수능 대비 34미니모의고사(3회)

수 학

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수학세상

제 2 교시

수학세상 수학자료실                                        http://www.math114.net

고3	수학 영역

[eqn: k>1]인 실수 [eqn: k]에 대하여 두 곡선 [eqn: y][eqn: =log` _{3k} `x], [eqn: y=log` _{k} `x]가 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하자. 양수 [eqn: m]에 대하여 직선 [eqn: y][eqn: =m LEFT ( x-1 RIGHT )]이 두 곡선 [eqn: y][eqn: =log` _{3k} `x], [eqn: y=log` _{k} `x]와 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 각각 [eqn: rmB,~C]라 하자. 점 [eqn: rmC]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y][eqn: =log` _{3k} `x], [eqn: x]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmD,~E]라 할 때, 세 삼각형 [eqn: rmADB,~AED,~BDC]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 12]

[출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 문제 해결하기

조건 (가)에 의하여 삼각형 [eqn: rmADB]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

삼각형 [eqn: rmBDC]의 넓이는 [eqn: 3S]이다.

[eqn: bar{rmAB} ``:`` bar{rmBC} = 1``:``3]에서 [eqn: bar{rmBC} = 3 bar{rmAB}]이고

점 [eqn: rmB]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmB`']이라 하면

[eqn: bar{rmB`' E} = 3 bar{rmAB`' }]이다.

[eqn: bar{rmAB`' } = a]라 하면 [eqn: bar{rmB`' E} = 3a]이므로

[eqn: {rmB}(a+1 ,~log_3k (a+1) )],

[eqn: {rmC}(4a+1 ,~log_k (4a+1) )],

[eqn: {rmD}(4a+1 ,~log_3k (4a+1) )]이다.

조건 (나)에 의하여 삼각형 [eqn: rmAED]의 넓이는 [eqn: 4S]이고 삼각형 [eqn: rmAEC]의 넓이는 [eqn: 8S]이므로 [eqn: rmD]는 선분 [eqn: rmCE]의 중점이다.

[eqn: log_k (4a+1 ) = 2 log_3k (4a+1)]

[eqn: {log_k (4a+1 )}over {log_k k} = {2 log_k (4a+1)}over { log_k 3k }]

[eqn: log_k 3k =2]에서 [eqn: k^2 =3k]이므로 [eqn: k=3]

세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 직선 [eqn: y=m(x-1)] 위에 있으므로

[eqn: m = {log_9 (a+1 ) -0 } over { (a+1)-1 } = { log_3 (4a+1 ) -0 } over { (4a+1 )-1}]에서

[eqn: 2 log_3 (a+1) = log_3 (4a+1 )]

[eqn: (a+1)^2 = 4a+1]

[eqn: a^2 -2a =0]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=2]

[eqn: m = {log_9 3} over 2 = 1over4]

따라서 [eqn: k over m = 12]

(가) 삼각형 [eqn: rmBDC]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmADB]의 넓이의 [eqn: 3]배이다.

(나) 삼각형 [eqn: rmBDC]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmAED]의 넓이의 [eqn: {3} over {4}]배이다.

[eqn: {k} over {m}]의 값을 구하시오.

[eqn: 0 LEQ x LEQ pi `]일 때, [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: {9}]

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 이용하여 두 그래프가 만나는 점의 개수를 추론한다.

두 함수 [eqn: {y=sin`x`}], [eqn: {y=sin LEFT ( 3x RIGHT ) `}]의 주기가 각각 [eqn: {2pi`}], [eqn: {{2pi} over {3} `}]이므로 [eqn: {0 LEQ x LEQ pi`}]에서 두 곡선 [eqn: {y=sin`x`}], [eqn: {y=sin LEFT ( 3x RIGHT ) `}]를 좌표평면에 나타내면 [그림 [eqn: 1]]과 같다.

[그림 [eqn: 1]]

[그림 [eqn: 1]]에서 두 곡선 [eqn: {y=sin`x`}], [eqn: {y=sin LEFT ( 3x RIGHT ) `}]의 교점의 개수가 [eqn: {4`}]이므로

[eqn: {a _{3} =4}]

두 함수 [eqn: {y=sin`x`}], [eqn: {y=sin(5x)`}]의 주기가 각각 [eqn: {2pi`}], [eqn: {{2 pi } over {5} `}]이므로 [eqn: {0 LEQ x LEQ pi`}]에서 두 곡선 [eqn: {y=sin`x`}], [eqn: {y=sin(5x)`}]를 좌표평면에 나타내면 [그림 [eqn: 2]]와 같다.

[그림 [eqn: 2]]

[그림 [eqn: 2]]에서 두 곡선 [eqn: {y=sinx`}], [eqn: {y=sin(5x)`}]의 교점의 개수가 [eqn: {5`}]이므로

[eqn: {a _{5} =5}]

따라서 [eqn: {a _{3} +a _{5} =4+5=9}]

두 곡선 [eqn: y=sin`x`]와 [eqn: y=sin` LEFT ( n`x RIGHT ) `]의 교점의 개수를 [eqn: a _{`n} `]이라 하자. [eqn: a _{`3} +a _{`5} `]의 값을 구하시오.

그림과 같이 원 [eqn: C]에 내접하고 [eqn: {bar{rmAB}} =3], [eqn: ANGLE rm BAC= {pi} over {3}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 원 [eqn: C]의 넓이가 [eqn: {49} over {3} pi]일 때, 원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 삼각형 [eqn: rmPAC]의 넓이의 최댓값은?

