[eqn: LEFT ( {5} over {root {3} of {25}} RIGHT ) ^{{3} over {2}}] 의 값은? [2점]

2025 대학수학능력시험 6월 모의고사

제 2 교시      수학 영역

④

[eqn: LEFT ( {5} over {root {3} of {25}} RIGHT ) ^{{3} over {2}} = LEFT ( {5} over {5 ^{{2} over {3}}} RIGHT ) ^{{3} over {2}} = LEFT ( 5 ^{1- {2} over {3}} RIGHT ) ^{{3} over {2}} = LEFT ( 5 ^{{1} over {3}} RIGHT ) ^{{3} over {2}} = sqrt {5}]

① [eqn: {1} over {5}]   ② [eqn: {sqrt {5}} over {5}]   ③ [eqn: 1]   ④ [eqn: sqrt {5}]   ⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +x+2]에 대하여

[eqn: lim _{h` -> `0} {` {f(2+h)-f(2)} over {h}}]의 값은? [2점]

⑤

[eqn: lim _{h` -> `0} {` {f(2+h)-f(2)} over {h}} =`f`'(2)] 구하기

[eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`'(x)=2x+1`,`` THEREFORE `f``'(2)=5]

① □    ② □    ③ 3    ④ 4    ⑤ 5

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT ( a _{k} +1 RIGHT ) =9] 이고, [eqn: a _{6} =4] 일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{6} a _{k}]의 값은? [3점]

③

① 6    ② 7    ③ 8    ④ 9    ⑤ 10

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim _{x`-> 0+} {`f(x)} + lim _{x-> 1-} {`f(x)}]의 값은? [3점]

[eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT ( a _{k} +1 RIGHT ) =S _{5} +5=9] 이고, [eqn: a _{6} =4] 이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{6} a _{k} =S _{6} =S _{5} +a _{6} =9+4=13]

③

[eqn: lim _{x` -> 0+} {`f(x)} =2`,] [eqn: lim _{x -> 1-} {`f(x)} =1] 이므로

[eqn: lim _{x` -> 0+} {`f(x)} + lim _{x -> 1-} {`f(x)} =2+1=3]

① □    ② □    ③ 3    ④ 4    ⑤ 5

함수 [eqn: f(x)=(x ^{2} -1)(x ^{2} +2x+2)]에 대하여

[eqn: f`'(1)]의 값은? [3점]

⑤

[eqn: f(x)=(x ^{2} -1)(x ^{2} +2x+2)] 에서

[eqn: f`'(x)=2x(x ^{2} +2x+2)+(x ^{2} -1)(2x+2)]

[eqn: f` prime (1)=2(1+2+2)+0=10]

① 6    ② 7    ③ 8    ④ 9    ⑤ 10

[eqn: pi < theta < {3} over {2} pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: sin LEFT ( theta - {pi } over {2} RIGHT ) = {3} over {5}]일 때,

[eqn: sin theta]의 값은? [3점]

①

① [eqn: - {4} over {5}]   ② [eqn: - {3} over {5}]   ③ [eqn: {3} over {5}]   ④ [eqn: {3} over {4}]   ⑤ [eqn: {4} over {5}]

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: x ^{3} -3x ^{2} -9x+k=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은? [3점]

[eqn: sin LEFT ( theta - {pi } over {2} RIGHT ) =-sin LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) =-cos theta = {3} over {5}]

즉, [eqn: cos theta =- {3} over {5}] 이다. 따라서 [eqn: sin theta =- {4} over {5}]

④

[eqn: x ^{3} -3x ^{2} -9x+k=0] 에서 [eqn: -x ^{3} +3x ^{2} +9x=k]

[eqn: f(x)=-x ^{3} +3x ^{2} +9x] 로 두면  방정식 [eqn: f(x)=k] 풀기

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} -6x-9] , [eqn: f` prime (x)=0``]에서 [eqn: x=-1`,`3]

즉, [eqn: f(x)]의 극값이 [eqn: k]와 같다.

[eqn: f(1)=k _{1}] 이라 하면 [eqn: k _{1} =1+3-9=-5 CDOTS ㉠]

[eqn: f(3)=k _{2}] 이라 하면[eqn: k _{2} =-27+27+27=27 CDOTS ㉡]

따라서 모든 [eqn: k]값의 합은 [eqn: 27-5=22]

① 13    ② 16    ③ 19    ④ 22    ⑤ 25

[eqn: a _{1} `a _{2} <0]인  등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{6} =16,] [eqn: 2a _{8} -3a _{7} =32]일 때, [eqn: a _{9} +a _{11}]의 값은? [3점]

①

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1} `a _{2} <0] 에서  [eqn: r<0] 이다.

[eqn: a _{6} =16] 이고 [eqn: 2a _{8} -3a _{7} =32]에서 [eqn: 32r ^{2} -48r=32]

[eqn: 2r ^{2} -3r-2=0`,`(2r+1)(r-2)=0] [eqn: ,` THEREFORE r=- {1} over {2} CDOTS ㉠]

[eqn: a _{9} +a _{11} =16r ^{3} (1+r ^{2} )=-2 LEFT ( 1+ {1} over {4} RIGHT ) =- {5} over {2}]

① [eqn: - {5} over {2}]   ② [eqn: - {3} over {2}]   ③ [eqn: - {1} over {2}]   ④ [eqn: {1} over {2}]   ⑤ [eqn: {3} over {2}]

함수

[eqn: f(x)= {cases{`x- {1} over {2}&```(x<0)#eqalign{# `-x ^{2} +3# }&eqalign{# ```(x GEQ 0)# }}}]

에 대하여 함수 [eqn: LEFT ( `f(x)+a RIGHT ) ^{2}]이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 □의 값은? [4점]

③

[eqn: g(x)= LEFT ( `f(x)+a RIGHT ) ^{2}] 라 하면

[eqn: g(0+)=g(0-)] 이므로

[eqn: LEFT ( - {1} over {2} +a RIGHT ) ^{2} =(3+a) ^{2}] 에서

[eqn: 2a+ {5} over {2} =0`,` THEREFORE `a=- {5} over {4}]

① [eqn: - {9} over {4}]   ② [eqn: - {7} over {4}]   ③ [eqn: - {5} over {4}]   ④ [eqn: - {3} over {4}]   ⑤ [eqn: - {1} over {4}]

다음 조건을 만족시키는 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 넓이가 [eqn: 9 pi]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는?                                 [4점]

⑤

[eqn: rmTRIANGLE ABC] 의 외접원의 반지름 [eqn: R=3] 이고

[eqn: sin]법칙 [eqn: {a} over {sinA} =6= {b} over {sinB}] 에서

[eqn: sinA= {a} over {6} `,`sinB= {b} over {6}] 이다.

