확률과 통계(고2)	내신대비	천재(류) 교과서 편집본 경우의 수

	| |

여러 가지 순열

부모와 [eqn: 3]명의 자녀로 이루어진 가족이 원탁에 둘러앉아 식사를 하려고 할 때, 다음을 구하시오.

(1) [eqn: 24]	(2) [eqn: 12]

(1) [eqn: 5]명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 원순열의 수이므로
[eqn: (5-1)! =4! =24]

(2) 부모를 한 명으로 생각하여 4명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는
[eqn: (4-1)!`=3!]
그 각각의 경우에 대하여 부모가 자리를 바꾸어 앉는 경우가 [eqn: 2!]가지씩 있으므로 구하는 경우의 수는
[eqn: 3! times 2! =12]

(1) [eqn: 5]명이 원탁에 둘러않는 경우의 수

(2) 부모가 이웃하여 앉는 경우의 수

오른쪽 그림과 같이 보라색 의자와 노란색 의자를 포함한 색이 서로 다른 [eqn: 6]개의 의자를 원형으로 배열하려고 한다. 다음을 구하시오.

(1) [eqn: 120]	(2) [eqn: 24]

(1) [eqn: 6]개의 의자를 원형으로 배열하는 경우의 수

(2) 보라색 의자와 노란색 의자를 마주 보게 배열하는 경우의 수

오른쪽 그림과 같이 한 자리에 한 명씩 총 [eqn: 8]명이 원형으로 탈 수 있는 회전 그네가 있다. 지우와 수민이를 포함한 [eqn: 8]명이 이 회전 그네를 타려고 할 때, 다음을 구하시오.

(1) [eqn: 5040]       (2) [eqn: 1440]

(1) [eqn: 8]명이 원형으로 타는 경우의 수

(2) 지우와 수민이가 이웃하여 타는 경우의 수

다음 값을 구하시오.

(1) [eqn: 125]	(2) [eqn: 27]	⑶ [eqn: 1024]

(1) [eqn: ` _{5} SMALLPROD _{3} `]	(2) [eqn: ` _{3} SMALLPROD _{3} `]

(3) [eqn: ` _{4} SMALLPROD _{5} `]

[eqn: 5]명의 학생이 오른쪽 그림의 차림표에 있는 음식 중에서 각각 한 가지씩 주문하는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 243]

중복을 허용하여 [eqn: 4]개의 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]으로 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수를 구하시오.

[eqn: 48]

백의 자리에는 [eqn: 0]을 제외한 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이 올 수 있으므로 그 경우의 수는

[eqn: 3]

십의 자리, 일의 자리에는 각각 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이 모두 올 수 있으므로 그 경우의 수는 [eqn: rm`_4 PI_2 = 4^2]

따라서 구하는 세 자리 자연수의 개수는

[eqn: 3TIMES 4^2 =48]

중복을 허용하여 [eqn: 5]개의 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]로 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수를 구하시오.

[eqn: 500]

천의 자리에는 [eqn: 0]을 제외한 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]가 올 수 있으므로 그 경우의 수는	[eqn: 4]

백의 자리, 십의 자리, 일의 자리에는 각각 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]가 모두 올 수 있으므로 그 경우의 수는	[eqn: `_5 PI_3 =5^3]

따라서 구하는 네 자리 자연수의 개수는

[eqn: 4 TIMES 5^3 =500]

중복을 허용하여 [eqn: 6]개의 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2,] [eqn: 3], [eqn: 5,] [eqn: 7]로 만들 수 있는 네 자리 자연수 중에서 짝수의 개수를 구하시오.

[eqn: 360]

[eqn: 2]개의 방에 [eqn: 5]명의 학생을 배정하는 경우의 수를 구하시오. (단, 학생이 배정되지 않는 방이 있을 수도 있다.)

[eqn: 32]

다음 영어 단어의 모든 철자를 사용하여 만들 수 있는 경우의 수를 구하시오

(1) [eqn: 420]	(2) [eqn: 50400]

(1) [eqn: rmsuc cess]	(2) [eqn: rmstatistics]

어느 도시의 도로망이 오른쪽 그림과 같을 때, 이 도로망을 따라 [eqn: rmA]지점에서 출발하여 [eqn: RMB]지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 35]

오른쪽으로 한 칸 가는 것을 [eqn: a], 위쪽으로 한 칸 가는 것을 [eqn: b]로 나타내면 오른쪽 그림과 같이 최단 거리로 가는 경우는

[eqn: aababba]

로 나타낼 수 있다. 즉 [eqn: rmA]지점에서 출발하여 [eqn: RMB]지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 [eqn: 4]개의 [eqn: a]와 [eqn: 3]개의 [eqn: b]를 일렬로 나열하는 순열의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는

[eqn: 7! over{ 4! times3!}=35]

오른쪽 그림과 같이 [eqn: rmA]지점에 다람쥐가 있다. 이 다람쥐가 길을 따라 움직일 때, 다음을 구하시오.

(1) [eqn: 126]	(2) [eqn: 40]

(1) [eqn: RMA]지점에서 출발하여 [eqn: RMB]지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수

(2) [eqn: RMA]지점에서 출발하여 [eqn: RMC]지점을 거쳐서 [eqn: RMB]지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수

스스로 확인하기

다음 [eqn: BOX{`````````}] 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

(1) [eqn: (n-1)!]	(2) [eqn: n^r]	(3) [eqn: p! q! `cdots`r!]

(1) 서로 다른 [eqn: n]개를 원형으로 배열하는 원순열의 수는 [eqn: box~~~~~]이다.

(2) 서로 다른 [eqn: n]개에서 [eqn: r]개를 택하는 중복순열의 수는 [eqn: `_n ∏_r `][eqn: = {BOX{~~}}]이다.

(3) [eqn: n]개 중에서 같은 것이 각각 [eqn: p]개, [eqn: q]개, [eqn: cdots], [eqn: r]개씩 있을 때, 이 [eqn: n]개를 모두 일렬로 나열하는 순열의 수는 [eqn: n! overbox{~~~~~~~~~]이다.
(단, [eqn: p+q+ `cdots` +r=n])

남학생 [eqn: 2]명과 여학생 [eqn: 4]명이 원탁에 둘러앉을 때, 남학생끼리 이웃하지 않게 앉는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 72]

[eqn: 6]명의 학생이 연극반, 합창반, 방송반의 [eqn: 3]가지 동아리 중에서 각각 하나를 선택하여 가입하는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 729]

파란 깃발 [eqn: 3]개를 일렬로 나열하여 신호를 만들려고 한다. 만들 수 있는 신호의 개수를 구하시오.

[eqn: 210]

두 집합 [eqn: X=left{a,~ b,~ c right}], [eqn: Y=left{1,~ 2,~ 3,~ 4right}]에 대하여 다음을 구하시오.

(1) [eqn: 64]	(2) [eqn: 24]

(1) [eqn: 1,~2,~3,~4]의 [eqn: 4]개 중에서 [eqn: 3]개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로    [eqn: `_4 PI _3 =4^3 =64]

(2) [eqn: 1,~2,~3,~4]의 [eqn: 4]개 중에서 [eqn: 3]개를 택하는 순열의 수와 같으므로	[eqn: `_4 RMP_3 =4 TIMES 3TIMES2 =24]

(1) [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수의 개수

(2) [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 일대일함수의 개수

[eqn: 6]명의 학생이 다음 그림과 같이 정삼각형 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의 수와 직사각형 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의 수를 각각 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[eqn: 240,~360]

[eqn: 6]명의 학생이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는

[eqn: (6-1)! =5! =120]

이때 다음 그림과 같이 정삼각형, 직사각형 모양의 탁자에 서는 원형으로 앉는 한 가지 경우에 대하여 각각 [eqn: 2]가지, [eqn: 3]가지의 서로 다른 경우가 존재한다.

따라서 구하는 경우의 수는 각각

[eqn: 120 TIMES 2 =240,~ 120 TIMES 3=360]

중복조합

다음 값을 구하시오.

(1) [eqn: 6]	(2) [eqn: 3]	(3) [eqn: 35]

(1) [eqn: `_2 RMH_5]	(2) [eqn: `_3 RMH_1]

(3) [eqn: `_4 RMH_4]

시원이는 과일 가게에서 과일을 사려고 한다. 사과, 오렌지, 배, 감의 [eqn: 4]종류의 과일 중에서 [eqn: 8]개를 사는 경우의 수를 구하시오. (단, [eqn: 4]종류의 과일은 각각 [eqn: 8]개 이상이고 같은 종류의 과일은 서로 구별하지 않는다.)

[eqn: 165]

방정식 [eqn: x+y+z=5]에 대하여 다음을 구하시오.

(1) [eqn: 21]	(2) [eqn: 6]

(1) 방정식 [eqn: x+y+z=5]의 음이 아닌 정수해의 하나인 [eqn: x=3], [eqn: y=1], [eqn: z=1]의 경우는 이것을 [eqn: xxyz]와 같이 나타낼 수 있다.
따라서 구하는 해의 개수는 [eqn: 3]개의 문자 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]중에서 [eqn: 5]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: `_3 rmH_5 =`_3+5-1 RMC _5][eqn: =`_7 RMC _5 =`_7 RMC _2 =21]

(2) 방정식 [eqn: x+y+z=5]의 양의 정수해의 개수는 [eqn: x=1+a], [eqn: y=1+b], [eqn: z=1+c]로 놓으면 방정식 [eqn: a+b+c=2]의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.
따라서 구하는 해의 개수는 [eqn: 3]개의 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]중에서 [eqn: 2]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: `_3 rmH_2 =`_3+2-1 RMC _2][eqn: =`_4 RMC _2 =6]

(1) 음이 아닌 정수해의 개수

(2) 양의 정수해의 개수

방정식 [eqn: x+y+z+w=10]에 대하여 다음을 구하시오.

(1) [eqn: 286]	(2) [eqn: 84]

(1) 음이 아닌 정수해의 개수

(2) 양의 정수해의 개수

[eqn: (a+b+c)^4]의 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 구하시오.

[eqn: 15]

[eqn: (a+b+c)^4]

[eqn: =(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)]

이므로 [eqn: (a+b+c)^4]의 전개식의 항의 개수는 [eqn: 3]개의 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 중에서 중복을 허용하여 [eqn: 4]개를 택하는 중복조합의 수와 같다.

따라서 구하는 항의 개수는

[eqn: `_3 rmH _4 =_3+4-1 C _4 =_6 C_4 =_6 C_2 =15]

[eqn: (a+b+c)^6]의 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 구하시오.

[eqn: 28]

[eqn: (a+b+c)^6]

[eqn: =(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)][eqn: times (a+b+c)(a+b+c)]

이므로 [eqn: (a+b+c)^6]의 전개식의 항의 개수는 [eqn: 3]개의 문자 [eqn: a,~b,~c] 중에서 중복을 허용하여 [eqn: 6]개를 택하는 중복조합의 수와 같다.

따라서 구하는 항의 개수는

[eqn: `_3 RMH_6 =`_3+6-1 C_6 =`_8 C_6 =`_8 C_2 =28]

[eqn: (a+b+c+d)^5]의 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 구하시오.

[eqn: 56]

[eqn: 100]원짜리 동전 [eqn: 7]개를 서로 다른 [eqn: 4]개의 저금통에 넣는 경우의 수를 구하시오. 또 각 저금통에 적어도 동전을 한 개씩 넣는 경우의 수를 구하시오. (단, 동전은 서로 구별하지 않는다.)

[eqn: 120,~20]

[생각을 넓히는 수학]

다음은 재율이와 혜선이가 다항식 [eqn: (x^2 +x+1)^3]의 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 구한 것이다. 잘못 구한 학생을 찾고, 그 까닭을 말하여 보자.

풀이 참고

<재율> [eqn: (x^2 +x+1)^3]을 전개할 때, 동류항이 생기지 않는다고 생각하고 항의 개수를 구하였다.

<혜선> [eqn: (x^2 +x+1)^3]을 전개하면 동류항이 생기므로 동류항을 정리하여 항의 개수를 구하였다.

따라서 잘못 구한 학생은 재율이로 그 까닭은 위와 같다.

재율 : [eqn: 3]개의 항 [eqn: 1,``x,``x ^{2}]에서 중복을 허용하여 [eqn: 3]개를 택하는 경우의 수는 [eqn: {} _{3} H _{3}][eqn: = _{5} C _{3} =10]

혜선 : [eqn: LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT ) ^{3}][eqn: =x ^{6} +3x ^{5} +6x ^{4} +7x ^{3} +6x ^{2} +3x+1]. 따라서 항의 개수는 [eqn: 7]이다.

스스로 확인하기

다음 [eqn: BOX{`````````}] 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

중복조합, [eqn: n+r-1]

서로 다른 [eqn: n]개에서 중복을 허용하여 [eqn: r]개를 택하는 조합을 [eqn: box~~~~~~~~](이)라 하고, 이러한 중복조합의 수를 기호로 [eqn: `_n rmH_{ITr}=`_box{~~~~~ } RMC_{ITr]와 같이 나타낸다.

다음을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오.

(1) [eqn: 5]	(2) [eqn: 12]

(1) [eqn: `_4 rmH_2 = `_{itn }rmC _2]	(2) [eqn: `_5 rmH_8 = `_{itn }rmC _4]

빨강, 파랑, 검정 볼펜이 각각 [eqn: 8]개씩 있을 때, [eqn: 8]개의 볼펜을 선택하는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색의 볼펜은 서로 구별하지 않는다.)

[eqn: 45]

같은 종류의 연필 [eqn: 10]자루를 서로 다른 [eqn: 3]개의 필통에 넣으려고 한다. 빈 필통이 없도록 연필을 넣는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 36]

두 집합 [eqn: X =LEFT{1,~2,~3 RIGHT }], [eqn: Y=LEFT{1,~2,~3,~4,~5RIGHT]에 대하여 [eqn: f`:`X`->`Y]가 다음 조건을 만족시킬 때, 함수 [eqn: f]의 개수를 구하시오.

[eqn: 35]

집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여

[eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: f(x_1 ) le f(x_2 )]

혜림이는 가게에서 같은 종류의 주스 [eqn: x]병, 같은 종류의 생수 [eqn: y]병, 같은 종류의 우유 [eqn: z]병을 사려고 한다. 다음 조건을 만족시키는 세 자연수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 모든 순서쌍 [eqn: (x,~y,~z)]의 개수를 구하시오.

[eqn: 30]

[eqn: x+y+z =10]을 만족시키는 세 자연수의 순서쌍 [eqn: (x,~y,~z)]의 개수는 [eqn: x=1+a], [eqn: y=1+b], [eqn: z=1+c]로 놓으면 방정식 [eqn: a+b+c=7]의 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로

[eqn: `_3 rmH_7 =`_9 C_7 =36]

[eqn: x=6]일 때 [eqn: y+z=4]에서 [eqn: b+c=2]이므로 음이 아닌 정수의 순서쌍 [eqn: (b,~c)]의 개수는    [eqn: `_2 rmH_2 =`_3 C_2 =3]

[eqn: x=7]일 때, [eqn: y,~z] 중 하나가 [eqn: 2]이고 나머지는 [eqn: 1]인 경우이므로 [eqn: 2]가지

[eqn: x=8]일 때, [eqn: y,~z] 모두 [eqn: 1]인 경우이므로 [eqn: 1]가지

따라서 구하는 순서쌍의 개수는    [eqn: 36-3-2-1=30]

(가) [eqn: x+y+z=10]	(나) [eqn: x le 5]

이항정리

이항정리를 이용하여 다음 식을 전개하시오.

(1) [eqn: a^4 +4a^3 b +6a^2 b^2 +4ab^3 +b^4]
(2) [eqn: x^6 +6x^5 y+15x^4 y^2 +20x^3 y^3 +15x^2 y^4 +6xy^5 +y^6]
(3)[eqn: x^5 -15x^4 +9x^3 -270x^2 +405x -243]

(1) [eqn: (a+b)^4]	(2) [eqn: (x+y)^6]

(3) [eqn: (x-3)^5]

이항정리를 이용하여 [eqn: (x-2y)^4]을 전개하시오.

[eqn: x^4 -8x^3 y +24x^2 y^2 -32xy^3 +16y^4]

[eqn: (x-2y)^4]

[eqn: =` _{4} rm C it rm _{0} x ^{4} +` _{4} rm C it rm _{1} x ^{3} (-2y)+` _{4} rm C it rm _{2} x ^{2} (-2y) ^{2} +` _{4} rm C it rm _{3} x(-2y) ^{3} +` _{4} rm C it rm _{4} (-2y) ^{4}]

[eqn: =1 times x^4 +4 times (-2x^3 y)+6 times 4x^2 y^2 +4 times (-8 xy^3 )+1 times 16y^4]

[eqn: =x^4 -8x^3 y +24x^2 y^2 -32xy^3 +16y^4]

이항정리를 이용하여 다음 식을 전개하시오.

(1) [eqn: 81x^4 +108x^3 y +54x^2 y^2 +12xy^3 +y^4]
(2) [eqn: a^5 -10a^4 b +40a^3 b^2 -80a^2 b^3 +80ab^4 -32b^5]

(1) [eqn: (3x+y)^4]	(2) [eqn: (a-2b)^5]

[eqn: left( 2x + 1overx right)^7]의 전개식에서 [eqn: x^5]의 계수를 구하시오.

[eqn: 448]

전개식의 일반항은

[eqn: `_7 {RMC}_r (2x)^7-r left( 1over x right)^r = `_7 {rmC}_r times 2^7-r times x^7-r times 1over x^r]

이때 [eqn: x^5]인 항은 [eqn: 7-r-r=5]인 경우이므로

[eqn: 7-2r=5]에서    [eqn: r=1]

따라서 [eqn: x^5]의 계수는

[eqn: `_7{rmC}_1 TIMES 2^6 =448]

[eqn: left( x + 2overx right)^6]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수를 구하시오.

[eqn: 60]

전개식의 일반항은

[eqn: `_6{rmC }_r x^6-r left( 2 over x right)^r][eqn: =][eqn: `_6 {rmC}_r times 2^r times x^6-r times 1 over x^r]

이때 [eqn: x^2]인 항은 [eqn: 6-r-r=2]인 경우이므로

[eqn: 6-2r =2]에서    [eqn: r=2]

따라서 [eqn: x^2]의 계수는    [eqn: `_6 {rmC}_2 TIMES 2^2 =60]

다음을 구하시오.

(1) [eqn: 560]	(2) [eqn: 1215]

(1) [eqn: LEFT( 2x ^2 + 1overx right)^7]의 전개식에서 [eqn: x^5]의 계수

(2) [eqn: left( 3x - 1overx^2 right)^6]의 전개식에서 상수항

파스칼의 삼각형을 이용하여 다음 식을 전개하시오.

(1) [eqn: a^5 +5a^4 b +10a^3 b^2 +10a^2 b^3 +5ab^4 +b^5]
(2) [eqn: a^7 +7a^6 +21a^5 +35a^4 +35a^3 +21a^2 +7a+1]

(1) [eqn: (a+b)^5]	(2) [eqn: (a+1)^7]

등식 [eqn: `_n {rmC}_0 }+`_n {rmC}_1 +_n {RMC}_2 +`cdots`+`_n {rmC}_n =2^n]이 성립함을 보이시오.

풀이 참고

이항정리에 의하여

[eqn: (1+x)^n =`_n {rmC}_0 }+`_n {rmC}_1 x +_n {RMC}_2 x^2 +`cdots`+`_n {rmC}_n x^n]

이 식에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 2^n =`_n {rmC}_0 }+`_n {rmC}_1 +_n {RMC}_2 +`cdots`+`_n {rmC}_n]

다음 등식이 성립함을 보이시오.

풀이 참고

(1) [eqn: (1+x)^n =`_n {rmC}_0 }+`_n {rmC}_1 x +_n {RMC}_2 x^2 +`cdots`+`_n {rmC}_n x^n]에
[eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: `_n {rmC}_0 -`_n {rmC}_1 +_n {RMC}_2 - `_n {rmC}_3 +`cdots`+(-1)^n`_n {rmC}_n =0]

(2) [eqn: (1+x) ^{2n} =` _{2n} rm C it rm _{0} +` _{2n} rm C it rm _{1} x+ _{2n} rm C it rm _{2} x ^{2} +` CDOTS `+` _{2n} rm C it rm _{2n} x ^{2n}]
[eqn: cdotscdots㉠]
[eqn: x=1]을 ㉠에 대입하면
[eqn: ` _{2n} rm C it rm _{0} +` _{2n} rm C it rm _{1} + _{2n} rm C it rm _{2} +` CDOTS `+` _{2n} rm C it rm _{2n} =2 ^{2n}]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: x=-1]을 ㉠에 대입하면
[eqn: ` _{2n} rm C it rm _{0} -` _{2n} rm C it rm _{1} + _{2n} rm C it rm _{2} -` CDOTS `+` _{2n} rm C it rm _{2n} =0]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉢]
㉡[eqn: +]㉢을 하면
[eqn: 2(` _{2n} rm C it rm _{0} +` _{2n} rm C it rm _{2} + _{2n} rm C it rm _{4} +` CDOTS `+` _{2n} rm C it rm _{2n} =2 ^{2n}]이므로
[eqn: ` _{2n} rm C it rm _{0} +` _{2n} rm C it rm _{2} + _{2n} rm C it rm _{4} +` CDOTS `+` _{2n} rm C it rm _{2n} =2 ^{2n-1}]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉣]
㉡[eqn: -]㉣을 하면
[eqn: ` _{2n} rm C it rm _{1} +` _{2n} rm C it rm _{3} + _{2n} rm C it rm _{5} +` CDOTS `+` _{2n} rm C it rm _{2n-1} =2 ^{2n-1}]

(1) [eqn: `_n {rmC}_0 }-`_n {rmC}_1 +_n {RMC}_2 +`cdots`+(-1)^n`_n {rmC}_n =0]

(2) [eqn: `_2n {rmC}_0 }+`_2n {rmC}_2 +_2n {RMC}_4 +`cdots`+`_2n {rmC}_2n]
[eqn: =`_2n {rmC}_1+`_2n {rmC}_3 +_2n {RMC}_5 +`cdots`+`_2n {rmC}_2n-1][eqn: =2^{2n-1]

[생각을 넓히는 수학]

다음 물음에 답하여 보자.

풀이 참고

(1) [eqn: (1+x)^10 =`_10 {rmC}_0 +`_10 {RMC}_1 x +`_10 {rmC}_2 x^2 +`CDOTS`+`_10 {RMC}_10 x^10]
[eqn: (x+1)^10 =`_10 {rmC}_0 x^10 +`_10 {RMC}_1 x^9 +`_10 {rmC}_2 x^8 +`CDOTS`+`_10 {RMC}_10]이므로
[eqn: (1+x)^10 (1+x)^10][eqn: =(1+x)^10 (x+1)^10]
[eqn: =(`_10 {rmC}_0 +`_10 {RMC}_1 x +`_10 {rmC}_2 x^2 +`CDOTS`+`_10 {RMC}_10 x^10 )]
[eqn: times(`_10 {rmC}_0 x^10 +`_10 {RMC}_1 x^9 +`_10 {rmC}_2 x^8 +`CDOTS`+`_10 {RMC}_10 )]
이다. 이 전개식에서 [eqn: x^10]의 계수는 다음과 같다.
[eqn: `_10 {rmC}_0 TIMES`_10 RMC_0 + `_10 C_1 TIMES `_10 C_1 +`_10 C _2 TIMES `_10 C _2]
[eqn: RM +`CDOTS`+`_10 C_10 TIMES `_10 C_10]
[eqn: =RM(`_10 C_0 )^2 +(`_10 C_1 )^2 +(`_10 C_2 )^2 +`CDOTS`+(`_10 C_10 )^2]

(2) [eqn: (1+x)^10 (1+x)^10][eqn: =(1+x)^20]이므로 [eqn: (1+x)^20]의 전     개식에서 [eqn: x^10]의 계수는 [eqn: `_20 {rmC}_10]이다.
따라서
[eqn: RM(`_10 C_0 )^2 +(`_10 C_1 )^2 +(`_10 C_2 )^2 +`CDOTS`+(`_10 C_10 )^2][eqn: =`_20 RMC_10]

(1) [eqn: (1+x)^10 (1+x)^10]의 전개식에서 [eqn: x^10]의 계수가 [eqn: RM(`_10 C_0 )^2 +(`_10 C_1 )^2 +(`_10 C_2 )^2 +`CDOTS`+(`_10 C_10 )^2]임을 설명하여 보자.

(2) [eqn: RM(`_10 C_0 )^2 +(`_10 C_1 )^2 +(`_10 C_2 )^2 +`CDOTS`+(`_10 C_10 )^2]의 값을 [eqn: `_n {rmC}_r] 꼴로 나타내어 보자.

스스로 확인하기

다음 [eqn: BOX{`````````}] 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

(1) [eqn: a^n-1 b], [eqn: `_n {rmC}_r]	(2) 이항계수, 일반항

(1) [eqn: n]이 자연수일 때

[eqn: (a+b)^n =`_n {rmC}_0 {a^n }+`_n {rmC}_1 box~~~~~+`cdots][eqn: +`box~~~~~` a^n-r b^r +`cdots`+`_n {rmC}_n b^n]

(2) [eqn: (a+b)^n]의 전개식에서 각 항의 계수 [eqn: `_n {rmC}_0 }, ~`_n {rmC}_1 ,`cdots` ,~`_n{rmC}_r ,~`_n {rmC}_n]을 [eqn: box{~~~~~~~~~~~}](이)라 하고, 항 [eqn: `_n {RMC}_r a^n-r b^r]을 [eqn: box{~~~~~~~~](이)라 한다.

다음 식을 전개하시오.

(1) [eqn: x^6 -6x^5 y +15x^4 y^2 -20x^3 y^3 +15x^2 y^4 -6xy^5 +y^6]
(2) [eqn: a^5 -10a^4 +40a^3 -80a^2 +80a-32]
(3) [eqn: x^4 +8x^3 y +24x^2 y^2 +32xy^3 +16y^4]

(1) [eqn: (x-y)^6]	(2) [eqn: (a-2)^5]

(3) [eqn: (x+2y)^4]

다음 식을 전개하였을 때, [eqn: [~~]] 안의 항의 계수를 구하시오.

(1) [eqn: 54]	(2) [eqn: -8]	(3) [eqn: 540]

(1) [eqn: (3a+b)^4]	[eqn: [`a^2 b^2 `]]

(2) [eqn: left( x^2 - 2over x^2 right)^4]	[eqn: [`x^4 `]]

(3) [eqn: left( 3x^2 + 1overx right)^6]	[eqn: left[`x^3` right]]

[eqn: left( ax + 1over x^2 right)^6]의 전개식에서 상수항이 [eqn: 240]일 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 2]

다음 값을 구하시오.

