수2	2022년 시행 기출 4점	적분

[2203교-고3-09]

① [eqn: 64]

[출제의도] 속도와 위치의 변화량을 이해하여 점이 움직인 거리를 구한다.

시각 [eqn: t=0`]에서의 점 [eqn: rmP`]의 위치와 시각 [eqn: t=6`]에서의 점 [eqn: rmP`]의 위치가 서로 같으므로 시각 [eqn: t=0`]에서 [eqn: t=6`]까지 점 [eqn: rmP`]의 위치의 변화량이 [eqn: 0`]이다. 점 [eqn: rm P`]의 시각 [eqn: t`]([eqn: t{ge0])에서의 속도 [eqn: v(t)`]가 [eqn: v(t)=3t ^{2} +at`]이므로

[eqn: int _{0} ^{6} {} v(t)`dt][eqn: = int _{0} ^{6} {} LEFT ( 3t ^{2} +at RIGHT ) `dt]
[eqn: = LEFT [ `t ^{3} + {a} over {2} t ^{2} ` RIGHT ] _{0}^{6}]
[eqn: =36 LEFT ( 6+ {a} over {2} RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: a=it-12]

[eqn: v(t)=3t ^{2} -12t`]이므로 점 [eqn: rmP`]가 시각 [eqn: t=0`]에서 [eqn: t=6`]까지 움직인 거리는

[eqn: int _{0} ^{6} {} LEFT | v(t) RIGHT | `dt][eqn: = int _{0} ^{6} {} LEFT | 3t ^{2} -12t RIGHT | `dt]
[eqn: = int _{0} ^{4} {} LEFT ( -3t ^{2} +12t RIGHT ) `dt+ int _{4} ^{6} {} LEFT ( 3t ^{2} -12t RIGHT ) `dt]
[eqn: = LEFT [ pile{`#`} -t ^{3} +6t ^{2} ` RIGHT ] _{0}^{4} + LEFT [ pile{`#`} t ^{3} -6t ^{2} ` RIGHT ] _{4}^{6}]
[eqn: =32+32][eqn: =64]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]의 시각 [eqn: t`]([eqn: t{ge0])에서의 속도 [eqn: v(t)`]가

[eqn: v(t)=3t ^{2} +at`]

이다. 시각 [eqn: t=0`]에서의 점 [eqn: rmP`]의 위치와 시각 [eqn: t=6`]에서의 점 [eqn: rmP`]의 위치가 서로 같을 때, 점 [eqn: rmP`]가 시각 [eqn: t=0`]에서 [eqn: t=6`]까지 움직인 거리는? (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

① [eqn: 64]	② [eqn: 66]	③ [eqn: 68]	④ [eqn: 70]	⑤ [eqn: 72]

[2203교-고3-22]

[eqn: 4`]

[출제의도] 정적분으로 정의된 함수를 이용하여 함수를 구하는 문제를 해결한다.

삼차함수 [eqn: g(x)`]의 상수항이 [eqn: 0`]이므로 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x`]를 인수로 갖는다. [eqn: cdotscdots] ㉠

조건 (가)의 [eqn: x left|g(x) right| = int_2a^x left(a-t right) f(t) `dt]에 [eqn: x=2a`]를 대입하면 [eqn: 2a LEFT | g(2a) RIGHT | =0]

[eqn: a`]가 양수이므로 [eqn: g(2a)=0`]이고 [eqn: g(x)`]는 [eqn: left(x-2a right)`]를 인수로 갖는다. [eqn: cdotscdots]㉡

㉠，㉡에서 [eqn: g(x) = x left(x-2a right) left(x-b right)] (단, [eqn: b`]는 실수)

함수 [eqn: left(a-x right) f(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 함수 [eqn: int_2a^x left(a-t right) f(t)`dt`]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, [eqn: {d} over {dx} int _{2a} ^{x} {} LEFT ( a-t RIGHT ) f(t)`dt][eqn: = LEFT ( a-x RIGHT ) f(x)`]이다.

즉, 함수 [eqn: x left|g(x) right|]는 [eqn: x=2a`]에서 미분가능하다.

[eqn: lim_{x`->`2a+} {x left|g(x) right|-2a left|g(2a)right| }over{x-2a}][eqn: = lim _{x` rarrow `2a+} {} {x LEFT | x LEFT ( x-2a RIGHT ) LEFT ( x-b RIGHT ) RIGHT |} over {x-2a}]
[eqn: = lim _{x` rarrow `2a+} {x ^{2} LEFT | x-b RIGHT |}]
[eqn: =4a ^{2} LEFT | 2a-b RIGHT |]

[eqn: lim _{x` rarrow `2a-} {} {x LEFT | g(x) RIGHT | -2a LEFT | g(2a) RIGHT |} over {x-2a}][eqn: = lim _{x` rarrow `2a-} {} {x LEFT | x LEFT ( x-2a RIGHT ) LEFT ( x-b RIGHT ) RIGHT |} over {x-2a}]
[eqn: = lim _{x` rarrow `2a-} {} LEFT ( -x ^{2} LEFT | x-b RIGHT | RIGHT )]
[eqn: = it -4a ^{2} LEFT | 2a-b RIGHT |]

이므로 [eqn: 4a ^{2} LEFT | 2a-b RIGHT |][eqn: = it -4a ^{2} LEFT | 2a-b RIGHT | `]에서 [eqn: b=2a`]이다.

