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수학 Ⅱ (고2)	내신대비 모의고사	범위 : 미분-적분
		시험시간 : 50분
총 23문항 : 객관식 17, 주관식 6
		이름 :

Du kannst, denn Du sollst !	| |	용문아 수학교실

[객관식]

함수 [eqn: F(x)]가 함수 [eqn: f(x) = 3x^2 - 4x + 2]의 한 부정적분이고 [eqn: F(0) = 2]일 때, [eqn: F(1)]의 값은?

③

[eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -2x ^{2} +2x+2`]

① [eqn: -1]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 7]

정적분 [eqn: int_0 ^1 (x + 1 )^2 dx - int_0 ^1 (x - 1)^2 dx]의 값은?

①

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} dx`}][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( 2 RIGHT ) LEFT ( 2x RIGHT ) `dx=2}]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: P]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x]가 [eqn: x = t^3 - 4t]일 때, [eqn: t = 2]에서의 점 [eqn: P]의 속도와 가속도를 구하면?

④

[eqn: v= {dx} over {dt} =3t ^{2} -4] 이므로 [eqn: t=2`]에서 속도는 [eqn: 8]

[eqn: a= {dv} over {dt} =6t`] 이므로 [eqn: t=2]에서 가속도는 [eqn: 12]

① 속도 : [eqn: 4], 가속도 : [eqn: 6]	② 속도 : [eqn: 16], 가속도 : [eqn: 3]

③ 속도 : [eqn: 8], 가속도 : [eqn: 6]	④ 속도 : [eqn: 8], 가속도 : [eqn: 12]

⑤ 속도 : [eqn: 4], 가속도 : [eqn: 12]

함수 [eqn: f(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b]가 [eqn: x = 2]에서 극솟값 [eqn: 1]을 가질 때, [eqn: a+b]의 값은?

⑤

[eqn: x=2`]에서 극솟값 [eqn: 1]을 가지므로 [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT ) =0,~f LEFT ( 2 RIGHT ) =1]이다.

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -4x+a`]이므로

[eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT ) =12-8+a=0`]이므로 [eqn: a=`-4]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =8-8+2a+b=1`]이므로 [eqn: b=9]

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x) = ax^3 - 3x^2 + (a - 2)x + 3]이 [eqn: x_1 < x_2]인 임의의 실수 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여 항상 [eqn: f(x_1 ) < f (x_2 )]일 때, 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하면?

③

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 항상 증가함수 이므로

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) ge0`]이어야 한다.

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3ax ^{2} -6x+ LEFT ( a-2 RIGHT ) x]

[eqn: a>0]이고 [eqn: D`le0]이어야 하므로

[eqn: D/4][eqn: =9-3a LEFT ( a-2 RIGHT ) LEQ 0]
[eqn: = LEFT ( a-3 RIGHT ) LEFT ( a+1 RIGHT ) GEQ 0`]이므로 [eqn: a`le`-1,~3le`a]

[eqn: therefore~3le`a]

① [eqn: a le -1]	② [eqn: a > 3]

③ [eqn: a ge 3]	④ [eqn: -1 le a le 3]

⑤ [eqn: a < -1] 또는 [eqn: a > 3]

[주관식]

함수 [eqn: f(x)= -x ^3 -4ax^2 + 8ax + 5]가 [eqn: x_1 < x_2]인 임의의 두 실수 [eqn: x_1 , ~ x_2]에 대하여 [eqn: f(x_1 ) > f(x_2 )]가 성립하도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수를 구하시오.

[eqn: 2]

[eqn: x_1 < x_ 2]인 임의의 두 실수 [eqn: x_1 , ~ x_ 2]에 대하여 [eqn: f(x_1 ) > f(x_2 )]가 성립하려면 함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 감소해야 한다.

[eqn: f(x)= - x^3 - 4ax^2 + 8ax + 5]에서

[eqn: f`'(x)= -3x^2 - 8ax + 8a]

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 감소하려면 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f `'(x) le 0]이어야 하므로 이차방정식 [eqn: f `'(x)=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D over 4 = 16 a^2 + 24a le 0 , ~ 8a (2a + 3) le0]

[eqn: therefore~ - 3 over 2 le a le 0]

따라서 정수 [eqn: a]는 [eqn: -1, ~0]의 [eqn: 2]개이다.

