[killer] 2020/11/01 17th

[수능대비] KILLER THIS 30TH QUIZ “가”	DC-Math

실수 [eqn: a]와 함수	[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=ln LEFT ( x ^{4} +1 RIGHT ) `-C] ([eqn: C>0]인 상수)에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를	[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `= int _{a} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) `dt}]라 하자. 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 [eqn: alpha _{1} ,```` alpha _{2} ,```` CDOTS ,```` alpha _{m}] ([eqn: m]은 자연수)이다.

[eqn: bold { 16 }]

점 [eqn: \P]의 운동 방향이 원점에서 바뀔 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ln LEFT ( x ^{4} +1 RIGHT ) -C]이고 [eqn: g' LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =0]이므로	[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) = {4x ^{3}} over {x ^{4} +1}]

따라서 증감표를 나타내면 아래와 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]

[eqn: y`=`g'(x)]가 [eqn: y]축 대칭이므로 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 점 [eqn: (0`,````g(0))]에 대하여 대칭이 되면서 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 상황은 아래 그림과 같이 두 가지뿐이다.

(ⅰ)                                                      (ⅱ)

(ⅰ), (ⅱ)의 그래프에서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 극솟값을 가지므로 [eqn: alpha _{3} =1]이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0]  따라서 [eqn: ln2-c=0]에서 [eqn: c=ln2]
[eqn: a= alpha _{1}]일 때

[eqn: int _{alpha _{1}} ^{alpha _{4}} {g LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: =g LEFT ( 0 RIGHT ) times LEFT ( alpha _{4} - alpha _{1} RIGHT )][eqn: =2g LEFT ( 0 RIGHT ) times alpha _{4}]

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT |`` f LEFT ( x RIGHT ) ``RIGHT | dx}][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT |`` g' LEFT ( x RIGHT )`` RIGHT | dx}][eqn: =- int _{0} ^{1} {g prime LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: =-g LEFT ( 1 RIGHT ) +g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =g LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: int _{alpha _{1}} ^{alpha _{4}} {g LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값은 위의 그림에서 구간 [eqn: [alpha_1 ,````0]]에서의 직사각형의 넓이와 같으므로

[eqn: int _{alpha _{1}} ^{alpha _{4}} {g LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = (0-alpha_1 )times 2g(0)][eqn: =- 2 alpha _{1} int _{0} ^{1} {LEFT |`` f LEFT ( x RIGHT )`` RIGHT | dx}] ([eqn: because] ㉠)[eqn: =2 alpha _{4} int _{0} ^{1} {LEFT |`` f LEFT ( x RIGHT )`` RIGHT | dx}]이므로 조건 (나)에서 [eqn: k=2]

따라서 [eqn: c=ln2 ,````m=4, ```` k=2]이므로	[eqn: THEREFORE````mk TIMES e ^{c}][eqn: =4 TIMES 2 TIMES e ^{ln2}][eqn: =4 times 2 times 2][eqn: =16]

[eqn: a= alpha _{1}]일 때, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]와 상수 [eqn: k]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 극솟값을 갖는다.         (나) [eqn: int _{alpha _{1}} ^{alpha _{m}} {g LEFT ( x RIGHT ) `dx} `=k alpha _{m} int _{0} ^{1} {LEFT |`` f LEFT ( x RIGHT )`` RIGHT | `dx}]

[eqn: mk TIMES e ^{c}]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

[killer] 2020/11/04 18th

양수 [eqn: t`]에 대하여 구간 [eqn: [1,~INF)]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가  [eqn: f ( x ) = {cases{`ln`x~& ( 1 LEQ x<e )#`-t+ln`x~~& ( x GEQ e )}}]  일 때, 다음 조건을 만족시키는 일차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )] 중에서 직선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 기울기의 최솟값을 [eqn: h` LEFT ( t RIGHT )]라 하자.

[eqn: 1] 이상의 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: ( x-e )left { g` ( x ) -f` ( x ) RIGHT } GEQ0]이다.

미분 가능한 함수 [eqn: h` ( t )]에 대하여 양수 [eqn: a]가 [eqn: h LEFT ( a RIGHT ) = {1} over {e+2}]을 만족시킨다. [eqn: h'` LEFT ( {1} over {2e} RIGHT ) TIMES h'` LEFT ( a RIGHT )]의 값은?

④

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

이때 일차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 주어진 조건을 만족시키려면 [eqn: 1LEQx<e]일 때 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) LEQf LEFT ( x RIGHT )]이고, [eqn: x`GEQ1]일 때 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) GEQf LEFT ( x RIGHT )]이어야 한다.

따라서 일차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 기울기의 최솟값 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]는 다음과 같다.

(ⅰ) 점 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y=-t+ln`x`` LEFT ( x GEQ e RIGHT )]에 그은 접선이 존재하지 않을 때

두 점 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( e,~f LEFT ( e RIGHT ) RIGHT )]를 지나는 직선의 기울기가 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]이다. 즉, [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = {-t+ln`e} over {e-1} = {-t+1} over {e-1}]이다.
이때, [eqn: h`' LEFT ( t RIGHT ) = {-1} over {e-1}]이므로	[eqn: h`' LEFT ( {1} over {2e} RIGHT ) = {-1} over {e-1}]

(ⅱ) 점 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y=-t+ln`x`` LEFT ( x GEQ e RIGHT )]에 그은 접선이 존재할 때

그 접선의 기울기가 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]이다. 이때 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {x} `` LEFT ( x!=e RIGHT )]이므로 접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha]라 하면 [eqn: h` LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {alpha}]이다.
한편, 접점 [eqn: LEFT ( alpha,~-t+ln`alpha RIGHT )]에서의 접선의 방정식은	[eqn: y- LEFT ( -t+ln`alpha RIGHT ) = {1} over {alpha} LEFT ( x-alpha RIGHT )]이다.
이 접선이 점 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )]을 지나므로	[eqn: t-ln`alpha= {1} over {alpha} -1],	[eqn: ln`alpha+ {1} over {alpha} =t+1]
이때 [eqn: h LEFT ( `t RIGHT ) = {1} over {alpha}]이므로	[eqn: ln` {1} over {h LEFT ( t RIGHT )} +h LEFT ( t RIGHT ) =t+1]  즉, [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) -ln`h LEFT ( t RIGHT ) =t+1]이다.
위 등식의 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면 [eqn: h`' LEFT ( t RIGHT ) - {h`' LEFT ( t RIGHT )} over {h LEFT ( t RIGHT )} =1] 이므로 [eqn: h`' LEFT ( t RIGHT ) = {h LEFT ( t RIGHT )} over {h LEFT ( t RIGHT ) -1}]이다.
한편, 두 점 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( e,~f LEFT ( e RIGHT ) RIGHT )], 즉 두 점 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( e,~-t+1 RIGHT )]을 지나는 지선의 기울기는 [eqn: {-t+1} over {e-1}]이고, 점 [eqn: lim _{x-> e+} {`f`' LEFT ( x RIGHT )} = {1} over {e}]이므로	[eqn: {-t+1} over {e-1} > {1} over {e}] 즉, [eqn: t< {1} over {e}]이면  [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = {-t+1} over {e-1}]이므로	[eqn: h`' LEFT ( t RIGHT ) = {-1} over {e-1}]이고,
[eqn: {-t+1} over {e-1} LEQ {1} over {2}] 즉, [eqn: t`GEQ {1} over {e}]이면 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) -ln`h LEFT ( t RIGHT ) =t+1]이므로 [eqn: h`' LEFT ( t RIGHT ) = {h LEFT ( t RIGHT )} over {h LEFT ( t RIGHT ) -1}]이다.
[eqn: {1} over {2e} < {1} over {e}]이므로 [eqn: h`' LEFT ( {1} over {2e} RIGHT ) = {-1} over {e-1}]
한편, [eqn: t`LEQ {1} over {e}]에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = {-t+1} over {e-1}]의 최솟값은 [eqn: h LEFT ( {1} over {e} RIGHT ) = {- {1} over {e} +1} over {e-1} = {1} over {e}]이다.
한편, 양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: h LEFT ( a RIGHT ) = {1} over {e+2}]일 때	[eqn: h LEFT ( a RIGHT ) = {1} over {e+2} < {1} over {e} =h LEFT ( {1} over {e} RIGHT )]이므로 [eqn: a> {1} over {e}]이다.
따라서 [eqn: h`' LEFT ( a RIGHT ) = {h LEFT ( a RIGHT )} over {h LEFT ( a RIGHT ) -1}] [eqn: = {{1} over {e+2}} over {{1} over {e+2} -1} = {-1} over {e+1}] 따라서 [eqn: h`' LEFT ( {1} over {2e} RIGHT ) timesh`' LEFT ( a RIGHT )][eqn: = {-1} over {e-1} times {-1} over {e+1}][eqn: = {1} over {LEFT ( e-1 RIGHT ) LEFT ( e+1 RIGHT )}]이다.