따라서 [eqn: g(x) = x left(x-2a right)^2]

[eqn: int_2a^x left(a-t right)f(t)`dt][eqn: = {cases{-x ^{2} LEFT ( x-2a RIGHT ) ^{2}&&LEFT ( x<` 0 RIGHT )#~```x ^{2} LEFT ( x-2a RIGHT ) ^{2}&&LEFT ( x{ge0 RIGHT )}}]

이고 함수 [eqn: f(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: left(a-x right)f(x)][eqn: = {cases{-4x LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-2a RIGHT )&&LEFT ( x<`0 RIGHT )#```````4x LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-2a RIGHT )&&LEFT ( x GEQ 0) RIGHT .}}]

[eqn: f(x)= {cases{~```4x LEFT ( x-2a RIGHT )&&LEFT ( x<`0 RIGHT )#-4x LEFT ( x-2a RIGHT )&&LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}]

방정식 [eqn: g(f(x))][eqn: =0`]에서

[eqn: f(x)=0] 또는 [eqn: f(x )= 2a]

방정식 [eqn: f(x)=0`]은 서로 다른 두 실근 [eqn: 0], [eqn: 2a`]를 가지므로 조건 (나)에 의해 방정식 [eqn: f(x)=2a`]는 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

곡선 [eqn: y=f(x)`]와 직선 [eqn: y=2a`]의 교점의 개수가 [eqn: 2`]이어야 하므로

[eqn: f(a)][eqn: =it-4a left(a-2a right)]
[eqn: =4a^2][eqn: =2a]

[eqn: a= 1over2]

[eqn: int_-2a^2a f(x)`dx][eqn: = int_-1^1 f(x)`dx]
[eqn: = int _{-1} ^{0} {} LEFT ( 4x ^{2} -4x RIGHT ) `dx+ int _{0} ^{1} {} LEFT ( -4x ^{2} +4x RIGHT ) `dx]
[eqn: = left[ 4over3 x^3 -2x^2 right]_-1^0 + left[- 4over3 x^3 +2x^2 right]_0^1]
[eqn: =4]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)`]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이고 상수항이 [eqn: 0`]인 삼차함수 [eqn: g(x)`]가 있다. 양의 상수 [eqn: a`]에 대하여 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: x LEFT | g(x) RIGHT | = int _{2a} ^{x} {} LEFT ( a-t RIGHT ) f(t)`dt`]이다.

(나) 방정식 [eqn: g(f(x))=0`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4`]이다.

[eqn: int _{-2a} ^{2a} {} f(x)`dx`]의 값을 구하시오.

[2204교-고3-10]

② [eqn: 36]

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]([eqn: t GEQ 0])에서의 위치를 [eqn: x LEFT ( t RIGHT )]라 하면

점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t=0]에서의 위치는 [eqn: 0]이므로 [eqn: x LEFT ( 0 RIGHT ) =0]

[eqn: x LEFT ( t RIGHT )][eqn: =x LEFT ( 0 RIGHT ) + int _{0} ^{t} {v LEFT ( t RIGHT ) dt}]
[eqn: = int _{0} ^{t} {3 LEFT ( t-2 RIGHT ) LEFT ( t-a RIGHT ) dt}]
[eqn: = int _{0} ^{t} {LEFT { 3t ^{2} -3 LEFT ( a+2 RIGHT ) t+6a RIGHT } dt}]
[eqn: =t ^{3} - {3} over {2} LEFT ( a+2 RIGHT ) t ^{2} +6at]

점 [eqn: rmP]가 [eqn: 0<t<2], [eqn: t>a]에서 양의 방향으로,

[eqn: 2<t<a]에서 음의 방향으로 움직이고

[eqn: t>0]에서 점 [eqn: rmP]의 위치가 [eqn: 0]이 되는 순간이

한 번뿐이므로 [eqn: x LEFT ( a RIGHT ) =0]

[eqn: a ^{3} - {3} over {2} LEFT ( a+2 RIGHT ) a ^{2} +6a ^{2} =0]에서 [eqn: a>2]이므로 [eqn: a=6]

따라서 [eqn: v LEFT ( 8 RIGHT ) =3 TIMES 6 TIMES 2=36]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]([eqn: t GEQ 0])에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가

[eqn: v LEFT ( it t RIGHT )][eqn: =3 LEFT ( t-2 RIGHT ) LEFT ( t-a RIGHT )] ([eqn: a>2]인 상수)

이다. 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t=0]에서의 위치는 [eqn: 0]이고,
[eqn: t>0]에서 점 [eqn: rmP]의 위치가 [eqn: 0]이 되는 순간은 한 번뿐이다.
[eqn: v LEFT ( 8 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 27]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 45]	④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 63]

[2204교-고3-13]

⑤ [eqn: 27]

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기

[eqn: G` LEFT ( x RIGHT ) = int _{1} ^{x} {LEFT ( x-t RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt]라 하자.

함수 [eqn: G` LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로

[eqn: lim _{x` rarrow `2} {{1} over {x-2} int _{1} ^{x} {LEFT ( x-t RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt} = lim _{x` rarrow `2} {{G` LEFT ( x RIGHT )} over {x-2}}} =3]에서

[eqn: G` LEFT ( 2 RIGHT ) =0], [eqn: G` prime LEFT ( 2 RIGHT ) =3]

[eqn: G` LEFT ( x RIGHT ) =x int _{1} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt- int _{1} ^{x} {tf LEFT ( t RIGHT ) dt}}]에서

[eqn: G` prime LEFT ( x RIGHT ) = int _{1} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT )} dt+xf LEFT ( x RIGHT ) -xf LEFT ( x RIGHT ) = int _{1} ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) dt]

[eqn: G` prime LEFT ( 2 RIGHT ) = int _{1} ^{2} {f LEFT ( t RIGHT ) dt =3]

[eqn: G` LEFT ( 2 RIGHT ) =2 int _{1} ^{2} {f LEFT ( t RIGHT ) dt- int _{1} ^{2} {tf LEFT ( t RIGHT ) dt=0]에서

[eqn: int _{1} ^{2} {tf LEFT ( t RIGHT ) dt=2 int _{1} ^{2} {f LEFT ( t RIGHT ) dt=6]

따라서

[eqn: int _{1} ^{2} {LEFT ( 4x+1 RIGHT ) f} LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: =4 int _{1} ^{2} {xf LEFT ( x RIGHT ) dx} + int _{1} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx]
[eqn: =4 TIMES 6+3=27]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: lim _{x` rarrow `2} {{1} over {x-2} int _{1} ^{x} {LEFT ( x-t RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt} =3}]

을 만족시킬 때, [eqn: int _{1} ^{2} {LEFT ( 4x+1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값은?