①

원 [eqn: C]의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면

원 [eqn: C]의 넓이가 [eqn: {49} over {3} pi]이므로

[eqn: R ^{2} `pi][eqn: = {49} over {3} pi], [eqn: R= {7} over {3} sqrt {3}]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 사인법칙에 의해

[eqn: {{bar{rmBC}}} over {sin` {pi} over {3}}][eqn: =2R], [eqn: {bar{rmBC}}][eqn: =2 TIMES {7} over {3} sqrt {3} TIMES {sqrt {3}} over {2}][eqn: =7]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: {bar{rmAC}} =a]라 하면 코사인법칙에 의해

[eqn: 7 ^{2}][eqn: =a ^{2} +3 ^{2} -2 TIMES a TIMES 3 TIMES cos` {pi} over {3}]

[eqn: a ^{2} -3a-40=0], [eqn: LEFT ( a-8 RIGHT ) LEFT ( a+5 RIGHT ) =0]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=8]

[eqn: {bar{rmAC}} =8]이고 삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: cos` LEFT ( ANGLE rm CBA RIGHT )][eqn: = {3 ^{2} +7 ^{2} -8 ^{2}} over {2 TIMES 3 TIMES 7}][eqn: = it - {1} over {7}]

이므로 [eqn: {pi} over {2} < ANGLE rm CBA<pi]가 되어

삼각형 [eqn: rmABC]는 둔각삼각형이다.

삼각형 [eqn: rmPAC]의 넓이가 최대가 되도록 하는 점을 [eqn: rmQ]라 하면 점 [eqn: rmQ]는 선분 [eqn: rmAC]의 수직이등분선과 원 [eqn: C]의 두 교점 중 직선 [eqn: rmAC]로부터 멀리 떨어져 있는 점이다.

그림과 같이 점 [eqn: rmQ]에서 선분 [eqn: rmAC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

원 [eqn: C]의 중심 [eqn: rmO]는 선분 [eqn: rmQH] 위에 있다.

직각삼각형 [eqn: rmAHO]에서

[eqn: {bar{rmOH}}][eqn: = sqrt {LEFT ( {7} over {3} sqrt {3} RIGHT ) ^{2} -4 ^{2}}][eqn: = {sqrt {3}} over {3}]

[eqn: {bar{rmQH}}][eqn: = {8} over {3} sqrt {3}]이므로 삼각형 [eqn: rmPAC]의 넓이의 최댓값은

[eqn: {1} over {2} TIMES 8 TIMES {8} over {3} sqrt {3}][eqn: = {32} over {3} sqrt {3}]

(단, 점 [eqn: rmP]는 점 [eqn: rmA]도 아니고 점 [eqn: rmC]도 아니다.)

① [eqn: {32} over {3} sqrt {3}] ② [eqn: {34} over {3} sqrt {3}] ③ [eqn: 12 sqrt {3}]  ④ [eqn: {38} over {3} sqrt {3}] ⑤ [eqn: {40} over {3} sqrt {3}]

공차가 [eqn: d]이고 모든 항이 자연수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 117]

[출제의도] 등차수열과 등비수열의 성질을 활용하여 문제해결하기

[eqn: a _{1}][eqn: =a]라 하면

조건 (나)에 의하여

[eqn: LEFT { a+ LEFT ( k-1 RIGHT ) d RIGHT } ^{2}][eqn: = LEFT ( a+d RIGHT ) LEFT { a+ LEFT ( 3k-2 RIGHT ) d RIGHT }]

[eqn: d LEFT { k ^{2} -5k+3 RIGHT }][eqn: =a LEFT ( k+1 RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

모든 항이 자연수이므로

조건 (가)에서 [eqn: 0<a LEQ d]

[eqn: a LEFT ( k+1 RIGHT ) LEQ d LEFT ( k+1 RIGHT )]

[eqn: k ^{2} -5k+3 LEQ k+1]

[eqn: k ^{2} -6k+2 LEQ 0]

[eqn: 3- sqrt {7} LEQ k LEQ 3+ sqrt {7}]

[eqn: k GEQ 3]이므로 자연수 [eqn: k][eqn: =3,~4,~5]

㉠에서 [eqn: k ^{2} -5k+3>0]이므로 [eqn: k=5], [eqn: d=2a]

[eqn: 90 LEQ a _{16} LEQ 10], [eqn: a _{16}][eqn: =a+15d][eqn: =31a]

이므로 [eqn: a=3], [eqn: d=6]

따라서 [eqn: a _{20}][eqn: =a+19d][eqn: =][eqn: 117]

(가) [eqn: a _{1} LEQ d]

(나) 어떤 자연수 [eqn: k][eqn: LEFT ( k GEQ 3 RIGHT )]에 대하여
세 항 [eqn: a _{2} ,~a _{k} ,~a _{3k-1}]이 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

[eqn: 90 LEQ a _{16} LEQ 100]일 때, [eqn: a _{20}]의 값을 구하시오.

첫째항이 [eqn: 6`]인 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: {8}]

[출제의도] 조건을 만족시키는 수열을 추론하여 값을 구한다.

수열 [eqn: {left{a _{n} right}`}]의 첫째항이 [eqn: {6`}]이므로 [eqn: {a _{1} >0}]

이때 [eqn: {a _{2} =2-6=it-4}]

[eqn: {a _{2} <0`}]이므로

[eqn: {a _{3} =a _{2} +p}][eqn: {= it -4+p}]

(ⅰ) [eqn: {-4+p GEQ 0`}], 즉 [eqn: {p GEQ 4`}]일 때
[eqn: {a _{4}}][eqn: {=2-a _{3} `}][eqn: {=2-(-4+p)}][eqn: {=6-p}][eqn: {=0`}]에서
[eqn: {p=6`}]

(ⅱ) [eqn: {-4+p<0`}], 즉 [eqn: {p<4`}]일 때
[eqn: {a _{4}}][eqn: {=a _{3} `+p}][eqn: {=(-4+p)+p}][eqn: {= it -4+2p`}][eqn: {=0`}]에서
[eqn: {p=2`}]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: {a _{4} =0`}]이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: {p`}]의 값의 합은 [eqn: {6+2=8}]

[eqn: a _{`n+1} = {cases{``2-a _{`n _{`}} ~~&LEFT ( a _{`n} GEQ 0 RIGHT ) _{`}#``a _{`n} +p ^{`}&LEFT ( a _{`n} <0 RIGHT ) ^{`}}}]

을 만족시킨다. [eqn: a _{`4} =0`]이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: p`]의 값의 합을 구하시오.

