25년 내신대비	학교시험기출	다항식

경기남부지역	- -	분당기출모임

1.

다항식

다항식의 연산(step1)

1.

다항식의 덧셈과 뺄셈

두 다항식 [eqn: A=2x^2 +xy-4y^2 ,~B=3x^2 -xy+2y^2]에 대하여 [eqn: X-3(A-2B)=A+3B]를 만족시키는 다항식 [eqn: X]는? [[eqn: 4.0]점]

⑤

[eqn: X-3(A-2B)=A+3B]에서

[eqn: X][eqn: = 4A-3B]
[eqn: = 4(2x^2 +xy-4y^2 )-3(3x^2 -xy+2y^2 )]
[eqn: = -x^2 +7xy -22y^2]

① [eqn: x^2 -5xy-22y^2]	② [eqn: x^2 +7xy-22y^2]	③ [eqn: -x^2 +5xy-22y^2]	④ [eqn: -x^2 +7xy+22y^2]	⑤ [eqn: -x^2 +7xy-22y^2]

두 다항식 [eqn: A=4x ^{2} -3x+1,``B=x ^{2} -x-3]에 대하여 [eqn: A-2B]를 간단히 한 것은? [4.2점]

①

[eqn: rmA-2B]

[eqn: =4x ^{2} -3x+1-2(x ^{2} -x-3)]

[eqn: =4x ^{2} -3x+1-2x ^{2} +2x+6]

[eqn: =2x ^{2} -x+7]

① [eqn: 2x ^{2} -x+7]	② [eqn: 2x ^{2} -5x-5]	③ [eqn: 2x ^{2} -4x-5]	④ [eqn: 3x ^{2} -2x+4]	⑤ [eqn: 3x ^{2} -x-2]

두 다항식 [eqn: A= -x^2 -2xy +3y^2], [eqn: B=2x^2 +3xy-y^2]에 대하여 [eqn: (3A-B)-(A-2B)]를 간단히 하면? [[eqn: 3.8]점]

③

[eqn: (3A-B)-(A-2B)][eqn: =2A+B]
[eqn: =2(-x^2 -2xy +3y^2 ) +(2x^2 +3xy-y^2 )]
[eqn: =-xy+5y^2]

① [eqn: x^2 -xy]	② [eqn: -xy+y^2]	③ [eqn: -xy +5y^2]

④ [eqn: 3x^2 -2xy]	⑤ [eqn: -2xy +3y^2]

두 다항식 [eqn: A=x ^{2} -xy,`B=2xy+2y ^{2}]에 대하여 [eqn: A-X=B]를 만족시키는 다항식 [eqn: X]를 구하면? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: x ^{2} -3xy-2y ^{2}]	② [eqn: x ^{2} -2xy-2y ^{2}]	③ [eqn: x ^{2} +xy-2y ^{2}]
④ [eqn: 2x ^{2} -6xy-4y ^{2}]	⑤ [eqn: 2x+2xy+4y ^{2}]

①

[eqn: X=A-B]이므로 [eqn: A-B=x ^{2} -xy-(2xy+2y ^{2} )=x ^{2} -3xy-2y ^{2}]

두 다항식

②

풀이) [eqn: A=2x ^{3} +x ^{2} -4x+1# B=-3x ^{2} +4x-2] 에서

[eqn: A+B = 2x ^{3} -2x ^{2} -1] 이다.

[eqn: A=2x ^{3} +x ^{2} -4x+1# B=-3x ^{2} +4x-2]

에 대하여 [eqn: A+B]는? [[eqn: 3.8]점]

① [eqn: 2x ^{3} +2x ^{2} -1]	② [eqn: 2x ^{3} -2x ^{2} -1]

③ [eqn: x ^{3} +5x ^{2} -6x-1]	④ [eqn: -x ^{3} +5x ^{2} +6x-1]

⑤ [eqn: -x ^{3} +5x ^{2} -6x+1]

두 다항식 [eqn: A=x ^{2} -3xy+4y ^{2} ,`````B=2x ^{2} +6xy-5y ^{2}]에 대하여 [eqn: A+B]를 간단히 하면? [3.6점]

① [eqn: -12xy+18y ^{2}]	② [eqn: 3x ^{2} +3xy-y ^{2}]	③ [eqn: 4x ^{2} -12xy+3y ^{2}]
④ [eqn: 4x ^{2} +3y ^{2}] ⑤ [eqn: 6x ^{2} +6xy-2y ^{2}]

②

[eqn: A+B=3x ^{2} +3xy-y ^{2}]

세 다항식 [eqn: A=x ^{2} -2xy+3y ^{2}], [eqn: B=3xy-2y ^{2}], [eqn: C=-x ^{2} +5xy]에 대하여 [eqn: A-(-B+C)=ax ^{2} +bxy+cy ^{2}]일 때, [eqn: a+b+c] 값은? (단, [eqn: a,`b,`c]는 상수) [[eqn: 4.1]점]

②

[eqn: A-(-B+C)=A+B-C=2x ^{2} -4xy+y ^{2}]이므로, 구하고자 하는 값은 [eqn: a+b+c=2-4+1=-1]이다.

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 15]

두 다항식 [eqn: A=x^3 +2x^2 -x+3 ,~ B=2x^3 -4x^2 +5x-1`]에 대하여 [eqn: A+B`]를 간단히 하면? [3.9점]

① [eqn: x^3 -6x^2 +6x-4]

④

[eqn: A=x^3 +2x^2 -x+3 ,~ B=2x^3 -4x^2 +5x-1`]

[eqn: A+B = 3x^3 -2x^2 +4x+2]

② [eqn: x^3 +2x^2 -4x+2]
③ [eqn: 3x^3 +2x^2 -4x+2]

④ [eqn: 3x^3 -2x^2 +4x+2]
⑤ [eqn: 3x^3 -2x^2 +4x-2]

두 다항식 [eqn: A=x^3 +4x^2 -ax+1], [eqn: B=x^3 +bx^2 +1]에 대하여 [eqn: 2(A+B)-B]에서 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 4], [eqn: x]의 계수가 [eqn: -6]일 때, [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: a,b]는 상수이다.) [4.9점]

① [eqn: -15]	② [eqn: -12]	③ [eqn: -9]
④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -3]

②

[eqn: 2(A+B)-B=2A+B][eqn: =3x^3 +(8+b)x^2 -2ax+3] 이므로

[eqn: 8+b=4, b=-4] 이고 [eqn: -2a=-6, a=3] 이므로 [eqn: ab=-12] 이다.

두 다항식 [eqn: A= 2x^2 +xy-y^2 ,~B= x^2 +3xy+2y^2 `]의 합은? [3.3점]

① [eqn: 3x^2 -2xy +y^2]	② [eqn: 3x^2 +2xy +y^2]	③ [eqn: 3x^2 +4xy +y^2]	④ [eqn: 3x^2 -4xy +y^2]	⑤ [eqn: 3x^2 +4xy -y^2]

③

[eqn: A= 2x^2 +xy-y^2 ,~B= x^2 +3xy+2y^2 `]

[eqn: A+B = 3x^2 +4xy+y^2]

두 다항식 [eqn: A,~B]에 대하여

⑤

[eqn: 4A+2B=8x ^{2} -8x+10]

[eqn: A-2B=5x ^{3} +2x ^{2} -7x-5]

연립하면 [eqn: 5A=5x ^{3} +10x ^{2} -15x+5]

따라서 [eqn: A=x ^{3} +2x ^{2} -3x+1]

[eqn: 2A+B=4x ^{2} -4x+5], [eqn: A-2B=5x ^{3} +2x ^{2} -7x-5]

일 때, 다항식 [eqn: A]는? [[eqn: 3.8]점]

① [eqn: 3x ^{2} +x+1]	② [eqn: -x ^{3} -x ^{2} +7] ③ [eqn: -x ^{3} -3x+5][eqn: 3]
④ [eqn: x ^{3} -2x ^{2} -x+4]	⑤ [eqn: x ^{3} +2x ^{2} -3x+1]

두 다항식 [eqn: A=x ^{2} -xy+3y ^{2}], [eqn: B=-x ^{2} +2xy+y ^{2}],

③

[eqn: A-B=2x ^{2} -3xy+2y ^{2}]를

에 대하여 [eqn: A-B]를 간단히 하면? [[eqn: 3.8]점]

① [eqn: 2x-3xy]	② [eqn: 2x ^{2} -3xy+y ^{2}]	③ [eqn: 2x ^{2} -3xy+2y ^{2}]	④ [eqn: 2x ^{2} +xy+y ^{2}]	⑤ [eqn: 2x ^{2} +xy+2y ^{2}]

두 다항식 [eqn: A = 3x^2 -5xy-y^2], [eqn: B= `-x^2 +2xy+4y^2]에 대하여 [eqn: 2A-X=`-B]를 만족시키는 [eqn: X= ax^2 +bxy +cy^2]일 때, [eqn: a+b+c]의 값은? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

②

[eqn: A = 3x^2 -5xy-y^2], [eqn: B= `-x^2 +2xy+4y^2], [eqn: X= ax^2 +bxy +cy^2]에서

[eqn: 2A-X=`-B]이므로

[eqn: X][eqn: = 2A +B]
[eqn: =2times LEFT (3x^2 - 5xy-y^2 RIGHT )+ LEFT ( -x^2 +2xy +4y^2 RIGHT )]
[eqn: =6x^2 -10xy -2y^2 -x^2 +2xy+4y^2]
[eqn: = 5x^2 -8xy+2y^2]

그러므로 [eqn: a=5], [eqn: b= `-8], [eqn: c=2]이다.

따라서 [eqn: a+b+c= 5 + LEFT ( -8 RIGHT )+2 = `-1]이다.

두 다항식 [eqn: A=x ^{2} +1], [eqn: B=x ^{2} +x]에 대하여 [eqn: A+2B]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수는? [4점]

① 1	② 2	③ 3
④ 4	⑤ 5

③

[eqn: A+2B = (x^2 +1) +2(x^2 +x) = 3x^2 +2x +1]

[eqn: x^2]의 계수는 [eqn: 3]

[eqn: (x ^{2} +3x+5)+(x+3)`]을 옳게 계산한 것은? [4.3점]

① [eqn: x ^{2} +2x+8]	② [eqn: x ^{2} +3x+8]	③ [eqn: x ^{2} -3x+8]
④ [eqn: x ^{2} +4x+8]	⑤ [eqn: x ^{2} -4x+8]

④

식을 계산하면 [eqn: x ^{2} +4x+8]이다.

다항식 [eqn: (x-2y)^3]을 전개한 식에서 [eqn: xy^2]의 계수는? [4.7점]

① [eqn: -12]	② [eqn: -4]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 12]

⑤

[eqn: (x-2y)^3 = x^3 -6x^2 y+12xy^2 -8y^3] 이므로 [eqn: xy^2]의 계수는 12이다.

[eqn: (3x-y)(2x+y+3)]의 전개식에서 [eqn: xy]항의 계수는? [[eqn: 3.8]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

①

풀이) [eqn: (3x-y)(2x+y+3)]의 전개식에서 [eqn: xy]항의 계수는
[eqn: 3xy -2xy = xy]이다.

[eqn: (2x+3y+4z) ^{2}]의 전개식에서 [eqn: yz]의 계수는?[[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]
④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 24]

⑤

[eqn: (2x+3y+4z) ^{2} =4x ^{2} +9y ^{2} +16z ^{2} +12xy+24yz+16zx] 이므로 [eqn: yz]의 계수는 [eqn: 24]

[eqn: LEFT ( x ^{3} -x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -2x-2 RIGHT )]를 전개한 식에서 [eqn: x ^{2}]과 [eqn: x ^{3}]의 계수의 합은? [[eqn: 3.2]점]

①

[풀이]

[eqn: LEFT ( x ^{3} -x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -2x-2 RIGHT )]

[eqn: =x ^{5} -2x ^{4} -2x ^{3} -x ^{3} +2x ^{2} +2x+2x ^{2} -4x-4]

[eqn: =x ^{5} -2x ^{4} -3x ^{3} +4x ^{2} -2x-4]

전개한 식에서

[eqn: x ^{2}]의 계수는 [eqn: 4]

[eqn: x ^{3}]의 계수는 [eqn: -3]

[eqn: 4+ LEFT ( -3` RIGHT ) =1]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다항식 [eqn: LEFT ( a ^{2} +a+1 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( a+1 RIGHT ) LEFT ( a ^{2} -a+1 RIGHT ) `]의 전개식에서 모든 항의 계수의 합은? [[eqn: 3.8]점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

③

[eqn: a=1]을 대입한 값은 모든 항의 계수의 합과 같으므로

[eqn: LEFT ( 1+1+1 RIGHT ) ^{2} -2 TIMES 1=7]

치환을 이용한 다항식의 전개

[eqn: LEFT ( 2x+3 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT )]을 전개하여 내림차순으로 정리하였더니 [eqn: 2x ^{3} +ax ^{2} +bx+3]이 되었다. 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? [4.0점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

③

[eqn: LEFT ( 2x+3 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT ) =2x ^{3} +x ^{2} -x+3]

따라서 [eqn: a+b=0]이다.

[eqn: x ^{2} -4x+1=0]일 때, [eqn: x ^{2} + {1} over {x ^{2}}]의 값을 구하면? [[eqn: 4.2]점]

③

[eqn: x ^{2} -4x+1=0]이므로 [eqn: x-4+ {1} over {x} =0], [eqn: x+ {1} over {x} =4]이다.

따라서 구하고자 하는 값은 [eqn: x ^{2} + {1} over {x ^{2}} = LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) ^{2} -2=14]이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]
④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

[eqn: x ^{2} -5x+2=0]일 때, [eqn: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)]의 값은? [[eqn: 4.5]점]
① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④

[eqn: x ^{2} -5x=-2]이다. 따라서,

[eqn: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)]

[eqn: = LEFT ( x ^{2} -5x+4 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -5x+6 RIGHT ) =2 TIMES 4=8]이다.

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

곱셈공식의 변형(1)

[eqn: x= sqrt {3} +1,~y= sqrt {3} -1]일 때, [eqn: x ^{2} y+x ^{2} -xy ^{2} +y ^{2}]의 값은? [4.5점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]
④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

③

[eqn: x= sqrt {3} +1,~y= sqrt {3} -1] 이고 [eqn: x+y=2 sqrt {3} ,~xy=2] 이다.

[eqn: x ^{2} y+x ^{2} -xy ^{2} +y ^{2} =x ^{2} +y ^{2} +xy LEFT ( x-y RIGHT )] 이므로

[eqn: x ^{2} y+x ^{2} -xy ^{2} +y ^{2} =12-4+4=12] 이다.

[eqn: x= root3 +1], [eqn: y= root3 -1]일 때, [eqn: x^3 +y^3]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 4root3]	② [eqn: 6root3]	③ [eqn: 8root3]
④ [eqn: 10 root3]	⑤ [eqn: 12 root3]

⑤

[eqn: x= root3 +1], [eqn: y= root3 -1]이므로

[eqn: x+y = LEFT ( root3 +1 RIGHT )+ LEFT ( root3 -1 RIGHT )= 2root3]

[eqn: xy= LEFT ( root3 +1 RIGHT ) LEFT ( root3 -1 RIGHT )= 3-1 =2]

이다.

[eqn: x^3 +y^3][eqn: = LEFT (x +y RIGHT )^3 - 3 xy LEFT ( x+y RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 2root3 RIGHT )^3 - 3 times 2 times 2root3]
[eqn: =24 root3 - 12 root3]
[eqn: =12 root3]

두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x+y=2], [eqn: x ^{2} +y ^{2} =3]일 때, [eqn: x ^{3} +y ^{3}]의 값은? [4.4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

⑤

[eqn: (x+y)^2 = x^2 +y^2 +2xy]

[eqn: 4 = 3+2xy]

[eqn: ∴```xy = 1 over 2]

[eqn: x^3 +y^3 = (x+y)^3 - 3xy (x+y)]

[eqn: = 2^3 - 3``․``1 over 2 ``․``2 = 5]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여
[eqn: a+b=4`]이고, [eqn: a ^{3} +b ^{3} =28`]일 때, [eqn: a ^{5} +b ^{5} `]의 값은? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 242]	② [eqn: 244]	③ [eqn: 246]
④ [eqn: 248]	⑤ [eqn: 250]

②

[eqn: a+b=4]이고 [eqn: a ^{3} +b ^{3} =28]이므로

[eqn: a ^{3} +b ^{3} = LEFT ( a+b RIGHT ) ^{3} -3ab LEFT ( a+b RIGHT )]이므로

[eqn: 28=64-12ab], [eqn: THEREFORE] [eqn: ab=3]

[eqn: a ^{5} +b ^{5} = LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT ) LEFT ( a ^{3} +b ^{3} RIGHT ) -a ^{2} b ^{2} LEFT ( a+b RIGHT )]에서

[eqn: a ^{2} +b ^{2} = LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} -2ab=10]을 이용하여

[eqn: a ^{5} +b ^{5} =10 TIMES 28-3 ^{2} TIMES 4=280-36=244]

[eqn: a+b=1,`ab=-1]일 때, [eqn: a ^{3} +b ^{3}]의 값은? [[eqn: 3.3]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④

[풀이]

[eqn: a ^{3} +b ^{3} = LEFT ( a+b RIGHT ) ^{3} -3ab LEFT ( a+b RIGHT )]에

[eqn: a+b=1,`ab=-1]대입하면

[eqn: a ^{3} +b ^{3} =1 ^{3} -3 LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES 1]

[eqn: a ^{3} +b ^{3} =4]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: a= sqrt { 2}- sqrt { 3},```b= sqrt { 2}+ sqrt { 3}]일 때, [eqn: a^3 +b^3]의 값은? [[eqn: 4.1]점]

③

[eqn: a= sqrt { 2}- sqrt { 3},```b= sqrt { 2}+ sqrt { 3}]

[eqn: a+b = 2 sqrt { 2} ,~ab=-1]

[eqn: a^3 +b^3 = (a+b) LEFT {(a+b)^2 -3ab RIGHT}=22 sqrt { 2}]

① [eqn: 18 sqrt { 2}]	② [eqn: 20 sqrt { 2}]	③ [eqn: 22 sqrt { 2}]

④ [eqn: 24 sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 26 sqrt { 2}]

[eqn: x-y =2], [eqn: x^3 -y^3 =12]일 때, [eqn: xy]의 값은? [[eqn: 3.8]점]

④

[eqn: x^3 -y^3 = (x-y)^3 +3xy(x-y)]

[eqn: 12=8+6xy]	[eqn: therefore~xy= 2over3]

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: 5over6]

[eqn: x+y=3 ,~x^2 +y^2 =13`]일 때, [eqn: x^3 +y^3 `]의 값은? [3.8점]

① [eqn: 33]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 39]
④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 45]

⑤

[eqn: (x+y)^2 =x^2 +y^2 +2xy]

[eqn: 9=13+2xy]

[eqn: xy=-2]

[eqn: therefore] [eqn: x^3 +y^3 =(x+y)^3 -3xy(x+y)=27-3 times(-2)times3=45]

[eqn: ab-a-b=44`,~bc-b-c=8`,~ca-c-a=4`]일 때, [eqn: a+2b+c`]
의 값은? [eqn: (]단, [eqn: a`,~b`,~c`]는 양수이다.[eqn: )]
① [eqn: 24]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 26]
④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 28]

⑤

[eqn: ab-a-b=44`]에서 [eqn: ab-a-b+1=45]

[eqn: a LEFT ( b-1 RIGHT ) - LEFT ( b-1 RIGHT ) =45] [eqn: THEREFORE ~ LEFT ( a-1 RIGHT ) LEFT ( b-1 RIGHT ) =45]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

[eqn: bc-b-c=8`]에서 [eqn: bc-b-c+1=9]

[eqn: b LEFT ( c-1 RIGHT ) - LEFT ( c-1 RIGHT ) =9] [eqn: THEREFORE ~ LEFT ( b-1 RIGHT ) LEFT ( c-1 RIGHT ) =9]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

[eqn: ca-c-a=4`]에서 [eqn: ca-c-a+1=5]

[eqn: c LEFT ( a-1 RIGHT ) - LEFT ( a-1 RIGHT ) =5] [eqn: THEREFORE ~ LEFT ( c-1 RIGHT ) LEFT ( a-1 RIGHT ) =5]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉢

㉠[eqn: TIMES]㉡[eqn: TIMES]㉢을 하면

[eqn: LEFT { LEFT ( a-1 RIGHT ) LEFT ( b-1 RIGHT ) LEFT ( c-1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} =45 ^{2}]

이때, [eqn: a>0`,~b>0`,~c>0`]이므로

[eqn: LEFT ( a-1 RIGHT ) LEFT ( b-1 RIGHT ) LEFT ( c-1 RIGHT ) =45]

㉠에서 [eqn: c-1=1`]이므로 [eqn: c=2]

㉡에서 [eqn: a-1=5`]이므로 [eqn: a=6]

㉢에서 [eqn: b-1=9`]이므로 [eqn: b=10]

[eqn: THEREFORE ~a+2b=c=6+2 TIMES 10+2=28]

[eqn: a+b+c=4``,`ab+bc+ca=2]일 떄, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}]의값은? [3.8점]

➀

[eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}][eqn: = LEFT ( a+b+c RIGHT ) ^{2} -2 LEFT ( ab+bc+ca RIGHT )]
[eqn: =4 ^{2} -2 TIMES 2=12]

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

[eqn: a+b+c=6,~a^2 +b^2 +c^2 =48 ,~ abc=-2`]일 때, [eqn: 1 overa + 1 overb + 1 overc `]의 값은? [4.3점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

⑤

[eqn: (a+b+c)^2 =a^2 +b^2 +c^2 +2(ab+bc+ca)]

[eqn: 36=48+2(ab+bc+ca)]

[eqn: ab+bc+ca=-6]

[eqn: therefore] [eqn: 1 overa + 1 overb + 1 overc = {ab+bc+ca} overabc = 3]

몫과 나머지의 변형

다음 나눗셈의 몫과 나머지로 옳은 것은? [4.1점]

몫	나머지
① [eqn: 3x+5]	[eqn: 14x]
② [eqn: 3x+5]	[eqn: 26x]
③ [eqn: 3x+7]	[eqn: 14x]
④ [eqn: 3x+7]	[eqn: 26x]
⑤ [eqn: 3x+7]	[eqn: 14x+7]

①

	[eqn: 3x]	[eqn: +5]
[eqn: x^2 -4x+2]	[eqn: 3x^3]	[eqn: -7x^2]		[eqn: +10]
	[eqn: 3x^3]	[eqn: -12x^2]	[eqn: +6x]
		[eqn: 5x^2]	[eqn: -6x]	[eqn: +10]
		[eqn: 5x^2]	[eqn: -20x]	[eqn: +10]
			[eqn: 14x]

몫 : [eqn: 3x+5], 나머지 : [eqn: 14x]

[eqn: (3x^3 -7x^2 +10) div(x^2 -4x+2)]

다항식 [eqn: x ^{3} -x ^{2} -x+a]가 [eqn: x ^{2} +x+1]로 나누어 떨어질 때, 상수 [eqn: a]의 값은?[[eqn: 3.8]점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

①

[eqn: x ^{3} -x ^{2} -x+a]을 [eqn: x ^{2} +x+1]로 직접 나누어보면 몫은 [eqn: x-2] 나머지는 [eqn: a+2] 따라서 [eqn: a+2=0]이므로 [eqn: a=-2]

다항식 [eqn: x ^{3} -x ^{2} -x+a]가 [eqn: x ^{2} +x+1]로 나누어 떨어질 때, 상수 [eqn: a]의 값은?[[eqn: 3.8]점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

①

[eqn: x ^{3} -x ^{2} -x+a]을 [eqn: x ^{2} +x+1]로 직접 나누어보면 몫은 [eqn: x-2] 나머지는 [eqn: a+2] 따라서 [eqn: a+2=0]이므로 [eqn: a=-2]

다항식의 나눗셈과 도형의 활용

빗변의 길이가 [eqn: 10]인 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 [eqn: a], [eqn: b`]라 하면 [eqn: ab=22`]가 성립한다. [eqn: a ^{3} +b ^{3} `]의 값은?

④

피타고라스에 의하여

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =100], [eqn: ab=22]이므로

[eqn: a ^{2} +b ^{2} = LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} -2ab]에서 [eqn: a+b=12] ([eqn: a>0], [eqn: b>0])

[eqn: a ^{3} +b ^{3} = LEFT ( a+b RIGHT ) ^{3} -3ab LEFT ( a+b RIGHT ) =1728-792=936]

(단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [[eqn: 4]점]

① [eqn: 324]	② [eqn: 525]	③ [eqn: 728]
④ [eqn: 936]	⑤ [eqn: 1339]

다항식의 연산(step2)

1.

다항식의 덧셈과 뺄셈

세 다항식

①

우선, [eqn: C-3A=][eqn: x ^{3} +nx-2-3x ^{3} -3mx ^{2} -6x+3]

[eqn: =-2x ^{3} -3mx ^{2} + LEFT ( n-6 RIGHT ) x+1`]이므로

[eqn: 2A- LEFT { B- LEFT ( C-3A RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =2x ^{3} +2mx ^{2} +4x-2- LEFT { x ^{3} +x ^{2} -3+2x ^{3} +3mx ^{2} - LEFT ( n-6 RIGHT ) x-1 RIGHT }]

[eqn: =-x ^{3} - LEFT ( m+1 RIGHT ) x ^{2} + LEFT ( n-2 RIGHT ) x+2]

[eqn: x ^{2} `]의 계수가 [eqn: -4,] [eqn: x`]의 계수가 [eqn: 2`]이므로 [eqn: m=3,] [eqn: n=4]

[eqn: THEREFORE ``m+n=7]

[eqn: A=x ^{3} +mx ^{2} +2x-1]

[eqn: B=x ^{3} +x ^{2} -3]

[eqn: C=x ^{3} +nx-2]

에 대하여 다항식 [eqn: 2A- LEFT { B- LEFT ( C-3A RIGHT ) RIGHT } `]의 전개식에서 [eqn: x ^{2} `]의 계수가 [eqn: -4,] [eqn: x`]의 계수가 [eqn: 2`]일 때, [eqn: m+n`]의 값은? (단, [eqn: m,~n`]은 상수이다.) [[eqn: 5.3]점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

세 다항식 [eqn: A=x ^{3} -2x ^{2} +7x], [eqn: B=2x ^{3} -x-4],

②

[eqn: A=x ^{3} -2x ^{2} +7x], [eqn: B=2x ^{3} -x-4],

[eqn: C=-3x ^{3} +2]에 대하여
[eqn: A-(B+2C)=5x ^{3} -2x ^{2} +8x]

[eqn: C=-3x ^{3} +2]에 대하여 [eqn: A-(B+2C)]를 구하면? [[eqn: 3.5]점]

① [eqn: 5x ^{2} +2x ^{2} +8x]	② [eqn: 5x ^{3} -2x ^{2} +8x]
③ [eqn: 5x ^{3} +x ^{2} +4x]	④ [eqn: 5x ^{3} +x ^{2} +2x]
⑤ [eqn: 5x ^{3} +x ^{2} +4]

[eqn: a+b=1], [eqn: ab=-4], [eqn: x+y=-2], [eqn: xy=3]이고
[eqn: m=ax+by], [eqn: n=bx+ay]
라 할 때, [eqn: m ^{3} +n ^{3}]의 값은? [4.1점]

⑤

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =(a+b) ^{2} -2ab=9]
[eqn: x ^{2} +y ^{2} =(x+y) ^{2} -2xy=-2]
[eqn: (a+b)(x+y)=ax+ay+bx+by=m+n=-2]
[eqn: mn=(ax+by)(bx+ay)=ab(x ^{2} +y ^{2} )+xy(a ^{2} +b ^{2} )=35]
[eqn: m ^{3} +n ^{3} =(m+n) ^{3} -3mn(m+n)]

① [eqn: 198]	② [eqn: 199]	③ [eqn: 200]

④ [eqn: 201]	⑤ [eqn: 202]

곱셈공식을 이용한 다항식의 전개

두 다항식 [eqn: A,B]에 대하여 [eqn: <A,B>]를
[eqn: <A,B>`=`A ^{2} -AB+B ^{2}]
으로 정의하자. 다항식 [eqn: <`x ^{2} -1`,`3x ^{2} +x`>]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수는? [3.4점]

②

주어진 조건에 맞춰 전개하면
[eqn: (x ^{2} -1) ^{2} -(x ^{2} -1)(3x ^{2} +x)+(3x ^{2} +x) ^{2}]이므로 각 항에서 [eqn: x ^{2}]의 계수를 계산하면 [eqn: -2+3+1=2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

세 양수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z`]에 대하여 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} +2xy+2yz+2zx+2z+2x+2y+8=107`]
이 성립한다고 할 때, [eqn: 5x+5y+5z`]의 값을 구하고 풀이과정을 논술하시오. [[eqn: 5]점]

[eqn: 45]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} +2xy+2yz+2zx+2z+2x+2y+8=107`]에서

[eqn: LEFT ( x+y+z RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( x+y+z RIGHT ) -99=0]이고 [eqn: x+y+z=A]라 하면

[eqn: A ^{2} +2A-99=0], [eqn: LEFT ( A+11 RIGHT ) LEFT ( A-9 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: A=9] 또는 [eqn: A=-11]이다.

[eqn: x>0], [eqn: y>0], [eqn: z>0]이므로 [eqn: x+y+z=9]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 5x+5y+5z=5 LEFT ( x+y+z RIGHT ) =45]

[eqn: a=23]일 때, [eqn: a ^{3} -9a ^{2} +27a-27]의 값을 [eqn: N]이라 하자. [eqn: {N} over {50}]의 값은? [3.4점]

③

주어진 식은 [eqn: (a-3) ^{3}]이므로 [eqn: a=23]을 대입하면 [eqn: N=20 ^{3}]

① [eqn: 80]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 160]

④ [eqn: 200]	⑤ [eqn: 240]

곱셈공식의 변형

[eqn: a+b+c=2`,~a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =4`,~a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} =8`]일 때, [eqn: a ^{8} +b ^{8} +c ^{8}]의 값은? [[eqn: 5.3`]점]
① [eqn: 144]	② [eqn: 139]	③ [eqn: 196]
④ [eqn: 225]	⑤ [eqn: 256]

⑤

[eqn: LEFT ( a+b+c RIGHT ) ^{2} =a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +2 LEFT ( ab+bc+ca RIGHT ) `]에서

[eqn: 4=4+2 LEFT ( ab+bc+ca RIGHT )] [eqn: THEREFORE ~ab+bc+ca=0]

[eqn: a ^{3} +b ^{3} +c ^{3} -3abc= LEFT ( a+b+c RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ca RIGHT ) `]에서

[eqn: 8-3abc=2 TIMES 4`,] [eqn: 8-3abc=8]

[eqn: THEREFORE ~abc=0]

이때, [eqn: a ^{2} b ^{2} +b ^{2} c ^{2} +c ^{2} a ^{2} = LEFT ( ab+bc+ca RIGHT ) ^{2} -2 LEFT ( ab ^{2} c+abc ^{2} +a ^{2} bc RIGHT )]

이므로 [eqn: a ^{2} b ^{2} +b ^{2} c ^{2} +c ^{2} a ^{2} =0-2abc LEFT ( a+b+c RIGHT ) =0`` LEFT ( BECAUSE ~abc=0 RIGHT )]

[eqn: a ^{4} +b ^{4} +c ^{4}][eqn: = LEFT ( a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} RIGHT ) ^{2} -2 LEFT ( a ^{2} b ^{2} +b ^{2} c ^{2} +c ^{2} a ^{2} RIGHT )]
[eqn: =4 ^{2} -0=16]

또한,

[eqn: a ^{4} b ^{4} +b ^{4} c ^{4} +c ^{4} a ^{4}]

[eqn: = LEFT ( a ^{2} b ^{2} +b ^{2} c ^{2} +c ^{2} a ^{2} RIGHT ) ^{2} -2 LEFT ( a ^{2} b ^{4} c ^{2} +a ^{2} b ^{2} c ^{4} +a ^{4} b ^{2} c ^{2} RIGHT )]

[eqn: =0-2a ^{2} b ^{2} c ^{2} LEFT ( a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} RIGHT )]

[eqn: =0]

[eqn: THEREFORE ~a ^{8} +b ^{8} +c ^{8}]

[eqn: = LEFT ( a ^{4} +b ^{4} +c ^{4} RIGHT ) ^{2} -2 LEFT ( a ^{4} b ^{4} +b ^{4} c ^{4} +c ^{4} a ^{4} RIGHT )]

[eqn: =16 ^{2} -0]

[eqn: =256]

[eqn: a+b=2,``a ^{2} +b ^{2} =6]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4.6]점]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

③

풀이)

[eqn: a+b=2,``a ^{2} +b ^{2} =6]이므로

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =(a+b) ^{2} -2ab]에서

[eqn: 6=2 ^{2} -2ab] [eqn: THEREFORE ~ab=-1]

ㄱ. [eqn: a(2-a)=-1] 이므로 [eqn: a ^{2} =2a+1] [eqn: CDOTS CDOTS] (참)

ㄴ. [eqn: a ^{3} +b ^{3} =(a+b) ^{3} -3ab(a+b)=2 ^{3} -3 CDOT (-1) CDOT 2=14] [eqn: CDOTS] (참)

ㄷ. [eqn: a ^{5} +b ^{5} +a ^{4} +b ^{4} =118] 에서

[eqn: a ^{3} +b ^{3} =(a+b) ^{3} -3ab(a+b)=2 ^{3} -3 CDOT (-1) CDOT 2=14]

[eqn: a ^{4} +b ^{4} =(a ^{2} +b ^{2} ) ^{2} -2a ^{2} b ^{2} =6 ^{2} -2 CDOT (-1) ^{2} =34]

[eqn: (a ^{3} +b ^{3} )(a ^{2} +b ^{2} )][eqn: =a ^{5} +a ^{2} b ^{3} +a ^{3} b ^{2} +b ^{5}]

[eqn: =a ^{5} +b ^{5} +a ^{2} b ^{2} (a+b)]

[eqn: THEREFORE ~a ^{5} +b ^{5}][eqn: =(a ^{3} +b ^{3} )(a ^{2} +b ^{2} )-a ^{2} b ^{2} (a+b)]
[eqn: = 14 cdot 6- (-1)^2 cdot 2]
[eqn: = 82]

[eqn: a ^{5} +b ^{5} +a ^{4} +b ^{4} =82 + 34 = 116] [eqn: CDOTS CDOTS] (거짓)

[eqn: THEREFORE] ㄱ, ㄴ

[보 기]

ㄱ. [eqn: a ^{2} =2a+1]

ㄴ. [eqn: a ^{3} +b ^{3} =14]

ㄷ. [eqn: a ^{5} +b ^{5} +a ^{4} +b ^{4} =118]

[eqn: a+b=-1 ,~ a^2 +b^2 =4`]일 때, [eqn: a^6 +b^ 6`]의 값은? [4.5점]

① [eqn: 37]	② [eqn: 38]	③ [eqn: 39]
④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 41]

①

[eqn: (a+b)^2 =a^2 +b^2 +2ab]

[eqn: 1=4+2ab]

[eqn: ab= - 3 over2]

[eqn: (a^2 +b^2 )^3 =a^6 +b^6 +3a^2 b^2 (a^2 +b^2 )]

[eqn: 64=a^6 +b^6 +3 times 9 over4 times4]

[eqn: therefore] [eqn: a^6 +b^ 6 =64-27=37]

[eqn: a+b+c=3], [eqn: ab+bc+ca=2]일 때,
[eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) LEFT ( b+c RIGHT )+ LEFT ( b+c RIGHT ) LEFT ( c+a RIGHT )+ LEFT ( c+a RIGHT ) LEFT ( a+b RIGHT )]
의 값은? [[eqn: 4.8]점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]
④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

①

[eqn: a+b+c=3], [eqn: ab+bc+ca=2]에서

[eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) LEFT ( b+c RIGHT )+ LEFT ( b+c RIGHT ) LEFT ( c+a RIGHT )+ LEFT ( c+a RIGHT ) LEFT ( a+b RIGHT )]

[eqn: = b^2 + LEFT ( c+a RIGHT )b+ca +c^2 + LEFT ( a+b RIGHT )c+ab + a^2 + LEFT ( b+c RIGHT )a+bc]

[eqn: =a^2 + b^2 +c^2 + 3ab +3bc+3ca]
[eqn: = LEFT ( a+b+c RIGHT )^2 +ab+bc+ca]

[eqn: =3^2 + 2][eqn: =11]

[eqn: a+b+c=5 ,~ab+bc+ca=5,~a^3 +b^3 +c^3 =65`]일 때, [eqn: {a^2 +b^2 +c^2 }overabc`]의 값은? [3.8점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

③

[eqn: a^2 +b^2 +c^2 =(a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca)=25-10=15] [eqn: cdots①]

[eqn: a^3 +b^3 +c^3 -3abc=(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca)]

[eqn: 65-3abc=5 times(15-5)]

[eqn: therefore] [eqn: abc=5] [eqn: cdots②]

[eqn: ①,~②]에 의해

[eqn: {a^2 +b^2 +c^2 } overabc = 15 over5 =3]

다항식의 나눗셈과 도형의 활용

오른쪽 그림과 같은 직육면체의 겉넓이가 [eqn: 42`]이고, [eqn: rm TRIANGLE BGD]의 세 변의 길이의 제곱의 합이 [eqn: 44`]일 때, 이 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은? [[eqn: 4.3`]점]
① [eqn: 32]	② [eqn: 33]

①

그림과 같이 [eqn: {bar{rmFG}} =ita`,] [eqn: rm {bar{GH}} =itb`,] [eqn: rm {bar{DH}} =itc`]라 하자.

직육면체의 겉넓이가 [eqn: 42`]이므로

[eqn: 2 LEFT ( ab+bc+ca RIGHT ) =42`]에서 [eqn: ab+bc+ca=21]

삼각형 [eqn: rmBGD]의 세 변의 길이의 제곱의 합이 [eqn: 44`]이므로

[eqn: rm {bar{BG}} ^{`2} + {bar{GD}} ^{`2} + {bar{BD}} ^{`2}]

[eqn: = LEFT ( a ^{2} +c ^{2} RIGHT ) + LEFT ( b ^{2} +c ^{2} RIGHT ) + LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT )]

[eqn: =2 LEFT ( a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} RIGHT )][eqn: =44]

에서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =22]

이때, [eqn: LEFT ( a+b+c RIGHT ) ^{2}][eqn: =a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +2 LEFT ( ab+bc+ca RIGHT )]
[eqn: =22+42=64]

이므로 [eqn: a+b+c=8`` LEFT ( BECAUSE ~a+b+c>0 RIGHT )]

따라서 직육면체의 모든 모서리의 길이의 합은

[eqn: 4 LEFT ( a+b+c RIGHT ) =4 TIMES 8=32]

③ [eqn: 34]	④ [eqn: 35]

⑤ [eqn: 36]

그림과 같이 모든 모서리의 길이의 합이 [eqn: 32]이고 겉넓이가 [eqn: 40]인 직육면체 [eqn: ABCD-EFGH]가 있다. [eqn: {bar{AG}}]의 길이는? [[eqn: 4.2]점]

③

풀이) 이 상자의 겉넓이는 [eqn: 40]이므로 [eqn: 2 (ab + bc + ca ) = 40]

[eqn: therefore~ ab + bc + ca = 20]	[eqn: cdots cdots]㉠

또한, 모서리의 길이의 합이 [eqn: 32]이므로 [eqn: 4 (a+b+c) = 32]

[eqn: therefore~ a+b+c = 8]	[eqn: cdots cdots]㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: a^2 + b^2 + c^2][eqn: = (a+b+c)^2 - 2 (ab+ bc + ca )]
[eqn: = 8^2 - 2 cdot 20]
[eqn: = 24]

따라서 직육면체의 대각선의 길이는 [eqn: root{a^2 + b^2 + c^2 } = root24 = 2 root6]

① [eqn: 2 sqrt {3}]	② [eqn: 2 sqrt {5}]	③ [eqn: 2 sqrt {6}]
④ [eqn: 2 sqrt {7}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {10}]

[eqn: rmbarAB =3 ,~ barBC =6`]인 직사각형과 선분 [eqn: rmBC]를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 [eqn: rmBC] 위에 있는 점 [eqn: rmP]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ], 선분 [eqn: rmAD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmR]이라 할 때, 직사각형 [eqn: rmAQPR]의 둘레의 길이는 [eqn: 14`]이다. 직사각형 [eqn: rmAQPR]의 넓이는?
[4.7점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 13 over2]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 15 over2]	⑤ [eqn: 8]

⑤

직사각형 [eqn: rmAQPR]의 둘레의 길이가 [eqn: 14`]이므로

[eqn: a+b=7]

[eqn: (a-3)^2 +(3-b)^2 =9]

[eqn: a^2 +b^2 -6(a+b)+9=0]

[eqn: (a+b)^2 -2ab-6(a+b)+9=0]

[eqn: 2ab=(a+b)^2 -6(a+b)+9=49-42+9=16]

[eqn: therefore] [eqn: ab=8]

[eqn: rm angleC=90Deg]이고 [eqn: rm barBC < barAC]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 그림과 같이 점 [eqn: rmI]는 삼각형 [eqn: rmABC]의 내심이고 삼각형 [eqn: rmABC]의 내접원의 반지름은 [eqn: 1`]이다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 둘레의 길이가 [eqn: 12`]일 때, 선분 [eqn: rmBC]의 길이는? [4.8점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

②

둘레의 길이가 [eqn: 12`]이므로

[eqn: 2(a+b)+2=12]

[eqn: a+b=5] [eqn: cdots①]

삼각형 [eqn: rmABC]가 직각삼각형이므로

[eqn: (a+1)^2 +(b+1)^2 =(a+b)^2]

[eqn: a^2 +2a+1+b^2 +2b+1=a^2 +2ab+b^2]

[eqn: ab=a+b+1=6] [eqn: cdots②]

[eqn: ①,~②]에 의해 [eqn: a,~b`]는 [eqn: x^2 -5x+6=0`]의 두 근이다.

[eqn: (x-2)(x-3)=0]

[eqn: x=2] 또는 [eqn: x=3]

[eqn: rm barBC < barAC]이므로 [eqn: a<b]

[eqn: therefore] [eqn: a=2]

[eqn: therefore] [eqn: rm barBC =it a+1 =3]

【다른풀이추가】

[eqn: bar{AB`} `=c`,` bar{AC} `=b`,` bar{BC} `=a] 하자

①[eqn: a+b+c=12]

②[eqn: {r} over {2} LEFT ( a+b+c RIGHT ) = {1} over {2} ab]

③[eqn: c ^{2} =a ^{2} +b ^{2}]

④[eqn: c=a-1+b-1]

연립하면 됩니다.

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO,] 반지름의 길이가 [eqn: 6`]이고 중심각의 크기가 [eqn: 90°`]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. 호 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP]에서 두 선분 [eqn: rmOA`,] [eqn: rmOB]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm H`,~I`]라 하자. 삼각형 [eqn: rmP][eqn: rmIH`]에 내접하는 원의 넓이가 [eqn: pi `]일 때, [eqn: rm {bar{PH}} ^{`3} + {bar{PI}} ^{`3}]의 값은? [eqn: (]단, 점 [eqn: rmP]는 점 [eqn: rm A`]도 아니고 점 [eqn: rmB]도 아니다.[eqn: )] [[eqn: 5.4`]점]

②

[eqn: rm ANGLE HPI=90°`]이므로 [eqn: rm {bar{HI}} = {bar{OP}}]에서 [eqn: rm {bar{HI}} =6`]이다.

[eqn: rm {bar{PH}} = it x`,] [eqn: rm {bar{P"I"}} = it y`]라 하면 삼각형 [eqn: rm P"I"H`]에서

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =36]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

삼각형 [eqn: rm P"I"H`]의 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: pi r ^{2} = pi `]에서 [eqn: r ^{2} =1] [eqn: THEREFORE ~r=1]

삼각형 [eqn: rm P"I"H`]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} xy= {1} over {2} TIMES 1TIMES (x+y+6)]

[eqn: xy=x+y+6`]에서

[eqn: x+y=xy-6]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: LEFT ( x+y RIGHT ) ^{2} -2xy=36]

[eqn: (xy-6) ^{2} -2xy=36`,] [eqn: LEFT ( xy RIGHT ) ^{2} -14xy=0]

[eqn: xy LEFT ( xy-14 RIGHT ) =0]

[eqn: xy != 0`]이므로 [eqn: xy=14]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉢

㉡, ㉢에서 [eqn: x+y=8]

[eqn: rm {bar{PH}} ` ^{3} + {bar{P"I"}} ` ^{3}][eqn: =x ^{3} +y ^{3}]
[eqn: =(x+y) ^{3} -3xy(x+y)]
[eqn: =8 ^{3} -3 TIMES 14TIMES 8]
[eqn: =8 TIMES LEFT ( 8 ^{2} -3 TIMES 14 RIGHT )]
[eqn: =8 TIMES 22=176]

① [eqn: 172]	② [eqn: 176]	③ [eqn: 180]
④ [eqn: 186]	⑤ [eqn: 192]

그림과 같이 중심이 [eqn: rm O,`] 반지름의 길이가 [eqn: 8`]이고 중심각의 크기가 [eqn: 90 DEG `]인 부채꼴 [eqn: rmOAB`]가 있다. 호 [eqn: rmAB`] 위의 점 [eqn: rmP`]에서 두 선분 [eqn: rmOA,~OB`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmH,~I`]라 하자. 삼각형 [eqn: TRIANGLE P`I``H]에 내접하는 원의 넓이가 [eqn: pi`]일 때, [eqn: rm {bar{PH}} ^{`3} + {bar{P`I}} ^{`3} `]의 값은? (단, 점 [eqn: rmP`]는 점 [eqn: rmA`]도 아니고 점 [eqn: rmB`]도 아니다.) [[eqn: 5.3]점]

④

삼각형의 세 변의 길이를 각각 [eqn: a,~b,~c`]라 하고, 삼각형의 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r`]라 할 때, 삼각형의 넓이 [eqn: S`]는 [eqn: S= {1} over {2} r LEFT ( a+b+c RIGHT ) `]임을 이용하자.

[eqn: rm {bar{PH}} =ita,] [eqn: rm {bar{P`I}} `=itb`]라 하면 [eqn: rm TRIANGLE rm P`I`H`= {1} over {2} rm ` it r LEFT ( a+b+8 RIGHT )]

[eqn: bar{I`H} = bar{OP} =8]

[eqn: rm TRIANGLE P`I`H`]에 내접하는 원의 넓이가 [eqn: pi `]이므로 내접원의 반지름의 길이 [eqn: r``]는 [eqn: r=1]

따라서 [eqn: {1} over {2} LEFT ( a+b+8 RIGHT )][eqn: = {1} over {2} ab`]가 성립하고 이를 정리하면 [eqn: a+b+8=ab`]가 됨을 알 수 있다. [eqn: CDOTS LEFT ( * RIGHT )]

또, 삼각형 [eqn: rmP`IH`]는 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리를 이용하면 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =8 ^{2} =64`]가 성립한다.

[eqn: LEFT ( * RIGHT ) `]에서 [eqn: a+b=x,~ab=y`]로 치환하면 [eqn: x+8=y`]이고, [eqn: a ^{2} +b ^{2} =64`]에서 곱셈공식의 변형을 이용하면 [eqn: 64= LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} -2ab=x ^{2} -2y`]가 성립한다. [eqn: y`]에 [eqn: y=x+8`]을 대입하면 [eqn: 64=x ^{2} -2 LEFT ( x+8 RIGHT ) ,] 이를 정리하면 [eqn: x ^{2} -2x-80=0`], [eqn: LEFT ( x+8 RIGHT ) LEFT ( x-10 RIGHT ) =0`]이 되어 [eqn: x=10,] [eqn: y=18`]이 됨을 알 수 있다. [eqn: LEFT ( BECAUSE ``x>0 RIGHT )]

따라서 [eqn: rm {bar{PH}} ` ^{3} + {bar{P`I}} ^{`3} =][eqn: a ^{3} +b ^{3} =][eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) ^{3} -3ab LEFT ( a+b RIGHT )]

[eqn: =x ^{3} -3xy=10 ^{3} -3 TIMES 10 TIMES 1 8]

[eqn: =1000-540=460]

① [eqn: 450]	② [eqn: 455]	③ [eqn: 457]
④ [eqn: 460]	⑤ [eqn: 462]

그림과 같이 중심이 [eqn: O], 반지름의 길이가 [eqn: 6]이고 중심각의 크기가 [eqn: 90 DEG]인 부채꼴 [eqn: OAB]가 있다. 호[eqn: AB]위의 점 [eqn: P]에서 두 선분 [eqn: OA,`OB]에 내린 수선의 발을 각각[eqn: H,`I] 라 하자. 삼각형 [eqn: P`IH]에 내접하는 원의 넓이가 [eqn: pi]일 때, [eqn: {1} over {8} {( bar{rm PH }} ^{3}} + {bar{ rm P I }}^3 )]의값은?[4.3점]

➄

[eqn: rm {bar{PH}} = it x], [eqn: rm {bar{P it rm I}} = it y]

[eqn: rm {bar{OA}} = {bar{OP}} = {bar{IH}} =6]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =6 ^{2}]

[eqn: pi r ^{2} = pi]에서 [eqn: r=1]

삼각형 [eqn: rm P it rm I H]에서 [eqn: {1} over {2} xy= {1} over {2} TIMES 1 TIMES LEFT ( x+y+6 RIGHT )], [eqn: x+y=xy-6]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} = LEFT ( x+y RIGHT ) ^{2} -2xy= LEFT ( xy-6 RIGHT ) ^{2} -2xy]

[eqn: = LEFT ( xy RIGHT ) ^{2} -14xy+36][eqn: =36]

[eqn: LEFT ( xy RIGHT ) ^{2} -14xy=xy LEFT ( xy-14 RIGHT ) =0]에서 [eqn: xy=14]이고, [eqn: x+y=8]이다.

[eqn: x ^{3} +y ^{3} = LEFT ( x+y RIGHT ) ^{3} -3xy LEFT ( x+y RIGHT ) =8 ^{3} -42 TIMES 8]

[eqn: {1} over {8} LEFT ( x ^{3} +y ^{3} RIGHT ) =8 ^{2} -42=22]이다.

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

그림과 같이 직사각형 [eqn: ABCD], 직각삼각형 [eqn: BEC], 선분 [eqn: EC]를 지름으로 하는 반원 [eqn: R]이 있다. 직사각형 [eqn: ABCD]의 세로의 길이는 [eqn: (x+1) ^{2}]이고, 직사각형 [eqn: ABCD], 직각삼각형 [eqn: BEC], 반원 [eqn: R]의 넓이는 각각 [eqn: x ^{3} +5x ^{2} +7x+a], [eqn: {1} over {2} x ^{2} +bx+a], [eqn: {pi} over {4} (x ^{2} +5x+c)] 이다.
상수 [eqn: a,``b,``c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값은? [[eqn: 4.8]점]

④

풀이) [eqn: barAB `= (x+1) ^2] 이고,
직사각형 [eqn: ABCD]의 넓이가 [eqn: x ^{3} +5x ^{2} +7x+a]
이므로 [eqn: x ^{3} +5x ^{2} +7x+a = (x+1)^2 (x+k)]이다.

그러므로 [eqn: k = 3], [eqn: a = 3]

[eqn: bar BC = x + 3] 이고 직각삼각형 [eqn: BEC]의 넓이가 [eqn: {1} over {2} x ^{2} +bx+a] 이므로

[eqn: {1} over {2} x ^{2} +bx+3 = 1 over2 (x+3) (x+p)]

이므로 [eqn: p = 2], [eqn: b = 5 over 2] 이다. [eqn: THEREFORE```bar BE `= x+2]

피타고라스에 의하여 [eqn: bar EC = root { (x+3 ) ^ 2 + (x+2) ^ 2 } = root { 2x^2 +10x + 13 }]

반원 [eqn: R]의 넓이는 [eqn: 1over 4 pi times 1over 2 (2x^2 +10x+ 13)] [eqn: = {pi} over {4} (x ^{2} +5x+c)]

[eqn: THEREFORE~c = 13 over 2]

[eqn: a+b+c = 3 + 5 over 2 + 13 over 2 = 12]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]
④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

다항식(step3)

1.

실수 [eqn: x,y,z]가 [eqn: x+y+z=5], [eqn: xy+yz+zx=5], [eqn: xyz=1]을 만족시킬 때, [eqn: x ^{5} +y ^{5} +z ^{5}]의 값을 구하고, 그 이유를 논하시오. [7.0점]

[eqn: 725]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =(z+y+z) ^{2} -2(xy+yz+zx)=25-10=15]
[eqn: x ^{3} +y ^{3} +z ^{3} =(x+y+z)(x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} -xy-yz-zx)+3xyz=53]
[eqn: x ^{2} y ^{2} +y ^{2} z ^{2} +z ^{2} x ^{2} =(xy+yz+zx) ^{2} -2xyz(x+y+z)=15]
[eqn: x ^{5} +y ^{5} +z ^{5}]
[eqn: =(x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} )(x ^{3} +y ^{3} +z ^{3} )- LEFT { x ^{2} y ^{2} (x+y)+y ^{2} z ^{2} (y+z)+z ^{2} x ^{2} (z+x) RIGHT }]
[eqn: =(x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} )(x ^{3} +y ^{3} +z ^{3} )-x ^{2} y ^{2} (5-z)-y ^{2} z ^{2} (5-x)-z ^{2} x ^{2} (5-y)]
[eqn: =(x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} )(x ^{3} +y ^{3} +z ^{3} )-5(x ^{2} y ^{2} +y ^{2} z ^{2} +z ^{2} x ^{2} )+xyz(xy+yz+zx)]
[eqn: =725]

실수 [eqn: x,`y,z]에 대하여 [eqn: x+y+z=4], [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =12], [eqn: xyz=-4] 일 때, [eqn: x ^{4} +y ^{4} +z ^{4}]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 논술하시오.[[eqn: 8.0]점]

[eqn: 72]

[풀이]

[eqn: x+y+z=4], [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =12], [eqn: xyz=-4]이므로

[eqn: LEFT ( x+y+z RIGHT ) ^{2} =x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} +2 LEFT ( xy+yz+zx RIGHT )]에서

[eqn: 4 ^{2} =12+2 LEFT ( xy+yz+zx RIGHT )], [eqn: xy+yz+zx=2]

[eqn: LEFT ( xy+yz+zx RIGHT ) ^{2} =x ^{2} y ^{2} +y ^{2} z ^{2} +z ^{2} x ^{2} +2xyz LEFT ( x+y+z RIGHT )]에서

[eqn: 2 ^{2} =x ^{2} y _{}^{2} +y ^{2} z _{}^{2} +x ^{2} z ^{2} +2 TIMES (-4) TIMES 4]

[eqn: x ^{2} y _{}^{2} +y ^{2} z _{}^{2} +x ^{2} z ^{2} =36][eqn: LEFT ( x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} RIGHT ) ^{2} -2 LEFT ( x ^{2} y ^{2} +y ^{2} z ^{2} +z ^{2} x ^{2} RIGHT ) =x ^{4} +y ^{4} +z ^{4}]

[eqn: 12 ^{2} -2 TIMES 36=x ^{4} +y ^{4} +z ^{4}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x ^{4} +y ^{4} +z ^{4} =72]

항등식과 나머지 정리(step1)

2.

계수비교법, 수치대입법

등식 [eqn: x(x+1)+2(x+1) = x^2 +ax+b]가 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, 두 상수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은? [[eqn: 3.9]점]

①

[eqn: x(x+1)+2(x+1) = x^2 +3x+2]

항등식에 성질에 따라

[eqn: a=3,~b=2,~a-b=1]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

등식 [eqn: x ^{2} -4x+3=a(x+1) ^{2} +b(x+1)+c]가 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 상수 [eqn: a,`b,`c]의 값을 정할 때, [eqn: 2a-b+c]의 값은?

④

[eqn: x ^{2} -4x+3=a LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} +b LEFT ( x+1 RIGHT ) +c]

[eqn: ①~`x=-1]대입

[eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} -4 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) +3=C]

[eqn: THEREFORE C=8]

[eqn: ②~x=0]대입

[eqn: 3=a+b+c rarrow a+b=-5]

[eqn: ③~x=-2]대입

[eqn: (-2) ^{2} -4 TIMES (-2)+3=a-b+c=15 rarrow a-b=7]

[eqn: THEREFORE a=1,~b=-6]

[eqn: 2a-b+c=2 TIMES 1- LEFT ( -6 RIGHT ) +8=16]

[4.3점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]
④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

등식 [eqn: 3x ^{2} +ax-16= LEFT ( bx+4 RIGHT ) LEFT ( x+c RIGHT ) `]가 [eqn: x`]에 대한 항등식일 때,
[eqn: a+b+c`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]는 상수이다.) [[eqn: 4]점]

① [eqn: -10]	② [eqn: -9]	③ [eqn: -8]
④ [eqn: -7]	⑤ [eqn: -6]

②

[eqn: 3x ^{2} +ax-16=bx ^{2} + LEFT ( 4+bc RIGHT ) x+4c]이므로

[eqn: b=3], [eqn: c=-4], [eqn: a=-8]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b+c=-9]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 등식 [eqn: x ^{2} +ax+5=x LEFT ( x+3 RIGHT ) +b`]가
성립할 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수) [[eqn: 3.6]점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

④

[eqn: x ^{2} +ax+5=x ^{2} +3x+b]이므로

[eqn: a=3], [eqn: b=5]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b=8]

등식 [eqn: 3x^2 +5x-1 =ax^2 +bx +c`]가 [eqn: x`]에 대한 항등식이 되도록 하는 상수 [eqn: a,~b,~c`]의 합 [eqn: a+b+c`]의 값은? [3.7점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

②

[eqn: 3x^2 +5x-1 =ax^2 +bx +c`]

[eqn: a=3,~b=5,~c=-1]

[eqn: therefore] [eqn: a+b+c=7]

등식 [eqn: ax ^{2} +bx+c= LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( x-1 RIGHT ) `]가 [eqn: x`]에 대한 항등식이 되도록 하는 상수 [eqn: a,~b,~c`]의 값을 구하고, 그 풀이 과정을 논술하시오. (부분 점수 있음) [[eqn: 4.0]점]

[eqn: a=1,~b=4,~c=-1]

(1) 우변의 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이므로 [eqn: a=1]

(2) [eqn: x=-1`]을 대입하면 [eqn: a-b+c=-4] [eqn: THEREFORE ``-b+c=-5]

(3) [eqn: x=1`]을 대입하면 [eqn: a+b+c=4] [eqn: THEREFORE ``b+c=3]

(2), (3)을 연립하면 [eqn: c=-1,] [eqn: b=4]

(1), (2), (3)에 의하여 [eqn: a=1,~b=4,~c=-1]

등식

[eqn: a= {5} over {2} ,``b= {3} over {2} ,``c=2]

풀이)

[eqn: a(x-1) ^{2} +b(x+1)(x-1)+c# ``````````````````=2(x-1)(x-2)-(x+1)(x-2)+3(x-1)(x+1)]에서

[eqn: x = 1]을 대입 [eqn: c = 2]

[eqn: x = -1]을 대입 [eqn: 4 a + c = 2 times 3] 이므로 [eqn: a = 5 over 2]

[eqn: x = 2]을 대입 [eqn: a + 3 b + c =9] 이므로 [eqn: b = 3 over 2] 이다.

[eqn: a(x-1) ^{2} +b(x+1)(x-1)+c# ``````````````````=2(x-1)(x-2)-(x+1)(x-2)+3(x-1)(x+1)]

이 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, 상수 [eqn: a,``b,``c]의 값을 각각 구하고 그 과정을 서술하시오. [[eqn: 5.0]점]

등식 [eqn: ax LEFT ( x+1 RIGHT ) +bx LEFT ( x-1 RIGHT ) =x ^{2} +4x+c`]가 [eqn: x`]에 대한 항등식이 되도록 하는 세 상수 [eqn: a`,] [eqn: b`,] [eqn: c`]에 대하여 [eqn: 4a-2b+c`]의 값은? [[eqn: 4.1`]점]
① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]
④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

③

[eqn: ax LEFT ( x+1 RIGHT ) +bx LEFT ( x-1 RIGHT ) =x ^{2} +4x+c`]가 [eqn: x`]에 대한 항등식이므로

[eqn: x=0`]일 때, [eqn: 0=c]

[eqn: x=1`]일 때, [eqn: a TIMES 1 TIMES 2=1+4+c`]에서

[eqn: 2a=5] [eqn: THEREFORE ~a= {5} over {2}]

[eqn: x=it-1`]일 때, [eqn: b TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) =1-4+c`]에서

[eqn: 2b=it-3] [eqn: THEREFORE ~b=it- {3} over {2}]

따라서 [eqn: 4a-2b+c=4 TIMES {5} over {2} -2 TIMES LEFT ( - {3} over {2} RIGHT ) +0=10+3=13]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식

④

이차항의 계수를 비교하면 [eqn: a = 1]

[eqn: x =0]을 대입하면

[eqn: 5 = 1-b +9]

[eqn: ∴```b = 5]

[eqn: a+b = 6]

[eqn: x ^{2} +3x+5=a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +b LEFT ( x-1 RIGHT ) +9]
가 항상 성립할 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? [4.4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

등식 [eqn: (k+2)x-(2k+1)y-1=0]이 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 성립할 때, [eqn: x+y]의 값은? (단, [eqn: x], [eqn: y]는 상수이다.) [[eqn: 3.9]점]

①

항등식이므로 모든 실수 [eqn: k]에 대하여 등식이 성립한다.

[eqn: k+2=-(2k+1)]를 만족하는 [eqn: k]의 값을 구하면 [eqn: k=-1]

주어진 항등식에 [eqn: k=-1]을 대입하면

[eqn: x+y-1=0]	[eqn: therefore~x+y =1]

<다른풀이>

주어진 등식이 [eqn: k`]의 값에 관계없이 항상 성립한다.

[eqn: k LEFT ( x-2y RIGHT ) + LEFT ( 2x-y-1 RIGHT ) =0`]

위의 등식이 [eqn: k`]에 대한 항등식이므로

[eqn: x-2y=0`], [eqn: 2x-y-1=0`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x= {2} over {3} `], [eqn: y= {1} over {3} `]

따라서 [eqn: x+y=1`]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

등식 [eqn: ax^2 +bx-7 =3x^2 +2x-c`]가 [eqn: x`]의 항등식일 때, 실수 [eqn: a,~b,~c`]에 대하여 [eqn: abc`]의 값은? [3.4점]

① [eqn: 35]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 42]
④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 49]

③

[eqn: ax^2 +bx-7 =3x^2 +2x-c`]가 [eqn: x`]의 항등식이므로

[eqn: a=3,~b=2,~c=7]

[eqn: therefore] [eqn: abc=42]

다항식 [eqn: P(x)]와 상수 [eqn: a]에 대하여 등식

③

항등식 [eqn: x^3 -x^2 +3x-2 = (x+2)P(x) +ax]에서

[eqn: x=-2]를 대입하면

[eqn: -20=-2a,~a=10]

[eqn: x^3 -x^2 +3x-2 = (x+2)P(x) +10x]에서

[eqn: x=4]를 대입하면

[eqn: 58=6P(4)+40,~P(4)=3]

[eqn: x^3 -x^2 +3x-2 = (x+2)P(x) +ax]

가 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: P(4)]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

일차식으로 나눌 때의 나머지정리

다항식 [eqn: x ^{3} -2x+1]을 일차식 [eqn: x-2]로 나누었을 때의 나머지는? [4.1점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

⑤

[eqn: x ^{3} -2x+1= LEFT ( x-2 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +R]

[eqn: x=2]대입

[eqn: 2 ^{3} -2.2+1=R=5]

다항식 [eqn: x ^{3} -2x ^{2} +ax-4`]가 [eqn: x-1`]로 나누어떨어질 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

⑤

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -2x ^{2} +ax-4`]라 하자.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x-1`]로 나누어떨어지므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0`]이 성립한다.

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1-2+a-4=a-5=0] [eqn: THEREFORE ``a=5]

다항식 [eqn: x ^{3} +2x ^{2} -x-6]을 [eqn: x+3]으로 나누었을 때의 나머지는? [4.8점]

① [eqn: -14]	② [eqn: -13]	③ [eqn: -12]
④ [eqn: -11]	⑤ [eqn: -10]

③

다항식에 [eqn: x=-3] 을 대입하면 [eqn: -12] 이므로 나머지는 [eqn: -12]이다.

다항식 [eqn: 8x^3 -6x+4]를 일차식 [eqn: x-2]로 나누었을 때의 나머지는? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 50]	② [eqn: 52]	③ [eqn: 54]
④ [eqn: 56]	⑤ [eqn: 58]

④

[eqn: 8x^3 -6x+4]을 [eqn: x-2]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )], 나머지를 [eqn: R]라 하면

[eqn: 8x^3 - 6x+4 = LEFT (x -2 RIGHT )Q LEFT ( x RIGHT )+R]

[eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: 8times 2^3 - 6 times 2+4 = LEFT (2 -2 RIGHT )Q LEFT ( 2 RIGHT )+R]
[eqn: 64-12+4= R]

[eqn: thereforeR= 56]

그러므로 [eqn: 8x^3 -6x+4]을 [eqn: x-2]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 56]이다.

다항식 [eqn: f(x)=2x^3 +5x^2 +ax-3`]을 [eqn: 2x+1`]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 2`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [4.3점]

① [eqn: -8]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -6]
④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: -4]

①

나머지정리에 의해

[eqn: f left( - 1 over2 right)= - 1 over4 + 5 over4 - a over2 -3=2]

[eqn: a over2 =-4]

[eqn: therefore] [eqn: a=-8]

다항식 [eqn: 4x ^{3} -3x+1]을 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지는? [[eqn: 3.1]점]

②

[풀이]

[eqn: 4x ^{3} -3x+1= LEFT ( x-1 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +R]

나머지 정리에 의하여 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: R=2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3z]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

이차식으로 나눌 때의 나머지 정리

다항식 [eqn: x ^{3} +2x ^{2} +3x+4`]를 [eqn: x ^{2} +x+1`]로 나누었을 때의 몫은? [[eqn: 4.7]점]

① [eqn: x-3]	② [eqn: x-2]	③ [eqn: x-1]
④ [eqn: x]	⑤ [eqn: x+1]

⑤

	[eqn: x][eqn: +1]
[eqn: x ^{2} +x+1]	[eqn: )]	[eqn: x ^{3} +2x ^{2} +3x+4]
		[eqn: x ^{3} +x ^{2} +x]
	[eqn: x ^{2} +2x]
	[eqn: x ^{2} +x+1]
	[eqn: x-1]

다항식 [eqn: f(x)=x^3 +2x^2 +ax+b`]가 [eqn: (x-1)(x+2)`]로 나누어떨어질 때, [eqn: a^2 +b^2 `]의 값을 구하시오. [5.0점]

[eqn: 5]

[eqn: x^3 +2x^2 +ax+b=(x-1)(x+2)Q(x)]

[eqn: x=1`]을 대입 [eqn: 1+2+a+b=0]

[eqn: a+b=-3]	[eqn: cdots①]

[eqn: x=-2`]를 대입 [eqn: -8+8-2a+b=0]

[eqn: 2a-b=0]	[eqn: cdots②]

[eqn: ①,~②`]를 연립하면 [eqn: a=-1,~b=-2]

[eqn: therefore] [eqn: a^2 +b^2 =5]

삼차다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -5`]는 [eqn: 2x ^{2} -4x+2`]로 나누어 떨어지고, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +3`]은 [eqn: x ^{2} +2x+1`]로 나누어떨어질 때, 삼차다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]
를 [eqn: x-2`]로 나눌 때의 나머지는? [[eqn: 4.6`]점]
① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

①

삼차다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -5`]가 [eqn: 2x ^{2} -4x+2`]으로 나누어떨어지므로 몫을

[eqn: ax+b`][eqn: (a`,~b`]는 상수[eqn: )`]라고 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -5][eqn: = LEFT ( 2x ^{2} -4x+2 RIGHT ) LEFT ( ax+b RIGHT )]
[eqn: =2 LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( ax+b RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ~f LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( ax+b RIGHT ) +5]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

한편, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +3`]이 [eqn: x ^{2} +2x+1`]로 나누어떨어지고,

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +3][eqn: =2 LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( ax+b RIGHT ) +5+3]
[eqn: =2 LEFT { LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} -4x RIGHT } LEFT ( ax+b RIGHT ) +8]
[eqn: =2 LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( ax+b RIGHT ) -8x LEFT ( ax+b RIGHT ) +8]
[eqn: =2 LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( ax+b RIGHT ) -8 LEFT ( ax ^{2} +bx-1 RIGHT )]

이므로 다항식 [eqn: ax ^{2} +bx-1`]도 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} `]으로 나누어떨어져야 한다.

따라서 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} `]이 [eqn: ax ^{2} +bx-1`]의 인수이어야 하므로

[eqn: ax ^{2} +bx-1][eqn: =a LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =ax ^{2} +2ax+a]

이 식이 [eqn: x`]에 대한 항등식이므로

[eqn: b=it2a`,~a=it-1`]에서 [eqn: a=it-1`,~b=it-2]

따라서 ㉠에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( -x-2 RIGHT ) +5`]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x-2`]로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의해

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =2 TIMES 1 TIMES LEFT ( -4 RIGHT ) +5=it-3]

다항식 [eqn: P(x)]에 대하여 다항식 [eqn: P(x)-4,~x^2 P(x)]가 모두 일차식 [eqn: x-alpha]로 나누어떨어질 때, [eqn: 3P(x)+2]를 [eqn: x]로 나눈 나머지는? (단, [eqn: alpha]는 상수이다.) [[eqn: 4.4]점]

②

[eqn: P(alpha)-4=0,~ alpha^2 P(alpha)=0]

[eqn: P(alpha)=4]이므로

[eqn: alpha=0,~ P(0)=4]

[eqn: 3P(x)+2]를 [eqn: x]로 나눈 나머지는 [eqn: 3P(0)+2]이므로

[eqn: 3P(0)+2=14]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x-a`,~x-b`]로 나눈 나머지가 각각 [eqn: a ^{2} `,~b ^{2} `]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-b RIGHT ) `]로 나눈 나머지를 구하는 풀이 과정을 쓰고 답을 구하시오. [eqn: (]단, [eqn: a`,~b`]는 [eqn: a != b`]인 상수이다.[eqn: )] [[eqn: 6`]점]

[eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) x-ab]

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x-a`,~x-b`]로 나눈 나머지가 각각 [eqn: a ^{2} `,~b ^{2} `]이므로

나머지정리에 의해 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =a ^{2} `,~f LEFT ( b RIGHT ) =b ^{2}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-b RIGHT ) `]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `,] 나머지를 [eqn: mx+n`][eqn: (m`,~n`]은 상수[eqn: )`]라 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-b RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) +mx+n]

[eqn: x=a`]일 때, [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =am+n=a ^{2}]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

[eqn: x=b`]일 때, [eqn: f LEFT ( b RIGHT ) =bm+n=b ^{2}]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

㉠[eqn: -]㉡을 하면

[eqn: am-bm=a ^{2} -b ^{2} `,] [eqn: LEFT ( a-b RIGHT ) m= LEFT ( a+b RIGHT ) LEFT ( a-b RIGHT )]

이때, [eqn: a != b`]이므로 [eqn: a-b != 0]

따라서 양변을 [eqn: LEFT ( a-b RIGHT ) `]로 나누면 [eqn: m=a+b]

㉠에 [eqn: m=a+b`]를 대입하면

[eqn: a LEFT ( a+b RIGHT ) +n=a ^{2} `]에서 [eqn: a ^{2} +ab+n=a ^{2}] [eqn: THEREFORE ~n=it-ab]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-b RIGHT ) `]로 나눈 나머지는 [eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) x-ab`]이다.

다항식 [eqn: A]를 [eqn: x^2 +x-3]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: 2x^2 -5]이고 나머지가 [eqn: -7]이라고 한다. 이 다항식 [eqn: A]를 [eqn: 2x^2 -2x +1]로 나누었을 때, 몫과 나머지의 합은? [[eqn: 4.2]점]

①

[eqn: A][eqn: = (x^2 +x-3)(2x^2 -5)-7]
[eqn: = 2x^4 +2x^3 -11x^2 -5x+8]
[eqn: =(2x^2 -2x+1)(x^2 +2x-4)-15x+12]

몫은 [eqn: x^2 +2x-4], 나머지는 [eqn: -15x+12]이므로 합은 [eqn: x^2 -13x+8]

① [eqn: x^2 -13x+8]	② [eqn: x^2 -14x+8]

③ [eqn: x^2 -15x+8]	④ [eqn: x^2 -16x+8]

⑤ [eqn: x^2 -17x+8]

다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -ax ^{2} +bx+5`]를 [eqn: x ^{2} +2`]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 2x+1`]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a,~b`]는 상수이다.) [[eqn: 4.8]점]

②

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x ^{2} +2`]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `]라 하면

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) =x ^{`3} -ax ^{2} +bx+5= LEFT ( x ^{2} +2 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) +2x+1]가 성립한다.

위의 등식은 항등식이므로 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) =x+k`]로 놓을 수 있다.

[eqn: LEFT ( x ^{2} +2 RIGHT ) LEFT ( x+k RIGHT ) +2x+1`]을 전개하면

[eqn: x ^{3} +kx ^{2} +2x+2k+2x+1][eqn: =x ^{3} +kx ^{2} +4x+2k+1]

계수비교법을 이용하면 [eqn: k=-a,] [eqn: b=4,] [eqn: 2k+1=5`]가 성립하고, 이를 정리하면 [eqn: k=2,] [eqn: a=-2,~b=4`]가 됨을 알 수 있다. 따라서 [eqn: a+b=2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: P(ax+b)]를 [eqn: x- alpha]로 나눌때의 나머지 정리

[eqn: x`]에 대한 삼차다항식 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여
[eqn: P` LEFT ( x+2 RIGHT ) `]를 [eqn: x ^{2} -1`]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 2x+1`]일 때,
[eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x-3`]으로 나누었을 때의 나머지는? [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

①

[eqn: P LEFT ( x+2 RIGHT )]를 [eqn: x ^{2} -1]로 나누었을 때 나머지가 [eqn: 2x+1]이므로

[eqn: P LEFT ( 3 RIGHT ) =3], [eqn: P LEFT ( 1 RIGHT ) =-1]이다.

[eqn: P LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-3]으로 나누었을 때 나머지는 [eqn: P LEFT ( 3 RIGHT ) =3]

몫의 활용

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: 3x+2]로 나눈 몫을 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )], 나머지를 [eqn: R]라 할 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x+ {2} over {3}]로 나눈 묷과 나머지를 순서대로 적은 것은?

④

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 3x+2 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +R]

[eqn: =3 LEFT ( x+ {2} over {3} RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +R]

[eqn: = LEFT ( x+ {2} over {3} RIGHT ) LEFT { 3Q LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } +R]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x+ {2} over {3}]으로 나눈 몫은 [eqn: 3Q LEFT ( x RIGHT )], 나머지는 [eqn: R]

(단 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) != 0,~R != 0]이다.)[[eqn: 3.9]점]

① [eqn: {1} over {3} Q LEFT ( x RIGHT ) ,~ {1} over {3} R]	② [eqn: {1} over {3} Q LEFT ( x RIGHT ) ,~R]	③[eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) ,~R]
④ [eqn: 3Q LEFT ( x RIGHT ) ,~R]	⑤ [eqn: 3Q LEFT ( x RIGHT ) ,~3R]

나머지 정리와 수의 나눗셈

[eqn: 2024^99 +2022^99]를 [eqn: 2023]으로 나누었을 때 나머지는? [[eqn: 5.4]점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

①

[eqn: 2024^99 +2022^99]을 [eqn: 2023]으로 나눈 몫을 [eqn: Q], 나머지를 [eqn: R]하면

[eqn: 2024^99 +2022^99 = 2023 times Q +R]

[eqn: 2023]을 [eqn: x]로 놓으면

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT )^ 99 + LEFT ( x-1 RIGHT )^99 = x Q LEFT ( x RIGHT )+R]

[eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: 1^99 + LEFT ( -1 RIGHT )^99 =R]

[eqn: 1-1=R]

[eqn: therefore R=0]이다.

그러므로 [eqn: 2024^99 +2022^99 = 2023 times Q]

따라서 [eqn: 2024^99 +2022^99]을 [eqn: 2023]으로 나눈 나머지는 [eqn: 0]이다.

조립제법

다음은 조립제법을 이용하여 [eqn: (2x ^{3} -7x ^{2} +4) DIVIDE (x-2)]의 몫과 나머지를 구하는 과정이다. 상수 [eqn: a,`b,`c,`d,`e]의 값으로 옳은 것은? [4.4점]

②

조립제법의 결과는 아래와 같다.

[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: -7]	[eqn: 0]	[eqn: 4]
		[eqn: 4]	[eqn: -6]	[eqn: -12]
	[eqn: 2]	[eqn: -3]	[eqn: -6]	[eqn: -8]

[eqn: a]	[eqn: 2]	[eqn: -7]	[eqn: b]	[eqn: 4]
		[eqn: 4]	[eqn: d]	[eqn: e]
	[eqn: 2]	[eqn: c]	[eqn: -6]	[eqn: -8]

① [eqn: a=-2]	② [eqn: b=0]	③ [eqn: c=-6]
④ [eqn: d=-4]	⑤ [eqn: e=-9]

다항식 [eqn: 4x ^{3} -3x ^{2} +x+2]를 [eqn: 2x+1]로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구하기 위하여 조립제법을 이용하였다. 이때, 몫을 [eqn: Q(x)]라 할 때, [eqn: Q(0)]과 [eqn: a]의 값의 합은? [[eqn: 5.0]점]

④

왼쪽 위 빈칸은[eqn: -2]고, 왼쪽 아래쪽 빈칸은 [eqn: -3-2=-5], 가운데 위 빈칸은 [eqn: {5} over {2}]이므로 [eqn: a=1+ {5} over {2} = {7} over {2}]이다. 따라서 구하고자 하는 값은 [eqn: Q(0)+a= {a} over {2} +a= {3} over {2} a= {21} over {4}]이다.

[eqn: - {1} over {2}]	[eqn: 4]	[eqn: -3]	[eqn: 1]	[eqn: 2]
	[eqn: 4]		[eqn: a]

① [eqn: {7} over {4}]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: {15} over {4}]
④ [eqn: {21} over {4}]	⑤ [eqn: 7]

다음은 다항식 [eqn: 2x ^{3} +3x ^{2} -x-4`]를 [eqn: 2x+1`]로 나눈 몫과 나머지를 구하기 위하여 조립제법을 이용하는 과정이다.

①

[eqn: - {1} over {2}]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: -1]	[eqn: -4]
		[eqn: -1]	[eqn: -1]	[eqn: 1]
	[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: -2]	[eqn: -3]

이므로 [eqn: 2x ^{3} +3x ^{2} -x-4= LEFT ( x+ {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( 2x ^{2} +2x-2 RIGHT ) -3]

[eqn: = LEFT ( 2x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x-1 RIGHT ) -3]

(가) [eqn: =2x ^{2} +2x-2], (나) [eqn: =x ^{2} +x-1]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x ^{2} +2x-2], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} +x-1]

[eqn: a+b=-2], [eqn: c+d=0]

[eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) +g LEFT ( 0 RIGHT ) =2-1=1]

[eqn: - {1} over {2}]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: -1]	[eqn: -4]
		[eqn: {BOX{````````a````````}}]	[eqn: {BOX{````````b````````}}]	[eqn: 1]
	[eqn: 2]	[eqn: {BOX{````````c````````}}]	[eqn: {BOX{````````d```````}}]	[eqn: -3]

이므로
[eqn: 2x ^{3} +3x ^{2} -x-4= LEFT ( x+ {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( ` {BOX{````````` LEFT ( 가 RIGHT ) `````````}} ` RIGHT ) -3]

[eqn: = LEFT ( 2x+1 RIGHT ) LEFT ( ` {BOX{````````` LEFT ( 나 RIGHT ) `````````}} ` RIGHT ) -3]

따라서, 몫은 [eqn: {BOX{````````` LEFT ( 나 RIGHT ) `````````}} `]이고, 나머지는 [eqn: -3]이다.

위의 (가), (나)에 들어갈 식을 각각 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]라 할 때,
[eqn: f LEFT ( a+b RIGHT ) +g LEFT ( c+d RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d`]는 상수이다.) [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

다음은 다항식 [eqn: ax^3 +bx^2 +cx+d`]를 [eqn: (x+1)(x-2)`]로 나누었을 때의 몫 [eqn: Q(x)`]와 나머지 [eqn: R(x)`]를 구하기 위해 조립제법을 이용하는 과정이다.

[eqn: -1]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: c]	[eqn: d]
		[eqn: box{~~~}]	[eqn: box{~~~}]	[eqn: box{~~~}]
[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: box{~~~}]	[eqn: box{~~~}]	[eqn: -2]
		[eqn: box{~~~}]	[eqn: box{~~~}]
	[eqn: 2]	[eqn: -1]	[eqn: 5]

[eqn: Q(b)+R(a)`]의 값은? (단, [eqn: a,~b,~c,~d`]는 상수이다.)[[eqn: 4.4]점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 6]

③

[eqn: a ^{3} +ab ^{2} +b ^{2} c+a ^{2} c-c ^{3} -ac ^{2} =0]
[eqn: (a+c)b ^{2} +(a+c)a ^{2} -c ^{2} (a+c)=0]

[eqn: (a+c)(b ^{2} +a ^{2} -c ^{2} )=0]

[eqn: a, ~b, ~c`]는 삼각형의 세 변의 길이이므로

[eqn: a,`b]가 각각 삼각형의 한 변의 길이이므로 [eqn: a>0,`b>0]이다.

따라서 [eqn: a+b>0] 즉, [eqn: b ^{2} +a ^{2} -c ^{2} =0]이다.

[eqn: c ^{2} =a ^{2} +b ^{2}]에서 삼각형 [eqn: ABC]가 빗변이 [eqn: c]인 [eqn: a=`b]직각이등변 삼각형임을 알 수 있다.따라서 삼각형 [eqn: ABC]넓이는 [eqn: {a ^{2}} over {2} =25]
[eqn: a=b=5 sqrt {2} ,~c=10`]
[eqn: THEREFORE {ac} over {b} =10]

[eqn: (x+3) ^{4} -2(x+3) ^{3} +5(x+3) ^{2} +4(x+3)-7# =ax ^{4} +bx ^{3} +cx ^{2} +dx+e]
가 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, 상수 [eqn: a,b,c,d,e]에 대하여 [eqn: a-b+c+d-e]의 값은? [4.3점]

⑤

[eqn: x+3=X]라 하면
[eqn: X ^{4} -2X ^{3} +5X ^{2} +4X-7]
[eqn: =a(X-3) ^{4} +b(X-3) ^{2} +c(X-3) ^{2} +d(X-3)+e]이므로
조립제법을 이용해서 풀면
[eqn: a=1],[eqn: b=10],[eqn: c=41],[eqn: d=88],[eqn: e=77]

① [eqn: 39]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 41]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 43]

항등식과나머지 정리(step2)

2.

