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수학 Ⅱ (고2)	내신대비 모의고사	범위 : 미분-적분
		시험시간 : 50분
총 21문항 : 객관식 16, 주관식 5
		이름 :

Du kannst, denn Du sollst !	| |	용문아 수학교실

[객관식]

다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족할 때, [eqn: f(1)]의 값은?

②

함수 [eqn: f(x)]는 연속이고 미분가능하므로 평균값정리에 의하여 [eqn: {f(1)-f(0)} over {1-0} =f` prime (c_1 )], [eqn: {f(2)-f(1)} over {2-1} =f` prime (c_2 )]인 [eqn: c_1], [eqn: c_2]가 구간 [eqn: (0,~1)]과 구간 [eqn: (1,~2)]에 적어도 하나씩 존재한다.
[eqn: f(0)=-3], [eqn: f(2)=7]이고, [eqn: f` prime (x)leq5]이므로
[eqn: f(1)leq2], [eqn: f(1) GEQ 2]  [eqn: therefore][eqn: f(1)=2]

㈎ [eqn: f(0) = -3], [eqn: f(2) = 7]

㈏ [eqn: 0 < x < 2]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f ` prime (x) le 5]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x) = x^3 + ax^2 + ax]가 극값을 갖지 않도록 하는 정수 [eqn: a]의 값의 개수는?

④

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2ax+a]
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 극값을 갖지 않으려면
방정식 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =0]에 대하여 판별식 [eqn: D`le0]이 성립해야 한다. 즉,
[eqn: D/4=][eqn: a ^{2} -3a`le0]
[eqn: 0`le`a`le3]
[eqn: therefore]정수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: y = f(x)]가 [eqn: x=-2], [eqn: x = 0], [eqn: x=2]에서 극값을 가지고 [eqn: f(0)=4]이다. [eqn: f(1)]의 값은?

②

[eqn: f` prime (x)=4(x-2)x(x+2)=4x ^{3} -16x]이므로
[eqn: f(x)=x ^{4} -8x ^{2} +C]에서
[eqn: f(0)=4]이므로 [eqn: f(x)=x ^{4} -8x ^{2} +4]

[eqn: THEREFORE ```f(1)`=-3]

① [eqn: -4]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: 0]

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rm { {rmP} }], [eqn: rm { {rmQ} }]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가 각각 [eqn: x_{rmP} (t) = t^3 - 3t^2], [eqn: x_{rmQ} (t) = t^3 - 6t^2]일 때, 두 점 [eqn: rm { P }], [eqn: rm { Q }]가 서로 반대 방향으로 움직이는 [eqn: t]의 값의 범위는 [eqn: a < t < b]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

③

두 점 [eqn: {rmP}], [eqn: {rmQ}]의 시각 [eqn: t]에서의 속도를 [eqn: v_{rmP} (t)], [eqn: v_{rmQ} (t)]라고 하면
[eqn: v _{{rmP}} (t)=3t ^{2} -6t=3t(t-2)]
[eqn: v _{{rmQ}} (t)=3t ^{2} -12t=3t(t-4)]
두 점이 반대방향으로 움직일 때 [eqn: v_{rmP} (t) v_{rmQ} (t)<0]이므로
[eqn: v _{{rmP}} (t)v _{{rmQ}} (t)<0]에서 [eqn: 2<t<4]
[eqn: a=2], [eqn: b=4]  [eqn: therefore`][eqn: a+b=6]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rm { P }], [eqn: rm { Q }]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가 각각 [eqn: x_{rmP} (t) = t^2 (t^2 - 8t +18 )], [eqn: x_{rmQ} (t) = mt]일 때, 점 [eqn: rm { P }]와 점 [eqn: rm { Q }]의 속도가 같은 시각이 [eqn: 3]번 존재하도록 하는 정수 [eqn: m]의 개수는?