구간 [eqn: [0, ~ 3 ]]에서 함수

②

[eqn: f(x)= x^3 -2x^2 -4 x+ 1]에서

[eqn: f `'(x)= 3x^2 -4 x- 4 = (3x+2)(x-2)]

[eqn: f `'(x)= 0]에서 [eqn: x=2] [eqn: ( because~ 0 le x le 3)]

구간 [eqn: [0, ~ 3 ]]에서 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: 0]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 2]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 3]
[eqn: {f` prime (x)}]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: {f(x)}]	[eqn: 1]	↘	[eqn: -7]	↗	[eqn: -2]

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 최댓값 [eqn: 1,] [eqn: x=2]에서 최솟값 [eqn: -7]을 가지므로

[eqn: M=1, ~m = -7]	[eqn: therefore~ M+m = -6]

[eqn: f(x)= x^3 - 2x^2 -4x + 1]

의 최댓값을 [eqn: M,] 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은?

① [eqn: -5]	② [eqn: - 6]	③ [eqn: -7]

④ [eqn: -8]	⑤ [eqn: -9]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가

④

[eqn: f(x)]의 최고차항이 [eqn: x^3]이므로 [eqn: f`'(x)]의 최고차항은 [eqn: 3x^2]이다.

이때 [eqn: f`' (-5) = f`' (-1) = 0]이므로

[eqn: f`'(x)=3 (x+5)(x+1)]

[eqn: f`'(x)=0]에서 [eqn: x=-5] 또는 [eqn: x=-1]

[eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: -5]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: -1]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: {f` prime (x)}]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: {f(x)}]	[eqn: ↗]	극대	[eqn: ↘]	극소	[eqn: ↗]

즉, 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-5]에서 극댓값을 가지므로

[eqn: f(-5) = 12]

이때

[eqn: f(x)][eqn: = int f`'(x)dx = int 3 (x+5)(x+1) dx]
[eqn: = int ( 3x^2 + 18x + 15 ) dx]
[eqn: = x^3 +9x^2 + 15x +C]

이므로 [eqn: f(-5) = -125 + 225 - 75 + C = 12]

[eqn: therefore] [eqn: C = -13]

따라서 [eqn: f(x) = x^3 + 9x^2 + 15x -13]이므로 극솟값은 [eqn: f(-1) = -1 + 9 - 15 - 13 = -20]

[eqn: f`' (-5) = f`' (-1)=0]

을 만족시키고 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값이 [eqn: 12]일 때, 극솟값은?

① [eqn: -17]	② [eqn: -18]	③ [eqn: -19]

④ [eqn: -20]	⑤ [eqn: -21]

방정식 [eqn: x^3 + 3x^2 - k = 0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 1]개일 때의 [eqn: k]값의 범위를 구하면?

①

서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 1]개 이려면

(극댓값)[eqn: times](극솟값)[eqn: >]0이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +3x ^{2} -k`]라 하면

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +6x=3x LEFT ( x+2 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) timesf LEFT ( 0 RIGHT ) >0`]이어야 하므로

[eqn: LEFT ( 4-k RIGHT ) LEFT ( -k RIGHT ) >0`]이고, [eqn: k<0] 또는 [eqn: k>4]이다.

① [eqn: k < 0] 또는 [eqn: k > 4]	② [eqn: k > 0]

③ [eqn: k ge 0]	④ [eqn: k le 0] 또는 [eqn: k ge 4]

⑤ [eqn: 0 < k < 4]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: 2x^4 - 4x^3 ge k]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 범위는?

①

[eqn: k]는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{4} -4x ^{3}]의 최솟값 이하여야 한다.

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =8x ^{3} -12x ^{2} =4x ^{2} LEFT ( 2x-3 RIGHT )]이므로 [eqn: x= {3} over {2}]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: f LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) gek]이므로 [eqn: - {27} over {8} ge`k]

① [eqn: k le - 27 over 8]	② [eqn: k ge - 27 over 8]

③ [eqn: - 27 over 8 le k le 0]	④ [eqn: k le 0]

⑤ [eqn: k ge 0]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 속도가

④

[eqn: t=3]에서의 점 [eqn: rmP]의 위치는

[eqn: 0+ int _{0} ^{3} {v LEFT ( t RIGHT ) `dt}][eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT ( 3-t RIGHT ) `dt+ int _{2} ^{3} {LEFT ( t ^{2} -2t+1 RIGHT ) `dt}}]
[eqn: LEFT . = LEFT [ pile{`#`} 3t- {1} over {2} t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{2} + LEFT [ {1} over {3} t ^{3} -t ^{2} +t pile{`#`} RIGHT ] _{2} ^{3} =4+ {7} over {3} = {19} over {3} RIGHT .]

