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수학 Ⅱ (고2)	내신대비 모의고사	범위 : 미분-적분
		시험시간 : 50분
총 22문항 : 객관식 16, 주관식 6
		이름 :

Du kannst, denn Du sollst !	| |	용문아 수학교실

[객관식]

다항함수 [eqn: f(x)]의 도함수가 [eqn: f ` prime (x) = 3x^2 + 4x - 5]이다. [eqn: f(1) = 0]일 때, [eqn: f(2)]의 값은?

④

[eqn: f prime (x)=3x ^{2} +4x-5]이므로 [eqn: f(x)=x ^{3} +2x^2 -5x+C]이다. [eqn: f(1)=0]에서 [eqn: C=2]이다.

[eqn: f(x)=x^3 +2x^2 -5x+2]이므로 [eqn: f(2)=8]이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x^4 - 4x^2 - a > 0]가 항상 성립하도록 하는 정수 [eqn: a]의 최댓값은?

②

주어진 [eqn: 4]차식의 최솟값이 양수이면 부등식이 항상 성립한다.

[eqn: f(x)=x^4 -4x^2 -a]라 하면

[eqn: f '(x)][eqn: =4x^3 -8x]
[eqn: =4x(x^2 -2)]
[eqn: =4x(x- sqrt {2} )(x+ sqrt {2} )]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x= +- sqrt {2}]에서 최솟값을 갖는다.

[eqn: f LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) =4-8-a=-a-4]이므로

[eqn: -a-4>0]

[eqn: a<{-4}]

따라서 정수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: -5]이다.

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

함수 [eqn: f(x) = -x^3 - 5x^2 + 4]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [-1`,`2]]에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 [eqn: c]의 값은?

④

평균변화율이

[eqn: {f LEFT ( 2 RIGHT ) -f LEFT ( -1 RIGHT )} over {2- LEFT ( -1 RIGHT )} = {-24} over {3} =-8]이므로

[eqn: f`' LEFT ( c RIGHT ) =-8]이 되는 [eqn: c]를 구하면

[eqn: -3c ^{2} -10c=-8]

[eqn: 3c ^{2} +10c-8=0]

[eqn: c= {2} over {3} ,~-4]에서 주어진 구간에 있는 값은 [eqn: {2} over {3}]

① [eqn: - 2 over 3]	② [eqn: - 1 over 3]	③ [eqn: 1 over 3]

④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 4 over 3]

[eqn: y]축 위의 한 점 [eqn: (0`,`a)]에서 곡선 [eqn: y = x^3 + 6x^2 + 1]에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는?

①

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +6x ^{2} +1], 접점을 [eqn: LEFT ( t,~f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )]라 하면 [eqn: LEFT ( 0,~a RIGHT )]에서 그은 접선은

[eqn: {f LEFT ( t RIGHT ) -a} over {t-0} =f`' LEFT ( t RIGHT )]를 만족해야 한다.

[eqn: {LEFT ( t ^{3} +6t ^{2} +1 RIGHT ) -a} over {t} =3t ^{2} +12t]

[eqn: 2t ^{3} +6t ^{2} -1+a=0]

접선이 [eqn: 3]개이므로 접점도 [eqn: 3]개가 나와야 하므로

[eqn: 2t ^{3} +6t ^{2} =1-a]의 방정식이 서로 다른 세 실근을 가져야 한다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +6x ^{2}]이라 하면 [eqn: x=-2]에서 극댓값 [eqn: 8], [eqn: x=0]에서 극솟값 [eqn: 0]을 가지므로 [eqn: 0<1-a<8]이어야 서로 다른 세 실근을 갖는다.

따라서 [eqn: -7<a<1]이므로 정수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 7]개다.

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

[eqn: int_0 ^4 (x + left | ` x-3 ` right | )dx]의 값은?