① [eqn: 15]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 21]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 27]

[2204교-고3-22]

[eqn: 30`]

[출제의도] 정적분을 이용하여 추론하기

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {LEFT { `f` prime LEFT ( t+a RIGHT ) TIMES f` prime LEFT ( t-a RIGHT ) RIGHT } dt}]의 양변을 [eqn: x]에

대하여 미분하면 [eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) =f` prime LEFT ( x+a RIGHT ) TIMES f` prime LEFT ( x-a RIGHT )]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: 3]인 이차함수이므로

방정식 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =0]의 서로 다른 실근의 개수는

[eqn: 0] 또는 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]이다.

(ⅰ) 방정식 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =0]의 서로 다른 실근의 개수가
[eqn: 0] 또는 [eqn: 1]인 경우
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]이므로
[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) =f` prime LEFT ( x+a RIGHT ) TIMES f` prime LEFT ( x-a RIGHT ) GEQ 0]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 극값을 갖지 않으므로 조건을
만족시키지 않는다.

(ⅱ) 방정식 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =0]의 서로 다른 실근의 개수가
[eqn: 2]인 경우
[eqn: f`prime LEFT ( x RIGHT ) =3 LEFT ( x- alpha RIGHT ) LEFT ( x- beta RIGHT )]([eqn: alpha<beta])라 하자.

(a) [eqn: alpha +a< beta -a]일　때
두 함수 [eqn: y=f` prime LEFT ( x+a RIGHT )], [eqn: y=f` prime LEFT ( x-a RIGHT )]의
그래프의 개형은 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y=f `prime LEFT ( x+a RIGHT )]

[eqn: y=f` ' LEFT ( x-a RIGHT )]

[eqn: alpha-a]

[eqn: alpha+a]

[eqn: beta -a]

[eqn: beta +a]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: alpha-a]	[eqn: CDOTS]	[eqn: alpha +a]	[eqn: CDOTS]	[eqn: beta-a]	[eqn: CDOTS]	[eqn: beta +a]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f` prime LEFT ( x+a RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: f` prime LEFT ( x-a RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는
[eqn: x=alpha -a], [eqn: x= alpha +a], [eqn: x= beta -a], [eqn: x= beta +a]에서
극값을 가지므로 조건을 만족시키지 않는다.

(b) [eqn: alpha +a= beta -a]일 때
두 함수 [eqn: y=f` prime LEFT ( x+a RIGHT )], [eqn: y=f` prime LEFT ( x-a RIGHT )]의
그래프의 개형은 그림과 같다.

[eqn: y=f` prime LEFT ( x+a RIGHT )]

[eqn: y=f` prime LEFT ( x-a RIGHT )]

[eqn: alpha-a]

[eqn: alpha +a LEFT ( = beta -a RIGHT )]

[eqn: beta +a]

[eqn: x]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: alpha-a]	[eqn: CDOTS]	[eqn: alpha +a] [eqn: LEFT ( = beta -a RIGHT )]	[eqn: CDOTS]	[eqn: beta +a]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f` prime LEFT ( x+a RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: f` prime LEFT ( x-a RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]		[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=alpha -a], [eqn: x= beta +a]에서만
극값을 가지므로 조건에 의하여
[eqn: LEFT ( beta +a RIGHT ) - LEFT ( alpha -a RIGHT ) = {13} over {2} - {1} over {2} =6]
[eqn: beta-alpha=2a]이므로
[eqn: LEFT ( beta +a RIGHT ) - LEFT ( alpha -a RIGHT ) = LEFT ( beta - alpha RIGHT ) +2a=4a]
[eqn: 4a=6]에서 [eqn: a= {3} over {2}]
그러므로 [eqn: alpha- {3} over {2} = {1} over {2}]에서 [eqn: alpha=2]이고,
[eqn: beta+ {3} over {2} = {13} over {2}]에서 [eqn: beta =5]이다.

(c) [eqn: beta -a<alpha+a]일 때
두 함수 [eqn: y=f` prime LEFT ( x+a RIGHT )], [eqn: y=f` prime LEFT ( x-a RIGHT )]의
그래프의 개형은 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: beta+a]

[eqn: alpha+a]

[eqn: beta-a]

[eqn: alpha-a]

[eqn: y=f` prime LEFT ( x+a RIGHT )]

[eqn: y=f` prime LEFT ( x-a RIGHT )]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: alpha-a]	[eqn: CDOTS]	[eqn: beta-a]	[eqn: CDOTS]	[eqn: alpha +a]	[eqn: CDOTS]	[eqn: beta +a]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f` prime LEFT ( x+a RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: f` prime LEFT ( x-a RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는
[eqn: x=alpha -a], [eqn: x= beta -a], [eqn: x= alpha +a], [eqn: x= beta +a]에서
극값을 가지므로 조건을 만족시키지 않는다.

그러므로 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3 LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {LEFT ( 3x ^{2} -21x+30 RIGHT ) dx]
[eqn: =x ^{3} - {21} over {2} x ^{2} +30x+C] ([eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =it- {1} over {2}]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} - {21} over {2} x ^{2} +30x- {1} over {2}]

따라서 [eqn: a TIMES f LEFT ( 1 RIGHT ) = {3} over {2} TIMES LEFT ( 1- {21} over {2} +30- {1} over {2} RIGHT ) =30]

양수 [eqn: a]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{x} {LEFT { `f` prime LEFT ( t+a RIGHT ) TIMES f` prime LEFT ( t-a RIGHT ) RIGHT } dt}]

가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x= {1} over {2}]과 [eqn: x= {13} over {2}]에서만 극값을 갖는다.

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = it - {1} over {2}]일 때, [eqn: a times f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[2206평-고3-11]

⑤ [eqn: 24`]

[출제의도] 수직선 위를 움직이는 점의 움직인 거리를 구할 수 있는가?