① [eqn: {1} over {LEFT ( e+1 RIGHT ) ^{2}}]	② [eqn: {1} over {e LEFT ( e+1 RIGHT )}]	③ [eqn: {1} over {e ^{2}}]	④ [eqn: {1} over {LEFT ( e-1 RIGHT ) LEFT ( e+1 RIGHT )}]                ⑤ [eqn: {1} over {e LEFT ( e-1 RIGHT )}]

[killer] 2020/11/05 19h

정의역이 [eqn: left { ` x ` |` 0`<` x ` le ` 4 ` right }]이고, 이계도함수가 존재하는 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 0`<` x ` le ` 4]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 2 f` '(x) `+` x f`''(x) `=` - pi^2 sin pix over2]

(나) [eqn: f ` '(1) `=` -4 ,``` f(4) `=` 0]

정수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 0`<` x ` le ` 4]에서 방정식 [eqn: f(x) `=` k]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: p(k)]라 할 때, [eqn: p(0) + sum_{k=1}^{10}p (k)]의 값을 구하시오.

[eqn: 8]

조건(가)에서 [eqn: f`'(x) + left { ` f` '(x) + x f`''(x) right } `=` - pi^2 sin pix over2] [eqn: cdots] ㉠

[eqn: left { ` f` '(x) + x f`''(x) right }`=` d over dx (xf`'(x) )]이므로 양변을 적분하면 [eqn: f(x) + xf`'(x) `=` 2pi cos pix over2 + C_1] [eqn: cdots] ㉡

한 번 더 적분하면 [eqn: xf(x) `=` 4sin pix over2 + C_1 x +C_2] [eqn: cdots] ㉢

㉡과 ㉢에 [eqn: x`=` 1]을 대입하면, [eqn: f`'(1) `=` -4]이므로 [eqn: f(1) -4`=` C_1] [eqn: f(1) `=` 4+ C_1 +C_2]이므로 [eqn: C_2 `=` 0]

그러므로 [eqn: f(x) `=` 4over x `sin pix over2] [eqn: rarrow] [eqn: f`'(x) `=` 1over x^2 left ( 2pix cos pix over2 `-` 4sin pix over2 right )]

한편 [eqn: g(x) `=` 2pix cos pix over2 - 4sin pix over2]로 놓으면, [eqn: g`'(x) `=` - pi^2 x sin pix over2]

즉, [eqn: f `' (x) `=` 0]에서 [eqn: x `=` alpha]이고 [eqn: 0<x< alpha]에서 [eqn: f `'(x) <0], [eqn: alpha < x <4]에서 [eqn: f`'(x) >0]이다 또, 조건 (나)에서 [eqn: f(4) `=` 0]이고

[eqn: lim_{x ` rarrow 0+} f(x) `=` lim_{x ` rarrow 0+} 4over x `sin pix over2 `=` 2pi]이므로 함수 [eqn: y`=` f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

방정식 [eqn: f(x) `=` k]의 서로 다른 실근의 개수는 함수 [eqn: y`=` f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y`=` k]가 만나는 서로 다른 점의 개수와 같으므로

[eqn: p(0) `=` 2], [eqn: p(1)`=`p(2) `=```` cdots ``` `=`p(6) `=` 1], [eqn: p(7)`=` p(8)`=`p(9)`=` p(10)`=` 0]

따라서 [eqn: p(0) + sum_{k=1}^{10}p (k)`-` 2+ 1times 6 `=` 8]

[killer] 2020/11/06 20th

두 연속함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)``]가 [eqn: g`left(e^x right) ``= cases{&f(x)~~~~~~~~&(0 LEQ x<1) #&g`left(e^x-1 right)`+5 &(1 LEQ x LEQ 2)]를 만족시키고, [eqn: int _{1} ^{e^2} {g(`x)}`dx =6e^2 +4``]이다.

[eqn: bold{ 17]

[eqn: g(e^x ) =cases {`f(x) ~~~~~~~~(0≤x<1) # `g(e^x-1 )+5 ~~(1≤x≤ 2)]에서 [eqn: e^x =t``]로 놓으면 [eqn: x=lnt]

[eqn: g(t)`=`` {cases{f(lnt)& left ~~(1 LEQ t < e right )#g left ( {t} over {e} right)+5&~(e LEQ t LEQ e ^{2} )}}], [eqn: int _{1} ^{e ^{2}} {g(x)dx} `][eqn: = int _{1} ^{e} {f(lnx)} dx+ int _{e} ^{e ^{2}} {LEFT { g left ( {x} over {e}right )+5 RIGHT } dx} `][eqn: =6e ^{2} +4] [eqn: CDOTS CDOTS``]㉠

이때, [eqn: int _{e} ^{e ^{2}} {LEFT { g left ( {x} over {e}right )+5 RIGHT } dx} ``]에서 [eqn: { x} over {e } =p``]로 놓으면 [eqn: dx =e`dp]

[eqn: int _{e} ^{e ^{2}} {LEFT { g left ( {x} over {e} right)+5 RIGHT } dx`}][eqn: =e int _{1} ^{e} LEFT { g(p)+5 RIGHT } e `dp][eqn: =e int _{1} ^{e} {g(p)dp` +`e int _{1} ^{e} 5 `dp] [eqn: =2 int _{ 1} ^{e } { }g(p)`dp +5e(e-1)][eqn: =e int _{ 1} ^{ e} { }f`(lnp)`dp +5e(e-1)]

이므로 ㉠에서 [eqn: int _{1} ^{e} {f(lnx)dx =A ``]라 하면

[eqn: A+eA+5e(e-1)=6e^2 +4],	[eqn: A(1+e)=e^2 +5e +4][eqn: =(e+4)(e+1)]	[eqn: THEREFORE```A=ae +b =e+4]	[eqn: THEREFORE``` a=1,`~b=4]   [eqn: THEREFORE``` a ^{2} +b ^{2} `=`17]

[eqn: int _{1} ^{e} {f(ln``x)}`dx =ae+b``]일 때, [eqn: a^2 +b^2 ``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b``]는 정수이다.)

[killer] 2020/11/07 21th

두 상수 a, b에 대하여 함수  [eqn: f(x)= {cases{x ^{2} +ax+b&(x LEQ 0)#2xe ^{-x} ``&(x>0)}}]이 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

점 P(-4, 0)과 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 Q([eqn: t],[eqn: f(t)])([eqn: t][eqn: GEQ]-2)에 대하여 직선 PQ의 기울기를 [eqn: g(t)]라 할 때,

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

➄

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분 가능하므로 [eqn: x=0]에서 연속이다. 즉. [eqn: lim _{x-> 0-} {f(x)} = lim _{x-> 0+} {f(x)} =f(0)]

이때 [eqn: lim _{x rarrow 0-} {f(x)} = lim _{x rarrow 0-} {(x ^{2} +ax+b)} =b], [eqn: lim _{x rarrow 0+}{f(x)}=lim_{x->0+}{2xe^{-x}=0], [eqn: f(0)=b]이므로 [eqn: b=0]

또, 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분 가능하므로 [eqn: lim _{x -> 0-} {}][eqn: {f(x)-f(0)} over {x} =][eqn: lim _{x rarrow 0+} {}][eqn: {f(x)-f(0)} over {x}]

이때 [eqn: lim _{x -> 0-} {}][eqn: {f(x)-f(0)} over {x} =][eqn: lim _{x -> 0-} {}][eqn: {x ^{2} +ax} over {x}]=[eqn: lim _{x rarrow 0-} {(x+a)=a}], [eqn: lim _{x rarrow 0+} {}][eqn: {f(x)-f(0)} over {x} =][eqn: lim _{x rarrow 0+} {}][eqn: {2xe ^{-x}} over {x}]=[eqn: lim _{x rarrow 0+} {}][eqn: 2e ^{-x} =2]이므로 [eqn: a=2]

따라서 함수 [eqn: f(x)= {cases{x ^{2} +2x&(x LEQ 0)#2xe ^{-x} ``&(x>0)}}]의 그래프는 그림과 같다.

