[killer] 2020/10/16 1th

[수능대비] KILLER THIS 30TH QUIZ “가”	DC-Math

최고차항의 계수가 1인 두 4차 함수 [eqn: f(x),``g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 83]

[eqn: f(x),``g(x)]는 모두 최고차항의 계수가 1인 사차함수이므로 방정식 [eqn: f(x) -g(x) `=` 0]은 삼차이하의 방정식이어야 한다. 이때, (ㄱ) 조건에 의하면 적어도 [eqn: f(x) -g(x)]는 이차 이상이므로 다항식 [eqn: f(x) -g(x)]의 차수에 ᄄᆞ른 최고차항의 계수 [eqn: a]에 대해 다음과 같이 경우를 나누어 접근할 수 있다.

[eqn: f(x) -g(x) `=` ax(x-3)] 또는 [eqn: f(x)-g(x) `=` ax^2 (x-3) `` 또는 ``` f(x) -g(x) `=` ax(x-3)^2]

하지만 이는 복잡해 보이니 보류해두고, 일단 (나) 조건으로 시선을 옮겨보자.

[eqn: int _{0}^{4} xf'(x) dx `=` [xf(x) ] _{0} ^{4} - int _{0}^{4}f(x) dx `=` 4f(4) -int _{0}^{4}f(x) dx]

[eqn: int _{0}^{4} xg'(x) dx `=` 4g(4) -int _{0}^{4}g(x) dx]에서 [eqn: 4f(4) -4g(4) `=` int _{0}^{4} f(x) dx `-` int _{0}^{4}g(x) dx +2]

한편 [eqn: f(x) -g(x)]에서 [eqn: a]를 찾아주어야 한다.

[eqn: f(x) -g(x) `=` ax(x-3)]라 가정하면, [eqn: f(4) -g(4) `=` 4a]

[eqn: 1over 4 int _{0}^{4} left { f(x) -g(x) right } dx + 1over2 `=` 1over 4 int _{0}^{4} left {ax(x-3) right } dx + 1over2`=` - 2over3 a + 1over2]이므로

[eqn: 4a `=` - 2over3 a + 1over2]에서 [eqn: a`=` 3over28]

또한 [eqn: f(4) -g(4) `=` 3over 7]로서 (다)조건도 잘 만족시킨다.

따라서 [eqn: int _{0}^{3} `|` f(x) -g(x) `| dx `=` 27 over 56]이되어 [eqn: p+q`=` 83]

(가) 두 곡선 [eqn: y`=` f(x)]와 [eqn: y`=` g(x)]는 오직 두 점에서만 만나고, 두 점의 [eqn: x]좌표는

각각 [eqn: 0,```3]이다.

(나) [eqn: int _{0}^{4} xf'(x) dx `=` - int _{0}^{4} xg'(x) dx `=`1]

(다) [eqn: 0`<` f(4) `-` g(4) `<` 1over2]

두 곡선 [eqn: y`=` f(x)]와 [eqn: y`=` g(x)]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: q over p]라 할 때, [eqn: p`+` q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로서인 자연수이다.)

[killer] 2020/10/17 2th

사차함수 [eqn: f(x)]와 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 16]

조건 (가), (나)에 의해 함수 [eqn: g(x)]는 다음과 같다.  [eqn: g(x) `=` cases {``` { ln f(x) } over {(x-1)(x-3)} & `` x` not IN ` left { `1,```3 ` right}#``` ````````````````````````1` & ``x` IN ` left { `1,```3 ` right}]

함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체 집합에서 연속이므로 [eqn: f(1) `=` f(3) `=` 1]이고

[eqn: lim_{ x ` rarrow ` 1 } g(x) `=` -{f`'(1)}over 2f(1) `=`1]에서 [eqn: f`'(1) `=` -2], [eqn: lim_{ x ` rarrow ` 3 } g(x) `=` -{f`'(3)}over 2f(3) `=`1]에서 [eqn: f `'(3) `=`2]

[eqn: f(x)]가 [eqn: f(1) `=` f(3) `=` 1]를 만족하는 사차함수이므로 [eqn: f (x) -1 `=` (x-1)(x-3) (ax^2 +bx +c )]

[eqn: f`'(x) `=` (x-3) (ax^2 +bx +c )`+` (x-1) (ax^2 +bx +c )+(x-1)(x-3)(2ax +b)]

[eqn: f`'(1)`=` -2 (a+b+c) `=` -2]에서  [eqn: a+b+c`=` 1], [eqn: f`'(3) `=` 2( 9a+3b+c) `=` 2]에서 [eqn: 9a+3b+c `=` 1]

[eqn: 8a+2b `=` 0], [eqn: b`=` -4a], [eqn: a-4a +c `=` 1], [eqn: c`=` 3a +1]

[eqn: f(x) `=` (x-1)(x-3) (ax^2 -4ax +3a+1)+1]이고, [eqn: f(0) `=` 9a +4]

[eqn: a `<` 0]인 경우 [eqn: g(x)]가 정의 되지 않는 구간이 존재한다.

[eqn: a`=` 0]인 경우 [eqn: g(x) `=`0]이므로 조건 (다)를 만족하지 않는다.

[eqn: 0<a le1]인 경우 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^2 -4x +3 + 1over a ` ge` 0]이므로 [eqn: g(x)]의 부호 변화는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: 1`]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]	[eqn: cdots]
[eqn: g(x)]	[eqn: +]	[eqn: 1`]	[eqn: +]	[eqn: 1]	[eqn: +]

[eqn: a]가 충분히 큰 경우 [eqn: g(x)]의 부호 변화는 다음과 같아진다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: 1`]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]	[eqn: cdots]
[eqn: g(x)]	[eqn: +]	[eqn: 1`]	[eqn: -]	[eqn: 1]	[eqn: +]

([eqn: a]가 충분히 큰 경우 [eqn: 1overa]는 [eqn: 0]에 한없이 가까워진다. 따라서 [eqn: f(x)]는 [eqn: a(x-1)^2 (x-3)^2 +1]에 가까워진다.)

[eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 사잇값정리에 의해

[eqn: t]에 대한 방정식 [eqn: int _{ 3over2}^{ t} ``g(x) dx `=` 0] [eqn: rarrow] [eqn: int _{ 5over2 }^{t} `g(x) dx +2 int _{2}^{5over2 }`g(x) dx `=` 0]이다.

[eqn: alpha]를 제외한 구간 [eqn: left ( ` 3over 2 ,``` 3` right )] 위의 나머지 [eqn: t]에서는 [eqn: int _{5over2 }^{t} g(x) dx ` !=` -2 int _{2}^{5over 2 } ` g(x) dx]이다.

[eqn: f(x)]는 [eqn: x`=` 2]에 대하여 대칭이므로 방정식 [eqn: ln f(x) `=` 0]의 해를 [eqn: x_a]라 하면 [eqn: 1 ` <` x_a ` <`2]이고 [eqn: x]에 대한

세 함수 [eqn: ln f(x)]와 [eqn: (x-1)(x-3),```g(x)]의 부호 변화는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]	[eqn: x_a]	[eqn: cdots]	[eqn: 3 - x_a]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]	[eqn: cdots]
[eqn: ln f(x)]	[eqn: +]	[eqn: 1]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 1]	[eqn: +]
[eqn: (x-1)(x-3)]	[eqn: +]		[eqn: -]		[eqn: -]		[eqn: -]		[eqn: +]
[eqn: g(x)]	[eqn: +]		[eqn: +]		[eqn: -]		[eqn: +]		[eqn: +]

[eqn: x_a `=` 3over2]인 경우 [eqn: alpha]가 유일하게 존재한다.(나머지는 그래프 개형을 그려서 확인하자)

[eqn: x_a]가 [eqn: x^2 -4x +3 + 1overa`=` 0]의 근이므로 [eqn: a `=` 4over3]

결과적으로 [eqn: f(0) `=` 9a +4 `=` 16]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: (x-1 )(x-3)g(x) `=` lnf (x)]이다.

(나) [eqn: g(1) `=` g(3) `=` 1]

(다) [eqn: t]에 대한 방정식 [eqn: int _{3over2}^{t} g(x) dx `=` 0]의 해는 [eqn: 3over2 ,``` alpha ``` left ( `alpha ` <` 5over2 ` right )]이다.

[eqn: f(0)]의 값을 구하시오.

[killer] 2020/10/18 3th

열린구간 [eqn: left (` - pi over2 ,``` 3pi over 2 ` right )]에서 정의된 함수 [eqn: f(x) `=` cases { ``` 2sin^3 x & `` left ( ` - piover2 ` <`x`<` pi over4 ` right ) #```cosx & `` left ( ` piover4 ` le`x`<` 3pi over2 ` right )]가 있다.

➃

함수 [eqn: y`=` f(x)]의 그래프는 아래와 같다.