②

[eqn: int _{0} ^{4} {LEFT ( x+ LEFT | x-3 RIGHT | RIGHT ) dx}][eqn: = int _{0} ^{3} {LEFT { x- LEFT ( x-3 RIGHT ) RIGHT } dx} + int _{3} ^{4} {LEFT { x+ LEFT ( x-3 RIGHT ) RIGHT } dx}]
[eqn: = int _{0} ^{3} {3} dx+ int _{3} ^{4} {LEFT ( 2x-3 RIGHT ) dx}]
[eqn: =9+ LEFT [ x ^{2} -3x RIGHT ] pile{{}^{4}#{}_{3}}]
[eqn: =13]

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x) = - f(x)]를 만족시킨다. 방정식 [eqn: left | ` f(x) ` right| = 2]의 실근의 개수가 [eqn: 4]일 때, [eqn: f(3)]의 값은?

③

주어진 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) =-f LEFT ( x RIGHT )]를 만족시키므로 기함수이고, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax] 형태이다.

[eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | =2]의 실근의 개수가 [eqn: 4]개이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값이 [eqn: 2], 극솟값이 [eqn: -2]이어야 한다.

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +a=0]에서 [eqn: x= sqrt {- {a} over {3}}]일 때 극솟값 [eqn: -2]를 갖는다. 따라서 [eqn: f LEFT ( sqrt {- {a} over {3}} RIGHT ) =-2]에서

[eqn: - {a} over {3} sqrt {- {a} over {3}} +a sqrt {- {a} over {3}} =-2]

[eqn: {2} over {3} a sqrt {- {a} over {3}} =-2]

[eqn: {1} over {9} a ^{2} LEFT ( - {a} over {3} RIGHT ) =1]

[eqn: a ^{3} =-27]

[eqn: a=-3]

그러므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -3x]이고 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =18]

① [eqn: 9]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 27]

삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때 [eqn: 3 alpha]의 값은?

①

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d]라 하면

조건 (가)에 의하여 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0,~f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: c=0], [eqn: d=0]이다.

조건 (나)에 의하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =5,~f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =11]이므로

[eqn: a+b=5,~3a+2b=11]이다.

위 두 식을 연립하면

[eqn: a=1,~b=4]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +4x ^{2}]이다.

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +8x=3x LEFT ( x+ {8} over {3} RIGHT )]이므로 [eqn: x=- {8} over {3}]에서 극댓값을 갖는다.

따라서 [eqn: 3alpha=-8]

(가) [eqn: lim_ { x -> 0 } f(x) over x = 0]

(나) [eqn: lim _ { x-> 1 } { f(x) - 5} over {x - 1} = 11]

(다) [eqn: f(x)]는 [eqn: x = alpha]에서 극대이다.

① [eqn: -8]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -6]

④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: -4]

반지름의 길이가 [eqn: R]인 구에 내접하는 원뿔의 부피가 최대일 때, 원뿔의 높이를 [eqn: h_1], 같은 크기의 구에 내접하는 원기둥의 부피가 최대일 때 원기둥의 높이를 [eqn: h_2]라 하자. [eqn: h_2 over h_1]의 값은?

④

원뿔의 부피가 최대가 되려면 원뿔의 높이가 구의 중심을 지나야한다. 밑면의 반지름 길이를 [eqn: r], 높이를 [eqn: h]라 하면 부피는 [eqn: {1} over {3} {pi}r ^{2} h]이고, 닮음비에 의하여 [eqn: r ^{2} =2Rh-h ^{2}]이므로

[eqn: {1} over {3} pi h LEFT ( 2Rh-h ^{2} RIGHT ) = {pi } over {3} LEFT ( -h ^{3} +2Rh ^{2} RIGHT )]이다.

[eqn: V LEFT ( h RIGHT ) = {pi } over {3} LEFT ( -h ^{3} +2Rh ^{2} RIGHT )]라 하면

[eqn: V`` prime LEFT ( h RIGHT ) = {pi } over {3} LEFT ( -3h ^{2} +4Rh RIGHT ) =0]에서 [eqn: h= {4} over {3} R]일 때 최대이므로

[eqn: h _{1} = {4} over {3} R]이다.