계수의 합

다항식 [eqn: LEFT ( x ^{3} -x ^{2} +3x-1 RIGHT ) ^{2}]을 전개하였을 때, 상수항을 포함한 모든 항들의 계수의 합은? [[eqn: 3.4]점]

④

[풀이]

[eqn: LEFT ( x ^{3} -x ^{2} +3x-1 RIGHT ) ^{2} =a _{6}^{{}_{}} x ^{6} +a _{5} x ^{5} +` CDOTS `+a _{0}]라고 할수 있으므로

계수의 총합을 구하기 위해서 [eqn: x=1] 대입하면

[eqn: a _{6} +a _{5} +a _{4} `+` CDOTS `+a _{0} =2 ^{2} =4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

등식

③

[eqn: LEFT ( x ^{2} +4x+2 RIGHT ) ^{10} =a _{20} LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{20} +a _{19} LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{19} +` CDOTS `+a _{1} LEFT ( x+1 RIGHT ) +a _{0}]

가 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: x=it-1]일 때, [eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) ^{10} =a _{0}] [eqn: a _{0} =1]

[eqn: x=0]일 때 [eqn: 2 ^{10} =a _{20} +a _{19} +a _{18} +` CDOTS `+a _{1} +a _{0}] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: x=it-2]일 때, [eqn: LEFT ( -2 RIGHT ) ^{10} =a _{20} -a _{19} +a _{18} -` CDOTS `-a _{1} +a _{0}] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠[eqn: +]㉡는 [eqn: 2·2 ^{10} =2 LEFT ( a _{20} +a _{18} +` CDOTS `+a _{2} +a _{0} RIGHT )]

[eqn: a _{20} +a _{18} +` CDOTS `+a _{2} +a _{0} =2 ^{10}]

따라서 [eqn: a _{2} +a _{4} +a _{6} +` CDOTS `+a _{18} +a _{20} =2 ^{10} -a _{0} =1023]

[eqn: LEFT ( x ^{2} +4x+2 RIGHT ) ^{10} =a _{20} LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{20} +a _{19} LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{19} +` CDOTS `+a _{1} LEFT ( x+1 RIGHT ) +a _{0}]이 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, 상수 [eqn: a _{0} ,~a _{1} ,~ CDOTS `,`a _{19} ,`~a _{20}]에 대하여 [eqn: a _{2} +a _{4} +a _{6} +` CDOTS `+a _{18} +a _{20}]의 값은? [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: 1021]	② [eqn: 1022]	③ [eqn: 1023]
④ [eqn: 1024]	⑤ [eqn: 1025]

등식 [eqn: (x^2 -2x-1)^5 =a_0 +a_1 x +a_2 x^2 +cdots+a_10 x^10`]이 [eqn: x`]의 값에 관계없이 항상 성립할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a_0 ,~a_1 ,~a_2 ,~cdots,~a_10 `]은 상수이다.) [4.7점]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

④

[eqn: (x^2 -2x-1)^5 =a_0 +a_1 x +a_2 x^2 +cdots+a_10 x^10`]

ㄱ. [eqn: x=0`]을 대입하면 [eqn: a_0 =-1] (참)

ㄴ. [eqn: (x^2 -2x-1)^5]

[eqn: =(x^2 -2x-1)(x^2 -2x-1)(x^2 -2x-1)(x^2 -2x-1)(x^2 -2x-1)]

[eqn: x`]의 계수는 [eqn: 5 times(-2)times(-1)^4 =-10] (거짓)

ㄷ. [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: a_0 + a_1 +a_2 + cdots+a_10 =-32]	[eqn: cdots①]

[eqn: x=-1`]을 대입하면

[eqn: a_0 -a_1 +a_2 -cdots +a_10 =32]	[eqn: cdots②]

[eqn: ①－②]하면

[eqn: 2(a_1 +a_3 +a_5 +a_7 +a_9 )=-64]

[eqn: a_1 +a_3 +a_5 +a_7 +a_9 =-32] (참)

[보 기]

ㄱ. [eqn: a_0 =-1]

ㄴ. [eqn: a_1 =-5]

ㄷ. [eqn: a_1 +a_3 +a_5 +a_7 +a_9 =-32]

[eqn: x`]에 대한 항등식 [eqn: (1+x-2x ^{2} ) ^{10} =a _{20} x ^{20} +a _{19} x ^{19} +a _{18} x ^{18} +`` CDOTS ``+a _{1} x+a _{0}]에서
[eqn: a _{1} +a _{3} +`` CDOTS ``+a _{17} +a _{19}]의 의 값은? (단, [eqn: a _{0} ,~a _{1} ,,,a _{20}]은 상수이다.) [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: -2 ^{9}]	② [eqn: -2 ^{10}]	③ [eqn: -2 ^{11}]
④ [eqn: -2 ^{12}]	⑤ [eqn: -2 ^{13}]

①

[eqn: (1+x-2x ^{2} ) ^{10} =a _{20} x ^{20} +a _{19} x ^{19} +a _{18} x ^{18} +`` CDOTS ``+a _{1} x+a _{0}]에서

[eqn: x=1`]을 대입하면 [eqn: (1+1-2) ^{9} =a _{0} +a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{20}]

[eqn: a _{0} +a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{20} =0]	[eqn: cdots①]

[eqn: x=-1`]을 대입하면 [eqn: (1-1-2) ^{10} =a _{0} -a _{1} +a _{2} -a _{3} + CDOTS +a _{20}]

[eqn: a _{0} -a _{1} +a _{2} -a _{3} + CDOTS +a _{20} =1024]	[eqn: cdots②]

[eqn: ①-②`]하면 [eqn: 2(a _{1} +a _{3} +a _{5} + CDOTS +a _{19} )=-2 ^{10}]

[eqn: therefore] [eqn: a _{1} +a _{3} +a _{5} + CDOTS +a _{19} =-2 ^{9}]

다항식 [eqn: LEFT { LEFT ( 1-x RIGHT ) + LEFT ( 1-x RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 1-x RIGHT ) ^{3} RIGHT } ^{4}]의 전개식에서
[eqn: x]의 계수는? [[eqn: 4.7]점]

① [eqn: -645]	② [eqn: -646]	③ [eqn: -647]
④ [eqn: -648]	⑤ [eqn: -649]

④

[eqn: LEFT { LEFT ( 1-x RIGHT ) + LEFT ( 1-x RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 1-x RIGHT ) ^{3} RIGHT } ^{4}]
[eqn: = LEFT ( -x ^{3} +4x ^{2} -6x+3 RIGHT ) ^{4}]에서 일차항의 계수는

[eqn: RARROW LEFT ( -6x+3 RIGHT ) ^{4} = LEFT ( 36x ^{2} -36x+9 RIGHT ) ^{2}]에서
[eqn: = LEFT ( -6x+3 RIGHT ) ^{4} = LEFT ( 36x ^{2} -36x+9 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: RARROW LEFT ( -36x+9 RIGHT ) ^{2} ` rarrow -648]

등식 [eqn: (x ^{2} +3x+1) ^{7} =a _{0} +a _{1} x+a _{2} x ^{2} + CDOTS +a _{13} x ^{13} `+a _{14} x ^{14}]이 [eqn: x`]값에 관계없이 항상 성립할 때,
[eqn: {1} over {9} LEFT ( a _{1} -a _{3} +a _{5} -a _{7} +a _{9} -a _{11} +a _{13} RIGHT )]의 값은?
(단, [eqn: a _{0} ,~a _{1} ,~a _{2} ,~ CDOTS ,~a _{14} `]은 상수이다.)[[eqn: 5.4]점]

①

등식[eqn: (x ^{2} +3x+1) ^{7} =a _{0} +a _{1} x+a _{2} x ^{2} + CDOTS +a _{13} x ^{13} `+a _{14} x ^{14}]이 [eqn: x`]값에 관계없이 항상 성립할 때,
[eqn: {1} over {9} LEFT ( a _{1} -a _{3} +a _{5} -a _{7} +a _{9} -a _{11} +a _{13} RIGHT )]의 값
[eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: 0=a _{0}]
[eqn: x=i]을 대입하면 [eqn: LEFT ( 3i RIGHT ) ^{7} =a _{0} +a _{1} i-a _{2} -a _{3} i+ CDOTS +a _{13} i-a _{14}][eqn: cdots①]

[eqn: LEFT ( a _{0} -a _{2} +a _{4} -a _{6} +a _{8} -a _{10} +a _{12} RIGHT ) +# (a _{1} -a _{3} +a _{5} -a _{7} +a _{9} -a _{11} +a _{13} )i= LEFT ( 3i RIGHT ) ^{7}]
복소수 상등에 의하여
실수부 [eqn: LEFT ( a _{0} -a _{2} +a _{4} -a _{6} +a _{8} -a _{10} +a _{12} RIGHT ) =0]
허수부 [eqn: (a _{1} -a _{3} +a _{5} -a _{7} +a _{9} -a _{11} +a _{13} )i=-3 ^{7} i]
[eqn: {1} over {9} LEFT ( a _{1} -a _{3} +a _{5} -a _{7} +a _{9} -a _{11} +a _{13} RIGHT ) = {1} over {9} TIMES LEFT ( -3 ^{7} RIGHT ) =-3 ^{5}]

① [eqn: -243]	② [eqn: -81]	③ [eqn: -27]
④ [eqn: -9]	⑤ [eqn: -3]

등식 [eqn: LEFT ( 2x ^{2} -x RIGHT ) ^{6} =a _{0} +a _{1} x+a _{2} x ^{2} + CDOTS +a _{11} x ^{11} +a _{12} x ^{12}] 이
[eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: a _{8} +a _{10} +a _{12} -5a _{5}]의 값은? (단, [eqn: a _{0} ,``a _{1} ,``a _{2} ,`` CDOTS ,``a _{11} ,``a _{12}]는 상수이다.) [4.3점]

① [eqn: 364]	② [eqn: 365]	③ [eqn: 366]
④ [eqn: 367]	⑤ [eqn: 368]

①

[eqn: x ^{6} LEFT ( 2x-1 RIGHT ) ^{6}]이므로 [eqn: a _{0} =CDOTS =a _{5} =0],

주어진 식에 [eqn: x=1]을 대입한 식에서 [eqn: x=-1]을 대입한 식을 더하면,

[eqn: 2 LEFT ( a _{6} +a _{8} +a _{10} +a _{12} RIGHT ) =1 ^{6} +3 ^{6} =730]

[eqn: a _{6} =1]이므로 [eqn: a _{8} +a _{10} +a _{12} =364]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식 [eqn: LEFT ( 2x+1 RIGHT ) ^{6} =a _{0} +a _{1} x+a _{2} x ^{2} +a _{3} x ^{3} +a _{4} x ^{4} +a _{5} x ^{5} +a _{6} x ^{6}] 이 성립할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a _{i} ` LEFT ( i=1,2,3,4,5,6 RIGHT )]은 상수이다.) [[eqn: 4.6]점]

③

[풀이]

ㄱ. 양변에 [eqn: x=1`]을 대입하면
[eqn: a _{0} +a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5} +a _{6} =3 ^{6} `] (참)

ㄴ. 양변에 [eqn: x=`- {1} over {2} `]을 대입하면
[eqn: a _{0} - {a _{1}} over {2} + {a _{2}} over {4} - {a _{3}} over {8} + {a _{4}} over {16} - {a _{5}} over {32} + {a _{6}} over {64} =0`]	[eqn: cdots] ㉠
양변에 [eqn: 2`]를 곱하면
[eqn: 2a _{0} -a _{1} + {a _{2}} over {2} - {a _{3}} over {4} + {a _{4}} over {8} - {a _{5}} over {16} + {a _{6}} over {32} =0]	(참)

ㄷ. 양변에 [eqn: x= {1} over {2} `]을 대입하면
[eqn: a _{0} + {a _{1}} over {2} + {a _{2}} over {4} + {a _{3}} over {8} + {a _{4}} over {16} + {a _{5}} over {32} + {a _{6}} over {64} =64`] [eqn: cdots] ㉡
㉡[eqn: -]㉠을 하면
[eqn: a _{1} + {a _{3}} over {4} + {a _{5}} over {16} =64`], [eqn: {a _{1}} over {4} + {a _{3}} over {16} + {a _{5}} over {64} =16] (거짓)

[보 기]

[eqn: ㄱ.] [eqn: a _{0} +a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5} +a _{6} =3 ^{6}]

[eqn: ㄴ.] [eqn: 2a _{0} -a _{1} + {a _{2}} over {2} - {a _{3}} over {4} + {a _{4}} over {8} - {a _{5}} over {16} + {a _{6}} over {32} =0]

[eqn: ㄷ.] [eqn: {a _{1}} over {4} + {a _{3}} over {16} + {a _{5}} over {64} =32]

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄱ,`ㄴ]
④ [eqn: ㄱ,`ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,`ㄴ,`ㄷ]

계수비교법, 수치대입법

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: P _{n} (x)=(x-1)(x-2)(x-3)` CDOTS (x-n)`]이라 하자. 등식 [eqn: aP _{3} (x)+bP _{2} (x)+cP _{1} (x)+d=x _{}^{3} +4x ^{2} -6x-2`]가 [eqn: x`]의 값에 관계없이 항상 성립한다고 할 때, 상수 [eqn: a,~b,~c,~d`]에 대하여 [eqn: ab-cd`]의 값은? [4.9점]

① [eqn: 45]	② [eqn: 46]	③ [eqn: 47]

⑤

[eqn: a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)+c(x-1)+d`]

[eqn: =x ^{3} +4x ^{2} -6x-2`]이고,

[eqn: x=1`]을 대입해서 계산하면 [eqn: d=-3``]

[eqn: x=2`]을 대입하면 [eqn: c=13`]

[eqn: x=3`]을 대입하면 [eqn: b=10`]

[eqn: a`]는 최고차항이므로 [eqn: a=1`]이 된다.

[eqn: ab-cd`][eqn: =49]

④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 49]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식 [eqn: LEFT ( 3x-2 RIGHT ) ^{3} =ax LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) +b LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) +c LEFT ( x-2 RIGHT ) +d]가 성립할 때, 상수 [eqn: a,b,c,d]에 대하여 [eqn: 2a-b+c-d]의 값은? [[eqn: 4.2]점]

⑤

[풀이]

[eqn: LEFT ( 3x-2 RIGHT ) ^{3} =ax LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) +b LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) +c LEFT ( x-2 RIGHT ) +d]

[eqn: x=2]를 대입 [eqn: d=64]

[eqn: x=1]를 대입 [eqn: -c+d=1]에서 [eqn: -c+64=1], [eqn: c=63]

[eqn: LEFT ( 3x-2 RIGHT ) ^{3} =ax LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) +b LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) +63 LEFT ( x-2 RIGHT ) +64]

[eqn: x=0]을 대입 [eqn: -8=2b-126+64]에서 [eqn: b=27]

좌변에서 최고차항의 계수는 [eqn: 27`]이고, 우변에서 최고차항의 계수는 [eqn: a]이므로 [eqn: a=27]

[eqn: 2a-b+c-d=26]

① [eqn: 22]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 24]
④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 26]

다항식 [eqn: f(x)]에 대하여 등식
[eqn: (x+4)f(x)=x(x ^{2} +kx-22)+8]
이 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: f(k)]의 값은? (단, [eqn: k]는 상수)[4.0점]

②

[eqn: x=-4]를 대입하면
[eqn: 0=-4(16-4k-22)+8]
그러므로 [eqn: k=-2]
[eqn: f(k)=f(-2)]이므로 [eqn: x=-2]를 대입하면
[eqn: 2f(-2)=-2(4+4-22)+8]
그러므로 [eqn: f(-2)=18]

① [eqn: 9]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 45]

등식 [eqn: x^3 -ax+6= LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+b RIGHT ) LEFT ( x+c RIGHT )]가 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, 물음에 답하시오. (단, [eqn: b<c]) [총 [eqn: 7.0]점]

([eqn: 1]) [eqn: 7] ([eqn: 2]) [eqn: 2]

([eqn: 1]) [eqn: x^3 -ax+6= LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+b RIGHT ) LEFT ( x+c RIGHT )]가 항등식이므로
[eqn: x=2]를 대입하면
[eqn: 2^3 - a times 2 +6 = LEFT ( 2-2 RIGHT ) LEFT ( 2+b RIGHT ) LEFT (2+c RIGHT )]
[eqn: 8-2a +6=0]
[eqn: 2a =14]
그러므로 [eqn: a= 7]

([eqn: 2]) [eqn: x^3 - 7x +6]에서 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT )]를 인수로 가지므로
조립제법을 이용하면

[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: -7]	[eqn: 6]
		[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: -6]
	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: -3]	[eqn: 0]

[eqn: x^3 - 7x +6][eqn: = LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x^2 +2x-3 RIGHT )]
그러므로 [eqn: LEFT ( x+b RIGHT ) LEFT ( x+c RIGHT )= x^2 +2x-3]
[eqn: x^2 + LEFT ( b+c RIGHT )x+bc = x^2 +2x-3]
계수비교하면
[eqn: b+c= 2]이다.

([eqn: 1]) 상수 [eqn: a]의 값을 구하고, 그 과정을 논술하시오. [[eqn: 3.0]점]

([eqn: 2]) ([eqn: 1])의 결과를 이용하여 [eqn: b+c]의 값을 구하고, 그 과정을 논술하시오. [[eqn: 4.0]점]

다항식의 나눗셈과 항등식

다항식 [eqn: P(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식 [eqn: (x-2)(x^2 +x+1)P(x)=x^4 -2x^3 +ax+b]를 만족시킬 때, [eqn: P(2)+a+b]의 값은? (단, [eqn: a,b]는 상수이다.) [5.1점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

②

양변에 [eqn: x=2] 대입하면, [eqn: 2a+b=0] 이므로 [eqn: b=-2a] 이다.

[eqn: x^4 -2x^3 +ax+b=x^4 -2x^3 +ax-2a][eqn: =(x-2)(x^3 +a)]

[eqn: (x-2)(x^2 +x+1)P(x)=(x-2)(x^3 +a)] 양변을 [eqn: x-2]로 나누면

[eqn: (x^2 +x+1)P(x)=x^3 +a] 이므로 [eqn: P(x)]은 [eqn: x]의 계수가 [eqn: 1]인 일차식이며, [eqn: P(x)=x-1], [eqn: a=-1] 이고, [eqn: b=2] 이다. [eqn: THEREFOREP(2)+a+b=1-1+2=2]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 다항식 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) `]가
[eqn: LEFT { P` LEFT ( x RIGHT ) +7 RIGHT } ^{2} = LEFT ( x+2a RIGHT ) LEFT ( x+4a RIGHT ) +9`]
를 만족시킬 때, 모든 [eqn: P` LEFT ( 2 RIGHT ) `]의 값의 합은? (단, [eqn: a`]는 실수이다.) [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: -44]	② [eqn: -36]	③ [eqn: -28]
④ [eqn: -20]	⑤ [eqn: -12]

③

[eqn: LEFT { P LEFT ( x RIGHT ) +7 RIGHT } ^{2} = LEFT ( x+2a RIGHT ) LEFT ( x+4a RIGHT ) +9]에서

[eqn: LEFT { P LEFT ( x RIGHT ) +7 RIGHT } ^{2} =x ^{2} +6ax+8a ^{2} +9]

이때 [eqn: x ^{2} +6ax+8a ^{2} +9]가 완전제곱식이어야 하므로 이차방정식

[eqn: x ^{2} +6ax+8a ^{2} +9=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D= LEFT ( 3a RIGHT ) ^{2} -8a ^{2} -9=0]

[eqn: a ^{2} -9=0], [eqn: LEFT ( a+3 RIGHT ) LEFT ( a-3 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=3] 또는 [eqn: a=-3]

[eqn: LEFT ( rmi RIGHT )] [eqn: a=3]일 때,

[eqn: LEFT { P LEFT ( x RIGHT ) +7 RIGHT } ^{2} =x ^{2} +18x+81]

[eqn: LEFT { P LEFT ( x RIGHT ) +7 RIGHT } ^{2} = LEFT ( x+9 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) +7=+- LEFT ( x+9 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE] [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =x+2] 또는 [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =-x-16]

[eqn: THEREFORE] [eqn: P LEFT ( 2 RIGHT ) =4] 또는 [eqn: P LEFT ( 2 RIGHT ) =-18]

[eqn: rm LEFT ( ii RIGHT )] [eqn: a=-3]일 때,

[eqn: LEFT { P LEFT ( x RIGHT ) +7 RIGHT } ^{2} =x ^{2} -18x+81]

[eqn: LEFT { P LEFT ( x RIGHT ) +7 RIGHT } ^{2} = LEFT ( x-9 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) +7= +- LEFT ( x-9 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE] [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =x-16] 또는 [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =-x+2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: P LEFT ( 2 RIGHT ) =-14] 또는 [eqn: P LEFT ( 2 RIGHT ) =0]

따라서 모든 [eqn: P LEFT ( 2 RIGHT )]의 값의 합은 [eqn: 4+ LEFT ( -18 RIGHT ) + LEFT ( -14 RIGHT ) +0=-28]

이차항의 계수가 [eqn: 2]인 이차다항식 [eqn: P(x)]와 일차항의 계수가 [eqn: 1]인 일차다항식 [eqn: Q(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

➁

(가) [eqn: P LEFT ( 1 RIGHT ) -Q LEFT ( 1 RIGHT ) =0]

(나) [eqn: P LEFT ( -2 RIGHT ) -Q LEFT ( -2 RIGHT ) =P LEFT ( 4 RIGHT ) -Q LEFT ( 4 RIGHT ) =k]라 하면
[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) -Q LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) +k]이다.

[eqn: x=1`]대입하면

[eqn: P LEFT ( 1 RIGHT ) -Q LEFT ( 1 RIGHT ) =-18+k=0], [eqn: k=18]

[eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 일차식이므로 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) =x+b`]라 하자.

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) +18+x+b]

문제에서 [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) +Q LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x-3]으로 나누어 떨어지므로

[eqn: P LEFT ( 3 RIGHT ) +Q LEFT ( 3 RIGHT ) =0]이다.

[eqn: -10+18+3+b+3+b=14+2b=0], [eqn: b=-7]

즉, [eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) =x-7], [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) +18+x-7]

따라서 [eqn: P LEFT ( 3 RIGHT ) =2 TIMES 5 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) +18+3-7=4]

(가) [eqn: P(1)=Q(1)]

(나) [eqn: P(-2)-P(4)=Q(-2)-Q(4)]

다항식 [eqn: P(x)+Q(x)]가 [eqn: x-3]으로 나누어떨어질 때, [eqn: P(3)]의 값은?[4.4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차식 [eqn: P(x)]와 일차항의 계수가 [eqn: 1]인 일차식 [eqn: Q(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

③

(가)[eqn: P LEFT ( x+1 RIGHT ) -Q(x+1)=(x+1)L(x)(L(x)]는 [eqn: 1]차)

(나)[eqn: P(x)+Q(x)=0]

[eqn: P(x)=x ^{2} +ax+b,~Q(x)=x+c]라고 하자.

(가)[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} +a LEFT ( x+1 RIGHT ) +b- LEFT { LEFT ( x+1 RIGHT ) +c RIGHT }]

[eqn: =(x+1) ^{2} + LEFT ( a-1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) + LEFT ( b-c RIGHT )]이 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT )]으로 묶여야 하므로 [eqn: b-c=0 RARROW b=c CDOTS ①]

(나) [eqn: P(x)+Q(x)=x ^{2} +ax+b+x+b=0]

[eqn: =x ^{2} + LEFT ( a+1 RIGHT ) x+2b=0]

중근을 가지려면 [eqn: D=0]

[eqn: LEFT ( a+1 RIGHT ) ^{2} -8b=0 CDOTS ②]

[eqn: P(x)-Q(x)=(x-2)L _{2} (x)+8]

[eqn: P(2)-Q(2)=8]

[eqn: (4+2a+b)-(2+c)=8 CDOTS]③

[eqn: a=3,~b=2=c]

[eqn: THEREFORE P(2)=4+2a+b=12]

[다른풀이]

(가) [eqn: P LEFT ( x+1 RIGHT ) -Q LEFT ( x+1 RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) L(x)] 에서 [eqn: x`->`x-1]을 대입하면

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) -Q LEFT ( x RIGHT ) =x LEFT ( x+a RIGHT )]로 생각할 수 있다.

(단, [eqn: L LEFT ( x RIGHT )]는 일차항의 계수가 1차인 일치식으로 [eqn: x-1]을 대입한 것도 간단한 일차식으로 표현가능)

이때 마지막 문제 조건을 통해 [eqn: P LEFT ( 2 RIGHT ) -Q LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =8]이므로

[eqn: 2 LEFT ( 2+a RIGHT ) =8,~a=2], [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) -Q LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +2x] 이때, [eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) =x+b]로 가정하고 양변에 [eqn: 2Q LEFT ( x RIGHT )]를 더하면

(나) [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) +Q LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +4x+2b]가 중근을 갖아야하므로 [eqn: b=2]

따라서 [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =Q LEFT ( x RIGHT ) +x ^{2} +2x=x ^{2} +3x+2]

[eqn: P LEFT ( 2 RIGHT ) =12]

(가) 다항식 [eqn: P(x+1)-Q(x+1)]은 [eqn: x+1]로 나누어떨어진다.

(나) 방정식 [eqn: P(x)+Q(x)=0]은 중근을 갖는다.

다항식 [eqn: P(x)-Q(x)]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지가 [eqn: 8]일 때, [eqn: P(2)]의 값은? [5.1점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 12]
④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 18]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다항식 [eqn: P(x)]가
[eqn: LEFT { P(x)+3 RIGHT } ^{2} =(x-a)(x-3a)+4]를 만족시킬 때, 모든 [eqn: P(1)]의 값의 합은? (단, [eqn: a]는 실수이다.)

➁

[eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-3a RIGHT ) +4=x ^{2} -4ax+3a ^{2} +4]가 완전제곱식이므로

판별식 [eqn: 4a ^{2} - LEFT ( 3a ^{2} +4 RIGHT ) =a ^{2} -4=0], [eqn: a=2], [eqn: -2]이다.

(ⅰ) [eqn: a=2`]일 때
[eqn: LEFT { P LEFT ( x RIGHT ) +3 RIGHT } ^{2} =x ^{2} -8x+16= LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) +3= +- LEFT ( x-4 RIGHT )],
[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =x-7]또는 [eqn: -x+1]이므로 [eqn: P LEFT ( 1 RIGHT ) =-6]또는 [eqn: 0]

(ⅱ) [eqn: a=-2`]일 때
[eqn: LEFT { P LEFT ( x RIGHT ) +3 RIGHT } ^{2} =x ^{2} +8x+16= LEFT ( x+4 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) +3= +- LEFT ( x+4 RIGHT )]
[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =x+1]또는 [eqn: -x-7]이므로 [eqn: P LEFT ( 1 RIGHT ) =2]또는 [eqn: -8]

따라서 [eqn: -6+0+2-8=-12]

① [eqn: -14]	② [eqn: -12]	③ [eqn: -10]

④ [eqn: -8]	⑤ [eqn: -6]

삼차다항식 [eqn: P(x)]와 일차다항식 [eqn: Q(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

➀

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -2x+2 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) H LEFT ( x RIGHT )] , [eqn: H LEFT ( x RIGHT )]는 일차식

(나)에서 [eqn: 2x ^{3} +x ^{2} -42x+73-P LEFT ( x RIGHT ) = LEFT { Q LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}]

[eqn: LEFT { Q LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}]은 이차식이므로 [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +` SIM]이다.

(ⅰ) [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT ( x ^{2} -2x+2 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )]일 때,
(나) [eqn: 2x ^{3} +x ^{2} -42x+73-2 LEFT ( x ^{2} -2x+2 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 3x-9 RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT { Q LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}]
[eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) =3x-9], [eqn: qx=- LEFT ( 3x-9 RIGHT )]
[eqn: Q LEFT ( 1 RIGHT ) >Q LEFT ( 2 RIGHT )]이므로 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]는 감소함수이다.
즉, [eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) =- LEFT ( 3x-9 RIGHT ) =-3x+9]
따라서 [eqn: P LEFT ( 1 RIGHT ) +Q LEFT ( 2 RIGHT ) =1]

(ⅱ) [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT ( x ^{2} -2x+2 RIGHT ) LEFT ( x-b RIGHT )], [eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x-2 RIGHT )]일 때,
(나) [eqn: 2x ^{3} +x ^{2} -42x+73=2 LEFT ( x ^{2} -2x+2 RIGHT ) LEFT ( x-b RIGHT )][eqn: = LEFT { a LEFT ( x-2 RIGHT ) RIGHT } ^{2}]
계수를 비교하면 만족하는 [eqn: a], [eqn: b`]는 존재하지 않는다.

(가) [eqn: P(x)Q(x)]는 [eqn: (x ^{2} -2x+2)(x-2)]로 나누어떨어진다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: 2x ^{3} +x ^{2} -42x+73=P(x)+ LEFT { Q(x) RIGHT } ^{2}]이다.

[eqn: Q(1)>Q(2)]일 떄, [eqn: P(1)+Q(2)]의 값은?[4.6점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 12#]

최고차항의 계수가 음수인 다항식 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

①

[eqn: f(x) LEFT [ LEFT { f(x) RIGHT }^2 -4x^2 RIGHT ] = 8x^2 -6x+1]

[eqn: LEFT { f(x)+2x RIGHT } f(x) LEFT { f(x)-2x RIGHT }][eqn: = (4x-1)(2x-1)]
[eqn: =(-2x+1)(-4x+1)]

[eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 음수이고,

세 다항식 [eqn: f(x),~ f(x)+2x ,~ f(x)-2x] 중 하나는 상수이므로

[eqn: f(x)=-2x+1]

ㄱ. (O)

[eqn: f(-1)=3]

ㄴ. (X)

[eqn: f(x)]의 최고차항의 계수는 [eqn: -2]이다.

ㄷ. (X)

[eqn: (-2x+1)^3 = (x^2 -x-2)Q(x) +ax+b]

[eqn: x=-1]을 대입하면 [eqn: -a+b = 27]

[eqn: x=2]를 대입하면 [eqn: 2a+b = -27]

[eqn: a=-18,~b=9]

나머지 [eqn: ax+b= -18x+9]

[eqn: LEFT { f(x) RIGHT }^3 = 4x^2 f(x) +8x^2 -6x+1]

을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 5.0]점]

<보 기>

ㄱ. 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x+1]로 나눈 나머지는 [eqn: 3]이다.

ㄴ. 다항식 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수는 [eqn: -4]이다.

ㄷ. 다항식 [eqn: LEFT { f(x) RIGHT }^3]을 [eqn: x^2 -x-2]로 나눈 나머지는
[eqn: -18x-27]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

최고차항의 계수가 양수인 다항식 [eqn: f(x)`]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: left{f(x)} right}^3 =4x^2 f(x)+8x^2 +6x+1`]을 만족시킨다. [eqn: left{f(x) right}^3`]을 [eqn: x^2 -1`]로 나눈 나머지가 [eqn: px+q`]일 때, [eqn: p+2q`]의 값은? [4.7점]

① [eqn: 40]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 44]
④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 48]

①

[eqn: f(x)`]를 [eqn: n`]차식이라 하면

[eqn: left{f(x) right}^3 `]은 [eqn: 3n`]차식, [eqn: 4x^2 f(x)`]는 [eqn: n+2`]차식이므로 [eqn: 3n=n+2]

[eqn: n=1]

[eqn: f(x)=ax+b`] [eqn: (a>0)`]이라 하면

[eqn: left{f(x)} right}^3 =4x^2 f(x)+8x^2 +6x+1`]

[eqn: a^3 x^3 +3a^2 bx^2 +3ab^2 x+b^3 =4ax^3 +(4b+8)x^2 +6x+1]

[eqn: a^3 =4a ,~3a^2 b =4b+8 ,~ 3ab^2 =6,~b^3 \=1`]을 풀면

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: a=2,~b=1]

[eqn: f(x)=2x+1]

[eqn: left{f(x) right}^3 `]을 [eqn: x^2 -1`]로 나눈 나머지가 [eqn: px+q`]이므로

[eqn: (2x+1)^3 =(x-1)(x+1)Q(x)+px+q`]

[eqn: x=1]대입 [eqn: p+q=27]	[eqn: cdots①]

[eqn: x=-1]대입 [eqn: -p+q =-1]	[eqn: cdots②]

[eqn: ①,~②]를 연립하여 풀면 [eqn: p=14,~q=13]

[eqn: therefore] [eqn: p+2q=14+26=40]

[eqn: x ^{2} `]의 계수가 [eqn: 1`]인 두 이차식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `,~g LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

두 이차식의 합 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) `]를 구하고, 풀이 과정을 논술하시오. [[eqn: 7`]점]

[eqn: 2x ^{2} -3x+1]

조건 [eqn: (]가[eqn: )`]에서 [eqn: x=it-2`]일 때 [eqn: 0= it -5 g LEFT ( -2 RIGHT )]

이므로 [eqn: g LEFT ( -2 RIGHT ) =0]

[eqn: x=3`]일 때 [eqn: 5f LEFT ( 3 RIGHT ) =0`]에서 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =0]

즉, 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `,~g LEFT ( x RIGHT ) `]는 각각 [eqn: x-3`,~x+2`]를 인수로 갖는다.

이때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `,~g LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x ^{2} `]의 계수가 [eqn: 1`]인 이차식이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) `,~g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x+b RIGHT ) `(a`,~b`]는 상수[eqn: )]

로 놓을 수 있다.

조건 [eqn: (]나[eqn: )`]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} -3x ^{3} -3x ^{2} +11x-6]이고,

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )] 또한 [eqn: x-3`,~x+2`]를 인수로 가지므로 우변을 조립제법을

이용하여 인수분해하면

[eqn: 3]	[eqn: 1]	[eqn: -3]	[eqn: -3]	[eqn: 11]	[eqn: -6]
		[eqn: 3]	[eqn: 0]	[eqn: -9]	[eqn: 6]
[eqn: -2]	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: -3]	[eqn: 2]	[eqn: 0]
		[eqn: -2]	[eqn: 4]	[eqn: -2]
	[eqn: 1]	[eqn: -2]	[eqn: 1]	[eqn: 0]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -2x+1 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}]

따라서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) =x ^{2} -4x+3`,]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) =x ^{2} +x-2]

이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} -3x+1]

(가) 모든 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-3 RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]

(나) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} -3x ^{3} -3x ^{2} +11x-6]

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2`]이고 임의의 실수 [eqn: x`,~y`]에 대하여

④

[eqn: 16f LEFT ( x RIGHT ) TIMES f LEFT ( y RIGHT ) = LEFT { f LEFT ( x+y RIGHT ) -f LEFT ( x-y RIGHT ) RIGHT } ^{2} `]에서

[eqn: x=0`,~y=0`]일 때, [eqn: 16 TIMES LEFT { f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT } ^{2} =0]

[eqn: THEREFORE ~f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]

[eqn: x=1`,~y=1`]일 때, [eqn: 16 TIMES LEFT { f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} = LEFT { f LEFT ( 2 RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT } ^{2} `]에서

[eqn: 16 TIMES 4= LEFT { f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT } ^{2} `,~ LEFT { f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT } ^{2} =64]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0`]이므로 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =8]

[eqn: x=2`,~y=1`]일 때, [eqn: 16 TIMES f LEFT ( 2 RIGHT ) TIMES f LEFT ( 1 RIGHT ) = LEFT { f LEFT ( 3 RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} `]에서

[eqn: 16 TIMES 8 TIMES 2= LEFT { f LEFT ( 3 RIGHT ) -2 RIGHT } ^{2} `,] [eqn: LEFT { f LEFT ( 3 RIGHT ) -2 RIGHT } ^{2} =16 ^{2}]

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) -2 GEQ it-2`]이므로 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) -2=16]

[eqn: THEREFORE ~f LEFT ( 3 RIGHT ) =18]

[eqn: x=3`,~y=2`]일 때, [eqn: 16 TIMES f LEFT ( 3 RIGHT ) TIMES f LEFT ( 2 RIGHT ) = LEFT { f LEFT ( 5 RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} `]에서

[eqn: 16 TIMES 18 TIMES 8= LEFT { f LEFT ( 5 RIGHT ) -2 RIGHT } ^{2} `,~ LEFT { f LEFT ( 5 RIGHT ) -2 RIGHT } ^{2} =48 ^{2}]

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) -2 GEQ it-2`]이므로 [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) -2=48]

[eqn: THEREFORE ~f LEFT ( 5 RIGHT ) =50]

[eqn: 16f LEFT ( x RIGHT ) TIMES f LEFT ( y RIGHT ) = LEFT { f LEFT ( x+y RIGHT ) -f LEFT ( x-y RIGHT ) RIGHT } ^{2}]

이 성립할 때, [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) `]의 값은? [eqn: (]단, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0][eqn: )] [[eqn: 5.2`]점]
① [eqn: 8]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 26]
④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 64]

몫과 나머지

다항식 [eqn: 2x ^{3} +3x ^{2} +2x-4]를 [eqn: 2x-1]로 나누었을 때 몫을 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )], 나머지를 [eqn: R]라 할 때 [eqn: Q LEFT ( 1 RIGHT ) +R]의 값은? [[eqn: 3.6]점]

③

[풀이]

[eqn: 2x ^{3} +3x ^{2} +2x-4= LEFT ( 2x-1 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +R]에서

나머지 정리에 의해 [eqn: x= {1} over {2}]을 대입하면

[eqn: R=-2]

[eqn: 2x ^{3} +3x ^{2} +2x-4= LEFT ( 2x-1 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) -2]

위의 식에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 2+3+3-4= LEFT ( 2-1 RIGHT ) Q LEFT ( 1 RIGHT ) -2]

따라서 [eqn: Q LEFT ( 1 RIGHT ) =5]

[eqn: THEREFORE] [eqn: Q` LEFT ( 1 RIGHT ) +R``=3`]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다항식 [eqn: x ^{2023} +x ^{9} +19]을 다항식 [eqn: x ^{4} -1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )], 나머지를 [eqn: R LEFT ( x RIGHT )]라 하자. [eqn: Q LEFT ( 1 RIGHT ) +R LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은? [[eqn: 5.0]점]

②

[풀이]

[eqn: x ^{2023} +x ^{9} +19= LEFT ( x ^{4} -1 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +R LEFT ( x RIGHT )] ( 단 [eqn: R LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: 3]차이하의 다항식) 에서 [eqn: x ^{4} =1]을 대입하면

[eqn: x ^{3} +x+19=R LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: x ^{2023} +x ^{9} +19= LEFT ( x ^{4} -1 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +x ^{3} +x+19]

[eqn: LEFT ( x ^{4} -1 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} LEFT ( LEFT ( x ^{4} RIGHT ) ^{505} -1 RIGHT ) +x LEFT ( x ^{8} -1 RIGHT ) `]

[eqn: LEFT ( x ^{4} -1 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} LEFT ( x ^{4} -1 RIGHT ) LEFT ( LEFT ( x ^{4} RIGHT ) ^{504} + LEFT ( x ^{4} RIGHT ) ^{503} +` CDOTS +1 RIGHT ) +x LEFT ( x ^{4} -1 RIGHT ) LEFT ( x ^{4} +1 RIGHT )]

[eqn: x ^{4} -1]로 양변을 나누면

[eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} LEFT ( LEFT ( x ^{4} RIGHT ) ^{504} + LEFT ( x ^{4} RIGHT ) ^{503} +` CDOTS +1 RIGHT ) +x LEFT ( x ^{4} +1 RIGHT )]

[eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: Q LEFT ( 1 RIGHT ) =505+2=507]

[eqn: x ^{3} +x+19=R LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: R LEFT ( 2 RIGHT ) =29]

① [eqn: 534]	② [eqn: 536]	③ [eqn: 538]
④ [eqn: 540]	⑤ [eqn: 542]

다항식 [eqn: P`(x) = 3x^3 -x+1]를 일차식 [eqn: 3x-1]로 나누었을 의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R]이라 할 때, [eqn: Q(-2) - R]의 값은? (단, [eqn: R]은 상수이다.) [4.4점]

➀

[eqn: {1} over {3}]	[eqn: 3]	[eqn: 0]	[eqn: -1]	[eqn: 1]
		[eqn: 1]	[eqn: {1} over {3}]	[eqn: - {2} over {9}]
	[eqn: 3]	[eqn: 1]	[eqn: - {2} over {3}]	[eqn: {7} over {9}]

이므로

[eqn: LEFT ( x- {1} over {3} RIGHT ) LEFT ( 3x ^{2} +x- {2} over {3} RIGHT ) + {7} over {9} = LEFT ( 3x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} + {1} over {3} x- {2} over {9} RIGHT ) + {7} over {9}]이다.

즉, [eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} + {1} over {3} x- {2} over {9}], [eqn: R= {7} over {9}]

[eqn: Q LEFT ( -2 RIGHT ) =4- {2} over {3} - {2} over {9} = {28} over {9}], [eqn: R= {7} over {9}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {28} over {9} - {7} over {9} = {7} over {3}]

① [eqn: 7over3]	② [eqn: 23 over9]	③ [eqn: 25 over9]

④ [eqn: 28 over9]	⑤ [eqn: 77 over9]

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x ^{2} +1]로 나누었을 때의 몫은 [eqn: 2x+1]이고 나머지는 [eqn: -2x+4]이다. [eqn: f(x)]를 [eqn: x ^{2} -x+1]로 나눈 나머지를 [eqn: R(x)]라 할 때, [eqn: R(3)]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

⑤

풀이)

[eqn: f(x) = (x^2 +1 )(2x+1) - 2x +4]

[eqn: = 2x ^3 +x ^2 + 5]

	[eqn: 2x+3]
[eqn: x^2 - x + 1]	[eqn: LEFT ) ` RIGHT .][eqn: 2x ^3 +x ^2 +0x + 5]
	[eqn: 2x ^{3} -2x ^{2} +2x]
	[eqn: 3x ^{2} -2x+5]
	[eqn: 3x ^{2} -3x+3]
	[eqn: x+2]

따라서 구하는 나머지는 [eqn: rm R( it x ) = x +2]이므로 [eqn: rm R(3) = 5]

최고차항의 계수가 [eqn: 2]인 다항식 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(x)]를 [eqn: 2x+1]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R]이라 할 때, [eqn: Q(1)+R]의 값은? [[eqn: 5.1]점]

①

풀이) 다항식 [eqn: f(x)]를 다항식 [eqn: g(x)]로 나눈 몫과 나머지는

모두 [eqn: g(x)-2x ^{2}]이므로

[eqn: f(x) = g(x) left{ g(x) -2x^2 right} + { g(x) -2x^2]

[eqn: ~~~~~= left{ `g(x)+1 right} left{ g(x) -2x^2 right}]

[eqn: g(x)]는 계수가 [eqn: 2]인 [eqn: 2]차식이므로 [eqn: g(x) = 2x^2 +ax +b]라 하면

[eqn: f(x) = ( 2x^2 +ax + b +1) (ax + b)] 에서 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 2]이므로 [eqn: THEREFORE ~ a =1] 이다.

[eqn: f(x) = ( 2x^2 +x + b +1) (x + b)]

[eqn: f(-1)= (2+b )(-1+b) = - {9} over {4}]

[eqn: b^2 +b -2 = - 9 over 4]

[eqn: 4b^2 + 4b +1 = 0] 이므로 [eqn: b = - 1 over 2] 이다.

[eqn: f(x) = ( 2x^2 +x + 1 over 2 ) (x - 1over 2 )] 이고,

[eqn: f(x) = ( 2x^2 +x + 1 over 2 ) (x - 1over 2 )]

[eqn: f(x)]를 [eqn: 2x+1]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R]이라 하면

[eqn: f( - 1 over 2 ) = R] 이므로 [eqn: R = - 1over 2] 이고

[eqn: f(x) = (2x+1) Q(x) - 1over 2] 에서

[eqn: f(1) = 3 times Q(1) - 1over 2 = (3 + 1over 2 ) ( 1 - 1over 2 )] 이므로

[eqn: THEREFORE~Q (1) = 3 over 4] 이다. [eqn: Q(1) +R = 1 over 4]

(가) 다항식 [eqn: f(x)]를 다항식 [eqn: g(x)]로 나눈 몫과 나머지는

모두 [eqn: g(x)-2x ^{2}]이다.

(나) [eqn: f(-1)=- {9} over {4}]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {5} over {12}]
④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {7} over {12}]

일차식으로 나눌 때의 나머지정리

다항식 [eqn: P(x)=x ^{3} -2x ^{2} +1`]을 [eqn: 2x-1`]로 나누었을 때의 나머지는? [[eqn: 3.6]점]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]
④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

⑤

다항식 [eqn: P(x)=x ^{3} -2x ^{2} +1`]을 [eqn: 2x-1`]로 나누었을 때의 나머지는
[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 2x-1 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +R]에서 나머지 정리에 의하여 [eqn: R=P( {1} over {2} )= {1} over {8} -2 TIMES {1} over {4} +1`]

[eqn: R= {5} over {8}]

두 다항식 [eqn: f(x),~g(x)`]에 대하여 [eqn: f(x)+g(x)`]는 [eqn: x+1`]로 나누어 떨어지고, [eqn: f(x)-g(x)`]를 [eqn: x+1`]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 4`]이다. <보기>의 다항식 중 [eqn: x+1`]로 나누어 떨어지는 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.8점]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

①

[eqn: f(x)+g(x)`]가 [eqn: (x+1)`]로 나누어 떨어지므로 [eqn: f(-1)+g(-1)=0`]

[eqn: f(x)-g(x)`]가 [eqn: (x+1)]로 나누면 나머지가 [eqn: 4`]이므로 [eqn: f(-1)-g(-1)=4`]이다.

두 식을 연립하면 [eqn: f(-1)=2,~g(-1)=-2`]이다.

ㄱ. [eqn: f(-1)-2=0`]이므로 나눠떨어진다.

ㄴ. [eqn: g(-1)-2=-4!=0`]이므로 나누어 떨어지지 않는다.

ㄷ. [eqn: f(-1)g(-1)-4!=0`]이므로 나누어 떨어지지 않는다.

ㄱ만 참이다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: f(x)+2x ^{3}]

ㄴ. [eqn: g(x)-2x ^{2}]

ㄷ. [eqn: f(x)g(x)-4`]

다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )= x^2 +ax+b]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이고, [eqn: i = root-1]이다.) [[eqn: 4.7]점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

②

(가) 다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-2]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 4]이다.

조건 (나)에서 실수 [eqn: p]에 대하여 이차방정식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )=0]의 한 근은 [eqn: p+2i]이고 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )= x^2 +ax+b] (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수)이므로

다른 한 근은 [eqn: p -2i]이다.

근과 계수와의 관계에 의하여

[eqn: (p+2i )+ (p -2i ) = `-a]

[eqn: (p+2i ) (p -2i ) = b]

[eqn: therefore a=` -2p], [eqn: b= p^2 +4]

그러므로 [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2px+p ^{2} +4]

조건 (가)에서 [eqn: P LEFT ( 2 RIGHT )=4]이므로

[eqn: 4=2 ^{2} -2 TIMES 2p+p ^{2} +4]

[eqn: LEFT ( p-2 RIGHT ) ^{2} =0]

따라서 [eqn: p=2]이다.

그러므로 [eqn: a=-4], [eqn: b=8]

따라서 [eqn: a+b=-4+8=4]이다.

(가) 다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-2]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 4]이다.

(나) 실수 [eqn: p]에 대하여 이차방정식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )=0]의 한 근은 [eqn: p+2i]이다.

다항식 [eqn: P(x)=x ^{3} +x ^{2} +x+1]을 [eqn: x-k]로 나눈 나머지와 [eqn: x+k`]로 나눈 나머지의 합이 [eqn: 12]이다. [eqn: P(x)]를 [eqn: x-k ^{2}]으로 나눈 나머지는? (단, [eqn: k]는 상수)[[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 156]	② [eqn: 157]	③ [eqn: 158]
④ [eqn: 159]	⑤ [eqn: 160]

①

[eqn: P(x)= LEFT ( x-k RIGHT ) Q(x)+R _{1}]

[eqn: P(x)= LEFT ( x+k RIGHT ) Q(x)+R _{2}]
[eqn: R _{1} =k ^{3} +k ^{2} +k+1], [eqn: R _{2} =-k ^{3} +k ^{2} -k+1]

[eqn: R _{1} +R _{2} =2k ^{2} +2=12]
[eqn: k ^{2} =5]

[eqn: P(x)= LEFT ( x-k ^{2} RIGHT ) Q(x)+R]

[eqn: P(k ^{2} )=k ^{6} +k ^{4} +k ^{2} +1=R]

[eqn: R=k ^{6} +k ^{4} +k ^{2} +1=5 ^{3} +5 ^{2} +5+1=156]

이차식으로 나눌 때의 나머지 정리

다항식 [eqn: P(x)=x ^{3} +x ^{2} +1`]을 [eqn: x-a,~x+a`]로 나누었을 때, 나머지를 각각 [eqn: R _{1} ,~R _{2} `]라고 하면 [eqn: R _{1} +R _{2} =10`]이다. [eqn: P(x)`]를 [eqn: x-a ^{2} `]으로 나누었을 때, 나머지는? (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [4.6점]

① [eqn: 78`]	② [eqn: 80]	③ [eqn: 81`]
④ [eqn: 82]	⑤ [eqn: 83]

③

[eqn: P(x)=x ^{3} +x ^{2} +1`]에서

[eqn: P(a)=R _{1} ,~P(-a)=R _{2`}]이고

[eqn: R _{1} +R _{2} =10`] 에서 [eqn: a ^{3} +a ^{2} +1-a ^{3} +a ^{2} +1=10`]이다. 즉

[eqn: a ^{2} =4`]이므로 [eqn: P(x)`]를 [eqn: (x-a ^{2} )`]으로 나누었다는 것은 [eqn: P(4)`]를 구하라는 의미는 [eqn: 4 ^{3} +4 ^{2} +1=81`]

다항식 [eqn: 3x^4 +5x^3 +4x-3`]을 [eqn: x^2 -2`]로 나눈 나머지를 [eqn: R(x)`]라고 할 때, [eqn: R(1)`]의 값은? [4.3점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 19]
④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 23]

⑤

	[eqn: 3x^2]	[eqn: +5x]	[eqn: +6]
[eqn: x^2 -2]	[eqn: 3x^4]	[eqn: +5x^3]		[eqn: +4x]	[eqn: -3]
	[eqn: 3x^4]		[eqn: -6x^2]
		[eqn: 5x^3]	[eqn: +6x^2]	[eqn: +4x]	[eqn: -3]
		[eqn: 5x^3]		[eqn: -10x]
			[eqn: 6x^2]	[eqn: +14x]	[eqn: -3]
			[eqn: 6x^2]		[eqn: -12]
				[eqn: 14x]	[eqn: +9]

[eqn: R(x)=14x+9`]

[eqn: therefore] [eqn: R(1)=23]

[다른 풀이]

[eqn: 3x^4 +5x^3 +4x-3 =(x^2 -2)Q(x)+ax+b`]라 하면

[eqn: x^2 =2`]를 대입하면 [eqn: 12+10x+4x-3 =ax+b]

[eqn: therefore] [eqn: a=14,~b=9]

[eqn: R(x)=14x+9`]

[eqn: therefore] [eqn: R(1)=23]

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x ^{2} -x]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: x ^{2} -3x-5]
이고, 나머지가 [eqn: ax+b]이었다. [eqn: P(x)]가 [eqn: x+1]를 인수로
가질 때, 상수 [eqn: a,``b]에 대하여 [eqn: a-`b]의 값은? [[eqn: 3.8]점]

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]
④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

②

[eqn: P(x)]를 [eqn: x ^{2} -x]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: x ^{2} -3x-5]
이고, 나머지가 [eqn: ax+b]이므로
[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -x RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -3x-5 RIGHT ) +ax+b]

[eqn: P(x)]가 [eqn: x+1]를 인수로 가지므로
[eqn: P LEFT ( -1 RIGHT ) = LEFT ( 1+1` RIGHT ) LEFT ( 1+3-5 RIGHT ) -a+b=0]
[eqn: THEREFOREa-`b=-2]

다항식 [eqn: x ^{3} -ax ^{2} + LEFT ( b+1 RIGHT ) x+b ^{2} +2]를 [eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2}]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: x+2]일 때, 두 상수 [eqn: a,`b]에 대하여 [eqn: b-a]의 값은? (단, [eqn: a != 0])[[eqn: 5.0]점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -4]
④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: -6]

③

[eqn: x ^{3} -ax ^{2} + LEFT ( b+1 RIGHT ) x+b ^{2} +2= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} Q LEFT ( X RIGHT ) +(x+2)]이고

[eqn: x=a`]를 대입하여 식을 정리하면
[eqn: b LEFT ( a+b RIGHT ) =0]이다. 따라서 [eqn: b=0] 또는 [eqn: b= it -a]이다.
[eqn: i)] [eqn: b=0`]일 때,
[eqn: x ^{3} -ax ^{2} +x+2= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} Q LEFT ( X RIGHT ) +(x+2)]
[eqn: x ^{3} -ax ^{2} = LEFT ( x ^{2} -2ax+a ^{2} RIGHT ) LEFT ( x+k RIGHT )]
[eqn: x ^{3} -ax ^{2} =x ^{3} + LEFT ( k-2a RIGHT ) x ^{2} + LEFT ( a ^{2} -2ak RIGHT ) x+ka ^{2}]
[eqn: -a=k-2a`,~a ^{2} -2ak=0,~ka ^{2} =0]
[eqn: THEREFORE ~a=k=0]
[eqn: ii)][eqn: b=-a`]인 경우
[eqn: x ^{3} -ax ^{2} + LEFT ( -a+1 RIGHT ) x+a ^{2} +2= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} Q LEFT ( X RIGHT ) +(x+2)]
[eqn: x ^{3} -ax ^{2} -ax+a ^{2} = LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} LEFT ( x+k RIGHT )]
[eqn: x ^{3} -ax ^{2} -ax+a ^{2} = LEFT ( x ^{2} -2ax+a ^{2} RIGHT ) LEFT ( x+k RIGHT )]
[eqn: = LEFT { x ^{3} +(k-2a)x ^{2} + LEFT ( a ^{2} -2ak RIGHT ) x+ka ^{2} RIGHT }]
[eqn: -a=k-2a`,~a ^{2} -2ak=-a,~ka ^{2} =a ^{2}]
[eqn: a=-b`,`a=1,`b=-1]
[eqn: THEREFORE b-a=-2]

[eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: x ^{11} LEFT ( x ^{2} -ax+b RIGHT ) `]를 [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} `]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 2 ^{11} LEFT ( x+2 RIGHT ) `]일 때, 두 상수 [eqn: a`,~b`]에 대하여 [eqn: 2a+b`]의 값은?

④

[eqn: x ^{11} LEFT ( x ^{2} -ax+b RIGHT ) `]을 [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} `]을 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `]라 하면

나머지가 [eqn: 2 ^{11} LEFT ( x+2 RIGHT ) `]이므로

[eqn: x ^{11} LEFT ( x ^{2} -ax+b RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} Q` LEFT ( x RIGHT ) +2 ^{11} LEFT ( x+2 RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

[eqn: x=it-2`]일 때,

[eqn: LEFT ( -2 RIGHT ) ^{11} LEFT ( 4+2a+b RIGHT ) =0`]에서 [eqn: 4+2a+b=0]

[eqn: THEREFORE ~b= it -2a-4]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: x ^{11} LEFT { x ^{2} -ax-2 LEFT ( a+2 RIGHT ) RIGHT } = LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} Q` LEFT ( x RIGHT ) +2 ^{11} LEFT ( x+2 RIGHT )]

에서 [eqn: x ^{11} LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT { x- LEFT ( a+2 RIGHT ) RIGHT } = LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} Q` LEFT ( x RIGHT ) +2 ^{11} LEFT ( x+2 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT { LEFT ( x+2 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) +2 ^{11} RIGHT }]

따라서 [eqn: x ^{11} LEFT { x- LEFT ( a+2 RIGHT ) RIGHT } = LEFT ( x+2 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) +2 ^{11} `]에서

[eqn: x=it-2`]일 때, [eqn: LEFT ( -2 RIGHT ) ^{11} LEFT ( -a-4 RIGHT ) =2 ^{11}]

[eqn: -a-4=it-1] [eqn: THEREFORE ~a=it-3]

㉡에 [eqn: a=it-3`]을 대입하면 [eqn: b=it-2 TIMES LEFT ( -3 RIGHT ) -4=2]

[eqn: THEREFORE ~2a+b=2 TIMES LEFT ( -3 RIGHT ) +2=it-4]

[[eqn: 4.4`]점]

① [eqn: -7]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -5]
④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -3]

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 사차다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) `]의 값은? [[eqn: 5.4]점]

②

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x+2`]로 나눈 나머지와 [eqn: x ^{2} -6`]으로 나눈 나머지가 서로 같으므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -6 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) +b`]로 놓을 수 있다.

[eqn: f LEFT ( x+2 RIGHT ) -3`]이 [eqn: x ^{2} +2x=x LEFT ( x+2 RIGHT )]로 나누어 떨어진다고 하였으므로

(1) [eqn: x=0`]을 대입

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =3,] [eqn: 4 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) LEFT ( a+2 RIGHT ) +b=3] [eqn: THEREFORE ``-8a+b=19]

(2) [eqn: x=-2`]를 대입

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =3,~2 TIMES LEFT ( -6 RIGHT ) TIMES a+b=3] [eqn: THEREFORE ``-12a+b=3]

(1), (2)를 연립하면 [eqn: a=4,~b=51`]이 되고,

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -6 RIGHT ) LEFT ( x+4 RIGHT ) +51`]이 됨을 알 수 있다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =3 TIMES LEFT ( -5 RIGHT ) TIMES 5+51=-75+51=-24]

[eqn: CIRC][eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x+2`]로 나눈 나머지와 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x ^{2} -6`]으로 나눈 나머지는 서로 같다.

[eqn: CIRC][eqn: f LEFT ( x+2 RIGHT ) -3`]은 [eqn: x ^{2} +2x`]로 나누어떨어진다.

① [eqn: -25]	② [eqn: -24]	③ [eqn: -22]
④ [eqn: -21]	⑤ [eqn: -20]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 두 이차식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: -1]

조건 (가)에 의하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -4 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT )] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

조건 (나)에 의하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +3g LEFT ( x RIGHT ) -6=4 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

([eqn: BECAUSE] [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이다. 따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +3g LEFT ( x RIGHT )]의 최고차항의 계수는 [eqn: 4]이다.)

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } A LEFT ( x RIGHT ) +R LEFT ( x RIGHT )]이므로 ([eqn: A LEFT ( x RIGHT )]는 몫) [eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( x ^{2} -4 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) A LEFT ( x RIGHT ) +R LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) Q' LEFT ( x RIGHT ) +R LEFT ( x RIGHT )]라 하면 [eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

㉠에 [eqn: x=2]를 대입하면 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +g LEFT ( 2 RIGHT ) =0]

㉡에 [eqn: x=2]를 대입하면 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +3g LEFT ( 2 RIGHT ) -6=-4], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +3g LEFT ( 2 RIGHT ) =2]

두 식을 연립하면 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =-1], [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =1]이다.

따라서 ㉢ 에 [eqn: x=2]를 대입하면 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) g LEFT ( 2 RIGHT ) =R LEFT ( 2 RIGHT )]

[eqn: R LEFT ( 2 RIGHT ) =-1]

(가) 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x ^{2} -4`]로 나누어떨어진다.

(나) 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +3g LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x-1], [eqn: x-3`]으로 각각
나누었을 때의 나머지는 모두 [eqn: 6]이다.

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: {1} over {2} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } `]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R LEFT ( x RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: R LEFT ( 2 RIGHT ) `]의 값을 구하고 풀이과정을 논술하시오. [[eqn: 7]점]

다음 조건을 만족시키는 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )] 중에서 가장 차수가 낮은 다항식을 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 하자. [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? [4.4점]

① [eqn: 47]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 49]
④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 51]

⑤

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+5 RIGHT ) +3]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =g LEFT ( 2 RIGHT ) =45] 이므로 [eqn: a=-2`]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =-2 LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+5 RIGHT ) +3] [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =51]

[eqn: CIRC f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x ^{2} -2x-3]과 [eqn: x ^{2} +6x+5]로 나누었을 때 모두 나머지가 [eqn: 3]이다.

[eqn: CIRC f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x-2]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 45]이다.

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족할 때, [eqn: g LEFT ( 6 RIGHT ) `]의 값은?[[eqn: 4.5]점]

②

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT )]로 나눈 나머지가 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )], 몫을 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]라 하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )]이고,

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =g LEFT ( 3 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =g LEFT ( 4 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =g LEFT ( 5 RIGHT )]이다.

또, [eqn: g LEFT ( 5 RIGHT ) =15]이므로 [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =15]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 4+x RIGHT ) +f LEFT ( 4-x RIGHT ) =20]이므로

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) =20]이므로 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =g LEFT ( 3 RIGHT ) =5]

[eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) +f LEFT ( 4 RIGHT ) =20]이므로 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =g LEFT ( 4 RIGHT ) =10]

[eqn: g LEFT ( 3 RIGHT ) =5], [eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) =10], [eqn: g LEFT ( 5 RIGHT ) =15]이고, [eqn: g LEFT ( x+2 RIGHT ) =5x]이므로

[eqn: g LEFT ( 6 RIGHT ) =20]이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 30]
④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 50]

[eqn: CIRC] 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 4+x RIGHT ) +f LEFT ( 4-x RIGHT ) =20`]이다.

[eqn: CIRC] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) `]로 나눈 나머지는 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]이다.

[eqn: CIRC] [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: LEFT ( x-5` RIGHT )]로 나눈 나머지는 [eqn: 15]이다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) `]의 값은? [[eqn: 4.5]점]

②

조건 (가)에서 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차다항식

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x+2]로 나눈 나머지와 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x ^{2} -5]로 나눈 나머지가

[eqn: R]로 같아야 하므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -5 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) +R] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: f LEFT ( x+1 RIGHT ) -5]는 [eqn: x ^{2} +2x]로 나누어 떨어지므로

[eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =5]

[eqn: x=-2]를 대입하면 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =5]

㉠에 대입하면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =3 TIMES LEFT ( -4 RIGHT ) TIMES LEFT ( 1+a RIGHT ) +R=5]

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) = LEFT ( -4 RIGHT ) TIMES LEFT ( a-1 RIGHT ) +R]

두 식을 연립하면 [eqn: a=-2], [eqn: R=-7]

따라서 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =5 TIMES 4 TIMES 1+ LEFT ( -7 RIGHT ) =13]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]
④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

(가) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x+2`]로 나눈 나머지와 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x ^{2} -5`]로
나눈 나머지는 서로 같다.

(나) [eqn: f LEFT ( x+1 RIGHT ) -5`]는 [eqn: x ^{2} +2x`]로 나누어떨어진다.

삼차다항식 [eqn: P(x)]에 대하여 [eqn: P(x)-4]는 [eqn: (x-1)^2]으로 나누어떨어지고 [eqn: -2x+2-P(x)]는 [eqn: x^2 -x-2]로 나누어떨어질 때, [eqn: P(0)]의 값은? [5.1점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

④

[eqn: P(x)-4]는 [eqn: (x-1)^2]으로 나누어떨어지고, 삼차다항식이므로

[eqn: P(x)=(x-1)^2 (ax+b)+4] 이다.

[eqn: -2x+2-P(x)]가 [eqn: x^2 -x-2]로 나누었을 때 몫을 [eqn: A]라 하면,

[eqn: -2x+2-P(x)=(x+1)(x-2)A] 이므로

[eqn: P(2)=-2,```P(-1)=4]이다.

위 식에 대입하면 [eqn: 2a+b=-6], [eqn: a=b] 이고 연립하면 [eqn: a=-2, b=-2] 이다.

따라서 [eqn: P(x)=(x-1) ^{2} (-2x-2)+4] 이므로 [eqn: P(0)=2] 이다.

삼차식 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(x)+7]은 [eqn: (x-2) ^{2}]으로 나누어 떨어지고, [eqn: 2-f(x)]는 [eqn: x ^{2} -1]로 나누어 떨어진다. [eqn: f(x)]를 [eqn: x+2]로 나누었을 때의 나머지는? [5.0점]

① [eqn: -55]	② [eqn: -52]	③ [eqn: -48]
④ [eqn: -45]	⑤ [eqn: -43]

①

① [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +7= LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} Q LEFT ( x RIGHT )]

②[eqn: 2-f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) Q prime LEFT ( x RIGHT )]

①에서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +7=0 RARROW f LEFT ( 2 RIGHT ) =-7]

②에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( -1 RIGHT ) =2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +7= LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( ax+b RIGHT )][eqn: ( THEREFORE f LEFT ( x RIGHT )]가 삼차식)

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( ax+b RIGHT ) -7]

[eqn: 1)f LEFT ( 1 RIGHT ) =2]

[eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) =9]

[eqn: 2)f LEFT ( -1 RIGHT ) =2]

[eqn: 9(-a+b)-7=2]

[eqn: -a+b=1]

[eqn: THEREFORE a=4,~b=5]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) Q _{3} LEFT ( x RIGHT ) +R]

[eqn: R=f LEFT ( -2 RIGHT ) =-55]

다항식 [eqn: P(x)`]가 삼차식일 때, [eqn: P(x)+30`]은 [eqn: (x-4) ^{2} `]으로 나누어 떨어지고, [eqn: 6-P(x)`]는 [eqn: x ^{2} -4`]로 나누어 떨어진다고 한다. 다항식 [eqn: P(x)`]를 구하였을 때, [eqn: x ^{2} `]의 계수는? [4.8점]

① [eqn: -8]	② [eqn: -9]	③ [eqn: -10]
④ [eqn: -11]	⑤ [eqn: -12]

④

[eqn: P(x)+30=(x-4) ^{2} (ax+b)`]이고

[eqn: 6-P(x)=(x ^{2} -4)(cx+d)`]이다 여기서

[eqn: P(2)=6,~P(-2)=6`]인 것을 알 수 있고.

[eqn: P(x)+30=(x-4) ^{2} (ax+b)`]식에 [eqn: x=2,~-2`]를 대입하면

[eqn: 9=2a+b`], [eqn: 1=-2a+b`]인 것을 알 수 있다.

즉 [eqn: a=2,~b=5`]이고

[eqn: P(x)+30=(x-4) ^{2} (2x+5)`]를 계산하면 [eqn: x ^{2`}]의 계수는 [eqn: -11`]이다.

삼차식으로 나눌 때의 나머지 정리

다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 5]이고 [eqn: x ^{2} +x+1]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 3x-7`]이다. 다항식 [eqn: P(x)]를 [eqn: 5x ^{3} -5]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R(x)]라 할 때, [eqn: R(-1)]의 값은?[[eqn: 4.9]점]

① [eqn: -10]	② [eqn: -9]	③ [eqn: -8]
④ [eqn: -7]	⑤ [eqn: -6]

④

[eqn: P(1)=5] ,[eqn: P(x)=5(x-1)(x ^{2} +x+1)Q(x)+a(x ^{2} +x+1)+3x-7]

[eqn: P(1)=3a-4=5], [eqn: a=3]

즉 [eqn: R(x)=3(x ^{2} +x+1)+3x-7=3x ^{2} +6x-4]

[eqn: R(-1)=-7]

다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]는 다음 두 조건을 만족시킨다.

[eqn: P LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )^2]으로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, [eqn: R LEFT ( -1 RIGHT )]의 값은? [[eqn: 5.0]점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 15]
④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 21]

⑤

[eqn: P LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )^2]으로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]라 하면 나머지는 [eqn: R LEFT ( x RIGHT )]이므로

[eqn: P LEFT ( x RIGHT )= LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )^2 Q LEFT ( x RIGHT )+R LEFT ( x RIGHT )]

이다. [eqn: R LEFT ( x RIGHT )= ax^2 +bx+c]하면

조건 (나)에서

[eqn: P LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT )^2]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: x+4]이므로

[eqn: P LEFT ( x RIGHT )= LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )^2 Q LEFT ( x RIGHT )+ a LEFT ( x-2 RIGHT )^2 +x+4]

이고 조건 (가)에서 [eqn: P LEFT ( 1 RIGHT )= 7]이므로

[eqn: 7 = a +1+4]

[eqn: therefore a =2]

그러므로 [eqn: R LEFT ( x RIGHT )=2 LEFT ( x-2 RIGHT )^2 +x+4]

따라서 [eqn: R LEFT ( -1 RIGHT )=2 times LEFT ( -1-2 RIGHT )^2 + LEFT ( -1 RIGHT ) +4= 21]

(가) [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 7]이다.

(나) [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT )^2]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: x+4]이다.

[eqn: f(-1)=2`]인 사차다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: (x+1)^3`]으로 나눈 몫과 나머지가 같다. [eqn: f(x)`]를 [eqn: (x+1)^4 `]으로 나눈 나머지의 이차항의 계수는? [4.7점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 6]

⑤

[eqn: f(x)]가 사차다항식이고, [eqn: (x+1)^3`]으로 나눈 몫과 나머지가 같으므로

[eqn: f(x)=(x+1)^3 (ax+b)+ax+b] [eqn: cdots①]

[eqn: f(-1)=-a+b=2]

[eqn: b=a+2`]를 [eqn: ①]에 대입하면

[eqn: f(x)=(x+1)^3 (ax+a+2)+ax+ax+2]

[eqn: =a(x+1)^4 +2(x+1)^3 +a(x+1)+2]

[eqn: =a(x+1)^4 +2(x^3 +3x^2 +3x+1)+a(x+1)+2]

[eqn: =a(x+1)^4 +2x^3 +6x^2 +(a+6)x+a+4]

따라서 [eqn: f(x)]를 [eqn: (x+1)^4]으로 나눈 나머지의 이차항의 계수는 [eqn: 6]

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x ^{5} +1]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: x ^{3} +1]이고, 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: -2]이다. 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: LEFT ( x ^{5} +1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, [eqn: R LEFT ( -2 RIGHT )]의 값은? [[eqn: 4.8]점]

②

[풀이]

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: LEFT ( x ^{5} +1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) `]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `], 나머지를 [eqn: R` LEFT ( x RIGHT ) `]라 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{5} +1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) +R` LEFT ( x RIGHT ) `]

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x ^{5} +1`]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: x ^{3} +1``]이므로 [eqn: R` LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x ^{5} +1`]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: x ^{3} +1``]이다.

[eqn: R` LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: 5`]차 이하의 다항식이므로 [eqn: R` LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x ^{5} +1 RIGHT ) +x ^{3} +1`]이라 하자.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{5} +1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) +a LEFT ( x ^{5} +1 RIGHT ) +x ^{3} +1`]

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x-1`]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: rm -2`]이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =`-2`], [eqn: a=`-2`] [eqn: THEREFORE] [eqn: R` LEFT ( x RIGHT ) =`-2x ^{5} +x ^{3} -1`]

따라서 [eqn: R` LEFT ( -2 RIGHT ) =55`]이다.

① [eqn: 54]	② [eqn: 55]	③ [eqn: 56]
④ [eqn: 57]	⑤ [eqn: 58]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-3]을 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 5]이고, [eqn: (x+1) ^{2}]으로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: x-6]이다.
[eqn: f(x)]를 [eqn: (x+1) ^{2} (x-3)]으로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: R(x)]라고 할 때, [eqn: R(9)]의 값은? [4.1점]

⑤

[eqn: f(3)=5]
[eqn: f(x)=(x+1) ^{2} Q(x)+x-6]
[eqn: f(x)=(x+1) ^{2} (x-3)H(x)+ax ^{2} +bx+c]라고 할 때, 주어진 식을 다시 [eqn: (x+1) ^{2}]으로 나누면 나머지가 [eqn: x-6]이 나와야 하므로 주어진 식을 위의 내용으로 정리하면
[eqn: f(x)=(x+1) ^{2} (x-3)H(x)+a(x+1) ^{2} +x-6]
위의 식에 [eqn: x=3]을 대입하면 [eqn: a= {1} over {2}]
그러므로 [eqn: R(x)= {1} over {2} (x+1) ^{2} +x-6]이다.

① [eqn: 49]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 51]

④ [eqn: 52]	⑤ [eqn: 53]

[eqn: P(ax+b)]를 [eqn: x- alpha]로 나눌때의 나머지 정리

두 다항식 [eqn: f(x),g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다. [eqn: LEFT { f(x) RIGHT } ^{4} + LEFT { f(x)g(x) RIGHT } ^{2} + LEFT { g(x) RIGHT } ^{4}]을 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지는? [5.2점]

③

(가)의 조건으로 [eqn: f(1)=g(1)+2] 이므로 [eqn: f(1)-g(1)=2] 이고, (나)의 조건으로 [eqn: f(1)g(1)=9] 이므로

[eqn: LEFT { f(x) RIGHT } ^{4} + LEFT { f(x)g(x) RIGHT } ^{2} + LEFT { g(x) RIGHT } ^{4}]을 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지는
[eqn: LEFT { f(1) RIGHT } ^{4} + LEFT { f(1)g(1) RIGHT } ^{2} + LEFT { g(1) RIGHT } ^{4}]

=[eqn: =403]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x^2 )=xg(x)+x^3 -2x+3]이다.

(나) [eqn: f(x-1)g(x-1)-2x]를 [eqn: x-2]로 나누었을 때의 나머지는 5이다.

① [eqn: 321]	② [eqn: 362]	③ [eqn: 403]
④ [eqn: 445]	⑤ [eqn: 486]

[eqn: x]에 대한 삼차다항식 [eqn: f(x)]에 대하여 다항식 [eqn: (x+2)f(x)]가 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 2,~x-2]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 3,~x-3]으로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 4]이다. [eqn: f(0) = 3over10]일 때, [eqn: f(5)]의 값은? [5.4점]

➀

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )]라 하면

[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =2], [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =3], [eqn: g LEFT ( 3 RIGHT ) =4]이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( x+1 RIGHT ) =0]은 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT )]을 인수로 가지고 있는 사차방정식이므로,

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( x+1 RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( ax+b RIGHT )]라 할 수 있다.

즉, [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( ax+b RIGHT ) + LEFT ( x+1 RIGHT )] [eqn: CDOTS `]㉠

[eqn: x=-2]를 대입하면

[eqn: 0= LEFT ( -3 RIGHT ) LEFT ( -4 RIGHT ) LEFT ( -5 RIGHT ) LEFT ( -2a+b RIGHT ) -1], [eqn: -2a+b=- {1} over {60}] [eqn: CDOTS `]㉡

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) = {3} over {10}]이므로

㉠에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: 2f LEFT ( 0 RIGHT ) =6b+1], [eqn: {3} over {5} =-6b+1], [eqn: b= {1} over {15}]

㉡에서 [eqn: a= {1} over {24}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( {1} over {24} x+ {1} over {15} RIGHT ) + LEFT ( x+1 RIGHT )]

[eqn: x=5`]를 대입하면 [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) = {9} over {5}]이다.

① [eqn: 9 over5]	② [eqn: 88 over35]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 42over5]

몫의 활용

다항식 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) `]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차다항식 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여
[eqn: LEFT { Q` LEFT ( x+2 RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT { Q` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} = LEFT ( x ^{2} -2x RIGHT ) P` LEFT ( x RIGHT )]
를 만족시킨다. [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `]로 나누었을 때 몫을 [eqn: G` LEFT ( x RIGHT )], 나머지를 [eqn: R` LEFT ( x RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: G` LEFT ( 8 RIGHT ) +R` LEFT ( 3 RIGHT ) `]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. (단, 다항식 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `]의 계수는 실수이다.) [[eqn: 5]점]

[eqn: 56]

[eqn: LEFT { Q LEFT ( x+2 RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT { Q LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} =x LEFT ( x-2 RIGHT ) P LEFT ( x RIGHT )] [eqn: CDOTS] ㉠

㉠에 [eqn: x=0], [eqn: x=2]를 대입하여 정리하면

[eqn: LEFT { Q LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT { Q LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT } ^{2} =0],

[eqn: LEFT { Q LEFT ( 4 RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT { Q LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT } ^{2} =0]

[eqn: Q LEFT ( 0 RIGHT ) =Q LEFT ( 2 RIGHT ) =Q LEFT ( 4 RIGHT ) =0]

다항식 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차다항식이므로

[eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) =x LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT )] [eqn: CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: LEFT { LEFT ( x+2 RIGHT ) x LEFT ( x-2 RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT { x LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) RIGHT } ^{2} =x LEFT ( x-2 RIGHT ) P LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =x LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT { LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: =x LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( 2x ^{2} -4x+20 RIGHT )]

[eqn: =2x LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -2x+10 RIGHT )]

[eqn: =2x LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT { LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) +18 RIGHT }]

[eqn: =2x LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) +36x LEFT ( x-2 RIGHT )]

[eqn: =2 LEFT ( x+2 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +36x LEFT ( x-2 RIGHT )]

[eqn: R LEFT ( x RIGHT ) =36 x LEFT ( x-2 RIGHT )], [eqn: G LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT ( x+2 RIGHT )]

[eqn: G LEFT ( 8 RIGHT ) =20], [eqn: R LEFT ( 3 RIGHT ) = 108]

[eqn: G LEFT ( 8 RIGHT ) +R LEFT ( 3 RIGHT ) =20+108=128]

[eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: x ^{2023} +x+1`]을 [eqn: x ^{2} -1`]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `]라고 할 때, [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `]의 모든 계수의 합을 구하고 풀이 과정을 논술하시오.

[eqn: 1011]

[eqn: x ^{2023} +x+1`]을 [eqn: x ^{2} -1`]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `]이므로 나머지를

[eqn: ax+b`(a`,~b`]는 상수[eqn: )`]라 하면

[eqn: x ^{2023} +x+1][eqn: = LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) +ax+b]
[eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) +ax+b]

[eqn: x=1`]일 때, [eqn: 1+1+1=a+b`]에서

[eqn: a+b=3]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

[eqn: x=it-1`]일 때, [eqn: -1-1+1=it-a+b`]에서

[eqn: -a+b=it-1]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

㉠[eqn: +]㉡을 하면 [eqn: 2b=2`]에서 [eqn: b=1]

㉠에 [eqn: b=1`]을 대입하면 [eqn: a=2]

따라서

[eqn: x ^{2023} +x+1][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) +2x+1]

이므로 [eqn: x ^{2023} -x= LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT )]\

즉, [eqn: x LEFT ( x ^{2022} -1 RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) `]에서

[eqn: x LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2021} +x ^{2020} +` CDOTS `+x+1 RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ~x LEFT ( x ^{2021} +x ^{2020} +` CDOTS `+x+1 RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉢

이때, [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `]의 모든 계수의 합은 [eqn: Q` LEFT ( 1 RIGHT ) `]이므로

㉢에서 [eqn: x=1`]일 때, [eqn: 2022=2Q` LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ~Q` LEFT ( 1 RIGHT ) =1011]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차다항식 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(1)=3]이고, [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1)^2]으로 나누었을 때의 몫과 나머지가 같다. [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)]라 할 때, [eqn: Q(3)]의 값은? [[eqn: 4.0]점]

④

[eqn: f(x)]가 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차다항식이므로

[eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1)^2]으로 나누었을 때의 몫은 일차항 계수가 [eqn: 1]인 일차식이다.

몫을 [eqn: x+k]라 하면 나머지도 [eqn: x+k]이다. 따라서

[eqn: f(x)][eqn: = (x-1)^2 (x+k) +x+k]
[eqn: = left{(x-1)^2 +1 right}(x+k)]

[eqn: f(1)=3]에서 [eqn: k=2]

[eqn: f(x)][eqn: = left{(x-1)^2 +1 right}(x+2)]

[eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 몫이 [eqn: Q(x)]이고, 나머지가 [eqn: 3]이므로

[eqn: f(x)=(x-1)Q(x)+3]

[eqn: f(3) = 25]이므로 위의 등식에 [eqn: x=3]을 대입하면

[eqn: 25 = 2Q(3)+3]

[eqn: therefore```Q(3)= 11]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[eqn: x^6 -1 `]을 [eqn: (x-1)^2 `]으로 나누었을 때 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R(x)`]라 하자. [eqn: Q(x)`]를 [eqn: R(x)`]로 나눈 나머지는? [5.0점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]
④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

⑤

[eqn: x^6 -1=(x^3 -1)(x^3 +1)]

[eqn: (x^3 -1)(x^3 +1)=(x-1)^2 Q(x)+ax+b`]

[eqn: x=1`]을 대입하면 [eqn: a+b=0]

[eqn: b=-a]

[eqn: (x^3 -1)(x^3 +1)=(x-1)^2 Q(x)+a(x-1)]

[eqn: x-1`]로 양변을 나누면

[eqn: (x^3 +1)(x^2 +x+1)=(x-1)Q(x)+a]	[eqn: cdots①]

[eqn: x=1`]을 대입하면 [eqn: a=6`]

[eqn: R(x)=6(x-1)]

[eqn: a=6`]을 [eqn: ①]에 대입하면

[eqn: (x-1)Q(x) =x^5 +x^4 +x^3 +x^2 +x-5]

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: -5]
		[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]
	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	[eqn: 0]

[eqn: Q(x)=x^4 +2x^3 +3x^2 + 4x+5]

[eqn: Q(x)`]를 [eqn: R(x)]로 나눈 나머지는 [eqn: Q(1)]이므로

[eqn: therefore] [eqn: Q(1)=15]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: x^4 +2ax+b]가 [eqn: (x+1)^2]으로 나누어 떨어질 때, 몫을 [eqn: Q(x)]라 하자. 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b+Q(2)]의 값은? [[eqn: 4.1]점]

⑤

조립제법을 이용하여 [eqn: Q(x)]를 구하면

[eqn: -1]	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: 0]	[eqn: 2a]	[eqn: b]
		[eqn: -1]	[eqn: 1]	[eqn: -1]	[eqn: 1-2a]
[eqn: -1]	[eqn: 1]	[eqn: -1]	[eqn: 1]	[eqn: 2a-1]	[eqn: 1-2a+b]
		[eqn: -1]	[eqn: 2]	[eqn: -3]
	[eqn: 1]	[eqn: -2]	[eqn: 3]	[eqn: 2a-4]

[eqn: x ^{4} +2ax+b= LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x ^{2} -2x+3 RIGHT ) `]이다.

[eqn: 2a-4=0,~1-2a+b=0,~Q(x)= x^2 -2x +3]

[eqn: a=2,~b=3,~Q(2)= 3]

[eqn: therefore~ a+b+Q(2) = 8]

<다른풀이>

[eqn: x^4 +2ax+b = (x^2 +2x+1)(x^2 +px+q)]

[eqn: x ^{4} +2ax+b`]의 삼차항 계수와 이차항 계수가 [eqn: 0]이므로

[eqn: p+2=0,~q+2p+1=0]

[eqn: p=-2,~q=3]

[eqn: x^4 +2ax+b = (x^2 +2x+1)(x^2 -2x+3)]

[eqn: x`]의 계수와 상수항에 의하여

[eqn: 2a=4`], [eqn: b=3`]

[eqn: a=2,~b=3,~Q(x)=x^2 -2x+3]

[eqn: therefore~ a+b+Q(2) = 8]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

계수가 실수이고 삼차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차다항식 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

➂

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x+a RIGHT ) +x+a]

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =3+a=5], [eqn: a=2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x+2 RIGHT ) + LEFT ( x-3 RIGHT ) +5]

[eqn: = LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT { LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) +1 RIGHT } +5]

이므로

[eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) +1]

[eqn: Q LEFT ( 4 RIGHT ) =1 TIMES 6+1=7]

(가) [eqn: f(3) =5]

(나) [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-3)^2]으로 나누었을 때의 몫과 나머지가 같다.

[eqn: f(x)]를 [eqn: x-3]으로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)]라 할 때, [eqn: Q(4)]의 값은? [4.5점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: 2]라 하고, [eqn: Q(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지를 [eqn: 3]이라 하자. [eqn: LEFT { f(x) RIGHT }^2]을 [eqn: (x-1)^2]으로 나눈 나머지를 [eqn: R(x)]라 할 때, [eqn: R(2)]의 값은? [[eqn: 4.7]점]

①

[eqn: f(x)][eqn: =(x-1)Q(x)+2]
[eqn: =(x-1) LEFT { (x-1)Q_1 (x) +3 RIGHT } +2]

[eqn: LEFT { f(x) RIGHT }^2 =(x-1)^2 LEFT { (x-1)Q_1 (x) +3 RIGHT }^2 + 4(x-1)LEFT { (x-1)Q_1 (x) +3 RIGHT } +4]

[eqn: =(x-1)^2 Q_2 (x) + 12(x-1)+4]

[eqn: R(x)= 12(x-1)+4]	[eqn: therefore```R(2)=16]

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =15x ^{3} -2x ^{2} +17x+2]를 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]로 나눈 몫이 [eqn: 5x+1], 나머지가 [eqn: 3x-1]일 떄, 다항식 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: 3x+1]로 나눈 몫과 나머지를 구하고, 풀이 과정과 답을 자세히 논술하시오. [7.0점]

몫 [eqn: x- {2} over {3}], 나머지 [eqn: {11} over {3}]

[eqn: 15x ^{3} -2x ^{2} +17x+2- LEFT ( 3x-1 RIGHT ) = LEFT ( 5x+1 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: 15x ^{3} -2x ^{2} +14x+3= LEFT ( 5x+1 RIGHT ) LEFT ( 3x ^{2} -x+3 RIGHT )]

[eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -x+3= LEFT ( 3x+1 RIGHT ) LEFT ( x- {2} over {3} RIGHT ) + {11} over {3}]

몫 [eqn: x- {2} over {3}], 나머지 [eqn: {11} over {3}]

다항식 [eqn: 3x ^{3} +5x ^{2} -4x+2]를 [eqn: 2x-1]로 나눈 몫을 [eqn: Q _{1} LEFT ( x RIGHT )], [eqn: 4x-2]로 나눈 몫을 [eqn: Q _{2} LEFT ( x RIGHT )], [eqn: 6x-3]으로 나눈 몫을 [eqn: Q _{3} LEFT ( x RIGHT )]라 할 때,
[eqn: {Q _{2} LEFT ( x RIGHT ) -Q _{3} LEFT ( x RIGHT )} over {Q _{1} LEFT ( x RIGHT ) -Q _{2} LEFT ( x RIGHT )} =k {Q _{2} LEFT ( x RIGHT ) +Q _{3} LEFT ( x RIGHT )} over {Q _{1} LEFT ( x RIGHT ) +Q _{2} LEFT ( x RIGHT )}]이다.
[eqn: 10k]의 값은? (단, [eqn: k]는 실수이고, [eqn: Q _{1} LEFT ( x != 0 RIGHT )]이다.) [4.2점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

①

[eqn: 3x ^{3} +5x ^{2} -4x+2= LEFT ( 2x-1 RIGHT ) Q _{1} LEFT ( x RIGHT ) +r# ``````````````````````````````````````````````````````````````= LEFT ( 4x-2 RIGHT ) Q _{2} LEFT ( x RIGHT ) +r# ``````````````````````````````````````````````````````````````= LEFT ( 6x-3 RIGHT ) Q _{3} LEFT ( x RIGHT ) +r]

이므로 [eqn: Q _{1} LEFT ( x RIGHT ) :Q _{2} LEFT ( x RIGHT ) :Q _{3} LEFT ( x RIGHT ) =6:3:2]이다.

주어진 식에 대입하면 [eqn: {1} over {3} =k {5} over {9}] [eqn: k= {3} over {5}]이므로 [eqn: 10k=6]

최고차항의 계수가 양수인 두 다항식 [eqn: f(x),`g(x)]가 있다. [eqn: g(x)]는 [eqn: f(x)]로 나누어떨어지고, [eqn: g(x)]를 [eqn: x ^{2} +f(x)]로 나눈 몫은 [eqn: x+3]이고 나머지는 [eqn: LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} -x ^{2}]이다. [eqn: g(0) != 0] 일 때, [eqn: g(1)]의 값은? [5.3점]
① [eqn: 24]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 26]
④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 28]

①

나눗셈의 결과에서

[eqn: g(x)=(x ^{2} +f(x))(x+3)+(f(x) ^{2} -x ^{2} )]이다.

[eqn: f(x)]가 상수면 제수와 나머지의 차수가 같아서 모순

[eqn: f(x)]가 1차다항식이면 제수는 2차, 나머지는 [eqn: f]의 1차항계수가 [eqn: 1]일때만 2차미만 다항식

[eqn: f(x)]의 최고차항 차수가 [eqn: 2]차 이상이면 나머지의 차수가 더 커서 모순

이므로 [eqn: f(x)=x+k]라 둘 수 있다.

대입해서 전개하면 [eqn: g(x)=(x ^{2} +x+k)(x+3)+2kx+k ^{2}]이고,

[eqn: g(-k)=0]이므로 [eqn: k=][eqn: 2]이다[eqn: ( BECAUSE g(0) != 0)]

따라서 [eqn: g(1)=24]

나머지 정리와 수의 나눗셈

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다항식 [eqn: P(x)]가

④

[eqn: (x-a)(x-2a-2)+4]은 완전제곱식

[eqn: (x-a)^2 -(a+2)(x-a)+4]

[eqn: a+2=+-4]

(i) [eqn: a=2]

[eqn: LEFT { P(x)-2 RIGHT }^2 = (x-4)^2]

[eqn: P(x)-2=+-(x-4)]

[eqn: P(1.2)]의 합은 [eqn: 4]

(ii) [eqn: a=-6]

[eqn: LEFT { P(x)-2 RIGHT }^2 = (x+8)^2]

[eqn: P(x)-2 = +-(x+8)]

[eqn: P(1.2)]의 합은 [eqn: 4]

따라서 [eqn: m=8,~n=-12 ,~m-n = 20]

[eqn: LEFT { P(x)-2 RIGHT }^2 = (x-a)(x-2a-2)+4]

를 만족시킨다. 모든 [eqn: P(1.2)]의 값의 합을 [eqn: m]이라 하고 모든 [eqn: a] 값의 곱을 [eqn: n]이라 할 때, [eqn: m-n]의 값은? (단, [eqn: a]는 실수, [eqn: m,```n]은 상수이다.) [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +2x ^{2} -7x+4`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 101 RIGHT ) `]의 값은?

⑤

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0`]이므로 [eqn: x-1`]을 인수로 갖는다.

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: -7]	[eqn: 4]
		[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: -4]
[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: -4]	[eqn: 0]
		[eqn: 1]	[eqn: 4]
	[eqn: 1]	[eqn: 4]	[eqn: 0]

위와 같이 조립제법을 이용하여 이를 정리하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =][eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x+4 RIGHT ) `]로 인수분해됨을 알 수 있다. 따라서 [eqn: f LEFT ( 101 RIGHT ) =100 ^{2} TIMES 105][eqn: =][eqn: 1050000]

[[eqn: 4.9]점]

① [eqn: 1010000]	② [eqn: 1020000]	③ [eqn: 1030000]
④ [eqn: 1040000]	⑤ [eqn: 1050000]

나머지정리를 활용하여 [eqn: 2022^99`]을 [eqn: 2023`]으로 나누었을 때의 나머지를 구하고 그 과정을 서술하시오. [7.0점]

[eqn: 2022]

[eqn: (x-1)^99`]을 [eqn: x`]로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R`]이라 하면

[eqn: (x-1)^99 =xQ(x)+R]

[eqn: x=0`]을 대입하면 [eqn: R=-1]

[eqn: (x-1)^99 =xQ(x)-1]

이 식에 [eqn: x=2023`]을 대입하면

[eqn: 2022^99 =2023Q(2023)-1]

[eqn: =2023 left{Q(2023)-1 right} +2022]

따라서 나머지는 [eqn: 2022]이다.

【다른풀이추가】

[eqn: x=2022] 하자. ([eqn: x+1=2023])

[eqn: x ^{99} = LEFT ( x+1 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +k]

[eqn: x=-1] 대입 [eqn: THEREFORE k=-1]

나머지는 2023-1=2022

[eqn: 15 ^{6}]을 [eqn: 13]으로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: r _{1}]이라 하고, [eqn: 9 ^{7}]을 [eqn: 11]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: r _{2}]라 할 때, [eqn: r _{1} -r _{2}]의 값은?[[eqn: 4.9]점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

④

[eqn: 15 ^{6}]을 [eqn: 13]으로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: r _{1}]일 때

[eqn: 15=a`]라고 하면 [eqn: a ^{6} =(a-2)q'+r _{1}]

[eqn: r _{1} =2 ^{6} ÷13]의 나머지이므로 [eqn: 12]

[eqn: 9 ^{7}]을 [eqn: 11]로 나누었을 때의 나머지를 [eqn: r _{2}]일 때

[eqn: 9=b]라고 하면 [eqn: b ^{7} =(b+2)q''+r _{2}]

[eqn: r _{2} =(-2) ^{7} ÷11]의 나머지와 같으므로 [eqn: -7+11=4]와 같다.

[eqn: r _{1} -r _{2} =12-4=8]

[eqn: 2 ^{2023} +2 ^{2024} +2 ^{2025} +2 ^{2026}]을 [eqn: 255]로 나누었을 때의 나머지는? [[eqn: 4.4]점]

①

[풀이]

[eqn: 255=2 ^{8} -1`]이다.

[eqn: 2 ^{2023} +2 ^{2024} +2 ^{2025} +2 ^{2026} `]

[eqn: = LEFT ( 2 ^{8} RIGHT ) ^{252} CDOT 2 ^{7} + LEFT ( 2 ^{8} RIGHT ) ^{253} + LEFT ( 2 ^{8} RIGHT ) ^{253} CDOT 2+ LEFT ( 2 ^{8} RIGHT ) ^{253} CDOT 2 ^{2} `]

[eqn: = LEFT ( 2 ^{8} RIGHT ) ^{252} CDOT 2 ^{7} + LEFT ( 2 ^{8} RIGHT ) ^{253} CDOT 7`]

[eqn: =128cdot LEFT ( 2 ^{8} RIGHT ) ^{252} +7cdot LEFT ( 2 ^{8} RIGHT ) ^{253} `]

[eqn: 128x ^{252} +7x ^{253} `]을 [eqn: x-1`]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 135`]이고, 몫을 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `]라 하자.

[eqn: 128x ^{252} +7x ^{253} `][eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) +135`]

양변에 [eqn: x=2 ^{8} `]을 대입하면

[eqn: 128 CDOT LEFT ( 2 ^{8} RIGHT ) ^{252} +7 CDOT LEFT ( 2 ^{8} RIGHT ) ^{253} =255timesQ` LEFT ( 2 ^{8} RIGHT ) +135`]

[eqn: 2 ^{2023} +2 ^{2024} +2 ^{2025} +2 ^{2026} `]을 [eqn: rm 255`]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 135`]이다.

① [eqn: 135]	② [eqn: 136]	③ [eqn: 137]
④ [eqn: 138]	⑤ [eqn: 139]

[eqn: 18 ^{6}]을 [eqn: 321]로 나눈 나머지는? [4.0점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 64]
④ [eqn: 125]	⑤ [eqn: 216]

②

[eqn: 18 ^{2} =x]라고 하면
[eqn: 18 ^{6} = LEFT ( x-3 RIGHT ) Q+27=321Q+27]

다음은 [eqn: 2023 ^{9}]을 [eqn: 405]로 나누었을 때의 나머지를 구하는 과정이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: a,``b,``c]라 할 때, [eqn: ab+c]의 값은?