(1) [eqn: 64]	(2) [eqn: 1024]

(1) [eqn: `_6 {rmC}_0 }+`_6 {rmC}_1 +_6 {RMC}_2 +`_6 {rmC}_3 +`_6 {rmC}_4 +`_6 {rmC}_5 +_6 {RMC}_6]

(2) [eqn: `_11 {rmC}_1 +`_11{rmC}_3 +`_11{rmC}_5 +_11{RMC}_7 +`_11 {rmC}_9 +`_11 {rmC}_11]

다음 그림은 파스칼의 삼각형의 일부이다. 그림에 있는 모든 수들의 합을 구하시오.

[eqn: 918]

위의 그림과 같이 색칠한 부분을 살펴보면

[eqn: `_5 RMC_2 +`_5 C_3 +`_6 C_2 +`_7 C_2 +`_8 C_2 +`_9 C_2]

[eqn: =`_6 RMC_3 +`_6 C_2 +`_7 C_2 +`_8 C_2 +`_9 C_2]

[eqn: =`_7 RMC_3 +`_7 C_2 +`_8 C_2 +`_9 C_2]

[eqn: =`_8 RMC_3 +`_8 C_2 +`_9 C_2]

[eqn: =`_9 RMC_3 +`_9 C_2 =`_10 RMC_2]

위와 같은 방법으로 나머지 부분을 계산하면

[eqn: `_6 RMC_3 +`_6 C_4 +`_7 C_3 +`_8 C_3 +`_9 C_3][eqn: =`_10 RMC_4]

[eqn: `_7RM C_4 +`_7 C_5 +`_8 C_4 +`_9 C_4][eqn: =`_10 RMC_5]

[eqn: `_8RM C_5 +`_8 C_6 +`_9 C_5][eqn: =`_10 RMC_6]

[eqn: `_9 RM C_6 +`_9 C_7][eqn: =`_10 RMC_7]

따라서 구하는 합은

[eqn: `_4 RMC_2 +`_10 C_3 +`_10 C_4 +`_10 C_5 +`_10 C_6 +`_10 RMC _7]

[eqn: =`_4 RMC_2 +2(`_10 C_3 +`_10 C_4 )+ _10 C_5]

[eqn: =6+2(120+210)+252=918]

스스로 마무리하기

남학생 [eqn: 4]명과 여학생 [eqn: 3]명이 원탁에 둘러앉을 때, 여학생끼리 모두 이웃하게 앉는 경우의 수는?

⑤

① [eqn: 12]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 48]

④ [eqn: 72]	⑤ [eqn: 144]

오른쪽 그림과 같은 정사각뿔의 각 면을 서로 다른 [eqn: 5]가지 색을 모두 사용하여 칠하는  경우의 수는? (단, 한 면에 한 가지의 색을 칠하고, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

②

① [eqn: 24]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 48]

④ [eqn: 72]	⑤ [eqn: 120]

중복을 허용하여 [eqn: 5]의 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]로 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수는?

④

① [eqn: 48]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 80]

④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 120]

집합 [eqn: X=LEFT{1,~2,~3,~4RIGHT]에서 집합 [eqn: Y=LEFT{a,~b right]로의 함수 중에서 치역과 공역이 서로 같은 것의 개수는?

③

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

[eqn: 5]개의 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]를 일렬로 나열할 때, [eqn: a]가 [eqn: b]보다 앞에 오도록 나열하는 경우의 수는?

⑤

① [eqn: 24]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 60]

다음 그림과 같은 도로망이 있다. 이 도로망을 따라 [eqn: rmA]지점에서 [eqn: RMB]지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는?

④

① [eqn: 24]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 28]

방정식 [eqn: x+y+z=11]의 해를 순서쌍 [eqn: (x,~ y,~ z)]로 나타낸다. [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]가 음이 아닌 홀수일 때, 순서쌍 [eqn: (x,~ y,~ z)]의 개수는?

①

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

두 집합 [eqn: A=left{1,~ 2,~ 3,~ 4,~ 5right}], [eqn: B=left{1,~ 2,~ 3right}]에 대하여 [eqn: A]에서 [eqn: B]로의 함수 [eqn: f]중에서 다음 조건을 만족시키는 함수의 개수는?

②

집합 [eqn: B]의 원소 중에서 중복을 허용하여 [eqn: 5]개의 원소를 뽑아서 이것을 집합 [eqn: A]의 각 원소에 크기순으로 대응시키면 되므로 구하는 함수의 개수는

[eqn: `_3 RMH_5 =`_3+5-1 C_5 =`_7 C_5 =`_7 C_2 =21]

집합 [eqn: A]의 임의의 두 원소 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여

[eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: f(x_1 ) le f(x_2 )]

① [eqn: 18]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 36]

같은 종류의 공 [eqn: 15]개를 [eqn: 3]개의 바구니 [eqn: rm A], [eqn: RMB], [eqn: RMC]에 넣으려고 한다. 각 바구니에 적어도 [eqn: 3]개의 공이 들어가게 공을 바구니에 넣는 경우의 수는?

②

① [eqn: 26]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 34]

[eqn: LEFT(x^2 - 2 overx right)^8]의 전개식에서 [eqn: x^4]의 계수는?

④

[eqn: LEFT( x^2 - 2overx right)^8]의 전개식의 일반항은
[eqn: `_8 {rmC}_r (x^2 )^8-r left(- 2 over x right)^r = `_8 {rmC}_r times (-2)^r times x^16-2r times 1over x^r]

이때 [eqn: x^4]인 항은 [eqn: 16-2r-r=4]인 경우이므로

[eqn: 16-3r =4]에서    [eqn: r=4]

따라서 [eqn: x^4]의 계수는    [eqn: `_8 {rmC}_4 TIMES (-2)^4 =1120]

① [eqn: 980]	② [eqn: 1020]	③ [eqn: 1080]

④ [eqn: 1120]	⑤ [eqn: 1200]

[eqn: 9^20]을 [eqn: 16]으로 나눈 나머지는?

①

이항정리를 이용하면

[eqn: 9^20 =(8+1)^20]

[eqn: =`_20 {RMC}_0 8^20 +`_20 {RMC}_1 8^19]

[eqn: +`CDOTS`+`_20 {RMC}_18 8^2 +`_20 {RMC}_19 8 +`_20 {RMC}_20]

이때 [eqn: `_20 RMC_0 8^20 +`_20 C_1 8^19 +`CDOTS`+`_20 C_18 8^2]은 [eqn: 16]의 배수이고

[eqn: `_20 RMC_19 8+`_20 C_20 =`_20 RMC_1 8+1]

[eqn: =20 TIMES 8+1=16 TIMES 10+1]

이므로 [eqn: 9^20]을 [eqn: 16]으로 나눈 나머지는 [eqn: 1]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 12]

다음 식의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수는?

①

[eqn: (1+x)^n]의 전개식의 일반항은 [eqn: `_n {rmC}_r x^r]이다.

[eqn: (1+x)+(1+x)^2 +(1+x)^3 +`cdots`+(1+x)^10]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수는

[eqn: `_2 RMC_2 +`_3 C_2 +`_4 C_2 +`_5 C_2 +`_6 C_2 +`_7 C_2 +`_8 C_2 +`_9 C_2 +`_10 C_2]

[eqn: =`_3 RMC_3 +`_3 C_2 +`_4 C_2 +`_5 C_2 +`_6 C_2]

[eqn: RM+`_7 C_2 +`_8 C_2 +`_9 C_2 +`_10 C_2]

[eqn: =`_4RM C_3 +`_4 C_2 +`_5 C_2 +`_6 C_2][eqn: RM+`_7 C_2 +`_8 C_2 +`_9 C_2 +`_10 C_2]

[eqn: VDOTS]

[eqn: =`_10 RMC_3 +`_10 C_2]

[eqn: =_11 RMC_3 =165]

[eqn: (1+x)+(1+x)^2 +(1+x)^3][eqn: +`cdots` +(1+x)^10]

① [eqn: 165]	② [eqn: 166]	③ [eqn: 167]

④ [eqn: 168]	⑤ [eqn: 169]

사과 [eqn: 4]개, 배 [eqn: 5]개, 귤 [eqn: 6]개가 있다. 이 과일을 서로 다른 두 상자 [eqn: rmA], [eqn: RMB]에 빈 상자가 없도록 나누어 담는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 종류의 과일은 서로 구별하지 않는다.)

[eqn: 208]

사과 [eqn: 4]개를 두 상자 [eqn: RMA], [eqn: RMB]에 나누어 담는 경우의 수는

[eqn: `_2RMH_4 =`_2+4-1 C_4 =`_5 C_4 =`_5 C_1 =5]          [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

배 [eqn: 5]개를 두 상자 [eqn: RMA], [eqn: RMB]에 나누어 담는 경우의 수는

[eqn: `_2RMH_5 =`_2+5-1 C_5 =`_6 C_5 =`_6 C_1 =6]          [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

귤 [eqn: 6]개를 두 상자 [eqn: RMA], [eqn: RMB]에 나누어 담는 경우의 수는

[eqn: `_2RMH_6 =`_2+6-1 C_6 =`_7 C_6 =`_7 C_1 =7]          [eqn: CDOTS CDOTS ㉢]

[eqn: CDOTS CDOTS]□

㉠, ㉡, ㉢에서 사과 [eqn: 4]개, 배 [eqn: 5]개, 귤 [eqn: 6]개를 두 상자 [eqn: RMA], [eqn: RMB]에 나누어 담는 경우의 수는   [eqn: 5 times 6 times 7 =210]	[eqn: CDOTS CDOTS]□

이때 빈 상자가 생기는 [eqn: 2]가지 경우를 제외해야 하므로 구하는 경우의 수는    [eqn: 210-2=208]	[eqn: CDOTS CDOTS]□

[eqn: (2x+1)^3 LEFT(x + 3 overx right)^6]의 전개식에서 [eqn: x^5]의 계수를 구하시오.

[eqn: 1188]

[eqn: (2x+1)^3 =8x^3 +12x^2 +6x+1]

[eqn: left( x+ 3over x right)^6]의 전개식의 일반항은

[eqn: `_6{RMC}_r x^6-r left( 3over x right)^r =_6 {rmC}_r times 3^r times x^6-2r]	[eqn: CDOTS CDOTS]□

[eqn: (2x+1)^3 left( x+ 3 overx right)^6]의 전개식에서 [eqn: x^5]이 되는 경우는

[eqn: x^3 times x^2 =x^2 times x^3 = x timesx^4 =1 times x^5]이다.

[eqn: 6-2r=2]에서    [eqn: r=2]

[eqn: 6-2r=3]을 만족시키는 정수 [eqn: r]는 없다.

[eqn: 6-2r=4]에서    [eqn: r=1]

[eqn: 6-2r =5]를 만족시키는 정수 [eqn: r]는 없다.	[eqn: CDOTS CDOTS]□

즉

[eqn: r=2]일 때    [eqn: 8x^3 times`_6{RM C}_2 TIMES 3^2 TIMESx^2 =1080x^5]

[eqn: r=1]일 때    [eqn: 6x times `_6 {rmC}_1 TIMES 3 TIMES x^4 =108 x^5]

따라서 [eqn: x^5]의 계수는

[eqn: 1080+108=1188]	[eqn: CDOTS CDOTS]□

오른쪽 그림과 같이 크기가 같은 [eqn: 9]개의 정사각형으로 이루어진 도형이 있다. [eqn: 9]개의 정사각형의 내부를 서로 다른 [eqn: 9]가지 색을 모두 사용하여 하나씩 칠하는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 90720]

가운데 정사각형의 내부에 색을 칠하는 경우의 수는    [eqn: 9]

바깥쪽 [eqn: 8]개의 정사각형의 내부에 색을 칠하는 경우의 수는 원순열의 수이므로    [eqn: (8-1)! =7!]

이때 하나의 원순열에 대하여 색을 칠하는 방법은 다음 그림과 같이 [eqn: 2]가지 경우가 있다.

따라서 [eqn: 9]가지의 색으로 하나씩 칠하는 경우의 수는

[eqn: 9 times 7! times 2 = 18 times 7! =90720]

(단, 회전하여 일치하는 경우는 같은 것으로 본다.)

원소가 [eqn: 3]개인 전체집합 [eqn: U]가 있다. 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: A], [eqn: B]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (A,~B)]의 개수를 구하시오.

[eqn: 27]

집합 [eqn: U]의 원소는 [eqn: A], [eqn: B-A], [eqn: B^C]의 세 집합 중에서 하나에 속하고 각 경우에 [eqn: A,~B]가 하나씩 정해지므로 구하는 순서쌍 [eqn: (A,~B)]의 개수는

[eqn: ` _{3} SMALLPROD _{3} `][eqn: =3 ^{3} =27]

확률과 통계(고2)	내신대비	천재(류) 교과서 편집본 2. 확률

확률의 뜻

서로 다른 두 개의 동전을 동시에 던지는 시행에 대하여 다음을 구하시오. (단, 앞면은 [eqn: RMH], 뒷면은 [eqn: RMT]로 나타낸다.)

(1) [eqn: LEFT{(RMH,~H),~(H,~T),~(T,~H),~(T,~T) RIGHT]
(2) [eqn: LEFT{(RMH,~T),~(T,~H)RIGHT]

(1) 표본공간	(2) 서로 다른 면이 나오는 사건

[eqn: 1]부터 [eqn: 20]까지의 자연수가 하나씩 적힌 정이십면체 모양의 주사위를 던질 때, [eqn: 20]의 약수가 나오는 사건을 [eqn: A], [eqn: 7]의 배수가 나오는 사건을 [eqn: B]라 하자. 다음을 구하시오.

(1) [eqn: LEFT{1,~2,~4,~5,~7,~10,~14,~20 RIGHT]
(2) [eqn: EMPTYSET]
(3)[eqn: LEFT{3,~6,~7,~8,~9,~11,~12,~13,~14,~15,~16,~17,~18,~19 RIGHT]
(4) [eqn: LEFT{1,~2,~3,`CDOTS,~ 19,~20 RIGHT]

(1) [eqn: A SMALLUNION B]

(2) [eqn: A SMALLINTER B]

(3) [eqn: A^C]

(4) [eqn: A^C SMALLUNIONB^C]

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 [eqn: 6]이 될 확률을 구하시오.

[eqn: 5 OVER36]

표본공간을 [eqn: S]라 하면

[eqn: S=LEFT{(1,~1),~(1,~2),~(1,~3),~CDOTS,~(6,~5),~(6,~6)RIGHT]이므로	[eqn: n(S)=36]

또 나오는 눈의 수의 합이 [eqn: 6]인 사건을 [eqn: A]라 하면

[eqn: A=LEFT{(1,~5),~(2,~4),~(3,~3),~(4,~2),~(5,~1)RIGHT]이므로 [eqn: n(A)=5]

따라서 구하는 확률은

[eqn: RM P(IT A)=ITn(A) OVERn(S)][eqn: = 5 OVER36]

서로 다른 세 개의 동전을 동시에 던질 때, 앞면이 한 개 나올 확률을 구하시오.

[eqn: 3 OVER8]

주머니 속에 흰 공 [eqn: 3]개와 검은 공 [eqn: 4]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 흰 공 [eqn: 2]개와 검은 공 [eqn: 1]개가 나올 확률을 구하시오.

[eqn: 12 OVER35]

표본공간을 [eqn: S]라 하면

[eqn: n(S)=`_7rmC_3 =35]

흰 공 [eqn: 3]개 중에서 [eqn: 2]개, 검은 공 [eqn: 4]개 중에서 [eqn: 1]개를 꺼내는 사건을 [eqn: A]라 하면

[eqn: n(A)=][eqn: `_3RMC _2 TIMES `_4 RMC_1 =12]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP}(A)= n(A) OVERn(S) = 12 OVER35]

주머니 속에 빨간 공 [eqn: 2]개와 파란 공 [eqn: 4]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 빨간 공 [eqn: 1]개와 파란 공 [eqn: 1]개가 나올 확률을 구하시오.

[eqn: 8 OVER15]

표본공간을 [eqn: S]라 하면    [eqn: n(S)=][eqn: `_6 RMC_2 \=15]

빨간 공과 파란 공을 각각 [eqn: 1]개씩 꺼내는 사건을 [eqn: A]라 하면

[eqn: n(A)=][eqn: `_2 RMC_1 TIMES `_4 C_1 =8]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP}(A)=][eqn: n(A) OVERn(S) = 8 OVER15]

[eqn: 1]부터 [eqn: 9]까지의 자연수가 하나씩 적힌 [eqn: 9]장의 카드가 있다. 이 [eqn: 9]장의 카드 중에서 임의로 [eqn: 3]장의 카드를 동시에 뽑을 때, [eqn: 3]장 모두 홀수가 적힌 카드가 나올 확률을 구하시오.

[eqn: 5 OVER42]

[eqn: 2016]년 우리나라에서 태어난 신생아의 수는 [eqn: 406243]명이었고 그중에서 여자아이의 수는 [eqn: 198179]명이었다. 임의로 택한 한 신생아가 여자아이일 확률을 구하시오. (단, 소수점 아래 넷째 자리에서 반올림하여 구한다.)

[eqn: 0.488]

[생각을 넓히는 수학]

시원이는 한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 두 눈의 수의 합이 [eqn: 4]일 확률을 다음과 같이 구하였다. 잘못된 부분을 찾아 그 까닭을 설명하고 바르게 풀어 보자.

[eqn: {1} over {12}]

시원이는 표본공간과 사건을 잘못 구하였고 바르게 풀면 다음과 같다.

한 개의 주사위를 두 번 던지는 시행에서 표본공간을 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= LEFT{(1,~1),~(1,~2),~(1,~3),~CDOTS,~(6,~5),~(6,~6) RIGHT]

이므로  [eqn: n(S)=36]

또 두 눈의 수의 합이 [eqn: 4]인 사건을 [eqn: A]라 하면

[eqn: A=LEFT{(1,~3),~(2,~2),~(3,~1)RIGHT]이므로   [eqn: n(A)=3]

따라서 구하는 확률은    [eqn: {RMP}(A)= n(A) OVERn(S) = 3 OVER36 = 1OVER12]

흰 공 [eqn: 3]개와 파란 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 상자에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 다음을 구하시오.

(1) [eqn: 1]	(2) [eqn: 0]

(1) 흰 공이 [eqn: 1]개 이상 나올 확률

(2) 파란 공이 [eqn: 3]개 나올 확률

스스로 확인하기

다음 [eqn: BOX{`````````}] 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

(1) 시행	(2) [eqn: n(A)]	(3) 통계적 확률

(1) 주사위나 동전 던지기와 같이 같은 조건에서 반복할 수 있고, 그 결과가 우연에 의하여 정해지는 실험이나 관찰을 [eqn: BOX~~~~~](이)라 한다.

(2) 표본공간 [eqn: S]에서 각각의 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때, 사건 [eqn: A]가 일어날 수학적 확률은
[eqn: {RMP}(A)= BOX~~~~~ OVERn(S)]

(3) 일정한 조건에서 같은 시행을 [eqn: n]번 반복하였을 때, 사건 [eqn: A]가 일어난 횟수 [eqn: r_n]에 대하여 시행 횟수 [eqn: n]이 커짐에 따라 상대도수 [eqn: r_n overn]이 일정한 값 [eqn: p]에 가까워지면이 값 [eqn: p]를 사건 [eqn: A]가 일어날 [eqn: BOX{~~~~~~~~~](이)라 한다.

한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 다음을 구하시오.

(1) [eqn: 5 OVER36]	(2) [eqn: 2 OVER9]

(1) 두 눈의 수의 합이 [eqn: 8]이 될 확률

(2) 두 눈의 수의 차가 [eqn: 2]가 될 확률

[eqn: 1]부터 [eqn: 5]까지의 자연수가 하나씩 적힌 [eqn: 5]장의 카드가 있다. 이 [eqn: 5]장의 카드를 한 줄로 나열하여 다섯 자리 자연수를 만들 때, 이 수가 짝수일 확률을 구하시오.

[eqn: 2 OVER5]

[eqn: 1]부터 [eqn: 10]까지의 자연수가 하나씩 적힌 [eqn: 10]장의 카드가 있다. 이 [eqn: 10]장의 카드 중에서 임의로 [eqn: 2]장의 카드를 동시에 뽑을 때, 카드에 적힌 두 수의 합이 짝수일 확률을 구하시오.

[eqn: 4 OVER9]

오른쪽 그림과 같이 원의 둘레를 [eqn: 6]등분하는 [eqn: 6]개의 점이 있다. 이 [eqn: 6]개의 점 중에서 임의로 세 점을 택하여 그 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 만들 때, 이등변삼각형이 만들어질 확률을 구하시오.

[eqn: 2OVER5]

세 점을 택하여 만들 수 있는 삼각형의 개수는

[eqn: `_6 RMC_3 =20]

만들 수 있는 이등변삼각형은 오른쪽 그림과 같으므로 이등변삼각형의 개수는    [eqn: 8]

따라서 구하는 확률은    [eqn: 8 OVER20 = 2OVER5]

은희, 철수, 희영이가 차례로 한 개의 주사위를 한 번씩 던져서 각자 나온 눈의 수만큼 말판에서 말을 옮기는 게임을 하려고 한다. 세 명이 한 개의 주사위를 한 번씩 던졌을 때, 철수가 놓은 말이 은희와 희영이가 놓은 말 사이에 있을 확률을 구하시오. (단, 세 명의 말의 시작 위치는 모두 같다.)

[eqn: 5 OVER27]

표본공간을 [eqn: S]라 하면    [eqn: n(S)=6^3 =216]

(i) 철수가 던진 주사위에서 나온 눈의 수가 [eqn: 2]인 경우
은희와 희영이가 던진 주사위에서 나온 눈의 수는 각각 [eqn: 1]과 [eqn: 3,~4,~5,~6]이어야 하므로    [eqn: 1 TIMES 4 TIMES 2! =8]

(ii) 철수가 던진 주사위에서 나온 눈의 수가 [eqn: 3]인 경우
은희와 희영이가 던진 주사위에서 나온 눈의 수는 각각 [eqn: 1,~2]와 [eqn: 4,~5,~6]이어야 하므로    [eqn: 2 TIMES 3 TIMES 2! = 12]

(iii) 철수가 던진 주사위에서 나온 눈의 수가 [eqn: 4]인 경우
은희와 희영이가 던진 주사위에서 나온 눈의 수는 각각 [eqn: 1,~2,~3]과 [eqn: 5,~6]이어야 하므로    [eqn: 3TIMES 2TIMES 2! =12]

(ⅳ) 철수가 던진 주사위에서 나온 눈의 수가 [eqn: 5]인 경우
은희와 희영이가 던진 주사위에서 나온 눈의 수는 각각 [eqn: 1,~2,~3,~4]와 [eqn: 6]이어야 하므로    [eqn: 4 TIMES 1TIMES 2! =8]

따라서 구하는 확률은    [eqn: 8+12+12+8 OVER216 = 5 OVER27]

[다른 풀이]

은희, 철수, 희영이가 주사위를 던져서 나온 눈의     수를 각각 [eqn: a_1 ,~a_2 ,~a_3]이라 하면

[eqn: 1 le a_1 <a_2 le a_3 le 6]

이므로 구하는 확률은    [eqn: {2 times `_6 RMC_3 } OVER6^3 = 5 OVER27]

확률의 덧셈정리

한 개의 주사위를 던질 때, 짝수 또는 [eqn: 3]의 배수의 눈이 나올 확률을 구하시오.

[eqn: 2OVER3]

짝수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: A], [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: B]라 하면

[eqn: {RMP}(A)= 3 OVER6],  [eqn: {RMP}(B)= 2 OVER6], [eqn: {RMP}(A SMALLINTER B})= 1OVER6]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP}(A SMALLUNION B) ={RMP}(A)+{RMP}(B)-{RMP}(A SMALLINTER B)]

[eqn: = 3 OVER6 + 2OVER6 - 1OVER6 = 4 OVER6 = 2OVER3]

[eqn: 1]부터 [eqn: 10]까지의 자연수가 하나씩 적힌 [eqn: 10]장의 카드 중에서 임의로 한 장을 뽑을 때, 소수 또는 [eqn: 6]의 약수가 적힌 카드를 뽑을 확률을 구하시오.

[eqn: 3 OVER5]

소수가 적힌 카드를 뽑는 사건을 [eqn: A], [eqn: 6]의 약수가 적힌 카드를 뽑는 사건을 [eqn: B]라 하면

[eqn: {RMP}(A)=][eqn: 4 OVER10], [eqn: {RMP}(B)=][eqn: 4 OVER10], [eqn: {RMP}(A SMALLINTER B)=][eqn: 2OVER10]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP}(A SMALLUNIONB)={RMP}(A)+{RMP}(B)-{RMP}(A SMALLINTERB)]

[eqn: =][eqn: 4 OVER10 + 4 OVER10 - 2OVER10 = 6 OVER10 = 3 OVER5]

어느 학급에서 수학, 국어 방과후학교 프로그램에 참여하는 학생은 각각 전체의 [eqn: 25~%], [eqn: 30~%]이고 두 프로그램에 모두 참여하는 학생은 전체의 [eqn: 10~%]이다. 이 학급에서 임의로 한 학생을 택할 때, 수학 또는 국어 방과후학교 프로그램에 참여하는 학생일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.45]

혜리는 장미 [eqn: 5]송이와 튤립 [eqn: 4]송이를 샀다. 이 중에서 임의로 [eqn: 3]송이를 택하여 친구에게 선물로 주려고 한다. 같은 종류의 꽃만 [eqn: 3]송이 택할 확률을 구하시오.

[eqn: 1OVER6]

승헌이와 민서를 포함한 [eqn: 8]명의 학생이 있다. 이 중에서 [eqn: 2]명을 임의로 뽑을 때, 승헌이와 민서 중에서 적어도 한 명이 뽑힐 확률을 구하시오.

[eqn: 13 OVER28]

[eqn: 2]명 중에서 적어도 [eqn: 1]명이 뽑힐 사건을 [eqn: A]라 하면, 그 여사건 [eqn: A^C]는 [eqn: 2]명 모두 뽑히지 않는 사건이다.

