수능대비	단원별 기출문제	수학2

01

이차곡선

포물선(2,3점)

꼭짓점이 점 [eqn: LEFT ( -1,~0 RIGHT )]이고 준선이 직선 [eqn: x][eqn: = it -3]인 포물선의 방정식이 [eqn: y ^{2}][eqn: =ax+b]일 때, 두 상수 [eqn: a,~b]의 합 [eqn: a+b]의 값은? [3점][21년 3월 교육청]

②

[출제의도] 포물선의 방정식을 이해한다.

꼭짓점이 점 [eqn: LEFT ( -1,``0 RIGHT ) `]이고 준선이 직선 [eqn: x=it-3`]인

포물선의 초점은 [eqn: LEFT ( 1,``0 RIGHT ) `]이므로 구하는 포물선은 포물선 [eqn: y^2 =8x`]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼 평행이동한 것이다. 따라서 구하는 포물선의 방정식은

[eqn: y^2 =8left(x+1 right)], 즉 [eqn: y ^{2} =8x+8]

[eqn: a=8], [eqn: b=8`]이므로

[eqn: a+b=16]

① [eqn: 14`]	② [eqn: 16`]	③ [eqn: 18`]	④ [eqn: 20`]	⑤ [eqn: 22`]

초점이 [eqn: {rmF}]인 포물선 [eqn: y^{`2}``it = 4px] 위의 한 점 [eqn: rm A]에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm B}]라 하고, 선분 [eqn: {rmBF}]와 포물선이 만나는 점을 [eqn: {rmC}]라 하자. [eqn: bar{ rmAB}``it = bar { rm BF}]이고 [eqn: bar{ rm BC}``it + `3 bar { rm CF} ``it = 6]일 때, 양수 [eqn: p`]의 값은? [3점][9월 평가원]

③

[출제의도] 포물선의 정의를 이용하여 주어진 조건을 만족시키는 [eqn: p]의 값을 구할 수 있는가?

두 점 [eqn: rm A,````C]의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: x _{1} ,````x _{2}]라 하면

[eqn: bar{rm AB} = it x _{1} +p]

이때, [eqn: bar{rm AB it} = bar{rm BF it}]이므로

[eqn: bar{rm BF it} = it x _{1} +p]	[eqn: CDOTS CDOTS it]㉠

한편, 점 [eqn: rm C]에서 포물선의 점근선에 내린 수선의 발을 [eqn: rm C']이라 하면

[eqn: bar{rm CF} = bar{rm CC'} = it x _{2} +p]	[eqn: CDOTS CDOTS it]㉡

이때, [eqn: bar{rm BC it} +3 bar{rm CF} =6]이므로 ㉠과 ㉡에서

[eqn: bar{rm BC} +3 bar{rm CF}][eqn: = bar{rm BF} +2 bar{rm CF}]
[eqn: =(x _{1} +p)+2(x _{2} +p)]
[eqn: =x _{1} +2x _{2} +3p]
[eqn: =6]	[eqn: CDOTS CDOTS it]㉢

한편, [eqn: bar{rm AB it} = bar{rm BF it}]이고 포물선의 정의에 의해 [eqn: rm bar{rm AF} = bar{rm AB}]이므로 삼각형 [eqn: rm ABF]는 정삼각형이다. 그러므로

[eqn: ANGLE rm OFB=60 °]

이때,

[eqn: bar{rm BF} `cos`60 ° =2p]

[eqn: {bar{rm CF}} `cos`60 ° =`p-x _{2}]

이므로

[eqn: (x _{1} +p) TIMES {1} over {2} =2p],

[eqn: (x _{2} +p) TIMES {1} over {2} =p-x _{2}]

즉,

[eqn: x _{1} =3p], [eqn: x _{2} = {1} over {3} p]	[eqn: CDOTS CDOTS it]㉣

㉣을 ㉢에 대입하면

[eqn: 3p+ {2} over {3} p+3p=6], [eqn: {20} over {3} p=6]

따라서

[eqn: p= {9} over {10}]

① [eqn: 7 over 8]	② [eqn: 8 over 9]	③ [eqn: 9 over 10]

④ [eqn: 10 over 11]	⑤ [eqn: 11 over 12]

점 [eqn: rm A it LEFT ( 6,~12 RIGHT )]와 포물선 [eqn: y ^{2}][eqn: =4x] 위의 점 [eqn: rmP], 직선 [eqn: x][eqn: = it -4] 위의 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: {bar{rm AP}} + {bar{rm PQ}}]의 최솟값은? [3점][21년 3월 교육청]

③

[출제의도] 포물선의 초점과 준선의 성질을 이해한다.

포물선 [eqn: y^{2} = 4x`]의 초점은 [eqn: {rm F}(1,`0)`]이다. 점 [eqn: rm P`]에서 직선 [eqn: x=it -4`]와 포물선의 준선 [eqn: x=it-1`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: {rm R}], [eqn: rm S`]라 하면

[eqn: bar{ rm PR}=bar{ rm PS}+bar{ rm SR}=bar{ rm PS}+3`]
포물선의 정의에 의하여 [eqn: bar{ rm PS}= bar{ rm PF}`]이므로

[eqn: bar{ rm AP} + bar{ rm PQ}`][eqn: ge bar{ rm AP} + bar{ rm PR}]
[eqn: = bar{ rm AP} + bar{ rm PS} + 3]
[eqn: = bar{ rm AP} + bar{ rm PF} + 3]
[eqn: ge bar {rm AF}+3]
[eqn: = sqrt{5^2 +12^2 }+3]
[eqn: =16]

따라서 점 [eqn: rmP`]는 선분 [eqn: {rm AF}`]와 포물선 [eqn: y^{2} =4x`]가 만나는 점이고, 이 교점에서 직선 [eqn: x=it-4`]에 내린 수선의 발이 [eqn: rm Q`]일 때, [eqn: bar{ rm AP} + bar{ rm PQ}`]는 최솟값 [eqn: 16`]을 가진다.

① [eqn: 12`]	② [eqn: 14`]	③ [eqn: 16`]	④ [eqn: 18`]	⑤ [eqn: 20`]

그림과 같이 꼭짓점이 원점 [eqn: rmO]이고 초점이 [eqn: rm F it LEFT ( p,~0 RIGHT )]([eqn: p>0])인 포물선이 있다. 포물선 위의 점 [eqn: rmA]에서 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmB,~C]라 하자. [eqn: {bar{rm FA}}][eqn: = it 8]이고 사각형 [eqn: rmOFAC]의 넓이와 삼각형 [eqn: rmFBA]의 넓이의 비가 [eqn: 2``:``1]일 때, 삼각형 [eqn: rmACF]의 넓이는? (단, 점 [eqn: rmA]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이고, 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: p]보다 크다.) [3점][21년 4월 교육청]

④

[출제의도] 포물선의 정의 이해하기

점 [eqn: rmA]에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

포물선의 정의에 의해 [eqn: {bar{rm HA}}][eqn: = it {bar{rmFA}}][eqn: =8]

[eqn: {bar{rm CA}}][eqn: = {bar{rm HA}} - {bar{rm HC}}][eqn: =8-p]

[eqn: {bar{rm FB}}][eqn: = {bar{rm OB}} - {bar{rm OF}}][eqn: =8-2p]

[eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =h]라 하면

사다리꼴 [eqn: rmOFAC]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES LEFT { LEFT ( 8-p RIGHT ) +p RIGHT } TIMES h][eqn: =4h]

직각삼각형 [eqn: rmFBA]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( 8-2p RIGHT ) TIMES h][eqn: = LEFT ( 4-p RIGHT ) h]

[eqn: 4h``:`` LEFT ( 4-p RIGHT ) h][eqn: =2``:``1]이므로 [eqn: p][eqn: =2]

[eqn: {bar{rm FB}}][eqn: =4]이므로 직각삼각형 [eqn: rmFBA]에서

[eqn: h][eqn: = sqrt {8 ^{2} -4 ^{2}}][eqn: =4 sqrt {3}]

따라서 삼각형 [eqn: rmACF]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 6 TIMES 4 sqrt {3}][eqn: =12 sqrt {3}]

① [eqn: {27} over {2}]	② [eqn: 9 sqrt {3}]	③ [eqn: 18]	④ [eqn: 12 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 24]

포물선(4점)

그림과 같이 좌표평면에서 포물선 [eqn: y ^{2}][eqn: =4x]의 초점 [eqn: rmF]를 지나고 [eqn: x]축과 수직인 직선 [eqn: l _{1}]이 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 하고, 점 [eqn: rmF]를 지나고 기울기가 [eqn: m][eqn: LEFT ( m>0 RIGHT )]인 직선 [eqn: l _{2}]가 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: rmC,~D]라 하자. 삼각형 [eqn: rmFCA]의 넓이가 삼각형 [eqn: rmFDB]의 넓이의 [eqn: 5]배일 때, [eqn: m]의 값은? (단, 두 점 [eqn: rmA,~C]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이고, 두 점 [eqn: rmB,~D]는 제[eqn: 4]사분면 위의 점이다.) [4점][7월 교육청]

③

[출제의도] 포물선의 성질 이해하기

[eqn: ANGLE rm AFC][eqn: = ANGLE rm DFB]이고 [eqn: {bar{rm FA}}][eqn: = {bar{rm FB it}}]이다.

삼각형 [eqn: rmFCA]의 넓이가 삼각형 [eqn: rmFDB]의 넓이의 [eqn: 5]배이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm FA}} TIMES {bar{rm FC}} TIMES sin` LEFT ( ANGLE rm AFC RIGHT )]

[eqn: =5 TIMES {1} over {2} TIMES {bar{rm FB}} TIMES {bar{rm FD}} TIMES sin` LEFT ( ANGLE rm DFB RIGHT )]

[eqn: {bar{rm FC}}][eqn: =5 {bar{rm FD}}]

두 점 [eqn: rmC,~D]에서 이 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmP,~Q]라 하고, 점 [eqn: rmC]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선과 직선 [eqn: rmQD]가 만나는 점을 [eqn: R]라 하자.

[eqn: {bar{rm FD}}][eqn: =s]라 하면 [eqn: {bar{rm QD}}][eqn: = {bar{rm FD}}][eqn: =s]

[eqn: {bar{rm PC}}][eqn: = {bar{rm FC it}}][eqn: =5s]

[eqn: {bar{rm DR}}][eqn: = {bar{rm QR}} - {bar{rm QD}}][eqn: =4s], [eqn: {bar{rm CD}}][eqn: =6s]에서

[eqn: {bar{rm CR}}][eqn: =2 sqrt {5} s]

따라서 [eqn: m][eqn: = {{bar{rm CR}}} over {{bar{rm DR}}}][eqn: = it {2 sqrt {5} s} over {4s}][eqn: = {sqrt {5}} over {2}]

① [eqn: {sqrt {3}} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {sqrt {5}} over {2}]	④ [eqn: {sqrt {6}} over {2}]	⑤ [eqn: {sqrt {7}} over {2}]

포물선 [eqn: y ^{2}][eqn: =8x]와 직선 [eqn: y][eqn: =2x-4]가 만나는 점 중 제[eqn: 1]사분면 위에 있는 점을 [eqn: rmA]라 하자. 양수 [eqn: a]에 대하여 포물선 [eqn: LEFT ( y-2a RIGHT ) ^{2}][eqn: =8 LEFT ( x-a RIGHT )]가 점 [eqn: rmA]를 지날 때, 직선 [eqn: y][eqn: =2x-4]와 포물선 [eqn: LEFT ( y-2a RIGHT ) ^{2}][eqn: =8 LEFT ( x-a RIGHT )]가 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rmB]라 하자. 두 점 [eqn: rmA,~B]에서 직선 [eqn: x= it -2]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmC,~D]라 할 때, [eqn: {bar{rm AC}} + {bar{rm BD}} - {bar{rm AB}}][eqn: =k]이다. [eqn: k ^{2}]의 값을 구하시오. [4점][21년 6월 평가원]

[eqn: 80]

[출제 의도] 포물선의 정의를 이용하여 포물선 위의 점에서 준선까지의 거리를 구할 수 있는가?

직선 [eqn: y][eqn: =2x-4]가 포물선 [eqn: y ^{2}][eqn: =8x]와 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rmE], [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmF]라 하고, 점 [eqn: rmE]에서 직선 [eqn: x=-2]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자.

또 두 점 [eqn: `{rmA}it], [eqn: `{rmB}it]에서 직선 [eqn: `{rmH}it{rmE}it]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmI], [eqn: rmJ]라 하자.

점 [eqn: `{rmF}it]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]이므로 포물선 [eqn: y ^{2}][eqn: =8x]의 초점과 일치한다.

따라서  [eqn: {bar{rm A it rm F it}}][eqn: =p], [eqn: {bar{rm E it rm F it}}][eqn: =q]라 하면 포물선의 정의에 의하여

[eqn: bar{{rmA}it{rmC}it}][eqn: =p], [eqn: bar{{rmE}it{rmH}it}][eqn: =q]

이때 포물선의 준선의 방정식이 [eqn: x][eqn: =-2]이므로 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rm E]의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: p-2], [eqn: q-2]이다.

선분 [eqn: rm AI]와 [eqn: x]축의 교점을 [eqn: rmP], 점 [eqn: rmE]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라 하면

[eqn: bar{{rmF}it{rmP}it}][eqn: =p-4], [eqn: bar{{rmF}it{rmQ}it}][eqn: =4-q]

이므로 두 직각삼각형 [eqn: `rm`{rmA}it{rmF}it{rmP}it], [eqn: `rm`EFQ]에서

[eqn: p][eqn: = sqrt {5} LEFT ( p-4 RIGHT )], [eqn: q][eqn: = sqrt {5} LEFT ( 4-q RIGHT )]

따라서

[eqn: p][eqn: = {4 sqrt {5}} over {sqrt {5} -1}][eqn: = sqrt {5} LEFT ( sqrt {5} +1 RIGHT )][eqn: =5+ sqrt {5}]

[eqn: q][eqn: = {4 sqrt {5}} over {sqrt {5} +1}][eqn: = sqrt {5} LEFT ( sqrt {5} -1 RIGHT )][eqn: =5- sqrt {5}]

이므로

[eqn: rm {bar{EI}}][eqn: =p-q][eqn: =2 root5]

한편, 포물선 [eqn: LEFT ( y-2a RIGHT ) ^{2}][eqn: =8 LEFT ( x-a RIGHT )]는 포물선 [eqn: y ^{2}][eqn: =8x]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2a]만큼 평행이동한 것이므로 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 각각 두 점 [eqn: rmE], [eqn: rmA]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2a]만큼 평행이동한 것이다.

따라서 [eqn: bar{{rmA}it{rmB}it}][eqn: =bar{{rmA}it{rmE}it}]이므로 포물선의 정의에 의하여

[eqn: bar{{rmA}it{rmC}it}+bar{{rmB}it{rmD}it}-bar{{rmA}it{rmB}it}]

[eqn: =bar{{rmA}it{rmC}it}+bar{{rmB}it{rmD}it}-bar{{rmA}it{rmE}it}]

[eqn: =bar{{rmA}it{rmC}it}+bar{{rmB}it{rmD}it}- left ( bar{{rmA}it{rmF}it}+bar{{rmE}it{rmF}it} right )]

[eqn: =bar{{rmA}it{rmC}it}+bar{{rmB}it{rmD}it}- left ( bar{{rmA}it{rmC}it}+bar{{rmE}it{rmH}it} right )]

[eqn: =bar{{rmB}it{rmD}it}-bar{{rmE}it{rmH}it}]

[eqn: =bar{{rmE}it{rmJ}it}]

[eqn: =2timesbar{{rmE}it{rmI}it}]

[eqn: =2times2sqrt {5} =4 sqrt {5}]

따라서 [eqn: k=4 sqrt {5}]이므로

[eqn: k ^{2} =80]

수학교실

다른 풀이

직선 [eqn: y][eqn: =2x-4]가 포물선 [eqn: y^2][eqn: =8x]와 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rmE], [eqn: x]축과 점을 [eqn: rmF]라 하고, 점 [eqn: rm E]에서 직선 [eqn: x=-2]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자.