⑤

풀이) 다항식 [eqn: (5x-2) ^{9}]을 [eqn: x]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)],

나머지를 [eqn: R]라고 하면

[eqn: (5x-2) ^{9} =xQ(x)+R]이다.

나머지는 [eqn: x = 0]를 대입 하면 [eqn: R = -2^ 9] 이다.

등식 [eqn: (5x-2) ^{9} =xQ(x)-512]에 [eqn: x=405]를 대입하면

나머지가 음수가 나오지 않아야 하므로

[eqn: ````````````````````=405 TIMES LEFT { Q(405)-2+2 RIGHT } -512]

[eqn: ````````````````````=405 TIMES LEFT { Q(405)-2 right} +2times405 -512]

[eqn: ````````````````````=405 TIMES LEFT { Q(405)-2 RIGHT } +2 TIMES 405-512]

[eqn: ````````````````````=405 TIMES LEFT { Q(405)-2 right} +298]

따라서 [eqn: 2023 ^{9}]을 [eqn: 405]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: 298]이다.

[eqn: a = -512], [eqn: b = -2], [eqn: c = 298]

[eqn: THEREFORE~~~ab +c = 1322]

다항식 [eqn: (5x-2) ^{9}]을 [eqn: x]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q(x)],

나머지를 [eqn: R]라고 하면

[eqn: (5x-2) ^{9} =xQ(x)+R]이다.

이 때, [eqn: R={BOX{````` LEFT ( 가 RIGHT ) `````}}]이다.

등식 [eqn: (5x-2) ^{9} =xQ(x)+{BOX{````` LEFT ( 가 RIGHT ) `````}}]에 [eqn: x=405]를 대입하면

[eqn: 2023 ^{9} =405 TIMESQ(405)+ {BOX{````` LEFT ( 가 RIGHT ) `````}}]
[eqn: =405 TIMES LEFT { Q(405)+ {BOX{````` LEFT ( 나 RIGHT ) `````}} RIGHT } + {BOX{````` LEFT ( 다 RIGHT ) `````}}]이다.

따라서 [eqn: 2023 ^{9}]을 [eqn: 405]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: {BOX{````` LEFT ( 다 RIGHT ) `````}}]이다.

[[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 1318]	② [eqn: 1319]	③ [eqn: 1320]
④ [eqn: 1321]	⑤ [eqn: 1322]

[eqn: 2024] 이하인 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x^n -x+1]이 [eqn: x^2 -x+1]로 나누어떨어지는 [eqn: n]의 개수는? [[eqn: 4.7]점]

④

[eqn: f_n (x)=x^n -x+1], [eqn: g(x)=x^2 -x+1]라 하자.

[eqn: x^3 +1=(x+1)(x^2 -x+1)]이므로 [eqn: x^3 +1]은 [eqn: g(x)]로 나누어떨어진다.

[eqn: x^6 -1 = (x^3 +1)(x^3 -1)]이므로 [eqn: x^6 -1]은 [eqn: g(x)]로 나누어떨어진다.

[eqn: x^6n -1 = (x^6 -1)(x^6n-6 + x^6n-12 +`cdots`+ x^6 +1)] ([eqn: n]는 자연수)
이므로 [eqn: x^6n -1]은 [eqn: g(x)]로 나누어떨어진다.

또한 [eqn: x^6k+r = x^6k+r -x^r +x^r = x^r (x^6k -1) +x^r]
([eqn: k]는 음이 아닌 정수, [eqn: 0 le r le5], [eqn: r]은 정수)이므로

[eqn: x^6k+r]을 [eqn: g(x)]로 나눈 나머지는 [eqn: x^r]을 [eqn: g(x)]로 나눈 나머지와 같다.

[eqn: f_n (x)]를 [eqn: g(x)]로 나눈 나머지를 [eqn: R_n (x)]라고 하면

[eqn: f_1 (x) = 1]이므로 [eqn: R_1 (x)=1]

[eqn: f_2 (x) = x^2 -x+1]이므로 [eqn: R_2 (x)=0]

[eqn: f_3 (x) = x^3 -x+1 = (x+1)(x^2 -x+1)-x]이므로 [eqn: R_3 (x)=-x]

[eqn: f_4 (x)][eqn: = x^4 -x+1 = (x^4 +x) -2x+1]
[eqn: = x(x+1)(x^2 -x+1)-2x+1]

이므로 [eqn: R_4 (x)=-2x+1]

[eqn: f_5 (x)][eqn: = x^5 -x+1 = (x^5 +x^2 ) -x^2 -x+1]
[eqn: = x^2 (x+1)(x^2 -x+1)-(x^2 -x+1)-2x+2]
[eqn: = (x^2 -x+1)left{ x^2 (x+1)-1 right}-2x+2]

이므로 [eqn: R_5 (x)=-2x+2]

[eqn: f_6 (x)][eqn: = x^6 -x+1 = (x^6 -1) -x+2]이므로 [eqn: R_6 (x)=-x+2]

따라서 [eqn: f_n (x)]가 [eqn: g(x)]로 나누어떨어지는 [eqn: n]은

[eqn: n=6k+2] ([eqn: k]는 음이 아닌 정수)이므로 개수는 [eqn: 338]개다.

① [eqn: 335]	② [eqn: 336]	③ [eqn: 337]

④ [eqn: 338]	⑤ [eqn: 339]

항등식과 나머지 정리(step3)

2.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 두 다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )], [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]는 모든 계수가 정수이고, 다음 조건을 모두 만족한다. [4.9점]

실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: P LEFT ( x RIGHT ) -Q LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x-a]로 나누어떨어질 때, [eqn: P LEFT ( a RIGHT )]의 값은?

③

[eqn: x^4 - x^3 = P(x)A(x) -x^2]

[eqn: P(x)]가 삼차식이므로 [eqn: A(x)]는 일차식이고,

[eqn: x^4 - x^3 +x^2 = P(x)A(x)]에서

[eqn: x^2 (x^2 - x +1) = P(x)A(x)]

[eqn: ∴```P(x) = x(x^2 - x +1)`,``A(x) = x]

[eqn: P(x) = x^3 - x^2 +x = x^3 - x^2 +x]

[eqn: x^3 -x^2 +x = Q(x)B(x)-x+2]

[eqn: Q(x)B(x)=x^3 - x^2 +2x - 2]

[eqn: = (x-1)(x^2 +2)]

[eqn: Q(x)]가 이차 이상이므로 [eqn: Q(x) = x^2 +2`,``B(x) =x-1]

[eqn: P(x)-Q(x) = x^3 - x^2 +x - (x^2 +2)]

[eqn: =x ^{3} -2x ^{2} +x-2]

[eqn: = (x-2)(x^2 +1)]

[eqn: x-2]로 나누어떨어지므로 [eqn: a = 2]

[eqn: P(a) = P(2) = 8-4+2 = 6]

(가) [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x]에 대한 삼차다항식이다.

(나) [eqn: x ^{4} -x ^{3}]을 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: -x ^{2}]이다.

(다) [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]로 나누었을 때의 나머지는 [eqn: -x+2]이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: 100]개의 다항식 [eqn: x ^{2} -2x-1], [eqn: x ^{2} +2x-2], [eqn: x ^{2} -2x-3], …, [eqn: x ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} TIMES 2x-n], …, [eqn: x ^{2} -2x-99], [eqn: x ^{2} +2x-100]이 있다. 이 중에서 [eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-b RIGHT )]꼴로 인수분해 되는 다항식의 개수는? (단, [eqn: n], [eqn: a], [eqn: b]는 [eqn: 1] 이상 [eqn: 100] 이하의 자연수이다.) [5.3점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

②

[eqn: 100]이하의 자연수 중 차가 [eqn: 2]인 두 자연수의 곱으로 표현되는 수의 개수와 같다.

[eqn: 1``․``3 = 3`,``2``․``4 = 8`,``3``․``5 = 15`,``cdots`,``9``․``11 = 99]의 [eqn: 9](개)

이고, 각각에 대해

[eqn: x^2 - 2x-3`,``x^2 +2x +8`,``x^2 - 2x -15`,``cdots`,``x^2 - 2x -99]로 표현된다.

세 대항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ,`g LEFT ( x RIGHT ) ,`h LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 다항식 [eqn: 2f LEFT ( x RIGHT ) +3g LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]로 나눈 나머지가 [eqn: x ^{3}]이고, 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +6g LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]로 나눈 나머지가 [eqn: 8x ^{3}]이다. [eqn: 100]이하의 두 자연수 [eqn: m,n]에 대하여 다항식 [eqn: mf LEFT ( x RIGHT ) +ng LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]로 나누어 떨어질 때, [eqn: m+n]의 값의 최댓값은? [[eqn: 4.7]점]

④

[풀이]

세 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여 두 다항식 [eqn: 2f LEFT ( x RIGHT ) +3g LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +6g LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]로 나누었을 때의 나머지는 각각 [eqn: x ^{3} `], [eqn: 8x ^{3} `]이고, 몫을 각각 [eqn: Q` _{1} LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: Q` _{2} LEFT ( x RIGHT ) `]라 하자.

[eqn: 2f LEFT ( x RIGHT ) +3g LEFT ( x RIGHT ) =h LEFT ( x RIGHT ) Q` _{1} LEFT ( x RIGHT ) +x ^{3} `] [eqn: cdots] ㉠

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +6g LEFT ( x RIGHT ) =h LEFT ( x RIGHT ) Q` _{2} LEFT ( x RIGHT ) +8x ^{3} `] [eqn: cdots] ㉡

[eqn: 8times]㉠[eqn: -]㉡을 하면

[eqn: 15f LEFT ( x RIGHT ) +18g LEFT ( x RIGHT ) =h LEFT ( x RIGHT ) LEFT { 8Q` _{1} LEFT ( x RIGHT ) -Q` _{2} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } `]

[eqn: 5f LEFT ( x RIGHT ) +6g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} h LEFT ( x RIGHT ) LEFT { 8Q` _{1} LEFT ( x RIGHT ) -Q` _{2} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } `]

다항식 [eqn: 5f LEFT ( x RIGHT ) +6g LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]로 나누어떨어지므로 자연수 [eqn: k`]에 대하여 다항식 [eqn: 5kf LEFT ( x RIGHT ) +6kg LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]로 나누어떨어진다.

[eqn: rm 100] 이하의 두 자연수 [eqn: m`], [eqn: n`]에 대하여 다항식 [eqn: mf LEFT ( x RIGHT ) +ng LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: h LEFT (x RIGHT )]로 나누어떨어진다. [eqn: m`:`n=5`:`6`]이고, [eqn: m`], [eqn: n`]은 [eqn: 100`] 이하의 자연수이므로 [eqn: n`]의 최댓값은 [eqn: 96`]이고, [eqn: m`]의 최댓값은 [eqn: 80`]이다.

따라서 [eqn: m+n`]의 값의 최댓값은 [eqn: 176`]이다.

① [eqn: 164]	② [eqn: 168]	③ [eqn: 172]
④ [eqn: 176]	⑤ [eqn: 180]

실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 다항식
[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} -ax ^{3} +bx ^{2} +ax+1]은 [eqn: x+c]로 나누어떨어진다. [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [5.1점]

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄷ]
④ [eqn: ㄱ,```ㄴ]	⑤ [eqn: ㄴ,```ㄷ]

⑤

[eqn: P(-c) = c^4 +ac^3 +bc^2 - ac+1 =0]

ㄱ. [eqn: P(0) =1]이므로 [eqn: c ne 0]

ㄴ. [eqn: P left( {1 over c} right) = 1 over c^4 - a over c^3 + b over c^2 + a over c +1]

[eqn: = 1 over c^4 - a over c^3 + b over c^2 + a over c +1]

[eqn: = 1 over c^4 (1-ac +bc^2 +a^3 c +c^4 ) = 1 over c^4 P (-c) =0]

ㄷ. ①과 ㄴ에서 [eqn: c =1]이면 [eqn: P(-1) = P(1) =0]

[eqn: P(x)]는 [eqn: x^2 -1]을 인수로 갖는다.

ㄱ. [eqn: c=0]

ㄴ. [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x- {1} over {c}]로 나누어떨어진다.

ㄷ. [eqn: c=1]일 때, [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x ^{2} -1]을 인수로 갖는다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: LEFT { P LEFT ( x RIGHT ) +1 RIGHT } ^{2} =x ^{2} - LEFT ( k+1 RIGHT ) x+k ^{2}]을 만족시킨다. 이때, 가능한 모든 [eqn: P LEFT ( 0 RIGHT )]의 값의 합은? (단, [eqn: k]는 실수이다.) [[eqn: 4.2]점]

②

[eqn: LEFT { P LEFT ( x RIGHT ) +1 RIGHT } ^{2} =x ^{2} - LEFT ( k+1 RIGHT ) x+k ^{2}]이 항등식에서

[eqn: x ^{2} - LEFT ( k+1 RIGHT ) x+k ^{2}]이 완전제곱식이 되어야 하므로

[eqn: D= LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2} -4k ^{2} = it -3k ^{2} +2k+1= LEFT ( 3k+1 RIGHT ) LEFT ( -k+1 RIGHT ) =0]

[eqn: k= it - {1} over {3}]일 때, [eqn: LEFT { P LEFT ( x RIGHT ) +1 RIGHT } ^{2} = LEFT ( x- {1} over {3} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) +1=x- {1} over {3}]일 때, [eqn: P LEFT ( 0 RIGHT ) +1= it - {1} over {3}]이므로 [eqn: P LEFT ( 0 RIGHT ) = it - {4} over {3}]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) +1= it - LEFT ( x- {1} over {3} RIGHT )]일 때, [eqn: P LEFT ( 0 RIGHT ) +1= {1} over {3}]이므로 [eqn: P LEFT ( 0 RIGHT ) = it - {2} over {3}]

[eqn: k=1]일 때, [eqn: LEFT { P LEFT ( x RIGHT ) +1 RIGHT } ^{2} = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) +1=x-1]일 때, [eqn: P LEFT ( 0 RIGHT ) +1= it -1]이므로 [eqn: P LEFT ( 0 RIGHT ) = it -2]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) +1= it - LEFT ( x-1 RIGHT )]일 때, [eqn: P LEFT ( 0 RIGHT ) +1=1]이므로 [eqn: P LEFT ( 0 RIGHT ) =0]

따라서 모든 [eqn: P LEFT ( 0 RIGHT )]의 값의 합은 [eqn: - {4} over {3} + LEFT ( - {2} over {3} RIGHT ) + LEFT ( -2 RIGHT ) +0=it-4]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]
④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

다항식 [eqn: x` ^{16} +3x ^{8} +6`]을
[eqn: x ^{2} +x+1], [eqn: x ^{2} -x+1], [eqn: x ^{4} +x ^{2} +1`]로 나눈 나머지를 각각
[eqn: r _{1} LEFT ( x RIGHT )], [eqn: r _{2} LEFT ( x RIGHT )], [eqn: r _{3} LEFT ( x RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: r _{1} LEFT ( x RIGHT ) r _{2} LEFT ( x RIGHT ) r _{3} LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x-2`]로 나눈 나머지를 구하고 풀이과정을 논술하시오. [[eqn: 6]점]

[eqn: -91]

[eqn: x ^{16} +3x ^{8} +6= LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT ) Q _{1} LEFT ( x RIGHT ) +r _{1} LEFT ( x RIGHT )]

이때 [eqn: x ^{2} +x+1=0]을 만족하는 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{3} =1], [eqn: x ^{2} =-x-1]

[eqn: LEFT ( x ^{3} RIGHT ) ^{5} x+3 LEFT ( x ^{3} RIGHT ) ^{2} x ^{2} +6=0+r _{1} LEFT ( x RIGHT )], [eqn: x+3 LEFT ( -x-1 RIGHT ) +6=-2x+3]

[eqn: r _{1} LEFT ( x RIGHT ) =-2x+3]

[eqn: x ^{16} +3x ^{8} +6= LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT ) Q _{2} LEFT ( x RIGHT ) +r _{2} LEFT ( x RIGHT )]

이때 [eqn: x ^{2} -x+1=0]을 만족하는 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{3} =-1], [eqn: x ^{2} =x-1]

[eqn: LEFT ( x ^{3} RIGHT ) ^{5} x+3 LEFT ( x ^{3} RIGHT ) ^{2} x ^{2} +6=0+r _{2} LEFT ( x RIGHT )], [eqn: -x+3 LEFT ( x-1 RIGHT ) +6=2x+3=r _{2} LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: r _{2} LEFT ( x RIGHT ) =2x+3]

[eqn: x ^{16} +3x ^{8} +6= LEFT ( x ^{4} +x ^{2} +1 RIGHT ) Q _{3} LEFT ( x RIGHT ) +r _{3} LEFT ( x RIGHT )]

이때 [eqn: x ^{4} +x ^{2} +1=0]을 만족하는 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{6} =1], [eqn: x ^{4} =-x ^{2} -1]

[eqn: LEFT ( x ^{6} RIGHT ) ^{2} x ^{4} +3 LEFT ( x ^{6} RIGHT ) ^{1} x ^{2} +6=0+r _{3} LEFT ( x RIGHT )], [eqn: -x ^{2} -1+3x ^{2} +6=2x ^{2} +5=r _{3} LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: r _{3} LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} +5]

따라서 [eqn: r _{1} LEFT ( x RIGHT ) r _{2} LEFT ( x RIGHT ) r _{3} LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지는

[eqn: r _{1} LEFT ( 2 RIGHT ) r _{2} LEFT ( 2 RIGHT ) r _{3} LEFT ( 2 RIGHT ) = LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES LEFT ( 7 RIGHT ) TIMES 13=-91]

이차다항식 [eqn: f(x)=x ^{2} +4x+7]가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

두 자연수 [eqn: a,~b]에 대하여 순서쌍[eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]를 모두 구하고 그 과정을 논술하시오.[[eqn: 9.0]점]

[eqn: LEFT ( a,~b RIGHT ) = LEFT ( 1,~12 RIGHT ) ,~ LEFT ( 2,~19 RIGHT )]

두 자연수 [eqn: a,~b]에 대하여 순서쌍[eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]

[eqn: f(x)=x ^{2} +4x+7=(x-a)Q(x)+b]
[eqn: f(a)=a ^{2} +4a+7=b]
[eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: f(x+2a)+a ^{2} -b+13=0`]은 서로 다른 두 허근을 갖는다로 부터
.[eqn: LEFT ( x+2a RIGHT ) ^{2} +4 LEFT ( x+2a RIGHT ) +7+a ^{2} -b+13=0]
[eqn: x ^{2} +2 LEFT ( 2a+2 RIGHT ) x+4a ^{2} +8a+7+a ^{2} -a ^{2} -4a-7+13=0]
[eqn: x ^{2} +2 LEFT ( 2a+2 RIGHT ) x+4a ^{2} +4a+13=0]이 허근을 가진다.
[eqn: D/4=(2a+2) ^{2} -(4a ^{2} +4a+13)<0]
[eqn: 4a-9<0]
[eqn: a< {9} over {4}]
[eqn: THEREFORE a=1`or`2]

(가) 다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: x-a]로 나눈 나머지는 [eqn: b]이다.

(나) [eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: f(x+2a)+a ^{2} -b+13=0`]은 서로 다른 두 허근을 갖는다.

다항식 [eqn: f(x)]가 다음 세 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(0)]의 값은? [[eqn: 4.9]점]

③

(가)에서 [eqn: f(x)]를 [eqn: x^6 -1]로 나눈 나머지를 [eqn: R(x)]라 하면

[eqn: f(x)][eqn: = (x^6 -1)(2x-1)+R(x)]
[eqn: =(x^4 +x^2 +1)(x^2 -1)(2x-1)+R(x)]

[eqn: f(x)]를 [eqn: x^4 +x^2 +1]로 나눈 나머지는
[eqn: R(x)]를 [eqn: x^4 +x^2 +1]로 나눈 나머지와 같다.

[eqn: R(x)]는 [eqn: 5]차 이하의 다항식이므로

(나)에서

[eqn: R(x)= (x^4 +x^2 +1)(ax+b)+x^3 +2x+5]

[eqn: f(x)=(x^4 +x^2 +1) left{(x^2 -1)(2x-1)+ ax+b right} +x^3 +2x+5]

(다)에서

[eqn: f(1)=R(1)=3(a+b)+8=5]

[eqn: f(-1)=R(-1)=3(-a+b)+2=5]

두 식을 연립하면

[eqn: a=-1,~ b=0]

[eqn: R(x)=-x(x^4 +x^2 +1)+x^3 +2x+5 = -x^5 +x+5]

따라서 [eqn: f(0)=1+R(0) = 6]

(가) [eqn: f(x)]를 [eqn: x^6 -1]로 나눈 몫은 [eqn: 2x-1]이다.

(나) [eqn: f(x)]를 [eqn: x^4 +x^2 +1]로 나눈 나머지는 [eqn: x^3 +2x+5]이다.

(다) [eqn: f(x)]를 [eqn: x^2 -1]로 나눈 나머지는 [eqn: 5]이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

삼차다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

③

삼차다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대해

[eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) f LEFT ( x-3 RIGHT ) = LEFT ( x-5 RIGHT ) f LEFT ( x+1 RIGHT )]에서

[eqn: x= it -2]일 때, [eqn: 0= it -5f LEFT ( -1 RIGHT )]이므로 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =0]

[eqn: x=5]일 때, [eqn: 7f LEFT ( 2 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =0]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 삼차이므로 몫을 [eqn: ax+b]라 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT ) LEFT ( ax+b RIGHT ) +2x+10]

[eqn: x=it-1~]일 때, [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =1· LEFT ( -a+b RIGHT ) +8=0]이므로 [eqn: a-b=8]

[eqn: x=2]일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =7· LEFT ( 2a+b RIGHT ) +14=0]이므로 [eqn: 2a+b=it-2]

연립하면 [eqn: 3a=6]이므로 [eqn: a=2], [eqn: b=it-6]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT ) LEFT ( 2x-6 RIGHT ) +2x+10]이므로

[eqn: x+2]로 나눈 나머지 [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) =3· LEFT ( -10 RIGHT ) +6=it-24]

(가) [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) f LEFT ( x-3 RIGHT ) = LEFT ( x-5 RIGHT ) f LEFT ( x+1 RIGHT )]

(나) [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x ^{2} +x+1]로 나눈 나머지는 [eqn: 2x+10]이다.

이때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x+2]로 나눈 나머지는? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: -28]	② [eqn: -26]	③ [eqn: -24]
④ [eqn: -22]	⑤ [eqn: -20]

이차다항식 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때,[eqn: xf(x)]를 [eqn: x- {1} over {2}]으로 나눈 나머지는? [[eqn: 5.2]점]

②

[eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+1`]
[eqn: f(x ^{2} )=ax ^{4} +bx ^{2} +1`]가 [eqn: f`(x)``]를 인수로 가지므로
[eqn: f(x ^{2} )=ax ^{4} +bx ^{2} +1`= LEFT ( ax ^{2} +bx+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +kx+1 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( ax ^{2} +bx+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +kx+1 RIGHT )]
[eqn: =ax ^{4} + LEFT ( ak+b RIGHT ) x ^{3} + LEFT ( a+bk+1 RIGHT ) x ^{2} + LEFT ( k+b RIGHT ) x+1]
[eqn: -ak=b,~b=-k]에서
[eqn: b LEFT ( a+1 RIGHT ) =0] [eqn: a=-1,or`b=0]
(ⅰ) [eqn: b=0`]일 때 [eqn: a=-1]
(ⅱ) [eqn: a=1]일 때, [eqn: a+bk+1=b]에서
[eqn: b ^{2} +b-2=0] [eqn: b=-2,`or``b=-1]
[eqn: (-1,```0),``` LEFT ( 1,```-2 RIGHT ) ,~ LEFT ( 1,~-1 RIGHT )]
방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 두 실근을 가지므로
판별식 [eqn: D=b ^{2} -4a>0`]를 만족하는 순서쌍[eqn: (-1,```0)]은 갖는다..
[eqn: THEREFORE f(x)=-x ^{2} +1`]
[eqn: xf(x)]를 [eqn: x- {1} over {2}]으로 나눈 나머지는
[eqn: {1} over {2} f( {1} over {2} )= {1} over {2} TIMES {3} over {4} = {3} over {8}]

(가) [eqn: f(0)=1]

(나) [eqn: f(x)``]는 [eqn: f(x ^{2} )``]의 인수이다.

(다) 방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 두 실근을 갖는다..

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {3} over {8}]	③ [eqn: {5} over {8}]
④ [eqn: {7} over {8}]	⑤ [eqn: {9} over {8}]

이차식 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(0)+g(5)]의 값은? [5.3점]

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]
④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

⑤

(가) [eqn: 2x ^{3} +x+3=f(x).Q _{1} (x)+g(x)]

[eqn: g(x):]일차 이하 다항식

(나) [eqn: 2x ^{3} +x+3=g(x)Q _{2} LEFT ( x RIGHT ) +f(x)-x ^{2} +x]

[eqn: f(x)-x ^{2} +x]: 상수함

[eqn: THEREFORE f(x)=x ^{2} -x+C]

[eqn: g(x)=(3-2c)(x+1)]

(나)

[eqn: 2x ^{3} +x+3=g(x) TIMES Q _{2} (x)+C]

[eqn: =(3-2c)(x+1)Q _{2} (x)+C]

[eqn: x=-1]대입

[eqn: 2(-1)-1+3=C=0]

[eqn: THEREFORE f(x)=x ^{2} -x,~g(x)=3(x+1)]

[eqn: f(0)+g(5)=18]

(가) [eqn: 2x ^{3} +x+3]을 [eqn: f(x)]로 나눈 나머지는 [eqn: g(x)]이다.

(나) [eqn: 2x ^{3} +x+3]을 [eqn: g(x)]로 나눈 나머지는 [eqn: f(x)-x ^{2} +x]이다.

다음 조건을 만족시키는 모든 이차다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 합을 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 하자.

①

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -4 RIGHT } = LEFT { x ^{2} +x-2 RIGHT } Q LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT )]에서

㉠ [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) LEFT { f LEFT ( -2 RIGHT ) -4 RIGHT } =0] [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) =0,~f LEFT ( -2 RIGHT ) =4]

㉡ [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) LEFT { f LEFT ( 1 RIGHT ) -4 RIGHT } =0] [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0,~f LEFT ( 1 RIGHT ) =4]

조건에 따라

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =0], [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) =0], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =4]를 만족할 때,

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )] [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =a·2·3=6a=4] [eqn: a= {2} over {3}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {3} over {2} LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =0], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0], [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) =4]를 만족할 때,

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =b LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )] [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) =b· LEFT ( -1 RIGHT ) · LEFT ( -3 RIGHT ) =3a=4] [eqn: b= {4} over {3}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {4} over {3} LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =0], [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) =4], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =4]를 만족할 때,

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =c LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) +4]

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =c·1· LEFT ( -2 RIGHT ) +4=4-2c=0] [eqn: c=2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) +4]

따라서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT { {2} over {3} LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) RIGHT } + LEFT { {4} over {3} LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: + LEFT { 2 LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) +4 RIGHT }]이므로

[eqn: g LEFT ( 5 RIGHT ) = LEFT ( {2} over {3} ·6·7 RIGHT ) + LEFT ( {4} over {3} ·6·4 RIGHT ) + LEFT ( 2·7·4+4 RIGHT ) =28+32+60=120]

(가) [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =0]

(나) 사차다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -4 RIGHT }]은 [eqn: x ^{2} +x-2]로 나누어 떨어진다.

이때 다항식 [eqn: g LEFT ( 5 RIGHT )]의 값은? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 120]	② [eqn: 121]	③ [eqn: 122]
④ [eqn: 123]	⑤ [eqn: 124]

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 사차다항식 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(3)]의 값은? [4.8점]

① [eqn: -130]	② [eqn: -129]	③ [eqn: -128]
④ [eqn: -127]	⑤ [eqn: -126]

②

(나)에서 [eqn: f(x-1)-7`]은 [eqn: x^2 -2x`]로 나누어 떨어지므로

[eqn: f(x-1)=x(x-2)Q(x)+7`]

[eqn: x=0`]을 대입하면 [eqn: f(-1)=7]	[eqn: cdots①]

[eqn: x=2`]를 대입하면 [eqn: f(1)=7]	[eqn: cdots②]

(가)에서 [eqn: f(x)`]를 [eqn: x+5`]로 나눈 나머지는 상수이고, [eqn: f(x)`]를 [eqn: x^2 -2`]로 나눈 나머지와 같으므로

[eqn: f(x)=(x+5)(x^2 -2)(x-a)+b`]라 하면

[eqn: ①]에 의해

[eqn: f(-1)=4 times(-1)times(-1-a)+b=4+4a+b=7]

[eqn: 4a+b=3`]	[eqn: cdots③]

[eqn: ②]에 의해

[eqn: f(1)=6times(-1)times(1-a)+b=-6+6a+b=7]

[eqn: 6a+b=13]	[eqn: cdots④]

[eqn: ③,~④]를 연립하여 풀면 [eqn: a=5,~b=-17]

[eqn: f(x)=(x+5)(x^2 -2)(x-5)-17]

[eqn: therefore] [eqn: f(3)=8times7times(-2)-17=-129]

(가) [eqn: f(x)]를 [eqn: x+5`]으로 나눈 나머지와 [eqn: f(x)`]를 [eqn: x^2 -2`]로
나눈 나머지는 서로 같다.

(나) [eqn: f(x-1)-7`]은 [eqn: x^2 -2x`]로 나누어 떨어진다.

이차다항식 [eqn: f(x)]와 최고차항의 계수가 [eqn: 2]인 이차다항식 [eqn: g(x)]가 다음을 만족시킨다.

[eqn: 9]

(가) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +2f LEFT ( -x RIGHT ) =3x ^{2} +2x+15]	[eqn: CDOTS `]㉠
[eqn: x`]대신 [eqn: -x`]를 대입하면
[eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) +2f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -2x+15]	[eqn: CDOTS `]㉡
㉠[eqn: -][eqn: 2 TIMES]㉡
[eqn: -3f LEFT ( x RIGHT ) =-3x ^{2} +6x-15]
[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2x+5]

(나) [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) Q _{1} LEFT ( x RIGHT ) +R], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) -R= LEFT ( x-1 RIGHT ) Q _{1} LEFT ( x RIGHT )]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) Q _{2} LEFT ( x RIGHT ) +R], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) -R= LEFT ( x+2 RIGHT ) Q _{2} LEFT ( x RIGHT )]
즉, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) -R`]은 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )]를 인수로 가진다.
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) -R=2 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x ^{2} +2x-4+R-x ^{2} +2x-5]
[eqn: =x ^{2} +4x-9+R]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT ) =0]이 중근을 가지므로
[eqn: D/4=4+9-R=0], [eqn: R=13]
따라서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) +13], [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =9]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식
[eqn: f(x)+2f(-x)=3x ^{2} +2x+15]을 만족시킨다.

(나) [eqn: g(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지와 [eqn: g(x)]를 [eqn: x+2]로 나눈 나머지는 서로 같다.

방정식 [eqn: g(x)-f(x)=0]이 중근을 가질 떄,[eqn: g(x)]를 [eqn: x]로 나눈 나머지를 구하시오. [7점]

삼차다항식 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f(x)]를 [eqn: (x+1) ^{3}]으로 나눈 나머지를 [eqn: R(x)]라 하자. [eqn: R(0)=R(1)]일 때, [eqn: R(2)]의 값을 구하고 그 풀이과정을 서술하시오.
[[eqn: 6.0]점, 부분점수 있음.]

[eqn: 3]

(나)에서 [eqn: f(x)=(x+1) ^{2} (ax+b)+ax+b`]라 하면

(가)에서 [eqn: f(-1)=-a+b=3]

[eqn: b=a+3]

[eqn: f(x)=(x+1) ^{2} (ax+a+3)+ax+a+3]

[eqn: =a(x+1) ^{3} +3(x+1) ^{2} +a(x+1)+3]

[eqn: R(x)=3(x+1) ^{2} +a(x+1)+3]

[eqn: R(0)=3(0+1) ^{2} +a(0+1)+3]
[eqn: R(1)=3(1+1) ^{2} +a(1+1)+3]
[eqn: R(0)=3+a+3=a+6]

[eqn: R(1)=12+2a+3=2a+15]

[eqn: R(0)=R(1)`]이므로 [eqn: a+6=2a+15]

[eqn: therefore] [eqn: a=-9]

[eqn: R(x)=3(x+1) ^{2} -9(x+1)+3]

[eqn: therefore] [eqn: R(2)=3]

(가) [eqn: f(-1)=3]

(나) [eqn: f(x)]를 [eqn: (x+1) ^{2}]으로 나눈 몫과 나머지는 같다.

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, 물음에 답하시오. [[eqn: 7.0]점]

(1) [eqn: 2]차 (2) [eqn: P LEFT ( -2 RIGHT )=it-30]

(1) [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]로 나눈 나머지가 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) -3x ^{2}]이므로 나머지의 차수는 나누는 다항식의 차수보다 낮아야 하므로 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) -3x ^{2} =ax+b]꼴

따라서 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +ax+b]꼴로 [eqn: 2]차 다항식

(2)

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =Q LEFT ( x RIGHT ) LEFT { Q LEFT ( x RIGHT ) -3x ^{2} RIGHT } + LEFT { Q LEFT ( x RIGHT ) -3x ^{2} RIGHT }]

[eqn: = LEFT ( 3x ^{2} +ax+b RIGHT ) LEFT ( ax+b RIGHT ) + LEFT ( ax+b RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( ax+b RIGHT ) LEFT ( 3x ^{2} +ax+b+1 RIGHT )]

㉠ 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이므로 [eqn: a= {1} over {3}]

㉡ 나머지 정리에 따라

[eqn: P LEFT ( 1 RIGHT ) =][eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) LEFT ( a+b+4 RIGHT ) =it-4]에서

[eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} +4 LEFT ( a+b RIGHT ) +4=0] [eqn: LEFT ( a+b+2 RIGHT ) ^{2} =0] [eqn: a+b+2=0]

㉢ [eqn: a= {1} over {3}]이므로 [eqn: b= it -2-a= it -2- {1} over {3} = it - {7} over {2}]

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( {1} over {3} x- {7} over {3} RIGHT ) LEFT ( 3x ^{2} - {1} over {3} x- {4} over {3} RIGHT )]

따라서 [eqn: P LEFT ( -2 RIGHT ) = LEFT ( - {2} over {3} - {7} over {3} RIGHT ) LEFT ( 12- {2} over {3} - {4} over {3} RIGHT ) = LEFT ( -3 RIGHT ) ·10=it-30]

6번 수정

8번 수정

21번 수정

23번 수정

(1) 다항식 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]의 차수를 구하고, 그 과정을 서술하시오.

(가) 다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]를 다항식 [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]로 나눈 몫과 나머지는 모두

[eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) -3x ^{2}]이다.

(나) 다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는 [eqn: -4]이다.

[[eqn: 2.0]점/부분 점수 있음]

(2) (1)를 이용하여 [eqn: P LEFT ( -2 RIGHT )]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오.

[[eqn: 5.0]점/부분 점수 있음]

인수분해(step1)

3.

인수분해 공식을 이용한 다항식의 인수분해

다항식 [eqn: x^3 -9x^2 +27x-27`]을 바르게 인수분해한 식은? [3.7점]

① [eqn: (x-3)^3]
② [eqn: (x+3)^3]
③ [eqn: (x-3)(x^2 +3x+9)]
④ [eqn: (x+3)(x^2 -3x+9)]
⑤ [eqn: (x+3)(x^2 +3x-9)]

①

[eqn: x^3 -9x^2 +27x-27`][eqn: = x^3 - 3 timesx^2 times3 + 3 times x times3^2 - 3^3 =(x-3)^3]

다음 중 다항식 [eqn: x ^{4} y-8xy`]를 인수분해한 것은? [[eqn: 4.2`]점]
① [eqn: xy LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x+4 RIGHT )]

①

[eqn: x ^{4} y-8xy][eqn: =xy LEFT ( x ^{3} -8 RIGHT )]
[eqn: =xy LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x+4 RIGHT )]

② [eqn: xy LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -2x+4 RIGHT )]

③ [eqn: xy LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x-4 RIGHT )]
④ [eqn: xy LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -2x-4 RIGHT )]

⑤ [eqn: xy LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -2x+4 RIGHT )]

치환과 인수분해

[eqn: x= sqrt { 3} +2], [eqn: y= sqrt { 3} -2]일 때, [eqn: x^3 +x^2 y -xy^2 -y^3]의 값은? [[eqn: 4.0]점]

⑤

[eqn: x+y = 2 sqrt { 3},~x-y=4]

[eqn: x^3 +x^2 y -xy^2 -y^3][eqn: = x^2 (x+y) - y^2 (x+y)]
[eqn: = (x+y)( x^2 - y^2 )]
[eqn: = (x+y)^2 (x-y)][eqn: = 48]

① [eqn: 12]	② [eqn: 12 sqrt { 3}]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 24 sqrt { 3}]	⑤ [eqn: 48]

다항식 [eqn: (x ^{2} -3x) ^{2} -(x ^{2} -3x)-12`]를 인수분해한 것은?[4.5점]

① [eqn: (x+1)(x-4)(x ^{2} -3x+3)]

①

[eqn: (x ^{2} -3x) ^{2} -(x ^{2} -3x)-12`]에서 [eqn: x ^{2} -3x`=t`]로 두면

[eqn: t ^{2} -t-12=(t-4)(t+3)]이므로

[eqn: (x ^{2} -3x-4)(x ^{2} -3x+3)`]이다.

즉. [eqn: (x-4)(x+1)(x ^{2} -3x+3)`]

② [eqn: (x+1)(x-4)(x ^{2} +3x+3)]

③ [eqn: (x-1)(x+4)(x ^{2} -2x+3)]
④ [eqn: (x-1)(x+4)(x _{}^{2} +2x+3)]

⑤ [eqn: (x-1)(x-4)(x ^{2} +3x-3)]

다항식 [eqn: LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x-9 RIGHT ) +21]을 인수분해 한 것이
[eqn: LEFT ( x+a RIGHT ) LEFT ( x+b RIGHT ) LEFT ( x+c RIGHT ) LEFT ( x+d RIGHT )]일 때, [eqn: a-b+c-d]의 최솟값을 구하고, 풀이 과정과 답을 자세히 논술하시오. (단, [eqn: a,``b,``c,``d]는 실수이다.) [6.0점]

[eqn: -8]

[eqn: x ^{2} -x=A]라 두면
[eqn: LEFT ( A+1 RIGHT ) LEFT ( A-9 RIGHT ) +21=A ^{2} -8A+12= LEFT ( A-2 RIGHT ) LEFT ( A-6 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( x ^{2} -x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x-6 RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )]

[eqn: a-b+c-d]의 최솟값은 [eqn: -2-1-3-2=-8]

다항식 [eqn: x ^{4} -x ^{2} +16]의 인수인 것은? [4.0점]

① [eqn: x ^{2} +x-4]	② [eqn: x ^{2} +2x+4]	③ [eqn: x ^{2} +2x-4]
④ [eqn: x ^{2} +3x-4]	⑤ [eqn: x ^{2} +3x+4]

⑤

[eqn: x ^{4} -x ^{2} +16=x ^{4} +8x ^{2} +16-9x ^{2}# `````````````````````````````````````````= LEFT ( x ^{2} +4 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 3x RIGHT ) ^{2} = LEFT ( x ^{2} +3x+4 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -3x+4 RIGHT )]

실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{4} -14x ^{2} +1=0]일 때, [eqn: 2x ^{3} +x+ {1} over {x} + {2} over {x ^{3}}]의 값은? (단, [eqn: x>0]) [[eqn: 4.0]점]

①

[eqn: x ^{4} -14x ^{2} +1=0]에 대해 [eqn: x>0]이므로 양변을 [eqn: x ^{2}]으로 나누면

[eqn: x ^{2} -14+ {1} over {x ^{2}} =0] [eqn: x ^{2} + {1} over {x ^{2}} =14]

[eqn: LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) ^{2} =x ^{2} + {1} over {x ^{2}} +2=14+2=16]에서 [eqn: x+ {1} over {x} >0]이므로

[eqn: x+ {1} over {x} =4]

[eqn: x ^{3} + {1} over {x ^{3}} = LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) ^{3} -3 LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) =4 ^{3} -3·4=52]

따라서 [eqn: 2x ^{3} +x+ {1} over {x} + {2} over {x ^{3}} =2 LEFT ( x ^{3} + {1} over {x ^{3}} RIGHT ) + LEFT ( x+ {1} over {x} RIGHT ) =2·52+4=108]

① [eqn: 108]	② [eqn: 109]	③ [eqn: 110]
④ [eqn: 111]	⑤ [eqn: 112]

인수분해의 활용(수)

[eqn: A= { 2023^3 - 2023^2 -2times 2023 +2} over { 2023^2 -2}]는 [eqn: n]자리의 자연수이다. 자연수 [eqn: A]의 모든 자리의 숫자의 합을 [eqn: S]라 할 때, [eqn: n+S]의 값은? [[eqn: 4.0]점]

③

[eqn: x=2023]이라 하면

[eqn: A][eqn: = { x^3 - x^2 -2x +2} over { x^2 -2}]
[eqn: = { (x-1)(x^2 -2)} over { x^2 -2}]
[eqn: = x-1][eqn: =2022]

[eqn: n=4,~S=6]	[eqn: therefore~ n+S=10]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[eqn: A=102 ^{3} -(100+2)(10004-200)`]은 [eqn: n`]자리의 자연수이다. 자연수 [eqn: A`]의 모든 자리의 숫자의 합을 [eqn: S`]라 할 때, [eqn: n+S`]의 값은? [4.7점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]
④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

③

[eqn: 100=m,~2=n`]이라 할 때

[eqn: A=(m+n) ^{3} -(m+n)(m ^{2} +n ^{2} -mn)`]

[eqn: A=(m+n) ^{3} -(m ^{3} +n ^{3} )`]이므로

[eqn: A=3mn(m+n)`]

[eqn: A=3 TIMES 2 TIMES 100(102)=61200]

따라서 [eqn: n=5,~S=9`]

[eqn: n+s=14`]

[eqn: A=102 ^{3} -(100+2)(10004-200)`]은 [eqn: n`]자리의 자연수이다. 자연수 [eqn: A`]의 모든 자리의 숫자의 합을 [eqn: S`]라 할 때, [eqn: n+S`]의 값은? [4.7점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]
④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

③

[eqn: 100=m,~2=n`]이라 할 때

[eqn: A=(m+n) ^{3} -(m+n)(m ^{2} +n ^{2} -mn)`]

[eqn: A=(m+n) ^{3} -(m ^{3} +n ^{3} )`]이므로

[eqn: A=3mn(m+n)`]

[eqn: A=3 TIMES 2 TIMES 100(102)=61200]

따라서 [eqn: n=5,~S=9`]

[eqn: n+s=14`]

인수정리를 이용한 다항식의 인수분해

다항식 [eqn: ax^4 +bx^3 +cx-2]가 [eqn: (x-1)^2 (x+1)]을 인수로 가질 때, [eqn: ac-b]의 값은? (단, [eqn: a,```b,```c]는 상수이다.) [[eqn: 4.4]점]

⑤

다항식 [eqn: ax^4 +bx^3 +cx-2]가 [eqn: (x-1)^2 (x+1)]을 인수로 가지므로

[eqn: ax^4 +bx^3 +cx-2 = (x-1)^2 (x+1)(ax+d)]

[eqn: d=-2]

[eqn: ax^4 +bx^3 +cx-2 = (x-1)^2 (x+1)(ax-2)]

[eqn: (x-1)^2 (x+1)(ax-2) = (x^2 -2x+1) left{ax^2 +(a-2)x-2 right}]

이차항 계수 [eqn: 2-a=0,~a=2]

[eqn: ax^4 +bx^3 +cx-2][eqn: =2x^4 -4x^3 +4x-2]

[eqn: b=-4,~c=4]

[eqn: ac-b=12]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤[eqn: 12]

인수분해(step2)

3.

치환과 인수분해

다항식 [eqn: LEFT ( x ^{2} -x RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x-8 RIGHT ) +12`]가 [eqn: LEFT ( x+a RIGHT ) LEFT ( x+b RIGHT ) LEFT ( x+c RIGHT ) LEFT ( x+d RIGHT ) `]로 인수분해될 때, 네 상수 [eqn: a,~b,~c,~d`]에 대하여 [eqn: a+b+c+d`]의 값은? [[eqn: 4.9]점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

①

[eqn: x ^{2} -x`][eqn: =A`]라 하면 주어진 식은 [eqn: A LEFT ( A-8 RIGHT ) +12=A ^{2} -8A+12]가 되어 [eqn: LEFT ( A-2 RIGHT ) LEFT ( A-6 RIGHT ) `]으로 인수분해 되고, 이 식에 [eqn: A=x ^{2} -x`]를 대입하면 [eqn: LEFT ( x ^{2} -x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x-6 RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]으로 인수분해됨을 알 수 있다. 따라서 [eqn: a+b+c+d=1+ LEFT ( -2 RIGHT ) +2+ LEFT ( -3 RIGHT ) =-2]

다항식 [eqn: (x ^{2} -2x)(x ^{2} -2x-2)-3]이 [eqn: (x+a)(x-b)(x-1) ^{2}]로 인수분해될 때, 두 정수 [eqn: a,b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? (단,[eqn: a`<`0])[[eqn: 4.7]점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

④

[eqn: x ^{2} -2x=t] 치환하면

본식[eqn: =t(t-2)-3=t ^{2} -2t-3=(t-3)(t+1)`]

다시 [eqn: x ^{2} -2x=t]를 대입하여 인수분해하면

[eqn: (x-3)(x+1)(x-1) ^{2}]

[eqn: a=-1,`b=3] [eqn: THEREFORE][eqn: a+b=2]

두 자연수 [eqn: a,b]([eqn: a<b])에 대하여 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 아래 식이 성립할 때, 모든 상수 [eqn: k]값들의 합은? [[eqn: 4.3]점]

⑤

[eqn: x ^{2} -3x=A] 로 치환하면 [eqn: A(A+3)+kA+10=A ^{2} +(3+k)A+10=(A+1)(A+10)]

또는 [eqn: (A+2)(A+5)]로 인수분해 되므로 [eqn: 3+k=11`]또는 [eqn: 7]

따라서 [eqn: k=8`or`4] 모든 [eqn: k]값의 합은 [eqn: 8+4=12]

[eqn: (x ^{2} -3x)(x ^{2} -3x+3)+k(x ^{2} -3x)+10=(x ^{2} -3x+a)(x ^{2} -3x+b)]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

다항식 [eqn: (x-1)(x-2)(x+4)(x+5)+a]가 [eqn: x]에 대한 이차식의 완전제곱의 꼴로 인수분해되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은? [[eqn: 4.9]점]
① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

⑤

[eqn: (x-1)(x-2)(x+4)(x+5)+a]

[eqn: = LEFT ( x ^{2} +3x-4 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +3x-10 RIGHT ) +a= LEFT ( x ^{2} +3x-7 RIGHT ) ^{2}]이어야 하므로

[eqn: 40+a=49], [eqn: a=9]이다.

다항식 [eqn: (x-2)(x-5)(x+5)(x+8)+k]가 최고차항의 계수가 [eqn: -1]인 이차식 [eqn: f(x)]의 제곱으로 인수분해될 때, [eqn: k+f(5)]의 값은? (단, [eqn: k]는 상수이다.) [5.0점]

① [eqn: 120]	② [eqn: 150]	③ [eqn: 180]
④ [eqn: 210]	⑤ [eqn: 240]

④

[eqn: (x-2)(x-5)(x+5)(x+8)+k][eqn: =(x^2 +3x-10)(x^2 +3x-40)+k][eqn: =(x^2 +3x)^2 -50(x^2 +3x)+400+k] 완전제곱식으로 인수분해 되므로,

[eqn: 625=400+k,```k=225] 이고,

[eqn: (x ^{2} +3x) ^{2} -50(x ^{2} +3x)+625][eqn: =(x^2 +3x-25)^2] 인데 최고차항의 계수가 [eqn: -1] 이므로 [eqn: f(x)=(-x^2 -3x+25)^2] 이다. [eqn: THEREFOREk+f(5)=225-15=210]

다항식 [eqn: (x ^{2} +x-2)(x ^{2} -11x+28)+k]가 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차식 [eqn: f(x)]의 제곱으로 인수분해될 때, [eqn: k+f(1)]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: k]는 상수이다.)

[eqn: 72]

[eqn: (x ^{2} +x-2)(x ^{2} -11x+28)+k]

[eqn: =(x+2)(x-1)(x-7)(x-4)+k]

[eqn: =(x+2)(x-7)(x-1)(x-4)+k]

[eqn: =(x ^{2} -5x-14)(x ^{2} -5x+4)+k]

[eqn: x ^{2} -5x=A]라고 하자.

[eqn: =(A-14)(A+4)+k]

[eqn: =A ^{2} -10A-56+k]

완전제곱식이 되기 위해서는 [eqn: -56+k= LEFT ( -5 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: THEREFORE k=81]

[eqn: A ^{2} -10A+25= LEFT ( A-5 RIGHT ) ^{2} = LEFT ( x ^{2} -5x-5 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: THEREFORE f(x)=x ^{2} -5x-5]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =-9]

[eqn: k+f LEFT ( 1 RIGHT ) =72]

[부분점수 있음. 7.0점]

[eqn: a+b=2], [eqn: a ^{2} +b ^{2} =6]일 때, [eqn: a ^{7} +b ^{7} +a ^{4} b ^{3} +a ^{3} b ^{4}]의 값은? [[eqn: 4.0]점]

②

[eqn: a+b=2], [eqn: a ^{2} +b ^{2} =6]이므로

[eqn: 2ab= LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} - LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT ) =2 ^{2} -6=it-2] [eqn: ab=it-1]

[eqn: a ^{3} +b ^{3} = LEFT ( a+b RIGHT ) ^{3} -3ab LEFT ( a+b RIGHT ) =2 ^{3} -3· LEFT ( -1 RIGHT ) ·2=14]

[eqn: a ^{4} +b ^{4} = LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT ) ^{2} -2a ^{2} b ^{2} =6 ^{2} -2· LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} =34]

따라서

[eqn: a ^{7} +b ^{7} +a ^{4} b ^{3} +a ^{3} b ^{4} = LEFT ( a ^{7} +a ^{4} b ^{3} RIGHT ) + LEFT ( b ^{7} +a ^{3} b ^{4} RIGHT ) =a ^{4} LEFT ( a ^{3} +b ^{3} RIGHT ) +b ^{4} LEFT ( a ^{3} +b ^{3} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( a ^{3} +b ^{3} RIGHT ) LEFT ( a ^{4} +b ^{4} RIGHT ) =14·34=476]

① [eqn: 474]	② [eqn: 476]	③ [eqn: 478]
④ [eqn: 480]	⑤ [eqn: 482]

두 식 [eqn: a ^{2} +b ^{2} -2b+2a-2ab]와 [eqn: a ^{3} -27b ^{3}]을 인수분해 하였을 때 인수가 될 수 없는 것은? [4.0점]

① [eqn: a-b]	② [eqn: a-b+1]	③ [eqn: a-b+2]
④ [eqn: a-3b]	⑤ [eqn: a ^{2} +3ab+9b ^{2}]

②

[eqn: a ^{2} +b ^{2} -2b+2a-2ab= LEFT ( a-b RIGHT ) LEFT ( a-b+2 RIGHT )]

[eqn: a ^{3} -27b ^{3} = LEFT ( a-3b RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +3ab+9b ^{2} RIGHT )]

보기 중 두 식의 인수가 될 수 없는 것은 ②번 [eqn: a-b+1] 이다.

두 자연수 [eqn: a,~b]에 대하여
[eqn: a ^{2} b-2ab+2a ^{2} -4a+b+2]
의 값이 [eqn: 396]일 때, [eqn: a+b]의 값은? [4.5점]

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]
④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

②

[eqn: a ^{2} b-2ab+2a ^{2} -4a+b+2= LEFT ( a ^{2} -2a+1 RIGHT ) b+2 LEFT ( a ^{2} -2a+1 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( a-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( b+2 RIGHT )]

[eqn: 396=6 ^{2} TIMES 11] 이므로

[eqn: a-1=6,~b+2=11] 이다.

따라서 [eqn: a+b=16] 이다.

복이차식의 인수분해

다음 중 다항식 [eqn: (x+1) ^{4} +2(x+1) ^{2} +9]의 인수는?[[eqn: 4.8]점]

① [eqn: x ^{2} +1]	②[eqn: x ^{2}+ x+1]	③ [eqn: x ^{2} +2x+2]
④ [eqn: x ^{2} +3x+4]	⑤[eqn: x ^{2} +4x+6]

⑤

[eqn: x+1=A] 치환하면

본식[eqn: =A ^{4} +2A ^{2} +9=(A ^{2} +3) ^{2} -(2A) ^{2} =(A ^{2} +2A+3)(A ^{2} -2A+3)]

여기에서 [eqn: x+1=A]를 대입하면

본식[eqn: =(x ^{2} +4x+6)(x ^{2} +2)]

[eqn: x ^{4} -nx ^{2} +64]를 계수가 정수인 서로 다른 두 이차식의 곱으로만 인수분해 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의 개수는? (단, [eqn: 0<n<60])[5.2점]

➂

[eqn: x ^{4} -nx ^{2} +64]가 인수 분해되는 경우는

(ⅰ) 직접 인수분해 되는 경우
[eqn: n=34]일 때 가능

(ⅱ) [eqn: x ^{4} -16x ^{2} +64- LEFT ( n-16 RIGHT ) x ^{2}]
[eqn: = LEFT ( x ^{2} -8 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( n-16 RIGHT ) x ^{2}]에서
[eqn: n=17], [eqn: 25], [eqn: 32], [eqn: 41], [eqn: 52]일 때 가능

(ⅲ) [eqn: x ^{4} +16x ^{2} +64- LEFT ( n+16 RIGHT ) x ^{2}]
[eqn: = LEFT ( x ^{2} +8 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( n+16 RIGHT ) x ^{2}]에서
[eqn: n=9], [eqn: 33], [eqn: 48]일 때 가능

따라서 [eqn: 9`]개이다.

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: P(x)=x ^{4} -kx ^{2}+24^4]이 계수와 상수항이 모두 정수인 서로 다른 네 개의 다항식의 곱으로 인수분해될 때, 정수 [eqn: k]의 개수는? [4.7점]

①

[eqn: x ^{2} =t]로 놓으면 [eqn: P(t)=t ^{2} -kt+24 ^{4}]
[eqn: P(t)]는 두 일차식의 곱으로 인수분해되어야 하므로
[eqn: P(t)=(t-p)(t-q)]
즉 [eqn: P(x)=(x ^{2} -p)(x ^{2} -q)=(x+a)(x-a)(x+b)(x-b)]
그러므로 [eqn: P(x)=x ^{4} -(a ^{2} +b ^{2} )x ^{2} +a ^{2} b ^{2}]
[eqn: k=a ^{2} +b ^{2}],[eqn: a ^{2} b ^{2} =24 ^{4} =2 ^{12} 3 ^{4}]
위의 조건을 만족하는 순서쌍[eqn: (a ^{2} ,b ^{2} )]은
[eqn: (1,2 ^{12} 3 ^{4} ),(2 ^{2} ,2 ^{10} 3 ^{4} ),(2 ^{4} ,2 ^{8} 3 ^{4} ) CDOTS CDOTS (2 ^{12} 3 ^{4} ,1)]이렇게 [eqn: 20]개가 나온다
(단, [eqn: (2 ^{6} 3 ^{2} ,2 ^{6} 3 ^{2} )]은 서로 다른 네 개의 다항식이 아니므로 제외)
순서쌍의 개수는 정수 [eqn: k]의 개수의 [eqn: 2]배이므로 [eqn: k=10]

【다른풀이추가】

[eqn: ab=2 ^{6} TIMES 3 ^{2}] 에서

약수의 개수[eqn: 7 TIMES 3=21]에서 [eqn: (2 ^{3} 3 ^{} ,2 ^{3} 3 ^{} )]제외

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

다항식 [eqn: x ^{4} +3x ^{2} +4]는 모든 항의 계수가 정수이고 최고차 항의 계수가 [eqn: 1]인 두 이차식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ,`g LEFT ( x RIGHT )]의 곱으로 인수분해 된다. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) +g LEFT ( 0 RIGHT )]의 값은? [[eqn: 3.8]점]

④

[풀이]

[eqn: x ^{4} +3x ^{2} +4]를 인수분해하면

[eqn: x ^{4} +4x ^{2} +4-x ^{2} = LEFT ( x ^{2} +2 RIGHT ) ^{2} -x ^{2} = LEFT ( x ^{2} +x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x+2 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +x+2,`g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -x+2]또는

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -x+2,`g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +x+2]이므로

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) +g LEFT ( 0 RIGHT ) =2+2=4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다항식 [eqn: x ^{4} -ax ^{2} +144]이 계수가 모두 정수인 일차식 [eqn: 4]개로 인수분해 되도록 하는 모든 양수 [eqn: a]의 값의 합은? [[eqn: 4.3]점]

⑤

[풀이]

[eqn: x ^{4} -ax ^{2} +144= LEFT ( x ^{2} -m RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -n RIGHT )]에서 [eqn: m,n]이 자연수의 제곱수이다.

[eqn: mn=144`]이므로 [eqn: 144]를 제곱수의 곱으로 나타낼 수 있는 경우의 수를 생각해보면

[eqn: LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -144 RIGHT )],[eqn: LEFT ( x ^{2} -9 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -16 RIGHT )],[eqn: LEFT ( x ^{2} -4 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -36 RIGHT )]

전개해서 [eqn: a]값을 구해보면

[eqn: LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -144 RIGHT ) =x ^{2} -145x+144]

[eqn: LEFT ( x ^{2} -9 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -16 RIGHT ) =x ^{4} -25x+144]

[eqn: LEFT ( x ^{2} -4 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -36 RIGHT ) =x ^{4} -40x _{} +144]

[eqn: a=145,25,40]이다.

[eqn: 145+25+40=210]

① [eqn: 25]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 65]
④ [eqn: 145]	⑤ [eqn: 210]

여러 개의 문자를 포함한 다항식의 인수분해

[eqn: x], [eqn: y`]에 대한 이차식
[eqn: x ^{2} +kxy+6y ^{2} -9x-22y+20]
이 [eqn: x], [eqn: y`]에 대한 두 일차식의 곱으로 인수분해 되도록 하는 자연수 [eqn: k`]의 값은? [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

⑤

[eqn: x ^{2} +kxy+6y ^{2} -9x-22y+20]을 [eqn: x]에 대한 내림차순으로 정리하면

[eqn: x ^{2} + LEFT ( ky-9 RIGHT ) x+6y ^{2} -22y+20]이고

[eqn: 6y ^{2} -22y+20= LEFT ( 2y-4 RIGHT ) LEFT ( 3y-5 RIGHT )]이므로

[eqn: ky-9=2y-4+3y-5=5y-9], [eqn: THEREFORE] [eqn: k=5]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -10-a LEFT ( xy-3 RIGHT ) `]가 [eqn: x`,~y`]에 대한 서로 다른 두 일차식의 곱으로 인수분해되도록 하는 상수 [eqn: a`]의 값의 합은 [eqn: {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값은? [eqn: (]단, [eqn: p`,~q`]는 서로소인 자연수이다.[eqn: )] [[eqn: 4.5`]점]
① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]
④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

③

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -10-a LEFT ( xy-3 RIGHT ) `]을 [eqn: x`]에 대하여 정리하면

[eqn: x ^{2} -ayx+y ^{2} +3a-10]

이때, [eqn: x ^{2} -ayx+y ^{2} +3a-10=0`]으로 놓고 근의 공식을 이용하여

방정식을 풀면

[eqn: x= {ay +- sqrt {LEFT ( -ay RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( y ^{2} +3a-10 RIGHT )}} over {2}]

[eqn: = {ay +- sqrt {LEFT ( a ^{2} -4 RIGHT ) y ^{2} -12a+40}} over {2}]

즉, [eqn: x= {ay+ sqrt {LEFT ( a ^{2} -4 RIGHT ) y ^{2} -12a+40}} over {2}] 또는

[eqn: x= {ay- sqrt {LEFT ( a ^{2} -4 RIGHT ) y ^{2} -12a+40}} over {2}]

이때,

[eqn: x ^{2} -ayx+y ^{2} +3a-10][eqn: = LEFT ( x- {ay+ sqrt {LEFT ( a ^{2} -4 RIGHT ) y ^{2} -12a+40}} over {2} RIGHT )]

[eqn: TIMES LEFT ( x- {ay- sqrt {LEFT ( a ^{2} -4 RIGHT ) y ^{2} -12a+40}} over {2} RIGHT )]

이므로 두 일차식의 곱으로 인수분해되려면 [eqn: sqrt {LEFT ( a ^{2} -4 RIGHT ) y ^{2} -12a+40} `]이 [eqn: y`]에 대한 일차식 또는 상수이므로

[eqn: a ^{2} -4=0`] 또는 [eqn: -12a+40=0`]

[eqn: a ^{2} -4=0`]에서 [eqn: a=`-2`] 또는 [eqn: a=2`]

이때 [eqn: -12a+40 GEQ 0`]이므로 [eqn: x], [eqn: y`]에 대한 서로 다른 두 일차식의 곱으로 인수분해된다.

[eqn: -12a+40=0`]에서 [eqn: a= {10} over {3} `]

이때 [eqn: a ^{2} -4 GEQ 0`]이므로 [eqn: x], [eqn: y`]에 대한 서로 다른 두 일차식의 곱으로 인수분해된다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=`-2`], [eqn: a=2`], [eqn: a= {10} over {3} `]

따라서 [eqn: a`]의 값의 합은 [eqn: {10} over {3} `]이다. [eqn: p=3`], [eqn: q=10`]이므로 [eqn: p+q=13`]이다.

[eqn: x,``y]에 대한 다항식 [eqn: -x ^{2} +y ^{2} +ax+by+4]가 계수가 모두 정수인 [eqn: x,``y]에 대한 두 일차식의 곱으로 인수분해 될 때, [eqn: 2a+b]의 값이 될 수 없는 것은? (단, [eqn: a,``b]는 상수이다.) [[eqn: 5.2]점]

① [eqn: -11]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -1]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 11]

④

풀이) 양변에 [eqn: -]를 정리하면 [eqn: x ^{2} -y ^{2} -ax-by- 4] 이고,

[eqn: x ^{2} -y ^{2} -ax-by- 4 = x ^{2} -ax-y ^{2}-by- 4]

[eqn: = x ^{2} -ax-y ^{2}-by- 4]

주어진 식을 [eqn: x`]에 대한 내림차순으로 정리하면

[eqn: x^2 -y^2 -ax -by-4= x^2 -ax -(y^2 +by +4)] [eqn: cdotscdots```㉠]

이 식이 계수가 정수인 [eqn: x,````y`]에 대한 두 일차식의 곱으로
인수분해되려면 [eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: ㉠]의 상수항은 다음과 같아야 한다.

(i)[eqn: y^2 +by +4=(y+1)(y+4)=y^2 +5y +4]인 경우

[eqn: y`]의 계수를 비교하면 [eqn: b=5]이다.

이때, [eqn: ㉠]에서

[eqn: x^2 -ax -(y+1)(y+4)= left{x- (y+1)right} left{x+(y+4) right}]

인 경우 [eqn: x`]의 계수를 비교하면 [eqn: a=`-3]이고,

[eqn: x ^{2} -ax-(y+1)(y+4)= LEFT { x+(y+1) RIGHT } LEFT { x-(y+4) RIGHT }]

인 경우 [eqn: x]의 계수를 비교하면 [eqn: a=3]이다.

(ii)[eqn: y^2 +by +2=(y-1)(y-4)=y^2 -5y +4]인 경우

[eqn: y]의 계수를 비교하면 [eqn: b=`-5]이다.

이때, [eqn: ㉠]에서

[eqn: x^2 -ax -(y-1)(y-4)= left{x- (y-1)right} left{x+(y-4) right}]

인 경우 [eqn: x`]의 계수를 비교하면 [eqn: a=`3]이고,

[eqn: x ^{2} -ax-(y+1)(y+4)= LEFT { x+(y+1) RIGHT } LEFT { x-(y+4) RIGHT }]

인 경우 [eqn: x]의 계수를 비교하면 [eqn: a=-3]이다.

(ⅲ) [eqn: y^2 +by +4=(y+2)(y+2)=y^2 +4y +4]인 경우

[eqn: y`]의 계수를 비교하면 [eqn: b=4]이다.

이때, [eqn: ㉠]에서

[eqn: x^2 -ax -(y+2)(y+2)= left{x- (y+2)right} left{x+(y+2) right}]

인 경우 [eqn: x`]의 계수를 비교하면 [eqn: a=0]이고,

(ⅳ) [eqn: y^2 +by +4=(y-2)(y-2)=y^2 -4y +4]인 경우

[eqn: y`]의 계수를 비교하면 [eqn: b=-4]이다.

[eqn: x ^{2} -ax-(y-2)(y-2)= LEFT { x-(y-2) RIGHT } LEFT { x+(y-2) RIGHT }]

인 경우 [eqn: x]의 계수를 비교하면 [eqn: a=0]이다.

가능한 [eqn: 2a+b]의 값은

[eqn: a=`3,````b=5]에서 [eqn: 2a+b=11]

[eqn: a=`3,````b=-5]에서 [eqn: 2a+b=1]

[eqn: a=`-3,````b=5]에서 [eqn: 2a+b=`-1]

[eqn: a=`-3,````b=-5]에서 [eqn: 2a+b=`-11]

[eqn: a=0`,````b=4]에서 [eqn: 2a+b=`4]

[eqn: a=0`,````b=-4]에서 [eqn: 2a+b=`-4]

따라서 선지 중 [eqn: 2a+b]의 값이 될 수 없는 것은 ④이다.

자연수 [eqn: a,~b,~c``]가 [eqn: abc+ab+bc+ca+a+b+c=69`]를 만족할 때, [eqn: a+b+c`]의 값은? [4.9점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]
④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

②

[eqn: (x+a)(x+b)(x+c)=x^3 +(a+b+c)x^2 +(ab+bc+ca)x+abc`]에

[eqn: x=1]을 대입한 것을 이용하면

[eqn: abc+ab+bc+ca+a+b+c=69`]

[eqn: abc+ab+bc+ca+a+b+c+1=70`]

[eqn: (a+1)(b+1)(c+1)=70]

[eqn: a,~b,~c`]가 자연수이므로 [eqn: a+1,~b+1,~c+1`]은 [eqn: 2`]이상의 자연수

[eqn: (a+1)(b+1)(c+1)=2 times5 times7]

[eqn: therefore] [eqn: a+b+c=1+4+6=11]

[eqn: a<b<c]인 세 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여
[eqn: a^2 LEFT ( b+c RIGHT )+b^2 LEFT ( c+a RIGHT )+c^2 LEFT ( a+b RIGHT )+2abc=126]
일 때, 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 구하는 과정이다. 이때, [eqn: a+b+c]의 값은? [[eqn: 5.1]점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

③

[eqn: a^2 LEFT ( b+c RIGHT )+b^2 LEFT ( c+a RIGHT )+c^2 LEFT ( a+b RIGHT )+2abc]

[eqn: = a^2 b +a^2 c + b^2 c +b^2 a+c^2 a+c^2 b +2abc]

[eqn: = LEFT ( b+c RIGHT )a^2 + LEFT ( b^2 +2bc+c^2 RIGHT )a + bc LEFT ( b+c RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( b+c RIGHT )a^2 + LEFT ( b+c RIGHT ) ^2 a + bc LEFT ( b+c RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( b+c RIGHT ) left{ a^2 + LEFT ( b+c RIGHT )a +bc right}]

[eqn: =LEFT ( a+b RIGHT ) LEFT ( b+c RIGHT ) LEFT ( c+a RIGHT )]

그러므로 [eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) LEFT ( b+c RIGHT ) LEFT ( c+a RIGHT )= 126]

[eqn: a<b<c]이고 [eqn: 126 = 3times 6times 7]이므로

[eqn: a+b= 3]	[eqn: cdots㉠]

[eqn: c+a=6]	[eqn: cdots㉡]

[eqn: b+c=7]	[eqn: cdots㉢]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡], [eqn: ㉢]을 연립하면

[eqn: a=1], [eqn: b=2], [eqn: c=5]이다.

그러므로 [eqn: a+b+c= 1+2+5=8]

다항식

[eqn: a^2 LEFT ( b+c RIGHT )+b^2 LEFT ( c+a RIGHT )+c^2 LEFT ( a+b RIGHT )+2abc]

를 인수분해하면

[eqn: a^2 LEFT ( b+c RIGHT )+b^2 LEFT ( c+a RIGHT )+c^2 LEFT ( a+b RIGHT )+2abc]

[eqn: = a^2 b +a^2 c + b^2 c +b^2 a+c^2 a+c^2 b +2abc]

[eqn: = LEFT ( `box{~~(가)~~}` RIGHT )a^2 + LEFT ( `box{~~(나)~~}` RIGHT )a + LEFT ( `box{~~(다)~~}` RIGHT )LEFT ( `box{~~(가)~~}` RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( `box{~~(가)~~}` RIGHT ) left{ a^2 + LEFT ( b+c RIGHT )a + LEFT ( `box{~~(다)~~}` RIGHT )right}]

[eqn: = LEFT ( `box{~~~~~(라)~~~~~}` RIGHT )]

인수정리를 이용한 다항식의 인수분해

최고차항의 계수가 [eqn: 3`]인 삼차식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가
[eqn: 3f LEFT ( 1 RIGHT ) = {3} over {2} f LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( 3 RIGHT ) =6`]
를 만족할 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x-5`]로 나눈 나머지는? [[eqn: 4.8`]점]
① [eqn: 66]	② [eqn: 72]	③ [eqn: 76]
④ [eqn: 82]	⑤ [eqn: 88]

④

[eqn: 3f LEFT ( 1 RIGHT ) = {3} over {2} f LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( 3 RIGHT ) =6`]에서

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2`,~f LEFT ( 2 RIGHT ) =4`,~f LEFT ( 3 RIGHT ) =6]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) -2=0`,~f LEFT ( 2 RIGHT ) -2 TIMES 2=0`,~f LEFT ( 3 RIGHT ) -2 TIMES 3=0]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -2x`]는 [eqn: x-1`,~x-2`,~x-3`]을 인수로 갖는다.

이때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x ^{3} `]의 계수가 [eqn: 3`]인 삼차식이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -2x=3 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) `]에서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) +2x]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x-5`]로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의해

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =3 TIMES 4 TIMES 3 TIMES 2+10=82]

[eqn: x ^{3}]의 계수가 [eqn: 1]인 삼차식 [eqn: P(x)]에 대하여 [eqn: P(1)=2,`P(2)=8,`P(3)=18] 일 때, [eqn: P(x)]를 [eqn: x-5]로 나누었을때의 나머지는? [4.1점]

➃

[eqn: P(1)=2,`P(2)=8,`P(3)=18]에서

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2}]는 [eqn: x=1], [eqn: 2], [eqn: 3`]을 근으로 가지므로

[eqn: P LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) +2x ^{2}]

따라서 [eqn: P LEFT ( 5 RIGHT ) =74]

① [eqn: 29]	② [eqn: 44]	③ [eqn: 59]

④ [eqn: 74]	⑤ [eqn: 89]

구차식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x-1`,~x-3`,~x-5`,`` CDOTS `,~x-17`]로 나눈 나머지가 차례로 [eqn: 1`,~3`,~5`,`` CDOTS `,~17`]이고, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1`]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x-18`]로 나눈 나머지는? [[eqn: 4.4`]점]
① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]
④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

②

나머지정리에 의해

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1`,~f LEFT ( 3 RIGHT ) =3`,~f LEFT ( 5 RIGHT ) =5`,`` CDOTS `,~f LEFT ( 17 RIGHT ) =17]

이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) -1=f LEFT ( 3 RIGHT ) -3=f LEFT ( 5 RIGHT ) -5=` CDOTS `=f LEFT ( 17 RIGHT ) -17=0]

즉, 인수정리에 의해 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -x`]는

[eqn: x-1`,~x-3`,~x-5`,`` CDOTS `,~x-17`]을 인수로 갖는다.

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -x=a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT ) ` CDOTS ` LEFT ( x-17 RIGHT )]

에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT ) ` CDOTS ` LEFT ( x-17 RIGHT ) +x]

이때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =a TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) TIMES LEFT ( -3 RIGHT ) TIMES LEFT ( -5 RIGHT ) TIMES ` CDOTS ` TIMES LEFT ( -17 RIGHT )][eqn: =1]

에서 [eqn: a=it- {1} over {1 TIMES 3 TIMES 5 TIMES 7 TIMES ` CDOTS ` TIMES 17}]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x-18`]로 나눈 나머지는 나머지정리에 의해

[eqn: f LEFT ( 18 RIGHT ) =a TIMES 17 TIMES 15 TIMES ` CDOTS ` TIMES 5 TIMES 3 TIMES 1+18]

[eqn: = LEFT ( -1 RIGHT ) +18=17]

두 다항식 [eqn: x ^{3} +ax-2,```2x ^{3} +2x ^{2} +bx-8]이 모두 일차항의 계수가 [eqn: 1]인 두 일차식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ,````g LEFT ( x RIGHT )]를 인수로 가질 때, 두 상수 [eqn: a,``b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은? [4.5점]

① [eqn: -11]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -3]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5]

⑤

[eqn: x ^{3} +ax-2,```2x ^{3} +2x ^{2} +bx-8] 두식을 최고차항의 계수를 맞춰서 빼면 [eqn: 2x ^{2} + LEFT ( b-2a RIGHT ) x-4=0]이므로

[eqn: 2x ^{2} + LEFT ( b-2a RIGHT ) x-4]의 식에 나누기 [eqn: 2]를 하고 [eqn: x+1]과 [eqn: 2x+4]를 각각 곱하면 원래 식이 나오므로 계수비교법을 이용하여 풀 수 있다.

[eqn: a-b=5]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 두 이차식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ,~g LEFT ( x RIGHT )]의 곱이
[eqn: x ^{4} -6x ^{3} +9x ^{2} +4x-12]이다. 다음 조건을 만족시키는 실수 [eqn: a]가 존재할 때, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) +g LEFT ( 4 RIGHT )]의 값은? [5.0점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 16]
④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 24]

②

[eqn: x ^{4} -6x ^{3} +9x ^{2} +4x-12]=[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )] 으로 인수분해가 되며 주어진 조건에 의해 [eqn: x-a]가 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ,~g LEFT ( x RIGHT )] 모두의 인수가 되어야 하므로

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) ,~ LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )] 으로 두 다항식을 정의할 수 있다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) +g LEFT ( 4 RIGHT ) =12] 이다.

(가) [eqn: x-a]는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]의 인수이다.

(나) [eqn: x-a]는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )]의 인수이다.

인수분해의 활용(도형)

넓이가 [eqn: 25]인 이등변 삼각형의 세 변의 길이를 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]이고,
[eqn: a ^{3} +ab ^{2} +b ^{2} c+a ^{2} c-c ^{3} -ac ^{2} =0]
을 만족시킬 때, [eqn: {ac} over {b}]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

⑤

이차함수[eqn: y=x ^{2} +3x-4]의 그래프와 직선 [eqn: y=x-k]가 만나지 않으
므로 [eqn: x ^{2} +3x-4=x-k]
[eqn: x ^{2} +2x-4+k=0]
[eqn: {D} over {4} =1- LEFT ( -4+k RIGHT ) <0]
[eqn: k>5]

두 삼각형의 세 변의 길이 [eqn: a,`b,`c]에 대하여 등식 [eqn: a ^{3} +a ^{2} c+ac ^{2} +c ^{3} =ab ^{2} +b ^{2} c]가 성립할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인가? [[eqn: 4.0]점]

④

[풀이]

[eqn: a ^{3} +a ^{2} c+ac ^{2} +c ^{3} =ab ^{2} +b ^{2} c]

[eqn: LEFT ( a+c RIGHT ) LEFT ( a ^{2} -ac+c ^{2} RIGHT ) +ac LEFT ( a+c RIGHT ) =b ^{2} LEFT ( a+c RIGHT ) `]

[eqn: LEFT ( a+c RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +c ^{2} -b ^{2} RIGHT ) =0]

[eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]는 삼각형의 세 변의 길이이므로 [eqn: a+b>0]이다.

[eqn: a ^{2} +c ^{2} -b ^{2} =0]이므로 빗변의 길이가 [eqn: b]인 직각삼각형이다.

① 정삼각형

② [eqn: a=b] 인 이등변삼각형

③ [eqn: b=c] 인 이등변삼각형

④ 빗변의 길이가 [eqn: b]인 직각삼각형

⑤ 빗변의 길이가 [eqn: c]인 직각삼각형

세 자연수 [eqn: a,```b,```c]가 [eqn: (a^2 -4b^2 -c^2 )c^2 =a^2 (c^2 -a^2 +4b^2 )]을 만족시킬 때, [보기]에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [5.5점]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

①

[eqn: a^2 c^2 -4b^2 c^2 -c^4 = a^2 c^2 -a^4 +4a^2 b^2]

[eqn: a ^{4} -c ^{4} -4b ^{2} (a ^{2} +c ^{2} )=0]

[eqn: (a^2 +c^2 )(a^2 -c^2 -4b^2 )=0]

[eqn: a^2 +c^2 not=0] 이므로 [eqn: a^2 =c^2 +4b^2] 이다.

ㄱ, [eqn: a]가 빗변인 직각삼각형으로 성립

ㄴ, [eqn: c ^{2`} =a ^{2} -4b ^{2}] 이므로

[eqn: a+2b<c ^{2}]

[eqn: a+2b<a ^{2} -4b ^{2} =(a+2b)(a-2b)]

[eqn: 1<a-2b], 반례 [eqn: a=5,b=2,c=3]이면 성립하지 않는다.

ㄷ, [eqn: a^2 =c^2 +4b^2] 이므로 [eqn: a]가 빗변인 직각삼각형

[보 기]

ㄱ. [eqn: a+2b>c]

ㄴ. [eqn: a+2b<c^2]

ㄷ. 세 자연수 [eqn: a,``2b,```c]는 빗변의 길이가 [eqn: 2b]인 직각삼각형의 세 변의 길이이다.

삼각형 [eqn: ABC]의 세 변의 길이를 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라고 하자. 등식 [eqn: a ^{3} +c ^{3} -ab ^{2} +a^2 c -b^2 c +ac ^{2} =0]이 성립할 때, 삼각형 [eqn: ABC]는 어떤 삼각형인지 구하고 그 과정을 서술하시오.[[eqn: 4.0]점 부분점수 있음.]

⑤

[eqn: a ^{3} +c ^{3} -ab ^{2} +a ^{2} c-b ^{2} c+ac ^{2} =0]
[eqn: (-a-c)b ^{2} +ac(a+c)+(a+c) LEFT ( a ^{2} -ac+c ^{2} RIGHT ) =0]
[eqn: (-a-c) LEFT ( b ^{2} -a ^{2} -c ^{2} RIGHT ) =0]

[eqn: a+c != 0] 이므로 [eqn: b ^{2} =a ^{2} +c ^{2}]

[eqn: THEREFORE]빗변의 길이가 [eqn: b]인 직각삼각형

넓이가 [eqn: sqrt {15}]인 삼각형 [eqn: S]의 세 변의 길이 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 다음 두 조건을 모두 만족시킨다. 이 때, 삼각형 [eqn: S]의 둘레의 길이는? [4.7점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]
④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

③

㈎: [eqn: (a-2c)^3 =0]

[eqn: ∴```a = 2c]

㈏: [eqn: (a^3 - b^3 ) +ab(a-b) - c^2 (a-b) =0]

[eqn: (a-b)(a^2 +ab+b^2 +ab - c^2 ) =0]

[eqn: (a-b) left{{(a+b)^2 - c^2 }right} =0]

[eqn: a+b+c != 0] 이고[eqn: a+b != c] 이므로

[eqn: ∴```a = b]

[eqn: a = b = 2c]

[eqn: rmbar CH][eqn: = root{(2c)^2 - left( {c over 2} right)^2 }][eqn: = root{15} over 2 c]

[eqn: S = 1 over 2 × c × root15 over 2 c = root15 over 4 c^2 =root{15}]

[eqn: ∴```c = 2]

(둘레의 길이)[eqn: = 5c= 10]

(가) [eqn: a ^{3} -6a ^{2} c+12ac ^{2} -8c ^{3} =0]

(나) [eqn: a ^{3} +a ^{2} b-ab ^{2} -ac ^{2} -b ^{3} +bc ^{2} =0]

세 변의 길이가 [eqn: a,`b,`c]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 다음 조건을 만족시킬 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 둘레의 길이는? [5.1점]

⑤

(나)에서 [eqn: (a ^{2} +b ^{2} ) ^{2} -c ^{4} =(a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} )(a ^{2} +b ^{2} -c ^{2} )=0]이므로

삼각형[eqn: rmABC]는 [eqn: c]가 빗변인 직각삼각형이다.

(다)에서 [eqn: {1} over {2} ab=54][eqn: RARROW ` ab=108]

(가)에서 [eqn: (3a+4b) ^{2} =25c ^{2}]

[eqn: RARROW `(9a ^{2} +24ab+16b ^{2} )=25(a ^{2} +b ^{2} )]

[eqn: RARROW `16a ^{2} -24ab+9b ^{2} =0]

[eqn: RARROW `(4a-3b) ^{2} =0] 이므로 [eqn: 4a=3b]이다. 이 조건을 만족하는 값은

[eqn: a=9,`b=12,`c=15]이므로 둘레의 길이는 [eqn: 36]이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 24]
④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 36]

(가) [eqn: 3a+4b=5c]

(나) [eqn: a ^{4} +b ^{4} -c ^{4} +2a ^{2} b ^{2} =0]

(다) 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는 [eqn: 54]이다.

세 변의 길이가 [eqn: a,~b,~c`]인 삼각형 [eqn: rmABC`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 54]

주어진 식을 [eqn: a`]에 대한 내림차순으로 정리하면

[eqn: LEFT ( b+c RIGHT ) a ^{2} - LEFT ( b ^{2} -c ^{2} RIGHT ) a-bc LEFT ( b+c RIGHT ) =0]

[eqn: LEFT ( b+c RIGHT ) a ^{2} - LEFT ( b+c RIGHT ) LEFT ( b-c RIGHT ) a-bc LEFT ( b+c RIGHT ) =0]

양변을 [eqn: b+c`]로 나누면

[eqn: a ^{2} - LEFT ( b-c RIGHT ) a-bc=0,] [eqn: LEFT ( a-b RIGHT ) LEFT ( a+c RIGHT ) =0] [eqn: THEREFORE ``a=b`` LEFT ( BECAUSE ``a+c=0 RIGHT )]

[eqn: b=a`]를 대입하면 [eqn: 6a+2b=6a+2a=8a=5c] [eqn: THEREFORE ``a:b:c=5:5:8]

[eqn: a=5k,~b=5k,~c=8k`]로 놓으면 삼각형 [eqn: rmABC`]는 이등변삼각형이므로 꼭짓점 [eqn: rmA`]에서 [eqn: rm {bar{BC}} `]에 수선을 내리고, 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하면 [eqn: rm {bar{BC}} =it4k]

삼각형 [eqn: rmABH`]에서 피타고라스의 정리를 이용하면 [eqn: rm {bar{AH}} =it3k]

[eqn: THEREFORE `` TRIANGLE rmABC`= {1} over {2} TIMES it8k TIMES 3k=12k ^{2} =108], [eqn: k=3]

따라서 [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{AC}} `= it 15,] [eqn: rm {bar{BC}} `=24]가 되므로 삼각형의 둘레의 길이는 [eqn: 54`]가 됨을 알 수 있다.

[eqn: CIRC][eqn: a ^{2} b-bc ^{2} +ac ^{2} +a ^{2} c-ab ^{2} -b ^{2} c=0]

[eqn: CIRC][eqn: 6a+2b=5c]

[eqn: CIRC]삼각형 [eqn: rmABC`]의 넓이는 [eqn: 108`]이다.

삼각형 [eqn: rmABC`]의 둘레의 길이를 구하고, 그 풀이 과정을 논술하시오. (부분 점수 있음) [[eqn: 6.0]점]

높이가 [eqn: 2x+1`,] 부피가 [eqn: 2x ^{3} +7x ^{2} +7x+2`]인 직육면체의 밑면의 넓이를 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]라 할 때, 다음 중 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 인수인 것은?
① [eqn: 2x-1]	② [eqn: 2x+1]	③ [eqn: x-1]
④ [eqn: x+2]	⑤ [eqn: x+3]

④

직육면체의 부피가 [eqn: 2x ^{3} +7x ^{2} +7x+2`]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) TIMES LEFT ( 2x+1 RIGHT ) =2x ^{3} +7x ^{2} +7x+2]

이때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +7x ^{2} +7x+2`]라 하면

[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) =it-2+7-7+2=0]

이므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x+1`]을 인수로 갖는다.

따라서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를 조립제법을 이용하여 인수분해하면

[eqn: -1]	[eqn: 2]	[eqn: 7]	[eqn: 7]	2
		[eqn: -2]	[eqn: -5]	[eqn: -2]
	[eqn: 2]	[eqn: 5]	[eqn: 2]	[eqn: 0]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) TIMES LEFT ( 2x+1 RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( 2x ^{2} +5x+2 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( 2x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) `]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 인수인 것은 ④이다.

밑면의 반지름의 길이가 [eqn: x+a], 높이가 [eqn: x+b`]인 원기둥의 부피가 [eqn: LEFT ( x ^{3} +8x ^{2} +20x+16 RIGHT ) pi], 겉넓이가 [eqn: 4pi LEFT ( x+a RIGHT ) LEFT ( x+c RIGHT ) `]일 때, [eqn: a+b+c`]의 값은? (단, [eqn: x>0`]이고, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]는 상수이다.) [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

④

밑면의 반지름의 길이가 [eqn: x+a], 높이가 [eqn: x+b]이므로

부피는 [eqn: LEFT ( x+a RIGHT ) ^{2} LEFT ( x+b RIGHT ) pi = LEFT ( x ^{3} +8x ^{2} +20x+16 RIGHT ) pi]이고

[eqn: x ^{3} +8x ^{2} +20x+16= LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x+4 RIGHT )]이므로

[eqn: a=2], [eqn: b=4]이다.

원기둘의 겉넓이는

밑면의 넓이가 [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} pi]

옆넓이가 [eqn: 2 LEFT ( x+2 RIGHT ) pi TIMES LEFT ( x+4 RIGHT )]이므로

[eqn: 2 LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} pi +2 LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x+4 RIGHT ) pi = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT { 2 LEFT ( x+2 RIGHT ) +2 LEFT ( x+4 RIGHT ) RIGHT } pi]

[eqn: =4 pi LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )]

[eqn: c=3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b+c=2+4+3=9]

그림과 같은 사면체 [eqn: OABC]에서 세 모서리 [eqn: OA,`OB,`OC]는 점 [eqn: O]에서 서로 수직이다. 세 모서리 [eqn: OA,`OB,`OC]의 길이를 각각 [eqn: a,`b,`c]라고 하면 [eqn: a,`b,`c]는 다음 두 조건을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오. 세 삼각형 [eqn: OAB,`OBC,`OCA]의 넓이의 합을 구하면? [[eqn: 5.1]점]

②

곱셈 공식에 따라 [eqn: (a+b+c) ^{2} =a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +2(ab+bc+ca)]이므로 [eqn: 81=29+2(ab+bc+ca)], [eqn: ab+bc+ca=26]이다. 따라서

[eqn: TRIANGLE OAB+ TRIANGLE OBC+ TRIANGLE OCA= {ab} over {2} + {bc} over {2} + {ca} over {2} = {ab+bc+ca} over {2} =13]이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 18]

(가) [eqn: a+b+c=9]

(나) [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =29]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 48]

그림과 같이 직육면체의 서로 다른 세 모서리의 길이를 [eqn: a,`b,`c]라 하자. 모든 모서리의 길이의 합이 [eqn: 32], 두 꼭짓점 [eqn: A,B]를 연결한 대각선의 길이가 [eqn: sqrt {30}], 부피가 [eqn: 10]이다. 두 꼭짓점 [eqn: A,`B]를 직육면체의 면을 따라 실로 팽팽하게 연결 시킬 때, 실의 길이의 최솟값을 구하고, 그 과정을 서술 하시오. [부분점수 있음. 8.0점]

[eqn: sqrt {34}]

모든 모서리 길이의 합: [eqn: 4a+4b+4c=32]

[eqn: a+b+c=8 CDOTS]①

[eqn: rm {bar{AB}} = sqrt {{bar{AM}} ^{2} + {bar{BM}} ^{2}} = sqrt {a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =} sqrt {30}]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =30 CDOTS]②

부피:[eqn: abc=10 CDOTS]③

선의 길이를 알기 위해서 직육면체의 전개도를 그린다.