③

두 점 [eqn: {rmP}], [eqn: {rmQ}]의 시각 [eqn: t]에서의 속도를 [eqn: v_{rmP} (t)], [eqn: v_{rmQ} (t)]라고 하면
[eqn: v _{{rmP}} left ( t right ) =4t ^{3} -24t ^{2} +36t], [eqn: v _{{rmQ}} left ( t right ) =m]
[eqn: 4t ^{3} -24t ^{2} +36t=m]을 만족하는 서로 다른 [eqn: t]의 값이 세 개 존재해야 한다.
[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =4t ^{3} -24t ^{2} +36t]라 하면
[eqn: f`' LEFT ( t RIGHT ) =12t ^{2} -48t+36=12 LEFT ( t-1 RIGHT ) LEFT ( t-3 RIGHT )]
[eqn: f`'(t)=0]에서 [eqn: t=1] 또는 [eqn: t=3]
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =16], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: f(t)=m]의 실근이 [eqn: 3]개가 되도록 하는 [eqn: m]의 값의 범위는 [eqn: 0<m<16]
즉, 정수 [eqn: m]의 개수는 [eqn: 15]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

함수 [eqn: f(x) = 2x^3 + 6x^2 - 4]에 대하여 [eqn: lim_ { x -> 2} 1 over { x^3 - 8} int _2 ^x f(t)dt]의 값은?

④

[eqn: {rmF}(x)][eqn: = int _{} ^{} {f(x)dx}]라 하면 주어진 식은
[eqn: lim _{x-> 2} {{{rmF}(x)-{rmF}(2)} over {(x-2)(x ^{2} +2x+4)}}][eqn: = {{rmF}` prime (2)} over {12}][eqn: = {f(2)} over {12}][eqn: = 36over12][eqn: =3]

① [eqn: -6]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7]

좌표가 [eqn: -2]인 점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm { P }]의 시각 [eqn: t] ([eqn: 0 le t le 7])에서의 속도 [eqn: v(t)]의 그래프가 그림과 같을 때, 점 [eqn: rm { P }]가 원점으로부터 가장 멀리 떨어져 있을 때의 위치는?

①

[eqn: x(2)=-2+ int _{0} ^{2} {v LEFT ( t RIGHT ) dt} =-2+2=0]
[eqn: x(4)=-2+ int _{0} ^{4} {v LEFT ( t RIGHT ) dt}=-2+(-1) =-3]
[eqn: x(7)=-2+ int _{0} ^{7} {v LEFT ( t RIGHT ) dt}=-2+3 =1]
이므로 원점으로부터 가장 멀리 떨어져 있을 때의 위치는 [eqn: -3]이다.

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

삼차함수 [eqn: f(x)= x^3 -12x +a]에 대하여 함수 [eqn: {rmF}(x)= int _{0} ^{x} {} f(t)dt]가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 양수 [eqn: a]의 최솟값은?

②

[eqn: {rmF}(x)= int _{0} ^{x} {f(t)dt}]에서 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: {rmF} prime (x)=f(x)=x ^{3} -12x+a]

이때 사차함수 [eqn: F(x)]가 오직 하나의 극값을 가지려면

삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 한 점에서만 만나거나

한 점에서 만나고 다른 한 점에서 접해야 한다.

[eqn: f(x)=0]에서 [eqn: x^{ 3}-12x+a= 0]

[eqn: f`'(x) =3x ^{ 2}-12 = 3(x+2)(x-2)]

이므로 [eqn: f(-2) f(2) ge 0]

[eqn: (a+16)(a-16) ge 0]    [eqn: THEREFORE``a le -16] 또는 [eqn: a ge 16]

따라서 양수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 16]이다.

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

키가 [eqn: 2 ` rm m]인 선운이가 지면으로 부터의 높이가 [eqn: 5 ` rm m]인 가로등 바로 밑에서 출발하여 일직선으로 초속 [eqn: 1.2 ` rm m]의 속도로 걸어가고 있을 때, 선운이의 그림자의 끝이 움직이는 속도는?

②

선운이의 그림자의 길이를 [eqn: x]라 하자.

[eqn: t]초 동안 선운이가 움직인 거리는 [eqn: 1.2t`rm m]이므로 다음의 비례식이 성립한다.
[eqn: 5:(1.2t+x)=2:x], [eqn: x=0.8t]
따라서 시각 [eqn: t]에서의 가로등으로부터 그림자 끝까지의 거리는 [eqn: 2t`rm (m)]이므로 속도는 [eqn: 2][eqn: rm m/초]이다.

