수학 영역

2022 3월 고3 전국연합 학력평가

제 2 교시           수학 영역

[eqn: (3 sqrt {3} ) ^{{1} over {3}} TIMES 3 ^{{3} over {2}}]의 값은?

[2점]

[정답] ⑤

[eqn: (3 sqrt {3} ) ^{{1} over {3}} TIMES 3 ^{{3} over {2}} = LEFT ( 3 ^{{3} over {2}} RIGHT ) ^{{1} over {3}} TIMES 3 ^{{3} over {2}} =3 ^{{3} over {2} TIMES {1} over {3} + {3} over {2}} =3 ^{2} =9]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 3 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 9]

두 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +2x ^{2} +3x+4] 에 대하여 [eqn: f`'`(1)]의 값은?

[2점]

[정답] ②

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} +4x+3] 이므로 [eqn: f`'(-1)=3-4+3=2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: a _{4} =6], [eqn: 2a _{7} =a _{19}]
일 때, [eqn: a _{1}]의 값은?

[2점]

[정답] ④

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면 [eqn: a _{4} =6]에서

[eqn: a _{1} +3d=6 CDOTS ㉠],

[eqn: 2a _{7} =a _{19}]에서 [eqn: 2(a _{1} +6d)=a _{1} +18d`,````a _{1} -6d=0 CDOTS ㉡]

㉠ ,㉡을 연립하면 [eqn: a _{1} =4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim _{x -> `-1+} {} f LEFT ( x RIGHT ) + lim _{x -> `1-} {} f LEFT ( x RIGHT )]의 값은? [3점]

[정답] ④

[eqn: lim _{x-> `-1+} {f(x)+ lim _{x-> 1-} {f(x)=0+1=1}}]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: {pi } over {2} < theta < pi] 인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: c`os theta `tan theta = {1} over {2}] 일 때, [eqn: c`os theta +tan theta]   의 값은?

[3점]

[정답] ①

[eqn: cos theta tan theta =cos theta TIMES {sin theta } over {cos theta } =sin theta = {1} over {2}]

[eqn: {pi } over {2} < theta < pi] 이므로 [eqn: theta = {5} over {6} pi]

따라서 [eqn: cos theta +tan theta =- {sqrt {3}} over {2} + LEFT ( - {sqrt {3}} over {3} RIGHT ) =- {5 sqrt {3}} over {6}]

① [eqn: - {5 sqrt {3}} over {6}]	② [eqn: - {2 sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: - {sqrt {3}} over {2}]	④ [eqn: - {sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: - {sqrt {3}} over {6}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x ^{2} -3x+5]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: a]에서 [eqn: a+1]까지 변할       때의 평균변화율이 [eqn: 7]이다. [eqn: lim _{h-> 0} {{f(a+2h)-f(a)} over {h}}]의 값은?          구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.)  [3점]

[정답] ③

[eqn: {f(a+1)-f(a)} over {(a+1)-a} =4a-1=7] 에서 [eqn: a=2 CDOTS ㉠]

[eqn: f`'(x)=4x-3]이므로

[eqn: lim _{h-> 0} {{f(a+2h)-f(a)} over {h}} =2 lim _{h-> 0} {{f(a+2h)-f(a)} over {2h}}]

[eqn: =2`f`` prime (a)=2f``'(2)=10]

① [eqn: 6`]	② [eqn: 8`]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=x ^{2} -4x+6] 위의 점 [eqn: A(3`,3)]에서의 접선을   [eqn: l]이라 할 때, 곡선 [eqn: y=x ^{2} -4x+6]과 직선 [eqn: l] 및 [eqn: y]축으로 둘어싸인   부분의 넓이는? [3점]

[정답] ②

[eqn: f(x)=x ^{2} -4x+6]이라 하면 [eqn: f``'(x)=2x-4]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: A(3`,`3)]에서의 접선의 기울기가

[eqn: f``'(3)=2] 이므로 접선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: y-3=2(x-3)``,`` THEREFORE y=2x-3 CDOTS ㉠]

따라서 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: l] 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: int _{0} ^{3} {LEFT { x ^{2} -4x+6-(2x-3) RIGHT } dx}]

[eqn: = int _{0} ^{3} {(x ^{2} -6x+9)dx= LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -3x ^{2} +9x RIGHT ]} _{0} ^{3} =9]

① [eqn: {26} over {3}]	② [eqn: 9]	③ [eqn: {28} over {3}]	④ [eqn: {29} over {3}]	⑤ [eqn: 10]

그림과 같이 양의 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: y=cos`ax` LEFT ( 0 LEQ x LEQ {2 pi } over {a} RIGHT )] 와    [eqn: y=1]이 만나는 두 점을 각각 [eqn: A`,`B]라 하자.

[eqn: {bar{AB`}} = {8} over {3}]일 때, [eqn: a]의 값은? [3점]

[정답] ③

[eqn: 0 LEQ x LEQ {2pi } over {a}]에서 [eqn: 0 LEQ ax LEQ 2 pi] 이므로

[eqn: 2cos`ax=1`,]즉, [eqn: cos`ax= {1} over {2}]에서 [eqn: ax= {pi } over {3} `,`]또는 [eqn: ax= {5 pi } over {3}]

즉, [eqn: x= {pi } over {3a} `,`x= {5 pi } over {3a}]

두 점 [eqn: A`,`B]의 좌표가 각각 [eqn: LEFT ( {pi } over {3a} `,`1 RIGHT ) `, LEFT ( {5 pi } over {3} `,`1 RIGHT ) `]이고

[eqn: {bar{AB``}} = {8} over {3}] 이므로 [eqn: {5 pi } over {3a} - {pi } over {3a} = {8} over {3} `]

따라서 [eqn: a= {4 pi } over {3} TIMES {3} over {8} = {pi } over {2}]

① [eqn: {pi } over {3}]     ② [eqn: {5pi } over {12}]     ③ [eqn: {pi } over {2}]    ④ [eqn: {7 pi } over {12}]    ⑤ [eqn: {2pi } over {3}]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: P]의 시각 [eqn: t`(t GEQ 0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]가

[eqn: v(t)=3t ^{2} +at]이다. 시각 [eqn: t=0]에서의 점 [eqn: P]의 위치와 시각          [eqn: t=6]에서의 점 [eqn: P]의 위치가 서로 같을 때, 점 [eqn: P]가 [eqn: t=0]에서         [eqn: t=6]까지 움직인 거리는? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [4점]

[정답] ①

[eqn: t=0]에서의 점 [eqn: P]의 위치와 시각 [eqn: t=6]에서의 점 [eqn: P]의 위치가      같으므로 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=6]까지 점 [eqn: P]의 위치의 변화량이

