□[eqn: {} ^{1- sqrt {3}}] ×□[eqn: {} ^{2 sqrt {3} -1}] 의 값은? [2점]

2023년 7월 고3 전국연합학력평가

제 2 교시      수학 영역

④

[eqn: 4 ^{1- sqrt {3} `} TIMES 2 ^{2 sqrt {3} -1} =2 ^{2-2 sqrt {3} +2 sqrt {3} +1} =2]

① [eqn: {1} over {4}]   ② [eqn: {1} over {2}]    ③ □   ④ □   ⑤ □

함수 □□□□□[eqn: x ^{3}]□□□□□에 대하여 [eqn: lim _{h` -> `0} {` {f(2+h)-f(2)} over {h}}] 의 값은? [2점]

⑤

[eqn: lim _{h`-> 0} {{f(2+h)-f(2)} over {h} `=`f`'(2)}]이다.

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} -7] 이므로

[eqn: f`'(2)=12-7=5]

① □    ② □    ③ □    ④ □    ⑤ □

sin[eqn: LEFT ( {pi } over {2} + theta RIGHT )] □ [eqn: {3} over {5}] 이고 sin□cos□ □ □일 때, sin□□□cos□ 의 값은? [3점]

⑤

[eqn: sin LEFT ( {pi } over {2} + theta RIGHT ) =cos theta = {3} over {5}]

[eqn: sin ^{2} theta =1-cos ^{2} theta = {16} over {25}]

[eqn: sin theta cos theta <0] 이므로 [eqn: sin theta =- {4} over {5}]

따라서 [eqn: sin theta +2cos theta = {2} over {5}]

① [eqn: - {2} over {5}]    ② [eqn: - {1} over {5}]   ③ [eqn: 0]    ④ [eqn: {1} over {5}]    ⑤ [eqn: {2} over {5}]

함수 □ □□□□□의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: lim _{x` -> `-1+} {f(x)+ lim _{x` -> `1-} {f(x)}}]  의 값은? [3점]

③

① □□     ② □     ③ □     ④ □     ⑤ □

함수

□□□□□[eqn: {cases{eqalign{3x+a# }&eqalign{(x LEQ 1)# }#2x ^{3} +bx+1`&(x>1)}}]

이 □ □□에서 미분가능할 때, □□□의 값은? (단, □, □    는 상수이다.) [3점]

[eqn: lim _{x`-> -1+} {f(x)=0`,`}] [eqn: lim _{x` -> 1-} {f(x)=1``}]

[eqn: lim _{x` -> -1+} {f(x)+`}][eqn: lim _{x` -> 1-} {f(x)=0+1=1``}]

②

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 미분가능 이고 연속이다.

[eqn: f(1-)=f(1+)=f(1)], [eqn: f`'(1+)=f``'(1-)]

[eqn: f(1-)=a+3`][eqn: ,`f(1+)=b+3`]

[eqn: a+3=b+3] 이므로 [eqn: a=b CDOTS ㉠]

[eqn: f`'(1-)=3`,`f`'(1+)=a+6]

[eqn: 3=a+b] 이므로 [eqn: a=-3`,`b=-3 CDOTS ㉡]

따라서 [eqn: a+b=-6]

① □□    ② □□    ③ □□    ④ □□    ⑤ □

모든 항이 양수인 등비수열 □[eqn: a _{n}]□에 대하여

[eqn: a _{3} ^{````2} =a _{6} `,``a _{2} -a _{1} =2] 일 때, [eqn: a _{5}]의 값은? [3점]

④

등비수열 [eqn: a _{n} =ar ^{n-1}] 이고

[eqn: a _{3} ` ^{2} =a _{6}] 에서 [eqn: a _{3} ^{````2} =a _{3} `r ^{3} CDOTS ㉠]이다.

모든항이 양수이므로 [eqn: a _{3} != 0] 이므로 [eqn: ㉠]의 양변을

[eqn: a _{3}]로 나누면 [eqn: a _{3} =r ^{3}] 이다.

즉, [eqn: a=r`,``a _{n} =r ^{`n} CDOTS ㉡] 이다.

[eqn: a _{2} -a _{1} =2] 이므로 [eqn: r ^{2} -r=2] 에서 [eqn: (r-2)(r+1)=0]

모든항이 양수이므로 [eqn: r=2 CDOTS ㉢]

따라서 [eqn: a _{5} =r ^{5} =32]

① □□    ② □□    ③ □□    ④ □□    ⑤ □□

함수 □□□□□□[eqn: {} ^{3}]□□□[eqn: {} ^{2}]□□□□□ 가 □ □□에서 극값을 갖는다. 함수 □□□□의 극댓값은? (단, □는 상수이다.) [3점]

①

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 극값을 가지므로 [eqn: f`'(1)=0]

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} +2ax-9] 에서

[eqn: f`'(1)=3+2a-9=0] 에서 [eqn: a=3 CDOTS ㉠]

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} +6x-9=3(x-1)(x+3)]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-3]에서 극댓값을 갖는다.

따라서 [eqn: f(-3)=-27+27+27+4=31]

① 31    ② 33   ③ 35    ④ 37    ⑤ 39

수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 □ □□ ≥ □□에서의 속도 □□□□가 □□□□□□[eqn: {} ^{2}]□□□□□ 이다.

점 P가 시각 □ □□, □ □□□□□ □□에서 운동 방향을      바꿀 때, 점 P가 시각 □ □□에서 □ □□까지 움직인     거리는? [3점]

②

[eqn: v(t)=t ^{2} -4t+3=(t-1)(t-3)]

점 [eqn: P]가 운동방향을 바꿀 때는 [eqn: v(t)=0] 이므로

[eqn: t=1`,`t=3 CDOTS ㉠]

[eqn: v(t)= {cases{eqalign{v(t)# # -v(t)}&eqalign{`(0 LEQ t LEQ 1)# # `(1<t<3)}#eqalign{# v(t)}&eqalign{# `(t GEQ 3)}}}]

점 [eqn: P]가 [eqn: t=0] 부터 [eqn: t=3]까지 움직인 거리 [eqn: s]는

[eqn: s= int _{0} ^{3} {LEFT | v(t) RIGHT | `dt} = int _{0} ^{1} {v`(t)`dt+ int _{1} ^{3} {-v(t)`dt}}]

[eqn: = int _{0} ^{1} {(t ^{2} -4t+3)dt} `+ int _{1} ^{3} {(-t ^{2} +4t-3)dt}]

[eqn: = LEFT [ {1} over {3} t ^{3} -2t ^{2} +3t RIGHT ] _{0} ^{1} +][eqn: LEFT [ - {1} over {3} t ^{3} +2t ^{2} -3t RIGHT ] _{1} ^{3}]

[eqn: = {4} over {3} + {4} over {3} = {8} over {3}]

① [eqn: {7} over {3}]    ② [eqn: {8} over {3}]   ③ [eqn: 3]   ④ [eqn: {10} over {3}]    ⑤ [eqn: {11} over {3}]

□ 이상의 자연수 □ 에 대하여 □에 대한 방정식

□□[eqn: {} ^{n}]□□□□□[eqn: {} ^{2n}]□□□□□ 의 모든 실근의 곱이 □□일 때,

□ 의 값은? [4점]

②

방정식 [eqn: (x ^{n} -8)(x ^{2n} -8)=0]의 실근은

[eqn: n]이 짝수일때와 홀수일 때 실근의 개수가 달라지므로

[eqn: (ⅰ)n]이 짝수이 일 때,

[eqn: x=± root {n} of {8} `,`x=± root {2n} of {8}] 이렇게 4개의 실근 존재

모든 실근의 곱은 양수 이므로 조건 불만족

[eqn: (ⅱ)`n]이 홀수 일 때,

[eqn: x= root {n} of {8} `,`x=± root {2n} of {8}] 이렇게 3개의 실근 존재

모든 실근의 곱이 음수 이므로 조건 만족

[eqn: 2 ^{{3} over {n}} TIMES 2 ^{{3} over {2n}} TIMES LEFT ( -2 ^{{3} over {2n}} RIGHT ) =-2 ^{{6} over {n}} =-4]