조건 (가)에서 [eqn: {a} over {2} = {b} over {3}] 이므로 [eqn: a=2k`,`b=3k CDOTS ㉠]

조건 (나)에서 [eqn: rm cos`B=`rmcosC] 이므로 [eqn: rm B=C CDOTS ㉡]

즉, [eqn: rmTRIANGLE ABC]는  [eqn: b=c=3k]인 이등변 삼각형

따라서 [eqn: rmTRIANGLE ABC]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= {1} over {2} ·2k·3k·rmsinB` CDOTS ㉢]

[eqn: cos`B= {13k ^{2} -9k ^{2}} over {12k ^{2}} = {1} over {3} `] 이므로 [eqn: sinB= {2 sqrt {2}} over {3} ` CDOTS ㉣]

[eqn: {b} over {sinB} =6```,``b=6`·sinB=6 TIMES {2 sqrt {2}} over {3} =4 sqrt {2}]

즉, [eqn: 3k=`4 sqrt {2} ``]이므로 [eqn: k= {4 sqrt {2}} over {3} ` CDOTS ㉤]

[eqn: ㉢`,`㉣,㉤] 에서 [eqn: S=][eqn: 3k ^{2} · rm sinB= {64} over {9} sqrt {2}]

(가) [eqn: 3`sinA=2sinB]

(나) [eqn: cosB=cosC]

① [eqn: {32} over {9} sqrt {2}]      ② [eqn: {40} over {9} sqrt {2}]      ③ [eqn: {16} over {3} sqrt {2}]

④ [eqn: {56} over {9} sqrt {2}]      ⑤ [eqn: {64} over {9} sqrt {2}]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f(0)=0]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x`-> `a} {` {f(x)-1} over {x-a}} =3] 을 만족시킨다. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (a`,`f(a))]에서의 접선의 [eqn: y]절편이 [eqn: 4]일 때, [eqn: f(1)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)                                        [4점]

⑤

주어진 극한에서 [eqn: f(a)=1`,`f`'(a)=3` CDOTS ㉠]

접선의 방정식을 구하면 [eqn: y-1=3(x-a)`] 이고

접선의 [eqn: y]적편은 [eqn: 4=-3a+1`,`` THEREFORE `a=-1` CDOTS ㉡]

즉, 최고차항의 계수가 [eqn: 1] 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: f(0)=0`,`f(-1)=1`,`f`'(-1)=3`,`]이다.

[eqn: f(x)=x(x ^{2} +px+q)]

[eqn: f`'(x)=x ^{2} +px+q+x(2x+p)]

[eqn: f`'(-1)=1-p+q+2-p=3] : [eqn: 2p-q=0 CDOTS ㉢]

[eqn: f(-1)=-1+p-q=1`:] [eqn: p-q=2` CDOTS ㉣]

[eqn: ㉢`,`㉣]을 연립하면 [eqn: p=-2`,`q=-4` CDOTS ㉤] 이다.

따라서 [eqn: f(1)=1+p+q=-5]

① [eqn: -1]  ② [eqn: -2]   ③ [eqn: -3]   ④ [eqn: -4]   ⑤ [eqn: -5]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=1-2 ^{-x}] 위의 제 [eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2 ^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rmB]라 하자. 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 곡선 □□□□과 만나는 점을 [eqn: rmC,] 점 [eqn: rmC]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=1-2 ^{-x}]과 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: rm {bar{AB}} =2 {bar{CD}}]일 때, 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는?

[4점]

③

[eqn: {BOX{````1st````}} `] 각각의 점 [eqn: A`,`B`,`C`,`D]의 좌표를 표현하면

[eqn: A(a`,`1-2 ^{-a} )`,`B(a`,`2 ^{`a} )`,`C(b`,`2 ^{b} )`,`D(b`,`1-2 ^{`-b} )]

점 [eqn: A`,`C]는 [eqn: y]좌표가 같다. : [eqn: 2 ^{b} =1-2 ^{`-a} ` CDOTS ㉠]

[eqn: rm {bar{AB`}} =][eqn: 2 ^{a} -(1-2 ^{-a} )=2 ^{a} -2 ^{b}]

[eqn: rm {bar{CD`}} =][eqn: (1-2 ^{-a} )-(1-2 ^{-b} )=2 ^{-b} -2 ^{-a}]

[eqn: {BOX{````2nd````}}] [eqn: rm {bar{AB}} =2 {bar{CD}}] 이므로 [eqn: rm {bar{AB}} =][eqn: 2k`,] [eqn: rm {bar{CD}} =][eqn: k] 로 두면

[eqn: 2 ^{a} -2 ^{b} =2k`,`][eqn: 2 ^{-b} -2 ^{-a} =k`` CDOTS ㉡] 이다.

사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는 [eqn: {3} over {2} (a-b)k CDOTS ㉢] 이다.