[eqn: 0] 이다. 점 [eqn: P]의 시각 [eqn: t]에서의 속도 [eqn: v(t)]가 [eqn: v(t)=3t ^{2} +at]

이므로

[eqn: int _{0} ^{6} {v(t)dt= int _{0} ^{6} {(3t ^{2} +at)dt}} = LEFT [ t ^{3} + {a} over {2} t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{6}]

[eqn: =36 LEFT ( 6+ {a} over {2} RIGHT ) =0```,` THEREFORE `a=`-12]

[eqn: v(t)=3t ^{2} -12t] 이므로 점 [eqn: P]가 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=6]까지

움직인 거리는

[eqn: int _{0} ^{6} {LEFT | v(t) RIGHT | dt= int _{0} ^{6} {LEFT | 3t ^{2} +at RIGHT | dt}}]

[eqn: = int _{0} ^{4} {(-3t ^{2} +12t} )dt+ int _{4} ^{6} {(3t ^{2} -12t} )dt]

[eqn: = LEFT [ -t ^{3} +6t ^{2} RIGHT ] _{4} ^{0} + LEFT [ t ^{3} -6t ^{2} RIGHT ] _{4} ^{6}]

[eqn: =32+32=64]

① [eqn: 64]    ② [eqn: 66]    ③ [eqn: 68]    ④ [eqn: 70]    ⑤ [eqn: 72]

두 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +2x+k``,`g(x)=2x ^{3} -9x ^{2} +12x-2]

에 대하여 함수 [eqn: (g CIRC f)(x)]의 최솟값이 2가 되도록 하는 실수

[eqn: k]의 최솟값은? [4점]

[정답] ⑤

[eqn: f(x)=x ^{2} +2x+k=(x+1) ^{2} +k-1] 이므로

함수 [eqn: f(x)]는 모든실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) GEQ k-1]이다.

함수 [eqn: g(f(x))]에서 [eqn: f(x)=t]라 하면 [eqn: t GEQ k-1]이므로

함수 [eqn: g(t)]는 구간 [eqn: [`k-1`,` INF )]에서 정의된 함수 이다.

한편 [eqn: g(x)=2x ^{3} -9x ^{2} +12x-2]에서

[eqn: g``'(x)=6x ^{2} -18x+12=6(x-1)(x-2)]이므로

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]에서 극대, [eqn: x=2]에서 극소이다.

[eqn: g(t)=2]에서 [eqn: 2t ^{3} -9t ^{2} +12t-2=2], [eqn: (2t-1)(t-2) ^{2} =0]

즉, 함수 [eqn: y=g(t)]의 그래프와 직선 [eqn: y=2]는 그림과 같다.

따라서 [eqn: {1} over {2} LEQ k-1 LEQ 2`,] 즉, [eqn: {3} over {2} LEQ k LEQ 3] 이므로 조건을

만족시키는 실수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: {3} over {2}]이다.

① [eqn: 1]    ② [eqn: {9} over {8}]   ③ [eqn: {5} over {4}]   ④ [eqn: {11} over {8}]   ⑤ [eqn: {3} over {2}]

그림과 같이 두 상수 [eqn: a,`k]  에 대하여 직선 [eqn: x=k] 가 두 곡선

[eqn: y=2 ^{x-1} +1`,`y=log` _{2} `(x-a)]  와 만나는 점을 각각 [eqn: A,B] 라          하고, 점 [eqn: B]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 곡선                  [eqn: y=2 ^{x-1} +1``] 과 만나는 점을 [eqn: C] 라 하자. [eqn: bar{AB`} =8,` bar{BC`} =2 sqrt {2}]        일 때, 곡선 [eqn: y=log` _{2} `(x-a)]가 [eqn: x]축과 만나는 점 [eqn: D]에 대하여

사각형 [eqn: ACDB] 의 넓이는? (단, [eqn: 0<a<k]) [4점]

[정답] ⑤

점 [eqn: A]의 좌표는 [eqn: (k`,`2 ^{k-1} +1)] 이고 [eqn: {bar{AB`}} =8]□이므로

점 [eqn: B]의 좌표는 [eqn: (k`,`2 ^{k-1} -7)]이다.

직선 [eqn: BC] 의 기울기가 [eqn: -1] 이고 □[eqn: {bar{BC``}} =2 sqrt {2}] 이므로

두 점 [eqn: B`,`C] [eqn: x] 좌표의 차와 [eqn: y]좌표 의 차는 모두 [eqn: 2] 이다.

따라서 점 [eqn: C] 의 좌표는 [eqn: (k-2`,`2 ^{k-1} -5)]이다.

한편 점 [eqn: C] 는 곡선 [eqn: y=2 ^{x-1} +1] 위의 점이므로

[eqn: 2 ^{k-3} +1=2 ^{k-1} -5] 에서 [eqn: 2 ^{k-3} (4-1)=6]

[eqn: 2 ^{k-3} =2``,`` THEREFORE k=4]

즉, [eqn: A(4`,`9)`,`B(4`,`1),`C(2`,3)]이다.

점 [eqn: B]가 곡선 [eqn: y=`log` _{2} (x-a)] 위의 점이므로

[eqn: 1=log _{2} (4-a)`,` THEREFORE `a=2]

점 [eqn: D]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x-2=1]에서 [eqn: x=3]

사각형 [eqn: ACDB]의 넓이는 두 삼각형 [eqn: ACB`,`CDB]의 넓이의           합이고□[eqn: {bar{BC``}} ` BOT {bar{BD`}}]이므로

넓이[eqn: = {1} over {2} TIMES 8 TIMES 2+ {1} over {2} TIMES 2 sqrt {2} TIMES sqrt {2} =10] □□

① [eqn: 14]    ② [eqn: 13]   ③ [eqn: 12]   ④ [eqn: 11]   ⑤ [eqn: 10]

[eqn: a>2]인 상수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를

□  [eqn: f(x)= {cases{x ^{2} -4x+3`&(x LEQ 2)#-x ^{2} +ax&(x>2)}}]

라 하자. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]□인 삼차함수 [eqn: g(x)]□에 대하여 실수

전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: h(x)]□가 다음 조건을 만족시킬 때,

[eqn: h(1)+h(3)]의 값은? [4점]

[정답] ③

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: f(1)=0`,`f(a)=0]이고 [eqn: lim _{x-> 2-} {f(x)=`-1,}]

[eqn: lim _{x-> 2+} {f(x)=`-4+2a}]에서 [eqn: lim _{x-> 2-} {f(x) != lim _{x-> 2+} {f(x)}}]이므로

[eqn: x=2]에서 불면속이다. 함수 [eqn: h(x)]가 실수 전체의 집합에서

연속이므로 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=1`,`x=a`,`x=2]에서 연속이어야

한다.

