25년 내신대비	미적분	수열의 극한

경기남부지역	- -	분당기출모임

1.

수열의 극한

수열의 극한(step1)

1.

수열의 극한에 대한 기본성질

태원고/2023년/P1/D

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: lim _{n rarrow INF } {(3a _{n} -1)=5}], [eqn: lim _{n rarrow INF } {} (2a _{n} `+3b _{n} )=7]일 때, [eqn: lim _{n rarrow INF } {} (b _{n} +5)]의 값은? [3점]

②

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( 3a _{n} -1 RIGHT )} =5`]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} = alpha `]에 수렴한다고 하면

[eqn: 3 alpha -1=5`]에서 [eqn: alpha =2`]

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( 2a _{n} +3b _{n} RIGHT )} =7`]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n}} = beta `]에 수렴한다고 하면

[eqn: 2 alpha +3 beta =4+3 beta =7`]에서 [eqn: beta =1`]

따라서

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( b _{n} +5 RIGHT )}][eqn: = beta +5][eqn: =1+5][eqn: =6]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

송림고/2023년(이)/P1/D

두 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }], [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{ n->inf} (2a_n +3)=9],
[eqn: lim _{ n ->inf} (3a_n -2b_n )=5}]일 때, [eqn: lim _{n rarrow INF } {} (b _{n} -1)]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

②

[eqn: lim _{ n->inf} (2a_n +3)=9]에서 [eqn: lim _{n rarrow INF } {} a _{n} =3]이므로,

[eqn: lim _{n rarrow INF } {} b _{n} = {1} over {2} lim _{n rarrow INF } {} LEFT { 3a _{n} - LEFT ( 3a _{n} -2b _{n} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = {9-5} over {2}]

[eqn: =2]

태원고/2023년/P1/D

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: lim _{n rarrow INF } {a _{n} =p}], [eqn: lim _{n rarrow INF } {} LEFT { (-1)^n (2a _{n} `+3) RIGHT } =q]일 때, [eqn: lim _{n rarrow INF } {} (8pa _{n} +q)]의 값은? (단, [eqn: p`]와 [eqn: q]는 상수이다.) [3.5점]

①

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =p`]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{2n-1}} = lim _{n -> INF } {a _{2n}} =p]

[eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} LEFT ( 2a _{n} +3 RIGHT ) =b _{n} `]이라 하면 [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n}} =q`]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {b _{2n-1}} = lim _{n -> INF } {b _{2n}} =q]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

이때

[eqn: lim _{n -> INF } {b _{2n-1}}][eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT { LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2n-1} LEFT ( 2a _{2n-1} +3 RIGHT ) RIGHT }}][eqn: =- LEFT ( 2p+3 RIGHT )],

[eqn: lim _{n -> INF } {b _{2n}}][eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT { LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2n} LEFT ( 2a _{2n} +3 RIGHT ) RIGHT }}][eqn: =2p+3]

이고 ㉠에서 [eqn: - LEFT ( 2p+3 RIGHT ) =2p+3=q`]이므로

[eqn: p=- {3} over {2}], [eqn: q=0]

따라서

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( 8pa _{n} +q RIGHT )}][eqn: =8p ^{2} +q][eqn: =8 TIMES {9} over {4} +0][eqn: =18]

① [eqn: 18]	② [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 26]

[eqn: inf over inf]꼴의 극한

돌마고/2023년/P1/D

다음 수열의 극한값은? [4.0점]
[eqn: 1 over4 ,~ 2 over5 ,~ 3 over6 ,~ 4 over7 , ~cdots ,~ n overn+3 ,~cdots]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1 over6]	③ [eqn: 1 over4]
④ [eqn: 1 over2]	⑤ [eqn: 1]

⑤

[eqn: a_n = n overn+3`]이므로 [eqn: lim _{ n->inf} { } n overn+3 =1]

보라고/2023년/P1/D

[eqn: lim _{ n->inf} { } {3n^2 +1} over{n^2 +2n-4}`]의 값은? [3.7점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

③

[eqn: lim _{ n->inf} { } {3n^2 +1} over{n^2 +2n-4}` = lim _{ n->inf} { }{3+ 1 overn^2} over{1+ 2 overn - 4 overn^2 } =3]

한솔고/2023년/P1/D

[eqn: lim _{n`rarrow` INF} {{4n ^{2} -2n+1} over {2n ^{2} +3n-2}}]의 값은? ([eqn: 2.5]점)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

②

풀이) [eqn: lim _{n`rarrow` INF} {{4n ^{2} -2n+1} over {2n ^{2} +3n-2}} = lim _{n`rarrow` INF} {{4 -{2 over n ^{2}}+{1 over n ^{2}}} over {2 +{3 over n ^{2}}-{2 over n ^{2}}}} = 4over 2 = 2]

분당중앙고/2023년(이)/P1/D

[eqn: lim _{ n ->inf} {3n^2 +n }over{n^2 -3]의 값은? [3.4점]

③

[eqn: lim _{ n ->inf} {3n^2 +n }over{n^2 -3][eqn: =lim _{n rarrow INF } {} {3 + 1overn} over {1 - 3overn ^{2}}][eqn: =3] (∵[eqn: lim _{n rarrow INF } {{1} over {n}} =0,~ lim _{n rarrow INF } {{1} over {n ^{2}}} =0])

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수내고/2023년/P1/D

[eqn: lim _{n rarrow INF } {{1+2+3+ CDOTS +n} over {(2n+1)(3n+2)}}``]의 값은? [3.5점]

①

[eqn: lim _{n -> INF } {{1+2+3+ CDOTS +n} over {(2n+1)(3n+2)}} `=`lim _{n -> INF } {1over2`n(n+1)} over {(2n+1)(3n+2)}} ``]

[eqn: =`{1over2}over6 `=` 1over12 ``]이다.

① [eqn: {1} over {12}``]	② [eqn: {1} over {6}``]	③ [eqn: 1 over 3``]

④ [eqn: {1} over {2}``]	⑤ [eqn: 1``]

[eqn: inf over inf]꼴의 극한: 부등식

한솔고/2023년/P1/D

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

②

풀이)

[eqn: {1} over {sqrt {n+2} + sqrt {n+3}} <a _{n} < {1} over {sqrt {n+1} + sqrt {n+2}}] 식을 유리화하면

[eqn: sqrt {n+3} - sqrt {n+2} <a _{n} < sqrt {n+2} - sqrt {n+1}]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} sqrt {n+3} - sqrt {n+2} < sum _{k=1} ^{n} a _{k} < sum _{k=1} ^{n} sqrt {n+2} - sqrt {n+1}]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} left(sqrt {n+2} - sqrt {n+1} right)]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} ( sqrt {3} - sqrt {2} )+( sqrt {4} - sqrt {3} ) CDOTS ( sqrt {n+2} - sqrt {n+1} )]

[eqn: = ( sqrt {n+2} - sqrt {2} )] 이고,

[eqn: sum _{k=1} ^{n} left(sqrt {n+3} - sqrt {n+2} right)]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} ( sqrt {4} - sqrt {3} )+( sqrt {5} - sqrt {4} ) CDOTS ( sqrt {n+3} - sqrt {n+2} )]

[eqn: =( sqrt {n+3} - sqrt {3} )] 이므로

[eqn: ( sqrt {n+3} - sqrt {3} )< sum _{k=1} ^{n} a _{k} <( sqrt {n+2} - sqrt {2} )]

[eqn: lim _{n` rarrow ` INF } {} {( sqrt {n+2} - sqrt {2} )} over {sqrt {4n+1}} le lim _{n` rarrow ` INF } {{sum _{k=1} ^{n} a _{k}} over {sqrt {4n+1}}} le lim _{n` rarrow ` INF } {} {( sqrt {n+2} - sqrt {2} )} over {sqrt {4n+1}}]

[eqn: {1} over {2} le lim _{n` rarrow ` INF } {{sum _{k=1} ^{n} a _{k}} over {sqrt {4n+1}}} le {1} over {2}] 이므로 [eqn: {1} over {2}] 이다.

[eqn: {1} over {sqrt {n+2} + sqrt {n+3}} <a _{n} < {1} over {sqrt {n+1} + sqrt {n+2}}]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n`rarrow` INF} {{sum _{k=1} ^{n} a _{k}} over {sqrt {4n+1}}}]의 값은? ([eqn: 2.7]점)

① [eqn: 1]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {3}]
④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {5}]

[eqn: inf over inf]꼴의 극한:미정계수

불곡고/2023년/P1/D

[eqn: lim _{ n-> inf} { }{(a+1)n^2 +bn-1} over3n+1 =2`]가 성립할 때, 상수 [eqn: a,~b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은? [4.3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

⑤

[eqn: lim _{ n-> inf} { }{(a+1)n^2 +bn-1} over3n+1 =2`]

[eqn: a!=-1`]이면 발산하므로 [eqn: a=-1]

[eqn: lim _{ n-> inf} { }{bn-1} over3n+1 = lim _{ n-> inf} { }{b- 1 overn} over{3+ 1 overn} = b over3 =2]

[eqn: therefore] [eqn: b=6]

[eqn: therefore] [eqn: a+b=5]

[eqn: inf - inf]꼴의 극한

위례고/2023년/P1/D

[eqn: lim _{ n->inf} {(root{n^2 +4n } -n})]의 값은? [eqn: [3.8점]]

①

[eqn: lim _{ n->inf} { 4n over {root{ n^2 +4n } +n}}=2]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

일반항을 포함한 식의 극한값

태전고/2023년/Q1/D

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{ n->inf} {n a _n =2]일 때, [eqn: lim _{ n->inf} { (2n -2 )a_n}]의 값은? [eqn: [4.7점]]

②

[eqn: lim _{ n->inf} {n a _n =2]이므로 [eqn: lim _{ n->inf} { a_n =0]

[eqn: lim _{ n->inf} {2n a_n } - lim _{ n->0} { 2a_n}=4]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

등비수열의 극한

돌마고/2023년/P1/D

[eqn: lim _{ n-> inf} { }{ 5^n+1 + 4^n+2} over{5^n + 3^n+2} `]의 값은? [4.0점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 5 over9]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 16]

④

[eqn: lim _{ n-> inf} { }{ 5^n+1 + 4^n+2} over{5^n + 3^n+2} ` = lim _{ n-> inf} { } {5+ 16 times left(4 over5 right)^n } over{1+ 9 times left( 3 over5 right)^n }= 5]

등비수열의 수렴조건

보라고/2023년/P1/D

등비수열 [eqn: left{ left( x+5 over3 right)^n right}]이 수렴하도록 하는 정수 [eqn: x`]의 개수는? [3.8점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

①

[eqn: -1 < x+5 over3 le 1]이므로

[eqn: -8< x le -2]

만족하는 정수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 6`]개

수내고/2023년/P1/D

다음 수열이 수렴하기 위한 모든 정수 [eqn: x``]의 합은? [3.8점]

④

[eqn: x-2`=`0``] 또는 [eqn: -1 < x+4 le 1``]이므로

정수 [eqn: x`=`2`,`-3`,`-4``]이다.

따라서 수열이 수렴하기 위한 모든 정수 [eqn: x``]의 합은 [eqn: -5``]이다.

[eqn: x-2`,`] [eqn: (x-2)(x+4)`,`] [eqn: (x-2)(x+4) ^{2} `,`] [eqn: cdots`,`]

[eqn: (x-2)(x+4) ^{n-1} `,`] [eqn: cdots``]

① [eqn: -11``]	② [eqn: -9``]	③ [eqn: -7``]

④ [eqn: -5``]	⑤ [eqn: -3``]

수내고/2023년/P1/D

등비수열 [eqn: left { r^n right}``]이 수렴할 때, <보기>의 수열 중 항상 수렴하는 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.1점]

④

등비수열 [eqn: left { r^n right}``]이 수렴하므로 [eqn: -1 < r le 1 ``]이다.

ㄱ. [eqn: 1overr ge 1``] 또는 [eqn: 1overr < -1 ``]이므로 발산한다.

ㄴ. [eqn: -1 < {r-1} over 2 le 0``]이므로 수렴한다.

ㄷ. [eqn: - 1over2 le r ^{2} - {1} over {2} le 1over2 ``]이므로 수렴한다.

따라서 수렴하는 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: LEFT { LEFT ( {1} over {r} RIGHT ) ^{n} RIGHT }``] (단, [eqn: r` != 0``] )

ㄴ. [eqn: left { left ( {r-1} over 2 right) ^n right}``]

ㄷ. [eqn: LEFT { LEFT ( r ^{2} - {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }``]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열의 극한(step2)

1.

수열의 수렴과 발산

위례고/2023년/P1/C

수열에 대한 설명으로 옳은 것은? [eqn: [4.4 점]]

③

① [eqn: LEFT { sinn pi RIGHT } `:``0,~0,~0,~0,~ CDOTS] 이므로 [eqn: 0]에 수렴 (거짓)

② [eqn: LEFT { cosn pi RIGHT } `:``-1,~1,~-1,~1,~ CDOTS] 로 진동하므로 발산 (거짓)

④ 반례) [eqn: (-1)^n over n]은 [eqn: 0]으로 수렴 (거짓)

⑤ 반례) [eqn: LEFT { n`cosn pi RIGHT } `:``-1,~2,~-3,~4,~ CDOTS] 로 일정하지 않다. (거짓)

① 수열 [eqn: LEFT { sin n pi RIGHT }]는 발산한다.

② 수열 [eqn: LEFT { cos n pi RIGHT }]는 수렴한다.

③ 두 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]과 [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]이 수렴하면 [eqn: LEFT { a_n b_n RIGHT }]도 수렴한다.

④ 양수와 음수가 교대로 반복되어 나타나면 항상 진동하는 수열이다.

⑤ 진동하는 수열의 각 항은 항상 일정한 값이 교대로 반복되어 나타난다.

태전고/2023년/Q3/C

수렴하는 수열만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4.9]점]

①

ㄱ. [eqn: lim _{ n->inf} { } LEFT { log LEFT ( 1 + 1 over n RIGHT ) RIGHT }][eqn: =0]

ㄴ. 진동

ㄷ. 발산

ㄹ. 진동

[보 기]

ㄱ. [eqn: LEFT { log LEFT ( 1 + 1 over n RIGHT ) RIGHT }]	ㄴ. [eqn: LEFT { sin n pi RIGHT }]

ㄷ. [eqn: LEFT { (-2)^n RIGHT }]	ㄹ. [eqn: LEFT { 1+(-1)^n RIGHT }]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄹ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄹ

[eqn: inf over inf]꼴의 극한

송림고/2023년(이)/P1/C

자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y=x^2]과 직선 [eqn: y=sqrt2 x +n] 이 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA_{itn} ,~B_{itn}]이라 하자. 선분 [eqn: rmA_{itn}B_{itn}]의 길이를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: lim _{ n ->inf} { sqrt6n+1}overa_n]의 값은?

① [eqn: sqrt6 over12]	② [eqn: sqrt2 over3]	③ [eqn: sqrt6 over4]
④ [eqn: sqrt2 over2]	⑤ [eqn: sqrt2]

④

곡선 [eqn: y=x^2]과 직선 [eqn: y=sqrt2 x +n]이 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha,~beta]라 하면, [eqn: x^2 -sqrt2 x-n=0]의 두 근이 [eqn: alpha,~beta]이다. 따라서 [eqn: LEFT | alpha-betaRIGHT | ={sqrt2+4n}over2]이므로 [eqn: a _{n} = {sqrt {3} sqrt {2+4n}} over {2} = { sqrt {12n+6}} over {2}]이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {} {sqrt {6n+1}} over {a _{n}} = lim _{n -> INF } {} {2 sqrt {6n+1}} over {sqrt {12n+6}}][eqn: = sqrt2]

[eqn: inf - inf]꼴의 극한

이매고/2023년/P1/C

두 상수 [eqn: a,~b`]에 대하여 [eqn: lim _{ n-> inf} { } (root{9n^2 +4n }-an ) =b`]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? [4.6점]

① [eqn: 7 over3]	② [eqn: 8 over3]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 10 over3]	⑤ [eqn: 11 over3]

⑤

[eqn: lim _{ n-> inf} { } (root{9n^2 +4n }-an ) =b`]이므로 [eqn: a>0`]

[eqn: lim _{ n-> inf} { } (root{9n^2 +4n }-an ) = lim _{ n-> inf} { }{(9-a^2 )n^2 +4n} over{ root{9n^2 +4n} +an]

[eqn: = lim _{ n-> inf} { }{(9-a^2 )n +4} over{ root{9 + 4 overn} +a }]

[eqn: 9-a^2 =0]이고 [eqn: a>0`]이므로 [eqn: a=3]

[eqn: lim _{ n-> inf} { }{(9-a^2 )n +4} over{ root{9 + 4 overn} +a } = lim _{ n-> inf} { }{4} over{ root{9 + 4 overn} +3 } = 2 over3]

[eqn: b= 2 over3]

[eqn: therefore] [eqn: a+b = 11 over3]

보라고/2023년/P1/C

양수 [eqn: a`]와 실수 [eqn: b`]에 대하여 [eqn: lim _{ n->inf} { }(root{an^2 +n } -bn) = 1 over4`]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? [4.5점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

②

[eqn: b le0`]이면 [eqn: lim _{ n->inf} { }(root{an^2 +n } -bn) = inf`]이므로 [eqn: b>0]

[eqn: lim _{ n->inf} { }(root{an^2 +n } -bn) = lim _{ n->inf} { }{(a-b^2 )n^2 +n} over {root{an^2 +n } +bn} = 1 over4]

[eqn: a-b^2 =0]	[eqn: cdots①]

[eqn: lim _{ n->inf} { }{n} over {root{b^2 n^2 +n } +bn} = lim _{ n->inf} { } {1} over{ root{b^2 + 1 overn } +b } = 1 over2b = 1 over4]

[eqn: b=2,~a=4]

[eqn: therefore] [eqn: a+b=6]

일반항을 포함한 식의 극한값

이매고/2023년/P1/C

수렴하는 수열 [eqn: left{a_n right}`]에 대하여
[eqn: lim _{ n-> inf} { } a_2n + 3 `lim _{ n-> inf} { } left( a_n over2 +1 right) =8`]
일 때, [eqn: lim _{ n->inf} { }a_n`]의 값은? [4.4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 5 over2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 7 over2]	⑤ [eqn: 4]

①

[eqn: lim _{ n->inf} { } a_n =alpha`]라 하면 [eqn: lim _{ n-> inf} { }a_2n =alpha ,~ lim _{ n->inf}{} left( a_n over2 +1 right)= alpha over2 +1]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ n-> inf} { } a_2n + 3 `lim _{ n-> inf} { } left( a_n over2 +1 right) = alpha + 3 over2 alpha +3 = 5 over2 alpha+3 =8]

[eqn: therefore] [eqn: alpha =2]

이매고/2023년/P1/C

수렴하는 수열 [eqn: left{a_n right}`]에 대하여
[eqn: lim _{ n-> inf} { } left{(-1)^n (2a_n -k) right} + lim _{ n-> inf} { }a_2n+1 =3]
일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? [4.7점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

②

[eqn: lim _{ n->inf} { } a_n =alpha`]라 하면 [eqn: lim _{ n->inf} { }a_2n+1 =alpha]

[eqn: lim _{ n-> inf} { } left{(-1)^n (2a_n -k) right} `]가 수렴하려면

[eqn: lim _{ n-> inf} { }(2a_n -k)=2alpha-k=0]	[eqn: therefore] [eqn: k=2alpha]

[eqn: lim _{ n-> inf} { } left{(-1)^n (2a_n -k) right} + lim _{ n-> inf} { }a_2n+1 =0+alpha=3]

[eqn: therefore] [eqn: k=6]

한솔고/2023년/P1/C

일반항이 [eqn: a _{n} = {(-1) ^{n} +3} over {2}], [eqn: b _{n} =p TIMES(-1) ^{n+1} +q]인 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,`` LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: LEFT { a _{n} +b _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { a _{n} b _{n} RIGHT }]이 모두 수렴할 때, [eqn: lim _{n`rarrow` INF} {LEFT { (a _{n} ) ^{2} +(b _{n} ) ^{2} RIGHT }}]의 값은? (단, [eqn: p,``q]는 실수이다.) ([eqn: 3.5]점)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

⑤

풀이)

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }] 은 [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: 1] 이고, 짝수일 때 [eqn: 2] 이다.

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }] 은 [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: p+q] 이고, 짝수일 때 [eqn: -p+q] 이다.

[eqn: LEFT { a _{n} +b _{n} RIGHT }]은 [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: p+q +1] 이고, 짝수일 때 [eqn: -p+q +2] 이다.

[eqn: LEFT { a _{n} b _{n} RIGHT }]은 [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: p+q] 이고, 짝수일 때 [eqn: -2p+2q] 이다.

모두 수렴하므로 [eqn: p+q +1=-p+q +2], [eqn: THEREFORE ~ p = 1over 2]

[eqn: p+q = -2p + 2 q] 에서 [eqn: 3p = q]이므로 [eqn: THEREFORE ~ q = 3over 2]이다.

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }] 은 [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: 1] 이고, 짝수일 때 [eqn: 2] 이고,

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }] 은 [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: 2] 이고, 짝수일 때 [eqn: 1] 이므로

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ^2] 은 [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: 1] 이고, 짝수일 때 [eqn: 4] 이고,

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } ^2] 은 [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: 4]이고, 짝수일 때 [eqn: 1] 이므로

[eqn: lim _{n` rarrow ` INF } {LEFT { (a _{n} ) ^{2} +(b _{n} ) ^{2} RIGHT }} = lim _{n` rarrow ` INF } left{{LEFT (a _{n} +b _{n} right) ^{2} - 2 a_n b_n right}=5]이다.

한솔고/2023년/P1/C

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{n`rarrow` INF} {a _{n} =p,`` lim _{n`rarrow` INF} {LEFT { (-1) ^{n} (2a _{n} +3) RIGHT } =q}}]일 때, [eqn: lim _{n`rarrow` INF} {(8pa _{n} +q)}]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 수열의 극한에 대한 기본 성질을 사용하여 자세히 논술하시오. (단, [eqn: p,``q]는 상수이다.) ([eqn: 10.0]점)

[eqn: 18]

풀이)

[eqn: lim _{n`-> INF } {a _{n} =p}]이므로

[eqn: lim _{n`-> INF } {a _{2n-1} = lim _{n`-> INF } {a _{2n} =p}}]

[eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} LEFT ( 2a _{n} +3 RIGHT ) =b _{n}]이라 하면

[eqn: lim _{n`-> INF } {b _{n} =q}]이므로

[eqn: lim _{n`-> INF } {b _{2n-1} = lim _{n`-> INF } {b _{2n} =q}}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

이때

[eqn: lim _{n`-> INF } {b _{2n-1}][eqn: = lim _{n`-> INF } {LEFT { LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2n-1} LEFT ( 2a _{2n-1} +3 RIGHT ) RIGHT }}}]
[eqn: = lim _{n`-> INF } {LEFT ( -2a _{2n-1} -3 RIGHT )}]
[eqn: =-2p-3],

[eqn: lim _{n`-> INF } {b _{2n}][eqn: = lim _{n`-> INF } {LEFT { LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2n} LEFT ( 2a _{2n} +3 RIGHT ) RIGHT }}}]
[eqn: = lim _{n`-> INF } {LEFT ( 2a _{2n} +3 RIGHT )}]
[eqn: =2p+3]

이고, ㉠에서 [eqn: -2p-3=2p+3=q]이므로

[eqn: p=- {3} over {2}], [eqn: q=0]

따라서

[eqn: lim _{n`-> INF } {LEFT ( 8pa _{n} +q RIGHT )][eqn: = lim _{n` -> INF } {LEFT ( -12a _{n} RIGHT )}]
[eqn: =-12 lim _{n` -> INF } {a _{n}}]
[eqn: =-12 TIMES LEFT ( - {3} over {2} RIGHT ) =18]

보평고/2023년/P1/C

수열 [eqn: left{a_n right}`]에 대하여 [eqn: x`]에 대한 이차방정식
[eqn: x^2 -2(5n+1)x+a_n =0`]은 실근을 갖고 [eqn: x`]에 대한 이차방정식
[eqn: x^2 -10n x +a_n =0`]은 허근을 갖는다. 수열 [eqn: left{b_n right}`]에 대하여
[eqn: lim _{ n->inf} { } a_n overb_n =3`]일 때, [eqn: lim _{ n-> inf} { }{4a_n +5b_n} over{a_n +b_n } `]의 값은?
(단, [eqn: b_n !=0], [eqn: a_n +b_n !=0]이다.) [4.8점]

① [eqn: 13 over4]	② [eqn: 15 over4]	③ [eqn: 17 over4]
④ [eqn: 19 over4]	⑤ [eqn: 21 over4]

③

[eqn: x^2 -2(5n+1)x+a_n =0`]이 실근을 가지므로

[eqn: D/4=(5n+1)^2 -a_n ge0]

[eqn: a_n le 25n^2 +10n+1]	[eqn: cdots①]

[eqn: x^2 -10n x +a_n =0`]이 허근을 가지므로

[eqn: D/4 =25n^2 -a_n <0]

[eqn: 25n^2 <a_n]	[eqn: cdots②]

[eqn: ①,~②]에 의해

[eqn: 25n ^{2} <a _{n} LEQ 25n ^{2} +10n+1]

[eqn: lim _{ n->inf} { }a_n =inf], [eqn: lim _{ n->inf} { } a_n overb_n =3`]이므로

[eqn: lim _{ n-> inf} { }{4a_n +5b_n} over{a_n +b_n } ` = lim _{ n->inf} { }{4times a_n overb_n +5} over { a_n overb_n +1} = 17 over4]

불곡고/2023년/P1/C

수렴하는 수열 [eqn: left{a_n right}`]에 대하여 이차방정식
[eqn: x^2 -a_n x -1-a_2n-1 =0`]이 중근을 가질 때, [eqn: lim _{ n->inf} { } 1 over{a_2n} `]의 값은?
(단, [eqn: a_n !=0]) [4.6점]

① [eqn: - 1 over2]	② [eqn: - 1 over3]	③ [eqn: - 1 over4]
④ [eqn: - 1 over5]	⑤ [eqn: - 1 over6]

①

[eqn: lim _{ n-> inf} { }a_n = alpha`]이면 [eqn: lim _{ n-> inf} { }a_2n-1 = lim _{ n-> inf} { }a_2n = alpha]

[eqn: x^2 -a_n x -1-a_2n-1 =0`]이 중근을 가지므로

[eqn: D=`a _{n} ^{``2} +4+4`a _{2n-1} =0]

[eqn: lim _{ n-inf} { }(a_n^{``2} +4+4a_2n-1 ) = alpha^2 +4+4alpha=0]

[eqn: therefore] [eqn: alpha=-2]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{n -> INF } {} {1} over {a _{2n}} = {1} over {alpha } =- {1} over {2}]

부등식으로 나타낸 수열의 극한값

돌마고/2023년/P1/C

다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(1)]의 값은? [4.8점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 19 over2]	③ [eqn: 27 over2]
④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 41 over2]

③

(가)에서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: 3n^3 +4n^2 +2n+3 le f(n) le 3n^3 +4n^2 +2n+5`]

[eqn: f(x)= 3x^3 +4x^2 +2x+a`]라 하면

[eqn: lim _{ n-> inf} { } f left( 1 overn right) = lim _{ n->inf} { } left( 3 overn^3 + 4 overn^2 + 2 overn +a right)= a= 9 over2]

[eqn: f(x)= 3x^3 +4x^2 +2x+ 9 over2]

[eqn: therefore] [eqn: f(1)= 3+4+2+ 9 over2 = 27 over2]

(가) 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: 3n^3 +4n^2 +2n+3 le f(n) le 3n^3 +4n^2 +2n+5`]이다.

(나) [eqn: lim _{ n-> inf} { } f left( 1 overn right) = 9 over2]

불곡고/2023년/P1/C

수열 [eqn: left{a_n right} `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 부등식
[eqn: 2n^2 +1 < na_n < 2n^2 +3`]을 만족시킬 때, [eqn: lim _{ n-> inf} { }{a_2n} over n `]의 값은?
[4.4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

④

[eqn: 2n^2 +1 < na_n < 2n^2 +3`]이므로

[eqn: 2times(2n)^2 +1 < 2n timesa_2n < 2 times(2n)^2 +3]

[eqn: {8n^2 +1} over2n < a_2n < {8n^2 +3} over2n]

[eqn: {8n^2 +1} over2n^2 < a_2n overn < {8n^2 +3} over2n^2]

[eqn: lim _{ n->inf} { }{8n^2 +1} over 2n^2 =4,~lim _{ n->inf} { }{8n^2 +3} over 2n^2 =4]이므로

[eqn: lim _{ n->inf} { }{a_2n} overn =4]

보라고/2023년/P1/C

수열 [eqn: left{a_n right}`]에 대하여 곡선 [eqn: y=2x^2 -(n+1)x+a_n`]은 [eqn: x`]축과 만나고, 곡선 [eqn: y=2x^2 -nx+a_n`]은 [eqn: x`]축과 만나지 않는다.
[eqn: lim _{ n->inf} { }{a_n} over{n^2 +n-1} `]의 값은? [4.5점]

① [eqn: - 3 over8]	② [eqn: - 1 over8]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1 over8]	⑤ [eqn: 3 over8]

④

곡선 [eqn: y=2x^2 -(n+1)x+a_n`]은 [eqn: x`]축과 만나므로
[eqn: D=(n+1)^2 -8a_n ge0]

[eqn: a_n le {n^2 +2n +1} over8]	[eqn: cdots①]
곡선 [eqn: y=2x^2 -nx+a_n`]은 [eqn: x`]축과 만나지 않으므로

[eqn: D= n^2 -8a_n <0]

[eqn: a_n > n^2 over8]	[eqn: cdots②]

[eqn: ①,~②]에 의해

[eqn: n^2 over8 < a_n < {n^2 +2n+1} over8]

[eqn: n^2 over{8(n^2 +n-1)} < a_n over{(n^2 +n-1)} < {n^2 +2n+1} over{8(n^2 +n-1)}]

[eqn: lim _{ n-> inf} { } n^2 over{8(n^2 +n-1)} le lim _{ n->inf} { } a_n over{(n^2 +n-1)} le lim _{ n->inf} { } {n^2 +2n+1} over{8(n^2 +n-1)}]

[eqn: lim _{ n-> inf} { } n^2 over{8(n^2 +n-1)} = 1 over8],

[eqn: lim _{ n->inf} { } {n^2 +2n+1} over{8(n^2 +n-1)} = 1 over8],

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ n->inf} { }{a_n} over{n^2 +n-1} ` = 1 over8]

태원고/2023년/P1/C

[eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( {1} over {n ^{2} +1} + {2} over {n ^{2} +2} +` CDOTS `+ {n} over {n ^{2} +n} RIGHT ) `]의 값은? [3.5점]

⑤

[eqn: 1LEQ k LEQ n`]에서 [eqn: {k} over {n ^{2} +n} LEQ {k} over {n ^{2} +k} LEQ {k} over {n ^{2}} `]이므로

[eqn: lim _{n` -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} {k} over {n ^{2} +n} LEQ lim _{n` -> INF } {}sum _{k=1} ^{n} {k} over {n ^{2} +k} LEQ lim _{n` -> INF } {}sum _{k=1} ^{n} {k} over {n ^{2}} `]

이 성립한다.

(ⅰ) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {k} over {n ^{2} +n} = {1} over {n ^{2} +n} TIMES sum _{k=1} ^{n} k= {1} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )} TIMES {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} = {1} over {2} `]이므로

[eqn: lim _{n` -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} {k} over {n ^{2} +n} = {1} over {2}]

(ⅱ) [eqn: sum _{k=1} ^{n} {k} over {n ^{2}} = {1} over {n ^{2}} TIMES sum _{k=1} ^{n} k= {1} over {n ^{2}} TIMES {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} = {n+1} over {2n} `]이므로

[eqn: lim _{n` -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} {k} over {n ^{2}} = {1} over {2} `]

따라서 극한의 대소관계에 의해 [eqn: lim _{n` -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} {k} over {n ^{2} +k} = {1} over {2}]

① [eqn: {5} over {6}]	② [eqn: {4} over {5}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

분당중앙고/2023년(이)/P1/C

[eqn: lim _{ n ->inf} { a_n}=k] ([eqn: k]는 자연수)인 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT | (4n+2)a_n -12n RIGHT |<a_n +n-1]을 만족시킬 때, [eqn: k]의 값은? [4.2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

③

[풀이1]

[eqn: LEFT | (4n+2)a_n -12n RIGHT |<a_n +n-1]을 정리하면,

[eqn: -a _{n} -n+1< (4n+2)a _{n} -12n <a _{n} +n-1]

[eqn: 11n+1<(4n+3)a _{n} ,~][eqn: (4n+1)a _{n} <13n-1]

따라서 [eqn: {11n+1}over{4n+3}<a _{n} <{13n-1}over{4n+1}]이다.

[eqn: lim _{n` rarrow INF } {11n+1}over4n+3 = 11over4], [eqn: lim _{n` rarrow INF } {} {13n-1} over {4n+1} = {13} over {4}]이므로

[eqn: {11} over {4} le lim _{ n ->inf} {a_n } le 13over4], [eqn: {11} over {4} LEQ k LEQ {13} over {4}]

∴ [eqn: k=3]

[풀이2]

[eqn: LEFT | (4n+2)a_n -12n RIGHT |<a_n +n-1]에서

[eqn: {LEFT | (4n+2)a _{n} -12n RIGHT |}overn <{a _{n} +n-1}overn]

[eqn: {LEFT | {(4n+2)a _{n} -12n}overn RIGHT |} < {a _{n} +n-1} over {n}]

[eqn: lim _{ n ->inf} LEFT | {(4n+2)a _{n} -12n} over {n} RIGHT | le lim _{ n ->inf} {a _{n} +n-1} over {n}]

[eqn: LEFT | 4k-12RIGHT |le 1], [eqn: k]가 자연수이므로 [eqn: k=3]이다.

송림고/2023년(이)/P1/C

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y=n-x]가 두 직선 [eqn: x-y+1=0], [eqn: x-2y+2=0]과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 하고, [eqn: l_n =rm barAB`^2]이라 하자, 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: l_2n le n^2 a_n le l_2n+1]을 만족시킬 때, [eqn: lim _{ n ->inf} { a_n}]의 값은?

① [eqn: 1over9]	② [eqn: 1over6]	③ [eqn: 2over9]
④ [eqn: 5over18]	⑤ [eqn: 1over3]

③

두 점 [eqn: rmA,~B]의 좌표는 각각 [eqn: LEFT ( {n-1} over {2} ,~ {n+1} over {2} RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2n-2 over {3} ,~ n+2 over3RIGHT )]

이므로 [eqn: l _{n} =2 TIMES LEFT ( {n-1} over {6} RIGHT ) ^{2} = 1over18 (n-1)^2]이다,

[eqn: {1} over {18} (2n-1)^2` LEQ n ^{2} a _{n} LEQ 1over18 (2n)^2]이므로

[eqn: {(2n-1) ^{2} `} over {18n ^{2}} LEQ a _{n} LEQ {4n^2} over {18n^{2}}]

∴[eqn: lim _{ n ->inf} { a_n} = 2over9]

등비수열의 극한

돌마고/2023년/P1/C

[eqn: lim _{ n-> inf} { } (2+2^n + 2^-n ) ^{1 overn} `]의 값은? [5.5점]

① [eqn: ln`2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: e over {2 `ln`2}]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: e^2 over2]

④

[eqn: lim _{ n-> inf} { } (2+2^n +2^-n )^ { 1 overn}]

[eqn: =lim _{ n->inf} { } left[ 2^n left{ left( 1 over2 right)^n-1 + 1+ left( 1 over4 right)^n right} right]^n]

[eqn: =lim _{ n->inf} { } 2cdotleft{ left( 1 over2 right)^n-1 + 1+ left( 1 over4 right)^n right} ^{1 overn}]

[eqn: =2times(0+1+0)=2]

영덕여고/2023년/P1/C

[eqn: 24^n]의 양의 약수 중에서 짝수들의 총합을 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf a_n over24^n]의 값은? [eqn: [4.2점]]

③

[eqn: 24^n = 2^3n times 3^n]이므로 양의 약수 중 짝수인 것은 [eqn: 2]를 적어도 하나 포함하고 있어야 한다. 따라서 양의 약수 중에서 짝수들의 총합 [eqn: a_n]은

[eqn: a_n = (2 +2^2 +2^3 +cdots + 2^3n ) (1+3+3^2 + cdots +3^n )]

[eqn: = {2(2^3n -1)} over2-1 times {1(3^n+1 -1)} over3-1 ~(because등비수열의~합)]

[eqn: =][eqn: (2^3n -1)(3^n+1 -1) =3 times 24^n -3^n+1 - 8^n +1]

[eqn: therefore~lim_n->inf {a_n} over24^n = lim_n->inf {3 times24^n - 3^n+1 -8^n +1} over24^n = 3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

위례고/2023년/P1/C

자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a_k = lim _{ n->inf} {{ LEFT ( 8over k RIGHT )^n }over { LEFT ( 8 over k RIGHT ) ^n+1 +15}}]일 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{16 }ka_k]의 값은? [eqn: [4.6점]]

①

[eqn: k=1,`2,`3,`cdots,7]일 때 [eqn: a _{k} = {k} over {8}]

[eqn: k=8]일 때 [eqn: a_8 = 1 over 16]

[eqn: k GEQ9]일 때 [eqn: a_k = 0]

[eqn: sum _{ k=1} ^{16 }ka_k][eqn: = sum _{ k=1} ^{7 } ka_k + 8a_8 = sum _{ k=1} ^{7 } k^2 over 8 + 1 over 2 =18]

① [eqn: 18]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 22]
④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 26]

등비수열의 수렴조건

이매고/2023년/P1/C

수열 [eqn: left{ left( {x^2 -4x-1} over4 right) ^n right} `]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x`]의 값의 합은? [4.7점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

③

수열 [eqn: left{ left( {x^2 -4x-1} over4 right) ^n right} `]이 수렴하므로 [eqn: -1 < {x^2 -4x-1} over4 le 1]

ⅰ) [eqn: -1 <{ x^2 -4x-1} over4]

[eqn: x^2 -4x+3 >0]

[eqn: (x-1)(x-3)>0]

[eqn: x<1`] 또는 [eqn: x>3]

ⅱ) [eqn: { x^2 -4x-1} over4 le 1]

[eqn: x^2 -4x-5le0]

[eqn: (x+1)(x-5) le0]

[eqn: -1 le x le 5]

ⅰ), ⅱ)에서 [eqn: -1 le x <1] 또는 [eqn: 3<x le5]

따라서 만족하는 정수 [eqn: x`]의 값의 합은 [eqn: -1+0+4+5=8]

송림고/2023년(이)/P1/C

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이

[eqn: 0,~1,~3,~4]

[eqn: 2^2n a_n =(-x^2 +4x+1)^n]에서 [eqn: a _{n} = LEFT ( {-x ^{2} +4x+1} over {4} RIGHT ) ^{n}]

이므로 수렴하기 위해서는 [eqn: -1<{- x^2 +4x+1} over {4} le1]이다.

[eqn: -4< {-x ^{2} +4x+1} LEQ 4]

즉 [eqn: x ^{2} -4x-5<0], [eqn: -1<x<5]

이고

[eqn: 0 le x^2 -4x+3], [eqn: x`le`1]또는 [eqn: x`ge3]이다.

만족하는 정수 [eqn: x]는 [eqn: 0,~1], [eqn: 3,~4]이다.

[eqn: 2^2n a_n =(-x^2 +4x+1)^n]

을 만족시킨다. 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오.

[eqn: x^n]을 포함한 수열의 극한

이매고/2023년/P1/C

함수
[eqn: f(x)= lim _{ n-> inf} { }{ 2x^2n+2 -5 x^2n+1 -1} over{x^2n +1} `]
에 대하여 [eqn: f(k)=3`]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 합은?
[5.0점]

① [eqn: 3 over2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5 over2]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7 over2]

②

ⅰ) [eqn: |`x`| >1]일 때

[eqn: f(x)= lim _{ n-> inf} { }{ 2x^2n+2 -5 x^2n+1 -1} over{x^2n +1}]

[eqn: `=lim _{ n-> inf} { }{ 2x^2 -5 x - 1 overx^2n} over{ 1+ 1 overx^2n} ` = 2x^2 -5x]

[eqn: f(k)= 2k^2 -5k=3]

[eqn: 2k^2 -5k-3=0]

[eqn: (2k+1)(k-3)=0]

[eqn: k= - 1 over2] 또는 [eqn: k=3]

[eqn: |`k`| >1`]이므로 [eqn: k=3]

ⅱ) [eqn: |`x`| <1]일 때

[eqn: f(x)= lim _{ n-> inf} { }{ 2x^2n+2 -5 x^2n+1 -1} over{x^2n +1} ` =-1]

성립하지 않음

ⅲ) [eqn: x=1`]일 때

[eqn: f(1)= lim _{ n-> inf} { }{ 2x^2n+2 -5 x^2n+1 -1} over{x^2n +1} ` = {2-5-1} over{1+1} =-2]

성립하지 않음

ⅳ) [eqn: x=-1`]일 때

[eqn: f(-1)= lim _{ n-> inf} { }{ 2x^2n+2 -5 x^2n+1 -1} over{x^2n +1} ` = {2+5-1} over{1+1} =3]

성립

ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)에 의해 [eqn: f(k)=3`]을 만족하는 [eqn: k`]의 값은 [eqn: 3,~-1]

따라서 만족하는 [eqn: k`]의 값의 합은 [eqn: 2]

태전고/20023년/P1/C

함수 [eqn: f(x) = lim _{ n->inf} { {x^2n+1 +3} over { x^2n +1}}]에 대하여 [eqn: f(-1)][eqn: +f left( 1 over 2 right) + f(1)]의 값은? [eqn: [5.0점]]

③

[eqn: LEFT | x RIGHT | <1]일 때 [eqn: f(x) = 3]

[eqn: LEFT | x RIGHT | >1]일 때 [eqn: f(x) =x]

[eqn: f(-1)= 1 ,~ f(1) =2]이므로

[eqn: f(-1)][eqn: +f left( 1 over 2 right) + f(1)][eqn: = 6]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

보라고/2023년/P1/C

실수 [eqn: a`]에 대하여 함수 [eqn: f(x)= lim _{ n-> inf} { }{(a-3) x^2n+1 +3x} over{x^2n +1} `]일 때, 다음 물음에 답하시오. [총 10점]
(1) [eqn: f(1)`]을 구하시오. [1.0점]

(2) [eqn: f(-1)]을 구하시오. [1.0점]

(3) [eqn: |`x`|<1`]알 때 [eqn: f(x)`]를 구하시오. [1.0점]

(4) [eqn: |`x`|>1`]일 때, [eqn: f(x)`]를 구하시오. [2.0점]

(5) [eqn: (f circf)(1)=2`]가 되도록 하는 모든 [eqn: a`]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [5.0점]

(1) [eqn: a over2] (2) [eqn: - a over2] (3) [eqn: 3x] (4) [eqn: (a-3)x] (5) [eqn: a= 4 over3] 또는 [eqn: a=4]

(1) [eqn: f(1)= {a-3+3} over1+1 = a over2]

(2) [eqn: f(-1) ={-a+3-3} over1+1 = - a over2]

(3) [eqn: |`x`|<1]일 때 [eqn: lim _{ n->inf} { } x^2n = 0,~lim _{ n->inf} { } x^2n+1 = 0]이므로

[eqn: f(x)= lim _{ n-> inf} { }{(a-3) x^2n+1 +3x} over{x^2n +1} ` = 3x]

(4) [eqn: |`x`|>1`]일 때 [eqn: lim _{ n->inf} { 1 overx^2n =0 ,~ lim _{ n->inf} { } 3 overx^2n-1 =0`]이므로

[eqn: f(x)= lim _{ n-> inf} { }{(a-3) x^2n+1 +3x} over{x^2n +1} `]

[eqn: = lim _{ n-> inf} { } {(a-3)x+ 3 overx^2n-1} over{1+ 1 overx_2n } =(a-3)x]

(5) [eqn: f(1)= a over2]이므로

ⅰ) [eqn: a over2 =1]일 때, 즉 [eqn: a=2`]일 때

[eqn: f(f(1))=f(1 )= a over2 =1]이므로 성립하지 않음

ⅱ) [eqn: a over2 =-1]일 때, 즉 [eqn: a=-2]일 때

[eqn: f(f(1))=f(-1) = - a over2 =1]이므로 성립하지 않음

ⅲ) [eqn: left| a over2 right| < 1]일 때, 즉 [eqn: 2 <a<2`]일 때

[eqn: f(f(1))=f left( a over2 right) = 3a over2 =2]

[eqn: a= 4 over3]이므로 [eqn: 2 <a<2`]라는 조건에 만족함

ⅳ) [eqn: left| a over2 right| > 1]일 때, 즉 [eqn: a< -2] 또는 [eqn: a>2`]일 때

[eqn: f(f(1))=f left( a over2 right) = (a-3) times a over2 =2]

[eqn: a^2 -3a-4=0]

[eqn: (a-4)(a+1)=0]

[eqn: a< -2] 또는 [eqn: a>2`]이므로 [eqn: a=4]

ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)에 의해

[eqn: a= 4 over3] 또는 [eqn: a=4]

수열의 극한의 활용

한솔고/2023년/P1/C

[eqn: x>`-2]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= lim _{n`rarrow` INF} {{4x ^{2n} -x ^{2n-1}} over {x ^{2n} +2x ^{2n-1} +3}}]에 대하여 직선 [eqn: y=tx+2t+2]가 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 오직 한 점에서만 만나도록 하는 모든 양의 실수 [eqn: t]의 값의 곱이 [eqn: a]일 때, [eqn: 2f(-1)+18a]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) ([eqn: 3.7]점)

① [eqn: 16]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 6]

⑤

(ⅰ) [eqn: LEFT | x RIGHT | <1]일 때
[eqn: lim _{n`-> INF } {x ^{2n-1} = lim _{n`-> INF } {x ^{2n} =0}}]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{n`-> INF } {{4x ^{2n} -x ^{2n-1}} over {x ^{2n} +2x ^{2n-1} +3}}]
[eqn: = {0-0} over {0+0+3} =0]

(ⅱ) [eqn: -2<x<`-1] 또는 [eqn: x>1]일 때
[eqn: lim _{n`-> INF } {{1} over {x ^{2n-1}} =0}]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{n`-> INF } {{4x ^{2n} -x ^{2n-1}} over {x ^{2n} +2x ^{2n-1} +3}}]
[eqn: = lim _{n`-> INF } {{4x-1} over {x+2+ {3} over {x ^{2n-1}}} = {4x-1} over {x+2}}]

(ⅲ) [eqn: x=1]일 때
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = {4-1} over {1+2+3} = {1} over {2}]

(ⅳ) [eqn: x=-1]일 때
[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) = {4- LEFT ( -1 RIGHT )} over {1+2 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) +3} = {5} over {2}]

(ⅰ)~(ⅳ)에 의하여 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 다음 그림과 같다.

이때 직선 [eqn: y=tx+2t+2], 즉 [eqn: y-2=t LEFT ( x+2 RIGHT )]는 양의 실수 [eqn: t]의 값에 관계없이 점 [eqn: LEFT ( -2,````2 RIGHT )]를 지난다. 그러므로 다음 그림과 같이 직선 [eqn: y=tx+2t+2]가 점 [eqn: LEFT ( -1,```` {5} over {2} RIGHT )]를 지날 때와 곡선 [eqn: y= {4x-1} over {x+2}]과 접할 때만 조건을 만족시킨다.

([eqn: a]) 직선 [eqn: y=tx+2t+2]가 점 [eqn: LEFT ( -1,```` {5} over {2} RIGHT )]를 지나는 경우
[eqn: {5} over {2} =-t+2t+2]
에서 [eqn: t= {1} over {2}]

([eqn: b]) 직선 [eqn: y=tx+2t+2]가 곡선 [eqn: y= {4x-1} over {x+2}]과 접하는 경우
[eqn: tx+2t+2= {4x-1} over {x+2}] 에서
[eqn: tx ^{2} +2 LEFT ( 2t-1 RIGHT ) x+4t+5=0] 이 [eqn: x]에 대한 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D=0]이어야 하므로
[eqn: {D} over {4} = LEFT ( 2t-1 RIGHT ) ^{2} -t LEFT ( 4t+5 RIGHT ) =-9t+1=0]
에서 [eqn: t= {1} over {9}]

([eqn: a]), ([eqn: b])에서 조건을 만족시키는 양의 실수 [eqn: t]의 값은 [eqn: {1} over {2}], [eqn: {1} over {9}]이고,
그 곱은 [eqn: {1} over {18}] 이다. [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) = {4- LEFT ( -1 RIGHT )} over {1+2 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) +3} = {5} over {2}]이므로

따라서 [eqn: 2f(-1)+18a`=`` 5 +1 = 6]

송림고/2023년(이)/Q3/C

닫힌구간 [eqn: [0,~4]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=sin pix]에 대하여

⑤

(1) [eqn: nf(a)>=2]인 경우

[eqn: lim _{n rarrow INF } {} {LEFT | nf(a)-2 RIGHT | -nf(a)} over {n+1} = lim _{n rarrow INF } {} {-2} over {n+1} =0]

이므로 모순

(2) [eqn: nf(a)<2]인 경우

[eqn: lim _{n rarrow INF } {} {LEFT | nf(a)-2 RIGHT | -nf(a)} over {n+1} = lim _{n rarrow INF } {} {2-2nf(a)} over {n+1}]

[eqn: = lim _{n rarrow INF } {} {2overn -2f(a)} over {1+ 1overn}]

[eqn: =-2f(a)]

[eqn: =1]

∴ [eqn: f(a)= - 1over2]

[eqn: sinpia = - 1over2]에서 [eqn: a = 7 over6], [eqn: 11over6], [eqn: 19over6] 또는 [eqn: 23over6]이다.

[eqn: a]의 합은 [eqn: 10]이다.

【다른풀이추가】

[eqn: STAR f(x)=sin pi x] 주기:2

[eqn: {19} over {6} = {7} over {6} +2```,` {11} over {6} = {7} over {6} +2```]

[eqn: lim _{ n ->inf} { LEFT | nf(a)-2RIGHT |-nf(a) }overn+1 =1]을 만족하는 모든 [eqn: a]의 값의 합은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

분당중앙고/2023년(이)/P1/C

[eqn: x ge1]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= lim _{n rarrow INF } {} {4x ^{2n} -x ^{2n-1}} over {x ^{2n} +2x ^{2n-1} +6}]에 대하여 직선 [eqn: y=tx+2t+2]가 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 오직 한 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: t]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은? [5.7점]

① [eqn: - 4over9]	② [eqn: - 1over9]	③ [eqn: 2over9]
④ [eqn: 5over9]	⑤ [eqn: 8over9]

①

(1) [eqn: x=1]일 때, [eqn: f(x)= {1} over {3}]

(2) [eqn: x>1]일 때, [eqn: f(x)= 4x-1 over{x+2 } =- 9overx+2 +4]이므로

[eqn: f(x)= {cases{{1} over {3}&(x=1)#- {9} over {x+2} +4&(x>1)}}]이다.

또한 직선 [eqn: y=tx+2t+2=t(x+2)+2]이므로 [eqn: (-2,~2)]를 지나는 직선이다, 이제 각각의 그래프를 그려보자.

따라서

(1) 최솟값은 직선 [eqn: y=t(x+2)+2]이 점 [eqn: LEFT ( 1,~` {1} over {3} RIGHT )]을 지날 때이다. 따라서 [eqn: m=`-` {5} over {9}]이다.

(2) 최댓값은 직선 [eqn: y=t(x+2)+2]과 곡선 [eqn: y= {4x-1} over {x+2}]이 접할 때이다. 즉 [eqn: t(x+2)+2= {4x-1} over {x+2}]이 중근을 가질 때이다.

[eqn: M= {1} over {9}]이다.

∴[eqn: M+m= - 4 over9]

태원고/2023년/P1/C

양수 [eqn: a`]에 대하여 함수 [eqn: f`(x)]를

①

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이고,

[eqn: y= f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: - sqrt {a}]

[eqn: rmO]

곡선 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]는 [eqn: LEFT | f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT | = LEFT | - sqrt {a} RIGHT | = sqrt {a} `]이므로

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: sqrt {a}]

[eqn: y=n]

[eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]

[eqn: rmO]

직선 [eqn: y=n]과 곡선 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]가 적어도 [eqn: 3]개의 점에서 만나려면 [eqn: n LEQ sqrt {a} `]일 때, 즉 [eqn: n ^{2} LEQ a`]이므로 양의 실수 [eqn: a`]의 최솟값 [eqn: a _{n}]은

[eqn: a _{n} =n ^{2}]

따라서 [eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k} = sum _{k=1} ^{n} k ^{2} = {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {6}]이므로

[eqn: lim _{n` -> INF } {} {S _{n}} over {3n ^{3}} = lim _{n` -> INF } {} {n LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+1 RIGHT )} over {18n ^{3}} = {1} over {9}]

[eqn: f(x)= {cases{sqrt {a+x} -2 sqrt {a}&&(x GEQ 0)#sqrt {a-x} -2 sqrt {a}&&(x<0)}}]

라 하자. 자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y=n]과 곡선 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]가 적어도 [eqn: 3]개의 점에서 만나도록 하는 양의 실수 [eqn: a`]의 최솟값을 [eqn: a`_n]이라 할 때, [eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} {}{a _{k}}]라 하자. [eqn: lim _{n` rarrow INF } {} {S _{n}} over {3n ^{3}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {9}]	② [eqn: {2} over {9}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: {4} over {9}]	⑤ [eqn: {5} over {9}]

영덕여고/2023년/P1/C

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: barAB = sqrtn+2 ,~ barAC = sqrt3n+4 ,~ angleA = 90DEG]인 직각삼각형 [eqn: ABC]가 있다. 점 [eqn: A]에서 선분 [eqn: BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: H]라 하고, [eqn: barAH = a_n]이라 하자. [eqn: lim_n->inf {a_n } oversqrtn = p]일 때, [eqn: p^2]의 값은? (단, [eqn: p]는 실수이다.) [eqn: [4점]]

①

[eqn: barBC = sqrt4n+6 ~(because피타고라스~정리)]이고

[eqn: barAB times barAC = barBC times barAH] [eqn: (because triangleABC의 ~넓이)]이므로

[eqn: a_n = barAH = {barAB times barAC} overbarBC = {sqrtn+2 sqrt3n+4} oversqrt4n+6]이다.

[eqn: therefore~lim_n->inf a_n oversqrtn = lim_n->inf {sqrt{3n^2 +10n+8 }} oversqrt{4n^2 +6n} = sqrt3 over2]

[eqn: therefore~p= sqrt3 over2]이므로 [eqn: p^2 = 3over4]이다.

① [eqn: 3 over4]	② [eqn: 4 over5]	③ [eqn: 5 over6]
④ [eqn: 6 over7]	⑤ [eqn: 7 over8]

영덕여고/2023년/P1/C

수열 [eqn: "{"a_n "}"]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum_k=1 ^n a_k over{(k+1)!} = 3 over{(n+3)!}]을 만족시킨다. [eqn: lim_n->inf (a_1 - na_n )]의 값은? [eqn: [4.1점]]

⑤

[eqn: sum_k=1 ^n a_k over{(k+1)!} = 3 over{(n+3)!}]이므로 [eqn: sum_k=1 ^n-1 {a_k } over{(k+1)!} = 3 over(n+2)!]이다.

[eqn: sum_k=1 ^n a_k over{(k+1)!} -sum_k=1 ^n-1 {a_k } over{(k+1)!}][eqn: = {a_n } over{(n+1)! } = 3 over{(n+3)! } - 3 over{(n+2)!} = {-3n-6} over(n+3)! = {-3(n+2)} over(n+3)!]이므로

[eqn: therefore] [eqn: a_n = -3 overn+3 ~(n ge2)]

[eqn: a_1]은 준식에 [eqn: n=1]을 대입하면 [eqn: a_1 over2! = 3 over4!]에서 [eqn: a_1 = 1over4]

[eqn: therefore~ lim_n->inf (a_1 -na_n ) = lim_n->inf left( 1over4 + 3n overn+3 right) = 1over4 +3 = 13 over4]

① [eqn: 9 over4]	② [eqn: 5 over2]	③ [eqn: 11 over4]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 13 over4]

수내고/2023년/P1/C

자연수 [eqn: n``]에 대하여 원 [eqn: x^2 +y^2 =4n^2``]과 직선 [eqn: y=x+1``]이 만나는 두 점을 각각 [eqn: {rmP it} _{n},~{rmQ it} _{n}``]라 하자. 삼각형 [eqn: rm O{rm P} _{it n}{rm Q } _{ it n}``]의 넓이를 [eqn: S`_n``]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } { S`_n} over { n}``]의 값은? (단, [eqn: rmO``]는 원점이다.) [4.2점]

②

원점에서 직선 [eqn: y=x+1``]까지의 거리가 [eqn: 1over root2 ``]이므로

[eqn: bar {{rm P} _{it n}{rm Q } _{ it n}}`=`2`root{(2n)^2 - 1over2`}``]

[eqn: S_n`=` 1over2` times`bar {{rm P} _{it n}{rm Q } _{ it n}} `times` 1overroot2`=` root {2`n^2 - 1over4 `}``]

[eqn: THEREFORE``` lim _{n -> INF } { S`_n} over { n}`=`lim_n->inf`{root {2`n^2 - 1over4 `}}overn ``]

[eqn: `=`root2 ``]이다.

① [eqn: {sqrt {2}} over {2}``]	② [eqn: sqrt {2}``]	③ [eqn: {3 sqrt {2}} over {2}``]

④ [eqn: 2 sqrt {2}``]	⑤ [eqn: {5 sqrt {2}} over {2}``]

위례고/2023년/P1/C

함수 [eqn: f(x)]가 다음 두 조건을 만족시킨다.

③

[eqn: f(x)= {cases{vert x vert ~~~~&(-1<x<1)#````````3~~~&(x=1)}}]이므로

원과 교점이 [eqn: 4]개이려면 [eqn: (3,3),~(5,3) CDOTS ,(2n-1,3)]의 점을 지나야한다. (이때, [eqn: (1,3)]인 점을 지날 때는 교점이 [eqn: 2]개이므로 해당되지 않음!)

[eqn: a=(2n+1) ^{2} +9]이므로 [eqn: 500]이하인 [eqn: n=10]이다.

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{10} a= sum _{n=1} ^{10} (4n ^{2} +4n+10)=1540+220+100=1860]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: -3]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: 5]

[eqn: 3]

[eqn: rmO]

[eqn: 7]

[eqn: -5]

(가) [eqn: -1<x le 1]일 때, [eqn: f(x)= lim _{ n->inf} { {5x^2n + vert x vert } over {x^2n + 1} }]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)= f(x+2)]이다.

원 [eqn: x^2 +y^2 =a ``(a>0)]와 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 서로 다른 네 점에서 만나도록 하는 [eqn: 500]이하의 [eqn: a]의 값의 합은? [eqn: [5.3점]]

① [eqn: 1820]	② [eqn: 1840]	③ [eqn: 1860]
④ [eqn: 1880]	⑤ [eqn: 1900]

수열의 극한(step3)

1.

태원고/2023년/P1/B

[eqn: x>`-2]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= lim _{n` rarrow INF } {} {4x ^{2n} -x ^{2n-1}} over {x ^{2n} +2x ^{2n-1} +3}]에 대하여 직선 [eqn: y=tx+2t+2]가 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 만나는 서로 다른 교점의 개수를 함수 [eqn: g(t)]라 하자. 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=a]에서 불연속일 때, 서로 다른 [eqn: a]의 개수는? [4.5점]

③

(ⅰ) [eqn: LEFT | x RIGHT | <1`]일 때

[eqn: lim _{n -> INF } {x ^{2n-1}} = lim _{n -> INF } {x ^{2n}} =0`]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{n -> INF } {{4x ^{2n} -x ^{2n-1}} over {x ^{2n} +2x ^{2n-1} +3}}][eqn: = {0-0} over {0+0+3}][eqn: =0]

(ⅱ) [eqn: -2<x< -1] 또는 [eqn: x>1`]일 때

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {x ^{2n-1}}} =0`]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{n -> INF } {{4x ^{2n} -x ^{2n-1}} over {x ^{2n} +2x ^{2n-1} +3}}][eqn: = lim _{n -> INF } {{4x-1} over {x+2+ {3} over {x ^{2n-1}}}}][eqn: = {4x-1} over {x+2}]

(ⅲ) [eqn: x=1`]일 때

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = {4-1} over {1+2+3} = {1} over {2}]

(ⅳ) [eqn: x=-1`]일 때

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) = {4- LEFT ( -1 RIGHT )} over {1+2 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) +3} = {5} over {2}]

(ⅰ)[eqn: SIM](ⅳ)에 의하여 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]이 그래프는 다음 그림과 같다.

한편 직선 [eqn: y=tx+2t+2], 즉 [eqn: y-2=t LEFT ( x+2 RIGHT ) `]는 실수 [eqn: t`]의 값에 관계없이 점 [eqn: LEFT ( -2,~2 RIGHT ) `]를 지난다. 이때 다음의 [eqn: 8`]가지 경우에서 직선이 함수 [eqn: y=f(x)]와 만나는 교점의 개수 [eqn: g(t)]가 달라진다.

① 직선이 점 [eqn: LEFT ( -1,~ {5} over {2} RIGHT ) `]를 지날 때 [eqn: t= {1} over {2}]

② 직선이 곡선 [eqn: y= {4x-1} over {x+2} `]과 접할 때 [eqn: t= {1} over {9}]
[eqn: tx+2t+2= {4x-1} over {x+2}]
[eqn: tx ^{2} +2 LEFT ( 2t-1 RIGHT ) x+4t+5=0]
이차방정식의 판별식을 [eqn: D`]라 하면 [eqn: D=0`]이어야 하므로
[eqn: {D} over {4} = LEFT ( 2t-1 RIGHT ) ^{2} -t LEFT ( 4t+5 RIGHT ) =-9t+1=0]에서 [eqn: t= {1} over {9}]

③ 직선이 [eqn: x`]축과 평행할 때 [eqn: t=0]

④ 직선이 점 [eqn: LEFT ( 1,~1 RIGHT ) `]을 지날 때 [eqn: t=- {1} over {3}]

⑤ 직선이 점 [eqn: LEFT ( 1,~ {1} over {2} RIGHT ) `]를 지날 때 [eqn: t=- {1} over {2}]

⑥ 직선이 점 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT ) `]을 지날 때 [eqn: t=- {2} over {3}]

⑦ 직선이 점 [eqn: LEFT ( -1,~0 RIGHT ) `]를 지날 때 [eqn: t=-2]

⑧ 직선이 점 [eqn: LEFT ( -1,~-5 RIGHT ) `]를 지날 때 [eqn: t=-7]

따라서 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=a]에서 불연속이 되는 서로 다른 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 8`]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

보평고/2023년/P1/B

[eqn: x>-2`]에서 정의된 함수
[eqn: f(x)= lim _{ n-> inf} { }{ 4x^2n -x^2n-1} over{x^2n +2x^2n-1 +3}]
에 대하여 직선 [eqn: y=tx+2t`]가 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 오직 한 점에서만 만나도록 하는 모든 양의 실수 [eqn: t`]의 값을 구하고 그 과정을 논술하시오. [6.0점]

[eqn: t= 5 over2] 또는 [eqn: t= 4 over9] 또는 [eqn: t= 2 over3]

ⅰ) [eqn: -2<x< -1] 또는 [eqn: x>1]일 때

[eqn: f(x)= lim _{ n-> inf} { }{ 4x^2n -x^2n-1} over{x^2n +2x^2n-1 +3}]

[eqn: = lim _{ n-> inf} { }{ 4x -1} over{x +2 + 3 overx^2n-1 }]

[eqn: = {4x-1} overx+2} = -9 overx+2 +4]

ⅱ) [eqn: -1< x<1`]일 때

[eqn: f(x)= lim _{ n-> inf} { }{ 4x^2n -x^2n-1} over{x^2n +2x^2n-1 +3} =0]

ⅲ) [eqn: x=1]일 때

[eqn: f(1)= {4-1} over{1+2+3} = 1 over2]

ⅳ) [eqn: x=-1`]일 때

[eqn: f(-1)= {4-(-1)} over{1-2+3} = 5 over2]

[eqn: x>-2]에서 [eqn: y=t(x+2)] [eqn: (t>0)]가 한 점에서만 만나므로

그래프로 나타내면 아래와 같다.

ⅰ) [eqn: y=t(x+2)]가 [eqn: left(-1,~ 5 over2 right)]를 지날 때

[eqn: 5 over2 = t times (-1+2)]

[eqn: therefore] [eqn: t= 5 over2]

ⅱ) [eqn: y=t(x+2)]가 [eqn: y= -9 overx+2 +4`]와 접할 때

[eqn: tx+2t = - 9 overx+2 +4]

[eqn: tx(x+2)+2t(x+2)+9-4(x+2)=0]

[eqn: tx^2 +2(2t-2)x+4t+1=0]

[eqn: D/4 =4t^2 -8t+4-4t^2 -t=0]

[eqn: therefore] [eqn: t= 4 over9]

ⅲ) [eqn: y=t(x+2)]가 [eqn: (1,~1)]을 지날 때

[eqn: t= 1 over3]

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 [eqn: t= 5 over2] 또는 [eqn: t= 4 over9] 또는 [eqn: t= 1 over3]

태원고/2023년/P1/B

두 양수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수

③

(ⅰ) [eqn: -1<bx<1]일 때, [eqn: f(x)=a`]이므로 [eqn: g(x)]의 그래프와 교점의 개수가 홀수이려면 한 점 [eqn: LEFT ( 0,~6 RIGHT )]에서 만나야 한다. [eqn: THEREFORE~a=6]

(ⅱ) [eqn: bx=±1]일 때, [eqn: f(x)= {a+ {1} over {b}} over {2} = {6+ {1} over {b}} over {2}]이므로 [eqn: g(x)]의 그래프와 교점의 개수가 최대이려면 이 두 점에서도 만나야 한다. 이때 [eqn: g(x)=6- {1} over {b ^{2}}]이므로	[eqn: 6+ {1} over {b} =12- {2} over {b ^{2}}], [eqn: 6b ^{2} `+b-2=0]	[eqn: (2b+1)(3b-2)=0]에서 [eqn: b]는 양수이므로 [eqn: b= {2} over {3}]

(ⅲ) [eqn: bx <`-1], [eqn: bx>1]일 때, [eqn: f(x)= bx^2]이므로 아래로 볼록하므로 위로 볼록한 [eqn: g(x)]의 그래프와 항상 두 점에서 만난다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: a=6], [eqn: b= {2} over {3}] [eqn: THEREFORE~ 12(a+b)`=72+8=80]

[eqn: f(x)= lim _{n` rarrow INF } {{a+x(bx) ^{2n+1}} over {1+(bx) ^{2n}}}], [eqn: g(x)=6-x^2]

가 다음 조건을 만족시킨다.

두 함수 [eqn: f`(x)], [eqn: g(x)]의 그래프의 교점의 개수는 [eqn: m]이다.

(단, [eqn: m]은 홀수인 자연수이다.)

[eqn: m]이 최대일 때, [eqn: 12(a+b)`]의 값은? [5.5점]

① [eqn: 76]	② [eqn: 78]	③ [eqn: 80]

④ [eqn: 82]	⑤ [eqn: 84]

위례고/2023년/P1/B

실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x) = lim _{ n->inf} {{ (a-3)x^2n+1 +4x} over { 4x^2n +1} }]라 하자. [eqn: (f circf)(-1) = `- 3 over 5]이 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합은? [eqn: [4.8점]]

⑤

ⅰ) [eqn: LEFT | x RIGHT | <1]일 때: [eqn: f(x) = 4x]

ⅱ) [eqn: LEFT | x RIGHT | >1]일 때: [eqn: f(x) = (a-3) over 4 x]

ⅲ) [eqn: x=1] 일 때: [eqn: f(1)= a+1 over 5]

ⅳ) [eqn: x=-1]일 때: [eqn: f(-1)= {-a-1}over 5]

이때 [eqn: (f circf)(-1) = `- 3 over 5]이려면 [eqn: f(-1)= - a+1 over 5]의 값이 위의 네 가지 경우에서 [eqn: - 3 over 20 ,~ -12 over { 5(a-3) },~ -4, ~2]일 때이다. 이 중에서 가능한 경우는 다음의 두 가지 경우이므로

[eqn: - a+1 over 5 = - 3 over 20]일 때 [eqn: a= - 1 over 4]이고,

[eqn: - a+1 over 5 = - 12 over {5(a-3)]일 때 [eqn: a=5]이다.

[eqn: therefore - 1 over 4 + 5 = 19 over 4]

① [eqn: 3over4]	② [eqn: 7over4]	③ [eqn: 11 over 4]
④ [eqn: 15 over 4]	⑤ [eqn: 19 over 4]

영덕여고/2023년/P1/B

실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x) = lim_n->inf { (a-1)x^2n+1 +x } over{15x^2n +1]라 하자. [eqn: f left( a over4 right) = 1over2]가 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합은? [eqn: [4.4점]]

③

[eqn: f(x)]는 밑 [eqn: x]의 크기에 따라 극한의 결과가 달라지므로

[eqn: 1) ~|x|<1]일 때, [eqn: f (x) = x ~(because~lim_n->inf x^2n = lim_n->inf x^2n+1 =0 )]

[eqn: 2)~|x|>1]일 때,

[eqn: f(x) = a-1 over15 x~left(because~lim_n->inf {{(a-1)x^2n+1 +x } over{15x^2n +1} = lim_n->inf {(a-1)x + 1overx^2n-1} over{15+ 1over x^2n} right)]

[eqn: 3)] [eqn: x=1]일 때, [eqn: f(1) = a over16]

[eqn: 4)~x=-1]일 때, [eqn: f(-1) = - a over16]이다.

이제, [eqn: a over4]의 범위에 따라 [eqn: f left( a over4 right)]의 값을 구해보면

[eqn: 1)~left| a over4 right| <1]일 때, [eqn: f left( a over4 right) = a over4 = 1over2]에서 [eqn: a=2]

[eqn: 2)] [eqn: left| a over4 right| >1]일 때, [eqn: f left( a over4 right) = a-1 over15 times a over4 = 1over2]에서 [eqn: a= 6~or~-5]

[eqn: 3)] [eqn: a=4]일 때, [eqn: f left( a over4 right) = f(1) = 1over4 not= 1over2]이므로 불가

[eqn: 4)] [eqn: a=-4]일 때, [eqn: f left( a over4 right) = f(-1) = 1over4 not = 1over2]이므로 불가

따라서 가능한 [eqn: a]값의 합은 [eqn: 2+6+(-5) = 3]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

태원고/2023년/P1/B

함수 [eqn: f`(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

③

조건 (가), (나)에 의하여 함수 [eqn: y=f`(`x)`]의 그래프는 다음 그림과 같다.

[eqn: 4]

[eqn: 8]

[eqn: 12]

[eqn: -4]

[eqn: 16]

[eqn: 20]

[eqn: -8]

[eqn: 24]

이때, 직선 [eqn: y= {1} over {2n} x-1`]은 기울기가 [eqn: {1} over {2n} `]이고 [eqn: y`]절편이 [eqn: -1`]인 직선이고 세 점 [eqn: LEFT ( -2n`,~-2` RIGHT ) `,~ LEFT ( 2n`,~0 RIGHT ) `,~ LEFT ( 6n`,~2 RIGHT ) `]를 지난다.

[eqn: n=1`,~2`,~3`]일 때, 각각의 직선 [eqn: y= {1} over {2n} x-1`]은 다음 그림과 같다.

[eqn: 4]

[eqn: 8]

[eqn: 12]

[eqn: -4]

[eqn: 16]

[eqn: 20]

[eqn: -8]

[eqn: 24]

[eqn: a _{1} =2]

[eqn: a _{2} =4]

[eqn: a _{3} =6]

직선이 함수 [eqn: y=f(x)]와 만나는 서로 다른 교점의 개수를 [eqn: a_n`]이라 하므로 각각 구해보면 [eqn: a _{1} =2,~a _{2} =4,~a _{3} =6,~ CDOTS `]이다. 이것으로 부터 교점의 개수를 추론하면 [eqn: a _{n} =2n`]이다.

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {6n+1} = lim _{n -> INF } {} {2n} over {6n+1} = {1} over {3}]

(가) [eqn: 0 LEQ x<2]일 때, [eqn: f`(x)=x-2]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`(x-2)=-f`(x)]이다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y= {1} over {2n} x-1]가 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 만나는 서로 다른 교점의 개수를 [eqn: a_n`]이라 하자. [eqn: lim _{n rarrow INF } {} { a _{n}} over { 6n+1}]의 값은? [5점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {5}]

한솔고/2023년/P1/B

좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y=(x-2n) ^{2}]이 [eqn: x]축,

⑤

풀이) [eqn: {{rmP}_n`}][eqn: {(2n,``0)`}], [eqn: {{rmQ}_n`}][eqn: {(0,`` 4n^2 )`}]이므로

직선 [eqn: {{rmP}_n {rmQ}_n`}]의 기울기는 [eqn: {{0 - 4n^{`2}} over {2n-0} }][eqn: {= -4n^{`2} over 2n}][eqn: {= it -2n}]이고

[eqn: {y`}]절편은 [eqn: {4n^{`2}`}]이므로

직선 [eqn: {{rmP}_n {rmQ}_n`}]의 방정식은 [eqn: {y= {-2n TIMES `x+4n ^{2}}]

[eqn: {x`}]좌표가 [eqn: {k`}]([eqn: {k`}]는 [eqn: 0] 또는 [eqn: 2n] 이하의 자연수)일 때,

영역에 속하는 점의 [eqn: {y`}]좌표는

[eqn: {(k-2n)^2`}]부터 [eqn: -2nk+4n ^{2}]까지이므로

그 개수는

[eqn: -2nk-4n ^{2} -(k-2n) ^{2} +1][eqn: {= {k ^{2} +1} `+2nk}]

[eqn: {a _{n}}][eqn: = sum _{k=0} ^{2n} LEFT ( `-k ^{2} +1`+2nk` RIGHT )][eqn: = 1+ sum _{k=1} ^{2n} LEFT ( `-k ^{2} +1`+2nk` RIGHT )]
[eqn: = it - {2n TIMES (2n+1) TIMES (4n+1)} over {6} +(2n)] [eqn: +2n TIMES {2n TIMES (2n+1)} over {2} `]

[eqn: lim _{n` rarrow ` INF } {} {3 a _{n}} over {4n ^{3}}][eqn: = 3over4 `lim _{n` rarrow ` INF } {} {it - {2n TIMES (2n+1) TIMES (4n+1)} over {6} +(2n)+2n TIMES {2n TIMES (2n+1)} over {2} `} over {n ^{3}}]

[eqn: = {3} over {4} LEFT ( - {16} over {6} +4 RIGHT )][eqn: = -2+3 =1]

[eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: P _{n} ,``Q _{n}]이라 하자. 두 점 [eqn: P _{n} ,``Q _{n}]을 지나는 직선과 곡선 [eqn: y=(x-2n) ^{2}]으로 둘러싸인 영역(경계선 포함)에 속하고 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 자연수인 점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때,

[eqn: lim _{n`rarrow` INF} {{3a _{n}} over {4n ^{3}}}]의 값은? ([eqn: 4.1]점)

① [eqn: 5]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 1]

보평고/2023년/P1/B

함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: y= 1 over2n x -1`]이 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: a_n`]이라 하자.
[eqn: lim _{ n->inf} { } (root{pn^2 +n} -a_n )=q`]일 때, 두 상수 [eqn: p,~q`]에 대하여 [eqn: pq`]의 값은? [5.2점]

① [eqn: 5 over2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 7 over2]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 9 over2]

②

[eqn: f(x)= left| 2 `sin pi over2 x right|`]의 주기는 [eqn: 2], 최댓값은 [eqn: 2], 최솟값은 [eqn: 0]

(나)에서 [eqn: f(x)]는 원점대칭이므로 그래프는 아래와 같다.

ⅰ) [eqn: n=1]일 때

[eqn: y= 1 over2 x -1]가 [eqn: (2,~0)]을 지나고

[eqn: x=6]일 때 [eqn: y=2], [eqn: x=-2]일 때 [eqn: y=-2]이므로 [eqn: a_1 =6]

ⅱ) [eqn: n=2]일 때

[eqn: y= 1 over4 x -1]가 [eqn: (4,~0)]을 지나고

[eqn: x=12]일 때 [eqn: y=2], [eqn: x=-4]일 때 [eqn: y=-2]이므로 [eqn: a_2 =12]

ⅲ) [eqn: n=3]일 때

[eqn: y= 1 over6 x -1]가 [eqn: (6,~0)]을 지나고

[eqn: x=18]일 때 [eqn: y=2], [eqn: x=-6]일 때 [eqn: y=-2]이므로 [eqn: a_1 =18]

따라서 [eqn: a_n = 6n]으로 추정할 수 있다.

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ n->inf} { } (root{pn^2 +n} -6n )= lim _{ n-> inf} { } {(p-36)n^2 +n} over{root{pn^2 +n } +6n} =q]

수렴하므로 [eqn: p=36]

[eqn: lim _{ n-> inf} { } {n} over{root{36n^2 +n } +6n} = lim _{ n-> inf} { } {1} over{root{36 + 1 overn } +6} = 1 over12]

[eqn: q= 1 over12]

[eqn: therefore] [eqn: pq=3]

(가) [eqn: x ge 0`]일 때, [eqn: f(x)= left| 2 `sin pi over2 x right|`]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: -f(-x)=f(x)]이다.

분당중앙고/2023년(이)/P1/B

자연수 [eqn: n]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=log_4 x], [eqn: y=log_2 x]와 직선 [eqn: l_n]이 만나는 점을 각각 [eqn: rmA_{itn], [eqn: rm B _{it n rm}]이라 하자. [eqn: l_n]이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rm C _{it n rm}]이라 하고, 점 [eqn: rm B _{it n rm}]을 지나고 [eqn: y]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=log_4 x]와 만나는 점을 [eqn: rm D _{it n rm}], [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm E _{it n rm}]이라 할 때, 점 [eqn: rmA_{itn], [eqn: rm B _{it n rm}], [eqn: rm C _{it n rm}], [eqn: rm D _{it n rm}]이 다음 조건을 만족시킨다.

⑤

점 [eqn: rmB_{itn]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라 하자.

조건 (가)로부터 점 [eqn: rmA_{itn}]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: (1+n)t]이므로 [eqn: y]좌표는 [eqn: log_4 {(1+n)t}]이다. 점 [eqn: rmB_{itn}]와 [eqn: rm D _{it n rm}]의 [eqn: y]좌표는 각각 [eqn: log_2 t], [eqn: log_4 t]이다. 삼각형 [eqn: rm {A _{it n rm} B _{it n }} D _{it n }}}]은 이등변삼각형이므로

[eqn: log_4 {(1+n)t}][eqn: ={log_2 t +log_4 t}over2], [eqn: (1+n)^2 t^2 =t^3]

∴[eqn: t=(1+n)^2]

이다. 세 점 [eqn: rmA_{itn], [eqn: rm B _{it n rm}], [eqn: rm D _{it n rm}]의 좌표는 각각 [eqn: LEFT ( (n+1) ^{3} ,~log _{4} (n+1) ^{3} RIGHT )],

[eqn: LEFT ( (n+1) ^{2} ,~log _{2} (n+1) ^{2} RIGHT )], [eqn: LEFT ( (n+1) ^{2} ,~log _{4} (n+1) ^{2} RIGHT )]

이다.

[eqn: a _{n} = 1over2 times LEFT { log_2 (n+1)^2 RIGHT -log_4 (n+1)^2 RIGHT } } LEFT { (n+1)^3 -(n+1)^2 RIGHT }]

[eqn: LEFT . = {1} over {2} TIMES `log _{2`} (n+1) times n (n+1) ^{2}]이고

[eqn: b_n = 1over2 times (n+1)^2 times log_4 (n+1)^3]이다.

[eqn: a _{3} = {1} over {2} `log _{2} 4 TIMES 48=48]이다.

[eqn: lim _{n rarrow INF } {} {6a _{n}} over {nb _{n}}][eqn: = lim _{n rarrow INF } {} {6n(n+1) ^{2} log _{2} (n+1)} over {3n(n+1)^2 log_4 (n+1)}][eqn: =4]

따라서

[eqn: a _{3} + lim _{ n ->inf} { 6a_n}over{nb_n }][eqn: =48+4=52]

삼각형 [eqn: rm {A _{it n rm} B _{it n }} D _{it n }}}]의 넓이를 [eqn: a_n], 삼각형 [eqn: rm A _{it n rm} OE _{it n rm}]의 넓이를 [eqn: b _{n}]이라 할 때, [eqn: a _{3} + lim _{ n ->inf} { 6a_n}over{nb_n }]의 값은? (단, 점 [eqn: rmA_{itn]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1]보다 크고, [eqn: rmO]는 원점이다.) [5.7점]

① [eqn: 48]	② [eqn: 49]	③ [eqn: 50]
④ [eqn: 51]	⑤ [eqn: 52]

(가) [eqn: rm {bar{A _{it n rm} B _{it n rm}}} = it n TIMES rm {bar{B _{it n rm} C _{itn}}}]

(나) [eqn: rm {bar{A _{it n rm} B _{it n rm}}} = rm {bar{A _{it n rm} D _{it n rm}}}]

불곡고/2023년/P1/B

[eqn: 2`] 이상의 자연수 [eqn: n`]과 두 정수 [eqn: a,~b`]에 대하여 좌표평면 위의 세 점 [eqn: rmA( it a,~b),~rmB(0,~3),~C(0,~ it 3^n )]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. [eqn: rm angleB = pi over2], [eqn: |`ab`| le 3^n+1 `]을 만족시키는 모든 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이의 합을 [eqn: S_n`]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} { }{2S_n} over{27^n-1} `]의 값은? [5.3점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 27 over2]	③ [eqn: 27]
④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 81]

③

[eqn: rm angleB= pi over2`]이므로 [eqn: b=3]

[eqn: |`ab `| le 3^n+1 `]에서 [eqn: |`a`| le 3^n]

([eqn: rm triangleABC]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES (3 ^{n} -3) TIMES |`a`|]

[eqn: therefore] [eqn: S _{n} = {1} over {2} (3 ^{n} -3)(1+2+3+ CDOTS +3 ^{n} ) TIMES 2]

[eqn: =(3 ^{n} -3) TIMES {LEFT { (3 ^{n} +1) TIMES 3 ^{n} RIGHT }} over {2}][eqn: = {27 ^{n} -2 TIMES 9 ^{n} -3 TIMES 3 ^{n}} over {2}]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{n -> INF } {} {2S _{n}} over {27 ^{n-1}} = lim _{n -> INF } {} {27 ^{n} -2 TIMES 9 ^{n} -3 TIMES 3 ^{n}} over {27 ^{n-1}} =27]

영덕여고/2023년/P1/B

두 수열 [eqn: "{"a_n "}",~"{"b_n "}"]의 일반항이

⑤

[eqn: lim_n->inf a_n = lim_n->inf (-1)^n+1]이므로

[eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: -1], [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: 1]이 된다.

[eqn: lim_n->inf b_n = lim_n->inf "{"p times (-1)^3n+1 +q times (-1)^n +r"}"]이므로

[eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: -p+q+r], [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: p-q+r]이 된다.

따라서 [eqn: a_n]은 [eqn: 1]과 [eqn: -1]을 진동하며 발산한다.

[eqn: therefore][eqn: ㄱ]은 참

[eqn: b_n]이 수렴하려면 [eqn: n]이 짝수일 때와 홀수일 때, 극한값이 동일해야 하므로 [eqn: -p+q+r = p-q+r]에서 [eqn: p=q]여야 하고 이때, [eqn: r]에 수렴한다.

[eqn: therefore][eqn: ㄴ]은 참

[eqn: lim_n->inf "{"a_n +b_n "}"]은 [eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: -p+q+r-1]

[eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: p-q+r+1]이므로 수렴하기 위해서는

[eqn: p-q=-1]이어야 한다.

[eqn: lim_n->inf "{"a_n b_n "}"]은 [eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: -1 times( -p+q+r) = p-q-r]

[eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: 1 times (p-q+r) = p-q+r]이므로 수렴하기 위해서는

[eqn: r=0]이어야 한다.

따라서 [eqn: lim_n->inf "{"a_n +b_n "}"]과 [eqn: lim_n->inf "{"a_n b_n "}"]이 모두 수렴할 때, [eqn: lim_n->inf b_n]은 [eqn: n]이 짝수일 때,[eqn: -p+q+r = 1], [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: p-q+r =-1]이므로

[eqn: lim_n->inf "{"(a_n )^2 +(b_n )^2 "}"][eqn: =2] [eqn: left(because~lim_n->inf (a_n )^2 = lim_n->inf (b_n )^2 =1 right)]

[eqn: therefore][eqn: ㄷ]은 참

[eqn: a_n = (-1)^n+1 ,~ b_n = p times(-1)^3n+1 + q times (-1)^n +r]

일 때, [eqn: <보기>]에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: p,~q]는 실수이다.) [eqn: [4.5 점]]

[보 기]

[eqn: ㄱ.] 수열 [eqn: "{"a_n "}"]은 발산한다.

[eqn: ㄴ.] 수열 [eqn: "{"b_n "}"]이 수렴하도록 하는 실수 [eqn: p]가 존재한다.

[eqn: ㄷ.] 두 수열 [eqn: "{"a_n +b_n "}",~"{"a_n b_n "}"]이 모두 수렴하면

[eqn: lim_n->inf left{ (a_n )^2 +(b_n )^2 right} =2]이다.

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄱ,~ㄴ]	③ [eqn: ㄱ,~ㄷ]
④ [eqn: ㄴ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄷ]

돌마고/2023년/P1/A

함수 [eqn: f(x)`]를 [eqn: f(x)= lim _{ n->inf} { }{p x^2n + q x^2n-1 +2x} over{ x^2n +4}``]라 하자. 자연수 [eqn: m`]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=2(x-1)+m`]의 실근의 개수가 [eqn: 5`]개일 때, [eqn: m+p-q`]의 값은? (단, [eqn: p,~q`]는 양의 실수이다.) [5.4점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 3 over2]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 9 over4]	⑤ [eqn: 5]

①

[eqn: f(x)= lim _{ n->inf} { }{p x^2n + q x^2n-1 +2x} over{ x^2n +4}``]

ⅰ) [eqn: |`x`| >1`]일 때

[eqn: f(x)= lim _{ n->inf} { }{p + q over x +2 left(1 overx right)}^2n-1 over{ 1 + 4 left(1 overx right)^2n } = q overx +p}``]

ⅱ) [eqn: |`x`| <1`]일 때

[eqn: f(x)= lim _{ n->inf} { }{p x^2n + q x^2n-1 +2x} over{ x^2n +4}`` = 2x over4 = 1 over2 x]

ⅲ) [eqn: x=1]일 때

[eqn: f(1)= {p+q+2} over 1+4 = {p+q+2} over5]

ⅳ) [eqn: x=-1`]일 때

[eqn: f(-1)= {{p-q-2} over1+4 = {p-q-2} over5]

[eqn: f(x)=2(x-1)+m`]의 실근의 개수가 [eqn: 5`]개이므로

[eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=2(x-1)+m`]을 그려보면 위와 같다.

[eqn: p+q+2 over5 =m]이므로

[eqn: p+q= 5m-2]	[eqn: cdots①]

[eqn: p-q-2 over5 =m-4]이므로

[eqn: p-q=5m-18]	[eqn: cdots②]

[eqn: ①,~②]를 연립하여 풀면

[eqn: p=5m-10,~q=8]

[eqn: p,~q`]가 양의 실수이므로 [eqn: m>2] [eqn: cdots③]

ⅰ) [eqn: p+q>m`]이므로

[eqn: 5m-2>m]

[eqn: m> 1 over2] [eqn: cdots④]

ⅱ) [eqn: p-q < m-4`]이므로

[eqn: 5m-18<m-4]

[eqn: m< 7 over2] [eqn: cdots⑤]

[eqn: ③,~④,~⑤]에 의해 [eqn: 2 < m< 7 over2]

[eqn: m`]은 자연수이므로 [eqn: m=3,~p=5]

[eqn: therefore] [eqn: m+p-q=3+5-8=0]

급수(step1)

2.

급수의 합

돌마고/2023년/P2/D

두 수열 [eqn: left{a_n right},~left{b_n right}`]에 대하여
[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}(2a_n +b_n ) =7], [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}(a_n -2b_n )=-4]일 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}(a_n +b_n )`]의 값은? [4.8점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

③

[eqn: sum _{ n=1 } ^{inf }a_n = alpha,~ sum _{ n=1} ^{ inf}b_n =beta`]라 하면

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}(2a_n +b_n ) =2alpha+beta=7]	[eqn: cdots①]

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}(a_n -2b_n )=alpha-2beta=-4]	[eqn: cdots②]
[eqn: ①,~②]를 연립하여 풀면

[eqn: alpha=2,~beta =3]

[eqn: therefore] [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}(a_n +b_n )`=alpha+ beta =5]

급수와 수열의 극한값 사이의 관계

태원고/2023년/P2/D

수열 [eqn: left{a_n right]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n}-4n-1} over {2n+1} =4]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {2na _{n}} over {5n ^{2} +3} = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p`]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [3.5점]

③

급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {a _{n} -4n-1} over {2n+1} =4`]가 수렴하므로 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {a _{n} -4n-1} over {2n+1} =0`]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {a _{n} -4n-1} over {2n+1} = lim _{n` -> ` INF } {} {{a _{n}} over {n} -4- {1} over {n}} over {2+ {1} over {n}} = {lim _{n` -> ` INF } {} {a _{n}} over {n} -4-0} over {2+0} =0`]

에서 [eqn: {lim _{n` -> ` INF } {} {a _{n}} over {n} =4]

따라서

[eqn: lim _{n rarrow INF } {{2na _{n}} over {5n ^{2} +3}} `][eqn: = lim _{n -> INF } {{{2a _{n}} over {n}} over {5+ {3} over {n ^{2}}}} = {2 TIMES 4} over {5+0} = {8} over {5} `]

[eqn: p=5,~q=8]이므로 [eqn: p+q=13]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

분당중앙고/2023년(이)/P2/D

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }(a_n -2)=3]일 때, [eqn: lim _{ n ->inf} { 4a_n -2}over{6a_n -3}]의 값은? [3.7점]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1over2]
④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: 5over6]

④

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }(a_n -2)=3]이므로 급수의 성질에 의해 [eqn: lim _{ n ->inf} { (a_n -2)=0}]이다. 따라서 [eqn: lim _{ n ->inf} { a_n}=2]이다.

[eqn: lim _{n rarrow INF } {} {4a _{n} -2} over {6a _{n} -3}= {4times2 -2}over{6times2-3}][eqn: = 2 over3]이다.