[eqn: ㉡]에서 [eqn: 2 ^{a} -2 ^{b} =2(2 ^{-b} -2 ^{-a} )`] 이고 ([eqn: 2 ^{a} =A`,`2 ^{b} =B])

[eqn: A-B=2 LEFT ( {1} over {B} - {1} over {A} RIGHT ) `][eqn: ,``AB(A-B)=2(A-B)]

[eqn: AB=2`,`] [eqn: 2 ^{a+b} =2] , [eqn: a+b=1 CDOTS ㉢]

[eqn: ㉠`,㉢]에서 [eqn: 2 ^{b} =1-2 ^{a} =1-2 ^{b-1}] , [eqn: 2 ^{b} =1-2 ^{b-1}]

[eqn: 2 ^{b} = {2} over {3} `,```b=log _{`2} ` {2} over {3}] 이고 [eqn: a=log` _{2} `3` CDOTS ㉣]

[eqn: 2 ^{a} -2 ^{b} =3- {2} over {3} = {7} over {3}] , [eqn: 2 ^{a} -2 ^{b} =2k] 이므로

[eqn: 2k= {7} over {3} ``]에서 [eqn: k= {7} over {6} ` CDOTS ㉤]

[eqn: {BOX{````3rd````}}] 넓이[eqn: {3} over {2} (a-b)k= {3} over {2} TIMES log` _{2} ` {9} over {2} TIMES {7} over {6}][eqn: = {7} over {4} `log _{`2} ` {9} over {2}]

[eqn: = {7} over {4} LEFT ( log` _{2} 9-1 RIGHT )][eqn: = {7} over {2} `log` _{2} `3- {7} over {4}]

① [eqn: {5} over {2} log _{2} `3- {5} over {4}]  ② [eqn: 3log _{2} `3- {5} over {4}]  ③  [eqn: {7} over {2} log _{2} `3- {7} over {4}]  ④  [eqn: 4log _{2} `3-2]   ⑤ [eqn: {9} over {2} log _{2} `3- {9} over {4}]

곡선 [eqn: y= {1} over {4} x ^{3} + {1} over {2} x]와 직선 [eqn: y=mx+2] 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: rm A`,]

곡선 [eqn: y= {1} over {4} x ^{3} + {1} over {2} x]와 두 직선 [eqn: y=mx+2`,]        [eqn: x=2]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: rmB]라 하자.         [eqn: rm B-A= {2} over {3}]일 때, 상수 [eqn: m]의 값은?

(단, [eqn: m<`-1]) [4점]

③

[eqn: rm B-A=(B+C)-(A+C)= {2} over {3}]

[eqn: rmB+C][eqn: = int _{0} ^{2} {` {1} over {4} x ^{3} + {1} over {2} x`dx+` {1} over {2} LEFT ( 2+ {2} over {m} RIGHT )} (-2m-2)]

[eqn: =2+ LEFT ( 2+ {2} over {m} RIGHT ) (-1-m)` CDOTS ㉠]

[eqn: rmA+C=][eqn: {1} over {2} ` TIMES 2 TIMES LEFT ( - {2} over {m} RIGHT ) =- {2} over {m} CDOTS ㉡]

[eqn: 2+ LEFT ( 2+ {2} over {m} RIGHT ) (-1-m)+ {2} over {m} = {2} over {3}]

[eqn: -2- {2} over {m} -2m-2+ {2} over {m} =- {4} over {3}]

[eqn: 2m=- {8} over {3} `,`` THEREFORE m=- {4} over {3}]

① [eqn: - {3} over {2}]  ② [eqn: - {17} over {12}]  ③ [eqn: - {4} over {3}]  ④ [eqn: - {5} over {4}]  ⑤ [eqn: - {7} over {6}]

다음 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합은? [4점]

④

[eqn: {BOX{````1st````}} `] 로그의 진수조건에서

[eqn: 75-kn>0```,```n< {75} over {k} ` CDOTS ㉠]

[eqn: -n ^{2} +10n+75>0`,```0<n<15 CDOTS ㉡] 그런데 [eqn: n]이

자연수 이므로 ㉡을  [eqn: 1 LEQ n LEQ 14`] 로 바꿔도 무방하다.

[eqn: 1 LEQ n LEQ 14` CDOTS ㉡]

[eqn: {BOX{````2nd````}}] [eqn: log` _{2} ` sqrt {-n ^{2} +10n+75} -log _{4} (75-kn)=] 양수

[eqn: log` _{4} `(-n ^{2} +10n+75)-log _{4} (75-kn)=]양수

[eqn: log _{`4} {-n ^{2} +10n+75} over {75-kn} `>0] :  즉[eqn: ,` {-n ^{2} +10n+75} over {75-kn} >1]

[eqn: n ^{2} -(k+10)n<0`:`0<n<k+10 CDOTS ㉢]

마찬가지로 [eqn: 1 LEQ n LEQ k+9 CDOTS ㉢]

[eqn: {BOX{````3rd````}}] [eqn: ㉠`,`㉡,㉢]의 공통범위에서 자연수 [eqn: n]이 [eqn: 12]개 나와야 함

[eqn: ㉠`,`㉢]은 [eqn: k]의 범위에 따라 달라진다.

[eqn: (ⅰ)`k=3] 이면

[eqn: ㉡`,`㉢] 에서 [eqn: n=12]개 이고 [eqn: ㉠`]은 [eqn: n<15]

[eqn: k=3`]이면 조건 만족.

[eqn: (ⅱ)`k=4] 이면

[eqn: ㉡`,`㉢] 에서 [eqn: n=13]개 이고 [eqn: ㉠`]은 [eqn: n<18. TIMES TIMES]

[eqn: k=4`]이면 조건 불만족.

[eqn: (ⅲ)`k=5] 이면

[eqn: ㉡`,`㉢] 에서 [eqn: n=14]개 이고 [eqn: ㉠`]은 [eqn: n<15]

[eqn: k=5]이면 조건 불만족.

[eqn: (ⅳ)`k=6] 이면

[eqn: ㉡`,`㉢] 에서 [eqn: n=15]개 이고 [eqn: ㉠`]은 [eqn: n<12.5]

[eqn: k=6]이면 조건 만족.

[eqn: (ⅴ)`k GEQ 7] 이면

[eqn: ㉠`]: [eqn: n< {75} over {k}] 에서 [eqn: {75} over {k}]가 [eqn: 12]보다 작으므로

자연수 [eqn: n]의 개수가 [eqn: 12]개보다 작게 나온다.

따라서 모든 자연수 [eqn: k]값의 합은 [eqn: 3+6=9] 이다.

[eqn: log` _{2} ` sqrt {-n ^{2} +10n+75} -log _{4} (75-kn)]의 값이 양수가 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의 개수가 [eqn: 12]이다.

