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수학 Ⅱ (고2)	내신대비 모의고사	범위 : 미분-적분
		시험시간 : 50분
총 22문항 : 객관식 16, 주관식 6
		이름 :

Du kannst, denn Du sollst !	| |	용문아 수학교실

[객관식]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]일 때의 위치 [eqn: x]가

①

점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]와 가속도 [eqn: a LEFT ( t RIGHT )]는

[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) = {dx} over {dt} =3t ^{2} -4t+4,~a LEFT ( t RIGHT ) = {dv} over {dt} =6t-4]

[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) =8]일 때, [eqn: 3t ^{2} -4t+4=8]

[eqn: 3t ^{2} -4t-4=0,~ LEFT ( 3t+2 RIGHT ) LEFT ( t-2 RIGHT ) =0]

이때 [eqn: t>0]이므로 [eqn: t=2]

따라서 [eqn: t=2]에서 가속도는 [eqn: a LEFT ( 2 RIGHT ) =12-4=8]

[eqn: x=t ^{3} -2t ^{2} +4t]

이다. 속도가 [eqn: 8]인 순간의 점 [eqn: rmP]의 가속도는?

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

다항함수 [eqn: f(x)`]에 대하여

⑤

[eqn: int _{ } ^{ } { f(x)}`dx= { 1} over { 3}x^{3}- { 1} over { 2}x^{2}+rmC`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)=x^{2}-x`]

따라서 [eqn: f(x)=x^{2}-x`]이므로 [eqn: f(-2)=4+2=6`]

[eqn: int _{ } ^{ } { f(x)}`dx= { 1} over 3{ }x^3 - { 1} over { 2}x^2 +rmC`]  (단, [eqn: rmC`]는 적분상수)

가 성립할 때, [eqn: f(-2)`]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여

⑤

[eqn: f(x)= int _{1} ^{x+1} {t(t+2)dt}]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f prime (x)=(x+1)(x+3)]

따라서 [eqn: f` prime (1)=8]

[eqn: f(x)= int _{1} ^{x+1} {t(t+2)dt}]

가 성립한다. [eqn: f` prime (1)]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가

②

[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) = {dx} over {dt} =3t ^{2} +2at+b]에서 [eqn: t=3]일 때,

속도가 [eqn: 0]이므로 [eqn: 27+6a+b=0]

[eqn: THEREFORE~6a+b=-27]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: t=3]일 때, 위치가 [eqn: -5]이므로 [eqn: 27+9a+3b+4=-5]

[eqn: THEREFORE~3a+b=-12]	[eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=-5,~b=3]

[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) = {dx} over {dt} =3t ^{2} -10t+3= LEFT ( 3t-1 RIGHT ) LEFT ( t-3 RIGHT )]이므로

[eqn: v=0]에서 [eqn: t= {1} over {3}] 또는 [eqn: t=3]

따라서 [eqn: t=3] 이외에 운동 방향을 바꾸는 시각은 [eqn: t= {1} over {3}]

[eqn: x=t ^{3} +at ^{2} +bt+4]

이고 [eqn: t=3]일 때, 점 [eqn: rmP]는 운동 방향을 바꾸며 이때의 위치는 [eqn: -5]이다. 점 [eqn: rmP]가 [eqn: t=3]이외에 운동 방향을 바꾸는 시각은?

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: f(x)=-x ^{3} +kx ^{2} -3x`]가 실수 전체의 구간에서 감소할 때, 정수 [eqn: k`]의 개수는?

②

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 구간에서 감소하므로 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식 [eqn: f` prime (x) LEQ 0]이 성립해야 한다.

[eqn: f` prime (x)=-3x ^{2} +2kx-3 LEQ 0]이어야 하므로 이차함수 [eqn: y=f` prime (x)]가 [eqn: x`]축에 접하거나 [eqn: x`]축 보다 아래에 있어야 한다.

이차방정식 [eqn: f` prime (x)=0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: {D} over {4} =k ^{2} -9 LEQ 0,~(k+3)(k-3) LEQ 0]

[eqn: THEREFORE ~-3 LEQ k LEQ 3]

따라서 정수 [eqn: k`]는 [eqn: -3,~-2,~-1,~0,~1,~2,~3]이므로 개수는 [eqn: 7]이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: lim_{h ` -> ` 0 } ` 1 over h int_{1-h}^{1+h} (x-2)(x+1) ` dx]의 값은?