여사건 [eqn: A^C]의 확률은

[eqn: {RMP}(A^C` ) ={`_6 RMC_2 } OVER{`_8RMC_2 }= 15 OVER28]

따라서 구하는 확률은	[eqn: {RMP}(A ) =1-{RMP}(A^C `)][eqn: =1- 15 OVER28 = 13 OVER28]

유리와 준성이를 포함한 [eqn: 5]명이 한 명씩 차례로 발표를 할 때, 유리와 준성이의 순서가 연달아 있지 않을 확률을 구하시오.

[eqn: 3OVER5]

스스로 확인하기

다음 [eqn: BOX{`````````}] 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

(1) ➊ [eqn: {RMP}(A)+{RMP}(B)-{RMP}(A SMALLINTERB)]  ➋ [eqn: {RMP}(A)+{RMP}(B)]
(2) [eqn: 1-{RMP}(A)]

(1) ➊ 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여
[eqn: {RMP} (A SMALLUNION B)=BOX{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~]
➋ 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 배반사건이면
[eqn: {RMP} (A SMALLUNION B)=BOX{~~~~~~~~~~]

(2) 사건 [eqn: A]의 여사건 [eqn: A^C]의 확률은 [eqn: {RMP} (A ^C` )=BOX{~~~~~~]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

[eqn: 17 OVER20]

[eqn: {RMP} (A )= 1OVER3], [eqn: {RMP} (B )= 2 OVER5], [eqn: {RMP} (A SMALLINTER B)= 7 OVER12]

일 때, [eqn: rmP][eqn: (A^C SMALLUNION B^C )]의 값을 구하시오.

불량품 [eqn: 2]개를 포함한 [eqn: 10]개의 제품이 있다. 이 [eqn: 10]개의 제품중에서 임의로 [eqn: 3]개의 제품을 택하여 검사할 때, 불량품이 한 개 이하일 확률을 구하시오.

[eqn: 14 OVER15]

[eqn: 10]개의 제비 중에 당첨 제비가 [eqn: k]개 들어 있다. 이 중에서 임의로 [eqn: 2]개의 제비를 동시에 뽑을 때, 적어도 한 개가 당첨 제비일 확률이 [eqn: 8 over15]이다. [eqn: k]의 값을 구하시오.

[eqn: 3]

[eqn: 1]부터 [eqn: 100]까지의 자연수 중에서 임의로 하나의 수를 택할 때, 그 수가 [eqn: 12]와 서로소일 확률을 구하시오.

[eqn: 33 OVER100]

[eqn: 12=2^2 TIMES 3]이므로 [eqn: 12]와 서로소가 되려면 [eqn: 2]와 [eqn: 3]을 약수로 갖지 않아야 한다. 이때 [eqn: 2]의 배수가 되는 사건을 [eqn: A], [eqn: 3]의 배수가 되는 사건을 [eqn: B]라 하면

[eqn: {RMP}(A SMALLUNIONB)={RMP}(A)+{RMP}(B)-{RMP}(A SMALLINTERB)]

[eqn: = 50 OVER100 + 33 OVER100 - 16 OVER100 = 67 OVER100]

따라서 구하는 확률은    [eqn: 1- 67 OVER100 = 33 OVER100]

[eqn: 1]부터 [eqn: 12]까지의 자연수가 하나씩 적힌 [eqn: 12]개의 공 중에서 임의로 [eqn: 6]개를 동시에 뽑을 때, 공에 적힌 수의 합이 홀수일 확률을 구하시오.

[eqn: 118 OVER231]

공에 적힌 수의 합이 홀수이려면 홀수가 적힌 공이 홀수개 있어야 한다.

[eqn: 12]개의 공 중에서 임의로 [eqn: 6]개의 공을 뽑는 경우의 수는

[eqn: `_12 RMC_6 =924]

(i) 홀수가 적힌 공이 [eqn: 1]개일 확률은  [eqn: {`_6 RMC_1 TIMES `_6 C_5 } OVER{`_12RM C_6 } = 36 OVER924]

(ii) 홀수가 적힌 공이 [eqn: 3]개일 확률은  [eqn: {` _{6} rm C _{3} TIMES ` _{6} C _{3} it} over {` _{12} rm C _{6} it} = {400} over {924}]

(iii) 홀수가 적힌 공이 [eqn: 5]개일 확률은  [eqn: {` _{6} rm C _{5} TIMES ` _{6} C _{1} it} over {` _{12} rm C _{6} it} = {36} over {924}]

따라서 구하는 확률은 [eqn: 36+400+36 OVER924 = 472 OVER924 = 118 OVER231]

조건부확률

한 개의 주사위를 던져서 홀수의 눈이 나왔을 때, 그 눈의 수가 소수일 확률을 구하시오.

[eqn: 2OVER3]

홀수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: A], 소수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: B]라 하면

[eqn: {RMP}(A)= 3OVER6], [eqn: {RMP}(A SMALLINTER B )} = 2 OVER6]

따라서 구하는 확률은 사건 [eqn: A]가 일어났을 때의 사건 [eqn: B]의 조건부확률이므로

[eqn: {RMP}(B``|` A)][eqn: ={ {RMP}(A SMALLINTER B )} OVER{{RMP}(A)}][eqn: ={ 2OVER6} OVER{ 3 OVER6 }= 2 OVER3]

한 개의 주사위를 던져서 짝수의 눈이 나왔을 때, 그 눈의 수가 [eqn: 3]의 배수일 확률을 구하시오.

[eqn: 1 OVER3]

짝수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: A], [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: B]라 하면

[eqn: {RMP}(A)=][eqn: 3 OVER6], [eqn: {RMP}(A SMALLINTER B)=][eqn: 1 OVER6]

따라서 구하는 확률은 사건 [eqn: A]가 일어났을 때의 사건 [eqn: B]의 조건부확률이므로

[eqn: {RMP}(B``|` A)=][eqn: { {RMP}(A SMALLINTER B )} OVER{{RMP}(A)}][eqn: ={ 1OVER6} OVER{ 3 OVER6 }= 1 OVER3]

어느 고등학교의 여학생은 전체 학생의 [eqn: 40~%]이고, 안경을 쓴 여학생은 전체 학생의 [eqn: 25~%]이다. 이 고등학교 학생 중에서 임의로 한 명의 여학생을 뽑을 때, 그 여학생이 안경을 쓴 학생일 확률을 구하시오.

[eqn: 5 OVER8]

주머니 안에 흰 구슬 [eqn: 5]개와 검은 구슬 [eqn: 3]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 구슬을 한 개씩 두 번 꺼낼 때, [eqn: 2]개가 모두 흰 구슬일 확률을 구하시오. (단, 꺼낸 구슬은 다시 넣지 않는다.)

[eqn: 5 OVER14]

첫 번째에 꺼낸 구슬이 흰 구슬인 사건을 [eqn: A]라 하면

[eqn: {RMP}(A)= 5 OVER8]

두 번째에 꺼낸 구슬이 흰 구슬인 사건을 [eqn: B]라 하면

사건 [eqn: A]가 일어났을 때의 사건 B의 조건부확률은

[eqn: {RMP}(B``|` A) = 4 OVER7]

따라서 [eqn: 2]개가 모두 흰 구슬일 사건은 [eqn: A SMALLINTER B]이므로

구하는 확률은

[eqn: { {RMP}(A SMALLINTER B )} ={RMP}(A) {RMP}(B``|`A)][eqn: = 5 OVER8 TIMES 4 OVER7 = 5 OVER14]

접시에 담긴 [eqn: 15]개의 송편 중에서 [eqn: 4]개에는 깨가 들어 있고, [eqn: 11]개에는 콩이 들어 있다. 영광이와 윤미가 임의로 송편을 한 개씩 차례로 먹을 때, 두 명 모두 깨가 들어 있는 송편을 먹을 확률을 구하시오.

[eqn: 2OVER35]

선우가 받은 전자 우편의 [eqn: 10~%]는 ‘쿠폰’이라는 단어를 포함한다. ‘쿠폰’이라는 단어를 포함한 전자 우편의 [eqn: 70~%]가 광고이고, ‘쿠폰’이라는 단어를 포함하지 않는 전자 우편의 [eqn: 20~%]가 광고이다. 선우가 받은 한 전자 우편이 광고일 때, 이 전자 우편이 ‘쿠폰’이라는 단어를 포함할 확률을 구하시오.

[eqn: 0.28]

받은 전자 우편이 ‘쿠폰’이라는 단어를 포함할 사건을 [eqn: A], 광고일 사건을 [eqn: B]라 하면

[eqn: {RMP}(A)= 0.1], [eqn: {RMP}(A^C``)= 0.9]

[eqn: {RMP}(B``|` A) = 0.7], [eqn: {RMP}(B``|A^C``)= 0.2]

받은 전자 우편이 광고일 확률은

[eqn: {RMP}(B)={RMP}(B SMALLINTERA)+{RMP}(B SMALLINTERA^C ``)]

[eqn: ={RMP}(A) {RMP}(B``|`A) ={RMP}(A^C `){RMP}(B``|`A^C``)]

[eqn: =0.TIMES0.7+0.9 TIMES0.2=0.25]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP}(A``|` B`)][eqn: ={ {RMP}(A SMALLINTER B )} OVER{{RMP}(B)}]

[eqn: ={{RMP}(A){RMP}(B``|`A`)} OVER{{RMP}(B)}]

[eqn: ={ 0.1 TIMES 0.7} OVER0.25 =0.28]

어느 회사는 두 공장 [eqn: RMA], [eqn: RMB]에서 같은 제품을 생산하고 있다. 두 공장 [eqn: RMA], [eqn: RMB]에서 각각 전체 제품의 [eqn: 40~%], [eqn: 60~%]를 생산하고 있는데 두 공장에서 생산된 제품의 불량률은 각각 [eqn: 4~%], [eqn: 2~%]라 한다. 이 두 공장에서 생산된 제품 중에서 임의로 고른 한 개가 불량품이었을 때, 이 제품이 [eqn: RMA] 공장에서 생산되었을 확률을 구하시오.

[eqn: 4 OVER7]

[생각을 넓히는 수학]

수완, 민경, 성민이는 과제를 마치고 발표할 학생을 제비뽑기로 결정하기로 하였다. [eqn: 3]개의 제비 중에서 당첨 제비는 [eqn: 1]개이고 뽑은 제비는 다시 넣지 않을 때, 제비를 뽑는 순서에 따라 발표자로 결정될 확률에 차이가 있는지 모둠별로 토론하여 보자.

제비를 뽑는 순서에 관계없이 발표자로 결정될 확률은 같다.

(i) 첫 번째에 당첨 제비를 뽑는 경우의 확률
[eqn: 3]개의 제비 중에 당첨 제비는 [eqn: 1]개이므로 　[eqn: 1OVER3]

(ii) 두 번째에 당첨 제비를 뽑는 경우의 확률
첫 번째에는 당첨 제비가 아닌 제비를 뽑고 두 번째에 당첨 제비를 뽑아야 하므로 　[eqn: 2OVER3 TIMES 1OVER2 = 1OVER3]

(iii) 세 번째에 당첨 제비를 뽑는 경우의 확률
첫 번째와 두 번째에는 당첨 제비가 아닌 제비를 뽑고 세 번째에 당첨 제비를 뽑아야 하므로

[eqn: 2 OVER3 TIMES 1OVER2 TIMES 1OVER1 = 1OVER3]

따라서 제비를 뽑는 순서에 관계없이 발표자로 결정될 확률은 같다.

스스로 확인하기

다음 [eqn: BOX{`````````}] 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

(1) [eqn: {RMP}(A SMALLINTERB)]  (2) [eqn: {RMP}(B``|` A)], [eqn: {RMP}(B)]

(1) 사건 [eqn: A]가 일어났을 때의 사건 [eqn: B]의 조건부확률은
[eqn: {RMP}(B``|` A)][eqn: ={ BOX~~~~~~~} OVER{{RMP}(A)}] (단, [eqn: {RMP}(A)>0])

(2) 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여
[eqn: { {RMP}(A SMALLINTER B )} ={RMP}(A) TIMES BOX~~~~~~~] [eqn: ={BOX~~~~~~~ TIMES{RMP}(A``|`B`)]
(단, [eqn: {RMP}(A)>0], [eqn: {RMP}(B)>0])

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

[eqn: 0.2]

[eqn: {RMP}(A)=0.5], [eqn: {RMP}(B)=0.3], [eqn: {RMP}(A SMALLUNIONB)=0.7]

일 때, [eqn: {RMP}(B``|`A)]의 값을 구하시오.

다음은 어느 회사의 등반 대회 참가인에 대한 성별과 아침 식사 여부를 조사한 표이다.

[eqn: 4 OVER5]

	아침 식사 했음	아침 식사 하지 않았음	합계
남성	[eqn: 12]	[eqn: 3]	[eqn: 15]
여성	[eqn: 9]	[eqn: 1]	[eqn: 10]
합계	[eqn: 21]	[eqn: 4]	[eqn: 25]

이 등반 대회 참가인 중에서 임의로 뽑은 한 사람이 남성이었을 때, 이 사람이 아침 식사를 했을 확률을 구하시오.

크기와 모양이 같은 [eqn: 11]개의 호빵 중에서 [eqn: 7]개는 팥이 들어 있고, 나머지 [eqn: 4]개는 야채가 들어 있다. 준현이가 호빵 [eqn: 2]개를 차례로 먹을 때, 첫 번째에는 야채가 들어 있는 호빵을 먹고 두번째에는 팥이 들어 있는 호빵을 먹을 확률을 구하시오.

[eqn: 14 OVER55]

[eqn: 1]부터 [eqn: 5]까지의 자연수가 하나씩 적힌 [eqn: 5]장의 카드가 있다. 이 중에서 임의로 두 장의 카드를 동시에 뽑았더니 두 장의 카드에 적힌 수의 합이 짝수일 때, 두 카드에 적힌 수가 모두 홀수일 확률을 구하시오.

[eqn: 3OVER4]

거짓말을 했을 때 거짓이라고 판단하고, 참말을 했을 때 참이라고 판단할 확률이 [eqn: 80~%]인 거짓말 탐지기가 있다. 어떤 용의자가 말한 [eqn: 10]개의 문장 중에서 [eqn: 9]개는 거짓이고 [eqn: 1]개는 참이다. 용의자가 말한 문장 중에서 임의로 뽑은 한 문장에 대하여 거짓말 탐지기가 거짓이라고 판단하였을 때, 실제로 용의자가 거짓말을 하였을 확률을 구하시오.

[eqn: 36 OVER37]

용의자가 말한 문장이 거짓말인 사건을 [eqn: A], 참말인 사건을 [eqn: B]라 하면

[eqn: {RMP}(A)= 9 OVER10], [eqn: {RMP}(B)= 1OVER10]

거짓말 탐지기가 거짓이라고 판단할 사건을 [eqn: E]라 하면

[eqn: {RMP}(E``|`A) = 8 OVER10], [eqn: rm P it (E``|`B)= {2} over {10}]

이때	[eqn: { {RMP}(A SMALLINTER E )} ={RMP}(A) {RMP}(E``|`A) = 9 OVER10 TIMES 8 OVER10 = 72 OVER100]

[eqn: { {RMP}(B SMALLINTER E )} ={RMP}(B) {RMP}(E``|`B) = 1 OVER10 TIMES 2 OVER10 = 2 OVER100]

이므로

[eqn: {RMP}(E`)={RMP}(A SMALLINTERE`)+{RMP}(B SMALLINTERE`)]

[eqn: = 72 OVER100 + 2 OVER100][eqn: = 74 OVER100]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP}(A ``|`E`)][eqn: ={ {RMP}(A SMALLINTER E` )} OVER{{RMP}(E`)} = {72 OVER100 } OVER{ 74 OVER100 }= 36 OVER37]

사건의 독립과 종속

[eqn: 1]부터 [eqn: 8]까지의 자연수가 하나씩 적힌 [eqn: 8]장의 카드 중에서 임의로 한 장의 카드를 뽑을 때, 카드에 적힌 수가 홀수인 사건을 [eqn: A], [eqn: 3]의 배수인 사건을 [eqn: B]라 하자. 이때 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]는 서로 독립인지 종속인지 말하시오.

풀이 참조

[eqn: A= LEFT{1,~3,~5,~7 RIGHT }], [eqn: B=LEFT{3,~6 RIGHT]이므로

[eqn: {RMP}(A)= 1OVER2], [eqn: {RMP}(B)= 1OVER4]

[eqn: {RMP}(A){RMP}(B)= 1OVER2 TIMES 1OVER4 = 1OVER8]

한편 [eqn: A SMALLINTERB =LEFT{3 RIGHT]이므로 [eqn: {RMP}(A SMALLINTERB) = 1OVER8]

따라서 [eqn: { {RMP}(A SMALLINTER B )} ={RMP}(A){RMP}(B)]이므로 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]는 서로 독립이다.

한 개의 주사위를 던질 때, [eqn: 3]의 배수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: A], [eqn: 5] 이상의 눈이 나오는 사건을 [eqn: B]라 하자. 이때 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]는 서로 독립인지 종속인지 말하시오.

풀이 참고

[eqn: A=][eqn: LEFT{3,~6RIGHT], [eqn: B=][eqn: LEFT{5,~6 RIGHT]이므로

[eqn: {RMP}(A)=][eqn: 1OVER3], [eqn: {RMP}(B)=][eqn: 1OVER3]

[eqn: {RMP}(A){RMP} (B)=][eqn: 1OVER3 TIMES 1OVER3 = 1OVER9]

한편 [eqn: A SMALLINTERB =][eqn: LEFT{6 RIGHT]이므로    [eqn: {RMP}(A SMALLINTERB)=][eqn: 1OVER6]

따라서 [eqn: {RMP}(A SMALLINTERB )!={RMP}(A) {RMP}(B)]이므로 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]는 서로 종속이다.

[eqn: 1]부터 [eqn: 12]까지의 자연수가 하나씩 적힌 [eqn: 12]개의 공이 들어 있는 상자에서 임의로 한 개의 공을 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적힌 수가 홀수인 사건을 [eqn: A], [eqn: 3]의 배수인 사건을 [eqn: B], 소수인 사건을 [eqn: C]라 하자. 이때 다음 두 사건이 서로 독립인지 종속인지 말하시오.

(1) 독립	(2) 종속

(1) [eqn: A]와 [eqn: B]	(2) [eqn: A]와 [eqn: C]

어느 양궁 선수는 [eqn: 10]점 영역을 맞힐 확률이 [eqn: 1over3]이라 한다. 이 양궁 선수가 화살을 [eqn: 6]번 쏠 때, 다음을 구하시오.

(1) [eqn: 160 over729] (2) [eqn: 13 over729]

(1) [eqn: 10]점 영역을 맞히지 못할 확률은 [eqn: 2over3]이므로 [eqn: 10]점 영역을 [eqn: 3]번 맞힐 확률은
[eqn: `_6{rmC}_3 left( 1over3 right)^3 left( 2over3right)^3 = 160 over729]

(2) [eqn: 10]점 영역을 [eqn: 5]번, [eqn: 6]번 맞힐 확률은 각각
[eqn: `_6{rmC}_5 left( 1over3 right)^5 left( 2over3right)^1 = 4 over243], [eqn: left( 1over3 right)^6 = 1over729]
따라서 [eqn: 10]점 영역을 [eqn: 5]번 이상 맞힐 확률은
[eqn: 4 over243 + 1over729 = 13 over729]

(1) [eqn: 10]점 영역을 [eqn: 3]번 맞힐 확률

(2) [eqn: 10]점 영역을 [eqn: 5]번 이상 맞힐 확률

승헌이는 자유투를 성공할 확률이 [eqn: 0.6]이라 한다. 다음을 구하시오. (단, 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하여 구한다.)

(1) [eqn: 0.28]	(2) [eqn: 0.20]

(1) 자유투를 [eqn: 6]번 던져서 [eqn: 3]번 성공할 확률

(2) 자유투를 [eqn: 10]번 던져서 [eqn: 5]번 성공할 확률

[생각을 넓히는 수학]

다음은 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이면 두 사건 [eqn: A], [eqn: B^C]도 서로 독립임을 설명한 것이다. 이것을 참고하여 두 사건 [eqn: A^C], [eqn: B^C]도 서로 독립임을 설명하여 보자. (단, [eqn: 0<{RMP(}A)<1], [eqn: 0<{RMP(}B)<1])

풀이 참고

[eqn: (A^C`)^C =A]이므로

[eqn: {RMP}(A^C SMALLINTERB^C` )= {RMP}(B^C `)-{RMP}(A SMALLINTERB^C `)]

[eqn: = {RMP}(B^C `)-{RMP}(A){RMP}(B^C `)]

[eqn: =LEFT{1-{RMP}(A^C` RIGHT)right}{RMP}(B^C `)]

[eqn: ={RMP}(A^C` ){RMP}(B^C `)]

➡ 두 사건 [eqn: A^C], [eqn: B^C]는 서로 독립이다.

설명 : [eqn: P LEFT ( A SMALLINTER B ^{c} RIGHT ) =P LEFT ( A RIGHT ) -P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )]

[eqn: =P(A)-P LEFT ( A RIGHT ) P LEFT ( B RIGHT ) =P LEFT ( A RIGHT ) LEFT { 1-P LEFT ( B RIGHT ) RIGHT }][eqn: =P LEFT ( A RIGHT ) P LEFT ( B ^{c} RIGHT )]

⇨ 두 사건 [eqn: A,``B ^{c}]는 서로 독립이다.

증명 : [eqn: P LEFT ( A ^{c} SMALLINTER B ^{c} RIGHT ) =]

⇨ 두 사건 [eqn: A ^{c} ,``B ^{c}]는 서로 독립이다.

스스로 확인하기

다음 [eqn: BOX{`````````}] 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

(1) [eqn: {rmP}(A){RMP}(B)]  (2) 종속  (3) [eqn: `_n {rmC}_r p^r (1-p)^n-r]

(1) 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은
[eqn: { {RMP}(A SMALLINTER B )} =BOX~~~~~~~~~]
(단, [eqn: {RMP}(A)>0], [eqn: {RMP}(B)>0])

(2) 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이 아닐 때, 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]는 서로 [eqn: BOX~~~~~](이)라 한다.

(3) [eqn: 1]회의 시행에서 사건 [eqn: A]가 일어날 확률이 [eqn: p]일 때, [eqn: n]회의 독립시행에서 사건 [eqn: A]가 [eqn: r]회 일어날 확률은
[eqn: box{~~~~~~~~~~~~~~}] (단, [eqn: r=1,~2,~cdots,~n-1)]

한 개의 주사위를 던질 때, 짝수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: A], [eqn: 3] 이상의 눈이 나오는 사건을 [eqn: B]라 하자. 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]는 서로 독립인지 종속인지 말하시오.

독립

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이고

[eqn: 2 over9]

[eqn: {RMP}(A)={RMP}(B^C`) = 1OVER3]

일 때, [eqn: {RMP}(A SMALLINTERB )]의 값을 구하시오.

승부차기를 성공할 확률이 각각 [eqn: 0.6], [eqn: 0.8]인 두 축구 선수 [eqn: RMA], [eqn: RMB]가 한 번씩 승부차기를 할 때, 둘 중 한 명만 성공할 확률을 구하시오.

[eqn: 0.44]

두 팀 [eqn: RMA], [eqn: RMB]가 야구 경기를 할 때, [eqn: RMA]팀이 이길 확률이 [eqn: 3 OVER5]이라 한다. 두 팀이 [eqn: 7]전 [eqn: 4]선승제의 경기를 할 때, [eqn: RMA]팀이 [eqn: 4]승 [eqn: 2]패로 이길 확률을 구하시오. (단, 비기는 경우는 없다.)

[eqn: 648 over3125]

[eqn: rmA]팀이 [eqn: 4]승 [eqn: 2]패로 이기려면 [eqn: 5]번째 경기까지 [eqn: RMA]팀이 [eqn: 3]번 이기고 [eqn: 2]번 져야 하므로 그 확률은

[eqn: `_5rmC_3 LEFT( 3OVER5 RIGHT)^3 LEFT( 2OVER5 RIGHT)^2]

[eqn: 6]번째 경기에서 이길 확률이 [eqn: 3 OVER5]이므로 구하는 확률은

[eqn: `_5RMC_3 LEFT( 3 OVER5 RIGHT)^3 LEFT( 2OVER 5 RIGHT)^2 TIMES 3OVER5][eqn: =`_5 RMC_3 LEFT( 3OVER 5 RIGHT)^4 LEFT( 2OVER 5 RIGHT)^2 = 648 OVER3125]

어느 인터넷 사이트에서 회원을 대상으로 행운권 추첨 행사를 하고 있다. 행운권에 당첨될 확률은 [eqn: 1 OVER5]이고 당첨되는 경우에는 회원 점수가 [eqn: 500]점, 당첨되지 않은 경우에는 [eqn: 100]점이 올라간다. 가은이가 행운권 추첨에 [eqn: 3]회 참여할 때, 회원 점수가 [eqn: 1000]점 이상 올라갈 확률을 구하시오. (단, 행운권을 추첨하는 시행은 서로 독립이다.)

[eqn: 13 over125]

회원 점수가 [eqn: 1000]점 이상 올라가려면 행운권에 [eqn: 2]번 또는 [eqn: 3]번 당첨되어야 한다.

[eqn: 2]번 당첨될 확률은    [eqn: `_3 RMC_2 LEFT( 1OVER 5 RIGHT)^2 LEFT( 4OVER5 RIGHT)^1 = 12 OVER125]

[eqn: 3]번 당첨될 확률은    [eqn: LEFT( 1OVER 5 RIGHT)^3 = 1 OVER125]

따라서 구하는 확률은

[eqn: 12 OVER125 + 1OVER125 = 13 OVER125]

스스로 마무리하기

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 두 눈의 수가 서로 다를 확률은?

⑤

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: 5 over6]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: {RMP}(A^C SMALLINTER B^C `) = 1OVER10],[eqn: {RMP}(A SMALLINTER B `) = 1OVER5], [eqn: {RMP}(A ) = 1OVER2]일 때, [eqn: {rmP}(B)]는?

⑤

① [eqn: 1 OVER5]	② [eqn: 3 OVER10]	③ [eqn: 2 OVER5]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 3 OVER5]

다음 그림과 같은 [eqn: 6]장의 카드가 있다. 이 카드를 일렬로 나열하여 만든 암호 중에서 임의로 하나를 택할 때, 카드 가 모두 이웃해 있을 확률은?

②

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1OVER5]	③ [eqn: 1OVER4]

④ [eqn: 1over3]	⑤ [eqn: 1over2]

흰 공 [eqn: 4]개, 빨간 공 [eqn: 5]개가 들어 있는 상자에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼낼 때, [eqn: 3]개의 공이 모두 같은 색일 확률은?

