[eqn: root {3} of {16} TIMES 2 ^{- {1} over {3}}] 의 값은? [2점]

2024년 7월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시      수학 영역

④

[eqn: root {3} of {16} TIMES 2 ^{- {1} over {3}} =2 ^{{4} over {3} - {1} over {3}} =2]

① [eqn: {1} over {4}]    ② [eqn: {1} over {2}]    ③ [eqn: 1]    ④ [eqn: 2]    ⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f(x)=2x ^{2} +5x-2]에 대하여

[eqn: lim _{x` -> 1} {` {f(x)-f(1)} over {x-1}}]의 값은? [2점]

④

[eqn: f`'(x)=4x+5] 에 대하여 [eqn: f`'(1)=4+5=9]

① [eqn: 6]    ② [eqn: 7]   ③ [eqn: 8]   ④ [eqn: 9]    ⑤ [eqn: 10]

[eqn: {pi } over {2} < theta < pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: tan theta =-2]일 때,

[eqn: sin( pi + theta )]의 값은? [3점]

①

① [eqn: - {2 sqrt {5}} over {5}]     ② [eqn: - {sqrt {10}} over {5}]     ③ [eqn: - {sqrt {5}} over {5}]

④ [eqn: {sqrt {5}} over {5}]        ⑤ [eqn: {2 sqrt {5}} over {5}]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim _{x` -> 0-} {`f(x)} + lim _{x -> 1+} {`f(x)}]의 값은? [3점]

[eqn: sin theta =` {2} over {sqrt {5}} `,`cos theta =- {1} over {sqrt {5}}] 이므로

[eqn: sin LEFT ( pi + theta RIGHT ) =- {2 sqrt {5}} over {5}]

⑤

[eqn: lim _{x` -> 0-} {`f(x)} + lim _{x -> 1+} {`f(x)}]=[eqn: 2+3=5]

① □    ② □    ③ 3    ④ 4    ⑤ 5

삼차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)-f(1)=x ^{3} +4x ^{2} -5x]를 만족시킬때

[eqn: int _{1} ^{2} {`f`'(x)`dx}]의 값을 구하시오. [3점]

③

[eqn: int _{1} ^{2} {`f` prime (x)`dx} =f(2)-f(1)=8+16-10=14]

① [eqn: 10]    ② [eqn: 12]    ③ [eqn: 14]    ④ [eqn: 16]    ⑤ [eqn: 18]

모든항이 얄수인  등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: {a _{3} +a _{4}} over {a _{1} +a _{2}} =4``,] [eqn: a _{2} a _{4} =1]일 때, [eqn: a _{6} +a _{7}]의 값은?                                        [3점]

⑤

[eqn: {a _{3} (1+r)} over {a _{1} (1+r)} =r ^{2} =4] 이므로 [eqn: r=2]

[eqn: a _{2} `a _{4} =a ^{2} r ^{4} =a ^{2} TIMES 16=1] 에서 [eqn: a= {1} over {4}]

[eqn: a _{6} +a _{7} =a _{6} (1+r)=8 LEFT ( 1+2 RIGHT ) =24]

① [eqn: 16]   ② [eqn: 18]   ③ [eqn: 20]   ④ [eqn: 22]   ⑤ [eqn: 24]

함수[eqn: f(x)=x ^{3} -3x+2a]의 극솟값이 [eqn: a+3]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)[3점]

②

[eqn: f`'(x)=3(x+1)(x-1)]

[eqn: x=-1] 에서 극대 [eqn: x=1] 에서 극소이므로

[eqn: f(1)=-2+2a] , [eqn: a+3=-2+2a`]에서 [eqn: a=5]

[eqn: f(-1)=-1+3+10=12]

① [eqn: 11]    ② [eqn: 12]    ③ [eqn: 13]    ④ [eqn: 14]    ⑤ [eqn: 15]

삼차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여  [eqn: xf`'(x)=6x ^{3} -x+f(0)+1`]을 만족시킬 때,

[eqn: f`(-1)]의 값은? [3점]

①

항등식 이므로 [eqn: x=0] 대입하면

[eqn: 0=f(0)+1`,``] 즉, [eqn: f(0)=-1] 이다.