두 양수 [eqn: p,~q]가 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -3x ^{2} -9x-12]에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: p+q]의 값은?

③

[출제의도] 절댓값을 포함한 함수의 미분가능성을 판단할 수 있는가?

[eqn: f`'(x)][eqn: = 3x^2 -6x-9]
[eqn: = 3(x+1)(x-3)]

[eqn: f`'(x)=0]에서

[eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=3]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]	[eqn: cdots]
[eqn: {f` prime (x)}]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: {f(x)}]	↗	극대	↘	극소	↗

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극댓값 [eqn: f(-1)=-7]을 갖고, [eqn: x=3]에서 극솟값 [eqn: f(3)=-39]를 갖는다.

조건 (가)에서

[eqn: x g(x)= left| x f(x-p) +qx right|]

이므로

[eqn: g(x)= cases{ left| f(x-p)+q right|&~~(x>0) #- left| f(x-p)+q right| & ~~(x<0)}]

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=0]에서 연속이므로

[eqn: LEFT | f(-p)+q RIGHT | `=`- LEFT | f(-p)+q RIGHT |]

즉, [eqn: left| f(-p) +q right|=0]이어야 한다.

한편, 함수 [eqn: y= left| f(x-p)+q right|]의 그래프는 함수 [eqn: y= f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: p]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: q]만큼 평행이동시킨 후, [eqn: y<0]인 부분에 그려진 부분을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동시킨 것이다. 이때, [eqn: p,~q]가 모두 양수이고 조건 (나)에서 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: a]의 개수가 [eqn: 1]이므로 [eqn: p=1,] [eqn: q=7]이어야 한다. 따라서 [eqn: p+q= 1+7=8]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x`g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT | `x`f LEFT ( x-p RIGHT ) +qx` RIGHT |]이다.

(나) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 1]이다.

① [eqn: 6`]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 8`]	④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 10`]

[eqn: a>0]인 상수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT | ` LEFT ( x ^{2} -9 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) ` RIGHT |]가 오직 한 개의 [eqn: x] 값에서만 미분가능하지 않을 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값은?

①

[출제의도] 조건을 만족시키는 함수의 그래프를 추론하여 극댓값을 구한다.

(ⅰ) [eqn: 0<a<3`]일 때
함수 [eqn: y= (x ^{`2} -9)(x+a) `]의 그래프는 [eqn: x`]축과
세 점 [eqn: (-3,``0)], [eqn: (-a,``0)], [eqn: (3,``0) `]에서 만나므로
그래프의 개형은 그림과 같다.

그러므로 함수 [eqn: f(x)= LEFT |(x ^{` 2}-9)(x+a) RIGHT |`]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=it-3], [eqn: x=it-a], [eqn: x=3`]에서 미분가능하지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a = it 3]일 때
함수 [eqn: y][eqn: = (x ^{`2} -9)(x+a) `][eqn: = (x+3)^2 (x-3)]의 그래프는[eqn: x`]축과 점 [eqn: (-3,``0)]에서 접하고 점 [eqn: (3,``0)`]에서 만나므로 그래프의 개형은 그림과 같다.

그러므로 [eqn: f(x)= LEFT |left(x +3 right)^2left (x-3 right) RIGHT |`]의 그래프 개형은 그림과 같다.

[eqn: f(x)`]는 [eqn: x=3]에서만 미분가능하지 않으므로
주어진 조건을 만족시킨다.

(ⅲ) [eqn: a>3`]일 때
함수 [eqn: y= (x ^{`2} -9)(x+a) `]의 그래프는 [eqn: x`]축과
세 점 [eqn: (-a,``0)], [eqn: (-3,``0)], [eqn: (3,``0) `]에서 만나므로
그래프의 개형은 그림과 같다.

그러므로 함수 [eqn: f(x)= LEFT |(x ^{ `2}-9)(x+a) RIGHT |`]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=it-a], [eqn: x=it-3], [eqn: x=3 `]에서
미분가능하지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

그러므로 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 [eqn: a= 3]

함수 [eqn: y][eqn: = left(x^2 -9 right) (x+3) `]의 극솟값의 절댓값이

함수 [eqn: f(x)`][eqn: =left| left(x^2 -9 right) (x+3) right|`]의 극댓값이다.

[eqn: y][eqn: = left(x^{`2} -9 right)left (x+3 right)`]의 도함수는

[eqn: y' = 2x left(x+3 right) + left(x^2 -9right)][eqn: =3 left(x+3right)left(x -1right)]이므로

[eqn: y`'=0`]에서 [eqn: x= it -3] 또는 [eqn: x=1]

[eqn: y][eqn: = left(x^2 -9 right) (x+3) `]의 증가와 감소를 표로 나타내면

다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -3]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: y`']	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: y]	↗	[eqn: 0]	↘	[eqn: -32]	↗

그러므로 함수 [eqn: y][eqn: = left(x^2 -9 right) (x+3) `]은 [eqn: x=1`]에서

극소이고 극솟값은 [eqn: -32`]

따라서 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 극대이고 극댓값은

[eqn: f(1)][eqn: = left| -32right|][eqn: = 32]

[보충 설명]

[eqn: a = 3`]일 때 함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=3`]에서만 미분가능하지 않음을 보이자.