①

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1OVER4]	③ [eqn: 1over3]

④ [eqn: 5 OVER12]	⑤ [eqn: 1over2]

주머니 안에 오렌지 맛 사탕 [eqn: 4]개와 딸기 맛 사탕 [eqn: 4]개가 들어 있다. 이 [eqn: 8]개의 사탕 중에서 임의로 [eqn: 4]개를 동시에 꺼낼 때, 오렌지 맛 사탕이 [eqn: 3]개 이상 나오거나 [eqn: 4]개 모두 딸기 맛 사탕이 나올 확률은?

②

오렌지 맛 사탕이 [eqn: 3]개, 딸기 맛 사탕이 [eqn: 1]개일 확률은

[eqn: {`_4 RMC_3 TIMES `_4 C_1 } OVER{`_8RMC_4]

오렌지 맛 사탕이 [eqn: 4]개, 딸기 맛 사탕이 [eqn: 0]개일 확률은

[eqn: {`_4 RMC_4 } OVER{`_8RMC_4]

오렌지 맛 사탕이 [eqn: 0]개, 딸기 맛 사탕이 [eqn: 4]개일 확률은

[eqn: {`_4 RMC_4 } OVER{`_8RMC_4]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {`_4 RMC_3 TIMES `_4 C_1 +`_4 C_4 TIMES `_4 C_4} OVER{`_8RMC_4}= 9 OVER35]

① [eqn: 8 OVER35]	② [eqn: 9 OVER35]	③ [eqn: 2 OVER7]

④ [eqn: 11 OVER35]	⑤ [eqn: 12 OVER35]

집합 [eqn: X=LEFT{1,~2,~3,~4,~5 RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수 중에서 임의로 택한 한 함수를 [eqn: f]라 하자. [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b=5]이면 [eqn: f(a)=f(b)]일 확률은?

①

[eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: `_5 PI_5 =5^5]

[eqn: a+b=5]일 때, [eqn: f(a)=f(b)]인 함수는 [eqn: f(1)=f(4)]이고 [eqn: f(2)=f(3)]이다.

즉, [eqn: f(1)]과 [eqn: f(2)]의 값이 정해지면 [eqn: f(4)]와 [eqn: f(3)]의 값도 각각 한 가지로 정해진다.

따라서 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]의 서로 다른 [eqn: 5]개에서 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 5]에 대응시킬 [eqn: 3]개를 중복을 허용하여 택하는 중복순열의 수와 같으므로

[eqn: ` _{5} SMALLPROD _{3} `][eqn: =5 ^{3}]

따라서 구하는 확률은    [eqn: 5^3 OVER 5^5 = 1OVER25]

① [eqn: 1over25]	② [eqn: 2 over25]	③ [eqn: 3 over25]

④ [eqn: 4 over25]	⑤ [eqn: 1OVER5]

[eqn: 1]부터 [eqn: 20]까지의 자연수가 하나씩 적힌 [eqn: 20]장의 카드 중에서 임의로 [eqn: 2]장의 카드를 동시에 뽑을 때, 카드에 적힌 수의 최댓값이 [eqn: 11] 이상일 확률은?

③

카드에 적힌 수의 최댓값이 [eqn: 11] 이상인 사건을 [eqn: A]라 하면 [eqn: A^C]는 카드에 적힌 수의 최댓값이 [eqn: 10] 이하인 사건이므로

[eqn: {RMP}(A^C `) = {`_10 RMC_2} OVER{`_20 RMC_2 } = 9 OVER38]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP}(A)=1- {RMP}(A^C`) = 1- 9 OVER38 = 29 OVER38]

① [eqn: 27 over38]	② [eqn: 14 over19]	③ [eqn: 29 over38]

④ [eqn: 15 over19]	⑤ [eqn: 31 over38]

오른쪽 그림과 같이 반원의 둘레에 [eqn: 7]개의 점이 있다. 이 [eqn: 7]개의 점 중에서 [eqn: 3]개의 점을 임의로 택할 때, 그 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형이 만들어질 확률은?

⑤

삼각형이 만들어질 사건을 [eqn: A]라 하면 [eqn: A^C]는 삼각형이 만들어지지 않는 사건이다. 이때 삼각형이 만들어지지 않으려면 지름 위의 [eqn: 4]개의 점 중에서 [eqn: 3]개의 점을 택해야 하므로

[eqn: {RMP}(A^C`)= {`_4 RMC_3 } OVER{`_7 RMC_3 }= 4 OVER35]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP}(A)=1-{RMP}(A^C`) =1- 4 OVER35 = 31 OVER35]

① [eqn: 7 over10]	② [eqn: 5 over7]	③ [eqn: 27 over35]

④ [eqn: 4 over5]	⑤ [eqn: 31 over35]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: {RMP}(A) = 1OVER2], [eqn: {RMP}(B)= 2 OVER3], [eqn: {RMP}(A^C SMALLINTER B^C `) = 1OVER 6]일 때, [eqn: {rmP}(A`|B`)]는?

③

[eqn: {RMP}(A^C ` SMALLINTER B^C`)= {RMP}((A SMALLUNIONB)^C`)]

[eqn: =1-{RMP}(A SMALLUNIONB)= 1OVER6]

이므로    [eqn: {RMP}(A SMALLUNIONB)= 5 OVER6]

한편 [eqn: {RMP}(A SMALLUNIONB)={RMP}(A)+{RMP}(B)-{RMP}(A SMALLINTERB)]에서

[eqn: {RMP}(A SMALLINTER B)={RMP}(A)+{RMP}(B)-{RMP}(A SMALLUNION B)]

[eqn: = 1OVER2 + 2 OVER3 - 5 OVER6 = 1OVER3]

따라서    [eqn: {RMP}(A ``|`B`)][eqn: ={ {RMP}(A SMALLINTER B` )} OVER{{RMP}(B`)} = {1OVER3} OVER{2 OVER3} = 1OVER2]

① [eqn: 1 OVER3]	② [eqn: 5 OVER12]	③ [eqn: 1OVER2]

④ [eqn: 7 OVER12]	⑤ [eqn: 2 OVER3]

주머니 속에 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3]이 하나씩 적힌 노란 공 [eqn: 5]개와 [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 3]이 하나씩 적힌 파란 공 [eqn: 5]개가 들어 있다. 이 주머니 속에서 임의로 두 개의 공을 동시에 꺼냈더니 모두 [eqn: 3]이 적혀 있었을 때, 두 공이 서로 다른 색일 확률은?

④

주머니 속에서 임의로 두 개의 공을 꺼낼 때 모두 [eqn: 3]이 적힌 공이 나오는 사건을 [eqn: A], 다른 색의 공이 나오는 사건을 [eqn: B]라 하면 [eqn: A SMALLINTERB]는 [eqn: 3]이 적힌 노란 공과 파란 공을 각각 [eqn: 1]개씩 꺼내는 사건이므로

[eqn: {RMP}(A)={`_5 RMC_2 } OVER{`_10 {RMC_2} }= 2OVER9], [eqn: {RMP}(A SMALLINTERB)={`_3 RMC_1 TIMES `_2 C_1} OVER{`_10 RMC_2 }= 2 OVER15]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP}(B ``|`A`)][eqn: ={ {RMP}(A SMALLINTER B` )} OVER{{RMP}(A`)} = {2 OVER15} OVER{2 OVER9} = 3OVER5]

① [eqn: 3 over10]	② [eqn: 2 over5]	③ [eqn: 1 over2]

④ [eqn: 3 over5]	⑤ [eqn: 7 over10]

세 축구 선수 [eqn: RMA], [eqn: RMB], [eqn: RMC]가 승부차기를 성공할 확률이 각각 [eqn: 4 OVER5], [eqn: 3 OVER4], [eqn: 7 OVER10]이라 한다. 세 축구 선수가 한 번씩 승부차기를 할 때, 두 사람만 성공할 확률은?

④

세 축구 선수 [eqn: RMA], [eqn: RMB], [eqn: RMC] 중에서 두 사람만 성공하는 경우는 [eqn: RMA], [eqn: RMB] 또는 [eqn: RMA], [eqn: RMC] 또는 [eqn: RMB], [eqn: RMC]만 성공하는 경우이다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: 4 OVER5 TIMES 3OVER4 TIMES 3 OVER10 + 4 OVER5 TIMES 1OVER4 TIMES 7 OVER10 + 1OVER5 TIMES 3 OVER4 TIMES 7 OVER10][eqn: = 17 OVER40]

① [eqn: 7 OVER20]	② [eqn: 3OVER8]	③ [eqn: 2 OVER5]

④ [eqn: 17 OVER40]	⑤ [eqn: 9 OVER20]

좌표평면 위의 원점 [eqn: RMO]를 출발한 점 [eqn: RMP]가 서로 다른 두 주사위를 동시에 던질 때마다 다음과 같은 규칙으로 움직일 때, 점 [eqn: RMP]가 점 [eqn: (5,~4)]에 도착할 확률은?

④

서로 다른 두 주사위를 동시에 던질 때, 두 눈의 수의 곱이 홀수일 확률은 두 눈이 모두 홀수가 나오는 경우이므로

[eqn: 9 OVER36 = 1OVER4]

따라서 두 눈의 수의 곱이 짝수일 확률은

[eqn: 1- 1OVER4 = 3OVER4]

점 [eqn: RMP]가 점 [eqn: (5,~4)]에 도착하려면 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 5] 만큼 평행이동해야 한다. 따라서 시행 횟수는 [eqn: 5]회이므로 두 눈의 수의 곱이 짝수인 경우가 [eqn: r]회, 홀수인 경우가 [eqn: (5-r)]회 나왔다고 하면

[eqn: 2r-(5-r)=4], 즉    [eqn: r=3]

따라서 구하는 확률은 [eqn: `_5rmC_3 LEFT( 3OVER4 RIGHT)^3 LEFT( 1 OVER4 RIGHT)^2 = 135 OVER512]

❶ 두 눈의 수의 곱이 짝수이면 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한다.

❷ 두 눈의 수의 곱이 홀수이면 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한다.

① [eqn: 15 OVER64]	② [eqn: 125 OVER512]	③ [eqn: 65 OVER256]

④ [eqn: 135 OVER512]	⑤ [eqn: 35 OVER128]

어느 고등학교 [eqn: 2]학년 학생 중에서 [eqn: rmA], [eqn: RMB] 두 과목을 선택한 학생이 각각 [eqn: 40]명, [eqn: 60]명이다. [eqn: RMA]과목을 선택한 학생의 [eqn: 50~%]가 [eqn: RMC]과목을 선택하였고, [eqn: RMB]과목을 선택한 학생의 [eqn: 20~%]가 [eqn: RMC]과목을 선택하였다. 이들 [eqn: 100]명 중에서 임의로 한 명을 뽑아 조사하였더니 [eqn: RMC]과목을 선택하였을 때, 이 학생이 [eqn: RMA]과목도 선택하였을 확률을 구하시오. (단, [eqn: RMA]과목과 [eqn: RMB]과목을 동시에 선택한 학생은 없다.)

[eqn: 5 OVER8]

학생들이 [eqn: rmA], [eqn: RMB], [eqn: RMC] 세 과목을 선택한 사건을 각각 [eqn: RMA], [eqn: RMB], [eqn: RMC]라 하면 [eqn: RMA], [eqn: RMC] 두 과목을 모두 선택한 학생 수는

[eqn: 40 TIMES 0.5=20]이므로    [eqn: n(A SMALLINTERC`)=20]       [eqn: cdotscdots]□

[eqn: RMB], [eqn: RMC] 두 과목을 모두 선택한 학생 수는

[eqn: 60 TIMES 0.2=12]이므로    [eqn: n(B SMALLINTERC`)=12]

[eqn: 100]명 중에서 [eqn: RMC] 과목을 선택한 학생 수는

[eqn: 20+12=32]이므로    [eqn: n(C`)=32]            [eqn: cdotscdots]□

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP}(A ``|`C`)][eqn: ={ {RMP}(A SMALLINTER C` )} OVER{{RMP}(C`)} = {20 OVER100} OVER{32 OVER100} = 5OVER8]      [eqn: CDOTS CDOTS]□

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이고,

[eqn: 13OVER12]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이므로

[eqn: {RMP}(A^C SMALLINTERB)={RMP}(A^C `){RMP}(B)]

[eqn: =LEFT{1- {RMP}(A) RIGHT} {RMP}(B)]

[eqn: {RMP}(A^C SMALLINTERB^C `)={RMP}(A^C `){RMP}(B^C`)]

[eqn: =LEFT{1- {RMP}(A) RIGHT}LEFT{1- {RMP}(B)RIGHT]

이때 [eqn: {RMP}(A)=x], [eqn: {rmP}(B)=y]라 하면

[eqn: (1-x)y = 1over2]                        [eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: (1-x)(1-y)= 1over6]                   [eqn: cdotscdots]㉡

[eqn: cdotscdots]□

㉠, ㉡에서 [eqn: x={rmP}(A)= 1OVER3], [eqn: y={RMP}(B)= 3 OVER4]이므로

[eqn: {RMP}(A)+{RMP}(B) = 1OVER3 + 3OVER4 = 13 OVER12]	[eqn: CDOTS CDOTS]□

[eqn: {RMP}(A^C SMALLINTER B` ) = 1OVER2], [eqn: {RMP}(A^C SMALLINTER B^C `) = 1OVER 6]

일 때, [eqn: {rmP}(A)+{RMP}(B)]의 값을 구하시오.

같은 회사에 근무하는 재현이와 경수는 다음 주 월요일부터 금요일까지 [eqn: 5]일 중에서 각각 [eqn: 2]일을 임의로 택하여 휴가를 가기로 하였다. 재현이와 경수의 휴가 날짜 중에서 겹치는 날이 있을 확률을 구하시오. (단, 휴가 날짜는 연속일 수도 있고 아닐 수도 있다.)

[eqn: 7 OVER10]

휴가 날짜 중에서 겹치는 날이 있는 사건을 [eqn: A]라 하면 [eqn: A^C]는 겹치는 날이 없는 사건이다.

두 사람이 각각 휴가 날짜를 택하는 경우의 수는 [eqn: `_5 RMC_2 TIMES `_5 C_2]이고,

두 사람이 겹치는 날이 없도록 택하는 경우의 수는 [eqn: `_5 RMC_2 TIMES `_3 C_2]이므로

[eqn: {RMP}(A^C`) = {`_5 RMC_2 TIMES _3 C_2 } OVER{`_5 RMC_2 TIMES `_5 RMC_2 }= 3OVER10]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP}(A)=1-{RMP}(A^C `) =1- 3 OVER10 = 7 OVER10]

어느 비행기에는 남자 승객 [eqn: 200]명과 여자 승객 [eqn: 100]명이 탔고, 이들 [eqn: 300]명에게 점심 식사로 두 메뉴 [eqn: RMA], [eqn: RMB] 중에서 한 가지를 제공한다고 한다. 남자 승객의 [eqn: 60~%]와 여자 승객의 [eqn: 40~%]가 [eqn: RMA]메뉴를 선택하였다. 이 비행기의 승객 [eqn: 300]명 중에서 임의로 택한 한 승객이 [eqn: RMA]메뉴를 선택하였다고 할 때, 이 승객이 남자 승객일 확률을 구하시오.

[eqn: 3OVER4]

[eqn: RMA]메뉴를 선택할 사건을 [eqn: A], 남자 승객일 사건을 [eqn: M], 여자 승객일 사건을 [eqn: F]라 하면

[eqn: {RMP}(A SMALLINTERM`)={RMP}(M){RMP}(A``|`M`)= 2OVER3 TIMES 6 OVER10 = 12 OVER30]

[eqn: rm P it (A SMALLINTER F)= rm P it (F) rm P it (A``|`F`)= {1} over {3} TIMES {4} over {10} = {4} over {30}]

이므로

[eqn: {RMP}(A)={RMP}(A SMALLINTERM`)+{RMP}(A SMALLINTERF`)= 12 OVER30 + 4 OVER30 = 16 OVER30]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP}(M``|`A`)][eqn: ={ {RMP}(A SMALLINTER M` )} OVER{{RMP}(A`)} = {12 OVER30} OVER{16 OVER30} = 3 OVER4]

확률과 통계(고2)	내신대비	천재(류) 교과서 편집본 3. 통계

확률변수와 확률분포

다음 확률변수가 이산확률변수인지 연속확률변수인지 말하시오.

(1) 이산확률변수	(2) 연속확률변수
(3) 이산확률변수	(4) 연속확률변수

(1) 우리 학교에 매년 입학하는 학생 수

(2) 우리 학교 학생들의 키

(3) [eqn: 1]부터 [eqn: 100]까지의 자연수가 하나씩 적힌 [eqn: 100]장의 카드 중에서 임의로 택한 한 장의 카드에 적힌 수

(4) 독도에서의 일 년 동안의 적설량

빨간 구슬 [eqn: 4]개와 파란 구슬 [eqn: 3]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 [eqn: 2]개의 구슬을 동시에 꺼낼 때, 빨간 구슬의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 다음 물음에 답하시오.

풀이 참조

(1) 확률변수 [eqn: X]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2]이다.
[eqn: X]가 [eqn: 0]을 가질 확률은
[eqn: {RMP}(X=0)={`_4 RMC_0 TIMES `_3 C_2} OVER{`_7 RMC _2 }= 1OVER7]
[eqn: X]가 [eqn: 1]을 가질 확률은
[eqn: rm P it (X=1)= {` _{4} rm C _{1} TIMES ` _{3} C _{1} it} over {` _{7} rm C _{2} it} = {4} over {7}]
[eqn: X]가 [eqn: 2]를 가질 확률은
[eqn: rm P it (X=2)= {` _{4} rm C _{2} TIMES ` _{3} C _{0} it} over {` _{7} rm C _{2} it} = {2} over {7}]
따라서 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	합계
[eqn: {rmP}(X=x )]	[eqn: 1OVER7]	[eqn: 4 OVER7]	[eqn: 2OVER7]	[eqn: 1]

(2) [eqn: rm P it (1 LEQ X LEQ 2)`={RMP}(X=1)+{RMP}(X=2)= 4 OVER7 + 2OVER7 = 6 OVER7]

(1) [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내시오.

(2) 확률 [eqn: {rmP}(1 le X LE2)]를 구하시오

서로 다른 [eqn: 2]개의 주사위를 동시에 던질 때, 나온 두 눈의 수 중에서 작지 않은 수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 다음 물음에 답하시오.

(1)

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1OVER36]	[eqn: 1OVER12]	[eqn: 5 OVER36]	[eqn: 7 OVER36]	[eqn: 1 OVER4]	[eqn: 11 OVER36]	[eqn: 1]

(2) [eqn: 5 OVER9]

(1) [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내시오.

(2) 확률 [eqn: {RMP}(X GE5)]를 구하시오.

[생각을 넓히는 수학]

한 개의 동전을 [eqn: 4]번 던질 때, 다음 규칙에 따라 얻은 점수의 합을 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내어 보자. (단, 첫 번째에 동전을 던져서 나온 결과에 대해서는 점수를 얻지 못한다.)

풀이 참고

(i) (앞, 앞, 앞, 앞), (뒤, 뒤, 뒤, 뒤)가 나올 확률은
[eqn: {RMP}(X=3)=2 TIMES LEFT( 1OVER2 RIGHT)^4 = 1OVER8]

(ii) (앞, 앞, 앞, 뒤), (앞, 앞, 뒤, 뒤), (앞, 뒤, 뒤, 뒤),
(뒤, 뒤, 뒤, 앞), (뒤, 뒤, 앞, 앞), (뒤, 앞, 앞, 앞)이 나올 확률은
[eqn: {RMP}(X=4)=6 TIMES LEFT( 1OVER2 RIGHT)^4 = 3OVER8]

(iii) (앞, 앞, 뒤, 앞), (앞, 뒤, 뒤, 앞), (앞, 뒤, 앞, 앞),
(뒤, 뒤, 앞, 뒤), (뒤, 앞, 앞, 뒤), (뒤, 앞, 뒤, 뒤)가 나올 확률은
[eqn: {RMP}(X=5)=6 TIMES LEFT( 1OVER2 RIGHT)^4 = 1OVER8]

(ⅳ) (앞, 뒤, 앞, 뒤), (뒤, 앞, 뒤, 앞)이 나올 확률은
[eqn: {RMP}(X=6)=2 TIMES LEFT( 1OVER2 RIGHT)^4 = 1OVER8]

따라서 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면

[eqn: X]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1OVER8]	[eqn: 3 OVER8]	[eqn: 3 OVER8]	[eqn: 1OVER8]	[eqn: 1]

➊ 앞면이 나온 후 앞면이 나오거나 뒷면이 나온 후 뒷면이 나오면 [eqn: 1]점을 얻는다.

➋ 앞면이 나온 후 뒷면이 나오거나 뒷면이 나온 후 앞면이 나오면 [eqn: 2]점을 얻는다.

스스로 확인하기

다음 [eqn: BOX{`````````}] 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

(1) 확률변수  (2) 이산확률변수, 연속확률변수

(1) 어떤 시행에서 표본공간의 각 원소에 하나의 실수를    대응시킨 함수를 [eqn: BOX{~~~~~~~~~~}](이)라 한다.

(2) 확률변수 [eqn: X]가 가질 수 있는 값이 유한개이거나 무한히 많더라도 자연수와 같이 셀 수 있을 때 그 확률변수    [eqn: BOX{~~~~~~~~~~~~~}]를 (이)라 하고, 어떤 범위에 속한  모든 실숫값을 가질 때 그 확률변수 [eqn: BOX{~~~~~~~~~~~~~}] 를 (이)라 한다.

확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 다음 표와 같을 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 1OVER4]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	합계
[eqn: {rmP}(X=x )]	[eqn: 1OVER6]	[eqn: 1 over4]	[eqn: a]	[eqn: 1over3]	[eqn: 1]

확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 다음 표와 같을 때, 확률 [eqn: rm P it (1 LEQ X LEQ 2)]를 구하시오.

[eqn: 1 OVER2]

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: {rmP}(X=x )]	[eqn: 1over10]	[eqn: 1over5]	[eqn: 3over10]	[eqn: 2 over5]	[eqn: 1]

각 면에 [eqn: 1], [eqn: 2,] [eqn: 2,] [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 3]의 수가 하나씩 적힌 한 개의 주사위를 한 번 던져서 나오는 수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내고, 확률 [eqn: {RMP}(X GE2)]를 구하시오.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1OVER6]	[eqn: 1OVER2]	[eqn: 1 OVER3]	[eqn: 1]

흰 공 [eqn: 3]개와 검은 공 [eqn: 5]개가 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 검은 공의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내고, 검은 공을 적어도 한 개 이상 꺼낼 확률을 구하시오.

[eqn: 55 OVER56]

확률변수 [eqn: X]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 0,~1,~2,~3]이므로

[eqn: {RMP}(X=0) ={`_5 RMC_0 TIMES `_3 C_3 } OVER{`_8RM C_3 }= 1OVER56]

[eqn: rm P it (X=1)= {` _{5} rm C _{1} TIMES ` _{3} C _{2} it} over {` _{8} rm C _{3} it} = {15} over {56}]

[eqn: rm P it (X=2)= {` _{5} rm C _{2} TIMES ` _{3} C _{1} it} over {` _{8} rm C _{3} it} = {15} over {28}]

[eqn: rm P it (X=3)= {` _{5} rm C _{3} TIMES ` _{3} C _{0} it} over {` _{8} rm C _{3} it} = {5} over {28}]

따라서 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: `1 over {56}]	[eqn: 15 OVER56]	[eqn: 15 OVER28]	[eqn: 5 OVER28]	[eqn: 1]

이때 검은 공을 적어도 한 개 이상 꺼낼 확률은

[eqn: {RMP}(X GE1)=1-{RMP}(X <1)]

[eqn: =1-{RMP}(X=0)]

[eqn: =1- 1OVER56 = 55 OVER56]

오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 2]인 정육면체에서 서로 다른 세 꼭짓점을 택하여 만든 삼각형의 넓이를 확률변수 [eqn: X]라 할  때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 풀이 참조	(2) [eqn: 6 OVER7]

(1) 확률변수 [eqn: X]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 2,~2SQRT2 ,~2SQRT3]이므로
[eqn: rm P it (X=2 )= {6 TIMES ` _{4} RMC _{3} it} over {` _{8} rm C _{3} it} = 3 OVER7]
[eqn: rm P it (X=2SQRT2 )= {6 TIMES2 TIMES2} over {` _{8} rm C _{3} it} = 3 OVER7]
[eqn: rm P it (X=2SQRT3 )= {8} over {` _{8} rm C _{3} it} = 1OVER7]
따라서 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면

[eqn: X]	[eqn: 2]	[eqn: 2SQRT2]	[eqn: 2SQRT3]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 3 OVER7]	[eqn: 3 OVER7]	[eqn: 1 OVER7]	[eqn: 1]

(2) [eqn: {RMP}(2 LE X LE3)=][eqn: {RMP}( X =2)+{RMP}(X=2SQRT2 )]
[eqn: = 3OVER7 + 3OVER7 = 6 OVER7]

(1) [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내시오.

(2) 확률 [eqn: rm P it (2 LEQ X LEQ 3)]을 구하시오.

이산확률변수의 기댓값과 표준편차

서로 다른 [eqn: 3]개의 동전을 동시에 던져서 앞면이 나오는 동전의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: X]의 기댓값을 구하시오.

[eqn: 3 OVER2]

[eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: {rmP}(X=x )]	[eqn: 1OVER8]	[eqn: 3OVER8]	[eqn: 3 OVER8]	[eqn: 1OVER8]	[eqn: 1]

따라서 [eqn: X]의 기댓값은

[eqn: {RME}(X)=0 TIMES 1OVER8 + 1TIMES 3OVER8 +2 TIMES 3OVER8 +3 TIMES 1OVER8][eqn: = 3 OVER2]

서로 다른 [eqn: 2]개의 동전을 동시에 던져서 뒷면이 나오는 동전의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: X]의 기댓값을 구하시오.

[eqn: 1]

[eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1 OVER4]	[eqn: 1OVER2]	[eqn: 1OVER4]	[eqn: 1]

따라서 [eqn: X]의 기댓값은

[eqn: {RME}(X)=][eqn: 0 TIMES 1OVER4 + 1TIMES 1OVER2 +2 TIMES 1OVER4 =1]

흰 공 [eqn: 4]개와 검은 공 [eqn: 3]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼내서 나오는 흰 공의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: X]의 기댓값을 구하시오.