[eqn: x`f`'(x)=6x ^{3} -x] 이므로 [eqn: f`'(x)=6x ^{2} -1``]

[eqn: f(x)=2x ^{3} -x-1] , 따라서 [eqn: f(-1)=-2]

① [eqn: -2]     ② [eqn: -1]     ③ [eqn: 0]    ④ [eqn: 1]     ⑤ [eqn: 2]

좌표평면 위의 서로 다른 세 점 [eqn: A(0`,`-log _{2} `9)`,`B(2a`,`log` _{2} `7`)`,`C(-log _{`2} 9`,`a)] 를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심의 좌표가 [eqn: (b`,`log _{`8} `7)]일 때, [eqn: 2 ^{a+3b}] 의 값은? [4점]

③

[eqn: b= {2a-log _{`2} `9} over {3}] 에서 [eqn: 3b=2a-log _{`2} 9]

[eqn: log` _{8} 7= {a+log _{2} 7-log _{`2} 9} over {3}] 에서 [eqn: 0=a-log _{`2} 9] 이므로

[eqn: a=log _{2} 9] , [eqn: 3b=2log _{`2} 9-log _{2} =log _{`2} 9] 이다.

따라서 [eqn: 2 ^{a+3b} =2 ^{`log _{2} 81} =81]

① [eqn: 63]   ② [eqn: 72]   ③ [eqn: 81]   ④ [eqn: 90]   ⑤ [eqn: 99]

양수 [eqn: a]에 대하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t`(t GEQ 0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]가 [eqn: v(t)=3t(a-t)]이다. 시각 [eqn: t=0]에서 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 16]이고 시각 [eqn: t=2a]에서 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 0]이다. 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=5]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는? [4점]

②

점 [eqn: rmP]의 위치를 [eqn: rmP][eqn: (t)]라 하면

[eqn: P(t)=-t ^{3} + {3} over {2} at ^{2} +C] 이다. ([eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: P(0)=16``] 이므로 [eqn: C=16]

[eqn: P(2a)=0] 이므로 [eqn: -8a ^{3} +6a ^{3} +16=0] 에서 [eqn: a=2 CDOTS ㉠]

즉, 움직인 거리를 [eqn: s]라 하면

[eqn: s= int _{0} ^{5} {` LEFT | v(t) RIGHT | dt= int _{0} ^{5} {LEFT | -3t ^{2} +6t RIGHT | `dt}}]

[eqn: = int _{0} ^{2} {`-3t ^{2} +6t} `dt+ int _{2} ^{5} {`3t ^{2} -6t} dt]

[eqn: = LEFT [ -t ^{3} +3t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{2} +][eqn: + LEFT [ t ^{3} -3t ^{2} RIGHT ] _{2} ^{5}] [eqn: =58]

① [eqn: 54]   ② [eqn: 58]   ③ [eqn: 62]   ④ [eqn: 66]   ⑤ [eqn: 70]

공차[eqn: `d(0<d<1)]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a _{5}] 는 자연수 이다.

(나) 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지          의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: S _{8} = {68} over {3}]이다.

[eqn: a _{16}]의 값은? [4점]

⑤

조건 (가) [eqn: a _{5} =a+4d=N``` CDOTS ㉠] ([eqn: N]은 자연수)

조건 (나) [eqn: S _{8} =4(2a+7d)=8a+28d] 이므로

[eqn: 8a+28d= {68} over {3} CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠]이 자연수 이므로 [eqn: ㉠ TIMES 8] 도 자연수 이다

즉, [eqn: 8a+32d=8N CDOTS ㉢]

[eqn: ㉡,㉢] 에서 [eqn: 8a+32d= {68} over {3} +4d=22+ {2} over {3} +4d=8N]  이므로

[eqn: 22+ {3} over {2} +4d=]자연수[eqn: CDOTS ㉣]

문제에서 [eqn: 0<d<1] 이므로 [eqn: 0<4d<4] 이고

[eqn: ㉣]에서 [eqn: 4d= {1} over {3} `,` {4} over {3} `,` {7} over {3} `,` {10} over {3}] 이렇게 4개가 될수 있다.

[eqn: (ⅰ)`4d= {1} over {3}] 일 때,

[eqn: 8a+32d=23`,``] [eqn: a+4d=a _{5} = {23} over {8}]

[eqn: a _{5}]가 자연수가 아니므로 조건 불만족

[eqn: (ⅱ)`4d= {4} over {3}] 일 때,

[eqn: 8a+32d=24`,``] [eqn: a+4d=a _{5} =3]

[eqn: a _{5}]가 자연수 이므로 조건 만족

[eqn: d= {1} over {3}] 이므로 [eqn: a _{16} =a _{5} +11d=3+ {11} over {3} = {20} over {3} CDOTS ㉤]

[eqn: (ⅲ)`4d= {7} over {3}] 일 때,

[eqn: 8a+32d=25`,``] [eqn: a+4d=a _{5} = {25} over {8}]

[eqn: a _{5}]가 자연수가 아니므로 조건 불만족

[eqn: (ⅳ)`4d= {10} over {3}] 일 때,

[eqn: 8a+32d=26`,``] [eqn: a+4d=a _{5} = {13} over {4}]

[eqn: a _{5}]가 자연수가 아니므로 조건 불만족

따라서 [eqn: ㉤] 에서 [eqn: a _{16} = {20} over {3}]

① [eqn: {19} over {3}]  ② [eqn: {77} over {12}]   ③ [eqn: {13} over {2}]   ④ [eqn: {79} over {12}]  ⑤ [eqn: {20} over {3}]

두 상수 [eqn: a`,`b] 에 대하여 실수 전체의 집합에서미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 0 LEQ x<4] 일 때,

[eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx] 이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x+4)=f(x)+16]이다.