[eqn: lim _{x-> 1} {{g(x)} over {f(x)} =h(1)`,` lim _{x-> a} {{g(x)} over {f(x)} =h(a)}}]에서

[eqn: lim _{x-> 1} {f(x)=f(1)=0`,` lim _{x-> a} {f(x)=f(a)=0}}]이므로

[eqn: lim _{x -> 1} {`g(x)=0`,` lim _{x -> a} {`g(x)=0}}] 즉, [eqn: g(1)=0`,`g(a)=0]

또, [eqn: lim _{x -> 2-} {{g(x)} over {f(x)} =` lim _{x -> 2+} {{g(x)} over {f(x)} ,}}]  [eqn: {g(2)} over {-1} = {g(2)} over {-4+2a}]이므로

[eqn: g(2)=0] 이고 [eqn: g(x)=(x-1)(x-2)(x-a)]이다.

[eqn: lim _{x -> 1} {`h(x)=` lim _{x -> 1} {{(x-1)(x-2)(x-a)} over {(x-1)(x-3)}}}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {{(x-2)(x-a)} over {x-3}} = {1-a} over {2}]

[eqn: lim _{x-> a} {h(x)= lim _{x-> a} {{(x-1)(x-2)(x-a)} over {-x(x-a)}}}]

[eqn: = lim _{x -> a} {{(x-1)(x-2)} over {-x}} =`- {(a-1)(a-2)} over {a}]

[eqn: h(1)=h(a)]이므로

[eqn: {1-a} over {2} =`- {(a-1)(a-2)} over {a} ``,``( BECAUSE a>2)]

[eqn: a(a-1)=2(a-1)(a-2),][eqn: THEREFORE `a=4]

따라서 [eqn: h(x)= {g(x)} over {f(x)} = {cases{{(x-2)(x-4)} over {x-3}&`(x LEQ 2)#- {(x-1)(x-2)} over {x}&`(x>2)}}]이므로

[eqn: h(1)+h(3)=- {3} over {2} + LEFT ( - {2} over {3} RIGHT ) =- {13} over {6}]

(가) [eqn: x != 1`,`x != a]일 때, [eqn: h(x)= {g(x)} over {f(x)}]이다.

(나) [eqn: h(1)=h(a)]

① [eqn: - {15} over {6}]    ② [eqn: - {7} over {3}]   ③ [eqn: - {13} over {6}]   ④ [eqn: -2]   ⑤ [eqn: - {11} over {6}]

첫째항이 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]□의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을  [eqn: S _{n}] 이라 하자.

[eqn: LEFT | S _{3} RIGHT | = LEFT | S _{6} RIGHT | = LEFT | S _{11} RIGHT | -3]   을 만족 시키는 모든 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의            첫째항의 합은? [4점]

[정답] ①

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하자. [eqn: d GEQ 0]이면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째      항이 양수이므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} >0]이 되어

조건을 만족시키지 않는다. 따라서 [eqn: d<0]이어야 한다.

[eqn: (ⅰ)] [eqn: S _{3} =S _{6}]인 경우

[eqn: {3(2a _{1} +2d)} over {2} = {6(2a _{1} +5d)} over {2}] 에서 [eqn: a _{1} =`-4d] 이므로

[eqn: S _{3} =S _{6} =`-9d`>0]

[eqn: S _{11} = {11(2a _{1} +10d)} over {2} =`11d`<0]

즉, [eqn: S _{3} =-S _{11} -3] 에서                                        [eqn: -9d=-11d-3`,` THEREFORE `d=`- {3} over {2}]

[eqn: a _{1} =`-4d=6 CDOTS ㉠]

[eqn: (ⅱ)] [eqn: S _{3} =-S _{6}] 인 경우

[eqn: {3(2a _{1} +2d)} over {2} = {-6(2a _{1} +5d)} over {2}] 에서  [eqn: a _{1} =`-2d] 이므로

[eqn: S _{3} =-S _{6} =`-3d`>0]

[eqn: S _{11} = {11(2a _{1} +10d)} over {2} =`33d`<0]

즉, [eqn: S _{3} =-S _{11} -3] 에서

[eqn: -3d=-33d-3`,` THEREFORE `d=`- {1} over {10}]

[eqn: a _{1} =`-2d= {1} over {5} CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠`,㉡] 에서 주어진 조건을 만족하는

모든 [eqn: a _{1}]의 합은 [eqn: 6+ {1} over {5} = {31} over {5}]

① [eqn: {31} over {5}]    ② [eqn: {33} over {5}]   ③ [eqn: 7]   ④ [eqn: {37} over {5}]   ⑤ [eqn: {39} over {5}]

두 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -kx+6`,`g(x)=2x ^{2} -2]    에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는대로  고른 것은? [4점]

[정답] ②

[eqn: ㄱ.] [eqn: k=0]일 때, [eqn: f(x)+g(x)=x ^{3} +2x ^{2} +4]

[eqn: h _{1} (x)=x ^{3} +2x ^{2} +4]라 하면

[eqn: h _{1} `'(x)=3x ^{2} +4x=x(3x+4)=0]에서

[eqn: h _{1} (x)]는 [eqn: x=- {4} over {3}]에서 극대, [eqn: x=0]에서 극소이다.

[eqn: h _{1} (0)=4>0]이므로 방정식 [eqn: h _{1} (x)=0]은

오직 하나의 실근을 갖는다. (참)

[eqn: ㄴ.] [eqn: f(x)-g(x)=0]에서

[eqn: x ^{3} -6x+6-(2x ^{2} -2)=0`,````x ^{3} -2x ^{2} +8=kx]

[eqn: h _{2} (x)=x ^{3} -2x ^{2} +8]이라 하면 곡선 [eqn: y=h _{2} (x)]에 직선

[eqn: y=kx]가 접할때만 방정식 [eqn: h _{2} (x)=kx]의 서로 다른 실근         의 개수가 2이다. 접점의 좌표를 [eqn: (a,`a ^{3} -2a ^{2} +8)]이라 하면

[eqn: h _{2} `'(x)=3x ^{2} -4x]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-(a ^{3} -2a ^{2} +8)=(3a ^{2} -4a)(x-a)]이고 이 접선이

원점을 지나므로 [eqn: 0-(a ^{3} -2a ^{2} +8)=(3a ^{2} -4a)(0-a)]

[eqn: (a-2)(a ^{2} +a+2)=0``,``a=2]

따라서 구하는 [eqn: k]값은 [eqn: h _{2} `'`(2)=4]뿐이다. (참)