ㄱ. [eqn: f(-a)=f(-2)=0=b] (참)

ㄴ. -2[eqn: LEQ]t[eqn: LEQ]0일 때,

직선 PQ의 기울기 g(t)는 [eqn: g(t)={t ^{2} +2t} over {t+4}]이므로 [eqn: int _{-2} ^{0} {g(t)dt= int _{-2} ^{0} {{t ^{2} +2t} over {t+4} dt}}][eqn: = int _{-2} ^{0} {LEFT ( t-2+ {8} over {t+4} RIGHT ) dt}][eqn: = LEFT [ {1} over {2} t ^{2} -2t+8`ln(t+4) RIGHT ] _{-2} ^{0}]

[eqn: =8ln4-(6+8ln2)][eqn: =-6+8ln2] (참)

ㄷ.

-2[eqn: LEQ]t[eqn: LEQ]0에서 직선 [eqn: y-f(t)=g(t)(x-t)]와 곡선 [eqn: f(x)=x`+2x ^{2}] ([eqn: x][eqn: LEQ]0)이 접할 때 함수 g(t)는 최소이고, t>0에서 직선 [eqn: y-f(t)=g(t)(x-t)]와 곡선 [eqn: f(x)=2xe ^{-x}]([eqn: x>0])이 접할 때 함수 [eqn: g(t)]는 최대이다. -2[eqn: LEQ][eqn: t][eqn: LEQ]0일 때, 점 P(-4, 0)에서 곡선 [eqn: f(x)=x^{2}+2x] ([eqn: x][eqn: LEQ]0)에 그은 접선의 접점을 ([eqn: alpha], [eqn: f]([eqn: alpha])) ([eqn: -2<alpha<0])이라 하면 [eqn: f prime(x)=2x+2]

점 P(-4, 0)에서 곡선 [eqn: f(x)=x^{2}+2x] ([eqn: x][eqn: LEQ]0)에 그은 접선의 방정식은 [eqn: y-f(alpha)=f prime(alpha)(x-alpha)]

[eqn: y-(alpha^{2}+2alpha)=(2alpha+2)(x-alpha)]      [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

직선 ㉠이 점 P(-4, 0)을 지나므로 [eqn: -( alpha ^{2} +2 alpha )=(2 alpha +2)(-4- alpha )], [eqn: alpha^{2}+8alpha+8=0]

-2<[eqn: alpha]<0이므로 [eqn: alpha][eqn: =][eqn: -]4[eqn: +]2[eqn: sqrt {2}] 그러므로

[eqn: m=g( alpha )= {f( alpha )} over {alpha -(-4)}][eqn: = {(-4+2 sqrt {2} ) ^{2} +2(-4+2 sqrt {2} )} over {(-4+2 sqrt {2} )+4}][eqn: =-2(3-2 sqrt {2} )]

또 , [eqn: t>0]일 때, 점 P(-4, 0)에서 곡선 [eqn: f(x)=2xe^{-x}]([eqn: x>0])에 그은 접선의 접점을 ([eqn: beta], f([eqn: beta])) ([eqn: beta]>0)이라 하면

[eqn: f prime(x)=2e^{-x}-2xe^{-x}][eqn: =2e^{-x}(1-x)]

점 P(-4, 0)에서 곡선 [eqn: f(x)=2xe^{-x}] ([eqn: x>0])에 그은 접선의 방정식은 [eqn: y-f(beta)=f prime(beta)(x-beta)]

[eqn: y-2betae^{-beta}=2e^{-beta}(1-beta)(x-beta)]     [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

직선 ㉡이 점 P(-4, 0)을 지나므로 [eqn: -2betae^{-beta}=2e^{-beta}(1-beta)(-4-beta)], [eqn: beta^{2}+4beta-4=0]

[eqn: beta]>0이므로 [eqn: beta]=-2+2[eqn: sqrt {2}]그러므로 [eqn: M=g( beta )= {f( beta )} over {beta -(-4)}][eqn: = {2(-2+2 sqrt {2} )e ^{2-2 sqrt {2}}} over {(-2+2 sqrt {2} )+4}]=2(3-2[eqn: sqrt {2}])e[eqn: {} ^{2-2 sqrt {2}}]

따라서 2-ln[eqn: LEFT | {M} over {m} RIGHT |]=2-ln e[eqn: {} ^{2-2 sqrt {2}}]=2-(2-2[eqn: sqrt {2}]) =2[eqn: sqrt {2}] (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

<보기>

ㄱ. [eqn: f(-a)=b]                            ㄴ. [eqn: int _{-2} ^{0} {g(t)dt}=-6+8ln2]

ㄷ. 함수 [eqn: g(t)]의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 하면 2-ln[eqn: LEFT | {M} over {m} RIGHT |=2sqrt2] 이다 .

① ㄱ                           ② ㄴ                           ③ ㄱ,ㄴ

④ ㄴ,ㄷ                        ⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

[killer] 2020/11/08 22th

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원 모양의 색종이가 있다. 호 [eqn: \AB] 위의 점 [eqn: rm P]에 대하여 두 점 [eqn: \A], [eqn: \P]를

④

색종이를 접었을 때 호 [eqn: \AP]와 선분 [eqn: \AB]의 교점을 [eqn: \Q], 접힌 색종이를 다시 폈을 때 점 [eqn: \Q]가 호 [eqn: \AB]위에 있게 되는 점을 [eqn: \Q']이라 하자.

도형 [eqn: {rm `AQP]와 도형 [eqn: {rm `APQ']은 합동이므로 [eqn: S`( theta )]는 호 [eqn: {rm AP]와 현 [eqn: {rm AP]로 둘러싸인 도형에서 호 [eqn: {rm AQ']과 현 [eqn: {rm AQ']으로 둘러싸인 도형의 넓이를 뺀 것이다.

[eqn: S`( theta )][eqn: = {1} over {2} LEFT { ( pi -2 theta )-sin( pi -2 theta ) RIGHT }][eqn: - {1} over {2} LEFT { ( pi -4 theta )-sin( pi-4 theta ) RIGHT }][eqn: = {1} over {2} ( 2 theta -sin`2 theta +sin`4 theta )]

[eqn: S``'( theta )][eqn: =2`cos`4 theta -cos`2theta +1][eqn: = 2 (cos^2` 2theta - sin^2` 2theta )-cos`2 theta +1][eqn: = 2 (2`cos^2` 2theta - 1 )-cos`2 theta +1][eqn: =4`cos ^{`2}` 2 theta -cos`2 theta -1]

[eqn: S``'(theta)`=0]에서 [eqn: 4` left(cos `2theta -{1+ root17} over 8 right) left( cos `2 theta-{1-root17}over 8 right)=0]

따라서 [eqn: 0< theta < pi over 4]에서 [eqn: 0 < cos`2theta < 1]이므로  [eqn: cos`2 theta = {1+ sqrt {17}} over {8}]인 [eqn: theta]에서 [eqn: S`(theta)=0]이다.

