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수학 Ⅱ (고2)	내신대비 모의고사	범위 : 미분-적분
		시험시간 : 50분
총 20문항 : 객관식 16, 주관식 4
		이름 :

Du kannst, denn Du sollst !	| |	용문아 수학교실

[객관식]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f ` prime (x)]의 그래프를 나타낸 것이다.

④

[eqn: x=3]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 극대이므로 [eqn: M=1]

[eqn: x=-2], [eqn: 5]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 극소이므로 [eqn: m=2]

[eqn: THEREFORE ``10M+m=12]

함수 [eqn: f(x)]가 극댓값을 갖는 점의 개수를 [eqn: M], 극솟값을 갖는 점의 개수를 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: 10M + m]의 값을 구하면?

① [eqn: 13]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 32]

함수 [eqn: f(x)= {1} over {3} x ^{3} -x ^{2} -3x+10]이 [eqn: x = alpha], [eqn: x = beta]에서 극값을 갖는다고 할 때, [eqn: f( alpha + beta )]의 값을 구하면?

②

[eqn: f(x)= {1} over {3} x ^{3} -x ^{2} -3x+10]에서

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2x-3][eqn: =0]의 두 근이 [eqn: alpha ,`` beta]이므로

[eqn: alpha + beta `=`2]

[eqn: f` LEFT ( 2 RIGHT ) = {8} over {3}]

① [eqn: {16} over {3}]	② [eqn: {8} over {3}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} +2], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2x] 닫힌구간 [eqn: [0`,`3]]에서 [eqn: (f CIRC g) LEFT ( x RIGHT )] 최댓값을 [eqn: a], 최솟값을 [eqn: b]라 할 때, [eqn: 10a-b]의 값을 구하면?

②

[eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} +2], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2x]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=` LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} -1]

[eqn: -1 LEQ g LEFT ( x RIGHT ) LEQ 3]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -6x`=`3x LEFT ( x-2 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =-1-3+2=-2]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =2]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =8-12+2=-2]

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =27-27+2=2]

최솟값 : [eqn: -2]

최댓값 : [eqn: 2]

① [eqn: 15]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 31]

④ [eqn: 43]	⑤ [eqn: 52]

사차함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f ` prime (x)]의 그래프가 그림과 같다. [eqn: f` LEFT ( 0 RIGHT ) <0], [eqn: f`(3)=0] 일 때, 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +x=2]의 서로 다른 실근의 개수를 구하면?

③

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

수직선 위의 원점에서 동시에 출발하여 [eqn: 3]초 동안 움직이는 두 점 [eqn: P], [eqn: Q]의 시각  [eqn: t(0 LEQ t LEQ 3)]에서의 위치가 각각 [eqn: 2t ^{3} - {3} over {2} t ^{2} +2], [eqn: t ^{2} -t+2]이다. 출발 후 두 점 [eqn: P], [eqn: Q]사이의 거리가 가장 멀리 떨어져 있는 순간의 점 [eqn: P]의 속도를 구하면?

③

[eqn: f(t)= LEFT | 2t ^{3} - {3} over {2} t ^{2} +2-t ^{2} +t-2 RIGHT |]

[eqn: = LEFT | 2t ^{3} - {5} over {2} t ^{2} +t RIGHT |]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =2t ^{3} - {5} over {2} t ^{2} +t]라 하면

[eqn: g` prime LEFT ( t RIGHT ) =6t ^{2} -5t+1= LEFT ( 3t-1 RIGHT ) LEFT ( 2t-1 RIGHT )]

따라서 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t= {1} over {3}]에서 극댓값, [eqn: t=3]에서 최댓값을 가진다.

[eqn: v _{p} =6t ^{2} -3t]

[eqn: v _{p} =54-9=45]

① [eqn: 18]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 45]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 51]

함수 [eqn: f(x)= int _{} ^{} {} (3x ^{2} -ax+1)dx]에 대하여 [eqn: lim _{x -> 1} {} {f(x)-2} over {x-1} =5]일 때, [eqn: f(0)]의 값을 구하면?