또, 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 직선 [eqn: rm HE]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmI], [eqn: rmJ]라 하자.

점 [eqn: rmF]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]이므로 포물선 [eqn: y^2][eqn: =8x]의 초점과 일치한다.

이때 연립방정식

[eqn: ` {cases{y ^{2} =8x&#y=2x-4&}}]

의 해는 [eqn: y ^{2}][eqn: =4 LEFT ( y+4 RIGHT )] 즉, [eqn: y ^{2} -4y-16][eqn: =0]에서 [eqn: y=2+-2 sqrt {5}]

[eqn: y=2+2 sqrt {5}]이면 [eqn: x=3+ sqrt {5}]

[eqn: y=2-2 sqrt {5}]이면 [eqn: x=3- sqrt {5}]

이므로 두 점 [eqn: rmA]와 [eqn: rmE]의 좌표는 각각

[eqn: rmA LEFT ( 3+ sqrt {5} ,~2+2 sqrt {5} RIGHT )],

[eqn: rmE LEFT ( 3- sqrt {5} ,~2-2 sqrt {5} RIGHT )]이다.

포물선 [eqn: LEFT ( y-2a RIGHT ) ^{2}][eqn: =8 LEFT ( x-a RIGHT )]은 포물선 [eqn: y^2][eqn: =8x]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2a]만큼 평행이동한 것이므로

[eqn: rm bar{AB}][eqn: rm=bar{AE}]

따라서 포물선의 정의에 의해

[eqn: rm bar{AC}+bar{BD}-bar{AB}]

[eqn: rm=bar{AC}+bar{BD}-bar{AE}]

[eqn: rm=bar{AC}+bar{BD}- LEFT ( bar{AF}+bar{EF} RIGHT )]

[eqn: rm=bar{AC}+bar{BD}- LEFT ( bar{AC}+bar{EH} RIGHT )]

[eqn: rm=bar{BD}-bar{EH}]

[eqn: rm=bar{EJ}]

[eqn: rm=2timesbar{EI}]

[eqn: rm =2times LEFT { LEFT ( 3+ sqrt {5} RIGHT ) - LEFT ( 3- sqrt {5} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =4 sqrt {5}]

[eqn: k=4 sqrt {5}]이므로 [eqn: k ^{2} =80]

자연수 [eqn: n]에 대하여 초점이 [eqn: rmF]인 포물선 [eqn: y ^{2}][eqn: =2x] 위의 점 [eqn: rmP _{itn}]이 [eqn: {bar{rm FP _{itn}}}][eqn: =2n]을 만족시킬 때, [eqn: sum _{k=1} ^{8} {bar{rm OP _{itn}}} ^{2}]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이고, 점 [eqn: rmP _{itn}]은 제[eqn: 1]사분면에 있다.) [4점][21년 3월 교육청]

⑤

[출제의도] 포물선의 정의를 이용하여 문제를 해결한다.

포물선 [eqn: y^2 =2x`]의 초점은 [eqn: rm F LEFT ( {1} over {2} ,``0 RIGHT )]이고

준선은 직선 [eqn: x=it- {1} over {2}]이다.

점 [eqn: rmP _{it`n}]에서 직선 [eqn: x=it- {1} over {2}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH _{it`n}]이라 하자.

포물선의 정의에 의하여

[eqn: rm {bar{P _{it n rm} rm H _{it `n rm}}} = {bar{rm FP _{it n rm}}} =it 2n`]

이므로 점 [eqn: rmP _{it n}]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 2n- {1} over {2}]이다.

[eqn: y ^{2} =2 LEFT ( 2n- {1} over {2} RIGHT ) =4n-1]

에서 점 [eqn: rmP _{it n}]의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: sqrt {4n-1}]이다.

따라서 점 [eqn: rmP _{it n}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2n- {1} over {2} ,`` sqrt {4n-1} RIGHT )]이고

[eqn: rm {bar{OP _{it n}}}][eqn: = sqrt {LEFT ( 2n- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( sqrt {4n-1} RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: = sqrt {LEFT ( 4n ^{2} -2n+ {1} over {4} RIGHT ) + LEFT ( 4n-1 RIGHT )}]
[eqn: = sqrt {4n ^{2} +2n- {3} over {4}}]

따라서

[eqn: sum _{it n=1} ^{8} {bar{rm OP _{it n}}} ^{2}][eqn: = sum _{n=1} ^{8} LEFT ( 4n ^{2} +2n- {3} over {4} RIGHT )]
[eqn: =4` TIMES ` {8` TIMES `9` TIMES `17} over {6} +`2` TIMES ` {8` TIMES `9} over {2} -8` TIMES {3} over {4}]
[eqn: =882]

① [eqn: 874`]	② [eqn: 876`]	③ [eqn: 878`]	④ [eqn: 880`]	⑤ [eqn: 882`]

타원(2,3점)

그림과 같이 두 점 [eqn: rm F it LEFT ( sqrt {7} ,~0 RIGHT )], [eqn: rm F it ' LEFT ( - sqrt {7} ,~0 RIGHT )]을 초점으로 하고 장축의 길이가 [eqn: 8]인 타원이 있다. [eqn: {bar{rm FF'}}][eqn: = {bar{rm PF'}}], [eqn: {bar{rm FP}}][eqn: =2 sqrt {3}]을 만족시키는 점 [eqn: rmP]에 대하여 점 [eqn: rmF']을 지나고 선분 [eqn: rmFP]에 수직인 직선이 타원과 만나는 점 중 제[eqn: 1]사분면 위의 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, 선분 [eqn: rmFQ]의 길이는? (단, 점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.) [3점][7월 교육청]

①

[출제의도] 타원의 성질 이해하기

직선 [eqn: rmF'Q]와 직선 [eqn: rmFP]가 만나는 점을 [eqn: rmR]라 하자.

직선 [eqn: rmF'Q]가 선분 [eqn: rmFP]를 수직이등분하므로

[eqn: {bar{rm PR}}][eqn: = {bar{rm FR}}][eqn: = sqrt {3}]

삼각형 [eqn: rmFRF']에서

[eqn: {bar{rm FF'}}][eqn: =2 sqrt {7}], [eqn: {bar{rm FR}}][eqn: = sqrt {3}]이므로 [eqn: {bar{rm F'R}}][eqn: =5]

장축의 길이가 [eqn: 8]이므로

[eqn: {bar{rm F'Q}} + {bar{rm QF}}][eqn: = {bar{rm F'R}} + {bar{rm RQ}} + {bar{rm QF}}][eqn: =8]

[eqn: {bar{rm FQ}}][eqn: =a]라 하면 [eqn: {bar{rm RQ}}][eqn: = it 3-a]

삼각형 [eqn: rmFQR]에서

[eqn: a ^{2}][eqn: = LEFT ( 3-a RIGHT ) ^{2} + LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2}], [eqn: a][eqn: =2]

따라서 선분 [eqn: rmPQ]의 길이는 [eqn: 2]

① [eqn: 2]	② [eqn: sqrt {5}]	③ [eqn: sqrt {6}]	④ [eqn: sqrt {7}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {36} + {y ^{2}} over {20}][eqn: =1]의 두 초점을 [eqn: rmF,~F']이라 할 때, 선분 [eqn: rmFF']의 길이는? [2점][21년 3월 교육청]

③

[출제의도] 타원의 성질을 이용하여 초점을 구한다.

타원 [eqn: {x ^{2}} over {36} + {y ^{2}} over 20} =1]의 두 초점의 좌표는

[eqn: (4,``0)], [eqn: (-4,``0)`]이므로 [eqn: bar { rm FF'}=8]

① [eqn: 6`]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 8`]	④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 10`]

좌표평면 위에 두 초점이 [eqn: rmF,~F']인 타원 [eqn: {x ^{2}} over {36} + {y ^{2}} over {12}][eqn: =1]이 있다. 타원 위의 두 점 [eqn: rmP,~Q]에 대하여 직선 [eqn: rmPQ]가 원점 [eqn: rmO]를 지나고 삼각형 [eqn: rmPF'Q]의 둘레의 길이가 [eqn: 20]일 때, 선분 [eqn: rmOP]의 길이는? (단, 점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.) [3점][21년 4월 교육청]

②

[출제의도] 타원의 정의 이해하기

점 [eqn: rmQ]는 점 [eqn: rmP]와 원점에 대하여 대칭인 점이므로

[eqn: {bar{rm OP}}][eqn: = {bar{rm OQ}}], [eqn: {bar{rm QF'}}][eqn: = {bar{rm PF}}]

[eqn: {bar{rm PF prime it}} + {bar{rm QF it '}}][eqn: = {bar{rm PF'}} + {bar{rm PF}}][eqn: =12]

삼각형 [eqn: rmPF'Q]의 둘레의 길이가 [eqn: 20]이므로 [eqn: {bar{rm PQ}}][eqn: = it 8]

따라서 [eqn: {bar{rm PQ}}][eqn: =2 {bar{rm OP}}]에서 [eqn: {bar{rm OP}}][eqn: =4]

① [eqn: {11} over {3}]	② [eqn: 4]	③ [eqn: {13} over {3}]	④ [eqn: {14} over {3}]	⑤ [eqn: 5]

타원(4점)

두 초점이 [eqn: rmF,~F']이고 장축의 길이가 [eqn: 2a]인 타원이 있다. 이 타원의 한 꼭짓점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원이 이 타원의 서로 다른 두 꼭짓점과 한 초점을 지날 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [4점][21년 6월 평가원]

③

[출제 의도] 타원의 방정식에서 꼭짓점과 초점을 이용하여 장축의 길이를 구할 수 있다.

그림과 같이 타원의 중심을 원점으로 하고 장축이 [eqn: x]축 위에 놓이도록 좌표축을 설정하자.

이때 타원의 장축의 길이가 [eqn: 2a]이므로 타원의 방정식을 [eqn: x^2 over a^2 + y^2 over b^2][eqn: =1] [eqn: (b>0)]라 하면 두 초점의 좌표는

[eqn: rmF prime (- root {it a^2 -b^2},~0)], [eqn: rmF (root {it a^2 -b^2},~0)]

이다.

주어진 타원이 음의 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmA], 양의 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmB]라 하면 두 점 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]의 좌표는 각각 [eqn: rm A(it -a,~0)], [eqn: rmB(0,~itb)]이다.

점 [eqn: rmA]를 중심으로 하고 두 점 [eqn: rmB]와 [eqn: rmF]를 지나는 원의 반지름의 길이는 [eqn: 1]이므로

[eqn: rm bar AB][eqn: =1]에서 [eqn: root {a^2 +b^2 }][eqn: =1]

[eqn: b^2 = 1-a^2] [eqn: cdots] ㉠

[eqn: rm bar AF][eqn: =1]에서 [eqn: sqrt {a ^{2} -b ^{2}} +a][eqn: =1] [eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: sqrt {a ^{2} -(1-a ^{2} )}][eqn: =1-a]

이 식의 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 2a ^{2} -1][eqn: =1-2a+a ^{2}]

[eqn: a ^{2} +2a-2][eqn: =0]

따라서 [eqn: a][eqn: =-1+root3] [eqn: (a>0)]

① [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	② [eqn: {sqrt {6} -1} over {2}]	③ [eqn: sqrt {3} -1]	④ [eqn: 2 sqrt {2} -2]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

그림과 같이 두 초점이 [eqn: rm F it LEFT ( c,~0 RIGHT ) ,~ rm F it LEFT ( -c,~0 RIGHT )]([eqn: c>0])인 타원 [eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {7}][eqn: =1] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 직선 [eqn: rmFP]와 직선 [eqn: rmF'P]에 동시에 접하고 중심이 선분 [eqn: rmF'F] 위에 있는 원 [eqn: C]가 있다. 원 [eqn: C]의 중심을 [eqn: rmC], 직선 [eqn: rmF'P]가 원 [eqn: C]와 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, [eqn: 2` {bar{rm PQ}}][eqn: = {bar{rm PF}}]이다. [eqn: 24 TIMES {bar{rm CP}}]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.) [4점][21년 4월 교육청]

[eqn: 63]

[출제의도] 타원의 정의를 활용하여 문제해결하기

[eqn: c ^{2}][eqn: =16-7][eqn: =9], [eqn: c][eqn: =3]

[eqn: {bar{rm FF'}}][eqn: =2c][eqn: =6]

직선 [eqn: rmFP]가 원 [eqn: C]와 접하는 점을 [eqn: rmR]라 하고

[eqn: {bar{rm PQ}}][eqn: =a]라 하면

[eqn: {bar{rm PF}}][eqn: =2 {bar{rm PQ}}][eqn: =2a]이므로 [eqn: {bar{rm RF}}][eqn: = {bar{rm PF}} - {bar{rm PR}}][eqn: = {bar{rm PF}} - {bar{rm PQ}}][eqn: =a]

[eqn: {bar{rm PR}}][eqn: = {bar{rm RF}}]이고, [eqn: ANGLE rm PRC][eqn: =90°]이므로

삼각형 [eqn: rmPCR], [eqn: rmFCR]가 서로 합동이다.

[eqn: {bar{rm CP}}][eqn: =l]이라 하면 [eqn: {bar{rm CP}}][eqn: = {bar{rm FC}}]에서 [eqn: {bar{rm F'C}}][eqn: =6-l]

[eqn: {bar{rm PF'}}][eqn: = {bar{rm PQ}} + {bar{rm QF'}}]이고

[eqn: {bar{rm PF'}} + {bar{rm PF}}][eqn: =8]이므로 [eqn: {bar{rm QF'}}][eqn: =8-3a]

점 [eqn: rmP]가 제[eqn: 1]사분면 위의 점이므로

[eqn: {bar{rm PF'}} > {bar{rm PF}}]에서 [eqn: a<2]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

삼각형 [eqn: rmFPF']에서 [eqn: ANGLE rm F'PC][eqn: = ANGLE rm CPF]이므로

[eqn: {bar{rm PF'}} ``:`` {bar{rm PF}}][eqn: = {bar{rm F'C}} ``:`` {bar{rm CF}}]

[eqn: LEFT ( 8-2a RIGHT ) ``:``2a][eqn: = LEFT ( 6-l RIGHT ) ``:``l]에서 [eqn: l][eqn: = {3} over {2} a]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

점 [eqn: rmQ]는 점 [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: rmPF']에 내린 수선의 발이므로

[eqn: {bar{rm F'C}} ^{2} - {bar{rm F'Q}} ^{2}][eqn: = {bar{rm CP}} ^{2} - {bar{rm PQ}} ^{2}]

[eqn: LEFT ( 6-l RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 8-3a RIGHT ) ^{2}][eqn: =l ^{2} -a ^{2}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

㉡, ㉢에 의해 [eqn: 4a ^{2} -15a+14][eqn: =0]

[eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) LEFT ( 4a-7 RIGHT )][eqn: =0]에서 [eqn: a=2] 또는 [eqn: a= {7} over {4}]

㉠에 의해 [eqn: a][eqn: = {7} over {4}], [eqn: l][eqn: = {21} over {8}]

따라서 [eqn: 24 TIMES {bar{rm CP it}}][eqn: =63]

그림과 같이 두 초점이 [eqn: rm F it LEFT ( c,~0 RIGHT )], [eqn: rm F it ' LEFT ( -c,~0 RIGHT )]([eqn: c>0])이고 장축의 길이가 [eqn: 12]인 타원이 있다. 점 [eqn: rmF]가 초점이고 직선 [eqn: x][eqn: = it -k]([eqn: k>0])이 준선인 포물선이 타원과 제[eqn: 2]사분면의 점 [eqn: rmP]에서 만난다. 점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: x][eqn: = it -k]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라 할 때, 두 점 [eqn: rmP,~Q]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 15]

[출제의도] 포물선과 타원의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

점 [eqn: rmF`]가 포물선의 초점이므로 포물선의 정의에 의하여 [eqn: bar{rmFP}=bar{rmPQ}`]이다.