점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]([eqn: t GEQ 0])에서의 위치를 [eqn: x _{1} LEFT ( t RIGHT )]라 하면

[eqn: x _{1} LEFT ( t RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{t} {} LEFT ( 2-t RIGHT ) `dt]
[eqn: = LEFT [ `2t- {1} over {2} t ^{2} ` RIGHT ] _{0}^{t}]
[eqn: = it 2t- {1} over {2} t ^{2}]

따라서 출발 후 점 [eqn: rmP]가 원점으로 돌아온 시각은

[eqn: 2t- {1} over {2} t ^{2}][eqn: =0], [eqn: t ^{2} -4t][eqn: =0]

[eqn: t LEFT ( t-4 RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: t][eqn: =4]

이므로

출발한 시각부터 점 [eqn: rmP]가 원점으로 돌아올 때까지 점 [eqn: rm Q]가 움직인 거리는

[eqn: int _{0} ^{b} {LEFT | `3t` RIGHT | dt}][eqn: = int _{0} ^{4} {} 3t`dt]
[eqn: = LEFT [ ` {3} over {2} t ^{2} ` RIGHT ] _{0}^{4}]
[eqn: =24]

시각 [eqn: t][eqn: =0]일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP,~Q]의 시각 [eqn: t]([eqn: t GEQ 0])에서의 속도가 각각

[eqn: v _{1} LEFT ( t RIGHT )][eqn: =2-t], [eqn: v _{2} ` LEFT ( t RIGHT )][eqn: =3t]

이다. 출발한 시각부터 점 [eqn: rmP]가 원점으로 돌아올 때까지 점 [eqn: rmQ]가 움직인 거리는?

① [eqn: 16`]	② [eqn: 18`]	③ [eqn: 20`]	④ [eqn: 22`]	⑤ [eqn: 24`]

[2206평-고3-14]

④ ㄱ, ㄷ

[출제의도] 함수의 그래프를 이해하고 명제의 참, 거짓을 판단할 수 있는가?

ㄱ. [eqn: x<0]일 때 [eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it -f LEFT ( x RIGHT )]
[eqn: x GEQ 0]일 때 [eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]
그런데 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: =0]에서 미분가능하고 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이므로
[eqn: lim _{x -> 0-} {} LEFT { -f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }][eqn: = lim _{x -> 0+} {} f LEFT ( x RIGHT )]
[eqn: -f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 0 RIGHT )], [eqn: 2`f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0] (참)

ㄴ. [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{0} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt][eqn: =0]이고 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 삼차함수이므로
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} LEFT ( x-a RIGHT )] (단, [eqn: a]는 상수)
로 놓으면
[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x LEFT ( x-a RIGHT ) +x ^{2}][eqn: =x LEFT ( 3x-2a RIGHT )]

(ⅰ) [eqn: a>0]일 때
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{~-x LEFT ( 3x-2a RIGHT )&~~~ LEFT ( x<0 RIGHT )#eqalign{# ~x LEFT ( 3x-2a RIGHT )}&eqalign{# ~~~ LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}}]
이므로 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같고 [eqn: x][eqn: =0]에서 극댓값을 갖는다.

(ⅱ) [eqn: a<0]일 때
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{~-x LEFT ( 3x-2a RIGHT )&~~~ LEFT ( x<0 RIGHT )#eqalign{# ~x LEFT ( 3x-2a RIGHT )}&eqalign{# ~~~ LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}}]
이므로 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같고 [eqn: x][eqn: = {a} over {3}]에서 극댓값을 갖는다.

(ⅲ) [eqn: a][eqn: =0]일 때
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{~-3x ^{2}&~~~ LEFT ( x<0 RIGHT )#eqalign{# ~3x ^{2}}&eqalign{# ~~~ LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}}]
이므로 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 극댓값이 존재하지 않는다.
(거짓)

ㄷ. (ⅰ) ㄴ. (ⅰ)인 경우
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =3-2a]이므로 [eqn: 2<3-2a<4]에서
[eqn: 0<a< {1} over {2}]
또한, [eqn: x<0]일 때
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it - LEFT ( 3x-2a RIGHT ) -3x][eqn: = it -6x+2a]
이므로
[eqn: lim _{x -> 0-} {} f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2a]
이때 [eqn: 0<2a<1]이므로 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y][eqn: =x]는 그림과 같이 세 점에서 만난다.

따라서 [eqn: 2<f LEFT ( 1 RIGHT ) <4]일 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 3]이다.

(ⅱ) ㄴ. (ⅱ)인 경우
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =3-2a]이므로 [eqn: 2<3-2a<4]에서
[eqn: - {1} over {2} <a<0]
또한, [eqn: x>0]일 때
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( 3x-2a RIGHT ) +3x][eqn: =6x-2a]
이므로
[eqn: lim _{x -> 0+} {} f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it -2a]
이때 [eqn: 0< it -2a<1]이므로 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y][eqn: =x]는 그림과 같이 세 점에서 만난다.

따라서 [eqn: 2<f LEFT ( 1 RIGHT ) <4]일 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 3]이다.

(ⅲ) ㄴ. (ⅲ)인 경우
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =3]이고 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y][eqn: =x]는 그림과 같이 세 점에서 만난다.

따라서 [eqn: 2<f LEFT ( 1 RIGHT ) <4]일 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 3]이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[다른풀이]

ㄷ. (ⅰ) ㄴ. (ⅰ)인 경우
[eqn: 0<a< {1} over {2}]이고

① [eqn: x<0]일 때, [eqn: -x LEFT ( 3x-2a RIGHT )][eqn: =x]
[eqn: -3x+2a][eqn: =1], [eqn: x][eqn: = {2a-1} over {3}]

② [eqn: x GEQ 0]일 때, [eqn: x LEFT ( 3x-2a RIGHT )][eqn: =x]
[eqn: x LEFT ( 3x-2a-1 RIGHT )][eqn: =0]
[eqn: x][eqn: =0] 또는 [eqn: x][eqn: = {2a+1} over {3}]

따라서 [eqn: 2<f LEFT ( 1 RIGHT ) <4]일 때,

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x]은 서로 다른 실근

[eqn: {2a-1} over {3}], [eqn: 0], [eqn: {2a+1} over {3}]을 갖는다.

