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수학 Ⅱ (고2)	내신대비 모의고사	범위 : 미분-적분
		시험시간 : 50분
총 18문항 : 객관식 14, 주관식 4
		이름 :

Du kannst, denn Du sollst !	| |	용문아 수학교실

[객관식]

함수 [eqn: f(x)=ax ^{3} -10x ^{2} + 4a over 3 x+5]이 [eqn: x_1 < x_2]인 임의의 실수 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여 항상 [eqn: f( x_1 ) > f( x_2 )]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은?

③

[eqn: f` prime (x)=3ax ^{2} -20x+ 4a over3]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 구간 [eqn: LEFT ( -inf,~inf RIGHT )]에서 감소하려면 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) LEQ 0]이어야 하므로

[eqn: a<0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

이차방정식 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: {D} over {4} =100-3a times 4a over3 = 100-4a^2 LEQ 0]

[eqn: THEREFORE ~a LEQ - 5] 또는 [eqn: a ge5]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a LEQ - 5]

따라서 [eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: -5]

① [eqn: -8]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: y = f ` prime (x)]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 다음 중 옳은 것은?

④

[eqn: y=f`'(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 0,~2,~4]이므로 [eqn: f`'(x)=0]에서	[eqn: x=0] 또는 [eqn: x=4] 또는 [eqn: x=8]

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 4]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 8]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

① [eqn: f` prime (2) != 0]이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 극값을 갖지 않는다.

② [eqn: f(x)]는 [eqn: x=4]에서 극소이다.

③ [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 감소상태에 있다.

④ 구간 [eqn: (2,~4)]에서 [eqn: f`'(x)<0]이므로 [eqn: f(x)]는 감소한다.

⑤ 구간 [eqn: (2,~4)]에서 [eqn: f`'(x)<0]이므로 [eqn: f(x)]는 감소한다.

이상에서 옳은 것은 ④이다.

① [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 극소이다.

② [eqn: f(x)]는 [eqn: x=4]에서 극대이다.

③ [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 증가상태에 있다.

④ [eqn: f(x)]는 구간 [eqn: (2`,`4)]에서 감소한다.

⑤ [eqn: f(x)]는 구간 [eqn: (2`,`6)]에서 증가한다.

키가 [eqn: 1.5` rm m]인 철수가 지면으로 부터의 높이가 [eqn: 4` rm m]인 가로등 바로 밑에서 출발하여 일직선으로 초속 [eqn: 1.4` rm m]의 속도로 걸어가고 있을 때, 철수의 그림자의 끝이 움직이는 속도는?

②

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm 4m]

[eqn: 1.5 rm m]

[eqn: x` rm m]

[eqn: y` rm m]

[eqn: rm E]

[eqn: t`]초 동안 사람이 움직인 거리를 [eqn: x`rmm], 사람의 그림자의 길이를 [eqn: y`rmm]라 하면 그림에서 [eqn: RM TRIANGLE ABC]□[eqn: rm TRIANGLE DBE]

[eqn: 4``:``1.5=(x+y)``:``y],   [eqn: 3x+3y=8y,~~3x=5y]

그런데 [eqn: x=1.4t`]이므로 [eqn: y=0.84t]

[eqn: THEREFORE ~ {dx} over {dt} =1.4`,~ {dy} over {dt} =0.84]

따라서 그림자의 끝이 움직이는 속도는

[eqn: {dx} over {dt} + {dy} over {dt} =1.4+0.84=2.24`` rm m/초]

① [eqn: 1 ` rm m/초]	② [eqn: 2.24 ` rm m/초]

③ [eqn: 3 ` rm m/초]	④ [eqn: 4.24` rm m/초]

⑤ [eqn: 5 ` rm m/초]

삼차함수 [eqn: y= f(x)]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 점 [eqn: rm A]~[eqn: rm F]에 대하여 부등식 [eqn: f` prime (x)f(x)>0]을 만족하는 점의 개수는? (단, 점 [eqn: rm B], [eqn: rm E]는 각각 극대, 극소가 되는 점이다.)