조건 (나)의 [eqn: {bar{rm FP}} - {bar{rm F' Q}} = {bar{rm PQ}} - {bar{rm FF' }}]에서

[eqn: {bar{rm F prime Q}} = {bar{rm FF prime }}]

두 직선 [eqn: rmFF'], [eqn: rmPQ`]가 서로 평행하므로

두 삼각형 [eqn: rm PQF], [eqn: rmF'FQ`]에서

[eqn: rmanglePQF=angleF`primeFQ]

두 삼각형 [eqn: rm PQF], [eqn: rmF'FQ`]는 모두 이등변삼각형이므로

[eqn: rm ANGLE QFP][eqn: = rm ANGLE PQF= ANGLE F prime FQ][eqn: =rm ANGLE F'QF]

이고, 선분 [eqn: rmFQ`]는 공통이므로

두 삼각형 [eqn: rm PQF], [eqn: rmF'FQ`]는 서로 합동이다.

즉 [eqn: {bar{rm FP it}} = {bar{rm PQ it}}][eqn: = {bar{rm F` prime Q it}} = {bar{rm FF` prime it}}]

장축의 길이가 [eqn: 12``]이고 [eqn: bar{rmFP}=bar{rmFF`prime}=2c`]이므로

[eqn: bar{rmPF prime}=12-2c]

삼각형 [eqn: rmPFF`prime`]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: LEFT ( 12-2c RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 2c RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2c RIGHT ) ^{2} -2times LEFT ( 2c RIGHT ) ^{2}times cos LEFT ( rmangleF'FP RIGHT )]

[eqn: c ^{2} -16c+48=0]

[eqn: LEFT ( c-4 RIGHT ) LEFT ( c-12 RIGHT ) =0]

장축의 길이가 [eqn: 12`]이므로 [eqn: c<6`]에서 [eqn: c=4]

점 [eqn: rmP`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하자.

[eqn: {bar{rm FP it}} = it 8`]에서
[eqn: bar{rmFH}][eqn: = {bar{rm FP it}} TIMES cos LEFT ( rmangleF'FP RIGHT )][eqn: =7`]

[eqn: bar{rmFH}][eqn: =7`]에서 점 [eqn: rmH`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 4-7= it -3`]이고

[eqn: {bar{rm PQ it}} = {bar{rm FP it}} = it 8`]에서 점 [eqn: rmH`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: -k+8`]이므로

[eqn: -3= it -k+8], 즉 [eqn: k=11]

따라서 [eqn: c+k=15]

(가) [eqn: cos` LEFT ( ANGLE rm F'FP RIGHT )][eqn: = {7} over {8}]

(나) [eqn: {bar{rm FP}} - {bar{rm F'Q}}][eqn: = {bar{rm PQ}} - {bar{rm FF'}}]

[eqn: c+k]의 값을 구하시오. [4점][21년 3월 교육청]

좌표평면에서 두 점 [eqn: rm F it LEFT ( {9} over {4} ,~0 RIGHT ) ,~ rm F it ' LEFT ( -c,~0 RIGHT )]([eqn: c>0])을 초점으로 하는 타원과 포물선 [eqn: y ^{2}][eqn: =9x]가 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: {bar{rm PF}}][eqn: = {25} over {4}]이고 포물선 [eqn: y ^{2}][eqn: =9x] 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 점 [eqn: rmF']을 지날 때, 타원의 단축의 길이는? [4점][21년 4월 교육청]

⑤

[출제의도] 이차곡선을 이용하여 추론하기

점 [eqn: rm F it LEFT ( {9} over {4} ,~0 RIGHT )]이 포물선의 초점이므로

준선의 방정식은 [eqn: x][eqn: = it - {9} over {4}]

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: LEFT ( x _{1} ,~y _{1} RIGHT )]이라 하면

[eqn: {bar{rm PF}}][eqn: =x _{1} + {9} over {4}][eqn: = {25} over {4}]에서 [eqn: x _{1}][eqn: =4], [eqn: y _{1}][eqn: = it 6]

포물선 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 방정식은

[eqn: 6y][eqn: = {9} over {2} LEFT ( x+4 RIGHT )]이고 점 [eqn: rmF']을 지나므로 [eqn: c][eqn: =4]

[eqn: rm P it LEFT ( 4,~6 RIGHT )], [eqn: rm F it ' LEFT ( -4,~0 RIGHT )]이므로 [eqn: {bar{rm PF'}}][eqn: =10]

타원의 장축의 길이는 [eqn: {bar{rm PF'}} + {bar{rm PF}}][eqn: = {65} over {4}]이고

[eqn: {bar{rm F'F}}][eqn: =4+ {9} over {4}][eqn: = {25} over {4}]이므로

타원의 단축의 길이를 [eqn: k]라 하면

[eqn: LEFT ( {k} over {2} RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT ( {65} over {8} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( {25} over {8} RIGHT ) ^{2}][eqn: = {225} over {4}]

따라서 타원의 단축의 길이는 [eqn: 15]

① [eqn: 13]	② [eqn: {27} over {2}]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: {29} over {2}]	⑤ [eqn: 15]

쌍곡선(2,3점)

두 초점이 [eqn: rm F it LEFT ( c,~0 RIGHT )], [eqn: rm F' it LEFT ( -c,~0 RIGHT )]이고 주축의 길이가 [eqn: 8]인 쌍곡선의 한 점근선이 직선 [eqn: y][eqn: = {3} over {4} x]일 때, 양수 [eqn: c]의 값은? [3점][21년 3월 교육청]

①

[출제의도] 쌍곡선의 성질을 이해한다.

쌍곡선의 방정식을 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1`]([eqn: a>0], [eqn: b>0])이라　하자. 주축의 길이가 [eqn: 8`]이므로 [eqn: 2a=8`]에서
[eqn: a=4]

한 점근선의 기울기가 [eqn: {3} over {4} `]이므로 [eqn: b overa = 3over4 `]에서
[eqn: b=3]

[eqn: c ^{2}][eqn: =a ^{2} +b ^{2}][eqn: =4 ^{2} +3 ^{2} =25]
[eqn: c>0`]이므로 [eqn: c=5]

① [eqn: 5`]	② [eqn: 6`]	③ [eqn: 7`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 9`]

그림과 같이 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {16}][eqn: =1]의 두 초점 [eqn: rmF,~F']과 쌍곡선 위의 점 [eqn: rmA]에 대하여 삼각형 [eqn: rmAF'F]의 둘레의 길이가 [eqn: 24]일 때, 삼각형 [eqn: rmAF'F]의 넓이는? (단, 점 [eqn: rmA]는 제[eqn: 1]사분면의 점이다.) [3점][21년 3월 교육청]

④

[출제의도] 쌍곡선의 정의를 이용하여 삼각형의 넓이를 구한다.

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {16} =1`]의 두 초점 [eqn: rmF`], [eqn: rmF']의 좌표를

각각 [eqn: LEFT ( c,``0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -c,``0 RIGHT )][eqn: left(c>0right)]이라 하면

[eqn: c ^{2} =9+16=25]

에서 [eqn: c=5]이므로 [eqn: rmF LEFT ( 5,``0 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( -5,``0 RIGHT )]

쌍곡선의 정의에 의하여

[eqn: rm {bar{AF'}} - {bar{AF }} =6] 　 [eqn: cdotscdots] ㉠

삼각형 [eqn: rmAF'F`]의 둘레의 길이가 [eqn: 24]이므로

[eqn: rm {bar{AF}} + {bar{AF'}} + {bar{FF'}} =24]

이고 [eqn: rm {bar{FF'}} =10]이므로

[eqn: rm {bar{AF}} + {bar{AF'}} =14]　　[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: rm {bar{AF}} =4], [eqn: rm {bar{AF'}} =10]이므로 삼각형 [eqn: rmAF'F`]는 이등변삼각형이다.

따라서 삼각형 [eqn: rmAF'F`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times 4 times sqrt {10 ^{2} -2 ^{2}} =8 sqrt {6}]

① [eqn: 4 sqrt {3}]	② [eqn: 4 sqrt {6}]	③ [eqn: 8 sqrt {3}]	④ [eqn: 8 sqrt {6}]	⑤ [eqn: 16 sqrt {3}]

쌍곡선 [eqn: {x ^{`2}} over {a ^{`2}} ``it- {y ^{`2}} over {16} ``it=1]의 점근선 중 하나의 기울기가 [eqn: 3]일 때, 양수 [eqn: a`]의 값은? [3점][9월 평가원]

④

[출제의도] 쌍곡선의 점근선을 구할 수 있는가?

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {16} =1]의 점근선의 방정식은  [eqn: y=it± {4} over {a} x]

이때, 점근선 중 하나의 기울기가 [eqn: 3]이고, [eqn: a>0]이므로

[eqn: {4} over {a} =3]

따라서 [eqn: a= {4} over {3}]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

그림과 같이 두 점 [eqn: rm F it LEFT ( c,~0 RIGHT ) ,~ rm F it LEFT ( -c,~0 RIGHT )]([eqn: c>0])을 초점으로 하는 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {7}][eqn: =1]과 두 점 [eqn: rmF,~F']을 초점으로 하는 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {b ^{2}}][eqn: =1]이 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: {bar{rm PF}}][eqn: =3]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.) [3점][21년 4월 교육청]

⑤

[출제의도] 쌍곡선의 정의를 이용하여 추론하기

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {b ^{2}}][eqn: =1]의 주축의 길이가 [eqn: 4]이므로

[eqn: {bar{rm PF'}} - {bar{rm PF}}][eqn: =4]에서 [eqn: {bar{rm PF'}}][eqn: =7]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {7}][eqn: =1]의 장축의 길이가 [eqn: 2 LEFT | `a` RIGHT |]이므로

[eqn: {bar{rm PF prime it}} + {bar{rm PF it}}][eqn: =7+3][eqn: =2 LEFT | `a` RIGHT |]에서 [eqn: a ^{2}][eqn: =25]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {7}][eqn: =1]에서 [eqn: c ^{2}][eqn: =25-7][eqn: =18]

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {b ^{2}}][eqn: =1]에서 [eqn: 4+b ^{2}][eqn: =c ^{2}][eqn: =18], [eqn: b ^{2}][eqn: =14]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2}][eqn: =25+14][eqn: =39]

① [eqn: 31]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 35]	④ [eqn: 37]	⑤ [eqn: 39]

쌍곡선(4점)

그림과 같이 두 초점이 [eqn: rm F], [eqn: rm F prime `]인 쌍곡선 [eqn: x ^{2} - {y ^{2}} over {16} =1`]이 있다. 쌍곡선 위에 있고 제[eqn: 1`]사분면에 있는 점 [eqn: rm P`]에 대하여 점 [eqn: rm F`]에서 선분 [eqn: rm PF'`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ`]라 하고, [eqn: rm ANGLE FQP`]의 이등분선이 선분 [eqn: rm PF`]와 만나는 점을 [eqn: rmR`]라 하자. [eqn: rm 4 {bar{PR}} =3 rm {bar{RF}} `]일 때, 삼각형 [eqn: rmPF'F`]의 넓이를 구하시오.

[eqn: 32]

[출제의도] 쌍곡선의 정의를 이용하여 문제를 해결한다.

직선 [eqn: rmQR`]가 [eqn: rm ANGLE FQP`]를 이등분하므로 [eqn: rm {bar{PQ}} `:` rm {bar{QF}}][eqn: rm= {bar{PR}} `:` rm {bar{RF}}]

이때 [eqn: rm 4 {bar{PR}} =3 rm {bar{RF}} `]이므로 [eqn: rm {bar{PQ}} `:` rm {bar{QF}}][eqn: =3`:`4]

[eqn: rm {bar{PQ}}][eqn: =3 it k`]([eqn: k>0])이라 하면 [eqn: rm {bar{QF}][eqn: } =4itk`]이고 [eqn: rm ANGLE PQF][eqn: =90°`]
이므로 삼각형 [eqn: rmPQF`]에서 [eqn: rm {bar{PF}}][eqn: =5 it k]

쌍곡선의 정의에 의하여 [eqn: rm {bar{PF prime }} - {bar{PF}}][eqn: =2`]이므로
[eqn: rm][eqn: rm {bar{PF prime }}][eqn: =it5k+2], [eqn: rm {bar{QF prime }}][eqn: rm = {bar{PF prime }} - {bar{PQ}}][eqn: = LEFT ( 5k+2 RIGHT ) -3k][eqn: =2k+2]

[eqn: rm F LEFT ( sqrt {17} ,``0 RIGHT )], [eqn: rm F prime LEFT ( - sqrt {17} ,``0 RIGHT )`]이므로 직각삼각형 [eqn: rmQF'F`]에서

[eqn: rm {bar{FF prime }} ^{2}][eqn: rm = {bar{QF}} ^{2} + {bar{QF'}} ^{2}], [eqn: LEFT ( 2 sqrt {17} RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT ( 4k RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2k+2 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: 5k ^{2} +2k-16][eqn: =0], [eqn: LEFT ( 5k-8 RIGHT ) LEFT ( k+2 RIGHT )][eqn: =0], [eqn: k= {8} over {5}]([eqn: k>0])

따라서 삼각형 [eqn: rmPF'F`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES rm {bar{PF prime }} TIMES rm {bar{QF}}][eqn: = {1} over {2} TIMES 10 TIMES {32} over {5}][eqn: =32]

(단, 점 [eqn: rmF`]의 [eqn: x`]좌표는 양수이고, [eqn: angle rm F' PF < 90°]이다.) [4점][10월 교육청]

두 초점이 [eqn: rm F it _{1} LEFT ( c,~0 RIGHT )], [eqn: rm F it _{2} LEFT ( -c,~0 RIGHT )]([eqn: c>0])인 타원이 [eqn: x]축과 두 점 [eqn: rm A it LEFT ( 3,~0 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( -3,~0 RIGHT )]에서 만난다. 선분 [eqn: rmBO]가 주축이고 점 [eqn: rmF _{1}]이 한 초점인 쌍곡선의 초점 중 [eqn: rmF _{1}]이 아닌 점을 [eqn: rmF _{3}]이라 하자. 쌍곡선이 타원과 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmPF _{3} F _{2}]의 둘레의 길이를 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점][21년 3월 교육청]

[eqn: 12]

[출제의도] 타원과 쌍곡선의 정의를 이용하여 문제를 해결한다.

점 [eqn: rmP`]에서 타원의 두 초점 [eqn: rmF_1], [eqn: rmF_2 `]까지의 거리의 합은 장축인 선분 [eqn: rmAB`]의 길이와 같다.

즉 [eqn: rm {bar{PF _{2}}} + rm {bar{PF _{1}}} =6]   [eqn: cdotscdots] ㉠

점 [eqn: rmP`]에서 쌍곡선의 두 초점 [eqn: rmF_1], [eqn: rmF_3 `]까지의 거리의 차는 주축인 선분 [eqn: rmBO`]의 길이와 같다.