[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) = {cases{~3-t&~ LEFT ( 0 LEQ t LEQ 2 RIGHT )#t ^{2} -2t+1&~ LEFT ( t GEQ 2 RIGHT )}}]

일 때, [eqn: t=3]에서의 점 [eqn: rmP]의 위치는?

① [eqn: {16} over {3}]	② [eqn: {17} over {3}]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: {19} over {3}]	⑤ [eqn: {20} over {3}]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 정적분 [eqn: int _{-2} ^{2} {LEFT | `f`' LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT | `dx}]의 값은?

④

주어진 삼차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프에서

[eqn: -2 LEQ x LEQ 1]일 때, [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) LEQ 0]

[eqn: 1 LEQ x LEQ 2]일 때, [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]

즉, [eqn: LEFT | `f` prime LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT | = {cases{-f` prime LEFT ( x RIGHT )&~ LEFT ( -2 LEQ x LEQ 1 RIGHT )#~f` prime LEFT ( x RIGHT )&~ LEFT ( 1 LEQ x LEQ 2 RIGHT )}}]

[eqn: THEREFORE ~ int _{-2} ^{2} {LEFT | `f` prime LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT | `dx}]

[eqn: = int _{-2} ^{1} {LEFT | `f` prime LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT | `dx+ int _{1} ^{2} {LEFT | `f`' LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT | `dx}}]

[eqn: = int _{-2} ^{1} {LEFT { ` pile{`#`} -f` prime LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT } `dx+ int _{1} ^{2} {f`' LEFT ( x RIGHT ) `dx}}]

[eqn: = LEFT { pile{`#`} -f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( -2 RIGHT ) RIGHT } + LEFT { pile{`#`} f LEFT ( 2 RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =f LEFT ( -2 RIGHT ) -2f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT )]

[eqn: =10-2 TIMES LEFT ( - {7} over {2} RIGHT ) +2=19]

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f`' LEFT ( -2 RIGHT ) =f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3 LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ~ int _{-2} ^{2} {LEFT | `f` prime LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT | `dx}]

[eqn: = int _{-2} ^{2} {LEFT | `3 LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) ` RIGHT | `dx}]

[eqn: = int _{-2} ^{1} {LEFT | `3 LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) ` RIGHT | `dx+ int _{1} ^{2} {LEFT | `3 LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) ` RIGHT | `dx}}]

[eqn: = int _{-2} ^{1} {LEFT { pile{`#`} `-3 LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) ` RIGHT } `dx+ int _{1} ^{2} pile{`#`} 3 LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) ` `dx}}]

[eqn: = int _{-2} ^{1} {LEFT ( -3x ^{2} -3x+6 RIGHT ) `dx+ int _{1} ^{2} {LEFT ( 3x ^{2} +3x-6 RIGHT ) `dx}}]

[eqn: LEFT. LEFT . = LEFT [ pile{`#`} -x ^{3} - {3} over {2} x ^{2} +6x pile{`#`} RIGHT ] _{-2} ^{1} + LEFT [ pile{`#`} x ^{3} + {3} over {2} x ^{2} -6x pile{`#`} RIGHT ] _{1} ^{2}]

[eqn: LEFT . = LEFT { {7} over {2} - LEFT ( -10 RIGHT ) RIGHT } + LEFT { 2- LEFT ( - {7} over {2} RIGHT ) RIGHT } =19 RIGHT .]

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]

③ [eqn: 18]	④ [eqn: 19]

⑤ [eqn: 20]

삼차함수 [eqn: y= f(x)]와 일차함수 [eqn: y= g(x)]의 그래프가 그림과 같고, [eqn: f`'(b) = f `'(d)=0]이다.