[eqn: f(x)][eqn: = LEFT | left(x^{`2}-9 right) left(x+3 right) RIGHT |]
[eqn: = LEFT | left(x+3 right) ^{`2} left(x-3 right) RIGHT |]
[eqn: = {cases{~left(x+3 right) ^{`2} left(x-3 right)~~``left(x GEQ 3 right)# ` ^{` ^{` ^{` ^{` ^{` ^{`}}}}}} -left(x+3 right) ^{`2} left(x-3 right)~left(x<3 right)}}]

함수 [eqn: f(x)`]가 구간 [eqn: left(-inf,``3 right) `]과 구간 [eqn: left( 3 ``,inf right) `]에서 각각 다항함수이므로 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x!=3 `]인 모든 실수 [eqn: x`]에서 미분가능하다.

그런데

[eqn: lim _{x` -> `3-} {{f(x)-f(3)} over {x-3}][eqn: = lim _{x` -> `3-} {{-(x+3) ^{`2} (x-3)} over {x-3}}}][eqn: = it -36]

[eqn: lim _{x` -> `3+} {{f(x)-f(3)} over {x-3}][eqn: = lim _{x`->` 3+} {{(x+3) ^{`2} (x-3)} over {x-3}}}][eqn: =36]

이므로 극한값 [eqn: lim _{x `->` 3} {{f(x)-f(3)} over {x-3}]이 존재하지 않는다.

그러므로 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=3`]에서 미분가능하지 않다.

따라서 [eqn: f(x)`]는 오직 한 개의 [eqn: x] 값에서만 미분가능하지 않다.

① [eqn: 32]      ② [eqn: 34]     ③ [eqn: 36]       ④ [eqn: 38]     ⑤ [eqn: 40]

두 삼차함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: {10}]

[eqn: {f(x)g(x)=(x-1)^{2}(x-2)^{2}(x-3)^{2}}]에서

[eqn: {g(x)}]가 [eqn: {x=2}]에서 극댓값을 가지므로 [eqn: {g(x)}]는 [eqn: {(x-2)^{2}}]을 인수로 갖고, [eqn: {g(x)}]의 최고차항의 계수가 양의 실수이므로 삼차함수의 개형을 통해 [eqn: {(x-3)}]을 인수로 가짐을 알 수 있다.

([eqn: {g(x)}]가 [eqn: {(x-1)}]을 인수로 가질 때, [eqn: {x=2}]에서 극솟값을 갖게 된다.)

[eqn: {g(x)}]의 최고차항의 계수가 [eqn: {3}]이므로 [eqn: {g(x)=3(x-1)^{2}(x-3)}]이다.

[eqn: {f(x)g(x)=(x-1)^{2}(x-2)^{2}(x-3)^{2}}]에서 [eqn: {f(x)={1}over{3}(x-1)^{2}(x-3)}]이다.

[eqn: {f(x)}]를 미분하면 [eqn: {f`'(x)={2}over{3}(x-1)(x-3)+{1}over{3}(x-1)^{2}}]이므로

[eqn: {f`'(0)={2}over{3}(-1)(-2)+{1}over{3}(-1)^{2}={7}over{3}}]이다.

그러므로 [eqn: {p=3,~q=7}]이 되고 [eqn: {p+q=3+7=10}]이다.

[eqn: f(x)``g(x)=(x-1) ^{2} (x-2) ^{2} (x-3) ^{2}]

을 만족시킨다. [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 3]이고, [eqn: g(x)]가 [eqn: x=2]에서 극댓값을 가질 때, [eqn: f``'(0)= {q} over {p}`]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

실수 [eqn: a]와 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -12x ^{2} +45+3]에 대하여 함수

[eqn: 8]

[출제의도] 정적분으로 나타내어진 함수가 극값을 하나만 갖도록 하는 상수 [eqn: a]의 값을 구할 수 있는가?

[eqn: f(x)=x^3 -12x^2 +45x+3]에서

[eqn: f`'(x)][eqn: =3x^2 -24x +45]
[eqn: = 3(x-3)(x-5)]

[eqn: g(x)][eqn: =int _{ a} ^{ x} { left{ f(x)- f(t) right} times left{ f(t) right}^4 dt }]
[eqn: = f(x) int _{ a} ^{ x} { left{f(t) right}^4 dt} - int _{ a} ^{x } { left{ f(t) right}^5 dt }]

[eqn: g`'(x)][eqn: = f`'(x) int _{ a} ^{x } { left {f(t) right}^4 dt } + left{ f(x) right}^5 - left{ f(x) right}^5]
[eqn: = f`'(x) int _{ a} ^{ x} { left{ f(t) right}^4 }dt]

[eqn: g`'(x)=0]에서

[eqn: f`'(x)=0] 또는 [eqn: x=a]

(ⅰ) [eqn: a!=3,] [eqn: a!=5]일 때,
[eqn: g`'(x)=0]에서
[eqn: x=3] 또는 [eqn: x=5] 또는 [eqn: x=a]
함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=3 ,] [eqn: x=5 ,] [eqn: x=a]에서 모두 극값을 갖는다.

(ⅱ) [eqn: a=3]일 때
[eqn: g`'(x)=0]에서 [eqn: x=3] 또는 [eqn: x=5]
함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]	[eqn: cdots]	[eqn: 5]	[eqn: cdots]
[eqn: {f` prime (x)}]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: {f(x)}]	↘		↘	극소	↗

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=5]에서만 극값을 갖는다.