[eqn: 0< theta < pi over 4]에서 [eqn: cos`2 theta = {1+ sqrt {17}} over {8}]를 만족시키는 [eqn: theta]를 [eqn: theta _{0}]이라 하면 [eqn: theta<theta _{0}]일 때 [eqn: S``' ( theta `)>0]이고, [eqn: theta > theta _{0}]일 때 [eqn: S```'( theta )<0]이므로

[eqn: S`(theta)]는 [eqn: theta`=` theta _{0}]에서 최댓값을 갖는다.

그러므로 [eqn: theta _{0} =alpha] 따라서 [eqn: cos`2alpha= {1+ sqrt {17}} over {8}]

연결하는 선을 접는 선으로 하여 색종이를 접는다.  [eqn: rm ANGLE PAB= theta]일 때, 포개어지는 부분의 넓이를 [eqn: S (theta)]라 하자.

[eqn: theta= alpha]에서 [eqn: S (theta)]가 최댓값을 갖는다고 할 때, [eqn: cos 2 alpha]의 값은? [eqn: pile{`#`} right(]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4}][eqn: pile{`#`} right)]

① [eqn: {-2+ sqrt {17}} over {8}]	② [eqn: {-1+ sqrt {17}} over {8}]               ③ [eqn: {sqrt {17}} over {8}]

④ [eqn: {1+ sqrt {17}} over {8}]                ⑤ [eqn: {2+ sqrt {17}} over {8}]

[killer] 2020/11/09 23th

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: \AB]위의 점 [eqn: \P]를 지나고, 선분 [eqn: \AB]에 수직인 직선이 선분 [eqn: \AB]를 지름으로 하는 반원과 만나는 점을

[eqn: bold { 80 }]

[eqn: S` LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {sqrt {1- LEFT ( t-1 RIGHT ) ^{2}}} `dt]이므로 [eqn: S`prime LEFT ( x RIGHT ) = sqrt {1- LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: f( theta )=S` LEFT ( 1+sin` theta RIGHT ) -S` LEFT ( 1+cos` theta RIGHT )]라 하면

[eqn: LEFT . f` prime ( theta RIGHT )][eqn: =S` prime LEFT ( 1+sin theta RIGHT ) `cos` theta +S` prime LEFT ( 1+cos` theta RIGHT ) `sin theta][eqn: = sqrt {1-sin ^{2} theta } `cos` theta + sqrt {1-cos ^{2} ` theta } `cos` theta][eqn: = LEFT | ``cos` theta`` RIGHT | cos` theta + LEFT | ``sin` theta`` RIGHT | `sin` theta]

(ⅰ) [eqn: 0 LEQ theta < {pi } over {2}]일 때,
[eqn: f` prime LEFT ( theta RIGHT ) =cos ^{2} theta +sin ^{2} ` theta][eqn: =1]이므로 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) = theta +C _{1}] ([eqn: C _{1`}]은 적분상수)
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =S` LEFT ( 1 RIGHT ) -S` LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =it- {pi} over {4}]이므로 [eqn: C _{1} =it- {pi } over {4}]  따라서 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) = theta - {pi } over {4}]

(ⅱ) [eqn: {pi } over {2} LEQ theta < pi]일 때, [eqn: f` prime LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = it -cos` ^{2} theta +sin ^{2} theta][eqn: = it -cos`2` theta] 이므로 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) = it - {1} over {2} `sin2 theta +C _{2}] ([eqn: C _{2`}]는 적분상수)
[eqn: f LEFT ( {pi} over {2} RIGHT ) =S` LEFT ( 2 RIGHT ) -S` LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = {{pi } over {4} `}]이므로 [eqn: C _{2} = { pi } over {4}] 따라서 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) = it - {1} over {2} `sin2 theta + {pi } over {4}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: y=f(theta)]의 구간 [eqn: left[ pi over 4 ,```` 3 over 4 pi right]]에서의 그래프는 그림의 실선 부분이다.

[eqn: int _{{pi } over {4}} ^{{3} over {4} pi } {f LEFT ( theta RIGHT )} `d theta][eqn: = int _{{pi } over {4}} ^{{pi } over {2}} {LEFT ( theta - {pi } over {4} RIGHT )} `d theta + int _{{pi } over {2}} ^{{3} over {4} pi } {LEFT ( - {1} over {2} `sin2 theta + {pi } over {4} RIGHT )} `d theta][eqn: = LEFT [ {1} over {2} theta ^{2} - {pi } over {4} theta RIGHT ] _{{pi } over {4}}^{{pi } over {2}} + LEFT [ {1} over {4} `cos2 theta + {pi } over {4} theta RIGHT ] _{{pi } over {2}}^{{3} over {4} pi }][eqn: = {1} over {4} + {3} over {32} pi ^{2}]

따라서 [eqn: p = 1 over 4], [eqn: q = 3 over 32]이므로 [eqn: 30p over q][eqn: = 80]

[eqn: \Q]라 하자.

[eqn: {bar\AP}=x]라 할 때, [eqn: S (x)]를 다음과 같이 정의한다. [eqn: 0<x<2]일 때 [eqn: S (x)]는 두 선분 [eqn: \AP], [eqn: \PQ]와 호 [eqn: \AQ]로 둘러싸인 도형의 넓이이고,

[eqn: x=2]일 때 [eqn: S (x)]는 선분 [eqn: \AB]를 지름으로 하는 반원의 넓이이다. [eqn: int _ {piover 4 } ^ { 3 over 4 pi } left{ S (1+sin theta) - S (1+cos theta) right} d theta][eqn: =p+q pi ^{2}]일 때,

[eqn: 30p over q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 유리수이다.) [[eqn: 4]점]

[killer] 2020/11/10 24th

정의역이 [eqn: "{"x `|`0leqx leq 8"}"]이고 다음 조건을 만족시키는 모든 연속함수 [eqn: f(x)``]에 대하여 [eqn: int _0 ^8 f(x)`dx]의 최댓값은

[eqn: p+ q overln2``]이다.  [eqn: p+q``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`,~q``]는 자연수이고, [eqn: ln2``]는 무리수이다.) [4점]

<보기>

(가) [eqn: f(0)`=`1``]이고 [eqn: f(8)le 100``]이다.

(나) [eqn: 0 le k le 7``]인 각각의 정수 [eqn: k``]에 대하여 [eqn: f(k+t)`=`f(k)~(0<t le 1)``]또는 [eqn: f(k+t)`=`2^t times f(k)~(0<t le1)``]이다.

(다) 열린 구간 [eqn: (0`,~8)``]에서 함수 [eqn: f(x)``]가 미분가능하지 않은 점의 개수는 [eqn: 2``]이다.

128

[eqn: 0le k le 7``]인 각각의 정수 [eqn: k``]에 대하여

① [eqn: f(k+t)`=`f(k) ~(0<t le1)``]인 경우  [eqn: k<x le k+1``]에서 [eqn: f(x)`=`f(k)] : 상수함수

② [eqn: f(k+t)`=`2^t timesf(k) ~(0<t le1)``]인 경우 [eqn: k<x le k+1``]에서 [eqn: f(x)`=`f(k) times 2^x-k] : 지수함수

주어진 조건에서 함수 [eqn: f(x)``]는 미분가능하지 않은 점이 [eqn: 2``]개

이므로 ① ⇨ ② ⇨ ① 또는 ② ⇨ ① ⇨ ②처럼 변화되는 지점이 2번 있어야 한다. 또한 ②가 7번이상 나오면 [eqn: f(8)>100] 이 되므로 조건을 만족하지 않는다.

가능한 경우 중에 ②가 그려지는 구간이 많이 들어가 있을수록 [eqn: int_0 ^8 f(x)dx``]의 값이 커지므로 8개의 소구간이 ①②②②②②②①

의 순서로 이어지는 연속함수일 때, [eqn: int_0 ^8 f(x)dx``]가 최대가 된다. 따라서 주어진 조건을 만족하는 함수 중 [eqn: int_0 ^8 f(x)dx``]가 최대가

될 때, 함수 [eqn: f(x)]는  [eqn: f(x)`=`cases{f(0)=1 ~~~~~~~~``~~(0 le x le 1) # f(1)times2^x-1 `=`2^x-1 ````(1 le x le 7) # f(7)`=`64 ~~~~~~``` `````~( 7 le x le 8 )] 이다.