① [eqn: 1 ` rm m/초]	② [eqn: 2 ` rm m/초]	③ [eqn: 3 ` rm m/초]

④ [eqn: 4 ` rm m/초]	⑤ [eqn: 5 ` rm m/초]

최고차항의 계수가 음수인 삼차함수 [eqn: y =f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

③

조건 (가)와 (나)에 의해 [eqn: f(x)=a(x+2)(x-1) ^{2}]

[eqn: f(x)=k]가 음의 실근 [eqn: 2]개와 양의 실근 [eqn: 1]개를 갖도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위가 [eqn: -16<k<`-8]이려면
[eqn: f(0)=2a=-8]에서 [eqn: a=-4]

[eqn: f(x) = k]가 양의 실근 [eqn: 2]개, 음의 실근 [eqn: 1]개를 갖도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: -8<k<0]
[eqn: THEREFORE ```a ^{2} +b ^{2} =(-8) ^{2} +0 ^{2} =64]

(가) [eqn: f` prime (-1)=0]

(나) [eqn: f(1)=f` prime (1)=0]

(다) [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f(x) = k]가 음의 실근 [eqn: 2]개와 양의 실근 [eqn: 1]개를 갖도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: -16<k<`-8]이다.

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f(x) = k]가 양의 실근 [eqn: 2]개, 음의 실근 [eqn: 1]개를 갖도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: a < k < b]일 때, [eqn: a^2 + b^2]의 값은?

① [eqn: 36]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 64]

④ [eqn: 81]	⑤ [eqn: 90]

다음 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 [eqn: 6]인 정사각뿔에 내접하는 직육면체의 부피의 최댓값은?

⑤

한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정삼각형의 높이는 [eqn: 3 sqrt3]이므로 정사각뿔의 네 옆면의 꼭짓점이 만나는 점을 기준으로 두 옆면에 수직하게 자른 단면은 다음과 같다.

단면인 삼각형의 높이는 [eqn: sqrt {LEFT ( 3 sqrt {3} RIGHT ) ^{2} -3 ^{2}} =3 sqrt {2}]
직육면체가 내접하기 위해서는 밑면이 정사각형이어야 하고, 그 한 변의 길이를 [eqn: 2x]라 하면 ([eqn: 0<x<3]) 위쪽 잘린 정사각뿔의 높이는 [eqn: sqrt {2} x]가 되어 직육면체의 높이는 [eqn: LEFT ( 3-x RIGHT ) sqrt {2}]가 된다.
따라서 직육면체의 부피를 [eqn: V LEFT ( x RIGHT )]라 하면
[eqn: V LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{2} times LEFT ( 3-x RIGHT ) sqrt {2}]
[eqn: V LEFT ( x RIGHT ) =4 sqrt {2} LEFT ( -x ^{3} +3x ^{2} RIGHT )]
[eqn: V`' LEFT ( x RIGHT ) =4 sqrt {2} LEFT ( -3x ^{2} +6x RIGHT )][eqn: =-12sqrt2 x (x-2)]
[eqn: V`'(x)=0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]
열린구간 [eqn: (0,~3)]에서 함수 [eqn: V(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]
[eqn: V`` prime (x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: V(x)]		[eqn: nearrow]		[eqn: searrow]

함수 [eqn: V(x)]는 [eqn: x=2]에서 극대이자 최대이다.
따라서 부피의 최댓값은 [eqn: V LEFT ( 2 RIGHT ) =4times2 ^{2} times sqrt {2} =16 sqrt {2}]

① [eqn: 8 root 2]	② [eqn: 10 root 2]	③ [eqn: 12 root 2]

④ [eqn: 14 root 2]	⑤ [eqn: 16 root 2]

연속함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여	[eqn: int_1^ x (x - t) f(t) dt = 4x^3 - ax^2 + 2]
을 만족시킬 때, [eqn: f left( 1over 2 right )]의 값은?

③

[eqn: x int _{1} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt- int _{1} ^{x} {tf LEFT ( t RIGHT ) dt} =4x ^{3} -ax ^{2} +2}]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠]
양변에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: 0-0=4-a+2]
즉, [eqn: a=6]이다.
㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: int _{1} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt=12x ^{2} -12x}]
한 번 더 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =24x-12]
따라서 [eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =12-12=0]이다.

① [eqn: -24]	② [eqn: -12]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 24]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(0) = 0], [eqn: f( alpha ) = 0], [eqn: f ` prime ( alpha ) = 0]이고 함수 [eqn: g(x)]가 다음 두 조건을 만족시킬 때, [eqn: g left ( alpha over 4 right )]의 값은? (단, [eqn: alpha]는 양수이다.)

