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수학 Ⅱ (고2)	내신대비 모의고사	범위 : 미분-적분
		시험시간 : 50분
총 20문항 : 객관식 15, 주관식 5
		이름 :

Du kannst, denn Du sollst !	| |	용문아 수학교실

[객관식]

다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(3)]의 최솟값은?

⑤

(가)에 의해 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이므로

[eqn: f(x)=x^3 +ax^2 +bx+c], [eqn: f prime(x)=3x^2 +2ax+b]라고 하자.

(나)에 의해 [eqn: f(0)=f prime(0)]이므로 [eqn: c=b]

[eqn: f(x)=x^3 +ax^2 +bx+b], [eqn: f prime(x) =3x^2 +2ax+b]에서

[eqn: f(x)-f prime(x)=x^3 +(a-3)x^2 +(b-2a)x]이고 [eqn: x=0]에서 [eqn: x]축과 만난다.

(다)에 의해 [eqn: x ge-1]에서 [eqn: f(x)-f prime(x)ge0]이므로 [eqn: x=0]에서 [eqn: x]축과 접해야 한다. 따라서 [eqn: b=2a]

[eqn: f(x)-f prime(x)=x^3 +(a-3)x^2][eqn: =x^2 left{x-(3-a)right}]

또한 [eqn: 0]이 아닌 실근은 [eqn: -1]보다 작거나 같아야 하므로

[eqn: 3-a le -1]	[eqn: therefore] [eqn: 4 le a]

[eqn: f(x)=x^3 +ax^2 +2ax+2a]이므로

[eqn: f(3)=17a+27 ge95]

(가) [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수는 [eqn: 1]이다.

(나) [eqn: f(0) = f ` prime (0)]

(다) [eqn: x ge -1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) ge f ` prime (x)]이다.

① [eqn: 91]	② [eqn: 92]	③ [eqn: 93]

④ [eqn: 94]	⑤ [eqn: 95]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x(t)]가 [eqn: x(t) = t^3 - 3kt^2 - ( 8k - 80 ) t + 1]이다. 점 [eqn: rmP]가 출발 후 운동방향을 바꾸지 않는다고 할 때, 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합은?

④

[eqn: v(t)][eqn: =3t^ 2 -6kt -(8k-80)]
[eqn: =3(t-k)^2 -(8k-80)-3k^2]

[eqn: v(t)]는 최고차항의 계수가 양수인 이차함수이므로 시간이 지나면 [eqn: v(t)]는 양의 값을 가지게 된다.

운동방향을 바꾸지 않는다고 했으므로 [eqn: t=k]일 때 [eqn: v(t)]의 최솟값을 가지고 [eqn: v(k)ge0]이어야 한다.

[eqn: v(k)][eqn: = -3k^2 -8k+80]
[eqn: =-(3k+20)(k-4)][eqn: ge0]

[eqn: (3k+20)(k-4)le0]

[eqn: therefore] [eqn: - 20 over3 le k le 4]

따라서 조건을 만족하는 자연수 [eqn: k=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이므로

[eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 10]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

다음 중 함수 [eqn: f(x) = 1 over 2 x^4 + (a-1)x^2 - 2ax]가 극값을 하나만 갖도록 하는 실수 [eqn: a]의 값이 아닌 것은?

④

[eqn: f(x) = 1over2 x^4 +(a-1)x^2 -2ax]

[eqn: f prime(x)][eqn: =2 x^3 +2(a-1)x -2a]
[eqn: =2(x-1)(x^2 +x+a)]

[eqn: f(x)]가 극값을 하나만 가지기 위해서는

[eqn: f prime(x)=0]이 한 실근과 중근을 가지거나 한 실근과 두 허근, 또는 삼중근을 가져야 한다.

(ⅰ) [eqn: x=1]이 중근일 때,
[eqn: x^2 +x+a=0]이 [eqn: x=1]을 근으로 가져야 하므로
[eqn: a=-2]
이때 한 실근과 중근을 가지므로 삼중근인 경우는 없다.