[eqn: int _{4} ^{7} {`f(x)`dx}]값은? [4점]

④

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체에서 미분가능하므로 연속도 된다.

조건 (가) 구간 [eqn: [0`,`4`)``f(x)]는 원점 지나는 삼차함수

이므로 [eqn: f(0)=0] 이다.

조건 (나) 구간 [eqn: [4`,`5)] [eqn: f(x)]는 조건 (가)의 함수를

[eqn: x]축으로 4만큼 [eqn: y]축으로 [eqn: 16]만큼 평행이동 시키 함수이다.

연속 조건에서 [eqn: f(4-)=f(4+)=f(4)]

[eqn: f(4-)=64+16a+4b] , [eqn: f(4+)=f(0+)+16] 이므로

[eqn: 16a+4d=-48] 에서 [eqn: 4a+b=-12 CDOTS ㉠]

미분 가능 조건에서 [eqn: f`'(4-)=f`'(4+)]

[eqn: f`'(4-)=48+8a+b] , [eqn: f`'(4+)=f`'(0+)=b] 이므로

[eqn: 48+8a=0] , [eqn: a=-6``,`b=12 CDOTS ㉡]

즉, [eqn: f(x)=x ^{3} -6x ^{2} +12x```(0 LEQ x<4)]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 아래와 같다.

[eqn: int _{4} ^{7} {f(x)`dx=A+B}]   ([eqn: B=3 TIMES 16=48] , [eqn: A= int _{0} ^{3} {`f(x)dx}])

[eqn: A= int _{0} ^{3} {`x ^{3} -6x ^{2} +12x`dx= LEFT [ {1} over {4} x ^{4} -2x ^{3} +6x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{3} = {81} over {4}}]

따라서 [eqn: int _{4} ^{7} {f(x)`dx= {81} over {4} +48= {273} over {4}}]

① [eqn: {255} over {4}]  ② [eqn: {261} over {4}]  ③ [eqn: {267} over {4}]  ④ [eqn: {273} over {4}]  ⑤ [eqn: {279} over {4}]

그림과 같이 [eqn: rm ` {bar{BC}} = {36 sqrt {7}} over {7} `,`] [eqn: sin(rm ANGLE BAC)= {2 sqrt {7}} over {7}] , [eqn: rmANGLE ACB= {pi } over {3}] 인 삼각형 [eqn: rm`ABC]가 있다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 중심을 [eqn: rm`O], 직선[eqn: rm `AO]가 변 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. 삼격형 [eqn: rmADC]의 외접원의 중심을 [eqn: rmO`']라 할 때, [eqn: rm ` {bar{A`O`'}} =5 sqrt {3}] 이다. [eqn: rm ` {bar{OO`'}} ^{`2}] 값은?                                          [4점]

①

[eqn: rm {bar{BC}} = {36} over {sqrt {7}} `,``sinA= {2} over {sqrt {7}}] (유리화 하기 전으로)

[eqn: {BOX{``1st``}}] 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름 [eqn: rm`R= {bar{AO`}}] 에서

사인법칙 [eqn: {rm` {bar{BC}}} over {sin`A} =2R] 에서 [eqn: {{36} over {sqrt {7}}} over {{2} over {sqrt {7}}} =18=2R]          즉, [eqn: rm`R`= {bar{AO}} =9 CDOTS ㉠]

[eqn: {BOX{``2nd``}}] [eqn: rm ANGLE ACB= ANGLE ACD= {pi } over {3}] 이므로 원주각과 중심각

사이의 관계 [eqn: rm ANGLE AO prime D= {2 pi } over {3} CDOTS ㉡] [eqn: rm`TRIANGLE AO'D]는 이등        변 삼각형이므로 [eqn: rm ANGLE O prime AD= { pi } over {6} CDOTS ㉢]

[eqn: {BOX{``3rd``}}] [eqn: rmTRIANGLE AO'O`]에서 [eqn: rm ` {bar{O'O}} =][eqn: x]라 하면

	코싸인법칙에서 [eqn: cos` {pi } over {6} = {sqrt {3}} over {2} = {81+75-x ^{2}} over {2`·9·5 sqrt {3}}] 이므로 [eqn: 156-x ^{2} =135] , [eqn: x ^{2} =21]

① [eqn: 21] ② [eqn: {91} over {4}]  ③ [eqn: {49} over {2}]   ④ [eqn: {105} over {4}]   ⑤ [eqn: 28]

양수 [eqn: a`]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{`-2(x+1) ^{2} +4# }&eqalign{`(x LEQ 0)# }#`a(x-5)&``(x>0)}}]  이다..