① [eqn: 6]   ② [eqn: 7]   ③ [eqn: 8]    ④ [eqn: 9]    ⑤ [eqn: 10]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 상수 [eqn: k] ([eqn: k GEQ 0])에 대하여 함수

[eqn: g(x)= {cases{`2x-k&```(x LEQ k)#eqalign{# `f(x)`# }&eqalign{# ```(x>k)# }}}]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 □□□□는 실수 전체의 집합에서

증가하고 미분가능하다

(나) 모든 실수 □에 대하여

[eqn: int _{0} ^{x} {`g(t) LEFT { LEFT | t(t-1) RIGHT | +t(t-1) RIGHT } dt GEQ 0}] 이고

[eqn: int _{3} ^{x} {`g(t) LEFT { LEFT | (t-1(t+2) RIGHT | -(t-1)(t+2) RIGHT } dt GEQ 0}]이다.

[eqn: g(k+1)] 의 최솟값은? [4점]

②

[eqn: {BOX{```1st````}}] 조건 (가)에서

[eqn: f`(k)=k`,``f`'(k)=2`,`][eqn: f` prime (x) GEQ 0``(x>k) CDOTS ㉠]

조건 (나)의 첫 번째 식에서

[eqn: h _{1} (x)=g(x) LEFT { LEFT | x(x-1) RIGHT | +x(x-1) RIGHT }]로 두면

[eqn: int _{0} ^{x} {`h _{1} (t)`dt GEQ 0}] 을 만족해야한다.

즉, [eqn: h _{1} (x)] 그래프가 [eqn: x=0]을 기준으로

[eqn: x>0`:`h _{1} (x)>0] 이고  [eqn: x<0``:`h _{1} (x)<0] 이면

[eqn: int _{0} ^{x} {`h _{1} (t)`dt>0}] 이다.

(예) [eqn: h _{1} (x)]의 그래프가 아래와 같다면 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{0} ^{x} {`h _{1} (t)`dt>0}] 이다.

조건의 정적분 값이 [eqn: 0]도 되므로 아래와 같은 그래프도 가능하다

따라서 [eqn: x GEQ 0`]일 때, [eqn: h _{1} (x) GEQ 0] 아고

[eqn: x<0]일 때 [eqn: h _{1} (x) LEQ 0] 이다.

[eqn: p(x)= LEFT | x(x-1)+x(x-1) RIGHT |]로 두면

[eqn: h _{1} (x)`=``g(x)` TIMES `p(x)] 이다.

[eqn: g(x)] 그래프        [eqn: p(x)]그래프

[eqn: k]값이 변함에 따라  [eqn: h _{1} (x)] 의 그래프는 아래와 같다

[eqn: 0 LEQ k LEQ 2] (조건만족)      [eqn: k>2] 일 때, (조건 불만족)

즉, [eqn: 0 LEQ k LEQ 2` CDOTS ㉡]

조건 (나)의 두 번째 식도 같은 방법으로

[eqn: h _{2} (x)=g(x) LEFT { LEFT | (t-1)(t+2) RIGHT | -(t-1)(t+2) RIGHT }]로 두면

[eqn: int _{3} ^{x} {`h _{2} (t)dt GEQ 0}] 를 만족해야 하므로

즉, [eqn: h _{2} (x)] 그래프가 [eqn: x=3]을 기준으로

[eqn: x GEQ 3`]일 때, [eqn: h _{2} (x) GEQ 0] 아고

[eqn: x<3]일 때 [eqn: h _{2} (x) LEQ 0] 이다.

[eqn: p(x)= LEFT | (x+2)(x-1)-(x+2)(x-1) RIGHT |]라 하고

같은 방법으로 [eqn: k]의 범위를 따져보면

[eqn: g(x)] 그래프          [eqn: p(x)]그래프

[eqn: k GEQ 2]일 때 [eqn: h _{2} (x)] 그래프는 아래와 같다.

즉, [eqn: k GEQ 2 CDOTS ㉢] 이다.

[eqn: ㉡`,`㉢]에서 [eqn: k=2] 이므로 조건 (가)에서

[eqn: f(2)=2`,`f`'(2)=2], [eqn: `f` prime (x) GEQ 0``,``(x>2) CDOTS ㉠`'`] 이다.

따라서 [eqn: f``'`(x)=3(x-2) ^{2} +a(x-2)+2] 로 잡을 수 있고

[eqn: f(x)=(x-2) ^{3} + {a} over {2} (x-2) ^{2} +2(x-2)+2] 이다

.[eqn: g(k+1)=g(3)=f(3)=5+ {a} over {2} CDOTS ㉣] 에서

[eqn: ㉥]의 최솟값 구하는 것이므로 [eqn: a]의 최솟값 구하면 된다.

[eqn: {BOX{```2nd```}}][eqn: `f` prime (x) GEQ 0``,``(x>2)] 에서

[eqn: 3(x-2) ^{2} +a(x-2)+2 GEQ 0``,`````(x>2)]

[eqn: (x-2)(3x-6+a)+2 GEQ 0`````(x>2)]

[eqn: 3x ^{2} `+(a-12)x-2a+14` GEQ 0```(x>2)]

[eqn: (ⅰ)`D` LEQ 0] 일 때 [eqn: (a-12) ^{2} -12(-2a+14) LEQ 0]

[eqn: a ^{2} -24 LEQ 0]    [eqn: -2 sqrt {6} LEQ a LEQ 2 sqrt {6} ` CDOTS ㉤]

[eqn: (ⅱ)`D>0] 이고 [eqn: f`'(2) GEQ 0] 이고 대칭축 [eqn: <2]이면

[eqn: `f` prime (x) GEQ 0``,``(x>2)]를 만족한다.

[eqn: D`>0] 에서  [eqn: a<`-2 sqrt {6} `,`a>2 sqrt {6} ` CDOTS `(①)]

대칭축[eqn: <2] 에서 [eqn: a>0` CDOTS `(②)]

[eqn: f`'(2) GEQ 0] 에서 이미 [eqn: f``'(2)=2] 이므로 만족

[eqn: (①)`]과 [eqn: (②)]에서 [eqn: a>2 sqrt {6} ` CDOTS ㉥]

띠리서 [eqn: ㉤], [eqn: ㉥]에서 [eqn: a GEQ -2 sqrt {6}] 이므로

[eqn: a]의 최솟값은 [eqn: -2 sqrt {6}] 이다.