(ⅱ) [eqn: x^2 +x+a=0]이 중근 또는 허근을 가질 때,
[eqn: D le0]이므로
[eqn: 1-4a le0], [eqn: 1over4 le a]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: a=-2] 또는 [eqn: 1over4 lea]일 때 [eqn: f(x)]는 극값을 하나만 갖는다.

따라서 범위에 포함되지 않는 [eqn: a]의 값은 [eqn: -1]

① [eqn: 1]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 1 over 4]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: -2]

다음 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 12 ` rm cm], 높이가 [eqn: 9 ` rm cm]인 원뿔 모양의 그릇이 있다. 매초 [eqn: 1 ` rm cm]씩 수면의 높이가 올라가도록 물을 넣을 때, 물을 넣기 시작한 지 [eqn: 3]초 후에 그릇에 담긴 물의 부피의 변화율 ([eqn: rm cm^3 /s])을 구하면?

⑤

매초 [eqn: 1`rmcm]씩 수면의 높이가 올라가므로 [eqn: t]초 후 수면의 높이는 [eqn: t`rmcm]

높이와 반지름의 길이비가 [eqn: 3``:``4]이므로 [eqn: t]초 후 반지름은 [eqn: 4over3 t`rmcm]

따라서 [eqn: t]초 후 그릇에 담긴 물의 부피는

[eqn: V(t)][eqn: = left(4over3 t right)^2 pi timest times 1over3]
[eqn: = 16 over27 pi t^3]

부피의 변화량 [eqn: V`prime(t)= 16 over9 t^2 pi]

[eqn: therefore] [eqn: V `prime(3) = 16pi]

① [eqn: 2 pi]	② [eqn: 4 pi]	③ [eqn: 8 pi]

④ [eqn: 10 pi]	⑤ [eqn: 16 pi]

삼차함수 [eqn: f(x) = 3x^3 + ax^2 + bx + c]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.)

②

(가)에서 [eqn: f prime(alpha)=f prime(beta)=0]이므로 [eqn: alpha<beta]라 하면 [eqn: x=alpha]에서 극대, [eqn: x=beta]에서 극소를 갖는다.

[eqn: f prime(x)][eqn: =9x^2 +2ax+b]
[eqn: =9(x-alpha)(x-beta)]

(나)에서 두 점 [eqn: ( alpha `,` f( alpha) )], [eqn: ( beta `,` f( beta ) )]의 중점은 [eqn: ( 0`,`2)]이므로

[eqn: alpha+beta=0]	[eqn: cdotscdots] ㉠

(다)에서 [eqn: left | ` f ( alpha ) - f ( beta ) ` right | = 1 over 18]이므로 극대 극소 차 공식에 의해

[eqn: {left|3 right|}over2 left|beta- alpha right|^3 = 1over18]

[eqn: left|beta-alpha right|^3 = 1over27]

[eqn: therefore] [eqn: beta-alpha = 1over3]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: beta= 1over6], [eqn: alpha = - 1over6]

[eqn: f prime(x)][eqn: = 9 left(x- 1over6 right)left(x+ 1over6 right)]
[eqn: = 9x^2 - 1over4]

[eqn: f(x)][eqn: =3x^3 - 1over4 x +c]

[eqn: (0,~2)]는 삼차함수 위의 점이므로 [eqn: c=2]

따라서 [eqn: f(x) = 3x^3 - 1over4 x+2]

[eqn: therefore] [eqn: f(1)][eqn: = 19 over4]

(가) [eqn: f ` prime (alpha) = f ` prime (beta ) = 0] (단, [eqn: alpha != beta])

(나) 두 점 [eqn: ( alpha `,` f( alpha) )], [eqn: ( beta `,` f( beta ) )]의 중점은 [eqn: ( 0`,`2)]이다.

(다) [eqn: left | ` f ( alpha ) - f ( beta ) ` right | = 1 over 18]

① [eqn: 9 over2]	② [eqn: 19 over4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 21over4]	⑤ [eqn: 11over2]

다항함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: f(x)]의 한 부정적분 [eqn: F(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(3) + F(3)]의 값은?