즉 [eqn: rm {bar{PF _{3}}} - rm {bar{PF _{1}}} =3]   [eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡을 더하면

[eqn: rm {bar{PF _{2}}} + rm {bar{PF _{3}}} =9]

쌍곡선의 두 초점이 [eqn: rmF_3], [eqn: rmF_1`]이므로

[eqn: bar{rmF_3 B][eqn: =bar{ rmOF_1}=c]
[eqn: bar{rm BF_2 }][eqn: = bar{rm BO}-bar{rmF_2 O}][eqn: =3-c]

그러므로 [eqn: rm {bar{F _{3} F _{2}}} =bar{rmF_3 B }+ bar{rm BF_2 } =3]

따라서 삼각형 [eqn: rmPF _{3} F _{2} `]의 둘레의 길이는

[eqn: rm {bar{PF _{2}}} + rm {bar{PF _{3}}} + rm {bar{F _{3} F _{2}}} =12]

접선(2,3점)

쌍곡선 [eqn: x ^{2} -y ^{2}][eqn: =1] 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( a,~b RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 2]일 때, [eqn: ab]의 값은? (단, 점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.) [3점][7월 교육청]

②

[출제의도] 쌍곡선의 접선의 방정식 이해하기

쌍곡선 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( a,~b RIGHT )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: ax-by][eqn: =1]

기울기가 [eqn: 2]이므로 [eqn: {a} over {b}][eqn: =2], [eqn: a][eqn: =2b]

점 [eqn: rm P it LEFT ( a,~b RIGHT )]가 쌍곡선 [eqn: x ^{2} -y ^{2}][eqn: = it 1] 위의 점이므로\

[eqn: 4b ^{2} -b ^{2}][eqn: =1]

[eqn: 3b ^{2}][eqn: =1]이고 [eqn: b]가 양수이므로 [eqn: b][eqn: = {sqrt {3}} over {3}]

[eqn: a][eqn: =2b][eqn: = {2 sqrt {3}} over {3}]

따라서 [eqn: ab][eqn: = {2} over {3}]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {8} + {y ^{2}} over {4}][eqn: =1] 위의 점 [eqn: LEFT ( 2,~ sqrt {2} RIGHT )]에서의 접선의 [eqn: x]절편은? [3점][21년 6월 평가원]

⑤

[출제 의도] 타원 위의 점에서 접선의 방정식을 구할 수 있는가?

타원 [eqn: {x ^{2}} over {8} + {y ^{2}} over {4}][eqn: =1] 위의 점 [eqn: LEFT ( 2,~ sqrt {2} RIGHT )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: 2x over 8 +{root2 y} over4][eqn: =1]

이므로 이 직선의 [eqn: y]절편은 [eqn: 4]이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: {13} over {4}]	③ [eqn: {7} over {2}]	④ [eqn: {15} over {4}]	⑤ [eqn: 4]

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {2} - {y ^{2}} over {7}][eqn: =1] 위의 점 [eqn: LEFT ( 4,~7 RIGHT )]에서의 접선의 [eqn: x]절편은? [3점][21년 4월 교육청]

③

[출제의도] 쌍곡선의 접선의 방정식 이해하기

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {2} - {y ^{2}} over {7}][eqn: =1] 위의 점 [eqn: LEFT ( 4,~7 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: {4x} over {2} - {7y} over {7}][eqn: =1],

[eqn: 2x-y][eqn: =1]

따라서 구하는 접선의 [eqn: x]절편은 [eqn: {1} over {2}]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {3} over {8}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {5} over {8}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

양수 [eqn: a`]에 대하여 기울기가 [eqn: {1} over {2}`]인 직선이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {36} + {y ^{`2}} over {16} =1 `]과 포물선 [eqn: y ^{`2} =ax`]에 동시에 접할 때, 포물선 [eqn: y ^{`2} =ax`]의 초점의 [eqn: x`]좌표는? [3점][10월 교육청]

②

[출제의도] 타원과 포물선의 접선의 방정식을 이해한다.

타원 [eqn: {x ^{2}} over {36} + {y ^{`2}} over {16} =1`]에 접하고 기울기가 [eqn: {1} over {2} `]인
접선의 방정식은 [eqn: y][eqn: = {1} over {2} x +- sqrt {36 TIMES {1} over {4} +16}], [eqn: y][eqn: = {1} over {2} x +-5]

포물선 [eqn: y ^{`2}][eqn: =ax`]에 접하고 기울기가 [eqn: {1} over {2} `]인
접선의 방정식은 [eqn: y][eqn: = 1 over 2 x + {a over 4} over {1 over2}], [eqn: y][eqn: = {1} over {2} x+ {a} over {2}]

[eqn: a`]가 양수이므로 [eqn: {a} over {2} =5], [eqn: a=10]

따라서 포물선 [eqn: y ^{`2}][eqn: =ax`]의 초점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: {a} over {4}][eqn: = {5} over {2}]

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

그림과 같이 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}}][eqn: =1] 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( 4,~k RIGHT )] ([eqn: k>0])에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ], [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmR]라 하자. 점 [eqn: rmS LEFT ( 4,~0 RIGHT )]에 대하여 삼각형 [eqn: rm QOR]의 넓이를 [eqn: A _{1}], 삼각형 [eqn: rmPRS]의 넓이를 [eqn: A _{2}]라 하자. [eqn: A _{1} ``:``A _{2}][eqn: =9``:``4]일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.) [3점][21년 6월 평가원]

③

[출제 의도] 쌍곡선 위의 점에서의 접선을 구하여 주축의 길이를 구할 수 있는가?

점 [eqn: rmP left(4,~ it k right)]는 쌍곡선 [eqn: x^2 over a^2 - y^2 over b^2][eqn: =1] 위의 점이므로

[eqn: {16} over {a ^{2}} - {k ^{2}} over {b ^{2}}][eqn: =1] [eqn: cdots] ㉠

점 [eqn: rmP]에서 쌍곡선에 그은 접선의 방정식은

[eqn: {4x} over {a ^{2}} - {ky} over {b ^{2}}][eqn: =1]

이므로 두 점 [eqn: rmQ]와 [eqn: rmR]의 좌표는 각각

[eqn: rm Q LEFT ( {it a^2} over {4} ,~0 RIGHT )], [eqn: rm R LEFT ( 0 ,~ - {it b^2 } over{it k }RIGHT )]

따라서 삼각형 [eqn: rm QOR]의 넓이는

[eqn: A_1][eqn: = 1 over 2 times a^2 over 4 times LEFT | ` - b^2 over k `RIGHT |][eqn: ={a^2 b^2 } over 8k]

삼각형 [eqn: rmPRS]의 넓이는

[eqn: A_2][eqn: = 1 over2 rm times bar PS times bar OS][eqn: = 1 over2 times k times 4][eqn: =2k]

이므로

[eqn: A_1 : A_2][eqn: =9:4]에서

[eqn: {a ^{2} b ^{2}} over {8k} :2k][eqn: =9:4]

[eqn: 36k^2][eqn: =a^2 b^2] [eqn: cdots] ㉡

㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면

[eqn: 16 over a^2 - k^2 over{{ 36 k^2 } overa^2}][eqn: =1], 즉 [eqn: 16 over a^2 - a^2 over 36][eqn: =1]

[eqn: a^4 +36a^2 -16 times36][eqn: =0]

[eqn: (a^2 -12)( a^2 +48)][eqn: =0]

[eqn: a^2][eqn: =12]에서 [eqn: a][eqn: =2 root3]이므로 주어진 쌍곡선의 주축의 길이는 [eqn: 2a][eqn: =4root3]이다.

① [eqn: 2 sqrt {10}]	② [eqn: 2 sqrt {11}]	③ [eqn: 4 sqrt {3}]	④ [eqn: 2 sqrt {13}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {14}]

접선(4점)

그림과 같이 두 점 [eqn: {rmF}left(itc,````0 right)], [eqn: rm F` prime it left(-c,````0 right)]([eqn: c>0])을 초점으로 하는 타원 [eqn: x^{`2} over 16 ``it + y^{`2} over 12 ``it=1]  위의 점 [eqn: {rm P}left(2,````3 right)]에서 타원에 접하는 직선을 [eqn: l`]이라 하자. 점 [eqn: {rmF}]를 지나고 [eqn: l`]과 평행한 직선이 타원과 만나는 점 중 제[eqn: 2]사분면 위에 있는 점을 [eqn: rmQ]라 하자.
두 직선 [eqn: {rmF` prime} {rmQ}]와 [eqn: l`]이 만나는 점을 [eqn: rm R], [eqn: l`]과 [eqn: x`]축이 만나는 점을 [eqn: rm S]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm SRF `prime]의 둘레의 길이는? [4점][9월 평가원]

①

[출제의도] 타원의 접선의 방정식을 구할 수 있고 타원의 정의를 이용하여 삼각형의 변의 길이의 합을 구할 수 있는가?

점 [eqn: rm P LEFT ( 2,````3 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: {2x} over {16} + {3y} over {12} =1]

[eqn: {x} over {8} + {y} over {4} =1]

그러므로 점 [eqn: rm S]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 8,````0 RIGHT )]이다

한편, [eqn: c= sqrt {16-12} =2]이므로

[eqn: rm F LEFT ( 2,````0 RIGHT )], [eqn: rm F' LEFT ( -2,````0 RIGHT )]

이때, 두 삼각형 [eqn: rm F prime FQ], [eqn: rm F'SR]는

[eqn: ANGLE rm QF'F= ANGLE rm RF'S]이고 [eqn: {bar{rm F Q}} □ {bar{rm SR}}]이므로

닮은 삼각형이다.

한편, [eqn: bar{rm F'F} =4], [eqn: bar{rm F'S} =10]이므로 두 삼각형 [eqn: rm F prime FQ], [eqn: rm F'SR]의 둘레의 길이의 비는

[eqn: 2`:`5]

한편, 삼각형 [eqn: rm F'FQ]의 둘레의 길이는 타타원의 정의에 의해

[eqn: {bar{rm FQ it}} `+` {bar{rm QF prime it}} =2 TIMES 4=8]

이므로

[eqn: bar{rm FF'} + bar{rm FQ} + bar{rm QF'} =4+8=12]

따라서, 구하는 삼각형 [eqn: rm SRF']의 둘레의 길이를 [eqn: l`]이라 하면

[eqn: 12`:`l=`2`:`5]

이므로

[eqn: l=30]

① [eqn: 30]	② [eqn: 31]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 34]

수능대비	단원별 기출문제	수학2

02

평면벡터

평면벡터의 연산(2,3점)

두 벡터 [eqn: {vec{a}}][eqn: = LEFT ( 2,~4 RIGHT )], [eqn: {vec{b}}][eqn: = LEFT ( it -1,~k RIGHT )]에 대하여 두 벡터 [eqn: {vec{a}}]와 [eqn: {vec{b}}]가 서로 평행하도록 하는 실수 [eqn: k]의 값은? [2점][7월 교육청]

④

[출제의도] 벡터의 평행 계산하기

두 벡터 [eqn: {vec{a}}], [eqn: {vec{b}}]가 서로 평행하면

[eqn: LEFT ( 2,~4 RIGHT )][eqn: =t LEFT ( -1,~k RIGHT )]를 만족시키는 실수 [eqn: t][eqn: LEFT ( t != 0 RIGHT )]가 존재한다.

그러므로 [eqn: 2][eqn: = it -t], [eqn: 4][eqn: =kt]

따라서 [eqn: k][eqn: = it -2]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

두 벡터 [eqn: {vec{a}}][eqn: = LEFT ( k+3,~3k-1 RIGHT )]과 [eqn: {vec{b}}][eqn: = LEFT ( 1,~1 RIGHT )]이 서로 평행할 때, 실수 [eqn: k]의 값은? [2점][21년 6월 평가원]

②

[출제 의도] 두 벡터의 평행 조건을 이용하여 주어진 상수의 값을 구할 수 있는가?

두 벡터  [eqn: {vec{a}}][eqn: = LEFT ( k+3,~3k-1 RIGHT )]과 [eqn: {vec{b}}][eqn: = LEFT ( 1,~1 RIGHT )]이 서로 평행하므로 적당한 실수 [eqn: m]에 대하여

[eqn: vec a = m vec b]

가 성립한다.

[eqn: LEFT ( k+3,~3k-1 RIGHT )][eqn: =m(1,~1)]에서

[eqn: k+3=m], [eqn: 3k-1=m]

따라서 [eqn: k=2], [eqn: m=5]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

두 벡터 [eqn: vec a][eqn: =left (m-2,````3 right)]과 [eqn: vecb][eqn: =left (2m+1,````9 right)]가 서로 평행할 때, 실수 [eqn: m`]의 값은? [2점][10월 교육청]

③

[출제의도] 평행한 두 벡터의 성질을 이용하여 벡터의 성분을 구한다.

[eqn: 0`]이 아닌 실수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: {vec{b}}][eqn: =k {vec{a}}]

[eqn: LEFT ( 2m+1 ,````9 RIGHT )][eqn: =LEFT (k left( m-2 right),````3k RIGHT ) `]이므로

[eqn: 3k][eqn: =9], [eqn: k][eqn: = 3]

[eqn: 2m+1][eqn: =3 left( m-2 right)`], [eqn: 2m+1][eqn: =3m-6]

따라서 [eqn: m][eqn: =7]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A it LEFT ( 1,~2 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( -3,~5 RIGHT )]에 대하여

①

[출제 의도] 벡터로 나타내어진 식을 이용하여 주어진 점이 나타내는 도형을 구할 수 있는가?

[eqn: LEFT | ` rm {vec{OP}} - {vec{OA}} ` RIGHT |][eqn: = LEFT | rm` {vec{AB}} ` RIGHT |]에서

[eqn: rm LEFT | ` {vec{AP}} ` RIGHT |][eqn: = LEFT | rm` {vec{AB}} ` RIGHT |]

이때

[eqn: rm bar AB][eqn: =root{(-3-1)^2 +(5-2)^2}][eqn: =5]

이므로

[eqn: rm LEFT | ` {vec{AP}} ` RIGHT |][eqn: =5]

따라서 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형은 점 [eqn: rmA]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 원이므로 그 길이는 [eqn: 10 pi]이다.

[eqn: LEFT | ` {vec{rm OP}} `- {vec{rm OA}} ` RIGHT |][eqn: = LEFT | ` {vec{rm AB}} ` RIGHT |]

를 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형의 길이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [3점][21년 6월 평가원]

① [eqn: 10pi]	② [eqn: 12pi]	③ [eqn: 14pi]	④ [eqn: 16pi]	⑤ [eqn: 18pi]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정육각형 [eqn: rmABCDEF]에서 [eqn: LEFT | ` {vec{rm AE}} + {vec{rm BC}} ` RIGHT |]의 값은? [3점][21년 6월 평가원]

②

[출제 의도] 도형에서 두 벡터의 합의 크기를 구할 수 있는가?

두 선분 [eqn: rmAD]와 [eqn: rm BE]의 교점을 [eqn: rmO]라 하고 선분 [eqn: rmOE]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면 [eqn: rm vec BC][eqn: = rm vec AO]이므로

[eqn: rm vec AE + vec BC][eqn: = rm vec AE +vec AO][eqn: = rm 2 vec AM] [eqn: cdots] ㉠

삼각형 [eqn: rm AOM]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: rm { bar AM}^2][eqn: =rm{ bar AO} ^2 +{bar OM }^2 -2 times bar AO times bar OM times cos 120 DEG]
[eqn: =1^2 + LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT )^2 -2 times 1 times 1 over2 times LEFT ( - 1 over2 RIGHT )]
[eqn: = 7 over 4]

[eqn: rm bar AM][eqn: = root7 over2]이므로 ㉠에서

[eqn: LEFT | ` rm vec AE + vec BC `RIGHT |][eqn: = 2rm bar AM][eqn: =2times root7 over2][eqn: =root7]

① [eqn: sqrt {6}]	② [eqn: sqrt {7}]	③ [eqn: 2 sqrt {2}]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: sqrt {10}]

영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: {vec{a}} ,~ {vec{b}}]가 서로 평행하지 않을 때, [eqn: LEFT ( 2 {vec{a}} -m {vec{b}} RIGHT ) - LEFT ( n {vec{a}} -4 {vec{b}} RIGHT )][eqn: = {vec{a}} - {vec{b}}]를 만족시키는 두 상수 [eqn: m,~n]의 합 [eqn: m+n]의 값은? [2점][21년 4월 교육청]

①

[출제의도] 벡터의 연산 이해하기

[eqn: LEFT ( 2 {vec{a}} -m {vec{b}} RIGHT ) - LEFT ( n {vec{a}} -4 {vec{b}} RIGHT )][eqn: = LEFT ( 2-n RIGHT ) {vec{a}} - LEFT ( m-4 RIGHT ) {vec{b}}]
[eqn: = {vec{a}} - {vec{b}}]

에서 [eqn: m-4][eqn: =1], [eqn: 2-n][eqn: = it 1]이므로

[eqn: m=5], [eqn: n=1]

따라서 [eqn: m+n][eqn: =6]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]\

그림과 같이 변 [eqn: rmAD`]가 변 [eqn: rmBC`]와 평행하고 [eqn: angle rm CBA = angle DCB`]인 사다리꼴 [eqn: rmABCD`]가 있다.

