3][eqn: =8]

(가) [eqn: x_{1}<x_{2}`]인 임의의 두 실수 [eqn: x_1], [eqn: x_2`]에 대하여
[eqn: f ( x _{1} ) >f ( x _{2} ) `]이다.

(나) 닫힌구간 [eqn: LEFT [ -1,````3 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f ( x ) `]의 최댓값은 [eqn: 1`]이고
최솟값은 [eqn: -2`]이다.

[eqn: int _{-1} ^{3} {f ( x )} dx=3`]일 때, [eqn: int _{-2} ^{1} {f ^{`-1} ( x )} dx`]의 값은? [3점][10월 교육청]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

여러 가지 적분법(4점)

함수 [eqn: f(x)=sin LEFT ( ax RIGHT )] ([eqn: a!=0])에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 합을 구하시오. [4점][10월 교육청]

[eqn: 14]

[출제의도] 정적분의 성질과 삼각함수의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

조건 (가)에서

[eqn: int_{0}^{pi over a}{f(x) }dx][eqn: =int_{0}^{pi over a}{{sin left(ax right)} dx}]
[eqn: = left[ pile{`#`} - 1 over a cos left(ax right) right]_{0}^{pi over a}][eqn: = 2 over a]

[eqn: 2 over a ge 1 over 2 `]이므로

[eqn: 0<a LEQ 4]	[eqn: cdotscdotsit]㉠

조건 (나)에서
[eqn: int_{0}^{3pi}{ left{{left|f(x) + t right|} -{left|f(x) - t right| right} dx}][eqn: =0]

[eqn: g(x)][eqn: = left|f(x) + t right| - left|f(x) -t right|`]라 하면

[eqn: g(x)][eqn: = cases{ ``-2t_{}_{}_{}_{}~~~~~~& left(-1 le rmsin left( it ax right) < it-t right) _{}_{}_{}_{}# ``2sin left(ax right)_{}_{}_{}_{} ~~& left( -t le rmsin left( it ax right) <t right)_{}_{}_{}_{}# ``2t & left( t le rmsin left( it ax right) le 1 right) }]

함수 [eqn: y][eqn: = g(x)`]의 그래프가 그림과 같으므로

[eqn: 0 < k < 2pi over a `]인 모든 실수 [eqn: k`]에 대하여

[eqn: int_{0}^{ k}{g(x)}dx>0 `]이고, [eqn: int_{0}^{ 2pi over a}{g(x)}}dx][eqn: =0`]이다.

함수 [eqn: g(x)`]는 주기가 [eqn: 2pi over a `]이고 [eqn: int_{0}^{3 pi}{g(x)} }dx][eqn: =0`]이므로

[eqn: 3pi][eqn: = 2pi over a times n`]([eqn: n`]은 자연수), [eqn: a][eqn: = 2 over 3 n]

㉠에서 [eqn: 0< 2 over 3 n le 4]

따라서 구하는 모든 실수 [eqn: a`]의 값은

[eqn: 2 over 3], [eqn: 4 over 3], [eqn: 2], [eqn: 8 over 3], [eqn: 10 over 3], [eqn: 4`]이므로 그 합은 [eqn: 14`]이다.

(가) [eqn: int_{0}^{pi over a}{f(x) }dx ge 1 over 2]

(나) [eqn: 0 < t < 1`]인 모든 실수 [eqn: t`]에 대하여
[eqn: int_{0}^{3pi}{left|f(x) +t right| }dx} = int_{0}^{3pi}{left|f(x) -t right|} dx]
이다.

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 [eqn: C`]와 두 점 [eqn: {rm A} left(2,````0 right)], [eqn: {rm B`} left(0,````-2 right)]가 있다. 원 [eqn: C] 위에 있고 [eqn: x`]좌표가 음수인 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: ANGLE rm PAB ``it= theta `]라 하자.
점 [eqn: {rm Q}left(0,````2`cos` theta right)]에서 직선 [eqn: rm BP]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm R]라 하고, 두 점 [eqn: rm P]와 [eqn: rm R] 사이의 거리를 [eqn: f left(theta right)]라 할 때, [eqn: int _{{pi } over {6}} ^{{pi } over {3}} {`f` left( theta right) `}d theta `]의 값은? [4점][9월 평가원]

①

[출제의도] 삼각함수의 적분법과 부분적분법을 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는가?