[eqn: ㄷ.] [eqn: LEFT | x ^{3} -kx+6 RIGHT | =2x ^{2} -2]에서 [eqn: 2x ^{2} -2 GEQ 0] 이므로

[eqn: x]값의 범위는 [eqn: x LEQ -1`]또는 [eqn: x GEQ 1]이고 주어진 방정식은

[eqn: x ^{3} -kx+6=-2x ^{2} +2`,]또는 [eqn: x ^{3} -kx+6=2x ^{2} -2]

즉, [eqn: x ^{3} +2x ^{2} +4=kx``]또는 [eqn: x ^{3} -2x ^{2} +8=kx``]

[eqn: h _{1} (x)=x ^{3} +2x ^{2} +4`,] [eqn: h _{2} (x)=x ^{3} -2x ^{2} +8]이라 하면

주어진 방정식의 실근의 개수는 [eqn: x LEQ -1] 또는 [eqn: x GEQ 1]일때,

직선 [eqn: y=kx]와 두 곡선 [eqn: y=h _{1} (x)][eqn: ,`y=h _{1} (x)]의 교점의

개수와 같다.

[eqn: ㄴ.]에서 [eqn: k=4]일 때, 직선 [eqn: y=kx]와 곡선 [eqn: y=h _{2} (x)]가

접하므로 [eqn: k LEQ 4]일 때, [eqn: x LEQ -1`]또는 [eqn: x GEQ 1]에서

직선 [eqn: y=kx]와 두 곡선 [eqn: y=h _{1} (x)`,`y=h _{2} (x)]의 교점 개수         의 최댓값은 [eqn: 3]이다.

[eqn: k>4]일 때, [eqn: x LEQ -1]에서 직선 [eqn: y=kx]와 두 곡선

[eqn: y=h _{1} (x)`,`y=h _{2} (x)]의 서로 다른 교점의 개수는 [eqn: 2]이다.

원점에서 곡선 [eqn: y=h _{1} (x)]에 그은 접선의 방정식은 [eqn: y=7x]

이고 접점의 좌표는 [eqn: (1`,`7)]이므로 [eqn: k>4]일 때, [eqn: x GEQ 1]에서

직선 [eqn: y=kx]와 두 곡선 [eqn: y=h _{1} (x)`,`y=h _{2} (x)]의 서로 다른

교점의 개수는 [eqn: 2]이다. 즉, [eqn: k>4]일 때, [eqn: x LEQ -1] 또는             [eqn: x GEQ 1]에서 [eqn: y=kx]와 두 곡선 [eqn: y=h _{1} (x)`,`y=h _{2} (x)]의

서로 다른 교점의 개수는 [eqn: 4]이다.

따라서 방정식 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT | =g(x)]의 서로 다른 실근의 개수의

최댓값은 [eqn: 4]이다. (거짓)

이상에서 옳은 것은 [eqn: ㄱ`,`ㄴ]이다.

	<보 기>
[eqn: ㄱ.] [eqn: k=0]일 때, 방정식 [eqn: f(x)+g(x)=0]은 오직 하나 의 실근을 갖는다. [eqn: ㄴ.] 방정식 [eqn: f(x)-g(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수 가 2가 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 값은 4뿐이다. [eqn: ㄷ.] 방정식 [eqn: LEFT | f(x) RIGHT | =g(x)]의 서로 다른 실근의 개수가 5가 되도록 하는 실수 [eqn: k]가 존재한다.

① [eqn: ㄱ]       ② [eqn: ㄱ,`ㄴ]      ③ [eqn: ㄱ,`ㄷ]

④ [eqn: ㄴ,`ㄷ]    ⑤ [eqn: ㄱ,ㄴ,ㄷ]

그림과 같이 원에 내접하는 사각형 [eqn: ABCD]  에 대하여□

[eqn: bar{AB`} = bar{BC`} =2,]   [eqn: bar{AD`} =3,` ANGLE BAD= {pi } over {3}]   이다.

두 직선 [eqn: AD`,`BC]  의 교점을 [eqn: E]라 하자.

다음은 [eqn: ANGLE AEB= theta]  일 때, [eqn: sin theta]□ 의 값을 구하는 과정이다.

삼각형 [eqn: ABD]와 삼각형 [eqn: BCD] 에서 코사인법칙을 이용하면

이다.

[eqn: bar{CD`} =]	(가)

삼각형 [eqn: EAB]와 삼각형 [eqn: ECD]에서

[eqn: ANGLE AEB] 는 공통, [eqn: ANGLE EAB= ANGLE ECD] 이므로

삼각형 [eqn: EAB] 와 삼각형 [eqn: ECD]는 닮음이다.

이를 이용하면

[eqn: bar{ED`} =]	(나)

이다. 삼각형 [eqn: ECD]에서 사인법칙을 이용하면

[eqn: sin theta =]	(다)

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p,`q,`r]라 할 때,

[eqn: (p+q) TIMES r]의 값은? [4점]□□□□

[정답] ④

삼각형 [eqn: ABD]와 삼각형 [eqn: BCD]에서 코사인법칙을 이용

하여 선분 [eqn: CD]의 길이를 구하자. 삼각형 [eqn: ABD]에서 코사인법칙에       의하여 [eqn: bar{BD} ` ^{2} =3 ^{2} +2 ^{2} -2 TIMES 3 TIMES 2 TIMES cos {pi } over {3} =7]   이므로

[eqn: bar{BD`} = sqrt {7}]이다.

[eqn: ANGLE BAD+ ANGLE BCD= pi]  이므로 삼각형 [eqn: BCD]에서 코사인법칙에       의하여 [eqn: 2 ^{2} + bar{CD`} ^{2} -2 TIMES 2 TIMES bar{CD`} TIMES cos {2 pi } over {3} =7]   이므로

[eqn: bar{CD`} =`1` CDOTS `(가)] 이다.

삼각형 EAB 와 삼각형 [eqn: ECD]에서 [eqn: ANGLE AEB] 는 공통이고

[eqn: ANGLE EAB] [eqn: =][eqn: ANGLE ECD] 이므로 삼각형 [eqn: EAB] 와 삼각형 [eqn: ECD]는

닮음이다. 따라서 [eqn: {bar{EA`}} over {bar{EC``}} = {bar{EB`}} over {bar{ED`}} = {bar{AB`}} over {bar{CD`}}]  이다.

즉, [eqn: {3+ bar{ED`}} over {bar{EC``}} = {2+ bar{EC`}} over {bar{ED`}} = {2} over {1}]에서 [eqn: bar{ED`} =` {7} over {3} ` CDOTS `(나)]

[eqn: ANGLE DCE= pi - ANGLE BCD= ANGLE BAD= {pi } over {3}]    이므로

삼각형 [eqn: ECD]에서 사인법칙을 이용하면

[eqn: {{7} over {3}} over {sin` {pi } over {3}} = {3 sqrt {3}} over {14} ` CDOTS (다)] 이다.