같은 방법으로 원기둥의 반지름 길이를 [eqn: r], 높이를 [eqn: h]라 하면 부피는 [eqn: {pi}r ^{2} h]이고 [eqn: R ^{2} =r ^{2} + {h ^{2}} over {4}]에서

[eqn: V LEFT ( h RIGHT ) ={pi} LEFT ( R ^{2} - {h ^{2}} over {4} RIGHT ) h={pi} LEFT ( - {1} over {4} h ^{3} +R ^{2} h RIGHT )]이다

[eqn: V``' LEFT ( h RIGHT ) =pi LEFT ( - {3} over {4} h ^{2} +R ^{2} RIGHT ) =0]에서 [eqn: h= {2} over {sqrt {3}} R]일 때 최대이므로

[eqn: h _{2} = {2} over {sqrt {3}} R]

따라서 [eqn: {h _{2}} over {h _{1}} = {{2} over {sqrt {3}} R} over {{4} over {3} R} = {sqrt {3}} over {2}]

① [eqn: root 2 over 3]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: root 2 over 2]

④ [eqn: root 3 over 2]	⑤ [eqn: root 5 over 3]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 그 도함수 [eqn: f ` prime (x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, 닫힌구간 [eqn: [0`,`4]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은?

③

주어진 조건에 의해서

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =3], [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =f`' LEFT ( 3 RIGHT ) =0]이므로 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 극대, [eqn: x=3]에서 극소를 갖는다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +bx+c], [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]에서

[eqn: a=-6,~b=9]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -6x ^{2} +9x+c]이다.

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =3]을 대입하면 [eqn: c=-1]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -6x ^{2} +9x-1]이다.

따라서 주어진 구간 [eqn: LEFT [ 0,~4 RIGHT ]]에서의 최댓값은 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) =3]이다.

[eqn: lim_ { x -> 1 } { f(x) - 3} over {x - 1} = f ` prime (3) = 0]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x) = 1 over n x^ { n+1}]에 대하여 [eqn: A_n = int_ -1 ^1 f(x) dx]이다. [eqn: A_1 + A_2 + A_3 + cdots + A_20]의 값은? (단, [eqn: n]은 자연수이다.)

⑤

[eqn: n]이 홀수이면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 우함수, [eqn: n]이 짝수이면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 기함수이므로

[eqn: A _{2k-1} =2 int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}], [eqn: A _{2k} =0] (단, [eqn: k]는 자연수)

따라서

[eqn: A _{1} +A _{2} +A _{3} +`cdots`+A _{20} =A _{1} +A _{3} +`cdots`+A _{19}]이고

[eqn: A _{2k-1} =2 int _{0} ^{1} {{1} over {2k-1} x ^{2k}} dx= {2} over {LEFT ( 2k+1 RIGHT ) LEFT ( 2k-1 RIGHT )}]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{10} {2} over {LEFT ( 2k+1 RIGHT ) LEFT ( 2k-1 RIGHT )}][eqn: =2 sum _{k=1} ^{10} {1} over {-2} LEFT ( {1} over {2k+1} - {1} over {2k-1} RIGHT )]
[eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( {1} over {2k-1} - {1} over {2k+1} RIGHT )]
[eqn: =1- {1} over {21}]
[eqn: = {20} over {21}]

① [eqn: 4 over 7]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: 16 over 21]

④ [eqn: 6 over 7]	⑤ [eqn: 20 over 21]

수직선 위의 원점에서 동시에 출발하여 [eqn: 6]초 동안 움직이는 두 점 [eqn: P], [eqn: Q]의 시각 [eqn: t(0 le t le 6)]에서의 위치가 각각 [eqn: t^3 - 7t^2], [eqn: 2t^2 - 15t]이다. 출발 후 두 점 [eqn: P], [eqn: Q] 사이의 거리가 가장 멀리 떨어져 있는 순간의 점 [eqn: P]의 속도는?