실의 길이의 최솟값은 [eqn: sqrt {LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} +c ^{2}}]이다.

[eqn: LEFT ( a+b+c RIGHT ) ^{2} -2(ab+bc+ca)=30]

[eqn: ab+bc+ca=17 CDOTS]④

④의 식에 [eqn: c]를 곱하자

[eqn: abc+c ^{2} (a+b)=17c]

[eqn: 10+c ^{2} (8-c)-17c=0]

[eqn: -c ^{3} +8c ^{2} -17c+10=0]

[eqn: LEFT ( c-2 RIGHT ) (c-1)(-c+5)=0]

[eqn: THEREFORE c=1]or[eqn: 2]or[eqn: 5]

①[eqn: c=1]이면 [eqn: a+b=7]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =29]

[eqn: b=7-a]

[eqn: a ^{2} +(7-a) ^{2} =29]

[eqn: 2a ^{2} -14a+20=0]

[eqn: a ^{2} -7a+10=0]

[eqn: a=2`or5]

[eqn: rarrow (2,~5,~1),~(5,~2,~1)]

[eqn: sqrt {a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +2ab} = sqrt {30+10} = sqrt {40}]

②[eqn: c=2]이면

[eqn: a+b=6]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =26]

[eqn: a ^{2} + LEFT ( 6-a RIGHT ) ^{2} =26]

[eqn: 2a ^{2} -12a+10=0]

[eqn: a ^{2} -6a+5=0]

[eqn: a=1or5]

[eqn: rarrow LEFT ( 1,~5,~2 RIGHT ) ,~(5,~1,~2)]

[eqn: sqrt {a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +2ab} = sqrt {30+5} = sqrt {35}]

③[eqn: c=5]이면

[eqn: a+b=3]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =5]

[eqn: a ^{2} + LEFT ( 3-a RIGHT ) ^{2} =5]

[eqn: 2a ^{2} -6a+4=0]

[eqn: a ^{2} -3a+2=0]

[eqn: a=1or2]

[eqn: rarrow LEFT ( 1,~2,~5 RIGHT ) ,~(2,~1,~5)]

[eqn: sqrt {a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +2ab} = sqrt {30+4} = sqrt {34}]

①,②,③중 최솟값은 [eqn: sqrt {34}]

그림과 같은 직육면체의 겉넓이는 [eqn: 108], 모든 모서리의 길이의 합은 [eqn: 52]일 때, [eqn: bar{AF} ^{2} + bar{FC} ^{2} + bar{CA} ^{2}]의 값은? [4.1점]

① [eqn: 61]	② [eqn: 102]	③ [eqn: 122]
④ [eqn: 160]	⑤ [eqn: 196]

③

직육면체의 가로, 세로, 높이를 [eqn: a,``b,``c`]라 두면

[eqn: 4 LEFT ( a+b+c RIGHT ) =52,`````2 LEFT ( ab+bc+ca RIGHT ) =108]이므로

[eqn: a+b+c=13,`````ab+bc+ca=54]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} = LEFT ( a+b+c RIGHT ) ^{2} -2 LEFT ( ab+bc+ca RIGHT ) =169-108=61]

[eqn: 2 LEFT ( a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} RIGHT ) =122]

직육면체 모양의 네 블록 [eqn: rmA,~B,~C,~D]의 밑면의 가로, 세로의 길이와 높이는 다음 표와 같다.

➂

[eqn: 4x ^{3} +20x ^{2} +28x+12][eqn: =4 LEFT ( x ^{3} +5x ^{2} +7x+3 RIGHT )]
[eqn: =4 LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 4x+4 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT )]	[eqn: CDOTS `]㉠
[eqn: = LEFT ( 2x+2 RIGHT ) LEFT ( 2x+6 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT )]	[eqn: CDOTS `]㉡

㉠,㉡의 두 가지 경우가 가능하므로

㉠에서 [eqn: 4x+4+x+3+x+1=6x+8]

㉡에서 [eqn: 2x+2+2x+6+x+1=5x+9]

따라서 [eqn: p=6], [eqn: q=8], [eqn: r=5], [eqn: s=9]이므로 [eqn: 6-8+5-9=-6]

	[eqn: rmA]	[eqn: rmB]	[eqn: rmC]	[eqn: rmD]
가로의 길이	[eqn: x]	[eqn: x]	[eqn: x]	[eqn: 1]
세로의 길이	[eqn: x]	[eqn: x]	[eqn: 1]	[eqn: 1]
높이	[eqn: x]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]

[eqn: rmA]블록 [eqn: 4]개, [eqn: rmB]블록 [eqn: 20]개, [eqn: rmC]블록 [eqn: 28]개, [eqn: rmD]블록 [eqn: 12]개를 모두 빈틈없이 붙여서 큰 직육면체를 만들었다. 이 직육면체의 가로, 세로의 길이와 높이가 [eqn: x]에 대한 서로 다른 일차식으로 나타내어질 때, 가능한 가로, 세로, 높이의 합은 [eqn: px+q]와 [eqn: rx+s]이다. [eqn: p-q+r-s]의 값은? (단, [eqn: p,~q,~r,~s]는 서로 다른 상수이다.) [4.6점]

① [eqn: -10]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -6]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -2]

인수분해의 활용

[eqn: 2]이상의 네 자연수 [eqn: x,~y,~z,~w]에 대하여 [eqn: (100 + 40)^2 -18 times 140 -63 = x times y times z times w]일 때, [eqn: x+y+z-w]의 값은? (단, [eqn: x>y>z>w]이다.) [5.1점]

➃

[eqn: 140=x]라 하자.

[eqn: x ^{2} -8x-63= LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-21 RIGHT )]이므로

[eqn: LEFT ( 100+40 RIGHT ) ^{2} -18 TIMES 140-63][eqn: = LEFT ( 140+3 RIGHT ) LEFT ( 140-21 RIGHT )]
[eqn: =143 TIMES 119]
[eqn: =11 TIMES 13 TIMES 7 TIMES 17]
[eqn: =17 TIMES 13 TIMES 11 TIMES 7]

[eqn: x=17], [eqn: y=13], [eqn: z=11], [eqn: w=7]이므로

[eqn: x+y+z-w=41-7=34]

① [eqn: 31]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 33]

④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 35]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 두 이차다항식 [eqn: P(x),~Q(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다. 물음에 답하시오. [총 10.0점]

(1) 곱셈공식 [eqn: (a+b)^3 `]을 전개하시오. [2.0점]

(2) 다항식의 곱 [eqn: P(x)Q(x)`]를 구하고 그 과정을 논술하시오.
[4.0점]

(3) 두 이차다항식 [eqn: P(x),~Q(x)]를 각각 구하고 그 과정을 논술하시오. [4.0점]

(1) [eqn: (a+b)^3 =a^3 +3a^2 b +3ab^2 +b^3]
(2) [eqn: P(x)Q(x)=-x^4 -2x^3 -2x^2 -x+6]
(3) [eqn: P(x)=-x^2 -x+2], [eqn: Q(x)=x^2 +x+3]

(1) [eqn: (a+b)^3 =a^3 +3a^2 b +3ab^2 +b^3]

(2)

[eqn: left{P(x) right}^3 + left{Q(x) right}^3 =left{ P(x)+ Q(x) right}^3 -3P(x)Q(x) left{P(x)+Q(x) right}]

[eqn: 15x^4 +30x^3 +30x^2 +15x+35 =125-15 P(x)Q(x)]

[eqn: 15P(x)Q(x)=-15x^4 -30x^3 -30x^2 -15x+90]

[eqn: P(x)Q(x)=-x^4 -2x^3 -2x^2 -x+6]

(3) [eqn: P(x)Q(x)=-x^4 -2x^3 -2x^2 -x+6]

[eqn: =-(x-1)(x^3 +3x^2 +5x+6)]

[eqn: =-(x-1)(x+2)(x^2 +x+3)]

[eqn: =-(x^2 +x-2)(x^2 +x+3)]

[eqn: P(x)+Q(x)=5]이고 [eqn: P(x)`]의 최고차항의 계수는 음수이므로.

[eqn: P(x)=-x^2 -x+2,~Q(x)=x^2 +x+3]

(가) [eqn: P(x)+Q(x)=5]

(나) [eqn: left{P(x) right}^3 + left{Q(x) right}^3 =15x^4 +30x^3 +30x^2 +15x+35]

(다) [eqn: P(x)`]의 최고차항의 계수는 음수이다.

25년 내신대비	학교시험기출	방정식과 부등식

경기남부지역	- -	분당기출모임

2.

복소수와 방정식

(step1)

4.

복소수의 뜻과 분류

복소수인 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: i=root-1]) [3.8점]

① ㄱ, ㄷ	② ㄹ, ㅁ	③ ㄱ, ㄷ, ㅁ
④ ㄴ, ㄹ, ㅁ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ

⑤

모든 수는 복소수이다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: pi]	ㄴ. [eqn: -2]	ㄷ. [eqn: root3]

ㄹ. [eqn: 1-2i]	ㅁ. [eqn: - 2 over3 i]

복소수 [eqn: 5-2i]에 대하여 실수부분을 [eqn: a], 허수부분을 [eqn: b]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 실수, ) [[eqn: 3.8]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

③

[eqn: 5-2i]의 실수부분 [eqn: a=5], 허수부분 [eqn: b=it-2]

따라서 [eqn: a+b=5-2=3]

<보기>의 설명 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: ㄱ,ㄴ]	② [eqn: ㄱ,`ㄹ]	③ [eqn: ㄴ,ㄷ]
④ [eqn: ㄴ,ㄹ]	⑤ [eqn: ㄷ,ㄹ]

③

ㄱ. [eqn: 4]의 제곱근은 [eqn: ±2]이다.(거짓)

ㄴ. [eqn: a>0]일 때 [eqn: sqrt {-a`} = sqrt {a} i]이다.(참)

ㄷ. 복소수 [eqn: 5+2i]의 허수부분은 [eqn: 2]이다.(참)

ㄹ. 복소수 [eqn: 2i,3i]에 대하여 [eqn: 2i`<3i]이다. (거짓)

ㄱ. [eqn: 4]의 제곱근은 [eqn: 2i]이다.

ㄴ. [eqn: a>0]일 때 [eqn: sqrt {-a`} = sqrt {a} i]이다.

ㄷ. 복소수 [eqn: 5+2i]의 허수부분은 [eqn: 2]이다.

ㄹ. 복소수 [eqn: 2i,3i]에 대하여 [eqn: 2i`<3i]이다.

복소수의 사칙연산

[eqn: (1-2i)+(2+3i)=a+bi]일 때, 두 상수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt { -1}]) [[eqn: 3.6]점]

④

[eqn: (1-2i)+(2+3i)=(1+2)+ (-2+3)i = 3+i]

[eqn: a=3,~b=1,~a+b=4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

등식 [eqn: (3+2i)-(2-i)=x+yi~]를 만족시키는 두 실수 [eqn: x,`y]의 합 [eqn: x+y]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.) [4.0점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

④

[eqn: LEFT ( 3+2i RIGHT ) - LEFT ( 2-i RIGHT ) =3+2i-2+i=3i+1]

[eqn: x=1,~`y=3]

[eqn: THEREFORE x+y=1+3=4]

등식[eqn: (3-i)x+(1+i)y=2+6i]를 만족시키는 두 실수 [eqn: x,y]에 대하여 [eqn: x+y]의 값은? (단,[eqn: i= sqrt {-1}]이다.)[[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

④

[eqn: (3-i)x+(1+i)y=(3x+y)+(-x+y)i] 이므로

[eqn: 3x+y=2`,`-x+y=6] 두 식을 연립하면 [eqn: x=-1,y=5]

[eqn: THEREFORE x+y=4]

다음을 계산하여 올바르게 나타낸 것은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [[eqn: 3.7]점]

① [eqn: 2-i]	② [eqn: 3-2i]	③ [eqn: 4-3i]
④ [eqn: 5-4i]	⑤ [eqn: 6-5i]

③

[eqn: LEFT ( 3-5i RIGHT ) + LEFT ( -1+2i RIGHT ) + LEFT ( 1+i RIGHT ) LEFT ( 1-i RIGHT ) =2-3i+1+1=4-3i]

[eqn: LEFT ( 3-5i RIGHT ) + LEFT ( -1+2i RIGHT ) + LEFT ( 1+i RIGHT ) LEFT ( 1-i RIGHT )]

[eqn: (x+2)+(y-1)i=3+3i]를 만족시키는 두 실수 [eqn: x,y]에 대하여 [eqn: x+y]의 값은? (단, [eqn: i=root-1]이다.) [4.8점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

⑤

[eqn: x+2=3], [eqn: x=1] 이고 [eqn: y-1=3], [eqn: y=4] 이다.

[eqn: THEREFORE x+y=5]

[eqn: LEFT ( 1+2i RIGHT ) LEFT ( 2-i RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2+2i]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4+3i]	⑤ [eqn: 5i]

④

[eqn: LEFT ( 1+2i RIGHT ) LEFT ( 2-i RIGHT )][eqn: = (2+2) +(4-1)i = 4+3i]

[eqn: (1+i)(1-i)`]의 값은? [4.3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

②

[eqn: (1+i)(1-i)`=1-i ^{2} =2]

[eqn: (1 +2i) (1-2i)]의 값은? (단, [eqn: i= root-1]) [3.9점]

➃

[eqn: 1+4=5]

① [eqn: i]	② [eqn: -i]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 2 + 4i]

[eqn: x=2+i`,`y=2-i] 일 때, [eqn: x ^{3} +y ^{3}]의 값은?(단, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.) [[eqn: 3.8]점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

②

[eqn: x+y=4,xy=5]이므로

[eqn: x ^{3} +y ^{3} =(x+y) ^{3} -3xy(x+y)=64-15 TIMES 4=4]

두 복소수 [eqn: alpha=4-i,`beta=3+i`]에 대하여 [eqn: alpha+beta`]의 값은? [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

③

[eqn: alpha + beta = LEFT ( 4+3 RIGHT ) + LEFT ( -1+1 RIGHT ) i=7]

등식 [eqn: a+3i=2+ LEFT ( b+2 RIGHT ) i]를 만족시키는 두 실수 [eqn: a,b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.) [[eqn: 3.0]점]

③

[풀이]

[eqn: a+3i=2+ LEFT ( b+2 RIGHT ) i]

에서 [eqn: a,b]가 실수이므로 계수비교에 의해

[eqn: a=2,`b+2=3]

따라서
[eqn: a=2,``b=1] [eqn: THEREFORE] [eqn: a+b=3`]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: LEFT ( 2+i RIGHT )i=a+bi]일 때, [eqn: a+b]의 값은?
(단, [eqn: i= root-1]이다.) [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

①

[eqn: LEFT ( 2+i RIGHT )i=a+bi]

[eqn: 2i+i^2 = a+bi]

[eqn: -1 +2i =a+bi]

그러므로 [eqn: a= `-1], [eqn: b=2]이다.

따라서 [eqn: a+b = LEFT ( -1 RIGHT )+2=1]이다.

등식 [eqn: 3x+ LEFT ( x-6y RIGHT ) i=6-4i]를 만족시키는 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: x+y]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [[eqn: 3.8]점]

③

[eqn: 3x+ LEFT ( x-6y RIGHT ) i=6-4i]에서

[eqn: 3x=6], [eqn: x-6y=it-4]이므로 [eqn: x=2,][eqn: y=1]

따라서 [eqn: x+y=2+1=3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: x=1+i] 일 때, [eqn: x+ {1} over {x} =a+bi]이다. 실수 [eqn: a,b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?[3.8점]

➁

[eqn: 1+i+ {1} over {1+i} =1+i+ {1-i} over {2} = {3+i} over {2}]

[eqn: a= {3} over {2}], [eqn: b= {1} over {2}]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: {1+i} over {1-i} =a+bi](단, [eqn: i= sqrt {-1}]) 를 만족시키는 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+2b]의 값은? [[eqn: 3.8]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

②

본식을 분모의 실수화 하면 [eqn: {(1+i)(1+i)} over {(1-i)(1+i)} =i] 이므로 [eqn: a=0,b=1] [eqn: a+2b=2]

등식 [eqn: (x-y)+ LEFT ( 2x-3y RIGHT ) i=3+7i``]을 만족시키는 두 실수
[eqn: x``], [eqn: y``]에 대하여 [eqn: x+y]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}``])[[eqn: 3.8]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

①

복소수 상등에 의하여
[eqn: (x-y)+ LEFT ( 2x-3y RIGHT ) i=3+7i``]에서

[eqn: x-y=3], [eqn: 2x-3y=7] 연립하여 풀면
[eqn: x=2`,``y=-1]
[eqn: THEREFORE x+y=1]

등식 [eqn: LEFT ( 4x-6 RIGHT ) + LEFT ( x+2y RIGHT ) i=2-4i]을 만족시키는 실수 [eqn: xy]의 값은? [[eqn: 3.6]점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -6]
④ [eqn: -7]	⑤ [eqn: -8]

③

[eqn: LEFT ( 4x-6 RIGHT ) + LEFT ( x+2y RIGHT ) i=2-4i]에서 복소수 상등에 의하여

실수부 [eqn: 4x-6=2], 허수부 [eqn: x+2y=-4]에서
연립방정식을 풀면 [eqn: x=2,~y=-3]이므로

[eqn: THEREFORExy=-6]

켤레복소수

[eqn: (1+i) {bar{z}} +2iz=1-3i]를 만족시키는 복소수 [eqn: z=x+yi] ([eqn: x,`y]는 실수)에 대하여 [eqn: xy]의 값은? (단, [eqn: {bar{z}}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.) [[eqn: 4.6]점]
① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

①

[eqn: (1+i)(x-yi)+2i(x+yi)=1-3i]

[eqn: x-yi+xi+y+2xi-2y=(x-y)+(3x-y)i=1-3i]이므로

[eqn: x-y=1], [eqn: 3x-y=-3], 즉 [eqn: x=-2], [eqn: y=-3]이다.

따라서 구하고자 하는 값은 [eqn: xy=6]이다.

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

등식 [eqn: z LEFT ( 1+i RIGHT ) + {bar{z}} LEFT ( 5+i RIGHT ) =12]를 만족시키는 복소수 [eqn: z]를 근으로 하는 [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}], [eqn: {bar{z}}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.) [[eqn: 4.0]점]

③

[eqn: z LEFT ( 1+i RIGHT ) + {bar{z}} LEFT ( 5+i RIGHT ) =12]에 대해 [eqn: z=a+bi`] ([eqn: a,~b]는 실수)라 하면

[eqn: LEFT ( a+bi RIGHT ) LEFT ( 1+i RIGHT ) + LEFT ( a-bi RIGHT ) LEFT ( 5+i RIGHT ) =12]

[eqn: LEFT { LEFT ( a-b RIGHT ) + LEFT ( a+b RIGHT ) i RIGHT } + LEFT { LEFT ( 5a+b RIGHT ) + LEFT ( a-5b RIGHT ) i RIGHT } =6a+ LEFT ( 2a-4b RIGHT ) i=12]

[eqn: 6a=12]에서 [eqn: a=2]이고 [eqn: 2a-4b=0]에서 [eqn: b=1]가 되어 [eqn: z=2+i]

[eqn: z]를 근으로 갖는 이차방정식은 [eqn: {bar{z}} =2-i]도 근으로 가지므로

두 근의 합은 [eqn: 4], 두 근의 곱은 5

따라서 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식은 [eqn: x ^{2} -4x+5=0]

① [eqn: x ^{2} -2x+2=0] ② [eqn: x ^{2} -2x+3=0]	③ [eqn: x ^{2} -4x+5=0]
④ [eqn: x ^{2} -4x+6=0] ⑤ [eqn: x ^{2} -5x+6=0]

[eqn: 3z-2 {bar{z}} =2+15i]를 만족하는 복소수 [eqn: z]에 대하여 [eqn: z+ {bar{z}}]의 값은? [[eqn: 3.8]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

④

[eqn: z=a+bi,` {bar{z}} =a-bi]를 본 식에 대입하면

[eqn: 3(a+bi)-2(a-bi)=2+15i]이므로

[eqn: 3a-2a=2`,`3b+2b=15]

[eqn: a=2,b=3]이므로 [eqn: z+ {bar{z}} `=2a=4]이다.

[다른 풀이]

[eqn: 3z-2 barz = 2+15 i `]에서 양변 켤레복소수를 취하면

[eqn: 3barz -2 z= 2- 15i]이고 이 두식을 변끼리 더해주면

[eqn: z+barz = 4]이다.

등식 [eqn: LEFT ( 1-i RIGHT ) z+5i {bar{z}} =5-3i]를 만족시키는 복소수 [eqn: z]는?
(단, [eqn: {bar{z}}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.) [4.0점]

① [eqn: i]	② [eqn: 1+i]	③ [eqn: 1-i]
④ [eqn: -1+i]	⑤ [eqn: -1-i]

④

[eqn: z=a+bi]라 하고 주어진 식에 대입하면

[eqn: LEFT ( 1-i RIGHT ) LEFT ( a+bi RIGHT ) +5i LEFT ( a-bi RIGHT ) =5-3i]

⇒ [eqn: LEFT ( a+6b RIGHT ) + LEFT ( 4a+b RIGHT ) i=5-3i]

⇒ [eqn: {cases{a+6b=5&#4a+b=-3&}} ,~ THEREFORE a=-1,~b=1]

[eqn: z=-1+i] 이다.

[eqn: (1 + i) ^2 z +2 = (barz +1)i]를 만족시키는 복소수 [eqn: z]에 대하여 [eqn: z + barz + 1over {(z-barz )i]의 값은? (단, [eqn: i= root-1]) [5.0점]

➃

[eqn: z=a+bi]라 하자.

[eqn: 2iz+z= {bar{z}} i+i]에서

[eqn: 2i LEFT ( a+bi RIGHT ) +2= LEFT ( a-bi RIGHT ) i+i]

[eqn: 2-3b+ LEFT ( a-1 RIGHT ) i=0]

[eqn: a=1], [eqn: b= {2} over {3}]	[eqn: THEREFORE] [eqn: z=1+ {2} over {3} i]

[eqn: z+ {bar{z}} =2], [eqn: z- {bar{z}} = {4} over {3} i]

[eqn: 2+ {1} over {{4} over {3} i TIMES i} =2- {3} over {4} = {5} over {4}]

① [eqn: 14 over27]	② [eqn: 5 over6]	③ [eqn: 19 over21]

④ [eqn: 5 over4]	⑤ [eqn: 9 over7]

복소수 [eqn: z=2x-1+x{i}-i]에 대하여 [eqn: z=- {bar{z}}]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: x]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}], [eqn: {bar{z}}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.) [4.1점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

①

[eqn: z=2x-1+x{i}-i]

[eqn: = (2x-1)+(x-1)i]

[eqn: z=- {bar{z}}]이려면 [eqn: z]의 실수부가 0

[eqn: 2x -1 =0]

[eqn: ∴```x = 1 over 2]

복소수 [eqn: z=x^2 -(4+i)x-5+3i]에 대하여 [eqn: z+ barz =0]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x]의 값의 합은? (단, [eqn: i= sqrt { -1}]이고, [eqn: barz]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.) [[eqn: 3.9]점]

④

[eqn: z+ barz =0]이므로 복소수 [eqn: z]의 실수부분이 [eqn: 0]이다. 따라서

[eqn: z=x^2 -(4+i)x-5+3i = (x^2 -4x-5)+(3-x)i]에서

[eqn: x^2 -4x-5=0]

[eqn: x=`-1`] 또는 [eqn: x=5`]이므로 실수 [eqn: x`]의 값의 합은 [eqn: 4`]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

복소수 [eqn: z= (1+i)x^2 +(3i-1)x +2(i-3)`]가 [eqn: z+ barz =0`]을 만족하도록 하는 실수 [eqn: x`]의 값은? (단, [eqn: z!=0`]이고 [eqn: barz`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.) [3.8점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

②

[eqn: z= (1+i)x^2 +(3i-1)x +2(i-3)`]

[eqn: =(x^2 -x-6)+(x^2 +3x+2)i]

[eqn: =(x-3)(x+2)+(x+1)(x+2)i]

[eqn: barz =(x-3)(x+2)-(x+1)(x+2)i]

[eqn: z + barz = 2(x-3)(x+2)=0]

[eqn: x=3] 또는 [eqn: x=-2]

[eqn: z !=0]이므로 [eqn: x=3]

[eqn: {2-i} over {3+4i} =z]일 때, [eqn: {bar{z}}]를 구하면?

③

풀이) [eqn: {2-i} over {3+4i} = {(2-i)(3-4i)} over {(3+4i)(3-4i)} = {2-11i} over {25}] 이므로

[eqn: bar z = {2+11i} over {25}]

(단, [eqn: i= sqrt {-1}]이고, [eqn: {bar{z}}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.)

① [eqn: {2} over {25} - {11} over {25} i]	② [eqn: {2} over {5} - {11} over {25} i]	③ [eqn: {2} over {25} + {11} over {25} i]
④ [eqn: {2} over {5} + {11} over {25} i]	⑤ [eqn: {2} over {7} + {11} over {25} i]

켤레복소수의 성질과 식의 값

실수가 아닌 두 복소수 [eqn: z,w]가 [eqn: {bar{z}} +w=0]을 만족시킬 때, 항상 허수인 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: {bar{z}} `,` {bar{w}}]는 각각 [eqn: z,`w]의 켤레복소수이다.) [4.8점]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ,ㄷ
④ ㄴ,ㄷ	⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

②

[eqn: z=a+bi,~w=c+di]라고 하면 [eqn: LEFT ( b,~d != 0 RIGHT )]

[eqn: {bar{z}} +w=0~ -> ~ LEFT ( a-bi RIGHT ) +(c+di)=0]

[eqn: LEFT ( a+c RIGHT ) + LEFT ( -b+d RIGHT ) i=0]

[eqn: z=a+bi,~w= LEFT ( -a RIGHT ) +bi]

ㄱ. [eqn: z-w= LEFT ( a+bi RIGHT ) - LEFT { LEFT ( -a RIGHT ) +bi RIGHT } =a+bi+a-bi=2a](실수)

ㄴ.[eqn: z+w=a+bi+ LEFT { LEFT ( -a RIGHT ) +bi RIGHT } =2bi](허수)

ㄷ.[eqn: z {bar{w}} =(a+bi) LEFT { (-a-bi) RIGHT } =-(a+bi) ^{2}]

[eqn: =- LEFT ( a ^{2} +2abi+b ^{2} i ^{2} RIGHT ) =- LEFT ( a ^{2} -b ^{2} RIGHT ) -2abi]

if) [eqn: a=0]이면 실수가 나오므로 항상 허수가 아니다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: z-w]	ㄴ. [eqn: z+w]	ㄷ. [eqn: z {bar{w}}]

실수가 아닌 두 복소수 [eqn: z], [eqn: w`]가 [eqn: z+ {bar{w}} =0`]을 만족시킬 때,
항상 실수인 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?

③

[eqn: z+ {bar{omega }} =0]이므로

[eqn: z=a+bi]라 하면 [eqn: omega =-a+bi]이다.

ㄱ. [eqn: i LEFT ( z+ omega RIGHT ) =i LEFT ( a+bi-a+bi RIGHT ) =i LEFT ( 2bi RIGHT ) =-2b]

ㄴ, [eqn: {bar{z}} omega = LEFT ( a-bi RIGHT ) LEFT ( -a+bi RIGHT ) =- LEFT ( a-bi RIGHT ) ^{2} =-a ^{2} +2abi+b ^{2}]이므로

실수가 아니다.

ㄷ. [eqn: {z} over {{bar{omega }}} = {a+bi} over {-a-bi} =-1]

(단, [eqn: {bar{z}}], [eqn: {bar{w}} `]는 각각 [eqn: z], [eqn: w`]의 켤레복소수이다.) [[eqn: 4.1]점]

[보 기]

ㄱ. [eqn: i LEFT ( z+w RIGHT )]	ㄴ. [eqn: {bar{z}} w]

ㄷ. [eqn: {z} over {{bar{w}}}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

복소수가 실수가 되는 조건

복소수 [eqn: alpha =(2-n-5i) ^{2}]에 대하여 [eqn: alpha ^{2}]이 음의 실수가 되도록 하는 자연수 [eqn: n]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [[eqn: 5.7]점]

③

[eqn: alpha =(2-n-5i) ^{2} =(2-n) ^{2} -25-10(2-n)i# = LEFT ( n ^{2} -4n-21 RIGHT ) -10(2-n)i=(n-7)(n+3)-10(2-n)i]

따라서 [eqn: n]은 [eqn: 2,`7] 중에 하나인데, [eqn: n=2]일 경우 [eqn: alpha =-25], [eqn: alpha ^{ 2}]은 양의 실수가 되므로 모순이다. 따라서 구하고자 하는 값은 [eqn: n=7]이다.

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

복소수 [eqn: z=(1-i)a-(3+2i)]에 대하여 [eqn: z ^{2}]이 음의 실수가 되도록 하는 실수 [eqn: a]의 값은? [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

②

[eqn: z]는 순허수이므로 실수부분이 [eqn: 0]이어야하므로 [eqn: a-3=0]

따라서 [eqn: a=3]

음수의 제곱근

[eqn: sqrt {-3} sqrt {-12}]의 값은? (단, [eqn: i=root-1]이다.) [4.6점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -6i]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 6i]	⑤ [eqn: 6]

①

[eqn: sqrt {-3}root{-12}][eqn: =root{3}i root{12}i][eqn: =-6]

[eqn: sqrt {LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}} + sqrt {-2} sqrt {-8} + {sqrt {6}} over {sqrt {-2}} + {sqrt {-6}} over {sqrt {2}}]을 간단히 하면? [[eqn: 4.1]점]
① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

①

[eqn: sqrt {LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}} + sqrt {-2} sqrt {-8} + {sqrt {6}} over {sqrt {-2}} + {sqrt {-6}} over {sqrt {2}}]

[eqn: =2-4+ sqrt {3} - sqrt {3} =-2]다.

복소수 [eqn: z= sqrt {-2} sqrt {-2} + {sqrt {3}} over {sqrt {-3}}]에 대하여 [eqn: (z+2i)( {bar{z}} -2i)]의 값은? (단, [eqn: {bar{z}}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.) [4.7점]
① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

⑤

[eqn: z= sqrt {-2} sqrt {-2} + {sqrt {-3}} over {sqrt {-3}} =- sqrt {4} +(- sqrt {-1} )=-2-i] 이므로

[eqn: (z+2i)( {bar{z}} -2i)=(-2+i)(-2-i)=4-i ^{2} =5]

[eqn: sqrt {-3} sqrt {-9} + sqrt {3} sqrt {-9} + {sqrt {32}} over {sqrt {-2}} =a+bi`]일 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b`]의 값을 구하고 풀이과정을 논술하시오. (단, [eqn: y= sqrt {-1}]) [[eqn: 5]점]

[eqn: a=-3 sqrt {3}], [eqn: b=3 sqrt {3} -4]

[eqn: sqrt {-3} sqrt {-9} + sqrt {3} sqrt {-9} + {sqrt {32}} over {sqrt {-2}} =-3 sqrt {3} +3 sqrt {3} i-4i]

[eqn: a=-3 sqrt {3}], [eqn: b=3 sqrt {3} -4]

(step2)

4.

복소수의 식의 값(1) - 허수단위의 거듭제곱

[eqn: i ^{2} +2i ^{3} +3i ^{4} + CDOTS +2022i ^{2023} =a+bi]일 때, [eqn: b-3a]의 값은?(단,[eqn: i= sqrt {-1}]이고,[eqn: a,b]는 실수이다.)

① [eqn: 2019]	② [eqn: 2020]	③ [eqn: 2021]
④ [eqn: 2022]	⑤ [eqn: 2023]

③

[eqn: i ^{2} +2i ^{3} +3i ^{4} + CDOTS +2022i ^{2023} =][eqn: (i ^{2} +2i ^{3} +3i ^{4} +4i ^{5} ) TIMES 505`+2021i ^{2022} +2022i ^{2023}]이므로

정리하면 [eqn: -1021i-1011]이므로 [eqn: a=-1011,`b=-1012]

[eqn: b-3a=2021]

실수 [eqn: a,~b`]에 대하여
[eqn: a+bi= 1-i over1+i + left( 1+i over1-i right)^2 + left( 1-i over1+i right)^3 + left( 1+i over1-i right)^4 +]
[eqn: cdots+left( 1+i over1-i right)^100 + left( 1-i over1+i right)^101]
일 때, [eqn: a-bi`]의 값은? (단, [eqn: i=root-1]) [4.5점]

① [eqn: -i]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: i]

⑤

[eqn: 1-i over1+i = }(1-i)^2 over{(1+i)(1-i) } = -2i over2 =-i],

[eqn: 1+i over1-i = }(1+i)^2 over{(1-i)(1+i) } = 2i over2 =i]이므로

[eqn: a+bi= (-i)+i^2 +(-i)^3 +i^4 + cdots + i^100 +(-i)^ 101]

[eqn: =(-i)^101 = -i]

[eqn: a=0,~b=-1]

[eqn: therefore] [eqn: a-bi =i]

두 복소수 [eqn: alpha `,~ beta `]에 대하여 [eqn: {bar{alpha }} +3 beta =i ^{2021} +2i ^{2022} +3i ^{2023} `]일 때, [eqn: {bar{alpha }} alpha +3 {bar{alpha beta }} +3 alpha beta +9 beta {bar{beta `}} `]의 값은? [eqn: (]단, [eqn: {bar{z}} `]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.[eqn: )]

④

[eqn: {bar{alpha }} +3 beta][eqn: =i ^{2021} +2i ^{2022} +3i ^{2023} `]
[eqn: = LEFT ( i ^{4} RIGHT ) ^{505} TIMES i+2 TIMES LEFT ( i ^{4} RIGHT ) ^{505} TIMES i ^{2} +3 TIMES LEFT ( i ^{4} RIGHT ) ^{505} TIMES i ^{3}]
[eqn: =i-2-3i]
[eqn: =it-2-2i]

이므로 [eqn: alpha +3 {bar{beta }} = {bar{LEFT ( {bar{alpha }} +3 beta RIGHT )}} = {bar{-2-2i}} = it -2+2i]

[eqn: THEREFORE ~ {bar{alpha }} alpha +3 {bar{alpha beta }} +3 alpha beta +9 beta {bar{beta `}} `]

[eqn: = {bar{alpha }} LEFT ( alpha +3 {bar{beta `}} RIGHT ) +3 beta LEFT ( alpha +3 {bar{beta `}} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( alpha +3 {bar{beta `}} RIGHT ) LEFT ( {bar{alpha }} +3 beta RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( -2+2i RIGHT ) LEFT ( -2-2i RIGHT )]

[eqn: =4+4=8]

[[eqn: 4.5`]점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

복소수 [eqn: z= {1-i} over {sqrt {2}} `]일 때,

②

[eqn: z ^{`2} =-i,] [eqn: z ^{`4} =-1,] [eqn: z ^{`6} =i,] [eqn: z ^{`8} =1`]임을 이용하자.

[eqn: z ^{18} = LEFT ( z ^{8} RIGHT ) ^{2} TIMES z ^{2} =z ^{2} =-i,] [eqn: z ^{20} = LEFT ( z ^{8} RIGHT ) ^{2} TIMES z ^{4} =-1,]

[eqn: z ^{22} = LEFT ( z ^{8} RIGHT ) ^{2} TIMES z ^{6} =i,] [eqn: z ^{24} = LEFT ( z ^{8} RIGHT ) ^{3} =1,] [eqn: z ^{26} = LEFT ( z ^{8} RIGHT ) ^{3} TIMES z ^{2} =-i,]

[eqn: z ^{28} = LEFT ( z ^{8} RIGHT ) ^{3} TIMES z ^{4} =-1,] [eqn: z ^{30} = LEFT ( z ^{8} RIGHT ) ^{3} TIMES z ^{6} =i]이므로 주어진 식은

[eqn: -18i-20+22i+24-26i-28+30i=-24+8i`]가 되어 [eqn: a=-24,] [eqn: b=8`] [eqn: THEREFORE ``b-a=30]

[eqn: 18z ^{18} +20z ^{20} +22z ^{22} +24z ^{24} +26z ^{26} +28z ^{28} +30z ^{30} =a+bi`]이다. 두 실수 [eqn: a,~b`]에 대하여 [eqn: b-a`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이다.) [[eqn: 5.2]점]

① [eqn: 28]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 32]
④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 36]

복소수 [eqn: z= { 1-i} over { 1+i}]에 대하여
[eqn: 1+z+z^2 +z^3 +`cdots`+z^2025 = a+bi]
일 때, [eqn: a-b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이고, [eqn: i= root-1]이다.) [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

⑤

[eqn: z= { 1-i} over { 1+i}= { LEFT ( 1-i RIGHT ) LEFT ( 1+i RIGHT ) } over { LEFT ( 1+i RIGHT )^2 }= 2 over2i = 1overi = ` { i} over { i^2 }= i over -1 = `-i]

[eqn: a+bi][eqn: =1+z+z^2 +z^3 +`cdots`+z^2025]
[eqn: =1+ LEFT ( -i RIGHT ) + LEFT ( -i RIGHT )^2 + LEFT ( -i RIGHT )^3 +`cdots`+ LEFT ( -i RIGHT )^2025]
[eqn: = LEFT ( 1 -i -1 +i RIGHT )times506 + LEFT ( -i RIGHT )^2024 + LEFT ( -i RIGHT )^2025]
[eqn: =1-i]

따라서 [eqn: a=1], [eqn: b= `-1]

그러므로 [eqn: a-b= 1- LEFT ( -1 RIGHT )=2]이다.

[eqn: i+2i ^{2} +3i ^{3} +4i ^{4} + CDOTS +20i ^{20} =a+bi] ([eqn: i= sqrt {-1}])일 때, [eqn: ab]의 값은? (단,[eqn: a,b]는 실수) [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: -100]	② [eqn: -50]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 100]

①

[eqn: i+2i ^{2} +3i ^{3} +4i ^{4} =i-2-3i+4=2-2i]

[eqn: 4]개씩 5번 반복되므로 [eqn: (2-2i) TIMES5=10-10i]

[eqn: a=10, b=-10] [eqn: ab=-100]

[eqn: z= {1-i} over {sqrt {2}}]일 때, [eqn: z ^{2} +z ^{4} +z ^{6} +z ^{8} +` CDOTS `+z ^{98} +z ^{100}]의 값은? [[eqn: 5.0]점]

①

[eqn: z= {1-i} over {sqrt {2}}]에서 [eqn: z ^{2} = {-2i} over {2} =it-i]이므로

[eqn: z ^{4} = LEFT ( -i RIGHT ) ^{2} =it-1], [eqn: z ^{6} =i], [eqn: z ^{8} =1]이 되어

연속된 [eqn: 4]개의 합은 [eqn: -i-1+i+1=0]

따라서 [eqn: z ^{2} +z ^{4} +z ^{6} +z ^{8} +` CDOTS `+z ^{98} +z ^{100}]는 총항이 [eqn: 50]개이므로

[eqn: 50=4·12+2]로 [eqn: z ^{2} +z ^{4} +12·0=it-i-1]

① [eqn: -1-i]	② [eqn: -i]	③ [eqn: -1]
④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

[eqn: z= {1+i} over {sqrt {2}}]일 때, [eqn: z ^{2024}]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.) [3.8점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: -1]
④ [eqn: i]	⑤ [eqn: -i]

①

[eqn: z ^{2} = {LEFT ( 1+i RIGHT ) ^{2}} over {2} =i]이므로, [eqn: LEFT ( z ^{2} RIGHT ) ^{4} =z ^{8} =1]이므로
[eqn: z ^{2024} = LEFT ( z ^{8} RIGHT ) ^{153} =1]

[eqn: z=1+i`]일 때, [eqn: z^ 16 + left(z over{barz} right)^2026 `]값은? [4.2점]

① [eqn: 155]	② [eqn: 205]	③ [eqn: 255]
④ [eqn: 305]	⑤ [eqn: 355]

③

[eqn: z=1+i`]일 때 [eqn: z^2 =2i]이므로

[eqn: z^16 =(2i)^ 8 =2^8 =256]

[eqn: barz =1-i]

[eqn: z over barz = 1+i over1-i = 2i over2 =i]

[eqn: left(z over barz right)^2026 = i^2026 =i^2 =-1]

[eqn: therefore] [eqn: z^ 16 + left(z over{barz} right)^2026 ` =255]

복소수의 식의 값(2) - [eqn: w^3]의 값

두 복소수 [eqn: z _{1} = {1+i} over {sqrt {2}}], [eqn: z _{2} = {-1+ sqrt {3} i} over {2}]에 대하여 [eqn: z _{1}^{n} =z _{2}^{n}]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하고, 그 과정을 논술하시오. (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [[eqn: 5.0]점]

[eqn: 24]

[eqn: z _{1} = {1+i} over {sqrt {2}}]이므로 [eqn: z _{1}^{2} = {2i} over {2} =i], [eqn: z _{1}^{4} =-1], [eqn: z _{1}^{8} =1]이다.

[eqn: z _{2} = {-1+ sqrt {3} i} over {2}]이므로 [eqn: z _{2}^{2} = {-1- sqrt {3} i} over {2}], [eqn: z _{2}^{3} =1]이다.

따라서 조건을 만족하려면 구하고자 하는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 3 TIMES 8=24]다.

[eqn: LEFT ( {sqrt {2}} over {1+i} RIGHT ) ^{n} + LEFT ( {-1+ sqrt {3} i} over {2} RIGHT ) ^{n} =2`]를 만족시키는 두 자리의 자연수 [eqn: n`]의 개수는? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

①

[eqn: LEFT ( {sqrt {2}} over {1+i} RIGHT ) ^{n} + LEFT ( {-1+ sqrt {3} i} over {2} RIGHT ) ^{n} = LEFT { LEFT ( {sqrt {2}} over {1+i} RIGHT ) ^{2} RIGHT } ^{{n} over {2}} + LEFT { LEFT ( {-1+ sqrt {3} i} over {2} RIGHT ) ^{3} RIGHT } ^{{n} over {3}}]

[eqn: i ^{{n} over {2}} +1 ^{{n} over {3}} = LEFT { LEFT ( i RIGHT ) ^{4} RIGHT } ^{{n} over {8}} +1 ^{{n} over {3}} =2]이므로 [eqn: n]은 [eqn: 24]의 배수여야 한다.

따라서 [eqn: 24], [eqn: 48], [eqn: 72], [eqn: 96], 총 [eqn: 4]개다.

[eqn: 1000] 이하의 자연수 [eqn: n`,~k`]에 대하여 [eqn: LEFT ( 1+ sqrt {3} i RIGHT ) ^{n} =16 ^{k} `]가 성립할 때, 순서쌍 [eqn: LEFT ( n`,~k RIGHT ) `]의 개수는? [[eqn: 5.0`]점]
① [eqn: 72]	② [eqn: 83]	③ [eqn: 100]
④ [eqn: 122]	⑤ [eqn: 136]

②

[eqn: LEFT ( 1+ sqrt {3} i RIGHT ) ^{n} `]에서

[eqn: n=1`]일 때, [eqn: 1+ sqrt {3} i]

[eqn: n=2`]일 때, [eqn: LEFT ( 1+ sqrt {3} i RIGHT ) ^{2} =it-2+2 sqrt {3} i]

[eqn: n=3`]일 때, [eqn: LEFT ( 1+ sqrt {3} i RIGHT ) ^{3}][eqn: = LEFT ( -2+2 sqrt {3} i RIGHT ) LEFT ( 1+ sqrt {3} i RIGHT )]
[eqn: =it-8]

따라서 [eqn: n=3m`][eqn: (][eqn: m`]은 자연수[eqn: )`]일 때, [eqn: LEFT ( 1+ sqrt {3} i RIGHT ) ^{n} `]의 값은 음의 정수

이고, [eqn: n=6m`]일 때, [eqn: (][eqn: m`]은 자연수[eqn: )`]의 값은 양의 정수이다.

즉, [eqn: LEFT ( 1+ sqrt {3} i RIGHT ) ^{6m} = LEFT { LEFT ( 1+ sqrt {3} i RIGHT ) ^{6} RIGHT } ^{m} =16 ^{k}]

에서 [eqn: 64 ^{m} =16 ^{k} `,~ LEFT ( 2 ^{6} RIGHT ) ^{m} = LEFT ( 2 ^{4} RIGHT ) ^{k} `,] [eqn: 2 ^{6m} =2 ^{4k}]

[eqn: THEREFORE ~6m=4k``(m`,~k`]는 자연수[eqn: )]

따라서 [eqn: m`]은 [eqn: 2`]의 배수, [eqn: k`]는 [eqn: 3`]의 배수이고,

[eqn: 1 LEQ 6m LEQ 1000`]에서 [eqn: {1} over {6} LEQ m LEQ {1000} over {6}]

이므로 자연수 [eqn: m`,~k`]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( m`,~k RIGHT ) `]는

[eqn: LEFT ( 2`,~3 RIGHT ) `,~ LEFT ( 4`,~6 RIGHT ) `,~ LEFT ( 6`,~9 RIGHT ) `,`` CDOTS `,~ LEFT ( 163`,~249 RIGHT )]

따라서 순서쌍 [eqn: LEFT ( n`,~k RIGHT ) `]는

[eqn: LEFT ( 12`,~3 RIGHT ) `,~ LEFT ( 24`,~6 RIGHT ) `,~ LEFT ( 36`,~9 RIGHT ) `,`` CDOTS `,~ LEFT ( 978`,~249 RIGHT )]

의 [eqn: 83`]개이다.

[eqn: LEFT ( 1+ sqrt {3} i RIGHT ) ^{n} =16 ^{k} `]에서

[eqn: 1+ sqrt {3} i=x`]라 하면 [eqn: x-1= sqrt {3} i]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: x ^{2} -2x+1=it-3`,~x ^{2} -2x+4=0]

이때 [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -2x+4 RIGHT ) =0`,~x ^{3} +8=0]

[eqn: THEREFORE ~x ^{3} =it-8]

따라서 [eqn: x ^{6} = LEFT ( -8 RIGHT ) ^{2} =64`]이므로 [eqn: LEFT ( 1+ sqrt {3} i RIGHT ) ^{6} =64]

따라서 [eqn: n`]이 [eqn: 6`]의 배수일 때, [eqn: LEFT ( 1+ sqrt {3} i RIGHT ) ^{n} `]의 값은 양의 정수이다.

이때, [eqn: LEFT ( 1+ sqrt {3} i RIGHT ) ^{n} =16 ^{k} `]에서

[eqn: LEFT { LEFT ( 1+ sqrt {3} i RIGHT ) ^{6} RIGHT } ^{{n} over {6}} =16 ^{k} `,] [eqn: 64 ^{{n} over {6}} =16 ^{k}]

[eqn: LEFT ( 2 ^{6} RIGHT ) ^{{n} over {6}} = LEFT ( 2 ^{4} RIGHT ) ^{k} ``,~2 ^{n} =2 ^{4k}]

이때, [eqn: n`]은 [eqn: 6`]의 배수이고 [eqn: 4k`]는 [eqn: 4`]의 배수이므로

조건을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]은 [eqn: 6`]과 [eqn: 4`]의 최소공배수인 [eqn: 12`]의 배수

이다.

한편, [eqn: 1000=12 TIMES 83+4`]이므로 조건을 만족시키는 [eqn: 1000`]이하의

두 자연수 [eqn: n,~k`]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( n`,~k RIGHT ) `]의 개수는 [eqn: 83`]개이다.

복소수 [eqn: z= { - sqrt { 3} +i} over { 2}]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: i= sqrt { -1}]이고, [eqn: barz]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다. [[eqn: 4.2]점]

①

ㄱ. (O)

[eqn: z^3 = {-3 sqrt { 3} +9i +3 sqrt { 3} -i } over 8 = i]

ㄴ. (X)

[eqn: z^3 times LEFT ( barz RIGHT )^3 = z^3 times bar{(z^3 )} = i times (-i) =1]

ㄷ. (X)

[eqn: z^6 = -1,~ z^6 +1=0]

[eqn: (z^2 +1)(z^4 -z^2 +1)=0]

[eqn: z^2 +1 ne0]이므로 [eqn: z^4 -z^2 +1=0]

[eqn: (z+z^3 +z^5 )(z^2 +z^4 +z^6 )][eqn: =z^3 (1+z^2 +z^4 )^2][eqn: =z^3 (2 z^2 )^2]
[eqn: =4z^7 = -4z][eqn: =2 sqrt { 3} -2i]

<보 기>

ㄱ. [eqn: z^3 =i]

ㄴ. [eqn: z^3 times (barz )^3 =-1]

ㄷ. [eqn: (z+z^3 +z^5 )(z^2 +z^4 +z^6 )=2 sqrt { 3} +2i]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

복소수 [eqn: z= {1- sqrt {3} i} over {2}]에 대하여 다음 값은?

④

풀이) [eqn: z= {1- sqrt {3} i} over {2}]

[eqn: z ^{n} +z ^{2n} +z ^{3n} =-1]을 만족시키는 [eqn: 100]이하의 모든 자연수

[eqn: n]의 개수

[eqn: z= {1- sqrt {3} i} over {2}]에 대하여

[eqn: z ^{2} = LEFT ( {1- sqrt {3} i} over {2} RIGHT ) ^{2} = {-2-2 sqrt {3} i} over {4} = {-1- sqrt {3} i} over {2}]

[eqn: z ^{3} =z` ^{2} ·`z= {-1- sqrt {3} i} over {2} cdot {1- sqrt {3} i} over {2} =-1]

[eqn: VDOTS]이므로

[eqn: z^3 = -1] [eqn: z ^{2} -z+1 = 0] 이고, [eqn: z^6 = 1] 이므로

자연수 [eqn: k]에 대하여

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,

[eqn: z +z ^{2} +z^3 =z +z ^{2} -1 = 2z -2]

(ⅱ) [eqn: n=2]일 때,

[eqn: z ^{2} +z ^{4} +z ^{6} = z ^{2} -z ^{} +1 =0]

(ⅲ) [eqn: n=3]일 때,

[eqn: z ^{3} +z ^{6} +z ^{9} =(-1) + 1 +(-1) = -1]

(ⅳ) [eqn: n=4]일 때,

[eqn: z^4 +z ^{8} +z ^{12} = -z-z ^{2} +1= -2z+2]

(ⅴ) [eqn: n=5]일 때,

[eqn: z ^{5} +z ^{10} +z ^{15} = -z ^{2} +z ^{} -1 =0]

(ⅵ) [eqn: n=6]일 때,

[eqn: z ^{6} +z ^{12} +z ^{18} =1 + 1 +1 = 3]

이므로

이상에서 [eqn: z ^{n} +z ^{2n} +z ^{3n} =-1]을 성립하도록 하는 [eqn: n]은 [eqn: 3]의 배수에서 [eqn: 6]의 배수를 제외한 수이므로 [eqn: 100] 이하의 자연수 [eqn: n]의 개수는

[eqn: 33-16=17]

(단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 66]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 32]
④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 16]

[eqn: z ^{n} +z ^{2n} +z ^{3n} =-1]을 만족시키는 [eqn: 100]이하의 모든 자연수

[eqn: n]의 개수

복소수의 식의 값(3) - 여러가지 식의 값

두 복소수 [eqn: alpha= {2i} over {1+i}], [eqn: beta= {2i} over {1-i} `]에 대하여
[eqn: LEFT ( 2alpha ^{2} +beta RIGHT ) LEFT ( 2beta ^{2} +alpha RIGHT ) `]의 값을 [eqn: a+bi`]라 할 때, 실수 [eqn: a`]와 [eqn: b`]에 대하여
[eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 20]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 22]
④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 24]

③

[eqn: alpha = {2i LEFT ( 1-i RIGHT )} over {LEFT ( 1+i RIGHT ) LEFT ( 1-i RIGHT )} = {2 LEFT ( 1+i RIGHT )} over {2} =1+i], [eqn: alpha ^{2} =2i]

[eqn: beta = {2i LEFT ( 1+i RIGHT )} over {LEFT ( 1-i RIGHT ) LEFT ( 1+i RIGHT )} = {2 LEFT ( i-1 RIGHT )} over {2} =i-1], [eqn: beta ^{2} =-2i]

[eqn: LEFT ( 2 alpha ^{2} + beta RIGHT ) LEFT ( 2 beta ^{2} + alpha RIGHT ) = LEFT ( 4i+i-1 RIGHT ) LEFT ( -4i+1+i RIGHT ) = LEFT ( 5i-1 RIGHT ) LEFT ( -3i+1 RIGHT )]

[eqn: =15+3i+5i-1=14+8i]

[eqn: a=14], [eqn: b=8]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b=22]

두 복소수 [eqn: z_1], [eqn: z_2]에 대하여 [eqn: z_1bar{z_2}=1], [eqn: z_1+{1}over{bar{z_1}}=-3i]일 때, [eqn: bar{z_2}+{1}over{z_2}]의 값은? (단, [eqn: i=root-1]이고, [eqn: barz]는 복소수 [eqn: z]의 켤레복소수이다.) [4.9점]

① [eqn: -4i]	② [eqn: -3i]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 3i]	⑤ [eqn: 4i]

④

[eqn: z_1 bar{z_2}=1] 이므로 [eqn: z_1={1}over{bar{z_2}}] 이고, [eqn: bar{z_2}={1}over{z_1}], [eqn: z_2 ={1}over{bar{z_1}}] 이다.

[eqn: z_1 +{1}over{bar{z_1}}={1}over{bar{z_2}}+z_2 =-3i] 이므로, [eqn: bar{z_2}+{1}over{z_2}=3i] 이다.

자연수 [eqn: n]과 실수부분이 [eqn: 0]이 아닌 복소수 [eqn: z]에 대하여

[eqn: 12-26i]

[eqn: { (z- barz )i^3 - (z + barz )i} over { z}= { (z- barz )(-i) - (z + barz )i} over { z}= -2i]

[eqn: f(n) = (-2i)^n]

[eqn: f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)][eqn: = -2i -4 +8i +16 -32i]
[eqn: =12-26i]

[eqn: f(n) = LEFT { { (z- barz )i^3 - (z + barz )i} over { z} RIGHT }^n]

이라 할 때, [eqn: f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: i= sqrt { -1}]이고, [eqn: barz]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.) [[eqn: 8.0]점]

복소수 [eqn: z]에 대하여 [eqn: z+ bar{z} <0], [eqn: z ^{2} =-8+8 sqrt {3} i]일 때, [eqn: z ^{3} +16z-9+ {160} over {z}]의 값은? (단, [eqn: bar{z}]는 [eqn: z]의 켤레복소수) [4.5점]

⑤

[eqn: z=a+bi]라 할 때, 주어진 조건에 의해 [eqn: a ^{2} -b ^{2} =-8], [eqn: ab=4 sqrt {3}]
[eqn: b= {4 sqrt {3}} over {a}]을 대입하면 [eqn: a ^{4} +8a ^{2} -48=0]이므로 [eqn: a ^{2} =4]
[eqn: z+ bar{z} <0]이므로 [eqn: a<0]이다. 그러므로 [eqn: a=-2],[eqn: b=-2 sqrt {3}]
그러므로 [eqn: z=-2-2 sqrt {3} i]
[eqn: z ^{2} =-8+8 sqrt {3} i]에서 [eqn: z ^{2} +8=8 sqrt {3} i]를 양변 제곱해서 정리하면
[eqn: z ^{4} +16z ^{2} =-256]이다.
주어진 식을 정리하면
[eqn: {1} over {z} (z ^{4} +16z ^{2} -9z+160)]에 값을 대입해 정리하면 [eqn: 3-12 sqrt {3} i]

① [eqn: 2-4 sqrt {3} i]	② [eqn: 2-8 sqrt {3} i]	③ [eqn: 3-4 sqrt {3} i]

④ [eqn: 3-8 sqrt {3} i]	⑤ [eqn: 3-12 sqrt {3} i]

켤레복소수의 성질과 식의 값

두 복소수 [eqn: alpha `,~ beta `]에 대하여 [보기]에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4.6`]점]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

④

ㄱ. [eqn: {bar{alpha }} =1`,~ {bar{beta `}} =i`]일 때, [eqn: {bar{alpha }} ^{`2} + {bar{beta `}} ^{`2} =1 ^{2} +i ^{2} =1+ LEFT ( -1 RIGHT ) =0`]

그런데 [eqn: alpha =1`,~ beta =it-i`]이므로 [eqn: alpha != 0`,~ beta != 0] (거짓)

ㄴ. [eqn: alpha beta =0`]일 때, [eqn: alpha =0] 또는 [eqn: beta =0] (참)

ㄷ. [eqn: alpha =a+bi``(a`,~b`]는 실수[eqn: )`]라 하면 [eqn: beta = {bar{alpha }} =a-bi]

[eqn: THEREFORE ~ alpha + beta][eqn: = LEFT ( a+bi RIGHT ) + LEFT ( a-bi RIGHT )]
[eqn: =2a`]

이므로 실수이다. (참)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: {bar{alpha }} ^{`2} + {bar{beta `}} ^{`2} =0`]이면 [eqn: alpha = beta =0`]이다.

ㄴ. [eqn: alpha beta =0`]이면 [eqn: alpha =0] 또는 [eqn: beta =0`]이다.

ㄷ. [eqn: alpha = {bar{beta `}}]이면 [eqn: alpha + beta `]는 실수이다.

복소수 [eqn: z]에 대하여 [eqn: bar{z} =-z]일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: bar{z}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.) [4.3점]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

⑤

ㄱ. [eqn: z+ bar{z} =z-z=0] 참.

ㄴ. [eqn: bar{z} =-z]는 [eqn: z=a+bi]라 두면 [eqn: a-bi=-a-bi]이므로 [eqn: a=0]

즉 [eqn: z]는 순허수. 그러므로 [eqn: z ^{2} <0] 참.

ㄷ. [eqn: z=bi]라 두면 [eqn: z ^{2} =-b ^{2} <`- {1} over {4}], [eqn: b> {1} over {2}]

[eqn: LEFT ( 1+z RIGHT ) LEFT ( 1+ bar{z} RIGHT ) =1+ LEFT ( z+ bar{z} RIGHT ) +z bar{z} =1+bi LEFT ( -bi RIGHT ) =1+b ^{2} > {5} over {4}] 참.

[보 기]

ㄱ. [eqn: z+ bar{z} =0]

ㄴ. [eqn: z ^{2}]은 음수이다.

ㄷ. [eqn: z ^{2} <`- {1} over {4}]이면, [eqn: LEFT ( 1+z RIGHT ) LEFT ( 1+ bar{z} RIGHT ) > {5} over {4}]이다.

복소수 [eqn: z=a+bi] ([eqn: a,b]는 [eqn: 0]이 아닌 실수)에 대하여 [eqn: z ^{2} - bar{z}]가 실수일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: bar{z}]는 [eqn: z]의 켤레복소수) [4.0점]

③

[eqn: z=a+bi]라 하면 [eqn: z ^{2} - bar{z}]의 허수부분은 [eqn: b(2a+1)]이 된다.
[eqn: b != 0]이므로 [eqn: a=- {1} over {2}]
그러므로 [eqn: z=- {1} over {2} +bi]
ㄱ)[eqn: z ^{2} - bar{z}]가 실수이므로 켤레복소수인 [eqn: bar{z} ^{2} -z]도 실수이다.
ㄴ)[eqn: z+ bar{z} =-1]
ㄷ)[eqn: z bar{z} = {1} over {4} +b ^{2} >0]

(ㄱ) [eqn: bar{z} ^{2} -z]는 실수이다.

(ㄴ) [eqn: z+ bar{z} =1]
(ㄷ) [eqn: z bar{z} > {1} over {4}]

① ㄱ	② ㄱ,ㄴ	③ ㄱ,ㄷ

④ ㄴ,ㄷ	⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

복소수 [eqn: z]에 대하여 <보기>에서 옳은 것의 개수는? (단, [eqn: i= sqrt { -1}]이고 [eqn: barz]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.) [[eqn: 4.6]점]

④

ㄱ. (O)

[eqn: barz `^3 = bar{z^3}]이므로 [eqn: barz `^3]는 [eqn: z^3]의 켤레복소수이다.

ㄴ. (O)

[eqn: z= a+bi] ([eqn: a,```b]는 실수)라고 하면

[eqn: barz = a-bi]

[eqn: z barz = a^2 +b^2 =0]이므로 [eqn: a=0,```b=0,```z=0]

ㄷ. (O)

[eqn: z barz = 1]에서 [eqn: 1over z = barz]

[eqn: LEFT ( z - 1over z RIGHT )^2 = (z- barz )^2 =(z+ barz )^2 -4z barz]이므로 실수이다.

ㄹ. (X)

[eqn: z=a+bi] ([eqn: a,```b]는 실수)라 하면

[eqn: z^2 +barz =0]

[eqn: a^2 -b^2 +2abi +a-bi=0]

[eqn: a^2 -b^2 +a=0,~2ab-b=0]

[eqn: (a,```b)= LEFT ( 1over2 ,``` +- sqrt { 3} over 2 RIGHT ),``` LEFT ( 0,```0 RIGHT ),``` LEFT ( -1,```0 RIGHT )]	[eqn: therefore```][eqn: 4]개

<다른풀이>

ㄹ. [eqn: z^2 +barz =0]

[eqn: bar{(z^2 +barz )} = bar0 ,~ left({barz} right)`^2 +z = 0]

[eqn: (z^2 +barz )-left{ left({barz} right)`^2 +z right} =0]

[eqn: (z -barz )(z+ barz -1)=0]

(i) [eqn: z= barz]

[eqn: z^2 +z=0,~ therefore```z=-1,```0]

(ii) [eqn: z+ barz =1]

[eqn: z^2 -z+1=0,~ therefore```z = { 1+- sqrt { 3}i } over { 2}]

ㅁ. (O)

[eqn: z^2 +barz `^2 =0 ,~ z barz =2]

[eqn: LEFT ( z +barz RIGHT )^2 = z^2 +barz `^2 +2z barz = 4]

[eqn: z +barz =+-2]

[eqn: z,```barz]는 이차방정식 [eqn: x^2 +2x+2=0] 또는 [eqn: x^2 -2x+2=0]의

두 근이다. 따라서

[eqn: z= 1+-i ,```-1+-i]	[eqn: therefore```][eqn: 4]개

<다른풀이>

[eqn: z=a+bi] ([eqn: a,```b]는 실수)라 하면

[eqn: z^2 +barz `^2 =0 ,~ z barz =2]

[eqn: a^2 -b^2 =0,~a^2 +b^2 =2]

[eqn: (a^2 ,```b^2 )=(1,```1)]

[eqn: (a ,```b)=(1,```1),```(1,`-1),```(-1,```1),```(-1,`-1)]

[eqn: z= 1+i,``` 1-i ,```-1+i,``` -1-i]	[eqn: therefore```][eqn: 4]개

<보 기>

ㄱ. [eqn: z^3 + barz `^3]은 실수이다.

ㄴ. [eqn: z barz =0]이면 [eqn: z=0]이다.

ㄷ. [eqn: z barz =1]을 만족시킬 때, [eqn: LEFT ( z - 1over z RIGHT )^2]은 항상 실수이다.

ㄹ. [eqn: z^2 = -barz]를 만족하는 복소수 [eqn: z]의 개수는 [eqn: 2]이다.

ㅁ. [eqn: z^2 + barz `^2 = 0]와 [eqn: z barz =2]를 만족시키는 복소수 [eqn: z]의 개수는
[eqn: 4]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

복소수 [eqn: z]와 그 켤레복소수 [eqn: {bar{z}}]에 관한 설명 중 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은? [4.5점]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ, ㄷ	③ ㄱ, ㄴ, ㄹ
④ ㄱ, ㄷ, ㄹ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ

③

ㄱ. [eqn: z=a+bi]라 하면 [eqn: z= {bar{z}}] 을 만족하려면 [eqn: b=0] 이어야 하므로 [eqn: z]는 실수이다. 따라서 [eqn: z ^{2} GEQ 0] 은 참이다.

ㄴ. [eqn: z ^{2} <0]을 만족하려면 [eqn: z]는 순허수이어야 하므로 [eqn: z+ {bar{z}} =0] 이므로 참이다.

ㄷ. [eqn: z ^{2} - {bar{z}} ^{2} = LEFT ( a+bi RIGHT ) ^{2} - LEFT ( a-bi RIGHT ) ^{2} =4abi] 이 때 [eqn: a,~b]는 [eqn: 0]이 될 수도 있고 아닐 수 도 있으므로 항상 허수가 되지 않는다.

ㄹ. [eqn: {1} over {z} + {1} over {{bar{z}}} = {2a} over {a ^{2} +b ^{2}}] 이므로 항상 실수이다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: z= {bar{z}}] 이면 [eqn: z ^{2} GEQ 0]이다.

ㄴ. [eqn: z ^{2} <0] 이면 [eqn: z+ {bar{z}} =0]이다.

ㄷ. [eqn: z ^{2} - {bar{z}} ^{2}]은 항상 허수이다.

ㄹ. [eqn: {1} over {z} + {1} over {{bar{z}}}]은 항상 실수이다. (단, [eqn: z!=0])

복소수가 실수가 되는 조건

[eqn: 5]이하의 두 자연수 [eqn: m,```n]에 대하여 복소수 [eqn: z]를 [eqn: z=(m+n)+(m-n+4)i]라 하자. [eqn: z^2 -30i]가 실수가 되도록 하는 [eqn: m,n]의 모든 순서쌍 [eqn: (m,n)]을 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (단, [eqn: i=root-1]이다.) [5.0점]

(2, 1), (2, 3)

[eqn: z^2 -30i]이 실수가 되려면 [eqn: z^2 -30i]의 허수부분이 [eqn: 0]이 되어야 하므로, [eqn: 2(m+n)(m-n+4)-30=0] [eqn: (m+n)(m-n+4)=15]이고, [eqn: m+n]은 2이상 10이하인 자연수 이므로, [eqn: m+n=3, m-n+4=5] 또는 [eqn: m+n=5, m-n+4=3]이어야 한다.

[eqn: m+n=3, m-n+4=5] 일 때, 5 이하의 두 자연수 [eqn: m,n]의 순서쌍은 (2,1) [eqn: m+n=5, m-n+4=3]일 때, 5이하의 두 자연수 [eqn: m,n]의 순서쌍은 (2,3) 이므로 모든 순서쌍은 (2,1), (2,3) 이다.

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -4x+a=0]의 한 근 [eqn: z]가 [eqn: LEFT ( k+z RIGHT ) ^{2} <0,`` LEFT ( 3i+z RIGHT ) ^{2} >0] 을 만족시킬 때, [eqn: k]와 [eqn: a]의 값의 합은? (단, [eqn: k]와 [eqn: a]는 실수이고 [eqn: i= sqrt {-1}]이다.) [[eqn: 4.0]점]

③

[풀이]

[eqn: z=2+- sqrt {4-a}]

[eqn: LEFT ( k+z RIGHT ) ^{2} <0], 즉 [eqn: LEFT ( k+2 +- sqrt {4-a} RIGHT ) ^{2} <0`]이다. 순허수의 제곱이 음수이므로

[eqn: k+2=0], [eqn: 4-a<0], [eqn: a>4], [eqn: k=-2]

[eqn: LEFT ( 3i+z RIGHT ) ^{2} >0], 즉 [eqn: LEFT ( 3i+2 +- sqrt {4-a} RIGHT ) ^{2}]이 양수이면 [eqn: 3i+2 +- sqrt {a-4} i] 가 실수이다.

[eqn: 3i +- sqrt {a-4} i=0]

[eqn: sqrt {a-4} >0`]이므로 [eqn: sqrt {a-4} =3`]

[eqn: a=13]

[eqn: k+a=13-2=11]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]
④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

다음 조건을 만족시키는 [eqn: 30] 이하의 두 자연수 [eqn: m,n]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( m,n RIGHT )]의 개수는? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이다) [[eqn: 4.0]점]

⑤

[풀이]

[eqn: z ^{2} alpha ^{2}]이 음의 실수이므로 [eqn: z alpha]는 순허수이다.

[eqn: alpha =m+n`i``(m,n은`자연수)]이므로

[eqn: z alpha = LEFT ( 18+12i RIGHT ) LEFT ( m+n`i RIGHT ) =18m-12n+ LEFT ( 18n+12m RIGHT ) i]이 된다.

[eqn: 18m=12n,``3m=2n]

[eqn: m=1]부터 대입해서 알아보면

[eqn: m=2,`n=3]

[eqn: m=4,`n=6]

[eqn: m=6,`n=9]

[eqn: m=8,`n=12]

[eqn: m=10,`n=15]

[eqn: m=12,n=18]

[eqn: m=14,`n=21]

[eqn: m=16,`n=24]

[eqn: m=18,`n=27]

[eqn: m=20,`n=30]

[eqn: 30]이하의 자연수의 순서쌍의 개수는 [eqn: 10]쌍이 된다.

(가) [eqn: alpha =m+`n`i]

(나) [eqn: z=18+12i]에 대하여 [eqn: z ^{2} alpha ^{2}]은 음의 실수이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

서로 같은 복소수

두 자연수 [eqn: a`,~b`]에 대하여 [eqn: LEFT ( a+bi RIGHT ) ^{3} =it-54+54i`]가 성립할 때, [eqn: {i} over {a+bi} - {1-5i} over {6} `]를 간단히 하면? [[eqn: 4.5`]점]
① [eqn: -2i]	② [eqn: -i]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: i]	⑤ [eqn: 2i]

④

[eqn: LEFT ( a+bi RIGHT ) ^{3}][eqn: =a ^{3} +3 TIMES a TIMES bi TIMES LEFT ( a+bi RIGHT ) + LEFT ( bi RIGHT ) ^{3}]
[eqn: =a ^{3} +3a ^{2} bi-3ab ^{2} -b ^{3} i]
[eqn: = LEFT ( a ^{3} -3ab ^{2} RIGHT ) + LEFT ( 3a ^{2} b-b ^{3} RIGHT ) i]
[eqn: =it-54+54i]

이때, 복소수가 서로 같을 조건에 의하여

[eqn: a ^{3} -3ab ^{2} = it -54]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

[eqn: 3a ^{2} b-b ^{3} =54]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

㉠[eqn: +]㉡을 하면

[eqn: a ^{3} +3a ^{2} b-3ab ^{2} -b ^{3} =0]

[eqn: LEFT ( a ^{3} -b ^{3} RIGHT ) +3ab LEFT ( a-b RIGHT ) =0`,~ LEFT ( a-b RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +ab+b ^{2} RIGHT ) +3ab LEFT ( a-b RIGHT ) =0]

[eqn: LEFT ( a-b RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +4ab+b ^{2} RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ~a=b] 또는 [eqn: a ^{2} +4ab+b ^{2} =0]

그런데 [eqn: a`,~b`]는 자연수이므로 [eqn: a ^{2} +4ab+b ^{2} >0]

[eqn: THEREFORE ~a=b]

㉠에서 [eqn: a ^{3} -3a TIMESa ^{2} = it -54`,~-2a ^{3} = it -54`,]

[eqn: a ^{3} =27] [eqn: THEREFORE ~a=3``( BECAUSE] [eqn: a`]는 자연수[eqn: )]

즉, [eqn: a=b=3]

[eqn: THEREFORE ~ {i} over {a+bi} - {1-5i} over {6} `]

[eqn: = {i} over {3+3i} - {1-5i} over {6}]

[eqn: = {i} over {3 LEFT ( 1+i RIGHT )} TIMES {1-i} over {1-i} - {1-5i} over {6}]

[eqn: = {i+1} over {6} - {1-5i} over {6}]

[eqn: = {6i} over {6} =i]

복소수의 활용

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2x+k=0]이 서로 다른 두 허근을 가질 때, 한 허근을 [eqn: alpha]라 하자.복소수 [eqn: z=a ^{2} +2]에 대하여
[eqn: z TIMES {bar{z}} =24]일 때, 실수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: {bar{z}}]는 [eqn: z]의 켤레복소수이다.)[[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

④

방정식 [eqn: x ^{3} +1= LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT ) =0]의 한 허근을 [eqn: omega]라 할 때,

[eqn: omega ^{3} +1=0,` omega ^{2} - omega +1=0]

[eqn: omega ^{3} =-1,` omega ^{2} = omega -1]을 대입하여 정리하면
[eqn: 4 omega ^{3} -3 omega ^{2} +5 omega -1=a omega +b]

[eqn: -4-3 omega +3+5 omega -1=-2+2 omega]
[eqn: a=2,~b=-2]이므로
[eqn: {cases{``2x+y=10&#``2x ^{2} +2y ^{2} =50&}}]를 풀면 만족하는 [eqn: (x,~y)]의 순서쌍은
[eqn: (3,~4),~(5,~0)] 최댓값은 [eqn: alpha + beta =7]

복소수 [eqn: z= 1over root2 + 1 overroot2 i]에 대하여 [eqn: z^n + (z- root2 ) ^n =0]을 만족하는 [eqn: 20]이하의 자연수 [eqn: n]을 구하는 과정이다. 다음 물음에 답하시오. (단, [eqn: i= root-1 )] [총 6.0점]

(1)

[eqn: n]	[eqn: z^n]	[eqn: (z-root2 ) ^n]	[eqn: z^n + (z- root2 ) ^n]
[eqn: 1]	[eqn: 1 overroot2 + 1 over root2 i]	[eqn: - 1overroot2 + 1 over root2 i]	㉠ [eqn: sqrt {2} i]
[eqn: 2]	[eqn: i]	㉡ [eqn: -i]
[eqn: 3]	[eqn: - {1} over {sqrt {2}} + {1} over {sqrt {2}} i]	[eqn: 1 overroot2 + 1 over root2 i]	㉢ [eqn: sqrt {2} i]
[eqn: 4]	㉣ [eqn: -1]	[eqn: -1]	[eqn: -2]
[eqn: 5]	[eqn: - 1overroot2 - 1 over root2 i]	㉤ [eqn: {1} over {sqrt {2}} - {1} over {sqrt {2}} i]	[eqn: - sqrt {2} i]
[eqn: 6]	[eqn: -i]	[eqn: i]	㉥ [eqn: 0]
[eqn: 7]	[eqn: {1} over {sqrt {2}} - {1} over {sqrt {2}} i]	[eqn: - 1overroot2 - 1 over root2 i]	[eqn: - root2 i]
[eqn: 8]	㉦ [eqn: 1]	[eqn: 1]	㉧ [eqn: 2]
[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]

(2) [eqn: n=2], [eqn: 6], [eqn: 10], [eqn: 14], [eqn: 18`]일 때 성립한다.

(1) 표 안의 ㉠ ~ ㉧에 들어갈 복소수를 [eqn: a+bi]꼴로 쓰이오. (단, [eqn: a,~b]는 실수이다.) [4.0점]

[eqn: n]	[eqn: z^n]	[eqn: (z-root2 ) ^n]	[eqn: z^n + (z- root2 ) ^n]
[eqn: 1]	[eqn: 1 overroot2 + 1 over root2 i]	[eqn: - 1overroot2 + 1 over root2 i]	㉠
[eqn: 2]	[eqn: i]	㉡
[eqn: 3]		[eqn: 1 overroot2 + 1 over root2 i]	㉢
[eqn: 4]	㉣	[eqn: -1]
[eqn: 5]	[eqn: - 1overroot2 - 1 over root2 i]	㉤
[eqn: 6]	[eqn: -i]		㉥
[eqn: 7]		[eqn: - 1overroot2 - 1 over root2 i]	[eqn: - root2 i]
[eqn: 8]	㉦		㉧
[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]

(2) [eqn: z ^{n} +(z- sqrt {2} ) ^{n} =0]을 만족하는 [eqn: 20]이하의 자연수 [eqn: n]을 모두 구하고 그 과정을 논술하시오. [2.0점]

그림과 같이 숫자가 표시되는 화면과 ,  두 개의 버튼으로 구성된 장치가 있다.

방정식 [eqn: x^3 -1=0`]의 한 허근 [eqn: omega`]에 대하여 버튼을 누르면 화면에 표시된 수와 [eqn: {4+2 omega} over1-omega`]를 곱한 결과가, 버튼을 누르면 화면에 표시된 수와 [eqn: {4+2 omega} over{omega`-1}]를 곱한 결과가 화면에 나타난다. 화면에 표시된 수가 [eqn: 1`]일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [5.1점]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

③

[eqn: x^3 -1=0`]의 한 허근이 [eqn: omega`]이므로

[eqn: omega`^3 =1 ,~omega`^2 +omega`+1=0]

ㄱ. 버튼을 두 번 누루면

[eqn: left({4+2 omega} over{omega`-1 }right)^2 = left({ 4omega`^2 +16omega`+16} over{omega`^2 -2omega`+1 } right)][eqn: = left({-12omega`^2 } over-3omega` right) =4omega] (참)

ㄴ. 버튼을 세 번 누루면

[eqn: left({4+2 omega} over{1-omega`}right)^2 = 4 omega`]이므로

[eqn: left({4+2 omega} over{1-omega`}right)^3 = 4 omega` times left({4+2omega} over{1- omega} right) = left({ 8omega`^2 +16omega} over{1- omega} right)]

[eqn: = left({ -8omega-8 +16omega} over{1- omega} right) =-8] (거짓)

ㄷ. 버튼을 [eqn: 3`]번 누루면 [eqn: -8,]

같은 방법으로 버튼을 [eqn: 3`]번 누루면 [eqn: 8`]이 나타나므로

또는 버튼을 [eqn: 100`]번 누루면 정수는 [eqn: 33`]번 나타남 (참)

[보 기]

ㄱ. 버튼을 두 번 누른 결과는 [eqn: 4 omega`]이다.

ㄴ. 버튼을 세 번 누른 결과는 자연수이다.

ㄷ.  또는 버튼을 총 [eqn: 100`]번을 누르는 동안 정수는 [eqn: 33`]번 나타난다.

음수의 제곱근

[eqn: 0]이 아닌 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]가 [eqn: {sqrt {a}} over {sqrt {b}} =- sqrt {{a} over {b}}]를 만족할 때, [eqn: sqrt {-ab} + sqrt {-a} sqrt {b} + sqrt {2b} sqrt {2b} + sqrt {4b ^{2}}]과 항상 같은 것은? [4.5점]

① [eqn: 0]	② [eqn: -4b]	③ [eqn: 4b]
④ [eqn: 2 sqrt {-ab}]	⑤ [eqn: -2 sqrt {-ab}]

①

[eqn: {sqrt {a}} over {sqrt {b}} =- sqrt {{a} over {b}}] 성립하려면 [eqn: a `> 0`,``b `< 0]

[eqn: -a `< 0`,``b `< 0`,``2b `< 0]이므로

[eqn: sqrt {-ab} + sqrt {-a} sqrt {b} + sqrt {2b} sqrt {2b} + sqrt {4b ^{2}}]

[eqn: = root{-ab} - root{-ab} - root{4b^2 } + root{4b^2}]

[eqn: =0]

[eqn: sqrt {-2} LEFT ( sqrt {3} + sqrt {-18} RIGHT ) - {sqrt {18} + sqrt {-12}} over {sqrt {-3}} =a+bi]를 만족시키는 실수 [eqn: a,b]에 대하여 [eqn: a+b ^{2}]의 값은? [3.7점]

①

주어진 식을 계산하면 [eqn: -8+2 sqrt {6} i]이므로 [eqn: a=-8], [eqn: b=2 sqrt {6}]

① [eqn: 16]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 32]

[eqn: 0`]이 아닌 세 정수 [eqn: a,~b,~c`]에 대하여 [eqn: roota rootb =- rootab],
[eqn: rootc overrootb = - root{c overb} `]을 만족한다. [eqn: roota^2 -rootb^2 + rootc^2 +|`c-a-b`| =10`]일 때, [eqn: ac`]의 최솟값은? [4.5점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]
④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

①

[eqn: roota rootb =-roota rootb`]이므로 [eqn: a<0 ,~b<0]

[eqn: root c overrootb = - root{c overb}`]이므로 [eqn: b<0,~c>0]

[eqn: roota^2 -rootb^2 + rootc^2 +|`c-a-b`| =10`]

[eqn: -a+b+c+c-a-b=10]

[eqn: c=a+5]

[eqn: a<0,~c>0`]이므로 [eqn: -5 <a<0], [eqn: a,~c`]는 정수

만족하는 [eqn: (a,~c)`]의 순서쌍은

[eqn: (-4,~1),~(-3,~2),~(-2,~3),~(-1,~4)]

따라서 [eqn: ac`]의 최솟값은 [eqn: -6]

[eqn: sqrt {-2} sqrt {-8} + sqrt {3} sqrt {-4} + {sqrt {12}} over {sqrt {-4}} =a+bi]일 때, 실수 [eqn: a,``b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.) [3.9점]

① [eqn: -8 sqrt {3}]	② [eqn: -4 sqrt {3}]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 4 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 8 sqrt {3}]

②

[eqn: -4+2 sqrt {3} i- sqrt {3} i=-4+ sqrt {3} i] 이므로

[eqn: a=-4,```b= sqrt {3} ```````` THEREFORE ab=-4 sqrt {3}]

[eqn: 0]이 아닌 세 실수 [eqn: a,``b,``c]에 대하여

③

풀이)

[eqn: sqrt {a} sqrt {b} =- sqrt {ab}]가 성립하면 [eqn: a<0,] [eqn: b<0] 이다.

[eqn: {sqrt {c}} over {sqrt {a}} =- sqrt {{c} over {a}}]이면 [eqn: c>0], [eqn: a<0,] 이다.

ㄱ. [eqn: sqrt {a ^{2}} + LEFT ( sqrt {a} RIGHT ) ^{2} = -a + sqrt {a} sqrt {a} = -a+ a = 0] [eqn: cdots cdots] (참)

ㄴ. [eqn: {sqrt {b-2}} over {sqrt {c+2}} =- sqrt {{b-2} over {c+2}}] 에서 [eqn: b-2 <0 ,] [eqn: c +2 > 0] [eqn: cdots cdots] (거짓)

ㄷ. [eqn: sqrt {LEFT ( c-a RIGHT ) ^{2}} + sqrt {b-c} sqrt {c-b} - LEFT | a RIGHT | - sqrt {(-b) ^{2}} i]
[eqn: LEFT . =(c-a RIGHT ) + (c-b)i + a +bi }} i=] [eqn: =c(1+i)] [eqn: cdots cdots] (참)

그러므로 ㄱ, ㄷ

[eqn: sqrt {a} sqrt {b} =- sqrt {ab} ,`` {sqrt {c}} over {sqrt {a}} =- sqrt {{c} over {a}}]가 성립할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [[eqn: 4.3]점]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[보 기]

ㄱ. [eqn: sqrt {a ^{2}} + LEFT ( sqrt {a} RIGHT ) ^{2} =0]

ㄴ. [eqn: {sqrt {b-2}} over {sqrt {c+2}} =- sqrt {{b-2} over {c+2}}]

ㄷ. [eqn: sqrt {LEFT ( c-a RIGHT ) ^{2}} + sqrt {b-c} sqrt {c-b} - LEFT | a RIGHT | - sqrt {(-b) ^{2}} i=c(1+i)]

등식 [eqn: (1+i)x+(1-i)y=-2+4i`]를 만족시키는 두 실수 [eqn: x,y]에 대하여 [eqn: 2x+ sqrt {-x} sqrt {y} + {sqrt {3x}} over {sqrt {y}} =a+bi]일 때, 두 실수 [eqn: a,b]에 대하여 [eqn: a ^{2} +4ab+4b ^{2}]의 값은?[[eqn: 5.0]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

②

[eqn: (1+i)x+(1-i)y=(x+y)+(x-y)i=-2+4i`]이므로

[eqn: x+y=-2`,x-y=4`] 두 식을 연립하면 [eqn: x=1,y=-3]

[eqn: 2x+ sqrt {-x} sqrt {y} + {sqrt {3x}} over {sqrt {y}} =2+ sqrt {-1} sqrt {-3} + {sqrt {3}} over {sqrt {-3}}]이므로

정리하면 [eqn: 2- sqrt {3} -i] 이므로 [eqn: a=2- sqrt {3} `,b=-1]

[eqn: a ^{2} +4ab+4b ^{2} =(a+2b) ^{2} =3]

복소수(step3)

4.

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: z _{n} = LEFT ( 1+i RIGHT ) ^{n} + LEFT ( 1-i RIGHT ) ^{n}]이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [5.5점]

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄱ,```ㄴ]
④ [eqn: ㄱ,```ㄷ]	⑤ [eqn: ㄴ,```ㄷ]

①

[eqn: n]	[eqn: (1+i)^n]	[eqn: (1-i)^n]	[eqn: z_n]
[eqn: 1]	[eqn: 1+i]	[eqn: 1-i]	[eqn: 2]
[eqn: 2]	[eqn: 2i]	[eqn: -2i]	[eqn: 0]
[eqn: 3]	[eqn: -2(1-i)]	[eqn: -2(1+i)]	[eqn: -4]
[eqn: 4]	[eqn: -4]	[eqn: -4]	[eqn: -8]
[eqn: 5]	[eqn: -4(1+i)]	[eqn: -4(1-i)]	[eqn: -8]
[eqn: 6]	[eqn: -8i]	[eqn: 8i]	[eqn: 0]
[eqn: 7]	[eqn: 8(1-i)]	[eqn: 8(1+i)]	[eqn: 16]
[eqn: 8]	[eqn: 16]	[eqn: 16]	[eqn: 32]
[eqn: 9]	[eqn: 16(1+i)]	[eqn: 16(1-i)]	[eqn: 32]
[eqn: 10]	[eqn: 32i]	[eqn: -32i]	[eqn: 0]
[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]

ㄱ. [eqn: 1+i`,``1-i]가 서로 켤레관계이므로

[eqn: (1+i)^n`,``(1-i)^n]도 서로 켤레관계

[eqn: ∴```z_n]은 항상 실수

ㄴ. [eqn: 2]개

ㄷ. [eqn: 5`,``9`,``13`,``cdots`,``97]의 [eqn: 24](개)

ㄱ. 모든 [eqn: n]에 대하여 [eqn: z _{n}]은 실수이다.

ㄴ. [eqn: z _{n} =-8]을 만족하는 [eqn: n]은 단 하나 존재한다.

ㄷ. [eqn: 2 LEQ n LEQ 100]일 때, [eqn: z _{n-1} +z _{n+1} =z _{n}]을 만족하는 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 25]개다.

두 복소수 [eqn: z_1 ,~z_ 2`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: z_1 overz_2 + z_2 overz_ 1`]값은? (단, [eqn: barz_1 ,~ barz_2 `]는 각각 [eqn: z_1 ,~z_ 2`]의 켤레복소수이다.) [5.0점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

①

[eqn: z_1 = a+bi ,~ z_2 =c+di`]라 하면 [eqn: barz_1 = a-bi ,~ barz_2 =c-di]

(나), (다)에서 [eqn: 1 overbarz_1 = z_1 over2 ,~ 1 overbarz_2 = z_2 over2]이므로

(가)에 대입하면 [eqn: 1 overbarz_1 + 1 over barz_2 = {z_1 + z_2 } over2 = (a+c) over2 + (b+d)i over 2 = 3 over2 - 1 over2 i`]

[eqn: a+c=3,~b+d=-1]	[eqn: cdots①]

(나), (다)에서 [eqn: a^2 +b^2 =2,~c^2 +d^2 =2]	[eqn: cdots②]

[eqn: z_1 overz_2 + z_2 overz_ 1`][eqn: ={(z_1 barz_2 + barz_1 z_2 )} over2]

[eqn: ={ left{(a+bi)(c-di)+(a-bi)(c+di) right}} over2]

[eqn: =(ac+bd)]

[eqn: ①,~②]를 이용하면

[eqn: (a+c)^2 +(b+d)^2 =a^2 +b^2 +c^2 +d^2 +2ac+2bd]

[eqn: =4+2(ac+bd)=10]

[eqn: ac+bd=3]

[eqn: therefore] [eqn: z_1 overz_2 + z_2 overz_ 1` =3]

(가) [eqn: 1 overbarz_1 + 1 over barz_2 = 3 over2 - 1 over2 i`]

(나) [eqn: z_1 barz_1 =2]
(다) [eqn: z_2 barz_2 =2]

[eqn: LEFT ( {2 sqrt {2}} over {1-i} RIGHT ) ^{n} + LEFT ( sqrt {3} -i RIGHT ) ^{n} =2 ^{n+1}]을 만족시키는 [eqn: 100]이하의 자연수 [eqn: n]의 개수는? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.)[4.6점]

➃

[eqn: LEFT ( {2 sqrt {2}} over {1-i} RIGHT ) ^{n} = LEFT ( sqrt {2} LEFT ( 1+i RIGHT ) RIGHT ) ^{n}]에서

[eqn: n=2]일 때 [eqn: 4i]

[eqn: n=4]일 때, [eqn: -2 ^{4}]

[eqn: n=6]일 때, [eqn: -2 ^{6} i]

[eqn: n=8]일 때 [eqn: 2 ^{8}]

[eqn: n=10]일 때, [eqn: 2 ^{10} i]

[eqn: n=12]일 때 [eqn: -2 ^{12}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: n=24]일 때, [eqn: 2 ^{24}]

[eqn: LEFT ( sqrt {3} -i RIGHT ) ^{n}]에서

[eqn: n=2]일 때 [eqn: 2 LEFT ( 1- sqrt {3} i RIGHT )]

[eqn: n=3]일 때, [eqn: -2 ^{3} i]

[eqn: n=6]일 때 [eqn: -2 ^{6}]

[eqn: n=12]일 때 [eqn: 2 ^{12}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: n=24]일 때 [eqn: 2 ^{24}]

즉, [eqn: n=24]일 때, [eqn: 2 ^{24} +2 ^{24} =2 ^{24+1}]

[eqn: n=48]일 때, [eqn: 2 ^{48} +2 ^{48} =2 ^{48+1}]

[eqn: CDOTS `]

즉, [eqn: n]이 [eqn: 24]의 배수일 때 주어진 식을 만족한다.