[eqn: g(3)]의 최솟값은 [eqn: 5+ {a} over {2} =5- sqrt {6}]

<다른물이> 산술 기하 이용도 가능하다

[eqn: {BOX{```2nd```}}] [eqn: `f` prime (x) GEQ 0``,``(x>2)] 에서

[eqn: 3(x-2) ^{2} +a(x-2)+2 GEQ 0``,`````(x>2)]

[eqn: (x-2)(3x-6+a)+2 GEQ 0`````(x>2)]

[eqn: (x-2) LEFT { 3(x-2)+a RIGHT } +2 GEQ 0`````(x>2)] 에서

[eqn: x-2=t] 라 하면 [eqn: t>0] 이고

[eqn: t(3t+a)+2 GEQ 0] , [eqn: 3t ^{2} +at+2 GEQ 0]

[eqn: 3t+a+ {2} over {t} GEQ 0] 에서 [eqn: a GEQ - LEFT ( 3t+ {2} over {t} RIGHT ) CDOTS (ⅰ)]

[eqn: a]의 최소는  [eqn: 3t+ {2} over {t}] 의 최댓값에 [eqn: -](음의 브호) 븥이면 된다.

[eqn: 3t+ {2} over {t} GEQ 2 sqrt {6}] 이므로 [eqn: a GEQ -2 sqrt {6} CDOTS ㉤]

<다른 풀이 >

[eqn: f`(2)=2`.`f`'(2)=2`,`f`'(x) GEQ 0``(x>2)]를 가지고

[eqn: f(x)]의 식을 세울 때, 아래와 같이 식 세우기도 가능하다

[eqn: f(x)=(x-2) ^{2} (x-m)+2x-2]

[eqn: f` prime (x)=2(x-2)(x-m)+(x-2) ^{2} +2]

[eqn: =(x-2)(3x-2m-2)+2]

[eqn: =3x ^{2} -2(m+4)x+4m+6`]

[eqn: g(3)=f(3)=7-m] 이므로

[eqn: m]의 최댓값 구하기

[eqn: f`'(x) GEQ 0`,`(x>2)] 를 만족하려면

[eqn: (ⅰ)`D` LEQ 0] 일 때

[eqn: (m+4) ^{2} -12m-18 LEQ 0] ,  [eqn: m ^{2} -4m-2 LEQ 0]        [eqn: 2- sqrt {6} LEQ m LEQ 2+ sqrt {6} ` CDOTS ㉠]

[eqn: (ⅱ)`D>0] 이고 [eqn: f`'(2) GEQ 0] 이고 대칭축 [eqn: <2]

[eqn: D`>0] 에서  [eqn: m<`2- sqrt {6} `,`m>2+ sqrt {6} ` CDOTS `①]

대칭축[eqn: <2] 에서 [eqn: {(m+4)} over {`3} <2``,``] [eqn: m<`1` CDOTS (②)]

[eqn: f`'(2) GEQ 0] 에서 이미 [eqn: f``'(2)=2] 이므로 만족

[eqn: (①)`]과 [eqn: (②)]에서 [eqn: m<`2- sqrt {6} ` CDOTS ㉡]

띠리서 [eqn: ㉤], [eqn: ㉥]에서 [eqn: m LEQ 2+ sqrt {6}] 이므로

[eqn: m]의 최댓값은 [eqn: 2+ sqrt {6}] 이다.

[eqn: g(3)]의 최솟값은 [eqn: 7-m=7-(2+ sqrt {6} )=5- sqrt {6}]

① [eqn: 4- sqrt {6}]      ② [eqn: 5- sqrt {6}]     ③ [eqn: 6- sqrt {6}]

④ [eqn: 7- sqrt {6}]      ⑤ [eqn: 8- sqrt {6}]

방정식 [eqn: log _{`2} `(x+1)-5=log _{{1} over {2}} (x-3)]를 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.[3점]

[eqn: 7]

진수조건 : [eqn: `x>3]

[eqn: log` _{2} ` {x+1} over {32} `=`log` _{2} {1} over {x-3}] 에서 [eqn: (x+1)(x-3)=32]

[eqn: x ^{2} -2x-35=0`,`(x-7)(x+5)=0`]

[eqn: THEREFORE `x=7``(x>3)]

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f` prime (x)=6x ^{2} +2]이고 [eqn: f(0)=3]일 때, [eqn: f`(2)]의 값을 구하시오.

[3점]

[eqn: 23]

[eqn: f(x)=2x ^{3} +2x+3] , [eqn: f(2)=16+4+3=23]

[eqn: sum _{k=1} ^{9} (ak ^{2} -10k)=120]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 2]

[eqn: sum _{k=1} ^{9} (ak ^{2} -10k)=a`· {9·10·19} over {6} -10·45]

[eqn: a`· {9·10·19} over {6} -10·45=120] 에서

[eqn: a`· {6·19} over {2} -45=12] 이므로 [eqn: {19} over {2} a-15=4]

[eqn: {19} over {2} a=19`,``` THEREFORE a=2]

시각 [eqn: t=0]□□□일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t(t GEQ 0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]가

[eqn: v(t)= {cases{`-t ^{2} +t+2&```(0 LEQ t LEQ 3)#eqalign{# `k(t-3)-4# }&eqalign{# ```(t>3)# }}}]이다.

출발한 후 점 [eqn: rmP]의 운동 방향이 두 번째로 바뀌는     시각에서의 점 [eqn: rmP]의 위치가 [eqn: 1]일 때, 양수 [eqn: k]의 값     을 구하시오.[3점]

[eqn: 16]

속도 [eqn: v(t)]에 대하여 [eqn: v(3)=-4] 이고

[eqn: v(t)=k(t-3)-4=0] 인 [eqn: t]의 값을 구하면 [eqn: t=3+ {4} over {k}]

[eqn: v(t)] 그래프를 그려보면 다음과 같다

원점에서 출발하므로 위치변화량이 취치이므로

[eqn: int _{0} ^{3} {-t ^{2} +t+2`dt`- {1} over {2} TIMES 4 TIMES {4} over {k} =1}]

[eqn: LEFT [ - {1} over {3} t ^{3} + {1} over {2} t ^{2} +2t RIGHT ] _{0} ^{3} - {8} over {k} =1]

[eqn: LEFT ( -9+ {9} over {2} +6 RIGHT ) - {8} over {k} =1`,]  [eqn: {3} over {2} - {8} over {k} =1]