②

주어진 두 함수 [eqn: y= f(x)]와 [eqn: y= g(x)]의 그래프에서 두 함수 [eqn: f(x),] [eqn: g(x)]와 그 도함수의 값의 부호를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: f`'(x)]	[eqn: f(x)]	[eqn: g '(x)]	[eqn: g(x)]
[eqn: x< a]	[eqn: +]	[eqn: -]	[eqn: +]	[eqn: -]
[eqn: x=a]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: -]
[eqn: a<x< b]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: -]
[eqn: x=b]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: -]
[eqn: b<x<c]	[eqn: -]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: -]
[eqn: x=c]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]
[eqn: c<x<d]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: x=d]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: d<x<e]	[eqn: +]	[eqn: -]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: x=e]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: x> e]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]

[eqn: y' =f`'(x) g(x)+ f (x) g `'(x)]이므로 위의 표를 이용하여 [eqn: x]의 값의 범위에 따라 [eqn: y']의 값의 부호를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: f`'(x)][eqn: g (x)]	[eqn: f(x)][eqn: g `'(x)]	[eqn: y ']
[eqn: x< a]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: -]
[eqn: x=a]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: a<x< b]	[eqn: -]	[eqn: +]
[eqn: x=b]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: b<x<c]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: x=c]	[eqn: 0]	[eqn: 0]	[eqn: 0]
[eqn: c<x<d]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: -]
[eqn: x=d]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: -]
[eqn: d<x<e]	[eqn: +]	[eqn: -]
[eqn: x=e]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: x> e]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]

따라서 함수 [eqn: y= f(x) g(x)]는 [eqn: x=c]에서 극대이고 [eqn: a<x< b]와 [eqn: d<x<e]에서 극소이다.

따라서 [eqn: p<q]이므로 [eqn: a<p<b]이고 [eqn: d <q<e]이다.

함수 [eqn: y= f(x) g(x)]는 [eqn: x=p]와 [eqn: x= q]에서 극소이다. 다음 중 옳은 것은? (단, [eqn: p < q])

① [eqn: a < p< b]이고 [eqn: c<q< d]

② [eqn: a< p < b]이고 [eqn: d<q<e]

③ [eqn: b<p<c]이고 [eqn: c<q<d]

④ [eqn: b< p<c]이고 [eqn: d <q<e]

⑤ [eqn: c<p<d]이고 [eqn: d <q< e]

곡선 [eqn: y=-2x ^{2} +x-1]과 이 곡선 위의 두 점 [eqn: LEFT ( 0,~-1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,~-2 RIGHT )]에서의 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

②

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-2x ^{2} +x-1]이라 하면 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =-4x+1]

곡선 위의 점 [eqn: LEFT ( 0,~-1 RIGHT )]에서의 접선의 기울기는 [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =1]이므로 접선의 방정식은 [eqn: y=x-1]

곡선 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,~-2 RIGHT )]에서의 접선의 기울기는 [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =-3]이므로

접선의 방정식은 [eqn: y+2=-3 LEFT ( x-1 RIGHT )],

즉 [eqn: y=-3x+1]

두 직선 [eqn: y=x-1,~y=-3x+1]의 교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: x-1=-3x+1]에서 [eqn: 4x=2]	[eqn: THEREFORE ~x= {1} over {2}]

따라서 구하는 넓이는

[eqn: int _{0} ^{{1} over {2}} {left{ pile{`#`} LEFT ( x-1 RIGHT ) - LEFT ( -2x ^{2} +x-1 RIGHT ) pile{`#`} right}`dx}]

[eqn: + int _{{1} over {2}} ^{1} {left{ pile{`#`} LEFT ( -3x+1 RIGHT ) - LEFT ( -2x ^{2} +x-1 RIGHT ) pile{`#`} right}`dx}]

[eqn: = int _{0} ^{{1} over {2}} {2x ^{2} `dx+ int _{{1} over {2}} ^{1} {LEFT ( 2x ^{2} -4x+2 RIGHT ) `dx}}]

[eqn: = LEFT [ {2} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{{1} over {2}} + LEFT [ {2} over {3} x ^{3} -2x ^{2} +2x pile{`#`} RIGHT ] _{{1} over {2}} ^{1} = {1} over {12} + {1} over {12} = {1} over {6}]

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t] [eqn: LEFT ( t`ge`0 RIGHT )]에서의 위치 [eqn: x]가