(ⅲ) [eqn: a=5]일 때
[eqn: g`'(x)=0]에서
[eqn: x=3] 또는 [eqn: x=5]
함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]	[eqn: cdots]	[eqn: 5]	[eqn: cdots]
[eqn: {f` prime (x)}]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: {f(x)}]	↘	극소	↗		↗

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=3]에서만 극값을 갖는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서

함수 [eqn: g(x)]가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 [eqn: a]의 값은 [eqn: 3] 또는 [eqn: 5]이다.

따라서 모든 [eqn: a]의 값의 합은

[eqn: 3+5=8]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{a} ^{x} {} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } TIMES LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4} `dt]

가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합을 구하시오.

사차함수 [eqn: f(x) = x^4 + ax^2 + b ``]에 대하여 [eqn: x ge 0 `]에서 정의된 함수

④

사차함수 [eqn: {f(x)=x^{4}+ax^{2}+b}]의 그래프는 [eqn: {y}]축에 대칭이다.

[eqn: {f(t)-left|f(t)right|=cases{~```0&~~(f(t)ge0)#`2f(t)&~~(f(t)<0)}]에서 [eqn: {f(t)-left|f(t)right|le0}]이므로

함수 [eqn: {g(x)=int_{-x}^{2x}left{f(x)-left|f(x)right|right}dx}]는 증가하지 않는 함수이다.

즉, [eqn: {g(x)}]의 그래프는 상수함수인 구간과 감소하는 구간으로

이루어진다.

조건 (가)에서 [eqn: {g(x)}]는 상수함수이므로 [eqn: {0 le x le2}]에서 [eqn: {f(x)ge0}]

조건 (나)에서 [eqn: {g(x)}]는 감소함수이므로 [eqn: {2<x<5}]에서 [eqn: {f(x)<0}]

조건 (다)에서 [eqn: {g(x)}]는 상수함수이므로 [eqn: {x>5}]에서 [eqn: {f(x)>0}]

함수 [eqn: {f(x)=x^{4}+ax^{2}+b}]는 연속함수이므로 [eqn: {f(x)=0}]은

반드시 [eqn: {x=it-2,~2,~-5,~5}]를 해로 가져야 한다.

따라서 [eqn: {f(x)=(x^{2}-4)(x^{2}-25)}]이므로 [eqn: {f(root{2})=(-2)(-23)=46}]이다.

다른 풀이

사차함수 [eqn: {f(x)=x^{4}+ax^{2}+b}]의 그래프는 [eqn: {y}]축에 대칭이다.

[eqn: {b}]의 값에 따라 나누어보면

(ⅰ) [eqn: {b le0}]일 때

[eqn: {0<x<1}]에서 [eqn: {g(x)}]는 감소함수이므로 조건 (가)를 만족하지 못한다.

(ⅱ) [eqn: {b>0}]일 때

① [eqn: {0<x<1}]에서 [eqn: {g(x)}]가 상수함수이므로
[eqn: {f(x)-left|f(x)right|=0}]에서 [eqn: {alpha ge2}]
② [eqn: {1<x<5}]에서 [eqn: {g(x)}]가 감소하므로
[eqn: {f(x)-left|f(x)right|<0}]에서 [eqn: {alpha le2}]이고 [eqn: {-beta le-5}] 즉, [eqn: {beta ge5}]
③ [eqn: {x>5}]에서 [eqn: {g(x)}]가 상수함수이므로 [eqn: {-beta ge-5}] 즉, [eqn: {beta le5}]
①, ②, ③에 의해 [eqn: {alpha=2,~beta=5}]이고 [eqn: {f(x)=(x^{2}-4)(x^{2}-25)}]이다.

따라서 [eqn: {f(root{2})=(-2)times(-23)=46}]이다.

[eqn: g(x) = int_-x ^2x left{ f(t) - |`f(t)`| right}` dt]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 0< x< 1 `]에서 [eqn: g(x) = c_1 ~(c_1 `]은 상수[eqn: )]

(나) [eqn: 1< x< 5 `]에서 [eqn: g(x)`]는 감소한다.

(다) [eqn: x> 5 `]에서 [eqn: g(x) = c_2 ~ (c_2 `]는 상수[eqn: )]

[eqn: f( root 2 )`]의 값은? (단, [eqn: a, ~ b `]는 상수이다.)

① [eqn: 40]	② [eqn: 42]      ③ [eqn: 44]      ④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 48]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 5]인 정사각형 [eqn: rmABCD]에 중심이 [eqn: rmA]이고 중심각의 크기가 [eqn: 90°]인 부채꼴 [eqn: rmABD]를 그린다. 선분 [eqn: rmAD]를 [eqn: 3``:``2]로 내분하는 점을 [eqn: rmA _{1}], 점 [eqn: rmA _{1}]을 지나고 선분 [eqn: rmAB]에 평행한 직선 이 호 [eqn: rmBD]와 만나는 점을 [eqn: rmB _{1}]이라 하자. 선분 [eqn: rmA _{1} B _{1}]을 한 변으로 하고 선분 [eqn: rmDC]와 만나도록 정사각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]을 그린 후, 중심이 [eqn: rmD _{1}]이고 중심각의 크기가 [eqn: 90°]인 부채꼴 [eqn: rmD _{1} A _{1} C _{1}]을 그린다. 선분 [eqn: rmDC]가 호 [eqn: rmA _{1} C _{1}], 선분 [eqn: rmB _{1} C _{1}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmE _{1} ,~F _{1}]이라 하고, 두 선분 [eqn: rmDA _{1} ,~DE _{1}]과 호 [eqn: rmA _{1} E _{1}]로 둘러싸인 부분과 두 선분 [eqn: rmE _{1} F _{1} ,~F _{1} C _{1}]과 호 [eqn: rmE _{1} C _{1}]로 둘러싸인 부분인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

⑤

[출제의도] 등비급수를 이용하여 무한히 반복되는 도형의 넓이의 합을 구할 수 있는가?