①

거리가 가장 멀리 떨어진 순간은 위치의 차이가 가장 클 때이므로

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = LEFT ( t ^{3} -7t ^{2} RIGHT ) - LEFT ( 2t ^{2} -15t RIGHT )][eqn: =t ^{3} -9t ^{2} +15t]라 하면 [eqn: 0{le}t{le}6]에서 [eqn: LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |]의 최댓값과 같다.

[eqn: f`' LEFT ( t RIGHT ) =3t ^{2} -18t+15=0]에서 [eqn: t=1]일 때 극댓값 [eqn: 7], [eqn: t=5]일 때 극솟값 [eqn: -25]이므로 [eqn: LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |]의 최댓값은 [eqn: t=5]일 때이다.

점 [eqn: P`]의 속도는 [eqn: 3t ^{2} -14t]이므로 [eqn: t=5]에서의 속도는 [eqn: 5]이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 25]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: P]의 시각 [eqn: t] [eqn: (0 LEQ t LEQ 6)]에서의 속도 [eqn: v(t)]의 그래프가 그림과 같을 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고르면?

③

ㄱ. [eqn: t]가 [eqn: 0]에서 [eqn: 4]까지 움직인 거리는 사다리꼴 넓이와 같으므로 [eqn: 6]이고 [eqn: 4]에서 [eqn: 6]까지 움직인 거리는 삼각형 넓이와 같으므로 [eqn: 1]이다. 따라서 전체 움직인 거리는 [eqn: 7]이다. (참)

ㄴ. [eqn: t]가 [eqn: 0]에서 [eqn: 4]까지는 양의 방향으로 [eqn: 6]만큼, [eqn: t]가 [eqn: 4]에서 [eqn: 5]까지는 음의 방향으로 [eqn: {1} over {2}]만큼 움직였으므로 위치의 변화량은 [eqn: {11} over {2}]이다. (거짓)

ㄷ. 원점에서 가장 멀리 떨어져있는 경우는 [eqn: t=4]일 때 이므로 원점과의 거리는 [eqn: 6]이다. (참)

		| 보기 |
	ㄱ. 시간 [eqn: t = 0]에서 [eqn: t = 6]까지 점 [eqn: P]의 움직인 거리는 [eqn: 7]이다. ㄴ. 시간 [eqn: t = 0]에서 [eqn: t = 5]까지 점 [eqn: P]의 위치의 변화량은 [eqn: 13 over 2]이다. ㄷ. 점 [eqn: P]가 원점으로부터 가장 멀리 떨어져 있을 때 원점과 점 [eqn: P]사이의 거리는 [eqn: 6]이다.
용문아수학방

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x) = f(x)], [eqn: g(-x) = - g(x)]를 만족시킨다. 함수 [eqn: h(x) = f(x) g(x)], [eqn: int _{0} ^{1} {} xh(x)dx=8]에 대하여 [eqn: int _{-1} ^{1} {} (x ^{2} +4x-3)h` prime (x)dx=-152]일 때, [eqn: h(1)]의 값은?

①

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 우함수, [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 기함수이므로 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 기함수, [eqn: h`' LEFT ( x RIGHT )]는 우함수, [eqn: xh LEFT ( x RIGHT )]는 우함수, [eqn: x ^{2} h LEFT ( x RIGHT )]는 기함수이다.