함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수      [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: f(k)=g(k)]를 만족시키는 서로      다른 실수 [eqn: k]의 값이 [eqn: -2`,`0`,`2]일 때, [eqn: g(2a)]의       값은? [4점]

④

[eqn: y=g(x)] 그래프는 아래와 같다.

[eqn: g(x)=x(x+2)(x-k)+2=x ^{3} -(k-2)x ^{2} -2kx+2]

[eqn: g`'(x)=3x ^{2} -2(k-2)x-2k]

[eqn: g(2)=-3a] 에서

[eqn: -3a=8-4k+8-4k+2] , [eqn: 3a-8k=-18 CDOTS ㉠]

[eqn: g`'(2)=a] 에서

[eqn: a=12-4k+8-2k] , [eqn: a+6k=20 CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠`,`㉡]을 연립하면 [eqn: a=2`,`k=3` CDOTS ㉢]

따라서 [eqn: g(2a)=g(4)=4 TIMES 6 TIMES 1+2=26]

① [eqn: 14]   ② [eqn: 18]   ③ [eqn: 22]   ④ [eqn: 26]   ⑤ [eqn: 30]

첫째항이 자연수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = {cases{eqalign{` {1} over {2} `a _{n}# }&eqalign{````( {1} over {2} a _{n} `이`자연수)# }#``(a _{n} -1) ^{2}&````( {1} over {2} a _{n} 이`자연수가`아닌`경우)}}]

를 만족시킬 때, [eqn: a _{7} =1]가 되도록 하는

모든 [eqn: a _{1}]의 값의 곱은? [4점]

②

[eqn: a _{1}]이 자연수 이고

[eqn: a _{n+1} = {cases{eqalign{` {1} over {2} `a _{n}# }&eqalign{``````( {1} over {2} a _{n} 이`자연수인`경우)`` CDOTS Ⅰ형# }#``(a _{n} -1) ^{2}&``````( {1} over {2} a _{n} 이`자연수``아닌경우)` CDOTS Ⅱ형}}]

모든 항들은 자연수가 나온다는 것을 알 수 있다.

[eqn: a _{7} =1]에서 역방향으로 수열의 귀납적 정의에 의해 나열하여 추적해 보면

따라서 모든 [eqn: a]값의 합은

[eqn: 64+10+24+16+6+4+1=125]

① [eqn: 120]   ② [eqn: 125]   ③ [eqn: 130]  ④ [eqn: 135]   ⑤ [eqn: 140]

방정식 [eqn: log _{`5} `(x+9)=log` _{5} `4+log _{`5} (x-6)]를 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.[3점]

[eqn: 11]

진수 조건에서

[eqn: x+9>0] 와 [eqn: x-6>0] 이므로 [eqn: x>6 CDOTS ㉠]

[eqn: x+9=4(x-6)``,```3x=33] 이므로 [eqn: THEREFORE x=11]

함수 [eqn: f(x)=(x-3)(x ^{2} +x-2)]에 대하여

[eqn: f` prime (5)]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 50]

[eqn: f` prime (x)=(x ^{2} +x-2)+(x-3)(2x+1)]

[eqn: f` prime (5)=(25+3)+22=50]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `] 에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{15} `(3a _{k} +2)=45``,`````2 sum _{k=1} ^{9} `a _{k} =42+ sum _{k=1} ^{14} `a _{k} `]

일 때, [eqn: a _{15}] 의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 37]

[eqn: sum _{k=1} ^{15} `(3a _{k} +2)=45`] 에서 [eqn: sum _{k=1} ^{15} `a _{k} =15 CDOTS ㉠`]

[eqn: `2 sum _{k=1} ^{9} `a _{k} =42+ sum _{k=1} ^{14} `a _{k} `] 에서 [eqn: 10=42+ sum _{k=1} ^{14} a _{k}] 이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{14} `a _{k} `=-32 CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠`,`㉡]에서 [eqn: a _{15} =㉠-㉡=5-(-32)=37]

양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: 0 LEQ x LEQ 3]에서 정의된 두 함수 [eqn: f(x)=a`sin pi x`,`] [eqn: g(x)=a`cos pi x`] 가 있다.