[eqn: 12 OVER7]

서로 다른 [eqn: 2]개의 주사위를 동시에 던져서 나오는 두 눈의 수의 차를 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: X]의 평균을 구하시오.

[eqn: 35 OVER18]

확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 다음 표와 같을 때, [eqn: X]의 분산과 표준편차를 구하시오.

[eqn: {RMV}(X)= 2 OVER3],	[eqn: sigma(X)= SQRT6 OVER3]

방법 [eqn: 1] | [eqn: {{rm E it ((X-m) ^{2} )}}]을 이용하여 풀기
[eqn: {RME}(X) = 1 TIMES 1OVER3 +2 TIMES 1OVER3 + 3 TIMES 1OVER3 =2]이므로 [eqn: X]의 분산과 표준편차는 각각
[eqn: {RMV}(X)=(1-2)^2 TIMES 1OVER3 +(2-2)^2 TIMES 1OVER3 + (3-2)^2 TIMES 1OVER3 = 2OVER3]
[eqn: sigma(X)=SQRT{{RMV}(X)][eqn: = SQRT{2 OVER3} = SQRT6 OVER3]

방법 [eqn: 2] | [eqn: {{RME}(X)^2 - LEFT{{RME}(X) RIGHT }^2]을 이용하여 풀기
[eqn: {RME}(X)= 1 TIMES 1OVER3 +2 TIMES 1OVER3 +3 TIMES 1OVER3 =2]이고
[eqn: {RME}(X^2 )= 1^2 TIMES 1OVER3 +2^2 TIMES 1 OVER3 + 3^2 TIMES 1OVER3 = 14 OVER3]이므로 [eqn: X]의 분산과 표준편차는 각각
[eqn: {RMV}(X)=][eqn: {{RME}(X)^2- LEFT{{RME}(X) RIGHT }^2][eqn: = 14 OVER3 - 2^2 = 2 OVER3]
[eqn: sigma(X)=SQRT{{RMV}(X)][eqn: = SQRT{2 OVER3} = SQRT6 OVER3]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: {rmP}(X=x )]	[eqn: 1OVER3]	[eqn: 1OVER3]	[eqn: 1OVER3]	[eqn: 1]

확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 다음 표와 같을 때, [eqn: X]의 분산과 표준편차를 구하시오.

[eqn: {RMV}(X)=1], [eqn: sigma(X)=1]

[eqn: X]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 5]	합계
[eqn: {rmP}(X=x )]	[eqn: 1OVER3]	[eqn: 1OVER2]	[eqn: 1OVER6]	[eqn: 1]

어느 사탕 가게에서는 오른쪽 표와 같이 사탕이 들어 있는 세 종류의 행운 박스를 고객에게 나누어 주려고 한다. [eqn: 1000]개의 행운 박스 중에서 임의로 택한 한 행운 박스에 들어 있는 사탕의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: X]의 기댓값과 분산을 구하시오.

[eqn: {RME}(X)=16], [eqn: {RMV}(X)=19]

확률변수 [eqn: X]의 평균이 [eqn: 5], 분산이 [eqn: 4]일 때, 확률변수 [eqn: Y=-3X+1]의 평균, 분산, 표준편차를 구하시오.

[eqn: {RME}(Y)=-14], [eqn: {RMV}(Y)=36], [eqn: sigma(Y)=6]

[eqn: {RME}(X)=5], [eqn: {RMV}(X)=4], [eqn: sigma(X)=2]이므로

[eqn: {RME}(Y)={RME}(-3X+1)]

[eqn: =-3 {RME}(X)+1]

[eqn: =-14]

[eqn: {RMV}(Y)={RMV}(-3X+1)]

[eqn: =(-3)^2 {RMV}(X)]

[eqn: =36]

[eqn: sigma (Y)= sigma (-3X+1)]

[eqn: =|`-3`| sigma(X)]

[eqn: =6]

확률변수 [eqn: X]의 평균이 [eqn: 2], 분산이 [eqn: 9]일 때, 확률변수 [eqn: Y=4X-3]의 평균, 분산, 표준편차를 구하시오.

[eqn: {RME}(Y)=5], [eqn: {RMV}(Y)=144], [eqn: sigma(Y)=12]

[eqn: {RME}(X)=][eqn: 2], [eqn: {RMV}(X)=][eqn: 9], [eqn: sigma(X)=][eqn: 3]이므로

[eqn: {RME}(Y)= {RME}(4X-3)=][eqn: 4{RME}(X)-3][eqn: =][eqn: 5]

[eqn: {RMV}(Y)={RMV}(4X-3) =][eqn: 4^2 {RMV}(X)][eqn: =][eqn: 144]

[eqn: sigma(Y)= sigma(4X-3)=][eqn: |4| sigma(X)][eqn: =][eqn: 12]

확률변수 [eqn: X]의 평균이 [eqn: 10], 표준편차가 [eqn: 4]일 때, 다음을 구하시오.

(1) [eqn: 29]	(2) [eqn: 64]	(3) [eqn: 8]

(1) [eqn: {RME}(3X-1)]	(2) [eqn: {RMV}(2X+1)]

(3) [eqn: sigma(-2X+3)]

[생각을 넓히는 수학]

오른쪽 표는 어느 학교의 중간고사와 기말고사에 대하여 수학 시험 성적의 평균과 표준편차, 두 학생 [eqn: RMA], [eqn: RMB]가 받은 수학 시험 점수를 나타낸 것이다.

풀이 참고

[eqn: RMA]학생의 중간고사와 기말고사 수학 시험 점수에 대하여 그 표준 점수를 각각 [eqn: T_1], [eqn: T_2]라 하면

[eqn: T_1 = 20 TIMES {88-50} OVER20 +100=138]

합: [eqn: 278]

[eqn: T_2 = 20 TIMES {88-56} OVER16 +100=140]

[eqn: RMB]학생의 중간고사와 기말고사 수학 시험 점수에 대하여 그 표준 점수를 각각 [eqn: T_3], [eqn: T_4]라 하면

[eqn: T_3 = 20 TIMES {84 -50} OVER20 +100=134]

합: [eqn: 279]

[eqn: T_4 =20 TIMES {92-56} OVER16 +100=145]

따라서 중간고사와 기말고사의 표준 점수의 합이 높은 학생은 [eqn: RMB]이다.

수학 시험 점수 [eqn: X]의 평균이 [eqn: m]이고, 표준편차가 [eqn: sigma]일 때, 표준 점수 [eqn: T]를

[eqn: T= 20 TIMES {X -m } over sigma +100]

이라 하자. 두 학생의 중간고사와 기말고사 수학 시험의 표준 점수를 각각 구하고, 표준 점수의 합이 높은 학생을 말하여 보자.

스스로 확인하기

다음 [eqn: BOX{`````````}] 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

(1) 기댓값, 평균	(2) 분산
(3) ➊ [eqn: a{rmE}(X)]  ➋ [eqn: a^2]  ➌ [eqn: |`a`|]

(1) 이산확률변수 [eqn: X]에 대하여
[eqn: {RME}(X)=x_1 p_1 +x_2 p_2 +`cdots`+x_n p_n]
을 이산확률변수 [eqn: X]의 [eqn: BOX~~~~~~~] 또는 [eqn: BOX~~~~~](이)라 한다.

(2) 이산확률변수 [eqn: X]의 기댓값 [eqn: {RME}(X)]를 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: (X-m)^2]의 기댓값을 확률변수 [eqn: X]의 [eqn: BOX~~~~~](이)라 한다.

(3) 확률변수 [eqn: X]와 상수 [eqn: a], [eqn: b][eqn: (a!=0)]에 대하여
➊ [eqn: {rmE}(aX +b)=box~~~~~+b]
➋ [eqn: {rmV}(aX +b)=box~~` {rmV}(X)]
➌ [eqn: sigma(a X +b)=box~~` sigma(X)]

확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 다음 표와 같을 때, [eqn: X]의 기댓값을 구하시오.

[eqn: 2]

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: {rmP}(X=x )]	[eqn: 1over10]	[eqn: 1over5]	[eqn: 3over10]	[eqn: 2 over5]	[eqn: 1]

한아네 동아리는 남학생 [eqn: 4]명과 여학생 [eqn: 6]명으로 구성되어 있다. 이 동아리에서 학교 축제에 참가할 대표 [eqn: 3]명을 뽑을 때, [eqn: 3]명의 대표 중에서 여학생의 수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: X]의 평균과 표준편차를 구하시오.

평균 : [eqn: 9 over5], 표준편차 : [eqn: sqrt14 over5]

확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수가

(1) [eqn: 4]	(2) [eqn: 15]

[eqn: {RMP}(X=x)= {3x+1} over12 (x=0,~1,~2)]

일 때, 다음을 구하시오.

(1) [eqn: {rmE}(2X+1)]	(2) [eqn: RM{V}(-6X+10)]

한 개의 주사위를 한 번 던져서 나오는 눈의 수의 [eqn: 100]배를 상금으로 받는 게임이 있다. 주사위를 던져서 나오는 눈의 수를 확률변수 [eqn: X], 받는 상금을 확률변수 [eqn: Y]라 할 때, [eqn: X]의 평균과 [eqn: Y]의 평균을 구하시오.

[eqn: {rmE}(X) = 7 OVER2], [eqn: {RME}(Y)= 350]

[eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1OVER6]	[eqn: 1OVER6]	[eqn: 1OVER6]	[eqn: 1OVER6]	[eqn: 1OVER6]	[eqn: 1OVER6]	[eqn: 1]

[eqn: {RME}(X)= 1 TIMES 1OVER6 +2 TIMES `1OVER6 + 3 TIMES 1OVER6 + 4 TIMES 1OVER6][eqn: +5 TIMES 1OVER6 + 6 TIMES 1OVER6]

[eqn: ={ 7} over {2 }]

이때 [eqn: Y=100X]가 성립하므로 [eqn: Y]의 평균은

[eqn: {RME}(Y)={RME}(100X)]

[eqn: =100{RME}(X)]

[eqn: =100 TIMES 7 OVER2 = 350]

어느 자격증 시험의 응시 조건은 다음과 같다.

[eqn: 65 OVER27]

확률변수 [eqn: X]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 1,~2,~3,~4]이므로

[eqn: rm P it (X=1)= 1 OVER3]

[eqn: rm P it (X=2)= 2 OVER3 TIMES 1OVER3 = 2 OVER9]

[eqn: rm P it (X=3)=LEFT( 2OVER3 RIGHT)^2 TIMES 1OVER3 = 4OVER27]

[eqn: rm P it (X=4)=1-LEFT( 1OVER3 + 2OVER9 + 4 OVER27 RIGHT) = 8 OVER27]

따라서 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1 OVER3]	[eqn: 2 OVER9]	[eqn: 4 OVER27]	[eqn: 8 OVER27]	[eqn: 1]

[eqn: {RME}(X)= 1 TIMES 1OVER3 + 2TIMES 2 OVER9 +3 TIMES 4 OVER27 + 4 TIMES 8 OVER27][eqn: = 65 OVER27](만 원)

시원이가 이 자격증 시험에 응시하였을 때, 매회의 시험에서 통과할 확률이 [eqn: 1OVER3]로 일정하다고 한다. 시원이가 이 자격증 시험에 낸 응시료의 총금액을 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: X]의 평균을 구하시오.

(단, 시험에 통과할 경우 다음 시험부터는 응시하지 않는다.)

이항분포

다음 [eqn: box~~] 안에 알맞은 수를 써넣으시오.

(1) [eqn: 100,~ 1OVER100]	(2) [eqn: 20,~ 4 OVER5]

(1) 불량률이 [eqn: 1~%]인 제품 [eqn: 100]개 중에 들어 있는 불량품의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: X]는 이항분포 [eqn: RMB LEFT(` BOX~~~ , ```BOX~~~~RIGHT)]을/를 따른다.

(2) 자유투 성공률이 [eqn: 80~%]인 어느 농구 선수가 자유투를 [eqn: 20]번 던져서 성공하는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: X]는 이항분포 [eqn: RMB LEFT(` BOX~~~ , ````BOX~~~~RIGHT)]을/를 따른다.

서로 다른 두 개의 동전을 동시에 던지는 시행을 [eqn: 5]회 반복할 때, 두 개 모두 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 다음을 구하시오.

(1) 풀이 참조	(2) [eqn: 81 OVER128]

(1) [eqn: 5]회의 독립시행이고, 한 번의 시행에서 동전 두 개 모두 앞면이 나올 확률은 [eqn: 1OVER4]이다. 확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: {RMB} LEFT( 5 ,~ 1OVER4 RIGHT)]을 따르므로 [eqn: X]의 확률질량함수는
[eqn: rm P it (X=x)= {cases{` _{5} rm C _{0} ` LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{5} rm&~( it x=0) #` _{5} rm C it rm _{x} ` LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x} LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{5-x}&~(0<x<5)#` _{5} rm C it rm _{5} ` LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{5}&~(x=5) it]

(2) [eqn: {rmP} (X LE 1) ={RMP}(X=0)+{RMP}(X=1)]

[eqn: =`_5 RMC_0 LEFT( 3OVER 4 RIGHT)^5 +`_5 RMC_1 LEFT( 1OVER4 RIGHT)^1 LEFT( 3OVER4 RIGHT)^4]

[eqn: = 81 OVER128]

(1) [eqn: X]의 확률질량함수	(2) [eqn: {RMP}(X LE1)]

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던지는 시행을 [eqn: 6]회 반복할 때, 두 개 모두 같은 눈이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 다음을 구하시오.

(1) 풀이 참조	(2) [eqn: 31 OVER6^6]

(1) [eqn: 6]회의 독립시행이고, 한 번의 시행에서 주사위 두 개 모두 같은 눈이 나올 확률은 [eqn: 1OVER6]이다. 확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: {RMB} LEFT( 6 ,~ 1OVER6 RIGHT)]을 따르므로 [eqn: X]의 확률질량함수는
[eqn: rm P it (X=x)= {cases{` _{6} rm C _{0} ` LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{6} rm&~( it x=0)#` _{6} rm C it rm _{x} ` LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{x} LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{6-x}&~(0<x<6)#` _{6} rm C it rm _{6} ` LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{6}&~(x=6) it}}]

(2) [eqn: rm P it (X GE 5)= rm P it (X=5)+ rm P it (X=6)]

[eqn: =][eqn: `_6 RMC_5 LEFT( 1OVER 6 RIGHT)^5 LEFT( 5 OVER6 RIGHT)^1 +`_6 RMC_6 LEFT( 1OVER6 RIGHT)^6]

[eqn: =][eqn: 31 OVER6^6]

(1) [eqn: X]의 확률질량함수	(2) [eqn: {RMP}(X GE 5)]

공을 한 번 던져 스트라이크가 될 확률이 [eqn: 0.6]인 볼링 선수가 공을 [eqn: 3]번 던졌을 때, 스트라이크가 되는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 다음을 구하시오.

(1) [eqn: rm P it (X=x)= {cases{` _{3} rm C _{0} ` LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{3} rm&~( it x=0)#` _{3} rm C it rm _{x} ` LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{x} LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{3-x}&~(0<x<3)#` _{3} rm C it rm _{3} ` LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{3}&~(x=3) it}}]
(2) [eqn: 81 over {125}]

(1) [eqn: X]의 확률질량함수

(2) [eqn: rm P it (X GE2)]

어느 배구 선수가 한 번 서브를 할 때 득점 성공률이 [eqn: p]이다. [eqn: 100]회의 서브 중에서 득점에 성공한 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: {{RMP} (X=3)} OVER{{RMP}(X=2)} = 98 OVER9]이다. [eqn: p]의 값을 구하시오.

[eqn: 1OVER4]

(단, [eqn: 0 <p<1])

확률변수 [eqn: X]가 다음 이항분포를 따를 때, [eqn: X]의 평균, 분산, 표준편차를 구하시오.

(1) [eqn: {RME}(X)=5], [eqn: {RMV}(X)= 25 OVER6], [eqn: sigma(X)= {5SQRT6} OVER6]
(2) [eqn: {RME}(X)=50], [eqn: {RMV}(X)= 40], [eqn: sigma(X)= 2SQRT10]

(1) [eqn: {RMB} LEFT( 30,~ 1OVER6 RIGHT)]	(2) [eqn: {RMB} LEFT(250,~ 1OVER5 RIGHT)]

싹이 날 확률이 [eqn: 4 OVER5]로 일정한 씨앗이 있다. 이 씨앗 [eqn: 200]개를 심었을 때, 싹이 나는 씨앗의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: X]의 평균과 표준편차를 구하시오.

[eqn: {RME}(X)=160,~ sigma(X)=4SQRT2]

[eqn: 200]회의 독립시행이고, 씨앗 한 개가 싹이 날 확률은 [eqn: 4OVER5]이므로 확률변수 [eqn: X]는 이항분포

[eqn: {RMB} LEFT( 200,~ 4 OVER5 RIGHT)]를 따른다.

따라서 [eqn: X]의 평균과 표준편차는

[eqn: {RME}(X)=200 TIMES 4 OVER5 = 160]

[eqn: sigma(X)= SQRT{200 TIMES 4 OVER5 TIMES 1 OVER5 } = 4SQRT2]

흰 공 [eqn: 2]개, 검은 공 [eqn: 4]개가 들어 있는 상자에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 색을 확인한 후 다시 넣기를 [eqn: 45]번 반복할 때, 흰 공이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: X]의 평균과 표준편차를 구하시오.

[eqn: {RME}(X)=15], [eqn: sigma(X)=SQRT10]

[eqn: 45]회의 독립시행이고, 한 번의 시행에서 흰 공이 나올   확률은 [eqn: 1OVER3]이므로 확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: {RMB} LEFT( 45 ,~ 1OVER3 RIGHT)]을 따른다.

따라서 [eqn: X]의 평균과 표준편차는

[eqn: {RME}(X) =][eqn: 45 TIMES 1OVER3 = 15]

[eqn: sigma(X)=][eqn: SQRT{45 TIMES 1OVER3 TIMES 2 OVER3 } =SQRT10]

핸드볼 선수인 인호의 슛 성공률은 [eqn: 75~%]라 한다. 인호가 슛을 [eqn: 16]회 던질 때, 성공한 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: X]의 평균과 표준편차를 구하시오.

[eqn: {RME}(X)=12], [eqn: sigma(X)=SQRT3]

어느 비행기의 좌석을 예약한 사람이 예약을 취소할 확률이 [eqn: 10~%]라 한다. 이 비행기의 좌석이 [eqn: 200]개이고 [eqn: 200]명의 예약자 중에서 예약을 취소할 사람 수의 평균만큼 초과 예약을 받으려고 한다면 몇 명 더 예약을 받을 수 있는지 구하시오.

[eqn: 20]명

표를 이용하여 [eqn: n=30], [eqn: 50]일 때, 확률 [eqn: {rmP} LEFT( left|X OVERn - 1over6 right| <0.05 right)]를 각각 구하고, [eqn: n]의 값이 커짐에 따라 그 값이 점점 [eqn: 1]에 가까워짐을 확인하시오.

풀이 참조

[eqn: n=30]일 때, [eqn: {rmP} LEFT( LEFT|` X OVER30 - 1OVER6 RIGHT | <0.05RIGHT)=0.537]

[eqn: n=50]일 때, [eqn: rm P it LEFT ( LEFT | ` {X} over {50} - {1} over {6} RIGHT | <0.05 RIGHT ) =0.66]

[eqn: n=10], [eqn: 30], [eqn: 50]일 때, [eqn: {rmP} LEFT( LEFT|` X OVERn - 1OVER6 RIGHT | <0.05RIGHT)]의 값은 각각 [eqn: 0.291], [eqn: 0.537], [eqn: 0.66]이므로 [eqn: n]의 값이 커짐에 따라 그 값이 점점 [eqn: 1]에 가까워짐을 알 수 있다.

[eqn: X] [eqn: n]	[eqn: 10]	[eqn: 30]	[eqn: 50]
[eqn: 0]	[eqn: 0.162]	[eqn: 0.004]	[eqn: 0.000]
[eqn: 1]	[eqn: 0.323]	[eqn: 0.025]	[eqn: 0.001]
[eqn: 2]	[eqn: 0.291]	[eqn: 0.073]	[eqn: 0.005]
[eqn: 3]	[eqn: 0.155]	[eqn: 0.137]	[eqn: 0.017]
[eqn: 4]	[eqn: 0.054]	[eqn: 0.185]	[eqn: 0.040]
[eqn: 5]	[eqn: 0.013]	[eqn: 0.192]	[eqn: 0.075]
[eqn: 6]	[eqn: 0.002]	[eqn: 0.160]	[eqn: 0.112]
[eqn: 7]	[eqn: 0.000]	[eqn: 0.110]	[eqn: 0.140]
[eqn: 8]		[eqn: 0.063]	[eqn: 0.151]
[eqn: 9]		[eqn: 0.031]	[eqn: 0.141]
[eqn: 10]		[eqn: 0.013]	[eqn: 0.116]
[eqn: 11]		[eqn: 0.005]	[eqn: 0.084]
[eqn: 12]		[eqn: 0.001]	[eqn: 0.055]
[eqn: 13]		[eqn: 0.000]	[eqn: 0.032]
[eqn: 14]			[eqn: 0.017]
[eqn: 15]			[eqn: 0.008]
[eqn: 16]			[eqn: 0.004]
[eqn: 17]			[eqn: 0.001]
[eqn: 18]			[eqn: 0.001]
[eqn: 19]			[eqn: 0.000]

스스로 확인하기

다음 [eqn: BOX{`````````}] 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

이항분포, [eqn: n], [eqn: p]

[eqn: 1]회의 시행에서 사건 [eqn: A]가 일어날 확률이 [eqn: p]일 때, [eqn: n]회의 독립시행에서 사건 [eqn: A]가 일어나는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]의 확률질량함수는

[eqn: {RMP}(X=x)] [eqn: = {cases{` _{n} rm C _{0} ` it q ^{n} rm&`( it x=0)#` _{n} rm C it rm _{x} `p ^{x} q ^{n-x}&`(0<x<n)(단,~q=1-p)#` _{n} rm C it rm _{n} `p ^{n}&`(x=n)}} it]

이다. 이와 같은 확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 [eqn: BOX~~~~~~~~~](이)라 하고, 이것을 기호로 [eqn: {RMB}(BOX~~ ,~ BOX~~ )]와/과 같이 나타낸다.

한 개의 주사위를 던지는 시행을 [eqn: 5]회 반복할 때, [eqn: 5] 이상의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 다음을 구하시오.

(1) [eqn: rm P it (X=x)= {cases{` _{5} rm C _{0} ` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{5} rm&~( it x=0)#` _{5} rm C it rm _{x} ` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{5-x}&~(0<x<5)#` _{5} rm C it rm _{5} ` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{5}&~(x=5) it}}]
(2) [eqn: 131 over243]

(1) [eqn: X]의 확률질량함수

(2) [eqn: {RMP}( X GE2)]

빨간 공 [eqn: 4]개와 파란 공 [eqn: 6]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내 색깔을 확인하고 다시 넣는 시행을 [eqn: 50]회 반복할 때, 빨간 공이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. X의 평균과 분산을 구하시오.

[eqn: {RME}(X)=20], [eqn: {rmV}(X)=12]

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: {RMB}(n,~p)]를 따르고

[eqn: 15 over2^13]

[eqn: {rmE(X)=8], [eqn: {RMV}(X)=4]일 때, 확률 [eqn: {RMP}(X=2)]를 구하시오.

어느 기계에서 생산되는 제품은 [eqn: 20]개 중에서 [eqn: 1]개꼴로 불량품이라고 한다. 이 기계로 [eqn: 400]개의 제품을 생산할 때 나오는 불량품의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 불량품 [eqn: 1]개당 [eqn: 200]원의 손해가 생긴다고 할 때, 손해 금액의 평균을 구하시오.

[eqn: 4000]원

한 개의 주사위를 [eqn: 20]번 던져서 다음 게임의 규칙대로 움직인 점 [eqn: RMP]의 좌표를 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: {RME}(X)]를 구하시오.

[eqn: 20]

[eqn: 20]번의 독립시행에서 점 [eqn: RMP]를 양의 방향으로 [eqn: 2]만큼 움직이는 횟수를 [eqn: Y]라 하면 점 P를 음의 방향으로 [eqn: 1]만큼 움직이는 횟수는    [eqn: 20-Y]

이때 점 [eqn: RMP]의 좌표는 [eqn: 2Y-(20-Y)], 즉 [eqn: 3Y-20]이므로

[eqn: X=3Y-20]

확률변수 [eqn: Y]는 이항분포 [eqn: {RMB} LEFT( 20 ,~ 2OVER3 RIGHT)]를 따르므로

[eqn: {RME}(Y`)=20 TIMES 2OVER3 = 40 OVER3]

따라서

[eqn: {RME}(X)={RME}(3Y-20)=3{RME}(Y)-20]

[eqn: = 3 TIMES 40 OVER3 -20 =20]

정규분포

연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가 [eqn: f(x)= kx~(0 le x le2)]일 때, 다음을 구하시오.

(1) [eqn: 1 over2]	(2) [eqn: 5 over16]

(1) 오른쪽 그림에서 [eqn: f(x)=kx]의 그래프와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=2]로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: 1]이고, [eqn: f(2)=2k]이므로
[eqn: 1over2 times 2 times 2k =1], 즉 [eqn: k= 1over2]

(2) [eqn: {rmP} left(1 le X LE 3 OVER2 RIGHT)]은 오른쪽 그림에서 색칠한 부분의 넓이와 같으므로
[eqn: {rmP} left(1 le X LE 3 OVER2 RIGHT)]
[eqn: = 1over2 times left( 1over2 + 3 over4 right) times 1over2 = 5 over16]

(1) 상수 [eqn: k]의 값	(2) [eqn: {rmP} left(1 le X LE 3 OVER2 RIGHT)]

연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가 [eqn: f(x)=k(4-x)~(0 LE x le 4)]일 때, 다음을 구하시오.

(1) [eqn: 1 OVER8]	(2) [eqn: 3 OVER16]

(1) 상수 [eqn: k]의 값	(2) [eqn: {rmP}(2 LE X LE 3)]

오른쪽 그림에서 곡선 [eqn: rmA], [eqn: RMB], [eqn: RMC]는 각각 정규분포를 따르는 세 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y], [eqn: Z]의 확률밀도함수의 그래프이다. [eqn: X], [eqn: Y], [eqn: Z]의 평균을 각각 [eqn: m_1], [eqn: m_2], [eqn: m_3]이라 하고, 표준편차를 각각 [eqn: sigma_1], [eqn: sigma_2], [eqn: sigma_3]라 할 때, 다음 세 수의 크기를 비교하시오.