그림 [eqn: {R _{1}}]에서 [eqn: {{bar{rm AA _{1}}} =3}], [eqn: {{bar{rm AB _{1}}} =5}]이므로

[eqn: {{bar{rm A _{1} B _{1}}} =4}]

즉, [eqn: {{bar{rm D _{1} E _{1}}} =4}], [eqn: {{bar{rm D _{1} D}} =2}]이므로

[eqn: {ANGLE rm DD _{1} E _{1} =60°}], [eqn: {ANGLE rm C _{1} D _{1} E _{1} =30°}]

따라서

[eqn: {S _{1}}][eqn: {= LEFT ( {8} over {3} pi-2 sqrt {3} RIGHT ) + LEFT ( 8-2 sqrt {3} - {4} over {3} pi RIGHT )}]
[eqn: {=8-4 sqrt {3} + {4} over {3} pi}]

한편 정사각형 [eqn: {rmA _{itn+1} rmB _{itn+1} rmC _{itn+1} rmD _{itn+1}}]의 한 변의 길이는 [eqn: {rm A _{it n rm} rm B _{it n rm} rm C _{it n rm} rm D _{it n rm}}]의 한 변의 길이의 [eqn: {{4} over {5}}]이므로 그림 [eqn: {R _{n+1}}]에서 새로 색칠한 부분의 넓이는 그림 [eqn: {R _{n}}]에서 새로 색칠한 부분의 넓이의 [eqn: {{16} over {25}}]이다.

따라서

[eqn: {lim _{n -> INF } {} S _{n}}][eqn: {= {8-4 sqrt {3} + {4} over {3} pi } over {1- {16} over {25}}}]
[eqn: {= {25} over {9} LEFT ( 8-4 sqrt {3} + {4} over {3} pi RIGHT )}]
[eqn: {= {100} over {9} LEFT ( 2- sqrt {3} + {pi} over {3} RIGHT )}]

그림 [eqn: R _{1}]에서 정사각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]에 중심이 [eqn: rmA _{1}]이고 중심각의 크기가 [eqn: 90°]인 부채꼴 [eqn: rmA _{1} B _{1} D _{1}]을 그린다. 선분 [eqn: rmA _{1} D _{1}]을 [eqn: 3``:``2]로 내분하는 점을 [eqn: rmA _{2}], 점 [eqn: rmA _{2}]를 지나고 선분 [eqn: rmA _{1} B _{1}]에 평행한 직선이 호 [eqn: rmB _{1} D _{1}]과 만나는 점을 [eqn: rmB _{2}]라 하자. 선분 [eqn: rmA _{2} B _{2}]를 한 변으로 하고 선분 [eqn: rmD _{1} C _{1}]과 만나도록 정사각형 [eqn: rmA _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]를 그린 후, 그림 [eqn: R _{1}]을 얻은 것과 같은 방법으로 정사각형 [eqn: rmA _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]에  모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림 을 [eqn: R _{2}]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠 되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n}]의 값은?

① [eqn: {50} over {3} LEFT ( 3- sqrt {3} + {pi} over {6} RIGHT )]	② [eqn: {100} over {9} LEFT ( 3- sqrt {3} + {pi} over {3} RIGHT )]

③ [eqn: {50} over {3} LEFT ( 2- sqrt {3} + {pi } over {6} RIGHT )]	④ [eqn: {100} over {9} LEFT ( 3- sqrt {3} + {pi } over {6} RIGHT )]

⑤ [eqn: {100} over {9} LEFT ( 2- sqrt {3} + {pi } over {3} RIGHT )]

그림과 같이 중심이 [eqn: rm O`]이고 길이가 [eqn: 2`]인 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 [eqn: rm AB] 위의 점 [eqn: rm P`]에서 선분 [eqn: rm AB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하고, 점 [eqn: rm H`]를 지나고 선분 [eqn: rm OP`]에 수직인 직선이 선분 [eqn: rm OP], 호 [eqn: rm AB`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm I], [eqn: rm Q`]라 하자.

②

[출제의도] 도형의 성질과 삼각함수의 극한을 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: {rm ANGLE OHP= {pi} over {2} `}]이므로

[eqn: {{bar{rm OH it}}}][eqn: {= {bar{rm OP it}} `cos`` theta }][eqn: {=cos` theta `}]

[eqn: {rm ANGLE HIO= {pi } over {2} `}]이므로

[eqn: {{bar{rm OI it}} ``}][eqn: {= {bar{rm OH it}} `cos` theta }][eqn: {=cos ^{2} theta }]

[eqn: {{bar{rm IH it}}}][eqn: {= {bar{rm OH it}} `sin` theta }][eqn: {=cos` theta `sin` theta `}]

[eqn: {{bar{rm IP it}}}][eqn: {= {bar{rm OP it}} - {bar{rm OI it}}}][eqn: {=1-cos ^{2} theta }][eqn: {=sin ^{2} theta }]

삼각형 [eqn: {rm IHP`}]의 넓이 [eqn: {T`( theta )}]는

[eqn: {T`( theta )}][eqn: {= {1} over {2} ` TIMES {bar{rm IH it}} TIMES {bar{rm IP it}}}]
[eqn: {= {1} over {2} TIMES (`cos` theta `sin` theta `) TIMES sin ^{2`} theta }]
[eqn: {= {1} over {2} `sin ^{3} theta `cos` theta }]

직선 [eqn: {rm OP`}]와 직선 [eqn: {rm RQ`}]가 평행이므로 삼각형 [eqn: {rm RIP`}]의 높이는 [eqn: {rm bar{QI`}}]이다.