①

점 [eqn: rmP]의 속도를 [eqn: v], 가속도를 [eqn: a]라 하면

[eqn: v= {dx} over {dt} =3t ^{2} +2at+b], [eqn: a= {dv} over {dt} =6t+2a]

[eqn: t=1]에서 점 [eqn: rmP]가 운동 방향을 바꾸므로 이때의 속도는 [eqn: 0]이다. 즉, [eqn: 3+2a+b=0]	[eqn: CDOTSCDOTS]㉠

[eqn: t=2]에서 점 [eqn: rmP]의 가속도는 [eqn: 0]이므로

[eqn: 12+2a=0]	[eqn: CDOTSCDOTS]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=-6], [eqn: b=9]

[eqn: therefore~a+b=3]

[eqn: x=t ^{3} +at ^{2} +bt] [eqn: LEFT ( a,~b는`상수 RIGHT )]

이다. 시각 [eqn: t=1]에서 점 [eqn: rmP]가 운동 방향을 바꾸고, 시각 [eqn: t=2]에서 점 [eqn: rmP]의 가속도는 [eqn: 0]이다. [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f left( 4over3 right)]의 값은?

③

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: 1<t<3]인 실수 [eqn: t]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [`1,~ t`]]에서 연속이고 열린구간 [eqn: (1,~t)]에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여

[eqn: {f(t)-f(1)} over {t-1} =f` prime (c_1 )]

인 [eqn: c_1]이 구간 [eqn: (1,~t)]에 존재한다.

또, 함수 [eqn: f(x)]는 닫힌구간 [eqn: [`t,~3`]]에서 연속이고 열린구간 [eqn: (t,~3)]에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여

[eqn: {f(3)-f(t)}over3-t =f`'(c_2 )]

인 [eqn: c_2]가 구간 [eqn: (t,~3)]에 존재한다.

조건 (가)에서 [eqn: f(1)=2,~ f(3)=8]이고, 조건 (나)에서 [eqn: f`'(x) le 3]이므로 [eqn: {f(t)-f(1)}overt-1 le 3]에서

[eqn: f(t)-f(1) le 3(t-1),~ f(t) le 3(t-1)+f(1)]

[eqn: therefore~ f(t) le 3t-1]	[eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: {f(3)-f(t)}over3-t le3]에서

[eqn: f(3)-f(t) le 3(3-t)], [eqn: f(t) ge -3(3-t)+f(3)]

[eqn: therefore~ f(t) ge 3t-1]	[eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: f(t)=3t-1] [eqn: (1 <t<3)]이므로

[eqn: f left( 4over3 right)= 3 times 4over3 -1=3]

(가) [eqn: f(1)=2,~ f(3)=8]

(나) [eqn: 1<x<3]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`'(x) le3]이다.

① [eqn: 7over3]	② [eqn: 8over3]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 10over3]	⑤ [eqn: 4]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여

③

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {` {f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{3} -2x ^{2}}} =1]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +bx+c] ([eqn: a,~b,~c]는 상수)라 하면

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2ax+b]

[eqn: lim _{x` -> `2} {` {f` prime LEFT ( x RIGHT )} over {x-2}} = lim _{x` -> `2} {` {3x ^{2} +2ax+b} over {x-2}} =2]에서 [eqn: x` -> `2]일 때 (분모)[eqn: ` -> `0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ` -> `0]이다.

즉, [eqn: lim _{x` -> `2} {` LEFT ( 2x ^{2} +2ax+b RIGHT )} =0]이므로 [eqn: 12+4a+b=0]

[eqn: THEREFORE ~b= it -4a-12]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2ax-4a-12= LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( 3x+2a+6 RIGHT )]이므로

[eqn: lim _{x` -> `2} {` {f`' LEFT ( x RIGHT )} over {x-2}}][eqn: = lim _{x` -> `2} {` {LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( 3x+2a+6 RIGHT )} over {x-2}}]
[eqn: = lim _{x` -> `2} {` LEFT ( 3x+2a+6 RIGHT )}]
[eqn: =6+2a+6=2]

[eqn: THEREFORE ~a= it -5]

[eqn: a= it -5]를 ㉠에 대입하면 [eqn: b=8]

[eqn: THEREFORE ~f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -5x ^{2} +8x+c]