두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]가 만나는 서로 다      른 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이가 [eqn: 2]      일 때, [eqn: a ^{2}]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 2]

[eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]는 주기와 최댓값 최솟값이 같은 함수 이다.

주기[eqn: =2] , 최댓값[eqn: =a] 최솟값[eqn: =-a]

[eqn: a`sin pi x=a`cos pi x] 에서 [eqn: x= {1} over {4} CDOTS ㉠]이고

그때의 [eqn: y]의 값은 [eqn: a`sin {pi } over {4} = {sqrt {2}} over {2} a]

삼각형의 세 꼭짓점을 [eqn: rmA`,`B,`C] 라 하고

점 [eqn: rmB]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmD]라 하면

[eqn: rm {bar{AC}} =2] 이고 [eqn: rm {bar{BD}} = sqrt {2}][eqn: a] 이므로

삼각형의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES sqrt {2} a= sqrt {2} a] 이다.

[eqn: sqrt {2} a=2] 이므로 [eqn: a= sqrt {2} ` CDOTS ㉠]

따라서 [eqn: a ^{2} =2]

두 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -12x`,`][eqn: g(x)=a(x-2)+2`][eqn: (a != 0)]에 대하여 함수 [eqn: h(x)]는

[eqn: h(x)= {cases{eqalign{`f(x)# }&eqalign{``(f(x) GEQ g(x))# }#`g(x)&```(f(x)<g(x))}}]  이다..

함수 [eqn: y=h(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]가

서로 다른 네점에서 만나도록 하는

실수 [eqn: k]가 존재한다.

함수 [eqn: h(x)]가 다음 조건을 만족시키도록 하는        모든 실수 [eqn: a]의 범위는 [eqn: m<a<M]이다.

[eqn: 10 TIMES (M-m)]의 값은? [4점]

35

[eqn: f(x)] 그래프는 원점대칭 극값이 있는 삼차함수로 명확하다.

[eqn: g(x)]는 기울기가 [eqn: a]이고 점[eqn: (2`,`2)]를 정점으로 하는 일차함수

[eqn: h(x)= {cases{eqalign{`f(x)# }&eqalign{``(f(x) GEQ g(x))# }#`g(x)&```(f(x)<g(x))}}]

방정식 [eqn: h(x)=k] 가 네 실근을 가지려면

[eqn: a<0 CDOTS ㉠] 여야 한다

그때의 그래프의 계형은 다음과 같다.

이때 [eqn: f(-2)>g(-2)] 여야 하므로

[eqn: f(-2)=16`,`g(-2)=-4a+2]

즉, [eqn: 16>-4a+2] 에서 [eqn: a>- {7} over {2} CDOTS ㉡] 이다

따라서 [eqn: a]의 범위는 [eqn: - {7} over {2} <a<0 CDOTS ㉢]

[eqn: ㉢] 에서 [eqn: m=- {7} over {2} `,`M=0] 이므로

[eqn: 10 LEFT ( M-m RIGHT ) =10 LEFT ( 0+ {7} over {2} RIGHT ) =35]

<참고> 삼차함수 계형을 좀 간단화 하여 그려서 확인해보면

[eqn: (ⅰ)`a=0] 일 때

[eqn: m LEQ -10]인 상수 [eqn: m]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{` LEFT | 5log` _{2} (4-x)+m RIGHT |# }&eqalign{`(x LEQ 0)# }#`````5log` _{2} ^{x} +m&``(x>0)}}]  이다.

실수 [eqn: t`(t>0)]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식          [eqn: f(x)=t]의 모든 실근의 합을 [eqn: g(t)]라 하자. 함수     [eqn: g(t)]가 다음 조건을 만족시킬대, [eqn: f(m)]의 값을      구하시오. [4점]

[eqn: h(x)=k] 는 [eqn: k] 값이 변함에  따라 교점의 개수가

[eqn: 4]개가 나오지 않는다.

[eqn: (ⅱ)`a>0] 일 때,

[eqn: h(x)=k] 는 [eqn: k] 값이 변함에 따라 교점의 개수가

[eqn: 4]개가 나오지 않는다.

8

[eqn: g(x)=5log _{2} x] 라하면 [eqn: m LEQ -10]

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{` LEFT | g(4-x)+m RIGHT |# }&eqalign{`(x LEQ 0)` CDOTS `①# }#`````g(x)+m&``(x>0) CDOTS ②}}]

①은 [eqn: g(x)]를 [eqn: y]축 대칭하고 [eqn: x]축으로 [eqn: -4]만큼 평행이동하고

[eqn: y]축으로 [eqn: m]만큼 평행이동 후 뒤집은 함수

②는 [eqn: g(x)]를 [eqn: y]축으로 [eqn: m]만큼 평행이동 한 함수 이다.