위례고/2023년/P2/D

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에 대형 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } (a_n +1 ) =2]일 때, [eqn: lim _{ n->inf} {( 3 a _n +2 ) }]의 값은? [eqn: [3.9점]]

②

[eqn: lim _{ n->inf} {(a_n +1 ) }=0]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =-1]

따라서 [eqn: lim _{ n->inf} {( 3 a _n +2 ) }=`-1]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

등비급수의 합

태원고/2023년/P2/D

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {4 ^{n} +6 ^{n-1}} over {12 ^{n}}]의 값은? [3점]

⑤

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {4 ^{n} +6 ^{n-1}} over {12 ^{n}}][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT { LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} + {1} over {6} TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }]
[eqn: LEFT . = sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} + {1} over {6} sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT .]
[eqn: LEFT . = {{1} over {3}} over {1- {1} over {3}} + {1} over {6} TIMES {{1} over {2}} over {1- {1} over {2}} RIGHT .][eqn: = {1} over {2} + {1} over {6} = {2} over {3}]

① [eqn: {6} over {7}]	② [eqn: {5} over {6}]	③ [eqn: {4} over {5}]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

분당중앙고/2023년(이)/P2/D

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {3 ^{n+1} -1} over {4 ^{n}}]의 값은? [3.4점]

①

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {3 ^{n+1} -1} over {4 ^{n}}][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } LEFT { { 3 times LEFT ( 3 over4 RIGHT )^n - LEFT ( 1over4 RIGHT )^n RIGHT }]

[eqn: =3 sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} - sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n}]

[eqn: = 3 times {3 over4}over{1- 3 over4} - {1over4}over{1- 1over4}][eqn: =9- 1 over3][eqn: = 26 over3]

① [eqn: 26over3]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 29over3]
④ [eqn: 29over3]	⑤ [eqn: 10]

송림고/2023년(이)/P2/D

급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }{1+(-3)^n }over4^n]의 값은?

① [eqn: - 2over7]	② [eqn: - 5over21]	③ [eqn: - 4over21]
④ [eqn: - 1over7]	⑤ [eqn: - 2over21]

⑤

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }{1+(-3)^n }over4^n][eqn: =sum _{ n=1} ^{inf } LEFT { 1 over4^n +{(-3)^n }over4^n RIGHT }]

[eqn: = 1over4over{1- 1over4} +{- 3over4}over{1- LEFT ( - 3over4 RIGHT ) }]

[eqn: = {1} over {3} - {3} over {7}]

[eqn: =`-`2over21]

등비급수의 수렴조건

불곡고/2023년/P2/D

등비급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } left(2x-3 over9 right)^n`]이 수렴하도록 하는 정수 [eqn: x`]의 개수는? [4.3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

②

[eqn: -1 < 2x-3 over9 <1]

[eqn: -9< 2x-3<9]

[eqn: -6<2x<12]

[eqn: therefore] [eqn: -3 < x <6]

만족하는 정수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 8`]개

위례고/2023년/P2/D

급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } (x+4) LEFT ( {2x-1 over 5 RIGHT )^n]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은? [eqn: [4.0점]]

③

[eqn: x=`-4] 또는 [eqn: -1 < {2x-1} over 5 < 1]

[eqn: x= -1 ,``0,``1,```2,``-4]이므로 합은 [eqn: -2]

① [eqn: -6]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -2]
④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 2]

보평고/2023년/P2/D

등비급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }r^n`]이 수렴할 때, 항상 수렴하는 급수인 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: r`]은 실수이다.) [4.6점]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

⑤

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }r^n`]이 수렴하므로 [eqn: -1<r<1]

ㄱ [eqn: 0 le r^2 <1]이므로 수렴

ㄴ. [eqn: -2< r-1 <0]

[eqn: -1 < {r -1} over2 <0]이므로 수렴

ㄷ. [eqn: -3<r-2<`-1]

[eqn: 1<|`r-2`|<3]

[eqn: 0<log _{2} `|`r-2`|<log _{2} `3]

[eqn: 0< {log _{2} `|`r-2`|} over {2} <log _{2} ` sqrt {3} <1]이므로 수렴

[보 기]

ㄱ. [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}r^2n]

ㄴ. [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} left(r-1 over2 right)^n]

ㄷ. [eqn: sum _{ n=1 } ^{inf } left({log_2`|`r-2`|} over2 right)^n]

급수(step2)

2.

급수의 합

수내고/2023년/P2/C

모든 항이 양수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]에 대하여 [eqn: 3a _{1} =a _{5} -a _{2}``]이고 [eqn: S_n =sum _{k=1} ^{n} a_k``]일 때, 다음 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3.7점]

③

[eqn: 3a _{1} =a _{5} -a _{2}``][eqn: RARROW```a_1 =d`,``a_n = nd``]

[eqn: S_n =sum _{k=1} ^{n} a_k = 1over2`n`(n+1)`d``]

ㄱ. [eqn: lim _{n ->INF } {1+a _1 {n}} over {a _{n}} =`][eqn: lim _{n ->INF } {1+d{n}} over {d{n}} =1``]	(참)

ㄴ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } `{ a _{n}} over {a _{n+1} }=sum _{ n=1} ^{inf } `{n over n+1 `=`inf``]	(거짓)

ㄷ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } { a_1} over { S_ {n} }=sum _{ n=1} ^{inf } `{d over {1over2`n`(n+1)`d`}``]

[eqn: =`sum _{ n=1} ^{inf } `{2over {n(n+1)`}``]

[eqn: =`2`sum _{ n=1} ^{inf } ` LEFT ( 1over n - 1over n+1 RIGHT ) `=`2``]	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim _{n ->INF } {1+a _1 {n}} over {a _{n}} =1``]

ㄴ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } { a _{n}} over {a _{n+1} }=1``]

ㄷ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } { a_1} over { S_ {n} }=2``]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

이매고/2023년/P2/B

두 수열 [eqn: left{a_n right}` ,~left{b_n `right}`]에 대하여
[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }( 2a_n -b_n +3)= 6], [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} (a_n +2 b_n -1) =3`]
일 때, [eqn: lim _{ n-> inf} { } left{a_n -3b_n + sum _{ k=1} ^{n }(a_k +1) right} `]의 값은? [4.8점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]
④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

⑤

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }( 2a_n -b_n +3)= 6] [eqn: cdots①]

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} (a_n +2 b_n -1) =3`] [eqn: cdots②]

[eqn: 2times①+②]하면 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }( 5a_n +5)= 15]

[eqn: therefore] [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }( a_n +1)= 3] [eqn: cdots③]

[eqn: ①,~②]에서 두 급수가 수렴하므로

[eqn: lim _{ n-> inf} { }(2a_n -b_n +3)=0,~ lim _{ n->inf} { }(a_n +2b_n -1)=0]

[eqn: lim _{ n->inf} { }a_n =alpha,~ lim _{ n->inf} { }b_n =beta`]라 하면

[eqn: 2alpha-beta=-3]	[eqn: cdots④]

[eqn: alpha+2beta=1]	[eqn: cdots⑤]

[eqn: ④,~⑤]를 연립하여 풀면 [eqn: alpha=-1,~beta=1]	[eqn: cdots⑥]

[eqn: ③,~⑥]에 의해

[eqn: lim _{ n-> inf} { } left{a_n -3b_n + sum _{ k=1} ^{n }(a_k +1) right} `][eqn: =alpha -3beta +3=-1-3+3=-1]

급수의 합(부분분수, 로그)

보라고/2023년/P2/C

직선 [eqn: x-5y+10=0`] 위의 점 중에서 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 자연수인 점의 좌표를 각각 [eqn: (a_1 ,~b_1 ),~(a_2 ,~b_2 ),~(a_3 ,~b_3 ) ,~cdots,] [eqn: (a_n ,~b_n ),~cdots``]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} 1 over{a_n b_n } ` = q overp``]이다. [eqn: p+q`]의 값은?
(단, [eqn: a_1 <a_2 <a_3 < cdots <a_n < cdots`]이고, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4.6점]

① [eqn: 21]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 23]
④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

③

[eqn: x=5y-10]에서 [eqn: x,~y`]가 자연수이므로

[eqn: y=3]일 때 [eqn: x=5]	[eqn: a_1 =5 ,~ b_1 =3]

[eqn: y=4`]일 때 [eqn: x=10]	[eqn: a_2 =10 ,~ b_2 =4]

[eqn: y=5`]일 때 [eqn: x=15]	[eqn: a_3 =15 ,~ b_3 =5]

[eqn: vdots]

[eqn: a_n = 5n ,~b _n = n+2]

[eqn: therefore] [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} 1 over{a_n b_n } ` = sum _{ n=1} ^{inf } 1 over{5n(n+2)}]

[eqn: =sum _{ n=1 } ^{inf } 1 over 10 left( 1 overn - 1 overn+2 right)]

[eqn: =lim _{ n-> inf } { } 1 over10 left{ left(1- 1 over3 right) + left( 1 over2 - 1 over4 right)+ left( 1 over3 - 1 over5 right)+]

[eqn: cdots+ left( 1 overn - 1 overn+2 right) right}{]

[eqn: =lim _{ n-> inf} { } 1 over10 left( 1 + 1 over2 - 1 overn+1 - 1 overn+2 right)]

[eqn: = 1 over10 times 3 over2 = 3 over20]

[eqn: p=20,~q=3]

[eqn: therefore] [eqn: p+q =23]

이매고/2023년/P2/C

자연수 [eqn: n`]에 대하여 곡선
[eqn: y=x^2 -3nx -9]가 직선 [eqn: y=nx-4n^2]과 만나는 서로 다른 두 점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: alpha_n ,~ beta_n`]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } 1 over{alpha_n beta_n `}`]의 값은? [5.0점]

① [eqn: 1 over18]	② [eqn: 1 over15]	③ [eqn: 1 over12]
④ [eqn: 1 over9]	⑤ [eqn: 1 over6]

①

[eqn: x^2 -3nx-9 =nx-4n^2]

[eqn: x^2 -4nx +4n^2 -9=0]

두 근을 [eqn: alpha_n ,~ beta_n`]이라 하면 [eqn: a_n beta_n = 4n^2 -9]

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf } 1 over{alpha_n beta_n `}`][eqn: = sum _{ n=1} ^{inf } 1 over{(2n-3)(2n+3)}]

[eqn: =sum _{ n=1} ^{ 6} 1 over6 left( 1 over2n-3 - 1 over2n+3 right)]

[eqn: = lim _{ n-> inf} { } 1 over6 left{ left( -1 - 1 over5 right)+ left( 1- 1 over7 right) + left( 1 over3 - 1 over9 right)+ left( 1 over5 - 1 over11 right)]

[eqn: + cdots + left( 1 over2n-3 - 1 over2n+3 right) right}]

[eqn: =lim _{ n-> inf} { } 1 over6 left( -1+1+ 1 over3 - 1 over2n-1 - 1 over2n+1 - 1 over2n+3 right)]

[eqn: = 1 over18]

송림고/2023년(이)/P2/C

첫째항이 [eqn: 2]이고, 공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항 부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } LEFT ( 1overS_n + 1overS_n+1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 3over2]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 5over2]	⑤ [eqn: 3]

②

[eqn: a_n =2n]이므로 [eqn: S_n =n(n+1)]이다.

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf } LEFT ( 1overS_n + 1overS_n+1 RIGHT ) =sum _{ n=1} ^{inf } LEFT ( 1overn(n+1) + 1over{(n+1)(n+2)} RIGHT )]

[eqn: =sum _{ n=1} ^{inf } LEFT ( 1overn - 1overn+1 + 1overn+1 - 1overn+2 RIGHT )]

[eqn: =sum _{ n=1} ^{inf }RIGHT (1overn - 1overn+1 RIGHT )+ sum _{ n=1} ^{inf } RIGHT ( 1overn+1 - 1overn+2 RIGHT )] [eqn: =1 + 1over2]

[eqn: = 3over2]

위례고/20023년/P2/C

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2^n times 3^n+2]의 모든 양의 약수의 개수를 [eqn: a_n]라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } 12 over a_n]의 값은? [eqn: [4.5점]]

⑤

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {12} over {(n+1)(n+3)} =12 sum _{n=1} ^{INF } {1} over {2} LEFT { {1} over {n+1} - {1} over {n+3} RIGHT } =6 LEFT ( {1} over {2} + {1} over {3} RIGHT ) =5]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

불곡고/2023년/P2/C

자연수 [eqn: n`]에 대하여 두 함수 [eqn: y= {|`x`|} overn`]와 [eqn: y=|`sin `pix `|`]의 그래프의 교점의 개수를 [eqn: a_n`]이라고 하자. 물음에 답하시오.
[총 7.0점]

(1) [eqn: y=|`sin`pi x `| `]의 주기는 [eqn: 1], 최댓값 [eqn: 1], 최솟값 [eqn: 0`]이므로

(2) [eqn: a_1 =3,~a_2 =7,~a_3 =11,~a_n =4n-1]
(3) [eqn: 1 over12]

(1) [eqn: y=|`sin`pi x `| `]의 주기는 [eqn: 1], 최댓값 [eqn: 1], 최솟값 [eqn: 0`]이므로

(2) [eqn: a_1 =3 ,~a_2 =7 ,~ a_3 =11]

[eqn: therefore] [eqn: a_n = 3+(n-1)times4 = 4n-1]

(3) [eqn: a_n =4n-1 ,~a_n+1 =4n+4`]

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf } 1 over{a_n a_n+1 }]

[eqn: =sum _{ n=1} ^{ inf} 1over4 left( 1 over4n-1 - 1 over4n+3 right)]

[eqn: =lim _{ n-> inf} { } 1 over4 left{ left( 1 over3 - 1 over7 right)+ left( 1 over7 - 1 over11 right)+ cdots+ left( 1 over4n-1 - 1 over4n+3 right) right}]

[eqn: = lim _{ n-> inf} { } 1 over4 left( 1 over3 - 1 over4n+3 right) = 1 over12]

(1) [eqn: -3 le x le 3 `] 범위에서 [eqn: y=|`x`|,~ y={|`x`|} over2 ,~y={|`x`|} over3`], [eqn: y=|`sin `pix `|`]의 그래프를 하나의 좌표평면에 그리시오. [2.5점]

(2) [eqn: a_1 ,~a_ 2 ,~a_3 `]의 값을 구하고 추론하여 [eqn: a_n`]의 값을 구하시오. [2.5점]

(3) [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } 1 over{a_n a_n+1} `]의 값을 구하고, 그 과정을 논술하시오. [2.0점]

급수와 수열의 극한값 사이의 관계

수내고/2023년/P2/B

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{Inf} LEFT ( { a _{n}} over {n } - { 2n+3} over {n+1 } RIGHT ) `=`1``]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{15} a _{n}``]의 값은? [4.9점]

④

[eqn: sum _{n=1} ^{Inf} LEFT ( { a _{n}} over {n } - { 2n+3} over {n+1 } RIGHT ) `=`1``]에서

[eqn: lim_{n->Inf} LEFT ( { a _{n}} over {n } - { 2n+3} over {n+1 } RIGHT ) `=`0``]이므로

[eqn: lim_{n->Inf} ` { a _{n}} over {n } `=`2``] 즉, 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }``]의 공차는 [eqn: 2``]이다.

[eqn: a_n `=`a_1 +2`(n-1)``]라 하자.

[eqn: sum _{n=1} ^{Inf} LEFT (` { a _{n}} over {n }` -` { 2n+3} over {n+1 }` RIGHT ) ``][eqn: =` sum _{n=1} ^{Inf} LEFT ( `{ a _1 -2} over {n } `-` { 1} over {n+1 }` RIGHT ) `=`1``]

이므로 [eqn: a_1 `=`3``]이다.

따라서 [eqn: a_n `=`2`n+1``]이다.

[eqn: THEREFORE ```sum _{n=1} ^{15} a _{n} ``][eqn: =`sum _{n=1} ^{15} ` LEFT ( `2`n+1` RIGHT )` `]

[eqn: =`2 times {15times16}over2 +15`=`255``]이다.

① [eqn: 240``]	② [eqn: 245``]	③ [eqn: 250``]

④ [eqn: 255``]	⑤ [eqn: 260``]

급수의 수렴과 발산

돌마고/2023년/P2/C

발산하는 급수만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

⑤

ㄱ. [eqn: lim _{ n-> inf} { } n-1 over3n+1 = 1 over3 !=0]이므로 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} {n-1} over{3n+1}]은 발산

ㄴ. [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} 1 over{rootn+2 +rootn}][eqn: =sum _{ n=1} ^{ inf} {rootn+2 -rootn } over2]

[eqn: = lim _{ n-> inf} { } 1 over2 right{{ (root3 - root1 )+(root4 -root2 )+cdots+(rootn+2 -rootn ) right}]

[eqn: =lim _{ n-> inf} { } 1 over2 left( -1-root2 + rootn+1 + rootn +2 right) =inf]

ㄷ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } {2^2n-3} over3^n = sum _{ n=1} ^{inf } 1 over8 left( 4 over3 right)^n = inf]

[보 기]

ㄱ. [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} {n-1} over{3n+1}]

ㄴ. [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} 1 over{rootn+2 +rootn}]

ㄷ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } {2^2n-3} over3^n]

태전고/2023년/Q1/C

수렴하는 급수만 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [eqn: [5.1점]]

③

ㄱ. 공비 [eqn: 3 over 4]인 등비수열 수렴

ㄴ. 진동

ㄷ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } {2^n -1} over 3^n][eqn: = sum _{ n=1} ^{inf } LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^n - sum _{ n=1} ^{inf } LEFT ( 1 over 3 RIGHT )^n]에서 공비 [eqn: 2 over 3]과 [eqn: 1 over 3]인 등비수열의 합이므로 수렴

ㄹ. [eqn: lim _{n rarrow INF } {( sqrt {n ^{2} +n} -n)} = lim _{n rarrow INF } {{n} over {sqrt {n ^{2} +n} +n}} = {1} over {2} != 0]이므로 발산

ㄱ, ㄷ만 수렴한다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } LEFT ( 3 over 4 RIGHT )^n]	ㄴ. [eqn: -1+1-1+1-1+cdots]

ㄷ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } {2^n -1} over 3^n]	ㄹ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } ( root{ n^2 + n } -n)]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ

급수의 성질

돌마고/2023년/P2/C

두 수열 [eqn: left{a_n right},~left{b_n right}`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4.9점]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

②

ㄱ. (반례) [eqn: a_n = 1 overn]일 때

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf } a_n`= 1 + 1 over2 + 1 over3 + 1 over4 + 1 over5 + 1 over6 + 1 over7 + 1 over8 + cdots]
[eqn: > 1 + 1 over2 + left( 1 over4 + 1 over4 right) + left( 1 over8 + 1 over8 + 1 over8 + 1 over8 right)+ cdots]

[eqn: =1+ 1 over2 + 1 over2 + 1 over2 + cdots = inf]

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf } a_n`]은 발산, [eqn: lim _{ n->inf} { }a_n =0] (거짓)

ㄴ. (반례) [eqn: a_n = 4^n ,~ b_n = left( 1 over2 right)^n`]이라 하면 [eqn: a_n b_n =2^n`]이므로

[eqn: lim _{ n->inf} { }a_n b_n =lim _{ } { }2^n =inf]이지만 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}b_n` = {1 over2 } over{ 1- 1 over2} = 1] (거짓)

ㄷ. [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_n b_n`]이 수렴하므로 [eqn: lim _{ n-> inf} { }a_n b_n =0]

따라서 [eqn: lim _{ n-> inf} { } b_n =l`] (단, [eqn: l!=0])이면 [eqn: lim _{ n->inf} { }a_n =0`] (참)

[보 기]

ㄱ. [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_n`]이 발산하면 [eqn: lim _{ n-> inf} { }a_n !=0`]이다.

ㄴ. [eqn: lim _{ n->inf} { }a_n b_n !=0`]이면 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }a_n `]과 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}b_n`]은 모두 발산한다.

ㄷ. [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_n b_n`]이 수렴하고 [eqn: lim _{ n-> inf} { } b_n =l`] (단, [eqn: l!=0])이면
[eqn: lim _{ n->inf} { }a_n =0`]이다.

보라고/2023년/P2/C

두 수열 [eqn: left{a_n right},~left{b_n right}`]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.7점]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

①

ㄱ. (반례) [eqn: a_n = 1 overn] , [eqn: b_n = 2 overn] 일 때 [eqn: a_n < b_n]이지만

[eqn: lim _{ n-> inf} { }a_n = 0,~ lim _{ n-> inf} { }b_n =0] (거짓)

ㄴ. [eqn: a_n -b_n =c_n], [eqn: a_n +b_n =d_n`]이라 하면 [eqn: b_n = {d_n -c_n } over2]

[eqn: lim _{ n-> inf} { }c_n = 1,~ lim _{ n->inf} { }d_n =1]이므로

[eqn: lim _{ n->inf} { } b_n = lim _{ n->inf} { } {d_n -c_n } over2 =0] (참)

ㄷ. (반례) [eqn: a_n = left( 1 over4 right)^n ,~ b_n = 2^n`]이라 하면

[eqn: sum _{ n=1 } ^{inf }a_n b_n], [eqn: lim _{ n-> inf} { }a_n]은 수렴하지만 [eqn: lim _{ n->inf} { }b_n = inf] (거짓)

[보 기]

ㄱ. 두 수열 [eqn: left{a_n right}]과 [eqn: left{b_n `right}]이 수렴할 때
[eqn: a_n < b_n`]이면 [eqn: lim _{ n->inf} { }a_n < lim _{ n->inf} { }b_n`]

ㄴ. [eqn: lim _{ n->inf} { }(a_n -b_n )=1`]이고 [eqn: lim _{ n->inf} { }(a_n +b_n )=1`]이면
[eqn: lim _{ n-> inf} { }b_n =0`]이다.

ㄷ. 모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{a_n right}`]에 대하여 급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_n b_n`]와 수열 [eqn: lim _{ n->inf} { }a_n `]이 수렴하면 [eqn: lim _{ n->inf} { }b_n =0`]이다.

태원고/2023년/P2/C

두 수열 {[eqn: a_{ n}]}, {[eqn: b_{ n}]}에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

④

ㄱ. 반례) [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `:`1,~0,~1,~0,~1,~0,~ CDOTS]	[eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `:`0,~1,~0,~1,~0,~1,~ CDOTS]	[eqn: LEFT { LEFT | a _{n} +b _{n} RIGHT | RIGHT } `:`1,~1,~1,~1,~1,~1,~cdots]	[eqn: LEFT { LEFT | a _{n} -b _{n} RIGHT | RIGHT } `:`1,~1,~1,~1,~1,~1,~cdots]	두 수열 [eqn: LEFT { LEFT | a _{n} +b _{n} RIGHT | RIGHT }], [eqn: LEFT { LEFT | a _{n} -b _{n} RIGHT | RIGHT }]이 모두 수렴하지만 두 수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{b_n right]은 모두 발산한다. (거짓)

ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( 2a _{n} +b _{n} RIGHT ) = alpha], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} -2b _{n} RIGHT ) = beta `]에 수렴하면	[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} = sum _{n=1} ^{INF } {1} over {5} LEFT { 2 LEFT ( 2a _{n} +b _{n} RIGHT ) + LEFT ( a _{n} -2b _{n} RIGHT ) RIGHT } = {1} over {5} LEFT ( 2 alpha + beta RIGHT )], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} = sum _{n=1} ^{INF } {1} over {5} LEFT { LEFT ( 2a _{n} +b _{n} RIGHT ) -2 LEFT ( a _{n} -2b _{n} RIGHT ) RIGHT } = {1} over {5} LEFT ( alpha -2 beta RIGHT )]에 수렴한다. (참)

ㄷ. 수열 [eqn: left{a_n right]에 대하여 [eqn: a _{n+2} = {1} over {n+2} a _{n+1} = {1} over {n+2} TIMES {1} over {n+1} a _{n} `]이 성립하므로 [eqn: {a _{n+2}} over {a _{n}} = {1} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT )} = {1} over {n+1} - {1} over {n+2}]이다.	[eqn: THEREFORE ~ sum _{n=1} ^{INF } {a _{n+2}} over {a _{n}} = sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT )]	[eqn: = lim _{n` -> INF } {} LEFT { LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT ) RIGHT }]	[eqn: = lim _{n` -> INF } {} LEFT ( {1} over {2} - {1} over {n+2} RIGHT ) = {1} over {2}] (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[보 기]

ㄱ. 두 수열 [eqn: LEFT { LEFT | a _{n} +b _{n} RIGHT | RIGHT }], [eqn: LEFT { LEFT | a _{n} -b _{n} RIGHT | RIGHT }]이 모두 수렴하면 두 수열 [eqn: left{a_n right], [eqn: left{b_n right]도 모두 수렴한다.

ㄴ. [eqn: sum_n=1^inf left(2a_n +b_n right)]과 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} -2b _{n} RIGHT )]이 수렴하면 [eqn: sum_n=1^inf a_n]과 [eqn: sum_n=1^inf b_n]이 수렴한다.

ㄷ. 수열 [eqn: left{a_n right]이 [eqn: a _{1}=1], [eqn: a _{n+1} = {1} over {n+1}a _{n}] [eqn: (n=1,~2,~3, cdots)]을 만족시킬 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n+2}} over {a _{n}} = {1} over {2}]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

송림고/2023년(이)/P2/C

두 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }], [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

	[ 보기 ]
ㄱ. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }a_n]과 [eqn: lim _{ n->inf} { } b _{n}]이 모두 수렴하면, [eqn: lim _{n rarrow INF } {a_n b_n}=0]이다. ㄴ. 두 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} +b _{n} )]과 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} -b _{n} )]이 모두 수렴하면, 두 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }], [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]도 모두 수렴한다. ㄷ. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} >b _{n}]이고, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} =alpha]이고 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} = beta]이면, [eqn: alpha>beta]이다.(단, [eqn: alpha,~beta]는 상수)

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ,ㄴ
④ ㄱ,ㄷ	⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

⑤

ㄱ. 참

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }a_n =S]이므로 [eqn: lim _{ n ->inf} { a_n =0}]이고, [eqn: lim _{ n->inf} { } b _{n}=beta]이므로 [eqn: lim _{n rarrow INF } {} a _{n} b _{n} =0]이다.

ㄴ. 참

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} +b _{n} )=A], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} -b _{n} )=B]라 하면,

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }a_n = A+B over2], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} = {A-B} over {2}]

이므로 [eqn: lim _{n rarrow INF } {a _{n}} = lim _{n rarrow INF } {b _{n}} =0]이다.

ㄷ. 참

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} =alpha], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} = beta]이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a_n -b _{n})>0]이다.

따라서 [eqn: alpha>beta]이다.

모두 참이다.

불곡고/2023년/P2/C

다음은 두 수열 [eqn: left{a_n right},~left{b_n right}`]에 대한 명제이다. 옳은 명제의 개수는? (단, [eqn: a_n b_n !=0`]이고, [eqn: S_n =a_1 +a_2 +a_3 +cdots+a_n`]이다.) [4.5점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

③

(가) 등비급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_n`]이 수렴하면 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_2n `]도 수렴한다.

등비급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_n`]이 수렴하므로 [eqn: a_n = a r^n-1`]이라 하면

[eqn: a != 0]이므로 [eqn: -1 < r<1]

[eqn: a _{2n} =ar ^{2n-1}]이므로 공비가 [eqn: r ^{2} `` LEFT ( 0 LEQ r ^{2} <1 RIGHT )]인 등비급수이다.

따라서 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_2n `]도 수렴한다. (참)

(나) 수열 [eqn: left{ 1 overa_n right}`]이 수렴하면 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} left(1 overa_n - 1 overa_n+1 right)`]이 수렴한다.

수열 [eqn: left{ 1 overa_n right}`]이 수렴하므로 [eqn: lim _{ n-> inf} { } 1 overa_n =alpha]라 하면 [eqn: lim _{ n-> inf} { } 1 overa_n+1 =alpha]

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} left(1 overa_n - 1 overa_n+1 right)`]

[eqn: = lim _{ n-> inf } { }left{ left( 1 overa_1 - 1 overa_2 right) +left( 1 overa_2 - 1 overa_3 right) +cdots+left( 1 overa_n - 1 overa_n+1 right) right}]

[eqn: = lim _{ n-> inf} { } left( 1 overa_1 - 1 overa_n+1 right) = 1 overa_1 -alpha] (참)

(다) 수열 [eqn: left{a_n right}]이 양의 무한대로 발산하면 급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } 1 overa_n`]은 수렴한다.

(반례) [eqn: a_n =n]일 때 [eqn: lim _{ n-> inf} { }a_n =inf]

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf } 1 overa_n`= 1 + 1 over2 + 1 over3 + 1 over4 + 1 over5 + 1 over6 + 1 over7 + 1 over8 + cdots]
[eqn: > 1 + 1 over2 + left( 1 over4 + 1 over4 right) + left( 1 over8 + 1 over8 + 1 over8 + 1 over8 right)+ cdots]

[eqn: =1+ 1 over2 + 1 over2 + 1 over2 + cdots = inf] (거짓)

(라) 급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }a_n ,~ sum _{ n=1} ^{inf }b_n`]이 각각 수렴하면
[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }a_n b_n = sum _{ n=1} ^{inf }a_n times sum _{ n=1} ^{inf }b_ n`]이다. (거짓)

(마) 두 등비수열 [eqn: left{a_n right},~left{b_n right}]에 대하여 급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_n b_n `]이 수렴하면

두 급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_n ,~ sum _{ n=1} ^{inf }b_n `] 중에서 적어도 하나는 수렴한다.

위 명제의 대우가 ‘두 등비수열 [eqn: left{a_n right},~left{b_n right}]에 대하여 두 급수

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_n ,~ sum _{ n=1} ^{inf }b_n `]가 모두 발산하면 급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_n b_n `]이 발산한다.’이므로

[eqn: a_n =a r_1 ^n-1 ,~b_n = b r_2 ^n-1 `]이라 하면 [eqn: a_n b_n = ab (r_1 r_2 )^n-1]

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_n ,~ sum _{ n=1} ^{inf }b_n `]이 모두 발산하므로

[eqn: a!=0,~b!=0]이므로 [eqn: |`r_1 `| >1 ,~ |`r_2 `| >1]

따라서 [eqn: ab!=0]이고 [eqn: |`r_1 r_2 `|>1]

그러므로 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_n b_n `]이 발산한다. (참)

이상에서 옳은 명제는 (가), (나), (마)의 [eqn: 3`]개다.

(가) 등비급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_n`]이 수렴하면 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_2n `]도 수렴한다.

(나) 수열 [eqn: left{ 1 overa_n right}`]이 수렴하면 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} left(1 overa_n - 1 overa_n+1 right)`]이 수렴한다.

(다) 수열 [eqn: left{a_n right}]이 양의 무한대로 발산하면 급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } 1 overa_n`]
은 수렴한다.

(라) 급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }a_n ,~ sum _{ n=1} ^{inf }b_n`]이 각각 수렴하면
[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }a_n b_n = sum _{ n=1} ^{inf }a_n times sum _{ n=1} ^{inf }b_ n`]이다.

(마) 두 등비수열 [eqn: left{a_n right},~left{b_n right}]에 대하여 급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_n b_n `]이
수렴하면 두 급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_n ,~ sum _{ n=1} ^{inf }b_n `] 중에서 적어도 하나
는 수렴한다.

분당중앙고/2023년(이)/P2/C

급수의 수렴과 발산에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.2점]

②

ㄱ. 거짓

[반례]

[eqn: LEFT { a_n RIGHT }] : [eqn: 1,~0,~1,~0,~ CDOTS]

[eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }] : [eqn: 0,~1,~0,~1,~ CDOTS]

[eqn: LEFT { a _{n} b _{n} RIGHT }]: [eqn: 0,~0,~0,~0,~CDOTS]

ㄴ. 참

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}=A], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} -b _{n} )=B`]라 하자.

[eqn: b _{n} =a _{n} -(a _{n} -b _{n} )]이므로,

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} = sum _{n=1} ^{INF } LEFT { a_n -(a_n -b_n )RIGHT }][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } a _{n} - sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} -b _{n} )][eqn: =A-B]

ㄷ. 거짓

[반례] [eqn: a _{n} = {1} over {n ^{3}}], [eqn: b_n =n]

따라서 옳은 것은 ㄴ 뿐이다.

[다른 풀이]

ㄷ. [반례] [eqn: a _{n} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n}], [eqn: b _{n} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} `], [eqn: a _{n} b _{n} = LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n} `]이면

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} = {{1} over {2}} over {1- {1} over {2}} =1`](수렴), [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} = LEFT ( -1```또는```0 RIGHT )`](발산)하지만

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} b _{n} = {- {1} over {2}} over {1+ {1} over {2}} =- {1} over {3} `](수렴)하는 경우도 있다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ,	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[보 기]

ㄱ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} b _{n}]이 수렴하면, [eqn: lim _{n` rarrow INF } {a_n}=0] 또는 [eqn: lim _{n` rarrow INF } {b _{n}} =0]이다.

ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]과 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} -b _{n} )]이 수렴하면, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]은 수렴한다.

ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴하고 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]이 발산하면, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} b _{n}]은 발산한다.

분당중앙고/2023년(이)/P2/C

두 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.9점]

③

ㄱ. 참

[eqn: lim _{n rarrow INF } {a _{n} =inf}]이므로 [eqn: lim _{n rarrow INF } 1over{a _{n} }= 0]이므로 [eqn: lim _{n rarrow INF } 1overa_n times{(a _{n} -b _{n} )}=0]이다. 정리하면 [eqn: lim _{n rarrow INF } LEFT { 1- b_n overa_n RIGHT }=0]이므로, [eqn: lim _{n rarrow INF } {a _{n} }overb_n =1]이다.

ㄴ. 거짓

[반례] [eqn: a_n = 1overn], [eqn: b_n =n]

ㄷ. 참

[eqn: b_n =a_n -(a_n -b_n )]이고 극한의 성질에 의해 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 수렴한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ,	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim _{n rarrow INF } {a _{n} =inf}]이고, [eqn: lim _{n rarrow INF } {(a _{n} -b _{n} )=3}]이면, [eqn: lim _{n rarrow INF } {a _{n} }overb_n =1]이다.

ㄴ. [eqn: lim _{n rarrow INF } {a _{n} b _{n} =1}]이고 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 수렴하면, 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 수렴한다.

ㄷ. 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 수렴하고, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} -b _{n} RIGHT }]이 수렴하면,

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 수렴한다.

등비급수의 합

돌마고/2023년/P2/C

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf } left( 1 over2 right)^n cos n over2 pi`]의 값은? [4.3점]

① [eqn: - 1 over3]	② [eqn: - 1 over5]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 2 over5]	⑤ [eqn: 2 over3]

②

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf } left( 1 over2 right)^n cos n over2 pi`]

[eqn: = left( 1 over2 right) cos pi over2 +left( 1 over2 right)^2 cos pi +left( 1 over2 right)^3 cos 3pi over2 +left( 1 over2 right)^4 cos 2pi +cdots]

[eqn: = - 1 over4 + 1 over16 - 1 over64 + cdots]

[eqn: = { - 1 over4} over{1- left( - 1 over4 right)}= - 1 over5]

보라고/2023년/P2/C

등비수열 [eqn: left{a_n right}`]에 대하여 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }a_n =6`]이고 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_2n-1 =4`]일 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} {(a_n )}^2]의 값은? [4.4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

⑤

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }a_n = a over1-r =6`] [eqn: cdots①]

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_2n-1 = a over1-r^2 = a over1-r times 1 over1+r =4] [eqn: cdots②]

[eqn: ②div①]하면 [eqn: 1 over1+r = 2over3]

[eqn: 2+2r=3]

[eqn: r= 1 over2], [eqn: a=3]

[eqn: therefore] [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} {(a_n )}^2 = a^2 over{1-r^2 }= 9 over{1- 1 over4} =12]

한솔고/2023년/P2/C

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 일반항이 [eqn: a _{n} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} -2+p]이고 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF} a _{n}]이 수렴할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF} (-1) ^{n} a _{n} =q]이다. [eqn: pq]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 상수이다.) ([eqn: 2.9]점)

① [eqn: - {2} over {3}]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

②

풀이)

급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF} a _{n}]이 수렴하면 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} = 0] 이므로 [eqn: p =2] 이다.

[eqn: THEREFORE~ a _{n} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n}] 이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF} (-1) ^{n} a _{n} =sum _{n=1} ^{INF} (-1) ^{n} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} =sum _{n=1} ^{INF} LEFT ( -{1} over {2} RIGHT ) ^{n}]

[eqn: = { - 1over 2 } over { 1 - left( - 1 over 2 right)} = - 1over 3]

보평고/2023년/P2/C

등비수열 [eqn: left{a_n right} `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 부등식
[eqn: {2^n+2 -1} over{2^n +1} < sum _{ k=1} ^{n }a_k < {2^n+2 +1} over{2^n -1}]
을 만족시키고 [eqn: 2a_1 =3a_2 `]이다. [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} (a_n )^2 `]의 값은? [4.9점]

① [eqn: 16 over5]	② [eqn: 17 over5]	③ [eqn: 18 over5]
④ [eqn: 19 over5]	⑤ [eqn: 4]

①

등비수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: 2a_1 =3a_2 `]을 만족하므로 [eqn: 2a= 3ar]

[eqn: r= 2 over3] [eqn: cdots①]

[eqn: {2^n+2 -1} over{2^n +1} < sum _{ k=1} ^{n }a_k < {2^n+2 +1} over{2^n -1}]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {2 ^{n+2} -1} over {2 ^{n} +1} LEQ sum _{n=1} ^{INF } a _{n} LEQ lim _{n -> INF } {} {2 ^{n+2} +1} over {2 ^{n} -1}]

[eqn: lim _{ n->inf} { } {2^n+2 -1} over{2^n +1} = 4], [eqn: lim _{ n->inf} { } {2^n+2 +1} over{2^n -1} =4]이므로

[eqn: therefore] [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_n = a over{1- r} =4]

[eqn: ①]을 대입하면 [eqn: a= 4over3]

[eqn: therefore] [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} (a_n )^2 ` = a^2 over{1 -r^2 } = 16 over5]

등비급수의 수렴조건

한솔고/2023년/P2/C

첫째항이 [eqn: 1]인 두 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,`` LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 두 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF} a _{n}], [eqn: sum _{n=1} ^{INF} b _{n}]이 모두 수렴하고 [eqn: sum _{n=1} ^{INF} (a _{n} +b _{n} )= {10} over {3} ,`` sum _{n=1} ^{INF} a _{n} b _{n} = {8} over {7}]
일 때, [eqn: a _{2} ^{2} +b _{2} ` ^{2}]의 값은? ([eqn: 3.1]점)

① [eqn: {5} over {16}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {16}]
④ [eqn: {1} over {8}]	⑤ [eqn: {1} over {16}]

①

풀이)

[eqn: a_n] 의 공비를 [eqn: R], [eqn: b_n]의 공비를 [eqn: r]이라고 하면 첫째항은 모두 1이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF} a _{n} = 1 over 1-R], [eqn: sum _{n=1} ^{INF} b _{n} = 1over 1-r]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF} (a _{n} +b _{n} )= {10} over {3} ,`` sum _{n=1} ^{INF} a _{n} b _{n} = {8} over {7}]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} +b _{n} )= 1 over 1-R + 1 over 1-r = 10 over 3]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF} a _{n} b _{n} = 1over 1-Rr = {8} over {7}]

[eqn: THEREFORE~ Rr = 1over 8]이고,

연립해서 풀면 [eqn: R+r = 3 over 4] 이다.

[eqn: a _{2} ^{2} +b _{2} ` ^{2} = R ^2 + r^2 = ( R+r) ^ 2 - 2 Rr = left( 3 over 4 right)^2 - 2 times 1 over 8]

[eqn: = 5 over 16] 이다.

[eqn: S_n`]과 [eqn: a_n]의 관계를 이용한 급수

이매고/2023년/P2/C

수열 [eqn: left{a_n right}`]의 첫째항부터 제 [eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S_n`]이라 할 때,
[eqn: S_n = kn over{3n+2 } ,~ lim _{ n-> inf} { } n^2 a_n =2`]
이다. [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }a_n`]의 값은? (단, [eqn: k`]는 상수이다.) [4.9점]

① [eqn: 8 over3]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 10 over3]
④ [eqn: 11 over3]	⑤ [eqn: 4]

②

[eqn: S_n = kn over{3n+2 }] [eqn: cdots①]

[eqn: a_n =S_n -S_n-1 = {kn over3n+2 - {k(n-1)} over3n-1]

[eqn: ={kn(3n-1)-k(n-1)(3n+2)} over{(3n+2)(3n-1)]

[eqn: = 2k over{(3n+2)(3n-1)}] [eqn: (n ge2 )] [eqn: cdots②]

[eqn: ①]에서 [eqn: S_1 = k over5], [eqn: ②]에서 [eqn: a_1 = 2k over{5 times2} = k over5]

[eqn: therefore] [eqn: a_n = 2k over{(3n+2)(3n-1)] [eqn: (n ge1)]

[eqn: lim _{ n->inf} { }{n^2 a_n = lim _{ n->inf} { } 2kn^2 over{(3n+2)(3n-1)} = 2k over9 =2]

[eqn: therefore] [eqn: k=9]

[eqn: S_n = 9n over3n+2]

[eqn: therefore] [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}a_n = lim _{ n->inf} { } {9n over3n+2 }= 3]

태원고/2023년/P2/C

[eqn: a _{5} = {1} over {99}]인 수열 [eqn: left{a_n right]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: S _{n} = {kn+3} over {2n+1}]이다. [eqn: lim _{n rarrow INF }n^2 a_n +SUM_{n=1}^{inf}a_n]의 값은? (단, [eqn: k]는 상수이다.) [4점]

②

[eqn: a _{5}][eqn: =S _{5} -S _{4}][eqn: = {5k+3} over {11} - {4k+3} over {9}][eqn: = {k-6} over {99} = {1} over {99} `]

이므로 [eqn: k-6=1`]에서 [eqn: k=7`]

[eqn: n GEQ 2`]일 때 [eqn: a _{n}][eqn: =S _{n} -S _{n-1}]

[eqn: = {7n+3} over {2n+1} - {7n-4} over {2n-1}]

[eqn: = {1} over {(2n+1)(2n-1)}]

이므로

[eqn: lim _{n` rarrow ` INF } {`n ^{2} `a _{`n} `}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {` {n ^{2}} over {LEFT ( 2n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n-1 RIGHT )}}][eqn: = {1} over {4} `]

따라서

[eqn: lim _{n` rarrow ` INF } {`n ^{2} `a _{`n} `}][eqn: +][eqn: sum _{n=1} ^{INF } `a _{n} `][eqn: = {1} over {4} `][eqn: +][eqn: lim _{n` rarrow ` INF } {S` _{n} `}]
[eqn: = {1} over {4} `][eqn: +][eqn: lim _{n` -> ` INF } {{7n+3} over {2n+1} `}][eqn: = {1} over {4} + {7} over {2} = {15} over {4} `]

① [eqn: {13} over {4}]	② [eqn: {15} over {4}]	③ [eqn: {17} over {4}]

④ [eqn: {19} over {4}]	⑤ [eqn: {21} over {4}]

분당중앙고/2023년(이)/P2/C

[eqn: a _{4} `=` {3} over {10}]인 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: S _{n} = {kn+1} over {n+2}]이다. [eqn: lim _{ n ->inf} { n^2 a_n}+ sum _{ n=1} ^{ inf}a_n]의 값은? (단, [eqn: k]는 상수이다.) [4.7점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]
④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

⑤

우선 [eqn: k]부터 구하자.

[eqn: 3 over {10} = a_4 =S_4 -S_3]

[eqn: ={4k+1}over6 - {3k+1}over5]

[eqn: ={2k-1}over30]

따라서 [eqn: k=5]이다.

[eqn: S _{n} = {5n+1} over {n+2} = 5 - 9overn+2]이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} = lim _{n -> INF } {S _{n}} =5]이다.

또한 [eqn: n ge2]에서

[eqn: a_n = S_n -S_n-1]

[eqn: =- 9overn+2 + 9overn+1]

이므로

[eqn: lim _{n rarrow INF } {n ^{2} a _{n}}][eqn: = lim _{n rarrow INF } {n ^{2}} LEFT { 9overn+1 - 9overn+2 RIGHT }]

[eqn: = lim _{n rarrow INF } {n ^{2}} times`9over{(n+1)(n+2)}]

[eqn: =9]

[eqn: lim _{ n ->inf} { n^2 a_n}+ sum _{ n=1} ^{ inf}a_n][eqn: =9+5=14]

등비급수의 활용

한솔고/2023년/P2/C

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정사각형 [eqn: A _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]에 대하여 선분 [eqn: A _{1} B _{1}]을 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: P _{1}], 선분 [eqn: A _{1} D _{1}]을 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: Q _{1}]이라 하고, 삼각형 [eqn: A _{1} P _{1} Q _{1}]의 내접원의 둘레의 길이를 [eqn: l _{1}]이라 하자. 세 선분 [eqn: P _{1} Q _{1} ,``B _{1} C _{1} ,``C _{1} D _{1}]에 모두 접하는 원에 내접하는 정사각형 [eqn: A _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]에 대하여 선분 [eqn: A _{2} B _{2}]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: P _{2}], 선분 [eqn: A _{2} D _{2}]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: Q _{2}]라 하고, 삼각형 [eqn: A _{2} P _{2} Q _{2}]의 내접원의 둘레의 길이를 [eqn: l _{2}]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 삼각형 [eqn: A _{n} P _{n} Q _{n}]의 내접원의 둘레의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF} l _{n} = {(a+b sqrt {2} ) pi} over {17}]이다. [eqn: a+b]의 값은?

③

풀이)

삼각형 [eqn: \A_1 P_1 Q_1]의 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r_1]이라 하면

[eqn: bar{\A_1 A_2}][eqn: = root2 r_1 + r_1]
[eqn: = (root2 +1) r_1][eqn: = root2]

에서

[eqn: r_1 = root2 over{root2 +1}][eqn: = 2- root2]

이므로

[eqn: l_1 = 2(2- root2 )pi]

세 선분 [eqn: \P_1 Q_1], [eqn: \B_1 C_1], [eqn: \C_1 D_1]에 모두 접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r_1 ']이라 하면

[eqn: bar{\A_2 C_1}][eqn: = r_1 ' +root2 r_1 ']
[eqn: = (1+ root2 )r_1 '][eqn: = 2root2]

에서

[eqn: r_1 '][eqn: = {2root2} over{1+root2}][eqn: = 4- 2 root2]

이므로 정사각형 [eqn: \A_2 B_2 C_2 D_2]의 한 변의 길이는

[eqn: root2 r_1 '][eqn: = 4 root2 - 4]

이다.

즉, 정사각형 [eqn: \A_1 B_1 C_1 D_1]과 정사각형 [eqn: \A_2 B_2 C_2 D_2]의 닮음비가
[eqn: 3`:`(4 root2 - 4)]이다.

같은 방법으로 하면 정사각형 [eqn: \A it_n \B it_n \C it _n \D it_n]과 정사각형 [eqn: \A it _n+1 \B it_n+1 \C it_n+1 \D it_n+1]의 닮음비가

[eqn: 3`:`(4 root2 -4 ) = 1`:`{4 root2 -4} over 3]

이므로 수열 [eqn: left{l_n right}]은 첫째항이 [eqn: 2(2- root2 )pi]이고 공비가 [eqn: {4 root2 -4} over 3]인 등비수열이다.

따라서

[eqn: sum_n=1^inf l_n][eqn: ={2(2-root2 ) pi } over{1- {4root2 -4} over 3}]
[eqn: = {6 (2- root2 )pi} over{7- 4 root2}]
[eqn: = {6 (6+root2 )pi} over 17]

(단, 자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: A _{n+1}]은 선분 [eqn: P _{n} Q _{n}] 위에 있고, [eqn: a,``b]는 상수이다.) ([eqn: 3.8]점)

① [eqn: 40]	② [eqn: 41]	③ [eqn: 42]
④ [eqn: 43]	⑤ [eqn: 44]

보라고/2023년/P3/C

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 3root2`]인 정사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1]에 대하여 선분 [eqn: rmA_1 B_1]을 [eqn: 2``:``1`]로 내분하는 점을 [eqn: rmP_1], 선분 [eqn: rmA_1 D_1`]을 [eqn: 2``: ``1]로 내분하는 점을 [eqn: rmQ_1]이라 하고, 직각삼각형 [eqn: rmA_1 P_1 Q_1]의 빗변인 선분 [eqn: rmP_1 Q_1]의 길이를 [eqn: l_1`]이라 하자. 세 선분 [eqn: rmP_1 Q_1 ,~B_1 C_1 ,~C_1 D_1`]에 모두 접하는 원에 내접하는 정사각형 [eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2]에 대하여 선분 [eqn: rmA_2 B_2`]를 [eqn: 2``: ``1`]로 내분하는 점을 [eqn: rmP_2], 선분 [eqn: rmA_2 D_2]를 [eqn: 2``:``1`]로 내분하는 점을 [eqn: rmQ_2]라 하고, 직각삼각형 [eqn: rmA_2 P_2 Q_2]의 빗변인 선분 [eqn: rmP_2 Q_2]의 길이를 [eqn: l_2 `]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 직각삼각형 [eqn: rmA_{itn} rmP_{it n} rm Q_{it n}]의 빗변인 선분 [eqn: rmP_{itn} rmQ_{itn}`]의 길이를 [eqn: l_n`]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}l_n`]의 값은? (단, 자연수 [eqn: n`]에 대하여 점 [eqn: rmA_{itn+1} `]은 선분 [eqn: rmP_{itn} rmQ_{itn}] 위에 있다.) [5.0점]

① [eqn: {12(7- 4root2 )} over17]	② [eqn: {12(7+4root2 )} over17]
③ [eqn: {14(7- 4root2 )} over17]	④ [eqn: {14(7+ 4root2 )} over17]
⑤ [eqn: {14(9- 4root2 )} over17]

②

[eqn: rm bar{A_1 P_1 } = bar{A_1 Q_1 } = 2root2`]이므로 [eqn: l_1 =4]

세 선분 [eqn: rmP_1 Q_1 ,~B_1 C_1 ,~C_1 D_1`]에 모두 접하는 원의 중심을 [eqn: rmO], 반지름을 [eqn: r`]이라 하면

[eqn: rm bar{A_1 A_2} =2 ,~ rm barOA_2 = it r , ~rm barOC_1 = it root2 r ,~rm bar{A_1 C_1 } =6]

[eqn: 2+(root2 +1 ) r=6]

[eqn: r= 4 over{root2 +1} = 4(root2 -1)]

[eqn: rm bar{A_2 C_2 } =it 2r =8(root2 -1)]

[eqn: rm bar{A_1 C_1 } `:`bar{A_2 C_2}` = `6``:``8(root2 -1) `=` 1 ``: ``{4(root2 -1} over3`]이므로

[eqn: l_n`]은 공비가 [eqn: {4(root2 -1)} over3]인 등비수열이다.

[eqn: therefore] [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}l_n` = {4 }over {1- {4( root2 -1)} over3 }= 12 over{7-4root2} = {12(7+4root2 )} over17]

위례고/2023년/P3/C

그림과 같이 좌표평면 위에 점 [eqn: rmP]가 원점 [eqn: rm O]를 출발하여 [eqn: rm P _{1} ,P _{2} ,P _{3} CDOTS `]으로 움직인다. [eqn: bar {rm OP_1 } =1], [eqn: bar {rm P_1 P_2 } = 3 over 4 bar {RM OP_1}], [eqn: bar{rm P _{2} P _{3} it} = {3} over {4} bar{rm P _{1} P _{2} it} `` CDOTS `]일 때, 점 [eqn: rm P _{IT n}]이 한없이 가까워지는 점의 좌표는 [eqn: (a,``b)]이다. 상수 [eqn: a,``b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은? [eqn: [4.6점]]

②

[eqn: rm P _{1} (1,0),````P _{2} LEFT ( 1, {3} over {4} RIGHT ) ,] [eqn: rm P _{3} LEFT ( 1- LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2} , {3} over {4} RIGHT ) ,~P _{4} LEFT ( 1- LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2} , {3} over {4} - LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{3} RIGHT ) ,] [eqn: CDOTS]

[eqn: lim _{n -> INF } {} rm P _{it n rm} = LEFT ( {1} over {1+ {9} over {16}} ,```` {{3} over {4}} over {1+ {9} over {16}} RIGHT ) = LEFT ( {16} over {25} ,```` {12} over {25} RIGHT ) =( it a,``b)]

따라서 [eqn: a-b= {4} over {25}]

① [eqn: 3over 25]	② [eqn: 4 over 25]	③ [eqn: 1over 5]
④ [eqn: 6 over 25]	⑤ [eqn: 7 over 25]

위례고/2023년/P3/C

그림과 같이 중심이 원점 [eqn: rm O]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 사분원 위의 점 [eqn: rm P_1]이 있다. 선분 [eqn: rm OP _{1}]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta ``left( 0< theta < pi over 2 right)]라 하자. 점 [eqn: rm P_1]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H_1]라 하고, 원점 [eqn: rm O]를 중심으로 하고 점 [eqn: rm H_1]을 지나는 원이 선분 [eqn: rm OP_1]과 만나는 점을 [eqn: rm P_2], 점 [eqn: rm P_2]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H_2]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 점 [eqn: rm P _{it n}]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH_{it n}]이라 하고, 원점 [eqn: rm O]를 중심으로 하고 점 [eqn: rmH_{it n}]을 지나는 원이 선분 [eqn: rm OP_1]과 만나는 점을 [eqn: rm P _{it n+1}]라 하자. 삼각형 [eqn: rm OH_{it n} P_{it n}]의 넓이와 부채꼴 [eqn: rm OH _{it n rm} P _{it n+1 }]의 넓이의 차를 [eqn: S_n]이라고 할 때, [eqn: f(theta) = sum _{ n=1 } ^{inf } S_n]라 하자. 이때, [eqn: f` prime LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )]의 값은? [eqn: [5.2점]]

④

[eqn: S _{1} = {cos theta sin theta } over {2} - {1} over {2} `cos ^{2} theta TIMES theta], 공비는 [eqn: cos^2 theta]

[eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) = {{1} over {2} `cos theta sin theta - {1} over {2} ` theta `cos ^{2} theta } over {1-cos ^{2} theta } = {cot theta } over {2} LEFT ( 1- theta cot theta RIGHT )]

[eqn: f` prime ( theta )=- {1} over {2} `csc ^{2} theta (1- theta cot theta )+ {cot theta } over {2} (-cot theta + theta csc ^{2} theta )]

[eqn: f` prime LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) =- {1} over {2} CDOT 2 LEFT ( 1- {pi } over {4} RIGHT ) + {1} over {2} TIMES LEFT ( -1+ {pi } over {4} CDOT 2 RIGHT )]

[eqn: = -1 + pi over 4 - 1 over 2 + pi over 4 = - 3 over 2 + pi over 2]

① [eqn: {pi-1} over 2]	② [eqn: {pi+1} over 2]	③ [eqn: {pi-2} over 2]
④ [eqn: {pi-3} over 2]	⑤ [eqn: {pi+3} over 2]

돌마고/2023년/P3/B

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 20`]인 정삼각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1]에 대하여 선분 [eqn: rmB_1 C_1]의 중점을 [eqn: rmM_1]이라 하자. 선분 [eqn: rmA_1 M_1]을 지름으로 하는 원 [eqn: O_1`]을 그리고 원 [eqn: O_1`]의 내부와 삼각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1]의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: rmR_1]이라 하자. 그림 [eqn: rmR_1]에 원 [eqn: O_1`]과 선분 [eqn: rmA_1 C_1]의 교점 중에서 점 [eqn: rmA_1]이 아닌 점을 [eqn: rmD_1]이라 할 때, 선분 [eqn: rmA_1 D_1]을 한 변으로 하는 정삼각형 [eqn: rmA_2 A_1 D_1]을 삼각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1]의 내부와 겹치지 않게 그리고, 선분 [eqn: rmA_1 D_1]의 중점을 [eqn: rmM_2]라 하자. 선분 [eqn: rmA_2 M_2]를 지름으로 하는 원 [eqn: O_2 `]를 그리고 원 [eqn: O_2`]의 내부와 삼각형 [eqn: rmA_2 A_1 D_1]의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: rmR_2]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: rmR_{it n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: T_n`]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} { }T_n`]의 값은? [5.3점]

① [eqn: 75 over8 (4pi -3root3 )]	② [eqn: 25 over2 (4pi -3root3 )]
③ [eqn: 200 over7 (4pi -3root3 )]	④ [eqn: 625 over18 (4pi -3root3 )]
⑤ [eqn: 140 over3 (4pi -3root3 )]

③

원 [eqn: O_1`]의 중심을 [eqn: rmO]라 하면 [eqn: rm bar{A_1 C_1 }= 20`]이므로

[eqn: rm bar{A_1 M_1} = 20` cos 30Deg = 10root3]

[eqn: therefore] [eqn: rm bar{OA_1} = bar{OD_1} = 5 root3]

[eqn: T_1 = 2 times left{ ( 5root3 )^2 pi times 120Deg over360Deg - 1over2 times(5root3 )^2 sin 120Deg right}]

[eqn: = 2 times left(25pi - {75root3} over4 right)= 25 over2 (4pi -3root3 )]

[eqn: RM BAR{A_1 D_1 } = bar{A_1 M_1 } cos 30Deg = 10root3 times root3 over2 = 15]

[eqn: rm triangleA_1 B_1 C_1`]과 [eqn: rm triangleA_2 A_1 D_1]의 한 변의 길이의 비가 [eqn: 20``:``15 = 1``:`` 3 over4]

따라서 넓이비는 [eqn: 1``: ``9 over16]이므로 공비가 [eqn: 9 over16]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ n-> inf} { } T_n = {25 over2 (4pi- 3root3 )} over{ 1- 9 over16} = 200 over7 (4pi - 3root3 )]

태원고/2023년/P3/B

그림과 같이 [eqn: rm {bar{A _{1} B _{1}}}`=`2], [eqn: rm bar{A_1 D_1}`=4]인 직사각형 [eqn: rm{A_1 B_1 C_1 D_1}]이 있다. 선분 [eqn: rm {A_1 D_1}`] 위의 [eqn: rm {bar{B _{1} C _{1}}} =` {bar{B _{1} E _{1}}}], [eqn: rm {bar{C _{1} B _{1}}} =` {bar{C _{1} F _{1}}}]인 두 점 [eqn: rm{E_1 }],[eqn: rm F _{1}]에 대하여 중심이 [eqn: rm B _{1}]인 부채꼴 [eqn: rm B _{1} E _{1} C _{1}]과 중심이 [eqn: rm C _{1}]인 부채꼴 [eqn: rm C _{1} F _{1} B _{1}]을 각각 직사각형 [eqn: rm{A_1 B_1 C_1 D_1}] 내부에 그리고, 선분 [eqn: rm B _{1} E _{1} `]과 [eqn: rm C _{1} F _{1} `]의 교점을 [eqn: rm G _{1} `]이라 하자. 두 선분 [eqn: rm G _{1} F _{1} `], [eqn: rm G _{1} B _{1} `]과 호 [eqn: rm F _{1} B _{1} `]로 둘러싸인 부분과 두 선분 [eqn: rm G _{1} E _{1} `], [eqn: rm G _{1} C _{1} `]과 호 [eqn: rm E _{1} C _{1} `]로 둘러싸인 부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 [eqn: R_1]이라 하자. 그림 [eqn: R_1]에서 선분 [eqn: rm B _{1} G _{1}] 위의 점 [eqn: rmA_2], 선분 [eqn: rm C _{1} G _{1}] 위의 점 [eqn: rm D_2`], 선분 [eqn: rm B _{1} C _{1}] 위의 두 점 [eqn: rmB_2], [eqn: rmC_2]를 꼭짓점으로 하고 [eqn: rm {bar{A _{2} B _{2}}} ``:`` rm {bar{A _{2} D _{2}}} =1``:``2]인 직사각형 [eqn: rm{A_2 B_2 C_2 D_2 }]를 그리고, 그림 [eqn: R_1]을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 [eqn: rm{A_2 B_2 C_2 D_2 }] 내부에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim _{n rarrow INF } {} S _{n}]의 값은? [5점]

⑤

도형 [eqn: { R _{1} }}`]의 색칠된 부분의 넓이 [eqn: { { S _{1} }}`]은

[eqn: S _{1} it][eqn: =][eqn: 2 TIMES LEFT { RIGHT .](부채꼴 [eqn: {rm F _{1} C _{1} B _{1} }`]의 넓이)[eqn: -]([eqn: rm TRIANGLE G _{1} B _{1} C _{1} ` it]의 넓이)[eqn: RIGHT }]

점 [eqn: {rm { F _{1} }}`]과 [eqn: {rm { G _{1} }}`]에서 [eqn: {rm { bar{B _{1} C _{1}} }}`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: {rm { H }}], [eqn: {rm { M }}`]라고 하면

[eqn: 2]

[eqn: 2]

[eqn: rm bar{F _{1} C _{1}} =4,~ bar{F _{1} H} =2 it `]에서 [eqn: rm ANGLE C _{1} F _{1} H=60 DEG it `]이므로 [eqn: {rm { ANGLE F _{1} C _{1} H=30 DEG }}`]

[eqn: therefore~](부채꼴 [eqn: {rm F _{1} C _{1} B _{1} }`]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES 4 ^{2} TIMES {pi } over {6} = {4pi } over {3}]

[eqn: rm bar{C _{1} M} =2 it `]이고 [eqn: {rm { ANGLE G _{1} C _{1} M=30 DEG }}`]이므로 [eqn: rm bar{G _{1} M} `= rm 2`tan`30 DEG = {2 sqrt {3}} over {3} it]

[eqn: therefore~]([eqn: rm TRIANGLE G _{1} B _{1} C _{1} ` it]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES 4 TIMES {2 sqrt {3}} over {3} = {4 sqrt {3}} over {3}]

따라서 [eqn: S _{1} =2 TIMES LEFT { {4 pi } over {3} - {4 sqrt {3}} over {3} RIGHT } = {8 LEFT ( pi - sqrt {3} RIGHT )} over {3}]

직사각형 [eqn: rm A _{it n} rm B _{it n} rm C _{it n} rm D _{it n} `]에서 [eqn: {bar{rm A _{it n} rm B _{it n}}} =x _{n} `]이라 하면

직사각형 [eqn: rm A _{it n+1} rm B _{it n+1} rm C _{it n+1} rm D _{it n+1} `]에서 [eqn: {bar{rm A _{it n+1} rm B _{it n+1}}} =x _{n+1}]

[eqn: {bar{rm B _{it n} rm B _{it n+1}}} `:` {bar{rm B _{it n+1} rm A _{it n+1}}} = sqrt {3} `:`1`]이므로

[eqn: {LEFT (x _{n} -x _{n+1} RIGHT )`:` x _{n+1} = sqrt {3} `:`1}]

즉 [eqn: x_{n}-x_{n+1}= sqrt { 3} x_{n+1}`]에서 [eqn: {x _{n+1} = {1} over { sqrt { 3}+1 } x _{n}}]

[eqn: THEREFORE~ {x _{n+1} = {sqrt {3} -1} over {2} x _{n}}]

직사각형 [eqn: rm A _{it n} rm B _{it n} rm C _{it n} rm D _{it n}] 내부에 그려진 도형의 넓이와

직사각형 [eqn: rm A _{it n+1} rm B _{it n+1} rm C _{it n+1} rm D _{it n+1} `]의 내부에 새로 그려진 도형의 넓이의 비는 [eqn: {1`:` LEFT ( {sqrt {3} -1} over {2} RIGHT ) ^{2}}`]이므로

공비가 [eqn: LEFT ( {sqrt {3} -1} over {2} RIGHT ) ^{2} =1- {sqrt {3}} over {2}]이다.

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } { S it rm _{n}} it `]은 첫째항은 [eqn: {8 LEFT ( pi - sqrt {3} RIGHT )} over {3} `]이고 공비가 [eqn: {LEFT ( {sqrt {3} -1} over {2} RIGHT ) ^{2}}`]인 등비급수이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n} = {{8 LEFT ( pi - sqrt {3} RIGHT )} over {3}} over {1- LEFT ( 1- {sqrt {3}} over {2} RIGHT )}}][eqn: = {16` sqrt {3} pi -48} over {9}]

① [eqn: {8` sqrt {3} pi -40} over {9}]	② [eqn: {10` sqrt {3} pi -42} over {9}]	③ [eqn: {12` sqrt {3} pi -44} over {9}]

④ [eqn: {14` sqrt {3} pi -46} over {9}]	⑤ [eqn: {16` sqrt { 3} pi -48} over {9}]

보평고/2023년/P3/B

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 20`]인 정삼각형 [eqn: rmAB_1 C_1]에 대하여 선분 [eqn: rmB_1 C_1]의 중점을 [eqn: rmM_1]이라 하자. 선분 [eqn: rm barAM_1]을 지름으로 하고 [eqn: rm bar{B_1 C_1}]과 점 [eqn: rmM_1]에서 접하는 원 [eqn: O_1`]을 그리고 원 [eqn: O_1 `]이 삼각형의 두 변 [eqn: rm barAB_1 ,~ barAC_1]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmB_2 ,~C_2]라 할 때, 원 [eqn: O_1`]의 외부와 삼각형 [eqn: rmAB_1 C_1] 내부의 공통부분  모양에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1`]이라 하자. 그림 [eqn: R_1`]에서 [eqn: rm bar{B_2 C_2}]의 중점을 [eqn: rmM_2]라 하자. [eqn: rmbarAM_2]를 지름으로 하고 [eqn: rm bar{B_2 C_2]와 점 [eqn: rm M_2]에서 접하는 원 [eqn: O_2 `]와 정삼각형 [eqn: rmAB_2 C_2]를 그린다. 그림 [eqn: R_1`]을 얻은 것과 같은 방법으로 원 [eqn: O_2`]의 외부와 삼각형 [eqn: rmAB_2 C_2] 내부의 공통부분  모양에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2`]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R_n`]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n`]이라 할 때, [eqn: lim _{ n-> inf} { }S_n = p root3 +q pi`]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하고 그 과정을 논술하시오. (단, [eqn: p,~q`]는 유리수이다.) [5.0점]

[eqn: 600 over7]

원 [eqn: O_1 `]의 중심을 [eqn: rmO]라 하면

[eqn: rm bar{AM_1} =10 root3]이므로 원의 반지름은 [eqn: 5root3]

[eqn: rm TRIANGLE OAB _{2} = TRIANGLE OAC _{2} = {1} over {2} TIMES (5 sqrt {3} ) ^{2} TIMES sin120 DEG = {75 sqrt {3}} over {4}]

(부채꼴 [eqn: rm OB _{2} C _{2}]의 넓이)[eqn: =75 pi TIMES {120 DEG } over {360 DEG } =25 pi]

[eqn: therefore] [eqn: S_1 = root3 over4 times(20)^2 -25pi - 2 times {75root3} over4]

[eqn: =100 sqrt {3} -25 pi - {75 sqrt {3}} over {2} = {25(5 sqrt {3} -2 pi )} over {2}]

[eqn: rm barAB_2 =2 times 5root3 times cos 30Deg = 10root3 times root3 over2 =15]

[eqn: rm barAB_1 ``:`` barAB_2 ``= 20``: `15 = 1``: `` 3 over4]

길이의 비가 [eqn: 1``: ``3 over4]이므로 넓이비는 [eqn: 1 ``: `` 9 over16]

따라서 공비가 [eqn: 9 over16]이므로

[eqn: therefore] [eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n} = {{25} over {2} (5 sqrt {3} -2 pi )} over {1- {9} over {16}} = {200} over {7} (5 sqrt {3} -2 pi )]

[eqn: p= 1000 over7 ,~q= - 400 over7]

[eqn: therefore] [eqn: p+q = 600 over7]

분당중앙고/2023년(이)/P3/B

그림과 같이 [eqn: rmbar{A_1 B_1}=sqrt2], [eqn: rm {bar{B _{1} C _{1}}} = 2]인 직사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1]의 내부에 점 [eqn: rmB_1]을 중심으로 하고 선분 [eqn: rm{B_1 C_1}]을 반지름으로 하는 원과 선분 [eqn: rmA_1 D_1]의 교점을 [eqn: rmE_1]이라 하자. 두 선분 [eqn: rmE_1 D_1]. [eqn: rmD_1 C_1]과 호 [eqn: rmC_1 E_1]로 둘러싸인 도형의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.
그림 [eqn: R_1]에서 사각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]가 [eqn: rm {bar{A _{2} B _{2}}} : {bar{A _{2} D _{2}}}=1:sqrt2]인 직사각형이 되도록 선분 [eqn: rmB_1 E_1]위의 점 [eqn: rmA_2], 호 [eqn: rmC_1 E_1]위의 점 [eqn: rmD_2], 선분 [eqn: rm B _{1} C _{1}] 위의 두 점 [eqn: rmB _{2} ,~C _{2}]를 잡는다. 점 [eqn: rmB _{2}]를 중심으로 하고 선분 [eqn: rmbar{B _{2} C _{2}]를 반지름으로 하는 원과 선분 [eqn: rmA _{2} D _{2}]의 교점을 [eqn: rmE _{2}]이라 하자. 두 선분 [eqn: rm{B _{2} D _{2}}}], [eqn: rm D _{2} C _{2}]와 호 [eqn: rm C _{2} E _{2}]로 둘러싸인 도형의 내부에 색칠하여 얻은 그림 [eqn: R _{2}]이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n rarrow INF } {} S _{n}]의 값은? [5.7점]

① [eqn: 2- sqrt {2} `- {pi } over {8}]	② [eqn: 4- sqrt {2} `- {pi sqrt2} over {2}]	③ [eqn: 4-2 sqrt {2} `- {pi} over {4}]
④ [eqn: 4- sqrt {2} `- {sqrt2} over {16}] ⑤ [eqn: 4-2 sqrt {2} `- {pi`sqrt2} over {4}]

②

그림 [eqn: R _{2}]에서 직각삼각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} E _{1}]은 [eqn: rm bar {A _{1} B _{1}} `:bar { B _{1} E _{1}} =1: sqrt {2}]이므로, 직각이등변삼각형이다. 따라서 [eqn: rm ANGLE B _{1} B _{2} A _{2} =`piover4]이다.

[eqn: rm bar{B _{1} B _{2} }=` bar{B _{2} A _{2} }= it a]라 하면 조건으로부터 [eqn: rm {bar{B _{2} C _{2}} =sqrt2 ita]이다,

[eqn: rm {bar{B _{1} D _{2} }=2]이므로 직각삼각형 [eqn: rmB_1 C_2 D_2]에 피타고라스의 정리를 적용하면, [eqn: 2^2 = LEFT { (1+sqrt2 )a RIGHT }^2 +a^2][eqn: =(4+2sqrt2`)a ^{2}]이다.

따라서 [eqn: a^2 = 4over{4+2sqrt2} =2-sqrt2]이다.

따라서 길이비는 [eqn: sqrt2`:a]이므로 넓이의 비는

[eqn: 2:a ^{2} =2: LEFT ( 2- sqrt {2} RIGHT ) =1:` {2- sqrt {2}} over {2}]이다.

이제 [eqn: S_1]을 구하자.

[eqn: S _{1} = rm □B _{1} C _{1} D _{1} E _{1} -⌔B _{1} C _{1} E _{1}]이고,

[eqn: rm□B _{1} C _{1} D _{1} E _{1}][eqn: =` {1} over {2} LEFT { 2+ LEFT (2- sqrt {2} RIGHT ) RIGHT } TIMES sqrt {2} =2 sqrt {2} -1]

[eqn: rm ⌔B _{1} C _{1} E _{1}][eqn: = 1over2 times2^2 times piover4 = piover2]이다.

따라서 [eqn: S_1 =2sqrt2 -1- piover2]

[eqn: lim _{n rarrow INF } {} S _{n}][eqn: = {2 sqrt {2} -1- {pi } over {2}} over {1- {2- sqrt {2}}over2 }][eqn: = {4- sqrt {2} -{sqrt {2} ` pi } over {2}}]

송림고/2023년(이)/P3/B

그림과 같이 중심이 [eqn: rmA(0,~1)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에 대하여 원 위의 점 [eqn: rmB(0,~2)]와 점 [eqn: rmP_{itn}]을 이은 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ_{itn}]이라 하자, 이때 점 [eqn: rmP_{itn}]은 다음 규착을 만족한다,

②

[eqn: rm ANGLEP_0 Q_2 B = 3piover8]이므로 [eqn: rm ANGLE P _{0} BQ _{2} = { pi } over {8}]이고

[eqn: rm ANGLE P _{0} AP _{2} = {pi } over {4}](호[eqn: P _{0} P _{2}] 원주각)이다.

따라서 [eqn: l _{1} +l _{2} = {pi } over {4} =(r+1)l _{1}] [eqn: cdots㉠]이다.

[eqn: {9 pi } over {32}=sum _{n=1} ^{INF } l _{n} = l_1 over1-r][eqn: cdots㉡]

㉠, ㉡을 연립하면, [eqn: r=`1over3], [eqn: l _{1} =`3piover16]이다.

[eqn: l _{n} = 3piover16 times LEFT ( 1over3 RIGHT )^n-1]

[eqn: 24l_5 = 24 times 3piover16 times 1over81][eqn: = piover18]

(가) 점 [eqn: rmP_0]는 원점이고, 점 [eqn: rmP_{itn}]은 제 [eqn: 2]사분면의 점이다.

(나) 호 [eqn: rmP_{itn-1}P_{itn}]의 길이를 [eqn: l_n]이라 할 때, [eqn: l_n+1 =r l_n]이다. (단, [eqn: r]은 상수)

[eqn: rm ANGLEP_0 Q_2 B = 3piover8]이고, [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf}l_n = 9piover32]일 때, [eqn: 24l_5]의 값은?

① [eqn: piover36]	② [eqn: piover18]	③ [eqn: piover12]
④ [eqn: piover9]	⑤ [eqn: 5piover36]

송림고/2023년(이)/P3/B

그림과 같이 [eqn: rmbarAB =barAC =4]이고 [eqn: rm ANGLEBAC =90DEG]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 세 변 [eqn: rm AB,~BC,~CA]와 삼각형 [eqn: rmABC]의 내접원의 접점을 각각 [eqn: rm A _{1} ,~B _{1} ,~C _{1}]이라 하고, 삼각형[eqn: rmA_1 B_1 C_1]의 내분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.

⑤

문제로부터 [eqn: rmbarBC =4sqrt2]이고 선분 [eqn: rmbarBB_1 = 2sqrt2]이다,

또한 [eqn: rm {bar{BA _{1}}} =2 sqrt {2}]이다.

두 삼각형 [eqn: rmABC]와 [eqn: rmAA _{1} C _{1}]의 닮음비는

[eqn: 4:(4-2 sqrt {2} )=1: LEFT ( 1- sqrt2 over2RIGHT )]

이므로 두 삼각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1]과 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2}]의 넓이의 비는

[eqn: 1: LEFT ( 3over2 -sqrt2 RIGHT )]

이다. 여기서 삼각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1]의 넓이는

[eqn: rm 1over2 timesbar{A_1 C_1}times bar{A_1 B} sin piover4]

[eqn: = 1over2 times sqrt2 (4-2sqrt2 ) times 2sqrt2 times 1oversqrt2]

[eqn: =4sqrt2 -4]

따라서

[eqn: lim _{n rarrow INF } {S _{n}} ={4sqrt2 -4}over{1- LEFT ( 3over2 -sqrt2 RIGHT ) }][eqn: = {24-8 sqrt {2}} over {7}]

∴[eqn: 7(p-q)=32]

【다른풀이추가】

[eqn: rm TRIANGLE `A _{1} B _{1} C _{1} =a]하자.

[eqn: TRIANGLE ABC= TRIANGLE A _{1} BB _{1} + TRIANGLE C _{1} CB _{1} + TRIANGLE AA _{1} C _{1} + TRIANGLE A _{1} B _{1} C _{1}]

[eqn: 8= {1} over {2} LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} sin {pi } over {4} + {1} over {2} LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} sin {pi } over {4} + {1} over {2} LEFT ( 4-2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} +a]

[eqn: THEREFORE a=4 sqrt {2} -4]

또 세 변 [eqn: rmAA_1], [eqn: rm A _{1} C _{1}], [eqn: rm C _{1} A]와 삼각형 [eqn: rmAA _{1} C _{1}]의 의 내접원의 접점을 각각 [eqn: rm A _{2} ,~B _{2} ,~C _{2}]이라 하고, 삼각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2}]의 내분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠된 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n rarrow INF } {S_n} =p+q sqrt2]를 만족하는 두 유리수 [eqn: p,~q]에 대하여 [eqn: 7(p-q)]의 값은?

① [eqn: 16]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 24]
④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 32]

불곡고/2023년/P3/B

그림과 같이 [eqn: rm bar{A_1 D_1}=4,~bar{A_1 B1} =2`]인 직사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1]이 있다. 두 대각선 [eqn: rmA_1 C_1 ,~B_1 D_1]의 교점을 [eqn: rmE_1]이라 할 때, 두 삼각형 [eqn: rmA_1 B_1 E_1 ,~C_1 D_1 E_1]에 내접하는 원을 그리고 이 두 원의 내부 중 반원 부분만 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1`]이라 하자. 두 삼각형 [eqn: rmE_1 B_1 C_1], [eqn: rmE_1 D_1 A_1]의 변 위에 네 꼭짓점이 있고 가로 세로의 길이의 비가 [eqn: 2``:``1`]인 직사각형을 각각 그린다. 두 직사각형에 각각 [eqn: R_1`]을 얻은 것과 같은 방법으로 두 원을 그리고 각각의 두 원의 내부 중 반원 부분만 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2 `]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 그림 [eqn: R_n`]에 색칠되어 있는 모든 색칠된 반원의 넓이를 [eqn: S_n`]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} { }S_n`]의 값은? [4.7점]

① [eqn: {3(3- root5 )} over7 pi]	② [eqn: {(3- root5 )} over2 pi]
③ [eqn: {4(3- root5 )} over7 pi]	④ [eqn: {9(3- root5 )} over14 pi]
⑤ [eqn: {5(3- root5 )} over7 pi]

④

[eqn: bold{rmB_2}]

[eqn: bold{rmC_2}]

[eqn: bold{rmD_2}]

[eqn: bold{rmA_2}]

[eqn: rm bar{B_1 D_1 }= root4+16 =2root5`]이므로

[eqn: rm bar{A_1 E_1} =bar{B_1 E_1}=bar{C_1 E_1}=bar{D_1 E_1} = root5]

[eqn: rmbar{A_1 B_ 1} `]의 중점을 [eqn: rmM_1]이라 하면 [eqn: rmbar{M_1 E_1 }= 2]

[eqn: rm triangleA_1 B_1 E_1]의 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r_1]이라 하면

([eqn: rm triangleA_1 B_1 E_1]의 넓이)[eqn: = 1 over2 timesr_1 times(2root5 +2)= 1 over2 times2 times2]

[eqn: r_1 = 2 over{root5 +1} = {root5 -1} over2]

([eqn: R_1`]에 색칠된 반원의 넓이)는 반지름이 [eqn: r_1]인 원의 넓이와 같으므로

[eqn: S_1 = left( {root5 -1} over2 right)^2 pi = = left( {6-2root5} over4} right) pi =left( {3-root5} over2 right) pi]

[eqn: rm triangleE_1 B_1 C_1]에 가로가 [eqn: 2k], 세로가 [eqn: k`]인 직사각형을 그리고 네 꼭짓점을 [eqn: rmA_2 ,~B_2 ,~C_ 2 ,~D_2]라 하면

[eqn: rm TRIANGLE B _{1} B _{2} A _{2} `]□[eqn: rm TRIANGLE B _{1} C _{1} D _{1} `]이므로 [eqn: rm bar{B_1 B_2 } = it 2k]

같은 방법으로 [eqn: rm bar{C_1 C_2} =it 2k]

[eqn: 6k=4]

[eqn: therefore] [eqn: k= 2 over3]

[eqn: rm □A_1 B_1 C_1 D_1]과 [eqn: rm □A_2 B_2 C_2 D_2]의 닮음비는 [eqn: 1 ``: `` 1 over3`]이므로

넓이비는 [eqn: 1 ``: `` 1 over9]

[eqn: R_2`]에서 새로 색칠된 도형의 개수는 [eqn: 2`]배 증가하였으므로 공비는 [eqn: 2 over9]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ n-> inf}{} S_n = {left({3-root5} over2 right)pi} over{ 1- 2 over9 } = {9(3-root5 )} over14 pi]

수내고/2023년/P3/B

그림과 같이 [eqn: rm {bar{A _{1} B _{1}}} ``=1,~`` rm {bar{B _{1} C _{1}}} =``2``]인 직사각형 [eqn: rm{A_1 B_1 C_1 D_1}``]이 있다. 선분 [eqn: rm{A_1 D_1}``]의 중점 [eqn: rm{E_1 }``]에 대하여 두 선분 [eqn: rm B _{1} D _{1}``], [eqn: rm C _{1} E _{1}``]이 만나는 점을 [eqn: rm{F_1 }``]이라 하자. [eqn: rmbar{G _{1} E_1}=rmbar{G _{1} F_1}``]이 되도록 [eqn: rm{B_1 D_1}``]위에 점 [eqn: rm{G_1 }``]을 잡아 사각형 [eqn: rm{A_1 B_1 G _{1} E_1}``]을 그린다. 사각형 [eqn: rm{A_1 B_1 G _{1} E_1}``]과 삼각형 [eqn: rm E _{1} F _{1} D _{1}``]으로 만들어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1``]이라 하자. 그림 [eqn: R_1``]에서 선분 [eqn: rmB_1 F_1``] 위의 점 [eqn: rmA_2``], 선분 [eqn: rm B _{1} C _{1}``] 위의 두 점 [eqn: rmB_2``], [eqn: rmC_2``], 선분 [eqn: rm C _{1} F _{1}``] 위의 점 [eqn: rm D_2``]를 꼭짓점으로 하고 [eqn: rm {bar{A _{2} B _{2}}} ``:`` rm {bar{B _{2} C _{2}}} =1``:``2``]인 직사각형 [eqn: rm{A_2 B_2 C_2 D_2 }``]를 그린다.

④

[eqn: angle{rmB _{1} E _{1} F _{1} }= {pi} over {2} `]이고, [eqn: bar{rmG _{1} E _{1} }=bar{rmG _{1} F _{1} }`]이므로

점 [eqn: rmG _{1} `]은 삼각형 [eqn: rmB _{1} F _{1} E _{1} `]의 외접원의 중심이다.

[eqn: bar{rmB _{1} G _{1} }=bar{rmG _{1} F _{1} }``]이므로

삼각형 [eqn: rmG _{1} F _{1} E _{1} `]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmB _{1} F _{1} E _{1} `]의 넓이의 [eqn: {1} over {2} `]이다.

[eqn: bar{rmB _{1} E _{1} }= sqrt {2} `], [eqn: {bar{rm E _{1} F _{1}}} = {sqrt {2}} over {3} `]이므로

삼각형 [eqn: rmG _{1} F _{1} E _{1} `]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( {1} over {2} TIMES {bar{rm B _{1} E _{1}}} TIMES {bar{rm E _{1} F _{1}}} RIGHT ) = {1} over {4} TIMES sqrt {2} TIMES {sqrt {2}} over {3} = {1} over {6} `]

[eqn: THEREFORE``` S _{1} = {1}- {1} over {6} = {5} over {6} ``]

사각형 [eqn: rm{A_1 B_1 G _{1} E_1}``]과 삼각형 [eqn: rm E _{1} F _{1} D _{1}``]으로 만들어진 모양의 도형의 넓이를 [eqn: T _{n} `]이라 하자.

[eqn: {bar{rm A _{it n+1} rm B _{it n+1}}} =a`][eqn: LEFT ( a> 0 RIGHT ) `]이라 하면

[eqn: rm {bar{B _{itn} rm B _{itn+1}}} =2 it a`], [eqn: rm {bar{B _{itn+1} rm C _{itn+1}}} =2 it a`], [eqn: rm {bar{C _{it n+1} rm C _{it n}}} = it a`]

[eqn: rm {bar{B _{it n} rm C _{it n}}} =5 it a`]

[eqn: {bar{rm B _{it n+1} rmC _{it n+1}}} = {2} over {5} {bar{rm B _{it n} rmC _{it n}}} `]

두 직사각형 [eqn: rm A _{it n} rmB _{it n} rmC _{it n} rmD _{it n} `], [eqn: rm A _{it n+1} rmB _{it n+1} rmC _{it n+1} rmD _{it n+1} `]의

닮음비는 [eqn: 1: {2} over {5} `]이므로 넓이의 비는 [eqn: 1 ^{2} : LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{2} `]이다.
[eqn: T _{n+1} = {4} over {25} T _{n}`]

수열 [eqn: LEFT { T _{n} RIGHT } `]은 첫째항이 [eqn: T _{1} =S _{1} = {5} over {6} ``]이고 공비가 [eqn: {4} over {25} `]인 등비수열이다.

따라서 [eqn: lim _{n` rarrow ` INF } {S _{n} = sum _{n=1} ^{INF } T _{n} ``]

[eqn: = {{5} over {6}} over {1- {4} over {25}} = {125} over {126} `}``]이다.

[eqn: THEREFORE``` p+q`=`251``]이다.

직사각형 [eqn: rm{A_2 B_2 C_2 D_2 }``]에 그림 [eqn: R_1``]을 얻은 것과 같은 방법으로 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2``]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n``]번째 얻은 그림 [eqn: R_n``]에 색칠되어있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n``]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf S_n ={q} over {p}``]이다. [eqn: p+q``]의 값은? (단, [eqn: p,~q``]는 서로소인 자연수이다.) [5.0점]

① [eqn: 197``]	② [eqn: 215``]	③ [eqn: 233``]

④ [eqn: 251``]	⑤ [eqn: 269``]

태전고/2023년/P1/B

그림과 같이 선분 [eqn: rm A_1 B_1]을 지름으로 하는 반원 [eqn: rm O_1]에 대해 [eqn: rm bar{ A_1 B_1} =2]이고 [eqn: rm bar{ A_1 C_1} : rm bar{ B_1 C_1} =root 3 :1]을 만족하는 호 [eqn: rm { A_1 B_1}] 위의 점을 [eqn: boldrmC_1]이라 하자. 선분 [eqn: rm { A_1 B_1}]위의 두 점 [eqn: rm { A_2 , `` B_2}]를 양 끝점으로 하는 선분 [eqn: rm { A_2 B_2}]를 지름으로 하고 삼각형 [eqn: rm { A_1 B_1} C_1]에 내접하는 반원을 [eqn: rm O_2]라 하자. [eqn: rm bar{ A_2 C_2} : rm bar{ B_2 C_2} =root 3 :1]을 만족하는 호 [eqn: rm { A_2 B_2}] 위의 점을 [eqn: rm C_2]이라 하자. 이와 같은 과정을 한없이 반복한다고 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }rm bar{B_n C_n]의 값은? [eqn: [5.3점]]

④

두 번째 원의 반지름을 [eqn: r]이라 하면 [eqn: 2= 2r + r over root 3] [eqn: therefore ~ r= {2root3 } over {2root3 +1}]

따라서 [eqn: rm bar{ A_1 B_1 }=2 ,~ bar {A_1 B_2 }= {4root3 } over { 2root3 +1 }]이므로

공비 [eqn: {2root3 }over { 2root3 +1}]이고 첫항 [eqn: 1]인 등비무한급수이다.

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }rm bar{B_n C_n][eqn: = 1 over { 1 - {2root3 } over {2root3 +1} } = 2root3 +1]

① [eqn: 5 - 2root3]	② [eqn: 3 - root3]	③ [eqn: 1 +root3]
④ [eqn: 1 +2root3]	⑤ [eqn: 2+root3]

급수(step3)

2.

태원고/2023년/P2/B

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 집합

⑤

[eqn: x ^{2} -1<a<x ^{2} +2x`]이므로

[eqn: x=1`]일 때 [eqn: 0<a<3`] [eqn: :~a=1,``2]

[eqn: x=2`]일 때 [eqn: 3<a<8`] [eqn: :~a=4,``5,``6,``7]

[eqn: x=3`]일 때 [eqn: 8<a<15`] [eqn: :~a=9,``10,``11,``12,``13,``14]

[eqn: VDOTS]

따라서 [eqn: a=3,``8,``15,` CDOTS `]일 때 만족시키는 자연수 [eqn: x]가 존재하지 않으므로 [eqn: a _{1} =3,~a _{2} =8,~a _{3} =15,~ CDOTS `]

그러므로 [eqn: a_{`n}`][eqn: =n ^{`2} +2n=n LEFT ( n+2 RIGHT )]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {2} over {a _{n}} `][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } {2} over {n(n+2)} `]

[eqn: = sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+2} RIGHT ) `]

[eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT { LEFT ( {1} over {1} - {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {4} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {5} RIGHT ) +` CDOTS ` RIGHT .}]
[eqn: + left( {1} over {n-1} - {1} over {n+1} right) + left( {1} over {n} - {1} over {n+2} right) RIGHT } ``}`]

[eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT ( {1} over {1} + {1} over {2} - {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT )} `][eqn: = {3} over {2} `]

[eqn: A= LEFT { x LEFT | x^2 -1<a<x^2 +2x, ~x RIGHT.]는 자연수[eqn: LEFT. ITRIGHT }]

가 공집합이 되도록 하는 자연수 [eqn: a]를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, [eqn: n]번째 수를 [eqn: a_n`]이라 하자. 예를 들어 [eqn: a=3]은 [eqn: x ^{2} -1<a<x ^{2} +2x]를 만족시키는 자연수 [eqn: x]가 존재하지 않는 첫 번째 수이므로 [eqn: a_1 =3]이다. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {2} over {a _{n}}]의 값은? [5.5점]

① [eqn: {11} over {2}]	② [eqn: 9 over2]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

태전고/2023년/Q1/B

등비급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} LEFT ( {x-3} over 2 RIGHT )^n]에 대하여 물음에 답하시오. [[eqn: 9.0]점]

(1) [eqn: x= 2,``3,``4] (2) [eqn: - 1 over 3 ,~ 0,~1]

(1) 등비급수가 수렴해야 하므로 [eqn: LEFT | r RIGHT | <1]이어야 하므로

[eqn: -1 < {x-3} over 2 <1 ,~ 1<x<5]이므로 [eqn: x= 2,``3,``4]

(2) 공비가 [eqn: x-3 over 2]이고 첫항이 [eqn: x-3 over 2]인 등비무한급수이므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} LEFT ( {x-3} over 2 RIGHT )^n][eqn: = { x-3 over 2 } over {1 - { x-3 over 2} }= x-3 over 5-x]이다.

따라서 [eqn: x= 2]일 때, [eqn: - 1 over 3], [eqn: x=3]일 때 [eqn: 0], [eqn: x=4]일 때 [eqn: 1]이다.

(2-1) 등비급수 [eqn: sum _{ n=1} ^{ inf} LEFT ( {x-3} over 2 RIGHT )^n]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 값을 구하고 과정을 서술하시오. [[eqn: 4.0]점]

(2-2) (2-1)에서 구한 [eqn: x]의 값에 따른 등비급수의 합을 각각 구하고, 과정을 서술하시오. [[eqn: 5.0]점]

영덕여고/2023년/P2/A

함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

④

[eqn: (나)]에서 [eqn: f(x-1) = -f(x)]에서 [eqn: f(x) =-f(x+1)]이고,

[eqn: f(x-1)=f(x+1)]이므로 주기가 [eqn: 2]인 주기함수이며, [eqn: (가)]의 조건으로 그린 그래프를 [eqn: x]축으로 [eqn: 1]만큼 평행이동 후 [eqn: x]축 대칭이동하여 그래프를 그려서 [eqn: 1 le x <2]까지의 그래프를 그린 후 주기를 이용하여 남은 그래프를 완성하면 아래 그림과 같다.

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 치역은 [eqn: -2 le f(x) le 2]이고, [eqn: y= - 1over2n x +1]의 그래프에 이 치역의 범위를 적용하면 [eqn: (-2n,~2),~(6n,~-2)]를 지나는 직선이고, 각 주기 당 하나의 교점을 만들게 되므로 [eqn: -2n le x le6n]까지는 주기가 [eqn: 4n]개를 지나므로 [eqn: a_n =4n]이다.