②

[eqn: f(x) = (x-2)(x+1)]이라 하고 [eqn: f(x)]의 한 부정적분을 [eqn: F(x)]라고 하면

[eqn: lim_{h ` -> ` 0 } ` 1 over h int_{1-h}^{1+h} f(t)`dt]

[eqn: = lim_{h ` -> ` 0 } ` {F(1 +h) - F(1 - h )}over{h}]
[eqn: = lim_{h ` -> ` 0 } ` {F(1 +h ) - F(1) - F(1 -h ) + F(1)}over{h}]
[eqn: = lim_{h ` -> ` 0 } ` {F(1 +h)- F(1)}over{h} + lim_{h ` -> ` 0 } ` {F(1 - h) - F(1)}over{-h}]
[eqn: = F` ' (1) + F` ' (1) = 2 F` ' (1)]
[eqn: = 2 f(1) = 2 cdot (-1) cdot 2 = -4]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 한 부정적분 [eqn: {F} LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 다음을 모두 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

③

[eqn: F(x)=xf(x)-4x^{3}-x^{2}+1]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)= f(x)+xf'(x) -12x^{2}-2x]

즉 [eqn: f'(x)=12x+2]

[eqn: f(x)= int{(12x+2 )dx =6x^{2}+2x+rmC] (단, [eqn: rmC]는 적분상수)

이때 [eqn: f(0)=3]이므로 [eqn: rmC=3]

따라서 [eqn: f(x)=6x^{2}+2x+3]이므로 [eqn: f(1)=6+2+3=11]

(가) [eqn: {F} LEFT ( x RIGHT ) =xf LEFT ( x RIGHT ) -4x ^{3} -x ^{2} +1]

(나) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =3]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

민지는 첨단 농법으로 원예작물을 재배하여 매달 [eqn: 140 `rm kg]의 작물을 판매하고 있다. 판매가격은 [eqn: 1` rm kg]당 [eqn: 40000]원이고 생산하는데 드는 비용은 생산량에 관계없이 매달 [eqn: 3000000]원이다.

④

판매가격을 [eqn: 1 rm kg]당 [eqn: (40000- 1000x ^2 )]원으로 내리면 한 달 판매량은 [eqn: (140+20 x ) rm kg]

[eqn: x> 0 , ~ 40000- 1000x ^2 >0]에서 [eqn: 0 < x< 2 sqrt 10]

한 달 수익을 [eqn: f(x)]원이라 하면

[eqn: f(x)][eqn: = (40000- 1000x ^2 ) (140+ 20 x) -3000000]
[eqn: =20000(-x^3 - 7x^2 + 40x + 130)]

이때 [eqn: g(x)= -x^3 - 7x^2 + 40x + 130]로 놓으면

[eqn: g`'(x)=-3x^2 - 14 x +40 = -(x-2)(3x+20)]

[eqn: g `'(x)=0]에서 [eqn: x=2] 또는 [eqn: x= - 20 over 3]

열린구간 [eqn: (0, ~ 2 sqrt 10 )]에서 함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: (0)]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]	[eqn: ( 2 sqrt 10 )]
[eqn: g` prime (x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g(x)]		↗	극대	↘

따라서 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=2]에서 극대이면서 최대이고 [eqn: g(x)]가 최대일 때, [eqn: f(x)]도 최대이므로 한 달 수익이 최대가 되게 하는 [eqn: 1 rm kg]당 판매가격은 [eqn: 40000-1000 times 2^2 = 36000](원)

조사에 따르면 판매 가격을 [eqn: 1` rm kg]당 [eqn: 1000x^2]원 내릴 때, 매달 판매량은 [eqn: 20 x` rm kg] 증가하는 것으로 나타났다. 한 달 수익이 최대가 되게 하는 [eqn: 1` rm kg]당 판매가격은?

① [eqn: 12000]	② [eqn: 24000]	③ [eqn: 30000]

④ [eqn: 36000]	⑤ [eqn: 45000]

방정식 [eqn: 2x ^{3} -9x ^{2} +12x-a=0]이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위는?