[eqn: y`=` root {|`f(x) -t`|} ` =` cases { ``` root {`f(x) -t`}&`` ( f(x) ` ge` t)# & # root {`-f(x) +t`}&``( f(t) `<` t )]를 [eqn: x]에 대해 미분하면

[eqn: y`' `=` cases {``` {f`'(x)} over { 2 root {f(x) -t}} & (f(x) ` ge ` t ) # ``` {-f `'(x) }over {2 root {-f(x) +t}}& ``(f(x) `<` t )], [eqn: lim_{ ` x ` rarrow ` piover4 -} f(x) `=` f left ( piover4 right) `=` root2 over2]이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x `=` pi over4]에서 연속이다.

하지만, [eqn: lim_{ ` x ` rarrow ` piover4 -} f`'(x) `=` {3root2} over2 ,````lim_{ ` x ` rarrow ` piover4 +} f`'(x) `=` -{root2} over2]이므로 [eqn: x `=` pi over4]에서 미분 가능하지 않다.

또한 [eqn: y`=` f(x)]와 [eqn: y`=` t]가 만나는 점에서 미분가능하지 않다.

[eqn: t`=` -1]일 때, 즉 [eqn: y`=` root{ 1+cost}]의 [eqn: x`=` pi]에서미분 가능하지 않다. [eqn: t]의 값의 범위에 따른 [eqn: g(t)]의 값을 구해보면

[eqn: g(t)`=` {cases{```1&``(t` LEQ `-2)#```2&``(-2`<`t`<-1)#```3&``(t`=`-1)#```4&``(-1`<`t`<`0)#```2&``(`t`=`0)#```3&`` LEFT ( `0`<`t`<` {sqrt {2}} over {2} ` RIGHT )#```1&`` LEFT ( `t` GEQ ` {sqrt {2}} over {2} ` RIGHT )}}]

따라서 [eqn: a `=` g ` left (root2 over2 ` right ) `=`1,```b`=` g(0) `=`2,``` c`=` g(-1) `=`3]이다.

또한, 함수 [eqn: h(g(t))]가 실수 전체에서 연속이므로 [eqn: h(1) `=` h(2) `=` h(3) `=` h(4)]가 성립하고 [eqn: h(x)]는

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수이므로

[eqn: h(x) `=` (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) +k]라 할 수 있다.

[eqn: therefore ```` h(a+5) -h(b+3) +c `=` h(6) -h(5) +3 `=` (120+k)- (24+k) +3 `=` 99]

실수 [eqn: t]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 [eqn: k]의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자.

(가) [eqn: - pi over2 `<` k `<` 3pi over2]

(나) 함수 [eqn: root {|`f(x) -t`|}]는 [eqn: x`=` k]에서 미분 가능하지 않다.

함수 [eqn: g(t)]에 대하여 합성함수 [eqn: ( ` h circ g`) (t)]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 최고차항의

계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: h(x)]가 있다. [eqn: g left ( ` root2 over2 right ) `=` a,``` g(0) `=` b ,``` g(-1) `=` c]라 할 때,

[eqn: h(a+5) - h(b+3) +c]의 값은?

[killer] 2020/10/19 4th

최고차항의 계수가 [eqn: 6 pi]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)= { 1} over { 2`+`sin`(f(x))}] 이 [eqn: x = alpha]에서

27

[출제의도] 주어진 조건을 만족시키는 함수에 대하여 함숫값을 구할 수 있는가?

[eqn: g`'(x)= {-cos(f(x)) TIMES f``'(x)} over {LEFT { 2+sin(f(x)) RIGHT } ^{2}}] 이므로   [eqn: g`'(x)=0`]에서  [eqn: cos`(f(x))=0`] 또는 [eqn: f``'(x)=0]

이때, [eqn: cos`(f(x))=0`]에서   [eqn: f(x)=± {pi } over {2} ``] 또는 [eqn: f(x)=± {3} over {2} pi ``] 또는 [eqn: f(x)=± {5} over {2} pi ``] [eqn: CDOTS]

그런데 조건 (가)에서  [eqn: {1} over {g( alpha _{1} )} = {1} over {g(0)} =2+sin`(f(0))= {5} over {2}] 이므로 [eqn: sin`(f(0))= {1} over {2}]

[eqn: 0<f(0)< {pi } over {2}] 이므로 [eqn: f(0)= {pi } over {6} `` CDOTS `㉠], [eqn: cos`(f( alpha _{1} ))=cos`(f(0)) != 0`] 이므로 [eqn: f``'(0)=0`] [eqn: CDOTS `㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: f(x)=6 pi x ^{3} +px ^{2} + {pi } over {6} ````(p는`````상수)] 로 놓으면 조건 (나)에서

[eqn: {1} over {g( alpha _{5} )} - {1} over {g( alpha _{2} )} =sin`(f( alpha _{5} ))-sin`(f( alpha _{2} ))= {1} over {2}] [eqn: CDOTS `㉢]

이때, [eqn: cos`(f(x))=0`]이면  [eqn: sin`(f(x))=`-1`] 또는 [eqn: sin(f(x))=1]

이므로 ㉢을 만족시키기 위해서는 [eqn: f``'( alpha _{2} )=0``,````f``'( alpha _{5} ) != 0] 또는 [eqn: f`` prime ( alpha _{2} ) != 0``,````f`` prime ( alpha _{5} )=0]

(ⅰ) [eqn: f``'( alpha _{2} )=0``,````f``'( alpha _{5} ) != 0] 인 경우 [eqn: x GEQ 0`]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: f( alpha _{5} )= {5} over {2} pi] 이므로 [eqn: sin`(f( alpha _{5} ))-sin(f( alpha _{2} ))=1-sin`(f( alpha _{2} ))= {1} over {2}], [eqn: sin(f( alpha _{2} ))= {1} over {2} ```` CDOTS `㉣]

그런데, [eqn: - {pi } over {2} <f( alpha _{2} )< {pi } over {6} `]이므로 ㉣을 만족시키는 [eqn: alpha _{2} `]는 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: f`` prime ( alpha _{2} ) != 0``,````f`` prime ( alpha _{5} )=0] 인 경우 [eqn: x GEQ 0`]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

이때 [eqn: sin`(f( alpha _{2} ))=sin LEFT ( - {pi } over {2} RIGHT ) =-1] 이므로 [eqn: sin`(f( alpha _{5} ))=- {1} over {2}] 이어야 한다.

따라서, [eqn: cos`(f( alpha _{5} )) != 0`] 이므로 [eqn: f``'( alpha _{5} )=0] 이고 위의 그림에서 [eqn: - {7} over {2} pi <f( alpha _{5} )<`- {5} over {2} pi]

이므로 [eqn: f( alpha _{5} )=`-3 pi + {pi } over {6}]  즉, [eqn: f``'(x)=18 pi x ^{2} +2px=2x(9 pi x+p)=0] 에서

[eqn: alpha _{5} =`- {p} over {9 pi }] 이므로 [eqn: f( alpha _{5} )=f LEFT ( - {p} over {9 pi } RIGHT )][eqn: =6 pi TIMES LEFT ( - {p} over {9 pi } RIGHT ) ^{3} +p LEFT ( - {p} over {9 pi } RIGHT ) ^{2} + {pi } over {6}][eqn: =-3 pi + {pi } over {6}]

[eqn: {-2p ^{3}} over {3 ^{5} pi ^{2}} + {p ^{3}} over {3 ^{4} pi ^{2}} =-3 pi ``], [eqn: p ^{3} =-3 ^{6} pi ^{3}]

따라서 [eqn: p=-9 pi `] 이므로 [eqn: f(x)=6 pi x ^{3} -9 pi x ^{2} + {pi } over {6}], [eqn: f``'(x)=18 pi x ^{2} -18 pi x]

따라서  [eqn: f``' LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) = {9} over {2} pi +9 pi = {27} over {2} pi],   [eqn: f LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) =- {3} over {4} pi - {9} over {4} pi + {pi } over {6} =-3 pi + {pi } over {6}]

[eqn: sin` LEFT ( f LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) RIGHT ) =sin` LEFT ( -3 pi + {pi } over {6} RIGHT ) =- {1} over {2}], [eqn: cos` LEFT ( f LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) RIGHT ) =cos` LEFT ( -3 pi + {pi } over {6} RIGHT ) =- {sqrt {3}} over {2}]

[eqn: g` prime LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) = {-cos LEFT ( f LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) RIGHT ) TIMES f`` prime LEFT ( - {1} over {2} RIGHT )} over {LEFT { 2+sin LEFT ( f LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) RIGHT ) RIGHT } ^{2}}][eqn: = {- LEFT ( - {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) TIMES {27} over {2} pi } over {LEFT ( 2- {1} over {2} RIGHT ) ^{2}}][eqn: =3 sqrt {3} pi]

따라서  [eqn: a ^{2} =(3 sqrt {3} ) ^{2} =27]

극대 또는 극소이고, [eqn: alpha``ge``0]인 모든 [eqn: alpha]를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 [eqn: alpha_1 ,~alpha_2 ,~alpha_3 ,~alpha_4 ,~alpha_5 ,~cdots]라

할 때, [eqn: g(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: alpha_1 = 0]이고 [eqn: g ( alpha_1 )`=` { 2} over { 5}]이다.           (나) [eqn: { 1} over { g( `alpha_5 )}`=` { `1`} over { `g(`alpha_2`)}`+ `{ 1} over { 2}]

[eqn: g`'` LEFT ( - { 1} over { 2} RIGHT )`=`a pi]라 할 때, [eqn: a^2]의 값을 구하시오.[eqn: LEFT ( ` pile{ `# `}]단, [eqn: LEFT. 0<f(0)< {pi } over {2} ` RIGHT )]

[killer] 2020/10/20 5th

함수	[eqn: f(x)= {cases{`-x- pi _{`}&&{}_{`} LEFT ( x< it - pi RIGHT )#`sin`x _{`}^{`}&&{}_{`}^{`} LEFT ( - pi LEQ x LEQ pi RIGHT )#`-x+ pi ^{`}&&{}^{`} LEFT ( x> pi RIGHT )}}]  가 있다.