[eqn: rm {bar{QB}} = it 2+2`cos` theta =2(1+cos` theta )]

이고

직각삼각형 [eqn: RMQRB]에서

[eqn: ANGLE rm QBR= {pi} over {2} - theta]

이므로

[eqn: {bar{rm BR}} = {bar{rm QB}} TIMES cos `LEFT ( {pi} over {2} - theta RIGHT ) =2(1+cos` theta )sin` theta]

삼각형 [eqn: rm APB]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 2]이므로 사인법칙에 의해

[eqn: {BAR{RMBP}} over {sin theta } =2 TIMES 2]

이므로

[eqn: {bar{rm BP}} =4`sin theta]

따라서

[eqn: f( theta )][eqn: = {bar{rm BP}} - {bar{rm BR}}]
[eqn: =4`sin` theta -2(1+cos` theta )`sin `theta]
[eqn: =2`sin` theta -2`cos` theta ` sin` theta]

이므로

[eqn: int _{{pi} over {6}} ^{{pi} over {3}} {} f( theta )d theta][eqn: = int _{{pi } over {6}} ^{{pi } over {3}} {} (2`sin `theta -2`cos` theta `sin` theta )`d theta]
[eqn: = LEFT [ -2`cos` theta -sin ^{2} `theta pile{it#it} RIGHT ] _{{pi} over {6} }^{{pi} over {3}}]
[eqn: = LEFT ( -2`cos` {pi } over {3} -sin ^{2} `{pi } over {3} RIGHT ) - LEFT ( -2`cos` {pi } over {6} -sin ^{2}` {pi } over {6} RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( -1- {3} over {4} RIGHT ) - LEFT ( - sqrt {3} - {1} over {4} RIGHT )]
[eqn: = {2 sqrt {3} -3} over {2}]

① [eqn: {2sqrt3 -3}over 2]	② [eqn: SQRT3 -1]	③ [eqn: {3sqrt3 -3}over 2]

④ [eqn: {2sqrt3 -1}over 2]	⑤ [eqn: {4sqrt3 -3}over 2]

최고차항의 계수가 [eqn: 9]인 삼차함수 [eqn: f left(x right)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 115]

[출제의도] 삼각함수의 극한 및 함수의 극값을 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 함수를 구한 후 치환적분법을 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는가?

조건 (가)에서

[eqn: x ``rarrow`` 0]일 때 (분모)[eqn: ``rarrow`` 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ``rarrow`` 0]이어야 한다.

즉,

[eqn: lim _{x`` rarrow `` 0} ``{} sin LEFT ( pi TIMES f(x) RIGHT ) =sin` LEFT ( pi TIMES f(0) RIGHT ) =0]

에서

[eqn: f(0)=n~(n`]은 정수)

이다.

한편, 삼차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 9]이므로

[eqn: f(x)=9x ^{3} +ax ^{2} +bx+n~(a,~b]는 상수)

로 놓을 수 있다.

이때, [eqn: h(x)=sin LEFT ( pi TIMES f(x) RIGHT )]라 하면

[eqn: h(0)=0]이므로

[eqn: lim _{x`` rarrow `` 0} {} {sin( pi `` TIMES f(x))} over {x}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0}`` {} {h(x)-h(0)} over {x}]
[eqn: =h` prime (0)]

이다. 즉,

[eqn: h`'(0)=0]

이다.

이때, [eqn: h` prime (x)= pi f `prime `(x)` TIMES ` cos` LEFT ( pi TIMES f(x) RIGHT )]이므로

[eqn: h` prime (0)=pi`f `prime `(0) TIMES `cos` LEFT ( n pi RIGHT ) =0]에서

[eqn: f`'(0)=0]

[eqn: f`'(x)=27x ^{2} +2ax+b`]에서

[eqn: f`'(0)=b=0]	[eqn: CDOTS CDOTSit]㉠

한편, 함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: lim _{x`` rarrow`` 1-} `{} g(x)= lim _{x`` rarrow`` 1+}` {} g(x)]

이어야 한다.

이때,  함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: 0 le x <1]일 때

[eqn: g(x)=f(x)]이고 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x+1)=g(x)]이므로

[eqn: lim _{x`` rarrow `` 1+} {} `g(x)= lim _{x`` rarrow`` 0+}` {} g(x)]

이다.

[eqn: lim _{x`` rarrow`` 1-}` {} g(x)= lim _{x`` rarrow `` 1-} `{} f(x)=9+a+n],

[eqn: lim _{x`` rarrow`` 0+} {}` g(x)= lim _{x`` rarrow `` 0+}` {} f(x)=n]

이므로

[eqn: 9+a+n=n]

[eqn: a=-9]	[eqn: CDOTS CDOTSit]㉡

[eqn: f prime (x)=27x ^{2} -18x=9x(3x-2)]

이므로

[eqn: f`'(x)=0]에서

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x= {2} over {3}]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극대이고 [eqn: x= {2} over {3}]에서 극소이다.