[eqn: -2 ^{{6} over {n}} =-2 ^{`2} `,`] [eqn: {6} over {n} =2`,` THEREFORE n=3]

① □    ② □    ③ □    ④ □    ⑤ □

□ ≤ □ □ □□일 때, 곡선 □ □□□sin□□□□□와 직선 □ □□가 만나는 서로 다른 점의 개수는? [4점]

③

삼각함수 [eqn: y=4sin3x+2]는 주기가 [eqn: {2 pi } over {3} `,`] 최대 [eqn: 6] , 최소 [eqn: -2]

① □   ② □   ③ □   ④ □□   ⑤ □□

(가) 모든 실수 □에 대하여

□□□□□□□□□□□□□□□ 이다.

(나) [eqn: int _{-1} ^{3} {}][eqn: f`'(x)]□□ □□□

최고차항의 계수가 □인 삼차함수 □□□□가 다음 조건을 만족시킨다.

□□□□의 값은? [4점]

구간 [eqn: [0`,`2 pi )]에서 [eqn: y= LEFT | 4sin3x+2 RIGHT |]는

따라서 구간 [eqn: [0`,`2 pi )]에서 [eqn: y= LEFT | 4sin3x+2 RIGHT |]와 [eqn: y=2]가

만나는 서로 다른 점의 개수는 [eqn: 9]개 이다.

①

조건 (가) [eqn: f(1+x)+f(1-x)=0] 에서

함수 [eqn: f(x)]는 점 [eqn: (1`,`0)]대칭이므로 [eqn: f(1)=0 CDOTS ㉠]

[eqn: f(x)=(x-1)(x ^{2} +ax+b)]로 둘수 있다.

조건 (나)에서 [eqn: int _{-1} ^{3} {`f`'(x)dx=f(3)-f(-1)=12 CDOTS ㉡}]

또한 조건 (가) 의 [eqn: f(1+x)+f(1-x)=0]는 항등식이므로

수치대입 [eqn: x=2]를 대입하면 [eqn: f(3)-f(-1)=0 CDOTS ㉢]

[eqn: ㉡`,`㉢]을 연립하면 [eqn: f(3)=6`,`f(-1)=-6] 이다.

[eqn: f(3)=2(9+3a+b)=6``,`` THEREFORE 3a+b=-6 CDOTS ㉣]

[eqn: f(-1)=-2(1-a+b)=-6`,``` THEREFORE a-b=-6 CDOTS ㉤]

[eqn: ㉣`,`㉤]을 연립하면 [eqn: a=-2`,`b=0]이므로

[eqn: f(x)=x(x-1)(x-2)]

따라서 [eqn: f(4)=24]

① 24    ② 28    ③ 32    ④ 36    ⑤ 40

(가) [eqn: sum _{k=1} ^{2m+1} a _{k} <0]

(나) □[eqn: a _{m}]□□□□[eqn: {} _{m+1}]□□□□[eqn: {} _{m+2}]□□ □□

모든 항이 정수이고 공차가 □인 등차수열 □[eqn: a _{n}]□과 자연수 □이 다음 조건을 만족시킨다.

□□ □ [eqn: a _{21}] □ □□일 때, □의 값은? [4점]

③

모든 항이 정수이고 공차가 [eqn: 5]인 등차수열 [eqn: a _{n}] 에 대하여

조건 (가) [eqn: sum _{k=1} ^{2m+1} = {(2m+1) LEFT ( a+a _{2m+1} RIGHT )} over {2} <0] 에서

[eqn: 2m+1>0] 이므로 [eqn: a+a _{2m+1} <0] 이다.

[eqn: a+a _{2m+1} =a+a+(2m)5=2a+10m]이고

[eqn: 2(a+5m)<0] [eqn: ,```2(a+md)<0``,` THEREFORE a+md<0]이다.

[eqn: a+md=a _{m+1}] 이므로  [eqn: a _{m+1} <0 CDOTS ㉠]

쪼건 (나) □[eqn: a _{m}]□□□□[eqn: {} _{m+1}]□□□□[eqn: {} _{m+2}]□□ □□에서

[eqn: LEFT | a _{m+1} RIGHT |]의 값이 좀 작은 정수값이라는 것을 알 수 있다.

만약 [eqn: a _{m+1} =-5] 라 하면 [eqn: a _{m} =-10`,`a _{m+2} =0]

□[eqn: a _{m}]□□□□[eqn: {} _{m+1}]□□□□[eqn: {} _{m+2}]□=15 이므로 조건 불만족

[eqn: a _{m+1} =`-1`,`] 일 때,  [eqn: a _{m+1} =`-2`]일 때

[eqn: a _{m+1} =`-3` CDOTS `], 이렇게 귀납적 정의로 접근해보면

[eqn: (ⅰ)`a _{m+1} =-1] 일 때

□[eqn: a _{m}]□□□□[eqn: {} _{m+1}]□□□□[eqn: {} _{m+2}]□=[eqn: 11] 이므로 조건(나) 만족

[eqn: a _{m+1} =-1`,`a _{m+2} =4` CDOTS `,`a _{m+6} =24`,`a _{m+7} =29]

[eqn: 24<a _{21} <29] 를 만족하지 않는다.

[eqn: (ⅱ)`a _{m+1} =-2] 일 때

□[eqn: a _{m}]□□□□[eqn: {} _{m+1}]□□□□[eqn: {} _{m+2}]□=[eqn: 12] 이므로 조건 (나0 만족

[eqn: a _{m+1} =-2`,`a _{m+2} =3` CDOTS `,`a _{m+6} =23`,`a _{m+7} =28]

[eqn: 24<a _{21} <29] 를 만족한다.

즉, [eqn: a _{21} =a _{m+7} ,````` THEREFORE m=14 CDOTS ㉡] .

[eqn: (ⅲ)`a _{m+1} =-3] 일 때

□[eqn: a _{m}]□□□□[eqn: {} _{m+1}]□□□□[eqn: {} _{m+2}]□=[eqn: 13] 이므로 조건(나) 불만족

따라서 [eqn: `a _{m+1} =-2] 일 때, 모든 조건을 만족하고

그때의 [eqn: m=14] 이다.

① 10   ② 12   ③ 14    ④ 16    ⑤ 18

그림과 같이 평행사변형 ABCD가 있다. 점 A에서 선분 BD에 내린 수선의 발을 E 라 하고, 직선 CE 가 선분 AB 와 만나는 점을 F라 하자.

cos□∠AFC□□ [eqn: {sqrt {10}} over {10}], [eqn: {bar{EC`}}] □□□이고

삼각형 CDE 의 외접원의 반지름의 길이가

□[eqn: sqrt {2}] 일 때, 삼각형 AFE 의 넓이는? [4점]

①

[eqn: ANGLE AFC`= alpha `,` ANGLE CDE= beta] 로 두면

[eqn: cos alpha = {sqrt {10}} over {10} `,`sin alpha = {3 sqrt {10}} over {10} CDOTS ㉠]

[eqn: ANGLE ECD= ANGLE EFB= pi - alpha]

삼각형 [eqn: CDE]에서 사인법칙 적용하면

[eqn: {{bar{ED}}} over {sin( pi - alpha )} = {{bar{EC}}} over {sin beta } =10 sqrt {2}] 에서

[eqn: {bar{ED`}} =10 sqrt {2} TIMES sin alpha =10 sqrt {2} TIMES {3 sqrt {10}} over {10} =6 sqrt {5}]이고

[eqn: {bar{EC}} `=10] 이므로 [eqn: sin beta = {sqrt {2}} over {2} `,`` beta = {pi } over {4} `]이다.