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{~- int _{0} ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt&~~~ LEFT ( x<0 RIGHT )#eqalign{# ~ int _{0} ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt}&eqalign{# ~~~ LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}}]

을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[보기]

ㄱ. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]

ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 극댓값을 갖는다.

ㄷ. [eqn: 2<f LEFT ( 1 RIGHT ) <4]일 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 3]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ	④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[2206평-고3-20]

[eqn: 13]

[출제의도] 정적분으로 나타낸 함수를 이해하고 극솟값을 가질 조건을 구할 수 있는가?

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]이면

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{x} ^{x+1} {LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} dt]
[eqn: = int _{x} ^{x+1} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt]

이므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 이차함수이고 이때 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 극소인 [eqn: x]의 값은 [eqn: 1]개뿐이다.

따라서 조건을 만족시키지 못한다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( x- alpha RIGHT ) LEFT ( x- beta RIGHT )]([eqn: alpha < beta])라 하면

함수 [eqn: y][eqn: = LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT |]의 그래프는 그림과 같고

[eqn: x][eqn: =1], [eqn: x][eqn: =4]에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 극소이므로

[eqn: g' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0], [eqn: g' LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: =0]이다.

(ⅰ) [eqn: x< alpha `<x+1]일 때

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{x} ^{x+1} {} LEFT | `f LEFT ( t RIGHT ) ` RIGHT | `dt]
[eqn: = int _{x} ^{alpha } {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt+ int _{alpha } ^{x+1} {} LEFT { -f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } `dt]
[eqn: = it - int _{alpha } ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt- int _{alpha } ^{x+1} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt]
[eqn: = it - int _{alpha } ^{x} {} 2 LEFT ( t- alpha RIGHT ) LEFT ( t- beta RIGHT ) `dt- int _{alpha } ^{x+1} {} 2 LEFT ( t- alpha RIGHT ) LEFT ( t- beta RIGHT ) `dt]
[eqn: = it - int _{alpha } ^{x} {} 2 LEFT ( t- alpha RIGHT ) LEFT ( t- beta RIGHT ) `dt- int _{alpha -1} ^{x} {} 2 LEFT ( t+1- alpha RIGHT ) LEFT ( t+1- beta RIGHT ) `dt]

이므로

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it -2 LEFT ( x- alpha RIGHT ) LEFT ( x- beta RIGHT ) -2 LEFT ( x+1- alpha RIGHT ) LEFT ( x+1- beta RIGHT )]

[eqn: g' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = it -2 LEFT ( 1- alpha RIGHT ) LEFT ( 1- beta RIGHT ) -2 LEFT ( 2- alpha RIGHT ) LEFT ( 2- beta RIGHT )]
[eqn: =6 alpha +6 beta -4 alpha beta -10][eqn: =0]

[eqn: 3 alpha +3 beta -2 alpha beta -5][eqn: =0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

(ⅱ) [eqn: x< beta `<x+1]일 때

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{x} ^{x+1} {} LEFT | `f LEFT ( t RIGHT ) ` RIGHT | `dt]
[eqn: = int _{x} ^{beta } {} LEFT { -f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } `dt+ int _{beta } ^{x+1} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt]
[eqn: = int _{beta } ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt- int _{beta } ^{x+1} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt]
[eqn: = int _{beta } ^{x} {} 2 LEFT ( t- alpha RIGHT ) LEFT ( t- beta RIGHT ) `dt+ int _{beta } ^{x+1} {} 2 LEFT ( t- alpha RIGHT ) LEFT ( t- beta RIGHT ) `dt]
[eqn: = int _{beta } ^{x} {} 2 LEFT ( t- alpha RIGHT ) LEFT ( t- beta RIGHT ) `dt- int _{beta -1} ^{x} {} 2 LEFT ( t+1- alpha RIGHT ) LEFT ( t+1- beta RIGHT ) `dt]

이므로

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( x- alpha RIGHT ) LEFT ( x- beta RIGHT ) +2 LEFT ( x+1- alpha RIGHT ) LEFT ( x+1- beta RIGHT )]

[eqn: g' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = it 2 LEFT ( 4- alpha RIGHT ) LEFT ( 4- beta RIGHT ) -2 LEFT ( 5- alpha RIGHT ) LEFT ( 5- beta RIGHT )]
[eqn: =82-18 alpha -18 beta +4 alpha beta][eqn: =0]

[eqn: 9 alpha +9 beta -2 alpha beta -41][eqn: =0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: alpha beta][eqn: = {13} over {2}]

이므로

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =2 alpha beta][eqn: =2 TIMES {13} over {2}][eqn: =13]

최고차항의 계수가 [eqn: 2]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{x} ^{x+1} {} LEFT | `f LEFT ( t RIGHT ) ` RIGHT | `dt]는 [eqn: x][eqn: =1]과 [eqn: x][eqn: =4]에서 극소이다. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[2207교-고3-09]

④ -1

[출제의도] 정적분 이해하기

[eqn: int _{0} ^{1} {} f` prime LEFT ( x RIGHT ) dx= int _{0} ^{2} {} f` prime LEFT ( x RIGHT ) dx=0`]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT ) =0`]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =k`][eqn: `( pile][eqn: k`]는 상수[eqn: pile{)`}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) +k`][eqn: =x ^{3} -3x ^{2} +2x+k`]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -6x+2`]

따라서 [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) = it -1`]

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가
[eqn: int _{0} ^{1} {} f` prime LEFT ( x RIGHT ) dx= int _{0} ^{2} {} f` prime LEFT ( x RIGHT ) dx=0`]
을 만족시킬 때, [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) `]의 값은?

	①	[eqn: -4]	②	[eqn: -3]	③	[eqn: -2`]	④	[eqn: -1`]	⑤	[eqn: 0]

[2207교-고3-15]

① [eqn: - {4 sqrt {3}} over {3} `]

[출제의도] 정적분으로 정의된 함수를 활용하여 문제 해결하기

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x=0`]에서 미분가능하므로 [eqn: x=0`]에서 연속이다.