[eqn: p=1`,`q= {7} over {3} `,`r= {3 sqrt {3}} over {14}]  이므로

[eqn: (p+q) TIMES r= LEFT ( 1+ {7} over {3} RIGHT ) TIMES {3 sqrt {3}} over {14} = {5 sqrt {3}} over {7}]

① [eqn: {sqrt {3}} over {2}]    ② [eqn: {4 sqrt {3}} over {7}]   ③ [eqn: {9 sqrt {3}} over {14}]    ④ [eqn: {5 sqrt {3}} over {7}]   ⑤ [eqn: {11 sqrt {3}} over {14}]

[eqn: {log` _{5} 72} over {log _{5} `2} -4log _{2} {sqrt {6}} over {2}]의 값을 구하시오. [3점]

[정답] [eqn: 5]

[eqn: {log _{5} 72} over {log` _{5} `2} =`-4log` _{2} ` {sqrt {6}} over {2} =log` _{2} 72`-log` _{2} LEFT ( {sqrt {6}} over {2} RIGHT ) ^{4}]

[eqn: =log _{2} LEFT ( 72 TIMES {4} over {9} RIGHT ) =log _{2} `32`=5]

[eqn: int _{-3} ^{2} {(2x ^{3} +6 LEFT | x RIGHT | )} `dx- int _{-3} ^{-1} {(2x ^{3} -6x)dx}]  의 값을 구하시오.                                                                                                                [3점]

[정답] [eqn: 24]

[eqn: int _{-3} ^{2} {(2x ^{3} +6 LEFT | x RIGHT | dx- int _{-3} ^{-2} {(2x ^{3} -6x)dx}}]   [eqn: = int _{-3} ^{-2} {(2x ^{3} +6 LEFT | x RIGHT | )dx+ int _{-2} ^{2} {(2x ^{3} +6 LEFT | x RIGHT | )dx} - int _{-3} ^{-2} {(2x ^{3} -6x)dx}}]

[eqn: = int _{-2} ^{2} {(2x ^{3} +6 LEFT | x RIGHT | dx=2 int _{0} ^{2} {6x`dx=2 LEFT [ 3x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{2} =24}}]

부등식 [eqn: sum _{k=1} ^{5} `2 ^{k-1} < sum _{k=1} ^{n} (2k-1)< sum _{k=1} ^{5} (2 TIMES 3 _{`} ^{k-1} )`]을 만족시키는  모든 자연수 [eqn: n]의 값의  합을 구하시오. [3점]

[정답] [eqn: 105]

[eqn: sum _{k=1} ^{5} `2 ^{k-1} = {2 ^{5} -1} over {2-1} =31]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} `(2k-1)=2 TIMES {n(n+1)} over {2} -n=n ^{2}]

[eqn: sum _{k=1} ^{5} `(2 TIMES 3 ^{k-1} )= {2(3 ^{5} -1} over {3-1} =242] 이므로

주어진 부등식은 [eqn: 31<n ^{2} <242]이다.

따라서 부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n=6,7,8 CDOTS 15]

그 합은 [eqn: {10(6+15)} over {2} =105]이다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 3x ^{4} -4x ^{3} -12x ^{2} +k GEQ 0] 이 항상 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값을 구하시오. [3점]

[정답] [eqn: 32]

[eqn: f(x)=3x ^{4} -4x ^{3} -12x ^{2} +k]라 하면

[eqn: f`` prime (x)=12x ^{3} -12x ^{2} -24x=12x(x+1)(x-2)]

[eqn: f``'(x)=0] 에서 [eqn: x=-1`]또는 [eqn: x=2] 이다.

즉, 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=`-1]와 [eqn: x=2]에서 극소,

[eqn: x=0]에서 극대이다.

이때, [eqn: f(-1)=-5+k`,`f(2)=-32+k]이므로 [eqn: f(-1)>f(2)]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 주어진 부등식이 항상 성립하려면           [eqn: f(2)=`-32+k GEQ 0]이어야 한다. 즉, [eqn: k GEQ 32]

따라서 실수 [eqn: k]의 최솟값은 32이다.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]은 [eqn: 1<a _{1} <2]이고 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = {cases{-2a _{n}&`(a _{n} >0)#a _{n-2}&`(a _{n} GEQ 0)}}]

을 만족시킨다. [eqn: a _{7} =`-1]일 때, [eqn: 40 TIMES a _{1}]의 값을 구하시오.

[4점]

[정답] [eqn: 70]

[eqn: a _{n+1} = {cases{-2a _{n}&`(a _{n} <0)#a _{n} -2&`(a _{n} GEQ 0)}} ` CDOTS ㉠] 이고

[eqn: 1<a _{1} <2] 에서 [eqn: a _{1} GEQ 0] 이므로

[eqn: a _{2} =a _{1} -2`<0]

[eqn: a _{3} =`-2a _{2} =-2(a _{2} -2)>0]

[eqn: a _{4} =a _{3} -2=-2(a _{1} -2)-2=-2(a _{1} -1)<0]

[eqn: a _{5} =-2a _{4} =4(a _{1} -1)>0]

[eqn: a _{6} =a _{5} -2=4(a _{1} -1)-2=4a _{1} -6]

[eqn: (a _{6}]은 범위에따라 음수 양수가 달라짐)

[eqn: a _{6} <0]이면 [eqn: a _{7} =-2a _{6} >0]이므로

[eqn: a _{7} =`-1](음수) 이라는 조건 불만족이다.

따라서 [eqn: a _{6} GEQ 0] 이다.

[eqn: a _{6} GEQ 0] 이면 [eqn: a _{7} =a _{6} -2=(4a _{1} -6)-2=4a _{1} -8]

즉, [eqn: 4a _{1} -8=-1] 이므로 [eqn: a _{1} = {7} over {4}] 이다.

따라서 [eqn: 40 TIMES a _{1} =40 TIMES {7} over {4} =70]

상수 [eqn: k]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 좌표평면의 점

[eqn: A(a`,`b)]가 오직 하나 존재한다.

(가) 점 [eqn: A]는 곡선 [eqn: y=log _{2} (x+2)+k] 위의 점이다.

(나) 점 [eqn: A]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점은

곡선[eqn: y=4 ^{x+k} +2] 위에 있다.

[eqn: a TIMES b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a != b]) [4점]

[정답] [eqn: 12]

점 [eqn: A(a`,`b)]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: B]라

하면 [eqn: B(b`,`a)]이다.

