수1	2022년 시행 기출 4점	지수로그

[2206교-고2-14]

③ [eqn: 5`]

[출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기

점 [eqn: rm A`]의 좌표를 [eqn: LEFT ( x_1 `,``y_1 RIGHT )`], 점 [eqn: rm B`]의 좌표를 [eqn: LEFT ( x _{2} `,``y _{2} RIGHT ) `]라 할 때 선분 [eqn: rmAB`]의 중점이 [eqn: LEFT ( 0`,``2 RIGHT ) `]이므로

[eqn: {x _{1} +x _{2}} over {2} =0`]이고 [eqn: {y _{1} +y _{2}} over {2} =2`]이다.

즉 [eqn: x _{1} +x _{2} =0`]이고 [eqn: y _{1} +y _{2} =4`]이다.

[eqn: x _{2} =it-x _{1} `]이므로 [eqn: 3 ^{x _{1}} + LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{-x _{1}} -6=4`]이다.

따라서 [eqn: 2 TIMES 3 ^{x _{1}} =10`]이고 점 [eqn: rm A`]의 [eqn: y`]좌표 [eqn: y_1 `]은

[eqn: y _{1} =3 ^{x _{1}} =5`]

함수 [eqn: y=3 ^{`x} `]의 그래프 위의 [eqn: x`]좌표가 양수인 점 [eqn: rm A`]와
함수 [eqn: y= LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x} -6`]의 그래프 위의 점 [eqn: rm B`]에 대하여 선분 [eqn: rmAB`]의 중점의 좌표가 [eqn: LEFT ( 0`,``2 RIGHT ) `]일 때, 점 [eqn: rm A`]의 [eqn: y`]좌표는?

① [eqn: 4]	② [eqn: 9 over 2]	③ [eqn: 5`]	④ [eqn: 11 over 2]	⑤ [eqn: 6]

[2206교-고2-17]

② [eqn: 7 over 3]

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 방정식 문제 해결하기

함수 [eqn: y= LEFT | 2 ^{x} -1 RIGHT | `]의 그래프와 직선 [eqn: y=t`]가 제[eqn: 1`]사분면에서 만나는 점이 [eqn: rm A`]이므로 점 [eqn: rm A`]의 [eqn: x`]좌표는

[eqn: 2^x -1 =t`]에서 [eqn: x=log _{`2} ` LEFT ( 1+t RIGHT ) `]이다.

한편, 함수 [eqn: y= LEFT | 2 ^{x} -1 RIGHT | `]의 그래프와 직선 [eqn: y=t`]가 제[eqn: 2`]사분면에서 만나는 점이 [eqn: rm B`]이므로 점 [eqn: rm B`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 1-2^x =t`]에서 [eqn: x=log _{`2} LEFT ( 1-t RIGHT ) `]이다.

[eqn: rm {bar{AB}}=1`]이므로 [eqn: log _{`2} LEFT ( 1+t RIGHT ) -log _{`2} LEFT ( 1-t RIGHT ) =1`]에서

[eqn: log _{`2} LEFT ( 1+t RIGHT ) =`1+log _{`2} LEFT ( 1-t RIGHT ) `],

[eqn: log _{`2} LEFT ( 1+t RIGHT ) =`log _{`2} `2+log _{`2} LEFT ( 1-t RIGHT ) `], [eqn: 1+t=2 LEFT ( 1-t RIGHT )`],
[eqn: 3t=1`]이다. 따라서 [eqn: t= 1 over 3 `]이고

점 [eqn: rm A`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( log_{`2}` 4 over 3 `,``1 over 3 RIGHT )`]이다.

점 [eqn: rm C`]의 [eqn: x`]좌표는 점 [eqn: rm A`]의 [eqn: x`]좌표와 같고

점 [eqn: rm C`]는 함수 [eqn: y=it - a left|2^x -1 right|`]의 그래프 위의 점이므로 점 [eqn: rm C`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( log _{`2} ` {4} over {3} `,``- {a} over {3} RIGHT ) `]이다.

한편, [eqn: rm barAC =1`]이므로 [eqn: 1 over 3 - LEFT ( - a over 3 RIGHT )=1`]에서 [eqn: a=2`]이다.
따라서 [eqn: a+t = 7 over 3 `]

[eqn: 0<t<1`]인 실수 [eqn: t`]에 대하여 직선 [eqn: y=t`]가
함수 [eqn: y= LEFT | 2 ^{`x} -1 RIGHT | `]의 그래프와 제[eqn: 1`]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rm A`], 제[eqn: 2`]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rm B`]라 하자.
양수 [eqn: a`]에 대하여 점 [eqn: rm A`]를 지나고 [eqn: x`]축에 수직인 직선이
함수 [eqn: y= it -a LEFT | 2 ^{`x} -1 RIGHT | `]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rm C`]라 하자.
[eqn: rm {bar{AB}}][eqn: = rm {bar{AC}}][eqn: =1`]일 때, [eqn: a+t`]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 7 over 3]	③ [eqn: 8 over 3]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 10 over 3]

[eqn: rmB]

[eqn: rm C]

[eqn: rm A]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y= LEFT | 2 ^{`x} -1 RIGHT | `]

[eqn: y= it -a LEFT | 2 ^{`x} -1 RIGHT | `]

[eqn: y=t]

[2206교-고2-20]

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 명제 추론하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {x} `], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =log _{`a} `x`]라 하자.

ㄱ. 점 [eqn: rm A( it p`,``q)`]는 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프 위의 점이므로 [eqn: q= {1} over {p} `], 즉 [eqn: pq=1`] (참)

ㄴ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >g LEFT ( x RIGHT ) `]이면 [eqn: 0<x<p`]이고 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) <g LEFT ( x RIGHT ) `]이면 [eqn: x>p`]이다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: rm 1]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: sqrt {2}]

[eqn: 2]

[eqn: p]

[eqn: q]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: rm 1]

[eqn: {1} over { sqrt { 2} }]

[eqn: rm A]

[eqn: f LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) = {1} over {sqrt {2}} `]이고 [eqn: a=2`]이므로 [eqn: g LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) = {1} over {2} `]이다.[eqn: f LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) >g LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) `]이다.
따라서 [eqn: p > sqrt2 `] (참)

ㄷ. 점 [eqn: rm B it LEFT ( p+q`,``0 RIGHT )`]에 대하여 삼각형 [eqn: rm AOB`]의 넓이[eqn: S` LEFT ( p RIGHT ) `]는

[eqn: S` LEFT ( p RIGHT ) = {1} over {2} TIMES LEFT ( p+q RIGHT ) TIMES q= {pq} over {2} + {q ^{2}} over {2} = {1} over {2} + {1} over {2p ^{2}} `]
이다.