④

[출제의도] 두 벡터의 합을 이해하여 벡터의 크기를 구한다.

선분 [eqn: RMBC`]의 중점을 [eqn: rmM`]이라 하면 [eqn: {rm {vec{AB}} + {vec{AC}}} over {2}][eqn: = rm {vec{AM}} `]이다.

[eqn: rm LEFT | {vec{AB}} + {vec{AC}} RIGHT |][eqn: =2 sqrt {5} `]이므로 [eqn: LEFT | rm {vec{AM}} RIGHT |][eqn: = sqrt {5}]

[eqn: RM {bar{AD}}][eqn: = rm {bar{BM}}][eqn: = rm {bar{CM}}`]이고 변 [eqn: RMAD`]와 변 [eqn: RMBC`]가 평행하므로
사각형 [eqn: rm ABMD`]와 사각형 [eqn: RMAMCD`]는 평행사변형이다.

평행사변형 [eqn: RMAMCD`]에서 [eqn: rm{bar{CD}}][eqn: = rm {bar{AM}}][eqn: = sqrt {5}]

사각형 [eqn: rm ABMD`]가 평행사변형이므로
[eqn: angle rm MBA][eqn: = angle rm CMD][eqn: = ANGLE rm DCM]

즉 삼각형 [eqn: RMDMC`]는 이등변삼각형이므로 [eqn: rm {bar{DM}}][eqn: = sqrt5]

점 [eqn: rm D`]에서 선분 [eqn: RMBC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMH`]라 하면
[eqn: bar { rm CM } `][eqn: =2`]이므로 [eqn: rm bar{HM}][eqn: rm = bar{ CH}][eqn: =1]

직각삼각형 [eqn: rm DMH`]에서
[eqn: rm {bar{DH }}][eqn: = sqrt {{bar{rm DM}} ^{2} - {bar{rm HM}} ^{2}}}][eqn: = sqrt{ 5 -1}][eqn: =2]

[eqn: bar{ rm BH}][eqn: = bar{ rm BM} + bar{HM}][eqn: =2+1][eqn: =3]

직각삼각형 [eqn: rmDBH`]에서

[eqn: rm LEFT | {vec{BD}} RIGHT | ^{2}][eqn: = rm LEFT | {vec{BH }} RIGHT | ^{2} + LEFT | {vec{DH }} RIGHT | ^{2}][eqn: =3 ^{2} +2 ^{2}][eqn: =13]

따라서 [eqn: rm LEFT | {vec{BD}} RIGHT |][eqn: = sqrt {13}]

[eqn: left| vec { rm AD} right| =2], [eqn: left| vec { rm BC} right| =4], [eqn: RM LEFT | {vec{AB}} + {vec{AC}} RIGHT | = 2sqrt5]

일 때, [eqn: RM LEFT | {vec{BD}} RIGHT | `]의 값은? [3점][10월 교육청]

① [eqn: sqrt {10}]	② [eqn: sqrt {11}]	③ [eqn: 2 sqrt {3}]

④ [eqn: sqrt {13}]	⑤ [eqn: sqrt {14}]

평면벡터의 연산(4점)

좌표평면 위의 네 점 [eqn: rm A it LEFT ( 2,~0 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( 0,~2 RIGHT )], [eqn: rm C it LEFT ( -2,~0 RIGHT )], [eqn: rm D it LEFT ( 0,~-2 RIGHT )]를 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rmABCD]의 네 변 위의 두 점 [eqn: rmP,~Q]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 48]

[출제 의도] 벡터로 표현된 식을 이용하여 두 벡터의 내적의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있는가?

조건 (가)에서

[eqn: {vec{{rmP}it{rmQ}it}} bullet {vec{{rmA}it{rmB}it}}][eqn: =0] 또는 [eqn: {vec{{rmP}it{rmQ}it}}bullet {vec{{rmA}it{rmD}it}}][eqn: =0]

이므로 다음과 같이 두 가지의 경우로 나누어 생각할 수 있다.

(ⅰ) [eqn: {vec{{rmP}it{rmQ}it}} bullet {vec{{rmA}it{rmB}it}}][eqn: =0], 즉 [eqn: bar{{rmP}it{rmQ}it} bot bar{{rmA}it{rmB}it}]인 경우

두 조건 (나)와 (다)에서

[eqn: {vec{{rmO}it{rmB}it}} bullet{vec{{rmO}it{rmP}it}} ge 0], [eqn: {vec{{rmO}it{rmB}it}} bullet {vec{{rmO}it{rmQ}it`}} le 0]이므로 점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rm AB]위의 점이고 점 [eqn: rmQ]는 선분 [eqn: rmCD]위의 점이다.

점 [eqn: rm P]의 좌표를 [eqn: rmP it LEFT ( a,~2-a RIGHT )] [eqn: LEFT ( 0 le a le 2 RIGHT )]라 하면 점 [eqn: rmQ]의 좌표는

[eqn: rm Q it LEFT ( a-2,~a RIGHT )]

[eqn: {vec{{rmO}it{rmA}it}} bullet{vec{{rmO}it{rmP}it}} ge-2]에서

[eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT ) BULLET LEFT ( a,~2-a RIGHT ) =2a GEQ -2]

이므로

[eqn: a GEQ -1] [eqn: cdots] ㉠

[eqn: {vec{rm O it rm B it}} bullet{vec{rm O it rm P it}} ge 0]에서

[eqn: LEFT ( 0,~2 RIGHT ) bullet LEFT ( a,~2-a RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( 2-a RIGHT ) ge 0]

이므로

[eqn: a le 2] [eqn: cdots] ㉡

[eqn: {vec{{rmO}it{rmA}it}}bullet {vec{{rmO}it{rmQ}it}}ge -2]에서

[eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT ) bullet LEFT ( a-2,~-a RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( a-2 RIGHT ) GEQ -2]

이므로

[eqn: a ge 1] [eqn: cdots] ㉢

[eqn: {vec{{rmO}it{rmB}it}} bullet{vec{{rmO}it{rmQ}it}} le 0]에서

[eqn: LEFT ( 0,~2RIGHT ) bullet LEFT ( a-2,~-a RIGHT )][eqn: =-2a le0]

이므로

[eqn: a GEQ 0] [eqn: cdots] ㉣

㉠, ㉡, ㉢, ㉣에서

[eqn: 1 LEQ a LEQ 2] [eqn: cdots] ㉤

한편, 점 [eqn: rm R LEFT ( 4,~4 RIGHT )]에 대하여

[eqn: {vec{rm R it rm P it}}][eqn: = {vec{rm OP}} - {vec{rm OR}}]
[eqn: = left ( a,~2-a right ) - left ( 4,~4 right )]
[eqn: = left ( a-4,~-a-2 right )]

[eqn: rm vec RQ][eqn: rm= vecOQ - vecOR]
[eqn: = LEFT ( a-2,~-a RIGHT ) - LEFT ( 4,~4 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( a-6,~-a-4 RIGHT )]

이므로

[eqn: {vec{rm R it rm P it}} bullet {vec{rm R it rm Q it}}]

[eqn: = LEFT ( a-4,~-a-2 RIGHT ) bullet LEFT ( a-6,~-a-4 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( a-4 RIGHT ) LEFT ( a-6 RIGHT ) + LEFT ( a+2 RIGHT ) LEFT ( a+4 RIGHT )]

[eqn: =2a ^{2} -4a+32]

[eqn: =2 LEFT ( a-1 RIGHT ) ^{2} +30]

㉤에서

[eqn: 30 LEQ {vec{rm R it rm P it}}bullet {vec{rm R it rm Q }} LEQ 32]

(ⅱ) [eqn: {vec{{rmP}it{rmQ}it}} bullet{vec{{rmA}it{rmD}it}} =0] 즉 [eqn: bar{{rmP}it{rmQ}it} bot bar{{rmA}it{rmD}it}]인 경우

두 조건 (나)와 (다)에서 [eqn: `]

[eqn: {vec{{rmO}it{rmB}it}}bullet {vec{{rmO}it{rmP}it}}ge 0], [eqn: {vec{{rmO}it{rmB}it}} bullet {vec{{rmO}it{rmQ}it}} le 0]

이므로 점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmBC]위의 점이고 점 [eqn: rmQ]는 선분 [eqn: rmAD]위의 점이다.

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: rmP (it a,~a+2)] [eqn: (-2 le a le 0)]라 하면 점 [eqn: rmQ]의 좌표는

[eqn: rmQ(it a+2,~a)]

[eqn: rm vec OA bullet vec OP ge -2]에서

[eqn: (2,~0) BULLET (a,~a+2)][eqn: =2a GEQ -2]

이므로

[eqn: a GEQ -1] [eqn: cdots] ㉥

[eqn: rm {vec{OB}} BULLET {vec{OP}} GEQ 0]

[eqn: (0,~2) bullet (a,~a+2)][eqn: =2(a+2) GEQ 0]

이므로

[eqn: a ge -2] [eqn: cdots] ㉦

[eqn: {vec{{rmO}it{rmA}it}} bullet{vec{{rmO}it{rmQ}it}} ge -2]에서

[eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT ) bullet LEFT ( a+2,~a RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( a+2 RIGHT )ge -2]

이므로

[eqn: a ge -3] [eqn: cdots] ㉧

[eqn: {vec{{rmO}it{rmB}it}} bullet {vec{{rmO}it{rmQ}it}} le 0]에서

[eqn: LEFT ( 0,~2 RIGHT ) bullet LEFT ( a+2,~a RIGHT )][eqn: =2a le 0]

이므로

[eqn: a LEQ 0] [eqn: cdots] ㉨

㉥, ㉦, ㉧, ㉨에서

[eqn: -1 le a le 0] [eqn: cdots] ㉩

한편, 점 [eqn: rmR LEFT ( 4,~4 RIGHT )]에 대하여

[eqn: {vec{{rmR}it{rmP}it}}][eqn: = {vec{{rmO}it{rmP}it}} - {vec{{rmO}it{rmR}it}}]
[eqn: = LEFT ( a+2,~a RIGHT ) - LEFT ( 4,~4 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( a-2,~a-4 RIGHT )]

이므로

[eqn: {vec{{rmR}it{rmP}it}}bullet{vec{{rmR}it{rmQ}it}}]

[eqn: = LEFT ( a-4,~a-2 RIGHT ) bullet LEFT ( a-2,~a-4 RIGHT )]

[eqn: =2 LEFT ( a-4 RIGHT ) LEFT ( a-2 RIGHT )]

[eqn: =2 LEFT ( a ^{2} -6a+8 RIGHT )]

[eqn: =2 LEFT ( a-3 RIGHT ) ^{2} -2]

㉩에서

[eqn: 16 le {vec{{rmR}it{rmP}it}} bullet {vec{{rmR}it{rmQ}it}} le 30]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: 16 le {vec{{rmR}it{rmP}it}} bullet{vec{{rmR}it{rmQ}it}} le 32]

따라서 [eqn: {vec{{rmR}it{rmP}it}} bullet {vec{{rmR}it{rmQ}it}}]의 최댓값은 [eqn: M=32], 최솟값은 [eqn: `m=16]이므로

[eqn: M+m=48]

수학교실

다른 풀이

위의 풀이에서 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 지나는 영역은 다음 그림의 굵은 선분 위이다.

선분 [eqn: rmPQ]의 중점을 [eqn: rmN]이라 하면 조건 (가)에 의하여

[eqn: {vec{{rmN}it{rmP}it}} + {vec{{rmN}it{rmQ}it}} =0]

[eqn: rm vec NP bullet vec NQ][eqn: = LEFT | `{vec{rm N it rm P it}}` RIGHT | LEFT | `{vec{rm N it rm Q it}} `RIGHT | cos pi][eqn: =- {bar{rm N it rm P it}} ^{2}]

이므로

[eqn: {vec{{rmR}it{rmP}it}} bullet {vec{{rmR}it{rmQ}it}}]

[eqn: = left ( {vec{{rmR}it{rmN}it}}+{vec{{rmN}it{rmP}it}} right ) bullet left ( {vec{{rmR}it{rmN}it}} +{vec{{rmN}it{rmQ}it}} right )]

[eqn: = {vec{rm R it rm N it}} BULLET {vec{rm R it rm N it }} + {vec{rm R it rm N it}} BULLET {vec{rm N it rm Q it}} + {vec{rm N it rm P it}} bullet {vec{rm R it rm N it}} + {vec{rm N it rm P it }} bullet {vec{rm N it rm Q it}}]

[eqn: =left | `{vec{{rmR}it{rmN}it}}` right | ^{2} + {vec{{rmR}it{rmN}it}} bullet left ( {vec{{rmN}it{rmQ}it}} + {vec{{rmN}it{rmP}it}} right ) + {vec{{rmN}it{rmP}it}} bullet {vec{{rmN}it{rmQ}it}}]

[eqn: = {bar{rm R it rm N it}} ^{2} +0- {bar{rm N it rm P it}} ^{2}]

이때 항상 [eqn: bar{{rmP}it{rmQ}it}=2 sqrt {2}]이므로

[eqn: {bar{{rmN}it{rmP}it}}= {1} over {2} {bar{{rmP}it{rmQ}it}}= sqrt {2}]

따라서

[eqn: {vec{{rmR}it{rmP}it}} bullet {vec{{rmR}it{rmQ}it}}][eqn: ={bar{{rmR}it{rmN}it}} ^{2} -2]

이므로 [eqn: {vec{{rmR}it{rmP}it}}bullet {vec{{rmR}it{rmQ}it}}]의 최댓값과 최솟값은 [eqn: bar{{rmR}it{rmN}it}]의 최댓값과 최솟값에 의하여 결정된다.

[eqn: bar{{rmR}it{rmN}it}]이 최대일 때의 두점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 좌표는 각각

[eqn: left ( 2,~0 right )], [eqn: left ( 0,~-2 right )]이므로

[eqn: {rmN}it left ( 1,~-1 right )]

따라서

[eqn: bar{{rmR}it{rmN}it}= sqrt {left ( 4-1 right ) ^{2} + left ( 4+1 right ) ^{2}} = sqrt {34}]

이므로 [eqn: {vec{{rmR}it{rmP}it}} bullet {vec{{rmR}it{rmQ}it}]의 최댓값은

[eqn: M= left ( sqrt {34} right ) ^{2} -2=32]

[eqn: bar{{rmR}it{rmN}it}]이 최소일 때의 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 좌표는 각각

[eqn: LEFT ( 0,~2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]이므로

[eqn: rm N LEFT ( 1,~1 RIGHT )]

따라서

[eqn: bar{{rmR}it{rmN}it}= sqrt {left ( 4-1 right ) ^{2} + left ( 4-1 right ) ^{2}} =root18]

이므로 [eqn: {vec{{rmR}it{rmP}it}} bullet {vec{{rmR}it{rmQ}it}]의 최솟값은

[eqn: m= left ( sqrt {18} right ) ^{2} -2=16]

이상에서

[eqn: M+m=32+16=48]

(가) [eqn: LEFT ( {vec{rm PQ}} BULLET {vec{rm AB}} RIGHT ) LEFT ( {vec{rm PQ}} BULLET {vec{rm AD}} RIGHT )][eqn: =0]

(나) [eqn: {vec{rm OA}} BULLET {vec{rm OP}} GEQ -2]이고 [eqn: {vec{rm OB}} BULLET {vec{rm OP}} GEQ 0]이다.