[eqn: 3k-16=2k`,` THEREFORE k=16]

[eqn: 5] 이하의 두 자연수 [eqn: a,`b]에 대하여 열린구간 [eqn: (0`,`2 pi )]에서 정의된 함수 [eqn: y=a`sin`x+b]의 그래프가 직선 [eqn: x= pi]와 만나는 점의 집합을 [eqn: rmA]라 하고, 두 직선 [eqn: y=1`,`y=3]과 만나는 점의 집합을 각각 [eqn: rmB`,`C] 라 하자. [eqn: n(A CUP B CUP C)=3]이 되도록 하는 [eqn: a,`b]의 순서쌍 [eqn: (a`,``b)]에 대하여 [eqn: a+b]의 최댓값을 [eqn: M,] 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M TIMES m]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 24]

집합 [eqn: A]는 [eqn: a`,`b]에 값에 상관없이 [eqn: ( pi `,`b)]를 원소로 갖는다.

[eqn: A= LEFT { ( pi `,`b)` RIGHT }] , [eqn: n(A)=1]

“ [eqn: y=1]과 [eqn: y=3]이 어디에 그려지는가“에 의한 [eqn: case] 분류

구하는 것이 최솟값과 최댓값이므로

[eqn: (a`,`b)=(1`,`1)]이 최솟값이 되는가부터 생각해보자.

[eqn: (ⅰ)`a=1`,`b=1] 일 때,

[eqn: n(A CUP B CUP C)=1] 이므로 [eqn: a+b=1]은 최솟값이 아니다.

[eqn: (ⅱ)] [eqn: b=1] 이고 [eqn: 3<a+b] 인 경우

[eqn: n(A CUP B CUP C)=3] 이다.  [eqn: 3<a+1]에서  [eqn: a>2]

[eqn: -a+1<1] 에서 [eqn: a>0] 이므로

즉, [eqn: a>2] 이고 [eqn: a]는 [eqn: 5] 이하의 자연수 [eqn: a=3`,`4`,`5]

[eqn: a+b=4`,`5`,`6 CDOTS ㉠]

[eqn: (ⅲ)] [eqn: -a+b<1<b<a+b<3]  인 경우

[eqn: 1<b<3] 이므로  [eqn: b=2] 가 된다.

[eqn: n(A CUP B CUP C)=3] 이다

[eqn: -a+2<1<2<a+2<3] 에서

[eqn: a+2<3] 을 만족하는 자연수 [eqn: a]는 없으므로 조건 불만족

[eqn: (ⅳ)] [eqn: a+b=3] 이고 [eqn: -a+b=1] 인 경우

연립하면 [eqn: a=1`,`b=2] 이다,

조건을 만족하므로 [eqn: a+b=3 CDOTS ㉡`] (최솟값 확정)

[eqn: (ⅴ)] [eqn: b<3<a+b] 이고 [eqn: 1<-a+b] 인 경우

[eqn: b=1`,`2] 가 된다.

[eqn: b=1]일 때  [eqn: 1<-a+1<1<3<a+1] : [eqn: (TIMES )]

[eqn: b=2]일 때, [eqn: 1<-a+2<2<3<a+2] : [eqn: ( TIMES )]

이런 상황은 나올 수 없다.

[eqn: (ⅵ)] [eqn: 1<-a+b<3<b<a+b] 인 경우

[eqn: 3<b] 에서 [eqn: b=4`,`5]

[eqn: b=4]일 때  [eqn: 1<-a+4<3<4<a+4]

[eqn: -a+4=2] 여야 하므로 [eqn: a=2]

즉, [eqn: a+b=6 CDOTS ㉢]

[eqn: b=5]일 때 [eqn: 1<-a+5<3<5<a+5]

[eqn: -a+5=2] 여야 하므로 [eqn: a=3]

즉, [eqn: a+b=8` CDOTS ㉣] (최댓값)

[eqn: ㉡`,`㉣] 에서 [eqn: Mm=8 TIMES 3=24]

최고차항의 계수가 □인 사차함수 □□□□가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f`'(a) LEQ 0]인 실수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 2]이다.

(나) 집합 [eqn: LEFT { x``□`f(x)=k RIGHT }]의 원소의 개수가 [eqn: 3] 이상

이 되도록 하는 실수 □의 최솟값은 [eqn: {8} over {3}]이다.

[eqn: f(0)=0`,`f`'(1)=0]일 때 [eqn: f(3)]의 값을 구하시오.

[4점]

[eqn: 15]

[eqn: {BOX{```1st```}}] 사차함수의 여러 계형 중에서 조건 (가 에 의해

[eqn: x=2]의 위치를 알 수 있다.

[그림①]   [그림②]  [그림③] [그림④] [그림⑤]

조건 (나)에서 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=k] 의 교점이 3개 이상

인 상황이 발생해야 하므로 그림④, ⑤ 는 제외된다.

또한 교점이 3개 이상이 [eqn: k]의 최솟값이 [eqn: {8} over {3}]이라 했으므로

그림 ①도 제외되다.

남은 그림 ② , ③에 대하여 [eqn: f(2)= {8} over {3}]

[그림②]         [그림③]

문제에서 [eqn: f(0)=0`,`f`'(1)=0`] 이라 했으므로

그림 ③ 은 [eqn: f(x)]의  최솟값이 [eqn: f(2)= {8} over {3}]이므로

[eqn: f(x) GEQ {8} over {3}] 이므로 즉, [eqn: f(0)=0]이 나올 수 없다.

따라서 그래프는 [그림②]로 확정 된다.