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =0`]이므로 [eqn: lim _{x` rarrow `0-} {g LEFT ( x RIGHT )} =f LEFT ( 2 RIGHT ) =0`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-p RIGHT ) `][eqn: `(pile][eqn: p`]는 상수[eqn: pile{)`}][eqn: pile]라 하면

[eqn: f LEFT ( x+2 RIGHT ) =x LEFT ( x+2-p RIGHT ) `]

[eqn: lim _{h` rarrow `0-} {{g LEFT ( 0+h RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )} over {h} =2-p} `]

함수 [eqn: xf LEFT ( x RIGHT ) `]의 한 부정적분을 [eqn: F`LEFT ( x RIGHT ) `]라 하면

[eqn: lim _{h`->`0+} {{g LEFT ( 0+h RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )} over {h}}][eqn: = lim _{h`->`0+} {{F` LEFT ( h RIGHT ) -F` LEFT ( 0 RIGHT )} over {h}} `][eqn: =F`' LEFT ( 0 RIGHT ) =0`]

[eqn: g` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =2-p=0`], [eqn: p=2`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} `]

그러므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{###}}]	[eqn: x ^{2} `]	[eqn: LEFT ( x<0 RIGHT ) `]
	[eqn: int _{0} ^{x} {t(t-2) ^{2} dt} `]	[eqn: LEFT ( x ge0 RIGHT ) `]

[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) = {cases{###}}]	[eqn: 2x`]	[eqn: LEFT ( x<0 RIGHT ) `]
	[eqn: 0`]	[eqn: LEFT ( x=0 RIGHT ) `]
	[eqn: x LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} `]	[eqn: LEFT ( x> 0 RIGHT ) `]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]의 증가와 감소를 표로 나타내면

다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]	↘	극소	↗		↗

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =0`]인 경우
[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) `]이므로 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x=k`]에서
미분가능하지 않은 실수 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 0`]

(ⅱ) [eqn: 0<g LEFT ( a RIGHT ) <g LEFT ( 2 RIGHT ) `] 또는 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) <g LEFT ( a RIGHT ) `]인 경우
방정식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 두 근을 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]라 하면
[eqn: lim _{x` rarrow ` alpha -} {{h LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( alpha RIGHT )} over {x- alpha } != lim _{x` rarrow ` alpha +} {{h LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( alpha RIGHT )} over {x- alpha }}} `]
[eqn: lim _{x` rarrow ` beta -} {{h LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( beta RIGHT )} over {x- beta } != lim _{x` rarrow ` beta +} {{h LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( beta RIGHT )} over {x- beta }} }`]
함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x= alpha `], [eqn: x= beta `]에서
미분가능하지 않다.
함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x=k`]에서 미분가능하지 않은
실수 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 2`]

(ⅲ) [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =g LEFT ( 2 RIGHT ) `]인 경우
방정식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 두 근을
[eqn: gamma `][eqn: LEFT ( gamma <0 RIGHT ) `], [eqn: 2`]라 하면
[eqn: lim _{x` rarrow ` gamma -} {{h LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( gamma RIGHT )} over {x- gamma } != lim _{x` rarrow ` gamma +} {{h LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( gamma RIGHT )} over {x- gamma }}}`]
함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x= gamma `]에서 미분가능하지 않다.
[eqn: 0<x<2`]일 때, [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( 2 RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) `]이므로
[eqn: lim _{x` rarrow `2-} {{h LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2} = it -g` prime LEFT ( 2 RIGHT ) =0}`]
[eqn: x>2`]일 때, [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT ) `]이므로
[eqn: lim _{x` rarrow `2+} {{h LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2} =g`' LEFT ( 2 RIGHT ) =0}`]
함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=2`]에서 미분가능하다.
함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x=k`]에서 미분가능하지 않은
실수 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 1`]

[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) = int _{0} ^{2} {} t LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2} dt= {4} over {3} `]이므로

[eqn: g LEFT ( gamma RIGHT ) = gamma ^{2} = {4} over {3} `], [eqn: gamma = it - {2 sqrt {3}} over {3} `]
따라서 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x=k`]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: k`]의 개수가 [eqn: 1`]이 되도록 하는
모든 [eqn: a`]의 값의 곱은 [eqn: 2 TIMES LEFT ( - {2 sqrt {3}} over {3} RIGHT ) = it - {4 sqrt {3}} over {3} `]

[참고]

함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여 함수

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{###}}]	[eqn: f LEFT ( x+2 RIGHT ) `]	[eqn: LEFT ( x<0 RIGHT ) `]
	[eqn: int _{0} ^{x} {} tf LEFT ( t RIGHT ) dt`]	[eqn: LEFT ( x GEQ 0 RIGHT ) `]

이 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. 실수 [eqn: a`]에 대하여 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]를
[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | `]
라 할 때, 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x=k`]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: k`]의 개수가 [eqn: 1`]이 되도록 하는 모든 [eqn: a`]의 값의 곱은?

	①	[eqn: - {4 sqrt {3}} over {3} `]	②	[eqn: - {7 sqrt {3}} over {6} `]	③	[eqn: - sqrt {3} `]
	④	[eqn: - {5 sqrt {3}} over {6} `]	⑤	[eqn: - {2 sqrt {3}} over {3} `]

[2207교-고3-20]

8

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제 해결하기

[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x int _{0} ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) dt+x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) -x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) `]
[eqn: =2x int _{0} ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) dt`]

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) dt`]라 하면 [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) =0`]

조건 (나)에 의하여

방정식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 실근은 [eqn: 0`]과 [eqn: 3`]이므로

(ⅰ) [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} LEFT ( x-3 RIGHT ) `][eqn: `( pile][eqn: a`]는 상수[eqn: pile{)`}][eqn: pile]라 하면
[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) =2ax ^{3} LEFT ( x-3 RIGHT ) `]이고 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=0`], [eqn: x=3`]에서 극값을 가지므로 모순

(ⅱ) [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =ax LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} `][eqn: `( pile][eqn: a`]는 상수[eqn: pile{)`}][eqn: pile]라 하면
[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) =2ax ^{2} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} `]이므로
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 극값을 갖지 않는다.