(다) [eqn: {vec{rm OA it}} BULLET {vec{rm OQ it}} GEQ -2]이고 [eqn: {vec{rm OB it}} BULLET {vec{rm OQ it}} LEQ 0]이다.

점 [eqn: rm R it LEFT ( 4,~4 RIGHT )]에 대하여 [eqn: {vec{rm RP}} BULLET {vec{rm RQ}}]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점][21년 6월 평가원]

좌표평면 위의 네 점 [eqn: rm A it LEFT ( -2,~0 RIGHT ) ,~ rm B it LEFT ( 1,~0 RIGHT ) ,~ rm C it LEFT ( 2,~1 RIGHT ) ,~ rm D it LEFT ( 0,~1 RIGHT )]이 있다. 반원의 호 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} +y ^{2}][eqn: =1] ([eqn: 0 LEQ y LEQ 1]) 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 삼각형 [eqn: rmBCD] 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: LEFT | ` {vec{rm OP it}} + {vec{rm AQ it}} ` RIGHT |]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. [eqn: M ^{2} +m ^{2}][eqn: =p+2 sqrt {q}]일 때, [eqn: p TIMES q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 유리수이다.) [4점][21년 4월 교육청]

[eqn: 115]

[출제의도] 벡터의 연산을 활용하여 문제해결하기

(ⅰ) 두 점 [eqn: rmA,~O]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면
[eqn: {vec{rm OM}} + {vec{rm AM}}][eqn: = {vec{rm 0}}]이므로

[eqn: {vec{rm OP}} + {vec{rm AQ}}][eqn: = LEFT ( {vec{rm OM}} + {vec{rm MP}} RIGHT ) + LEFT ( {vec{rm AM}} + {vec{rm MQ}} RIGHT )]
[eqn: = {vec{rm MP}} + {vec{rm MQ}}]

[eqn: LEFT | ` {vec{rm MP}} ` RIGHT |][eqn: =1]이므로 두 벡터 [eqn: {vec{rm MP}}], [eqn: {vec{rm MQ}}]의 방향이 같고

[eqn: LEFT | ` {vec{rm MQ}} RIGHT |]의 값이 최대일 때, [eqn: LEFT | ` {vec{rm MP it}} + {vec{rm MQ it}} ` RIGHT |]의 값은 최대이다.

그러므로 선분 [eqn: rmMC]와 반원의 호가 만나는 점을 [eqn: rmX]라 하면

점 [eqn: rmQ]가 점 [eqn: rmC]이고 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmX]일 때

[eqn: LEFT | ` {vec{rm MP it}} + {vec{rm MQ it}} ` RIGHT |]의 값은 최대이다.

[eqn: {bar{rm MC}}][eqn: = sqrt {3 ^{2} +1 ^{2}}][eqn: = sqrt {10}]이므로

[eqn: LEFT | ` {vec{rm MP it}} + {vec{rm MQ it}} ` RIGHT |][eqn: LEQ][eqn: LEFT | ` {vec{rm MX it}} + {vec{rm MC it}} ` RIGHT |][eqn: = sqrt {10} +1]

따라서 [eqn: M][eqn: = sqrt {10} +1]

(ⅱ) [eqn: {vec{rm OP}} + {vec{rm AQ}}][eqn: = LEFT ( {vec{rm OA}} + {vec{rm AP}} RIGHT ) + LEFT ( {vec{rm AO}} + {vec{rm OQ}} RIGHT )]
[eqn: = {vec{rm AP}} + {vec{rm OQ}}]

삼각형 [eqn: rmBCD] 위의 임의의 점 [eqn: rmQ]에 대하여

[eqn: {vec{rm QY}}][eqn: = {vec{rm AP}}]인 점을 [eqn: rmY]라 하자.

[eqn: LEFT | ` {vec{rm AP it}} + {vec{rm OQ it}} ` RIGHT |][eqn: = LEFT | ` {vec{rm QY}} + {vec{rm OQ}} RIGHT |][eqn: = LEFT | ` {vec{rm OY}} ` RIGHT |][eqn: GEQ LEFT | ` {vec{rm OQ}} ` RIGHT |]

이므로 점 [eqn: rmY]가 점 [eqn: rmQ]일 때 [eqn: LEFT | ` {vec{rm AP it}} + {vec{rm OQ it}} ` RIGHT |]의 값은 최소이다.

점 [eqn: rmQ]가 선분 [eqn: rmBD] 위에 있고

[eqn: {bar{rm OQ}} BOT {bar{rm BD}}]일 때 [eqn: LEFT | ` {vec{rm OQ}} ` RIGHT |]의 값은 최소이므로

[eqn: m][eqn: = {sqrt {2}} over {2}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해

[eqn: M ^{2} +m ^{2}][eqn: = LEFT ( 11+2 sqrt {10} RIGHT ) + {1} over {2}][eqn: = {23} over {2} +2 sqrt {10}]

따라서 [eqn: p][eqn: = {23} over {2}], [eqn: q][eqn: =10]이므로 [eqn: p TIMES q][eqn: =115]

평면벡터의 성분과 내적(2,3점)

좌표평면에서 세 벡터

②

[출제의도] 성분으로 나타낸 벡터의 연산을 이용하여 최솟값을 구할 수 있는가?

[eqn: vec{p} CDOT vec{a} = vec{a} CDOT vec{b}]에서

[eqn: vec{a} CDOT vec{p} = vec{a} CDOT vec{b}]

[eqn: vec{a} CDOT LEFT ( vec{p} - vec{b} RIGHT ) =0]

이때, [eqn: vec{a} = LEFT ( 3,````0 RIGHT )], [eqn: vec{b} = LEFT ( 1,````2 RIGHT )]이므로

점 [eqn: rm P LEFT ( it x,````y RIGHT )]에 대하여 [eqn: vec{p} "= "vec{rm OP} = it LEFT ( x,````y RIGHT )]라 하면

[eqn: (3,````0) CDOT (x-1,````y-2)=0]

[eqn: 3(x-1)=0]

[eqn: x=1]

그러므로 점 [eqn: rm P]는 직선 [eqn: x=1] 위의 점이다.

또, [eqn: LEFT | vec{q} - vec{c} RIGHT | =1]이고 [eqn: vec{c} = LEFT ( 4,````2 RIGHT )]이므로

[eqn: vec{q} = vec{rm OQ it}]라 하면 점 [eqn: rm Q]는 중심이 [eqn: (4,````2)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위의 점이다.

한편,

[eqn: LEFT | vec{p} - vec{q} RIGHT |][eqn: = LEFT | vec{rm OP} - vec{rm OQ} RIGHT |]
[eqn: = LEFT | vec{rm QP it} RIGHT |]
[eqn: = bar{rm PQ}]

따라서 이 값의 최솟값은 원의 중심 [eqn: (4,````2)]와 직선 [eqn: x=1] 사이의 거리에서 반지름의 길이 [eqn: 1]을 빼면 되므로

[eqn: 3-1=2]

[eqn: {vec{`a`}} = LEFT ( 3,````0 RIGHT )],  [eqn: {vec{`b`}} = LEFT ( 1,````2 RIGHT )],  [eqn: {vec{`c`}} = LEFT ( 4,````2 RIGHT )]

에 대하여 두 벡터 [eqn: {vec{`p`}}], [eqn: {vec{`q`}}]가

[eqn: {vec{`p`}} CDOT {vec{`a`}} `` it = {vec{`a`}} CDOT {vec{`b`}}],  [eqn: LEFT | `{vec{`q`}} `- {vec{`c`}}` RIGHT | `` it =1]

을 만족시킬 때, [eqn: LEFT|` {vec{`p`}} `- {vec{`q`}}` right|]의 최솟값은? [3점][9월 평가원]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]

④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

평면벡터의 성분과 내적(4점)

삼각형 [eqn: RMABC`]와 삼각형 [eqn: RMABC`]의 내부의 점 [eqn: RMP`]가 다음 조건을 만족시킨다.

①

[출제의도] 벡터의 내적을 이용하여 도형에 대한 문제를 해결한다.

[eqn: rm {vec{PA}} cdot {vec{PC}} =0`]이므로 두 벡터 [eqn: rm vec{ PA} `]와 [eqn: RM vec{PC}`]가 이루는 각의 크기는 [eqn: 90 °`]이다.

[eqn: rm {LEFT | {vec{PA}} RIGHT |} over { LEFT | {vec{PC}} RIGHT | LSUP {`} ^{`}}][eqn: =3`]에서 [eqn: rm LEFT | {vec{PC}} RIGHT |][eqn: = it t`]([eqn: t>0])이라 하면 [eqn: rm LEFT | {vec{PA}} RIGHT |][eqn: = it 3t]

두 벡터 [eqn: RM {vec{PB}} `]와 [eqn: rm {vec{PC}} `]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`]라 하면

[eqn: rm {vec{PB}} cdot {vec{PC}}][eqn: =rm LEFT | {vec{PB}} RIGHT | LEFT | {vec{PC}} RIGHT | it cos` theta][eqn: = it - {sqrt {2}} over {2} rm LEFT | {vec{PB}} RIGHT | LEFT | {vec{PC}} RIGHT |]이므로

[eqn: cos`theta][eqn: =it- {sqrt {2}} over {2}], [eqn: theta][eqn: =135°]

[eqn: it - {sqrt {2}} over {2} rm LEFT | {vec{PB}} RIGHT | LEFT | {vec{PC}} RIGHT |][eqn: = it -2 rm LEFT | {vec{PC}} RIGHT | ^{2} `]에서

[eqn: rmLEFT | {vec{PB}} RIGHT |][eqn: = RM {2sqrt {2}} LEFT | {vec{PC}} RIGHT | `]이므로 [eqn: rm LEFT | {vec{PB}} RIGHT |][eqn: =2 sqrt {2} t]

[eqn: rm ANGLE APB][eqn: rm = ANGLE BPC][eqn: =135°], [eqn: rm ANGLE CPA][eqn: =90°`]이므로

세 삼각형 [eqn: rm ABP], [eqn: RMBCP], [eqn: rm C AP`]의 넓이를 각각
[eqn: S _{`1}], [eqn: S _{`2}], [eqn: S _{`3} `]이라 하면

[eqn: S _{`1} `:`S _{`2} `:`S _{`3}][eqn: =3t ^{2} `:`t ^{2} `:` {3} over {2} t ^{2}][eqn: =6`:`2`:`3]

직선 [eqn: rm AP`]와 변 [eqn: rm BC`]의 교점이 [eqn: RMD`]이므로

[eqn: rm {bar{AD}} `:` {bar{DP}}][eqn: = LEFT ( S _{`1} +S _{`2} +S _{`3} RIGHT ) `:`S _{`2}][eqn: =11`:`2]

따라서 [eqn: rm {vec{AD}}][eqn: = 11 over2 {vec{rm PD}}]이므로 [eqn: k][eqn: = 11 over 2]

(가) [eqn: rm {vec{PA}} cdot {vec{PC}}][eqn: =0], [eqn: rm {LEFT | {vec{PA}} RIGHT |} over { {LEFT | {vec{PC}} RIGHT |}^{`} } LSUP {` }=3]

(나) [eqn: rm {vec{PB}} cdot {vec{PC}}][eqn: = it - {sqrt {2}} over {2} rm LEFT | {vec{PB}} RIGHT | LEFT | {vec{PC}} RIGHT | = it - {2} rm LEFT | {vec{PC}} RIGHT | ^2]

직선 [eqn: rm AP`]와 선분 [eqn: RMBC`]의 교점을 [eqn: RMD`]라 할 때, [eqn: rm vec{AD}= it k ` vec {rm PD}`]이다. 실수 [eqn: k`]의 값은? [4점][10월 교육청]

① [eqn: {11} over {2}]	② [eqn: 6]	③ [eqn: {13} over {2}]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: {15} over {2}]

좌표평면에서 세 점 [eqn: {rmA} left(-3,````1 right)], [eqn: {rm B} left(0,````2 right)], [eqn: {rm C} left(1,````0 right)]에 대하여 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]가	[eqn: rm LEFT | `{vec{AP}} `RIGHT | `it=1],  [eqn: rmLEFT |`{vec{BQ}} `RIGHT |`it =2],  [eqn: rm {vec{AP}} cdot rm {vec{OC}} `` GEQ {sqrt {2}} over {2}`]

[eqn: 45]

[출제의도] 벡터의 내적의 정의를 활용할 수 있는가?

[eqn: LEFT | vec{rm AP} RIGHT | =1]이므로 점 [eqn: rm P]는 중심이 [eqn: rm A LEFT ( -3,````1 RIGHT )]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위의 점이다.

또, [eqn: LEFT | {vec{rm BQ}} RIGHT | =2]이므로 점 [eqn: rm Q]는 중심이 [eqn: rm B LEFT ( 0,````2 RIGHT )]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 위의 점이다.

[eqn: vec{rm AP} CDOT vec{rm OC} GEQ {sqrt {2}} over {2}]에서 두 벡터 [eqn: vec{rm AP}], [eqn: vec{rm OC}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면

[eqn: LEFT | vec{rm AP} RIGHT | LEFT | vec{rm OC} RIGHT | `cos` theta GEQ {sqrt {2}} over {2}]

[eqn: cos` theta GEQ {sqrt {2}} over {2}]

[eqn: - {pi } over {4} LEQ theta LEQ {pi } over {4}]

그러므로 점 [eqn: rm P]를 나타내면 그림과 같다.

또, 두 벡터 [eqn: vec{rm AP}], [eqn: vec{rm AQ}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta `']이라 하면

[eqn: vec{rm AP} CDOT vec{rm AQ}][eqn: = LEFT | vec{rm AP it} RIGHT | LEFT | vec{rm AQ it} RIGHT | cos` theta` ']
[eqn: = LEFT | vec{rm AQ} RIGHT | cos` theta` ']

그러므로 이 값이 최소이기 위해서는 점 [eqn: rm P]는 [eqn: rm A]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선 위의 점([eqn: rmP_0])이어야 하고, 점 [eqn: rm Q]는 이 직선과 수직이면서 원 [eqn: x ^{2} +(y-2) ^{2} =4]에 접하는 점 중 제[eqn: 2]사분면의 점([eqn: rmQ_0])이어야 한다.

한편, [eqn: vec{rm BX} CDOT vec{rm BQ _{0}} GEQ 1]에서 두 벡터

[eqn: vec{rm BX} ,```` vec{rm BQ _{0}}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta `'']이라 하면

[eqn: LEFT | vec{rm BX it} RIGHT | LEFT | vec{rm BQ _{0} it} RIGHT | `cos` theta `'' GEQ 1]

[eqn: 2 LEFT | vec{rm BX it} RIGHT | `cos` theta ` '' GEQ 1]

[eqn: LEFT | vec{rm BX it} RIGHT | `cos` theta `'' GEQ {1} over {2}]

그러므로 선분 [eqn: rm BQ _{0}] 위의 점 [eqn: rm D]를 [eqn: bar{rm BD it} = {1} over {2}]가 되도록 잡은 후, 점 [eqn: rm D]에서 점 [eqn: rm A]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선에 내린 수선의 발을 [eqn: rm D']이라 하면 점 [eqn: rm X]는 선분 [eqn: rm AD'] 위의 점이다.