따라서 [eqn: int_0 ^8 f(x)dx``]의 최댓값은 [eqn: int_0 ^8 f(x)dx][eqn: `=`int_0 ^1 1`dx +int_1^7 2^x-1 dx + int_7^8 64`dx]

[eqn: =` LEFT [`x` RIGHT ]_0^1 + LEFT [`2^x-1 overln2 `RIGHT ]_1^7 + left[`64x` right]_7^8][eqn: =`65 + 63overln2][eqn: therefore``p+q`=`65+63`=`128]

[killer] 2020/11/11 25th

함수 [eqn: f(x) `=` |`sinx`|]와 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x) `=` a f left( 2x + pi over2 right ) + SUM_{k=1}^{n} f left ( x+ (-1)^k piover4 right)]이라 하자.

[eqn: -4 ` le` a`le` 4]인 어떤 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]가 닫힌구간 [eqn: [`0,```pi ` ]]에서 미분 가능한 함수가 되도록 하는

모든 자연수 [eqn: n]값들의 합을 구하시오.

[eqn: 72]

[eqn: g(x) `=` a left | `sin left ( 2x + piover2 right) ` right |+ sum_{k=1}^{n}left | `sin left ( x + (-1)^k piover4 right) ` right |]이다.

[eqn: 1]부터 [eqn: n]까지의 자연수 중 홀수의 개수를 [eqn: alpha], 짝수의 개수를 [eqn: beta]라 하면 함수 [eqn: g(x)]를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: g(x) `=`a left | `sin left ( 2x + piover2 right) ` right | +alpha left | `sin left ( x- piover4 right) ` right |+beta left | `sin left ( x + piover4 right) ` right |]

절댓값을 포함하는 함수는 절댓값 안의 함수의 부호가 바뀔 때 미분 가능성을 보장하지 못하므로, 절댓값 안의 함수의 부호를 바뀌게 하는 [eqn: x]를 찾은 후, 그 [eqn: x]값에서의 미분 가능성을 조사해주면 될 것이다.

[eqn: x`=` pi over 4], [eqn: 3over4 pi]에서 조사해주면 된다.

[eqn: x < pi over4]일 때, [eqn: sin(2x + pi over2 ) >0], [eqn: sin(x - pi over4 ) <0], [eqn: sin(x+ pi over4 ) >0] 이므로

[eqn: g(x) `=`a left { `sin left ( 2x + piover2 right) ` right }` -`alpha left {`sin left ( x- piover4 right) ` right }+beta left { `sin left ( x + piover4 right) ` right }][eqn: `=` g_1 (x)]

[eqn: g_1 ` '(x) `=` 2a`cos left (2x+ pi over2 right)-alpha cos left (x - piover4 right)+beta cos left ( x + pi over4 right)]

[eqn: x ge pi over4]일 때, [eqn: sin(2x + pi over2 ) <0], [eqn: sin(x - pi over4 ) >0], [eqn: sin(x+ pi over4 ) >0] 이므로

[eqn: g(x) `=`-a left { `sin left ( 2x + piover2 right) ` right }` +`alpha left {`sin left ( x- piover4 right) ` right }+beta left { `sin left ( x + piover4 right) ` right }][eqn: `=` g_2 (x)]

[eqn: g_2 ` '(x) `=`- 2a`cos left (2x+ pi over2 right)+alpha cos left (x - piover4 right)+beta cos left ( x + pi over4 right)]

미분 가능해야하므로 [eqn: g_1 `'left ( piover4 right )`=`g_2`' left ( piover4 right )], [eqn: -2a -alpha `=` 2a +alpha], [eqn: alpha `=` -2a]

같은 방법으로 [eqn: x`=` 3over4 pi]일 때도 조사하면, [eqn: beta `=` -2a]

따라서 [eqn: alpha `=` beta `=` -2a]일 때, [eqn: g(x)]가 미분 가능하다.

[eqn: a]는 [eqn: -4` le` a `le` 4]인 실수이므로 [eqn: alpha]로 가능한 값은 [eqn: -8 ` le` alpha ` le ` 8]인 자연수이고, [eqn: alpha `=` beta]이므로 [eqn: n`=` alpha +beta `=` 2alpha]는 짝수여야 한다.

따라서 이러한 조건을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: n]의 합은

[eqn: 2+4+ `` cdots `` + 16 `=` 72]

[killer] 2020/11/12 26th

구간 [eqn: [`1,```2`]]에서 연속이고 구간 [eqn: (` 1,```2``)]에서 미분 가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 직선 [eqn: y`=` x-t`( `0`le`t`le`2`)]와

[eqn: 5]

[eqn: g(0)`=` 1]이므로 [eqn: y`=` x]와 [eqn: y`=` f(x)]의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1]이다. 따라서 [eqn: y`=` f(x)]가 [eqn: (`1,```1`)]을 지난다. 또한 [eqn: g(2) `=` 2]이므로 [eqn: y`=` x-2]와 [eqn: y`=` f(x)]의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 2]이다.

위 그림에서 [eqn: g(t) -t `=` f( g(t))]를 만족하고 [eqn: g(0) `=`1,```g(2) `=`2]이므로

[eqn: int _{1}^{2} f(x) `dx `=` int _{0}^{2} f(g(t))`g`'(t) `dt`=` int _{0}^{2} left { g(t) -t right } g`'(t) dt][eqn: =` int _{0}^{2} g(t) g`'(t) dt `-` int _{0}^{2}t g`'(t) dt]

[eqn: =`1over 2 left [ left { g(t) right }^2 right ] _{0}^{2} -left [ tg(t) right ]_{0}^{2} + int _{0}^{2}g(t)dt][eqn: = 1over2 ( 2^2 -1^2 ) -2g(2) + 19over6 `=` 3over2 -4 + 19over 6 `=` 2over3]

[eqn: therefore````` p+q `=` 5]

곡선 [eqn: y`=` f(x)]가 오직 한 점에서 만날 때, 그 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: g(t)]라고 하자.

함수 [eqn: g(t)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: int _{1} ^{2} f(x) dx `=` q over p]이다. [eqn: p`+`q]의 값을 구하시오.(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

(가) [eqn: g(t)]는 구간 [eqn: [`0,```2`]]에서 연속이면서 증가하고 [eqn: g(0) `=`1], [eqn: g(2) `=` 2]이다.               (나) [eqn: int _{0} ^{2} g(t) dt `=` 19 over 6]

[killer] 2020/11/13 27th

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,``` LEFT { b _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: bold {79}]

두 조건 (가)와 (나)로부터 [eqn: a _{2n} +a _{2n+1} =2b _{n} +1] 두 조건 (다)와 (라)로부터 [eqn: b _{2n} +b _{2n+1} =2a _{n} +1]

[eqn: sum _{n=1} ^{63} a _{n} - sum _{n=1} ^{31} b _{n}][eqn: =a _{1} + sum _{n=1} ^{31} LEFT ( a _{2n} +a _{2n+1} RIGHT ) - sum _{n=1} ^{31} b _{n}][eqn: =a _{1} + sum _{n=1} ^{31} LEFT ( 2b _{n} +1 RIGHT ) - sum _{n=1} ^{31} b _{n}][eqn: =a _{1} + sum _{n=1} ^{31} b _{n} +31][eqn: =a _{1} +b _{1} + sum _{n=1} ^{15} LEFT ( b _{2n} +b _{2n+1} RIGHT ) +31][eqn: =a _{1} +b _{1} + sum _{n=1} ^{15} LEFT ( 2a _{n} +1 RIGHT ) +31][eqn: =a _{1} +b _{1} +2 sum _{n=1} ^{15} a _{n} +15+31][eqn: =a _{1} +b _{1} +2a _{1} +2 sum _{n=1} ^{7} LEFT ( 2b _{n} +1 RIGHT ) +46][eqn: =a _{1} +b _{1} +2a _{1} +4 sum _{n=1} ^{7} b _{n} +14+46][eqn: =a _{1} +b _{1} +2a _{1} +4b _{1} +4 sum _{n=1} ^{3} LEFT ( 2a _{n} +1 RIGHT ) +60][eqn: =a _{1} +b _{1} +2a _{1} +4b _{1} +8 sum _{n=1} ^{3} a _{n} +12+60][eqn: =a _{1} +b _{1} +2a _{1} +4b _{1} +8a _{1} +8(2b _{1} +1)+72][eqn: =a _{1} +b _{1} +2a _{1} +4b _{1} +8a _{1} +16b _{1} +8+72][eqn: =11a _{1} +21b _{1} +80][eqn: =155]