③

[eqn: lim _{x -> 1} {} {f(x)-2} over {x-1} =5]에서 [eqn: f` LEFT ( 1 RIGHT ) =2], [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =5]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -ax+1]이므로

[eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =3-a+1`=5], [eqn: a=-1]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} + {1} over {2} x ^{2} +x+C]

[eqn: f` LEFT ( 1 RIGHT ) =1+ {1} over {2} +1+C=2]

[eqn: C`=`- {1} over {2}]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) `=`- {1} over {2}]

① [eqn: 1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: - {1} over {2}]

④ [eqn: - {3} over {2}]	⑤ [eqn: - {5} over {2}]

함수 [eqn: f(x)= {d} over {dx} int _{} ^{} {} (x ^{4} -2x ^{3} )dx] 대하여[eqn: int_a ^x f ` prime (t) dt = d over dx int_ a ^x f(t) dt]를 만족시키는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합을 구하면?

④

[eqn: f(x)= {d} over {dx} int _{} ^{} {} (x ^{4} -2x ^{3} )dx][eqn: =x ^{4} -2x ^{3}]

[eqn: int_a ^x f ` prime (t) dt = d over dx int_ a ^x f(t) dt]에서

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) `-`f LEFT ( a RIGHT ) =f` LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: f` LEFT ( a RIGHT ) `=`0]이므로

[eqn: `a ^{3} LEFT ( a-2 RIGHT ) =0]에서

[eqn: a=0] 또는  [eqn: a=2]

① [eqn: -5]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 7]

연속함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

①

[eqn: f(x-1)-f(x)=3x ^{2} +2x+1]의 양변을 적분하면

[eqn: F LEFT ( x-1 RIGHT ) -F LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +x ^{2} +x+C]에서

[eqn: F LEFT ( 1 RIGHT ) -F LEFT ( 2 RIGHT ) =14+C]

[eqn: F LEFT ( 0 RIGHT ) -F LEFT ( 1 RIGHT ) =3+C]

[eqn: F LEFT ( -1 RIGHT ) -F LEFT ( 0 RIGHT ) =C]

[eqn: F LEFT ( -2 RIGHT ) -F LEFT ( -1 RIGHT ) =-1+C]이므로

[eqn: F LEFT ( -2 RIGHT ) -F LEFT ( 2 RIGHT ) =16+4C]

[eqn: int _{-2} ^{2} {} f(x)dx=F LEFT ( 2 RIGHT ) -F LEFT ( -2 RIGHT ) =1]이므로

[eqn: 16+4C=-1]에서 [eqn: C=- {17} over {4}]

[eqn: THEREFORE ``F LEFT ( 0 RIGHT ) -F LEFT ( 1 RIGHT ) =3- {17} over {4} =- {5} over {4}]

[eqn: THEREFORE `` int _{0} ^{1} {} f(x)dx=F LEFT ( 1 RIGHT ) -F LEFT ( 0 RIGHT ) = {5} over {4}]

(가) [eqn: int _{-2} ^{2} {} f(x)dx=1]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x-1)-f(x)=3x ^{2} +2x+1]

[eqn: int_0 ^1 f(x) dx]의 값을 구하면?

① [eqn: {5} over {4}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: xf(x)= {2} over {3} x ^{3} +x ^{2} + int _{-3} ^{x} {} f(t)dt]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{x -> 0} {} {1} over {x} int _{2} ^{x+2} {} f(t)dt]의 값을 구하면?

②

[eqn: xf(x)= {2} over {3} x ^{3} +x ^{2} + int _{-3} ^{x} {} f(t)dt]에서

[eqn: x=-3]을 대입하면 [eqn: -3f LEFT ( -3 RIGHT ) =-18+9]에서 [eqn: f LEFT ( -3 RIGHT ) =3]

양변을 미분하면

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) +xf` prime LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} +2x+f` LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =2x+2]

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) `=`x ^{2} +2x+C]

[eqn: f` LEFT ( -3 RIGHT ) =3]에서 [eqn: C=0]

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) `=`x ^{2} +2x]

[eqn: lim _{x -> 0} {} {1} over {x} int _{2} ^{x+2} {} f(t)dt`=f LEFT ( 2 RIGHT ) =8]

① [eqn: 10]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: f(x)= {cases{4~``~(x<0)#x-1~(x GEQ 0)}}]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x) = int_ -1 ^x t f(t) dt]라 하자. 곡선 [eqn: y=g(x)+k]가 [eqn: x]축과 만나지 않도록 하는 정수 [eqn: k]의 최솟값을 구하면?