한편, [eqn: f LEFT ( sqrt {a} RIGHT ) = {1} over {sqrt {a}} `]이고 [eqn: g LEFT ( sqrta RIGHT ) = {1} over {2} `]이다.

[eqn: 1< sqrt { a} <2`]이므로 [eqn: f LEFT ( sqrt {a} RIGHT ) >g LEFT ( sqrt {a} RIGHT ) `]이다.

따라서 [eqn: p> sqrt {a} `]이고, [eqn: {1} over {p} < {1} over {sqrt {a}} `]이다.

그러므로 [eqn: S` LEFT ( p RIGHT ) = {1} over {2} + {1} over {2p ^{2}} < {1} over {2} + {1} over {2a} = {a+1} over {2a} `] (참)

[eqn: 1<a<4`]인 실수 [eqn: a`]에 대하여 함수 [eqn: y=log _{`a} `x`]의 그래프와 함수 [eqn: y= {1} over {x} `]의 그래프가 만나는 점을 [eqn: rm A LEFT ( it `p`,``q` RIGHT ) `]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: pq=1] ㄴ. [eqn: a=2`]일 때, [eqn: p > sqrt2`]이다. ㄷ. 원점 [eqn: rmO`]와 점 [eqn: rm B it LEFT ( `p+q`,``0 RIGHT ) `]에 대하여 삼각형 [eqn: rm AOB`]의 넓이를 [eqn: S `LEFT ( p RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: S `LEFT ( p RIGHT )` < {a+1} over {2a} `]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[2206교-고2-26]

[eqn: a+b=42]

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 식의 값 구하는 문제 해결하기

[eqn: log _{`16} `a TIMES {rm log} _{`itb} `4=1`]에서 [eqn: {1} over {2} log _{`4} `a TIMES rm log _{` it b} `4=1`]이므로

[eqn: {log`a} over {log`4} TIMES {log`4} over {log`b} =2`], [eqn: {log`a} over {log`b} =2`],

[eqn: log_{`b}`a = 2`], 즉 [eqn: a= b^2 `]이다.

한편, [eqn: log_{`6}`ab=3`]에서 [eqn: ab=6^3 `]이므로 [eqn: b^3 =6^3 `]이다.

따라서 [eqn: b=6`], [eqn: a=6^2 =36 `]이다. 그러므로 [eqn: a+b= 42`]

[eqn: 1`]보다 큰 두 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여

[eqn: log _{`16} `a= {1} over {log _{`b} `4} `], [eqn: log_{`6} `ab=3`]

이 성립할 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.

[2206교-고2-27]

[eqn: 4a^3 =49`]

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 역함수 관계를 이용하여 식의 값 구하는 문제 해결하기

직선 [eqn: y=it -x+5`]의 기울기가 [eqn: -1`]이고

곡선 [eqn: y= log_{`a}`x`]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼,

[eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼 평행이동한 것이

곡선 [eqn: y= log_{`a} LEFT ( x-1 RIGHT )-1`]이므로

점 [eqn: rm rmB`]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼 평행이동한 점이 [eqn: rm C`]이다.

[eqn: bar{rmBC}=sqrt2`]이고 [eqn: rm {bar{AB}} : {bar{rm BC}} =2:1`]이므로 [eqn: {bar{rm AB}} =2 sqrt {2} `]이다.

점 [eqn: rmA `]의 [eqn: x `]좌표를 [eqn: t `]라 하면 [eqn: rm A it LEFT ( t`,``5-t RIGHT )`]이고 두 함수 [eqn: y=a ^{x} `], [eqn: y=log _{`a} `x`]는 역함수 관계이므로

[eqn: rm B it LEFT ( 5-t`,``t RIGHT )`]이다. 그런데 [eqn: {bar{rm AB}} =2 sqrt {2} `]이므로 두 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]의 [eqn: x`]좌표의 차는 [eqn: 2`]이고

[eqn: (5-t)-t=2`], 즉 [eqn: t= {3} over {2} `]이다.

점 [eqn: rm A it LEFT ( {3} over {2} `,`` {7} over {2} RIGHT ) `]이 곡선 [eqn: y=a ^{x}] 위의 점이므로

[eqn: a ^{{3} over {2}} = {7} over {2} `], 즉 [eqn: a ^{3} = {49} over {4}`]이다.

따라서 [eqn: 4a^3 =49`]

[eqn: a>2`]인 실수 [eqn: a`]에 대하여 그림과 같이 직선 [eqn: y= it -x+5`]가
세 곡선 [eqn: y=a ^{`x} `], [eqn: y=log _{`a} `x`], [eqn: y=log _{`a} LEFT ( x-1 RIGHT ) `-1`]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`], [eqn: rmC`]라 하자.
[eqn: rm {bar{AB}}][eqn: : {bar{rm BC}}][eqn: =2:1`]일 때, [eqn: 4a ^{3} `]의 값을 구하시오.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: rmB]

[eqn: rm C]

[eqn: rm A]

[eqn: y=a ^{`x}]

[eqn: y=log _{`a} `x]

[eqn: y=log _{`a} ` LEFT ( x-1 RIGHT ) `-1]

[eqn: y=it-x+5]

[2206교-고2-29]

[eqn: 72]

[출제의도] 로그의 정의를 이용하여
집합의 원소 추론하기

[eqn: A _{4} = LEFT { `log _{`4} `x`` LEFT | ``x`는````100`이하의````자연수 RIGHT } ` RIGHT .]이고

[eqn: 10`]이하의 자연수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: b=2 ^{k} `]이므로

[eqn: A _{b} = LEFT { `log _{`2 ^{k}} `y`` LEFT | ``y`는````100`이하의````자연수 RIGHT } ` RIGHT .]이다.