따라서 구간 [eqn: LEFT [ 0,~1 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 평균변화율은

[eqn: {DELTA y} over {DELTA x} = {f LEFT ( 1 RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT )} over {1-0} = {1-5+8+c-c} over {1-0} =4]

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {` {f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{3} -2x ^{2}}} =1], [eqn: lim _{x` -> `2} {` {f`' LEFT ( x RIGHT )} over {x-2}} =2]

일 때, 구간 [eqn: LEFT [ 0,~1 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 평균변화율은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

오른쪽 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 3], 높이가 [eqn: 9]인 원뿔이 있다. 이 원뿔에 내접하는 원기둥 중 부피가 최대가 되는 원기둥의 밑면의 반지름의 길이는 [eqn: a]이고 그때의 부피는 [eqn: b]이다. [eqn: b over a]의 값은?

②

원뿔에 내접하는 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 [eqn: x (0<x<3)]라 하자. 원뿔의 꼭짓점과 밑면인 원의 중심을 지나는 평면으로 자른 단면은 다음 그림과 같다.

위와 같이 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE]를 잡으면 [eqn: bar{rmAB} =9], [eqn: bar{rmBC} =3], [eqn: bar{rmBE} =x]이고, 두 삼각형 [eqn: rmABC], [eqn: rmDEC]가 서로 닮음이므로

[eqn: bar{rmDE}``:``bar{rmEC} =bar{rmAB}``:``bar{rmBC} =3``:``1]에서 [eqn: bar{rmDE} =3bar{rmEC} = 3(3-x)]이다.

원기둥의 부피를 [eqn: V(x)]라 하면

[eqn: V(x) = pi x^2 times 3(3-x) =-3pi(x^3 -3x^2 )]

[eqn: V`'(x) = -3pi (3x^2 -6x ) = -9pix (x-2) =0]에서

[eqn: x=2][eqn: (because~0<x<3)]

[eqn: 0<x<3]에서 함수 [eqn: V(x)]는 [eqn: x=2]일 때 극대이며 최대이므로 [eqn: V(x)]의 최댓값은 [eqn: V(2)=12pi]이다.

따라서 [eqn: a=2], [eqn: b=12pi]이므로

[eqn: b over a =6pi]

① [eqn: 3 pi]	② [eqn: 6 pi]	③ [eqn: 9 pi]

④ [eqn: 12 pi]	⑤ [eqn: 15 pi]

[주관식]

함수 [eqn: f(x) = x^3 - kx^2 + 3kx + 2]이 극값을 갖지 않도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수를 구하시오.

[eqn: 10]

극값을 갖지 않으려면 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]이 근이 없거나 [eqn: 1]개이어야 한다.

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -2kx+3k]

[eqn: D/4=k ^{2} -9k`le0]

[eqn: therefore~0le`k`le9] 이므로 [eqn: 10]개

함수 [eqn: f(x) = x^2 - 3x + 5]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [1`,`3]]에서 평균값 정리를 만족시키는 실수 [eqn: c]의 값을 구하시오.

[eqn: 2]

[eqn: {f LEFT ( 3 RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {3-1} =f`' LEFT ( c RIGHT ) ~](단, [eqn: 1<c<3])

[eqn: {5-3} over {2} =1`]이므로

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =2x-3=1`]

[eqn: therefore~c=2]

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여

[eqn: 6]

[eqn: d over dx left { f(x) + g(x) right } = 2x+1]에서

[eqn: int left [ d over dx left { f(x) + g(x) right } right ] dx = int ( 2x+1) dx]

[eqn: therefore]　[eqn: f(x)+g(x) = x^2 + x + C_1]

[eqn: d over dx left { f(x) g(x) right } = 3x^2 + 2x + 2]에서

[eqn: int left [ d over dx left { f(x) g(x) right } right ] dx = int ( 3x^2 + 2x+ 2 ) dx]

[eqn: therefore] [eqn: f(x) g(x) = x^3 + x^2 + 2x + C_2]

이때 [eqn: f(0) = 2], [eqn: g(0) = 1]이므로

[eqn: f(0) + g(0) = 2 + 1 = C_1]   [eqn: therefore] [eqn: C_1 = 3]

[eqn: f(0) g(0) = 2 times 1 = C_2]   [eqn: therefore] [eqn: C_2 = 2]