③
[eqn: f(x)=x(x- alpha ) ^{2}]이므로

[eqn: g(x)=xf(x)+C=x ^{2} (x- alpha ) ^{2} +C]
[eqn: g(x)]의 극댓값이 [eqn: 2]이므로 [eqn: g LEFT ( {alpha } over {2} RIGHT ) = {alpha ^{4}} over {16} +C=2]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

[eqn: g(x)]의 극솟값이 [eqn: 1]이므로 [eqn: g(0)=C=1]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

㉠, ㉡에 의해 [eqn: C=1,`` alpha =2]

[eqn: g(x)=x ^{2} (x-2) ^{2} +1]

[eqn: THEREFORE ``g LEFT ( {alpha } over {4} RIGHT ) =g LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {25} over {16}]

(가) [eqn: g ` prime (x) = f(x) + x f ` prime(x)]

(나) [eqn: g(x)]의 극댓값이 [eqn: 2]이고 극솟값이 [eqn: 1]이다.

① [eqn: {9} over {16}]	② [eqn: {21} over {16}]	③ [eqn: {25} over {16}]

④ [eqn: {33} over {16}]	⑤ [eqn: {39} over {16}]

곡선 [eqn: y = x^3 - 3x^2 + 3x] 위의 점 [eqn: (2`,`2)]에서의 접선과 이 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

②

[eqn: y` prime =3x ^{2} -6x+3]에서 구하는 접선의 기울기는 [eqn: 3]이고, 접선의 방정식은 [eqn: y=3(x-2)+2],
즉 [eqn: y=3x-4]이다.
곡선과 접선의 교점의 [eqn: x]좌표는
[eqn: x ^{3} -3x ^{2} +3x=3x-4], [eqn: (x-2) ^{2} (x+1)=0]
[eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=2]
따라서 구하는 넓이는

[eqn: int _{-1} ^{2} {LEFT | x ^{3} -3x ^{2} +4 RIGHT | dx}][eqn: =int_{-1}^2 {(x^3 -3x^2 +4)}dx][eqn: =left[ 1over4 x^4 -x^3 +4x right]_{-1}^2 = 27over4]

① [eqn: 13 over 2]	② [eqn: 27 over 4]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 29 over 4]	⑤ [eqn: 15 over 2]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n]을 다음과 같이 정의하자. [eqn: a _{n} = int _{-2n} ^{2n} {} {LEFT | `x-n` RIGHT |} over {n} dx] 수열 [eqn: left { a_n right }]에 대하여 [eqn: sum_ { n= 1} ^ 10 a_n]의 값의 십의 자리 숫자는?

④
[eqn: a _{n} = int _{-2n} ^{2n} {{LEFT | x-n RIGHT |} over {n}} dx]
[eqn: = {1} over {n} int _{-2n} ^{n} {(-x+n)dx} + {1} over {n} int _{n} ^{2n} {(x-n)dx}]
[eqn: = {1} over {n} LEFT [ - {1} over {2} x ^{2} +nx RIGHT ] _{-2n}^{n} + {1} over {n} LEFT [ {1} over {2} x ^{2} -nx RIGHT ] _{n}^{2n}]
=[eqn: = {{1} over {2} n ^{2} +4n ^{2}} over {n} + {0+ {1} over {2} n ^{2}} over {n}]
[eqn: =5n]

[eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} = sum _{n=1} ^{10} 5n=5 TIMES {10 TIMES 11} over {2} =275]이므로 [eqn: sum_ { n= 1} ^ 10 a_n]의 십의 자리의 숫자는 [eqn: 7]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

그림과 같이 곡선 [eqn: y = 3x^2 - 12x + a]와 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: rm { A }], 이 곡선과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: rm { B }], 이 곡선과 [eqn: y = a] 및 [eqn: x = 5]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: rm { C }]라 하자. [eqn: rm { A `:` B = 1`:` 2 }]일 때, [eqn: a - {rmC}]의 값은?
(단, [eqn: a]는 상수이고, [eqn: rm { A }], [eqn: rm { B }], [eqn: rm { C }]는 양수이다.)