[eqn: 350]

[출제의도] 삼각함수의 성질과 정적분을 이용하여 문제를 해결한다.

부등식 [eqn: f(x){le}f(t)`]를 만족시키는 [eqn: x`]의 범위는 곡선 [eqn: y=f(x)`]가 직선 [eqn: y=f(t)`]와 만나거나 아래쪽에 그려지는 실수 [eqn: x`]의 범위와 같다. 따라서 직선 [eqn: y=f(t)`]와 곡선 [eqn: y=f(x)`]가 만나는 점의 [eqn: x`]좌표 중 가장 작은 값이 [eqn: g(t)`]이다.

(ⅰ) [eqn: t{le}- {pi } over {2} `]일 때
점 [eqn: rm A`]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: t`]일 때, 점 [eqn: rmA`]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 [eqn: x`]좌표가 가장 작은 점은 [eqn: rmA`]이다. 따라서 [eqn: g(t)=t`]이다.

(ⅱ) [eqn: - {pi } over {2} <t{le it 0`]일 때
점 [eqn: rmB`]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: t`]일 때, 점 [eqn: rmB`]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 [eqn: x`]좌표가 가장 작은 점은 [eqn: rmB'`]이다.  따라서 점 [eqn: rm B prime `]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: g(t)`]이다.
두 점 [eqn: rmB`], [eqn: rmB'`]은 직선 [eqn: x=it- {pi} over {2} `]에 대하여 대칭이므로  [eqn: {t+g(t)} over {2} = it - {pi } over {2} `]에서 [eqn: g(t)= it -t- pi `]이다.

(ⅲ) [eqn: 0<t{le} it pi `]일 때
점 [eqn: rmC`]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: t`]일 때, 점 [eqn: rmC`]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 [eqn: x`]좌표가 가장 작은 점은 [eqn: rm C prime `]이다. 따라서 점 [eqn: rm C prime `]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: g(t)`]이다. 점 [eqn: rmC`]는 곡선 [eqn: y=sin`x] 위의 점이고 점 [eqn: rm C prime `]은 직선 [eqn: y=it-x-pi] 위의 점이므로 [eqn: sin`t=it-g(t)- pi `]에서 [eqn: g(t)=it-sint- pi `]이다.

(ⅳ) [eqn: pi <t LEQ it pi +1`]일 때
점 [eqn: rmD`]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: t`]일 때, 점 [eqn: rmD`]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 [eqn: x`]좌표가 가장 작은 점은 [eqn: rm D prime `]이다.  따라서 점 [eqn: rm D prime `]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: g(t)`]이다. 점 [eqn: rmD`]는 직선

[eqn: y=it-x+pi] 위의 점이고 점 [eqn: rmD'`]은 곡선 [eqn: y=sin`x] 위의 점이므로 [eqn: -t+ pi =sin`g(t)`]이다.
함수 [eqn: y=sin`x`][eqn: LEFT ( -pi LEQ x LEQ - {pi } over {2} RIGHT ) `]의 역함수를  [eqn: h(x)]라 하면 [eqn: g(t)][eqn: =h(-t+ pi )`]이다.

(ⅴ) [eqn: t> it { pi}+1`]일 때
점 [eqn: rmE`]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: t`]일 때, 점 [eqn: rmE`]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 그래프와 만나는 점 중 [eqn: x`]좌표가 가장 작은 점은 [eqn: rmE`]이다.  따라서 [eqn: g(t)=t`]이다.

함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t=pi+1`]에서 불연속이므로 [eqn: alpha = pi +1]이고 그래프는 그림과 같다.

[eqn: int _{- pi } ^{pi } {} g(t)`dt][eqn: = LEFT [ ` {t ^{2}} over {2} ` RIGHT ] _{- pi }^{- {pi } over {2}} + LEFT [ `- {t ^{2}} over {2} - pi t` RIGHT ] _{- {pi } over {2}}^{0} + LEFT [ `cost- pi t pile{`#`} RIGHT ] _{0}^{pi }][eqn: =it- {7} over {4} pi ^{2} -2]

한편 위의 그림에서 [eqn: y=sin`t`][eqn: LEFT ( - pi LEQ t LEQ - {pi } over {2} RIGHT ) `]

[eqn: REL -> {㉠} {직선```y=t```대칭}] [eqn: y=h(t)], [eqn: REL -> {㉡} {y`축```대칭}] [eqn: y=h(-t)], [eqn: REL -> {㉢} {평행이동}] [eqn: y=h(-t+ pi )`]

이므로

[eqn: int _{pi } ^{alpha } {} g(t)dt][eqn: =it-(]빗금 친 부분의 넓이[eqn: )][eqn: = it - LEFT ( 1times {pi } over {2} + int _{0} ^{{pi } over {2}} {} sin`t`dt RIGHT )][eqn: =it- {1} over {2} pi -1]

따라서 [eqn: int _{- pi } ^{alpha} {} g(t)`dt][eqn: = it - {7} over {4} pi ^{2} - {1} over {2} pi-3], [eqn: p= it - {1} over {2}], [eqn: q= it -3]이므로 [eqn: 100times LEFT | p+q RIGHT |][eqn: =350]

실수 [eqn: t`]에 대하여 부등식 [eqn: f(x) LEQ f(t)`]를 만족시키는 실수 [eqn: x`]의 최솟값을 [eqn: g(t)`]라 하자.

예를 들어, [eqn: g( pi )= it - pi `]이다.

함수 [eqn: g(t)`]가 [eqn: t= alpha `]에서 불연속일 때,  [eqn: int _{-pi} ^{alpha} {} g(t)`dt][eqn: = it - {7} over {4} pi ` ^{2} +p` pi +q]  이다.

[eqn: 100 TIMES left|p+q{right|`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q`]는 유리수이다.)

[killer] 2020/10/21 6th

실수 전체의 집합에서 연속인 도함수를 갖는 함수 [eqn: f(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 99]

[eqn: f'(f(x))`=` 1over4 (x+2)]에서 [eqn: 0`<` f(x) `<` a- 1over2]이므로 [eqn: f(x) `!=` a- 1over x+2]가 아니다.

[eqn: -1`<`x`<`0]에서

[eqn: f(x) `=` t]로 치환하면, [eqn: a - 1over x+2 `=` t] → [eqn: x `=` 1over {a-t } -2] 이므로

[eqn: f'(f(x) )`=` f'(t) `=` 1 over {4(a-t) }]

[eqn: f(t) `=` int f'(t) dt `=` int 1over 4(a-t) dt `=` - 1over 4 `ln(a-t) +C]

[eqn: x`=` a-1]일 때 [eqn: f'(a-1) `=` 1over4], [eqn: f(a-1) `=` C]

[eqn: 0 `<` a-1]이고 [eqn: f'(0) `=` f'(a-1) `=` 1over4]이므로, (나)조건에서

구간 [eqn: [`0,```a-1`]]에서 함수 [eqn: y`=` f(x)]의 그래프는 기울기가  [eqn: 1over4]인 직선의 일부이다.

[eqn: f(a-1) `=` f(0) + 1over4 (a-1) `=` (a- 1over2 )+ 1over4 (a-1) `=` 5over4 a - 3over4]

[eqn: therefore ``c`=` 5over4 a - 3over4], [eqn: therefore ``f(x) `=` - 1over4 `ln(a-x) + 5over4 a - 3over4](단, [eqn: a-1`le` x `le` a- 1over2])

1사분면에서 두 그래프가 한 점에서 만날 때

[eqn: f'(a-1) `=` 1over4], [eqn: f' left ( a - 1over2 right ) `=` 1over2]이고, [eqn: 1over4 `<` 1over3 `< 1over2]이므로

좌표평면의 제1사분면에서 곡선 [eqn: y`=` f(x)]와 직선 [eqn: g(x) `=` 1over3 x + 3over4 `ln2]가 오직 한 점에서만 만나도록 하는 [eqn: a]의 최댓값을 가지는 건,

[eqn: a-1 `<` c ` <` a- 1over2]를 만족시키는 상수 [eqn: C]에 대하여

곡선 [eqn: y`=` f(x)]와 직선 [eqn: y`=` g(x)]가 [eqn: x=c]에서 접할 때이다.

