		[ 확률과 통계 ]		G-1

순열과 조합

순열과 조합

부모를 포함한 [eqn: 6]명의 가족이 원형 탁자에 둘러앉아 식사를 하려고 할 때, 다음을 구하시오.

(1) [eqn: 120]	(2) [eqn: 48]	(3) [eqn: 24]

⑴ [eqn: 6]명의 가족이 원형 탁자에 앉는 모든 경우의 수는  [eqn: (6-1)!=5!=120]

⑵ 부모를 [eqn: 1]명으로 생각하면 [eqn: 5]명이 원형 탁자에 앉는 경우의 수는
[eqn: (5-1)!=4!]
그 각각에 대하여 부모가 서로 자리를 바꾸어 앉는 경우의 수는  [eqn: 2!]
따라서 구하는 모든 경우의 수는  [eqn: 4! TIMES 2!=48]

⑶ 아버지를 고정시키면 어머니가 앉을 수 있는 경우의 수는  [eqn: 1]
나머지 [eqn: 4]명이 앉는 경우의 수는 [eqn: 4]명을 일렬로 배열하는 순열의 수이므로  [eqn: 4!]
따라서 구하는 모든 경우의 수는  [eqn: 1 TIMES 4!=24]

⑴ [eqn: 6]명의 가족이 앉는 모든 경우의 수

⑵ 부모가 이웃하여 앉는 모든 경우의 수

⑶ 부모가 마주 보고 앉는 모든 경우의 수

두 사람 [eqn: rm A], [eqn: rm B]를 포함한 [eqn: 8]명의 춤 동아리 회원이 원탁에 둘러앉을 때, 다음을 구하시오.

(1) [eqn: 1440]	(2) [eqn: 720]

⑴ [eqn: rm A], [eqn: rm B]가 이웃하여 앉는 모든 경우의 수

⑵ [eqn: rm A], [eqn: rm B]가 마주 보고 앉는 모든 경우의 수

오른쪽 그림과 같은 구절판에서 음식을 배열하는 모든 방법의 수는 원순열을 이용하여 구할 수 있다. 이와 같이 실생활과 관련된 원순열 문제를 만들고, 푸시오.

[eqn: 24]

오지선다형 문제 [eqn: 3]개가 있다. 각 문제의 답을 하나씩 임의로 고를 때, 고를 수 있는 모든 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 125]

오른쪽 그림과 같은 스테인드글라스의 네 칸 [eqn: rm `A,~B,~C,~D it]는 빨간색, 파란색, 노란색의 [eqn: 3]가지 색으로, 세 칸 [eqn: rm E,~F,~G]는 초록색, 하늘색의 [eqn: 2]가지 색으로 칠하려고 한다. 칠할 수 있는 모든 경우의 수를 구하시오. (단, 한 칸에는 [eqn: 1]가지 색을 칠할 수 있고, 사용하지 않는 색이 있을 수 있다.)

[eqn: 648]

네 칸 [eqn: rm `A,~B,~C,~D it]에 각각 서로 다른 [eqn: 3]가지 색을 칠할 수 있으므로 그 경우의 수는  [eqn: {} _{3} SMALLPROD _{4}]

세 칸 [eqn: rm E,~F,~G]에 각각 서로 다른 [eqn: 2]가지 색을 칠할 수 있으므로 그 경우의 수는  [eqn: {} _{2} SMALLPROD _{3}]

따라서 구하는 모든 경우의 수는

[eqn: {} _{3} SMALLPROD _{4} TIMES _{2} SMALLPROD _{3} =3 ^{4} TIMES 2 ^{3} =81 TIMES 8=648]

[eqn: rm A] 지역의 중학생은 그 지역의 [eqn: 5]곳의 고등학교 중 [eqn: 1]곳에, [eqn: rm B] 지역의 중학생은 그 지역의 [eqn: 4]곳의 고등학교 중 [eqn: 1]곳에 배정된다고 한다. [eqn: rm A] 지역의 중학생 [eqn: 3]명과 [eqn: rm B] 지역의 중학생 [eqn: 2]명이 고등학교에 배정되는 모든 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 2000]

서로 다른 [eqn: 4]개의 상자 [eqn: rm `A,`B,`C,`D it]에 서로 다른 [eqn: 3]개의 공을 넣는 모든 방법의 수는 [eqn: {} _{4} SMALLPROD _{3}]임을 설명하시오. (단, 한 상자에 공을 여러 개 넣을 수 있다.)

[eqn: rm _{4} SMALLPROD _{3}]

서로 다른 [eqn: 4]개의 상자에서 중복을 허용하여 [eqn: 3]개를 택하여 일렬로 배열하는 모든 방법의 수와 같으므로 [eqn: rm _{4} SMALLPROD _{3}]이다.

다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 20]	⑵ [eqn: 210]

⑴ [eqn: 6]개의 숫자 [eqn: 1,~1,~1,~2,~2,~2]를 일렬로 배열하여 만들 수 있는 여섯 자리의 자연수의 개수

⑵ 빨간색 깃발 [eqn: 2]개, 파란색 깃발 [eqn: 3]개, 노란색 깃발 [eqn: 4]개를 일렬로 배열하여 신호를 만들 때, 양 끝에 노란색 깃발이 오도록 만들 수 있는 서로 다른 모든 신호의 개수

(단, 같은 색깔의 깃발은 서로 구별되지 않는다.)

오른쪽 그림과 같은 도로망이 있다. 지점 [eqn: rmP]에서 지점 [eqn: rmQ]까지 가는 최단 경로의 수를 구하시오.

[eqn: 35]

오른쪽으로 한 칸 가는 것을 [eqn: a], 위쪽으로 한 칸 가는 것을 [eqn: b]로 나타내면 그림과 같이 가는 것은 [eqn: aababba]로 나타낼 수 있다.

즉, 지점 [eqn: rmP]에서 지점 [eqn: rmQ]까지 최단 경로로 가는 것은 [eqn: 4]개의 [eqn: a]와 [eqn: 3]개의 [eqn: b]를 일렬로 배열하는 것과 같다.

따라서 구하는 최단 경로의 수는  [eqn: {7!} over {4!` TIMES 3!} =35]

오른쪽 그림과 같은 도로망이 있다. 지점 [eqn: rmP]에서 지점 [eqn: rmR]를 거쳐 지점 [eqn: rmQ]까지 가는 최단 경로의 수를 구하시오.

[eqn: 60]

[eqn: 6]개의 문자 [eqn: a,`a,`a,`a,`b,`b]를 일렬로 나열하는 모든 경우의 수를 구하려고 한다. 다음 두 학생의 방법으로 경우의 수를 각각 구하고, 그 결과를 비교하시오.

[태호] [eqn: {6!} over {4! TIMES 2!} =15]  [윤아] [eqn: {} _{6} {rmC} _{4} =15]  [결과] 같다.

서로 다른 [eqn: 5]가지 색의 풍선에서 중복을 허용하여 [eqn: 2]개를 택하는 모든 방법의 수를 구하시오.

[eqn: 15]

서로 다른 [eqn: 4]개의 상자 [eqn: {rm`A,`B,`C,`D}]에 똑같은 [eqn: 5]개의 공을 넣는 모든 방법의 수는 [eqn: rm{} _{4} H _{5}]임을 설명하시오. (단, 빈 상자가 있을 수 있다.)

풀이 참조

서로 다른 [eqn: 4]개의 상자에서 중복을 허용하여 [eqn: 5]개를 택하는 모든 방법의 수와 같으므로 [eqn: {} _{4} rmH _{5}]이다.

[eqn: (a+b+c) ^{6}]의 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 구하시오.

[eqn: 28]

[eqn: (a+b+c) ^{6}]의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 [eqn: 3]개의 문자

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에서 중복을 허용하여 [eqn: 6]개를 택하는 조합의 수와 같다.

따라서 구하는 서로 다른 항의 개수는

[eqn: rm{} _{3} H _{6} = _{8} C _{6} =28]

다음 식의 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 구하시오.

⑴ [eqn: 21]	⑵ [eqn: 105]

⑴ [eqn: (a+b+c) ^{5}]	⑵ [eqn: (a+b) ^{6} (x+y+z) ^{4}]

방정식 [eqn: x+y+z=5]에 대하여 다음을 구하시오.

(1) [eqn: 21]	(2) [eqn: 6]

⑴ 방정식의 한 해, 예를 들어 [eqn: x=2,`y=1,`z=2]를 [eqn: 2]개의 [eqn: x], [eqn: 1]개의 [eqn: y], [eqn: 2]개의 [eqn: z]로 생각하면 음이 아닌 정수해의 개수는 서로 다른 [eqn: 3]개의 문자 [eqn: x,`y,`z]에서 중복을 허용하여 [eqn: 5]개를 택하는 조합의 수와 같다.
따라서 구하는 음이 아닌 정수해의 개수는  [eqn: rm{} _{3} H _{5} = _{7} C _{5} =21]

⑵ [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]가 양의 정수이므로 [eqn: X=x-1,`Y=y-1,`Z=z-1]로 놓으면 [eqn: X,`Y,`Z]는 음이 아닌 정수이다.
이때 [eqn: x=X+1,`y=Y+1,`z=Z+1]을 방정식 [eqn: x+y+z=5]에 대입하면
[eqn: (X+1)+(Y+1)+(Z+1)=5]
즉,  [eqn: X+Y+Z=2]
따라서 구하는 양의 정수해의 개수는 방정식 [eqn: X+Y+Z=2]의 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로  [eqn: rm{} _{3} H _{2} = _{4} C _{2} =6]

⑴ 음이 아닌 정수해의 개수

⑵ 양의 정수해의 개수

방정식 [eqn: x+y+z=7]에 대하여 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 36]	⑵ [eqn: 15]

⑴ 음이 아닌 정수해의 개수

⑵ 양의 정수해의 개수

한 상자에 빨간 공, 노란 공, 파란 공이 각각 [eqn: 6]개씩 들어 있다. 이 상자에서 [eqn: 9]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 각 색깔의 공이 적어도 [eqn: 2]개씩 나오는 모든 경우의 수를 구하려고 한다. 꺼낸 [eqn: 9]개의 공 중에서 빨간 공, 노란 공, 파란 공의 개수를 각각 [eqn: x, y, z]라 하고, 다음 두 학생이 말한 방법으로 각각 풀어 보자. (단, 같은 색깔의 공은 서로 구별되지 않는다.)

상윤 [eqn: 10], 세민 [eqn: 10]

[상윤] [eqn: (2,`2,`5)], [eqn: (2,`3,`4)], [eqn: (2,`4,`3)], [eqn: (2,`5,`2)], [eqn: (3,`2,`4)], [eqn: (3,`3,`3)], [eqn: (3,`4,`2)], [eqn: (4,`2,`3)], [eqn: (4,`3,`2)], [eqn: (5,`2,`2)]이므로 구하는 모든 경우의 수는 [eqn: 10]이다.

[세민] [eqn: x=X+2], [eqn: y=Y+2], [eqn: z=Z+2] ([eqn: X,`Y,`Z] 는 음이 아닌 정수)로 놓고 정리하면  [eqn: X+Y+Z=3]
따라서 이 방정식의 음이 아닌 정수해의 개수를 구하면 되므로 구하는 모든 경우의 수는  [eqn: {} _{3} rmH _{3} = _{5} C _{3} =10]

이항정리

이항정리를 이용하여 다음 빈칸에 알맞은 것을 써넣고, 식을 전개하시오.

⑴ [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: a ^{3} +3a ^{2} b+3ab ^{2} +b ^{3}]
⑵ [eqn: rm _{4} {\C} _{1}], [eqn: rm _{4} {\C} _{3}], [eqn: rm _{4} {\C} _{4}], [eqn: x ^{4} +4x ^{3} +6x ^{2} +4x+1]

⑴ [eqn: (a+b) ^{3} = _{3} rm C it rm _{0} a ^{3} + _{3} rm C it rm _{BOX{``````}} a ^{2} b+ _{3} rm C it rm _{2} ab ^{2} + _{BOX{``````}} rm C it rm _{BOX{``````}} b ^{3}# ``````````````````````````= under{```````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````}]

⑵ [eqn: (x+1) ^{4} = _{4} {rm C} it _{0} x ^{4} + BOX{`````````````} `x ^{3} + _{4} {rm C} it _{2} + BOX{`````````````} `x+ BOX{`````````````}# ``````````````````````````= under{````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````}]

이항정리를 이용하여 [eqn: (a+2b) ^{5}]을 전개하시오.

풀이 참조

[eqn: (a+2b) ^{5} = _{5} rm C it rm _{0} TIMES a ^{5} + _{5} rm C it rm _{1} TIMES a ^{4} TIMES (2b)+ _{5} rm C it rm _{2} TIMES a ^{3} TIMES (2b) ^{2} + _{5} rm C it rm _{3} TIMES a ^{2}# ````````````````````````````````````` TIMES (2b) ^{3} + _{5} rm C it rm _{4} TIMES a TIMES (2b) ^{4} + _{5} rm C it rm _{5} TIMES (2b) ^{5}]

[eqn: `````````````````````````````=a ^{5} +5a ^{4} TIMES 2b+10a ^{3} TIMES 4b ^{2} +10a ^{2} TIMES 8b ^{3} +5a TIMES 16b ^{4} +32b ^{5}]

[eqn: `````````````````````````````=a ^{5} +10a ^{4} b+40a ^{3} b ^{2} +80a ^{2} b ^{3} +80ab ^{4} +32b ^{5}]

이항정리를 이용하여 다음 식을 전개하시오.

⑴ [eqn: 16x ^{4} +32x ^{3} +24x ^{2} +8x+1]
⑵ [eqn: 243a ^{5} -405a ^{4} b+270a ^{3} b ^{2} -90a ^{2} b ^{3} +15ab ^{4} -b ^{5}]

(1) [eqn: (2x+1) ^{4}]	(2) [eqn: (3a-b) ^{5}]

[eqn: (2x-3) ^{5}]의 전개식에서 [eqn: x ^{3}]의 계수를 구하시오.

[eqn: 720]

[eqn: (2x-3) ^{5}]의 전개식에서 각 항은 [eqn: {} _{5} {rm C} _{r} TIMES (2x) ^{5-r} TIMES (-3) ^{r}]의 꼴로 나타낼 수 있으므로

[eqn: {} _{5} {rm C} _{r} TIMES (2x) ^{5-r} TIMES (-3) ^{r} = _{5} {rm C} _{r} TIMES 2 ^{5-r} TIMES (-3) ^{r} TIMES x ^{5-r}]

[eqn: x ^{5-r} =x ^{3}]에서  [eqn: 5-r=3,`r=2]

따라서 [eqn: x ^{3}]의 계수는  [eqn: rm{} _{5} C _{2} TIMES 2 ^{3} TIMES (-3) ^{2} =720]

다음 다항식의 전개식에서 [eqn: x ^{4}]의 계수를 구하려고 한다. 전개식의 각 항의 꼴을 이용하여 알맞은 것끼리 선으로 연결하시오.

①-㉡-㉯, ②-㉢-㉮, ③-㉠-㉰

오른쪽 파스칼의 삼각형에서 빈칸에 [eqn: 7]번째, [eqn: 8]번째 행을 완성하고 이를 이용하여 다음 식을 전개하시오.

풀이 참조

[eqn: 1```6```15```20```15```6```1]

[eqn: 1```7```21```35```35```21```7```1]

⑴ [eqn: a ^{6} +6a ^{5} b+15a ^{4} b ^{2} +20a ^{3} b ^{3} +15a ^{2} b ^{4} +6ab ^{5} +b ^{6}]

⑵ [eqn: x ^{7} -7x ^{6} +21x ^{5} -35x ^{4} +35x ^{3} -21x ^{2} +7x-1]

(1) [eqn: (a+b) ^{6}]

(2) [eqn: (x-1) ^{7}]

오른쪽 파스칼의 삼각형에 대하여 다음 물음에 답하시오.

풀이 참조

⑴ 각 행의 수의 합은 차례로       [eqn: 1=2 ^{0} ,`1+1=2 ^{1} ,`1+2+1=2 ^{2} ,~# 1+3+3+1=2 ^{3} ,`1+4+6+4+1=2 ^{4} ,]
[eqn: 1+5+10+10+5+1=2 ^{5} ,`1+6+15+20+15+6+1=2 ^{6}]
따라서  [eqn: rm{} _{6} C _{0} + _{6} C _{1} + _{6} C _{2} +` CDOTS _{6} C _{6} =2 ^{6}]

⑵ 이항정리에 의하여
[eqn: (x+1) ^{n} = _{n} {rm C} _{0} x ^{n} + _{n} {rm C} _{1} x ^{n-1} + _{n} {rm C} _{2} x ^{n-2} +` CDOTS `+ _{n} {rm C} _{n}]
이 식의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면
[eqn: 2 ^{n} = _{n} {rm C} _{0} + _{n} {rm C} _{1} + _{n} {rm C} _{2} +` CDOTS `+ _{n} {rm C} _{n}]

⑴ 각 행의 수의 합을 구하고, 그 값을 이용하여 다음 식의 값을 구하시오.

[eqn: rm{} _{6} C _{0} + _{6} C _{1} + _{6} C _{2} +` CDOTS `+ _{6} C _{6}]

⑵ 이항정리를 이용하여 등식
[eqn: {} _{n} {rm C} _{0} + _{n} {rm C} _{1} + _{n} {rm C} _{2} +` CDOTS `+ _{n} {rm C} _{6} =2 ^{n}]

이 성립함을 증명하시오.

이항정리를 이용하여 다음 등식이 성립함을 증명하시오.

풀이 참조

⑴ 이항정리에 의하여
[eqn: (1+x) ^{n} = _{n} {\C} _{0} + _{n} {\C} _{1} x+ _{n} {\C} _{2} x ^{2} +` CDOTS `+ _{n} {\C} _{n} x ^{n}]
이 식의 양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면
[eqn: 0= _{n} {\C} _{0} - _{n} {\C} _{1} + _{n} {\C} _{2} -` CDOTS `+(-1) ^{n} ` _{n} {\C} _{n}]

⑵ [eqn: rm _{n} {\C} _{0} + _{n} {\C} _{1} + _{n} {\C} _{2} +` CDOTS `+ _{n} {\C} _{n} =2 ^{n} ```````` CDOTS CDOTS ①# rm _{n} {\C} _{0} - _{n} {\C} _{1} + _{n} {\C} _{2} -` CDOTS `- _{n} {\C} _{n} =0````````````` CDOTS CDOTS ②]
①[eqn: +]②를 하면
[eqn: 2( _{n} {\C} _{0} + _{n} {\C} _{2} + _{n} {\C} _{4} +` CDOTS `+ _{n} {\C} _{n-1} )=2 ^{n}]
즉,  [eqn: rm _{n} {\C} _{0} + _{n} {\C} _{2} + _{n}{\C} _{4} +` CDOTS `+ _{n} {\C} _{n-1} =2 ^{n-1}]
①[eqn: -]②를 하면
[eqn: 2( _{n} {\C} _{1} + _{n} {\C} _{3} + _{n}{\C} _{5} +` CDOTS `+ _{n}{\C} _{n} )=2 ^{n}]
즉, [eqn: ` _{n}{\C} _{1} + _{n} {\C} _{3} + _{n}{\C} _{5} +` CDOTS `+ _{n} {\C} _{n} =2 ^{n-1}]
따라서 주어진 등식이 성립한다.

(1) [eqn: {} _{n} {rm C} it _{0} - _{n}{ rm C} it _{1} + _{n} {rm C} it _{2} -` CDOTS `+(-1) ^{n }{ rm C} it _{n} =0]

(2) [eqn: n]이 홀수일 때,
[eqn: {}_{n} rm C it rm _{0} + _{ITn} RM rm C it rm _{2} + _{ITn} rm rmC it rm _{4} +` CDOTS `+ _{itn} rm rm C it it rm _{n-1}]
[eqn: = _{n} rm C it rm _{1} + _{itn} rm rm C it rm _{3} + _{itn} rm rm C it rm _{5} +` CDOTS `+ _{itn} rm rm C it rm _{itn} =it2 ^{n-1}]

등식 [eqn: {} _{n} {rm C} _{1} +2 TIMES _{n} {rm C} _{2} +3 TIMES _{n} {rm C} _{3} +` CDOTS `+n TIMES _{n} {rm C} _{n} =n TIMES 2 ^{n-1} `(n GEQ 2)]이 성립함을 증명하려고 한다. 다음 두 학생의 대화에서 한 가지 방법을 택하여 증명해 보자.

풀이 참조

[세민] [eqn: r TIMES _{n} {rmC} _{r} =n TIMES _{n-1} {rmC} _{r-1}]이므로

[eqn: {} _{n} rm C it rm _{1} +2 TIMES _{n} rm C it rm _{2} +3 TIMES _{n} rm C it rm _{3} +` CDOTS `+n TIMES _{n} rm C it rm _{n}]

[eqn: =n TIMES _{n-1} rm C it rm _{0} +n TIMES _{n-1} rm C it rm _{1} +n TIMES _{n-1} rm C it rm _{2} +` CDOTS `+n TIMES _{n-1} rm C it rm _{n-1} it]

[eqn: =n TIMES ( _{n-1} rm C it rm _{0} + _{n-1} rm C it rm _{1} + _{n-1} rm C it rm _{2} +` CDOTS `+ _{n-1} rm C it rm _{n-1} )]

[eqn: =n TIMES 2 ^{n-1}]

중단원 마무리하기

[eqn: 7]명의 학생이 원탁에 둘러앉는 모든 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 720]

[eqn: 5]명의 학생이 두 영화 [eqn: rm `A,~B]중에서 각각 관람할 영화를 [eqn: 1]편씩 택하는 모든 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 32]

[eqn: 10]개의 문자 [eqn: S], [eqn: T], [eqn: A], [eqn: T], [eqn: I], [eqn: S], [eqn: T], [eqn: I], [eqn: C], [eqn: S]를 일렬로 배열하는 모든 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 50400]

이항정리를 이용하여 다음 식을 전개하시오.

⑴ [eqn: 16x ^{4} -32x ^{3} y+24x ^{2} y ^{2} -8xy ^{3} +y ^{4}]
⑵ [eqn: x ^{5} +5x ^{3} +10x+ {10} over {x} + {5} over {x ^{3}} + {1} over {x ^{5}}]

(1) [eqn: (2x-y) ^{4}]

(2) [eqn: (x+ {1} over {x} ) ^{5}]

남자 [eqn: 3]명과 여자 [eqn: 3]명이 원탁에 둘러앉아 토의를 할 때, 다음을 구하시오.

(1) [eqn: 81]	(2) [eqn: 12]

⑴ 여자 [eqn: 3]명을 [eqn: 1]명으로 생각하면 [eqn: 4]명이 원탁에 앉는 경우의 수는  [eqn: (4-1)!`=3!]
그 각각에 대하여 여자 [eqn: 3]명이 자리를 바꾸어 앉는 경우의 수는  [eqn: 3!]
따라서 구하는 모든 경우의 수는  [eqn: 3! TIMES 3!]

⑵ 여자 [eqn: 3]명이 원탁에 앉는 경우의 수는  [eqn: (3-1)!`=2!`]
여자 사이사이에 남자 [eqn: 3]명이 각각 [eqn: 1]명씩 앉는 경우의 수는  [eqn: 3!]
따라서 구하는 모든 경우의 수는  [eqn: 2! TIMES 3!`=12]

⑴ 여자 [eqn: 3]명이 이웃하여 앉는 모든 경우의 수

⑵ 여자와 남자가 교대로 앉는 모든 경우의 수

오른쪽 그림과 같이 두 동심원을 각각 [eqn: 4]등분 하여 만든 [eqn: 8]개의 영역을 서로 다른 [eqn: 8]가지 색을 모두 사용하여 칠하려고 한다. 칠할 수 있는 모든 경우의 수를 구하시오,(단, [eqn: 1]개의 영역에는 [eqn: 1]가지 색을 칠할 수 있고, 회전하여 일치하는 경우는 모두 같은 것으로 본다.)

[eqn: 10080]

작은 원의 안쪽 [eqn: 4]개의 영역을 칠하는 [eqn: 4]가지 색을 고르는 경우의 수는  [eqn: rm _{8} {rmC} _{4}]

고른 [eqn: 4]가지 색으로 칠하는 경우의 수는  [eqn: (4-1)!`=3!]

남은 [eqn: 4]가지 색으로 나머지 [eqn: 4]개의 영역을 칠하는 경우의 수는  [eqn: 4!]

따라서 구하는 모든 경우의 수는

[eqn: {} _{8} {rmC} _{4} TIMES 3! TIMES 4!`=10080]

[eqn: 6]명의 학생이 다음 그림과 같은 정삼각형 모양, 직사각형 모양의 탁자에 각각 둘러앉는 모든 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 경우는 모두 같은 것으로 본다.)

[eqn: 240,~360]

[eqn: 6]명의 학생을 일렬로 배열하는 경우의 수는  [eqn: 6!]

그 각각에 대하여 정삼각형 모양의 탁자와 직사각형 모양의 탁자에 둘러앉을 때, 서로 같은 경우가 각각 [eqn: 3]가지, [eqn: 2]가지씩 있으므로 구하는 모든 경우의 수는 각각

[eqn: {6!} over {3} =240], [eqn: {6!} over {2} =360]

중복을 허용하여 [eqn: 3]개의 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2]로 만들 수 있는 네 자리의 자연수의 개수를 구하시오.

[eqn: 54]

천의 자리에 올 수 있는 숫자는 [eqn: 1,~2]로  [eqn: 2]개

나머지 세 자리에 숫자를 배열하는 방법의 수는

[eqn: {} _{3} rm SMALLPROD it _{3} =27]

따라서 구하는 네 자리의 자연수의 개수는

[eqn: 2 TIMES 27=54]

두 집합

[eqn: 625]

구하는 함수의 개수는 집합 [eqn: Y]의 [eqn: 5]개의 원소에서 [eqn: 4]개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로  [eqn: {} _{5} SMALLPROD _{4} =625]

[eqn: X= LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT }]

[eqn: Y= LEFT { a,~b,~c,~d,~e RIGHT }]

에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수의 개수를 구하시오.

[eqn: 6]개의 문자 [eqn: S], [eqn: C], [eqn: H], [eqn: O], [eqn: O], [eqn: L]을 일렬로 배열할 때, 문자 [eqn: H]가 왼쪽에서부터 홀수 번째에 오는 모든 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 180]

문자 [eqn: rm H]는 왼쪽에서부터 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5]번째 자리에 올 수 있으므로 그 경우의 수는  [eqn: 3]

그 각각에 대하여 나머지 문자를 일렬로 배열하는 경우의 수는	[eqn: {5!} over {2!} =60]

따라서 구하는 모든 경우의 수는  [eqn: 3 TIMES 60=180]

다음을 구하시오. (단, 빈 상자가 있을 수 있다.)

⑴ [eqn: {} _{3} SMALLPROD _{4} =81]	⑵ [eqn: {} _{3} rm H it _{4} = _{6} rm C it _{4} =15]

⑴ 서로 다른 [eqn: 4]병의 음료수를 서로 다른 [eqn: 3]개의 상자에 넣는 모든 방법의 수

⑵ 똑같은 [eqn: 4]병의 음료수를 서로 다른 [eqn: 3]개의 상자에 넣는 모든 방법의 수

한 바구니에 빨간 장미, 노란 장미, 흰 장미가 각각 [eqn: 10]송이씩 들어 있다. 이 바구니에서 [eqn: 14]송이의 장미를 동시에 꺼낼 때, 각 색깔의 장미가 적어도 [eqn: 3]송이씩 나오는 모든 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색깔의 장미는 서로 구별되지 않는다.)

[eqn: 21]

각 색깔의 장미가 [eqn: 3]송이씩 나오고, [eqn: 5]송이의 장미가 더 나오면 되므로 더 나오는 빨간 장미, 노란 장미, 흰 장미의 수를 각각 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]라고 하면 [eqn: x+y+z=5]를 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수를 구하면 된다.

따라서 구하는 모든 경우의 수는  [eqn: rm _{3} rm H _{5} = _{7} rm C _{5} =21]

[eqn: (x-a) ^{4}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수와 [eqn: x]의 계수의 합이 [eqn: 0]일 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: a=0] 또는 [eqn: a= {3} over {2}]

[eqn: (x-a) ^{4}]의 전개식에서 각 항은 [eqn: {} _{4} rm C it _{r} TIMES x ^{4-r} TIMES (-a) ^{r}]의 꼴로 나타낼 수 있다.

[eqn: x ^{4-r} =x ^{2}]에서 [eqn: r=2]이므로 [eqn: x ^{2}]의 계수는

[eqn: {}_{4} rm C it rm _{2} TIMES (-ITa) ^{2} =6a ^{2}]

[eqn: x ^{4-r} =x]에서 [eqn: r=3]이므로 [eqn: x]의 계수는

[eqn: {}_{4} rm C it rm _{3} TIMES (-ita) ^{3} =-4a ^{3}]

이때 [eqn: 6a ^{2} -4a ^{3} =0]이므로  [eqn: a=0] 또는 [eqn: a= {3} over {2}]

다음 식의 값을 구하시오.

[eqn: 2 ^{98}]

[eqn: {} _{99} rm C it _{r} = _{99} rm C it _{99-r}]이므로

[eqn: {} _{99} rm C _{0} + _{99} rm C _{1} + _{99} rm C _{2} +` CDOTS `+ _{99} rm C _{48} + _{99} rm C _{49}# = _{99} rm C _{99} + _{99} rm C _{98} + _{99} rm C _{97} +` CDOTS `+ _{99} rm C _{51} + _{99} rm C _{50}]

[eqn: {} _{99} rm C _{0} + _{99} rm C _{1} + _{99} rm C _{2} +` CDOTS `+ _{99} rm C _{99} =2 ^{99}]이므로

[eqn: {} _{99} rm C _{0} + _{99} rm C _{1} + _{99} rm C _{2} +` CDOTS `+ _{99} rm C _{48} + _{99} rm C _{49} = {1} over {2} TIMES 2 ^{99} =2 ^{98}]

[eqn: rm _{99} rmC _{0} + _{99} C _{1} + _{99} C _{2} +` CDOTS `+ _{99} C _{48} + _{99} C _{49}]

다음 그림과 같은 도로망이 있다. 지점 [eqn: rm A]에서 지점 [eqn: rm B]까지 가는 최단 경로의 수를 구하시오.

[eqn: 52]

그림의 지점 [eqn: rm A]에서 세 지점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q`], [eqn: rm R]를 각각 거쳐 지점 [eqn: rm B]까지 가는 최단경로의 수는 차례로

[eqn: {4!} over {2! TIMES 2!} TIMES {4!} over {3!} =24], [eqn: {4!} over {3!} TIMES {4!} over {2! TIMES 2!} =24], [eqn: 1 TIMES {4!} over {3!} =4]

따라서 구하는 최단 경로의 수는  [eqn: 24+24+4=52]

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]가 각각 적힌 [eqn: 5]개의 공을 서로 다른 [eqn: 3]개의 상자에 넣으려고 한다. 어느 상자에도 공에 적힌 수의 합이 [eqn: 13]이상이 되는 경우가 없도록 공을 넣는 모든 방법의 수를 구하시오. (단, 빈 상자가 있을 수 있다.)

[eqn: 228]

서로 다른 [eqn: 3]개의 상자에 서로 다른 [eqn: 5]개의 공을 넣는 방법의 수는	[eqn: {} _{3} SMALLPROD _{5} =243]

합이 [eqn: 13] 이상이 되는 상자가 있는 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]가 적힌 공을 한 상자에, [eqn: 2]가 적힌 공을 다른 두 상자에 넣는 방법의 수는  [eqn: {} _{3} rm P it _{2} =6]

(ⅱ) [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]가 적힌 공을 한 상자에, [eqn: 1]이 적힌 공을 다른 두 상자에 넣는 방법의 수는  [eqn: {} _{3} rm P it _{2} =6]

(ⅲ) [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]가 적힌 공을 한 상자에 넣는 방법의 수는 [eqn: 3]

따라서 구하는 모든 방법의 수는

[eqn: 243-(6+6+3)=228]

방정식 [eqn: x+y+z=15]를 만족시키는 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]가 모두 홀수인 양의 정수해의 개수를 구하시오.