⑤

[eqn: x<0]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =][eqn: int _{-1} ^{x} {4tdt=2x ^{2} -2}]

[eqn: x GEQ 0]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{-1} ^{0} {4tdt+}][eqn: int _{1} ^{x} {t LEFT ( t-1 RIGHT ) dt`= {1} over {3} x ^{3} - {1} over {2} x ^{2} -2}]

[eqn: x GEQ 0]일 때, [eqn: g' LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -x=x LEFT ( x-1 RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) = {1} over {3} - {1} over {2} -2=- {13} over {6}]

[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) +k>0]이어야 하므로 [eqn: k> {13} over {6}]

정수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 3]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

삼차함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프는 원점 대칭이다. [eqn: x=2]에서 극솟값 [eqn: -16]를 갖는다. [eqn: int _{0} ^{1} {} f(x)dx]의 값을 구하면?

①

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{3} +bx]라 하면 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3ax ^{2} +b]

[eqn: f` prime ` LEFT ( 2 RIGHT ) =12a+b=0], [eqn: f` LEFT ( 2 RIGHT ) `=`8a+2b=-16]에서

[eqn: a`=`1], [eqn: b=-12]

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -12x]

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT ( x ^{3} -12x RIGHT ) dx} `=`- {23} over {4}]

① [eqn: - {23} over {4}]	② [eqn: - {13} over {4}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {9} over {4}]

함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f ` prime (x)]의 그래프가 다음 그림과 같다.

⑤

넓이[eqn: A] : [eqn: - LEFT ( f LEFT ( 0 RIGHT ) -f LEFT ( -3 RIGHT ) RIGHT ) =2]에서 [eqn: f LEFT ( -3 RIGHT ) =7]이므로 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =5]

넓이[eqn: B] : [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) -f` LEFT ( 0 RIGHT ) =5]에서

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =10]

이 곡선의 [eqn: x]축으로 둘러싸인 두 부분의 넓이 [eqn: A], [eqn: B]가 각각 [eqn: 2], [eqn: 5]이고 [eqn: f(-3)=7]일 때, [eqn: f(5)]의 값을 구하면?

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 10]

다음 그림과 같이 곡선 [eqn: y=2x ^{2} -3x-2]과 직선 [eqn: y= {4} over {3} x+1]으로 둘러싸인 도형의 넓이를 직선 [eqn: x = a]가 이등분할 때, 실수 [eqn: a]의 값을 구하면?

①

[eqn: 2x ^{2} -3x-2= {4} over {3} x+1]

[eqn: 2x ^{2} - {13} over {3} x-3=0]

대칭축 [eqn: x= {13} over {12}]에서 넓이가 이등분 된다.

① [eqn: {13} over {12}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

그림은 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: P]의 시각 [eqn: t(0 le t le 7)]에서의 속도 [eqn: v(t)]를 나타낸 것이다.

④

[eqn: t=3]에서 운동방향이 처음으로 바뀐다.

[eqn: int _{0} ^{3} {v LEFT ( t RIGHT ) dt=`} 2]

출발 후 운동 방향을 처음으로 바꾸는 지점을 [eqn: A]라 할 때, 원점과 점 [eqn: A]사이의 거리를 구하면?

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over 2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over 2]

그림은 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: P]의 시각 [eqn: t]에서의 속도 [eqn: v(t)]의 그래프이다. 어두운 네 부분의 넓이가 모두 같을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: t=a], [eqn: t=b]에서 움직이는 방향을 두 번 바꾼다.

ㄴ. [eqn: t = a]일 때와 [eqn: t = c]일 때의 점 [eqn: P]의 위치는 같다.