따라서 [eqn: f'(c) `=` g'(c) ``````and ``````g(c) `=` g(c)]

[eqn: f'(c) `=` g'(c)]에서 [eqn: 1over 4(a-c) `=` 1over3] → [eqn: a-c `=` 3over4] [eqn: cdots] ㉠

[eqn: f(c) `=` g(c)]에서  [eqn: - 1over 4 ` ln(a-c) + 5over4 a - 3over4 `=` 1over3 left (a- 3over4 right ) + 3over4 ` ln2] [eqn: cdots] ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: - 1over 4 ` ln 3over4 + 5over4 a - 3over4 `=` 1over3 left (a- 3over4 right ) + 3over4 ` ln2]

[eqn: 5over4 a - 1over3 a `=` 3over4 `ln2 + 1over4 `ln 3over4 - 1over4 + 3over4`=` 1over4 `ln 6 + 1over2]

[eqn: 11over12 a `=` 1over4 `ln6+ 1over2], [eqn: a`=` 3over11 `ln6 ` + 6over11]

[eqn: 121(p+q) `=` 99]

(가) [eqn: -1`<`x`<`0]에서 [eqn: f'(f(x))`=` 1over4 (x+2)]이다.

(나) [eqn: 0 `le`x_1 ` le ` x_2]인 임의의 두 실수 [eqn: x_1,```x_2]에 대하여 [eqn: f'(x_1 ) `le`f'(x_2 )]이다.

1보다 큰 양수 [eqn: a]에 대하여 구간 [eqn: [` -1,```0`]]에서 [eqn: f(x) `=` a- 1over x+2]이다. 좌표평면의 제1사분면에서

곡선 [eqn: y`=` f(x)]와 직선 [eqn: y`=` 1over 3 x + 3over4 `ln2]가 오직 한 점에서만 만나도록 하는 [eqn: a]의 최댓값이 [eqn: p+q ln6]일 때,

[eqn: 121(p+q)]의 값을 구하시오.(단, [eqn: p,```q]는 유리수이고, [eqn: ln6]은 무리수이다.)

[killer] 2020/10/22 7th

함수 [eqn: f(x) = {x} over {2 ^{x}}]와 실수 [eqn: t]에 대하여 닫힌구간 [eqn: LEFT [ t,`t+1 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값을 [eqn: g ( t )]라 하고,

[정답] [eqn: 4]

[해설] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {x} over {2 ^{x}}][eqn: =x`times`2 ^{-x}]에서

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =2 ^{-x} -x`times`2 ^{-x} `ln`x=2 ^{-x} LEFT ( 1-x`ln`2 RIGHT )]

이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

이때 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ t,`t+1 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값이 [eqn: x]의 값이 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( t+1 RIGHT )]을 만족시키는 [eqn: t]의 값보다 작거나 같을 때 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]이고, 클 때 [eqn: f LEFT ( t+1 RIGHT )]이다.

[eqn: t`times`2 ^{-t} = LEFT ( t+1 RIGHT ) 2 ^{- LEFT ( t+1 RIGHT )}]에서 [eqn: 2t=t+1]이므로 [eqn: t=1]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = {cases{f LEFT ( t RIGHT )&LEFT ( t LEQ 1 RIGHT )#f LEFT ( t+1 RIGHT )&LEFT ( t>1 RIGHT )}}]

이때 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) = {1} over {2}]이고, [eqn: f' LEFT ( 1 RIGHT ) >0,`f' LEFT ( 2 RIGHT ) <0]이므로 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=1]일 때 미분가능하지 않다.

함수 [eqn: y=g LEFT ( t RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

그림에서

[eqn: h LEFT ( k RIGHT ) = {cases{2&LEFT ( k`le`0 RIGHT )#eqalign{3# # 1}&eqalign{LEFT ( 0<k< {1} over {2} RIGHT )# LEFT ( k`ge` {1} over {2} RIGHT )}}}]

이므로 함수 [eqn: h LEFT ( k RIGHT )]가 불연속이 되는 실수 [eqn: k]의 값은 [eqn: alpha=0,`beta= {1} over {2}]이다.

[eqn: h LEFT ( alpha RIGHT ) =2,`h LEFT ( beta RIGHT ) =1]이므로

[eqn: int _{-h LEFT ( beta RIGHT )} ^{h LEFT ( alpha RIGHT )} {g LEFT ( t RIGHT )} dt][eqn: = int _{-1} ^{2} {g LEFT ( t RIGHT )} dt# = int _{-1} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT )} dt+ int _{1} ^{2} {f LEFT ( t+1 RIGHT )} dt# = int _{-1} ^{1} {LEFT ( t`times`2 ^{-t} RIGHT ) dt+ int _{1} ^{2} {LEFT ( t+1 RIGHT ) 2 ^{- LEFT ( t+1 RIGHT )}} dt}]

이때 [eqn: int _{1} ^{2} {LEFT ( t+1 RIGHT ) 2 ^{- LEFT ( t+1 RIGHT )}} `dt]에서 [eqn: t+1=x]라 하면 [eqn: {dt} over {dx} =1]이고,

[eqn: t=1]일 때 [eqn: x=2,`t=2]일 때 [eqn: x=3]이므로

[eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT ( t`times`2 ^{-t} RIGHT ) dt+ int _{1} ^{2} {LEFT ( t+1 RIGHT ) 2 ^{- LEFT ( t+1 RIGHT )}} dt}# = int _{-1} ^{1} {LEFT ( t`times`2 ^{-t} RIGHT ) dt+ int _{2} ^{3} {LEFT ( x`times`2 ^{-x} RIGHT )} dx}# = LEFT [ - {t`times`2 ^{-t}} over {ln`2} RIGHT ] _{-1}^{1} + int _{-1} ^{1} {{2 ^{-t}} over {ln`2}} dt+ LEFT [ - {x`times`2 ^{-x}} over {ln`2} RIGHT ] _{2}^{3} + int _{2} ^{3} {{2 ^{-x}} over {ln`2}} dx# = LEFT ( - {2 ^{-1}} over {2`ln`2} - {2} over {ln`2} RIGHT ) + LEFT [ - {2 ^{-t}} over {LEFT ( ln`2 RIGHT ) ^{2}} RIGHT ] _{-1}^{1} + LEFT { - {3`times`2 ^{-3}} over {ln`2} - LEFT ( - {2 ^{-1}} over {ln`2} RIGHT ) RIGHT } + LEFT [ - {2 ^{-x}} over {LEFT ( ln`2 RIGHT ) ^{2}} RIGHT ] _{2}^{3}# =- {5} over {2`ln`2} + LEFT [ - {2 ^{-1}} over {LEFT ( ln`2 RIGHT ) ^{2}} - LEFT { - {2} over {LEFT ( ln`2 RIGHT ) ^{2}} RIGHT } RIGHT ] + {1} over {8`ln`2} + LEFT [ - {2 ^{-3}} over {LEFT ( ln`2 RIGHT ) ^{2}} - LEFT { - {2 ^{-2}} over {LEFT ( ln`2 RIGHT ) ^{2}} RIGHT } RIGHT ]# =- {19} over {8`ln`2} + {3} over {2` LEFT ( ln`2 RIGHT ) ^{2}} + {1} over {8` LEFT ( ln`2 RIGHT ) ^{2}}# =- {19} over {8`ln`2} + {13} over {8` LEFT ( ln`2 RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: LEFT ( ln`2 RIGHT ) ^{2} int _{-h LEFT ( beta RIGHT )} ^{h LEFT ( alpha RIGHT )} {g LEFT ( t RIGHT )} dt=- {19} over {8} `ln`2+ {13} over {8}]이므로

[eqn: p=- {19} over {8} ,`q= {13} over {8}]

따라서 [eqn: q-p=4]

실수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: LEFT | g ( t ) -k RIGHT |]가 미분가능하지 않은 실수 [eqn: t]의 개수를 [eqn: h LEFT ( k RIGHT )]라 하자.

함수 [eqn: h LEFT ( k RIGHT )]가 불연속이 되는 실수 [eqn: k]의 값을 [eqn: alpha,`beta` LEFT ( alpha`<`beta RIGHT )]라 할 때, [eqn: ( ln`2 ) ^{2} int _{-h LEFT ( beta RIGHT )} ^{h LEFT ( alpha RIGHT )} {g LEFT ( t RIGHT )} `dt=p`ln`2+q]이다.

[eqn: q-p]의 값을 구하시오. (단, [eqn: lim _{x->inf} {{x} over {2 ^{x}} =0}]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 유리수, [eqn: ln`2]는 무리수이다.)

[killer] 2020/10/23 8th

함수 [eqn: f(x)=ln (e^x +1) +2e^x ``]에 대하여 이차함수 [eqn: g(x)``]와 실수 [eqn: k``]는 다음 조건을 만족시킨다.

[2017년 9월 모평 가형 30번][5%]

[eqn: 6``]

[eqn: h(x)= LEFT | g(x)-f(x-k) RIGHT |``]

[eqn: x=k``]에서 최솟값 [eqn: g(k)``]를 갖는데  [eqn: h(x) GEQ 0``]이므로 [eqn: g(k) GEQ 0``]이다.