집합 [eqn: A _{4} SMALLINTER A_b`]의 원소의 개수는 [eqn: log _{`4} `x=log _{`2 ^{k}} `y`]가

성립하는 순서쌍 [eqn: LEFT ( x`,``y RIGHT ) `]의 개수와 같다.

[eqn: log _{`4} `x=log _{`2 ^{k}} `y`]이면 [eqn: {1} over {2} log _{`2} `x= {1} over {k} log _{`2} `y`],

[eqn: log _{`2} `x ^{k} =log _{`2} `y ^{2} `]이므로 [eqn: x ^{k} =y ^{2} `]이 성립한다.

따라서 [eqn: 1 le x le 100`], [eqn: 1 le y le 100`]에서 [eqn: x ^{k} =y ^{2} `]이 성립하는 순서쌍 [eqn: LEFT ( x`,``y RIGHT ) `]의 개수를 구하면 된다.

① [eqn: k=1`]이면 [eqn: x=y ^{2} `]이므로

[eqn: LEFT ( x`,``y RIGHT ) `= LEFT ( 1 ^{2} `,``1 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 2^2 `,``2 RIGHT )`], [eqn: LEFT ( 3^2 `,``3 RIGHT )`], [eqn: cdots`], [eqn: LEFT ( 10^2 `,``10 RIGHT )`]이고 [eqn: n LEFT ( A _{4} SMALLINTER A _{2^1} RIGHT ) =10`]

② [eqn: k = 2 `]이면 [eqn: x^2 =y^2 `]이므로

[eqn: LEFT ( x`,``y RIGHT )` = LEFT ( 1 `,``1 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 2`,``2 RIGHT )`], [eqn: LEFT ( 3`,``3 RIGHT )`], [eqn: cdots`], [eqn: LEFT ( 100`,``100 RIGHT )`]

이고 [eqn: n LEFT ( A _{4} SMALLINTER A _{2^2} RIGHT ) =100`]

③ [eqn: k = 3`]이면 [eqn: x ^{3} =y ^{2} `]이므로

[eqn: LEFT ( x`,``y RIGHT ) `= LEFT ( 1^2`,``1^3 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 2^2 `,``2^3 RIGHT )`], [eqn: LEFT ( 3^2`,``3^3 RIGHT )`], [eqn: LEFT ( 4^2 `,``4^3 RIGHT )`]이고

[eqn: n LEFT ( A _{4} SMALLINTER A _{2^3} RIGHT ) =4`]

④ [eqn: k=4`]이면 [eqn: x ^{4} =y ^{2} `], 즉 [eqn: x ^{2} =y`]이므로

[eqn: LEFT ( x`,``y RIGHT ) `= LEFT ( 1`,``1 ^{2} RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 2`,``2 ^{2} RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 3`,``3 ^{2} RIGHT ) `], [eqn: cdots`],[eqn: LEFT ( 10`,``10 ^{2} RIGHT ) `]
이고 [eqn: n LEFT ( A _{4} SMALLINTER A _{2 ^{4}} RIGHT ) =10`]

⑤ [eqn: k = 5`]이면 [eqn: x ^{5} =y ^{2} `]이므로

[eqn: LEFT ( x`,``y RIGHT ) `= LEFT ( 1 ^{2} `,``1 ^{5} RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 2 ^{2} `,``2 ^{5} RIGHT ) `]이고 [eqn: n LEFT ( A _{4} SMALLINTER A _{2 ^{5}} RIGHT ) =2`]

⑥ [eqn: k=6`]이면 [eqn: x ^{6} =y ^{2} `], 즉 [eqn: x ^{3} =y`]이므로

[eqn: LEFT ( x`,``y RIGHT ) `= LEFT ( 1`,``1 ^{3} RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 2 `,``2 ^{3} RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 3 `,``3 ^{3} RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 4 `,``4 ^{3} RIGHT ) `]이고

[eqn: n LEFT ( A _{4} SMALLINTER A _{2 ^{6}} RIGHT ) =4`]

⑦ [eqn: k=7`]이면 [eqn: x ^{7} =y ^{2} `]이므로 [eqn: LEFT ( x`,``y RIGHT ) `= LEFT ( 1 ^{2} `,``1 ^{7} RIGHT ) `]이고 [eqn: n LEFT ( A _{4} SMALLINTER A _{2 ^{7}} RIGHT ) =1`]

⑧ [eqn: k=8`]이면 [eqn: x ^{8} =y ^{2} `], 즉 [eqn: x ^{4} =y`]이므로

[eqn: LEFT ( x`,``y RIGHT ) `= LEFT ( 1`,``1 ^{4} RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 2`,``2^4 RIGHT )`], [eqn: LEFT ( 3`,``3 ^{4} RIGHT ) `]이고

[eqn: n LEFT ( A _{4} SMALLINTER A _{2 ^{8}} RIGHT ) =3`]

⑨ [eqn: k=9`]이면 [eqn: x ^{9} =y ^{2} `]이므로 [eqn: LEFT ( x`,``y RIGHT ) `= LEFT ( 1 ^{2} `,``1 ^{9} RIGHT ) `]이고 [eqn: n LEFT ( A _{4} SMALLINTER A _{2 ^{9}} RIGHT ) =1`]

⑩ [eqn: k=10`]이면 [eqn: x ^{10} =y ^{2} `], 즉 [eqn: x ^{5} =y`]이므로

[eqn: LEFT ( x`,``y RIGHT ) `= LEFT ( 1 `,``1 ^{5} RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 2 `,``2 ^{5} RIGHT ) `]이고 [eqn: n LEFT ( A _{4} SMALLINTER A _{2 ^{10}} RIGHT ) =2`]

그러므로 만족하는 집합 [eqn: B`]의 원소는 [eqn: 2^3 `], [eqn: 2^6`]이므로 모든 [eqn: b`]의 값의 합은 [eqn: 8+64 = 72`]

자연수 [eqn: m`][eqn: LEFT ( m GEQ 2 RIGHT ) `]에 대하여 집합 [eqn: A_m`]을

[eqn: A _{m} = LEFT { `log _{`m} `x`` LEFT | ``x`는````100`이하의````자연수` RIGHT } ` RIGHT .]