조건 (나)에 의해

[eqn: f(0) TIMES f LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) =5]

이므로

[eqn: n TIMES LEFT ( n- {4} over {3} RIGHT ) =5]

[eqn: (3n+5)(n-3)=0]

[eqn: n]이 정수이므로

[eqn: n=3]	[eqn: CDOTS CDOTSit]㉢

㉠~㉢에 의해 [eqn: f(x)=9x ^{3} -9x^2 +3]

따라서,

[eqn: int _{0} ^{5} {} xg(x)dx]

[eqn: = int _{0} ^{1} {} xg(x)dx+ int _{1} ^{2} {} xg(x)dx+ int _{2} ^{3} {} xg(x)dx]
[eqn: + int _{3} ^{4} {} xg(x)dx+ int _{4} ^{5} {} xg(x)dx]

[eqn: = int _{0} ^{1} {} xf(x)dx+ int _{0} ^{1} {} (x+1)g(x+1)dx][eqn: + int _{0} ^{1} {} (x+2)g(x+2)dx]
[eqn: + int _{0} ^{1} {} (x+3)g(x+3)dx][eqn: + int _{0} ^{1} {} (x+4)g(x+4)dx]

[eqn: = int _{0} ^{1} {} xf(x)dx+ int _{0} ^{1} {} (x+1)f(x)dx][eqn: + int _{0} ^{1} {} (x+2)f(x)dx`]
[eqn: + int _{0} ^{1} {} (x+3)f(x)dx][eqn: + int _{0} ^{1} {} (x+4)f(x)dx]

[eqn: =5 int _{0} ^{1} {} xf(x)dx+10 int _{0} ^{1} {} f(x)dx]

[eqn: =5 int _{0} ^{1} {} (9x ^{4} -9x ^{3} +3x)dx+10 int _{0} ^{1} {} (9x ^{3} -9x ^{2} +3)dx]

[eqn: =5 LEFT [ {9} over {5} x ^{5} - {9} over {4} x ^{4} + {3} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0}^{1} +10 LEFT [ {9} over {4} x ^{4} -3x ^{3} +3x RIGHT ] _{0}^{1}]

[eqn: = {21} over {4} + {45} over {2}]

[eqn: = {111} over {4}]

따라서 [eqn: p=4,~q=111]이므로

[eqn: p+q=4+111=115]

함수 [eqn: g` left(x right)`]는 [eqn: 0 le x < 1]일 때 [eqn: g left(x right)`it = f left(x right)]이고 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g left(x+1 right)`it=g left(x right)]이다.

(가) [eqn: lim _{x` ->` 0} {{sin LEFT ( pi TIMES f left(x right) RIGHT )} over {x}}`it=0]

(나) [eqn: f left(x right)]의 극댓값과 극솟값의 곱은 [eqn: 5`]이다.

[eqn: g left(x right)]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: int_0^5 {x `g left(x right)`}dx ``it= q over p]이다.

[eqn: p+q `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점][9월 평가원]

두 자연수 [eqn: a,~b]에 대하여 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ax ^{2} +b]가 있다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: 586]

[출제의도] 적분법을 활용하여 문제해결하기

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {f` prime LEFT ( x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )} - {1} over {10} f`' LEFT ( x RIGHT )]
[eqn: = {f`' LEFT ( x RIGHT )} over {10f LEFT ( x RIGHT )} LEFT { 10-f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]이 되려면 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0] 또는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =10]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2ax]이므로 [eqn: x=0]일 때에만 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]

(ⅰ) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -10][eqn: =0]이 실근을 갖지 않을 때,
[eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >10]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 0]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

(ⅱ) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -10][eqn: =0]이 중근을 가질 때,
[eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0], [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =10], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 10]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 0]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

(ⅰ), (ⅱ)의 경우에는 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x][eqn: =0]에서 극댓값을 갖는다.

그러므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

(ⅲ) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -10][eqn: =0]이 서로 다른 두 실근을 가질 때,
방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -10][eqn: =0]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha ,~ beta][eqn: LEFT ( alpha < beta RIGHT )]라 하면
[eqn: alpha][eqn: = it - beta]
[eqn: f LEFT ( -x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]이므로 [eqn: g LEFT ( -x RIGHT )][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]
함수 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: y]축 대칭이므로
[eqn: g LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: =g LEFT ( beta RIGHT )]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: alpha]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 0]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: beta]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

(ⅲ)의 경우에는 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=0]에서 극솟값을 가지므로 조건 (가)를 만족시킨다.
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =b][eqn: <f LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: = it 10]이므로
[eqn: 1 LEQ b<10]

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =ln`f LEFT ( 0 RIGHT ) - {1} over {10} LEFT ( f LEFT ( 0 RIGHT ) -1 RIGHT )]
[eqn: =ln`b- {1} over {10} LEFT ( b-1 RIGHT )]

[eqn: p LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ln`x- {1} over {10} LEFT ( x-1 RIGHT )]이라 하면

[eqn: p' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {x} - {1} over {10}][eqn: = {10-x} over {10x}]

[eqn: 1 LEQ x<10]일 때 [eqn: p' LEFT ( x RIGHT ) >0]이므로

[eqn: p LEFT ( x RIGHT )]는 증가함수이다.

