수열의 귀납적 정의 - 점화식

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 [eqn: a_1 = 1 over3], [eqn: a_n+1 = {n+2} over{n+3} a_n] [eqn: (n=1,~2,~3,~ CDOTS)]으로 정의될 때 [eqn: a_13]의 값은?

[정답] ③

① [eqn: 1 over7]	② [eqn: 1 over8]	③ [eqn: 1 over15]

④ [eqn: 1 over16]	⑤ [eqn: 1 over17]

[eqn: a _{1} =1,~a _{n+1} =2 ^{n} a _{n}] [eqn: LEFT ( n=1,~2,~3,~cdots RIGHT )]으로 정의된 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{k} =2 ^{36}]을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 값은?

[정답] ②

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

수열 [eqn: left{a_n right}]이

[정답] ⑤

[eqn: a_ 1 = 7,```a_n+1 =a_n + { 1} over { sqrt { n+1} + sqrt { n} } ``(`n=1,``2,``3, CDOTS)] 으로 정의될 때, [eqn: 18`]은 제 몇 항인가?

① 제[eqn: 64`]항            ② 제[eqn: 81`]항        ③ 제[eqn: 100`]항

④ 제[eqn: 121`]항	⑤ 제[eqn: 144`]항

[eqn: a _{1} =`-3], [eqn: a _{n+1} =a _{n} +4n-3] ([eqn: n=1`,``2`,``3`,` CDOTS])으로 정의된 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k}]의 값은?

[정답] ⑤

① [eqn: 455]	② [eqn: 465]	③ [eqn: 475]

④ [eqn: 485]	⑤ [eqn: 495]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 [eqn: a_1 = 3], [eqn: a_n+1 = 3a_n -2] [eqn: (n=1,~2,~3,~ CDOTS)]으로 정이될 때 [eqn: sum _{ k=1} ^{10 }a_k]의 값은?

[정답] ②

① [eqn: 3^10 +8]          ② [eqn: 3^10 +9]        ③ [eqn: 3^10 +10]

④ [eqn: 3^10 +11]         ⑤ [eqn: 3^10 +12]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라고 하면

[정답] [eqn: 1021]

[eqn: a_1 = 1], [eqn: a_n+1 = S_n +3] [eqn: (n=1,~2,~3,~ CDOTS)]

이 성립한다. 이때 [eqn: S_9]의 값을 구하여라.

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라고 하면

[정답] ④

[eqn: a_1 = 1], [eqn: a_2 = 3], [eqn: 3S_n+1 -S_n+2 -2S_n =a_n] [eqn: (n=1,~2,~3,~ CDOTS)]

이 성립한다. 이때 [eqn: S_20]의 값은?

① [eqn: 100]	② [eqn: 200]	③ [eqn: 300]

④ [eqn: 400]	⑤ [eqn: 500]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 [eqn: a_1 =1], [eqn: a_n+1 = 3^n cdota_n] [eqn: (n=1,~2,~3,~ CDOTS)]으로 정의되는 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]에서 [eqn: 3^10]은 제 몇 항인지 구하여라.

[정답] 제[eqn: 5`]항

어떤 통에 물 [eqn: rm50``L`]가 들어 있다. 이 통의 물의 [eqn: 1over2``]을 퍼내고  [eqn: rm5``L`]의 물을 다시 넣는다. 또 다시 통의 물을 [eqn: 1over2``]을 퍼내고 [eqn: rm5``L`]의 물을 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 [eqn: n`]번 반복한 후에 통에 남아 있는 물의 양을 [eqn: a_n``rmL``]라 할 때, 다음을 구하여라.

[정답] (1) [eqn: 30``] (2) [eqn: a_n+1 = 1over2 a_n +5`] (3) [eqn: 25over2``]

(1) [eqn: a_1``]의 값을 구하여라.

(2) [eqn: a_n``]과 [eqn: a_n+1``] 사이의 관계식을 구하여라.

(3) (1), (2)를 이용하여 [eqn: a_4``]의 값을 구하여라.

어떤 사람이 계단을 오를 때, 매걸음마다 한 계단 또는 두 계단씩 올라간다고 하자. 이와 같은 방법으로 [eqn: n]개의 계단을 올라가는 모든 방법의 수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: a _{n+2}]를 [eqn: a _{n}]과 [eqn: a _{n+1}]을 사용하여 나타내면?