[eqn: sum_n=1^inf 1over{a_n+1 a_n+3 } = sum_n=1^inf 1over{(4n+4)(4n+12)} = 1over16 sum_n=1^inf 1over{ (n+1)(n+3)]

[eqn: = 1over16 sum_n=1 ^inf 1over2 left( 1overn+1 - 1overn+3 right) ~(because~부분분수)]

[eqn: = 1over32 lim_n->inf left( 1over2 + 1over3 - 1overn+2 - 1overn+3 right) = 5 over192]

[eqn: therefore~p+q = 192 +5 = 197]

[eqn: (가)] [eqn: 0le x <1]일 때, [eqn: f(x) = -2x+2]이다.

[eqn: (나)] 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x-1)= -f(x)]이다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y = - 1over2n x +1]이 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 만나는 서로 다른 점의 개수는 [eqn: a_n]이라 하자. [eqn: sum_n=1^inf 1over{a_n+1 a_n+3} = q overp]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: [4.7점]]

① [eqn: 29]	② [eqn: 53]	③ [eqn: 101]
④ [eqn: 197]	⑤ [eqn: 389]

영덕여고/2023년/P3/B

그림과 같이 [eqn: bar{ A_1 B_1} =2 ,~ bar{B_1 A_2 } = 3]이고 [eqn: angleA_1 B_1 A_2 = pi over3]인 삼각형 [eqn: A_1 A_2 B_1]과 이 삼각형의 외접원 [eqn: O_1]이 있다. 점 [eqn: A_2]를 지나고 직선 [eqn: A_1 B_1]에 평행한 직선이 원 [eqn: O_1]과 만나는 점 중 [eqn: A_2]가 아닌 점을 [eqn: B_2]라 하자. 두 선분 [eqn: A_1 B_2 ,~B_1 A_2]가 만나는 점을 [eqn: C_1]이라 할 때, 두 삼각형 [eqn: A_1 A_2 C_1 ,~B_1 C_1 B_2]로 만들어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자. 그림 [eqn: R_1]에서 점 [eqn: B_2]를 지나고 직선 [eqn: B_1 A_2]에 평행한 직선이 직선 [eqn: A_1 A_2]와 만나는 점을 [eqn: A_3]이라 할 때, 삼각형 [eqn: A_2 A_3 B_2]의 외접원을 [eqn: O_2]라 하자. 그림 [eqn: R_1]을 얻은 것과 같은 방법으로 두 점 [eqn: B_3 ,~C_2]를 잡아 원 [eqn: O_2]에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻을 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: lim_n->inf S_n = p overq sqrt3]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: [4.4점]]

①

[eqn: {bar{A_1 A_2}}^2 = 2^2 +3^2 -2 cdot 2 cdot 3 cdot cos pi over3 = 7] [eqn: ( BECAUSE ~코사인법칙)]

[eqn: {bar{A _{1} A _{2}}} over {sin {pi } over {3}} =2R~( BECAUSE ~사인법칙)]

[eqn: therefore~ R = sqrt{ 7 over3]

사각형 [eqn: A_1 B_1 B_2 A_2]와 사각형 [eqn: A_2 B_2 B_3 A_3]는 닮은 도형이고 닮음비는 [eqn: bar{A_1 B_1} : bar{A_2 B_2} = 2:1]이므로 넓이비는 [eqn: 4:1 = 1: 1over4]이다.

따라서 등비급수의 공비는 [eqn: 1over4]이고, 첫번째부분의 넓이는 사다리꼴 [eqn: A_1 B_1 B_2 A_2]에서 정삼각형 [eqn: A_1 B_1 C_1]과 정삼각형 [eqn: A_2 B_2 C_1]을 제외하면 된다.

[eqn: left(because~angleA_1 B_1 A_2 = angleB_1 A_2 B_2 (엇각)=angleA_1 B_2 A_2 ( { arch { A_1 A_2}의``원주각) = pi over3 right)]

그러므로 첫째항은 [eqn: (2+1)over2 times 3 over2 sqrt3 - sqrt3 over4 times 2^2 - sqrt3 over4 times 1^2 = sqrt3]이다.

[eqn: therefore~lim _n->inf S_n = sqrt3 over{1 - 1over4} = 4over3 sqrt3]이므로 [eqn: p=4,~q=3]

따라서 [eqn: p+q=7]

① [eqn: 7]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 15]
④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 23]

이매고/2023년/Q3/A

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2+root3`]인 정삼각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1]이 있다. 선분 [eqn: rm B_1 D_1]을 지름으로 하는 반원이 선분 [eqn: rmC_1 A_1]과 접하도록 선분 [eqn: rmB_1 C_1] 위의 점 [eqn: rmD_1]을 잡고, 반원 [eqn: rmB_1 D_1]이 선분 [eqn: rmA_1 B_1]과 만나는 두 점 중 [eqn: rmB_1]이 아닌 점을 [eqn: rmP_1], 반원 [eqn: rmB_1 D_1`]이 선분 [eqn: rmC_1 A_1]과 만나는 점을 [eqn: rmQ_1]이라 할 때, 삼각형 [eqn: rmA_1 P_1 Q_1]의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1`]이라 하자. 그림 [eqn: R_1`]에 선분 [eqn: rmP_1 Q_1]의 중점 [eqn: rmA_2]와 선분 [eqn: rmB_1 C_1] 위의 두 점 [eqn: rmB_2 ,~C_2]를 꼭짓점으로 하는 정삼각형 [eqn: rmA_2 B_2 C_2]를 그린다. 정삼각형 [eqn: rmA_2 B_2 C_2]에 그림 [eqn: R_1`]을 얻은 것과 같은 방법으로 삼각형 [eqn: rmA_2 P_2 Q_2]를 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2`]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R_{it n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n`]이라 할 때, [eqn: lim _{ n-> inf} { } S_n`]의 값은? [5.3점]

① [eqn: root3 over2]	② [eqn: {1+root3} over2]	③ [eqn: {2+root3 } over2]
④ [eqn: {1+2root3} over2]	⑤ [eqn: 1+root3]

⑤

원의 중심을 [eqn: rmO]라 하고 반지름의 길이를 [eqn: r`]이라 하면

[eqn: rm bar{OB_1 }= it r ,~ rm barOC_1 = it 2 overroot3 r]

[eqn: rm barOB_1 + barOC_1 = it r left( {2+root3} overroot3 right) = 2+root3`]이므로 [eqn: r=root3]

[eqn: rm bar{B_1 P_1 }=itr= root3 ,~ rm bar{C_1 Q_1} = it 1 overroot3 r =1]

[eqn: therefore] [eqn: rmbar{A_1 P_1} = 2+root3 -root3 =2,~ bar{A_1 Q_1} = 2+root3 -1 \=root3 +1]

[eqn: S_1 = 1 over2 times2 times(root3 +1) times sin60Deg = root3 over2 (root3 +1 )]

점 [eqn: rm P _{1} ,~A _{2} ,~Q _{1}]에서 선분 [eqn: rmB_1 C_1]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmE,~H,~F]라 하면

[eqn: rm bar{P_1 E} = root3 sin 60Deg = 3 over 2 ,~ rm bar{Q_1 F} = 1times sin 60Deg = root3 over 2]

점 [eqn: rmA_2]가 선분 [eqn: rmP_1 Q_1]의 중점이므로

[eqn: rm bar{A_2 H} = { bar{P_1 E }+ bar{Q_1 F} }over2 = {3+root3 } over4]

삼각형 [eqn: rmA_2 B_2 C_2]의 한 변의 길이를 [eqn: a`]라 하면

[eqn: root3 over2 a ={3+root3} over4]이므로 [eqn: a={root3 +1} over2]

삼각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1]과 삼각형 [eqn: rmA_2 B_2 C_2]의 길이의 비가

[eqn: 2+root3 ``:`` {root3 +1} over2``= 1``: ``{root3 -1} over{2}]

넓이비는 [eqn: 1``: ``{2-root3} over2]이므로 공비가 [eqn: {2-root3} over 2]인 등비수열이다.

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ n-> inf} { } S_n`][eqn: ={root3 over2 (root3 +1)} over{1-{ 2-root3 } over2} =root3 +1]

25년 내신대비	미적분	미분

2.

여러가지 미분법

지수로그함수의 미분(step1)

1.

[eqn: lim_x->0 ( 1+ x ) ^{ 1 over x]

돌마고/2023년/Q1/D

[eqn: lim _{ x-> inf} { } left( 1 + 4 overx right)^{x over2} `]의 값은? [4.4점]

① [eqn: 1 overe^8]	② [eqn: 1 overroote]	③ [eqn: roote]
④ [eqn: e^2]	⑤ [eqn: e^8]

④

[eqn: lim _{ x->inf} { } left( 1+ 4 overx right) ^ {x over2} =lim _{ x->inf} { } left( 1+ 4 overx right) ^ {x over4 times2} =e^2]

위례고/2023년/Q1/D

[eqn: lim _{ x->0} { LEFT ( 1+ x RIGHT )^ {2overx} }]의 값은? [eqn: [3.9점]]

⑤

[eqn: lim _{ x->0} { LEFT ( 1+ x RIGHT )^ {2overx} } = lim _{ x->0} { left {LEFT ( 1+ x RIGHT )^ {1overx }right} }^2 =e^2]

① [eqn: 1 over e^2]	② [eqn: 1over e]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: e]	⑤ [eqn: e^2]

보평고/2023년/Q1/D

교실 안의 [eqn: n`]명의 학생이 각자 자신의 자리에 앉아 있다. 모두 밖으로 나간 뒤 다시 교실에 들어와 무작위로 자리에 앉는다고 하자. 이때, 한 학생이 자신의 자리에 앉지 못할 확률은 [eqn: n-1 overn`]이므로 모든 학생이 자신의 자리에 앉지 못할 확률을 [eqn: left( n-1 overn right)^n`]이다. 학생의 수가 무한히 많을 때, 모든 학생이 자신의 자리에 앉지 못할 확률은? [4.4점]

① [eqn: 1 overe^2]	② [eqn: 1 overe]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: e]	⑤ [eqn: e^2]

②

[eqn: lim _{ n-> inf} { } left(n-1 overn right)^n = lim _{ n-> inf} { } left( 1- 1 overn right)^{-n times (-1)} = e^-1 = 1 overe]

[eqn: lim_x->0 {ln (x+1) } over x]

이매고/2023년/Q1/D

[eqn: lim _{ x-> 0} { } {ln(1+2x)} over{x^2 +4x} `]의 값은? [4.4점]

① [eqn: 1 over8]	② [eqn: 1 over4]	③ [eqn: 3 over8]
④ [eqn: 1 over2]	⑤ [eqn: 5 over8]

④

[eqn: lim _{ x->0} { }{ln(1+2x)} over{x(x+4)}times 2 over2 = 2 over4 = 1 over2]

보라고/2023년/Q1/D

[eqn: lim _{ x->0} { }{ln(1+7x)} over{x^2 +x}`]의 값은? [4.2점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 11 over2]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 13 over2]	⑤ [eqn: 7]

⑤

[eqn: lim _{ x->0} { }{ln(1+7x)} over{x^2 +x}` = lim _{ x->0} { }{ln(1+7x)}over7x times 7 over{x+1}` = 7]

[eqn: lim_x->0{log_a (1+x) } over x]

한솔고/2023년/Q1/D

[eqn: lim _{x`rarrow`0} {{2 ^{ax+b} -4} over {log _{2} (2x+1)} =4}]일 때, 두 상수 [eqn: a,``b]에 대하여 [eqn: {a} over {b}]의 값은?

①

풀이)

[eqn: lim _{x` -> `0} {{2 ^{ax+b} -4} over {log _{2} (2x+1)}= {{2 ^{ax+b} -4} over{x} over {{log _{2} (2x+1)}over { x} } = 4] 이므로 [eqn: b = 2] 이다.

[eqn: lim _{x` -> `0} {{2 ^{ax+2} -4} over { x } = lim _{x` -> `0} 4times{{2 ^{ax} -1} over { x } = a ln2]

[eqn: lim _{x` -> `0} {{log _{2} (2x+1)}over { x} } = lim _{x` -> `0} {{log _{2} (1+2x )}over { x} } = 2 over ln2]가 된다.

[eqn: { a ln2 } over { 2 over ln2 } `= a over 2 ( ln2 ) ^2 = 4]

[eqn: a = 2 over {( ln2 ) ^2}] 이다. [eqn: THEREFORE~ a over b =][eqn: {1} over {(ln2) ^{2}}]이다.

(단, [eqn: b!=0]) ([eqn: 3.2]점)

① [eqn: {1} over {(ln2) ^{2}}]	② [eqn: {2} over {(ln2) ^{2}}]	③ [eqn: {3} over {(ln2) ^{2}}]
④ [eqn: {4} over {(ln2) ^{2}}]	⑤ [eqn: {5} over {(ln2) ^{2}}]

[eqn: lim_x->0{e^x -1} over x]

송림고/2023년(이)/Q1/D

[eqn: lim _{x` rarrow 0} {e^2x-1}over{ln(1+x)}]의 값은?

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3over2]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5over2]

④

[eqn: lim _{x` rarrow 0} {e^2x-1}over{ln(1+x)} =lim _{x` rarrow 0} {LEFT { {e^2x -1}over 2x times x over{ln(1+x)}} times 2x overx RIGHT }}]

[eqn: =1times 1 times 2]

[eqn: =2]

영덕여고/2023년/Q1/D

[eqn: lim _{x -> 0} {} {log` _{2} (1+3x ^{2} )} over {x(e ^{2x} -1)}]의 값은? [eqn: [3.7점]]

②

[eqn: lim_x->0 {ln(1+3x^2 )} over{ln2} times 2x over{e^2x -1} times 1over2x^2]

[eqn: =lim_x->0 {ln(1+3x^2 )} over3x^2 times 2x over{e^2x -1} times 3 over{2ln2} = 3 over{2ln2}]

[eqn: left( because~ lim_x->0 ln(1+x) overx =1 ,~ lim_x->0 {e^x -1} overx =1 right)]

① [eqn: 2 over{3 ln2}]	② [eqn: 3 over{ 2ln2]	③ [eqn: 3 overln2]
④ [eqn: {3ln2} over2]	⑤ [eqn: 3ln2]

지수로그함수의 미분가능성

위례고/2023년/Q1/D

두 상수 [eqn: a,``b]에 대하여 함수	[eqn: f(x)= {cases{3x+b~~~~&(x LEQ 1)#a lnx+4~~~&(x>1)}}]

④

[eqn: 3+b=4,~~3=a]

따라서 [eqn: a+b=4]

가 [eqn: x=1]에서 미분가능할 때, [eqn: a+b]의 값은? [eqn: [4.0점]]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

지수로그함수의 미분(step2)

1.

[eqn: lim_x->0 ( 1+ x ) ^{ 1 over x]

영덕여고/2023년/Q1/C

[eqn: x>0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x) = (1+x)^ {3 overx}]에 대하여 [eqn: <보기>]에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [eqn: [4.3점]]

⑤

[eqn: f(2) = 3^ {3 over2 } = 3sqrt3 = sqrt27]

[eqn: f(3) = 4][eqn: =sqrt16]이므로 [eqn: f(2)>f(3)] [eqn: therefore~][eqn: ㄱ]은 참

[eqn: lim_x->0+ f(x) = lim_ x->0+ left{(1+x)^ { 1overx } right}^3 =e^3] [eqn: therefore~ㄴ]은 참

[eqn: f(x) = (1+ x)^{ 3overx }]의 양변에 자연로그를 취하면

[eqn: lnf(x)=ln(1+x) ^{{3} over {x}} = {3} over {x} `ln(1+x)]

양변을 [eqn: x]에 관하여 미분하면

[eqn: {f prime (x)} over {f(x)} =- {3} over {x ^{2}} `ln(1+x)+ {3} over {x} TIMES {1} over {1+x}]이므로

[eqn: x=3]을 대입하면

[eqn: {f prime (3)} over {f(3)} =- {1} over {3} `ln4+ {1} over {4}]이고, [eqn: f(3) = 4]이므로

[eqn: f prime (3)=1- {4} over {3} `ln4] [eqn: therefore~ㄷ]은 참

[보 기]

[eqn: ㄱ.] [eqn: f(2) >f(3)]

[eqn: ㄴ.] [eqn: lim_x->0+ f(x) = e^3]

[eqn: ㄷ.] [eqn: f prime (3)=1- {4} over {3} `ln4]

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄱ,~ㄴ]
④ [eqn: ㄴ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄷ]

[eqn: lim_x->0 {ln (x+1) } over x]

태전고/2023년/Q1/C

[eqn: lim _{ x->inf} { ax ln LEFT ( 1+ 4 over x RIGHT ) }=8]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [eqn: [5.0 점]]

②

[eqn: lim _{ x->inf} { ax ln LEFT ( 1+ 4 over x RIGHT ) }= 4a lim _{ x->inf} { x over 4 ln LEFT ( 1+ 4 over x RIGHT ) }= 4a]

[eqn: a=2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3] .

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim_x->0{e^x -1} over x]

불곡고/2023년/Q1/C

[eqn: lim _{ x->0} { }{e^4x -1} overx+a =b`]를 만족시키는 상수 [eqn: a,~b`]에 대하여 [eqn: a-b`]의 값은? [4.4점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

①

[eqn: lim _{ x->0} { }{e^4x -1} overx+a =b`]일 때

(분자)[eqn: ->``0]이므로 (분모)[eqn: ->``0]

[eqn: lim _{ x->0} { }(x+a)=a=0]

[eqn: lim _{ x->0} { }{e^4x -1} overx+a =lim _{ x->0} { }{e^4x -1} overx times 4 over4 = 4]

[eqn: b=4]

[eqn: therefore] [eqn: a-b=-4]

[eqn: lim_x->0 {a^x -1} over x]

분당중앙고/2023년(이)/Q1/C

[eqn: lim _{x` -> 0} {} `ln LEFT ( {2 ^{x} +3 ^{x}} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {x}}]의 값은? [5.3점]

① [eqn: ln`sqrt6]	② [eqn: ln2 sqrt {2}]	③ [eqn: ln sqrt {10}]
④ [eqn: ln2 sqrt {3}]	⑤ [eqn: ln sqrt14]

①

[eqn: lim _{x` -> 0} {} `ln LEFT ( {2 ^{x} +3 ^{x}} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {x}}][eqn: = lim _{x` rarrow 0} {} {ln LEFT ( {2 ^{x} +3 ^{x}} over {2} RIGHT )} overx][eqn: = lim _{x` -> 0} {} {ln LEFT ( 2 ^{x} +3 ^{x} RIGHT ) -ln2} over {x}]

이다. 여기서 [eqn: f(x)=ln(2^x +3^x )]이라 하면 [eqn: f(0)=ln2]이다.

따라서

[eqn: lim _{x` -> 0} {} `ln LEFT ( {2 ^{x} +3 ^{x}} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {x}}][eqn: = lim _{x` rarrow 0} {f(x)-f(0)}overx][eqn: =f'(0)]이다.

[eqn: f(x)=ln(2^x +3^x )]에서 [eqn: f'(x)= {2^x ln2 + 3^ x ln3}over{2^x +3^x}]이므로

[eqn: f prime (0)= {ln6} over {2} =ln sqrt6]

보라고/2023년/Q1/C

[eqn: lim _{ x->0} { }{4^x -3^x} over{e^x -1}`]의 값은? [4.3점]

① [eqn: ln`2 -ln`3]	② [eqn: 2`ln`2 - ln`3]	③ [eqn: 2`ln`2]
④ [eqn: ln`2+ ln `3]	⑤ [eqn: 2`ln`2 +ln`3]

②

[eqn: lim _{ x->0} { }{4^x -3^x} over{e^x -1}`=lim _{ x->0} { }{4^x -1 -3^x +1} over{e^x -1}`]

[eqn: =lim _{ x->0} { }left{{4^x -1} over x -{3^x -1} over x right} times x over{e^x -1}`]

[eqn: = 2`ln` 2- ln`3]

이매고/2023년/Q1/C

두 상수 [eqn: a,~b`]에 대하여 [eqn: lim _{ x->0} { }{2^ax+b -8} over{log_2 (4x+1) } =6`]일 때, [eqn: a timesb`]의 값은? [4.9점]

① [eqn: 5 over{(ln`2)^2 }]	② [eqn: 6 over{(ln`2)^2 }]	③ [eqn: 7 over{(ln`2)^2 }]
④ [eqn: 8 over{(ln`2)^2 }]	⑤ [eqn: 9 over{(ln`2)^2 }]

⑤

[eqn: lim _{ x->0} { }{2^ax+b -8} over{log_2 (4x+1) } =6`]

[eqn: lim _{ x->0} { } log _2 (4x+1)=0`]이므로 [eqn: lim _{ x->0} { }(2^ax+b -8 )= 2^b -8 =0]

[eqn: therefore] [eqn: b=3]

[eqn: lim _{ x->0} { }{2^ax+3 -8} over{log_2 (4x+1) } = lim _{ x->0} { }{8(2^ax -1)} over{log_2 (1+4x) }]

[eqn: = lim _{ x->0} { }{8(2^ax -1)} overax times 4x over{log_2 (1+4x) } times a over4]

[eqn: = 8 times ln`2 timesln`2 times a over4]

[eqn: = 2a `(ln`2)^2 =6]

[eqn: therefore] [eqn: a= 3 over{(ln`2)^2]

[eqn: therefore] [eqn: ab= 9 over{(ln`2)^2]

보평고/2023년/Q1/C

[eqn: lim _{ x-> 0} { } {16^x -2^x } over{ln(x+1) `]의 값은? [4.3점]

① [eqn: ln`2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2`ln`2]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3`ln`2]

⑤

[eqn: lim _{ x-> 0} { } {16^x -2^x } over{ln(x+1) ` }= lim _{ x->0} { } {x over ln(1+x) times left{ {16^x -1} overx - { 2^x -1} overx right}]

[eqn: =1 times (ln`16 -ln`2)=3`ln`2]

지수로그함수의 극한응용(미정계수)

태전고/2023년/Q1/C

두 상수 [eqn: a,`b]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = cases{ {x(e^x -1) +a} over {1-cos x}& ~~~(x!=0)#b &~~~(x=0) }]가 [eqn: x=0]에서 연속일 때, [eqn: a+b]의 값은? [eqn: [4.9점]]

②

[eqn: lim _{ x-> 0} { {x(e^x -1) +a} over {1-cos x}}}=b]이고 [eqn: a=0]

[eqn: lim _{ x->0} { {x(e^x -1) } over {1-cos x}} = lim _{ x->0} { { x^2 LEFT ( {e^x -1} over x RIGHT )(1+cosx)} over {1-cos^2 x} }]

[eqn: = lim _{ x->0} { LEFT ( x over sinx RIGHT )^2 cdot {e^x -1} over x cdot (1+cos x ) }=2=b]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

영덕여고/2023년/Q1/C

함수 [eqn: f(x) = e^x left[ 2x right] + (ax+b) left[ e^ x-1 right]]가 [eqn: x=1]에서 미분가능할 때, [eqn: f(2)]의 값은? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 가장 큰 정수이다.) [eqn: [4점]]

④

[eqn: x=1]에서 미분가능하려면 [eqn: x=1]에서 연속이어야 하므로

[eqn: lim_x->1+ f(x) = lim_ x->1+ "{"e^x left[2x right] +(ax+b)left[ e^x-1 right]"}" = 2e+a+b]

[eqn: (because~x->1+이면 ~2x->2+,~e^x-1 ->1+이므로][eqn: lim_x->1+ [2x]=2,~lim_x->1+ [e^x-1 ]=1 )]

[eqn: lim_x->1- f(x) = lim_x->1- "{"e^x left[ 2x right] +(ax+b)left[ e^x-1 right]"}" = e]

[eqn: (because~x->1-이면~2x->2-,~e^x-1 ->1-이므로][eqn: lim_x->1- [2x]=1,~lim_x->1- [e^x-1 ]=0 )]

[eqn: lim_x->1+ f(x) = lim_x->1- f(x) = f(1)]에서 [eqn: a+b = -e]이다.....................㉮

[eqn: x=1]에서 미분가능하려면 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 하므로

먼저 [eqn: x=1]근처에서의 [eqn: f(x)]를 구하면

[eqn: f(x)= {cases{e ^{x} TIMES 1+(ax+b) TIMES 0=e ^{x~} ~~~~~~~~``(0.5<x<1)#e ^{x} TIMES 2+(ax+b) TIMES 1=2e ^{x} +ax+b~(1<x<1.5)}}]이고

이를 이용하여 [eqn: x=1]근처에서의 도함수 [eqn: f prime(x)]를 구하면

[eqn: f prime (x)= {cases{e ^{x~~~~~~~} ``(0.5<x<1)#2e ^{x} +a~(1<x<1.5)}}]이다.

[eqn: lim_x->1- f prime(x) = e]이고, [eqn: lim_x->1+ f prime(x) = 2e+a]에서

[eqn: a= -e]이다. 이를 ㉮에 대입하면 [eqn: b= 0]이다.

[eqn: therefore~f(2) =][eqn: 4e^2 -4e =4e(e-1)]

① [eqn: e(e-1)]	② [eqn: 2e(e-1)]	③ [eqn: 3e(e-1)]
④ [eqn: 4e(e-1)]	⑤ [eqn: 5e(e-1)]

지수로그함수의 극한응용(도형)

태원고/2023년/Q1/C

함수 [eqn: f(x)= LEFT | ln`x RIGHT |]와 양수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=t]가 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: rmP,~Q]라 할 때, 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rmP`]에서의 접선의 기울기를 [eqn: m_{rmP}], 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rmQ]에서의 접선의 기울기를 [eqn: m_{rmQ}]라 하자. [eqn: m _{rm Q}it -m _{rm P} = {5} over {2}]일 때, [eqn: t]의 값은? (단, 점 [eqn: rmP`]의 [eqn: x]의 좌표는 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]의 좌표보다 작다.) [4점]

①

[eqn: x`geq`1]일 때 [eqn: lnx`geq`0,~0<x<1]일 때 [eqn: lnx<0]

[eqn: f(x)= {cases{-lnx&`````(0<x<1)#```````lnx&`````(x` GEQ `1)}}]

곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=t]가 만나는 서로 다른 두 점 [eqn: rm`P,~Q]의 [eqn: x]좌표는 각각 두 방정식 [eqn: -lnx=t], [eqn: lnx=t]의 해와 같다.

즉, [eqn: -lnx=t]에서 [eqn: x=e ^{-t}]이므로 점 [eqn: rm`P]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: e ^{-t}]이고

[eqn: lnx=t]에서 [eqn: x=e ^{t}]이므로 점 [eqn: rm`Q]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: e ^{t}]이다.

[eqn: 0<x<1]일 때, [eqn: f`prime`(x)=(-lnx)`prime`=`- {1} over {x}]이므로

점 [eqn: rm`P]에서의 접선의 기울기는 [eqn: m _{rm P it} =`- {1} over {e ^{-t}} =`-e ^{t}]

[eqn: x`geq`1]일 때, [eqn: f` prime `(x)=(lnx)` prime = {1} over {x}]이므로

점 [eqn: rm`Q]에서의 접선의 기울기는 [eqn: m _{rm Q it} = {1} over {e ^{t}}]

[eqn: m _{rmQ} -it m _{rmP} =it {1} over {e ^{t}} -(-e ^{t} )= {1} over {e ^{t}} +e ^{t}]이므로

[eqn: {1} over {e ^{t}} +e ^{t} = {5} over {2}]

양변에 [eqn: 2e ^{t}]을 곱하고 식을 정리하면

[eqn: 2e ^{2t} -5e ^{t} +2=0]

[eqn: (2e ^{t} -1)(e ^{t} -2)=0]에서 [eqn: e ^{t} =2 ^{-1}] 또는 [eqn: e ^{t} =2]

즉, [eqn: t=`-ln2] 또는 [eqn: t=ln2]

[eqn: t>0]이므로 따라서 [eqn: t=ln2]

① [eqn: ln2]	② [eqn: ln3]	③ [eqn: ln4]

④ [eqn: ln5]	⑤ [eqn: ln6]

보평고/2023년/Q1/C

[eqn: t!=1`]인 양수 [eqn: t`]에 대하여 직선 [eqn: y=t`]와 두 곡선 [eqn: y=e^x], [eqn: y=ln`x]가 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 하고, 점 [eqn: rmA]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC], 점 [eqn: rmB]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmD]라 하자. 두 점 [eqn: rmC,~D] 사이의 거리를 [eqn: f(t)`]라 할 때, [eqn: f`prime(2)=p+qe^2`]이다. [eqn: p+q`]의 값은? (단, [eqn: p,~q`]는 유리수이다.) [5.1점]

① [eqn: 1 over6]	② [eqn: 1 over5]	③ [eqn: 1 over4]
④ [eqn: 1 over3]	⑤ [eqn: 1 over2]

⑤

[eqn: e^x =t`]에서 [eqn: x= ln`t]	[eqn: rm A( it `ln`t,~t)]

[eqn: ln`x =t`]에서 [eqn: x=e^t]	[eqn: rmB(ite^t ,~ t)]

[eqn: rm C( it `ln`t,~0),~ rm D it (e ^{t} ,~0)]

[eqn: f(t)= e^t - ln`t]

[eqn: f`prime(t)= e^t - 1 overt]

[eqn: f`prime(2)=e^2 - 1 over2]이므로 [eqn: p= - 1over2 ,~q=1]

[eqn: therefore] [eqn: p+q= 1 over2]

분당중앙고/2023년(이)/Q1/C

그림과 같이 곡선 [eqn: y=ln(1+4x)]의 제 [eqn: 1]사분면 위의 점 [eqn: rm P LEFT ( it a,~ln LEFT ( 1+4a RIGHT ) RIGHT ) `]에 대하여 선분 [eqn: rmOP]의 중점 [eqn: rmM]을 지나고 선분 [eqn: rmOP]와 수직인 직선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 하자. 삼각형 [eqn: rmPMA], [eqn: rmBOM]의 넓이를 각각 [eqn: S(a)], [eqn: T(a)]라 할 때, [eqn: lim _{ a ->0+} {S(a) }overT(a)]의 값을 구하고, 그 풀이 과정을 서술하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [9.0점]

[eqn: 16]

선분 [eqn: rmAB]는 선분 [eqn: rmOP]의 수직이등분선이므로 삼각형 [eqn: rmPMA]의 넓이와 삼각형 [eqn: rmAOM]의 넓이는 같다.

따라서 [eqn: {S(a)}overT(a)][eqn: = rm {barAM} over {barBM}][eqn: = {LEFT ( rm M의 it ````y좌표 RIGHT )} over {LEFT ( rm B의 it ````y좌표 RIGHT ) - LEFT ( rm M의 it ````y좌표 RIGHT )}]이다.

이제 세 점 [eqn: rm M], [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 좌표를 구하자.

직선 [eqn: rmOP]의 기울기는 [eqn: {ln(1+4a)}overa]이고 점 [eqn: rmM]의 좌표는

[eqn: LEFT ( a over2 ,~{ln(1+4a)}over2 RIGHT )]이므로 직선 [eqn: rmAB]의 방정식을 구하면

[eqn: y=- {a}over{ln(1+4a)} LEFT ( x - a over2 RIGHT ) + {ln(1+4a)}over2]이다.

따라서 두 점 [eqn: rmA,~B]의 좌표는 각각

[eqn: rm A LEFT ( {it (ln(1+4a)) ^{2} +a ^{2}} over {it 2a} ,~0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 0,~ {it a ^{2} +(ln(1+4a)) ^{2}} over {2ln(1+4a)} RIGHT )]이다.

[eqn: rm {{bar{AM}}} over {{bar{BM}}}=][eqn: {{ln(1+4a)} over {2}} over { {a ^{2} +(ln(1+4a)) ^{2}} over {2ln(1+4a)} -{ln(1+4a)}over2}]

[eqn: = {{(ln(1+4a))^2} over {{a ^{2}} }]

[eqn: = LEFT ( {ln(1+4a)} over {a} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: lim _{a rarrow 0+} {} {S(a)} over {T(a)}][eqn: =lim _{a rarrow 0+} { LEFT ( {ln(1+4a)} over {a} RIGHT ) ^{2} =4^2]

위례고/2023년/Q1/C

양수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=t]와 곡선 [eqn: y=e^x]가 만나는 점을 [eqn: rm A], 직선 [eqn: y=t]와 곡선 [eqn: y= ln(x-1)]가 만나는 점을 [eqn: rm B]라 하자. 점 [eqn: rm A]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm C], 점 [eqn: rm B]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm D]라 할 때, 직사각형 [eqn: rm ABCD]의 넓이를 [eqn: S(t)]라 하자. 이때, [eqn: S``'(1)]의 값은? [eqn: [4.5점]]

③

[eqn: rm A][eqn: (lnt,``t)], [eqn: rm C][eqn: (lnt,``0)], [eqn: rmB][eqn: (e ^{t} +1,``t)], [eqn: rm D][eqn: (e ^{t} +1,``0)]에서

[eqn: S(t)= LEFT ( e^t +1 -lnt RIGHT ) times t]이므로

[eqn: S` prime (t)= LEFT ( e ^{t} - {1} over {t} RIGHT ) TIMES t+(e ^{t} +1-lnt)]

[eqn: S`'(1)=e-1+e+1][eqn: =2e]

① [eqn: 2(e-1)]	② [eqn: 2e-1]	③ [eqn: 2e]
④ [eqn: 2e+1]	⑤ [eqn: 2(e+1)]

지수함수의 도함수

이매고/2023년/Q1/C

함수 [eqn: f(x)=2^x+2 +8^ x`]에 대하여 [eqn: {f`prime(0)} over{ln `2} `]의 값은? [4.6점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

③

[eqn: f(x)=2^x+2 +8^ x`]

[eqn: f`prime(x)= 2^x+2` ln`2 + 8^x `ln`8]

[eqn: f`prime(0)= 4`ln`2 + ln`8 =7 `ln`2]

[eqn: therefore] [eqn: {f`prime(0)} over{ln`2} =7]

태전고/2023년/Q1/C

[eqn: f(x) = e^2x over { e^x +1}]일 때, [eqn: f`'(1)]는? [eqn: [5.1점]]

①

[eqn: f`'(x) = {2 e^2x (e^x +1) - e^2x cdot e^x } over { (e^x +1)^2 }]

[eqn: f`'(1) = {2e^2 (e+1) - e^3 } over {(e+1)^2 }= {e^2 (e+2) }over (e+1)^2]

① [eqn: {e^3 + 2e^2 } over (e+1)^2]	② [eqn: {e^3 + 2e } over (e+1)^2]	③ [eqn: {5e^2 } over (e+1)^2]
④ [eqn: {e^3 + 2e } over (e+1)]	⑤ [eqn: {e^3 + 2e^2 } over (e+1)]

이매고/2023년/Q1/C

함수 [eqn: f(x)=(x^2 +ax+b)(e^x-c -1)`]에 대하여 [eqn: f`prime(c)=b`]이고 [eqn: 3`] 이하의 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: lim _{ x-> n } { }f(x) overx-n `]의 값이 존재할 때, [eqn: a^2 +b^2 +c^2 `]의 값은? (단, [eqn: a,~b,~c`]는 상수이다.) [5.2점]

① [eqn: 20]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 22]
④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 24]

③

[eqn: f(x)=(x^2 +ax+b)(e^x-c -1)`]

[eqn: f`prime(x)=(2x+a)(e^x-c -1)+(x^2 +ax+b)e^x-c]

[eqn: f`prime(c)=c^2 +ac+b =b`]

[eqn: c(a+c)=0]

[eqn: therefore] [eqn: c=0] 또는 [eqn: a=-c]	[eqn: cdots①]

[eqn: lim _{ x-> 1 } { }f(x) overx-1 `,~lim _{ x-> 2 } { }f(x) overx-2 ,~lim _{ x-> 3 } { }f(x) overx-3]의 값이 존재하므로

[eqn: f(1)=f(2)=f(3)=0]

ⅰ) [eqn: f(x)=(x-1)(x-2)(e^x-3 -1) =(x^2 -3x+2)(e^x-3 -1)]일 때

[eqn: a=-3,~b=2,~c=3`]이므로 [eqn: ①]의 조건을 만족함

ⅱ) [eqn: f(x)=(x-1)(x-3)(e^x-2 -1) =(x^2 -4x+3)(e^x-2 -1)]일 때

[eqn: a=-4,~b=3,~c=2`]이므로 [eqn: ①]의 조건을 만족하지 않음

ⅲ) [eqn: f(x)=(x-2)(x-3)(e^x-1 -1) =(x^2 -5x+6)(e^x-1 -1)]일 때

[eqn: a=-5,~b=6,~c=1`]이므로 [eqn: ①]의 조건을 만족하지 않음

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의해 [eqn: a=-3,~b=2,~c=3`]

[eqn: therefore] [eqn: a^2 +b^2 +c^2 =9+4+9=22]

로그함수의 도함수

태원고/2023년/Q1/C

[eqn: lim _{h rarrow ` 0} {} {e} over {h} LEFT { {1} over {ln(e+h)} -1 RIGHT }]의 값은? [3점]

①

[eqn: f LEFT ( h RIGHT ) = {1} over {ln(e+h)} `]로 놓으면 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1`]이므로

[eqn: lim _{h -> `0} {} {e} over {h} LEFT { {1} over {ln(e+h)} -1 RIGHT } =e TIMES lim _{h -> `0} {} {f LEFT ( h RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT )} over {h} =e TIMES f`' LEFT ( 0 RIGHT )]

이때 [eqn: f` prime LEFT ( h RIGHT ) =`- {1} over {LEFT ( e+h RIGHT ) LEFT { ln(e+h) RIGHT } ^{2}} `]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =`- {1} over {e} `]

따라서 [eqn: e TIMES f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =-1]

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1} over {e}]	③ [eqn: 1OVERe]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: e]

영덕여고/2023년/Q1/C

함수 [eqn: f(x) = ln left|x-1right|+left| ln (-x+1) right|]에 대하여 [eqn: lim_h->0 {f(h) -f(-h)} overh]의 값을 구하시오. [eqn: [8점]]

[eqn: -2]

[eqn: lim_h->0+ {f(h)-f(-h)} overh]

[eqn: = lim _{h rarrow 0+} {} {"{"ln(1-h)-ln(1-h)"}"-"{"ln(1+h)+ln(1+h)"}"} over {h}]

[eqn: = lim _{h -> 0+} {} LEFT { -2 cdot{ln(1+h)} over {h} RIGHT } =-2]

[eqn: lim_h->0- {f(h)-f(-h)} overh]

[eqn: = lim _{h rarrow 0-} {} {"{"ln(1-h)+ln(1-h)"}"-"{"ln(1+h)-ln(1+h)"}"} over {h}]

[eqn: = lim _{h -> 0-} {} LEFT { -2 cdot {ln(1-h)} over {-h} RIGHT } =-2]

[eqn: therefore] [eqn: lim_h->0+ {f(h)-f(-h)} overh][eqn: =][eqn: lim_h->0- {f(h)-f(-h)} overh][eqn: =-2]이므로

[eqn: lim_h->0 {f(h) - f(-h)} overh =-2]이다.

송림고/2023년/Q1/C

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ln LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) - LEFT | lnx RIGHT |]에 대하여 [eqn: lim _{h rarrow 0} {{f LEFT ( 1+h RIGHT ) -f LEFT ( 1-h RIGHT )} over {h}}]의 값은? [[eqn: 4.2]점]

⑤

[eqn: ln LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) ,~ LEFT | lnx RIGHT | =h LEFT ( x RIGHT )]라 하면

[eqn: lim _{h rarrow 0} {{f LEFT ( 1+h RIGHT ) -f LEFT ( 1-h RIGHT )} over {h}}][eqn: = lim _{h rarrow 0} {{g LEFT ( 1+h RIGHT ) -g LEFT ( 1-h RIGHT )} over {h} +} lim _{h rarrow 0} {{h LEFT ( 1+h RIGHT ) -h LEFT ( 1-h RIGHT )} over {h}}]

[eqn: =2g' LEFT ( 1 RIGHT ) + lim _{h rarrow 0} {{LEFT | ln LEFT ( 1+h RIGHT ) RIGHT | - LEFT | ln LEFT ( 1-h RIGHT ) RIGHT |} over {h}}]

[eqn: =2+ lim _{h rarrow 0+} {{ln LEFT ( 1+h RIGHT ) +ln LEFT ( 1-h RIGHT )} over {h}}]

[eqn: =2+0=2]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

지수로그함수의 미분(step3)

1.

수내고/2023년/Q1/B

두 상수 [eqn: a``], [eqn: b``]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=a`ln`x`+x+b``]라 하자. [eqn: lim _{x` rarrow `1} `{f(x^3 )`f` prime (x-1)} =- {3} over {4}``]일 때, [eqn: f`(e^2 )``]의 값은? (단, [eqn: a`!=0``] 이다.) [4.7점]

①

[eqn: f(x)=a`ln`x`+x+b`,`````f` prime `(x)= {a} over {x} `+`1``]

[eqn: lim _{x` rarrow `1} `{f`(x^3 )f` prime (x-1)} ``]

[eqn: =`lim _{x` rarrow `1} ` LEFT ( `3`a`ln`x`+x^3 +b` RIGHT ) ` LEFT ( `a overx-1 `+`1 `RIGHT ) ``]

(수렴하므로 [eqn: b=-1``]이다.)

[eqn: =`lim _{x` rarrow `1} ` LEFT ( `{3`a^2`ln`x}over x-1 `+` 3`a`ln x`+` a`(x^2 +x+1)`+`x^3 -1 `RIGHT ) ``]

[eqn: =` 3`a^2 +3`a``][eqn: =- {3} over {4}``]

에서 [eqn: a=- 1over2 ``]

따라서 [eqn: f`(e^2 )`=`2`a+e^2 +b`=`e^2 -2``]이다.

① [eqn: e^{2}-2``]	② [eqn: e^{2} -1``]	③ [eqn: e^{2}``]

④ [eqn: e^{2}+1``]	⑤ [eqn: e^{2}+2``]

위례고/2023년/Q1/B

곡선 [eqn: y=ln(x+1)] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP][eqn: (a,`b)]가 있다. 점 [eqn: rm P]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 곡선 [eqn: y=e^x -1]과 만나는 점을 [eqn: rm Q]라 하고, 점 [eqn: rmP]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 직선 [eqn: y=x]와 만나는 점을 [eqn: rm R]이라고 할 때, [eqn: lim _{a` rarrow 0+} {{rm bar {OR }^2 -bar {QR}^2}over a^2}]의 값은? (단, [eqn: rm O]는 원점이고, [eqn: a>0]이다.) [eqn: [4.8점]]

②

두 함수가 역함수이므로 [eqn: rm P][eqn: (a,b)], [eqn: rm Q][eqn: (b,a)], [eqn: rm R][eqn: LEFT ( a+b over 2 , a+b over 2 RIGHT )]이다.

[eqn: rm bar OR][eqn: = LEFT ( a+b over 2 RIGHT )root2], [eqn: rm bar QR][eqn: =LEFT ( b-a over2 RIGHT )root2]

[eqn: lim _{a` rarrow 0+} {{rm bar {OR }^2 -bar {QR}^2}over a^2}][eqn: = lim _{a -> 0+} {{{LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2}} over {2} - {LEFT ( b-a RIGHT ) ^{2}} over {2}} over {a ^{2}}} = lim _{a -> 0+} {{2ln(a+1)} over {a}} =2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

분당중앙고/2023년(이)/Q1/B

다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(2)=-2,] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {a _{n} a _{n+1}} = {1} over {4}]

조건 (가)의 [eqn: -1=lim _{x rarrow INF } {} {f(x)-x ^{3}} over {x ^{3} ln LEFT ( 1+ {3} over {x} RIGHT )}]에서 [eqn: lim _{x rarrow INF } {{ ln LEFT ( 1+ {3} over {x} RIGHT )}} over{3overx } =1]이므로

[eqn: -1= lim _{x rarrow INF } {} {f(x)-x ^{3}} over {x ^{3} ln LEFT ( 1+ {3} over {x} RIGHT )}][eqn: = lim _{x rarrow INF } {} {f(x)-x ^{3}} over {x ^{3} TIMES {3} over {x} TIMES {ln LEFT ( 1+ {3} over {x} RIGHT )} over {{3} over {x}}}]

[eqn: = lim _{x rarrow INF } {} {f(x)-x ^{3}} over {x ^{3} TIMES {3} over {x}}][eqn: = lim _{x rarrow INF } {} {f(x)-x ^{3}} over {3x ^{2}}]

따라서 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} +ax+b][eqn: cdots㉠]라 할 수 있다

조건 (나)에서

[eqn: 3= lim _{x rarrow 1} {} {f(x)} over {e ^{-x+1} -1}]

분모[eqn: ->0]이므로, 분자[eqn: ->0]인데 연속함수이므로 [eqn: f(1)=0]이다.

식 ㉠을 적용하면 [eqn: f(x)=(x-1)(x ^{2} -2x+c)]이다.

[eqn: 3= lim _{x rarrow 1} {} {(x-1)(x ^{2} -2x+c)} over {e ^{-x+1} -1}]

[eqn: 3= lim _{u -> 0} {} {u LEFT { (u+1) ^{2} -2(u+1)+c RIGHT }} over {e ^{-u} -1}] (∵[eqn: x-1=u])

[eqn: = lim _{u -> 0} {} {u LEFT { (u+1) ^{2} -2(u+1)+c RIGHT } e ^{u}} over {- LEFT ( `e ^{u} -1 RIGHT )}]

[eqn: =- lim _{u -> 0} {} LEFT { (u+1) ^{2} -2(u+1)+c RIGHT } TIMES lim _{u -> 0} {{u} over {e ^{u} -1}} TIMES lim _{u -> 0} {`e ^{u}}]

[eqn: =1-c]

∴ [eqn: f(x)=(x-1)(x ^{2} -2x-2)][eqn: =x ^{3} -3x ^{2} +2]

[eqn: f'(x)=3x ^{2} -6x]이고 [eqn: f(0)=2], [eqn: f(2)=-2], [eqn: f(3)=2]이다.

[eqn: y=-2]

[eqn: y=2]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: -2` LEQ `f(x)` LEQ 2]이므로 직선 [eqn: y= 1over3n-2 x]에서

[eqn: y=2]일 때, [eqn: x=2(3n-2)=6n-4]이고 원점을 지난다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

[eqn: 3]

[eqn: 6]

[eqn: 9]

[eqn: a _{1} =1]

[eqn: 15]

[eqn: 12]

[eqn: a _{2} =5]

[eqn: a _{3} =9]

[eqn: rmO]

따라서 [eqn: y= 1over3n-2 x]가 [eqn: y=g(x)]와 [eqn: x ge 0]에서 만나는 서로 다른 점의 개수 [eqn: a_n]을 구하면 [eqn: a _{n} =1+4 LEFT ( n-1 RIGHT ) =4n-3]이다.

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }1over{a_n a_n+1}][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } {1} over {(4n-3)(4n+1)}]

[eqn: = sum _{n=1} ^{INF } {1} over {(4n-3)(4n+1)}]

[eqn: = {1} over {4} sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {1} over {4n-3} - {1} over {4n+1} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {4} lim _{n -> INF } {} LEFT { LEFT ( {1} over {1} - {1} over {5} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {5} - {1} over {9} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {4n-3} - {1} over {4n+1} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: LEFT . = {1} over {4} lim _{n -> INF } {} LEFT { 1- {1} over {4n+1} RIGHT } RIGHT .][eqn: = {1} over {4}]

따라서 [eqn: f(2)=-2,] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {a _{n} a _{n+1}} = {1} over {4}]

(가) [eqn: lim _{ x ->inf} {f(x)-x^3 }over{x^3 ln LEFT ( 1+ 3 overx RIGHT )}=-1]

(나) [eqn: lim _{ x ->1} {f(x) }over{e^-x+1 -1}=3]

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: 0 le x< 3]일 때, [eqn: g(x)=f(x)]이고 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x+3)=g(x)]이다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 직선

[eqn: y= 1over3n-2 x]가 함수 [eqn: g(x)]의 그래프와 [eqn: x ge 0]에서 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: f(2)]와 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf }1over{a_n a_n+1}]의 값을 구하고, 그 풀이 과정을 서술하시오. [9.0점]

영덕여고/2023년/Q1/B

두 함수 [eqn: f(x),~g_n (x)]와 수열 [eqn: "{"a_n "}"]에 대하여 다음이 성립할 때, [eqn: sum_n=1^inf n over{a_n+1]의 값은? (단, [eqn: n]은 자연수이다.) [eqn: [4.6점]]

③

[eqn: a_n = lim_x->0 { ln(1+x)ln(1+2x)cdots`ln(1+nx)} overx^n]

[eqn: =lim_x->0 {ln(1+x) } overx times {ln(1+2x) } over2x times cdots times {`ln(1+nx)} overnx times n!]

[eqn: =n!]

[eqn: therefore~a_n = n!]

[eqn: sum_n=1^inf n over{a_n+1} = sum_n=1 ^inf n over(n+1)! = sum_n=1^inf {(n+1)-1} over(n+1)! = sum_n=1^inf left{ 1overn! - 1over(n+1)! right}]

[eqn: =lim_n->inf left{left( 1over1! - 1over2! right) + left( 1over2! - 1over3! right) + left( 1over3! - 1over4! right) + cdots + left( 1overn! - 1over(n+1)! right) right}]

[eqn: =lim_n->inf left( 1over1! - 1over(n+1)! right) = 1]

[eqn: (가)] [eqn: f(x) = lnx]

[eqn: (나)] [eqn: g_n (x) = {f(1+x)f(1+2x) cdotsf(1+nx)} overx^n]

[eqn: (다)] [eqn: a_n = lim_x->0 g_n (x)]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

태원고/2023년/Q1/B

[eqn: t` != 1]인 양수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y= t]와 두 곡선 [eqn: y=2^x], [eqn: y=log_2 `x]가 만나는 점을 각각 [eqn: rm A,~B]라 하고 점 [eqn: rm A]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm C], 점 [eqn: rm B]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm D]라 하자. 두 점 [eqn: rm E`(0,~1)], [eqn: rm F`(1,~0)]에 대하여 삼각형 [eqn: rm ACE]의 넓이와 삼각형 [eqn: rm BFD]의 넓이를 각각 [eqn: f`(t)], [eqn: g(t)]라 하자. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: h(t)]에 대하여 [eqn: lim _{t rarrow 1+} {} {f(t)} over {h(t)`} =a], [eqn: lim _{t rarrow ` 0+} {} {g(t)} over {h(t)`} =b]일 때, [eqn: 2^8 TIMESh(ab)]의 값은? (단, [eqn: ab !=0] ) [4.5점]

②

직선 [eqn: y=t]와 곡선 [eqn: y=2^x]이 만나는 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: 2 ^{x} =t]에서 [eqn: x=log _{2} `t]이므로 점 [eqn: rm`A]의 좌표는 [eqn: (log _{2} `t,~t)]

[eqn: bar{rm AC it} =log _{2} `t,~ bar{rm CE it} = t-1 `]이므로 삼각형 [eqn: rm ACE]의 넓이는

[eqn: f(t)][eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( t-1 RIGHT ) TIMES log _{2} `t][eqn: = {1} over {2} LEFT( t-1 RIGHT)`log _{2} `t`]

직선 [eqn: y=t]와 곡선 [eqn: y=log _{2} `x]가 만나는 점 [eqn: rm B]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: log _{2} `x=t]에서 [eqn: x=2 ^{t}]이므로 점 [eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: (2 ^{t} ,````t)]이다.

[eqn: bar{rm BD it} =t,~ bar{` rm DF it} =2 ^{t} -1]이므로 삼각형 [eqn: rm BFD]의 넓이는

[eqn: g(t)][eqn: = {1} over {2} TIMES t TIMES (2 ^{t} -1)][eqn: = {1} over {2} t(2 ^{t} -1)]

[eqn: lim _{t rarrow 1+} {{f(t)} over {h(t)}}][eqn: = lim _{t -> 1+} {{(t-1)`log _{2} `t} over {2`h(t)} =a}]

이때 [eqn: a!=0]이고 [eqn: t`rarrow1+]일 때 (분자)[eqn: rarrow`0]이므로 (분모)[eqn: rarrow`0]이어야 한다. 함수 [eqn: h(t)]가 연속함수이므로 [eqn: {h(1)=0}]

즉, [eqn: h(t)=(t-1)h _{1} (t)] (단, [eqn: h _{1} (t)]는 삼차항 계수가 [eqn: 1]인 삼차식)

[eqn: lim _{t -> 1+} {{(t-1)`log _{2} `t} over {2`h(t)}}][eqn: = lim _{t -> 1+} {{(t-1)`log _{2} `t} over {2(t-1)h _{1} (t)}}][eqn: = lim _{t -> 1+} {{`log _{2} `t} over {2`h _{1} (t)} =a}]

이때 [eqn: a!=0]이고 [eqn: t`rarrow`1+]일 때 (분자)[eqn: rarrow`0]이므로 (분모)[eqn: rarrow`0]이어야 한다. 함수 [eqn: h _{1} (t)]가 연속함수이므로 [eqn: h _{1} (1)=0]

즉, [eqn: h(t)=(t-1) ^{2} h _{2} (t)] (단, [eqn: h _{2} (t)]는 이차항 계수가 [eqn: 1]인 이차식)

마찬가지로

[eqn: lim _{t rarrow 0+} {{g(t)} over {h(t)}][eqn: = lim _{t -> 0+} {{t(2 ^{t} -1)} over {2`h(t)} =b}]

이때 [eqn: b != 0]이고 [eqn: t` rarrow 0+]일 때 (분자)[eqn: rarrow`0]이므로 (분모)[eqn: rarrow`0]이어야 한다. 함수 [eqn: h(t)]가 연속함수이므로 [eqn: h(0)=0}]

즉, [eqn: h(t)=t(t-1) ^{2} h _{3} (t)] (단, [eqn: h _{3} (t)]는 일차항 계수가 [eqn: 1]인 일차식)

[eqn: lim _{t -> 0+} {{t(2 ^{t} -1)} over {2`h(t)}}][eqn: = lim _{t -> 0+} {{t(2 ^{t} -1)} over {2t(t-1) ^{2} `h _{3} (t)}}][eqn: = lim _{t -> 0+} {{(2 ^{t} -1)} over {2(t-1) ^{2} `h _{3} (t)} =b}]

이때 [eqn: b != 0]이고 [eqn: t` rarrow `0+]일 때 (분자)[eqn: rarrow`0]이므로 (분모)[eqn: rarrow`0]이어야 한다. 함수 [eqn: h _{3} (t)]가 연속함수이므로 [eqn: h _{3} (0)=0]

[eqn: THEREFORE ~h(t)=t ^{2} (t-1) ^{2}]

[eqn: a][eqn: = lim _{t -> 1+} {{(t-1)log _{2} `t} over {2t ^{2} (t-1) ^{2}}}][eqn: = lim _{t -> 1+} {{log _{2} `t} over {2t ^{2} (t-1)}}][eqn: = lim _{t -> 1+} {LEFT ( {log _{2} `t} over {t-1} TIMES ` {1} over {2t ^{2}} RIGHT )}][eqn: = {1} over {2} lim _{t -> 1+} {{log _{2} `t} over {t-1}}]

[eqn: lim _{t -> 1+} {{log _{2} `t} over {t-1}}]에서 [eqn: t-1=z]로 놓으면 [eqn: t`rarrow1+]일 때 [eqn: z` -> `0+]이므로

[eqn: lim _{t -> 1+} {{log _{2} `t} over {t-1}} = lim _{z -> 0+} {{log _{2} (1+z)} over {z}} = {1} over {ln`2}]

그러므로 [eqn: a= {1} over {2} TIMES {1} over {ln`2} = {1} over {2`ln`2} `]

[eqn: b][eqn: = lim _{t -> 0+} {{t(2 ^{t} -1)} over {2t ^{2} (t-1) ^{2}}}][eqn: = lim _{t -> 0+} {{2 ^{t} -1} over {2t(t-1) ^{2}}}]

[eqn: = lim _{t -> 0+} {LEFT { {2 ^{t} -1} over {t} TIMES {1} over {2(t-1) ^{2}} RIGHT }}]
[eqn: =ln`2 TIMES {1} over {2}][eqn: = {1} over {2} `ln`2]

따라서 [eqn: ab= {1} over {2`ln`2} TIMES {1} over {2} `ln`2= {1} over {4}]이고

[eqn: h LEFT ( ab RIGHT )][eqn: =h LEFT ( {1} over {4} RIGHT )][eqn: = LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{2} TIMES LEFT ( - {3} over {4} RIGHT ) ^{2}][eqn: = {9} over {4 ^{4}}]

[eqn: = {9} over {2 ^{8}}]

이므로 [eqn: 2 ^{8} TIMES h(ab)=9]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

불곡고/2023년/Q1/B

[eqn: t!=1`]인 양수 [eqn: t`]에 대하여 직선 [eqn: y=t`]와 두 곡선 [eqn: y=e^x], [eqn: y=ln`x`]가 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 하고 점 [eqn: rmA]에서 [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC], 점 [eqn: rmB]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선을 발을 [eqn: rmD]라 하자. 두 점 [eqn: rmE(0,~1),~F(1,~0)]에 대하여 삼각형 [eqn: rmACE]의 넓이와 삼각형 [eqn: rmBFD]의 넓이를 각각 [eqn: f(t),~g(t)`]라 하자. 최고차항의 계수가 [eqn: 2`]인 사차함수 [eqn: h(t)`]에 대하여 [eqn: lim _{ t->1+} { }{f(t)} overh(t)} =a ,~lim _{ t->0+} { }{g(t)} over h(t) =b`]일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a,~b`]는 상수이고, [eqn: ab !=0]) [4.9점]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

③

[eqn: e^x =t`]에서 [eqn: x= ln`t]	[eqn: rm A( it `ln`t,~t)]

[eqn: ln`x =t`]에서 [eqn: x=e^t]	[eqn: rmB(ite^t ,~ t)]

[eqn: rmC(0,~itt),~ rmD it ( e^t ,~0)]

[eqn: rm bar{CE} = it t-1,~ rm bar{AC} = it `ln`t`]이므로 [eqn: f(t)= 1 over2 (t-1) ln`t]

[eqn: rm barBD = it t ,~ rm barDF = it e^t -1`]이므로 [eqn: g(t)= 1 over2 t (e^t -1)]

[eqn: lim _{ t->0+} { }{g(t)} over h(t) =b`] [eqn: (b!=0)]이므로 [eqn: h(t)]는 [eqn: t^2`]을 인수로 갖는다.

[eqn: lim _{ t->1+} { }{f(t)} overh(t)} =a] [eqn: (a!=0)]이므로 [eqn: h(t)]는 [eqn: (t-1)^2`]을 인수로 갖는다.

[eqn: h(t)`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 2`]인 사차함수이므로

[eqn: h(t)=2t^2 (t-1)^2]

ㄱ. [eqn: a= lim _{ t->1+} { }f(t) overh(t) = lim _{ t->1+} { }{(t-1)ln`t} over{ 4t^2 (t-1)^2} = lim _{ t->1+} { }{ln`t} over{4t^2 (t-1)}]

[eqn: =lim _{ x->0+} { } {ln(1+x)} over{4x(1+x)^2 } = 1 over4] (참)

ㄴ. [eqn: g(t)= 1 over2 t (e^t -1)] (참)

ㄷ. [eqn: b= lim _{t -> 0+} {} {g(t)} over {h(t)} = lim _{t -> 0+} {} {t(e ^{t} -1)} over {4t ^{2} (t-1) ^{2}} = {1} over {4}]

ㄱ에서 [eqn: a= 1 over4`]이므로 [eqn: 1 over4ab = 4]

[eqn: therefore] [eqn: h left( 1 over4ab right) = h(4)= 2 times4^2 times3^2 =288] (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: a= 1 over4`]이다.

ㄴ. [eqn: g(t)= {t(e^t -1)} over2`]이다.

ㄷ. [eqn: h left( 1 over4ab right) = 144`]이다.

송림고/2023년(이)/Q1/B

[eqn: t != 1]인 양수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=t]와 두 곡선 [eqn: y=e ^{x}], [eqn: y=lnx]가 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 하고 점 [eqn: A]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC], 점 [eqn: rmB]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmD]라 하자. 두 점 [eqn: rmE(0,```1)], [eqn: rmF(1,```0)]에 대하여 삼각형 [eqn: rmACE]의 넓이와 삼각형 [eqn: rmBFD]의 넓이를 각각 [eqn: f(t)], [eqn: g(t)]라 하자. 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: h(t)]에 대하여 [eqn: lim _{t->1+} {{f(t)} over {h(t)} =a}], [eqn: lim _{t->0+} {{g(t)} over {h(t)} =b}]일 때, [eqn: h LEFT ( 3b overa RIGHT )]의 값을 구하고 풀이 과정을 서술하시오 (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이고, [eqn: ab != 0])

[eqn: 36]

두 점 [eqn: rmA~,B]의 좌표는 각각 [eqn: (lnt ,~t)], [eqn: (e^t ,~t)]이다.

따라서 [eqn: f(t)= 1over2 (t-1)lnt], [eqn: g(t) = 1over2 (e^t -1)t]이다.

[eqn: lim _{t` rarrow 0} {e^t -1}overt =1]이므로

[eqn: b= lim _{t rarrow 0+} {{g(t)} over {h(t)}} = {1} over {2} lim _{t rarrow 0+} {{(e ^{t} -1)t} over {h(t)}} = {1} over {2} lim _{t rarrow 0+} {{t ^{2}} over {h(t)}}] [eqn: cdots㉠]

[eqn: lim _{t rarrow 1+} {} {lnt} over {t-1} = lim _{u rarrow 0+} {} {ln(1+u)} over {u} =1]이므로

[eqn: a= lim _{t rarrow 1+} {{f(t)} over {h(t)}} = {1} over {2} lim _{t rarrow 1+} {{(t-1)lnt} over {h(t)}} = {1} over {2} lim _{t rarrow 1+} {{(t-1) ^{2}} over {h(t)}}][eqn: cdots㉡]

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: (분자->0)]이고 [eqn: (극한값)!=0]이므로 [eqn: (분자->0)]이다. 따라서 [eqn: h(t)=t ^{2} (t-1) ^{2}]이다.

이를 ㉠, ㉡에 대입하면, [eqn: a=b=`1over2]이다.

∴[eqn: h LEFT ( {3b} over {a} RIGHT ) =h(3)=36]

삼각함수의 미분(step1)

2.

삼각함수의 덧셈정리

위례고/2023년/Q2/D

[eqn: sin pi over 12]의 값은? [eqn: [4.1점]]

③

[eqn: sin LEFT ( pi over 4 - pi over 6 RIGHT ) = root 2 over2 times root3 over 2 - root 2 over 2 times 1 over 2 = {root6 - root2} over4]

① [eqn: {root3 -root2} over 4]	② [eqn: {root6 -root3} over 4]	③ [eqn: {root6 -root2} over 4]
④ [eqn: {root6 +root2} over 4]	⑤ [eqn: {root6 +root3} over 4]

태전고/2023년/Q3/D

[eqn: 0< alpha < pi over 2 ,~ pi over 2 < beta < pi]인 [eqn: alpha ,~beta]에 대하여 [eqn: sin alpha = 3over 5], [eqn: cos beta = `- 3over 5]일 때, [eqn: sin (alpha - beta)]의 값은? [eqn: [4.8점]]

④

[eqn: cos alpha = 4 over 5 ,~ sin beta = 4 over 5]이므로

[eqn: sin (alpha - beta)][eqn: = sin alpha `cos beta - cos alpha `sin beta = 3 over 5 times LEFT ( - 3 over 5 RIGHT ) - 4 over 5 times 4 over 5 = -1]

① [eqn: 1]	② [eqn: 9over 25]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: - 28 over 25]

한솔고/2023년/Q2/D

그림과 같이 지름 [eqn: AB]의 길이가 [eqn: 7]인 원이 있다. 원 위의 두 점 [eqn: P]와 [eqn: Q]에 대하여 [eqn: {bar{AP}} `=6,`` ANGLEQAB=2 ANGLEPAB]일 때, [eqn: {bar{AQ}} `=a]이다.

③

풀이)

[eqn: ANGLEPAB = theta]라 하면 [eqn: ` ANGLE QAB=2theta] 이고,

[eqn: cos theta = 6 over 7]

[eqn: cos 2theta = a over 7] 이므로

[eqn: cos 2theta = { 2cos ^2 theta - 1]

[eqn: a over 7 = 2 times 36 over 49 - 1]

[eqn: 7a = 23] 이다.

[eqn: 7a]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) ([eqn: 2.8]점)

① [eqn: 21]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 23]
④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

[eqn: lim_x->0 sinx over x]

영덕여고/2023년/Q3/D

[eqn: lim_x->0 { sin(3x^3 +2x^2 +4x)} over{2x^3 +4x^2 +2x]의 값은? [eqn: [3.7점]]

④

[eqn: lim_x->0 {sin(3x^3 +2x^2 +4x ) } over{ 3x^3 +2x^2 +4x} times {x (3x^2 +2x +4)} over{x(2x^2 +4x+2)} = 4over2 =2]

[eqn: LEFT ( BECAUSE ~ lim _{x-> 0} {} {sinx} over {x} =1 RIGHT )]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over2]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over2]

분당중앙고/2023년(이)/Q3/D

[eqn: lim _{ x-> piover2 } {sin(2cosx) }over{x- piover2}]의 값은? [4.2점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

①

[eqn: x=u+ piover2]라 하면,

[eqn: lim _{ x-> piover2 } {sin(2cosx) }over{x- piover2}][eqn: = lim _{u rarrow 0} {} {sin LEFT ( 2 cos LEFT ( u+ piover2 RIGHT ) RIGHT )} over {u}]

[eqn: = lim _{u rarrow 0} {} {sin LEFT ( -2sinu RIGHT )} over {u}]

[eqn: = lim _{u rarrow 0} {} {-sin LEFT ( 2sinu RIGHT )} over {u}]

[eqn: =- lim _{u rarrow 0} {} {sin LEFT ( 2sinu RIGHT )} over {u}]

[eqn: =- lim _{u rarrow 0} {} LEFT { {sin LEFT ( 2sinu RIGHT )} over {2sinu} TIMES {2sinu} over {u} RIGHT }]

[eqn: =-2]

(∵[eqn: lim _{u rarrow0} {sinu overu =1}], [eqn: 2sinu=t]이면 [eqn: lim _{u -> 0} {} {sin LEFT ( 2sinu RIGHT )} over {2sinu} =][eqn: lim _{t rarrow 0} {} {sint} over {t} =1])

삼각함수의 도함수

위례고/2023년/Q2/D

[eqn: f(x)=2+2sinx]일 때, [eqn: f`'(x)]는? [eqn: [4.7점]]

④

[eqn: f`'(x) =2cos x]

① [eqn: -2cosx]	② [eqn: -2sinx]	③ [eqn: 2sinx]
④ [eqn: 2cosx]	⑤ [eqn: 2+2cosx]

삼각함수의 미분(step2)

2.

덧셈정리

돌마고/2023년/Q2/C

[eqn: sin pi over12 + tan 5 over12 pi = {a+ b root6 +c root3 + d root2 } over4`]라 할 때,
정수 [eqn: a,~b,~c,~d`]의 합 [eqn: a+b+c+d`]의 값은? [4.6점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 15]
④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 19]

②

[eqn: sin pi over12 = sin left( pi over 4 - pi over6 right)][eqn: = sin pi over4 cos pi over6 - cos pi over4 sin pi over6]

[eqn: = root2 over2 times root3 over2 - root2 over2 times 1 over2][eqn: = {root6 -root2} over4]

[eqn: tan 5 over12 pi = tan left(pi over4 + pi over6 right)][eqn: = {tan {pi } over {4} +tan {pi } over {6}} over {1-tan {pi } over {4} tan {pi} over {6}}]

[eqn: ={ 1+ 1over root3} over{ 1- 1 over root3}][eqn: = {root 3 +1} over{root3 -1}][eqn: = {4+2 sqrt {3}} over {2} = {8+4 sqrt {3}} over {4}]

[eqn: therefore] [eqn: sin pi over12 + tan 5 over12 pi ={8+root6 +4root3 -root2} over4]

[eqn: a=8,~b=1,~c=4,~d=-1]이므로

[eqn: therefore] [eqn: a+b+c+d=12]

이매고/2023년/Q2/C

함수 [eqn: f(x)= sin`x cos`3x - cos`x sin`3x``]에 대하여
[eqn: f(a)= root3 over2 ,~f(b)= 3 over5`]일 때, [eqn: sin(a+2b)`]의 값은?
(단, [eqn: 3 over4 pi < a< pi ,~ 3 over4 pi < b < pi]) [5.1점]

① [eqn: - 3 over5 - 2 over5 root3]	② [eqn: 2 over5 - 3 over10 root3]	③ [eqn: - 3 over5 + 2 over5 root3]	④ [eqn: 2 over5 + 3 over10 root3]	⑤ [eqn: 4 over5 + 2 over5 root3]

④

[eqn: f(x)= sin`x cos`3x - cos`x sin`3x``][eqn: =sin(x-3x)=-sin`2x]

[eqn: f(a)=-sin`2a = root 3 over2]

[eqn: 3 over 2 pi < 2a < 2pi`]이므로 [eqn: sin`2a = - root3 over2 ,~ cos`2a = 1 over2]

[eqn: sin^2 a ={1-cos`2a} over2 = 1 over4]

[eqn: therefore] [eqn: sin`a = 1 over2 ,~ cos`a = - root3 over2] [eqn: left( 3 over4 pi < a< pi right)]

[eqn: f(b)=-sin`2b = 3 over5]

[eqn: 3 over 2 pi < 2b < 2pi`]이므로 [eqn: sin`2b = - 3 over5 ,~ cos `2b = 4 over5]

[eqn: therefore] [eqn: sin(a+2b) = sin`a cos`2b + cos`a sin`2b]

[eqn: = 1 over2 times 4 over5 + left(- root3 over2right) times left( - 3 over5 right)]

[eqn: = 2 over5 + 3 over10 root3]

송림고/2023년(이)/Q2/C

함수 [eqn: f(x)=cosx cos2x +sinx sin2x]에 대하여

②

[eqn: f(x)=cosx cos2x +sinx sin2x][eqn: =cosx]이다.

따라서

[eqn: f(a)`=cosa`=`1over2], [eqn: sina`=` sqrt {3} over {2}]

[eqn: f(b) =cosb= 4over5], [eqn: sinb= 3over5]이다.

[eqn: f(b-a)=cos(b-a)]

[eqn: = cosb cosa +sinb sina]

[eqn: = 2over5 +{3sqrt3}over10]

[eqn: f(a)= 1over2], [eqn: f(b)= 4over5]이다. [eqn: f(b-a)]의 값은(단, [eqn: 0<a< piover2], [eqn: 0<b< piover2])

① [eqn: {1} over {5} + {3 sqrt {3}} over {10}]	② [eqn: {2} over {5} + {3 sqrt {3}} over {10}]	③ [eqn: {4} over {5} + {3 sqrt {3}} over {10}]
④ [eqn: 1 + {3sqrt3}over10]	⑤ [eqn: 6over5 + {3sqrt3}over10]

영덕여고/2023년/Q2/C

함수 [eqn: f(x) = cosx cos2x +sinx sin2x]에 대하여 [eqn: f(a) = 3over5 ,~ f(b) = - 4over5]이다. [eqn: tan(a+b)]의 값은? [eqn: [3.9점]]

④

[eqn: f(x) = cosx cos2x +sinx`sin2x = cos(x-2x) = cos(-x) = cosx]

[eqn: f(a) = 3over5]에서 [eqn: cos a = 3over5]이고,

[eqn: tan a = 4 over3 ~left( because~ 0<a< pi over2 이므로~tana>0 right)]이다.

[eqn: f(b) = - 4over5]에서 [eqn: cos b = - 4over5]이고,

[eqn: tanb = - 3over4 ~left( because~ pi over2 <b<pi이므로~tanb<0 right)]이다.

[eqn: tan(a+b)= {tana+tanb} over {1-tana`tanb} = {{4} over {3} + LEFT ( - {3} over {4} RIGHT )} over {1- {4} over {3} TIMES LEFT ( - {3} over {4} RIGHT )} = {{7} over {12}} over {2} = {7} over {24}]

[eqn: left(단,~0 <a< pi over2 ,~ pi over2 <b< pi right)]

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 5over24]	③ [eqn: 1over4]
④ [eqn: 7 over24]	⑤ [eqn: 1over3]

송림고/2023년(이)/Q2/C

[eqn: 0 le theta le2pi]일 때, 방정식 [eqn: sin LEFT ( theta + piover3 RIGHT ) +sin LEFT ( theta- piover3 RIGHT ) = 1over2]의 해를 [eqn: alpha,~beta]([eqn: alpha<beta])라 하자, 이때, [eqn: beta-alpha]의 값은?

① [eqn: piover6]	② [eqn: piover3]	③ [eqn: piover2]
④ [eqn: 2piover3]	⑤ [eqn: 5piover6]

②

삼각함수의 합차공식에 의해

[eqn: 2 sin theta cos piover3 = 1over2], [eqn: sin theta = {1} over {2}]

이므로 [eqn: beta=` {2 pi } over {3}], [eqn: alpha=`piover3]이므로 [eqn: beta-alpha`=`piover3]이다.

【다른풀이추가】

[eqn: sin LEFT ( theta + {pi } over {3} RIGHT ) =sin theta cos {pi } over {3} +cos theta sin {pi } over {3}]

[eqn: = {1} over {2} sin theta + {sqrt {3}} over {2} cos theta]

[eqn: sin LEFT ( theta - {pi } over {3} RIGHT ) =][eqn: sin theta cos {pi } over {3} -cos theta sin {pi } over {3}]

[eqn: = {1} over {2} sin theta - {sqrt {3}} over {2} cos theta]

[eqn: THEREFORE `sin theta = {1} over {2}]

보라고/2023년/Q2/C

이차방정식 [eqn: 25x^2 -5x-12=0`]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: cos`alpha`]와 [eqn: cos`beta`]라고 할 때, [eqn: tan(alpha+beta)`]의 값은?
(단, [eqn: 0le alpha lepi], [eqn: 0 le beta le pi]) [4.3점]

① [eqn: - 1 over3]	② [eqn: - 7 over24]	③ [eqn: - 1 over4]
④ [eqn: - 5 over24]	⑤ [eqn: - 1 over6]

②

[eqn: 25x^2 -5x-12=0`]

[eqn: (5x+3)(5x-4)=0]

[eqn: cos`alpha = 4 over5 ,~cos `beta= - 3 over5`]라 하면 [eqn: 0le alpha lepi], [eqn: 0 le beta le pi]이므로

[eqn: tan`alpha = 3 over4 ,~ tan`beta = - 4 over3]

[eqn: therefore] [eqn: tan( alpha + beta )= {tan` alpha +tan` beta } over {1-tan` alpha `tan` beta } = {{3} over {4} + left(- {4} over {3}right)} over {1- LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) TIMES LEFT ( - {4} over {3} RIGHT )} = - 7 over24]

한솔고/2023년/Q2/C

[eqn: 0 LEQx LEQ pi]일 때, 방정식 [eqn: 25`sin ^{2} x-5cosx-13=0]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha,`` beta]라 하자. [eqn: cot LEFT ( alpha+ beta RIGHT )]의 값은? ([eqn: 3.3]점)

① [eqn: {18} over {7}]	② [eqn: {20} over {7}]	③ [eqn: {22} over {7}]
④ [eqn: {24} over {7}]	⑤ [eqn: {26} over {7}]

④

풀이)

[eqn: 25`sin ^{2} x-5cosx-13=0]에서

[eqn: 25(1-cos ^{2} x)-5cosx-13=0]

[eqn: 25`cos ^{2} x+5cosx-12=0]

[eqn: (5cosx -3 ) (5cosx +4) = 0]

[eqn: cos x = 3 over 5] 또는 [eqn: - 4 over 5] 이다,

서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha,`` beta]라 하면.

[eqn: cosalpha= {3} over {5}] [eqn: sin alpha = 4 over 5] 이고, [eqn: cosbeta = - 4 over 5] [eqn: sin beta= {3} over {5}]이다.

[eqn: cos (alpha +beta ) = cosalpha cdotcosbeta - sinalpha cdot sinbeta]에서

[eqn: = LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) CDOT LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) - LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) CDOT LEFT ( - {4} over {5} RIGHT ) = {24} over {25}]이다.

[eqn: sin (alpha + beta) = 7 over 25] 이므로

[eqn: tan (alpha + beta) = 7 over 24]이므로 [eqn: cot LEFT ( alpha+ beta RIGHT ) = 24 over 7]

덧셈정리의 응용(기울기)

송림고/2023년(이)Q2/C

좌표평면에서 두 직선 [eqn: x+2y+2=0], [eqn: 3x+y=0]이 이루는 예각의 크기는?

① [eqn: piover6]	② [eqn: {pi } over {5}]	③ [eqn: {pi } over {4}]
④ [eqn: { pi } over {3}]	⑤ [eqn: {2 pi } over {5}]

③

평행이동시켜도 두 직선이 이루는 각은 변하지않으므로

[eqn: x+2y=0], [eqn: 3x+y=0]이 이루는 각과 같다.

따라서 예각을 [eqn: theta]라 하고, [eqn: tanalpha =-3], [eqn: tanbeta = - 1over2]이라 하면,

[eqn: tan` theta = LEFT | {-3+ 1over2}over{1+ (-3) LEFT ( - 1over2 RIGHT ) }RIGHT |]

[eqn: =1]

∴ [eqn: theta= piover4]

태원고/2023년/Q2/C

함수 [eqn: y=`sinx`] [eqn: (0<x<pi)] 위의 두 점 [eqn: LEFT ( a,~ {4} over {5} RIGHT )], [eqn: (b,~sinb)]에서의 접선을 각각 [eqn: l,~m`]이라 하자. 두 직선 [eqn: l,~m`]이 이루는 예각의 크기가 [eqn: { pi} over { 4}]일 때, [eqn: 32sin^2 b `]의 값은? (단, [eqn: 0<a < {pi } over {2}]) [4점]

④

점 [eqn: LEFT ( a,~ {4} over {5} RIGHT )]는 곡선 [eqn: y=sin`x``(0<`x<`pi)] 위의 점이므로

[eqn: sin`a= {4} over {5}]

[eqn: y` prime `=(sinx)` prime `=cos`x`]이고 [eqn: 0<a< {pi} over {2}]이므로 접선 [eqn: l]의 기울기는 [eqn: cosa= sqrt {1- LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{2}} = {3} over {5}]

두 직선 [eqn: l,~m]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 [eqn: alpha ,~beta]라 하면 두 직선 [eqn: l,```m]이 이루는 예각의 크기가 [eqn: {pi} over {4}]이므로

[eqn: LEFT | tan(alpha-beta) RIGHT | =tan {pi} over {4} =1]

이때 [eqn: tan`alpha`=cos`a= {3} over {5}], [eqn: tan` beta `=cos`b`]이므로

[eqn: LEFT | tan( alpha - beta ) RIGHT |][eqn: = LEFT | {tan`alpha-tan`beta} over {1+tan`alpha`tan`beta} RIGHT |]
[eqn: = LEFT | {{3} over {5} -cos`b} over {1+ {3} over {5} TIMES `cos`b} RIGHT | =1]

(ⅰ) [eqn: {{3} over {5} -cos`b} over {1+ {3} over {5} TIMES `cos`b} =-1]일 때
[eqn: {3} over {5} -cos`b=-1- {3} over {5} `cos`b]에서 [eqn: cos`b=4] (×)

(ⅱ) [eqn: {{3} over {5} -cos`b} over {1+ {3} over {5} TIMES `cos`b} =1]일 때
[eqn: {3} over {5} -cos`b=1+ {3} over {5} `cos`b]에서 [eqn: cos`b=- {1} over {4}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: cos`b=- {1} over {4}]

따라서 [eqn: 32sin ^{2} b][eqn: =32(1-cos ^{2} b)][eqn: =32 LEFT ( 1- {1} over {16} RIGHT )][eqn: =30]

① [eqn: 24]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 32]

불곡고/2023년/Q2/C

곡선 [eqn: y=cos`x] [eqn: left( - pi over2 <x < pi over2 right)] 위의 두 점 [eqn: left(a ,~ 4 over5 right)],
[eqn: (b,~cos`b)]에서의 접선을 각각 [eqn: l,~m`]이라 하자. 두 직선 [eqn: l,~m`]이 이루는 예각의 크기가 [eqn: pi over4`]일 때, [eqn: 4 `sin`b`]의 값은? (단, [eqn: 0<a < pi over2]) [4.7점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

②

[eqn: cos `a = 4 over5`]일 때 [eqn: 0<a < pi over2`]이므로

[eqn: sin`a = root {1-cos^2 `a} = 3 over5]

[eqn: y`prime=-sin`x`]

두 점 [eqn: left( a,~ 4 over5 right),~(b,~sin`b)]에서의 접선의 기울기는 각각

[eqn: -sin`a,~ -sin`b]이고, 두 직선이 이루는 예각의 크기가 [eqn: pi over4]이므로

[eqn: tan` pi over 4 = left| {-sin`a +sin`b} over{1+(-sin`a)(-sin`b) }right|][eqn: =left| {sin`b- 3 over5} over{ 1+ 3 over5 `sin`b} `right| =1]

ⅰ) [eqn: {sin`b- 3 over5} over{ 1+ 3 over5 `sin`b} = 1`]일 때

[eqn: sin`b- {3} over {5} =1+ {3} over {5} `sin`b]

[eqn: {2} over {5} `sin`b= {8} over {5}]

[eqn: sin`b=4`]이므로 성립하지 않음

ⅱ) [eqn: {sin`b- 3 over5} over{ 1+ 3 over5 `sin`b} = -1`]

[eqn: sin`b- {3} over {5} =-1- {3} over {5} `sin`b]

[eqn: {8} over {5} `sin`b=- {2} over {5}]

[eqn: sin`b= - 1 over4]

ⅰ), ⅱ)에 의해 [eqn: sin`b= - 1 over4]

[eqn: therefore] [eqn: 4`sin`b =-1]

태전고/2023년/Q2/C

곡선 [eqn: y=ln x +2x^2]위의 점 [eqn: (1,2)]에서의 접선의 기울기는? [eqn: [4.8점]]

⑤

[eqn: y' = 1 over x + 4x]이므로 [eqn: x=1]에서 기울기는 [eqn: 5]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

분당중앙고/2023년(이)/Q2/C

좌표평면에서 두 직선 [eqn: l`:`y= {1} over {4} x], [eqn: l prime `:`y=3x]가 있다. 직선 [eqn: l] 위의 점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: l']에 내리 수선의 발을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rmbarPQ =11]일 때, [eqn: rmbarOQ]의 길이의 값은? (단, 점 [eqn: rmP]는 제 [eqn: 1]사분면 위에 있고, 점 [eqn: rmO]는 원점이다.) [4.9점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

④

두 직선 [eqn: l.~l']의 [eqn: x]축과 이루는 각을 각각 [eqn: beta,~alpha]라 하자.

[eqn: tanalpha= 3,~tan beta= 1over4]

이고 두 직선 사이의 예각을 [eqn: theta]라 하면 [eqn: theta=alpha-beta]이다.

[eqn: tantheta=tan(alpha-beta)]

[eqn: = {tan alpha -tan beta } over {1+ tanalpha tanbeta}]

[eqn: = {{3- 1 over {4}} over {1+3 TIMES ` {1} over {4}}][eqn: = {11} over {7}]

따라서 [eqn: rmbarOQ][eqn: =rmbarPQ cot theta][eqn: =11times 7 over11][eqn: =7]

분당중앙고/2023년(이)/Q2/C

곡선 [eqn: y=sinx`]([eqn: 0<x<pi])위의 두 점 [eqn: LEFT ( a,~ 3 over5 RIGHT )], [eqn: (b,~sinb)]에서의 접선을 각각 [eqn: l,~m]이 이루는 예각의 크기가 [eqn: piover4]라 하자. [eqn: sin^2 b = q overp]일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: 0<a< piover2]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4.9점]

① [eqn: 153]	② [eqn: 156]	③ [eqn: 159]
④ [eqn: 161]	⑤ [eqn: 163]

④

[eqn: y prime =cosx]이므로 [eqn: x=a]에서의 접선의 기울기는 [eqn: cosa`=`4over5]이고,

[eqn: x=b]에서의 접선의 기울기는 [eqn: cosb] (단, [eqn: piover2`<b<pi])이다.

두 직선 [eqn: l.~m]이 [eqn: x]축과 이루는 각을 각각 [eqn: alpha,~beta]라 하면,

[eqn: tan alpha `=` {4} over {5}]이고, [eqn: tan beta =cosb]이다.

[eqn: tan theta = LEFT | tan(alpha-beta)RIGHT |]

[eqn: =LEFT | {4over5 -cosb}over{1+ 4over5 times cosb}RIGHT |]

[eqn: theta= piover4]이므로

[eqn: 1= LEFT | {{4} over {5} -cosb} over {1+ {4} over {5} TIMES `cosb} RIGHT |][eqn: = LEFT | {{4} -5cosb} over {5+ {4} TIMES `cosb} RIGHT |], [eqn: LEFT | 5+4`cosb RIGHT | = LEFT | 4-5cosb RIGHT |]

[eqn: 9cosb =-1] 또는 [eqn: cosb=9] (모순)

따라서 [eqn: cosb=`-`1over9]이다.

따라서 [eqn: sin ^{2} b=1-cos ^{2} b= 80over81]이다.

[eqn: p+q=161]

덧셈정리의 응용(도형)

한솔고/2023년/Q2/C

그림과 같이 [eqn: {bar{AB}} `=5,`` {bar{AC`}} =2 sqrt {5}]인 삼각형 [eqn: ABC]의 꼭짓점 [eqn: A]에서 선분 [eqn: BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: D]라 하자. 선분 [eqn: AD]를 [eqn: 3:1]로 내분하는 점 [eqn: E]에 대하여 [eqn: {bar{EC`}} =` sqrt {5}]이다. [eqn: ANGLEABD= alpha,`` ANGLEDCE= beta]라 할 때, [eqn: cos LEFT ( alpha+ beta RIGHT )]의 값은? ([eqn: 3.6]점)

②

풀이)

[eqn: {bar{ED`}} =a]라고 하면 [eqn: {bar{AE`}} =3a]

피타고라스에 의하여 [eqn: 5 - a^2 = 20 - 16a ^ 2] 이므로

[eqn: 15a ^2 = 15], [eqn: THEREFORE~ a = 1] 이다.

[eqn: {bar{ED`}} =1], [eqn: {bar{AE`}} =3],

피타고라스에 의하여 [eqn: bar BD = 3], [eqn: {bar{CD}} =2] 이므로

[eqn: cos alpha = 3 over 5] , [eqn: cos beta = 2 over root 5] , [eqn: sin alpha = 4 over 5] , [eqn: sin beta = {1} over {sqrt {5}}] ,

[eqn: cos LEFT ( alpha+ beta RIGHT ) = 3 over 5 cdot 2 over root5 - 4 over 5 cdot 1 over root5 = 2 over {5root5]

[eqn: THEREFORE~ cos LEFT ( alpha+ beta RIGHT ) = {2root5} over 25]

① [eqn: {sqrt {5}} over {25}]	② [eqn: {2 sqrt {5}} over {25}]	③ [eqn: {3 sqrt {5}} over {25}]
④ [eqn: {4 sqrt {5}} over {25}]	⑤ [eqn: {sqrt {5}} over {5}]

보평고/2023년/Q2/C

좌표평면에서 원 [eqn: x^2 +y^2 =25`] 위의 점 [eqn: rmA(3,~4)]에서의 접선이 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmB,~C]라 하고, 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: 3``:``2`]로 내분하는 점을 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmCP]를 [eqn: 3``:``1`]로 외분하는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rm anglePOQ=theta`]라 할 때, [eqn: tan`theta `]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [5.0점]

① [eqn: 1 over10]	② [eqn: 1 over5]	③ [eqn: 3 over10]
④ [eqn: 2 over5]	⑤ [eqn: 1 over2]

④

원 [eqn: x^2 +y^2 =25`] 위의 점 [eqn: rmA(3,~4)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: 3x+4y=25]

[eqn: rm B left( 25 over3 ,~0 right),~C left( 0,~ 25 over4 right)]

선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: 3``:``2`]로 내분하는 점을 [eqn: rmP]라 하면 [eqn: rmP left ( 10 over 3 ,~ 15 over4 right)]

선분 [eqn: rmCP]를 [eqn: 3``:``1`]로 외분하는 점을 [eqn: rmQ]라 하면 [eqn: rmQ left ( 5 ,~ 5 over2 right)]

선분 [eqn: rmOP]가 [eqn: x`]축과 이루는 각의 크기를 [eqn: alpha]라 하면 [eqn: tan`alpha = 9 over8]

선분 [eqn: rmOQ]가 [eqn: x`]축과 이루는 각의 크기를 [eqn: beta`]라 하면 [eqn: tan`beta = 1 over2]

[eqn: therefore] [eqn: tan`theta = tan(alpha -beta) = {9 over8 - 1 over2} over{1+ 9 over8 times 1 over2} = 2 over5]

덧셈정리의 응용(배각)

이매고/2023년/Q2/C

[eqn: 0 le x le pi over2]일 때, 방정식
[eqn: 12`cos^3 x + sin`2x -8cosx =0`]
의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha,~beta`]라 하자. [eqn: cos(alpha+beta)`]의 값은?
[5.1점]

① [eqn: - 2 over3]	② [eqn: - 1 over3]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1 over3]	⑤ [eqn: 2 over3]

①

[eqn: 12`cos^3 x + sin`2x -8cosx =0`]

[eqn: 12`cos^3 x + 2sin`x cos`x -8cosx =0`]

[eqn: 2`cos`x LEFT { 6(1-sin ^{2} `x)+sin`x-4 RIGHT } =0]

[eqn: -2`cos`x(6`sin^2 x -sin`x-2)=0]

[eqn: -2cos`x (2sin`x +1)(3 sinx -2)=0]

[eqn: cos`x=0] 또는 [eqn: sin`x = - 1 over 2], [eqn: sin`x = 2 over3]

[eqn: 0 le x le pi over2]이므로 [eqn: sin`x != - 1 over2]

[eqn: cos `x =0]일 때 [eqn: sin `x =1]

[eqn: sin`x = 2 over3`]일 때 [eqn: cos `x = root5 over3]

[eqn: therefore] [eqn: cos(alpha +beta)= cos `alpha` cos`beta - sin`alpha `sin` beta][eqn: =0 - 2 over3 = - 2 over3]

보라고/2023년/Q2/C

삼각함수의 덧셈정리와 삼각함수의 극한을 이용하여 삼각함수 [eqn: f(x)= sin`2x`]의 도함수를 구하려고 할 때, 다음 물음에 답하시오. [총 10점]
(1) 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 [eqn: sin(45Deg +60Deg)`]의 값을 구하시오. [2.0점]

(2) [eqn: lim _{ h->0} { }{sin`2h} overh`]의 값을 구하시오. [1.0점]

(3) [eqn: lim _{ h->0} { }{1-cos`2h} overh`]의 값을 구하시오. [1.0점]

(4) 삼각함수의 덧셈정리와 삼각함수의 극한을 이용하여 도함수의 정의로부터 [eqn: f(x)=sin`2x`]의 도함수를 구하고, 그 구하는 과정을 서술하시오. [6.0점]

(1) [eqn: {root2 +root6} over4] (2) [eqn: 2] (3) [eqn: 0]
(4) [eqn: f`prime(x)= lim _{ h->0} { }{f(x+h)-f(x)} overh`]
[eqn: =lim _{ h->0} { }{sin(2x+h)-sin`2x} overh]
[eqn: ={sin`2x `cos`2h + cos`2x ` sin`2h - sin`2x} overh]
[eqn: = lim _{ h->0} { } left{ {-sin`2x (1-cos2h)} overh + {cos`2x `sin2h } overh right}]
[eqn: = lim _{ h->0} { } left{ -sin`2x times{(1-cos2h)} overh + 2`cos`2x times{`sin2h } over2h right}]
[eqn: = (-sin`2x ) times0 + 2`cos`2x times1]
[eqn: = 2 `cos`2x]

(1) [eqn: sin(45Deg + 60Deg)= sin45Deg cos60 Deg + cos45Deg sin60Deg]

[eqn: =root2 over2 times 1 over2 + root2 over2 times root3 over2]

[eqn: = {root2 +root6} over4]

(2) [eqn: lim _{ h->0} { }{sin`2h} overh` = lim _{ h->0} { }{sin`2h } over2h times2 = 1times2 =2]

(3) [eqn: lim _{ h->0} { }{1-cos`2h} overh` =lim _{ h->0} { }{1-cos`2h} overh` times {1+cos`2h} over{1+ cos` 2h}]

[eqn: = lim _{h->0 } { } {sin`2h }over 2h times{ sin`2h} over{1+cos2h} times2]

[eqn: = 1 times 0 over2 times2 =0]

(4) [eqn: f`prime(x)= lim _{ h->0} { }{f(x+h)-f(x)} overh`]

[eqn: =lim _{ h->0} { }{sin(2x+h)-sin`2x} overh]

[eqn: ={sin`2x `cos`2h + cos`2x ` sin`2h - sin`2x} overh]

[eqn: = lim _{ h->0} { } left{ {-sin`2x (1-cos2h)} overh + {cos`2x `sin2h } overh right}]

[eqn: = lim _{ h->0} { } left{ -sin`2x times{(1-cos2h)} overh + 2`cos`2x times{`sin2h } over2h right}]

[eqn: = (-sin`2x ) times0 + 2`cos`2x times1]

[eqn: = 2 `cos`2x]

(도함수의 정의)

미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]의 도함수는
[eqn: f`prime(x)= lim _{ h->0} { }{f(x+h)-f(x)} overh`]이다.