[eqn: therefore] [eqn: f(x) + g(x) = x^2 +x + 3],
[eqn: f(x) g(x) = x^3 +x^2 + 2x + 2 = ( x+1) (x^2 + 2 )]

[eqn: therefore] [eqn: cases { ` f(x) = x^2 + 2 # ` g(x) = x+1 }] 또는 [eqn: cases { ` f(x) = x+1 # ` g(x) = x^2 + 2 }]

그런데 [eqn: f(0) = 2], [eqn: g(0) = 1]이므로

[eqn: f(x) = x^2 + 2], [eqn: g(x) = x+1]

[eqn: therefore] [eqn: f(1) + g(2) = 3 + 3 = 6]

[eqn: d over dx left { f(x) +g(x) right } = 2x+1],

[eqn: d over dx left { f(x) g(x) right } = 3x^2 + 2x + 2]

이고 [eqn: f(0) = 2], [eqn: g(0) = 1]일 때, [eqn: f(1) + g(2)]의 값을 구하시오.

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여

[eqn: 13]

[eqn: int _{0} ^{1} {tf LEFT ( t RIGHT ) `dt=k}] ([eqn: k]는 상수)로 놓으면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x+k]

[eqn: THEREFORE ~ int _{0} ^{1} {tf LEFT ( t RIGHT ) `dt}][eqn: = int _{0} ^{1} {t LEFT ( 2t+k RIGHT ) `dt= int _{0} ^{1} {LEFT ( 2t ^{2} +kt RIGHT ) `dt}}]
[eqn: LEFT . = LEFT [ pile{`#`} {2} over {3} t ^{3} + {k} over {2} t ^{2} pile{`#`} RIGHT ] _{0} ^{1} = {2} over {3} + {k} over {2}]

즉, [eqn: {2} over {3} + {k} over {2} =k]이므로 [eqn: {k} over {2} = {2} over {3}]	[eqn: THEREFORE ~k= {4} over {3}]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x+ {4} over {3}]이므로

[eqn: int _{0} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}][eqn: = int _{0} ^{3} {LEFT . LEFT ( 2x+ {4} over {3} RIGHT ) `dx= LEFT [ x ^{2} + {4} over {3} x pile{`#`} RIGHT ] _{0} ^{3}]
[eqn: =13-0=13]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x+ int _{0} ^{1} {tf LEFT ( t RIGHT ) `dt}]

가 성립할 때, 정적분 [eqn: int _{0} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}]의 값을 구하시오.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +2x+k]에 대하여

[eqn: -2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +2x+k]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 한 부정적분을 [eqn: F` LEFT ( x RIGHT )]라 하면

[eqn: lim _{h` -> `0} {` {1} over {h} int _{1-2h} ^{1+h} {f LEFT ( t RIGHT ) `dt}}]

[eqn: = lim _{h` -> `0} {{1} over {h} ` LEFT [ pile{`#`} F` LEFT ( t RIGHT ) RIGHT ] _{1-2h} ^{1+h}}]

[eqn: = lim _{h` -> `0} {{F` LEFT ( 1+h RIGHT ) -F` LEFT ( 1-2h RIGHT )} over {h}}]

[eqn: = lim _{h` -> `0} {{F` LEFT ( 1+h RIGHT ) -F` LEFT ( 1 RIGHT ) +F` LEFT ( 1 RIGHT ) -F` LEFT ( 1-2h RIGHT )} over {h}}]

[eqn: = lim _{h` -> `0} {{F` LEFT ( 1+h RIGHT ) -F` LEFT ( 1 RIGHT )} over {h} + lim _{h`-> `0} {{F` LEFT ( 1-2h RIGHT ) -F` LEFT ( 1 RIGHT )} over {-2h}} TIMES 2}]

[eqn: =F``' LEFT ( 1 RIGHT ) +2F``' LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: =3F``' LEFT ( 1 RIGHT ) =3f LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: =3 TIMES LEFT ( 3+k RIGHT ) =9+3k]

즉, [eqn: 9+3k=3]이므로 [eqn: 3k=-6]

[eqn: THEREFORE ~k=-2]

[eqn: lim _{h` -> `0} {` {1} over {h} int _{1-2h} ^{1+h} {f LEFT ( t RIGHT ) `dt=3}}]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.