[eqn: g(k)=0``]인 경우 [eqn: h(k)= LEFT | g(k)-f(0) RIGHT | =g(k)``]에서 [eqn: f(0)=0`]인데 [eqn: f(x)=ln (e^x +1) +2e^x ``]에서

[eqn: f(0)=ln2 +2 ``not=0]이므로 모순이 발생하여  [eqn: g(k) != 0``]이므로 [eqn: g(k)>0``]이다.

결국 [eqn: y=g(x)``]와 [eqn: y=f(x-k)``]의 위치관계는 다음 그림과 같다.

따라서 실수 전체 구간에서 [eqn: h(x)=f(x-k)-g(x)`]를 만족 한다

문제 조건에 의해 [eqn: x=k`]에서의 [eqn: h(x)`] 최솟값 [eqn: g(k)`]는  [eqn: h(k)=g(k)`]임을 알 수 있다．

[eqn: h(k)=f(0)-g(k)``]이고  [eqn: f(0)-g(k)=g(k)``]이므로 [eqn: g(k)= {1} over {2} f(0)``]이다.   [eqn: g(k)= {1} over {2} `ln2+1=lne sqrt {2}``] [eqn: CDOTS CDOTS ``]㉠

㉠에 의하여 이차함수 [eqn: g(x)`]를  [eqn: g(x)=a LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2} +b LEFT ( x-k RIGHT ) +ln sqrt {2} e``]로 생각할 수 있다

또한 [eqn: h(x)`]가 [eqn: x=k`]에서 최솟값을 가지므로 [eqn: h(x)`]는　[eqn: x=k`]에서　극소를 만족한다.

따라서 [eqn: h(x)=f(x-k)-g(x)`]의 [eqn: x=k``]에서의 접선의 기울기는　[eqn: 0`]이므로 [eqn: h(x)`]의 도함수

[eqn: h` prime (x)=f` prime (x-k)-g` prime (x)]를 이용하여 [eqn: f`'(0)-g`'(k)=0`]임을 알 수 있고 [eqn: f`'(0)= 5over2 ,~g`'(k)``= b `]이므로 [eqn: b= {5} over {2}``]임을 알 수 있다．

닫힌구간 [eqn: [k-1,k+1]`]에서 [eqn: h(x)`]가 [eqn: x=k-1`]이 아닌 [eqn: x=k+1]에서 최댓값을 갖는 이유

： [eqn: h(k-1)=f(-1)-g(k-1)`]이고

[eqn: h(k+1)=f(1)-g(k+1)`]인데　[eqn: a`]값이　구해지지　않은　상태에서　두　값을　문제　조건에서　주어진　[eqn: e`]의　범위를　이용하여　대소비교가　가능하고　[eqn: x=k+1]에서　최대임을　확인할　수　있다．

닫힌구간 내의 최댓값은 [eqn: x=k+1``]에서 가지므로  [eqn: h(k+1)=f(1)-g(k+1)``][eqn: =2e+ln LEFT ( {1+e} over {sqrt {2}} RIGHT )``]

임을 알 수 있다. 이를 계산하면 [eqn: a= it - {7} over {2}``]이고 [eqn: g(x)= it - {7} over {2} LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2} + {5} over {2} LEFT ( x-k RIGHT ) +ln sqrt {2} e``]이고 [eqn: g`'(k- {1} over {2} )=6``]이다.

함수 [eqn: h(x)= | g(x)-f(x-k)|``]는 [eqn: x=k ``]에서 최솟값 [eqn: g(k)``]를 갖고, 닫힌구간

[eqn: [k-1,~k+1]``]에서 최댓값 [eqn: 2e+ ln left( 1+2 overroot2 right) ``]를 갖는다.

[eqn: g`prime left(k- 1over2 right) ``]의 값을 구하시오. (단,[eqn: {5} over 2 <e<3 ``] 이다.) [4점]

[killer] 2020/10/24 9th

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 35]

[출제의도] 정적분의 성질과 연속함수의 성질을 이용하여 정적분의 값을 구할 수 있는가?

(나)에 주어진 등식에 [eqn: x=0]을 대입하면  [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]	[eqn: ······] ㉠

(나)에 주어진 등식의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면  [eqn: f`'(x)= sqrt {4-2f LEFT ( x RIGHT )}]

[eqn: THEREFORE ~ LEFT { f`'(x) RIGHT } ^{2} =4-2f LEFT ( x RIGHT )] (단, [eqn: f` prime (x) GEQ 0,~f LEFT ( x RIGHT ) LEQ 2])[eqn: ······] ㉡

[eqn: x LEQ b`]일 때 [eqn: f`'(x)=2a LEFT ( x-b RIGHT )]이므로 ㉡에서 [eqn: 4a ^{2} LEFT ( x-b RIGHT ) ^{2} =4-2 LEFT { a LEFT ( x-b RIGHT ) ^{2} +c RIGHT }]	[eqn: ······] ㉢

㉢이 [eqn: x LEQ b`]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 성립하므로 [eqn: 4a ^{2} = it -2a`]이고 [eqn: 4-2c=0]이다.

[eqn: THEREFORE ~a= it - {1} over {2} ,~c=2]

따라서 [eqn: x LEQ b`]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = it - {1} over {2} LEFT ( x-b RIGHT ) ^{2} +2]

이때 [eqn: b<0]이면 [eqn: f LEFT ( b RIGHT ) =2]이고 ㉠에서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`'(x) GEQ 0]이라는 ㉡의 조건에 모순이다.  [eqn: THEREFORE ~b GEQ 0]

㉠에서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로  [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) = it - {1} over {2} b ^{2} +2=0]    [eqn: THEREFORE ~b ^{2} =4]   [eqn: THEREFORE ~b=2` LEFT ( BECAUSE ~b GEQ 0 RIGHT )]

이때 ㉡에서 [eqn: f`'(x) GEQ 0]이고 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) LEQ 2]이므로 [eqn: x>b`]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2]이다.

따라서  [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{it - {1} over {2} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +2&LEFT ( x LEQ 2 RIGHT )#~~~~~~2&LEFT ( x>2 RIGHT )}}] 이므로

[eqn: int _{0} ^{6} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: = int _{0} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx+ int _{2} ^{4} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: = int _{0} ^{2} {} LEFT { - {1} over {2} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +2 RIGHT } dx+ int _{2} ^{6} {} 2dx]

[eqn: = LEFT [ - {1} over {6} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{3} +2x RIGHT ] _{0} ^{2} + LEFT [ 2x pile{it#it} RIGHT ] _{2} ^{6}][eqn: = LEFT ( 4- {8} over {6} RIGHT ) + LEFT ( 12-4 RIGHT )][eqn: =12- {4} over {3} = {32} over {3}]

[eqn: THEREFORE ~p+q=3+32=35]

(가) [eqn: x le b]일 때, [eqn: f(x)=a(x-b)^2 +c`]이다. (단, [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]는 상수이다.)

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x)=int_0^x {root4-2f(t)} dt]이다.

일 때, [eqn: int_0^6 {f(x)}dx = q overp]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[killer] 2020/10/25 10th

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x) `]에 대하여 곡선 [eqn: y = f(x) `] 위의 점 [eqn: ( t, ~ f(t) `)`]에서의 접선의 [eqn: y`]절편을 [eqn: g(t)`]라 하자.  모든 실수 [eqn: t`]에 대하여	[eqn: (1 + t^2 ) left{ it g( t+1) - g(t) right} = 2t]

16

[eqn: g(t)]는 접선의 [eqn: y]절편이므로  [eqn: y=f(t)]의 [eqn: (t,~f(t))]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=f`'(t)(x-t)+f(t)]이므로  [eqn: g(t)=-tf`'(t)+f(t)]

주어진 조건에서  [eqn: g(t+1)-g(t)={2t}over{1+t^{2}}] 양변을 적분하면

(좌변[eqn: )]=[eqn: int _{0} ^{x} {(g(t+1)-g(t))} dt= int _{0} ^{x} {} g(t+1)dt- int _{0} ^{x} {} g(t)dt]

[eqn: = int _{1} ^{x+1} {} g(t)dt- int _{0} ^{x} {} g(t)dt] [eqn: = int _{0} ^{x+1} {} g(t)dt- int _{0} ^{x} {} g(t)dt- int _{0} ^{1} {} g(t)dt]

[eqn: =int _{x} ^{x+1}g(t)dt -int _{0} ^{1}g(t)dt]

(우변)[eqn: =int _{0} ^{x}{2t}over{1+t^{2}}dt = left[ ln(1+t^{2}) right]_{0}^{x}=ln(1+x^{2})]

[eqn: h(x)=int _{x} ^{x+1}g(t)dt = ln(1+x^{2}) +int _{0} ^{1}g(t)dt]	… ㉠   이라 하자.