[eqn: lim_x->0 sinx over x]

불곡고/2023년/Q3/C

[eqn: lim _{ x->0 } { }{3x^2 } over{cos`x-1}`]의 값은? [4.5점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 6]

①

[eqn: lim _{ x->0 } { }{3x^2 } over{cos`x-1}`= lim _{ x->0 } { }{3x^2 } over{cos`x-1} times{1+cos`x} over{1+cos`x}]

[eqn: =lim _{ x->0} { }{3x^2 (1+cos`x)} over{-sin^2 `x}]

[eqn: ={-6]

위례고/2023년/Q3/C

자연수 [eqn: n]에 대하여	[eqn: f(n) = lim _{ x->0} {{sinx + sin2x + sin3x + cdots +sinnx} over x }]라 하자. [eqn: lim _{x -> 1} {{x ^{k} -e ^{x-1}} over {x ^{3} -1}} =3]을 만족시키는 자연수 [eqn: k]에 대하여, [eqn: sum _{ n=1} ^{k } f(n)]의 값은? [eqn: [4.6점]]

④

[eqn: f(n) = lim _{ x->0} {{sinx + sin2x + sin3x + cdots +sinnx} over x }]	[eqn: = 1+2+3+cdots+n= n(n+1)over 2]

[eqn: lim _{x -> 1} {{x ^{k} -e ^{x-1}} over {x ^{3} -1}} =3]에서 [eqn: x^k -e^x-1 = g(x)]라 하면

[eqn: lim _{x -> 1} {{g(x)} over {x ^{3} -1} = {g` prime (1)} over {3}} =3], [eqn: g(1)=0]이다.

[eqn: g`'(x) = k x^k-1 -e^x-1 , ~g`'(1)=k-1=9]

따라서 [eqn: k=10]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{10} f(n)][eqn: ={ 10times11times 12} over 6 =220]

① [eqn: 160]	② [eqn: 180]	③ [eqn: 200]
④ [eqn: 220]	⑤ [eqn: 240]

[eqn: lim_x->0 tanx over x]

영덕여고/2023년/Q3/C

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: lim_x->0 {tan^n x - sin^n x} overx^6 =alpha]가 성립할 때, [eqn: n+alpha]의 값은? (단, [eqn: alpha not=0]인 실수) [eqn: [4.1 점]]

③

[eqn: lim_x->0 {tan^n x - sin^n x} overx^6 = lim_x->0 {sin^n x } overx^6 left( 1over{cos^n x} -1 right) = lim_x->0 {sin^n x } overx^6 times {1 - cos^n x} over{cos^n x}]

[eqn: =lim_x->0 {sin^n x} overx^6 times {sin^2 x} over{1+cosx} times {1+ cosx + cos^2 x + cdots + cos^n-1 x} over{cos^n x}]

[eqn: =lim_x->0 {sin^n+2 x} overx^6 times { 1+cosx + cos^2 x + cdots + cos^n-1 x} over{ (1+cosx ) cos^n x]

[eqn: =lim_x->0 n over2 times { sin^n+2 x} overx^6]이고

[eqn: 0]이 아닌 [eqn: alpha]에 수렴하기 위해서는 [eqn: n=4]여야 한다.

이때, 극한값은 [eqn: n over2 =2]이므로 [eqn: alpha =2]이다.

[eqn: therefore~ ~n+ alpha = 4+2 =6]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

삼각함수의 극한 응용(도형)

돌마고/2023년/Q3/C

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 2`]이고, 중심각의 크기가 [eqn: pi over2]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]와 선분 [eqn: rmOA]를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 점 [eqn: rmP]에서 선분 [eqn: rmOA]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ], 선분 [eqn: rmOP]와 반원의 교점 중 [eqn: rmO]가 아닌 점을 [eqn: rmR]이라 하고 [eqn: rm anglePOA = theta`]라 하자. 삼각형 [eqn: rmPRQ]의 넓이를 [eqn: S( theta)`]라 할 때, [eqn: lim _{ theta->0+ } { }{S(theta)} over{theta^3 }`]의 값은? [5.0점]

① [eqn: 1]	② [eqn: root2]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 2root3]	⑤ [eqn: 4]

①

[eqn: rm barOP = 2`]이므로 [eqn: rm barPQ = 2 `sin`theta], [eqn: rm barOQ = 2 `cos`theta]

[eqn: rm barOA =2`]이므로 [eqn: rm barOR = 2`cos`theta]

점 [eqn: rmR]에서 선분 [eqn: rmOA]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

[eqn: rm barOH = barOR `cos`theta = 2` cos^2 `theta]

[eqn: therefore] [eqn: rm barQH = barOQ - barOH = 2`cos theta ( 1- cos `theta)]

[eqn: S(theta)= 1 over2 times rm barPQ times barOH]

[eqn: =it 1 over2 times 2 `sin`theta times 2`cos`theta (1-cos`theta)]

[eqn: = 2`sin` theta cos`theta(1-cos`theta)]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ theta->0+ } { }{S(theta)} over{theta^3 }` = lim _{ theta->0+} { } {2`sin`theta cos`theta(1-cos`theta)} over{theta^3 }]

[eqn: =lim _{ theta-> 0+} { } {2 `sin^3 `theta `cos`theta} over{theta^3 (1+cos`theta)} = 2 over2 =1]

태원고/2023년/Q3/C

그림과 같이 [eqn: rm barAB =6], [eqn: rm ANGLE C= {pi } over {2}]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 선분 [eqn: rm AC]를 [eqn: 2``:``1]로 내분하는 점 [eqn: rmD]라 하고 점 [eqn: rmA]에서 선분 [eqn: rmBD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하자. [eqn: rm ANGLE ABC= theta]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmADH]의 넓이를 [eqn: S ( theta )]라 하자. [eqn: lim _{theta rarrow 0+} {} {S`( theta )} over {theta ` ^{3}} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값은?

④

직각삼각형 [eqn: rm`ABC]에서

[eqn: cos theta = {bar{rm BC it}} over {bar{rm AB it}} = {bar{rm BC it}} over {6}]이므로 [eqn: bar{rm BC it} =6`cos` theta]

[eqn: sin theta = {bar{rm AC it}} over {bar{rm AB it}} = {bar{rm AC it}} over {6}]이므로 [eqn: bar{rm AC it} =6`sin` theta]

점 [eqn: rm`D]가 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점이므로

[eqn: {bar{rm AD it}}][eqn: = {2} over {3} bar{rm AC it}][eqn: = {2} over {3} TIMES `6`sin` theta][eqn: =4`sin` theta]

[eqn: {bar{rm DC it}}][eqn: = {1} over {3} bar{rm AC it}][eqn: = {1} over {3} TIMES `6`sin` theta][eqn: =2sin` theta]

[eqn: ANGLE ` rm DAH=alpha]라 하면 [eqn: ANGLE ` rm ADH= ANGLE ` rm BDC]이므로

[eqn: ANGLE ` rm DBC=alpha]

직각삼각형 [eqn: rm`BCD]에서

[eqn: {bar{rm BD it}}][eqn: = sqrt {(6`cos theta ) ^{2} + LEFT ( 2sin theta RIGHT ) ^{2}}][eqn: = sqrt {36`cos ^{2} theta +4sin ^{2} theta }]

[eqn: = sqrt {4+32`cos ^{2} theta }]

이므로

[eqn: cos` alpha = {6`cos` theta } over {sqrt {4+32`cos ^{2} ` theta }}]

[eqn: sin` alpha = {2`sin` theta } over {sqrt {4+32`cos ^{2} ` theta }}]

삼각형 [eqn: rm`ADH]에서

[eqn: {bar{rm AH it}}][eqn: = {bar{rm AD it}} `cos` alpha][eqn: =4`sin` theta `cos` alpha][eqn: =4`sin theta ` TIMES ` {6`cos` theta } over {sqrt {4+32`cos ^{2} ` theta }}]
[eqn: = {24`sin theta `cos` theta } over {sqrt {4+32`cos ^{2} ` theta }}]

삼각형 [eqn: rm`ADH]의 넓이는

[eqn: S( theta )][eqn: = {1} over {2} TIMES ` {bar{rm AD it}} ` TIMES ` {bar{rm AH it}} ` TIMES `sin` alpha]
[eqn: = {1} over {2} TIMES `4`sin theta ` TIMES ` {24`sin theta `cos` theta } over {sqrt {4+32`cos ^{2} ` theta }} ` TIMES ` {2`sin` theta } over {sqrt {4+32`cos ^{2} ` theta }}]
[eqn: = {96sin ^{3} theta `cos` theta } over {4+32cos ^{2} theta }]

이므로

[eqn: lim _{theta rarrow 0+} {` {S(theta)} over {theta ^{3}}][eqn: = lim _{theta -> 0+} {{96`sin ^{3} theta `cos` theta } over {theta ^{3} (4+32`cos ^{2} ` theta )}}]

[eqn: =96 TIMES 1 ^{3} TIMES {1} over {36}][eqn: = {8} over {3}]

따라서 [eqn: p+q=3+8=11]

(단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2}]이고, [eqn: p`]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4.5점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

불곡고/2023년/Q3/C

그림과 같이 길이가 [eqn: 4`]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원의 호 위에 두 점 [eqn: rmA,~B]가 아닌 점 [eqn: rmP]가 있다. 호 [eqn: rmAP] 위에 점 [eqn: rmQ]를 호 [eqn: rmAQ]의 길이와 호 [eqn: rmQP]의 길이의 비가 [eqn: 2``:``3`]이 되도록 잡는다. 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmO]라 하고 두 선분 [eqn: rmPO], [eqn: rmQB]가 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. [eqn: rm angleABP= it theta`]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmPCB]의 넓이를 [eqn: f(theta)], 삼각형 [eqn: rmQOC]의 넓이를 [eqn: g(theta)`]라 하자. [eqn: lim _{ theta->0+} { }{f(theta)-g(theta)} overtheta `]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < pi over2]) [5.0점]

④

[eqn: rm arch AQ ``:``arch QP ``=2``:``3`]이므로 [eqn: rm angleOBQ = 2 over5 theta`]

[eqn: rmtriangleOBC]의 넓이를 [eqn: h(theta)`]라 하면

[eqn: rmangleBOP = it pi - 2 theta`]이므로

[eqn: rm triangleOBP = it f( theta) + h( theta)= 1 over2 times2^2 timessin(pi- 2theta)= 2 sin`2theta] [eqn: cdots①]

[eqn: rm angleBOQ = it pi - 4 over5 theta`]이므로

[eqn: rm triangleOBQ = it g( theta) + h( theta)= 1 over2 times2^2 timessin left(pi- 4 over5 theta right)= 2 sin` 4 over5 theta] [eqn: cdots②]

[eqn: ①－②]하면

[eqn: f(theta)- g(theta)= 2 sin`2 theta - 2sin 4 over5 theta]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ theta->0+} { }{f(theta)-g(theta)} overtheta ` = lim _{ theta -> 0+} { } { 2 sin2 theta - 2sin 4 over5 theta} overtheta } =4- 8 over5 = 12 over5]

① [eqn: 3 over5]	② [eqn: 6 over5]	③ [eqn: 9 over5]
④ [eqn: 12 over5]	⑤ [eqn: 18 over5]

분당중앙고/2023년(이)/Q3/C

그림과 같이 원점 [eqn: rmO]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위의 점 [eqn: rmP]가 제 [eqn: 1]사분면에 있을 때, 선분 [eqn: rmOP]가 [eqn: x]축과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta][eqn: LEFT ( 0<`theta<`piover2 RIGHT )]라 하자, 점 [eqn: rmP]를 지나고 직선 [eqn: rm OP]에 수직인 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ], 점 [eqn: rmQ]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 직선 [eqn: rmOP]와 만나는 점을 [eqn: rmR]이라 하자. 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이를 [eqn: S( theta )]라 할 때, [eqn: lim _{theta rarrow 0+} {S(theta)}overtheta^3]의 값은? [4.7점]

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1over2]
④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: 5over6]

③

[풀이1]

[eqn: rm barPQ =tantheta], [eqn: rmbarOQ =sectheta], [eqn: rmbarQR = sectheta tantheta]이고

[eqn: rm TRIANGLE OPQ]와 [eqn: rm TRIANGLE QPR]은 닮음이므로

[eqn: rm TRIANGLE QPR]의 넓이는 [eqn: rm TRIANGLE OPQ]의 넓이의 [eqn: tan^2 theta]이다.

[eqn: S( theta )= {1} over {2} `tan theta TIMES tan ^{2} theta = {1} over {2} `tan ^{3} theta]

[eqn: lim _{theta rarrow 0+} {S(theta)}overtheta^3][eqn: =lim _{theta rarrow 0+} {} 1over2 times{tan^3 theta } over {theta ^{3}}]

[eqn: = 1over2 lim _{theta rarrow 0+} LEFT ( {tan theta } over {theta } RIGHT )^3][eqn: = 1over2]

[풀이2]

[eqn: rm barPQ =tantheta], [eqn: rmbarOQ =sectheta], [eqn: rmbarQR = sectheta tantheta]이다.

[eqn: S( theta )= rm TRIANGLE OQR- TRIANGLE OPQ]

[eqn: = {1} over {2} `sec ^{2} theta tan theta - {1} over {2} `tan theta]

[eqn: = {1} over {2} `tan theta LEFT ( sec ^{2} theta -1 RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} `tan theta LEFT ( sec theta -1 RIGHT ) (sec theta +1)]

[eqn: lim _{theta rarrow 0+} {S(theta)}overtheta^3][eqn: = 1over2 lim _{ theta->0+} { {tantheta(sectheta-1)(sectheta+1)}overtheta^3}]이고, [eqn: lim _{theta rarrow 0+} {{tan theta } over {theta }} =1],

[eqn: lim _{theta rarrow 0+} {{sec theta -1} over {theta ^{2}}} = lim _{theta rarrow 0+} {sec theta {1-costheta} over {theta ^{2}}}]

[eqn: = lim _{theta rarrow 0+} {sec theta } timeslim _{theta rarrow 0+}{1-cos theta } over {theta ^{2}}}][eqn: = 1over2]

[eqn: lim _{theta rarrow 0+} {(sec theta +1)=2}]이다.

따라서 [eqn: lim _{theta rarrow 0+} {S(theta)}overtheta^3][eqn: = {1} over {2}]이다.

분당중앙고/2023년(이)/Q3/C

삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 [eqn: rm ANGLEBAC =theta],
[eqn: rmbarAB =barAC = 1overtheta]이다. 변 [eqn: rmAB]를 [eqn: (1-theta):theta]로 내분하는 점을 [eqn: rmD]라 하고, [eqn: rmbarCD =itx(theta)]라 하자. 이때, [eqn: lim _{ theta->0+} {x(theta) }]의 값은? (단, [eqn: 0<theta<1]이다.) [5.3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt2]	③ [eqn: sqrt3]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: sqrt5]

②

[eqn: rm {bar{AD}} `= {1} over {theta } TIMES (1- theta )= 1overtheta -1], [eqn: rmbarBD = 1overtheta times theta=1]이다. 따라서

[eqn: LEFT ( {1} over {theta } -1 RIGHT ) LEFT ( {2} over {theta } `sin {theta } over {2} RIGHT ) ^{2} +1 TIMES LEFT ( {1} over {theta } RIGHT ) ^{2} = {1} over {theta } LEFT { x ^{2} + {1} over {theta } -1 RIGHT }]

정리하면

[eqn: LEFT ( 1- theta RIGHT ) LEFT ( {2} over {theta } `sin {theta } over {2} RIGHT ) ^{2} +1=x ^{2}]

[eqn: x( theta )= sqrt {(1- theta ) LEFT ( {2} over {theta } `sin {theta } over {2} RIGHT ) ^{2} +1}]

[eqn: lim _{theta rarrow 0+} {x( theta )}][eqn: = lim _{theta -> 0+} {} sqrt {(1- theta ) LEFT ( {2} over {theta } `sin {theta } over {2} RIGHT ) ^{2} +1}][eqn: = sqrt {2}]

[참고] 스튜어트정리

[eqn: rm bar{AD} TIMES rm LEFT ( bar{BC} RIGHT ) ^{2} + rm bar{BD} TIMES rm LEFT ( bar{AC} RIGHT ) ^{2} = rm bar{AB} TIMES LEFT { rm LEFT ( bar{CD} RIGHT ) ^{2} + rm bar{AD} TIMES rm bar{BD} RIGHT } `]

☞ [eqn: rm bar{AD} = rm bar{BD}]일 때, [eqn: rm bar{CD}]는 중선이고 ‘중선정리’(파푸스정리) 성립!

[다른 풀이]

삼각형 [eqn: rm DBC]에서 [eqn: rm ANGLE DBC= {pi } over {2} - {theta } over {2}]이므로 코사인법칙을 적용하면

[eqn: LEFT { x LEFT ( theta RIGHT ) RIGHT } ^{2} =1+ LEFT ( {2} over {theta } `sin {theta } over {2} RIGHT ) ^{2} -2 TIMES 1 TIMES {2} over {theta } `sin {theta } over {2} TIMES cos LEFT ( {pi } over {2} - {theta } over {2} RIGHT )]

이때, [eqn: lim _{x -> 0} {} LEFT ( {2} over {theta } `sin {theta } over {2} RIGHT ) = lim _{x -> 0} {} {sin {theta } over {2} } over {{theta } over {2}} =1]이므로

[eqn: lim _{theta -> 0+} {LEFT { x LEFT ( theta RIGHT ) RIGHT } ^{2}} =1+1 ^{2} -2 TIMES 1 TIMES 1 TIMES 0=2`]에서 [eqn: lim _{theta -> 0+} {x( theta )} = sqrt {2}]

송림고/2023년(이)/Q3/C

그림과 같이 [eqn: rm ANGLE ABC= ANGLE ACB=theta]이고 [eqn: rmbarBC =4]인 이등변삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 내접원의 중심을 [eqn: rmO], 선분 [eqn: rmAB]와 내접원이 만나는 점을 [eqn: rmD], 선분 [eqn: rmAC]와 내접원이 만나는 점을 [eqn: rmE]라 하자. 삼각형 [eqn: rmOED]의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 할 때,

③

점 [eqn: rm A]에서 변 [eqn: rmBA]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmF]라 하고, 선분 [eqn: rmOB]는 [eqn: rmANGLEDBF]의 이등분선이다. 내접원의 반지름은 [eqn: 2 tan LEFT ( theta over2 RIGHT )]이고, 사각형 [eqn: rmADOE]는 [eqn: rm ANGLED = ANGLEE=90DEG]안 사각형이므로 [eqn: rm ANGLEDOE= 2theta]이다.

따라서 [eqn: S( theta )= {1} over {2} LEFT { 2tan LEFT ( {theta } over {2} RIGHT ) RIGHT } ^{2} sin2 theta]이다.

[eqn: lim _{theta rarrow 0+} {} {theta ^{3}} over {S( theta )} = lim _{theta rarrow 0+} {} {theta ^{3}} over {{1} over {2} LEFT { 2tan LEFT ( {theta } over {2} RIGHT ) RIGHT } ^{2} sin2 theta }}]

[eqn: = lim _{theta rarrow 0+} {} {theta ^{3}} over {2tan ^{2} LEFT ( {theta } over {2} RIGHT ) sin2 theta }]

[eqn: = 1over{2 times 1over4 times2}]

[eqn: =1]

[eqn: lim _{ theta->0+} { theta^3}overS(theta)]의 값은?

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

수내고/2023년/Q3/C

한 변의 길이가 [eqn: 2``]인 정사각형 [eqn: rmABCD``]의 변 [eqn: rmBC``] 위의 점 [eqn: rmP``]에 대하여 [eqn: rm ANGLE DAP``]를 이등분하는 직선이 두 직선 [eqn: rm BC,~CD``]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm Q,~R``]라 하자. [eqn: rm ANGLE PAB= theta``]일 때 삼각형 [eqn: rm CQR``]의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )``]라 하자. [eqn: lim _{theta rarrow 0+} { {S`( theta )}} over {theta`^2} ``]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < { pi} over { 4}``]이다.) [5.3점]

④

삼각형 [eqn: rm CQR``]는 직각삼각형이고,

[eqn: rm angle CQR it= t``]라 하면 [eqn: 2t= {pi } over {2} - theta``]

[eqn: {rm bar BP } = 2tan theta ,``] [eqn: {rm bar AP} = 2sec`theta``], [eqn: rm bar{DR} =2tan`t,``] [eqn: rm {bar{CR}} it=2-2tan`t``]

따라서 삼각형 [eqn: rm CQR``]의 넓이는

[eqn: S( theta )= {1} over {2} TIMES 2 TIMES (2tan` theta +2sec` theta ) TIMES {4(1-tant ) ^{2}} over {4}``]

[eqn: =2(tan` theta +sec` theta ) TIMES (1-tant ) ^{2}``]

[eqn: 1-tant=1-tan LEFT ( {pi } over {4} - {theta } over {2} RIGHT )``]

[eqn: =1- {1-tan` {theta } over {2}} over {1+tan` {theta } over {2}}``]

[eqn: = {2tan` {theta } over {2}} over {1+tan` {theta } over {2}}``]이므로

[eqn: lim _{theta rarrow 0+} {} {S`( theta )} over {theta ` ^{2}}``][eqn: =lim _{theta rarrow 0+} {}2(tan` theta +sec` theta ) (1-tant ) ^{2} TIMES{ 1} over { theta^2}``]

[eqn: =lim _{theta rarrow 0+} {}2(tan` theta +sec` theta ) LEFT ( {2tan` {theta } over {2}} over {1+tan` {theta } over {2}} RIGHT ) ^{2} TIMES{ 1} over { theta^2}``]

[eqn: =2 TIMES1 TIMES1=2``]

① [eqn: {1} over {4}``]	② [eqn: {1} over {2}``]	③ [eqn: 1``]

④ [eqn: 2``]	⑤ [eqn: 4``]

삼각함수의 연속

이매고/2023년/Q3/C

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: ln(1+2x^2 ) f(x)=8-a cos`x`]
를 만족시킬 때, [eqn: a+f(0)`]의 값을 구하고 그 과정을 논술하시오.
(단, [eqn: a`]는 상수이다.) [5.0점]

[eqn: 10]

[eqn: x!=0`]일 때 [eqn: f(x)= {8- a cos` x} over{ln (1+2x^2 )]

[eqn: f(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: f(0)= lim _{ x->0} { } {8- a cos` x} over{ln (1+2x^2 )]

[eqn: lim _{ x->0} { }ln(1+2x^2 )=0]이므로 [eqn: lim _{ x->0} { }(8-a`cosx` )=8-a=0]

[eqn: therefore] [eqn: a=8]

[eqn: f(0)= lim _{ x->0} { } {8(1- cos` x)} over{ln (1+2x^2 ) } times {1+cos`x} over{1+ cos`x}]

[eqn: =lim _{ x->0} { }{8sin^2 `x} over{ln( 1+2x^2 )(1+cos`x)} times {2x^2 over2x^2]

[eqn: = 8 over2times2 = 2]

[eqn: therefore] [eqn: a+f(0)=10]

수내고/2023년/Q3/C

두 상수 [eqn: a,~b``]에 대하여 함수

[eqn: a=1,~b= {1} over {2}``]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )``]가 [eqn: x= { pi} over { 2}``]에서 연속이면

[eqn: lim _{x-> { pi} over { 2}} {} f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( { pi} over { 2} RIGHT )``]

[eqn: THEREFORE ~``][eqn: lim _{x -> { pi} over { 2} } {} {cos2x+a} over {(2x- pi ) ^{2} } =b``]

[eqn: x` rarrow ` {pi } over {2}``]일 때 (분모) [eqn: -> `0``]이고 극한값이 존재하므로

(분자)[eqn: -> `0``]이다.

[eqn: -1+a=0``]

[eqn: THEREFORE~ a=1``]

이때 [eqn: x- {pi } over {2} =t``]로 놓으면 [eqn: x` rarrow ` {pi } over {2}``]일 때 [eqn: t` -> `0``]이므로

[eqn: b= lim _{t -> 0} {} {cos(2t+ pi )+1} over {4t ^{2}} ``]

[eqn: =` lim _{t -> 0} {} {-cos2`t+1} over {4t ^{2}} ``]

[eqn: = lim _{t rarrow 0} {} {2sin` ^{2} t} over {4t ^{2}}``][eqn: = {1} over {2}``]

[eqn: THEREFORE ~b= {1} over {2}``]

[eqn: f ( x ) = {cases{{cos2x+a} over {(2x- pi ) ^{2}}&&LEFT ( x != {pi } over {2} RIGHT )#~~~~~b&&LEFT ( x= {pi } over {2} RIGHT )}}``]

가 [eqn: x= { pi} over { 2}``]에서 연속일 때, [eqn: a``]와 [eqn: b``]의 값을 구하는 과정을 논술하시오. [10.0점]

삼각함수의 도함수

보라고/2023년/Q3/C

함수 [eqn: f(x)= cases{ 3`sin`4x+x^2 `cos 1 overx +e^2x &&(x!=0)``#``````````````````````````````````````````1&&(x=0)]에 대하여 [eqn: f`prime(0)`]의 값은? [4.8점]

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]
④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

①

[eqn: f`prime( 0)= lim _{ x->0} { } {f(x)-f(0)} overx-0]

[eqn: =lim _{ x->0} { }{3`sin`4x +x^2 cos 1 overx + e^2x -1 } over {x }]

[eqn: = lim _{ x->0} { } left( {3`sin`4x} overx + x cos 1 overx + {e^2x -1} overx right)]

[eqn: lim _{ x->0} { }{3`sin`4x} over x = lim _{ x->0} { }{ 12`sin `4x} over4x = 12]	[eqn: cdots①]

[eqn: left| cos 1 over x right| le 1`]이므로 [eqn: left| x cos 1 over x right| le |`x`|]

[eqn: lim _{ x->0} { } left| x cos 1 over x right| le lim _{ x->0} { } |`x`| =0]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ x->0} { } x cos 1 overx =0]	[eqn: cdots ②]

[eqn: lim _{ x->0} { }{e^2x -1} overx = lim _{ x-> 0} { }{e^2x -1} over2x times 2 = 1times2 =2]	[eqn: cdots③]

[eqn: ①,~②,~③]에 의해

[eqn: lim _{ x->0} { } left( {3`sin`4x} overx + x cos 1 overx + {e^2x -1} overx right) = 12+0+2=14]

위례고/2023년/Q3/C

실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)][eqn: =sinx`-`cosx]가 [eqn: lim _{x rarrow a} {{ LEFT { f(x) RIGHT }^2 -LEFT { f(a) RIGHT }^2 } over x-a }=`-1]을 만족시킬 때, [eqn: sin^2 a]의 값은? [eqn: [4.5점]]

①

[eqn: lim _{x -> a} {{f(x)-f(a)} over {x-a} TIMES LEFT { f(x)+f(a) RIGHT } =`-1}]

[eqn: f'(a) times 2 f(a)=`-1]

[eqn: (cosa+sina) TIMES 2(sina-cosa)=2(sin ^{2} a-cos ^{2} a)=`-1]

[eqn: 2(2sin ^{2} a-1)=`-1]이므로

[eqn: therefore sin^ 2 a = 1 over 4]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 3 over 8]	③ [eqn: 1 over 2]
④ [eqn: 5 over 8]	⑤ [eqn: 3over4]

한솔고/2023년/Q3/C

함수 [eqn: f(x)= {cases{3`sin4x+x ^{2} cos {1} over {x}&(x != 0)#`````````````````````````0&(x=0)}}]에 대하여 미분계수의 정의와 극한의 대소관계를 사용하여 [eqn: f`'(0)]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 자세히 논술하시오. ([eqn: 10.0]점)

[eqn: 12]

풀이)

[eqn: lim _{x-> 0} {`x ^{2} `cos` {1} over {x}}] 에서

[eqn: x != 0]일 때, [eqn: x ^{2} >0]이고 [eqn: -1 LEQ cos` {1} over {x} LEQ 1]이므로

[eqn: -x ^{2} LEQ x ^{2} `cos` {1} over {x} LEQ x ^{2}]

이때 [eqn: lim _{x-> 0} {left(-x ^{2} right)= lim _{x-> 0} {x ^{2} =0}}]이므로 함수의 극한의 대소 관계에
의하여

[eqn: lim _{x -> 0} {`x ^{2} `cos` {1} over {x} =0}] 이다.

같은 방법으로 [eqn: lim _{x -> 0} {`x `cos` {1} over {x} =0}] 이다.

[eqn: f` prime (0)= lim _{h -> 0} { {(3`sin4h+h ^{2} cos {1} over {h})-(3`sin0+0times} cos {1} over {0})} over {h} }]

[eqn: ~~~= lim _{h -> 0} { {(3`sin4h+h ^{2} cos {1} over {h})} over {h} } = lim _{h -> 0} { {3`sin4 } over {h} + lim _{h -> 0} { {h ^{2} cos {1} over {h}} over {h}]

[eqn: ~~~ =12] 이다.

삼각함수의 미분(step3)

2.

이매고/2023년/Q2/B

곡선 [eqn: y=cos `x] [eqn: (0 le x le 2pi)] 위의 점 [eqn: left(k ,~ root 5 over3 right)]에서의 접선을 [eqn: l`]이라 하자. 다음 조건을 만족시키는 실수 [eqn: t`]의 값이 [eqn: a,~b] [eqn: (a<b)]일 때, [eqn: cos(a-b)`]의 값은? (단, [eqn: 0<k< pi over2]) [5.3점]

① [eqn: - 24 over25]	② [eqn: - 23 over25]	③ [eqn: - 22 over25]
④ [eqn: - 21 over25]	⑤ [eqn: - 4 over5]

②

점 [eqn: left(k ,~ root 5 over3 right)]가 [eqn: y=cos`x`] 위의 점이므로 [eqn: cos`k= root5 over3]

[eqn: 0 < k < pi over2]이므로 [eqn: sin`k = 2 over3]

[eqn: y`prime =-sin`x]이므로 직선 [eqn: l`]의 접선의 기울기는 [eqn: - 2 over3]

조건에서 [eqn: y=cos`x] [eqn: (0 lex le 2pi)] 위의 점 [eqn: t`]에서의 접선이 직선 [eqn: l`]과 이루는 예각의 크기가 [eqn: pi over4]이므로

[eqn: tan pi over4 = left| {{-sin`t + 2 over3} over{1+ (-sint`) left(- 2 over3 right) }`right| =1]

ⅰ) [eqn: { 2 over3 -sin`t } over{1+ 2 over3sin`t} =-1]일 때

[eqn: 2 over3 -sin`t = -1- 2 over3 sin`t]

[eqn: 1 over3 sin`t = 5 over3]

[eqn: sin`t = 5]이므로 만족하지 않음

ⅱ) [eqn: { 2 over3 -sin`t } over{1+ 2 over3sin`t} =1]일 때

[eqn: 2 over3 - sin`t = 1+ 2 over3 sin`t]

[eqn: sint = - 1 over5]

ⅰ), ⅱ)에 의해 [eqn: sin`t = - 1 over5]

[eqn: 0 le t le 2pi], [eqn: a<b]이므로 [eqn: cos`a <0 ,~cos`b >0]

[eqn: therefore] [eqn: sin`a = - 1 over5 ,~cos`a = - {2root6} over 5 ,~ sin`b= - 1 over5 , ~cos `b = {2root6} over5]

[eqn: therefore] [eqn: cos(a-b)= cos`a `cos`b + sin`a sin`b][eqn: =- 24 over25 + 1 over25 = - 23 over25]

곡선 [eqn: y=cos`x] [eqn: (0 le x le 2pi)] 위의 점 [eqn: (t,~cost)]에서의 접선이 직선 [eqn: l`]과 이루는 예각의 크기는 [eqn: pi over4`]이다.

이매고/2023년/Q2/B

그림과 같이 [eqn: rm barAB = it k ,~ rmbarBC = 3] [eqn: (k>3)]이고 [eqn: rm angleCBA = pi over2]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmBC]를 삼등분하는 두 점을 점 [eqn: rmB]에 가까운 순서대로 각각 [eqn: rmP,~Q]라 하고, [eqn: rm anglePAQ = theta`]라 하자. [eqn: tan(rmangleQAC) = root2 over8`]일 때, [eqn: tan `theta`]의 값을 구하고 그 과정을 논술하시오. [7.0점]

[eqn: {3root2} over 20]

[eqn: rm angleCAQ = alpha ,~ anglePAB = beta`]라 하자

[eqn: tan(alpha+ theta+ beta)= 3 overk ,~tan(theta+beta)= 2 overk]이므로

[eqn: tan`alpha = { 3 overk - 2 overk} over{ 1+ 3 overk times 2 overk } = k over{k^2 +6} = root2 over8]

[eqn: root2 k^2 -8k +6root2 =0]

[eqn: k^2 -4root2 k + 6=0]

[eqn: (k-3root2 )(k-root2 )=0]

[eqn: k>3`]이므로 [eqn: k=3root2]

[eqn: tan(theta+beta)= 2 overk ,~tan beta = 1 overk]

[eqn: therefore] [eqn: tan`theta = { 2 overk - 1 overk} over{ 1+ 2 overk times 1 overk } = k over{k^2 +2} = {3root2} over20]

보라고/2023년/Q2/B

그림과 같이 중심이 원점 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2`]인 원 [eqn: C`] 위의 두 점 [eqn: rmA,~B]가 각각 제 [eqn: 1`]사분면과 제 [eqn: 2`]사분면에 있다. 점 [eqn: rmC(5,~0)]에 대하여 [eqn: RMBARAC = root21`]이고 [eqn: rmbarAB = root2`]이다. 점 [eqn: rmD(-2,~0)]에 대하여 삼각형 [eqn: rmBDO]의 넓이는? [5.1점]

① [eqn: root7 over10 + {3root21} over20]	② [eqn: root7 over5 + {3root21} over20]
③ [eqn: root7 over5 + {3root21} over10]	④ [eqn: {2root7} over5 + {3root21} over10]
⑤ [eqn: {4root7} over5 + {3root21} over5]

③

[eqn: rm barOA = 2,~ rm barOC =5 ,~ {barAC}=root21 ,~{barOC}^2 = {barOA}^2 + {barAC}^2]이므로

[eqn: rm angleOAC =90Deg]

[eqn: rm angleAOC = alpha]라 하면 [eqn: sin `alpha = root21 over5 ,~ cos` alpha = 2 over5]

[eqn: rm angleAOB= beta`]라 하면 [eqn: rm triangleOAB]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: 2=4+4 - 8`cos`beta]

[eqn: cos`beta = 3 over4 ,~sin`beta = root7 over4]

[eqn: rm angleBOD = pi -(alpha + beta)]

[eqn: sin(pi-(alpha+beta))= sin(alpha+beta)]

[eqn: = sin`alpha` cos` beta + cos`alpha ` sin`beta]

[eqn: = root21 over5 times 3 over4 + 2 over5 times root7 over4 = {2root7 +3root21} over20]

[eqn: therefore] [eqn: rm triangleBOD = 1 over2 times 2 times2 times { 2root7 + 3root21} over20 = root7 over5 + {3root21} over10]

태원고/2023년/Q2/B

그림과 같이 제 [eqn: 1]사분면에서 곡선 [eqn: y= {1} over {x}] 위의 점 [eqn: rm P` it LEFT ( p,~ {1} over {p} RIGHT )]과 곡선 [eqn: y= {a} over {x}``(a>1)] 위의 점 [eqn: rm Q` it LEFT ( q,~ {a} over {q} RIGHT )]가 다음 조건을 만족시키면서 움직인다.

①

세 점 [eqn: rm O` it LEFT ( 0,~0 RIGHT )], [eqn: rm P` it LEFT ( p,~ {1} over {p} RIGHT )], [eqn: rm Q` it LEFT ( q,~ {a} over {q} RIGHT )]로 이루어진 삼각형의 넓이는

[eqn: TRIANGLE rm OPQ][eqn: = {1} over {2} LEFT | p TIMES {a} over {q} - {1} over {p} TIMESq RIGHT |][eqn: = {1} over {2} LEFT ( {p} over {q} TIMES a- {q} over {p} RIGHT )=2]

[eqn: LEFT ( BECAUSE~ `a>1,~ {p} over {q} >1,~0< {q} over {p} <1` RIGHT )]

위의 식을 정리하면 [eqn: {p} over {q} a- {q} over {p} =4`]에서

[eqn: ap ^{2} -q ^{2} =4pq]

한편 [eqn: x`]축 위의 한 점을 [eqn: rm R` it]이라 하면

[eqn: tan (rm ANGLE POQ)][eqn: =tan( rm ANGLE QOR-ANGLE POR)]
[eqn: ={ { a} over {q^2 } - { 1} over {p^2 } } over { 1+ { a} over { p^2 q^2} }][eqn: ={ ap^2 -q^2} over { a+p^2 q^2}][eqn: ={ 4pq} over { a+p^2 q^2}]

[eqn: pq=t] ([eqn: t>0])라 하면

[eqn: {4t} over {a+t ^{2}} = {4} over {{a} over {t} +t}]에서 분모가 최소일 때 이 값이 최대가 된다.

산술기하평균 관계에 의해 [eqn: {a} over {t} +t GEQ 2 sqrt {a}] 이므로

(단, [eqn: t= sqrt {a}]일 때 등호 성립)

[eqn: {4pq} over {a+p ^{2} q ^{2}} LEQ {4} over {2 sqrt {a}} = {2} over {sqrt {a}} = {1} over {5}]에서 [eqn: THEREFORE ~ sqrt {a} =10]

(가) [eqn: p>q]

(나) 삼각형 [eqn: rm OPQ]의 넓이는 [eqn: 2]이다.

[eqn: tan (rm ANGLE POQ)]의 최댓값이 [eqn: {1} over {5}]일 때, 상수 [eqn: sqrt { a}]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [5.5점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

태원고/2023년/Q2/B

그림과 같이 양수 [eqn: a]에 대하여 점 [eqn: rm C` prime it (a,~a)]을 중심으로 하고 점 [eqn: rmB]에서 [eqn: x]축, [eqn: x]축에 동시에 접하는 원 [eqn: C`]와 직선 [eqn: y=2x]가 만나는 서로 다른 두 점 중 원점에서 먼 점을 [eqn: rmP], 원점에서 가까운 점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rm barQP =rm barQR]이 되도록 하는 원 [eqn: C`]위의 점 [eqn: rmR]에 대하여 [eqn: rm {bar{PR}}=8]이고 [eqn: rm ANGLE PQC'= theta]일 때, [eqn: 25 TIMES `sin3 theta + rm {bar{OR}} ^{2} = it p sqrt {5} +q]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이고 [eqn: p,~q]는 유리수) [6점]

②

[eqn: {cases{(x-a) ^{2} +(y-a) ^{2} =a ^{2}#``y=2x}}]에서 [eqn: (x-a) ^{2} +(2x-a) ^{2} =a ^{2}]

[eqn: 5x^2 -6ax+a ^{2`}=0], [eqn: (5x-a)(x-a)=0] [eqn: THEREFORE ~x=a,`~ {a} over {5}]

직선 [eqn: rm QC']의 식은 기울기[eqn: = {a- {2a} over {5}} over {a- {a} over {5}}][eqn: = {3} over {4}]

직선 [eqn: rm QC']의 식은 [eqn: y= {3} over {4}(x-a)+a], [eqn: 3x-4y+a=0]

이때 점 [eqn: rm P` it LEFT ( a,~2a RIGHT )]에서 직선 [eqn: rm QC']까지의 거리가 [eqn: 4]이므로

[eqn: {LEFT | 3a-8a+a RIGHT |} over {5} =4]	[eqn: THEREFORE~a=5]

[eqn: rmP`(5,~10)], [eqn: rm Q`(1,~2)]이므로 [eqn: rm {bar{PQ}}=4 sqrt { 5}], [eqn: rmOQ= sqrt { 5}]이고

[eqn: sin theta = {1} over {sqrt {5}}], [eqn: cos theta = {2} over {sqrt {5}}], [eqn: sin2 theta = {4} over {5}], [eqn: cos2 theta = {3} over {5}]에서

[eqn: sin3 theta = {11} over {5 sqrt {5}} = {11 sqrt {5}} over {25}]

[eqn: rm {bar{OR}} ` ^{2} `=( sqrt { 5} ) ^{2} +(4 sqrt { 5} ) ^{2} -2` TIMES sqrt { 5} TIMES 4 sqrt { 5} TIMES cos (pi-2theta )]
[eqn: =5+80+24=109]

따라서

[eqn: 25 TIMES `sin3 theta + rm {bar{OR}} ^{2}][eqn: =25 TIMES {11 sqrt {5}} over {25} +109][eqn: =11 sqrt { 5}+109]

[eqn: p=11,~q=109]에서 [eqn: p+q=120]

① [eqn: 118]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 122]

④ [eqn: 124]	⑤ [eqn: 126]

보라고/2023년/Q3/B

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO]이고 길이가 [eqn: 3`]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원 위에 [eqn: rmangleAOC = pi over2]인 점 [eqn: rmC]가 있다. 호 [eqn: rmBC] 위에 점 [eqn: rmP]와 호 [eqn: rmCA] 위에 점 [eqn: rmQ]를 [eqn: rm barPB = barQC]가 되도록 잡고, 선분 [eqn: rmAP] 위에 점 [eqn: rmR]를 [eqn: rm angleCQR = pi over2]가 되도록 잡는다. [eqn: rm anglePAB = theta`]일 때, 삼각형 [eqn: rmPOB]의 넓이를 [eqn: f( theta)], 삼각형 [eqn: rmCQR]의 넓이를 [eqn: g (theta)`]라 하자. [eqn: lim _{ theta->0+} { }{f (theta)- g(theta)} over{theta^2} `]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < pi over4]) [5.2점]

① [eqn: 1 over4]	② [eqn: 3 over4]	③ [eqn: 5 over4]
④ [eqn: 7 over4]	⑤ [eqn: 9 over4]

⑤

[eqn: rm anglePOB = 2theta`]이므로

[eqn: f(theta) = 1 over2 times 3 over2 times3 times2 `sin``2theta = 9 over8 sin`2theta]	[eqn: cdots①]

[eqn: rm barPB = barQC `]이므로 [eqn: rm arch PB = arch QC], [eqn: rm angleQOC = 2theta]

[eqn: rmO]에서 [eqn: rm barQC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하고, [eqn: rm barAP]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하면

[eqn: rm angleIOD = theta `]이므로 [eqn: rm angleAOD = pi over2 - theta ,~ angleADO = pi over2]

[eqn: rm barOH = barOC cos` theta = 3 over2 cos`theta]

[eqn: rm barQC = 2 barCH = 2 times 3 over2 sin `theta = 3` sin`theta]

[eqn: rm barOI = barAO tan`theta = 3 over2 tan `theta]이므로

[eqn: rm barOD = barOI cos`theta = 3 over2 tan`theta `cos`theta]

[eqn: therefore] [eqn: rm barQR = barDH = barOH - barOD = 3 over2 cos`theta (1- tan`theta)]

[eqn: therefore] [eqn: g(theta)= 1over2 times 3`sin`theta times 3 over2 cos`theta ( 1- tan`theta)]

[eqn: = 9 over4 sin`theta `cos`theta (1-tan`theta)]

[eqn: = 9 over8 sin`2theta(1-tan`theta)]	[eqn: cdots②]

[eqn: ①,~②]에 의해

[eqn: lim _{ theta->0+} { }{f (theta)- g(theta)} over{theta^2} ` = lim _{ theta->0+} { } {9 over8 sin`2theta`tan`theta} overtheta^2]

[eqn: =lim _{ theta->0+} { } 9 over4 times {sin`2theta} over2theta times {tan `theta} overtheta}]

[eqn: = 9 over4]

수내고/2023년/Q3/B

중심이 원점 [eqn: rmO``]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1``]인 원 [eqn: C``]가 [eqn: x``]축, [eqn: y``]축의 양의 부분과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A,~B``]라 하자. 점 [eqn: rmB``]를 출발하여 점 [eqn: rmA``]까지 시계 방향으로 원 [eqn: C``] 위를 움직이는 점을 [eqn: rmP``]라 하고 선분 [eqn: rmOP``]와 [eqn: y``]축의 양의 방향이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta``]라 하자. 선분 [eqn: rmOA``]와 선분 [eqn: rmOP``]에 동시에 접하고 원 [eqn: C``]에 내접하는 원을 [eqn: C`_1``], 선분 [eqn: rmOA``]와 선분 [eqn: rmOP``]에 동시에 접하고 원 [eqn: C`_1``]에 외접하는 원을 [eqn: C`_2``]라 하자. 원 [eqn: C`_2``]의 반지름의 길이를 [eqn: r( theta )``]라 할 때, [eqn: lim _{theta rarrow {pi } over {2}} {} {4r`( theta )} over {{pi } over {2} - theta `}``]의 값은? [5.4점]

②

원[eqn: C`_1``], 원 [eqn: C`_2``]의 반지름의 길이를 각각 [eqn: rm R``], [eqn: r``]라 하고

[eqn: rm ANGLE POA=it 2t``]라 하면

[eqn: 2t= {pi } over {2} - theta``]

[eqn: {rm R} over {sint} + rm R=1``]

[eqn: rm R LEFT ( {1} over {sint} +1 RIGHT ) =1``]

[eqn: THEREFORE ~``][eqn: rm R= {sint} over {1+sint}``] [eqn: CDOTS CDOTS ``] ㉠

또 [eqn: r+ {r} over {sint} +2 rm R=1``]

[eqn: r+ {r} over {sint} + {2sint} over {1+sint} =1``]

[eqn: r CDOT {1+sint} over {sint} =1- {2sint} over {1+sint}``]

[eqn: r CDOT {1+sint} over {sint} = {1-sint} over {1+sint}``]

[eqn: r( theta )= {(1-sint)sint} over {(1+sint) ^{2}}``][eqn: = {(sint-sin^2 t)} over {(1+sint) ^{2}}``] [eqn: LEFT ( pile{ `#` } RIGHT .``]단, [eqn: LEFT.t= {pi } over {4} - theta over2 RIGHT )``]

[eqn: r` prime ( theta )``]

[eqn: =`{(cost-2sint`cost)(1+sint) ^{2} -(sint-sin ^{2} t)2(1+sint)cost} over {(1+sint) ^{4}} cdot {dt} over {d theta }``]

[eqn: r` prime LEFT ( { pi} over { 2} RIGHT ) =``][eqn: {1-0} over {1} CDOT LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) =- {1} over {2}``]

따라서 [eqn: lim _{theta rarrow {pi } over {2}} {} {4r`( theta )} over {{pi } over {2} - theta `}``][eqn: =-4r` prime LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) =-4 TIMES LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) =2``]이다.

[다른 풀이]

[eqn: 2t= {pi } over {2} - theta``]에서 [eqn: theta ` -> ` {pi } over {2} `]일 때 [eqn: t` -> `0``]이므로

[eqn: lim _{theta -> {pi } over {2}} {} {4r`( theta )} over {{pi } over {2} - theta `} `][eqn: = lim _{t` -> `0} {} {4r`( theta )} over {2t`} `][eqn: = lim _{t` -> `0} {} {4} over {2t`} TIMES {(1-sint)sint} over {(1+sint) ^{2}} `]

[eqn: = lim _{t` -> `0} {} ` {2sint} over {t`} TIMES {(1-sint)} over {(1+sint) ^{2}} =2 TIMES 1=2`]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]

④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

한솔고/2023년/Q3/B

그림과 같이 [eqn: {bar{AB}} `=1,`` {bar{BC}} `=2]인 두 선분 [eqn: AB,``BC]에 대하여 선분 [eqn: BC]의 중점을 [eqn: M], 점 [eqn: M]에서 선분 [eqn: AB]에 내린 수선의 발을

③

풀이)

직각삼각형 [eqn: rm BMH]에서 [eqn: {rm bar{MB}}=1]

[eqn: sin theta ={{rm bar{MH}}}over{{rm bar{MB}}}]에서 [eqn: {rm bar{MH}}={rm bar{MB}} × sin theta =sin theta]

삼각형 [eqn: rm DMC]에서 [eqn: {rm bar{MD}}={rm bar{MH}}=sin theta], [eqn: {rm bar{MC}}=1],

[eqn: ∠ rm DMC= pi - ∠ rm DMB][eqn: = pi - ∠ rm AMB][eqn: = pi -{pi- theta}over{2}][eqn: ={pi}over{2}+{theta}over{2}]

이므로

[eqn: △ rm DMC={1}over{2} × {rm bar{`MD}} × {bar{MC}} × sin( ∠ DMC)]

[eqn: ={1}over{2} × sin theta × 1 × sin left({pi}over{2}+{theta}over{2}right)][eqn: ``={1}over{2}`sin theta cos{theta}over{2}]

삼각형 [eqn: rmHMC]에서

[eqn: {rm bar{MH}}=sin theta], [eqn: {rm bar{MC}}=1],

[eqn: ∠ rm HMC= pi - ∠ rm HMB][eqn: = pi - left({pi}over{2}- theta right)][eqn: ={pi}over{2}+ theta]

이므로

[eqn: △ rm HMC={1}over{2} × {rm bar{`MH}} × {bar{MC}} × sin( ∠ HMC)]

[eqn: ={1}over{2} × sin theta × 1 × sin left({pi}over{2}+ theta right)]

[eqn: = {1} over {2} `sin theta cos theta]

이때

[eqn: f( theta)-g( theta)][eqn: = △ rm DMC- △ rm HMC]

[eqn: ={1}over{2}` sin theta cos{theta}over{2}-{1}over{2}` sin theta cos theta] [eqn: ={sin theta left( cos{theta}over{2}-cos theta right)}over{2}]

이므로

[eqn: lim_{theta → 0+}{}{f( theta)-g( theta)}over{theta^{3}}]

[eqn: = lim_{theta → 0+}{}{sin theta left( cos{theta}over{2}-cos theta right)}over{2 theta^{3}}]

[eqn: = lim_{theta → 0+}{}{sin theta left( cos{theta}over{2}-cos theta right) left( cos{theta}over{2}+cos theta right)}over{2 theta^{3}left( cos{theta}over{2}+cos theta right)}]

[eqn: = lim_{theta → 0+}{}{sin theta left( cos^{2}{theta}over{2}-cos^{2} theta right)}over{2 theta^{3}left( cos{theta}over{2}+cos theta right)}]

[eqn: = lim_{theta → 0+}{}{sin theta left( sin^{2} theta -sin^{2}{theta}over{2}right)}over{2 theta^{3}left( cos{theta}over{2}+cos theta right)}]

[eqn: ={1}over{2}lim_{theta → 0+}{}{sin theta}over{theta} × left{lim_{theta → 0+}{}left({sin theta}over{theta}right)^{2}] [eqn: -{1}over{4}lim_{theta → 0+}{}left({sin{theta}over{2}}over{{theta}over{2}}right)^{2}right}]

[eqn: × lim_{theta → 0+}{}{1}over{cos{theta}over{2}+cos theta}]

[eqn: ={1}over{2} × 1 × left( 1^{2}-{1}over{4} × 1^{2}right) × {1}over{1+1}] [eqn: ={3}over{16}] 이므로

[eqn: lim_{theta → 0+}{}{f( theta)-g( theta)}over{theta^{3}} times 1 over 3 = 3 over 16 times 1 over 3 = 1 over 16]

[eqn: H]라 하자. 중심이 [eqn: M]이고 반지름의 길이가 [eqn: {bar{MH}}]인 원이 선분 [eqn: AM]과

만나는 점을 [eqn: D], 선분 [eqn: HC]가 선분 [eqn: DM]과 만나는 점을 [eqn: E]라 하자.

[eqn: ANGLEABC= theta]라 할 때, 삼각형 [eqn: CDE]의 넓이를 [eqn: f( theta)], 삼각형 [eqn: MEH]의

넓이를 [eqn: g( theta)]라 하자. [eqn: lim _{theta`rarrow`0+} {{f( theta)-g( theta)} over {3theta ^{3}}}]의 값은? (단, [eqn: 0< theta< {pi} over {2}]) ([eqn: 4.2]점)

① [eqn: {1} over {14}]	② [eqn: {1} over {15}]	③ [eqn: {1} over {16}]
④ [eqn: {1} over {17}]	⑤ [eqn: {1} over {18}]

영덕여고/2023년/Q3/B

그림과 같이 [eqn: barAB =1 ,~ barAC = 3,~barBD =4]이고, [eqn: angleABC]의 크기 [eqn: theta]가 변함에 따라 점 [eqn: C]는 선분 [eqn: BD] 위를 움직인다. 삼각형 [eqn: ACD]의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 하자. [eqn: lim_theta->0+ {S(theta)} overtheta^3 = p overq]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0<theta< pi over2]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [eqn: [12점]]

[eqn: 4]

[eqn: barBC]를 구하기 위해 [eqn: barBC =x]라 두면

[eqn: triangleABC]에서

[eqn: 3^2 = 1^2 +x^2 - 2 times 1 times x times `cos theta ~(because~코사인법칙)]이므로

[eqn: x^2 - (2costheta) x -8 =0] 근의 공식을 이용하여 [eqn: x]의 값을 구하면

[eqn: x= cos theta +- sqrt{cos^2 theta +8}]

[eqn: x= cos theta + sqrt{ cos^2 theta +8} ~(because~ 0<x<4)]

[eqn: S( theta )= TRIANGLE ABD- TRIANGLE ABC= {1} over {2} TIMES bar{BD} TIMES sin theta - {1} over {2} TIMES bar{BC} TIMES sin theta]

[eqn: = 1over2 (4-x)sin theta = 1over2 ( 4 - cos theta- sqrt{ cos^2 theta +8 }) sin theta]이므로

[eqn: therefore~lim_theta->0+ S(theta) overtheta^3 = lim_theta->0+ {1over2 (4- cos theta - sqrt{ cos^2 theta +8} ) sin theta} overtheta^3]

[eqn: = lim_ theta->0+ {(1 - cos theta+3-sqrt{ cos^2 theta +8})sin theta} over2theta^3]

[eqn: =lim_theta->0+ {left({ sin^2 theta} over{1+cos theta} + {sin^2 theta} over{3+ sqrt{cos^2 theta+8}} right) sintheta} over2theta^3]

[eqn: = lim _{theta -> 0+} {} {LEFT ( {1} over {1+cos theta } + {1} over {3+ sqrt {cos ^{2} theta +8}} RIGHT ) sin ^{3} theta } over {2 theta ^{3}}]

[eqn: = lim _{theta -> 0+} {} LEFT ( {1} over {1+cos theta } + {1} over {3+ sqrt {cos ^{2} theta +8}} RIGHT ) TIMES {sin ^{3} theta } over { theta ^{3}} TIMES {1} over {2}]

[eqn: = LEFT ( {1} over {2} + {1} over {6} RIGHT ) TIMES 1 ^{3} TIMES {1} over {2} = {1} over {3}]

따라서 [eqn: p =1,~q=3]이므로 [eqn: p+q=4]이다.

위례고/2023년/Q3/B

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: rm ABCD]가 있다. 변 [eqn: rm BC] 위의 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: angle rm C A P = theta]라 할 때, [eqn: lim _{ theta->0 -} {rm {bar AC -bar AP } over {4 theta} }]은? (단, [eqn: 0< theta < pi over 4]) [eqn: [4.7점]]

④

[eqn: rm bar AC =2root2], [eqn: rm bar PB][eqn: =2tan LEFT ( {pi } over {4} - theta RIGHT )], [eqn: rm bar AP = sqrt {4+4tan ^{2} LEFT ( {pi } over {4} - theta RIGHT )}]

([eqn: ANGLE rm PAB=][eqn: {pi } over {4} - theta]라 하면)

[eqn: lim _{ theta->0 -} {rm {bar AC -bar AP } over {4 theta} }][eqn: = lim _{theta -> 0} {{2 sqrt {2} - sqrt {4+4tan ^{2} LEFT ( {pi } over {4} - theta RIGHT )}} over {4 theta }} = lim _{theta -> 0} {{2 sqrt {2} -2sec LEFT ( {pi } over {4} - theta RIGHT )} over {4 theta }}]

[eqn: = lim _{theta -> 0} {{sqrt {2} `cos LEFT ( {pi } over {4} - theta RIGHT ) -1} over {2cos LEFT ( {pi } over {4} - theta RIGHT ) TIMES theta } = lim _{theta -> 0} {{sin theta +cos theta -1} over {2cos LEFT ( {pi } over {4} - theta RIGHT ) TIMES theta }}}]

[eqn: ={{1} over {2`cos {pi } over {4}} TIMES lim _{theta -> 0} {LEFT . LEFT { {sin theta } over {theta } + {cos theta -1} over {theta } RIGHT . RIGHT }}}][eqn: = {1} over {sqrt {2}} TIMES LEFT { 1+0 RIGHT } = {1} over {sqrt {2}}]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: root2 over4]	③ [eqn: 1 over 2]
④ [eqn: root 2 over 2]	⑤ [eqn: 1]

태전고/2023년/Q5/B

그림과 같이 길이가 [eqn: 6]인 선분 [eqn: rm AB]를 지름으로 하는 반원에 대하여 호 [eqn: rm AB] 위의 점 [eqn: rmC]가 있따. 선분 [eqn: rm AC]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rm D], 점 [eqn: rmD]에서 [eqn: rm bar AC BOT bar DH]가 되도록 직선을 그려 반원과 만나는 점을 [eqn: rmE]라 하자. [eqn: angle rm CAB =][eqn: theta]일 때, 사각형 [eqn: rm CDHE]의 넓이를 [eqn: S( theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta->0+} {{S(theta ) } over theta }]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < pi over 4]이다.) [eqn: [5.3점]]

②

원의 중심을 [eqn: rmO]라 하면 [eqn: angle rm EHB = theta]이고,

[eqn: triangle rm OEH]에서 [eqn: rm bar OH = 1 ,~ bar OE = 3 ,~ bar HE =][eqn: x]라 하면

[eqn: x^2 +1 - 2 x cos(pi - theta) =9]

[eqn: x^2 + 2x cos theta -8=0]

[eqn: theta ->0 ~ x^2 +2x-8=0]에서 [eqn: x=2]

[eqn: S(theta)= 1 over 2 4 sin theta (2 cos theta + x)]

[eqn: lim _{ theta->0} { {2sin theta ( 2 cos theta + x )} over theta }= 2 times (2+2 ) = 8]

① [eqn: 15over 2]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 17over 2]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 19 over 2]

보평고/2023년/Q3/A

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1`]이고 중심각의 크기가 [eqn: pi over2 `]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. 선분 [eqn: rmOB] 위에 점 [eqn: rmP]를 [eqn: rm anglePAO= theta`], 호 [eqn: rmAB] 위에 점 [eqn: rmQ]를 [eqn: rm angleAOQ = 3 theta`]가 되도록 잡고 두 선분 [eqn: rmAP], [eqn: rmOQ]의 교점을 [eqn: rmR]라 하자. 선분 [eqn: rmAO] 위의 점 [eqn: rmS], 선분 [eqn: rmOR] 위의 점 [eqn: rmT], 선분 [eqn: rmAR] 위의 점 [eqn: rmU]를 선분 [eqn: rmUT]가 선분 [eqn: rmAO]에 평행하고 삼각형 [eqn: rmSTU]가 정삼각형이 되도록 잡는다. 삼각형 [eqn: rmSTU]의 넓이를 [eqn: f(theta)], 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이를 [eqn: g(theta)]라 할 때, [eqn: lim _{ theta->0+} { }{f(theta)} over{ theta timesg(theta)} `]의 값은? (단, [eqn: 0 < theta < pi over 6`]이다.) [5.4점]

① [eqn: root3 over8]	② [eqn: root3 over4]	③ [eqn: root3 over2]
④ [eqn: root3]	⑤ [eqn: 2root3]

③

[eqn: rm angleOAR= theta ,~ angleAOR= 3theta`]이므로 [eqn: rm angleORA = pi - 4theta]

[eqn: rmtriangleOAR]에서 사인법칙에 의해 [eqn: {rmbarOR } over{sin `theta} = {rm barOA} over{sin(pi-4theta)}]

[eqn: rm barOR = {sin`theta} over {sin`4theta{]

[eqn: rm barUT]가 [eqn: rm barAO]에 평행하므로 [eqn: rm angleTSO = pi over3]

이때 [eqn: rm barST = it a`]라 하면

[eqn: rm triangleOST]에서 사인법칙에 의해 [eqn: {rm barOT} over{sin pi over3} = it a over{sin`3theta}]

[eqn: rm barOT = {root3 ita} over{2`sin`3theta], [eqn: rm barRT ={ sin`theta} over{sin `4theta} - it {root3 a } over{2 `sin`3theta}]

[eqn: rm triangleRUT□ triangleRAO]

[eqn: rm barRT :barRO =barUT : barAO]

[eqn: LEFT ( {sin` theta } over {sin`4 theta } - it {sqrt {3} a} over {2`sin`3 theta } RIGHT ) ``:`` {sin` theta } over {sin`4 theta } ``=``a``:``1]

[eqn: {sin `theta} over{sin `4theta} a = {sin` theta }over{ sin`4theta} - {root3 a }over {2`sin`3theta}]

[eqn: left( {{sin` theta} over{sin` 4theta} + root3 over{2`sin`3theta} right)a = {sin` theta} over{sin` 4theta}]

[eqn: LEFT ( {2`sin` theta `sin`3 theta + sqrt {3} `sin`4 theta } over {2`sin`4 theta `sin`3 theta } RIGHT )a= {sin` theta } over {sin`4 theta }]

[eqn: a= {2`sin` theta `sin`3 theta } over {2`sin` theta `sin`3 theta + sqrt {3} `sin`4 theta }]

[eqn: lim _{ theta->0+} { } a overtheta =][eqn: lim _{theta -> 0+} {} {{2`sin` theta `sin`3 theta } over {theta ^{2}}} over {{2`sin` theta `sin`3 theta + sqrt {3} `sin`4 theta } over {theta }} = {2 TIMES 1 TIMES 3} over {0+4 sqrt {3}} = {sqrt {3}} over {2}] [eqn: cdots①]

[eqn: f( theta) = root3 over4 a^2`]이므로 [eqn: ①]을 이용하면

[eqn: lim _{ theta->0+} { } f(theta) overtheta^2 = lim _{ theta->0+} { } root3 over4 left(a overtheta right)^2 = root3 over4 times left(root3 over2 right)^2 ={3root3} over16]	[eqn: cdots②]

[eqn: rm bar{OP} = it `tan` theta ,~ rm bar{OQ} =1,~ rm bar{OR} = {sin` theta } over {sin`4 theta } ,~ rm ANGLE POQ= {pi } over {2} -3 theta]이므로

[eqn: rm TRIANGLE OPQ= {1} over {2} TIMES 1 TIMES tan` theta TIMES sin LEFT ( {pi } over {2} -3 theta RIGHT ) = {1} over {2} `tan` theta `cos`3 theta]

[eqn: rm triangleOPR = 1 over2 times tan`theta times {sin `theta }over{ sin`4theta} times sin left( pi over2 - 3theta right) = {tan`theta `cos`3theta` sin `theta }over{ 2sin`4theta}]

[eqn: g(theta)= rm triangleOPQ - triangleOPR]

[eqn: = {1} over {2} `tan` theta `cos`3 theta LEFT ( 1- {sin theta } over {sin`4 theta } RIGHT )]

[eqn: ={tan`theta `cos`3theta(sin`4theta -sin`theta)} over{2`sin`4theta}]

[eqn: lim _{ theta->0+ } { }{g(theta)} overtheta = lim _{ theta->0+} { } {tan`theta `cos`3theta(sin`4theta -sin`theta)} over{2theta`sin`4theta}]

[eqn: = lim _{ theta->0+} { } {{tan`theta `cos`3theta(sin`4theta -sin`theta)}overtheta^2} over{{2`sin`4theta} overtheta}]

[eqn: =lim _{ theta->0+} { } { 1times1 times(4-1)} over2times4 = 3 over8]	[eqn: cdots③]

[eqn: ②,~③]에 의해

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ theta->0+} { }{f(theta)} over{ theta timesg(theta)} ` = lim _{ theta->0+} { }{f(theta) overtheta^2} over {g(theta) over theta} = {{3root3} over16} over {3 over8}} = root3 over2]

[다른 풀이]

[eqn: rm angleOAR= theta ,~ angleAOR= 3theta`]이므로 [eqn: rm angleORA = pi - 4theta]

[eqn: rmtriangleOAR]에서 사인법칙에 의해 [eqn: {rmbarOR } over{sin `theta} = {rm barOA} over{sin(pi-4theta)}]

[eqn: rm barOR = {sin`theta} over {sin`4theta{]

[eqn: rm barUT]가 [eqn: rm barAO]에 평행하므로 [eqn: rm angleTSO = rm angleUSA = pi over3]

[eqn: rm barST = barSU = barUT =it a`]라 하면

[eqn: rmU,~T]에서 선분 [eqn: rmAO]에 내린 수선의 발은 각각 [eqn: rmD,~E]라 하면

[eqn: rm barAD = it {root3 a } over{2 `tan`theta} ,~ rm barOE = {itroot3 a} over{2`tan`3theta}]

[eqn: a left (1 + root3 over{2 `tan`theta }+ root3 over{2 ` tan`3theta} right) =1]

[eqn: a= {2`tan` theta `tan`3 theta } over {2`tan` theta `tan`3 theta + sqrt {3} `tan`3 theta + sqrt {3} `tan` theta }][eqn: lim _{theta -> 0+} {} {a} over {theta } = lim _{theta -> 0+} {} {{2`tan` theta `tan`3 theta } over {theta ^{2}}} over {{2`tan` theta `tan`3 theta + sqrt {3} `tan`3 theta + sqrt {3} `tan` theta } over {theta }}]

[eqn: = lim _{theta -> 0+} {} {2 TIMES 1 TIMES 3} over {0+3 sqrt {3} + sqrt {3}} = {6} over {4 sqrt {3}} = {sqrt {3}} over {2}]	[eqn: cdots ①]

[eqn: ①]이후 풀이 위와 동일

보평고/2023년/Q3/A

그림과 같이 좌표평면 위에 중심이 [eqn: rmO(0,~0)]이고 점 [eqn: rmA(0,~1)]을 지나는 원 [eqn: C_1`] 위의 제 [eqn: 1`]사분면 위의 점을 [eqn: rmP]라 하자. 점 [eqn: rmP]를 원점에 대하여 대칭이동시킨 점과 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동시킨 점을 각각 [eqn: RmQ,~R]라 하자. 선분 [eqn: rmQR]를 지름으로 하는 원 [eqn: C_2`]와 두 선분 [eqn: rmPQ,~AQ]와의 교점을 각각 [eqn: rmM,~N]이라 하자. [eqn: rm anglePOA = theta`]라 할 때, 두 삼각형 [eqn: rm MQN ,~ PNR]의 넓이를 각각 [eqn: S( theta),~T(theta)`]라 하자. [eqn: lim _{ theta-> 0+} { }{ theta rm times barMN times itS(theta)} over{T(theta)} ``]의 값은? [5.7점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

②

[eqn: rm angleAOP =theta`]이므로

[eqn: rmP(sin`theta,~cos`theta),~Q(-sin`theta,~-cos`theta),~R(-sin`theta,~cos`theta)]

[eqn: rmbarQR]을 지름으로 하는 원 [eqn: C_2`]의 중심을 [eqn: rmO prime]이라 하면

원 [eqn: C_2`]는 중심이 [eqn: rmO prime(-sin`theta,~0)], 반지름이 [eqn: cos`theta`]인 원이다.

원 [eqn: C_1`]에서 [eqn: rm archAP]에 대한 중심각이 [eqn: theta`]이므로

원주각인 [eqn: rm angleAQP = thetaover2]

[eqn: rm arch AP = archAR `]이므로 [eqn: rm angleAQR = theta over2]

[eqn: rm barQR = 2` cos`theta]이고, [eqn: rm barQR`]이 지름이므로

[eqn: rm barQN = 2 `costheta ` cos`thetaover2]	[eqn: cdots ①]

[eqn: rm barQM = 2 `cos`theta`cos`theta = 2`cos^2 theta]	[eqn: cdots ②]

[eqn: rm bar RN = 2 `cos`theta `sin ` theta over2]	[eqn: cdots③]

[eqn: ①,~②]를 이용하면

[eqn: S(theta)= 1 over2 times 2`cos`theta `cos `theta over2 times 2`cos^2 theta timessin ` theta over2]

[eqn: =2`cos^3 theta` cos` theta over2 ` sin ` theta over2]

[eqn: = cos^3 theta `sin` theta]	[eqn: cdots④]

[eqn: rm angle{O prime RN = pi over 2 - theta over2 ,~angleO primeRP = pi over2`]이므로 [eqn: rm angleNRP = theta over2]

[eqn: rm barPR = 2 `sin`theta]과 [eqn: ③]을 이용하면

[eqn: T(theta) = 1over2 times 2 `sin`theta times 2 `cos`theta ` sin ` theta over2 times sin ` theta over2]

[eqn: =2`sin`theta `cos`theta `sin^2 ` theta over2]	[eqn: cdots⑤]

[eqn: rm angleRO primeN = theta ,~ angleQO prime M = pi -2theta`]이므로 [eqn: rmangleNO primeM= theta]

[eqn: rm triangleO primeMN]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: rm{ barMN }^2 = cos^2 theta + cos^2 theta - 2 `cos^3 theta]

[eqn: =2`cos^2 theta(1-cos`theta)]

[eqn: = 4`cos^2 thetasin^2 theta over2]

[eqn: rmbarMN = 2`cos`theta `sin theta over2]	[eqn: cdots ⑥]

[eqn: ④,~⑤,~⑥]에 의해

[eqn: lim _{ theta-> 0+} { }{ theta rm times barMN times itS(theta)} over{T(theta)} `` = lim _{ theta->0+} { } { theta times2`cos`theta `sin` theta over2 times cos^3 theta `sin`theta} over {2`sin`theta `cos`theta `sin^2 ` theta over2 }]

[eqn: = lim _{ theta->0+} { } { theta times cos^3 theta} over {`sin` theta over2 } =2]

이매고/2023년/Q3/A

그림과 같이 길이가 [eqn: 2`]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원의 호 위에 두 점 [eqn: rmA,~B]가 아닌 점 [eqn: rmP`]가 있다. [eqn: rm angleBAP = theta`]라 할 때, 호 [eqn: rmAP] 위의 점 [eqn: rmQ]를 [eqn: rm anglePAQ =2 theta`]가 되도록 잡는다. 호 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 직선 [eqn: rmAQ]와 만나는 점을 [eqn: rmR]라 하자. 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이를 [eqn: S(theta)`]라 할 때, [eqn: lim _{ theta-> 0+} { } {S(theta)} over{theta^3 }`]의 값은?
(단, [eqn: 0< theta < pi over6]) [5.2점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]
④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

①

[eqn: rm barAB = 2`]이므로 [eqn: rm barAP =2 `cos `theta]

원의 중심을 [eqn: rmO]라 하면

[eqn: rm angleOAQ =rm angleOQA =3theta], [eqn: rm angleOAP =rm angleOPA =theta]이므로

[eqn: rm angleQOP= 4theta], [eqn: rm anglePOB= 2theta]

[eqn: rmtriangleOPQ `]에서 [eqn: rm angleOQP =angleOPQ = pi over2 - 2theta]

[eqn: therefore] [eqn: rm ANGLE PQA=3 theta + {pi } over {2} -2 theta = {pi } over {2} + theta]

[eqn: rmtriangleAPQ `]에서 사인법칙에 의해

[eqn: {rmbarPQ} over{sin`2theta} = {2`cos`theta} over{sin left(pi over2 + thetaright) }= {2`cos`theta } over{cos`theta} =2]

[eqn: therefore] [eqn: rm barPQ = 2`sin`2theta]

직선 [eqn: rmPR]이 원의 접선이므로 [eqn: rm angleOPR= pi over2]

[eqn: therefore] [eqn: rmangleQPR = pi over2 - left( pi over2 - 2thetaright)= 2theta]

외각의 성질에 의해 [eqn: rm anglePQR = pi -3theta - left( pi over2 - 2theta right) = pi over2 - theta]

[eqn: therefore] [eqn: rm anglePRQ = pi over2 -theta]

[eqn: rm anglePQR= anglePRQ]이므로 [eqn: rm barPQ = barPR = 2 `sin 2theta]

[eqn: S( theta)= 1 over2 times(2`sin 2theta )^2 times sin`2theta = 2 `sin^3 `2theta]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ theta-> 0+} { } {S(theta)} over{theta^3 }` = lim _{ theta->0+} { }{ 2 `sin^3 `2theta} over{theta^3 } = 2times 8=16]

[다른 풀이]

[eqn: rm barAB = 2`]이므로 [eqn: rm barAP =2 `cos `theta], [eqn: rm barAQ = cos`3theta]

원의 중심을 [eqn: rmO]라 하면 [eqn: rm angleOAP =rm angleOPA =theta]

직선 [eqn: rmPR]이 원의 접선이므로 [eqn: rm angleOPR= pi over2]

[eqn: rm angleAPR = pi over2 - theta]

[eqn: therefore] [eqn: rm angleARP = pi over2 -theta]이므로 [eqn: rm barAP = barAR = 2 cos theta]

[eqn: cos`3theta=cos(2theta+theta)][eqn: = cos`2theta`cos`theta- sin`2theta`sin`theta]

[eqn: = cos`2thetacostheta- 2`sin^2 thetacos`theta]

[eqn: =(2cos^2 theta`-1)cos`theta -2costheta(1-cos^2 theta )]

[eqn: =4`cos^3 theta - 3`cos`theta]

[eqn: rm barQR = 2`cos`theta - 2(4`cos^3 theta - 3`costheta)]
[eqn: =8`costheta- 8cos^3 theta][eqn: =8`cos`theta`sin^2 theta]

[eqn: rmtriangleAPR `]에서 사인법칙에 의해

[eqn: {rmbarPR} over{sin`2theta} = {2`cos`theta} over{sin left(pi over2 - thetaright) }= {2`cos`theta } over{cos`theta} =2]

[eqn: rm barPR = 2`sin`2theta]

[eqn: therefore] [eqn: S(theta)= 1 over2 times 8`cos`theta` sin^2 theta times 2 `sin 2theta timessin left( pi over2 - theta right)]

[eqn: = 8cos^2 theta sin^2 theta sin2theta]

[eqn: lim _{ theta-> 0+} { } {S(theta)} over{theta^3 }` = lim _{ theta->0+} { }{ 8cos^2 theta sin^2 theta sin2theta} over{theta^3 } = 8times 2=16]

송림고/2023년(이)/Q3/A

그림과 같이 길이가 [eqn: 1]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: rmAB]위의 점 [eqn: rmC]에 대하여 점 [eqn: rmA]를 중심으로 하고 점 [eqn: rmC]를 지나는 원 [eqn: R]이 선분 [eqn: rmAB]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: rm ANGLE CAB]를 이등분하는 직선이 선분 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmE], 원 [eqn: R]과 만나는 점을 [eqn: rmF], 두 직선 [eqn: rmAC,~DE]가 만나는 점을 [eqn: rmG], 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmO]라 하고, 두 직선 [eqn: rmOC,~AF]가 만나는 점을 [eqn: rmH]라 하자. [eqn: rm ANGLE CAB`=theta]([eqn: 0<` theta ` < pi over {2}])일 때, 삼각형 [eqn: rmACH]의 넓이를 [eqn: S(theta)], 삼각형 [eqn: rmEGF]의 넓	이를 [eqn: T(theta)]라 하자.

[eqn: 1over6]

삼각형 [eqn: rmAOC]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times LEFT ( 1over2 RIGHT ) sin2 theta = 1over8 sin2theta]이고.

[eqn: rm barAC =costheta]이므로 각의 이등분선의 정리에 의해 [eqn: rm {bar{OB}} : {bar{CH}} = {1} over {2} :cos theta]이다. 따라서

삼각형 [eqn: rmACH]의 넓이 [eqn: S(theta)]는

[eqn: S( theta )= {sin2 theta } over {8} TIMES {cos theta } over {{1} over {2} +cos theta }]

또한 [eqn: rm ANGLEACB = ANGLE ADG =90DEG](∵지름의 원주각은 [eqn: 90DEG])이고.

[eqn: rm {bar{DG}} = {bar{AD}} tantheta][eqn: =cos theta `tan theta],

[eqn: rm {bar{DE}} = {bar{AD}} tan LEFT ( {theta } over {2} RIGHT )][eqn: =cos theta tan LEFT ( {theta } over {2} RIGHT )]이므로

[eqn: rm {bar{G`E }} =cos theta LEFT ( tan theta -tan {theta } over {2} RIGHT )]

이다.

[eqn: rm {bar{AE}} = {bar{AD}} sec LEFT ( {theta } over {2} RIGHT )][eqn: =cos theta `sec LEFT ( {theta } over {2} RIGHT )]이므로

[eqn: rm {bar{FE}} `= {bar{AE}} - {bar{AF}} =cos theta LEFT ( sec {theta } over {2} -1 RIGHT )]

이다. 또한 [eqn: rm ANGLE G EF = piover2 + thetaover2]이다.

[eqn: T( theta )= {1} over {2} TIMES LEFT { cos theta LEFT ( sec {theta } over {2} -1 RIGHT ) RIGHT } TIMES LEFT { cos theta LEFT ( tan theta -tan {theta } over {2} RIGHT ) RIGHT } TIMES `sin LEFT ( {pi } over {2} + {theta } over {2} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} TIMES `cos ^{2} theta LEFT ( sec {theta } over {2} -1 RIGHT ) TIMES LEFT ( tan theta -tan {theta } over {2} RIGHT ) TIMES `cos LEFT ( {theta } over {2} RIGHT )]

[eqn: lim _{theta rarrow 0+} {} {T( theta )} over {theta ^{2} TIMES S( theta )}]

[eqn: = lim _{theta rarrow 0+} {} {{1} over {2} TIMES `cos ^{2} theta LEFT ( sec {theta } over {2} -1 RIGHT ) TIMES LEFT ( tan theta -tan {theta } over {2} RIGHT ) TIMES `cos LEFT ( {theta } over {2} RIGHT )} over {theta ^{2} TIMES {sin2 theta } over {8} TIMES {cos theta } over {{1} over {2} +cos theta }}]

[eqn: = {16} over {3} lim _{theta rarrow 0+} {} {{1} over {2} LEFT ( sec {theta } over {2} -1 RIGHT ) TIMES LEFT ( tan theta -tan {theta } over {2} RIGHT )} over {theta ^{3} TIMES {sin2 theta } overtheta}]

[eqn: = {8} over {3} lim _{theta rarrow 0+} {} {LEFT ( {theta } over {8} RIGHT ) TIMES LEFT ( {theta } over {2} RIGHT )} over {theta ^{3}}]

[eqn: =`1over6]

여기서

[eqn: lim _{theta rarrow 0} {} {tan theta -tan {theta } over {2}} over {theta } = lim _{theta rarrow 0} { tan theta } over {theta } - lim _{theta rarrow 0} {} {tan {theta } over {2}} over {theta }][eqn: = 1- 1over2 = 1over2]

[eqn: lim _{theta rarrow 0} {} {sec {theta } over {2} -1} over {theta ^{2}} = lim _{theta rarrow 0} {} {sec {theta } over {2} LEFT ( 1-cos` {theta } over {2} RIGHT )} over {theta ^{2}}]

[eqn: = lim _{theta rarrow 0} {} {1-cos` {theta } over {2}} over {theta ^{2}}]

[eqn: = lim _{theta rarrow 0} {} {2sin ^{2} {theta } over {4}} over {theta ^{2}}]

[eqn: {LEFT . =2 lim _{theta rarrow 0} { LEFT ( {sin {theta } over {4}} over theta RIGHT )^2}]

[eqn: LEFT . =2 lim _{theta rarrow 0} {LEFT ( {sin {theta } over {4}} over {4 times thetaover4 } RIGHT ) ^{2}} RIGHT .]

[eqn: ={1} over {8}]

[eqn: lim _{theta rarrow 0+} {} {T( theta )} over {theta ^{2} TIMES S( theta )}=alpha]일 때, [eqn: 64alpha]의 값을 구하고 풀이 과정을 서술하시오.

위례고/2023년/Q3/B

다음 도형에 대하여, 물음에 답하시오. [각 [eqn: 3.0]점, 총 [eqn: 6.0]점, 부분점수 있음]

(1) [eqn: pi] (2) [eqn: 9pi]

(1) 원 [eqn: rmC]의 중심을 [eqn: rm D]라 두고, 점 [eqn: rm D]에서 선분 [eqn: rm OB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하자. 이때 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: a]라 하면

[eqn: rm bar DH][eqn: =a]이고 [eqn: angle rm DOH][eqn: = theta over 2]이므로 [eqn: sin theta over 2 = a over {r-a}]이다.

[eqn: a= (r-a) sin theta over 2]이므로 [eqn: a= {r`sin {theta } over {2}} over {1+sin {theta } over {2}}]

[eqn: lim _{theta -> 0+} {{m} over {l}} = lim _{theta -> 0+} {} {2 pi a} over {r theta } = lim _{theta -> 0+} {} {2 pi TIMES r`sin {theta } over {2}} over {r theta LEFT ( 1+sin {theta } over {2} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{theta -> 0+} {} {sin {theta } over {2}} over {theta } TIMES {2 pi } over {LEFT ( 1+sin {theta } over {2} RIGHT )} = {1} over {2} TIMES {2 pi } over {1} = pi]

(2) 내접하는 정 [eqn: n]각형의 넓이를 [eqn: f(n)]이라 하면

[eqn: f(n)=n TIMES {9} over {2} `sin {2 pi } over {n} =9n`sin {pi } over {n} `cos {pi } over {n}]

외접하는 정 [eqn: n]각형의 넓이를 [eqn: g(n)]이라 하면

[eqn: g(n) = n times 1 over 2 times 6tan pi over n times 3 = 9n tan pi over n]

반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: 9n`sin {pi } over {n} `cos {pi } over {n} `<`S`<`9n`tan {pi } over {n}]

이때 [eqn: pi over n][eqn: =t]로 놓으면 [eqn: n ->inf]일 때 [eqn: t ->0]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {9n`sin {pi } over {n} `cos {pi } over {n}} =9 pi lim _{n -> INF } {LEFT ( {sint} over {t} TIMES cost RIGHT )} =9 pi TIMES 1 TIMES 1=9 pi]

[eqn: lim _{ n->inf} { 9n tan pi over n } =9pi lim _{ n->inf} { tant over t } = 9pi times 1 = 9pi]

따라서 수열의 극한의 대소 관계에 의하여 [eqn: S=9pi]이므로 구하는 원의 넓이는 [eqn: 9pi]이다.

(1) 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: r]이고 중심각의 크기가 [eqn: theta]인 부채꼴 [eqn: rm OAB]에 내접하는 원을 [eqn: C]라 하자. 호 [eqn: rm AB]의 길이를 [eqn: l,] 원 [eqn: rm C]의 둘레의 길이를 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: lim _{ theta -> 0+} { m over l}]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

(2) 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원에 내접하는 정 [eqn: n]각형의 넓이를 [eqn: f(n)], 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원에 외접하는 정 [eqn: n]각형의 넓이를 [eqn: g(n)]이라고 하자. 이를 이용하여 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원의 넓이를 구하고, 그 과정을 서술하시오.

태전고/2023년/Q3/B

다음은 [eqn: lim _{ x->0} {sinx over x }]의 값을 구하는 과정의 일부이다.

⑤

[eqn: f(x) = tan x ,~g(x) = 2 over 2 sin x]이고, [eqn: p= 1 over 2]이므로

[eqn: f( p pi ) times g( p pi ) = tan pi over 3 times 1 over 2 sin pi over 3 = root3 times root3 over 4 = 3 over 4]

(ⅰ)[eqn: 0<x< pi over 2]일 때,

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에서 [eqn: angle rm AOB]의 크기를 [eqn: x]라디안이라고 하고 점 [eqn: rm A]에서의 접선과 선분 [eqn: rm OB]의 연장선의 교점을 [eqn: rmT]라 하자.

이때 삼각형 [eqn: rm OAB], 부채꼴 [eqn: rmOAB], 삼각형 [eqn: rm OAT]의 넓이 사이에는 [eqn: TRIANGLE rm OAB][eqn: <](부채꼴 [eqn: rm OAB]의 넓이) [eqn: < TRIANGLE rm OAT]인 관계가 성립하고,

[eqn: rm bar AT =]이므로

[eqn: f(x)]

[eqn: < 1 over 2 x < 1 over 2 tan x]

[eqn: g(x)]

[eqn: 0< x < pi over 2]일 때, [eqn: sin x >0]이므로

[eqn: cos x < sinx over x < 1]이다.