라 하고, 집합 [eqn: B`]를

[eqn: B`= LEFT { `2 ^{k} `` LEFT | ``k`는````10`이하의````자연수` RIGHT } ` RIGHT .]

라 하자. 집합 [eqn: B`]의 원소 [eqn: b`]에 대하여 [eqn: n LEFT ( A _{4} SMALLINTER A _{b} RIGHT ) =4`]가 되도록 하는 모든 [eqn: b`]의 값의 합을 구하시오.

[2209교-고2-19]

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 활용하여 문제 해결하기

ㄱ. 두 곡선 [eqn: y=2 ^{x} `]과 [eqn: y=log _{2`} x`]는
직선 [eqn: y=x`]에 대하여 서로 대칭이므로
[eqn: x _{1} =y _{2} `], [eqn: y _{1} =x _{2} `], [eqn: {bar{rm OA}} rm = {bar{rm OB}} rm `]
삼각형 [eqn: rm OAB`]의 넓이가 삼각형 [eqn: rm OAC`]의 넓이의 [eqn: 2`]배이므로 [eqn: rm {bar{OC}} = {1} over {2} {bar{OB}} = {1} over {2} {bar{OA}} `] (참)

ㄴ. 점 [eqn: rm C`]는 선분 [eqn: rm OB`]의 중점이므로
[eqn: x _{3} = {1} over {2} x _{2} `], [eqn: y _{3} = {1} over {2} y _{2} `]
[eqn: x _{2} =y _{1} =2x _{3} `]
[eqn: x _{2} +y _{1} =2y _{1} =4x _{3} `] (참)

ㄷ. [eqn: y_2 = 2^{x_2}`], [eqn: y_3 = LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT )^{x_3} `]
세 점 [eqn: rmO`], [eqn: rm B`], [eqn: rmC`]는 직선 [eqn: l`]위의 점이므로
직선 [eqn: l`]의 기울기는 [eqn: { y_2} over { x_2 } = { y_3} over { x_3}`], [eqn: {2 ^{x _{2}}} over {x _{2}} = {LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x _{3}}} over {x _{3}} `]
ㄴ에서 [eqn: x_2 = 2x_3`]이므로
[eqn: { 2^{2x_3}} over { 2x_3} = { 2 ^{-x_3}} over {x_3 }`], [eqn: 2^{2x_3 -1} =2^{-x_3}`]
[eqn: 2x _{3} -1= it -x _{3} `]이므로 [eqn: x_3 = { 1} over { 3}`]
직선 [eqn: l`]의 기울기는 [eqn: {y _{3}} over {x _{3}} `][eqn: = {LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x _{3}}} over {x _{3}}][eqn: =3 TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {3}}] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 곡선 [eqn: y=log _{2} `x] 위의 한 점 [eqn: rm A LEFT ( it x _{1`} ,```y _{1} RIGHT ) `]을 지나고 기울기가 [eqn: -1`]인 직선이 곡선 [eqn: y=2 ^{x} `]과 만나는 점을 [eqn: rm B LEFT ( it x _{2} `,```y _{2} RIGHT ) `]라 하고, 두 점 [eqn: rm B`], [eqn: rmO`]를 지나는 직선 [eqn: l`]이 곡선 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} `]과 만나는 점을 [eqn: rm C LEFT ( it x _{3} `,```y _{3} RIGHT ) `]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm OAB`]의 넓이가 삼각형 [eqn: rm OAC`]의 넓이의 [eqn: 2`]배일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: x_1 >1`]이고, [eqn: rm O`]는 원점이다.)

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: rm {bar{OC}} = {1} over {2} rm {bar{OA}} `] ㄴ. [eqn: x _{2} +y _{1} =4x _{3} `] ㄷ. 직선 [eqn: l`]의 기울기는 [eqn: 3 TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {3}} `]이다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: y=log _{`2} `x]

[eqn: rm C]

[eqn: y=2 ^{`x}]

[eqn: l]

[eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{`x}]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[2209교-고2-27]

[eqn: M`=128`]

[출제의도] 지수함수의 그래프를 활용하여 문제 해결하기

[eqn: 0 LEQ x LEQ 5`]에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) ` it = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) `]은

[eqn: x=5`]일 때, 최댓값 [eqn: 8`],

[eqn: x=2`]일 때, 최솟값 [eqn: -1`]을 갖는다.

함수 [eqn: y= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-a} `]의 그래프는
[eqn: x`]의 값이 증가할 때, [eqn: y`]의 값은 감소하므로

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]는
[eqn: x=5`]일 때, 최솟값 [eqn: {1} over {4} `],

[eqn: x=2`]일 때, 최댓값 [eqn: M``]을 갖는다.

[eqn: h LEFT ( 5 RIGHT ) ` it =f LEFT ( 8 RIGHT ) ` it = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{8-a} = {1} over {4} `]

[eqn: 2 ^{a-8} =2 ^{-2} `], [eqn: a=6`]
[eqn: h LEFT ( 2 RIGHT ) ` it =f LEFT ( -1 RIGHT ) ` it = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{-1-6} =128`]

따라서 [eqn: M`=128`]

두 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-a} `], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) `]
에 대하여 합성함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) `]라 하자.
함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: 0 LEQ x LEQ 5`]에서 최솟값 [eqn: {1} over {4} `], 최댓값 [eqn: M``]을 갖는다. [eqn: M``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

[2209교-고2-27]

[eqn: k=3`]

[출제의도] 거듭제곱근을 활용하여 문제 해결하기

[eqn: n GEQ 2`]에서 [eqn: n ^{2} -17n+19k`]의 값을 [eqn: g LEFT ( n RIGHT ) `]이라 하자.