[eqn: int _{0} ^{1} {} g(t)dt= int _{0} ^{1} {} (-tf` prime (t)+f(t))dt= int _{0} ^{1} {} (-tf` prime (t))dt+ int _{0} ^{1} {} f(t)dt]

[eqn: =left[ -tf`(t) right]_{0}^{1} + 2int _{0} ^{1}f(t)dt] [eqn: =-f`(1) + 2int _{0} ^{1}f(t)dt = -4-{ln17}over{8}-{ln10}over{2}]

[eqn: int _{-4} ^{4} {} g(t)dt= int _{-4} ^{4} {} (-tf` prime (t)+f(t))dt= int _{-4} ^{4} {} (-tf` prime (t))dt+ int _{-4} ^{4} {} f(t)dt]

[eqn: =left[ -tf`(t) right]_{-4}^{4} + 2int _{-4} ^{4}f(t)dt] [eqn: = -4f`(4) -4f(-4) + 2int _{-4} ^{4}f(t)dt]

[eqn: = -2 left(2 left{f`(4) +f(-4) right} -int _{-4} ^{4}f(t)dt right)]      … ㉡

한편 ㉠ 에서

[eqn: int _{-4} ^{4}g(t)dt][eqn: = h(-4) + h(-3) + h(-2) + h(-1) + h(0) + h(1) + h(2) + h(3)]

[eqn: =ln17+ln10+ln5+ln2+0+ln2+ln5+10+8int _{0} ^{1}g(t)dt]

[eqn: =ln17+4ln10-32-ln17-4ln10=-32]      … ㉢

따라서 ㉡=㉢에서  [eqn: -2 LEFT ( 2 LEFT { f`(4)+f(-4) RIGHT } - int _{-4} ^{4} {} f(t)dt RIGHT ) =-32]

[eqn: THEREFORE]  [eqn: left(2 left{f`(4) +f(-4) right} -int _{-4} ^{4}f(t)dt right)=16]

이고, [eqn: int_0 ^1 f(x) dx = - { ln 10 } over 4 ,~f(1) = 4 + ln17 over 8 `]일 때, [eqn: 2left{ f(4) + f(-4) right} - int_-4 ^4 f(x) dx `]의 값을 구하시오.

[killer] 2020/10/26 11th

함수 [eqn: f(x)= {a(x+1) ^{2}} over {x ^{2} +3} ``]에 대하여 함수	[eqn: g(x)= LEFT | f(x)-k RIGHT | ```` LEFT ( 0 LEQ k LEQ {4} over {3} a RIGHT )] 가 다음 조건을 만족시킨다.

43

함수 [eqn: f(x)= {a(x+1) ^{2}} over {x ^{2} +3} `]에서 [eqn: f``'(x)= {2a(x+1)(x ^{2} +3)-2ax(x+1) ^{2}} over {(x ^{2} +3) ^{2}}][eqn: =- {2a(x+1)(x-3)} over {(x ^{2} +3) ^{2}}]

[eqn: f``'(x)=0`]에서 [eqn: x=-1`]또는 [eqn: x=3`]이므로

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: f(0)= {1} over {3} a``(a>0)`], [eqn: f(-1)=0`], [eqn: f(3)= {4} over {3} a]

[eqn: lim _{x-> INF } {} f(x)=a], [eqn: lim _{x-> - INF } {} f(x)=a`]이므로 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프는 다음과 같다

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=3`]에서 최댓값 [eqn: {4} over {3} a]를 갖고, [eqn: x=-1`]에서 최솟값 0을 갖는다. 함수 [eqn: g(x)]의 그래프는 함수 [eqn: f(x)]의 그래프를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: k`]만큼 평행이동한 다음 [eqn: x`]축 아래 부분을 접어 올린 그래프이므로 [eqn: g``'(-1)=g``'(3)=0`]이고, [eqn: g``'(-1)=k], [eqn: g(3)= {4a} over {3} -k`]이다.

(ⅰ) [eqn: g(-1)>g(3)`]인 경우 조건 (가)에서 [eqn: g(x)]의 최댓값은 [eqn: g(-1)=k=8`]이고,

조건 (나)에서 [eqn: LEFT | g(3)-g(-1) RIGHT | =g(-1)-g(3)=k- LEFT ( {4a} over {3} -k RIGHT ) =2k- {4a} over {3} =2]

이므로 [eqn: 2 TIMES 8- {4a} over {3} =2`]에서 [eqn: a= {21} over {2}]     [eqn: THEREFORE a= {21} over {2} ``,````k=8]

[eqn: f(x)= {21(x+1) ^{2}} over {2(x ^{2} +3)} `], [eqn: g(x)= LEFT | f(x)-8 RIGHT |]이므로  [eqn: f(1)= {21} over {2} `,````g(1)= {5} over {2}]

따라서 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 그래프는 각각 다음과 같다.

한편, 실수 [eqn: t`]에 대하여 함수 [eqn: h(t)`]는 방정식 [eqn: g(x)=t`]의 서로 다른 실근의 개수이므로 함수 [eqn: h(x)]는 다음과 같다.

[eqn: THEREFORE `h(x)= {cases{eqalign{0```(x<0)# 2```(x=0)# 4``` LEFT ( 0<x< {5} over {2} RIGHT )# 3``` LEFT ( x= {5} over {2} RIGHT )# 4``` LEFT ( {5} over {2} <x<6 RIGHT )# 3```(x=6)# 2```(6<x<8)# 1```(x=8)}&#0```(x>8)&}}]

따라서 [eqn: f(1)+g(1)+ sum _{n=1} ^{10} h(n-1)][eqn: = {21} over {2} + {5} over {2} +2+5 TIMES 4+3+2+1+0=41]

(ⅱ) [eqn: g(-1)<f(3)`]인 경우 조건 (가)에서 [eqn: g(x)]의 최댓값은 [eqn: g(3)= {4a} over {3} -k=8] [eqn: CDOTS] ㉠

이고 조건 (나)에서 [eqn: LEFT | g(3)-g(-1) RIGHT | =g(3)-g(-1)= LEFT ( {4a} over {3} -k RIGHT ) -k= {4a} over {3} -2k=2] [eqn: CDOTS ㉡]

㉠, ㉡의 두 방정식 [eqn: 4a-3k=24], [eqn: 4a-6k=6`]을 연립하여 풀면 [eqn: a= {21} over {2}], [eqn: k=6`]

[eqn: f(x)= {21(x+1) ^{2}} over {2(x ^{2} +3)} `], [eqn: g(x)= LEFT | f(x)-6 RIGHT |]이므로 [eqn: f(1)= {21} over {2} `,````g(1)= {9} over {2}]

따라서 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 그래프는 각각 다음과 같다.

한편, 실수 [eqn: t`]에 대하여 함수 [eqn: h(t)`]는 방정식 [eqn: g(x)=t`]의 서로 다른 실근의 개수이므로 함수 [eqn: h(x)]는 다음과 같다.

[eqn: THEREFORE `h(x)= {cases{eqalign{0```(x<0)# 2```(x=0)# 4``` LEFT ( 0<x< {9} over {2} RIGHT )# 3``` LEFT ( x= {9} over {2} RIGHT )# 4``` LEFT ( {9} over {2} <x<6 RIGHT )# 3```(x=6)# 2```(6<x<8)# 1```(x=8)}&#0```(x>8)&}}]

따라서 [eqn: f(1)+g(1)+ sum _{n=1} ^{10} h(n-1)][eqn: = {21} over {2} + {9} over {2} +2+5 TIMES 4+3+2+1+0=43]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: f(1)+g(1)+ sum _{n=1} ^{10} h(n-1)]의 최댓값은 43이다.

(가) 함수 [eqn: g(x)`]의 최댓값은 8이다.

(나) [eqn: LEFT | g(3)-g(-1) RIGHT | =2]

실수 [eqn: t`]에 대하여 방정식 [eqn: g(x)=t``]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: h(t)`]라 할 때, [eqn: f(1)+g(1)+ sum _{n=1} ^{10} h(n-1)`]의 최댓값을 구하시오.
(단, [eqn: a`]는 양의 상수이고, [eqn: k`]는 상수이다.)