[eqn: {bar{CD`}} =x]라 하자.

삼각형 [eqn: CDE]에서 코사인법칙을 적용하면

[eqn: 180=x ^{2} +100-2 TIMES x TIMES 10 TIMES cos( pi - alpha )]

[eqn: =x ^{2} +100+2 TIMES x TIMES 10 TIMES cos alpha]

[eqn: =x ^{2} +2 sqrt {10} x+100]

[eqn: x ^{2} +2 sqrt {10} x-80=0] 이고 [eqn: x>0] 이므로

[eqn: x=- sqrt {10} + sqrt {10+80} =2 sqrt {10}]

[eqn: ANGLE ABE`= ANGLE CDE`= {pi } over {4}]이므로

심각형 [eqn: ABE]는 직각이등변삼각형이다.

[eqn: {bar{AB`}} =2 sqrt {10}]이므로 [eqn: {bar{BE`}} = {bar{AE`}} =2 sqrt {5}]

두 삼각형 [eqn: BEF`,`DEC] 는 서로 닮음이고 닮음비는 [eqn: 1`:3]이다.

[eqn: {bar{AF`}} = {2} over {3} TIMES {bar{AB`}} = {4 sqrt {10}} over {3}]

따라서 삼각형 [eqn: AFE]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{AF`}} TIMES {bar{AE`}} TIMES sin {pi } over {4}]

[eqn: = {1} over {2} TIMES {4 sqrt {10}} over {3} TIMES 2 sqrt {5} TIMES {sqrt {2}} over {2} = {20} over {3}]

① [eqn: {20} over {3}]    ② [eqn: 7]   ③ [eqn: {22} over {3}]   ④ [eqn: {23} over {3}]    ⑤ [eqn: 8]

최고차항의 계수가 □이고 □□□□□□□□□□인 삼차함수 □□□□에 대하여 함수 □□□□를

□□□□□[eqn: {cases{`f(x)&`(x<`-3```또는```x GEQ 0)#eqalign{# -f(x)`}&eqalign{# `(-3 LEQ x<0)}}}]

ㄱ. 함수 □□□□□□□□□□은 □ □□에서 연속이다.

ㄴ. □□□□□×□□□□□□

ㄷ. 함수 □□□□□□□□□□이 □□□에서 불연속인 실수      □가 음수일 때 집합 □□□□□□□□□, □는 실수□      의 모든 원소의 합이 □□이면 □□□□□□□□□이다.

이라 하자. 함수 □□□□□□□□□□이 □ □□에서 불연속인      실수 □의 값이 한 개일 때, <보기>에서 옳은 것만      을 있는 대로 고른 것은? [4점]

⑤

ㄱ. [eqn: lim _{x -> 0+} {`g(x)g(x-3)=f(0) TIMES LEFT { -f(-3) RIGHT }}]

[eqn: lim _{x -> 0-} {`g(x)g(x-3)=-f(0) TIMES f(-3)}]

[eqn: f(0) TIMES LEFT { -f(3) RIGHT } =-f(0) TIMES f(-3)]

함수 □□□□□□□□□□은 □□□에서 연속이다. (참)

ㄴ. 함수 □□□□□□□□□□는 불연속이 되는 후보가

[eqn: x=±3`,`x=0] 그런데 ㄱ에서 [eqn: x=0]에서

연속 이므로 [eqn: x=±3]이 불연속의 후보이다.

조건에서 함수 □□□□□□□□□□이 □□□에서

불연속인 실수 □의 값이 한 개라 했으므로,

[eqn: k=3`] 또는 [eqn: k=-3]이다.

[eqn: (ⅰ)`x=-3]에서 연속, [eqn: x=3]에서 불연속일 때,

[eqn: lim _{x -> -3-} {`g(x)g(x-3)=f(-3) TIMES f(-6)}]

[eqn: lim _{x -> -3+} {`g(x)g(x-3)=-f(-3) TIMES f(-6)}]

[eqn: f(-3) TIMES f(-6)=-f(-3) TIMES f(-6)]이어야 하므로

[eqn: f(-3) TIMES f(-6)=0 CDOTS ☆]이다.

[eqn: lim _{x -> 3-} {`g(x)g(x-3)=f(3) TIMES LEFT { -f(0) RIGHT }}]

[eqn: lim _{x -> 3+} {`g(x)g(x-3)=f(3) TIMES f(0)}]

[eqn: f(3) TIMES f(0) != f(3) TIMES LEFT { -f(0) RIGHT }]이어야 하므로

[eqn: f(3) TIMES f(0) != 0 CDOTS ◎]: 둘다 [eqn: 0] 아 아니다.

☆ 과 ◎에서 [eqn: f(-3)=f(0)]이므로 [eqn: f(-6)=0]

[eqn: (ⅱ)`x=-3]에서 불연속, [eqn: x=3]에서 연속일 때,

위와 같은 방법으로 하면 [eqn: f(3)=0]

따라서 [eqn: f(-6) TIMES f(3)=0]이다. (참)

ㄷ. [eqn: k]가 음수이므로 [eqn: k=-3], [eqn: f(3)=0]

[eqn: f(x)=(x-3)(x ^{2} +ax+b)` CDOTS (ⅰ)]또는

[eqn: f(x)=(x-3) ^{2} (x-c) CDOTS (ⅱ)]

[eqn: f(x)=0] 에 대한 [eqn: x]가 집합의 원소이고 실근이다.

[eqn: (ⅰ)]에서 [eqn: x ^{2} +ax+b]가 서로 다른 근을 가질 때

모든 근의 합은  [eqn: 3+(-a)=-1`,` THEREFORE a=4]

[eqn: f(x)=(x-3)(x ^{2} +4x+b)]이다.

[eqn: f(0)=f(-3)]이므로

[eqn: -3b=-6(-3+b)`,`` THEREFORE ``b=6]

[eqn: f(x)=(x-3)(x ^{2} +4x+6)]이다.

위의 [eqn: f(x)]에서  [eqn: x ^{2} +4x+6=0]은 실근을

갖지 않는다. 따라서 (조건 불만족)

[eqn: (ⅰ)]에서 [eqn: x ^{2} +ax+b]가 중근을 가질 때

모든 근의 합은 [eqn: 3+ LEFT ( - {a} over {2} RIGHT ) =-1,` THEREFORE a=8]

[eqn: f(x)=(x-3)(x+4) ^{2}]

[eqn: f(0)=f(-3)]을 만족해야 하는데

[eqn: f(0)=-48,``f(-3)=-6],

위의 [eqn: f(x)]는 [eqn: f(0) != f(-3)]따라서 (조건 불만족)

[eqn: (ⅱ)]에서 [eqn: f(x)=(x-3) ^{2} (x-c)]의 모든 근의 합

[eqn: 3+c=-1`,` THEREFORE c=-4]

[eqn: f(x)=(x-3) ^{2} (x+4)]에서

[eqn: f(0)=36=``f(-3)]이므로 (조건을 만족)

그러므로 [eqn: g(-1)=-f(-1)=-48] (참)

따라서 [eqn: ㄱ`,`ㄴ`,`ㄷ] 모두 참이다.