③

(가)에서 [eqn: f prime(x)=2x]이므로 [eqn: f (x) =x^2 +C_1] (단, [eqn: C_1]은 적분상수)

[eqn: F(x)= 1over3 x^3 +C_1 x +C_2] (단, [eqn: C_2]는 적분상수)

(나)에서 [eqn: f(0)=F(0)]이므로 [eqn: C_1 =C_2][eqn: =C]라 하자.

(다)에서 [eqn: f(3)=F(3)]이므로

[eqn: f(3) = 9 +C], [eqn: F(3)= 9 +4C]에서 [eqn: C=0]

따라서 [eqn: f(x) = x^2], [eqn: F(x) = 1over3 x^3]

[eqn: therefore] [eqn: f(3) +F(3) = 18]

(가) [eqn: f ` prime (x) = 2x]	(나) [eqn: f(0 ) = F( 0)]

(다) [eqn: f(3) = F( 3)]

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

곡선 [eqn: y = f(x)] 위의 임의의 점 [eqn: P( x`,`y)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 3x^2 - 27]이고 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값이 [eqn: 4]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값을 구하면?

②

[eqn: f prime(x)][eqn: =3x^2 -27]
[eqn: =3(x+3)(x-3)]

따라서 [eqn: x=-3]에서 극댓값 [eqn: 4]를 갖고 [eqn: x=3]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: f(x) =x^3 -27x+C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(-3)=-27+81+C=4]

[eqn: therefore] [eqn: C=-50]

[eqn: f(x)=x^3 -27x-50]

[eqn: therefore] [eqn: f(3)=27-81-50=-104]

① [eqn: -105]	② [eqn: -104]	③ [eqn: -103]

④ [eqn: -102]	⑤ [eqn: -101]

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 [eqn: f(x) = int xg (x) dx], [eqn: d over dx left { f(x) - g(x) right } = 4x^3 + 2x]를 만족시킬 때, [eqn: g(3)]의 값은?

③

[eqn: f prime(x)=xg(x)]

[eqn: f prime(x)-g prime(x)=4x^3 +2x]에서

[eqn: xg(x)-g prime(x)=4x^3 +2x]

[eqn: g(x)]의 최고차항을 [eqn: ax^n]이라 하면

[eqn: ax^n+1 = 4x^3]이므로 [eqn: a=4], [eqn: n=2]

[eqn: g(x)=4x^2 +bx+c]라 하면

[eqn: g prime(x)=8x+b]

[eqn: xg(x)-g prime(x)=4x^3 +bx^2 +(c-8)x-b][eqn: =4x^3 +2x]이므로

[eqn: b=0], [eqn: c=10]

따라서 [eqn: g(x) =4x^2 +10]

[eqn: therefore] [eqn: g(3)=46]

① [eqn: 42]	② [eqn: 44]	③ [eqn: 46]

④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 50]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 그래프와 같이

④

[eqn: f(x)=x(x-alpha)^2]

[eqn: f prime(x) = (x-alpha)(3x-alpha)]

[eqn: g prime(x)][eqn: = x(x-alpha)^2 +x(x-alpha)(3x-alpha)]
[eqn: =4x^3 -6alphax^2 +2alpha^2 x]
[eqn: =2x(2x-alpha)(x-alpha)]

따라서 [eqn: x=0], [eqn: x=alpha]에서 극솟값, [eqn: x= alphaover2]에서 극댓값을 갖는다.

[eqn: g(x)=x^4 -2alphax^3 +alpha^2 x^2 +C] (단, [eqn: C]는 적분상수)에서

[eqn: g(x)]의 극솟값은 [eqn: 0], 극댓값은 [eqn: 81]이므로

[eqn: g(0)=C =0]

[eqn: g left(alpha over2 right) = alpha^4 over16 = 81]

[eqn: therefore] [eqn: alpha=6] ([eqn: because] [eqn: alpha>0])

따라서 [eqn: g(x)=x^4 -12x^3 +36x^2]

[eqn: therefore] [eqn: g left(alpha over3 right) = g(2)][eqn: =16-96+144=64]

[eqn: f ( 0 ) = 0], [eqn: f( alpha ) = 0], [eqn: f ` prime ( alpha ) = 0]이고 함수 [eqn: g(x)]가 다음 두 조건을 만족시킬 때, [eqn: g left ( alpha over 3 right )]의 값은? (단, [eqn: alpha]는 양수이다.)