[정답] ①

① [eqn: a _{n+2} =a _{n} +a _{n+1}]      ② [eqn: a _{n+2} =a _{n} +2a _{n+1}]

③ [eqn: a _{n+2} =2a _{n} +a _{n+1}]     ④ [eqn: a _{n+2} =a _{n} a _{n+1}]

⑤ [eqn: a _{n+2} =2a _{n} a _{n+1}]

수열 [eqn: LEFT {a_n RIGHT }]이 [eqn: a_1 =0`],[eqn: a_2 =1`],

[eqn: a_n = { 3} over {4 } LEFT {1- left(- { 1} over {3 }right)^n-1 RIGHT }]

[eqn: 3 a_n+2 -2a_n+1 - a_n =0`]로 정의될 때, [eqn: a_n`]을 구하여

라.([eqn: n=1,````2,````3, CDOTS`])

다음과 같이 정의된 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 물음에 답하시오.

[정답] (1) [eqn: a _{n} =2n-1]     2) [eqn: {50} over {101}]

[eqn: a _{1} =1], [eqn: na _{n+1} = LEFT ( n+1 RIGHT ) a _{n} +1] [eqn: LEFT ( n=1,~2,~3,~cdots RIGHT )]

(1) 일반항 [eqn: a _{n}]을 구하시오.

(2) [eqn: sum _{k=1} ^{50} {1} over {a _{k} a _{k+1}}]의 값을 구하시오.

다음으로 정의된 수열 [eqn: LEFT {a_n `RIGHT }]에서 일반항을 구하여라.

(1)[eqn: a_n = { 6} over {3n-1 }] (2)[eqn: a_n = { 1} over {3 CDOT 2^n-1 -4 }]

(1)[eqn: a_1 =3,```a_n+1 = {2 a_n } over {2+ a_n }`(n=1,```2,```3,`…)]

(2)[eqn: a_1 =-1,```a_n+1 = { a_n } over {4a_n +2 }`(n=1,```2,```3,`…)]

수열 [eqn: left{a_n right}]이
[eqn: a_1 =1], [eqn: a _{n+1} =-3a _{n} +2]	[eqn: (n=1,~2,~3,~ CDOTS )]
로 정의 될 때, [eqn: a_7]의 값은?

[정답]④

① [eqn: 305]	② [eqn: 325]	③ [eqn: 345]

④ [eqn: 365]	⑤ [eqn: 385]

수열 [eqn: left{a_n right}]이
[eqn: a_1 =3], [eqn: a_n+1 = (9a_n]을[eqn: 7]로 나누었을 때의 나머지 [eqn: )][eqn: (n=1,~2,~3,~ CDOTS )]로 정의될 때, [eqn: a_98 +a_99 +a_100]의 값은?

[정답]④

① [eqn: 11]     ② [eqn: 12]     ③ [eqn: 13]     ④ [eqn: 14]     ⑤ [eqn: 15]

수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하면
[eqn: a_1 =-1,~S_n =2a_n +n~(n=1,~2,~3,~cdots)]
이 성립한다. 이때 [eqn: a_99]의 값은?

[정답] ④

① [eqn: -2^100]	② [eqn: 1-2^100]	③ [eqn: -2^99]

④ [eqn: 1-2^99]	⑤ [eqn: -2^98]

수열 [eqn: left{a_n right]에 대하여  [eqn: a_1 =1],	[eqn: 3(a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{n+1} )=(n+3)a _{n+1}] [eqn: (n=1,``2,``3,`cdots)]이 성립할 때, [eqn: a_k =55]를 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 값을 구 하여라.

[정답] [eqn: 10]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 [eqn: a_1 = 1], [eqn: a_n+1 = a_n +n]	[eqn: (n=1,~2,~3,~ CDOTS)]일 때, [eqn: a_20]의 값을 구하여라.

[정답] [eqn: 191``]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 [eqn: a_1 =1], [eqn: a_n+1 = a_n over{1+3a_n }] [eqn: (n=1,~2,~3,~ CDOTS)]으로 정의될 때 [eqn: 1 over28]은 제 몇 항인지 구하여라.

[정답] 제[eqn: 10``]항

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이

[정답] [eqn: 1over26``]

[eqn: a_1 = 1over2`,`] [eqn: a_2 = 1over5`,`] [eqn: 2overa_n+1 = 1overa_n + 1overa_n+2``]([eqn: n=1`,`] [eqn: 2`,`] [eqn: 3`,`] [eqn: cdots`])

로 정의될 때, [eqn: a_9``]의 값을 구하여라.

정답