④

[eqn: y=3(x-2) ^{2} +a-12]
[eqn: int _{0} ^{2} {LEFT ( 3x ^{2} -12x+a RIGHT ) dx} =0]이므로
[eqn: LEFT [ x ^{3} -6x ^{2} +ax RIGHT ] _{0} ^{2} =0], [eqn: 2a=16], [eqn: a=8]
곡선과 직선 [eqn: y=8]의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하면
[eqn: 3x^2 -12x+8=8]에서 [eqn: 3x(x-4)=0]
[eqn: x=0] 또는 [eqn: x=4]
[eqn: {rmC}= int _{4} ^{5} {left ( 3x ^{2} -12x right ) dx}][eqn: = LEFT [ x ^{3} -6x ^{2} RIGHT ] _{4} ^{5} =7]
[eqn: therefore][eqn: a-{rmC}=1]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[주관식]

함수 [eqn: f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c]가 [eqn: x = -1]에서 극댓값을 갖고, [eqn: x = 3]에서 극솟값 [eqn: -24]를 가질 때 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값과 극댓값을 구하시오.

(1) [eqn: a=-3]
(2) [eqn: b=-9]
(3) [eqn: c=3]
(4) 극댓값 : [eqn: 8]

[eqn: f` prime (x)=3x ^{2} +2ax+b]
[eqn: f` prime (3)=f` prime (-1)=0]이므로
[eqn: f`'(x)=3(x-3)(x+1)=3x^2 -6x-9]
[eqn: a=-3], [eqn: b=-9]
[eqn: therefore`][eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} -9x+c]
[eqn: f(3)=-24]에서 [eqn: c=3]
따라서 극댓값은 [eqn: f(-1)=8]

(1) [eqn: a]의 값

(2) [eqn: b]의 값

(3) [eqn: c]의 값

(4) 극댓값

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )=ax^3 -3x^2 + LEFT ( a+2 RIGHT )x+1]이 [eqn: x_1 <x_2]인 임의의 실수 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여 항상 [eqn: f LEFT ( x_1 RIGHT )>f LEFT ( x_2 RIGHT )]일 때, 상수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하시오.

[eqn: a`leq-3] 또는 [eqn: a`geq1]

[eqn: f` prime (x)=3ax ^{2} -6x+a+2]
함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 감소해야 하므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`'(x)leq0]이어야 한다.
따라서 [eqn: a<0]이고, [eqn: f``'(x)]의 판별식을 [eqn: D]라 하면
[eqn: {D} over {4} =9-3a(a+2) LEQ 0]에서 [eqn: 3(a+3)(a-1) ge 0]
[eqn: a`leq-3] 또는 [eqn: a`geq1]

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]에서의 위치는 각각 [eqn: t^3 -2t^2 +t+1], [eqn: -t^3 +t^2 +t-4]이다. 출발 후 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리가 최소가 되는 순간의 점 [eqn: rmP]의 속도를 구하시오.

[eqn: 0]

두 점 사이의 거리를 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]라 하면

[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = LEFT | LEFT ( t ^{3} -2t ^{2} +t+1 RIGHT ) - LEFT ( -t ^{3} +t ^{2} +t-4 RIGHT ) RIGHT |][eqn: = LEFT | 2t ^{3} -3t ^{2} +5 RIGHT |]

이때 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =2t ^{3} -3t ^{2} +5]라 하면 [eqn: f`'(t) = 6t ^{ 2}-6t=6t(t-1)]

[eqn: f`prime LEFT ( t RIGHT ) =0]에서 [eqn: t=0] 또는 [eqn: t=1]

이때 [eqn: f(t)]는 [eqn: t=1]에서 극소이자 최소이다.

따라서 점 [eqn: rmP]의 속도는 [eqn: 3t ^{2} -4t+1]이므로 [eqn: t=1]일 때의 속도는

[eqn: 3-4+1=0]

실수 전체의 집합에서 다음과 같이 정의된 함수 [eqn: y = f(x)]가 있다.
[eqn: f(x)= {cases{x&(0 LEQ x<1)#1&(1 LEQ x<3)#4-x&(3 LEQ x<4)}}], [eqn: f(x + 4) = f(x)]
실수 [eqn: t]에 대하여, [eqn: xy] 좌표평면의 두 함수 [eqn: y = f(x)], [eqn: y = -3x + t]의 그래프 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: g(t)]라 할 때, 다음 정적분의 값을 구하시오.