[eqn: left{ LEFT. x ^{2} h LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } prime =2xh LEFT ( x RIGHT ) +x ^{2} h prime LEFT ( x RIGHT )]이므로

[eqn: int _{-1} ^{1} {x ^{2} h LEFT ( x RIGHT ) dx=}][eqn: int _{-1} ^{1} {2xh LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{-1} ^{1} {x ^{2} h' LEFT ( x RIGHT ) dx}]

[eqn: 0=][eqn: 4 int _{0} ^{1} {xh LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: + int _{-1} ^{1} {x ^{2} h prime LEFT ( x RIGHT ) dx}]

[eqn: =32][eqn: + int _{-1} ^{1} {x ^{2} h prime LEFT ( x RIGHT ) dx}]

에서 [eqn: int _{-1} ^{1} {x ^{2} h prime LEFT ( x RIGHT ) dx} =-32]

[eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT ( x ^{2} +4x-3 RIGHT ) h`' LEFT ( x RIGHT )} dx][eqn: = int _{-1} ^{1} {LEFT { x ^{2} `h prime LEFT ( x RIGHT ) +4x`h prime LEFT ( x RIGHT ) -3h prime LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} dx]
[eqn: = int _{-1} ^{1} {LEFT { x ^{2} `h' LEFT ( x RIGHT ) -3h' LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} dx]

[eqn: = int _{-1} ^{1} {x ^{2} h prime LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: -6 int _{0} ^{1} {h' LEFT ( x RIGHT ) dx}]
[eqn: =-32-6h LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =-152]

[eqn: THEREFORE ``h LEFT ( 1 RIGHT ) =20]

① [eqn: 20]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 60]

그림과 같이 이차함수 [eqn: f(x) = x^2 - 4x + k] ([eqn: 0 < k < 4])에 대하여 곡선 [eqn: y = f(x)]와 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_1], 곡선 [eqn: y = f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_2]라 할 때, [eqn: S_1 = S_2]이다. 함수 [eqn: g(x) = int_ 0 ^x f(t) dt]라 할 때, [eqn: g(1)]의 값은?

①

[eqn: x ^{2} -4x+k=0]의 두 실근을 [eqn: alpha,~beta] [eqn: LEFT ( alpha<beta RIGHT )]라 하면

[eqn: beta ^{2} -4beta+k=0] [eqn: cdots] ㉠

이고 [eqn: S _{1} =S _{2}]에 의하여 [eqn: int _{0} ^{beta} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =0]이다.

[eqn: int _{0} ^{beta} {LEFT ( x ^{2} -4x+k RIGHT ) dx}][eqn: = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -2x ^{2} +kx RIGHT ] pile{{}^{beta}#{}_{0}}]
[eqn: = {1} over {3} beta ^{3} -2 beta ^{2} +k beta =0] [eqn: cdots] ㉡

[eqn: beta!=0]이므로 ㉡의 식을 정리하면

[eqn: beta ^{2} -6beta+3k=0] [eqn: cdots] ㉢

㉠, ㉢을 연립하면

[eqn: 2beta=2k]

[eqn: beta=k]

㉠에 의하여

[eqn: beta ^{2} -4beta+beta=0]

[eqn: beta ^{2} -3beta=0]

[eqn: beta LEFT ( beta-3 RIGHT ) =0]

[eqn: beta=3~ LEFT ( because~beta>0 RIGHT )]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4x+3]이다.

[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) = int _{0} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =S _{1} =S _{2}]이므로

[eqn: S _{2} = {1} over {6} LEFT ( 3-1 RIGHT ) ^{3} = {4} over {3}]

① [eqn: 4 over 3]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 8 over 3]

④ [eqn: 10 over 3]	⑤ [eqn: 4]

다항함수 [eqn: f(x) = -3x^4 + 8x^3 + 6x^2 - 24x]와 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: x ge t]에서 [eqn: f(x)]의 최댓값을 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t = a]에서 미분가능하지 않을 때, [eqn: int_ a ^2 g(t) dt = {-b^2 + b root 10 } over 3]이다. 이때, [eqn: b]의 값은?