ㄷ. [eqn: t = 0]에서 [eqn: t = c]까지 점 [eqn: P]의 위치의 변화량은 [eqn: int _{0} ^{a} {} v(t)dt]이다.

		| 보기 |
	ㄱ. [eqn: t = 0]에서 [eqn: t = c]까지 점 [eqn: P]는 움직이는 방향을 두 번 바꾼다. ㄴ. [eqn: t = a]일 때와 [eqn: t = c]일 때의 점 [eqn: P]의 위치는 같다. ㄷ. [eqn: t = 0]에서 [eqn: t = c]까지 점 [eqn: P]의 위치의 변화량은 [eqn: 3 int_ 0 ^a v (t) dt]이다.
용문아수학방

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수직선 위에서 좌표가 [eqn: 4]인 점을 출발하여 움직이는 점 [eqn: P]의 시각 [eqn: t]일 때의 속도 [eqn: v(t)]는 [eqn: v(t) = -4t +2]일 때, 점 [eqn: P]의 운동방향이 바뀔 때, 점 [eqn: P]의 위치를 구하면?

①

[eqn: -4t+2=0]에서 [eqn: t= {1} over {2}]

[eqn: 4+ int _{0} ^{{1} over {2}} {LEFT ( -4t+2 RIGHT ) dt= {9} over {2}}]

① [eqn: {9} over {2}]	② [eqn: 13 over 2]	③ [eqn: 29 over 3]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 32 over 3]

[주관식]

함수 [eqn: f(x) = -x^3 + 6x^2 + 15x - 1]가 구간 [eqn: (- INF `,`a)]에서 감소할 때, 실수 [eqn: a]의 최댓값을 구하시오.

[eqn: -1]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =-3x ^{2} +12x+15<0]

[eqn: x<`-1] 또는 [eqn: x`>5]

따라서 [eqn: a LEQ -1]

지면으로부터 높이가 [eqn: 50 ` rm m]인 건물의 꼭대기에서 지면으로 수직으로 떨어지기 시작한 공의 [eqn: t]초 후의 높이를 [eqn: x ` rm m]라고 하면 [eqn: x=-3t ^{2} +50]이다. 건물의 꼭대기에서 떨어진 공이 지면에 닿을 때의 속도를 구하시오.

[eqn: -10 sqrt {6}][eqn: LEFT ( m/s RIGHT )]

[eqn: x=-3t ^{2} +50=0]에서 [eqn: t= {5 sqrt {6}} over {3}]

[eqn: v= {dx} over {dt} =-6t]이므로

[eqn: t= {5 sqrt {6}} over {3}]일 때, [eqn: v=-10 sqrt {6}]

함수 [eqn: f(x)]를 적분해야 할 것을 잘못하여 미분하였더니 [eqn: 12x ^{2} -6x+2]가 되었다. [eqn: f(0) = 2]일 때, 부정적분 [eqn: int f(x) dx]를 구하시오.

[eqn: x ^{4} -x ^{3} +x ^{2} +2x+C] (단, [eqn: C]는 상수)

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =12x ^{2} -6x+2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} -3x ^{2} +2x+C _{1}]

[eqn: f` LEFT ( 0 RIGHT ) `=`2]이므로 [eqn: C _{1} =2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} -3x ^{2} +2x+2]

[eqn: int _{} ^{} {LEFT ( 4x ^{3} -3x ^{2} +2x+2 RIGHT ) dx=} x ^{4} -x ^{3} +x ^{2} +2x+C]

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)=3x ^{2} + int _{0} ^{1} {} xf(t)dt]를 만족시킬 때, [eqn: f(x)]를 구하시오.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2x]

[eqn: f(x)=3x ^{2} +x int _{0} ^{1} {} f(t)dt]

[eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT ) dt`=`A}] (단, [eqn: A]는 상수)라 하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +Ax]

[eqn: int _{0} ^{1} {} f` LEFT ( x RIGHT ) dx`= int _{0} ^{1} {} ``(3x ^{2} +Ax)dx`=` LEFT [ x ^{3} + {1} over {2} Ax ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1} =A]

[eqn: A``=`2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2x]