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수학 Ⅱ (고2)	내신대비 모의고사	범위 : 미분-적분
		시험시간 : 50분
총 22문항 : 객관식 15, 주관식 7
		이름 :

Du kannst, denn Du sollst !	| |	용문아 수학교실

[객관식]

함수 [eqn: f(x) =3x^2 -2x]의 한 부정적분 [eqn: F(x)]에 대하여 [eqn: F(2) =-1]일 때, [eqn: F(0)]의 값은?

⑤

[eqn: F(x) = int{(3x^2 -2x ) } dx]

[eqn: = x^3 -x^2 +C] [eqn: (C]는 적분상수[eqn: )]

[eqn: F(2) = -1]이므로 [eqn: 4+C =-1]	[eqn: therefore~C=-5]

따라서 [eqn: F(x) = x^3 -x^2 -5]이므로

[eqn: F(0) =-5]

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

함수 [eqn: f(x) = 8x^3 -2ax]에 대하여 [eqn: int from 1 to 2 f(x) dx = f(1)]이 성립할 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

②

[eqn: int from 1 to 2 f(x) dx = int from 1 to 2 (8x^3 -2ax ) dx = left[ pile {it # it } 2x^4 -ax^2 right]_1 ^2]

[eqn: = (32 - 4a)-(2-a) = -3a+30]

[eqn: f(1) = -2a +8]이므로

[eqn: int from 1 to 2 f(x) dx = f(1)]에서 [eqn: -3a +30 = -2a +8]

[eqn: therefore] [eqn: a=22]

① [eqn: 24]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 16]

곡선 [eqn: y=-x^2 +4x]와 그 위의 점 [eqn: (1,~3)]에서의 접선 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

②

[eqn: y=-x^2 +4x]에서 [eqn: y' = -2x +4]이므로

점 [eqn: (1,~3)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 2]이고

접선의 방정식은 [eqn: y-3 = 2(x-1)], 즉 [eqn: y=2x+1]

직선 [eqn: y=2x+1]과 [eqn: x]축의 교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: 2x+1 =0]에서 [eqn: x= - 1over2]

따라서 구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= 1 over2 times 3 over2 times 3 - int_0^1 (-x^2 +4x )dx]

[eqn: = 9 over4 - left[ - 1over3 x^3 +2x^2 right] _0^1 = 7 over12]

① [eqn: 1 over2]	② [eqn: 7 over12]	③ [eqn: 2 over3]

④ [eqn: 3 over4]	⑤ [eqn: 5 over 6]

닫힌구간 [eqn: left[-1,~1 right]]에서 함수 [eqn: f(x)=x^3 +6x^2 +k]의 최댓값이 [eqn: 8]일 때, 이 구간에서 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은?

④

[eqn: f'(x) = 3x^2 +12x =3x(x+4)]이므로

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x=-4]일 때 [eqn: f'(x) =0]이다.

닫힌구간 [eqn: left[-1,~1 right]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]
[eqn: f'(x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: k+5]	[eqn: searrow]	[eqn: k]	[eqn: nearrow]	[eqn: k+7]

따라서 닫힌구간 [eqn: left[-1,~1 right]]에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]일 때 최댓값 [eqn: k+7]을 갖고, [eqn: x=0]일 때 최솟값 [eqn: k]를 갖는다.

[eqn: k+7 =8]이므로 [eqn: k=1]

따라서 구하는 최솟값은 [eqn: 1]이다.

(단, [eqn: k]는 상수이다.)

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: f(x) = 4x^3 +2x]에 대하여 [eqn: lim from x->1 1 over {x^2 -1} int from 1 to x f(t)dt]의 값은?

①

[eqn: F`'(x) = f(x)]라 하면

[eqn: int from 1 to x f(t)dt = F(x) - F(1)]이므로

[eqn: lim from x->1 1over {x^2 -1} int from 1 to x f(t) dt = lim from x->1 left { { F(x)-F(1)} over x-1 times 1 over x+1 right}]

[eqn: = F`'(1) times 1over2 = f(1) over2 = 3]

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

⑤

조건 (가)에서 [eqn: g(x) = f(x) + f(-x)]라 하면

[eqn: g(-x) = f(-x) + f(x) = g(x)]이므로

함수 [eqn: y = f(x) + f(-x)]의 그래프는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이다.