①

	[eqn: rm A]	[eqn: rm B]	[eqn: rm C]	[eqn: rm D]	[eqn: rm E]	[eqn: rm F]
[eqn: f(x)]	+	+	+	+	+	+
[eqn: f`'(x)]	+	[eqn: 0]	-	-	[eqn: 0]	+

따라서, [eqn: f` prime (x)f(x)>0]을 만족하는 점은 [eqn: rm A,~F] [eqn: 2]개다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

다음 그림과 같이 곡선 [eqn: y=4x-x ^{2}]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분에 내접하는 사다리꼴의 넓이의 최댓값은?

③

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: a]

[eqn: 4-a]

[eqn: y=4x-x ^{2}]

[eqn: 4x-x ^{2} =0`]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=4]

[eqn: THEREFORE ~ rm A` LEFT ( 4,~0 RIGHT )]

그림과 같이 점 [eqn: rmC`]의 좌표를 [eqn: (a,~4a-a ^{2} )~(0<a<2)`]라 하면 [eqn: rm B it (4-a,~4a-a ^{2} )]

사다리꼴 [eqn: rmOABC`]의 넓이를 [eqn: rm S it (a)]라 하면

[eqn: rm S` it (a)][eqn: = {1} over {2} LEFT { 4+(4-2a) RIGHT } (4a-a ^{2} )][eqn: =a ^{3} -8a ^{2} +16a]

[eqn: THEREFORE ~ rm S` prime it (a)=3a ^{2} -16a+16=(3a-4)(a-4)]

[eqn: rm S` prime it (a)=0`]에서 [eqn: a= {4} over {3} ~( BECAUSE ~0<a<2)]

[eqn: a]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: {4} over {3}]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]
[eqn: rm S` prime it (a)]		+	[eqn: 0]	-
[eqn: rm S` it (a)]		[eqn: NEARROW]		[eqn: SEARROW]

따라서 [eqn: rm S it `(a)]는 [eqn: a= {4} over {3}]일 때 최댓값 [eqn: rm S it ` LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) = {256} over {27}]

[eqn: y=4x-x ^{2}]

① [eqn: 512 over 9]	② [eqn: 1024 over 9]	③ [eqn: {256} over {27}]

④ [eqn: {512} over {27}]	⑤ [eqn: {1024} over {27}]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: 3x ^{4} -x ^{3} GEQ k]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 최댓값은?

①

[eqn: 3x ^{4} -x ^{3} -k GEQ 0]

[eqn: f(x)=3x ^{4} -x ^{3} -k`]라 하면 [eqn: f` prime (x)=12x ^{3} -3x ^{2} =3x ^{2} (4x-1)]

[eqn: f`'(x)=0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x= 1over4]

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1over4]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`'(x)]	-	[eqn: 0]	-	[eqn: 0]	+
[eqn: f(x)]	[eqn: SEARROW]	[eqn: -k]	[eqn: SEARROW]	[eqn: -k- 1over256]	[eqn: NEARROW]

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) GEQ 0]이 성립하려면 [eqn: -k- 1over256 ge 0]

[eqn: THEREFORE ~k le - 1over256]

즉 실수 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: - 1over256]이다.

① [eqn: - 1over256]	② [eqn: - {3} over {256}]	③ [eqn: - {5} over {256}]

④ [eqn: - {1} over {64}]	⑤ [eqn: - {3} over {64}]

다음 그림과 같이 곡선 [eqn: y = ax^2]([eqn: x ge 0])과 [eqn: y]축 및 직선 [eqn: y=2]으로 둘러싸인 도형의 넓이를 곡선 [eqn: y=2x ^{2}]([eqn: x ge 0])이 이등분할 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

②

[eqn: 1]

[eqn: sqrt {{2} over {a}}]

[eqn: y=ax^2 (x ge 0)]에서 [eqn: y=2]일 때 [eqn: x= sqrt {{2} over {a}}]이므로

곡선 [eqn: y=ax^2 (x ge 0)]과 [eqn: y`]축 및 직선 [eqn: y=2]으로 둘러싸인 도형의 넓이는

[eqn: int _{0} ^{sqrt {{2} over {a}}} {(2-ax ^{2} )} `dx= LEFT [ pile{`#`} 2x- {a} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0}^{sqrt {{2} over {a}}} = 4over3 sqrt {{2} over {a}}]