④

[eqn: 2x ^{3} -9x ^{2} +12x-a=0]에서 [eqn: 2x ^{3} -9x ^{2} +12x=a]이므로

주어진 방정식의 실근의 개수는 함수 [eqn: y=2x ^{3} -9x ^{2} +12x]의 그래프와 직선 [eqn: y=a]의 교점의 개수와 같다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} -9x ^{2} +12x]로 놓으면

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =6x ^{2} -18x+12=6 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 나타내고 그 그래프를 그리면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	1	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 5]	[eqn: SEARROW]	[eqn: 4]	[eqn: NEARROW]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: x=1]일 때, 극댓값 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =5],

[eqn: x=2]일 때, 극솟값 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =4]를 갖는다.

따라서 주어진 방정식이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 [eqn: a]의 값의 범위는 [eqn: 4<a<5]

① [eqn: 1<a<2]	② [eqn: 2<a<3]	③ [eqn: 3<a<4]

④ [eqn: 4<a<5]	⑤ [eqn: 5<a<6]

그림과 같이 함수 [eqn: f(x) = ax^2 +b (x ge0)]의 그래프와 그 역함수 [eqn: g(x)]의 그래프가 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1]과 [eqn: 2]이다. [eqn: 0 le x le 1]에서 두 곡선 [eqn: y=f(x) ,~y=g(x)]및 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: rmA]라 하고 [eqn: 1 le x le2]에서 두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: rmB]라고 할 때, [eqn: rmA-B]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.)

④

[eqn: y=f(x) ,~y=g(x)]는 서로 역함수 관계에 있으므로 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

즉 [eqn: y=f(x),~y=g(x)]의 교점은 [eqn: (1,~1) ,~(2,~2)]이므로 [eqn: f(x) = ax^2 +b ( x ge0)]의 그래프는 [eqn: (1,~1),~(2,~2)]를 지난다.

[eqn: f(1) = a+b =1,~f(2) = 4a +b =2]을 연립하여 풀면 [eqn: a= 1over3 ,~b= 2 over3]

[eqn: therefore~f(x) = 1over3 x^2 + 2over3] (단, [eqn: x ge0])

(ⅰ) [eqn: rmA= 2 it int_0^1 left|`f(x) -x` right| dx][eqn: = 2 int_0^1 LEFT ( 1over3 x^2 + 2over3 -x RIGHT )dx]
[eqn: = 2 LEFT [ 1over9 x^3 + 2over3 x - 1over2 x^2 RIGHT ]_0^1]
[eqn: = 2 cdot 5over18 = 5over9]

(ⅱ)[eqn: rmB= 2 it int_1^2 left |`f(x)-x`right|dx][eqn: = 2 int _1^2 LEFT ( x- 1over3 x^2 - 2over3 RIGHT )dx]
[eqn: = 2 LEFT [ 1over2 x^2 - 1over9 x^3 - 2over3 x RIGHT ]_1^2]
[eqn: = 2 cdot 1over18 = 1over9]

따라서 [eqn: rmA-B = 5over9 - 1over9 = 4over9]

① [eqn: 1over9]	② [eqn: 2over9]	③ [eqn: 1over3]

④ [eqn: 4over9]	⑤ [eqn: 5over9]

최고차항의 계수가 양수인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 25]

함수 [eqn: f(x)]는 이차함수이고 조건 (가)에서 [eqn: x=a`]에 대하여 대칭이다.

조건 (나)에서 [eqn: 0< int _{a} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx< int _{a} ^{2} {} LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx`]이므로 [eqn: a<2`]이고, 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 [eqn: x`]축과 두 점 [eqn: LEFT ( k,~0 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 2a-k,```0 RIGHT ) `]에서 만난다.

위의 그림에서 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]와 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{1} `], 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]와 [eqn: x`]축 및 직선 [eqn: x=2`]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{2} `]라 하면

[eqn: int _{k} ^{a} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx= int _{a} ^{2a-k} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx= it - {S _{1}} over {2} `]이므로

[eqn: int _{a} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT )} dx= it - {S _{1}} over {2} +S _{2}][eqn: =2] , [eqn: int _{a} ^{2} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} dx= {S _{1}} over {2} +S _{2}][eqn: = {22} over {9}]

따라서 [eqn: S _{1} = {4} over {9}], [eqn: S _{2} = {20} over {9}]이다. [eqn: int _{k} ^{2} {f(x)dx} = it -S _{1} +S _{2} = it {16} over {9}]

[eqn: p=9], [eqn: q=16]이므로 [eqn: p+q=25]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(a+x)=f(a-x)]이다.