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: GEQ p LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]

함수 [eqn: LEFT | `g LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT |]의 그래프의 개형은 다음 [eqn: 2]가지 경우와 같다.

(1) [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]일 때

함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t][eqn: =k]에서 불연속인 [eqn: k]의 값의 개수는 [eqn: 7]이므로 조건 (나)를 만족시킨다.

(2) [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) >0]일 때

함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t][eqn: =k]에서 불연속인 [eqn: k]의 값의 개수는 [eqn: 11]이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.
그러므로 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]
[eqn: 0][eqn: =g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =p LEFT ( b RIGHT )][eqn: GEQ p LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]이므로
[eqn: p LEFT ( b RIGHT )][eqn: =p LEFT ( 1 RIGHT )]
함수 [eqn: p LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: 1 LEQ x<10]에서
증가함수이므로 [eqn: b][eqn: =1], [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ax ^{2} +1]

[eqn: int _{0} ^{a} {} ex`f LEFT ( x RIGHT ) `dx]

[eqn: = int _{0} ^{a} {} LEFT ( ax ^{2} +1 RIGHT ) `e ^{x} `dx]

[eqn: = LEFT [ ` LEFT ( ax ^{2} +1 RIGHT ) `e ^{x} pile{it#it} ` RIGHT ] _{0}^{a} - int _{0} ^{a} {} 2ax`e ^{x} `dx]

[eqn: = LEFT ( a ^{3} +1 RIGHT ) e ^{a} -1- LEFT [ `2ax`e ^{x} ` pile{it#it} RIGHT ] _{0}^{a} + int _{0} ^{a} {} 2a`e ^{x} `dx]

[eqn: = LEFT ( a ^{3} +1 RIGHT ) e ^{a} -1-2a ^{2} `e ^{a} + LEFT [ `2a`e ^{x} ` pile{it#it} RIGHT ] _{0}^{a}]

[eqn: = LEFT ( a ^{3} -2a ^{2} +2a+1 RIGHT ) e ^{a} -2a-1]

[eqn: me ^{a} -19][eqn: = LEFT ( a ^{3} -2a ^{2} +2a+1 RIGHT ) e ^{a} -2a-1]

따라서 [eqn: a][eqn: =9]이므로

[eqn: m][eqn: =a ^{3} -2a ^{2} +2a+1][eqn: =586]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ln`f LEFT ( x RIGHT ) - {1} over {10} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -1 RIGHT }]

이라 하자. 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y][eqn: = LEFT | `g LEFT ( t RIGHT ) ` RIGHT |]와 함수 [eqn: y][eqn: = LEFT | `g LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT |]의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 두 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )], [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 극솟값을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t][eqn: =k]에서 불연속인 [eqn: k]의 값의 개수는 [eqn: 7]이다.

[eqn: int _{0} ^{a} {} e ^{x} `f LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: =me ^{a} -19]일 때, 자연수 [eqn: m]의 값을 구하시오. [4점][7월 교육청]

정적분의 활용(2,3점)

그림과 같이 곡선 [eqn: y=sqrt{{3x+1}over {x^{`2}}] ([eqn: x>0])과 [eqn: x`]축 및 두 직선 [eqn: x=1], [eqn: x=2]로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하고 [eqn: x`]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형의 부피는? [3점][9월 평가원]

②

[출제의도] 정적분을 이용하여 입체도형의 부피를 구할 수 있는가?

[eqn: x`]좌표가 [eqn: t~(1 le t le 2)]인 점을 지나고 [eqn: x`]축에 수직인 평면으로 자른 단면은 한 변의 길이가 [eqn: sqrt {{3t+1} over {t ^{2}}}]인 정사각형이므로 단면의 넓이를 [eqn: S`(t)]라 하면

[eqn: S`(t)= {3t+1} over {t ^{2}}]

따라서 구하는 입체도형의 부피를 [eqn: V`]라 하면

[eqn: V`][eqn: = int _{1} ^{2} {} S(t)dt]
[eqn: = int _{1} ^{2} {} {3t+1} over {t ^{2}} dt]
[eqn: = int _{1} ^{2} {} LEFT ( {3} over {t} + {1} over {t ^{2}} RIGHT ) dt]
[eqn: = LEFT [ 3`ln` LEFT | t RIGHT | - {1} over {t} RIGHT ] _{1}^{2}]
[eqn: = LEFT ( 3`ln`2- {1} over {2} RIGHT ) - LEFT ( 3`ln`1-1 RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} +3`ln`2]

① [eqn: 3`ln`2]	② [eqn: 1 over 2 +3`ln`2]	③ [eqn: 1+3`ln`2]

④ [eqn: 1 over 2 +4`ln`2`]	⑤ [eqn: 1+4`ln`2`]