[eqn: y=2x ^{2} (x GEQ 0)]에서 [eqn: y=2]일 때 [eqn: x= 1]이므로

곡선 [eqn: y=2x ^{2} (x GEQ 0)]과 [eqn: y`]축 및 직선 [eqn: y=2]으로 둘러싸인 도형의 넓이는

[eqn: int _{0} ^{1} {(2-2x ^{2} )} `dx= LEFT [ pile{`#`} 2x- 2over3 x ^{3} RIGHT ] _{0}^{1} = 4over3]

따라서 [eqn: {1} over {2} TIMES 4over3 sqrt {{2} over {a}} = 4over3] 이므로

[eqn: {sqrt {2}} over {2} = sqrt {a}]

[eqn: THEREFORE ~a= {1} over {2}]

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 2 over 3]

④ [eqn: 3 over 4]	⑤ [eqn: 1]

[eqn: int _{-3} ^{1} {} (5x ^{4} +7x ^{3} -3x ^{2} +6x-1)dx]
[eqn: + int _{1} ^{3} {} (5x ^{4} +7x ^{3} -3x ^{2} +6x-1)dx]의 값은?

③

[eqn: int _{-3} ^{3} {} (5x ^{4} +7x ^{3} -3x ^{2} +6x-1)dx]

[eqn: =2 int _{0} ^{3} {(5x ^{4} -3x ^{2} -1)} `dx+0]

[eqn: =2 LEFT [ pile{`#`} x ^{5} -x ^{3} -x RIGHT ] _{0}^{3} =426]

① [eqn: 245]	② [eqn: 407]	③ [eqn: 426]

④ [eqn: 640]	⑤ [eqn: 845]

함수 [eqn: f(x)= int _{-1} ^{x} {} (4 LEFT | `t` RIGHT | -4)dt]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 있는 대로 고른 것은?

⑤

[eqn: f(-1)=0]

[eqn: f`'(x)=4|`x`|-4]

[eqn: LEFT ( ⅰ RIGHT )] [eqn: x<0] 일 때

[eqn: f(x)= int _{-1} ^{x} {} (-4t-4)dt]

[eqn: = LEFT [ pile{`#`} -2t ^{2} -4t RIGHT ] _{-1}^{x} =-2(x+1) ^{2}]

[eqn: LEFT ( ⅱ RIGHT )] [eqn: x ge0] 일 때

[eqn: f(x)= int _{-1} ^{0} {} (-4t-4)dt+ int _{0} ^{x} {} (4t-4)dt]

[eqn: = LEFT [ pile{`#`} -2t ^{2} -4t RIGHT ] _{-1}^{0} + LEFT [ pile{`#`} 2t ^{2} -4t RIGHT ] _{0}^{x} =2(x-1) ^{2} -4]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: -4]

ㄷ. [eqn: g(x)=f(x)+2= {cases{-2x ^{2} -4x~(x<0)#``2x ^{2} -4x~~`(x GEQ 0)}}]

[eqn: int _{-2} ^{2} {} g(x)dx= int _{-2} ^{0} {} (-2x ^{2} -4x)dx+ int _{0} ^{2} {} (2x ^{2} -4x)dx]

[eqn: = LEFT [ pile{`#`} - {2} over {3} x ^{3} -2x ^{2} RIGHT ] _{-2}^{0} + LEFT [ pile{`#`} {2} over {3} x ^{3} -2x ^{2} RIGHT ] _{0}^{2} =0]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

		| 보기 |
	ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 극댓값과 극솟값을 모두 갖는다. ㄷ. 함수 [eqn: g(x)=f(x)+2]이라 하면 [eqn: int_ -2 ^2 g(x) dx = 0]이다.
용문아수학방

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

연속함수 [eqn: f(x)]는 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

⑤

또, [eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: y]축 대칭 함수이므로

[eqn: int _{-2} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} = int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =4]    [eqn: THEREFORE ~ int _{-2} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =8]

[eqn: f LEFT ( x+4 RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]이므로

[eqn: int _{-2} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} = int _{2} ^{6} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =8]

[eqn: int _{-4} ^{-2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} = int _{6} ^{8} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =4]

[eqn: THEREFORE ~ int _{-4} ^{8} {} f(x)dx=4 TIMES 2+8 TIMES 2=24]

(가) [eqn: f( -x) = f(x)]	(나) [eqn: f(x+4)=f(x)]

[eqn: int _{0} ^{2} {} f(x)dx=4]일 때, [eqn: int _{-4} ^{8} {} f(x)dx]의 값은?