[eqn: 100`]이하의 [eqn: 24]의 배수의 개수는 [eqn: 4`]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

실수가 아닌 두 복소수 [eqn: alpha `,` beta]에 대하여 [eqn: alpha beta]에 대하여 [eqn: alpha beta]는 실수이고, [eqn: 3 {bar{alpha }} + {bar{beta }} =3`,` alpha {bar{alpha }} =1]일 떄, [eqn: beta ^{3}]의 값은? (단, [eqn: bar{alpha } ,` bar{beta `}]는 각각 [eqn: alpha `,` beta]의 켤레복소수이다.) [5.1점]

➄

[eqn: 3 {bar{alpha }} + {bar{beta }} =3]이므로 [eqn: 3 alpha + beta =3], [eqn: beta =3-3 alpha =3 LEFT ( 1- alpha RIGHT )]

[eqn: alpha {bar{alpha }} =1], [eqn: {bar{alpha }} = {1} over {alpha }]

[eqn: alpha beta]는 실수이므로 [eqn: alpha beta = {bar{alpha }} {bar{beta }} = {1} over {alpha } TIMES {bar{beta }}], [eqn: {bar{beta }} = alpha ^{2} beta]

[eqn: 3 {bar{alpha }} + {bar{beta }}][eqn: = {3} over {alpha } + alpha ^{2} beta]
[eqn: = {3} over {alpha } + alpha ^{2} LEFT ( 3-3 alpha RIGHT )]
[eqn: = {3} over {alpha } +3 alpha ^{2} -3 alpha ^{3} =3]

즉, [eqn: 1+ alpha ^{3} - alpha ^{4} = alpha],

[eqn: alpha ^{4} - alpha ^{3} + alpha -1= alpha ^{3} LEFT ( alpha -1 RIGHT ) + LEFT ( alpha -1 RIGHT ) = LEFT ( alpha ^{3} +1 RIGHT ) LEFT ( alpha -1 RIGHT ) =0]

[eqn: alpha]는 실수가 아니므로 [eqn: alpha ^{3} +1=0]에서 허근이다.

즉, [eqn: alpha ^{2} - alpha +1=0], [eqn: alpha ^{2} - alpha =-1]이므로

[eqn: beta ^{3}][eqn: =3 ^{3} LEFT ( 1- alpha RIGHT ) ^{3}]
[eqn: =27 LEFT ( 1-3 alpha +3 alpha ^{2} - alpha ^{3} RIGHT )]
[eqn: =27 LEFT { 1+3 LEFT ( alpha ^{2} - alpha RIGHT ) - alpha ^{3} RIGHT }]
[eqn: =27 LEFT ( 1-3+1 RIGHT )]
[eqn: =-27]

① [eqn: -15]	② [eqn: -18]	③ [eqn: -21]

④ [eqn: -24]	⑤ [eqn: -27]

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]가 [eqn: 0`]이 아닌 실수일 때, 두 이차식
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} +bx-c], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( a-b RIGHT ) x ^{2} +ax-a`]
에 대하여 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4.7]점]

⑤

ㄱ. [eqn: sqrt {a} sqrt {c} =- sqrt {ac}]이면 [eqn: a<0], [eqn: c<0]이므로

[eqn: ax ^{2} +bx-c=0]의 판별식을 [eqn: D _{1}]이라 하면

[eqn: D _{1} =b ^{2} +4ac>0]이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄴ. [eqn: {sqrt {a}} over {sqrt {b}} =- sqrt {{a} over {b}}]이면 [eqn: a>0], [eqn: b<0]이므로

[eqn: LEFT ( a-b RIGHT ) x ^{2} +ax-a=0]의 판별식을 [eqn: D _{2}]이라 하면

[eqn: D _{2} =a ^{2} +4a LEFT ( a-b RIGHT ) =5a ^{2} -4ab>0]이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄷ. [eqn: c>b>a]이면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]의 판별식 [eqn: D _{1}]은 [eqn: D _{1} =b ^{2} +4ac]에서 [eqn: D _{1} <0]인 경우

[eqn: a<0], [eqn: c>0]를 만족해야 한다.

이 경우 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =0]의 판별식 [eqn: D _{2} =5a ^{2} -4ab]에서

[eqn: a<0]인 경우 [eqn: a<b]이므로 [eqn: a LEFT ( 5a-4b RIGHT ) GEQ 0]이고 [eqn: BECAUSE] [eqn: LEFT ( 5a-4b RIGHT ) LEQ 0]

따라서 근이 존재한다. 따라서 적어도 하나는 실근을 갖는다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: sqrt {a} sqrt {c} =- sqrt {ac} `]이면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0`]은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄴ. [eqn: {sqrt {a}} over {sqrt {b}} =- sqrt {{a} over {b}} `]이면 이차방정식 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =0`]은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄷ. [eqn: c>b>a`]이면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =0`]중 적어도 하나는
실근을 갖는다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: 0]이 아닌 세 복소수 [eqn: alpha,``` beta,``` gamma]가 다음 조건을 만족시킨다.

①

[eqn: alpha+beta+gamma =0]에서 [eqn: alpha over gamma + beta over gamma = -1]

[eqn: 1over alpha + 1over beta + 1over gamma =0]에서 [eqn: gamma over alpha + gamma over beta =-1]

[eqn: alpha over gamma =p,~ beta over gamma = q]라고 하면

[eqn: p+q=-1]

[eqn: 1overp + 1overq =-1 ,~ { p+q} over { pq} =-1,~ pq = 1]

[eqn: p=q]인 [eqn: p,```q]가 존재하지 않으므로 [eqn: p ne q]

[eqn: p,```q]는 [eqn: x^2 +x+1=0]의 두 근이고, [eqn: p,```q]는 켤레복소수이다.

[eqn: p^2 +p+1=0,~q^2 +q+1=0]

양변에 각각 [eqn: p-1,~ q-1]을 곱하면

[eqn: p^3 -1=0,~q^3 -1=0]

[eqn: LEFT ( gamma over beta - { alpha} over { alpha+beta} RIGHT ) bar {LEFT ( beta over alpha RIGHT )}][eqn: =LEFT ( gamma over beta + { alpha} over { gamma} RIGHT ) bar {LEFT ( beta over gamma times gamma over alpha RIGHT )}]
[eqn: = LEFT ( 1over q + p RIGHT ) times { barq} times 1over { barp}][eqn: = LEFT ( p + p RIGHT ) times p times p]
[eqn: =2p^3 =2]

(가) [eqn: alpha+beta+gamma =0]	(나) [eqn: 1over alpha + 1over beta + 1over gamma =0]

이때, [eqn: LEFT ( gamma over beta - { alpha} over { alpha+beta} RIGHT ) bar {LEFT ( beta over alpha RIGHT )}]의 값은? (단, [eqn: bar {LEFT ( beta over alpha RIGHT )}]는 [eqn: beta over alpha]의 켤레복소수이고, [eqn: i= sqrt { -1}]이다.) [[eqn: 5.3]점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

이차방정식(step1)

5.

한 근이 주어진 이차방정식

[eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -ax-2a=0`]의 한 근이 [eqn: 2`]일 때, 다른 한 근을 [eqn: b`]라 하자. [eqn: ab``]의 값은? (단, [eqn: a,~b`]는 상수이다.) [4.5점]

① [eqn: -1`]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]
④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

①

[eqn: x ^{2} -ax-2a=0`]의 한 근이 [eqn: 2`]이므로 대입하면

[eqn: 4-2a-2a=0`]즉 [eqn: a=1`]이므로

본래 식은 [eqn: x ^{2} -x-2=(x-2)(x+1)]

이므로 [eqn: b=-1`] [eqn: ab=-1`]

이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax-b=0]의 한 근이 [eqn: 1+i]일 때, [eqn: sqrt {a} sqrt {b}]의 값은? (단, [eqn: a,`b]는 실수이고, [eqn: i= sqrt {-1}] 이다.) [4.4점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

②

[eqn: x ^{2} +ax-b=0]

[eqn: a,b]는 실수인데 한 근이 무리수면 다른 한 근은 켤레근이다.

두 근:[eqn: 1+i,~1-i]

두 근의 합: [eqn: 2=-a,~ THEREFORE a=-2]

두 근의 곱: [eqn: LEFT ( 1+i RIGHT ) LEFT ( 1-i RIGHT ) =-b,~ THEREFORE b=-2]

[eqn: sqrt {a} sqrt {b} = sqrt {-2} sqrt {-2} = sqrt {2} i sqrt {2} i=2i ^{2} =-2]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -ax+b=0]의 한 근이 [eqn: 1- sqrt {2} i]일 때, 실수 [eqn: a,b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.) [[eqn: 3.7]점]

①

[풀이]

[eqn: x ^{2} -ax+b=0]에서 모든 계수가 실수이므로

두 근이 [eqn: 1+ sqrt {2} i], [eqn: 1- sqrt {2} i`]이므로

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: LEFT ( 1+ sqrt {2} i RIGHT ) + LEFT ( 1- sqrt {2} i RIGHT ) =a]

[eqn: a=2]

[eqn: LEFT ( 1+ sqrt {2} i RIGHT ) LEFT ( 1- sqrt {2} i RIGHT ) =b]

[eqn: b=3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b=5`]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 -2x+a=0`]의 한 근이 [eqn: 1+3i`]일 때, 실수 [eqn: a`]의 값은? (단, [eqn: i=root-1]) [4.1점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

④

[eqn: x^2 -2x+a=0`]의 [eqn: a`]가 실수이므로 [eqn: 1+3i`]가 근이면 [eqn: 1-3i`]도 근이다.

[eqn: therefore] [eqn: a=(1+3i)(1-3i)=10]

이차방정식의 근의 판별

서로 다른 두 허근을 갖는 이차방정식인 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4.7]점]

②

판별식 [eqn: D`]를 이용한다.

ㄱ. [eqn: D=9-16=-7<0`]이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.

ㄴ. [eqn: {D} over {4} =9-9=0`]이므로 중근(실근)을 갖는다.

ㄷ. [eqn: {D} over {4} =1-3=-2<0`]이므로 서로 다른 두 허근을 갖는다.

ㄹ. [eqn: {D} over {4} =4-1=3>0`]이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: x ^{2} -3x+4=0]

ㄴ. [eqn: x ^{2} -6x+9=0]

ㄷ. [eqn: 3x ^{2} +2x+1=0]

ㄹ. [eqn: x ^{2} +4x+1=0]

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄴ, ㄹ
④ ㄱ, ㄷ, ㄹ	⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

<보기>에서 서로 다른 두 허근을 갖는 이차방정식만을 고른 것은? [4.0점]

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄱ, ㄹ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄹ

③

ㄱ. [eqn: D= 9-24=-15<0] 서로 다른 두 허근

ㄴ. [eqn: D=49 -40=9>0] 서로 다른 두 실근

ㄷ. [eqn: D/4 = 4-4=0] 중근

ㄹ. [eqn: D=9-20=-11<0] 서로 다른 두 허근

[보 기]

ㄱ. [eqn: 3x^2 -3x+2=0]	ㄴ. [eqn: 2x^2 +7x+5=0]

ㄷ. [eqn: -x^2 +4x-4=0]	ㄹ. [eqn: x^2 +3x+5=0]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -4x+a-3=0]이 실근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: a]의 개수는?[[eqn: 3.8]점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

⑤

판별식 [eqn: D/4=4-a+3` GEQ 0] , [eqn: a LEQ `7]이므로 자연수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 7]개

이차방정식 [eqn: x ^{2} +5x+k=0`]의 서로 다른 두 실근을 가질 때, 정수 [eqn: k`]의 최댓값은? [4.6점]

① [eqn: 0`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

④

[eqn: x ^{2} +5x+k=0`]이 서로 다른 두 실근을 갖기 때문에 [eqn: D>0`]이고 [eqn: 25-4k>0`]이다 즉 [eqn: {25} over {4} >k`] 인 최대 정수 [eqn: k=6`]이다.

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 -2kx +k^2 -2k -4 =0]이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k]의 최솟값은? [4.0점]

➂

[eqn: D/4=k ^{2} - LEFT ( k ^{2} -2k-4 RIGHT ) =2k+4>0] [eqn: THEREFORE] [eqn: k>-2]

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -6x+3k-7=0]이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: k]의 최댓값은? [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

③

[eqn: D/4=9-3k+7>0]이므로 [eqn: k< {16} over {3}]

즉 자연수 [eqn: k]의 최댓값은[eqn: 5]

이차방정식 [eqn: x^2 +4x+a =0`]이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: a`]의 개수는? [4.1점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

③

[eqn: D/4= 4-a>0]

[eqn: a<4]

따라서 만족하는 자연수의 개수는 [eqn: 3`]개

이차방정식 [eqn: x^2 - 2kx +k^2 +k-5=0]이 실근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: k]의 값들의 합은? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]
④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 28]

③

[eqn: x^2 - 2kx +k^2 +k-5=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

실근을 가지므로

[eqn: D over4 = LEFT ( -k RIGHT )^2 - LEFT ( k^2 +k-5 RIGHT )ge0]

[eqn: k^2 -k^2 -k+5 ge 0]

[eqn: -k +5 ge0]

[eqn: therefore k le 5]

만족하는 자연수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]이므로

모든 자연수 [eqn: k]의 합은 [eqn: 1+2+3+4+5=15]이다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2x-a+7=0]이 서로 다른 두 허근을 갖도록 하는 모든 양의 정수 [eqn: a]의 개수는? [[eqn: 3.5]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

⑤

[풀이]

[eqn: x ^{2} -2x-a+7=0]의 이차방정식이 서로 다른 두 허근을 갖기위한 조건은 [eqn: D<0]이므로

[eqn: D/4=1+a-7<0]

[eqn: a<6]이므로 자연수 [eqn: a`]는 [eqn: a=1,2,3,4,5]의 [eqn: 5]개다.

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: x`]에 대한 이차방정식
[eqn: x ^{2} - LEFT ( 2k-a RIGHT ) x+k ^{2} +4k-a=0]
이 실수 [eqn: k`]의 값과 관계없이 중근을 가질 때, 실수 [eqn: a`]의 값은? [[eqn: 3.9]점]

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]
④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

④

이차방정식 [eqn: x ^{2} - LEFT ( 2k-a RIGHT ) x+k ^{2} +4k-a=0]이

실수 [eqn: k]의 값과 관계없이 중근을 가져야 하므로

[eqn: D= LEFT ( 2k-a RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( k ^{2} +4k RIGHT ) =0]을 만족해야 한다.

따라서 [eqn: LEFT ( -4a-16 RIGHT ) k+a ^{2} +4a=0], [eqn: a=it-4]

이차방정식의 근과 계수와의 관계

이차방정식 [eqn: 3x^2 -4x+5=0`]의 두 근의 합을 [eqn: a`], 곱을 [eqn: b`]라고 할 때, [eqn: a+b`]의 값은? [3.6점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

①

[eqn: 3x^2 -4x+5=0`]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta`]라 하면

근과 계수와의 관계에 의해

[eqn: a= alpha+ beta = 4 over3 ,~b= alpha beta= 5 over3]

[eqn: therefore] [eqn: a+b=3]

이차방정식 [eqn: x^2 -3x+5=0]의 두 근을 [eqn: alpha,```beta]라 할 때, [eqn: alpha beta - (alpha +beta)]의 값은? [[eqn: 3.8]점]

②

근과 계수의 관계에 따라

[eqn: alpha + beta = 3,~alpha beta =5]

[eqn: alpha beta - (alpha +beta)=2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -3x+5=0`]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta`]라 할 때, [eqn: LEFT ( alpha+1 RIGHT ) LEFT ( beta+1 RIGHT ) `]의 값은? [[eqn: 4]점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 12]

④

[eqn: x ^{2} -3x+5=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때,

[eqn: alpha + beta =3], [eqn: alpha beta =5]이므로

[eqn: LEFT ( alpha +1 RIGHT ) LEFT ( beta +1 RIGHT ) = alpha beta + alpha + beta +1=9]

이차방정식 [eqn: 2x ^{2} -4x+1=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때, [eqn: {1} over {alpha} + {1} over {beta}]의 값은? [4.1점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

④

[eqn: 2x ^{2} -4x+1=0]의 두 근 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 가정

[eqn: alpha +beta = 2`,``alpha beta = 1 over 2]

[eqn: 1 over alpha + 1 over beta = {alpha +beta }over{alpha beta } = 2 over {1 over 2} = 4]

이차방정식 [eqn: x^2 -5x+4=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때, [eqn: 1over alpha + 1over beta]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: - 5over4]	② [eqn: - 4over 5]	③ [eqn: 1over 5]
④ [eqn: 4over 5]	⑤ [eqn: 5over 4]

⑤

[eqn: x^2 -5x+4=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로

근과 계수와의 관계에 의해

[eqn: alpha +beta = 5], [eqn: alpha beta = 4]

[eqn: 1over alpha + 1over beta][eqn: = { alpha +beta} over { alpha beta}]
[eqn: = 5over4]

이차방정식 [eqn: x ^{2} +8x+4=0]의 두 근을 [eqn: alpha , beta]라고 할 때, [eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta}]의 값은?[[eqn: 4.6]점]

① [eqn: -8]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -2]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

③

[eqn: alpha + beta =-8`,alpha beta =4]이므로 [eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta } = {alpha + beta } over {alpha beta } = {-8} over {4} =-2]

이차방정식 [eqn: x ^{2} +4x+1=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,` beta]라고 할 때, [eqn: sqrt {alpha } + sqrt {beta }]의 값은? [[eqn: 4.8]점]
① [eqn: sqrt {2} i]	② [eqn: - sqrt {2} i]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: sqrt {6} i]	⑤ [eqn: - sqrt {6} i]

①

[eqn: alpha + beta =-4], [eqn: alpha beta =1]이므로

[eqn: LEFT ( sqrt {alpha } + sqrt {beta } RIGHT ) ^{2} = alpha + beta +2 sqrt {alpha beta } =-4+2=-2]이다.

따라서 구하고자 하는 값은 [eqn: sqrt {alpha } + sqrt {beta } = sqrt {2} i]다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2x+5=0]의 두 근을 [eqn: alpha,`` beta]라 할 때, [eqn: {beta} over {alpha}]와 [eqn: {alpha} over {beta}]를 두 근으로 하고 [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 5]인 이차방정식을 [eqn: f(x)=0]이라고 하자. 이 때, [eqn: f(-1)]의 값은? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

①

풀이)

[eqn: x ^{2} -2x+5=0]의 두 근을 [eqn: alpha,`` beta]라 하면

[eqn: alpha + beta = 2], [eqn: alpha beta = 5] 이고,

[eqn: (alpha + beta )^2 = alpha ^2 + beta ^2 + 2alpha beta] 이므로 [eqn: alpha^2 + beta^2 = -6]

[eqn: {beta} over {alpha}]와 [eqn: {alpha} over {beta}]를 두 근으로 하고 [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 5]인 이차방정식은

[eqn: {beta} over {alpha} + {alpha } over {beta} = { alpha ^2 + beta ^2 } over {alpha beta } = - 6 over 5] 이고, [eqn: {beta} over {alpha} {alpha } over {beta} = 1]

[eqn: f(x) = 5 x^2 +6x +5]

[eqn: f(-1) = 4]

이차방정식 [eqn: x^2 -3x+5=0]의 두 근을 [eqn: alpha, beta]라 할 때, [eqn: (alpha^2 -2alpha)(beta^2 -2beta)]의 값은? [5.0점]

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]
④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

②

[eqn: x^2 -3x+5=0] 의 두근이 [eqn: alpha, beta] 이므로, [eqn: alpha+beta=3, alpha beta=5] 이며,

[eqn: alpha, beta]을 방정식에 대입하면

[eqn: ` alpha ^{2} -2 alpha = alpha -5] ,[eqn: beta^2 -2beta=beta-5] 이다.

[eqn: THEREFORE ( alpha^2 -2alpha)(beta^2 -2beta)=(alpha-5)(beta-5)][eqn: =alphabeta-5(alpha+beta)+25=15]

이차방정식 만들기

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2x+a=0`]의 두 근이 [eqn: alpha,~beta`]이고, 이차방정식 [eqn: x ^{2} +x+b=0`]의 두 근이 [eqn: alpha+beta,~alphabeta`]일 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a,~b`]는 실수이다.) [[eqn: 4.8]점]

① [eqn: -9]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -3]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 9]

①

근과 계수와의 관계를 이용하면 [eqn: alpha + beta =2,] [eqn: alpha beta =a]

이차방정식 [eqn: x ^{2} +x+b=0`]의 두 근이 [eqn: alpha + beta =2,] [eqn: alpha beta =a`]이므로 근과 계수와의 관계에 의하여 [eqn: 2+a=-1,] [eqn: 2a=b`]가 성립한다. 따라서 [eqn: a=-3,] [eqn: b=-6`]이 됨을 알 수 있다. [eqn: THEREFORE ~a+b=-9]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -3x+4=0`]의 두 근 [eqn: alpha `,~ beta `]에 대하여 이차식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) = beta `,~f LEFT ( beta RIGHT ) = alpha `]를 만족할 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +x-3=0`]의 모든 근의 합을 구하고 풀이 과정을 논술하시오. [[eqn: 8`]점]

[eqn: 3]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -3x+4=0`]의 두 근이 [eqn: alpha `,~ beta `]이므로

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =3`,~ alpha beta =4]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

이때, [eqn: alpha =3- beta `,~ beta =3- alpha `]이므로

[eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) = beta `]에서 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) =3- alpha]

[eqn: f LEFT ( beta RIGHT ) = alpha `]에서 [eqn: f LEFT ( beta RIGHT ) =3- beta]

즉, [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) - LEFT ( 3- alpha RIGHT ) =0`,~f LEFT ( beta RIGHT ) - LEFT ( 3- beta RIGHT ) =0`]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( 3-x RIGHT ) =0`]의 두 근이 [eqn: alpha `,~ beta `]이다.

따라서 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +x-3=0`]의 두 근이 [eqn: alpha `,~ beta `]이므로

두 근의 합은 [eqn: alpha + beta =3]

이차방정식(step2)

5.

이차방정식의 풀이

다음 이차방정식이 순허수를 근으로 갖는다고 한다.

이때, 실수 [eqn: a`]의 값은? [[eqn: 4.7`]점]
① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]
④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

⑤

이차방정식 [eqn: LEFT ( 1-3i RIGHT ) x ^{2} - LEFT ( a-2i RIGHT ) x-10i=0`]의 한 근을

[eqn: x=bi`(b != 0`]인 실수[eqn: )`]라 하면

[eqn: LEFT ( 1-3i RIGHT ) TIMES LEFT ( bi RIGHT ) ^{2} -bi LEFT ( a-2i RIGHT ) -10i=0]

[eqn: -b ^{2} +3b ^{2} i-abi-2b-10i=0]

[eqn: LEFT ( -b ^{2} -2b RIGHT ) + LEFT ( 3b ^{2} -ab-10 RIGHT ) i=0]

[eqn: -2b ^{2} -2b=0]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

[eqn: 3b ^{2} -ab-10=0]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

㉠에서 [eqn: b ^{2} +2b=0`,~b LEFT ( b+2 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ~b=0] 또는 [eqn: b=it-2]

그런데 [eqn: b != 0`]이므로 [eqn: b=it-2]

[eqn: b=it-2`]를 ㉡에 대입하면

[eqn: 3 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} -a TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) -1=0`]에서

[eqn: 12+2a-10=0`,~2a=it-2]

[eqn: THEREFORE ~a=it-1]

[eqn: LEFT ( 1-3i RIGHT ) x ^{2} - LEFT ( a-2i RIGHT ) x-10i=0]

한 근이 주어진 이차방정식

[eqn: 0`]이 아닌 복소수 [eqn: z`]에 대하여 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이고 모든 계수가 실수인 이차식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `,~g LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 모두 만족시길 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `,] [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]의 일차항의 계수의 합은? [eqn: (]단, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =g LEFT ( 0 RIGHT ) =1`]이다.[eqn: )]

①

[eqn: z=a+bi``(a`,~b`]는 실수[eqn: )`]라 하면

조건 [eqn: (]가[eqn: )`]에서 [eqn: z-1`]이 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 한 허근이고,

[eqn: z-1=a+bi-1= LEFT ( a-1 RIGHT ) +bi]

이므로 켤레근의 성질에 의하여 [eqn: LEFT ( a-1 RIGHT ) -bi`]고 이차방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0`]의

근이다. 따라서

[eqn: (]두 근의 합[eqn: )][eqn: =2 LEFT ( a-1 RIGHT )]

[eqn: (]두 근의 곱[eqn: )][eqn: = LEFT { LEFT ( a-1 RIGHT ) +bi RIGHT } LEFT { LEFT ( a-1 RIGHT ) -bi RIGHT }]
[eqn: = LEFT ( a-1 RIGHT ) ^{2} +b ^{2}]

이므로 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2 LEFT ( a-1 RIGHT ) x+ LEFT ( a-1 RIGHT ) ^{2} +b ^{2}]

이때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1`]이므로

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) = LEFT ( a-1 RIGHT ) ^{2} +b ^{2} =1]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

또한, [eqn: LEFT ( a-1 RIGHT ) +bi`]가 허수이므로 [eqn: b != 0]

조건 [eqn: (]나[eqn: )`]에서 [eqn: z-i`]가 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 한 근이고,

[eqn: z-i= LEFT ( a+bi RIGHT ) -i=a+ LEFT ( b-1 RIGHT ) i]

이므로 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =1`]이고 최고항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차식 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +mx+1`]이라 하면

[eqn: g LEFT ( z-i RIGHT )][eqn: =g LEFT ( a+ LEFT ( b-1 RIGHT ) i RIGHT )]
[eqn: = LEFT { a+ LEFT ( b-1 RIGHT ) i RIGHT } ^{2} +m LEFT { a+ LEFT ( b-1 RIGHT ) i RIGHT } +1]
[eqn: =a ^{2} +2a LEFT ( b-1 RIGHT ) i- LEFT ( b-1 RIGHT ) ^{2} +am+m LEFT ( b-1 RIGHT ) i+1]
[eqn: = LEFT { a ^{2} - LEFT ( b-1 RIGHT ) ^{2} +am+1 RIGHT } + LEFT ( b-1 RIGHT ) LEFT ( m+2a RIGHT ) i]
[eqn: =0]

에서

[eqn: a ^{2} - LEFT ( b-1 RIGHT ) ^{2} +am+1=0]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

[eqn: LEFT ( b-1 RIGHT ) LEFT ( m+2a RIGHT ) =0]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉢

㉢에서 [eqn: b=1] 또는 [eqn: m= it -2a]

➊ [eqn: b=1`]일 때,

㉠에 [eqn: b=1`]을 대입하면 [eqn: LEFT ( a-1 RIGHT ) ^{2} =0] [eqn: THEREFORE ~a=1]

이때, ㉡에 [eqn: a=1`,~b=1`]을 대입하면

[eqn: 1+m+1=0`]에서 [eqn: m=it-2]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +1`,~g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2x+1`]이므로 일차항의 계수의 합은

[eqn: -2`]이다.

➋ [eqn: m= it -2a]일 때,

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2ax+1`]이다. ㉡에 [eqn: m= it -2a]을 대입하면
[eqn: a ^{2} - LEFT ( b-1 RIGHT ) ^{2} -2a ^{2} +1=0], [eqn: a ^{2} + LEFT ( b-1 RIGHT ) ^{2} =1`]
[eqn: a ^{2} +b ^{2} -2b=0`]
㉠에서 [eqn: LEFT ( a-1 RIGHT ) ^{2} +b ^{2} =1]이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} -2a=0`]
[eqn: a ^{2} +b ^{2} -2b=0`], [eqn: a ^{2} +b ^{2} -2a=0`]에 의하여
[eqn: a=0`], [eqn: b=0`] 또는 [eqn: a=1`,~b=1`]
[eqn: a=0`], [eqn: b=0`]이면 [eqn: b != 0]인 조건에 모순이다.
[eqn: a=1`,~b=1`]이면 [eqn: m=`-2`], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +1`,~g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2x+1`]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +1`,~g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2x+1`]이고, 두 다항식의 일차항의 계수의 합은 [eqn: -2`]이다.

[[eqn: 4.7`]점]

(가) [eqn: z-1`]은 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 한 허근이다.

(나) [eqn: z-i`]는 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 한 근이다.

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

이차식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +px+q`]에 대하여 이차방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 한 근은 [eqn: a+bi`]이고, 이차방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -2=0`]의 한 근은 [eqn: 2]이다. 정수 [eqn: a], [eqn: b`]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,````b RIGHT ) `]의 개수는?

①

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]의 한 근이 [eqn: a+bi]이므로 다른 근은 [eqn: a-bi]이다.

따라서 [eqn: p=-2a], [eqn: q=a ^{2} +b ^{2}]이고

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -2=0]의 한 근이 [eqn: 2]이므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =4-4a+a ^{2} +b ^{2} -2=0], [eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) ^{2} +b ^{2} =2]이므로

[eqn: LEFT ( 3,``1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,``-1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,``1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,``-1 RIGHT )]

따라서 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,``b RIGHT )]의 개수는 [eqn: 4]개다.

(단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이고 [eqn: p], [eqn: q`]는 정수이다.) [[eqn: 4.9]점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

다음은 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]의 한 허근이 [eqn: p+qi]이면 그 켤레복소수 [eqn: p-qi]도 방정식의 근임을 확인하는 과정이다. (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이고 [eqn: a,``b,``p,``q]는 실수, [eqn: q != 0]이다.)

(가)~(마)에 들어갈 식 또는 수로 옳지 않은 것은? [4.4점]

① (가): [eqn: 2pq+aq]	② (나): [eqn: 0]	③ (다): [eqn: -2p]
④ (라): [eqn: p ^{2} -q ^{2}]	⑤ (마): [eqn: qi]

④

(가) [eqn: 2pq+aq] 참

(나) [eqn: 0] 참

(다) [eqn: -2p] 참

(라) [eqn: p ^{2} -q ^{2} -2p ^{2} +b=0] [eqn: b=p ^{2} +q ^{2}] 거짓

(마) [eqn: qi] 참

이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0]에 [eqn: x=p+qi]를 대입하면
[eqn: LEFT ( p+qi RIGHT ) ^{2} +a LEFT ( p+qi RIGHT ) +b=0]
[eqn: LEFT ( p ^{2} -q ^{2} +ap+b RIGHT ) + LEFT ( 가 RIGHT ) i=0]

이때, [eqn: a,``b,``p,``q]는 모두 실수이므로
[eqn: p ^{2} -q ^{2} +ap+b= LEFT ( 나 RIGHT ) ` CDOTS CDOTS]①

[eqn: LEFT ( 가 RIGHT ) = LEFT ( 나 RIGHT ) ` CDOTS CDOTS]②

[eqn: q != 0]이므로 ②에서 [eqn: 2p+a=0], 즉 [eqn: a= LEFT ( 다 RIGHT ) ` CDOTS CDOTS]③

③을 ①에 대입하여 정리하면 [eqn: b= LEFT ( 라 RIGHT )]

따라서 주어진 이차방정식은

[eqn: x ^{2} + LEFT ( 다 RIGHT ) x+ LEFT ( 라 RIGHT ) =0] 이므로

[eqn: x ^{2} + LEFT ( 다 RIGHT ) x+ LEFT ( 라 RIGHT ) = LEFT ( x-p RIGHT ) ^{2} -(마) ^{2}# ``````````````````````````````````````````````````````````= LEFT ( x-p- LEFT ( 마 RIGHT ) RIGHT ) LEFT ( x-p+ LEFT ( 마 RIGHT ) RIGHT )]

에서 주어진 이차방정식의 두 근은 [eqn: p+qi,```p-qi]이다.

이차식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +px+q`]에 대하여 이차방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 한 근이 [eqn: alpha= {2} over {1-i} `]일 때, [eqn: f LEFT ( alpha ^{5} +5alpha-1 RIGHT ) `]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: i= sqrt {-1} `]이고, [eqn: p], [eqn: q`]는 실수이다.) [[eqn: 6]점]

[eqn: 1-2i]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]의 한 근이 [eqn: alpha =1+i]이므로 다른 근은 [eqn: 1-i]이다.

근과 계수의 관계에 의하여

(두 근의 합)[eqn: =1+i+1-i=2]

(두 근의 곱)[eqn: = LEFT ( 1+i RIGHT ) LEFT ( 1-i RIGHT ) =2]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2x+2]이라 하면

[eqn: alpha ^{2} -2 alpha +2=0], [eqn: alpha ^{2} = LEFT ( 1+i RIGHT ) ^{2} =2i], [eqn: alpha ^{4} = LEFT ( alpha ^{2} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 2i RIGHT ) ^{2} =-4]이므로

[eqn: alpha ^{5} +5 alpha -1= alpha alpha ^{4} +5 alpha -1=-4 alpha +5 alpha -1= alpha -1]

[eqn: f LEFT ( alpha ^{5} +5 alpha -1 RIGHT ) =f LEFT ( alpha -1 RIGHT ) =f LEFT ( 1+i-1 RIGHT ) =f LEFT ( i RIGHT )]

[eqn: =i ^{2} -2i+2=1-2i]이다.

이차방정식의 근의 판별

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +2(k-2)x+k ^{2} =0]이 실근을 갖고, [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2kx+k ^{2} +k+3=0]이 허근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는? [[eqn: 5.1]점]
① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

④

첫 번째 조건에서 [eqn: {D} over {4} =(k-2) ^{2} -k ^{2} =-4k+4 GEQ 0], [eqn: k LEQ 1]이다.

두 번째 조건에서 [eqn: {D} over {4} =k ^{2} -k ^{2} -k-3=-k-3<0], [eqn: -3<k]이다.

따라서 [eqn: -3<k LEQ 1]이므로 구하고자 하는 개수는 [eqn: -2,`-1,`0,`1]의 [eqn: 4]개다.

이차방정식의 근의 판별의 활용

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: 2x ^{2} -2(2-a+2b)x`+{4+(a-2b) ^{2} }=0]이 실근을 가질 때, [eqn: a ^{3} -8b ^{3} +12ab+2]의 값은? (단, [eqn: a,b]는 실수이다.)[[eqn: 5.1]점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -4]	③[eqn: -2]
④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 2]

①

[eqn: D/4= LEFT { 2-(a-2b) RIGHT } ^{2} -2 LEFT { 4+(a-2b) ^{2} RIGHT } GEQ0]

[eqn: a-2b=t]로 치환하여 정리하면

[eqn: (t+2) ^{2} leq0] 즉 [eqn: (a-2b+2)^2 leq0]이므로 [eqn: a-2b=-2]

[eqn: a ^{3} -8b ^{3} +12ab+2=(a-2b)(a ^{2} +2ab+4b ^{2} )+12ab+2]

[eqn: =-2(a ^{2} +2ab+4b ^{2} )+12ab+2=-2a ^{2} +8ab-8b ^{2} +2]

[eqn: =-2(a-2b) ^{2} +2=-8+2=-6]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax-4=0]이 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, [eqn: a]는 정수이다.)

⑴ 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha beta = -4]

⑵ 근의 위치관계는

[eqn: f(-2) = 4-2a - 4 `> 0] [eqn: ∴```a `< 0]

[eqn: f(-1) = 1-a-4 `< 0] [eqn: ∴```a `> -3]

[eqn: f(2) = 4+2a - 4 `< 0] [eqn: ∴```a `< 0]

공통범위는 [eqn: -3 `< a `< 0]

만족하는 정수 [eqn: a]는 [eqn: -2`,``-1]

[총 7.0점]

⑴ 두 실근의 곱 [eqn: alphabeta]의 값을 구하시오. [2.0점]

⑵ 두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 다음 두 조건을 모두 만족하기 위한 정수 [eqn: a]의 값을 모두 구하고, 그 과정을 서술하시오. [5.0점]

(가) [eqn: -2<alpha<{-1}]

(나) [eqn: 2<beta]

이차방정식의 근과 계수와의 관계

[eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} +x-3=0`]의 두 근을 각각 [eqn: alpha ,~ beta `]라 할 때, [eqn: {36} over {alpha ^{3} +3} + {36} over {beta ^{3} +3} `]의 값은? [5.0점]

③

주어진 식의 근과 계수의 관계를 이용하면

[eqn: alpha + beta =-1,`` alpha beta =-3`]

준 식[eqn: = {36( alpha ^{3} + beta ^{3} +6)} over {( alpha beta ) ^{3} +3( alpha ^{3} + beta ^{3} )+9}]에서

곱셈공식의 변형공식 [eqn: alpha ^{3} + beta ^{3} =( alpha + beta ) ^{3} -3 alpha beta ( alpha + beta )`]을 이용하면

[eqn: {36( alpha ^{3} + beta ^{3} +6)} over {( alpha beta ) ^{3} +3( alpha ^{3} + beta ^{3} )+9} = {36 TIMES (-10+6)} over {-27-30+9} =3`]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

계수가 실수이고 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차식 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 값은? [4.7점]

➀

(가) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +px+5=0]

(나) [eqn: x ^{2} -4x+5=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta `]이므로 [eqn: alpha + beta =4], [eqn: alpha beta =5]
[eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -2 alpha beta =4 ^{2} -2 TIMES 5=6]
[eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) +f LEFT ( beta RIGHT ) = alpha ^{2} + beta ^{2} +p LEFT ( alpha + beta RIGHT ) +10=6+4p+10=4]
[eqn: p=-3]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -3x+5], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =4-6+5=3]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

(가) 이차방정식 [eqn: f(x)=0]의 두 근의 곱은 [eqn: 5]이다

(나) 이차방정식 [eqn: x^2 -4x+5=0]의 두 근 [eqn: alpha,~beta]에 대하여 [eqn: f(alpha) + f(beta) = 4]이다.

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -x-3=0]의 두 근을 [eqn: alpha,beta]라 할 때, [eqn: alpha ^{5} + alpha ^{4} + alpha ^{3} + beta ^{5} +11 beta +13alpha beta]의 값은?[[eqn: 5.6]점]

① [eqn: 39]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 56]
④ [eqn: 62]	⑤ [eqn: 70]

②

[eqn: alpha ^{2} - alpha -3=0, beta ^{2} - beta -3=0]이므로

[eqn: alpha ^{5} + alpha ^{4} + alpha ^{3}]를 [eqn: alpha ^{2} - alpha -3]로 나누었을 때 나머지는 [eqn: 30 alpha +36]

[eqn: beta ^{5} +11 beta]를 [eqn: beta ^{2} - beta -3]로 나누었을 때 나머지는 [eqn: 30 beta +21]

[eqn: alpha ^{5} + alpha ^{4} + alpha ^{3} + beta ^{5} +11 beta +13 alpha beta =30 alpha +36+30 beta +21+13 alpha beta]

[eqn: alpha + beta =1, alpha beta =-3]이므로

[eqn: 30 alpha +36+30 beta +21+13 alpha beta =30( alpha + beta )+13 alpha beta +21+36=48]

[eqn: f LEFT ( 2x RIGHT ) =x ^{2} -x+1`]일 때, [eqn: f LEFT ( 4x RIGHT ) +2=0`]의 두 근을 [eqn: alpha `,~ beta `]라 한다. [eqn: LEFT ( alpha -1 RIGHT ) LEFT ( beta -1 RIGHT ) `]의 값은? [[eqn: 4.9`]점]
① [eqn: {3} over {4}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {5} over {4}]
④ [eqn: {7} over {4}]	⑤ [eqn: 2]

③

[eqn: f LEFT ( 2x RIGHT ) =x ^{2} -x+1`]에서

[eqn: f LEFT ( 4x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 2 TIMES 2x RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 2x RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 2x RIGHT ) +1]
[eqn: =4x ^{2} -2x+1]

[eqn: f LEFT ( 4x RIGHT ) +2=0`]에서 [eqn: 4x ^{2} -2x+1+2=0]

[eqn: 4x ^{2} -2x+3=0]

이 이차방정식의 두 근이 [eqn: alpha `,~ beta `]이므로

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta = {1} over {2} `,~ alpha beta = {3} over {4}]

[eqn: THEREFORE ~ LEFT ( alpha -1 RIGHT ) LEFT ( beta -1 RIGHT ) `]

[eqn: = alpha beta - LEFT ( alpha + beta RIGHT ) +1]

[eqn: = {3} over {4} - {1} over {2} +1= {5} over {4}]

[eqn: f LEFT ( 2x RIGHT ) =x ^{2} -x+1`]에서 [eqn: 2x=t`]라 하면 [eqn: x= {t} over {2} `]이고,

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = LEFT ( {t} over {2} RIGHT ) ^{2} - {t} over {2} +1`,] [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {4} t ^{2} - {1} over {2} t+1]

이때, [eqn: f LEFT ( 4x RIGHT ) +2=0`]에서

[eqn: {1} over {4} TIMES LEFT ( 4x RIGHT ) ^{2} - {1} over {2} TIMES 4x+1+2=0]

즉, [eqn: 4x ^{2} -2x+3=0]

이 이차방정식의 두 근이 [eqn: alpha `,~ beta `]이므로

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta = {1} over {2} `,~ alpha beta = {3} over {4}]

[eqn: THEREFORE ~ LEFT ( alpha -1 RIGHT ) LEFT ( beta -1 RIGHT ) `]

[eqn: = alpha beta - LEFT ( alpha + beta RIGHT ) +1]

[eqn: = {3} over {4} - {1} over {2} +1= {5} over {4}]

이차방정식 [eqn: x ^{2} +2 LEFT ( m+1 RIGHT ) x-2m-5=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta]라고 할 때, [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2}]의 최솟값은? (단, [eqn: m]은 실수이다.) [4.5점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

①

[eqn: x ^{2} +2 LEFT ( m+1 RIGHT ) x-2m-5=0] 의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta]라 하고

[eqn: alpha + beta =-2 LEFT ( m+1 RIGHT ) ,~ alpha beta =-2m-5] 이므로

[eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} =4 LEFT ( m+1 RIGHT ) ^{2} +4m+10]

[eqn: =4m ^{2} +12m+14]

[eqn: =4 LEFT ( m+ {3} over {2} RIGHT ) ^{2} +5]

따라서 최솟값은 [eqn: 5]이다.

이차방정식 [eqn: f(x)=0`]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta`]라 할 때, [eqn: alpha+beta =12`]이다. 이차방정식 [eqn: f(4x-2)=0`]의 [eqn: x^2`]의 계수를 [eqn: a`], [eqn: x`]의 계수를 [eqn: b`]라 할 때, [eqn: b overa `]의 값은? [4.2점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]
④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

③

[eqn: f(x)=0`]의 두 근이 [eqn: alpha,~beta]이고 [eqn: alpha+beta=12]

[eqn: f(4x-2)=0`]의 두 근은 [eqn: 4x-2=alpha] 또는 [eqn: 4x-2=beta`]이므로

[eqn: x= alpha+2 over4] 또는 [eqn: x= beta+2 over4]

[eqn: f(4x-2)=0`]에서 [eqn: x^2 `]의 계수가 [eqn: a], [eqn: x`]의 계수가 [eqn: b`]이므로

근과 계수의 관계에 의해

[eqn: - b overa = {alpha+beta+4 } over4 =4]

[eqn: therefore] [eqn: b overa =-4]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 + (a-4)x -4 = 0]의 두 근의 차가 [eqn: 4]일 때, [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 +(a+4)x+4 =0]의 두 근의 차는? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [4.8점]

➁

[eqn: LEFT | alpha - beta RIGHT | = sqrt {LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -4 alpha beta }]에서 [eqn: 16- LEFT ( a-4 RIGHT ) ^{2} +16]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=4]

[eqn: x ^{2} +8x+4=0]의 두 근을 [eqn: gamma], [eqn: delta]라 하면, 두 근의 차는

[eqn: LEFT | gamma - delta RIGHT | = sqrt {LEFT ( gamma + delta RIGHT ) ^{2} -4 gamma delta } = sqrt {64-16} = sqrt {48} =4 sqrt {3}]이다.

① [eqn: 4 root2]	② [eqn: 4 root3]	③ [eqn: 5 root2]

④ [eqn: 5root3]	⑤ [eqn: 4root5]

이차방정식 [eqn: x ^{2} +5x+1=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, [eqn: ( sqrt {alpha } - sqrt {beta } ) ^{2}]의 값은? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: -9]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -5]
④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -1]

④

이차방정식 [eqn: x ^{2} +5x+1=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, [eqn: ( sqrt {alpha } - sqrt {beta } ) ^{2}]의 값
두 근 [eqn: alpha], [eqn: beta] 사이의 관계식을 정리하면

[eqn: alpha+ beta=-5], [eqn: alpha beta=1]
[eqn: alpha <0,~ beta <0]
[eqn: LEFT ( sqrt {alpha } - sqrt {beta } RIGHT ) ^{2} = alpha + beta +2 sqrt {alpha beta } =-5+2=-3]

이차방정식 [eqn: x^2 -6x+1=0]의 두 근을 [eqn: alpha,```beta~(alpha>beta)]라 할 때, [eqn: { alpha^10 -beta^10 +alpha^8 -beta^8} over { alpha^6 +alpha^3 beta^3 +beta^6}]의 값은? [[eqn: 4.8]점]

⑤

[eqn: alpha+beta = 6,~ alpha-beta = 4 sqrt { 2},~ alphabeta=1]

[eqn: alpha+ 1over alpha = 6,~ beta + 1overbeta =6]

[eqn: { alpha^10 -beta^10 +alpha^8 -beta^8} over { alpha^6 +alpha^3 beta^3 +beta^6} = { alpha^9 LEFT ( alpha + 1over alpha RIGHT ) - beta^9 LEFT ( beta + 1over beta RIGHT ) } over { alpha^6 +alpha^3 beta^3 +beta^6 }]
[eqn: = { 6 (alpha^9 - beta^9 ) } over { alpha^6 +alpha^3 beta^3 +beta^6 }]
[eqn: = 6 (alpha^3 - beta^3 )]
[eqn: = 6 (alpha - beta)left{(alpha+beta)^2 -alphabetaright}]
[eqn: =840 sqrt { 2}]

① [eqn: 740 sqrt { 2}]	② [eqn: 760 sqrt { 2}]	③ [eqn: 780 sqrt { 2}]

④ [eqn: 800 sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 840 sqrt { 2}]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -kx+2k-4=0]의 두 근의 절댓값의 비가 [eqn: 1:2]가 되도록 하는 모든 정수 [eqn: k]의 값을 구하고, 풀이 과정과 답을 자세히 논술하시오. [6.0점]

[eqn: -2,``1,``3,```6]

두 근이 [eqn: a,``2a]일 때, [eqn: 3a=k,````2a ^{2} =2k-4] 두 식을 연립하면,

[eqn: 6a=2a ^{2} +4,````a ^{2} -3a+2=0,`````a=1,``2] [eqn: k=3,```6]

두 근이 [eqn: a,``-2a]일 때, [eqn: -a=k,````-2a ^{2} =2k-4] 두 식을 연립하면,

[eqn: -2a=-2a ^{2} +4,````a ^{2} -a-2=0,`````a=-1,``2] [eqn: k=1,```-2]

두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 이차방정식 [eqn: ax^2 -bx+70=0]의 두 근이 모두 소수가 되도록 하는 [eqn: b]의 값들의 합을 구하고, 그 과정을 논술하시오. [[eqn: 8.0]점]

[eqn: 118]

이차방정식 [eqn: ax^2 -bx+70=0]의 두 근을 [eqn: p], [eqn: q]라 하면

(단, [eqn: p], [eqn: q]는 소수)

근과 계수와의 관계에 의하여

[eqn: p+q = b over a]이므로

[eqn: b =a LEFT ( p+q RIGHT )]

또, [eqn: pq = 70 over a][eqn: = {2 times 5 times 7} over a]

[eqn: a pq = 2times 5 times 7]

그러므로 [eqn: a]와 [eqn: p], [eqn: q]는 [eqn: 70]의 약수이다.

[eqn: p]와 [eqn: q]는 소수이므로

가능한 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 2], [eqn: 5], [eqn: 7]이다.

([eqn: ⅰ]) [eqn: a=2]이면
[eqn: p+q = 5+7]
따라서 [eqn: b= 2times LEFT ( 5+7 RIGHT )= 24]

([eqn: ⅱ]) [eqn: a=5]이면
[eqn: p+q = 2+7]
따라서 [eqn: b= 5 times LEFT ( 2+7 RIGHT )= 45]

([eqn: ⅲ]) [eqn: a=7]이면
[eqn: p+q = 2+5]
따라서 [eqn: b= 7times LEFT ( 2+5 RIGHT )= 49]

([eqn: ⅰ]), ([eqn: ⅱ]), ([eqn: ⅲ])에 의하여

가능한 [eqn: b]의 값의 합은 [eqn: 24+45+49 = 118]

실수 [eqn: p,`q]에 대하여 이차방정식 [eqn: x ^{2} -px+q=0]의 두 근이 [eqn: alpha ,` beta]일 때, 다음 조건을 모두 만족시키는 [eqn: alpha ,` beta ,`p,`q]가 존재한다. 이때, [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2}]의 값은? [[eqn: 5.7]점]

②

조건 가에 따라 [eqn: D=p ^{ 2}-4q<0]이다.

조건 다에 따라 [eqn: p, q]는 제곱수여야 한다.

[eqn: p=16]일 경우, [eqn: 64<q], 즉 [eqn: q=81]이다.

[eqn: p GEQ 25]일 경우, [eqn: q>100]이므로 모순이다.

따라서 [eqn: alpha + beta =p=16], [eqn: alpha beta =q=81]이다.

그러므로 구하고자 하는 값은 [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} =( alpha + beta ) ^{2} -2 alpha beta =256-162=94]이다.

(가) 두 수 [eqn: alpha ,` beta]는 허수이다.

(나) 두 수 [eqn: p,`q]는 [eqn: 10]보다 크고, [eqn: 100]보다 작은 서로 다른 자연수이다.

(다) 두 수 [eqn: p,`q]는 각각 홀수개의 약수를 갖는다.

① [eqn: 14]	② [eqn: 94]	③ [eqn: 97]

④ [eqn: 119]	⑤ [eqn: 208]

이차방정식 만들기

이차방정식 [eqn: x ^{2} -5x-3=0`]의 두 근을 [eqn: alpha `,~ {1} over {beta } `]이라고 할 때, [eqn: {1} over {alpha } `,~ beta `]를 두 근으로 가지고 [eqn: x ^{2} `]의 계수가 [eqn: 3`]인 이차방정식을 구하고 풀이 과정을 논술하시오.

[eqn: 3x ^{2} +5x-1=0]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -5x-3=0`]의 두 근이 [eqn: alpha `,~ {1} over {beta } `]이므로 이차방정식의

근과 계수의 관계에 의해

[eqn: alpha + {1} over {beta } =5`]에서 [eqn: {alpha beta +1} over {beta } =5]

[eqn: THEREFORE ~ alpha beta +1=5 beta]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

[eqn: alpha TIMES {1} over {beta } =it-3`]에서 [eqn: alpha =it-3 beta]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

한편, 두 근이 [eqn: {1} over {alpha } `,~ beta `]이고 이차항ㄴ의 계수가 [eqn: 3`]인 이차방정식은

[eqn: (]두 근의 합[eqn: )][eqn: = {1} over {alpha } + beta]
[eqn: = {alpha beta +1} over {alpha }]
[eqn: = {5 beta } over {-3 beta }]
[eqn: =it- {5} over {3}]

[eqn: (]두 근의 곱[eqn: )][eqn: = {1} over {alpha } TIMES beta]
[eqn: = {beta } over {-3 beta }]
[eqn: =it- {1} over {3}]

이므로 [eqn: 3 LEFT ( x ^{2} + {5} over {x} x- {1} over {3} RIGHT ) =0`]에서 [eqn: 3x ^{2} +5x-1=0]

2번 10번 문항 수정

이차방정식 [eqn: x ^{2} -3x+4=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,`` beta]라 할 때, 이차방정식 [eqn: x ^{2} -(2a+1)x=b=0]의 두 근은 [eqn: alpha +1,` beta +1]이다. [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: a,`b]는 수이다.) [4.5점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]
④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

⑤

[eqn: x ^{2} -3x+4=0]

[eqn: alpha + beta =3,~ alpha beta =4]

[eqn: x ^{2} -(2a+1)x+b=0]의 두 근 [eqn: alpha +1,~ beta +1]

근과 계수에 의해 두 근의 합은

[eqn: ( alpha +1)+( beta +1)=2a+1=5]

[eqn: 2a=4,~a=2]

두 근의 곱은 [eqn: ( alpha +1)( beta +1)=b]

[eqn: b= alpha beta+ alpha+ beta+1=8]

[eqn: THEREFOREb=8]

[eqn: ab=2 TIMES8=16]

이차방정식 [eqn: 2x ^{2} -x+4=0]의 두 근을 [eqn: alpha , beta]라 할 때, [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 4]이고 [eqn: {1} over {alpha }],[eqn: {1} over {beta }]을 두 근으로 하는 이차방정식은? [3.5점]

①

[eqn: alpha + beta = {1} over {2}], [eqn: alpha beta =2]
[eqn: {1} over {alpha }]과[eqn: {1} over {beta }]를 두 근으로 하는 방정식에서
두 근의 합은 [eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta } = {alpha + beta } over {alpha beta } = {1} over {4}]
두 근의 곱은 [eqn: {1} over {alpha beta } = {1} over {2}]이므로 최고차항의 계수가 [eqn: 4]인 이차방정식은 [eqn: 4x ^{2} -x+2=0]이다.

① [eqn: 4x ^{2} -x+2=0]	② [eqn: 4x ^{2} -4x+2=0] ③ [eqn: 4x ^{2} +2x-2=0]	④ [eqn: 4x ^{2} +4x+2=0]	⑤ [eqn: 4x ^{2} +4x+4=0]

이차방정식 [eqn: x ^{2} +4x-3=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,` beta]라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 이차식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT )]의 값은? [[eqn: 4.1]점]

①

[풀이]

이차방정식 [eqn: x ^{2} +4x-3=0`]의 두 근이 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]이다. 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: alpha+beta=`-4`], [eqn: alphabeta=`-3`]

[eqn: f LEFT ( {1} over {alpha } RIGHT ) =f LEFT ( {1} over {beta } RIGHT ) =5`]이므로 이차방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -5=0`]의 두 근이 [eqn: {1} over {alpha} `], [eqn: {1} over {beta} `]이다.

[eqn: {1} over {alpha} + {1} over {beta} = {alpha+beta} over {alphabeta} = {4} over {3} `]

[eqn: {1} over {alpha} times {1} over {beta} = {1} over {alphabeta} =`- {1} over {3} `]

두 근이 [eqn: {1} over {alpha} `], [eqn: {1} over {beta} `]인 이차방정식을 [eqn: k LEFT ( x ^{2} - {4} over {3} x- {1} over {3} RIGHT ) =0~ LEFT ( k!=0 RIGHT ) `]이라 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -5=k LEFT ( x ^{2} - {4} over {3} x- {1} over {3} RIGHT ) `], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT ( x ^{2} - {4} over {3} x- {1} over {3} RIGHT ) +5`]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =2`]이므로

[eqn: 2=`- {k} over {3} +5`], [eqn: k=9`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =9x ^{2} -12x+2`]

따라서 [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) =62`]이다.

(가) [eqn: f LEFT ( {1} over {alpha} RIGHT ) =`f LEFT ( {1} over {beta } RIGHT ) =5]

(나) [eqn: f(0)=2]

① [eqn: 62]	② [eqn: 64]	③ [eqn: 66]
④ [eqn: 68]	⑤ [eqn: 70]

이차방정식 [eqn: x^2 -3x+4=0`]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta`]라고 할 때, 이차방정식 [eqn: 4x^2 +ax+b=0`]의 두 근은 [eqn: alpha+ 1 over beta ,~ beta+ 1 overalpha`]이다. [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a,~b`]는 실수이다.) [4.4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

④

[eqn: x^2 -3x+4=0`]의 두 근이 [eqn: alpha,~ beta`]이므로

[eqn: alpha+ beta =3 ,~ alpha beta=4]

[eqn: 4x^2 +ax+b=0`]의 두 근이 [eqn: alpha + 1 overbeta ,~ beta+ 1 overalpha]이므로

근과 계수의 관계에 의해

[eqn: - a over4 = alpha+ 1 overbeta + beta + 1 overalpha][eqn: =(alpha+ beta) + {alpha+beta} overalphabeta =3 + 3 over4 = 15 over4]

[eqn: therefore] [eqn: a=-15]

[eqn: b over4 = left( alpha + 1 overbeta right) left( beta + 1 overalpha right)][eqn: = alpha beta + 1 overalphabeta +2][eqn: = 4 + 1 over4 +2 = 25 over4]

[eqn: therefore] [eqn: b=25]

[eqn: therefore] [eqn: a+b=10]

잘못 푼 이차방정식

두 학생 [eqn: A,`B]가 이차방정식 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0]의 근을 구하였다. 학생 [eqn: A]가 이차항의 계수 [eqn: a]만을 잘못 보고 구한 두 근이
[eqn: 1+ sqrt {2} ,`1- sqrt {2}]이고, 학생 [eqn: B]가 상수항 [eqn: c]만을 잘못 보고 구한 두 근이 [eqn: {1+ sqrt {2i}} over {3} `,` {1- sqrt {2i}} over {3}]이다. 이차방정식 [eqn: ax ^{2} +bx+c=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,` beta]라 할 때, [eqn: 3 LEFT | alpha - beta RIGHT |]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이고, [eqn: a,`b,`c`는``````0]이 아닌 실수이다. [5.2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

④

계수 [eqn: a]를 잘못 본 수를 [eqn: x']라고 하고

계수 [eqn: b]는 제대로 보았으므로

[eqn: {-b} over {x prime } =2,~ {c} over {x prime } =3 CDOTS]①

상수항 [eqn: c]를 잘못 본 수를 [eqn: y]라고 하자.

[eqn: {-b} over {a} = {2} over {3} ,~ {y} over {a} = {1} over {3} CDOTS]②

①에서 [eqn: b=-2x prime ,~c=-x prime ,]②에서 [eqn: a=3x]

[eqn: ax ^{2} +bx+c=0]

[eqn: LEFT ( 3x prime RIGHT ) x ^{2} + LEFT ( -2x' RIGHT ) x+ LEFT ( -x prime RIGHT ) =0]

[eqn: 3x ^{2} -2x-1=0( BECAUSE x prime != 0)]

[eqn: alpha + beta = {2} over {3} ,~ alpha beta =- {1} over {3}]

[eqn: LEFT ( 3 LEFT | alpha - beta RIGHT | RIGHT ) ^{2} =9 LEFT ( alpha - beta RIGHT ) ^{2} =9 LEFT { LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -4 alpha beta RIGHT } =16]

[eqn: THEREFORE sqrt {16} =4]

갑과 을이 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0`]의 근을 구하려고 한다. 그런데 갑은 [eqn: x`]의 계수를 잘못 보고 풀어 두 근 [eqn: 1+3i,~1-3i`]를 얻었고, 을은 상수항을 잘못 보고 풀어 두 근 [eqn: 3+2i,~3-2i`]를 얻었다. 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0`]의 두 근을 바르게 구하고, 그 풀이 과정을 논술하시오. (단, [eqn: a,~b`]는 실수이다.) (부분 점수 있음) [[eqn: 5.0]점]

[eqn: 3+i~or~3-i]

(1) [eqn: 1+3i`]와 [eqn: 1-3i`]를 두 근으로 갖는 이차방정식은 [eqn: x ^{2} -2x+10=0]이고, 갑은 [eqn: x`]의 계수를 잘못 보고 풀었으므로 상수항은 [eqn: 10`]

(2) [eqn: 3+2i`]와 [eqn: 3-2i`]를 두 근으로 갖는 이차방정식은 [eqn: x ^{2} -6x+13=0`]이고, 을은 상수항을 잘못 보고 풀었으므로 일차항의 계수는 [eqn: -6]

(1), (2)에 의하여 처음의 이차방정식을 구하면 [eqn: x ^{2} -6x+10=0`]이 되고, 근의 공식을 이용하면 [eqn: x=3 +- i`]가 됨을 알 수 있다.

다음은 이차방정식 [eqn: x^2 +ax+b=0`]을 푼 후 두 학생이 나눈 대화이다. (단, [eqn: a,~b`]는 실수이다.)

이차방정식 [eqn: x^2 +ax+b=0`]의 올바른 근은? (단, [eqn: i=root-1])
[4.5점]

① [eqn: -2+- root2]	② [eqn: 2+- root2]	③ [eqn: -1+- 2i]
④ [eqn: -2 +-i]	⑤ [eqn: 2+- i]

⑤

[eqn: b`]를 바르게 보았을 때 두 근이 [eqn: 1+2i ,~1-2i`]이므로

[eqn: b=(1+2i)(1-2i)=5]	[eqn: cdots①]

[eqn: a`]를 바르게 보았을 때 두 근이 [eqn: 2+root3 ,~2-root3 `]이므로

[eqn: -a =2+root3 +2-root3]

[eqn: a=-4]	[eqn: cdots②]

[eqn: x^2 +ax+b=0]에 [eqn: ①,~②]를 대입하면

[eqn: x^2 -4x+5=0]

[eqn: therefore] [eqn: x=2+- root4-5 = 2+-i]

학생 [eqn: rmA] : 나는 [eqn: a`]의 값을 잘못 보고 풀었더니 두
근이 [eqn: 1+2i ,~ 1-2i`]로 나왔어.

학생 [eqn: rmB] : 나는 [eqn: b`]의 값을 잘못 보고 풀었더니 두 근이
[eqn: 2+root3 ,~2-root3`]으로 나왔어.

[eqn: f(ax+b)=0]의 근 구하기

서로 다른 두 점 [eqn: LEFT ( m,````0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( n,````0 RIGHT ) `]을 지나는 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: m+n=3`]일 때, 이차방정식 [eqn: f LEFT ( {x-2} over {3} RIGHT ) =0`]의 두 근의 합은?

④

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]을 만족하는 근이 [eqn: m], [eqn: n]이고

[eqn: f LEFT ( {x-2} over {3} RIGHT ) =0]의 두 근은 [eqn: {x-2} over {3} =m] 또는 [eqn: {x-2} over {3} =n]을 만족할 때이므로 [eqn: x=3m+2] 또는 [eqn: x=3n+2]이므로 두 근의 합은

[eqn: 3 LEFT ( m+n RIGHT ) +4=13] ([eqn: BECAUSE] [eqn: m+n=3])

[[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]
④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

[eqn: f alpha)=f(beta)=k]를 만족하는 이차식 만들기

이차방정식 [eqn: x^2 +2x+4=0`]의 두 근 [eqn: alpha,~beta`]에 대하여 이차함수 [eqn: f(x)=x^2 +px+q`]가 [eqn: f(alpha^2 )=-8 alpha ,~ f(beta^2 )=-8 beta`]를 만족시킬 때, 두 상수 [eqn: p,~q`]에 대하여 [eqn: p+q`]의 값은? [5.0점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 32]
④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 52]

④

[eqn: x^2 +2x+4=0`]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta`]라 하면

[eqn: alpha+beta=-2,~alphabeta=4]

[eqn: alpha^2 +2alpha+4 =0]에서 [eqn: 2alpha =-alpha^2 -4]

[eqn: -8alpha= 4alpha^2 +16]이므로

[eqn: f(alpha^2 )=-8alpha=4alpha^2 +16]

[eqn: f(alpha^2 )-4alpha^2 -16=0] [eqn: cdots①]

같은 방법으로 하면

[eqn: f(beta^2 )-4beta^2 -16=0] [eqn: cdots②]

[eqn: ①,~②]에 의해

[eqn: f(x)-4x-16=0`] [eqn: cdots③]의 두 근이 [eqn: alpha^2 ,~beta^2 `]이다.

[eqn: alpha^2 +beta^2 =(alpha +beta)^2 -2alphabeta =4-8=-4]

[eqn: alpha^2 beta^2 =16]

[eqn: f(x)=x^2 +px+q`]이므로 [eqn: f(x)]의 이차항의 계수는 [eqn: 1]

이차항의 계수가 [eqn: 1]이고 두 근이 [eqn: alpha^2 ,~beta^2 `]인 이차방정식은

[eqn: x^2 +4x+16=0]

[eqn: ③]을 이용하면

[eqn: f(x)-4x-16=x^2 +4x+16]

[eqn: f(x)=x^2 +8x+32]

[eqn: p=8,~q=32`]이므로 [eqn: p+q=40]

이차방정식 [eqn: x ^{2} +x+1=0`]의 두 근 [eqn: alpha `,~ beta `]에 대하여 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +px+q`]가 [eqn: f LEFT ( alpha ^{2} RIGHT ) =it-3 alpha `]와 [eqn: f LEFT ( beta ^{`2} RIGHT ) =it-3 beta `]를 만족시킬 때, 두 상수 [eqn: p`,~q`]에 대하여 [eqn: p+q`]의 값을 구하는 풀이 과정을 쓰고 답을 구하시오. [[eqn: 7`]점]

[eqn: 8]

이차방정식 [eqn: x ^{2} +x+1=0`]의 두 근이 [eqn: alpha `,~ beta `]이므로

[eqn: alpha ^{2} + alpha +1=0`,~ beta ^{`2} + beta +1=0]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

또한, 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

[eqn: alpha + beta = it -1`,~ alpha beta =1`]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

이때, ㉡에서 [eqn: alpha =it- beta -1`,~ beta =it- alpha -1]

이므로 ㉠에 대입하면 [eqn: alpha ^{2} - beta =0`]이고 [eqn: beta ^{`2} - alpha =0]

[eqn: THEREFORE ~ alpha ^{2} = beta `,~ beta ^{`2} = alpha]

[eqn: f LEFT ( alpha ^{2} RIGHT ) =it-3 alpha `]에서 [eqn: f LEFT ( beta RIGHT ) =it-3 LEFT ( - beta -1 RIGHT )]

즉 [eqn: f LEFT ( beta RIGHT ) -3 beta -3=0]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉢

[eqn: f LEFT ( beta ^{`2} RIGHT ) = it -3 beta `]에서 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) = it -3 LEFT ( - alpha -1 RIGHT )]

즉 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) -3 alpha -3=0]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉣

따라서 ㉢, ㉣에 의하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -3x-3=0`]의 두 근이 [eqn: alpha `,~ beta `]이고

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 이차항의 계수가 [eqn: 1`]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -3x-3= LEFT ( x- alpha RIGHT ) LEFT ( x- beta RIGHT ) `,]

즉 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -3x-3=x ^{2} +x+1`]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +4x+4]

따라서 [eqn: p=4`,~q=4`]이므로 [eqn: p+q=4+4=8]

이차방정식 [eqn: x^2 +x-3=0]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 이차방정식 [eqn: f(x)=0]의 두 근 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: left|p -q right|]의 값은? [[eqn: 4.1]점]

④

근과 계수의 관계에서 [eqn: alpha+beta =-1,~ alphabeta=-3]

조건에서 [eqn: f(alpha) = 1over beta = - 1over3 alpha ,~ f(beta) = 1over alpha = - 1over3 beta]

이차다항식 [eqn: g(x) = f(x) + 1over3 x]에 대하여 [eqn: g(alpha)=g(beta)=0]이므로

[eqn: f(x) + 1over3 x = a(x-alpha)(x-beta) = a(x^2 +x-3)]

[eqn: f(0)=1]에서 [eqn: 1 = -3a,~ a= - 1over3]

[eqn: f(x) = - 1over3 (x^2 +2x-3) = - 1over3 (x+3)(x-1)]

[eqn: f(x)=0]의 두 근이 [eqn: x=-3,~ x=1]이므로

따라서 두 근의 차는 [eqn: 4]이다.

<조 건>

￮ [eqn: beta f(alpha)=1]

￮ [eqn: alpha f(beta)=1]

￮ [eqn: f(0)=1]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: 3x^2 -6x +4 =0]의 서로 다른 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라 하자. 계수가 실수이고 이차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차식 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(alpha) = alphaover2 ,~ f(beta) = betaover2]일 때, [eqn: f(2)]의 값은? [5.2점]

➄

근과 계수와의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =2], [eqn: alpha beta = {4} over {3}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {x} over {2}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) - {x} over {2}]라 하면

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) - {x} over {2} =3x ^{2} -6x+4]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} - {3} over {2} x+ {4} over {3}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(2)=4-3+ {4} over {3} = {7} over {3}]

① [eqn: 3 over4]	② [eqn: 5 over6]	③ [eqn: 6over5]

④ [eqn: 4 over3]	⑤ [eqn: 7 over3]

이차방정식 [eqn: x^2 -x+1=0]의 두 근 [eqn: alpha,```beta]에 대하여 계수를 실수로 가지는 이차식 [eqn: P(x)]가 [eqn: P(alpha)=beta,~P(beta)=alpha,~P(1)=1]을 만족시킬 때, [eqn: P(3)]의 값은? [[eqn: 4.6]점]

⑤

[eqn: alpha+beta=1], [eqn: cases{ `P(alpha)=beta=1-alpha #`P(beta)=alpha=1-beta }]

[eqn: cases{`P(alpha) +alpha-1=0 #` P(beta) +beta-1=0 }]

[eqn: P(x)+x-1][eqn: =a(x-alpha)(x-beta)] ([eqn: a]는 상수)
[eqn: =a(x^2 -x+1)]

[eqn: P(1)=1]이므로

[eqn: a=1,~ P(x)=x^2 -2x+2]

[eqn: P(3) = 5]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

이차방정식 활용

어느 해수욕장에서 그림과 같이 가로의 길이와 높이가 같은 직육면체의 모양의 간이 샤워실을 만들려고 한다. 직육면체의 모서리에 사용될 쇠막대의 길이의 합은 [eqn: 60]m이고, 옆의 네 면에 사용될 천의 넓이의 합은 [eqn: 72]m[eqn: {}^{2}]일 때, 간이 샤워실의 가로([eqn: x]m)와 세로 [eqn: (y]m[eqn: )]의 길이를 구하고 그 과정을 서술하시오. [[eqn: 5.0]점]

[eqn: x=3,``y=9]

풀이)

쇠막대의 길이의 합은 [eqn: 60]m이고, 옆의 네 면에 사용될 천의 넓이의 합은 [eqn: 72]m[eqn: {}^{2}]일 때,

간이 샤워실의 가로([eqn: x]m)와 세로 [eqn: (y]m[eqn: )]에서

[eqn: 8x + 4y = 60]에서 [eqn: 2x + y = 15]

[eqn: 2x ^2 +2xy = 72]에서 [eqn: x ^2 +xy = 36] 을 연립하면

[eqn: y = 15 -2x]를 대입 (단, [eqn: 0< x< 15 over 2])

[eqn: x ^ 2 + x(15 -2x) = 36]

[eqn: x ^2 -15 x + 36 = (x-12 ) ( x -3) = 0] 이고, 범위에서

[eqn: THEREFORE~ x = 3]

그림과 같이 원에 내접하는 사각형 [eqn: rm ABCD it]에 대하여 [eqn: {bar{rm BC it}} =5], [eqn: {bar{rm AC it}} =6], [eqn: {bar{rm CD it}} =4]이고 [eqn: {bar{rm AD it}} ⫽ {bar{rm BC it}}]이다. 선분 [eqn: rm BD it]가 [eqn: ANGLE rm ABC it]를 이등분하고, 두 선분 [eqn: rm AC it], [eqn: rm BD it]의 교점을 [eqn: rm E it]라 하자. [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: 3x ^{2} +mx+n=0]의 두 근이 [eqn: {bar{rm AD it}}], [eqn: {bar{rm EC it}}]일 때, 두 상수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m+n]의 값은? [[eqn: 4.5]점]

③

[풀이]

선분 [eqn: rm BD it `]가 [eqn: ANGLE rm ABC it `]를 이등분하므로 [eqn: ANGLE rm ABD it = ANGLE rm CBD it `]

원주각의 성질에 의하여 [eqn: ANGLE rm ABD it = ANGLE rm ACD it `], [eqn: ANGLE rm CBD it = ANGLE rm CAD it `]

[eqn: {bar{rm AD it}} ⫽ {bar{rm BC it}} `]이므로 [eqn: ANGLE rm CAD it = ANGLE rm ACB it `], [eqn: ANGLE rm CBD it = ANGLE rm ADB it `]

삼각형 [eqn: rm ACD it `]는 [eqn: {bar{rm AD}} = {bar{rm CD}} `]인 이등변삼각형이므로 [eqn: {bar{rm AD it}} =4`]

두 이등변삼각형 [eqn: rm ADE it `], [eqn: rm BCE` it]는 닮음이고, 닮음비는 [eqn: 4`:`5`]이다. [eqn: {bar{rm AC it}} =6`]이므로

[eqn: {bar{rm EC it}} =6 TIMES {5} over {4+5} = {10} over {3} `]

이차방정식 [eqn: 3x ^{2} +mx+n=0`]의 두 근이 [eqn: 4`], [eqn: {10} over {3} `]이므로

[eqn: - {m} over {3} =4+ {10} over {3} `], [eqn: {n} over {3} =4 TIMES {10} over {3} `] [eqn: THEREFORE] [eqn: m=`-22`], [eqn: n=40`]

따라서 [eqn: m+n=18`]이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 18]
④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 26]

[eqn: 720]개의 사탕을 모여 있던 학생들에게 똑같이 나누어 주었더니 남은 것이 없었다. 그런데 조금 늦게 [eqn: 2]명의 학생이 더 와서 나누어 주었던 사탕 중 [eqn: 1]명당 [eqn: 4]개씩 회수하여 나중에 온 [eqn: 2]명의 학생에게 똑같이 나누어 주었더니 모든 학생이 받은 사탕의 개수가 같았다. 이때, 처음 모여 있던 학생 수는? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]
④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

⑤

처음 학생 수를 [eqn: x]명이라 하면

[eqn: x]명의 학새잉 나눠가진 연필의 개수는 [eqn: {720} over {x}]이며

[eqn: 2]명의 학생이 더 온 후 [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT )]명의 학생이 나눠 가진 사탕의
개수는 [eqn: {720} over {x} -4]이다.

[eqn: LEFT ( {720} over {x} -4 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) =720]

[eqn: 4 LEFT ( 180-x RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) =720x], [eqn: LEFT ( 180-x RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) =180x]

정리하면 [eqn: -x ^{2} +180x-2x+360=180x]에서

[eqn: x ^{2} +2x-360=0], [eqn: LEFT ( x+20 RIGHT ) LEFT ( x-18 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x=18]

이차방정식(step3)

5.

이차방정식 [eqn: x ^{2} -px+q=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하자. 다음 조건을 모두 만족시키는 상수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: 4p+q]의 값은? [5.1점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

①

㈏에 의해 [eqn: left|{alpha }right|]는 [eqn: (]소수[eqn: )^2]

[eqn: left|{alpha }right|]로 가능한 값은 [eqn: 4`,``9]

㈎에서 [eqn: alpha +beta +alpha beta = 55]

ⅰ) [eqn: alpha = 4]일 때, [eqn: 4 +beta +4beta = 55]

[eqn: beta = 51 over 5] (×)

ⅱ) [eqn: alpha = -4]일 때, [eqn: -4+beta -4beta = 55]

[eqn: beta = - 59 over 3] (×)

ⅲ) [eqn: alpha = 9]일 때, [eqn: 9+beta +9beta = 55]

[eqn: beta = 23 over 5] (×)

ⅳ) [eqn: alpha = -9]일 때, [eqn: -9+beta - 9beta = 55]

[eqn: beta = -8] (○)

[eqn: ∴```alpha = -9`,``beta = -8]

[eqn: p = alpha +beta = -17`,``q = alpha beta = 72]

[eqn: 4p+q = -68 +72 = 4]

(가) [eqn: p+q=55]

(나) [eqn: alpha ^{2}]의 약수의 개수는 5이다.

(다) [eqn: alpha], [eqn: beta]는 [eqn: LEFT | beta RIGHT | < LEFT | alpha RIGHT | <20]인 서로 다른 정수이다.

[eqn: 50] 이하의 자연수[eqn: n]에 대하여 [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2(n+1)x+n ^{2} +1=0]의 두 근이 모두 정수가 되도록 하는
모든 자연수[eqn: n]의 값의 합은? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: 80]	② [eqn: 90]	③ [eqn: 100]
④ [eqn: 110]	⑤ [eqn: 120]

⑤

[eqn: -1]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: c]	[eqn: d]
		[eqn: {BOX{-2~}}]	[eqn: {BOX{~5~}}]	[eqn: {BOX{-7}}]
[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: {BOX{-5``}} `]	[eqn: {BOX{~7~}}]	[eqn: -2]
		[eqn: {BOX{~4~}}]	[eqn: {BOX{-2~}}]
	[eqn: 2]	[eqn: -1]	[eqn: 5]

[eqn: a=2,~b=-3,~c=2,~d=5]

[eqn: Q LEFT ( x RIGHT ) =2x-1`,~R LEFT ( x RIGHT ) =5x+3]
[eqn: therefore][eqn: Q(-3)+R(2)=-7+13=6`]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -px+q=0]의 한 근이 [eqn: a+i]일 때, 다음 조건을 모두 만족시키는 [eqn: p,~q]의 값을 구하는 과정을 근과 계수와의관계를 이용하여 서술하시오. (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [[eqn: 7.0]점/부분 점수 있음]

[eqn: p=8,~q=17]

[eqn: a]가 [eqn: 3]개의 약수를 가지므로 제곱수이므로 [eqn: a=k ^{2}]이라 하면

[eqn: x ^{2} -px+q=0]의 한 근이 [eqn: a+i]이므로 다른 켤레근은 [eqn: a-i]

근과 계수와의 관계에 따라

[eqn: p=2a=2k ^{2} LEQ 50], [eqn: q=a ^{2} +1=k ^{4} +1 LEQ 50]이고 서로 소

[eqn: k=1]일 때, [eqn: p=2,~q=2]로 서로소에 모순

[eqn: k=2]일 때, [eqn: p=8,~q=17]로 조건이 성립

[eqn: k GEQ 3]일 때. 조건에 모순

따라서 [eqn: p=8,~q=17]

(가) [eqn: p,~q]는 [eqn: 50]이하의 서로 다른 자연수이다.

(나) [eqn: a]는 [eqn: 3]개의 약수를 갖는 자연수이다..

세 실수 [eqn: a,~b,~c] 에 대하여 [eqn: x]에 대한 이차방정식
[eqn: ax ^{2} -bix+c=0]의 한 근이 [eqn: alpha =2-i]이다. 다른 한 근을 [eqn: ` beta]라고
할 때, [eqn: {5} over {alpha } - beta]의 값은? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -4-2i]	③ [eqn: 4-2i]
④ [eqn: 4+2i]	⑤ [eqn: 4]

④

[eqn: ax ^{2} -bix+c=0][eqn: cdots``]①의 한 근이 [eqn: alpha =2-i]이면 다른 한 근을 [eqn: ` beta =-2-i]이다.
[eqn: a(x-2+i)(x+2+i)=0]
[eqn: a(x ^{2} +2ix-5)=0], [eqn: b=2a`,~c=-5a`]
[eqn: ax ^{2} +2aix-5a=0]
[eqn: {5} over {alpha } - beta = {5} over {2-i} - LEFT ( -2-i RIGHT )]
[eqn: =2+i- LEFT ( -2-i RIGHT ) =4+2i]
[다른풀이]
[eqn: alpha =2-i]를 [eqn: cdots``]①에 대입하여
[eqn: a LEFT ( 2-i RIGHT ) ^{2} -bi LEFT ( 2-i RIGHT ) +c=0]
[eqn: a LEFT ( 4-4i-1 RIGHT ) - LEFT ( 2bi+1 RIGHT ) +c=0]
[eqn: LEFT ( 3a-b+c RIGHT ) + LEFT ( -4a-2b RIGHT ) i=0]
[eqn: b=-2a`], [eqn: c=-5a`]
[eqn: ax ^{2} +2aix-5a=0]

이차방정식 [eqn: x^2 +4x-1=0]의 두 근을 [eqn: alpha, beta]라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 이차식 [eqn: f(x)]에 대하여 이차방정식 [eqn: f(x)=0]의 두 근 [eqn: p,q]에 대하여 [eqn: {1} over {4} (p ^{4} +p ^{2} q ^{2} +q ^{4} )]의 값은? [4.6점]

③

[eqn: alpha beta =-1]에서 [eqn: {1} over {alpha } =- beta], [eqn: {1} over {beta } =- alpha]
[eqn: beta f( alpha )=1]에서 [eqn: f( alpha )= {1} over {beta } =- alpha], 같은 방법으로 [eqn: f( beta )=- beta]이므로
[eqn: f(x)+x=0]의 두 근이 [eqn: alpha , beta]이다.
[eqn: f(x)+x=a(x ^{2} +4x-1)]
[eqn: f(x)=a(x ^{2} +4x-1)-x]
[eqn: f(0)=1]이므로 [eqn: a=-1]
[eqn: f(x)=-x ^{2} -5x+1]
[eqn: p+q=-5,`pq=-1]이므로
[eqn: p ^{2} +q ^{2} =27`,`p ^{2} q ^{2} =1]에서 [eqn: p ^{4} +q ^{4} =(p ^{2} +q ^{2} ) ^{2} -2p ^{2} q ^{2} =727]

(ㄱ) [eqn: beta f( alpha )=1] (ㄴ) [eqn: alpha f( beta )=1]
(ㄷ) [eqn: f(0)=1]

① [eqn: 132]	② [eqn: 156]	③ [eqn: 182]

④ [eqn: 210]	⑤ [eqn: 240]

이차방정식 [eqn: x ^{2} - sqrt {2} x+1=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,` beta]라 할 때, [eqn: LEFT ( {alpha ^{n} - beta ^{n}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2n} =2 ^{n}]이 되도록 하는 [eqn: 100] 이하의 자연수 [eqn: n]의 개수는? [[eqn: 4.9]점]

④

[풀이]

이차방정식 [eqn: x ^{2} - sqrt {2} x+1=0`]에서

[eqn: x ^{2} +1= sqrt {2} x`], [eqn: LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) ^{2} = LEFT ( sqrt {2} x RIGHT ) ^{2} `], [eqn: x ^{4} =`-1`]

이차방정식 [eqn: x ^{2} - sqrt {2} x+1=0`]의 두 근이 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]이다.

[eqn: alpha + beta = sqrt {2} `], [eqn: alpha beta =1`]

[eqn: LEFT ( alpha-beta RIGHT ) ^{2} = LEFT ( alpha+beta RIGHT ) ^{2} -4alphabeta`], [eqn: alpha ^{2} + beta ^{`2} `][eqn: = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -2 alpha beta `]이므로

[eqn: alpha-beta=+- sqrt {2} i`], [eqn: alpha ^{2} + beta ^{`2} =0`]

[eqn: x ^{4} =`-1`]이므로

[eqn: alpha ^{4} =`-1`], [eqn: beta ^{`4} =`-1`], [eqn: alpha ^{8} =1`], [eqn: beta ^{`8} =1`]

따라서 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: alpha ^{n} `], [eqn: beta ^{`n} `]의 주기는 [eqn: 8`]이다.

어떤 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: LEFT ( {alpha ^{n} - beta ^{`n}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2n} =2 ^{n} `]이다.

[eqn: alpha ^{4} =`-1`], [eqn: beta ^{`4} =`-1`]이므로 자연수 [eqn: m`]에 대하여

[eqn: LEFT ( {alpha ^{m+4} - beta ` ^{m+4}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT ( {- alpha ^{m} + beta ` ^{m}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT ( {alpha ^{m} - beta ` ^{m}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2} `]

모든 자연수 [eqn: m`]에 대하여 [eqn: LEFT ( {alpha ^{m+4} - beta ` ^{m+4}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT ( {alpha ^{m} - beta ` ^{m}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2} `]

이므로 [eqn: LEFT ( {alpha ^{n} - beta ` ^{n}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2} `]의 주기는 [eqn: 4`]이다.

자연수 [eqn: k`]에 대하여

(ⅰ) [eqn: n=4k-3`]일 때
[eqn: LEFT ( {alpha ^{n} - beta ` ^{n}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2} `][eqn: = LEFT ( {alpha ^{4k-3} - beta ^{`4k-`3}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT ( {alpha - beta } over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2}][eqn: =`-1`]
[eqn: LEFT ( {alpha ^{n} - beta ^{`n}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2n} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} `]이므로 [eqn: LEFT ( {alpha ^{n} - beta ^{`n}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2n} =2 ^{n} `]이 성립하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: n=4k-2`]일 때
[eqn: alpha ^{2} -beta ^{`2} = LEFT ( alpha-beta RIGHT ) LEFT ( alpha+beta RIGHT ) =+-2i`]이므로
[eqn: LEFT ( {alpha ^{n} - beta ` ^{n}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2} `][eqn: = LEFT ( {alpha ^{4k-2} - beta ^{`4k-`2}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT ( {alpha ^{2} - beta ^{`2}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2}][eqn: =`-2`]
[eqn: LEFT ( {alpha ^{n} - beta ^{`n}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2n} = LEFT ( -2 RIGHT ) ^{n} `]이므로 [eqn: LEFT ( {alpha ^{n} - beta ^{`n}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2n} =2 ^{n} `]이 성립한다.

(ⅲ) [eqn: n=4k-1`]일 때
[eqn: alpha ^{3} - beta ^{`3} = LEFT ( alpha - beta RIGHT ) LEFT ( alpha ^{2} + beta ^{`2} + alpha beta RIGHT ) =+- sqrt {2} i`]이므로
[eqn: LEFT ( {alpha ^{n} - beta ` ^{n}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2} `][eqn: = LEFT ( {alpha ^{4k-1} - beta ^{`4k-`1}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT ( {alpha ^{3} - beta ^{`3}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2}][eqn: =`-1`]
[eqn: LEFT ( {alpha ^{n} - beta ^{`n}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2n} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} `]이므로 [eqn: LEFT ( {alpha ^{n} - beta ^{`n}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2n} =2 ^{n} `]이 성립하지 않는다.

(ⅳ) [eqn: n=4k`]일 때
[eqn: LEFT ( {alpha ^{n} - beta ` ^{n}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2} `][eqn: = LEFT ( {alpha ^{4k} - beta ^{`4k}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2}][eqn: =0`]
[eqn: LEFT ( {alpha ^{n} - beta ^{`n}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2n} =0`]이므로 [eqn: LEFT ( {alpha ^{n} - beta ^{`n}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2n} =2 ^{n} `]이 성립하지 않는다.

[eqn: LEFT ( {alpha ^{n} - beta ^{`n}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2n} =2 ^{n} `]이 성립하는 [eqn: 100`] 이하의 자연수 [eqn: n`]은 [eqn: 4`]로 나누었을 때의 나머지가 [eqn: 2`]이므로 개수는 [eqn: 25`]이다.

① [eqn: 13]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 21]
④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 29]

이차방정식과 이차함수(step1)

6.

이차함수 [eqn: x~]축과의 위치 관계

이차함수 [eqn: y=x ^{2} +ax+b`]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( -1,````0 RIGHT ) `]에서 [eqn: x`]축과 접할 때, 이차함수 [eqn: y=x ^{2} +bx+a-8`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 두 점 사이의 거리는? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

①

[eqn: y=x ^{2} +ax+b]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( -1,``0 RIGHT )]에서 [eqn: x]축과 접하므로

[eqn: x ^{2} +ax+b= LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2}]이어야 하므로 [eqn: a=2], [eqn: b=1]

[eqn: y=x ^{2} +x-6]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 구하면

[eqn: x ^{2} +x-6=0], [eqn: x=-3] 또는 [eqn: x=2]이므로

[eqn: LEFT ( -3,``0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,``0 RIGHT )]에서 [eqn: x]축과 만난다.

따라서 두 점 사이의 거리는 [eqn: 5]

이차함수 [eqn: y= 1 over4 (x-a)^2 +3`]의 그래프와 직선 [eqn: y=x`]가 서로 다른 두 점 [eqn: rmA,~B]에서 만난다. 두 점 [eqn: rmA,~B]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmC,~D]라고 하자. 선분 [eqn: rmCD]의 길이가 [eqn: 4`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [4.7점]

① [eqn: 5 over2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 7 over2]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 9 over2]

②

[eqn: 1 over4 (x-a)^2 +3 =x]

[eqn: x^2 -2ax+a^2 +12=4x]

[eqn: x^2 -(2a+4)x +a^2 +12=0]

두 근을 [eqn: alpha,~beta`]라 하면 [eqn: alpha+beta=2a+4 ,~ alphabeta=a^2 +12]

[eqn: rmA(it alpha,~alpha),~rmB( it beta,~beta),~rmC(it alpha,~0),~rmD(it beta,~0)]

[eqn: rm barCD = it|`alpha-beta`|= root{(alpha+beta)^2 -4alphabeta}]

[eqn: =root{4a^2 +16a+16-4a^2 -48}]

[eqn: =root{16a-32}=4]

[eqn: 16a-32=16]

[eqn: therefore] [eqn: a=3]

이차함수 [eqn: y=-2x ^{2} +4x+k]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은? [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

②

풀이) [eqn: 0=-2x ^{2} +4x+k] 에서

[eqn: x]축과 만나려면 [eqn: D/ 4 = 4 + 2k ge 0] 이므로 [eqn: k ge - 2]

최솟값은 [eqn: -2] 이다.