(나) [eqn: int _{a} ^{2} {} f(x)`dx=2`], [eqn: int _{a} ^{2} {} LEFT | f(x) RIGHT | dx= {22} over {9}]

[eqn: f LEFT ( k RIGHT )][eqn: =0`]이고 [eqn: k<a`]인 실수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: int _{k} ^{2} {f(x)`dx`} = it {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.(단, [eqn: a`]는 상수이고, [eqn: p]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

좌표가 [eqn: 1]인 점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 속도 [eqn: v(t)]의 그래프가 그림과 같을 때, [보기]에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=3]까지 수직선의 양의 방향으로 [eqn: 4]만큼 움직이고 시각 [eqn: t=3]에서 [eqn: t=5]까지는 음의 방향으로 [eqn: 2]만큼 움직인 다음 멈춘다.

ㄱ. 운동 방향이 바뀌려면 속도가 [eqn: 0]인 순간의 속도의 부호가 달라야 하므로 [eqn: t=3]일 때, [eqn: v(t) = 0]이고 그 좌우에서 부호가 변한다.
즉 구하는 위치는 [eqn: 1+int_0^3 v(t) dt = 1 + 1over2 cdot (1+3) cdot2 =5] [참]

ㄴ. [eqn: t=0]에서 [eqn: t=5]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리를 [eqn: s]라 하면

[eqn: s= int _{0} ^{5} {} |`v(t)`|dt][eqn: = int _{0} ^{3} {} v(t)dt+ int _{3} ^{5} {} LEFT { -v(t) RIGHT } dt]
[eqn: = 4 + 1over2 cdot 2 cdot 2 = 6] [참]

ㄷ. [eqn: t=2]일 때, 점 [eqn: rmP]의 위치는
[eqn: 1 + 1over2 cdot1 cdot2 + 1 cdot2 = 4]
[eqn: t=4]일 때, 점 [eqn: rmP]의 위치는
[eqn: 1+ 1over2 cdot1 cdot2 + 1cdot2 + 1over2 cdot 1 cdot 2 - 1over2 cdot 1 cdot2 =4]
이므로 [eqn: t=2]일 때와 [eqn: t=4]일 때의 점 [eqn: rmP]의 위치는 같다. [참]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ㄱ. 출발 후 처음으로 방향을 바꿀 때 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 5]이다.

ㄴ. 출발 후 [eqn: 5]초 동안 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는 [eqn: 6]이다.

ㄷ. [eqn: t=2]일 때 [eqn: t=4]일 때의 점 [eqn: rmP]의 위치는 같다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프 위의 점 [eqn: LEFT ( x,~f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 3x ^{2} +8x-2]이다. [eqn: int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} = {2} over {3}]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

④

점 [eqn: LEFT ( x,~y RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 3x ^{2} +8x-2]이므로

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +8x-2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {LEFT ( 3x ^{2} +8x-2 RIGHT ) dx} =x ^{3} +4x ^{2} -2x+ rm C it]

[eqn: int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT ( x ^{3} +4x ^{2} -2x+ rm C it RIGHT )} `dx]
[eqn: = LEFT [ {1} over {4} x ^{4} + {4} over {3} x ^{3} -x ^{2} +{rmC}x RIGHT ] _{0}^{2}]
[eqn: = {32} over {3} +2{rmC}]

이므로 [eqn: {32} over {3} +2rmC= {2} over {3}]	[eqn: THEREFORE ~rmC=-5]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +4x ^{2} -2x-5]이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1+4-2-5=-2]

① [eqn: -8]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: 0]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

③

조건 (나)에서 [eqn: f(x+2) = f(x) +2]이고

[eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: f(2)=f(0) +2 ,~ 4a =2]

[eqn: therefore~ a = 1over2]

이때 [eqn: f(x) = 1 over2 x^2 ( 0 le x le 2)]이고 실수 전체의 집합에서 [eqn: f(x+2) = f(x)][eqn: +2]이 성립하므로 함수 [eqn: y= f(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

이때 [eqn: int_0 ^1 f(x) dx = int _6 ^7 LEFT { f(x) - 6 RIGHT }dx]이므로

[eqn: int_ 1 ^ 7 f (x)dx]의 값은

[eqn: =int _{ 0} ^{6 } {f(x)dx }]+(가로의 길이가 [eqn: 1]이고 세로의 길이가 [eqn: 6]인 직사각형의 넓이)

[eqn: = 3 int_0^2 1over2 x^2 dx + 2 cdot 2 + 2 cdot 4 + 1cdot6]
[eqn: = 3 LEFT [ 1 over6 x^3 RIGHT ]_0^2 + 4 +8+6]

[eqn: = 4 +18]

[eqn: =22]

(가) [eqn: f(x) =ax^2 (0 le x <2)]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+2) = f(x)+2]이다.