① [eqn: 10]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

곡선 [eqn: y= LEFT | `x(x-2)` RIGHT |]와 직선 [eqn: y = x]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S``]라 할 때, [eqn: 6S``]값은?

②

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: y= LEFT | `x(x-2)` RIGHT |]

[eqn: y][eqn: = LEFT | x(x-2) RIGHT |]
[eqn: = {cases{``````x(x-2)&(x LEQ 0~또는~x GEQ 2)#-x(x-2)````````&(0 LEQ x LEQ 2)}}]

이므로 곡선 [eqn: y= LEFT | `x(x-2)` RIGHT |]과 직선

[eqn: y=x]의 교점의 [eqn: x]좌표는 다음과 같다.

[eqn: LEFT ( ⅰ RIGHT )] [eqn: x LEQ 0] 또는 [eqn: x GEQ 2] 일 때,

[eqn: x(x-2)=x]에서 [eqn: x ^{2} -3x=0]
[eqn: THEREFORE ~x= 0] 또는 [eqn: x=3]

[eqn: LEFT ( ⅱ RIGHT )] [eqn: 0 LEQ x LEQ 2] 일 때,

[eqn: -x(x-2)=x]에서 [eqn: x ^{2} -x=0]
[eqn: THEREFORE ~x=0] 또는 [eqn: x=1]

따라서 구하는 넓이의 합 [eqn: S``]는

[eqn: S= int _{0} ^{1} {} LEFT { -x(x-2)-x) RIGHT } dx+ int _{1} ^{2} {LEFT { x+x(x-2) RIGHT } dx}]

[eqn: + int _{2} ^{3} {LEFT { x-x(x-2) RIGHT } dx}]

[eqn: = int _{0} ^{1} {(-x ^{2} +x)dx+ int _{1} ^{2} {(x ^{2} -x)dx}}][eqn: + int _{2} ^{3} {(-x ^{2} +3x)dx}]

[eqn: = {13} over {6}]

[eqn: THEREFORE ~6S=13]

① [eqn: 5]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x+1]에 대하여 [eqn: lim _{x rarrow 3} {} {1} over {x-3} int _{3} ^{x} {} f(t)dt]의 값은?

⑤

[eqn: F`` prime LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( t RIGHT )]라 하면

[eqn: lim _{x rarrow 3} {{1} over {x-3} int _{3} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}}][eqn: = it lim _{x rarrow 3} {{F LEFT ( x RIGHT ) -F LEFT ( 3 RIGHT )} over {x-3}}]
[eqn: = it F` prime ` LEFT ( 3 RIGHT ) =f LEFT ( 3 RIGHT ) =19]

① [eqn: 4]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 19]

좌표가 [eqn: 2]인 점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: P]의 시각 [eqn: t]에서의 속도가 [eqn: v(t)=20-2t]일 때, 점 [eqn: P]가 움직이는 방향이 바뀌는 시각에서의 점 [eqn: P]의 위치는?

②

[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) =0]일 때 점 [eqn: rmP]가 움직이는 방향이 바뀌므로

[eqn: 20-2t=0]	[eqn: THEREFORE ~t=10]

따라서 [eqn: t=10]에서의 점 [eqn: rmP]의 위치는

[eqn: 2+ int _{0} ^{10} {LEFT ( 20-2t RIGHT ) dt} =2+ LEFT [ 20t-t ^{2} RIGHT ] _{0}^{10} =102]

① [eqn: 101]	② [eqn: 102]	③ [eqn: 103]

④ [eqn: 104]	⑤ [eqn: 105]

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: P], [eqn: Q]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가 각각 [eqn: x _{P} (t)=t ^{2} -4t], [eqn: x _{Q} (t)=t ^{2} -6t]일 때, 두 점 [eqn: P], [eqn: Q]가 서로 반대 방향으로 움직이는 [eqn: t]의 값의 범위는 [eqn: a < t < b]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

②

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rm Q]의 속도를 각각 [eqn: v _{rmP}], [eqn: v _{rm Q}]라 하면

[eqn: v _{rm P} it =2t-4],  [eqn: v _{rm Q} it =2t-6]

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rm Q]가 서로 반대 방향으로 움직이면 [eqn: v _{rm P} it v _{rmQ} <0]이므로

[eqn: (2t-4)(2t-6)<0]

[eqn: 4(t-2)(t-3)<0]

[eqn: 2<t<3]

[eqn: THEREFORE ~a+b=5]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

[주관식]

다음 조건을 만족하는 삼차함수 [eqn: y = f(x)]를 구하시오.