⑤

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =-12x ^{3} +24x ^{2} +12x-24]
[eqn: =-12 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT )]

이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=-1]에서 극대이자 최댓값인 [eqn: 19],

[eqn: x=1]에서 극솟값인 [eqn: -13], [eqn: x=2]에서 극댓값인 [eqn: -8]을 갖는다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-8]인 지점을 구해보면 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( 3x ^{2} +4x-2 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: a= {-2+ sqrt {10}} over {3}]이다.

따라서 [eqn: int _{a} ^{2} {g LEFT ( t RIGHT ) dt} = LEFT ( 2-a RIGHT ) times LEFT ( -8 RIGHT )]이므로

[eqn: LEFT ( 2- {-2+ sqrt {10}} over {3} RIGHT ) LEFT ( -8 RIGHT ) = {-64+8 sqrt {10}} over {3}]이다.

따라서 [eqn: b=8]이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대해 [eqn: f ` prime (x) = x^2 + ax]이고 닫힌구간 [eqn: [-1`,`3]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값과 최솟값의 차가 [eqn: 22]일 때, [eqn: 0 < a < 3]을 만족하는 상수 [eqn: a]의 값은?

⑤

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +ax=x LEFT ( x+a RIGHT )]에서 [eqn: x=-a]에서 극대, [eqn: x=0]에서 극소를 갖는다. 극댓값과 같은 함숫값이 나오는 지점이 [eqn: x= {a} over {2}]인데 [eqn: 0<a<3]이므로 [eqn: {a} over {2} <3]이다. 따라서 구간 [eqn: LEFT [ -1,~3 RIGHT ]]에서의 최댓값은 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )], 최솟값은 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} x ^{3} + {a} over {2} x ^{2} +C], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT ) =22]이므로

[eqn: LEFT ( 9+ {9} over {2} a+C RIGHT ) -C=22]

[eqn: a= {26} over {9}]

① [eqn: 20 over 9]	② [eqn: 22 over 9]	③ [eqn: 23 over 9]

④ [eqn: 25 over 9]	⑤ [eqn: 26 over 9]

[주관식]

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: P], [eqn: Q]가 출발한지 [eqn: t]초 후의 속도 [eqn: v_P (t)], [eqn: v_Q (t)]가 각각 [eqn: v_P (t) = 4t + 2], [eqn: v_Q (t) = 2t +4]이고, 점 [eqn: P]는 원점, 점 [eqn: Q]는 좌표가 [eqn: 3]인 점에서 동시에 같은 방향으로 출발한다. 다음 물음에 답하여라.

(1) [eqn: x _{P} LEFT ( t RIGHT ) =2t ^{2} +2t], [eqn: x _{Q} LEFT ( t RIGHT ) =t ^{2} +4t+3]
(2) [eqn: a=3]

(1) [eqn: P`]는 원점에서 출발했으므로 [eqn: x _{p} LEFT ( 0 RIGHT ) =0]
[eqn: Q`]는 [eqn: 3]에서 출발했으므로 [eqn: x _{Q} LEFT ( 0 RIGHT ) =3]이므로
[eqn: x _{P} LEFT ( t RIGHT ) =2t ^{2} +2t], [eqn: x _{Q} LEFT ( t RIGHT ) =t ^{2} +4t+3]

(2) 두 점이 만나면 위치가 같아야하므로
[eqn: 2t ^{2} +2t=t ^{2} +4t+3]
[eqn: t ^{2} -2t-3=0]
[eqn: t=3]이므로 [eqn: a=3]이다.

(1) 두 점 [eqn: P], [eqn: Q]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x_P (t)], [eqn: x_Q (t)]를 각각 구하여라.

(2) 출발한 지 [eqn: a]초 후에 두 점 [eqn: P], [eqn: Q]가 만날 때, [eqn: a]의 값을 구하여라.

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x) = 3x^2 - 2x + int_0 ^k f(t) dt]이고, [eqn: f(1) = -3]을 만족시키는 모든 [eqn: k]의 값을 구하여라.