또한 [eqn: ①]과 [eqn: ②]는 서로 [eqn: x=2] 선대칭 관계에 있다.

[eqn: f(0)= LEFT | 10+m RIGHT | =-m-10 CDOTS ㉠] 이다.

[eqn: {BOX{``1st``}}] [eqn: f(x)] 그래프의 일반적 계형은

문제에서 준 범위가 [eqn: m LEQ -10] 이므로

[eqn: (ⅱ)] 와 [eqn: (ⅲ)]만 해당된다.

[eqn: (ⅱ)`m=-10] 일 때,

모든 영수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: f(x)=t] 의 실근의 합은 [eqn: x=2] 선대

칭 관계에 의하여 [eqn: 4]로 일정하므로 [eqn: g(t)=4] 이다.

문제의 조건에서 양수 [eqn: a]의 최솟값 [eqn: 2]라는 조건을 만족하지

않는다.

[eqn: (ⅲ)`m<`-10] 일 때,

[eqn: t GEQ t _{1}] 인 범위에서  [eqn: f(x)=t] 실근의 합은 [eqn: x=2] 선대칭

관계에 의하여 [eqn: 4]로 일정하므로 [eqn: g(t)=4] 이다.

[eqn: t<t _{1}] 이면 [eqn: f(x)=t] 실근의 합은 [eqn: 4]보다 작은 값이 나온다.

따라서 [eqn: t _{1} =a] 이고 [eqn: a]의 최솟값이 [eqn: 2] 이므로 [eqn: t _{1} =2 CDOTS ㉡]

즉, [eqn: f(0)=2`=-m-10`] 이므로 [eqn: m=-12 CDOTS ㉢]

[eqn: {BOX{``2nd``}} `] [eqn: f(m)=f(-12)= LEFT | 5log _{`2} 16`-12 RIGHT |]

[eqn: = LEFT | 20-12 RIGHT | =8]

[eqn: t GEQ a] 인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g(t)=g(a)]가 되도록 하는 양수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 2]이다.

두 자연수 [eqn: a`,`b`(a<b<8)]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: h(x)= {cases{eqalign{` LEFT | x+3 RIGHT | -1`# # ``x-10# }&eqalign{``(x<a)# # ```(a LEQ x<b)# }#LEFT | x-9 RIGHT | -1``&``(x GEQ b)}}] 이다..

함수 [eqn: f(x)]와 양수 [eqn: k]는  다음 조건을 만족         시킨다.

(가) 함수 [eqn: f(x)`f(x+k)]는 모든 실수 전체       의 집합에서 연속이다.

(나) [eqn: f(k)<0]

[eqn: f(a) TIMES f(b) TIMES f(k)]□의 값을 구하시오. ([4점]

96

[eqn: f(x)] 그래프는 아래와 같고

[eqn: x=a`,`x=b]에서 불면속이다. ([eqn: a`,`b]는 자연수)

[eqn: y=f(x+k)]의 그래프는 [eqn: y=f(x)]를 [eqn: x]축으로 [eqn: -k]만큼

평행이동한 함수이므로 계형은 같다.

[eqn: y=f(x)f(x+k)]가 실수 전체에서 연속이려면

<[eqn: rmex]> [eqn: f(x)=g(x)h(x)]가 연속일 때

두 함수가 연속인 곳은 무조건 연속 생각하지 말자

[eqn: (ⅰ)`]한놈이 불면속인 곳에서 다른놈의 함숫값이 [eqn: 0]일 때

[eqn: (ⅱ)]둘다 불연속 인 경우에도 연속이 될 수 있다.

[eqn: g(a+)=4``,`h(a+)=-4] 이고 [eqn: g(a-)=-2`,```h(a-)=8]    이면 [eqn: f(a+)=-16=f(a-)] 이므로 [eqn: x=a]에서 연속이다.

즉, [eqn: (ⅰ)]상황에서 [eqn: f(x)]가 불연속인 곳 [eqn: x=a`,`x=b]에서

[eqn: y=f(x+k)]가 함숫값 [eqn: 0]을 가지면 된다

따라서 두함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=f(x+k)]가 아래처럼

그려지면 연속이다.

[eqn: a-k=-4`,``8-k=a`] 이므로 [eqn: a=2`,`k=6] 이다..