이차함수 [eqn: y=-2x^2 +4x-k`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 한 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k`]의 값은? [3.9점]

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

④

[eqn: y=-2x^2 +4x-k`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 한 점에서 만나므로

[eqn: -2x^2 +4x-k=0`]이 중근을 갖는다.

[eqn: D/4=4-2k=0]

[eqn: therefore] [eqn: k=2]

이차함수 [eqn: y= x^2 +4(a-1)x +3a^2 -4a+9]의 그래프가 항상 [eqn: x]축과 한 점에서만 만날 때, 양수 [eqn: a]의 값은? [[eqn: 3.9]점]

⑤

[eqn: x]축과 한 점에서만 만나므로 이차함수의 그래프가 [eqn: x]축과 접한다. 따라서 방정식 [eqn: x^2 +4(a-1)x +3a^2 -4a+9=0]의 판별식이 [eqn: 0]이다.

[eqn: D/4 = 4(a-1)^2 -(3a^2 -4a+9)=0]

[eqn: a^2 -4a-5=0]	[eqn: therefore~ a=5~(because~a>0)]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

이차함수 [eqn: y=x^2 +4x+2k]의 그래프와 [eqn: x]축이 접하도록 하는 정수 [eqn: k]의 값은? [[eqn: 3.8]점]

⑤

[eqn: y=x ^{2} +4x+2k= LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} -4+2k]이므로

이차함수가 [eqn: x]축에 접하려면 꼭지점의 [eqn: y]값이 [eqn: 0]

따라서 [eqn: -4+2k=0]이므로 [eqn: k=2]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = it -x ^{2} +ax+b]가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

④

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = it -x ^{2} +ax+b= it - LEFT ( x- {a} over {2} RIGHT ) ^{2} + {a ^{2}} over {4} +b]에 대해

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =f LEFT ( 7 RIGHT )]이므로 대칭축 [eqn: x= {a} over {2} = {-1+7} over {2} =3]이 되어 [eqn: a=6]

[eqn: y=11]에 접하므로 꼭짓점의 [eqn: y]좌표 [eqn: {a ^{2}} over {4} +b= {6 ^{2}} over {4} +b=9+b=11]이

되어 [eqn: b=2]

따라서 [eqn: ab=6·2=12]

이때, [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.) [[eqn: 4.0]점]

(가) [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =f LEFT ( 7 RIGHT )]

(나) 이차함수의 그래프와 직선 [eqn: y=11]이 접한다.

① [eqn: -120]	② [eqn: -12]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 120]

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점 [eqn: ( alpha ,`0)], [eqn: ( beta ,`0)]에서 만나고 [eqn: alpha + beta =10]일 때, 방정식 [eqn: f(2x-7)=0]의 모든 실근의 합은? [[eqn: 5.6]점]

②

[eqn: f( alpha )=f( beta )=0]이므로 [eqn: f(2x-7)=0]에서 [eqn: x= {7+ alpha } over {2} ,` {7+ beta } over {2}]이다.

따라서 구하고자 하는 값은 [eqn: {14+ alpha + beta } over {2} =7+5=12]이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]
④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

이차함수 [eqn: y=x ^{2} +ax-2a-1]의 그래프는 [eqn: a]의 값에 관계없이 항상 점 [eqn: rmP][eqn: (p,`q)]를 지닌다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: a,~`p,~`q]는 실수이다.) [4.7점]
① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

⑤

[eqn: p ^{2} +ap-2a-1=q]

[eqn: RARROW `a(p-2)+p ^{2} -q-1=0]

[eqn: p=2,`q=3]은 [eqn: a]값과 상관없이 등식을 만족하므로 [eqn: p+q=5]

이차함수와 직선의 위치 관계

이차함수 [eqn: y= -x^2 +n]의 그래프와 직선 [eqn: y=mx]는 서로 다른 두 점 [eqn: rmP,~Q]에서 만난다. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: -1-root5]일 때, [eqn: m-n]의 값은? (단, [eqn: m,~n]은 유리수이다.) [4.2점]

➁

[eqn: -x ^{2} +n=mx], 계수가 모두 유리수인 이차방정식은 켤레근을 가지므로

즉, [eqn: x ^{2} +mx-n=0`]의 두 근이 [eqn: -1- sqrt {5}], [eqn: -1+ sqrt {5}]이므로

두 근의 합 [eqn: -2=-m], [eqn: m=2]

두 곱의 곱 [eqn: -4=-n], [eqn: n=4]

따라서 [eqn: m-n=2-4=-2]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

이차함수 [eqn: y= {1} over {2} LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2} `]의 그래프와 직선 [eqn: y=x`]가 서로 다른 두 점 [eqn: rmA,~B`]에서 만난다. 두 점 [eqn: rmA,~B`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmC,~D`]라 하자. 선분 [eqn: rmCD`]의 길이가 [eqn: 8`]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? [[eqn: 5.2]점]

⑤

점 [eqn: rmC,~D`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: y= {1} over {2} LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2} `]의 그래프와 직선 [eqn: y=x`]가 만나는 점의 [eqn: x`]좌표이다. 따라서 방정식 [eqn: {1} over {2} LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2} =x`]의 방정식을 정리하면 [eqn: LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2} =2x,] [eqn: x ^{2} -2 LEFT ( k+1 RIGHT ) x+k ^{2} =0`]이 됨을 알 수 있다.

이 방정식의 근을 [eqn: alpha ,~ beta ` LEFT ( alpha < beta RIGHT ) `]라 하면 근과 계수와의 관계에 의하여 [eqn: alpha + beta =2 LEFT ( k+1 RIGHT ) ,] [eqn: alpha beta =k ^{`2} `]이 되어 [eqn: LEFT ( alpha - beta RIGHT ) ^{2} = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -4 alpha beta `]이 성립하고, 이를 정리하면 [eqn: LEFT ( alpha - beta RIGHT ) ^{2} =4 LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2} -4k ^{`2} =8k+4`]가 성립한다.

따라서 [eqn: rm {bar{CD}} =][eqn: beta - alpha = sqrt {8k+4} `][eqn: =8`]

양변을 제곱하여 정리하면 [eqn: 8k+4=64`]가 되어 [eqn: k= {15} over {2} `]가 됨을 알 수 있다.

① [eqn: {11} over {2}]	② [eqn: 6]	③ [eqn: {13} over {2}]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: {15} over {2}]

직선 [eqn: y=4x-a-3`]이 이차함수 [eqn: y=-x ^{2} +x-2a`]의 그래프와 만나지 않도록 하는 정수 [eqn: a`]의 최솟값은? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

③

직선 [eqn: y=4x-a-3]와 이차함수 [eqn: y=-x ^{2} +x-2a]의 그래프가

만나지 않으려면 [eqn: 4x-a-3=-x ^{2} +x-2a],

[eqn: x ^{2} +3x+a-3=0]에서 [eqn: D=9-4 LEFT ( a-3 RIGHT ) <0]을 만족해야 한다.

따라서 [eqn: 21-4a<0], [eqn: a> {21} over {4}]

따라서 정수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 6]이다.

이차함수 [eqn: y=2x ^{2} +2x]의 그래프와 직선 [eqn: y=4x+m-6]이 만나지 않도록 하는 모든 자연수 [eqn: m]의 값의 합은? [3.9점]

➂

[eqn: 2x ^{2} +2x=4x+m-6], [eqn: 2x ^{2} -2x-m+6=0]

판별식 [eqn: D/4=1-2 LEFT ( -m+6 RIGHT ) =2m-11<0]

[eqn: m< {11} over {2}]이므로 만족하는 자연수 [eqn: m=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]

따라서 [eqn: 1+2+3+4+5=15]

① [eqn: 6]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 28]

이차함수[eqn: y=x ^{2} +3x-4]의 그래프와 직선 [eqn: y=x-k]가 만나지 않을 때, 실수 [eqn: k]의 값의 범위는? [[eqn: 4.2]점]

① [eqn: k<`-5]	② [eqn: k<3]	③ [eqn: k<5]
④ [eqn: k>3]	⑤ [eqn: k>5]

③

방정식 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} +x-3=0`]의 한근이 [eqn: i]이고 계수가 실수이므로 켤레복소수근 다른 한 허근은 [eqn: -i] 이므로 두근을 가지는 이차벙정식은 [eqn: x ^{2} +1]를 인수로 가진다.
[eqn: x ^{3} +ax ^{2} +x-3=(x ^{2} +1)(x-3)`]이므로 [eqn: a=-3] 따라서
[eqn: m=-i,~n=3]이므로 [eqn: a+m+n=-i]

이차함수 [eqn: y=x ^{2} +3x-4]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+k]가 서로 만나지 않도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위는? [3.5점]

②

교점 구하는 식 [eqn: x ^{2} +3x-4=x+k]를 정리하면 [eqn: x ^{2} +2x-(k+4)=0]이 허근을 갖아야 하므로 판별식 [eqn: D<0]이다.
[eqn: LEFT ( b ^{'} RIGHT ) ^{2} -ac=1+(k+4)<0]이므로 [eqn: k<`-5]

① [eqn: k>`-5]	② [eqn: k<`-5]	③ [eqn: k>`-3]

④ [eqn: k<`-5]	⑤ [eqn: k>`-4]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | x ^{2} -2x-8 RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: y=3x+k]가 서로 다른 네 점에서 만나도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는? [5.0점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

②

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | x ^{2} -2x-8 RIGHT |]와 [eqn: y=3x+k]가 서로 다른 네 점에서 만나려면

[eqn: y=3x+k]가 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 [eqn: x]절편 중 [eqn: LEFT ( -2,~0 RIGHT )]을 지날 때와

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-x ^{2} +2x+8] 과 접할 때 사이로 지나갈 때 이다.

ⅰ) [eqn: y=3x+k]가 [eqn: LEFT ( -2,~0 RIGHT )]을 지날 때, [eqn: k=6]

ⅱ) [eqn: y=3x+k]와 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-x ^{2} +2x+8]가 접할 때,

[eqn: -x ^{2} +2x+8=3x+k]

[eqn: x ^{2} +x+k-8=0]

[eqn: 1-4k+32=0,~ THEREFORE `k= {33} over {4}]

따라서 [eqn: k]의 범위는 [eqn: 6<k< {33} over {4}] 이고 정수 [eqn: k=7,~8] 두 개 이다.

이차함수와 접선의 방정식

이차함수 [eqn: y=x^2 -5x+4]의 그래프와 직선 [eqn: y=m(x-1)]이 접하도록 하는 실수 [eqn: m]의 값은? [4.9점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]
④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

③

이차함수와 직선이 접하므로,

[eqn: x^2 -5x +4=m(x-1)]

[eqn: x^2 -(m+5)x+4+m=0] 판별식이 [eqn: 0]이다.

[eqn: m^2 +10m +25 -4m -16=0], [eqn: m^2 +6m +9=0]

[eqn: m=-3] 이다.

이차함수 [eqn: y=-2x ^{2} +4x+k]와 그래프가 직선 [eqn: y=x+1]이 접하도록 하는 상수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: -16k]의 값은? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

①

두 본식을 연립하면

[eqn: 2x ^{2} -3x-k+1=0]

[eqn: D=0]이므로 [eqn: k=- {1} over {8} `] [eqn: THEREFORE -16k=2]

직선 [eqn: y=2x-k]와 이차함수[eqn: y=x ^{2} -4x+2k]의 그래프가 점[eqn: LEFT ( a,``b RIGHT )]에서 접할 때, [eqn: ab]의 값은? [[eqn: 3.7]점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

⑤

직선 [eqn: y=2x-k]와 이차함수[eqn: y=x ^{2} -4x+2k]의 그래프가 점[eqn: LEFT ( a,``b RIGHT )]에서 접할 때 연립방정식의 판별식[eqn: {D} over {4} =0] 이므로

[eqn: x ^{2} -4x+2k=2x-k]

[eqn: x ^{2} -6x+3k=0]

[eqn: {D} over {4} =9-3k=0]

[eqn: k=3] 이므로

[eqn: x ^{2} -6x+9= LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} =0]에서

접점좌표는 [eqn: LEFT ( 3,`3 RIGHT )]이므로 [eqn: a=3,b=3]
[eqn: THEREFOREab=9]

이차함수 [eqn: y=2x ^{2} -ax-8]의 그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점 [eqn: A LEFT ( -4,~0 RIGHT ) ,~B LEFT ( b,~0 RIGHT )]에서 만날 때, 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: b-a]의 값은? [4.0점]

① [eqn: -7]	② [eqn: -5]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 7]

⑤

[eqn: y=2x ^{2} -ax-8]에 [eqn: LEFT ( -4,~0 RIGHT )]을 대입하면

[eqn: 0=32+4a-8,~ THEREFORE a=-6] 이다. 이를 [eqn: y=2x ^{2} -ax-8]에 대입하면

[eqn: y=2x ^{2} +6x-8] 이므로 나머지 [eqn: x]절편은 [eqn: 1] 이므로 [eqn: b=1] 이다.

따라서 [eqn: b-a=7] 이다.

이차함수 [eqn: y=x^2 -2(2a-k)x +k^2 +4k+b`]의 그래프가 실수 [eqn: k`]의 값에 관계없이 [eqn: x`]축에 접할 때, 상수 [eqn: a,~b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은? [4.5점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

③

[eqn: y=x^2 -2(2a-k)x +k^2 +4k+b`]의 그래프가 [eqn: x`]축에 접하므로

[eqn: D/4 =(2a-k)^2 -(k^2 +4k+b)=0]

[eqn: (-4a-4)k +4a^2 -b=0]

[eqn: k`]의 값에 관계없이 성립하므로

[eqn: a=-1,~b=4a^2 =4]

[eqn: therefore] [eqn: a+b=3]

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +ax- LEFT ( b-5 RIGHT ) ^{2} `]이 다음 조건을 만족시킨다.

세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]에 대하여 [eqn: a+b+c`]의 값은? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

②

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +ax- LEFT ( b-5 RIGHT ) ^{2}]이

조건 (가)에 의하여 [eqn: x= {3} over {2}]에서 최솟값을 가져야 하므로

[eqn: - {a} over {2} = {3} over {2}], [eqn: a=-3]

조건(나0에 의하여

[eqn: x ^{2} -3x- LEFT ( b-5 RIGHT ) ^{2} =cx]가 한 점에서 만나야 하므로

[eqn: x ^{2} - LEFT ( 3+c RIGHT ) x- LEFT ( b-5 RIGHT ) ^{2} =0]에서

[eqn: D= LEFT ( 3+c RIGHT ) ^{2} +4 LEFT ( b-5 RIGHT ) ^{2} =0]을 만족해야 하므로

[eqn: c=-3], [eqn: b=5]이다.

따라서 [eqn: a+b+c= LEFT ( -3 RIGHT ) + LEFT ( -3 RIGHT ) +5=-1]

(가) [eqn: x= {3} over {2} `]에서 최솟값을 가진다.

(나) 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y=cx`]가
한 점에서 만난다.

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +ax+b]가 <보기>의 조건을 모두 만족시킬 때, 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha ,~ beta]라 할 때 [eqn: alpha beta]의 값은? [5.0점]

① [eqn: -9]	② [eqn: -6]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 9]

④

조건 (가)에 의하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=3]을 대칭축으로 하는 이차함수 이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} +k]라 할 수 있고, [eqn: y=-4x+5]와 접하므로 연립하여 판별식을 구하면

[eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} +k=-4x+5]

⇒[eqn: x ^{2} -2x+k+4=0,~D=1-k-4]

⇒[eqn: k=-3] 이고 이를 대입하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} -3] 이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x]축과 만나는 두 점의 좌표는

[eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} -3=0]

⇒ [eqn: x=3+ sqrt {3} ,~3- sqrt {3}] 이므로

[eqn: alpha beta =9-3=6] 이다.

[eqn: ATT LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} -3=0] 에서 근과 계수의 관계
두 근의 곱:[eqn: 6]임을 알 수 있다.

[보 기]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 3-x RIGHT ) =f LEFT ( 3+x RIGHT )]이다.

(나) 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y=-4x+5]는 접한다.

이차함수와 이차함수의 위치 관계

두 이차함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -4kx-6], [eqn: g(x)=-x ^{2} +4x-2k ^{2}] 가 있다. 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha `,` beta `( alpha < beta )]라 할 때, [eqn: f( alpha )+kg( beta )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k]는 음의정수이다.) [6점]

[eqn: -8 sqrt {2}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} -4 LEFT ( k+1 RIGHT ) x-6+2k ^{2} =0]

[eqn: x ^{2} -2 LEFT ( k+1 RIGHT ) x+k ^{2} -3=0]에서 서로 다른 두 실근을 가지므로

[eqn: D/4= LEFT ( k+1 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( k ^{2} -3 RIGHT ) =2k+4>0], [eqn: k>-2]

[eqn: k`]는 음의 정수이므로 [eqn: k=-1]

[eqn: alpha + beta =2 LEFT ( k+1 RIGHT ) =0]

[eqn: alpha beta =-3+k ^{2} =-2]

[eqn: alpha - beta =- sqrt {LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -4 alpha beta } =-2 sqrt {2}]

[eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -2 alpha beta =4]

[eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) +kg LEFT ( beta RIGHT )][eqn: =f LEFT ( alpha RIGHT ) -g LEFT ( beta RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( alpha ^{2} +4 alpha -6 RIGHT ) - LEFT ( - beta ^{2} +4 beta -2 RIGHT )]
[eqn: = alpha ^{2} + beta ^{2} +4 LEFT ( alpha - beta RIGHT ) -4]
[eqn: =4-8 sqrt {2} -4]
[eqn: =-8 sqrt {2}]

이차항의 계수가 [eqn: -1]인 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선[eqn: y=g(x)]가 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: 1`과````5]이다.
[eqn: h(x)=f(x)-g(x)]라 할 때, 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x`=p]에서 최댓값
[eqn: q]를 갖는다. [eqn: p+q]의 값은? [[eqn: 4.4]점]

②

[eqn: h(x)=f(x)-g(x)=a(x-1) LEFT ( x-5 RIGHT )]
[eqn: h(x)=f(x)-g(x)=-x ^{2} +6x-5]
[eqn: p=3], [eqn: q=4]
[eqn: THEREFORE `p+q=7]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

이차함수의 최대최소(1)

이차함수 [eqn: y=3(x+1)^2 -2`]의 최댓값과 최솟값에 대한 설명으로 옳은 것은? [3.5점]

① 최댓값은 없고, 최솟값은 [eqn: -2`]이다.
② 최댓값은 없고, 최솟값은 [eqn: -1]이다.
③ 최댓값은 [eqn: -2`]이고, 최솟값은 없다.
④ 최댓값은 [eqn: -1]이고, 최솟값은 없다.
⑤ 최댓값은 [eqn: -1`]이고, 최솟값은 [eqn: -2`]이다.

①

[eqn: y=3(x+1)^2 -2`]

아래로 볼록이므로 최댓값은 없고 최솟값은 [eqn: -2]

[eqn: 1 LEQ x LEQ 4`]일 때, 이차함수 [eqn: y=-x ^{2} +6x+2`]의 최솟값은?

②

이차함수 [eqn: y=it-x ^{2} +6x+2]의 축은 [eqn: x=3]이므로

[eqn: 1 LEQ x LEQ 4]에서 최솟값은 [eqn: x=1]에서 [eqn: 7]이다.

[[eqn: 3.9]점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -6x+6][eqn: LEFT ( -1 LEQ x LEQ 2 RIGHT )]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라고 할 때, [eqn: M+m]의 값은 ? [[eqn: 3.9]점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]
④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

②

[eqn: y=x ^{2} -6x+6= LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} -3][eqn: LEFT ( -1 LEQ x LEQ 2 RIGHT )]이므로

[eqn: x=it-1]일 때, 최댓값 [eqn: M=13]

[eqn: x=2]일 때, 최솟값 [eqn: m=it-2]

따라서 [eqn: m+m=13+ LEFT ( -2 RIGHT ) =11]

이차함수의 최대최소(2)

[eqn: -3 LEQ x LEQ 3`]에서 정의된 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2x+k`]의 최솟값이 [eqn: 3`]일 때, 실수 [eqn: k`]의 값과 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최댓값의 합은? [[eqn: 5.0]점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 23]
④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 31]

③

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +k-1`]이므로 [eqn: x=1`]에서 최솟값 [eqn: k-1`]을 갖는다. 따라서 [eqn: k-1=3`]이 되어 [eqn: k=4`]가 되고, 최댓값은 [eqn: x=-3`]에서 [eqn: f LEFT ( -3 RIGHT ) = LEFT ( -4 RIGHT ) ^{2} +k-1=k+15`][eqn: =4+15=19`]가 됨을 알 수 있다.

[eqn: THEREFORE ``][eqn: k+](최댓값)은 [eqn: 4+19=23]

[eqn: 0 le x le5]에서 이차함수 [eqn: y= -x^2 +4x+k]의 최댓값이 [eqn: 5]일 때 최솟값은? (단, [eqn: k]는 상수이다.) [4.1점]

➀

[eqn: y=- LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +4k+k]

[eqn: x=2`]일 때 최댓값 [eqn: 4+k=5], [eqn: k=1]

[eqn: x=5`]일 때 최솟값 [eqn: -3 ^{2} +4+1=-4]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: -1 le x le2`]에서 이차함수 [eqn: y=x^2 -2x+a]의 최댓값은 [eqn: 8], 최솟값은 [eqn: m`]일 때, 상수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: a+m`]의 값은? [4.3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

③

[eqn: y=x^2 -2x+a=(x-1)^2 +a-1]

[eqn: -1le x le 2`]이므로

[eqn: x=-1]일 때 최댓값 [eqn: 1+2+a=8]

[eqn: a=5]

[eqn: x=1]에서 최솟값 [eqn: m=a-1=4]

[eqn: therefore] [eqn: a+m=9]

[eqn: 1 LEQ x LEQ 3`]일 때, 이차함수 [eqn: y=ax ^{2} -8ax-b`]의 최댓값이 [eqn: 6], 최솟값이 [eqn: -2]이다. 실수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a-b`]의 값은? (단, [eqn: a>0]) [[eqn: 4.1]점]

⑤

[eqn: y=ax ^{2} -8ax-b]의 축의 방정식은 [eqn: x=4]이고

[eqn: 1 LEQ x LEQ 3]에서 최댓값은 [eqn: x=1]에서 최댓값을 갖고,

[eqn: x=3]에서 최솟값을 갖는다. ([eqn: BECAUSE] [eqn: a>0])

[eqn: a-8a-b=6], [eqn: 9a-24a-b=-2]

두 식을 연립하면 [eqn: a=1], [eqn: b=-13]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a-b=14]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]
④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

이차함수 [eqn: y=-x ^{2} +6x+8(1leqx leq6)]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값은 [eqn: m]이라 하자. 이때 [eqn: M+m]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: 22]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 24]
④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 26]

④

[eqn: M=f(3)=17`,`m=f(6)=8]이므로 [eqn: M+m=25]

[eqn: 0 le x le 5]에서 이차함수 [eqn: y= `-x^2 +4x+a]의 최댓값이 [eqn: 12]일 때, 최솟값은 [eqn: m]이다. [eqn: a+m]의 값은? (단, [eqn: a]는 실수이다.) [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]
④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

③

[eqn: y][eqn: = `-x^2 +4x+a]
[eqn: = `- LEFT ( x^2 -4x+4-4 RIGHT )+a]
[eqn: = `- LEFT ( x-2 RIGHT )^2 +4+a]

[eqn: 0 le x le 5]에서

[eqn: x=2]일 때 [eqn: y]는 최댓값 [eqn: 4+a]이고

[eqn: x=5]일 때 [eqn: y]는 최솟값 [eqn: -5+a]를 갖는다.

최댓값이 [eqn: 12]이므로 [eqn: 4+a=12]

[eqn: therefore a =8]

그러므로 최솟값 [eqn: m]은 [eqn: -5+a=-5+8= 3]

따라서 [eqn: a+m = 8+3=11]이다.

실수 전체에서 이차함수 [eqn: f(x)=2x^2 -2ax+3]의 최솟값은 [eqn: 1]이고, [eqn: -3 Le x Le 3]일 때, 이차함수 [eqn: f(x)~]의 최댓값은 [eqn: M]이라 하자. 이때 [eqn: a]와 [eqn: M]의 값을 각각 구하고, 그 과정을 논리적으로 서술하시오. (단, [eqn: a]는 양의 실수, [eqn: M]은 실수이다.) [5.0점]

[eqn: a=2], [eqn: M=33]

[eqn: y=2x^2 -2ax+3][eqn: =2(x-{a}over{2})^2 -{a^2}over{2}+3]이므로 [eqn: x={a}over{2}]일 때, 최솟값 [eqn: -{a^2}over{2}+3]을 갖는다. 따라서 [eqn: -{a^2}over{2}+3=1]이므로 [eqn: a^2 =4]이고, [eqn: a=+-2]인데, [eqn: a>0]이므로 [eqn: a=2]이다. [eqn: a=2]를 주어진 이차함수의 식에 대입하면 [eqn: y=2x^2 -4x+3][eqn: =2(x-2)^2 +1]이고, [eqn: -3 Le x LE 3]에서 최댓값은 [eqn: x=-3]일 때 33이므로 [eqn: M=33]이다.

14번 문항 수정 및 수정

이차함수의 최대최소의 활용

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 8m]인 정삼각형 모양의 천막의 한 면에 직사각형 모양의 출입문을 만들려고 한다. 출입문의 넓이의 최댓값은?[[eqn: 5.1]점]

① [eqn: 4 sqrt {3} `m ^{2}]	② [eqn: 5 sqrt {3} `m ^{2}]	③ [eqn: 6 sqrt {3} `m ^{2}]
④ [eqn: 7 sqrt {3} `m ^{2}]	⑤ [eqn: 8 sqrt {3} `m ^{2}]

⑤

출입문의 가로:[eqn: 2(4-x)=8-2x]

출입문의 세로:[eqn: sqrt {3} x]

넓이[eqn: = sqrt {3} x(8-2x)=2 sqrt {3} x ^{2} +8 sqrt {3} x=-2 sqrt {3} (x-2) ^{2} +8 sqrt {3}]이므로 넓이의 최댓값은 [eqn: 8 sqrt {3}]

그림과 같이 직사각형 [eqn: ABCD]에서 두 점 [eqn: A,~B]는 [eqn: x]축, 두 점 [eqn: C,~D]는 이차함수 [eqn: y= it - LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} +4]의 그래프 위의 점이다. 이때, 직사각형 [eqn: ABCD]의 둘레의 길이의 최댓값은? (단, 점 [eqn: C,~D]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.) [[eqn: 4.1]점]

⑤

[eqn: y= it - LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} +4]의 그래프에서 [eqn: {bar{AB}} `=2a]라 하면

[eqn: C` LEFT ( 3+a,~-a ^{2} +4 RIGHT )]이므로 [eqn: {bar{BC}} `=4-a ^{2}]이 되어

사각형 [eqn: ABCD]의 둘레의 길이는

[eqn: 2 LEFT { 2a+ LEFT ( 4-a ^{2} RIGHT ) RIGHT } = it -2 LEFT ( a ^{2} -2a-4 RIGHT ) = it -2 LEFT ( a-1 RIGHT ) ^{2} +10]

따라서 [eqn: a=1]일 때, 둘레의 길이의 최댓값은 [eqn: 10]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

그림과 같이 [eqn: x`]축에 평행한 두 직선과 이차함수 [eqn: y=x ^{2} `]의 그래프의 교점을 각각 [eqn: rmA`,] [eqn: rmB,] [eqn: rmC,] [eqn: rmD]라고 하자. 삼각형 [eqn: rmABC]와 삼각형 [eqn: rmACD]의 넓이의 비가 [eqn: 1`:`2`]이고, 사다리꼴 [eqn: rmABCD]의 대각선 [eqn: rmAC]의 길이가 [eqn: 6 sqrt {5}]일 때, 사다리꼴 [eqn: rmABCD]의 넓이를 구하고 풀이 과정을 논술하시오. [[eqn: 10`]점]

[eqn: 72]

삼각형 [eqn: rmABC]와 [eqn: rmACD]의 밑변을 각각 [eqn: rm {bar{AB}} `,~ {bar{CD}}]라 하면

두 삼각형의 높이는 같고, 넓이의 비가 [eqn: 1`:`2`]이므로

[eqn: rm {bar{AB}} `:` {bar{CD}} =1`:`2`]이다.

또한, [eqn: y=x ^{2} `]의 그래프가 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이므로

점 [eqn: rmB]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: a`]라 하면 점 [eqn: rmC]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 2a`]이다.

즉, [eqn: rmB LEFT ( ita`,~a ^{2} RIGHT ) `,~rmC LEFT ( it2a`,~4a ^{2} RIGHT ) `]라 하면 직각삼각형 [eqn: rmCAH`]에서

[eqn: rm {bar{AH}} =it3a`,] [eqn: rm {bar{CH}} =it4a ^{2} -a ^{2} =3a ^{2}]

이때, 대각선 [eqn: rmAC]의 길이가 [eqn: 6 sqrt {5}]이므로 피타고라스의 정리에 의해

[eqn: {bar{rmAC}} ^{`2} =it LEFT ( 3a RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 3a ^{2} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 6 sqrt {5} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: 9a ^{4} +9a ^{2} =180`,~a ^{4} +a ^{2} -20=0]

[eqn: LEFT ( a ^{2} +5 RIGHT ) LEFT ( a ^{2} -4 RIGHT ) =0] [eqn: THEREFORE ~a ^{2} =it-5] 또는 [eqn: a ^{2} =4]

그런데 [eqn: a ^{2} >0`]이므로 [eqn: a ^{2} =4`]에서 [eqn: a=2]

따라서 [eqn: rm {bar{AB}} =4`,~ {bar{CD}} =8`,~ {bar{CH}} =12`]이므로

사다리꼴 [eqn: rmABCD]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( 8+4 RIGHT ) TIMES 12=72]

그림은 곡선 모양의 건축물을 좌표평면 위에 나타낸 것이다. 그림에서 건축물은 이차함수 [eqn: y=-2x ^{2} -2x+4`]의 그래프 모양이고, 새의 위치는 [eqn: rmP` LEFT ( -1,````6 RIGHT ) `]이다. 새가 [eqn: rmP`]지점에서 건축물을 향해 직선으로만 움직인다고 한다. 새의 이동 경로와 건축물을 나타내는 곡선이 접할 때, 모든 접점의 [eqn: x`]좌표의 합은?

①

점 [eqn: LEFT ( -1,``6 RIGHT )]을 지나는 직선을 [eqn: y=m LEFT ( x+1 RIGHT ) +6],

[eqn: y=mx+6+m]이라 하면

[eqn: y=-2x ^{2} -2x+4]와 접해야 하므로

[eqn: -2x ^{2} -2x+4=mx+6+m]이 중근을 가져야 한다.

[eqn: 2x ^{2} + LEFT ( m+2 RIGHT ) x+2+m=0]에서 [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: D= LEFT ( m+2 RIGHT ) ^{2} -8 LEFT ( 2+m RIGHT ) =0],

[eqn: m ^{2} -4m-12=0], [eqn: m=6] 또는 [eqn: m=it-2]이다.

[eqn: i)] [eqn: m=6]인 경우

㉠에 [eqn: m=6]을 대입하면 [eqn: 2x ^{2} +8x+8=0], [eqn: x=-2]

[eqn: ii)] [eqn: m=-2]인 경우

㉠에 [eqn: m=-2]을 대입하면 [eqn: 2x ^{2} =0], [eqn: x=0]

따라서 [eqn: i)], [eqn: ii)]에 의하여 [eqn: LEFT ( -2 RIGHT ) +0=-2]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

원가가 [eqn: 80]원인 상품을 [eqn: 80]원에 판매하면 하루에 [eqn: 100]개가 팔린다. 판매가를 [eqn: 10]원씩 [eqn: x]번 올리면 판매개수는 [eqn: 5x]개만큼 줄어든다고 한다. 이때 최대이익을 얻을 수 있는 판매가와 최대이익을 구하는 과정을 서술하시오. [[eqn: 6.0]점/부분 점수 있음]

판매가 [eqn: 70]원. 최대이익 [eqn: 1600]원

원가는 [eqn: 80·100=8000]원

판매금액은

[eqn: LEFT ( 80+10x RIGHT ) LEFT ( 100-5x RIGHT ) = it -50 LEFT ( x ^{2} -12x RIGHT ) +8000= it -50 LEFT ( x-6 RIGHT ) ^{2} +9600]원

따라서 [eqn: x=6]일 때,

판매가는 [eqn: 80+60=140]원

최대이익은 [eqn: 9800]원

한쪽 벽면에 길이가 [eqn: 60m]인 철망으로 [eqn: ㄷ]자 모양의 울타리를 만들려고 한다. 울타리로 둘러싸인 직사각형 모양의 넓이가 최대가 되도록 하는 울타리의 가로의 길이를 [eqn: p], 그 때의 직사각형 모양의 넓이를 [eqn: q]라 할 때, [eqn: p+q]의 값은? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 450]	② [eqn: 465]	③ [eqn: 480]
④ [eqn: 495]	⑤ [eqn: 510]

③

세로:[eqn: x] 가로:[eqn: 60-2x] 라 하자.

[eqn: y=x(60-2x)=-2(x-15) ^{2} +450]이므로

세로가 [eqn: 15]일 때가 넓이가 최대가 된다.

즉, 가로가 [eqn: 30]일 때 넓이의 최댓값은 [eqn: 450]이다.

어느 극단의 공연 관람권의 가격을 [eqn: x]만 원, 한 달 동안의 공연 이익금을 [eqn: y]만 원 이라고 하면 [eqn: x]와 [eqn: y]사이에는
[eqn: y=-4x ^{2} +40x-30]
인 관계가 성립한다고 한다. 관람권의 가격을 [eqn: 7]만 원 이상 [eqn: 9]만 원 이하로 정할 때, 한 달 동안의 공연 이익금의 최댓값과 최솟값의 합은? [3.9점]

④

축이 [eqn: x=5]인 위로 볼록인 이차함수에서 [eqn: 7 LEQ x LEQ 9]에서 최댓값과 최솟값은 각각 [eqn: f(7)]과 [eqn: f(9)]이다.

① [eqn: 30]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 50]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 70]

이차방정식과 이차함수(step2)

6.

이차함수 [eqn: x~]축과의 위치 관계

이차함수 [eqn: y=-x ^{2} +2ax+9-a ^{2}]의 그래프와 [eqn: x]축이 만나는 두 점을 [eqn: A,`B]라 하고 이 이차함수의 꼭짓점을 [eqn: C]라 할 때, 삼각형 [eqn: ABC]의 넓이는? (단, [eqn: a]는 실수이다.) [4.9점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 24]
④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 54]

④

[eqn: y=-x ^{2} +2ax+9-a ^{2}]

[eqn: y=- LEFT { x ^{2} -2ax- LEFT ( 9-a ^{2} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =- LEFT { x ^{2} -2ax- LEFT ( 3+a RIGHT ) LEFT ( 3-a RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: - LEFT { x+ LEFT ( 3-a ^{} RIGHT ) RIGHT } LEFT { x- LEFT ( 3+a RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: x]절편:[eqn: LEFT ( 3+a RIGHT ) ,~- LEFT ( 3-d RIGHT )]

[eqn: y=-x ^{2} +2ax+9-a ^{2}]

[eqn: =- LEFT ( x ^{2} -2ax RIGHT ) +9-a ^{2}]

[eqn: =- LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} +9]→꼭짓점좌표[eqn: LEFT ( a,~9 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE TRIANGLE rmABC]의 넓이[eqn: =rm {bar{AB}} TIMES {bar{CH}} TIMES {1} over {2}]

[eqn: = LEFT [ LEFT ( 3+a RIGHT ) - LEFT { - LEFT ( 3-a RIGHT ) RIGHT } RIGHT ] TIMES 9 TIMES {1} over {2}]

[eqn: =6 TIMES 9 TIMES {1} over {2} =27]

이차함수와 직선의 위치 관계

직선 [eqn: y=x+k`]가 이차함수 [eqn: y=x^2 -2x+2`]의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만나고, 이차함수 [eqn: y=x^2 +2x+3`]의 그래프와 만나지 않는다. 실수 [eqn: k`]의 값의 범위가 [eqn: a<k<b`]일 때, [eqn: 4(b-a)`]의 값은? [4.2점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 20]
④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 28]

①

[eqn: y=x+k`]가 [eqn: y=x^2 -2x+2`]와 서로 다른 두 점에서 만나므로

[eqn: x^2 -2x+2=x+k]

[eqn: x^2 -3x+2-k=0]

[eqn: D=9-8+4k>0]

[eqn: k > - 1 over4] [eqn: cdots①]

[eqn: y=x+k`]가 [eqn: y=x^2 +2x+3`]의 그래프와 만나지 않으므로

[eqn: x^2 +2x+3 =x+k]

[eqn: x^2 +x+3-k=0]

[eqn: D= 1-12+4k<0]

[eqn: k< 11 over4] [eqn: cdots②]

[eqn: ①,~②]에 의해 [eqn: - 1 over4 < k < 11 over4]

[eqn: a= - 1 over4 ,~ b= 11 over4]

[eqn: therefore] [eqn: 4(b-a)=12]

직선 [eqn: y=x+2`]와 이차함수 [eqn: y=x ^{2} +kx+4`]의 그래프가 서로 다른 두 점 [eqn: rmA`,] [eqn: rmB]에서 만날 때, 두 점 [eqn: LEFT ( -3`,```-1 RIGHT ) `,~ LEFT ( -1`,~1 RIGHT ) `]이 선분 [eqn: rmAB] 위에 있도록 하는 자연수 [eqn: k`]의 최솟값은? [[eqn: 4.3`]점]
① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

④

직선 [eqn: y=x+2`]와 이차함수 [eqn: y=x+2`]의 그래프의 두 교점 [eqn: rmA`,] [eqn: rmB]의

[eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: alpha `,~ beta ` LEFT ( alpha < beta RIGHT ) `]라 하면 [eqn: alpha `,~ beta `]는 이차방정식

[eqn: x+2=x ^{2} +kx+4`,] 즉 [eqn: x ^{2} + LEFT ( k-1 RIGHT ) x+2=0`]의 두 실근이다.

이때, 두 점 [eqn: LEFT ( -3`,```-1 RIGHT ) `,~ LEFT ( -1`,~1 RIGHT ) `]이 선분 [eqn: rmAB] 위에 있으려면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} + LEFT ( k-1 RIGHT ) x+2`]라 할 때, 다음 그림과 같이 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의

그래프와 [eqn: x`]축과의 교점 사이에 [eqn: alpha `,~ beta `]가 위치해야 한다.

즉, 다음 그림에서 [eqn: alpha LEQ it-3`]이고 [eqn: beta GEQ it-1`]이어야 한다.

따라서 위의 그림에서 [eqn: f LEFT ( -3 RIGHT ) LEQ 0`,~f LEFT ( -1 RIGHT ) LEQ 0`]이어야 한다.

[eqn: f LEFT ( -3 RIGHT ) =9-3 LEFT ( k-1 RIGHT ) +2= it -3k+14 LEQ 0]

에서 [eqn: -3k LEQ it-14] [eqn: THEREFORE ~k GEQ {14} over {3}]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =1- LEFT ( k-1 RIGHT ) +2= it -k+4 LEQ 0]

에서 [eqn: -k LEQ it -4] [eqn: THEREFORE ~k GEQ 4]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

이때, ㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 [eqn: k`]의 값의 범위는 [eqn: k GEQ {14} over {3} `]이므로

자연수 [eqn: k`]의 최솟값은 [eqn: 5`]이다.

이차함수 [eqn: y=x ^{2} +mx+2`]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+2m`]의 두 교점의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: alpha ,~ beta `]라 하자. [eqn: alpha - beta `=3`]일 때, 양수 [eqn: m`]의 값은? (단, [eqn: beta < alpha )`] [4.9점]

②

두 함수의 교점을 구하기 위해 두 식을 연립하면

[eqn: x ^{2} +(m-1)x+2-2m=0``]이고

근과 계수의 관계를 이용하면 [eqn: alpha + beta =-m+1,`` alpha beta =2-2m`]

이고 주어진 조건을 이용하면

[eqn: m ^{2} -2m+1-8+8m=9`]

[eqn: m ^{2} +6m-16=0,``(m-2)(m+8)=0`]

[eqn: m=-8,`2`]조건에 의하여 [eqn: m=2`]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

이차함수 [eqn: y=x^2 +2ax-15]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x-n^2]이 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 자연수 [eqn: n]의 개수를 [eqn: f(a)]라 정의하자.

②

[eqn: y=x^2 +2ax-15]와 [eqn: y=2x-n^2]를 연립하면

[eqn: x^2 +2(a-1)x +n^2 -15=0]

두 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나야 하므로 판별식 [eqn: D>0]

[eqn: D/4 = (a-1)^2 -n^2 +15>0]

[eqn: (a-1)^2 +15 >n^2]

[eqn: a=1,~n=1,~2,~3]	[eqn: f(1)=3]

[eqn: f(2)=f(0),~f(3)=f(-1),`cdots,~f(100)=f(-98)]

[eqn: a=-99,~n=1,~2,~3,`cdots,~10]	[eqn: f(-99)=100]

[eqn: a=-100,~n=1,~2,~3,`cdots,~11]	[eqn: f(-100)=101]

[eqn: LEFT { f(1)+f(2)+f(3)+`cdots`+f(100) RIGHT }]

[eqn: -LEFT {f(0)+f(-1)+f(-2)+`cdots`+f(-100) RIGHT }]

[eqn: =f(1)-f(-99)-f(-100)=-198]

[eqn: LEFT { f(1)+f(2)+f(3)+`cdots`+f(100) RIGHT }]	[eqn: -LEFT {f(0)+f(-1)+f(-2)+`cdots`+f(-100) RIGHT }]

의 값은? (단, [eqn: a]는 실수이다.) [[eqn: 5.2]점]

① [eqn: -199]	② [eqn: -198]	③ [eqn: -197]

④ [eqn: -196]	⑤ [eqn: -195]

실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: f(x)=-3x+t]라 할 때, 직선 [eqn: y=f(x)]가 곡선 [eqn: y=|x ^{2} -9|]와 만나는 점의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. 이때, [eqn: g(a) geq3]를 만족하는 모든 정수 [eqn: a]의 합은? [[eqn: 5.8]점]

① [eqn: 30]	② [eqn: 31]	③ [eqn: 32]
④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 33]

①

그래프를 그리면 위 그림처럼 교점이 발생한다.

[eqn: t< -9] 일 때 [eqn: g(t)=0]

[eqn: t=-9] 일 때 [eqn: g(t)=1`]

[eqn: -9<t<9] 일 때 [eqn: g(t)=2]

[eqn: t=9] 일 때 [eqn: g(t)=3]

[eqn: 9<t< {45} over {4}] 일 때 [eqn: g(t)=4]

[eqn: t= {45} over {4}] 일 때 [eqn: g(t)=3]

[eqn: t> {45} over {4}] 일 때 [eqn: g(t)=2]

[eqn: g(a) geq3]를 만족하는 모든 정수 [eqn: a]의 합은 [eqn: 9+10+11=30]

두 이차함수 [eqn: f(x)=x ^{2} ,``g(x)=-x ^{2} +2x+4]에 대하여

①

풀이) 직선 [eqn: y=mx-m+6]과 [eqn: y=h(x)]

세 점에서 만나고 최소가 되려면 그림과 같이 접해야 한다.

[eqn: y=mx-m+6] 와 [eqn: g(x)=-x ^{2} +2x+4]가 접해야 하므로

[eqn: -x ^{2} +2x+4 = mx -m+6]

[eqn: x^2 +(m-2)x -m+2 =0] 이 중근을 가지므로

[eqn: D = (m-2) ^ 2 +4(m-2) = 0]

[eqn: (m-2) (m+2) = 0] [eqn: THEREFORE~ m = 2] 또는 [eqn: -2]에서

[eqn: m = 2] 이다.

함수 [eqn: h(x)]를

[eqn: h(x)= {cases{```f(x)&`````(x LEQ -1```또는```x GEQ 2)#````g(x)&`````(-1<x<2)}}]

이라 하자. 직선 [eqn: y=mx-m+6]과 [eqn: y=h(x)]의 그래프가 서로 다른
세 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: m]의 값 중 최솟값은? [[eqn: 4.9]점]

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

이차함수 [eqn: f(x)= ax^2 +bx +c]의 그래프가 그림과 같이 세 점 [eqn: (0,~2) ,~(-2,~2) ,~(-3,~-1)]을 지날 때, 다음 물음에 답하시오. (단, [eqn: a,~b,`c]는 실수이고, 좌표평면의 격자는 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 모양이다.) [총7.0점]

(1) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax LEFT ( x+2 RIGHT ) +2]에서 [eqn: LEFT ( -3,````-1 RIGHT )]을 지나므로
이다. [eqn: a=-1]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-x LEFT ( x+2 RIGHT ) +2=-x ^{2} -2x+2]
이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 직선 [eqn: y=m LEFT ( x+3 RIGHT ) +3]과 접하므로
[eqn: -x ^{2} -2x+2=mx+3m+3], [eqn: x ^{2} + LEFT ( m+2 RIGHT ) x+3m+1=0]
판별식 [eqn: D= LEFT ( m+2 RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( 3m+1 RIGHT ) =m ^{2} -8m=0]
[eqn: m=0]또는 [eqn: m=8]
(2) [eqn: -x ^{2} -2x+2=kx+2], [eqn: x ^{2} + LEFT ( k+2 RIGHT ) x=0]
판별식 [eqn: D= LEFT ( k+2 RIGHT ) ^{2}]이므로
(ⅰ) [eqn: k=-2]일 때 한 점에서 만난다. (접한다.)
(ⅱ) [eqn: k != -2]일 때 [eqn: D>0]이므로 두 점에서 만난다.

(1) 직선 [eqn: y= m(x+3)+3]이 이차함수 [eqn: y= f(x)]의 그래프와 접할 때, 상수 [eqn: m]의 값을 구하고, 그 과정을 논술하시오. [4.0점]

(2) 직선 [eqn: y= kx+2]와 이차함수 [eqn: y= f(x)]의 위치관계에 대하여 가능한 모든 경우를 논술하시오. (단, [eqn: k]는 상수이다.) [3.0점]

이차함수와 접선의 방정식

실수 [eqn: a]의 값에 관계없이 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2ax+a ^{2} +4a]의 그래프와 항상 접하는 직선이 있다. 이 직선의 방정식을 [eqn: y=2mx-n]이라고 할 때, 실수 [eqn: m+n]의 값은? [[eqn: 5.0]점]
① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

③

[eqn: x ^{2} -2ax+a ^{2} +4a=2mx-n], [eqn: x ^{2} -2(a+m)x+a ^{2} +4a+n=0]

따라서 [eqn: {D} over {4} =(a+m) ^{2} -a ^{2} -4a-n=0], [eqn: 2am+m ^{2} -4a-n=0], [eqn: (2m-4)a+m ^{2} -n=0], 즉 [eqn: m=2,`n=4]여야 한다.

그러므로 구하고자 하는 값은 [eqn: m+n=2+4=6]

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2ax+a ^{2} +2a]의 그래프가 직선 [eqn: y=x-b+1]에 접할 때, 실수 [eqn: a,`b]에 대하여 [eqn: ab]의 값중 가장 큰
값은 [eqn: {q} over {p}]이다. 이 때 [eqn: p+q]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오.
(단, [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.) [[eqn: 6.0]점, 부분점수 있음.]

[eqn: 89]

[eqn: x-b+1=x ^{2} -2ax+a ^{2} +2a]
[eqn: x ^{2} - LEFT ( 2a+1 RIGHT ) x+a ^{2} +2a+b-1=0]

이차방정식이 중근을 가짐

[eqn: D= LEFT ( 2a+1 RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( a ^{2} +2a+b-1 RIGHT ) =0]
[eqn: =-4a-4b+5=0]
따라서 [eqn: b=-a+ {5} over {4}]

[eqn: ab=a LEFT ( -a+ {5} over {4} RIGHT ) =-a ^{2} + {5a} over {4}]의 최댓값은 [eqn: a= {5} over {8} `]일 때 최댓값
[eqn: ` {q} over {p} = {25} over {64}] [eqn: THEREFORE p+q=89]

최고차항의 계수가 [eqn: a(a>0)]인 이차함수 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=4ax-10]의 그래프가 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1]과 [eqn: 5]이다. [eqn: 2 LEQ x LEQ 5]에서 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: -6]일 때, [eqn: a]의 값은? [[eqn: 5.8]점]

⑤

[eqn: f(x)=4ax-10], [eqn: f(x)-4ax+10=a(x-1)(x-5)=0]이다.

[eqn: f(x)=ax ^{2} -2ax+5a-10=a(x-1) ^{2} +4a-10]이므로

최솟값은 [eqn: x=2]일 때 [eqn: 5a-10=-6]을 가진다. 즉, [eqn: a= {4} over {5}]다.

① [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {2} over {5}]
④ [eqn: {3} over {5}]	⑤ [eqn: {4} over {5}]

이차함수 [eqn: y=-2x ^{2} +4x+k]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나고, 직선 [eqn: y=2x+4]와 만나지 않도록 하는 모든 정수 [eqn: k]의 개수는? [4.6점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

②

[eqn: y=-2x ^{2} +4x+k=-2 LEFT ( x ^{2} -2x RIGHT ) +k]

① [eqn: x]축과 만난다.

[eqn: x]축은 [eqn: y=0], [eqn: -2x ^{2} +4x+k=0]

[eqn: D=16+8k` GEQ 0], [eqn: -2le`k]

②[eqn: y=2x+4]와 만나지 않는다.

[eqn: -2x ^{2} +4x+k=2x+4]

[eqn: -2x ^{2} +2x+ LEFT ( k-4 RIGHT ) =0]

[eqn: D<0:4-4 LEFT ( -2 RIGHT ) TIMES LEFT ( k-4 RIGHT ) <0]

[eqn: 4+8 LEFT ( k-4 RIGHT ) <0]

[eqn: k< {7} over {2}]

①과 ②에 의해 [eqn: -2 LEQ k<3 {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE]정수[eqn: k RARROW -2,~-1,~0,~1,~2,~3]

이차함수 [eqn: y=x ^{2} + LEFT ( a+1 RIGHT ) x+b-1`]의 그래프가 직선 [eqn: y=4x-2`]와 점 [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT ) `]에서 접할 때, [eqn: a-b`]의 값은? (단, [eqn: a,~b`]는 실수이다.) [[eqn: 5.1]점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

④

(1) 이차함수가 점 [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT ) `]을 지나므로 [eqn: 1+ LEFT ( a+1 RIGHT ) +b-1=2]

[eqn: THEREFORE ``][eqn: a+b=1]

(2) 방정식 [eqn: x ^{2} + LEFT ( a+1 RIGHT ) x+b-1=4x-2`]가 [eqn: x=1`]을 중근으로 갖는다. 따라서 [eqn: x ^{2} + LEFT ( a-3 RIGHT ) x+b+1= LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}]

우변을 전개하면 [eqn: x ^{2} -2x+1`]이므로 [eqn: a-3=-2,] [eqn: b+1=1]

(1), (2)에 의하여 [eqn: a=1,~b=0] [eqn: THEREFORE ``a-b=1]

이차함수 [eqn: y= x^2 + 2(a-k) x + k^2 -2k +b+3]의 그래프가 실수 [eqn: k]에 관계없이 항상 [eqn: x]축에 접할 때, [eqn: a-b]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.) [4.3점]

➄

[eqn: D/4= LEFT ( a-k RIGHT ) ^{2} - LEFT ( k ^{2} -2k+b+3 RIGHT ) =0]

[eqn: -2ak+a ^{2} +2k-b-3=0]

[eqn: LEFT ( 2-2a RIGHT ) k+a ^{2} -b-3=0]

[eqn: a=1], [eqn: b=-2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a-b=1- LEFT ( -2 RIGHT ) =3]

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

이차함수 [eqn: y=x^2 +4x+k^2 +a-1]의 그래프가 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 직선 [eqn: y= 2k x+2bk-1]과 한 점에서 만난다고 한다. 이때, [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 실수이다.) [[eqn: 4.9]점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

④

[eqn: y=x^2 +4x+k^2 +a-1]의 그래프가 직선 [eqn: y= 2k x+2bk-1]과 한 점에서 만나므로

[eqn: x^2 +4x+k^2 +a-1= 2k x+2bk-1]에서

[eqn: x^2 +2 left(2 -k right) x+k^2 +a-2bk =0]

판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D over 4 = LEFT ( 2-k RIGHT )^2 - LEFT (k^2 + a-2bk RIGHT )=0]

이다.

[eqn: k^2 -4k +4 - k^2 - a +2bk =0]
[eqn: left(2b-4)k +4 - a =0]

실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 성립하므로

[eqn: 2b-4=0], [eqn: 4-a=0]이다.

따라서 [eqn: b=2], [eqn: a=4]

그러므로 [eqn: ab= 4times 2 = 8]이다.

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {4} x ^{2} `,~g LEFT ( x RIGHT ) =it-x ^{2} +4x- {29} over {8} `]와 기울기가 [eqn: m`,] [eqn: y`]절편이 [eqn: k`]인 직선 [eqn: l`]이 있다. 실수 [eqn: k`]의 값에 관계없이 직선 [eqn: l`]이 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 또는 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]와 만나는 서로 다른 점의 개수가 항상 [eqn: 2`]가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: m`]의 값의 합은? [[eqn: 4.6`]점]
① [eqn: {7} over {5}]	② [eqn: {8} over {5}]	③ [eqn: {9} over {5}]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {11} over {5}]

②

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {4} x ^{2} `,~g LEFT ( x RIGHT ) =it-x ^{2} +4x- {29} over {8} `]에 대하여

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) `]에서

[eqn: {1} over {4} x ^{2} =it-x ^{2} +4x- {29} over {8} `,] [eqn: 2x ^{2} =it-8x ^{2} +32x-29]

[eqn: 10x ^{2} -32x+29=0]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

이 이차방정식 ㉠의 판별식을 [eqn: D _{1} `]이라 하면

[eqn: {D _{1}} over {4} = LEFT ( -16 RIGHT ) ^{2} -10 TIMES 29= it -34<0]

이므로 이차방정식 ㉠은 서로 다른 두 허근을 갖는다.

즉, 두 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `,~y=g LEFT ( x RIGHT ) `]는 그림과 같이 만나지 않는다.

이때, 기울기가 [eqn: m`,] [eqn: y`]절편이 [eqn: k`]인 직선 [eqn: l`]에 대하여 실수 [eqn: k`]의 값에 관계없이 직선 [eqn: l`]이 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 또는 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]와 만나는 점의 개수가 항상 [eqn: 2`]이려면 어떤 실수 [eqn: k`]에 대하여 그림과 같이 직선 [eqn: l`]이 두 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `,~y=g LEFT ( x RIGHT ) `]와 동시에 접해야 한다.

직선 [eqn: l`]이 두 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `,~y=g LEFT ( x RIGHT ) `]에 동시에 접하도록 하는 [eqn: k`]의 값을 [eqn: n`]이라 하면 두 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =mx+n`,] [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =mx+n`]이 모두 중근을 가져야 한다.

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =mx+n`]이 중근을 가지므로

[eqn: {1} over {4} x ^{2} =mx+n`,~x ^{2} -4mx-4n=0`]에서 판별식을 [eqn: D _{2} `]라 하면

[eqn: {D _{2}} over {4} = LEFT ( -2m RIGHT ) ^{2} -1 TIMES LEFT ( -4n RIGHT )]

[eqn: =4m ^{2} +4n=0]

에서 [eqn: 4n=it-4m ^{2}] [eqn: THEREFORE ~n=it-m ^{2}]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

또한, 방정식 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =mx+n`]이 중근을 가지므로

[eqn: -x ^{2} +4x- {29} over {8} =mx+n`,~-8x ^{2} +32x-29=8mx+8n]

즉, [eqn: 8x ^{2} +8 LEFT ( m-4 RIGHT ) x+8n+29=0`]에서 판별식을 [eqn: D _{3} `]이라 하면

[eqn: {D _{3}} over {4} = LEFT { 4 LEFT ( m-4 RIGHT ) RIGHT } ^{2} -8 TIMES LEFT ( 8n+29 RIGHT )]

[eqn: =16 LEFT ( m-4 RIGHT ) ^{2} -8 LEFT ( 8n+29 RIGHT )]

[eqn: =8 LEFT { 2 LEFT ( m-4 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 8n+29 RIGHT ) RIGHT } =0]

에서 [eqn: 2 LEFT ( m-4 RIGHT ) ^{2} -8n-29=0]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: 2 LEFT ( m-4 RIGHT ) ^{2} -8 TIMES LEFT ( -m ^{2} RIGHT ) -29=0]

[eqn: 10m ^{2} -16m+3=0]

이때 이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D _{4} `]라 하면

[eqn: {D _{4}} over {4} = LEFT ( -8 RIGHT ) ^{2} -10 TIMES 3=34>0]

이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

따라서 조건을 만족시키는 실수 [eqn: m`]의 값의 합은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: {16} over {10} = {8} over {5} `]이다.

[eqn: x]에 대한 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2(k+a)x+k ^{2} +8k+a ^{2}]의 그래프가 [eqn: k]의 값에 관계없이 [eqn: x]축에 접할 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3.9점]

④

이차함수가 [eqn: x]축에 접하므로 [eqn: D=0]을 갖는다.
[eqn: (k+a) ^{2} -k ^{2} -8k-a ^{2} =2ak-8k=(2a-8)k=0]
[eqn: k]에 관한 항등식이므로 [eqn: a=4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2kx+k ^{2} +1`]의 그래프가 [eqn: k`]의 값에 관계없이 항상 직선 [eqn: y=mx+n`]에 접할 때, [eqn: m+n`]의 값은?

①

두 그래프가 접한다는 조건을 활용하기 위해 연립하면

[eqn: x ^{2} +(-2k-m)x+k ^{2} +1-n=0`]

판별식을 사용하면

[eqn: m ^{2} +4km-4+4n=0`]이고 [eqn: k`]값에 관계없이 식이 성립하기 위해서는

위 식이 [eqn: k`]에 대한 항등식이어야 하므로

[eqn: m=0,``n=1`]

[eqn: m+n=1`]

(단, [eqn: k,~m,~n`]은 실수이다.) [4.8점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 7`]	⑤ [eqn: 9]

이차함수 [eqn: y= {1} over {k} LEFT ( x-2k RIGHT ) ^{2} +3]의 그래프는 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 서로 다른 두 직선 [eqn: l,``m]과 접한다.
두 직선 [eqn: l,``m]과 직선 [eqn: x= {1} over {2}]로 둘러싸인 부분의 넓이는? (단, [eqn: k != 0]이다.) [4.6점]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

①

직선을 [eqn: y=ax+b]라 두면

[eqn: {1} over {k} LEFT ( x-2k RIGHT ) ^{2} +3=ax+b] 접하므로,

[eqn: {1} over {k} LEFT ( x ^{2} -4kx+4k ^{2} RIGHT ) +3-ax-b=0]이 중근을 갖는다.

[eqn: x ^{2} - LEFT ( 4+a RIGHT ) kx+4k ^{2} + LEFT ( 3-b RIGHT ) k=0] 판별식 [eqn: D=0]

[eqn: LEFT ( 4+a RIGHT ) ^{2} k ^{2} -16k ^{2} -4 LEFT ( 3-b RIGHT ) k=0] 이 [eqn: k]에 관계없이 성립하므로 [eqn: k`]로 정리하면 [eqn: LEFT ( a ^{2} +8a RIGHT ) k ^{2} -4 LEFT ( 3-b RIGHT ) k=0]이므로 [eqn: a=0,```-8,````b=3]

두 직선은 [eqn: y=3,````y=-8x+3], [eqn: x= {1} over {2}]과 둘러싸인 넓이는

세점 [eqn: LEFT ( 0,```3 RIGHT ) ,```` LEFT ( {1} over {2} ,````-1 RIGHT ) ,````` LEFT ( {1} over {2} ,````3 RIGHT )]으로 둘러싸인 삼각형의 넓이[eqn: =1]

두 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2x+k,~y=-x ^{2} `]의 그래프에 직선 [eqn: y=2x+n`]이 동시에 접할 때, [eqn: n+k`]의 값은? (단, [eqn: n,~k`]는 상수이다.) [4.9점]

③

한 이차함수와 직선을 연립하면

[eqn: x ^{2} -4x+k-n=0`]이고 접해야하므로 판별식을 이용하면

[eqn: 4-k+n=0`]

또다른 이차함수와 직선을 연립하면

[eqn: x ^{2} +2x+n=0`]이고 역시 접해야하므로 판별식을 이용하면

[eqn: 1-n=0`]

주어진 식 두 개를 연립하면

[eqn: n=1,``k=5`]이고 [eqn: n+k=6`]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

이차함수와 이차함수의 관계

그림과 같이 이차함수 [eqn: f(x)=x^2 -12x+a]의 그래프는 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 만나고, 이차함수 [eqn: g(x)=-x^2 +bx+c]의 그래프와는 점 [eqn: rmB]와 [eqn: y]좌표가 양수인 점 [eqn: rmC]에서 만난다. [eqn: rm barAB =6]이고 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 21]일 때, [eqn: g(x)]의 최댓값과 [eqn: f(x)]의 최솟값의 차이는? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이고, 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표보다 작으며 점 [eqn: rmO]는 원점이다.) [[eqn: 4.5]점]

③

두 점 [eqn: rmA,```B]의 [eqn: x]좌표의 합이 [eqn: 12], 차가 [eqn: 6]이므로

[eqn: rmA(3,```0),~B(9,```0) ,~ it a=27]

[eqn: f(x) = x^2 -12x+27]

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: 21]이므로 [eqn: rmC(it c,``` 7)]

[eqn: f(c)=7,~ c^2 -12c+20=0]

[eqn: c=2 ~(because~0<c<3)]

[eqn: g(2)=7,~ g(9)=0]

[eqn: g(x)= -x^2 +10x-9]

[eqn: g(x)]의 최댓값은 [eqn: g(5) = 16], [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: f(6)=-9]

[eqn: therefore~ 25]

① [eqn: 24]	② [eqn: 49over2]	③ [eqn: 25]

④ [eqn: 51over2]	⑤ [eqn: 26]

양수 [eqn: a]에 대하여 이차함수 [eqn: y=3x ^{2`}-6ax]의 그래프의 꼭짓점을 [eqn: A], [eqn: x]축과 만나는 두 점을 각각 [eqn: O], [eqn: B]라 하자. 두 점 [eqn: A,B]를 지나고 최고차항의 계수가 [eqn: -1]인 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점 중 [eqn: B]가 아닌 점을 [eqn: C]라 할 때, 선분 [eqn: BC]의 길이는 [eqn: 4]이다. [보기]에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: O]는 원점이다.) [5.3점]

⑤

[eqn: B(2a,0)], [eqn: C(2a+4,0)] 이므로 [eqn: f(x)=-(x-2a)(x-2a-4)] 이다.

ㄱ, [eqn: f(x)]가 [eqn: A(a,-3a^2 )]을 지나므로 성립

ㄴ, [eqn: f(x)]에 [eqn: a]를 대입하면, [eqn: -3a^2 =-a^2 -4a] 이므로 [eqn: a=2] 이다.

ㄷ, [eqn: a=2] 이므로 [eqn: A(2,-12)], [eqn: B(4,0)], [eqn: C(8,0)] 이다. 따라서 삼각형 [eqn: ABC]은 밑변이 [eqn: 4] 높이가 [eqn: 12] 이므로 넓이가 [eqn: 24]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[보 기]

ㄱ. [eqn: f(a)=-3a^2]

ㄴ. [eqn: a=2]

ㄷ. 삼각형 [eqn: ACB]의 넓이는 [eqn: 24]이다.

두 이차함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -7]과 [eqn: g(x)=-2x ^{2} +5]가 있다.

[eqn: {70} over {9}]

풀이)

[eqn: f(x)=x ^{2} -7,~g(x)=-2x ^{2} +5]이므로

[eqn: {bar{rmAD}} = {bar{rmBC}} =a-(-a)=2a]

[eqn: {bar{rm BA it}}][eqn: = {bar{rm CD}}]
[eqn: =g(a)-f(a)]
[eqn: =(-2a ^{2} +5)-(a ^{2} -7)]
[eqn: =-3a ^{2} +12]

따라서 직사각형 [eqn: rmABCD]의 둘레의 길이를 [eqn: l(a)]라 하면

[eqn: l(a)][eqn: = {bar{rm AD it}} + {bar{rm BC it}} + {bar{rm BA it}} + {bar{rm CD it}}]
[eqn: =2( {bar{rmAD}} + {bar{rmBA}} )]
[eqn: =2(2a-3a ^{2} +12)]
[eqn: =-6a ^{2} +4a+24]

[eqn: l(a)][eqn: =-6a ^{2} +4a+24]
[eqn: =-6 LEFT ( a- {1} over {3} RIGHT ) ^{2} + {74} over {3}]

따라서 [eqn: 0<a<2]이므로 [eqn: a= {1} over {3}]일 때, 최대가 되므로

넓이 [eqn: S (a) = 2a(-3a ^{2} +12) = 6 a ( 4 -a^2 )]

[eqn: S ``left (` 1 over 3`right ) = 6 cdot 1over 3 left (` 4 - 1 over 9 `right) = 70 over9] 이다.

15번 문항 오타 수정

그림과 같이 네 점 [eqn: A(a,``f(a))], [eqn: `B(a,``g(a))], [eqn: C(-a,``g(-a))], [eqn: ``D(-a,``f(-a))]를 꼭짓점으로 하는 직사각형 [eqn: ABCD]의 둘레의 길이가 최대가 될 때, 직사각형 [eqn: ABCD]의 넓이를 구하고 그 과정을 서술하시오.

(단, [eqn: a>0]) [[eqn: 6.0]점]

이차함수의 최대최소(1)

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4x+2]와 서로 다른 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]가 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =2b], [eqn: f LEFT ( b RIGHT ) =2a]를 만족시킬 때, 이차함수 [eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-b RIGHT )]의 최솟값은? [4.7점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: -1]
④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -3]

⑤

[eqn: f(a)= a^2 - 4a +2 = 2b]

[eqn: f(b) = b^2 - 4b+2 = 2a]

연립하면

[eqn: a^2 - b^2 - 4(a-b) = 2(b-a)]

[eqn: a ne b]이므로 양변을 [eqn: a-b]로 나누면

[eqn: a+b - 4 = -2]

[eqn: a+b = 2]

[eqn: b = 2-a`,``a = 2-b]

[eqn: f(a) = 4-2a`,``f(b)=4-2b]

[eqn: f(x)+2x -4=0]의 두 근이 [eqn: a`,``b]이므로

[eqn: (x-a)(x-b) = x^2 - 2x - 2 = (x-1)^2 - 3]

최솟값은 [eqn: -3]

[eqn: -2 leqx leq2]일 때, 이차함수 [eqn: f(x)=-2x ^{2} +4kx-3k-2`]의 최댓값이 [eqn: 3]이 되도록 하는 상수 [eqn: k`]의 값을 모두 구하고, 그 과정을 논술하시오.[[eqn: 6.0]점]

[eqn: k= {13} over {5}],[eqn: k=-1]

[eqn: f(x)=-2x ^{2} +4kx-3k-2`=-2(x-k) ^{2} +2k ^{2} -3k-2]

1) [eqn: k GEQ 2]일 때 최댓값은 [eqn: f(2)=3] 이므로 [eqn: k= {13} over {5}]

2)[eqn: -2 LEQ k<2]일 때 최댓값은 [eqn: f(k)=3] 이므로 [eqn: k=-1]

3)[eqn: k>` -2]일 때 최댓값은 [eqn: f(-2)=3]이므로 [eqn: k=- {13} over {11}] [eqn: (k>`-2]에 모순)

[eqn: 0le x le 4]에서 함수 [eqn: y=-(x^2 -4x +k)^2 +4(x^2 -4x+k)]의 최댓값과 최솟값의 합이 [eqn: 4]일 때, 실수 [eqn: k]의 값은? [[eqn: 5.1]점]

③

[eqn: t=x^2 -4x+k]라고 하면

[eqn: k-4 le t le k]

[eqn: y][eqn: =-(x^2 -4x +k)^2 +4(x^2 -4x+k)]
[eqn: =-t^2 +4t]

[eqn: f(t)=-(t-2)^2 +4], [eqn: f(t)]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자.

(i) [eqn: k-4 le 2 le k]일 때

[eqn: y=f(t)]의 그래프는 직선 [eqn: t=2]에 대하여 대칭이므로

[eqn: M=4,~ -12 le m le 0]이고, [eqn: M+m=4]이므로

[eqn: m=0,~ k=4]

(ii) [eqn: k-4 >2] 또는 [eqn: k<2]일 때

[eqn: M+m= f(k-4)+f(k)=4]

[eqn: -(k-6)^2 -(k-2)^2 +8 =4]

[eqn: k^2 -8k +18=0]

[eqn: D<0]이므로 만족하는 실수 [eqn: k]가 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: k=4]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

[eqn: -2 LEQ x LEQ 3`]에서 함수

③

[eqn: y= LEFT ( x ^{2} -2x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -2x-3 RIGHT ) -5 LEFT ( x ^{2} -2x RIGHT ) +3]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

에서 [eqn: x ^{2} -2x=t`]라 하면

[eqn: t=x ^{2} -2x= LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} -1`]이므로 [eqn: -2 LEQ x LEQ 3`]에서

[eqn: x=1`]일 때 최솟값 [eqn: -1`,] [eqn: x=it-2`]일 때 최댓값 [eqn: 8`]을 갖는다.

즉, [eqn: -1 LEQ t LEQ 8`]이고, ㉠은

[eqn: y][eqn: = LEFT ( t+2 RIGHT ) LEFT ( t-3 RIGHT ) -5t+3]
[eqn: =t ^{2} -6t-3]
[eqn: = LEFT ( t-3 RIGHT ) ^{2} -12]

이므로 [eqn: t=3`]일 때 최솟값 [eqn: -12`,] [eqn: t=8`]일 때 최댓값 [eqn: 13`]을 갖는다.

한편, [eqn: t=3`]에서 [eqn: x ^{2} -2x=3]

[eqn: x ^{2} -2x-3=0`,~ LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ~x=it-1] 또는 [eqn: x=3]

즉, [eqn: x=it-1`,~x=3`]에서 ㉠은 최솟값 [eqn: -12`]를 갖는다.

또한, [eqn: t=8`]에서 [eqn: x ^{2} -2x=8]

[eqn: x ^{2} -2x-8=0`,~ LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ~x=it-2] 또는 [eqn: x=4]

그런데 [eqn: -2 LEQ x LEQ 3`]이므로 [eqn: x=it-2]

즉, [eqn: x=it-2`]일 때 ㉠은 최댓값 [eqn: 13`]을 갖는다.

따라서 [eqn: alpha =it-2`,~M=13`,~ beta =it-1`,~ gamma =3`,~m=it-12]

또는 [eqn: alpha = it -2`,~M=13`,~ beta =3`,~ gamma =it-1`,~m= it -12]

이므로

[eqn: alpha beta gamma +M+m`]

[eqn: = LEFT ( -2 RIGHT ) TIMES 3times LEFT ( -1 RIGHT ) +13+ LEFT ( -12 RIGHT )]

[eqn: =7]

[eqn: y= LEFT ( x ^{2} -2x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -2x-3 RIGHT ) -5 LEFT ( x ^{2} -2x RIGHT ) +3]

가 [eqn: x= alpha `]에서 최댓값 [eqn: M``]을 갖고, [eqn: x= beta `,~ gamma `]에서 최솟값 [eqn: m`]을 갖는다.

[eqn: alpha beta gamma +M+m`]의 값은? [[eqn: 4.7`]점]
① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

[eqn: -1 LEQx LEQ2]에서 함수

①

[eqn: -1 LEQ x LEQ 2]에서 [eqn: 4x ^{2} +4x+1=t]라 하면 [eqn: t= LEFT ( 2x+1 RIGHT ) ^{2}]이므로

[eqn: x= it - {1} over {2}]일 때, 최솟값 [eqn: 0], [eqn: x=2]일 때, 최댓값 [eqn: 25]로 [eqn: 0 LEQ t LEQ 25]

[eqn: y= it -t ^{2} -2t+24= it - LEFT ( t+1 RIGHT ) ^{2} +25]

따라서 [eqn: t=0]일 때, 최댓값 [eqn: y=it-1+25=24]

[eqn: y= it - LEFT ( 4x ^{2} +4x+1 RIGHT ) ^{2} -2 LEFT ( 4x ^{2} +4x+1 RIGHT ) +24]의 최댓값은? [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 26]
④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 28]

함수 [eqn: y=(x ^{2} +2x) ^{2} -6(x ^{2} +2x)+7]의 최솟값은? [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]
④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

④

[eqn: x ^{2} +2x=t]라 하자.

[eqn: (x+1) ^{2} -1=t```(t GEQ-1)]

[eqn: y=(t-3) ^{2} -2``(t geq-1)]이므로 최솟값은 [eqn: t=3]일 때 최솟값 [eqn: -2]이다.

이차함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +ax+b``]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: -6 LEQ x LEQ 3]에서 정의된 함수 [eqn: y= f (x)`]의 최댓값을 [eqn: M`]이라 할 때, [eqn: {2M} over {ab}]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.) [[eqn: 4.8]점]

①

[eqn: f(-4)=f(2)``]이므로 [eqn: x=-1``]이 대칭축이 된다.즉 [eqn: a=2``]이다.
또한 최솟값이 [eqn: -5]이므로

[eqn: f(x)=(x+1) ^{2} -5`=x ^{2} +ax+b] 에서 [eqn: b=-4``]

이 때 [eqn: -6 LEQ x LEQ 3]에서 함수 [eqn: f`(x)``]의 최댓값은 [eqn: x=-6`]일 때, 최댓값 [eqn: M=f(-6)=20]을 갖는다.
[eqn: THEREFORE {2M} over {ab} =-5]

(가) [eqn: f LEFT ( -4 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT )]

(나) 함수 [eqn: f left(x right)]의 최솟값은 [eqn: -5]이다.

[eqn: 2 LEQ x LEQ 4]에서 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2ax+a ^{2} +b]의 최솟값이 [eqn: 4]가 되도록 하는 두 실수 [eqn: a,b]에 대하여 [eqn: 2a+b]의 최댓값은? [4.9점]

➂

[eqn: y= LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} +b]

(ⅰ) [eqn: 4<a]일 때
최솟값은 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =4]이므로
[eqn: 16-8a+a ^{2} +b=4], [eqn: b=-a ^{2} +8a-12]
[eqn: 2a+b=-a ^{2} +10a-12=- LEFT ( a-5 RIGHT ) ^{2} +13]
[eqn: a=5`]일때 최댓값 [eqn: 13]을 가진다.

(ⅱ) [eqn: 2<a LEQ 4]일 때
최솟값은 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =b=4]이다.
[eqn: 2a+b=2a+4]는 [eqn: a=4`]일 때 최댓값 [eqn: 8+4=12`]를 가진다.

(ⅲ) [eqn: a LEQ 2]일 때
최솟값은 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =4-4a+a ^{2} +b=4], [eqn: b=-a ^{2} +4a]이다.
[eqn: 2a+b=2a-a ^{2} +4a=- LEFT ( a-3 RIGHT ) ^{2} +9]
[eqn: a=2`]일 때 최댓값 [eqn: 8`]을 가진다.

(ⅰ)~(ⅲ)에서 최댓값은 [eqn: 13`]이다.

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

[eqn: 2 le x le 3`]에서 이차함수 [eqn: f(x)=-(x-a)^2 +b`]의 최댓값이 [eqn: 4`]일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, [eqn: a,~b`]는 실수이다.)
[총 10.0점]
(1) [eqn: a= 5 over2`]일 때, [eqn: b`]의 값을 구하고 그 과정을 논술하시오. [2.0점]

(2) [eqn: a ge3`]일 때, [eqn: b`]를 [eqn: a`]에 관한 식으로 나타내고 그 과정을 논술하시오. [3.0점]

(3) [eqn: a ge 3`]일 때, [eqn: a+b`]의 최솟값을 구하고 그 과정을 논술하시오. [5.0점]

(1) [eqn: b=4] (2) [eqn: b=(a-3)^2 +4] (3) [eqn: 7]

(1) [eqn: f(x)=- left(x- 5 over2 right)^2 +b]

[eqn: 2 le 5 over2 le3`]이므로 [eqn: x= 5 over2`]일 때 최댓값 [eqn: b`]를 갖는다.

[eqn: therefore] [eqn: b=4]

(2) [eqn: f(x)=-(x-a)^2 +b`]

[eqn: a ge3`]이므로 [eqn: x=3`]일 때 최댓값을 갖는다.

[eqn: f(3)=-(3-a)^2 +b=4]

[eqn: therefore] [eqn: b= (a-3)^2 +4]

(3) [eqn: a+b =a+(a-3)^2 +4]

[eqn: =a^2 -5a+13]

[eqn: =left(a- 5 over2 right) ^2 + 27 over4]

[eqn: a ge3`]이므로 [eqn: a=3`]때 최솟값을 갖는다.

따라서 [eqn: a=3]일 때 최솟값 [eqn: 7]을 갖는다.

최고차항의 계수가 [eqn: a``(a>0)]인 이차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: a-b]의 값은? [[eqn: 5.0]점]

⑤

풀이)

직선 [eqn: y=4ax+b]와 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가

만나는 두 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1]과 [eqn: 5]이다.

직선 [eqn: y=4ax+b]와 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가

만나는 두 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1]과 [eqn: 5]이므로

[eqn: f(x) -4a -b = a(x-1) (x -5) = ax^2 -6ax +5a]

이차함수의 축의 방정식은 [eqn: x = 3] 이므로

그림과 같이

[eqn: f(x) -4a -b = a(x-1) (x -5) +b = ax^2 -6ax +5a +b]에서
[eqn: 1 LEQx LEQ4]에서 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: -8]이고, [eqn: -3 LEQx LEQ3]에서 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 24]이므로 [eqn: f(3 )=-8], [eqn: f(-3 )=24]

[eqn: f(3) = 4a +b = -8], [eqn: f(-3) = 20a+b = 24]

이므로 [eqn: a = 2], [eqn: b = -16]이다.

[eqn: THEREFORE` a- b = 18]

(가) 직선 [eqn: y=4ax+b]와 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가

만나는 두 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1]과 [eqn: 5]이다.

(나) [eqn: 1 LEQx LEQ4]에서 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: -8]이다.

(다) [eqn: -3 LEQx LEQ3]에서 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 24]이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]
④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

다음은 함수 [eqn: y=-(x ^{2} -2x+4) ^{2} +4(x ^{2} -2x+4)-1`]의 최댓값을 구하는 과정이다.

②

[eqn: t=(x-1) ^{2} +3`]으로 치환하면

조건에 의하여 [eqn: t GEQ 3`]

[eqn: y=-(t-2) ^{2} +3`]이고 [eqn: t GEQ 3`]이므로 최댓값은 [eqn: 2`]

풀이에 의하여

[eqn: p=3,``q=2,``f(x)=-(t-2) ^{2} `]이므로

[eqn: f(3)+pq=-1+6=5`]

[eqn: t=x ^{2} -2x+4`]라 하면 [eqn: t=(x-1) ^{2} +(가)`]이므로

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: t GEQ `(가)`]이다.

이때, 주어진 함수는 [eqn: y=-t ^{2} +4t-1=`(나)+3`]이므로

주어진 함수의 최댓값은 [eqn: (다)`]이다.

위의 [eqn: (가),~(다)`]에 알맞은 수를 각각 [eqn: p,~q`]라 하고, [eqn: (나)`]에 알맞은 식을 [eqn: f(t _{`} )`]라 하자. [eqn: f(3)+pq`]의 값은? [5.0점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

이차함수의 최대최소(2)

[eqn: 0 le x le 7]에서 정의된 이차함수 [eqn: f(x)]가

➃

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 5 RIGHT )]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=3`]대칭이고, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) + LEFT | f LEFT ( 6 RIGHT ) RIGHT | =0]에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) <0`], [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) >0]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} +b] [eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]에서

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) + LEFT | f LEFT ( 6 RIGHT ) RIGHT | =0]이므로 [eqn: 4a+b+9a+b=0],

[eqn: 13a+2b=0]	[eqn: CDOTS `]㉠

[eqn: 0 le x le 7]에서 최댓값은 [eqn: x=7`]일 때 가지고,

[eqn: f LEFT ( 7 RIGHT ) =16a+b= {19} over {2}]이다.	[eqn: CDOTS `]㉡

㉠,㉡에서 두 식을 연립하면 [eqn: a=1], [eqn: b=- {13} over {2}]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} - {13} over {2}], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =1- {13} over {2} =- {11} over {2}]

[eqn: f(1) =f(5), ~f(1) + |`f(6)`| =0]

을 만족시킨다. 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값이 [eqn: 19 over2]일 때, [eqn: f(4)]의 값은? [4.9점]

① [eqn: 209 over26]	② [eqn: 11 over2]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: - 11over2]	⑤ [eqn: -6]

[eqn: -3 LEQ x LEQ 4]에서 정의된 이차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(-1)=f(3)], [eqn: f(-2)- LEFT | f(3) RIGHT | =0]을 만족시킨다. 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값이 [eqn: 38]일 떄, [eqn: f(1)]의 값은? [4.8점]

➃

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =f LEFT ( 3 RIGHT )]에서 [eqn: x=1`]대칭이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +b]라 할 수 있다.

[eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) = LEFT | f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT | >0`]이므로 [eqn: a>0`]이고, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) <0`]이어야 한다.

[eqn: 9a+b= LEFT | 4a+b RIGHT |]에서 [eqn: 9a+b=-4a-b], [eqn: 2b=-13a]	[eqn: CDOTS `]㉠

[eqn: x=-3`]일 때 최댓값 [eqn: 38]을 가지므로 [eqn: f LEFT ( -3 RIGHT ) =38]

[eqn: f LEFT ( -3 RIGHT ) =16a+b=38]	[eqn: CDOTS `㉡]

㉠,㉡에서 [eqn: a=4], [eqn: b=-26]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4 LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} -26] [eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =-26]

① [eqn: -20]	② [eqn: -22]	③ [eqn: -24]

④ [eqn: -26]	⑤ [eqn: -28]

[eqn: -2 LEQ x LEQ 5]에서 정의된 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )]의 값은? [4.6점]

① [eqn: -7]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -3]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

③

[eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT )]이므로 [eqn: x=1]에 선대칭

[eqn: a<0]일 경우, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +27]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) =a+27+4a+27=5a+54=0]

[eqn: a]는 정수가 아님.

[eqn: a>0]일 경우, [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )]가 최댓값

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +b]

[eqn: 16a+b=27]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) =a+b+4a+b=5a+2b=0]

[eqn: a=2,```b=-5] [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} -5]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-3]

[eqn: CIRC f LEFT ( x RIGHT )]의 최고차항의 계수는 정수이다.

[eqn: CIRC f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: 27]이다.

[eqn: CIRC f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) =0,````f LEFT ( -2 RIGHT ) -f LEFT ( 4 RIGHT ) =0]

자연수 [eqn: a,~b`]에 대하여 [eqn: -1 le x le 3`]에서 이차함수 [eqn: f(x)=ax^2 -4ax+b`]의 최댓값과 최솟값의 합이 [eqn: 4`]일 때, [eqn: a^2 +b^2 `]의 값은? [4.5점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

②

[eqn: f(x)=ax^2 -4ax+b =a(x-2)^2 +b-4a]

[eqn: -1 le x le 3`]이고, [eqn: a,~b`]는 자연수이므로

[eqn: x=2`]일 때 최솟값 [eqn: b-4a]

[eqn: x=-1]일 때 최댓값 [eqn: b+5a`]를 갖는다.

최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 2b+a =4]

[eqn: a,~b`]는 자연수이므로 [eqn: a=2,~b=1]

[eqn: therefore] [eqn: a^2 +b^2 =5]

실수 [eqn: t`]와 이차함수 [eqn: f(x)=x^2 -2x+3`]에 대하여
[eqn: t le x le t+1`]에서 [eqn: f(x)`]의 최댓값과 최솟값의 차를 [eqn: g(t)`]라 하자. 함수 [eqn: g(t)`]에 대하여 [eqn: g(a-root2 )=g(a+root2 )`]일 때, 실수 [eqn: a`]의 값은? [5.2점]

① [eqn: 1 over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over2]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over2]

①

[eqn: f(x)=x^2 -2x+3=(x-1)^2 +2`]

[eqn: f(1)=2]

[eqn: f(t)=t^2 -2t+3]

[eqn: f(t+1)=t^2 +2]

ⅰ) [eqn: x=t`]일 때 최댓값, [eqn: x=t+1`]일 때 최솟값을 가질 때

[eqn: t+1 <1`]이므로 즉, [eqn: t< 0`]일 때

[eqn: g(t)= f(t)-f(t+1) =-2t+1]

ⅱ) [eqn: x=t`]일 때 최댓값, [eqn: x=1]일 때 최솟값을 가질 때

[eqn: t<1 le t+1]이므로 [eqn: 0 le t <1]이고

[eqn: 1-t > t+1-1]이므로 [eqn: t< 1 over2]을 만족해야 한다.

즉, [eqn: 0 le t < 1 over2]일 때 [eqn: g(t)=f(t)-f(1)= t^2 -2t+1 =(t-1)^2]

ⅲ) [eqn: x=t+1`]일 때 최댓값, [eqn: x=1`]일 때 최솟값을 가질 때

[eqn: t<1 le t+1]이므로 [eqn: 0 le t <1]이고

[eqn: 1-t le t+1-1]이므로 [eqn: t ge 1 over2]를 만족해야 한다.

즉, [eqn: 1 over2 le t <1]일 때 [eqn: g(t)=f(t+1)-f(1)= t^2]

ⅳ) [eqn: x=t+1`]일 때 최댓값, [eqn: x=t`]일 때 최솟값을 가질 때

즉, [eqn: t ge1]일 때 [eqn: g(t)=f(t+1)-f(t)= 2t-1]
[eqn: g(t)= {cases{-2t+1&&(t<0)#```(t-1) ^{2}&&LEFT ( 0 LEQ t< {1} over {2} RIGHT )#``````````````t ^{2}&&LEFT ( {1} over {2} LEQ t<1 RIGHT )#````````2t-1&&(t GEQ 1)}}]

그래프에서 [eqn: y=g(t)`]의 그래프는 [eqn: t= 1 over2]에 대하여 대칭이므로

[eqn: g(a-root2 )=g(a+root2 )`]를 만족하는 [eqn: a= 1 over2]

이차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: -2 LEQ x LEQ 2]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하고 그 이유를 논하시오. [6.0점]

[eqn: 21]

[eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+2]
[eqn: f(x+1)-f(x)=a(x+1) ^{2} +b(x+1)+2-ax ^{2} -bx-2]
[eqn: 2ax+a+b=4x]이므로 [eqn: a=2],[eqn: b=-2]
[eqn: f(x)=2x ^{2} -2x+2]에서 축이 [eqn: x= {1} over {2}]이므로 최댓값은 [eqn: f(-2)=14], 최솟값은 [eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {3} over {2}]
[eqn: 14 TIMES {3} over {2} =21]

(가) [eqn: f(0)=2]

(나) [eqn: f(x+1)-f(x)=4x]

함수 [eqn: y=f(t)]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2xf(t)+f(t)=0]의 근에 대한 설명이다. <보기>의 (가), (나)에 들어갈 알맞은 내용을 순서대로 나열한 것은? [[eqn: 5.3]점]

①

[eqn: x ^{2} -2xf(t)+f(t)=(x-f(t)) ^{2} -f(t) ^{2} +f(t)=0]이다.

[eqn: f(t)]의 값이 [eqn: 2]로 최대일 때, [eqn: x ^{2} -4x+2=0]이고 [eqn: {D} over {4} =4-2=2>0]이므로 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

이차방정식이 중근을 가지려면 [eqn: {D} over {4} =f(t) ^{2} -f(t)=f(t)(f(t)-1)=0]이어야 하므로 [eqn: f(t)=0,`1]이다. 따라서 주어진 그림을 참고하면 이와 부합하는 서로 다른 실수 [eqn: t]는 [eqn: 4+3=7]개 존재한다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2xf(t)+f(t)=0]는

(1) [eqn: f(t)]의 값이 최대일 때, (가)을 갖는다.

