AM	[ 확률과 통계(고2) ]	B-1 1. 경우의 수

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순열과 조합

여러 가지 순열

네 명의 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]가 원탁에 둘러앉아 회의를 하려고 한다.

같다.

위치를 생각하지 않고 순서만 생각할 때, 네 명이 다음과 같이 원탁에 둘러앉는 경우는 같은 것이라고 할 수 있는지 말해 보자.

회장과 부회장을 포함한 [eqn: 5]명의 회원이 원탁에 둘러앉을 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 24]	⑵ [eqn: 12]

⑴ [eqn: 5]명이 앉는 경우의 수는 원순열의 수이므로

[eqn: (5-1)! =4! =24]

⑵ 회장과 부회장을 한 사람으로 생각하면 모두 [eqn: 4]명이고, 이들이 앉는 원순열의 수는
[eqn: (4-1)! =3! =6]
이때 각 경우에 대하여 회장과 부회장이 자리를 바꾸는 경우의 수는
[eqn: 2! =2]
따라서 구하는 경우의 수는
[eqn: 6 times 2=12]

⑴ [eqn: 5]명이 앉는 경우의 수

⑵ 회장과 부회장이 서로 이웃하게 앉는 경우의 수

할머니와 할아버지를 포함한 [eqn: 6]명의 가족이 원형 식탁에 둘러앉아 식사를 할 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 120]	⑵ [eqn: 24]

⑴ [eqn: 6]명이 앉는 경우의 수

⑵ 할머니와 할아버지가 서로 마주 보고 앉는 경우의 수

오른쪽 그림과 같이 정팔각형 모양의 구절판에 서로 다른 [eqn: 9]가지의 간식을 구분하여 담는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[eqn: 45360]

세 자리 비밀번호를 설정할 수 있는 여행용 가방이 있다. [eqn: 0]부터 [eqn: 9]까지의 숫자 중에서 중복을 허용하여 각 자리에 올 수 있는 숫자를 하나씩 골라 비밀번호를 만들려고 한다.

[eqn: 1000]

만들 수 있는 비밀번호의 가짓수를 구해 보자.

세 개의 문자 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z] 중에서 [eqn: 5]개를 택하는 중복순열의 수를 구하시오.

[eqn: 243]

네 개의 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3] 중에서 중복을 허용하여 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수를 구하시오.

[eqn: 192]

천의 자리에는 [eqn: 0]을 제외한 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이 올 수 있으므로 그 경우의 수는 [eqn: 3]이다.

또, 각 경우에 대하여 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리에는 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이 모두 올 수 있으므로 그 경우의 수는    [eqn: `_4 ∏ _3 =4^3 =64]

따라서 구하는 네 자리 자연수의 개수는    [eqn: 3 times 64=192]

여섯 개의 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e], [eqn: f] 중에서 [eqn: 3]개를 택하는 중복순열 중에서 자음으로 시작하는 것의 개수를 구하시오.

[eqn: 144]

모스 부호는 점()과 선()을 적절히 배합하여 문자와 기호를 나타내는 전신 부호이다. 예를 들어  [eqn: 1]개와  [eqn: 2]개를 전부 나열하여 만들 수 있는 모스 부호는 오른쪽과 같이 [eqn: 3]가지가 있다.

[eqn: 6]

[eqn: 2]개와  [eqn: 2]개를 전부 나열하여 만들 수 있는 모스 부호의 가짓수를 구해 보자.

영어 단어 [eqn: rmbanana]에 있는 [eqn: 6]개의 문자를 일렬로 나열할 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 60]	⑵ [eqn: 4]

⑴ 모든 문자를 나열하는 경우의 수

⑵ [eqn: rmn]이 양 끝에 오도록 나열하는 경우의 수

오른쪽 그림과 같은 도로망이 있다. [eqn: rmA] 지점에서 [eqn: rmB] 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 15]

오른쪽으로 한 칸 가는 것을 [eqn: a], 위쪽으로 한 칸 가는 것을 [eqn: b]로 나타내면 [eqn: rmA] 지점에서 [eqn: rmB] 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 [eqn: 4]개의 [eqn: a]와 [eqn: 2]개의 [eqn: b]를 일렬로 나열하는 순열의 수와 같다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 6! over{4! times 2! } =15]

집에서 도서관까지 가는 도로망이 오른쪽 그림과 같을 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 126]	⑵ [eqn: 60]

⑴ 집에서 도서관까지 최단 거리로 가는 경우의 수

⑵ 집에서 우체국을 거쳐 도서관까지 최단 거리로 가는 경우의 수

[생각 넓히기]

서로 다른 종류의 빵 [eqn: 10]개와 서로 다른 모양의 바구니 [eqn: 3]개가 있다. 이 [eqn: 10]개의 빵 중에서 [eqn: 5]개를 택하여 바구니에 나누어 담는 경우의 수를 구하려고 한다.

[eqn: 252]	[eqn: 343]
[eqn: 61236]

[eqn: 10]개의 빵 중에서 [eqn: 5]개를 택하는 경우의 수는
[eqn: `_10{rmC}_5 ={10 times 9 times 8 times 7 times 6} over{5 times 4 times 3 times 2 times 1} =252]

에서 택한 [eqn: 5]개의 빵을 바구니에 나누어 담는 경우의 수는
[eqn: `_3 ∏_5 =3^5 =243]

, 에서 구하는 경우의 수는
[eqn: `_10{rmC}_5 times `_3 ∏_5 =252 times 243=61236]

(단, 바구니를 모두 사용하지 않아도 된다.)

[eqn: 10]개의 빵 중에서 [eqn: 5]개를 택하는 경우의 수를 구해 보자.

에서 택한 [eqn: 5]개의 빵을 바구니에 나누어 담는 경우의 수를 구해 보자.

과 의 결과를 이용하여 [eqn: 10]개의 빵 중에서 [eqn: 5]개를 택하여 바구니에 나누어 담는 경우의 수를 구해 보자.

	갈릴레이의 주사위

이탈리아의 수학자이자 천문학자인 갈릴레이(Galilei, G., 1564~1642)는 친구들로부터 다음과 같은 질문을 받았다.

[eqn: 3]개의 주사위를 동시에 던질 때 나오는 눈의 수의 합이 [eqn: 9]인 경우와 [eqn: 10]인 경우는 [eqn: 6]가지로 서로 같은데도 불구하고, 실제로는 눈의 수의 합이 [eqn: 10]인 경우가 더 많은 이유는 무엇인가?

갈릴레이는 이 질문을 해결하기 위해 [eqn: 3]개의 주사위를 빨간색, 파란색, 초록색으로 구별하여 다음과 같이 계산했다고 한다.

➊ 눈의 수의 합이 [eqn: 9]인 경우는 다음의 [eqn: 6]가지가 생긴다.

([eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 6]),  ([eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5]),  ([eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 4]),

([eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 5]),  ([eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]),  ([eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3])

(ⅰ)  ([eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 6]), ([eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5]), ([eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4])는 눈의 수가 모두 다르다. 이때 각각의 경우의 수는 [eqn: 3! =6]이므로, 눈의 수가 모두 다른 경우의 수는 [eqn: 3 times 6=18]이다.

(ⅱ)  ([eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 4])와 ([eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 5])는 [eqn: 2]개의 눈의 수가 같다. 이때 각각의 경우의 수는 [eqn: 3! over {2! times 1!} =3]이므로, [eqn: 2]개의 눈의 수가 같은 경우의 수는 [eqn: 2 times 3=6]이다.

(ⅲ) ([eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3])이 나오는 경우의 수는 [eqn: 1]이다.

(ⅰ)[eqn: sim](ⅲ)에서 눈의 수의 합이 [eqn: 9]인 경우의 수는 [eqn: 18+6+1=25]임을 알 수 있다.

➋ 눈의 수의 합이 [eqn: 10]인 경우는 다음의 [eqn: 6]가지가 생긴다.

([eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 6]),  ([eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 5]),  ([eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 6]),

([eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5]),  ([eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 4]),  ([eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 4])

이 [eqn: 6]가지 경우에 대하여 ➊에서와 같은 방법으로 전체 경우의 수를 구하면 [eqn: 18+9=27]임을 알 수 있다.

이와 같은 계산을 통해 갈릴레이는 눈의 수의 합이 [eqn: 10]인 경우가 [eqn: 9]인 경우보다 더 많은 이유를 설명할 수 있었다고 한다.

(출처 : Gnedenko, B. V., □Theory of Probability and

Statistics and Their Applications before 1750□)

중복조합

[eqn: rmA B O]식 혈액형은 [eqn: 3]개의 유전자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmO] 중에서 두 유전자의 조합으로 결정되는 데, 이들을 유전형이라고 한다.
예를 들어 유전형 [eqn: rmAA]는 [eqn: rmA]와 [eqn: rmA]의 결합이고, 유전형 [eqn: rmAO]는 [eqn: rmA]와 [eqn: rmO] 또는 [eqn: rmO]와 [eqn: rmA]의 결합이다.

	[eqn: rmA]	[eqn: rmB]	[eqn: rmO]
[eqn: rmA]	[eqn: rmAA]	[eqn: rmAB]	[eqn: rmAO]
[eqn: rmB]	[eqn: rmAB]	[eqn: rmBB]	[eqn: rmBO]
[eqn: rmO]	[eqn: rmAO]	[eqn: rmBO]	[eqn: rmOO]

[eqn: rmAA], [eqn: rmAB], [eqn: rmAO], [eqn: rmBB], [eqn: rmBO], [eqn: rmOO]

➊ [eqn: 3]개의 유전자 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmO] 중에서 두 유전자의 조합으로 만들어지는 유전형을 모두 나열하여 다음 표를 완성해 보자.

	[eqn: rmA]	[eqn: rmB]	[eqn: rmO]
[eqn: rmA]	[eqn: rmAA]
[eqn: rmB]
[eqn: rmO]

➋ ➊의 결과를 이용하여 [eqn: 3]개의 유전자로 만들어지는 유전형을 모두 말해 보자.

다음 표는 [eqn: 3]개의 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 중에서 중복을 허용하여 [eqn: 4]개를 택하는 모든 경우를 나열하고, 각 경우를 그림으로 나타낸 것이다.

[eqn: {( BOX{```4```} +2)!} over {BOX{```4```} `! TIMES 2!} = {BOX{```6```} `!} over {BOX{```4```} `! TIMES 2!} = BOX{`15`}]

이때 는 [eqn: 3]개의 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]를 나타내고, 는 서로 다른 문자사이의 경계를 나타낸다.

[eqn: aaaa]	[eqn: aaab]	[eqn: aaac]	[eqn: aabb]	[eqn: aabc]

[eqn: aacc]	[eqn: abbb]	[eqn: abbc]	[eqn: abcc]	[eqn: accc]

[eqn: bbbb]	[eqn: bbbc]	[eqn: bbcc]	[eqn: bccc]	[eqn: cccc]

와 를 이용하여 위의 표를 완성해 보자.

의 결과를 이용하여 다음 □ 안에 알맞은 수를 써넣어 보자.

[eqn: 3]개의 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 중에서 [eqn: 4]개를 택하는 중복조합의 수는 [eqn: 4]개의 와 [eqn: 2]개의 를 일렬로 나열하는 같은 것이 있는 순열의 수와 같다.

따라서 구하는 중복조합의 수는

[eqn: (][eqn: +2)!]

[eqn: ! times 2!]

[eqn: =]

[eqn: !]

[eqn: ! times 2!]

[eqn: =]

이다.

다음 값을 구하시오.

⑴ [eqn: 56]	⑵ [eqn: 120]
⑶ [eqn: 1]

⑴ [eqn: `_6{rmH}_3]	⑵ [eqn: `_4{rmH}_7]

⑶ [eqn: `_5 {rmH}_0]

바닐라 맛 아이스크림, 초콜릿 맛 아이스크림, 딸기 맛 아이스크림 중에서 중복을 허용하여 [eqn: 5]개를 주문하는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 21]

다항식 [eqn: (x+y+z)^4]을 전개할 때 생기는 서로 다른 항의 개수를 구하시오.

[eqn: 15]

주어진 다항식은

[eqn: (x+y+z)^4 =(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)]

이므로, [eqn: 3]개의 문자 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z] 중에서 중복을 허용하여 [eqn: 4]개를 택하여 곱하면 주어진

다항식을 전개할 때 생기는 항이 하나씩 만들어진다.

따라서 [eqn: (x+y+z)^4]을 전개할 때 생기는 서로 다른 항의 개수는 [eqn: 3]개의 문자 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]중에서 [eqn: 4]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: `_3 {rmH}_4 =_3+4-1 {rmC}_4 =_6{rmC}_4 =_6{rmC}_2 = {6 times 5} over {2 times 1} =15]

다음 식을 전개할 때 생기는 서로 다른 항의 개수를 구하시오.

⑴ [eqn: 20]	⑵ [eqn: 24]

⑴ [eqn: (a+b+c+d)^3]

⑵ [eqn: (a+b)^3 (x+y+z)^2]

방정식 [eqn: x+y+z=6]에 대하여 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 28]	⑵ [eqn: 10]

⑴  음이 아닌 정수인 해 중에서 [eqn: x=6], [eqn: y=0], [eqn: z=0]을 [eqn: xxxxxx]와 같이 나타내고, [eqn: x=1], [eqn: y=3], [eqn: z=2]를 [eqn: xyyyzz]와 같이 나타내기로 하면, 음이 아닌 정수인 해의 개수는 [eqn: 3]개의 문자 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z] 중에서 [eqn: 6]개를 택하는 중복조합의 수와 같음을 알 수 있다.
따라서 구하는 해의 개수는
[eqn: `_3{rmH}_6 =_3+6-1{rmC}_6 =_8{rmC}_6 =_8{rmC}_2 =28]

⑵  [eqn: x=1+a], [eqn: y=1+b], [eqn: z=1+c]로 놓으면 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 모두 음이 아닌 정수이고, 주어진 방정식은
[eqn: a+b+c=3]
따라서 구하는 해의 개수는 [eqn: a+b+c=3]에서 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 모두 음이 아닌 정수인 해의 개수와 같으므로 ⑴에서와 같은 방법에 의하여
[eqn: `_3{rmH}_3 =_3+3-1{rmC}_3 =_5{rmC}_3 =_5 {rmC}_2 =10]

⑴ [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]가 모두 음이 아닌 정수인 해의 개수

⑵ [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]가 모두 자연수인 해의 개수

방정식 [eqn: x+y+z=8]에 대하여 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 45]	⑵ [eqn: 21]

⑴ [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]가 모두 음이 아닌 정수인 해의 개수

⑵ [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]가 모두 자연수인 해의 개수

[생각 넓히기]

회원이 [eqn: 10]명인 어느 동아리에서 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] 세 곳 중 한 곳으로 수련회를 가기로 하고, 오른쪽 그림과 같은 투표용지에 각자 가고 싶은 곳을 무기명으로 기표하기로 했다. (단, 기권 또는 무효표는 없다.)

[eqn: 66]	[eqn: 66]
같다.

각 회원이 [eqn: 1]곳에만 기표할 때, 나올 수 있는 경우의 수를 구해 보자.

각 회원이 [eqn: 2]곳에 기표할 때, 나올 수 있는 경우의 수를 구해 보자.

과 의 결과를 비교해 보자.

	경우의 수를 구하는 방법
	문제 해결 | 창의 · 융합

똑같은 공 [eqn: 5]개를 상자 [eqn: 3]개에 모두 나누어 담는 경우의 수를 구할 때, 다음과 같이 상황에 따라 다른 방법을 적용해야 한다.

❶ 똑같은 상자 [eqn: 3]개를 모두 사용하는 경우

모든 상자에 각각 공을 하나씩 넣은 후에 남은 공 [eqn: 2]개를 똑같은 상자 [eqn: 3]개에 모두 나누어 담는 경우의 수와 같으므로, 가능한 방법은 다음의 [eqn: 2]가지이다.

([eqn: 1]개, [eqn: 1]개, [eqn: 3]개) 또는 ([eqn: 1]개, [eqn: 2]개, [eqn: 2]개)

❷ 똑같은 상자 [eqn: 3]개 중에서 일부만 사용해도 되는 경우

사용하는 상자가 [eqn: 1]개, [eqn: 2]개, [eqn: 3]개인 경우에 따라 나누어 담는 방법을 구하면, 가능한 방법은 다음의 [eqn: 5]가지이다.

(ⅰ) 상자 [eqn: 1]개 사용 ➡ ([eqn: 0]개, [eqn: 0]개, [eqn: 5]개)

(ⅱ) 상자 [eqn: 2]개 사용 ➡ ([eqn: 0]개, [eqn: 1]개, [eqn: 4]개), ([eqn: 0]개, [eqn: 2]개, [eqn: 3]개)

(ⅲ) 상자 [eqn: 3]개 사용 ➡ ([eqn: 1]개, [eqn: 1]개, [eqn: 3]개), ([eqn: 1]개, [eqn: 2]개, [eqn: 2]개)

❸ 서로 다른 상자 [eqn: 3]개를 모두 사용하는 경우

모든 상자에 각각 공을 하나씩 넣은 후에 남은 공 [eqn: 2]개를 서로 다른 상자 [eqn: 3]개에 모두 나누어 담는 경우의 수와 같으므로, 가능한 방법은 다음의 [eqn: 6]가지이다.

[eqn: `_3{rmH}_2 =_3+2-1 {rmC}_2 =_4 {rmC}_2 =6]

❹ 서로 다른 상자 [eqn: 3]개 중에서 일부만 사용해도 되는 경우

공 [eqn: 5]개를 서로 다른 [eqn: 3]개의 상자에 모두 나누어 담는 경우의 수와 같으므로, 가능한 방법은 다음의 [eqn: 21]가지이다.

[eqn: `_3{rmH}_5 =_3+5-1 {rmC}_5 =_7{rmC}_5 =_7 {rmC}_2 =21]

다음 각 경우에 똑같은 공 [eqn: 5]개를 똑같은 상자 [eqn: 2]개와 다른 상자 [eqn: 1]개에 모두 나누어 담는 방법이 몇 가지인지 구해 보자.

⑴ [eqn: 4]가지	⑵ [eqn: 12]가지

똑같은 상자 [eqn: 2]개를 [eqn: rmA], [eqn: rmA]라 하고 다른 상자 [eqn: 1]개를 [eqn: rmB]라 할 때, [eqn: rmA], [eqn: rmA], [eqn: rmB]에 담는 공의 개수가 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]인 것을

[eqn: (p,~ q,~ r)]

로 나타내기로 하면 가능한 방법은 다음과 같다.

⑴ 상자 [eqn: 3]개를 모두 사용하는 경우

[eqn: (1,~ 1,~ 3)], [eqn: (2,~ 1,~ 2)], [eqn: (2,~ 2,~ 1)], [eqn: (3,~ 1,~ 1)]

따라서 가능한 방법은  이다.

⑵ 상자를 일부만 사용하는 경우

[eqn: (0,~ 0,~ 5)], [eqn: (1,~ 0,~ 4)], [eqn: (1,~ 1,~ 3)], [eqn: (2,~ 0,~ 3)],

[eqn: (2,~ 1,~ 2)], [eqn: (3,~ 0,~ 2)], [eqn: (2,~ 2,~ 1)], [eqn: (3,~ 1,~ 1)],

[eqn: (4,~ 0,~ 1)], [eqn: (3,~ 2,~ 0)], [eqn: (4,~ 1,~ 0)], [eqn: (5,~ 0,~ 0)]

따라서 가능한 방법은 [eqn: 12]가지이다.

⑴ 상자 [eqn: 3]개를 모두 사용하는 경우

⑵ 상자를 일부만 사용해도 되는 경우

중단원 마무리하기

정팔각형 모양의 탁자에 [eqn: 8]명이 둘러앉는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[eqn: 5040]

다섯 개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5] 중에서 중복을 허용하여 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수를 구하시오.

[eqn: 125]

여섯 개의 문자 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: c]를 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 60]

다음 값을 구하시오.

⑴ [eqn: 16]	⑵ [eqn: 6]

⑴ [eqn: `_4 ∏_2]	⑵ [eqn: `_2 rmH _5]

식당에서 후식으로 떡, 과일, 음료수 중에서 중복을 허용하여 [eqn: 2]개를 고르는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 6]

오른쪽 그림과 같이 합동인 정육각형 [eqn: 7]개를 붙여 만든 도형의 각 면에 다른 색이 오도록 [eqn: 7]가지 색으로 구분하여 칠하는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[eqn: 840]

[eqn: 6]명의 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE], [eqn: rmF]가 부채춤을 추기 위하여 원형으로 둘러설 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 120]	⑵ [eqn: 48]

⑴ [eqn: 6]명이 서는 경우의 수

⑵ [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 서로 이웃하게 서는 경우의 수

[eqn: 4]명의 학생이 방과후 체육 활동으로 농구, 야구, 축구 중에서 한 가지를 택하는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 81]

여섯 개의 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2]를 모두 사용하여 만들 수 있는 여섯 자리 자연수의 개수를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[eqn: 50]

[eqn: 0]이 맨 앞에 나오는 경우는 없으므로 여섯 개의 숫자를 일렬로 나열하는 경우의 수에서 [eqn: 0]이 맨 앞에 나오는 경우의 수를 빼면 된다.	[eqn: 30 %]

여섯 개의 숫자를 일렬로 나열하는 경우의 수는

[eqn: 6! over {1! times 3! times 2!} =60]	[eqn: 30 %]

[eqn: 0]을 맨 앞에 고정하고 나머지 다섯 개의 숫자를 일렬로 나열하는 경우의 수는

[eqn: 5! over{3! times 2!} =10]	[eqn: 30 %]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 60-10=50]	[eqn: 10 %]

영어 단어 [eqn: rms uccess]에 있는 [eqn: 7]개의 문자를 일렬로 나열할 때, 모음이 서로 이웃하게 오도록 나열하는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 120]

다음 등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n] 또는 [eqn: r]의 값을 구하시오.

⑴ [eqn: 2]	⑵ [eqn: 4]

⑴ [eqn: `_n rm∏_3 =8]	⑵ [eqn: `_3 {rmH}_r =15]

[eqn: 3]개의 문자 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]를 이용하여 만들 수 있는 단항식 중 서로 다른 오차식의 개수를 구하시오.

[eqn: 21]

다섯 개의 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중에서 중복을 허용하여 만든 자연수를 크기가 작은 것부터 차례대로 나열할 때, [eqn: 2000]은 몇 번째 수인지 구하시오.

[eqn: 250]번째 수

한 자리 자연수의 개수는

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]의 [eqn: 4]

두 자리 자연수의 개수는

[eqn: 4 times _5 ∏_1 =20]

세 자리 자연수의 개수는

[eqn: 4 times `_5 ∏ _2 =100]

이므로 세 자리 이하의 자연수의 개수는

[eqn: 4+20+100=124]

천의 자리 숫자가 [eqn: 1]인 네 자리 자연수의 개수는

[eqn: `_5 ∏_3 =125]

따라서 세 자리 이하의 자연수와 천의 자리 숫자가 [eqn: 1]인 네 자리 자연수의 개수는

[eqn: 124+125=249]

이므로 [eqn: 2000]은 [eqn: 250]번째 수이다.

다섯 명의 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE]의 학교 급식 만족도를 조사하려고 한다. 만족은 ○, 보통은 △, 불만족은 [eqn: times]로 나타낼 때, 다음을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. (단, 기권이나 무효는 없다.)

⑴  [eqn: 243]	⑵ [eqn: 80]

⑴  ○, △, × [eqn: 3]개 중에서 중복을 허용하여 [eqn: 5]개를 택하여 일렬로 나열하는 경우의 수는
[eqn: `_3 ∏_5 =3^5 =243]	[eqn: 30 %]

⑵  [eqn: 5]명의 학생 중에서 [eqn: 2]명이 ○를 택하는 경우의 수는
[eqn: `_5 {rmC}_2 ={ 5 times 4} over {2 times 1} =10]	[eqn: 30 %]
그 각각에 대하여 ×, △ [eqn: 2]개 중에서 중복을 허용하여 나머지 [eqn: 3]명의 학생이 택하는 경우의 수는

[eqn: `_2 ∏_3 =2^3 =8]	[eqn: 30 %]
따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 10 times 8=80]	[eqn: 10 %]

⑴ 나오는 모든 경우의 수

⑵ ○가 두 번 나오는 경우의 수

집합 [eqn: X= LEFT { 1,~2,~3 RIGHT }]에서 [eqn: Y= LEFT { 3,~4,~5,~6,~7 RIGHT }]로의 함수

[eqn: 75]

[eqn: f (1) le f (2)]를 만족시키는 함수 [eqn: f]에 대하여 [eqn: f (3)]을 택하는 경우의 수는 [eqn: 5]이다.

이 각각에 대하여 공역 [eqn: Y]의 [eqn: 5]개의 원소 중에서 중복을 허용하여 [eqn: 2]개를 택하고, 크기 순서대로 [eqn: f (1)], [eqn: f (2)]를 정하면 되므로 그 경우의 수는

[eqn: `_5{rmH}_2][eqn: = _5+2-1 {rmC}_2 = _6{rmC}_2]
[eqn: = {6 times 5} over {2 times 1} =15]

따라서 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 5 times 15=75]

[eqn: f : X] → [eqn: Y] 중에서 [eqn: f(1) le f(2)]를 만족시키는 [eqn: f]의 개수를 구하시오.

이항정리

다항식 [eqn: (a+b)^3]을 전개할 때 생기는 항은 다음과 같다.

풀이 참고

[eqn: (a+b)^3 =a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3]이고

[eqn: `_3{rmC}_0 =`_3{rmC}_3 =1], [eqn: `_3{rmC}_1 =`_3{rmC}_2 =3]이므로 [eqn: a^3], [eqn: a^2 b], [eqn: ab^2], [eqn: b^3]의 계수와 [eqn: `_3{rmC}_0], [eqn: `_3{rmC}_1], [eqn: `_3{rmC}_2], [eqn: `_3{rmC}_3]은 각각 서로 같다.

다항식 [eqn: (a+b)^3]의 전개식에서 [eqn: a^3], [eqn: a^2 b], [eqn: ab^2], [eqn: b^3]의 계수와 [eqn: `_3{rmC}_0], [eqn: `_3{rmC}_1], [eqn: `_3{rmC}_2], [eqn: `_3{rmC}_3]을 각각 비교해 보자.

[eqn: (a+b)^6]의 전개식에서 다음 항의 계수를 구하시오.

⑴ [eqn: 15]	⑵ [eqn: 6]

⑴ [eqn: a^2 b^4]	⑵ [eqn: ab^5]

이항정리를 이용하여 [eqn: (x-2)^4]을 전개하시오.

[eqn: x^4 -8x^3 +24x^2 -32x+16]

[eqn: (x-2)^4][eqn: =_4{rmC}_0 x^4 +_4{rmC}_1 x^3 (-2)+_4{rmC}_2 x^2 (-2)^2 +_4{rmC}_3 x(-2)^3 +_4{rmC}_4 times (-2)^4]
[eqn: =x^4 -4 times 2x^3 +6 times 4x^2 -4 times 8x+16]
[eqn: =x^4 -8x^3 +24x^2 -32x+16]

이항정리를 이용하여 다음 식을 전개하시오.