[eqn: lim _{ x->0} { sinx over 3x =p}]일 때, [eqn: f( p pi ) times g( p pi )]의 값은? [eqn: [5.2점]]

① [eqn: 1 over 8]	② [eqn: root3 over 8]	③ [eqn: 3 over 8]
④ [eqn: 1 over 4]	⑤ [eqn: 3 over 4]

태원고/2023년/Q3/B

그림과 같이 길이가 [eqn: 6]인 선분 [eqn: rm AB]를 삼등분하는 점을 [eqn: rm A]에 가까운 점부터 차례로 [eqn: rm C,~D]라 하고 선분 [eqn: rm CD]를 지름으로 하는 원 위를 움직이고 [eqn: rm C,~D]가 아닌 점을 [eqn: rmP]라 하자. 점 [eqn: rm C]를 지나고 직선 [eqn: rm PD]에 평행한 직선이 선분 [eqn: rm AP]와 만나는 점을 [eqn: rmE]라 하고 점 [eqn: rm D]를 지나고 직선 [eqn: rm PC]에 평행한 직선이 선분 [eqn: rm BP]와 만나는 점을 [eqn: rmF]라 할 때, 두 삼각형 [eqn: rm PEC], [eqn: rm PDF]에 내접하는 원을 각각 [eqn: C`_1],[eqn: C`_2]라 하자. [eqn: rm ANGLE PCD= theta]일 때, 두 원 [eqn: C`_1],[eqn: C`_2]의 넓이를 각각 [eqn: S_1 ( theta )], [eqn: S_2 ( theta )]라 하자. [eqn: lim _{ theta rarrow 0+ } {} {S _{1} ( theta ) TIMES S _{2} ( theta )} over { theta`^4 }]의 값은? [5점]

④

[eqn: rm barPC =2cos theta], [eqn: rm barPD =2sin theta]이고 [eqn: rm barDF =cos theta], [eqn: rm barEC =sin theta]

([eqn: BECAUSE `] [eqn: rm TRIANGLE PCB`]□[eqn: rm TRIANGLE DFB]이고 [eqn: rm TRIANGLE PAD`]□[eqn: rm TRIANGLE EAC])

[eqn: rm {bar{PE}} = sqrt {4cos ^{2} theta +sin ^{2} theta }], [eqn: rm {bar{PF}} = sqrt {cos ^{2} theta +4sin ^{2} theta }]

두 원 [eqn: C`_1], [eqn: C`_2]의 반지름을 각각 [eqn: r_{1},~r_2]라 하면

[eqn: {1} over {2} r _{1} (2cos theta +sin theta + sqrt {4cos ^{2} theta +sin ^{2} theta } )= {1} over {2} TIMES 2cos theta `sin theta]

[eqn: {1} over {2} r _{2} (cos theta +2sin theta + sqrt {cos ^{2} theta +4sin ^{2} theta } )= {1} over {2} TIMES 2cos theta `sin theta]

[eqn: r _{1} = { 2cos theta `sin theta } over {2cos theta +sin theta + sqrt {4cos ^{2} theta +sin ^{2} theta } }]에서 [eqn: lim _{theta -> 0+} {} {r _{1}} over {theta `} = {1} over {2}]

[eqn: r _{2} = {2cos theta `sin theta } over {cos theta +2sin theta + sqrt {cos ^{2} theta +4sin ^{2} theta }}]에서 [eqn: lim _{theta -> 0+} {} {r _{2}} over {theta `} =1]

[eqn: THEREFORE ~ lim _{theta -> 0+} {} {S _{1} ( theta ) TIMES S _{2} ( theta )} over {theta ` ^{4}}][eqn: = lim _{theta -> 0+} {} pi LEFT ( {r _{1}} over {theta } RIGHT ) ^{2} TIMES pi LEFT ( {r _{2}} over {theta } RIGHT ) ^{2}][eqn: = {1} over {4} pi TIMES pi= {pi^2} over {4}]

① [eqn: pi^2]	② [eqn: {pi ^{2}} over {2}]	③ [eqn: {pi ^{2}} over {3}]

④ [eqn: {pi^2} over {4}]	⑤ [eqn: {pi ^{2}} over {5}]

불곡고/2023년/Q2/B

그림과 같이 중심이 원점 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: C`]가 있다. [eqn: x`]축 위의 두 점 [eqn: rmC (root10 ,~0),~D( ita,~0)]에서 원 [eqn: C`]에 접선을 그었을 때, 제 [eqn: 1`]사분면과 제 [eqn: 2`]사분면에서 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,~B]라고 하자. [eqn: rmbarAB = 1 over2]일 때, [eqn: 1 overa`]의 값은? [4.9점]

① [eqn: {7root10} over80 -{19root6} over80]	② [eqn: {7root10} over80 -{9root6} over40]
③ [eqn: {7root10} over80 -{17root6} over80]	④ [eqn: {7root10} over80 -{root6} over5]
⑤ [eqn: {7root10} over80 -{3root6} over16]

⑤

[eqn: rm barOC = root10 ,~ barOA = 1`]이므로 [eqn: rm barAC =3]

[eqn: rm angle AOC = it alpha`]라 하면 [eqn: cos`alpha = 1 overroot10 ,~sin`alpha = 3 overroot10]

[eqn: rmbarAB = 1 over2 ,~ barOA =1 ,~barOB =1]

[eqn: rm angleAOB = it beta`]라 하면 [eqn: rm triangleOAB]에서 코사인 법칙을 사용하면

[eqn: 1 over4 = 1+1 -2cos beta]

[eqn: cos`beta = 7 over8`]이므로 [eqn: sin`beta= root15 over8]

[eqn: rm angleBOD = pi -(alpha+beta)]이므로

[eqn: cos(pi-(alpha+beta))=-cos(alpha+beta)]

[eqn: = -cos`alpha` cos`beta + sin`alpha` sin`beta]

[eqn: = - 7 over{8root10} + {3root15} over{8root10} = - 1 overa]

[eqn: therefore] [eqn: 1 overa = {7-3root15} over{8root10} = {7root10 - 15root6} over80 = {7root10} over 80 - {3root6} over16]

불곡고/2023년/Q2/B

그림과 같이 [eqn: rm barAB = 5,~barBC =6 ,~ barCA \=root13`]인 삼각형 [eqn: rmABC]의 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 선분 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하고, [eqn: rmangleABC]의 이등분선이 선분 [eqn: rmAH]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: rmangleDBH = it alpha], [eqn: rm angleACD = it beta`]라 할 때, [eqn: tan(beta-alpha)= q overp`]이다. [eqn: p+q`]의 값은? (단, [eqn: p,~q`]는 서로소인 자연수이다.) [5.2점]

① [eqn: 43]	② [eqn: 44]	③ [eqn: 45]
④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 47]

②

[eqn: 5]

[eqn: rm triangleABC]에서 코사인법칙을 사용하면

[eqn: 13=25+36-2 times5 times6 timescos`2alpha]

[eqn: cos`2alpha = 48 over60 = 4 over5]

[eqn: therefore] [eqn: rm barAH = 3 ,~ barBH =4]

[eqn: cos`2 alpha = 2 cos^ 2 alpha -1 = 4 over5]이므로

[eqn: cos`alpha = 3 overroot10], [eqn: sin`alpha = 1 overroot10], [eqn: tan`alpha = 1 over3]

[eqn: rm barDH = rm barBH `tan`alpha = 4 over3]

[eqn: rm barAD = 3 - 4 over3 = 5 over3]

[eqn: rm barCH = 2`]이므로 [eqn: rm barCD = root{16 over9 + 4} = {2root13} over3]

[eqn: rm triangleACD]에서 코사인법칙을 사용하면

[eqn: 25 over9 = 52 over9 +13 - 2 times {2root13} over3 times root13 timescosbeta]

[eqn: {52} over {3} `cos beta =16]

[eqn: cos` beta = 48 over52 = 12 over13]이므로 [eqn: sin beta = 5 over13, ~tan beta = 5 over12]

[eqn: therefore] [eqn: tan(beta- alpha)= {tanbeta- tan alpha} over{1+ {tan beta `tanalpha}][eqn: = {5 over12 - 1 over3} over{ 1+ 5 over12 times 1 over3} = {1 over12 }over{ 41 over36} = 3 over41]

[eqn: p=41,~q=3`]이므로

[eqn: therefore] [eqn: p+q=44]

위례고/2023년/Q2/B

곡선 [eqn: y=1-x^2 `(0<x<1)] 위의 점 [eqn: rm P]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하고, 곡선 [eqn: y=1-x^2]이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rm A], 곡선 [eqn: y=1-x^2]이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm B]라 하자. 원점 [eqn: rmO]에 대하여 [eqn: angle rm APH =][eqn: theta_1 ,~angle rm HPO =][eqn: theta_2 ,~ angle rm OPB =][eqn: theta _3]라 두자. [eqn: tan theta_1 = 1 over 3]일 때, [eqn: tan (theta_1 + theta_2 ) =a ,~tan (theta_2 + theta_3 ) =b]이다. 실수 [eqn: a,``b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은? [eqn: [5.1점]]

②

[eqn: rm P][eqn: (t,``1-t ^{2} )]이라 하면 [eqn: rm A][eqn: (0,``1)], [eqn: rm H][eqn: (0,``1-t ^{2} )= LEFT ( 0,``1- {t} over {3} RIGHT )]

따라서 [eqn: t= 1 over 3]

[eqn: rm B(1,``0),~P]의 [eqn: x]축에 수선의 발을 [eqn: rm K]라 하면 [eqn: rm K][eqn: (t,``0)]

[eqn: tan theta_2 = 8 over 3], [eqn: tan (theta_2 + theta_3 ) = rm { - {bar PK} over bar KB }= - 4 over 3 =it b]

[eqn: tan ( theta_1 + theta_2 ) = { 1over 3 + 8 over 3 } over { 1 - 8over 9 } = 27 =a]

[eqn: THEREFORE ~ ab= -36]

[다른 풀이]

직선 [eqn: rm PB]의 기울기[eqn: =tan( theta _{2} + theta _{3} )]이므로 [eqn: rm P LEFT ( {1} over {3} ,~ {8} over {9} RIGHT ) ,] [eqn: rm B(1,~0)]에서

[eqn: tan( theta _{2} + theta _{3} )= {{8} over {9}} over {1- {1} over {3}} =- {4} over {3} =b]

① [eqn: - 81 over 2]	② [eqn: -36]	③ [eqn: - 63 over 2]
④ [eqn: -27]	⑤ [eqn: - 45 over 2]

위례고/2023년/Q2/B

[eqn: angle rm C][eqn: = pi over 2]인 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: rm barBC =6], [eqn: sec( ANGLE rm ABC)=2]이다. 선분 [eqn: rm CA]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 [eqn: rm D], 선분 [eqn: rmCA]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmE]라 할 때, [eqn: cos (angle rm ABC - angle EBD )]의 값은? [eqn: [4.7점]]

②

[eqn: sec( ANGLE rm ABC)=2]에서 [eqn: rm ANGLE ABC= {pi } over {3}]이므로 [eqn: rm bar{AC} =6 sqrt {3}]

[eqn: rmANGLE DBC= alpha], [eqn: angle rm EBD = beta]라 하면 [eqn: anglerm EBC = alpha + beta]이고

[eqn: tan (alpha +beta) = {2root 3} over 3], [eqn: tan alpha = {sqrt {3}} over {3} ,~tan beta = {{2 sqrt {3}} over {3} - {sqrt {3}} over {3}} over {1+ {2 sqrt {3}} over {3} TIMES {sqrt {3}} over {3}} = {sqrt {3}} over {5}]

[eqn: cos (angle rm ABC - angle EBD )][eqn: =cos LEFT ( {pi } over {3} - beta RIGHT ) = {1} over {2} TIMES {5} over {2 sqrt {7}} + {sqrt {3}} over {2} TIMES {sqrt {3}} over {2 sqrt {7}} = {8} over {4 sqrt {7}} = {2} over {sqrt {7}}]

① [eqn: {2root6 }over 7]	② [eqn: {2root7 }over 7]	③ [eqn: {4root2 }over 7]
④ [eqn: 6over 7]	⑤ [eqn: {2root10 }over 7]

3.

미분법

미분법(step1)

1.

몫의 미분법

수내고/2023년/Q4/D

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {(x+2)(x-1)} over {x}``]에 대하여 방정식 [eqn: f` prime (x)=3``]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x``]의 값의 합은? [3.6점]

①

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {(x+2)(x-1)} over {x}`=` {x^2 +x-2}overx ``]

[eqn: f` prime (x)`=`{(2x+1)`x- (x^2 +x-2)}over x^2 `=`{x^2 +2}over x^2 `=`3``]

에서 [eqn: x^2 `=`1`,``x`=` +- 1]이므로

모든 실수 [eqn: x``]의 값의 합은 [eqn: 0``]이다.

① [eqn: 0``]	② [eqn: 1``]	③ [eqn: 2``]

④ [eqn: 3``]	⑤ [eqn: 4``]

지수로그함수의 미분법

분당중앙고/2023년(이)/Q4/D

함수 [eqn: f(x)=(x^2 -6x+10)e^x]에 대하여 방정식 [eqn: f'(x)=0]의 해는? [3.4점]
① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

⑤

[eqn: f(x)=(x^2 -6x+10)e^x]에서

[eqn: f'(x)=(x ^{2} -6x+10)' e ^{x}+(x ^{2} -6x+10)( e ^{x})']

[eqn: =(2x-6)e ^{x} +(x ^{2} -6x+10)e ^{x}]

[eqn: =(x ^{2} -4x+4)e ^{x}]

이므로 [eqn: f'(x)=0]은 [eqn: x ^2`-4x+4=0]이므로 [eqn: x=2]이다.

송림고/2023년(이)/Q4/D

자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y=x`lnx-x]위의 점 [eqn: (e ^{n} ,~(n-1)e ^{n} )]에서의 접선의 기울기를 [eqn: f(n)]이라 할 때,

①

[eqn: g(x)=x`lnx`-x]라 하면, [eqn: g'(x)=lnx]이다.

따라서 [eqn: f(n)=g'(e ^{n} )=n]이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{10} f(n) =sum _{n=1} ^{10} n =55]

[eqn: sum _{n=1} ^{10} f(n)]의 값은?
① [eqn: 55]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 65]
④ [eqn: 70]	⑤ [eqn: 75]

이매고/2023년/Q4/D

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( lnx RIGHT ) ^{3}]에 대하여 [eqn: f'' LEFT ( e RIGHT )]의 값은? [[eqn: 4.4]점]

③

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =3 LEFT ( lnx RIGHT ) ^{2} TIMES {1} over {x}]

[eqn: f'' LEFT ( x RIGHT ) = {6 LEFT ( lnx RIGHT ) TIMES {1} over {x} TIMES x-3 LEFT ( lnx RIGHT ) ^{2}} over {x ^{2}}]

[eqn: f'' LEFT ( e RIGHT ) = {3} over {e ^{2}}]

① [eqn: {1} over {e ^{2}}]	② [eqn: {2} over {e ^{2}}]	③ [eqn: {3} over {e ^{2}}]

④ [eqn: {4} over {e ^{2}}]	⑤ [eqn: {5} over {e ^{2}}]

삼각함수의 미분법

송림고/2023년/Q3/D

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =cotx]의 도함수를 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]라고 할 때, [eqn: f` prime LEFT ( {pi } over {6} RIGHT )]의 값은? [[eqn: 3.7]점]

②

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =-csc ^{2} x]

[eqn: f' LEFT ( {pi} over {6} RIGHT ) =-4]

① [eqn: - {9} over {2}]	② [eqn: -4]	③ [eqn: - {4} over {3}]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: 4]

보라고/2023년/Q3/D

함수 [eqn: f(x)=sin`x-cos`x`]에 대하여 [eqn: f`prime left( pi over2 right)]의 값은? [3.9점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

④

[eqn: f`prime(x)= cos`x + sin`x]

[eqn: therefore] [eqn: f`prime left( pi over2 right)= 1]

분당중앙고/2023년(이)/Q4/D

함수[eqn: f(x)=x tanx]에 대하여 [eqn: f' LEFT ( piover4 RIGHT )]의 값은? [3.7점]

① [eqn: 1+ {pi } over {4}]	② [eqn: 1+ {pi } over {2}]	③ [eqn: 2+ {pi } over {4}]
④ [eqn: 2+ {pi } over {2}]	⑤ [eqn: 3 + piover4]

②

[eqn: f(x)=x tanx]에서 [eqn: f'(x)=tan`x`+x`sec ^{2} x]이다.

[eqn: f prime LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) =tan {pi } over {4} + {pi } over {4} `sec ^{2} {pi } over {4}][eqn: =1+ piover2]

위례고/2023/Q4/D

함수 [eqn: f(x) = e^sinx]에 대하여 [eqn: lim_{x->{pi over2}} {f`'(x) }over {x- pi over2}]의 값은? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: -2e]	② [eqn: -e]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: e]	⑤ [eqn: 2e]

②

[eqn: f` prime (x)=cosx`e ^{sinx}]

[eqn: f` '' (x)=-sinx`e ^{sinx} +cos ^{2} x CDOT e ^{sinx} =(cos ^{2} x-sinx)e ^{sinx}]

[eqn: lim_{x->{pi over2}} {f`'(x) }over {x- pi over2}=f`''left( pi over2 right) = -e]

매개변수로 나타낸 함수의 미분법

송림고/2023년/Q4/D

매개변수 [eqn: t]로 나타낸 함수 [eqn: x=1-t ^{2} ,~`y=4t] 에 대하여 [eqn: t=-1]일 때, [eqn: {dy} over {dx}]의 값은? [[eqn: 3.6]점]

⑤

[eqn: {dy} over {dx} = {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}} = {4} over {-2t} =- {2} over {t}][eqn: =2]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

태원고/2023년/Q4/D

매개변수 [eqn: t``(t>0)]으로 나타낸 곡선 [eqn: x=(t-1) ^{2}] , [eqn: y=t+ {a} over {t}] 위의 점 [eqn: (4,~2)]에서의 접선의 기울기는? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [3점]

③

[eqn: x= LEFT ( t-1 RIGHT )^2]에 [eqn: x=4`]를 대입하면 [eqn: 4= LEFT ( t-1 RIGHT )^2`]에서 [eqn: t=3] [eqn: LEFT ( BECAUSE ~t>0 RIGHT )]

[eqn: y=t + { a} over { t}`]에 [eqn: t=3,~y=2`]를 대입하면 [eqn: 2=3+ { a} over { 3}]에서 [eqn: a=-3]

이때, [eqn: { dx} over { dt}=2 LEFT ( t-1 RIGHT )]이고 [eqn: t=3]을 대입하면 [eqn: {dx} over {dt} =4]

[eqn: { dy} over { dt}=1+ { 3} over { t^2}]이고 [eqn: t=3]을 대입하면 [eqn: {dy} over {dt} = {4} over {3}]

따라서

[eqn: {dy} over {dx}][eqn: = {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}}][eqn: = {1} over {3}]

① [eqn: 1]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {5}]

위례고/2023/Q4/D

매개변수 [eqn: t]로 나타낸 곡선 [eqn: {cases{``x=t ^{3} +t-1&#``y=t ^{2} +at+1&}}]에 대하여, [eqn: t=1]에 대응하는 곡선 위의 점에서의 접선의 기울기가 [eqn: 1]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [[eqn: 3.8]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

②

[eqn: dy overdx = {dy overdt} over {dx overdt} = {2t+a } over {3t^2 +1}]

[eqn: t=1]을 대입하면 [eqn: 2+a over4 =1], [eqn: a=2]

합성함수의 미분법

돌마고/2023년/Q4/D

[eqn: f(x)=(x^2 +2x)^5`]일 때, [eqn: f`prime(1)`]의 값은? [4.1점]

① [eqn: 324]	② [eqn: 405]	③ [eqn: 810]
④ [eqn: 1620]	⑤ [eqn: 2025]

④

[eqn: f`prime(x)=5(x^2 +2x)^4 cdot(2x+2)]

[eqn: therefore] [eqn: f`prime(1)= 5 times3^4 times4 =1620]

태원고/2023년/Q4/D

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( -2x+1 RIGHT ) ^{4} `]에 대하여 [eqn: f`` prime ' LEFT ( 0 RIGHT ) `]의 값은?

②

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( -2x+1 RIGHT ) ^{4} `]에서

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =4 LEFT ( -2x+1 RIGHT ) ^{3} TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) =-8LEFT ( -2x+1 RIGHT ) ^{3}]

이므로

[eqn: f`'' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =-24 LEFT ( -2x+1 RIGHT ) ^{2} TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) =48 LEFT ( -2x+1 RIGHT ) ^{2}]

따라서

[eqn: f` '' LEFT ( 0 RIGHT ) `][eqn: =48]

① [eqn: 46]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 50]
④ [eqn: 52]	⑤ [eqn: 54]

보라고/2023년/Q4/D

함수 [eqn: f(x)=(a-3x)^ 3`]의 [eqn: x=0`]에서의 미분계수가 [eqn: -1`]일 때, 양수 [eqn: a`]의 값은? [4.0점]

① [eqn: 1 over3]	② [eqn: 2 over3]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 4 over3]	⑤ [eqn: 5 over3]

①

[eqn: f`prime(x)= 3(a-3x)^2 times(-3)=-9(a-3x)^2]

[eqn: f `prime(0)= -9a^2 =-1]

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: a= 1 over3]

한솔고/2023년/Q4/D

함수 [eqn: f(x)=(a-x) ^{3}]의 [eqn: x=1]에서의 미분계수가 [eqn: -12]일 때, 모든 [eqn: a]의 값의 합은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) ([eqn: 2.6]점)

① [eqn: 5]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 1]

④

풀이) [eqn: f(x)=(a-x) ^{3}]에서

[eqn: f`'(x)=3(a-x) ^{2} times (-1 )]

[eqn: f` prime (1)=3(a-1) ^{2} TIMES (-1)`=`-12]

[eqn: (a-1) ^{2} `=`4]

[eqn: (a-1) `=`+-2]

[eqn: THEREFORE~ a = 3] 또는 [eqn: -1] 실근의 합은 [eqn: 2]

수내고/2023년/Q4/D

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )``]가 [eqn: f LEFT ( 2x+3 RIGHT ) = LEFT ( x ^{3} +2x-2 RIGHT ) ^{2}``]을 만족시킬 때, [eqn: f` prime (7 )``]의 값은? [3.9점]

④

[eqn: f LEFT ( 2x+3 RIGHT ) = LEFT ( x ^{3} +2x-2 RIGHT ) ^{2}``]에서 양변을 미분하면

[eqn: 2`f `'LEFT ( 2x+3 RIGHT ) = 2`LEFT ( x ^{3} +2x-2 RIGHT ) `(3x^2 +2)``]

[eqn: x=2``]를 대입하면 [eqn: f` prime (7 )`=`140``]이다.

① [eqn: 110``]	② [eqn: 120``]	③ [eqn: 130``]

④ [eqn: 140``]	⑤ [eqn: 150``]

음함수의 미분법

보평고/2023년/Q4/D

곡선 [eqn: x^2 -axy+y^2 =b`] 위의 점 [eqn: (1,~0)]에서의 [eqn: dy overdx `]의 값이 [eqn: 2`]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a,~b`]는 상수이고, [eqn: x!=2y`]이다.) [4.5점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

①

[eqn: x^2 -axy+y^2 =b`]

[eqn: x=1,~y=0`]을 대입하면 [eqn: b=1]

[eqn: 2x-ay-ax dy overdx + 2y` dy overdx =0]

[eqn: dy overdx = {2x-ay} overax-2y] (단, [eqn: ax-2y!=0])

[eqn: x=1,~y=0,~dy overdx =2`]를 대입하면 [eqn: a=1]

[eqn: therefore] [eqn: a+b=2]

역함수의 미분법

위례고/2023/Q4/D

함수 [eqn: f(x)=x^3 +1]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g`'`(9)]의 값은? [[eqn: 3.9]점]

① [eqn: 1 over12]	② [eqn: 1over6]	③ [eqn: 1over4]
④ [eqn: 1over3]	⑤ [eqn: 1over2]

①

[eqn: f(a) = a^3 +1 =9], [eqn: a=2]

[eqn: f`'(x) = 3x^2]

[eqn: g`'(9) = 1 over {f`'(2) } = 1over12]

이계도함수

돌마고/2023년/Q4/D

[eqn: f(x)=x `cos`3x`]일 때, [eqn: f`prime prime left( pi over6 right) `]의 값은? [4.2점]

① [eqn: -8]	② [eqn: -6]	③ [eqn: - 4 over3 pi]
④ [eqn: 3 over2 pi]	⑤ [eqn: {3pi+1} over2]

②

[eqn: f`prime(x)= cos`3x -3x `sin`3x]

[eqn: f`prime prime(x)= -3 sin`3x -3 `sin`3x -9x `cos`3x][eqn: =-6 `sin`3x -9x `cos`3x]

[eqn: therefore] [eqn: f`prime prime left( pi over6 right) = -6 `sin pi over2 - 9 times left(pi over6 right) timescos pi over2 =-6]

미분법(step2)

1.

몫의 미분법

보라고/2023년/Q4/C

함수 [eqn: f(x)= 3x over{2-x^2 }`]에 대하여 [eqn: lim _{ x->0} { } {f(1+x)-f(1-x)} overx`]의 값은? [4.1점]

① [eqn: -18]	② [eqn: -9]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 18]

⑤

[eqn: lim _{ x->0} { } {f(1+x)-f(1-x)} overx`]

[eqn: = lim _{ x->0} { } {f(1+x)-f(1-x)-f(x)+ f(x)} overx`]

[eqn: = lim _{ x->0} { } left{{f(1+x)-f(x)} over x + {f(1-x)- f(x)} over-x` right}]

[eqn: =f`prime(1)+ f`prime(1)= 2f `prime(1)]

[eqn: f`prime(x)= { 3(2-x^2 )- 3x times(-2x)} over{(2-x^2 )^2} = {3x^2 +6} over{(2-x^2 )^2]

[eqn: f`prime(1) = 9`]

[eqn: therefore] [eqn: 2f`prime(1) =18]

수내고/2023년/Q4/C

함수 [eqn: f(x)= {(x+2) ^{2}} over {x ^{3} (x+1)^4 }``]에 대하여 [eqn: g ^{``} (x)= {f ^{``} prime (x)} over {f ` (x)}``]라 하자. [eqn: g` prime (1)``]의 값을 [eqn: {q} over {p}``]라 할 때, [eqn: p+q``]의 값은? (단, [eqn: p,~q``]는 서로소인 자연수이다.) [4.0점]

③

[eqn: f(x)= {(x+2) ^{2}} over {x ^{3} (x+1)^4 }``]

양변의 절댓값에 자연로그를 취하면

[eqn: ln` LEFT | `f(x)`RIGHT |`=`2`ln` LEFT | `x+2`RIGHT |`-`3`ln` LEFT | `x`RIGHT |`-`4`ln` LEFT | `x+1`RIGHT |``]

양변을 미분하면

[eqn: g ^{``} (x)= {f ^{``} prime (x)} over {f ` (x)}`=`2overx+2 `-` 3overx `-` 4over x+1 ``]

[eqn: g `'` (x) `=`- 2over{(x+2)^2} `+` 3overx^2 `+` 4over (x+1)^2 ``]

따라서 [eqn: g` prime (1)`=` - 2over9 +3+1 `=` 34 over9 ``]이고, [eqn: p+q`=`43``]이다.

① [eqn: 35``]	② [eqn: 39``]	③ [eqn: 43``]

④ [eqn: 47``]	⑤ [eqn: 51``]

이매고/2023년/Q5/C

곡선 [eqn: y= {x+2} over {e ^{x}}] 위의 점 [eqn: LEFT ( t,~ {t+2} over {e ^{t}} RIGHT )]를 중심으로 하고 [eqn: x]축에 접하는 원의 넓이를 [eqn: S LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, [eqn: S' LEFT ( 0 RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: t>-2])	[[eqn: 4.8]점]

②

[eqn: S LEFT ( t RIGHT ) = LEFT ( {t+2} over {e ^{t}} RIGHT ) ^{2} pi]

[eqn: S prime LEFT ( t RIGHT ) = {LEFT ( 2t+4 RIGHT ) e ^{2t} -2 LEFT ( t+2 RIGHT ) ^{2} e ^{2t}} over {e ^{4t}} pi= {-2t ^{2} -6t-4} over {e ^{2t}} pi]

[eqn: S prime LEFT ( 0 RIGHT ) =-4pi]

① [eqn: -5pi]	② [eqn: -4pi]	③ [eqn: -3pi]

④ [eqn: -2pi]	⑤ [eqn: -pi]

지수로그함수의 미분법

보평고/2023년/Q4/C

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f(e^2x+1 ) -f(e^x+1 )=3x`]를 만족시킬 때,
[eqn: lim _{ h->0} { }{e left{f(e+h)-f(e-2h)right} } over h`]의 값은? [5.0점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

④

[eqn: f(e^2x+1 ) -f(e^x+1 )=3x`]

양변을 [eqn: x`]에 대해 미분하면

[eqn: f`prime(e^2x+1 ) cdot 2e^2x+1 - f`prime(e^x+1 ) cdot e^x+1 =3]

[eqn: x=0`]을 대입하면

[eqn: 2ef`prime(e)-ef`prime(e)=3]

[eqn: f`prime(e)= 3 overe]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ h->0} { }{e left{f(e+h)-f(e-2h)right} } over h`]

[eqn: =lim _{ h->0} { }e times left{left ( {f(e+h)-f(e)} over h right)+left({f(e-2h) -f(e)} over -h right)right}]

[eqn: = e left(f`prime(e)+2f`prime(e) )= 3ef`prime(e)= 9]

태전고/2023년/Q4/C

함수 [eqn: f(x) = log _a x]에 대하여 [eqn: lim _{ h->0} {{f(1+h) - f(1-h) } over h }][eqn: = 2 over ln2]일 때, [eqn: a]의 값은? [eqn: [5.0점]]

①

[eqn: 2 f`'(1) = 2 over lna = 2 over ln2] 이므로 [eqn: a=2]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

수내고/2023년/Q4/C

최고차항의 계수가 [eqn: 1``]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )``]에 대하여 함수 [eqn: g(x)``]를 [eqn: g(x)=f(x)`e ^{2x} ``]이라 하자. [eqn: lim _{x` rarrow `2}` {{g(x)} over {x-2}} `=5e^4``]일 때, [eqn: f` (3)``]의 값은? [4.6점]

⑤

[eqn: g(2)`=`f(2)`e^4 `=`0``]이므로 [eqn: f`(2)`=`0``]

[eqn: g`'(x)=f`'(x)`e ^{2x} `+`2`f(x)`e^2x ``]에서

[eqn: g`'(2) =f`'(2)`e ^{4} `+`2`f(2)`e^4 =f`'(2)`e ^{4}`=`5`e^4``]이므로

[eqn: f`'`(2)`=`5``]

따라서 최고차항의 계수가 [eqn: 1``]인 이차함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )`=`(x-2)`(x+3)``]

이므로 [eqn: f` (3)`=`6``]이다.

① [eqn: 2``]	② [eqn: 3``]	③ [eqn: 4``]

④ [eqn: 5``]	⑤ [eqn: 6``]

삼각함수의 미분법

태원고/2023년/Q4/C

그림과 같이 좌표평면 위에 점 [eqn: rm A LEFT ( 0,~10 RIGHT ) `]과 [eqn: x]축 위를 움직이는 두 점 [eqn: rm P,``Q`]가 있다. 두 점 [eqn: rm P,``Q`]가 각각 점 [eqn: LEFT ( 20,~0 RIGHT ) `]과 점 [eqn: LEFT ( 10,~0 RIGHT ) `]에서 동시에 출발하여 원점 [eqn: rmO]까지 [eqn: bar{rm OP it} =3` bar{rm OQ it} `]를 유지하며 움직일 때, [eqn: ANGLE rm OPA= alpha ,] [eqn: ANGLE rm OQA= beta `]라 하자. [eqn: bar{rm OQ it} =5`]인 순간의 [eqn: {d` beta } over {d` alpha } = {q} over {p} `]일 때, [eqn: p+q`]의 값은? [eqn: (`]단, [eqn: p,``q`]는 서로소인 자연수이다.[eqn: )]

②

[eqn: tan`alpha = { 10} over { rmbar OP},~tan` beta = { 10} over { rmbar OQ}]이고 [eqn: rm bar{OP} =3 bar{OQ} `]이므로

[eqn: tan` beta =3`tan` alpha]

위 등식에서 [eqn: beta `]를 [eqn: alpha `]의 함수로 보고 양변을 [eqn: alpha `]에 대하여 미분하면]

[eqn: sec ^{2} ` beta TIMES {d beta } over {d alpha } =3`sec ^{2} ` alpha]	(단, [eqn: cos`alpha!=0,~cos` beta !=0])

[eqn: {d beta } over {d alpha } = {3`sec ^{2} ` alpha } over {sec ^{2} beta } = {3`cos ^{2} ` beta } over {cos ^{2} ` alpha }]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이때 [eqn: rm bar{OQ} =5`]인 순간에 [eqn: rm bar{OP} =15`]이므로

[eqn: tan` alpha = {10} over {rm 15 it} = {2} over {3}]이므로	[eqn: cos` alpha = {3} over {sqrt {13}}]

[eqn: tan` beta = {10} over {5 it} =2]이므로	[eqn: cos` beta = { 1} over { sqrt { 5} }]

따라서 ㉠에 대입하면	[eqn: {d beta } over {d alpha } = {3 TIMES LEFT ( {1} over {sqrt {5}} RIGHT ) ^{2}} over {LEFT ( {3} over {sqrt {13}} RIGHT ) ^{2}} = {13} over {15}]

[eqn: p+q=15+13=28`]

① [eqn: 27]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 29]
④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 31]

이매고/2023년/Q3/C

함수 [eqn: f(x)=e^x cos`x`]에 대하여 [eqn: f` prime left(pi over6 right) times f`prime left( - pi over6 right)`]의 값은? [4.8점]

① [eqn: -1]	② [eqn: - 1 over2]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1 over2]	⑤ [eqn: 1]

④

[eqn: f(x)=e^x cos`x`]

[eqn: f`prime(x)= e^x cos `x -e^x sin`x =e^x (cos `x -sin`x)]

[eqn: f`prime left( pi over6 right) = e^{pi over6} left( cos pi over6 - sin pi over6 right) =e^{pi over6} left( root3 over2 - 1 over2 right)]

[eqn: f`prime left( - pi over6 right) = e^{- pi over6} left( cos left(- pi over6 right) - sin left(- pi over6right) right) =e^{- pi over6} left( root3 over2 + 1 over2 right)]

[eqn: therefore] [eqn: f` prime left(pi over6 right) times f`prime left( - pi over6 right)` = 3 over4 - 1 over4 = 1 over2]

송림고/2023년(이)/Q4/C

함수 [eqn: f(x)=e^x cosx]에 대하여 [eqn: f' LEFT ( piover3 RIGHT )timesf' LEFT (- piover3 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: - 1over2]	② [eqn: - 1over4]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1over4]	⑤ [eqn: 1over2]

①

[eqn: f'(x) =e^x cosx+e^x (-sinx) =e^x (-sinx+cosx)]이므로

[eqn: f' LEFT ( piover3 RIGHT )timesf' LEFT (- piover3 RIGHT )]

[eqn: =e ^{{pi } over {3}} LEFT ( cos {pi } over {3} -sin {pi } over {3} RIGHT ) TIMES e ^{- {pi } over {3}} LEFT ( cos {pi } over {3} +sin {pi } over {3} RIGHT )]

[eqn: ={1} over {4} `- 3over4 = - 1over2]

송림고/2023년(이)/Q4/C

함수 [eqn: f(x)= {cases{5sinx+x ^{2} cos` {1} over {x}&(x!=0)#0&(x=0)}}]에 대하여 [eqn: f'(0)]의 값을 구하고 풀이 과정을 서술하시오.

[eqn: 5]

(1) [eqn: x=0]에서 연속

[eqn: lim _{x` rarrow 0} {5sinx} =0]이고, [eqn: LEFT | cos`1overx RIGHT | le 1]이므로

[eqn: LEFT | x ^{2} cos` {1} over {x} RIGHT | LEQ x ^{2}]에서 [eqn: lim _{x`rarrow 0} {x ^{2} =0}]이므로 샌드위티 정리에 의해

[eqn: lim _{x` rarrow 0} x ^{2} cos {1} over {x} =0]이다.

∴[eqn: lim _{x` rarrow 0} {LEFT { 5sinx+x ^{2} cos {1} over {x} RIGHT }} =0]

[eqn: f prime (0)= lim _{x rarrow 0} {} {f(x)-f(0)} over {x}]

[eqn: = lim _{x rarrow 0} {} {5sinx+x ^{2} cos{1 over {x}}} over {x}]

여기서 [eqn: lim _{ x ->0} { sinx overx =1}]이고, [eqn: LEFT | cos`1overx RIGHT | le 1]에서 [eqn: LEFT | x`cos` {1} over {x} RIGHT | LEQ LEFT | x` RIGHT |]이므로 [eqn: lim _{x` rarrow 0} {} x`cos {1} over {x} =0]이다.

[eqn: lim _{x rarrow 0} {} {x ^{2} cos {1} over {x}} over {x}][eqn: = lim _{x rarrow 0} {} {x`cos {1} over {x}} =0]

이므로 [eqn: f'(0)=5]이다.

한솔고/2023년/Q3/C

곡선 [eqn: y=sinx(0<x< pi)] 위의 두 점 [eqn: LEFT ( a,`` {4} over {5} RIGHT ) ,``(b,``sinb)]에서의 접선을 각각 [eqn: l,``m]이라 하자. 두 직선 [eqn: l,``m]이 이루는 예각의 크기가 [eqn: {pi} over {4}]일 때, [eqn: secb]의 값은?

④

풀이)

[eqn: y=sinx]에서

[eqn: y ' = cosx]이고, [eqn: sin a = 4 over 5],

[eqn: LEFT ( a,`` {4} over {5} RIGHT )]에서 접선의 방정식은 [eqn: y = cosa ( x-a) + 4 over 5]

[eqn: (b,``sinb)] 에서 접선의 방정식은 [eqn: y = cosb ( x-b) + sinb] 이다.

예각의 크기가 [eqn: {pi} over {4}]이면

[eqn: tan LEFT ( ` {pi } over {4} ` RIGHT ) = LEFT | `` {cosa-cosb} over {1+cosa`cosb} `` RIGHT | = LEFT | `` {{3} over {5} -cosb} over {1+ {3} over {5} rm cosb} `` RIGHT | =1]이므로

[eqn: 1+ {3} over {5} `cosb= {3} over {5} -cosb]

[eqn: cosb`=`-` {1} over 4]

[eqn: secb=-4]

(단, [eqn: a,``b]는 상수이고 [eqn: 0<a< {pi} over {2}]이다.) ([eqn: 3.4]점)

① [eqn: 5]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

영덕여고/2023년/Q3/C

[eqn: y= tanx]의 그래프 위의 점 [eqn: A(alpha,~tanalpha)]에서 접하는 접선과 [eqn: y= cosx]의 그래프 위의 점 [eqn: B( beta,~cosbeta)]에서 접하는 접선이 서로 만나지 않을 때, 가능한 [eqn: alpha,~beta]값에 대하여 [eqn: 2beta - alpha]의 값은? (단, [eqn: 0<alpha < 2 pi,~ 0 <beta< 2pi]) [eqn: [4.3점]]

②

접선이 서로 만나지 않으므로 두 접선은 평행관계여야 한다.

따라서 [eqn: sec^2 alpha = -sin beta]이고

[eqn: sin beta `cos^2 alpha = -1]이다. 그런데, [eqn: -1 le ` sin beta le 1,~ 0 le ` cos^2 alpha le 1]이므로 위 관계식을 만족하려면 [eqn: sin beta = -1,~ cos^2 alpha =1]일 수 밖에 없다.

[eqn: cos ^2 alpha = 1]에서 [eqn: cos alpha = -1 (because0<alpha <2pi )]이므로 [eqn: alpha = pi]이고,

[eqn: sin beta = -1]에서 [eqn: beta = 3over2 pi (because0 < beta<2pi )]이다.

[eqn: therefore~ 2 beta - alpha = 3 pi - pi = 2pi]

① [eqn: 5 over2 pi]	② [eqn: 2 pi]	③ [eqn: 3 over2 pi]
④ [eqn: pi]	⑤ [eqn: 1 over2 pi]

보평고/2023년/Q3/C

그림과 같이 좌표평면에서 원 [eqn: x^2 +y^2 =1`] 위의 점 [eqn: rmA(-1,~0)]을 지나고 [eqn: x`]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: theta] [eqn: left(0 < theta < pi over2 right)]인 직선이 원과 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rmP]라 하자. 점 [eqn: rmP]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=ln`x`]와 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하고, 점 [eqn: rmQ]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmR]라 하자. 사각형 [eqn: rmAPQR]의 넓이를 [eqn: S(theta)`]라 할 때, [eqn: root3 over3 left{ S `prime left( pi over12 right) + 1 over2 right} = p roote +q`]이다. [eqn: p+q`]의 값은?
(단, [eqn: p,~q`]는 유리수이다.) [5.6점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

②

[eqn: rm P(`cos`2 theta ,~sin`2 theta )]

점 [eqn: rmP]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=ln`x`]와 만나는 점을 [eqn: rmQ]

[eqn: rmQ( it e^{sin` 2 theta} ,~sin`2theta)]

점 [eqn: rmQ]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발이 [eqn: rmR]

[eqn: rmR( it e^{sin` 2 theta} ,~0)]

[eqn: rm barPQ = it e^{sin`2theta} - cos`2theta], [eqn: rm barAR =it e^{sin` 2theta} +1]

[eqn: therefore] [eqn: S( theta )= {1} over {2} `sin`2 theta (2e ^{sin`2 theta } -cos`2 theta +1)]

[eqn: S` prime ( theta )=cos`2 theta LEFT ( 2e ^{sin`2 theta } -cos`2 theta +1 RIGHT ) +sin`2 theta LEFT ( 2`cos`2 theta e ^{sin`2 theta } +sin`2 theta RIGHT )]

[eqn: S`prime left( pi over12 right)= cos pi over6 ( 2e^{sin{ pi over6}} - cos pi over6 +1 ) +sin pi over6 ( 2 e^{sin pi over6 } cos pi over6 + sin pi over6 )]

[eqn: = root3 over2 left(2roote - root3 over2 +1 right) + 1 over2 left(2 roote cdot root3 over2 + 1 over2 right)]

[eqn: =root3 roote - 3 over4 + root3 over2 + root3 over2 roote + 1 over4]

[eqn: = {3 sqrt {3}} over {2} sqrt {e} - {1} over {2}+ {sqrt {3}} over {2}]

[eqn: S` prime left( pi over12 right) + 1 over2 = root3 over2 (3roote +1)]

[eqn: therefore] [eqn: root3 over3 left{S` prime left( pi over12 right) + 1 over2 right} = 1 over2 (3roote +1)]

[eqn: p= 3 over2 ,~ q= 1 over2]

[eqn: therefore] [eqn: p+q=2]

수내고/2023년/Q3/C

함수 [eqn: f(x)= {cases{cos`x+a(`x-3)&~~(x<0)#`````b`e ^{x} `sinx+2&~~(x GEQ 0)}}``]이 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 미분가능할 때, [eqn: f` LEFT ( {pi } over {2} RIGHT )``]의 값은? [4.4점]

②

함수 [eqn: f`(x)``]가 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 미분가능하므로

[eqn: 1-3`a=2`,`````a=b``]에서

[eqn: a`=`b`=` - 1over3 ``]이다.

따라서 [eqn: f` LEFT ( {pi } over {2} RIGHT )`=`b`e^{piover2}+2`=`2- 1over3`e^{piover2}``]이다.

① [eqn: 1- {1} over {3} e ^{{pi } over {2}}``]	② [eqn: 2- {1} over {3} e ^{{pi } over {2}}``]	③ [eqn: {1} over {3} e ^{{pi } over {2}}``]

④ [eqn: 1+ {1} over {3} e ^{{pi } over {2}}``]	⑤ [eqn: 2+ {1} over {3} e ^{{pi } over {2}}``]

이매고/2023년/Q5/C

그림과 같이 좌표평면 위에 점 [eqn: rmA LEFT ( 0,~9 RIGHT )]와 [eqn: x]축 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다. 선분 [eqn: rmAP]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: LEFT ( 9,~0 RIGHT )]에서 출발하여 원점 [eqn: rmO]까지 움직일 때, [eqn: ANGLE rmAPO=alpha], [eqn: ANGLE rmQOA=beta]라 하자. [eqn: {bar{rmOQ}} =5]인 순간의 [eqn: {d`beta} over {d`alpha}]의 값은? [[eqn: 5.0]점]

①

[eqn: {bar{rmOP}} = {9} over {tanalpha}]이므로 [eqn: rmP LEFT ( {9} over {tanalpha} ,~0 RIGHT )], [eqn: rmQ LEFT ( {6} over {tanalpha} ,~3 RIGHT )]

[eqn: tanbeta= {2} over {tanalpha}] 양변을 [eqn: alpha~]로 미분하면

[eqn: sec ^{2} beta TIMES {d` beta } over {d` alpha } = {-2sec ^{2} alpha } over {tan ^{2} alpha }]

[eqn: {bar{rmOQ}} = sqrt {{36} over {tan ^{2} alpha} +9} =5] 에서

[eqn: tanalpha= {3} over {2}], [eqn: tanbeta= {4} over {3}] 이고 [eqn: sec ^{2} alpha = {13} over {4}], [eqn: sec ^{2} beta= {25} over {9}]

[eqn: {d`beta} over {d`alpha} =][eqn: - {26} over {25}]

① [eqn: - {26} over {25}]	② [eqn: - {24} over {25}]	③ [eqn: - {22} over {25}]

④ [eqn: - {4} over {5}]	⑤ [eqn: - {18} over {25}]

합성함수의 미분법

돌마고/2023년/Q4/C

다항함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: lim _{ x->0} { } x overg(x) =1 ,~ lim _{ x->2} { } {x-2} overg(x) =2`]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{ x->2} { }{g(g(x))} over{2x^2 -3x-2} `]의 값은? [5.2점]

① [eqn: 1 over10]	② [eqn: 1 over5]	③ [eqn: 1 over3]
④ [eqn: 3 over5]	⑤ [eqn: 7 over10]

①

[eqn: lim _{ x->0} { } x overg(x) =1], [eqn: lim _{ x->2} { } {x-2} overg(x) =2`]에서 [eqn: g(0)=0,~ g(2)=0]

[eqn: lim _{ x->0} { } x over{g(x)-g(0)} = lim _{ x->0} { } {1} over { {g(x) -g(0)} overx} = 1 over {g` prime(0) }=1]

[eqn: therefore] [eqn: g`prime(0)=1]

[eqn: lim _{ x->0} { } {x-2} over{g(x)-g(2)} = lim _{ x->0} { } {1} over { {g(x) -g(0)} over{x-2}} = 1 over {g` prime(2) }=2]

[eqn: therefore] [eqn: g `prime(2)= 1 over2]

[eqn: f(x)= g(g(x))`]라 하면 [eqn: f(2)=g(g(2))=g(0)=0]이므로

[eqn: lim _{ x->2} { }{g(g(x))} over{2x^2 -3x-2} ` =lim _{ x->2} { }{f(x)-f(2)} over{(x-2)(2x+1)}][eqn: = 1 over5 f`prime(2)]

[eqn: f`prime(x)=g`prime(g(x) ) g`prime(x)]

[eqn: f`prime(2)=g`prime(g(2))g`prime(2)=g`prime(0) g`prime(2)= 1 over2]

[eqn: therefore] [eqn: 1 over5 `f`prime(2)= 1 over10]

보라고/2023년/Q4/C

이차 이상의 다항함수 [eqn: f(x)`]와 함수 [eqn: g(x)=ln(x^2 +x+e)`]가 [eqn: (f circg)(0)=e], [eqn: (f circg)`prime(0)=2`]를 만족시킨다. 다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: (x-1)^2`]으로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R(x)`]라 할 때, [eqn: R(3)`]의 값은? [4.9점]

① [eqn: e]	② [eqn: 3e]	③ [eqn: 5e]
④ [eqn: 7e]	⑤ [eqn: 9e]

③

[eqn: g(x)=ln(x^2 +x+e)`]이므로 [eqn: g(0)=1]

[eqn: g`prime(x ) = {2x+1} over{x^2 +x+e}]

[eqn: g`prime(0)= 1 overe]

[eqn: h(x)=f(g(x))`]라 하면

[eqn: h`prime(x)=f prime(g(x)) g`prime(x)]

[eqn: h(0)=f(g(0))=f(1)=e]	[eqn: cdots①]

[eqn: h`prime(0)=f`prime(g(0))g`prime(0) =f`prime(1) times 1 over e =2]

[eqn: f`prime(1)=2e]	[eqn: cdots②]

[eqn: ①,~②]에 의해

[eqn: f(x)=(x-1)^2 Q(x)+ax+b`]라 하면

[eqn: x=1]을 대입

[eqn: f(1)= a+b=e]	[eqn: cdots③]

[eqn: f`prime(x)=2(x-1)Q(x)+(x-1)^2 Q `prime(x)+a]

[eqn: x=1]을 대입

[eqn: f`prime(1)=a=2e]	[eqn: cdots④]

[eqn: ③,~④]를 연립하면 [eqn: a=2e ,~b=-e]

[eqn: R(x)=2ex-e]

[eqn: therefore] [eqn: R(3)= 6e-e=5e]

한솔고/2023년/Q4/C

이차 이상의 다항함수 [eqn: f(x)]와 함수 [eqn: g(x)=e ^{x ^{3} +x+1}]이

③

풀이)

[eqn: g`'(x)=e ^{x ^{3} +x+1} times(3x^2 +1)] 이므로 [eqn: g`'(0)=e]

[eqn: g(0)=e] 이다.

[eqn: f(x) = (x-e) ^{2} Q (x) + ax+ b]라 하면

[eqn: f(e) = ae +b]

[eqn: f`'(x) = 2(x-e) Q (x) +(x-e) ^{2} Q (x)+ a]

[eqn: f`'(e) = a]

[eqn: (f CIRCg)(0)=3]에서 [eqn: f( e) = ae +b = 3]

[eqn: (f CIRCg)`'(x)= f( g(x) ) g`'(x)]

[eqn: (f CIRCg)`'(0)= f( g(0) )`' g`'(0) = f`'(e) g`'(0) = a times e = e]

이므로 [eqn: a =1] 이고

[eqn: e +b = 3]에서 [eqn: b = 3 -e] 이다.

[eqn: R(x) = x +3-e] 이고, [eqn: R(e-3) = 0]이다.

<다른 풀이>

[eqn: f(e)=3 ,````f`'(e)=1]이므로 [eqn: f(x)=a(x-e) ^{2} +(x-e)+3]

[eqn: R(x)=x-e+3] 이고, [eqn: R(e-3) = 0]이다.

[eqn: (f CIRCg)(0)=3,``(f CIRCg) prime(0)=e]

를 만족시킨다. 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-e) ^{2}]으로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R(x)]라 할 때, [eqn: R(e-3)]의 값은? ([eqn: 3.0]점)

① [eqn: -e]	② [eqn: 1-e]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: e]	⑤ [eqn: 1+e]

보평고/2023년/Q4/C

실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x),~g(x)`]가
[eqn: lim _{ x->1} { } {f(x)-2} over x-1 =3,~ lim _{ x->2} { } {g(x)-1} overx-2} =2`]
를 만족시킨다. 함수 [eqn: f(x)`]가 일대일대응일 때,
[eqn: lim _{ x->2} { } {f(g(x))-a} overx-2 =b`]이다. [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a,~b`]는 상수이다.) [4.7점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

③

[eqn: lim _{ x->1} { } {f(x)-2} over x-1 =3,~ lim _{ x->2} { } {g(x)-1} overx-2} =2`]이므로

[eqn: f(1)=2,~g(2)=1,~f`prime(1)=3,~g`prime(2)=2]

[eqn: h(x)=f(g(x))`]라 하면

[eqn: h(2)=f(g(2))=f(1)=2]

[eqn: lim _{ x->2} { } {f(g(x))-a} overx-2 = lim _{ x->2} { } {h(x)-a} overx-2 = b`]에서

[eqn: lim _{ x->2} { }(x-2)=0`]이므로

[eqn: lim _{x->2 } { }(h(x)-a)=h(2)-a=2-a=0]

[eqn: therefore] [eqn: a=2]

[eqn: h` prime (x)=f` prime (g(x))`g` prime (x)]

[eqn: h`prime(2)=f`prime(g(2))g`prime(2)=f`prime(1)`g`prime(2)=3times2 =6]

[eqn: lim _{ x->2} { } {h(x)-2} overx-2 = h`prime(2)=b]

[eqn: therefore] [eqn: b=6]

[eqn: therefore] [eqn: a+b=8]

영덕여고/2023년/Q4/C

함수 [eqn: f(x) = cases{ ~~~e^-x ~~~(x<0)#-2x^2 +1~ (x ge 0)]에 대하여 함수 [eqn: g(x) = (f circf)(x)]라 할 때, [eqn: g prime(1)]의 값은? [eqn: [3.8점]]

⑤

[eqn: f(x) = cases{ ~~~e^-x ~~~(x<0)#-2x^2 +1~ (x ge 0)]에서 [eqn: f(1) =-1]이고,

[eqn: f prime(x) = cases{~ -e^-x ~~~`(x<0)#~-4x~~~~(x>0)]이므로 [eqn: f prime(1) = -4,~f prime(-1) = -e]이다.

[eqn: g prime(x) = f prime(f(x))times f prime(x)]에서

[eqn: g prime(1) = f prime(f(1)) times f prime(1) = f prime(-1) times f prime(1) = 4e]

① [eqn: -4e]	② [eqn: -2e]	③ [eqn: e]
④ [eqn: 2e]	⑤ [eqn: 4e]

위례고/2023년/Q4/C

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]와 함수 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: h(x)=(g` CIRC f)(x)]이다. 다음 두 조건을 만족시킬 때. [eqn: h`'(2)]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [[eqn: 4]점, 부분점수 있음]

[eqn: - 5 over 9]

[eqn: g`'(x) = `- 1 over x^2]

[eqn: lim _{ x->2 } {(x^2 +x-6 )=0 }]이고 [eqn: lim _{ x-> 2} {{f(x)+3} over { {x^2 +x -6 } }=1]이므로

[eqn: f(2) =`-3]이다. 또,

[eqn: lim _{ x-> 2} { {f(x) +3 } over { x^2 +x -6 } }= lim _{ x->2 } {{ f(x) - f(2) } over (x-2) times 1 over (x+3) } = f`'(2) times 1 over 5 =1]이므로

[eqn: f`'(2)=5]이다.

[eqn: h`'(x) = LEFT { (g circ f) (x) RIGHT }' = g`' (f(x)) f`'(x)]이므로

[eqn: h` prime (2)=g` prime (f(2))f` prime (2)=g` prime (-3)f` prime (2)=`- {5} over {9}]

(가) [eqn: g(x) = 1 over x]

(나) [eqn: lim _{ x->2 } {{f(x)+3} over {x^2 +x-6} }=1]

매개변수로 나타낸 함수의 미분법

돌마고/2023년/Q4/C

매개변수 [eqn: t ``(t>0)`]로 나타낸 곡선 [eqn: x=t^3 `ln`t +2t], [eqn: y=6t^2 e^t-1`]에서 [eqn: t=1`]일 때, [eqn: dy overdx`]의 값은? [4.7점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

③

[eqn: x=t^3 `ln`t +2t], [eqn: y=6t^2 e^t-1`]

[eqn: dx overdt = 3t^2 `ln`t+ t^3 cdot 1 overt +2 =3t^2 `lnt + t^2 +2]

[eqn: dy overdt = 12t e^t-1 +6t^2 e^t-1 =(6t^2 +12t)e^t-1]

[eqn: dy overdx = {(6t^2 +12t)e^t-1} over{3t^2 ln`t + t^2 +2}]

[eqn: t=1`]을 대입하면 [eqn: dy overdx =6]

불곡고/2023년/Q4/C

구간 [eqn: (0,~inf)]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=ln(x^2 +2x+1)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하자. 매개변수 [eqn: t`]로 나타낸 곡선 [eqn: x=e^t ,~y=g(t)]에서 [eqn: t=2`ln`2`]일 때, [eqn: dy overdx`]의 값은? [4.7점]

① [eqn: 1 over4]	② [eqn: 1 over2]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

①

구간 [eqn: (0,~inf)]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=ln(x^2 +2x+1)]의 역함수가 [eqn: g(x)]일 때 매개변수 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: x=e^t], [eqn: y=g(t)]

[eqn: t=2`ln`2]일 때 [eqn: x=e^{2`ln`2} =e^{ln`4} =4]

[eqn: f`prime(x)= {2x+2} over{x^2 +2x+1}]

[eqn: f(1)=ln`4 =2`ln`2], [eqn: f`prime(1)= 4 over4 =1]이므로

[eqn: g prime(2 `ln`2)= 1 over{f `prime(1)} =1]

[eqn: dx overdt = e^t], [eqn: dy overdt = g prime(t)]이므로

[eqn: t=2`ln`2`]일 때 [eqn: dx overdt =e^{2`ln`2} =4], [eqn: dy overdt = g `prime(2`ln`2)=1]

[eqn: therefore] [eqn: dy overdx = 1 over4]

수내고/2023년/Q4/C

구간 [eqn: (0,~inf)``]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=ln(x ^{2} +2x+2)``]의 역함수를 [eqn: g(x)``]라 하자. 매개변수 [eqn: t``]로 나타낸 곡선

③

[eqn: f(x)=ln(x ^{2} +2x+2)``]에서

[eqn: f(1)`=`ln`5`,`````g`(ln`5)`=`1``]

[eqn: f`'(x)= 2x+2 over {x ^{2} +2x+2`}``]에서

[eqn: f` prime (1)`=` {4} over {5} `,`````g` prime (ln`5)`=` {5} over {4} ``]

[eqn: {{dy} over {dx}}``][eqn: =` {dy / dt} over {dx / dt}`=` {g`'(t)}over {2`e^t}``]

[eqn: t= ln5``]일 때,

[eqn: {{dy} over {dx}}``][eqn: =` {g` prime (ln`5)} over {2`e ^{ln5}} ``]

[eqn: =` {5over4}over 10 `=` 1over8 ``]이다.

[eqn: x= 2e^t``], [eqn: y= g(t)``]

에서 [eqn: t= ln5``]일 때, [eqn: {{dy} over {dx}}``]의 값은? [4.3점]

① [eqn: {1} over {24}``]	② [eqn: {1} over {12}``]	③ [eqn: {1} over {8}``]

④ [eqn: {1} over {6}``]	⑤ [eqn: {5} over {24}``]

보평고/2023년/Q4/C

[그림[eqn: 1`]]과 같이 커피가 담겨 있는 원형 커피 잔의 벽에 반사된 빛이 모여 커피의 표면에 곡선을 그리는데 이것을 ‘포락선(包絡線)’이라고 한다. 즉, 포락선이란 컵에 반사된 빛을 나타내는 모든 직선에 접하는 곡선을 뜻한다.

[eqn: -root3]

[eqn: x= {3} over {4} `cos` theta - {1} over {4} `cos`3 theta ,~y= {3} over {4} `sin` theta - {1} over {4} `sin`3 theta]이므로

[eqn: {dx} over {d theta } =- {3} over {4} `sin` theta + {3} over {4} `sin`3 theta]

[eqn: {dy} over {d theta } = {3} over {4} `cos theta - {3} over {4} `cos`3 theta]

따라서 [eqn: dy overdx ={cos`theta-cos`3theta} over{-sin`theta + sin`3theta}]

[eqn: theta= pi over3 ``]를 대입하면 [eqn: dy overdx ={ cos pi over3 -cospi } over{ -sin `pi over3 + sin`pi} ={ 1 over2 -(-1)} over{- root3 over2 } = -root3]

[그림[eqn: 2`]]의 좌표평면에서 반원을 단위원 [eqn: x^2 +y^2 =1`]의 일부로 생각하고, 원점 [eqn: rmO]와 빛이 커피잔의 벽에 부딪치는 점 [eqn: rmP]에 대한 동경 [eqn: rmOP]가 나타내는 각의 크기를 [eqn: theta`]라 하자. 그러면 점 [eqn: rm P(`cos` theta ,~sin` theta )]를 지나는 빛이 포락선에 접하는 점 [eqn: rmQ(itx,~y)]의 좌표는 매개변수 [eqn: theta`]에 대한 함수로
[eqn: x= {3} over {4} `cos` theta - {1} over {4} `cos`3 theta ,~y= {3} over {4} `sin` theta - {1} over {4} `sin`3 theta]
와 같이 나타낼 수 있다고 한다. [eqn: theta= pi over3 ``]일 때, 점 [eqn: rmQ`]에서의 접선의 기울기를 구하고 그 과정을 논술하시오. [3.0점]

음함수의 미분법

불곡고/2023년/Q4/C

곡선 [eqn: x^2 -xy+2y^2 =14`] 위의 두 점 [eqn: (alpha,~k),~(beta,~k)`]에서의 접선이 서로 수직일 때, [eqn: alpha beta`]의 값은? (단, [eqn: k`]는 [eqn: 0 le k <2`]인 상수이고, [eqn: alpha-4k !=0,~beta-4k !=0]이다.) [4.8점]

① [eqn: - 32 over3]	② [eqn: -9]	③ [eqn: - 22 over3]
④ [eqn: - 17 over3]	⑤ [eqn: -4]

③

[eqn: x^2 -xy+2y^2 =14`]에 [eqn: y=k`]를 대입하면

[eqn: x^2 -kx +2k^2 -14=0]

두 근이 [eqn: alpha,~beta`]이므로

[eqn: alpha+beta=k ,~ alphabeta=2k^2 -14]

[eqn: x^2 -xy+2y^2 =14`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: 2x-y-x dy overdx + 4y dy overdx =0]

[eqn: dy overdx = {2x-y} overx-4y] (단, [eqn: x-4y!=0])

[eqn: (alpha,~k),~(beta,~k)`]에서의 접선이 서로 수직이므로

[eqn: 2alpha-k overalpha-4k times 2beta-k overbeta-4k = {4alphabeta-2k(alpha+beta)+k^2} over{alpha beta- 4k(alpha+beta)+16k^2]

[eqn: ={8k^2 -56 -2k^2 +k^2} over{2k^2 -14-4k^2 +16k^2]

[eqn: ={7k^2 -56} over{14k^2 -14} =-1]

[eqn: 7k^2 -56=-14k^2 +14]

[eqn: k^2 = 10 over3]

[eqn: therefore] [eqn: alphabeta =2k^2 -14 = 20 over3 -14=- 22 over3]

역함수의 미분법

한솔고/2023년/Q4/C

함수 [eqn: f(x)= {1} over {4} x ^{4} +x ^{2} -2]가 있다. 양의 실수 [eqn: t]에 대하여

③

풀이)

두 점 [eqn: (0,````0)], [eqn: (t,````f(t))] [eqn: (t>0)]을 지나는 직선을 [eqn: l]이라 하면
직선 [eqn: l]의 기울기는 [eqn: {f(t)-0} over {t-0}][eqn: = {f(t)} over {t}]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 기울기가 직선 [eqn: l]의 기울기와 같고, 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: g(t)]이므로

[eqn: f`'(g(t))][eqn: = {f(t)} over {t}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

한편, [eqn: h(1)=a]라 하면 [eqn: a>0]이고

[eqn: g(a)=1]

㉠에서 [eqn: f` prime (g(a))][eqn: = {f(a)} over {a}],
즉 [eqn: f`'(1)= {f(a)} over {a}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

이때 [eqn: f`'(x)][eqn: =x ^{3} +2x]이므로 ㉡에서

[eqn: 3][eqn: = {f(a)} over {a}], [eqn: f(a)=3a]

그러므로 [eqn: f(a)][eqn: = {1} over {4} a ^{4} +a ^{2} -2]
[eqn: =3a]

이므로

[eqn: a ^{4} +4a ^{2} -12a-8=0]

[eqn: (a-2)(a ^{3} +2a ^{2} +8a+4)=0]

[eqn: a>0]일 때 [eqn: a ^{3} +2a ^{2} +8a+4>0]이므로

[eqn: a=2]

그러므로 [eqn: h(1)][eqn: =2]이고 역함수의 미분법에 의하여

[eqn: h` prime (1)][eqn: = {1} over {g`'(h(1))}]
[eqn: = {1} over {g`'(2)}]

이다.

한편, [eqn: f`'(g(t))][eqn: = {f(t)} over {t}]의 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: f`''(g(t))g`'(t)][eqn: = {f`'(t)times`t-f(t)} over {t ^{2}}]

이므로

[eqn: f` '' (g(2))g` prime (2)][eqn: = {f` prime (2) TIMES `2-f(2)} over {4}]

[eqn: g(2)=1]이므로

[eqn: f` '' (1)g` prime (2)][eqn: = {f` prime (2) TIMES `2-f(2)} over {4}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

이때 [eqn: f`''(x)][eqn: =3x ^{2} +2]이므로 [eqn: f`''(1)=5]

[eqn: f`'(2)=12], [eqn: f(2)=6]이므로 ㉢에서

[eqn: 5g`'(2)][eqn: = {12times2-6} over {4}]
[eqn: = {9} over {2}]

따라서 [eqn: g`'(2)][eqn: = {9} over {10}]이므로 [eqn: h`'(1)][eqn: = {1} over {g`'(2)}][eqn: = {10} over {9}]

[eqn: h(1)][eqn: =2]이므로

[eqn: h(1)+9h`'(1) =2 + 10 = 12]

두 점 [eqn: (0,``0),``(t,``f(t))]를 지나는 직선이 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: P]에서의 접선과 평행할 때, 점 [eqn: P]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: g(t)]라 하자. 미분가능한 함수 [eqn: g(t)]의 역함수를 [eqn: h(t)]라 할 때, [eqn: h(1)+9h`'(1)]의 값은? ([eqn: 3.9]점)

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]
④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

수내고/2023년/Q4/C

함수 [eqn: f ( x )=x^3 +2x-2``]에 대하여 역함수를 [eqn: g(x)``]라 할 때, [eqn: lim _{x` rarrow `1} {{f(x)g(x)-1} over {x-1}} `= {q} over {p}``]이다. [eqn: p+q``]의 값은? (단, [eqn: p,~q``]는 서로소인 자연수이다.) [4.8점]

③

[eqn: f ( x )=x^3 +2x-2``]에서

[eqn: f(1)`=`1`,`````g(1)`=`1``]

[eqn: f`'`(x)`=`3`x^2 +2``]에서

[eqn: f` prime (1)`=`5`,`````g` prime `(1)`=` {1} over {5} ``]

[eqn: lim _{x` rarrow `1} {{f(x)g(x)-1} over {x-1}} ``][eqn: =`lim _{x` rarrow `1} {{f(x)`g(x)-f(1)`g(1)} over {x-1}} ``]

[eqn: =`f``'(1)`g(1)`+`f`(1)`g`'`(1)` `]

[eqn: =`5+ {1} over {5} `=` {26} over {5} ``]

따라서 [eqn: p+q`=`31``]이다.

① [eqn: 25``]	② [eqn: 28``]	③ [eqn: 31``]

④ [eqn: 34``]	⑤ [eqn: 37``]

한솔고/2023년/Q4/C

함수 [eqn: f(x)=(x ^{2} +ax+b)e ^{x}]과 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: h(x)=f` ^{-1} (x)g(x)]에 대하여 [eqn: g`'(e)+h`'(e)]의 값은?

⑤

풀이)

[eqn: f(1)][eqn: =(1+a+b)e][eqn: =e]에서

[eqn: a+b=0] …… ㉠

[eqn: f` prime (x)][eqn: = LEFT { x ^{2} +(a+2)x+a+b RIGHT } e ^{x} `]이므로

[eqn: f`'(1)][eqn: = LEFT { 1+(a+2)+a+b RIGHT } e][eqn: =e]에서

[eqn: 2a+b=it-2] …… ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: a=it-2], [eqn: b=2]

[eqn: f(x)][eqn: =(x ^{2} -2x+2)e ^{x}]에서

[eqn: f``'(x)][eqn: =x^{2}e^{x}]
[eqn: f``''(x)][eqn: =x(x+2)e^{x}]이므로

[eqn: f``''(1)][eqn: =3e]

이때 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`` prime LEFT ( x RIGHT ) ` GEQ 0]이므로

함수 [eqn: f` LEFT ( x RIGHT )]는 역함수가 존재한다.

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =e]에서 [eqn: f ^{`-1} LEFT ( e RIGHT ) =1]이므로

역함수의 미분법에 의하여

[eqn: LEFT ( f ^{`-1} RIGHT ) ` prime LEFT ( e RIGHT )][eqn: = {1} over {f`` prime LEFT ( 1 RIGHT )}][eqn: = {1} over {e}]

한편 [eqn: g LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =f`` prime LEFT ( 1 RIGHT )], 즉 [eqn: g LEFT ( e RIGHT ) =e]이고

[eqn: g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =f``' LEFT ( x RIGHT )]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g` prime LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) f`` prime LEFT ( x RIGHT ) =f`` '' LEFT ( x RIGHT )] …… ㉢

㉢의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: g`' LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) f``' LEFT ( 1 RIGHT ) =f``'' LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: g`' LEFT ( e RIGHT ) times`e=3e]

[eqn: g`' LEFT ( e RIGHT ) =3]

[eqn: h`' LEFT ( e RIGHT )][eqn: = LEFT ( f ^{`-1} RIGHT ) ` prime LEFT ( e RIGHT ) g LEFT ( e RIGHT ) +f ^{`-1} LEFT ( e RIGHT ) g` prime LEFT ( e RIGHT )] [eqn: = {1} over {e} TIMES e+1times3][eqn: =4]

따라서 [eqn: g`'(e)+h`'(e) = 3 + 4 = 7]

(가) [eqn: f(1)=e,``f`'(1)=e]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(f(x))=f`'(x)]이다.

(단, [eqn: a,``b]는 상수이다.) ([eqn: 4.0]점)

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

송림고/2023년/Q5/C

[eqn: 0<x<2]인 실수 [eqn: x]에 대하여 넓이가 [eqn: 6]이고 가로의 길이가 [eqn: x]인 직사각형의 둘레의 길이를 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, [eqn: g' LEFT ( 11 RIGHT )]의 값은? [[eqn: 3.9]점]

③

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x+ {12} over {x}], [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =2- {12} over {x ^{2}}]

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {f prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )}]이므로

[eqn: 2x+ {12} over {x} =11] , [eqn: 2x ^{2} -11x+12=0]

[eqn: LEFT ( 2x-3 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) =0], [eqn: x= {3} over {2} ` LEFT ( 0<x<2 RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( 11 RIGHT ) = {3} over {2} ```]

[eqn: g prime LEFT ( 11 RIGHT ) = {1} over {f' LEFT ( {3} over {2} RIGHT )} =- {3} over {10}]

① [eqn: - {10} over {3}]	② [eqn: - {3} over {2}]	③ [eqn: - {3} over {10}]

④ [eqn: {3} over {10}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

불곡고/2023년/Q4/C

실수 전체의 집합에서 미분가능하고 역함수가 존재하는 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x)=cases{ax^2 `ln`x &&(0<x<e)``#f^-1 (x)&&(x gee)]로 정의하자. 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=e`]에서 미분가능하고 [eqn: lim _{ h->0} { }{f(2+h)-e} overh` = b over2`]일 때, [eqn: ab`]의 값은? (단, [eqn: a,~b`]는 상수이다.) [5.1점]

① [eqn: 1 over3e]	② [eqn: 2 over3e]	③ [eqn: e over3]
④ [eqn: 3 over2e]	⑤ [eqn: 3e]

②

[eqn: lim _{ h->0} { }{f(2+h)-e} overh` = b over2`]이므로 [eqn: f(2)=e ,~f prime(2)= b over2]

[eqn: f^-1 (e)=2`]이므로 [eqn: (f^ -1 ) prime(e)= 2 overb]

[eqn: g(x)=cases{ax^2 `ln`x &&(0<x<e)``#f^-1 (x)&&(x gee)]

[eqn: x=e`]에서 연속이므로

[eqn: lim _{ x-> e- } { }g(x)= lim _{ x->e-} { }(ax^2 ln`x)=ae^2]

[eqn: g(e)= lim _{ x->e+} { }g(x)= f^-1 (e)=2]

[eqn: ae^2 =2]

[eqn: therefore] [eqn: a= 2 overe^2] [eqn: cdots①]

[eqn: g`prime(x)=cases{ 2ax`ln`x+ax&&(0<x<e)#(f^-1 )prime(x)&&(x>e)]

[eqn: x=e`]에서 미분가능하므로

[eqn: 2ae lne +ae=(f^-1 ) prime(e)]

[eqn: 3ae = 2 overb]

[eqn: b= 2 over3ae = e over3] [eqn: cdots②]

[eqn: ①,~②]에 의해 [eqn: ab= 2 over3e]

영덕여고/2023년/Q4/C

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]와 그 역함수 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: -1]이 아닌 모든 실수 [eqn: x]에서 [eqn: f left( xg(x) - {x^2 -x} overx+1 right)= x]가 성립할 때, [eqn: f prime left( 3over4 right)]의 값은? [eqn: [4.2점]]

①

[eqn: f]와 [eqn: g]는 역함수관계이고, [eqn: f left( xg(x) - {x^2 -x} overx+1 right)= x]이므로

[eqn: g(x) = xg(x) - {x^2 -x} overx+1]이다.

[eqn: therefore~g(x) = x overx+1]

[eqn: f prime(x) = 1over{g prime(f(x))]에서 [eqn: f prime left( 3over4 right) = 1over{g prime left( f left( 3over4 right) right)}]이고

[eqn: f left( 3over4 right) = alpha]이면 [eqn: g(alpha) = 3over4]에서 [eqn: alpha overalpha+1 = 3over4]이므로 [eqn: alpha = 3]

[eqn: therefore~ f prime left( 3 over4 right) = 1over { g prime( 3)} = 16] [eqn: left( because~ g prime(x) = {1 times (x+1) - x times 1} over(x+1)^2 = 1 over(x+1)^2 right)]

① [eqn: 16]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 1over4]	⑤ [eqn: 1over16]

이계도함수

불곡고/2023년/Q4/C

함수 [eqn: f(x)=(ln `x)^2`]에 대하여
극한값 [eqn: lim _{ h->0} { }{f`prime(roote + 2h )-f`prime(roote )} overh`]의 값은? [4.3점]

① [eqn: 1 overe]	② [eqn: 2 overe]	③ [eqn: 1 overroote]
④ [eqn: 2 overroote]	⑤ [eqn: roote over2]

②

[eqn: f(x)=(ln`x)^2]

[eqn: f`prime(x)=2`ln`x cdot 1 overx = {2` ln`x} overx]

[eqn: f`primeprime(x)= {2 cdot 1 overx cdot x -2`ln`x`} overx^2 = {2(1-ln`x)} overx^2]

[eqn: f`primeprime(roote ) = {2 left(1 - 1 over2 right)} over e = 1 overe]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ h->0} { }{f`prime(roote + 2h )-f`prime(roote )} overh`=2 f`primeprime(roote ) = 2 overe]

이매고/2023년/Q5/C

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 양의 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ln LEFT ( x ^{2} +x RIGHT ) -f' LEFT ( 1 RIGHT ) sqrt {x}]

⑤

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) = {2x+1} over {x ^{2} +x} - {f' LEFT ( 1 RIGHT )} over {2 sqrt {x}}]

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: f' LEFT ( 1 RIGHT ) = {3} over {2} - {f' LEFT ( 1 RIGHT )} over {2}]

[eqn: f' LEFT ( 1 RIGHT ) =1~]

[eqn: f'' LEFT ( x RIGHT ) = {2 LEFT ( x ^{2} +x RIGHT ) - LEFT ( 2x+1 RIGHT ) ^{2}} over {LEFT ( x ^{2} +x RIGHT ) ^{2}} + {1} over {4x sqrt {x}}]

[eqn: f'' LEFT ( 1 RIGHT ) =-1]

를 만족시킬 때, [eqn: f'' LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? [[eqn: 4.8]점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

불곡고/2023년/Q4/C

매개변수 [eqn: t`]에 대하여 함수 [eqn: x=2t -sin`2t ,~y=sin^3` 2t`]에 대하여 물음에 답하시오. [총 7점]

(1) [eqn: dy overdx = 3`cos`2t(1+cos`2t)]
(2) [eqn: {d^2 y} over{dx^2 }= {-3`sin`2t(1+2cos`2t)} over{1- cos`2t}]
(3) [eqn: {d^2 y} over{dx^2 }left( t= pi over6 right)= - 6root3]

(1) [eqn: dx overdt =2-2`cos`2t]

[eqn: dy overdt =3`sin^2 `2t cdot cos`2t cdot2][eqn: =6`sin^2 `2t`cos`2t`]

[eqn: therefore] [eqn: dy overdx = {6`sin^2 `2t`cos`2t} over{2(1-cos`2t) }times {1+cos`2t} over{1+cos`2t} =3`cos`2t(1+cos`2t)]

(2) [eqn: {d^2 y} over{dx^2} = d overdx left(dy overdx right)= d overdt left( dy overdx right) cdot dt overdx]

[eqn: = left{ -6`sin`2t(1+cos`2t)+3`cos`2t cdot(-2`sin`2t) right} times 1 over{2-2`cos`2t}]

[eqn: ={-6`sin`2t -6`sin`2t `cos`2t - 6`sin`2t `cos2t } over{2(1-cos`2t)]

[eqn: ={-6`sin`2t (1+2`cos`2t)} over{2(1-cos`2t)]

[eqn: = {-3`sin`2t(1+2cos`2t)} over{1- cos`2t}]

(3) (2)에 [eqn: t= pi over6`]을 대입하면

[eqn: {d^2 y} over{dx^2 }left( t= pi over6 right)= {-3` sin piover3 left(1+ 2`cos` pi over3 right)} over{1- cos` pi over3}]

[eqn: ={-3 times root3 over2 times(1+1)} over{1- 1 over2]

[eqn: =-6root3]

(1) [eqn: dy overdx `]를 구하고 그 과정을 논술하시오. (단, [eqn: 1- cos`2t !=0]) [2.0점]

(2) [eqn: {d^2 y} over{dx^2}]를 구하고 그 과정을 논술하시오. (단, [eqn: 1- cos`2t !=0]) [4.0점]

(3) [eqn: t= pi over6]일 때의 [eqn: {d^2 y} over{dx^2}]의 값을 구하고 그 과정을 논술하시오. [1.0점]

미분법(step3)

1.

태전고/2023년/Q3/B

곡[eqn: f(x)= {2x+3} over {2x+1} ,~g(x) = tanx]에 대하여 함수 [eqn: h(x) = (f circ g)(x)]라 할 때, [eqn: h`' LEFT ( pi over 4 RIGHT )]의 값을 구하고 과정을 서술하시오. [eqn: [8.0점]]

[eqn: - 4 over 9]

[eqn: h(x) = {2tan x +3 } over {2 tanx +1} = 1 + 1 over {2tanx +1}]

[eqn: h`'(x) = - {2sec^2 x } over { (2 tanx +1)^2]

[eqn: h`'( pi over 4 ) = - 4 over 9]

돌마고/2023년/Q4/B

함수 [eqn: f(x)=|`x`|(e^2x +a)`]가 있다. [eqn: x=0`]에서 [eqn: f(x)`]는 미분가능하다고 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, [eqn: a`]는 실수이다.)
[총 10.0점]
(1) [eqn: a`]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [3.0점]

(2) [eqn: f`prime(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 연속임을 보이시오. [3.0점]

(3) [eqn: f`prime(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 미분가능하지 않음을 보이시오. [4.0점]

(1) [eqn: a=-1]
(2) (1)에서 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=0`]에서 미분가능하므로
[eqn: f`prime(x)=cases{-(2x+1)e^2x +1 &&(x <0)#```````(2x+1)e^2x -1&&(x ge0)]
[eqn: lim _{ x->0-} { }f`prime(x)= lim _{ x->0-} { } left{-(2x+1)e^2x +1} right} =-1+1=0]
[eqn: f`prime(0)=lim _{ x->0+} { }f`prime(x)= lim _{ x->0-} { } left{(2x+1)e^2x -1} right} =1-1=0]
따라서 [eqn: f`prime(x)]는 [eqn: x=0`]에서 연속
(3)  [eqn: f prime(0)=0]이므로
[eqn: lim _{ x->0-} { }{f`prime(x)-f`prime(0)} overx-0 = lim _{ x->0-} { } {-(2x+1)e^2x +1} overx]
[eqn: =lim _{ x->0- } { }left{-2e^2x - {e^2x -1} overx right}]
[eqn: = -2-2]
[eqn: =-4]
[eqn: lim _{ x->0+} { }{f`prime(x)-f`prime(0)} overx-0 = lim _{ x->0+} { } {(2x+1)e^2x -1} overx]
[eqn: =lim _{ x->0+ } { }left{2e^2x + {e^2x -1} overx right}]
[eqn: = 2+2]
[eqn: =4]
따라서 [eqn: f`prime(x)]는 [eqn: x=0`]에서 미분불가능

(1) [eqn: f(x)= cases{ -x(e^2x +a)&&(x<0)#```````x(e^2x +a)&&(x ge0)``]

[eqn: x=0`]에서 연속이므로

[eqn: lim _{ x->0-} { }f(x)=0,~f(0)= lim _{ x->0+} { }f(x)=0]

[eqn: left{-x(e^2x +a)right} `prime = -(e^2x +a)-2xe^2x = -(2x+1)e^2x -a]

[eqn: left{x(e^2x +a)right} `prime =e^2x +a +2xe^2x =(2x+1)e^2x +a]

[eqn: f`prime(x)=cases{-(2x+1)e^2x -a &&(x <0)#```````(2x+1)e^2x +a&&(x >0)]

[eqn: x=0]에서 미분가능하므로

[eqn: -1-a=1+a]

[eqn: therefore] [eqn: a=-1]

(2) (1)에서 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=0`]에서 미분가능하므로

[eqn: f`prime(x)=cases{-(2x+1)e^2x +1 &&(x <0)#```````(2x+1)e^2x -1&&(x ge0)]

[eqn: lim _{ x->0-} { }f`prime(x)= lim _{ x->0-} { } left{-(2x+1)e^2x +1} right} =-1+1=0]

[eqn: f`prime(0)=lim _{ x->0+} { }f`prime(x)= lim _{ x->0-} { } left{(2x+1)e^2x -1} right} =1-1=0]

따라서 [eqn: f`prime(x)]는 [eqn: x=0`]에서 연속

(3) [eqn: f prime(0)=0]이므로

[eqn: lim _{ x->0-} { }{f`prime(x)-f`prime(0)} overx-0 = lim _{ x->0-} { } {-(2x+1)e^2x +1} overx]

[eqn: =lim _{ x->0- } { }left{-2e^2x - {e^2x -1} overx right}]

[eqn: = -2-2]

[eqn: =-4]

[eqn: lim _{ x->0+} { }{f`prime(x)-f`prime(0)} overx-0 = lim _{ x->0+} { } {(2x+1)e^2x -1} overx]

[eqn: =lim _{ x->0+ } { }left{2e^2x + {e^2x -1} overx right}]

[eqn: = 2+2]

[eqn: =4]

따라서 [eqn: f`prime(x)]는 [eqn: x=0`]에서 미분불가능

보평고/2023년/Q4/B

곡선 [eqn: y=e^x -e^-x `]와 직선 [eqn: y=t`]가 만나는 점의 좌표를 [eqn: (f(t) ,~t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)=f(t) times left{e^2f(t) + e^-2f(t) right}`]일 때, [eqn: g prime left( 3 over2 right)= p+q `ln`2`]이다. [eqn: p+q`]의 값은? (단, [eqn: t`]는 실수이고 [eqn: p,~q`]는 유리수이다.) [5.3점]

① [eqn: 47 over10]	② [eqn: 49 over10]	③ [eqn: 51 over10]
④ [eqn: 53 over10]	⑤ [eqn: 11 over2]

①

[eqn: y=e^x -e^-x `]와 직선 [eqn: y=t`]가 만나는 점의 좌표를 [eqn: (f(t) ,~t)]라 하므로

[eqn: e^f(t) -e^-f(t) =t]	[eqn: cdots①]

양변을 [eqn: t`]에 대하여 미분하면

[eqn: e^f(t) f`prime(t) +e^-f(t) f`prime(t) =1]

[eqn: f`prime(t)= 1 over{e^f(t) +e^-f(t)]	[eqn: cdots②]

[eqn: ①]에 [eqn: t= 3over2]를 대입하면

[eqn: e^{f left(3 over2 right) } - e^{-f left(3 over2 right) } = 3 over2]

[eqn: e^{f left(3 over2 right) } =X`]라 하면 [eqn: X >0]

[eqn: 2X^2 -3X-2=0]

[eqn: (2X+1)(X-2)=0]

[eqn: therefore] [eqn: X=e^{f left(3 over2 right) } = 2]	[eqn: cdots ③]

[eqn: f left( 3 over2 right) = ln`2]	[eqn: cdots④]

[eqn: ②]에 [eqn: t= 3 over2]를 대입하면

[eqn: f`prime left(3 over2 right)= 1 over{e^{f left(3 over2 right) } + e^{-f left(3 over2 right) } } = 1 over{2+ {1over2}} = 2 over5]	[eqn: cdots⑤]

[eqn: g(t)=f(t) times left(e^2f(t) + e^-2f(t) right)]

[eqn: g`prime(t) =f`prime(t) left(e^2f(t) + e^-2f(t) right)`+f(t) left(e^2f(t) cdot 2f prime(t) - e^-2f(t) cdot 2f prime(t) right)`]

[eqn: =f`prime(t) left{left(e^2f(t) + e^-2f(t) right)`+2f(t) left(e^2f(t) - e^-2f(t) right) right}]

[eqn: t= 3 over2`]를 대입하면 [eqn: ③,~④,~⑤`]에 의해

[eqn: g prime left( 3 over2 right)= 2 over5 left{ 4+ 1 over4 + 2 `ln2 timesleft( 4- 1 over4 right) right}]

[eqn: = 2over5 timesleft( 17 over4 + 15 over2 `ln `2 right)= 17 over10 + 3 `ln`2]

[eqn: p= 17 over10 ,~q=3]

[eqn: therefore] [eqn: p+q = 47 over10]

보평고/2023년/Q4/B

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 10`]인 반원 위의 두 점 [eqn: rmP,~Q]가 점 [eqn: rmB]에서 동시에 출발하여 선분 [eqn: rmbarBP]의 길이의 시간(초)에 대한 변화율 [eqn: 1 over2`]과 [eqn: rm angleQAB = 2 anglePAB]를 만족시키면서 반원 위를 움직인다. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmB]에서 출발하여 [eqn: 5`]초가 되는 순간 선분 [eqn: rmAQ]의 길이의 시간(초)에 대한 변화율을 구하고 그 과정을 논술하시오. (단, [eqn: 0 le rmanglePAB < pi over4]이다.) [6.0점]

[eqn: - 1 over4]

[eqn: rm anglePAB = theta ,~ rmangleQAB = 2theta`]라 하면

선분 [eqn: rmbarBP]의 길이의 시간(초)에 대한 변화율이 [eqn: 1 over2`]이므로 [eqn: t`]초후

[eqn: rm barBP = 1 over2 itt = 20 sin`theta]	[eqn: cdots①]

[eqn: rm barAQ = it 20 `cos` 2theta]	[eqn: cdots②]

[eqn: ①]에서 [eqn: d overdt {rm barBP } = 1 over2 = it 20 `cos`theta {d theta } overdt]

[eqn: {d theta} overdt = 1 over{40 `cos`theta}]

[eqn: t=5`]를 [eqn: ①]에 대입하면 [eqn: 20 sin`theta = 5 over2]

[eqn: sin`theta = 1 over8]

[eqn: 0< theta < pi over4`]이므로 [eqn: cos` theta = {sqrt {63}} over {8}]

[eqn: {d theta} overdt = 1 over{40 `cos`theta} = 1 over{5root63}]

[eqn: ②]를 [eqn: t`]에 대하여 미분하면

[eqn: d overdt { rm barAQ} = it -40 sin`2theta {d theta} overdt = =-80 sin`theta `cos`theta {d theta} overdt]

[eqn: t=5`]일 때 [eqn: sin`theta = 1 over8 ,~cos`theta = {root63 over8 ,~ {d theta} overdt = 1 over{5root63}]을 대입하면

[eqn: therefore] [eqn: d overdt { rm barAQ} = it -80 times 1 over8 times {root63} over8 times 1 over{5root63} = - 1 over4]

불곡고/2023년/Q4/B

[eqn: 1`]보다 큰 실수 [eqn: a`]에 대하여 곡선 [eqn: y=a^x `]과 곡선
[eqn: y=a^-x - 8 over3`]이 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: f(a)`]라 하자. 미분가능한 함수 [eqn: f(a)]에 대하여 [eqn: f(k)= - 1 over2`]일 때, [eqn: f`prime(k)= q overp times 1 over{ln `3} `]이다. [eqn: p+q`]의 값은? (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4.8점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 17]
④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 37]

⑤

[eqn: a^x =a^-x - 8 over3]

[eqn: 3 (a^ x )^2 +8 a^x -3=0]

[eqn: (3a^x -1)(a^x +3)=0]

[eqn: a^x >0`]이므로 [eqn: a^x = 1 over3]

[eqn: therefore] [eqn: f(a)= log_a ` 1 over3 = - log_a `3 = - 1 over{log_3 `a}]

[eqn: f`prime(a)= { 1 over{a `ln3} } over{(log_3`a)^2 }= 1 over{a (log_3 `a)^2 ln``3}]

[eqn: f(k)= -log_k `3= - 1 over2`]이므로 [eqn: k^{ `1 over2} = 3]

[eqn: therefore] [eqn: k=9]

[eqn: therefore] [eqn: f`prime(k)= 1 over{9 times(log_3 `9)^2` ln`3} = 1 over36 times 1 over{ln `3}]

[eqn: p=36,~q=1`]이므로 [eqn: p+q=37]

영덕여고/2023년/Q4/B

곡선 [eqn: x^2 +xy + 2y^2 =7]위의 두 점 [eqn: (alpha,~k) ,~( beta,~k)]에서의 접선이 서로 수직일 때, [eqn: alpha^2 + beta^2]의 값은? (단, [eqn: k]는 [eqn: 0 le k<2]인 상수이고, [eqn: alpha +4k not=0,~ beta+ 4k not= 0]이다.) [eqn: [4.5점]]

①

[eqn: x^2 +xy +2y^2 =7]이 [eqn: (alpha,~k),~(beta,~k)]를 지나므로

[eqn: x^2 +kx +2k^2 -7=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라 놓을 수 있다.

따라서 [eqn: alpha +beta = -k,~ alpha beta = 2k^2 -7(because~ 근과~계수와의~관계)].....[eqn: (가)]

준식을 음함수의 미분법을 이용하여 미분하면

[eqn: 2x +y + x times dy overdx + 4y times dy overdx =0]이므로

[eqn: dy overdx = -(2x+y) overx+4y]이다.

[eqn: (alpha,~k)]와 [eqn: (beta,~k)]에서 두 접선이 서로 수직이므로

[eqn: -(2alpha+k) over {alpha +4 k } times {-(2 beta +k)} over{beta +4k} = -1]이고

[eqn: (2alpha+k)(2beta+k)} over{(alpha+4k)(beta+4k) } = {4 alphabeta+ 2k(alpha+beta)+k^2} over{alpha beta + 4k(alpha+beta) +16k^2} = {k^2 -4} over{2k^2 -1 } =-1][eqn: (because~(가))]

따라서 [eqn: k^2 = 5over3]이고, [eqn: alpha^2 +beta^2 = (alpha+beta)^2 -2alpha beta = -3k^2 +14]이므로

[eqn: therefore] [eqn: alpha ^2 +beta^2 = 9]

① [eqn: 9]	② [eqn: 25 over3]	③ [eqn: 23 over3]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 19 over3]

영덕여고/2023년/Q4/B

좌표평면에서 중심이 [eqn: (2,~0)]이고, 반지름 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: C]가 원 [eqn: x^2 +y^2 =1]과 접하고 있다. 그림처럼 원 [eqn: C]가 원 [eqn: x^2 +y^2 =1]에 접하면서 시계 반대 방향으로 미끄럼 없이 회전한다. 원점과 두 원의 접점이 이루는 각 [eqn: theta]가 [eqn: 5pi over6]일 때, 원 [eqn: C]위의 점 [eqn: P(x,~y)]에 대하여 [eqn: dy overdx]의 값은? (단, [eqn: theta= 0]일 때, 점 [eqn: P]의 위치는 [eqn: (1,~0)]이다.) [eqn: [4.6점]]

(문제오류) → 보기를 정정한 후 정답은 ②

[eqn: O prime]

[eqn: Q]

[eqn: theta]

[eqn: theta]

두 원의 중심을 연결한 선분 [eqn: barOO prime]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]일 때, [eqn: P]가 존재하는 원의 중심 [eqn: O prime]을 지나면서 [eqn: x]축과 평행한 보조선이 원과 만나는 두 개의 교점 중에서 왼쪽 교점을 [eqn: Q]라 두자. 이때, [eqn: angle QO primeO = theta~(because 엇각)]이고, [eqn: angleOO prime P = theta]이다.

[eqn: (because]미끄럼 없이 회전하므로 두 호의 길이가 동일하며 반지름이 [eqn: 1]로 동일하므로 움직인 중심각의 크기도 동일하다.[eqn: )]

따라서 [eqn: O prime]을 원점으로 생각할 때, [eqn: P]의 동경은 [eqn: pi + 2theta]이고

[eqn: O prime]이 원점일 때, [eqn: P]의 좌표는 [eqn: (cos ( pi+2theta),~sin( pi + 2theta))]가 된다.

그런데 [eqn: barOO prime =2]이고 [eqn: barOO prime]의 동경이 [eqn: theta]이므로

[eqn: O prime]의 좌표는 [eqn: (2 cos theta,~ 2sin theta)]이므로 실제 [eqn: P]의 좌표는

[eqn: P(2 cos theta+ cos ( pi +2theta),~ 2sin theta+ sin(pi +2theta))]이다.

[eqn: P(x,~y)]에서 [eqn: x= 2 cos theta - cos 2 theta,~y= 2sin theta - sin2theta]

[eqn: (because~ cos (pi+2theta) = - cos 2 theta ,~ sin ( pi +2theta) = - sin 2theta)]

따라서 [eqn: dx over{ d theta} = -2sintheta + 2 sin 2theta,~ dy over{d theta} = 2cos theta - 2 cos 2theta]이며

[eqn: dy overdx = { dy over{d theta} } over{ dx over{ d theta}} ={ 2cos theta - 2 cos 2theta} over{ -2 sin theta + 2 sin 2theta} = { cos theta - cos 2 theta} over{ sin2theta - sin theta}]

[eqn: theta = 5pi over6]일 때, [eqn: dy overdx = { cos 5 over6 pi - cos 5 over3 pi} over{ sin 5 over3 pi - sin 5 over6 pi } = { - sqrt3 over2 - 1over2} over{ - sqrt3 over2 - 1over2} =1]

※ 보기에 답이 없고 학교정답지에는 ②번으로 표기되어 있습니다.

문제오류이므로 보기를 정정했습니다. ②번 [eqn: sqrt3] → [eqn: 1]

① [eqn: 2sqrt3]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: sqrt3 over3]	⑤ [eqn: sqrt3 over6]

수내고/2023년/Q4/B

곡선 [eqn: x ^{2} +2xy+3y ^{2} =9``]위의 두 점 [eqn: (alpha ,``k)`,``][eqn: (beta ,~k)``]에서의 접선이 서로 수직일 때, [eqn: 4 alpha beta ``]의 값은? (단, [eqn: k``]는 [eqn: 0 LEQ k<2``]인 상수이고, [eqn: alpha +3k`!=0``], [eqn: beta +3k`!=0``]이다.) [5.1점]

③

곡선 [eqn: x ^{2} +2xy+3y ^{2} =9``]에 두 점 [eqn: (alpha ,``k)`,``][eqn: (beta ,~k)``]을 대입하면

[eqn: alpha ^{2} +2` alpha `k+3`k ^{2} =9`,`] [eqn: beta ^{2} +2` beta `k+3`k ^{2} =9``]

즉, [eqn: alpha`,``beta``]는 방정식 [eqn: x^2 +2`k`x+3`k^2 -9`=`0``]의 두 근이다.