그러므로 [eqn: 11a _{1} +21b _{1} =75]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

조건 (가) 와 (다)에서

[eqn: a _{4n} =b _{2n} +2=(3a _{n} -2)+2=3a _{n}], [eqn: b _{4n} =3a _{2n} -2=3(b _{n} +2)-2=3b _{n} +4]이므로 [eqn: a _{48} =3a _{12} =9a _{3} =9(b _{1} -1)=9], [eqn: b _{1} =2]

㉠에 의하여 [eqn: a _{1} =3] 따라서 [eqn: b _{32} =3b _{8} +4][eqn: =9b _{2} +16][eqn: =9(3a _{1} -2)+16][eqn: =79]

(가) [eqn: a _{2n} =b _{n} +2]             (나) [eqn: a _{2n+1} =b _{n} -1]            (다) [eqn: b _{2n} =3a _{n} -2]              (라) [eqn: b _{2n+1} =-a _{n} +3]

[eqn: a _{48} =9]이고 [eqn: sum _{n=1} ^{63} a _{n} - sum _{n=1} ^{31} b _{n} =155]일 때, [eqn: b _{32}]의 값을 구하시오. [4점]

[killer] 2020/11/14 28th

상수 [eqn: a ,``` b]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = a`sin` 3x+ b`sin` x]가	[eqn: f left ({ pi }over{4}right ) = 3 sqrt 2], [eqn: f left ({ pi }over{3}right ) = 5 sqrt 3]을 만족시킨다.

실수 [eqn: t(1 < t < 14)]에 대하여 함수 [eqn: y= f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y= t]가 만나는 점의 [eqn: x]좌표 중 양수인 것을 작은 수부터

크기순으로 모두 나열할 때, [eqn: n]번째 수를 [eqn: x_{n}]이라 하고 [eqn: c_{n}= int _{3 sqrt 2}^{5 sqrt 3}{t}over{f′(x_{n})}dt]라 하자.

[eqn: sum _{n= 1}^{101}c_{n}= p+ q sqrt 2]일 때, [eqn: q- p]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 유리수이다.)

[eqn: 12]

[출제의도] 함수의 그래프와 정적분의 성질을 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는가?

[eqn: f(x) = a sin sup 3 x + b sin x]에서 [eqn: f left ( pi over 4 right ) = root 2 over 4 a + root 2 over 2 b = 3 root 2]이므로  [eqn: a+2b = 12] [eqn: cdots ~ ㉠]

[eqn: f left ( pi over 3 right ) = 3 root 3 over 8 a + root 3 over 2 b = 5 root 3]이므로 [eqn: 3a +4b = 40] [eqn: cdots~ ㉡]

[eqn: ㉠,~㉡]을 연립하면 [eqn: a=16 ,~ b= -2]  따라서 [eqn: f(x) = 16 sin sup 3 x - 2 sin x]이므로
함수 [eqn: f(x)]의 주기는 [eqn: 2pi]이고, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x = n pi + pi over 2] ([eqn: n]은 정수)에 대하여 대칭이다.

이때 [eqn: f` prime (x) = 48 sin sup 2 x cos x - 2 cos x][eqn: = 2 cos x left ( 24 sin sup2 x -1 right ) =0]이므로 [eqn: f` prime (x) = 0]에서

[eqn: cos x = 0] 또는 [eqn: sin x = +- root 6 over 12]

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은 [eqn: 14]이거나 [eqn: 1]보다 작으므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프에서 [eqn: 1<t<14]인 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: 1< f left ( x sub n right ) < 14]이고, [eqn: x sub n = (n-1) pi + (-1) sup n-1 x sub 1]

(ⅰ) [eqn: n]이 홀수일 때
[eqn: f` prime ( x sub n ) = f` prime ( x sub 1 )]이므로 [eqn: c sub n = int from {3root2} to {5 root 3 } t over {f` prime (x sub n ) } dt = int from {3root2} to {5 root 3 } t over {f` prime (x sub 1 ) } dt]

(ⅱ) [eqn: n]이 짝수일 때
[eqn: f` prime ( x sub n ) = - f` prime ( x sub 1 )]이므로 [eqn: c sub n = int from {3root2} to {5 root 3 } t over {f` prime (x sub n ) } dt = - int from {3root2} to {5 root 3 } t over {f` prime (x sub 1 ) } dt]

(ⅰ), (ⅱ)에서
[eqn: c sub 1 + c sub 2 = c sub 3 + c sub 4 = ``cdots `=c sub 99 + c sub 100 = 0]이므로 [eqn: sum from n=1 to 101 c sub n = c sub 101 = c sub 1]

이제 [eqn: c _{1} = int _{3 sqrt {2}} ^{5 sqrt {3}} {} {t} over {f` prime (x _{1} )} dt]의 값을 구하자.

[eqn: pi over 4 le x le pi over 3]에서 함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x) = f(x)]로 정의하면 함수 [eqn: y= g(x)]는 일대일대응이므로 [eqn: h=g sup -1]라 하자.

[eqn: f(x sub 1 ) = t]에서 [eqn: g(x sub 1 ) = t]이므로 [eqn: h(t) = x sub 1]

따라서 역함수의 미분법에 의해 [eqn: 1 over {f ` prime (x sub 1 ) } = 1 over {g` prime (x sub 1 ) } = h` prime (t)]이므로

[eqn: c _{1} = int _{3 sqrt {2}} ^{5 sqrt {3}} {} {t} over {f` prime (x _{1} )} dt = int _{3 sqrt {2}} ^{5 sqrt {3}} {} {th` prime (t) } dt]

이때 [eqn: h(t) = y]라 하면 [eqn: t= g*y) = f(y)]이고, [eqn: t= 3 root 2]일 때, [eqn: y= pi over 4] [eqn: left ( f left ( pi over 4 right ) = 3 root 2]이므로[eqn: matrix {{}#{} }right )]
[eqn: t= 5 root 3]일 때, [eqn: y= pi over 3] [eqn: left ( f left ( pi over 3 right ) = 5 root 3]이므로[eqn: matrix {{}#{} }right )]

한편, [eqn: h(t) = y]에서 [eqn: dy over dt = h` prime (t)]이다.

따라서

[eqn: int from { 3 root 2 } to {5 root 3 } t h` prime (t) dt = int from { pi over 4 } to { pi over 3 } f(y) dy][eqn: = int from { pi over 4 } to{ pi over 3 } left ( 16 sin sup 3 x - 2 sin x right ) dx][eqn: = int from { pi over 4 } to{ pi over 3 } left { 16 sin x left ( 1 - cos sup 2 x right ) - 2 sin x right } dx]
[eqn: = 14 int from { pi over 4 } to{ pi over 3 } sin x dx - 16 int from { pi over 4 } to{ pi over 3 } sin x cos sup 2 x dx][eqn: = 14 left [ - cos x right ] sub { pi over 4 } sup { pi over 3 } - 16 left [ - 1 over 3 ` cos sup 3 x right ] sub { pi over 4 } sup { pi over 3 }]
[eqn: = 14 left ( - cos pi over 3 + cos pi over 4 right ) + 16 over 3 left ( cos sup 3 pi over 3 - cos sup 3 pi over 4 right )][eqn: = 14 left ( - 1 over 2 + root 2 over 2 right ) + 16 over 3 left ( 1 over 8 - root 2 over 4 right )]
[eqn: = -7 + 7 root 2 + 2 over 3 - 4root 2 over 3][eqn: = - 19 over 3 + {17 root 2 } over 3]이므로

[eqn: c sub 1 = - 19 over 3 + { 17root2 } over 3]

따라서  [eqn: sum from n=1 to 101 c sub n = c sub 101 =][eqn: c sub 1 = - 19 over 3 + { 17root2 } over 3] 따라서 [eqn: p = - 19 over 3 ,~ q = 17 over 3]이므로
[eqn: q-p = 17+19 over 3 = 12]

[killer] 2020/11/15 29th

실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f`prime (x^{2 }+ x+ 1) = pi f(1)`sin` pix+ f(3)x+ 5x^{2}]
을 만족시킬 때, [eqn: f(7)]의 값을 구하시오.