조건 (가)에서 점 [eqn: A(a`,`b)]가 곡선 [eqn: y=log` _{2} (x+2)+k]

위의 점이므로 [eqn: b=log` _{2} (a+2)+k CDOTS ㉠]

조건 (나)에서 점 [eqn: B(b`,`a)]가 곡선 [eqn: y=4 ^{x+k} +2]

위의 점이므로  [eqn: a=4 ^{b+k} +2 CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠]에서 [eqn: b-k=log` _{2} `(a+2)```,``2 ^{b-k} =a+2`]

[eqn: a=4 ^{b-k} -2 CDOTS ㉢]

[eqn: ㉡,㉢]을 연립하여 정리하면

[eqn: 4 ^{b+k} +2=2 ^{b-k} -2]

[eqn: 4 ^{k} TIMES 4 ^{b} -2 ^{-k} TIMES 2 ^{b} +4=0 CDOTS ㉣]

조건을 만족시키는 점 [eqn: A]가 오직 하나이므로 방정식 [eqn: ㉣]을

만족시키는 실수 [eqn: b]는 오직 하나이고

[eqn: 2 ^{b} =t```(t>0)`]으로 놓으면 [eqn: t]에 대한 이차방정식

[eqn: 4 ^{k} t ^{2} -2 ^{-k} TIMES 2 ^{b} +4=0 CDOTS ㉤]은 오직 하나의 양의 실근을 갖는다.

[eqn: t]에 대한 이차방정식 [eqn: ㉤]의 두 근의 곱은 [eqn: {4} over {4 ^{k}} =4 ^{1-k}]이고

[eqn: 4 ^{1-k} >0] 이므로 [eqn: t]에 대한 이차방정식 [eqn: ㉤]이 오직 하나의 양의

실근을 가지려면 [eqn: ㉤]의 판별식을 [eqn: D]라 할 때 [eqn: D=0]이어야 한다.

[eqn: D=(-2 ^{-k} ) ^{2} -4 TIMES 4 ^{k} TIMES 4]

[eqn: =4 ^{-k} -16 TIMES 4 ^{k} =0]

위의 방정식의 양변에 [eqn: 4 ^{k}]을 곱하여 정리하면

[eqn: 2 ^{4k+4} =1``,``k=-1]

[eqn: ㉤]에 대입하여 정리하면 [eqn: {1} over {4} t ^{2} -2t+4=0``,]

[eqn: {1} over {4} (t-4) ^{2} =0````,`` THEREFORE t=4]

즉, [eqn: 2 ^{b} =4]에서 [eqn: b=2]이다.

[eqn: k=-1`,`b=2]를 [eqn: ㉡]에 대입하여 정리하면

[eqn: a=4 ^{2+(-1)} +2=6]

따라서 [eqn: a TIMES b=6 TIMES 2=12]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 상수항이 [eqn: 0]인 삼차함수 [eqn: g(x)]가 있다. 양의 상수 [eqn: a]에 대하여 두 함수 [eqn: f(x)`,`g(x)]가 다음 조건을 만족 시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x LEFT | g(x) RIGHT | = int _{2a} ^{x} {(a-t)f(t)dt}]이다.

(나) 방정식  [eqn: g(f(x))=0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4]이다.

[eqn: int _{-2a} ^{2a} {f(d)dx}]의 값을 구하시오. [4점]

[정답] [eqn: 4]

삼차함수 [eqn: g(x)]의 상수항이 [eqn: 0]이므로 [eqn: g(x)]는 [eqn: x]를

인수로 갖는다.[eqn: CDOTS ㉠]

조건 (가)의 [eqn: x LEFT | g(x) RIGHT | = int _{2a} ^{x} {(a-t)f(t)dt}]에 [eqn: x=2a]를

대입하면 [eqn: 2a LEFT | g(2a) RIGHT | =0]

[eqn: a]가 양수이므로 [eqn: g(2a)=0]이고 [eqn: g(x)]는 [eqn: (x-2a)]를

인수로 갖는다.[eqn: CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠,㉡]에서 [eqn: g(x)=x(x-2a)(x-b)] , (단, [eqn: b]는 실수)

함수[eqn: int _{2a} ^{x} {(a-t)f(t)dt}]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고,

[eqn: {d} over {dx} int _{2a} ^{x} {(a-t)f(t)dt=(a-x)f(x)}] 이다.

즉, 함수 [eqn: x LEFT | g(x) RIGHT |]는 [eqn: x=2a]에서 미분가능하다.

[eqn: lim _{x-> 2a+} {{x LEFT | g(x) RIGHT | -2a LEFT | g(2a) RIGHT |} over {x-2a}} = lim _{x-> 2a+} {{x LEFT | x(x-2a)(x-b) RIGHT |} over {x-2a}}]

[eqn: = lim _{x-> 2a+} {`x ^{2} LEFT | x-b RIGHT |}]

[eqn: =4a ^{2} LEFT | 2a-b RIGHT |]

[eqn: lim _{x -> 2a-} {{x LEFT | g(x) RIGHT | -2a LEFT | g(2a) RIGHT |} over {x-2a}} = lim _{x -> 2a-} {{x LEFT | x(x-2a)(x-b) RIGHT |} over {x-2a}}]

[eqn: = lim _{x -> 2a+} {(-`x ^{2} LEFT | x-b RIGHT | )}]

[eqn: =-4a ^{2} LEFT | 2a-b RIGHT |]

이므로 [eqn: 4a ^{2} LEFT | 2a-b RIGHT |][eqn: =-4a ^{2} LEFT | 2a-b RIGHT |]에서 [eqn: b=2a]이다.

따라서 [eqn: g(x)=x(x-2a) ^{2}]

[eqn: int _{2a} ^{x} {(a-t)f(t)dt= {cases{-x ^{2} (x-2a) ^{2}&`(x<0)#``````x ^{2} (x-2a) ^{2}&`(x GEQ 0)}}}]

[eqn: f(x)= {cases{```````4x(x-2a)&`(x<0)#-4x(x-2a)&`(x GEQ 0)}}]

방정식 [eqn: g(f(x))=0]에서

[eqn: f(x)=0] 또는 [eqn: f(x)=2a]

방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 두 실근 [eqn: 0`,`2a]를 가지므로

조건 (나)에 의해 방정식 [eqn: f(x)=2a]는 서로 다른 두 실근을

가져야 한다.

곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=2a]의 교점의 개수가 [eqn: 2]이어야

하므로 [eqn: f(a)=-4a(a-2a)=4a ^{2}], 따라서

[eqn: 4a ^{2} =2a]에서 [eqn: a= {1} over {2}]

[eqn: int _{-2a} ^{2a} {`f(x)dx= int _{-1} ^{1} {`f(x)dx}}]

[eqn: = int _{-1} ^{0} {(4x ^{2} -4x)dx+ int _{0} ^{1} {(-4x ^{2} +4x)dx}}]

[eqn: = LEFT [ {4} over {3} x ^{3} -2x ^{2} RIGHT ] _{-1} ^{0} + LEFT [ - {4} over {3} x ^{3} +2x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1} =4]

2022 3월 고3 전국연합 학력평가

제 2 교시        수학 영역 [확률과 통계]

[eqn: {} _{3} PI _{4}] 의 값은? [2점]

<확통>

[eqn: 23]	④	[eqn: 24]	②	[eqn: 25]	⑤	[eqn: 26]	①	[eqn: 27]	③
[eqn: 28]	④	[eqn: 29]	[eqn: 65]	[eqn: 30]	[eqn: 708]

[정답] ④

[eqn: {} _{3} PI _{4} =3 ^{4} =81]

① [eqn: 63]     ② [eqn: 69]     ③ [eqn: 75]     ④ [eqn: 81]    ⑤ [eqn: 87]

[eqn: 6]개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3]을 일렬로 나열하여 만들 수 있는 여섯 자리의 자연수 중 홀수의 개수는? [3점]

[정답] ②

[eqn: (ⅰ)] 일의 자리 숫자가 1인 경우

[eqn: 1`,2`,2,`2,`3] 을 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: {5!} over {3!} =20]

[eqn: (ⅱ)] 일의 자리 숫자가 3인 경우

[eqn: 1`,1`,2,`2,`2] 을 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: {5!} over {2!`3!} =10]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 20+10=30]

① [eqn: 20]     ② [eqn: 30]     ③ [eqn: 40]     ④ [eqn: 50]    ⑤ [eqn: 60]

[eqn: A]학교 학생 [eqn: 5]명, [eqn: B]학교 학생 2명이 일정한 간격을 두고 원 모양 의 탁자에 모두 둘러않을 때, [eqn: B]학교 학생끼리는 이웃하지 않도록 앉는 경우의 수는? (단, 회정하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [3점]

[정답] ⑤

[eqn: A]학교 학생 [eqn: 5]명을 배열하는 원수열의 수는 [eqn: (5-1)!=24]

[eqn: A]학교 학생 사이에 [eqn: B]학교 학생 [eqn: 2]명의 자리를 정하는           경우의 수는 [eqn: {} _{5} P _{2} =20]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 24 TIMES 20=480]

① [eqn: 320]     ② [eqn: 360]    ③ [eqn: 400]   ④ [eqn: 440]   ⑤ [eqn: 480]

그림과 같이 직사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로망을

따라 [eqn: A] 지점에서 출발하여 [eqn: P] 지점을 지나 [eqn: B] 지점까지 최단 거리      로 가는 경우의 수는? (단, 한 번 지난 도로를 다시 지날 수 있다.)

[3점]

[정답] ①

오른쪽으로 한 칸 가는 것을 [eqn: a,] 위쪽으로 한 칸 가는 것을 [eqn: b]

아래쪽으로 한 칸 가는 것을 [eqn: c]라 하면

[eqn: A]지점에서 [eqn: P]지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 [eqn: a]문자      [eqn: 2]개와 [eqn: b]문자 [eqn: 3]개를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로

[eqn: {5!} over {2!`3!} =10] 이다.

[eqn: P]지점에서 [eqn: B]지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 [eqn: a]문자         [eqn: 3]개와 [eqn: c]문자 [eqn: 3]개를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로

[eqn: {6!} over {3!`3!} =20]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 10 TIMES 20=200]

① [eqn: 200]     ② [eqn: 210]     ③ [eqn: 220]    ④ [eqn: 230]    ⑤ [eqn: 240]

그림과 같이 같은 종류의 책 [eqn: 8]권과 이 책을 각 칸에 최대 [eqn: 5]권, [eqn: 5]권, [eqn: 8]권을 꽂을 수 있는 3개의 칸으로 이루어진 책장이 있다.

이 책 [eqn: 8]권을 책장에 남김없이 나누어 꽂는 경우의 수는?

(단, 비어 있는 칸이 있을 수 있다.) [3점]

[정답] ③

[eqn: 8]권의 책을 [eqn: 3]개의 칸에 남김없이 나누어 꽂는 경우의 수는       서로 다른 [eqn: 3]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 8]개를 선택하는             중복조합의 수와 같으므로 [eqn: {} _{3} H _{8} = _{3+8-1} C _{8} = _{10} C _{2} =45]

첫 번째 칸에 6권 이상의 책을 꽂는 경우의 수는 먼저 첫 번째    칸에 [eqn: 6]권의 책을 꽂고 남은 [eqn: 2]권의 책을 [eqn: 3]개의 칸에 남김없이

나누어 꽂는 경우의 수와 같으므로 [eqn: {} _{3} H _{2} = _{3+2-1} C _{2} = _{4} C _{2} =6]

마찬가지로 두 번째 칸에 6권 이상의 책을 꽂는 경우의 수도

[eqn: 6]이다.

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 45-6-6=33]

① [eqn: 31]    ② [eqn: 32]    ③ [eqn: 33]    ④ [eqn: 34]    ⑤ [eqn: 35]

세 명의 학생 [eqn: A,`B,`C]에게 서로 다른 종류의 사탕 [eqn: 5]개를 다음 규칙에 따라 남김없이 주는 경우의 수는?

(가) 학생 [eqn: rmA]는 적어도 하나의 사탕을 받는다.

(나) 학생 [eqn: rm B]가 받는 사탕의 개수는 [eqn: 2] 이하이다.