① ㄱ        ② ㄱ, ㄴ       ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ    ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(가) □[eqn: {} _{1}] □ □□□

(나) 모든 자연수 □ 에 대하여

□[eqn: {} _{n+1}] □[eqn: {cases{eqalign{` {1} over {3} `a _{n} ```# }&eqalign{(`log` _{3} `a _{n} `이`자연수`인`경우)# }#a _{n} +6&(log` _{3} `a _{n} 자연수가`아닌`경우)}}]

이다.

단답형

모든 항이 자연수인 수열 □[eqn: a _{n}]□이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: sum _{k=4} ^{7}][eqn: a _{k}] □□□이 되도록 하는 모든 [eqn: a _{1}]의 값의 합은?                                            [4점]

④

(가) [eqn: a<300]

(나) [eqn: a _{n+1} =][eqn: {cases{eqalign{` {1} over {3} `a _{n} ```# }&eqalign{(`log` _{3} `a _{n} `이`자연수`인`경우) CDOTS (ⅰ)# }#a _{n} +6&(log` _{3} `a _{n} 자연수가`아닌`경우) CDOTS (ⅱ)}}]

(다) [eqn: a _{4} +a _{5} +a _{6} +a _{7} =40]

조건 (나)에서 [eqn: (ⅰ)] 이 적용되는 상황은

[eqn: a _{n} =][eqn: 3]의 거듭 제곱꼴

[eqn: a _{n}] 의 후보 : [eqn: 3`,`3 ^{2} `,`3 ^{3} `,`3 ^{4} `,`3 ^{5} , CDOTS]

조건 (다)에서 [eqn: a _{4} SIM a _{7}] 은 합이 40이므로 조금 작은 수이다.

[eqn: a _{4} SIM a _{7}] 이 모두 3의 거듭제곱꼴인 경우

[eqn: a _{4} SIM a _{7}] 일부가 3의 거듭제곱꼴인 경우

[eqn: a _{4} SIM a _{7}] 모두 3의 거듭제곱꼴이 아닌 경우로 구분 하자

[eqn: 1st`] : [eqn: a _{4} SIM a _{7}] 이 모두 3의 거듭제곱꼴인 경우

[eqn: a _{4}]	[eqn: a _{5}]	[eqn: a _{6}]	[eqn: a _{7}]	합
27	9	3	1	40

조건을 만족한다.

[eqn: 2nd`:] [eqn: a _{4} SIM a _{7}] 일부가 3의 거듭제곱꼴인 경우

① [eqn: a _{5} SIM a _{7} ~] 3개가 3의 거듭제곱꼴인 경우

② [eqn: a _{6} SIM a _{7} ~] 2개가 3의 거듭제곱꼴인 경우

③     [eqn: a _{7}]   1개가 3의 거듭제곱꼴인 경우

구분	[eqn: a _{4}]	[eqn: a _{5}]	[eqn: a _{6}]	[eqn: a _{7}]	합
①	21	27	9	3	60
②	15	21	27	9	72
③	9	15	21	27	오류
[eqn: ③] 상황에서 [eqn: a _{4} =9] 이면 [eqn: a _{5} =3] 이어야 한다.

즉, 일부만 3의 거듭제곱꼴인 것은 나올수 없다.

[eqn: 3rd`:] [eqn: a _{4} SIM a _{7}] 모두 3의 거듭제곱꼴이 아닌 경우

[eqn: a _{4}]	[eqn: a _{5}]	[eqn: a _{6}]	[eqn: a _{7}]	합
[eqn: k]	[eqn: k+6]	[eqn: k+12]	[eqn: k+18]	40

[eqn: a _{4} +a _{5} +a _{6} +a _{7} =4k+36=40``,``` THEREFORE k=1]    이므로

[eqn: a _{4}]	[eqn: a _{5}]	[eqn: a _{6}]	[eqn: a _{7}]	합
1	7	13	19	40

따라서 [eqn: a _{4} =27`] 또는 [eqn: a _{4} =1]일 때 주어진 조건 만족

[eqn: a _{4}]	[eqn: a _{3}]	[eqn: a _{2}]	[eqn: a _{1}]	비고
27	81	243	237	조건 만족
27	81	243	[eqn: 3 ^{6}]	조건 (가) 불만족
27	81	75	69	조건 만족
1	3	9	27	조건 만족

따라서 모든 [eqn: a _{1}] 값의 합은 [eqn: 237+69+27=333]

① □□□    ② □□□    ③ □□□    ④ □□□    ⑤ □□□

방정식 log[eqn: {} _{2}]□□□□□□log[eqn: {} _{4}]□□□□□을 만족시키는

실수 □의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 9]

진수조건에서 [eqn: x>5 CDOTS ㉠]

[eqn: log _{4} (x-5) ^{2} =log _{4} (x+7)] [eqn: ,(x-5) ^{2} =x+7]

[eqn: x ^{2} -11x+18=0`,`(x-2)(x-9)=0]

따라서 [eqn: x=9]

함수 □□□□에 대하여 □′□□□□□□[eqn: {} ^{2}]□□□□□이고 □□□□□□□일 때, □□□□의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 20]

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {9x ^{2} -8x+1`dx}]

[eqn: =3x ^{3} -4x ^{2} +x+C]

[eqn: f(1)=3-4+1+C=10``,`` THEREFORE C=10]

[eqn: f(x)=3x ^{3} -4x ^{2} +x+10] 이므로

[eqn: f(2)=24-16+2+10=20]

두 수열 □□[eqn: {} _{n}]□, □□[eqn: {} _{n}]□에 대하여

□□□[eqn: {} _{k}]□□□□□□ , [eqn: sum _{k=1} ^{10}]□□[eqn: {} _{k}]□□[eqn: {} _{k}]□□□□□ 일 때,

□□[eqn: {} _{k}]□□□의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 65]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} (2a _{k} +3)=2 sum _{k=1} ^{10} a _{k} +30=40``]에서

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =5 CDOTS ㉠``]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} (a _{k} -b _{k} )= sum _{k=1} ^{10} a _{k} - sum _{k=1} ^{10} b _{k} =-10``] 에서

[eqn: sum _{k=1} ^{10} b _{k} =15 CDOTS ㉡``]

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{10} (b _{k} +5)= sum _{k=1} ^{10} b _{k} +50=65``]

곡선 □ □□[eqn: {} ^{3}]□□□ 위의 점 P□□□□ □□□□에서의 접선과 곡선 □ □□[eqn: {} ^{3}]□□ 위의 점 Q에서의 접선이 일치할 때, 양수 □의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: 22]

[eqn: f(x)=x ^{3} -10`,`g(x)=x ^{3} +k]라 하자.

[eqn: f`'(x)=3x ^{2}] 이므로

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: P(-2`,`-18)]에서의

접선의 기울기는 [eqn: `f`'(-2)=12]이고

접선의 방정식은 [eqn: y+18=12(x+2)`,``y=12x+6]

점 [eqn: Q]의 좌표를 [eqn: (a`,`a ^{3} +k)]라고 하면

[eqn: g`'(x)=3x ^{2}] 이고

곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: Q(a`,`a ^{2} +k)]에서의

접선의 기울기는 [eqn: g` prime (a)=3a ^{2}]이고

접선의 방정식은 [eqn: y-(a ^{3} +k)=3a ^{2} (x-a)`]

[eqn: y=3a ^{2} x-2a ^{3} +k]

두 접선이 일치하므로 [eqn: 3a ^{2} =12`,`-2a ^{3} +k=6]

[eqn: a=±2] 이다.

[eqn: a=2] 일 때, [eqn: k=22] 이고 [eqn: a=-2]일 때, [eqn: k=-10]

[eqn: k>0] 이므로 [eqn: k=22] 이다.