가) [eqn: g ` prime (x) = f(x) + x f ` prime (x)]

(나) [eqn: g(x)]의 극댓값이 [eqn: 81]이고 극솟값이 [eqn: 0]이다.

① [eqn: 52]	② [eqn: 56]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 68]

구간 [eqn: [ 0 `,`8]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: f(x) = cases { -x ( x- 4) ~ (0 le x < 4 ) # x - 4 ~~~~~~ ( 4 le x le 8 )]이다. 실수 [eqn: a]([eqn: 0 le a le 4])에 대하여 [eqn: int_ a ^ {a + 4} f(x) dx]가 최솟값을 가질 때 [eqn: a]값은?

①

[eqn: int_a^a+4{f(x)dx][eqn: = int_a^4{f(x)dx + int_4^a+4 {f(x)dx]
[eqn: =int_a^4{f(x)dx + int_0^a{f(x+4)dx]
[eqn: = int _{a} ^{4} {left{-x(x-4)right}dx+ int _{0} ^{a} {xdx}}]

이므로 최소가 되기 위한 [eqn: a]의 값은 [eqn: y=x]와 [eqn: y=-x(x-4)]의 교점의 [eqn: x]좌표와 같다. (단, [eqn: x>0])

[eqn: x=-x(x-4)]

[eqn: x^2 -3x=0], [eqn: x=3]

[eqn: therefore] [eqn: a=3]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5 over 2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3 OVER 2]	⑤ [eqn: 1]

[eqn: g(x) = int_0 ^x f(t) dt]인 관계가 성립한다. 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?

③

[eqn: g(x) = int_0 ^x f(t) dt]에서 [eqn: g prime(x)=f(x)]

따라서 주어진 그래프는 [eqn: g(x)]의 도함수의 그래프이다.

ㄱ. 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x = 1]에서 극댓값을 갖는다. (거짓)

ㄴ. 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x = 3]에서 극솟값을 갖는다. (거짓)

ㄷ. [eqn: int_1 ^3 g ` prime(x) dx = int_1^3{f(x)dx < 0] (참)

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	ㄱ. 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x = 1]에서 극솟값을 갖는다. ㄴ. 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x = 3]에서 극댓값을 갖는다. ㄷ. [eqn: int_1 ^3 g ` prime(x) dx < 0]
용문아수학방

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

곡선 [eqn: y = x ^2 + 1]에 대하여 원점 [eqn: rmO]에서 이 곡선에 그은 두 접선의 접점을 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 할 때, [eqn: triangle{rmOAB]의 넓이는?

②

원점에서 그은 접선의 접점을 [eqn: (t,~t^2 +1)]이라 하면

접선의 기울기는 [eqn: 2t]

접선의 방정식은 [eqn: y][eqn: =2t(x-t)+t^2 +1]
[eqn: =2tx-t^2 +1]

이 접선이 [eqn: (0,~0)]을 지나므로 [eqn: t^2 =1], [eqn: therefore] [eqn: t =+-1]

따라서 [eqn: rmA(-1,~2)], [eqn: rmB(1,~2)]라 하면

[eqn: triangle{rmOAB]의 넓이는 [eqn: 2 times 2 times 1over2 =2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f ` prime (x)]가 [eqn: f ` prime (x) = 3x^2 - 3]이고 [eqn: f(0) = 0]일 때, 곡선 [eqn: y = f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: 4S]의 값은?