따라서, [eqn: LEFT | vec{rm Q _{0} X} RIGHT |]의 최댓값은 [eqn: rmX]가 [eqn: rm D`']일 때 가지므로 [eqn: LEFT | vec{rm Q _{0} X} RIGHT | ^{2}]의 최댓값은

[eqn: bar{rm Q _{0} D'} ` ^{2}][eqn: = bar{rm Q _{0} D} ` ^{2} + bar{rm DD'} ` ^{2}]
[eqn: = LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: = {9} over {4} +8]
[eqn: = {41} over {4}]

그러므로

[eqn: p+q=4+41=45]

를 만족시킬 때, [eqn: rm {vec{AP}} CDOT {vec{AQ}}]의 값이 최소가 되도록 하는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]를 각각 [eqn: {rmP}_{0}], [eqn: {rmQ}_{`0}]이라 하자.

선분 [eqn: {rmAP}_{0}] 위의 점 [eqn: rmX]에 대하여 [eqn: rm {vec{BX}} CDOT {vec{BQ}_{`0}}`GEQ 1]일 때, [eqn: rm LEFT |`{vec{Q_{`0}` X}}` RIGHT |^ {`2}]의 최댓값은 [eqn: q over p]이다. [eqn: p+q `]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점][9월 평가원]

평면 위에

[eqn: 108]

[출제의도] 평면벡터의 내적의 성질을 활용하여 문제해결하기

선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원의 중심을 [eqn: rmE]라 하자.

[eqn: {vec{rm OC}} BULLET {vec{rm OP}}][eqn: = {vec{rm OC}} BULLET LEFT ( {vec{rm OE}} + {vec{rm EP}} RIGHT )]
[eqn: = {vec{rm OC it}} BULLET {vec{rm OE it}} + {vec{rm OC}} BULLET {vec{rm EP}}]

[eqn: {vec{rm OC}} BULLET {vec{rm OE}}]의 값은 일정하므로

[eqn: {vec{rm OC}} BULLET {vec{rm EP}}]의 값이 최대일 때

[eqn: {vec{rm OC}} BULLET {vec{rm OP}}]의 값이 최대이다.

두 벡터 [eqn: {vec{rm OC}}], [eqn: {vec{rm EP}}]의 방향이 같을 때,

[eqn: {vec{rm OC}} BULLET {vec{rm EP}}]의 값이 최대이다.

두 벡터 [eqn: {vec{rm OC}}], [eqn: {vec{rm EP}}]의 방향이 같을 때의 점 [eqn: rmP]가 [eqn: rmQ]이다.

선분 [eqn: rmQE]가 선분 [eqn: rmOA]와 만나는 점을 [eqn: rmF]라 하자.

[eqn: ANGLE rm EFA][eqn: = {pi} over {3}], [eqn: {bar{rm AE}}][eqn: =2]이므로

[eqn: {bar{rm FE}}][eqn: = {4 sqrt {3}} over {3}], [eqn: {bar{rm FA}}][eqn: = {2 sqrt {3}} over {3}]

[eqn: {bar{rm OF}}][eqn: = {bar{rm OA it}} - {bar{rm FA it}}][eqn: =2+ {4 sqrt {3}} over {3}]

[eqn: {bar{rm FQ}}][eqn: = {bar{rm FE}} + {bar{rm EQ}}][eqn: =2+ {4 sqrt {3}} over {3}]

[eqn: {bar{rm OF}}][eqn: = {bar{rm FQ}}]이므로 [eqn: ANGLE rm OQF][eqn: = {pi} over {6}]

그러므로 [eqn: {bar{rm DQ}}][eqn: =2 sqrt {3}]

[eqn: {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm AR}}][eqn: = {vec{rm DQ}} BULLET LEFT ( {vec{rm AE}} + {vec{rm ER}} RIGHT )]
[eqn: = {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm AE}} + {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm ER}}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

두 벡터 [eqn: {vec{rm DQ}}], [eqn: {vec{rm AE}}]가 이루는 각의 크기는 [eqn: {pi} over {3}]

[eqn: {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm AE}}][eqn: =2 sqrt {3} TIMES 2 TIMES cos` {pi} over {3}][eqn: =2 sqrt {3}]

두 벡터 [eqn: {vec{rm DQ}}], [eqn: {vec{rm ER}}]의 방향이 같을 때,

[eqn: {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm ER}}]의 값이 최대이므로

[eqn: {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm ER}}][eqn: LEQ 2 sqrt {3} TIMES 2][eqn: =4 sqrt {3}]

㉠에 의하여

[eqn: {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm AR}}][eqn: = {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm AE}} + {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm ER}}]
[eqn: LEQ 2 sqrt {3} +4 sqrt {3}][eqn: =6 sqrt {3}]

따라서 [eqn: M][eqn: =6 sqrt {3}]이므로 [eqn: M ^{2}][eqn: =108]

[eqn: {bar{rm OA}}][eqn: =2+2 sqrt {3}], [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =4], [eqn: ANGLE rm COA][eqn: = {pi} over {3}], [eqn: ANGLE rm A][eqn: = ANGLE rm B][eqn: = {pi} over {2}]

를 만족시키는 사다리꼴 [eqn: rmOABC]가 있다. 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: {vec{rm OC}} BULLET {vec{rm OP}}]의 값이 최대가 되도록 하는 점 [eqn: rmP]를 [eqn: rmQ]라 할 때, 직선 [eqn: rmOQ]가 원과 만나는 점 중 [eqn: rmQ]가 아닌 점을 [eqn: rmD]라 하자. 원 위의 점 [eqn: rmR]에 대하여 [eqn: {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm AR}}]의 최댓값을 [eqn: M]이라 할 때, [eqn: M ^{2}]의 값을 구하시오. [4점][7월 교육청]

평면도형의 방정식(2,3점)

점 [eqn: LEFT ( 2,~6 RIGHT )]과 직선 [eqn: l``:`` {x-5} over {2} =y-5] 위의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 벡터 [eqn: {vec{rm AP}}]와 직선 [eqn: l]의 방향벡터가 서로 수직일 때, [eqn: LEFT | ` {vec{rm OP}} ` RIGHT |]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [3점][7월 교육청]

⑤

[출제의도] 벡터를 이용한 직선의 방정식 이해하기

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]라 하면

[eqn: {a-5} over {2}][eqn: =b-5]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: {vec{rm AP}}][eqn: = LEFT ( a-2,~b-6 RIGHT )]

직선 [eqn: l]의 방향벡터는 [eqn: {vec{u}}][eqn: = LEFT ( 2,~1 RIGHT )]

두 벡터 [eqn: {vec{rm AP}}]와 [eqn: {vec{u}}]는 서로 수직이므로

[eqn: {vec{rm AP it}} BULLET {vec{u}}][eqn: =0]

[eqn: 2 LEFT ( a-2 RIGHT ) + LEFT ( b-6 RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: b][eqn: = it -2a+10]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: a=3,~b=4]

따라서 [eqn: LEFT | ` {vec{rm OP}} ` RIGHT |][eqn: = sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}}][eqn: =5]

① [eqn: 3]	② [eqn: 2 sqrt {3}]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 2 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 6]

수능대비	단원별 기출문제	기하

03

공간도형

공간도형(2,3점)

그림과 같이 [eqn: rm {bar{AD}} `` it =3], [eqn: rm {bar{DB}}``it =2], [eqn: rm {bar{DC}``it =2 sqrt {3}]이고

①

[출제의도] 삼수선의 정리를 이용하여 선분의 길이의 합의 최솟값을 구할 수 있는가?

점 [eqn: rm A]에서 선분 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm P']이라 하면

[eqn: {bar{rm AD}} BOT](평면 [eqn: rm BCD])이고

[eqn: bar{rm AP'} BOT bar{rm BC}]이므로

삼수선의 정리에 의해

[eqn: bar{rm DP prime it} BOT bar{rm BC it}]이다.

이때,

[eqn: bar{rm AP it} + bar{rm DP it} GEQ bar{rm AP' it} + bar{rm DP' it}]

이므로 구하는 최소의 길이는

[eqn: bar{rm AP prime it} + bar{rm DP prime it}]

이다. 한편, 직각삼각형 [eqn: rm BCD]에서

[eqn: bar{rm BC} = sqrt {2 ^{2} + LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2}} =4]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES bar{rm DB} TIMES bar{rm DC} = {1} over {2} TIMES bar{rm BC} TIMES bar{rm DP'}]

[eqn: bar{rm DB it} TIMES bar{rm DC it} = bar{rm BC it} TIMES bar{rm DP prime it}]

[eqn: 2 TIMES 2 sqrt {3} =4 TIMES bar{rm DP'}]

[eqn: bar{rm DP'} = sqrt {3}]	[eqn: CDOTS CDOTS it]㉠

이때, 직각삼각형 [eqn: rm ADP']에서

[eqn: bar{rm AP'}][eqn: = sqrt {bar{rm AD} ` ^{2} + bar{rm DP'} ` ^{2}}]
[eqn: = sqrt {3 ^{2} + LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: =2 sqrt {3}]	[eqn: CDOTS CDOTS it]㉡

㉠과 ㉡에서 구하는 최솟값은

[eqn: bar{rm AP prime it} + bar{rm DP prime it}][eqn: =2 sqrt {3} + sqrt {3}]
[eqn: =3 sqrt {3}]

[eqn: rm ANGLE ADB = ANGLE ADC = ANGLE BDC= pi over 2]인 사면체 [eqn: rm ABCD]가 있다.
선분 [eqn: rmBC] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rm {bar{AP}}`it+{rm {bar{DP}}}]의 최솟값은? [3점][9월 평가원]

① [eqn: 3 sqrt {3}]	② [eqn: {10 sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: {11sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: 4 sqrt {3}]	⑤ [eqn: {13 sqrt {3}} over {3}]

공간도형(4점)

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 8]인 정사각형 [eqn: {rm ABCD}]에 두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmCD]를 각각 지름으로 하는 두 반원이 붙어 있는 모양의 종이가 있다. 반원의 호 [eqn: rmAB]의 삼등분점 중 점 [eqn: rm B]에 가까운 점을 [eqn: rmP]라 하고, 반원의 호 [eqn: rmCD]를 이등분하는 점을 [eqn: rmQ]라 하자.

[eqn: 40]

[출제의도] 두 평면이 이루는 각의 크기를 구할 수 있는가?

[eqn: {bar{rm PG it}} = sqrt {3}], [eqn: bar{rm QH} =2 sqrt {3}]이므로 점 [eqn: rm P]를 지나고 평면 [eqn: rm ABCD]와 평행한 평면이 두 선분 [eqn: rm QC], [eqn: rm QH]와 만나는 점을 각각

[eqn: rm M _{1} ,````M _{2}]라 하면 두 점은 중점이다.

이때, 구하는 평면이 이루는 각은 두 평면 [eqn: rm PM _{1} M _{2}], [eqn: rm PM _{1} Q]가 이루는 각이다.

한편 점[eqn: rm P]에서 선분 [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm P'], 선분 [eqn: rm AB]를 지름으로 하는 원의 중심을 [eqn: rm O _{1}]이라 하면

[eqn: {bar{rm O _{1} P' it}} =`4`cos`60 ° =2]

[eqn: {bar{rm P prime G}}][eqn: = sqrt {{bar{rm PP prime }} ` ^{2} -` {bar{rm PG}} ` ^{2}}]
[eqn: = sqrt {LEFT ( 4`sin`60 ° RIGHT ) ^{2} -` LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ` ^{2}}]
[eqn: =3]

또, 점 [eqn: rm Q]에서 선분 [eqn: rm CD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q'], 선분 [eqn: rm CD]를 지름으로 하는 원의 중심을 [eqn: rm O _{2}]라 하면

[eqn: bar{rm HO _{2}}][eqn: = sqrt {bar{rm QO _{2}} ` ^{2} -` bar{rm QH`} ` ^{2}}]
[eqn: = sqrt {4 ^{2} - LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: =2]

이때, 점 [eqn: rm M _{1}]의 평면 [eqn: rm ABCD] 위로 정사영시킨 점을 [eqn: rm M _{1} ` prime]이라 하면

[eqn: rm M _{1} ']은 선분 [eqn: rm CH]의 중점이므로 그림과 같다.

이때,

[eqn: bar{rm GH} = sqrt {3 ^{2} +2 ^{2}} = sqrt {13}]

[eqn: bar{rm HM _{1} `'} =` {1} over {2} bar{rm HC} = {1} over {2} sqrt {2 ^{2} +4 ^{2}} = sqrt {5}]

또, 선분 [eqn: rm GM _{1} ']과 점 [eqn: rm H]를 지나고 선분 [eqn: rm BC]에 수직인 직선이 만나는 점을 [eqn: rm E]라 하면

[eqn: {bar{rm GM _{1} prime it}} = {bar{rm G`E it}} + {bar{rm EM _{1} prime it}} =3+1=4]

이때,

[eqn: bar{rm PM _{2} it} = bar{rm GH} = sqrt {13}],

[eqn: bar{rm M _{1} M _{2} it} = bar{rm HM _{1} prime } = sqrt {5}],

[eqn: bar{rm PM _{1}} = bar{rm GM _{1} `'} =4]

이고

[eqn: bar{rm PQ it} = sqrt {LEFT ( sqrt {13} RIGHT ) ^{2} +( sqrt {3} )` ^{2}} =4],

[eqn: bar{rm QM _{1}} = sqrt {LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( sqrt {5} RIGHT ) ^{2}} =2 sqrt {2}]

이므로 다음 그림과 같다.

점 [eqn: rm P]에서 선분 [eqn: rm QM _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm P prime ']이라 하자.

이때, [eqn: ANGLE rm PM _{1} Q= alpha]라 하면

[eqn: cos` alpha = {{bar{rm M _{1} P `prime prime it}}} over {{bar{rm PM _{1} it}}} = {{1} over {2} {bar{rm M _{1} Q it}}} over {{bar{rm PM _{1} it}}} = {sqrt {2}} over {4}]

또, 점 [eqn: rm Q]에서 선분 [eqn: rm PM _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q']이라 하면

[eqn: bar{rm QQ'} BOT bar{rm PM _{1}}]이고

[eqn: bar{rm QM _{2}} BOT](평면 [eqn: rm PM _{1} M _{2}])이므로 삼수선의 정리에 의해

[eqn: bar{rm M _{2} Q prime it} BOT bar{rm PM _{1} it}]

이때,

[eqn: bar{rm M _{1} Q'}][eqn: = bar{rm QM _{1}} `cos` alpha]
[eqn: =2 sqrt {2} TIMES {sqrt {2}} over {4}]
[eqn: =1]

이므로

[eqn: bar{rm QQ'}][eqn: = sqrt {bar{rm QM _{1}} ` ^{2`} - bar{rm Q'M _{1}} ` ^{2}}]
[eqn: = sqrt {LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} -1 ^{2}}]
[eqn: = sqrt {7}]

[eqn: bar{rm M _{2} Q prime it}][eqn: = sqrt {bar{rm M _{2} M _{1} it} ` ^{2} - bar{rm Q prime M _{1} it} ` ^{2}} it]
[eqn: = sqrt {LEFT ( sqrt {5} RIGHT ) ^{2} -1 ^{2}} =2]

따라서

[eqn: cos` theta = {bar{rm Q prime M _{2} rm }} over {bar{rm QQ prime it}} = {2} over {sqrt {7}}]

이므로

[eqn: 70 TIMES cos` ^{2} theta =70 TIMES {4} over {7} =40]

이 종이에서 두 선분 [eqn: rm AB]와 [eqn: rm CD]를 접는 선으로 하여 두 반원을 접어 올렸을 때 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에서 평면 [eqn: rmABCD]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmG], [eqn: rmH]라 하면 두 점 [eqn: rmG], [eqn: rmH]는 정사각형 [eqn: rmABCD]의 내부에 놓여 있고, [eqn: bar{{rmP}{rmG}}``it = sqrt3], [eqn: bar{{rmQ}{rmH}}``it = 2 sqrt3]이다. 두 평면 [eqn: rm PCQ]와 [eqn: rmABCD]가 이루는 각의 크기가 [eqn: theta`]일 때, [eqn: 70 ``it times cos^{`2`} theta`]의 값을 구하시오.