[eqn: 28]

[eqn: x=2X+1], [eqn: y=2Y+1], [eqn: z=2Z+1]([eqn: X], [eqn: Y], [eqn: Z]는 음이 아닌 정수)로 놓으면 [eqn: x+y+z=15]에서

[eqn: (2X+1)+(2Y+1)+(2Z+1)=15]

즉,  [eqn: X+Y+X=6]

따라서 구하는 홀수인 양의 정수해의 개수는 방정식

[eqn: X+Y+Z=6]을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로	[eqn: {} _{3} rm H _{6} = _{8} rm C _{6} =28]

수행과제

파스칼의 삼각형에서 [eqn: 4]번째, [eqn: 5]번째 행에 있는 모든 수의 제곱의 합을 각각 구하여 빈칸에 써넣어 보자. 또 이 수를 파스칼의 삼각형에서 찾아 ○표를 하고, 조합의 수로 나타내 보자.

풀이참조

[eqn: 45]의 관계로부터 파스칼의 삼각형에서 [eqn: 7]번째 행에 있는 모든 수의 제곱의 합은 몇 번째 행의 가운데 있는 수와 같은지 추측하고, 빈칸에 알맞은 수를 써넣어 보자.

[eqn: 12,~6]

[eqn: 1]번째, [eqn: 2]번째, [eqn: 3]번째, [eqn: 4]번째, [eqn: 5]번째 행에 있는 모든 수의 제곱의 합은 각각 [eqn: 1]번째, [eqn: 3]번째, [eqn: 5]번째, [eqn: 7]번째, [eqn: 9]번째 행의 가운데 있는 수와 같다.

따라서 [eqn: 7]번째 행에 있는 모든 수의 제곱의 합은 [eqn: 13]번째 행의 가운데 있는 수 [eqn: {} _{12} rm C _{6}]으로 추측할 수 있다.

즉, [eqn: ( _{6} rm C _{0} ) ^{2} +( _{6} rm C _{1} ) ^{2} +( _{6} rm C _{2} ) ^{2} +` CDOTS `( _{6} rm C _{6} ) ^{2} = _{{BOX{12}}} rm C _{{BOX{6`}}}]

[eqn: rm( _{6} C _{0} ) ^{2} +( _{6} C _{1} ) ^{2} +( _{6} C _{2} ) ^{2} +` CDOTS `+( _{6} C _{6} ) ^{2} = _{BOX{``````}} C _{BOX{``````}}]

[eqn: 46]의 등식을 이용하여 [eqn: (x+1) ^{6} (x+1) ^{6}]의 전개식에서 [eqn: x ^{6}]의 계수를 [eqn: {}_{n} rm C it rm _{itr}]의 꼴로 나타내 보자.

[eqn: {} _{12} rm C _{6}]

[eqn: (x+1) ^{6} (x+1) ^{6}]의 전개식에서 [eqn: x ^{6}]의 계수는

[eqn: {} _{6} rm C _{0} TIMES _{6`} rm C _{6} + _{6} rm C _{1} TIMES _{6`} rm C _{5} + _{6} rm C _{2} TIMES _{6`} rm C _{4} +` CDOTS `+ _{6} rm C _{6} TIMES _{6`} rm C _{0}]

[eqn: = _{6} rm C _{0} TIMES _{6`} rm C _{0} + _{6} rm C _{1} TIMES _{6`} rm C _{1} + _{6} rm C _{2} TIMES _{6`} rm C _{2} +` CDOTS `+ _{6} rm C _{6} TIMES _{6`} rm C _{6}]

[eqn: =( _{6} rm C _{0} ) ^{2} +( _{6} rm C _{1} ) ^{2} +( _{6} rm C _{2} ) ^{2} +` CDOTS `+( _{6} rm C _{6} ) ^{2}]

[eqn: = _{12} rm C _{6}]

대단원 평가하기

[eqn: 8]명의 친구가 원탁에 둘러앉는 모든 방법의 수를 구하시오.

[eqn: 5040]

선생님 [eqn: 1]명, 여학생 [eqn: 2]명, 남학생 [eqn: 2]명이 원탁에 앉을 때, 선생님 양 옆에 남학생이 앉는 모든 방법의 수를 구하시오.

[eqn: 4]

선생님과 남학생 [eqn: 2]명을 [eqn: 1]명으로 생각하면 [eqn: 1]명이 원탁에 앉는 방법의 수는 [eqn: 2!], 그 각각에 대하여 남학생이 자리를 바꾸어 앉는 방법의 수는 [eqn: 2!]이다.

따라서 구하는 모든 방법의 수는  [eqn: 2! TIMES 2!`=4]

[eqn: 3]명의 학생이 각각 딸기 주스, 사과 주스, 포도 주스, 수박 주스 중에서 [eqn: 1]개의 주스를 택하는 모든 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 64]

(단, 각 주스는 [eqn: 3]개 이상 있다.)

빨간색 깃발, 노란색 깃발, 파란색 깃발이 각각 [eqn: 1]개씩 있다. 깃발을 [eqn: 1]번에 [eqn: 1]개씩 들어 올릴 때, 이 깃발들을 모두 합쳐 [eqn: 3]번 이하로 들어 올려서 만들 수 있는 서로 다른 모든 신호의 개수를 구하시오.

[eqn: 39]

깃발을 [eqn: 1]번, [eqn: 2]번, [eqn: 3]번 들어 올려서 만들 수 있는 신호의 개수는 각각	[eqn: {} _{3} SMALLPROD _{1} =3], [eqn: {} _{3} SMALLPROD _{2} =9], [eqn: {} _{3} SMALLPROD _{3} =27]

따라서 만들 수 있는 서로 다른 모든 신호의 개수는

[eqn: 3+9+27=39]

(단, 깃발을 [eqn: 1]개도 들어 올리지 않는 경우는 생각하지 않는다.)

[eqn: 6]개의 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e], [eqn: f]를 일렬로 나열할 때, [eqn: a]가 [eqn: f]보다 왼쪽에 오도록 나열하는 모든 방법의 수를 구하시오.

[eqn: 360]

[eqn: a]와 [eqn: f]의 순서가 정해져 있으므로 [eqn: a]와 [eqn: f]를 모두 [eqn: x]로 생각하여 [eqn: 6]개의 문자 [eqn: x], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e], [eqn: x]를 일렬로 나열한 다음, 앞의 [eqn: x]에 [eqn: a], 뒤의 [eqn: x]에 [eqn: f]를 놓으면 된다.

따라서 구하는 모든 방법의 수는  [eqn: {6!} over {2!} =360]

오른쪽 그림과 같이 정사각형 모양으로 이루어진 도로망이 있다. 형은 지점 [eqn: rm A]에서 지점 [eqn: rm B]까지, 동생은 지점 [eqn: rm B]에서 지점 [eqn: rm A]까지 최단 거리로 다고 할 때, 두 사람이 서로 만나지 않는 모든 경우의 수를 구하시오. (단, 두 사람은 동시에 출발하여 같은 속력으로 간다.)

[eqn: 236]

형은 지점 [eqn: rm A]에서 지점 [eqn: rm B]까지, 동생은 지점 [eqn: rm B]에서 지점 [eqn: rm A]까지 최단 거리로 가는 경우의 수는

[eqn: {6!} over {3! TIMES 3!} TIMES {6!} over {3! TIMES 3!} =400]

(ⅰ) 형과 동생이 지점 [eqn: rm P]에서 만나는 경우의 수는  [eqn: 1 TIMES 1=1]

(ⅱ) 형과 동생이 지점 [eqn: rm Q]에서 만나는 경우의 수는
[eqn: ( {3!} over {2!} TIMES {3!} over {2!} ) TIMES ( {3!} over {2!} TIMES {3!} over {2!} )=81]

(ⅲ) 형과 동생이 지점 [eqn: rm R]에서 만나는 경우의 수는  [eqn: 81]

(ⅳ) 형과 동생이 지점 [eqn: rm S]에서 만나는 경우의 수는  [eqn: 1]

따라서 구하는 모든 경우의 수는

[eqn: 400-(1+81+81+1)=236]

[eqn: 4]종류의 빵 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C], [eqn: D] 중에서 [eqn: 10]개를 고르려고 한다. [eqn: 4]종류의 빵을 적어도 [eqn: 1]개씩 고르는 모든 방법의 수를 구하시오.

[eqn: 84]

빵 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C], [eqn: D]를 [eqn: 1]개씩 고르고, 빵 [eqn: 6]개를 더 고르면 되므로	[eqn: {} _{4} rm H _{6} =84]

[eqn: (w+x+y+z) ^{6}]의 전개식에서 [eqn: w]를 포함하는 서로 다른 항의 개수는?

④

문제의 식의 전개식에서 모든 항의 개수는  [eqn: {} _{4} rm H _{6}]

[eqn: w]를 포함하지 않는 서로 다른 항의 개수는  [eqn: {} _{3} rm H _{6}]

따라서 구하는 항의 개수는  [eqn: {} _{4} rm H _{6} - _{3} rm H _{6} =56]

그러므로 ④이다.

① [eqn: 50]	② [eqn: 52]	③ [eqn: 54]

④ [eqn: 56]	⑤ [eqn: 58]

[eqn: n]이 짝수일 때, 다음 등식이 성립함을 증명하시오.

풀이 참조

[eqn: rm _{n} {rm C} _{0} + _{n} {rm C} _{1} + _{n} {rm C} _{2} +` CDOTS `+ _{n}{rm C} _{n} = ```````` CDOTS CDOTS ①]

[eqn: 2 ^{n}rm _{n}{rm C} _{0} - _{n} {rm C} _{1} + _{n} {rm C} _{2} -` CDOTS `- _{n} {rm C} _{n} =0````````````` CDOTS CDOTS ②]

①[eqn: +]②를 하면

[eqn: 2( _{n} {rm C} _{0} + _{n} {rm C} _{2} + _{n}{rm C} _{4} +` CDOTS `+ _{n} {rm C} _{n} )=2 ^{n}]

즉, [eqn: `_{n} {rm C} _{0} + _{n} {rm C} _{2} + _{n} {rm C} _{4} +` CDOTS `+ _{n} {rm C} _{n} =2 ^{n-1}]

①[eqn: -]②를 하면

[eqn: 2( _{n} {rm C} _{1} + _{n} {rm C} _{3} + _{n}{rm C} _{5} +` CDOTS `+ _{n} {rm C} _{n-1} )=2 ^{n}]

즉, [eqn: ` _{n} {rm C} _{1} + _{n} {rm C} _{3} + _{n} {rm C} _{5} +` CDOTS `+ _{n} {rm C} _{n} =2 ^{n-1}]

따라서 주어진 등식이 성립한다.

[eqn: {} _{n} rm C it rm _{0} + _{n} rm C it rm _{2} + _{n} rm C it rm _{4} +` CDOTS `+ _{n} rm C it rm _{n}]

[eqn: = _{n} rm C it rm _{1} + _{n} rm C it rm _{3} + _{n} rm C it rm _{5} +` CDOTS `+ _{n} rm C it rm _{n-1}]

[eqn: =2 ^{n-1}]

전체집합 [eqn: U=` LEFT { 1,~2,~3,~ CDOTS ,~10 RIGHT }]의 두 부분집합 [eqn: A], [eqn: B]가 [eqn: A SUBSET B]를 만족시키도록 두 집합 [eqn: A,`B]를 정하는 모든 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 3^10]

[eqn: n( B)=k]([eqn: 0 LEQ k LEQ 10], [eqn: k]는 정수)일 때, 집합 [eqn: B]의 개수는 [eqn: {} _{10} C _{k}], 그 각각에 대하여 집합 [eqn: A]의 개수는 [eqn: 2 ^{k}]이므로 두 집합 [eqn: A], [eqn: B]를 정하는 경우의 수는 [eqn: {} _{10}{rm C} _{k} TIMES 2 ^{k}]이다.

그러므로 구하는 모든 경우의 수는

[eqn: {} _{10} rm C _{0} TIMES 2 ^{0} + _{10} rm C _{1} TIMES 2 ^{1} + _{10} rm C _{2} TIMES 2 ^{2} +` CDOTS `+ _{10} rm C _{10} TIMES 2 ^{10}]

[eqn: = _{10} rm C _{0} TIMES 1 ^{10} TIMES 2 ^{0} + _{10} rm C _{1} TIMES 1 ^{9} TIMES 2 ^{1} + _{10} rm C _{2} TIMES 1 ^{8} TIMES 2 ^{2}]

[eqn: ```````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````+` CDOTS `+ _{10} rm C _{10} TIMES 1 ^{0} TIMES 2 ^{10}]

[eqn: =(1+2) ^{10} =3 ^{10}]

오른쪽 그림과 같은 정육각뿔이 있다. 서로 다른 [eqn: 7]가지 색 중에서 [eqn: 6]가지 색을 택하여 이 정육각뿔의 옆면을 칠하는 모든 방법의 수를 구하시오. (단, 각 색은 [eqn: 1]번씩만 사용하고, 회전하여 일치하는 경우는 모두 같은 것으로 본다.)

[eqn: 840]

[eqn: 7]가지 색 중에서 [eqn: 6]가지를 택하는 방법의 수는  [eqn: {} _{7} rmC _{6}]	옆면을 칠하는 방법의 수는  [eqn: (6-1)!`=5!]

따라서 구하는 모든 방법의 수는

[eqn: {} _{7} rm C _{6} TIMES 5!`=840]

중복을 허용하여 [eqn: 6]개의 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]로 만든 자연수를 크기가 작은 수부터 차례로 나열할 때, [eqn: 10000]은 몇 번째 수인지 구하시오.

[eqn: 1296]

한 자리, 두 자리, 세 자리, 네 자리의 자연수의 개수는 각각

[eqn: 5,``5 TIMES _{6} SMALLPROD _{1} =30,``5 TIMES _{6} SMALLPROD _{2} =180]

[eqn: 5 TIMES _{6} SMALLPROD _{3} =1080]

따라서 [eqn: 10000]보다 작은 자연수의 개수는

[eqn: 5+30+180+1080=1295]

그러므로 [eqn: 10000]은 [eqn: 1296]번째 수이다.

서로 다른 [eqn: 4]개의 가방과 똑같은 [eqn: 4]개의 리본, 똑같은 [eqn: 4]개의 인형이 있다. 각 가방에 [eqn: 1]개의 리본과 [eqn: 1]개의 인형을 달려고 한다. 각 가방에서 리본을 인형보다 먼저 단다고 할 때, [eqn: 4]개의 가방에 리본과 인형을 다는 순서를 정하는 모든 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 2520]

[eqn: 4]개의 가방을 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]라고 하면 [eqn: 1]개의 가방에 [eqn: 1]개의 리본과 [eqn: 1]개의 인형을 달아야 하므로 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: d]를 일렬로 배열한 다음 같은 문자에 대하여 첫 번째를 리본으로, 두 번째를 인형으로 생각하면 된다.

따라서 구하는 모든 경우의 수는

[eqn: {8!} over {2! TIMES 2! TIMES 2! TIMES 2!} =2520]

(단, 각 가방에서 리본과 인형을 연속하여 달지 않아도 된다.)

똑같은 [eqn: 12]개의 펜을 [eqn: 4]명의 학생에게 모두 나누어 주려고 한다. 다음을 구하시오.

[eqn: 35]

⑴ [eqn: 12]개의 펜을 [eqn: 4]명의 학생에게 중복을 허용하여 나누어 줄 수 있으므로 구하는 모든 방법의 수는
[eqn: {} _{4} rm H _{12} = _{15} C _{12} =455]

⑵ 각 학생에게 먼저 펜을 [eqn: 2]개씩 나누어 주고, 나머지 [eqn: 4]개의 펜을 [eqn: 4]명의 학생에게 나누어 주면 된다.
따라서 구하는 모든 방법의 수는
[eqn: {} _{4} rmH _{4} = _{7} C _{4} =35]

⑴ 나누어 주는 모든 방법의 수 (단, 펜을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.)

⑵ 각 학생에게 적어도 [eqn: 2]개씩 펜을 나누어 주는 모든 방법의 수

방정식 [eqn: x+y+z=15]에서 [eqn: x GEQ 2], [eqn: y GEQ 3], [eqn: z GEQ 4]를 만족시키는 정수해의 개수를 구하시오.

[eqn: 28]

[eqn: x-2=X], [eqn: y-3=Y], [eqn: z-4=Z] ([eqn: X], [eqn: Y], [eqn: Z]는 음이 아닌 정수)로 놓자.

[eqn: x+y+z=15]에서

[eqn: (X+2)+(Y+3)+(Z+4)=15]

즉, [eqn: X+Y+Z=6]

따라서 방정식 [eqn: X+Y+Z=6]을 만족시키는 음이 아닌 정수해를 구하면 되므로  [eqn: {} _{3} rm H _{6} = _{8} rm C _{6} =28]

[eqn: (1+x) ^{5} (1+x ^{2} ) ^{n}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 20]일 때, [eqn: n]의 값을 구하시오.

[eqn: 10]

[eqn: (1+x) ^{5}]의 전개식에서 각 항은 [eqn: {} _{5} {rmC} _{r} TIMES x ^{r}]의 꼴로,

[eqn: (1+x ^{2} ) ^{n}]의 전개식에서 각 항은 [eqn: {} _{n} {rm C }it _{s} TIMES x ^{2s}]의 꼴로 나타낼 수 있다.

따라서 [eqn: (1+x) ^{5} (1+x ^{2} ) ^{n}]의 전개식에서 각 항은

[eqn: {} _{5} {rmC} it _{r} TIMES _{n} {rmC} _{s} TIMES x ^{r+2s}]의 꼴로 나타낼 수 있으므로

[eqn: x ^{r+2s} =x ^{2}]에서  [eqn: r+2s=2]

(ⅰ) [eqn: r=0], [eqn: s=1]일 때, [eqn: x ^{2}]의 계수는 [eqn: {} _{5} {rmC} _{0} TIMES _{n} {rmC} it _{1} =n]

(ⅱ) [eqn: r=2], [eqn: s=0]일 때, [eqn: x ^{2}]의 계수는 [eqn: {} _{5} rm C it _{2} TIMES _{n} rm C it _{0} =10]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: n+10=20]이므로 [eqn: n=10]

수학 익힘

[eqn: 5]쌍의 부부가 원탁에 둘러앉을 때, 부부끼리 이웃하여 앉는 모든 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 768]

각 부부를 [eqn: 1]명으로 생각하면 [eqn: 5]명이 원탁에 앉는 경우의 수는  [eqn: 4!]

각 부부는 자리를 바꿀 수 있으므로 구하는 모든 경우의 수는  [eqn: 4! TIMES 2! TIMES 2! TIMES 2! TIMES 2! TIMES 2!`=768]

여학생 [eqn: 3]명과 남학생 [eqn: 2]명이 원형으로 둘러앉아 식사를 하려고 한다. 남학생끼리 이웃하지 않게 앉는 모든 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 12]

여학생 [eqn: 3]명이 원형으로 앉는 경우의 수는  [eqn: 2!]

여학생 사이사이에 남학생이 앉는 경우의 수는  [eqn: {} _{3} rmP _{2}]

따라서 구하는 모든 경우의 수는  [eqn: 2! TIMES _{3} rmP _{2} =12]

(단, 회전하여 일치하는 경우는 모두 같은 것으로 본다.)

다음 그림과 같은 큰 원 내부의 [eqn: 7]칸을 서로 다른 [eqn: 7]가지 색을 모두 사용하여 칠하려고 한다. 작은 원을 제외한 나머지 [eqn: 6]칸은 모양과 크기가 모두 같을 때, 칠할 수 있는 모든 방법의 수는? (단, [eqn: 1]칸에는 [eqn: 1]가지 색을 칠할 수 있고, 회전하여 일치하는 경우는 모두 같은 것으로 본다.)

③

작은 원을 칠하는 방법의 수는  [eqn: 7] 나머지 [eqn: 6]가지 색으로 작은 원을 제외한 [eqn: 6]칸을 칠하는 방법의 수는  [eqn: 5!]

따라서 구하는 모든 방법의 수는  [eqn: "7" TIMES 5!`=840]

그러므로 ③이다.

① [eqn: 210]	② [eqn: 480]	③ [eqn: 840]

④ [eqn: 1280]	⑤ [eqn: 1680]

오른쪽 그림과 같은 정사각형 모양의 탁자에 [eqn: 8]명이 둘러앉는 모든 경우의 수는?

④

[eqn: 8]명을 일렬로 배열하는 경우의 수는  [eqn: 8!]

그 각각에 대하여 서로 같은 경우가 [eqn: 4]가지씩 있으므로 구하는 모든 경우의 수는  [eqn: {8!} over {4} =10080]

따라서 ④이다.

(단, 회전하여 일치하는 경우는 모두 같은 것으로 본다.)

① [eqn: 24]         ② [eqn: 48]         ③ [eqn: 5040]

④ [eqn: 10080]      ⑤ [eqn: 40320]

서로 다른 [eqn: 3]개의 접시에 서로 다른 [eqn: 4]개의 과일을 담는 모든 방법의 수는?  (단, 빈 접시가 있을 수 있다.)

④

① [eqn: 27]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 72]

④ [eqn: 81]	⑤ [eqn: 243]

중복을 허용하여 [eqn: 2]개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2]로 만들 수 있는 자연수를 [eqn: K]라고 할 때, [eqn: 99<K<10000]을 만족시키는 [eqn: K]의 개수는?

③

[eqn: K]가 세 자리, 네 자리의 자연수일 때, 만들 수 있는 자연수의 개수는 각각 [eqn: {} _{2} SMALLPROD _{3} =8,` _{2} SMALLPROD _{4} =16]

따라서 구하는 [eqn: K]의 개수는 [eqn: 8+16=24]이므로 ③이다

① [eqn: 8]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 64]

[eqn: 2]개의 기호 ♠, ♣를 모두 합쳐 [eqn: 2]번 이상 [eqn: 5]번 이하로 사용하여 일렬로 나열할 때, 만들 수 있는 모든 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 60]

[eqn: {} _{2} SMALLPROD _{2} + _{2} SMALLPROD _{3} + _{2} SMALLPROD _{4} + _{2} SMALLPROD _{5} =60]

두 집합 [eqn: A], [eqn: B]가

[eqn: 2 ^{m} -2 ^{m-n}]

[eqn: C SUBSET A]이고, [eqn: B SMALLINTER C= EMPTYSET]을 만족시키는 집합 [eqn: C]는 집합[eqn: LEFT { n+1,`n+2,`cdots,`m RIGHT }]의 부분집합이어야 하므로 그 개수는
[eqn: {} _{2} SMALLPROD _{m-n}]

따라서 구하는 집합 [eqn: C]의 개수는

[eqn: {} _{2} SMALLPROD _{m} - _{n} SMALLPROD _{m-n} =2 ^{m} -2 ^{m-n}]

[eqn: A= LEFT { 1,~2,~ CDOTS ,~m RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1,~2,~ CDOTS ,~n RIGHT }]

일 때, [eqn: C SUBSET A], [eqn: B SMALLINTER C != EMPTYSET]을 만족시키는 집합 [eqn: C]의 개수를 [eqn: m], [eqn: n]을 사용한 식으로 나타내시오. (단, [eqn: m], [eqn: n]은 자연수, [eqn: m>n])

[eqn: 5]개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 3]을 일렬로 배열하여 만들 수 있는 다섯 자리의 자연수의 개수를 구하시오

[eqn: 30]

[eqn: 8]개의 문자 [eqn: R], [eqn: E], [eqn: M], [eqn: E], [eqn: M], [eqn: B], [eqn: E], [eqn: R]를 일렬로 배열할 때, 양 끝에 모음이 오는 모든 경우의 수는?

②

양 끝에 [eqn: 2]개의 모음 [eqn: E]를 배열하고, 나머지 [eqn: 6]개의 문자 [eqn: R], [eqn: M], [eqn: M], [eqn: B], [eqn: E], [eqn: R]를 배열하면 되므로

[eqn: {6!} over {2! TIMES 2!} =180]

따라서 ②이다.

① [eqn: 120]	② [eqn: 180]	③ [eqn: 360]

④ [eqn: 520]	⑤ [eqn: 720]

오른쪽 그림과 같이 크기가 같은 정육면체 모양의 [eqn: 36]개의 블록을 빈틈없이 쌓아 올려 직육면체 모양을 만들었다. 이 직육면체의 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 꼭짓점 [eqn: rmB]까지 각 블록의 모서리를 따라가는 최단 경로의 수를 구하시오.

[eqn: 4200]

꼭짓점 [eqn: rmA]에서 꼭짓점 [eqn: rmB]까지 가려면 가로, 세로, 높이의 방향으로 블록의 한 모서리의 길이만큼 각각 [eqn: 3]번, [eqn: 3]번, [eqn: 4]번 이동해야 하므로 구하는 최단 경로의 수는

[eqn: {10!} over {3!times3!times4!} =4200]

다음 그림과 같은 도로망이 있다. 화살표 방향을 따라 지점 [eqn: rmA]에서 지점 [eqn: rmB]까지 가는 모든 경로의 수를 구하시오

[eqn: 63]

오른쪽으로 한 칸, 위로 한 칸, 대각선으로 한 칸 가는 것을 각각 [eqn: a,`b,`c]라고 하면 지점 [eqn: rmA]에서 지점 [eqn: rmB]까지 가는 모든 경로의 수는 다음과 같다.

(ⅰ) 대각선을 [eqn: 0]번 이용하는 경우는 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: b]를 배열하는 것과 같으므로 그 경우의 수는
[eqn: {6!} over {3!times3!} =20]

(ⅱ) 대각선을 [eqn: 1]번 이용하는 경우는 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: c]를 배열하는 것과 같으므로 그 경우의 수는
[eqn: {5!} over {2!times2!} =30]

(ⅲ) 대각선을 [eqn: 2]번 이용하는 경우는 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: c]를 배열하는 것과 같으므로 그 경우의 수는  [eqn: {4!} over {2!} =12]

(ⅳ) 대각선을 [eqn: 3]번 이용하는 경우는 [eqn: c], [eqn: c], [eqn: c]를 배열하는 것과 같으므로 그 경우의 수는  [eqn: 1]

(ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 모든 경로의 수는

[eqn: 20+30+12+1=63]

[eqn: 10]명의 유권자가 투표를 하려고 한다. 각각의 유권자는 [eqn: 3]명의 후보자 중 [eqn: 1]명에게만 투표를 할 수 있고 기권이나 무효표는 없다고 한다. 기명 투표를 할 때와 무기명 투표를 할 때, 투표 결과의 모든 경우의 수를 각각 구하시오.

[eqn: 3^10 ,~66]

기명 투표를 할 때, 투표 결과의 모든 경우의 수는 중복순열의 수와 같으므로  [eqn: {} _{3} SMALLPROD _{10} =3 ^{10}]

무기명 투표를 할 때, 투표 결과의 모든 경우의 수는 중복조합의 수와 같으므로  [eqn: {} _{3} rmH _{10} =66]

아이스크림 가게에서 판매하는 땅콩 맛을 포함한 서로 다른 [eqn: 10]가지 맛 아이스크림 중에서 중복을 허용하여 [eqn: 3]개를 고를 때, 땅콩 맛 아이스크림이 포함되는 모든 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 55]

땅콩 맛 아이스크림을 [eqn: 1]개 고르고, [eqn: 2]개를 더 고르면 되므로

[eqn: {} _{10} rm H _{2} =55]

딸기 맛, 바나나 맛, 감귤 맛 [eqn: 3]종류의 초콜릿 중에서 [eqn: 10]개를 고를 때, 딸기 맛 초콜릿이 [eqn: 2]개만 포함되는 모든 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 9]

딸기 맛 초콜릿을 [eqn: 2]개 고르고, 바나나 맛, 감귤 맛 초콜릿 중에서 [eqn: 8]개를 더 고르면 되므로  [eqn: {} _{2} rm H _{8} =9]

부등식 [eqn: x+y+z<5]를 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수를 구하시오.

[eqn: 35]

[eqn: x+y+z]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이므로 구하는 음이 아닌 정수해의 개수는

[eqn: {} _{3} rm H _{0} + _{3} rm H _{1} + _{3} rm H _{2} + _{3} rm H _{3} + _{3} rm H _{4} =35]

[eqn: (a+b) ^{3} (x+y+z) ^{2}]의 전개식에서 [eqn: x]를 포함하지 않는 서로 다른 항의 개수를 구하시오.

[eqn: 12]

[eqn: {} _{2} rmH _{3} times _{2} rmH _{2} =12]

오른쪽 그림과 같이 점수가 표시된 원판에 [eqn: 5]개의 화살을 쏘았을 때, 맞힌 점수의 합이 [eqn: 8]점 이상이 되는 모든 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 17]

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]점이 표시된 곳에 맞은 화살의 수를 각각 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]라고 하면	[eqn: x+y+z=5]

이 방정식을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수는

[eqn: {} _{3} rm H _{5} =21]

이때 [eqn: x+2y+3z<8]을 만족시키는 [eqn: (x], [eqn: y], [eqn: z)]는

[eqn: LEFT ( 5], [eqn: 0], [eqn: 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4], [eqn: 1], [eqn: 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4], [eqn: 0], [eqn: 1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3], [eqn: 2], [eqn: 0 RIGHT )]

으로 [eqn: 4]개이므로 구하는 모든 경우의 수는  [eqn: 21-4=17]

(단, 화살이 원판을 빗나가거나 원판의 경계선을 맞히는 경우는 없고, 원판에 맞은 화살의 순서는 생각하지 않는다.)

방정식 [eqn: x _{1} -x _{2} +x _{3} -x _{4} =5]를 만족시키는 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}], [eqn: x _{3}], [eqn: x _{4}]에 대하여 [eqn: x _{1} GEQ 1], [eqn: x _{2} LEQ 1], [eqn: x _{3} GEQ 3], [eqn: x _{4} LEQ 2]인 정수해의 개수를 구하시오.

[eqn: 35]

[eqn: x _{1} -1=W], [eqn: -x _{2} +1=X], [eqn: x _{3} -3=Y], [eqn: -x _{4} +2=Z]

([eqn: W], [eqn: X], [eqn: Y], [eqn: Z]는 음이 아닌 정수)로 놓으면

[eqn: x _{1} -x _{2} +x _{3} -x _{4} =5]에서

[eqn: (W+1)+(X-1)+(Y+3)+(Z-2)=5]

즉,  [eqn: W+X+Y+Z=4]

따라서 방정식 [eqn: W+X+Y+Z=4]를 만족시키는 음이 아닌 정수해를 구하면 되므로  [eqn: {} _{4} rm H _{4} =35]

[eqn: (2x-5y) ^{6}]의 전개식에서 [eqn: x ^{4} y ^{2}]의 계수를 구하시오.

[eqn: 6000]

[eqn: (2x-5y) ^{6}]의 전개식에서 각 항은 [eqn: {} _{6} {rmC} _{r} times(2x) ^{6-r} times(-5y) ^{r}],

즉  [eqn: {} _{6} {rm C} it _{r} TIMES 2 ^{6-r} TIMES (-5) ^{r} timesx ^{6-r} y ^{r}]

의 꼴로 나타낼 수 있으므로 [eqn: x ^{6-r} y ^{r} =x ^{4} y ^{2}]에서

[eqn: 6-r=4], [eqn: r=2]

따라서 [eqn: x ^{4} y ^{2}]의 계수는 [eqn: {} _{6} rm C it rm _{2} TIMES 2 ^{4} TIMES (-5) ^{2} =6000]

[eqn: (1+x) ^{3} (2+x) ^{4}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수는?