(ⅰ) [eqn: n`]이 홀수일 때, [eqn: n=2m+1`]([eqn: m`]은 자연수)
[eqn: g LEFT ( n RIGHT ) `]의 [eqn: n`]제곱근 중 실수인 것의 개수는 [eqn: 1`]이므로
[eqn: f LEFT ( 2m+1 RIGHT )][eqn: =1`]

(ⅱ) [eqn: n`]이 짝수일 때, [eqn: n=2m`]([eqn: m`]은 자연수)
[eqn: g LEFT ( 2m RIGHT ) >0`]이면 [eqn: f LEFT ( 2m RIGHT ) =2`]
[eqn: g LEFT ( 2m RIGHT ) <0`]이면 [eqn: f LEFT ( 2m RIGHT ) =0`]
[eqn: g LEFT ( 2m RIGHT ) ` it =0`]이라 하면 [eqn: 19k=2m LEFT ( 17-2m RIGHT ) `]
이를 만족시키는 두 자연수 [eqn: m`]과 [eqn: k`]는 존재하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ) 에 의하여

[eqn: sum _{n=2} ^{19} f LEFT ( n RIGHT )][eqn: = sum _{m=1} ^{9} f LEFT ( 2m RIGHT ) + sum _{m=1} ^{9} f LEFT ( 2m+1 RIGHT ) `]

[eqn: sum _{m=1} ^{9} f LEFT ( 2m RIGHT )][eqn: =19-1 TIMES 9][eqn: =10`]

[eqn: sum _{m=1} ^{9} f LEFT ( 2m RIGHT ) =10`]을 만족시키기 위해서는

[eqn: g LEFT ( 2m RIGHT ) >0`]인 [eqn: m`]의 개수가 [eqn: 5`]이어야 한다. [eqn: CDOTS `]㉠

[eqn: 2 LEQ n LEQ 7`]이면 [eqn: g LEFT ( n RIGHT ) > g LEFT ( n+1 RIGHT ) `]

[eqn: n=8`]이면 [eqn: g LEFT ( n RIGHT ) =g LEFT ( n+1 RIGHT ) `], 즉 [eqn: g LEFT ( 8 RIGHT ) =g LEFT ( 9 RIGHT ) `]

[eqn: n GEQ 9`]이면 [eqn: g LEFT ( n RIGHT ) <g LEFT ( n+1 RIGHT ) `]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: g LEFT ( n RIGHT ) ` it =g LEFT ( 17-n RIGHT ) `]이므로

[eqn: g LEFT ( 18 RIGHT ) >g LEFT ( 16 RIGHT ) >g LEFT ( 15 RIGHT ) =g LEFT ( 2 RIGHT ) >g LEFT ( 14 RIGHT ) >g LEFT ( 13 RIGHT ) =g LEFT ( 4 RIGHT ) `]

[eqn: >g LEFT ( 12 RIGHT ) >g LEFT ( 11 RIGHT ) =g LEFT ( 6 RIGHT ) >g LEFT ( 10 RIGHT ) >g LEFT ( 9 RIGHT ) =g LEFT ( 8 RIGHT ) `]

㉠을 만족시키는 경우는
[eqn: g LEFT ( 18 RIGHT ) >g LEFT ( 16 RIGHT ) >g LEFT ( 2 RIGHT ) >g LEFT ( 14 RIGHT ) >g LEFT ( 4 RIGHT ) >0>g LEFT ( 12 RIGHT ) `]
[eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) ` it =4 ^{2} -17 TIMES 4+19k>0`], [eqn: 19k>52`]
[eqn: g LEFT ( 12 RIGHT ) =g LEFT ( 5 RIGHT ) ` it =5 ^{2} -17 TIMES 5+19k<0`], [eqn: 19k<60`]
[eqn: {52} over {19} <k< {60} over {19} `]

따라서 자연수 [eqn: k`]는 [eqn: 3`]

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]과 상수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: n ^{2} -17n+19k`]의 [eqn: n`]제곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) `]이라 하자. [eqn: sum _{n=2} ^{19} `f LEFT ( n RIGHT ) =19`]를 만족시키는 자연수 [eqn: k`]의 값을 구하시오.

[2203교-고3-11]

⑤ [eqn: 10]

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 이해하여 사각형의 넓이를 구한다.

점 [eqn: rmA`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( it k,```2 ^{k-1} +1 RIGHT ) `]이고 [eqn: bar{rmAB}=8`]이므로 점 [eqn: rm B`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( it k,```2 ^{k-1} -7 RIGHT ) `]이다.

직선 [eqn: rmBC`]의 기울기가 [eqn: -1`]이고 [eqn: bar{rmBC}=2 sqrt {2} `]이므로 두 점 [eqn: rmB], [eqn: rmC`]의 [eqn: x`]좌표의 차와 [eqn: y`]좌표의 차는 모두 [eqn: 2`]이다.

따라서 점 [eqn: rmC`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( it k-2,```2 ^{k-1} -5 RIGHT ) `]이다.

한편 점 [eqn: rmC`]는 곡선 [eqn: y=2 ^{x-1} +1] 위의 점이므로

[eqn: 2 ^{k-3} +1][eqn: =2 ^{k-1} -5]

[eqn: {1} over {2} TIMES 2 ^{k} - {1} over {8} TIMES 2 ^{k}][eqn: =6], [eqn: 2 ^{k}][eqn: =16]

[eqn: k=4]

즉, [eqn: rm A LEFT ( it 4,```9 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( it 4,```1 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( it 2,```3 RIGHT ) `]이다.

점 [eqn: rmB`]가 곡선 [eqn: y=log` _{2} ` LEFT ( x-a RIGHT )] 위의 점이므로

[eqn: 1][eqn: =log` _{2} ` LEFT ( 4-a RIGHT )], [eqn: 4-a][eqn: =2], [eqn: a=2]

점 [eqn: rmD`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: x-2=1`]에서 [eqn: 3`]

사각형 [eqn: rmACDB`]의 넓이는 두 삼각형 [eqn: rm ACB], [eqn: rmCDB`]의 넓이의 합이고 [eqn: bar{rmBC}bot{bar{rmBD}`]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES 8 TIMES 2+ {1} over {2} TIMES 2 sqrt {2} TIMES sqrt {2}][eqn: =10]

그림과 같이 두 상수 [eqn: a], [eqn: k`]에 대하여 직선 [eqn: x=k`]가 두 곡선 [eqn: y=2 ^{x-1} +1], [eqn: y=log` _{2} ` LEFT ( x-a RIGHT ) `]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B`]라 하고, 점 [eqn: rm B`]를 지나고 기울기가 [eqn: -1`]인 직선이 곡선 [eqn: y=2 ^{x-1} +1`]과 만나는 점을 [eqn: rm C`]라 하자.
[eqn: {bar{rm AB it}} it =8], [eqn: {bar{rm BC it}} it =2 sqrt {2} `]일 때, 곡선 [eqn: y=log` _{2} ` LEFT ( x-a RIGHT ) `]가 [eqn: x`]축과 만나는 점 [eqn: rmD`]에 대하여 사각형 [eqn: rm ACDB`]의 넓이는? (단, [eqn: 0<a<k])

① [eqn: 14]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 10]

[2203교-고3-21]

[eqn: a TIMES b`=12`]

[출제의도] 지수함수와 로그함수를 이용하여 점의 좌표를 구하는 문제를 해결한다.