[eqn: -2,``1,``2]

[eqn: int _{0} ^{k} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =m]이라 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -2x+m]이고 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =-3]에서

[eqn: -3=3-2+m]

[eqn: m=-4]이다.

[eqn: int _{0} ^{k} {LEFT ( 3x ^{2} -2x-4 RIGHT ) dx} =-4]

[eqn: LEFT [ x ^{3} -x ^{2} -4x RIGHT ] pile{{}^{k}#{}_{0}} =-4]

[eqn: k ^{3} -k ^{2} -4k+4=0]

[eqn: LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k-2 RIGHT ) LEFT ( k+2 RIGHT ) =0]

[eqn: k=1,~2,~-2]

곡선 [eqn: y = 1 over 4 x^4 + 2x + 1] 위의 한 점 [eqn: P]와 두 점 [eqn: O (0`,`0)], [eqn: A(1`,`1)]에 대해 삼각형 [eqn: OAP]의 넓이의 최솟값을 구하여라.

[eqn: {1} over {8}]

삼각형 [eqn: rmOAP]의 넓이가 최소가 되려면 높이가 가장 작아야 한다. [eqn: {bar{rmOA}}= sqrt {2}]이고 높이가 최소가 될 때는 [eqn: rmP]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 1]이어야 하므로

[eqn: x ^{3} +2=1]

[eqn: x=-1]

점 [eqn: rmP]가 [eqn: LEFT ( -1,~- {3} over {4} RIGHT )]이므로 [eqn: y=x]까지의 거리

[eqn: {LEFT | -1+ {3} over {4} RIGHT |} over {sqrt {2}} = {sqrt {2}} over {8}]이므로

넓이는 [eqn: {1} over {2} times {sqrt {2}} over {8} times sqrt {2} = {1} over {8}]

삼차함수 [eqn: f(x) = - 2x^3 + 3ax^2 + 2a^2 + a]와 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y = f(x)]와 직선 [eqn: y = t]가 만나는 점의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. [eqn: g(4) = 2]가 성립하도록 하는 정수 [eqn: a]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a != 0])

[eqn: a=1]

[eqn: f '(x)=-6x^{2}+6ax][eqn: =-6x(x-a)]이므로

[eqn: x=0,~a~(a!=0)]에서 극값을 갖는다.

삼차함수가 상수함수와 만나는 교점이 [eqn: 2]개가 되려면 상수함수가 극값을 지나야하므로 극댓값 또는 극솟값이 [eqn: 4]가 되어야 한다.

따라서 [eqn: f(0)=f(a)=4]이다.

(ⅰ) [eqn: f(0)=2a^{2}+a=4]
[eqn: 2a^{2}+a-4=0]
[eqn: a= {-1 +- sqrt {33}} over {4}]이므로 정수가 아니다.

(ⅱ) [eqn: f(a)=][eqn: a^{3}+2a^{2}+a-4=0]
[eqn: (a-1)(a ^{2} +3a+4)=0]
정수 [eqn: a]의 값은 [eqn: 1]이다.

따라서 [eqn: a=1]

다음은 두 곡선 [eqn: y = x^3 - 2x]과 [eqn: y = ax^2]으로 둘러싸인 도형의 넓이가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 [eqn: a]의 값을 구하고, 그 때의 넓이를 구하는 과정이다. 풀이과정 없이 (가)~(라)에 알맞은 [eqn: a]에 관한 식을 쓰고, (마), (바)에 알맞은 수를 쓰시오.