⑤

[eqn: (1+x) ^{3}]의 전개식에서 각 항은 [eqn: {} _{3} {rm C} _{r} timesx ^{r}]의 꼴로,

[eqn: (2+x) ^{4}]의 전개식에서 각 항은 [eqn: {} _{4} {rm C} _{s} TIMES 2 ^{4-s} TIMES x ^{s}]의 꼴로 나타낼 수 있다.

따라서 [eqn: (1+x) ^{3} (2+x) ^{4}]의 전개식에서 각 항은

[eqn: {} _{3} {rm C} _{r} TIMES _{4}{rm C} _{s} TIMES 2 ^{4-s} TIMES x ^{r+s}]의 꼴로 나타낼 수 있으므로

[eqn: x ^{r+s} =x ^{2}]에서  [eqn: r+s=2]

(ⅰ) [eqn: r=0], [eqn: s=2]일 때, [eqn: x ^{2}]의 계수는  [eqn: {} _{3} rm C _{0} TIMES _{4} rm C _{2} TIMES 2 ^{2} =24]

(ⅱ) [eqn: r=1], [eqn: s=1]일 때, [eqn: x ^{2}]의 계수는  [eqn: {} _{3} rm C _{1} TIMES _{4} rm C _{1} TIMES 2 ^{3} =96]

(ⅲ) [eqn: r=2], [eqn: s=0]일 때, [eqn: x ^{2}]의 계수는  [eqn: {} _{3} rm C _{2} TIMES _{4} rm C _{0} TIMES 2 ^{4} =48]

따라서 [eqn: x ^{2}]의 계수는 [eqn: 24+96+48=168]이므로 ⑤이다.

① [eqn: 24]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 96]

④ [eqn: 120]	⑤ [eqn: 168]

[eqn: (1+x)+(1+x) ^{2} +(1+x) ^{3} +` CDOTS `+(1+x) ^{10}]의 전개식에서

[eqn: 330]

[eqn: (1+x) ^{3} ,`(1+x) ^{4} ,`(1+x) ^{5} `,` CDOTS `,`(1+x) ^{10}]의 전개식에서 [eqn: x ^{3}]의 계수는 각각  [eqn: {}_{3} rm C _{3} ,~` _{4} rm C _{3} ,~` _{5} rm C _{3} ,~` CDOTS ,~` _{10} rm C _{3} `]

문제의 전개식에서 [eqn: x ^{3}]의 계수는

[eqn: {} _{3} rm C _{3} + _{4} rm C _{3} +` _{5} rm C _{3} + _{6} rm C _{3} + _{7} rm C _{3} + _{8} rm C _{3} + _{9} rm C _{3} + _{10} rm C _{3} `]

이때 [eqn: {} _{3} rmC _{3}]을 [eqn: {} _{4} rmC _{4}] 바꾸면

[eqn: {} _{4} rm C _{4} + _{4} rm C _{3} +` _{5} rm C _{3} + _{6} rm C _{3} + _{7} rm C _{3} + _{8} rm C _{3} + _{9} rm C _{3} + _{10} rm C _{3} `]

[eqn: {} _{n} {rmC} _{r} = _{n-1} {rmC} _{r-1} + _{n-1} {RmC} _{r}]를 이용하여 식을 정리하면

[eqn: {} _{4} rm C _{4} + _{4} rm C _{3} +` _{5} rm C _{3} + _{6} rm C _{3} + _{7} rm C _{3} + _{8} rm C _{3} + _{9} rm C _{3} + _{10} rm C _{3} `]

[eqn: = _{5} rm C _{4} + _{5} rm C _{3} + _{6} rm C _{3} + _{7} rm C _{3} + _{8} rm C _{3} + _{9} rm C _{3} + _{10} rm C _{3}]

[eqn: = _{6} rm C _{4} + _{6} rm C _{3} + _{7} rm C _{3} + _{8} rm C _{3} + _{9} rm C _{3} + _{10} rm C _{3}]

[eqn: = _{7} rm C _{4} + _{7} rm C _{3} + _{8} rm C _{3} + _{9} rm C _{3} + _{10} rm C _{3}]

[eqn: = _{8} rm C _{4} + _{8} rm C _{3} + _{9} rm C _{3} + _{10} rm C _{3}]

[eqn: = _{9} rm C _{4} + _{9} rm C _{3} + _{10} rm C _{3}]

[eqn: = _{10} rmC _{4} + _{10} rmC _{3} = _{11} rmC _{4} =330]

[eqn: x ^{3}]의 계수를 구하시오.

다음 부등식을 만족시키는 홀수 [eqn: n]의 값을 구하시오.

[eqn: 11]

[eqn: {} _{n} {rm C} it rm _{0} + _{n} {rm C} it rm _{2} + _{n} {rm C} _{4} +` CDOTS `+ _{n} {rm C} _{n-1} =2 ^{n-1}]이므로

[eqn: 1000<2 ^{n-1} <2000]

그런데 [eqn: 2 ^{10} =1024], [eqn: 2 ^{11} =2048]이므로 위의 부등식을 만족시키는 [eqn: n]의 값은 [eqn: 11]이다.

[eqn: 1000< _{n} {rm C} it rm _{0} + _{n} {rm C} it rm _{2} + _{n}{rm C} _{4} +` CDOTS `+ _{n} {rm C} _{n-1} <2000]

[eqn: n]이 [eqn: 1]보다 큰 홀수일 때, 다음 등식이 성립함을

풀이 참조

[eqn: 1 TIMES _{n} rm C it rm _{1} -2 TIMES _{n} rm C it rm _{2} +3 TIMES _{n} rm C it rm _{3} -4 TIMES _{n} rm C it rm _{4} +` CDOTS `+n TIMES _{n} rm C it rm _{n}]

[eqn: =n TIMES _{n-1} rm C it rm _{0} -n TIMES _{n-1} rm C it rm _{1} +n TIMES _{n-1} rm C it rm _{2} -n TIMES _{n-1} rm C it rm _{3}# `````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````+` CDOTS `+n TIMES _{n-1} rm C it rm _{n-1}]

[eqn: =n TIMES LEFT ( {} _{n-1} rm C it rm _{0} - _{n-1} rm C it rm _{1} + _{n-1} rm C it rm _{2} - _{n-1} rm C it rm _{3} +` CDOTS `+ _{n-1} rm C it rm _{n-1} RIGHT )]

[eqn: =n TIMES 0=0]

[eqn: r TIMES _{n} {rmC} _{r} =n TIMES _{n-1} {rmC} _{r-1} `(r GEQ 1)]

을 이용하여 증명하시오.

[eqn: 1 TIMES _{n} rm C it rm _{1} -2 TIMES _{n} rm C it rm _{2} +3 TIMES _{n} rm C it rm _{3} -4 TIMES _{n} rm C it rm _{4}+` CDOTS `+n TIMES _{n} rm C it rm _{n} =0]

				비상 확률과 통계

확률

확률의 뜻

서로 다른 [eqn: 2]개의 동전을 동시에 던지는 시행에 대하여 다음을 구하시오.

⑴ {(앞, 앞), (앞, 뒤), (뒤, 앞), (뒤, 뒤)}
⑵ {(앞, 앞), (뒤, 뒤)}

⑴ 표본공간

⑵ 서로 같은 면이 나오는 사건

한 상자에 [eqn: 1]부터 [eqn: 8]까지 자연수가 각각 적힌 [eqn: 8]개의 공이 들어 있다. 이 상자에서 [eqn: 1]개의 공을 임의로 꺼내는 시행에서 공에 적힌 수가 홀수인 사건을 [eqn: A], [eqn: 4]의 배수인 사건을 [eqn: B]라고 할 때, 다음 세 학생의 물음에 각각 답하시오.

[서진] 배반사건이다.  [지은] [eqn: LEFT { 1,`2,`3,`5,`6,`7 RIGHT }]
[상윤] [eqn: LEFT { 2,`6 RIGHT }]

빨간 공 [eqn: 3]개와 파란 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 공 [eqn: 2]개를 동시에 꺼낼 때, 빨간 공 [eqn: 1]개와 파란 공 [eqn: 1]개가 나올 확률을 구하시오.

[eqn: 3 } over {` 5]

빨간 공 [eqn: 3]개를 각각 [eqn: rmR _{1}], [eqn: rmR _{2}], [eqn: rmR _{3}], 파란 공 [eqn: 2]개를 각각 [eqn: rmB _{1}], [eqn: rmB _{2}]라고 하자.

주머니에서 공 [eqn: 2]개를 동시에 꺼내는 시행에서 표본공간 [eqn: S]는

[eqn: S= LEFT {rm R _{1} R _{2} ,`R _{1} R _{3} ,`R _{1} B _{1} ,`R _{1} B _{2} ,`R _{2} B _{1} ,`R _{2} B _{2} ,`R _{3} B _{1} ,`R _{3} B _{2} ,`B _{1} B _{2} ` RIGHT }]

이므로  [eqn: n(S)=10]

이때 빨간 공 [eqn: 1]개와 파란 공 [eqn: 1]개가 나오는 사건을 [eqn: A]라고 하면

[eqn: A= LEFT {rm R _{1} B _{1} ,`R _{1} B _{2} ,`R _{2} B _{1} ,`R _{2} B _{2} ,`R _{3} B _{1} ,`R _{3} B _{2} ` RIGHT }]

이므로  [eqn: n(A)=6]

따라서 구하는 확률은  [eqn: {rmP}(A)={n(A)} over {n(S)} = {6} over {10} = {3} over {5}]

[다른 풀이]

공 [eqn: 5]개 중에서 [eqn: 2]개를 동시에 꺼낼 때, 일어날 수 있는 모든 경우의 수는       [eqn: rm{} _{5} C _{2}]

이때 빨간 공 [eqn: 3]개 중 [eqn: 1]개, 파란 공 [eqn: 2]개 중 [eqn: 1]개를 꺼내는 경우의 수는	[eqn: rm{} _{3} C _{1} TIMES _{3} C _{1}]

따라서 구하는 확률은  [eqn: rm{{} _{3} C _{1} TIMES _{2} C _{1}} over {{} _{5} C _{2}} = {6} over {10} = {3} over {5}]

[eqn: 3]명의 남학생과 [eqn: 2]명의 여학생이 일렬로 줄을 설 때, [eqn: 2]명의 여학생이 양 끝에 설 확률을 구하시오.

[eqn: {1} over {10}]

다음은 지은이가 사과 맛 사탕 [eqn: 6]개와 포도 맛 사탕 [eqn: 5]개가 들어 있는 상자에서 임의로 사탕 [eqn: 2]개를 동시에 꺼낼 때, 사탕 개가 서로 다른 맛일 확률을 구한 것이다. 지은이의 답이 옳은지를 말하고, 그 이유를 설명해 보자.

풀이 참조

사과 맛 사탕 [eqn: 2]개, 사과 맛 사탕 [eqn: 1]개와 포도 맛 사탕 [eqn: 1]개, 포도 맛 사탕 [eqn: 2]개가 나올 가능성이 같지 않은데 수학적 확률을 적용했으므로 옳지 않다.

다음 표는 [eqn: 2015]년 시도별 가구 수를 백의 자리에서 반올림하여 나타낸 자료이다. 전체가구에서 임의로 한 가구를 택하였을 때, 그 가구가 경기도에 거주할 확률을 구하시오.

[eqn: 0.22]

(단, 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림한다.)

다음 그림의 출발 지점에서 사건의 확률이 [eqn: 0]인 징검다리를 건너 도착 지점까지 갈 때, 그 경로를 찾고 도착 지점에 확률이 [eqn: 0]인 사건의 예를 쓰시오.

경로 : 출발-㉠-㉣-도착

㉠ 해가 서쪽에서 뜨는 사건

㉡ 해가 동쪽에서 뜨는 사건

㉢ 서로 다른 2개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 차가 1인 사건

㉣ 서로 다른 2개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 1인 사건

확률의 덧셈정리

[eqn: 1]부터 [eqn: 40]까지 자연수가 각각 적힌 [eqn: 40]장의 카드 중에서 임의로 [eqn: 1]장을 뽑을 때, 다음을 구하시오.

(1) [eqn: {1} over {2}]	(2) [eqn: {2} over {5}]

(1) 카드에 적힌 수가 [eqn: 3]의 배수인 사건을 [eqn: A], [eqn: 4]의 배수인 사건을 [eqn: B]라고 하면 [eqn: A SMALLINTER B]는 [eqn: 12]의 배수인 사건이므로 구하는 확률은
[eqn: {rmP}(A CUP B)={rmP}(A)+{rmP}(B)-{rmP}(A SMALLINTER B)]	[eqn: ````````````````````````````````= {13} over {40} + {10} over {40} - {3} over {40} = {1} over {2}]

(2) 카드에 적힌 수가 [eqn: 10] 이하인 사건을 [eqn: C], [eqn: 35] 이상인 사건을 [eqn: D]라고 하면 [eqn: C], [eqn: D]는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은
[eqn: {rmP}(C CUP D)={rmP}(C)+{rmP}(D)]
[eqn: ````````````````````````````````= {10} over {40} + {6} over {40} = {16} over {40} = {2} over {5}]

(1) 카드에 적힌 수가 [eqn: 3]의 배수 또는 [eqn: 4]의 배수일 확률

(2) 카드에 적힌 수가 [eqn: 10] 이하이거나 [eqn: 35] 이상일 확률

주원이네 반 학생 중에서 물품 기부를 해 본 학생은 전체의 [eqn: 60]%이고, 재능 기부를 해 본 학생은 전체의 [eqn: 80]%이다. 또 물품 기부와 재능 기부를 모두 해 본 학생은 전체의 [eqn: 50]%이다. 이 반 학생 중에서 임의로 한 명을 택할 때, 그 학생이 물품 기부 또는 재능 기부를 해 본 학생일 확률을 구하시오.

[eqn: {9} over {10}]

흰색 떡 [eqn: 4]개와 초록색 떡 [eqn: 5]개가 있다. 떡 [eqn: 9]개 중에서 임의로 [eqn: 2]개를 동시에 택할 때, 떡 [eqn: 2]개가 서로 같은 색일 확률을 구하시오.

[eqn: {4} over {9}]

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정육각형의 꼭짓점의 위치에 놓인 [eqn: 6]개의 점 중에서 임의로 [eqn: 2]개를 택하여 선분을 그을 때, 선분의 길이가 [eqn: 1]보다 클 확률을 구하시오.

[eqn: {3} over {5}]

[eqn: 2]개의 점을 택하여 선분을 그을 때, 선분의 길이가 [eqn: 1] 이하인 사건을 [eqn: A]라고 하자. [eqn: 2]개의 점을 택하여 그을 수 있는 선분의 수는  [eqn: {} _{6} C _{2} =15]

이 중에서 길이가 [eqn: 1]이하인 선분의 수는 [eqn: 6]이므로  [eqn: {rmP}(A)= {6} over {15} = {2} over {5}]

따라서 선분의 길이가 [eqn: 1]보다 클 확률은

[eqn: {rmP}(A ^{C} )=1-{rmP}(A)=1- {2} over {5} = {3} over {5}]

[eqn: rmA] 고등학교 학생 [eqn: 2]명을 포함한 고등학생 [eqn: 6]명 중에서 임의로 [eqn: 3]명을 뽑을 때, [eqn: rmA] 고등학교 학생이 적어도 [eqn: 1]명 포함될 확률을 구하시오.

[eqn: {4} over {5}]

알파벳 [eqn: rmT,`R,`A,`V,`E,`L]이 각각 적힌 [eqn: 6]개의 블록을 일렬로 배열할 때, [eqn: rmR], [eqn: rmA]가 적힌 블록이 이웃하지 않을 확률을 구하시오.

[eqn: {2} over {3}]

다음 대화를 읽고 재민, 민희, 경애 중에서 적어도 [eqn: 2]명의 생일이 같을 확률을 구해보자.

[eqn: {22} over {225}]

여사건의 확률을 이용하여 전체 확률 [eqn: 1]에서 [eqn: 3]명의 생일이 모두 다를 확률을 빼면 되므로  [eqn: 1- {{} _{30} rmP _{3}} over {{} _{30} SMALLPROD _{3}} = {22} over {225}]

중단원 마무리하기

각 면에 [eqn: 1]부터 [eqn: 10]까지 자연수가 각각 [eqn: 2]번씩 적힌 정이십면체 모양의 주사위 [eqn: 1]개를 [eqn: 1]번 던질 때, [eqn: 10]이 나올 확률을 구하시오.

[eqn: 1 over10]

특정한 질병에 걸린 [eqn: 200]명의 환자에게 신약을 투여한 결과 [eqn: 120]명이 치료되었다. 같은 질병에 걸린 환자에게 이 약을 투여할 때, 치료될 확률을 구하시오.

[eqn: {3} over {5}]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

[eqn: {1`} over {5}]

[eqn: rm P it (A)= {1} over {2} ,~ rm P it (B)= {2} over {5} ,~ rm P it (A CUP B)= {7} over {10}]

일 때, [eqn: {\P}(A SMALLINTER B)]를 구하시오.

동전 [eqn: 1]개를 [eqn: 3]번 던질 때, 적어도 [eqn: 1]번은 뒷면이 나올 확률을 구하시오.

[eqn: {7`} over {8}]

[eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 11], [eqn: 12]가 각각 적힌 [eqn: 7]장의 카드 중에서 임의로 [eqn: 1]장을 택할 때, 다음 세 사건 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C] 중에서 서로 배반인 사건을 있는 대로 찾으시오.

[eqn: A]와 [eqn: B], [eqn: B]와 [eqn: C]

[eqn: A= LEFT { 3,`6 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 4,`12 RIGHT }], [eqn: C= LEFT { 3,`5,`7,`11 RIGHT }]이므로 서로 배반인 사건은

[eqn: A]와 [eqn: B], [eqn: B]와 [eqn: C]

[eqn: A] : [eqn: 6]의 양수가 나오는 사건

[eqn: B] : [eqn: 4]의 배수가 나오는 사건

[eqn: C] : 소수가 나오는 사건

[eqn: 5]개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]를 한 번씩 사용하여 다섯 자리의 자연수를 만들 때, 이 수가 홀수일 확률을 구하시오.

[eqn: 3 over 5]

만들 수 있는 다섯 자리의 자연수의 개수는  [eqn: 5!`=120]

홀수인 다섯 자리의 자연수의 개수는  [eqn: 3 TIMES 4!`=72]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {72} over {120} = {3} over {5}]

두 집합 [eqn: X= LEFT { a,~b,~c RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { 1,~3,~5,~7 RIGHT }]

[eqn: 3 over8]

[eqn: X]에서 [eqn: Y`]로의 함수의 개수는  [eqn: {} _{4} SMALLPROD _{3} =64]

일대일함수의 개수는  [eqn: {} _{4} rmP _{3} =24]

따라서 구하는 확률은  [eqn: {24} over {64} = {3} over {8}]

에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수 중에서 임의로 하나를 택할 때, 그 함수가 일대일함수일 확률을 구하시오.

라면과 떡볶이를 포함한 [eqn: 8]가지의 음식 중에서 손님이 원하는 음식을 택하여 먹을 수 있는 식당이 있다. 어느 손님이 임의로 [eqn: 4]가지의 음식을 동시에 택할 때, 라면과 떡볶이가 포함될 확률을 구하시오.

[eqn: 3 over 14]

[eqn: 8]가지의 음식 중에서 [eqn: 4]가지를 택하는 경우의 수는

[eqn: {} _{8} rmC _{4} =70]

라면과 떡볶이를 제외한 [eqn: 6]가지의 음식 중에서 [eqn: 2]가지를 택하는 경우의 수는  [eqn: {} _{6} rm C _{2} =15]

따라서 구하는 확률은  [eqn: {15} over {70} = {3} over {14}]

천일홍 [eqn: 4]송이, 장미 [eqn: 4]송이가 들어 있는 꽃다발에서 임의로 꽃 [eqn: 4]송이를 동시에 꺼낼 때, 천일홍이 장미보다 많을 확률을 구하시오.

[eqn: {17} over {70}]

[eqn: 8]송이 중에서 [eqn: 4]송이를 꺼내는 경우의 수는  [eqn: {} _{8} rmC _{4} =70]

(ⅰ) 천일홍 [eqn: 4]송이를 꺼내는 경우의 수는  [eqn: {} _{4} rm C _{4} =1]

(ⅱ) 천일홍 [eqn: 3]송이, 장미 [eqn: 1]송이를 꺼내는 경우의 수는
[eqn: {} _{4} rmC _{3} TIMES _{4} C _{1} =16]

(ⅰ), (ⅱ)에서 천일홍을 장미보다 많이 꺼내는 경우의

수는  [eqn: 1+16=17]

따라서 구하는 확률은  [eqn: {17} over {70}]

어느 샐러드 가게의 고객 중에서 [eqn: {4} over {7}]는 [eqn: 20]대이고, [eqn: {3} over {5}]은 여자이며 [eqn: {5} over {7}]는 [eqn: 20]대이거나 여자라고 한다. 이 가게의 고객 중에서 임의로 한 명을 택할 때, 그 사람이 [eqn: 20]대인 여자일 확률을 구하시오.

[eqn: {16} over {35}]

임의로 한 명을 택할 때 그 사람이 [eqn: 20]대인 사건을 [eqn: A], 여자인 사건을 [eqn: B]라고 하면

[eqn: {RmP}(A)= {4} over {7}], [eqn: rm P it (B)= {3} over {5}], [eqn: rm P it (A CUP B)= {5} over {7}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(A SMALLINTER B)={rmP}(A)+{rmP}(B)-{rmP}(A CUP B)= {16} over {35}]

서로 다른 [eqn: 2]개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 [eqn: 5]이거나 차가 [eqn: 5]일 확률을 구하시오.

[eqn: {1} over {6}]

눈의 수의 합이 [eqn: 5]인 사건을 [eqn: A], 눈의 수의 차가 [eqn: 5]인 사건을 [eqn: B]라고 하면  [eqn: {RmP}(A)= {1} over {9}], [eqn: {RmP}(B)= {1} over {18}]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은

[eqn: rm P it (A CUP B)= rm P it (A)+ rm P it (B)= {1} over {6}]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

[eqn: {11} over {20}]

[eqn: rm P it (A ^{C} CUP B ^{C} )= rm P it ((A SMALLINTER B) ^{C} )=1- rm P it (A SMALLINTER B)= {3} over {4}]

즉,  [eqn: rm P it (A SMALLINTER B)= {1} over {4}]

[eqn: rm P it (B SMALLINTER A ^{C} )={rmP}(B)- rm P it (A SMALLINTER B)= {1} over {5}]에서

[eqn: {rmP}(B)- {1} over {4} = {1} over {5}], 즉  [eqn: {rmP}(B)= {9} over {20}]

따라서  [eqn: rm P it (B ^{C} )= rm 1- rm P it (B)= {11} over {20}]

[eqn: {rmP}(A ^{C} CUP B ^{C} )= {3} over {4}], [eqn: {rmP}(B CUP A ^{C} )= {1} over {5}]

일 때, [eqn: {rmP}(B ^{C} )]을 구하시오.

[eqn: 8]가지의 원두 중에서 [eqn: 2]가지는 에티오피아산이고, [eqn: 6]가지는 케냐산이다. 이 중에서 임의로 [eqn: 2]가지를 동시에 택할 때, 적어도 [eqn: 1]가지는 케냐산일 확률을 구하시오.

[eqn: {27} over {28}]

택한 원두 중에서 적어도 [eqn: 1]가지는 케냐산인 사건을 [eqn: A]라고 하면 [eqn: A ^{C}]은

[eqn: 2]가지 모두 에티오피아산인 사건이므로

[eqn: rm P it (A ^{C} )= {{} _{2} rm C _{2} it} over {{} _{8} rm C _{2} it} = {1} over {28}]

따라서 구하는 확률은  [eqn: rm P it (A)= rm 1- rm P it (A ^{C} )= {27} over {28}]

[eqn: 1]부터 [eqn: 9]까지 자연수가 각각 적힌 [eqn: 9]개의 공이 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 공에 적힌 수를 작은 것부터 차례로 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 라고 하자. [eqn: b LEQ 4]일 확률을 구하시오.

[eqn: {17} over {42}]

임의로 [eqn: 3]개의 공을 꺼내는 경우의 수는

[eqn: {} _{9} rm C _{3} =84]

(ⅰ) [eqn: b=2]일 때, [eqn: a], [eqn: c]가 될 수 있는 경우의 수는 각각 [eqn: {} _{1} rm C _{1}], [eqn: {} _{7} rm C _{1}]이므로 [eqn: LEFT ( a], [eqn: b], [eqn: c RIGHT )]가 될 수 있는 경우의 수는
[eqn: {} _{1} rm C _{1} TIMES _{7} rm C _{1} =7]

(ⅱ) [eqn: b=3]일 때, [eqn: a,`c]가 될 수 있는 경우의 수는 각각 [eqn: {} _{2} rm C _{1}], [eqn: {} _{6} rm C _{1}]이므로 [eqn: LEFT ( a], [eqn: b], [eqn: c RIGHT )]가 될 수 있는 경우의 수는
[eqn: {} _{2} rm C _{1} TIMES _{6} rm C _{1} =12]

(ⅲ) [eqn: b=4]일 때, [eqn: a], [eqn: c]가 될 수 있는 경우의 수는 각각 [eqn: {} _{3} rm C _{1}], [eqn: {} _{5} rm C _{1}]이므로 [eqn: LEFT ( a], [eqn: b], [eqn: c RIGHT )]가 될 수 있는 경우의 수는
[eqn: {} _{3} rm C _{1} TIMES _{5} rm C _{1} =15]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: b LEQ 4]인 경우의 수는

[eqn: 7+12+15=34]

따라서 구하는 확률은  [eqn: {34} over {84} = {17} over {42}]

[eqn: n]이 [eqn: 20] 이하의 자연수일 때, [eqn: x]에 대한 이차 방정식 [eqn: 10x ^{2} -7nx+n ^{2} =0]의 정수해가 존재할 확률을 구하시오.

[eqn: {3} over {5}]

[eqn: 10x ^{2} -7nx+n ^{2} =0]을 풀면 [eqn: (2x-n)(5x-n)=0]에서

[eqn: x= {n} over {2}] 또는 [eqn: x= {n} over {5}]

이때 정수해가 존재하려면 [eqn: n]이 [eqn: 2]의 배수 또는 [eqn: 5]의 배수이어야 한다.

[eqn: n]이 [eqn: 2]의 배수인 사건을 [eqn: A], [eqn: 5]의 배수인 사건을 [eqn: B]라고 하면 [eqn: A SMALLINTER B]는

[eqn: 10]의 배수인 사건이므로

[eqn: rm P it (A)= {1} over {2}], [eqn: rm P it (B)= {1} over {5}], [eqn: rm P it (A SMALLINTER B)= {1} over {10}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(A CUP B)={rmP}(A)+{rmP}(B)-{RmP}(A SMALLINTER B)= {3} over {5}]

노란색 시계 [eqn: 3]개, 하늘색 시계 [eqn: 2]개, 노란색 팔찌 [eqn: 3]개, 하늘색 팔찌 [eqn: 2]개가 들어 있는 상자에서 임의로 [eqn: 3]개를 동시에 고를 때, 적어도 [eqn: 1]개는 시계이고 적어도 [eqn: 1]개는 하늘색일 확률을 구하시오.

[eqn: {91} over {120}]

[eqn: 3]개가 모두 팔찌인 사건을 [eqn: A], [eqn: 3]개가 모두 노란색인 사건을 [eqn: B]라고 하면  [eqn: rm P it (A)= {{} _{5} rm C _{3} it} over {{} _{10`} rm C _{3} it} = {1} over {12}]

[eqn: rm P it (B)= {{} _{6} rm C _{3} it} over {{} _{10`} rm C _{3} it} = {1} over {6}], [eqn: rm P it (A SMALLINTER B)= {{} _{3} rm C _{3} it} over {{} _{10`} rm C _{3} it} = {1} over {120}]

즉, [eqn: rm P it (A CUP B)= rm P it (A)+ rm P it (B)-{rmP}(A SMALLINTER B)= {29} over {120}]

따라서 구하는 확률은  [eqn: 1- {29} over {120} = {91} over {120}]

수행과제

열대어 기르기는 집 안의 습도 유지, 정서적 안정, 스트레스 해소 등에 효과가 있다고 한다.

그러나 열대어를 기를 때, 에인절피시와 같은 열대어는 공격성이 강해 작고 온순한 열대어와 한 어항에 같이 키우면 안 된다고 한다.

[eqn: 5]종류의 열대어 [eqn: rmA,`B,`C,`D,`E]가 각각 한 마리씩 있다. [eqn: rmA]는 [eqn: rmB]를 공격하고, [eqn: rmB]는 [eqn: rmC]를 공격하고, [eqn: rmC]는 [eqn: rmD]를 공격하고, [eqn: rmD]는 [eqn: rmE]와 [eqn: rmA]를 공격한다고 한다. 이 [eqn: 5]마리의 열대어를 서로 공격하지 않는 종류끼리 함께 [eqn: 3]개의 어항에 나누어 넣을 때, [eqn: rmA], [eqn: rmC], [eqn: rmE]를 [eqn: 1]개의 어항에 함께 넣을 확률을 구해 보자.

[eqn: 1 over3]

서로 공격하지 않는 종류끼리 함께 [eqn: 3]개의 어항에 넣는 경우는 [eqn: (rm`ACE,`BD)], [eqn: (rmA,`CE,`BD)], [eqn: (rmAC,`E,`BD)], [eqn: (rmAC,`BE,`D)], [eqn: (rmACE,`B,`D)], [eqn: (rmAE,`C,`BD)]이므로 [eqn: rmA], [eqn: rmC], [eqn: rmE]를 [eqn: 1]개의 어항에 함께 넣을 확률은

[eqn: {2} over {6} = {1} over {3}]

(단, [eqn: 3]개의 어항은 서로 구별되지 않고, 빈 어항이 있을 수 있다.)

앞에서 열대어를 서로 공격하지 않는 종류끼리 함께 [eqn: 4]개의 어항에 나누어 넣을 때, [eqn: rmB], [eqn: rmD]를 [eqn: 1]개의 어항에 함께 넣을 확률을 구해 보자.

[eqn: {5} over {11}]

서로 공격하지 않는 종류끼리 함께 [eqn: 4]개의 어항에 넣는 경우는 [eqn: 3]개의 어항에 넣는 경우와 [eqn: (rmA,`B,`CE,`D)], [eqn: (rm`A,`BD,`C,E)], [eqn: (rm`A,`BE,`C,`D)], [eqn: (RM`AC,`B,`D,`E)], [eqn: (RMAE,`B,`C,`D)]이므로 [eqn: RMB], [eqn: RMD]를 [eqn: 1]개의 어항에 함께 넣을 확률은  [eqn: {5} over {11}]

(단, [eqn: 4]개의 어항은 서로 구별되지 않고, 빈 어항이 있을 수 있다.)

조건부확률

주사위 한 개를 던져서 짝수의 눈이 나왔다는 조건 아래에서 소수의 눈이 나올 확률을 구하시오.

[eqn: 1 over3]

짝수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: A], 소수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: B]라고 하면

[eqn: A= LEFT { 2,`4,`6 RIGHT }], [eqn: A= LEFT { 2,`3,`5 RIGHT }], [eqn: A SMALLINTER B= LEFT { 2 RIGHT }]

이므로  [eqn: {\P}(A)= {1} over {2}], [eqn: {rmP}(A SMALLINTER B)= {1} over {6}]

따라서 구하는 확률은 사건 [eqn: A]가 일어났을 때의 사건 [eqn: B]의 조건부확률이므로

[eqn: {rmP}(B``□A)= {{rmP}(A SMALLINTER B)} over {{rmP}(A)} = {{1} over {6}} over {{1} over {2}} = {1} over {3}]

어느 해 제주특별자치도를 관광한 사람 중 외국인은 [eqn: 40]%이고, 제주특별자치도를 관광한 사람 중 우도의 올레길을 탐방한 외국인은 [eqn: 30]%이다. 제주특별자치도를 관광한 외국인 중에서 임의로 한 명을 뽑을 때, 그 사람이 우도의 올레길을 탐방한 사람일 확률을 구하시오.