[eqn: {{bar{rm OQ it}} =1`}], [eqn: {ANGLE rm OIQ= {pi} over {2}}]이므로 직각삼각형 [eqn: {rmOIQ`}]에서

[eqn: {{bar{rm QI it}} ^{2} = {bar{rm OQ it}} ^{2} - {bar{rm OI it}} ^{2}}]

[eqn: {{bar{rm QI it}} }][eqn: {= sqrt {1-(cos ^{2} theta ) ^{2}}}]
[eqn: {= sqrt {(1-cos ^{2} theta)(1+cos ^{2} theta)}}]
[eqn: {=sin` theta sqrt {1+cos ^{2} theta }}] [eqn: {LEFT ( 0< theta < {pi} over {2} RIGHT )}]

삼각형 [eqn: {rm RIP`}]의 넓이 [eqn: {S`( theta )`}]는

[eqn: {S`( theta )}][eqn: {= {1} over {2} ` TIMES rm {bar{IP}} TIMES {bar{QI}}}]
[eqn: {= {1} over {2} TIMES sin ^{2} theta TIMES LEFT ( sin` theta sqrt {1+cos ^{2} theta } RIGHT )}]
[eqn: {= {1} over {2} `sin ^{3} theta sqrt {1+cos ^{2} theta}}]

[eqn: {S`( theta )-T`( theta )}][eqn: {= {1} over {2} `sin ^{3} theta ` LEFT ( sqrt {1+cos ^{2} theta } -cos` theta RIGHT )}]

따라서

[eqn: {lim _{theta ` -> `0+} {{S`( theta )-T`( theta )} over {theta ^{`3}}}}]

[eqn: {= lim _{theta ` -> `0+} {{{1} over {2} `sin ^{3} theta ` LEFT ( sqrt {1+cos ^{2} theta } -cos` theta RIGHT )} over {theta ^{`3}}}}]

[eqn: {= lim _{theta ` -> `0+} {} `` LEFT { {1} over {2} TIMES {`sin ^{3} theta } over {theta ^{3}} TIMES LEFT ( sqrt {1+cos ^{2} theta } -cos` theta RIGHT ) RIGHT }}]

[eqn: {= {sqrt {2} -1} over {2}}]

점 [eqn: rm Q`]를 지나고 직선 [eqn: rm OP`]에 평행한 직선이 호 [eqn: rmAB`]와 만나는 점 중 [eqn: rm Q`]가 아닌 점을 [eqn: rm R`]라 하자. [eqn: ANGLE rm POB= theta `]일 때, 두 삼각형 [eqn: rm RIP], [eqn: rm IHP`] 의 넓이를 각각 [eqn: S`( theta )], [eqn: T`( theta )`]라 하자. [eqn: lim _{theta `` -> `0+} { S`( theta )-T`( theta ) } over {theta ^{3}} `}]의 값은? [eqn: LEFT ( pile{it#it}]단, [eqn: 0< theta < {pi} over {2}][eqn: pile{it#it} RIGHT )]

① [eqn: {sqrt {2} -1} over {4}]           ② [eqn: {sqrt {2} -1} over {2}]            ③ [eqn: sqrt {2} -`1]

④ [eqn: {2 sqrt {2} -1} over {4}]	⑤ [eqn: {2 sqrt {2} -1} over {2}]

함수 [eqn: f(x)= LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) e ^{x} `]과 함수 [eqn: g ( x ) `]가 다음 조건을 만족 시킨다.

④

[출제의도] 합성함수의 미분법을 이용하여 함수의 미분계수를 구한다.

[eqn: {f(1)}][eqn: {=(1+a+b)e}][eqn: {=e}]에서

[eqn: {a+b=0}] …… ㉠

[eqn: {f` prime (x)}][eqn: {= LEFT { x ^{2} +(a+2)x+a+b RIGHT } e ^{x} `}]이므로

[eqn: {f`'(1)}][eqn: {= LEFT { 1+(a+2)+a+b RIGHT } e}][eqn: {=e}] 에서

[eqn: {2a+b=it-2}] …… ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: {a=it-2}], [eqn: {b=2}]

[eqn: {f(x)}][eqn: {=(x ^{2} -2x+2)e ^{x}}]에서

[eqn: {f``'(x)}][eqn: {=x^{2}e^{x}}]
[eqn: {f``''(x)}][eqn: {=x(x+2)e^{x}}]이므로

[eqn: {f``''(1)}][eqn: {=3e}]

이때 모든 실수 [eqn: {x}]에 대하여 [eqn: {f`` prime LEFT ( x RIGHT ) ` GEQ 0}]이므로

함수 [eqn: {f` LEFT ( x RIGHT )}]는 역함수가 존재한다.

[eqn: {f LEFT ( 1 RIGHT ) =e}]에서 [eqn: {f ^{`-1} LEFT ( e RIGHT ) =1}]이므로

역함수의 미분법에 의하여

[eqn: {LEFT ( f ^{`-1} RIGHT ) ` prime LEFT ( e RIGHT )}][eqn: {= {1} over {f`` prime LEFT ( 1 RIGHT )}}][eqn: {= {1} over {e}}]

한편 [eqn: {g LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =f`` prime LEFT ( 1 RIGHT )}], 즉 [eqn: {g LEFT ( e RIGHT ) =e}]이고

[eqn: {g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =f``' LEFT ( x RIGHT )}]의 양변을 [eqn: {x}]에 대하여 미분하면

[eqn: {g` prime LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) f`` prime LEFT ( x RIGHT ) =f`` '' LEFT ( x RIGHT )}] …… ㉢

㉢의 양변에 [eqn: {x=1}]을 대입하면

[eqn: {g`' LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) f``' LEFT ( 1 RIGHT ) =f``'' LEFT ( 1 RIGHT )}]

[eqn: {g`' LEFT ( e RIGHT ) times`e=3e}], [eqn: {g`' LEFT ( e RIGHT ) =3}]

따라서

[eqn: {h`' LEFT ( e RIGHT )}][eqn: {= LEFT ( f ^{`-1} RIGHT ) ` prime LEFT ( e RIGHT ) g LEFT ( e RIGHT ) +f ^{`-1} LEFT ( e RIGHT ) g` prime LEFT ( e RIGHT )}]
[eqn: {= {1} over {e} TIMES e+1times3}][eqn: {=4}]

(가) [eqn: f ( 1 ) =e], [eqn: f` prime ( 1 ) =e]

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g(`f(x))=f` prime (x)`]이다.