따라서 [eqn: alpha`+`beta`=`-2`k`,``] [eqn: alpha ` beta `=`3`k ^{2} -9``]

한편, [eqn: x ^{2} +2`xy+3`y ^{2} =9``]의 양변을 [eqn: x``]에 대해 미분하면

[eqn: 2`x+2`y+2`x` dy over dx + 6`y`dy overdx `=`0``]

즉, [eqn: dy over dx `=` - x+y over {x+3`y}``]

두 점 [eqn: (alpha ,``k)`,``][eqn: (beta ,~k)``]에서의 접선이 서로 수직이므로

[eqn: LEFT ( - alpha+k over {alpha+3`k} RIGHT ) ` LEFT ( - beta+k over {beta+3`k} RIGHT ) `=`-1``]

[eqn: LEFT ( alpha+k RIGHT ) ` LEFT ( beta+k RIGHT ) `=`- LEFT ( {alpha+3`k} RIGHT ) ` LEFT ( {beta+3`k} RIGHT ) ``]

[eqn: alpha`+`beta`=`-2`k`,``] [eqn: alpha ` beta `=`3`k ^{2} -9``]를 이용하면

[eqn: 6`k^2 -18-8`k^2 +10`k^2 `=`8`k^2 -18`=`0``]에서

[eqn: k^2 `=` 9over4``]

따라서 [eqn: 4 alpha beta `=`12`k^2 -36`=`-9``]이다.

① [eqn: -5``]	② [eqn: -7``]	③ [eqn: -9``]

④ [eqn: -11``]	⑤ [eqn: -13``]

수내고/2023년/Q4/B

실수 [eqn: t``]에 대하여 증가하는 함수 [eqn: f ( x ) =ax+b+3`sin`x``]와 [eqn: y=t``]의 교점의 [eqn: x``]좌표를 [eqn: g ( t )``]라 정의하자. 함수 [eqn: g ( t )``]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: ab``]의 값은? (단, [eqn: a>0,~b<0``]이다.) [5.2점]

⑤

[eqn: f` LEFT ( g`(t)` RIGHT )`=`t``]이므로 [eqn: g`=`f`^-1 ``]

[eqn: g ( 0 )=pi``]에서 [eqn: f(pi)`=`a`pi+b`=`0``]

즉, [eqn: b`=`-a`pi``]

[eqn: lim _{t` rarrow 0}` {{g(t)- pi } over {t}} `=`lim _{t` rarrow 0}` {{g(t)- g(0) } over {t}} ``]의 값이 존재하지 않으므로

[eqn: g`'`(0)`=` 1 over {f`'`(pi)}``]의 값이 존재하지 않는다.

즉, [eqn: f`'`(pi)`=`a-3`=`0``]이다.

따라서 [eqn: a=3`,`````b=-3` pi ``]이므로

[eqn: ab`=`-9`pi``]이다.

(가) [eqn: g ( 0 )=pi``]

(나) [eqn: lim _{t` rarrow 0} {{g(t)- pi } over {t}} ``]의 값이 존재하지 않는다.

① [eqn: -5` pi ``]	② [eqn: -6` pi ``]	③ [eqn: -7` pi ``]

④ [eqn: -8` pi ``]	⑤ [eqn: -9` pi ``]

수내고/2023년/Q4/B

그림과 같이 점 [eqn: rmA(4,~1)``]을 중심으로 하고 점 [eqn: rmB``]에서 [eqn: x``]축과 접하는 원 [eqn: C``]가 있다. 원점 [eqn: rmO``]를 지나고 기울기가 양수인 직선 [eqn: l``]이 원 [eqn: C``]와 서로 다른 두 점에서 만날 때, 원점에서 가까운 점을 [eqn: rmP``], 원점에서 먼 점을 [eqn: rmQ``]라 하고 [eqn: rm ANGLE BQO= theta``]라 하자. 선분 [eqn: RMOP``]의 길이를 [eqn: f`( theta )``]라 할 때, [eqn: f` prime LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )``]의 값은? (단, 직선 [eqn: l``]의 기울기는 [eqn: {8} over {15}``]보다 작다.) [5.5점]

②

사인법칙에서 [eqn: {rm {bar{PB}}} over {sin theta }=2``]

[eqn: THEREFORE~ rm {bar{PB}} =2sin theta ``], [eqn: rm {bar{OB}} =4``]이므로

코사인법칙에 의하여

[eqn: rm {bar{OP}} ` ^{2} `=4 ^{2} +4sin ^{2} theta -2` CDOT 4` CDOT 2sin theta cdot cos {theta } ``]

[eqn: LEFT { f`( theta ) RIGHT } ^{2} `][eqn: =16+4sin ^{2} theta -16sin theta `cos theta ``] [eqn: CDOTS CDOTS``] ㉠

[eqn: LEFT { f` LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) RIGHT } ^{2}][eqn: =16+2-16 TIMES {1} over {sqrt {2}} TIMES {1} over {sqrt {2}} ``]

[eqn: =18-8=10``]

[eqn: f` LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )= sqrt { 10}``]

㉠을 미분하면

[eqn: 2f` ( theta )f` '( theta )``][eqn: =`8sin theta ` cos theta -16( ` cos `^2 theta -sin`^2 theta )``]

[eqn: theta = {pi } over {4} ``]를 대입하면

[eqn: 2TIMES sqrt { 10} TIMES f` ' LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )= 8 TIMES { 1} over { 2}=4``]

[eqn: f` ' LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )= { 4} over { 2sqrt { 10}}= { sqrt { 10} } over { 5}``]

① [eqn: {sqrt {10}} over {10}``]	② [eqn: {sqrt {10}} over {5}``]	③ [eqn: {2 sqrt {10}} over {5}``]

④ [eqn: {3 sqrt {10}} over {5}``]	⑤ [eqn: {4 sqrt { 10} } over {5}``]

태원고/2023년/Q4/B

실수 전체의 집합에서 미분가능하고 역함수가 존재하는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]를

⑤

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} `ln`x`]라 하자.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]가 [eqn: x=e`]에서 미분가능하려면 [eqn: x=e`]에서 연속이어야 하므로

[eqn: lim _{ x`->`e-} { g LEFT ( x RIGHT ) }= lim _{ x`->`e+} { g LEFT ( x RIGHT ) }=g LEFT ( e RIGHT )]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이어야 한다. 이때

[eqn: lim _{x` -> `e-} {g LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `e-} {h LEFT ( x RIGHT )} =ae ^{2}],

[eqn: lim _{ x`->`e+} { g LEFT ( x RIGHT ) }= lim _{ x`->`e+} { f^-1 LEFT ( x RIGHT ) }=f^-1 LEFT ( e RIGHT )],

[eqn: g LEFT ( e RIGHT )=f^-1 LEFT ( e RIGHT )]

이므로 ㉠에서

[eqn: ae^2 =f^-1 LEFT ( e RIGHT )]

즉, [eqn: f LEFT ( ae^2 RIGHT )=e]	[eqn: cdotscdots] ㉡

한편, [eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -e} over {h}} =b`]에서 [eqn: h``->``0`]일 때, (분모)[eqn: ``->``0`]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ``->``0`]이어야 한다. 이때 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: lim _{h` -> `0} {LEFT { f LEFT ( 2+h RIGHT ) -e RIGHT }} =f LEFT ( 2 RIGHT ) -e=0]

에서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =e]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]는 일대일대응이므로 ㉡에서 [eqn: ae ^{2} =2]

[eqn: a= {2} over {e ^{2}}]

즉, [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {2} over {e ^{2}} x ^{2} `ln`x]

이때 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{~h LEFT ( x RIGHT ) ~&LEFT ( 0<x<e RIGHT )#f ^{-1} LEFT ( x RIGHT ) ~&LEFT ( x GEQ e RIGHT )}} `]에서

[eqn: h` prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {2} over {e ^{2}} LEFT ( 2x`ln`x+x ^{2} TIMES {1} over {x} RIGHT )][eqn: = {2x} over {e ^{2}} LEFT ( 2`ln`x+1 RIGHT )]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는 [eqn: x=e`]에서 미분가능하므로

[eqn: h` prime LEFT ( e RIGHT )][eqn: =][eqn: LEFT ( f ^{-1} RIGHT ) `' LEFT ( e RIGHT )]

에서

[eqn: {6} over {e} = {1} over {f` prime LEFT ( 2 RIGHT )}]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) = {e} over {6}]

따라서

[eqn: b][eqn: =][eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -e} over {h}}][eqn: = lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {h}}]
[eqn: =f` prime LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: = {e} over {6}]

이므로

[eqn: THEREFORE ~ab= {2} over {e ^{2}} TIMES {e} over {6} = {1} over {3e}]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )= cases{ ax^2 `ln`x~& (0<x<e)# f^-1 (x)~& LEFT ( x ge e RIGHT ) }]

로 정의하자. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]가 [eqn: x=e`]에서 미분가능하고 [eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -e} over {h}} =b`]일 때, [eqn: ab`]의 값은? (단, [eqn: a,~b`]는 상수이다.)

① [eqn: 3e]	② [eqn: {2} over {3e}]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: {3e} over {2}]	⑤ [eqn: {1} over {3e}]

돌마고/2023년/Q4/A

함수 [eqn: f(x)=x^4 +8x^2 -128]이 있다. 양의 실수 [eqn: t`]에 대하여 두 점 [eqn: (0,~0),~(t,~f(t))]를 지나는 직선이 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선과 평행할 때, 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: g(t)`]라 하자. 미분가능한 함수 [eqn: g(t)`]의 역함수를 [eqn: h(t)`]라 할 때, [eqn: h`prime(2)`]의 값은? [5.1점]

① [eqn: 1 over2]	② [eqn: 10 over19]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 19 over16]	⑤ [eqn: 2]

③

두 점 [eqn: (0,~0),~(t,~f(t))]를 지나는 직선의 기울기는

[eqn: f(t) overt = t^3 +8t - 128 overt]

[eqn: f(x)=x^4 +8x^2 -128`]

[eqn: f`prime(x)=4x^3 +16x]

[eqn: therefore] [eqn: 4left{g(t) right}^3 + 16 g ( t) = t^3 +8t - 128 overt] [eqn: cdots①]

[eqn: g(t)`]의 역함수가 [eqn: h(t)`]이므로 [eqn: h`prime(2)= 1over{g prime(h(2))]

[eqn: h(2)=k`]라 하면 [eqn: g(k)=2] [eqn: cdots②]

[eqn: ①]에 [eqn: t=k`]를 대입하면

[eqn: 4 times2^3 +16 times2 = k^3 +8k- 128 overk]

[eqn: k^4 +8k^2 -64k-128=0]

[eqn: k=4`]를 대입하면 [eqn: 256+128-128-256=0]

[eqn: therefore] [eqn: k=4], [eqn: h(2)=4], [eqn: g(4)=2]

[eqn: ①]의 양변을 미분하면

[eqn: 12 left{g(t) right}^2 g`prime(t)+ 16g `prime(t)=3t^2 +8+ 128 overt^2]

[eqn: t=4`]를 대입하면

[eqn: 12 left{g(4) right}^2 g`prime(4)+ 16g `prime(4)=3times4^2 +8+ 128 over 4^2]

[eqn: 48 g`prime(4)+ 16g `prime(4)=48 +8+ 8]

[eqn: therefore] [eqn: g`prime(4)=1]

[eqn: therefore] [eqn: h`prime(2) = 1 over{g prime(h(2))}= 1 over{ g`prime(4) }=1]

보평고/2023년/Q4/A

함수 [eqn: f(x)= 1 over4 x^4 +x^2`]가 있다. 양의 실수 [eqn: t`]에 대하여 두 점 [eqn: (0,~2),~(t,~f(t))`]를 지나는 기울기가 양수인 직선이 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선과 평행할 때, 점 [eqn: rmP]의 [eqn: y`]좌표를 [eqn: g(t)]라 하자. 미분가능한 함수 [eqn: g(t)]의 역함수를 [eqn: h(t)`]라 할 때, [eqn: h`prime left( 5 over4 right)`]의 값은? [5.5점]

① [eqn: 1 over27]	② [eqn: 4 over27]	③ [eqn: 7 over27]
④ [eqn: 10 over27]	⑤ [eqn: 13 over27]

④

[eqn: f(t)= 1 over4 t^4 + t^2 `]이므로

두 점 [eqn: (0,~2),~(t,~f(t))]를 지나는 직선의 기울기는

[eqn: {f(t) -2}overt = 1 over4 t^3 +t - 2 overt]

[eqn: f(x)= 1 over4 x^4 +x^2`]를 미분하면

[eqn: f`prime(x)=x^3 +2x]

점 [eqn: rmP(its,~f(s))]라 하면 점 [eqn: rmP]의 [eqn: y`]좌표가 [eqn: g(t)`]이므로 [eqn: g(t)=f(s)]

[eqn: g(t) = 1 over4 s^4 + s^2]	[eqn: cdots①]

[eqn: g prime(t) = (s^3 +2s) ds overdt]	[eqn: cdots②]

점 [eqn: rmP]에서의 접선의 기울기가 두 점 [eqn: (0,~2),~(t,~f(t))]를 지나는 직선의 기울기와 평행하므로

[eqn: s^3 +2s = 1 over4 t^3 + t - 2 overt]	[eqn: cdots③]

[eqn: g(t)`]의 역함수가 [eqn: h(t)`]이므로

[eqn: ①]에서 [eqn: t = h left( 1 over4 s^4 + s^2 right)]

[eqn: s=1`]을 대입하면 [eqn: t= h left( 5 over4 right)]

[eqn: ③]에 [eqn: s=1]을 대입하면

[eqn: 3= 1 over4 t^3 +t - 2 overt]

[eqn: t^4 +4t^2 -12t -8=0]

[eqn: t=2`]를 대입하면 [eqn: 16+16-24-8=0]이므로 성립

[eqn: (t-2)(t^3 +2t^2 +8t+2)=0]

[eqn: t>0`]이므로 [eqn: t=2] 따라서 [eqn: h left( 5 over4 right) =2]

[eqn: ③]을 [eqn: t`]에 대하여 미분하면

[eqn: (3s^2 +2) ds overdt = 3 over4 t^2 +1 + 2 overt^2]

[eqn: s=1,~t=2`]를 대입하면 [eqn: ds overdt = 9 over10]

[eqn: ②]에 [eqn: s=1,~t=2`], [eqn: ds overdt = 9 over10]를 대입하면 [eqn: g`prime(2) = 27 over10]

[eqn: g(h(t))=t]에서 양변을 [eqn: t`]에 대하여 미분하면

[eqn: g`prime(h(t))h`prime(t)=1]

[eqn: h`prime(t )= 1 over{g`prime(h(t))]

[eqn: therefore] [eqn: h`prime left(5 over4 right)= 1over{g primeleft(h left(5 over4 right)right) } = 1 over{g`prime(2) } = 10 over27]

한솔고/2023년/Q4/A

서로 다른 두 양수 [eqn: a,``b]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x)=- {ax ^{3} +bx} over {x ^{2} +1}]라 하자. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`'(x)!=0]이고,

②

풀이)

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =it- {ax^3 +bx}over{x^2 +1}]에서

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )=it- { LEFT ( 3ax^2 +b RIGHT ) LEFT ( x^2 +1 RIGHT )- LEFT ( ax^3 +bx RIGHT ) LEFT ( 2x RIGHT )}over {LEFT ( x^2 +1 RIGHT )^2 }]이므로

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) = it- {ax^4 + LEFT ( 3a-b RIGHT )x^2 +b}over{ LEFT ( x^2 +1 RIGHT )^2 }]	[eqn: cdotscdots] ㉠

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^2 +1 !=0]이므로 함수 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]는
실수 전체의 집합에서 연속이다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) !=0]이고 [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT )=it-b<0]이므로
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )<0]이다.

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )= g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )=f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )-x]이므로

[eqn: h LEFT ( 0 RIGHT )=f LEFT ( f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT )-0=f LEFT ( 0 RIGHT )=0]이다.

조건 (가)에서 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT )=f LEFT ( 2 RIGHT )-f^{`-1} LEFT ( 2 RIGHT ) =h LEFT ( 0 RIGHT )=0]이므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )=f^{`-1} LEFT ( 2 RIGHT )=t] ([eqn: t]는 상수)라 하면 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )=2]이다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT )=it- f LEFT ( x RIGHT )]이므로 [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT )=it-f LEFT ( 2 RIGHT )=it-t]
이다.

즉 두 점 [eqn: LEFT ( t,~2 RIGHT ),~ LEFT ( -2,~-t RIGHT )]는 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프 위에 있다.

[eqn: t!=it-2]일 때, 두 점 [eqn: LEFT ( t,~2 RIGHT ),~ LEFT ( -2,~-t RIGHT )]를 지나는 직선의 기울기는 [eqn: {2- LEFT ( -t RIGHT )}over{t- LEFT ( -2 RIGHT )}=1]이므로 평균값 정리에 의하여 [eqn: f`' LEFT ( c RIGHT )=1]인 상수 [eqn: c]가
존재한다.
그러나 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )<0]이므로 모순이다.
즉 [eqn: t=it-2]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )=it-2]에서 [eqn: - {8a+2b}over5 =it-2]

그러므로 [eqn: 4a+b=5]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: f^{`-1} LEFT ( 2 RIGHT )=it-2]이므로 역함수의 미분법에 의하여

[eqn: g`' LEFT ( 2 RIGHT )=f`' LEFT ( 2 RIGHT )- LEFT ( f^{`-1} RIGHT )' LEFT ( 2 RIGHT ) =f`' LEFT ( 2 RIGHT )- 1over{f`' LEFT ( -2 RIGHT ) }]

㉠에서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( -x RIGHT ) =f`' LEFT ( x RIGHT )]이므로 [eqn: f`' LEFT ( -2 RIGHT )=f`' LEFT ( 2 RIGHT )]이다.

즉 [eqn: g`' LEFT ( 2 RIGHT )=f`' LEFT ( 2 RIGHT )- 1over{f`' LEFT ( 2 RIGHT )}]

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )=f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )-x]에서 [eqn: h`' LEFT ( x RIGHT )=f`' LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )f`' LEFT ( x RIGHT )-1]이므로

[eqn: h`' LEFT ( 2 RIGHT )=f`' LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT )f`' LEFT ( 2 RIGHT )-1=f`' LEFT ( -2 RIGHT )f`' LEFT ( 2 RIGHT )-1=left{f`' LEFT ( 2 RIGHT )right}^2 -1]

조건 (나)에서 [eqn: g`' LEFT ( 2 RIGHT )=it-5 h`' LEFT ( 2 RIGHT )]이므로

[eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )- 1over{f`' LEFT ( 2 RIGHT )} =it-5left{f`' LEFT ( 2 RIGHT )right}^2 +5]

[eqn: 5left{f`' LEFT ( 2 RIGHT )right}^3 +left{f`' LEFT ( 2 RIGHT )right}^2 -5f`' LEFT ( 2 RIGHT )-1=0]

[eqn: left{5f`' LEFT ( 2 RIGHT )+1right}left{f`' LEFT ( 2 RIGHT )+1right}left{f`' LEFT ( 2 RIGHT )-1right}=0]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )<0]이므로 [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )=it- 1over5] 또는 [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )=it-1]이다.

㉠에서 [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )= it- {16a+4 LEFT ( 3a-b RIGHT )+b}over{ LEFT ( 4+1 RIGHT )^2} = it- {28a-3b}over25]

(ⅰ) [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )=it- 1over5]일 때, [eqn: - {28a-3b}over25 = it- 1over5]이므로
[eqn: 28a-3b=5]	[eqn: cdotscdots] ㉢
㉡, ㉢을 연립하면 [eqn: a= 1over2 ,~ b=3]이다.

(ⅱ) [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )=it-1]일 때, [eqn: - {28a-3b}over25 = it- 1]이므로
[eqn: 28a-3b=25]	[eqn: cdotscdots] ㉣
㉡, ㉣을 연립하면 [eqn: a=1,~b=1]이므로 모순이다.

따라서 [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )=it- 1over5], [eqn: a= 1over2 ,~ b=3]이므로
[eqn: 5f`'(2)+2(a+b) = -1 +1 +6 = 6]이다.

두 함수 [eqn: g(x)=f(x)-f` ^{-1} (x),``h(x)=(g CIRCf)(x)]가 [eqn: g(2)=h(0),``g`'(2)=-5h`'(2)]를 만족할 때, [eqn: 5f`'(2)+2(a+b)]의 값은?

([eqn: 5.4]점)

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

불곡고/2023년/Q4/A

함수 [eqn: f(x)=ln `left| x over3 `right| + left| ln `left( -x over3 right) right|`]에 대하여 [eqn: lim _{ h-> 0} { }{f(-3+h)-f(-3-h)} overh`]의 값을 구하고 그 과정을 논술하시오. [8.0점]

[eqn: - 2 over3]

[eqn: left|` x over3 right| >0`]이고 [eqn: - x over 3 >0`]이므로 [eqn: x!=0]이고 [eqn: x<0]

진수 조건에 의해 [eqn: x<0]

ⅰ) [eqn: x< -3`]일 때

[eqn: x over3 <0`]이므로 [eqn: ln `left| x over3 right| = ln left( - x over3 right)]

[eqn: ln LEFT ( - {x} over {3} RIGHT ) >0`]이므로 [eqn: left| ln left( - x over3 right) right| = ln left( - x over3 right)]

[eqn: therefore] [eqn: f(x)= 2 `ln left( - x over3 right)]

ⅱ) [eqn: -3 le x <0`]일 때

[eqn: x over3 <0`]이므로 [eqn: ln `left| x over3 right| = ln left( - x over3 right)]

[eqn: ln LEFT ( - {x} over {3} RIGHT ) LEQ 0`]이므로 [eqn: left|`ln left( - x over3 right) right| = - ln left( - x over3 right)]

[eqn: therefore] [eqn: f(x)=0]

[eqn: f(x)= cases{ 2ln left( - x over3 right)&&(x< -3) #~~~~0&&(-3 le x <0)]

ⅰ) [eqn: lim _{ h-> 0+} { }{f(-3+h)-f(-3-h)} overh`]

[eqn: =lim _{ h-> 0+} { }{-2 ln left( 3+h over3 right)} overh][eqn: = lim _{ h->0+} { } {-2 ln left( 1+ h over3 right)} overh][eqn: =(-2) times 1 over3 = - 2 over3]

([eqn: h->0+`]일 때 [eqn: -3+h>-3 ,~ -3-h< -3])

ⅱ) [eqn: lim _{ h-> 0-} { }{f(-3+h)-f(-3-h)} overh`]

[eqn: =lim _{ h-> 0-} { }{2 ln left( 3-h over3 right)} overh][eqn: = lim _{ h->0+} { } {2 ln left( 1- h over3 right)} overh][eqn: = 2 times left(- 1 over3right) = - 2 over3]

([eqn: h->0-`]일 때 [eqn: -3+h< -3 ,~ -3-h> -3])

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ h-> 0} { }{f(-3+h)-f(-3-h)} overh = - 2 over3]

태원고/2023년/Q4/A

[eqn: t GEQ 6-3 sqrt {2} `]인 실수 [eqn: t`]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가

④

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이고

[eqn: x<0`]일 때, [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =6x+t]

[eqn: x>0`]일 때, [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =-6x+t`]이므로

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=- {t} over {6} `]에서 극소이고 [eqn: x= {t} over {6} `]에서 극대이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0`]일 때 [eqn: x = - t over 3] 또는 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x= t over3]

한편, [eqn: x<0`]일 때의 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: f _{1} LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +tx],

[eqn: x>0`]일 때의 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: f _{2} LEFT ( x RIGHT ) =-3x ^{2} +tx`]라 하면

(ⅰ) [eqn: {t} over {3} ge1`]인 경우 (즉, [eqn: t GEQ 3])

조건 (가)에서 닫힌구간 [eqn: LEFT [ k-1,````k RIGHT ] `]의 길이는 [eqn: k`]의 값에 관계없이 항상 [eqn: 1`]로 일정하다.

함수 [eqn: f _{1} LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 직선 [eqn: x=- {t} over {6} `]에 대하여 대칭이므로 방정식 [eqn: f _{1} LEFT ( k-1 RIGHT ) =f _{1} LEFT ( k RIGHT ) `]를 만족시키는 [eqn: k`]의 값은

[eqn: k=- {t} over {6} + {1} over {2}]

함수 [eqn: f _{2} LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 직선 [eqn: x= {t} over {6} `]에 대하여 대칭이므로 방정식 [eqn: f _{2} LEFT ( k-1 RIGHT ) =f _{2} LEFT ( k RIGHT ) `]를 만족시키는 [eqn: k`]의 값은

[eqn: k= {t} over {6} + {1} over {2}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x= {t} over {6} `]에서 극대이므로 조건 (가)를 만족시키는 [eqn: k`]의 값의 범위는

[eqn: - {t} over {6} + {1} over {2} LEQ k LEQ {t} over {6}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

조건 (나)에서 닫힌구간 [eqn: LEFT [ k,````k+1 RIGHT ] `]의 길이는 [eqn: k`]의 값에 관계없이 항상 [eqn: 1`]로 일정하고 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=- {t} over {6} `]에서 극소이므로 조건 (나)를 만족시키는 [eqn: k+1`]의 값의 범위는

[eqn: k+1 LEQ - {t} over {6}] 또는 [eqn: k+1 GEQ {t} over {6} + {1} over {2}]

즉, [eqn: k LEQ - {t} over {6} -1] 또는 [eqn: k GEQ {t} over {6} - {1} over {2}]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: t GEQ 3`]에서 조건 (가), (나)를 만족시키는 [eqn: k`]의 값의 범위는

[eqn: {t} over {6} - {1} over {2} LEQ k LEQ {t} over {6} `]

이므로 실수 [eqn: k`]의 최솟값 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) `]는 다음과 같다.

[eqn: THEREFORE ~g LEFT ( t RIGHT ) = {t} over {6} - {1} over {2}] [eqn: LEFT ( t GEQ 3 RIGHT )`]

(ⅱ) [eqn: {t} over {3} <1`]인 경우 (즉, [eqn: 6-3 sqrt {2} LEQ t<3`])

조건 (가)에서 닫힌구간 [eqn: LEFT [ k-1,````k RIGHT ] `]의 길이는 [eqn: k`]의 값에 관계없이 항상 [eqn: 1`]로 일정하다.

[eqn: 6-3 sqrt {2} LEQ t<3`]에서 방정식 [eqn: f _{1} LEFT ( k-1 RIGHT ) =f _{2} LEFT ( k RIGHT ) `]를 만족시키는 [eqn: k`]의 값은 [eqn: k`]에 대한 방정식

[eqn: 3 LEFT ( k-1 RIGHT ) ^{2} +t LEFT ( k-1 RIGHT ) =-3k ^{2} +tk`]

의 실근인

[eqn: k= {3- sqrt {6t-9}} over {6}] 또는 [eqn: k= {3+ sqrt {6t-9}} over {6}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x= {t} over {6} `]에서 극대이므로 조건 (가)를 만족시키는 [eqn: k`]의 값의 범위는

[eqn: {3- sqrt {6t-9}} over {6} LEQ k LEQ {t} over {6}]	[eqn: cdotscdots] ㉢

조건 (나)에서 닫힌구간 [eqn: LEFT [ k,````k+1 RIGHT ] `]의 길이는 [eqn: k`]의 값에 관계없이 항상 [eqn: 1`]로 일정하고 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=- {t} over {6} `]에서 극소이므로 조건 (나)를 만족시키는 [eqn: k+1`]의 값의 범위는

[eqn: k+1 LEQ - {t} over {6}] 또는 [eqn: k+1 GEQ {3+ sqrt {6t-9}} over {6}]

즉, [eqn: k LEQ - {t} over {6} -1] 또는 [eqn: k GEQ {-3+ sqrt {6t-9}} over {6}]	[eqn: cdotscdots] ㉣

㉢, ㉣에 의하여 [eqn: 6-3 sqrt {2} LEQ t<3`]에서 조건 (가), (나)를 만족시키는 [eqn: k`]의 값의 범위는

[eqn: {3- sqrt {6t-9}} over {6} LEQ k LEQ {t} over {6} `]

이므로 실수 [eqn: k`]의 최솟값 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) `]는 다음과 같다.

[eqn: THEREFORE ~g LEFT ( t RIGHT ) = {3- sqrt {6t-9}} over {6} ~ LEFT (6-3 sqrt {2} LEQ t<3 RIGHT )]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = LEFT { pile{{3- sqrt {6t-9}} over {6}#{t} over {6} - {1} over {2}} pile{eqalign{```` LEFT ( 6-3 sqrt {2} LEQ t<3 RIGHT )# `}#LEFT ( t GEQ 3 RIGHT ) `````````````````````````````````} RIGHT .]

따라서

[eqn: g` prime (t)= {cases{{-1} over {2 sqrt {6t-9}} ~&(6-3 sqrt {2} LEQ t<3)#~~~ {1} over {6} ~&(t>3)}}]

이므로

[eqn: 6 TIMES LEFT { g` prime (4)-g` prime (2) RIGHT }][eqn: =6 TIMES LEFT ( { 1} over {6 } + { 1} over {2 sqrt { 3} } RIGHT)][eqn: =1+ sqrt {3}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``3x ^{2} +tx``````````````(`x<0`)#`-3x ^{2} +tx```````(`x GEQ 0`)}}]

일 때, 다음 조건을 만족시키는 실수 [eqn: k`]의 최솟값을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) `]라 하자.

(가) 닫힌구간 [eqn: LEFT [ k-1,```k RIGHT ] `]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는
[eqn: x=k`]에서 최댓값을 갖는다.

(나) 닫힌구간 [eqn: LEFT [ k,```k+1 RIGHT ] `]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는
[eqn: x=k+1`]에서 최솟값을 갖는다.

[eqn: 6 TIMES LEFT { g` prime (4)-g` prime (2) RIGHT }]의 값은? [6점]

① [eqn: 3+ 2sqrt {3}]	② [eqn: 2+ 3sqrt {3}]	③ [eqn: 2+ sqrt {3}]

④ [eqn: 1+ sqrt {3}]	⑤ [eqn: 1+2 sqrt {3}]

돌마고/2023년/Q4/A

곡선 [eqn: x^2 +2xy-5y^2 =7] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: (r,~k)], [eqn: (s,~k)]에서의 [eqn: dy overdx`]를 각각 [eqn: a,~b`]라 하자. [eqn: ab=-1`]일 때, [eqn: rs`]의 값은? (단, [eqn: r,~s,~k,~a,~b`]는 실수이고, [eqn: r-5k!=0 ,~s-5k!=0`])
[5.2점]

① [eqn: - 207 over6]	② [eqn: - 119 over12]	③ [eqn: - 85 over12]
④ [eqn: - 35 over6]	⑤ [eqn: - 14 over3]

②

[eqn: x^2 +2xy-5y^2 =7]

[eqn: 2x+2y+2x dy overdx -10y dy overdx =0]

[eqn: dy overdx = {x+y} over5y-x] (단, [eqn: 5y-x!=0])

[eqn: x^2 +2xy-5y^2 =7]가 [eqn: (r,~k)]를 지나므로

[eqn: r^2 +2rk-5k^2 =7]	[eqn: cdots①]

[eqn: x^2 +2xy-5y^2 =7]가 [eqn: (s,~k)]를 지나므로

[eqn: s^2 +2sk-5k^2 =7]	[eqn: cdots ②]

[eqn: ①-②]하면 [eqn: r^2 -s^2 +2k(r-s)=0]

[eqn: r!=s`]이므로 [eqn: r+s =-2k]	[eqn: cdots③]

[eqn: ①+②]하면 [eqn: (r+s)^2 -2rs + 2k(r+s)-10k^2 =14]

[eqn: ③]을 대입하면 [eqn: 4k^2 -2rs-4k^2 -10k^2 =14]

[eqn: therefore] [eqn: rs = -5k^2 -7]	[eqn: cdots ④]

[eqn: ab=-1]이므로

[eqn: ab= {k+r over5k-r times k+s over5k-s][eqn: ={k^2 +(r+s)k+rs} over{25k^2 -5k(r+s)+rs}]

[eqn: ={k^2 -2k^2 -5k^2 -7} over{25k^2 +10k^2 -5k^2 -7}][eqn: ={-6k^2 -7 }over{30k^2 -7}= -1]

[eqn: -6k^2 -7=-30k^2 +7]

[eqn: k^2 = 7 over12]

[eqn: ④]에 대입하면

[eqn: therefore] [eqn: rs= - 35 over12 -7 = - 119 over12]

한솔고/2023년/Q4/A

두 상수 [eqn: p,``q```(p<q)]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x)=(x-p)(x-q) ^{2}]이라 하고 함수 [eqn: g(x)=x ^{3} +x+1]의 역함수 [eqn: g ^{-1} (x)]에 대하여 합성함수 [eqn: h(x)=(f CIRCg ^{-1} )(x)]라 하자.

⑤

풀이)

[eqn: g^-1 (x)]의 치역이 모든 실수의 집합이므로 [eqn: vert h(x) vert]의 그래프는
다음과 같은 모양이다.

[eqn: (x-1) |`h(x)`|]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 [eqn: h (1) = 0]
이어야 한다.

[eqn: f( g^-1 ( 1 ) ) = 0]에서 [eqn: g^-1 ( 1) = a] , [eqn: g(a) = 1]이므로 [eqn: a = 0]

따라서 [eqn: f(x) = x ( x-b)^2]

[eqn: h`' (x) `=` f `'(g^{-1} (x) )( g^{-1} )'(x)]에서 [eqn: h`'(3) `=` f`'(1) `times 1 overg'(1) =` 2]

[eqn: thereforef'`(1) =8]

[eqn: f `'(x) `=` (x-b) ^2 + 2x (x-b)]이므로

[eqn: (1-b)^2 +2(1-b) -8 `=` b^2 -4 b-5 `=` 0]에서

[eqn: a `<` b]이므로 [eqn: b `=` 5]

[eqn: f(x) `=` x (x-5)^2 `]

[eqn: f`'(x) `=` (x-5)(3x-5)]

[eqn: f`'(8) = 3 times 19 = 57]

함수 [eqn: (x-1) LEFT | h(x) RIGHT |]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 [eqn: h`'(3)=2]

일 때, [eqn: f`'(8)]의 값은? ([eqn: 4.3]점)

① [eqn: 72]	② [eqn: 67]	③ [eqn: 64]
④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 57]

도함수의 활용(step1)

2.

접선의 방정식

이매고/2023년/Q5/D

곡선 [eqn: y= {lnx} over {x}] 위의 점 [eqn: LEFT ( a,~0 RIGHT )]에서의 접선의 [eqn: y]절편은 [eqn: b]이다. [eqn: a TIMES b]의 값은? [[eqn: 4.4]점]

⑤

[eqn: a=1], [eqn: y'= {1-lnx} over {x ^{2}}][eqn: =1]

접선의 방정식은 [eqn: y=x-1], 곧, [eqn: b=-1]

[eqn: ab=-1]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

위례고/2023/Q5/D

곡선 [eqn: x^3 -y^3 + 7=0] 위의 점 [eqn: (1,````2)]에서의 접선의 기울기는? [[eqn: 4.0]점]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

①

[eqn: 3x^2 - 3y^2 cdot y' =0], 점 [eqn: (1,````2)]를 대입하면 [eqn: 3-12y' =0], [eqn: y' = 1over4]

이매고/2023년/Q5/D

곡선 [eqn: y=x`cotx] 위의 점 [eqn: LEFT ( {pi} over {4} ,~a RIGHT )]에서의 접선의 기울기를 [eqn: b]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은?[[eqn: 4.6]점]

③

[eqn: a= {pi} over {4}]
[eqn: y'=cotx-x`csc ^{2} x=1- {pi} over {2}][eqn: =b]

[eqn: a+b=1- {pi} over {4}]

① [eqn: 1- {pi} over {6}]	② [eqn: 1- {pi} over {5}]	③ [eqn: 1- {pi} over {4}]

④ [eqn: 1- {pi} over {3}]	⑤ [eqn: 1- {pi} over {2}]

변곡점

송림고/2023년/Q5/D

곡선 [eqn: y= {lnx} over {x}]의 변곡점의 [eqn: x]좌표는? [[eqn: 3.9]점]

①

[eqn: y'= {1-lnx} over {x ^{2}}]

[eqn: y''= {-x-2x LEFT ( 1-lnx RIGHT )} over {x ^{4}} = {-3+2lnx} over {x ^{3}} =0]

[eqn: x=e ^{{3} over {2}}]

① [eqn: e ^{{3} over {2}}]	② [eqn: e ^{2}]	③ [eqn: e ^{{5} over {2}}]

④ [eqn: e ^{3}]	⑤ [eqn: e ^{{7} over {2}}]

태원고/2023년/Q5/D

곡선 [eqn: y= {ln`x} over {x} `]의 변곡점의 [eqn: x`]좌표는?

③

함수 [eqn: y= {ln`x} overx `]의 정의역은 [eqn: left{x`|`x>0 right} `]이다.

[eqn: y= {ln`x} overx `]에서

[eqn: y'][eqn: = {1overx times x - ln`x times1} over x^2][eqn: = {1- ln`x} over x^2]

이므로

[eqn: y''][eqn: = {- 1overx times x^2 - (1- ln`x ) times 2x} over {(x^2 ) ^2}][eqn: = {-3 + 2`ln`x} over x^3]

[eqn: y''=0 `]에서 [eqn: -3+ 2`ln`x=0]

[eqn: ln`x = 3over2 `]이므로 [eqn: x= e^{ 3over2}]

[eqn: x= e^{ 3over2} `]의 좌우에서 [eqn: y'' `]의 부호가 바뀌므로 곡선 [eqn: y= {ln`x} overx `]의 변곡점의 [eqn: x `]좌표는 [eqn: e^{ 3over2 } `]이다.

① [eqn: e ^{{1} over {2}}]	② [eqn: e]	③ [eqn: e ^{{3} over {2}}]
④ [eqn: e ^{2}]	⑤ [eqn: e ^{{5} over {2}}]

함수그래프의 성질

위례고/2023/Q5/D

함수 [eqn: f(x) = lnx overx `(x>0)]에 대한 설명으로 옳은 것은? [[eqn: 4.6]점]

① 열린구간 [eqn: (0,````e)]에서 함수 [eqn: f(x)]는 감소한다.

④

[eqn: f`'(x) = {1-lnx } over x^2], [eqn: f`''(x) = {x(2lnx -3 ) } over x^4]

[eqn: x]	[eqn: LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: e]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: e root e]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: y`']		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: -]
[eqn: y`'']		[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: y]		□	[eqn: 1overe]	□	[eqn: 3 over{2e roote }]	□

① 열린구간 [eqn: (0,````e)]에서 함수 [eqn: f(x)]는 증가하므로 거짓.

② 열린구간 [eqn: (e,````e roote )]에서 함수 [eqn: f(x)]는 감소하므로 거짓.
③ 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=e]에서 극댓값 [eqn: 1overe]을 가지므로 거짓.
④ 함수 [eqn: f(x)]의 변곡점의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 3 over{2e roote }]이므로 참.
⑤ 열린구간 [eqn: (e,````e roote )]에서 [eqn: y=f`''(x) <0]이므로 [eqn: y=f(x)]는 위로 볼록하므로 거짓.

② 열린구간 [eqn: (e,````e roote )]에서 함수 [eqn: f(x)]는 증가한다.
③ 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=e]에서 극솟값 [eqn: 1overe]을 갖는다.
④ 함수 [eqn: f(x)]의 변곡점의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 3 over{2e roote }]이다.
⑤ 열린구간 [eqn: (e,````e roote )]에서 [eqn: y=f(x)]는 아래로 볼록하다.

함수 그래프의 최대 최소

태원고/2023년/Q5/D

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,~ pi RIGHT ] `]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=sin`x+cos`x`]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: s,``t`]라 할 때, [eqn: s-t`]의 값은?

⑤

[eqn: f(x)=sin`x+cos`x`]에서

[eqn: f`'(x)][eqn: =cos`x-sin`x]

[eqn: f`'(x)=0 `]에서 [eqn: cos`x=sinx`], 즉 [eqn: tan`x=1]

[eqn: 0 LEQ x LEQ pi `]이므로 [eqn: THEREFORE ~x= {pi } over {4}]

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,~ pi RIGHT ] `]에서 함수 [eqn: f(x) `]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: {pi } over {4}]	[eqn: cdots]	[eqn: pi]
[eqn: f`'(x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	[eqn: 1]	[eqn: ↗]	[eqn: sqrt {2}]	[eqn: ↘]	[eqn: -1]

함수 [eqn: f(x) `]는 [eqn: x= {pi } over {4}]에서 극대이므로 최댓값 [eqn: s`]는 [eqn: sqrt {2} `]이고, 최솟값 [eqn: t`]는 [eqn: -1`]이다.

따라서 [eqn: s-t= sqrt {2} +1]

① [eqn: sqrt {3}]	② [eqn: sqrt {3} -1]	③ [eqn: sqrt {3} +1]
④ [eqn: sqrt {2} -1]	⑤ [eqn: sqrt {2} +1]

함수의 극대극소

태원고/2023년/Q5/D

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x`ln`x`]의 극솟값은?

①

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x`ln`x`]의 정의역은 [eqn: left{x`|`x>0 right} `]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x`ln`x`]에서

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =`ln`x+x TIMES {1} over {x} =1+ln`x]

이므로 [eqn: f`'(x)=0 `]에서

[eqn: ln`x=-1]	[eqn: THEREFORE ~x=e ^{-1} = {1} over {e}]

함수 [eqn: f(x) `]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: cdots]	[eqn: {1} over {e}]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]		[eqn: ↘]	극소	[eqn: ↗]

따라서 극솟값은 [eqn: f LEFT ( {1} over {e} RIGHT ) =- {1} over {e}]

① [eqn: - {1} over {e}]	② [eqn: - {2} over {e}]	③ [eqn: - {3} over {e}]
④ [eqn: - {4} over {e}]	⑤ [eqn: - {5} over {e}]

평면운동에서의 속도와 가속도

돌마고/2023년/Q5/D

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP( it x,~y)`]의 시각 [eqn: t`]에서의 위치가 [eqn: x=2e^t], [eqn: y=3e^t sin`t`]일 때, [eqn: t= pi over2`]에서의 점 [eqn: rmP]의 속력은? [4.0점]

① [eqn: e^{pi over4}]	② [eqn: root5 e^{pi over2]	③ [eqn: root13 e^{pi over2]
④ [eqn: root5 e^{pi}]	⑤ [eqn: root13 e^{pi}]

③

[eqn: x=2e^t], [eqn: y=3e^t sin`t`]

[eqn: dx overdt = 2e^t]

[eqn: dy overdt = 3e^t sin`t + 3e^t cos`t =3e^t (sin`t +cos`t)]

[eqn: t= pi over2]를 대입하면

[eqn: dx overdt =2e^{ pi over2}], [eqn: dy overdt = 3e^ {pi over2}]

따라서 점 [eqn: rmP]의 속력은

[eqn: root{4e^pi + 9 e^ pi } =root13 e^{ pi over2}]

태원고/2023년/Q5/D

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP `]의 시각 [eqn: t~(t>0) `]에서의 위치 [eqn: (x,~y) `]가

①

시각 [eqn: t~(t>0) `]에서의 점 [eqn: rmP `]의 위치 [eqn: (x,~y) `]가

[eqn: x= t+ ln`t^2 = t+2 `ln`t,~ y= t^2 + ln`t]

이므로 미분하면

[eqn: dx overdt = 1+ 2overt ,~ dy overdt = 2t+ 1overt]

따라서 점 [eqn: rmP `]의 시각 [eqn: t=1 `]에서의 속도는

[eqn: left( 1+ 2over1 ,~ 2 times 1 + 1over1 right),] 즉 [eqn: (3,~3)]

이므로 점 [eqn: rmP `]의 시각 [eqn: t=1 `]에서의 속력 [eqn: v`]는

[eqn: v= sqrt {3 ^{2} +3 ^{2}} =3 sqrt {2}]

[eqn: THEREFORE ~v ^{2} =18`]

[eqn: x=t+ln`t ^{2} ,~y=t ^{2} +ln`t]

이다. 점 [eqn: rmP `]의 시각 [eqn: t=1 `]에서의 속력을 [eqn: v`]라 할 때, [eqn: v ^{2} `]의 값은?

① [eqn: 18]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 20]
④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 22]

도함수의 활용(step2)

2.

접선의 방정식

이매고/2023년/Q4/C

매개변수 [eqn: t` LEFT ( t>0 RIGHT )]으로 나타낸 곡선

①

[eqn: t ^{2} -2t=8], [eqn: t=4] [eqn: LEFT ( t>0 RIGHT )]

[eqn: {4} over {2} + {a} over {4} =3,~~a=4]
[eqn: {dy} over {dx} = {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}} = {{1} over {2} - {4} over {t ^{2}}} over {2t-2} = {{1} over {4}} over {6} = {1} over {24}]

[eqn: x=t ^{2} -2t,~y= {t} over {2} + {a} over {t}]

위의 점 [eqn: LEFT ( 8,~3 RIGHT )]에서의 접선의 기울기는? (단, [eqn: a]는 상수이다.)
[[eqn: 4.7]점]

① [eqn: {1} over {36}]	② [eqn: {1} over {32}]	③ [eqn: {1} over {28}]

④ [eqn: {1} over {24}]	⑤ [eqn: {1} over {20}]

송림고/2023년/Q5/C

곡선 [eqn: lny ^{2} + {x} over {y} =1]위의 점 [eqn: LEFT ( -e,~e RIGHT )] 위에서의 접선의 방정식을 구하고 그 과정을 논술하시오. [[eqn: 5]점]

[eqn: y=- {1} over {3} x+ {2e} over {3}]

양변을 미분하면
[eqn: {2y'} over {y} + {y-xy'} over {y ^{2}} =0] 곧, [eqn: y'= {y} over {x-2y}][eqn: = {e} over {-3e} =- {1} over {3}]

접선의 방정식은 [eqn: y=- {1} over {3} LEFT ( x+e RIGHT ) +e]

[eqn: y=- {1} over {3} x+ {2e} over {3}]

이매고/2023년/Q5/C

점 [eqn: LEFT ( n,~0 RIGHT )]을 지나고 곡선 [eqn: y= LEFT ( 2x-1 RIGHT ) e ^{x}]에 접하는 직선이 존재하도록 하는 음의 정수 [eqn: n]의 최댓값은? [[eqn: 5.0]점]

②

[eqn: y=m LEFT ( x-n RIGHT )], [eqn: y= LEFT ( 2x-1 RIGHT ) e ^{x}] 가 접하므로

[eqn: y=y``~~`:```][eqn: m LEFT ( x-n RIGHT ) = LEFT ( 2x-1 RIGHT ) e ^{x}]

[eqn: y'=y'~~:~~][eqn: m= LEFT ( 2x+1 RIGHT ) e ^{x}]

두 식을 연립하면

[eqn: LEFT ( 2x ^{2} - LEFT ( 2n+1 RIGHT ) x-n+1 RIGHT ) e ^{x} =0]

[eqn: 2x ^{2} - LEFT ( 2n+1 RIGHT ) x-n+1=0]이 실근을 가져야 하므로

[eqn: D= LEFT ( 2n+1 RIGHT ) ^{2} +8 LEFT ( n-1 RIGHT ) GEQ 0]

[eqn: 4n ^{2} +12n-7 GEQ 0], [eqn: LEFT ( 2n+7 RIGHT ) LEFT ( 2n-1 RIGHT ) GEQ 0]

[eqn: n LEQ - {7} over {2}], 음의 정수 [eqn: n]의 최댓값은 [eqn: -4]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

돌마고/2023년/Q5/C

함수 [eqn: f(x)=sin`2x`]의 그래프 위의 점 [eqn: left( pi over 6 ,~ root3 over2 right)]에서의 접선의 방정식은? [4.2점]

① [eqn: y= 1 over2 x - pi over12 + root3 over2]

③

[eqn: f(x)=sin`2x`]

[eqn: f`prime(x)=2`cos`2x]

[eqn: f`prime left( pi over 6 right)= 2 `cos pi over3 = 1`]이므로 [eqn: left( pi over 6 ,~ root3 over2 right)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=x- pi over6 + root3 over2]

② [eqn: y= root3 over3 x - {piroot3} over18 + root3 over2]
③ [eqn: y= x - pi over6 + root3 over2]

④ [eqn: y= {2root3} over3 x - {piroot3} over9 + root3 over2]
⑤ [eqn: y=root3 x - {piroot3} over6 + root3 over2]

송림고/2023년(이)/Q5/C

함수 [eqn: f(x)=LEFT | ln x RIGHT |]와 양수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=t]가 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: rmP,~Q]라 할 때, [eqn: y=f(x)]위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 기울기를 [eqn: m_{rmP}], [eqn: y=f(x)]위의 점 [eqn: rmQ]에서의 접선의 기울기를 [eqn: m_{rmQ}]라 하자, [eqn: m_{rmQ} -IT m_{rmP} = 5over2]일 때, [eqn: t]의 값은?(단, 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표보다 작다.)

① [eqn: {1} over {2} ln2]	② [eqn: ln2]	③ [eqn: {3} over {2} ln2]
④ [eqn: 2ln2]	⑤ [eqn: 5over2 ln2]

②

[eqn: f(x)= {cases{-`lnx&(0<x<1)#lnx&(1` PREC x)}}]

이므로 두 점 [eqn: rmP,~Q]의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: e ^{-t}]와 [eqn: e ^{t}]([eqn: t>0])이다.

[eqn: f prime (x)= {cases{- 1overx&(0<x<1)# 1overx&(x ge1)}}]

이므로 [eqn: m_{rmQ} = e^-t], [eqn: m _{rm P it} =e ^{t}]이다.

[eqn: m _{rm Q it} -m _{rm P it} =e ^{-t} +e ^{t} = {5} over {2}], [eqn: e ^{t} =2] 또는 [eqn: e ^{t} = 1over2]이다,

따라서 [eqn: t=ln2]([eqn: >0])

불곡고/2023년/Q5/C

함수 [eqn: f(x)=ln`x`]와 양수 [eqn: t`]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 직선 [eqn: y=-t`]와 [eqn: y=t`]가 만나는 점을 각각 [eqn: rmP,~Q]라 할 때, 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 기울기를 [eqn: m_{rmP}], 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rmQ]에서의 접선의 기울기를 [eqn: m_{rmQ}]라 하자. [eqn: m_{rmP}+ itm_{rmQ} = 17 over4]일 때, [eqn: t`]의 값은? [4.6점]

① [eqn: 1 over2 `ln `2]	② [eqn: ln`2]	③ [eqn: 3 over2 `ln`2]
④ [eqn: 2 `ln`2]	⑤ [eqn: 5 over2` ln`2]

④

[eqn: ln`x =-t]에서 [eqn: x=e^-t]

[eqn: rmP it(e^-t ,~ -t)]

[eqn: ln`x =t]에서 [eqn: x=e^t]

[eqn: rmQ it(e^t ,~t)]

[eqn: f`prime(x)= 1 overx`]이므로 [eqn: m_{rmP} it= 1 overe^-t =e^t], [eqn: m_{rmQ} it = 1 overe^t]

[eqn: e^t + 1 overe^t = 17 over4]

[eqn: 4(e^t )^2 -17`e^t +4=0]

[eqn: (4e^t -1)(e^t -4)=0]

[eqn: t>0`]이므로 [eqn: e^t =4]

[eqn: therefore] [eqn: t= ln`4=2ln`2]

송림고/2023년(이)/Q5/C

자연수 [eqn: n]에 대하여 원 [eqn: (x-2n) ^{2} +y ^{2} =1]과 원점을 지나는 직선이 제 [eqn: 1]사분면에서 접할 때, 이 직선의 기울기 를 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{INF }a_n ^2]의 값을 구하고 풀이 과정을 서술하시오.

[eqn: 1over2]

직선 [eqn: y=a_n x]와 점 [eqn: (2n,~0)]사이의 거리가 [eqn: 1]이므로

[eqn: 1={2na_n }over{sqrt{a_n ^2 +1}}], [eqn: a_n = 1over{sqrt{4n^2 -1}}]([eqn: >0])

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}^{2} =sum _{n=1} ^{INF} 1over{4n^2 -1}]

[eqn: = 1over2 sum _{ n=1} ^{inf } LEFT ( 1over2n-1 - 1over2n+1 RIGHT )]

[eqn: = 1over2]

불곡고/2023년/Q5/C

점 [eqn: (k,~0)]에서 곡선 [eqn: y=e^ -x^2 `]에 오직 하나의 접선을 그을 수 있을 때, 상수 [eqn: k`]의 값을 모두 곱한 값은? [4.5점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

①

[eqn: y`prime =-2xe^-x^2]이므로

[eqn: y=e^-x^2 `] 위의 점 [eqn: (t ,~ e^-t^2 )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=-2t e^-t^2 (x-t)+e^-t^2]

[eqn: y=-2te^-t^2 x +(2t^2 +1)e^-t^2]

[eqn: (k,~0)]을 지나므로 [eqn: (2t^2 -2kt+1)e^-t^2 =0]

[eqn: 2t^2 -2kt+1 =0]

오직 하나의 접선을 그을 수 있으므로

[eqn: D/4 = k^2 -2=0]

[eqn: k=root2] 또는 [eqn: k=-root2]

따라서 만족하는 [eqn: k`]의 값의 곱은 [eqn: -2]

위례고/2023/Q5/C

곡선 [eqn: y=e^x]의 제[eqn: 2]사분면 위의 점 [eqn: (t,````e^t )]에서의 접선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmP,````Q]라 하자. 삼각형 [eqn: rm OPQ]의 넓이의 최댓값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 2overe]	② [eqn: 5 over2e]	③ [eqn: 3overe]
④ [eqn: 7 over2e]	⑤ [eqn: 4overe]

①

점 [eqn: (t,````e^t )]에서의 접선은

[eqn: y= e^t ( x-t) + e^t]이므로 [eqn: rmP(itt-1,````0),````rmQ left(0, it ````e^t (1-t) right)]

삼각형 [eqn: rm OPQ]의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( t RIGHT )]라 하면

[eqn: S` LEFT ( t RIGHT )= 1over2 e^t ( 1-t)^2 ( t<0)]

[eqn: S`` prime LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {2} e ^{t} (t ^{2} -1)]이므로 [eqn: t=-1]일 때 극대이면서 최대

따라서 넓이의 최댓값은 [eqn: S` LEFT ( -1 RIGHT ) = {1} over {2} e ^{-1} TIMES 4= {2} over {e}]

변곡점

돌마고/2023년/Q5/C

곡선 [eqn: y=xe^-x`]의 변곡점의 좌표는? [4.1점]

① [eqn: (0,~0)]	② [eqn: left(1 over2 ,~ 1 over{2 roote} right)]	③ [eqn: left( 1 ,~ 1 overe right)]
④ [eqn: left( 2,~ 2 overe^2 right)]	⑤ [eqn: left( 4,~ 4 overe^4 right)]

④

[eqn: f(x)=xe^-x`]라 하면

[eqn: f`prime(x)=e^-x -xe^-x =(1-x)e^-x]

[eqn: f`primeprime(x)=-e^-x +(x-1)e^-x =(x-2)e^-x]

[eqn: f`primeprime(2)=0], [eqn: f(2)=2e^-2]이므로

변곡점의 좌표는 [eqn: left(2,~ 2 overe^2 right)]

송림고/2023년/Q5/C

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =xe ^{ax}]에 대하여 곡선 [eqn: f LEFT ( -x-2 RIGHT )]의 변곡점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: -3]일 때, 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 변곡점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: b]이다. 이때, [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: a]는 [eqn: 0]이 아닌 상수) [[eqn: 4.1]점]

①

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( -x-2 RIGHT ) = LEFT ( -x-2 RIGHT ) e ^{-ax-2a}]

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( ax+2a-1 RIGHT ) e ^{-ax-2a}]

[eqn: g'' LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( -a ^{2} x-2a ^{2} +2a RIGHT ) e ^{-ax-2a} =0]

[eqn: x=2- {2} over {a}][eqn: =-3], 곧 [eqn: a= {2} over {5}]

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( ax+1 RIGHT ) e ^{ax}]

[eqn: f'' LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( a ^{2} x+2a RIGHT ) e ^{ax} =0]

[eqn: x=- {2} over {a} =-5=b]

[eqn: ab=-2]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수그래프의 성질

태원고/2023년/Q5/C

함수 [eqn: f(x)= LEFT ( x ^{3} -2x ^{2} -x+8 RIGHT ) e ^{-x} `]이 있다. 자연수 [eqn: k `]에 대하여 함수 [eqn: left| f(x)- f(k) right| `]가 [eqn: x=alpha `]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: alpha `]의 개수를 [eqn: a_k `]라 할 때, [eqn: sum_{k=1}^10 ka_k `]의 값은?

①

[eqn: f(x)= LEFT ( x ^{3} -2x ^{2} -x+8 RIGHT ) e ^{-x} `]에서

[eqn: f`'(x)][eqn: = LEFT ( 3x ^{2} -4x-1 RIGHT ) e ^{-x} - LEFT ( x ^{3} -2x ^{2} -x+8 RIGHT ) e ^{-x}]
[eqn: =-(x ^{3} -5x ^{2} +3x+9)e ^{-x}]
[eqn: =-(x+1)(x-3) ^{2} `e ^{-x}]

이므로 [eqn: f`'(x)=0 `]에서 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=3]

그러므로 함수 [eqn: f(x) `]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	[eqn: ↗]	극대	[eqn: ↘]		[eqn: ↘]

이때 [eqn: lim _{x` -> ` INF } {f(x)} =0`]이므로 [eqn: y=f(x) `]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: 6e]

[eqn: 3]

[eqn: y=f LEFT ( 3 RIGHT )]

이때 함수 [eqn: y= left| f(x) - f(k) right| `]의 그래프는 [eqn: y=f(x) `]를 [eqn: y `]축 방향으로 [eqn: -f(k) `]만큼 평행이동 후, [eqn: x `]축 아랫부분을 접어올린 것이다.

그러므로 곡선 [eqn: y=f(x)-f(k) `]가 [eqn: x `]축과 [eqn: x=alpha `]에서 만날 때 [eqn: f`'(alpha )=0 `]이면 함수 [eqn: left| f(x)-f(k) right| `]는 [eqn: x= alpha `]에서 미분가능하고, [eqn: f`'(alpha )!=0 `]이면 함수 [eqn: left|f(x)- f(k) right| `]는 [eqn: x= alpha `]에서 미분가능하지 않다.

따라서 함수 [eqn: left| f(x)-f(k) right| `]가 [eqn: x= alpha `]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: alpha `]의 개수 [eqn: a _{k} `]는

[eqn: a _{k} = {cases{``1&~(k=3)#``2&~(k != 3)}}] (단, [eqn: k=1,``2,`` CDOTS ,``10`])

이므로

[eqn: sum_{k=1}^10 ka_k][eqn: = sum _{k=1} ^{10} 2k-3][eqn: =107]

[보충 풀이]

[eqn: sum_{k=1}^10 ka_k][eqn: =1a _{1} +2a _{2} +3a _{3} + sum _{k=4} ^{10} ka _{k}]
[eqn: =1 TIMES 2+2 TIMES 2+3 TIMES 1+ sum _{k=4} ^{10} 2k]
[eqn: =9+2(4+5+ CDOTS +10)]
[eqn: =9+2 TIMES {7(4+10)} over {2}]
[eqn: =107]

① [eqn: 107]	② [eqn: 108]	③ [eqn: 109]
④ [eqn: 110]	⑤ [eqn: 111]

함수의 최대최소

송림고/2023년/Q4/C

[eqn: x>0]일 때, 부등식 [eqn: 2x-x`lnx LEQ k]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은? [[eqn: 3.8]점]

③

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x-x`lnx]라 하면

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =2-lnx-1=0]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=e]에서 최댓값 [eqn: e]를 가지므로 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: e]

① [eqn: sqrt {e}]	② [eqn: sqrt {2e}]	③ [eqn: e]

④ [eqn: 2e]	⑤ [eqn: e ^{2}]

송림고/2023년/Q5/C

곡선 [eqn: y=2e ^{-x}] 위의 점 [eqn: rmP LEFT ( it`t,~2e ^{-t} RIGHT )]에서의 접선과 [eqn: x]축 [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이의 최댓값을 구하고 그 과정을 논술하시오. (단, [eqn: t>0]) [[eqn: 5]점]

[eqn: {4} over {e}]

[eqn: y'=-2e ^{-x} =-2e ^{-t}]

접선의 방정식은 [eqn: y=-2e ^{-t} LEFT ( x-t RIGHT ) +2e ^{-t}]

[eqn: x]절편은 [eqn: LEFT ( t+1,~0 RIGHT )] [eqn: y]절편은 [eqn: LEFT ( 0,~ LEFT ( 2t+2 RIGHT ) e ^{-t} RIGHT )]

넓이 [eqn: S LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {2} LEFT ( t+1 RIGHT ) LEFT ( 2t+2 RIGHT ) e ^{-t} = LEFT ( t+1 RIGHT ) ^{2} e ^{-t}]

[eqn: S`' LEFT ( t RIGHT ) = LEFT ( -t ^{2} +1 RIGHT ) e ^{-t} =0]에서 [eqn: t=1]일 때 넓이가 최대이다.

최댓값은 [eqn: {4} over {e}]

위례고/2023/Q5/C

점 [eqn: rmA(6,````6)]와 곡선 [eqn: y= 1overx] 위의 점 [eqn: rm P]에 대하여, 선분 [eqn: rmAP]의 길이의 최솟값은 [eqn: alpha]이고 이때 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: (a,````b)]이다. [eqn: alpha^2 + a+b]의 값은? (단, [eqn: a>b]) [[eqn: 5.1]점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 32]
④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 40]

⑤

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: left( t , ```` 1overt right)]이라 하면

선분 [eqn: rmAP]의 길이가 최소가 되는 점 [eqn: rmP]는 제 [eqn: 1]사분면에 있으므로 [eqn: t>0]

[eqn: f(t) = {bar{rmAP } }^2]이라 하면

[eqn: f(t) = (t-6) ^2 + left( 1overt - 6 right) ^2 = t^2 -12t + 1over t^2 - 12overt + 72]

[eqn: f`'(t)=2t-12- 2overt^3 + 12 overt^2 ={ 2(t-1)(t+1)(t^2 -6t+1)} overt^3]

[eqn: t>0]일 때, [eqn: f`'(t) =0]에서 [eqn: t=1] 또는 [eqn: t= 3 +- 2root2]

[eqn: {x}]	[eqn: LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 3-2root2]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 1]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 3+2root2]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: {f` prime (x)}]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: {f(x)}]		↘	[eqn: 34]	↗	[eqn: 50]	↘	[eqn: 34]

따라서 함수 [eqn: f(t)]의 최솟값은 [eqn: 34]이므로 [eqn: alpha^2 =34]

[eqn: a>b]이므로 이때 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: (3-2root2 , ```` 3+2root2 )]이므로 [eqn: a+b = 6]

그러므로 [eqn: alpha^2 +a+b =40]

함수의 극대극소

돌마고/2023년/Q5/C

함수 [eqn: f(x)=e^ -x (ln`x-3)]가 [eqn: x= a`]에서 극값을 가질 때, [eqn: a`]가 속하는 구간은? [4.8점]

① [eqn: (1,~e)]	② [eqn: (e,~e^2 )]	③ [eqn: (e^2 ,~e^3 )]
④ [eqn: (e^3 ,~e^4 )]	⑤ [eqn: (e^4 ,~e^5 )]

④

[eqn: f(x)=e^ -x (ln`x-3)] [eqn: (x>1)]

[eqn: f` prime(x) = -e^-x (ln`x -3)+ e^-x cdot 1 overx = e^-x left(-`ln`x +3+ 1 overx right)]

[eqn: x>1`]일 때 [eqn: e^-x >0]이므로

[eqn: g(x)=-`ln`x +3+ 1 overx]라 하면

[eqn: g(x)=0`]이고 부호가 바뀔 때 극값을 갖는다.

[eqn: g(1)=3+1=4>0]

[eqn: g(e)=2+ 1 overe >0]

[eqn: g(e^2 )=1+ 1 overe^2 >0]

[eqn: g(3)= 1 overe^3 >0]

[eqn: g(4)=-1+ 1 overe^4 <0]

[eqn: g(5)= -2 + 1 overe^5 <0]

따라서 열린구간 [eqn: (e^3 ,~e^4 )]에서 극값을 갖는다.

태원고/2023년/Q5/C

열린구간 [eqn: (0,~2pi) `]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=ln` LEFT ( 1+2 LEFT | cos`x RIGHT | RIGHT ) `]가 [eqn: x=a `]에서 극값을 갖도록 하는 모든 서로 다른 실수 [eqn: a `]의 값의 개수는?

③

[eqn: f(x)= {cases{``ln`(1+2`cos`x)&~ LEFT ( 0<x< {pi } over {2} ,~ {3} over {2} pi <x<2 pi RIGHT )#``ln`(1-2`cos`x)&~ LEFT ( {pi } over {2} LEQ x LEQ {3} over {2} pi RIGHT )}}]

이므로

[eqn: f` prime (x)= {cases{`` {-2`sin`x} over {1+2`cos`x}&~ LEFT ( 0<x< {pi } over {2} ,~ {3} over {2} pi <x<2 pi RIGHT )#`` {2`sin`x} over {1-2cos`x}&~ LEFT ( {pi } over {2} <x< {3} over {2} pi RIGHT )}}]

[eqn: f`'(x)=0 `]에서 [eqn: sin`x=0`]이므로 [eqn: x= pi]

[eqn: 0<x<2pi `]에서 함수 [eqn: f(x) `]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: (0)]	[eqn: cdots]	[eqn: piover2]	[eqn: cdots]	[eqn: pi]	[eqn: cdots]	[eqn: 3over2 pi]	[eqn: cdots]	[eqn: (2pi)]
[eqn: f`'(x)]		[eqn: -]	×	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	×	[eqn: +]
[eqn: f(x)]		[eqn: ↘]	[eqn: 0]	[eqn: ↗]	[eqn: ln`3]	[eqn: ↘]	[eqn: 0]	[eqn: ↗]

함수 [eqn: f(x) `]는 [eqn: x=pi `]에서 연속이고 미분가능하며 극대이다.

또, [eqn: x= piover2 `]와 [eqn: x= 3over2 pi `]에서는 연속이고 미분가능하지 않다. 이때

[eqn: lim _{x` -> ` {pi } over {2} -} {f` prime (x)} =-2<0], [eqn: lim _{x` -> ` {pi } over {2} +} {f` prime (x)} =2>0]

이므로 함수 [eqn: f(x) `]는 [eqn: x= piover2 `]에서 극소이다. 마찬가지로 함수 [eqn: f(x) `]는 [eqn: x= 3over2 pi `]에서도 극소이다.

따라서 함수 [eqn: f(x) `]가 [eqn: x=a `]에서 극값을 갖도록 하는 모든 서로 다른 실수 [eqn: a `]의 값의 개수는 [eqn: 3`]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

불곡고/2023년/Q5/C

함수 [eqn: f(x)=x^2 +a`ln(x+1)`]의 극값의 개수가 [eqn: 2`]가 되도록 하는 실수 [eqn: a`]의 값의 범위는? [4.7점]

① [eqn: a>0]	② [eqn: a= 1 over2]	③ [eqn: 0<a< 1 over2]
④ [eqn: a< 1 over2]	⑤ [eqn: a le 1 over2]

③

[eqn: f(x)=x^2 +a`ln(x+1)`] [eqn: (x>-1)]

[eqn: f`prime(x)=2x+ a overx+1 = {2x^2 +2x+a} overx+1]

[eqn: g(x)=2x^2 +2x+a]라 하면 [eqn: f(x)] 극값의 개수가 [eqn: 2`]개 존재하는 조건은 [eqn: x> -1]에서 [eqn: g(x)=0`]의 근의 개수가 [eqn: 2`]개일 때이다.

ⅰ) [eqn: D/4 = 1-2a >0]

[eqn: a < 1 over2]	[eqn: cdots]①

ⅱ) [eqn: g(x)= 2 left(x+ 1 over2 right)^2 +a- 1 over2]

축의 방정식 [eqn: x=- 1 over2 > -1]이므로 성립

ⅲ) [eqn: g(-1)=2-2+a>0]

[eqn: a>0]	[eqn: cdots]②

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의해 [eqn: 0<a< 1 over2]

송림고/2023년/Q5/C

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} +2ax-3a-1 RIGHT ) e ^{-x}]의 역함수가 존재하도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의 합은? [[eqn: 4]점]

①

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( -x ^{2} + LEFT ( -2a+2 RIGHT ) x+5a+1 RIGHT ) e ^{-x} LEQ 0] 이어야 하므로

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{2} + LEFT ( 2a-2 RIGHT ) x-5a-1 GEQ 0]

[eqn: D/4= LEFT ( a-1 RIGHT ) ^{2} +5a+1=a ^{2} +3a+2 LEQ 0]

[eqn: LEFT ( a+2 RIGHT ) LEFT ( a+1 RIGHT ) LEQ 0]

[eqn: -2 LEQ a LEQ -1]

정수 [eqn: a]값의 합은 [eqn: -3]

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

위례고/2023/Q5/C

함수 [eqn: f(x)=x^2 +2x lnx]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4.6]점]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

③

[eqn: f`'(x) = 2x + 2 lnx + 2], [eqn: f`''(x) = 2 + 2 overx]

ㄱ. [eqn: f`'(e)=2e+2+2 = 2e+4]이므로 참.

ㄴ. [eqn: x>0]일 때 [eqn: f`''(x) >0]이므로 [eqn: f`'(x)]는 증가함수이므로 참.

ㄷ. [eqn: f`'(e^-2 ) = 2e^-2 -2 = 2 left( 1overe^2 -1 right) <0], [eqn: f`'(e) = 2e+4 >0]

이므로 극솟값을 갖는 [eqn: c]가 열린구간 [eqn: left(e^-2 ,````e right)]에 존재하므로 거짓.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: f`'(e)=2e+4]

ㄴ. 두 양수 [eqn: a,````b]에 대하여 [eqn: a<b]이면 [eqn: f`'(a) <f`'(b)]이다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=c]에서 극댓값을 갖는 [eqn: c]가 열린구간 [eqn: left(e^-2 ,````e right)]에 존재한다.

방정식의 실근의 개수

태원고/2023년/Q5/C

닫힌구간 [eqn: LEFT [ {1} over {e} ,~e RIGHT ] `]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} `ln` {1} over {x} `]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k`]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2`]가 되도록 하는 실수 [eqn: k`]값의 범위는 [eqn: p LEQ k<q`]이다. 이때, [eqn: {q} over {p} `]의 값은?

②

함수 [eqn: f(x) = x^2 ` ln` 1overx = -x^2 `ln`x `]는 닫힌구간 [eqn: left[ 1overe ,~ e right] `]에서 연속이고 미분가능하다.

[eqn: f`'(x)][eqn: =-2x `ln`x- x^2 times 1overx]
[eqn: = -x (2`ln`x +1) ~ left( 1overe <x< e right)]

이므로 [eqn: f`'(x)=0 `]에서

[eqn: ln`x = - 1over2]	[eqn: THEREFORE ~x=e ^{- {1} over {2}} = {1} over {sqrt {e}}]

닫힌구간 [eqn: left[ 1overe ,~ e right] `]에서 함수 [eqn: f(x) `]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 1overe]	[eqn: cdots]	[eqn: 1over roote]	[eqn: cdots]	[eqn: e]
[eqn: f`'(x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	[eqn: 1overe^2]	[eqn: ↗]	[eqn: 1over2e]	[eqn: ↘]	[eqn: -e^2]

[eqn: y=k]

따라서 닫힌구간 [eqn: left[ 1overe ,~ e right] `]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k`]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2`]가 되도록 하는 실수 [eqn: k`]값의 범위는 [eqn: {1} over {e ^{2}} LEQ k< {1} over {2e} `]이다.

그러므로 구하는 값은 [eqn: {q} over {p} = {{1} over {2e}} over {{1} over {e ^{2}}} = {e} over {2} `]

① [eqn: e]	② [eqn: {e} over {2}]	③ [eqn: {e} over {3}]
④ [eqn: {e} over {4}]	⑤ [eqn: {e} over {5}]

돌마고/2023년/Q5/C

두 함수 [eqn: f(x)=e^x ,~g(x)=k`cos`x`]에 대하여 방정식
[eqn: f(x)=g(x)`]의 서로 다른 양의 실근의 개수가 [eqn: 3`]일 때, 음수 [eqn: `k]의 값은? [5.1점]

① [eqn: -root2 e^{3 over4 pi}]	② [eqn: -{2root3} over3 e^{5 over6 pi}]	③ [eqn: -{root2} over2 e^{5 over3 pi}]	④ [eqn: -{root2} over2 e^{7 over4 pi}]	⑤ [eqn: -{root2} e^{11 over4 pi}]

⑤

[eqn: k<0]이고 [eqn: f(x)=g(x)]의 서로 다른 양의 실근의 개수가 [eqn: 3`]이므로

[eqn: y=f(x),~ y=g(x)]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

[eqn: x=t`]에서 두 그래프가 접한다고 하면

[eqn: k`cos`t =e^t]	[eqn: cdots]①

[eqn: -k`sin`t=e^t `]	[eqn: cdots]②

②[eqn: div]①하면 [eqn: tan`t=-1]

위 그래프에서 [eqn: 2pi < t < 3pi`]이므로 [eqn: t= 2pi + 3 over4 pi = 11over4 pi]

[eqn: cos`11 over4 pi = cos left(3pi+ pi over4 right)= -cos pi over4 =- 1 overroot2]

①에 대입하면

[eqn: k=-root2 e^{11 over4 pi]

위례고/2023/Q5/C

실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=x+t]와 함수 [eqn: y= left|`ln4x`right|]의 그래프와 만나는 점의 개수를 [eqn: f(t)]라 하자. [eqn: lim_t->a+ f(t) != lim_t->a- f(t)]를 만족시키는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: ln alpha - q over p]라고 할 때, [eqn: alpha+p+q]의 값은? (단, [eqn: alpha]는 자연수이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수) [[eqn: 5.2]점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]
④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

②

[eqn: left|`ln 4x ` right| = cases{ -ln4x&left( 0<x< 1over4 right)#```````ln4x &left( x ge 1over4 right) }]

직선 [eqn: y=x+t]가 함수 [eqn: y= left|`ln4x`right|]의 그래프와 접할 때, 접점의 [eqn: x]좌표를 구해보자.

[eqn: x ge 1over4]일 때, [eqn: y= ln4x`]에서 [eqn: y' = 1overx]이므로 곡선 [eqn: y= ln4x`] 위의 점 [eqn: (a,````ln4a )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 1]이 되도록 하는 [eqn: a]의 값은 [eqn: 1overa =1]이므로 [eqn: a=1]

즉 직선 [eqn: y=x+t]가 곡선 [eqn: y= ln4x`][eqn: left(x ge 1over4 right)] 위의 점 [eqn: (1,````ln4)]에서 접하므로 [eqn: ln4=1+t], [eqn: t= ln4-1]

한편, [eqn: 0<x< 1over4]일 때, [eqn: y= -ln4x`]에서 [eqn: y`'= - 1overx]이므로 접선의 기울기가 [eqn: 1]이 되도록 하는 곡선 [eqn: y= -ln4x`][eqn: LEFT ( 0<x< {1} over {4} RIGHT )] 위의 점은 존재하지 않는다.

그러므로 실수 [eqn: t]의 값의 범위에 따른 함수 [eqn: f(t)]는 다음과 같다.

[eqn: f(t)= {cases{``1~~~&LEFT ( t<`- {1} over {4} ~또는~t>ln4-1 RIGHT )#``2&LEFT ( t=- {1} over {4} ~또는~t=ln4-1 RIGHT )#``3&LEFT (- {1} over {4} <t<ln4-1 RIGHT ) }}]

따라서 [eqn: lim_t->a+ f(t) != lim_t->a- f(t)]를 만족시키는 [eqn: a]의 값은 [eqn: t=- {1} over {4}] 또는 [eqn: t= ln4 -1]이므로 그 합은 [eqn: ln4- {5} over {4}]

그러므로 [eqn: alpha+p+q]의 값은 [eqn: 4+4+5=13]

송림고/2023년/Q5/C

닫힌구간 [eqn: [0,~2pi]]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x+2sinx]에 대하여, 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y=k]가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 상수 [eqn: k]의 범위는 [eqn: alpha <k< beta]이다. 이때 [eqn: alpha+beta]의 값은? (단, [eqn: alpha]와 [eqn: beta]는 상수) [[eqn: 4]점]

⑤

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =1+2cosx=0]

[eqn: x= {2 pi } over {3} ,`` {4 pi } over {3}]

[eqn: f LEFT ( {2 pi } over {3} RIGHT ) = {2 pi } over {3} + sqrt {3}], [eqn: f LEFT ( {4 pi } over {3} RIGHT ) = {4 pi } over {3} - sqrt {3}]

[eqn: {4pi} over {3} - sqrt {3} <k< {2pi} over {3} + sqrt {3}]

[eqn: alpha+beta=2pi]

① [eqn: {2} over {3} pi]	② [eqn: pi]	③ [eqn: {4} over {3} pi]

④ [eqn: {5} over {3} pi]	⑤ [eqn: 2pi]

부등식

불곡고/2023년/Q5/C

[eqn: x le0`]에서 부등식 [eqn: x^2 -3 +ke^-x le0]이 성립하도록 하는 실수 [eqn: k`]의 최댓값이 [eqn: ae^b`]일 때, 상수 [eqn: a,~b`]에 대하여 [eqn: a-b`]의 값은?
[4.6점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 6]

②

[eqn: x^2 -3 +ke^-x le0]에서 [eqn: k le (-x^2 +3)e^x]

[eqn: x le0]일 때 항상 성립하므로

[eqn: f(x)=(-x^2 +3) e^x`]라 하면

[eqn: x le0]에서 [eqn: k le]([eqn: f(x)]의 최솟값)을 만족하면 된다.

[eqn: f` prime(x) =(-2x)e^x +(-x^2 +3)e^x]

[eqn: =-(x^2 +2x-3)e^x]

[eqn: =-(x+3)(x-1)e^x]

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: -3]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]
[eqn: {f` prime (x)}]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: {f(x)}]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

[eqn: x le0]일 때 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x=-3`]에서 최솟값을 갖는다.

[eqn: f(-3)=-6 e^-3]이므로 [eqn: k`]의 최댓값은 [eqn: -6e^-3]

[eqn: a=-6,~b=-3]

[eqn: therefore] [eqn: a-b=-3]

위례고/2023/Q5/C

[eqn: -1 le x le 2]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: ae^x le x^2 + e^x le be^x]이 성립한다. 두 실수 [eqn: a,````b]에 대하여 [eqn: b-a]의 최솟값은? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 1over e^2]	② [eqn: 4overe^2]	③ [eqn: 1overe]
④ [eqn: 2overe]	⑤ [eqn: e]

⑤

[eqn: ae^x le x^2 + e^x le be^x], [eqn: a le x^2 e^-x +1 le b]

[eqn: f(x)= x^2 e^-x +1]라고 하자.

[eqn: f`'(x)= x e^-x (2-x)]

[eqn: {x}]	[eqn: -1]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 0]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 2]
[eqn: {f` prime (x)}]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]
[eqn: {f(x)}]	[eqn: e+1]	↘	[eqn: 1]	↗	[eqn: 4e^-2 +1]

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]일 때 최댓값 [eqn: e+1],

[eqn: x=0]일 때 최솟값 [eqn: 1]을 가지므로

[eqn: -1 le x le 2]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 1 LEQ x ^{2} e ^{-x} +1 LEQ e+1]

즉, [eqn: a LEQ 1], [eqn: b GEQ e+1]이므로

[eqn: b-a]의 최솟값은 [eqn: e+1-1=e]

직선 운동에서의 속도와 가속도

위례고/2023/Q5/C

곡선 [eqn: y= sinx +2]를 움직이는 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q]라 하자. [eqn: x]축 위를 움직이는 점 [eqn: rm Q]의 시각 [eqn: t]에서의 속도가 [eqn: 2]일 때, 점 [eqn: rm P]의 속도의 크기의 최댓값은 [eqn: a], 최솟값은 [eqn: b]이다. 실수 [eqn: a,````b]에 대하여, [eqn: ab]의 값은? [[eqn: 4.7]점]

① [eqn: 2root2]	② [eqn: 3root2]	③ [eqn: 4root2]
④ [eqn: 5root2]	⑤ [eqn: 6 root2]

③

점 [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t=0]에서의 위치를 [eqn: c]라 하면 점 [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x]는 [eqn: x=c+ int _{0} ^{t} {} 2dt=c+ LEFT [ 2t RIGHT ] _{0} ^{t} =2t+c]

점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치를 [eqn: (x,````y)]라 하면

[eqn: x=2t+c,````y=sin(2t+c)+2]

이때, [eqn: {dx} over {dt} =2,```` {dy} over {dt} =2cos(2t+c)]이므로 시각 [eqn: t]에서 점 [eqn: rmP]의 속도의 크기는 [eqn: sqrt {LEFT ( {dx} over {dt} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {dy} over {dt} RIGHT ) ^{2}} =2 sqrt {1+cos ^{2} (2t+c)}]

따라서 [eqn: 0 LEQ cos ^{2} (2t+c) LEQ 1]이므로 점 [eqn: rmP]의 속도의 크기의 최댓값은 [eqn: 2root2], 최솟값은 [eqn: 2]이다.

[eqn: ab=2 sqrt {2} TIMES 2=4 sqrt {2}]

송림고/2023년/Q5/C

아래 그림과 같이 지면과 수직인 벽에 길이가 [eqn: a`rmm]인 사다리를 기대어 놓고, 지면과 닿은 사다리의 끝이 매초 [eqn: 2`rmm]의 속력으로 벽으로부터 멀어지도록 끌고 있다고 한다. 지면과 닿은 사다리의 끝이 벽으로부터 [eqn: 5``rmm]만큼 떨어져 있을 때, 벽에 닿은 사다리의 끝이 아래로 내려오는 속력은 [eqn: {5} over {6} rmm/s]이다. 사다리의 길이 [eqn: a`rmm]는? (단, [eqn: a]는 상수이며 사다리의 두께는 무시한다.) [[eqn: 4.1]점]

④

사다리의 아래 끝의 좌표를 [eqn: LEFT ( x,~0 RIGHT )], 사다리의 위쪽 끝의 좌표를 [eqn: LEFT ( 0,~y RIGHT )]라 하면 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =a ^{2}]이고 양변을 시간 [eqn: t]로 미분하면

[eqn: 2x {dx} over {dt} +2y {dy} over {dt} =0]에서 [eqn: x=-5,```` {dx} over {dt} =-2,```` {dy} over {dt} =- {5} over {6}]이므로

[eqn: y=12]이다.

따라서 [eqn: a ^{2} =5 ^{2} +12 ^{2} =13 ^{2}], 곧 [eqn: a=13]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

평면운동에서의 속도와 가속도

이매고/2023년/Q4/C

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t LEFT ( t>0 RIGHT )]에서의 위치 [eqn: LEFT ( x,~y RIGHT )]가
[eqn: x= sqrt {t} ,~y=t-lnt ^{2}]
이다. 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t=4]에서의 속력은? [[eqn: 4.6]점]

①

[eqn: LEFT | v RIGHT | = sqrt {LEFT ( {dx} over {dt} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {dy} over {dt} RIGHT ) ^{2}} = sqrt {LEFT ( {1} over {2 sqrt {t}} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 1- {2} over {t} RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: = sqrt {{1} over {16} + {1} over {4}} = {sqrt {5}} over {4}]

① [eqn: {sqrt {5}} over {4}]	② [eqn: {sqrt {5}} over {2}]	③ [eqn: sqrt {5}]

④ [eqn: 2 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 4 sqrt {5}]

위례고/2023/Q5/C

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t`(t>0)]에서의 위치 [eqn: (x,````y)]가 [eqn: x=t+lnt^2 ,````y=t^2 + lnt]이다. 시각 [eqn: t=1]에서의 점 [eqn: rm P]의 속도의 크기와 가속도의 크기를 구하고 그 과정을 서술하시오.
[[eqn: 4.0]점, 부분점수 있음.]

속도의 크기[eqn: =3root2], 가속도의 크기[eqn: =root5]

속도는 [eqn: left( 1+ 2 overt ,```` 2t + 1overt right)]이므로 [eqn: t=1]을 대입하면 [eqn: (3,````3)]이다.

그러므로 속도의 크기는 [eqn: root{3^2 +3^2} = 3 root2]

가속도는 [eqn: left( - 2 over t^2 ,```` 2- 1over t^2 right)]이므로 [eqn: t=1]을 대입하면 [eqn: (-2, ````1)]이다.

그러므로 가속도의 크기는 [eqn: root {(-2)^2 +1^2 } = root5]

태원고/2023년/Q5/C

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP `]의 시각 [eqn: t~(t ge0) `]에서의 위치 [eqn: (x,~ y) `]가

②

시각 [eqn: t=0 `]일 때의 점 [eqn: rmP `]의 위치가 [eqn: (0,~0) `]이므로

[eqn: 0= k-cos`0 =k-1 `]에서 [eqn: THEREFORE ~k=1]

점 [eqn: rmP `]가 다시 원점을 지날 때는

[eqn: 1- cos`t = 0 `]이고 [eqn: 2`sin`t=0]

즉, [eqn: cos`t=1 `]이고 [eqn: sin`t=0`]이므로 [eqn: t= 2n pi~ ( n `]은 자연수[eqn: )]

그러므로 [eqn: t_1 = 2pi ,~ t_2 = 4pi]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: x=1- cos`t ,~ y =2`sin`t `]에서

[eqn: dx overdt = sin`t,~ dy overdt = 2`cos`t]

이므로 시각 [eqn: t~(t>0) `]에서의 점 [eqn: rmP `]의 속도는 [eqn: ( sin`t ,~ 2`cos`t)]

속력[eqn: = sqrt {sin` ^{2} t+4`cos` ^{2} t} = sqrt {1+3`cos` ^{2} t}]

한편,

[eqn: {d^2 x } over dt^2 = cos`t ,~ {d^2 y} over {dt^2 } = -2`sin`t}]

이므로 시각 [eqn: t~(t>0) `]에서의 점 [eqn: rmP `]의 가속도는 [eqn: (cos`t ,~ -2`sin`t)]

가속도의 크기[eqn: = sqrt {cos` ^{2} `t+4`sin` ^{2} t} = sqrt {1+3`sin` ^{2} t}]

[eqn: t_1 <t < t_2 `]에서 점 [eqn: rmP `]의 속력과 가속도의 크기가 서로 같은 시각은

[eqn: sqrt {1+3`cos` ^{2} t} = sqrt {1+3`sin` ^{2} t}]

에서 [eqn: cos`^2`t = sin`^2 `t `]이므로 [eqn: cos`t !=0 `]이고

[eqn: {sin`^2`t} over { cos`^2 `t} = tan`^2`t =1]

그러므로 [eqn: tan`t =-1] 또는 [eqn: tan`t =1]

㉠에 의해 [eqn: t _{1} <t<t _{2}], 즉 [eqn: 2pi <t< 4pi `]에서 점 [eqn: rmP`]의 속력과 가속도의 크기가 서로 같은 시각 [eqn: t `]는

[eqn: 2 pi + {pi } over {4} ,~```2 pi + {3} over {4} pi ,~```3 pi + {pi } over {4} ,~```3 pi + {3} over {4} pi]

의 [eqn: 4 `]개이므로 [eqn: t `]값의 합은 [eqn: m=12 pi]

따라서 [eqn: k TIMES m=1 TIMES 12 pi =12 pi `]

[eqn: x=k-cos`t,~y=2`sin`t~(k`]는 상수[eqn: )]

이다. 점 [eqn: rmP `]가 시각 [eqn: t=0 `]일 때 원점을 출발한 다음, 다시 원점을 지나는 모든 시각을 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을

[eqn: t_1 ,~t_2 ,~ t_3 ,~cdots]

이라 하자. [eqn: t_1 <t < t_2 `]에서 점 [eqn: rmP `]의 속력과 가속도의 크기가 서로 같은 시각 [eqn: t `]의 합은 [eqn: m `]이다. [eqn: k TIMES m`]의 값은?

① [eqn: 11 pi]	② [eqn: 12 pi]	③ [eqn: 13 pi]
④ [eqn: 14 pi]	⑤ [eqn: 15 pi]

불곡고/2023년/Q5/C

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t``(t ge0)]에서의 위치 [eqn: (x,~y)]가 [eqn: x=k+cos`t ,~y=2`sin`t] ([eqn: k`]는 상수)이다. 점 [eqn: rmP]가 시각 [eqn: t=0`]일 때 원점을 출발한 다음, 다시 원점을 지나는 모든 시각을 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 [eqn: t_1 ,~t_2 ,~t_3 ,~cdots]이라 하자. [eqn: t_1 <t < t_3 `]에서 점 [eqn: rmP]의 속력과 가속도의 크기가 서로 같은 시각 [eqn: t`]의 개수는 [eqn: m`]이다. [eqn: k+m`]의 값은? [4.8점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

③

[eqn: x=k+cos`t ,~y=2`sin`t]

점 [eqn: rmP]가 [eqn: t=0`]일 때 원점을 지나므로

[eqn: k+cos`0=k+1=0]

[eqn: therefore] [eqn: k=-1]

[eqn: x=-1+cos`t ,~y=2`sin`t]

다시 원점을 지날 때

[eqn: -1+ cos`t =0,~ sin`t =0]을 만족하므로

[eqn: t=2n pi] ([eqn: n`]은 자연수)

[eqn: t_1 =2pi ,~ t_3 = 6 pi]

[eqn: dx overdt = -sin`t,~ dy overdt = 2 `cos`t]

(속력)[eqn: =root{sin^2 `t + 4 `cos^2 `t} =root{1+3`cos^2 `t}]

[eqn: {d ^{`2} x} over {dt ^{2}} =-cos`t,] [eqn: {d^{`2} y} over{dt^2} = -2 `sin`t]

(가속도의 크기)[eqn: =root{cos^2 `t + 4 `sin^2 `t}= root{1 + 3` sin^2 `t}]

속력과 가속도의 크기가 서로 같은 시각 [eqn: t`]를 구하면

[eqn: root{1 + 3 `cos^2 `t}=root{1 + 3 `sin^2 `t}]

[eqn: sin^2 `t = cos^2 `t]

[eqn: tan^2 `t =1]

[eqn: 2pi < t < 6pi]일 때 [eqn: tan^2 `t =1]를 만족하는 [eqn: t`]의 값은

[eqn: t= 9pi over4 ,~ 11pi over4 ,~ 13pi over4 , ~15pi over4 ,~ 17pi over4 ,~ 19pi over4 ,~ 21pi over4 ,~ 23pi over4]

[eqn: m=8]

[eqn: therefore] [eqn: k+m=-1+8=7]

송림고/2023년/Q5/C

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t``][eqn: LEFT ( 0<t<2 pi RIGHT )]에서의 위치 [eqn: LEFT ( x,~y RIGHT )]가 [eqn: x=t-cost,~y=-sint]이다. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmQ,~R]이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4.2]점]

①

ㄱ. 점 [eqn: rmP]의 속력은

[eqn: LEFT | v RIGHT | =][eqn: sqrt {LEFT ( {dx} over {dt} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {dy} over {dt} RIGHT ) ^{2}} = sqrt {LEFT ( 1+sint RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -cost RIGHT ) ^{2}} = sqrt {2+2sint}]
[eqn: t= {pi} over {2}]일 때 최대이고,

[eqn: LEFT | a RIGHT | =][eqn: sqrt {LEFT ( {d ^{2} x} over {dt ^{2}} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {d ^{2} y} over {dt ^{2}} RIGHT ) ^{2}} = sqrt {LEFT ( cost RIGHT ) ^{2} + LEFT ( sint RIGHT ) ^{2}} =1]이다. (거짓)

ㄴ. [eqn: t= {3pi} over {2}]에서 점 [eqn: rmP]의 속력이 처음으로 [eqn: 0]이 되고, 이때 [eqn: R]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,~1 RIGHT )]이다. (참)

ㄷ. 점 [eqn: rm Q`]는 [eqn: x]축 위에서 움직이며 좌표는 [eqn: x=t-cost`]이므로 속도는 [eqn: v _{x} =1+sint`]이고 속력은 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = LEFT | 1+sint RIGHT | =1+sint`]이다. 또, 점 [eqn: rm R`]은 [eqn: y]축 위에서 움직이며 좌표는 [eqn: y=-sint`]이므로 속도는 [eqn: v _{y} =-cost`]이고 속력은 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = LEFT | -cost RIGHT | = LEFT | cost RIGHT |]이다. 따라서 [eqn: 0<x< pi]에서 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) >g LEFT ( t RIGHT )]이고 [eqn: pi LEQ x<2 pi]에서 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) LEQ g LEFT ( t RIGHT )]이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ 뿐이다.