[eqn: int_1^7 f(x) dx]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)
① [eqn: 16]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 30]

오른쪽 그림과 같이 곡선 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} it -4x+4`]위의 점 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT ) `]에서의 접선과 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 최대일 때, [eqn: b-a`]의 값은? (단, [eqn: 0<a<2`])

③

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4x+4`]에서 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =2x-4]

[eqn: f`' LEFT ( a RIGHT ) =2a-4`]이므로 점 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT ) `]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-b= LEFT ( 2a-4 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )]	[eqn: THEREFORE ~y= LEFT ( 2a-4 RIGHT ) x-2a ^{2} +4a+b]

이때 점 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT ) `]는 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]위의 점이므로 [eqn: b=a ^{2} -4a+4]

[eqn: THEREFORE ~y= LEFT ( 2a-4 RIGHT ) x-a ^{2} +4]

따라서 접선의 [eqn: x`]절편은 [eqn: {a ^{2} -4} over {2a-4} = {a+2} over {2} `]이고, 접선의 [eqn: y`]절편은 [eqn: -a ^{2} +4`]이다.

삼각형의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( a RIGHT ) `]라 하면

[eqn: S` LEFT ( a RIGHT ) = {1} over {2} CDOT {a+2} over {2} CDOT LEFT ( -a ^{2} +4 RIGHT ) = {1} over {4} LEFT ( -a ^{3} -2a ^{2} +4a+8 RIGHT )]에서

[eqn: S``' LEFT ( a RIGHT ) = {1} over {4} LEFT ( -3a ^{2} -4a+4 RIGHT ) = it - {1} over {4} LEFT ( a+2 RIGHT ) LEFT ( 3a-2 RIGHT )]

[eqn: S``' LEFT ( a RIGHT ) =0`]

[eqn: a]	[eqn: LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: cdots]	[eqn: {2} over {3}]	[eqn: cdots]	[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]
[eqn: S``' LEFT ( a RIGHT )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: S LEFT ( a RIGHT )]		[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

에서 [eqn: a= {2} over {3}]  [eqn: LEFT ( BECAUSE ~0<a<2 RIGHT )]

따라서 함수 [eqn: S` LEFT ( a RIGHT ) `]는 [eqn: a= {2} over {3} `]일 때 극대이면서 최대이므로 [eqn: b= LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} -4 CDOT {2} over {3} +4= {16} over {9}]

[eqn: THEREFORE ~b-a= {16} over {9} - {2} over {3} = {10} over {9}]

① [eqn: { 8} over { 9}]	② [eqn: 1]
③ [eqn: { 10} over { 9}]	④ [eqn: { 11} over { 9}]	⑤ [eqn: { 4} over { 3}]

함수 [eqn: f(x)= 2x^4 - p`x^3 +x^2]의 극값이 한 개뿐일 때, 상수 [eqn: p`]의 최댓값을 [eqn: M`], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M over m]의 값은?

④

[eqn: f(x )= 2 x^4 - p x^3 +x^2]에서

[eqn: f`' (x)= 8x^3 -3 px^2 + 2x = x( 8 x^2 - 3 px + 2)]

[eqn: f`'( x )= 0]에서 [eqn: x = 0] 또는 [eqn: 8x^2 -3 p x+2 = 0]

함수 [eqn: f( x)]가 극값을 하나만 가지려면 삼차방정식 [eqn: f`'(x)= 0]이 한 실근과 두 허근 또는 한 실근과 중근(또는 삼중근)을 가져야 한다.