[eqn: {3} over {4}]

여행 도서 [eqn: 6]권과 자기 계발 도서 [eqn: 3]권이 꽂혀 있는 책장에서 세민이와 윤아가 차례로 책을 [eqn: 1]권씩 임의로 꺼낼 때, 두 사람 모두 자기 계발 도서를 꺼낼 확률을 구하시오.

[eqn: 1 over12]

세민이와 윤아가 자기 계발 도서를 꺼내는 사건을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라고 하면

[eqn: {rmP}(A)= {3} over {9} = {1} over {3}]

세민이가 자기 계발 도서를 꺼냈을 때, 윤아도 자기 계발 도서를 꺼낼 확률은

[eqn: {rmP}(B``□A)= {2} over {8} = {1} over {4}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(A SMALLINTER B)={rmP}(A){rmP}(B``□A)= {1} over {3} TIMES {1} over {4} = {1} over {12}]

(단, 꺼낸 책은 다시 넣지 않는다.)

딸기 파이 [eqn: 3]개와 오렌지 파이 [eqn: 5]개가 들어 있는 상자에서 서진이와 지은이가 차례로 파이를 [eqn: 1]개씩 임의로 꺼낼 때, 두 사람 모두 오렌지 파이를 꺼낼 확률을 구하시오.

[eqn: {5} over {14}]

(단, 꺼낸 파이는 다시 넣지 않는다.)

[eqn: 4]개의 당첨 제비를 포함하여 [eqn: 20]개의 제비가 들어 있는 상자에서 승민이와 희찬이가 차례로 제비를 [eqn: 1]개씩 임의로 뽑는다고 한다. 한 번 뽑은 제비는 다시 넣지 않을 때, 승민이가 당첨 제비를 뽑을 확률과 희찬이가 당첨 제비를 뽑을 확률을 각각 구하시오.

승민 : [eqn: {1} over {5}], 희찬 : [eqn: {1} over {5}]

승민이와 희찬이가 당첨 제비를 뽑는 사건을 각각 [eqn: A], [eqn: B]라고 하자.

승민이가 당첨 제비를 뽑을 확률은  [eqn: {rmP}(A)= {4} over {20} = {1} over {5}]

희찬이가 당첨 제비를 뽑을 확률 [eqn: {rmP}(B)]는 승민이가 당첨 제비를 뽑은 경우와 당첨 제비를 뽑지 않은 경우로 나누어 구할 수 있다.

(ⅰ) [eqn: {rmP}(A SMALLINTER B)={rmP}(A){rmP}(B``□A)= {1} over {5} TIMES {3} over {19} = {3} over {95}]

(ⅱ) [eqn: {rmP}(A ^{C} SMALLINTER B)={rmP}(A ^{C} ){rmP}(B``□A ^{C} )= {4} over {5} TIMES {4} over {19} = {16} over {95}]

즉,  [eqn: {rmP}(B)={rmP}(A SMALLINTER B)+{rmP}(A ^{C} SMALLINTER B)= {3} over {95} + {16} over {95} = {1} over {5}]

따라서 승민이가 당첨 제비를 뽑을 확률과 희찬이가 당첨 제비를 뽑을 확률은 모두 [eqn: {1} over {5}]이다.

우리나라 아동 중에서 [eqn: 7]%가 주의력 결핍 과잉 행동 장애(ADHD)가 있다고 한다. 전문가가 ADHD가 있는 아동을 ‘있음’으로 정확하게 진단할 확률이 [eqn: 0.8]이고, ADHD가 없는 아동을 ‘없음’으로 정확하게 진단할 확률이 [eqn: 0.7]이라고 하자. 어느 아동이 ADHD가 있는지 알아보기 위해 전문가에게 검사를 받을 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 0.056]	⑵ [eqn: 0.651]	⑶ [eqn: 0.707]

⑴ 그 아동이 ADHD가 있고, 전문가가 정확하게 진단할 확률

⑵ 그 아동이 ADHD가 없고, 전문가가 정확하게 진단할 확률

⑶ 전문가가 그 아동을 정확하게 진단할 확률

사건의 독립과 종속

주사위 한 개를 던져서 [eqn: 6]의 약수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: A], 소수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: B], [eqn: 4] 이상의 눈이 나오는 사건을 [eqn: rmC]라고 할 때, 다음 두 사건이 서로 독립인지 종속인지 말하시오.

(1) 독립	(2) 종속

[eqn: {rmP}(A)= {2} over {3}],  [eqn: {rmP}(B)= {1} over {2}], [eqn: {rmP}(C)= {1} over {2}]이고 [eqn: {rmP}(A SMALLINTER B)= {1} over {3}], [eqn: {rmP}(A SMALLINTER C)= {1} over {6}]이다.

⑴ [eqn: {rmP}(A){rmP}(B)= {1} over {3}]이므로  [eqn: {rmP}(A SMALLINTER B)={rmP}(A){rmP}(B)]
따라서 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 독립이다.

⑵ [eqn: {rmP}(A){rmP}(C)= {1} over {3}]이므로  [eqn: {rmP}(A SMALLINTER C) != {rmP}(A){rmP}(C)]
따라서 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: rmC]는 서로 종속이다.

⑴ 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]                   ⑵ 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: C]

오

	스키	스노보드	합계
남자	24	36	60
여자	16	24	40
합계	40	60	100

른쪽 표는 어느 스키장을 이용한 [eqn: 100]명을 대상으로 스키와 스노보드 중에서 어느 것을 선호하는지 조사한 것이다. [eqn: 100]명 중에서 임의로 [eqn: 1]명을 뽑을 때, 이 사람이 스노보드를 선호하는 사람인 사건과 여자인 사건이 서로 독립인지 종속인지 말하시오.

독립

[eqn: 4]개의 프로펠러로 작동하는 드론이 있다. 각 프로펠러는 독립적으로 작동하고, 프로펠러마다 제대로 작동할 확률이 [eqn: {9} over {10}]라고 할 때, 다음을 구하시오.

(1) [eqn: {729} over {2500}]	(2) [eqn: {9999} over {10000}]

⑴ [eqn: 3]개의 프로펠러가 제대로 작동할 확률은 독립시행의 확률에 의하여
[eqn: rm{} _{4} C _{3} TIMES left( {9} over {10} right) ^{3} TIMES left( {1} over {10} right) ^{1} = {729} over {2500}]

⑵ [eqn: 4]개의 프로펠러가 모두 제대로 작동하지 않을 확률은 독립시행의 확률에 의하여
[eqn: rm{} _{4} C _{0} TIMES left( {9} over {10} right) ^{0} TIMES left( {1} over {10} right) ^{4} = {1} over {10000}]
따라서 구하는 확률은  [eqn: 1- {1} over {10000} = {9999} over {10000}]

⑴ [eqn: 3]개의 프로펠러가 제대로 작동할 확률

⑵ 적어도 [eqn: 1]개의 프로펠러가 제대로 작동할 확률

[eqn: 100]원짜리 동전 [eqn: 1]개와 [eqn: 500]원짜리 동전 [eqn: 1]개를 동시에 던지는 시행을 [eqn: 5]번 반복할 때, 두 동전이 동시에 앞면이 나오는 사건이 [eqn: 3]번 일어날 확률을 구하시오.

[eqn: {45} over {512}]

윷짝 [eqn: 1]개를 던질 때 둥근 면이 나올 확률을 스스로 정하고, 윷짝 [eqn: 4]개를 동시에 [eqn: 1]번 던질 때 도, 걸이 나올 확률을 각각 구하시오.

[eqn: {96} over {625}], [eqn: {216} over {625}]

윷짝 [eqn: 1]개를 던질 때 둥근 면이 나올 확률을 [eqn: {2} over {5}]라고 하면 도, 걸이 나올 확률은 각각    [eqn: {96} over {625}], [eqn: {216} over {625}]

다음은 배구 리그 우승 팀 결정전 중계이다. [eqn: rmA] 팀이 [eqn: 7]차전에서 최종 우승할 확률을 구해 보자. (단, 매 경기에 무승부는 없고, 두 팀이 이길 확률은 서로 같다.)

[eqn: 3 over16]

[eqn: rmA] 팀이 [eqn: 3]차전까지 [eqn: 2]승을 했으므로 [eqn: 6]차전까지 [eqn: 1]승을 더 하고, [eqn: 7]차전에서 이기면 된다.

따라서 구하는 확률은  [eqn: {} _{3} rmC _{1} TIMES left( {1} over {2}right ) ^{1} TIMES left( {1} over {2} right) ^{2} TIMES {1} over {2} = {3} over {16}]

중단원 마무리하기

다음 표는 독서 체험 교실에 참가한 어느 고등학교 [eqn: 1]학년, [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 30]명을 대상으로 독서 체험 교실에서 한 활동을 조사한 것이다. 이 학생들 중에서 임의로 택한 학생 [eqn: 1]명이 [eqn: 2]학년일 때, 그 학생이 독후감 쓰기를 한 학생일 확률을 구하시오.

[eqn: {2} over {3}]

(단위: 명)

	독후감 쓰기	활동지 만들기	합계
1학년	7	5	12
2학년	12	6	18
합계	19	11	30

[eqn: 3]개의 불량품을 포함하여 [eqn: 15]개의 제품이 들어 있는 상자에서 임의로 제품을 [eqn: 1]개씩 [eqn: 2]번 꺼낼 때, 첫 번째는 정상품, 두 번째는 불량품을 꺼낼 확률을 구하시오.

[eqn: {6} over {35}]

(단, 꺼낸 제품은 다시 넣지 않는다.)

두 사건 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 서로 독립이고,

[eqn: {1} over {4}]

[eqn: {rmP}(A)= {2} over {5}], [eqn: {rmP}(A SMALLINTER B)= {1} over {10}]

일 때, [eqn: {rmP}(B)]를 구하시오.

두 사건 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 대하여

[eqn: 2 over3]

[eqn: {rmP}(A ^{C} `|`B ^{C} )= {{rmP}(A ^{C} SMALLINTER B ^{C} )} over {{RmP}(B ^{C} )} = {1-{rmP}(A CUP B)} over {1-{rmP}(B)} = {2} over {3}]

[eqn: {rmP}(B)= {1} over {3}], [eqn: {rmP}(A CUP B)= {5} over {9}]

일 때, [eqn: {rmP}(A ^{C} `□B ^{C} )]을 구하시오.

어느 고등학교의 상담실에서 지난 한 달 동안 [eqn: 1]학년, [eqn: 2]학년 학생 총 [eqn: 30]명이 전문 상담교사에게 상담을 받았고, 이 중에서 [eqn: 1]학년은 남학생의 비율이 [eqn: 40 %], [eqn: 2]학년은 남학생의 비율이 [eqn: 30 %]이었다. 상담을 받은 학생 중에서 임의로 뽑은 [eqn: 1]명이 남학생일 때, 그 학생이 [eqn: 1]학년일 확률이 [eqn: {2} over {5}]이다. 상담을 받은 [eqn: 1]학년 학생은 몇 명인지 구하시오.

[eqn: 10]

임의로 뽑은 [eqn: 1]명이 [eqn: 1]학년인 사건을 [eqn: A], 남학생인 사건을 [eqn: B], 상담을 받은 [eqn: 1]학년 학생을 [eqn: x]명이라고 하면

	[eqn: 1]학년	[eqn: 2]학년	합계
남학생	[eqn: 0.4x]	[eqn: 0.3(30-x)]	[eqn: 0.1x+9]
여학생	[eqn: 0.6x]	[eqn: 0.7(30-x)]	[eqn: -0.1x+21]
합계	[eqn: x]	[eqn: 30-x]	[eqn: 30]

[eqn: {rmP}(B)= {0.1x+9} over {30} ,`{rmP}(A SMALLINTER B)= {0.4x} over {30}]이므로

[eqn: {rmP}(A`|`B)= {{rmP}(A SMALLINTER B)} over {{rmP}(B)} = {{0.4x} over {30}} over {{0.1x+9} over {30}} = {2} over {5}]

따라서 [eqn: x=10]이므로 [eqn: 1]학년 학생은 [eqn: 10]명이다.

어느 음식점에서 하루의 매출 목표액을 달성할 확률은 그날 비가 오는 경우 [eqn: 0.9], 비가 오지 않는 경우 [eqn: 0.3]이라고 한다. 오늘 비가 올 확률이 [eqn: 0.6]일 때, 이 음식점에서 오늘 하루의 매출 목표액을 달성할 확률을 구하시오.

[eqn: 0.66]

오늘 비가 오는 사건을 [eqn: A], 하루의 매출 목표액을 달성하는 사건을 [eqn: B]라고 하면

[eqn: rm P it (A)=0.6,~ rm P it (B``|`A)=0.9,~ rm P it (B`|`A ^{C} )=0.3`]
따라서 오늘 하루의 매출 목표액을 달성할 확률은

[eqn: rm P it (B)= rm P it (A SMALLINTER B)+ rm P it (A ^{C} SMALLINTER B)]

[eqn: ={RmP}(A){RmP}(B`|`A)+{rmP}(A ^{C} ){rmP}(B`|A ^{C} )]

[eqn: ``````````````````=0.6 TIMES 0.9+(1-0.6) TIMES 0.3=0.66]

빨간 공 [eqn: 2]개, 파란 공 [eqn: 3]개가 들어 있는 주머니에서 [eqn: A], [eqn: B] 두 사람이 [eqn: A], [eqn: B]의 순서로 공을 [eqn: 1]개씩 임의로 꺼낼 때, 먼저 빨간 공을 꺼낸 사람이 이긴다고 한다. 승부가 날 때까지 공을 꺼낼 때, [eqn: A]가 이길 확률을 구하시오. (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.)

[eqn: 3 over5]

[eqn: rmA]가 첫 번째, 세 번째에 이길 확률은 각각

[eqn: {2} over {5}], [eqn: {3} over {5} TIMES {2} over {4} TIMES {2} over {3} = {1} over {5}]

따라서 구하는 확률은  [eqn: {2} over {5} + {1} over {5} = {3} over {5}]

두 학생 [eqn: A], [eqn: B]가 연말에 공연을 관람할 확률이 각각 [eqn: {1} over {7}], [eqn: {2} over {5}]라고 한다. 각 학생이 공연을 관람할 사건이 서로 독립일 때, 두 학생 중에서 한 학생만 연말에 공연을 관람할 확률을 구하시오.

[eqn: 3 over7]

[eqn: {1} over {7} TIMES {3} over {5} + {6} over {7} TIMES {2} over {5} = {3} over {7}]

승부차기 성공률이 각각 [eqn: 80``%], [eqn: 60``%]인 병헌이와 지훈이가 차례로 승부차기를 한 번씩만 할 때, 적어도 한 명이 승부차기에 성공할 확률을 구하시오. (단, 병헌이와 지훈이가 각각 승부차기에서 성공하는 사건은 서로 독립이다.)

[eqn: 0.92]

병헌이와 지훈이가 모두 성공하지 못할 확률은

[eqn: (1-0.8) TIMES (1-0.6)=0.08]

따라서 구하는 확률은  [eqn: 1-0.08=0.92]

좌표평면 위의 점 [eqn: rmP]는 주사위 [eqn: 1]개를 [eqn: 1]번 던져서 나오는 눈의 수가 [eqn: 4]의 약수이면 [eqn: x]축의 양의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: 4]의 약수가 아니면 [eqn: y]축의 양의 방향으로 [eqn: 1]만큼 이동한다. 주사위 [eqn: 1]개를 [eqn: 6]번 던질 때, 다음 그림과 같이 원점 [eqn: rmO]에서 출발한 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmQ]에 도착할 확률을 구하시오.

[eqn: 5 over16]

원점 [eqn: rmO]에서 출발한 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmQ]에 도착하려면 주사위 [eqn: 1]개를 [eqn: 6]번 던져서 [eqn: 4]의 약수가 [eqn: 3]번, [eqn: 4]의 약수가 아닌 수가 [eqn: 3]번 나와야 한다.

따라서 구하는 확률은  [eqn: {} _{6} rm C _{3} TIMES left( {1} over {2} right) ^{3} TIMES left( {1} over {2} right) ^{3} = {5} over {16}]

봉투와 카드를 이용하여 게임을 하려고 한다. [eqn: rmA]봉투에는 빨간 카드 [eqn: 5]장과 노란 카드 [eqn: 3]장이 들어 있고, [eqn: rmB]봉투는 비어 있다. [eqn: rmA]봉투에서 임의로 카드 [eqn: 2]장을 동시에 꺼내어 빨간 카드가 [eqn: 1]장이라도 나오면 꺼낸 카드 [eqn: 2]장을 [eqn: rmB]봉투에 넣고 게임이 끝난다. 빨간 카드가 [eqn: 1]장도 나오지 않으면 꺼낸 카드 [eqn: 2]장을 [eqn: rmB]봉투에 넣은 후 [eqn: rmA]봉투에서 다시 카드 [eqn: 2]장을 더 꺼내어 [eqn: rm B]봉투에 넣고 게임이 끝난다. 게임이 끝난 후 [eqn: rmB]봉투에 빨간 카드가 [eqn: 1]장 들어 있을 확률을 구하시오.

[eqn: 4 over7]

(ⅰ) [eqn: rmA] 봉투에서 빨간 카드 [eqn: 1]장과 노란 카드 [eqn: 1]장을 꺼내는 경우,
그 확률은  [eqn: {{} _{5} rmC _{1} TIMES _{3} rmC _{1}} over {{} _{8} rmC _{2}} = {15} over {28}]

(ⅱ) [eqn: rmA] 봉투에서 노란 카드 [eqn: 2]장을 꺼낸 후 다시 꺼낼 때
빨간 카드 [eqn: 1]장과 노란 카드 [eqn: 1]장을 꺼내는 경우, 그 확률은	[eqn: {{} _{3} rmC _{2}} over {{} _{8} rmC _{2}} TIMES {{} _{5} rm C _{1} TIMES _{1} rm C _{1} it} over {{} _{6} rm C _{2} it} = {1} over {28}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은  [eqn: {15} over {28} + {1} over {28} = {4} over {7}]

어느 보석 감정 회사에 감정 의뢰가 들어오는 보석의 [eqn: 80%]는 진품이고 [eqn: 20%]는 가품이라고 한다. 이 회사의 보석 감별사가 진품을 가품으로 잘못 감별할 확률이 [eqn: 0.02], 가품을 진품으로 잘못 감별할 확률이 [eqn: 0.03]이라고 할 때, 이 감별사가 진품으로 감별한 보석이 실제로는 가품일 확률을 구하시오.

[eqn: {3} over {395}]

보석이 진품인 사건을 [eqn: A], 보석 감별사가 보석을 진품으로 감별하는 사건을 [eqn: rmB]라고 하면

[eqn: rm P it (A)=0.8], [eqn: rm P it (A ^{C} )=0.2], [eqn: {RmP}(B`|`A)=0.98],

[eqn: {rmP}(B`|`A ^{C} )=0.03]

보석을 진품으로 감별할 확률은

[eqn: rm P it (B)= rm P it (A SMALLINTER B)+ rm P it (A ^{C} SMALLINTER B)]

[eqn: ``````````````````={rmP}(A){RmP}(B`"`"|A)+{RmP}(A ^{C} ){rmP}(B`|`A ^{C} )]

[eqn: ``````````````````=0.8 TIMES 0.98+0.2 TIMES 0.03=0.79]

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P it (A ^{C} `|`B)= {rm P it (A ^{C} SMALLINTER B)} over {rm P it (B)} = {rm P it (A ^{C} ) rm P it (B`|`A ^{C} )} over {rm P it (B)}]

[eqn: ```````````````````````````````= {0.2 TIMES 0.03} over {0.79} = {3} over {395}]

탁구 시합에서 [eqn: rmA]가 [eqn: rmB]를 이길 확률은 [eqn: {1} over {3}], [eqn: rmB]가 [eqn: rmC]를 이길 확률은 [eqn: {2} over {5}], [eqn: rmC]가 [eqn: rmA]를 이길 확률은 [eqn: {1} over {2}]이다.

[eqn: {7} over {18}]

오른쪽 그림과 같이 대진표의 각자리를 [eqn: 1], [eqn: ◇], [eqn: ◇]라고 하자.

(ⅰ) [eqn: rmC]가 [eqn: 1]에 배정되고 결승에서 [eqn: rmA]와 만나서 [eqn: rmC]가 우승할 확률은
[eqn: {1} over {3} TIMES left( {1} over {3} TIMES {1} over {2}right )= {1} over {18}]

(ⅱ) [eqn: rmC]가 [eqn: 1]에 배정되고 결승에서 [eqn: rmB]와 만나서 [eqn: rmC]가 우승할 확률은	[eqn: {1} over {3} TIMES ( {2} over {3} TIMES {3} over {5} )= {2} over {15}]

(ⅲ) [eqn: rmA] 가 [eqn: 1]에 배정되고 결승에서 [eqn: rmC]가 우승할 확률은
[eqn: {1} over {3} TIMES ( {3} over {5} TIMES {1} over {2} )= {1} over {10}]

(ⅳ) [eqn: rmB] 가 [eqn: 1]에 배정되고 결승에서 [eqn: rmC]가 우승할 확률은
[eqn: {1} over {3} TIMES ( {1} over {2} TIMES {3} over {5} )= {1} over {10}]

(ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 확률은

[eqn: {1} over {18} + {2} over {15} + {1} over {10} + {1} over {10} = {7} over {18}]

오른쪽 대진표와 같이 승자 진출전 방식으로 탁구 시합을 할 때, [eqn: rmC]가 우승할 확률을 구하시오. (단, [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 각각 대진표의 세 자리에 배정될 확률은 같고, 비기는 경우는 없다.)

검은 공 [eqn: 4]개와 흰 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 상자에서 임의로 공 [eqn: 1]개를 꺼내어 색을 확인하고 다시 집어넣는 것을 [eqn: 1]회 시행이라고 하자. 검은 공이 나오면 [eqn: 3]점, 흰 공이 나오면 [eqn: 1]점을 얻을 때, [eqn: 8]회의 시행을 한 후 [eqn: 12]점을 얻을 확률이 [eqn: {k} over {3 ^{8}}]이다. 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[eqn: k=112]

[eqn: 8]회의 시행을 한 후 검은 공이 나온 횟수를 [eqn: x], 흰 공이 나온 횟수를 [eqn: y]라고 하면

[eqn: x+y=8], [eqn: 3x+y=12], 즉  [eqn: x=2], [eqn: y=6]

[eqn: 8]회의 시행을 한 후 [eqn: 12]점을 얻을 확률은

[eqn: {} _{8} rmC _{2} TIMES left( {2} over {3} right) ^{2} TIMES left( {1} over {3} right) ^{6} = {112} over {3 ^{8}}]

따라서  [eqn: k=112]

수행과제

다음은 ‘인간 제로’라는 게임의 규칙이다.

게임을 [eqn: 1]번 할 때, [eqn: rmA]조가 이길 확률을 구해 보자.

[eqn: 2 over3]

[eqn: rmB]조가 [eqn: 0]을 외치고 [eqn: rmA]조에서 [eqn: 1]명만 일어나거나 [eqn: 2]명 모두 일어날 확률은  [eqn: {1} over {3} TIMES {3} over {4} = {1} over {4}]

[eqn: rmB]조가 [eqn: 1]을 외치고 [eqn: rmA]조에서 [eqn: 2]명 모두 일어나거나 모두 앉아 있을 확률은  [eqn: {1} over {3} TIMES {1} over {2} = {1} over {6}]

[eqn: rmB]조가 [eqn: 2]를 외치고 [eqn: rmA]조에서 [eqn: 1]명만 일어나거나 [eqn: 2]명 모두 앉아 있을 확률은  [eqn: {1} over {3} TIMES {3} over {4} = {1} over {4}]

따라서 구하는 확률은  [eqn: {1} over {4} + {1} over {6} + {1} over {4} = {2} over {3}]

게임을 [eqn: 3]번 해서 [eqn: rmA]조가 [eqn: 3]번 모두 이겨야 [eqn: rmA]조의 승리이고, [eqn: rmA]조가 [eqn: 1]번이라도 지면 [eqn: rm B]조의 승리라고 할 때, 어느 조가 더 유리한지 말해 보자.

풀이 참조

[eqn: rm A]조가 승리할 확률은

[eqn: {} _{3} rm C _{3} TIMES LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3} TIMES LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{0} = {8} over {27}]

[eqn: rm B]조가 승리할 확률은 [eqn: {19} over {27}]이므로 [eqn: rm B]조가 더 유리하다.

게임의 규칙에서 [eqn: 4]명으로 한 모둠을 만들고 그중 [eqn: 3]명을 [eqn: rm A]조, 나머지 [eqn: 1]명을 [eqn: rm B]조라고 하자. [eqn: rm B]조가 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3] 중에서 임의로 하나의 수를 외치도록 하고 게임을 [eqn: 1]번 할 때, [eqn: rm A]조가 이길 확률을 구해 보자.

[eqn: 3 over4]

[eqn: {1} over {4} TIMES {7} over {8} + {1} over {4} TIMES {5} over {8} + {1} over {4} TIMES {5} over {8} + {1} over {4} TIMES {7} over {8} = {3} over {4}]

대단원 평가하기

주황색 탁구공 [eqn: n]개와 흰색 탁구공을 합하여 모두 [eqn: 20]개가 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 임의로 탁구공 [eqn: 2]개를 동시에 꺼낼 때, [eqn: 2]개 모두 주황색 탁구공일 확률은 [eqn: {1} over {19}]이다. 이때 [eqn: n]의 값을 구하시오.

[eqn: 5]

[eqn: {{} _{n} {rmC} _{2}} over {{} _{20} {rmC} _{2}} = {1} over {19}]이므로  [eqn: n ^{2} -n-20=0,``n=5]

다음 표는 둥글고 노란색인 완두콩과 주름지고 녹색인 완두콩을 교배하여 얻은 잡종 [eqn: 2]세대를 모양과 색으로 구분한 결과이다. 이 잡종 [eqn: 2]세대 완두콩 중에서 임의로 [eqn: 1]개를 고를 때, 그 완두콩이 주름지고 노란색인 완두콩일 확률을 구하시오.

[eqn: {11} over {60}]

(단위: 개)

	노란색	녹색	합계
둥글다	269	91	360
주름지다	88	32	120
합계	357	123	480

발명품 경진 대회에 출전할 학교 대표 [eqn: 2]명을 선발하는 대회에 [eqn: 1]학년 학생 [eqn: 4]명과 [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 6]명이 참가하였다. 임의로 [eqn: 2]명을 선발할 때, [eqn: 2]명이 같은 학년일 확률을 구하시오.

[eqn: 7 over 15]

대표 [eqn: 2]명이 모두 [eqn: 1]학년인 사건을 [eqn: rmA], 모두 [eqn: 2]학년인 사건을 [eqn: rmB]라고 하면

[eqn: rm P it (A)= {{} _{4} rm C _{2} it} over {{} _{10} rm C _{2} it} = {2} over {15} ,` rm P it (B)= {{} _{6} rm C _{2} it} over {{} _{10} rm C _{2} it} = {1} over {3}]

두 사건 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(A CUP B)={rmP}(A)+{rmP}(B)= {7} over {15}]

어떤 시행에서 표본공간 [eqn: rmS]의 서로 다른 두 사건 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 대하여 다음 보기 중 항상 옳은 것을 있는 대로 고르시오.

ㄱ

ㄴ. [eqn: S= LEFT { 1,`2,`3 RIGHT }], [eqn: A= LEFT { 1,`2 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 3,`4 RIGHT }]이면
[eqn: rm P it (A)+ rm P it (B)=1]이지만 [eqn: A SMALLINTER B= LEFT { 1 RIGHT }]이므로
[eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 배반사건이 아니다.

ㄷ. [eqn: S= LEFT { 1,`2,`3,`4 RIGHT }], [eqn: A= LEFT { 1,`2,`3 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 3,`4 RIGHT }]이면
[eqn: A CUP B=S] 이지만 [eqn: rm P it (A)+ rm P it (B)= {5} over {4}]이다.

따라서 항상 옳은 것은 ㄱ이다.

		| 보기 |
	ㄱ. [eqn: 0 LEQ {rmP}(A CUP B) LEQ 1] ㄴ. [eqn: {rmP}(A)+ {rmP}(B)=1]이면 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]는 서로 배반 사건이다. ㄷ. [eqn: A CUP B=S] 이면 [eqn: {rmP}(A)+ {rmP}(B)=1]이다.

오른쪽 그림과 같이 [eqn: 12]개의 점이 가로, 세로로 각각 [eqn: 1]만큼의 간격으로 놓여 있다. 이 중에서 임의로 [eqn: 2]개의 점을 택하여 연결한 선분의 길이가 무리수일 확률을 구하시오.

[eqn: 6 over11]

[eqn: 12]개의 점 중에서 [eqn: 2]개를 택하여 연결한 선분의 길이가 유리수일 확률은  [eqn: {4 TIMES _{3} rmC _{2} +3 TIMES _{4} C _{2}} over {{} _{12} rmC _{2}} = {5} over {11}]

따라서 구하는 확률은  [eqn: 1- {5} over {11} = {6} over {11}]

다음 표는 두 지역 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 태양광 미니 발전소 설치 여부에 따른 가구 수를 조사한 것이다. 두 지역에서 임의로 택한 [eqn: 1]가구가 태양광 미니 발전소를 설치한 가구일 때, 그 가구가 [eqn: rmA] 지역의 가구일 확률을 구하시오.

[eqn: {37} over {140}]

(단위: 개)

	설치	미설치	합계
[eqn: rmA] 지역	74	136	210
[eqn: rmB] 지역	206	524	730
합계	280	660	940

어느 노래 경연에 참가한 가은이와 진수가 예선을 통과할 확률이 각각 [eqn: 0.8], [eqn: 0.5]라고 한다. 가은이와 진수가 각각 예선을 통과하는 사건이 서로 독립일 때, [eqn: 2]명 중에서 [eqn: 1]명만 예선을 통과할 확률은?

③

[eqn: 0.8 TIMES 0.5+0.2 TIMES 0.5=0.5]이므로 ③이다.

① [eqn: 0.25]	② [eqn: 0.275]	③ [eqn: 0.5]

④ [eqn: 0.625]	⑤ [eqn: 0.75]

어느 과자 회사에서 경품 행사로 [eqn: 6]봉지의 과자 중에서 [eqn: 1]봉지의 비율로 ‘[eqn: 1]봉지 더!’라는 당첨권 [eqn: 1]장을 넣었다. 이 과자 [eqn: 4]봉지를 구입한 사람이 당첨권 [eqn: 1]장을 받을 확률을 구하시오.

[eqn: {125} over {324}]

[eqn: {} _{4} rmC _{1} TIMES left( {1} over {6} right) ^{1} TIMES left( {5} over {6} right) ^{3} = {125} over {324}]

파스칼은 그의 친구 드메레(de Mere, C., 1607~1684)로부터 ‘서로 다른 [eqn: 2]개의 주사위를 [eqn: 24]번 던져서 적어도 [eqn: 1]번 [eqn: (6, ``6)]이 나올 확률’에 대한 질문을 받았다. 이 확률을 구하시오.

[eqn: 0.491]

[eqn: 2]개의 주사위를 [eqn: 1]번 던져서 [eqn: (6,`6)]이 나오지 않을 확률은 [eqn: 2]개의 주사위를 [eqn: 24]번 던져서 [eqn: (6,`6)]이 [eqn: 1]번도 나오지 않을 확률은  [eqn: {} _{24} rm C _{24} TIMES LEFT ( {35} over {36} RIGHT ) ^{24} TIMES LEFT ( {1} over {36} RIGHT ) ^{0} =0.509]
따라서 구하는 확률은  [eqn: 1-0.509=0.491]

[eqn: LEFT ( 단,`` LEFT ( {35} over {36} RIGHT ) ^{24} =0.509로``계산한다. RIGHT )]

파란 공 [eqn: 5]개, 빨간 공 [eqn: 4]개가 들어 있는 바구니에서 임의로 공 [eqn: 4]개를 동시에 꺼낼 때, 파란 공이 [eqn: 1]개 이하로 나올 확률을 구하시오.