(1) [eqn: m_1 =m_2 <m_3]	(2) [eqn: sigma_1 > sigma_2 = sigma_3]

(단, 곡선 [eqn: rmC]는 곡선 [eqn: RMB]를 평행이동한 것이다.)

(1) [eqn: m_1], [eqn: m_2], [eqn: m_3]	(2) [eqn: sigma_1], [eqn: sigma_2], [eqn: sigma_3]

확률변수 [eqn: Z]가 표준정규분포 [eqn: {RMN}(0,~1)]을 따를 때, 표준정규분포표를 이용하여 다음 확률을 구하시오.

(1) [eqn: 0.8413]	(2) [eqn: 0.8163]

(1) [eqn: {RMP} (Z LE 1) ={RMP}(Z LE0)+{RMP}(0 LE Z LE1)]
[eqn: =0.5+0.3413=0.8413]

(2) [eqn: {RMP}(-1 LE Z LE 1.96) ={RMP}(-1 LE Z LE0 )+{RMP}(0 LE Z LE 1.96)]
[eqn: ={RMP}(0 LE Z LE1)+{RMP}(0 LE Z LE 1.96)]
[eqn: =0.3413+0.4750=0.8163]

(1) [eqn: {RMP} (Z LE 1)]	(2) [eqn: {RMP}(-1 LE Z LE 1.96)]

확률변수 [eqn: Z]가 표준정규분포 [eqn: {RMN}(0,~1)]을 따를 때, 표준정규분포표를 이용하여 다음 확률을 구하시오.

(1) [eqn: 0.1525]	(2) [eqn: 0.9544]
(3) [eqn: 0.95]	(4) [eqn: 0.063]

(1) [eqn: {RMP}(1 LE Z LE 2.5)]	(2) [eqn: {RMP}(|`Z``|LE 2)]

(3) [eqn: {RMP}(-1.96 LE Z LE 1.96)]	(4) [eqn: {RMP}(Z LE -1.53)]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: rm N it (10,~2 ^{2})]을 따를 때,

[eqn: 0.7745]

확률변수 [eqn: Z={X-10} OVER2]은 표준정규분포

[eqn: {RMN}(0,~1)]을 따르므로

[eqn: {RMP} (8 LE X LE 13) = {RMP}LEFT(8-10 OVER2 LE Z LE 13-10 OVER2 RIGHT)]

[eqn: ={RMP}(-1 LE Z LE1.5)]

[eqn: ={RMP}(0 LE Z LE1)][eqn: +{RMP}(0 LE Z LE1.5)]

[eqn: =0.3413+0.4332=0.7745]

[eqn: {RMP} (8 LE X LE 13)]을 구하시오.

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: rm N it (10,~4 ^{2} )]을 따를 때,

[eqn: 0.6826]

확률변수 [eqn: Z={X-10} OVER4]은 표준정규분포 [eqn: {RMN}(0,~1)]을 따르므로

[eqn: {RMP} (6 LE X LE 14) = {RMP}LEFT (6-10 OVER4} LE Z LE 14-10 OVER4 RIGHT)]

[eqn: ={RMP}(-1 LEZ LE1)]

[eqn: =2{RMP}(0 LE Z LE1)]

[eqn: =2times][eqn: 0.3413][eqn: =][eqn: 0.6826]

[eqn: rm P it (6 LEQ X LEQ 14)]를 구하시오.

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: {RMN}(60,~4^2 )]을 따를 때, 다음 확률을 구하시오.

(1) [eqn: 0.8185]	(2) [eqn: 0.0062]
(3) [eqn: 0.6915]	(4) [eqn: 0.1359]

(1) [eqn: {RMP}(52 LE X LE 64)]	(2) [eqn: {RMP}(X GE70)]

(3) [eqn: {RMP}(X LE 62)]	(4) [eqn: {RMP}(64 LE X LE 68)]

어떤 제과점에서 만드는 과자 한 개의 무게는 평균이 [eqn: 30~RMg], 표준편차가 [eqn: 2rm~g]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 중에서 임의로 선택한 과자 한 개의 무게가 [eqn: 27~rmg] 이상일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.9332]

과자 한 개의 무게를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {RMN}(30,~2^2 )]을 따른다.

따라서 확률변수 [eqn: Z = X-30 OVER2]은 표준정규분포 [eqn: {RMN}(0,~1 )]을 따르므로

[eqn: {RMP}(X GE27 )= {RMP}LEFT( Z GE 27-30 OVER2 RIGHT)]

[eqn: ={RMP}(Z GE-1.5)]

[eqn: =0.5+{RMP}(0 LE Z LE 1.5)]

[eqn: =0.5+0.4332=0.9332]

어느 학교 전체 학생의 시험 점수는 평균이 [eqn: 60]점, 표준편차가 [eqn: 24]점인 정규분포를 따른다고 한다. 이 학교 학생 중에서 임의로 택한 한 학생의 점수가 [eqn: 54]점 이상 [eqn: 72]점 이하일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.2902]

[생각을 넓히는 수학]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: {RMN}(m,~ sigma^2 )]을 따를 때, 확률변수 [eqn: Z= X-m over sigma]은 표준정규분포를 따르므로 다음이 성립함을 알 수 있다. 물음에 답하여 보자.

풀이 참고

(1) (i) [eqn: k=1]일 때

[eqn: {RMP} (m- sigma LE X LE m+ sigma ) = {RMP}(-1 leZ LE1)]

[eqn: =2{RMP}(0 LE Z LE1)]

[eqn: =2 TIMES 0.3413 =0.6826]

(ii) [eqn: k=2]일 때

[eqn: rm P it (m-2 sigma LEQ X LEQ m+2 sigma )= rm P it (-2 LEQ Z LEQ 2)]

[eqn: =2 rm P it (0 LEQ Z LEQ 2)]

[eqn: =2 TIMES 0.4772]

[eqn: =0.9544]

(iii) [eqn: k=3]일 때

[eqn: rm P it (m-3 sigma LEQ X LEQ m+3 sigma )= rm P it (-3 LEQ Z LEQ 3)]

[eqn: =2 rm P it (0 LEQ Z LEQ 3)]

[eqn: =2`TIMES`0.4987]

[eqn: =0.9974]

(2) [eqn: 2rm P it (0 LEQ Z LEQ k)=0.95]에서[eqn: rm P it (0 LEQ Z LEQ k)=0.475]이므로 표준정규분포표에서 [eqn: 0.475]에 해당하는 [eqn: k]의 값을 찾으면 [eqn: k=1.96]이다.

(1) [eqn: k=1], [eqn: 2], [eqn: 3]일 때, 확률 [eqn: {rmP}(m- k sigma le X LE m+k sigma)]를 각각 구하여 보자.

(2) 확률 [eqn: {rmP}(m- k sigma le X LE m+k sigma)=0.95]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하여 보자.

확률변수 [eqn: X]가 아래 이항분포를 따를 때, [eqn: X]의 평균 [eqn: m]과 표준편차 [eqn: sigma]를 구하고, [eqn: X]가 근사적으로 따르는 정규분포를 찾아 알맞은 것끼리 선으로 연결하시오.

[eqn: {RMB} LEFT(180,~ 5 OVER6 RIGHT)]	∙ ∙	[eqn: m=150,~ sigma=10]	∙ ∙	[eqn: {rmN}(150,~10^2 )]
[eqn: rm B it LEFT ( 400,~ {1} over {2} RIGHT )]	∙ ∙	[eqn: m=150,~ sigma=5]	∙ ∙	[eqn: {rmN}(200,~10^2 )]
[eqn: {RMB} LEFT(450,~ 1 over3RIGHT)]	∙ ∙	[eqn: m=200,~ sigma=10]	∙ ∙	[eqn: {rmN}(150,~5^2 )]

풀이 참고

어느 회사의 직원을 대상으로 [eqn: 10]년 이상 근무한 사람의 비율을 조사하였더니 [eqn: 20~%]였다. 이 회사의 직원 중에서 [eqn: 400]명을 임의로 뽑을 때, [eqn: 10]년 이상 근무한 사람의 수가 [eqn: 76]명 이상 [eqn: 96]명 이하일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.6687]

[eqn: 10]년 이상 근무한 사람의 수를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: {RMB} LEFT( 400,~ 1OVER 5 RIGHT)]을 따른다.

따라서 평균 [eqn: m]과 표준편차 [eqn: sigma]는

[eqn: m=400 times 1over5 = 80], [eqn: sigma=sqrt{400 times 1 over5 times 4 over5} =8]

[eqn: n]이 충분히 크므로 [eqn: X]는 근사적으로 정규분포 [eqn: {RMN} (80,~8^2 )]을 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP} (76 LE X LE 96 )= {RMP} LEFT( 76-80 OVER 8 LE Z LE 96-80 OVER8 RIGHT)]

[eqn: ={RMP} (-0.5 LE Z LE 2)]

[eqn: ={RMP}(0 LE Z LE0.5 )+{RMP}(0 LE Z LE2)]

[eqn: =0.1915+0.4772=0.6687]

어느 고등학교에서 실시한 방과후학교 프로그램에 전체 학생의 [eqn: 60~%]가 참여했다. 이 학교의 학생 중에서 [eqn: 600]명을 임의로 택하였을 때, 이 중에서 방과후학교 프로그램에 참여한 학생의 수가 [eqn: 330]명 이상일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.9938]

스스로 확인하기

다음 [eqn: BOX{`````````}] 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

(1) [eqn: {RMN}(m,~ sigma^2 )]	(2) 표준정규분포, [eqn: {RMN}(0,~1)]
(3) [eqn: {RMN}(np,~npq)]

(1) 평균이 [eqn: m]이고 표준편차가 [eqn: sigma]인 정규분포를 기호로 [eqn: box~~~~~~~]와/과 같이 나타낸다.

(2) 평균이 [eqn: 0]이고 분산이 [eqn: 1]인 정규분포를 [eqn: box~~~~~~~~](이)라 하고, 이것을 기호로 [eqn: box~~~~~~~]와/과 같이 나타낸다.

(3) 확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: {RMB}(n,~p)]를 따르고 [eqn: n]이 충분히 클 때, [eqn: X]는 근사적으로 정규분포 [eqn: box~~~~~~~]을/를 따른다. (단, [eqn: q=1-p])

연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가

(1) [eqn: 2]	(2) [eqn: 3over4]

[eqn: f(x)=k(1-x)~(0 LE x LE1)]

일 때, 다음을 구하시오.

(1) 상수 [eqn: k]의 값	(2) [eqn: {rmP} LEFT( 0 LE X LE 1 OVER2 RIGHT)]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: {RMN}(75,~ 5^2 )]을 따를 때, 다음 확률을 구하시오.

(1) [eqn: 0.8185]	(2) [eqn: 0.6915]

(1) [eqn: {RMP} (65 LE X LE80)]	(2) [eqn: {RMP}(X GE72.5)]

어느 고등학교 학생들의 수학 성적은 평균이 [eqn: 60]점, 표준편차가 [eqn: 20]점인 정규분포를 따른다고 한다. 다음 물음에 답하시오.

(1) [eqn: 53.28~%]	(2) [eqn: 6.68~%]

(1) 수학 성적이 [eqn: 50]점 이상 [eqn: 80]점 이하인 학생은 전체의 몇 [eqn: %]인지 구하시오.

(2) 수학 성적이 [eqn: 90]점 이상인 학생은 전체의 몇 [eqn: %]인지 구하시오.

한 개의 주사위를 [eqn: 450]회 던졌을 때, [eqn: 4]보다 큰 눈이 나오는 횟수가 [eqn: 135]회 이상 [eqn: 165]회 이하일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.8664]

주사위를 [eqn: 450]회 던져서 [eqn: 4]보다 큰 눈이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: {RMB} LEFT(450 ,~ 1OVER3 RIGHT)]을 따른다.

따라서 평균 [eqn: m]과 표준편차 [eqn: sigma]는

[eqn: m= 450 times 1over3 =150], [eqn: sigma=sqrt{450 times 1over3 times 2 over3 }=10]

이때 [eqn: n]이 충분히 크므로 [eqn: X]는 근사적으로 정규분포 [eqn: {RMN}(150,~10^2 )]을 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP} (135 LE X LE 165)]

[eqn: = {RMP}LEFT (135-150 OVER10} LE Z LE 165-150 OVER10 RIGHT)]

[eqn: ={RMP} (-1.5 LE Z LE 1.5)]

[eqn: =2{RMP} (0 LE Z LE 1.5)]

[eqn: =2 TIMES 0.4332 =0.8664]

어느 회사에서는 두 종류의 막대 모양의 과자[eqn: RM\A], [eqn: RMB]를 생산하고 있다. 과자 [eqn: RMA]의 길이는 정규분포 [eqn: {RMN}(10,~0.4^2 )]을 따르고, 과자 [eqn: RMB]의 길이는 정규분포 [eqn: {RMN}(12,~0.6^2 )]을 따른다. 임의로 두 종류의 과자를 각각 하나씩 선택할 때, 과자 [eqn: RMA]의 길이가 [eqn: d] 이상일 확률과 과자 [eqn: RMB]의 길이가 [eqn: d] 이하일 확률이 같아지는 [eqn: d]의 값을 구하시오. (단, 과자 길이의 단위는 [eqn: rmcm]이다.)

[eqn: 10.8]

과자 [eqn: RMA], [eqn: RMB]의 길이를 각각 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]라 하자.

과자 [eqn: RMA]의 길이가 [eqn: d] 이상일 확률은

[eqn: rm P it (X GE d )= rm P it left(Z GE d-10 over0.4 right)]

한편 과자 [eqn: rmB]의 길이가 [eqn: d] 이하일 확률은

[eqn: rm P it (Y LE d )= rm P it left(Z LE d-12 over0.6 right)]

두 확률이 같으려면 [eqn: d-10 over0.4 + d-12 over0.6 =0]이어야 하므로

[eqn: 3(d-10)+2(d-12)=0], 즉    [eqn: d=10.8]

모집단과 표본

다음 조사에는 전수조사와 표본조사 중에서 어느 것이 더 적합한지 말하시오.

(1) 표본조사	(2) 전수조사

(1) 투표한 유권자에 대한 출구 조사

(2) 어느 고등학교 학생들의 체험학습 참여 희망 조사

어느 학교에서 학생들을 대상으로 축제 장터에서 판매할 간식의 종류를 묻는 설문 조사를 하려고 한다. 모둠별로 어떻게 조사하는 것이 합리적인지 이야기하여 보시오.

풀이 참고

모든 학생들을 대상으로 간식의 종류를 조사할 수 없으므로 표본조사가 적당하다. 예를 들어 반별로 임의로 표본을 뽑아 조사하거나 동아리별로 조사하는 방법 등이 있다. 이때 조사 대상이 어떤 특정 집단에 편중되지 않도록 제비뽑기나 난수 주사위, 난수 생성기 등을 이용하여 조사한다.

모평균이 [eqn: 84], 모분산이 [eqn: 36]인 모집단에서 크기가 [eqn: 25]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: BARX]의 평균과 분산을 구하시오.

[eqn: {rmE}(BARX `)=84], [eqn: {RMV}(BARX`) = 36 OVER25]

어느 농장에서 재배되는 오이의 길이는 평균이 [eqn: 30~rmcm], 표준편차가 [eqn: 2~rmcm]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 중에서 [eqn: 25]개를 임의추출할 때, 다음을 구하시오.

(1) [eqn: {RME}(BARX )= 30], [eqn: sigma(BAR X )= 2OVER5]	(2) [eqn: 0.0062]

(1) 표본평균 [eqn: BARX]의 평균과 표준편차는
[eqn: {RME}(BARX ) =30], [eqn: sigma(BARX )= 2 OVERSQRT25 = 2OVER5]

(2) 표본평균 [eqn: BARX]는 정규분포 [eqn: {RMN} LEFT(30,~ LEFT( 2OVER5 RIGHT)^2 RIGHT)]을 따르므로 [eqn: Z ={BARX -30} OVER{ 2OVER5}]이라 하면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 [eqn: {RMN}(0,~1)]을 따른다. 따라서 구하는 확률은
[eqn: {RMP}( BARX GE 31) ={RMP} LEFT(Z GE 31-30 OVER{ 2 OVER5 } RIGHT)={RMP}( Z GE2.5)]
[eqn: =0.5- {RMP}(0 LE Z LE 2.5)]
[eqn: =0.5-0.4938=0.0062]

(1) 표본평균 [eqn: barX]의 평균과 표준편차

(2) [eqn: {RMP} ( BARX GE31)]

어느 공장에서 생산되는 컴퓨터 모니터의 수명은 평균이 [eqn: 15000]시간, 표준편차가 [eqn: 500]시간인 정규분포를 따른다고 한다. 이 중에서 [eqn: 25]개를 임의추출할 때, 표본의 평균 수명이 [eqn: 14900]시간 이상 [eqn: 15100]시간 이하일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.6826]

[생각을 넓히는 수학]

평균이 [eqn: 10], 표준편차가 [eqn: 12]인 모집단에서 크기 [eqn: n]이 다음 표와 같은 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: barX]에 대한 확률 [eqn: {RMP}(a le barX LE b)]를 각각 구하고, 확률이 표본의 크기에 따라 어떻게 달라지는지 이야기하여 보자. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수)

풀이 참고

	[eqn: {rmP}(9 LE barX LE 11)]	[eqn: {rmP}(13 LE barX LE 15)]
[eqn: n=9]	[eqn: 0.1974]	[eqn: 0.121]
[eqn: n=36]	[eqn: 0.383]	[eqn: 0.0606]

표본의 크기 [eqn: n]이 커질수록 평균을 포함하는 구간은 확률이 커지고, 평균을 포함하지 않는 구간은 확률이 작아지는 것을 알 수 있다.

	[eqn: {rmP}(9 LE barX LE 11)]	[eqn: {rmP}(13 LE barX LE 15)]
[eqn: n=9]
[eqn: n=36]

스스로 확인하기

다음 [eqn: BOX{`````````}] 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

(1) 모집단. 표본	(2) [eqn: m,~ sigma^2 overn ,~ sigma oversqrtn]

(1) 통계 조사에서 조사의 대상이 되는 집단 전체를 [eqn: box~~~~~~~], 모집단에서 뽑은 일부분을 [eqn: box~~~~~](이)라 한다.

(2) 모평균이 [eqn: m], 모분산이 [eqn: sigma^2]인 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: barX]에 대하여
[eqn: {RME}(BARX ) =BOX~~], [eqn: rm V it ( {bar{X}} )= {BOX{```````````````}}], [eqn: sigma ( {bar{X)}} = {BOX{`````````````````````}}]

모평균이 [eqn: 20], 모표준편차가 [eqn: 2]인 모집단에서 크기가 [eqn: 16]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: BARX]의 평균과 표준편차를 구하시오.

[eqn: {rmE}(BARX`) =20,~ sigma(BARX`)= 1OVER2]

확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 다음 표와 같다. 이 모집단에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 임의로 복원추출할 때, 표본평균 [eqn: BARX]의 평균과 분산을 구하시오.

[eqn: {rmE}(BARX`) =3,~{RMV}(BARX`)= 2 OVER5]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 5]	합계
[eqn: {rmP}(X=x )]	[eqn: 1OVER5]	[eqn: 3 OVER5]	[eqn: 1OVER5]	[eqn: 1]

정규분포 [eqn: {RMN}(50,~10^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 25]인 표본을 임의추출하고, 그 표본평균을 [eqn: BARX]라 할 때, 확률 [eqn: {RMP}( BARX GE52 )]를 구하시오.

[eqn: 0.1587]

어느 음료 회사에서 생산되는 음료수 한 개의 부피는 평균이 [eqn: 200~RMmL], 표준편차가 [eqn: 10~RMmL]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 중에서 [eqn: 100]개를 임의추출할 때, 표본평균이 [eqn: 202~RMmL] 이상일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.0228]

어느 농장에서 생산되는 귤 한 개의 무게는 평균이 [eqn: 85~RMg], 표준편차가 [eqn: 12~rmg]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 농장에서는 한 상자에 귤을 임의로 [eqn: 9]개씩 넣고, 그 무게가 [eqn: 693~rmg] 이하이면 불량품으로 분류한다. 이 농장에서 생산한 [eqn: 10000]개의 귤 상자 중에서 불량품으로 판정되는 상자의 개수를 구하시오.

[eqn: 228]

불량품으로 판정되는 경우는 [eqn: 9]개의 귤의 무게의 합이 [eqn: 693~RMg] 이하인 경우이므로    [eqn: X_1 +X_2 +`CDOTS`+X_9 LE 693]

[eqn: BARX ={X_1 +X_2 +`CDOTS`+X_9 } OVER9]이므로 불량품으로 판정될 확률은

[eqn: rm P it (9 BARX LE 693 )= rm P (IT BARX LE 77)]

[eqn: ={RMP}LEFT( Z LE {77-85 } OVER{12 OVERSQRT9 } RIGHT)]

[eqn: ={RMP}(Z LE -2)={RMP}(Z GE2)]

[eqn: =0.5 -{RMP}(0 LE Z LE2)]

[eqn: =0.5-0.4772=0.0228]

불량품으로 판정될 확률이 [eqn: 0.0228]이므로 불량품으로 판정되는 상자의 개수는

[eqn: 10000 TIMES 0.0228 =228]

(단, 상자의 무게는 생각하지 않는다.)

모평균의 추정

표준편차가 [eqn: 5]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 100]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이 [eqn: 80]일 때, 모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 99~%]인 신뢰구간을 구하시오.

[eqn: 78 .71 LE m le 81.29]

어느 경마 대회에 출전하는 경주마의 속력은 표준편차가 시속 [eqn: 4~RMkm]인 정규분포를 따른다고 한다. 경주마 [eqn: 49]마리를 임의추출하여 속력을 측정하였더니 평균 속력은 시속 [eqn: 70~rmkm]이었다. 이 대회에 출전하는 경주마의 평균 속력 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 95~%]인 신뢰구간을 구하시오.

[eqn: 68.88 LEQ m LEQ 71.12] (단위 : [eqn: rmkm/h])

어떤 자동차 회사의 [eqn: rmA]자동차의 연비는 정규분포를 따른다고 한다. 이 자동차 [eqn: 64]대를 임의추출하여 연비를 조사하였더니 평균이 [eqn: 12rm~km/L], 표준편차가 [eqn: 4rm~km/L]이었다. 이때 [eqn: RMA]자동차의 평균 연비 [eqn: m]의 신뢰구간을 구하시오.

(1) [eqn: 11.02 le m le 12.98] (단위 : [eqn: rmkm/L])
(2) [eqn: 10.71 LE m le 13.29] (단위 : [eqn: rmkm/L])

[eqn: n=64], [eqn: barx =12], [eqn: s=4]이므로 [eqn: rmA]자동차의 평균 연비 [eqn: m]에 대하여

(1) 신뢰도 [eqn: 95~%]인 신뢰구간은
[eqn: 12- 1.96 times 4 oversqrt64 le m le 12+1.96 times 4 oversqrt64]
즉 [eqn: 11.02 le m le 12.98]

(2) 신뢰도 [eqn: 99~%]인 신뢰구간은
[eqn: 12- 2.58 times 4 oversqrt64 le m le 12+2.58 times 4 oversqrt64]
즉 [eqn: 10.71 le m le 13.29]

(1) 신뢰도 [eqn: 95~%]	(2) 신뢰도 [eqn: 99~%]

어떤 회사의 [eqn: rmP]건전지의 수명은 정규분포를 따른다고 한다. 이 건전지 [eqn: 100]개를 임의추출하여 수명을 조사하였더니 평균이 [eqn: 32]시간, 표준편차가 [eqn: 5]시간이었다. 이때 [eqn: RMP]건전지의 평균 수명 [eqn: m]의 신뢰구간을 구하시오.

(1) [eqn: 31.02][eqn: le m le][eqn: 32.98] (단위 : 시간)
(2) [eqn: 30.71][eqn: le m le][eqn: 33.29] (단위 : 시간)

[eqn: n=][eqn: 100], [eqn: barx =][eqn: 32], [eqn: s=][eqn: 5]이므로 [eqn: rmP]건전지의 평균 수명 [eqn: m]에 대하여

(1) 신뢰도 [eqn: 95~%]인 신뢰구간은
[eqn: 32-1.96times 5 oversqrt100][eqn: le m le][eqn: 32+1.96times 5 oversqrt100]
즉	[eqn: 31.02][eqn: le m le][eqn: 32.98]

(2) 신뢰도 [eqn: 99~%]인 신뢰구간은
[eqn: 32-2.58times 5 oversqrt100][eqn: le m le][eqn: 32+2.58times 5 oversqrt100]
즉	[eqn: 30.71][eqn: le m le][eqn: 33.29]

(1) 신뢰도 [eqn: 95~%]	(2) 신뢰도 [eqn: 99~%]

어느 이모티콘 제작 회사에서 개발한 캐릭터에 대한 소비자 평가 점수는 정규분포를 따른다고 한다. 이 캐릭터를 평가한 소비자 [eqn: 400]명을 임의추출하였더니 평가 점수의 평균이 [eqn: 65]점, 표준편차가 [eqn: 10]점이었다. 평가 점수의 평균 [eqn: m]의 신뢰구간을 구하시오.

(1) [eqn: 64.02][eqn: le m le][eqn: 65.98] (단위 : 점)
(2) [eqn: 63.71][eqn: le m le][eqn: 66.29] (단위 : 점)

(1) 신뢰도 [eqn: 95~%]	(2) 신뢰도 [eqn: 99~%]

[생각을 넓히는 수학]

모평균 [eqn: m]의 신뢰구간이 [eqn: alpha le m le beta]일 때, [eqn: beta -alpha]를 신뢰구간의 길이라 하자. 다음은 모평균의 신뢰구간에 대한 세 학생의 주장이다. 주장이 타당한 학생을 모두 말하고 그 이유를 설명하여 보자.

풀이 참고

표본평균이 [eqn: barx], 모표준편차가 [eqn: sigma], 표본의 크기가 [eqn: n]일 때, 모평균 [eqn: m]의 신뢰구간은

[eqn: barx -k times sigma OVERSQRTn le m le {bar{x}} +k times sigma oversqrtn] ([eqn: k]는 상수)

의 꼴로 나타나므로 신뢰구간의 길이는 다음과 같다.

[eqn: beta -alpha =2k times sigma oversqrtn]

이때 신뢰도가 일정할 때 [eqn: n]이 커지면 신뢰구간의 길이는 짧아지고, 신뢰구간의 길이는 [eqn: barx]와는 상관이 없다. 또 표본의 크기가 같을 때 신뢰도가 높아지면 [eqn: k]의 값이 커지므로 신뢰구간의 길이가 길어진다.