⑴ [eqn: x^4 +8x^3 y+24x^2 y^2 +32xy^3 +16y^4]
⑵ [eqn: -x^5 +5x^4 -10x^3 +10x^2 -5x+1]

⑴ [eqn: (x+2y)^4]	⑵ [eqn: (1-x)^5]

[eqn: left( x^3 - 2 over x right)^5]의 전개식에서 [eqn: x^7]의 계수를 구하시오.

[eqn: 40]

전개식의 일반항은	[eqn: `_5{rmC}_r (x^3 )^5-r left( - 2 overx right)^r =_5{rmC}_r x^3(5-r) times (-2)^r overx^r =(-2)^r times _5 {rmC}_r x^15-3r overx^r]

[eqn: x^15-3r overx^r =x^7]에서 [eqn: (15-3r)-r=7]이므로    [eqn: r=2]

따라서 [eqn: x^7]의 계수는

[eqn: (-2)^2 times _5{rmC}_2 =40]

[eqn: left( 3x- 1 over x right)^6]의 전개식에서 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: -18]	⑵ [eqn: -540]

⑴ [eqn: 1 over x^4]의 계수	⑵ 상수항

[eqn: n]이 자연수일 때, 다음 등식이 성립함을 증명하시오.

풀이 참조

이항정리를 이용하여 [eqn: (1+x)^n]을 전개하면

[eqn: (1+x)^n =`_n{rmC}_0 +`_n{rmC}_1 x +`_n{rmC}_2 x^2 +][eqn: ``CDOTS``][eqn: +`_n{rmC}_n x^n]

[eqn: x=1]을 이 식에 대입하면

[eqn: 2^n =`_n{rmC}_0 +`_n{rmC}_1 +`_n{rmC}_2 +][eqn: ``CDOTS``][eqn: +`_n{rmC}_n]

[eqn: `_n{rmC}_0 +`_n{rmC}_1 +_n{rmC}_2 +][eqn: ``CDOTS``][eqn: +`_n{rmC}_n =2^n]

[eqn: n]이 자연수일 때, 다음 등식이 성립함을 증명하시오.

풀이 참조

⑴ 이항정리를 이용하여 [eqn: (1+x)^n]을 전개하면

[eqn: (1+x)^n][eqn: =`_n{rmC}_0 +`_n{rmC}_1 x +`_n{rmC}_2 x^2 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_n{rmC}_n x^n]

[eqn: x=-1]을 이 식에 대입하면

[eqn: 0=`_n{rmC}_0 -`_n{rmC}_1 +`_n{rmC}_2 -] [eqn: CDOTS] [eqn: +(-1)^n times `_n{rmC}_n]

⑵ [eqn: `_2n{rmC}_0 +`_2n{rmC}_1 +`_2n{rmC}_2 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_2n{rmC}_2n-1 +`_2n{rmC}_2n][eqn: =2^2n] [eqn: CDOTS CDOTS] ①
[eqn: `_2n {rmC}_0 -`_2n {rmC}_1 +`_2n {rmC}_2 -] [eqn: CDOTS] [eqn: -`_2n {rmC}_2n-1 +`_2n {rmC}_2n][eqn: =0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ②
①[eqn: +]②를 하면
[eqn: 2(`_2n {rmC}_0 +`_2n {rmC}_2 +`_2n{rmC}_4 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_2n {rmC}_2n )=2^2n]
[eqn: `_2n {rmC}_0 +`_2n {rmC}_2 +`_2n{rmC}_4 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_2n {rmC}_2n =2^2n-1]
①[eqn: -]②를 하면
[eqn: 2(`_2n {rmC}_1 +`_2n {rmC}_3 +`_2n{rmC}_5 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_2n {rmC}_2n-1 )=2^2n]
[eqn: `_2n {rmC}_1 +`_2n {rmC}_3 +`_2n{rmC}_5 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_2n {rmC}_2n-1 =2^2n-1]
따라서
[eqn: `_2n {rmC}_0 +`_2n {rmC}_2 +`_2n{rmC}_4]+ [eqn: CDOTS] [eqn: +`_2n {rmC}_2n]
[eqn: =`_2n {rmC}_1 +`_2n {rmC}_3 +`_2n{rmC}_5 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_2n {rmC}_2n-1]
[eqn: =2^2n-1]

⑴ [eqn: `_n{rmC}_0 -`_n{rmC}_1 +`_n{rmC}_2 -][eqn: ``CDOTS``][eqn: +(-1)^n times `_n{rmC}_n =0]

⑵ [eqn: `_2n{rmC}_0 +`_2n{rmC}_2 +`_2n{rmC}_4 +] [eqn: cdots] [eqn: +`_2n{rmC}_2n]
[eqn: =`_2n{rmC}_1 +`_2n{rmC}_3 +`_2n{rmC}_5 +] [eqn: cdots] [eqn: +`_2n{rmC}_2n-1 =2^2n-1]

파스칼의 삼각형을 이용하여 [eqn: (a+b)^5]을 전개하시오.

[eqn: a^5 +5a^4 b+10a^3 b^2 +10a^2 b^3 +5ab^4 +b^5]

파스칼의 삼각형을 이용하여 다음 값을 구하시오.

[eqn: 35]

[eqn: `_2{rmC}_0 +`_3{rmC}_1 +`_4{rmC}_2 +`_5{rmC}_3 +`_6{rmC}_4]

[생각 넓히기]

원소의 개수가 [eqn: n]인 집합 [eqn: A]의 부분집합의 개수에 대해 알아보려고 한다.

풀이 참조

[eqn: n]개의 원소 중에서 [eqn: k]개의 원소를 택하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: `_n{rmC}_k]이다.

원소의 개수가 [eqn: n]인 집합 [eqn: rmA]에 대하여
원소의 개수가 [eqn: 0]인 경우의 수는
[eqn: `_n{rmC}_0]
원소의 개수가 [eqn: 1]인 경우의 수는
[eqn: `_n{rmC}_1]
원소의 개수가 [eqn: 2]인 경우의 수는
[eqn: `_n{rmC}_2]
⋮
원소의 개수가 [eqn: n]인 경우의 수는
[eqn: `_n{rmC}_n]
따라서 집합 [eqn: A]의 부분집합의 개수는

[eqn: `_n{rmC}_0 +`_n{rmC}_1 +`_n{rmC}_2 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_n{rmC}_n =2^n]

[eqn: B⊂C⊂A]를 만족시키는 집합 [eqn: C]의 개수는
[eqn: (n-r)]개의 원소를 갖는 집합의 부분집합의 개수와 같으므로
[eqn: `_n-r{rmC}_0 +`_n-r{rmC}_1 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_n-r{rmC}_n-r =2^n-r]

집합 [eqn: A]의 부분집합 중에서 원소의 개수가 [eqn: k`` (1 le k le n)]인 부분집합의 개수는
[eqn: `_n{rmC}_k]임을 설명해 보자.

29쪽 예제 3의 등식을 이용하여 집합 [eqn: A]의 부분집합의 개수는 [eqn: 2^n]임을 설명해 보자.

집합 [eqn: A]의 부분집합 [eqn: B]의 원소의 개수가 [eqn: r ``(1 le r le n)]일 때, [eqn: B⊂C⊂A]를 만족시키는 집합 [eqn: C]의 개수는 [eqn: 2^n-r]임을 설명해 보자.

	파스칼의 삼각형과 하키 스틱 패턴
	추론 | 창의·융합

파스칼의 삼각형과 하키 스틱 패턴

파스칼의 삼각형은 프랑스의 수학자 파스칼 (Pascal, B., 1623
~1662)이 1654년 □수 삼각형론 (Traite du Triangle Arithmetique)□이란 책을 통해 발표하여 그의 이름을 따서 부르고 있지만, 사실은 그 이전부터 널리 알려져 있었다. 중국의 수학자 주세걸 (朱世傑,

1270?~1330?)은 1303년에 □사원옥감 (四元玉鑑)□이란 수학책에서 오른쪽 그림과 같은 수 삼각형을 발표했다.

파스칼의 삼각형은 조합과 관련된 신기한 성질을 우리 눈으로 확인할 수 있게 한다.

오른쪽 그림은 파스칼의 삼각형을 나타낸 것인데, 이 그림에서 ‘하키 스틱 패턴’이라 부르는 재미있는 성질을 확인해 보자.

예를 들어 빨간색으로 칠한 부분에서 대각선 방향으로 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 6]을 더한 값은 그 다음 행의 오른쪽 값 [eqn: 10]과 같다. 즉,

[eqn: 1+3+6=10]

인데, 이것은 등식

[eqn: `_2{rmC}_2 +`_3{rmC}_2 +`_4{rmC}_2 =`_5{rmC}_3]

이 성립함을 뜻한다.

또한, 파란색으로 칠한 부분에서도 다음 등식이 성립함을 알 수 있다.

[eqn: `_4{rmC}_0 +`_5{rmC}_1 +`_6{rmC}_2 +`_7{rmC}_3 +`_8{rmC}_4 =`_9{rmC}_4]

이와 같은 패턴의 모양이 마치 하키 스틱처럼 보인다고 하여 ‘하키 스틱 패턴’이라는 이름이 붙었다.

위의 파스칼의 삼각형에서 하키 스틱 패턴을 찾아 다음 값을 구해 보자.

[eqn: 210]

위의 그림의 보라색으로 칠한 부분에서 대각선 방향으로 [eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 10], [eqn: 20], [eqn: 35], [eqn: 56], [eqn: 84]를 더한 값은 그 다음 행의 왼쪽 값 [eqn: 210]과 같다. 즉,

[eqn: 1+4+10+20+35+56+84=210]

이다.

이 패턴을 조합의 수를 이용하여 나타내면 다음과 같다.

[eqn: `_3{rmC}_0 + _4{rmC}_1 +`_5 {rmC}_2 +`_6{rmC}_3 +`_7{rmC}_4 +`_8{rmC}_5 +`_9{rmC}_6 =`_10{rmC}_6]

[eqn: 1+4+10+20+35+56+84]

또, 이 패턴을 조합의 수를 이용하여 나타내어 보자.

중단원 마무리하기

[eqn: (a+b)^7]의 전개식에서 [eqn: a^2 b^5]의 계수를 구하시오.

[eqn: 21]

이항정리를 이용하여 다음 식을 전개하시오.

⑴ [eqn: 8x^3 +12x^2 y+6xy^2 +y^3]
⑵ [eqn: a^5 -10a^4 b+40a^3 b^2 -80a^2 b^3 +80ab^4 -32b^5]

⑴ [eqn: (2x+y)^3]

⑵ [eqn: (a-2b)^5]

[eqn: left(-x+ 2 over x^2 right)^5]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수를 구하시오.

[eqn: 10]

다음 등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오.

[eqn: 5]

[eqn: `_1{rmC}_0 +`_2{rmC}_1 +`_3{rmC}_2 +`_4{rmC}_3 =`_n{rmC}_3]

다항식 [eqn: (1+x)^n]의 전개식에서 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 45]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오.

[eqn: 10]

원소가 [eqn: 7]개인 집합 [eqn: A]의 부분집합 중에서 원소의 개수가 홀수인 것의 개수를 구하시오.

[eqn: 64]

수학여행에서 [eqn: 6]명의 학생이 매번 구성원을 다르게 하여 기념사진을 찍으려고 할 때, 사진을 찍어야 하는 횟수를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[eqn: 63]

[eqn: 6]명의 학생 중 [eqn: 1]명만 사진을 찍는 경우의 수는

[eqn: `_6{rmC}_1]

[eqn: 6]명의 학생 중 [eqn: 2]명이 사진을 찍는 경우의 수는

[eqn: `_6{rmC}_2]

⋮

[eqn: 6]명의 학생 전원이 사진을 찍는 경우의 수는

[eqn: `_6{rmC}_6]	[eqn: 60 %]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: `_6{rmC}_1 +`_6{rmC}_2 +`_6{rmC}_3 +`_6{rmC}_4 +`_6{rmC}_5 +`_6{rmC}_6]

[eqn: =2^6 -1]

[eqn: =63]	[eqn: 40 %]

[eqn: 21^11]을 [eqn: 40]으로 나누었을 때 나머지를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[eqn: 21]

이항정리를 이용하여 [eqn: (1+x)^11]을 전개하면

[eqn: (1+x)^11]

[eqn: =`_11{rmC}_0 +`_11{rmC}_1 x+`_11{rmC}_2 x^2 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_11{rmC}_11 x^11]	[eqn: 20 %]

[eqn: x=20]을 이 식에 대입하면

[eqn: 21^11][eqn: =(1+20)^11]
[eqn: =`_11{rmC}_0 +`_11{rmC}_1 times 20+`_11{rmC}_2 times 20^2 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_11{rmC}_11 times 20^11]

[eqn: 30 %]

이때 [eqn: `_11{rmC}_2 times 20^2 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_11{rmC}_11 times 20^11]은 모두 [eqn: 40]으로 나누어떨어지므로 [eqn: 21^11]을 [eqn: 40]으로 나눈 나머지는

[eqn: `_11{rmC}_0 +`_11{rmC}_1 times 20=1+11 times 20=221]

을 [eqn: 40]으로 나눈 나머지와 같다.	[eqn: 30 %]

따라서

[eqn: 221=40 times 5+21]

이므로 구하는 나머지는 [eqn: 21]이다.	[eqn: 20 %]

다음 부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오.

[eqn: 10]

[eqn: `_n{rmC}_1 +`_n{rmC}_2 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_n{rmC}_n =2^n-1]이므로

[eqn: 1000<2^n -1<2000]에서

[eqn: 1001<2^n <2001]

그런데 [eqn: 2^10 =1024], [eqn: 2^11 =2048]이므로

[eqn: n=10]

[eqn: 1000<`_n{rmC}_1 +`_n{rmC}_2 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_n{rmC}_n <2000]

대단원 평가하기

서로 다른 양초 [eqn: 5]개를 원형으로 배열하는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 24]

남학생 [eqn: 5]명, 여학생 [eqn: 2]명이 원탁에 둘러앉을 때, 여학생끼리는 서로 이웃하게 앉는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 240]

오른쪽 그림과 같이 밑면이 정오각형이고 옆면이 모두 합동인 정오각뿔에서 [eqn: 6]개의 면을 서로 다른 [eqn: 6]가지 색을 한 번씩 사용하여 칠하는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[eqn: 144]

오른쪽 그림과 같은 정사각형 모양의 식탁에 [eqn: 8]명이 둘러앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

③

[eqn: 8]명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는

[eqn: (8-1)!` =7!]

이때 정사각형 모양의 식탁에 앉는 경우는 다음 그림과 같이 서로 다른 [eqn: 2]가지가 존재한다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 7! times 2]

이므로 옳은 것은 ③이다.

[eqn: 4]명의 회원이 각자 비행기, 기차, 고속버스 중에서 한 가지 교통수단을 이용하여 회의 장소에 모일 때, 교통수단을 택하는 경우의 수는?

①

다섯 개의 특수 문자 §, ※, @, #, & 중에서 중복을 허용하여 택한 [eqn: 3]개를 일렬로 나열하여 만들 수 있는 암호의 개수는?

⑤

두 집합

⑤

[eqn: X= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT }], [eqn: Y= LEFT { a,~b,~c RIGHT }]

에 대하여 [eqn: X]를 정의역, [eqn: Y]를 공역으로 하는 함수 [eqn: f : X] → [eqn: Y]의 개수는?

두 종류의 모자와 세 종류의 목도리를 판매하고 있는 가게에서 [eqn: 3]명의 학생이 각각 모자 한 개와 목도리 한 개씩을 사려고 할 때, 이 [eqn: 3]명의 학생이 모자와 목도리를 사는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 216]

[eqn: `_n{rmP}_2 +_n{rm∏}_2 =120]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은?

③

여섯 개의 문자 [eqn: x], [eqn: x], [eqn: x], [eqn: y], [eqn: y], [eqn: z]를 일렬로 나열하는 경우의 수는?

②

다음 그림과 같이 마름모 모양의 두 도로망이 [eqn: rmP] 지점에서 서로 연결되어 있다. [eqn: rmA] 지점에서 [eqn: rmB] 지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 36]

영어 단어 [eqn: rmhappiness]에 있는 [eqn: 9]개의 문자를 일렬로 나열할 때, [eqn: rma]와 [eqn: rmi]가 양 끝에 오도록 나열하는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 2520]

여섯 개의 숫자 [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 5]를 모두 사용하여 만들 수 있는 여섯 자리 자연수 중 짝수의 개수를 구하시오.

[eqn: 78]

짝수가 되려면 일의 자리에 [eqn: 0] 또는 [eqn: 2]가 와야 한다.

(ⅰ) 일의 자리에 [eqn: 0]이 오는 경우
[eqn: 5! over {2! times 2!} =30]

(ⅱ) 일의 자리에 [eqn: 2]가 오는 경우
[eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 5]를 일렬로 나열하는 경우의 수는
[eqn: 5! over 2! =60]
이고, 이 중에서 [eqn: 0]이 맨 앞에 오는 경우의 수는
[eqn: 4! over 2! =12]
이므로
[eqn: 60-12=48]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 짝수의 개수는
[eqn: 30+48=78]

모양과 크기가 같은 흰 공, 노란 공, 빨간 공 중에서 중복을 허용하여 [eqn: 7]개를 택하는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 36]

다항식 [eqn: (a+b+c)^3 (x+y)^2]을 전개할 때 생기는 서로 다른 항의 개수를 구하시오.

[eqn: 30]

어느 꽃집에서는 장미, 카네이션, 백합, 국화를 판매하고 있다. 네 종류의 꽃 중에서 적어도 한 송이씩을 포함하여 [eqn: 10]송이를 사는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 84]

부등식 [eqn: x+y+z le 3]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]를 택하는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 20]

자연수 [eqn: r]에 대하여 [eqn: `_4{rmH}_r =_9{rmC}_3]이 성립할 때, [eqn: `_r{rmH}_4]의 값을 구하시오.

[eqn: 126]

[eqn: (x+3y)^6]의 전개식에서 [eqn: x^4 y^2]의 계수는?

④

[eqn: (3-ax)^5]의 전개식에서 [eqn: x^3]의 계수가 [eqn: -720]일 때, 실수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 2]

다음 그림과 같은 파스칼의 삼각형에서 색칠한 부분의 모든 수의 합은?

④

(ⅰ) [eqn: `_1{rmC}_1 +`_2{rmC}_2 +`_3{rmC}_3 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +_10{rmC}_10 =10]

(ⅱ) [eqn: `_1{rmC}_0 +`_2{rmC}_1 +`_3{rmC}_2 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_10{rmC}_9]
[eqn: =(`_2{rmC}_0 +`_2{rmC}_1 )+`_3{rmC}_2 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_10{rmC}_9]
[eqn: =(`_3{rmC}_1 +`_3{rmC}_2 )+] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_10{rmC}_9]
[eqn: =`_4{rmC}_2 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_10{rmC}_9]
[eqn: =] [eqn: CDOTS] [eqn: =`_10{rmC}_8 +`_10{rmC}_9]
[eqn: =`_11{rmC}_9]
[eqn: =`_11{rmC}_2]
[eqn: =55]

(ⅰ), (ⅱ)에서 색칠한 부분의 모든 수의 합은

[eqn: 10+55=65]

이므로 옳은 것은 ④이다.

오른쪽 그림과 같은 광고 디자인에 있는 [eqn: 8]개의 화살표를 서로 다른 [eqn: 8]가지의 색을 한 번씩 사용하여 칠하려고 한다. 특정한 [eqn: 3]가지 색이 이웃하도록 칠하는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[eqn: 720]

특정한 [eqn: 3]가지 색을 하나로 보고 [eqn: 6]가지 색을 원형으로 배열하는 경우의 수는

[eqn: (6-1)!`=5!`=120]	[eqn: 40 %]

그 각각에 대하여 [eqn: 3]가지 색을 배열하는 경우의 수는

[eqn: 3!`=6]	[eqn: 40 %]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 120 times 6=720]	[eqn: 20 %]

[eqn: 9^24]을 [eqn: 1000]으로 나눈 나머지를 구하시오.

[eqn: 361]

이항정리를 이용하여 [eqn: (x-1)^24]을 전개하면

[eqn: (x-1)^24 =_24{rmC}_0 x^24 +_24{rmC}_1 x^23 (-1)+] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_24{rmC}_24 times (-1)^24]

[eqn: x=10]을 이 식에 대입하면

[eqn: 9^24][eqn: =(10-1)^24]
[eqn: =_24{rmC}_0 times 10^24 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +_24{rmC}_21 times 10^3 times (-1)^21]
[eqn: +_24{rmC}_22 times 10^2 times (-1)^22][eqn: +_24{rmC}_23 times 10 times (-1)^23][eqn: +_24{rmC}_24 times (-1)^24]

[eqn: 40 %]

이때

[eqn: `_24{rmC}_0 times 10^24 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +` _{24} rm C it _{21} TIMES 10 ^{3} TIMES (-1) ^{21}]

은 [eqn: 1000]으로 나누어떨어지므로 [eqn: 9^24]을 [eqn: 1000]으로 나눈 나머지는

[eqn: `_24{rmC}_22 times 10^2 times (-1)^22 +_24{rmC}_23 times 10 times (-1)^23][eqn: +_24{rmC}_24 times (-1)^24]

을 [eqn: 1000]으로 나눈 나머지와 같다.	[eqn: 40 %]

따라서

[eqn: `_24{rmC}_22 times 10^2 times (-1)^22 +_24{rmC}_23 times 10 times (-1)^23][eqn: +_24{rmC}_24 times (-1)^24]

[eqn: =_24{rmC}_2 times 10^2 times (-1)^22 +_24{rmC}_1 times 10 times (-1)^23][eqn: +_24{rmC}_0 times (-1)^24]

[eqn: = {24 times 23} over 2! times 100-24 times 10+1]

[eqn: =27600-240+1]

[eqn: =27361]

이므로 [eqn: 9^24]을 [eqn: 1000]으로 나눈 나머지는 [eqn: 361]이다.	[eqn: 20 %]

[eqn: 6]단으로 된 계단을 한 걸음에 [eqn: 1]단 또는 [eqn: 2]단씩 올라 맨 위의 단까지 가는 경우의 수를 구하려고 한다.

[eqn: 13]

⑴  [eqn: 1]단 올라가는 횟수를 [eqn: a], [eqn: 2]단 올라가는 횟수를 [eqn: b]라 할 때, 합하여 [eqn: 6]단까지 올라가므로
[eqn: a+2b=6]
그런데 [eqn: a], [eqn: b]는 [eqn: 0] 이상의 정수이므로 구하는 순서쌍은
[eqn: (0,~ 3)], [eqn: (2,~ 2)], [eqn: (4,~ 1)], [eqn: (6,~ 0)]	[eqn: 30 %]

⑵  (ⅰ)  [eqn: (0,~ 3)]일 때, [eqn: bbb]를 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로
[eqn: 3! over 3! =1]

(ⅱ)  [eqn: (2,~ 2)]일 때, [eqn: aabb]를 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로
[eqn: 4! over {2! times 2!} =6]

(ⅲ)  [eqn: (4,~ 1)]일 때, [eqn: aaaab]를 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로
[eqn: 5! over {4! times 1!} =5]

(ⅳ)  [eqn: (6,~ 0)]일 때, [eqn: aaaaaa]를 일렬로 배열하는 경우의 수와 같으므로
[eqn: 6! over 6! =1]	[eqn: 60 %]

(ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 1+6+5+1=13]	[eqn: 10 %]

⑴  [eqn: 1]단 올라가는 횟수를 [eqn: a], [eqn: 2]단 올라가는 횟수를 [eqn: b]라 할 때, 순서쌍 [eqn: (a,~b)]를 모두 구하시오.

⑵  한 걸음에 [eqn: 1]단 또는 [eqn: 2]단씩 올라 맨 위의 단까지 가는 경우의 수를 구하시오.

확률과 통계(고2)	내신대비	B-2 2. 확률

확률의 뜻

오른쪽 그림은 어느 식당에서 판매하는 음식의 종류와 가격을 나타낸 것이다.

김밥, 라면, 국수, 수제비, 냉면, 떡국, 순대
수제비, 순대

➊ 이 식당에서 주문할 수 있는 음식을 모두 나열해 보자.

➋ [eqn: 3000]원짜리 음식을 주문하려고 할 때, 주문할 수 있는 음식을 모두 나열해 보자.

동전의 앞면을 [eqn: rmH], 뒷면을 [eqn: rmT]로 나타낼 때, 서로 다른 두 개의 동전을 동시에 던지는 시행에서 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: S=]{[eqn: rmHH], [eqn: rmHT], [eqn: rmTH], [eqn: rmTT]}
⑵ [eqn: A=]{[eqn: rmHT], [eqn: rmTH]}

⑴ 표본공간 [eqn: S]

⑵ 서로 다른 면이 나오는 사건 [eqn: A]

동전의 앞면을 [eqn: rmH], 뒷면을 [eqn: rmT]로 나타낼 때, 서로 다른 두 개의 동전을 동시에 던지는 시행에서 두 개 모두 앞면이 나오는 사건을 [eqn: A], 적어도 한 개는 앞면이 나오는 사건을 [eqn: B], 두 개 모두 뒷면이 나오는 사건을 [eqn: C]라 할 때, 다음을 구하시오.

⑴ {[eqn: rmHH], [eqn: rmHT], [eqn: rmTH]}
⑵ [eqn: EMPTYSET]
⑶ {[eqn: rmTT]}
⑷ 사건 [eqn: A]와 사건 [eqn: C], 사건 [eqn: B]와 사건 [eqn: C]

⑴ [eqn: A∪B]	⑵ [eqn: A∩C]

⑶ [eqn: B^C]	⑷ [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C] 중에서 서로 배반인 두 사건

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 [eqn: 10]일 확률을 구하시오.

[eqn: 1 over 12]

빨간 공 [eqn: 3]개와 파란 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 꺼낼 때, 빨간 공 [eqn: 1]개와 파란 공 [eqn: 1]개가 나올 확률을 구하시오.

[eqn: 3 over 5]

표본공간을 [eqn: S]라 하면    [eqn: n(S)=`_5 {rmC}_2 =10]

빨간 공 [eqn: 3]개 중에서 [eqn: 1]개를 꺼내고, 파란 공 [eqn: 2]개 중에서 [eqn: 1]개를 꺼내는 사건을 [eqn: A]라 하면

[eqn: n(A)=`_3{rmC}_1 times `_2{rmC}_1 =3 times 2=6]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(A)= n(A) over n(S) = 6 over10 = 3 over 5]

[eqn: 8]개의 컵 중 [eqn: 5]개에는 생과일주스가, 나머지 [eqn: 3]개에는 식혜가 들어 있다. 이 중에서 임의로 [eqn: 2]개를 택할 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 5 over 14]	⑵ [eqn: 15 over 28]

⑴ [eqn: 2]개에 모두 생과일주스가 들어 있을 확률

⑵  [eqn: 1]개에는 생과일주스, 다른 [eqn: 1]개에는 식혜가 들어 있을 확률

오

(단위: 명)

지역	출생자
경기도	[eqn: 113495]
강원도	[eqn: 10929]
충청북도	[eqn: 13563]
⋮	⋮
합계	[eqn: 438420]
(출처: 통계청, 2015)

른쪽 표는 [eqn: 2015]년 우리나라의 지역별 출생자 수를 조사하여 나타낸 것의 일부이다. 어느 날 우연히 만난 아이가 [eqn: 2015]년에 태어난 아이였을 때, 이 아이가 경기도에서 태어났을 확률을 소수점 아래 셋째 자리에서 반올림하여 구하시오.