[eqn: {1} over {6}]

파란 공이 [eqn: 1]개 나오는 사건을 [eqn: A], 파란 공이 나오지 않는 사건을 [eqn: B]라고 하면 [eqn: rm P it (A)= {{} _{5} rm C _{1} TIMES _{4} C _{3} it} over {{} _{9} rmC _{4}} = {10} over {64}], [eqn: rm P it (B)= {{} _{5} rm C _{0} TIMES _{4} C _{4} it} over {{} _{9} rmC _{4}} = {1} over {126}]

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]는 서로 배반사건이므로 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(A CUP B)={rmP}(A)+{RmP}(B)= {1} over {6}]

세원이가 인터넷으로 어느 맛집에 대한 후기를 검색하면 [eqn: 60``%]는 여자가 작성한 후기라고 한다. 이때 여자가 후기를 작성하였을 때 단어 ‘제공’이 포함될 확률은 [eqn: 0.6]이고, 남자가 후기를 작성하였을 때 ‘제공’이 포함될 확률은 [eqn: 0.5]라고 한다. 세원이가 ‘제공’이 포함된 후기를 찾았을 때, 이 후기가 여자가 작성한 후기일 확률을 구하시오.

[eqn: {9} over {14}]

찾은 후기가 여자가 작성한 후기인 사건을 [eqn: A], 남자가 작성한 후기인 사건을 [eqn: A ^{C}], 단어 ‘제공’이 포함된 후기인 사건을 [eqn: B] 라고 하면

[eqn: {rmP}(A)=0.6], [eqn: {RmP}(A ^{C} )=0.4], [eqn: {rmP}(B`|`A)=0.6]

[eqn: {RmP}(B`|A ^{C} )=0.5]

단어 ‘제공’이 포함된 후기를 찾을 확률은

[eqn: rm P it (B)= rm P it (A SMALLINTER B)+ rm P it (A ^{C} SMALLINTER B)]

[eqn: ``````````````````= rm P it (A) rm P it (B`|`A)+ rm P it (A ^{C} ) rm P it (B`|`A ^{C} )]

[eqn: ``````````````````=0.6 TIMES 0.6+0.4 TIMES 0.5=0.56]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(A`|`B)= {{rmP}(A SMALLINTER B)} over {{rmP}(B)} = {0.36} over {0.56} = {9} over {14}]

어느 고등학교 [eqn: 1]학년 학생들을 대상으로 ‘점심 시간 중 도서관 이용 경험’에 대하여 조사하였더니 남학생 중에서 이용 경험이 있는 학생은 [eqn: 30]명, 없는 학생은 [eqn: 20]명, 여학생 중에서 이용 경험이 없는 학생은 [eqn: 10]명이었다. 조사한 학생 중에서 임의로 택한 [eqn: 1]명이 남학생인 사건과 도서관 이용 경험이 있는 학생인 사건이 서로 독립일 때, 도서관 이용 경험이 있는 여학생 수를 구하시오.

[eqn: 15]

점심 시간 중 도서관 이용 경험이 있는 여학생 수를 [eqn: x]라고 하면

(단위: 명)

	남학생	여학생	합계
이용 경험이 있음	[eqn: 30]	[eqn: x]	[eqn: 30+x]
이용 경험이 없음	[eqn: 20]	[eqn: 10]	[eqn: 30]
합계	[eqn: 50]	[eqn: 10+x]	[eqn: 60+x]

조사한 학생 중에서 임의로 택한 [eqn: 1]명이 남학생인 사건을 [eqn: A], 도서관 이용 경험이 있는 학생인 사건을 [eqn: rmB]라고 하면 [eqn: {rmP}(A SMALLINTER B)={rmP}(A){RmP}(B)]이므로

[eqn: {30} over {60+x} = {50} over {60+x} TIMES {30+x} over {60+x} ,`x=15]

따라서 점심 시간 중 도서관 이용 경험이 있는 여학생 수는 [eqn: 15]이다.

주사위 [eqn: 1]개를 던져서 홀수의 눈이 나오면 동전 [eqn: 1]개를 [eqn: 2]번 던지고, 짝수의 눈이 나오면 동전 [eqn: 1]개를 [eqn: 4]번 던진다. 주사위 [eqn: 1]개를 [eqn: 1]번 던진 후 그 결과에 따라 동전을 던질 때, 동전의 앞면이 총 [eqn: 2]번 나올 확률을 구하시오.

[eqn: {5} over {16}]

주사위 [eqn: 1]개를 던져서 홀수의 눈이 나오는 사건을 [eqn: A], 동전의 앞면이 [eqn: 2]번 나오는 사건을 [eqn: H]라고 하면

[eqn: {RmP}(A)= {1} over {2}], [eqn: {RmP}(A ^{C} )= {1} over {2}]

[eqn: {RmP}(H`|`A)= _{2} rmC _{2} TIMES ( {1} over {2} ) ^{2} TIMES ( {1} over {2} ) ^{0} = {1} over {4}]

[eqn: {rmP}(H`|A ^{C} )= _{4} rmC _{2} TIMES left( {1} over {2} right) ^{2} TIMES left( {1} over {2} right) ^{2} = {3} over {8}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P it (H)= rm P it (A SMALLINTER H)+ rm P it (A ^{C} SMALLINTER H)]

[eqn: ``````````````````= rm P it (A) rm P it (H`|`A)+ rm P it (A ^{C} ) rm P it (H`|A ^{C} )]

[eqn: ``````````````````= {1} over {2} TIMES {1} over {4} + {1} over {2} TIMES {3} over {8} = {5} over {16}]

이탈리아의 수학자 파촐리(Pacioli, L., 1445~1517)는 자신의 책에 다음과 같은 문제를 실었다.

(1) [eqn: 11 over 16]	(2) [eqn: 11 :5]

⑴ (ⅰ) [eqn: 9]번째 게임에서 상금을 모두 갖는 경우 [eqn: rmA]가 [eqn: 8]번째와 [eqn: 9]번째 게임을 모두 이겨야 하므로 그 확률은
[eqn: {} _{2} rmC _{2} TIMES left( {1} over {2} right) ^{2} TIMES left( {1} over {2} right) ^{0} = {1} over {4}]
(ⅱ) [eqn: 10]번째 게임에서 상금을 모두 갖는 경우 [eqn: rmA]가 [eqn: 9]번째 게임까지 [eqn: 1]승을 하고, [eqn: 10]번째 게임에서 이기면 되므로 그 확률은
[eqn: {} _{2} rm C _{1} TIMES left( {1} over {2} right) ^{1} TIMES left( {1} over {2} right) ^{1} TIMES {1} over {2} = {1} over {4}]
(ⅲ) [eqn: 11]번째 게임에서 상금을 모두 갖는 경우
[eqn: rmA]가 [eqn: 10]번째 게임까지 [eqn: 1]승을 하고, [eqn: 11]번째 게임에서 이기면 되므로 그 확률은
[eqn: {} _{3} rm C _{1} TIMES left( {1} over {2} right) ^{1} TIMES left( {1} over {2} right) ^{2} TIMES {1} over {2} = {3} over {16}]
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 확률은
[eqn: {1} over {4} + {1} over {4} + {3} over {16} = {11} over {16}]

⑵ [eqn: rmA]가 상금을 모두 가질 확률이 [eqn: {11} over {16}]이므로 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]는 상금을 [eqn: {11} over {16} : {5} over {16}], 즉 [eqn: 11:5]로 분배해야 공정하다.

이길 확률이 같은 두 사람이 게임을 하여 [eqn: 6]번 먼저 이기는 사람이 상금을 모두 갖기로 하였다. 그런데 [eqn: 7]번의 게임에서 [eqn: rmA]가 [eqn: 4]번, [eqn: rmB]가 [eqn: 3]번 이겼을 때게임을 중단하였다면 상금을 어떻게 분배해야 할까?

[eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 비기는 경우는 없고 매 게임에서 이길 확률이 서로 같다고 한다. 다음 단계에 따라 위의 문제를 해결하시오.

⑴ 게임을 중단하지 않고 계속할 때, [eqn: rmA]가 상금을 모두 가질 확률을 구하시오.

⑵ [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 상금을 어떻게 분배해야 공정한지 말하시오.

수학 익힘

[eqn: 1]부터 [eqn: 9]까지 자연수가 각각 적힌 [eqn: 9]장의 카드 중에서 임의로 [eqn: 3]장을 동시에 뽑을 때, 카드에 적힌 수가 모두 홀수일 확률을 구하시오.

[eqn: {5} over {42}]

키가 모두 다른 [eqn: 4]명을 일렬로 세우려고 한다. 이때 왼쪽에서부터 두 번째에 서는 사람이 자신과 이웃한 [eqn: 2]명보다 키가 클 확률을 구하시오.

[eqn: 1 over3]

[eqn: 4]명을 일렬로 세우는 방법의 수는  [eqn: 4!`=24]

(ⅰ) 키가 가장 큰 사람이 왼쪽에서부터 두 번째에 서는 경우
나머지 [eqn: 3]명을 일렬로 세우면 되므로 그 방법의 수는 [eqn: 3!`=6]

(ⅱ) 키가 두 번째로 큰 사람이 왼쪽에서부터 두 번째에 서는 경우
키가 가장 큰 사람을 마지막에 세우고 나머지 [eqn: 2]명을 일렬로 세우면 되므로 그 방법의 수는  [eqn: 2!`=2]

(ⅰ), (ⅱ)에서  [eqn: 6+2=8]

따라서 구하는 확률은  [eqn: {8} over {24} = {1} over {3}]

오른쪽 그림과 같이 [eqn: 6]등분한 원판에 파란색과 연두색을 포함한 [eqn: 6]가지 색을 모두 사용하여 칠하려고 한다. 파란색 맞은편에 연두색을 칠할 확률은?

②

[eqn: 6]가지 색을 원판에 모두 칠하는 경우의 수는  [eqn: 5!]

파란색 맞은편에 연두색을 칠하고, 나머지 [eqn: 4]가지 색을 칠하는 경우의 수는  [eqn: 4!]

따라서 구하는 확률은  [eqn: {4!} over {5!} = {1} over {5}]

그러므로 ②이다.

(단, 회전하여 일치하는 경우는 모두 같은 것으로 본다.)

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

어느 놀이공원의 놀이 기구는 다음 그림과 같이 [eqn: 8]명이 함께 탈 수 있다.

③

학생 [eqn: 8]명을 자리 [eqn: 8]개에 배정하는 방법의 수는  [eqn: 8!]

여학생 [eqn: 4]명을 서로 이웃하지 않게 배정한 다음 남은 자리에 남학생 [eqn: 4]명을 배정하는 방법의 수는

[eqn: 4!times4!times2]

따라서 구하는 확률은  [eqn: {4!times4! TIMES 2} over {8!} = {1} over {35}]

그러므로 ③이다.

여학생 [eqn: 4]명과 남학생 [eqn: 4]명이 이 놀이 기구에 타는 자리를 임의로 배정할 때, 여학생이 서로 이웃하지 않게 배정될 확률은? (단, 바로 옆이나 바로 앞뒤에 있을 때 이웃한 것으로 본다.)

① [eqn: {1} over {25}]	② [eqn: {1} over {30}]	③ [eqn: {1} over {35}]

④ [eqn: {1} over {40}]	⑤ [eqn: {1} over {45}]

두 집합

[eqn: {3} over {8}]

집합 [eqn: rmA]에서 집합 [eqn: rmB]로의 함수의 개수는  [eqn: {} _{2} SMALLPROD _{3} =8]

[eqn: f(t)+f(u)+f(v)=16]을 만족시키는 해를

[eqn: (f(t),`f(u),`f(v))]로 나타내면

[eqn: (5], [eqn: 5], [eqn: 6)], [eqn: (5], [eqn: 6], [eqn: 5)], [eqn: (6], [eqn: 5], [eqn: 5)]

따라서 구하는 확률은  [eqn: {3} over {8}]

[eqn: rm A= LEFT { it t,~u,~v RIGHT }], [eqn: rm B= LEFT { 5,~6 RIGHT }]

에 대하여 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmB]로의 함수 [eqn: f]를 만들 때, 이 함수가

[eqn: f(t)+f(u)+f(v)=16]

을 만족시킬 확률을 구하시오.

[eqn: 2016]년 우리나라의 경제 활동 인구수는 [eqn: 27247000]이었고, 그중 고등학교 이상 졸업한 사람 수는 [eqn: 22945000]이었다. 경제 활동을 하는 사람 중에서 임의로 [eqn: 1]명을 택할 때, 그 사람이 고등학교 이상 졸업한 사람일 확률을 구하시오. (단, 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림한다.)

[eqn: 0.84]

두 사건 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 서로 배반사건이고,

[eqn: {9} over {16}]

[eqn: {rmP}(A)=3{rmP}(B)], [eqn: {rmP}(A CUP B)= {3} over {4}]

일 때, [eqn: {rmP}(A)]를 구하시오.

찬우네 반 학생 중에서 여름 방학에 바다에 다녀온 학생은 전체의 [eqn: 50``%]이고, 계곡에 다녀온 학생은 전체의 [eqn: 70``%]이다. 또 바다와 계곡에 모두 다녀온 학생은 전체의 [eqn: 30``%]이다. 찬우네 반에서 임의로 학생 [eqn: 1]명을 택할 때, 그 학생이 여름 방학에 바다 또는 계곡에 다녀왔을 확률을 구하시오.

[eqn: 0.9]

임의로 학생 [eqn: 1]명을 택할 때, 그 학생이 바다에 다녀온 사건을 [eqn: rmA], 계곡에 다녀온 사건을 [eqn: rmB]라고 하면

[eqn: {rmP}(A)=0.5], [eqn: {rmP}(B)=0.7], [eqn: {rmP}(A SMALLINTER B)=0.3]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(A CUP B)={rmP}(A)+{RMP}(B)-{RmP}(A SMALLINTER B)=0.9]

어느 대학에서 여학생 [eqn: 6]명과 남학생 [eqn: 4]명 중 임의로 [eqn: 4]명을 뽑아 외국 대학에 교환 학생으로 갈 수 있는 기회를 주기로 하였다. 여학생이 [eqn: 2]명 이상 뽑힐 확률을 구하시오.

[eqn: {37} over {42}]

여학생이 [eqn: 2]명 이상 뽑히는 사건을 [eqn: rmA]라고 하면 [eqn: rmA ^{C}]은 여학생이 [eqn: 1]명 뽑히거나 여학생이 뽑히지 않는 사건이다.

(ⅰ) 여학생이 [eqn: 1]명 뽑힐 확률은  [eqn: {{} _{6} rmC _{1} times _{4} rmC _{3}} over {{} _{10} rmC _{4}} = {4} over {35}]

(ⅱ) 여학생이 뽑히지 않을 확률은  [eqn: {{} _{6} rm C _{0} TIMES _{4} rm C _{4} it} over {{} _{10} rm C _{4} it} = {1} over {210}]

(ⅰ), (ⅱ)에서  [eqn: {rmP}(A ^{C} )= {4} over {35} + {1} over {210} = {5} over {42}]

따라서 구하는 확률은  [eqn: {rmP}(A)=1-{RmP}(A ^{C} )= {37} over {42}]

오른쪽 그림과 같이 원 위에 [eqn: 8]개의 점이 같은 간격으로 놓여 있다. 이 중에서 [eqn: 3]개의 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 만들 때, 이 삼각형이 직각삼각형이 아닐 확률은?

④

[eqn: 8]개의 점 중에서 [eqn: 3]개의 점으로 만든 삼각형이 직각삼각형일 확률은	[eqn: {4times6} over {{} _{8} rmC _{3}} = {3} over {7}]

따라서 구하는 확률은  [eqn: 1- {3} over {7} = {4} over {7}]

그러므로 ④이다.

① [eqn: {1} over {7}]	② [eqn: {2} over {7}]	③ [eqn: {3} over {7}]

④ [eqn: {4} over {7}]	⑤ [eqn: {5} over {7}]

주머니에 [eqn: 1]부터 [eqn: 8]까지 자연수가 각각 적힌 [eqn: 8]장의 카드가 들어 있다. 이 주머니에서 카드를 임의로 [eqn: 1]장씩 꺼내어 카드에 적힌 수의 합이 [eqn: 6]의 배수가 될 때까지 꺼내는 시행을 할 때, 카드를 [eqn: 3]장 이상 꺼낼 확률을 구하시오.

[eqn: {41} over {56}]

카드를 [eqn: 3]장 이상 꺼내는 사건을 [eqn: rmA]라고 하면 [eqn: rmA ^{C}]은 카드 [eqn: 1]장에 적힌 수 또는 카드 [eqn: 2]장에 적힌 수의 합이 [eqn: 6]의 배수가 되는 사건이다.

(ⅰ) 카드 [eqn: 1]장에 적힌 수가 [eqn: 6]의 배수인 경우는 [eqn: 6]으로 [eqn: 1]가지이므로 그 확률은  [eqn: {1} over {8}]

(ⅱ) 카드 [eqn: 2]장에 적힌 수의 합이 [eqn: 6]의 배수인 경우는 합이 [eqn: 6]인 경우 [eqn: 4]가지, 합이 [eqn: 12]인 경우 [eqn: 4]가지이므로 그 확률은  [eqn: {8} over {56} = {1} over {7}]

(ⅰ), (ⅱ)에서  [eqn: {rmP}(A ^{C} )= {1} over {8} + {1} over {7} = {15} over {56}]

따라서 구하는 확률은  [eqn: {rmP}(A)=1-{rmP}(A ^{C} )= {41} over {56}]

(단, 꺼낸 카드는 다시 넣지 않고, 처음 꺼낸 카드에 적힌 수가 [eqn: 6]이면 시행을 멈춘다.)

다음 표는 어느 과학관에서 [eqn: 300]명의 관람객을 대상으로 연령대와 성별을 조사한 것이다.

①

임의로 택한 [eqn: 1]명이 남자인 사건을 [eqn: rm A], [eqn: 40]세 이상인 사건을 [eqn: rmB], [eqn: 20]대인

사건을 [eqn: rmC]라고 하자.

[eqn: 40]세 이상이 차지하는 비율이 [eqn: 12``%]이므로 그 수는

[eqn: 300times0.012=36]

즉, [eqn: (60-a)+b=36]이므로  [eqn: a-b=24]	[eqn: CDOTS cdots] ①

또 [eqn: {rmP}(C`|`A)={rmP}(B`|`A ^{C} )]이므로

[eqn: {{RmP}(A SMALLINTER C)} over {{rmP}(A)} = {{rmP}(A ^{C} SMALLINTER B)} over {{RmP}(A ^{C} )} ,` {{a} over {300}} over {{200} over {300}} = {{b} over {300}} over {1- {200} over {300}}]

즉,  [eqn: a=2b]	[eqn: CDOTS cdots] ②

①, ②에서  [eqn: a=48], [eqn: b=24]

따라서 [eqn: a+b=72]이므로 ①이다.

(단위: 명)

	19세 이하	20대	30대	40세 이상	합계
남자	[eqn: 100]	[eqn: a]	[eqn: 40]	[eqn: 60-a]	200
여자	[eqn: 35]	[eqn: 45-b]	[eqn: 20]	[eqn: b]	100

[eqn: 300]명 중에서 임의로 택한 [eqn: 1]명이 남자일 때 그 관람객이 [eqn: 20]대일 확률과 [eqn: 300]명 중에서 임의로 택한 [eqn: 1]명이 여자일 때 그 관람객이 [eqn: 40]세 이상일 확률이 서로 같다. [eqn: 300]명의 관람객 중에서 [eqn: 40]세 이상이 차지하는 비율이 [eqn: 12``%]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수)

① [eqn: 72]	② [eqn: 74]	③ [eqn: 76]

④ [eqn: 78]	⑤ [eqn: 80]

빨간색 볼펜 [eqn: 10]자루, 노란색 볼펜 [eqn: 6]자루가 들어 있는 상자에서 세민이와 재연이가 차례로 볼펜을 [eqn: 1]자루씩 임의로 꺼낼 때, 두 사람 모두 노란색 볼펜을 꺼낼 확률은?

②

[eqn: {6} over {16} times {5} over {15} = {1} over {8}]이므로 ②이다.

(단, 꺼낸 볼펜은 다시 넣지 않는다.)

① [eqn: {1} over {16}]	② [eqn: {1} over {8}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {8}]

[eqn: 4]개의 당첨 제비를 포함하여 [eqn: 16]개의 제비가 들어 있는 상자에서 윤아, 주원이의 순서로 각각 제비를 [eqn: 1]개씩 임의로 뽑을 때, 주원이가 당첨 제비를 뽑을 확률을 구하시오.

[eqn: 1 over4]

윤아가 당첨 제비를 뽑고 주원이도 당첨 제비를 뽑을 확률은

[eqn: {4} over {16} times {3} over {15} = {1} over {20}]

윤아가 당첨 제비를 뽑지 않고 주원이가 당첨 제비를 뽑을 확률은

[eqn: {12} over {16} TIMES {4} over {15} = {1} over {5}]

따라서 구하는 확률은  [eqn: {1} over {20} + {1} over {5} = {1} over {4}]

(단, 뽑은 제비는 다시 넣지 않는다.)

[eqn: rmA] 상자에는 흰 공 [eqn: 3]개, 검은 공 [eqn: 4]개가 들어 있고, [eqn: rmB] 상자에는 흰 공 [eqn: 4]개, 검은 공 [eqn: 2]개가 들어 있다. 두 상자 중에서 임의로 [eqn: 1]상자를 택하여 공 [eqn: 2]개를 동시에 꺼냈더니 모두 흰 공이었을 때, 공 [eqn: 2]개가 [eqn: rmB] 상자에서 나왔을 확률을 구하시오.

[eqn: 14 over19]

[eqn: rmA] 상자를 택하는 사건을 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 상자를 택하는 사건을 [eqn: rmB], 꺼낸 공 [eqn: 2]개가 모두 흰 공인 사건을 [eqn: rmW]라고 하면

[eqn: {rmP}(A)= {1} over {2}], [eqn: {rmP}(B)= {1} over {2}], [eqn: {rmP}(W|A)= {{} _{3} rmC _{2}} over {{} _{7} rmC _{2}} = {1} over {7}]

[eqn: {RmP}(W`|`B)= {{} _{4} rmC _{2}} over {{} _{6} rmC _{2}} = {2} over {5}]

꺼낸 공 [eqn: 2]개가 모두 흰 공일 확률은

[eqn: rm P it (W)= rm P it (A SMALLINTER W)+ rm P it (B SMALLINTER W)]

[eqn: ````````````````````= rm P it (A) rm P it (W`|`A)+ rm P it (B) rm P it (W`|`B)]

[eqn: ````````````````````= {1} over {2} TIMES {1} over {7} + {1} over {2} TIMES {2} over {5} = {19} over {70}]

따라서 구하는 확률은  [eqn: {rmP}(B`|W)= {{rmP}(B SMALLINTER W)} over {{rmP}(W)} = {14} over {19}]

어느 병원에 독감 증상으로 찾아오는 [eqn: 1000]명의 환자 중에서 [eqn: 1]명이 실제로 독감 환자이고, 이 병원에서 독감 감염 여부를 판정하는 검사의 정확도는 [eqn: 90``%]라고 한다. 독감 증상으로 이 병원에 찾아온 [eqn: 1000]명의 환자의 감염 여부를 판정할 때, 검사 결과가 독감인 환자가 실제로 독감 환자일 확률을 구하시오.

[eqn: {1} over {112}]

실제로 독감 환자인 사건을 [eqn: rmA], 검사 결과가 독감인 환자인 사건을 [eqn: rmB]라고 하면

[eqn: {rmP}(A)=0.001,`{rmP}(A^C )=0.999]

[eqn: {rmP}(B`|`A)=0.9,`{rmP}(B`|`A ^{C} )=0.1]

검사 결과가 독감인 환자일 확률은

[eqn: rm P it (B)= rm P it (A SMALLINTER B)+ rm P it (A ^{C} SMALLINTER B)]

[eqn: ``````````````````= rm P it (A) rm P it (B`|`A)+ rm P it (A ^{C} ) rm P it (B`|A ^{C} )]

[eqn: ``````````````````=`0.001 TIMES 0.9+0.999 TIMES 0.31=0.1008]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {RmP}(A`|`B)= {{rmP}(A SMALLINTER B)} over {{RMP}(B)} = {0.0009} over {0.1008} = {1} over {112}]

어떤 회사의 제품은 해외 공장과 국내 공장에서 각각 전체 제품의 [eqn: 80``%], [eqn: 20``%]가 생산되고, 두 공장에서 생산된 제품의 불량률은 각각 [eqn: 4``%], [eqn: 1``%]라고 한다. 이 회사의 제품 중에서 임의로 [eqn: 1]개를 택하였더니 불량품이었을 때, 그 제품이 해외 공장에서 생산된 제품일 확률을 구하시오.

[eqn: {16} over {17}]

제품이 해외 공장에서 생산된 제품인 사건을 [eqn: rmA], 국내 공장에서 생산된 제품인 사건을 [eqn: rmB], 불량품인 사건을 [eqn: rmE]라고 하면

[eqn: {rmP}(A)=0.8,`{rmP}(B)=0.2,`{rmP}(rmE`|`rmA)=0.04]

[eqn: {RmP}(rmE`|`rmB)=0.01]

불량품일 확률은

[eqn: rm P it (rmE)= rm P it (rmA SMALLINTER rmE)+ rm P it (rmB SMALLINTER rmE)]

[eqn: `````````````````= rm P it (rmA) rm P it (rmE`|`rmA)+ rm P it (rmB) rm P it (rmE`|`rmB)]

[eqn: `````````````````=0.8 TIMES 0.04+0.2 TIMES 0.01=0.034]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(rmA`|`rmE)= {{RmP}(rmA SMALLINTER rmE)} over {{RmP}(rmE)} = {0.032} over {0.034} = {16} over {17}]

다음은 두 사건 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 서로 독립일 때, 두 사건 [eqn: rmA], [eqn: rmB ^{C}]도 서로 독립임을 보이는 과정이다. 빈칸에 알맞은 것을 써넣으시오.

[eqn: {rmP}(A){rmP}(B)], [eqn: {rmP}(B)], [eqn: {RmP}(B ^{C} )]

(단, [eqn: 0< rm P it (A)<1], [eqn: 0< rm P it (B)<1])

[eqn: rm P it (A SMALLINTER B ^{C} )= rm P it (A)- rm P it (A SMALLINTER B)]

[eqn: ``````````````````````````````````= rm P it (A)- {BOX{````````````````````````````````}} `]

[eqn: ``````````````````````````````````= rm P it (A) LEFT { 1- {BOX{`````````````````````}} RIGHT }]

[eqn: ``````````````````````````````````= rm P it (A) TIMES {BOX{```````````````````}} ```]

따라서 두 사건 [eqn: rmA], [eqn: rmB ^{C}]도 서로 독립이다.

두 사건 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 서로 독립일 때, 다음 보기 중에서 항상 옳은 것을 있는 대로 고르시오. (단, [eqn: rm {rmP}(A)>0], [eqn: rm P(B)>0])

ㄱ, ㄴ

ㄷ. [eqn: {rmP}(A`|B)={rmP}(A)]이고, [eqn: rm P it (B`|A)= rm P it (B)]이므로 주어진 식이 항상 성립하는 것은 아니다.

따라서 항상 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

		| 보기 |
	ㄱ. [eqn: rm P it (B`□A)= rm P it (B)] ㄴ. [eqn: rm P it (A`□B ^{C} )= rm P it (A)] ㄷ. [eqn: rm P it (A`□B)= rm P it (B`□A)]

다음 표는 어느 회사에서 [eqn: 36]명의 직원을 대상으로 선호하는 야유회 장소를 조사한 것이다.

[eqn: 5]

임의로 [eqn: 1]명을 뽑을 때 여자인 사건을 [eqn: rmA], 설악산을 선호하는 사람인 사건을 [eqn: rmB]라고 하면 두 사건 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 서로 독립이므로

[eqn: {rmP}(A SMALLINTER B)={rmP}(A){RmP}(B)]

즉, [eqn: {d} over {36} = {12} over {36} times {15} over {36}]이므로  [eqn: d=5]

(단위: 명)

	강화도	설악산	합계
남자	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: 24]
여자	[eqn: c]	[eqn: d]	[eqn: 12]
합계	[eqn: 21]	[eqn: 15]	[eqn: 36]

직원 중에서 임의로 [eqn: 1]명을 뽑을 때, 여자인 사건과 설악산을 선호하는 사람인 사건이 서로 독립이다. [eqn: d]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]는 상수)

다음 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정육각형 [eqn: rmABCDEF]의 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 출발하여 변을 따라 시계 반대 방향으로 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다.

[eqn: {15} over {64}]

동전 [eqn: 1]개를 [eqn: 6]번 던져서 앞면이 나오는 횟수를 [eqn: x], 뒷면이 나오는 횟수를 [eqn: y]라고 하면

[eqn: x+y=6], [eqn: 2x+y=10], 즉  [eqn: x=4], [eqn: y=2]

따라서 구하는 확률은  [eqn: {} _{6} rmC _{4} times( {1} over {2} ) ^{4} times( {1} over {2} ) ^{2} = {15} over {64}]

점 [eqn: rmP]는 동전 [eqn: 1]개를 던져서 앞면이 나오면 [eqn: 2]만큼, 뒷면이 나오면 [eqn: 1]만큼 움직인다. 동전 [eqn: 1]개를 [eqn: 6]번 던질 때, 점 [eqn: rmP]가 꼭짓점 [eqn: rmE]에 도착할 확률을 구하시오.

				비상 확률과 통계

통계

확률변수와 확률분포

다음 확률변수가 이산확률변수인지 연속확률변수인지 말하시오.

(1) 이산확률변수  (2) 연속확률변수

⑴ 주사위 [eqn: 1]개를 [eqn: 1]번 던지는 시행에서 나오는 눈의 수를 확률변수 [eqn: X]라고 하면 표본공간 [eqn: S]는
[eqn: S= LEFT { 1,`2,`3,`4,`5,`6 RIGHT }]
이때 [eqn: X]가 가지는 값은 [eqn: 6]개이므로 이산확률변수이다.

⑵ 어느 정거장에 정확히 [eqn: 10]분 간격으로 도착하는 버스를 기다리는 시행에서 기다리는 시간을 확률변수 [eqn: rmX]라고 하면 표본공간 [eqn: rmS]는
[eqn: S= LEFT { x□0 LEQ x LEQ 10 RIGHT }]
이때 [eqn: X]는 [eqn: 0] 이상 [eqn: 10] 이하의 모든 실숫값을 가지므로 연속확률변수이다.

⑴ 주사위 [eqn: 1]개를 [eqn: 1]번 던지는 시행에서 나오는 눈의 수

⑵ 어느 정거장에 정확히 [eqn: 10]분 간격으로 도착하는 버스를 기다리는 시행에서 기다리는 시간

다음 확률변수가 이산확률변수인지 연속확률변수인지 말하시오.

⑴ 연속확률변수 ⑵ 이산확률변수

⑴ 어느 자동차가 휘발유 [eqn: rm1``L]를 사용하여 움직이는 시행에서 움직인 거리

⑵ 가위바위보를 [eqn: 10]번 하는 시행에서 비긴 횟수

실생활에서 이산확률변수와 연속확률변수의 예를 각각 찾으시오.