따라서 두표와 찬혁이의 주장이 타당하다.

두표 : 신뢰도가 일정할 때, 표본의 크기가 커질수록 신뢰구간의 길이는 짧아진다.

혜림 : 신뢰구간의 길이는 표본 평균 [eqn: {bar{x}}]에 따라 달라진다.

찬혁 : 표본의 크기가 같을 때, 신뢰도가 높아질수록 신뢰구간의 길이는 길어진다.

스스로 확인하기

다음 [eqn: BOX{`````````}] 안에 알맞은 것을 써넣으시오.

(1) 추정
(2) ➊ [eqn: barx -1.96 sigma OVERSQRTn], [eqn: {bar{x}} +1.96 sigma oversqrtn]
➋ [eqn: barx -2.58 sigma OVERSQRTn], [eqn: {bar{x}} +2.58 sigma oversqrtn]

(1) 표본에서 얻은 정보를 이용하여 모집단의 특성을 나타내는 값인 모평균, 모표준편차 등을 추측하는 것을 [eqn: box~~~~~](이)라 한다.

(2) 정규분포 [eqn: {rmN}(m,~ sigma^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 [eqn: barX]의 값을 [eqn: BARx]라 할 때
➊ 모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 95~%]인 신뢰구간은
[eqn: {BOX{~~~~~}} LEQ m LEQ {BOX{~~~~~}}]
➋ 모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 99~%]인 신뢰구간은
[eqn: {BOX{~~~~~}} LEQ m LEQ {BOX{~~~~~}}]

표준편차가 [eqn: 3]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 81]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균이 [eqn: 45]일 때, 모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 99~%]인 신뢰구간을 구하시오.

[eqn: 44.14 le m le 45.86]

어느 고등학교 [eqn: 2]학년 학생들의 기말고사 수학 점수는 표준편차가 [eqn: 5]점인 정규분포를 따른다고 한다. 이 고등학교 [eqn: 2]학년 학생 중에서 [eqn: n]명을 임의추출하였을 때, 기말고사 수학 점수의 평균을 [eqn: barx]라 하자. 신뢰도 [eqn: 95~%]로 모평균 [eqn: m]을 추정하였을 때, 표본평균 [eqn: barx]와 모평균 [eqn: m]의 차가 [eqn: 2]점 이하가 되게 하는 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오.

[eqn: 25]

어느 제과점에서 생산되는 과자 한 상자의 무게는 표준편차가 [eqn: 10~rmg]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 제과점에서 생산된 [eqn: n]개의 상자를 임의추출하여 구한 과자 한 상자의 평균 무게 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 95~%]인 신뢰구간이 [eqn: 253.04 le m le 256.95]이었다. 이 표본을 이용하여 과자 한 상자의 평균 무게 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 99~%]인 신뢰구간을 구하시오.

[eqn: 252.42 le m le 257.58] (단위 : [eqn: rmg])

모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 95~%]인 신뢰구간이

[eqn: 253. 04 le m le 256.96]이므로

[eqn: barx ={253.04+256.96} over2 =255]

[eqn: 1.96 times 10 OVERSQRTn =256.96-255=1.96]에서    [eqn: n=100]

이때 모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 99~%]인 신뢰구간은

[eqn: 155-2.58times 10 oversqrt100][eqn: le m le][eqn: 255+2.58times 10 oversqrt100]

따라서    [eqn: 252.42 le m le 257.58]

[eqn: rmA]고등학교 전체 학생의 키는 표준편차가 [eqn: 5~rmcm]인 정규분포를 따른다고 한다. [eqn: rmA]고등학교 전체 학생 중에서 크기가 각각 [eqn: n_1], [eqn: n_2]인 표본을 임의추출하여 구한 전체 학생의 키의 평균에 대한 신뢰도 [eqn: 95~%]인 신뢰구간을 각각 구하였더니 신뢰구간의 길이의 비가 [eqn: 1`:`2]이었다. [eqn: n_1 overn_2]의 값을 구하시오.

[eqn: 4]

[eqn: sigma=5]이므로 크기가 각각 [eqn: n_1], [eqn: n_2]인 표본의 평균을 각각 [eqn: barx_1], [eqn: barx_2]라 하면 모평균 m의 신뢰도 [eqn: 95~%]인 신뢰구간은 각각

[eqn: barx_1 -1.96times 5 oversqrtn_1][eqn: le m le][eqn: barx_1 +1.96times 5 oversqrtn_1],

[eqn: barx_2 -1.96times 5 oversqrtn_2][eqn: le m le][eqn: barx_2 +1.96times 5 oversqrtn_2]

이때 [eqn: 2 left( 1.96 times 5 oversqrtn_1 right)`:` 2 left(1.96 times 5 oversqrtn_2 right) =1`:`2]이므로

[eqn: 1oversqrtn_1 `:`1 oversqrtn_2 =1`:`2], 즉    [eqn: n_1 =4n_2]

따라서    [eqn: n_1 overn_2 =4]

(단, 신뢰구간이 [eqn: a le m le b]일 때, [eqn: b-a]를 신뢰구간의 길이라 한다.)

스스로 마무리하기

확률변수 X의 확률분포가 다음 표와 같을 때, [eqn: a]의 값은?

⑤

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1over14]	[eqn: 3 over14]	[eqn: a]	[eqn: 5 over14]	[eqn: 1]

① [eqn: 1over14]	② [eqn: 1over7]	③ [eqn: 3 over14]

④ [eqn: 2 over7]	⑤ [eqn: 5 over14]

확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 다음 표와 같을 때, [eqn: X]의 평균은?

④

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 5]	[eqn: 7]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 2OVER5]	[eqn: 1 OVER10]	[eqn: 3 OVER10]	[eqn: 1OVER5]	[eqn: 1]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

각 면에 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3]의 수가 하나씩 적힌 주사위 한 개를 한 번 던져서 나오는 수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 확률변수 [eqn: 3X-2]의 평균은??

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수가

①

[eqn: {RMP}(X=x)= x+2 over20 (x=0,~1,~2,~3,~4)]

일 때, [eqn: X]의 분산은?

① [eqn: 7 OVER4]	② [eqn: 9 OVER4]	③ [eqn: 11 OVER4]

④ [eqn: 13 OVER4]	⑤ [eqn: 15 OVER4]

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: {RMB}(36,~0.1)]을 따를 때, [eqn: sigma(X)]는?

③

[eqn: {RMV}(X)=36 TIMES 0.1 TIMES (1-0.1)=3.24]이므로

[eqn: sigma(X)=SQRT{{RMV}(X)}= SQRT3.24 =1.8]

① [eqn: 1.4]	② [eqn: 1.6]	③ [eqn: 1.8]

④ [eqn: 2.0]	⑤ [eqn: 2.2]

어느 축구 선수가 승부차기에서 슛을 성공할 확률은 [eqn: 0.8]이라 한다. 이 선수가 [eqn: 5]번의 승부차기를 하였을 때, 슛을 성공하는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: X]의 평균은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

확률변수 [eqn: X]가 가지는 값의 범위가 [eqn: 0 LE X LE4]이고, [eqn: X]의 확률밀도함수 [eqn: f(x)]의 그래프가 다음과 같을 때, 확률 [eqn: {rmP}(0 LE X LE2)]는?

⑤

[eqn: {RMP}(0 LE X LE2)]는 다음 그림에서 색칠한 부분의 넓이와 같다.

[eqn: f(x)= - 1over8 x + 1over2]이므로

[eqn: f(2)= 1over4]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(0 LE X LE 2) = 1OVER2 TIMES LEFT( 1OVER2 + 1OVER4 RIGHT) TIMES 2 = 3OVER4]

① [eqn: 1OVER4]	② [eqn: 3 OVER8]	③ [eqn: 1 OVER2]

④ [eqn: 5 OVER8]	⑤ [eqn: 3 OVER4]

어느 도시의 고등학교 학생 [eqn: 10000]명의 수학 성적은 평균이 [eqn: 60]점, 표준편차가 [eqn: 10]점인 정규분포를 따른다고 한다. 이 [eqn: 10000]명의 학생 중에서 수학 성적이 [eqn: 80]점 이상인 학생 수는?

③

수학 성적을 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {RMN}(60,~10^2 )]을 따른다. 확률변수 [eqn: Z = X-60 OVER10]은 표준정규분포 [eqn: {RMN}(0,~1)]을 따르므로

[eqn: {RMP}(X GE80)={RMP} LEFT( Z GE 80-60 OVER10 RIGHT)]

[eqn: ={RMP}(Z GE2)]

[eqn: =0.5 -{RMP}(0 LE Z LE2)]

[eqn: =0.5-0.4772]

[eqn: =0.0228]

따라서 수학 성적이 [eqn: 80]점 이상인 학생 수는

[eqn: 10000 TIMES 0.0228 =228]

① [eqn: 114]	② [eqn: 171]	③ [eqn: 228]

④ [eqn: 285]	⑤ [eqn: 342]

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: {RMB} LEFT( 1800,~ 1 OVER3 RIGHT)]을 따를 때, 확률 [eqn: {RMP}(580 LE X LE 630)]은?

②

[eqn: m=1800 times 1over3 =600], [eqn: sigma=sqrt{1800 times 1over3 times 2over3}= 20]

이므로 확률변수 [eqn: X]는 근사적으로 정규분포 [eqn: {RMN}(600,~20^2 )]을 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP} (580 LE X LE 630)]

[eqn: = {RMP}LEFT (580-600 OVER20} LE Z LE 630-600 OVER20 RIGHT)]

[eqn: ={RMP} (-1 LE Z LE 1.5)]

[eqn: ={RMP} (0 LE Z LE 1) +{RMP}(0 LE Z LE1.5)]

[eqn: =0.3413+0.4332]

[eqn: =0.7745]

① [eqn: 0.6826]	② [eqn: 0.7745]	③ [eqn: 0.8136]

④ [eqn: 0.8351]	⑤ [eqn: 0.9332]

모평균이 [eqn: 40], 모표준편차가 [eqn: 5]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 100]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: BARX]가 [eqn: 39.1] 이상 [eqn: 41.2] 이하일 확률은?

④

[eqn: {RME}(BARX `)=40], [eqn: sigma(BAR X )= 5 OVERSQRT100 =0.5]이므로

표본평균 [eqn: BARX]는 정규분포 [eqn: {RMN}(40,~0.5^2 )]을 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP} (39.1 LE bar X LE 41.2)]

[eqn: = rm P it LEFT ( {39.1-40} over {0.5} LEQ Z LEQ {41.2-40} over {0.5} RIGHT )]

[eqn: ={RMP} (-1.8 LE Z LE 2.4)]

[eqn: ={RMP} (0 LE Z LE 1.8) +{RMP}(0 LE Z LE2.4)]

[eqn: =0.4641+0.4918]

[eqn: =0.9559]

① [eqn: 0.8950]	② [eqn: 0.9225]	③ [eqn: 0.9370]

④ [eqn: 0.9559]	⑤ [eqn: 0.9737]

어느 양식장에서 키우는 물고기의 길이는 정규분포를 따른다고 한다. 이 양식장에서 키우는 물고기 [eqn: 36]마리를 임의추출하여 조사하였더니 길이의 평균이 [eqn: 32~ rmcm], 표준편차가 [eqn: 3~rmcm]이었다. 이 양식장에서 키우는 물고기의 평균 길이 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 95~%]인 신뢰구간은?

②

[eqn: n=36], [eqn: barx =32], [eqn: s=3]이므로

[eqn: 32 -1.96times 3 oversqrt36][eqn: le m le][eqn: 32 +1.96times 3 oversqrt36]

따라서    [eqn: 31.02 le m le 32.98]

① [eqn: 31.02 le m le 32.96]	② [eqn: 31.02 le m le 32.98]

③ [eqn: 31 le m le33]	④ [eqn: 30.98 le m le 33.02]

⑤ [eqn: 30.96 le m le 33.04]

어느 공장에서 생산되는 [eqn: RMA]제품의 수명은 정규분포 [eqn: {RMN}(m,~50^2 )]을 따른다고 한다. [eqn: rmA]제품 [eqn: n]개를 임의추출하여 구한 수명의 평균을 [eqn: barx]라 하자. 신뢰도 [eqn: 95~%]로 모평균 [eqn: m]을 추정하였을 때, 표본평균 [eqn: barx]와 모평균 [eqn: m]의 차가 [eqn: 5]시간 이하가 되게 하는 [eqn: n]의 최솟값은? (단, 수명의 단위는 시간이다.)

②

[eqn: sigma=50]이므로 모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 95~%]인 신뢰구간은

[eqn: barx -1.96times 50 oversqrtn][eqn: le m le][eqn: barx +1.96times 50 oversqrtn]

표본평균 [eqn: barx]와 모평균 [eqn: m]의 차는

[eqn: |`barx -m`| le 1.96 times 50 oversqrtn]

이때 [eqn: 1.96 times 50 oversqrtn le 5]이므로

[eqn: 5sqrtn ge50 times 1.96], 즉    [eqn: n ge384.16]

따라서 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 385]이다.

① [eqn: 384]	② [eqn: 385]	③ [eqn: 386]

④ [eqn: 387]	⑤ [eqn: 388]

주머니 안에 흰 공 [eqn: 2]개와 검은 공 [eqn: 3]개가 들어 있다. 이 주머니에서 한 개씩 차례로 공을 꺼낼 때, 처음으로 흰 공이 나올 때까지 공을 꺼낸 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: X]의 평균을 구하시오. (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.)

[eqn: 2]

확률변수 [eqn: X]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 1,~2,~3,~4]이다.	[eqn: cdotscdots]□

[eqn: X]가 [eqn: 1,~2,~3,~4]를 가질 확률은 각각

[eqn: {RMP}(X=1)= 2OVER5]

[eqn: {RMP}(X=2)= 3 OVER5 TIMES 2 OVER4 = 3OVER10]

[eqn: {RMP}(X=3)= 3OVER5 TIMES 2 OVER4 TIMES 2 OVER3 = 1OVER5]

[eqn: {RMP}(X=4)= 3 OVER5 TIMES 2 OVER4 TIMES 1 OVER3 TIMES 2 OVER2 = 1OVER10]

[eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 2 OVER5]	[eqn: 3 OVER10]	[eqn: 1 OVER5]	[eqn: 1 OVER10]	[eqn: 1]

[eqn: cdotscdots]□

따라서 [eqn: X]의 평균은

[eqn: {RME}(X)= 1 TIMES 2OVER5 +2 TIMES 3OVER10 + 3 TIMES 1OVER5 +4 TIMES 1OVER10]

[eqn: = 20 OVER10 =2]	[eqn: CDOTS CDOTS]□

어느 회사에서 생산되는 과일 통조림의 무게는 정규분포를 따른다고 한다. 이 제품 중에서 크기가 [eqn: 36]인 표본을 임의추출하여 구한 과일 통조림의 무게의 평균은 [eqn: 401~RMg], 표준편차는 [eqn: s~rmg]이었다. 이를 이용하여 구한 과일 통조림의 평균 무게 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 95~%]인 신뢰구간이 [eqn: 397.08 le m le 404.92]일 때, 표본표준편차 [eqn: s]의 값과 모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 99~%]인 신뢰구간을 구하시오.

[eqn: s=12,~395.84le m le 406.16] (단위 : [eqn: rmg])

[eqn: n=36], [eqn: barx =401]이므로 모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 95~%]의 신뢰구간은

[eqn: 401 -1.96times s oversqrt36][eqn: le m le][eqn: 401 +1.96times s oversqrt36]

이때 [eqn: 401- 1.96 times s over6 =397.08]이므로

[eqn: 1.96 times s over6 =401-397.08=3.92]

[eqn: s= {3.92 times 6} over{1.96} =12]	[eqn: cdotscdots]□

또 모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 99~%]인 신뢰구간은

[eqn: 401-2.58times 12 oversqrt36][eqn: le m le][eqn: 401+2.58times 12 oversqrt36]

즉    [eqn: 395.84 le m le 406.16]	[eqn: CDOTS CDOTS]□

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(0 LE Z LE z)]
[eqn: 1.88]	[eqn: 0.47]
[eqn: 2.05]	[eqn: 0.48]
[eqn: 2.33]	[eqn: 0.49]

어느 공장에서 생산되는 빵의 무게는 평균이 [eqn: 200~rmg], 표준편차가 [eqn: 12~rmg]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서는 하루에 생산된 빵 중에서 크기가 [eqn: 16]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균 [eqn: barX]가 [eqn: a]보다 작으면 생산 시스템에 이상이 있는 것으로 판단한다. 이 공장에서 생산 시스템에 이상이 있다고 판단될 확률이 [eqn: 0.01]이라 할 때, 다음 표준정규분포표를 이용하여 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 193.01]

[eqn: {rmE}(BARX`)=200], [eqn: sigma(BARX`)= 12 OVERSQRT16 =3]이므로

[eqn: BARX]는 정규분포 [eqn: {RMN}(200,~3^2 )]을 따른다.

생산 시스템에 이상이 있다고 판단될 확률이 [eqn: 0.01]이므로

[eqn: {RMP}(BARX <a)=0.01]에서

[eqn: rm P it (barX <a )= rm P it left(Z < a-200 over3 right)=0.01]

이때 주어진 표준정규분포표에서 [eqn: {rmP}(0 LE Z LE 2.33) = 0.49]이므로

[eqn: {RMP}(Z LE -2.33)={RMP}(Z GE2.33)]

[eqn: =0.5-{RMP}(0 LE Z LE2.33)]

[eqn: =0.01]

즉 [eqn: a-200 over3 =-2.33]에서    [eqn: a=193.01]

어느 고등학교 [eqn: 2]학년 학생 중에서 [eqn: rmA], [eqn: RMB] 두 과목을 선택한 학생이 각각 [eqn: 40]명, [eqn: 60]명이다. [eqn: RMA]과목을 선택한 학생의 [eqn: 50~%]가 [eqn: RMC]과목을 선택하였고, [eqn: RMB]과목을 선택한 학생의 [eqn: 20~%]가 [eqn: RMC]과목을 선택하였다. 이들 [eqn: 100]명 중에서 임의로 한 명을 뽑아 조사하였더니 [eqn: RMC]과목을 선택하였을 때, 이 학생이 [eqn: RMA]과목도 선택하였을 확률을 구하시오. (단, [eqn: RMA]과목과 [eqn: RMB]과목을 동시에 선택한 학생은 없다.)

[eqn: 5 OVER8]

학생들이 [eqn: rmA], [eqn: RMB], [eqn: RMC] 세 과목을 선택한 사건을 각각 [eqn: RMA], [eqn: RMB], [eqn: RMC]라 하면 [eqn: RMA], [eqn: RMC] 두 과목을 모두 선택한 학생 수는

[eqn: 40 TIMES 0.5=20]이므로    [eqn: n(A SMALLINTERC`)=20]       [eqn: cdotscdots]□

[eqn: RMB], [eqn: RMC] 두 과목을 모두 선택한 학생 수는

[eqn: 60 TIMES 0.2=12]이므로    [eqn: n(B SMALLINTERC`)=12]

[eqn: 100]명 중에서 [eqn: RMC] 과목을 선택한 학생 수는

[eqn: 20+12=32]이므로    [eqn: n(C`)=32]            [eqn: cdotscdots]□

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP}(A ``|`C`)][eqn: ={ {RMP}(A SMALLINTER C` )} OVER{{RMP}(C`)} = {20 OVER100} OVER{32 OVER100} = 5OVER8]      [eqn: CDOTS CDOTS]□

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이고,

[eqn: 13OVER12]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]가 서로 독립이므로

[eqn: {RMP}(A^C SMALLINTERB)={RMP}(A^C `){RMP}(B)]

[eqn: =LEFT{1- {RMP}(A) RIGHT} {RMP}(B)]

[eqn: {RMP}(A^C SMALLINTERB^C `)={RMP}(A^C `){RMP}(B^C`)]

[eqn: =LEFT{1- {RMP}(A) RIGHT}LEFT{1- {RMP}(B)RIGHT]

이때 [eqn: {RMP}(A)=x], [eqn: {rmP}(B)=y]라 하면

[eqn: (1-x)y = 1over2]                        [eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: (1-x)(1-y)= 1over6]                   [eqn: cdotscdots]㉡

[eqn: cdotscdots]□

㉠, ㉡에서 [eqn: x={rmP}(A)= 1OVER3], [eqn: y={RMP}(B)= 3 OVER4]이므로

[eqn: {RMP}(A)+{RMP}(B) = 1OVER3 + 3OVER4 = 13 OVER12]	[eqn: CDOTS CDOTS]□

[eqn: {RMP}(A^C SMALLINTER B` ) = 1OVER2], [eqn: {RMP}(A^C SMALLINTER B^C `) = 1OVER 6]

일 때, [eqn: {rmP}(A)+{RMP}(B)]의 값을 구하시오.

같은 회사에 근무하는 재현이와 경수는 다음 주 월요일부터 금요일까지 [eqn: 5]일 중에서 각각 [eqn: 2]일을 임의로 택하여 휴가를 가기로 하였다. 재현이와 경수의 휴가 날짜 중에서 겹치는 날이 있을 확률을 구하시오. (단, 휴가 날짜는 연속일 수도 있고 아닐 수도 있다.)

[eqn: 7 OVER10]

휴가 날짜 중에서 겹치는 날이 있는 사건을 [eqn: A]라 하면 [eqn: A^C]는 겹치는 날이 없는 사건이다.

두 사람이 각각 휴가 날짜를 택하는 경우의 수는 [eqn: `_5 RMC_2 TIMES `_5 C_2]이고,

두 사람이 겹치는 날이 없도록 택하는 경우의 수는 [eqn: `_5 RMC_2 TIMES `_3 C_2]이므로

[eqn: {RMP}(A^C`) = {`_5 RMC_2 TIMES _3 C_2 } OVER{`_5 RMC_2 TIMES `_5 RMC_2 }= 3OVER10]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP}(A)=1-{RMP}(A^C `) =1- 3 OVER10 = 7 OVER10]

어느 비행기에는 남자 승객 [eqn: 200]명과 여자 승객 [eqn: 100]명이 탔고, 이들 [eqn: 300]명에게 점심 식사로 두 메뉴 [eqn: RMA], [eqn: RMB] 중에서 한 가지를 제공한다고 한다. 남자 승객의 [eqn: 60~%]와 여자 승객의 [eqn: 40~%]가 [eqn: RMA]메뉴를 선택하였다. 이 비행기의 승객 [eqn: 300]명 중에서 임의로 택한 한 승객이 [eqn: RMA]메뉴를 선택하였다고 할 때, 이 승객이 남자 승객일 확률을 구하시오.

[eqn: 3OVER4]

[eqn: RMA]메뉴를 선택할 사건을 [eqn: A], 남자 승객일 사건을 [eqn: M], 여자 승객일 사건을 [eqn: F]라 하면

[eqn: {RMP}(A SMALLINTERM`)={RMP}(M){RMP}(A``|`M`)= 2OVER3 TIMES 6 OVER10 = 12 OVER30]

[eqn: rm P it (A SMALLINTER F)= rm P it (F) rm P it (A``|`F`)= {1} over {3} TIMES {4} over {10} = {4} over {30}]

이므로

[eqn: {RMP}(A)={RMP}(A SMALLINTERM`)+{RMP}(A SMALLINTERF`)= 12 OVER30 + 4 OVER30 = 16 OVER30]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RMP}(M``|`A`)][eqn: ={ {RMP}(A SMALLINTER M` )} OVER{{RMP}(A`)} = {12 OVER30} OVER{16 OVER30} = 3 OVER4]

빠른정답

(1) [eqn: 24]	(2) [eqn: 12]

(1) [eqn: 120]	(2) [eqn: 24]

(1) [eqn: 5040]   (2) [eqn: 1440]

(1) [eqn: 125]	(2) [eqn: 27]	⑶ [eqn: 1024]

[eqn: 243]

[eqn: 48]

[eqn: 500]

[eqn: 360]

[eqn: 32]

(1) [eqn: 420]	(2) [eqn: 50400]

[eqn: 35]

(1) [eqn: 126]	(2) [eqn: 40]

(1) [eqn: (n-1)!]	(2) [eqn: n^r]	(3) [eqn: p! q! `cdots`r!]