[eqn: int from -2 to 2 left{ f(x) + f(-x) right} dx = 2 int from 0 to 2 left{ f(x) +f(-x) right} dx = 12]

[eqn: therefore] [eqn: int from 0 to 2 left{ f(x) + f(-x) right} dx = 6]	[eqn: cdots cdots]㉠

또한 조건 (나)에서 [eqn: h(x) = f(x) - f(-x)]라 하면

[eqn: h(-x) = f(-x) - f(x) = -h(x)]이므로

함수 [eqn: y = f(x) - f(-x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

[eqn: therefore] [eqn: int from 0 to 2 left{ f(x) - f(-x) right} dx = - int from -2 to 0 left{ f(x) - f(-x) right} d x]

[eqn: = 2 int from 0 to 2 f(x) dx = 6+4 = 10]

[eqn: therefore] [eqn: int from 0 to 2 f(x) dx = 5]

다항함수 [eqn: f(x)]의 짝수차수의 항과 상수항의 합을 [eqn: g(x)], 홀수차수의 항의 합을 [eqn: h(x)]라 하면 [eqn: f(x) = g(x) + h(x)]이다.

이때, [eqn: g(x) + g(-x) = 2g(x)]이고,

[eqn: f(x) - f(-x) = 2h(x)]이다.

조건 (가)에서

[eqn: int from -2 to 2 left{ f(x) + f(-x) right} dx = int from -2 to 2 2g(x) dx]

[eqn: = 4 int from 0 to 2 g(x) dx = 12]

[eqn: therefore] [eqn: int from 0 to 2 g(x) dx = 3]

조건 (나)에서

[eqn: int from -2 to 0 left{f(x) - f(-x) right} dx = int from -2 to 0 2h(x) dx]

[eqn: = -2 int from 0 to 2 h(x) dx = -4]

[eqn: therefore] [eqn: int from 0 to 2 h(x) dx = 2]

[eqn: therefore] [eqn: int from 0 to 2 f(x) dx = int from 0 to 2 left{ g(x) + h(x) right} dx]

[eqn: = int from 0 to 2 g(x) dx + int from 0 to 2 h(x) dx = 3 + 2 = 5]

(가) [eqn: int from -2 to 2 left{ f(x) + f(-x) right} dx = 12]

(나) [eqn: int from -2 to 0 left{ f(x) - f(-x) right} dx = -4]

[eqn: int from 0 to 2 f(x) dx]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x]가 [eqn: x=3t^3 -4t^2 +t]이다. [eqn: t=1]일 때의 점 [eqn: rm P]의 속도와 가속도는?

④

점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]에서의 위치, 속도, 가속도를 각각 [eqn: x(t)], [eqn: v(t)], [eqn: a(t)]라 하면 [eqn: x(t) = 3t^3 -4t^2 +t]에서

[eqn: v(t) = x'(t) = 9t^2 -8t +1]

[eqn: a(t) = v'(t) = 18t-8]

따라서 [eqn: t=1]일 때의 점 [eqn: rm P]의 속도, 가속도는 각각

[eqn: v(1) = 2], [eqn: a(1) = 10]이다.

	속도	가속도		속도	가속도
①	[eqn: 1]	[eqn: 8]	②	[eqn: 1]	[eqn: 10]
③	[eqn: 2]	[eqn: 8]	④	[eqn: 2]	[eqn: 10]
⑤	[eqn: 3]	[eqn: 8]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x(t)]가 [eqn: x(t) = t^3 -6t^2 -15t]일 때, 점 [eqn: rm P]가 운동방향을 바꿀 때의 시각은?

⑤

점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]에서의 속도를 [eqn: v(t)]라 하면 점 [eqn: rm P]가 운동방향을 바꿀 때는 [eqn: v(t)]의 부호가 바뀔 때이다.