[eqn: {BOX{```2nd```}}] [eqn: f(x)]의 식을 세우면

[eqn: f(x)=(x-2) ^{2} (x ^{2} +px+q)+ {8} over {3}]

[eqn: f` prime (x)=2(x-2)(x ^{2} +px+q)+(x-2) ^{2} (2x+p)]

[eqn: f(0)=0`] 에서 [eqn: 4q=- {8} over {3} `,`` THEREFORE q=- {2} over {3} CDOTS ㉠]

[eqn: f`'(1)=0] 에서  [eqn: 0=-2 LEFT ( 1+p- {2} over {3} RIGHT ) +(2+p)`]

[eqn: 0=-2+ {4} over {3} +2+p`,``` THEREFORE p=- {2} over {3} ` CDOTS ㉡`]

따라서 [eqn: f(3)=9+4- {2} over {3} + {8} over {3} =15]

<다른 풀이>

[eqn: {BOX{```2nd```}}] [eqn: f(x)]의 식을 세우면

[eqn: f(x)=(x-2) ^{2} (x-a)(x-b)+ {8} over {3}]

[eqn: f`'(x)=2(x-2)(x-a)(x-b)+(x-2) ^{2} LEFT { (x-a)+(x-b) RIGHT }]

[eqn: f(0)=0=4ab+ {8} over {3} ``,```` THEREFORE ab=- {2} over {3} CDOTS ㉠]

[eqn: f`'(1)=0=-2(1-a)(1-b)+ LEFT { (1-a)+(1-b) RIGHT }]

즉,[eqn: -2 LEFT { 1-(a+b)- {2} over {3} RIGHT } + LEFT { 2-(a+b) RIGHT } =0]에서

[eqn: THEREFORE `a+b=- {4} over {3} CDOTS ㉡]

따라서 [eqn: f(3)=(3-a)(3-b)+ {8} over {3}]

[eqn: =9+4- {2} over {3} + {8} over {3}][eqn: =15]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{2} =-a _{1}] 이고, [eqn: n GEQ 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = {cases{`a _{n} - sqrt {n} TIMES a _{sqrt {n}}&( sqrt {n} 이`자연수`이고`a _{n} >0)#eqalign{# `a _{n+1} ``+1# }&eqalign{# (그`외의`경우)# }}}]

를 만족시킨다. [eqn: a _{15} =1]이 되도록 하는 모든 [eqn: a _{1}]의     값의 곱을 구하시오. [4점]

[eqn: 231]

[eqn: a _{n+1} = {cases{`a _{n} - sqrt {n} TIMES a _{sqrt {n}}&( sqrt {n} 이`자연수`이고`a _{n} >0) CDOTS (Ⅰ형)#eqalign{# `a _{n+1} ``+1# }&eqalign{# (그`외의`경우)`````` CDOTS (Ⅱ형)# }}}]

[eqn: (Ⅰ형)] 에서 [eqn: sqrt {n} =]자연수 인 상황은 [eqn: n=4`,`9`,16 CDOTS `]일 때

이고 구하는 것이 [eqn: a _{15} =1]를 만족하는 [eqn: a _{1}] 이므로 [eqn: n=4`,`9]

알 때 ([eqn: Ⅰ형]) 적용되고 그 외는 ([eqn: Ⅱ]형)이 적용된다.

물론 [eqn: n=4`,`9]여도 [eqn: a _{n} LEQ 0] 이면 [eqn: Ⅰ]향이 아니라 [eqn: Ⅱ]형 적용

[eqn: {BOX{```1st```}}] 정방향으로 추청하면 [eqn: a _{1} =a`,`a _{2} =-a]

[eqn: a _{3} =-a+1``]

[eqn: a _{4} =-a+2``]

[eqn: a _{5} = {cases{eqalign{(-a+2)+2a=a+2# }&eqalign{`````(a<2)` CDOTS (ⅰ)``# `}#`-a+3&``````(a GEQ 2)` CDOTS (ⅱ)`}}]

[eqn: (ⅰ)`a _{5} =a+2``(a<2)] 일 때, ([eqn: a _{9}] 까지는 Ⅱ형 적용)

[eqn: a _{6} =a+3]

[eqn: VDOTS]

[eqn: a _{9} =a+6]

[eqn: a _{10} = {cases{eqalign{(a+6)+3a-3=4a+3# }&eqalign{`(-6<a<2)` CDOTS ( AST )``# `}#`a+7&``(a LEQ -6)` CDOTS ( ATT )`}}]

([eqn: AST]) 상황 [eqn: (-6<a<2)]	([eqn: ATT])상황 [eqn: (a LEQ -6)]
[eqn: a _{10} =4a+3] [eqn: a _{11} =4a+4] [eqn: VDOTS] [eqn: a _{15} =4a+8] 즉, [eqn: 4a+8=1] 이므로 [eqn: a=- {7} over {4}] [eqn: (-6<a<2)] 범위를 만족하므로 따라서 [eqn: a=- {7} over {4} CDOTS ㉠]	[eqn: a _{10} =a+7] [eqn: a _{11} =a+8] [eqn: VDOTS] [eqn: a _{15} =a+12] 즉, [eqn: a+12=1] 이므로 [eqn: a=-11] [eqn: (a LEQ -6)] 범위를 만족하므로 따라서 [eqn: a=-11 CDOTS ㉡]

[eqn: (ⅱ)`a _{5} =-a+3``(a GEQ 2)] 일 때, ([eqn: a _{9}] 까지는 Ⅱ형 적용)

[eqn: a _{6} =-a+4]

[eqn: VDOTS]

[eqn: a _{9} =-a+7]

[eqn: a _{10} = {cases{eqalign{(-a+7)+3a-3=2a+4# }&eqalign{(2 LEQ a<7)` CDOTS ( AST )``# `}#`-a+8&`(a GEQ 7)` CDOTS ( ATT )`}}]

([eqn: AST]) 상황 [eqn: (2 LEQ a<7)]	([eqn: ATT])상황 [eqn: (a GEQ 7)]
[eqn: a _{10} =2a+4] [eqn: a _{11} =2a+5] [eqn: VDOTS] [eqn: a _{15} =2a+9] 즉, [eqn: 2a+9=1] 이므로 [eqn: a=-4] [eqn: (2 LEQ a<7)] 범위를 만족하지 않는다. 따라서 [eqn: a]는 없다.	[eqn: a _{10} =-a+8] [eqn: a _{11} =-a+9] [eqn: VDOTS] [eqn: a _{15} =-a+13] 즉, [eqn: -a+13=1] 이므로 [eqn: a=12] [eqn: (a GEQ 7)] 범위를 만족하므로 따라서 [eqn: a=12 CDOTS ㉢]

[eqn: {BOX{```2nd```}}] [eqn: ㉠`,`㉡,`㉢`] 에서 만족하는 모든 [eqn: a]값은

[eqn: -11`,`- {7} over {4} `,`12] 이므로

모든 [eqn: a]값들의 곱은 [eqn: 11 TIMES {7} over {4} TIMES 12=231]

2025 대학수학능력시험 6월 모의고사

제 2 교시      수학 영역 [기하]

두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여

[eqn: {vec{a}} +3( {vec{a}} - {vec{b}} )=k {vec{a}} `-3 {vec{b}}] 이다. 실수 [eqn: k]의 값은?