[eqn: b-k=-2`,``10-k=b`] 이므로 [eqn: b=4`,`k=6]

즉, [eqn: a=2`,`b=4`,`k=6` CDOTS ㉠]

[eqn: but] 이때는 [eqn: f(k)=f(6)]이 [eqn: f(6)>0] 이므로

조건 (나)를  불만족 한다.

[eqn: (ⅱ)] [eqn: y=f(x)f(x+k)]를 [eqn: g(x)=f(x)f(x+k)]라 하고

[eqn: x=a]에서 두 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=f(x+k)]가

불연속 이라 하면

[eqn: f(a+) != f(a-) CDOTS ①] [eqn: f LEFT { (k+a)+ RIGHT } != f LEFT { (k+a)- RIGHT } ` CDOTS `②]

[eqn: y=f(x)]는 [eqn: x=a`,`x=b]에서 불면속이므로

[eqn: f(a+) != f(a-) CDOTS ③]  [eqn: f(b+) != f(b-) CDOTS ④] 인데

[eqn: ②`,`④]에서 [eqn: a+k=b] 이다

즉, [eqn: g(x)=f(x)f(x+k)] 에서

[eqn: g(a+)=f(a+)f LEFT { (k+a)+ RIGHT } =f(a+)`f(b+)] 이고

[eqn: g(a-)=f(a-)f LEFT { (k+a)- RIGHT } =f(a-)`f(b-)] 이다.

[eqn: g(a+)=g(a-)] 일 때 [eqn: x=a]에서 연속이다

식으로 좌극한과 우극한이 같아지는 상황을

풀어도 되나. [eqn: a,`b]가 자연수 이므로

구분	[eqn: a=1]	[eqn: a=2]	[eqn: a=3]	[eqn: a=4]	[eqn: a=5]
좌극	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]
우극	[eqn: -9]	[eqn: -8]	[eqn: -7]	[eqn: -6]	[eqn: -5]

구분	[eqn: b=7]	[eqn: b=6]	[eqn: b=5]	[eqn: b=4]	[eqn: b=3]
좌극	[eqn: -3]	[eqn: -4]	[eqn: -5]	[eqn: -6]	[eqn: -7]
우극	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]

[eqn: f(a-)f(b-)=f(a+)`f(b+)] 인 상황은

[eqn: f(1-)f(7-)=-9=f(1+)f(7+)] 인 경우와

[eqn: f(2-)f(6-)=-16=f(2+)f(6+)] 인 경우가 있다.

즉, [eqn: (a`,`b)=(1`,`7)```,``(2`,6)`] 이다.

[eqn: (1`,`7)`] 일 때 [eqn: a+k=b] 이므로 [eqn: k=6] 이어야 한다.

[eqn: (2`,`6)] 일 때 [eqn: a+k=b] 이므로 [eqn: k=4] 이어야 한다.

[eqn: a=1`,`b=7`,`k=6 CDOTS ㉡] 일 때,

[eqn: x=-5]에서 불연속 이므로 조건을 만족하지 않는다.

[eqn: a=2`,`b=6`,`k=4 CDOTS ㉢]일 때,

모든 실수에서 연속이므로 주어진 조건을 만족한다.

즉,. [eqn: a=2`,`b=6`,`k=4] 이므로

[eqn: f(2)=-8`,``f(6)=2`,`f(k)=f(4)=-6] 이다.

그러므로 [eqn: f(2) TIMES f(6) TIMES f(4)=96]

2024년 7월 고3 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시      수학 영역 (기하)

두 벡터[eqn: {vec{a}} =(4,~1)`,] [eqn: {vec{b}} =(-2``,`0)]에 대하여  [eqn: LEFT | {vec{a}} `+` {vec{b}} RIGHT |]의 값은? [3점]

<기하>

③

① [eqn: sqrt {3}]     ② [eqn: 2]    ③ [eqn: sqrt {5}]    ④ [eqn: sqrt {6}]    ⑤ [eqn: sqrt {7}]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {8} + {y ^{2}} over {2a ^{2}} =1] 위의 점 [eqn: (2``,`a`)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: -3]일 때, [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: a]는 양수이다.) [3점]

①

① [eqn: 6]     ② [eqn: 7]    ③ [eqn: 8]      ④ [eqn: 9]      ⑤ [eqn: 10]

좌표평면 위의 점 [eqn: A(4`,`2)] 에 대하여

[eqn: rm ( {vec{OP}} `- {vec{OA}} ) BULLET {vec{OA}} =0] 을 만족시키는 점 [eqn: P]      가 나타내는 도형이 [eqn: x]축과 [eqn: y]축과 만나는       점을 각각 [eqn: rmB`,`C]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmOBC]의       넓이는?(단, [eqn: O] 는 원점이다.) [3점]