(1) [eqn: {26} over {3}]	(2) [eqn: 207]

[eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

구간 [eqn: [0,~4]]에서 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=-3x+t]의 교점의 [eqn: x]좌표를 구해보면

(ⅰ) [eqn: 0 LE x<1]
[eqn: x=-3x+t]에서 [eqn: x= t over4]
이때 [eqn: t]의 값은 직선 [eqn: y= -3x+t]가 점 [eqn: (0,~0)]을 지날 때 최소, 점 [eqn: (1,~1)]을 지날 때 최대이다.
즉, [eqn: 0 le t <4]

(ⅱ) [eqn: 1 le x<3]
[eqn: 1=-3x+t]에서 [eqn: x= 1over3 t - 1over3]
이때 [eqn: t]의 값은 직선 [eqn: y=-3x+t]가 점 [eqn: (1,~1)]을 지날 때 최소, 점 [eqn: (3,~1)]을 지날 때 최대이다.
즉, [eqn: 4 le t <10]

(ⅲ) [eqn: 3 le x <4]
[eqn: 4-x=-3x+t]에서 [eqn: x= 1over2 t -2]
이때 [eqn: t]의 값은 직선 [eqn: y=-3x+t]가 점 [eqn: (3,~1)]을 지날 때 최소, 점 [eqn: (4,~0)]을 지날 때 최대이다. 즉 [eqn: 10 le t<12]

따라서 [eqn: g(t)= cases{ t over4 ~&(0 le t<4)# 1over3 t - 1over3 ~&(4 le t <10)# 1over2 t -2~&(10 le t <12)]이고 [eqn: g(0)=0], [eqn: g(12)=4]이므로 [eqn: g(t)]는 [eqn: 12]를 주기로 값이 [eqn: 4]만큼 증가하는 함수이다.
즉, [eqn: g(t+12)=g(t)+4]

(1) [eqn: int _{0} ^{8} {g(t)dt}][eqn: = int _{0} ^{4} {{t} over {4} dt} + int _{4} ^{8} {LEFT ( {t} over {3} - {1} over {3} RIGHT ) dt}][eqn: = LEFT [ {t ^{2}} over {8} RIGHT ] _{0}^{4} + LEFT [ {t ^{2}} over {6} - {1} over {3} t RIGHT ] _{4}^{8}]
[eqn: =2+ {20} over {3}][eqn: = {26} over {3}]

(2) 함수 [eqn: y=g(t)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: int _{0} ^{12} {g(t)dt}][eqn: =int_0^10{g(t)}dt+int_10^12 {LEFT ( t over 2 -2 RIGHT )}dt][eqn: =14+ left[ t^2 over 4 - 2t right]_10^12]                                        [eqn: =14+7][eqn: =21]
[eqn: int _{12} ^{24} {g(t)dt} =21+ 12 times 4=69]
[eqn: int _{24} ^{36} {g(t)dt} =69+12 times 4=117]
[eqn: therefore`][eqn: int _{0} ^{36} {g(t)dt} =21+69+117=207]

(1) [eqn: int _{0} ^{8} {} g(t)dt]

(2) [eqn: int_ 0 ^40 g(t) dt]

함수 [eqn: f(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x + 8) = f(x)]를 만족시키고, [eqn: f(x)= {cases{x&(0 LEQ x LEQ 4)#{1} over {4} (x-8) ^{2} &(4 LEQ x LEQ 8)}}]일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) [eqn: 8]	(2) [eqn: {16} over {3}]	(3) [eqn: 12]

(1) [eqn: int_0^4{x}dx =LEFT [ {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{4} =8]

(2) [eqn: int_4^8 { 1over4 (x^2 -16x+64)}dx]
[eqn: =LEFT [ {1} over {12} x ^{3} -2x ^{2} +16x RIGHT ] _{4} ^{8} = {16} over {3}]

(3) [eqn: int _{-4} ^{4} {f(x)dx}][eqn: =int_{-4}^0{f(x)}dx+int_0^4{f(x)}dx]
[eqn: =int_4^8{f(x)}dx+int_0^4{f(x)}dx][eqn: =8+ 16over3][eqn: = 40 over3 = 160 over12]
[eqn: int _{-8} ^{8} {f(x)dx} `= 320 over 12], [eqn: int _{-12} ^{12} {f(x)dx} `= {480} over {12} =40]이므로
[eqn: k=12]

(1) [eqn: int_0 ^4 f(x) dx]의 값을 구하시오.

(2) [eqn: int_4 ^8 f(x) dx]의 값을 구하시오.

(3) [eqn: int _{-k} ^{k} {} f(x)dx=40]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.