[eqn: h` prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) `]
[eqn: =a LEFT ( 3x ^{2} -12x+9 RIGHT ) `][eqn: =3a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) `]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최고차항의 계수가 [eqn: 3`]이므로 [eqn: a=1`]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) `]

따라서

[eqn: int _{0} ^{3} {} LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx`]

[eqn: =3 int _{0} ^{3} {} LEFT | LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) RIGHT | dx`]

[eqn: =3 int _{0} ^{1} {} LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) dx-3 int _{1} ^{3} {} LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) dx`]

[eqn: =3 LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -2x ^{2} +3x RIGHT ] _{0}^{1} -3 LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -2x ^{2} +3x RIGHT ] _{1}^{3} `]

[eqn: =3 LEFT ( {1} over {3} -2+3 RIGHT ) -3 LEFT ( 9-18+9- {1} over {3} +2-3 RIGHT ) =8`]

최고차항의 계수가 [eqn: 3`]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여 함수
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} int _{0} ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) dt- int _{0} ^{x} {} t ^{2} f LEFT ( t RIGHT ) dt`]
가 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 극값을 갖지 않는다. (나) 방정식 [eqn: g`' LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 모든 실근은 [eqn: 0`], [eqn: 3`]이다.

[eqn: int _{0} ^{3} {} LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx`]의 값을 구하시오.

[2207사관-고3-20]

[eqn: 14`]

(가), (나)의 조건에 따르면 [eqn: s(3)-x(3)=8`]이고 [eqn: k=3`], [eqn: int _{ t_1} ^{3 } {v(t) }dt =4`]

[eqn: int _{ t_1} ^{3 } {v(t) }dt =4` = 1 over2 cdot (3-t_1 )cdot4 `]이므로 [eqn: t_1 = 1`]

그러므로 [eqn: vert` 3a-b ` vert =4`]이고 [eqn: 2a-b=0`]

따라서 [eqn: a=4,```b=8`]

[eqn: v(6)=12`]이므로

[eqn: int _{1} ^{6} {v(t)}dt = int _{ 1} ^{3 } { v(t)}dt+ int _{ 3} ^{6 } {v(t) }dt ``]

[eqn: = -4+ 1 over2 cdot 3 cdot12 =14`]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: P``]의 시각 [eqn: t`(t>=0)`]에서의 속도는

[eqn: v(t)= ` vert``at-b``vert -4 ````(a>0,```b>4)``]

이다. 시각 [eqn: t=0`]에서 [eqn: t=k`]까지 점 [eqn: P``]가 움직인 거리를 [eqn: s(k)`], 시각 [eqn: t-0`]에서 [eqn: t=k`]까지 점 [eqn: P``]의 위치의 변화량을 [eqn: x(k)`]라 할 때, 두 함수 [eqn: s(k),```x(k)``]가 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) [eqn: 0<=k<3`]이면 [eqn: s(k)-x(k)<8``]이다. (나) [eqn: k>=3 `]이면 [eqn: s(k)-x(k)=8``]이다.

시각 [eqn: t=1`]에서 [eqn: t=6``]까지 점 [eqn: P``]의 위치의 변화량을 구하시오. (단, [eqn: a,```b`]는 상수이다.)

[2207사관-고3-22]

[eqn: 11`]

[eqn: g(x)= cases{ ``2f(x)-1 ~~~~&(f(x)>=1)#``1&(f(x)<1)}``]

(가)에서 [eqn: y=f(x)`,```y=g(x)``]의 그래프의 교점은 [eqn: vert` f(x)-1 ` vert =0`]에서 생김.

[eqn: y=f(x)`,```y=g(x)``]의 그래프의 교점의 [eqn: x``]좌표 합은 3이고

[eqn: f(x)`]는 [eqn: x=1``]에서 [eqn: y=1`]에 접하므로 [eqn: f(x)= a(x-1)^2 (x-2)+1`]

(나)를 만족시키려면 [eqn: a<0`]

[eqn: int _{0} ^{n} { g(x)}dx``]는 [eqn: x=2``]에서 가장 크므로

[eqn: int _{0} ^{2} { g(x)}dx`= 2a int _{ 0} ^{2 } {(x-1)^2 (x-2) }dx +2]

[eqn: = 2a left{int _{ 0} ^{2 } {(x-1)^3 }dx - int _{ 0} ^{2 } {(x-1)^2 }dx right} +2`]

[eqn: = 2- 4 over3 a ``]

[eqn: 2<2- 4 over3 a `< 2+16`]이므로 [eqn: a>-12`]

따라서 이를 만족하는 함수 [eqn: f(x)`]의 개수는 [eqn: 11`]개다.

최고차항의 계수가 정수인 삼차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 [eqn: f(1)=1`,```f`'(1)=0``]이다. 함수 [eqn: g(x)`]를

[eqn: g(x)= f(x)+ vert``f(x)-1``vert ``]

이라 할 때, 함수 [eqn: g(x)`]가 다음 조건을 만족시키도록 하는 함수 [eqn: f(x)``]의 개수를 구하시오.

	(가) 두 함수 [eqn: y=f(x)`,```y=g(x)``]의 그래프의 모든 교점의 [eqn: x`]좌표의 합은 [eqn: 3`]이다. (나) 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n< int _{ 0} ^{n } {g(x) }dx<n+16``]이다.

[2207경찰-고3-05]

① [eqn: - 12 over5 `]

사차함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=1``]에서 극값 [eqn: 2``]를 갖고, [eqn: f(x)``]가 [eqn: x^3 `]으로 나누어떨어질 때, [eqn: int _{ 0} ^{2 } { f(x-1)}dx``]의 값은?

① [eqn: - 12 over5 `]	② [eqn: - 7 over5 `]	③ [eqn: - 2 over5 `]	④ [eqn: 3 over5 `]	⑤ [eqn: 8 over 5 `]

[2207경찰-고3-10]

③ [eqn: 81`]

함수

[eqn: f(x)= cases{ ``(x+2)^2 ~~~~~&(x<=0) #``-x(-2)^2 +8 ~~&(x>0)`]

이 있다. 실수 [eqn: m``(m<4)`]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)``]와 직선 [eqn: y=mx+4 `]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: h(m)``]이라 할 때, [eqn: h(-2)+h(1)``]의 값은?