(가) [eqn: a ^{2} +4], (나) [eqn: a ^{3} +6a], (다) [eqn: a ^{4} +8a ^{2} +8],
(라) [eqn: {a ^{4}} over {12} +a ^{2} +2], (마) [eqn: 6], (바) [eqn: 146]

(가) [eqn: alpha^{2}+beta^{2}=(alpha+beta)^{2}-2alphabeta=a^{2}+4]

(나) [eqn: alpha^{3}+beta^{3}=(alpha+beta)^{3}-3alphabeta(alpha+beta)=a^{3}+6a]

(다) [eqn: alpha^{4}+beta^{4}=(alpha^{2}+beta^{2})^{2}-2(alphabeta)^{2}=(a^{2}+4)^{2}-8][eqn: =a^{4}+8a^{2}+8]

(라) [eqn: int _{alpha} ^{0} {LEFT ( x ^{3} -ax ^{2} -2x RIGHT ) dx} + int _{0} ^{beta} {(-x ^{3}} +ax ^{2} +2x)dx]
[eqn: = LEFT [ {1} over {4} alpha ^{4} - {a} over {3} alpha ^{3} - alpha ^{2} RIGHT ] pile{{}^{0}#{}_{alpha }}][eqn: + LEFT [ - {1} over {4} beta ^{4} + {a} over {3} beta ^{3} + beta ^{2} RIGHT ] pile{{}^{beta}#{}_{0}}]
[eqn: =- {1} over {4} (alpha^{4}+beta^{4})+ {a} over {3} (alpha^{3}+beta^{3})+(alpha^{2}+beta^{2})]
[eqn: =- {1} over {4} (a^{4}+8a^{2}+8)+ {a} over {3} (a^{3}+6a)+(a^{2}+4)]
[eqn: = {1} over {12} a^{4}+a^{2}+2]

(마) [eqn: {1} over {12} a ^{4} +a ^{2} +2]가 자연수가 되려면 [eqn: a ^{4}]이 [eqn: 12]의 배수가 되어야 하므로 [eqn: a]가 [eqn: 2,~3]의 인수를 포함하고 있어야 한다. 따라서 가장 작은 자연수 [eqn: a=6]이다.

(바) [eqn: {1} over {12} a ^{4} +a ^{2} +2]에 [eqn: a=6]을 대입하면 [eqn: 146]

두 곡선의 교점을 구해보자.

[eqn: x^3 - 2x = ax^2], [eqn: x (x^2 - ax - 2) = 0].

[eqn: x = 0]을 제외한 두 곡선이 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하자. 즉 [eqn: x^2 - ax - 2 = 0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 [eqn: alpha^2 + beta^2 = ( ~~~(가)~~~ )], [eqn: alpha^3 + beta ^3 = ( ~~~(나)~~~ )], [eqn: alpha^4 + beta^4 = ( ~~~ (다)~~~)]이다.

두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: (~~~(라)~~~)]이다. 이 넓이가 자연수가 되도록 하는 가장 작은 자연수 [eqn: a = ( ~(마)~)]이고, 그 때의 넓이는 [eqn: (~~(바)~~)]이다.

함수 [eqn: f(x) = cases { px ( x^2 - 3) ~ (x < 0) # -x ( x^2 - p) ` ( x ge 0)]는 [eqn: x = alpha]에서 극솟값을 갖는다. [eqn: f( alpha ) = f ( beta )]이고 [eqn: left | ` alpha - beta ` right | = 2]를 만족하는 실수 [eqn: beta]가 적어도 하나 존재할 때 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값을 구하여라. (단, [eqn: alpha != 0])

[eqn: -2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=0]이 아닌 지점에서 극솟값을 갖기 위해서는 [eqn: p<0]이어야 한다. [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =px LEFT ( x ^{2} -3 RIGHT )]에서 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3p LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT )]이므로 [eqn: x=-1]에서 극솟값 [eqn: 2p]를 갖는다. [eqn: LEFT | alpha-beta RIGHT | =2]를 만족하는 실수 [eqn: beta]가 존재하므로 [eqn: beta=1] [eqn: LEFT ( because~alpha=-1 RIGHT )]이고, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2p]이어야 한다.

[eqn: - LEFT ( 1-p RIGHT ) =2p]

[eqn: p=-1]

따라서 극솟값은 [eqn: 2p=-2]이다.