[eqn: v(t) = x'(t) = 3t^2 -12t -15 = 3(t+1)(t-5)]이므로

[eqn: v(t) =0]에서 [eqn: t=5]이다. ([eqn: because] [eqn: t>0])

이때, [eqn: t=5]의 좌우에서 [eqn: v(t)]의 부호가 바뀌므로

점 [eqn: rm P]가 운동 방향을 바꿀 때의 시각은 [eqn: t=5]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 곡선 [eqn: y=x^2 -1], [eqn: y=-x^2 +2x +3]으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

⑤

두 곡선 [eqn: y=x^2 -1], [eqn: y= -x^2 +2x +3]의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x^2 -1 =-x^2 +2x +3]에서 [eqn: 2x^2 -2x -4 =0]

[eqn: 2(x+1)(x-2)=0]	[eqn: therefore~ x=-1] 또는 [eqn: x=2]

닫힌구간 [eqn: left[ -1,~2 right]]에서 [eqn: x^2 -1 le -x^2 +2x +3]이므로

구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= int_ -1 ^2 left{(-x^2 +2x +3 ) -(x^2 -1 ) right} dx]

[eqn: = int_-1 ^2 (-2x^2 +2x +4 ) dx]

[eqn: = left[ - 2 over3 x^3 +x^2 +4x right] _-1 ^2 =9]

두 곡선 [eqn: y=x^ 2 - 1], [eqn: y=-x^2 +2x +3]의 교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: x^2 -1 = -x^2 +2x +3]에서 [eqn: 2x^2 -2x -4 =0]

[eqn: 2 (x+1)(x-2) =0]	[eqn: therefore~x=-1] 또는 [eqn: x=2]

따라서 구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면 곡선 [eqn: y=2(x+1)(x-2)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같으므로

[eqn: S= { left|2 right| left{2-(-1)^3 right} } over 6 =9]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

두 함수 [eqn: f(x) = 2x^4 - x + k], [eqn: {rm g}(x) =4x^2 -x +3]이 있다. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: f(x) > {rm g}(x)]가 성립하도록 하는 정수 [eqn: k]의 최솟값은?

④

부등식 [eqn: f(x) > {rm g}(x)]에서

[eqn: 2x^4 -x +k > 4x^2 -x +3], [eqn: 2x^4 -4x^2 +k -3 >0]

[eqn: h(x) = 2x^4 -4x^2 +k -3]이라 하면

[eqn: h'(x) = 8x^3 -8x = 8x(x+1)(x-1)]이므로

[eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=1]일 때 [eqn: h'(x) = 0]이다.

함수 [eqn: h(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]
[eqn: h'(x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: h(x)]	[eqn: searrow]	[eqn: k-5]	[eqn: nearrow]	[eqn: k-3]	[eqn: searrow]	[eqn: k-5]	[eqn: nearrow]

따라서 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=1]일 때 극소이며 최소이므로

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: h(x)>0]이 성립하려면

[eqn: h(-1) = h(1) = k-5 >0]이어야 한다.

[eqn: therefore] [eqn: k >5]

따라서 정수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 6]이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 속도 [eqn: v(t)]가 [eqn: v(t) = t^2 -4t +3]일 때, 출발 후 두 번째로 운동 방향이 바뀌는 순간까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는?

④

[eqn: v(t) = t^2 -4t +3 = (t-1)(t-3) =0]에서

[eqn: t=1] 또는 [eqn: t=3]이고, 이때 점 [eqn: rmP]의 운동 방향이 바뀐다.

따라서 출발 후 두 번째로 운동 방향이 바뀌는 순간까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는

[eqn: int_0^3 left|v(t) right|dt = int_0^1 (t^2 -4t +3)dt + int_1 ^3 (-t^2 +4t -3)dt]

[eqn: = left[ 1 over3 t^3 -2t^2 +3t right] _0^1 + left[ - 1over3 t^3 +2t^2 -3t right]_1 ^3]

[eqn: = 4 over3 + 4 over3 = 8 over3]

① [eqn: 5 over3]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 7 over3]

④ [eqn: 8 over3]	⑤ [eqn: 3]

모든 실수 [eqn: x]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]의 도함수가 [eqn: f ` prime (x) = cases { 2x -1 ~~ ( x < 1 ) # 4x^3 - 3 ~ ( x ge 1)]이고 [eqn: f(-1) = 0]일 때, [eqn: f(2)]의 값은?

⑤

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{x ^{2} -x+C _{1} ~~&LEFT ( x<1 RIGHT )#x ^{4} -3x+C _{2} ~~~&LEFT ( x`ge1 RIGHT )}}]이고, [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =0`]이므로

[eqn: C _{1} =`-2]이다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 연속이므로

[eqn: 1 ^{2} -1+ LEFT ( -2 RIGHT ) =1 ^{4} -3times1+C _{2}]이므로

[eqn: C _{2} =0]이다.