점 [eqn: rm A LEFT ( it a,```b RIGHT ) `]를 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmB`]라 하면 [eqn: rmB LEFT ( itb,```a RIGHT ) `]이다.

조건 (가)에서 점 [eqn: rm A LEFT ( it a,```b RIGHT ) `]가 곡선 [eqn: y=log` _{2} ` LEFT ( x+2 RIGHT ) +k] 위의 점이므로

[eqn: b][eqn: =log` _{2} ` LEFT ( a+2 RIGHT ) +k] [eqn: cdotscdots] ㉠

조건 (나)에서 점 [eqn: rmB LEFT ( itb,```a RIGHT ) `]가 곡선 [eqn: y=4 ^{x+k} +2] 위의 점이므로

[eqn: a][eqn: =4 ^{b+k} +2] [eqn: cdotscdots] ㉡

㉠에서

[eqn: b-k][eqn: =log` _{2} ` LEFT ( a+2 RIGHT )], [eqn: 2 ^{b-k}][eqn: =a+2]

[eqn: a][eqn: =2 ^{b-k} -2] [eqn: cdotscdots] ㉢

㉡, ㉢을 연립하여 정리하면

[eqn: 4 ^{b+k} +2][eqn: =2 ^{b-k} -2]

[eqn: 4 ^{k} TIMES 4 ^{b} -2 ^{-k} TIMES 2 ^{b} +4=0] [eqn: cdotscdots] ㉣

조건을 만족시키는 점 [eqn: rmA`]가 오직 하나이므로 방정식 ㉣을 만족시키는 실수 [eqn: b`]는 오직 하나이고

[eqn: 2 ^{b} =t`]([eqn: t>0])으로 놓으면 [eqn: t`]에 대한 이차방정식

[eqn: 4 ^{k} t ^{2} -2 ^{-k} t+4=0] [eqn: cdotscdots] ㉤

은 오직 하나의 양의 실근을 갖는다. [eqn: t`]에 대한 이차방정식 ㉤의 두 근의 곱은 [eqn: {4} over {4 ^{k}}][eqn: =4 ^{1-k}][eqn: >0`]이므로 [eqn: t`]에 대한 이차방정식 ㉤이 오직 하나의 양의 실근을 가지려면 ㉤의 판별식을 [eqn: D`]라 할 때 [eqn: D=0`]이어야 한다.

[eqn: D][eqn: = LEFT ( -2 ^{-k} RIGHT ) ^{2} -4 TIMES 4 ^{k} TIMES 4]
[eqn: =4 ^{-k} -16 TIMES 4 ^{k}][eqn: =0]

위의 방정식의 양변에 [eqn: 4 ^{k} `]을 곱하여 정리하면

[eqn: 2 ^{4k+4} =1], [eqn: k= it -1]

㉤에 대입하여 정리하면

[eqn: {1} over {4} t ^{2} -2t+4=0], [eqn: {1} over {4} LEFT ( t-4 RIGHT ) ^{2} =0]

[eqn: t=4]

즉, [eqn: 2 ^{b} =4`]에서 [eqn: b=2`]이다.

[eqn: k= it -1], [eqn: b=2`]를 ㉡에 대입하여 정리하면

[eqn: a][eqn: =4 ^{2+ LEFT ( -1 RIGHT )} +2][eqn: =6]

따라서 [eqn: a{times}b][eqn: =6times2][eqn: =12]

상수 [eqn: k`]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 좌표평면의 점 [eqn: rm A LEFT ( it a,```b RIGHT ) `]가 오직 하나 존재한다.

(가) 점 [eqn: rmA`]는 곡선 [eqn: y=log` _{2} ` LEFT ( x+2 RIGHT ) +k] 위의 점이다.

(나) 점 [eqn: rmA`]를 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 점은
곡선 [eqn: y=4 ^{x+k} +2] 위에 있다.

[eqn: a TIMES b`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a!=b])

[2204교-고3-09]

③ [eqn: log _{`2} `6]

[출제의도] 지수함수의 그래프를 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rm B]의 좌표가 [eqn: rm B LEFT ( it `0,``2 ^{a} RIGHT )]이므로 [eqn: {bar{rm OB}} = it 2 ^{a}]

[eqn: {bar{rm OB}} =3 TIMES {bar{rm OH}}]에서 [eqn: {bar{rm OH}} = it {2 ^{a}} over {3}]

점 [eqn: rm A]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: k]라 하면 [eqn: rm A LEFT ( it `k,`` {2 ^{a}} over {3} RIGHT )]

점 [eqn: rmA]는 곡선 [eqn: y=2 ^{-x+a}] 위의 점이므로

[eqn: 2 ^{-k+a} = {2 ^{a}} over {3}]에서 [eqn: 2 ^{-k} = {1} over {3}], [eqn: 2 ^{k} =3]

또한 점 [eqn: rmA]는 곡선 [eqn: y=2 ^{x} -1] 위의 점이므로

[eqn: {2 ^{a}} over {3} =2 ^{k} -1=3-1=2]에서 [eqn: 2 ^{a} =6]

따라서 [eqn: a=log _{`2} `6]

그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=2 ^{-x+a}], [eqn: y=2 ^{x} -1]이 만나는 점을 [eqn: rm A], 곡선 [eqn: y=2 ^{-x+a}]이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rm B]라 하자.
점 [eqn: rm A]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때, [eqn: {bar{rm OB}} =3 TIMES {bar{rm OH}}]이다. 상수 [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: rm O]는 원점이다.)