[보 기]

ㄱ. 점 [eqn: rmP]의 속력이 최대일 때 가속도의 크기는 [eqn: 0]이다.

ㄴ. 점 [eqn: rmP]가 출발한 후 속력이 처음으로 [eqn: 0]이 되는 시각에서의 점 [eqn: R]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,~1 RIGHT )]이다.

ㄷ. 두 점 [eqn: rmQ,~R]의 시각 [eqn: t]에서의 속력을 각각 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) ,~g LEFT ( t RIGHT )]라고 하면, [eqn: 0<t<2pi]에서 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) >g LEFT ( t RIGHT )]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

도함수의 활용(step3)

2.

한솔고/2023년/Q5/B

함수 [eqn: f(x)=ln LEFT | x RIGHT | + LEFT | ln(-x) RIGHT |]에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) [eqn: LEFT { x` LEFT | `x<0 RIGHT }] (2) 미분불가능 (3) [eqn: -2]

풀이)

(1) 함수 [eqn: f(x)][eqn: =ln`|``x``|][eqn: left |`ln`(-x) `right|]의 정의역은 [eqn: LEFT { x` LEFT | `x<0 RIGHT }]

[eqn: -1<x<0]이면 [eqn: ln`vert`x`vert][eqn: =ln (-x)], [eqn: ln (-x)<0]이므로

[eqn: f(x)][eqn: =ln`(-x)-ln`(-x)][eqn: =0]

[eqn: x LEQ -1]이면 [eqn: ln`vert`x`vert][eqn: =ln (-x)], [eqn: ln(-x)geq0]이므로

[eqn: f(x)][eqn: =ln`(-x)+ln`(-x)][eqn: =2`ln`(-x)]

(2) [eqn: p(x)][eqn: =ln`vert`x`vert], [eqn: q(x)][eqn: = vert `ln`(-x)` vert]라 하자.

[eqn: h` rarrow `0+]일 때

[eqn: ln`(1-h)<0<ln`(1+h)] 이므로

[eqn: q(-1+h)][eqn: =vert`ln`(1-h)`vert]
[eqn: =-ln`(1-h)]

[eqn: q(-1-h)][eqn: = vert `ln`(1+h)` vert]
[eqn: =ln`(1+h)]

그러므로

[eqn: lim _{h rarrow 0+} {{q(-1+h)-q(-1-h)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h rarrow 0+} {{-ln`(1-h)-ln`(1+h)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h rarrow 0+} {{ln`(1-h)(1+h)} over {-h}}]

[eqn: = lim _{h rarrow 0+} {LEFT { {ln`(1-h ^{2} )} over {-h ^{2}} timesh RIGHT }}]

[eqn: = lim _{h rarrow 0+} {{ln`(1-h ^{2} )} over {-h ^{2}} TIMES lim _{h rarrow 0+} {h}}]

[eqn: =1times0]

[eqn: =0]

[eqn: lim _{h rarrow 0-} {{f(-1+h)-f(-1-h)} over {h}}]

[eqn: =][eqn: lim _{h rarrow 0-} {{2`ln`(1-h)-0} over {h}}]

[eqn: =-2` lim _{h rarrow 0-} {{ln`(1-h)} over {-h}}]

[eqn: =-2times1]

[eqn: =-2]

미분 불가능 하다.

(3) [eqn: h` rarrow `0+]일 때

[eqn: lim _{h rarrow 0+} {{f(-1+h)-f(-1-h)} over {h}}]

[eqn: =][eqn: lim _{h rarrow 0+} {{0-2`ln`(1+h)} over {h}}]

[eqn: =-2` lim _{h rarrow 0+} {{ln`(1+h)} over {h}}]

[eqn: =-2times1]

[eqn: =-2],

또한 [eqn: h` rarrow `0-]일 때

[eqn: ln`(1+h)<0<ln`(1-h)]

이므로

[eqn: q(-1+h)][eqn: =vert`ln`(1-h)`vert]
[eqn: =ln`(1-h)]

[eqn: q(-1-h)][eqn: = vert `ln`(1+h)` vert]
[eqn: =-ln`(1+h)]

그러므로

[eqn: lim _{h rarrow 0-} {{q(-1+h)-q(-1-h)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h rarrow 0-} {{ln`(1-h)+ln`(1+h)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h rarrow 0-} {{ln`(1-h)(1+h)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h rarrow 0-} {LEFT { {ln`(1-h ^{2} )} over {-h ^{2}} TIMES (- h) RIGHT }}]

[eqn: = lim _{h rarrow 0-} {{ln`(1-h ^{2} )} over {-h ^{2}} TIMES lim _{h rarrow 0-} {(-h)}}]

[eqn: =1times0]

[eqn: =0]

다음에서

[eqn: lim _{h rarrow 0+} {{q(-1+h)-q(-1-h)} over {h}}]

[eqn: =][eqn: lim _{h rarrow 0-} {{q(-1+h)-q(-1-h)} over {h}}][eqn: =0]

이므로

[eqn: lim _{h rarrow 0} {{q(-1+h)-q(-1-h)} over {h}}][eqn: =0]

[eqn: f(x)][eqn: =p(x)+q(x)]이므로

[eqn: lim _{h rarrow 0} {{f(-1+h)-f(-1-h)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h rarrow 0} {{p(-1+h)+q(-1+h)- LEFT { p(-1-h)+q(-1-h) RIGHT }} over {h}}]

[eqn: = lim _{h rarrow 0} {{p(-1+h)-p(-1-h)+ LEFT { q(-1+h)-q(-1-h) RIGHT }} over {h}}]

[eqn: = lim _{h rarrow 0} {{p(-1+h)-p(-1-h)} over {h}}][eqn: + lim _{h rarrow 0} {{q(-1+h)-q(-1-h)} over {h}}]

[eqn: =-2+0]

[eqn: =-2]

⑴ [eqn: f(x)]의 정의역을 구하고 [eqn: f(x)]의 그래프 개형을 그리시오.

([eqn: x]축, [eqn: y]축, 원점을 표시하고 점의 포함 여부를 정확히 표현할 것).

([eqn: 2.0]점)

⑵ [eqn: x=-1]에서 함수 [eqn: f(x)]의 미분가능성을 미분계수의 정의를 사용하여 자세히 논술하시오. ([eqn: 3.0]점)

⑶ 위의 [eqn: 3-2]. 결과를 이용하여 [eqn: lim _{h`rarrow`0} {{f(-1+h)-f(-1-h)} over {h}}] 값을 구하는 풀이과정과 답을 자세히 논술하시오. ([eqn: 5.0]점)

불곡고/2023년/Q5/B

양의 실수 [eqn: t`]에 대하여 원점을 지나고 곡선 [eqn: y= 1 overe^x +t`]에 접하는 직선의 기울기를 [eqn: f(t)]라 하자. [eqn: f(t_1 )=-roote`]를 만족시키는 상수 [eqn: t_1`]에 대하여 [eqn: 6times |`f`prime(t_1 )`|`]의 값은? [5.0점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

⑤

[eqn: y`prime = - 1 overe^x]이므로

[eqn: y= 1 overe^x +t`] 위의 점 [eqn: left(s,~ 1 overe^s +t right)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=- 1 overe^s (x-s)+ 1 overe^s +t]

[eqn: y=- 1 overe^s x +(s+1) 1 overe^s +t]

[eqn: (0,~0)]을 대입하면

[eqn: t= -(s+1) 1 overe^s]	[eqn: cdots]①

직선의 기울기를 [eqn: f(t)]라 하면

[eqn: f(t)= - 1 overe^s]	[eqn: cdots]②

[eqn: t= t_1`]일 때 [eqn: f(t_1 )= - 1 overe^s =- roote]이므로 [eqn: s= - 1 over2] [eqn: cdots]③

①에 의해

[eqn: t_1 = - left(- 1 over2 +1 right)roote = - 1 over2 roote]

①에서 [eqn: dt overds = - 1 overe^s + (s+1) 1 overe^s = s overe^s] [eqn: cdots]④

②에서 [eqn: f`prime(t) cdot dt overds = 1 overe^s]

④를 대입하면 [eqn: f` prime(t)cdot s overe^s = 1 overe^s]

[eqn: therefore] [eqn: f` prime(t) = 1 overs]

③에 의해 [eqn: f`prime(t_1 )= -2`]이므로

[eqn: therefore] [eqn: 6times |`f`prime(t_1 )`|` = 6 times2 =12]

[다른 풀이]

[eqn: f(t)=- {e ^{-s}}]이므로 [eqn: e ^{-s} =-f LEFT ( t RIGHT ) `]이고 [eqn: s=-ln LEFT { -f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT }`]

이것을 [eqn: t=-(s+1) {e ^{-s}}]에 대입하면

[eqn: t= LEFT [ -ln LEFT { -f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } +1 RIGHT ] TIMES f LEFT ( t RIGHT )]

양변을 미분하면

[eqn: 1=- {f`' LEFT ( t RIGHT )} over {f LEFT ( t RIGHT )} TIMES f LEFT ( t RIGHT ) + LEFT [ -ln LEFT { -f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } +1 RIGHT ] TIMES f`' LEFT ( t RIGHT )]

[eqn: 1=-f`' LEFT ( t RIGHT ) + LEFT [ -ln LEFT { -f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } +1 RIGHT ] TIMES f` prime LEFT ( t RIGHT )]

[eqn: 1=-ln LEFT { -f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } TIMES f` prime LEFT ( t RIGHT )]

[eqn: t= t_1`]일 때 [eqn: f(t_1 )=-roote`]이므로

[eqn: 1=-ln sqrt {e} TIMES f` prime LEFT ( t _{1} RIGHT ) =- {1} over {2} TIMES f` prime LEFT ( t _{1} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ~f` prime (t _{1} )=-2`]

돌마고/2023년/Q5/B

함수 [eqn: f(x)=-sin`2x +k`cos`x`] (단, [eqn: 0<x<2pi])에 대하여
다음 조건을 만족시키는 정수 [eqn: k`]의 개수는? [5.2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 15]
④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

④

[eqn: f(x)=-sin`2x + k` cos`x] (단, [eqn: 0<x<2pi])

[eqn: f`prime(x)=-2 `cos`2x -k`sin`x]

[eqn: f`primeprime(x)= 4 `sin`2x -k `cos`x][eqn: =cos`x(8`sin`x -k)]

[eqn: =8 `cos`x left( sin`x - k over8 right)]

[eqn: -10 le k le10]이므로 [eqn: k`]의 범위에 따라 나누어 구하면

ⅰ) [eqn: -10 le k le-8]일 때

항상 [eqn: 8`sin`x -k ge0`]이므로 [eqn: cos`x =0]일 때

즉, [eqn: x= pi over2], [eqn: x= 3pi over2]일 때 변곡점이다.

따라서 변곡점의 개수가 [eqn: 2`]개(짝수)이므로 성립한다.

ⅱ) [eqn: -8<k<0]일 때

[eqn: cos`x =0]일 때 즉, [eqn: x= pi over2], [eqn: x= 3pi over2]일 때 변곡점이고,

[eqn: sin`x = k over8]일 때 변곡점이다.

[eqn: 0< x < 2pi]이므로 [eqn: sin`x = k over8]을 만족하는 [eqn: x`]의 값은 [eqn: 2`]개

따라서 변곡점의 개수가 [eqn: 4`]개(짝수)이므로 성립한다.

ⅲ) [eqn: k=0]일 때

[eqn: f(x)=-sin`2x]

[eqn: f`prime(x)=-2 `cos`2x]

[eqn: f`primeprime(x)= 4 `sin`2x]

[eqn: 4sin`2x =0]

[eqn: 0< x < 2pi]이므로 [eqn: x= pi over2 ,~ pi,~ 3 over2 pi]일 때 변곡점이다.

변곡점의 개수가 홀수이므로 성립하지 않는다.

ⅳ) [eqn: 0<k<8]일 때

[eqn: cos`x =0]일 때 즉, [eqn: x= pi over2], [eqn: x= 3pi over2]일 때 변곡점이고,

[eqn: sin`x = k over8]일 때 변곡점이다.

[eqn: 0< x < 2pi]이므로 [eqn: sin`x = k over8]을 만족하는 [eqn: x`]의 값은 [eqn: 2`]개

따라서 변곡점의 개수가 [eqn: 4`]개(짝수)이므로 성립한다.

ⅴ) [eqn: 8 le k le10]일 때

항상 [eqn: 8`sin`x -k le0`]이므로 [eqn: cos`x =0]일 때

즉, [eqn: x= pi over2], [eqn: x= 3pi over2]일 때 변곡점이다.

따라서 변곡점의 개수가 [eqn: 2`]개(짝수)이므로 성립한다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ), ⅴ)에 의해 만족하는 정수 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 20`]개

(가) [eqn: -10 le k le10]

(나) 함수 [eqn: f(x)]의 변곡점의 개수가 짝수이다.

송림고/2023년/Q5/B

곡선 [eqn: 2x ^{2} -xy+y ^{2} =9] 위의 두 점 [eqn: LEFT ( alpha,~k RIGHT )], [eqn: LEFT ( beta,~k RIGHT )]에서의 접선이 서로 수직일 때 [eqn: alpha`beta]의 값은? (단, [eqn: k]는 [eqn: 0 LEQ k< {6 sqrt {14}} over {7}]인 상수이고, [eqn: alpha`-2k != 0,~`beta-2k != 0]이다.) [[eqn: 4.3]점]

②

양변을 미분하면
[eqn: 4x-y-xy'+2yy'=0]에서 [eqn: y'=][eqn: {4x-y} over {x-2y} ```` LEFT ( x-2y != 0 RIGHT )]이므로

[eqn: y _{1} '= {4alpha-k} over {alpha-2k}], [eqn: y _{2} prime = {4beta-k} over {beta-2k}], [eqn: y _{1} ' TIMES y _{2} '=-1]

[eqn: 2x ^{2} -kx+k ^{2} -9=0]의 두 근이 [eqn: alpha,`~beta]이다.

[eqn: alpha + beta = {k} over {2} ,~~ alpha ` beta = {k ^{2} -9} over {2}]

[eqn: {4alpha`-k} over {alpha-2k} TIMES {4beta-k} over {beta-2k} =-1]을 정리하면

[eqn: 17 alpha ` beta -6k LEFT ( alpha + beta RIGHT ) +5k ^{2} =0]

[eqn: {17} over {2} LEFT ( k ^{2} -9 RIGHT ) -3k ^{2} +5k ^{2} =0], [eqn: k ^{2} = {51} over {7}]

[eqn: alpha ` beta = {k ^{2} -9} over {2} =- {6} over {7}]

① [eqn: -1]	② [eqn: - {6} over {7}]	③ [eqn: - {5} over {7}]

④ [eqn: - {4} over {7}]	⑤ [eqn: - {3} over {7}]

송림고/2023년/Q5/B

열린구간 [eqn: LEFT ( 0,~5 RIGHT )]에서 미분가능한 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 아래와 같다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 열린구간 [eqn: LEFT ( 0,~2 RIGHT )]에서 [eqn: f` '' LEFT ( x RIGHT ) <0]이다.) [[eqn: 4.3]점]

③

ㄱ. [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) =2]이므로 존재한다. (참)

ㄴ. [eqn: g' LEFT ( x RIGHT ) =f' LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) f' LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: 2<f(1)<4]에서 [eqn: f prime LEFT ( f(1) RIGHT ) <0] 이고 [eqn: f'(1)>0]이므로

[eqn: g prime LEFT ( 1 RIGHT ) =f prime LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) f prime LEFT ( 1 RIGHT ) <0] (거짓)
ㄷ. [eqn: g prime LEFT ( 4 ^{+} RIGHT ) =f prime LEFT ( f LEFT ( 4 ^{+} RIGHT ) RIGHT ) f prime LEFT ( 4 ^{+} RIGHT ) =f' LEFT ( 2 ^{+} RIGHT ) f' LEFT ( 4 ^{+} RIGHT ) <0]

[eqn: g prime LEFT ( 5 ^{-} RIGHT ) =f prime LEFT ( f LEFT ( 5 ^{-} RIGHT ) RIGHT ) f prime LEFT ( 5 ^{-} RIGHT ) =f prime LEFT ( 5 ^{-} RIGHT ) f prime LEFT ( 5 ^{-} RIGHT ) >0]

이므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 열린구간 [eqn: LEFT ( 4,~5 RIGHT )]에서 극값을 갖는다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

[보 기]

ㄱ. [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =a]를 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값이 존재한다.

ㄴ. [eqn: g` prime LEFT ( 1 RIGHT ) >0]

ㄷ. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 열린구간 [eqn: LEFT ( 4,~5 RIGHT )]에서 극값을 갖는다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

송림고/2023년/Q5/B

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =6 pi LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} `]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =3f LEFT ( x RIGHT ) +4sinf LEFT ( x RIGHT )]라 하자. [eqn: 0<x<2]에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 극대가 되는 [eqn: x]의 개수는? [[eqn: 4.4]점]

④

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) =f prime LEFT ( x RIGHT ) LEFT { 3+4cosf LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }][eqn: =0]이 되는 [eqn: x]는 [eqn: 13]개다.

[eqn: 0<x<1]에서 [eqn: 0<f LEFT ( x RIGHT ) <6pi]이고 [eqn: 3+4cosf LEFT ( x RIGHT ) =0]의 해는 [eqn: 6]개다.

이 중 [eqn: 3]개는 극대이고 [eqn: 3]개는 극소이다.

[eqn: x=1]에서 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =0]이고 극소가 된다.

[eqn: 1<x<2]에서 [eqn: 0<f LEFT ( x RIGHT ) <6pi]이고 [eqn: 3+4cosf LEFT ( x RIGHT ) =0]의 해는 [eqn: 6]개다.

이 중 [eqn: 3]개는 극대이고 [eqn: 3]개는 극소이다.

따라서 총 [eqn: 6]개다.

[보충 풀이]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =6 pi LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} `]에 대하여 [eqn: f`prime(x)=12 pi(x-1)],

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =3f LEFT ( x RIGHT ) +4sinf LEFT ( x RIGHT )]에 대하여

[eqn: g`prime(x)][eqn: =3f` prime (x)+4f` prime (x)`cos`f(x)]
[eqn: =f` prime (x) LEFT { `4`cos`f(x)+3 RIGHT }]

이므로 [eqn: g`prime(x)=0`]에서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: cos`f LEFT ( x RIGHT ) =- {3} over {4}]

(ⅰ) [eqn: x=1`]일 때
[eqn: 4`cos`f(1)+3=4`cos`0+3=7`]이므로	[eqn: x=1`] 근방에서 [eqn: LEFT { `4`cos`f(x)+3 RIGHT } `]의 값이 양수이다.	이때 [eqn: x=1`]의 좌우에서 [eqn: f` prime (x)=12 pi (x-1)]의 값은 음에서 양으로 바뀌므로 [eqn: g`prime(x)`][eqn: =f` prime (x) LEFT { `4`cos`f(x)+3 RIGHT } `]의 값도 음에서 양으로 바뀐다. 따라서 함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 극소이다.

(ⅱ) [eqn: 1<x<2`]일 때
[eqn: f` prime (x)=12 pi (x-1)>0`]이므로 함수 [eqn: f(x)`]는 구간 [eqn: (1,~2)`]에서 [eqn: 0`]에서 [eqn: 6 pi `]까지 증가한다.	즉, [eqn: f(x)=t`]라 하면 [eqn: x`]값이 [eqn: 1`]에서 [eqn: 2`]까지 변화할 때 [eqn: t`]값은 [eqn: 0`]에서 [eqn: 6 pi `]까지 증가한다.	이때 [eqn: y=4`cos`t+3`]의 그래프는 다음 그림과 같으므로 [eqn: t=t _{1}], [eqn: t _{3}], [eqn: t _{5} `]의 좌우에서 [eqn: LEFT { 4`cost+3 RIGHT } `]의 값은 양에서 음으로 바뀐다.
함수 [eqn: f(x) `]는 열린구간 [eqn: (1,~2)`]에서 증가하는 함수이므로 [eqn: f(x)=t _{1} ,```t _{3} ,```t _{5} ``]인 [eqn: x `]값은 각각 [eqn: 1 `]개씩 있고 그 값을 [eqn: alpha ,`` beta ,`` gamma `]라 하면 [eqn: x= alpha ,`` beta ,`` gamma ``]의 좌우에서 [eqn: LEFT { `4`cos`f(x)+3 RIGHT } `]의 값은 양에서 음으로 바뀐다. 그러므로 [eqn: g`prime(x)`][eqn: =f` prime (x) LEFT { `4`cos`f(x)+3 RIGHT } `]의 값도 양에서 음으로 바뀐다.	따라서 [eqn: 1<x<2`]에서 함수 [eqn: g(x) `]는 [eqn: x= alpha ,`` beta ,`` gamma ``]에서 극대이므로 극대가 되는 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 3`]이다.

[eqn: t _{1}]

[eqn: t _{3}]

[eqn: t _{5}]

[eqn: 6 pi]

(ⅲ) [eqn: 0<x<1`]일 때
함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 직선 [eqn: x=1`]에 대하여 대칭이므로 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(1-x)=f(1+x)`]가 성립한다.
이때

[eqn: g(1-x)][eqn: =3f(1-x)+4`sin`f(1-x)]
[eqn: =3f(1+x)+4`sin`f(1+x)]
[eqn: =g(1+x)]

이므로 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프도 직선 [eqn: x=1`]에 대하여 대칭이다.

따라서 [eqn: 0<x<1`]에서 함수 [eqn: g(x)`]는 (ⅱ)와 대칭인 [eqn: x `]값에서 극대이므로 극대가 되는 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 3`]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 3+3=6`]이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

송림고/2023년/Q5/B

열린구간 [eqn: LEFT ( - {pi} over {8} ,~ {3} over {8} pi RIGHT )]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {e ^{sinx}} over {e ^{cosx}}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 2x RIGHT )]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 하자. 이때 [eqn: g`' LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하고 그 과정을 논술하시오. [[eqn: 6]점]

[eqn: {sqrt {2}} over {4}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{sinx-cosx}]

[eqn: f LEFT ( 2x RIGHT ) =e ^{sin2x-cos2x} =h LEFT ( x RIGHT )]라 하면

[eqn: h prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 2cos2x+2sin2x RIGHT ) `e ^{sin2x-cos2x}]이고

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =][eqn: e ^{sin2x-cos2x} =1]에서 [eqn: sin2x-cos2x=0]

[eqn: tan2x=1] 즉, [eqn: x=][eqn: {pi} over {8}] [eqn: LEFT ( - {pi} over {8} <x< {3pi} over {8} RIGHT )]

[eqn: g prime LEFT ( 1 RIGHT ) = {1} over {h prime LEFT ( g LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )} = {1} over {h prime LEFT ( {pi } over {8} RIGHT )} = {1} over {2 sqrt {2}} = {sqrt {2}} over {4}]

이매고/2023년/Q5/B

양의 실수 [eqn: t]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( 0,~-1 RIGHT )]을 지나고 곡선 [eqn: y=xe ^{x} +t]에 접하는 직선의 [eqn: x]절편을 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]에 대하여 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) = {1} over {2e}]일 때, [eqn: f' LEFT ( a RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)[[eqn: 5.1]점]

⑤

[eqn: y=mx-1], [eqn: y=xe ^{x} +t] 가 접하므로

[eqn: y=y``~~`:```] [eqn: mx-1=xe ^{x} +t]
[eqn: y'=y'~~:~~][eqn: m= LEFT ( x+1 RIGHT ) e ^{x}]

두 식을 연립하면

[eqn: x LEFT ( x+1 RIGHT ) e ^{x} -1=xe ^{x} +t]

[eqn: t=x ^{2} e ^{x} -1], [eqn: {dt} over {dx} = LEFT ( x ^{2} +2x RIGHT ) e ^{x}]

한편 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {m} = {1} over {LEFT ( x+1 RIGHT ) e ^{x}} = {1} over {2e}]에서 [eqn: x=1]

[eqn: f' LEFT ( t RIGHT ) = {LEFT ( -x-2 RIGHT ) e ^{-x}} over {LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2}} TIMES {dx} over {dt} = {LEFT ( -x-2 RIGHT )} over {LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} e ^{x}} TIMES {1} over {x LEFT ( x+2 RIGHT ) e ^{x}} =- {1} over {x LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} e ^{2x}}]

[eqn: =- {1} over {4e ^{2}}]

① [eqn: - {5} over {4e ^{2}}]	② [eqn: - {1} over {e ^{2}}]	③ [eqn: - {3} over {4e ^{2}}]

④ [eqn: - {1} over {2e ^{2}}]	⑤ [eqn: - {1} over {4e ^{2}}]

이매고/2023년/Q5/B

[eqn: 1]보다 큰 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: y=t ^{x}]과 곡선 [eqn: y=t ^{-x} - {8} over {3}]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]에 대하여 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) = {1} over {2}]일 때, [eqn: f' LEFT ( k RIGHT ) = {q} over {p} TIMES {1} over {ln3}]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 5.1]점]

④

[eqn: t ^{x} =t ^{-x} - {8} over {3}]

[eqn: 3 LEFT ( t ^{x} RIGHT ) ^{2} +8 LEFT ( t ^{x} RIGHT ) -3=0]

[eqn: t ^{x} = {1} over {3} >0]

[eqn: x=log _{t} {1} over {3} =- {ln3} over {lnt}][eqn: =f LEFT ( t RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =- {ln3} over {lnk} = {1} over {2}]에서 [eqn: k= {1} over {9}]

[eqn: f' LEFT ( t RIGHT ) = {ln3 TIMES {1} over {t}} over {LEFT ( lnt RIGHT ) ^{2}}], [eqn: f prime LEFT ( k RIGHT ) = {9} over {4ln3}]

[eqn: p+q=13]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

이매고/2023년/Q5/B

닫힌구간 [eqn: [0,~2pi]]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2sinx TIMES e ^{cos ^{2} x}]이 있다. 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y=t]가 만나는 점의 개수를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]에 대하여 집합 [eqn: A]를

③

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =2cosx LEFT ( 1-2sin ^{2} x RIGHT ) e ^{cos ^{2} x} =0]에서

[eqn: 2cosx LEFT ( cos2x` RIGHT ) e ^{cos ^{2} x} =0]

[eqn: cosx=0]의 해는 [eqn: x= {pi} over {2} ,~ {3pi} over {2}]

[eqn: cos2x][eqn: =0]의 해는 [eqn: x= {pi} over {4} ,~ {3pi} over {4} ,~ {5pi} over {4} ,~ {7pi} over {4}]

이므로 집합 [eqn: A]의 원소 [eqn: t]는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: {pi } over {4}]	[eqn: {pi} over {2}]	[eqn: {3pi} over {4}]	[eqn: {5pi} over {4}]	[eqn: {3pi} over {2}]	[eqn: {7pi} over {4}]
[eqn: t]	[eqn: sqrt {2e~}]	[eqn: 2]	[eqn: sqrt {2e}]	[eqn: - sqrt {2e}]	[eqn: -2]	[eqn: - sqrt {2e}]

[eqn: A= LEFT { - sqrt {2e} ,~-2,~2,~ sqrt {2e} RIGHT }]

집합 [eqn: A]의 모든 원소의 곱은 [eqn: 8e]

[eqn: A= LEFT { a`` vert ``함수`~g LEFT ( t RIGHT ) 는`~t=a LEFT ( a != 0 RIGHT ) 에서`불연속이다. RIGHT }]

라 할 때, 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 곱은?[[eqn: 5.2]점]

① [eqn: 6e]	② [eqn: 7e]	③ [eqn: 8e]

④ [eqn: 9e]	⑤ [eqn: 10e]

이매고/2023년/Q5/B

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -3x ^{2} +ax+4]의 역함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 존재하고, [eqn: lim _{h rarrow 0} {{g LEFT ( b+h RIGHT ) -g LEFT ( b RIGHT )} over {h}}]의 값이 존재하지 않는다. [eqn: g' LEFT ( b-8 RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.) [[eqn: 5.2]점]

③

문제의 조건을 만족하려면

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -6x+a=0]이 중근을 가져야 하므로

[eqn: D/4=9-3a=0] 곧, [eqn: a=3]

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =3 LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} =0]의 근 [eqn: x=][eqn: 1]이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =b=5]

[eqn: g' LEFT ( -3 RIGHT ) = {1} over {f' LEFT ( f ^{-1} LEFT ( -3 RIGHT ) RIGHT )} = {1} over {f' LEFT ( -1 RIGHT )} = {1} over {12}]

① [eqn: {1} over {36}]	② [eqn: {1} over {24}]	③ [eqn: {1} over {12}]

④ [eqn: {1} over {9}]	⑤ [eqn: {5} over {36}]

태원고/2023년/Q5/B

양의 실수 [eqn: a `]와 함수

⑤

[eqn: h(x)=-a LEFT { log` _{16} (x+1) RIGHT } ^{2} +a`]라 하면

[eqn: h'(x)][eqn: =-a TIMES 2`log` _{16} (x+1) TIMES LEFT { log` _{16} (x+1) RIGHT } prime]
[eqn: = {-2a`log` _{16} (x+1)} over {(x+1)`ln`16}]

이므로 [eqn: h'(x)=0 `]에서 [eqn: log` _{16} (x+1)=0] 즉, [eqn: x=0]

[eqn: a>0 `]이므로 [eqn: h'(x) `]의 부호는 [eqn: x=0 `]의 좌우에서 양에서 음으로 바뀐다.

그러므로 함수 [eqn: f(x) `]는 [eqn: x=0 `]에서 극댓값 [eqn: f(0)=h(0)=a]를 갖고,

[eqn: lim _{x` -> `15-} {f(x)}][eqn: = lim _{x` -> `15-} {LEFT [ -a LEFT { log` _{16} (x+1) RIGHT } ^{2} +a RIGHT ]}][eqn: =0]

[eqn: lim _{x` -> `15+} {f(x)}][eqn: =f(15)][eqn: =12e ^{0} +3=15]

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {f(x)} = lim _{x` -> ` INF } {(12e ^{15-x} +3)} =3]

[eqn: lim_{x`->`-1+}{f(x)][eqn: = lim _{x` -> `-1+} {LEFT [ -a LEFT { log` _{16} (x+1) RIGHT } ^{2} +a RIGHT ]}][eqn: =-inf]

한편, 함수 [eqn: y=f(x) `]의 그래프가 점 [eqn: (3,~3)`]을 지날 조건은

[eqn: f(3)][eqn: =-a(log` _{16} `4) ^{2} +a][eqn: = -a times left( 1over2 right)^2 +a][eqn: = 3 over4 a][eqn: =3]

에서 [eqn: a=4`]일 때이다.

방정식 [eqn: f(f(x))=f(x) `]에서 [eqn: f(x)=t `]로 놓으면 [eqn: f(t)=t `]를 만족시키는 각각의 실수 [eqn: t `]에 대하여 [eqn: f(x)=t `]를 만족시키는 모든 실수 [eqn: x `]가 방정식 [eqn: f(f(x))=f(x) `]의 모든 실근이다.

따라서 양수 [eqn: a `]의 값의 범위에 따라 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: 0<a LEQ 4`]일 때

[eqn: 15]

[eqn: 15]

[eqn: 3]

[eqn: y=3]

위 그래프에서 [eqn: f(t)=t `]를 만족시키는 실수 [eqn: t `]는

[eqn: alpha ,~ beta ,~15~( alpha <0< beta LEQ 3)]

[eqn: f(x)=alpha `]를 만족시키는 실수 [eqn: x `]의 값은 [eqn: alpha `]뿐이다.

[eqn: f(x)=beta `]를 만족시키는 실수 [eqn: x `]의 값은 [eqn: beta_1 ,] [eqn: beta] [eqn: (alpha < beta_1 <0) `]

[eqn: f(x)=15`]를 만족시키는 실수 [eqn: x `]의 값은 [eqn: 15`]뿐이다.

따라서 방정식 [eqn: f(f(x))=f(x) `]의 모든 실근은	[eqn: alpha,] [eqn: beta_1 ,] [eqn: beta,] [eqn: 15`]의 [eqn: 4 `]개이므로

[eqn: g(a)=4]

(ⅱ) [eqn: 4<a<15`]일 때

[eqn: 3]

[eqn: 15]

[eqn: 15]

[eqn: y=3]

위 그래프에서 [eqn: f(t)=t `]를 만족시키는 실수 [eqn: t `]는

[eqn: alpha ,~ beta ,~15] [eqn: ( alpha <0,~3< beta <15)]

[eqn: f(x)= alpha `]를 만족시키는 실수 [eqn: x `]의 값은 [eqn: alpha `]뿐이다.

[eqn: f(x)=beta `]를 만족시키는 실수 [eqn: x `]의 값은 [eqn: beta_1 ,~ beta,~ beta_2]

[eqn: ( alpha < beta _{1} <0,~ beta _{2} >15)`]이다.

[eqn: f(x)=15`]를 만족시키는 실수 [eqn: x `]의 값은 [eqn: 15`]뿐이다.

따라서 방정식 [eqn: f(f(x))=f(x) `]의 모든 실근은

[eqn: alpha ,~ beta _{1} ,~ beta ,~15,~ beta _{2} `]의 [eqn: 5 `]개이므로

[eqn: g(a)=5]

(ⅲ) [eqn: a=15`]일 때

[eqn: y=3]

[eqn: 15]

[eqn: 15]

[eqn: 3]

[eqn: y]

위 그래프에서 [eqn: f(t)=t `]를 만족시키는 실수 [eqn: t `]는

[eqn: alpha ,~ beta ,~15~( alpha <0,~3< beta <15)]

[eqn: f(x)= alpha `]를 만족시키는 실수 [eqn: x `]의 값은 [eqn: alpha `]뿐이다.

[eqn: f(x)= beta `]를 만족시키는 실수 [eqn: x `]의 값은 [eqn: beta_1 ,~ beta ,~ beta _2]

[eqn: ( alpha < beta _{1} <0,~ beta _{2} >15)`]이다.

[eqn: f(x)=15`]를 만족시키는 실수 [eqn: x `]의 값은 [eqn: 0,~15`]이다.

따라서 방정식 [eqn: f(f(x))=f(x) `]의 모든 실근은

[eqn: alpha ,~ beta _{1} ,~0,~ beta ,~15,~ beta _{2} `]의 [eqn: 6 `]개이므로

[eqn: g(a)=6]

(ⅳ) [eqn: a>15`]일 때

[eqn: 15]

[eqn: 3]

[eqn: 15]

[eqn: y=3]

위 그래프에서 [eqn: f(t)=t `]를 만족시키는 실수 [eqn: t `]는

[eqn: alpha ,~ beta ,~15~( alpha <0,~3< beta <15)]

[eqn: f(x)=alpha `]를 만족시키는 실수 [eqn: x `]의 값은 [eqn: alpha `]뿐이다.

[eqn: f(x)=beta `]를 만족시키는 실수 [eqn: x `]의 값은 [eqn: beta_1 ,~ beta ,~ beta _2]

[eqn: ( alpha < beta _{1} <0,~ beta _{2} >15)`]이다.

[eqn: f(x)=15`]를 만족시키는 실수 [eqn: x `]의 값은 [eqn: gamma _{1} ,~ gamma _{2} ,~15]

[eqn: (beta_1 <gamma_1 <0 < gamma _2 < beta ) `]이다.

따라서 방정식 [eqn: f(f(x))=f(x) `]의 모든 실근은

[eqn: alpha ,~ beta _{1} ,~ gamma _{1} ,~ gamma _{2} ,~ beta ,~15,~ beta _{2} `]의 [eqn: 7 `]개이므로

[eqn: g(a)=7]

(ⅰ)[eqn: sim](ⅳ)에서

[eqn: g(a)= {cases{``4&~ LEFT ( 0<a LEQ 4 RIGHT )#``5&~ LEFT ( 4<a<15 RIGHT )#``6&~(a=15)#``7&~(a>15)}}]

이므로 함수 [eqn: g(a) `]는 [eqn: a=4`]와 [eqn: a=15`]에서만 불연속이다.

따라서 함수 [eqn: g(a) `]가 [eqn: a=k `]에서 불연속인 모든 양수 [eqn: k `]의 값의 합은 [eqn: 4+15=19]

[eqn: f(x)= {cases{``-a` LEFT { log` _{16} (x+1) RIGHT } ^{2} +a&~(-1<x<15)#``~~~12`e ^{15-x} +3&~(x GEQ 15)}}]

에 대하여 [eqn: x `]에 대한 방정식 [eqn: f(f(x))= f(x) `]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: g(a) `]라 하자. 함수 [eqn: g(a) `]가 [eqn: a=k `]에서 불연속인 모든 양수 [eqn: k `]의 값의 합은?

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]
④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

태원고/2023년/Q5/B

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) `e ^{-x} `]이 다음 조건을 만족시킨다.

④

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) e ^{-x}]에서

[eqn: g`' LEFT ( x RIGHT ) = LEFT { f`' LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } e ^{-x}]

[eqn: g`'' LEFT ( x RIGHT ) = LEFT { f`'' LEFT ( x RIGHT ) -2f`' LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } e ^{-x}]

한편, 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +bx+c```` LEFT ( a!=0 RIGHT ) `]로 놓으면

[eqn: g`'' LEFT ( x RIGHT ) = LEFT { ax ^{2} + LEFT ( b-4a RIGHT ) x+2a-2b+c RIGHT } e ^{-x}]

조건 (가)에서 [eqn: g`'' LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 두 근이 [eqn: x=1,````4`]이므로 이차방정식

[eqn: ax ^{2} + LEFT ( b-4a RIGHT ) x+2a-2b+c=0`]

은 [eqn: x=1,````x=4`]를 두 근으로 갖는다.

근과 계수의 관계에서

[eqn: {4a-b} over {a} =5,```` {2a-2b+c} over {a} =4`]이므로

[eqn: b=-a,````c=0]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} -ax`]이고

[eqn: THEREFORE ~g LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x ^{2} -x RIGHT ) e ^{-x}]

[eqn: g`' LEFT ( x RIGHT ) =-a LEFT ( x ^{2} -3x+1 RIGHT ) e ^{-x}]

한편, 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: rm P LEFT ( it t,````g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT ) `]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-g LEFT ( t RIGHT ) =g`' LEFT ( t RIGHT ) LEFT ( x-t RIGHT )]

이 접선이 점 [eqn: LEFT ( 0,````k RIGHT ) `]를 지나므로 대입하면

[eqn: k-g LEFT ( t RIGHT ) =g`' LEFT ( t RIGHT ) LEFT ( 0-t RIGHT ) `]에서

[eqn: k`=g LEFT ( t RIGHT ) -tg` prime LEFT ( t RIGHT )]

[eqn: =a LEFT ( t ^{3} -2t ^{2} RIGHT ) e ^{-t}]

이때 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =a LEFT ( t ^{3} -2t ^{2} RIGHT ) e ^{-t} `]로 놓으면 조건 (나)에 의하여 함수 [eqn: y=h LEFT ( t RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y=k`]가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k`]의 값의 범위가 [eqn: -1<k<0`]이어야 한다.

[eqn: h` prime LEFT ( t RIGHT ) =-a`t LEFT ( t-1 RIGHT ) LEFT ( t-4 RIGHT ) e ^{-t} =0`]이므로 [eqn: t=0,~1,~4`]에서 극값을 갖고, [eqn: lim _{t` -> ` INF } {h(t)} =0`]이므로 점근선은 [eqn: y=0`]이다.

(ⅰ) [eqn: a<0`]인 경우 함수 [eqn: y=h LEFT ( t RIGHT ) `]의 그래프의 개형은 다음과 같고, 문제의 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a>0`]인 경우 함수 [eqn: y=h LEFT ( t RIGHT ) `]의 그래프의 개형은 다음과 같고, [eqn: h LEFT ( 1 RIGHT ) =-1`]이어야 한다.

[eqn: y=k]

[eqn: h LEFT ( 1 RIGHT ) =-ae ^{-1} =-1`]에서 [eqn: a=e]

[eqn: THEREFORE ~ {g LEFT ( -2 RIGHT )} over {e ^{3}} +e ^{3} TIMES g LEFT ( 4 RIGHT ) `][eqn: = {6`a`e ^{2}} over {e ^{3}} +e ^{3} TIMES 12`a`e ^{-4}]
[eqn: =6+12=18]

(가) 점 [eqn: LEFT ( 1,````g LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) `]과 점 [eqn: LEFT ( 4,````g LEFT ( 4 RIGHT ) RIGHT ) `]는 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 변곡점이다.

(나) 점 [eqn: LEFT ( 0,````k RIGHT ) `]에서 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]에 그은 접선의 개수가 [eqn: 3`]인 [eqn: k`]의 값의 범위는 [eqn: -1<k<0`]이다.

[eqn: {g LEFT ( -2 RIGHT )} over {e ^{3}} +e ^{3} TIMES g LEFT ( 4 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]
④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

태원고/2023년/Q5/B

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ln`` LEFT ( e ^{x} +1 RIGHT ) +2e ^{x} `]에 대하여 이차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]와 실수 [eqn: k`]는 다음 조건을 만족시킨다.

③

[eqn: f`prime LEFT ( x RIGHT ) = {e ^{x}} over {e ^{x} +1} +2e ^{x} >0`]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 증가함수이다.

조건에서 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]의 최솟값이 [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) `]이므로

[eqn: LEFT | g LEFT ( k RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT | =g LEFT ( k RIGHT ) `]에서

[eqn: g LEFT ( k RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT ) =g LEFT ( k RIGHT )] 또는 [eqn: -g LEFT ( k RIGHT ) +f LEFT ( 0 RIGHT ) =g LEFT ( k RIGHT )]

그런데 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =ln``2+2 != 0`]이므로

[eqn: -g LEFT ( k RIGHT ) +f LEFT ( 0 RIGHT ) =g LEFT ( k RIGHT )]

즉 [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) = {1} over {2} f LEFT ( 0 RIGHT ) =ln sqrt {2} +1]

한편, 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x-k RIGHT ) `]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나면 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x-k RIGHT ) RIGHT | `]의 최솟값은 [eqn: 0`]이 되므로 성립하지 않는다.

따라서 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =-g LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( x-k RIGHT ) `]

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=k`]에서 최솟값을 가지므로 [eqn: h`' LEFT ( k RIGHT ) =0`]이다.

[eqn: h` prime LEFT ( x RIGHT ) =-g` prime LEFT ( x RIGHT )+f` prime LEFT ( x-k RIGHT ) `]이므로

[eqn: h` prime LEFT ( k RIGHT ) =-g` prime LEFT ( k RIGHT ) +f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =0`]에서

[eqn: g`prime LEFT ( k RIGHT ) =f`prime LEFT ( 0 RIGHT ) = {1} over {2} +2= {5} over {2}]

닫힌구간 [eqn: LEFT [ k,~k+1 RIGHT ] `]에서 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]의 최댓값은 [eqn: h LEFT ( k+1 RIGHT ) `]이므로

[eqn: h LEFT ( k+1 RIGHT ) =-g LEFT ( k+1 RIGHT ) +f LEFT ( 1 RIGHT ) =-g LEFT ( k+1 RIGHT ) +ln LEFT ( e+1 RIGHT ) +2e`]

[eqn: -g LEFT ( k+1 RIGHT ) +ln LEFT ( e+1 RIGHT ) +2e`][eqn: =2e+ln`` LEFT ( {1+e} over {sqrt {2}} RIGHT ) `]에서

[eqn: g LEFT ( k+1 RIGHT ) =ln sqrt {2}]

이차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +bx+c`` LEFT ( a != 0 RIGHT ) `]으로 놓으면

[eqn: g LEFT ( k+1 RIGHT ) =a LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2} +b LEFT ( k+1 RIGHT ) +c=ln sqrt {2}]

[eqn: g LEFT ( k RIGHT ) =ak ^{2} +bk+c=ln sqrt {2} +1]

위의 두 식을 빼면

[eqn: 2ak+a+b=-1]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

또 [eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) =2x+b`]에서

[eqn: g`prime LEFT ( k RIGHT ) =2ak+b= {5} over {2}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: {5} over {2} +a=-1]에서 [eqn: a=- {7} over {2}]

따라서	[eqn: g` prime LEFT ( k- {3} over {2} RIGHT )][eqn: =2a LEFT ( k- {3} over {2} RIGHT ) +b]
[eqn: = LEFT ( 2ak+b RIGHT ) -3a]
[eqn: = {5} over {2} -3 TIMES LEFT ( - {7} over {2} RIGHT )][eqn: =13]

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x-k RIGHT ) RIGHT | `]는 [eqn: x=k`]에서 최솟값 [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) `]를 갖고, 닫힌구간 [eqn: LEFT [ k,~k+1 RIGHT ] `]에서 최댓값 [eqn: 2e+ln`` LEFT ( {1+e} over {sqrt {2}} RIGHT ) `]를 갖는다.

[eqn: g` prime LEFT ( k- {3} over {2} RIGHT ) `]의 값은? [eqn: LEFT ( pile{`#`}]단, [eqn: {5} over {2} <e<3`]이다.[eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]
④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

이매고/2023년/Q5/B

곡선 [eqn: x ^{2} +2xy+4y ^{2} =5] 위의 두 점 [eqn: LEFT ( alpha,~k RIGHT )], [eqn: LEFT ( beta,~k RIGHT )]에서의 접선이 서로 수직일 때, [eqn: alpha`beta]의 값은? (단, [eqn: k]는 [eqn: 0 LEQ k< {sqrt {15}} over {3}]인 상수이고, [eqn: alpha+4k != 0,~beta+4k != 0]이다.) [[eqn: 5.3]점]

①

양변을 미분하면
[eqn: 2x+2y+2xy prime +8yy prime =0]에서 [eqn: y'=][eqn: - {x+y} over {x+4y}]이므로

[eqn: y _{1} prime =- { alpha +k} over {alpha +4k}], [eqn: y _{2} prime =- {beta +k} over {beta +4k}], [eqn: y _{1} ' TIMES y _{2} '=-1]

[eqn: x ^{2} +2kx+4k ^{2} -5=0]의 두 근이 [eqn: alpha,`~beta]이다.

[eqn: alpha + beta =-2k,~~ alpha ` beta =4k ^{2} -5]

[eqn: { alpha `+k} over {alpha +4k} TIMES { beta +k} over {beta +4k} =-1]을 정리하면

[eqn: 2 alpha ` beta +5k LEFT ( alpha + beta RIGHT ) +17k ^{2} =0]

[eqn: 2 LEFT ( 4k ^{2} -5 RIGHT ) -10k ^{2} +17k ^{2} =0], [eqn: k ^{2} = {2} over {3}]

[eqn: alpha ` beta =4k ^{2} -5=][eqn: - {7} over {3}]

① [eqn: - {7} over {3}]	② [eqn: -2]	③ [eqn: - {5} over {3}]

④ [eqn: - {4} over {3}]	⑤ [eqn: -1]

태원고/2023년/Q5/B

함수 [eqn: f(x)=2`sin` ^{2} x+k`cos`x`]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 정수 [eqn: k `]의 개수는?

④

두 함수 [eqn: y= sin`x ,~ y=cos`x `]의 주기가 [eqn: 2pi `]이므로 모든 실수 [eqn: x `]에 대하여

[eqn: f(x+ 2pi)=f(x)]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: f(x)=2`sin` ^{2} x+k`cos`x`]에서

[eqn: f`'(x)][eqn: =4`sin`x`cos`x-k`sin`x]
[eqn: =sin`x(4`cos`x-k)]

이므로 [eqn: f`'(x)=0 `]에서

[eqn: sin`x =0] 또는 [eqn: cos`x= {k} over {4}]

(ⅰ) [eqn: k GEQ 4`]일 때

모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: 4`cos`x-k LEQ 0`]이므로 함수 [eqn: f(x) `]는 [eqn: sin`x=0 `]을 만족시키는 [eqn: x `]의 값에서만 극값을 갖는다.

그러므로 ㉠을 고려하여 닫힌구간 [eqn: left[ - pi ,~ pi right] `]에서 함수 [eqn: f(x) `]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: -pi]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: pi]
[eqn: f`'(x)]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]
[eqn: f(x)]	극소	[eqn: ↗]	극대	[eqn: ↘]	극소

함수 [eqn: f(x) `]는 [eqn: x=0 `]에서 극대이므로 ㉠에 의하여 함수 [eqn: f(x) `]의 극댓값은 [eqn: f(0)=k`] 뿐이다.

그러므로 만족하는 정수 [eqn: k `]의 값은 [eqn: 4,~ 5,~CDOTS ,~10`]이다.

(ⅱ) [eqn: k LEQ -4`]일 때

모든 실수 [eqn: x `]에 대하여 [eqn: 4`cos`x-k GEQ 0`]이므로 함수 [eqn: f(x) `]는 [eqn: sin`x=0 `]을 만족시키는 [eqn: x `]의 값에서만 극값을 갖는다.

그러므로 ㉠을 고려하여 닫힌구간 [eqn: left[ -pi ,~ pi right] `]에서 함수 [eqn: f(x) `]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: -pi]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: pi]
[eqn: f`'(x)]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]
[eqn: f(x)]	극대	[eqn: ↘]	극소	[eqn: ↗]	극대

함수 [eqn: f(x) `]는 [eqn: x=± pi `]에서 극대이므로 ㉠에 의하여 함수 [eqn: f(x) `]의 극댓값은 [eqn: f(± pi )=-k`] 뿐이다.

그러므로 만족하는 정수 [eqn: k `]의 값은 [eqn: -4,~-5,~ CDOTS ,~-10`]이다.

(ⅲ) [eqn: -4<k<4`]일 때

함수 [eqn: y= cos`x `]의 그래프는 [eqn: y `]축에 대하여 대칭이다.

[eqn: y= {k} over {4}]

그러므로 방정식 [eqn: cos`x= {k} over {4} `]의 실근 중 가장 작은 양수를 [eqn: alpha `]라 하고, ㉠을 고려하여 닫힌구간 [eqn: left[ -pi ,~ pi right] `]에서 함수 [eqn: f(x) `]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: -pi]	[eqn: cdots]	[eqn: - alpha]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha]	[eqn: cdots]	[eqn: pi]
[eqn: f`'(x)]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]
[eqn: f(x)]	극소	[eqn: ↗]	극대	[eqn: ↘]	극소	[eqn: ↗]	극대	[eqn: ↘]	극소

이때 함수 [eqn: f(x) `]는 [eqn: x= alpha `]와 [eqn: x=-alpha `]에서 극대이고,

[eqn: cos` alpha = cos`(- alpha )={k} over {4} `]일 때

[eqn: sin ^{2} ` alpha =1-cos ^{2} ` alpha =1- {k ^{2}} over {16}], [eqn: sin ^{2} `(- alpha )=(-sin` alpha ) ^{2} =1- {k ^{2}} over {16}]

이므로

[eqn: f( - alpha )][eqn: =f(alpha)]
[eqn: =2 LEFT ( 1- {k ^{2}} over {16} RIGHT ) +k TIMES {k} over {4}]
[eqn: =2+ {k ^{2}} over {8}]

이때 ㉠에 의하여 함수 [eqn: f(x) `]의 극댓값은 모두 [eqn: 2+ {k ^{2}} over {8}]으로 같으므로 만족하는 정수 [eqn: k `]의 값은 [eqn: 0`] 뿐이다.

따라서 (ⅰ)[eqn: sim](ⅲ)에서 구하는 정수 [eqn: k `]의 개수는

[eqn: 7+7+1=15]

(가) [eqn: -10 le k le 10]

(나) 함수 [eqn: f(x) `]의 극댓값은 정수이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]
④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

태원고/2023년/Q5/B

양의 실수 [eqn: t `]에 대하여 원점을 지나고 곡선 [eqn: y= {1} over {e ^{x}} +t`]에 접하는 직선의 기울기를 [eqn: f(t) `]라 하자. [eqn: f(t _{1} )=-e ^{2} sqrt {e} `]를 만족시키는 상수 [eqn: t_1 `]에 대하여 [eqn: 60 times left| f`'(t_1 ) right| `]의 값은?

④

원점을 지나고 곡선 [eqn: y= {1} over {e ^{x}} +t] 즉, [eqn: y= e^-x +t `]에 접하는 직선의 접점의 좌표를 [eqn: (k,~e ^{-k} +t)`]라 하자.

[eqn: y' = -e^-x `]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-(e ^{-k} +t)=-e ^{-k} (x-k)]

이 접선이 원점을 지나므로

[eqn: 0-(e ^{-k} +t)=-e ^{-k} (0-k)]

[eqn: t=-(k+1)e ^{-k}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이때 접선의 기울기는 [eqn: -e ^{-k} `]이므로

[eqn: f(t)=-e ^{-k}]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠의 양변을 [eqn: k`]에 대하여 미분하면

[eqn: {dt} over {dk} =-e ^{-k} +(k+1)e ^{-k} =ke ^{-k}]

㉡의 양변을 [eqn: k`]에 대하여 미분하면

[eqn: f` prime (t) TIMES {dt} over {dk} =e ^{-k}]

위의 미분한 두 식을 연립하면

[eqn: f` prime (t) TIMES ke ^{-k} =e ^{-k}]

[eqn: k != 0`]이므로 [eqn: THEREFORE ~f` prime (t)= {1} over {k}]	[eqn: cdotscdots] ㉢

한편, [eqn: t= t_1 `]일 때, [eqn: k=k _{1} `]이라 하면

㉡에서 [eqn: f(t _{1} )=-e ^{-k _{1}} =-e ^{2} sqrt {e} =-e ^{{5} over {2}} `]이므로

[eqn: k _{1} =- {5} over {2} `]이다. 이것을 ㉢에 대입하면

[eqn: f` prime (t _{1} )＝ {1} over {k _{1}} = {1} over {- {5} over {2}} =- {2} over {5}]

따라서 [eqn: 60 TIMES LEFT | f` prime (t _{1} ) RIGHT | =60 TIMES {2} over {5} =24]

① [eqn: 18]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 22]
④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 26]

송림고/2023년/Q5/B

원점 [eqn: rmO]를 중심으로 하고 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~0 RIGHT ) ,~B LEFT ( 0,~1 RIGHT )]을 지나는 사분원이 있다. 그림과 같이 점 [eqn: rmP]는 점 [eqn: rmA]에서 출발하여 호 [eqn: rmAB]를 따라 점 [eqn: rmB]를 향하여 매초 [eqn: 1]의 일정한 속력으로 움직인다. 선분 [eqn: rmOP]와 선분 [eqn: rmAB]가 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: {1} over {3}]인 순간 점 [eqn: rmQ]의 속도가 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]일 때, [eqn: b-a=r+s sqrt {2}]이다. 이때 [eqn: {r} over {s}]의 값은? (단, [eqn: r,~s]는 유리수이다.) [[eqn: 4.4]점]

②

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]에서 [eqn: x=costheta], [eqn: y=sin theta `]라 하면 호 [eqn: rm arch{AP} = it theta =t`]에서

직선 [eqn: rmOP]의 방정식은 [eqn: y= LEFT ( tant RIGHT ) x]

[eqn: y=-x+1]과 연립하면 점 [eqn: Q]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {1} over {1+tant} ,~ {tant} over {1+tant} RIGHT )]

점 [eqn: Q]의 속도는 [eqn: LEFT ( {-sec ^{2} t} over {LEFT ( 1+tant RIGHT ) ^{2}} , {sec ^{2} t} over {LEFT ( 1+tant RIGHT ) ^{2}} RIGHT )]

점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: {1} over {3}]일 때 [eqn: cost= {1} over {3}]이므로 [eqn: tant=2 sqrt {2}]

[eqn: b-a= {2sec ^{2} t} over {LEFT ( 1+tant RIGHT ) ^{2}} = {18} over {LEFT ( 1+2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2}}][eqn: = {18} over {49} LEFT ( 9-4 sqrt {2} RIGHT )]

[eqn: {r} over {s} =- {9} over {4}]

① [eqn: - {5} over {2}]	② [eqn: - {9} over {4}]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: - {7} over {4}]	⑤ [eqn: - {3} over {2}]

불곡고/2023년/Q5/A

함수 [eqn: f(x)=3`sin^2 x +k`cos`x`]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 정수 [eqn: k`]의 개수는? [4.9점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]
④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

④

[eqn: f(x)=3`sin^2 x +k`cos`x`]

[eqn: f`prime(x)=6`sin`x `cos`x -k`sin`x][eqn: =6`sin`x left(cos`x- k over6 right)]

[eqn: -10 le k le10]이므로 [eqn: k`]의 범위에 따라 나누어 구하면

ⅰ) [eqn: -10 le k le-6]일 때

항상 [eqn: 6`cos`x -k ge0`]이므로 [eqn: sin`x =0]일 때

즉, [eqn: x=2n`pi], [eqn: x=2n pi +pi] ([eqn: n`]은 정수)일 때 극값을 갖는다.

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 2n pi]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 2n pi +pi]	[eqn: cdots]
[eqn: {f` prime (x)}]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: {f(x)}]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

[eqn: x=2n pi+pi`]일 때 극댓값을 갖는다.

[eqn: f(2n pi +pi )= k cos(2n+1)pi =-k`]

극댓값이 정수이므로 만족하는 [eqn: k`]의 값은

[eqn: -10,~-9,~-8,~-7,~-6]이므로 [eqn: 5`]개

ⅱ) [eqn: -6<k<0]일 때

[eqn: sin`x =0]일 때 즉, [eqn: x=n`pi]일 때 극값을 갖고,

[eqn: cos`x = k over6]일 때 극값을 갖는다.

[eqn: pi over2 < alpha < pi]에서 [eqn: cos`alpha = k over6]이라 하면 [eqn: sin`alpha = root{ 1- k^2 over36 }]

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 2n pi]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 2n pi +alpha]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 2n pi + pi]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 2n pi +2pi -alpha]	[eqn: cdots]
[eqn: {f` prime (x)}]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: {f(x)}]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

[eqn: x=2n pi+alpha]일 때 [eqn: cos(2n pi + alpha )=cos `alpha = k over6],

[eqn: sin(2n pi+ alpha )=sin`alpha= root{1 - k^2 over36 }]

[eqn: f(2n pi +alpha)= 3- k^2 over12 + k^2 over6 = 3+ k^2 over12]

[eqn: -6<k<0]에서 [eqn: 3+ k^2 over12]가 정수가 되는 값은 존재하지 않는다.

[eqn: x=2n pi+2pi -alpha]일 때 [eqn: cos(2n pi + 2pi -alpha )=cos `alpha = k over6]

[eqn: sin(2n pi+ 2pi -alpha )= -sin`alpha= -root{1 - k^2 over36 }]

[eqn: f(2n pi +2pi -alpha)= 3- k^2 over12 + k^2 over6 = 3+ k^2 over12]

[eqn: -6<k<0]에서 [eqn: 3+ k^2 over12]가 정수가 되는 값은 존재하지 않는다.

ⅲ) [eqn: k=0]일 때

[eqn: f(x)=3`sin^2 x]

[eqn: f`prime(x)=6`sin`x `cos`x =3`sin`2x]이므로 [eqn: 3sin`2x =0]일 때

즉, [eqn: x=n`pi], [eqn: x=n pi + pi over2] ([eqn: n`]은 정수)일 때 극값을 갖는다.

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: n pi]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: n pi + pi over2]	[eqn: cdots]
[eqn: {f` prime (x)}]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: {f(x)}]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

[eqn: x=n pi + pi over2]일 때 극댓값을 갖는다.

[eqn: f left(n pi + piover2 right )= 3]

극댓값이 정수이므로 성립

ⅳ) [eqn: 0<k<6]일 때

[eqn: sin`x =0]일 때 즉, [eqn: x=n`pi]일 때 극값을 갖고,

[eqn: cos`x = k over6]일 때 극값을 갖는다.

[eqn: 0< alpha< pi over2]에서 [eqn: cos`alpha = k over6]이라 하면 [eqn: sin`alpha = root{ 1- k^2 over36 }]

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 2n pi]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 2n pi +alpha]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 2n pi + pi]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 2n pi +2pi -alpha]	[eqn: cdots]
[eqn: {f` prime (x)}]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: {f(x)}]	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

[eqn: x=2n pi+alpha]일 때 [eqn: cos(2n pi + alpha )=cos `alpha = k over6],

[eqn: sin(2n pi+ alpha )=sin`alpha= root{1 - k^2 over36 }]

[eqn: f(2n pi +alpha)= 3- k^2 over12 + k^2 over6 = 3+ k^2 over12]

[eqn: 0<k<6]에서 [eqn: 3+ k^2 over12]가 정수가 되는 값은 존재하지 않는다.

[eqn: x=2n pi+2pi -alpha]일 때 [eqn: cos(2n pi + 2pi -alpha )=cos `alpha = k over6]

[eqn: sin(2n pi+ 2pi -alpha )= -sin`alpha= -root{1 - k^2 over36 }]

[eqn: f(2n pi +2pi -alpha)= 3- k^2 over12 + k^2 over6 = 3+ k^2 over12]

[eqn: 0<k<6]에서 [eqn: 3+ k^2 over12]가 정수가 되는 값은 존재하지 않는다.

ⅴ) [eqn: 6 le k le10]일 때

항상 [eqn: 6`cos`x -k le0`]이므로 [eqn: sin`x =0]일 때

즉, [eqn: x=2n`pi], [eqn: x=2n pi +pi] ([eqn: n`]은 정수)일 때 극값을 갖는다.

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 2n pi]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 2n pi +pi]	[eqn: cdots]
[eqn: {f` prime (x)}]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: {f(x)}]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

[eqn: x=2n pi`]일 때 극댓값을 갖는다.

[eqn: f(2n pi )= k cos`2n pi =k`]

극댓값이 정수이므로 만족하는 [eqn: k`]의 값은

[eqn: 6,~7,~8,~9,~10]이므로 [eqn: 5`]개

ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ), ⅴ)에 의해 정수 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 11]개

(가) [eqn: -10 le k le 10]

(나) 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은 정수이다.

불곡고/2023년/Q5/A

양의 실수 [eqn: a`]와 함수
[eqn: f(x)=cases{-a left{log_4 (x+1)right}^2 +a&&(-1 <x<3)#~~~~~~2e^3-x +1&&(x ge 3)]
에 대하여 [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: f(f(x))=f(x)`]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: g(a)]라 하자. 함수 [eqn: g(a)]의 치역의 모든 원소의 합은?
[5.1점]

① [eqn: 18]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 20]
④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 22]

⑤

[eqn: f(x)=cases{-a left{log_4 (x+1)right}^2 +a&&(-1 <x<3)#~~~~~~2e^3-x +1&&(x ge 3)]

[eqn: f`'(x)= {cases{-2a LEFT { log _{4} (x+1) RIGHT } CDOT {1} over {(x+1)ln`4}&&(-1<x<3)#~~~~~-2e ^{3-x}&&(x GEQ 3)}}]

[eqn: a>0`]이므로

[eqn: {x}]	[eqn: -1]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 0]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 3]	[eqn: cdots]
[eqn: {f` prime (x)}]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]		[eqn: -]
[eqn: {f(x)}]		[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]		[eqn: SEARROW]

[eqn: lim _{ x->-1+} { }f(x)=- inf], [eqn: f(0)=a], [eqn: lim _{ x->3-} { }f(x)=0,~f(3)=3],

[eqn: lim _{ x-> inf} { }f(x)=1`]

방정식 [eqn: f(f(x))=f(x)`]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: g(a)]일 때

[eqn: f(x)=t`]라 하면 [eqn: f(t)=t]

[eqn: f(t)=t`]는 [eqn: -1<t<0,~0<t<3,~t=3]에서 [eqn: 3`]개의 실근을 갖는다.

따라서 [eqn: f(x)=t`]를 만족하는 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: a`]의 값에 범위에 의해 다음과 같다.

그래프를 그려서 실근의 개수를 구하면

ⅰ) [eqn: a>3]일 때

만족하는 실근의 개수는 [eqn: 7`]개

ⅱ) [eqn: a=3`]일 때

만족하는 실근의 개수는 [eqn: 6]개

ⅲ) [eqn: 1<a<3`]일 때

만족하는 실근의 개수는 [eqn: 5]개

ⅳ) [eqn: 0<a le1]일 때

만족하는 실근의 개수는 [eqn: 4]개

ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)에 의해 [eqn: g(a)]의 치역은 [eqn: left{4,~5,~6,~7right}]

따라서 [eqn: g(a)]의 치역의 원소의 합은 [eqn: 22]

송림고/2023년/Q5/A

두 실수 [eqn: a,] [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) e ^{x}]이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 6]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f' LEFT ( 1 RIGHT )]에서 [eqn: LEFT ( 1+a+b RIGHT ) e= LEFT ( 2a+b+3 RIGHT ) e]

[eqn: a=-2]

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} + LEFT ( a+2 RIGHT ) x+a+b RIGHT ) e ^{x}]

[eqn: f'' LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} + LEFT ( a+4 RIGHT ) x+2a+b+2 RIGHT ) e ^{x} =0]

따라서 [eqn: x ^{2} + LEFT ( a+4 RIGHT ) x+2a+b+2=0]을 만족하는 [eqn: c]의 값은 [eqn: 2]개이고

[eqn: c _{1} TIMES c _{2} =2a+b+2=-1]

[eqn: b=1]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -2x+1 RIGHT ) e ^{x} = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} e ^{x}]

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) e ^{x}]

조건을 만족하려면 위와 같은 그림이어야 한다.

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y=m LEFT ( x-1 RIGHT )]이 접하는 점을 구하면

접점은 [eqn: LEFT ( 0,~1 RIGHT )]이고 [eqn: k=0,`][eqn: m=-1]이다.

[eqn: g' LEFT ( -2 RIGHT ) TIMES g' LEFT ( 1 RIGHT ) =][eqn: 3e ^{-2} TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) =-3e ^{-2}]

따라서 [eqn: pq=6]이다.

(가) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f` prime LEFT ( 1 RIGHT )]

(나) [eqn: alpha<x _{1} <c<x _{2} <beta]인 임의의 두 실수 [eqn: x _{1} ,~x _{2}]에 대하여 [eqn: f` '' LEFT ( x _{1} RIGHT ) TIMES f` '' LEFT ( x _{2} RIGHT ) <0]을 만족시키는 두 실수 [eqn: alpha,~beta]가 존재하도록 하는 모든 실수 [eqn: c]의 값의 곱은 [eqn: -1]이다.

[eqn: 1]보다 작은 실수 [eqn: k]에 대하여, 함수

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{f LEFT ( x RIGHT )&LEFT ( x LEQ k RIGHT )#&#m LEFT ( x-1 RIGHT )&LEFT ( x>k RIGHT )}}]

가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때,

[eqn: g` prime LEFT ( {2} over {m} RIGHT ) TIMES g` prime LEFT ( 1+k RIGHT ) =p TIMES e ^{q}]

이다. [eqn: pq]의 값을 구하고 그 과정을 논술하시오. (단, [eqn: m]은 [eqn: 0]이 아닌 상수이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 정수이다.) [[eqn: 7]점]

송림고/2023년/Q5/A

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수

[eqn: 2ln3-5ln2+2]

[eqn: ln LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]일 때 불연속이고 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=-1]에서 불연속이므로 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =0]이다.

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ln LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |&~~ LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) != 0 RIGHT )#0&```````` LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) =0 RIGHT )}}], [eqn: l LEFT ( x RIGHT ) =x+1`]로 두고

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =1]을 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =l LEFT ( x RIGHT )]로 바꾸어 그래프를 생각하면

[eqn: x<`-1]에서 실근이 [eqn: 1]개,

[eqn: x=-1]에서 실근이 [eqn: 1]개이므로

[eqn: x>-1]에서 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: l LEFT ( x RIGHT )]는 한 점에서만 접해야 함을 알 수 있다.

[eqn: {f` prime LEFT ( x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )} =1,````ln LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | =x+1]이고

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =h LEFT ( x RIGHT ) -x`]는 [eqn: x=3]에서 극댓값을 가지므로 [eqn: h prime LEFT ( 3 RIGHT ) =1]이다.

따라서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=3`] 중 한 점에서만 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: l LEFT ( x RIGHT )]는 접한다.

[eqn: x=0]에서 접점을 가진다고 하면 조건을 만족하지 않으므로

[eqn: x=3]에서 접점을 가진다.

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f` prime LEFT ( 0 RIGHT )]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{3} +bx ^{2} +cx+c``` LEFT ( a != 0 RIGHT )]로 두면

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =-a+b-c+c=0`]에서 [eqn: b=a]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3ax ^{2} +2bx+c]

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =f` prime LEFT ( 3 RIGHT )]이므로 [eqn: 27a+9b+3c+c=27a+6b+c`]에서 [eqn: c=-a]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x ^{3} +x ^{2} -x-1 RIGHT ) =a LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-1 RIGHT )]

이때 [eqn: ln LEFT | f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT | =4`]에서

[eqn: ln LEFT | 32a RIGHT | =5ln2+ln LEFT | a RIGHT | =4`]이므로 [eqn: ln LEFT | a RIGHT | =4-5ln2`]

[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =ln LEFT | f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT | -2]

[eqn: =ln LEFT | 9a RIGHT | -2=2ln3+ln LEFT | a RIGHT | -2]

[eqn: =2ln3-5ln2+2]

[다른 풀이]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x ^{3} +x ^{2} -x-1 RIGHT ) =a LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-1 RIGHT )]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( 3x-1 RIGHT )]이므로

따라서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ln LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | -x&~~ LEFT ( x != ±1 RIGHT )#`-1&```````` LEFT ( x=1 RIGHT )#`````````1&```````` LEFT ( x=-1 RIGHT )}}]

[eqn: x != ±1]일 때 [eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) = {f` prime LEFT ( x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )} -1]

[eqn: = {3x-1} over {LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )} -1= {-x LEFT ( x-3 RIGHT )} over {LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )}]

[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) =0`]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=3]

증감표를 조사하면

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]	[eqn: cdots]
[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	×	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	×	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]	↘	[eqn: 1]	↗	극대	↘	[eqn: -1]	↗	극대	↘

[eqn: lim _{x -> INF } {} g LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x -> INF } {} ` LEFT { ln LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | -x RIGHT } = lim _{x -> INF } {ln LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) e ^{-x} RIGHT |} =- INF `]이고

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 점근선은 직선 [eqn: x=-1,~x=1`]이다.

이때 두 극댓값을 구하면

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =ln LEFT | f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT | =ln LEFT | -a RIGHT | =ln LEFT | a RIGHT |]

[eqn: g LEFT ( 3 RIGHT ) =ln LEFT | f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT | -3=ln LEFT | 32a RIGHT | -3=ln LEFT | a RIGHT | +5ln2-3`]

조건에서 [eqn: 5ln2-3>0]이므로 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) <g LEFT ( 3 RIGHT )]

그러므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: -1]

[eqn: y=1]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: 3]

[eqn: g LEFT ( 3 RIGHT ) =1`]에서 [eqn: ln LEFT | f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT | -3=1] 즉, [eqn: ln LEFT | f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT | =4`]이므로

[eqn: ln LEFT | 32a RIGHT | =5ln2+ln LEFT | a RIGHT | =4`]를 정리하면 [eqn: ln LEFT | a RIGHT | =4-5ln2`]

[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =ln LEFT | f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT | -2][eqn: =2ln3-5ln2+2]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ln LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | -x&~~ LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) != 0 RIGHT )#&#-x&``````` LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) =0 RIGHT ) ```}}]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f` prime LEFT ( 0 RIGHT )]

(나) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=-1]에서 불연속이다.

(다) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=3]에서 극댓값을 갖는다.

(라) 방정식 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =1]의 서로 다른 실근이 [eqn: 3]개 존재한다.

[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT )]의 값을 구하고 풀이 과정을 논술하시오. (단, [eqn: 5ln2>3]) [[eqn: 7]점]

이매고/2023년/Q5/A

양의 실수 [eqn: a]와 함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{-a LEFT { log _{8} LEFT ( x+1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} +a&~~ LEFT ( -1<x<7 RIGHT )#&#-4 LEFT ( x-7 RIGHT ) e ^{-x+8} +7&~~ LEFT ( x GEQ 7 RIGHT )}}]
에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: g LEFT ( a RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( a RIGHT )]에 대하여 두 집합 [eqn: A,~B]를
[eqn: A= LEFT { k`` vert ``함수`~g LEFT ( a RIGHT ) 는~a=k` LEFT ( k>0 RIGHT ) 에서~불연속이다. RIGHT }]
[eqn: B= LEFT { g LEFT ( a RIGHT ) `` vert ``a>0 RIGHT }]

[eqn: 92]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =t]라 하면 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =t``]

따라서 [eqn: t]를 변수로 보고 [eqn: y=f LEFT ( t RIGHT )]와 [eqn: y=t]의 교점을 구한 다음

다시 [eqn: t]를 상수로 보고 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y=t]의 교점의 개수를 구하면 된다.

이때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 극댓값 [eqn: a]를 가지고

[eqn: LEFT ( 3,~3 RIGHT )]을 대입하면 [eqn: a= {27} over {5}]이므로 그래프는 다음과 같다.

[[eqn: 0<a< {27} over {5}]일 때] [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =4] [[eqn: a= {27} over {5}]일 때] [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =5]

[[eqn: {27} over {5} <a<7]일 때] [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =6] [[eqn: a=7]일 때] [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =7]

[[eqn: a>7]일 때] [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =8]

그러므로 [eqn: A= LEFT { {27} over {5} ,~7 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 4,~5,~6,~7,~8 RIGHT }]

[eqn: 5p+q=5 TIMES {62} over {5} +30=92]

라 할 때, 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합은 [eqn: p], 집합 [eqn: B]의 모든 원소의 합은 [eqn: q]이다. [eqn: 5p+q]의 값을 구하고 그 과정을 논술하시오.

(단, [eqn: lim _{x rarrow INF } {LEFT ( x-7 RIGHT ) e ^{-x+8}} =0]이다.) [[eqn: 7.0]점]

송림고/2023년/Q5/A

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

⑤

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) = lim _{h rarrow 0} {{f LEFT ( x+h RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {h}}]

[eqn: = lim _{h rarrow 0} {{{f LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( h RIGHT )} over {1+f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( h RIGHT )} -f LEFT ( x RIGHT )} over {h}} = lim _{h rarrow 0} {{f LEFT ( h RIGHT ) LEFT { 1- LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) ^{2} RIGHT }} over {h LEFT ( 1+f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( h RIGHT ) RIGHT )}}]

[eqn: lim _{h rarrow 0} {{f LEFT ( h RIGHT )} over {h}} =f' LEFT ( 0 RIGHT ) =1]이므로

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =1- LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}]

[eqn: f' LEFT ( ln2 RIGHT ) =1- LEFT { f LEFT ( ln2 RIGHT ) RIGHT } ^{2} =1- LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{2} = {16} over {25}]

한편 [eqn: a=x,`~b=-x]라 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( -x RIGHT ) =f LEFT ( x-x RIGHT ) LEFT { 1+f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( -x RIGHT ) RIGHT } =f LEFT ( 0 RIGHT ) LEFT { 1+f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( -x RIGHT ) RIGHT } =0]

이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 기함수이다.

따라서 역함수인 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]도 기함수이므로

[eqn: g prime LEFT ( -x RIGHT ) =g prime LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: 16 TIMES g' LEFT ( - {3} over {5} RIGHT ) =][eqn: 16 TIMES g prime LEFT ( {3} over {5} RIGHT )]

[eqn: =][eqn: 16 TIMES {1} over {f prime LEFT ( g LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) RIGHT )} =16 TIMES {1} over {f prime LEFT ( ln2 RIGHT )} =16 TIMES {25} over {16} =25]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) >0]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: a,] [eqn: b]에 대하여

[eqn: f LEFT ( a+b RIGHT ) LEFT { 1+f LEFT ( a RIGHT ) f LEFT ( b RIGHT ) RIGHT } =f LEFT ( a RIGHT ) +f LEFT ( b RIGHT )]이다.

(다) [eqn: f LEFT ( ln2 RIGHT ) = {3} over {5}], [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0], [eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =1]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, [eqn: 16 TIMES g` prime LEFT ( - {3} over {5} RIGHT )]의 값은? [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 25]

송림고/2023년/Q5/A

좌표평면에서 곡선 [eqn: y=sin ^{n} x] [eqn: LEFT ( 0<x< {pi } over {2} ,~n=2,3,4, CDOTS RIGHT )]의 변곡점의 [eqn: y]좌표를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n rarrow INF } {``a _{n}}]의 값은? [[eqn: 4.5]점]

④

[eqn: y prime =n`sin ^{n-1} x` LEFT ( cosx RIGHT )]

[eqn: y '' =n LEFT ( n-1 RIGHT ) sin ^{n-2} x` LEFT ( cosx RIGHT ) ^{2} +n`sin ^{n-1} x` LEFT ( -sinx RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( n LEFT ( n-1 RIGHT ) cos ^{2} x-n`sin ^{2} x RIGHT ) sin ^{n-2} x][eqn: =0]

[eqn: LEFT ( n-1 RIGHT ) cos ^{2} x=sin ^{2} x]

[eqn: tan ^{2} x=n-1] 곧, [eqn: tanx= sqrt {n-1}]

[eqn: sinx= {sqrt {n-1}} over {sqrt {n}}] 따라서 [eqn: a _{n} = LEFT ( {sqrt {n-1}} over {sqrt {n}} RIGHT ) ^{n} = LEFT ( {n-1} over {n} RIGHT ) ^{{n} over {2}}]

[eqn: lim _{n rarrow INF } {LEFT ( {n-1} over {n} RIGHT ) ^{{n} over {2}}} = lim _{n rarrow INF } {LEFT ( 1+ LEFT ( - {1} over {n} RIGHT ) RIGHT ) ^{LEFT ( -n RIGHT ) LEFT ( - {1} over {2} RIGHT )}} =e ^{- {1} over {2}} = {1} over {sqrt {e}}]

① [eqn: {1} over {e ^{2}}]	② [eqn: {1} over {2e}]	③ [eqn: {1} over {e}]

④ [eqn: {1} over {sqrt {e}}]	⑤ [eqn: {2} over {e}]

25년 내신대비	미적분	적분

경기남부지역	- -	분당기출모임

3.

적분

여러가지 적분법(step1)

1.

지수함수의 적분

돌마고/2023년/R1/D

[eqn: int _{ 1} ^{2 } { }{4^x -1} over{2^x +1} dx`]의 값은? [4.0점]

① [eqn: 2 over{ln`2} -1]	② [eqn: 2 over{ln`2} +1]	③ [eqn: 4 over{ln`2} -1]
④ [eqn: 4 over{ln`2} +1]	⑤ [eqn: 6 over{ln`2} +3]

①

[eqn: int _{ 1} ^{2 } { }{4^x -1} over{2^x +1} dx` = int _{ 1} ^{2 } { }(2^x -1)dx][eqn: = LEFT [ {2 ^{x}} over {ln`2} -x RIGHT ] _{1} ^{2}]

[eqn: =left( 4 over{ln` 2} -2 right)- left( 2 over{ln`2} -1 }right)][eqn: = 2 over{ln`2} -1]

삼각함수의 적분

위례고/2023/R1/D

함수 [eqn: f(x) = int(cosx -sinx )dx]에 대하여 [eqn: f(0)=1]일 때, [eqn: f left( pi over4 right)]의 값은? [[eqn: 3.9]점]

① [eqn: root2 over4]	② [eqn: root2 over2]	③ [eqn: {3root2} over4]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: root2]

⑤

[eqn: f(x) = sinx + cosx +C]

[eqn: f(0)=0+1+C=1], [eqn: C=0]

[eqn: f left( pi over4 right) = root2]

이매고/2023년/R1/D

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) = {1-cos2x} over {cos ^{2} x}]이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-2]일 때, [eqn: f LEFT ( {pi} over {4} RIGHT )]의 값은? [[eqn: 4.7]점]

①

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) = {1- LEFT ( 2cos ^{2} x-1 RIGHT )} over {cos ^{2} x} =2sec ^{2} x-2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2tanx-2x+C] , [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-2]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2tanx`-2x-2]

[eqn: f LEFT ( {pi} over {4} RIGHT ) =- {pi} over {2}]

① [eqn: - {pi} over {2}]	② [eqn: - {pi} over {3}]	③ [eqn: - {pi} over {4}]

④ [eqn: - {pi} over {5}]	⑤ [eqn: - {pi} over {6}]

치환적분

위례고/2023/R1/D

[eqn: int_e ^e^3 {lnx} overx dx]의 값은? [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

④

[eqn: lnx =t], [eqn: 1overx dx =dt]

[eqn: int_e^e^3 lnx overx dx = int_1 ^3 t dt = left[ pile{`#` } 1over2 t^2 right]_1^3 =4]

여러가지 적분법(step2)

1.

지수함수의 적분

불곡고/2023년/R1/C

모든 실수 [eqn: x`]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]의 그래프가 원점을 지나고 도함수 [eqn: f`prime(x)]가 [eqn: f`prime(x)= cases{2^x `ln`2&&(x<1) # {3 overx^3 &&(x>1)``]일 때, [eqn: f(2)]의 값은?
[4.4점]

① [eqn: 9 over8]	② [eqn: 11 over8]	③ [eqn: 13 over8]
④ [eqn: 15 over8]	⑤ [eqn: 17 over8]

⑤

[eqn: f`prime(x)= cases{2^x `ln`2&&(x<1) # {3 overx^3 &&(x>1)``]이므로

[eqn: f`(x)= cases{2^x +C_1&&(x<1) # {- 3 over2x^2 +C_2 &&(x>1)``]

[eqn: f(0)=0]이므로 [eqn: f(0)=1+C_1 =0]

[eqn: C_1 =-1]

[eqn: x=1`]에서 연속이므로

[eqn: f(1)=2+C_1 = - 3 over2 +C_2]

[eqn: C_2 = 5 over2]

[eqn: therefore] [eqn: f(2)=- 3 over8 +C_2 = 17 over8]

삼각함수의 적분

태원고/2023년/R1/C

[eqn: - {pi} over {2} <x< {pi} over {2} `]인 모든 실수 [eqn: x`]에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여

⑤

[eqn: - {pi} over {2} <x< {pi} over {2} `]인 모든 실수 [eqn: x`]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 미분가능하므로

[eqn: lim _{h` rarrow `0} {} {f LEFT ( x+2h RIGHT ) -f LEFT ( x-h RIGHT )} over {h}]

[eqn: = lim _{h` rarrow 0} {} LEFT { {f LEFT ( x+2h RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {h} - {f LEFT ( x-h RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {h} RIGHT }]

[eqn: = lim _{h` rarrow 0} {} LEFT { 2 TIMES {f LEFT ( x+2h RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {2h} + {f LEFT ( x-h RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {-h} RIGHT }]

[eqn: =2f`' LEFT ( x RIGHT ) +f`' LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: =3f`' LEFT ( x RIGHT ) =3`tan ^{2} `x+6]

따라서 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =tan ^{2} `x+2`]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {} LEFT ( tan ^{2} `x+2 RIGHT ) `dx][eqn: = int _{} ^{} {} LEFT ( sec ^{2} `x+1 RIGHT ) `dx]

[eqn: `=tan`x+x+C] (단, [eqn: C`]는 적분상수)

이때 [eqn: f LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) =1+ {pi } over {4} +C=- {pi } over {2} `]이므로

[eqn: C=- {3pi } over {4} -1]

[eqn: THEREFORE ~f LEFT ( x RIGHT ) =tan`x+x- {3 pi } over {4} -1~ LEFT ( - {pi } over {2} <x< {pi } over {2} RIGHT )]

그러므로 구하는 값은

[eqn: f LEFT ( - {pi } over {4} RIGHT ) =tan` LEFT ( - {pi } over {4} RIGHT ) - {pi } over {4} - {3 pi } over {4} -1][eqn: =-2- pi]

[eqn: lim _{h` rarrow `0} {} {f LEFT ( x+2h RIGHT ) -f LEFT ( x-h RIGHT )} over {h} =3`tan ^{2} `x+6]

이다. [eqn: f LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) =- {pi } over {2} `]일 때, [eqn: f LEFT ( - {pi} over {4} RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: 2- pi]	② [eqn: 1- pi]	③ [eqn: - pi]
④ [eqn: -1- pi]	⑤ [eqn: -2- pi]

불곡고/2023년/R1/C

실수 전체의 집합에서 미분가능하고 도함수가 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x+2)=f(x)`]를 만족시킨다. [eqn: f(0)=0,~f(1)=1`]이고, [eqn: int _{ 0} ^{1 } { }f(2f(x))f prime(x)dx= 1 over2]일 때,
[eqn: int _{2 } ^{4 } { }f(3x-2) dx`]의 값은? [4.8점]

① [eqn: 1 over5]	② [eqn: 1 over4]	③ [eqn: 1 over3]
④ [eqn: 1 over2]	⑤ [eqn: 1]

⑤

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { }f(2f(x))f prime(x)dx= 1 over2]

[eqn: 2 f(x)=t`]라 하면

[eqn: f(0)=0,~f(1)=1], [eqn: dt overdx = 2f`prime(x)]이므로

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { }f(2f(x))f prime(x)dx= int _{ 0} ^{2 } { } 1 over2 f(t)dt = 1 over2]

[eqn: therefore] [eqn: int _{ 0} ^{ 2} { } f(t) dt =1]

[eqn: int _{2 } ^{4 } { }f(3x-2) dx`]에서 [eqn: 3x-2=t`]라 하면 [eqn: dt overdx =3],

[eqn: x=2]일 때 [eqn: t=4], [eqn: x=4]일 때 [eqn: t=10]이므로

[eqn: int _{2 } ^{4 } { }f(3x-2) dx`= int _{ 4} ^{10 } { } 1 over3 f(t) dt = 1 over3 int _{ 4} ^{10 } { } f(t) dt]	[eqn: cdots]①

[eqn: f(x+2)=f(x)]이고 [eqn: int _{ 0} ^{ 2} { } f(t) dt =1]이므로

[eqn: int _{ 4} ^{ 6} { } f(t) dt =int _{ 6} ^{ 8} { } f(t) dt =int _{ 8} ^{ 10} { } f(t) dt =1]

①에 대입하면

[eqn: therefore] [eqn: 1 over3 int _{ 4} ^{10 } { } f(t) dt = 1 over3 times3 =1]

치환적분

돌마고/2023년/R1/C

[eqn: int _{ 0} ^{ 2} { } x over{root{2x^2 +1} }dx`]의 값은? [4.3점]

① [eqn: 1 over81]	② [eqn: root2 over6]	③ [eqn: root2 over3]
④ [eqn: 4 over9]	⑤ [eqn: 1]

⑤

[eqn: int _{ 0} ^{ 2} { } x over{root{2x^2 +1} }dx`]

[eqn: t= 2x^2 +1`]이라 하면 [eqn: dt overdx =4x]

[eqn: x=0`]일 때 [eqn: t=1], [eqn: x=2`]일 때 [eqn: t=9]이므로

[eqn: int _{ 0} ^{ 2} { } x over{root{2x^2 +1} }dx`= int _{ 1} ^{9 } { } 1 over{4root t} dt][eqn: = LEFT [ {1} over {2} TIMES t ^{{1} over {2}} RIGHT ] _{1} ^{9}][eqn: = 1]

삼각치환

불곡고/2023년/R1/C

정적분 [eqn: int _{ 0} ^{a } { } root{a^2 -x^2 } dx`]의 값을 치환적분을 이용하여 구하고 그 과정을 논술하시오. (단, [eqn: a>0]) [8.0점]

[eqn: {a^2 } over4 pi]

[eqn: x= a` sin`theta`] [eqn: left( - pi over2 le theta le pi over2 right)]라 하면 [eqn: dx over{d theta} = a `cos`theta]

[eqn: x= 0`]일 때 [eqn: theta=0], [eqn: x=a`]일 때 [eqn: theta = pi over2]이므로

[eqn: int _{ 0} ^{a } { } root{a^2 -x^2 } dx`][eqn: =int _{ 0} ^{pi over2 } { }root{a^2 (1-sin^2 theta)} cdota `cos`theta `d theta]

[eqn: =int _{ 0} ^{ pi over2 } { }a^2 `cos^2 `theta `d theta]

[eqn: =int _{ 0} ^{pi over2 } { }1 over2 a^2 (1+ cos`2theta)d theta]

[eqn: = {1} over {2} a ^{2} LEFT [ theta + {1} over {2} `sin`2 theta RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}}]

[eqn: = 1 over2 a^2 times pi over2]

[eqn: = a^2 over4 pi]

부분적분법

태원고/2023년/R1/C

[eqn: x GEQ 0`]인 모든 실수에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 3x ^{2} +2 RIGHT ) e ^{x} `]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]라 할 때,

③

[eqn: x GEQ 0`]인 모든 실수에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 3x ^{2} +2 RIGHT ) e ^{x} `]에서

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =6xe ^{x} + LEFT ( 3x ^{2} +2 RIGHT ) e ^{x}][eqn: = LEFT ( 3x ^{2} +6x+2 RIGHT ) e ^{x} >0]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]라 하므로 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =x`]이고 이것을 미분하면 [eqn: f`' LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) g`' LEFT ( x RIGHT ) =1`]에서

[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT )= {1} over {f` prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} `]이므로

[eqn: int _{2} ^{14e ^{2}} {} {x} over {f` prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} `dx`=`][eqn: int _{2} ^{14e ^{2}} {} xg` prime LEFT ( x RIGHT ) `dx]

[eqn: = LEFT [ pile{`#`} xg LEFT ( x RIGHT ) pile{`#`} RIGHT ] _{2} ^{14e ^{2}} - int _{2} ^{14e ^{2}} {} g LEFT ( x RIGHT ) `dx]

[eqn: =14e ^{2} TIMES g LEFT ( 14e ^{2} RIGHT ) -2g LEFT ( 2 RIGHT ) - int _{2} ^{14e ^{2}} {} g LEFT ( x RIGHT ) `dx]

[eqn: =28e ^{2} - int _{2} ^{14e ^{2}} {} g LEFT ( x RIGHT ) `dx]

[[eqn: BECAUSE ~f LEFT ( 2 RIGHT ) =14e ^{2} `]에서 [eqn: g LEFT ( 14e ^{2} RIGHT ) =2`],

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =2`]에서 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =0`]]

이때 [eqn: int _{0} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx +int _{2} ^{14e ^{2}} {} g LEFT ( x RIGHT ) `dx=28e ^{2}]임을 이용하면

[eqn: int _{2} ^{14e ^{2}} {} {x} over {f` prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} `dx`][eqn: = int _{0} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx]

[eqn: = int _{0} ^{2} {} LEFT ( 3x ^{2} +2 RIGHT ) e ^{x} `dx]

[eqn: = LEFT [ pile{`#`} LEFT ( 3x ^{2} +2 RIGHT ) e ^{x} pile{`#`} RIGHT ] _{0} ^{2} - int _{0} ^{2} {} 6xe ^{x} `dx]

[eqn: =14e ^{2} -2][eqn: -6 LEFT [ pile{`#`} LEFT ( x-1 RIGHT ) e ^{x} pile{`#`} RIGHT ] _{0} ^{2}]

[eqn: =14e ^{2} -2-6 LEFT ( e ^{2} +1 RIGHT )]

[eqn: =8e ^{2} -8]

[eqn: int _{2} ^{14e ^{2}} {} {x} over {f` prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} `dx]

의 값은?