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =2 ^{4} -3times2][eqn: =10]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: P]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: f(t)]가 음이 아닌 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 미분가능하고, 다음 조건을 만족시킨다.

④

ⅰ) (나)에서 [eqn: n=0]이면
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0,~f LEFT ( 1 RIGHT ) = {3} over {2} ,~f LEFT ( 2 RIGHT ) = {7} over {2} ,~f LEFT ( 3 RIGHT ) =5]
음이 아닌 모든 정수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 2k`le`t`le`2k+1]이므로
[eqn: k=0~ LEFT ( 0le`t`le1 RIGHT ) ,~k=1~ LEFT ( 2le`t`le3 RIGHT )]에서 이차식이다.

ⅱ) [eqn: t= {9} over {4}]가 포함된 구간에서 이차식이므로 특징을 살펴보면
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) = {7} over {2} ,~f LEFT ( 3 RIGHT ) =5]이고, 실수전체에서 미분가능하므로
[eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) =2]이고, [eqn: f` prime LEFT ( 3 RIGHT ) =1]이다.
(구간 [eqn: 1`le`t`le2]사이의 평균변화율이 [eqn: 2])

ⅲ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +bx+c`,~f`' LEFT ( x RIGHT ) =2ax+b`]라 하면
[eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT ) =4a+b=2], [eqn: f`' LEFT ( 3 RIGHT ) =6a+b=1] 이므로
[eqn: a=`- {1} over {2} ,~b=4]

따라서 [eqn: f`' LEFT ( {9} over {4} RIGHT ) =`- {9} over {4} +4= {7} over {4}]

(가) [eqn: t ge 0]에 대하여 [eqn: 1 le f ` prime (t) le 2]이다.

(나) 음이 아닌 모든 정수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: t = 4n], [eqn: t = 4n + 1], [eqn: t = 4n + 2], [eqn: t = 4n + 3]에서의 위치는 각각 [eqn: f( 4n ) = 6n], [eqn: f( 4n + 1 ) = 6n + 3 over 2], [eqn: f(4n + 2) = 6n + 7 over 2], [eqn: f(4n + 3) = 6n + 5]이다.

(다) 음이 아닌 모든 정수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 2k le t le 2k + 1]에서 위치 [eqn: f(t)]는 각각 [eqn: t]에 대한 이차식이다.

[eqn: t = 9 over 4]에서의 점 [eqn: P]의 속도는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 5 over 4]	③ [eqn: 3 over 2]

④ [eqn: 7 over 4]	⑤ [eqn: 2]

다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은?

①

조건 (가)에 의하여 [eqn: f(x)-2x^3]은 최고차항의 계수가 [eqn: -2]인 이차식이므로

[eqn: f(x)-2x^3 =-2x^2 +ax+b] ([eqn: a], [eqn: b]는 상수)라 하면

[eqn: f(x)=2x^3 -2x^2 +ax+b]

조건 (나)의 [eqn: lim_x->1{{f(x+1)-4}overx(x-1)}=10]에서 극한값이 존재하고,

[eqn: x->1]일 때 (분모)[eqn: ->0]이므로 (분자)[eqn: ->0]이다.

즉, [eqn: lim_x->1{left{f(x+1)-4right}=f(2)-4=0]에서

[eqn: f(2)=4] [eqn: cdotscdots] ㉠

즉, [eqn: 16-8+2a+b=4]에서 [eqn: 2a+b=-4] [eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: x+1=t]라 하면 [eqn: x->1]일 때 [eqn: t->2]이므로

[eqn: lim_x->1{{f(x+1)-4}overx(x-1)][eqn: = lim_t->2{{f(t)-f(2)}over{(t-1)(t-2)}] ([eqn: because] ㉠)
[eqn: = lim_t->2{left{{f(t)-f(2)}overt-2 times 1overt-1 right}]
[eqn: =f prime(2)]

에서 [eqn: f prime(2)=10]

[eqn: f prime(x)=6x^2 -4x+a]이므로

[eqn: f prime(2)=24-8+a=10], [eqn: a=-6]

㉡에 대입하면 [eqn: b=8]

따라서 [eqn: f(x)=2x^3 -2x^2 -6x+8]이므로

[eqn: f(1)=2]

[다른 풀이]