(단. 사탕을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.) [4점]

[정답] ④

[eqn: (ⅰ)] 학생 [eqn: B]가 [eqn: 2]개의 사탕을 받는 경우

[eqn: B]가 받는 사탕을 정하는 경우의 수는 [eqn: {} _{5} C _{2} =10]

남은 [eqn: 3]개의 사탕을 두 명의 학생 [eqn: A`,C] 에게 나누어 주는         경우의 수는 서로 다른 [eqn: 2]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를          선택하는 중복순열의 수와 같으므로 [eqn: {} _{2} SMALLPROD _{3} =2 ^{3} =8]

이때, 학생 [eqn: A]가 사탕을 받지 못하는 경우를 제외해야 하므로

구하는 경우의 수는 [eqn: 10 TIMES (8-1)=70]

[eqn: (ⅱ)] 학생 [eqn: B]가 [eqn: 1]개의 사탕을 받는 경우

[eqn: B]가 받는 사탕을 정하는 경우의 수는 [eqn: {} _{5} C _{1}] 남은 [eqn: 4]개의 사탕을

두 명의 학생 [eqn: A,`C] 에게 나누어 주는 경우의 수는

[eqn: {} _{2} SMALLPROD _{4} =2 ^{4} =16]

이때, 학생 [eqn: A]가 사탕을 받지 못하는 경우를 제외해야 하므로

구하는 경우의 수는 [eqn: 5 TIMES (16-1)=75]

[eqn: (ⅲ)] 학생 [eqn: B]가 사탕을 받지 못하는 경우

[eqn: 5]개의 사탕을 두 명의 학생 [eqn: A,`C] 에게 나누어 주는 경우의       수는 [eqn: {} _{2} SMALLPROD _{5} =2 ^{5} =32]

이때, 학생 [eqn: A]가 사탕을 받지 못하는 경우를 제외해야 하므로

구하는 경우의 수는 [eqn: 32-1=31]

따라서 구하는 모든 경우의 수는 [eqn: 70+75+31=176]

① [eqn: 167]     ② [eqn: 170]     ③ [eqn: 173]    ④ [eqn: 176]    ⑤ [eqn: 179]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5 RIGHT }]  , [eqn: Y= LEFT { -1,0,`1,`2,`3, RIGHT }] 에 대하여 다음 조건을 만족하는 함수 [eqn: f:][eqn: X] [eqn: ->][eqn: Y] 의 개수를 구하시오 [4점]

[정답] [eqn: 65]가지

조건 (가)를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: Y]의 원소 중에서

중복을 허락하여 5개를 선택하는 중복조합의 수와 같다.

이때, 조건 (나)를 만족시키기 위해서는 [eqn: -1]과 [eqn: 1]을 적어도

[eqn: 1]개씩 선택하거나, [eqn: 0]을 적어도 [eqn: 2]개 선택해야 한다.

[eqn: (ⅰ)] [eqn: -1]과 [eqn: 1]을 적어도 [eqn: 1]개씩 선택하는 경우

[eqn: -1]과 [eqn: 1]을 [eqn: 1]개씩 선택한 후 [eqn: Y]의 원소 중에서 중복을

허락하여 [eqn: 3]개를 선택하는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 5]개

에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 선택하는 중복조합의 수

와 같으므로 [eqn: {} _{5} H _{3} = _{5+3-1} C _{3} = _{7} C _{3} =35]

[eqn: (ⅱ)] [eqn: 0]을 적어도 [eqn: 2]개 선택하는 경우

[eqn: 0]을 [eqn: 2]개 선택한 후 [eqn: Y]의 원소 중에서 중복을 허락하여

[eqn: 3]개를 선택하는 경우의 수는 [eqn: {} _{5} H _{3} = _{5+3-1} C _{3} = _{7} C _{3} =35]

[eqn: (ⅲ)] 위의 [eqn: (ⅰ)] , [eqn: (ⅱ)]를 동시에 만족시키는 경우

[eqn: -1]을 [eqn: 1]개, [eqn: 0]을 [eqn: 2]개, [eqn: 1]을 [eqn: 1]개 선택한 후 [eqn: Y]의 원소 중

에서 중복을 허락하여 [eqn: 1]개 선택하는 경우의 수는

[eqn: {} _{5} H _{1} = _{5+1-1} C _{1} = _{5} C _{1} =5]

따라서 구하는 모든 경우의 수는 [eqn: 35+35-5=65]

(가) [eqn: f(1) LEQ f(2) LEQ f(3) LEQ f(4) LEQ f(5)]

(나) [eqn: f(a)+f(b)=0]  을 만족시키는 집합 [eqn: X]의 서로 다른

두 원소 [eqn: a`,b]가 존재한다.

흰색 원판 4개와 검은색 원판 4개에 각각 [eqn: A,`B`,`C,`D] 의         문자가 하나씩 적혀있다. 이 8개의 원판 중에서 4개를 택하여     다음 규칙에 따라 원기둥 모양으로 쌓는 경우의 수를 구하시오.

(단, 원판의 크기는 모두 같고, 원판의 두 밑면은 서로 구별하지         않는다.) [4점]

[정답] [eqn: 708] 가지

[eqn: (ⅰ)] [eqn: 4]개의 원판에 적힌 문자가 [eqn: XXYY] 꼴인 경우

[eqn: 4]개의 문자 중 [eqn: X,`Y]에 해당하는 문자를 선택하는

경우의 수는 [eqn: {} _{4} C _{2} =6]

[eqn: 4]개의 원판을 쌓는 경우의 수는 [eqn: {4!} over {2!`2!} =6]

그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 6 TIMES 6=36]

[eqn: (ⅱ)] [eqn: 4]개의 원판에 적힌 문자가 [eqn: XXYZ] 꼴인 경우

[eqn: 4]개의 문자 중 [eqn: X]에 해당하는 문자를 선택하는

경우의 수는 [eqn: {} _{4} C _{1} =4]

[eqn: Y`,Z]에 해당하는 문자를 선택하는 경우의 수는 [eqn: {} _{3} C _{2} =3]

[eqn: Y`,Z]에 해당하는 원판의 색을 정하는 경우의 수는 [eqn: {} _{2} SMALLPROD _{2} =4]

[eqn: 4]개의 원판을 쌓는 경우의 수는 [eqn: {4!} over {2!} =12]

그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 4 TIMES 3 TIMES 3 TIMES 12=576]

[eqn: (ⅲ)] [eqn: 4]개의 원판에 적힌 문자가 모두 다른 경우

각각의 원판의 색을 정하는 경우의 수는 [eqn: {} _{2} SMALLPROD _{4} =16]

[eqn: D]가 적힌 원판이 맨 아래에 놓이도록 [eqn: 4]개의 원판을

쌓는 경우의 수는 [eqn: 3!`=6]

그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 16 TIMES 6=96]

따라서 구하는 모든 경우의 수는 [eqn: 360+576+96=708]

(가) 선택된 4개의 원판 중 같은 문자가 적힌 원판이 있으면         같은 문자가 적힌 원판끼리는 검은색 원판이 흰색 원판보다      아래쪽에 놓이도록 쌓는다.

(나) 선택된 4개의 원판 중 같은 문자가 적힌 원판이 없으면         문자 [eqn: D]가 적힌 원판이 맨 아래에 놓이도록 쌓는다.

정답 과 해설

수학공통 정답

1	⑤	2	②	3	④	4	④	5	①
6	③	7	②	8	③	9	①	10	⑤
11	⑤	12	③	13	①	14	②	15	④
16	5	17	24	18	105	19	32	20	70
21	12	22	4