[eqn: f(x)=-2x ^{3} +6x ^{2} -3x+5]

[eqn: f(x)=ax^3 +bx^2 +cx+d`]라 하면

[eqn: f(0)=d=5]

[eqn: f` prime (0)=f` prime (2)=-3] 이므로

[eqn: f` prime (x)=3ax(x-2)-3]

[eqn: =3ax ^{2} -6ax-3]

[eqn: f(x)=ax ^{3} - {3a} x ^{2} -3x+5]

[eqn: f`'(x)=0`]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta`]라 하면 [eqn: alpha + beta =2,~ alpha beta =- {1} over {a}]이다.

극댓값과 극솟값이 존재하므로 [eqn: f`'(x)=0`]는 서로 다른 두 실근을 가지므로

[eqn: D over4 =9a ^{2} +9a>0]

[eqn: therefore~ a< -1] 또는 [eqn: a>0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

극댓점과 극솟점을 지나는 직선의 기울기의 절댓값이 [eqn: 2]이고, 극점이 [eqn: (alpha,~f(alpha)),~(beta,~f(beta))]이기 때문에

[eqn: left| { f(alpha)-f(beta)} over {alpha-beta } right| =2]

[eqn: {f( alpha )-f( beta )} over {alpha - beta } = {a( alpha ^{3} - beta ^{3} )-3a( alpha ^{2} - beta ^{2} )-3( alpha - beta )} over {alpha - beta }]

[eqn: =a( alpha ^{2} + alpha beta + beta ^{2} )- {3a} ( alpha + beta )-3]

[eqn: = a left{ (alpha+beta)^2 - alpha beta ) right} - 6a -3]

[eqn: =a LEFT ( 4+ {1} over {a} RIGHT ) -6a-3]

[eqn: =- {2a} -2]

[eqn: LEFT ( ⅰ RIGHT )] [eqn: { f(alpha)-f(beta)} over {alpha-beta } = -2] 일 때

[eqn: - {2a} -2=-2]

[eqn: therefore~a=0]

[eqn: LEFT ( ⅱ RIGHT )] [eqn: { f(alpha)-f(beta)} over {alpha-beta } = 2] 일 때

[eqn: - {2a} -2=2]

[eqn: therefore~a=-2]

[eqn: LEFT ( ⅰ RIGHT )], [eqn: LEFT ( ⅱ RIGHT )]에서 [eqn: a=-2`(because~㉠)]

따라서 [eqn: f(x)=-2x ^{3} +6x ^{2} -3x+5]

(가) [eqn: f(0)=5]

(나) [eqn: f` prime (0)=f` prime (2)=-3]

(다) 극댓값과 극솟값이 존재하며 극댓점과 극솟점을 지나는 직선의 기울기의 절댓값은 [eqn: 2]이다.

[eqn: x ge 1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x ^{3} -4ax ^{2} +4a ^{2} x-4 GEQ 0]이 성립하도록 하는 실수 [eqn: a]의 범위를 구하시오.

[eqn: a` LEQ - {1} over {2}]

[eqn: f(x)=x ^{3} -4ax ^{2} +4a ^{2} x-4]로 놓으면

[eqn: f` prime (x)=3x ^{2} -8ax+4a ^{2} =(x-2a)(3x-2a)]

[eqn: f`'(x)=0]에서 [eqn: x=2a] 또는 [eqn: x= 2 over {3} a]

[eqn: f(2a)=-4], [eqn: f left( 2over3 a right) = 32 over27 a^3 -4], [eqn: f(1)=(2a+1)(2a-3)]

[eqn: LEFT ( ⅰ RIGHT )] [eqn: a ge 0] 이면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {2} over {3} a]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2a]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`'(x)]	+	[eqn: 0]	-	[eqn: 0]	+
[eqn: f(x)]	[eqn: NEARROW]		[eqn: SEARROW]	[eqn: -4]	[eqn: NEARROW]

[eqn: {cases{2a<1#f(1) GEQ 0}}]   ⇨   [eqn: {cases{a< {1} over {2}#a LEQ - {1} over {2} ~또는~a GEQ 3over2}}]  ⇨  [eqn: a LEQ - {1} over {2}]

[eqn: a ge 0]이므로 해는 없다.