[eqn: lim_x->1{{f(x+1)-4}over{x(x-1)}][eqn: = lim_x->1{{f(x+1)-f(2)}overx(x-1)] ([eqn: because] ㉠)
[eqn: = lim_x->1{left{ 1overx times {f(x+1)-f(2)}over(x+1)-2}right}]
[eqn: =f prime(2)]

(가) [eqn: lim_x->inf{{f(x)-2x^3 }over{x^2 }=-2]

(나) [eqn: lim_x->1{{f(x+1)-4}overx(x-1) =10]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=x^2 -2x]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=a] [eqn: (a>2)]로 둘러싸인 두 도형 [eqn: A], [eqn: B]의 넓이가 서로 같을 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

②

두 도형 [eqn: A], [eqn: B]의 넓이를 각각 [eqn: S_A], [eqn: S_B]라 하면

[eqn: S_A = S_B]이므로

[eqn: int_0^2 (-x^2 +2x ) dx = int_2 ^a (x^2 -2x )dx]에서

[eqn: int_2^a (x^2 -2x ) dx + int_0^2 (x^2 -2x )dx =0]

[eqn: int_0^a (x^2 -2x)dx =0]

[eqn: left[ 1over3 x^3 -x^2 right] _0^a = 0], [eqn: a^3 over 3 -a^2 =0], [eqn: a^2 (a-3) =0]

[eqn: therefore~a=3(because~a>2)]

① [eqn: 8 over3]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 10 over3]

④ [eqn: 11 over3]	⑤ [eqn: 4]

[주관식]

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]에서의 속도가 각각

[eqn: t_1 + t_2 = 9 over2]

출발 후 [eqn: x]초 후의 점 [eqn: rmP]의 위치는

[eqn: 0+ int_0^x (-2t +1 ) dt = left[ pile{it#it} -t^2 +t right] _0^x = -x^2 +x]

출발 후 [eqn: x]초 후의 점 [eqn: rmQ]의 위치는

[eqn: 0+ int_0^x (4t -8 ) dt = left[ pile{it#it} 2t^2 -8t right]_0^x = 2x^2 -8x]

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 만날 때, 위치가 서로 같으므로

[eqn: -x^2 +x =2x^2 -8x]에서 [eqn: 3x (x-3) =0], [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=3]

[eqn: therefore~t_1 =3]

[eqn: 0<x<3]일 때, 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리는

[eqn: (-x^2 +x) -(2x^2 -8x) = -3x^2 +9x = -3 left( x - 3 over2 right)^2 + 27 over4]

따라서 [eqn: x= 3 over2]일 때, 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]사이의 거리가 최대이므로 [eqn: t_2 = 3 over2]

[eqn: therefore~ t_1 + t_2 = 3 + 3 over2 = 9 over2]

[eqn: v_{rmP} (t) = -2t +1], [eqn: v_{rmQ} (t) = 4t -8]

이다. 원점을 출발한 후 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 만날 때의 시각을 [eqn: t_1]이라 하고, 두 점 사이의 거리가 최대일 때의 시각을 [eqn: t_2]라 할 때, [eqn: t_1 +t_2]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.

(단, [eqn: t_2 < t_1])

함수 [eqn: f(x) = x^4 +4x -a^2 +4a +15]일 때, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: f(x) ge 0]이 항상 성립하도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수를 구하시오.

[eqn: 9]

[eqn: f'(x) = 4x^3 +4 = 4(x+1)(x^2 -x+1)]이므로

[eqn: x=-1]일 때 [eqn: f'(x) = 0]이다.

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]
[eqn: f'(x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: searrow]	[eqn: -a^2 +4a +12]	[eqn: nearrow]

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]일 때 극소이며 최소이므로

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) ge 0]이 항상 성립하려면 [eqn: f(-1) = -a^2 +4a +12 ge 0]이어야 한다.

[eqn: (a+2)(a-6) le 0]에서 [eqn: -2 le a le 6]

따라서 구하는 정수 [eqn: a]는 [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: cdots], [eqn: 6]으로 [eqn: 9]개다.

상수함수가 아닌 두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 30]

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 차수를 각각

[eqn: m], [eqn: n] ([eqn: m ge 1], [eqn: n ge 1]인 자연수)라 하자.