(2) 중근을 갖게 하는 서로 다른 실수 [eqn: t]는 (나)개 존재한다.

① 서로 다른 두 실근, [eqn: 7] ② 서로 다른 두 실근, [eqn: 4]

③ 서로 다른 두 실근, [eqn: 3] ④ 서로 다른 두 허근, [eqn: 7]

⑤ 서로 다른 두 허근, [eqn: 4]

실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: t- {1} over {2} LEQ x LEQ t+ {1} over {2}]에서 함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -2x+2]의 최댓값을 [eqn: g(t)]라 하자. [eqn: 0 LEQ t LEQ {5} over {2}]에서 [eqn: g(t)]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M+m= {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p와`q]는 서로소인 자연수이다.) [5.5점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 15]
④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 29]

⑤

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +1]

[eqn: {LEFT ( t+ {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( t- {1} over {2} RIGHT )} over {2} =t]이므로 중점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: t]이다.

그러므로 [eqn: t]를 기준으로 범위를 잡는다.

① [eqn: t<1]일 때, [eqn: x= LEFT ( t- {1} over {2} RIGHT )]일 때 최대이므로 [eqn: f LEFT ( t- {1} over {2} RIGHT ) =g LEFT ( t RIGHT )]

②[eqn: t GEQ 1]일 때, [eqn: x= LEFT ( t+ {1} over {2} RIGHT )]일 때 최대이므로 [eqn: f LEFT ( t+ {1} over {2} RIGHT ) =g(t)]

cf) [eqn: t LEQ 1,~t>1]로 잡아도 상관없다.

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) {cases{LEFT ( t- {3} over {2} RIGHT ) ^{2} +1&~ LEFT ( t<1 RIGHT )#&#LEFT ( t- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} +1&~ LEFT ( 1 LEQ `t RIGHT )}}] 즉 그래프 상 [eqn: t=1]에서 대칭인 그래프가 그려지므로 최솟값은 [eqn: t=1]일 때, [eqn: {5} over {4}] 최댓값은 [eqn: t= {5} over {2}]일 때, [eqn: 5]

[eqn: M+m= {25} over {4} = {g} over {p}]	[eqn: p+g=29]

이차함수 [eqn: f(x)=a(x^2 +4x-12)]라 하자. 실수 [eqn: p]에 대하여 [eqn: p LE x Le p+4]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값을 [eqn: g(p)]라 할 때, 함수 [eqn: g(p)]의 최솟값을 [eqn: -4]이다. 이때 [eqn: f(3)]의 값은? (단, [eqn: a>0]인 실수이다.) [5.4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

①

[eqn: p=-4] 이면, [eqn: g(p)=f(p)=f(p+4)]이고,

[eqn: p< -4] 이면, [eqn: g(p)=f(p)], [eqn: p>-4] 이면, [eqn: g(p)=f(p+4)] 이므로,

[eqn: g(p)]의 그래프 개형은  이다.

[eqn: p=-4]

따라서 [eqn: p=-4]에서 최솟값을 갖는다.

[eqn: g(-4)=-4] 이므로 [eqn: -12a=-4], [eqn: a={1}over{3}] 이다.

[eqn: f(x)={1}over{3}(x^2 +4x-12)], [eqn: THEREFORE f(3)=3]

이차함수의 최대최소의 활용

실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: t]에 대한 이차함수 [eqn: f(t)=-2t ^{2} +xt+5] (단, [eqn: -1 LEQ t LEQ 1])의 최댓값을 [eqn: g(x)]라 할 때, 다음 물음에 답하고, 그 과정을 논술하시오. [[eqn: 5.0]점]

(1) [eqn: f(t)=-2 LEFT ( t- {x} over {4} RIGHT ) ^{2} + {x ^{2}} over {8} +5]이다.
[eqn: x=-6]일 때 [eqn: {x} over {4} =- {3} over {2} <`-1]이므로 [eqn: g(x)=f(-1)=-x+3]이다.
따라서 [eqn: g(-6)=9]이다.
(2) [eqn: {x} over {4} <`-1]일 경우 [eqn: (1)]과 같이 [eqn: g(x)=-x+3]이다.
[eqn: -1 LEQ {x} over {4} LEQ 1]일 경우 [eqn: g(x)= {x ^{2}} over {8} +5]이다.
[eqn: 1< {x} over {4}]일 경우 [eqn: g(x)=f(1)=x+3]이다.
따라서, 주어진 조건을 만족하려면 [eqn: g(x)= {x ^{2}} over {8} +5=6],
[eqn: x= +- sqrt {8}]이므로, 구하고자 하는 곱은 [eqn: -8]이다.
(3)
그림을 참고하면 구하고자 하는 점의 개수는 [eqn: 9+7+5=21]개다.

(1) [eqn: g(-6)]의 값을 구하시오.

(2) [eqn: g(x)=6]을 만족하는 모든 실수 [eqn: x]의 값의 곱을 구하시오.

(3) [eqn: g(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=9]으로 둘러싸인 도형의 내부에 있고 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수는 몇 개인지 구하시오. (단, 경계는 제외함)

[eqn: a`,~b`]는 정수이고, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +2ax+b`]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

이때, [eqn: a+b`]의 최솟값을 구하는 풀이 과정을 쓰고 답을 구하시오. [[eqn: 7`]점]

[eqn: -4]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +2ax+b`]일 때 조건 [eqn: (]가[eqn: )`]에서

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =1-2a+b<0] [eqn: THEREFORE ~2a-b>1]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 점의 [eqn: x`]좌표는

이차방정식 [eqn: x ^{2} +2ax+b=0`]의 두 실근과 같으므로 두 근을 [eqn: alpha `,~ beta `]라

하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

[eqn: alpha + beta =it-2a`,~ alpha beta =b]

또한, [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의 꼭짓점

[eqn: rmC]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmM]

이라 하면 점 [eqn: rmM`]은 선분 [eqn: rmAB]의 중점

이므로 직선 [eqn: rmCM]이 대칭축이고,

[eqn: rm {bar{AC}} = {bar{BC}}]이다.

이때, [eqn: rm {bar{AB}} ^{`2}][eqn: = LEFT ( beta - alpha RIGHT ) ^{2}]
[eqn: = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -4 alpha beta]
[eqn: = LEFT ( -2a RIGHT ) ^{2} -4b]
[eqn: =4 LEFT ( a ^{2} -b RIGHT )]

삼각형 [eqn: rmAMC]가 직각삼각형이고

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} +2ax+b]
[eqn: = LEFT ( x+a RIGHT ) ^{2} +b-a ^{2}]

에서 꼭짓점 [eqn: rmC]의 좌표가 [eqn: rm C LEFT ( it -a`,~b-a ^{2} RIGHT ) `]이다.

이때, 피타고라스의 정리에 의해

[eqn: rm {bar{AC}} ^{`2}][eqn: rm = LEFT ( {{bar{AB}}} over {2} RIGHT ) ^{2} + {bar{MC}} ^{`2}]
[eqn: = LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) + LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) ^{2}]

또, [eqn: rm {bar{BC}} = {bar{AC}}]이므로

[eqn: rm {bar{AB}} ^{`2} + {bar{AC}} ^{`2} + {bar{BC}} ^{`2}]

[eqn: =4 LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) + LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) + LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) ^{2} + LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) + LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =6 LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) +2 LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) ^{2} =56]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

이때, [eqn: a ^{2} -b=t`]라 하면 ㉡은

[eqn: 2t ^{2} +6t=56`]에서 [eqn: 2t ^{2} +6t-56=0]

[eqn: t ^{2} +3t-28=0`,~ LEFT ( t+7 RIGHT ) LEFT ( t-4 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ~t=it-7] 또는 [eqn: t=4]

[eqn: -t`]가 점 [eqn: rmC]의 [eqn: y`]좌표이므로 [eqn: -t<0`], [eqn: t>0`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: t=4]

[eqn: a ^{2} -b=4`,] 즉 [eqn: b=a ^{2} -4`]이다.

㉠에서 [eqn: 2a-b=2a- LEFT ( a ^{2} -4 RIGHT ) >1]

[eqn: -a ^{2} +2a+3>0`,~a ^{2} -2a-3<0]

[eqn: LEFT ( a+1 RIGHT ) LEFT ( a-3 RIGHT ) <0] [eqn: THEREFORE ~-1<a<3]

따라서 이 범위에 속하는 정수 [eqn: a`]의 값은 [eqn: 0`,~1`,~2`]이다.

[eqn: a=0`]일 때, [eqn: b=it-4]

[eqn: a=1`]일 때, [eqn: b=it-3]

[eqn: a=2`]일 때, [eqn: b=0]

[eqn: a+b`]의 최솟값은 [eqn: a=0`,~b=it-4`]일 때 [eqn: a+b=it-4`]이다.

(가) 다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x+1`]로 나눈 나머지가 음수이다.

(나) [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 두 점이 [eqn: rmA`,] [eqn: rmB]

이고 꼭짓점이 [eqn: rmC]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 각 변의 길이

의 제곱의 합이 [eqn: 56`]이다.

그림과 같이 좌표평면에서 [eqn: x]축 위의 두 점 [eqn: RMA], [eqn: RMB]와 이차함수 [eqn: y=-x ^{2} +4]의 그래프 위의 두 점 [eqn: RMC], [eqn: RMD]에 대하여 사각형 [eqn: RMABCD]는 직사각형을 이룬다. 직사각형 [eqn: RMABCD]의 둘레의 길이가 최대일 때, 직사각형 [eqn: RMABCD]의 넓이는? (단, 점 [eqn: RMO]는 원점이고, 점 [eqn: RMC]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.) [4.5점]

②

(둘레의 길이) [eqn: l = 2``․``2x +2(-x^2 +4)]

[eqn: = -2x^2 +4x +8]

[eqn: x = 1]일 때 최대

(넓이) [eqn: S = 2x (-x^2 +4)]

[eqn: x = 1]을 대입하면

[eqn: S(1) =][eqn: 2```․``3 = 6]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]
④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

그림과 같이 좌표평면 위의 네 점
[eqn: rmO LEFT ( 0,````0 RIGHT )], [eqn: rmA LEFT ( 2,````0 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 2,````3 RIGHT )], [eqn: rmC LEFT ( 0,````2 RIGHT ) `]를 꼭짓점으로 하는
사각형 [eqn: rmOABC`]가 있다. 실수 [eqn: k`` LEFT ( 0<k<2 RIGHT ) `]에 대하여 직선 [eqn: y=k`]가
세 선분 [eqn: rmOC], [eqn: rmOB], [eqn: rmAB`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rmE], [eqn: rmF`]라 하자.
삼각형 [eqn: rmOED`]의 넓이를 [eqn: rmS _{1}], 사각형 [eqn: rmOAFE`]의 넓이를 [eqn: rmS _{2}],
삼각형 [eqn: rmEFB`]의 넓이를 [eqn: rmS _{3}], 사각형 [eqn: rmDEBC`]의 넓이를 [eqn: rmS _{4} `]라 할 때, [eqn: rm LEFT ( S _{1} -S _{3} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( S _{2} - S _{4} RIGHT ) ^{2} `]의 최솟값을 구하고, 그 과정을 서술하시오.

[eqn: {1} over {2}]

삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이는

[eqn: S _{2} +S _{3} = {1} over {2} TIMES 2 TIMES 3=3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: S _{3} =3-S _{2}] [eqn: CDOTS] ㉠

삼각형 [eqn: rmOBC]의 넓이는

[eqn: S _{1} +S _{4} = {1} over {2} TIMES 2 TIMES 2=2]

[eqn: S _{4} =2-S _{1}] [eqn: CDOTS] ㉡

[eqn: LEFT ( S _{1} -S _{3} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( S _{2} -S _{4} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = LEFT ( S _{1} +S _{2} -3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( S _{2} +S _{1} -2 RIGHT ) ^{2}] ([eqn: BECAUSE] ㉠, ㉡)

[eqn: S _{1} +S _{2} =a]라 할 때, [eqn: LEFT (a-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT (a-2 RIGHT ) ^{2} =2a ^{2} -10a+13]

[eqn: =2 LEFT ( a - {5} over {2} RIGHT ) ^{2} + {1} over {2}]

이때, [eqn: 0<a<4]이므로 꼭짓점에서최솟값을 갖는다.

따라서 [eqn: a= {5} over {2}]일 때, 구하는 식의 최솟값은 [eqn: {1} over {2}]이다.

[[eqn: 6]점]

다음 그림과 같이 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -3x+2`]의 그래프가 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rmA`,] [eqn: x`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmB,~C]라고 하자. 점 [eqn: rmP LEFT ( ita`,~b RIGHT ) `]가 점 [eqn: rmA`]에서 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -3x+2`]의 그래프를 따라 점 [eqn: rmB]를 거쳐 점 [eqn: rmC]까지 움직일 때, [eqn: 3a+2b+1`]의 최솟값과 그 때의 [eqn: b`]의 값을 각각 구한 것은?
[[eqn: 5.1`]점]
① [eqn: {31} over {8} `,~ {5} over {16}]	② [eqn: {31} over {8} `,~ {5} over {8}]	③ [eqn: {3} over {4} `,~ {5} over {8}]
④ [eqn: {15} over {8} `,~ {5} over {16}]	⑤ [eqn: {15} over {8} `,~ {5} over {8}]

①

점 [eqn: rmP LEFT ( ita`,~b RIGHT ) `]가 [eqn: y=x ^{2} -3x+2`]의 점이므로

[eqn: b=a ^{2} -3a=2]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

또한, [eqn: x ^{2} -3x+2=0`]에서 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ~x=1] 또는 [eqn: x=2]

즉, [eqn: x`]축과 만나는 두 점 [eqn: rmB,~C]의 좌표는 [eqn: rmB LEFT ( 1`,~0 RIGHT ) `,~C LEFT ( 2`,~0 RIGHT )]

따라서 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmA`]에서 점 [eqn: rmC]까지 움직이므로 [eqn: 0 LEQ a LEQ 2`]이고,

[eqn: 3a+2b+1]

[eqn: =2a+2 LEFT ( a ^{2} -3a+2 RIGHT ) +1]

[eqn: =2a ^{2} -3a+5]

[eqn: =2 LEFT ( a ^{2} - {3} over {2} a+ {9} over {16} - {9} over {16} RIGHT ) +5]

[eqn: =2 LEFT ( a- {3} over {4} RIGHT ) ^{2} + {31} over {8}]

따라서 [eqn: a= {3} over {4} `]일 때 최솟값 [eqn: {31} over {8} `]을 갖는다.

한편, 이때의 [eqn: b`]의 값은

[eqn: b= LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2} -3 TIMES {3} over {4} =2= {9} over {16} - {9} over {4} +2= {5} over {16}]

그림과 같이 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-x ^{2} +15x-14`]의 그래프와 직선 [eqn: y=-x+14`]가 있다. 직선 [eqn: y=-x+14`] 위의 한 점 [eqn: rmA LEFT ( itt,~-t+14 RIGHT ) `]에 대하여 점 [eqn: rmA`]를 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선이 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rmB,] 점 [eqn: rmB`]를 지나고 [eqn: x`]축과 평행한 직선이 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 만나는 점 중 [eqn: rmB`]가 아닌 점을 [eqn: rmC,] 점 [eqn: rmA`]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선과 점 [eqn: rmC`]를 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선이 만나는 점을 [eqn: rmD`]라 하자. 네 점 [eqn: rmA,~B,~C,~D`]를 꼭짓점으로 하는 직사각형의 둘레의 길이의 최댓값은? (단, [eqn: 2<t<14,~t != {15} over {2}]) [[eqn: 5.5]점]

②

[eqn: rmA LEFT ( it`t,~-t+14 RIGHT ) ,] [eqn: rmB` LEFT ( it`t,~-t ^{2} +15t-14 RIGHT ) ,] [eqn: rm C` LEFT ( it `15-t,~-t ^{2} +15t-14 RIGHT ) ,] [eqn: rm D` LEFT ( it `15-t,~-t+14 RIGHT ) `]이므로 [eqn: rm {bar{AB}} `=it-t ^{2} +16t-28,] [eqn: rm {bar{BC}} `= it `2t-15]

따라서 사각형 [eqn: rmABCD`]의 둘레의 길이 [eqn: l LEFT ( t RIGHT ) `]는 [eqn: l LEFT ( t RIGHT ) =][eqn: 2rm LEFT ( {bar{AB}} + {bar{BC}} RIGHT )] 이를 정리하면 [eqn: l LEFT ( t RIGHT ) =2 LEFT ( -t ^{2} +18t-43 RIGHT ) ` LEFT ( 2<t<14 RIGHT )]

[eqn: y=-t ^{2} +18t-43=- LEFT ( t-9 RIGHT ) ^{2} +38`]이므로 [eqn: t=9`]에서 최댓값 [eqn: 38`]을 갖는다. 따라서 [eqn: l LEFT ( t RIGHT ) `]의 최댓값은 [eqn: 2 TIMES 38=76`]이 됨을 알 수 있다.

① [eqn: 78]	② [eqn: 76]	③ [eqn: 73]
④ [eqn: 71]	⑤ [eqn: 70]

다음 그림은 이차함수 [eqn: f(x) = x^2 +6x+10]의 그래프와 직선 [eqn: y= x+6]을 나타낸 것이다. 직선 [eqn: y= x+6] 위의 한 점 [eqn: rmA it (t ,~t+6)]에 대하여 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rmB], 점[eqn: rmB]를 지나고 [eqn: x]축과 평행한 직선이 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 만나는 점 중 [eqn: rmB]가 아닌 점을 [eqn: rmC], 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: x]축과 평행한 직선과 점 [eqn: rmC]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. 네 점 [eqn: rmA,~B,~C,~D]를 꼭짓점으로 하는 직사각형의 둘레의 길이의 최댓값은? (단, [eqn: -4<t< -1 ,~ t!=-3]) [5.3점]

➄

[eqn: rm A LEFT ( it t,````t+6 RIGHT )]

직사각형의 둘레의 길이를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하면

[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: =4 LEFT | t+3 RIGHT | +2 LEFT { LEFT ( t+6 RIGHT ) - LEFT ( t ^{2} +6t+10 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =2 LEFT ( -t ^{2} -5t-4 RIGHT ) +4 LEFT | t+3 RIGHT |] [eqn: LEFT ( -4<t< it -1 RIGHT )]

(ⅰ) [eqn: -4<t< it -3]
[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =-2t ^{2} -14t-20]
[eqn: =-2 LEFT ( t+ {7} over {2} RIGHT ) ^{2} + {9} over {2}]
[eqn: t=- {7} over {2}]일 때, 최댓값 [eqn: {9} over {2}]

(ⅱ) [eqn: -3 LEQ t< it -1]
[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: =-2t ^{2} -10t-8+4t+12]
[eqn: =-2 LEFT ( t+ {3} over {2} RIGHT ) ^{2} + {17} over {2}]
[eqn: t=- {3} over {2}]일 때, 최댓값 [eqn: {17} over {2}]

(ⅰ),(ⅱ)에서 최댓값은 [eqn: {17} over {2}]이다.

① [eqn: 9over4]	② [eqn: 17 over4]	③ [eqn: 9 over2]

④ [eqn: 41 over8]	⑤ [eqn: 17 over2]

그림과 같이 두 직선
[eqn: l _{1~} :3x-y+2=0,~l _{2} :x+y-6=0]과 [eqn: x]축으로 둘러쌓인
부분에 직사각형이 있다. 이 직사각형의 한 변은 [eqn: x]축 위에
있고 두 꼭지점은 각각 [eqn: l _{1~} ,~l _{2}]위에 있을 때, 직사각형 넓이의
최댓값을 구하고 풀이과정을 서술하시오.[[eqn: 6.0]점, 부분점수 있음.]

[eqn: ` {25} over {3}]

[eqn: rm A RARROW ` it a``,~B RARROW ` it b], 라고 하자
[eqn: - {2} over {3} <a<1,`~1<b<6~~]
[eqn: D(a,~3a+2),~C LEFT ( b,~-b+6 RIGHT ) `]
[eqn: 3a+2=-b+6]
[eqn: b=4-3a]
직사각형의 넓이를 라고하면

[eqn: rm S= {bar{AB}} TIMES {bar{AD}} = LEFT ( b-a RIGHT ) LEFT ( 3a+2 RIGHT ) ``]
[eqn: rm = LEFT ( 4-4a RIGHT ) LEFT ( 3a+2 RIGHT ) ``]
[eqn: rm =-12a ^{2} +4a+8=-12 LEFT ( a- {1} over {6} RIGHT ) ^{2} + {25} over {3}]
[eqn: - {2} over {3} <a<1]이므로
[eqn: a= {1} over {6} `]일 때 최솟값 [eqn: ` {25} over {3}]

아래 그림과 같이 [eqn: {bar{AD}} =15], [eqn: {bar{BC}} =40], [eqn: {bar{DH}} =20]인 사다리꼴 [eqn: ABCD]에 내접하는 직사각형 [eqn: OPQR]이 있다. 직사각형 [eqn: OPQR]의 넓이가 최대가 되게 하려면 직사각형의 높이 [eqn: {bar{OP}}]를 얼마로 정해야 하는가? [[eqn: 5.8]점]

⑤

삼각형 [eqn: EAD,`EBC]가 닮음이므로 [eqn: 15:40=h:h+20], [eqn: h=12]다.

삼각형 [eqn: EOR,`EBC]가 닮음이므로 [eqn: 32-x:32=y:40], [eqn: y= {5} over {4} (32-x)]이다. 따라서 직사각형 [eqn: OPQR]의 넓이는 [eqn: xy=- {5} over {4} (x-16) ^{2} +320]이고, [eqn: {bar{OP}} =x=16]일 때 최댓값을 갖는다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]
④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

그림과 같이 [eqn: rmangleA=90Deg]이고 [eqn: rm barAB =9`]인 직각이등변삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 변 [eqn: rmAB] 위의 한 점 [eqn: rmP]에서 변 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라 하고, 점 [eqn: rmP]를 지나고 변 [eqn: rmBC]와 평행한 직선이 변 [eqn: rmAC]와 만나는 점을 [eqn: rmR]이라 하자. 사각형 [eqn: rmPQCR]의 넓이의 최댓값은?
(단, 점 [eqn: rmP]는 꼭짓점 [eqn: rmA]와 꼭짓점 [eqn: rmB]가 아니다.) [4.8점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 26]
④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 28]

④

[eqn: rm barAB = 9`]이므로 [eqn: rm barBC = 9root2]

[eqn: rm barAP = itx `]라 하면 [eqn: rm barPR = it root2] [eqn: (0 <x<9)]

[eqn: rm barPB = it 9-x ,~rm barPQ = barBQ = it root2 over 2 (9-x)]

[eqn: rm barQC = it 9root2 - root2 over2 (9-x)= {9root2} over 2 + root2 over2 x]

사각형 [eqn: rmPQCR]의 넓이를 [eqn: f(x)`]라 하면

[eqn: f(x)= 1 over2 times root2 over2 (9-x) times left( {9root2} over2 + root2 over2 x + root2 x right)]

[eqn: = root2 over4 (9-x) times{3root2} over2 (3+x)]

[eqn: = 3 over4 (-x^2 +6x+27)]

[eqn: = - 3 over4 (x-3)^2 +27]

따라서 [eqn: x=3`]일 때 최댓값 [eqn: 27`]을 갖는다.

그림과 같이 [eqn: rm ANGLE A=90DEG`]이고 [eqn: rm {bar{AB}} =9`]인 직각이등변삼각형
[eqn: rmABC`]가 있다. 변 [eqn: rmAB`]위의 한 점 [eqn: rmP`]에서 변 [eqn: rmBC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ`]라 하고, 점 [eqn: rmP`]를 지나고 변 [eqn: rmBC`]와 평행한 직선이 변 [eqn: rmAC`]와 만나는 점을 [eqn: rmR`]라 하자. 사각형 [eqn: rmPQCR`]의 넓이의 최댓값은?

①

선분 [eqn: rmAP]의 길이를 미지수 [eqn: x]라 하면

점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmAB]위의 점이므로 [eqn: x]의 범위는 [eqn: 0<x<9]이다.

선분 [eqn: rmBC]와 선분 [eqn: rmPR]이 평행하므로 삼각형 [eqn: rmAPR]은 선분 [eqn: rmPR]를 빗변으로 하는 직각이등변삼각형이므로 [eqn: rm {bar{PR}} = sqrt {2} itx]

각 [eqn: rmB]의 크기는 [eqn: 45 DEG]이므로 삼각형 [eqn: rmBQP]는 선분 [eqn: rmBP]를 빗변으로 하는 직각이등변삼각형이다.

[eqn: rm {bar{BP}} =9-itx]이므로 [eqn: rm {bar{BQ}} = {bar{PQ}} = it {9-x} over {sqrt {2}} = {9 sqrt {2} - sqrt {2} x} over {2}]

[eqn: rm {bar{CQ}} = {bar{BC}} - {bar{BQ}}]이고, [eqn: rm {bar{BC}} =9 sqrt {2}]이므로

[eqn: {bar{rmCQ}} = it 9 sqrt {2} - {9 sqrt {2} - sqrt {2} x} over {2} = {9 sqrt {2} + sqrt {2} x} over {2}]이다.

따라서 사각형 [eqn: rmPQCR]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES rm LEFT ( {bar{PR}} + {bar{CQ}} RIGHT ) TIMES {bar{PQ}}]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( {9 sqrt {2} +3 sqrt {2} x} over {2} RIGHT ) TIMES LEFT ( {9 sqrt {2} - sqrt {2} x} over {2} RIGHT )]이고
이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} LEFT ( {9 sqrt {2} +3 sqrt {2} x} over {2} RIGHT ) TIMES LEFT ( {9 sqrt {2} - sqrt {2} x} over {2} RIGHT )]의

[eqn: x]절편이 [eqn: -3], [eqn: 9]이므로 축의 방정식은 [eqn: x=3]이다.

따라서 [eqn: x=3]에서 최댓값을 갖는다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) = {18 sqrt {2} TIMES 6 sqrt {2}} over {8} =27]

(단, 점 [eqn: rmP`]는 꼭짓점 [eqn: rmA`]와 꼭짓점 [eqn: rmB`]가 아니다.) [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 27]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 33]
④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 39]

그림과 같이 [eqn: rmangle A = 90DEG]이고 [eqn: rmbarAB = 9]인 직각이등변삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 변 [eqn: rmAB] 위의 한 점 [eqn: rmP]에서 변 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라 하고, 점 [eqn: rmP]를 지나고 변 [eqn: rmBC]와 평행한 직선이 변 [eqn: rmAC]와 만나는 점을 [eqn: rmR]라 하자. 사각형 [eqn: rmPQCR]의 넓이의 최댓값은? [[eqn: 5.5]점]

④

위의 그림과 같이 [eqn: rmbarPQ = it x]라 하면

삼각형 [eqn: rmBPQ]는 직각이등변삼각형이므로

[eqn: rmbarBQ = it x], [eqn: rmbarBP = it x root2]이다.

[eqn: rmbarAB = 9]이므로

[eqn: rmbarAP][eqn: = rmbarAB - barBP]
[eqn: = 9 - x root2]

삼각형 [eqn: rmABC]는 직각이등변삼각형이므로

[eqn: rmbarBC][eqn: =rmbarAB root2]
[eqn: = 9 root2]

[eqn: rmbarQC][eqn: = rmbarBC - barBQ]
[eqn: = 9root2 -x]

또, 삼각형 [eqn: rmAPR]은 직각이등변삼각형이므로

[eqn: rmbarPR][eqn: = rmbar AP root2]
[eqn: = 9 root2 - 2x]

그러므로 사각형 [eqn: rmPQCR]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S][eqn: = 1over2 times rmbarPQ times LEFT ( barPR + barQC RIGHT )]
[eqn: = 1over2 times x times LEFT ( 9root2 - 2x + 9 root2 -x RIGHT )]
[eqn: = 1over2 times x times LEFT ( 18root2 - 3x RIGHT )]
[eqn: = `- 3over2 LEFT (x^2 - 6 root2 x RIGHT )]
[eqn: = `- 3over2 LEFT (x^2 - 6 root2 x +18 - 18 RIGHT )]
[eqn: = `- 3over2 LEFT ( x- 3root2 RIGHT )^2 + 27]

따라서 [eqn: rmbarPQ = 3root2]일 때 사각형 [eqn: rmPQCR]의 넓이는 최댓값 [eqn: 27]를 갖는다.

① [eqn: 21]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 25]
④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 29]

, 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 16]인 정삼각형 [eqn: ABC]에 대하여 변[eqn: AB]위의 점 [eqn: D], 변[eqn: AC]위의 점 [eqn: G], 변 [eqn: BC]위의 두 점 [eqn: E,F]를 꼭짓점으로 하는 직사각형[eqn: DEFG]가 있다. 직사각형[eqn: DEFG]의 넓이가 최대일 때, 사각형 [eqn: DBE]에 내접하는 원의 반지름의 길이는 [eqn: (p sqrt {3} -q)]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p``,``q]는 유리수이다.) [4.2점]

➂

[eqn: rm {bar{BM}} =8]

[eqn: rm {bar{AM}} = {bar{BM}} TIMES sqrt {3} =8 sqrt {3}]

[eqn: rm {bar{HM}} = it b=8 sqrt {3} - sqrt {3} a= sqrt {3} LEFT ( 8-a RIGHT )]

직사각형 [eqn: rm DEFG]의 넓이는

[eqn: 2ab][eqn: =2a TIMES sqrt {3} LEFT ( 8-a RIGHT )]
[eqn: =2 sqrt {3} LEFT { - LEFT ( a-4 RIGHT ) ^{2} +16 RIGHT }]

[eqn: a=4`]일 때 최대이고 [eqn: b= sqrt {3} LEFT ( 8-a RIGHT ) =4 sqrt {3}]

삼각형 [eqn: rm BDE]에서

[eqn: rm {bar{DE}} = it b=4 sqrt {3}], [eqn: rm {bar{BE}} =4], [eqn: rm {bar{BD}} =2 {bar{BE}} =8]

삼각형 [eqn: rm BDE]의 넓이

[eqn: {1} over {2} TIMES 4 TIMES 4 sqrt {3} = {1} over {2} TIMES r TIMES LEFT ( 4+4 sqrt {3} +8 RIGHT )]에서

[eqn: r=2 LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT )]이므로 [eqn: p=2], [eqn: q=2]이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

좌표평면 위에 점 [eqn: rmA(-4,```3)], 점 [eqn: rmB(-4,`-3)], 점 [eqn: rmC(8,`-3)], 점 [eqn: rmD(8,```3)]을 네 꼭짓점으로 하는 직사각형 [eqn: rmABCD]가 있다. 네 점 [eqn: rmP,```Q,```R,```S]가 각각 점 [eqn: rmA], 점 [eqn: (0,`-3)], 점 [eqn: (8,```0)], 점 [eqn: rmD]를 출발하여 직사각형 [eqn: rmABCD]의 네 변 위를 시계 반대 방향으로 움직인다. 네 점 [eqn: rmP,```Q,```R,```S]가 매초 [eqn: 2,```2,```1,```2]의 일정한 속력으로 움직일 때, 출발한 지 [eqn: t]초 후에 네 점 [eqn: rmP,```Q,```R,```S]로 이루어진 사각형 [eqn: rmPQRS]의 넓이를 [eqn: S(t)]라 하자. [eqn: 1 le t le 4]에서 [eqn: S(t)]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M-m]의 값은? (단, 점 [eqn: rmO]는 원점이다.) [[eqn: 4.7]점]

②

(i) [eqn: 1 le t <3]일 때

점 [eqn: rm P it`], [eqn: rm Q it`], [eqn: rm R it`], [eqn: rm S it `]는 각각 [eqn: rm barAB `,``` barBC `,``` barCD `,``` barDA] 위에 있다.

[eqn: S(t)][eqn: = □ rm ABCD - LEFT ( trianglePBQ + triangleQCR +triangleRDS + triangleSAP RIGHT )]

[eqn: = 12times6 - 1over2 LEFT { (6-2t)(4+2t)+(8-2t)(3+t)+2t(3-t)+2t(12-2t) RIGHT }]

[eqn: = 6t^2 -18t +48]

[eqn: = 6 LEFT ( t - 3over2 RIGHT )^2 + 69over2]

(ii) [eqn: 3 le t le 4]일 때

점 [eqn: rm P it`], [eqn: rm Q it`], [eqn: rm R it`], [eqn: rm S it `]는 각각 [eqn: rm barBC `,``` barBC `,``` barDA `,``` barDA] 위에 있고,

사각형 [eqn: rmABCD]는 사다리꼴이다.

[eqn: S(t)][eqn: = 1over2 times left{10+(t+3)right} times 6 = 3(t+13)]

따라서 [eqn: M= S(4) = 51 ,~ m= S` LEFT ( 3over2 RIGHT ) = { 69} over { 2}]

[eqn: therefore~ M-m = { 33} over { 2}]

① [eqn: 15]	② [eqn: 33over2]	③ [eqn: 69over2]

④ [eqn: 75over2]	⑤ [eqn: 48]

[eqn: rm {bar{AD}} =4], [eqn: rm {bar{AB}} =itx`` LEFT ( 0<x<4 RIGHT ) `]인 직사각형 [eqn: rmABCD`]가 있다. 그림과 같이 사각형 [eqn: rmABFE`]가 정사각형이 되도록 두 변 [eqn: rmAD`]와 [eqn: rmBC`] 위에 두 점 [eqn: rmE], [eqn: rmF`]를 각각 정하면 두 사각형 [eqn: rmABCD`]와 [eqn: rmFCDE`]는 닮음이다. 또 사각형 [eqn: rmGFCH`]가 정사각형이 되도록 두 변 [eqn: rmEF`]와 [eqn: rmDC`] 위에 두 점 [eqn: rmG], [eqn: rmH`]를 각각 정하고, 사각형 [eqn: rmEGJI`]가 정사각형이 되도록 두 변 [eqn: rmED`]와 [eqn: rmGH`] 위에 두 점 [eqn: rmI], [eqn: rmJ`]를 각각 정한다. 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 4.4]점]

⑤

ㄱ. 두 사각형 [eqn: rmABCD]와 [eqn: rmFCDE]는 닮음이므로 다음이 성립한다.

[eqn: rm {bar{AD}} : {bar{AB}} = {bar{FE}} : {bar{FC}}]

[eqn: 4:x=x:4-x]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {4} over {x} = {x} over {4-x}] (거짓)

ㄴ. [eqn: {4} over {x} = {x} over {4-x}]의 양변에 [eqn: x LEFT ( 4-x RIGHT )]를 곱하면

[eqn: x ^{2} =4 LEFT ( 4-x RIGHT )] [eqn: THEREFORE] [eqn: x ^{2} =16-4x] [eqn: CDOTS] ㉠

㉠의 양변에 [eqn: x]를 곱하여 정리하면

[eqn: x ^{3} =16x-4x ^{2}]이다. 이 식에 ㉠을 한번 다시 대입하면

[eqn: x ^{3} =16x-4 LEFT ( 16-4x RIGHT ) =32x+64]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x ^{3} -32x+64=0]

ㄷ. 사각형 [eqn: rmABCD]와 [eqn: rmFCDE]는 닮음이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다. [eqn: rm {bar{AD}} : {bar{AB}} = {bar{FE}} : {bar{FC}} =4:itx]

따라서 [eqn: rm {bar{FC}} = it {x} over {4} {bar{rm FE}} = it {x ^{2}} over {4}]이다.

그러므로 사각형 [eqn: rmGFCH]의 넓이는 [eqn: {x ^{4}} over {16}]이다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: {1} over {x} = {x} over {4-x}]

ㄴ. [eqn: x ^{3} -32x+64=0]

ㄷ. 사각형 [eqn: rmGFCH`]의 넓이는 [eqn: {x ^{4}} over {16} `]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

그림과 같이 어느 호수에 설치된 분수의 한 물줄기는 포물선 모양으로 나타나고, 이 물줄기의 시작 점 [eqn: RMO]와 끝 점 [eqn: RMP] 사이의 거리는 [eqn: 6][eqn: rm m], 수면으로부터의 최고 높이는 [eqn: {9} over {2}][eqn: rm m]이다. 물줄기의 시작 점 [eqn: RMO]로부터 뒤쪽으로 [eqn: 2][eqn: rm m] 떨어진 점 [eqn: RMA]에서 쏘아 올린 레이저와 물줄기가 접하는 위치를 점 [eqn: RMB]라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 점 [eqn: RMO], [eqn: RMP], [eqn: RMA]는 한 직선 위에 있다.) [총 8.0점]

⑴ [eqn: y=- {1} over {2} x ^{2} +3x], [eqn: y=x+2] ⑵ [eqn: 4]

⑴ [eqn: f(x) = ax(x-6)]이라 하면 [eqn: left( {3`,``9 over 2} right)]를 지나므로

[eqn: 9 over 2 = 3a``․``(-3)]

[eqn: a = - 1 over2]

[eqn: ∴```f(x) = - 1 over 2 x(x-6) = - 1 over 2 x^2 +3x]

[eqn: g(x) = m(x+2)]라 하면

[eqn: f(x) = g(x)]가 중근을 가지므로

[eqn: f(x) -g(x) = - 1 over 2 x^2 +(3-m)x -2m =0]에서

[eqn: D = (3-m)^2 - 4m]

[eqn: = m^2 - 10m +9 =0]

[eqn: (m-1)(m-9) =0]

[eqn: ∴```m = 1]

[eqn: ∴```g(x) = x+2]

⑵ [eqn: - 1 over 2 x^2 +3x = x+2]에서

[eqn: - 1 over 2 x^2 + 2x - 2=0]

[eqn: x^2 - 4x +4 =0]

[eqn: (x-2)^2 =0]

[eqn: ∴```x = 2]

접점은 [eqn: rmB(2`,``4)]

높이는 [eqn: 4]이다.

⑴ 점 [eqn: RMO]를 좌표평면의 원점 [eqn: LEFT ( 0,```0 RIGHT )]이라 하자. 직선 [eqn: RMAP]를 [eqn: x]축, 점 [eqn: RMP]를 [eqn: LEFT ( 6,```0 RIGHT )]이라고 할 때, 물줄기의 포물선과 직선 [eqn: RMAB]를 나타내는 식을 각각 구하고, 그 과정을 서술하시오. [6.0점]

⑵ 점 [eqn: RMB]의 수면으로부터의 높이를 구하고, 그 과정을 서술하시오. [2.0점]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: y=f(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.<보기> 에서 옮은 것만을 있는 대로 고른 것은?[[eqn: 5.8]점]

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄱ,ㄴ]	③ [eqn: ㄱ,ㄷ]
④ [eqn: ㄴ,ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,ㄴ,ㄷ]

③

가)에 의해 이차함수의 대칭축은 [eqn: x=2]이므로 [eqn: f(x)=(x-2) ^{2} +k] ,나)에 의해 [eqn: f(x)+9=(x-2) ^{2} +k+9=0] 에서 [eqn: D=0]이므로

[eqn: k=-9] [eqn: THEREFORE f(x)=(x-2) ^{2} -9]

ㄱ. [eqn: 0 LEQ x leq 3]에서 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x=2]일 때 최솟값 , [eqn: x=0]일 때 최댓값을 갖는다.(참)

ㄴ. 이차방정식 [eqn: f(x+3)=x ^{2} +2x-8=0]의 두 근의 곱은 [eqn: -8]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: f(0)=k]라 할 때, [eqn: k=-5]이므로 [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: (x-2) ^{2} -9=-5x] 에서 두 실근의 합은 [eqn: -1]이다. (참)

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(2-x)=f(2+x)]이다.

(나) [eqn: y=f(x)+9`]의 그래프는 [eqn: x`]축과 접한다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: 0 LEQ x leq 3]에서 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x=2]일 때 최솟값 , [eqn: x=0]일 때 최댓값을 갖는다.

ㄴ. 이차방정식 [eqn: f(x+3)=0]의 두 근의 곱은 [eqn: 16]이다.

ㄷ. [eqn: f(0)=k]라 할 때, [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: f(x)=kx]의 두 실근의 합은 [eqn: -1]이다.

이차항의 계수가 [eqn: 2]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 9 RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: a>0]) [[eqn: 5]점]

②

조건 (가)에 의하여 [eqn: x=-1]에서 대칭이고, 이차항의 계수가 [eqn: 2]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} +4x+c],

조건 (나)에 의하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -14]는 [eqn: x-a]로 나누어 떨어지므로

[eqn: 2x ^{2} +4x+c-14= LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( 2x+2a+4 RIGHT )]이므로

[eqn: c-14=2a ^{2} -4a], [eqn: c=-2a ^{2} -4a+14]이다. [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

조건 (다)에 의하여

[eqn: y=2ax+a-4]와 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 접해야 하므로

[eqn: 2x ^{2} +4x+c=2ax+a-4], [eqn: 2x ^{2} +2 LEFT ( 2-a RIGHT ) x+c-a+4=0]이

중근을 가져야 한다.

따라서 [eqn: LEFT ( {2-a} over {2} RIGHT ) ^{2} = {c-a+4} over {2}]를 만족해야 하므로

정리하면 [eqn: a ^{2} -4a+4=2c-2a+8]이다. [eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉡에 ㉠을 대입하면 [eqn: a ^{2} -4a+4=-4a ^{2} -8a+28-2a+8]

정리하면 [eqn: 5a ^{2} +6a-32=0]이므로

[eqn: LEFT ( 5a+16 RIGHT ) LEFT ( a-2 RIGHT ) =0], [eqn: THEREFORE] [eqn: a=2] [eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]

㉠에 [eqn: a=2]를 대입하면 [eqn: c=-2]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} +4x-2], [eqn: f LEFT ( 9 RIGHT ) =196]

① [eqn: 195]	② [eqn: 196]	③ [eqn: 197]
④ [eqn: 198]	⑤ [eqn: 199]

(가) [eqn: f LEFT ( -1-x RIGHT ) =f LEFT ( x-1 RIGHT )]

(나) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -14`]는 [eqn: x-a`]로 나누어떨어진다.

(다) 직선 [eqn: y=2ax+a-4`]와 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 접한다.

이차함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

④

이차함수[eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c`]로 두고 나조건을 이용하면

[eqn: a(x+2) ^{2} +b(x+2)-ax ^{2} -bx ^{2} =4x`]이고

계수비교법을 이용하여 [eqn: a=1`,``b=-2`]이고

가 조건에 의하여 [eqn: c=1`]이므로

[eqn: f(x)=x ^{2} -2x+1=(x-1) ^{2} ,``f(9)=64`]

나 조건을 이용하면 [eqn: f(1)-f(3)=-4,`f(7)-f(5)=-20`]

구하는 [eqn: f(1)-f(3)+f(5)-f(7)+f(9)=-4-20+64=40`]

3번 문항 수정

(가) [eqn: f(0)=1`]

(나) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x+2)-f(x)=4x`]이다.

[eqn: f(1)-f(3)+f(5)-f(7)+f(9)`]의 값은? [5.2점]

① [eqn: 28`]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 36]
④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 44]

최고차항의 계수가 [eqn: 0]이 아닌 정수인 두 이차함수 [eqn: f(x),g(x)]가 다음 조건을 만족한다. [eqn: g(k)=1]일 때, [eqn: k+g(1)]의 값은? (단, [eqn: k>2)] [5.2점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

③

(가)에서 [eqn: f(k)=3] 이고, [eqn: g(k)=1] 이므로 (다)의 식에 [eqn: x=k] 대입하면, [eqn: f(k)+g(k)=3k^2 -14k+19], [eqn: 3k^2 -14k+15=0] 따라서 [eqn: k=3] 이고, [eqn: f(x)]의 최고차항을 [eqn: a]라 할 때, [eqn: f(x)=a(x-3)^2 +3 ``(a>0)] 이다. 최고차항의 계수가 정수이므로

[eqn: a=1] 일 때

[eqn: f(x)=x^2 -6x+12], [eqn: g(x)=2x^2 -8x+7] 이므로 [eqn: g(x)]은 [eqn: x=2]일 때, 최솟값 [eqn: -1]을 갖는다.

[eqn: a=2] 일 때

[eqn: f(x)=2x^2 -12x+21], [eqn: g(x)=x^2 -2x-2] 이므로 [eqn: g(x)]은 [eqn: x=1] 일 때, 최솟값 [eqn: -3] 을 가지므로 성립하지 않는다.

따라서 [eqn: g(1)=1], [eqn: k+g(1)=4] 이다.

(가) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=k]에서 최솟값 [eqn: 3]을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]의 최솟값은 [eqn: -1]이다.

(다) 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)+g(x)-2=3x^2 -14x+17]

최고차항의 계수가 음수 [eqn: k]인 이차함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다. 물음에 답하시오. [총 [eqn: 8.0]점]

(1) ㈎에 의해 이차함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: g(x)=(x-n-2)(x-n-3)]이다.
(2) [eqn: n=4,~k=- {1} over {2}] (3) [eqn: -2]

(1) ㈎에 의해 이차함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: g(x)=(x-n-2)(x-n-3)]이다.

(2) [eqn: h(x)][eqn: =f(x)-g(x)]
[eqn: =(x-n-2)left{k(x-n)-(x-n-3)right}]
[eqn: =(x-n-2)left{(k-1)x-(kn-n-3)right}]

㈏에 의해 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: -h(x) ge0]이므로 [eqn: -h(x)]는 완전제곱식이다.

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( x-n-2 RIGHT ) ^{2} `]

[eqn: kn-n-3 = (k-1)(n+2)]

[eqn: k= - 1over2 ,~ h(x) = - 3over2 (x-n-2)^2]

㈐에서 [eqn: h(0)=-54]

[eqn: (n+2)^2 =36,~ n=4]

(3) [eqn: f(x) = - 1over2 (x-4)(x-6)]
[eqn: g(x) = (x-6)(x-7)]

[eqn: f(8)+g(8) = -4+2=-2]

<조 건>

㈎ [eqn: f(n)=f(n+2)=g(n+2)=g(n+3)=0] (단, [eqn: n]은 자연수)

㈏ 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) le g(x)]이다.

㈐ [eqn: f(0)-g(0)=-54]

(1) 다음과 같이 [eqn: g(x)]를 나타내시오. [[eqn: 1.0]점]

㈎에 의해, 이차함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: f(x)=k(x-n)(x-n-2)]이다.

(단, [eqn: k<0])

(2) 위 (1)의 결과와 [eqn: h(x)=f(x)-g(x)] 임을 활용하여 [eqn: n]과 [eqn: k]의 값을 각각 구하고 그 과정을 서술하시오. [[eqn: 5.0]점]

(3) [eqn: f(8)+g(8)]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [[eqn: 2.0]점]

이차방정식과 이차함수(step3)

6.

[eqn: k GEQ 0`]인 두 실수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: k LEQ x LEQ k+3`]에서 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4kx+10k`]의 최댓값과 최솟값의 합을 [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) `]라 하자. [eqn: k`]에 대한 방정식 [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) =it-2k+a`]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4`]가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 범위는 [eqn: p<a<q`]이다. [eqn: 8p-7q`]의 값은?

⑤

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} -4kx+10k]
[eqn: = LEFT ( x ^{2} -4kx+4k ^{2} RIGHT ) -4k ^{2} +10k]
[eqn: = LEFT ( x-2k RIGHT ) ^{2} -4k ^{2} +10k]

따라서 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의 축은 [eqn: x=2k`]이다.

➊ [eqn: k LEQ 2k LEQ k+3`,] 즉 [eqn: 0 LEQ k LEQ 3`]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠일 때,

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최댓값과 최솟값은 다음 두 가지 경우로 나누어 구할

수 있다.

[eqn: (]ⅰ[eqn: )] [eqn: 2k-k LEQ LEFT ( k+3 RIGHT ) -2k`]인 경우
[eqn: k LEQ it -k+3`]에서 [eqn: 2k LEQ 3]
[eqn: THEREFORE ~k LEQ {3} over {2}]
그런데 ㉠에 의해 [eqn: 0 LEQ k LEQ {3} over {2}]
이때의 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의 개형은 그림과 같으므로 최댓값은
[eqn: f LEFT ( k+3 RIGHT ) = LEFT ( k+3 RIGHT ) ^{2} -4k LEFT ( k+3 RIGHT ) +10k= it -3k ^{2} +4k+9`]이다.
따라서 최솟값은 [eqn: f LEFT ( 2k RIGHT ) =it-4k ^{2} +10k`]이므로 최댓값과 최솟값의
합 [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) `]는
[eqn: g LEFT ( k RIGHT ) =f LEFT ( k+3 RIGHT ) +f LEFT ( 2k RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( -3k ^{2} +4k+9 RIGHT ) + LEFT ( -4k ^{2} +10k RIGHT )]
[eqn: =it-7k ^{2} +14k+9]

(ⅱ) [eqn: 2k-k> LEFT ( k+3 RIGHT ) -2k`]인 경우
[eqn: k>it-k+3`]에서 [eqn: 2k>3]
[eqn: THEREFORE ~k> {3} over {2}]
그런데 ㉠에 의하여 [eqn: {3} over {2} <k LEQ 3]
이때의 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의 개형은 그림과 같으므로 최댓값은
[eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =k ^{2} -4k TIMES k+10k= it -3k ^{2} +10k`]이다.
따라서 최솟값은 [eqn: f LEFT ( 2k RIGHT ) =it-4k ^{2} +10k`]이므로 최댓값과 최솟값의
합 [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) `]는
[eqn: g LEFT ( k RIGHT ) =f LEFT ( k RIGHT ) +f LEFT ( 2k RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( -3k ^{2} +10k RIGHT ) + LEFT ( -4k ^{2} +10k RIGHT )]
[eqn: = it -7k ^{2} +20k]

➋ [eqn: 2k>k+3`,k] 즉 [eqn: k>3`]일 때,

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의 개형은

그림과 같으므로 최댓값은

[eqn: f LEFT ( k RIGHT )][eqn: =k ^{2} -4k TIMES k+10k]
[eqn: = it -3k ^{2} +10k]

이고 최솟값은

[eqn: f LEFT ( k+3 RIGHT )][eqn: = LEFT ( k+3 RIGHT ) ^{2} -4k LEFT ( k+3 RIGHT ) +10k]
[eqn: = it -3k ^{2} +4k+9`]이다.

따라서 최댓값과 최솟값의 합 [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) `]는

[eqn: g LEFT ( k RIGHT )][eqn: =f LEFT ( k RIGHT ) +f LEFT ( k+3 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( -3k ^{2} +10k RIGHT ) + LEFT ( -3k ^{2} +4k+9 RIGHT )]
[eqn: = it -6k ^{2} +14k+9]

➊, ➋에 의하여

[eqn: g LEFT ( k RIGHT ) = {cases{`-7k ^{2} +14k+9~ LEFT ( 0 LEQ k LEQ {3} over {2} RIGHT ) _{it}_{it}#`-7k ^{2} +20k~~~~ LEFT ( {3} over {2} <k LEQ 3 RIGHT ) _{it}_{it}#`-6k ^{2} +14k+9~ LEFT ( k>3 RIGHT )}}]

[eqn: = {cases{`-7 LEFT ( k-1 RIGHT ) ^{2} +16~~~~~ LEFT ( 0 LEQ k LEQ {3} over {2} RIGHT ) _{it _{it}}#`-7 LEFT ( k- {10} over {7} RIGHT ) ^{2} + {100} over {7} ~ LEFT ( {3} over {2} <k LEQ 3 RIGHT ) _{it _{it}}#`-6 LEFT ( k- {7} over {6} RIGHT ) ^{2} + {103} over {6} ~~ LEFT ( k>3 RIGHT )}}]

이고, [eqn: g LEFT ( {3} over {2} RIGHT )][eqn: = it -7 TIMES LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} +14 TIMES {3} over {2} +9]
[eqn: = it - {63} over {4} +21+9= {57} over {4}]

이므로 함수 [eqn: y=g LEFT ( k RIGHT ) `]그래프는 다음 그림과 같다.

이때, 방정식 [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) =it-2k+a`]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4`]라는 것은

함수 [eqn: y=g LEFT ( k RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y=it-2k+a`]가 만나는 서로 다른 점의 개수가 [eqn: 4`]라는 것을 의미한다.

즉, 기울기가 일정한 직선 [eqn: y=it-2k+a`]을 평행이동시키면서 함수

[eqn: y=g LEFT ( k RIGHT ) `]의 그래프와 만나는 점의 개수가 [eqn: 4`]가 되는 경우를 찾아보면

다음 그림과 같이 직선 [eqn: y=it-2k+a`]가 점 [eqn: LEFT ( {3} over {2} `,~ {57} over {4} RIGHT ) `]을 지나는 경우와 직선 [eqn: y=it-2k+a`]가 [eqn: y=g LEFT ( k RIGHT ) `]의 그래프에 접하는 경우 사이에 직선이 존재해야 한다는 것을 알 수 있다.

직선 [eqn: y=it-2k+a`]가 점 [eqn: LEFT ( {3} over {2} `,~ {57} over {4} RIGHT ) `]을 지날 때

[eqn: {57} over {4} =it-2 TIMES {3} over {2} +a`]에서 [eqn: {57} over {4} =it-3+a] [eqn: THEREFORE ~a= {69} over {4}]	[eqn: CDOTS CDOTS `]➊

또한, [eqn: 0 LEQ k LEQ {3} over {2} `]에서 함수 [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) =it-7k ^{2} +14k+9`]의 그래프와 직선

[eqn: y=it-2k+a`]가 접할 때, 이차방정식 [eqn: -7k ^{2} +14k+9=it-2k+a`,]

즉 [eqn: 7k ^{2} -16k+a-9=0`]의 판별식을 [eqn: D _{1} `]하면 이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로

[eqn: {D _{1}} over {4} = LEFT ( -8 RIGHT ) ^{2} -7 LEFT ( a-9 RIGHT )]

[eqn: =it-7a+127=0]

에서 [eqn: a= {127} over {7}]	[eqn: CDOTS CDOTS `]➋

끝으로, [eqn: {3} over {2} <k LEQ 3`]에서 함수 [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) =it-7k ^{2} +20k`]의 그래프와 직선

[eqn: y=it-2k+a`]가 접할 때, 이차방정식 [eqn: -7k ^{2} +20k=it-2k+a`,]

즉 [eqn: 7k ^{2} -22k+a=0`]의 판별식을 [eqn: D _{2} `]라 하면 이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로

[eqn: {D _{2}} over {4} = LEFT ( -11 RIGHT ) ^{2} -7a=121-7a=0]

에서 [eqn: a= {121} over {7}]	[eqn: CDOTS CDOTS `]➌

이때, [eqn: {121} over {7} < {127} over {7} `]이므로 직선 [eqn: y=it-2k+a`]와 함수 [eqn: y=g LEFT ( k RIGHT ) `]의 그래프와 만나는 점의 개수가 [eqn: 4`]가 되는 경우는 다음 그림과 같다.

따라서 방정식 [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) =it-2k+a`]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4`]가 되도록 하는 실수 [eqn: a`]의 값의 범위는 [eqn: {69} over {4} <a< {121} over {7} `]이므로

[eqn: p= {69} over {4} `,~q= {121} over {7}]

[eqn: THEREFORE ~8p-7q=8 TIMES {69} over {4} -7 TIMES {121} over {7} =138-121=17]

[eqn: (]단, [eqn: p`,~q`]는 상수이다.[eqn: )] [[eqn: 4.8`]점]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]
④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

이차함수 [eqn: f(x)=-x^2 +ax+b]가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a,b]는 상수) [4.4점]

⑤

주어진 조건에 의해 축이 [eqn: x=-1]이며 꼭지점이 [eqn: (-1,5)]인 이차함수이므로 [eqn: f(x)=-(x+1) ^{2} +5=-x ^{2} -2x+4]이다.
[eqn: ㄱ.] [eqn: a=-2],[eqn: b=4]
[eqn: ㄴ.``][eqn: 1 LEQ x LEQ 2]에서 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: f(1)=1]
[eqn: ㄷ.``][eqn: LEFT | f(x) RIGHT |]와 [eqn: y=x+k]가 서로 다른 네 점에서 만나는 경우는 일차함수가 [eqn: f(x)]가 [eqn: x]축과 만나는 [eqn: (-1- sqrt {5} ,0)]을 지날때와 [eqn: f(x)]에 접할 때 사이이므로 [eqn: k]범위는 [eqn: sqrt {5} +1<k< {25} over {4}]이다.
만족하는 정수 [eqn: k=4,5,6]

(가) [eqn: f(-4)=f(2)]

(나) 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 5]이다.

[보 기]

(ㄱ) [eqn: a+b=2]이다.

(ㄴ) [eqn: 1LEQx LEQ2]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 1]이다.
(ㄷ) 함수 [eqn: LEFT | f(x)RIGHT |]와 직선 [eqn: y=x+k]가 서로 다른 네 점에서 만나도록 하는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 15]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ,ㄴ

④ ㄴ,ㄷ	⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

[eqn: t GEQ 0]인 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: t LEQ x LEQ t+2] 에서 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4tx+3t ^{2} +8t]의 최댓값과 최솟값의 차를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자. [eqn: t]에 대한 함수 [eqn: y=g LEFT ( t RIGHT )]와 [eqn: y=2t+m]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: m]값의 범위를 구하는 과정을 아래의 단계에 따라 논술하시오.

(1) [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 꼭짓점의 좌표를 구하시오. [2점]

(1) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4tx+3t ^{2} +8t= LEFT ( x-2t RIGHT ) ^{2} -t ^{2} +8t] 이므로 꼭짓점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2t,~-t ^{2} +8t RIGHT )] 이다.
(2) [eqn: x]의 범위가 [eqn: t LEQ x LEQ t+2] 이므로 꼭짓점의 [eqn: x]좌표인 [eqn: 2t]가 범위의 중점에서 왼쪽과 오른쪽에 위치할 때와 [eqn: 2t GEQ t+2]보다 클 때로 나눠서 생각하면 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는
ⅰ) [eqn: 0 LEQ t<1] 일 때
[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( t+2 RIGHT ) -f LEFT ( 2t RIGHT ) = LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2}]
ⅱ) [eqn: 1 LEQ t<2] 일 때
[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( t RIGHT ) -f LEFT ( 2t RIGHT ) =t ^{2}]
ⅲ) [eqn: t GEQ 2] 일 때
[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( t RIGHT ) -f LEFT ( t+2 RIGHT ) =4t-4]
(3) [eqn: y=2t+m]이 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]와 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 [eqn: m]의 값은 [eqn: LEFT ( 0,~4 RIGHT )]를 지날 때 최댓값을 갖고, [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =t ^{2}]과 접할 때 보다 커야 하므로
[eqn: t ^{2} =2t+m]
⇒ [eqn: t ^{2} -2t-m=0,~D/4`=1+m] 이므로
[eqn: THEREFORE `-1<m LEQ 4] 이다.

(2) [eqn: t]값의 범위에 따른 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]를 구하는 과정을 논술하시오. [6점]

두 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2x+2], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =-x ^{2} +6`]에 대하여 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]를
[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{f LEFT ( x RIGHT ) ````&LEFT ( x LEQ -1````또는````x GEQ 2 RIGHT )#g LEFT ( x RIGHT )&LEFT ( -1<x<2 RIGHT )}}]
이라 하자. 직선 [eqn: y=mx+7`]과 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 서로 다른
세 점에서 만나도록 하는 모든 실수 [eqn: m`]의 값의 합은? [[eqn: 5]점]

① [eqn: - {9} over {2}]	② [eqn: - {7} over {2}]	③ [eqn: - {5} over {2}]
④ [eqn: - {3} over {2}]	⑤ [eqn: - {1} over {2}]

①

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y=mx+7]이 서로 다른 세점에서 만나는 경우는 다음과 같다.

[eqn: i)] [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]와 접하는 경우

[eqn: mx+7=-x ^{2} +6], [eqn: x ^{2} +mx+1=0]이므로

접해야 하므로 [eqn: m=-2] [eqn: LEFT ( m<0 RIGHT )]

([eqn: m=2]인 경우 교점이 두 개다.)

[eqn: ii)] [eqn: y=mx+7]이 [eqn: LEFT ( 2,``2 RIGHT )]를 지나는 경우

[eqn: y=mx+7]에 [eqn: LEFT ( 2,``2 RIGHT )]를 지나야 하므로

[eqn: 2=mx+7], [eqn: m=- {5} over {2}]

따라서 모든 실수 [eqn: m]의 값의 합은 [eqn: -2- {5} over {2} =- {9} over {2}]

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: k LEQ x LEQ k+2]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값을 [eqn: g LEFT ( k RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( k RIGHT )]의 최댓값이 [eqn: 8]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [5.3점]

③

㈏: [eqn: y = f(x)]의 꼭짓점이 [eqn: x = 3]이고, 최고차항의 계수는 음수

㈎: 최솟값은 [eqn: f(5) = 0]

[eqn: f(x) = a(x-3)^2 +b]라 하면

[eqn: f(5) = 4a +b =0]

[eqn: ∴```b = -4a]

[eqn: f(x) = a(x-3)^2 -4a ```(a `< 0)]

[eqn: g(k)]가 실수전체에서 정의되므로 [eqn: g(k)]의 최댓값은 [eqn: f(x)]의 최댓값과 같다.

[eqn: -4a = 8]

[eqn: ∴```a = -2]

[eqn: f(x) = -2(x-3)^2 +8]

ㄱ. [eqn: f(1) = -2``․``4+8 = 0]

ㄴ. [eqn: f(x)-7 =0]은

[eqn: -2(x-3)^2 +1 =0]

실근을 가지고 두 근의 합은 [eqn: 2 × 3 = 6]

ㄷ. [eqn: f(x) - 4(x-1) = -2x^2 +8x - 6 =0]에서

[eqn: -2 (x-1)(x-3)=0]

두 점에서 만난다.

(가) [eqn: 2 LEQ x LEQ 5]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: 0]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) LEQ f LEFT ( 3 RIGHT )]이다.

ㄱ. [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0]

ㄴ. 이차방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -7=0]의 서로 다른 두 실근의 합은 [eqn: 6]이다.

ㄷ. 좌표평면에서 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y=4 LEFT ( x-1 RIGHT )]은 한 점에서 접한다.

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄷ]	③ [eqn: ㄱ,```ㄴ]
④ [eqn: ㄴ,```ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,```ㄴ,```ㄷ]

[eqn: 0 LEQ x LEQ 1`]에서 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4x+a ^{2} +1]의 최솟값이 [eqn: -1]일 때, [eqn: 1 LEQ x LEQ 4`]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값을 구하고, 풀이 과정과 답을 자세히 논술하시오. (단, [eqn: a]는 실수이다.) [6.0점]

[eqn: 2]

[eqn: f(x)=x ^{2} -4x+a ^{2} +1=(x-2) ^{2} +a ^{2} -3]

[eqn: 0 LEQ x LEQ 1]에서 [eqn: x=1]일 때 최솟값 [eqn: a ^{2} -2=-1,`````a ^{2} =1]

[eqn: 1 LEQ x LEQ 4]에서 [eqn: x=4]일 때 최댓값 [eqn: a ^{2} +1=2]

[eqn: a LEQ x LEQ a+1]에서 이차함수
[eqn: f(x)=x ^{2} -4x+a+5]
의 최솟값이 [eqn: 23]일 때, 실수 [eqn: a]의 값을 모두 구하고, 그 이유를 논하시오. [7.0점]

[eqn: {1- sqrt {85}} over {2}], [eqn: 6]

[eqn: a<1]일 때, [eqn: f(a+1)=(a+1) ^{2} -4(a+1)+a+5=a ^{2} -a+2=23]에서 [eqn: a ^{2} -a-21=0]에서 조건에 맞는 [eqn: a= {1- sqrt {85}} over {2}]
[eqn: 1 LEQ a LEQ 2]일 때, [eqn: f(2)=4-8+a+5=a+1=23]에서 만족하는 [eqn: a]는 존재하지 않는다.
[eqn: a>2]일 때, [eqn: f(a)=a ^{2} -4a+a+5=a ^{2} -3a+5=23]에서 만족하는 [eqn: a=6]

이차함수

➃

[eqn: x=p]와 [eqn: x=p+2]일 때 함숫값이 같을 때는

[eqn: x<0`]에서 [eqn: p ^{2} -5=-3 LEFT ( p+2 RIGHT ) ^{2} +15]에서 [eqn: p= {-3- sqrt {17}} over {2}]

[eqn: x>0`]에서 [eqn: -3p ^{2} +15= LEFT ( p+2 RIGHT ) ^{2} -5]에서 [eqn: p= {-1+ sqrt {17}} over {2}]

이다.

즉,

[eqn: g LEFT ( p RIGHT ) = {cases{pile{eqalign{p ^{2} -5# }#-3 LEFT ( p+2 RIGHT ) ^{2} +15}&pile{LEFT ( p LEQ {-3- sqrt {17}} over {2} RIGHT )#~~~~ LEFT ( {-3- sqrt {17}} over {2} <p LEQ -2 RIGHT )}#pile{pile{eqalign{````````````````15# # -3p ^{2} +15}#}#LEFT ( p+2 RIGHT ) ^{2} -5}&pile{pile{LEFT ( -2<p LEQ 0 RIGHT ) ~~~#~~~~ LEFT ( 0<p LEQ {-1+ sqrt {17}} over {2} RIGHT )}#LEFT ( {-1+ sqrt {17}} over {2} <p RIGHT )}}}]

따라서 [eqn: g LEFT ( p RIGHT )]의 최솟값은

[eqn: f LEFT ( {-3- sqrt {17}} over {2} RIGHT ) = LEFT ( {-3- sqrt {17}} over {2} RIGHT ) ^{2} -5= {3+3 sqrt {17}} over {2}]

[eqn: f(x)= {cases{-3x ^{2} +15~~(- sqrt {5} LEQ x LEQ sqrt {5} )#~~~x ^{2} -5~~```(x<`- sqrt {5} ,~x> sqrt {5} )}}]

와 실수 [eqn: p]에 대하여 [eqn: p le x le p+2]에서 이차함수 [eqn: f(x)]의 최댓값을 [eqn: g(p)]라 하자. [eqn: g(p)]의 최솟값이 [eqn: a+ 3root b} over2]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.) [5.6점]

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

그림과 같이 이차함수 [eqn: y= {1} over {4} x ^{2}]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+k]가 서로 다른 두 점 [eqn: RMA], [eqn: RMB]에서 만난다. 두 직선 [eqn: RMOA], [eqn: RMOB]의 기울기의 곱이 [eqn: - {3} over {4}]일 때, 삼각형 [eqn: RMAOB]의 넓이는? (단, [eqn: k]는 실수이고, [eqn: RMO]는 원점이며, 점 [eqn: RMA]의 [eqn: x]좌표는 음수이다.) [4.9점]

②

[eqn: alpha `,``beta]는 [eqn: 1 over 4 x^2 - x - k =0]의 두 근

[eqn: alpha +beta = 4`,``alpha beta = - 4k]

[eqn: RMOA], [eqn: RMOB]의 기울기의 곱이 [eqn: - {3} over {4}]이므로

[eqn: alpha over 4 × beta over 4 = - 3 over 4]

[eqn: alpha beta = -12]

[eqn: ∴```k = 3]

[eqn: 1 over 4 x^2 - x - 3=0]에서

[eqn: x^2 - 4x - 12 =0]

[eqn: (x+2)(x-6)=0]

[eqn: x = -2`,``6]

[eqn: rmA(-2`,``1)`,``B(6`,``9)]

[eqn: rm△AOB = 1 over 2 left|{6``․``1 - 9``․``(-2)}right| = 12]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]
④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

최고차항의 계수가[eqn: -2]인 이차함수 [eqn: f(x)]의 그래프가 두 점[eqn: rm A( it `-1,~0)],[eqn: rm B( it `a,~0)]을 지난다. 이 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 꼭지점을 [eqn: rm P],점 [eqn: rmB]를 지나고 직선[eqn: rm AP]에 평행한 직선이 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 만나는 점 중 [eqn: rmB]가 아닌 점을 [eqn: rm Q], 점[eqn: rm Q]에서 [eqn: x]축에네린 수선의 발을 [eqn: rm R]라 하자. 삼각형[eqn: rm AQR]의 넓이가 [eqn: 24]이고, 직선 [eqn: rm AP]의 기울기를 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: a+m]의 값을 구하고 풀이과정을 서술하시오.(단, [eqn: a>-1] 이다.)[[eqn: 9.0]점]

오른쪽 그림과 같이 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 두 점 [eqn: A(2,0)`,`B(a,0)]을 지난다. 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 꼭짓점을 [eqn: P], 점 [eqn: A]를 지나고 기울기가 [eqn: 2m]인 직선 [eqn: PB]에 평행한 직선이 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 만나는 점 중 [eqn: A]가 아닌 점을 [eqn: Q], 점[eqn: Q]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: R]이라 하자. 일차함수 [eqn: y=2m(x-2)]의 그래프가 두 점 [eqn: A,Q]를 지나는 직선이고, 삼각형 [eqn: BRQ]의 넓이가 [eqn: 96]일 떄, [eqn: a+m]의 값은?

➄

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-b RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( it a,~0 RIGHT )], [eqn: rm P LEFT ( it {2+a} over {2} ,~- LEFT ( {a-2} over {2} RIGHT ) ^{2} RIGHT )]

[eqn: rm {bar{PB}}]의 기울기 [eqn: {0+ LEFT ( {a-2} over {2} RIGHT ) ^{2}} over {a- {2+a} over {2}} = {a-2} over {2} =2m], [eqn: a=4m+2]

점 [eqn: rm R]의 좌표를 구하면

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT ) =2m LEFT ( x-2 RIGHT )], [eqn: x=2], [eqn: a+2m]에서

[eqn: rm R LEFT ( it a+2m,~0 RIGHT ) = rm R it LEFT ( 6m+2,````0 RIGHT )]이므로

[eqn: rm Q LEFT ( it 6m+2,~12m ^{2} RIGHT )]이다.

[eqn: rm {bar{QR}} =12 it m ^{2}], [eqn: rm {bar{BR}} = it a+2m-a=2m]

삼각형 [eqn: rm BRQ]의넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm BR}} TIMES {bar{QR}}][eqn: = {1} over {2} TIMES 2m TIMES 12m ^{2} =12m ^{3} =96],

[eqn: THEREFORE] [eqn: m=2], [eqn: a=10]

(단, [eqn: a>2]이고, [eqn: m]은 실수이다.) [4.7점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

그림과 같이 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 두 점 [eqn: rmA(2,~0),~B( ita,~0)]을 지나고, 점 [eqn: rmP]는 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 꼭짓점이다. 이차함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=mx+n`]이 서로 다른 두 점 [eqn: rmP]와 [eqn: rmB]에서 만나고, 이차함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y=mx+k`]가 서로 다른 두 점 [eqn: rmA]와 [eqn: rmQ]에서 만난다. 점 [eqn: rmQ]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmR]이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: a>2`]이고 [eqn: a,~k,~m,~n`]은 실수이다.) [5.1점]

③

[eqn: f(x)=(x-2)(x-a)]

[eqn: =x^2 -(a+2)x +2a]

[eqn: = left(x- a+2 over2 right)^2 +2a- (a+2)^2 over4]

[eqn: = left(x- a+2 over2 right)^2 + {-a^2 +4a-4} over4]

[eqn: rmP left( it a+2 over2 ,~ {-a^2 +4a-4} over4 right)]

ㄱ. [eqn: f(-1)= 1+a+2+2a=3a+3] (참)

ㄴ. 두 점 [eqn: rmB,~P]를 지나는 직선의 기울기가 [eqn: m`]이므로

[eqn: m= {a^2 -4a+4} over4 over{a- a+2 over2} = { (a-2)^2 over4} over{a-2 over2} = a-2 over2]

[eqn: a=2m+2]	[eqn: cdots①]

두 점 [eqn: rmA,~Q]를 지나는 직선의 방정식은 [eqn: y=m(x-2)]

[eqn: (x-2)(x-a)=m(x-2)]

[eqn: (x-2)(x-a-m)=0]

[eqn: rmQ ( it m+a ,~m(m+a-2) right)]

[eqn: ①]을 대입하면 [eqn: rm barQR = it m(m+a-2)=3m^2] (거짓)

ㄷ. [eqn: rmbarAB = it a-2=2m`]이므로

[eqn: rmtriangleABQ = it 1 over2 times2m times3m^2 =3m^3 = 81 over8]

[eqn: m^3 = 27 over8]

[eqn: therefore] [eqn: m= 3 over2], [eqn: a=2m+2=5]

[eqn: therefore] [eqn: 2am = 2 times5 times 3 over2 =15] (참)

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[보 기]

ㄱ. [eqn: f(-1)=3a+3]

ㄴ. [eqn: rmbarQR = it2m^2]

ㄷ. 삼각형 [eqn: rmABQ]의 넓이가 [eqn: 81 over8]일 때, [eqn: 2am=15`]이다.

좌표평면에서 두 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} x ^{2}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =-x ^{2} +8x- {51} over {4}]의 그래프와 기울기가 [eqn: m]이고 [eqn: y]절편이 [eqn: k]인 직선 [eqn: l]이 다음 조건을 만족한다.
실수 [eqn: k]에 대해 직선 [eqn: l]이 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 또는 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]와 만나는 서로 다른 두 점의 [eqn: x]좌표의 합을 [eqn: S LEFT ( k RIGHT )]라 할 때, [eqn: S LEFT ( k RIGHT )]는 서로 다른 [eqn: 3]개의 실수 [eqn: S _{1}], [eqn: S _{2}], [eqn: S _{3}] 중 하나의 값을 갖는다. 이 때, [eqn: S _{1} +S _{2} +S _{3}]의 값은? [5.5점]

⑤

주어진 조건을 만족시키려면 두 곡선은 기울기 [eqn: m]인 공통접선을 가져야한다

ⅰ) [eqn: 1 over 2 x^2 = mx +k]에서

[eqn: x^2 - 2mx -2k =0]

[eqn: D over 4 = m^2 +2k =0] [eqn: ~~&cdotscdots①]

ⅱ) [eqn: -x^2 +8x - 51 over 4 = mx +k]에서

[eqn: x^2 +(m-8)x +k + 51 over 4 =0]

[eqn: D = (m-8)^2 - 4k - 51 =0] [eqn: ~~&cdotscdots②]

①, ②에서 [eqn: k]를 소거하면

[eqn: (m-8)^2 +2m^2 - 51 =0]

[eqn: 3m^2 - 16m +13=0]

[eqn: (m-1)(3m-13)=0]

[eqn: ∴```m = 1]

①에 대입하여 풀면

[eqn: k = - 1 over 2]

두 그래프와 모두 접하는 공통접선은 [eqn: y=x- {1} over {2}]

a) [eqn: {1} over {2} x ^{2} =x+k]의 두 근의 합은

[eqn: {1} over {2} x ^{2} -x-k=0]에서

[eqn: alpha +beta = 2]

b) [eqn: -x ^{2} +8x- {51} over {4} =x+k]의 두 근의 합은

[eqn: x ^{2} -7x+ {51} over {4} +k=0]에서

[eqn: gamma + delta = 7]

c) 공통접선이 각 곡선과 만나는 교점은 [eqn: 1]과 [eqn: {7} over {2}]

[eqn: 1+ {7} over {2} = {9} over {2}]

[eqn: S_1 +S_2 +S_3 = 2+7 + 9 over 2 = 27 over 2]

(가) [eqn: m]은 정수이다.

(나) [eqn: k]의 값에 관계없이 직선 [eqn: l]이 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 또는 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]와 만나는 서로 다른 점의 개수는 항상 [eqn: 2]이다.

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: {21} over {2}]
④ [eqn: {23} over {2}]	⑤ [eqn: {27} over {2}]

이차함수 [eqn: f(x)=a LEFT ( x-p RIGHT ) ^{2} +q]는 다음 조건을 만족시킨다.

④

[eqn: y=a LEFT ( x-p RIGHT ) ^{2} +q]에서 꼭짓점은 [eqn: LEFT ( p,~q RIGHT )]

[eqn: y=3x ^{2} -12x+17=3 LEFT ( x ^{2} -4x RIGHT ) +17=3 LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +5]과 꼭짓점이

같으므로 [eqn: LEFT ( 2,~5 RIGHT ) = LEFT ( p,~q RIGHT )]

[eqn: y=2x+1]에 [eqn: B LEFT ( alpha ,~ beta RIGHT )]가 존재하므로 [eqn: beta =2 alpha +1]

[eqn: LEFT ( alpha -p RIGHT ) ^{2} + LEFT ( beta -q RIGHT ) ^{2} =20]에서 [eqn: LEFT ( alpha -2 RIGHT ) ^{2} + LEFT { LEFT ( 2 alpha +1 RIGHT ) -5 RIGHT } ^{2} =20]

[eqn: LEFT ( alpha -2 RIGHT ) ^{2} + LEFT { 2 LEFT ( alpha -2 RIGHT ) RIGHT } ^{2} =20] [eqn: 5 LEFT ( alpha -2 RIGHT ) ^{2} =20] [eqn: LEFT ( alpha -2 RIGHT ) ^{2} =4]

[eqn: alpha -2= +- 2] [eqn: alpha =0]또는 [eqn: alpha =4] [eqn: B LEFT ( alpha ,~ beta RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( 0,~1 RIGHT )] 또는 [eqn: LEFT ( 4,~9 RIGHT )]

[eqn: y=a LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +5]에서 [eqn: a<0]이므로

[eqn: LEFT ( 0,~1 RIGHT )]을 대입하면 [eqn: 1=4a+5]이므로 [eqn: a= it -1]성립

[eqn: LEFT ( 4,~9 RIGHT )]를 대입하면 [eqn: 9=4a+5]이므로 [eqn: a=1]로 모순

따라서 [eqn: a= it -1,~p=2,~q=5,~ beta =1]이므로 [eqn: a+p+q+ beta =7]

(가) 이차함수 [eqn: y=3x ^{2} -12x+17]과 꼭짓점이 같다.

(나) 직선 [eqn: y=2x+1]과 이차함수 [eqn: y=a LEFT ( x-p RIGHT ) ^{2} +q]의 그래프는

서로 다른 두 점 [eqn: A LEFT ( p,~q RIGHT )]와 [eqn: B LEFT ( alpha ,~ beta RIGHT )]에서 만난다.

(다) [eqn: LEFT ( alpha -p RIGHT ) ^{2} + LEFT ( beta -q RIGHT ) ^{2} =20]이다.

이때, [eqn: a +p+q+ beta]의 값은? (단, [eqn: a,~p,~q,~ alpha ,~ beta]는 상수이고, [eqn: a<0]이다.) [[eqn: 4.1]점]

① [eqn: -19]	② [eqn: -7]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 19]

최고차항의 계수가 [eqn: a`]인 이차식 [eqn: f(x)`]가 모든 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: (x+3)f(x)=(x+1)f(x+1)`]을 만족한다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a !=0]) [5.0점]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

③

[eqn: (x+3)f(x)=(x+1)f(x+1)`]

[eqn: x=-1`]을 대입하면 [eqn: 2f(-1)=0]

[eqn: therefore] [eqn: f(-1)=0]

[eqn: x=-3`]을 대입하면 [eqn: -2f(-2)=0]

[eqn: therefore] [eqn: f(-2)=0]

[eqn: therefore] [eqn: f(x)=a(x+1)(x+2)]

ㄱ. [eqn: f(-3)=a times(-2) times(-1)=2a]

[eqn: f(0)=a times1 times2 =2a] (참)

ㄴ. [eqn: a=1`]일 때

[eqn: f(x)=(x+1)(x+2)]

[eqn: f(x+2)=(x+3)(x+4)]

[eqn: f(x)f(x+2)-3 =(x^2 +5x+4)(x^2 +5x+6)-3]

[eqn: x^2 +5x=A`]라 하면

[eqn: f(x)f(x+2)-3 =(A+4)(A+6)-3]

[eqn: =A^2 +10A+21]

[eqn: =(A+3)(A+7)]

[eqn: =(x^2 +5x+3)(x^2 +5x+7)]

[eqn: therefore] [eqn: p=5,~q=7]

[eqn: therefore] [eqn: p+q=12] (참)

ㄷ. [eqn: f(-3)+|`f(0)`|=2a+|`2a`|=0`]이므로 [eqn: a<0]

[eqn: f(x)=a(x+1)(x+2)= a left( x+ 3 over2 right)^2 - 1 over4 a]

[eqn: f LEFT ( - {3} over {4} RIGHT ) =a TIMES {1} over {4} TIMES {5} over {4} = {5} over {16} a]

[eqn: |`f(k)`| = - 5 over16 a]

[eqn: x= - 3 over2]에 대칭이고 [eqn: k!= - 3 over4]이므로 [eqn: k= - 9 over4] [eqn: 1`]개 존재 (거짓)

[보 기]

ㄱ. [eqn: f(-3)=f(0)]

ㄴ. [eqn: a=1`]일 때,
[eqn: f(x)f(x+2)-3=(x^2 +5x+3)(x^2 +px+q)`]이면
[eqn: p+q=12`]이다.

ㄷ. [eqn: f(-3)+|`f(0)`|=0`]일 때, [eqn: f left( - 3 over4 right)+|`f(k)`|=0`]을 만족하는 실수 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 2`]이다. (단, [eqn: k!= - 3 over4`]이다.)

고차방정식(step1)

7.

삼차방정식과 사차방정식의 풀이

등식 [eqn: x ^{4} -ax ^{2} -x+b=(x+1)(x-2)f(x)]가 [eqn: x]에 대한 항등식일 때, [eqn: f(3)]의 값을 구하고, 그 과정을 논술하시오. [[eqn: 5.0]점]

[eqn: 11]

양변에 [eqn: x=-1]을 대입하면 [eqn: -a+b+2=0]이다.

양변에 [eqn: x=2]을 대입하면 [eqn: -4a+b+14=0]이다.

이 두 식을 연립하면 [eqn: a=4], [eqn: b=2]다.

[eqn: x ^{4} -4x ^{2} -x+2=(x+1)(x ^{3} -x ^{2} -3x+2)=(x+1)(x-2)(x ^{2} +x-1)]

따라서 [eqn: f(x)=x ^{2} +x-1]이고 [eqn: f(3)=9+3-1=11]이다.

사차방정식 [eqn: x^4 +3x^3 +3x^2 -x-6=0]의 두 허근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: alpha^2 +beta^2]의 값은? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: -5]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

②

[eqn: x^4 +3x^3 +3x^2 -x-6=0]에서

조립제법을 이용하면 다음과 같다.

	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 3]	[eqn: -1]	[eqn: 6]
[eqn: 1]		[eqn: 1]	[eqn: 4]	[eqn: 7]	[eqn: 6]
	[eqn: 1]	[eqn: 4]	[eqn: 7]	[eqn: 6]	[eqn: 0]
[eqn: -2]		[eqn: -2]	[eqn: -4]	[eqn: -6]
	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 0]

따라서 [eqn: x^4 +3x^3 +3x^2 -x-6= LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT (x+2 RIGHT ) LEFT ( x^2 +2x+3 RIGHT )]

그러므로 [eqn: x^2 +2x+3=0]의 두 허근은 [eqn: alpha], [eqn: beta]이다.

근과 계수와의 관계에 의하여

[eqn: alpha +beta = `-2], [eqn: alpha beta = 3]이므로

[eqn: alpha^2 +beta^2][eqn: =LEFT ( alpha +beta RIGHT )^2 - 2alpha beta]
[eqn: = LEFT ( -2 RIGHT )^2 - 2 times 3]
[eqn: = 4-6= `-2]

복이차식의 사차방정식

사차방정식 [eqn: x ^{4} -7x ^{2} +ax+b=0`]의 한 허근이 [eqn: 1+2i`]일 때, 이 사차방정식의 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha `,~ beta `]와 두 실수 [eqn: a`,~b`]에 대하여 [eqn: alpha + beta +a+b`]의 값은? [[eqn: 4.8`]점]
① [eqn: -16]	② [eqn: -18]	③ [eqn: -20]
④ [eqn: -22]	⑤ [eqn: -24]

①

사차방정식 [eqn: x ^{4} -7x ^{2} +ax+b=0`]의 한 허근이 [eqn: 1+2i`]이므로

켤레근의 성질에 의하여 다른 한 허근은 [eqn: 1-2i`]이다.

즉, [eqn: x ^{4} -7x ^{2} +ax+b][eqn: = LEFT { x- LEFT ( 1+2i RIGHT ) RIGHT } LEFT { x- LEFT ( 1-2i RIGHT ) RIGHT } Q` LEFT ( x RIGHT )]

에서 [eqn: x ^{4} -7x ^{2} +ax+b][eqn: = LEFT ( x ^{2} -2x+5 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT )]

이때, [eqn: x ^{4} -7x ^{2} +ax+b`]를 [eqn: x ^{2} -2x+5`]로 나누면

		[eqn: x ^{2} +2x-8]
[eqn: x ^{2} -2x+5]	)	[eqn: x ^{4} ````````````````````-7x ^{2} +ax+b`]
		[eqn: x ^{4} -2x ^{3} +5x ^{2}]
		[eqn: 2x ^{3} -12x ^{2} +ax+b]
		[eqn: 2x ^{3} -4x ^{2} +10x]
		[eqn: -8x ^{2} + LEFT ( a-10 RIGHT ) x+b]
		[eqn: -8x ^{2} +16x-40]
		[eqn: LEFT ( a-26 RIGHT ) x+b+40]

따라서 [eqn: x ^{4} -7x ^{2} +ax+b`]가 [eqn: x ^{2} -2x+5`]로 나누어떨어져야 하므로

[eqn: a-26=0`,~b+40=0`]에서 [eqn: a=26`,~b=it-40]

따라서 주어진 방정식은 [eqn: LEFT ( x ^{2} -2x+5 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x-8 RIGHT ) =0`]이고,

이차방정식 [eqn: x ^{2} +2x-8=0`]의 두 실근이 [eqn: alpha `,~ beta `]이므로

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =it-2]

따라서 [eqn: alpha + beta +a+b=it-2+26+ LEFT ( -40 RIGHT ) =it-16]

근이 주어진 고차방정식의 활용

삼차방정식 [eqn: 2x ^{3} +ax ^{2} +bx+c=0]의 한 근이 [eqn: 2-i]일 때, 세 실수 [eqn: a,b,c]에 대하여 [eqn: b-a+c]의 값은? (단,[eqn: i= sqrt {-1}]이다.)[[eqn: 5.0]점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]
④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

②

[eqn: 2x ^{3} +ax ^{2} +bx+c=0]의 한 근이 [eqn: 2-i]이면 다른 두근을 [eqn: 2+i, alpha]라 하자.

근과 계수와의 관계에 의해

1) [eqn: 2-i+2+i+ alpha =- {a} over {2}] ,[eqn: a=-8-2 alpha]

2)[eqn: (2-i)][eqn: (2+i)+(2-i) alpha +(2+i) alpha = {b} over {2}] ,[eqn: b=10+8 alpha]

3)[eqn: (2-i)(2+i) alpha =- {c} over {2}] ,[eqn: c=-10 alpha]

[eqn: b-a+c=18]

삼차방정식 [eqn: 2x ^{3} -3x ^{2} +x+k=0]의 한 근이 [eqn: -1]일 때, 나머지 두 근의 곱은? [[eqn: 3.8]점]

⑤

삼차방정식 [eqn: 2x ^{3} -3x ^{2} +x+k=0]의 한 근이 [eqn: -1]이므로 식에 대입하면 일 때, [eqn: -2-3-1+k=0] 이므로 [eqn: k=6] 삼차방정식 근과계수의 관계에 의하여 세근의 곱이 [eqn: -3]이므로 나머지 두 근의 곱은 [eqn: 3]

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

사차방정식 [eqn: x ^{4} -3x ^{3} +ax ^{2} +2x+b=0]의 두 근이 [eqn: -1,`2]일 때, 나머지 두 근의 합은? (단, [eqn: a,`b]는 실수이다.) [4.7점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 2]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

③

[eqn: x ^{4} -3x ^{3} +ax ^{2} +2x+b=0]의 두 근이 [eqn: -1,2]이므로 조립제법을 이용한다.

[eqn: -1]	[eqn: 1]	[eqn: -3]	[eqn: a]	[eqn: 2]	[eqn: b]
[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: -4]	[eqn: a+4]	[eqn: -a-2]	[eqn: a+b+2]
	[eqn: 1]	[eqn: -2]	[eqn: a]	[eqn: a-2]

① [eqn: a-2=0]

② [eqn: a+b+2=0]

[eqn: THEREFORE a=2,~b=-4]

[eqn: x ^{4} -3x ^{3} +2x + LSUP {2}2x-4=0]

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -2x+2 RIGHT ) =0]

나머지 두 근은 허근이며 [eqn: x ^{2} -2x+2=0]의 근이다.

[eqn: x ^{2} -2x+2=0]의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta]라고 하자.

[eqn: THEREFORE alpha + beta =2]

[eqn: x`]에 대한 사차방정식 [eqn: x ^{4} -2x ^{3} -7x ^{2} +ax+12=0`]의 한 근이 [eqn: 2]일 때, 네 실근 중 가장 큰 것을 [eqn: b`]라 하자. [eqn: a-b`]의 값은?