이차방정식 [eqn: 8x^2 -3 p x+2 = 0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

(ⅰ) [eqn: x( 8 x^2 - 3 px + 2)=0]이 한 실근과 두 허근을 갖는 경우

이차방정식 [eqn: 8x^2 -3 p x+2 = 0]이 허근을 가져야 하므로

[eqn: D = 9 p^2 -64 < 0,~ (3p - 8)(3p + 8) < 0]

[eqn: THEREFORE~ - 8 over 3 < p < 8 over 3]

(ⅱ) [eqn: x( 8 x^2 - 3 px + 2)=0]이 한 실근과 중근을 갖는 경우

이차방정식 [eqn: 8x^2 -3 p x+2 = 0]이 [eqn: 0]을 근으로 갖거나 [eqn: 0]이 아닌	실수를 중근으로 가져야 한다.

이때 [eqn: 8x^2 -3 p x+2 = 0]이 [eqn: 0]을 근으로 가질 수 없으므로 [eqn: 0]이	아닌 실수를 중근으로 가져야 한다.

[eqn: D = 9 p^2 -64 = 0 ,~ ( 3p- 8)(3p +8)= 0]

[eqn: THEREFORE~ p =- 8 over 3] 또는 [eqn: p = 8 over3]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: - 8 over 3 le p le 8 over 3]

따라서 [eqn: M = 8 over 3 ,~m =- 8 over 3]이므로 [eqn: M over m =-1]

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: - 3 over 2]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: - 1 over 2]

[주관식]

다항함수 [eqn: f(x)`]의 도함수 [eqn: f`'(x)`]가

[eqn: 1]

[eqn: f`'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)`]

[eqn: f`'(x)=0`]에서 [eqn: x=0`] 또는 [eqn: x=2`]

함수 [eqn: f(x)`]의 증가와 감소를 나타내면 다음 표와 같다.

[eqn: x`]	[eqn: cdots`]	[eqn: 0`]	[eqn: cdots`]	[eqn: 2`]	[eqn: cdots`]
[eqn: f`'(x)`]	[eqn: +`]	[eqn: 0`]	[eqn: -`]	[eqn: 0`]	[eqn: +`]
[eqn: f(x)`]	[eqn: NEARROW `]	극대	[eqn: SEARROW`]	극소	[eqn: NEARROW`]

함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 극대이고 극댓값 [eqn: 5`]을 가지므로 [eqn: f(0)=5`]

[eqn: f(x)= int _{ } ^{ } { (3x^{2}-6x)}`dx=x^{3}-3x^{2}+rmC`] (단, [eqn: rmC`]는 적분상수)

이므로 [eqn: f(0)=rmC=5`]

[eqn: therefore````f(x)=x^{3}-3x^{2}+5`]

따라서 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=2`]에서 극소이고 극솟값은 [eqn: f(2)=8-12+5=1`]

[eqn: f`'(x)=3x^2 -6x`]

이다. 함수 [eqn: f(x)`]의 극댓값이 [eqn: 5`]일 때, 함수 [eqn: f(x)`]의 극솟값을 구하시오.

다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: 5]

[eqn: int _{1} ^{x} {LEFT { {d} over {dt} f(t) RIGHT } dt=x ^{3} +ax ^{2} -2}]	…… ㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 0=1+a-2]에서 [eqn: a=1]

한편 [eqn: {d} over {dt} f(t)=f'(t)]이므로

[eqn: int _{1} ^{x} {LEFT { {d} over {dt} f(t) RIGHT } dt} = int _{1} ^{x} {f'(t)dt} = LEFT [ f(t) RIGHT ] _{1} ^{x} =f(x)-f(1)]

이때 [eqn: int _{1} ^{x} {LEFT { {d} over {dt} f(t) RIGHT } dt} =x ^{3} +x ^{2} -2]에서 [eqn: f(x)-f(1)=x ^{3} +x ^{2} -2]

[eqn: f(x)-f(1)=x ^{3} +x ^{2} -2]의 양변을 [eqn: x]에 관하여 미분하면

[eqn: f'(x)=3x ^{2} +2x]

따라서 [eqn: f'(a)=f'(1)=3+2=5]

[eqn: int _{1} ^{x} {LEFT { {d} over {dt} f(t) RIGHT } dt=x ^{3} +ax ^{2} -2}]

를 만족시킬 때, [eqn: f prime (a)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수)

곡선 [eqn: y = x^2 - 2x]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x = a]로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: 8over3]일 때, [eqn: a]의 값을 구하시오.  (단, [eqn: a > 2])

[eqn: 3]

[eqn: y = x^2 -2x]와 [eqn: x]축 직선 [eqn: x = a]로 둘러싸인 도형의 넓이는

[eqn: int_0^2 ( -x^2 + 2x ) `dx + int_2^a (x^2 -2x ) `dx]