조건 (가)에서

[eqn: g(x) + 2 int from 1 to x f(t) dt = 4x^2 - 8x + 1]	[eqn: cdots cdots]㉠

위 식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g'(x) + 2f(x) = 8x-8]	[eqn: cdots cdots]㉡

조건 (나)에서

[eqn: f(x) g'(x) = 6x^2 -16x +8]	[eqn: cdots cdots]㉢

위 식의 좌변의 차수는 [eqn: m+n-1], 우변의 차수는 [eqn: 2]이므로

[eqn: m+n -1 = 2], [eqn: m + n = 3]

따라서 [eqn: m=1], [eqn: m=2] 또는 [eqn: m=2], [eqn: n=1]이다.

이때, ㉡을 만족시키기 위해서는 [eqn: m=1], [eqn: n=2]이어야 한다.

[eqn: f(x) = ax + b], [eqn: g(x) = px^2 + qx + r] ([eqn: a], [eqn: b], [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]는 상수, [eqn: a ne 0], [eqn: p ne 0])이라 하면

[eqn: g'(x) = 2px +q]이므로 ㉡에서 [eqn: (2px +q ) + 2(ax+b) = 8x -8]

[eqn: (2p + 2a )x + ( q + 2b ) = 8x -8]

항등식의 성질에 의하여

[eqn: a + p = 4], [eqn: q + 2b = -8]

㉢에서 [eqn: (ax+b)(2px+q) = 6x^2 -16x +8]

[eqn: 2apx^2 +(aq + 2bp)x + bq = 6x^2 -16x +8]

항등식의 성질에 의하여

[eqn: ap = 3], [eqn: aq + 2bp = -16], [eqn: bp = 8]

[eqn: a+p = 4], [eqn: ap = 3]에서

[eqn: a(4-a) = 3], [eqn: a^2 -4a +3 = 0], [eqn: (a-1)(a-3) = 0]

[eqn: therefore] [eqn: a=1], [eqn: p=3] 또는 [eqn: a=3], [eqn: p=1]	[eqn: cdotscdots]㉣

[eqn: q+2b = -8], [eqn: bq = 8]에서

[eqn: b(-8-2b) = 8], [eqn: b^2 +4b +4 = 0], [eqn: (b+2)^2 = 0]

[eqn: therefore] [eqn: b=-2], [eqn: q=-4]	[eqn: cdots cdots]㉤

한편, ㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: g(1) = -3]이므로

㉣, ㉤에서 [eqn: f(x) = x-2], [eqn: g(x) = 3x^2 - 4x - 2]

또는 [eqn: f(x) = 3x-2], [eqn: g(x) = x^2 -4x]이다.

그런데 [eqn: g(0) ne 0]이어야 하므로

[eqn: f(x) = x-2], [eqn: g(x) = 3x^2 -4x -2]

[eqn: therefore] [eqn: g(4) = 30]

(가) [eqn: g(x) + 2 int from 1 to x f(t) dt = 4x^2 -8x +1]

(나) [eqn: f(x) g'(x) = 6x^2 -16x +8]

[eqn: g(0) ne 0]일 때, [eqn: g(4)]의 값을 구하시오.

곡선 [eqn: y=x^2 -2x +8]과 이 곡선 위의 점 [eqn: (2,~8)]에서의 접선 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

[eqn: 8 over3]

[eqn: y=x^2 -2x +8]에서 [eqn: y' = 2x -2]이므로

점 [eqn: (2,~8)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 2]이고

접선의 방정식은 [eqn: y-8 = 2(x-2)], 즉 [eqn: y=2x+4]

따라서 구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= 1 over2 times 4 times2 - int_0 ^2 left{ 8-(x^2 -2x +8 ) right} dx]

[eqn: = 4 - left[ - 1over3 x^3 +x^2 right] _0^2 = 4 - 4 over3 = 8 over3]

본풀이에서 넓이 [eqn: S]를 다음과 같이 계산할 수 있다.

곡선 [eqn: y=x^2 -2x +8]과 직선 [eqn: y=8]의 교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: x^2 -2x +8 =8]에서 [eqn: x(x-2) =0]	[eqn: therefore~x=0] 또는 [eqn: x=2]

[eqn: therefore~S= 1 over2 times 4 times2 - {(2-0)^3 } over 6 = 8 over3]

삼차방정식 [eqn: 2x^3 -3x^2 -12x +a=0]이 하나의 음의 실근과 서로 다른 두 양의 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하고 그 과정을 서술하시오.