[eqn: LEFT ( ⅱ RIGHT )] [eqn: a<0] 이면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2a]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {2} over {3} a]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`'(x)]	+	[eqn: 0]	-	[eqn: 0]	+
[eqn: f(x)]	[eqn: NEARROW]	[eqn: -4]	[eqn: SEARROW]		[eqn: NEARROW]

[eqn: f(1) ge 0]  ⇨  [eqn: a LEQ - {1} over {2} ~또는~a GEQ 3over2]

[eqn: THEREFORE ~a LEQ - {1} over {2} ``( BECAUSE ~a<0)]

함수 [eqn: f(x)=6x ^{2} + int _{0} ^{1} {} (x-t)f(t)dt]를 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]를 구하시오

[eqn: f(x)=6x ^{2} + {18} over {13} x- 17over13]

[eqn: f(x)=6x ^{2} +x int _{0} ^{1} {} f(t)dt- int _{0} ^{1} {} tf(t)dt]

이때

[eqn: int_0 ^1 f(t) dt =m,~ int_0 ^1 t f(t) dt = n] ([eqn: m,````n`]은 상수)[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

으로 놓으면

[eqn: f(x)=6x ^{2} +mx-n]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: m= int _{0} ^{1} {} (6t ^{2} +mt-n)dt,~n= int _{0} ^{1} {} (6t ^{3} +mt ^{2} -nt)dt]

[eqn: m=2+ m over2 -n,]  [eqn: n= {3} over {2} + {m} over {3} - {n} over {2}]

[eqn: m=4-2n],  [eqn: 3over2 n = 3over2 + 1over3 m]

[eqn: therefore~ m= 18over13 ,~n= 17over13]

[eqn: therefore~f(x)=6x ^{2} + {18} over {13} x- 17over13]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(1)=5]이고 [eqn: f(x)=k int _{0} ^{3} {} LEFT | `x-t` RIGHT | dt]([eqn: k`]는 상수)일 때, [eqn: int _{0} ^{4} {} kf(x)dx]의 값을 구하시오.

[eqn: 60]

[eqn: LEFT ( ⅰ RIGHT )] [eqn: 0 LEQ x LEQ 3] 이면

[eqn: f(x)=k int _{0} ^{x} {} LEFT ( `x-t` RIGHT ) dt+k int _{x} ^{3} {} LEFT ( `-x+t` RIGHT ) dt]

[eqn: =k LEFT [ pile{`#`} xt- {1} over {2} t ^{2} RIGHT ] _{0}^{x} +k LEFT [ pile{`#`} -xt+ {1} over {2} t ^{2} RIGHT ] _{x}^{3}]

[eqn: =k left(x ^{2} -3x+ 9over2 right)]

[eqn: f(1)= 5over2 k= 5]    [eqn: therefore~k= 2]

[eqn: f(x)=2x ^{2} -6x+9]

[eqn: LEFT ( ⅱ RIGHT )] [eqn: x GEQ 3] 이면

[eqn: f(x)=k int _{0} ^{3} {} LEFT ( `x-t` RIGHT ) dt]

[eqn: =2 LEFT [ pile{`#`} xt- {1} over {2} t ^{2} RIGHT ] _{0}^{3} =6x-9]

[eqn: THEREFORE ~ int _{0} ^{4} {} kf(x)dx= int _{0} ^{3} {2} LEFT ( 2x ^{2} -6x+9 RIGHT ) dx+ int _{3} ^{4} {2} (6x-9)dx]

[eqn: = 2LEFT [ pile{`#`} {2} over {3} x ^{3} -3x ^{2} +9x RIGHT ] _{0}^{3} +2 LEFT [ pile{`#`} 3x ^{2} -9x RIGHT ] _{3}^{4}]

[eqn: = 60]