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmH]

[eqn: rmO]

[eqn: y=2^x -1]

[eqn: y=2 ^{-x+a}]

[eqn: y]

[eqn: x]

① [eqn: 2]	② [eqn: log _{`2} `5]	③ [eqn: log _{`2} `6]	④ [eqn: log _{`2} `7]	⑤ [eqn: 3]

[2206평-고3-21]

[eqn: 426]

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 조건을 만족시키는 모든 자연수를 찾을 수 있는가?

[eqn: 4`log _{64} LEFT ( {3} over {4n+16} RIGHT )][eqn: =log _{8} LEFT ( {3} over {4n+16} RIGHT ) ^{2}]

이므로 이 값이 정수가 되려면

[eqn: LEFT ( {3} over {4n+16} RIGHT ) ^{2}][eqn: =8 ^{m}] ([eqn: m]은 정수)	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

의 꼴이 되어야 한다.

그러려면 우선 [eqn: 4n+16]이 [eqn: 3]의 배수가 되어야 하므로

[eqn: n][eqn: =3k-1] ([eqn: k]는 [eqn: 1 LEQ k LEQ 333]인 자연수)

이어야 한다. 이때 ㉠에서

[eqn: LEFT ( {1} over {4k+4} RIGHT ) ^{2}][eqn: =2 ^{3m}]

[eqn: 16 LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2}][eqn: =2 ^{-3m}]

[eqn: LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2}][eqn: =2 ^{-3m-4}]

이어야 하므로

[eqn: LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2}][eqn: =2 ^{2}], [eqn: 2 ^{8}], [eqn: 2 ^{14}]

[eqn: k+1][eqn: =2], [eqn: 2 ^{4}], [eqn: 2 ^{7}]

[eqn: k][eqn: =1] 또는 [eqn: k][eqn: =15] 또는 [eqn: k][eqn: =127]

즉, [eqn: n][eqn: =2] 또는 [eqn: n][eqn: =44] 또는 [eqn: n][eqn: =380]이므로 조건을 만족시키는 모든 [eqn: n]의 값의 합은

[eqn: 2+44+380][eqn: =426]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 4`log` _{64} ` LEFT ( {3} over {4n+16} RIGHT )]의 값이 정수가 되도록 하는 [eqn: 1000] 이하의 모든 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오.

[2207교-고3-11]

⑤ 6

[출제의도] 로그함수의 그래프를 활용하여
문제 해결하기

두 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]의 좌표를 각각

[eqn: rm A LEFT ( it a,``log _{2} `2a RIGHT ) `], [eqn: rm B LEFT ( it b,``log _{2} `4b RIGHT ) `][eqn: LEFT ( a<b RIGHT ) `]라 하자.

직선 [eqn: rm AB`]의 기울기가 [eqn: {1} over {2} `]이므로

[eqn: {log _{2} `4b-log _{2} `2a} over {b-a} = {1} over {2} `]에서

[eqn: log _{2} `4b-log _{2} `2a= {1} over {2} LEFT ( b-a RIGHT ) `]

[eqn: rm {bar{AB}}][eqn: = sqrt {LEFT ( b-a RIGHT ) ^{2} + LEFT ( log _{2} `4b-log _{2} `2a RIGHT ) ^{2}}][eqn: = sqrt {LEFT ( b-a RIGHT ) ^{2} + {1} over {4} LEFT ( b-a RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: = {sqrt {5}} over {2} TIMES LEFT ( b-a RIGHT ) `][eqn: =2 sqrt {5} `]

[eqn: b-a=4`] [eqn: CDOTS] ㉠

[eqn: log _{2} `4b-log _{2} `2a=log _{2} {2b} over {a} =2`], [eqn: b=2a`] [eqn: CDOTS] ㉡

두 식 ㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: a=4`], [eqn: b=8`]

[eqn: rm A LEFT ( 4,```3 RIGHT ) `], [eqn: rm B LEFT ( 8,```5 RIGHT ) `], [eqn: rm C LEFT ( 4,```0 RIGHT )]

따라서 삼각형 [eqn: rm ACB`]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 3 TIMES 4=6`]

기울기가 [eqn: {1} over {2} `]인 직선 [eqn: l`]이 곡선 [eqn: y=log _{2} `2x`]와 서로 다른
두 점에서 만날 때, 만나는 두 점 중 [eqn: x`]좌표가 큰 점을 [eqn: rm A`]라 하고, 직선 [eqn: l`]이 곡선 [eqn: y=log _{2} `4x`]와 만나는 두 점 중 [eqn: x`]좌표가 큰 점을 [eqn: rm B`]라 하자. [eqn: rm {bar{AB}} =2 sqrt {5} `]일 때, 점 [eqn: rm A`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발 [eqn: rm C`]에 대하여 삼각형 [eqn: rm ACB`]의 넓이는?

	①	[eqn: 5`]	②	[eqn: {21} over {4}]	③	[eqn: {11} over {2}]	④	[eqn: {23} over {4}]	⑤	[eqn: 6]

[2207사관-고3-09]

④ [eqn: 4`]

[eqn: f(x)= `vert `` log _2 `(x-k)`` vert ``]

교점을 구하는 방정식은 [eqn: `vert `` log` _2 `(x-k)`` vert `=` vert ``log` _2 `(-x+8)``vert``]

ⅰ) [eqn: x-k=-x+8`]이면 [eqn: x= {k+8} over2]

ⅱ) [eqn: (x-k)(-x+8)=1`]이면 두 근의 합은 [eqn: k+8``]

따라서 세 실근의 합 [eqn: 3 over2 (k+8)=18``]이므로 [eqn: k=4]

곡선 [eqn: y= vert log _2 (-x) vert``]를 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 후 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: k`]만큼 평행이동한 곡선을 [eqn: y=f`(x)`]라 하자. 곡선 [eqn: y=f`(x)`]와 곡선 [eqn: y= vert log _2 (-x+8) vert``]이 세 점에서 만나고 세 교점의 [eqn: x`]좌표의 합이 [eqn: 18`]일 때, [eqn: k`]의 값은?