① [eqn: 6e ^{2} -6]	② [eqn: 7e ^{2} -7]	③ [eqn: 8e ^{2} -8]
④ [eqn: 9e ^{2} -9]	⑤ [eqn: 10e ^{2} -10]

불곡고/2023년/R1/

함수 [eqn: f(x)=(5x^2 +2)e^x `]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때,
[eqn: int _{ 2} ^{ 7e} { } x over{f prime(g(x))} dx`]의 값은? [4.9점]

① [eqn: 7e -8]	② [eqn: 7e -10]	③ [eqn: 7e -12]
④ [eqn: 7e -14]	⑤ [eqn: 7e -16]

③

[eqn: f(x)=(5x^2 +2)e^x `]의 역함수가 [eqn: g(x)]일 때

[eqn: f(g(x))=x`]이므로

[eqn: f`prime(g(x)) g` prime(x)=1]

[eqn: 1 over{f`prime(g(x))}= g `prime(x)]

[eqn: int _{ 2} ^{ 7e} { } x over{f prime(g(x))} dx`= int _{ 2} ^{ 7e} { } x`g`prime(x)dx]

[eqn: = LEFT [ x`g(x) RIGHT ] _{2} ^{7e} - int _{2} ^{7e} {} g(x)dx]	[eqn: cdots]①

[eqn: f(0)=2], [eqn: f(1)=7e`]이므로 [eqn: g(2)=0,~g(7e)=1]

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { }f(x)dx = int _{ 0} ^{1 } { }(5x^2 +2)e^x dx]

[eqn: = LEFT [ (5x ^{2} +2)e ^{x} RIGHT ] _{0} ^{1} - int _{0} ^{1} {} 10x`e ^{x} dx]

[eqn: = LEFT [ (5x ^{2} +2)e ^{x} RIGHT ] _{0} ^{1} - LEFT [ 10xe ^{x} RIGHT ] _{0} ^{1} + int _{0} ^{1} {} 10`e ^{x} dx]

[eqn: = LEFT [ (5x ^{2} -10x+2)e ^{x} RIGHT ] _{0} ^{1} + LEFT [ 10e ^{x} RIGHT ] _{0} ^{1}]

[eqn: = LEFT [ (5x ^{2} -10x+12)e ^{x} RIGHT ] _{0} ^{1}]

[eqn: =7e -12]

[eqn: therefore] [eqn: int _{ 2} ^{ 7e} { }g(x)dx =7e- int _{ 0} ^{1 } { }f(x)dx=7e- (7e-12)=12]

①에 대입하면

[eqn: therefore] [eqn: LEFT [ x`g(x) RIGHT ] _{2} ^{7e} - int _{2} ^{7e} {} g(x)dx]

[eqn: =7e timesg(7e)-2g(2)-12]

[eqn: =7e-12] [eqn: (because````g(7e)=1,~g(2)=0)]

[다른 풀이]

[eqn: int _{2} ^{7e} {} {x} over {f prime (g(x))} dx`= int _{2} ^{7e} {} x`g` prime (x)dx`]에서

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =y`]라 하면 [eqn: {dy} over {dx} =g`' LEFT ( x RIGHT )]이고

[eqn: f LEFT ( y RIGHT ) =x`]이므로 [eqn: f(0)=2], [eqn: f(1)=7e`]에서

[eqn: x=2]일 때 [eqn: y=0], [eqn: x=7e]일 때 [eqn: y=1]

[eqn: int _{2} ^{7e} {} x`g` prime (x)dx= int _{0} ^{1} {} f LEFT ( y RIGHT ) `dy]

[eqn: = int _{0} ^{1} {} (5y ^{2} +2)e ^{y} dy]

[eqn: = LEFT [ (5y ^{2} -10y+12)e ^{y} RIGHT ] _{0} ^{1}]

[eqn: =7e -12]

돌마고/2023년/R1/C

[eqn: int _{ 1} ^{e } { } (ln`x)^2 dx =a ,~ int _{ 0} ^{pi } { } e^x cos`x dx =b``]일 때, [eqn: a-b`]의 값은?
[4.4점]

① [eqn: -e - 1 over2 e^pi + 3 over2]	② [eqn: -e + 1 over2 e^pi - 5 over2]	③ [eqn: e + 1 over2 e^pi - 3 over2]	④ [eqn: e + 1 over2 e^pi + 5 over2]	⑤ [eqn: e + e^pi + 1 over2]

③

[eqn: int _{1} ^{e} {} (ln`x) ^{2} dx= LEFT [ x(ln`x) ^{2} RIGHT ] _{1} ^{e} - int _{1} ^{e} {} 2`ln`x`dx]

[eqn: = LEFT [ x(ln`x) ^{2} -2x(ln`x) RIGHT ] _{1} ^{e} + int _{1} ^{e} {} 2dx]

[eqn: = LEFT [ x(ln`x) ^{2} -2x(ln`x)+2x RIGHT ] _{1} ^{e}]

[eqn: =(e-2e+2e)-(0-0+2)]

[eqn: =e-2]

[eqn: therefore] [eqn: a=e-2]

[eqn: int _{0} ^{pi } {} e ^{x} cos`xdx= LEFT [ e ^{x} cos`x RIGHT ] _{0} ^{pi } + int _{0} ^{pi } {} e ^{x} sin`x`dx]

[eqn: = LEFT [ e ^{x} cos`x+e ^{x} sin`x RIGHT ] _{0} ^{pi } - int _{0} ^{pi } {} e ^{x} cos`x`dx]

[eqn: therefore] [eqn: b= int _{0} ^{pi } {} e ^{x} cos`xdx= {1} over {2} LEFT [ e ^{x} (cos`x+sin`x) RIGHT ] _{0} ^{pi }]

[eqn: = 1 over2 (-e^pi ) - 1 over2][eqn: =- 1 over2 e^pi - 1 over2]

[eqn: therefore] [eqn: a-b = e+ 1 over2 e^pi - 3 over2]

태원고/2023년/R1/C

일차함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

④

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) `cos`x RIGHT } '=f`' LEFT ( x RIGHT ) cos`x-f LEFT ( x RIGHT ) sin`x]

이므로 조건 (가)에서

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) `sin`x-f` prime LEFT ( x RIGHT ) `cos`x RIGHT } `dx]
[eqn: = LEFT [ pile{`#`} -f LEFT ( x RIGHT ) cos`x pile{`#`} RIGHT ] _{0}^{{pi} over {2}}]
[eqn: =f LEFT ( 0 RIGHT ) =2]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) `sin`x RIGHT } prime =f` prime LEFT ( x RIGHT ) sin`x+f LEFT ( x RIGHT ) cos`x]

이므로 조건 (나)에서

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) `cos`x+f` prime LEFT ( x RIGHT ) `sin`x RIGHT } `dx]

[eqn: = LEFT [ pile{`#`} f LEFT ( x RIGHT ) sin`x pile{`#`} RIGHT ] _{0}^{{pi} over {2}}]

[eqn: =f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) = {5} over {2} pi +2]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 일차함수이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax+b] ([eqn: a!=0], [eqn: a,``b`]는 상수)

으로 놓으면 ㉠, ㉡에 의하여 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =b=2]

[eqn: f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) = {pi } over {2} a+2= {5} over {2} pi +2`]에서 [eqn: a=5]

[eqn: THEREFORE ~f LEFT ( x RIGHT ) =5x+2]

따라서 [eqn: int _{0} ^{1} {} e ^{x} LEFT ( 5x ^{2} +2 RIGHT ) `dx`]에서 [eqn: u LEFT ( x RIGHT ) =5x ^{2} +2,~v` prime LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} `]으로 놓으면 [eqn: u` prime LEFT ( x RIGHT ) =10x,~v LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} `]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {} e ^{x} f LEFT ( x ^{2} RIGHT ) dx=][eqn: int _{0} ^{1} {} e ^{x} LEFT ( 5x ^{2} +2 RIGHT ) `dx`]
[eqn: = LEFT [ pile{`#`} e ^{x} LEFT ( 5x ^{2} +2 RIGHT ) pile{`#`} RIGHT ] _{0} ^{1} - int _{0} ^{1} {} 10xe ^{x} `dx]
[eqn: =7e-2][eqn: -10 LEFT [ pile{`#`} LEFT ( x-1 RIGHT ) e ^{x} pile{`#`} RIGHT ] _{0} ^{1}]
[eqn: =7e-2-10 LEFT ( 0+1 RIGHT )]
[eqn: =7e-12]

[eqn: THEREFORE ~12+ int _{0} ^{1} {e ^{x} f(x ^{2} )dx} =7e`]

(가) [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {LEFT { f(x)sinx-f`'(x)cosx RIGHT }} dx=2]

(나)[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {LEFT { f(x)cosx+f` prime (x)sinx RIGHT }} dx= {5pi } over {2} +2]

[eqn: 12+ int _{0} ^{1} {e ^{x} f(x ^{2} )dx} `]의 값은?

① [eqn: 4e]	② [eqn: 5e]	③ [eqn: 6e]
④ [eqn: 7e]	⑤ [eqn: 8e]

돌마고/2023년/R1/C

일차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: int _{ 0} ^{ pi over2 } { } f(x)sin`x dx `]의 값은? [5.0점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

①

[eqn: f(x)=ax+b`]라 하면 [eqn: f`prime(x)=a]이므로

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { } left{f(x)+ f`prime(x) right}e^x dx][eqn: =int _{ 0} ^{1 } { } left{ax+(a+b)right}e^x dx]

[eqn: = LEFT [ LEFT { ax+(a+b) RIGHT } e ^{x} RIGHT ] _{0} ^{1} - int _{0} ^{1} {} ae ^{x} dx]

[eqn: = LEFT [ (ax+b)e ^{x} RIGHT ] _{0} ^{1}]

[eqn: =(a+b)e-b=4e-1]

[eqn: therefore] [eqn: a=3,~b=1]

[eqn: therefore] [eqn: int _{ 0} ^{ pi over2 } { } f(x)sin`x dx `][eqn: =int _{ 0} ^{pi over2 } { } (3x+1) sin`x`dx]

[eqn: = LEFT [ -(3x+1)cos`x RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}} + int _{0} ^{{pi } over {2}} {} 3`cos`x`dx]

[eqn: = LEFT [ -(3x+1)cos`x RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}} + LEFT [ 3`sin`x RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}}]

[eqn: =4]

(가) [eqn: int _{ 0} ^{1 } { } left{f(x)+ f`prime(x) right}e^x dx =4e-1]

(나) [eqn: f(x)]의 각 항의 계수는 유리수이다.

위례고/2023/R1/C

실수 전체 집합에서 연속이고 [eqn: y]축 대칭인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: g(x) = int_-1 ^x f(t) dt]일 때, [eqn: int_-1 ^1 xg(x) dx]의 값은? [[eqn: 5.3]점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

①

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: y]축 대칭이므로 [eqn: f LEFT ( 1-x RIGHT ) =f LEFT ( - LEFT ( x-1 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( x-1 RIGHT )]이고 또, [eqn: x]축으로 [eqn: -1]만큼 평행이동하면

[eqn: int_0 ^2 x^2 f(1-x) dx = int_0 ^2 x^2 f(x-1) dx = int_-1 ^1 (x+1)^2 f(x) dx]

따라서 조건 (나)는

[eqn: int_-1 ^1 x^2 f(x) dx = 26 - int_0 ^2 x^2 f(1-x) dx=26 - int_-1 ^1 (x+1)^2 f(x) dx]

이므로 정리하면

[eqn: int_-1 ^1 (2x^2 +2x+1 ) f(x) dx = 4 int_0 ^1 x^2 f(x) dx+ 2int_0 ^1 f(x) dx=26]

[eqn: therefore][eqn: int_0 ^1 x^2 f(x) dx=3]

한편, [eqn: g(x) = int_-1 ^x f(t) dt]이므로

[eqn: g(-1)=0], [eqn: g(1) = int_-1 ^1 f(t)dt= 14], [eqn: g`'(x) = f(x)]

[eqn: int_-1 ^1 xg(x) dx][eqn: = left[pile{`#`} 1over2 x^2 g(x) right]_-1 ^1 - int_-1 ^1 1over2 x^2 g`'(x) dx][eqn: = 1over2 g(1) - 1over2 g(-1) - int _0 ^1 x^2 f(x) dx][eqn: =4]

(가) [eqn: int_0 ^1 f(x) dx =7]

(나) [eqn: int_-1 ^1 x^2 f(x) dx = 26 - int_0 ^2 x^2 f(1-x) dx]

이매고/2023년/R2/C

[eqn: int _{0} ^{2} {4e ^{2x} LEFT ( x ^{2} -2x RIGHT ) dx} =pe ^{4} +q]를 만족시키는 두 정수 [eqn: p,~q]에 대하여 [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: e ^{4}]은 무리수이다.) [[eqn: 4.9]점]

②

[eqn: int _{0} ^{2} {4e ^{2x} LEFT ( x ^{2} -2x RIGHT ) dx} = LEFT [ LEFT ( 2x ^{2} -6x+3 RIGHT ) e ^{2x} RIGHT ] _{0}^{2} =-e ^{4} -3]

[eqn: p+q=-4]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

이매고/2023년/R2/C

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x ^{2} -1}]이 있다. 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 점[eqn: ` LEFT ( t,~f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )]를 지나고 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프 위의 점 [eqn: LEFT ( t,~f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선에 수직인 직선의 [eqn: x]절편을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자.

[eqn: {e ^{6} +2} over {2}]

[eqn: f' LEFT ( t RIGHT ) =2te ^{t ^{2} -1}]이므로 수직인 직선의 기울기는 [eqn: - {1} over {2te ^{t ^{2} -1}}]

[eqn: y=- {1} over {2te ^{t ^{2} -1}} LEFT ( x-t RIGHT ) +e ^{t ^{2} -1}]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =2te ^{2t ^{2} -2} +t]

[eqn: int _{1} ^{2} {LEFT ( 2te ^{2t ^{2} -2} +t RIGHT ) dt} = LEFT [ {1} over {2} e ^{2t ^{2} -2} + {t ^{2}} over {2} RIGHT ] _{1}^{2} = {e ^{6} +2} over {2}]

[eqn: int _{1} ^{2} {g LEFT ( t RIGHT ) dt}]의 값을 구하고 그 과정을 논술하시오. [[eqn: 5.0]점]

적분을 포함한 등식

위례고/2023/R1/C

함수 [eqn: f(x)]가 다음 등식을 만족시킬 때, [eqn: 2 f left( pi over3 right)]의 값은? [[eqn: 4.7]점]

① [eqn: - 5over6]	② [eqn: - 2over3]	③ [eqn: - 1over2]
④ [eqn: - 1over3]	⑤ [eqn: - 1over6]

④

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {} f(t)sint`dt=c``]라고 하면, [eqn: f(x) = cosx + 4c]

[eqn: int_0^{ piover2} (cost +4c ) sint dt]

[eqn: =int_0^{ piover2} (cost sint +4c sint) dt]

[eqn: =int_0^{ piover2}left ( 1over2 {`sin2t } +4c sint right) dt]

[eqn: = LEFT [ pile{`#`} - {1} over {4} `cos2t-4c`cost RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}} = {1} over {2} +4c=c]

[eqn: c= - 1 over6]

[eqn: f(x) = cosx - 2over3]

그러므로 [eqn: 2 f left( pi over3 right) = 2 left( 1over2 - 2 over3 right) = - 1over3]

[eqn: f(x) = cosx + 4 int_0 ^ {piover2} f(t) sint `dt]

이매고/2023년/R2/C

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: int _{0} ^{x} {LEFT ( x-t RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt} =e ^{2x ^{2} +1} -e]
를 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? [[eqn: 4.9]점]

④

[eqn: x int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} - int _{0} ^{x} {t`f LEFT ( t RIGHT ) dt} =e ^{2x ^{2} +1} -e] 양변을 미분하면

[eqn: int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} +x`f LEFT ( x RIGHT ) -x`f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 4x RIGHT ) e ^{2x ^{2} +1}] 다시 양변을 미분하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 16x ^{2} +4 RIGHT ) e ^{2x ^{2} +1}]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =20e ^{3}]

① [eqn: 17e ^{3}]	② [eqn: 18e ^{3}]	③ [eqn: 19e ^{3}]

④ [eqn: 20e ^{3}]	⑤ [eqn: 21e ^{3}]

여러가지 적분법(step3)

1.

태원고/2023년/R1/B

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 모든 양의 실수 [eqn: x`]에 대하여

①

[eqn: xf` prime LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT ) = {6x ^{3}} over {sqrt {4x ^{2} +1}} `]에서

[eqn: {xf` prime LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2}} = {6x} over {sqrt {4x ^{2} +1}} `]이고

[eqn: {xf`' LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2}} = LEFT { {f LEFT ( x RIGHT )} over {x} RIGHT } '`]이므로

[eqn: {f LEFT ( x RIGHT )} over {x} = int _{} ^{} {} {6x} over {sqrt {4x ^{2} +1}} `dx]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

㉠에서 [eqn: sqrt {4x ^{2} +1} =t`]로 놓으면

[eqn: 4x ^{2} +1=t ^{2} `]에서 [eqn: 8x=2t TIMES {dt} over {dx} ,~x= {t} over {4} TIMES {dt} over {dx} `]이므로

[eqn: {f LEFT ( x RIGHT )} over {x}][eqn: = int _{} ^{} {} {6x} over {sqrt {4x ^{2} +1}} `dx][eqn: = int _{} ^{} {} LEFT ( {1} over {t} TIMES {3t} over {2} RIGHT ) `dt]
[eqn: = int _{} ^{} {} {3} over {2} `dt][eqn: = {3} over {2} t+C]
[eqn: = {3} over {2} sqrt {4x ^{2} +1} +C] (단, [eqn: C`]는 적분상수)

그러므로	[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {3} over {2} x sqrt {4x ^{2} +1} +C`x]

이때

[eqn: f LEFT ( sqrt {2} RIGHT )][eqn: = {3} over {2} TIMES sqrt {2} TIMES 3+C TIMES sqrt {2}][eqn: = LEFT ( {9} over {2} +C` RIGHT ) sqrt {2}][eqn: = sqrt {2}]

이므로 [eqn: C=- {7} over {2}]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {x` LEFT ( 3 sqrt {4x ^{2} +1} -7 RIGHT )} over {2} `]이므로

[eqn: int _{sqrt {2}} ^{sqrt {6}} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx= int _{sqrt {2}} ^{sqrt {6}} {} {x` LEFT ( 3 sqrt {4x ^{2} +1} -7 RIGHT )} over {2} `dx]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉡에서 앞에서와 같이 [eqn: sqrt {4x ^{2} +1} =t`]로 놓으면

[eqn: x= sqrt {2} `]일 때 [eqn: t=3], [eqn: x= sqrt {6} `]일 때 [eqn: t=5`]이고 [eqn: x= {t} over {4} TIMES {dt} over {dx} `]이므로

[eqn: int _{sqrt {2}} ^{sqrt {6}} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx= int _{sqrt {2}} ^{sqrt {6}} {} {x LEFT ( 3 sqrt {4x ^{2} +1} -7 RIGHT )} over {2} `dx]
[eqn: = int _{3} ^{5} {} LEFT ( {3t-7} over {2} TIMES {t} over {4} RIGHT ) `dt]
[eqn: = {1} over {8} int _{3} ^{5} {} LEFT ( 3t ^{2} -7t RIGHT ) `dt]
[eqn: = {1} over {8} LEFT [ pile{`#`} t ^{3} - {7} over {2} t ^{2} pile{`#`} RIGHT ] _{3} ^{5}]
[eqn: = {1} over {8} LEFT { LEFT ( 125-27 RIGHT ) - {7} over {2} LEFT ( 25-9 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = {21} over {4}]

[eqn: THEREFORE ~4 int _{sqrt {2}} ^{sqrt {6}} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx=21`]

[eqn: xf` prime LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT ) = {6x ^{3}} over {sqrt {4x ^{2} +1}} `]

을 만족시킨다. [eqn: f LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) = sqrt {2} `]일 때, [eqn: 4 int _{sqrt {2}} ^{sqrt {6}} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx`]의 값은?

① [eqn: 21]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 23]
④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

태원고/2023년/R1/B

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

②

[eqn: int _{0} ^{x} {} LEFT ( x ^{3} +x RIGHT ) f LEFT ( xt RIGHT ) `dt=a`sin`x+b`cos`2x+c]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=0`]을 대입하면

[eqn: 0=b+c]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

[eqn: int _{0} ^{x} {} LEFT ( x ^{3} +x RIGHT ) f LEFT ( xt RIGHT ) `dt`]에서 [eqn: xt=z`]로 놓으면

[eqn: t=0`]일 때 [eqn: z=0], [eqn: t=x`]일 때 [eqn: z=x ^{2} `]이고, [eqn: x= {dz} over {dt} `]이므로

[eqn: int _{0} ^{x} {} LEFT ( x ^{3} +x RIGHT ) f LEFT ( xt RIGHT ) `dt][eqn: = int _{0} ^{x ^{2}} {} LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) f LEFT ( z RIGHT ) `dz]
[eqn: = LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) int _{0} ^{x ^{2}} {} f LEFT ( z RIGHT ) `dz]

위의 식을 ㉠에 대입하면

[eqn: LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) int _{0} ^{x ^{2}} {} f LEFT ( z RIGHT ) `dz=a`sin`x+b`cos`2x+c]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

㉢의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: 2x int _{0} ^{x ^{2}} {} f LEFT ( z RIGHT ) `dz+ LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) f LEFT ( x ^{2} RIGHT ) TIMES 2x=a`cos`x-2b`sin`2x]

[eqn: 2x int _{0} ^{x ^{2}} {} f LEFT ( z RIGHT ) `dz+ LEFT ( 2x ^{3} +2x RIGHT ) f LEFT ( x ^{2} RIGHT ) =a`cos`x-2b`sin`2x]	[eqn: CDOTS] ㉣

㉣의 양변에 [eqn: x=0`]을 대입하면	[eqn: 0=a]

㉣에 [eqn: a=0`]을 대입한 후 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: 2 int _{0} ^{x ^{2}} {} f LEFT ( z RIGHT ) `dz+2xf LEFT ( x ^{2} RIGHT ) TIMES 2x+ LEFT ( 6x ^{2} +2 RIGHT ) f LEFT ( x ^{2} RIGHT )]	[eqn: + LEFT ( 2x ^{3} +2x RIGHT ) f`' LEFT ( x ^{2} RIGHT ) TIMES 2x]

[eqn: =-4b`cos`2x]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉤

㉤의 양변에 [eqn: x=0`]을 대입하면

[eqn: 2f LEFT ( 0 RIGHT ) =-4b]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =2`]이므로	[eqn: b=-1]

㉡에서 [eqn: c=-b=1]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =0 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} +1 ^{2} =2]

[eqn: int _{0} ^{x} {} LEFT ( x ^{3} +x RIGHT ) f LEFT ( xt RIGHT ) `dt=a`sin`x+b`cos`2x+c]

를 만족시킨다. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =2`]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} `]의 값은? (단, [eqn: a,~b,~c`]는 상수이다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

태원고/2023년/R1/B

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시킨다.

④

조건 (가)에서[eqn: int _{0} ^{x} {} f` prime LEFT ( t RIGHT ) `dt=sin ^{2} x`]를 미분하면

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =2`sinx`cosx=sin2x`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =- {1} over {2} `cos2x+C`] (단, [eqn: C``]는 적분상수)

조건 (나)에서 [eqn: x=0`]을 대입하면

[eqn: LEFT { f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT } ^{2} -f LEFT ( 0 RIGHT ) -1=0`]이고 [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =0`]이므로 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-1`]

따라서 [eqn: C`=- {1} over {2} `]

[eqn: THEREFORE ~f LEFT ( x RIGHT ) =- {1} over {2} `cos2x- {1} over {2}]

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x- {n pi } over {2} RIGHT ) +n`]

라 하므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =- {1} over {2} `cos2 LEFT ( x- {n pi } over {2} RIGHT ) - {1} over {2} +n`]

[eqn: =- {1} over {2} `cos LEFT ( 2x-n pi RIGHT ) - {1} over {2} +n`]

[eqn: =- {1} over {2} `cos LEFT ( n pi -2x RIGHT ) - {1} over {2} +n`]

[eqn: = {cases{- {1} over {2} `cos2x- {1} over {2} +2m~&~~(n=2m)#{1} over {2} `cos2x- {1} over {2} +2m-1~&~~ LEFT ( n=2m-1 RIGHT )}}]

[eqn: = {cases{`f LEFT ( x RIGHT ) +2m~&~~(n=2m)#`-f LEFT ( x RIGHT ) -1+2m-1~&~~ LEFT ( n=2m-1 RIGHT )}}]

[eqn: THEREFORE ~g LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} f LEFT ( x RIGHT ) `= {cases{`2m~&~~(n=2m)#`2m-2~&~~ LEFT ( n=2m-1 RIGHT )}}]

이때 [eqn: a _{n} = int _{{n pi } over {2}} ^{{LEFT ( n+1 RIGHT ) pi } over {2}} {} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } `dx`]이므로

[eqn: THEREFORE ~a _{n} = {cases{`m pi ~&~~(n=2m)#` LEFT ( m-1 RIGHT ) pi ~&~~ LEFT ( n=2m-1 RIGHT )}}]

따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{22} a _{k} = sum _{m=1} ^{11} LEFT ( a _{2m-1}+ a _{2m} RIGHT )]

[eqn: = sum _{m=1} ^{11} LEFT { LEFT ( m-1 RIGHT ) pi +m pi RIGHT }]

[eqn: = sum _{m=1} ^{11} LEFT ( 2m-1 RIGHT ) pi]

[eqn: =121 pi]

이므로 [eqn: p=121`]

(가) [eqn: int _{0} ^{x} {} f` prime LEFT ( t RIGHT ) `dt=sin ^{2} x`]

(나) [eqn: LEFT { f` prime LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -f LEFT ( 2x RIGHT ) -1=0`]

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x- {n pi } over {2} RIGHT ) +n`]

이라 하고

[eqn: a _{n} = int _{{n pi } over {2}} ^{{LEFT ( n+1 RIGHT ) pi } over {2}} {} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } `dx]

라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{22} a _{k} =p pi `]일 때, [eqn: p`]의 값은?

① [eqn: 49]	② [eqn: 81]	③ [eqn: 100]
④ [eqn: 121]	⑤ [eqn: 144]

돌마고/2023년/R1/B

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: int _{ 0} ^{x } { } (x^2 +x)f(xt)dt =a`sin`x + b` cos`x +c`]를 만족시킨다. [eqn: f(0)=2`]일 때, [eqn: a^2 +b^2 +c^2 `]의 값은? (단, [eqn: a,~b,~c`]는 상수이다.) [5.2점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 128]

④

[eqn: int _{ 0} ^{x } { } (x^2 +x)f(xt)dt =a`sin`x + b` cos`x +c`]	[eqn: cdots]①

①에 [eqn: x=0`]을 대입하면 [eqn: 0=b+c`]	[eqn: cdots]②

①에서 [eqn: s= xt`]라 하면 [eqn: ds overdt =x]

[eqn: t=0]일 때 [eqn: s=0], [eqn: t=x`]일 때 [eqn: s=x^2]이므로

[eqn: int _{ 0} ^{x } { } (x^2 +x)f(xt)dt = int _{ 0} ^{x^2 } { } (x +1) f(s) ds = (x+1)int _{ 0} ^{x^2 } { } f(s) ds]

[eqn: (x+1)int _{ 0} ^{x^2 } { } f(s) ds =a`sin`x + b` cos`x +c`]

양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: int _{ 0} ^{x^2 } { }f(s)ds +(x+1) f(x^2 )times2x=a`cos`x -b`sin`x] [eqn: cdots]③

③에 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: 0=a]

이것을 ③에 대입하면

[eqn: int _{ 0} ^{x^2 } { }f(s)ds +(2x^2 +2x) f(x^2 )= -b`sin`x]

양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: 2xf(x^2 )+(4x+2)f(x^2 )+(2x^2 +2x)f`prime(x^2 )times2x =-b`cos`x]

[eqn: x=0`]을 대입하면

[eqn: 2f(0)=-b]

[eqn: f(0)=2`]이므로 [eqn: b=-4]

이것을 ②에 대입하면 [eqn: c=4]

[eqn: therefore] [eqn: a^2 +b^2 +c^2 =0+16+16=32]

태원고/2023년/R1/A

실수 전체의 집합에서 이계도함수와 역함수가 존재하는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]와 그 도함수 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

①

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) -x`]로 놓으면

[eqn: h`' LEFT ( x RIGHT ) =f`' LEFT ( x RIGHT ) -1`]

조건(가)에 의해 [eqn: h LEFT ( 1 RIGHT ) >0`]

조건(나)에 의해 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 실근의 집합은 [eqn: LEFT { 0,~2,~4,~5,~6,~8,~10 RIGHT }]

조건(다)에 의해 [eqn: h`' LEFT ( x RIGHT ) =0`]은 서로 다른 [eqn: 6`]개의 실근을 갖는다.

따라서 닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,~10 RIGHT ] `]에서 조건을 만족하는 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) -x`]를 그래프로 나타내면 다음 그림과 같다.

[eqn: 10]

[eqn: x]

[eqn: 8]

[eqn: 2]

[eqn: 4]

[eqn: 0]

[eqn: 6]

[eqn: 5]

[eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]

한편, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]라 하므로 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =x`]이고 이것을 미분하면 [eqn: f` prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) TIMES g` prime LEFT ( x RIGHT ) =1`]이므로

[eqn: f` prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) = {1} over {g` prime LEFT ( x RIGHT )} `]

따라서 주어진 부등식의 좌변에 대입하면

[eqn: int _{5} ^{x} {} {1} over {g` prime LEFT ( t RIGHT )} `dt= int _{5} ^{x} {} f`' LEFT ( g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT ) `dt]

이고 [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =z`]로 놓으면 [eqn: g`' LEFT ( t RIGHT ) = {dz} over {dt} `]에서 [eqn: dt= {1} over {g` prime LEFT ( t RIGHT )} `dz=f` prime LEFT ( z RIGHT ) `dz`]

이때 [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =5`]이므로 [eqn: g LEFT ( 5 RIGHT ) =5`]이고 또 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =x`]로 놓으면 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =k`]

즉 [eqn: t=5`]일 때 [eqn: z=5], [eqn: t=x`]일 때 [eqn: z=k`]이므로

[eqn: int _{5} ^{x} {} f` prime LEFT ( g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT ) `dt= int _{5} ^{k} {} f` prime LEFT ( z RIGHT ) ` TIMES f` prime LEFT ( z RIGHT ) `dt= int _{5} ^{k} {} LEFT { f` prime LEFT ( z RIGHT ) RIGHT } ^{2} `dz`]

이므로 주어진 부등식을 정리하면

[eqn: int _{5} ^{k} {} LEFT { f` prime LEFT ( z RIGHT ) RIGHT } ^{2} `dz> int _{5} ^{x} {} LEFT { f`' LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2} `dt`]

여기에서 [eqn: LEFT { f` prime LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2} GEQ 0`]이므로 부등식이 성립하려면 [eqn: k>x`]이다.

즉, [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =x`]이면서 [eqn: k>x`]을 만족해야 한다.

이때 [eqn: h LEFT ( k RIGHT ) =f LEFT ( k RIGHT ) -k=x-k<0`]이므로

[eqn: 2<k<4] 또는 [eqn: 5<k<6] 또는 [eqn: 8<k<10]

이다. 따라서 만족하는 모든 정수 [eqn: x`]의 값의 합은

[eqn: 3+9=12`]

[보충 풀이]

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,~10 RIGHT ] `]에서 조건을 만족하는 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]를 그래프로 나타내면 다음 그림과 같다.

[eqn: 2]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y=x]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 6]

[eqn: 10]

[eqn: 8]

주어진 부등식을 만족하려면 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =x`]이고 [eqn: k>x`]을 만족해야 한다.

이때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x`]를 만족하는 [eqn: LEFT { 0,~2,~4,~5,~6,~8,~10 RIGHT }]는 주어진 부등식을 만족하지 않는다.

그러므로 닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,~10 RIGHT ] `]에서 주어진 부등식을 만족하는 정수 [eqn: x`]의 값은 [eqn: 1,~3,~7,~9`] 중에 존재한다.

[eqn: x=1`]일 때 : [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =1`]이면서 [eqn: k<1`]이므로 성립하지 않는다.

[eqn: LEFT ( 2,``2 RIGHT )]

[eqn: k]

[eqn: 1]

[eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =1]

[eqn: LEFT ( 0,``0 RIGHT )]

[eqn: x=3`]일 때 : [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =3`]이면서 [eqn: k>3`]이므로 성립한다.

[eqn: LEFT ( 4,``4 RIGHT )]

[eqn: k]

[eqn: 3]

[eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =3]

[eqn: LEFT ( 2,``2 RIGHT )]

[eqn: x=7`]일 때 : [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =7`]이면서 [eqn: k<7`]이므로 성립하지 않는다.

[eqn: x=9`]일 때 : [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =9`]이면서 [eqn: k>9`]이므로 성립한다.

따라서 만족하는 모든 정수 [eqn: x`]의 값의 합은

[eqn: 3+9=12`]

(가) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) >1`]

(나) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x`]의 실근의 집합은	[eqn: LEFT { 0,~2,~4,~5,~6,~8,~10 RIGHT }]이다.

(다) 방정식 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =1`]은 서로 다른 [eqn: 6`]개의 실근을 갖는다.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]라 할 때, 닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,~10 RIGHT ] `]에서 [eqn: x`]에 대한 부등식

[eqn: int _{5} ^{x} {} {1} over {g` prime LEFT ( t RIGHT )} `dt> int _{5} ^{x} {} LEFT { f`' LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{2} `dt`]

를 만족시키는 모든 정수 [eqn: x`]의 값의 합은?

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]
④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

돌마고/2023년/R1/A

함수 [eqn: f(x)`]의 도함수 [eqn: f`prime(x)]와 이계도함수 [eqn: f`primeprime(x)]가 각각 실수 전체의 집합에서 연속이고, 함수 [eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: g(x)]의 도함수 [eqn: g` prime(x)]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g`prime(x)>0`]을 만족시킨다.
[eqn: f`prime(0)=e], [eqn: f`prime(4)=e^5`]일 때, 정적분 [eqn: int _{4} ^{0} {} LEFT { {f` prime prime (x)} over {f` prime (x)} `ln`g prime (f(x)) RIGHT } dx`]의 값은? (단, 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f` prime(x)>0`]이다.) [5.3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 16]
④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 24]

②

[eqn: g(f(x))=x`]를 미분하면 [eqn: g`prime(f(x))f`prime(x)=1]이므로

[eqn: f`prime(x)= 1 over{g` prime(f(x))]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f` prime(x)>0`]이고 [eqn: g`prime(x)>0]이므로

[eqn: ln`f` prime (x)=-ln`g prime (f(x))]

[eqn: int _{4} ^{0} {} LEFT { {f` prime prime (x)} over {f` prime (x)} `ln`g prime (f(x)) RIGHT } dx`= int _{0} ^{4} {} LEFT { - {f` prime prime (x)} over {f` prime (x)} `ln`g prime (f(x)) RIGHT } dx`]

[eqn: t=ln`f`prime(x)=-lng`prime(f(x))]라 하면 [eqn: dt overdx = {f`prime prime(x)} over{f`prime(x)}]

[eqn: f`prime(0)=e], [eqn: f`prime(4)=e^5`]이므로

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=ln`|`f`prime(0)`|=ln`e=1]

[eqn: x=4]일 때 [eqn: t=ln`|`f`prime(4)`|=ln`e^5 =5]

[eqn: int _{0} ^{4} {} LEFT { - {f` prime prime (x)} over {f` prime (x)} `ln`g prime (f(x)) RIGHT } dx`= int _{1} ^{5} {} t`dt][eqn: = LEFT [ {1} over {2} t ^{2} RIGHT ] _{1} ^{5} = {25} over {2} - {1} over {2} =12]

돌마고/2023년/R1/A

[eqn: int _{ 0} ^{pi over2 } { }{sin`x} over{sin` x+ cos`x} dx`]의 값은? [5.5점]

① [eqn: pi over4]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over2]
④ [eqn: pi over2]	⑤ [eqn: pi +1]

①

[eqn: int _{ 0} ^{pi over2 } { }{sin`x} over{sin` x+ cos`x} dx`]

[eqn: = int _{ 0} ^{pi over2 } { } {sin`x (cos`x-sin`x)} over{cos`^2 x - sin^2` x } dx]

[eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {} {{1} over {2} `sin`2x- {1-cos`2x} over {2}} over {cos`2x} `dx]

[eqn: = 1 over2 int _{ 0} ^{ pi over2 } { } left( {sin`2x} over{cos`2x} - 1 over{cos`2x} +1 right) dx]	[eqn: cdots]①

이때 [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {} {sin`2x} over {cos`2x} dx`]에서

[eqn: t= cos`2x`]라 하면 [eqn: {dt} over {dx} =-2sin`2x]

[eqn: x=0`]일 때 [eqn: t=1], [eqn: x= pi over2]일 때 [eqn: t=-1]

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {} {sin`2x} over {cos`2x} dx= {1} over {2} int _{-1} ^{1} {} {1} over {t} dt= {1} over {2} LEFT [ ln`|`t`| RIGHT ] _{-1} ^{1} =0]	[eqn: cdots]②

또 [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {} {1} over {cos`2x} dx= int _{0} ^{{pi } over {2}} {} {cos`2x} over {cos ^{2} `2x} dx= int _{0} ^{{pi } over {2}} {} {cos`2x} over {1-sin ^{2} `2x} dx`]에서

[eqn: t=sin`2x`]라 하면 [eqn: dt overdx =2 `cos`2x]

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=0], [eqn: x= pi over2]일 때 [eqn: t=0]이므로

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {} {cos`2x} over {1-sin ^{2} `2x} dx= {1} over {2} int _{0} ^{0} {} {1} over {1-t ^{2}} dt=0]	[eqn: cdots]③

②, ③을 ①에 대입하면

[eqn: therefore] [eqn: 1 over2 int _{ 0} ^{ pi over2 } { } left( {sin`2x} over{cos`2x} - 1 over{cos`2x} +1 right) dx][eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {} {1} over {2} dx= LEFT [ {1} over {2} x RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}} = {pi } over {4}]

[다른 풀이]

[eqn: int _{ 0} ^{pi over2 } { }{sin`x} over{sin` x+ cos`x} dx`]

[eqn: = int _{ 0} ^{ pi over2} { } { 1 over2 (sin`x +cos`x+sin`x-cos`x)} over{sin`x + cos`x} dx]

[eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {} {1} over {2} dx- {1} over {2} int _{0} ^{{pi } over {2}} {} {cos`x-sin`x} over {sin`x+cos`x} dx]	[eqn: cdots]①

이때 [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {} {cos`x-sin`x} over {sin`x+cos`x} dx`]에서

[eqn: t= sin`x +cos`x `]라 하면 [eqn: dt overdx = cos`x -sin`x]

[eqn: x=0`]일 때 [eqn: t=1], [eqn: x= pi over2]일 때 [eqn: t=1]이므로

[eqn: int _{ 0} ^{pi over2 } { } {cos`x-sin`x} over{ sin`x+cos`x} dx = int _{ 1} ^{1 } { } 1 overt dt=0]

이것을 ①에 대입하면 따라서

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {} {1} over {2} dx- {1} over {2} int _{0} ^{{pi } over {2}} {} {cos`x-sin`x} over {sin`x+cos`x} dx= int _{0} ^{{pi } over {2}} {} {1} over {2} dx= LEFT [ {1} over {2} x RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}} = {pi } over {4}]

돌마고/2023년/R1/A

정적분 [eqn: rm I_{itn} = int _{ 0} ^{pi over4 } { } 1 over{(cos`x)^n} dx`] (단, [eqn: n`]은 정수이다.)에 대하여 다음 물음에 답하시오. [총 10.0점]
(1) [eqn: rm I _{1} ,~I _{0} ,~I _{2} `]를 각각 구하고 그 과정을 서술하시오. [1.5점]

(2) [eqn: rmI_1]을 구하고 그 과정을 서술하시오. [2.0점]

(3) 모든 정수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n rm I _{it n rm} -(it n+1) rm I _{it n+2 rm} +( sqrt {2} ) ^{it n} =0`]이 성립함을 증명하시오. [2.5점]

(4) [eqn: int _{ 0} ^{1 } { } root{x^2 +1} dx`]와 [eqn: int _{ 0} ^{1 } { } 1 over{(x^2 +1)^3 } dx `]를 구하고 그 과정을 서술하시오. [4.0점]

(1) [eqn: rmI_-1 = root2 over2 ,~I_0 = pi over4 ,~I_2 =1]
(2) [eqn: rmI_1 =ln (root2 +1)]
(3) [eqn: rm I_{itn} = int _{ 0} ^{pi over4 } { } 1 over{(cos`x)^n} dx`][eqn: = int _{ 0} ^{pi over4 } { } {cos`x} over{(cos`x)^n+1} dx`]
[eqn: u=(cos `x)^{-n-1} ,~ v `prime= cos `x]라 하면
[eqn: u`prime= (-n-1)(cos`x)^{-n-2} cdot(-sin`x)]이고 [eqn: v=sin`x]이므로
[eqn: int _{ 0} ^{pi over4 } { } {cos`x} over{(cos`x)^n+1} dx`]
[eqn: = LEFT [ {sin`x} over {(cos`x) ^{n+1}} RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {4}} - int _{0} ^{{pi } over {4}} {} LEFT { (-n-1) TIMES {sin`x} over {(cos`x) ^{n+2}} TIMES (-sin`x) RIGHT } dx]
[eqn: =(root2 )^n - (n+1)int _{ 0} ^{pi over4 } { }left( 1over{(cos`x)^n+2} times sin^2 x right)`dx]
[eqn: =(root2 )^n - (n+1)int _{ 0} ^{pi over4 } { } left{ 1over{(cos`x)^n+2} times(1-cos^2 x) right}dx]
[eqn: =(root2 )^n - (n+1)int _{ 0} ^{pi over4 } { } 1over{(cos`x)^n+2} dx +(n+1)int _{ 0} ^{pi over4 } { } 1over{(cos`x)^n} dx]
[eqn: = (root2 )^n -(n+1)rmI_{itn+2} +(it n+1) rmI_{it n}]
따라서 [eqn: rm I _{it n rm} =( sqrt {2} ) ^{it n} -(it n+1) rm I _{it n+2 rm} +( it n+1) rm I _{it n rm} `]이므로
[eqn: therefore] [eqn: n rm I _{it n rm} -(it n+1) rm I _{it n+2 rm} +( sqrt {2} ) ^{it n} =0`]
(4) [eqn: int _{0} ^{1} {} sqrt {x ^{2} +1} dx`= {1} over {2} `ln( sqrt {2} +1)+ {sqrt {2}} over {2}]
[eqn: int _{ 0} ^{1 } { } 1 over{(x^2 +1)^3 } dx ` ={3} over32 pi + 1 over4]

(1) [eqn: rm I _{-1} = it int _{0} ^{{pi } over {4}} {} cos`x`dx= LEFT [ sin`x RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {4}} = {sqrt {2}} over {2}]

[eqn: rm I _{0} = it int _{0} ^{{pi } over {4}} {} 1dx= LEFT [ x RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {4}} = {pi } over {4}]

[eqn: rm I _{2} = it int _{0} ^{{pi } over {4}} {} {1} over {cos ^{2} `x} `dx= int _{0} ^{{pi } over {4}} {} sec ^{2} `x`dx= LEFT [ tan`x RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {4}} =1]

(2) [eqn: rmI_1 = it int _{ 0} ^{pi over4 } { } 1 over{cos`x} dx = int _{ 0} ^{pi over4 } { } {cos`x} over{cos^2 `x} dx = int _{ 0} ^{pi over4 } { } {cos`x} over{1-sin^2 `x} dx]

[eqn: t=sin`x`]라 하면 [eqn: dt overdx =cos`x]

[eqn: x=0`]일 때 [eqn: t=0], [eqn: x= pi over4]일 때 [eqn: t= 1 overroot2]

[eqn: int _{ 0} ^{pi over4 } { } {cos`x} over{1-sin^2 `x} dx][eqn: = int _{ 0} ^{1 overroot2 } { } 1 over1-t^2 dt]

[eqn: =int _{ 0} ^{1 overroot2 } { } 1 over2 left( 1 over1+t + 1 over1-t right)dt]

[eqn: = LEFT [ {1} over {2} (ln`|`1+t`|-ln`|1-t`|) RIGHT ] _{0} ^{{1} over {sqrt {2}}}]

[eqn: = {1} over {2} `ln LEFT | {1+ {1} over {sqrt {2}}} over {1- {1} over {sqrt {2}}} RIGHT |]

[eqn: = {1} over {2} `ln LEFT | {sqrt {2} +1} over {sqrt {2} -1} RIGHT |]

[eqn: = {1} over {2} `ln( sqrt {2} +1) ^{2}]

[eqn: =ln (root2 +1)]

(3) [eqn: rm I_{itn} = int _{ 0} ^{pi over4 } { } 1 over{(cos`x)^n} dx`][eqn: = int _{ 0} ^{pi over4 } { } {cos`x} over{(cos`x)^n+1} dx`]

[eqn: u=(cos `x)^{-n-1} ,~ v `prime= cos `x]라 하면

[eqn: u`prime= (-n-1)(cos`x)^{-n-2} cdot(-sin`x)]이고 [eqn: v=sin`x]이므로

[eqn: int _{ 0} ^{pi over4 } { } {cos`x} over{(cos`x)^n+1} dx`]

[eqn: = LEFT [ {sin`x} over {(cos`x) ^{n+1}} RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {4}} - int _{0} ^{{pi } over {4}} {} LEFT { (-n-1) TIMES {sin`x} over {(cos`x) ^{n+2}} TIMES (-sin`x) RIGHT } dx]

[eqn: =(root2 )^n - (n+1)int _{ 0} ^{pi over4 } { }left( 1over{(cos`x)^n+2} times sin^2 x right)`dx]

[eqn: =(root2 )^n - (n+1)int _{ 0} ^{pi over4 } { } left{ 1over{(cos`x)^n+2} times(1-cos^2 x) right}dx]

[eqn: =(root2 )^n - (n+1)int _{ 0} ^{pi over4 } { } 1over{(cos`x)^n+2} dx +(n+1)int _{ 0} ^{pi over4 } { } 1over{(cos`x)^n} dx]

[eqn: = (root2 )^n -(n+1)rmI_{itn+2} +(it n+1) rmI_{it n}]

따라서 [eqn: rm I _{it n rm} =( sqrt {2} ) ^{it n} -(it n+1) rm I _{it n+2 rm} +( it n+1) rm I _{it n rm} `]이므로

[eqn: therefore] [eqn: n rm I _{it n rm} -(it n+1) rm I _{it n+2 rm} +( sqrt {2} ) ^{it n} =0`]

[다른 풀이]

[eqn: rm I_{itn+2} = int _{ 0} ^{pi over4 } { } 1 over{(cos`x)^{n+2}} dx` = itint _{ 0} ^{pi over4 } { } {(sec`x)^{n}cdot sec^2 `x}`` dx`]

[eqn: u=(sec `x)^n ,~ v `prime= sec^2 `x]라 하면

[eqn: u`prime= n(sec`x)^n` tan`x], [eqn: v=tan`x]이므로

[eqn: itint _{ 0} ^{pi over4 } { } {(sec`x)^{n}cdot sec^2 `x}`` dx`]

[eqn: = LEFT [ (sec`x) ^{n} `tan`x RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {4}} - int _{0} ^{{pi } over {4}} {} n(sec`x) ^{n} `tan ^{2} `x`dx]

[eqn: =( sqrt {2} ) ^{n} - int _{0} ^{{pi } over {4}} {} n(sec`x) ^{n} `(sec ^{2} x-1)`dx]

[eqn: =( sqrt {2} ) ^{n} - int _{0} ^{{pi } over {4}} {} n(sec`x) ^{n+2} ``dx+ int _{0} ^{{pi } over {4}} {} n(sec`x) ^{n} `dx]

[eqn: =( sqrt {2} ) ^{n} -n rm I _{it n+2 rm} + it n rm I _{it n rm}]

따라서 [eqn: rm I _{it n+2 rm} =( sqrt {2} ) ^{it n rm} - it n rm I _{it n+2 rm} + it n rm I _{it n rm} `]이므로

[eqn: therefore] [eqn: n rm I_{it n} - (it n+1) rm I_{ itn+2 }+ (root2 )^{it n} =0`]	[eqn: cdots]①

(4) [eqn: int _{0} ^{1} {} sqrt {x ^{2} +1} dx`]에서

[eqn: x= tan`theta`] [eqn: left( - pi over2 <theta < pi over2 right)]라 하면 [eqn: dx over{d theta} = sec^2 `theta]

[eqn: x=0]일 때 [eqn: theta =0], [eqn: x=1]일 때 [eqn: theta = pi over4]이므로

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { } root{x^2 +1} dx`][eqn: =int _{ 0} ^{ pi over4 } { } root{1+tan^2 theta} cdot sec ^2 `theta `d theta]

[eqn: =int _{ 0} ^{pi over4 } { }sec^3 `theta `d theta = rmI_3]

(3)의 ①의 식에 [eqn: n=1]을 대입하면

[eqn: rmI_1 - 2 I_3 +root2 =0]

(2)에서 [eqn: rmI_1 = ln (root2 +1)]이므로

[eqn: therefore] [eqn: rmI_3 = 1 over2 (I_1 +root2 ) = 1 over2 ln (root 2 +1) + root2 over2]

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { } 1 over{(x^2 +1)^3 } dx `]에서

[eqn: x= tan`theta`] [eqn: left( - pi over2 <theta < pi over2 right)]라 하면 [eqn: dx over{d theta} = sec^2 `theta]

[eqn: x=0]일 때 [eqn: theta =0], [eqn: x=1]일 때 [eqn: theta = pi over4]이므로

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { } 1 over{(x^2 +1)^3 } dx ` = int _{ 0} ^{pi over4 } { } 1 over{(1+ tan^ 2 `theta )^3 } cdot sec^2 `theta `d theta]

[eqn: =int _{ 0} ^{ pi over4 } { } 1 over{sec^4 `theta} d theta= int _{ 0} ^{pi over4 } { } cos^4 `theta` d theta = rmI_-4]

(3)의 ①의 식에 [eqn: n=-2]를 대입하면

[eqn: -2rmI_-2 + I_0 + (root2 )^ -2 =0]

(1)에서 [eqn: rm I_0 = pi over4]이므로

[eqn: rm I_-2 = 1 over2 left(I_0 + 1 over2 right)= pi over8 + 1 over4]

(3)의 ①의 식에 [eqn: n=-4]를 대입하면

[eqn: -4rmI_-4 +3 I_-2 + (root2 )^ -4 =0]

[eqn: rm THEREFORE ~I _{-4} = {1} over {4} LEFT ( 3I _{-2} + {1} over {4} RIGHT ) = {1} over {4} LEFT ( {3} over {8} pi +1 RIGHT ) = {3} over {32} pi + {1} over {4}]

불곡고/2023년/R1/A

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: g(x)=ln left{f(x)+f prime(x)+f primeprime(x)-1 right}`]이 있다. 상수 [eqn: a`]와 함수 [eqn: g(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: int _{3} ^{7} {LEFT { f`prime ( x ) +2a RIGHT } g ( x ) `dx}``]의 값은? [5.2점]

① [eqn: 78`ln`3 -24]	② [eqn: 79`ln`3 -24]	③ [eqn: 80`ln`3 -24]
④ [eqn: 81`ln`3 -24]	⑤ [eqn: 82`ln`3 -24]

①

[eqn: f(x)=x^2 +bx+c`]라 하면

[eqn: f`prime(x)=2x+b]

[eqn: f`prime prime(x)=2]

[eqn: g(x)=ln left{f(x)+f prime(x)+f primeprime(x)-1 right}`][eqn: =ln left{x^2 +(b+2)x+b+c+1 right}]

(나)에서

[eqn: g(1)=ln (1+b+2+b+c+1)=ln(2b+c+4)=ln`3]

[eqn: therefore] [eqn: c=-2b-1]

[eqn: g(x)=ln`left{x^2 +(b+2) x -b right}]	[eqn: cdots]①

(가)에서

[eqn: int _{a} ^{2a+x} {g ( t ) `dt} = int _{2a-x} ^{a+2} {g ( t ) `dt}]	[eqn: cdots]②

[eqn: g(t)]의 한 부정적분을 [eqn: G(t)]라 하면

[eqn: G(2a+x)-G(a) =G(a+2)-G(2a-x)]

양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: g(2a+x)=g(2a-x)]

따라서 [eqn: y=g(x)]는 [eqn: x=2a`]에 대하여 대칭이다.

①에서 [eqn: g(x)]는 [eqn: x= - b+2 over2]에 대하여 대칭이므로

[eqn: 2a= - b+2 over2]	[eqn: cdots]③

②에 [eqn: x=0`]을 대입하면

[eqn: int _{a} ^{2a} {g ( t ) `dt} = int _{2a} ^{a+2} {g ( t ) `dt}]

[eqn: g(x)>0]을 만족하므로 [eqn: {a+ LEFT ( a+2 RIGHT ) } over {2} =2a]

[eqn: therefore] [eqn: a=1]

③에 대입하면 [eqn: b=-6]

[eqn: f prime(x)=2x-6]

[eqn: g(x)=ln (x^2 -4x+6)]

[eqn: therefore] [eqn: int _{3} ^{7} {LEFT { f`prime ( x ) +2a RIGHT } g ( x ) `dx}``][eqn: = int _{3} ^{7} {} (2x-4)`ln(x ^{2} -4x+6)dx]

[eqn: t=x^2 -4x+6`]이라 하면

[eqn: dt overdx =2x-4], [eqn: x=3`]일 때 [eqn: t=3], [eqn: x=7`]일 때 [eqn: t=27]이므로

[eqn: therefore] [eqn: int _{3} ^{7} {} (2x-4)`ln(x ^{2} -4x+6)dx]

[eqn: = int _{ 3} ^{27 } { } ln`t`dt]

[eqn: = LEFT [ t`ln`t-t` RIGHT ] _{3} ^{27}]

[eqn: =(27`ln`27 -27)-(3`ln`3-3)]

[eqn: =78`ln`3 -24]

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g(x)>0`]이고
[eqn: int _{a} ^{2a+x} {g ( t ) `dt} = int _{2a-x} ^{a+2} {g ( t ) `dt}]

(나) [eqn: g(1)=ln`3]

적분의 활용(step1)

2.

적분과 극한

위례고/2023/R1/D

[eqn: lim_x->2 1over{x-2} int_2^x (2^t - cospit)dt]의 값은? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

③

[eqn: 2^x - cospix = f(x)]라고 하고, [eqn: f(x)]의 한 부정적분을 [eqn: F(x)]라고 하면,

[eqn: lim_x->2 1over{x-2} int_2^x (2^t - cospit)dt]

[eqn: = lim_x->2 {F(x) -F(2) } over{x-2}]

[eqn: =F`'(2) = f(2) = 3]

정적분과 넓이의 활용

위례고/2023/R2/D

곡선 [eqn: y=ln(x+1)]과 [eqn: y]축 및 직선 [eqn: y=2]로 둘러싸인 도형의 넓이는? [[eqn: 4.0]점]

① [eqn: e^2 -1]	② [eqn: e^2 -2]	③ [eqn: e^2 -3]
④ [eqn: e^2 -4]	⑤ [eqn: e^2 -5]

③

[eqn: e^y = x+1], [eqn: x = e^y -1]

[eqn: int_0^2 (e^y -1) dy = left[ pile{`#` } e^y -y right]_0 ^2 = e^2 -3]

적분의 활용(step2)

2.

적분과 극한

돌마고/2023년/R1/C

실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 도함수가 연속인 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: f(x)>0`]이고 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: lim _{ x->3} { }1 over{x^2 -9} int _{ 9} ^{3x } { } f` prime left( 1 over3 t right)}dt`]의 값은? [4.8점]

① [eqn: 1 over6]	② [eqn: 1 over3]	③ [eqn: 9 over2]
④ [eqn: 25 over3]	⑤ [eqn: 27 over2]

⑤

[eqn: lim _{ x->3} { }1 overx-3 int _{ 3} ^{x } { }{f` prime(t)} over{f(t)} dt =9]

[eqn: g(t)=ln`|`f(t)`|]라 하면 [eqn: g`prime(t)= {f`prime(t)} over{f(t)]이므로

[eqn: lim _{ x->3} { }1 overx-3 int _{ 3} ^{x } { }{f` prime(t)} over{f(t)} dt = lim _{ x->3} { }1 overx-3 int _{ 3} ^{x } { }g`prime(t) dt]

[eqn: =lim _{ x->3} { }{g(x)-g(3)} overx-3]

[eqn: =g`prime(3)]

[eqn: ={f`prime(3)} overf(3)}=9]

[eqn: f(3)=3`]이므로 [eqn: f`prime(3)=27]

[eqn: lim _{ x->3} { }1 over{x^2 -9} int _{ 9} ^{3x } { } f` prime left( 1 over3 t right)}dt`]

[eqn: s= 1 over3 t `]라 하면 [eqn: ds overdt = 1 over3]

[eqn: t=9`]일 때 [eqn: s=3], [eqn: t=3x`]일 때 [eqn: s=x]

[eqn: lim _{ x->3} { }1 over{x^2 -9} int _{ 9} ^{3x } { } f` prime left( 1 over3 t right)}dt` = lim _{x->3 } { } 1 over{x^2 -9} int _{ 3} ^{x } { }3 f`prime(s)ds]

[eqn: = lim _{x -> 3} {} {3 LEFT { f(x)-f(3) RIGHT }} over {(x-3)(x+3)}]

[eqn: = 1 over2 f`prime(3)]

[eqn: = 27 over2]

(가) [eqn: lim _{ x->3} { }1 overx-3 int _{ 3} ^{x } { }{f` prime(t)} over{f(t)} dt =9]

(나) [eqn: f(3)=3]

적분과 급수

위례고/2023/R2/C

극한값 [eqn: lim_n->inf 1overn left( sin^3 piovern + sin^3 2pi overn + sin^3 3pi overn + cdots+sin^3 {n pi} overn right)]의 값은? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 4over 3pi]	② [eqn: 5over 3pi]	③ [eqn: 2 overpi]
④ [eqn: 4over3]	⑤ [eqn: 5 over3]

①

[eqn: lim _n->inf sum_k=1 ^n left( sin^3 {k pi }overn right) cdot 1overn]

[eqn: =lim _n->inf sum_k=1 ^n left( sin^3 {k pi }overn cdot pi overn right) cdot 1over pi]

[eqn: = 1over pi lim _n->inf sum_k=1 ^n sin^3 {k pi }overn cdot pi overn]

[eqn: = 1overpi int_0 ^pi sin^3 x` dx]

[eqn: = {1} over {pi } int _{0} ^{pi } {} (1-cos ^{2} x)sinx`dx]

[eqn: = 1overpi left( int_0^pi sinx `dx - int_0^pi cos^2 x cdot sinx `dx right)]

[eqn: =- {1} over {pi } LEFT { LEFT [ pile{`#`} `cosx RIGHT ] _{0} ^{pi } - {1} over {3} LEFT [ pile{`#`} `cos ^{3} x RIGHT ] _{0} ^{pi } RIGHT }]

[eqn: = - 1 overpi (-1-1) + 1over3pi (-1-1)]

[eqn: = 4 over 3pi]

불곡고/2023년/R2/C

함수 [eqn: f(x)=2x^3 +3x^2`]에 대하여 [eqn: lim _{ n->inf} { } 4 overn sum _{ k=1} ^{n } f left( -1 + 2k overn right)`]의 값은? [4.3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

④

[eqn: lim _{ n->inf} { } 4 overn sum _{ k=1} ^{n } f left( -1 + 2k overn right)`][eqn: =lim _{ n-> inf} { } sum _{ k=1} ^{ n} f left(-1 + 2k overn right) 2 overn cdot2]

[eqn: =2 int _{ -1} ^{1 } { }f(x)dx]

[eqn: =2 int _{ -1} ^{1 } { } (2x^3 +3x^2 )dx]

[eqn: =4 int _{ 0} ^{1 } { }3x^2 dx]

[eqn: =4 LEFT [ x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{1}][eqn: =4]

위례고/2023/R2/C

자연수 [eqn: n]에 대하여	사분원 [eqn: x^2 + y^2 =4 `(x ge0,````y ge0)]의 호 [eqn: rm AB]를 [eqn: n]등분하여 양 끝점과 각 분점을 차례로 [eqn: rm A(=P_0 ),````P_1 ,````P_2 ,````cdots,```` P_{it n-1} ,````B(=P_{it n })]라 하자. 원 위의 점 [eqn: rmP_{it k} `(1 le itk le n-1)]에 대하여, 부채꼴 [eqn: rmOAP_{it k}]의 넓이를 [eqn: S_k], 삼각형 [eqn: rmOBP_{it k}]의 넓이를 [eqn: T_k]라 할 때, 극한값 [eqn: lim_n->inf 1 overn sum_k=1 ^n-1 S_k T_k]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: O]는 원점이다.)

[eqn: 4-{8 overpi}]

[eqn: rmangle AOP _{itk } = itpi over 2 times 1overn times k = { k pi } over 2n]이므로

부채꼴 [eqn: rmOAP_{it k}]의 넓이는 [eqn: S_k = 1OVER2 TIMES4 TIMES{k pi }over2n = 2times{k pi} over2n]

삼각형 [eqn: rmOBP_{it k}]의 넓이는 [eqn: T_k = 1 over2 times 4 timessin left( pi over2 -{k pi} over 2n right) = 2cos {k pi} over 2n]

[eqn: lim_n->inf 1 overn sum_k=1 ^n-1 S_k T_k][eqn: =lim_n->inf 1overn sum _k=1 ^n-1 2times{k pi} over2n times 2cos {k pi} over 2n]

[eqn: = 2 over pi times4 `lim_n->inf sum _k=1 ^n-1 pi over2n times {k pi} over 2n times cos {k pi} over 2n]

이때 [eqn: f(x)=x`cosx], [eqn: DELTAx = pi over2n], [eqn: x_k = {k pi} over2n]라 하면

[eqn: 8over pi`lim_n->inf sum _k=1 ^n-1 pi over2n times {k pi} over 2n times cos {k pi} over 2n][eqn: = 8over pi int_0^{pi over2 } x cos x `dx]

[eqn: = {8} over {pi } LEFT { LEFT [ pile{`#`} x`sinx RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}} - int _{0} ^{{pi } over {2}} {} sinxdx RIGHT }][eqn: = {8} over {pi } LEFT { {pi } over {2} + LEFT [ pile{`#`} `cosx RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}} RIGHT }][eqn: = 8 overpi left( {piover2 -1 right) = 4-{8 overpi}]

[[eqn: 6.0]점, 부분점수 있음.]

정적분과 넓이의 활용

돌마고/2023년/R2/C

실수 [eqn: t`]에 대하여 곡선 [eqn: y=cos^2 x +2`]와 [eqn: x`]축 및 두 직선
[eqn: x=t], [eqn: x=t+ pi over4]로 둘러싸인 부분의 넓이의 최댓값은? [4.9점]

① [eqn: 5 over8 pi]	② [eqn: root2 over4 + 5 over8 pi]	③ [eqn: root3 over4 + 5 over4 pi]
④ [eqn: root2 over2 + 5 over4 pi]	⑤ [eqn: root3 over2 + 5 over2 pi]

②

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: y=cos^2 x +2` >0]이므로

곡선 [eqn: y=cos^2 x +2`]와 [eqn: x`]축 및 두 직선 [eqn: x=t], [eqn: x=t+ pi over4]로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: int _{ t} ^{ t+ pi over2} { } (cos^2 `x+2)dx]

[eqn: =int _{ t} ^{t+ pi over4 } { } left( {1+cos`2x} over2 +2 right)dx]

[eqn: = int _{t} ^{t+ {pi } over {4}} {} LEFT ( {1} over {2} `cos`2x+ {5} over {2} RIGHT ) dx]

[eqn: = LEFT [ {1} over {4} `sin`2x+ {5} over {2} x RIGHT ] _{t} ^{t+ {pi } over {4}}]

[eqn: = {1} over {4} `sin LEFT ( 2t+ {pi } over {2} RIGHT ) + {5} over {2} LEFT ( t+ {pi } over {4} RIGHT ) - {1} over {4} `sin`2t- {5} over {2} t]

[eqn: = {1} over {4} `cos`2t- {1} over {4} `sin`2t+ {5} over {8} pi]

[eqn: =root2 over4 left( cos2t times 1 overroot2 - sin`2t times 1 overroot2 right) + 5 over8 pi]

[eqn: = {sqrt {2}} over {4} `cos LEFT ( 2t+ {pi } over {4} RIGHT ) + {5} over {8} pi]

따라서 최댓값은 [eqn: root2 over4 + 5 over8 pi]

불곡고/2023년/R2/C

곡선 [eqn: y=e^{1 over2 x]위의 두 점 [eqn: (0,~1),~(2,~e)]를 지나는 직선
[eqn: y=f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=e^{1 over2 x]과 직선 [eqn: y=f(x)]로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: pe+q`]이다. [eqn: p+q`]의 값은? (단, [eqn: p,~q`]는 상수이다.)
[4.6점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

②

두 점 [eqn: (0,~1),~(2,~e)]를 지나는 직선의 방정식을 [eqn: y=f(x)]라 하면

[eqn: f(x)={e-1} over2 x +1]

따라서 [eqn: y= e^{1 over2 x{]와 [eqn: y=f(x)]로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: int _{ 0} ^{2 } { } left(e-1 over2 x+1 - e^ {1over2 x} right)dx]

[eqn: = LEFT [ {e-1} over {4} x ^{2} +x-2e ^{{1} over {2} x} RIGHT ] _{0} ^{2}]

[eqn: = (e-1+2-2e)-(0+0-2)]

[eqn: =-e+3]

[eqn: p=-1,~q=3]

[eqn: therefore] [eqn: p+q=2]

돌마고/2023년/R2/C

다음 두 곡선과 두 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이는?
[4.5점]
[eqn: y=e^x ,~y=e^-x ,~ x=-2,~x=1]

① [eqn: -e^2 -e+ 1 overe^2 + 1 overe +10]

⑤

[eqn: int _{ -2} ^{1 } { } |`e^x - e^-x `| `dx = int _{ -2} ^{0 } { }(e^-x -e^x )dx + int _{ 0} ^{1 } { }(e^x -e^-x )dx]

[eqn: = LEFT [ -e ^{-x} -e ^{x} RIGHT ] _{-2} ^{0} + LEFT [ e ^{x} +e ^{-x} RIGHT ] _{0} ^{1}]

[eqn: =(-1-1)-(-e^2 -e^-2 ) + (e+e^-1 ) -(1+1)]

[eqn: = e^2 +e+ 1 overe^2 + 1 overe -4]

② [eqn: -e^2 +e - 1 overe^2 + 1 overe +5]
③ [eqn: e^2 -e+ 1 overe^2 - 1 overe -2]

④ [eqn: e^2 +e - 1 overe^2 - 1 overe -6]
⑤ [eqn: e^2 +e+ 1 overe^2 + 1 overe -4]

입체도형의 부피

위례고/2023/R2/C

자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y=rootx]와 두 직선 [eqn: x=n,````x=n+1] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형이고 이 입체도형의 부피를 [eqn: V_n]이라고 할 때, [eqn: sum_n=1^inf 1 over{V_n`V_n+1} = q overp]이다. 이 때, [eqn: q-p]의 값은? (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수) [[eqn: 4.8]점]

① [eqn: 19]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 27]
④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 35]

②

[eqn: x]좌표가 [eqn: x]인 점을 지나고 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면은 정삼각형이므로 그 넓이는 [eqn: root3 over4 x]

따라서 구하는 부피는

[eqn: V_n = int_n ^n+1 root3 over4 x `dx][eqn: =left[ pile{`#` } root3 over8 x^2 right]_n ^n+1 = root3 over8 (2n+1)]

[eqn: sum_n=1 ^inf 1over{V_n `V_n+1 } = 64 over3 sum_n=1 ^inf 1over {(2n+1)(2n+3)} = 32 over3 sum_n=1 ^inf left{1over 2n+1 - 1over 2n+3 right}]

[eqn: = 32over9]이므로 [eqn: q-p=23]

불곡고/2023년/R2/C

그림과 같이 곡선 [eqn: y=roote^x `]과 [eqn: x`]축 및 두 직선 [eqn: x=-1,~x=1]로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 [eqn: x`]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 빗변이 입체도형의 밑면 위에 놓이는 직각삼각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [4.5점]

① [eqn: e over4 - 1 overe]	② [eqn: e over4 - 1 over2e]	③ [eqn: e over4 - 1 over3e]
④ [eqn: e over4 - 1 over4e]	⑤ [eqn: e over4 - 1 over5e]

④

[eqn: y=roote^x `] 위의 한 점 [eqn: rmP (itx,~roote^x )]에서

[eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하면 [eqn: rm barPH = it roote^x]

빗변의 길이가 [eqn: roote^x `]인 직각이등변삼각형의 한 변의 길이는 [eqn: roote^x overroot2]이므로 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES {e ^{x}} over {2} = {1} over {4} e ^{x}]

따라서 구하는 부피는

[eqn: int _{-1} ^{1} {} {1} over {4} e ^{x} dx= LEFT [ {1} over {4} e ^{x} RIGHT ] _{-1} ^{1} = {1} over {4} LEFT ( e- {1} over {e} RIGHT ) = {e} over {4} - {1} over {4e}]

돌마고/2023년/R2/C

곡선 [eqn: y=-x^2 +2x`]와 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 도형을 [eqn: x`]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 그 부피는? [4.6점]

① [eqn: 11 over15]	② [eqn: 16 over15]	③ [eqn: 19 over15]
④ [eqn: 23 over15]	⑤ [eqn: 28 over15]

②

점 [eqn: (x,~0)] [eqn: (0le x LEQ 2)]를 지나고 [eqn: x`]축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면의 넓이를 [eqn: S(x)]라 하면

단면은 한 변의 길이가 [eqn: -x^2 +2x]인 정사각형이므로

[eqn: S(x)=(-x^2 +2x)^2 =x^4 -4x^3 +4x^2]

따라서 구하는 부피는

[eqn: int _{0} ^{2} {} (x ^{4} -4x ^{3} +4x ^{2} )dx= LEFT [ {1} over {5} x ^{5} -x ^{4} + {4} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{2}]

[eqn: = 32 over5 -16 + 32 over3]

[eqn: = 16 over15]

곡선 [eqn: x`=`f(t),``y`=`g(t)]의 길이

불곡고/2023년/R2/C

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t`]에서의 위치 [eqn: (x,~y)]가 [eqn: x=2 `ln`t,~y= t + 1 overt `]일 때, [eqn: t=1`]에서 [eqn: t=3`]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는? [4.4점]

① [eqn: 5 over3]	② [eqn: 1 over2]	③ [eqn: 7 over3]
④ [eqn: 8 over3]	⑤ [eqn: 2]

④

[eqn: x=2`ln`t ,~y= t+ 1 overt]일 때 [eqn: dx overdt = 2 overt ,~ dy overdt = 1- 1 overt^2]

[eqn: t=1`]에서 [eqn: t=3`]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는

[eqn: int _{ 1} ^{3 } { } root{left(dx overdt right)^2 + left(dy overdt right)^2 } dt][eqn: =int _{ 1} ^{3 } { } root{ 4 overt^2 +1 + 1 overt^4 - 2 overt^2 } dt]

[eqn: =int _{ 1} ^{3 } { } root {left ( 1+ 1 overt^2 right)^2 }dt]

[eqn: =int _{ 1} ^{3 } { } left(1 + 1 overt^2 right)dt]

[eqn: = LEFT [ t- {1} over {t} RIGHT ] _{1} ^{3}]

[eqn: = 8 over3]

돌마고/2023년/R2/C

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP(it x,~y)`]의 시각 [eqn: t`]에서의 위치가
[eqn: x=e^-t cos`2t ,~y=e^-t sin`2t]
일 때, 점 [eqn: rmP]가 시각 [eqn: t=0`]에서 [eqn: t=a] [eqn: (a>0)]까지 움직인 거리를 [eqn: s(a)`]라 하자. [eqn: lim _{ a-> inf} { }s(a)`]의 값은? [4.7점]

① [eqn: root5]	② [eqn: root6]	③ [eqn: root7]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: root10]

①

[eqn: x=e^-t cos`2t ,~y=e^-t sin`2t]

[eqn: dx overdt =-e^-t cos`2t -2 e^-t sin`2t =-e^-t (cos`2t +2`sin`2t)]

[eqn: dy overdt =-e^-t sin`2t +2 e^-t cos`2t=-e^-t (sin`2t -2`cos`2t)]

[eqn: root{left( dx over dt right)^2 + left( dy over dt right)^2 }= root{ 5e^-2t]

[eqn: s(a)= int _{ 0} ^{ a} { }root{left( dx over dt right)^2 + left( dy over dt right)^2 }dt][eqn: =int _{ 0} ^{a } { } root5e^-2t dt]

[eqn: =int _{ 0} ^{a } { } root5 e^-t dt][eqn: = LEFT [ - sqrt {5} e ^{-t} RIGHT ] _{0} ^{a}][eqn: =-root5 left(1 overe^a -1right)]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{a -> INF } {} s(a)`=- sqrt {5} lim _{a -> INF } {} LEFT ( {1} over {e ^{a}} -1 RIGHT ) = sqrt {5}]

곡선 [eqn: y`=` f(x)]의 길이

위례고/2023/R2/C

그림은 곡선 [eqn: y= ln left( 16over7 - 16 over7 x^2 right)]을 나타낸 것이다. 이 곡선과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 둘레의 길이는? [[eqn: 4.8]점]

③

곡선 [eqn: y= ln left( 16over7 - 16 over7 x^2 right)]이 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x] 좌표는 [eqn: x= +- 3over4 x]

[eqn: y'={- 32 over7 x} over{ 16 over7 ( 1-x^2 )} = -2x over{1-x^2 }]

[eqn: 0 le x le 3over4]에서 구하는 곡선의 길이를 [eqn: l]이라 하면

[eqn: l= int_0 ^ {3over4} root {1+ left( {-2x} over{1-x^2 } right)^2 } dx]

[eqn: =int_0 ^ {3over4}{1+x^2 } over{ 1-x^2 } dx]

[eqn: =int_0 ^{ 3over4} left(-1 + 1 over{1-x} + 1over 1+x right)dx]

[eqn: = left[ pile{`#` } -x -ln(1-x) + ln (1+x) right]_0 ^ {3over4}]

[eqn: =ln7- {3} over {4}]

따라서 둘레의 길이는 [eqn: 2 LEFT ( ln7- {3} over {4} + {3} over {4} RIGHT ) =2ln7]

① [eqn: 2ln5]	② [eqn: 5ln2]	③ [eqn: 2ln7]
④ [eqn: 6 ln2]	⑤ [eqn: 4ln3]

적분의 활용(step3)

2.

불곡고/2023년/R2/B

두 함수
[eqn: f(x)=ln(4+x)+ln(2-x)-1,~g(x)=|`x+1`|`ln sqrt {5} -1`]
에 대하여 두 곡선 [eqn: y=f(x),~y=g(x)`]가 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표는 모두 정수이다. 두 곡선 [eqn: y=f(x),~y=g(x)]로 둘러싸인 부분의 넓이는? [5.3점]

① [eqn: 4`ln`5-8]	② [eqn: 6`ln`5-8]	③ [eqn: 8`ln`5-8]
④ [eqn: 10`ln`5-8]	⑤ [eqn: 12`ln`5-8]

③

[eqn: f(x)=ln(4+x)+ln(2-x)-1]의 정의역은 [eqn: -4<x<2]

[eqn: f(x)=g(x)]에서

[eqn: ln(4+x)+ln(2-x)-1=|`x+1`|`ln sqrt {5} -1]

만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표가 모두 정수이므로 [eqn: x=-3] 또는 [eqn: x=1]

[eqn: y=f(x),~y=g(x)]의 그래프를 그리면 아래와 같다.

두 그래프 모두 [eqn: x=-1`]에 대하여 대칭이므로 두 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: 2int _{ -1} ^{1 } { }left{f(x)-g(x)right}dx][eqn: =2 int _{-1} ^{1} {} LEFT { ln(4+x)+ln(2-x)-(x+1)`ln sqrt {5} RIGHT } dx]	[eqn: cdots]①

[eqn: int _{-1} ^{1} {} ln(4+x)dx= LEFT [ (4+x)ln(4+x) RIGHT ] _{-1} ^{1} - int _{-1} ^{1} {} 1dx]

[eqn: = LEFT [ (4+x)ln(4+x)-x RIGHT ] _{-1} ^{1}]

[eqn: =(5`ln`5-1)-(3`ln3 +1)]

[eqn: =5`ln`5-3`ln`3-2]	[eqn: cdots]②

[eqn: int _{-1} ^{1} {} ln(2-x)dx= LEFT [ (x-2)ln(2-x) RIGHT ] _{-1} ^{1} - int _{-1} ^{1} {} 1dx]

[eqn: = LEFT [ (x-2)ln(2-x)-x RIGHT ] _{-1} ^{1}]

[eqn: =(-ln`1-1)-(-3`ln`3+1)]

[eqn: =3`ln`3-2]	[eqn: cdots]③

[eqn: int _{-1} ^{1} {} (x+1)`ln` sqrt {5} dx= LEFT [ LEFT ( {1} over {2} x ^{2} +x RIGHT ) `ln sqrt {5} RIGHT ] _{-1} ^{1}]

[eqn: = LEFT { LEFT ( {1} over {2} +1 RIGHT ) - LEFT ( {1} over {2} -1 RIGHT ) RIGHT } `ln sqrt {5}]

[eqn: =ln`5]	[eqn: cdots]④

②, ③, ④를 ①에 대입하면

[eqn: therefore] [eqn: 2int _{ -1} ^{1 } { }left{f(x)-g(x)right}dx]

[eqn: =2 left{(5`ln`5-3`ln`3-2)+(3`ln`3-2)-ln`5 right}]

[eqn: =8`ln`5 -8]

돌마고/2023년/R2/A

[eqn: n`] 이하의 자연수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: x_k = -1 + k overn`]라 하자. 함수 [eqn: f(x)=e^2x +e^x + x overe `]의 그래프 위의 점 [eqn: rmA_{itk}( it x_k ,~ f(x_k ))`]에서의 접선이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rmB_{itk}`]라 하고, 점 [eqn: rm A_{it k}`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC_{itk}`]라 하자.[eqn: lim _{ n-> inf} { } 1 overn sum _{ k=1} ^{n } { left{itf(x_k ) right}^4 } over{rm bar{B _{itk } rm C_{ itk} `]의 값은?
(단, [eqn: n`]은 자연수이다.) [5.4점]

① [eqn: 2- 1 over{2e^4 }]	② [eqn: 2+ 2 over{e^4]	③ [eqn: 4 - 1 over{4 e^8}]
④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 4e^8 + 1 over4]

③

[eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: rmA_{itk}( it x_k ,~ f(x_k ))`]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=f` prime (x _{k} )(x-x _{k} )+f(x _{k} )=f` prime (x _{k} )`x-x _{k} `f` prime (x _{k} )+f(x _{k} )]

[eqn: x`]축과 만나는 점의 좌표가 [eqn: rmB_{it k}]이므로

[eqn: rm B _{it k rm} LEFT (it x _{k} - {f(x _{k} )} over {f` prime (x _{k} )} ,~0 RIGHT )]

점 [eqn: rmA_{itk}]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발이 [eqn: rmC_{it k}]이므로 [eqn: rmC_{it k}(it x_k ,~0)]

[eqn: therefore] [eqn: rm bar{B _{itk } rm C_{ itk} } = {it f(x_k )} over{it f`prime(x_k )}]

[eqn: lim _{ n-> inf} { } 1 overn sum _{ k=1} ^{n } { left{itf(x_k ) right}^4 } over{rm bar{B _{itk } rm C_{ itk}][eqn: = lim _{ n-> inf} { } 1 overn sum _{ k=1} ^{n } { left{itf(x_k ) right}^3 } itf`prime(x_k )]

[eqn: x_k = - 1+ k overn]이므로 [eqn: Deltax= 1 overn]

[eqn: lim _{ n-> inf} { } 1 overn sum _{ k=1} ^{n } { left{itf(x_k ) right}^3 } itf`prime(x_k ) = int _{ -1} ^{0 } { } left{f(x)right}^3 f`prime(x)dx]

[eqn: t=f(x)]라 하면 [eqn: dt overdx =f`prime(x)]

[eqn: f(x)=e^2x +e^x + x overe `]이므로

[eqn: x=-1]일 때 [eqn: t=f(-1)=e^-2 +e^-1 - 1 overe = e^-2]

[eqn: x=0`]일 대 [eqn: t=f(0)=1+1+0=2]

[eqn: therefore] [eqn: int _{ -1} ^{0 } { } left{f(x)right}^3 f`prime(x)dx = int _{ e^-2} ^{2 } { }t^3 dt][eqn: = LEFT [ {1} over {4} t ^{4} RIGHT ] _{e ^{-2}} ^{2}][eqn: =4- 1 over4e^8]

이매고/2023년/R2/A

상수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sin ^{3} x-k`sinx]가 있다. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ,~g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

⑤

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sin ^{3} x-k`sinx=0]

[eqn: sinx=0]에서 [eqn: x=0,] [eqn: pi,~2pi]

[eqn: sin ^{2} x=k]이 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2pi]에서 두 개의 실근을 가지려면 [eqn: k=1]이다.

그래프를 그려보면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x]축으로 둘러싸인 넓이는 [eqn: {pi} over {2}]간격으로 같다

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {f LEFT ( x RIGHT ) dx=- {1} over {3}}] 이므로 가능한 [eqn: int _{0} ^{2pi} {g LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값은

[eqn: {1} over {3} + {1} over {3} + {1} over {3} + {1} over {3} = {4} over {3}], [eqn: - {1} over {3} + {1} over {3} + {1} over {3} + {1} over {3} = {2} over {3}] 의 2개다.

따라서 그 합은 [eqn: 2]이다.

(가) [eqn: 0 LEQ x LEQ 2pi]일 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]의 실근의 개수는 [eqn: 5]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | = LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]이다.

[eqn: int _{0} ^{2pi} {g LEFT ( x RIGHT ) dx} >0]일 때, [eqn: int _{0} ^{2pi} {g LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값으로 가능한 모든 값의 합은?[[eqn: 5.3]점]

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {4} over {3}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: 2]

25년 내신대비	미적분	정답 및 풀이

②

②

①

⑤

③

②

③

①

②

⑤

①

②

④

①

④

④

③

①

④

⑤

②

①

②

⑤

[eqn: 18]

③

①

③

④

④

⑤

③

③

④

③

①

③

[eqn: 0,~1,~3,~4]

②

③

(1) [eqn: a over2] (2) [eqn: - a over2] (3) [eqn: 3x] (4) [eqn: (a-3)x] (5) [eqn: a= 4 over3] 또는 [eqn: a=4]

⑤

⑤

①

①

①

⑤

②

③

③

[eqn: t= 5 over2] 또는 [eqn: t= 4 over9] 또는 [eqn: t= 2 over3]

③

⑤

③

③

⑤

②

⑤

③

⑤

①

③

③

④

②

⑤

①

⑤

②

③

⑤

③

⑤

③

①

②

⑤

(1) [eqn: y=|`sin`pi x `| `]의 주기는 [eqn: 1], 최댓값 [eqn: 1], 최솟값 [eqn: 0`]이므로

(2) [eqn: a_1 =3,~a_2 =7,~a_3 =11,~a_n =4n-1]
(3) [eqn: 1 over12]

④

⑤

③

②

①

④

⑤

③

②

③

②

⑤

②

①

①

②

②

⑤

③

②

②

④

③

⑤

[eqn: 600 over7]

②

②

⑤

④

④

④

⑤

(1) [eqn: x= 2,``3,``4] (2) [eqn: - 1 over 3 ,~ 0,~1]

④

①

⑤

④

⑤

②

④

⑤

①

④

②

④

⑤

②

①

①

②

⑤

⑤

②

④

①

⑤

[eqn: 16]

③

③

①

③

①

[eqn: -2]

⑤

①

②

[eqn: f(2)=-2,] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {a _{n} a _{n+1}} = {1} over {4}]

③

②

③

[eqn: 36]

③

④

③

④

①

④

②

④

②

④

②

②

④

③

④

②

⑤

④

④

②

④

①

(1) [eqn: {root2 +root6} over4] (2) [eqn: 2] (3) [eqn: 0]
(4) [eqn: f`prime(x)= lim _{ h->0} { }{f(x+h)-f(x)} overh`]
[eqn: =lim _{ h->0} { }{sin(2x+h)-sin`2x} overh]
[eqn: ={sin`2x `cos`2h + cos`2x ` sin`2h - sin`2x} overh]
[eqn: = lim _{ h->0} { } left{ {-sin`2x (1-cos2h)} overh + {cos`2x `sin2h } overh right}]
[eqn: = lim _{ h->0} { } left{ -sin`2x times{(1-cos2h)} overh + 2`cos`2x times{`sin2h } over2h right}]
[eqn: = (-sin`2x ) times0 + 2`cos`2x times1]
[eqn: = 2 `cos`2x]

①

④

③

①

④

④

③

②

③

④

[eqn: 10]

[eqn: a=1,~b= {1} over {2}``]

①

①

[eqn: 12]

②

[eqn: {3root2} over 20]

③

①

②

⑤

②

③

[eqn: 4]

④

②

③

②

①

[eqn: 1over6]

(1) [eqn: pi] (2) [eqn: 9pi]

⑤

④

⑤

②

②

②

①

⑤

①

③

②

④

②

②

⑤

③

②

④

②

①

④

④

①

①

②

⑤

③

②

④

①

⑤

②

④

①

[eqn: 5]

④

②

②

②

①

①

③

③

③

⑤

[eqn: - 5 over 9]

③

①

③

[eqn: -root3]

③

③

③

⑤

③

②

①

②

⑤

(1) [eqn: dy overdx = 3`cos`2t(1+cos`2t)]
(2) [eqn: {d^2 y} over{dx^2 }= {-3`sin`2t(1+2cos`2t)} over{1- cos`2t}]
(3) [eqn: {d^2 y} over{dx^2 }left( t= pi over6 right)= - 6root3]

[eqn: - 4 over 9]

(1) [eqn: a=-1]
(2) (1)에서 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=0`]에서 미분가능하므로
[eqn: f`prime(x)=cases{-(2x+1)e^2x +1 &&(x <0)#```````(2x+1)e^2x -1&&(x ge0)]
[eqn: lim _{ x->0-} { }f`prime(x)= lim _{ x->0-} { } left{-(2x+1)e^2x +1} right} =-1+1=0]
[eqn: f`prime(0)=lim _{ x->0+} { }f`prime(x)= lim _{ x->0-} { } left{(2x+1)e^2x -1} right} =1-1=0]
따라서 [eqn: f`prime(x)]는 [eqn: x=0`]에서 연속
(3)  [eqn: f prime(0)=0]이므로
[eqn: lim _{ x->0-} { }{f`prime(x)-f`prime(0)} overx-0 = lim _{ x->0-} { } {-(2x+1)e^2x +1} overx]
[eqn: =lim _{ x->0- } { }left{-2e^2x - {e^2x -1} overx right}]
[eqn: = -2-2]
[eqn: =-4]
[eqn: lim _{ x->0+} { }{f`prime(x)-f`prime(0)} overx-0 = lim _{ x->0+} { } {(2x+1)e^2x -1} overx]
[eqn: =lim _{ x->0+ } { }left{2e^2x + {e^2x -1} overx right}]
[eqn: = 2+2]
[eqn: =4]
따라서 [eqn: f`prime(x)]는 [eqn: x=0`]에서 미분불가능

①

[eqn: - 1 over4]

⑤

①

(문제오류) → 보기를 정정한 후 정답은 ②

③

⑤

②

⑤

③

④

②

[eqn: - 2 over3]

④

②

⑤

⑤

①

③

①

③

④

⑤

①

③

①

①

[eqn: y=- {1} over {3} x+ {2e} over {3}]

②

③

②

④

[eqn: 1over2]

①

①

④

①

①

③

[eqn: {4} over {e}]

⑤

④

③

③

①

③

②

⑤

②

⑤

②

⑤

③

④

①

속도의 크기[eqn: =3root2], 가속도의 크기[eqn: =root5]

②

③

①

(1) [eqn: LEFT { x` LEFT | `x<0 RIGHT }] (2) 미분불가능 (3) [eqn: -2]

⑤

④

②

③

④

[eqn: {sqrt {2}} over {4}]

⑤

④

③

③

⑤

④

③

①

④

④

②

④

⑤

[eqn: 6]

[eqn: 2ln3-5ln2+2]

[eqn: 92]

⑤

④

①

⑤

①

④

⑤

⑤

⑤

⑤

[eqn: {a^2 } over4 pi]

③

③

③

④

①

①

②

[eqn: {e ^{6} +2} over {2}]

④

④

①

②

④

④

①

②

①

(1) [eqn: rmI_-1 = root2 over2 ,~I_0 = pi over4 ,~I_2 =1]
(2) [eqn: rmI_1 =ln (root2 +1)]
(3) [eqn: rm I_{itn} = int _{ 0} ^{pi over4 } { } 1 over{(cos`x)^n} dx`][eqn: = int _{ 0} ^{pi over4 } { } {cos`x} over{(cos`x)^n+1} dx`]
[eqn: u=(cos `x)^{-n-1} ,~ v `prime= cos `x]라 하면
[eqn: u`prime= (-n-1)(cos`x)^{-n-2} cdot(-sin`x)]이고 [eqn: v=sin`x]이므로
[eqn: int _{ 0} ^{pi over4 } { } {cos`x} over{(cos`x)^n+1} dx`]
[eqn: = LEFT [ {sin`x} over {(cos`x) ^{n+1}} RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {4}} - int _{0} ^{{pi } over {4}} {} LEFT { (-n-1) TIMES {sin`x} over {(cos`x) ^{n+2}} TIMES (-sin`x) RIGHT } dx]
[eqn: =(root2 )^n - (n+1)int _{ 0} ^{pi over4 } { }left( 1over{(cos`x)^n+2} times sin^2 x right)`dx]
[eqn: =(root2 )^n - (n+1)int _{ 0} ^{pi over4 } { } left{ 1over{(cos`x)^n+2} times(1-cos^2 x) right}dx]
[eqn: =(root2 )^n - (n+1)int _{ 0} ^{pi over4 } { } 1over{(cos`x)^n+2} dx +(n+1)int _{ 0} ^{pi over4 } { } 1over{(cos`x)^n} dx]
[eqn: = (root2 )^n -(n+1)rmI_{itn+2} +(it n+1) rmI_{it n}]
따라서 [eqn: rm I _{it n rm} =( sqrt {2} ) ^{it n} -(it n+1) rm I _{it n+2 rm} +( it n+1) rm I _{it n rm} `]이므로
[eqn: therefore] [eqn: n rm I _{it n rm} -(it n+1) rm I _{it n+2 rm} +( sqrt {2} ) ^{it n} =0`]
(4) [eqn: int _{0} ^{1} {} sqrt {x ^{2} +1} dx`= {1} over {2} `ln( sqrt {2} +1)+ {sqrt {2}} over {2}]
[eqn: int _{ 0} ^{1 } { } 1 over{(x^2 +1)^3 } dx ` ={3} over32 pi + 1 over4]

①

③

③

⑤

①

④

[eqn: 4-{8 overpi}]

②

②

⑤

②

④

②

④

①

③

③

③

⑤