[eqn: 0.26]

표본공간이 [eqn: S]인 사건 [eqn: A]에 대하여 다음 □ 안에 알맞은 수를 써넣어 보자.

[eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 0]

[eqn: EMPTYSET ⊂A⊂S]이므로 [eqn: n( EMPTYSET ) le n(A) le n(S)]이다. 이 식의 각 변을 [eqn: n(S)]로 나누면

[eqn: 0 le n(A) over n(S) le], 즉 [eqn: 0 le {rmP}(A) le]

이다. 특히, [eqn: A=S]이면    [eqn: {rmP}(S)= n(S) over n(S) =]

이고, [eqn: A= EMPTYSET]이면    [eqn: {rmP}( EMPTYSET )= {n( EMPTYSET )} over n(S) =]

이다.

오른쪽 그림과 같이 흰 공 [eqn: 2]개와 노란 공 [eqn: 5]개가 들어 있는 상자에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 꺼낼 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 1]	⑵ [eqn: 0]

⑴ 노란 공이 포함될 확률

⑵ 흰 공이 [eqn: 3]개 나올 확률

[생각 넓히기]

어느 고등학교의 마라톤 대회에 참가한 [eqn: 500]명을 대상으로 다음과 같은 이벤트를 했다.

음료 교환권을 받을 확률 : [eqn: 1]
보조 배터리를 받을 확률 : [eqn: 1 over 10]
마라톤 대회에 참가한 학생이 경품으로 카메라를      받는 사건

마라톤 대회에 참가한 소정이가 음료 교환권을 받을 확률과 보조 배터리를 받을 확률을 각각 구해 보자.

위의 상황에서 확률이 [eqn: 0]인 사건을 만들어 보자.

	통계적 확률과 모의실험
	정보 처리 | 태도 및 실천

모의실험 (simulation)은 실제의 상황을 간단하게 축소한 모형을 통해서 실험을 하고 그 실험 결과에 따라 의사결정을 하는 방법으로, 통계적 확률을 구하는 데 이용할 수 있다.

몬테카를로 모의실험 (Monte Carlo simulation)은 주어진 시행을 임의로 여러 번 반복함으로써 확률을 계산하는 것으로, 컴퓨터를 이용한 주사위나 동전 던지기 등이 사용된다.

모의실험에 의한 통계적 확률 계산으로 원주율 [eqn: pi]의 어림값을 구해 보자.

오른쪽 그림은 컴퓨터 프로그램을 이용하여 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형에 내접하는 원을 그리고, 정사각형의 내부에 [eqn: n]개의 점을 임의로 찍는 모의실험을 한 것이다. 원의 내부에 있는 점의 개수를 [eqn: r_n]이라 할 때, 원의 내부에 있는 점의 상대도수 [eqn: r_n over n]은 [eqn: n]이 충분히 크면

[eqn: {(원의~넓이)} over {(정사각형의~넓이)} = {pi } over {4}]에 가까워질 것으로 예측할 수 있다.

예를 들어 어떤 모의실험에서 [eqn: n=4000]일 때 [eqn: r_n =3143]이라면,

[eqn: pi]의 어림값으로 [eqn: 4 times 3143 over 4000 =3.143]을 얻게 된다.

동전 던지기 프로그램을 이용하여 학생 [eqn: 6]명이 차례대로 동전을 [eqn: 50]번씩 던질 때, 앞면이 나오는 횟수를 조사하는 실험을 해 보자.

풀이 참조

⑴

[eqn: n]	[eqn: 50]	[eqn: 100]	[eqn: 150]	[eqn: 200]	[eqn: 250]	[eqn: 300]
[eqn: r_n]	[eqn: 27]	[eqn: 53]	[eqn: 79]	[eqn: 105]	[eqn: 130]	[eqn: 154]
[eqn: {r_n} overn]	[eqn: 27 over50]	[eqn: 53 over100]	[eqn: 79 over150]	[eqn: 21 over40]	[eqn: 13 over25]	[eqn: 77 over150]

⑵  ⑴의 표에서 동전을 던진 횟수 [eqn: n]이 [eqn: 50], [eqn: 100], [eqn: 150], [eqn: CDOTS], [eqn: 300]으로 커짐에 따라 [eqn: r_n over n]은 각각
[eqn: 0.54], [eqn: 0.53], [eqn: 0.526][eqn: CDOTS], [eqn: 0.525], [eqn: 0.52], [eqn: 0.513][eqn: CDOTS]
임을 알 수 있다.
따라서 [eqn: n]이 커짐에 따라 [eqn: r_n over n]이 동전 한 개를 던질 때 앞면이 나올 수학적 확률인 [eqn: 1 over 2]에 가까워진다.

⑴  한 사람의 동전 던지기가 끝났을 때 이전 사람의 기록까지 모두 합하여 동전을 던진 횟수를 [eqn: n]이라 하고, 그때까지 앞면이 나온 횟수를 모두 합하여 [eqn: r_n]이라 하자.
다음 표를 완성해 보자.

[eqn: n]	[eqn: 50]	[eqn: 100]	[eqn: 150]	[eqn: 200]	[eqn: 250]	[eqn: 300]
[eqn: r_n]
[eqn: r_n overn]

⑵  위의 표에서 [eqn: n]이 커짐에 따라 [eqn: r_n over n]이 동전 한 개를 던질 때 앞면이 나올 수학적 확률에 가까워지는지 알아보자.

확률의 덧셈정리

어느 마을 주민 [eqn: 400]명을 대상으로 두 안건 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]에 대한 찬성 여부를 각각 조사했더니 [eqn: rmA] 안건에 찬성한 주민은 [eqn: 120]명, [eqn: rmB] 안건에 찬성한 주민은 [eqn: 240]명이었고, 두 안건에 모두 찬성한 주민은 없었다고 한다.

[eqn: 360]	[eqn: 9 over 10]

➊ [eqn: rmA] 안건 또는 [eqn: rmB] 안건에 찬성한 주민의 수를 구해 보자.

➋ 조사에 참여한 주민 중에서 임의로 한 명을 택할 때, 그 주민이 [eqn: rmA] 안건 또는 [eqn: rmB] 안건에 찬성했을 확률을 구해 보자.

[eqn: 1]부터 [eqn: 30]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 30]장의 카드 중에서 임의로 한 장의 카드를 뽑을 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 1over3]	⑵ [eqn: 7over10]

⑴  카드에 적힌 수가 [eqn: 4]의 배수인 사건을 [eqn: A], [eqn: 6]의 배수인 사건을 [eqn: B]라 하면 [eqn: A∩B]는 [eqn: 12]의 배수인 사건이다.
[eqn: n(A)=7], [eqn: n(B)=5], [eqn: n(A∩B)=2]이므로
[eqn: {rmP}(A)= 7 over 30],  [eqn: {rmP}(B)= 5 over 30 = 1over6],  [eqn: {rmP}(A∩B)= 2 over 30 = 1 over15]
따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(A∪B)][eqn: ={rmP}(A)+{rmP}(B)-{rmP}(A∩B)]
[eqn: = 7 over 30 + 1over 6 - 1 over15 = 1over 3]

⑵ 카드에 적힌 수가 [eqn: 10] 이하인 사건을 [eqn: C], [eqn: 20] 이상인 사건을 [eqn: D]라 하면
[eqn: n(C)=10], [eqn: n(D)=11]이므로
[eqn: {rmP}(C)= 10 over 30 = 1over3],  [eqn: {rmP}(D)= 11 over 30]
[eqn: C∩D= EMPTYSET]이므로 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(C∪D)][eqn: ={rmP}(C)+{rmP}(D)]
[eqn: = 1 over 3 + 11over30 = 7 over 10]

⑴ 카드에 적힌 수가 [eqn: 4]의 배수이거나 [eqn: 6]의 배수일 확률

⑵ 카드에 적힌 수가 [eqn: 10] 이하이거나 [eqn: 20] 이상일 확률

한 개의 주사위를 던질 때, 나오는 눈의 수가 [eqn: 6]의 약수 또는 소수일 확률을 구하시오.

[eqn: 5 over 6]

지수를 포함한 남학생 [eqn: 5]명, 가희를 포함한 여학생 [eqn: 7]명이 있는 과학사 탐구 동아리에서 동아리 홍보를 담당할 세 명의 학생을 임의로 뽑을 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 5 over 11]	⑵ [eqn: 9 over 44]

⑴ 지수 또는 가희가 뽑힐 확률

⑵ 모두 남학생 또는 모두 여학생이 뽑힐 확률

표본공간이 [eqn: S]인 사건 [eqn: A]에 대하여 여사건 [eqn: A^C]의 확률을 구하려고 한다. 다음  안에 알맞은 것을 써넣어 보자.

배반, [eqn: A], [eqn: 1], [eqn: A], [eqn: A]

사건 [eqn: A]와 그 여사건 [eqn: A^C]는 서로 사건이므로

확률의 덧셈정리에 의하여

[eqn: {rmP}(A∪A^C `)={rmP}(][eqn: )+{rmP}(A^C` )]

이다. 그런데 [eqn: {rmP}(A∪A^C `)={rmP}(S)=]이므로

[eqn: {rmP}(][eqn: )+{rmP}(A^C` )=1], 즉 [eqn: {rmP}(A^C` )=1-{rmP}(][eqn: )]

가 성립한다.

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수가 다를 확률을 구하시오.

[eqn: 5 over 6]

[eqn: 45]개의 모시 송편 중 [eqn: 29]개에는 콩이 들어 있고, 나머지에는 깨가 들어 있다. 모시 송편 중에서 임의로 두 개를 택할 때, 적어도 한 개에는 콩이 들어 있을 확률을 구하시오.

[eqn: 29over 33]

두 개 중에서 적어도 한 개에는 콩이 들어 있는 사건을 [eqn: A]라 하면 여사건 [eqn: A^C]는 두 개에 모두 깨가 들어 있는 사건이다.

깨가 들어 있는 송편은 [eqn: 16]개이므로 [eqn: A^C]의 확률은

[eqn: {rmP}(A^C` )= {`_16 {rmC}_2 } over {`_45 {rmC}_ 2 } = 4 over 33]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(A)=1-{rmP}(A^C` )=1- 4 over 33 = 29 over 33]

[eqn: 1]부터 [eqn: 20]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 20]장의 카드 중에서 임의로 두 장의 카드를 뽑을 때, 카드에 적힌 두 수의 곱이 짝수일 확률을 구하시오.

[eqn: 29 over 38]

영어 단어 [eqn: rmlovely]에 있는 [eqn: 6]개의 문자를 일렬로 나열할 때, 같은 문자가 이웃하지 않을 확률을 구하시오.

[eqn: 2 over 3]

[생각 넓히기]

[eqn: 4]월에 태어난 [eqn: 5]명의 아이가 있다.

[eqn: {`_30{rmP}_5} over {`_30{rm∏}_5} = 2639 over 3750]	[eqn: 1- 2639 over 3750 = 1111 over 3750]

[eqn: 5]명의 생일이 모두 다를 확률을 구해 보자.

생일이 같은 아이가 있을 확률을 구해 보자.

중단원 마무리하기

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던지는 시행에서 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: S=]{[eqn: (1,~ 1)], [eqn: (1,~ 2)], [eqn: (1,~ 3)], [eqn: CDOTS], [eqn: (6,~ 4)], [eqn: (6,~ 5)],            [eqn: (6,~ 6)]}
⑵ [eqn: A=]{[eqn: (1,~ 1)], [eqn: (2,~ 2)], [eqn: (3,~ 3)], [eqn: (4,~ 4)], [eqn: (5,~ 5)], [eqn: (6,~ 6)]}

⑴ 표본공간 [eqn: S]

⑵ 나오는 눈의 수가 같은 사건 [eqn: A]

양식장에서 기르는 어느 생선알 [eqn: 1000]개 중에서 [eqn: 800]개가 부화에 성공했다고 한다. 같은 조건에서 생선알 한 개가 부화할 때, 이 생선알이 부화에 성공할 확률을 구하시오.

[eqn: 4 over 5]

파란색 알사탕 [eqn: 3]개와 빨간색 알사탕 [eqn: 5]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 한 개의 알사탕을 꺼낼 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 5 over 8]	⑵ [eqn: 1]
⑶ [eqn: 0]

⑴ 빨간색 알사탕이 나올 확률

⑵ 알사탕이 나올 확률

⑶ 노란색 알사탕이 나올 확률

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 배반사건이고

⑴ [eqn: 5 over 6]	⑵ [eqn: 2 over 3]

[eqn: {rmP}(A)= 1over3], [eqn: {rmP}(B)= 1 over 2]일 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: {rmP}(A∪B)]	⑵ [eqn: {rmP}(A^C` )]

두 사람이 가위바위보를 한 번 할 때, 비길 확률을 구하시오.

[eqn: 1 over 3]

남학생 [eqn: 5]명과 여학생 [eqn: 4]명을 일렬로 세울 때, 남학생과 여학생이 교대로 서게 될 확률을 구하시오.

[eqn: 1 over 126]

운동회에 참가한 민희와 수영이에게 초콜릿 맛 우유, 딸기 맛 우유, 바나나 맛 우유, 멜론 맛 우유 중에서 임의로 하나씩 나누어 줄 때, 두 사람이 서로 다른 맛의 우유를 받을 확률을 구하시오.

[eqn: 3 over 4]

방정식 [eqn: x+y+z=8]의 음이 아닌 정수인 해 중에서 임의로 하나를 택할 때, [eqn: y]의 값이 [eqn: 2]일 확률을 구하시오.

[eqn: 7 over 45]

어느 마을에 살고 있는 [eqn: 120]가구 중에서 닭을 기르는 집은 전체의 [eqn: 60%] 이고 돼지를 기르는 집은 전체의 [eqn: 45%]이다. 또, 닭과 돼지를 모두 기르는 집은 [eqn: 24]가구이다. 이 마을에서 임의로 한 집을 택할 때, 그 집에서 닭 또는 돼지를 기를 확률을 구하시오.

[eqn: 17 over 20]

[eqn: 3]장의 경품권을 포함한 [eqn: 10]장의 카드가 들어 있는 추첨함에서 임의로 두 장의 카드를 꺼낼 때, 적어도 한 장은 경품권일 확률을 구하시오.

[eqn: 8 over 15]

학급 회의를 하기 위해 원탁에 시연이와 민지를 포함한 [eqn: 6]명의 이름표를 놓을 때, 시연이와 민지의 이름표가 이웃하지 않을 확률을 구하시오.

[eqn: 3 over 5]

[eqn: rmA] 반과 [eqn: rmB] 반의 학생으로만 구성된 어느 동아리 회원 [eqn: 10]명 중에서 대표 [eqn: 2]명을 뽑을 때, 같은 반 학생이 뽑힐 확률은 [eqn: 8 over 15]이다. 이 동아리 회원 중에서 [eqn: rmA] 반과 [eqn: rmB] 반의 학생 수의 차를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[eqn: 4]

[eqn: rmA] 반과 [eqn: rmB] 반의 학생 수를 각각

[eqn: m], [eqn: 10-m]

이라 하자.	[eqn: 10 %]

동아리 회원 [eqn: 10]명 중에서 대표 [eqn: 2]명을 뽑는 경우의 수는

[eqn: `_10{rmC}_2 =45]

이때 [eqn: 2]명의 대표를 각각 [eqn: rmA] 반과 [eqn: rmB] 반에서 뽑는 경우의 수는

[eqn: `_m{rmC}_1 times _10-m{rmC}_1 =m(10-m)]

이므로 [eqn: 2]명의 대표를 각각 [eqn: rmA] 반과 [eqn: rmB] 반에서 뽑을 확률은

[eqn: m(10-m) over 45]	[eqn: 40 %]

따라서 [eqn: 2]명의 대표가 같은 반에서 뽑힐 확률은

[eqn: 1- m(10-m) over 45 = 8 over 15]

이므로

[eqn: 45-m(10-m)=24]

[eqn: m^2 -10m+21=0]

[eqn: (m-3)(m-7)=0]

에서    [eqn: m=3] 또는 [eqn: m=7]	[eqn: 30 %]

두 반의 학생 수는 각각 [eqn: 7], [eqn: 3]이므로 [eqn: rmA] 반과 [eqn: rmB] 반의 학생 수의 차는

[eqn: 4]	[eqn: 20 %]

세 사람이 [eqn: 5]개의 상영관의 영화표를 판매하는 매표소에서 영화표를 임의로 구매할 때, 이들 중 두 사람만 같은 상영관의 영화표를 구매할 확률을 구하시오.

[eqn: 12 over25]

세 사람이 영화표를 구매하는 경우의 수는

[eqn: `_5{∏}_3 =5^3 =125]

세 사람이 모두 다른 상영관의 영화표를 구매하는 경우의 수는

[eqn: `_5 {RMP}_3 =5 times 4 times 3=60]

세 사람이 모두 같은 상영관의 영화표를 구매하는 경우의 수는

[eqn: 5]

따라서 세 사람 중에서 두 사람만 같은 상영관의 영화표를 구매하는 경우의 수는

[eqn: 125-(60+5)=60]

즉, 세 사람 중에서 두 사람만 같은 상영관의 영화표를 구매할 확률은

[eqn: 60 over 125 = 12 over 25]

서로 다른 두 개의 주사위 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 동시에 던지는 시행에서 나오는 눈의 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b]라 할 때, [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 -ax+2b=0]이 실근을 가질 확률을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[eqn: 5 over18]

서로 다른 두 개의 주사위 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 동시에 던지는 시행에서 나오는 모든 경우의 수는

[eqn: 6 times 6=36]	[eqn: 20 %]

이차방정식 [eqn: x^2 -ax+2b=0]이 실근을 가지려면 이 이차방정식의 판별식 [eqn: D]가

[eqn: D=a^2 -8b ge 0]

이어야 하므로

[eqn: a^2 ge 8b]

이때 [eqn: b ge 1]이므로

[eqn: a ge 3]	[eqn: 30 %]

(ⅰ) [eqn: a=3]일 때, [eqn: b]는 [eqn: 1]이므로 경우의 수는	[eqn: 1]

(ⅱ) [eqn: a=4]일 때, [eqn: b]는 [eqn: 1], [eqn: 2]이므로 경우의 수는	[eqn: 2]

(ⅲ) [eqn: a=5]일 때, [eqn: b]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이므로 경우의 수는	[eqn: 3]

(ⅳ) [eqn: a=6]일 때, [eqn: b]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이므로 경우의 수는	[eqn: 4]

(ⅰ)~(ⅳ)에서 모든 경우의 수는

[eqn: 1+2+3+4=10]	[eqn: 40 %]

따라서 구하는 확률은

[eqn: 10 over 36 = 5 over 18]	[eqn: 10 %]

조건부 확률

오

(단위: 명)

	투수	타자	합계
오른손	[eqn: 8]	[eqn: 8]	[eqn: 16]
왼손	[eqn: 4]	[eqn: 7]	[eqn: 11]
합계	[eqn: 12]	[eqn: 15]	[eqn: 27]

른쪽 표는 어느 야구 팀에 등록된 선수를 대상으로 오른손과 왼손을 쓰는 투수와 타자의 수를 조사하여 나타낸 것이다.

[eqn: 11 over 27]	[eqn: 1 over 3]

➊  선수 중에서 임의로 한 명을 택할 때, 그 선수가 왼손을 쓰는 선수일 확률을 구해 보자.

➋  투수 중에서 임의로 한 명을 택할 때, 그 선수가 왼손을 쓰는 선수일 확률을 구해 보자.

[eqn: 1]부터 [eqn: 9]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 9]개의 공이 상자에 들어 있다. 이 상자에서 임의로 꺼낸 공에 적힌 수가 홀수일 때, 그 수가 [eqn: 10]의 약수일 확률을 구하시오.

[eqn: 2 over 5]

공에 적힌 수가 홀수인 사건을 [eqn: A], [eqn: 10]의 약수인 사건을 [eqn: B]라 하면

[eqn: A=]{[eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7], [eqn: 9]}, [eqn: B=]{[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 5]}이고, [eqn: A∩B=]{[eqn: 1], [eqn: 5]}이므로

[eqn: {rmP}(A)= 5 over9], [eqn: {rmP}(A∩B)= 2 over 9]

따라서 꺼낸 공에 적힌 수가 홀수일 때, 그 수가 [eqn: 10]의 약수일 확률은

[eqn: {rmP}(B``|`A)= {{rmP}(A∩B)} over{{rmP}(A)} = 2 over 5]

한 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수가 [eqn: 6]의 약수일 때, 그 수가 소수일 확률을 구하시오.

[eqn: 1 over 2]

오

(단위: 명)

	찬성	반대	합계
남학생	[eqn: 13]	[eqn: 4]	[eqn: 17]
여학생	[eqn: 8]	[eqn: 7]	[eqn: 15]
합계	[eqn: 21]	[eqn: 11]	[eqn: 32]

른쪽 표는 어느 학급 학생 [eqn: 32]명을 대상으로 반바지로 된 생활복에 대한 찬성 여부를 조사하여 나타낸 것이다. 이 학급에서 임의로 택한 한 명이 찬성한 학생일 때, 그 학생이 여학생일 확률을 구하시오.

[eqn: 8 over 21]

상자 안에 아몬드 초콜릿 [eqn: 10]개와 호두 초콜릿 [eqn: 6]개가 들어 있다. 이 상자에서 민수와 선미가 차례대로 초콜릿을 임의로 한 개씩 꺼낼 때, 두 사람 모두 호두 초콜릿을 꺼낼 확률을 구하시오. (단, 꺼낸 초콜릿은 다시 넣지 않는다.)

[eqn: 1over8]

민수가 꺼낸 초콜릿이 호두 초콜릿인 사건을 [eqn: A], 선미가 꺼낸 초콜릿이 호두 초콜릿인 사건을 [eqn: B]라 하면

[eqn: {rmP}(A)= 6 over 16 = 3over8], [eqn: {rmP}(B``|`A)= 5 over 15 = 1 over 3]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(A∩B)={rmP}(A){rmP}(B``|`A)= 3 over 8 times 1 over 3 = 1over8]

흰색 탁구공 [eqn: 8]개와 주황색 탁구공 [eqn: 4]개가 들어 있는 주머니에서 탁구공을 임의로 한 개씩 두 번 꺼낼 때, 흰색 탁구공, 주황색 탁구공의 순서로 탁구공을 꺼낼 확률을 구하시오. (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.)

[eqn: 8 over 33]

어느 회사는 같은 부품을 [eqn: rmA] 공장에서 [eqn: 40] %, [eqn: rmB] 공장에서 [eqn: 60] % 납품받는다. 두 공장 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 생산된 부품의 불량률은 각각 [eqn: 1] %, [eqn: 2] %이다. 이 부품 중에서 임의로 한 개를 택할 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 0.016]	⑵ [eqn: 0.25]

부품이 두 공장 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 생산된 사건을 각각 [eqn: A], [eqn: B], 불량품인 사건을 [eqn: E]라 하자.

⑴  [eqn: rmA] 공장에서 생산된 부품이 불량품인 사건은 [eqn: A∩E]이고, [eqn: rmB] 공장에서 생산된 부품이 불량품인 사건은 [eqn: B SMALLINTER E]이므로
[eqn: {rmP}(A∩E)={rmP}(A){rmP}(E``|`A)=0.4 times 0.01=0.004]
[eqn: {rmP}(B∩E)={rmP}(B){rmP}(E``|`B)=0.6 times 0.02=0.012]
따라서 택한 부품이 불량품일 확률은
[eqn: {rmP}(E)={rmP}(A∩E)+{rmP}(B∩E)=0.016]

⑵ 택한 부품이 불량품일 때, 그 부품이 [eqn: rmA] 공장에서 생산되었을 확률은
[eqn: {rmP}(A``|`E)= {{rmP}(A∩E)} over {{rmP}(E)} = 0.004 over0.016 =0.25]

⑴ 택한 부품이 불량품일 확률

⑵ 택한 부품이 불량품일 때, 그 부품이 [eqn: rmA] 공장에서 생산되었을 확률

어느 거짓말 탐지기의 정확도는 [eqn: 90] %이다. 즉, 참말을 참이라고 판정할 확률과 거짓말을 거짓이라고 판정할 확률이 모두 [eqn: 0.9]이다. 거짓말을 할 확률이 [eqn: 0.2]인 어떤 사람이 한 말에 대해 거짓말 탐지기가 거짓이라고 판정했을 때, 실제로 그 사람이 거짓말을 했을 확률을 구하시오.

[eqn: 9 over 13]

[생각 넓히기]

다음은 [eqn: 4]개의 당첨 제비가 포함된 [eqn: 20]개의 제비 중에서 두 사람이 차례대로 제비를 임의로 한 개씩 뽑을 때, 누가 더 유리한지에 대한 대화이다. 누구의 말이 맞는지 판단해 보자. (단, 뽑은 제비는 다시 넣지 않는다.)

희정

먼저 뽑는 사람이 당첨 제비를 뽑을 확률은

[eqn: 1 over 5]

나중에 뽑는 사람이 당첨 제비를 뽑을 확률은

[eqn: 1 over 5 times 3 over 19 + 4 over 5 times 4 over 19 = 1 over 5]

따라서 당첨 제비를 뽑을 확률은 뽑는 순서에 상관없이 [eqn: 1 over 5]로 같으므로 희정이의 말이 맞다.

	조건부확률과 베이즈의 정리
	문제 해결 | 창의·융합

감기, 기관지염, 폐렴에 걸린 환자는 보통 기침을 한다. 이 환자들이 기침을 할 확률을 안다고 할 때, 기침을 하는 환자가 감기, 기관지염, 폐렴에 걸려 있을 확률을 구할 수 있을까?

영국의 목사이자 수학자인 베이즈(Bayes, T., 1702~1761)는 이와 같이 이미 주어진 확률을 이용하여 새로운 확률을 계산하는 공식을 처음 발견했는데, 이를 “베이즈의 정리”라고 한다.

그의 이론에 의하면, 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]의 확률 [eqn: {rmP}(A)], [eqn: {rmP}(B)]와 조건부확률 [eqn: {rmP}(A``|`B)]를 알 때, 확률 [eqn: {rmP}(B``|`A)]를

[eqn: {rmP}(B``|`A)= {{rmP}(A``|`B)} over{{rmP}(A)} {rmP}(B)]

와 같이 구할 수 있다.

베이즈가 생각해 낸 이 확률 이론은 컴퓨터 공학 분야에서 폭넓게 사용되고 있는데 이 이론을 바탕으로 한 ‘베이지안 기계 학습(Bayesian machine learning)’은 컴퓨터의 독자적 학습 능력을 의미하며, 인공지능 로봇 기술에 응용된다고 한다.