[eqn: 93]

[eqn: a= f LEFT ( 1 RIGHT )`,``b= f LEFT ( 3 RIGHT )`]이라 하자. [eqn: f`'` LEFT ( x^2 +x+1 RIGHT )= pi a sin pix + b x +5x^2 ``]의 양변에 [eqn: 2x+1]을 곱하면

[eqn: LEFT ( 2x+1 RIGHT )f`'` LEFT ( x^2 +x+1 RIGHT )= a pi LEFT ( 2x +1 RIGHT )sin pi x + bx+ LEFT ( 2b+5 RIGHT )x^2 +10 x^3] 이다.

위 식의 양변을 부정적분 하면 [eqn: f LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT ) `=`-a LEFT ( 2x+1 RIGHT ) cos pi x+ {2a} over {pi } sin pi x+ {b} over {2} x ^{2} + {2b+5} over {3} x ^{3} + {5} over {2} x ^{4} +C]이다. (단, [eqn: C``]는 상수)

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = x^2 +x+1]이라 하자.

[eqn: a=f LEFT ( g LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT ) =-a+C~~~ CDOTS CDOTS ~~] ㉠

[eqn: a=f LEFT ( g LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT ) =-a+ {b} over {2} - {2b+5} over {3} + {5} over {2} +C~~cdotscdots~~]㉡

[eqn: b= f LEFT ( g LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =3a+ { b} over { 2} + { 2b+5} over { 3} + { 5} over { 2} +C~~cdots cdots~~]㉢

이때, [eqn: ㉡+㉢~~ RARROW~~][eqn: a+b = 2a +b+2C`+5] 이고 [eqn: ㉠~~RARROW~~][eqn: C`=2a] 이다.

따라서 [eqn: a=-1`,``b= 5`,``C=-2``]이고

[eqn: f LEFT ( x^2 +x+1 RIGHT ) = LEFT ( 2x+1 RIGHT )cos pix -{2 } over {pi }sin pi x+ { 5} over { 2}x^2 +5x^3 + { 5} over { 2}x^4 -2] 이다.

[eqn: f LEFT ( x^2 +x+1 RIGHT )]에 [eqn: x=2]를 대입하면 [eqn: f LEFT ( 7 RIGHT ) = 93] 이다.

[killer] 2020/11/16 30th

함수	[eqn: f(x)= {cases{`-x- pi _{`}&&{}_{`} LEFT ( x< it - pi RIGHT )#`sin`x _{`}^{`}&&{}_{`}^{`} LEFT ( - pi LEQ x LEQ pi RIGHT )#`-x+ pi ^{`}&&{}^{`} LEFT ( x> pi RIGHT )}}]가 있다. 실수 [eqn: t`]에 대하여 부등식 [eqn: f(x) LEQ f(t)`]를 만족시키는 실수 [eqn: x`]의 최솟값을 [eqn: g(t)`]라 하자. 예를 들어, [eqn: g( pi )= it - pi `]이다.
함수 [eqn: g(t)`]가 [eqn: t= alpha `]에서 불연속일 때, [eqn: int _{-pi} ^{alpha} {} g(t)`dt][eqn: = it - {7} over {4} pi ` ^{2} +p` pi +q]이다.

[eqn: 350]

부등식 [eqn: f(x){le}f(t)`]를 만족시키는 [eqn: x`]의 범위는 곡선 [eqn: y=f(x)`]가 직선 [eqn: y=f(t)`]와 만나거나 아래쪽에 그려지는 실수 [eqn: x`]의 범위와 같다. 따라서 직선 [eqn: y=f(t)`]와 곡선 [eqn: y=f(x)`]가 만나는 점의 [eqn: x`]좌표 중 가장 작은 값이 [eqn: g(t)`]이다.

(ⅰ) [eqn: t{le}- {pi } over {2} `]일 때
점 [eqn: rm A`]의  [eqn: x`]좌표가 [eqn: t`]일 때, 점 [eqn: rm A`]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 [eqn: x`]좌표가 가장 작은 점은 [eqn: rm A`]이다.
따라서 [eqn: g(t)=t`]이다.

(ⅱ) [eqn: - {pi } over {2} <t{le it 0`]일 때
점 [eqn: rmB`]의  [eqn: x`]좌표가  [eqn: t`]일 때, 점 [eqn: rmB`]를 지나고  [eqn: x`]축에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중  [eqn: x`]좌표가 가장 작은 점은 [eqn: rmB'`]이다.
따라서 점 [eqn: rm B prime `]의  [eqn: x`]좌표가 [eqn: g(t)`]이다.
두 점 [eqn: rmB], [eqn: rmB'`]은 직선 [eqn: x=it- {pi} over {2} `]에 대하여 대칭이므로
[eqn: {t+g(t)} over {2} = it - {pi } over {2} `]에서 [eqn: g(t)= it -t- pi `]이다.

(ⅲ) [eqn: 0<t{le} it pi `]일 때
점 [eqn: rmC`]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: t`]일 때, 점 [eqn: rmC`]를 지나고  [eqn: x`]축에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 [eqn: x`]좌표가 가장 작은 점은 [eqn: rmC'`]이다.
따라서 점 [eqn: rm C prime `]의  [eqn: x`]좌표가 [eqn: g(t)`]이다.
점 [eqn: rmC`]는 곡선 [eqn: y=sin`x] 위의 점이고 점 [eqn: rmC'`]은 직선 [eqn: y=it-x-pi] 위의 점이므로
[eqn: sin`t=it-g(t)- pi `]에서 [eqn: g(t)=it-sint- pi `]이다.

(ⅳ) [eqn: pi <t LEQ it pi +1`]일 때
점 [eqn: rmD`]의  [eqn: x`]좌표가 [eqn: t`]일 때, 점 [eqn: rmD`]를 지나고  [eqn: x`]축에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중  [eqn: x`]좌표가 가장 작은 점은 [eqn: rm D prime `]이다.
따라서 점 [eqn: rm D prime `]의  [eqn: x`]좌표가 [eqn: g(t)`]이다.
점 [eqn: rmD`]는 직선 [eqn: y=it-x+pi] 위의 점이고 점 [eqn: rmD'`]은 곡선 [eqn: y=sin`x] 위의 점이므로 [eqn: -t+ pi =sin`g(t)`]이다.
함수 [eqn: y=sin`x`][eqn: LEFT ( -pi LEQ x LEQ - {pi } over {2} RIGHT ) `]의 역함수를 [eqn: h(x)]라 하면 [eqn: g(t)][eqn: =h(-t+ pi )`]이다.

(ⅴ) [eqn: t> it { pi}+1`]일 때
점 [eqn: rmE`]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: t`]일 때, 점 [eqn: rmE`]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 [eqn: x`]좌표가 가장 작은 점은 [eqn: rmE`]이다.
따라서 [eqn: g(t)=t`]이다.

함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t=pi+1`]에서 불연속이므로 [eqn: alpha = pi +1]이고 그래프는 그림과 같다.