[eqn: 0<a<20]

방정식 [eqn: 2x^3 -3x^2 -12x +a =0], 즉 [eqn: 2x^3 -3x^2 -12x = -a]에서 [eqn: f(x) = 2x^3 -3x^2 -12x]라 하면

[eqn: f'(x) = 6x^2 -6x -12 = 6(x+1)(x-2)]이므로

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극댓값 [eqn: f(-1) = 7].

[eqn: x=2]에서 극솟값 [eqn: f(2) = -20]을 갖는다.

이때, [eqn: f(0) = 0]이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 방정식 [eqn: f(x) = -a]가 하나의 음의 실근과 서로 다른 두 양의 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위는 [eqn: -20 < -a < 0]이므로 [eqn: 0 < a<20]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(3) =0]이고,

[eqn: 40]

[eqn: int_0^2013 f(x) dx = int_3 ^2013 f(x) dx]에서

[eqn: int_0^2013 f(x) dx - int_3 ^2013 f(x) dx = int_0^3 f(x) dx =0]이다.

이때, [eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수이고 [eqn: f(3) =0]이므로

[eqn: f(x) =(x-a) (x-3) =x^2 -(a+3)x +3a] [eqn: (a]는 상수[eqn: )]라 하면

[eqn: int_0^3 f(x) dx = int_0^3 left{x^2 -(a+3)x +3a right} dx]

[eqn: = left[ 1over 3 x^3 - a+3 over2 x^2 +3ax right] _0^3]

[eqn: = 9 over2 a - 9 over2 =0]

[eqn: therefore~a=1], [eqn: f(x) =(x-1)(x-3)]

따라서 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축의 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 1], [eqn: 3]이므로

[eqn: S= int_1 ^3 left|f(x) right| dx = {(3-1)^3 } over 6 = 4 over3]

[eqn: therefore~30S = 30 times 4 over 3 =40]

[eqn: int _0^2013 f(x) dx = int _3 ^2013 f(x) dx]

를 만족시킨다, 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: S]일 때, [eqn: 30S]의 값을 구하시오.

지상 [eqn: 55 rmm]의 높이에서 처음 속도 [eqn: 50 rmm/s]로 지면과 수직인 방향으로 물 로켓을 발사했다. 발사한 이 물 로켓의 [eqn: t]초 후의 속도 [eqn: v(t)]가 [eqn: v(t) = 50 -10t] [eqn: (rmm /s)]

(1)[eqn: 180 rmm] (2)[eqn: -60(rmm/s)] (3)[eqn: 305rmm]

(1) 물 로켓이 최고 높이에 도달할 때, 물 로켓의 속도는 [eqn: 0]이다.

[eqn: v(t) =50 -10t =0]에서 [eqn: t=5]이므로

[eqn: t=5]일 때, 물 로켓의 높이는

[eqn: 55 + int_0^5 (50-10t ) dt = 55 + left[ pile{it#it}50t -5t^2 right] _0^5 = 180 (rmm)]

(2) [eqn: t=x]일 때, 물 로켓의 높이는

[eqn: 55 + int_0^x (50-10t)dt = 55 + left[ pile{it#it}50t -5t^2 right] _0^x]

[eqn: = -5x^2 +50x +55]

이므로 지면에 닿을 때까지 걸린 시간은

[eqn: -5x^2 +50x +55 =0]에서 [eqn: x^2 -10x - 11 =0]

[eqn: (x+1)(x-11) =0]	[eqn: therefore~x=11]

즉, [eqn: 11]초 후이므로 그때의 속도는 [eqn: v(11)=-60(rmm/s)]이다.

(3) [eqn: v(t) = 50 -10t =0]에서 [eqn: t=5]이고

(2)에서 물 로켓이 지면에 닿을 때까지 걸린 시간은 [eqn: 11]초이므로 움직인 거리는

[eqn: int_0^11 left|50 -10t right| dt = 1 over2 times 5 times 50 + 1 over2 times6 times60 =305(rmm)]

일 때, 다음 물음에 답하고 그 과정을 서술하시오.

(1) 물 로켓이 최고 높이에 도달할 때, 지면으로부터의 높이를

구하시오.

(2) 물 로켓이 지면에 닿는 순간의 속도를 구하시오.

(3) 물 로켓이 지면에 닿을 때까지 움직인 거리를 구하시오.