(출처: 다다 사토시, □처음 배우는 인공지능□, 송교석 역)

(단위: 명)

	양성 반응	음성 반응	합계
감염자			[eqn: 10]
비감염자			[eqn: 19990]
합계			[eqn: 20000]

[eqn: 2000]명 중에 한 명꼴로 감염되는 어느 바이러스의 감염 여부를 판정하는 검사법의 정확도가 [eqn: 90 %]라고 한다.

⑴ 풀이 참조	⑵ [eqn: 0.0045]

⑴  검사를 받은 사람 [eqn: 20000]명 중 감염자는 [eqn: 10]명, 비감염자는 [eqn: 19990]명이다. 감염자 중에서 양성 반응을 보인 사람은
[eqn: 10 times 90 over 100 =9] (명)
비감염자 중에서 음성 반응을 보인 사람은
[eqn: 19990 times 90 over 100 =17991] (명)
따라서 감염자 중에서 음성 반응을 보인 사람은
[eqn: 10-9=1] (명)
비감염자 중에서 양성 반응을 보인 사람은
[eqn: 19990-17991=1999] (명)
이 상황을 표로 나타내면 다음과 같다.

(단위: 명)

	양성 반응	음성 반응	합계
감염자	[eqn: 9]	[eqn: 1]	[eqn: 10]
비감염자	[eqn: 1999]	[eqn: 17991]	[eqn: 19990]
합계	[eqn: 2008]	[eqn: 17992]	[eqn: 20000]

⑵ ⑴의 표에서 구하는 확률은
[eqn: 0.0045]

⑴  이 검사를 받은 사람이 [eqn: 20000]명일 때, 오른쪽 표를 완성해 보자.

⑵  이 검사에서 양성 반응을 보인 사람이 실제로 바이러스에 감염된 사람일 확률을 소수점 아래 다섯째 자리에서 반올림하여 구해 보자.

사건의 독립과 종속

빨간색 사탕 [eqn: 4]개와 파란색 사탕 [eqn: 5]개가 들어 있는 주머니에서 사탕을 임의로 한 개씩 두 번 꺼낼 때, 첫 번째 꺼낸 사탕이 빨간색인 사건을 [eqn: A,] 두 번째 꺼낸 사탕이 파란색인 사건을 [eqn: B]라 하자.

[eqn: {rmP}(B``|`A)= 5 over 9], [eqn: {rmP}(B)= 5 over 9]
[eqn: {rmP}(B``|`A)= 5 over 8], [eqn: {rmP}(B)= 5 over 9]

➊ 첫 번째 꺼낸 사탕을 다시 넣을 때, [eqn: {rmP}(B``|`A)]와 [eqn: {rmP}(B)]를 각각 구해 보자.

➋ 첫 번째 꺼낸 사탕을 다시 넣지 않을 때, [eqn: {rmP}(B``|`A)]와 [eqn: {rmP}(B)]를 각각 구해 보자.

한 개의 주사위를 던질 때, 나오는 눈의 수가 짝수인 사건을 [eqn: A], 소수인 사건을 [eqn: B], [eqn: 6]의 약수인 사건을 [eqn: C]라 하자. 다음 두 사건이 서로 독립인지 종속인지 말하시오.

⑴ 종속	⑵ 독립

[eqn: A=]{[eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6]}, [eqn: B=]{[eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5]}, [eqn: C=]{[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 6]}이므로

[eqn: {rmP}(A)= 1 over 2], [eqn: {rmP}(B)= 1over2], [eqn: {rmP}(C)= 2over3]

⑴ [eqn: A∩B=]{[eqn: 2]}이므로
[eqn: {rmP}(A∩B)= 1 over 6]
또, [eqn: {rmP}(A){rmP}(B)= 1over2 times 1over2 = 1over4]이므로
[eqn: {rmP}(A∩B)!={rmP}(A){rmP}(B)]
따라서 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 종속이다.

⑵ [eqn: A∩C=]{[eqn: 2], [eqn: 6]}이므로
[eqn: {rmP}(A∩C)= 1over3]
또, [eqn: {rmP}(A){rmP}(C)= 1over2 times 2over3 = 1over3]이므로
[eqn: {rmP}(A∩C)={rmP}(A){rmP}(C)]
따라서 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: C]는 서로 독립이다.

⑴ [eqn: A]와 [eqn: B]	⑵ [eqn: A]와 [eqn: C]

[eqn: 1]부터 [eqn: 10]까지의 자연수 중에서 임의로 한 개를 택할 때, 택한 수가 [eqn: 2]의 배수인 사건을 [eqn: A], [eqn: 3]의 배수인 사건을 [eqn: B], [eqn: 5]의 배수인 사건을 [eqn: C]라 하자. 다음 두 사건이 서로 독립인지 종속인지 말하시오.

⑴ 종속	⑵ 독립

⑴ [eqn: A]와 [eqn: B]	⑵ [eqn: A]와 [eqn: C]

한 개의 주사위를 [eqn: 4]번 던질 때, [eqn: 1]의 눈이 [eqn: 2]번 나올 확률을 구하려고 한다.

[eqn: 1]회	[eqn: 2]회	[eqn: 3]회	[eqn: 4]회	확률
○	○	×	×	[eqn: 1 over 6 times 1 over 6 times 5 over6 times 5 over6]
○	×	○	×	[eqn: 1 over 6 times 5 over6 times 1 over 6 times 5 over6]
○	×	×	○	[eqn: 1 over 6 times 5 over6 times 5 over6 times 1 over 6]
×	○	○	×	[eqn: 5 over6 times 1 over 6 times 1 over 6 times 5 over6]
×	○	×	○	[eqn: 5 over6 times 1 over 6 times 5 over6 times 1 over 6]
×	×	○	○	[eqn: 5 over6 times 5 over6 times 1 over 6 times 1 over 6]

[eqn: 25 over 216]

[eqn: 1]의 눈이 나오는 경우를 ○, [eqn: 1]의 눈이 나오지 않는 경우를 ×로 나타낼 때, [eqn: 1]의 눈이 [eqn: 2]번 나오는 모든 경우와 각각의 사건이 일어날 확률을 구하여 아래 표를 완성해 보자.

[eqn: 1]회	[eqn: 2]회	[eqn: 3]회	[eqn: 4]회	확률
○	○	×	×	[eqn: {1} over {6} TIMES {1} over {6} TIMES {5} over {6} TIMES {5} over {6}]

의 결과를 이용하여 한 개의 주사위를 [eqn: 4]번 던질 때, [eqn: 1]의 눈이 [eqn: 2]번 나올 확률을 구해 보자.

어느 클레이 사격 선수가 날아오르는 표적을 맞힐 확률은 [eqn: 4over5]라고 한다. 이 선수가 [eqn: 3]발을 쏘았을 때, 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: 48over125]	⑵ [eqn: 1over125]

⑴ [eqn: 3]발을 쏘았을 때 표적을 [eqn: 2]번 맞힐 확률은 독립시행의 확률에 의하여

[eqn: `_3{rmC}_2 times left( 4over5 right)^2 times left( 1 over5 right)^1 = 48 over125]

⑵ [eqn: 3]발을 쏘았을 때 표적을 한 번도 맞히지 못할 확률은

[eqn: `_3{rmC}_0 times left( 4over5 right)^0 times left( 1 over5 right)^3 = 1 over125]

⑴ 표적을 [eqn: 2]번 맞힐 확률

⑵ 표적을 한 번도 맞히지 못할 확률

승률이 [eqn: 60]%인 바둑 기사가 5번의 대국에서 [eqn: 4]번 이상 이길 확률을 구하시오.

[eqn: 1053 over 3125]

어느 양궁 선수가 [eqn: 10]점 과녁을 맞힐 확률은 [eqn: 3over4]이라고 한다. 이 선수가 [eqn: 3]발을 쏘았을 때, 적어도 한 발은 [eqn: 10]점 과녁에 맞힐 확률을 구하시오.

[eqn: 63 over 64]

[생각 넓히기]

오른쪽 그림과 같이 수직선 위의 원점 [eqn: rmO]에 놓인 말을 동전을 한 번 던질 때마다 다음과 같은 규칙에 따라 움직이려고 한다.

[eqn: 5 over 16]

㈎ 앞면이 나오면 양의 방향으로 [eqn: 1]만큼 이동한다.

㈏ 뒷면이 나오면 음의 방향으로 [eqn: 1]만큼 이동한다.

동전을 [eqn: 5]번 던질 때, 말이 원점에서 [eqn: 3]만큼 떨어진 곳에 위치할 확률을 구해 보자.

중단원 마무리하기

한 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수가 소수일 때, 그 수가 홀수일 확률을 구하시오.

[eqn: 2 over 3]

표본공간이 [eqn: S=]{[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: CDOTS], [eqn: 10]}인 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]에 대하여 [eqn: A=]{[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 8]}, [eqn: B=]{[eqn: 2], [eqn: 5], [eqn: 8]}일 때,
[eqn: {rmP}(B``|`A)]를 구하시오.

[eqn: 1 over 2]

[eqn: 1]부터 [eqn: 12]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 12]장의 카드 중에서 임의로 한 장의 카드를 뽑을 때, 카드에 적힌 수가 [eqn: 4]의 약수인 사건을 [eqn: A], [eqn: 3]의 배수인 사건을 [eqn: B]라 하자. 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립인지 종속인지 말하시오.

종속

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 독립이고 [eqn: {rmP}(A)= 1over3],

[eqn: 1 over 4]

[eqn: {rmP}(B)= 3over4]일 때, [eqn: {rmP}(A∩B)]를 구하시오.

한 개의 동전을 [eqn: 4]번 던질 때, 앞면이 [eqn: 3]번 나올 확률을 구하시오.

[eqn: 1 over 4]

원소의 개수가 [eqn: 15]인 표본공간 [eqn: S]의 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]에 대하여 [eqn: {rmP}(A)= 3over5]이고, [eqn: {rmP}(B``|`A)= 1over3]일 때, [eqn: n(A∩B)]를 구하시오.

[eqn: 3]

어느 학교 밴드 동아리 전체 회원의 [eqn: 60] %는 남학생이고, 보컬을 담당하는 남학생 회원은 전체 회원의 [eqn: 24] %이다. 이 동아리에서 임의로 택한 한 명이 남학생일 때, 그 학생이 보컬을 담당하는 학생일 확률을 구하시오.

[eqn: 2 over 5]

상자 안에 크기와 모양이 같은 검은색 볼펜 [eqn: 5]자루와 빨간색 볼펜 [eqn: 2]자루가 들어 있다. 이 상자에서 민지와 지훈이가 차례대로 볼펜을 임의로 한 자루씩 꺼낼 때, 민지는 검은색 볼펜, 지훈이는 빨간색 볼펜을 꺼낼 확률을 구하시오. (단, 꺼낸 볼펜은 다시 넣지 않는다.)

[eqn: 5 over 21]

한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 다음 보기의 세 사건 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C] 중에서 서로 독립인 두 사건을 찾으시오.

사건 [eqn: A]와 사건 [eqn: C]

[eqn: A] : 첫 번째에 나오는 눈의 수가 [eqn: 4]의 약수인 사건

[eqn: B] : 나오는 눈의 수가 모두 짝수인 사건

[eqn: C] : 나오는 눈의 수의 합이 [eqn: 7]인 사건

어느 푸드 트럭에서는 햄버거, 샌드위치, 케밥을 판매한다. 각 음식에 대한 선호도가 동일한 [eqn: 4]명의 손님이 음식을 주문할 때, 적어도 한 명은 케밥을 택할 확률을 구하시오.

[eqn: 65 over 81]

[eqn: 7]번의 경기 중에서 [eqn: 4]번의 경기를 먼저 이기는 팀이 우승하는 프로 야구 한국 시리즈에 [eqn: rmA] 팀과 [eqn: rmB] 팀이 출전하였다. 현재까지 [eqn: rmA] 팀이 [eqn: 2]승 무패로 앞서고 있다고 할 때, [eqn: rmB] 팀이 우승할 확률을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오. [eqn: left( pile{ `#` }]단, [eqn: rmA] 팀이 [eqn: rmB] 팀을 이길 확률은 [eqn: 1over2]이고, 비기는 경우는 없다.[eqn: pile{ `#` } right)]

[eqn: 3 over16]

[eqn: rmB] 팀이 우승하는 경우의 확률은 각각 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: 4]번의 경기를 연속하여 모두 이기는 경우
[eqn: `_4{rmC}_4 times left( 1 over 2 right)^4 = 1 over 16]	[eqn: 40 %]

(ⅱ)  [eqn: 4]번의 경기에서 [eqn: 3]승 [eqn: 1]패를 하고, 마지막 경기를 이기는 경우
[eqn: `_4{rmC}_3 times left( 1 over 2 right)^3 times left( 1 over2 right)^1 times 1 over 2 = 1 over 8]	[eqn: 40 %]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: rmB] 팀이 우승할 확률은

[eqn: 1 over 16 + 1 over 8 = 3 over 16]	[eqn: 20 %]

감귤은 무게에 따라 분류하는데, 두 감귤 농장 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 생산된 감귤을 잘못 분류할 비율은 각각 [eqn: 2][eqn: %], [eqn: 3][eqn: %]이다. 어느 과일 가게에 감귤 [eqn: 5]상자가 있는데, 이 중에서 [eqn: 3]상자는 [eqn: rmA] 농장에서, 나머지 [eqn: 2]상자는 [eqn: rmB] 농장에서 생산되었다고 한다.

[eqn: 1over2]

감귤이 두 농장 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 생산된 사건을 각각 [eqn: A], [eqn: B], 무게가 잘못 분류된 감귤인 사건을 [eqn: C]라 하자.

[eqn: {rmP}(A)= 3 over 5]

[eqn: {rmP}(C``|`A)= 2 over 100 = 1 over 50]

[eqn: {rmP}(B)= 2 over 5]

[eqn: {rmP}(C``|`B)= 3 over 100]

이때 [eqn: rmA] 농장에서 생산된 감귤이 무게가 잘못 분류된 사건은 [eqn: A∩C]이고, [eqn: rmB] 농장에서 생산된 감귤이 무게가 잘못 분류된 사건은 [eqn: B∩C]이므로

[eqn: {rmP}(A∩C)][eqn: ={rmP}(A){rmP}(C``|`A)]
[eqn: = 3 over 5 times 1 over 50 = 3 over 250]

[eqn: {rmP}(B∩C)][eqn: ={rmP}(B){rmP}(C``|`B)]
[eqn: = 2 over 5 times 3 over 100 = 3 over 250]

즉, 꺼낸 감귤이 무게가 잘못 분류된 감귤일 확률은

[eqn: {rmP}(C)][eqn: ={rmP}(A∩C)+{rmP}(B∩C)]
[eqn: = 3 over 250 + 3 over 250 = 3 over 125]

따라서 꺼낸 감귤이 무게가 잘못 분류된 감귤일 때, 그 감귤이 [eqn: rmA] 농장에서 생산되었을 확률은

[eqn: {rmP}(A``|`C)][eqn: = {{rmP}(A∩C)} over {{rmP}(C)}]
[eqn: = {3 over 250} over{3 over 125} = 1 over 2]

이 [eqn: 5]개의 상자 중에서 임의로 한 상자를 택하고, 그 상자에서 꺼낸 감귤 한 개가 잘못 분류된 감귤일 때, 그 감귤이 [eqn: rmA] 농장에서 생산되었을 확률을 구하시오.

점 [eqn: rmP]가 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rmABCD]의 변 위를 주사위를 한 번 던질 때마다 다음과 같은 규칙에 따라 움직인다.

[eqn: 41 over81]

주사위를 한 번 던지는 시행에서 점 [eqn: rmP]가 시곗바늘이 도는 방향과 반대인 방향으로 움직일 확률은

[eqn: 2 over 6 = 1 over 3]	[eqn: 20 %]

주사위를 한 번 던지는 시행에서 점 [eqn: rmP]가 시곗바늘이 도는 방향으로 움직일 확률은

[eqn: 1- 1 over 3 = 2 over 3]	[eqn: 20 %]

주사위를 [eqn: 4]번 던지는 시행에서 점 [eqn: rmA]를 출발한 점 [eqn: rmP]가

다시 점 [eqn: rmA]로 되돌아오는 경우는 네 번 모두 같은 방향으로 움직이거나, 두 번은 시곗바늘이 도는 방향과 반대인 방향으로, 두 번은 시곗바늘이 도는 방향으로 움직이는 경우이다.	[eqn: 30 %]

따라서 구하는 확률은

[eqn: `_4{rmC}_0 times left( 2 over3 right)^4 +_4{rmC}_4 times left( 1 over 3 right)^4 +`_4{rmC}_2 times left( 1 over 3 right)^2 times left( 2 over 3 right)^2]
[eqn: = 16 over 81 + 1 over 81 + 24 over 81]
[eqn: = 41 over 81]	[eqn: 30 %]

주사위를 [eqn: rm4]번 던질 때, 점 [eqn: rmA]를 출발한 점 [eqn: rmP]가 다시 점 [eqn: rmA]로 되돌아올 확률을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

㈎ 나오는 눈의 수가 [eqn: 3]의 배수이면 시곗바늘이 도는 방향과 반대인 방향으로 [eqn: 1]만큼 움직인다.

㈏ 나오는 눈의 수가 [eqn: 3]의 배수가 아니면 시곗바늘이 도는 방향으로 [eqn: 1]만큼 움직인다.

대단원 평가하기

주사위를 한 번 던지는 시행에서 나오는 눈의 수가 [eqn: 3]의 약수인 사건을 [eqn: A]라 할 때, 다음 중 [eqn: A]와 서로 배반인 사건은?

③

① 나오는 눈의 수가 [eqn: 4]의 약수인 사건

② 나오는 눈의 수가 소수인 사건

③ 나오는 눈의 수가 짝수인 사건

④ 나오는 눈의 수가 홀수인 사건

⑤ 나오는 눈의 수가 [eqn: 3]의 배수인 사건

야구에서 [eqn: n]타수 중 [eqn: r]개의 안타를 친 선수의 타율은 [eqn: r over n]라고 한다. 현재까지 [eqn: 32]타수에 나와 타율이 [eqn: 0.25]인 선수가 앞으로 [eqn: 48]타수에 더 나와 타율이 [eqn: 0.3]이 되게 하기 위해서는 몇 개의 안타를 더 쳐야 하는지 구하시오.

[eqn: 16]개

[eqn: 4]인승 카누 경기의 연습을 하기 위해 [eqn: 4]명의 선수가 임의로 자리에 앉을 때, 특정한 두 선수가 카누의 양 끝에 앉을 확률은?

②

[eqn: 1]부터 [eqn: 5]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 5]장의 카드 중에서 임의로 두 장의 카드를 차례대로 뽑아 첫 번째 뽑은 카드에 적힌 수를 [eqn: a], 두 번째 뽑은 카드에 적힌 수를 [eqn: b]라 하자. 이때 두 변의 길이가 각각 [eqn: a]이고, 나머지 한 변의 길이가 [eqn: b]인 이등변삼각형이 둔각삼각형일 확률을 구하시오. (단, 꺼낸 카드는 다시 넣지 않는다.)

[eqn: 1 over 10]

집합 [eqn: A= LEFT { a,~b,~c RIGHT }]의 공집합이 아닌 부분집합 중에서 임의로 [eqn: 2]개를 택할 때, 하나가 다른 하나의 진부분집합이 될 확률을 구하시오.

[eqn: 4 over7]

집합 [eqn: A=]{[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]}의 공집합이 아닌 부분집합의 개수는

[eqn: 7]

이 중에서 서로 다른 두 집합을 택하는 경우의 수는

[eqn: `_7{rmC}_2 =21]

택한 두 부분집합 중에서 하나가 다른 하나의 진부분집합이 되는 경우의 수는 그중 한 부분집합의 원소의 개수에 따라 각각 다음과 같다.

(ⅰ) 원소의 개수가 [eqn: 1]인 경우
그 집합의 공집합이 아닌 진부분집합이 없으므로 경우의 수는
[eqn: 0]

(ⅱ) 원소의 개수가 [eqn: 2]인 경우
그 집합의 부분집합의 개수는
[eqn: `_3{rmC}_2 =3]
이때 공집합이 아닌 진부분집합의 개수는 각각 [eqn: 2]이므로 구하는 경우의 수는
[eqn: 3 times 2=6]

(ⅲ) 원소의 개수가 [eqn: 3]인 경우
그 집합의 부분집합의 개수는
[eqn: 1]
이때 공집합이 아닌 진부분집합의 개수는 [eqn: 6]이므로 구하는 경우의 수는
[eqn: 1 times 6=6]

(ⅰ)~(ⅲ)에서 하나가 다른 하나의 진부분집합이 되는 모든 경우의 수는

[eqn: 6+6=12]

따라서 구하는 확률은

[eqn: 12 over 21 = 4 over 7]

흰 공 [eqn: 5]개와 검은 공 [eqn: 4]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 꺼낼 때, [eqn: 2]개 모두 흰 공이거나 [eqn: 2]개 모두 검은 공일 확률은?

④

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]에 대하여 다음 중 옳은 것은?

②

① [eqn: 0<{rmP}(A)<1]

② [eqn: {rmP}(A^C``)=1-{rmP}(A)]

③ [eqn: {rmP}(A∩B)={rmP}(A){rmP}(B)]

④ [eqn: {rmP}(A∪B)={rmP}(A)+{rmP}(B)]

⑤ [eqn: {rmP}(A-B)={rmP}(A)-{rmP}(B)]

오른쪽 그림과 같이 [eqn: 6]등분한 정육각형에 빨강, 파랑, 노랑, 초록, 주황, 보라의 [eqn: 6]가지 색을 모두 사용하여 임의로 칠할 때, 빨간색과 노란색을 이웃하지 않게 칠할 확률은?

⑤

남학생 [eqn: 4]명과 여학생 [eqn: 5]명으로 구성된 어느 모둠에서 청소 당번 [eqn: 3]명을 뽑을 때, 적어도 한 명의 남학생이 청소 당번으로 뽑힐 확률은?

④

오

(단위: 명)

	경주	담양	합계
남	[eqn: 16]	[eqn: 6]	[eqn: 22]
여	[eqn: 8]	[eqn: 10]	[eqn: 18]
합계	[eqn: 24]	[eqn: 16]	[eqn: 40]

른쪽 표는 어느 여행사에서 회원 [eqn: 40]명을 대상으로 여행을 가고 싶은 지역을 조사하여 나타낸 것이다. 이 회원 중에서 임의로 택한 한 명이 경주를 가고 싶다고 한 회원일 때, 그 회원이 여자일 확률을 구하시오.

[eqn: 1over3]

[eqn: 1]등 당첨 제비 [eqn: 1]개와 [eqn: 2]등 당첨 제비 [eqn: 2]개를 포함한 [eqn: 10]개의 제비가 들어 있는 추첨함에서 임의로 뽑은 [eqn: 2]개의 제비 중 한 개가 당첨 제비일 때, 그 제비가 [eqn: 1]등 당첨 제비일 확률을 구하시오.

[eqn: 1over3]

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]에 대하여

[eqn: 1 over 4]

[eqn: {rmP}(A)=0.5], [eqn: {rmP}(B)=0.6], [eqn: {rmP}(A∩B)=0.2]

일 때, [eqn: {rmP}(A^C``|`B^C``)]의 값을 구하시오.

어느 지역에서 장마철 날씨를 조사한 결과 비가 온 날의 다음 날에 비가 올 확률은 [eqn: 0.6]이고, 비가 오지 않은 날의 다음 날에 비가 올 확률은 [eqn: 0.3]이었다. 장마철의 어느 수요일에 비가 왔을 때, 그 주 금요일에도 비가 올 확률을 구하시오.

[eqn: 0.48]

한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 나오는 눈의 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b]라 하자. 이차방정식 [eqn: x^2 +ax+b=0]이 허근을 가질 때, [eqn: a]가 홀수일 확률을 구하시오.

[eqn: 10 over17]

한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 나오는 모든 경우의 수는

[eqn: 6 times 6=36]

이차방정식 [eqn: x^2 +ax+b=0]이 허근을 가지는 사건을 [eqn: A], [eqn: a]가 홀수인 사건을 [eqn: B]라 하자.

[eqn: x^2 +ax+b=0]이 허근을 가지려면 이 이차방정식의 판별식 [eqn: D]가

[eqn: D=a^2 -4b<0]

이어야 하므로

[eqn: a^2 <4b]

이때 [eqn: b le 6]이므로

[eqn: a^2 <24]

따라서 [eqn: a]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중의 하나이다.

(ⅰ) [eqn: a=1]일 때,
[eqn: b]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이므로 경우의 수는
[eqn: 6]

(ⅱ) [eqn: a=2]일 때,
[eqn: b]는 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이므로 경우의 수는
[eqn: 5]

(ⅲ) [eqn: a=3]일 때,
[eqn: b]는 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이므로 경우의 수는
[eqn: 4]

(ⅳ) [eqn: a=4]일 때,
[eqn: b]는 [eqn: 5], [eqn: 6]이므로 경우의 수는
[eqn: 2]

(ⅰ)~(ⅳ)에서

[eqn: n(A)=6+5+4+2=17]

주어진 이차방정식이 허근을 가지고 [eqn: a]가 홀수인 사건은 [eqn: A∩B]이므로 (ⅰ), (ⅲ)에서

[eqn: n(A∩B)=10]

따라서

[eqn: {rmP}(A)= 17 over 36]

[eqn: {rmP}(A∩B)= 10 over 36 = 5 over 18]

즉, 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(B``|`A)][eqn: ={{rmP}(A∩B)} over{{rmP}(A)}]
[eqn: = {5 over 18} over{17 over 36} = 10 over 17]

어느 농구 선수의 자유투 성공 확률을 조사하였더니 자유투를 성공한 후 다음 시도에서 성공할 확률은 [eqn: 2over3]이고, 자유투를 실패한 후 다음 시도에서 성공할 확률은 [eqn: 1over4]이었다. 이 선수가 첫 번째 자유투를 성공했을 때, 세 번째 시도에서 성공할 확률을 구하시오.

[eqn: 19 over 36]

확률이 [eqn: 0]이 아닌 두 사건에 대한 다음 설명 중 옳은 것은?

③

① 서로 종속인 두 사건은 배반사건이 아니다.

② 서로 독립인 두 사건은 배반사건이다.

③ 서로 배반인 두 사건은 종속사건이다.

④ 서로 배반이 아닌 두 사건은 독립사건이다.

⑤ 어떤 사건과 그 여사건은 독립사건이다.

오른쪽 그림과 같은 어느 달의 달력에서 임의로 한 날을 택할 때, 그 날이 일요일인 사건을 [eqn: A], 수요일인 사건을 [eqn: B], 날짜가 [eqn: 5]의 배수인 사건을 [eqn: C]라 하자. 다음 보기에서 서로 독립인 두 사건을 있는 대로 고른 것은?

②

		| 보기 |
	ㄱ. [eqn: A]와 [eqn: B] ㄴ. [eqn: B]와 [eqn: C] ㄷ. [eqn: A]와 [eqn: C]

서로 독립인 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]에 대하여

[eqn: 11 over20]

[eqn: {rmP}(A)= 1over4],  [eqn: {rmP}(B)= 2over5]

일 때, [eqn: A]와 [eqn: B] 중에서 적어도 한 사건이 일어날 확률을 구하시오.