① [eqn: 75`]	② [eqn: 78`]	③ [eqn: 81`]	④ [eqn: 84`]	⑤ [eqn: 87`]

[2207경찰-고3-18]

② [eqn: - 1 over3 `]

함수

[eqn: f(x)= cases{ ``1+x ~~~&(-1<x<0)#``1-x &(`0<=x<=1)#``0&(` vert`x `vert`>1)]

에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를

[eqn: g(x)= int _{ -1} ^{x } { f(t) left{ 2x-f(t) right}}dt``]

라 할 때, 함수 [eqn: g(x)`]의 최솟값은?

① [eqn: - 1 over4 `]	② [eqn: - 1 over3 `]	③ [eqn: - 5over12 `]

④ [eqn: - 1 over2 `]	⑤ [eqn: - 7 over 12 `]

O

1

-1

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f(x)]

[2209평-고3-10]

④ [eqn: 4`]

[eqn: int _{ 0} ^{2 } {v(t) }dt=left[ t^3 + a over2 t^2 right]_0 ^2 = 8+2a=16`]

수직선 위의 점 [eqn: A(6)]과 시각 [eqn: t=0`]일 때, 원점을 출발하여 이 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: P``]가 있다. 시각 [eqn: t`(t>=0`)`]에서의 점 [eqn: P``]의 속도 [eqn: v(t)`]를

[eqn: v(t)=3t^2 +at ~(a>0)``]

이라 하자. 시각 [eqn: t=2``]에서 점 [eqn: P``]와 점 [eqn: A``]사이의 거리가 [eqn: 10``]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]	④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

[2209평-고3-14]

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

ㄱ. [eqn: g(0)=0`]이면 [eqn: int _{ 0} ^{1 } { f(x)}dx = int _{ 0} ^{ 1} { vert`f(x) `vert }dx ``]이므로

[eqn: f(x)= x(x-1)(x-a)``~~(a>1)`]의 형태가 되고

[eqn: int _{ -1} ^{0 } { f(x)}dx <0`], [eqn: int _{ -1} ^{0 } { vert`f(x)`vert}dx > int _{ 0} ^{1 } {vert` f(x) `vert }dx``]이므로 [eqn: g(-1)<0``]

으로 참이 된다

ㄴ. [eqn: g(-1)>0``]이면 [eqn: int _{ -1} ^{0 } { f(x)}dx > int _{ 0} ^{1 } {vert` f(x) `vert }dx``]이므로

[eqn: f(x)=(x-a)x(x-1)`~~(a< -1)]의 형태가 됨

따라서 [eqn: k=a`]이므로 참

ㄷ. [eqn: intf(x)dx =F(x)``]라 하면 [eqn: g(-1)= F(0)-F(-1)-left( F(0)-F(1) right)``]

[eqn: =F(1)-F(-1)= int _{ -1} ^{1 } {f(x) }dx`>1``]

조건에 따라 [eqn: f(x)=x^3 +ax^2 +bx `], [eqn: a+b=-1`]이라 하자.

[eqn: int _{ -1} ^{1 } {f(x) }dx = 2 over3 a >1`]이므로 [eqn: a> 3 over2 ``]

[eqn: g(0)= 2 int _{ 0} ^{1 } {f(x) }dx= 1 over2 +2 over3 a + b over2 ``]

[eqn: = - 1 over2 - 1 over3 a < -1`]

이므로 참

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이고 [eqn: f(0)=0,```f(1)=0`]인 삼차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 함수 [eqn: g(t)`]를

[eqn: g(t)= int _{t} ^{t+1} { f(x)dx} - int _{ 0} ^{1 } { vert ` f(x) `vert }dx ``]

라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[보기]

ㄱ. [eqn: g(0)=0`]이면 [eqn: g(-1)<0`]이다.

ㄴ. [eqn: g(-1)>0`]이면 [eqn: f(k)=0`]을 만족시키는 [eqn: k< -1`]인

실수 [eqn: k`]가 존재한다.

ㄷ. [eqn: g(-1)>1`]이면 [eqn: g(0)< -1 `]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[2209평-고3-20]

[eqn: 80`]

[eqn: f`'(x) = 3x^2 +2x-1`]이므로 [eqn: f`'(t)=-4`]를 만족하는 [eqn: t``]는 존재하지 않고 [eqn: f`'(t)=4`]인 것은 [eqn: t=1``]일 존재함. [eqn: g(x)`]는 [eqn: A`(1,```1)``]에서 [eqn: f(x)`]와 접하므로 [eqn: k=-3``]

또 [eqn: g(x)`]는 [eqn: f(x)`]와 [eqn: B`(-1,```1)`]에서 만난다. [eqn: g(x)`]의 꺾인 점 [eqn: C``]는 [eqn: (0,```-3)``]이므로 구하고자 하는 넓이 [eqn: S`]는 [eqn: TRIANGLEABC`` - int _{ -1} ^{1 } { 1-f(x) }dx` = 4 - 4 over3 = 8 over3]

따라서 [eqn: 30 timesS``=80`]

상수 [eqn: k`(x<0)``]에 대하여 두 함수

[eqn: f(x)= x^3 +x^2 -x `,````g(x)= 4` vert ` x ` vert +k``]

의 그래프가 만나는 점의 개수가 [eqn: 2`]일 때, 두 함수의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S``]라 하자. [eqn: 30 timesS``]의 값을 구하시오.

빠른 정답

① [eqn: 64]

[eqn: 4`]

② [eqn: 36]

⑤ [eqn: 27]

[eqn: 30`]

⑤ [eqn: 24`]

④ ㄱ, ㄷ

[eqn: 13]

④ -1

① [eqn: - {4 sqrt {3}} over {3} `]

8

[eqn: 14`]

[eqn: 11`]

① [eqn: - 12 over5 `]

③ [eqn: 81`]

② [eqn: - 1 over3 `]

④ [eqn: 4`]

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: 80`]