⑤

[eqn: f (x)=x^3 -3x+C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f(0)=0]이므로 [eqn: C=0]

[eqn: f(x)=x^3 -3x]은 원점에 대해 대칭인 함수이므로 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: S=2 int _{0} ^{sqrt {3}} {(3x-x ^{3} )dx=2 LEFT [ {3} over {2} x ^{2} - {1} over {4} x ^{4} RIGHT ] _{0}^{sqrt {3}} =2 LEFT ( {9} over {2} - {9} over {4} RIGHT ) = {9} over {2}}]

[eqn: therefore] [eqn: 4S= 18]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

지면에서 [eqn: 20 ` rm m/s]의 속도로 지면과 수직으로 위로 던진 공의 [eqn: t]초 후의 속도 [eqn: v(t) ` rm m/s]가 [eqn: v(t) = 20 -10t(0 le t le 4)]일 때, 공을 던진 후 공이 아래로 움직인 거리는?

③

[eqn: v(t) = 20 -10t(0 le t le 4)]이므로

공이 아래로 움직인 것은 [eqn: 2]초 이후이다.

공이 아래로 움직인 거리는

[eqn: int _{2} ^{4} {LEFT | v(t) RIGHT | dt= int _{2} ^{4} {(10t-20)dt= LEFT [ pile{it#it} 5t ^{2} -20t RIGHT ] _{2}^{4} =20}}]

① [eqn: 15]	② [eqn: 17.5]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 22.5]	⑤ [eqn: 25]

좌표평면 위에 네 점 [eqn: O(0`,`0)], [eqn: A(1`,`0)], [eqn: B(1`,`1)], [eqn: C(0`,`1)]을 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: OABC]가 있다. 곡선 [eqn: y = x^3]과 직선 [eqn: y = k] ([eqn: 0 < k < 1])에 의해 정사각형 [eqn: OABC]를 네 영역으로 나눌 때, 그림과 같이 네 영역의 넓이를 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2], [eqn: S_3], [eqn: S_4]라 하자. 이때, [eqn: left |` S_1 - S_3 ` right | + left | ` S_2 - S_4 ` right |]의 최솟값을 구하면?

①

[eqn: left|S_1 - S_3 right|][eqn: = left|(S_1 +S_2 )-(S_2 +S_3 )right|]
[eqn: = left| k- 1over4 right|]

[eqn: left|S_2 -S_4 right|][eqn: = left|(S_2 +S_1 )-(S_ 4 +S_1 ) right|]
[eqn: = left|k - 3over4 right|]

[eqn: left |` S_1 - S_3 ` right | + left | ` S_2 - S_4 ` right |][eqn: = left|k - 1over4 right| + left|k - 3over4 right|]이므로

최솟값은 [eqn: 1over4 lek le 3over4]일 때 [eqn: 1over2]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 3 over 5]	③ [eqn: 2 over 3]

④ [eqn: 3 over 4]	⑤ [eqn: 4 over 5]

[주관식]

함수 [eqn: f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 9]에 대하여 방정식 [eqn: left | ` f(x) - k ` right| = k]가 서로 다른 세 개의 실근을 갖도록 하는 상수 [eqn: k]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: 20]

[eqn: f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 9]

[eqn: f prime(x)=3x^2 +6x-9 =3(x-1)(x+3)]이므로

[eqn: f(x)]는 [eqn: x=-3]에서 극댓값 [eqn: 36], [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: 4]를 갖는다.

[eqn: left | ` f(x) - k ` right| = k]의 근은

[eqn: f(x)=0] 또는 [eqn: f(x)=2k]를 만족해야 하고,

[eqn: f(x)=0]의 근은 [eqn: 1]개이므로 [eqn: f(x)=2k]가 서로 다른 두 실근을 가져야한다.

극대와 극소를 지날 때이므로

[eqn: 2k=36] 또는 [eqn: 2k=4]

[eqn: therefore] [eqn: k=18] 또는 [eqn: k=2]이므로 합은 [eqn: 20]

두 조건 [eqn: d over dx left { f(x) + x f ` prime (x) right } = 3x^2 - 4x], [eqn: f(0) = 1]을 만족시키는 다항함수 [eqn: f(x)]구하시오.