[killer] 2020/10/27 12th

실수 전체의 집합에서 미분 가능한 함수 [eqn: f(x)`]가 상수 [eqn: a `` (0 < a < 2pi`)`]와 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

닫힌 구간 [eqn: left[ 0 ,~ a over 2 right] `]에서 두 실수 [eqn: b,~ c `]에 대하여 [eqn: f(x) = b cos (3x ) + c cos (5 x ) `]일 때 [eqn: a b c `= `- q over p pi `]이다.
[eqn: p+q `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)[4점]

(가) [eqn: f(x) = f( -x )]                   (나) [eqn: int_x ^x+a f(t) dt = sin left( x + pi over 3 right)]

83

[eqn: int _{x} ^{x+a} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =sin LEFT ( x+ {pi } over {3} RIGHT )] 의 양변을 미분하면  [eqn: f LEFT ( x+a RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT ) =cos LEFT ( x+ {pi } over {3} RIGHT )] …㉠

위의 식에 [eqn: x] 대신에 [eqn: - {a} over {2}]를 대입하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( -x RIGHT )] 이므로  [eqn: cos LEFT ( {pi } over {3} - {a} over {2} RIGHT ) =0]

[eqn: {1} over {2} ・cos {a} over {2} + {sqrt {3}} over {2} ・sin {a} over {2} =0], [eqn: tan {a} over {2} =- {1} over {sqrt {3}}], [eqn: {a} over {2} = {5} over {6} pi]  ([eqn: ∵ ``0 <a < 2pi])

∴ [eqn: a= {5} over {3} pi]

(나)식에 [eqn: x=- {a} over {2}]을 대입하면 [eqn: int _{- {a} over {2}} ^{```` {a} over {2}} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =sin LEFT ( {pi } over {3} - {a} over {2} RIGHT )], [eqn: 2 int _{0} ^{{a} over {2}} {f LEFT ( t RIGHT ) dt} =sin LEFT ( {pi } over {3} - {a} over {2} RIGHT )]

[eqn: 2 LEFT [ {b} over {3} `sin3x+ {c} over {5} `sin5x RIGHT ] _{0} ^{{a} over {2}} = {sqrt {3}} over {2} `cos {a} over {2} - {1} over {2} `sin {a} over {2}]

위의 식에 [eqn: a= {5} over {3} pi]를 대입하면  [eqn: 2 LEFT { {b} over {3} `sin {5} over {2} pi + {c} over {5} `sin {25} over {6} pi RIGHT } = {sqrt {3}} over {2} `cos {5} over {6} pi - {1} over {2} `sin {5} over {6} pi]

위의 식을 정리하면 [eqn: {2} over {3} b+ {1} over {5} c=-1] …㉡

한편, ㉠에 [eqn: a= {5} over {3} pi]를 대입하면  [eqn: f LEFT ( x+ {5} over {3} pi RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT ) =cos LEFT ( x+ {pi } over {3} RIGHT )]

양변을 미분하면  [eqn: f`' LEFT ( x+ {5} over {3} pi RIGHT ) -f`' LEFT ( x RIGHT ) =-sin LEFT ( x+ {pi } over {3} RIGHT )]

위의 식에 [eqn: x] 대신에 [eqn: - {5} over {6} pi]를 대입하면 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =-f`' LEFT ( -x RIGHT )] 이므로

[eqn: f`' LEFT ( {5} over {6} pi RIGHT ) -f`' LEFT ( - {5} over {6} pi RIGHT ) =-sin LEFT ( - {pi } over {2} RIGHT )], [eqn: 2`f`' LEFT ( {5} over {6} pi RIGHT ) =1], ∴ [eqn: `f` prime LEFT ( {5} over {6} pi RIGHT ) = {1} over {2}]

[eqn: LEFT [ 0, ~{5} over {6} pi RIGHT ]]에서 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =-3b`sin3x-5c`sin5x]  위의 식에 [eqn: x= {5} over {6} pi]를 대입하면

[eqn: f`' LEFT ( {5} over {6} pi RIGHT ) =-3b- {5} over {2} c= {1} over {2}] …㉢

[eqn: ㉡]과 [eqn: ㉢]을 연립하면 [eqn: b=- {9} over {4} ``,~c= {5} over {2}], ∴[eqn: abc= {5} over {3} pi `・ LEFT ( - {9} over {4} RIGHT ) ・ {5} over {2} =- {75} over {8} pi] 이므로

[eqn: p=8`,`q=75], ∴ [eqn: p+q=83]

[killer] 2020/10/28 13th

자연수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 곡선 [eqn: y=a^x+1`]과 곡선 [eqn: y=b^x `]이 직선 [eqn: x=t````(t ge 1)``]와 만나는 점을

각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. 다음 조건을 만족시키는 [eqn: a], [eqn: b``]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b)``]의 개수를 구하시오.

예를 들어, [eqn: a=4], [eqn: b=5`]는 다음 조건을 만족시킨다.

39

[eqn: f(x)= a^x+1 -b^x]라 하자.

[eqn: f(x)= b^x left{ a left(a over b right)^x -1 right}]이므로, [eqn: a ge b]이면 [eqn: x ge 1]에서 [eqn: f(x)]는 증가함수

ⅰ) [eqn: a ge b]일 때,
[eqn: x ge 1]에서 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: f(1)]이고  [eqn: f(1)=a^2 - b ge a^2 -a >0]이므로
[eqn: therefore```a^2 -b le 10]
가능한 경우는 [eqn: a=2]일 때 [eqn: b=2], [eqn: a=3] 일 때 [eqn: b=2,```3]
[eqn: a ge 4]이면 [eqn: a^2 -b ge a^2 -a ge 12]
가능한 경우는 [eqn: (2,```2)], [eqn: (3,```2)], [eqn: (3,```3)]의 [eqn: 3]가지

ⅱ) [eqn: a < b]일 때

[eqn: f(x)=0]의 근을 [eqn: alpha]라 하자.
[eqn: a<1]이면 [그림[eqn: `1`]]에서 [eqn: |`f(x)`|]의 최솟값은 [eqn: f(1)]
[eqn: a ge 1]이면 [그림[eqn: `2`]]에서 [eqn: |`f(x)`|]의 최솟값은 [eqn: 0]
[eqn: therefore```f(1)<0]이면 [eqn: -10 le f(1) <0]이어야 하고,
[eqn: f(1) ge 0]이면 항상 성립한다.
[eqn: therefore```f(1) ge -10]이면 항상 성립한다.
[eqn: 2 le a <b le 10]에서 [eqn: (a,```b)]의 순서쌍은 [eqn: rm `_9 C_2 =36](개)

따라서, ⅰ), ⅱ)에서 구하는 순서쌍은 [eqn: 3+36=39](개)이다.

(가) [eqn: 2 le a le 10], [eqn: 2 le b le 10]

(나) [eqn: t ge 1`]인 어떤 실수 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: rmbar{PQ}` le 10`]이다.

[killer] 2020/10/29 14th

[eqn: x >a]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의 계수가 [eqn: -1]인 사차함수 [eqn: g(x)]가

정답 [eqn: bold { bold { 216 } }]

[eqn: f(x) = g(x) over x-a ` (x>a )]에서 [eqn: f(alpha ) = g(alpha) over alpha-a = M]

[eqn: f(beta ) = g(beta) over beta-a =M]

[eqn: f'(x) = { g'(x) (x-a) - g(x) } over {(x-a )^2]에서 [eqn: f'(alpha ) =0]이므로

[eqn: g'(alpha ) (alpha - a ) - g(alpha )=0]

[eqn: g'(alpha ) = g(alpha) over alpha-a]，[eqn: f'(beta ) = { g(beta ) } over beta-alpha]

이때, [eqn: g'(alpha )]는 [eqn: x=alpha]에서 곡선 [eqn: y =g(x)]의 접선의 기울기이고, [eqn: g'(beta )]는 [eqn: x=beta]에서 곡선 [eqn: y =g(x)]의 접선의 기울기이다.

따라서 곡선 [eqn: y =g(x)]의 그래프는 다음 두 가지의 경우로

나누어 생각할 수 있다.

(ⅰ)

함수 [eqn: y = g(x)]의 그래프가 위의 그림과 같을 때, 함수   [eqn: y =g(x)]가 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x]의 값은 [eqn: 3]개다.
이때 함수 [eqn: y =f(x)]의 그래프도 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x]의
값은 [eqn: 3]개이므로 조건 (다)를 만족시키지 않는다.

(ⅱ)

함수 [eqn: y =g(x)]의 그래프가 위의 그림과 같을 때, 함수   [eqn: y =g(x)]가 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x]의 값은 [eqn: 1]개다.
이때, 함수 [eqn: y =f(x)]의 그래프는 극대 또는 극소가 되는
[eqn: x]의 값은 [eqn: 3]개이므로 조건 (다)를 만족시킨다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 함수 [eqn: y =g(x)]는 극값을 [eqn: 1]개 갖는다.

[eqn: g(x) - kx = - (x- alpha )^2 (x-beta )^2]으로 놓으면

[eqn: g(x) =-(x-alpha )^2 (x-beta )^2 + kx]

이므로

[eqn: g'(x) = - 4 (x-alpha ) (x-beta ) left ( x - alpha+beta over 2 right ) + k]

이때, [eqn: g'(x) =0]

즉 [eqn: 4 (x -alpha )(x-beta ) left ( x- alpha+beta over 2 right ) =k]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]이어야 한다.

이때,

[eqn: h(x) = 4 (x-alpha )(x-beta ) left ( x - alpha+beta over 2 right )]

라 하면 곡선 [eqn: y = h(x)]와 직선 [eqn: y =k]는 한점에서 만나거나 두 점에서 만나야 한다.

함수 [eqn: h(x)]의 극값은 [eqn: beta = alpha + 6 sqrt 3]이므로 [eqn: alpha+beta over 2 =0]으로 놓은 후

함수 [eqn: y = 4x(x+3sqrt 3 ) (x-3sqrt 3 )]의 극값을 구해도 된다.

이때, [eqn: y '= -12(x+3) (x-3)]이므로 [eqn: y'=0]에서

[eqn: x=-3] 또는 [eqn: x=3]

함수 [eqn: y =4x (x+3sqrt 3 ) (x-3sqrt 3 )]의 그래프는 다음 그림과 같다.