[eqn: 5]문제 중에서 [eqn: 4]문제 이상을 맞히면 합격하는 시험이 있다. 각 문제를 맞힐 확률이 [eqn: 1over2]인 학생이 이 시험에 합격할 확률을 구하시오.

[eqn: 3 over 16]

오른쪽 그림과 같은 직육면체의 [eqn: 8]개의 꼭짓점 중에서 임의로 서로 다른 [eqn: 3]개의 점을 택할 때, 그중에서 [eqn: 2]개의 점이 같은 모서리의 꼭짓점일 확률을 구하시오.

[eqn: 8 over9]

어느 [eqn: 2]개의 점도 같은 모서리의 꼭짓점이 아닌 [eqn: 3]개의 점을 택하는 경우는 네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmC], [eqn: rmF], [eqn: rmH] 또는 네 점 [eqn: rmB], [eqn: rmD], [eqn: rmE], [eqn: rmG] 중에서 [eqn: 3]개의 점을 택할 때이므로 그 경우의 수는

[eqn: `_4{rmC}_3 +`_4{rmC}_3 =8]	[eqn: 40 %]

[eqn: 8]개의 꼭짓점 중에서 [eqn: 3]개의 점을 택하는 경우의 수는

[eqn: `_8{rmC}_3 =56]

[eqn: 3]개의 점 중에서 어느 [eqn: 2]개의 점도 같은 모서리의 꼭짓점이 아닐 확률은

[eqn: 8 over 56 = 1 over 7]	[eqn: 40 %]

따라서 [eqn: 3]개의 점 중에서 [eqn: 2]개의 점이 같은 모서리의 꼭짓점일 확률은

[eqn: 1- 1 over 7 = 6 over 7]	[eqn: 20 %]

[eqn: 5]번의 경기 중에서 [eqn: 3]번을 먼저 이기는 사람이 최종 우승하는 체스 대회의 결승에 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB] 두 사람이 진출하였다. [eqn: rmA]가 첫 번째 경기를 이겼을 때, [eqn: rmA]가 최종 우승할 확률을 구하시오.

[eqn: 8 over9]

[eqn: rmA]가 최종 우승하는 경우의 확률은 각각 다음과 같다.

(ⅰ) 두 번의 경기를 연속하여 모두 이기는 경우
[eqn: `_2{rmC}_2 times left( 2 over 3 right)^2 = 4 over 9]	[eqn: 30 %]

(ⅱ) 두 번의 경기에서 [eqn: 1]승 [eqn: 1]패를 하고, 네 번째 경기를 이기는 경우
[eqn: `_2{rmC}_1 times left( 2 over 3 right)^1 times left( 1 over 3 right)^1 times 2 over 3 = 8 over 27]	[eqn: 30 %]

(ⅲ)  세 번의 경기에서 [eqn: 1]승 [eqn: 2]패를 하고, 마지막 경기를 이기는 경우
[eqn: `_3{rmC}_1 times left( 2 over 3 right)^1 times left( 1 over 3 right)^2 times 2 over 3 = 4 over 27]	[eqn: 30 %]

(ⅰ)~(ⅲ)에서 구하는 확률은

[eqn: 4 over 9 + 8 over 27 + 4 over 27 = 24 over 27 = 8 over 9]	[eqn: 10 %]

[eqn: left( pile{ `#` }]단, [eqn: rmA]가 [eqn: rmB]를 이길 확률은 [eqn: 2over3]이고, 비기는 경우는 없다.[eqn: pile{ `#` } right)]

한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 첫 번째에 나오는 눈의 수가 [eqn: 4]의 배수인 사건을 [eqn: A], 두 개의 주사위에서 나오는 눈의 수의 합이 [eqn: k]인 사건을 [eqn: B_k]라 하면 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B_k]는 서로 독립이다. 다음에 답하시오. (단, [eqn: k]는 [eqn: 5] 이상의 자연수이다.)

[eqn: 7]

⑴  한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 나오는 모든 경우의 수는
[eqn: 6 times 6=36]
이때 [eqn: n(A)=1 times 6=6]이므로
[eqn: {rmP}(A)= 6 over 36 = 1 over 6]
첫 번째에 나오는 눈의 수가 [eqn: 4]의 배수이고 두 눈의 수의 합이 [eqn: k]인 사건은
[eqn: A∩B_k]
이때 첫 번째에 나오는 눈의 수가 [eqn: 4]이면 두 눈의 수의 합이 [eqn: k]이기 위해서는 두 번째에 나오는 눈의 수가 [eqn: k-4]이어야 하므로
[eqn: n(A∩B_k )=1]
에서    [eqn: {rmP}(A∩B_k )= 1 over 36]	[eqn: 30 %]
두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B_k]가 서로 독립이므로
[eqn: {rmP}(A){rmP}(B_k )={rmP}(A∩B_k )]
에서    [eqn: 1 over 6 {rmP}(B_k )= 1 over 36]
따라서     [eqn: {rmP}(B_k )= 1 over 6]	[eqn: 20 %]

⑵ ⑴에서 [eqn: {rmP}(B_k )= 1 over 6]이므로
[eqn: n(B_k )=6]	[eqn: 20 %]
위의 조건을 만족시키는 경우는
[eqn: B_7 =]{[eqn: (1, ~6)], [eqn: (2,~ 5)], [eqn: (3,~ 4)], [eqn: (4,~ 3)],
[eqn: (5,~ 2)], [eqn: (6,~ 1)]}	[eqn: 20 %]
따라서 구하는 [eqn: k]의 값은    [eqn: 7]	[eqn: 10 %]

⑴ 두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B_k]가 일어날 확률을 각각 구하시오.

⑵ ⑴의 결과를 이용하여 [eqn: k]의 값을 구하시오.

확률과 통계(고2)	내신대비	B-3 3. 통계

확률변수와 확률분포

한 개의 동전을 두 번 던지는 시행에서 동전의 앞면을 [eqn: rmH], 뒷면을 [eqn: rmT]라 하자.

[eqn: S=]{[eqn: rmHH], [eqn: rmHT], [eqn: rmTH], [eqn: rmTT]}
[eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2]

➊ 표본공간 [eqn: S]를 구해 보자.

➋ 표본공간의 각 근원사건에 대하여 앞면이 나오는 횟수를 [eqn: X]라 할 때, [eqn: X]가 가질 수 있는 값을 모두 구해 보자.

파란 공 [eqn: 4]개와 빨간 공 [eqn: 5]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 [eqn: 4]개의 공을 꺼낼 때, 꺼낸 빨간 공의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: X]가 가질 수 있는 값을 구하시오.

[eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]

다음 시행에서의 확률변수가 이산확률변수인지 연속확률변수인지 말하시오.

⑴ 이산확률변수	⑵ 연속확률변수

⑴ 스트라이크를 성공할 때까지 공을 굴린 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하고 성공을 [eqn: s], 실패를 [eqn: f]라 하면 표본공간 [eqn: S]는
[eqn: S=]{[eqn: s], [eqn: fs], [eqn: ffs], [eqn: fffs], [eqn: CDOTS]}
이때 오른쪽 그림과 같이 [eqn: X]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: CDOTS]로 자연수와 같이 셀 수 있으므로 [eqn: X]는 이산확률변수이다.

⑵ 버스를 기다리는 시간을 확률변수 [eqn: X]라 하면 표본공간 [eqn: S]는
[eqn: S=]{[eqn: x`|`0 le x le 7]}
이다.
이때 [eqn: X]는 [eqn: 0] 이상 [eqn: 7] 이하의 모든 실수의 값을 가지므로 연속확률변수이다.

⑴ 볼링공을 계속 굴리는 시행에서 스트라이크를 성공할 때까지 공을 굴린 횟수

⑵  [eqn: 7]분 간격으로 도착하는 어느 버스를 기다리는 시간을 측정하는 시행에서 버스를 기다리는 시간

다음 확률변수가 이산확률변수인지 연속확률변수인지 말하시오.

⑴ 연속확률변수	⑵ 이산확률변수
⑶ 이산확률변수	⑷ 연속확률변수

⑴ 어느 지역에 일 년 동안 내리는 강수량

⑵ 어느 날 동물원의 입장객 수

⑶ [eqn: 10]개의 동전을 던질 때, 앞면이 나온 동전의 개수

⑷ 어느 공장에서 생산된 전구의 수명

남학생 [eqn: 4]명과 여학생 [eqn: 3]명으로 구성되어 있는 봉사 동아리에서 [eqn: 3]명을 임의로 뽑을 때, 뽑힌 여학생의 수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 다음에 답하시오.

⑴ 풀이 참조	⑵ [eqn: 13over35]

⑴ 확률변수 [eqn: X]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이다.
[eqn: 7]명의 학생 중에서 [eqn: 3]명을 뽑는 경우의 수는 [eqn: `_7{rmC}_3]이고, 뽑힌 학생 중에서 여학생의 수가 [eqn: x]명인 경우의 수는 [eqn: `_3{rmC}_x times `_4{rmC}_3-x]이므로 [eqn: X]의 확률질량함수는
[eqn: {rmP}(X=x)={`_3{rmC}_x times `_4{rmC}_3-x} over{`_7{rmC}_3}] ([eqn: x=0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3])
따라서 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 4 over35]	[eqn: 18 over35]	[eqn: 12 over35]	[eqn: 1 over35]	[eqn: 1]

⑵ 여학생이 [eqn: 2]명 이상 뽑힐 확률은 [eqn: {rmP}(X ge 2)]이므로

[eqn: {rmP}(X ge 2)={rmP}(X=2)+{rmP}(X=3)= 12 over35 + 1 over35 = 13over35]

⑴ [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내시오.

⑵ 여학생이 [eqn: 2]명 이상 뽑힐 확률을 구하시오.

흰 공 [eqn: 5]개와 검은 공 [eqn: 5]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 꺼낼 때, 꺼낸 검은 공의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 다음에 답하시오.

⑴

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: rmP(it X =x )]	[eqn: 1over12]	[eqn: 5over12]	[eqn: 5over12]	[eqn: 1over12]	[eqn: 1]

⑵ [eqn: 11 over 12]

⑴ [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내시오.

⑵ 검은 공을 적어도 [eqn: 1]개 이상 꺼낼 확률을 구하시오.

연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가 [eqn: f (x)=kx] [eqn: (0 le x le 3)]일 때, 다음을 구하시오. (단, [eqn: k]는 상수이다.)

⑴ [eqn: 2over9]	⑵ [eqn: 5over9]

⑴ 함수 [eqn: f (x)=kx]의 그래프와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=3]으로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 [eqn: 1]이므로
[eqn: 1 over 2 times 3 times 3k=1],  즉  [eqn: k={2 over 9}]

⑵ [eqn: {rmP}(2 le X le 3)]은 오른쪽 그림에서 색칠한 사다리꼴의 넓이와 같으므로

[eqn: {rmP}(2 le X le 3)= 1 over 2 times left( 4 over 9 + 2 over3 right) times 1= 5 over 9]

⑴ [eqn: k]의 값	⑵ [eqn: {rmP}(2 le X le 3)]

연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가 [eqn: f (x)= 1over4 x+k ``(0 le x le 2)]일 때, 다음을 구하시오. (단, [eqn: k]는 상수이다.)

⑴ [eqn: 1 over 4]	⑵ [eqn: 5 over 8]

⑴ [eqn: k]의 값	⑵ [eqn: {rmP}(1<X le 2)]

연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수 [eqn: f (x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음을 구하시오. (단, [eqn: k]는 상수이다.)

⑴ [eqn: 5 over 4]	⑵ [eqn: 1 over 2]

⑴ [eqn: k]의 값	⑵ [eqn: {rmP} left( X > 3over2 right)]

여객선 터미널에서 어느 여객선의 도착 예정 시각과 실제 도착 시각의 차를 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: X]의 확률밀도함수 [eqn: f (x)]는
[eqn: f (x)= cases{ 1 over 150 x&(0 le x<10) #1 over 10 - 1 over 300 x & (10 le x le 30) }]

[eqn: 13 over 24]

이다. 이때 도착 예정 시각과 실제 도착 시각의 차가 [eqn: 5]분 이상 [eqn: 15]분 이하일 확률을 구하시오.

	연속확률변수와 적분
	추론 | 창의·융합

연속확률변수 [eqn: X]가 [eqn: a] 이상 [eqn: b] 이하의 값을 가질 확률 [eqn: {rmP}(a le X le b)]는 확률밀도함수 [eqn: f (x)]의 그래프와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=a], [eqn: x=b]로 둘러싸인 도형의 넓이와 같으므로, 확률밀도함수의 성질을 정적분을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

연속확률변수 [eqn: X]가 닫힌구간 [[eqn: alpha], [eqn: beta]]에 속하는 모든 실수의 값을 가질 때, [eqn: X]의 확률밀도함수가 [eqn: f (x)]이면

➊ [eqn: alpha le x le beta]인 모든 [eqn: x]에 대하여    [eqn: f (x) ge 0]

➋ [eqn: int_alpha^beta f (x)dx=1]

➌ [eqn: {rmP}(a le X le b)= int_a^b][eqn: f (x)dx] (단, [eqn: alpha le a le b le beta])

예를 들어 어느 상점에서 물건값을 계산하기 위하여 기다리는 시간을 연속확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: X]의 확률밀도함수가 다음과 같다고 한다.

[eqn: f (x)= 1 over 288 x(12-x)] [eqn: (0 le x le 12)]

이때 기다리는 시간이 [eqn: 3]분 이내일 확률은 다음과 같다.

[eqn: {rmP}(0 le X le 3)][eqn: = int_0^3 1 over 288 x(12-x)dx]
[eqn: = 1 over 288 left[ 6x^2 - 1 over 3 x^3 right]_0^3 = 5over 32]

연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가 [eqn: f (x)=kx^2] [eqn: (0 le x le 3)]일 때, 다음을 구해 보자. (단, [eqn: k]는 상수이다.)

⑴ [eqn: 1 over 9]	⑵ [eqn: 7 over 27]

⑴ [eqn: k]의 값	⑵ [eqn: {rmP}(1 le X le 2)]

이산확률변수의 기댓값과 표준편차

어느 놀이공원에서는 개장 기념행사로 선착순 [eqn: 100]명의 입장객에게 다음 표와 같이 할인액이 적힌 할인권을 준다고 한다.

[eqn: {5000 times 70+10000 times 20+20000 times 10} over 100]

[eqn: X]	[eqn: 5000]	[eqn: 10000]	[eqn: 20000]	합계
[eqn: rmP(it X =x )]	[eqn: 7 over10]	[eqn: 1 over5]	[eqn: 1 over10]	[eqn: 1]

할인액(원)	[eqn: 5000]	[eqn: 10000]	[eqn: 20000]	합계
할인권 수	[eqn: 70]	[eqn: 20]	[eqn: 10]	[eqn: 100]

➊ 할인권 한 장에 대한 할인액의 평균을 구하는 식을 세워 보자.

➋  [eqn: 100]장의 할인권 중에서 임의로 택한 할인권 한 장의 할인액을 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내어 보자.

한 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수를 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: X]의 기댓값을 구하시오.

[eqn: 7 over 2]

확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1 over 6]	[eqn: 1 over 6]	[eqn: 1 over 6]	[eqn: 1 over 6]	[eqn: 1 over 6]	[eqn: 1 over 6]	[eqn: 1]

따라서 확률변수 [eqn: X]의 기댓값 [eqn: {rmE}(X)]는

[eqn: {rmE}(X)=1 times 1 over 6 +2 times 1 over 6 +3 times 1 over 6 +4 times 1 over 6 +5 times 1 over 6 +6 times 1 over 6 = 7 over 2]

검은색 볼펜 [eqn: 6]자루와 파란색 볼펜 [eqn: 4]자루가 들어 있는 필통에서 임의로 [eqn: 3]자루의 볼펜을 뽑을 때, 뽑은 파란색 볼펜의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: X]의 기댓값을 구하시오.

[eqn: 6 over 5]

상자 속에 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7]의 숫자가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 4]장의 카드가 들어 있다. 이 중에서 임의로 [eqn: 1]장을 꺼낼 때, 꺼낸 카드에 적힌 수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: X]의 분산과 표준편차를 구하시오.

[eqn: {rmV}(X)=5], [eqn: sigma (X)= root5]

확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 5]	[eqn: 7]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1 over 4]	[eqn: 1 over 4]	[eqn: 1 over 4]	[eqn: 1 over 4]	[eqn: 1]

이때 확률변수 [eqn: X]의 기댓값은

[eqn: {rmE}(X)][eqn: =1 times 1over4 +3 times 1over4 +5 times 1over4 +7 times 1over4]
[eqn: =4]

따라서 확률변수 [eqn: X]의 분산과 표준편차는 각각 다음과 같다.

[eqn: {rmV}(X)][eqn: =(1-4)^2 times 1over4 +(3-4)^2 times 1over4 +(5-4)^2 times 1over4 +(7-4)^2 times 1over4]
[eqn: =5]

[eqn: sigma (X)= root5]

어느 고등학교 학생들의 형제자매의 수를 확률변수 [eqn: X]라 하고, [eqn: X]의 확률분포를 조사한 결과는 다음 표와 같다. [eqn: X]의 분산과 표준편차를 구하시오.

[eqn: {rmV}(X)=1], [eqn: sigma (X)=1]

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 0.4]	[eqn: 0.3]	[eqn: 0.2]	[eqn: 0.1]	[eqn: 1]

확률변수 [eqn: X]에 대하여 [eqn: {rmE}(X)=10]일 때, 다음 확률변수의 기댓값을 구하시오.

⑴ [eqn: 37]	⑵ [eqn: 2]

⑴ [eqn: 4X-3]	⑵ [eqn: - 1over2 X+7]

확률변수 [eqn: X]의 기댓값 [eqn: {rmE}(X)]와 분산 [eqn: {rmV}(X)]에 대하여 다음이 성립함을 보이시오.

풀이 참조

확률변수 [eqn: X]의 기댓값 [eqn: {rmE}(X)]를 [eqn: m]이라 하면

[eqn: {rmV}(X)][eqn: ={rmE}((X-m)^2 )]
[eqn: ={rmE}(X^2 -2mX+m^2 )]
[eqn: ={rmE}(X^2 )-{rmE}(2mX)+{rmE}(m^2 )]
[eqn: ={rmE}(X^2 )-2m times m+m^2]
[eqn: ={rmE}(X^2 )-m^2]
[eqn: ={rmE}(x^2 )-left{{rmE}(X)right}^2]

따라서 다음이 성립한다.

[eqn: {rmV}(X)={rmE}(x^2 )-left{{rmE}(X)right}^2]

[eqn: {rmV}(X)=E(X^2 )- left{{rmE}(X)right}^2]

확률변수 [eqn: X]에 대하여 [eqn: {rmV}(X)=9]일 때, 다음 확률변수의 분산과 표준편차를 구하시오.

⑴ [eqn: {rmV}(3X)=81], [eqn: sigma (3X)=9]
⑵ [eqn: {rmV}left( 3X- 1 over 5 right)=81], [eqn: sigma left(3X- 1 over 5 right) =9]
⑶ [eqn: {rmV}(-X+3)=9], [eqn: sigma (-X+3)=3]
⑷ [eqn: {rmV}left(- 1 over 3 X-2right)=1], [eqn: sigma left(- 1 over 3 X-2 right)=1]

⑴ [eqn: 3X]	⑵ [eqn: 3X- 1 over 5]

⑶ [eqn: -X+3]	⑷ [eqn: - 1over3 X-2]

확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 아래 표와 같을 때, 확률변수 [eqn: Y=3X+2]의 기댓값과 분산 및 표준편차를 구하시오.

[eqn: {rmE}(Y)=14], [eqn: {rmV}(Y)=36], [eqn: sigma (Y)=6]

확률변수 [eqn: X]의 기댓값과 분산 및 표준편차는 다음과 같다.

[eqn: {rmE}(X)=2 times 2 over 5 +4 times 3over10 +6 times 1over5 +8 times 1 over 10 =4]

[eqn: {rmV}(X)][eqn: ={rmE}(X^2 )-left{{rmE}(X) right}^2]
[eqn: =2^2 times 2 over 5 +4^2 times 3 over10 +6^2 times 1 over 5 +8^2 times 1 over 10 -4^2]
[eqn: =4]

[eqn: sigma (X)=root{{rmV}(X)}=root4 =2]

따라서 다음을 얻는다.

[eqn: {rmE}(Y)={rmE}(3X+2)=3{rmE}(X)+2=3 times 4+2=14]

[eqn: {rmV}(Y)={rmV}(3X+2)=3^2 {rmV}(X)=9 times 4=36]

[eqn: sigma (Y)= sigma (3X+2)=3 sigma (X)=3 times 2=6]

[eqn: X]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	[eqn: 8]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 2 over5]	[eqn: 3 over10]	[eqn: 1 over5]	[eqn: 1 over10]	[eqn: 1]

빨간 공 [eqn: 3]개와 파란 공 [eqn: 3]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 꺼낼 때, 꺼낸 빨간 공의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 확률변수 [eqn: 5X-2]의 표준편차를 구하시오.

[eqn: root10]

이항분포

어느 국궁 선수는 활을 한 번 쏠 때 과녁을 맞힐 확률이 [eqn: 9over10]라고 한다. 이 선수가 활을 세 번 쏠 때, 과녁을 맞힌 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자.
다음은 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타낸 것이다.

풀이 참조

[eqn: `_3{rmC}_0 left( 1 over 10 right)^3], [eqn: `_3{rmC}_2 left( 9 over 10 right)^2 left( 1 over 10 right)^1], [eqn: `_3{rmC}_3 left( 9 over 10 right)^3]

확률의 합이 이항정리를 이용하여
[eqn: left( 1 over 10 + 9 over 10 right)^3]을 전개한 식과 같으므로
[eqn: `_3{rmC}_0 left( 1 over 10 right)^3 +`_3{rmC}_1 left( 9 over 10 right)^1 left( 1 over 10 right)^2][eqn: +`_3{rmC}_2 left( 9 over 10 right)^2 left( 1 over 10 right)^1 +`_3{rmC}_3 left( 9 over 10 right)^3]
[eqn: = left( 1 over 10 + 9 over 10 right)^3]
[eqn: =1]

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]		[eqn: `_3 {rmC}_1 left ( 9 over10 right)^1 left( 1over10 right)^2]			[eqn: 1]

➊ 위의 표를 완성해 보자.

➋ 위의 표에서 확률의 합이 [eqn: 1]임을 이항정리를 이용하여 설명해 보자.

다음 확률변수 [eqn: X]가 이항분포를 따르는지 확인하고, 이항분포를 따르면 [eqn: {rmB}(n,~ p)]의 꼴로 나타내시오.

⑴ [eqn: rmB][eqn: left(100,~ 3 over5 right)]
⑵ 독립시행이 아니므로 이항분포를 따르지 않는다.
⑶ [eqn: rmB][eqn: left(20,~ 1 over 4 right)]

⑴ 재구매율이 [eqn: 60] %인 상품을 [eqn: 100]명에게 판매하였을 때, 재구매하는 인원수 [eqn: X]

⑵  흰 공 [eqn: 3]개와 검은 공 [eqn: 5]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 꺼낼 때, 꺼낸 흰 공의 개수 [eqn: X]

⑶  서로 다른 두 개의 동전을 동시에 던지는 시행을 [eqn: 20]회 반복할 때, 두 개의 동전 모두 앞면이 나오는 횟수 [eqn: X]

어느 야구 선수는 타석에 들어설 때마다 안타를 칠 확률이 [eqn: 0.3]이라고 한다. 이 선수가 세 번의 타석에 들어설 때, 안타를 치는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 다음을 구하시오.

⑴ 풀이 참조	⑵ [eqn: 189over 1000]

⑴ 확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: {rmB}left(3,~ 3over10 right)]을 따르므로 [eqn: X]의 확률질량함수는

[eqn: {rmP}(X=x)= _3{rmC}_x left( 3over10right)^x left( 7 over 10 right)^3-x] ([eqn: x=0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3])

⑵ [eqn: {rmP}(X=2)][eqn: = _3{rmC}_2 left( 3 over 10 right)^2 left( 7 over 10 right)^1]
[eqn: = 189 over 1000]

⑴ [eqn: X]의 확률질량함수	⑵ [eqn: {rmP}(X=2)]

시청률이 [eqn: 40] %인 어느 드라마가 방영되고 있는 동안 임의로 [eqn: 5]가구를 조사할 때, 이 드라마를 시청하는 가구 수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 다음을 구하시오.

⑴ [eqn: {rmP}(X=x)=`_5{rmC}_x left( 2 over 5 right)^x left( 3 over 5 right)^5-x]([eqn: x=0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5])
⑵ [eqn: 144 over 625]

⑴ [eqn: X]의 확률질량함수	⑵ [eqn: {rmP}(X=3)]

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: {rmB} left( 200,~ 3over5 right)]을 따를 때, [eqn: X]의 평균과 표준편차를 구하시오.

[eqn: {rmE}(X)=120], [eqn: sigma (X)=4 root3]

어느 제약 회사에서 새로 개발한 치료약은 특정 질병의 환자에게 [eqn: 90 %]의 완치율을 보인다고 한다. 이 약을 복용한 [eqn: 300]명의 환자 중에서 완치되는 환자 수를 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: X]의 평균과 표준편차를 구하시오.

[eqn: {rmE}(X)=270], [eqn: sigma (X)=3root3]

정규분포

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던지는 시행을 [eqn: 10]회, [eqn: 50]회, [eqn: 100]회 하여 나온 눈의 수의 합을 히스토그램으로 나타내었더니 다음과 같았다.

풀이 참조

종 모양에 가까워진다.

➊ 각 경우의 도수분포다각형을 그려 보자.

➋  시행 횟수가 많아짐에 따라 도수분포다각형의 모양은 어떻게 변하는지 말해 보자.

오른쪽 그림은 [eqn: 4]개의 정규분포곡선이다. 이 곡선 중에서 평균이 가장 큰 것과 표준편차가 가장 큰 것을 각각 말하시오.

평균이 가장 큰 것 : ⑷
표준편차가 가장 큰 것 : ⑴

확률변수 [eqn: Z]가 표준정규분포 [eqn: rm{rmN}(0,~ 1)]을 따를 때, 표준정규분포표를 이용하여 다음 확률을 구하시오.

⑴ [eqn: 0.9772]	⑵ [eqn: 0.7745]

⑴ [eqn: {rmP}(Z le 2)][eqn: ={rmP}(Z le 0)+{rmP}(0 le Z le 2)]
[eqn: =0.5+0.4772]
[eqn: =0.9772]

⑵ [eqn: {rmP}(-1<Z le 1.5)][eqn: ={rmP}(-1<Z le 0)+{rmP}(0 le Z le 1.5)]
[eqn: ={rmP}(0 le Z<1)+{rmP}(0 le Z le 1.5)]
[eqn: =0.3413+0.4332]
[eqn: =0.7745]

⑴ [eqn: {rmP}(Z le 2)]	⑵ [eqn: {rmP}(-1<Z le 1.5)]

확률변수 [eqn: Z]가 표준정규분포 [eqn: rm{rmN}(0,~ 1)]을 따를 때, 표준정규분포표를 이용하여 다음 확률을 구하시오.