[eqn: int _{- pi } ^{pi } {} g(t)`dt][eqn: = LEFT [ ` {t ^{2}} over {2} ` RIGHT ] _{- pi }^{- {pi } over {2}} + LEFT [ `- {t ^{2}} over {2} - pi t` RIGHT ] _{- {pi } over {2}}^{0} + LEFT [ `cost- pi t pile{`#`} RIGHT ] _{0}^{pi }][eqn: =it- {7} over {4} pi ^{2} -2]

한편 위의 그림에서 [eqn: y=sin`t`][eqn: LEFT ( - pi LEQ t LEQ - {pi } over {2} RIGHT ) `]

[eqn: REL -> {㉠} {직선```y=t```대칭}] [eqn: y=h(t)] , [eqn: REL -> {㉡} {y`축```대칭}] [eqn: y=h(-t)] , [eqn: REL -> {㉢} {평행이동}] [eqn: y=h(-t+ pi )`] 이므로

[eqn: int _{pi } ^{alpha } {} g(t)dt][eqn: =it-(]빗금 친 부분의 넓이[eqn: )][eqn: = it - LEFT ( 1times {pi } over {2} + int _{0} ^{{pi } over {2}} {} sin`t`dt RIGHT )][eqn: =it- {1} over {2} pi -1]

따라서 [eqn: int _{- pi } ^{alpha} {} g(t)`dt][eqn: = it - {7} over {4} pi ^{2} - {1} over {2} pi-3], [eqn: p= it - {1} over {2}], [eqn: q= it -3]이므로 [eqn: 100times LEFT | p+q RIGHT |][eqn: =350]

[eqn: 100 TIMES left|p+q{right|`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q`]는 유리수이다.)

[killer] 2020/11/17 31th

[eqn: x=a`left(a>0 right)`]에서 극댓값을 갖는 사차함수 [eqn: f left(x right)`]에 대하여 함수 [eqn: g left(x right)`]가  [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{{1-cos pi x} over {f LEFT ( x RIGHT )}&```` LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) != 0 RIGHT )#&#````````` {7} over {128} pi ^{2}&```` LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) =0 RIGHT )}}]일 때,

[eqn: 95]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) != 0`]일 때 [eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) = {pi ` LEFT ( sin pi x RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( 1-cos pi x RIGHT ) f` prime LEFT ( x RIGHT )} over {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} `]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) != 0`]이면 [eqn: g prime LEFT ( 0 RIGHT ) =0`]이 되어 조건 (가)에 모순이므로 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0`]이고 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) = {7} over {128} pi ^{2} `]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=0`]에서 연속이므로 [eqn: lim _{x` -> `0} {`g LEFT ( x RIGHT )} = {7} over {128} pi ^{2} `]	……㉠

[eqn: lim _{x` -> `0} { {1-cos` pi x} over {f LEFT ( x RIGHT )}} = lim _{x` -> `0} { {sin` ^{2} ` pi x} over {f LEFT ( x RIGHT ) LEFT ( 1+cos` pi x RIGHT )}} `]

[eqn: lim _{x` -> `0} {LEFT { LEFT ( {sin` pi x} over {pi x} RIGHT ) ^{2} TIMES {LEFT ( pi x RIGHT ) ^{2}} over {f LEFT ( x RIGHT )} TIMES {1} over {1+cos` pi x} RIGHT }} `][eqn: = {7} over {128} pi ^{2} `]이므로 최고차항의

계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =kx ^{2} h LEFT ( x RIGHT ) `]	…… ㉡ ([eqn: k]는 [eqn: k != 0`]인 상수, [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) != 0`])이라 하자.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x=a`]에서 극댓값을 가지므로 [eqn: f` prime LEFT ( a RIGHT ) =0`]이다.

[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =0`]이라 가정하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =kx ^{2} LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} `]이고 [eqn: k>0`]일 때 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x=a`]에서 극솟값을 가지므로 모순이고,

[eqn: k<0`]일 때 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) LEQ 0]이므로 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) = {2} over {7} `]라는 조건에 모순이다.  그러므로 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) != 0]이다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x=a`]에서 극값을 가지므로 [eqn: g` prime LEFT ( a RIGHT ) = {pi LEFT ( sin`a pi RIGHT ) f LEFT ( a RIGHT )} over {LEFT { f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT } ^{2}} =0`]

[eqn: sin`a pi =0`]이고 [eqn: sin`2a pi =0`], [eqn: cos`2a pi =1`]	……㉢

[eqn: f LEFT ( 2a RIGHT ) != 0`]이면 [eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) = {pi LEFT ( sin pi x RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( 1-cos pi x RIGHT ) f` prime LEFT ( x RIGHT )} over {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}} `]에서 [eqn: g` prime LEFT ( 2a RIGHT ) =0`]이 되어 조건 (가)에 모순이므로 [eqn: f LEFT ( 2a RIGHT ) =0`]이다.

㉡에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =kx ^{2} LEFT ( x-2a RIGHT ) LEFT ( x-b RIGHT ) `]라 하면 [eqn: f` prime LEFT ( a RIGHT ) =ka ^{2} LEFT ( b-2a RIGHT ) =0`]이므로 [eqn: b=2a`]이고 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =kx ^{2} LEFT ( x-2a RIGHT ) ^{2} `]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=a`]에서 극대이므로 [eqn: k>0] ㉠에서 [eqn: lim _{x -> 0} {{1-cos pi x} over {kx ^{2} LEFT ( x-2a RIGHT ) ^{2}} = {7} over {128} pi ^{2}} `]

[eqn: ka ^{2} = {16} over {7} `]	……㉣ , [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) = {2} over {7} `]에서 [eqn: k LEFT ( 1-2a RIGHT ) ^{2} =7`]	……㉤

㉣, ㉤에서 [eqn: {7a ^{2}} over {16} = {LEFT ( 1-2a RIGHT ) ^{2}} over {7}]이므로 [eqn: a= {4} over {15}] 또는 [eqn: a=4]

㉢에 의하여 [eqn: a=4`]이고 [eqn: k= {1} over {7} `]이다.

[eqn: g(x)= {cases{{7 LEFT ( 1-cos pi x RIGHT )} over {x ^{2} LEFT ( x-8 RIGHT ) ^{2}} ``````````````(x != 0````이고````x != 8)&#```````` {7} over {128} pi ^{2} ```````````````````````````````(x=0`````또는````x=8)&}}], [eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) = {14} over {81} `] 따라서 [eqn: p+q=95`]

함수 [eqn: g left(x right)`]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: g` prime LEFT ( 0 RIGHT ) TIMES g` prime LEFT ( 2a RIGHT ) != 0`]            (나) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=a`]에서 극값을 갖는다.

[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) = {2} over {7} `]일 때, [eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) = {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[killer] 2020/11/18 32th

최고차항의 계수가 [eqn: 1 over 2 ``]이고 최솟값이 [eqn: 0``]인 사차함수 [eqn: f(x) ``]와   함수 [eqn: g(x) = 2 x^4 e^-x ``]에 대하여 합성함수 [eqn: h(x) = ( f circ g ) (x) ``]가

다음 조건을 만족한다.

(가) 방정식 [eqn: h(x) = 0 ``]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4`]이다.

(나) 함수 [eqn: h(x) ``]는 [eqn: x= 0``]에서 극소이다.

(다) 방정식 [eqn: h(x) = 8 ``]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 6 ``]이다.

[eqn: f `' (5) `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: lim _{x rarrow INF} ` g(x)=0`)] [4점]

30

[eqn: f(x)=0]의 근이 [eqn: x=0]이라 가정하면

[eqn: f(g(x))=0]의 근은 [eqn: g(x)=0], [eqn: x=0]이므로

[eqn: h(x)=0]의 실근이 1개이다.

[eqn: f(x)]의 최솟값이 [eqn: 0]이고 [eqn: h(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: {1}over{2}]이므로

[eqn: f(x)={1}over{2}x^{2}(x-alpha)^{2}]이고 [eqn: alpha LEQg(4)]이다.

[eqn: h(x)=8]의 실근이 [eqn: 6]개이므로 [eqn: f(x)]의 극댓값은 [eqn: 8]이다.

[eqn: f(x)]는 [eqn: x={alpha}over{2}]에서 극대이므로

[eqn: f left({alpha}over{2} right)=8]이고 [eqn: alpha=4]이다.

[eqn: f(x)={1}over{2}x^{2}(x-4)^{2}]이고

[eqn: f`'(5)=30]이다.