[eqn: = left[` - 1over3 x^3 + x^2 ` right]_0^2 + left[` 1over3 x^3 - x^2 ` right]_2^a]

[eqn: = 1over3 a^3 - a^2 + 8over3]

도형의 넓이가 [eqn: 8over3]이므로 [eqn: 1over3 a^3 - a^2 + 8over3 = 8over3]

[eqn: 1over3 a^3 - a^2 = 0 ,] [eqn: a^2 (a-3) = 0]

따라서 [eqn: a > 2]이므로 [eqn: a=3]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{3} -9x ^{2} +5]에서 방정식 [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | =k]가 서로 다른 네 실근을 갖도록 하는 상수 [eqn: k]의 값의 범위가 [eqn: alpha<x< beta]일 때, [eqn: alpha+ beta]의 값을 구하시오.

[eqn: 12]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{3} -9x ^{2} +5]에서 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =9x ^{2} -18x=9x LEFT ( x-2 RIGHT )]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]
[eqn: f' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 5]	[eqn: SEARROW]	[eqn: -7]	[eqn: NEARROW]

[eqn: x=0]에서 극대이고 극댓값은 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =5]

[eqn: x=2]에서 극소이고 극솟값은 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =-7]

함수 [eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

서로 다른 네 실근을 갖도록 하는 상수 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: 5<k<7]

따라서 [eqn: alpha=5,~ beta=7]이므로 [eqn: alpha+ beta=12]

한 변의 길이가 [eqn: 20` rmcm]인 정삼각형 모양의 종이에 세 모퉁이에서 합동인 사각형 모양의 종이를 다음 그림과 같이 잘라내고 남은 부분을 접어서 뚜껑이 없는 상자를 만들 때, 그 부피가 최대가 되는 [eqn: x]의 값을 구하시오. (단, 단위는 [eqn: rm cm^3])

[eqn: {10} over {3}]

상자의 밑면인 [eqn: rm triangle A'B'C']의 넓이는 [eqn: 1 over2 (20-2x)(20-2x) sin 60][eqn: °]

[eqn: = sqrt 3 over 4 (20 - 2 x)^2]

상자의 높이는 [eqn: x tan30][eqn: °][eqn: = x over sqrt 3]이므로 상자의 부피는 [eqn: { rm V}(x)]라 하면

[eqn: {rm V}(x)][eqn: = sqrt 3 over 4 (20 - 2x )^2 times x over sqrt 3]
[eqn: = 1over 4 ( 4x^3 - 80 x^2 + 400 x)] (단, [eqn: 0 < x< 10])

[eqn: {rm V}'(x)= 1over 4 ( 12x^2 - 160 x + 400) = 1 over 4 (2x -20)(6x -20)]

[eqn: {rm V}(x) = 0]에서 [eqn: x= 10 over3]

[eqn: {rm V}(x)]의 증가와 감소를 나타내면 다음 표와 같다.

[eqn: x]	[eqn: (0)]	[eqn: cdots]	[eqn: 10 over 3]	[eqn: cdots]	[eqn: (10)]
[eqn: {rm V}` prime (x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: {rm V}(x)]		↗	극대	↘

따라서 부피가 최대가 되는 [eqn: x]의 값은 [eqn: 10 over3]

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이고 다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 [eqn: f(6)`]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. [4점]

[eqn: 128]

(가)로부터

[eqn: f(x)= (x-2)^2 (x-c)][eqn: = x^3 - (4+c)x^2 + (4+4c)x - 4c]

(나)에서

[eqn: f`'(x) = 3x^2 - 2(4+c)x + (4+4c)][eqn: ge -3]

[eqn: 3x^2 - 2(4+c)x + (7 + 4c) ge 0]

[eqn: D/4 = (4+c)^2 - 3(7 + 4c)][eqn: = c^2 -4c -5]

[eqn: = (c-5)(c+1) le 0], [eqn: -1 le c le 5]

[eqn: f(6) = 16(6-c)]의 최대와 최소는 각각 [eqn: c = -1], [eqn: c = 5]일 때 이므로

[eqn: 16(6+1) + 16(6-5) = 128]

(가) [eqn: f(2)=f`'(2)=0]

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f` prime (x) GEQ -3`]이다.