따라서 [eqn: k]의 범위는

[eqn: k le -216] 또는 [eqn: k ge 216]

이때, [eqn: k>0]이므로 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 216]다.

따라서 [eqn: M]의 최솟값도 [eqn: 216]이다.

다음 조건을 만족시킨다. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

(가) [eqn: x >a]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: (x-a ) f(x) = g(x)]이다.

(나) 서로 다른 두 실수 [eqn: alpha ,```` beta]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = alpha]와 [eqn: x = beta]에서 동일한

극댓값 [eqn: M]을 갖는다. (단, [eqn: M >0])

(다) 함수 [eqn: f(x)]가 극대 또는 극소가 되는 [eqn: x]의 개수는 함수 [eqn: g(x)]가 극대 또는

극소가 되는 [eqn: x]의 개수보다 많다.

[eqn: beta - alpha = 6 sqrt { 3}]일 때, [eqn: M]의 최솟값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

[killer] 2020/10/30 15th

상수항을 포함한 모든 항의 계수가 유리수인 이차함수 [eqn: f(x)]가 있다. 함수 [eqn: g(x)]가

정답 [eqn: bold { 71 }]

[eqn: f(x)=a(x-m) ^{2} +n]이라 하자.

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )=2a LEFT ( x-m RIGHT )]이고 [eqn: f`'' LEFT ( x RIGHT )=2a]이다.

두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y= LEFT | f` prime (x) RIGHT |]는 각각 직선 [eqn: x=m]에 대하여 대칭이므로 함수 [eqn: g(x)= LEFT | f` prime LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | e ^{f(x)}]의 그래프도 직선 [eqn: x=m]에 대하여 대칭이다.

(ⅰ) [eqn: x>m]인 경우
[eqn: a>0]이면 함수 [eqn: y=f` prime left (x right )e ^{f(x)}]는 실수 전체에서 증가하므로 함수 [eqn: g(x)]의 최댓값이 존재하지 않는다.
그러므로 조건 (나)에 의하여 [eqn: a<0]이다.
[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =- LEFT ( f` prime LEFT ( x RIGHT ) e ^{f(x)} RIGHT ) prime]
[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =- LEFT [ f` '' LEFT ( x RIGHT ) + LEFT { f` prime LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} RIGHT ] `e ^{f(x)}]
[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT { -4a ^{2} (x-m) ^{2} -2a RIGHT } `e ^{f(x)}]
방정식 [eqn: g `prime LEFT ( x RIGHT )=0]을 만족하는 [eqn: x]는 한 개이고 그 값을 [eqn: p] [eqn: LEFT ( p>m RIGHT )]이라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=p]에서 극댓값을 갖고, 그 값이 최댓값이다.

(ⅱ) [eqn: x<m]인 경우
함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x=m]에 대하여 대칭이므로
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=2m-p]에서 극댓값을 갖고, 그 값이 최댓값이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: g(m)`=0]이고, 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=2]에서 극솟값을 가지므로 [eqn: m=2]이다.

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=p]에서 최댓값이 [eqn: 4 sqrt {e}]이므로

[eqn: g(p)= LEFT | f` prime LEFT ( p RIGHT ) RIGHT | e ^{f(p)} =4 sqrt {e}]

이다. 상수항을 포함한 모든 항의 계수가 유리수이므로

[eqn: f` prime LEFT ( p RIGHT )` =2a(p-2)=-4]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: f(p)=a LEFT ( p-2 RIGHT ) ^{2} +n= {1} over {2}]	[eqn: cdotscdots] ㉡

또한 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=p]에서 극댓값을 가지므로

[eqn: g` prime LEFT ( p RIGHT ) =0]에서 [eqn: 2a(p-2) ^{2} +1=0]	[eqn: cdotscdots] ㉢

㉠, ㉡, ㉢에 의하여 [eqn: n=1], [eqn: p= 9 over4]이므로 [eqn: a=-8]

[eqn: f(x)=a(x-m) ^{2} +n=`-8(x-2) ^{2} +1]

따라서 [eqn: LEFT |`` f(-1) ``RIGHT | =71]

[eqn: g(x)= LEFT | ``f` prime (x) ``RIGHT | e ^{f(x)}]

일 때, 함수 [eqn: g(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=2]에서 극솟값을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]의 최댓값은 [eqn: 4 sqrt {e}]이다.

(다) 방정식 [eqn: g(x)=4 sqrt {e}]의 근은 모두 유리수이다.

[eqn: LEFT |`` f(-1) ``RIGHT |]의 값을 구하시오. [[eqn: 4]점]

[killer] 2020/10/31 16th

수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_1 =-1,```` a_n = 2- 1 over{2^n-2} ```` (n ge2)]이다.

[eqn: -50]

(ⅰ) [eqn: a _{1} le x le a _{2}]일 때, 즉, [eqn: -1 le x le 1]에서	[eqn: f(x) = sin2 pi x]

(ⅱ) [eqn: a _{2} le x le a _{3}]일 때, 즉, [eqn: 1 le x le 2- {1} over {2}]에서	[eqn: f(x) = sin2 ^{2} pi x]

(ⅲ) [eqn: a _{3} le x le a _{4}]일 때, 즉, [eqn: 2- {1} over {2} le x le 2- {1} over {2 ^{2}}]에서	[eqn: f(x) = sin2 ^{2} pi x]

[eqn: vdots]

이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: F(t) = int _{0} ^{t} {} f(x)dx]라고 하면 [eqn: F prime(t)=f(t)]이고 [eqn: int from0 toa_2 f(t)dt =0,```` int from a_n to a_n+1 f(t)dt =0,```` n ge2]

이 성립하므로 [eqn: y=F(x)]의 그래프를 그려보면 다음과 같다.

방정식 [eqn: int fromalpha to t f(x)dx =0]을 만족시키는 [eqn: t```` (0<t<2)]의 값의 개수를 구하는 것은 위의 그래프에서 처럼 방정식 [eqn: F(t) = F( alpha )]을 만족하는 [eqn: t]의 값의 개수를 구하는 것과 같다.

따라서 위의 그림에서 극댓값을 크기순으로 나열하면 [eqn: 1overpi ,```` 1over2pi ,```` 1over{2^2 pi} ,````cdots]이므로 [eqn: t```` (0<t<2)]의 개수가 [eqn: 103]개가 되기 위해서는 [eqn: F(alpha)]의 값이 [eqn: 52]번 째 극댓값과 같을 때이다.

따라서 [eqn: F( alpha )={1} over {2 ^{51} pi }]이어야 한다.

즉, [eqn: int _{0} ^{alpha } {} f(x)dx= {1} over {2 ^{51} pi }]이고 [eqn: -1<alpha <0]이므로	[eqn: int _{0} ^{alpha } {sin2 pi x } dx= {1} over {2 ^{51} pi }]

[eqn: LEFT [ - {1} over {2 pi } ` cos2 pi x RIGHT ] _{0} ^{alpha } = {1} over {2 ^{51} pi }],	[eqn: 1-cos2 pi alpha = 2 ^{-50}],	[eqn: therefore] [eqn: log _{2} (1-cos2 pi alpha ) = -50]

[다른 풀이]

[eqn: t]의 값이 [eqn: 103]개 존재하려면 [eqn: [0,````a_2 ] ,````[a_2 ,````a_3 ] , ````[a_3 ,````a_4 ] , ````cdots,````[a_51 ,````a_52 ]]에서 각각 [eqn: 2]개씩 존재하고 [eqn: [a_52 ,````a_53 ]]에서 [eqn: 1]개 존재해야 한다.  이때 [eqn: t]가 될 수 있는 값을 작은 값부터 차례로 [eqn: beta _1 ,````beta_2 ,```` beta_3 , ```` cdots ,````beta _103]이라 두면 아래 그림과 같다.

위의 그램에서 [eqn: beta_ 103 = { a_52 + a_53 } over 2]이 되어야 하므로	[eqn: int _ alpha^ 0 sin 2pi x dx + int _{a_52 } ^ {beta_ 103} f(x) dx =0]

[eqn: therefore] [eqn: int _ alpha^ 0 sin 2pi x dx + int _{a_52 } ^ {beta_ 103} f(x) dx][eqn: = left[ - 1over 2pi` cos 2pix right]_alpha ^0 + 1over pi times 2^-51]

[eqn: = - 1over 2pi left( 1- cos 2pi alpha right) + 1over pi times 2^-51][eqn: =0]

[eqn: therefore] [eqn: 1-cos2 pi alpha = 2 ^{-50}]	[eqn: therefore] [eqn: log _{2} (1-cos2 pi alpha ) = -50]

구간 [eqn: [-1,```` 2)]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(x)=sin(2^n pi x ) ```` (a_n le x le a_n+1 )]이다.

[eqn: -1<alpha <0]인 실수 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: int fromalpha to t f(x)dx =0]을 만족시키는 [eqn: t ````(0<t<2)]의 값의 개수가 [eqn: 103]일 때,

[eqn: log _2 (1-cos (2pi alpha))]의 값은?