[eqn: f(x)= 1over4 x^3 - 2over3 x^2 +x]

[eqn: d over dx left { f(x) + x f ` prime (x) right } = 3x^2 - 4x]에서

[eqn: f(x)+xf prime(x)=x^3 -2x^2 +C_1] (단, [eqn: C_1]은 적분상수)

[eqn: f(0)=1]이므로 [eqn: C_1 =1]

[eqn: f(x)+xf prime(x)=x^3 -2x^2 +1]

[eqn: f(x)+x f prime(x)]는 [eqn: xf(x)]를 미분한 것과 같으므로

[eqn: xf(x)][eqn: = 1over4 x^4 - 2over3 x^3 +x+C_2] (단, [eqn: C_2]는 적분상수)

항등식이므로 [eqn: C_2 =0]

[eqn: therefore] [eqn: f(x)][eqn: = 1over4 x^3 - 2over3 x^2 +x]

이차항의 계수가 [eqn: 3]인 이차함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프가 다음 그림과 같다. [eqn: g(x) = int _ x ^ { x+ 1 } f(t)dt]라 할 때, 함수 [eqn: g(x)]의 최솟값을 구하시오.

[eqn: - {13} over {2}]

그래프에서

[eqn: f(x)=3x(x-3)]이므로

[eqn: g prime(x)][eqn: =f(x+1)-f(x)]
[eqn: =3(x+1)(x-2)-3x(x-3)]
[eqn: =3(x^2 -x-2)-3x^2 +9x]
[eqn: =6x-6]

따라서 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]일 때 최소이다.

[eqn: g(1)][eqn: = int_1^2{f(x)dx]
[eqn: = int _{1} ^{2} {(3x ^{2} -9x)} dx]
[eqn: = left[x^3 - 9over2 x ^2 right]_1^2]
[eqn: =(8-18)-left(1- 9over2 right) =- 13 over2]

두 곡선 [eqn: y = a^2 x^2], [eqn: y = -x^2]과 직선 [eqn: x=3]으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S(a)]라고 할 때, [eqn: S(a) over a]의 최솟값을 구하시오. (단, [eqn: a> 0])

[eqn: 18]

[eqn: y=a^2 x^2]과 [eqn: x=3]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: int_0^3{a^2 x^2 dx = left[a^2 over3 x^3 right]_0^3 = 9a^2]

[eqn: y=-x^2]과 [eqn: x=3]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: int_0^3{x^2 dx = left[1over3 x^3 right]_0^3 = 9]

따라서 [eqn: S(a) = 9a^2 + 9]이므로

[eqn: S(a) overa][eqn: =9a + 9 overa]

산술 기하 평균에 의해

[eqn: 9a+ 9 overa ge 2 root{9a times 9 overa }=18]

시각 [eqn: t= 0]일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: P], [eqn: Q]의 시각 [eqn: t(t ge 0)]에서의 속도가 각각 [eqn: v_1 (t) = 3t^2 + t], [eqn: v_2 (t)][eqn: =2t^2 +3t+8]이다. 출발한 후 두 점 [eqn: P], [eqn: Q]의 속도가 같아지는 순간 점 [eqn: P], [eqn: Q]사이의 거리를 [eqn: a]라 할 때, [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 80over3]

[eqn: 3t^2 +t= 2t^2 +3t+8]을 정리하면

[eqn: t^2 -2t-8][eqn: =(t-4)(t+2)]이므로

[eqn: t=4]일 때 두 점의 속도가 같아진다. ([eqn: because] [eqn: t>0])

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 위치를 각각 [eqn: x_1 (t)], [eqn: x_2 (t)]라 하면

[eqn: x_1 (t) = t^3 + 1over2 t^2], [eqn: x_2 (t)= 2over3 t^3 + 3over2 t^2 +8t]

따라서 [eqn: 4]초일 때 두 점의 거리는

[eqn: a=][eqn: x_2 (4) -x_1 (4) = 80 over3]