⑴ [eqn: 0.1587]	⑵ [eqn: 0.95]

⑴ [eqn: {rmP}(Z ge 1)]	⑵ [eqn: {rmP}(|Z| le 1.96)]

확률변수 [eqn: Z]가 표준정규분포 [eqn: rm{rmN}(0,~ 1)]을 따를 때, 표준정규분포표를 이용하여 다음을 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

⑴ [eqn: 1.5]	⑵ [eqn: 2.5]

⑴ [eqn: {rmP}(Z ge a)=0.0668]	⑵ [eqn: {rmP}(Z le a)=0.9938]

[eqn: Z= X-m over sigma]의 평균과 분산을 다음 단계에 따라 구해 보자.

풀이 참조

[eqn: {rmE}(Z)][eqn: ={rmE} left( X-m over sigma right)]
[eqn: = 1 over sigma left{{rmE}(X)-m right}]
[eqn: =0]

[eqn: {rmV}(Z)][eqn: ={rmV} left( X-m over sigma right)]
[eqn: = left( 1 over sigma right)^2 {rmV}(X)]
[eqn: =1]

[eqn: {rmE}(aX+b)=a{rmE}(X)+b]를 이용하여 [eqn: {rmE}(Z)]를 구해 보자.

[eqn: {rmV}(aX+b)=a^2 {rmV}(X)]를 이용하여 [eqn: {rmV}(Z)]를 구해 보자.

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: {rmN}(70,~ 5^2 )]을 따를 때, [eqn: {rmP}(70 le X le 80)]을 구하시오.

[eqn: 0.4772]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: {rmN}(70,~ 5^2 )]을 따르므로 확률변수 [eqn: Z= X-70 over5]은 표준정규분포 [eqn: rm{rmN}(0,~ 1)]을 따른다.

[eqn: {rmP}(70 le X le 80)][eqn: ={rmP} left( 70-70 over 5 le Z le 80-70 over 5 right)]
[eqn: ={rmP}(0 le Z le 2)]
[eqn: =0.4772]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: {rmN}(120,~ 10^2 )]을 따를 때, 다음 확률을 구하시오.

⑴ [eqn: 0.9053]	⑵ [eqn: 0.0668]

⑴ [eqn: {rmP}(106 le X le 142)]	⑵ [eqn: {rmP}(X ge 135)]

어느 농장에서 생산되는 한라봉 한 개의 무게는 평균이 [eqn: rm270 ``g]이고 표준편차가 [eqn: rm40 ``g]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 농장에서 생산된 한라봉 중에서 임의로 한 개를 택할 때, 이 한라봉의 무게가 [eqn: rm250 ``g] 이상 [eqn: rm280 ``g] 이하일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.2902]

한라봉 한 개의 무게를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {rmN}(270,~ 40^2 )]을 따르므로, 확률변수 [eqn: Z= X-270 over 40]은 표준정규분포 [eqn: rm{rmN}(0,~ 1)]을 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(250 le X le 280)][eqn: ={rmP}left( 250-270 over 40 le Z le 280-270 over 40 right)]
[eqn: ={rmP}(-0.5 le Z le 0.25)]
[eqn: ={rmP}(0 le Z le 0.5)+{rmP}(0 le Z le 0.25)]
[eqn: =0.1915+0.0987=0.2902]

어느 과수원에서 생산된 배 한 개의 당도는 평균이 [eqn: rm12`` Brix]이고 표준편차가 [eqn: rm2`` Brix]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 과수원에서 생산된 배 중에서 당도가 [eqn: rm13 ``Brix] 이상인 것은 전체의 몇 %인지 구하시오.

[eqn: 30.85 %]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: {rmN( itm,~ sigma^ 2 )]을 따를 때, [eqn: rmP( it |`X-m`| le k sigma )=0.9876]이 성립하도록 상수 [eqn: k]의 값을 정하시오.

[eqn: 2.5]

다음 그림은 이항분포 [eqn: {rmB} left(50,~ 1 over 5 right)]과 정규분포 [eqn: rmN(10,~ 8)]을 나타낸 그래프이다.

풀이 참조

이항분포 [eqn: rmB][eqn: left(50,~ 1 over 5 right)]과 정규분포 [eqn: rmN(10,~ 8)]의 평균은 [eqn: 10], 표준편차는 [eqn: root8]로 평균과 표준편차는 각각 같고 그래프의 모양도 서로 비슷하다.

이항분포 [eqn: {rmB} left(50,~ 1 over 5 right)]과 정규분포 [eqn: rmN(10,~ 8)]의 평균과 표준편차가 각각 같음을 확인하고, 그래프의 모양을 비교해 보자.

어느 고등학교에서 도보로 등교하는 학생의 비율이 [eqn: 40] %라고 한다. 이 학교 학생 [eqn: 150]명 중에서 도보로 등교하는 학생이 [eqn: 66]명 이상일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.1587]

[eqn: 150]명 중에서 도보로 등교하는 학생 수를 확률변수 [eqn: X]라 하면, [eqn: X]는 이항분포

[eqn: rmB(150,~ 0.4)]를 따르므로

[eqn: {rmE}(X)=150 times 0.4=60], [eqn: sigma (X)=root{150 times 0.4 times 0.6}=6]

이때 [eqn: 150]은 충분히 큰 수이므로 [eqn: X]는 근사적으로 정규분포 [eqn: rmN(60,~ 6^2 )]을 따른다.

따라서 확률변수 [eqn: Z= X-60 over 6]은 표준정규분포 [eqn: rm{rmN}(0,~ 1)]을 따르므로 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(X ge 66)][eqn: ={rmP} left( Z ge 66-60 over 6 right)]
[eqn: ={rmP}(Z ge 1)]
[eqn: ={rmP}(Z ge 0)-{rmP}(0 le Z le 1)]
[eqn: =0.5-0.3413=0.1587]

어느 영화의 관람객 [eqn: 90] %가 청소년이라 할 때, 이 영화의 관람객 [eqn: 100]명 중에서 청소년이 [eqn: 96]명 이상일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.0228]

계란은 무게에 따라 다음과 같이 구분한다.

[eqn: 0.2]
평균 : [eqn: 80], 표준편차 : [eqn: 8]
[eqn: 0.1056]

구분	왕란	특란	대란
무게	[eqn: rm 68``g] 이상	[eqn: rm 60``g] 이상 [eqn: rm 68``g] 미만	[eqn: rm 52``g] 이상 [eqn: rm 60``g] 미만

구분	중란	소란
무게	[eqn: rm 44``g] 이상 [eqn: rm 52``g] 미만	[eqn: rm 44``g] 미만

어느 양계장에서 생산되는 계란 한 개의 무게는 평균이 [eqn: rm59.6 ``g]이고 표준편차가 [eqn: rm10`` g]인 정규분포를 따른다고 한다.

이 양계장에서 생산되는 계란 중에서 임의로 한 개를 택할 때, 이 계란이 왕란일 확률을 구해 보자.
(단, [eqn: {rmP}(0 le Z le 0.84)=0.3]으로 계산한다.)

을 이용하여 이 양계장에서 생산되는 계란 [eqn: 400]개 중에서 왕란으로 분류되는 계란 수의 평균과 표준편차를 구해 보자.

를 이용하여 이 양계장에서 생산되는 계란 [eqn: 400]개 중에서 왕란이 [eqn: 90]개 이상일 확률을 구해 보자.

	확률 구하기
	정보 처리

컴퓨터 프로그램인 스프레드시트를 이용하여 이항분포와 정규분포의 확률을 다음과 같이 계산해 보자.

⑴ 확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: rmB(100,~ 0.8)]을 따를 때, [eqn: rmP][eqn: (X=90)]을 구해 보자.

➊  메뉴에서 ‘수식’ - ‘함수 삽입’을 선택하면 ‘함수 마법사’ 창이 나타난다.
이때 범주 선택에서 ‘통계’, 함수 선택에서 ‘BINOM.DIST’를 선택하고 확인을 클릭하면 ‘함수 인수’ 창이 나타난다.

➋  아래 그림과 같은 ‘함수 인수’ 창에서
‘Number_s’에 [eqn: 90], ‘Trials’에 [eqn: 100], ‘Probability_s’에 [eqn: 0.8], ‘Cumulative’에 false를 입력한 후,
확인을 클릭하면 [eqn: 0.00336282]가 나온다. 따라서 [eqn: rmP][eqn: (X=90)=0.00336282]이다.

‘Cumulative’에 true를 입력하면 [eqn: rmP][eqn: (X le 90)]을 구할 수 있다.

⑵ 확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: rmN][eqn: (180,~ 50^2 )]을 따를 때, [eqn: rmP][eqn: (X le 270)]을 구해 보자.

➊  메뉴에서 ‘수식’ - ‘함수 삽입’을 선택하면 ‘함수 마법사’ 창이 나타난다.
이때 범주 선택에서 ‘통계’, 함수 선택에서 ‘NORM.DIST’를 선택하고 확인을 클릭하면 ‘함수 인수’ 창이 나타난다.

➋  아래 그림과 같은 ‘함수 인수’ 창에서 ‘X’에 [eqn: 270], ‘Mean’에 [eqn: 180],
‘Standard_dev’에 [eqn: 50],
‘Cumulative’에 true를 입력한 후,
확인을 클릭하면 [eqn: 0.964069681]이 나타난다. 따라서 [eqn: rmP][eqn: (X le 270)=0.964069681]이다.

‘수식 입력’ 창에 다음과 같이 입력하면 [eqn: rmP][eqn: (180 le X le 230)]을 구할 수 있다.

스프레드시트를 이용하여 다음에 답해 보자.

풀이 참조

⑴

[eqn: {rmP}(X le 210)=0.853145941]

⑵

[eqn: {rmP}(74 le X le 82)=0.157305356]

⑴ 확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: rmB(400,~ 0.5)]를 따를 때, [eqn: {rmP}(X le 210)]을 구해 보자.

⑵ 확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: rmN(70,~ 4^2 )]을 따를 때, [eqn: {rmP}(74 le X le 82)]를 구해 보자.

중단원 마무리하기

확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 다음 표와 같을 때, 다음에 답하시오.

⑴ [eqn: 3 over 10]	⑵ [eqn: 2 over 5]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1 over5]	[eqn: 1over10]	[eqn: a]	[eqn: 2over5]	[eqn: 1]

⑴ 상수 [eqn: a]의 값	⑵ [eqn: {rmP}(2 le X le 3)]

확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 다음 표와 같을 때, [eqn: X]의 평균과 분산 및 표준편차를 구하시오.

[eqn: {rmE}(X)= 1 over 8], [eqn: {rmV}(X)= 23 over 64], [eqn: sigma (X)= root23 over 8]

[eqn: X]	[eqn: -1]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1 over8]	[eqn: 5over8]	[eqn: 1 over4]	[eqn: 1]

확률변수 [eqn: X]에 대하여 [eqn: {rmE}(X)=24], [eqn: sigma (X)=3]일 때, 확률변수 [eqn: Y= 2 over3 X -4]의 평균과 분산 및 표준편차를 구하시오.

[eqn: {rmE}(Y)=12], [eqn: {rmV}(Y)=4], [eqn: sigma (Y)=2]

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: {rmB} left(12,~ 1 over 4 right)]을 따를 때, [eqn: X]의 평균과 분산 및 표준편차를 구하시오.

[eqn: {rmE}(X)=3], [eqn: {rmV}(X)= 9 over 4], [eqn: sigma (X)= 3 over 2]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: rmN(50,~ 5^2 )]을 따를 때,

[eqn: 0.9772]

[eqn: {rmP}(X le 60)]을 구하시오.

이산확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수가

[eqn: 1]

[eqn: {rmP}(X=x)= x over 10] ([eqn: x=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4])일 때, [eqn: X]의 분산을 구하시오.

연속확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수 [eqn: f (x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, [eqn: {rmP}(1 le X le 4)]를 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[eqn: 3 over4]

[eqn: y=f (x)]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 이므로

[eqn: 1 over 2 times 6 times k=1], 즉 [eqn: k= 1 over 3]	[eqn: 30 %]

따라서

[eqn: f (x)=][eqn: cases{ 1 over 6 x & (0 le x<2)# - 1 over 12 x+ 1 over 2& (2 le x le 6) }]

이므로 [eqn: y=f (x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: 40 %]

[eqn: {rmP}(1 le X le 4)]
[eqn: ={rmP}(1 le X le 2)+{rmP}(2 le X le 4)]
[eqn: = 1 over 2 times left( 1 over 6 + 1 over 3 right) times 1+ 1 over 2 times left( 1 over 3 + 1 over 6 right) times 2]
[eqn: = 1 over 4 + 1 over 2 = 3 over 4]	[eqn: 30 %]

확률변수 [eqn: X]에 대하여 [eqn: {rmE}(X)=30], [eqn: {rmV}(X)=4]이고, 확률변수 [eqn: Y=aX+b]에 대하여  [eqn: {rmE}(Y)=20], [eqn: {rmV}(Y)=1]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 양수이다.)

[eqn: 11 over2]

이항분포 [eqn: {rmB}(20,~ p)]를 따르는 확률변수 [eqn: X]에 대하여 [eqn: X]의 평균이 [eqn: 10]일 때, [eqn: X^2]의 평균을 구하시오.

[eqn: 105]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: {rmN}(10,~ sigma^ 2 )]을 따르고 [eqn: {rmP}(7 le X le 10)=0.1915]일 때,

[eqn: 0.1587]

확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rmN][eqn: (10,~ sigma ^2 )]을 따르므로 확률변수 [eqn: Z= X-10 over sigma]은 표준정규분포 [eqn: rmN(0,~ 1)]을 따른다.	[eqn: 20 %]

[eqn: {rmP}(7 le X le 10)]
[eqn: ={rmP}left( 7-10 over sigma le Z le 10-10 over sigma right)]
[eqn: ={rmP}left( - 3 over sigma le Z le 0 right)]

이고 [eqn: {rmP}(0 le Z le 0.5)=0.1915]이므로

[eqn: - 3 over sigma =-0.5], 즉 [eqn: sigma =6]	[eqn: 40 %]

[eqn: {rmP}(X ge 16)][eqn: ={rmP}left( Z ge 16-10 over 6 right)]
[eqn: ={rmP}(Z ge 1)]
[eqn: =0.5-0.3413]
[eqn: =0.1587]	[eqn: 40 %]

[eqn: {rmP}(X ge 16)]을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

두 확률변수 [eqn: X]와 [eqn: Y]가 각각 정규분포 [eqn: rmN(12,~ 2^2 )], [eqn: {rmN}(22,~ 3^2 )]을 따르고 [eqn: {rmP}(10 le X le k)={rmP}(k le Y le 25)]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[eqn: 16]

어느 회사에서 생산되는 노트북 컴퓨터 한 대의 무게는 평균이 [eqn: rm940 ``g]이고 표준편차가 [eqn: rm20`` g]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산된 노트북 컴퓨터 중에서 임의로 한 대를 택할 때, 이 노트북의 무게가 [eqn: rm1000 ``g] 이상일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.0013]

한 모서리의 길이가 [eqn: 1]인 정육면체에서 세 꼭짓점을 택하여 삼각형을 만들려고 한다. 만들어지는 삼각형의 넓이의 제곱을 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: {rmV}(7X)]를 구하시오.

[eqn: 3 over2]

(ⅰ)  [그림 1]과 같이 세 꼭짓점을 택하여 만든 삼각형의 넓이는
[eqn: 1 over 2 times 1 times 1= 1 over 2]

(ⅱ)  [그림 2]와 같이 세 꼭짓점을 택하여 만든 삼각형의 넓이는
[eqn: 1 over 2 times root2 times 1= root2 over2]

(ⅲ)  [그림 3]과 같이 세 꼭짓점을 택하여 만든 삼각형의 넓이는
[eqn: root3 over 4 times (root2 )^2 = root3 over2]
이상에서 확률변수 [eqn: X]가 가질 수 있는 값은
[eqn: left( 1 over 2 right)^2 = 1 over 4], [eqn: left( root2 over 2 right)^2 = 1 over 2], [eqn: left( root3 over 2 right)^2 = 3 over 4]
이고,
[eqn: {rmP} left( X= 1 over 4 right) = 24 over {`_8{rmC}_3} = 3 over 7],

[eqn: {rmP} left( X= 1 over 2 right) = 24 over{`_8{rmC}_3} = 3 over 7],

[eqn: {rmP} left( X= 3 over 4 right)= 8 over {`_8{rmC}_3} = 1 over7]

이므로

[eqn: {rmE}(X)][eqn: = 1 over 4 times 3 over 7 + 1 over 2 times 3 over 7 + 3 over 4 times 1 over 7]
[eqn: = 3 over 7]

[eqn: {rmE}(x^2 )][eqn: = left( 1 over 4 right)^2 times 3 over 7 + left( 1 over 2 right)^2 times 3 over 7 + left( 3 over 4 right)^2 times 1 over 7]
[eqn: = 3 over 14]

[eqn: {rmV}(X)][eqn: ={rmE}(X^2 )-left{{rmE}(X)right}^2]
[eqn: = 3 over 14 -left( 3 over 7 right)^2]
[eqn: = 3 over 98]

따라서 구하는 분산은

[eqn: {rmV}(7X)][eqn: =49{rmV}(X)]
[eqn: =49 times 3 over 98]
[eqn: = 3 over 2]

어느 고등학교 학생 [eqn: 400]명의 [eqn: rm1000 ``m] 달리기 기록은 평균이 [eqn: 230]초이고 표준편차가 [eqn: 30]초인 정규분포를 따른다고 한다. 기록이 몇 초 이하이면 상위 [eqn: 10]위 이내에 드는지 구하시오.

[eqn: 171.2]초 이하

이 학교 학생의 [eqn: rm1000 ``m] 달리기 기록을 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rmN(230,~ 30^2 )]을 따르므로

[eqn: Z= X-230 over 30]은 표준정규분포 [eqn: rmN(0,~ 1)]을 따른다.

기록이 [eqn: a]초 이하일 때 상위 [eqn: 10]위 이내에 든다고 하면

[eqn: {rmP}(X le a)][eqn: ={rmP} left(Z le a-230 over 30 right)]
[eqn: = 10 over 400]
[eqn: =0.025]

이므로

[eqn: {rmP} left(0 le Z le 230-a over 30 right)][eqn: =0.5-0.025]
[eqn: =0.475]

그런데 [eqn: {rmP}(0 le Z le 1.96)=0.475]이므로

[eqn: 230-a over 30 =1.96], 즉 [eqn: a=171.2]

따라서 기록이 [eqn: 171.2]초 이하이면 상위 [eqn: 10]위 이내에 든다.

통계적 추정

모집단과 표본

어느 회사에서 [eqn: 10]대가 선호하는 운동화 색상을 다음 두 가지 방법 중 하나를 택하여 조사하려고 한다.

풀이 참조

[방법 1]을 택하는 것이 정확한 결과를 얻을 수 있다.

[방법 2]를 택하는 것이 시간과 비용을 줄일 수 있다.

[방법 1] [eqn: 10]대인 모든 사람을 대상으로 조사한다.

[방법 2] [eqn: 10]대 중에서 임의로 택한 [eqn: 1000]명을 대상으로 조사한다.

어떤 방법을 택하는 것이 좋을지 생각해 보고, 그 이유를 말해 보자.

다음 조사는 전수조사와 표본조사 중 어느 것이 적합한지 말하시오.

⑴ 표본조사	⑵ 전수조사
⑶ 표본조사	⑷ 전수조사

⑴ 타이어 수명 조사	⑵ 병역 판정 검사

⑶ 과일 당도 검사	⑷ 우리나라 총인구 조사

컴퓨터 프로그램을 이용하여 우리 반에서 [eqn: 5]명의 학생을 임의추출하는 방법을 말하시오.

풀이 참조

우리 반 학생 [eqn: 30]명 중에서 [eqn: 5]명을 컴퓨터 프로그램을 이용하여 다음과 같이 임의추출한다.
셀 [eqn: rmA1]에 ‘[eqn: rm=RANDBETWEEN(1,~30)]’을 입력한 후, ‘채우기 핸들’을 이용하여 셀 [eqn: rmA5]까지 드래그 한다.

[eqn: 1]부터 [eqn: 5]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 5]개의 공이 들어 있는 주머니에서 [eqn: 2]개의 공을 다음과 같이 임의추출할 때, 그 경우의 수를 구하시오.

⑴ [eqn: 25]	⑵ [eqn: 20]
⑶ [eqn: 10]

⑴ 한 개씩 복원추출	⑵ 한 개씩 비복원추출

⑶ 동시에 [eqn: 2]개를 추출

대기 중 오존([eqn: rmO_3]) 농도가 높을 때는 오존의 살균력이 건강에 해를 끼칠 수 있어 외출을 삼가는 것이 좋다고 한다. 다음은 어느 지역의 [eqn: 8]월 [eqn: 8]일부터 [eqn: 8]월 [eqn: 12]일까지의 오후 [eqn: 2]시에 측정한 오존 농도를 나타낸 것이다.

풀이 참조

[eqn: rm0.048 ``ppm]

[eqn: 9]일과 [eqn: 11]일의 오존 농도의 평균은
[eqn: rm{0.046+0.045 }over 2 =0.0455 (ppm)]
따라서 의 결과와 다르다.

[eqn: 8]일과 [eqn: 12]일을 임의추출한 경우의 평균은
[eqn: rm{0.024+0.034} over 2 =0.029 (ppm)]
따라서 에서 구한 평균과 다르다.

➊ [eqn: 5]일 동안 오존 농도의 평균을 구해 보자.

➋ [eqn: 2]일을 임의추출하여 평균을 구하고 ➊의 결과와 비교해 보자.

➌ ➋에서 구한 평균을 다른 사람이 구한 평균과 비교해 보자.

어느 아파트에서 가구당 하루에 배출하는 음식물 쓰레기양은 평균이 [eqn: rm860`` g]이고 표준편차가 [eqn: rm60 ``g]이라고 한다. 이 아파트에서 [eqn: 36]가구를 임의추출할 때, 가구당 하루에 배출하는 음식물 쓰레기양의 표본평균의 평균과 표준편차를 구하시오.

평균 : [eqn: rm860`` g], 표준편차 : [eqn: rm10``g]

어느 고등학교 학생들이 등교할 때 걸리는 시간은 평균이 [eqn: 20]분이고 표준편차가 [eqn: 5]분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 학교 학생 중에서 [eqn: 36]명을 임의추출할 때, 등교할 때 걸리는 시간의 평균이 [eqn: 18]분 이상일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.9918]

등교할 때 걸리는 시간이 정규분포 [eqn: rmN(20,~ 5^2 )]을 따르므로 [eqn: 36]명이 등교할 때 걸리는 시간의 평균 [eqn: barX]는 정규분포 [eqn: {rmN} left(20,~ 5^2 over 36 right)]을 따른다.

따라서 확률변수 [eqn: Z= {barX -20} over {5 over root36}]은 표준정규분포 [eqn: rm{rmN}(0,~ 1)]을 따르므로, 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(barX ge 18)][eqn: ={rmP}left( Z ge { 18-20 over {5 over root36}} right)]
[eqn: ={rmP}(Z ge -2.4)]
[eqn: =0.5+{rmP}(0 le Z le 2.4)]
[eqn: =0.5+0.4918]
[eqn: =0.9918]

어느 비행기 탑승객의 짐의 무게는 평균이 [eqn: rm18 ``kg]이고 표준편차가 [eqn: rm4 ``kg]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 비행기 탑승객 중에서 [eqn: 16]명을 임의추출할 때, 짐의 평균 무게가 [eqn: rm17 ``kg] 이상 [eqn: rm20 ``kg] 이하일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.8185]

모평균의 추정

어느 제과점에서 만든 과자 [eqn: 10]개를 임의추출하여 [eqn: 1]개당 당류 함유량을 조사하였더니 과자 [eqn: 1]개당 당류 함유량의 표본평균이 [eqn: rm10`` g]이고 표본표준편차가 [eqn: rm0.3 ``g]이었다고 한다.

풀이 참조

과자 [eqn: 10]개의 과자 [eqn: 1]개당 당류 함유량의 표본평균이 [eqn: rm10 ``g]이므로 모평균은 [eqn: rm10 ``g]일 것으로 추측할 수 있다.

표본이 다르면 그에 따라 과자 [eqn: 10]개의 과자 [eqn: 1]개당 당류 함유량의 표본평균도 달라질 것이다. 따라서 추측한 값이 모평균과 같다고 확신할 수는 없지만 모평균은 추측한 값에 가까울 것이라고 기대할 수 있다.

➊  과자 [eqn: 1]개당 당류 함유량의 모평균을 추측해 보자.

➋ ➊에서 추측한 값이 모평균과 같다고 할 수 있는지 말해 보자.

어느 고등학교 남학생들의 하루 운동 시간은 모평균이 [eqn: m]분이고 모표준편차가 [eqn: 10]분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 학교 남학생 중에서 [eqn: 25]명을 임의추출하여 하루 운동 시간을 조사하였더니, 평균이 [eqn: 42]분이었다. 이 학교 남학생들의 하루 운동 시간의 모평균 [eqn: m]을 신뢰도 [eqn: 95] %로 추정하시오.

[eqn: 38.08 le m le 45.92](단위 : 분)

[eqn: n=25], [eqn: barx =42], [eqn: sigma =10]이므로 모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 95] %의 신뢰구간은

[eqn: 42-1.96 times 10 over root25 le m le 42+1.96 times 10 over root25]

[eqn: 38.08 le m le 45.92]

어느 회사에서 생산되는 두루마리 휴지의 길이는 모평균이 [eqn: m ``rmm]이고 모표준편차가 [eqn: rm0.2`` m]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산된 두루마리 휴지 중에서 [eqn: 36]개를 임의추출하여 그 길이를 측정하였더니, 평균이 [eqn: rm100.7 ``m]이었다. 이 회사에서 생산된 두루마리 휴지의 길이의 모평균 [eqn: m]을 신뢰도 [eqn: 99] %로 추정하시오.

[eqn: 100.614 le m le 100.786](단위 : [eqn: rmm])

어느 회사에서 생산되는 휴대 전화의 배터리 사용 시간은 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산된 휴대 전화 [eqn: 64]대를 임의추출하여 배터리 사용 시간을 조사하였더니 평균이 [eqn: 8]시간이고 표준편차가 [eqn: 1]시간이었다. 이 휴대 전화의 배터리 사용 시간의 모평균 [eqn: m]을 신뢰도 [eqn: 95] %로 추정하시오.

[eqn: 7.755 le m le 8.245] (단위 : 시간)

[eqn: n=64], [eqn: barx =8], [eqn: s=1]이고 표본의 크기 [eqn: n]이 충분히 크므로 모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 95] %의 신뢰구간은

[eqn: 8-1.96 times 1 over root64 le m le 8+1.96 times 1 over root64]

[eqn: 7.755 le m le 8.245]

어느 자동차 회사에서 생산되는 자동차의 연료 [eqn: rm1 ``L]당 주행거리인 연비는 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산된 자동차 [eqn: 100]대를 임의추출하여 연비를 조사하였더니 평균이 [eqn: rm15.6`` km]이고 표준편차가 [eqn: rm4.5 ``km]이었다. 이 자동차의 연비의 모평균 [eqn: m]을 신뢰도 [eqn: 99] %로 추정하시오.