(단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.) [4점][9월 평가원]

그림과 같이 평면 [eqn: alpha] 위에 있는 서로 다른 두 점 [eqn: rmA,~B]와 평면 [eqn: alpha] 위에 있지 않은 서로 다른 네 점 [eqn: rmC,~D,~E,~F]가 있다. 사각형 [eqn: rmABCD]는 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정사각형이고 사각형 [eqn: rmABEF]는 [eqn: {bar{rm AF}}][eqn: =12]인 직사각형이다. 정사각형 [eqn: rmABCD]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: 18]이고, 점 [eqn: rmF]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영을 [eqn: rmH]라 하면 [eqn: {bar{rm FH}}][eqn: =6]이다. 정사각형 [eqn: rmABCD]의 평면 [eqn: rmABEF] 위로의 정사영의 넓이는? [eqn: LEFT ( pile{it#it}]단, [eqn: 0< ANGLE rm DAF< {pi } over {2}][eqn: LEFT. pile{it#it} RIGHT )] [3점][7월 교육청]

⑤

[출제의도] 정사영의 성질을 활용하여 추론하기

정사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는 [eqn: 36]

정사각형 [eqn: rmABCD]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영의 넓이가 [eqn: 18]이므로

두 평면 [eqn: rmABCD]와 [eqn: alpha]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta _{1}]이라 하면

[eqn: 36 TIMES cos` theta _{1}][eqn: =18]이므로 [eqn: theta _{1}][eqn: = {pi} over {3}]

점 [eqn: rmF]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영이 [eqn: rmH]이므로

두 평면 [eqn: rmABEF]와 [eqn: alpha]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta _{2}]라 하면

[eqn: cos` theta _{2}][eqn: = {{bar{rm AH}}} over {{bar{rm AF}}}][eqn: = {6 sqrt {3}} over {12}][eqn: = {sqrt {3}} over {2}]이므로 [eqn: theta _{2}][eqn: = {pi} over {6}]

두 평면 [eqn: rmABCD]와 [eqn: rmABEF]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하면

[eqn: theta][eqn: = theta _{1} - theta _{2}][eqn: = {pi} over {6}]

따라서 정사각형 [eqn: rmABCD]의 평면 [eqn: rmABEF] 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S']이라 하면

[eqn: S'][eqn: =36 TIMES cos` {pi} over {6}][eqn: =18 sqrt {3}]

① [eqn: 12 sqrt {3}]	② [eqn: 15 sqrt {2}]	③ [eqn: 18 sqrt {2}]	④ [eqn: 15 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 18 sqrt {3}]

한 변의 길이가 [eqn: 4`]인 정삼각형 [eqn: rmABC`]를 한 면으로 하는 사면체 [eqn: rmABCD`]의 꼭짓점 [eqn: rmA`]에서 평면 [eqn: rmBCD`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 할 때, 점 [eqn: rmH`]는 삼각형 [eqn: rmBCD`]의 내부에 놓여 있다. 직선 [eqn: rmDH`]가 선분 [eqn: rmBC`]와 만나는 점을 [eqn: rmE`]라 할 때, 점 [eqn: rmE`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 7]

[출제의도] 삼수선의 정리를 이용하여 정사영의 넓이에 대한 문제를 해결한다.

조건 (나)에서 [eqn: rm angleCED][eqn: = 90° `]이므로 두 직선 [eqn: rm BC], [eqn: rm DE`]는 서로 수직이다.

삼수선의 정리에 의하여

[eqn: rm {bar{AH}} BOT `](평면 [eqn: rmBCD]), [eqn: rm {bar{HE}} BOT {bar{BC}} `]이므로 [eqn: rm {bar{AE}} BOT {bar{BC}}]

즉 직선 [eqn: rm BC`]와 평면 [eqn: rmAED`]는 서로 수직이므로

두 직선 [eqn: rmBC], [eqn: rmAD`]도 서로 수직이다.	[eqn: cdotscdotsit]㉠

조건 (가)에서 두 삼각형 [eqn: rm AEH], [eqn: rm DAH`]는 닮음이므로

[eqn: rm ANGLE DAE][eqn: =rmangleEAH+angleHAD][eqn: =90°]

그러므로 두 직선 [eqn: rm AD], [eqn: rm AE`]는 서로 수직이다.	[eqn: cdotscdotsit]㉡

㉠, ㉡에서 직선 [eqn: rm AD`]는 평면 [eqn: rmABC`]와 서로 수직이다.

정삼각형 [eqn: rm ABC`]에서 [eqn: rm {bar{AE}} BOT {bar{BC}} `]이므로 점 [eqn: rm E`]는 선분 [eqn: rm BC`]의 중점이다. 즉 [eqn: {bar{rm AE}}][eqn: =2 sqrt {3}]

직각삼각형 [eqn: rm AED`]에서

[eqn: {bar{rm AD}}][eqn: = sqrt {{bar{rmDE}} ^{2} - { bar{rmAE} } ^{2}}][eqn: = sqrt {4 ^{2} - LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2}}][eqn: =2]

직각삼각형 [eqn: rm AED`]에서 [eqn: {bar{rm AE}} TIMES {bar{rm AD}}][eqn: = {bar{rm AH}} TIMES {bar{rm DE}} `]이므로

[eqn: 2 sqrt {3} TIMES 2][eqn: = {bar{rm AH}} TIMES 4`], [eqn: {bar{rm AH}}][eqn: = sqrt {3}]

직각삼각형 [eqn: rm AHD`]에서

[eqn: {bar{rm DH}}][eqn: = sqrt {{bar{rmAD}} ^{2} - { bar{rmAH} } ^{2}}][eqn: = sqrt {2 ^{2} - LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2}}][eqn: =1]

삼각형 [eqn: rm AHD`]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES sqrt {3} TIMES 1][eqn: = {sqrt {3}} over {2}]

두 평면 [eqn: rm][eqn: rm ABD], [eqn: rm AHD`]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta`]라

하면 [eqn: theta][eqn: rm = ANGLE BAE][eqn: = 30° `]이므로 구하는 정사영의 넓이는
[eqn: {sqrt {3}} over {2} TIMES rm cos` 30°][eqn: = {3} over {4}]

따라서 [eqn: p=4], [eqn: q=3 `]이므로 [eqn: p+q][eqn: =4+3][eqn: =7]

(가) [eqn: rmangleAEH=angleDAH]

(나) 점 [eqn: rmE`]는 선분 [eqn: rm CD`]를 지름으로 하는 원 위의 점이고
[eqn: {bar{rm DE}} =4`]이다.

삼각형 [eqn: rmAHD`]의 평면 [eqn: rmABD] 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점][10월 교육청]

그림과 같이

[eqn: 25]

[출제의도] 공간도형을 활용하여 문제해결하기

[eqn: ANGLE rm BMD][eqn: = {pi} over {2}]이므로 [eqn: {bar{rm BM}}][eqn: =8]

[eqn: ANGLE rm BAM][eqn: = {pi} over {2}]이므로 [eqn: {bar{rm AM}}][eqn: =4 sqrt {3}]

점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: rmBM]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

[eqn: {bar{rm PM}} BOT {bar{rm BM}}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

직선 [eqn: rmAB]와 평면 [eqn: rmACD]가 서로 수직이므로

[eqn: {bar{rm AB}} BOT {bar{rm CD}}]

직선 [eqn: rmCD]는 두 직선 [eqn: rmAB,~BM]과 서로 수직이므로

[eqn: {bar{rm CD}} BOT](평면 [eqn: rmAMB])

직선 [eqn: rmPH]는 평면 [eqn: rmAMB]에 포함되므로

[eqn: {bar{rm PH it}} BOT {bar{rm CD}}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: {bar{rm PH}} BOT](평면 [eqn: rmCDB])

[eqn: {bar{rm PH}} BOT](평면 [eqn: rmCDB])이고 [eqn: {bar{rm PN}} BOT {bar{rm BD}}]이므로

삼수선의 정리에 의하여 [eqn: {bar{rm HN}} BOT {bar{rm BD}}]

두 삼각형 [eqn: rmDBM]과 [eqn: rmHBN]은 서로 닮은 도형이므로

[eqn: {bar{rm BM}} ``:`` {bar{rm MD}}][eqn: = {bar{rm BN}} ``:`` {bar{rm NH}}]에서

[eqn: {bar{rm NH}}][eqn: = {{bar{rm MD}} TIMES {bar{rm BN}}} over {{bar{rm BM}}}][eqn: = sqrt {5}]

[eqn: ANGLE rm BNH][eqn: = {pi} over {2}]이므로 [eqn: {bar{rm BH}} ^{2}][eqn: = {bar{rm BN}} ^{2} + {bar{rm NH}} ^{2}][eqn: =25]

[eqn: {bar{rm BH}}][eqn: =5], [eqn: {bar{rm MH}}][eqn: =3]

[eqn: tan` LEFT ( ANGLE rm AMB RIGHT )][eqn: = {sqrt {3}} over {3}]이므로 [eqn: {bar{rm PH}}][eqn: = sqrt {3}]

[eqn: {bar{rm PN}} ^{2}][eqn: = {bar{rm PH}} ^{2} + {bar{rm HN}} ^{2}][eqn: =8]

[eqn: {bar{rm PN}}][eqn: =2 sqrt {2}]

두 평면 [eqn: rmPDB], [eqn: rmCDB]의 교선은 직선 [eqn: rmDB]이고

평면 [eqn: rmPDB] 위의 점 [eqn: rmP]의 평면 [eqn: rmCDB] 위로의 정사영이 [eqn: rmH]이므로

[eqn: cos` theta][eqn: = {{bar{rm HN}}} over {{bar{rm PN}}}][eqn: = {sqrt {5}} over {2 sqrt {2}}][eqn: = {sqrt {10}} over {4}]

따라서 [eqn: 40`cos ^{2} ` theta][eqn: =25]

[eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =4], [eqn: {bar{rm CD}}][eqn: =8], [eqn: {bar{rm BC}}][eqn: = {bar{rm BD}}][eqn: =4 sqrt {5}]

인 사면체 [eqn: rmABCD]에 대하여 직선 [eqn: rmAB]와 평면 [eqn: rmACD]는 서로 수직이다. 두 선분 [eqn: rmCD], [eqn: rmDB]의 중점을 각각 [eqn: rmM,~N]이라 할 때, 선분 [eqn: rmAM] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmDB]와 선분 [eqn: rmPN]은 서로 수직이다. 두 평면 [eqn: rmPDB]와 [eqn: rmCDB]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: 40`cos ^{2} ` theta]의 값을 구하시오. [4점][7월 교육청]

공간좌표(2,3점)

좌표공간의 점 [eqn: rmA left(3,````0,````-2 right)]를 [eqn: xy`]평면에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm B]라 하자. 점 [eqn: rmC left(0,````4,````2 right)]에 대하여 선분 [eqn: rm BC]의 길이는? [2점][9월 평가원]

⑤

[출제의도] 공간좌표에서 대칭점과 두 점 사이의 거리를 구할 수 있는가?

점 [eqn: rm B]는 점 [eqn: rm A LEFT ( 3,````0,````-2 RIGHT )]를 [eqn: xy]평면에 대하여 대칭이동한 점이므로

[eqn: rm B LEFT ( 3,````0,````2 RIGHT )]

따라서 [eqn: rm C LEFT ( 0,````4,````2 RIGHT )]이므로

[eqn: bar{rm BC}][eqn: = sqrt {(0-3) ^{2} + LEFT ( 4-0 RIGHT ) ^{2} +(2-2) ^{2}}]
[eqn: =5]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]

④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

좌표공간의 두 점 [eqn: rm A LEFT ( -1,````1,````-2 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 2,````4,````1 RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rmAB`]가 [eqn: xy`]평면과 만나는 점을 [eqn: rmP`]라 할 때, 선분 [eqn: rmAP`]의 길이는? [3점][10월 교육청]

①

[출제의도] 좌표공간에서 선분의 내분점을 이해하여 선분의 길이를 구한다.

점 [eqn: rmP`]는 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: m`:`n`]으로 내분하는 점이므로

점 [eqn: rmP`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {2m-n} over {m+n} ,```` {4m+n} over {m+n} ,```` {m-2n} over {m+n} RIGHT ) `]이다.

[eqn: xy`]평면 위의 점 [eqn: rmP`]의 [eqn: z`]좌표는 [eqn: 0`]이므로
[eqn: m-2n][eqn: =0], [eqn: m][eqn: =2n]

그러므로 점 [eqn: rmP`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,````3,````0 RIGHT ) `]이다.

따라서 선분 [eqn: rmAP`]의 길이는

[eqn: sqrt {LEFT { 1- LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT ( 3-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT { 0- LEFT ( -2 RIGHT ) RIGHT } ^{2}}][eqn: =2 sqrt {3}]

① [eqn: 2 sqrt {3}]	② [eqn: sqrt13]	③ [eqn: sqrt {14}]

④ [eqn: sqrt15]	⑤ [eqn: 4]

좌표공간에 [eqn: rm bar{OA}=7`]인 점 [eqn: rmA`]가 있다. 점 [eqn: rmA`]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 8`]인 구 [eqn: S``]와 [eqn: xy`]평면이 만나서 생기는 원의 넓이가 [eqn: 25pi`]이다. 구 [eqn: S``]와 [eqn: z`]축이 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmB], [eqn: rmC`]라 할 때, 선분 [eqn: rm {BC}`]의 길이는? (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.) [3점][10월 교육청]

⑤

[출제의도] 구의 방정식을 이용하여 구와 좌표축의 관계에 대한 문제를 해결한다.

좌표공간의 점 [eqn: rmA`]의 좌표를 [eqn: left( a,````b,````c right)`]라 하면

[eqn: bar{ rm OA}][eqn: =7`]이므로 [eqn: sqrt {a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}}][eqn: =7]

[eqn: a^2 +b^2 +c^2][eqn: =49]	[eqn: cdotscdots it]㉠

구 [eqn: S``]의 방정식은

[eqn: left(x -a right)^2 + left(y-b right)^2 + left(z-c right)^2][eqn: =64]

[eqn: xy`]평면 위의 모든 점의 [eqn: z`]좌표는 [eqn: 0`]이므로

구 [eqn: S``]와 [eqn: xy`]평면이 만나서 생기는 원 [eqn: C``]의 반지름의 길이는

[eqn: sqrt{64-c ^{2}}]이다. 원 [eqn: C``]의 넓이가 [eqn: 25pi`]이므로

[eqn: 64-c ^{2}][eqn: =25], [eqn: c^2][eqn: = 39]

㉠에서 [eqn: a^2 +b^2][eqn: =49-c^2][eqn: =49-39][eqn: =10]

점 [eqn: rmA`]에서 [eqn: z`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하면 점 [eqn: rmH`]의 좌표는 [eqn: left( 0,``0,``c right)`]이다.
[eqn: {bar{rm AH}}][eqn: = sqrt {it LEFT ( a-0 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b-0 RIGHT ) ^{2} +left(c -c right)^2 }][eqn: = sqrt { a^2 +b^2 }][eqn: =sqrt 10]
점 [eqn: rmB`]는 구 위의 점이므로 [eqn: bar{ rmAB}][eqn: =8]
직각삼각형 [eqn: rmABH`]에서

[eqn: bar{ rmBH}][eqn: rm = sqrt {{bar{AB}} ^{2} - {bar{AH}} ^{2}}][eqn: = sqrt{ 64 -10}][eqn: =sqrt54][eqn: =3 sqrt6]

따라서 [eqn: bar{ rm BC}][eqn: rm = 2 times bar{BH}][eqn: = 2 times 3 sqrt6][eqn: =6 sqrt6]

① [eqn: 2sqrt46]	② [eqn: 8sqrt3]	③ [eqn: 10 sqrt2]

④ [eqn: 4sqrt13]	⑤ [eqn: 6 sqrt6]