실수 □ [eqn: LEFT ( sqrt {3} <t< {13} over {4} RIGHT )] 에 대하여 두 함수

□□□□□□□[eqn: {} ^{2}]□□□□□□ ,  □□□□□□□□□

의 그래프가 만나는 서로 다른 네 점의 □좌표를 작     은 수부터 크기순으로 □[eqn: {} _{1}], □[eqn: {} _{2}], □[eqn: {} _{3}], □[eqn: {} _{4}]라 하자.

□[eqn: {} _{4}] □  □[eqn: {} _{1}] □□일 때, 닫힌구간 □□[eqn: {} _{3}]□ □[eqn: {} _{4}]□에서

두 함수 □ □□□□□, □ □□□□□의 그래프로 둘러싸인

부분의 넓이는 □□□[eqn: sqrt {3}] 이다. □×□의 값을 구하시오.     (단, □, □는 유리수이다.) [4점]

[eqn: 54]

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{x ^{2} -2x-3# `}&eqalign{`(x LEQ - sqrt {3} `,`x GEQ sqrt {3} )# }#-x ^{2} -2x+3&`(- sqrt {3} <x< sqrt {3} )}}]

[eqn: f(x)=-x+t] 의 방정식의 근을 [eqn: x _{1} `,`x _{2} `,`x _{3} `,`x _{4}]

[eqn: x _{1} `,`x _{4}]는 이차방정식 [eqn: x ^{2} -2x-3=-x+t]의 두 근

근과 계수의 관계에서 [eqn: x _{1} +x _{4} =1`,`x _{1} x _{4} =-t-3]

[eqn: x _{4} -x _{1} =5] 이므로 [eqn: x _{1} =-2`,`x _{4} =3`,`t=3 CDOTS ㉠]

[eqn: x _{2} `,`x _{3}]는 이차방정식 [eqn: -x ^{2} -2x+3=-x+3]의 두 근

[eqn: x _{2} =-1`,`x _{3} =0 CDOTS ㉡]

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0`,`3 RIGHT ]]에서 두 함수 [eqn: y=f(x)`,`y=g(x)]로

둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: int _{0} ^{3} {LEFT | f(x)-g(x) RIGHT | dx}]

[eqn: = int _{0} ^{sqrt {3}} {eqalign{LEFT { (-x+3)-(-x ^{2} -2x+3 RIGHT } dx# # # + int _{root {3} of {3}} ^{3} {LEFT { (-x+3)-(x ^{2} -2x-3 RIGHT } dx}}}]

[eqn: = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} + {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{sqrt {3}} +][eqn: LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} + {1} over {2} x ^{2} +6x RIGHT ] _{sqrt {3}} ^{3}]

[eqn: = {27} over {2} -4 sqrt {3}]  , [eqn: THEREFORE `p= {27} over {2} ``,`q=4]

따라서 [eqn: pq= {27} over {2} TIMES 4=54]

그림과 같이 곡선 □ □□[eqn: {} ^{x-m}] □ □ □□ □ □□ □ □ □□과 직선 □ □□□가 서로 다른 두 점 A, B 에서 만날 때, 점 B 를 지나며 직선 □ □□□에 수직인 직선이 □축과 만나는 점을 C 라 하자. 직선 CA가 □축과 만나는 점을 D라 하면 점 D는 선분 CA를 □ □□으로 외분하는 점이다. 삼각형 ABC 의 넓이가 □□일 때, □□□ 의 값을 구하시오. (단, 점 A의 □좌표는 점 B 의 □좌표보다 작다.) [4점]

[eqn: 13]

외분점을 내분점으로 바꿔서 해석하면 [eqn: {bar{AC`}} : {bar{AD`}} =2`:`3]

이므로 [eqn: {bar{AC`}} =2k`,` {bar{AD`}} =3k]  라 하자.

점 [eqn: A] 에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: H]라 하면

[eqn: TRIANGLE CHA`]와 [eqn: TRIANGLE COB] 는 [eqn: 2`:`3] 닮음이다.

점 [eqn: B]는 [eqn: y=3x] 위의 점 이므로 [eqn: B(t`,`3t)] 로 두면

[eqn: {bar{BC}}]의 기울기는 [eqn: - {1} over {3}] 이다.

모든 점들의 좌표를 [eqn: t]에 대하여 표현 할수 있다.

[eqn: TRIANGLE ABC] 의 넓이[eqn: = {1} over {2} {bar{AB`}} TIMES {bar{BC`}} =20]  에서

[eqn: {bar{AB`}} TIMES {bar{BC`}} =40 CDOTS ㉠]

[eqn: {bar{AB`}} = sqrt {{t ^{2}} over {9} +t ^{2}} = sqrt {{10} over {9} t ^{2}}]

[eqn: {bar{B`C}} = sqrt {t ^{2} + {t ^{2}} over {9}} = sqrt {{10} over {9} t ^{2}}]

아 [eqn: !] [eqn: TRIANGLE ABC] 는 직각 이등변 삼각형이 였음을 발견할 수 있다.

[eqn: 40= {10} over {9} t ^{2} `,``` THEREFORE t=6 CDOTS ㉡]

[eqn: A(4`,`12)`,`B(6`,`18)]  이고 지수함수 [eqn: y=2 ^{x-m} +n]  가

두점 [eqn: A`,`B] 를 지나므로 대입하면

[eqn: 12=2 ^{4-m} +n` CDOTS ㉢]

[eqn: 18=4 TIMES 2 ^{4-m} +n` CDOTS ㉣]

[eqn: ㉢`,`㉣]을 연립하면 [eqn: m=3`,`n=10]

따라서 [eqn: m+n=13]

최고차항의 계수가 양수인 사차함수 □□□□가 있다. 실수 □ 에 대하여 함수 □□□□를

□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 라 할 때,

방정식 □□□□□□의 서로 다른 실근의 개수를 □□□□라      하자. 두 함수 □□□□와 □□□□가 다음 조건을

만족시킨다.

(가) [eqn: lim _{t` -> `-1} {}]□□□□□□□□□□□□□[eqn: lim _{t` -> `1} {}]□□□□□□□□□□□□□

(나) [eqn: int _{0} ^{alpha } {}]□□□□□□ □[eqn: int _{0} ^{alpha } {}]□□□□□□□□를 만족시키는

실수 □의 최솟값은 □□이다.

(다) 모든 실수 □에 대하여

[eqn: {d} over {dx} int _{0} ^{x} {LEFT { f(u)-ku RIGHT } du GEQ 0}]  이되도록 하는

실수 □의 최댓값은 [eqn: f`'( sqrt {2} )]이다.

□□□□의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: 182]

[eqn: g(x)=f(x)-x-f(t)+t]

[eqn: g(x)=0] 에 대하여 [eqn: f(x)-x=f(t)-t]   에서

[eqn: p(x)=f(x)-x`,``p(t)=f(t)-t]    라 하면

[eqn: p(x)=p(t)`]  : ([eqn: p(x)] 는 사차함수, [eqn: p(t)]는 상수함수)

사차함수 [eqn: p(x)]의 여러 계형중              와 조건 (가)에서

즉,  [eqn: h(-1±)=2`,`h(-1)=1]   이므로 조건 (가) 불만족

사차함수 [eqn: p(x)]의 여러 계형중                와 조건 (가)에서

[eqn: p(-1±)=4=p(1±)]

[eqn: p(-1)=2=p(1)]

[eqn: -1-][eqn: -1][eqn: -1+]      [eqn: 1-] [eqn: 1]  [eqn: 1+]

즉, [eqn: h(-1±)=4`,`h(-1)=2,`]   [eqn: h(1±)=4`,`h(1)=2`]

이므로 조건 (가)를 만족한다.