(단, [eqn: veca neq vec0], [eqn: vec b neq vec0]) [2점]

<기하>

④

① [eqn: -1]    ② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]    ④ [eqn: 4]    ⑤ [eqn: 5]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {18} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] 위의 점 [eqn: (3``,` sqrt {5} )]에서의 접선의 [eqn: y]절편은? (단, [eqn: b]는 양수이다.) [3점]

②

① [eqn: {3} over {2} sqrt {5}]     ② [eqn: 2 sqrt {5}]    ③ [eqn: {5} over {2} sqrt {5}]

④ [eqn: 3 sqrt {5}]      ⑤ [eqn: {7} over {2} sqrt {5}]

좌표평면에서 두 벡터[eqn: {vec{a}} =(-3,~3)`,] [eqn: {vec{b}} =(1``,`-1)]에 대하여 벡터 [eqn: {vec{p}}]가 [eqn: LEFT | {vec{p}} `-` {vec{a}} RIGHT | = LEFT | {vec{b}} RIGHT |]를 만족 시킬 때, [eqn: LEFT | {vec{p}} `-` {vec{b}} RIGHT |]의 최솟값은? [3점]

④

① [eqn: {3} over {2} sqrt {2}]     ② [eqn: 2 sqrt {2}]    ③ [eqn: {5} over {2} sqrt {2}]

④ [eqn: 3 sqrt {2}]      ⑤ [eqn: {7} over {2} sqrt {2}]

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y` ^{2}} over {b ^{2}} =1`]의 한 초점 [eqn: rm`F`(][eqn: c``,`0)`(c>0)] 을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 쌍곡선과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm P`,][eqn: rmQ`]라 하자. 쌍곡선의 한 점근선의 방정식이 [eqn: y=x]이고 [eqn: rm {bar{PQ}} =8]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}]의 값은? (단, [eqn: a`]와 [eqn: b]는 양수이다.)

[3점]

③

① [eqn: 56]    ② [eqn: 60]	③ [eqn: 64]    ④ [eqn: 68]    ⑤ [eqn: 72]

그림과 같이 직사각형 [eqn: rmABCD]의 네변의 중점 [eqn: rm P`,`Q`,`R,`S]를 꼭짓점으로 하는 타원의 두 초점을 [eqn: rm F`,`F']라 하자. 점 [eqn: rmF]를 초점 직선 [eqn: rmAB]를 준선으로 하는 포물선이 세 점 [eqn: rmF`',`Q`,`S]를 지난다. 직사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이가 [eqn: 32 sqrt {2}]일 때, 선분 [eqn: rm FF']의 길이는? [3점]

②

① [eqn: {7} over {6} sqrt {3}]     ② [eqn: {4} over {3} sqrt {3}]     ③ [eqn: {3} over {2} sqrt {3}]

④ [eqn: {5} over {3} sqrt {3}]     ⑤ [eqn: {11} over {6} sqrt {3}]

좌표평면에서 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 1`,`0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 1,````-1 RIGHT )]에 대하여 두 점 [eqn: rm P`,`Q`]가 에 대하여 [eqn: rm LEFT | {vec{OP}} RIGHT | =1`,][eqn: rm LEFT | {vec{BQ}} RIGHT | =3`,] [eqn: rm {vec{AP}} BULLET LEFT ( {vec{QA}} + {vec{QP}} RIGHT ) =0], 을 만족시킨다.[eqn: rm LEFT | {vec{PQ}} RIGHT |]의 값이 최소가 되도록 하는 두 점 [eqn: rmP`,`Q]에 대하여 [eqn: rm {vec{AP}} ``· {vec{BQ}}]의 값은? [4점]

③

(단, [eqn: rmO]는 원점이고 [eqn: rm LEFT | {vec{AP}} RIGHT | >0]이다.)

① [eqn: {6} over {5}]    ② [eqn: {9} over {5}]    ③ [eqn: {12} over {5}]     ④ [eqn: 3]    ⑤ [eqn: {18} over {5}]

좌표평면에 곡선 [eqn: LEFT | y ^{2} -1 RIGHT | = {x ^{2}} over {a ^{2}}]과 네 점 [eqn: rm A LEFT ( 0``,`c+1 RIGHT )],[eqn: rm B LEFT ( 0``,``-c-1 RIGHT ) ,][eqn: rm C LEFT ( c```,``0 RIGHT )],[eqn: rm D LEFT ( -c```,```0 RIGHT )]이 있다. 곡선 위의 점 중 [eqn: y]좌표의 절댓값이 [eqn: 1]보다 작거나 같은 모든 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm {bar{PC}} + {bar{PD}} = sqrt {5}] 이다. 곡선 위의 점 [eqn: rmQ]가 제 1사분면에 있고 [eqn: rm {bar{AQ`}} =10]일 때, 삼각형 [eqn: rmABQ]의 굴레의 길이를 구하시오. (단, [eqn: a]와 [eqn: c]는 양수 이다.) [4점]

[eqn: 25]

두 초점 [eqn: rmF(5``,```0)], [eqn: rmF`'(-5`,````0)]이고 주축의 길이가 [eqn: 6]인 쌍곡선이 있다. 쌍곡선 위의 [eqn: rm {bar{PF}} `< {bar{PF`'}}]인 점 [eqn: rmP]에 대하여 점 [eqn: rmQ]가 [eqn: rm LEFT ( LEFT | {vec{FP}} RIGHT | +1 RIGHT ) {vec{F`'Q}} =5 {vec{QP}}]를 만족시킨다. 점 [eqn: rm A(-9``,`-3)]에 대하여 [eqn: rm LEFT | {vec{AQ}} RIGHT |]의 최댓값을 구하시오. [4점]

[eqn: 10]

기하