함수 [eqn: h(x)=f` ^{-1} (x)`g(x)`]에 대하여 [eqn: h prime (e)`]의 값은?

(단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]       ④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 함수

④

[출제의도] 방정식의 서로 다른 양의 실근의 개수가 [eqn: 3]일 조건을 구할 수 있는가?

[eqn: e^x = k sinx]에서 [eqn: 1 overk = sinx overe^x]	[eqn: cdotscdots]㉠이므로

[eqn: h(x)= sinx overe^x]라 하면

[eqn: h`'(x)= {e^x cosx - e^x sinx } overe^2x = { cosx - sinx } overe^x]

따라서 [eqn: x>0]에서 [eqn: h`'(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값은

[eqn: x= pi over4 ,~ 5 over4 pi ,~ 9 over4 pi ,~ cdots]

이므로 함수 [eqn: y= h(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: (0)]	[eqn: cdots]	[eqn: pi over4]	[eqn: cdots]	[eqn: 5 over4 pi]	[eqn: cdots]
[eqn: h`'(x)]	[eqn: 1]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: h(x)]	[eqn: 0]	↗	[eqn: 1 over{sqrt2 e^{ pi over4 }}]	↘	[eqn: - 1 over{sqrt2 e^{ 5 over4 pi}]	↗

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: {9pi } over {4}]	[eqn: cdots]	[eqn: {13} over {4} pi]	[eqn: cdots]
[eqn: h`'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: h(x)]	↗	[eqn: {1} over {sqrt {2} e ^{{9pi } over {4}}}]	↘	[eqn: - {1} over {sqrt {2} e ^{{13} over {4} pi }}]	↗

이때 ㉠의 서로 다른 양의 실근의 개수가 [eqn: 3]이기 위해서는 그림과 같이 직선 [eqn: y= 1 overk]이 [eqn: x= 9 over4 pi]에서 곡선 [eqn: y= sinx overe^x]와 접해야 하므로

[eqn: 1 overk = 1 over{sqrt2 e^{ 9 over4 pi}]

따라서

[eqn: k= sqrt2 e^{ 9 over4 pi}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =e ^{x}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =k`sin`x]

에 대하여 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 서로 다른 양의 실근의 개수가 [eqn: 3]일 때, 양수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: sqrt {2} e ^{{3pi} over {2}}]	② [eqn: sqrt {2} e ^{{7pi} over {4}}]	③ [eqn: sqrt {2} e ^{2pi}]	④ [eqn: sqrt {2} e ^{{9pi} over {4}}]	⑤ [eqn: sqrt {2} e ^{{5pi} over {2}}]

미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

⑤

[출제의도] 치환적분법과 부분적분법을 이용하여 문제를 해결한다.

조건 (가)에 의해 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 감소한다.

그러므로 조건 (나)에 의해

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )=1,~f LEFT ( 3 RIGHT )=it-2] 즉 [eqn: f^{`-1} LEFT ( 1 RIGHT )= it-1 ,~f^{`-1} LEFT ( -2 RIGHT )=3]

[eqn: int _{ -2} ^{ 1} {f^{`-1} LEFT ( x RIGHT ) }`dx]에서 [eqn: f^{`-1} LEFT ( x RIGHT )=t]로 놓으면

[eqn: x= it-2]일 때 [eqn: t=3 ,~x=1]일 때 [eqn: t=it-1]이고,

[eqn: x=f LEFT ( t RIGHT )]에서 [eqn: dx overdt = f`' LEFT ( t RIGHT )]이므로

[eqn: int _{ -2} ^{1 } {f^{`-1} LEFT ( x RIGHT ) }`dx][eqn: =int _{ 3} ^{-1 } {tf`' LEFT ( t RIGHT ) }`dt]
[eqn: = left[tf LEFT ( t RIGHT )pile{`#`}right]_3 ^-1 - int _{ 3} ^{-1 } {f LEFT ( t RIGHT ) }`dt]
[eqn: =it-f LEFT ( -1 RIGHT )-3f LEFT ( 3 RIGHT )+ int _{ -1} ^{3 } {f LEFT ( t RIGHT ) }`dt]
[eqn: =it-1+6+3=8]

(가) [eqn: x _{1} <x _{2}]인 임의의 두 실수 [eqn: x _{1} ,~x _{2}]에 대하여
[eqn: f LEFT ( x _{1} RIGHT ) >f LEFT ( x _{2} RIGHT )]이다.

(나) 닫힌구간 [eqn: LEFT [ `-1,~3` RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: 1]이고
최솟값은 [eqn: -2]이다.

[eqn: int _{-1} ^{3} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: =3]일 때, [eqn: int _{-2} ^{1} {} f ^{-1} LEFT ( x RIGHT ) `dx]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

빠른답지

[eqn: 12]

[eqn: {9}]

①

[eqn: 117]

[eqn: {8}]

③

①

[eqn: {10}]

[eqn: 8]

④

⑤

②

④

④

⑤

정답 및 해설