조건 (나)에서 절댓값을 매긴 함수와 안매긴 함수의 정적분 값이

같아지는 [eqn: x= alpha]의 최솟값이 [eqn: -1] 이라는 말은

[eqn: f(x)`Graph``=` LEFT | f(x) RIGHT | Graph]   라는 것이므로

<예>

즉, [eqn: f(-1)=0 CDOTS ㉠]

함수 [eqn: p(x)] 에서 [eqn: p(x)]의 그래프가

[eqn: p(x)-p(-1)=a(x+1) ^{2} (x-1) ^{2}]   이고

[eqn: f(x)-x-f(-1)-1=a(x+1) ^{2} (x-1) ^{2}]

[eqn: THEREFORE f(x)=a(x+1) ^{2} (x-1) ^{2} +x+1]

[eqn: =a(x ^{2} -1) ^{2} +x+1 CDOTS ㉡]

조건 (다)에서 [eqn: f(x)-kx GEQ 0`]  에서 [eqn: f(x) GEQ kx]

기울기 [eqn: =k=f``'( sqrt {2} )]

[eqn: (0`,`0)] 과 [eqn: ( sqrt {2} `,`f( sqrt {2} )`)] 평균변화율 [eqn: =] [eqn: f`'( sqrt {2} )]

[eqn: {f( sqrt {2} )} over {sqrt {2}} =f`'`( sqrt {2} )]   [eqn: ,`` THEREFORE f( sqrt {2} )= sqrt {2} TIMES f``'( sqrt {2} ) CDOTS ㉢]

[eqn: ㉢] 에서 [eqn: f( sqrt {2} )=a+ sqrt {2} +1````] 이고

[eqn: sqrt {2} `f`'( sqrt {2} )=8a+ sqrt {2}]   이므로

[eqn: a+ sqrt {2} +1=8a+ sqrt {2} `]  에서 [eqn: 7a=1``,` THEREFORE a= {1} over {7} CDOTS ㉣]

즉, [eqn: f(x)= {1} over {7} (x ^{2} -1) ^{2} +x+1]   이므로

[eqn: f(6)= {1} over {7} TIMES 35 ^{2} +6+1=182]

<미적>

[eqn: lim _{n -> INF } {}]□□□[eqn: sqrt {n ^{2} +4} - sqrt {n ^{2} +1}] □의 값은? [2점]

2023년 7월 고3 전국연합학력평가

제 2 교시      수학 영역 (미적)

③

[eqn: lim _{n -> INF } {}]□□□[eqn: sqrt {n ^{2} +4} - sqrt {n ^{2} +1}] □에서

[eqn: lim _{n`-> INF } {{2n TIMES 3} over {sqrt {n ^{2} +4} + sqrt {n ^{2} +1}} = {6} over {1+1} =3}]

① 1   ② 2    ③ 3    ④ 4    ⑤ 5

함수 □□□□□ln□□[eqn: {} ^{2}]□□□□□와 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 □□□□가 있다. 실수 전체의 집합에서 정의된 합성함수 □□□□를 □□□□□□□□□□□□라 하자. [eqn: lim _{x` -> `2} {` {g(x)-4} over {x-2}}]□□□일 때, □′□□□의 값은? [3점]

②

[eqn: lim _{x-> 2} {{g(x)-4} over {x-2}} =12] 에서 [eqn: g(2)=4`,`g`'(2)=12 CDOTS ㉠]

[eqn: h(x)=f(g(x))] 에서 [eqn: h`'(x)=f`'(g(x))` TIMES g'(x)]

[eqn: h`'(2)=f``'(4) TIMES g`'(2)=12 TIMES f`'(4) CDOTS ㉡]

[eqn: f(x)=ln`(x ^{2} -x+2)]  에서

[eqn: f`'(x)= {2x-1} over {x ^{2} -x+2} ``,` THEREFORE `f`'(4)= {7} over {14} = {1} over {2} CDOTS ㉢]

따라서 [eqn: `h`'(2)=12 TIMES {1} over {2} =6]

곡선 □□[eqn: {} ^{x+y+1}] □ □□[eqn: {} ^{x}]□□□□ 위의 점 □□□ □□에서의 접선의 기울기는? [3점]

①

곡선 □□[eqn: {} ^{x+y+1}] □ □□[eqn: {} ^{x}]□□□□ 양변 음함수 미분

[eqn: 2`e ^{x+y-1} ` LEFT ( 1+ {dy} over {dx} RIGHT ) =3e ^{x} +1- {dy} over {dx} CDOTS ㉠``]

위의점 [eqn: (`0,`1)]에서 접선의 기울기 구하기 이므로

[eqn: ㉠]에 [eqn: x=0,`y=1] 을 대입하여 정리하면

[eqn: 2` LEFT ( 1+ {dy} over {dx} RIGHT ) =4- {dy} over {dx}]  ,  [eqn: 3` {dy} over {dx} =2`,` THEREFORE {dy} over {dx} = {2} over {3}]

① [eqn: {2} over {3}]    ② [eqn: 1]   ③ [eqn: {4} over {3}]   ④ [eqn: {5} over {3}]    ⑤ [eqn: 2]

함수 □□□□는 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속이고 [eqn: int _{1} ^{2} {(x-1)} f` prime LEFT ( {x} over {2} RIGHT ) dx=2]  를 만족시킨다.

□□□□□□일 때, [eqn: int _{{1} over {2}} ^{1} {`f(x)`dx}] 의 값은? [3점]

④

[eqn: int _{1} ^{2} {(x-1)} f` prime LEFT ( {x} over {2} RIGHT ) dx=2]   에서 부분적분 실시

[eqn: = LEFT [ 2(x-1)`f LEFT ( {x} over {2} RIGHT ) RIGHT ] _{1} ^{2} - int _{1} ^{2} {2`f LEFT ( {x} over {2} RIGHT ) dx}]

[eqn: =2`f(1)-2 int _{1} ^{2} {`f LEFT ( {x} over {2} RIGHT ) `dx=2``` LEFT ( BECAUSE `f(1)=4 RIGHT )}]

[eqn: 8-2 int _{1} ^{2} {`f LEFT ( {x} over {2} RIGHT ) `dx=2```} ,]  [eqn: THEREFORE ` int _{1} ^{2} {`f LEFT ( {x} over {2} RIGHT ) dx=3` CDOTS ㉠}]

[eqn: ㉠] 의 치환적분

[eqn: {x} over {2} =t`,````dx=2dt`,` int _{{1} over {2}} ^{1} {}]    이므로

[eqn: 2 int _{{1} over {2}} ^{1} {`f(t)`dt} =3```,``` THEREFORE int _{{1} over {2}} ^{1} {f(t)`dt= {3} over {2}}].

① [eqn: {3} over {4}]    ② [eqn: 1]   ③ [eqn: {5} over {4}]   ④ [eqn: {3} over {2}]    ⑤ [eqn: {7} over {4}]

그림과 같이 [eqn: {bar{AB _{1}}}]□[eqn: {bar{AC _{1}}}] □[eqn: sqrt {17}] , [eqn: {bar{B _{1} C _{1}}}]□2인

삼각형 AB[eqn: {} _{1}]C[eqn: {} _{1}]이 있다. 선분 AB[eqn: {} _{1}] 위의 점 B[eqn: {} _{2}],        선분 AC[eqn: {} _{1}] 위의 점 C[eqn: {} _{2}], 삼각형 AB[eqn: {} _{1}]C[eqn: {} _{1}]의 내부의       점 D[eqn: {} _{1}]을 [eqn: {bar{B _{1} D _{1}}}]□ [eqn: {bar{B _{2} D _{1}}}]□ [eqn: {bar{C _{1} D _{1}}}]□ [eqn: {bar{C _{2} D _{1}}}] ,

∠B[eqn: {} _{1}]D[eqn: {} _{1}]B[eqn: {} _{2}] □∠C[eqn: {} _{1}]D[eqn: {} _{1}]C[eqn: {} _{2}] □[eqn: {pi } over {2}] 가 되도록 잡고,

두 삼각형 B□D□B□, C□D□C□에 색칠하여 얻은

그림을 □[eqn: {} _{1}]이라 하자.