풀이 참조

이산확률변수: 어느 지역에 한 달간 비가 온 날의 수

연속확률변수: 어느 고등학교 학생들의 등교 시간

어느 고등학교에 남학생 [eqn: 4]명과 여학생 [eqn: 6]명으로 구성된 교육 봉사 동아리가 있다. 이 동아리에서 초등학생을 가르칠 학생 [eqn: 2]명을 임의로 뽑으려고 한다. 뽑힌 학생 중에서 여학생 수를 확률변수 [eqn: rmX]라고 할 때, 다음을 구하시오.

(1) 풀이 참조	(2) [eqn: {13} over {15}]

(1) 확률변수 [eqn: rmX]가 가지는 값은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2]이고, 각 값을 가질 확률은
[eqn: rm P it (X=0)= rm {{} _{4} C _{2} TIMES _{6} C _{0}} over {{} _{10} C _{2}} = {2} over {15}], [eqn: rm P it (X=1)= rm {{} _{4} C _{1} TIMES _{6} C _{1}} over {{} _{10} C _{2}} = {8} over {15}]
[eqn: {rm P} it (X=2)= rm{{} _{4} C _{0} TIMES _{6} C _{2}} over {{} _{10} C _{2}} = {1} over {3}]
따라서 확률분포표는 다음과 같고

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: rmP(it X=x)]	[eqn: { 2} over {15 }]	[eqn: {8} over {15}]	[eqn: {1} over {3}]	[eqn: 1]

확률질량함수는
[eqn: rm P it (X=x)= {{} _{4} {rmC} _{2-x} TIMES _{6} {rmC} _{x}} over {{} _{10} rmC _{2}} `(x=0,`1,`2)]

(2) 여학생이 [eqn: 1]명 이상 뽑힐 확률은 [eqn: P Left( X>1right)]이므로
[eqn: {rmP}(X GEQ 1)={rmP}(X=1)+{rmP}(X=2)= {8} over {15} + {1} over {3} = {13} over {15}]

⑴ [eqn: rmX]의 확률분포표와 확률질량함수

⑵ 여학생이 [eqn: 1]명 이상 뽑힐 확률

[eqn: 3]개의 불량품을 포함한 [eqn: 10]개의 제품 중에서 임의로 [eqn: 2]개를 동시에 꺼내려고 한다. 꺼낸 제품 중에서 불량품의 개수를 확률변수 [eqn: X]라고 할 때, 다음 물음에 답하시오.

풀이 참조

⑴

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: rmP(it X=x)]	[eqn: {7} over {15}]	[eqn: {7} over {15}]	[eqn: {1} over {15}]	[eqn: 1]

[eqn: {RmP}(X=x)= {{} _{7} {rmC} _{2-x} TIMES _{3} {rmC} _{x}} over {{} _{10} rmC _{2}} `(x=0,`1,`2)]

⑵ [eqn: {14} over {15}]

⑴ 오

[eqn: X]				합계
[eqn: rmP(it X=x)]

른쪽 확률분포표를 완성하고, [eqn: X]의 확률질량함수를 구하시오.

⑵ 불량품이 [eqn: 1]개 이하일 확률을 구하시오.

이산확률변수의 기댓값과 표준편차

주사위 [eqn: 1]개를 [eqn: 1]번 던져서 나오는 눈의 수를 확률변수 [eqn: X]라고 할 때, [eqn: X]의 확률분포표와 [eqn: rm E it (X)]를 구하시오.

풀이 참조

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	합계
[eqn: rmP(it X=x)]	[eqn: {1} over {6}]	[eqn: {1} over {6}]	[eqn: {1} over {6}]	[eqn: {1} over {6}]	[eqn: {1} over {6}]	[eqn: {1} over {6}]	[eqn: 1]

,

[eqn: E(X)={7} over {2}]

비슷한 모양의 [eqn: 5]개의 열쇠 중에서 사물함에 맞는 열쇠는 [eqn: 1]개만 있다고 한다. 어느 열쇠가 사물함에 맞는지 알아보기 위하여 하나씩 차례로 여는 시도를 하였을 때, 열릴 때까지 시도한 횟수의 평균을 구하시오.

[eqn: 3]

사물함이 열릴 때까지 시도한 횟수를 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]가 가지는 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]이고, 각 값을 가질 확률은

[eqn: rm P it (X=1)= {1} over {5}], [eqn: rm P it (X=2)= {4} over {5} TIMES {1} over {4} = {1} over {5}], [eqn: rm P it (X=3)= {4} over {5} TIMES {3} over {4} TIMES {1} over {3} = {1} over {5}]

[eqn: rm P it (X=4) {4} over {5} TIMES {3} over {4} TIMES {2} over {3} TIMES {1} over {2} = {1} over {5}], [eqn: rm P it (X=5)= {4} over {5} TIMES {3} over {4} TIMES {2} over {3} TIMES {1} over {2} TIMES 1= {1} over {5}]

이므로 [eqn: X]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	합계
[eqn: rmP(it X=x)]	[eqn: {1} over {5}]	[eqn: {1} over {5}]	[eqn: {1} over {5}]	[eqn: {1} over {5}]	[eqn: {1} over {5}]	[eqn: 1]

즉,  [eqn: rm E it (X)=1 TIMES {1} over {5} +2 TIMES {1} over {5} +3 TIMES {1} over {5} +4 TIMES {1} over {5} +5 TIMES {1} over {5} =3]

따라서 사물함이 열릴 때까지 시도한 횟수의 평균은 [eqn: 3]이다.

자연계의 염소(Cl) 원자는 원자량이 [eqn: 35]인 경우와 원자량이 [eqn: 37]인 경우가 각각 [eqn: {3} over {4}], [eqn: {1} over {4}]의 확률로 존재한다고 한다. 자연계에 존재하는 염소(Cl) 원자량의 평균을 구하시오.

[eqn: 35.5]

이

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: rmP(it X=x)]	[eqn: {2} over {5}]	[eqn: {1} over {5}]	[eqn: {2} over {5}]

산확률변수 [eqn: X]의 확률분포표가 오른쪽과 같을 때, 다음 빈칸에 알맞은 수를 써넣으시오.

[eqn: 1], [eqn: {9} over {5}], [eqn: {4} over {5}], [eqn: {2 sqrt {5}} over {5}]

[eqn: rm E it (X)= BOX{```````````````}]        [eqn: rm E it (X ^{2} )= BOX{```````````````}]

[eqn: rm V it (X)= BOX{```````````````}]        [eqn: sigma (X)= BOX{```````````````}]

[eqn: 1]부터 [eqn: 4]까지 자연수가 각각 적힌 [eqn: 4]장의 카드 중에서 임의로 [eqn: 2]장을 동시에 뽑을 때, 카드에 적힌 수 중 작은 수를 확률변수 [eqn: X]라고 하자. [eqn: X]의 분산과 표준편차를 구하시오.

[eqn: rm V it (X)= {5} over {9}], [eqn: sigma (X)= {sqrt {5}} over {3}]

확률변수 [eqn: X]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: rmP(it X=x)]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {3}]	[eqn: {1} over {6}]	[eqn: 1]

[eqn: X]의 평균은

[eqn: rm E it (X)=1 TIMES {1} over {2} +2 TIMES {1} over {3} +3 TIMES {1} over {6} = {5} over {3}]

따라서 [eqn: X]의 분산과 표준편차는

[eqn: rm V it (X)= rm E it (X ^{2} )- LEFT { rm E it (X) RIGHT } ^{2} =1 ^{2} TIMES {1} over {2} +2 ^{2} TIMES {1} over {3} +3 ^{2} TIMES {1} over {6} -( {5} over {3} ) ^{2} = {5} over {9}]

[eqn: sigma (X)= sqrt {rm {5} over {9} it} = {sqrt {5}} over {3}]

서로 다른 [eqn: 2]개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 차를 확률변수 [eqn: rmX]라고 하자. [eqn: rmX]의 분산과 표준편차를 구하시오.

[eqn: {RMV}(X)= {665} over {324}], [eqn: sigma (X)= {sqrt {665}} over {18}]

확률변수 [eqn: X]의 평균이 [eqn: 10], 분산이 [eqn: 5]일 때, 다음 확률변수의 평균, 분산, 표준편차를 각각 구하시오.

풀이 참조

⑴ [eqn: {rmE}(2X+3)=23], [eqn: {rmV}(2X+3)=20], [eqn: sigma (2X+3)=2 sqrt {5}]

⑵ [eqn: rm E it (-X+1)=-9], [eqn: rm V it (-X+1)=5], [eqn: sigma (-X+1)= sqrt {5}]

(1) [eqn: 2X+3]                      (2) [eqn: -X+1]

확률변수 [eqn: X]의 평균이 [eqn: m], 표준편차가 [eqn: sigma]일 때, 확률변수 [eqn: {Z}= {X-m} over {sigma }]의 평균과 분산을 구하시오.

[eqn: rm E it (Z)=0,~ rm V it (Z)=1]

[eqn: rm E it (X)=m,~ rm V it (X)= sigma ^{2}]이므로

[eqn: rm E it (Z)= {rm E} left( {X-m} over {sigma } right)= {1} over {sigma } rm E it (X)- {m} over {sigma } = {m} over {sigma } - {m} over {sigma } =0]

[eqn: rm V it (Z)= {rm V} left( {X-m} over {sigma } right)= {1} over {sigma ^{2}} rm V it (X)= {1} over {sigma ^{2}} TIMES sigma ^{2} =1]

확률변수 [eqn: rmX]에 대하여 [eqn: {rmE}(X)=20], [eqn: {rmV}(X)=4]이고, 확률변수 [eqn: Y=aX+b]에 대하여 [eqn: {rmE}(Y)=0], [eqn: {rmV}(Y)=16]일 때, 상수 [eqn: a,`b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a>0])

[eqn: a=2], [eqn: b=-40]

어느 시험에서 전체 응시자의 시험 점수를 확률변수 [eqn: rm X]라고 하자. [eqn: rm X]의 평균이 [eqn: m]점, 표준편차가 [eqn: sigma]점일 때,

풀이 참조

[상민] [eqn: rm E it (T)= rm E it LEFT ( 100+20 LEFT ( {X-m} over {sigma } RIGHT ) RIGHT )]

[eqn: ``````````````````=100+20 TIMES {rm E it (X)-m} over {sigma } =100]

[eqn: sigma (T)= sigma left(100+20 left( {X-m} over {sigma } right)right)= {20} over {sigma } TIMES sigma (X)=20]

따라서 표준 점수 [eqn: T]의 평균은 [eqn: 100]점, 표준편차는 [eqn: 20]점이다.

[세미] 주어진 식에 [eqn: X=90], [eqn: m=60], [eqn: sigma =15]를 대입하면

[eqn: T=100+20 TIMES {90-60} over {15} =140]

따라서 구하는 표준 점수는 [eqn: 140]점이다.

[eqn: T=100+20 LEFT ( {X-m} over {sigma } RIGHT )]

을 표준 점수라고 한다. 다음 상민이와 세미의 물음에 각각 답해 보자.

이항분포

				비상 확률과 통계

정답 및 풀이

어느 빵집을 방문한 고객 [eqn: 10]명 중 [eqn: 3]명은 과일 케이크를 구매한다고 한다. 이 빵집을 방문한 고객 [eqn: 5]명 중 과일 케이크를 구매한 고객 수를 확률변수 [eqn: X]라고 할 때, [eqn: X]의 확률질량함수를 구하시오.

[eqn: rm P it (X=x)= _{5} {rm C} it _{x} TIMES 0.3 ^{x} TIMES 0.7 ^{5-x} `][eqn: (x=0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5)]

실생활에서 이항분포를 따르는 확률변수의 예를 찾으시오.

풀이 참조

발아율이 [eqn: 60`%]인 어떤 식물의 씨앗 [eqn: 100]개 중에서 발아하는 씨앗의 수

우리나라 사람 중 왼손잡이의 비율은 [eqn: 6``%]라고 한다. 우리나라 사람 중 임의로 [eqn: 5]명을 택할 때, 왼손잡이가 많아야 [eqn: 1]명일 확률을 구하시오.

왼손잡이의 수를 확률변수 [eqn: X]라고 하면 왼손잡이일 확률이 [eqn: 0.06]이므로 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rmB(5,`0.06)]을 따른다.

이때 왼손잡이가 많아야 [eqn: 1]명이려면 [eqn: X LEQ 1]이어야 하므로

[eqn: rm P it (X LEQ 1)= rm P it (X=0)+ rm P it (X=1)]

[eqn: `````````````````````````````````= _{5} rm C _{0} TIMES 0.06 ^{0} TIMES 0.94 ^{5} + _{5} C _{1} TIMES 0.06 ^{1} TIMES 0.94 ^{4}]

[eqn: `````````````````````````````````=0.9681287104]

따라서 구하는 확률은 [eqn: 0.968]이다.

(단, 소수점 아래 넷째 자리에서 반올림한다.)

우리나라 사람의 [eqn: rmABO]식 혈액형의 비율은 다음 표와 같다고 한다.

[eqn: 0.021]

혈액형	[eqn: rmA]	[eqn: rmB]	[eqn: rmAB]	[eqn: rmO]	합계
비율(%)	[eqn: 34]	[eqn: 27]	[eqn: 12]	[eqn: 27]	[eqn: 100]

우리나라 사람 중 임의로 [eqn: 5]명을 택할 때, [eqn: O]형인 사람이 [eqn: 4]명 이상일 확률을 구하시오. (단, 소수점 아래 넷째 자리에서 반올림한다.)

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: rm B it left(18,` {1} over {3} right)]을 따를 때, [eqn: X]의 평균, 분산, 표준편차를 구하시오

[eqn: rm E it (X)=6,~ rm V it (X)=4,~ sigma (X)=2]

어느 옷 가게에서 판매한 티셔츠가 반품될 확률은 [eqn: 0.1]이라고 한다. 이 옷 가게에서 티셔츠 [eqn: 300]장을 판매하였을 때, 반품될 티셔츠 수의 평균과 표준편차를 구하시오.

평균: [eqn: 30]장, 표준편차: [eqn: 3 sqrt {3}]장

정규분포

확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가 [eqn: f(x)=ax`(0 LEQ x LEQ 2)]일 때, 다음을 구하시오.

(1) [eqn: a= {1} over {2}]	(2) [eqn: { 1} over {4 }]

⑴ [eqn: f(x) GEQ 0]이어야 하므로  [eqn: a GEQ 0]
[eqn: f(x)]의 그래프는 오른쪽 그림과 같고,
이 그래프와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=2]로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 1]이어야 하므로
[eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES 2a=1], [eqn: a= {1} over {2}]

⑵ 구하는 확률은 오른쪽 그림에서 [eqn: f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=1]로 둘러싸인 부분의 넓이이므로
[eqn: {rmP}(0 LEQ X LEQ 1)= {1} over {2} TIMES 1 TIMES {1} over {2} = {1} over {4}]

⑴ 상수 [eqn: a]의 값              ⑵ [eqn: {rmP}(0 LEQ X LEQ 1)]

확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가 [eqn: f(x)=a(x+2)(0 LEQ x LEQ 4)]일 때, [eqn: {rmP}(1<X<3)]을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수)

[eqn: {1} over {2}]

오른쪽 그림에서 세 곡선 [eqn: rmA,`B,`C]는 각각 정규분포를 따르는 세 확률변수 [eqn: X _{rmA}], [eqn: X _{rm B}], [eqn: X _{rm C it}]의 확률밀도함수의 그래프이다. 곡선 [eqn: rmB]는 곡선 [eqn: rmA]를 평행이동한 것이고, 곡선 [eqn: rmB]와 곡선 [eqn: rmC]의 대칭축은 서로 같다. [eqn: X _{rmA}], [eqn: X _{rm B}], [eqn: X _{rm C it}]의 평균을 각각 [eqn: m _{rmA}], [eqn: m _{rm B it}], [eqn: m _{rm C}] 표준편차를 각각 [eqn: sigma _{rmA}], [eqn: sigma _{rm B}], [eqn: sigma _{rm C}]라고 할 때, 다음의 대소를 비교하시오.

⑴ [eqn: m _{rmA} <m _{rmB} =m _{rmC}]  ⑵ [eqn: sigma _{rmA} = sigma _{rmB} < sigma _{rmC}]

⑴ [eqn: m _{rmA}], [eqn: m _{rm B it}], [eqn: m _{rm C}]              ⑵ [eqn: sigma _{rmA}], [eqn: sigma _{rm B}], [eqn: sigma _{rm C}]

확률변수 [eqn: rmZ]가 표준정규분포 [eqn: rm N(0,`1)]을 따를 때, 표준정규분포표를 이용하여 다음 확률을 구하시오.

(1) [eqn: 0.9500]	(2)[eqn: 0.7745]

(1) [eqn: rm P it (-1.96 LEQ Z LEQ 1.96)]
[eqn: = rm P it (-1.96 LEQ Z LEQ 0)+ rm P it (0 LEQ Z LEQ 1.96)]
[eqn: =2 TIMES rm P it (0 LEQ Z LEQ 1.96)]
[eqn: =2 TIMES 0.4750=0.9500]

(2) [eqn: rm P it (-1 LEQ Z LEQ 1.5)]
[eqn: = rm P it (-1 LEQ Z LEQ 0)+ rm P it (0 LEQ Z LEQ 1.5)]
[eqn: ={\P} it (0 LEQ Z LEQ 1)+ rm P it (0 LEQ Z LEQ 1.5)]
[eqn: =0.3413+0.4332=0.7745]

⑴ [eqn: {rmP}(-1.96 LEQ Z LEQ 1.96)]         ⑵ [eqn: {rmP}(-1 LEQ Z LEQ 1.5)]

확률변수 [eqn: rmZ]가 표준정규분포 [eqn: rm N(0,`1)]을 따를 때, 표준정규분포표를 이용하여 다음 확률을 구하려고 한다. 알맞은 것끼리 선으로 연결하시오.

①-㉢-㉮, ②-㉡-㉰, ③-㉠-㉯

확률변수 [eqn: rmZ]가 표준정규분포 [eqn: rm N(0,`1)]을 따를 때, 표준정규분포표를 이용하여 다음을 만족시키는 상수 [eqn: c]의 값을 구하시오.

⑴ [eqn: 1.36]	⑵ [eqn: 2.23]

⑴ [eqn: {rmP}(|Z``| LEQ c)=0.8262]           ⑵ [eqn: rm P it (Z GEQ c)=0.0129]

확률변수 [eqn: rmX]가 정규분포 [eqn: rm N(1,`4)]를 따를 때, 다음 확률을 구하시오.

(1) [eqn: 0.4772]	(2)[eqn: 0.1587]

확률변수 [eqn: rmX]의 평균이 [eqn: 1], 표준편차가 [eqn: sqrt {4} =2]이므로 확률변수 [eqn: Z= {X-1} over {2}]은 표준정규분포 [eqn: rm N(0,`1)]을 따른다.

(1) [eqn: rm P it (1 LEQ X LEQ 5)= rm P it left( {1-1} over {2} LEQ {X-1} over {2} LEQ {5-1} over {2} right)]
[eqn: ````````````````````````````````````````````````= rm P it (0 LEQ Z LEQ 2)]
[eqn: ````````````````````````````````````````````````=0.4772]

(2)[eqn: rm P it (X LEQ -1)= rm P it left( {X-1} over {2} LEQ {-1-1} over {2} right)]
[eqn: ````````````````````````````````````````````````= rm P it (Z LEQ -1)={rmP}(Z GEQ 1)]
[eqn: ````````````````````````````````````````````````=0.5-{rmP}(0 LEQ Z LEQ 1)]
[eqn: ````````````````````````````````````````````````=0.5-0.3413=0.1587]

⑴ [eqn: {rmP}(1 LEQ X LEQ 5)]               ⑵ [eqn: rm P it (X LEQ -1)]

확률변수 [eqn: rmX]가 정규분포 [eqn: rm N(100,`100)]을 따를 때, 다음 확률을 순서에 따라 구하시오.

풀이 참조

⑴ [eqn: 100], [eqn: 10], [eqn: -1 LEQ Z LEQ 2], [eqn: 0.8185]

⑵ [eqn: 100], [eqn: 10], [eqn: Z GEQ 105], [eqn: 0.0668]

어느 회사에서 생산된 표시 용량이 [eqn: rm500``mL]인 음료수 한 병에 들어 있는 음료의 양은 평균이 [eqn: rm500``mL], 표준편차가 [eqn: rm 5``mL]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산된 표시 용량이 [eqn: rm500``mL]인 음료수 한 병에 들어 있는 음료의 양이 [eqn: rm 490``mL] 이하일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.0228]

음료의 양을 확률변수 [eqn: rmX]라고 하면 [eqn: rmX]는 정규분포 [eqn: {\N}(500, ``25)]를 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P it (X LEQ 490)= rm P it left(Z LEQ {490-500} over {5} right )]

[eqn: `````````````````````````````````````````= rm P it (Z LEQ -2)]

[eqn: `````````````````````````````````````````={rmP}(Z GEQ 2)]

[eqn: `````````````````````````````````````````=0.5-{rmP}(0 LEQ Z LEQ 2)]

[eqn: `````````````````````````````````````````=0.5-0.4772=0.0228]

어느 병원에서 물리 치료를 받는 데 걸리는 시간은 평균이 [eqn: 46]분, 표준편차가 [eqn: 8]분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 병원에서 물리 치료를 받는 데 걸리는 시간이 [eqn: 34]분 이하일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.0668]

오

	수학	영어
태호의 점수	[eqn: 70]점	[eqn: 80]점
전체 학생의 점수의 평균	[eqn: 55]점	[eqn: 75]점
전체 학생의 점수의 표준편차	[eqn: 6]점	[eqn: 5]점

른쪽 표는 어느 고등학교의 [eqn: 2]학년 [eqn: 1]학기 중간고사에서 수학, 영어 과목에 대한 태호의 점수와 전체 학생의 점수의 평균, 표준편차를 나타낸 것이다. 전체 학생의 수학, 영어 과목의 점수가 각각 정규분포를 따른다고 할 때, 다음 대화를 읽고, 태호의 방법을 이용하여 윤아의 물음에 답해 보자.

풀이 참조

수학 과목의 점수를 확률변수 [eqn: X]라고 하면

[eqn: rm P it (X GEQ 70)= rm P it (Z GEQ {70-55} over {6} )]

[eqn: `````````````````````````````````````= rm P it (Z GEQ 2.5)=0.0062]

이므로 태호의 수학 과목의 점수는 상위 [eqn: 0.62``%]이다.

영어 과목의 점수를 확률변수 [eqn: Y]라고 하면

[eqn: rm P it (Y GEQ 80)= rm P it (Z GEQ {80-75} over {5} )]

[eqn: `````````````````````````````````````= rm P it (Z GEQ 1)=0.1587]

이므로 태호의 영어 과목의 점수는 상위 [eqn: 15.87``%]이다.

따라서 수학 과목에서 태호보다 시험을 잘 본 학생의 비율이 작으므로 내신 등급은 수학 과목이 영어 과목보다 더 높다.

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: rm B it left (100,` {1} over {2} right)]을 따를 때, 다음 확률을 구하시오.

⑴ [eqn: 0.8185]	⑵ [eqn: 0.1587]

(1) [eqn: {rmP}(45 LEQ X LEQ 60)]	(2) [eqn: {rmP}(X GEQ 55)]

어느 학교의 학생들을 대상으로 학교생활에 대한 만족도를 조사하였더니 전체 학생 중에서 [eqn: 80``%]가 만족한다고 응답하였다. 이 학교 학생 [eqn: 400]명을 임의로 택하였을 때, 학교생활에 만족한다고 응답한 학생이 [eqn: 312]명 이상 [eqn: 336]명 이하일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.8185]

학생 [eqn: 400]명 중에서 학교생활에 만족한다고 응답한 학생 수를 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 [eqn: n=400]인 이항분포 [eqn: rm B it (400,` {4} over {5} )]를 따른다.

이때 [eqn: np GEQ 5], [eqn: nq GEQ 5]이므로 [eqn: n]은 충분히 크고, [eqn: np=320], [eqn: npq=64]이므로 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N it (320,`64)]를 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P it (312 LEQ X LEQ 336)= &rm P it left ( {312-320} over {8} LEQ Z LEQ {336-320} over {8} right)]

[eqn: &= rm P it (-1 LEQ Z LEQ 2)]

[eqn: &= rm P it (0 LEQ Z LEQ 1)+ rm P it (0 LEQ Z LEQ 2)]

[eqn: &=0.3413+0.4772]

[eqn: &=0.8185]

독일 올림픽 체육회는 자국민을 대상으로 근력, 지구력, 민첩성, 협응성의 [eqn: 4]가지 항목을 측정하여 스포츠 배지를 수여하고 있다. 스포츠 배지를 받은 독일 국민 중에서 청소년의 비율이 [eqn: 75 %]라고 한다. 스포츠 배지를 받은 독일 국민 [eqn: 4800]명을 임의로 택하였을 때, 청소년이 [eqn: 3660]명 이상일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.0228]

중단원 마무리하기

이산확률변수 [eqn: rmX]의 확률분포표가 다음과 같을 때, [eqn: rmX]의 평균과 분산을 구하시오.

[eqn: {rmE}(X)=2], [eqn: {RmV}(X)= {2} over {5}]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: rmP(it X=x)]	[eqn: {1} over {5}]	[eqn: {3} over {5}]	[eqn: {1} over {5}]	[eqn: 1]

이항분포 [eqn: rm B it left(100,` {1} over {4} right)]을 따르는 확률변수 [eqn: X]의 평균, 분산, 표준편차를 구하시오.

[eqn: rm E it (X)=25], [eqn: rm V it (X)= {75} over {4}], [eqn: sigma (X)= {5 sqrt {3}} over {2}]

연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가

[eqn: 1]

[eqn: f(x)=2ax`(0 LEQ x LEQ 1)]

일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: rm N(50,`9)]를 따를 때, 다음 확률을 구하시오.

⑴ [eqn: 0.8413]  ⑵ [eqn: 0.9759]

⑴ [eqn: {rmP}(X LEQ 53)]

⑵ [eqn: rm P it (41 LEQ X LEQ 56)]

확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수가

[eqn: sigma (X)= {sqrt {38}} over {9}]

[eqn: {1} over {a} + {3} over {a} + {5} over {a} =1]이므로  [eqn: a=9]

즉, [eqn: {RmP}(X=x)= {2x-1} over {9} (x=1], [eqn: 2], [eqn: 3)]이므로

[eqn: {RmE}(X)=1 TIMES {1} over {9} +2 TIMES {1} over {3} +3 TIMES {5} over {9} = {22} over {9}]

[eqn: rm V it (X)=1 ^{2} TIMES {1} over {9} +2 ^{2} TIMES {1} over {3} +3 ^{2} TIMES {5} over {9} - left( {22} over {9} right) ^{2} = {38} over {81}]

따라서  [eqn: sigma (X)= {sqrt {38}} over {9}]

[eqn: {rmP}(X=x)= {2x-1} over {a} `(x=1,`2,`3)]

일 때, 상수 [eqn: a]의 값과 확률변수 [eqn: X]의 평균, 표준편차를 구하시오.

서랍 안에 있는 건전지 [eqn: 4]개 중에서 수명이 다한 건전지는 [eqn: 1]개만 있다고 한다. 수명이 다한 건전지를 찾기 위해 한 번에 [eqn: 1]개씩 차례로 건전지를 점검할 때, 점검 횟수의 평균과 분산을 구하시오.

평균:[eqn: {5} over {2}], 분산:[eqn: {5} over {4}]

점검 횟수를 확률변수 [eqn: rmX]라고 하면
[eqn: rm P it (X=1)= {1} over {4}], [eqn: rm P it (X=2)= {3} over {4} TIMES {1} over {3} = {1} over {4}]

[eqn: rm P it (X=3)= {3} over {4} TIMES {2} over {3} TIMES {1} over {2} = {1} over {4}]

[eqn: rm P it (X=4)= {3} over {4} TIMES {2} over {3} TIMES {1} over {2} TIMES 1= {1} over {4}]

즉,  [eqn: rm E it (X)=1 TIMES {1} over {4} +2 TIMES {1} over {4} +3 TIMES {1} over {4} +4 TIMES {1} over {4} = {5} over {2}]

[eqn: rm V it (X)=1 ^{2} TIMES {1} over {4} +2 ^{2} TIMES {1} over {4} +3 ^{2} TIMES {1} over {4} +4 ^{2} TIMES {1} over {4} - left( {5} over {2} right) ^{2} = {5} over {4}]

따라서 평균은 [eqn: {5} over {2}], 분산은 [eqn: {5} over {4}]이다

확률변수 [eqn: rmX]에 대하여 [eqn: {rmE}(X)=50], [eqn: {rmV}(X)=30]이고, 확률변수 [eqn: Y=aX+b]에 대하여 [eqn: {rmE}(Y)=99], [eqn: {rmV}(Y)=120]일 때, 상수 [eqn: a,`b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a>0])

[eqn: a=2,`b=-1]

[eqn: rm E it (Y)=a rm E it (X)+b=50a+b=99` CDOTS CDOTS ①]

[eqn: rm V it (Y)=a ^{2} rm V it (X)=30a ^{2} =120`````````````` CDOTS CDOTS ②]

①, ② 에서  [eqn: a=2,`b=-1]

주사위 [eqn: 1]개를 [eqn: 300]번 던질 때, 소수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라고 하자. [eqn: X]의 평균과 분산을 구하시오.

[eqn: rm E it (X)=150,``rmV`it(X)=75]

확률변수 [eqn: rmX]는 이항분포 [eqn: {RmB} left(300,` {1} over {2} right)]을 따르므로

[eqn: {rmE}(X)=300 TIMES {1} over {2} =150]

[eqn: rm V it (X)=300 TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2} =75]

주머니에 빨간 공 [eqn: x]개를 포함한 공 [eqn: 30]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 공 [eqn: 1]개를 꺼내어 색을 확인하고 주머니에 다시 넣는 시행을 [eqn: 10]번 반복하였다. 빨간 공이 나오는 횟수의 평균이 [eqn: 2]일 때, [eqn: x]의 값을 구하시오.

[eqn: x=6]

빨간 공이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: rmX]라고 하면 [eqn: rmX]는 이항분포 [eqn: rm B it LEFT ( 10,` {x} over {30} RIGHT )]를 따른다.

[eqn: rm E it (X)=10 TIMES {x} over {30} =2]에서  [eqn: x=6]

연속확률변수 [eqn: rmX]의 확률밀도함수가

[eqn: 2 over5]

[eqn: f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=3]으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: 1]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES 1 TIMES k+ {1} over {2} TIMES 2 TIMES 2k=1,`k= {2} over {5}]

따라서  [eqn: {rmP}(X LEQ 2)=2 TIMES left( {1} over {2} TIMES 1 TIMES {2} over {5} right)= {2} over {5}]

[eqn: f(x)=k LEFT | x-1 RIGHT | `(0 LEQ x LEQ 3)]

일 때, [eqn: {rmP}(X LEQ 2)]를 구하시오.

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: {rmN}(m,` sigma ^{2} )]을 따르고

[eqn: m=50]

정규분포 [eqn: {rmN}(m,` sigma ^{2} )]의 확률밀도함수의 그래프는 직선 [eqn: x=m]에 대하여

대칭이고,

[eqn: {rmP}(X GEQ 48)={RmP}(X LEQ 51)]이므로  [eqn: m= {48+52} over {2} =50]

[eqn: {rmP}(X GEQ 48)={rmP}(X LEQ 52)]

일 때, 상수 [eqn: m]의 값을 구하시오.