⑤

사차방정식 [eqn: x ^{4} -2x ^{3} -7x ^{2} +ax+12=0]의 한 근이 [eqn: 2]이므로

[eqn: 2a-16=0], [eqn: THEREFORE] [eqn: a=8]

조립제법에 의하여

[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: -2]	[eqn: -7]	[eqn: 8]	[eqn: 12]
		[eqn: 2]	[eqn: 0]	[eqn: -14]	[eqn: -12]
[eqn: -1]	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: -7]	[eqn: -6]	[eqn: 0]
		[eqn: -1]	[eqn: 1]	[eqn: 6]
	[eqn: 1]	[eqn: -1]	[eqn: -6]	[eqn: 0]

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) =0]으로 인수분해 되므로

근은 [eqn: x=3] 또는 [eqn: x=-2] 또는 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=2]이다.

따라서 가장 큰 근은 [eqn: 3]이므로

[eqn: a-b=8-3=5]

(단, [eqn: a`]는 상수이다.) [[eqn: 4]점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

고차방정식(step2)

7.

삼차방정식과 사차방정식의 풀이

삼차방정식 [eqn: x^3 -2x^2 -8x-4=0`]의 세 근을 [eqn: alpha,~beta,~gamma`]라 할 때, [eqn: (alpha+beta-gamma)(beta+gamma-alpha)(gamma+alpha-beta)`]의 값은? [4.5점]

① [eqn: -108]	② [eqn: -104]	③ [eqn: -100]
④ [eqn: -96]	⑤ [eqn: -88]

②

[eqn: x^3 -2x^2 -8x-4=0`]

[eqn: alpha+beta+gamma=2 ,~alphabeta+betagamma+gammaalpha =-8,~alpha beta gamma=4]

[eqn: (alpha+beta-gamma)(beta+gamma-alpha)(gamma+alpha-beta)`]

[eqn: =(2-2gamma)(2-2 alpha)(2-2beta)]

[eqn: =8(1-alpha)(1-beta)(1-gamma)]

[eqn: =8left{1-(alpha+beta+gamma)+(alphabeta+betagamma+gamma alpha)-alphabetagamma right}]

[eqn: =8 times(1-2-8-4)=-104]

공통부분이 있는 사차방정식

[eqn: 1le x le 3`]에서 정의된 함수
[eqn: y=(x^2 -2x+3)^2 -6(x^2 -2x+3)+1`]은 [eqn: x=a`]에서 최댓값 [eqn: M`]을 가지고, [eqn: x=b`]에서 최솟값 [eqn: m`]을 가진다. [eqn: a+b+M+m`]의 값을 구하시오. [7.0점]

[eqn: -2]

[eqn: x^2 -2x+3 =t`]라 하면

[eqn: t=(x-1)^2 +2]

[eqn: 1 le x le 3`]이므로

[eqn: t`]는 [eqn: x=3`]일 때 최댓값 [eqn: 6`], [eqn: x=1`]일 때 최솟값 [eqn: 2`]를 갖는다.

[eqn: y=t^2 -6t +1 =(t-3)^2 -8]

[eqn: 2 LEQ t LEQ 6]이므로

[eqn: y`]는 [eqn: t=6`]일 때 최댓값 [eqn: 1], [eqn: t=3`]일 때 최솟값 [eqn: -8]을 갖는다.

[eqn: M=1,~m=-8]

[eqn: t=6`]일 때 [eqn: x=3`]이므로 [eqn: a=3]

[eqn: t=3`]일 때 [eqn: x^2 -2x+3=3]

[eqn: x(x-2)=0]

[eqn: 1 LEQ x LEQ 3`]이므로 [eqn: x=2], [eqn: b=2]

[eqn: therefore] [eqn: a+b+M+m=3+2+1-8=-2]

복이차식의 사차방정식

[eqn: x]에 대한 사차방정식 [eqn: x ^{4} -(2a-5)x ^{2} +a ^{2} -5a-14=0]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: f(a)]라 할 때, [eqn: f(-4)+f(-2)+f(-1)+f(1)+f(7)+f(9)]의 값은? (단, [eqn: a]는 실수이다.)[[eqn: 5.4]점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]
④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

④

[eqn: x ^{4} -(2a-5)x ^{2} +a ^{2} -5a-14=x ^{2} -(a-7)x ^{2} -(a+2)}]이므로

[eqn: x ^{2} =a-7] 또는[eqn: x ^{2} =a+2]

[eqn: a=-4] 일 때 [eqn: x ^{2} =-11]또는 [eqn: -2]이므로 [eqn: f(-4)=0]

[eqn: a=-2] 일 때 [eqn: x ^{2} =-9]또는 [eqn: 0]이므로 [eqn: f(-4)=1]

[eqn: a=-1] 일 때 [eqn: x ^{2} =-8]또는 [eqn: 1]이므로 [eqn: f(-4)=2]

[eqn: a=1] 일 때 [eqn: x ^{2} =-6]또는 [eqn: 3]이므로 [eqn: f(-4)=2]

[eqn: a=7] 일 때 [eqn: x ^{2} =0]또는 [eqn: 9]이므로 [eqn: f(-4)=3]

[eqn: a=9] 일 때 [eqn: x ^{2} =2]또는 [eqn: 11]이므로 [eqn: f(-4)=4]

[eqn: f(-4)+f(-2)+f(-1)+f(1)+f(7)+f(9)=12]

[eqn: x ^{4} -11x ^{2} +1=0]일 때, [eqn: x- {1} over {x}]의 값은? (단,[eqn: x>1]) [[eqn: 4.3]점]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

④

본식을 양변에 [eqn: x ^{2}]으로 나누면 [eqn: x ^{2} + {1} over {x ^{2}} =11]

[eqn: LEFT ( x- {1} over {x} RIGHT ) ^{2} +2=x ^{2} + {1} over {x ^{2}}]이므로 [eqn: LEFT ( x- {1} over {x} RIGHT ) ^{2} =9]

[eqn: THEREFORE x- {1} over {x}=3] [eqn: ( BECAUSE x> {1} over {x} )]

[eqn: x]에 대한 사차방정식 [eqn: x^4 -(2a-1)x^2 +a^2 -a -12=0]이 실근과 허근을 모두 가질 때, 이 사차방정식이 정수인 근을 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값들의 합은? [[eqn: 4.2]점]

①

[eqn: x^4 -(2a-1)x^2 +a^2 -a -12=0]

[eqn: (x^2 -a-3)(x^2 -a+4)=0]

[eqn: x^2 = a+3,~ x^2 = a-4]

[eqn: x= +- sqrt { a+3},~ x=+- sqrt { a-4}]

[eqn: a-4<a+3]이므로 실근과 허근을 모두 가지려면

[eqn: a-4<0,~ a+3 ge0]

[eqn: -3 le a <4]

정수인 근을 가지려면 [eqn: a+3]은 [eqn: 0`] 이상의 정수를 제곱한 것이다.

[eqn: a+3=0 ^{2} ,~1 ^{2} ,~2 ^{2}]

[eqn: a=-3,`-2,```1]

따라서 [eqn: a`]의 값의 합은 [eqn: -4`]이다.

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

근이 주어진 고차방정식의 활용

한 근이 [eqn: 1+ sqrt { 2}i]인 삼차방정식 [eqn: x^3 +ax^2 +bx+c=0]과 삼차방정식 [eqn: x^3 +ax^2 +8=0]이 하나의 공통근을 가질 때, 다항식 [eqn: f(x)=ax^2 +bx+c]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지의 최댓값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 실수이고, [eqn: i= sqrt { -1}]이다.) [[eqn: 4.5]점]

②

실계수 삼차방정식 [eqn: x^3 +ax^2 +bx+c=0]은 한 실근 [eqn: alpha]와 두 허근 [eqn: 1+ sqrt { 2}i], [eqn: 1- sqrt { 2}i]을 가진다.

두 실계수 삼차방정식이 허근을 공통근으로 가지면 두 개 이상의 공통근을 가지므로 성립하지 않는다. 따라서 공통근은 실수 [eqn: alpha]이다.

[eqn: x^3 +ax^2 +bx+c][eqn: =(x-alpha)(x^2 -2x+3)]
[eqn: =x^3 -(alpha+2)x^2 +(2alpha+3)x-3alpha]

위의 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이므로 [eqn: x ^{2}]의 계수는

[eqn: a=- LEFT ( alpha+2 RIGHT )]

방정식 [eqn: x^3 +a x^2 +8=0], 즉 [eqn: x^3 -(alpha+2)x^2 +8 = 0]에서

[eqn: x=alpha]가 근이므로 대입하면

[eqn: alpha^2 =4,~ alpha = +-2]

[eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는 [eqn: f(1)]

(i) [eqn: alpha=2]일 때

[eqn: x^3 +ax^2 +bx+c][eqn: =(x-2)(x^2 -2x+3)]

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: 1+a+b+c = -2]

[eqn: f(1)= -3]

(ii) [eqn: alpha=-2]일 때

[eqn: x^3 +ax^2 +bx+c][eqn: =(x+2)(x^2 -2x+3)]

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: 1+a+b+c = 6]

[eqn: f(1)= 5]

[eqn: therefore~ 5]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

방정식 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} +x-3=0`]의 한근이 [eqn: i]이고 나머지 두근이
[eqn: m,~n]일 때, [eqn: a+m+n]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}``]이고 [eqn: a]는 실수이다.)[[eqn: 4.1]점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -i]
④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: i]

②

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2kx+4k]의 그래프가 [eqn: x]축과 한 점에서 만나도록 하려면 [eqn: {D} over {4} =k ^{2} -4k=0]는 자연수 [eqn: k=4]

[eqn: x ^{3} +ax ^{2} +bx-4=0]의 한 근이 [eqn: 1-i]일 때, 나머지 두 근 중 실근을 [eqn: k]라고 하자. [eqn: a+b+k]의 값은? (단, [eqn: a,b]는 실수) [4.0점]

②

한 근이 [eqn: 1-i]이므로 다른 한 근을 [eqn: 1+i], 나머지 한 근을 [eqn: k]라 하면
세 실근의 곱 [eqn: (1-i)(1+i)k=4]에서 [eqn: k=2]
세 실근의 합 [eqn: (1-i)+(1+i)+2=-a]
두 실근의 곱의 합 [eqn: (1-i)(1+i)+(1-i)2+(1+i)2=b]
그러므로 [eqn: a=-4], [eqn: b=6], [eqn: k=2]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

계수가 실수인 삼차식 [eqn: f(x)=x ^{3} -ax ^{2} +bx-10]은

④

풀이)

[eqn: (x-3+i)]를 인수면 [eqn: 3-i]가 한 근이다.

주어진 삼차방정식의 계수가 실수이므로 한 근이 [eqn: 3-i]이면

다른 한 근은 [eqn: 3+i]

삼차방정식 [eqn: x ^{3} +ax ^{2} +bx-10=0]의 나머지 한 근을 [eqn: alpha]라 하면

삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: (3+i)+(3-i)+ alpha=a]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: (3+i)(3-i)+(3-i) alpha+ alpha(3+i)=b]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

[eqn: (3+i)(3-i) alpha=10~ THEREFORE~ alpha=1]

[eqn: alpha=2]를 ㉠, ㉡에 대입하여 정리하면

[eqn: a=7,~b=16]

따라서 [eqn: a+b+alpha = 24]

[eqn: (x-3+i)]를 인수로 갖는다. 삼차방정식 [eqn: f(x)=0]의 실근을 [eqn: alpha]라고 할 때, [eqn: a+b+ alpha]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]) [[eqn: 4.4]점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 20]
④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 28]

계수가 실수인 사차방정식 [eqn: x^4 +x^3 +ax^2 +bx+c=0`]의 두 근이 [eqn: 1,~2+i`]일 때, [eqn: 4a+2b+c`]값은? [4.5점]

① [eqn: -19]	② [eqn: -18]	③ [eqn: -17]
④ [eqn: -16]	⑤ [eqn: -15]

④

계수가 실수이므로 [eqn: 2+i`]가 근이면 [eqn: 2-i`]도 근이다.

두 근이 [eqn: 2+i,~2-i`]인 이차방정식은

두 근의 합이 [eqn: 4], 곱이 [eqn: 5`]이므로 [eqn: x^2 -4x+5=0]

따라서 [eqn: 1,~2+i,~2-i`]를 근으로 갖는 방정식은

[eqn: (x-1)(x^2 -4x+5)=0]

[eqn: x^3 -5x^2 +9x-5=0]

[eqn: x^4 +x^3 +ax^2 +bx+c`]가 [eqn: x^3 -5x^2 +9x-5]으로 나누어 떨어지므로

	[eqn: x]	[eqn: +6]
[eqn: x^3 -5x^2 +9x-5]	[eqn: x^4]	[eqn: +x^3]	[eqn: +ax^2]	[eqn: +bx]	[eqn: +c]
	[eqn: x^4]	[eqn: -5x^3]	[eqn: +9x^2]	[eqn: -5x]
		[eqn: 6x^3]	[eqn: (a-9)x^2]	[eqn: (b+5)x]	[eqn: +c]
		[eqn: 6x^3]	[eqn: -30x^2]	[eqn: 54x]	[eqn: -30]
			[eqn: (a+21)x^2]	[eqn: (b-49)x]	[eqn: c+30]

[eqn: therefore] [eqn: a=-21,~b=49,~c=-30]

[eqn: therefore] [eqn: 4a+2b+c=-84+98-30=-16]

음수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{2} +2x-5=0]일 때,
[eqn: x ^{4} +2x ^{3} +2x ^{2} +4x+4=a+b sqrt {6}]이다. [eqn: a-b]의 값은? (단, [eqn: a,``b]는 정수) [4.1점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 29]
④ [eqn: 39]	⑤ [eqn: 49]

④

	[eqn: x ^{2}]		[eqn: +7]
[eqn: x ^{2} +2x-5]	[eqn: x^4]	[eqn: +2x ^{3}]	[eqn: +2x ^{2}]	[eqn: +4x]	[eqn: +4]
	[eqn: x^4]	[eqn: +2x ^{3}]	[eqn: -5x ^{2}]
			[eqn: 7x ^{2}]	[eqn: 4x]	[eqn: +4]
			[eqn: 7x ^{2}]	[eqn: 14x]	[eqn: -35]
				[eqn: -10x]	[eqn: 39]

이므로 [eqn: x ^{4} +2x ^{3} +2x ^{2} +4x+4=-10x+39] 이고,

이차방정식의 근의 공식에 의해 [eqn: x=-1- sqrt {6}] ([eqn: x]는 음수)

대입하면 [eqn: -10x+39=49+10 sqrt {6}]

[eqn: a-b=49-10=39]

삼차방정식의 근의 판별

삼차방정식 [eqn: x^3 +2x^2 +(k-3)x-k=0`]의 근이 모두 실수가 되도록 하는 실수 [eqn: k`]의 최댓값은? [4.3점]

① [eqn: 5 over4]	② [eqn: 7 over4]	③ [eqn: 9 over4]
④ [eqn: 11 over4]	⑤ [eqn: 13 over4]

③

[eqn: f(x) =x^3 +2x^2 +(k-3)x-k `]이라 하면

[eqn: f(1)=1+3+k-3-k=0]

조립제법을 이용하면

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: k-3]	[eqn: -k]
		[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: k]
	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: k]	[eqn: 0]

[eqn: f(x)=(x-1)(x^2 +3x+k)]

[eqn: f(x)=0`]이 중근을 가지려면

ⅰ) [eqn: x^2 +3x+k=0`]이 [eqn: x=1]을 근으로 갖는 경우

[eqn: 1+3+k=0]

[eqn: therefore] [eqn: k=-4]

ⅱ) [eqn: x^2 +3x+k=0`]이 중근을 갖는 경우

[eqn: D=9-4k=0]

[eqn: therefore] [eqn: k= 9 over4]

ⅰ), ⅱ)에 의해 만족하는 [eqn: k`]의 최댓값은 [eqn: 9 over4]

【다른풀이추가】

[eqn: x^2 +3x+k=0`] 이 실근 가질 때

[eqn: D GEQ 0]

[eqn: 9-4k GEQ 0# THEREFORE k LEQ {9} over {4}]

[eqn: x`]에 대한 삼차식 [eqn: f(x)=x ^{3} -5x ^{2} +(k-9)x+k-3]에

②

[eqn: f(x)=x ^{3} -5x ^{2} +(k-9)x+k-3]
[eqn: f(x)=(x+1)(x ^{2} -6x+k-3)`]

ㄱ. [eqn: f(-1)=-1-5-k+9+k-3=0`]이므로 [eqn: x+1]을 인수로 갖는다.
ㄴ. [eqn: k`>0]인 어떤 실수 [eqn: k`]에 대하여 방정식 [eqn: (x ^{2} -6x+k-3)`=0]의 판별식은 [eqn: {D} over {4} =9-k+3]=0이 [eqn: k`=12]가 되면 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]개이다.
ㄷ. 방정식 [eqn: f(x)=0`]이 실근과 허근을 모두 가지려면
[eqn: (x ^{2} -6x+k-3)`=0]는 허근을 가져야 할 것이다.
따라서 [eqn: {D} over {4} =9-k+3<0] 일 때,정수 [eqn: k`]의 최솟값은 [eqn: 13]이다.
ㄱ, ㄴ

대하여 [보기]에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [[eqn: 5]점]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[보기]

ㄱ. [eqn: f(x)`]는 [eqn: x+1]을 인수로 갖는다.

ㄴ. [eqn: k`>0]인 어떤 실수 [eqn: k`]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=0`]의 서로
다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

ㄷ. 방정식 [eqn: f(x)=0`]이 실근과 허근을 모두 가질 때,정수 [eqn: k`]의 최솟값은 [eqn: 11]이다.

[eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: x ^{3} -7x ^{2} -(7+n ^{2} )x+(1-n ^{2} )=0]의 세 근이 모두 정수가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은? [5.0점]

➄

[eqn: -1]	[eqn: 1]	[eqn: -7]	[eqn: -7-n ^{2}]	[eqn: 1-n ^{2}]
		[eqn: -1]	[eqn: 8]	[eqn: -1+n ^{2}]
	[eqn: 1]	[eqn: -8]	[eqn: 1-n ^{2}]	[eqn: 0]

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -8x+1-n ^{2} RIGHT ) =0]

세 근이 모두 정수이므로 [eqn: x ^{2} -8x+1-n ^{2} =0]의 두 근이 모두 정수이어야 한다.

[eqn: x=4 +- sqrt {15+n ^{2}}]에서 [eqn: 15+n ^{2} =k ^{2}] ([eqn: k`]는 정수)

[eqn: LEFT ( k-n RIGHT ) LEFT ( k+n RIGHT ) =15]

[eqn: k-n=1], [eqn: k+n=15]에서 [eqn: k=8], [eqn: n=7]

[eqn: k-n=3], [eqn: k+n=5]에서 [eqn: k=4], [eqn: n=1]

따라서 [eqn: n=1], [eqn: 7]이므로 [eqn: 1+7=8]이다.

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: x`]에 대한 사차방정식
[eqn: x ^{4} +(2a-1)x ^{3} - LEFT ( 1-3a RIGHT ) x ^{2} + LEFT ( a+1 RIGHT ) x=0]
의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 3]이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은? [[eqn: 5.1]점]

① [eqn: -6]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 6]

⑤

[eqn: x ^{4} +(2a-1)x ^{3} - LEFT ( 1-3a RIGHT ) x ^{2} + LEFT ( a+1 RIGHT ) x=0]
[eqn: x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT { x ^{2} +2 LEFT ( a+1 RIGHT ) x+a+1 RIGHT } =0]에서

①[eqn: x=0]:중근 [eqn: THEREFORE a=-1]

②[eqn: x=-1]:중근 [eqn: THEREFORE a=4]

③[eqn: x ^{2} +2 LEFT ( a+1 RIGHT ) x+a+1=0]는 중근을 가지며 근은

[eqn: x != 0,~x != -1]이며
[eqn: a != 4,~a != -1]이므로
[eqn: {D} over {4} `= LEFT ( a-1 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( a-1 RIGHT ) =0]
[eqn: `a ^{2} -3a=0] 모든 실수 [eqn: a=0,][eqn: 3`]

모든[eqn: a]의 합:[eqn: -1+4+0+3=6]

삼사차방정식의 근과 계수와의 관계

사차방정식 [eqn: x^4 +x^3 -x^2 -7x-6=0`]의 두 허근을 [eqn: alpha,~beta`]라고 할 때, [eqn: alpha^2 +beta^{`2 `]의 값은? [4.2점]

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]
④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

②

[eqn: f(x)=x^4 +x^3 -x^2 -7x-6]이라 하면

[eqn: f(-1)=1-1-1+7-6=0]

[eqn: f(2)=16+8-4-14-6=0]

조립제법을 이용하면

[eqn: -1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: -1]	[eqn: -7]	[eqn: -6]
		[eqn: -1]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 6]
[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: -1]	[eqn: -6]	[eqn: 0]
		[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 6]
	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 0]

[eqn: f(x)= (x+1)(x-2)(x^2 +2x+3)]

따라서 [eqn: f(x)=0`]의 두 허근은 [eqn: x^2 +2x+3=0`]의 두 근과 같다.

[eqn: x^2 +2x+3 =0`]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta`]라 하면

[eqn: alpha+beta= -2,~alpha beta=3]

[eqn: therefore] [eqn: alpha^2 +beta^2 =(alpha + beta)^2 -2alphabeta =4-6=-2]

사차방정식 [eqn: x ^{4} -kx ^{3} - LEFT ( k+1 RIGHT ) x ^{2} +k ^{2} x+k ^{2} =0]이 서로 다른 네 실근을 갖도록 하는 [eqn: 5]이하의 정수 [eqn: k]의 값을 모두 더한 값은? [[eqn: 4.5]점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]
④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

③

[eqn: f(x)=x ^{4} -kx ^{3} - LEFT ( k+1 RIGHT ) x ^{2} +k ^{2} x+k ^{2}]라 하면
[eqn: f(-1)=1+k- LEFT ( k+1 RIGHT ) -k ^{2} +k ^{2} =0]이므로
[eqn: f(x)=(x+1) LEFT { x ^{3} - LEFT ( k+1 RIGHT ) x ^{2} +k ^{2} RIGHT }]
[eqn: =(x+1) LEFT ( x-k RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x-k RIGHT )]
이 서로 다른 네 실근을 가진다.이차방정식 [eqn: x ^{2} -x-k=0]이 서로다른 두실근을 가지며 실근이 존재하려면

[eqn: D=1+4k>0], [eqn: x != -1,~x != k]
[eqn: THEREFORE ~k> {-1} over {4} ,``k != 2,`k != 0`]
하는 [eqn: 5]이하의 정수 [eqn: k=1,`3,`4,`5]의 값을 모두 더한 값은 [eqn: 13]

[eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: kx^2 (kx^2 +1)(kx^3 +2 )(kx+3)-28`]이
[eqn: x+1`]을 인수로 가질 때, 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 제곱의 합은?
[4.5점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]
④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

④

[eqn: kx^2 (kx^2 +1)(kx^3 +2 )(kx+3)-28`]이 [eqn: x+1`]을 인수로 가지므로

[eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: k(k+1)(-k+2)(-k+3)-28=0]

[eqn: k(k+1)(k-2)(k-3)-28=0]

[eqn: (k^2 -2k)(k^2 -2k-3)-28=0]

[eqn: k^2 -2k=X`]라 하면

[eqn: X^2 -3X-28=0]

[eqn: (X-7)(X+4)=0]

[eqn: (k^2 -2k-7)(k^2 -2k+4)=0]

[eqn: k`]가 실수이므로 [eqn: k^2 -2k-7=0`]일 때만 만족한다.

[eqn: k^2 -2k-7=0`]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta`]라 하면

[eqn: alpha+beta=2,~alphabeta=-7]

[eqn: alpha^2 +beta^2 =(alpha+beta)^2 -2alphabeta =4+14=18]

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축고 서로 다른 두 점 [eqn: (3,0)], [eqn: (k,0)]에서 만난다. [eqn: x]에 대한 사차방정식 [eqn: (x ^{2} -kx+2k)f(x)=0]이 서로 다른 두 실근과 서로 같은 두 실근을 가질 때, 모든 [eqn: k]의 값의 합은? [4.8점]

①

[eqn: f(x)=a(x-3)(x-k)]라고 하면 [eqn: x]에 대한 사차방정식

[eqn: a(x ^{2} -kx+2k)(x-3)(x-k)=0]에서
[eqn: 1)][eqn: k=3]이면 중근은 만족하지만 허근이 발생
[eqn: 2)][eqn: x ^{2} -kx+2k=0]이 중근을 가질 때 [eqn: k=0,8]에서 [eqn: k=8]
[eqn: 3)][eqn: x ^{2} -kx+2k=0]이 [eqn: x=3]을 근으로 가질 때 [eqn: k=9]
인수분해를 하면 [eqn: a(x-3) ^{2} (x-6)(x-9)=0]이므로 조건을 만족한다.
[eqn: 4)][eqn: x ^{2} -kx+2k=0]이 [eqn: x=k]를 근으로 가질 때 [eqn: k=0]은 조건을 만족하지 않으므로 만족하는 [eqn: k]값은 [eqn: 8,9]이다.

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

[eqn: x^3`=1,`` x^3`=`-1]의 활용

삼차방정식 [eqn: x ^{3} +1=0]의 한 허근을 [eqn: w]라 할 때, 다음 물음에 답하시오.(단,[eqn: {bar{w}}]는 [eqn: w]의 켤레복소수이다.)[[eqn: 4.0]점]
(1) [eqn: w ^{2} -w+1]의 값을 구하고, 그 과정을 논술하시오, [[eqn: 1.0]점]

(1)[eqn: w ^{2} -w+1=0] (2) [eqn: 1] (3)[eqn: 100`]개

(1)[eqn: (x+1)(x ^{2} -x+1)=0]이므로 [eqn: w ^{2} -w+1=0]

(2)[eqn: w ^{3} =-1]이므로 [eqn: w ^{2023} + {1} over {w ^{2023`}} =w+ {1} over {w} =1]([eqn: BECAUSE w ^{2} -w+1=0]에서 양변을 [eqn: w`]로 나눈다.)

(3) 근과 계수와의 관계에 의해 [eqn: w+ {bar{w}} =1,`w {bar{w}} =1]이므로 [eqn: {bar{w}} -1=-w`,w-1= {bar{w}}]이다.

[eqn: ( {bar{w}} `-1) ^{2n} =(w+2 {bar{w}} -w {bar{w}} ) ^{n}]에 위를 대입하여 정리하면

[eqn: (-w) ^{2n} = {1} over {w ^{n}}]이므로 [eqn: w ^{n} `(-w) ^{2n} =1]이 되려면

[eqn: n]은 짝수이어야하므로 [eqn: 200]이하의 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 100]개다.

(2)[eqn: w ^{2023} + {1} over {w ^{2023`}}]의 값을 구하고, 그 과정을 논술하시오.[[eqn: 1.0]점]

(3)[eqn: ( {bar{w}} `-1) ^{2n} =(w+2 {bar{w}} -w {bar{w}} ) ^{n}]을 만족시키는 [eqn: 200]이하의 자연수 [eqn: n]의 개수를 구하고, 그 과정을 논술하시오. [[eqn: 2.0]점]

삼차방정식 [eqn: x^3 +1=0`]의 한 허근을 [eqn: omega`]라 할 때,
[eqn: left({ baromega` }over{ omega`^2 + baromega` ^2 } right)^n = ( omega`^2 - omega`^3 )^3n+1`]을 만족시키는 [eqn: 90`]이하의 자연수 [eqn: n`]의 개수는? (단, [eqn: baromega``]는 [eqn: omega`]의 켤레복소수이다.) [4.9점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 25]
④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 35]

①

[eqn: x^3 +1=0]

[eqn: (x+1)(x^2 -x+1)=0]

[eqn: x^2 -x+1=0`]의 두 근이 [eqn: omega`,~ baromega``]이므로 [eqn: omega`^3 =-1]이고

[eqn: omega`+ baromega` =1,~omega` baromega`=1], [eqn: bar omega` = 1 over omega` = {omega`^2 }over {omega`^3} = - omega`^2]

[eqn: omega`^2 + baromega`^2 = (omega`+ baromega`)^2 -2omega` baromega`= -1]

[eqn: left({ baromega` }over{ omega`^2 + baromega` ^2 } right)^n = (- bar omega`)^n = omega`^2n]

[eqn: ( omega`^2 - omega`^3 )^3n+1` =( omega`-1+1)^3n+1 = omega`^3n+1]

[eqn: left({ baromega` }over{ omega`^2 + baromega` ^2 } right)^n = ( omega`^2 - omega`^3 )^3n+1`]에서 [eqn: omega`^2n =omega`^3n+1]

[eqn: omega`^n+1 =1]

[eqn: n=6k-5] ([eqn: k`]는 자연수)일 때 성립한다.

따라서 [eqn: n`]은 [eqn: 90`]이하의 자연수이므로 [eqn: 15`]개

[eqn: x ^{2} -x+1=0]일 때, [eqn: x ^{4} -3x ^{3} -6x ^{2} +7x+10]의 값을 구하고 그 풀이과정을 서술하시오 [[eqn: 4.0]점, 부분점수 있음.]

[eqn: 19]

[eqn: x ^{4} -3x ^{3} -6x ^{2} +7x+10]
[eqn: =x ^{2} LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT ) -2x LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT ) -9 LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT ) +19]
[eqn: =19]
[다른풀이]
방정식 [eqn: x ^{3} +1= LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT ) =0]에서
[eqn: x ^{2} -x+1=0`` rarrow ````x ^{3} =-1``]
[eqn: x ^{2} -x+1=0`` rarrow ````x ^{2} =x-1``]이므로 차수 낮추기
[eqn: x ^{4} -3x ^{3} -6x ^{2} +7x+10=-x+3-6 LEFT ( x-1 RIGHT ) +7x+10]
[eqn: =19]

방정식 [eqn: x^3 -1 =0]의 한 허근을 [eqn: omega]라고 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: baromega]는 [eqn: omega]의 켤레복소수이다.) [[eqn: 5.3]점]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

①

방정식 [eqn: x^3 -1 =0]의 한 허근을 [eqn: omega]이므로

[eqn: x^3 -1 =0]

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x^2 +x+1 RIGHT )=0]

그러므로 [eqn: x^2 +x+1=0]의 두 근은 [eqn: omega], [eqn: baromega]이다.

따라서 [eqn: omega^2 +omega+1=0], [eqn: {bar omega }^2 + bar omega +1=0]이고 [eqn: omega^3 = {baromega}^3 = 1]이다.

또, 근과 계수와의 관계에 의하여 [eqn: omega+ baromega =` -1], [eqn: omega baromega =1]이다.

ㄱ. [eqn: omega^2 +omega+1=0] (참)

ㄴ. [eqn: omega^110 + {baromega}^110 =1]에서
[eqn: omega^110 + {baromega}^110 &= LEFT ( omega^3 RIGHT )^36 times omega^2 + LEFT ( {baromega}^3 RIGHT )^36 times {baromega}^2 #&= omega^2 +{baromega}^2 #&= LEFT ( omega +baromega RIGHT )^2 - 2omega baromega #&= LEFT ( -1 RIGHT )^2 -2times1 #&=`-1]
이므로 [eqn: omega^110 + {baromega}^110 ne 1]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: { {baromega}^2 } over { omega^2 +1}=1]에서
[eqn: { {baromega}^2 } over { omega^2 +1}&={ {baromega}^2 timesbar omega} over { left( omega^2 +1 right) times baromega} #& ={ {baromega}^3 } over { omegatimes omega baromega + baromega } #&= 1over { omega +baromega} #&= 1over {-1} #&= `-1]
이므로 [eqn: { {baromega}^2 } over { omega^2 +1} ne1]이다. (거짓)

그러므로 옳은 것은 ㄱ이다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: omega^2 +omega+1=0]

ㄴ. [eqn: omega^110 + {baromega}^110 =1]

ㄷ. [eqn: { {baromega}^2 } over { omega^2 +1}=1]

삼차방정식 [eqn: x ^{3} +1=0]의 한 허근을 [eqn: omega ``]라 할 때, [보기]에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: {bar{omega }}`]는 [eqn: omega `]의 켤레복소수이다.) [[eqn: 4.7]점]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

⑤

삼차방정식 [eqn: x ^{3} +1=(x+1)(x ^{2} -x+1)=0`]의 한 허근이 [eqn: w`]이므로

[eqn: w ^{3} =-1`,~w ^{2} -w+1=0`]이 성립하고 [eqn: w+ {bar{w}} =1`,~w {bar{w}} =1`]이다.

ㄱ. [eqn: {1} over {1+ omega } + {1} over {{bar{1+ omega }}} = {2+ omega + {bar{omega }}} over {1+ omega + {bar{omega }} + omega {bar{omega }}} = {3} over {3} =1]

ㄴ.[eqn: w ^{3} =-1`,~w ^{6} =1`] [eqn: omega ^{50} + {4} over {{bar{omega ^{49}}}} = omega ^{2} + {4} over {{bar{omega ^{}}}} = omega ^{2} +4 omega =5 omega -1]

ㄷ. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = {w ^{n+1}} over {1+ omega ^{2n}}]일 때
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) +` CDOTS +f LEFT ( 48 RIGHT ) =0]

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = {w ^{n+1}} over {1+ omega ^{2n}}]
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = {omega ^{2}} over {1+ omega ^{2}} = {w ^{2}} over { omega } = omega]
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) = {omega ^{3}} over {1+ omega ^{4}} = {-1} over {1- omega } = {-1} over {- omega ^{2}} = {1} over {omega ^{2}} =- omega]
[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) = {omega ^{4}} over {1+ omega ^{6}} = {- omega } over {2}]
[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) = {omega ^{5}} over {1+ omega ^{8}} = {- omega ^{2}} over {omega } =- omega]
[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) = {omega ^{6}} over {1+ omega ^{10}} = {1} over {1- omega } = {1} over {- omega ^{2}} = omega]
[eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) = {omega ^{7}} over {1+ omega ^{12}} = {omega } over {1+1} = {omega } over {2}]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) +` CDOTS +f LEFT ( 6 RIGHT ) =0]

[eqn: f(1)+f(2)+ CDOTS +f(48)=8 LEFT { f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) +f(4)+f(5)+f(6) RIGHT }]

[eqn: THEREFORE f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) +` CDOTS +f LEFT ( 48 RIGHT ) =0]

[보기]

ㄱ. [eqn: 1over1+omega +{1} over {1+{bar{omega }}} =1]

ㄴ. [eqn: omega ^{50} + {4} over {{bar{omega ^{49}}}} =5omega -1]

ㄷ. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = {w ^{n+1}} over {1+ omega ^{2n}}]일 때
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) +` CDOTS +f LEFT ( 48 RIGHT ) =0]

방정식 [eqn: x^4 - 8x^3 +21x^2 -24x+9=0]의 한 허근을 [eqn: omega]라 할 때, [eqn: omega^3 +2omega^2 +3omega =a omega +b]이다. 실수 [eqn: a,```b]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. [[eqn: 9.0]점]

[eqn: a=15,~ b=-15]

[eqn: x^4 - 8x^3 +21x^2 -24x+9=0]

양변을 [eqn: x^2]으로 나누면

[eqn: x^2 - 8x +21 - 24over x + 9over x^2 =0]

[eqn: LEFT ( x^2 + 9 over x^2 RIGHT ) -8 LEFT ( x + 3overx RIGHT )+21=0]

[eqn: LEFT ( x + 3 over x RIGHT )^2 -8 LEFT ( x + 3overx RIGHT )+15=0]

[eqn: LEFT ( x+ 3overx -3 RIGHT ) LEFT ( x+ 3overx -5 RIGHT )=0]

양변에 [eqn: x^2]을 곱하면

[eqn: (x^2 -3x+3) (x^2 -5x+3)=0]

[eqn: x^2 -3x+3=0]에서 판별식 [eqn: D= 9-12<0]이고

[eqn: x^2 -5x+3=0]에서 판별식 [eqn: D=25-12>0]이므로

[eqn: omega]는 [eqn: x^2 -3x+3=0]의 근이다. 따라서

[eqn: w^2 -3w+3=0]

[eqn: omega^3 +2omega^2 +3omega][eqn: =(w^2 -3w+3)(w+5)+15w-15]
[eqn: =15w-15]

[eqn: therefore~ a=15,~b=-15]

방정식 [eqn: x ^{3} =-8]의 한 허근을 [eqn: omega]라 할 때, [eqn: {omega } over {2 omega +1} + {bar{omega }} over {2 bar{omega } +1}]의 값은? (단, [eqn: bar{omega }]는 [eqn: omega]의 켤레복소수)	[3.7점]

④

[eqn: x ^{3} +8=0]을 인수분해하면
[eqn: (x+2)(x ^{2} -2x+4)=0]이므로 [eqn: omega ,` bar{omega }]는 [eqn: x ^{2} -2x+4=0]의 근이다.
[eqn: omega + bar{omega } =2], [eqn: omega bar{omega } =4]이므로
주어진 식을 통분하면
[eqn: {4 omega bar{omega } +( omega + bar{omega } )} over {4 omega bar{omega } +2( omega + bar{omega } )+1} = {6} over {7}]

① [eqn: {3} over {7}]	② [eqn: {4} over {7}]	③ [eqn: {5} over {7}]

④ [eqn: {6} over {7}]	⑤ [eqn: 1]

삼차방정식 [eqn: x ^{3} =1]의 한 허근을 [eqn: w]라 할 때,
[eqn: {1} over {w+1} + {1} over {w ^{2} +1} + {1} over {w ^{3} +1} + CDOTS + {1} over {w ^{36} +1}]의 값은? [4.0점]

➃

[eqn: x ^{3} -1= LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT )]

[eqn: x ^{2} +x+1=0]의 허근을 [eqn: omega]라 하면

[eqn: omega ^{2} + omega +1=0], [eqn: omega ^{3} =1]이므로

[eqn: {1} over {omega +1} + {1} over {omega ^{2} +1} + {1} over {omega ^{3} +1}][eqn: = {1} over {- omega ^{2}} + {1} over {- omega } + {1} over {2}]
[eqn: =- {1+ omega } over {omega ^{2}} + {1} over {2}]
[eqn: =1+ {1} over {2} = {3} over {2}]

세개마다 반복되므로

[eqn: 36=3 TIMES 12]에서 [eqn: {3} over {2} TIMES 12=18]이다.

① [eqn: 9]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 21]

복소수 [eqn: z=a+bi,``w=c+di(a,``b,``c,``d]는 실수[eqn: )]에 대하여

②

풀이)

[eqn: z=a+bi,``w=c+di(a,``b,``c,``d]는 실수[eqn: )]에 대하여

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. [eqn: z=- {bar{z}}]이면 [eqn: z + bar z = 2bi] 이므로 [eqn: b = 0]이 될 수 있으므로 (거짓)

ㄴ. [eqn: z ^{2} +w ^{2} =0]이면 [eqn: z ^ 2 = a^2 - b^2 + 2abi] , [eqn: w ^ 2 = c^2 - d^2 + 2cdi]

에서 [eqn: z ^{2} +w ^{2} =a^2 - b^2 + 2abi +c^2 - d^2 + 2cdi]

[eqn: a^2 - b^2 + c^2 - d^2 +2(ab + cd)i =0] 이므로 [eqn: z=w=0] (거짓)

ㄷ. [eqn: {1} over {1-w} + {1} over {1- {bar{w}}}= {2 -(w+barw )} over {(1-w)(1-barw ) } = {2 -(w+barw )} over {(1-(w+bar w )+w barw ) }]

[eqn: = { 2 -2c } over {1-2c +c^2 + d ^2] 이므로 실수 (참)

옳은 것은 ㄷ 이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(단, [eqn: i= sqrt {-1}]이고, [eqn: {bar{z}} `,`` {bar{w}}]는 각각 [eqn: z,``w]의 켤레복소수이다.) [[eqn: 4.4]점]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[보 기]

ㄱ. [eqn: z=- {bar{z}}]이면 [eqn: z]는 항상 순허수이다.

ㄴ. [eqn: z ^{2} +w ^{2} =0]이면 [eqn: z=w=0]이다.

ㄷ. [eqn: {1} over {1-w} + {1} over {1- {bar{w}}} (w!=1)]은 항상 실수이다.

[eqn: x`]에 대한 사차방정식 [eqn: x ^{4} -x ^{3} -3x ^{2} +4x-4=0`]의
서로 다른 두 허근을 [eqn: alpha], [eqn: beta`]라 하자. [eqn: 100]이하의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: alpha ` ^{n} + beta ` ^{n} =1`]이 성립하게 하는 자연수 [eqn: n`]의 개수를 구하고 풀이과정을 논술하시오. [[eqn: 7]점]

[eqn: 33]개

[eqn: x ^{4} -x ^{3} -3x ^{2} +4x-4= LEFT ( x ^{4} -x ^{3} +x ^{2} RIGHT ) -4 LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT )]

[eqn: =x ^{2} LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT ) -4 LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -4 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT ) =0]

서로 다른 두 허근은 [eqn: x ^{2} -x+1=0]에서의 근과 같고,

[eqn: alpha = {1+ sqrt {3} i} over {2}], [eqn: beta = {1- sqrt {3} i} over {2}]이다.

[eqn: alpha + beta =1], [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -2 alpha beta =1 ^{2} -2=-1]

[eqn: alpha ^{3} = beta ^{3} =-1]이므로 [eqn: alpha ^{3} + beta ^{3} =-2]

[eqn: alpha ^{4} + beta ^{4} =- LEFT ( alpha + beta RIGHT ) =-1], [eqn: alpha ^{5} + beta ^{5} =- alpha ^{2} - beta ^{2} =- LEFT ( alpha ^{2} + beta ^{2} RIGHT ) =1]

[eqn: alpha ^{6} = beta ^{6} =1]이므로 [eqn: alpha ^{6} + beta ^{6} =2]

[eqn: CDOTS],

따라서 [eqn: alpha ^{6k-5} + beta ^{6k-5} =1], [eqn: alpha ^{6k-1} + beta ^{6k-1} =1] ([eqn: k]는 자연수)

[eqn: 6k-5]의 개수는 [eqn: 17]개, [eqn: 6k-1]의 개수는 [eqn: 16]개

([eqn: n]은 [eqn: 100]이하의 자연수)이므로 총 [eqn: 33]개다.

삼차방정식 [eqn: x^3 -3x^2 +9x+13=0`]의 근 중에서 허수부분이 양수인 근을 [eqn: alpha`]라 할 때, [eqn: alpha over{baralpha} =a+bi`]를 만족시킨다. 두 실수 [eqn: a,~b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: i=root-1 `]이고, [eqn: baralpha`]는 [eqn: alpha`]의 켤레복소수이다.) [4.7점]

① [eqn: 3 over13]	② [eqn: 4 over13]	③ [eqn: 5 over13]
④ [eqn: 6 over13]	⑤ [eqn: 7 over13]

⑤

[eqn: f(x)=x^3 -3x^2 +9x+13`]이라 하면

[eqn: f(-1)=-1-3-9+13=0]

[eqn: - 1]	[eqn: 1]	[eqn: -3]	[eqn: 9]	[eqn: 13]
		[eqn: -1]	[eqn: 4]	[eqn: -13]
	[eqn: 1]	[eqn: -4]	[eqn: 13]	[eqn: 0]

[eqn: f(x)=(x+1)(x^2 -4x+13)]

[eqn: x^2 -4x+13=0`]의 두 근 중 허수부분이 양수인 근이 [eqn: alpha`]이므로

[eqn: alpha= 2+root4-13 =2+3i]

[eqn: therefore] [eqn: alpha over{bar alpha } = 2+3i over 2-3i = -5+12i over13]

[eqn: a= - 5 over13 ,~ b= 12 over13]

[eqn: therefore] [eqn: a+b = 7 over13]

삼차사차방정식의 활용

그림과 같이 가로의 길이가 [eqn: 10cm], 세로의 길이가 [eqn: 8cm]인 직사각형 모양의 종이가 있다. 이 종이의 네 귀퉁이에서 한 변의 길이가 [eqn: xcm]인 정사각형를 잘라 내어 부피가 [eqn: 48cm ^{3}]인 상자가 만들어지도록 하는 모든 [eqn: x]의 값의 합은? [5.2점]

①

부피: [eqn: (10-2x)(8-2x)x=48]

[eqn: (4x ^{2} -36x+80)x=48]

[eqn: 4x ^{3} -36x+80x-48=0]

[eqn: x ^{3} -9x ^{2} +20x-12=0]

[eqn: (x-2)(x-1)(x+6)=0]

[eqn: x=2]or[eqn: 1]

[eqn: THEREFORE 2+1=3]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]
④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

밑면의 반지름의 길이가 [eqn: x+1,] 높이가 [eqn: x^2 -x+1]인 원기둥의 부피를 [eqn: f(x)], 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: x+2,] 높이가 [eqn: x^2 -2x+4]인 원뿔의 부피를 [eqn: g(x)]라 하자. [총 7.0점]

(1) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = pi LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT )]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} pi LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x ^{2} -2x+4 RIGHT )]
(2) [eqn: {2 pi LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT ) -3 TIMES {1} over {3} pi LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x ^{2} -2x+4 RIGHT )} over {pi }]
[eqn: =2 LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{3} +1 RIGHT ) - LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{3} +8 RIGHT )]
[eqn: =2 LEFT ( x ^{4} +x ^{3} +x+1 RIGHT ) - LEFT ( x ^{4} +2x ^{3} +8x+16 RIGHT )]
[eqn: =x ^{4} -6x-14]
이므로 [eqn: a=0], [eqn: b=0], [eqn: c=-6], [eqn: d=-14]

(1) [eqn: f(x),~g(x)]를 각각 구하시오. [2.0점]

(2) [eqn: 2f(x) - 3g(x)} over pi = x^4 +ax^3 +bx^2 +cx+d]일 때, [eqn: a,~b,~c,~d]의 값을 각각 구하고 그 과정을 논술하시오. (단, [eqn: a,~b,~c,~d]는 상수이다.) [5.0점]

어느 무인 카페에서 아메리카노를 [eqn: 2000`]원에 판매하고 있고, 하루 판매량은 [eqn: 70`]잔이다. 아메리카노의 가격을 [eqn: 200`]원 올릴 때마다 하루 판매량이 [eqn: 5`]잔씩 줄어들 것으로 예상된다. 하루 동안 아메리카노를 판매한 총 금액이 최대가 되게 하려면 아메리카노의 가격을 얼마나 정해야 하는지 구하고 그 과정을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: x=2`]일 때, [eqn: 2400`]원

가격을 [eqn: 200`]원씩 올린 횟수를 [eqn: x], 판매한 총 금액을 [eqn: y`]라 하면

[eqn: y=(2000+200x)(70-5x)]

[eqn: =1000(10+x)(14-x)]

[eqn: =1000(-x^2 +4x+140)]

[eqn: =1000 left{-(x-2)^2 +144 right}]

[eqn: =-1000(x-2)^2 +144000]

판매한 총 금액이 최대가 될 때는

[eqn: x=2]일 때 [eqn: 2000+200 times2 =2400](원)

[eqn: circ] 적절한 문자를 사용하여 가격과 하루 판매량을 식으로 나타내는 과정을 포함하여 서술할 것

[eqn: circ] 이차함수의 그래프를 그리고 이를 이용하여 설명하는 과정을 포함하여 서술할 것

고차방정식(step3)

7.

[eqn: x^3 +3x-1=0]의 근을 [eqn: alpha]라 할 때, [eqn: (alpha^2 +alpha+1)P(alpha)=1]을 만족시키는 차수가 최소인 다항식 [eqn: P(x)]에 대하여 [eqn: P(3)]의 값은? [[eqn: 5.4]점]

②

삼차방정식 [eqn: x^3 +3x-1=0]의 세 근을 [eqn: alpha_1 ,~alpha_2 ,~ alpha_3]라 하자.

[eqn: x^3 +3x-1=0]이 중근을 가진다고 가정하고 [eqn: alpha_2 ,``` alpha_3]가 중근이라고 하면 근과 계수의 관계에 따라

[eqn: cases{ `alpha_1 +2alpha_2 =0 ~&~cdots~① #` 2alpha_1 alpha_2 +alpha_2 ^2 =3 ~&~cdots~② #` alpha_1 alpha_2 ^2 =1 ~&~cdots~③}]

[eqn: ①]식을 [eqn: ②,```③]식에 대입하면

[eqn: cases{ `-4 alpha_2 ^2 +alpha_2 ^2 =3 ~&~cdots~④ #` -2alpha_2 ^3 =1 ~&~cdots~⑤}]

[eqn: ④,```⑤]식을 동시에 만족하는 [eqn: alpha_2]가 존재하지 않으므로

[eqn: x^3 +3x-1=0]는 서로 다른 세 근 [eqn: alpha_1 ,~alpha_2 ,~ alpha_3]을 가진다.

[eqn: x^3 +3x-1=0]의 근 [eqn: alpha]에 대하여

[eqn: (alpha^2 +alpha+1)P(alpha)=1]

양변에 [eqn: alpha-1]을 곱하면

[eqn: (alpha^3 -1)P(alpha)=alpha-1]

[eqn: alpha^3 +3alpha-1=0]이므로

[eqn: -3alphaP(alpha)=alpha-1]

[eqn: 3alphaP(alpha)+alpha-1=0]

[eqn: cases{ `3alpha_1 P(alpha_1 )+alpha_1 -1=0 #`3alpha_2 P(alpha_2 )+alpha_2 -1=0 #`3alpha_3 P(alpha_3 )+alpha_3 -1=0}]

인수정리에 의하여 다항식 [eqn: 3xP(x)+x-1]은 세 일차식 [eqn: x-alpha_1 ,] [eqn: x-alpha_2 ,] [eqn: x-alpha_3]을 인수로 가진다.

[eqn: 3xP(x)+x-1][eqn: = (x-alpha_1 )( x-alpha_2 )(x-alpha_3 )Q(x)]
[eqn: =(x^3 +3x-1)Q(x)]

[eqn: Q(x)]가 상수일 경우 [eqn: Q(x)=a]라 하면

[eqn: 3xP(x)+x-1=a(x^3 +3x-1)]

[eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: -1=-a], [eqn: a=1]

[eqn: 3xP(x)+x-1=x^3 +3x-1]

[eqn: P(x) = 1over3 (x^2 +2)]

[eqn: therefore~P(3) = 11over3]

① [eqn: 10over3]	② [eqn: 11over3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 13over4]	⑤ [eqn: 14over3]

[eqn: (1+ sqrt { 3})^6 -(1+ sqrt { 3})^5 -3(1+ sqrt { 3})^4 +2(1+ sqrt { 3})^3]
[eqn: -(1+ sqrt { 3})^2 -7]
의 값이 [eqn: m+n sqrt { 3}]일 때, 두 정수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m-n]의 값은? [[eqn: 4.3]점]

①

[eqn: x=1+ sqrt { 3}]이라 하면

[eqn: x-1= sqrt { 3},~ x^2 -2x-2=0]

[eqn: (1+ sqrt { 3})^6 -(1+ sqrt { 3})^5 -3(1+ sqrt { 3})^4 +2(1+ sqrt { 3})^3 -(1+ sqrt { 3})^2 -7]

[eqn: = x^6 -x^5 -3x^4 +2x^3 -x^2 -7]

[eqn: =(x^2 -2x-2)(x^4 +x^3 +x^2 +6x +13) +38x+19]

[eqn: =][eqn: 38x+19 = 57+38 sqrt { 3}]

[eqn: therefore~ m=57,~n=38,~ m-n =19]

① [eqn: 19]	② [eqn: 38]	③ [eqn: 57]

④ [eqn: 76]	⑤ [eqn: 96]

다항식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax+b]는 [eqn: x+7]로 나누어떨어지고,
다항식 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +cx ^{2} +d]는 [eqn: x+3]으로 나누어떨어진다.
두 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0,````g LEFT ( x RIGHT ) =0]이 모두 [eqn: {p+ sqrt {q} i} over {2}]를 근으로 갖는다고 할 때, [eqn: LEFT ( a+b+c+d RIGHT ) - LEFT ( p+q RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이고 [eqn: a,``b,``c,``d`]는 실수, [eqn: p,``q]는 자연수이다.) [4.5점]

① [eqn: 185]	② [eqn: 190]	③ [eqn: 195]
④ [eqn: 200]	⑤ [eqn: 205]

③

다항식의 모든 계수가 실수 이므로,

한 근이 [eqn: {p+ sqrt {q} i} over {2}]면, 다른 한 근은 [eqn: {p- sqrt {q} i} over {2}]

두 근의 합은 [eqn: p], 두 근의 곱은 [eqn: {p ^{2} +q} over {4}]

[eqn: x ^{3} +ax+b= LEFT ( x+7 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -px+ {p ^{2} +q} over {4} RIGHT ) = LEFT ( x+7 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -7x+21 RIGHT )]

[eqn: 2x ^{3} +cx ^{2} +d= LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( 2x ^{2} -2px+ {p ^{2} +q} over {2} RIGHT ) = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( 2x ^{2} -14x+42 RIGHT )]

항등식 이므로 계수를 비교하면 [eqn: p=7,```][eqn: q=35,]

[eqn: a=-28,````b=147,````c=-8,````d=126]

이므로 [eqn: LEFT ( a+b+c+d RIGHT ) - LEFT ( p+q RIGHT ) =195]

삼차방정식 [eqn: x^3 -3x^2 +5x-6=0`]의 한 허근을 [eqn: alpha`]라 할 때, [eqn: alpha^4 - 45 overalpha^2 +9`]의 값은? [4.7점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]
④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 25]

⑤

[eqn: f(x)=x^3 -3x^2 +5x-6`]이라 하면

[eqn: f(2)=8-12+10-6=0]

[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: -3]	[eqn: 5]	[eqn: -6]
		[eqn: 2]	[eqn: -2]	[eqn: 6]
	[eqn: 1]	[eqn: -1]	[eqn: 3]	[eqn: 0]

[eqn: f(x)=(x-2)(x^2 -x+3)]

[eqn: x^2 -x+3=0`]의 한 허근이 [eqn: alpha`]이므로 [eqn: alpha^2 =alpha-3]

[eqn: f(alpha)=alpha^3 - 3alpha^2 +5alpha-6=0`]에서

[eqn: alpha^3 =3alpha^2 -5alpha+6=-2alpha-3]

[eqn: alpha^ 6 =(-2alpha-3)^2 =4alpha^2 +12alpha+9 =16alpha -3]

[eqn: therefore] [eqn: alpha^4 - 45 overalpha^2 +9` ={alpha^6 +9alpha^2 -45} overalpha^2]

[eqn: ={16alpha-3+9alpha-27-45} overalpha-3]

[eqn: ={25alpha-75} overalpha-3 =25]

방정식 [eqn: x^3 -5x^2 +9x-5=0`]의 두 허근을 [eqn: z_1 ,~z_ 2`]라 할 때, [eqn: (z_1 )^5 +(z_2 )^5 `]의 값을 구하시오. [8.0점]

[eqn: -76]

[eqn: f(x)=x^3 -5x^2 +9x-5`]라 하면 [eqn: f(1)=0`]이므로

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: -5]	[eqn: 9]	[eqn: -5]
		[eqn: 1]	[eqn: -4]	[eqn: 5]
	[eqn: 1]	[eqn: -4]	[eqn: 5]	[eqn: 0]

[eqn: f(x)=(x-1)(x^2 -4x+5)]

[eqn: x^2 -4x+5=0`]의 두 근이 [eqn: z_1 ,~z_2]이므로

[eqn: z_1 +z_2 =4 ,~z_1 z_2 =5]

[eqn: z_1 ^2 +z_2 ^2 =(z_1 +z_2 )^2 -2z_1 z_2 =16-10=6]

[eqn: z_1 ^3 +z_2 ^3 =(z_1 +z_2 )^3 -3z_1 z_2 (z_1 +z_2 )=64-60=4]

[eqn: (z_1 ^2 +z_2 ^2 )(z_1 ^3 +z_2 ^3 )=z_ 1 ^5 +z_2 ^5 +z_1 ^2 z_2 ^2 (z_1 +z_2 )]

[eqn: 24=z_1 ^5 +z_2 ^5 +100]

[eqn: therefore] [eqn: z_1 ^5 +z_2 ^5 =-76]

20번 해설 수정

18번 해설 오타 수정

삼차방정식 [eqn: x^3 =-1`]의 한 허근 [eqn: omega`]에 대하여 [eqn: z={omega`-1} over2omega-1} `]이라 할 때, [eqn: z(z^5 +barz ) `]의 값은? (단, [eqn: barz`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.)
[4.7점]

① [eqn: 2 over27]	② [eqn: 4 over27]	③ [eqn: 2 over9]
④ [eqn: 8 over27]	⑤ [eqn: 10 over27]

④

[eqn: x^3 +1 =0]

[eqn: (x+1)(x^2 -x+1)=0]

[eqn: x^2 -x+1=0`]의 허근을 [eqn: omega`,~ baromega` `]이라 하면

[eqn: omega`^3 =-1 ,~ omega`+ baromega` =1,~omega` baromega` =1], [eqn: omega`^2 =omega`-1]

[eqn: z={ omega`-1 }over{2omega`-1} = {omega`^2 }over{omega`^2 +omega} = {omega`} over {omega`+1}], [eqn: barz ={ bar omega} over{ baromega` +1}]

[eqn: z^3 == {omega`^3} over{omega`^3 + 3 omega`^2 +3omega`+1}][eqn: = -1 over{-1+3omega`-3+3omega`+1}= -1 over{3(2omega`-1)}]

[eqn: z^6 = 1 over{9(4omega`^2 -4omega`+1)}= 1 over{9(4omega`-4-4omega`+1)} = - 1 over27]

[eqn: z barz ={omega` baromega`} over{ omega` baromega`+(omega`+ baromega`)+1} = 1 over3]

[eqn: therefore] [eqn: z(z^5 +barz ) ` = z^6 + z barz = - 1 over27 + 1 over3 = 8 over27]

연립방정식(step2)

8.

연립이차방정식의 풀이(1)

[eqn: x,`y]에 대한 두 연립방정식
[eqn: {cases{x+y=a&#2x ^{2} +3xy-2y ^{2} =0&}}][eqn: {cases{ax+by=7&#x ^{2} +y ^{2} =5&}}]

의 공통인 해가 존재할 때, [eqn: a+b]의 값은? (단 [eqn: a>0,```b>0]) [4.6점]

③

첫 번째 연립방정식을 풀어본다.

[eqn: 2x ^{2} +3xy-2y ^{2} =0]

[eqn: LEFT ( 2x-y RIGHT ) LEFT ( x+2y RIGHT ) =0]

①[eqn: y=2x] or ②[eqn: x=-2y]

두 번째 연립방정식의 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =5]에 대입해본다.

①[eqn: y=2x]

[eqn: x ^{2} + LEFT ( 2x RIGHT ) ^{2} =5]

[eqn: 5x ^{2} =5]

[eqn: x ^{2} =1]

[eqn: x=1]or[eqn: -1]

해:[eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT ) ,~ LEFT ( -1,~-2 RIGHT )]

②[eqn: x=-2y]

[eqn: LEFT ( -2y RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =5]

[eqn: 5y ^{2} =5]

[eqn: y ^{2} =1]

[eqn: y=1]or[eqn: -1]

해:[eqn: LEFT ( -2,~1 RIGHT ) ,~ LEFT ( 2,~-1 RIGHT )]

if)해가 [eqn: (-2,~1)]이면 [eqn: x+y=a=-1<0]이므로 해가 될 수 없다.

if)해가 [eqn: (1,~2)]이면 [eqn: x+y=a=3]

두 번째 연립방정식에서 [eqn: ax+by=7]에 근을 대입한다.

[eqn: 3x+by=7]

[eqn: 3 TIMES 1+b TIMES 2=7]

[eqn: THEREFORE b=2>0]

[eqn: a+b=3+2=5]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

연립방정식 [eqn: {cases{ax-y=4&#x+y=6&}}]의 해가 연립방정식 [eqn: {cases{x-y=b&#x ^{2} +y ^{2} =20&}}]를 만족시킨다고 할 때, 실수 [eqn: a,b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: b<0]이다.) [4.1점]

➁

[eqn: x+y=6], [eqn: x ^{2} +y ^{2} =20]을 연립하면 [eqn: x=2], [eqn: y=4]또는 [eqn: x=4], [eqn: y=2]이다.

[eqn: x-y=b]에서 [eqn: b<0`]이므로 [eqn: x=2], [eqn: y=4]이고, [eqn: b=-2]이다.

[eqn: ax-y=4`]에서

[eqn: 2a-4=4], [eqn: a=4]

따라서 [eqn: a+b=4+ LEFT ( -2 RIGHT ) =2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

연립방정식 [eqn: {cases{x-y=-3&#x ^{2} -2xy-y ^{2} =7&}}]의 해를 [eqn: x= alpha], [eqn: y= beta]라 할 때, [eqn: alpha + beta]의 최솟값은? [3.5점]

①

[eqn: y=x+3]을 [eqn: x ^{2} -2xy-y ^{2} =7]에 대입해서 정리하면
[eqn: x ^{2} +6x+8=0]이므로 [eqn: x=-2`,`y=1] 또는 [eqn: x=-4`,`y=-1]이다.

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

연립방정식
[eqn: {cases{x ^{2} -y ^{2} =10&#LEFT ( x+y RIGHT ) ^{2} -2 LEFT ( x+y RIGHT ) =15&}}]
을 만족시키는 양수 [eqn: x,`y]에 대하여 [eqn: 40x`y]의 값을 구하고
그 과정을 과정을 서술하시오.[[eqn: 4.0]점 부분점수 있음.]

[eqn: 210]

[eqn: LEFT { (x+y)-5 RIGHT } LEFT { (x+y)+3 RIGHT } =0]

ⅰ) [eqn: x+y=5`]일 때

[eqn: x ^{2} - LEFT ( 5-x RIGHT ) ^{2} =10]

[eqn: x= 7over2`]

[eqn: therefore] [eqn: x= 7 over2], [eqn: y= 3over2]

ⅱ) [eqn: x+y=-3]일 때

[eqn: x ^{2} - LEFT ( -3-x RIGHT ) ^{2} =10]

[eqn: x=- {19} over {6}] ([eqn: x`]가 양수인 조건에 위배)

따라서 [eqn: 40x`y=40 TIMES {7} over {2} TIMES {3} over {2} =210]

연립이차방정식의 풀이(2)

연립이차방정식 [eqn: {cases{`x ^{2} +y ^{2} =5 _{it _{it}}#`2x ^{2} +3xy-2y ^{2} =0}} ```]의 해를 [eqn: x= alpha `,] [eqn: y= beta `]라 할 때, [eqn: alpha + beta `]의 최댓값은? [[eqn: 4.3`]점]
① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

②

[eqn: 2x ^{2} +3xy-2y ^{2} =0`]에서 [eqn: LEFT ( 2x-y RIGHT ) LEFT ( x+2y RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ~y=2x] 또는 [eqn: x=it-2y]

➊ [eqn: y=2x`]일 때,

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =5`]에 대입하면

[eqn: x ^{2} + LEFT ( 2x RIGHT ) ^{2} =5`,~5x ^{2} =5]

[eqn: x ^{2} =1] [eqn: THEREFORE ~x=it +- 1]

이때, [eqn: y=it +- 2`]이므로 연립방정식의 해는

[eqn: {cases{`x=1 _{it}_{it}#`y=2}}] 또는 [eqn: {cases{`x=it-1 _{it _{it}}#`y=it-2}}]

➋ [eqn: x=it-2y`]일 때,

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =5`]에 대입하면

[eqn: LEFT ( -2y RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =5`,~5y ^{2} =5]

[eqn: y ^{2} =1] [eqn: THEREFORE ~y=it +- 1]

이때, [eqn: x=it -+ 2`]이므로 연립방정식의 해는

[eqn: {cases{`x=it-2 _{it _{it}}#`y=1}}] 또는 [eqn: {cases{`x=2 _{it _{it}}#`y=it-1}}]

따라서 ➊, ➋에 의하여 주어진 연립방정식의 해는

[eqn: {cases{`x=1 _{it}_{it}#`y=2}}] 또는 [eqn: {cases{`x=it-1 _{it _{it}}#`y=it-2}}] 또는 [eqn: {cases{`x=it-2 _{it _{it}}#`y=1}}] 또는 [eqn: {cases{`x=2 _{it _{it}}#`y=it-1}}]

이므로 [eqn: alpha + beta `]의 최댓값은 [eqn: x=1`,~y=2`]일 때, [eqn: alpha + beta =1=2=3`]

이다.

연립방정식 [eqn: cases{`2x+y+2xy=11 #`4x^2 +y^2 =13}]의 실근을 [eqn: x=alpha], [eqn: y=beta]라고 할 때, [eqn: 2alpha +2beta]의 최솟값은? [[eqn: 4.3]점]

②

[eqn: 2(2x+y+2xy)+(4x^2 +y^2 ) =35]

[eqn: 4x^2 +4xy+ y^2 + 2(2x+y) =35]

[eqn: (2x+y)^2 +2(2x+y) -35=0]

[eqn: 2x+y=-7] 또는 [eqn: 2x+y=5]

(i) [eqn: 2x+y=-7]일 때

[eqn: 2xy= 18]

[eqn: 2x,~y`]를 두 근으로 하는 [eqn: t]에 관한 이차방정식은

[eqn: t ^{2} +7t+18=0]

판별식이 [eqn: 7 ^{2} -4times18<0], 즉 허근을 가지므로 성립하지 않는다.

(ii) [eqn: 2x+y=5]일 때

[eqn: 2xy= 6]

[eqn: (2x,```y) = (2,```3),``` (3,```2)]

[eqn: (x,```y) = (1,```3), ```left( 3over2 ,```2 right)]

[eqn: 2alpha+2beta = 8] 또는 [eqn: 2alpha+2beta = 7]

따라서 [eqn: 2alpha+2beta`]의 최솟값은 [eqn: alpha= {3} over {2} `], [eqn: beta=2`]일 때 [eqn: 7`]이다.

① [eqn: 6]	②[eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

대칭형의 연립방정식

연립방정식 [eqn: cases{ xy + LEFT ( x+y RIGHT )+1=k#xy- 2 LEFT ( x+y RIGHT )+4=k]가 실근을 갖기 위한 실수 [eqn: k]의 최댓값은? [[eqn: 5.2]점]

① [eqn: 4over 9]	② [eqn: 5over 3]	③ [eqn: 9 over 4]
④ [eqn: 7over 2]	⑤ [eqn: 13 over 2]

③

연립방정식 [eqn: cases{ xy + LEFT ( x+y RIGHT )+1=k#xy- 2 LEFT ( x+y RIGHT )+4=k]에서 실근을 가지므로

연립방정식의 해를 [eqn: x = alpha], [eqn: y= beta]라 하면

[eqn: alpha], [eqn: beta]는 실수이다.

[eqn: cases{ alpha beta + LEFT ( alpha+ beta RIGHT )+1=k&&cdots㉠# alpha beta- 2 LEFT ( alpha+ betaRIGHT )+4=k&& cdots㉡]

[eqn: ㉠-㉡]을 하면

[eqn: 3 LEFT ( alpha+beta RIGHT )-3=0]

[eqn: therefore][eqn: alpha +beta= 1]	[eqn: cdots㉢]

[eqn: ㉠]에 [eqn: ㉢]을 대입하면

[eqn: alpha beta= k-2]	[eqn: cdots㉣]

이차방정식 [eqn: t^2 - LEFT ( alpha +beta RIGHT )t + alpha beta=0]에서 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: alpha], [eqn: beta]가 실수이므로 판별식 [eqn: D][eqn: ge0]이다.

[eqn: ㉢], [eqn: ㉣]에 의하여

[eqn: t^2 -t +k-2=0]

[eqn: D=1^2 - 4 LEFT ( k-2 RIGHT )ge0]

[eqn: 1- 4k +8 ge0]

[eqn: 4k le 9]

[eqn: k le 9over4]

그러므로 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 9over4]이다.

연립방정식의 해의 조건

방정식 [eqn: (2x^2 -3xy-2y^2 )^2 +(2x^2 +y^2 -36)^2 =0`]을 만족시키는 실수 [eqn: x,~y`]에 대하여 [eqn: x+y`]의 최댓값은? [4.2점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

⑤

[eqn: (2x^2 -3xy-2y^2 )^2 +(2x^2 +y^2 -36)^2 =0`]

[eqn: 2x^2 -3xy-2y^2 =0]이고 [eqn: 2x^2 +y^2 -36=0]

[eqn: 2x^2 -3xy-2y^2 =0]에서 [eqn: (2x+y)(x-2y)=0]

ⅰ) [eqn: 2x+y=0], 즉 [eqn: y=-2x`]일 때

[eqn: 2x^2 +4x^2 =36]

[eqn: x^2 =6]

[eqn: x=root6 ,~y=-2root6] 또는 [eqn: x=-root6], [eqn: y=2root6]

ⅱ) [eqn: x-2y=0], 즉 [eqn: y= 1 over2 x`]일 때

[eqn: 2x^2 + 1 over4 x^2 =36]

[eqn: x^2 =16]

[eqn: x=4,~y=2] 또는 [eqn: x=-4,~y=-2]

ⅰ), ⅱ)에 의해 [eqn: x+y`]의 최댓값은 [eqn: x=4,~y=2`]일 때 [eqn: 6]

다음 <조건>을 만족시키는 실수 [eqn: a,~b]에 대하여
연립방정식 [eqn: {cases{``ax+y=10&#``2x ^{2} -by ^{2} =50&}}]의 해를 [eqn: x=alpha,~y=beta]라고 할 때, [eqn: alpha+beta]의 최댓값은? [[eqn: 4.6]점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

④

두 근을 [eqn: alpha `,``` beta `]라고 할 때,
[eqn: alpha + beta =2 LEFT ( n+1 RIGHT )], [eqn: alpha beta =n ^{2} +1]에서
[eqn: alpha =n+1+k,~ beta =n+1-k]
[eqn: alpha beta = LEFT ( n+1+k RIGHT ) LEFT ( n+1-k RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2} -k ^{2} =n ^{2} +1]에서
[eqn: 2n-k ^{2} =0] 따라서 [eqn: k= sqrt {2n}]이므로 [eqn: sqrt {2n}]는 정수이므로 [eqn: 2n]은 제곱수
이므로 [eqn: 2n:(2 ^{2} ,~4 ^{2} ,~6 ^{2} ,~8 ^{2} ,10 ^{2} )]
모든 자연수[eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 110]

【다른풀이추가】

[eqn: x ^{2} -2(n+1)x+n ^{2} +1=0]에서

근의 공식 [eqn: x= LEFT ( n+1 RIGHT ) ± sqrt {LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT )}]

[eqn: THEREFORE x= LEFT ( n+1 RIGHT ) ± sqrt {LEFT ( 2n RIGHT )}]

[eqn: 2n]:완전수 이여야 한다.
[eqn: 2n][eqn: =4,``16,``36,``64,``100]

[조건]

삼차방정식 [eqn: x ^{3} +1=0]의 한 허근을 [eqn: w]라 할 때,

[eqn: 4 omega ^{3} -3 omega ^{2} +5 omega -1=a omega +b]이다

연립방정식의 활용

각각 일정한 속도로 제품을 생산하는 기계 [eqn: rmA]와 기계 [eqn: rmB]가 있다. 기계 [eqn: rmA]가 [eqn: 1]시간 동안 생산하는 제품의 개수는 기계 [eqn: rmB]가 [eqn: 1]시간 동안 생산하는 제품의 개수보다 [eqn: 5]개가 적다. [eqn: x]시간 동안 기계 [eqn: rmA]와 기계 [eqn: rmB]가 생산하는 제품의 개수의 합은 [eqn: 200]이고, 기계 [eqn: rmA]만 가동했을 때 [eqn: 100]개의 제품을 생산하는 데 걸리는 시간은 [eqn: (x+2)]시간이다. 이때 기계 [eqn: rmA]가 [eqn: 100]개의 제품을 생산하는 데 걸리는 시간 동안 기계 [eqn: rmB]가 생산할 수 있는 제품의 개수는? [[eqn: 4.5]점]

⑤

기계 [eqn: rmA,```B]가 [eqn: 1]시간 동안 생산하는 제품의 개수를

각각 [eqn: a,```a+5]라 하면

[eqn: cases{ `(2a+5)x=200&~cdots~㉠ # `a(x+2)=100 &~cdots~㉡}]

두 식을 연립하여 계산하면

[eqn: ㉠-㉡times2] : [eqn: 5x-4a=0,~ x= 4over5 a]

[eqn: ㉠]에 대입하면

[eqn: 4over5 a(2a+5)=200]

[eqn: 2a ^{2} +5a-250=0]

[eqn: (a-10)(2a+25)=0]

[eqn: a=10~(because```a>0)]

[eqn: therefore``` 100over10 times15 =150]

① [eqn: 50]	② [eqn: 80]	③ [eqn: 100]

④ [eqn: 120]	⑤ [eqn: 150]

그림과 같이 넓이가 [eqn: 960m ^{2}]이고 대각선의 길이가 [eqn: 8 sqrt {34} m]인 직사각형 모양의 수영장이 있다. 이 수영장의 가로의 길이를 [eqn: a`m], 세로의 길이를 [eqn: b`m]라 할 때,[eqn: {a} over {b}]의 값은? (단, [eqn: a>b])[[eqn: 5.3]점]

① [eqn: {8} over {7}]	② [eqn: {7} over {6}]	③ [eqn: {4} over {3}]
④ [eqn: {7} over {5}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

⑤

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =64 TIMES 34][eqn: cdotscdots]㉠
[eqn: ab=960]	[eqn: cdotscdots]㉡
[eqn: {a ^{2} +b ^{2}} over {ab} = {64 TIMES 34} over {960} = {34} over {15}]
[eqn: {a} over {b} + {b} over {a} = {34} over {15}] [eqn: {a} over {b} =x]라 하자
[eqn: x+ {1} over {x} = {34} over {15}]
[eqn: 15x ^{2} -34x+15`=` LEFT ( 3x-5 RIGHT ) LEFT ( 5x-3 RIGHT ) `=`0``]
[eqn: THEREFORE {a} over {b} = {5} over {3}]

정수 조건의 부정방정식

[eqn: x`]에 대한 이차식

[eqn: 30]

주어진 이차식이 완전제곱식이 되기 위해서는

[eqn: x ^{2} -4 LEFT ( a-b RIGHT ) x+4 LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} -17ab-5a-2b-7=0`]이 중근을 가져야 한다. 따라서 판별식

[eqn: {D} over {4} =4 LEFT ( a-b RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} +17ab+5a+2b+7=0], 이를 정리하면

[eqn: ab+5a+2b+7=0`]이 된다.

[eqn: a LEFT ( b+5 RIGHT ) +2 LEFT ( b+5 RIGHT ) =-7+10=3,] [eqn: LEFT ( a+2 RIGHT ) LEFT ( b+5 RIGHT ) =3`] [eqn: CDOTS CDOTS LEFT ( * RIGHT )]

[eqn: a,~b`]가 정수이므로 [eqn: LEFT ( * RIGHT )]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT ) `]는

[eqn: LEFT ( -1,~-2 RIGHT ) ,~ LEFT ( 1,~-4 RIGHT ) ,~ LEFT ( -3,~-8 RIGHT ) ,~ LEFT ( -5,~-6 RIGHT )]이다.

[eqn: ab=-4,~2,~24,~30`]이므로 이 중 가장 큰 값은 [eqn: 30`]이 됨을 알 수 있다.

[eqn: x ^{2} -4 LEFT ( a-b RIGHT ) x+4 LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} -17ab-5a-2b-7`]이 완전제곱식이 되도록 하는 정수 [eqn: a,~b`]에 대하여 [eqn: ab`]의 값 중 가장 큰 값을 구하고, 그 풀이 과정을 논술하시오. (부분 점수 있음) [[eqn: 5.0]점]

연립방정식(step3)

8.

방정식 [eqn: 2x(x-1)+2y(y-1)=(x+y)(x+y-1)]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (x,```y)]의 개수는? (단, [eqn: 10 le x < y le100]인 자연수이다.) [[eqn: 4.8]점]

②

[eqn: 2x(x-1)+2y(y-1)=(x+y)(x+y-1)]

전개해서 정리하면

[eqn: x^2 +y^2 -2xy -x -y=0]

[eqn: 4x^2 +4y^2 -8xy -4x -4y=0]

[eqn: 4y^2 -4(2x+1)y +4x^2 -4x=0]

[eqn: (2y-2x-1)^2 = 8x+1]

[eqn: 2y-2x-1 ge1]이므로

[eqn: 2y-2x-1 = sqrt { 8x+1}]

[eqn: 8x+1]은 홀수의 제곱수이고, [eqn: 81 le 8x+1 le 793]이므로

[eqn: 8x+1 = (2m+1)^2] [eqn: (m]은 자연수)

[eqn: x= { m(m+1)} over {2 } ,~ y=x+m+1]

연속하는 두 자연수의 곱은 항상 [eqn: 2]의 배수이므로

[eqn: { m(m+1)} over {2 }]는 자연수이고

[eqn: m=4]일 때 [eqn: x=10,~ y=15]

[eqn: vdots]

[eqn: m=12]일 때 [eqn: x=78,~ y=91]

[eqn: m=13]일 때 [eqn: x=91,~ y=105]

[eqn: 10 le x < y le100]를 만족하는 자연수 [eqn: m]의 범위는 [eqn: 4 le m le12]이다.

따라서 순서쌍 [eqn: (x,```y)]의 개수는 [eqn: 9]이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

25년 내신대비	학교시험기출	정답 및 풀이

⑤

①

③

①

②

②

②

④

②

③

⑤

③

②

③

④

⑤

①

⑤

①

③

③

③

④

③

⑤

⑤

②

④

③

④

⑤

⑤

➀

⑤

①

①

①

④

①

②

⑤

②

[eqn: 45]

③

⑤

③

①

①

③

①

③

⑤

②

②

④

➄

④

[eqn: 725]

[eqn: 72]

①

④

②

④

②

[eqn: a=1,~b=4,~c=-1]

[eqn: a= {5} over {2} ,``b= {3} over {2} ,``c=2]

③

④

①

③

③

⑤

⑤

③

④

①

②

⑤

[eqn: 5]

①

②

[eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) x-ab]

①

②

①

④

①

②

④

①

③

⑤

④

③

④

①

④

①

①

③

⑤

⑤

②

([eqn: 1]) [eqn: 7] ([eqn: 2]) [eqn: 2]

②

③

➁

③

➁

➀

①

①

[eqn: 2x ^{2} -3x+1]

④

③

②

➀

⑤

①

⑤

①

②

①

③

⑤

②

③

④

②

[eqn: -1]

⑤

②

②

④

①

④

④

⑤

⑤

②

⑤

③

➀

[eqn: 56]

[eqn: 1011]

④

⑤

⑤

➂

①

몫 [eqn: x- {2} over {3}], 나머지 [eqn: {11} over {3}]

①

①

④

⑤

[eqn: 2022]

④

①

②

⑤

④

③

②

④

⑤

②

[eqn: -91]

[eqn: LEFT ( a,~b RIGHT ) = LEFT ( 1,~12 RIGHT ) ,~ LEFT ( 2,~19 RIGHT )]

③

③

②

⑤

①

②

[eqn: 9]

[eqn: 3]

(1) [eqn: 2]차 (2) [eqn: P LEFT ( -2 RIGHT )=it-30]

①

①

⑤

①

[eqn: -8]

⑤

①

③

③

③

⑤

①

④

⑤

⑤

④

[eqn: 72]

②

②

②

⑤

➂

①

④

⑤

⑤

③

④

②

③

④

➃

②

⑤

②

⑤

④

①

⑤

③

⑤

[eqn: 54]

④

④

②

[eqn: sqrt {34}]

③

➂

➃

(1) [eqn: (a+b)^3 =a^3 +3a^2 b +3ab^2 +b^3]
(2) [eqn: P(x)Q(x)=-x^4 -2x^3 -2x^2 -x+6]
(3) [eqn: P(x)=-x^2 -x+2], [eqn: Q(x)=x^2 +x+3]

⑤

③

③

④

④

④

③

⑤

④

②

➃

②

③

③

①

③

➁

②

①

③

①

③

④

④

➃

①

④

②

③

②

③

③

②

①

①

⑤

[eqn: a=-3 sqrt {3}], [eqn: b=3 sqrt {3} -4]

③

⑤

④

②

⑤

①

①

①

③

[eqn: 24]

①

②

①

④

③

④

[eqn: 12-26i]

⑤

④

⑤

③

④

③

(2, 1), (2, 3)

③

⑤

④

④

(1)

[eqn: n]	[eqn: z^n]	[eqn: (z-root2 ) ^n]	[eqn: z^n + (z- root2 ) ^n]
[eqn: 1]	[eqn: 1 overroot2 + 1 over root2 i]	[eqn: - 1overroot2 + 1 over root2 i]	㉠ [eqn: sqrt {2} i]
[eqn: 2]	[eqn: i]	㉡ [eqn: -i]
[eqn: 3]	[eqn: - {1} over {sqrt {2}} + {1} over {sqrt {2}} i]	[eqn: 1 overroot2 + 1 over root2 i]	㉢ [eqn: sqrt {2} i]
[eqn: 4]	㉣ [eqn: -1]	[eqn: -1]	[eqn: -2]
[eqn: 5]	[eqn: - 1overroot2 - 1 over root2 i]	㉤ [eqn: {1} over {sqrt {2}} - {1} over {sqrt {2}} i]	[eqn: - sqrt {2} i]
[eqn: 6]	[eqn: -i]	[eqn: i]	㉥ [eqn: 0]
[eqn: 7]	[eqn: {1} over {sqrt {2}} - {1} over {sqrt {2}} i]	[eqn: - 1overroot2 - 1 over root2 i]	[eqn: - root2 i]
[eqn: 8]	㉦ [eqn: 1]	[eqn: 1]	㉧ [eqn: 2]
[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]

(2) [eqn: n=2], [eqn: 6], [eqn: 10], [eqn: 14], [eqn: 18`]일 때 성립한다.

③

①

①

①

②

③

②

①

①

➃

➄

⑤

①

①

②

①

④

②

③

⑤

④

➂

③

③

③

⑤

④

①

②

④

④

⑤

③

①

①

②

①

[eqn: 3]

⑤

①

①

④

[eqn: 1-2i]

④

①

③

➀

②

③

①

③

➁

④

⑤

[eqn: -2,``1,``3,```6]

[eqn: 118]

②

[eqn: 3x ^{2} +5x-1=0]

⑤

①

①

④

④

[eqn: 3+i~or~3-i]

⑤

④

④

[eqn: 8]

④

➄

⑤

[eqn: x=3,``y=9]

③

⑤

①

⑤

[eqn: p=8,~q=17]

④

③

④

①

②

②

④

⑤

⑤

④

②

⑤

➁

⑤

③

➂

③

②

②

③

①

⑤

⑤

③

②

④

[eqn: -8 sqrt {2}]

②

①

②

②

③

➀

③

⑤

④

③

[eqn: a=2], [eqn: M=33]

⑤

⑤

[eqn: 72]

①

판매가 [eqn: 70]원. 최대이익 [eqn: 1600]원

③

④

④

①

④

②

②

①

①

(1) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax LEFT ( x+2 RIGHT ) +2]에서 [eqn: LEFT ( -3,````-1 RIGHT )]을 지나므로
이다. [eqn: a=-1]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-x LEFT ( x+2 RIGHT ) +2=-x ^{2} -2x+2]
이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 직선 [eqn: y=m LEFT ( x+3 RIGHT ) +3]과 접하므로
[eqn: -x ^{2} -2x+2=mx+3m+3], [eqn: x ^{2} + LEFT ( m+2 RIGHT ) x+3m+1=0]
판별식 [eqn: D= LEFT ( m+2 RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( 3m+1 RIGHT ) =m ^{2} -8m=0]
[eqn: m=0]또는 [eqn: m=8]
(2) [eqn: -x ^{2} -2x+2=kx+2], [eqn: x ^{2} + LEFT ( k+2 RIGHT ) x=0]
판별식 [eqn: D= LEFT ( k+2 RIGHT ) ^{2}]이므로
(ⅰ) [eqn: k=-2]일 때 한 점에서 만난다. (접한다.)
(ⅱ) [eqn: k != -2]일 때 [eqn: D>0]이므로 두 점에서 만난다.

③

[eqn: 89]

⑤

②

④

➄

④

②

④

①

①

③

③

⑤

[eqn: {70} over {9}]

⑤

[eqn: k= {13} over {5}],[eqn: k=-1]

③

③

①

④

①

➂

(1) [eqn: b=4] (2) [eqn: b=(a-3)^2 +4] (3) [eqn: 7]

⑤

②

➃

➃

③

②

①

[eqn: 21]

①

⑤

①

(1) [eqn: f(t)=-2 LEFT ( t- {x} over {4} RIGHT ) ^{2} + {x ^{2}} over {8} +5]이다.
[eqn: x=-6]일 때 [eqn: {x} over {4} =- {3} over {2} <`-1]이므로 [eqn: g(x)=f(-1)=-x+3]이다.
따라서 [eqn: g(-6)=9]이다.
(2) [eqn: {x} over {4} <`-1]일 경우 [eqn: (1)]과 같이 [eqn: g(x)=-x+3]이다.
[eqn: -1 LEQ {x} over {4} LEQ 1]일 경우 [eqn: g(x)= {x ^{2}} over {8} +5]이다.
[eqn: 1< {x} over {4}]일 경우 [eqn: g(x)=f(1)=x+3]이다.
따라서, 주어진 조건을 만족하려면 [eqn: g(x)= {x ^{2}} over {8} +5=6],
[eqn: x= +- sqrt {8}]이므로, 구하고자 하는 곱은 [eqn: -8]이다.
(3)
그림을 참고하면 구하고자 하는 점의 개수는 [eqn: 9+7+5=21]개다.

[eqn: -4]

②

[eqn: {1} over {2}]

①

②

➄

[eqn: ` {25} over {3}]

⑤

④

①

④

➂

②

⑤

⑴ [eqn: y=- {1} over {2} x ^{2} +3x], [eqn: y=x+2] ⑵ [eqn: 4]

③

②

④

③

(1) ㈎에 의해 이차함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: g(x)=(x-n-2)(x-n-3)]이다.
(2) [eqn: n=4,~k=- {1} over {2}] (3) [eqn: -2]

⑤

⑤

(1) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4tx+3t ^{2} +8t= LEFT ( x-2t RIGHT ) ^{2} -t ^{2} +8t] 이므로 꼭짓점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2t,~-t ^{2} +8t RIGHT )] 이다.
(2) [eqn: x]의 범위가 [eqn: t LEQ x LEQ t+2] 이므로 꼭짓점의 [eqn: x]좌표인 [eqn: 2t]가 범위의 중점에서 왼쪽과 오른쪽에 위치할 때와 [eqn: 2t GEQ t+2]보다 클 때로 나눠서 생각하면 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는
ⅰ) [eqn: 0 LEQ t<1] 일 때
[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( t+2 RIGHT ) -f LEFT ( 2t RIGHT ) = LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2}]
ⅱ) [eqn: 1 LEQ t<2] 일 때
[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( t RIGHT ) -f LEFT ( 2t RIGHT ) =t ^{2}]
ⅲ) [eqn: t GEQ 2] 일 때
[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( t RIGHT ) -f LEFT ( t+2 RIGHT ) =4t-4]
(3) [eqn: y=2t+m]이 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]와 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 [eqn: m]의 값은 [eqn: LEFT ( 0,~4 RIGHT )]를 지날 때 최댓값을 갖고, [eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =t ^{2}]과 접할 때 보다 커야 하므로
[eqn: t ^{2} =2t+m]
⇒ [eqn: t ^{2} -2t-m=0,~D/4`=1+m] 이므로
[eqn: THEREFORE `-1<m LEQ 4] 이다.

①

③

[eqn: 2]

[eqn: {1- sqrt {85}} over {2}], [eqn: 6]

➃

②

➄

③

⑤

④

③

[eqn: 11]

②

①

②

⑤

③

⑤

②

[eqn: -2]

④

④

①

②

②

②

④

④

④

③

②

➄

⑤

②

③

④

①

(1)[eqn: w ^{2} -w+1=0] (2) [eqn: 1] (3)[eqn: 100`]개

①

[eqn: 19]

①

⑤

[eqn: a=15,~ b=-15]

④

➃

②

[eqn: 33]개

⑤

①

(1) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = pi LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT )]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} pi LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x ^{2} -2x+4 RIGHT )]
(2) [eqn: {2 pi LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x ^{2} -x+1 RIGHT ) -3 TIMES {1} over {3} pi LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x ^{2} -2x+4 RIGHT )} over {pi }]
[eqn: =2 LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{3} +1 RIGHT ) - LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{3} +8 RIGHT )]
[eqn: =2 LEFT ( x ^{4} +x ^{3} +x+1 RIGHT ) - LEFT ( x ^{4} +2x ^{3} +8x+16 RIGHT )]
[eqn: =x ^{4} -6x-14]
이므로 [eqn: a=0], [eqn: b=0], [eqn: c=-6], [eqn: d=-14]

[eqn: x=2`]일 때, [eqn: 2400`]원

②

①

③

⑤

[eqn: -76]

④

③

➁

①

[eqn: 210]

②

②

③

⑤

④

⑤

⑤

[eqn: 30]

②