그림 □[eqn: {} _{1}]에서 선분 AB[eqn: {} _{2}] 위의 점 B[eqn: {} _{3}], 선분 AC[eqn: {} _{2}]       위의 점 C[eqn: {} _{3}], 삼각형 AB[eqn: {} _{2}]C[eqn: {} _{2}]의 내부의 점 D[eqn: {} _{2}]를        [eqn: {bar{B _{2} D _{2}}}]□ [eqn: {bar{B _{3} D _{2}}}]□ [eqn: {bar{C _{2} D _{2}}}]□ [eqn: {bar{C _{3} D _{2}}}] ,

∠B[eqn: {} _{2}]D[eqn: {} _{2}]B[eqn: {} _{3}] □∠C[eqn: {} _{2}]D[eqn: {} _{2}]C[eqn: {} _{3}]□[eqn: {pi } over {2}] 가 되도록 잡고,

두 삼각형 B[eqn: {} _{2}]D[eqn: {} _{2}]B[eqn: {} _{3}], C[eqn: {} _{2}]D[eqn: {} _{2}]C[eqn: {} _{3}]에 색칠하여 얻은 그       림을 □[eqn: {} _{2}]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여

□번째 얻은 그림 □[eqn: {} _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓       이를 □[eqn: {} _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {}]□[eqn: {} _{n}]의 값은? [3점]

③

[eqn: {bar{B _{1} D _{1}}}]□[eqn: {bar{B _{2} D _{1}}}]□[eqn: {bar{C _{1} D _{1}}}]□[eqn: {bar{C _{2} D _{1}}}] ,∠B[eqn: {} _{1}]D[eqn: {} _{1}]B[eqn: {} _{2}]□∠C[eqn: {} _{1}]D[eqn: {} _{1}]C[eqn: {} _{2}]□[eqn: {pi } over {2}]

에서 두 삼각형 [eqn: TRIANGLE B _{1} B _{2} D _{1`} `,` TRIANGLE C _{1} C _{2} D _{1}]는 직각이등변 삼각형

[eqn: TRIANGLE D _{1} B _{1} C _{1}]는 이등변 삼각형 이다.

점 [eqn: A]에서 밑변 [eqn: B _{1} C _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: M]이라 하고

[eqn: {bar{AM`}} =4`,` ANGLE AB _{1} M= alpha `,` ANGLE B _{1} D _{1} M= beta]로 두면

[eqn: tan alpha =4``] 이고 [eqn: beta - alpha = alpha - {pi } over {4}] 이다.

[eqn: tan beta =tan LEFT ( alpha - {pi } over {4} RIGHT ) = {tan alpha -1} over {1+tan alpha } = {3} over {5}], [eqn: THEREFORE `tan beta = {3} over {5} CDOTS ㉠]

[eqn: TRIANGLE D _{1} B _{1} M]  에서 [eqn: {bar{D _{1} M`}} `= {3} over {5} `,` {bar{B _{1} D _{1}}} = {sqrt {34}} over {5} ``]

[eqn: S _{1} =2 TIMES {1} over {2} TIMES {34} over {25} ```,` THEREFORE S _{1} = {34} over {25} CDOTS ㉡]

[eqn: TRIANGLE B _{2} B _{1} D _{1}] 에서 [eqn: {bar{B _{1} B _{2}}} = {sqrt {68}} over {5} = {2 sqrt {17}} over {5}]   이므로

[eqn: {bar{AB _{1}}} `: {bar{AB _{2} `}} = {5 sqrt {17}} over {5} : {3 sqrt {17}} over {5} =5`:`3]

즉, 닮음비가 [eqn: 5`:`3] 이므로 넓이 비는 [eqn: 25`:`9]

따라서 [eqn: r= {9} over {25} CDOTS ㉢]

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {`S _{n} = {{34} over {25}} over {1- {9} over {25}} = {34} over {25-9} = {34} over {16} = {17} over {8}}]

① [eqn: 2]    ② [eqn: {33} over {16}]   ③ [eqn: {17} over {8}]   ④ [eqn: {35} over {16}]    ⑤ [eqn: {9} over {4}]

그림과 같이 중심이 O이고 길이가 □인 선분 AB를 지름으로 하는 원이 있다. 원 위에 점 P를

∠PAB □□ 가 되도록 잡고, 점 P를 포함하지 않      는 호 AB 위에 점 Q를 ∠QAB □□□ 가 되도록 잡      는다. 직선 OQ가 원과 만나는 점 중 Q가 아닌 점      을 R , 두 선분 PA와 QR 가 만나는 점을 S라 하      자. 삼각형 BOQ의 넓이를 □□□□, 삼각형 PRS의 넓      이를 □□□□라 할 때, [eqn: lim _{theta -> `0+} {` {g( theta )} over {f( theta )}}] 의 값은?

[eqn: LEFT ( 단,``0< theta < {pi } over {6} RIGHT )] [4점]

②

원주각과 중심각의 성질을 이용하여 각분석을 해보면

아래 그림과 같다.

직각[eqn: TRIANGLE RPQ] 에서 [eqn: {bar{AP`}} =2cos`3 theta `,` {bar{PQ`}} =2sin`3 theta]

[eqn: f( theta )= {1} over {2} ` TIMES 1 TIMES 1 TIMES sin4 theta = {1} over {2} `sin4 theta CDOTS ㉠]

[eqn: TRIANGLE RPS]  에서 [eqn: sin] 법칙 실시 [eqn: {bar{RS`}} =x] 로 두고

[eqn: {x} over {sin2 theta } = {2cos3 theta } over {sin5 theta } ```,```# THEREFORE `x= {2`cos`3 theta `sin2 theta `} over {sin`5 theta }]

[eqn: g( theta )= {1} over {2} ` {sin2 theta } over {sin5 theta } `` TIMES sin3 theta TIMES `4cos ^{2} theta CDOTS ㉡]

[eqn: lim _{theta `-> 0+} {{g( theta )} over {f( theta )} = lim _{theta `-> 0+} {LEFT ( {sin3 theta } over {sin4 theta } TIMES {sin2 theta } over {sin5 theta } TIMES 4cos ^{2} 3 theta RIGHT )}}]

[eqn: = {3} over {4} TIMES {2} over {5} TIMES 4= {6} over {5}]

① [eqn: {11} over {10}]    ② [eqn: {6} over {5}]   ③ [eqn: {13} over {10}]   ④ [eqn: {7} over {5}]    ⑤ [eqn: {3} over {2}]

함수 □□□□는 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속이고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) □ □ □일 때, □′□□□□□□□□□이다.

(나) □ ≥ □인 모든 실수 □에 대하여

□□□[eqn: {} ^{2}]□□□□□□[eqn: {} ^{2x}]□□□이다. (단, □, □는 상수이다.)

[eqn: int _{0} ^{5} {}]□□□□□□ □□□[eqn: {} ^{4}]□□일 때, □□□의 값을 구하시오.      (단, □, □는 유리수이다.) [4점]

12

도함수가 연속이므로 원함수 [eqn: f(x)]는 미분가능하다고 해석해도

무방하다.

조건 (가) [eqn: x<1] [eqn: f`'(x)=-2x+4`,`f(x)=-x ^{2} +4x+C]

조건 (나) [eqn: x GEQ 0] 인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

□□□[eqn: {} ^{2}]□□□□□□[eqn: {} ^{2x}]□□□ : (요놈은 항등식 이다.)