어느 주스 가게에서 판매하는 주스 한 잔의 양은 평균이 [eqn: rm150``mL], 표준편차가 [eqn: rm 3``mL]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 가게에서 판매하는 주스 한 잔의 양이 [eqn: rm 153``mL] 이하일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.8413]

주스 한 잔의 양을 확률변수 [eqn: X]라고 하면

[eqn: rm P it (X LEQ 153)= rm P it (Z LEQ {153-150} over {3} )]

[eqn: ``````````````````````````````````````````= rm P it (Z LEQ 1)=0.8413]

어느 도서관에서 보유한 도서 현황을 조사하였더니 전체 도서의 [eqn: 40``%]가 문학 도서였다. 이 도서관에서 보유한 도서 [eqn: 600]권을 임의로 택하였을 때, 문학도서가  [eqn: 246]권 이상 [eqn: 252]권 이하일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.1498]

문학 도서 수를 확률변수 [eqn: rmX]라고 하면 [eqn: rmX]는 이항분포 [eqn: {rmB} left(600,` {2} over {5} right)]를

따른다.

이때 [eqn: np GEQ 5,`nq GEQ 5]이므로 [eqn: n`]은 충분히 크고, [eqn: np=240], [eqn: npq=144]이므로

[eqn: rmX]는 정규분포 [eqn: rm N(240,`144)]를 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P it (246 LEQ X LEQ 252)]

[eqn: = rm P it left( {246-240} over {12} LEQ Z LEQ {252-240} over {12} right)]

[eqn: = rm P it (0.5 LEQ Z LEQ 1)=0.1498]

어느 고등학교 [eqn: 2]학년 학생들의 수학 과목의 점수는 평균이 [eqn: 70]점, 표준편차가 [eqn: 10]점인 정규분포를 따른다고 한다. 수학 과목의 점수가 상위 [eqn: 4``%] 이내에 속하는 학생들이 수학 과목에서 [eqn: 1]등급을 받는다고 한다. 동점자가 없다고 할 때, [eqn: 1]등급을 받기 위한 최저 점수를 구하시오. (단, [eqn: rm P it (0 LEQ Z LEQ 1.75)=0.46]으로 계산한다.)

[eqn: 87.5]

수학 과목의 점수를 확률변수 [eqn: rmX]라고 하면 [eqn: rmX]는 정규분포 [eqn: rm N(70,`100)]을 따른다.

수학 과목에서 [eqn: 1]등급을 받기 위한 최저 점수를 [eqn: c]점 [eqn: (c>70)]이라고

하면

[eqn: {rmP}(X GEQ c)={rmP} left(Z GEQ {c-70} over {10} right)=0.04]

즉, [eqn: rm P it (0 LEQ Z LEQ {c-70} over {10} )=0.46]에서 [eqn: {c-70} over {10} =1.75]이므로

[eqn: c=87.5]

따라서 [eqn: 1]등급을 받기 위한 최저 점수는 [eqn: 87.5]점이다.

확률변수 [eqn: rmX]가 정규분포 [eqn: rm N it (50,`25)]를 따를 때, 함수 [eqn: {rmF}(x)={rmP}(X LEQ x)]에 대하여 [eqn: rm F it (x+20)- rm F it (x)]의 최댓값을 구하시오.

[eqn: 0.9544]

[eqn: rm F it (x+230)- rm F it (x)= rm P it (X LEQ x+20)- rm P it (X LEQ x)]

[eqn: = rm P it (x LEQ X LEQ x+20)]

오른쪽 그림에서

[eqn: {rmP}(x LEQ X LEQ x+20)]

이 최대가 되려면

[eqn: {x+(x+20)} over {2} =50]

즉,  [eqn: x=40]

따라서 구하는 최댓값은

[eqn: {RmP}(40 LEQ X LEQ 60)={rmP}(-2 LEQ Z LEQ 2)=0.9544]

예린이가 [eqn: 100]명을 선발하는 [eqn: A] 대학교의 [eqn: B] 학과에 지원하여 [eqn: 7]번째 예비 합격 후보가 되었다. 이 학과의 합격자가 등록을 하지 않을 확률이 [eqn: 0.1]이라고 할 때, 예린이가 이 학과에 합격할 확률을 구하시오. (단, 예비 합격 후보들은 추가 합격의 기회가 주어질 경우 모두 등록한다.)

[eqn: 0.8413]

[eqn: rmB]학과의 합격자 중에서 등록을 하지 않은 학생 수를 확률변수 [eqn: rmX]라고 하면 [eqn: rmX]는 이항분포 [eqn: rm B it (100,`0.1)]을 따른다.
이때 [eqn: np GEQ 5,`nq GEQ 5]이므로 [eqn: n`]은 충분히 크고, [eqn: np=10], [eqn: npq=9]이므로 [eqn: rmX]는 정규분포 [eqn: rm N(10,`9)]를 따른다.

예린이가 이 학과에 합격하려면 합격자 중에서 등록을 하지 않은 학생 수가 [eqn: 7]명 이상이어야 하므로 구하는 확률은
[eqn: rm P it (X GEQ 7)= rm P it (Z GEQ {7-10} over {3} )]

[eqn: = rm P it (Z GEQ -1)=0.8413]

수행과제

아버지는 정상([eqn: XY])이고 어머니는 색각 보인자([eqn: XX`'])인 부모 사이에서 태어난 자녀가 색각 이상자일 확률을 구해 보자.

[eqn: 1 over4]

태어난 자녀의 성염색체는 오른쪽 표와

같으므로 구하는 확률은 [eqn: {1} over {4}]이다.

앞문제의 부모 사이에서 태어난 자녀가 [eqn: 4]명일 때, 이 중에서 [eqn: 2]명 이상이 색각 이상자일 확률을 구해 보자.

[eqn: 67 over256]

색각 이상자인 자녀의 수를 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: 2]명 이상이 색각 이상자일 확률은

[eqn: rm P it (X GEQ 2)]

[eqn: =1- rm P it (X=0)- rm P it (X=1)]

[eqn: =1- _{4} rm C _{0} TIMES left( {1} over {4} right) ^{0} TIMES left( {3} over {4}right ) ^{4} - _{4} rm C _{1} TIMES left( {1} over {4} right) ^{1} TIMES left( {3} over {4} right) ^{3}]

[eqn: =1- {81} over {256} - {108} over {256} = {67} over {256}]

아버지는 정상([eqn: XY])이고 어머니는 색각 보인자([eqn: XX`'])인 부모 사이에서 태어난 자녀 [eqn: 192]명의 색각 이상 여부를 조사하였을 때, 이 중에서 색각 이상자가 [eqn: 42]명 이하일 확률을 구해 보자.

[eqn: 0.1587]

색각 이상자인 자녀의 수를 확률변수 [eqn: rmX]라고 하면 [eqn: rmX]는 이항분포 [eqn: rm B it left(192,` {1} over {4} right)]을 따른다.

이때 [eqn: np GEQ 5,`nq GEQ 5]이므로 [eqn: n`]은 충분히 크고, [eqn: np=48], [eqn: npq=36]이므로 [eqn: rmX]는 정규분포 [eqn: rm N(48,`36)]을 따른다.

따라서 색각 이상자가 [eqn: 42]명 이하일 확률은

[eqn: rm P it (X LEQ 42)= rm P it left(Z LEQ {42-48} over {6} right)]

[eqn: = rm P it (Z LEQ -1)=0.1587]

모집단과 표본

다음 조사가 전수조사인지 표본조사인지 말하시오.

⑴, ⑵, ⑶ 표본조사, ⑷ 전수조사

⑴ 의약품의 임상 시험	⑵ 라면의 염도 조사

⑶ TV 프로그램의 시청률	⑷ 병무청의 징병 신체검사

실생활에서 표본조사를 하는 예를 찾으시오.

선거의 여론 조사

오른쪽 그림은 이지통계를 이용하여 [eqn: 1] 이상 [eqn: 100] 미만의 자연수 중에서 표본 [eqn: 20]개를 임의추출하는 과정이다. 우리 반 학생 중에서 [eqn: 5]명을 이지통계를 이용하여 임의추출하고, 그 결과를 친구와 비교하시오.

풀이 참조

우리 반 학생 [eqn: 35]명을 번호 순으로 [eqn: 1]부터 [eqn: 35]까지 자연수와 대응시킨 후, [eqn: 5]명을 이지통계를 이용하여 추출하였더니

[eqn: 12], [eqn: 32], [eqn: 2], [eqn: 7], [eqn: 20]이었다. 그 결과는 서로 다르다.

표본평균의 분포

어느 지역에서 [eqn: 1]월 한 달 동안 가구당 난방비는 평균이 [eqn: 15]만 원, 표준편차가 [eqn: 2]만 원인 정규분포를 따른다고 한다. 이 지역에서 크기가 [eqn: 25]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균의 평균과 표준편차를 구하시오.

평균: [eqn: 15]만원 , 표준편차: [eqn: {2} over {5}]만원

다음은 어떤 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균과 표본평균의 평균에 대하여 나눈 대화이다. 다음 두 학생의 설명이 옳은지를 각각 말하고, 그 이유를 설명하시오.

풀이참조

모평균을 [eqn: m], 표본평균을 [eqn: {bar{X}}] 라고 하면

[세민] [eqn: {bar{X}}] 와 [eqn: m]은 다를 수 있으므로 항상 옳은 것은 아니다.

[태호] [eqn: rm E it ( {bar{X}} )=m]이므로 옳다.

어느 기계에서 생산된 제품 [eqn: 1]개의 길이는 평균이 [eqn: rm2.73``cm], 표준편차가 [eqn: rm0.03``cm]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 기계에서 생산된 제품 [eqn: 9]개를 임의추출할 때, 제품의 길이의 평균이 [eqn: rm2.7``cm] 이상 [eqn: rm2.76``cm] 이하일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.9974]

이 기계에서 생산된 제품의 길이를 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N(2.73,`0.0009)]를 따르므로 임의추출한 제품 [eqn: 9]개의 길이의 평균을 [eqn: {bar{X}}]라고 하면 [eqn: {bar{X}}]는 정규분포 [eqn: rmN(2.73,`0.0001)]을 따른다.

따라서 확률변수 [eqn: Z= {{bar{X}}-2.73} over {0.01}]은 표준정규분포 [eqn: rm N(0,`1)]을 따르므로 구하는 확률은

[eqn: rm P it (2.7 LEQ {bar{X}} LEQ 2.76) &= rm P it left( {2.7-2.73} over {0.01} LEQ Z LEQ {2.76-2.73} over {0.01} right)]

[eqn: &= rm P it (-3 LEQ Z LEQ 3)]

[eqn: &=2 TIMES rm P it (0 LEQ Z LEQ 3)]

[eqn: &=2 TIMES rm 0.4987=0.9974]

어느 과수원에서 생산된 귤 [eqn: 1]개의 무게는 평균이 [eqn: 85rm``g], 표준편차가 [eqn: 2.5rm``g]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 과수원에서 생산된 귤 중에서 [eqn: 25]개를 임의추출할 때, 귤의 무게의 평균이 [eqn: 85.5rm``g] 이상일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.1587]

모평균의 추정

모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99``%]의 신뢰구간은

[eqn: {bar{x}} -2.58 {sigma } over {sqrt {n}} LEQ m LEQ {bar{x}} +2.58 {sigma } over {sqrt {n}}]

[eqn: {rmP}(-2.58 LEQ Z LEQ 2.58)=0.99]이므로 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99``%]의 신뢰구간은

[eqn: {bar{x}} -2.58 {sigma } over {sqrt {n}} LEQ m LEQ {bar{x}} +2.58 {sigma } over {sqrt {n}}]

[eqn: {bar{x}} -2.58 {sigma } over {sqrt {n}} LEQ m LEQ {bar{x}} +2.58 {sigma } over {sqrt {n}} )]

임을 설명하시오.

어느 피자 가게에서 만든 피자 한 판의 열량은 모표준편차가 [eqn: rm100``kcal]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 가게에서 만든 피자 [eqn: 100]판을 임의추출하여 열량을 조사한 결과 평균 열량이 [eqn: 2000``rmkcal]라고 할 때, 이 가게에서 만든 피자 한 판의 열량의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95``%]의 신뢰구간을 구하고, 그 결과를 해석하시오.

풀이 참조

표본의 크기는 [eqn: n=100], 표본평균의 실제 관측값은 [eqn: {bar{x}} =2000], 모표준편차는 [eqn: sigma =100]이므로 이 가게에서 만든 피자 한 판의 열량의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95``%]의 신뢰구간은

[eqn: 2000-1.96 {100} over {sqrt {100}} LEQ m LEQ 2000+1.96 {100} over {sqrt {100}}]

따라서 [eqn: 1980.4 LEQ m LEQ 2019.6] (단위: [eqn: rmkcal])

즉, [eqn: 1980.4rm``kcal] 이상 [eqn: 2019.6`rm``kcal] 이하인 범위에 이 가게에서 만든 피자 한 판의 열량의 평균이 포함되어 있다는 추정의 신뢰도가 [eqn: 95``%]이다.

어느 수영 선수의 자유형 [eqn: 100``rmm] 기록은 모표준편차가 [eqn: 0.6]초인 정규분포를 따른다고 한다. 다음은 이 선수의 자유형 [eqn: 100``rmm]기록 중 [eqn: 9]회의 기록을 임의추출하여 나타낸 것이다.

풀이 참조

⑴ [eqn: 50]초            ⑵ [eqn: 49.484 LEQ m LEQ 50.516] (단위: 초)

⑶ [eqn: 49.484]초 이상 [eqn: 50.516]초 이하인 범위에 이 선수의 자유형 [eqn: rm100m] 기록의 평균이 포함되어 있다는 추정의 신뢰도가 [eqn: 99``%]이다.

(단위 :초)

50.01,	49.35,	51.22,	50.12,	49.44,	49.65,	50.02,	50.32,	49.87

⑴ 이 선수의 [eqn: 9]회의 자유형 [eqn: 100``rmm] 기록의 평균을 구하시오.

⑵ 이 선수의 자유형 [eqn: 100``rmm]기록의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99``%]의 신뢰구간을 구하시오.

⑶ ⑵의 결과를 해석하시오.

어느 농장에서 생산된 딸기의 당도는 모평균이 [eqn: m]브릭스, 모표준편차가 [eqn: 0.5]브릭스인 정규분포를 따른다고 한다. 모평균 [eqn: m]을 신뢰도 [eqn: 95``%]로 추정할 때, 신뢰구간의 길이가 [eqn: 0.2]이하가 되기 위한 표본의 크기 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오.

[eqn: 97]

모표준편차는 [eqn: sigma =0.5]이므로 모평균 [eqn: m]을 신뢰도 [eqn: 95``%]로 추정할 때의 신뢰구간의 길이는

[eqn: 2 TIMES 1.96 TIMES {0.5} over {sqrt {n}} = {1.96} over {sqrt {n}}]

신뢰구간의 길이가 [eqn: 0.2] 이하이려면 [eqn: {1.96} over {sqrt {n}} LEQ 0.2]에서 [eqn: sqrt {n} GEQ 9.8], [eqn: n GEQ 96.04]

따라서 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 97]이다.

어느 영화에 대한 관람객의 평점은 모평균이 [eqn: m]점, 모표준편차가 [eqn: 2]점인 정규분포를 따른다고 한다. 모평균 [eqn: m]을 신뢰도 [eqn: 99``%]로 추정할 때, 신뢰구간의 길이가 [eqn: 1] 이하가 되기 위한 표본의 크기 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오.

[eqn: 107]

어느 모집단은 모표준편차가 [eqn: sigma]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 모평균 [eqn: m]을 신뢰도 [eqn: 95``%]로 추정하려고 한다. 다음 두 학생의 설명이 옳은지를 각각 말하고, 그 이유를 설명해 보자.

풀이 참조

모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95``%]의 신뢰구간의 길이는

[eqn: 2 TIMES 1.96 TIMES {sigma } over {sqrt {n}}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ①

[윤아] ①의 값은 모표준편차 [eqn: sigma]에 정비례한다.

따라서 [eqn: sigma]가 커지면 그 길이는 길어지므로 옳다.

[태호] ①의 값은 [eqn: {bar{x}}]에 영향을 받지 않으므로 옳지 않다

중단원 마무리하기

다음 조사가 전수조사인지 표본조사인지 말하시오.

⑴, ⑵, ⑶ 표본조사, ⑷ 전수조사

⑴ 하천의 수질 검사

⑵ 어느 지역의 공기 오염도 조사

⑶ 투표 후 유권자들에 대한 출구 조사

⑷ 전국에 등록된 초등학교의 개수

모평균이 [eqn: 10], 모분산이 [eqn: 16]인 모집단에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: {bar{X}}]에 대하여 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 10]    ⑵ [eqn: 4]    ⑶ [eqn: 2]

⑴ [eqn: rm E it ( {bar{X}} )]

⑵ [eqn: rm V it ( {bar{X}} )]

⑶ [eqn: sigma ({bar{X}})]

정규분포 [eqn: rm N it (m,`100)]을 따르는 모집단에서 표본 [eqn: 25]개를 임의추출하였더니 표본평균이 [eqn: 50]이었다. 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95``%]의 신뢰구간을 구하시오.

[eqn: 46.08 LEQ m LEQ 53.92]

주머니에 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이 각각 적힌 카드 [eqn: 3]장이 들어 있다. 이 주머니를 모집단으로 생각하고 이 주머니에서 추출한 크기가 [eqn: 2]인 표본을 각각 [eqn: X _{1}], [eqn: X _{2}]라고 할 때, 다음을 구하시오.

(1)[eqn: {1} over {3}]	(2)[eqn: {1} over {3}]

⑴

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 1.5]	[eqn: 2]	[eqn: 2.5]	[eqn: 3]	합계
[eqn: rmP(it X=x)]	[eqn: {1} over {9}]	[eqn: {2} over {9}]	[eqn: {1} over {3}]	[eqn: {2} over {9}]	[eqn: {1} over {9}]	[eqn: 1]

따라서 구하는 확률은  [eqn: {1} over {3}]

⑵

[eqn: X]	[eqn: 1.5]	[eqn: 2]	[eqn: 2.5]	합계
[eqn: rmP(it X=x)]	[eqn: {1} over {3}]	[eqn: {1} over {3}]	[eqn: {1} over {3}]	[eqn: 1]

따라서 구하는 확률은  [eqn: {1} over {3}]

⑴ 복원추출로 카드 [eqn: 2]장을 꺼낼 때, 표본평균 [eqn: {bar{X}}]가 [eqn: 2]일 확률

⑵ 비복원추출로 카드 [eqn: 2]장을 꺼낼 때, 표본 평균 [eqn: {bar{X}}]가 [eqn: 2]일 확률

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]가 각각 적힌 공 [eqn: 5]개가 들어 있는 주머니에서 복원추출로 공 [eqn: 4]개를 꺼낼 때, 공에 적힌 숫자의 평균을 [eqn: {bar{X}}]라고 하자. [eqn: rm E it ( {bar{X}} ^{2} )]을 구하시오.

[eqn: rm E it ( {bar{X}} ^{2} )= {19} over {2}]

공 [eqn: 5]개 중에서 [eqn: 1]개를 꺼낼 때, 공에 적힌 숫자를 확률변수 [eqn: X]라고 하면 확률질량함수는

[eqn: {RmP}(X=x)= {1} over {5} (x=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5)]

이므로

[eqn: rm E it (X)=1 TIMES {1} over {5} +2 TIMES {1} over {5} +3 TIMES {1} over {5} +4 TIMES {1} over {5} +5 TIMES {1} over {5} =3]

[eqn: rm V it (X)=1 ^{2} TIMES {1} over {5} +2 ^{2} TIMES {1} over {5} +3 ^{2} TIMES {1} over {5} +4 ^{2} TIMES {1} over {5} +5 ^{2} TIMES {1} over {5} -3 ^{2}][eqn: =2]

따라서  [eqn: rm E it ( {bar{X}} )=3,` rm V it ( {bar{X}} )= {1} over {2}]이므로

[eqn: rm E it ( {bar{X}} ^{2} )= rm V it ( {bar{X}} )+ LEFT { rm E it ( {bar{X}} ) RIGHT } ^{2} = {19} over {2}]

모평균이 [eqn: 30], 모분산이 [eqn: 4]인 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: {bar{X}}]의 표준편차가 [eqn: 0.01] 이하가 되기 위한 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오.

[eqn: 40000]

[eqn: {2} over {sqrt {n}} LEQ 0.01]에서  [eqn: n GEQ 40000]

따라서 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 40000]이다.

정규분포 [eqn: rm N it (100,`100)]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: {bar{X}}]에 대하여

[eqn: 100]

표본평균 [eqn: {bar{X}}]는 정규분포 [eqn: {rm N} left(100,` {100} over {n} right)]을 따르고,

[eqn: {rmP}(98 LEQ {bar{X}} LEQ 102)=0.9544]이므로

[eqn: {rmP} left( {98-100} over {{10} over {sqrt {n}}} LEQ Z LEQ {102-100} over {{10} over {sqrt {n}}} right)=0.9544]

[eqn: {rmP} left(- {sqrt {n}} over {5} LEQ Z LEQ {sqrt {n}} over {5} right)=0.9544]

즉, [eqn: rm P it left(0 LEQ Z LEQ {sqrt {n}} over {5} right)=0.4772]이고,

[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ 2)=0.4772]이므로  [eqn: {sqrt {n}} over {5} =2]

따라서  [eqn: n=100]

[eqn: {rmP}(98 LEQ {bar{X}} LEQ 102)=0.9544]

이다. [eqn: n]의 값을 구하시오.

정규분포 [eqn: {rmN}(m,` sigma ^{2} )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: {bar{X}}]에 대하여 [eqn: sigma =2]와 [eqn: sigma =4]일 때의 확률 [eqn: {rmP} left({bar{X}} GEQ m+ {2} over {sqrt {n}} right)]를 각각 [eqn: p _{1}], [eqn: p _{2}]라고 하자. [eqn: p _{1} +p _{2}]의 값을 구하시오.

[eqn: 0.4672]

표본평균 [eqn: {bar{X}}]는 정규분포 [eqn: rm N it left (m,` {sigma ^{2}} over {n} right)]을 따르므로

[eqn: rm P it left( {bar{X}} GEQ m+ {2} over {sqrt {n}} right)= rm P it left(Z GEQ {(m+ {2} over {sqrt {n}} )-m} over {{sigma } over {sqrt {n}}} right)][eqn: = rm P it left(Z GEQ {2} over {sigma } right)]

따라서  [eqn: p _{1} +p _{2} ={rmP}(Z GEQ 1)+{rmP}(Z GEQ 0.5)=0.4672]

서울과 제주 간 항공편을 이용하는 승객 [eqn: 1]명의 수화물 무게는 평균이 [eqn: 14][eqn: kg], 표준편차가 [eqn: 2][eqn: kg]인 정규분포를 따른다고 한다. 어느 날 서울과 제주 간 항공편을 이용하는 승객 [eqn: 4]명을 임의추출하였을 때, 승객의 수화물 무게의 평균이 [eqn: 16][eqn: kg] 이상일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.0228]

승객 [eqn: 1]명의 수화물 무게를 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N(14,`4)]를 따르므로 표본평균 [eqn: {bar{X}}]는 정규분포 [eqn: rm N(14,`1)]을 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P it ( {bar{X}} GEQ 16)= rm P it left(Z GEQ {16-14} over {1} right)][eqn: = rm P it (Z GEQ 2)=0.0228]

어느 고등학교 학생들의 키는 모표준편차가 [eqn: 5][eqn: cm]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 학교 학생 중에서 [eqn: 100]명을 임의추출하여 키를 측정하였더니 평균이 [eqn: 175`][eqn: cm]이었다. 이 학교 학생들의 키의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95``%]의 신뢰구간을 구하고, 그 결과를 해석하시오.

풀이 참조

[eqn: n=100], [eqn: {bar{x}} =175], [eqn: sigma =5]이므로 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간은

[eqn: 175-1.96 TIMES {5} over {sqrt {100}} LEQ m LEQ 175+1.96 TIMES {5} over {sqrt {100}}]

따라서  [eqn: 174.02 LEQ m LEQ 175.98] (단위: [eqn: cm])

즉, [eqn: 174.02] [eqn: cm] 이상 [eqn: 175.98] [eqn: cm] 이하인 범위에 이 고등학교 학생들의 키의 평균이 포함되어 있다는 추정의 신뢰도가 [eqn: 95``%]이다.

정규분포 [eqn: rm N it (m,`1)]을 따르는 모집단에서 표본 [eqn: 400]개를 임의추출하여 표본평균을 측정하였더니 [eqn: {bar{x}}]이었다. 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99``%]의 신뢰구간의 길이를 구하시오.

[eqn: 0.258]

[eqn: 2 TIMES 2.58 times{1} over {sqrt {400}} =0.258]

정규분포 [eqn: rm N it (m,`16)]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95``%]의 신뢰구간의 길이가 [eqn: 1]미만이 되기 위한 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오.

[eqn: 246]

신뢰구간의 길이는  [eqn: 2 TIMES 1.96 {4} over {sqrt {n}} = {15.68} over {sqrt {n}}]

이때 [eqn: {15.68} over {sqrt {n}} <1]이므로  [eqn: sqrt {n} >15.68,`n>245.8624]

따라서 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 246]이다.

모평균이 [eqn: m]이고, 모표준편차가 [eqn: 3]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: {bar{X}}]와 모평균의 차가 [eqn: 0.5]이하일 확률이 [eqn: 0.99]이상이 되기 위한 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오.

[eqn: 240]

표본평균 [eqn: {bar{X}}]는 정규분포 [eqn: rm N it left(m,` {9} over {n} right)]를 따르고,

[eqn: {rmP}(|`{bar{X}}-m`|` LEQ 0.5) GEQ 0.99]이어야 하므로

[eqn: rm P it (-0.5 LEQ {bar{X}} -m LEQ 0.5) GEQ 0.99]

[eqn: rm P it left(- {0.5} over {{3} over {sqrt {n}}} LEQ Z LEQ {0.5} over {{3} over {sqrt {n}}} right) GEQ 0.99]

[eqn: rm P it left(- {sqrt {n}} over {6} LEQ Z LEQ {sqrt {n}} over {6} right) GEQ 0.99]

즉, [eqn: {RmP}left(0 LEQ Z LEQ {sqrt {n}} over {6} right) GEQ 0.495]이므로 [eqn: {sqrt {n}} over {6} GEQ 2.58]에서

[eqn: sqrt {n} GEQ 15.48,`n GEQ 239.6304]

따라서 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 240]이다.

(단, [eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ 2.58)=0.495]로 계산한다.)

어느 회사에서 생산된 배터리 [eqn: 1]개의 수명은 모평균이 [eqn: 20]시간, 모표준편차가 [eqn: 1]시간인 정규분포를 따른다고 한다. 이 배터리 중에서 [eqn: 4]개를 임의추출할 때, 배터리 [eqn: 4]개의 수명의 총합이 [eqn: 86]시간 이상일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.0013]

배터리 [eqn: 1]개의 수명을 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N(20,`1)]을

따른다.

배터리 [eqn: 4]개의 수명을 각각 [eqn: X _{1}], [eqn: X _{2}], [eqn: X _{3}], [eqn: X _{4}]라고 하면 표본평균 [eqn: {bar{X}}]는
[eqn: {bar{X}} = {X _{1} +X _{2} +X _{3} +X _{4}} over {4}]

이때 표본평균 [eqn: {bar{X}}]는 정규분포 [eqn: rm N(20,` {1} over {4} )]을 따르므로 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(X _{1} +X _{2} +X _{3} +X _{4} GEQ 86)]

[eqn: ={rmP}({bar{X}} GEQ 21.5)]

[eqn: ={rmP} left(Z GEQ {21.5-20} over {0.5} right)]

[eqn: ={rmP}(Z GEQ 3) =0.0013]

어

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.43]
[eqn: 2.0`]	[eqn: 0.48]

느 고등학교 [eqn: 2]학년 학생 중에서 [eqn: 100]명을 임의추출하여 국어 과목의 점수를 조사한 결과 평균이 [eqn: 65]점이었다. 전체 학생의 국어 과목의 점수는 모표준편차가 [eqn: 10]점인 정규분포를 따른다고 한다. 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: a``%]의 신뢰구간이 [eqn: 63 LEQ m LEQ 67] (단위: 점)일 때, 다음 표준정규분포표를 이용하여 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 96]

[eqn: n=100], [eqn: {bar{x}} =65], [eqn: sigma =10]이므로 확률변수 [eqn: Z]가 표준정규분포 [eqn: rm N(0,`1)]을 따를 때, [eqn: rm P it (`|`Z``| LEQ c)= {alpha } over {100}]를 만족시키는 양수 [eqn: c]에 대하여 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: alpha `%]의 신뢰구간은

[eqn: 65-c TIMES {10} over {sqrt {100}} LEQ m LEQ 65+c TIMES {10} over {sqrt {100}}]

즉, [eqn: 65-c LEQ m LEQ 65+c]에서 [eqn: c=2]

따라서 [eqn: {rmP}(`|`Z``| LEQ 2)=2 TIMES {RmP}(0 LEQ Z LEQ 2)=0.96]이므로

[eqn: alpha =96]

수행과제

다음은 통그라미를 이용하여 표본의 크기가 [eqn: 30]일 때의 모평균을 추정하는 과정이다.

풀이 참조

주제: 전교생 [eqn: 400]명이 지난 [eqn: 1]년 동안 본 영화의 수

(1) 이지통계를 이용하여 학생 [eqn: 30]명을 추출한 다음 정한 주제에 대한 표본 [eqn: 30]개를 적었더니
[eqn: 13], [eqn: 3], [eqn: 7], [eqn: 12], [eqn: 5], [eqn: 9], [eqn: 6], [eqn: 13], [eqn: 14], [eqn: 10], [eqn: 9], [eqn: 6], [eqn: 15], [eqn: 13], [eqn: 8], [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: 12], [eqn: 15], [eqn: 12], [eqn: 9], [eqn: 11], [eqn: 14], [eqn: 10], [eqn: 7], [eqn: 13], [eqn: 3], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]
이었다.

(2) 추정 과정 ①~③을 따라 표본평균과 표본표준편차를 구하면 표본평균은 [eqn: 9]편, 표본표준편차는 [eqn: 4]편이다.
전교생 [eqn: 400]명이 지난 [eqn: 1]년 동안 본 영화의 수의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95``%]의 신뢰구간은
[eqn: 9-1.96 TIMES {4} over {sqrt {400}} LEQ m LEQ 9+1.96 TIMES {4} over {sqrt {400}}]
따라서  [eqn: 8.608 LEQ m LEQ 9.392] (단위: 편)
즉, [eqn: 8.608]편 이상 [eqn: 9.392]편 이하인 범위에 전교생 [eqn: 400]명이 지난 [eqn: 1]년 동안 본 영화의 수의 평균이 포함되어 있다는 추정의 신뢰도가 [eqn: 95``%]이다.

추정 과정

① 자료 창에 변수명을 설정하고, 표본 [eqn: 30]개를 입력한다.

② [기초통계량]을 누르고, ‘변수’를 ‘분석 변수’로 정하여 표본평균을 구한다.

③ [옵션 선택]에서 ‘[eqn: n-1]의 분산, 표준편차’를 선택하여 표본표준편차를 구한다.

④ ②, ③의 결과를 이용하여 신뢰도 [eqn: 95``%]의 신뢰구간을 구하고, 그 결과를 해석한다.

전교생을 대상으로 한 가지 주제를 스스로 정하여 모평균을 추정해 보자.

(1) 이지통계를 이용하여 학생 [eqn: 30]명을 추출하고, 정한 주제에 대한 표본 [eqn: 30]개를 적어 보자.

(2) (1)의 자료를 바탕으로 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95``%]의 신뢰구간을 구하고, 그 결과를 해석해 보자.

대단원 평가하기

다음 확률변수 중 이산확률변수인 것은?

①

① 어느 학교의 학생들이 태어난 달

② 지난 한 달 동안의 대전의 기온

③ 지리산에 있는 나무의 높이

④ 서울발 부산행 비행기의 비행 시간

⑤ 어느 고등학교 학생들의 몸무게

[eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2]가 각각 적힌 공 [eqn: 4]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 공 [eqn: 2]개를 동시에 꺼낼 때, 나오는 두 수의 곱을 확률변수 [eqn: X]라고 하자. [eqn: {rmP}(X GEQ 0)]을 구하시오.