[eqn: 72]

[eqn: 729]

[eqn: 210]

(1) [eqn: 64]	(2) [eqn: 24]

[eqn: 240,~360]

(1) [eqn: 6]	(2) [eqn: 3]	(3) [eqn: 35]

[eqn: 165]

(1) [eqn: 21]	(2) [eqn: 6]

(1) [eqn: 286]	(2) [eqn: 84]

[eqn: 15]

[eqn: 28]

[eqn: 56]

[eqn: 120,~20]

풀이 참고

중복조합, [eqn: n+r-1]

(1) [eqn: 5]	(2) [eqn: 12]

[eqn: 45]

[eqn: 36]

[eqn: 35]

[eqn: 30]

(1) [eqn: a^4 +4a^3 b +6a^2 b^2 +4ab^3 +b^4]
(2) [eqn: x^6 +6x^5 y+15x^4 y^2 +20x^3 y^3 +15x^2 y^4 +6xy^5 +y^6]
(3)[eqn: x^5 -15x^4 +9x^3 -270x^2 +405x -243]

[eqn: x^4 -8x^3 y +24x^2 y^2 -32xy^3 +16y^4]

(1) [eqn: 81x^4 +108x^3 y +54x^2 y^2 +12xy^3 +y^4]
(2) [eqn: a^5 -10a^4 b +40a^3 b^2 -80a^2 b^3 +80ab^4 -32b^5]

[eqn: 448]

[eqn: 60]

(1) [eqn: 560]	(2) [eqn: 1215]

(1) [eqn: a^5 +5a^4 b +10a^3 b^2 +10a^2 b^3 +5ab^4 +b^5]
(2) [eqn: a^7 +7a^6 +21a^5 +35a^4 +35a^3 +21a^2 +7a+1]

풀이 참고

이항정리에 의하여

[eqn: (1+x)^n =`_n {rmC}_0 }+`_n {rmC}_1 x +_n {RMC}_2 x^2 +`cdots`+`_n {rmC}_n x^n]

이 식에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 2^n =`_n {rmC}_0 }+`_n {rmC}_1 +_n {RMC}_2 +`cdots`+`_n {rmC}_n]

풀이 참고

(1) [eqn: (1+x)^n =`_n {rmC}_0 }+`_n {rmC}_1 x +_n {RMC}_2 x^2 +`cdots`+`_n {rmC}_n x^n]에
[eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: `_n {rmC}_0 -`_n {rmC}_1 +_n {RMC}_2 - `_n {rmC}_3 +`cdots`+(-1)^n`_n {rmC}_n =0]

(2) [eqn: (1+x) ^{2n} =` _{2n} rm C it rm _{0} +` _{2n} rm C it rm _{1} x+ _{2n} rm C it rm _{2} x ^{2} +` CDOTS `+` _{2n} rm C it rm _{2n} x ^{2n}]
[eqn: cdotscdots㉠]
[eqn: x=1]을 ㉠에 대입하면
[eqn: ` _{2n} rm C it rm _{0} +` _{2n} rm C it rm _{1} + _{2n} rm C it rm _{2} +` CDOTS `+` _{2n} rm C it rm _{2n} =2 ^{2n}]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: x=-1]을 ㉠에 대입하면
[eqn: ` _{2n} rm C it rm _{0} -` _{2n} rm C it rm _{1} + _{2n} rm C it rm _{2} -` CDOTS `+` _{2n} rm C it rm _{2n} =0]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉢]
㉡[eqn: +]㉢을 하면
[eqn: 2(` _{2n} rm C it rm _{0} +` _{2n} rm C it rm _{2} + _{2n} rm C it rm _{4} +` CDOTS `+` _{2n} rm C it rm _{2n} =2 ^{2n}]이므로
[eqn: ` _{2n} rm C it rm _{0} +` _{2n} rm C it rm _{2} + _{2n} rm C it rm _{4} +` CDOTS `+` _{2n} rm C it rm _{2n} =2 ^{2n-1}]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉣]
㉡[eqn: -]㉣을 하면
[eqn: ` _{2n} rm C it rm _{1} +` _{2n} rm C it rm _{3} + _{2n} rm C it rm _{5} +` CDOTS `+` _{2n} rm C it rm _{2n-1} =2 ^{2n-1}]

풀이 참고

(1) [eqn: (1+x)^10 =`_10 {rmC}_0 +`_10 {RMC}_1 x +`_10 {rmC}_2 x^2 +`CDOTS`+`_10 {RMC}_10 x^10]
[eqn: (x+1)^10 =`_10 {rmC}_0 x^10 +`_10 {RMC}_1 x^9 +`_10 {rmC}_2 x^8 +`CDOTS`+`_10 {RMC}_10]이므로
[eqn: (1+x)^10 (1+x)^10][eqn: =(1+x)^10 (x+1)^10]
[eqn: =(`_10 {rmC}_0 +`_10 {RMC}_1 x +`_10 {rmC}_2 x^2 +`CDOTS`+`_10 {RMC}_10 x^10 )]
[eqn: times(`_10 {rmC}_0 x^10 +`_10 {RMC}_1 x^9 +`_10 {rmC}_2 x^8 +`CDOTS`+`_10 {RMC}_10 )]
이다. 이 전개식에서 [eqn: x^10]의 계수는 다음과 같다.
[eqn: `_10 {rmC}_0 TIMES`_10 RMC_0 + `_10 C_1 TIMES `_10 C_1 +`_10 C _2 TIMES `_10 C _2]
[eqn: RM +`CDOTS`+`_10 C_10 TIMES `_10 C_10]
[eqn: =RM(`_10 C_0 )^2 +(`_10 C_1 )^2 +(`_10 C_2 )^2 +`CDOTS`+(`_10 C_10 )^2]

(2) [eqn: (1+x)^10 (1+x)^10][eqn: =(1+x)^20]이므로 [eqn: (1+x)^20]의 전     개식에서 [eqn: x^10]의 계수는 [eqn: `_20 {rmC}_10]이다.
따라서
[eqn: RM(`_10 C_0 )^2 +(`_10 C_1 )^2 +(`_10 C_2 )^2 +`CDOTS`+(`_10 C_10 )^2][eqn: =`_20 RMC_10]

(1) [eqn: a^n-1 b], [eqn: `_n {rmC}_r]	(2) 이항계수, 일반항

(1) [eqn: x^6 -6x^5 y +15x^4 y^2 -20x^3 y^3 +15x^2 y^4 -6xy^5 +y^6]
(2) [eqn: a^5 -10a^4 +40a^3 -80a^2 +80a-32]
(3) [eqn: x^4 +8x^3 y +24x^2 y^2 +32xy^3 +16y^4]

(1) [eqn: 54]	(2) [eqn: -8]	(3) [eqn: 540]

[eqn: 2]

(1) [eqn: 64]	(2) [eqn: 1024]

[eqn: 918]

⑤

②

④

③

⑤

④

①

②

②

④

①

①

[eqn: 208]

[eqn: 1188]

[eqn: 90720]

[eqn: 27]

(1) [eqn: LEFT{(RMH,~H),~(H,~T),~(T,~H),~(T,~T) RIGHT]
(2) [eqn: LEFT{(RMH,~T),~(T,~H)RIGHT]

(1) [eqn: LEFT{1,~2,~4,~5,~7,~10,~14,~20 RIGHT]
(2) [eqn: EMPTYSET]
(3)[eqn: LEFT{3,~6,~7,~8,~9,~11,~12,~13,~14,~15,~16,~17,~18,~19 RIGHT]
(4) [eqn: LEFT{1,~2,~3,`CDOTS,~ 19,~20 RIGHT]

[eqn: 5 OVER36]

[eqn: 3 OVER8]

[eqn: 12 OVER35]

[eqn: 8 OVER15]

[eqn: 5 OVER42]

[eqn: 0.488]

[eqn: {1} over {12}]

(1) [eqn: 1]	(2) [eqn: 0]

(1) 시행	(2) [eqn: n(A)]	(3) 통계적 확률

(1) [eqn: 5 OVER36]	(2) [eqn: 2 OVER9]

[eqn: 2 OVER5]

[eqn: 4 OVER9]

[eqn: 2OVER5]

[eqn: 5 OVER27]

[eqn: 2OVER3]

[eqn: 3 OVER5]

[eqn: 0.45]

[eqn: 1OVER6]

[eqn: 13 OVER28]

[eqn: 3OVER5]

(1) ➊ [eqn: {RMP}(A)+{RMP}(B)-{RMP}(A SMALLINTERB)]  ➋ [eqn: {RMP}(A)+{RMP}(B)]
(2) [eqn: 1-{RMP}(A)]

[eqn: 17 OVER20]

[eqn: 14 OVER15]

[eqn: 3]

[eqn: 33 OVER100]

[eqn: 118 OVER231]

[eqn: 2OVER3]

[eqn: 1 OVER3]

[eqn: 5 OVER8]

[eqn: 5 OVER14]

[eqn: 2OVER35]

[eqn: 0.28]

[eqn: 4 OVER7]

제비를 뽑는 순서에 관계없이 발표자로 결정될 확률은 확률은 같다.

(1) [eqn: {RMP}(A SMALLINTERB)]  (2) [eqn: {RMP}(B``|` A)], [eqn: {RMP}(B)]

[eqn: 0.2]

[eqn: 4 OVER5]

[eqn: 14 OVER55]

[eqn: 3OVER4]

[eqn: 36 OVER37]

풀이 참조

[eqn: A= LEFT{1,~3,~5,~7 RIGHT }], [eqn: B=LEFT{3,~6 RIGHT]이므로

[eqn: {RMP}(A)= 1OVER2], [eqn: {RMP}(B)= 1OVER4]

[eqn: {RMP}(A){RMP}(B)= 1OVER2 TIMES 1OVER4 = 1OVER8]

한편 [eqn: A SMALLINTERB =LEFT{3 RIGHT]이므로 [eqn: {RMP}(A SMALLINTERB) = 1OVER8]

따라서 [eqn: { {RMP}(A SMALLINTER B )} ={RMP}(A){RMP}(B)]이므로 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]는 서로 독립이다.

풀이 참고

[eqn: A=][eqn: LEFT{3,~6RIGHT], [eqn: B=][eqn: LEFT{5,~6 RIGHT]이므로

[eqn: {RMP}(A)=][eqn: 1OVER3], [eqn: {RMP}(B)=][eqn: 1OVER3]

[eqn: {RMP}(A){RMP} (B)=][eqn: 1OVER3 TIMES 1OVER3 = 1OVER9]

한편 [eqn: A SMALLINTERB =][eqn: LEFT{6 RIGHT]이므로    [eqn: {RMP}(A SMALLINTERB)=][eqn: 1OVER6]

따라서 [eqn: {RMP}(A SMALLINTERB )!={RMP}(A) {RMP}(B)]이므로 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]는 서로 종속이다.

(1) 독립	(2) 종속

(1) [eqn: 160 over729]	(2) [eqn: 13 over729]

(1) [eqn: 0.28]	(2) [eqn: 0.20]

풀이 참고

[eqn: (A^C`)^C =A]이므로

[eqn: {RMP}(A^C SMALLINTERB^C` )= {RMP}(B^C `)-{RMP}(A SMALLINTERB^C `)]

[eqn: = {RMP}(B^C `)-{RMP}(A){RMP}(B^C `)]

[eqn: =LEFT{1-{RMP}(A^C` RIGHT)right}{RMP}(B^C `)]

[eqn: ={RMP}(A^C` ){RMP}(B^C `)]

➡ 두 사건 [eqn: A^C], [eqn: B^C]는 서로 독립이다.

(1) [eqn: {rmP}(A){RMP}(B)]  (2) 종속  (3) [eqn: `_n {rmC}_r p^r (1-p)^n-r]

독립

[eqn: 2 over9]

[eqn: 0.44]

[eqn: 648 over3125]

[eqn: 13 over125]

⑤

⑤

②

①

②

①

③

⑤

③

④

④

④

[eqn: 5 OVER8]

[eqn: 13OVER12]

[eqn: 7 OVER10]

[eqn: 3OVER4]

(1) 이산확률변수	(2) 연속확률변수
(3) 이산확률변수	(4) 연속확률변수

풀이 참조

(1) 확률변수 [eqn: X]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2]이다.
[eqn: X]가 [eqn: 0]을 가질 확률은
[eqn: {RMP}(X=0)={`_4 RMC_0 TIMES `_3 C_2} OVER{`_7 RMC _2 }= 1OVER7]
[eqn: X]가 [eqn: 1]을 가질 확률은
[eqn: rm P it (X=1)= {` _{4} rm C _{1} TIMES ` _{3} C _{1} it} over {` _{7} rm C _{2} it} = {4} over {7}]
[eqn: X]가 [eqn: 2]를 가질 확률은
[eqn: rm P it (X=2)= {` _{4} rm C _{2} TIMES ` _{3} C _{0} it} over {` _{7} rm C _{2} it} = {2} over {7}]
따라서 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	합계
[eqn: {rmP}(X=x )]	[eqn: 1OVER7]	[eqn: 4 OVER7]	[eqn: 2OVER7]	[eqn: 1]

(2) [eqn: rm P it (1 LEQ X LEQ 2)`={RMP}(X=1)+{RMP}(X=2)= 4 OVER7 + 2OVER7 = 6 OVER7]

(1)

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1OVER36]	[eqn: 1OVER12]	[eqn: 5 OVER36]	[eqn: 7 OVER36]	[eqn: 1 OVER4]	[eqn: 11 OVER36]	[eqn: 1]

(2) [eqn: 5 OVER9]

풀이 참고

(i) (앞, 앞, 앞, 앞), (뒤, 뒤, 뒤, 뒤)가 나올 확률은
[eqn: {RMP}(X=3)=2 TIMES LEFT( 1OVER2 RIGHT)^4 = 1OVER8]

(ii) (앞, 앞, 앞, 뒤), (앞, 앞, 뒤, 뒤), (앞, 뒤, 뒤, 뒤),
(뒤, 뒤, 뒤, 앞), (뒤, 뒤, 앞, 앞), (뒤, 앞, 앞, 앞)이 나올 확률은
[eqn: {RMP}(X=4)=6 TIMES LEFT( 1OVER2 RIGHT)^4 = 3OVER8]

(iii) (앞, 앞, 뒤, 앞), (앞, 뒤, 뒤, 앞), (앞, 뒤, 앞, 앞),
(뒤, 뒤, 앞, 뒤), (뒤, 앞, 앞, 뒤), (뒤, 앞, 뒤, 뒤)가 나올 확률은
[eqn: {RMP}(X=5)=6 TIMES LEFT( 1OVER2 RIGHT)^4 = 1OVER8]

(ⅳ) (앞, 뒤, 앞, 뒤), (뒤, 앞, 뒤, 앞)이 나올 확률은
[eqn: {RMP}(X=6)=2 TIMES LEFT( 1OVER2 RIGHT)^4 = 1OVER8]

따라서 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면

[eqn: X]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1OVER8]	[eqn: 3 OVER8]	[eqn: 3 OVER8]	[eqn: 1OVER8]	[eqn: 1]

(1) 확률변수  (2) 이산확률변수, 연속확률변수

[eqn: 1OVER4]

[eqn: 1 OVER2]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1OVER6]	[eqn: 1OVER2]	[eqn: 1 OVER3]	[eqn: 1]

[eqn: 55 OVER56]

(1) 풀이 참조	(2) [eqn: 6 OVER7]

(1) 확률변수 [eqn: X]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 2,~2SQRT2 ,~2SQRT3]이므로
[eqn: rm P it (X=2 )= {6 TIMES ` _{4} RMC _{3} it} over {` _{8} rm C _{3} it} = 3 OVER7]
[eqn: rm P it (X=2SQRT2 )= {6 TIMES2 TIMES2} over {` _{8} rm C _{3} it} = 3 OVER7]
[eqn: rm P it (X=2SQRT3 )= {8} over {` _{8} rm C _{3} it} = 1OVER7]
따라서 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면

[eqn: X]	[eqn: 2]	[eqn: 2SQRT2]	[eqn: 2SQRT3]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 3 OVER7]	[eqn: 3 OVER7]	[eqn: 1 OVER7]	[eqn: 1]

(2) [eqn: {RMP}(2 LE X LE3)=][eqn: {RMP}( X =2)+{RMP}(X=2SQRT2 )]
[eqn: = 3OVER7 + 3OVER7 = 6 OVER7]

[eqn: 3 OVER2]

[eqn: 1]

[eqn: 12 OVER7]

[eqn: 35 OVER18]

[eqn: {RMV}(X)= 2 OVER3],	[eqn: sigma(X)= SQRT6 OVER3]

[eqn: {RMV}(X)=1], [eqn: sigma(X)=1]

[eqn: {RME}(X)=16], [eqn: {RMV}(X)=19]

[eqn: {RME}(Y)=-14], [eqn: {RMV}(Y)=36], [eqn: sigma(Y)=6]

[eqn: {RME}(Y)=5], [eqn: {RMV}(Y)=144], [eqn: sigma(Y)=12]

(1) [eqn: 29]	(2) [eqn: 64]	(3) [eqn: 8]

풀이 참고

[eqn: RMA]학생의 중간고사와 기말고사 수학 시험 점수에 대하여 그 표준 점수를 각각 [eqn: T_1], [eqn: T_2]라 하면

[eqn: T_1 = 20 TIMES {88-50} OVER20 +100=138]

합: [eqn: 278]

[eqn: T_2 = 20 TIMES {88-56} OVER16 +100=140]

[eqn: RMB]학생의 중간고사와 기말고사 수학 시험 점수에 대하여 그 표준 점수를 각각 [eqn: T_3], [eqn: T_4]라 하면

[eqn: T_3 = 20 TIMES {84 -50} OVER20 +100=134]

합: [eqn: 279]

[eqn: T_4 =20 TIMES {92-56} OVER16 +100=145]

따라서 중간고사와 기말고사의 표준 점수의 합이 높은 학생은 [eqn: RMB]이다.

(1) 기댓값, 평균	(2) 분산

[eqn: 2]

평균 : [eqn: 9 over5], 표준편차 : [eqn: sqrt14 over5]

(1) [eqn: 4]	(2) [eqn: 15]

[eqn: {rmE}(X) = 7 OVER2], [eqn: {RME}(Y)= 350]

[eqn: 65 OVER27]

(1) [eqn: 100,~ 1OVER100]	(2) [eqn: 20,~ 4 OVER5]

(1) 풀이 참조	(2) [eqn: 81 OVER128]

(1) [eqn: 5]회의 독립시행이고, 한 번의 시행에서 동전 두 개 모두 앞면이 나올 확률은 [eqn: 1OVER4]이다. 확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: {RMB} LEFT( 5 ,~ 1OVER4 RIGHT)]을 따르므로 [eqn: X]의 확률질량함수는
[eqn: rm P it (X=x)= {cases{` _{5} rm C _{0} ` LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{5} rm&~( it x=0) #` _{5} rm C it rm _{x} ` LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x} LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{5-x}&~(0<x<5)#` _{5} rm C it rm _{5} ` LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{5}&~(x=5) it]

(2) [eqn: {rmP} (X LE 1) ={RMP}(X=0)+{RMP}(X=1)]

[eqn: =`_5 RMC_0 LEFT( 3OVER 4 RIGHT)^5 +`_5 RMC_1 LEFT( 1OVER4 RIGHT)^1 LEFT( 3OVER4 RIGHT)^4]

[eqn: = 81 OVER128]

(1) 풀이 참조	(2) [eqn: 31 OVER6^6]

(1) [eqn: 6]회의 독립시행이고, 한 번의 시행에서 주사위 두 개 모두 같은 눈이 나올 확률은 [eqn: 1OVER6]이다. 확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: {RMB} LEFT( 6 ,~ 1OVER6 RIGHT)]을 따르므로 [eqn: X]의 확률질량함수는
[eqn: rm P it (X=x)= {cases{` _{6} rm C _{0} ` LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{6} rm&~( it x=0)#` _{6} rm C it rm _{x} ` LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{x} LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{6-x}&~(0<x<6)#` _{6} rm C it rm _{6} ` LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{6}&~(x=6) it}}]

(2) [eqn: rm P it (X GE 5)= rm P it (X=5)+ rm P it (X=6)]

[eqn: =][eqn: `_6 RMC_5 LEFT( 1OVER 6 RIGHT)^5 LEFT( 5 OVER6 RIGHT)^1 +`_6 RMC_6 LEFT( 1OVER6 RIGHT)^6]

[eqn: =][eqn: 31 OVER6^6]

(1) [eqn: rm P it (X=x)= {cases{` _{3} rm C _{0} ` LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{3} rm&~( it x=0)#` _{3} rm C it rm _{x} ` LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{x} LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{3-x}&~(0<x<3)#` _{3} rm C it rm _{3} ` LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{3}&~(x=3) it}}]

[eqn: 1OVER4]

(1) [eqn: {RME}(X)=5], [eqn: {RMV}(X)= 25 OVER6], [eqn: sigma(X)= {5SQRT6} OVER6]

[eqn: {RME}(X)=160,~ sigma(X)=4SQRT2]

[eqn: {RME}(X)=15], [eqn: sigma(X)=SQRT10]

[eqn: {RME}(X)=12], [eqn: sigma(X)=SQRT3]

[eqn: 20]명

풀이 참조

[eqn: n=30]일 때, [eqn: {rmP} LEFT( LEFT|` X OVER30 - 1OVER6 RIGHT | <0.05RIGHT)=0.537]

[eqn: n=50]일 때, [eqn: rm P it LEFT ( LEFT | ` {X} over {50} - {1} over {6} RIGHT | <0.05 RIGHT ) =0.66]

[eqn: n=10], [eqn: 30], [eqn: 50]일 때, [eqn: {rmP} LEFT( LEFT|` X OVERn - 1OVER6 RIGHT | <0.05RIGHT)]의 값은 각각 [eqn: 0.291], [eqn: 0.537], [eqn: 0.66]이므로 [eqn: n]의 값이 커짐에 따라 그 값이 점점 [eqn: 1]에 가까워짐을 알 수 있다.

이항분포, [eqn: n], [eqn: p]

(1) [eqn: rm P it (X=x)= {cases{` _{5} rm C _{0} ` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{5} rm&~( it x=0)#` _{5} rm C it rm _{x} ` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{5-x}&~(0<x<5)#` _{5} rm C it rm _{5} ` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{5}&~(x=5) it}}]
(2) [eqn: 131 over243]

[eqn: {RME}(X)=20], [eqn: {rmV}(X)=12]

[eqn: 15 over2^13]

[eqn: 4000]원

[eqn: 20]

(1) [eqn: 1 over2]	(2) [eqn: 5 over16]

(1) [eqn: 1 OVER8]	(2) [eqn: 3 OVER16]

(1) [eqn: m_1 =m_2 <m_3]	(2) [eqn: sigma_1 > sigma_2 = sigma_3]

(1) [eqn: 0.8413]	(2) [eqn: 0.8163]

(1) [eqn: 0.1525]	(2) [eqn: 0.9544]

[eqn: 0.7745]

[eqn: 0.6826]

(1) [eqn: 0.8185]	(2) [eqn: 0.0062]

[eqn: 0.9332]

[eqn: 0.2902]

풀이 참고

(1) (i) [eqn: k=1]일 때

[eqn: {RMP} (m- sigma LE X LE m+ sigma ) = {RMP}(-1 leZ LE1)]

[eqn: =2{RMP}(0 LE Z LE1)]

[eqn: =2 TIMES 0.3413 =0.6826]

(ii) [eqn: k=2]일 때

[eqn: rm P it (m-2 sigma LEQ X LEQ m+2 sigma )= rm P it (-2 LEQ Z LEQ 2)]

[eqn: =2 rm P it (0 LEQ Z LEQ 2)]

[eqn: =2 TIMES 0.4772]

[eqn: =0.9544]

(iii) [eqn: k=3]일 때

[eqn: rm P it (m-3 sigma LEQ X LEQ m+3 sigma )= rm P it (-3 LEQ Z LEQ 3)]

[eqn: =2 rm P it (0 LEQ Z LEQ 3)]

[eqn: =2`TIMES`0.4987]

[eqn: =0.9974]

(2) [eqn: 2rm P it (0 LEQ Z LEQ k)=0.95]에서[eqn: rm P it (0 LEQ Z LEQ k)=0.475]이므로 표준정규분포표에서 [eqn: 0.475]에 해당하는 [eqn: k]의 값을 찾으면 [eqn: k=1.96]이다.

풀이 참고

[eqn: 0.6687]

[eqn: 0.9938]

(1) [eqn: {RMN}(m,~ sigma^2 )]	(2) 표준정규분포, [eqn: {RMN}(0,~1)]

(1) [eqn: 2]	(2) [eqn: 3over4]

(1) [eqn: 0.8185]	(2) [eqn: 0.6915]

(1) [eqn: 53.28~%]	(2) [eqn: 6.68~%]

[eqn: 0.8664]

[eqn: 10.8]

(1) 표본조사	(2) 전수조사

풀이 참고

모든 학생들을 대상으로 간식의 종류를 조사할 수 없으므로 표본조사가 적당하다. 예를 들어 반별로 임의로 표본을 뽑아 조사하거나 동아리별로 조사하는 방법 등이 있다. 이때 조사 대상이 어떤 특정 집단에 편중되지 않도록 제비뽑기나 난수 주사위, 난수 생성기 등을 이용하여 조사한다.

[eqn: {rmE}(BARX `)=84], [eqn: {RMV}(BARX`) = 36 OVER25]

(1) [eqn: {RME}(BARX )= 30], [eqn: sigma(BAR X )= 2OVER5]	(2) [eqn: 0.0062]

[eqn: 0.6826]

풀이 참고

	[eqn: {rmP}(9 LE barX LE 11)]	[eqn: {rmP}(13 LE barX LE 15)]
[eqn: n=9]	[eqn: 0.1974]	[eqn: 0.121]
[eqn: n=36]	[eqn: 0.383]	[eqn: 0.0606]

표본의 크기 [eqn: n]이 커질수록 평균을 포함하는 구간은 확률이 커지고, 평균을 포함하지 않는 구간은 확률이 작아지는 것을 알 수 있다.

(1) 모집단. 표본	(2) [eqn: m,~ sigma^2 overn ,~ sigma oversqrtn]

[eqn: {rmE}(BARX`) =20,~ sigma(BARX`)= 1OVER2]

[eqn: {rmE}(BARX`) =3,~{RMV}(BARX`)= 2 OVER5]

[eqn: 0.1587]

[eqn: 0.0228]

[eqn: 228]

[eqn: 78 .71 LE m le 81.29]

[eqn: 68.88 LEQ m LEQ 71.12] (단위 : [eqn: rmkm/h])

(1) [eqn: 11.02 le m le 12.98] (단위 : [eqn: rmkm/L])

(1) [eqn: 31.02][eqn: le m le][eqn: 32.98] (단위 : 시간)

(1) [eqn: 64.02][eqn: le m le][eqn: 65.98] (단위 : 점)

풀이 참고

표본평균이 [eqn: barx], 모표준편차가 [eqn: sigma], 표본의 크기가 [eqn: n]일 때, 모평균 [eqn: m]의 신뢰구간은

[eqn: barx -k times sigma OVERSQRTn le m le {bar{x}} +k times sigma oversqrtn] ([eqn: k]는 상수)

의 꼴로 나타나므로 신뢰구간의 길이는 다음과 같다.

[eqn: beta -alpha =2k times sigma oversqrtn]

이때 신뢰도가 일정할 때 [eqn: n]이 커지면 신뢰구간의 길이는 짧아지고, 신뢰구간의 길이는 [eqn: barx]와는 상관이 없다. 또 표본의 크기가 같을 때 신뢰도가 높아지면 [eqn: k]의 값이 커지므로 신뢰구간의 길이가 길어진다.

따라서 두표와 찬혁이의 주장이 타당하다.

(1) 추정
(2) ➊ [eqn: barx -1.96 sigma OVERSQRTn], [eqn: {bar{x}} +1.96 sigma oversqrtn]
➋ [eqn: barx -2.58 sigma OVERSQRTn], [eqn: {bar{x}} +2.58 sigma oversqrtn]

[eqn: 44.14 le m le 45.86]

[eqn: 25]

[eqn: 252.42 le m le 257.58] (단위 : [eqn: rmg])

[eqn: 4]

⑤

④

②

①

③

④

⑤

③

②

④

②

②

[eqn: 2]

[eqn: s=12,~395.84le m le 406.16] (단위 : [eqn: rmg])

[eqn: 193.01]

[eqn: 5 OVER8]

[eqn: 13OVER12]

[eqn: 7 OVER10]

[eqn: 3OVER4]

[정답 및 해설]

확률과 통계(고2)	내신대비	천재(류) 교과서 편집본 정답 및 해설