위식에 항등식이므로 수치대입, 미분, 적분 가능하다.

위식을 미분 : [eqn: 2x`f`'(x ^{2} +1)=2ae ^{2x+b}]

즉, [eqn: f`'(x ^{2} +1)= {2ae ^{2x} +b} over {2x}]

도함수가 연속이므로 [eqn: f`'(1-)=f`'(1+)=2]   여야 한다.

[eqn: f`'(1+)= lim _{x`-> 0+} {` {2ae ^{2x} +b} over {2x}} `=` {0} over {0}]   꼴 극한

[eqn: 2a+b=0]  이므로 [eqn: b=-2a]

[eqn: f`'(1+)= lim _{x` -> 0+} {` {2a(e ^{2x} -1)} over {2x}} `=`2a]

즉, [eqn: 2a=2] 이므로 [eqn: a=1`,`b=-2 CDOTS ㉠]

함수 [eqn: f(x)]가 연속 이므로

[eqn: f(1-)=3+C]   이고 조건 (나)의 항등식에 [eqn: x=0] 대입하면

[eqn: f(1)=a=1]

[eqn: 3+C=1] 이므로 [eqn: C=-2] 이다.

즉, [eqn: {cases{f(x)=-x ^{2} +4x-2`&(x<1)#eqalign{# f(x ^{2} +1)=e ^{2x} -2x}&eqalign{# (x GEQ 0)}}} ` CDOTS ㉡]

[eqn: int _{0} ^{5} {f(x)dx= int _{0} ^{1} {-x ^{2} +4x-2dx} + int _{1} ^{5} {f(x)dx}}]

[eqn: = LEFT [ - {1} over {3} x ^{2} +2x ^{2} -2x RIGHT ] _{0} ^{1} + int _{1} ^{5} {f(x)`dx}]

[eqn: =- {1} over {3} + int _{1} ^{5} {`f(x)dx``} CDOTS ㉢]

㉢ 의 [eqn: int _{1} ^{5} {f(x)`dx}] 는 치환적분 실시

[eqn: f(t ^{2} +1)=e ^{2t} -2t]  에서

[eqn: x=t ^{2} +1]  (양변미분하면)  [eqn: dx=2t`dt] , [eqn: int _{0} ^{2} {}]

[eqn: int _{1} ^{5} {f(x)`dx} = int _{0} ^{2} {2t`f(t ^{2} +1)`dt}]   이므로

[eqn: = int _{0} ^{2} {`2t(e ^{2t} -2t)dt= int _{0} ^{2} {2t`e ^{2t} dt- int _{0} ^{2} {4t ^{2} dt}}}]

[eqn: = LEFT [ {1} over {2} 2te ^{2t} RIGHT ] _{0} ^{2} - LEFT [ {1} over {2} e ^{2t} RIGHT ] _{0} ^{2} - LEFT [ {4} over {3} t ^{3} RIGHT ] _{0} ^{2} = {3} over {2} e ^{4} - {61} over {6}]

[eqn: THEREFORE int _{0} ^{5} {f(x)`dx=- {1} over {3} + {3} over {2} e ^{4} - {61} over {6} = {3} over {2} e ^{4} - {21} over {2}}]

[eqn: p= {3} over {2} `,`q= {21} over {2} ``]  이므로 [eqn: p+q=12]

최고차항의 계수가 □인 삼차함수 □□□□에 대하여 함수 □□□□를 □□□□□sin□□□□□□□ 라 하자.

함수 □ □□□□□의 그래프와 □축이 만나는 점의 □좌      표 중 양수인 것을 작은 수부터 크기순으로 모두      나열할 때, □ 번째 수를 □[eqn: {} _{n}]이라 하자. 함수 □□□□와      자연수 □이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 □□□□는 □□□[eqn: {} _{4}]와 □□□[eqn: {} _{8}]에서 극대이다.

(나) □□□[eqn: {} _{m}]□□□□□□

□□□[eqn: {} _{k}]□≤ □□□□을 만족시키는 자연수 □의 최댓값을      구하시오. [4점]

208

함수 [eqn: g(x)]는 합성함수 이다.

[eqn: h(x)=sin LEFT | pi x RIGHT |] 라 하면

[eqn: g(x)=(h CIRC f)(x)=h(f(x))=sin LEFT | pi f(x) RIGHT |]

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x]축과 만나므로 방정식 [eqn: g(x)=0] 풀기

[eqn: x=a _{n} `(x>0`,`a _{n} >0)]

[eqn: g(x)=0``:`g(a _{n} )=0]  으로 해석한다.

[eqn: g(x)=sin LEFT | pi f(x) RIGHT | =0]   에서

[eqn: f(x)=n``(n=] 정수)[eqn: CDOTS ㉠]  [eqn: x=a _{n}] 이므로 [eqn: f(a _{n} )=n`]

즉, [eqn: f(a _{n} )=] 정수

조건 (나)에서 [eqn: f(a _{m} )=f(0)] 이라 했으므로

[eqn: a _{m} >0] 이므로 [eqn: a _{m} != 0] 이다.

함수 [eqn: f(x)]는 함숫값이 같은게 존재하는 삼차함수이다.

즉. 함수 [eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 그래프의 계형이

아래의 <예>처럼 그려짐을 알 수 있다.

즉, 선함수 [eqn: f(x)] 와 후함수 [eqn: y=sin LEFT | pi x RIGHT |] 그래프는

아래와 같다.

[eqn: (ⅰ)`a _{1} ` SIM a _{5}] 가 [eqn: f(x)]의 증가하는 구간에 존재할 때

[eqn: y=f(x)]                    [eqn: y=g(x)]

[eqn: x=a _{4}] 에서 극값을 갖지 않는다.

[eqn: (ⅱ)`a _{4}] 가 [eqn: f(x)=정수] 를 갖는 곳에서 접할 때

[eqn: y=f(x)]                    [eqn: y=g(x)]

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=a _{4} ``,a _{8}] 에서 극댓값을 갖는다.

함수 [eqn: f(x)]의 그래프에 대하여 아래와 같이 그려지고

[eqn: f(0)=-2=f(a _{8} )]  이므로 [eqn: m=8 CDOTS ㉡]

닫힌구간 [eqn: LEFT [ a _{4} `,`a _{8} RIGHT ]] 에서 함숫값의 차[eqn: =4] 이므로

닫힌구간 [eqn: LEFT [ a _{4} `,`a _{8} RIGHT ]] 에서 도함수와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 넓이[eqn: =4]

넓이 공식 이용하면 [eqn: {3(a _{8} -a _{4} ) ^{3}} over {6} =4,`` THEREFORE a _{8} -a _{4} =2 CDOTS ㉢]

삼차함수 비율관계에 의해 [eqn: a _{4} =1`,`a _{8} =3]  이다.

[eqn: f(x)=x(x-3) ^{2} -2]   이고

[eqn: f(8)=8 TIMES 25-2=198 CDOTS ㉣]

[eqn: f(a _{k} ) LEQ f(8)] 을 만족하는 자연수 [eqn: k]의 최댓값 찾기

즉, [eqn: f(a _{k} ) LEQ 198] 을 만족하는 자연수 [eqn: k]의 최댓값 찾기

[eqn: f(a _{8} )=-2]

[eqn: f(a _{9} )=-1]

[eqn: f(a _{10} )=0]

[eqn: f(a _{11} )=1]

[eqn: f(a _{12} )=2]

[eqn: VDOTS]

[eqn: f(a _{208} )=198]  이다.

따라서  [eqn: f(a _{k} ) LEQ f(m)] 을 만족하는

자연수 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 208]이다.

2023년 7월 미적