⑤

① [eqn: 21]     ② [eqn: 22]     ③ [eqn: 23]    ④ [eqn: 24]     ⑤ [eqn: 25]

점 F를 초점으로 하고 직선 [eqn: l]을 준선으로 하는 포물선이 있다. 이 포물선 위의 한 점 [eqn: rmP]에서 준선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하고, 선분 [eqn: rmFH]가 이 포물선과 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하자. 점 [eqn: rmF]와 직선 [eqn: l] 사이의 거리가 [eqn: 4]이고 [eqn: rm {bar{HA}} : {bar{AF}} `=3`:`1]일 때, 선분 [eqn: rmPH]의 길이는?   [3점]

②

① [eqn: 15]     ② [eqn: 18]     ③ [eqn: 21]    ④ [eqn: 24]     ⑤ [eqn: 27]

밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 3], 높이가 [eqn: 3]인 원기둥이 있다. 이 원기둥의 한 밑면의 둘레 위의 한 점 [eqn: rmP]에서 다른 밑면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP`']이라 하고 점 [eqn: rmP]를 포함하는 밑면의 둘레 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmA`,`B]에 대하여 점 [eqn: rmO]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자. [eqn: rm {bar{BP`'`}} =6`,] [eqn: rm {bar{OH``}} = sqrt {13}]일 때, 삼각형 [eqn: rmPAH] 의 넓이는? [3점]

④

① [eqn: sqrt {5}]  ② [eqn: {3 sqrt {5}} over {2}]  ③ [eqn: 2 sqrt {5}]  ④ [eqn: {5 sqrt {5}} over {2}] ⑤ [eqn: 3 sqrt {5}]

두 양수 [eqn: a`,`c]에 대하여 두 점 [eqn: rmF(c`,`0),] [eqn: rmF`'(-c`,`0)] 을 초점으로 하는 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {3} =1]이 있다. 두 직선 [eqn: rm PF`,`PF prime]이 서로 수직이 되도록 하는 이 쌍곡선 위의 점 중 제 [eqn: 1]사분면 위의 점을 [eqn: rmP`,`][eqn: rm {bar{PQ}} = {a} over {3}]인 선분 [eqn: rmPF`'] 위의 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 직선 [eqn: rmQF]와 [eqn: y]축이 만나는 점을 [eqn: rmA]라 할 때, 점 [eqn: rmA]에서 두 직선 [eqn: rmPF`,`PF`']에 내린 수선을 방을 각각 [eqn: rmR`,`S]라 하자. [eqn: rm {bar{AR}} = {bar{RS}}]일 때, [eqn: a ^{2}]의 값은?[4점]

④

① [eqn: {18} over {5}]   ② [eqn: 4]   ③ [eqn: {22} over {5}]   ④ [eqn: {24} over {5}]   ⑤ [eqn: {26} over {5}]

좌표평면 위에 세점 [eqn: rmA(2`,`0)`,`B(6`,`0)`,`C(0`,`1)]에 대하여 두 점 [eqn: rmP`,`Q]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: rm` {vec{AP}} BULLET {vec{BP}} =0`,`][eqn: rm ` {vec{OP}} BULLET {vec{OC}} ` GEQ 0`]

(나) [eqn: rm {vec{QB`}} =4 {vec{QP`}} + {vec{QA}}]

[eqn: rm LEFT | {vec{QA}} RIGHT | =2]일 때, [eqn: rm ` {vec{AP}} BULLET {vec{AQ}} =`][eqn: k]d이다. [eqn: 20 TIMES k]의 값    을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이고 [eqn: k]는 상수이다.)

[4점]

90

공간에 점 [eqn: rmP]를 포함하는 평면 [eqn: alpha]가 있다. 평면 [eqn: alpha] 위에 있지 않는 서로 다른 두 점 [eqn: rmA`,`B]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영을 각각 [eqn: rmA`'`,`B`']이라 할 때, [eqn: rm {bar{AA prime }} =9,~ {bar{A prime P prime }} = {bar{A prime B prime }} =5,` {bar{PB'}} =8] 이다.

선분 [eqn: rmPB`']의 중점 [eqn: rmM]에 대하여 [eqn: ANGLE rmMAB= {pi } over {2}] 일      때, 직선 [eqn: rmBM] 과 평면 [eqn: rmAPB`'] 이 이루는 예각의       크기를 [eqn: theta]라 하자. [eqn: cos ^{2} ` theta = {q} over {p} `]일 때, [eqn: p+q]의 값을      구하시오. (단, [eqn: p] 와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)                                              [4점]

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7월 해설