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

[2207경찰-고3-08]

⑤ [eqn: 11 over6 `]

산술기하평균을 활용하면 [eqn: a^2 +b^2 = r^2 `>= 2 vert `ab `vert`]

[eqn: f(r)= log `_r `{ r^2 over2 }``]

[eqn: f(64)= log `_{2^6 } `2^11 = 11 over6 ``]

원 [eqn: x^2 +y^2 =r^2 ``]위의 점 [eqn: (a`,````b)`]에 대하여 [eqn: log` _r ``vert`ab `vert``]의 최댓값을 [eqn: f(r)``]라 할 때, [eqn: f(64)``]의 값은? (단, [eqn: r`]는 [eqn: 1`]보다 큰 실수이고, [eqn: ab!=0``]이다.)

① [eqn: 7 over6 `]	② [eqn: 4 over3 `]	③ [eqn: 3 over2 `]	④ [eqn: 5 over3 `]	⑤ [eqn: 11 over6 `]

[2207경찰-고3-09]

⑤ [eqn: 158`]

[eqn: f(1)+f(2)+f(3)=12`], [eqn: f(4)f(5)<=10`]

ⅰ) [eqn: f(1),```f(2),```f(3)``]이 [eqn: 5, ```5, ```2 ``]의 결합일 경우

[eqn: f(4)``]와 [eqn: f(5)`]가 되는 경우의 수는 [eqn: 5^2 -5-3=17`]

ⅱ) [eqn: f(1),```f(2),```f(3)``]이 [eqn: 5, ```4, ```3 ``]의 결합일 경우

[eqn: f(4)``]와 [eqn: f(5)`]가 되는 경우의 수는 [eqn: 17-2=15]

ⅲ) [eqn: f(1),```f(2),```f(3)``]이 [eqn: 4, ```4, ```4 ``]의 결합일 경우

[eqn: f(4)``]와 [eqn: f(5)`]가 되는 경우의 수는 [eqn: 17`]

따라서 구하고자 하는 값은

[eqn: {3! }over { 2! } times 17 + 3! times 15+ 1 times 17 =158`]

집합 [eqn: A=`left{ 1,```2,```3,```4,```5 right}``]에서 [eqn: A``]로의 함수 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f(x)`]의 개수는?

(가) [eqn: log `f(x) ``]는 일대일함수가 아니다.

(나) [eqn: log `left{ f(1)+f(2)+f(3) right}= 2 log `2 + log ` 3 ``]

(다) [eqn: log ` f(4) + log ` f(5) <=1 `]

① [eqn: 134`]	② [eqn: 140`]	③ [eqn: 146`]	④ [eqn: 152`]	⑤ [eqn: 158`]

[2207경찰-고3-22]

[eqn: 250`]

처음과 두 번째 조건에 의해 [eqn: a=c`]

세 번째 조건에 의해 [eqn: a=c=10^2 `]

[eqn: a=50`]

따라서 [eqn: a+b+c=250`]

실수 [eqn: a,```b,```c`]가

[eqn: log ` {ab}over2 = ( log `a )(log `b)``]

[eqn: log ` {bc}over2 = ( log `b )(log `c)``]

[eqn: log ` {ca} = ( log `c )(log `a)``]

를 만족시킬 때, [eqn: a+b+c``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,```b,```c`]는 모두 [eqn: 10`]보다 크다.)

[2209평-고3-11]

② [eqn: 9`]

조건에서 [eqn: {Root3`}^{f(n)} = 3^4 `]이므로 [eqn: f(n)=8`]

[eqn: -(n-2)^2 +k=8 `]

[eqn: n= 2 +-root{ k-8} ``]에서 자연수 [eqn: n`]이 2개가 되려면 [eqn: root{k-8`}`=1``]뿐임

함수 [eqn: f`(x)= -(x-2)^2 +k``]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 개수가 [eqn: 2``]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은?

[eqn: root{3}^{ f(n)} ``]의 네제곱근 중 실수인 것을 모두 곱한 값이 [eqn: -9``]이다.

① [eqn: 8``]	② [eqn: 9``]	③ [eqn: 10``]	④ [eqn: 11`]	⑤ [eqn: 12`]

[2209평-고3-21]

[eqn: 220`]

[eqn: bar{CQ``}=3 bar{AB``}`=4bar{AP``}``]이므로 점 [eqn: P``]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: a`]라 하면 점 [eqn: A`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 4a`]이고 직선 [eqn: PQ`]의 [eqn: x`]절편은 [eqn: (-2a`,```0)`]이다. 점 [eqn: Q`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: b`]라 하면

[eqn: m= { 2^a } over 3a = {2^b -2^a } over { b-a} = { 2^b } over { b+2a} ``]이고 [eqn: 2^b = 4 cdot 2^a `]

[eqn: b=a+2 `]이므로 [eqn: {2^a} over 3a = { 3cdot 2^a } over 2 ``]

[eqn: a= 2 over9 `,````b= 20 over 9 ``]이므로 [eqn: 90 times(a+b)`=220``]

그림과 같이 곡선 [eqn: y= 2^x ``]위에 두 점 [eqn: P`(a,```2^a `)`,```Q`(b,```2^b `)``]이 있다. 직선 [eqn: PQ``]의 기울기를 [eqn: m`]이라 할 때, 점 [eqn: P``]를 지나며 기울기가 [eqn: -m``]인 직선이 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: A,```B``]라 하고, 점 [eqn: Q``]를 지나며 기울기가 [eqn: -m`]인 직선이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: C``]라 하자.

[eqn: bar{AB``}=4 bar{ PB``} `,``` bar{CQ``}=3 bar{AB``}`]

일 때, [eqn: 90 times(a+b)``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0<a<b`])

빠른 정답

③ [eqn: 5`]

② [eqn: 7 over 3]

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: a+b=42]

[eqn: 4a^3 =49`]

[eqn: 72]

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: M`=128`]

[eqn: k=3`]

⑤ [eqn: 10]

[eqn: a TIMES b`=12`]

③ [eqn: log _{`2} `6]

[eqn: 426]

⑤ 6

④ [eqn: 4`]

⑤ [eqn: 11 over6 `]

⑤ [eqn: 158`]

[eqn: 250`]

② [eqn: 9`]

[eqn: 220`]