[eqn: 2 over3]

확률변수 [eqn: X]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: -2]	[eqn: -1]	[eqn: 0]	[eqn: 2]	합계
[eqn: rmP(it X=x)]	[eqn: {1} over {6}]	[eqn: {1} over {6}]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {6}]	[eqn: 1]

따라서  [eqn: {rmP}(X GEQ 0)={RmP}(X=0)+{rmP}(X=2)= {2} over {3}]

이산확률변수 [eqn: X`]의 확률질량함수가

[eqn: rm E it (X)=10,~ rm V it (X)=8]

확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B it left(50,` {1} over {5} right)]을 따르므로

[eqn: {rmE}(X)=10,`{rmV}(X)=8]

[eqn: rm P it (X=x)= _{50} {rm C} it _{x} TIMES left ( {1} over {5} right) ^{x} TIMES left( {4} over {5} right) ^{50-x}][eqn: (x=0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: CDOTS], [eqn: 50)]

일 때, [eqn: X]의 평균과 분산을 구하시오.

[eqn: 100]원짜리 동전 [eqn: 5]개를 동시에 던져서 앞면이 나오는 동전을 모두 가지기로 할 때, 가질 수 있는 금액을 확률변수 [eqn: X]라고 하자. [eqn: X]의 평균과 분산을 구하시오.

[eqn: rm E it (X)=250,~ rm V it (X)= rm 12500]

[eqn: 100]원짜리 동전 [eqn: 5]개를 동시에 던져서 앞면이 나오는 동전의 개수를 확률변수 [eqn: Y]라고 하면 [eqn: Y]는 이항분포 [eqn: rm B it left(5,` {1} over {2} right)]을 따르므로

[eqn: {rmE}(Y)= {5} over {2} ,`{rmV}(Y)= {5} over {4}]

[eqn: X=100Y] 이므로

[eqn: {RmE}(X)={rmE}(100Y)=100{rmE}(Y)=250]

[eqn: {rmV}(X)={rmV}(100Y)=100 ^{2} {rmV}(Y)=12500]

[eqn: 0 LEQ x LEQ 3]에서 정의된 연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수 [eqn: f(x)]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, [eqn: {rmP}(1 LEQ X LEQ 2)]를 구하시오.

[eqn: {1} over {2}]

감귤 나무 [eqn: 10000]그루를 재배하는 어느 과수원의 나무 [eqn: 1]그루당 감귤의 수확량은 평균이 [eqn: 30][eqn: kg], 표준편차가 [eqn: 1.5][eqn: kg]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 과수원의 감귤 나무 중에서 감귤의 수확량이 [eqn: 34.5][eqn: kg] 이상인 나무는 몇 그루인지 구하시오.

나무 [eqn: 1]그루당 감귤의 수확량을 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N(30,`2.25)]를 따르므로

[eqn: {rmP}(X GEQ 34.5)={rmP}(Z GEQ 3)=0.0013]

따라서 수확량이 [eqn: 34.5][eqn: kg] 이상인 나무는 [eqn: 13]그루이다.

어느 고등학교 전체 학생의 자율 학습 참여율은 [eqn: 60``%]라고 한다. 이 학교 학생 중에서 [eqn: 150]명을 임의로 뽑을 때, 자율 학습을 하는 학생이 [eqn: 84]명 이상 [eqn: 102]명 이하일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.8185]

자율 학습을 하는 학생 수를 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B it (150,` {3} over {5} )]을 따른다.

이때 [eqn: np GEQ 5], [eqn: nq GEQ 5]이므로 [eqn: n`]은 충분히 크고, [eqn: np=90], [eqn: npq=36]이므로 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N(90,`36)]을 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P it (84 LEQ Z LEQ 102)= rm P it (-1 LEQ Z LEQ 2)=0.8185`]

숫자 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이 각각 적힌 공 [eqn: 4]개가 들어있는 주머니에서 크기가 [eqn: 2]인 표본을 임의추출하였을 때, 표본평균을 [eqn: {bar{X}}]라고 하자. [eqn: {bar{X}}]의 평균, 분산, 표준편차를 구하시오.

[eqn: rm E it ( {bar{X}} )= {7} over {4}], [eqn: rm V it ( {bar{X}} )= {11} over {32}], [eqn: sigma ( {bar{X}} )= {sqrt {22}} over {8}]

주머니에서 공 [eqn: 1]개를 꺼냈을 때, 공에 적힌 숫자를 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: rmP(it X=x)]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {4}]	[eqn: {1} over {4}]	[eqn: 1]

[eqn: {rmE}(X)= {7} over {4}], [eqn: {rmV}(X)= {11} over {16}], [eqn: sigma (X)= {sqrt {11}} over {4}]이므로

[eqn: rm E it ( {bar{X}} )= {7} over {4}], [eqn: rm V it ( {bar{X}} )= {11} over {32}], [eqn: sigma ( {bar{X}} )= {sqrt {22}} over {8}]

모평균이 [eqn: m]이고, 모표준편차가 [eqn: 10]인 모집단에서 크기가 [eqn: 25]인 표본을 임의추출하였을 때, 표본평균을 [eqn: {bar{X}}]라고 하자. [eqn: {rmE}({bar{X}} ^{2} )=29]일 때, 양수 [eqn: m]의 값을 구하시오.

[eqn: m=5]

[eqn: {RmE}({BAR{X})=m], [eqn: {rmV}({bar{X}})=4]이고,

[eqn: {rmV}({bar{X}})={rmE}({bar{X} ^{2} )- LEFT { {rmE}({bar{X}} RIGHT } ^{2}]이므로

[eqn: {RmE}({bar{X} ^{2} )=m ^{2} +4]

따라서 [eqn: m ^{2} +4=29]이므로  [eqn: m ^{2} =25]

이때 [eqn: m>0]이므로  [eqn: m=5]

어느 양어장에 있는 물고기 [eqn: 1]마리의 길이는 표준편차가 [eqn: 2][eqn: cm]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 양어장에 있는 물고기 [eqn: 64]마리를 임의추출하여 그 길이를 측정하였더니 평균이 [eqn: 25][eqn: cm]이었다. 이 양어장에 있는 물고기 [eqn: 1]마리의 길이의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99``%]의 신뢰구간을 구하시오.

[eqn: 24.355 LEQ m LEQ 25.645]

[eqn: n=64], [eqn: {bar{x}} =25], [eqn: sigma =2]이므로 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99``%]의 신뢰구간은

[eqn: 25-2.58 TIMES {2} over {sqrt {64}} LEQ m LEQ 25+2.58 TIMES {2} over {sqrt {64}}]

즉,  [eqn: 24.355 LEQ m LEQ 25.645] (단위: [eqn: cm])

확률변수 [eqn: X]의 확률분포표가 아래와 같을 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: a= {1} over {2}]	⑵ [eqn: 6]

⑴ [eqn: a+a ^{2} + {1} over {4} =1]이므로  [eqn: 4a ^{2} +4a-3=0]

[eqn: (2a-1)(2a+3)=0], [eqn: a= {1} over {2}] 또는 [eqn: a=- {3} over {2}]

그런데 [eqn: a GEQ 0]이므로  [eqn: a= {1} over {2}]

⑵ [eqn: {rmE}(X)=2 TIMES {1} over {2} +4times {1} over {4} +8times {1} over {4} =4]

따라서

[eqn: rm V it (X)= rm E it (X ^{2} )- LEFT { rm E it (X) RIGHT } ^{2}]

[eqn: =2 ^{2} TIMES {1} over {2} +4 ^{2} TIMES {1} over {4} +8 ^{2} TIMES {1} over {4} -4 ^{2}=6]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: rmP(it X=x)]	[eqn: a]	[eqn: a^2]	[eqn: 1 over4]	[eqn: 1]

⑴ 상수 [eqn: a]의 값

⑵ [eqn: {rmV}(X)]

원점 [eqn: rmO]에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]는 주사위 [eqn: 1]개를 던져서 홀수의 눈이 나오면 양의 방향으로 [eqn: 3]만큼 움직이고, 짝수의 눈이 나오면 음의 방향으로 [eqn: 2]만큼 움직인다. 주사위 [eqn: 1]개를 [eqn: 10]번 던질 때, 점 [eqn: rmP]의 좌표를 확률변수 [eqn: X]라고 하자. [eqn: X]의 평균과 분산을 구하시오.

[eqn: rm E it (X)= 5], [eqn: rm V it (X)= 125 over2]

주사위 [eqn: 1]개를 [eqn: 10]번 던질 때, 홀수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수

[eqn: Y] 라고 하면 [eqn: Y] 는 이항분포 [eqn: rm B it left(10,` {1} over {2} right)]을 따른다.

이때 짝수의 눈이 나오는 횟수는 [eqn: 10-Y] 이므로

[eqn: X=3Y-2(10-Y)=5Y-20]

[eqn: {rmE}(Y)=10times {1} over {2} =5,`{rmV}(Y)=10times {1} over {2} times {1} over {2} = {5} over {2}]이므로 [eqn: rm E it (X)= rm E it (5Y-20)=5 rm E it (Y)-20]

[eqn: ``````````````````=5 TIMES 5-20=5]

[eqn: rm V it (X)= rm V it (5Y-20)=25 rm V it (Y)]

[eqn: ``````````````````=25 TIMES {5} over {2} = {125} over {2}]

동전 [eqn: 1]개를 던져서 앞면이 나오면 [eqn: 4]점을 얻고, 뒷면이 나오면 [eqn: 2]점을 잃는 게임을 하였다. 동전 [eqn: 1]개를 [eqn: 100]번 던진 후, 최종 점수가 [eqn: 190]점 이상이 될 확률을 구하시오.

[eqn: 0.0013]

동전 [eqn: 1]개를 [eqn: 100]번 던져서 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B it left(100,` {1} over {2} right)]을 따른다.

이때 [eqn: np GEQ 5,`nq GEQ 5]이므로 [eqn: n`]은 충분히 크고, [eqn: np=50], [eqn: npq=25]이므로 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N(50,`25)]를 따른다.

이때 뒷면이 나오는 횟수는 [eqn: 100-X]이므로 게임의 점수는

[eqn: 4X-2(100-X)=6X-200]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(6X-200 GEQ 190)]

[eqn: ={rmP} (X GEQ 65)={rmP} left(Z GEQ {65-50} over {5} right)]

[eqn: ={rmP}(Z GEQ 3)=0.0013]

정규분포 [eqn: rm N left(5,` {225} over {4} right)]를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 225]인 표본을 임의추출하였을 때, 표본평균을 [eqn: {bar{X}}]라고 하자. [eqn: rm P it ({bar{X} GEQ 6)]을 구하시오.

[eqn: 0.0228]

모집단의 확률분포가 정규분포 [eqn: rm N left(5,` {225} over {4} right)]일 때, 표본평균 [eqn: {bar{X}}]는 정규분포 [eqn: rm N left(5,` {1} over {4} right)]을 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}({bar{X}} GEQ 6)={rmP} left(Z GEQ {6-5} over {{1} over {2}} right)]

[eqn: = rm P it (Z GEQ 2)=0.0228]

정규분포 [eqn: rm N(17,`16)]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균을 [eqn: {bar{X}}]라고 하자. 다음을 만족시키는 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오.

[eqn: 385]

모집단의 확률분포가 정규분포 [eqn: rm N(17,`16)]일 때, 표본평균 [eqn: {bar{X}}]는 정규분포 [eqn: {rm N} left(17,` {16} over {n} right)]을 따른다.

[eqn: {rmP}(16.6 LEQ {bar{X}} LEQ 17.4) GEQ 0.95]에서

[eqn: {rmP}left( {16.6-17} over {{4} over {sqrt {n}}} LEQ Z LEQ {17.4-17} over {{4} over {sqrt {n}}} right) GEQ 0.95]

[eqn: {rmP} left(- {sqrt {n}} over {10} LEQ Z LEQ {sqrt {n}} over {10} right) GEQ 0.95]

즉, [eqn: 2 TIMES {rmP} left(0 LEQ Z LEQ {sqrt {n}} over {10} right) GEQ 0.95]이므로

[eqn: {RmP}left(0 LEQ Z LEQ {sqrt {n}} over {10} right) GEQ 0.475]

이때 [eqn: rm P it (0 LEQ Z LEQ 1.96) GEQ 0.475]이므로

[eqn: {sqrt {n}} over {10} GEQ 1.96]

즉, [eqn: sqrt {n} GEQ 19.6], [eqn: n GEQ 384.16]

따라서 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 385]이다.

[eqn: rm P it (16.6 LEQ {bar{X}} LEQ 17.4) GEQ 0.95]

정규분포 [eqn: rm N it (m,` sigma ^{2} )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n _{1}], [eqn: n _{2}]인 표본을 임의추출하여 신뢰도 [eqn: 95``%]로 추정한 모평균 [eqn: m]의 신뢰구간의 길이가 각각 [eqn: l`], [eqn: 2l]이라고 한다. [eqn: {n _{1}} over {n _{2}}]의 값을 구하시오.

[eqn: 4]

[eqn: l=2 TIMES 1.96 TIMES {sigma } over {sqrt {n _{1}}}], 즉  [eqn: l=3.92 {sigma } over {sqrt {n _{1}}}]

[eqn: 2l=2 TIMES 1.96 TIMES {sigma } over {sqrt {n _{2}}}], 즉  [eqn: l=1.96 {sigma } over {sqrt {n _{2}}}]

위의 두 식에서 [eqn: 3.92 {sigma } over {sqrt {n _{1}}} =1.96 {sigma } over {sqrt {n _{2}}}]이므로

[eqn: {sqrt {n _{1}}} over {sqrt {n _{2}}} =2], 즉  [eqn: {n _{1}} over {n _{2}} =4]

수학 익힘

이산확률변수 [eqn: X]의 확률분포표가 다음과 같고, [eqn: rm E it (X)= {9} over {4}]일 때, 상수 [eqn: a,`b`]의 값을 구하시오.

[eqn: a= {1} over {4} ,`b= {1} over {2}]

[eqn: a+b+ {1} over {4} =1]이므로  [eqn: a+b= {3} over {4}]	[eqn: CDOTS cdots] ①

[eqn: rm E it (X)= {9} over {4}] 이므로  [eqn: a+2b= {5} over {4}]	[eqn: CDOTS cdots] ②

①, ②에서 [eqn: a= {1} over {4} ,`b= {1} over {2}]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	합계
[eqn: rmP(it X=x)]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: 1 } over 4]	[eqn: 1]

이산확률변수 [eqn: rmX]에 대하여 [eqn: {rmE}(X)=9], [eqn: {rmV}(X)=16]일 때,

[eqn: a=3,`b=2]

[eqn: {RmE}(aX+b)=a{RmE}(X)+b]이므로

[eqn: 9a+b=29]	[eqn: CDOTS cdots] ①

[eqn: {RmV}(bX+a)=b ^{2} {RMV}(X)]이므로

[eqn: 16b ^{2} =64]	[eqn: CDOTS cdots] ②

①, ②에서  [eqn: a=3], [eqn: b=2]

[eqn: {rmE}(aX+b)=29], [eqn: {rmV}(bX+a)=64]

를 만족시키는 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오.

빨간 공 [eqn: 3]개와 파란 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 공 [eqn: 2]개를 동시에 꺼낼 때, 나오는 파란 공의 개수를 확률변수 [eqn: rmX]라고 하자. [eqn: 5X-1]의 평균을 구하시오.

[eqn: 3]

확률변수 [eqn: rmX]의 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: rmP(it X=x)]	[eqn: {3} over {10}]	[eqn: {3} over {5}]	[eqn: {1} over {10}]	[eqn: 1]

[eqn: {rmE}(X)= {4} over {5}] 이므로  [eqn: {RmE}(5X-1)=5{RmE}(X)-1=3]

준서의 자유투 성공률은 [eqn: 60``%]라고 한다. 준서가 체육 실기 시험에서 자유투를 [eqn: 10]번 했을 때, 성공한 횟수를 확률변수 [eqn: X]라고 하자. [eqn: X]의 평균과 분산을 구하시오

[eqn: {RmE}(X)=6], [eqn: {RmV}(X)=2.4]

이항분포 [eqn: {rmB}(n,`p)]를 따르는 확률변수 [eqn: X]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, 상수 [eqn: n,`p]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0<p<1])

[eqn: p= {2} over {3}], [eqn: n=10]

[eqn: {RmP}(X=1)= _{n} {rmC} _{1} p(1-p) ^{n-1} =np(1-p) ^{n-1}]

[eqn: rm P it (X=0)= _{n} rm C it rm _{0} itp(1-p) ^{n} =(1-p) ^{n}]

㈎에서 [eqn: np(1-p) ^{n-1} =20(1-p) ^{n}]이므로

[eqn: np=20(1-p)]

㈏에서 [eqn: np= {20} over {3}]이므로  [eqn: {20} over {3} =20(1-p)]

따라서  [eqn: p= {2} over {3}], [eqn: n=10]

㈎ [eqn: {rmP}(X=1)=20 TIMES {rmP}`(X=0)]

㈏ [eqn: {rmE}(X)= {20} over {3}]

이항분포 [eqn: {rmB}(n,`p)]를 따르는 확률변수 [eqn: rmX]에 대하여 [eqn: n]의 값이 일정할 때, [eqn: {rmV}(X)]가 최대가 되기 위한 [eqn: p]의 값을 구하시오.

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: {RmV}(X)=np(1-p)=-n(p- {1} over {2} ) ^{2} + {n} over {4}]

그런데 [eqn: 0 LEQ p LEQ 1]이므로 [eqn: {RmV}(X)]가 최대가 되기 위한 [eqn: p`]의 값은 [eqn: {1} over {2}]이다.

연속확률변수 [eqn: rmX]의 확률밀도함수가

[eqn: {1} over {4}]

[eqn: f(x)=kx`(1 LEQ x LEQ 3)]

일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

확률변수 [eqn: rmX]가 정규분포 [eqn: rm N(10,`4)]를 따를 때,

[eqn: 0.2417]

[eqn: rm P it (11 LEQ X LEQ 13)]을 구하시오.

확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N(30,`9)]를 따르고, 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: {rm N}(40,`a ^{2} )]을 따른다.

[eqn: 6]

[eqn: {rmP}(30-b LEQ X LEQ 30+b)={rmP}(- {b} over {3} LEQ Z LEQ {b} over {3} )],

[eqn: rm P it (38 LEQ Y LEQ 42)= rm P it left(- {2} over {a} LEQ Z LEQ {2} over {a} right)]이므로  [eqn: {b} over {3} = {2} over {a}]

따라서  [eqn: ab=6]

[eqn: rm P it (30-b LEQ X LEQ 30+b)={rmP}(38 LEQ Y LEQ 42)]

가 성립할 때, [eqn: ab]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 양수)

어느 휴게소에서 판매하는 호두과자 한 봉지의 무게는 평균이 [eqn: 300][eqn: g], 표준편차가 [eqn: 5][eqn: g]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 휴게소에서 판매하는 호두과자 한 봉지를 임의로 택하였을 때, 무게가 [eqn: 295][eqn: g] 이상 [eqn: 310][eqn: g] 이하일 확률은?

③

호두과자 한 봉지의 무게를 확률변수 [eqn: rmX]라고 하면 [eqn: rmX]는 정규분포

[eqn: rm N(300,`25)]를 따르므로 구하는 확률은

[eqn: {RmP}(295 LEQ X LEQ 310)={rmP}(-1 LEQ Z LEQ 2)=0.8185]

따라서 ③이다.

① [eqn: 0.6826]	② [eqn: 0.7745]	③ [eqn: 0.8185]

④ [eqn: 0.9107]	⑤ [eqn: 0.9544]

어느 지역에서 전국 체육 대회의 멀리뛰기 대표 선수로 하은이와 다은이 중에서 한 명을 선발하려고 한다. 하은이와 다은이의 멀리뛰기 기록은 각각 정규분포를 따르고, 두 선수의 평균과 표준편차는 다음 표와 같다.

다은이

하은이와 다은이의 멀리뛰기 기록을 각각 확률변수 [eqn: X,~Y]라고 하면 [eqn: X,~Y]는 각각 정규분포 [eqn: rm N(5.90,`0.01)], [eqn: rm N(5.85,`0.0225)]를 따른다.

[eqn: {rmP}(X GEQ 6.05)={rmP} left(Z GEQ {3} over {2} right)]이고,

[eqn: rm P it (X GEQ 6.05)= rm P it left(Z GEQ {4} over {3} right)]이므로

[eqn: {RmP}(X GEQ 6.05)<{RmP}(Y GEQ 6.05)]

따라서 다은이가 [eqn: 6.05][eqn: m] 이상 뛸 확률이 더 크므로 대표는 다은이이다.

	평균	표준편차
하은	[eqn: 5.90][eqn: m]	[eqn: 0.10][eqn: m]
다은	[eqn: 5.85][eqn: m]	[eqn: 0.15][eqn: m]

두 선수 중에서 [eqn: 6.05][eqn: m] 이상 뛸 확률이 더 큰 선수를 대표로 선발할 때, 대표는 누구인지 말하시오.

어느 제약 회사에서 개발한 신약을 환자에게 투여하였을 때, 환자가 치유될 확률이 [eqn: 0.9]라고 한다. 이 약을 환자 [eqn: 100]명에게 투여하였을 때, [eqn: 96]명 이상이 치유될 확률을 구하시오.

[eqn: 0.0228]

약을 환자 [eqn: 100]명에게 투여하였을 때, 치유될 환자 수를 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B it (100,`0.9)]를 따른다.

이때 [eqn: np GEQ 5,`nq GEQ 5]이므로 [eqn: n`]은 충분히 크고,

[eqn: np=90], [eqn: npq=9]이므로 [eqn: rmX]는 정규분포 [eqn: rm N(240,`144)]를 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(X GEQ 96)={RmP}(Z GEQ 2)=0.0228]

어

[eqn: z`]	[eqn: rm P it LEFT ( 0 LEQ Z leq z RIGHT )]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.20]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.35]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.43]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.48]

느 공장에서 생산된 물건 [eqn: 1]개의 무게는 평균이 [eqn: 700][eqn: g], 표준편차가 [eqn: 10][eqn: g]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 물건 [eqn: 600]개를 생산하였을 때, [eqn: 695][eqn: g] 이상 [eqn: 705][eqn: g] 이하인 물건이 [eqn: 252]개 이상 [eqn: 258]개 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하시오.

[eqn: 0.08]

물건 [eqn: 1]개의 무게를 확률변수 [eqn: X]라 하고, [eqn: 695][eqn: g] 이상 [eqn: 705][eqn: g] 이하인

물건의 개수를 확률변수 [eqn: Y]라고 하자.

[eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N(700,`100)]을 따르므로

[eqn: {RmP}(695 LEQ X LEQ 705)={rmP}(-0.5 LEQ Z LEQ 0.5)=0.40]

따라서 [eqn: Y]는 이항분포 [eqn: rm B it (600,`0.4)]를 따른다.

이때 [eqn: np GEQ 5,`nq GEQ 5]이므로 [eqn: n`]은 충분히 크고,

[eqn: np=240], [eqn: npq=144]이므로 [eqn: rmX]는 정규분포 [eqn: rm N(240,`144)]를 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P it (252 LEQ X LEQ 258)= rm P it (1 LEQ Z LEQ 1.5)=0.08]

모평균이 [eqn: 71]이고, 모표준편차가 [eqn: 8]인 모집단에서 크기가 [eqn: 64]인 표본을 임의추출하였을 때, 표본평균을 [eqn: {bar{X}}]라고 하자. [eqn: {bar{X}}]의 평균과 분산을 구하시오.

[eqn: rm E it ( {bar{X}} )=71], [eqn: rm V it ( {bar{X}} )=1]

정규분포 [eqn: {rmN}(m,` sigma ^{2} )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을

⑤

[eqn: rm E it ( {bar{X}} )=m], [eqn: rm V it ( {bar{X}} )= {sigma ^{2}} over {n}], [eqn: sigma ({bar{X}})= {sigma } over {sqrt {n}}]이므로 [eqn: n]에 관계없이 [eqn: rm E it ( {bar{X}} )]는 일정하고, [eqn: n]이 커질수록 [eqn: ` rm V it ( {bar{X}} )], [eqn: sigma ( {bar{X}} )]는 작아진다.

따라서 옳은 것은 ⑤이다.

임의추출할 때, 표본평균을 [eqn: {bar{X}}]라고 하자. 다음 중 옳은 것은?

① [eqn: n]이 커질수록 [eqn: rm E it ( {bar{X}} )]는 커진다.

② [eqn: n]이 커질수록 [eqn: rm E it ( {bar{X}} )]는 작아진다.

③ [eqn: n]이 커질수록 [eqn: ` rm V it ( {bar{X}} )]는 커진다.

④ [eqn: n]에 관계없이 [eqn: ` rm V it ( {bar{X}} )]는 일정하다.

⑤ [eqn: n]이 커질수록 [eqn: sigma ({bar{X}})]는 작아진다.

정규분포 [eqn: rm N left(9,` {27} over {4} right)]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 48]인 표본을

[eqn: 0.0228]

표본평균 [eqn: {bar{X}}]는 정규분포 [eqn: rm N it left(9,` {9} over {64} right)]를 따르므로

[eqn: {rmP}(X GEQ 96)={RmP}(Z GEQ 2)=0.0228]

임의추출하였을 때, 표본평균을 [eqn: {bar{X}}]라고 하자. [eqn: rm P it ({bar{X} LEQ 8.25)]를

구하시오.

정규분포 [eqn: rm N(10,`4)]를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 임의추출하였을 때, 그 표본의 값의 합을 확률변수 [eqn: rmS]라고 하자. [eqn: {RmP}(S GEQ 48)]을 구하시오

[eqn: 0.0228]

표본 [eqn: 4]개를 각각 [eqn: X _{1}], [eqn: X _{2}], [eqn: X _{3}], [eqn: X _{4}]라고 하면 표본평균

[eqn: {bar{X}}]는  [eqn: {bar{X}} = {X _{1} +X _{2} +X _{3} +X _{4}} over {4}]

[eqn: S=X _{1} +X _{2} +X _{3} +X _{4}]이므로  [eqn: S=4{bar{X}}]

모집단의 확률분포가 정규분포 [eqn: rm N it (10,`4)]일 때, 표본평균 [eqn: {bar{X}}]는 정규분포 [eqn: rm N it (10,`1)]을 따른다.

따라서

[eqn: rm P it (S GEQ 48)= rm P it (4 {bar{X}} geq48)={RmP}({bar{X}} GEQ 12)]

[eqn: ={rmP}(Z GEQ 2)=0.0228]

어느 제지 회사에서 생산된 두루마리 휴지 [eqn: 1]개의 길이는 모표준편차가 [eqn: 2][eqn: m]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산된 두루마리 휴지 [eqn: 64]개를 임의추출하여 측정한 길이의 평균은 [eqn: 50][eqn: m]이었다. 이 회사에서 생산된 두루마리 휴지 [eqn: 1]개의 길이의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95``%]의 신뢰구간은?

④

[eqn: n=64], [eqn: {bar{x}} =50], [eqn: sigma=2]이므로 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95``%]의 신뢰구간

[eqn: 50-1.96 {2} over {sqrt {64}} LEQ m LEQ 50+1.96 {2} over {sqrt {64}}]

따라서 [eqn: 49.51 LEQ m LEQ 50.49] (단위: [eqn: rmm])이므로 ④이다.

① [eqn: 48.1 LEQ m LEQ 51.9] (단위: [eqn: m])

② [eqn: 48.51 LEQ m LEQ 51.49] (단위: [eqn: m])

③ [eqn: 49.1 LEQ m LEQ 50.9] (단위: [eqn: m])

④ [eqn: 49.51 LEQ m LEQ 50.49] (단위: [eqn: m])

⑤ [eqn: 49.9 LEQ m LEQ 50.1] (단위: [eqn: m])

어느 고등학교 학생들의 주말 동안의 스마트폰 사용 시간은 모표준편차가 [eqn: 25]분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 학교 학생 중에서 [eqn: 100]명을 임의추출하여 주말 동안의 스마트폰 사용 시간을 조사하였더니 평균이 [eqn: 100]분이었다. 이 학교 학생들의 주말 동안의 스마트폰 사용 시간의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99``%]의 신뢰구간을 구하시오.

[eqn: 93.55 LEQ m LEQ 106.45]

[eqn: n=100], [eqn: {bar{x}} =100], [eqn: sigma =25]이므로 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99``%]의 신뢰구간은  [eqn: 100-2.58 {25} over {sqrt {100}} LEQ m LEQ 100+2.58 {25} over {sqrt {100}}]

따라서  [eqn: 93.55 LEQ m LEQ 106.45] (단위: 분)

어느 공장에서 생산된 초콜릿 [eqn: 1]개의 열량은 모표준편차가

[eqn: 400]

[eqn: {bar{x}} =290], [eqn: sigma =10]이므로 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95``%]의 신뢰구간은

[eqn: 290-1.96 {10} over {sqrt {n}} LEQ m LEQ 290+1.96 {10} over {sqrt {n}}]

따라서 [eqn: {19.6} over {sqrt {n}} =0.98]이므로  [eqn: n=400]

[eqn: 10`][eqn: kcal]l인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산된 초콜릿

[eqn: n]개를 임의추출하여 열량을 측정하였더니 평균이 [eqn: 290][eqn: kcal]이었다.

이 공장에서 생산된 초콜릿 [eqn: 1]개의 평균 열량 [eqn: m]에 대한 신뢰도

[eqn: 95``%]의 신뢰구간이 [eqn: 289.02 LEQ m LEQ 290.98] (단위: [eqn: kcal])일 때,

[eqn: n]의 값을 구하시오.

모표준편차가 [eqn: 50]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95``%]의 신뢰구간의 길이를 [eqn: f(n)]이라고 하자.

[eqn: 196]

[eqn: f(n)=2times1.96times {50} over {sqrt {n}} = {196} over {sqrt {n}}]이므로

[eqn: LEFT { f(n) RIGHT } 2+f(n ^{2} )=197]에서  [eqn: {196 ^{2}} over {n} + {196} over {n} =197]

따라서  [eqn: n=196]

[eqn: LEFT { f(n) RIGHT } ^{2} +f(n ^{2} )=197]을 만족시키는 [eqn: n]의 값을 구하시오.

정규분포 [eqn: {rmN}(m,` sigma ^{2} )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 모평균 [eqn: m]을 추정하려고 한다. 신뢰도 [eqn: 95``%]로 추정할 때의 신뢰구간의 길이가 [eqn: l], 신뢰도 [eqn: alpha``%]로 추정할 때의 신뢰구간의 길이가 [eqn: {5} over {7} l]일 때, 상수 [eqn: alpha]의 값을 구하시오.

[eqn: 84]

확률변수 [eqn: rmZ]가 표준정규분포 [eqn: rm N(0,`1)]을 따를 때,

[eqn: {rmP}( LEFT | Z RIGHT | LEQ c)= {alpha} over {100}]를 만족시키는 양수 [eqn: c]에 대하여 모평균 [eqn: m]에 대한

신뢰도 [eqn: alpha``%]와 신뢰도 [eqn: 95``%]의 신뢰구간의 길이는 각각

[eqn: {5} over {7} l=2 TIMES `c TIMES {sigma } over {sqrt {n}}]	[eqn: CDOTS cdots] ①

[eqn: l=2times`1.96times {sigma} over {sqrt {n}} =3.92times {sigma} over {sqrt {`n}}]  [eqn: CDOTS cdots] ②

①, ②에서  [eqn: c=1.4]

이때 [eqn: {rmP}( LEFT | Z RIGHT | LEQ 1.4)=0.84]이므로  [eqn: alpha=84]

(단, [eqn: {rmP}(|`Z`| LEQ 1.4)=0.84], [eqn: {rmP}(|`Z`| LEQ 1.96)=0.95]로 계산한다.)

정답 및 풀이