[eqn: 14.439 le m le 16.761](단위 : [eqn: rmkm])

[생각 넓히기]

모표준편차가 [eqn: sigma]인 정규분포를 따르는 어느 모집단에서 표본을 임의추출하여 모평균 [eqn: m]을 추정하였더니, 모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: alpha] %의 신뢰구간이 [eqn: a le m le b]이었다.

㈎ 참	㈏ 참
㈐ 거짓

이때 다음 명제의 참, 거짓을 판별하시오.

㈎ 표본의 크기가 일정할 때, 신뢰도를 높게 하면 [eqn: b-a]의 값은 커진다.

㈏ 신뢰도가 일정할 때, 표본의 크기를 크게 하면 [eqn: b-a]의 값은 작아진다.

㈐ 신뢰도가 일정할 때, 표본의 크기를 [eqn: 2]배로 늘리면 [eqn: b-a]의 값은 [eqn: 1 over 2]배가 된다.

	생활 속의 통계적 추정
	창의 · 융합 | 태도 및 실천

다음은 생활 속에서 자료를 수집하고 정리하여 통계적 추정을 통해 결과를 분석하는 과정이다.

1. 조사 내용과 대상 선정

⑴ 조사 내용 선정
우리 학교 학생들의 스마트폰 사용 실태를 알아보기 위하여, 전체 학생들의
- 한 달 동안의 스마트폰 데이터 사용량 조사
- 하루 동안의 스마트폰 사용 시간 조사

⑵ 조사 대상 선정
우리 학교의 전체 학생 중에서 임의추출한 [eqn: 30]명의 학생을 대상으로 조사한다.

2. 설문 조사지 작성 및 조사 실시

3. 자료 분석

조사 대상 학생들의 설문 조사지를 분석하여 다음의 표본평균과 표본표준편차를 구한다.

- 한 달 동안의 스마트폰 데이터 사용량

- 하루 동안의 스마트폰 사용 시간

4. 통계적 추정을 이용한 모평균의 추정

조사 대상 학생들에 대한 자료 분석을 이용하여 다음의 모평균을 신뢰도 [eqn: 95] %의 신뢰 구간으로 추정한다.

- 우리 학교 전체 학생들의 한 달 동안의 스마트폰 데이터 사용량

- 우리 학교 전체 학생들의 하루 동안의 스마트폰 사용 시간

위와 같이 생활 속에서 표본평균을 이용하여 모평균을 추정할 수 있는 예를 찾아 설문 조사를 실시하고, ‘생활 속의 통계적 추정’이란 주제로 발표해 보자.

생략

중단원 마무리하기

다음 조사는 전수조사와 표본조사 중 어느 것이 적합한지 말하시오.

⑴ 표본조사	⑵ 전수조사

⑴ 형광등 수명 조사

⑵ 어느 고등학교 학생들의 □확률과 통계□ 시험의 평균 점수

모평균이 [eqn: 56]이고 모분산이 [eqn: 9]인 모집단에서 임의추출한 크기가 [eqn: 36]인 표본의 표본평균 [eqn: barX]의 평균과 분산 및 표준편차를 구하시오.

[eqn: {rmE}(barX )=56], [eqn: {rmV}(barX )= 1 over 4], [eqn: sigma (barX )= 1 over 2]

정규분포 [eqn: rmN(12,~ 5^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 25]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: barX]가 [eqn: 10] 이상 [eqn: 14] 이하일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.9544]

정규분포 [eqn: rmN(itm,~ 4^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 64]인 표본을 임의추출하였더니 표본평균이 [eqn: 15]이었다. 모평균 [eqn: m]을 신뢰도 [eqn: 95]%로 추정하시오.

[eqn: 14.02 le m le 15.98]

표준편차가 [eqn: 4]인 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균의 표준편차가 [eqn: 0.1] 이하가 되도록 하는 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오.

[eqn: 1600]

[eqn: 1]부터 [eqn: 5]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 5]장의 카드 중에서 [eqn: 3]장의 카드를 임의추출할 때, 꺼낸 카드에 적힌 숫자의 평균을 [eqn: barX]라 하자. 이때 [eqn: {rmV}(2barX )]를 구하시오.

[eqn: 8 over 3]

정규분포 [eqn: {rmN}(m,~ 5^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출할 때, 표본평균과 모평균의 차가 [eqn: 0.2] 이하일 확률이 [eqn: 0.9544]이다. 이때 [eqn: n]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[eqn: 2500]

[eqn: {rmE}(barX )=m], [eqn: sigma (barX )= 5 over rootn]이므로

[eqn: barX]는 정규분포 [eqn: rmN][eqn: left(m,~ left( 5 over rootn right)^2 right)]을 따른다.	[eqn: 30 %]

따라서 확률변수 [eqn: Z= {barX -m} over {5 over rootn}]은 표준정규분포 [eqn: rmN(0,~ 1)]을 따르므로

[eqn: {rmP}(|`barX -m`| le 0.2)=0.9544]

에서

[eqn: {rmP} left( |`Z`| le 0.2 times rootn over 5 right)=0.9544]

[eqn: {rmP}left(0 le Z le rootn over 25 right) =0.4772]	[eqn: 40 %]

이때 [eqn: {rmP}(0 le Z le 2)=0.4772]이므로

[eqn: rootn over 25 =2], 즉 [eqn: n=2500]	[eqn: 30 %]

어느 공장에서 생산되는 음료수 캔 한 개의 용량은 평균이 [eqn: rm500 ``mL]이고 표준편차가 [eqn: rm2 ``mL]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산된 음료수 캔 중에서 [eqn: n]개를 임의추출할 때, 표본평균 [eqn: barX]가 [eqn: rm499 ``mL] 이상 [eqn: rm501`` mL] 이하일 확률이 [eqn: 0.9974]이다. 이때 [eqn: n]의 값을 구하시오.

[eqn: 36]

어느 농장에서 키우는 돼지의 무게는 표준편차가 [eqn: rm5 ``kg]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 농장에서 돼지 [eqn: 100]마리를 임의추출하여 무게를 조사하였더니 평균이 [eqn: rm150 ``kg]이었다. 이 농장에서 키우는 돼지의 무게의 모평균 [eqn: m]을 신뢰도 [eqn: 95] %로 추정하시오.

[eqn: 149.02 le m le 150.98](단위 : [eqn: rmkg])

모평균 [eqn: m]의 신뢰구간이 [eqn: alpha le m le beta]일 때, [eqn: beta-alpha]를 신뢰구간의 길이라고 한다. 정규분포 [eqn: {rmN( itm,~ sigma^ 2 )]을 따르는 모집단에서 임의추출한 크기가 [eqn: n]인 표본의 표본평균을 [eqn: barX]라 하자. 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95]%의 신뢰구간의 길이가 [eqn: 1 over 2 sigma] 이하일 때, [eqn: n]의 최솟값을 구하는 풀이 과정과 답을 쓰시오.

[eqn: 62]

신뢰도 [eqn: 95] %의 신뢰구간의 길이를 [eqn: l]이라 하면

[eqn: l=2 times 1.96 times sigma over rootn]	[eqn: 30 %]

따라서 [eqn: l le 1 over 2 sigma]이므로

[eqn: 2 times 1.96 times sigma over rootn le 1 over 2 sigma],    [eqn: rootn ge 2 times 2 times 1.96]

[eqn: rootn ge 7.84], 즉 [eqn: n ge 61.4656]	[eqn: 60 %]

따라서 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 62]이다.	[eqn: 10 %]

[eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]의 숫자가 각각 하나씩 적힌 공이 각각 [eqn: 80]개, [eqn: 60]개, [eqn: 40]개, [eqn: 20]개가 들어 있는 주머니에서 [eqn: 100]개의 공을 임의추출할 때, 공에 적힌 숫자의 평균을 [eqn: barX]라 하자. 이때 [eqn: {rmP}(barX ge k)=0.0228]을 만족시키는 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[eqn: 26 over5]

주머니에서 [eqn: 1]개의 공을 임의추출할 때, 공에 적힌 숫자를 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]의 확률분포는 다음 표와 같다.

[eqn: X]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 6]	[eqn: 7]	합계
[eqn: rmP(it X =x )]	[eqn: 2over5]	[eqn: 3over10]	[eqn: 1over5]	[eqn: 1over10]	[eqn: 1]

[eqn: {rmE}(X)][eqn: =4 times 2 over 5 +5 times 3 over 10 +6 times 1 over 5 +7 times 1 over 10]
[eqn: =5]

[eqn: {rmV}(X)][eqn: =(-1)^2 times 2 over 5 +0^2 times 3 over 10 +1 times 1 over 5 +2^2 times 1 over 10]
[eqn: =1]

[eqn: sigma (X)=1]

[eqn: n=100]이므로 표본평균 [eqn: barX]는 근사적으로 정규분포

[eqn: rmN left(5,~ left( 1 over 10 right)^2 right)]을 따른다.

따라서 확률변수 [eqn: Z= {barX -5} over {1 over 10} =10(barX -5)]는 표준정규분포 [eqn: rmN(0,~ 1)]을 따르므로 [eqn: {rmP}(barX ge k)=0.0228]에서

[eqn: {rmP}(Z ge 10(k-5))=0.0228]

[eqn: {rmP}(0 le Z le 10(k-5))][eqn: =0.5-0.0228]
[eqn: =0.4772]

이때 [eqn: {rmP}(0 le Z le 2)=0.4772]이므로

[eqn: 10(k-5)=2], 즉 [eqn: k= 26 over 5]

정규분포 [eqn: {rmN}(m,~ 4^2 )]을 따르는 모집단에서 임의추출한 크기가 [eqn: m^2]인 표본의 표본평균을 [eqn: barX]라 하자. 이때 [eqn: {rmP}(m-1 le barX le m+1)=0.9544]를 만족시키는 [eqn: m]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m]은 자연수이다.)

[eqn: 8]

[eqn: {rmE}(barX )=m], [eqn: sigma (barX )= 4 over m]이므로 [eqn: barX]는 정규분포

[eqn: rmN][eqn: left( m,~ left( 4 over m right)^2 right)]을 따른다.

따라서 확률변수 [eqn: Z= {barX -m} over {4 over m}]은 표준정규분포

[eqn: rmN(0,~ 1)]을 따르므로

[eqn: {rmP}(m-1 le barX le m+1)=0.9544]에서

[eqn: {rmP} left(- m over 4 le Z le m over 4 right)=0.9544]

[eqn: {rmP}left( 0 le Z le m over 4 right)=0.4772]

이때 [eqn: {rmP}(0 le Z le 2)=0.4772]이므로

[eqn: m over 4 =2], 즉 [eqn: m=8]

어느 초콜릿 공장에서 만드는 초콜릿 한 개의 무게는 평균이 [eqn: rm30``g]이고 표준편차가 [eqn: rm4`` g]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 초콜릿 공장에서는 초콜릿을 [eqn: 4]개씩 한 상자에 담아서 판매하는데, [eqn: 4]개의 초콜릿을 담은 상자의 무게가 [eqn: rm109.76`` g] 이하이면 불량품인 상자로 판정된다고 한다. 이 초콜릿 공장에서 출하한 초콜릿 상자 [eqn: 400]개 중에서 불량품인 상자가 [eqn: 28]개 이하일 확률을 구하시오. (단, 상자의 무게는 무시하고, [eqn: {rmP}(0 le Z le 1.28)=0.40], [eqn: {rmP}(0 le Z le 2)=0.48]로 계산한다.)

[eqn: 0.02]

한 상자에 들어 있는 초콜릿 [eqn: 4]개의 평균 무게를 [eqn: barX]라 하면 [eqn: barX]는 정규분포 [eqn: rmN left(30,~ left( 4 over root4 right)^2 right)], 즉 [eqn: rmN(30,~ 2^2 )]을 따르므로 출하한 상자가 불량품일 확률은

[eqn: {rmP}(4barX le 109.76)]

[eqn: ={rmP}(barX le 27.44)]

[eqn: ={rmP}left (Z le 27.44-30 over 2 right)]

[eqn: ={rmP}(Z le -1.28)]

[eqn: =0.5-{rmP}(0 le Z le 1.28)]

[eqn: =0.5-0.4]

[eqn: =0.1]

한편, 초콜릿 상자 [eqn: 400]개 중에서 불량품인 상자의 수를 확률변수 [eqn: Y]라 하면 [eqn: Y]는 이항분포 [eqn: rmB(400,~ 0.1)]을 따른다.

이때 [eqn: n]이 충분히 크므로 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: rmN(40,~ 6^2 )]을 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(Y le 28)][eqn: ={rmP} left( Z le 28-40 over 6 right)]
[eqn: ={rmP}(Z le -2)]
[eqn: =0.5-{rmP}(0 le Z le 2)]
[eqn: =0.5-0.48]
[eqn: =0.02]

대단원 평가하기

흰 공 [eqn: 4]개와 검은 공 [eqn: 6]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 꺼낼 때, 꺼낸 검은 공의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. 이때 [eqn: {rmP}(X le 2)]의 값은?

⑤

각 면에 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3]의 숫자가 각각 하나씩 적힌 정육면체 모양의 주사위가 있다. 이 주사위를 던져서 나온 눈의 수를 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: {rmE}(X)]의 값은?

④

확률변수 [eqn: X]에 대하여 [eqn: {rmE}(X)=4], [eqn: {rmE}(X^2 )=25]일 때, [eqn: sigma(X)]의 값은?

①

확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 다음 표와 같을 때, [eqn: {rmE}(aX+b)]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

③

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1 over 4]	[eqn: 1 over 2]	[eqn: a]	[eqn: b]

각 면에 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]의 숫자가 각각 하나씩 적힌 정사면체가 있다. 이 정사면체를 던져서 바닥에 놓인 면에 적힌 숫자를 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: {rmV}(2X+1)]의 값은?

③

어느 농구 선수가 자유투를 성공할 확률은 [eqn: 0.9]라고 한다. 이 선수가 [eqn: 100]번의 자유투를 던질 때, 성공한 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: {rmE}(X)+sigma(X)]의 값은?

②

이항분포 [eqn: {rmB}(n,~ p)]를 따르는 확률변수 [eqn: X]에 대하여 [eqn: X]의 평균이 [eqn: 5]이고 분산이 [eqn: 4]일 때, [eqn: n over p]의 값을 구하시오.

[eqn: 125]

두 확률변수 [eqn: X]와 [eqn: Y]는 각각 정규분포 [eqn: {rmN}(10,~ 3^2 )]과 [eqn: {rmN}(m,~ 3^2 )]을 따른다. 이때 각각의 확률밀도함수 [eqn: f (x)]와  [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다고 한다.

[eqn: 0.9772]

정규분포를 따르는 두 확률변수 [eqn: X]와 [eqn: Y]의 표준편차가 같으므로 두 확률밀도함수 [eqn: y=f (x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 대칭축의 위치는 다르지만 모양이 같다.

이때 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: rmN][eqn: (m,~ 3^2 )]을 따르고 조건 ㈎에서 [eqn: {rmP}(X le 10) le {rmP}(Y ge 25)]이므로

[eqn: 0.5 le {rmP}(Y ge 25)],

[eqn: m ge 25]

또, 조건 ㈏에서

[eqn: f (15)=g(25)]

이므로

[eqn: m=25+(15-10)=30]

따라서 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: rmN(30,~ 3^2 )]을 따르므로 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(Y le 36)][eqn: ={rmP} left(Z le 36-30 over 3 right)]
[eqn: ={rmP}(Z le 2)]
[eqn: =0.5+{rmP}(0 le Z le 2)]
[eqn: =0.9772]

㈎ [eqn: {rmP}(X le 10) le {rmP}(Y ge 25)]

㈏ [eqn: f (15)=][eqn: g][eqn: (25)]

[eqn: {rmP}(Y le 36)]의 값을 구하시오.

어느 고등학교 학생들의 봉사 시간은 평균이 [eqn: 48]시간이고 표준편차가 [eqn: 10]시간인 정규분포를 따른다고 한다. 이 고등학교 학생 중에서 임의로 [eqn: 1]명을 택할 때, 이 학생의 봉사 시간이 [eqn: 58]시간 이상일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.1587]

어느 공장에서 생산되는 이온 음료 한 병의 용량은 평균이 [eqn: rm250 ``mL]이고 표준편차가 [eqn: rm0.5 ``mL]인 정규분포를 따른다고 한다.
이온 음료 한 병의 용량이 [eqn: rm248.5`` mL] 이상 [eqn: rm251.5 ``mL] 이하일 때 합격품으로 처리한다. 이 공장에서 생산된 이온 음료 [eqn: 10000]병 중에서 합격품의 개수의 기댓값을 구하시오.

[eqn: 9974]

어느 자격증 시험에서 [eqn: 70]점 이상을 받으면 합격이라고 한다. [eqn: 10000]명이 응시한 이 자격증 시험 점수가 평균이 [eqn: 55]점이고 표준편차가 [eqn: sigma]점인 정규분포를 따를 때, 합격자 수가 [eqn: 668]명이었다. [eqn: sigma]의 값을 구하시오.

[eqn: 10]

어느 공장에서 생산되는 [eqn: rmA] 타이어의 수명은 평균이 [eqn: rm40000 ``km]이고 표준편차가 [eqn: rm2000`` km]인 정규분포를 따르고, [eqn: rmB] 타이어의 수명은 평균이 [eqn: rm45000`` km]이고 표준편차가 [eqn: rm4000 ``km]인 정규분포를 따른다고 한다.
이 공장에서 생산된 [eqn: rmA] 타이어와 [eqn: rmB] 타이어 중에서 임의로 제품을 각각 [eqn: rm1]개씩 택할 때, 택한 [eqn: rmA] 타이어의 수명이 [eqn: rm43000 ``km] 이상일 확률과 [eqn: rmB] 타이어의 수명이 [eqn: a ``rmkm]이하일 확률이 같다. 상수 [eqn: a]의 값은?

[eqn: 39000]

[eqn: rmA] 타이어의 수명을 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포

[eqn: rmN(40000,~ 2000^2 )]을 따르므로 확률변수

[eqn: Z= X-40000 over 2000]은 표준정규분포 [eqn: rmN(0,~ 1)]을 따른다.

따라서 임의로 택한 [eqn: rmA] 타이어의 수명이 [eqn: rm43000 ``km] 이상일 확률은

[eqn: {rmP}(X ge 43000)][eqn: ={rmP}left(Z ge { 43000-40000 }over 2000 right)]
[eqn: ={rmP}(Z ge 1.5)]

[eqn: rmB] 타이어의 수명을 확률변수 [eqn: Y]라 하면 [eqn: Y]는 정규분포

[eqn: rmN(45000,~ 4000^2 )]을 따르므로 확률변수

[eqn: Z= Y-45000 over 4000]은 표준정규분포 [eqn: rmN(0,~ 1)]을 따른다.

따라서 임의로 택한 [eqn: rmB] 타이어의 수명이 [eqn: a ``rmkm] 이하일 확률은

[eqn: {rmP}(Y le a)={rmP} left(Z le a-45000 over 4000 right)]

이때 [eqn: {rmP}(Z ge 1.5)={rmP} left(Z le a-45000 over 4000 right)]이므로

[eqn: 1.5=- a-45000over 4000],    [eqn: 6000=-a+45000]

즉,    [eqn: a=39000]

어느 지역의 청소년 음악 콩쿠르 지원자 [eqn: 1000]명의 평가 점수가 평균이 [eqn: 63]점이고 표준편차가 [eqn: 20]점인 정규분포를 따른다고 한다. 이 콩쿠르의 예선을 통과한 인원이 [eqn: 242]명이라 할 때, 예선을 통과할 수 있는 최저 점수를 구하시오.

[eqn: 77]점

어느 고속 도로의 하이 패스를 이용하는 차량의 [eqn: 80] %가 승용차라고 한다. 이 고속 도로의 하이 패스를 이용한 차량 [eqn: 400]대 중에서 승용차가 [eqn: 336]대 이상일 확률을 구하시오.

[eqn: 0.0228]

어느 세차장에서 자동차 한 대를 세차하는 데 걸리는 시간은 평균이 [eqn: 8]분이고 표준편차가 [eqn: 2]분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 세차장에서 세차를 한 자동자 중에서 [eqn: 16]대를 임의추출할 때, 이 [eqn: 16]대의 총 세차 시간의 합이 [eqn: 2]시간 이하일 확률을 구하시오..

[eqn: 0.1587]

어느 공장에서 생산되는 [eqn: rmA] 제품의 무게는 정규분포 [eqn: {rmN}(m,~ 2^2 )]을 따르고, [eqn: rmB] 제품의 무게는 정규분포 [eqn: {rmN}(3m,~ 4^2 )]을 따른다고 한다. 이 공장에서 생산된 [eqn: rmA] 제품과 [eqn: rmB] 제품 중에서 임의로 [eqn: 4]개씩 택할 때, 택한 [eqn: rmA] 제품 [eqn: 4]개의 평균 무게가 [eqn: k] 이상일 확률과 [eqn: rmB]제품 [eqn: 4]개의 평균 무게가 [eqn: k] 이하일 확률이 같다. [eqn: m over k]의 값은?

[eqn: 3 over5]

[eqn: rmA] 제품 [eqn: 4]개의 무게의 평균을 [eqn: barX]라 하면 표본평균 [eqn: barX]의 평균과 표준편차는

[eqn: {rmE}(barX )=m], [eqn: sigma (barX )= 2 over root4 =1]

이므로 표본평균 [eqn: barX]는 정규분포 [eqn: rmN][eqn: (m,~ 1^2 )]을 따른다.

따라서 임의로 택한 [eqn: rmA] 제품 [eqn: 4]개의 평균 무게가 [eqn: k] 이상일 확률은

[eqn: {rmP}(barX ge k)={rmP} left(Z ge k-m over 1 right)]

이다.

[eqn: rmB] 제품 [eqn: 4]개의 무게의 평균을 [eqn: barY]라 하면 표본평균 [eqn: barY]의 평균과 표준편차는

[eqn: {rmE}(barY )=3m], [eqn: sigma (barY )= 4 over root4 =2]

이므로 표본평균 [eqn: barY]는 정규분포 [eqn: rmN][eqn: (3m,~ 2^2 )]을 따른다.

따라서 임의로 택한 [eqn: rmB] 제품 [eqn: 4]개의 평균 무게가 [eqn: k] 이하일 확률은

[eqn: {rmP}(barY le k)={rmP}left(Z le k-3m over 2 right)]

이다.

이때 [eqn: {rmP}left(Z ge k-m over 1 right)={rmP} left(Z le k-3m over 2 right)]이므로

[eqn: k-m over 1 =- k-3m over 2],    [eqn: 2k-2m=-k+3m]

[eqn: 3k=5m], 즉 [eqn: m over k = 3 over 5]

정규분포 [eqn: {rmN( itm,~ sigma^ 2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 그 표본평균을 [eqn: barX]라 하자. 모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 95] %의 신뢰구간이 [eqn: a le m le b]라 할 때 [eqn: b-a=11.76]이다. [eqn: {rmP}(barX ge m+5.88)]의 값을 구하시오.

[eqn: 0.025]

모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 95] %의 신뢰구간 [eqn: a le m le b]에서

[eqn: b-a=11.76]이므로

[eqn: 2 times 1.96 sigma over rootn =11.76], 즉 [eqn: sigma over rootn =3]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(barX ge m+5.88)]

[eqn: ={rmP} left(Z ge { m+5.88-m} over 3 right)]

[eqn: ={rmP}(Z ge 1.96)]

[eqn: =0.5-{rmP}(0 le Z le 1.96)]

[eqn: =0.5-0.4750]

[eqn: =0.025]

어느 고등학교 학생들의 일 년 독서량은 표준편차가 [eqn: 5]권인 정규분포를 따른다고 한다. 이 고등학교 학생 중에서 [eqn: n]명을 임의추출하여 일 년 독서량을 조사하였더니 평균이 [eqn: 10]권이었다.
이 고등학교 학생들의 일 년 독서량의 평균 [eqn: m]의 신뢰도
[eqn: 99] %의 신뢰구간이 [eqn: 8.71 le m le 11.29]일 때, [eqn: n]의 값을 구하시오.

[eqn: 100]

[eqn: 1]부터 [eqn: 12]까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 12]개의 공이 들어 있는 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내는 시행을 반복한다. 꺼낸 공에 적힌 수를 모두 더하여 그 합이 [eqn: 4]의 배수가 되면 이 시행을 멈추기로 할 때, 시행을 멈출 때까지 꺼낸 공의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: {rmP}(X ge 3)]의 값을 구하시오. (단, 꺼낸 공은 다시 넣지 않는다.)

[eqn: 25 over44]

공에 적힌 수를 [eqn: 4]로 나눈 나머지가 [eqn: r]인 숫자의 집합을 [eqn: A_r]라 하면

[eqn: A_0 =]{[eqn: 4], [eqn: 8], [eqn: 12]},

[eqn: A_1 =]{[eqn: 1], [eqn: 5], [eqn: 9]},

[eqn: A_2 =]{[eqn: 2], [eqn: 6], [eqn: 10]},

[eqn: A_3 =]{[eqn: 3], [eqn: 7], [eqn: 11]}	[eqn: 30 %]

(ⅰ) [eqn: X=1]인 경우
꺼낸 공에 적힌 수가 [eqn: A_0]의 원소이어야 하므로

[eqn: {rmP}(X=1)= 3 over 12 = 1 over 4]	[eqn: 20 %]

(ⅱ) [eqn: X=2]인 경우
꺼낸 공에 적힌 수가 각각 [eqn: A_1], [eqn: A_3]의 원소이거나, 각각 [eqn: A_3], [eqn: A_1]의 원소이거나, 두 개의 원소가 모두 [eqn: A_2]의 원소이어야 하므로

[eqn: {rmP}(X=2)]

[eqn: =2 times left( 3 over 12 times 3 over 11 right)+ 3 over 12 times 2 over 11]

[eqn: = 2 over 11]	[eqn: 20 %]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: {rmP}(X le 2)][eqn: ={rmP}(X=1)+{rmP}(X=2)]
[eqn: = 1 over 4 + 2 over 11]
[eqn: = 19 over 44]	[eqn: 20 %]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {rmP}(X ge 3)][eqn: =1-{rmP}(X le 2)]
[eqn: = 25 over 44]	[eqn: 10 %]

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: {rmB}(10,~ p)]를 따르고,
[eqn: {rmP}(X=3)= 4 over5 {rmP}(X=4)]
일 때, [eqn: {rmE}(6X)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p!=0])

[eqn: 25]

[eqn: {rmP}(X=3)=_10{rmC}_3 p^3 (1-p)^7],

[eqn: {rmP}(X=4)=_10{rmC}_4 p^4 (1-p)^6]	[eqn: 30 %]

[eqn: {rmP}(X=3)= 4 over 5 {rmP}(X=4)]에서

[eqn: `_10{rmC}_3 p^3 (1-p)^7 = 4 over 5 times _10{rmC}_4 p^4 (1-p)^6],

[eqn: 10! over 3!7! p^3 (1-p)^7 = 4 over 5 times 10! over 4!6! p^4 (1-p)^6],

[eqn: 5-5p=7p], 즉 [eqn: p= 5 over 12]	[eqn: 40 %]

따라서 [eqn: {rmE}(X)=10 times 5 over 12 = 25 over 6]이므로

[eqn: {rmE}(6X)=6 times 25 over 6 =25]	[eqn: 30 %]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: {rmN}(7,~ 3^2 )]을 따를 때, 확률
[eqn: {rmP}(2a-5 le X le 4a+1)]이 최대가 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 3]

[eqn: Z= X-7 over 3]로 놓으면

[eqn: {rmP}(2a-5 le X le 4a+1)]

[eqn: ={rmP} left( 2a-12 over 3 le Z le 4a-6 over 3 right)]	[eqn: 30 %]

주어진 확률이 최대이려면 [eqn: 2a-12 over 3]와 [eqn: 4a-6 over 3]이 직선 [eqn: Z=0]에 대하여 대칭이어야 한다.	[eqn: 40 %]

즉, [eqn: 2a-12 over 3 =- 4a-6 over 3]이므로

[eqn: a=3]	[eqn: 30 %]

어느 지역의 버스 정류장 사이의 거리는 표준편차가 [eqn: rm80`` m]인 정규분포를 따른다. 모평균을 신뢰도 [eqn: 95] %로 추정할 때, 모평균과 표본평균의 차가 [eqn: rm39.2`` m] 이하가 되기 위한 표본의 크기의 최솟값을 구하시오.

[eqn: 16]

표본평균을 [eqn: barX], 표본의 크기를 [eqn: n]이라 하면, 모평균 [eqn: m]의 신뢰도 [eqn: 95] %의 신뢰구간은

[eqn: barX -1.96 times 80 over rootn le m le barX +1.96 times 80 over rootn]

이므로

[eqn: |`m-barX `| le 1.96 times 80 over rootn]	[eqn: 40 %]

모평균과 표본평균의 차가 [eqn: rm39.2 ``m] 이하가 되려면

[eqn: 1.96 times 80 over rootn le 39.2],     [eqn: rootn ge 4]

즉,    [eqn: n ge 16]	[eqn: 40 %]

따라서 표본의 크기의 최솟값은 [eqn: 16]이다.	[eqn: 20 %]

빠른정답

같다.

⑴ [eqn: 24]	⑵ [eqn: 12]

⑴ [eqn: 120]	⑵ [eqn: 24]

[eqn: 45360]

[eqn: 1000]

[eqn: 243]

[eqn: 192]

[eqn: 144]

[eqn: 6]

⑴ [eqn: 60]	⑵ [eqn: 4]

[eqn: 15]

⑴ [eqn: 126]	⑵ [eqn: 60]

[eqn: 252]	[eqn: 343]

	[eqn: rmA]	[eqn: rmB]	[eqn: rmO]
[eqn: rmA]	[eqn: rmAA]	[eqn: rmAB]	[eqn: rmAO]
[eqn: rmB]	[eqn: rmAB]	[eqn: rmBB]	[eqn: rmBO]
[eqn: rmO]	[eqn: rmAO]	[eqn: rmBO]	[eqn: rmOO]

[eqn: rmAA], [eqn: rmAB], [eqn: rmAO], [eqn: rmBB], [eqn: rmBO], [eqn: rmOO]

[eqn: {( BOX{```4```} +2)!} over {BOX{```4```} `! TIMES 2!} = {BOX{```6```} `!} over {BOX{```4```} `! TIMES 2!} = BOX{`15`}]

⑴ [eqn: 56]	⑵ [eqn: 120]

[eqn: 21]

[eqn: 15]

⑴ [eqn: 20]	⑵ [eqn: 24]

⑴ [eqn: 28]	⑵ [eqn: 10]

⑴ [eqn: 45]	⑵ [eqn: 21]

[eqn: 66]	[eqn: 66]	같다.

⑴ [eqn: 4]가지	⑵ [eqn: 12]가지

[eqn: 5040]

[eqn: 125]

[eqn: 60]

⑴ [eqn: 16]	⑵ [eqn: 6]

[eqn: 6]

[eqn: 840]

⑴ [eqn: 120]	⑵ [eqn: 48]

[eqn: 81]

[eqn: 50]

[eqn: 120]

⑴ [eqn: 2]	⑵ [eqn: 4]

[eqn: 21]

[eqn: 250]번째 수

⑴  [eqn: 243]	⑵ [eqn: 80]

[eqn: 75]

풀이 참고

[eqn: (a+b)^3 =a^3 +3a^2 b+3ab^2 +b^3]이고

[eqn: `_3{rmC}_0 =`_3{rmC}_3 =1], [eqn: `_3{rmC}_1 =`_3{rmC}_2 =3]이므로 [eqn: a^3], [eqn: a^2 b], [eqn: ab^2], [eqn: b^3]의 계수와 [eqn: `_3{rmC}_0], [eqn: `_3{rmC}_1], [eqn: `_3{rmC}_2], [eqn: `_3{rmC}_3]은 각각 서로 같다.

⑴ [eqn: 15]	⑵ [eqn: 6]

[eqn: x^4 -8x^3 +24x^2 -32x+16]

⑴ [eqn: x^4 +8x^3 y+24x^2 y^2 +32xy^3 +16y^4]

[eqn: 40]

⑴ [eqn: -18]	⑵ [eqn: -540]

풀이 참조

이항정리를 이용하여 [eqn: (1+x)^n]을 전개하면

[eqn: (1+x)^n =`_n{rmC}_0 +`_n{rmC}_1 x +`_n{rmC}_2 x^2 +][eqn: ``CDOTS``][eqn: +`_n{rmC}_n x^n]

[eqn: x=1]을 이 식에 대입하면

[eqn: 2^n =`_n{rmC}_0 +`_n{rmC}_1 +`_n{rmC}_2 +][eqn: ``CDOTS``][eqn: +`_n{rmC}_n]

풀이 참조

⑴ 이항정리를 이용하여 [eqn: (1+x)^n]을 전개하면

[eqn: (1+x)^n][eqn: =`_n{rmC}_0 +`_n{rmC}_1 x +`_n{rmC}_2 x^2 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_n{rmC}_n x^n]

[eqn: x=-1]을 이 식에 대입하면

[eqn: 0=`_n{rmC}_0 -`_n{rmC}_1 +`_n{rmC}_2 -] [eqn: CDOTS] [eqn: +(-1)^n times `_n{rmC}_n]

⑵ [eqn: `_2n{rmC}_0 +`_2n{rmC}_1 +`_2n{rmC}_2 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_2n{rmC}_2n-1 +`_2n{rmC}_2n][eqn: =2^2n] [eqn: CDOTS CDOTS] ①
[eqn: `_2n {rmC}_0 -`_2n {rmC}_1 +`_2n {rmC}_2 -] [eqn: CDOTS] [eqn: -`_2n {rmC}_2n-1 +`_2n {rmC}_2n][eqn: =0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ②
①[eqn: +]②를 하면
[eqn: 2(`_2n {rmC}_0 +`_2n {rmC}_2 +`_2n{rmC}_4 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_2n {rmC}_2n )=2^2n]
[eqn: `_2n {rmC}_0 +`_2n {rmC}_2 +`_2n{rmC}_4 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_2n {rmC}_2n =2^2n-1]
①[eqn: -]②를 하면
[eqn: 2(`_2n {rmC}_1 +`_2n {rmC}_3 +`_2n{rmC}_5 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_2n {rmC}_2n-1 )=2^2n]
[eqn: `_2n {rmC}_1 +`_2n {rmC}_3 +`_2n{rmC}_5 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_2n {rmC}_2n-1 =2^2n-1]
따라서
[eqn: `_2n {rmC}_0 +`_2n {rmC}_2 +`_2n{rmC}_4]+ [eqn: CDOTS] [eqn: +`_2n {rmC}_2n]
[eqn: =`_2n {rmC}_1 +`_2n {rmC}_3 +`_2n{rmC}_5 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_2n {rmC}_2n-1]
[eqn: =2^2n-1]

[eqn: a^5 +5a^4 b+10a^3 b^2 +10a^2 b^3 +5ab^4 +b^5]

[eqn: 35]

풀이 참조

[eqn: n]개의 원소 중에서 [eqn: k]개의 원소를 택하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: `_n{rmC}_k]이다.

원소의 개수가 [eqn: n]인 집합 [eqn: rmA]에 대하여
원소의 개수가 [eqn: 0]인 경우의 수는
[eqn: `_n{rmC}_0]
원소의 개수가 [eqn: 1]인 경우의 수는
[eqn: `_n{rmC}_1]
원소의 개수가 [eqn: 2]인 경우의 수는
[eqn: `_n{rmC}_2]
⋮
원소의 개수가 [eqn: n]인 경우의 수는
[eqn: `_n{rmC}_n]
따라서 집합 [eqn: A]의 부분집합의 개수는

[eqn: `_n{rmC}_0 +`_n{rmC}_1 +`_n{rmC}_2 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_n{rmC}_n =2^n]

[eqn: B⊂C⊂A]를 만족시키는 집합 [eqn: C]의 개수는
[eqn: (n-r)]개의 원소를 갖는 집합의 부분집합의 개수와 같으므로
[eqn: `_n-r{rmC}_0 +`_n-r{rmC}_1 +] [eqn: CDOTS] [eqn: +`_n-r{rmC}_n-r =2^n-r]

[eqn: 210]

[eqn: 21]

⑴ [eqn: 8x^3 +12x^2 y+6xy^2 +y^3]

[eqn: 10]

[eqn: 5]

[eqn: 10]

[eqn: 64]

[eqn: 63]

[eqn: 21]

[eqn: 10]

[eqn: 24]

[eqn: 240]

[eqn: 144]

③

①

⑤

⑤

[eqn: 216]

③

②

[eqn: 36]

[eqn: 2520]

[eqn: 78]

[eqn: 36]

[eqn: 30]

[eqn: 84]

[eqn: 20]

[eqn: 126]

④

[eqn: 2]

④

[eqn: 720]

[eqn: 361]

[eqn: 13]

김밥, 라면, 국수, 수제비, 냉면, 떡국, 순대

수제비, 순대

⑴ [eqn: S=]{[eqn: rmHH], [eqn: rmHT], [eqn: rmTH], [eqn: rmTT]}

⑵ [eqn: A=]{[eqn: rmHT], [eqn: rmTH]}

⑴ {[eqn: rmHH], [eqn: rmHT], [eqn: rmTH]}

⑵ [eqn: EMPTYSET]
⑶ {[eqn: rmTT]}
⑷ 사건 [eqn: A]와 사건 [eqn: C], 사건 [eqn: B]와 사건 [eqn: C]

[eqn: 1 over 12]

[eqn: 3 over 5]

⑴ [eqn: 5 over 14]	⑵ [eqn: 15 over 28]

[eqn: 0.26]

[eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 0]

⑴ [eqn: 1]	⑵ [eqn: 0]

음료 교환권을 받을 확률 : [eqn: 1]

보조 배터리를 받을 확률 : [eqn: 1 over 10]
마라톤 대회에 참가한 학생이 경품으로 카메라를      받는 사건

풀이 참조

⑴

[eqn: n]	[eqn: 50]	[eqn: 100]	[eqn: 150]	[eqn: 200]	[eqn: 250]	[eqn: 300]
[eqn: r_n]	[eqn: 27]	[eqn: 53]	[eqn: 79]	[eqn: 105]	[eqn: 130]	[eqn: 154]
[eqn: {r_n} overn]	[eqn: 27 over50]	[eqn: 53 over100]	[eqn: 79 over150]	[eqn: 21 over40]	[eqn: 13 over25]	[eqn: 77 over150]

⑵  ⑴의 표에서 동전을 던진 횟수 [eqn: n]이 [eqn: 50], [eqn: 100], [eqn: 150], [eqn: CDOTS], [eqn: 300]으로 커짐에 따라 [eqn: r_n over n]은 각각
[eqn: 0.54], [eqn: 0.53], [eqn: 0.526][eqn: CDOTS], [eqn: 0.525], [eqn: 0.52], [eqn: 0.513][eqn: CDOTS]
임을 알 수 있다.
따라서 [eqn: n]이 커짐에 따라 [eqn: r_n over n]이 동전 한 개를 던질 때 앞면이 나올 수학적 확률인 [eqn: 1 over 2]에 가까워진다.

[eqn: 360]	[eqn: 9 over 10]

⑴ [eqn: 1over3]	⑵ [eqn: 7over10]

[eqn: 5 over 6]

⑴ [eqn: 5 over 11]	⑵ [eqn: 9 over 44]

배반, [eqn: A], [eqn: 1], [eqn: A], [eqn: A]

[eqn: 5 over 6]

[eqn: 29over 33]

[eqn: 29 over 38]

[eqn: 2 over 3]

[eqn: {`_30{rmP}_5} over {`_30{rm∏}_5} = 2639 over 3750]	[eqn: 1- 2639 over 3750 = 1111 over 3750]

⑴ [eqn: S=]{[eqn: (1,~ 1)], [eqn: (1,~ 2)], [eqn: (1,~ 3)], [eqn: CDOTS], [eqn: (6,~ 4)], [eqn: (6,~ 5)],

[eqn: 4 over 5]

⑴ [eqn: 5 over 8]	⑵ [eqn: 1]

⑴ [eqn: 5 over 6]	⑵ [eqn: 2 over 3]

[eqn: 1 over 3]

[eqn: 1 over 126]

[eqn: 3 over 4]

[eqn: 7 over 45]

[eqn: 17 over 20]

[eqn: 8 over 15]

[eqn: 3 over 5]

[eqn: 4]

[eqn: 12 over25]

[eqn: 5 over18]

[eqn: 11 over 27]	[eqn: 1 over 3]

[eqn: 2 over 5]

[eqn: 1 over 2]

[eqn: 8 over 21]

[eqn: 1over8]

[eqn: 8 over 33]

⑴ [eqn: 0.016]	⑵ [eqn: 0.25]

[eqn: 9 over 13]

희정

⑴ 풀이 참조	⑵ [eqn: 0.0045]

⑴  검사를 받은 사람 [eqn: 20000]명 중 감염자는 [eqn: 10]명, 비감염자는 [eqn: 19990]명이다. 감염자 중에서 양성 반응을 보인 사람은
[eqn: 10 times 90 over 100 =9] (명)
비감염자 중에서 음성 반응을 보인 사람은
[eqn: 19990 times 90 over 100 =17991] (명)
따라서 감염자 중에서 음성 반응을 보인 사람은
[eqn: 10-9=1] (명)
비감염자 중에서 양성 반응을 보인 사람은
[eqn: 19990-17991=1999] (명)
이 상황을 표로 나타내면 다음과 같다.

(단위: 명)

	양성 반응	음성 반응	합계
감염자	[eqn: 9]	[eqn: 1]	[eqn: 10]
비감염자	[eqn: 1999]	[eqn: 17991]	[eqn: 19990]
합계	[eqn: 2008]	[eqn: 17992]	[eqn: 20000]

[eqn: {rmP}(B``|`A)= 5 over 9], [eqn: {rmP}(B)= 5 over 9]

[eqn: {rmP}(B``|`A)= 5 over 8], [eqn: {rmP}(B)= 5 over 9]

⑴ 종속	⑵ 독립

⑴ 종속	⑵ 독립

[eqn: 1]회	[eqn: 2]회	[eqn: 3]회	[eqn: 4]회	확률
○	○	×	×	[eqn: 1 over 6 times 1 over 6 times 5 over6 times 5 over6]
○	×	○	×	[eqn: 1 over 6 times 5 over6 times 1 over 6 times 5 over6]
○	×	×	○	[eqn: 1 over 6 times 5 over6 times 5 over6 times 1 over 6]
×	○	○	×	[eqn: 5 over6 times 1 over 6 times 1 over 6 times 5 over6]
×	○	×	○	[eqn: 5 over6 times 1 over 6 times 5 over6 times 1 over 6]
×	×	○	○	[eqn: 5 over6 times 5 over6 times 1 over 6 times 1 over 6]

[eqn: 25 over 216]

⑴ [eqn: 48over125]	⑵ [eqn: 1over125]

[eqn: 1053 over 3125]

[eqn: 63 over 64]

[eqn: 5 over 16]

[eqn: 2 over 3]

[eqn: 1 over 2]

종속

[eqn: 1 over 4]

[eqn: 1 over 4]

[eqn: 3]

[eqn: 2 over 5]

[eqn: 5 over 21]

사건 [eqn: A]와 사건 [eqn: C]

[eqn: 65 over 81]

[eqn: 3 over16]

[eqn: 1over2]

[eqn: 41 over81]

③

[eqn: 16]개

②

[eqn: 1 over 10]

[eqn: 4 over7]

④

②

⑤

④

[eqn: 1over3]

[eqn: 1over3]

[eqn: 1 over 4]

[eqn: 0.48]

[eqn: 10 over17]

[eqn: 19 over 36]

③

②

[eqn: 11 over20]

[eqn: 3 over 16]

[eqn: 8 over9]

[eqn: 8 over9]

[eqn: 7]

[eqn: S=]{[eqn: rmHH], [eqn: rmHT], [eqn: rmTH], [eqn: rmTT]}

[eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2]

[eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]

⑴ 이산확률변수	⑵ 연속확률변수

⑴ 연속확률변수	⑵ 이산확률변수

⑴ 풀이 참조	⑵ [eqn: 13over35]

⑴ 확률변수 [eqn: X]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이다.
[eqn: 7]명의 학생 중에서 [eqn: 3]명을 뽑는 경우의 수는 [eqn: `_7{rmC}_3]이고, 뽑힌 학생 중에서 여학생의 수가 [eqn: x]명인 경우의 수는 [eqn: `_3{rmC}_x times `_4{rmC}_3-x]이므로 [eqn: X]의 확률질량함수는
[eqn: {rmP}(X=x)={`_3{rmC}_x times `_4{rmC}_3-x} over{`_7{rmC}_3}] ([eqn: x=0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3])
따라서 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 4 over35]	[eqn: 18 over35]	[eqn: 12 over35]	[eqn: 1 over35]	[eqn: 1]

⑴

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: rmP(it X =x )]	[eqn: 1over12]	[eqn: 5over12]	[eqn: 5over12]	[eqn: 1over12]	[eqn: 1]

⑵ [eqn: 11 over 12]

⑴ [eqn: 2over9]	⑵ [eqn: 5over9]

⑴ [eqn: 1 over 4]	⑵ [eqn: 5 over 8]

⑴ [eqn: 5 over 4]	⑵ [eqn: 1 over 2]

[eqn: 13 over 24]

⑴ [eqn: 1 over 9]	⑵ [eqn: 7 over 27]

[eqn: {5000 times 70+10000 times 20+20000 times 10} over 100]

[eqn: X]	[eqn: 5000]	[eqn: 10000]	[eqn: 20000]	합계
[eqn: rmP(it X =x )]	[eqn: 7 over10]	[eqn: 1 over5]	[eqn: 1 over10]	[eqn: 1]

[eqn: 7 over 2]

[eqn: 6 over 5]

[eqn: {rmV}(X)=5], [eqn: sigma (X)= root5]

[eqn: {rmV}(X)=1], [eqn: sigma (X)=1]

⑴ [eqn: 37]	⑵ [eqn: 2]

풀이 참조

확률변수 [eqn: X]의 기댓값 [eqn: {rmE}(X)]를 [eqn: m]이라 하면

[eqn: {rmV}(X)][eqn: ={rmE}((X-m)^2 )]
[eqn: ={rmE}(X^2 -2mX+m^2 )]
[eqn: ={rmE}(X^2 )-{rmE}(2mX)+{rmE}(m^2 )]
[eqn: ={rmE}(X^2 )-2m times m+m^2]
[eqn: ={rmE}(X^2 )-m^2]
[eqn: ={rmE}(x^2 )-left{{rmE}(X)right}^2]

따라서 다음이 성립한다.

[eqn: {rmV}(X)={rmE}(x^2 )-left{{rmE}(X)right}^2]

⑴ [eqn: {rmV}(3X)=81], [eqn: sigma (3X)=9]

[eqn: {rmE}(Y)=14], [eqn: {rmV}(Y)=36], [eqn: sigma (Y)=6]

[eqn: root10]

풀이 참조

[eqn: `_3{rmC}_0 left( 1 over 10 right)^3], [eqn: `_3{rmC}_2 left( 9 over 10 right)^2 left( 1 over 10 right)^1], [eqn: `_3{rmC}_3 left( 9 over 10 right)^3]

확률의 합이 이항정리를 이용하여
[eqn: left( 1 over 10 + 9 over 10 right)^3]을 전개한 식과 같으므로
[eqn: `_3{rmC}_0 left( 1 over 10 right)^3 +`_3{rmC}_1 left( 9 over 10 right)^1 left( 1 over 10 right)^2][eqn: +`_3{rmC}_2 left( 9 over 10 right)^2 left( 1 over 10 right)^1 +`_3{rmC}_3 left( 9 over 10 right)^3]
[eqn: = left( 1 over 10 + 9 over 10 right)^3]
[eqn: =1]

⑴ [eqn: rmB][eqn: left(100,~ 3 over5 right)]

⑴ 풀이 참조	⑵ [eqn: 189over 1000]

⑴ 확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: {rmB}left(3,~ 3over10 right)]을 따르므로 [eqn: X]의 확률질량함수는

[eqn: {rmP}(X=x)= _3{rmC}_x left( 3over10right)^x left( 7 over 10 right)^3-x] ([eqn: x=0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3])

⑴ [eqn: {rmP}(X=x)=`_5{rmC}_x left( 2 over 5 right)^x left( 3 over 5 right)^5-x]([eqn: x=0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5])

[eqn: {rmE}(X)=120], [eqn: sigma (X)=4 root3]

[eqn: {rmE}(X)=270], [eqn: sigma (X)=3root3]

풀이 참조

종 모양에 가까워진다.

평균이 가장 큰 것 : ⑷

⑴ [eqn: 0.9772]	⑵ [eqn: 0.7745]

⑴ [eqn: 0.1587]	⑵ [eqn: 0.95]

⑴ [eqn: 1.5]	⑵ [eqn: 2.5]

풀이 참조

[eqn: {rmE}(Z)][eqn: ={rmE} left( X-m over sigma right)]
[eqn: = 1 over sigma left{{rmE}(X)-m right}]
[eqn: =0]

[eqn: {rmV}(Z)][eqn: ={rmV} left( X-m over sigma right)]
[eqn: = left( 1 over sigma right)^2 {rmV}(X)]
[eqn: =1]

[eqn: 0.4772]

⑴ [eqn: 0.9053]	⑵ [eqn: 0.0668]

[eqn: 0.2902]

[eqn: 30.85 %]

[eqn: 2.5]

풀이 참조

이항분포 [eqn: rmB][eqn: left(50,~ 1 over 5 right)]과 정규분포 [eqn: rmN(10,~ 8)]의 평균은 [eqn: 10], 표준편차는 [eqn: root8]로 평균과 표준편차는 각각 같고 그래프의 모양도 서로 비슷하다.

[eqn: 0.1587]

[eqn: 0.0228]

[eqn: 0.2]

풀이 참조

⑴

[eqn: {rmP}(X le 210)=0.853145941]

⑵

[eqn: {rmP}(74 le X le 82)=0.157305356]

⑴ [eqn: 3 over 10]	⑵ [eqn: 2 over 5]

[eqn: {rmE}(X)= 1 over 8], [eqn: {rmV}(X)= 23 over 64], [eqn: sigma (X)= root23 over 8]

[eqn: {rmE}(Y)=12], [eqn: {rmV}(Y)=4], [eqn: sigma (Y)=2]

[eqn: {rmE}(X)=3], [eqn: {rmV}(X)= 9 over 4], [eqn: sigma (X)= 3 over 2]

[eqn: 0.9772]

[eqn: 1]

[eqn: 3 over4]

[eqn: 11 over2]

[eqn: 105]

[eqn: 0.1587]

[eqn: 16]

[eqn: 0.0013]

[eqn: 3 over2]

[eqn: 171.2]초 이하

풀이 참조

[방법 1]을 택하는 것이 정확한 결과를 얻을 수 있다.

[방법 2]를 택하는 것이 시간과 비용을 줄일 수 있다.

⑴ 표본조사	⑵ 전수조사

풀이 참조

우리 반 학생 [eqn: 30]명 중에서 [eqn: 5]명을 컴퓨터 프로그램을 이용하여 다음과 같이 임의추출한다.
셀 [eqn: rmA1]에 ‘[eqn: rm=RANDBETWEEN(1,~30)]’을 입력한 후, ‘채우기 핸들’을 이용하여 셀 [eqn: rmA5]까지 드래그 한다.

⑴ [eqn: 25]	⑵ [eqn: 20]

풀이 참조

[eqn: rm0.048 ``ppm]

[eqn: 9]일과 [eqn: 11]일의 오존 농도의 평균은
[eqn: rm{0.046+0.045 }over 2 =0.0455 (ppm)]
따라서 의 결과와 다르다.

[eqn: 8]일과 [eqn: 12]일을 임의추출한 경우의 평균은
[eqn: rm{0.024+0.034} over 2 =0.029 (ppm)]
따라서 에서 구한 평균과 다르다.

평균 : [eqn: rm860`` g], 표준편차 : [eqn: rm10``g]

[eqn: 0.9918]

[eqn: 0.8185]

풀이 참조

과자 [eqn: 10]개의 과자 [eqn: 1]개당 당류 함유량의 표본평균이 [eqn: rm10 ``g]이므로 모평균은 [eqn: rm10 ``g]일 것으로 추측할 수 있다.

표본이 다르면 그에 따라 과자 [eqn: 10]개의 과자 [eqn: 1]개당 당류 함유량의 표본평균도 달라질 것이다. 따라서 추측한 값이 모평균과 같다고 확신할 수는 없지만 모평균은 추측한 값에 가까울 것이라고 기대할 수 있다.

[eqn: 38.08 le m le 45.92](단위 : 분)

[eqn: 100.614 le m le 100.786](단위 : [eqn: rmm])

[eqn: 7.755 le m le 8.245] (단위 : 시간)

[eqn: 14.439 le m le 16.761](단위 : [eqn: rmkm])

㈎ 참	㈏ 참

생략

⑴ 표본조사	⑵ 전수조사

[eqn: {rmE}(barX )=56], [eqn: {rmV}(barX )= 1 over 4], [eqn: sigma (barX )= 1 over 2]

[eqn: 0.9544]

[eqn: 14.02 le m le 15.98]

[eqn: 1600]

[eqn: 8 over 3]

[eqn: 2500]

[eqn: 36]

[eqn: 149.02 le m le 150.98](단위 : [eqn: rmkg])

[eqn: 62]

[eqn: 26 over5]

[eqn: 8]

[eqn: 0.02]

⑤

④

①

③

③

②

[eqn: 125]

[eqn: 0.9772]

[eqn: 0.1587]

[eqn: 9974]

[eqn: 10]

[eqn: 39000]

[eqn: 77]점

[eqn: 0.0228]

[eqn: 0.1587]

[eqn: 3 over5]

[eqn: 0.025]

[eqn: 100]

[eqn: 25 over44]

[eqn: 25]

[eqn: 3]

[eqn: 16]

[정답 및 해설]

확률과 통계(고2)	내신대비	미래엔 교과서 편집본 정답 및 해설